Author: Oliver Deiser; Caroline Lasser; Elmar Vogt; Dirk Werner
Date: 2011-01-05T00:00:00+00:00
Keywords: Calculus; Algebra; Mathematics; General; Mathematical Analysis; Linear
Description: Wie ist ein Ring definiert, wann kann man Grenzprozesse vertauschen, was sind lineare Ordnungen und wozu benötigt man das Zornsche Lemma in der Linearen Algebra? Das Buch will seinen Lesern helfen, sich in der Fülle der grundlegenden mathematischen Definitionen zurecht zu finden und exemplarische mathematische Ergebnisse einordnen und ihre Eigenheiten verstehen zu können. Es behandelt hierzu je zwölf Schlüsselkonzepte der folgenden zwölf Themengebiete der Mathematik: Grundlagen, Zahlen, Zahlentheorie, Diskrete Mathematik, Lineare Algebra, Algebra, Elementare Analysis, Höhere Analysis, Topologi
Publisher: Spektrum Akademischer Verlag

12 x 12 Schlüsselkonzepte zur Mathematik

Oliver Deiser Caroline Lasser Elmar Vogt

Dirk Werner

12 x 12

Schlüsselkonzepte
zur Mathematik

Autoren

PD Dr. Oliver Deiser

Prof. Dr. Elmar Vogt

Technische Universität München

Fachbereich Mathematik und Informatik

TUM School of Education

Freie Universität Berlin

Schellingstraße 33

Arnimallee 6

80799 München

14195 Berlin
oliver.deiser@tum.de
vogt@math.fu-berlin.de

Prof. Dr. Caroline Lasser

Prof. Dr. Dirk Werner

Zentrum Mathematik - M3

Fachbereich Mathematik und Informatik

Wissenschaftliches Rechnen

Freie Universität Berlin

Technische Universität München

Arnimallee 6

85747 Garching bei München

14195 Berlin
classer@ma.tum.de
werner@math.fu-berlin.de

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filmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.

Planung und Lektorat: Dr. Andreas Rüdinger, Dr. Meike Barth

Copy Editing: Heike Pressler

Herstellung: Crest Premedia Solutions (P) Ltd, Pune, Maharashtra, India

Satz: Autorensatz

Umschlaggestaltung: SpieszDesign, Neu-Ulm

ISBN 978-3-8274-2297-2

Vorwort

Das Ziel des vorliegenden Buches ist, wichtige mathematische Begriffsbildun-
gen, Methoden, Ideen und Resultate zu sammeln, anzuordnen und in je etwa
zwei Seiten lesbar und informativ darzustellen. Die Darstellung ist informell und
sorgt sich nicht – wie bei einer mathematischen Monographie – allzu sehr um
systematische und hierarchische Aspekte, will aber die die Mathematik kenn-
zeichnende Genauigkeit nicht preisgeben.

Die Leserinnen und Leser, die wir in erster Linie im Blick haben, sind Studie-
rende der Mathematik, die neben den Vorlesungsskripten und den zugehörigen

Lehrbüchern gerne einen Text zur Hand haben möchten, der zwischen Lexikon
und Lehrbuch einzuordnen ist und Überblick, Hilfestellung und Orientierung
bietet, einen Text, der sich zur Wiederholung zentraler Konzepte der mathema-
tischen Grundvorlesungen ebenso eignet wie zur Gewinnung erster Einblicke in
noch unbekannte Teilgebiete der Mathematik.

Was das Buch nicht kann und will, ist einen vollständigen Katalog der

Schlüsselkonzepte der Mathematik zu geben. Die Auswahl der Begriffe ist sub-
jektiv, und auch ihre Darstellung ist von unseren wissenschaftlichen Erfahrungen
bestimmt, die keinen Anspruch auf Allgemeingültigkeit erheben. Auf der ande-
ren Seite haben wir natürlich versucht, unsere Auswahl am Lernenden zu ori-
entieren, der das gewaltige Wissensgebäude der modernen Mathematik betritt.

Was ihm dort fast sicher begegnet, sollte reichlich vorhanden sein, zusammen
mit einigen Ausblicken, die ihn auf etwas hinweisen, das ihn vielleicht einmal
besonders fesseln und beschäftigen wird.

Das Buch ist in zwölf Kapitel unterteilt und jedes Kapitel in zwölf Unterkapi-
tel, die wir in Querverweisen als Abschnitte bezeichnen. Diese Einteilung dient
der Organisation und damit der Lesbarkeit des Buches. Sie soll keineswegs an-
deuten, dass die Mathematik in zwölf Disziplinen so zerfallen würde wie Gallien
in drei Teile. Das Bedürfnis nach Ordnung und Symmetrie ist ein menschliches,
und die Leserinnen und Leser sind explizit dazu aufgerufen, Linien nicht als

Gräben zu verstehen und sie kritisch zu hinterfragen.

Das 1. Kapitel beschäftigt sich mit der mathematischen Methode und den
überall verwendeten sprachlichen Grundbegriffen der Mathematik. In Kapitel 2
wird das Zahlsystem von den natürlichen Zahlen bis hin zu den p-adischen Zah-
len behandelt. Die Zahlentheorie, also die Theorie der natürlichen Zahlen, bildet
das Thema des 3. Kapitels. Kapitel 4 beschäftigt sich mit der diskreten Mathe-
matik, wobei die Graphentheorie im Zentrum steht, die der diskreten Mathe-
matik einen flexiblen sprachlichen Rahmen zur Verfügung stellt. Das 5. Kapitel
behandelt grundlegende Konzepte der linearen Algebra im Umfeld von Vekto-
ren, linearen Abbildungen und Matrizen. Im algebraischen 6. Kapitel reicht der

Bogen von den algebraischen Grundstrukturen bis hin zu einem Ausblick auf die

Galois-Theorie. Der Analysis sind die Kapitel 7 und 8 gewidmet; sie zeichnen
vi

Vorwort
den langen Weg nach, der von Folgen, Grenzwerten und stetigen Funktionen
zum Gaußschen Integralsatz und der Analysis für die komplexen Zahlen führt.

Aspekte der Topologie und Geometrie werden in Kapitel 9 betrachtet, und gera-
de hier wird der Auswahlcharakter der einzelnen Abschnitte augenfällig. Grund-
gedanken der Numerik – vor allem in Bezug auf die lineare Algebra – werden in

Kapitel 10 vorgestellt, und Kapitel 11 wählt aus dem weiten Feld der Stochas-
tik und Wahrscheinlichkeitstheorie einige Grundbegriffe und Ausblicke aus. Das
abschließende 12. Kapitel widmet sich der mathematischen Logik, wobei hier

Themen der Mengenlehre dominieren, die in der mathematischen Grundausbil-
dung oft angesprochen, aber nicht im Detail ausgeführt werden. Jedes der zwölf

Kapitel beginnt mit einem einführenden Vorspann, so dass wir uns an dieser

Stelle mit diesem knappen Überblick begnügen können.

Besonders danken möchten wir Herrn Dr. Andreas Rüdinger vom Spektrum-

Verlag, der das Projekt initiiert und von den ersten Ideen bis zur Fertigstellung
kontinuierlich gestalterisch begleitet hat. Seine kritische Lektüre von Vorabver-
sionen des Texts hat zu zahlreichen Verbesserungen geführt.

Berlin und München, im Oktober 2010

Oliver Deiser, Caroline Lasser, Elmar Vogt, Dirk Werner

Inhaltsverzeichnis

1

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1

Die Mathematik und ihre Sprache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Junktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5

Menge und Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.6

Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.7

Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.8

Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.9

Äquivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.10

Partielle und lineare Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.11

Existenz und algorithmische Berechenbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.12

Strukturen und strukturerhaltende Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2

Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.1

Natürliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2

Ganze und rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.3

Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.4

Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.5

Quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.6
b-adische Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.7

Irrationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.8

Algebraische und transzendente Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.9

Die Zahlen π und e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.10

Infinitesimale Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.11
p-adische Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.12

Zufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3

Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3.1

Teilbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.2

Primzahlen und der Fundamentalsatz der Arithmetik . . . . . . . . . . . .

57

3.3

Kongruenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

3.4

Einfache Primzahltests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.5

Das RSA-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3.6

Die Verteilung der Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

3.7

Quadratische Reste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

3.8

Kettenbrüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

3.9

Rationale Approximationen algebraischer Zahlen; Liouvillesche Zahlen 74

3.10

Diophantische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

3.11

Elliptische Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

3.12

Zahlkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80
viii

Inhaltsverzeichnis

4

Diskrete Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

4.1

Kombinatorisches Zählen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

4.2

Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

4.3

Euler-Züge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

4.4

Hamilton-Kreise und das P = NP-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

4.5

Bäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

4.6

Färbungen und der Satz von Ramsey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

4.7

Bipartite Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

4.8

Matroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.9

Netzwerke und Flüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.10

Kürzeste Wege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.11

Transitivierung von Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.12

Planare Graphen und Minoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5

Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.1

Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.2

Lineare Unabhängigkeit und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.3

Lineare Abbildungen und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.4

Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.5

Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.6

Euklidische und unitäre Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.7

Normierte Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.8

Orthogonalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.9

Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.10

Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.11

Diagonalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.12

Singulärwertzerlegung und Jordansche Normalform . . . . . . . . . . . . . . 135

6

Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.1

Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.2

Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

6.3

Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.4

Normalteiler und Faktorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.5

Ideale und Teilbarkeit in Ringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.6

Endlich erzeugte abelsche Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.7

Quotientenkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.8

Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

6.9

Körpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.10

Konstruktionen mit Zirkel und Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6.11

Galoistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.12

Lösbarkeit polynomialer Gleichungen durch Radikale . . . . . . . . . . . . . 162

7

Elementare Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

7.1

Folgen und Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

7.2

Unendliche Reihen und Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Inhaltsverzeichnis
ix

7.3

Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

7.4

Exponentialfunktion, Logarithmus und trigonometrische Funktionen 172

7.5

Differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

7.6

Das Riemannsche Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.7

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . 178

7.8

Vertauschung von Grenzprozessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7.9

Taylorentwicklung und Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

7.10

Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

7.11

Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

7.12

Kurven im R d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

8

H¨
ohere Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

8.1

Metrische und normierte Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

8.2

Partielle und totale Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

8.3

Mittelwertsatz, Taylorformel und lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . 197

8.4

Der Satz von Picard-Lindelöf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

8.5

Stabilität von Gleichgewichtspunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

8.6

Das Lebesguesche Maß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

8.7

Das Lebesguesche Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

8.8

Der Gaußsche Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

8.9

Holomorphe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

8.10

Der Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

8.11

Fixpunktsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

8.12

Der Bairesche Kategoriensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

9

Topologie und Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

9.1

Topologische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

9.2

Stetige Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

9.3

Beschreibung von Topologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

9.4

Produkträume und Quotientenräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

9.5

Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

9.6

Trennung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

9.7

Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

9.8

Flächen im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

9.9

Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

9.10

Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

9.11

Homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

9.12

Euklidische und nichteuklidische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

10 Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

10.1

Die Kondition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

10.2

Gleitkomma-Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

10.3

Numerische Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

10.4

Das Gaußsche Eliminationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

10.5

Die Methode der kleinsten Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
x

Inhaltsverzeichnis

10.6

Eigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

10.7

Polynominterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

10.8

Die schnelle Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

10.9

Numerische Integration und Summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

10.10 Die Gaußschen Quadraturverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

10.11 Runge-Kutta-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

10.12 Das Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

11 Stochastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

11.1

Wahrscheinlichkeitsräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

11.2

Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

11.3

Erwartungswert und Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

11.4

Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . 285

11.5

Null-Eins-Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

11.6

Das Gesetz der großen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

11.7

Der zentrale Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

11.8

Parameterschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

11.9

Statistische Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

11.10 Markovsche Ketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

11.11 Irrfahrten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

11.12 Die Brownsche Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

12 Mengenlehre und Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

12.1

Mächtigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

12.2

Das Diagonalverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

12.3

Die Russell-Antinomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

12.4

Die Zermelo-Fraenkel-Axiomatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

12.5

Das Auswahlaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

12.6

Das Zornsche Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

12.7

Paradoxa der Maßtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

12.8

Berechenbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

12.9

Formale Beweise und Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

12.10 Die Gödelschen Unvollständigkeitssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

12.11 Transfinite Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

12.12 Die Kontinuumshypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

1 Grundlagen

Unter Grundlagen“ verstehen wir in diesem Kapitel weniger die logischen Fun-

”

damente der Mathematik, sondern vielmehr die Elemente der mathematischen

Sprache, die einen universellen Charakter besitzen. Hierunter fällt die Art und

Weise des mathematischen Formulierens und Argumentierens an sich, weiter
aber auch das flexible inhaltliche Gerüst, mit dessen Hilfe verschiedene mathe-
matische Theorien errichtet werden können: Mengen, Funktionen und Relatio-
nen. Den Zahlen, die man auch den derart verstandenen inhaltlichen Grundlagen
zuordnen könnte, ist ein eigenes Kapitel gewidmet.

Im ersten Abschnitt beschreiben wir die drei klassischen charakteristischen

Merkmale mathematischer Texte: Definitionen, Sätze und Beweise. Bei der For-
mulierung mathematischer Aussagen spielen Junktoren wie und“, impliziert“,

”

”

genau dann, wenn“ und Quantifizierungen des Typs für alle“ und
es gibt“

”

”

”

eine Schlüsselrolle, und wir erläutern ihre Verwendung in der Mathematik im
zweiten und dritten Abschnitt. Der vierte Abschnitt schließt dann unsere Be-
schreibung der Struktur der mathematischen Sprache mit einem Blick auf einige
häufig auftauchende Muster der mathematischen Beweisführung ab. Wir können
uns nun den universellen inhaltlichen Konzepten zuwenden.

Der Grundbegriff der Mathematik schlechthin ist der Mengenbegriff, den wir
im fünften und sechsten Abschnitt samt all den mengentheoretischen Operatio-
nen vorstellen, die in der Mathematik durchgehend im Einsatz sind. Im siebten
und achten Abschnitt führen wir dann Relationen als bestimmte Mengen und

Funktionen als bestimmte Relationen ein. Weiter versammeln wir die wichtigs-
ten Sprechweisen und Notationen im Umfeld von Relationen und Funktionen.

Zwei fundamentale Typen von Relationen diskutieren wir in den Abschnitten
neun und zehn, nämlich die Äquivalenzrelationen, die mathematische Abstrak-
tionen beschreiben, und die Ordnungsrelationen, die vielfältige Möglichkeiten
der Strukturierung von Mengen zur Verfügung stellen. In den beiden letzten

Abschnitten steht dann der Funktionsbegriff im Vordergrund: Der Unterschied
zwischen mathematischer Existenz und algorithmischer Berechenbarkeit ist das

Thema des elften Abschnitts, und im zwölften Abschnitt betrachten wir in allge-
meiner, aber auch informaler Weise den Begriff einer mathematischen Struktur
und das zugehörige Konzept einer strukturerhaltenden Abbildung.

O. Deiser et al., 12 x 12 Schlüsselkonzepte zur Mathematik,

DOI 10.1007/978-3-8274-2298-9_1, © Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2011

2

1 Grundlagen

1.1

Die Mathematik und ihre Sprache

Beim Überfliegen wissenschaftlicher mathematischer Texte fallen dem Betrach-
ter drei zentrale Elemente ins Auge: Definitionen, Sätze und Beweise. Daneben
finden sich Motivationen, Bemerkungen, Diagramme, Beispiele und Gegenbei-
spiele, anschauliche Erläuterungen, Berechnungen, Hinweise auf Spezialfälle und

Fehlerquellen, Diskussionen von Anwendungen, historische Bemerkungen und

Anekdoten, Literaturverweise und Computerprogramme in Pseudocode. Doch
diese Dinge dienen letztendlich alle dem Trio Definition-Satz-Beweis. Wir wollen
also diese drei Grundbausteine etwas genauer betrachten.

Eine Definition führt einen neuen Begriff oder ein neues mathematisches Ob-
jekt ein. Dabei dürfen nur bereits definierte Begriffe und Objekte verwendet
werden. Da man irgendwo anfangen muss, bleiben einige wenige Grundbegriffe
undefiniert, deren Eigenschaften mit Hilfe von Axiomen beschrieben werden.

Begriffsdefinitionen haben die Form: Ein Objekt X heißt soundso, falls gilt:

”

. . . “. Den Begriff einer Basis können wir zum Beispiel wie folgt definieren: Eine

”

Teilmenge B eines Vektorraumes V heißt eine Basis von V , falls B linear un-
abhängig und erzeugend ist.“ Hier muss zuvor definiert worden sein, was linear

”

unabhängig“ und erzeugend“ bedeutet.

”

Objektdefinitionen werden durch

Wir setzen . . . “ oder ähnliche Formulie-

”

rungen eingeleitet, und häufig wird dem definierten Objekt dann auch noch ein

Name gegeben. Ein Beispiel ist: Wir setzen e =

1 . Die Zahl e heißt die

”

n∈ N n!

Eulersche Zahl.“ Hierzu müssen bekannt sein: unendliche Summen von Folgen
reeller Zahlen, die Menge der natürlichen Zahlen, die Fakultätsfunktion und die

Kehrwertbildung. Zudem muss vor oder unmittelbar nach der Definition bewie-

sen werden, dass die unendliche Reihe

1 konvergiert. Da nicht beliebig
n∈ N n!

viele Zeichen zur Verfügung stehen, kommt es zu Überschneidungen und Dop-
pelverwendungen: In der Analysis ist e der Eulerschen Zahl vorbehalten, in der

Gruppentheorie dagegen wird das Zeichen e oft für das eindeutig bestimmte
neutrale Element einer gerade betrachteten Gruppe benutzt.

In Definitionen kommt es auf größte Genauigkeit an. Insbesondere wird zwi-
schen bestimmtem und unbestimmtem Artikel streng unterschieden. Wir spre-
chen von dem Supremum einer beschränkten nichtleeren Menge reeller Zahlen,
aber von einer Basis eines Vektorraumes. Entsprechendes gilt dann für die Ver-
wendung der Begriffe. Der Satz Die Vektoren (1 , 0 , 0), (0 , 1 , 0), (0 , 0 , 1) sind die

”

Basis des R3“ ist eine mathematische Todsünde.

Der strenge hierarchische Aufbau unterscheidet die mathematischen von den
umgangssprachlichen Definitionen – und von denen anderer Wissenschaften. Ein

Kleinkind kann nicht jedes Mal nachfragen, wenn es irgendein Wort nicht ver-
steht. Ein Physiker will und kann Elektronen erforschen und verstehen, aber
nicht mathematisch definieren. Ein Mathematiker muss dagegen zurückblättern
oder nachschlagen, wenn er die Definitionen Basis liest und vergessen hat, was

1.1

Die Mathematik und ihre Sprache

3
lineare Unabhängigkeit bedeutet. Dessen ungeachtet kann man mathematische

Begriffe so ausführlich vorbereiten und motivieren, dass die eigentliche Defini-
tion dann nur noch als natürliche Präzisierung empfunden wird.

Mathematische S¨
atze sind beweisbare Aussagen über mathematische Begrif-
fe und Objekte. Sie beschreiben, welchen Umfang Begriffe haben und wie sie
miteinander zusammenhängen, und sie geben an, welche Eigenschaften Objek-
te besitzen. Hat man den Basisbegriff definiert, so wird man fragen, ob jeder

Vektorraum eine Basis besitzt. In der Tat gilt der Satz: Jeder Vektorraum be-

”

sitzt eine Basis.“ Ein Ergebnis über die Eulersche Zahl e ist:

Die Zahl e ist

”

irrational.“

Neben Satz“ finden sich auch Theorem“, Lemma“, Proposition“ und Ko-

”

”

”

”

”

rollar“. Alle diese Varianten bezeichnen mathematische Sätze, geben aber infor-
male Hinweise auf die Stellung des Ergebnisses: Ein Theorem ist ein besonders
wichtiger Satz, eine Proposition ein vorbereitendes Ergebnis, ein Lemma ein
auch andernorts einsetzbares Resultat, manchmal aber auch nur ein kleiner

Hilfssatz. Ein Korollar bezeichnet schließlich einen Satz, der sich relativ ein-
fach aus einem anderen Satz gewinnen lässt. Das Wort geht auf das lateinische
corollarium“ zurück, das Geschenk, Zugabe“ bedeutet.

”

”

Was ein Beweis ist, ist wesentlich schwieriger zu beschreiben und zu beant-
worten. Ohne die Begriffe Wahrheit“ oder Gültigkeit“ zu verwenden, lässt sich

”

”

Folgendes sagen: Ein Beweis überzeugt seinen Leser genau dann, wenn er die
logischen Spielregeln der Mathematik einhält, die der Leser akzeptiert.

Beweise werden in einer modifizierten und reduzierten Form der Umgangs-
sprache geführt, die man durch Nachahmung lernt. Wir diskutieren unten einige

Strukturen und Sprechweisen, die in Beweisen häufig auftauchen (siehe Ab-
schnitt 1.4). Einen genauen Beweisbegriff stellt schließlich die mathematische

Logik zur Verfügung (siehe Abschnitt 12.9).

Das Gerüst aus Definitionen, Sätzen und zugehörigen Beweisen bleibt oh-
ne Anschauung nackt und unverstanden. Novizen wie erfahrene Mathematiker
durchlaufen deswegen ständig den folgenden zweiteiligen Prozess: Neuen in der
präzisen mathematischen Sprache definierten Begriffen wird eine individuelle
abstrakte Anschauung zugeordnet, die durch das Betrachten von Beispielen
und Gegenbeispielen, durch das Durchführen von Berechnungen und spieleri-
schen Experimenten und vor allem durch das Studium von Beweisen entwickelt
und oft auch korrigiert wird. Sollen nun eigene Beweise notiert werden, so wird
die Anschauung in eine formale Form übersetzt, die andere Mathematiker le-
sen können. Diese beiden zueinander inversen Tätigkeiten bereiten Anfängern
oft große Schwierigkeiten. Zum Aneignungsproblem Ich verstehe diesen Begriff

”

nicht“ tritt das Übersetzungsproblem

Ich weiß nicht, wie ich das aufschrei-

”

ben soll“. Der klassische Weg der Begegnung dieser Schwierigkeiten besteht im
selbständigen und selbstkritischen Bearbeiten von Übungsaufgaben, die den Ler-
nenden auffordern, ein bereits bekanntes Stück Mathematik erneut zu entdecken
und zu formulieren.

4

1 Grundlagen

1.2

Junktoren

Unter einer (mathematischen) Aussage verstehen wir eine Behauptung über
mathematische Objekte:

7 ist eine Primzahl“,

8 ist eine Primzahl“,

Jede

”

”

”

natürliche Zahl n ≥ 2 besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung“.

Aussagen werden mit Hilfe von Junktoren zu neuen Aussagen kombiniert. Da-
bei werden vor allem die Negation (in Zeichen ¬), die Konjunktion und ( ∧), die

Disjunktion oder ( ∨), die Implikation impliziert/folgt ( →) und die Äquivalenz
genau dann, wenn ( ↔) verwendet. Die Negation ist ein einstelliger Junktor: Für
jede Aussage A ist ¬ A wieder eine Aussage. Alle anderen angegebenen Junk-
toren sind zweistellig: Für alle Aussagen A und B sind A ∧ B, A ∨ B, A → B
und A ↔ B wieder Aussagen.

Wenden wir Junktoren wiederholt an, so verwenden wir Klammern, um den

Aufbau der entstehenden Aussage unmissverständlich festzulegen:

A ∧ ( B ∨ C) , ( A ∧ B) ∨ C, A → ( B → C) , ( A ↔ B) ∨ (( ¬ A) → C) , . . .

Um Klammern zu sparen, vereinbart man folgende Bindungsstärke (von stark
nach schwach bindend): ¬, ∧, ∨, →, ↔. Damit ist etwa ¬ A → B∧C die Aussage

( ¬ A) → ( B ∧ C), und A ↔ B → C ist die Aussage A ↔ ( B → C).

Oft verbindet man mit den Junktoren folgendes (nicht unproblematische)

Weltbild: Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch, und die Verwendung
eines Junktors liefert einen von den Wahrheitswerten der beteiligten Aussagen
abhängigen neuen Wahrheitswert. Wir schreiben
w“ für
wahr“ und
f“ für

”

”

”

falsch“ und legen für unsere Junktoren folgende Wahrheitstafeln fest:

”

¬

A

A

∧

B

A

∨

B

A

→

B

A

↔

B
f
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
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f
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f
w
w
f
w
w
f
f
w
f
f
f
f
f
f
f
w
f
f
w
f

In der Mathematik ist also eine Konjunktion A ∧ B genau dann wahr, wenn
sowohl A als auch B wahr sind. Eine Disjunktion A ∨ B ist genau dann falsch,
wenn sowohl A als auch B falsch sind. Eine Implikation A → B ist wahr,
es sei denn, A ist wahr und B ist falsch. Und A ↔ B ist wahr, wenn die

Wahrheitswerte von A und B übereinstimmen, und falsch sonst.

Oft sieht man z. B. lediglich ∧ und ¬ als Basisjunktoren an und definiert dann
die anderen Junktoren mit Hilfe dieser Basisjunktoren wie folgt:

A ∨ B als ¬ ( ¬A ∧ ¬B) , A → B als ¬A ∨ B, A ↔ B als ( A → B) ∧ ( B → A) .

Diese Definitionen liefern genau die obigen Wahrheitstafeln für ∨, → und ↔.

1.2

Junktoren

5

Dass A → B äquivalent zu ¬A ∨ B ist, ist gewöhnungsbedürftig: Die Im-
plikation A → B wird als dynamisch“ empfunden, die Disjunktion ¬ A ∨ B

”

dagegen als statisch“. Der Leser vergleiche etwa die Aussage Wenn es regnet,

”

”

benutze ich einen Schirm“ mit Es regnet nicht oder ich benutze einen Schirm“.

”

Niemand würde sich umgangssprachlich der zweiten Form bedienen.

Die Umgangssprache weicht auch in anderen Fällen von der mathematischen

Semantik der Junktoren ab. In Adam isst nichts und wird krank“ und Adam

”

”

wird krank und isst nichts“ wird eine Kausalität nahegelegt, die in der Mathe-
matik niemals – auch nicht in der Implikation – vorhanden ist. Speziell ist A ∧ B
mathematisch stets gleichbedeutend mit B ∧ A. Ebenso wird das oder“ um-

”

gangssprachlich oft ausschließlich verwendet, und zudem wirken Vertauschungen
oft befremdlich. Man sagt Gehen Sie oder ich schieße!“, aber nicht Ich schieße

”

”

oder Sie gehen!“

Die Wahrheitstafeln für komplexe zusammengesetzte Aussagen lassen sich
algorithmisch mit Hilfe obiger Tafeln für die Junktoren berechnen. Die Wahr-
heitstafel einer aus A 1 , . . . , An zusammengesetzten Aussage hat dabei 2 n Zeilen,
so dass die Berechnung schnell sehr aufwändig wird. Die Wahrheitstafel des sog.

Kontrapositionsgesetzes A → B ↔ ¬B → ¬A hat zum Beispiel vier Zeilen, und
das Verfahren ihrer Berechnung verläuft wie folgt:

A

→

B

↔

¬

B

→

¬

A
w
w
w
w
f
w
w
f
w
w
f
f
w
w
f
f
f
w
f
w
w
w
f
w
w
w
f
f
w
f
w
w
f
w
w
f

1

5

2

4

3

Die Ziffern geben dabei die durch den Aufbau der Aussage gegebene Reihen-
folge an, in der die Spalten der Tabelle gefüllt werden. Die letzte gefüllte Spalte
ist das Ergebnis der Berechnung. Ist die Ergebnisspalte wie im obigen Beispiel
durchgehend mit dem Wert w“ gefüllt, so nennt man die betrachtete Aussage

”

eine Tautologie. Eine Aussage ist also eine Tautologie, wenn sie bei jeder belie-
bigen wahr-falsch- Belegung“ ihrer Grundaussagen wahr ist. Weitere Beispiele

”

für Tautologien sind die Distributivgesetze A ∧ ( B ∨ C) ↔ ( A ∧ B) ∨ ( A ∧ C) und

A ∨ ( B ∧ C) ↔ ( A ∨ B) ∧ ( A ∨ C), die de Morganschen Regeln für die Verneinung

¬ ( A ∧ B) ↔ ¬ A ∨ ¬ B und ¬ ( A ∨ B) ↔ ¬ A ∨ ¬ B. Eine Erwähnung verdient
auch die Tautologie A → ( B → C) ↔ ( A ∧ B) → C.

Von grundlegender Bedeutung für die klassische Mathematik sind die bereits
im Mittelalter diskutierten Tautologien für die Negation:

¬¬A ↔ A (duplex negatio affirmat),

A ∨ ¬A (tertium non datur),

( A ∧ ¬A) → B (ex falso quodlibet).

6

1 Grundlagen

1.3

Quantoren

In der Mathematik betrachten wir Aussagen über die Objekte eines bestimmten
kontextabhängigen Bereichs, etwa der Menge der natürlichen Zahlen oder der

Menge der reellen Funktionen. Einige Objekte interessieren uns als solche: Wir

√
sagen z. B. 2 ist eine Primzahl“,

2 ist irrational“, Die Sinus-Funktion hat

”

”

”

die Periode 2 π“. Daneben sind aber Aussagen von Interesse, die alle oder einige

Objekte des Bereichs betreffen: Alle Primzahlen größergleich 3 sind ungerade“,

”

es gibt transzendente Zahlen“, alle differenzierbaren Funktionen sind stetig“,

”

”

usw. Zudem verwenden wir derartige Quantifizierungen auch, um Aussagen über
spezielle Objekte formulieren zu können. So kann man obige Aussage über den

Sinus auf R schreiben als für alle x gilt sin( x) = sin( x + 2 π)“.

”

Zwei Quantoren spielen in der Mathematik eine Hauptrolle: der Allquan-
tor für alle“, in Zeichen ∀ (ein umgekehrtes A), und der Existenzquantor es

”

”

gibt (mindestens) ein“, in Zeichen ∃ (ein gespiegeltes E). Sprechen wir von den
natürlichen Zahlen N, so bedeutet ∀n A( n)“, dass die Aussage A( n) für alle

”

natürlichen Zahlen n gilt. Analog bedeutet ∃x B( x)“ im Kontext von R, dass es

”

eine reelle Zahl x gibt, für die B( x) gilt. Unmissverständlich können wir den Be-
reich mit Hilfe von Mengen konkret angeben und ∀n ∈ N A( n) oder ∃x ∈ R B( x)

schreiben. Ähnlich bedeutet ∀x > 0 A( x) die Aussage ∀x ( x > 0 → A( x)) und

∃x = 0 B( x) bedeutet die Aussage ∃x ( x = 0 ∧ B( x)).

Wir betrachten einige Beispiele für Formulierungen mit Quantoren. Für den

Bereich N können wir ausdrücken:

d | n (d. h. d ist ein Teiler von n)“:

∃k d · k = n.

”

p ist eine Primzahl“:

p ≥ 2 ∧ ∀d | p ( d = 1 ∨ d = p) .

”

Es gibt unendlich viele Primzahlen“:

∀n ∃p ≥ n ( p ist eine Primzahl).

”

Für Funktionen f : R → R können wir mit Hilfe von reellwertigen Quantoren
schreiben:

f ist beschränkt“:

∃y > 0 ∀x |f( x) | ≤ y,

”

f ist periodisch“:

∃a = 0 ∀x f( x + a) = f( x),

”

f ist stetig bei x“:

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀y ( |x − y| < δ → |f( x) − f( y) | < ε).

”

Ein Beispiel aus der reinen Logik:

Es gibt genau zwei verschiedene Dinge“

”

können wir schreiben als ∃x ∃y ( x = y ∧ ∀z ( z = x ∨ z = y)).

Im Umgang mit Quantoren ist Vorsicht geboten. So ist etwa ∀x ∃y A( x, y) von

∃y ∀x A( x, y) zu unterscheiden. Wir betrachten hierzu den Bereich M, über den
die Quantoren laufen, und tragen alle ( x, y), für die A( x, y) gilt, als einen Punkt
in M ×M ein. Die Aussage ∀x ∃y A( x, y) bedeutet dann, dass in jeder Spalte des

Diagramms ein Punkt erscheint. Dagegen bedeutet ∃y ∀x A( x, y) viel stärker,
dass das Diagramm eine volle Zeile aus Punkten enthält! Im Allgemeinen dürfen

All- und Existenzquantoren also nicht vertauscht werden. Vertauschen darf man
dagegen offenbar Quantoren des gleichen Typs: ∀x ∀y A( x, y) ist gleichbedeutend

1.4

Beweise

7
mit ∀y ∀x A( x, y). Analoges gilt für den Existenzquantor. Man schreibt kurz
auch ∀x, y A( x, y) anstelle von ∀x ∀y A( x, y), usw.

Für die Quantoren für alle“ und es gibt“ gelten die folgenden Verneinungs-

”

”

regeln, die im mathematischen Alltag durchgehend im Einsatz sind: ¬∀x A( x)

ist gleichbedeutend mit ∃x ¬A( x), ¬∃x B( x) ist gleichbedeutend mit ∀x ¬B( x).

Wiederholt angewendet erhalten wir: ¬∀x ∃y A( x, y) ist gleichbedeutend mit

∃x ∀y ¬A( x, y), ¬∃x ∀y A( x, y) ist gleichbedeutend mit ∀x ∃y ¬A( x, y), usw.

Dieses Durchziehen der Negation mit Quantorenwechsel“ beherrscht man nach

”

kurzer Zeit im Schlaf. Wir hatten oben formuliert:

f ist stetig bei x“ :

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀y ( |x − y| < δ → |f( x) − f( y) | < ε) .

”

Die Verneinungsregeln liefern:

f ist unstetig bei x“ :

∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃y ( |x − y| < δ ∧ |f( x) − f( y) | ≥ ε) ,

”

wobei wir hier auch noch die Tautologie ¬ ( A → B) ↔ A ∧ ¬B verwenden.

Wir stellen schließlich noch einige Regeln zum Umgang mit Quantoren in

Kombination mit aussagenlogischen Junktoren zusammen:

∀x ( A( x) ∧ B( x)) ↔ ∀x A( x) ∧ ∀x B( x) ,

∀x A( x) ∨ ∀xB( x) → ∀x ( A( x) ∨ B( x)) ,

∀x ( A( x) → B( x)) → ∀x A( x) → ∀x B( x) ,

∃x ( A( x) ∨ B( x)) ↔ ∃x A( x) ∨ ∃x B( x) ,

∃x ( A( x) ∧ B( x)) → ∃x A( x) ∧ ∃x B( x) ,

∃x ( A( x) → B( x)) ↔ ∀x A( x) → ∃x B( x) .

Die fehlenden Implikationen von rechts nach links sind im Allgemeinen nicht
gültig. Ist A( x) =
x liebt mich“ und B( x) =
x macht mich glücklich“, so

”

”

sind also nach der letzten Äquivalenz die Aussagen

Es gibt jemanden, der

”

mich glücklich macht, wenn er mich liebt“ und Wenn alle mich lieben, so gibt

”

es jemanden, der mich glücklich macht“ logisch (aber sicher nicht poetisch)

gleichwertig.

1.4

Beweise

Die Sätze der Mathematik werden aus bestimmten Annahmen durch logische

Argumentation hergeleitet. Beweise werden oft sehr kompakt notiert, aber letzt-
endlich lassen sich alle verwendeten Argumente immer in leicht nachvollziehbare

Schritte auflösen. In diesem Sinne ist die Mathematik sowohl die einfachste als
auch die friedlichste aller Wissenschaften.

8

1 Grundlagen

Jeder Mathematiker entwickelt eine eigene abstrakte Anschauung, mit deren

Hilfe er die Gegenstände der Mathematik durchdringt und sich aneignet. Beweise
führt er dagegen in einer Form, die von dieser Anschauung keinen Gebrauch
macht. Diese Form ist von bestimmten Strukturen und Sprechweisen geprägt.

Wir stellen einige häufig vorkommende Beispiele zusammen.

Direkter Beweis einer Implikation A → B: Man nimmt an, dass A gilt, und
versucht, B zu beweisen. Implikationen sind in diesem Sinne beweisfreundlich,
da man für den Beweis von A → B die Gültigkeit von A als Voraussetzung
geschenkt“ bekommt.

” Indirekter Beweis einer Implikation A → B: Man beweist die nach dem Kon-
trapositionsgesetz gleichwertige Implikation ¬B → ¬A. Die geschenkte Voraus-
setzung lautet hier also ¬ B und das Beweisziel ist ¬A. Statt Ist n 2 ungerade,

”

so ist n ungerade“ kann man also gleichwertig indirekt zeigen: Ist n gerade, so

”

ist n 2 gerade.“

Widerspruchsbeweis von A (reductio ad absurdum): Man nimmt ¬ A als ge-
schenkte Voraussetzung an und versucht einen Widerspruch wie 0 = 1 zu er-
zeugen. Widerspruchsbeweise haben oft einen unkonstruktiven Charakter: Man
sieht am Ende in vielen Fällen nur, dass A deswegen gelten muss, weil ¬ A nicht
gelten kann.

Beweis von A durch Beweis einer st¨
arkeren Aussage B: Zum Beweis von

A kann es zuweilen einfacher sein, eine Aussage B zu beweisen, für die die

Implikation B → A bereits bekannt ist. Die Irrationalität von π wird zum

Beispiel gerne bewiesen, indem stärker gezeigt wird, dass π 2 irrational ist.

Beweis von A ∧ B: Es bleibt einem nichts anderes übrig, als zwei Beweise zu
führen. Die Reihenfolge kann aber eine Rolle spielen, da A zum Beweis von B
nützlich sein kann.

Beweis von A ∨ B: Man kann gleichwertig zeigen: ¬A → B. Dieser Trick stellt
die implikativen Methoden zur Verfügung.

Beweis der ¨

Aquivalenz von A, B, C: Statt alle sechs Implikationen A → B,

. . . , C → A zwischen A, B und C zu zeigen, genügt es, drei Implikationen zu
beweisen, die einen logischen Kreis“ bilden. (Die Methode ist auch als Ring-

”

”

schluss“ bekannt.) Der Gewinn wird für vier oder mehr Aussagen deutlicher,
und spätestens wenn man zeigen soll, dass sieben Versionen des Stetigkeitsbe-
griffs äquivalent sind, wird man die Methode schätzen lernen. Eine geschickte

Anordnung des Implikationskreises zeigt Gespür und spart Arbeit.

Beweis von A durch Fallunterscheidung: Zum Beweis von A zeigt man für ein
geschickt gewähltes B die beiden Implikationen B → A und ¬ B → A. Statt
einer hat man also zwei Aussagen zu zeigen, die aber eine angenehme implikative

Form haben.

Beweis einer Aussage ∀x ∈ M A( x) : Zum Beweis arbeitet man mit einem
beliebigen Element x von M und versucht A( x) zu zeigen. Gelingt dies nicht,

1.5

Menge und Element

9
sind oft Fallunterscheidungen wie z. B. x ≥ 0“ und x < 0“ für M = R oder

”

”

x ist gerade“ und x ist ungerade“ für M = N hilfreich.

”

”

Beweis einer Aussage ∃x ∈ M A( x) : Der Beweis konstruiert“ im Idealfall ein

”

x ∈ M mit A( x). Gelingt dies nicht, so kann man durch reductio ad absurdum“

”

die Annahme ∀x ¬A( x) zu einem Widerspruch führen. Dann ist ¬∀x ¬A( x)

bewiesen, was nach den Verneinungsregeln gleichwertig zu ∃x A( x) ist.

In Beweisen sind naturgemäß Begründungen von Bedeutung. Typische Be-
gründungen sind Rückgriffe der Form

Nach Voraussetzung ist die Funkti-

”

on f stetig“, Zitate der Form

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein x mit

”

f ( x) = 0“, Komplexitätshinweise wie Offenbar ist x = 0 eine Lösung der Glei-

”

chung“ oder Der Beweis der Eindeutigkeit ist keineswegs trivial“, und schließ-

”

lich Kurzbegründungen wie z. B. Es gilt 2 · k = n, da n ungerade ist“.

”

Es ist immer gut, die behandelten Objekte beim Namen zu nennen, etwa
durch

Sei also f : [0 , 1] → R stetig“ oder Sei nun x ∈ M beliebig“. Bei

”

”

längeren Argumentationen ist es nicht nur für den Leser, sondern auch für
den Beweisführenden oft hilfreich, das aktuelle Beweisziel explizit zu notieren,
etwa als

Es bleibt zu zeigen, dass . . . “ oder

Als Nächstes zeigen wir, dass

”

”

. . . “ Erreichte Zwischenziele sind erfreulich und können durch Dies zeigt, dass

”

. . . “ oder Damit haben wir bewiesen, dass . . . “ festgehalten werden. Daneben

”

gibt es die berühmt-berüchtigten Vereinfachungen wie

Ohne Einschränkung

”

sei x ≤ y“, z. B. für zwei reelle Lösungen x, y einer Gleichung, deren Namen
man verlustfrei austauschen kann. Schließlich darf und soll man Wiederholungen
vermeiden und schreiben Das zweite Distributivgesetz wird analog bewiesen“,

”

wenn der Beweis des ersten Gesetzes alle wesentlichen Ideen vorgestellt hat.

1.5

Menge und Element

Mathematische Objekte treten zusammengefasst, gebündelt, vereint auf und
bilden so ein neues mathematisches Objekt, eine Menge. Die Objekte, die die

Menge bilden, heißen die Elemente der Menge. Ist M eine Menge und ist m ein

Element von M , so schreiben wir m ∈ M und lesen dies als m Element M“

”

oder m in M“. Ist m kein Element von M , so schreiben wir m /

∈ M. Das ∈“

”

”

ist ein stilisiertes griechisches Epsilon ε“.

”

Wir sprechen heute fast selbstverständlich von der Menge der natürlichen

Zahlen, der Menge der reellen Zahlen, der Menge der reellwertigen Funktionen,
der Menge der Punkte eines topologischen Raumes, usw. Je mehr man sich auf
den Jargon der Mengen einlässt, desto fremder erscheint eine Welt, in der nicht
oder nur nebenbei von Mengen die Rede war. Und doch ist die mengentheore-
tische Neuschreibung und Expansion der Mathematik relativ jung. Sie stammt
aus der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts und ist mit Namen wie Georg Can-
tor und Richard Dedekind verbunden.

10

1 Grundlagen

Die gesamte moderne Mathematik kann aus dem auf den ersten Blick un-
problematischen und unscheinbaren Mengenbegriff heraus entwickelt werden.

Diese in den ersten Jahrzehnten des 20. Jahrhunderts sichtbar gewordene
fundamentbildende Kraft des Mengenbegriffs hat die Mathematik tiefgreifend
verändert und geprägt. Auch außerhalb der Grundlagenforschung sind diese

Veränderungen heute überall spürbar: Die Sprache der modernen Mathematik
ist die Sprache der Mengenlehre.

Die Mathematik beschreibt ihre Grundbegriffe traditionell axiomatisch, und
sie kann und will deswegen nicht im üblichen strengen Sinne definieren, was eine

Menge wirklich“ ist (vgl. Abschnitt 12.4). Zur Vermittlung des Mengenbegriffs

”

bedient man sich intuitiver Beschreibungen und vertraut dann auf das Erler-
nen des Begriffs durch Sichtbarmachung all der Eigenheiten, die im täglichen

Gebrauch auftreten. Die bekannteste intuitive Beschreibung des Mengenbegriffs
stammt von Georg Cantor aus dem Jahre 1895:

Unter einer Menge‘ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimm-

”

’

ten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens

(welche die Elemente‘ von M genannt werden) zu einem Ganzen.“

’

Mengen werden hier als Zusammenfassungen“ beschrieben und bleiben da-

”

mit im strengen Sinne undefiniert. Dessen ungeachtet bleibt die Wendung der

Zusammenfassung zu einem Ganzen“ glänzend für die Intuition.

” Cantors Beschreibung geht in Anschauung und Denken“ über die Welt der

”

Mathematik hinaus. In der wissenschaftlichen Mathematik beschränkt man sich
naturgemäß auf Mengen, die aus mathematischen Objekten gebildet werden

(und verzichtet also auf Äpfel und Birnen).

Bestimmte mathematische Objekte m werden also zu einer Menge M zusam-
mengefasst. Da nun Mengen M wieder mathematische Objekte sind, können wir
bestimmte Mengen M wiederum zu einer neuen Menge M – einem sog. Men-
gensystem – zusammenfassen, usw. Daneben sind natürlich auch Mischformen
möglich, z. B. die Zusammenfassung eines einfachen Objekts und eines komple-
xen Mengensystems. Der Mengenbegriff ist insgesamt iterativ: Die Operation

Menge von . . . “ kann wiederholt angewendet werden.

” Prinzipiell kann jedes Zeichen für eine beliebig verschachtelte Menge stehen.

Zudem ist aus grundlagentheoretischer Sicht jedes Objekt eine Menge, so dass
strenge notationelle Unterscheidungen künstlich erscheinen. In der mathemati-
schen Praxis ist aber oft folgende Typologie nützlich: Man verwendet a, b, c, . . . ,
x, y, z, usw. für die Grundobjekte des betrachteten Bereichs, etwa reelle Zahlen.

Weiter stehen dann A, B, C, . . . , X, Y , Z für Mengen von Grundobjekten (in
unserem Beispiel: Mengen reeller Zahlen). Schließlich werden A , B, C , . . . , X ,

Y , Z für Mengensysteme verwendet (hier: Systeme von Mengen reeller Zahlen
wie z. B. das System der offenen reellen Intervalle). Die Dreistufung a, A, A “

”

genügt in vielen Fällen. Allerdings können die Grundobjekte bereits recht kom-
plex sein, etwa reellwertige Funktionen, die als Punkte“ einen Funktionenraum

”

bilden.

1.5

Menge und Element

11

Mengen werden vollständig durch ihre Elemente bestimmt: Zwei Mengen A
und B sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente besitzen. Diese Aus-
sage ist als Extensionalit¨
atsprinzip bekannt. Es gibt also keine
rote“ Menge

”

zweier Objekte a, b, die man von einer entsprechenden grünen“ Menge unter-

”

scheiden könnte.

Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, in Zeichen A ⊆ B, falls jedes

Element von A ein Element von B ist. Ist zudem A = B, so heißt A eine echte

Teilmenge von B, in Zeichen A ⊂ B. Die Inklusions-Zeichen ⊆ und ⊂ erinnern
an ≤ und < . (Viele Mathematiker verwenden das Zeichen ⊂ für ⊆ und fügen
dann ein Ungleichheitszeichen unter ⊂ hinzu, wenn die echte Inklusion ausge-
drückt werden soll. Ursache hierfür ist, dass die Inklusion viel öfter vorkommt
als die echte Inklusion. Die Analogie zu ≤ und < rechtfertigt aber den Mehrauf-
wand.) Statt A ⊆ B schreiben wir auch B ⊇ A und nennen die Menge B dann
eine Obermenge von A. Analoges gilt für A ⊃ B. Oft zeigt man die Gleichheit
zweier Mengen A und B, indem man in zwei Schritten A ⊆ B und B ⊆ A
beweist. Nach dem Extensionalitätsprinzip gilt dann in der Tat A = B.

Zur Notation von Mengenbildungen haben sich die geschweiften Klammern
durchgesetzt, die ja heute oft schon Mengenklammern genannt werden. Der
einfachste Fall ist die direkte Angabe der Elemente. Für beliebige Objekte
a 1 , a 2 , . . . , an sei M = {a 1 , . . . , an} die Menge, deren Elemente genau die Ob-
jekte a 1 , . . . , an sind. Für alle Objekte x ist also x ∈ M gleichwertig mit x = a 1
oder . . . oder x = an. Auf Reihenfolge und Wiederholungen kommt es nach
dem Extensionalitätsprinzip nicht an, es gilt z. B. {a, b} = {b, a} = {a, a, b} =

{a, b, a, b} = . . . Dagegen ist jedoch ∅ = {∅}, wobei ∅ die leere Menge bezeichnet,
die keine Elemente besitzt. Statt ∅ schreiben wir auch {}.

Viel umfassender und stärker ist die Definition von Mengen über Eigenschaf-
ten. Für eine mathematische Eigenschaft E ( x) sei

M = {a | E ( a) }

die Menge aller Objekte a, die die Eigenschaft E besitzen. Für alle x ist also
x ∈ M gleichwertig mit E ( x). Diese sog. Mengenkomprehension über Eigen-
schaften wirft überraschende und komplexe logische Probleme auf, auf die wir
im Abschnitt über die Russell-Antinomie (Abschnitt 12.3) zu sprechen kommen.

Viele mit {x | E ( x) } verwandte Schreibweisen sind üblich und nützlich: Ist

F eine Funktion auf A, so ist {F ( x) | x ∈ A und E ( x) } besser lesbar als

{y | es gibt ein x ∈ A mit E ( x) und y = F ( x) }. Die Menge der ungeraden

Zahlen notiert man oft einfach als { 1 , 3 , 5 , 7 , . . .} anstelle der korrekten, aber
umständlicheren Notation { 2 n + 1 | n ∈ N }, usw.

Wir hatten schon erwähnt, dass sich der Mengenbegriff hervorragend dafür
eignet, andere fundamentale Objekte der Mathematik definieren zu können. Ein
wichtiges Beispiel für diese Interpretationskraft ist die Einführung des geordne-
ten Paares. Für beliebige Objekte a, b setzen wir ( a, b) = {{a}, {a, b}} ( geord-
netes Kuratowski-Paar, Tupel ). Man zeigt leicht, dass ( a, b) = ( c, d) genau dann

12

1 Grundlagen
gilt, wenn a = c und b = d. Diese Eigenschaft ist alles, was benötigt wird. Wie
üblich definieren wir nun A × B = {( a, b) | a ∈ A und b ∈ B} ( Kreuzprodukt,
kartesisches Produkt ). Tripel ( a, b, c) definieren wir durch ( a, b, c) = (( a, b) , c),
usw. Entsprechend ist A 3 = ( A × A) × A = {( a, b, c) | a, b, c ∈ A}.

Obwohl man in der Praxis“ die Kuratowski-Definition wieder vergessen kann,

”

sind derartige Rückführungen von mathematischen Begriffen auf den Mengen-
begriff von großer Bedeutung. Wir müssen uns nicht mit weiteren Grundbegrif-
fen und zugehörigen axiomatisch gezähmten Vagheiten belasten. Zudem werden
wir zu einem hohen Maß an Exaktheit gezwungen. Die Präzisierung eines ma-
thematischen Begriffs bedeutet, eine mengentheoretische Definition desselben
hinzuschreiben.

Auch die natürlichen Zahlen lassen sich mengentheoretisch einführen oder,
wie man vielleicht besser sagt, interpretieren. Wir setzen:

0 = {}, 1 = { 0 }, 2 = { 0 , 1 }, 3 = { 0 , 1 , 2 }, . . .

und allgemein n + 1 = { 0 , 1 , 2 , . . . , n}. Die formale Durchführung (und Moti-
vation) dieser Idee ist Aufgabe der axiomatischen Mengenlehre. Auch hier gilt,
dass man die Definition gar nicht zu kennen braucht, um z. B. tiefsinnige Sätze
über Primzahlen zu beweisen. Dennoch ist es ein zu Recht gefeierter Triumph,
dass sich die natürlichen Zahlen in einer mengentheoretischen Umgebung defi-
nieren lassen. Wichtige

Prinzipien“ wie z. B. die vollständige Induktion und

”

die Rekursion werden so zu beweisbaren Sätzen.

1.6

Mengenoperationen

Aus gegebenen Mengen lassen sich in vielfacher Weise neue Mengen bilden. Es
gibt eine Vielzahl von Operationen, die in allen Bereichen der Mathematik ge-
braucht werden. Am einfachsten sind hier die logischen oder Booleschen Opera-
tionen. Aussagenlogische Argumentation überträgt sich auf die Mengenbildung.

So entspricht dem logischen und“ die Bildung des Durchschnitts zweier Men-

”

gen, dem logischen
oder“ deren Vereinigung. Wir definieren für alle Mengen

”

A, B Durchschnitt, Vereinigung und Differenz :

A ∩ B = {x | x ∈ A und x ∈ B},

A ∪ B = {x | x ∈ A oder x ∈ B},

A − B = A \ B = {x | x ∈ A und x /

∈ B}.

Gilt A ∩ B = ∅, so heißen die Mengen A und B disjunkt.

Wurde eine Menge X spezifiziert, innerhalb derer sich unsere Betrachtungen
abspielen, so können wir auch die logische Negation mengentheoretisch nachbil-
den. Wir definieren für alle A ⊆ X die Komplementbildung durch

Ac = X − A = {x ∈ X | x /

∈ A}.

1.6

Mengenoperationen

13

Beispiele für derartige lokale Objektuniversen“ X sind die Zahlbereiche N, R,

”

C oder topologische Räume. Ist z. B. G = {n | n ist gerade } im Kontext von N
definiert worden, so ist Gc = {n | n ist ungerade }.

Für obige Operationen gelten die de Morganschen Regeln ( A ∪ B) c = Ac ∩ Bc
und ( A ∩ B) c = Ac ∪ Bc, sowie die Distributivgesetze A ∩ ( B ∪ C) = ( A ∩ B) ∪

( A ∩ C) und A ∪ ( B ∩ C) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C).

Eine interessante elementare Operation ist die symmetrische Differenz . Wir
setzen für alle Mengen A, B:

A Δ B = ( A − B) ∪ ( B − A) = ( A ∪ B) − ( A ∩ B) .

Es gilt also x ∈ A Δ B, wenn x genau einer der beiden Mengen A und

B angehört, und damit entspricht Δ dem logischen
entweder oder“. Diese

”

Operation ist, was gar nicht selbstverständlich ist, assoziativ, d. h., es gilt

( A Δ B) Δ C = A Δ ( B Δ C). Iterierte symmetrische Differenzen haben ei-
ne überraschend klare Bedeutung, denn es gilt A 1 Δ A 2 Δ . . . Δ An = { x |
die Anzahl der Indizes i mit x ∈ Ai ist ungerade }, wie man leicht durch Induk-
tion nach n zeigt.

Schnitt und Vereinigung lassen sich auch allgemein für Mengensysteme de-
finieren. Ist A ein Mengensystem, so definieren wir den Durchschnitt von A
bzw. die Vereinigung von A :

A = {x | für alle A ∈ A gilt x ∈ A}, falls A = ∅,

A = {x | es gibt ein A ∈ A mit x ∈ A}.

Ist wie bei der Komplementbildung ein Objektbereich X unserer Überlegun-

gen festgelegt worden, so ist auch die Konvention

∅ = X üblich.

Für alle Mengen A, B gilt

{A, B} = A ∩ B und {A, B} = A ∪ B. Statt

A schreibt man oft suggestiv auch A∈A A, und analog ist A∈A A gleich-

bedeutend mit

A . Viele Anfänger haben mit den großen“ Versionen des

”

Durchschnitts und der Vereinigung Schwierigkeiten, die sich aber bald in nichts

auflösen:

=
alles, was überall vorkommt“,

=
alles, was (mindestens)

”

”

einmal vorkommt“.

Die vielleicht rätselhafteste elementare Operation der modernen Mathematik
ist die Bildung der Potenzmenge. Für jede Menge A setzen wir P( A) = {B |

B ⊆ A}. Es gilt ∅ ∈ P( A) und A ∈ P( A) für alle Mengen A. Speziell ist P( ∅) =

{∅} und P( {∅}) = {∅, {∅}}. Für alle a, b gilt P( {a, b}) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.

Ist A = {x 1 , . . . , xn} eine Menge mit genau n Elementen, so hat die Potenzmen-
ge von A genau 2 n Elemente. (Dies gilt auch für A = ∅, denn die Potenzmenge
der leeren Menge hat genau ein Element; die arithmetische Festsetzung 20 = 1
ist also auch aus diesem Grund sinnvoll.) Bereits im Endlichen haben wir also
ein exponentielles Wachstum vorliegen. Wie sieht es nun mit unendlichen Men-
gen aus? Wie groß ist P(N) oder sogar P(R)? Hier ist zunächst einmal der

Mächtigkeits- oder Kardinalitätsbegriff für unendliche Mengen zu klären. Dies

14

1 Grundlagen
kann in überzeugender Weise geschehen, aber es zeigt sich dann – und dieses

Resultat rechtfertigt obiges Adjektiv rätselhaft“ –, dass wir in der klassischen

”

Mathematik die Größe von P(N) oder P(R) nicht bestimmen können. Brisant
wird die Angelegenheit dadurch, dass P(N) und die Menge der reellen Zahlen
gleichmächtig sind. Wir wissen also nicht, wie groß die Menge der reellen Zahlen
ist! Wir diskutieren dieses bemerkenswerte negative Ergebnis im Abschnitt über
die Kontinuumshypothese genauer (siehe Abschnitt 12.12).

Die symmetrische Differenz liefert eine algebraisch hochwertige Operation auf
der Potenzmenge einer beliebigen nichtleeren Menge M : P( M) ist mit der Ope-
ration Δ eine abelsche Gruppe, und weiter ist P( M ) mit Δ als Vektoraddition
ein Vektorraum über dem Körper K = { 0 , 1 }, mit der Skalarmultiplikation

0 · A = ∅ und 1 · A = A für alle A ⊆ M .

1.7

Relationen

Zwei Objekte zueinander in Beziehung zu setzen, in Beziehung zu sehen oder ih-
re realen Beziehungen ergründen zu wollen ist ein fester (manchmal sogar allzu
fester) Bestandteil unseres Denkens und Handelns. Beispiele sind die Beziehun-
gen
größer als“,
gleich groß wie“,
schneller als“,
besser als“,
früher als“,

”

”

”

”

”

verwandt mit“, beeinflusst durch“, Ursache von“, ähnlich zu“, unabhängig

”

”

”

”

”

von“, und diese Liste ließe sich noch lange fortsetzen.

Relationen spielen offenbar in der Mathematik eine fundamentale Rolle. Be-
trachtet man die ungeheure Weite des Konzepts, so ist die moderne Definition
einer mathematischen Relation auf den ersten Blick vielleicht verblüffend und
irritierend einfach, nach einer kurzen Gewöhnungsphase erscheint sie dann aber
ebenso natürlich wie sympathisch:

Eine Menge R heißt eine (zweistellige) Relation, falls R eine Menge von ge-
ordneten Paaren ist. Gilt ( x, y) ∈ R, so sagen wir, dass x in der Relation R
zu y steht. Statt ( x, y) ∈ R schreiben wir oft auch x R y. Allgemeiner heißt für
n ≥ 1 eine Menge R von n-Tupeln eine n-stellige Relation. Statt ( x 1 , . . . xn) ∈ R
schreibt man auch R( x 1 , . . . , xn).

In dieser Definition steckt ein ganzes Stück Mathematikgeschichte, und sie
spiegelt das moderne extensionale mathematische Denken wider, das einen Be-
griff mit seinem Umfang identifiziert. Aufbauend auf dem Relationsbegriff er-
halten wir zudem auch eine Definition des allgemeinen mathematischen Funk-
tionsbegriffs, die frei von Unklarheiten ist (siehe Abschnitt 1.8).

Die Kleiner-Relation < auf den natürlichen Zahlen kann zum Beispiel durch

< = {( n, m) ∈ N × N | es gibt ein k > 0 mit n + k = m} definiert werden. Es gilt (2 , 4) ∈ < , aber (5 , 4) /

∈ < , also 2 < 4 und non(5 < 4) in der besser lesbaren

Schreibweise.

1.7

Relationen

15

Zumeist
leben“ Relationen auf einem bestimmten Bereich von Objekten:

”

Eine Relation R heißt eine Relation auf einer Menge M , falls R ⊆ M × M gilt.

So ist etwa obige Kleiner-Relation eine Relation auf N. Der zugrundeliegende

Bereich ist zumeist aus dem Kontext heraus klar. Genauer müssten wir z. B. < N
schreiben, aber wir würden dadurch in vielen Fällen die Lesbarkeit erschweren
und das Satzbild unnötig belasten.

Wir stellen einige Eigenschaften von Relationen zusammen, die häufig auf-
tauchen. Eine Relation R auf M heißt:

reflexiv, falls für alle x ∈ M gilt: x R x,
irreflexiv, falls für alle x ∈ M gilt: non( x R x),
symmetrisch, falls für alle x, y ∈ M gilt: Ist x R y, so ist auch y R x,
antisymmetrisch, falls für alle x, y ∈ M gilt: Ist x R y und y R x, so ist x = y,
transitiv, falls für alle x, y, z ∈ M gilt: Ist x R y und y R z, so ist x R z.

Obige < -Relation ist irreflexiv und transitiv. Diese beiden Eigenschaften kenn-
zeichnen die sog. partiellen Ordnungen (siehe Abschnitt 1.10).

Für jede Menge M ist Id M = {( x, x) | x ∈ M } eine reflexive, symmetrische
und transitive Relation auf M , die Identit¨
at auf M . Die Kombination
refle-

”

xiv, symmetrisch, transitiv“ definiert die sog. ¨

Aquivalenzrelationen, denen wir
ebenfalls einen eigenen Abschnitt widmen (siehe Abschnitt 1.9).

Ist R eine Relation, so heißt R− 1 = {( y, x) | ( x, y) ∈ R} die Umkehrrelation
von R. Offenbar gilt ( R− 1) − 1 = R.

Zwei beliebige Relationen können wir miteinander verknüpfen. Sind R und S
zwei Relationen, so heißt R ◦ S = {( x, z) | es gibt ein y mit x R y und y S z} die

Verkn¨
upfung von R und S. Leicht einzusehen sind die folgenden Äquivalenzen
für eine Relation R auf M :

R ist reflexiv genau dann, wenn Id M ⊆ R,

R ist symmetrisch genau dann, wenn R = R− 1,

R ist antisymmetrisch genau dann, wenn R ∩ R− 1 ⊆ Id M ,

R ist transitiv genau dann, wenn R ◦ R ⊆ R.

Eine Relation R auf M kann man sich auf verschiedene Arten veranschauli-
chen. Eine Möglichkeit ist die Darstellung als Punktwolke“ in einem abstrakten

”

Koordinatensystem M × M . Die Reflexivität besagt dann, dass die Diagonale,
also Id M , ein Teil der Punktwolke ist. Die Symmetrie besagt, dass die Spiegelung
der Punktwolke an der Diagonalen die Punktwolke nicht ändert.

Oft ist auch eine ganz andere Visualisierung hilfreich: Wir betrachten M als

Punktmenge und zeichnen für alle x, y ∈ M mit x R y einen Pfeil von x nach
y. Die Relation x R y besagt dann, dass wir auf diesem gerichteten Graphen“

”

in einem Schritt von x nach y gelangen können. Die Transitivität bedeutet bei
dieser Sicht, dass die Erreichbarkeit in zwei Schritten mit der Erreichbarkeit in
einem Schritt zusammenfällt. Ist R symmetrisch, so können wir statt der Pfeile
einfache Linien verwenden.

16

1 Grundlagen

Nicht zuletzt für rechnerische Aspekte ist es oft auch nützlich, eine Relation

R auf M = {x 1 , . . . , xn} durch eine n × n-Matrix A = ( ai,j)1 ≤i,j≤n mit 0-

1-Einträgen darzustellen: Wir setzen aij = 1, falls xi R xj gilt, und aij =

0 sonst. Der Verknüpfung R ◦ R entspricht nun eine Variante der bekannten

Matrizenmultiplikation (siehe hierzu auch Abschnitt 4.11).

1.8

Funktionen

Die Entwicklung des mathematischen Funktionsbegriffs lässt sich grob (und his-
torisch vereinfachend) in drei Stufen einteilen:

Erste Stufe (Rechnen mit Zahlen): Eine Zahl x eines gewissen Bereichs wird in ei-
ne Zahl y nach einer bestimmten Vorschrift umgerechnet. Man schreibt y = f ( x)

[gelesen: f von x], wobei das Symbol f die Rechenvorschrift bezeichnet. Durch

Abstraktion entsteht ein diesem Vorgehen entsprechender Funktionsbegriff.

Zweite Stufe (eindeutige beliebige Zuordnung von Objekten): Eine Funktion f
ordnet bestimmten Objekten jeweils eindeutig andere Objekte zu. Man schreibt
y = f ( x), falls die Funktion f dem Objekt x das Objekt y zuordnet. Die Objekte
sind hier beliebig, und die Art und Weise der Zuordnung muss nicht explizit
vorliegen.

Dritte Stufe (Formalisierung der zweiten Stufe, moderner Funktionsbegriff ): Ei-
ne Relation f heißt eine Funktion, falls für alle x, y, z gilt: Ist ( x, y) ∈ f und

( x, z) ∈ f , so ist y = z ( Rechtseindeutigkeit). Man schreibt y = f ( x), falls

( x, y) ∈ f gilt.

Statt von Funktionen spricht man, besonders im geometrischen Kontext,
gleichwertig auch von Abbildungen.

Die Vorstellung, dass x durch eine Funktion f vermöge einer algorithmischen

Berechnung in f ( x) verwandelt wird, wird heute im Begriff der berechenbaren

Funktion präzisiert (siehe Abschnitt 12.8). Die für die moderne Mathematik
unerlässliche allgemeine Fassung des Funktionsbegriffs ist dagegen von jeder
algorithmischen Dynamik befreit. Funktionen sind bestimmte Relationen, und

Relationen selbst sind Mengen von geordneten Paaren. Anschaulich sind Funk-
tionen beliebige zweispaltige rechtseindeutige Zuordnungstabellen, und nur be-
stimmte Tabellen erlauben eine algorithmische Berechnung ihrer Einträge.

Für eine Funktion f sei dom( f ) = { x | es gibt ein y mit ( x, y) ∈ f } und
rng( f ) = {y | es gibt ein x mit ( x, y) ∈ f } = {f ( x) | x ∈ dom( f ) }. Die Menge dom( f ) heißt der Definitionsbereich von f (engl. domain), die Menge rng( f ) der

Wertebereich von f (engl. range). Wir schreiben f : A → B [gelesen: f ist eine

Funktion oder Abbildung von A nach B] für eine Funktion f mit dom( f ) = A
und rng( f ) ⊆ B. Die Menge B bezeichnet man dann auch als einen Wertevorrat
von f . Gilt f : A → B und ist C eine Obermenge von B, so können wir auch
schreiben f : A → C. Definitions- und Wertebereich werden bei dieser Notation

1.8

Funktionen

17
also unterschiedlich behandelt. Es gilt beispielsweise sin: R → [ − 1 , 1] und auch
sin: R → R.

Ist f : An → A, so spricht man auch von einer ( n-stelligen) Operation oder

Verkn¨
upfung auf A. Eine Teilmenge X von A heißt dann abgeschlossen unter f ,
falls für alle x 1 , . . . , xn ∈ X gilt, dass f ( x 1 , . . . , xn) ∈ X. Ist beispielsweise f :

R2 → R definiert durch f( x, y) = x · y, so ist die Menge der positiven reellen

Zahlen abgeschlossen unter f , im Gegensatz zur Menge der negativen Zahlen.

Ebenso ist die Menge der geraden Zahlen abgeschlossen unter der Verdopplungs-
funktion g: N → N mit g( n) = 2 n. Die ungeraden Zahlen sind dagegen nicht
abgeschlossen unter g.

Ist f eine Funktion und X ⊆ dom( f ), so heißt f |X = {( x, f ( x)) | x ∈ X} die

Einschr¨
ankung von f auf X. Ist f : A → B, so ist f |X: X → B. So ist etwa
sin |[0 , 2 π] eine natürliche Einschränkung der periodischen Sinusfunktion.

Von universeller Bedeutung in der Mathematik sind die folgenden Struktur-
eigenschaften einer Funktion. Eine Funktion f : A → B heißt
injektiv, falls für alle x, y ∈ dom( f ) gilt: Ist f ( x) = f ( y), so ist x = y, surjektiv, falls für alle y ∈ B ein x ∈ A existiert mit f ( x) = y,
bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist.

Die Injektivität – im Deutschen manchmal auch etwas künstlich als Einein-
deutigkeit bezeichnet – besagt also, dass kein Wert doppelt angenommen wird

(Linkseindeutigkeit der Relation f ). Die Surjektivität bedeutet dagegen, dass je-
der Wert des angegebenen Wertevorrats B tatsächlich auch angenommen wird,
d. h., es gilt rng( f ) = B. Die Begriffe injektiv, surjektiv, bijektiv“ sind der Aus-

”

gangspunkt der Mächtigkeitstheorie und weiter grundlegend für das allgemeine

Konzept der strukturerhaltenden Abbildungen (siehe Abschnitt 12.1 und 1.12).

Ist f : A → B injektiv, so ist die Umkehrfunktion f− 1 durch f − 1( f ( x)) = x für
alle x ∈ A definiert. Formal ist f− 1 = {( y, x) | ( x, y) ∈ f }, d. h. f − 1 ist einfach die Umkehrrelation von f . Die Injektivität von f sichert die Rechtseindeutigkeit
von f − 1. Es gilt f − 1: rng( f ) → A bijektiv.

Sind f : A → B und g: B → C Funktionen, so ist die (funktionale) Ver-
kn¨
upfung oder Komposition g ◦ f : A → C [gelesen: g nach f ] definiert durch

( g ◦ f )( x) = g( f ( x)) für alle x ∈ A.

Damit ist g ◦ f : A → C. Ist beispielsweise g( x) = x 2 und f ( x) = x + 1 für alle
x ∈ R, so gilt ( g ◦ f )( x) = ( x + 1)2 und ( f ◦ g)( x) = x 2 + 1 für alle x ∈ R.

Die Verknüpfung ist also i. A. nicht kommutativ. Dagegen ist die Verknüpfung
assoziativ, d. h., es gilt stets ( h ◦ g) ◦ f = h ◦ ( g ◦ f ).

Funktionen lassen sich auch in Folgenschreibweise angeben und notieren. Ist

I eine Menge, so schreiben wir auch xi | i ∈ I, ( xi | i ∈ I) oder ( xi) i∈I für
eine Funktion f mit f ( i) = xi für alle i ∈ I und nennen f = xi | i ∈ I eine

Folge oder Familie mit Indexmenge I oder kurz I-Folge. Eine Folge xi | i ∈ I

18

1 Grundlagen
heißt eine Folge in A, falls xi ∈ A für alle i ∈ I gilt. Ist I die Menge der
natürlichen Zahlen, so sprechen wir auch kurz von einer Folge schlechthin. So ist
z. B. (2 n) n∈ N oben schon betrachtete Verdopplungsfunktion auf den natürlichen

Zahlen.

Ist eine Funktion durch einen Term gegeben, so können wir den Term selbst
als Funktion auffassen. Man ersetzt dann manchmal auch die Variable durch
einen Punkt. So ist z. B. ( ·)2 + 2: R → R die Funktion f mit f ( x) = x 2 + 2 für
alle reellen Zahlen x. Weiter ist sin( · 2) |[0 , 2 π] die Funktion g mit g( x) = sin( x 2) für alle x ∈ [0 , 2 π]. Weiter ist g ◦ f = g( f ( ·)), usw.

Für alle Mengen A und B sei AB = {f | f : A → B}. Allgemeiner setzen wir
für eine I-Folge Mi | i ∈ I von Mengen:

×

Mi =
f | f : I →

Mi, f ( i) ∈ Mi für alle i ∈ I .

i∈I
i∈I

Diese Zusammenfassung von Transversalfunktionen“ ist insbesondere zur Kon-

”

struktion von unendlichen Produkträumen wichtig. Die Bildung von AB ist als

Spezialfall enthalten, denn es gilt AB = ×

B.

a∈A

Erfahrungsgemäß etwas gewöhnungsbedürftig sind die folgenden Konstruk-
tionen, die überall in der Mathematik zum Einsatz kommen. Für eine beliebige

Funktion f : A → B sei
f [ X] = {f ( x) | x ∈ X} für alle X ⊆ A (Bild von X unter f),
f − 1[ Y ] = {x | f ( x) ∈ Y } für alle Y ⊆ B

(Urbild von Y unter f ).

Das Formen von Bild und Urbild liefert also neue durch f induzierte Funktionen
f [ · ]: P( A) → P( B) und f− 1[ · ]: P( B) → P( A). Anschaulich ist f [ X] die Menge, die wir erhalten, wenn wir X
durch f hindurchjagen“, und f − 1[ Y ] ist

”

alles, was vermöge f
in Y landet“.

”

Die Eigenschaften dieser Funktionen sind überraschenderweise nicht durchweg
symmetrisch. Es gelten zum Beispiel für alle f : A → B, alle X 1 , X 2 ⊆ A und
alle Y 1 , Y 2 ⊆ B die folgenden Eigenschaften:

f [ X 1 − X 2] ⊇ f [ X 1] − f [ X 2],
f − 1[ Y 1 − Y 2] = f− 1[ Y 1] − f− 1[ Y 2],
f [ X 1 ∩ X 2] ⊆ f [ X 1] ∩ f [ X 2],
f − 1[ Y 1 ∩ Y 2] = f − 1[ Y 1] ∩ f− 1[ Y 2],
f [ X 1 ∪ X 2] = f [ X 1] ∪ f [ X 2],
f − 1[ Y 1 ∪ Y 2] = f− 1[ Y 1] ∪ f− 1[ Y 2].

Wir betrachten zur Illustration die Funktion f : { 0 , 1 } → { 0 } mit (logischer-
weise!) f (0) = f (1) = 0. Für A = { 0 , 1 }, B = { 0 } ist f [ A − B] = { 0 }, aber f [ A] − f [ B] = ∅. Für C = { 0 } und D = { 1 } ist f [ C ∩ D] = ∅, aber f [ C] ∩ f [ D] = { 0 }. Die Inklusionen in obiger Tabelle können also nicht durch

Gleichheitszeichen ersetzt werden. Urbilder sind in diesem Sinne besser als Bil-
der! Ist aber f injektiv, so gilt auch für die Bilder von Differenzen und Schnitten
überall Gleichheit.

1.9

Äquivalenzrelationen

19

Funktionen spielen in der Mathematik eine überragende Rolle. Zunächst sind
hier die arithmetischen Operationen auf den Zahlbereichen zu nennen. Die Ana-
lysis untersucht (stetige, integrierbare, differenzierbare) Funktionen f : R → R
und später mehrdimensionale Funktionen f : R n → R m. Die Funktionentheorie
errichtet das analytische Gebäude neu, indem sie die reellen Zahlen R durch die
komplexen Zahlen C ersetzt. In der Funktionalanalysis bilden Räume von Funk-
tionen und Abbildungen zwischen Funktionenräumen den Gegenstand der Un-
tersuchung. Allgemein werden mathematische Strukturen mit Hilfe von struk-
turerhaltenden Abbildungen untersucht. Hierunter fallen die linearen Abbildun-
gen, die Gruppenhomomorphismen, die Homöomorphismen der Topologie, die

Isomorphismen der Graphentheorie, usw. (vgl. hierzu auch Abschnitt 1.12).

1.9

¨

Aquivalenzrelationen

Im Deutschen gibt es den feinsinnigen Unterschied zwischen
dasselbe“ und

”

das Gleiche“. Während es
dasselbe“ immer nur genau einmal gibt, nennen

”

”

wir oft zwei verschiedene Dinge
gleich“, wenn ihre Unterschiede unmerklich

”

oder kontextabhängig uninteressant sind. Das gleiche Buch“ gibt es in der Tat

”

sehr oft, je nach Auflage des Werkes, dasselbe Buch nur einmal. Den gleichen

”

Löffel“ benutzen in der Regel alle bei Tisch, denselben zumeist nur einer. Mein

”

Nachbar fährt das gleiche Auto wie ich“ bedeutet, dass Hersteller, Typ und
wahrscheinlich auch noch die Farbe übereinstimmen, während die Kennzeichen
sicher verschieden sind. In der Oper können zwei verschiedene Frauen das glei-
che Abendkleid tragen, aber nicht dasselbe. In diesem Sinne wird die Gleichheit
in der natürlichen Sprache als Abschwächung der strengen Identität verwendet.

Andererseits wird gleich“ auch nur dann verwendet, wenn die Unterschiede als

”

unwesentlich empfunden werden. Für andere Fälle stellt die Sprache auch noch
eine Reihe von Abschwächungen der Gleichheit zur Verfügung, etwa gleichar-

”

tig“,
ähnlich“,
verwandt“. (In der Mathematik wird im Gegensatz zur All-

”

”

tagssprache identisch“ und gleich“ zumeist ohne Unterschied verwendet. Wir

”

”

lesen a = b“ als a gleich b“ oder a ist identisch mit b“.)

”

”

”

Hinter den umgangssprachlichen Phänomenen steht letztendlich die elemen-
tare Fähigkeit des menschlichen Geistes zur Abstraktion, dem Absehen von be-
stimmten Eigenschaften und Merkmalen (das Lateinische abstrahere“ bedeutet

”

wegnehmen“). Abstraktion als Methode kennzeichnet das mathematische Den-

”

ken, und damit kommt den Abschwächungen der Identität eine zentrale Positi-
on in der Mathematik zu. Sie werden im Begriff der Äquivalenzrelation gefasst.

Man kann diesen Begriff als Abstraktion der Abstraktion“ lesen, und vielleicht

”

bereitet er auch deswegen vielen Anfängern größere Schwierigkeiten.

Eine Relation R auf A heißt eine ¨

Aquivalenzrelation, falls R reflexiv, symme-
trisch und transitiv ist. Gilt a R b, so heißen a und b R-¨
aquivalent oder kurz

20

1 Grundlagen

¨
aquivalent, wenn R aus dem Kontext heraus klar ist. Zur Bezeichnung einer

Äquivalenzrelation werden bevorzugt Symbole wie ∼, , ≡, ∼

=, usw. verwendet,
die an =“ erinnern.

”

Für jede Menge A ist die Identität Id A = {( x, x) | x ∈ A} eine Äquiva-
lenzrelation auf A. Ebenso ist R = A 2 eine Äquivalenzrelation auf A – diese

Abschwächung der Identität ist vollkommen blind, je zwei Elemente von A gelten
hier als äquivalent. Interessanter ist das Rechnen auf den ganzen Zahlen modulo
einer natürlichem Zahl m ≥ 1. Wir setzen für alle a, b ∈ Z: a ≡m b, falls ein
k ∈ Z existiert mit a−b = k·m, falls also a und b bei Division durch m denselben
ganzzahligen Rest ergeben. Man zeigt leicht, dass ≡m eine Äquivalenzrelation
auf Z ist. Gilt a ≡m b, so heißen a und b auch äquivalent modulo m. Man
schreibt auch a ≡ b mod( m).

Eine Äquivalenzrelation begleitet eine Reihe von Konstruktionen und Sprech-
weisen. Sei also ∼ eine Äquivalenzrelation auf A. Für jedes a ∈ A heißt
a/∼ = {b ∈ A | a ∼ b} [gelesen: a modulo ∼]

die zu a gehörige ¨

Aquivalenzklasse bezüglich ∼. Jedes b ∈ a/∼ heißt ein Re-
pr¨
asentant der Klasse. Weiter setzen wir

A/∼ = {a/∼ | a ∈ A} [gelesen: A modulo ∼].

Das Mengensystem A/∼ heißt auch die Faktorisierung von A bezüglich ∼. Eine

Menge S ⊆ A heißt ein vollständiges Repräsentantensystem bzgl. ∼, falls die

Elemente von S paarweise nicht äquivalent sind und zudem {a/∼ | a ∈ S} =

A/∼ gilt.

Ein auf den ersten Blick ganz anderer, aber letztendlich gleichwertiger Zugang
zum Begriff der Äquivalenzrelation basiert auf Zerlegungen einer Menge. Ein

Mengensystem Z ⊆ P( A) heißt Zerlegung von A, falls die Elemente von Z

nichtleer und paarweise disjunkt sind und zudem

Z = A gilt. Das System Z
beschreibt also die Einteilung von A in verschiedene Länder“ oder Gebiete“.

”

”

Ein vollständiges Repräsentantensystem wählt aus jedem Land“ genau einen

”

Bewohner“ aus.

” Ist Z eine Zerlegung von A, so setzen wir für alle a, b ∈ A:

a ∼Z b, falls ein X ∈ Z existiert mit a, b ∈ X,
d. h., wir sehen Elemente von A als äquivalent an, wenn sie im selben Gebiet
der Zerlegung liegen. Die Relation ∼Z ist offenbar eine Äquivalenzrelation auf

A. Ist umgekehrt ∼ eine Äquivalenzrelation auf A, so ist die Faktorisierung

Z = A/∼ eine Zerlegung von A. Weiter gilt ∼Z = ∼.

Hat man eine Äquivalenzrelation ∼ auf A eingeführt, so werden häufig neue

Objekte f ( a/∼) auf den Äquivalenzklassen a/∼ eingeführt. Zur Definition von
f ( a/∼) wird aber oft nur a und nicht a/∼ verwendet. Bei diesem Vorgehen
ist dann die Wohldefiniertheit oder die Unabh¨
angigkeit von der Wahl der Re-
pr¨
asentanten zu zeigen. Man muss beweisen: Ist a ∼ b, so stimmt die mit a

1.10

Partielle und lineare Ordnungen

21
durchgeführte Definition von f ( a/∼) mit der mit b durchgeführten Definition
von f ( b/∼) überein. Kurz: Man zeigt, dass f ( a/∼) = f ( b/∼) gilt.

Umgekehrt hat man in vielen Fällen bereits Operationen auf A vorliegen und
möchte diese auf der Faktorisierung weiterhin benutzen. Ist g: A → A, so setzt
man

¯
g( a/∼) = g( a) /∼ für alle a ∈ A.

Im Falle der Wohldefiniertheit dieser Festsetzung liefert dieses Vorgehen eine

Operation ¯
g: A/∼ → A/∼. Die Äquivalenzrelation ∼ heißt dann eine Kongru-
enzrelation bzgl. g. Analog sind Kongruenzrelationen bzgl. mehrstelliger Ope-
rationen g: An → A definiert: Die Bedingung für eine Addition + lautet z. B.,
dass die Festsetzung ¯
g( a/∼ + b/∼) = g( a + b) /∼ für alle a, b ∈ A wohldefiniert
ist. Die wichtigsten Beispiele für Kongruenzrelationen liefert erneut das Rech-
nen modulo m. Die Relation ≡m ist eine Kongruenzrelation bzgl. der Addition
und der Multiplikation auf Z, denn die Definitionen
a/≡m + b/≡m = ( a + b) /≡m,
a/≡m · b/≡m = ( a · b) /≡m
sind wohldefiniert.

1.10

Partielle und lineare Ordnungen

Zu jedem Adjektiv stellt uns die natürliche Sprache einen Komparativ zur

Verfügung:

schöner“,
schneller“,
besser“,
schwerer“, usw. Wir ordnen da-

”

”

”

”

durch die Welt und richten unsere Handlungen danach aus. Zuweilen verges-
sen wir dabei auch, dass sich viele Dinge in bestimmter Hinsicht gar nicht
miteinander vergleichen lassen. Und der noch weiter simplifizierende zeit-
genössische Ranking- und Mess-Zwang behindert oft nur die Wahrnehmung und

Einschätzung komplexer Gebilde. Dabei können wir Vergleiche oft anstellen, be-
vor wir zählen, messen und wiegen. Viele Dinge sind in natürlicher Weise unter
sich selbst angeordnet. Die Ordnung kommt vor Zahl und Maß.

Die Grundlage der mathematischen Ordnungstheorie bilden die sog. partiellen

Ordnungen. Sie treten in zwei Typen auf, die dem kleiner“ bzw. dem kleiner

”

”

gleich“ entsprechen:

Eine Relation R auf A heißt eine partielle Ordnung vom strikten Typ, falls R
irreflexiv und transitiv ist. Dagegen heißt eine Relation R auf A eine partielle

Ordnung vom nichtstrikten Typ, falls R reflexiv, antisymmetrisch und transitiv
ist. (Der Tausch von symmetrisch“ zu antisymmetrisch“ führt also von den

”

”

Äquivalenzrelationen zu den partiellen Ordnungen – zwei gänzlich verschiedene

Welten!)

Die bevorzugten Zeichen für strikte partielle Ordnungen sind <, <∗, ≺, . . . ;
für nichtstrikte Ordnungen verwendet man ≤, ≤∗, , . . . . Durch die Wahl ei-
nes derartigen Zeichens ist der Typ klar und man kann einfach von partiellen

22

1 Grundlagen

Ordnungen sprechen. Zudem induzieren die beiden Typen einander: Ist < eine

(strikte) partielle Ordnung auf A, so setzen wir a ≤ b, falls a < b oder a = b. Ist
umgekehrt ≤ eine (nichtstrikte) partielle Ordnung auf A, so setzen wir a < b,
falls a ≤ b und a = b gilt. Wir haben also immer automatisch partielle Ordnun-
gen beider Typen vorliegen.

Das Paradebeispiel für eine partielle Ordnung ist die Inklusion: Für jede Men-
ge A ist ⊆ eine partielle Ordnung auf A (und ⊂ die strikte Version).

Weitere wichtige partielle Ordnungen werden durch Folgen gegeben: Für je-
de Menge M ist die Menge A aller endlichen Folgen in M partiell geordnet
durch die Anfangsstückrelation. Ist z. B. M = { 0 , 1 }, so gilt 0110 < 011011
aber non(0110 < 01001100). Die Folgenordnung hat eine baumartige Struktur,
während die Inklusionsordnung eine netzartige Struktur besitzt.

Für ein weiteres Beispiel sei A die Menge der Folgen natürlicher Zahlen, also

A = NN . Wir definieren g <∗ h, falls ein n 0 existiert mit g( n) < h( n) für alle
n ≥ n 0. Diese Relation der schließlichen Dominanz“ ist eine partielle Ordnung

”

auf A.

Im Umfeld der partiellen Ordnungen gibt es viele Begriffsbildungen, die die

Beschreibung und Untersuchung von Ordnungen erleichtern. Sie sind zumeist
suggestiv und entsprechend einprägsam. Sei also < eine partielle Ordnung auf

A, und sei B ⊆ A. Wir schreiben zur Vereinfachung der Notation B < a, falls
b < a für alle b ∈ B gilt. Analog sind B ≤ a, a < B und a ≤ B definiert, und

A ≤ B bedeutet, dass a ≤ b für alle a ∈ A und alle b ∈ B gilt.

Ein a ∈ A heißt: (1) ein maximales Element von B, falls a ∈ B und kein y ∈ B
existiert mit a < y, (2) das gr¨
oßte Element von B, falls a ∈ B und B ≤ a, (3)

eine obere Schranke von B, falls B ≤ a, (4) Supremum von B, falls a die kleinste
obere Schranke von B ist, d. h., a ist obere Schranke von B, und für alle oberen

Schranken y von B gilt a ≤ y. Analog sind minimale und kleinste Elemente
sowie untere Schranken und Infima (größte untere Schranke) definiert.

Wir betrachten zur Illustration die partielle Ordnung ⊆ auf A = P( { 0 , 1 , 2 }).

Sei B = A − {∅, { 0 , 1 , 2 }}. Dann sind genau { 0 }, { 1 }, { 2 } minimal in B und

{ 0 , 1 }, { 1 , 2 }, { 0 , 2 } maximal in B. B hat weder ein größtes noch ein kleinstes Element. Die leere Menge ist das Infimum von B und { 0 , 1 , 2 } ist das Supremum
von B.

Wir schreiben a = sup( B), falls a das Supremum von B ist, und analog
a = inf( B), falls a das Infimum von B ist. B heißt nach oben (unten) beschr¨
ankt,
falls eine obere (untere) Schranke von B existiert. B heißt beschr¨
ankt, falls B
nach unten und oben beschränkt ist. Eine partielle Ordnung < heißt vollst¨
andig,
falls jede beschränkte nichtleere Teilmenge B von A ein Supremum (und folglich
ein Infimum) besitzt. Für jede Menge M ist die Inklusion ⊆ eine vollständige
partielle Ordnung auf A = P( M ): Alle nichtleeren B ⊆ A sind beschränkt

(durch ∅ und M ) und es gilt sup( B) =

B und inf( B) =

B. Weiter sind
die reellen Zahlen unter ihrer natürlichen Ordnung vollständig.

1.11

Existenz und algorithmische Berechenbarkeit

23

Eine partielle Ordnung ≤ auf A heißt eine lineare oder totale Ordnung, falls
für alle x, y ∈ A gilt, dass x ≤ y oder y ≤ x. In einer linearen Ordnung sind
also je zwei Elemente miteinander vergleichbar.

Die natürlichen Ordnungen auf den Zahlbereichen N, Z, Q und R sind lineare

Ordnungen. In N und Z hat jedes Element einen direkten Nachfolger, d. h., es
gilt ∀x ∃y ( x < y ∧¬∃z ( x < z < y). In Z hat jedes Element auch einen direkten

Vorgänger. Die 0 ist in N das eindeutige Element, das keinen direkten Vorgänger
besitzt.

Die Ordnungen Q und R sind dicht, d. h., zwischen je zwei Elementen der

Ordnung liegt ein weiteres Element: ∀x, y ( x < y → ∃z ( x < z < y). Zum Beweis
setzen wir einfach z = ( x + y) / 2.

Weitere Beispiele für lineare Ordnungen sind die lexikographischen Ordnun-
gen: Sei < eine lineare Ordnung auf einer Menge M , und sei A = N M die Menge
aller Folgen in M . Dann setzen wir für alle g, h ∈ A mit g = h: g < lex h, falls
g( n∗) < h( n∗), wobei n∗ = das kleinste n mit g( n) = h( n)“. Dann ist <

”

lex eine
lineare Ordnung auf A.

Noch spezieller als die linearen Ordnungen sind die Wohlordnungen: Eine
lineare Ordnung < auf A heißt eine Wohlordnung, falls jede nichtleere Teilmenge

B von A ein kleinstes Element besitzt, d. h. ∃x ∈ B ∀y ∈ B ( x ≤ y).

Die natürliche Ordnung auf N ist eine Wohlordnung. Dagegen ist < auf Z
keine Wohlordnung, da die Menge der negativen ganzen Zahlen kein kleinstes

Element besitzt. Ebenso ist die Menge Q+ der positiven rationalen Zahlen keine

Wohlordnung, denn die Menge { 1 /n | n ∈ N , n ≥ 1 } hat kein kleinstes Element.

Wohlordnung“ und Induktion“ hängen eng miteinander zusammen, wie wir

”

”

bei der Diskussion der natürlichen und der transfiniten Zahlen noch sehen wer-
den (siehe Abschnitt 2.1 und 12.11).

1.11

Existenz und algorithmische Berechenbarkeit

Viele mathematische Beweise zeigen, dass Objekte mit bestimmten Eigenschaf-
ten existieren. Speziell im Bereich der diskreten Mathematik enthalten viele

Beweise aber mehr Information als den bloßen Nachweis der Existenz. Sie er-
lauben die Konstruktion“ eines Objektes mit den gewünschten Eigenschaften:

”

Aus dem Beweis lässt sich ein Verfahren gewinnen, das die gesuchten Objek-
te produziert“ oder berechnet.“ Man spricht dann von konstruktiven Bewei-

”

”

sen und aus Beweisen extrahierten Algorithmen. Da Algorithmen neben ihrer
mathematischen Schönheit und Eleganz auch eine hohe praktische Bedeutung
zukommt, steht weiter das Auffinden von effektiven und stabilen Verfahren im

Vordergrund, die es erlauben, die gewünschten Objekte schnell und ohne großen

Aufwand zu berechnen, siehe auch Kapitel 10. Nicht selten sind diese geistrei-
chen Algorithmen dann besonders elegant. Die Beispiele für die praktische Be-

24

1 Grundlagen
deutung von effektiven Algorithmen beginnen bei einfachen Taschenrechnern,
die etwas mehr als die Grundrechenarten beherrschen, umschließen Navigati-
onssysteme, die Routen in einem Verkehrsnetz bestimmen, und reichen bis zur

Computersimulation physikalischer Systeme.

Als Beispiel für einen nichtkonstruktiven Beweis betrachten wir die Aussage:

(a) Es gibt irrationale x, y ∈ R derart, dass xy rational ist.

√

Zum Beweis sei z =

2. Dann ist z irrational. Ist zz rational, so ist x = y = z
wie gewünscht. Andernfalls sei x = zz und y = z. Dann sind x und y wie
gewünscht, denn x und y sind irrational und es gilt xy = z 2 = 2. Der Beweis
produziert kein Beispiel für irrationale Zahlen x und y, für die xy rational ist.

√

Wir wissen nur, dass zz oder ( zz) z für z =

2 rational ist.

Ein anderes Beispiel ist der Beweis von:

(b) Es gibt transzendente Zahlen.

als Korollar der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen und der Abzählbarkeit
der algebraischen Zahlen. Der Beweis zeigt, dass fast alle“ reellen Zahlen die

”

Aussage (b) belegen, aber wir können konkrete Zahlen wie die Kreiszahl π oder
die Eulersche Zahl e nicht unmittelbar als transzendent erkennen. Das zum Be-
weis der Überabzählbarkeit von R verwendete Diagonalverfahren ist andererseits
konstruktiv in dem Sinne, dass es erlaubt, aus einer effektiv vorgelegten Liste
reeller Zahlen eine reelle Zahl zu berechnen, die nicht in der Liste auftaucht.

(Die Berechnung einer reellen Zahl wird dabei als Berechnung ihrer Dezimal-
darstellung verstanden.)

Die Überabzählbarkeit von R zeigt auch, dass wir die meisten“ reellen Zahlen

”

nicht berechnen können, denn es gibt nur abzählbar viele Algorithmen. Derarti-
ge Diskrepanzen können den Ausgangspunkt für die Frage bilden, was mathe-

”

matische Existenz“ eigentlich bedeuten soll. In der heutigen Mathematik sind
jedenfalls Existenz“ und algorithmische Berechenbarkeit“ verschiedene Dinge.

”

”

Zur Diskussion von effektiven Algorithmen betrachten wir für natürliche Zah-
len a und b die Aussage:

(c) Es gibt es einen größten gemeinsamen Teiler d∗ von a und b.

Dies ist sicher richtig, denn alle gemeinsamen Teiler sind unter den endlich
vielen Zahlen 1 , 2 , . . . , min( a, b) enthalten, und damit ist ein Teiler der größte.

Wir können der Reihe nach die Zahlen min( a, b) , . . . , 1 daraufhin überprüfen,
ob sie a und b teilen. Damit können wir d∗ durch einen ineffektiven und un-
eleganten
brute-force“-Algorithmus ermitteln. Interessanter ist folgende Me-

”

thode: Wir bestimmen die Primfaktorzerlegungen von a und b und lesen dann
d∗ durch Vergleich der Exponenten ab. Das ist geistreich und ansprechend,
aber die Berechnung der Primfaktorzerlegung ist für große Zahlen in der Re-
gel sehr aufwändig. In jeder Hinsicht untadelig ist der klassische Euklidische

Algorithmus der Wechselwegnahme“ (siehe Abschnitt 3.1). Er liefert effektiv

”

den größten gemeinsamen Teiler und überzeugt darüber hinaus durch mathe-
matischen Reichtum. Analoge Überlegungen gelten für viele Beispiele der Gra-
phentheorie: In jedem zusammenhängenden Graphen ist es sicher richtig, dass

1.12

Strukturen und strukturerhaltende Abbildungen

25
es einen kürzesten Weg zwischen je zwei Punkten gibt. Das effektive Auffinden
eines solchen Weges ist dann die eigentliche Aufgabe.

Zum Messen der Effektivität eines Verfahrens werden die sogenannten

Landau-Symbole verwendet, die das Wachstum von Funktionen beschreiben. Sei
hierzu f : R → R eine Funktion, und sei k ∈ N. Dann schreibt man traditionell

(unter Missbrauch des Gleichheitszeichens):

f = O( xk), falls c, x 0 ∈ R existieren, so dass |f ( x) | ≤ cxn für alle x ≥ x 0, f = o( xk), falls lim x→∞ f ( x) /xk = 0,
f ∼ xk, falls lim x→∞ f ( x) /xk = 1.

So gilt z. B. cos( x) = O(1) (= O( x 0)), x = O( x), x = o( x 2), x + a ∼ x, ax + b = O( x) und ax 2 + bx + c = O( x 2) für alle a, b, c ∈ R.

Genauso sind für exponentielle Betrachtungen f = O( ex), f = o( ex) und
f ∼ ex definiert, und allgemein erklärt man in analoger Weise f = O( g), f =
o( g) und f ∼ g für reelle Funktionen g mit positiven Werten. Gilt f ∼ g, d. h.

lim x→∞ f ( x) /g( x) = 1, so heißen f und g asymptotisch gleich. Statt f = o( g)

schreibt man oft auch f ≺ g und sagt, dass g (asymptotisch) schneller wächst
als f .

Diese Wachstumsbegriffe übertragen sich auf Funktionen f : N → N, indem
wir statt x ∈ R“ nur n ∈ N“ verwenden, und sie sind dann zur Beschreibung

”

”

eines Algorithmus geeignet: Jedem Input a wird eine natürliche Zahl n( a) zu-
geordnet, die sog. Eingabegr¨
oße, z. B. die Länge der Zeichenkette a, der Grad
des Polynoms a, die Anzahl der Kanten des Graphen a, usw. Weiter wird dem

Verfahren eine von der Eingabegröße n abhängige Komplexität f ( n) zugeord-
net, die angibt, wie viel es kostet“, den Output für Inputs a mit n( a) = n zu

”

berechnen, z. B. die Anzahl der Rechenschritte (Laufzeit) oder die Größe des
benötigten Speichers. Wir sagen, dass der Algorithmus von der Komplexität

O( g), o( g) bzw. g ist, falls f = O( g), f = o( g) bzw. f ∼ g gilt. Speziell hat ein Algorithmus quadratische Komplexit¨
at (in einer bestimmten Eingabegröße und

Kostenfunktion), falls f = O( n 2) gilt.

1.12

Strukturen und strukturerhaltende Abbildungen

Mengen werden in der Mathematik selten nackt verwendet. Eine Menge M
erhält Struktur, indem wir eine Reihe von Operationen, Relationen und Kon-
stanten auf M einführen und studieren. So statten wir die natürlichen Zahlen N
mit einer Addition und Multiplikation aus, mit einer linearen Ordnung < , und
wir betrachten oftmals die speziellen Zahlen 0 und 1. Wir erhalten so die Struk-

”

tur“ (N , + , ·, <, 0 , 1) auf dem Universum“, Träger“ oder Bereich“ N.

”

”

”

Im Laufe der Untersuchung der natürlichen Zahlen reichern wir diesen Aus-
gangspunkt an durch neue Funktionen wie die Exponentiation oder die Fakultät,
und durch neue Relationen wie a ist durch b teilbar“ oder auch einstellige Re-

”

26

1 Grundlagen
lationen wie
p ist eine Primzahl“. Das Studium dieser Begriffe führt dann

”

wiederum zur Einführung neuer strukturierender Begriffe, usw. Wir erhalten
die Eigendynamik der klassischen Zahlentheorie.

Analog haben die reellen Zahlen die Grundstruktur (R , + , ·, <, 0 , 1), die wir
im Laufe von analytischen Untersuchungen durch Funktionen wie sin( x), cos( x),
tan( x), log( x), ex und Konstanten wie π und e anreichern. Weiter gehen wir
dann zu den komplexen Zahlen (C , + , ·, 0 , 1 , i) über, und ihre analytische Un-
tersuchung liefert dann oft auch neue und überraschende Einsichten über die
natürlichen Zahlen N. So entsteht die analytische Zahlentheorie.

Neben diesen konkreten Strukturen mit unerreichter Bedeutung für die Ma-
thematik gibt es allgemeine Strukturen, die axiomatisch eingeführt werden – oft
auch deswegen, um konkrete Strukturen wie N, Z, R und C besser zu verste-
hen. Wir sagen zum Beispiel: Eine Menge G mit einer Operation ◦: G 2 → G
heißt Gruppe, falls die und die Aussagen gelten, die sog. Gruppenaxiome. Wir
definieren dadurch eine bestimmte Klasse ( G, ◦) von Strukturen. Ähnliches gilt
z. B. für die Äquivalenzrelationen ( A, ≡), die partiellen Ordnungen ( P, < ), die

Körper ( K, + , ·, 0 , 1), die Graphen ( E, K), die metrischen Räume ( X, d), usw.

Im Umgang mit Strukturen reduzieren wir oft die Struktur auf ihren Träger
und sprechen von einer Menge G als einer Gruppe, einer Menge M als einer li-
nearen Ordnung, usw. Die strukturstiftenden Funktionen, Relationen und Kon-
stanten sind dann stillschweigend mit dabei.

Bei der Untersuchung von allgemeinen Strukturen werden zunächst die kon-
stituierenden Axiome ausgelotet. Am Beispiel der Gruppen geschieht vereinfacht
geschildert Folgendes. Wir versuchen zunächst möglichst viele Aussagen zu be-
weisen, die in jeder beliebigen Gruppe gelten. Das Weltbild“ ist: Es liegt eine

”

nicht weiter spezifizierte Gruppe G vor, und wir erkunden, nichts als die Grup-
penaxiome im Gepäck, was in dieser Gruppe alles gelten muss. Wir erforschen
dadurch diejenigen Eigenschaften, die wir den Gruppen implizit durch die Grup-
penaxiome aufgenötigt haben, die wir aber, infolge der Beschränktheit unseres

Geistes, nicht sofort sehen können.

Neben Aussagen, die für alle Gruppen gelten, werden wir auch interessante
gruppentheoretische Aussagen entdecken, die wir mit unseren Gruppenaxiomen
weder beweisen noch widerlegen können. Wir versuchen dann zwei Beispiele für

Gruppen zu konstruieren, die eine derartige Aussage erfüllen bzw. verletzen.

So finden wir, dass manche, aber nicht alle Gruppen kommutativ sind, und
ebenso finden wir, dass manche, aber nicht alle Gruppen zyklisch sind. Nun
wiederum werden wir nach der axiomatischen Methode die Eigenschaften aller
kommutativen Gruppen untersuchen, danach die aller zyklischen Gruppen, usw.

Schnell tauchen bei diesem Unterfangen zwei wesentliche Erweiterungen des
obigen Weltbildes auf: Zum einen entdecken wir, z. B. beim Sammeln von Bei-
spielen für Gruppen, dass manche Teilmengen einer Gruppe G wieder eine Grup-
pe bilden, wenn sie die Struktur von G erben. Wir entdecken also die sog. Un-
tergruppen. Zum anderen rücken Abbildungen zwischen zwei Gruppen, die ihre

1.12

Strukturen und strukturerhaltende Abbildungen

27

Struktur respektieren, in das Zentrum des Interesses. Wir entdecken sie z. B.

bei der Beobachtung, dass viele Gruppen eine Untergruppe enthalten, die wie

(Z , +) aussieht“.

”

Allgemein heißt eine Teilmenge N einer Struktur M eine Unterstruktur von

M , wenn N abgeschlossen unter allen Operationen von M ist und zudem alle

Konstanten von M enthält. Wird M nur durch Relationen strukturiert, so ist
diese Bedingung leer, und damit sind alle Teilmengen von M auch Unterstruk-
turen. Dagegen ist die Menge U der ungeraden Zahlen keine Unterstruktur von

(N , +), denn die Addition führt aus den ungeraden Zahlen heraus. Dagegen ist
die Menge der geraden Zahlen eine Unterstruktur von (N , +).

Axiomatische Unterstrukturen sind nun diejenigen Unterstrukturen, die un-
ter der ererbten Struktur alle betrachteten Axiome erfüllen. Die axiomatischen

Unterstrukturen der Gruppen nennt man Untergruppen, die der Körper Un-
terk¨
orper, die der partiellen Ordnungen Teilordnungen, usw. Jede Teilmenge
einer linearen Ordnung ist unter der ererbten Ordnung wieder linear geordnet.

Jede Unterstruktur ist hier also auch axiomatisch. Dagegen ist nicht jede Un-
terstruktur einer Gruppe auch eine Untergruppe: N ⊆ Z ist abgeschlossen unter
der Addition, aber mangels der Existenz von inversen Elementen für n = 0 keine

Untergruppe von (Z , +).

Zur Definition einer strukturerhaltenden Abbildung betrachten wir (der no-
tationellen Einfachheit halber) zwei Strukturen ( M, f, R, c) und ( N, g, P, d) mit
zweistelligen Funktionen f , g, zweistelligen Relationen R, P und Konstanten
c, d. Eine Abbildung s: M → N heißt strukturerhaltend oder ein Homomorphis-
mus, falls die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind:

(a) Für alle a, b ∈ M gilt s( f ( a, b)) = g( s( a) , s( b)).

(b) Für alle a, b ∈ M gilt a R b genau dann, wenn s( a) P s( b).

(c) Es gilt d = s( c).

(Haben die Strukturen mehrere Funktionen f 1 , . . . , fn bzw. g 1 , . . . , gn, so wird
die Bedingung (a) für alle einander entsprechenden Paare fi, gi gefordert. Ana-
loges gilt für mehrere Relationen und Konstanten. Sind R und P einstellig, so
lautet (b): Für alle a ∈ M gilt a ∈ R genau dann, wenn s( a) ∈ P . Analog
werden (a) und (b) für n-stellige Relationen oder Funktionen modifiziert.)

Ist eine strukturerhaltende Abbildung injektiv, so heißt sie eine Einbettung
oder ein Monomorphismus. Ihr Wertebereich ist dann automatisch eine Unter-
struktur von N . Ist sie bijektiv, so heißt sie ein Isomorphismus zwischen M
und N . Die Strukturen M und N heißen isomorph, falls ein Isomorphismus s:

M → N existiert. Analog heißt M einbettbar in N , falls ein Monomorphismus
s: M → N existiert.

Wir betrachten einige Beispiele. Die Funktion s: R → R2 mit s( x) = ( x, 0) ist
eine Einbettung von (R , + , ·, 0 , 1) in (C , + , ·, 0 , 1) und in diesem Sinne können
wir R samt Struktur als Teilmenge von C auffassen. Ebenso ist s: Z → Z mit
s( z) = 2 z eine Einbettung von (Z , +) in sich selbst (denn 2( a + b) = 2 a + 2 b),
aber nicht von (Z , ·) in sich selbst (denn 2( a · b) = 2 a · 2 b) für a, b = 0).

28

1 Grundlagen

Zwei Strukturen M und N , auf denen jeweils gleichbezeichnete Operationen

+ und · erklärt sind, sind isomorph, wenn es eine Bijektion s: M → N gibt mit
s( a + b) = s( a) + s( b) und s( a · b) = s( a) · s( b) für alle a, b ∈ M . Hier werden auf der linken Seite der beiden Gleichheitszeichen die Operationen in M ausgewertet, auf der rechten Seite diejenigen in N .

Im Allgemeinen haben diese Operationen nichts miteinander zu tun, aber die

Lesbarkeit der Isomorphiebedingung wird erhöht.

Sind auf M und N lediglich Relationen R ⊆ M 2 und P ⊆ N 2 gegeben,
so sind M und N bereits dann isomorph, wenn es ein bijektives s: M → N
gibt, das lediglich obige Bedingung (b) erfüllt. Diese Situation liegt sowohl für

Äquivalenzrelationen ( M, ≡), ( N, ∼), partielle Ordnungen ( A, < ), ( B, ≺) und
gerichtete Graphen ( E 1 , K 1) , ( E 2 , K 2) vor. Die Bedingung (b) lautet hier jeweils
explizit:

Für alle a, b ∈ M gilt a ≡ b genau dann, wenn s( a) ∼ s( b).

Für alle a, b ∈ A gilt a < b genau dann, wenn s( a) ≺ s( b).

Für alle a, b ∈ E 1 gilt ( a, b) ∈ K 1 genau dann, wenn ( s( a) , s( b)) ∈ K 2.

Allgemein hängt der Einbettungs- und Isomorphiebegriff nicht von einer axio-
matischen Umgebung, sondern nur vom Typ der betrachteten Strukturen ab.

Um zum Beispiel zu notieren, wann zwei Körper isomorph sind, muss man gar
nicht genau wissen, was ein Körper ist.

Anschaulich drückt man die Einbettbarkeit von N in M zuweilen so aus, dass

M eine Kopie von N enthält. Und zwei Strukturen M und N sind isomorph,
wenn sie bis auf die Namen ihrer Elemente übereinstimmen. Als reine Strukturen
aufgefasst sind sie also identisch. Alle Eigenschaften, die sich in der Sprache“

”

einer Struktur ausdrücken lassen, übertragen sich automatisch von M auf eine
zu M isomorphe Struktur N . Sind zwei partielle Ordnungen ( M, < ) und ( N, < )

isomorph und ist M linear geordnet, so ist auch N linear geordnet. Ist M dicht,
so ist auch N dicht. Hat M ein kleinstes Element, so auch N . Sind zwei Graphen

G 1 = ( E 1 , K 1) und G 2 = ( E 2 , K 2) isomorph und ist G 1 zusammenhängend, so
ist auch G 2 zusammenhängend. Enthält G 1 einen Kreis mit 5 Ecken, so auch

G 2, usw.

Zwei Strukturen als isomorph zu erkennen kann ein schwieriges Problem sein,
und zwar nicht nur aus theoretischer, sondern auch aus praktischer Sicht. Es
gibt z. B. vermutlich keinen effektiven Algorithmus, der zwei Graphen daraufhin
überprüft, ob sie isomorph sind oder nicht (siehe Abschnitt 4.4).

2 Zahlen

Die Mathematik gilt als die Welt der Zahl“ (so der Titel des Schulbuchs, das

”

einer der Autoren in der Grundschule benutzte), und das folgende Kapitel führt
in diese Welt ein. Dabei bleiben wir die Antwort auf die Frage, was eine Zahl
eigentlich ist, schuldig; in dieser Allgemeinheit ist sie auch kaum zu beantworten.

Stattdessen beschreiben wir den Weg, der von den natürlichen Zahlen zu den
komplexen Zahlen und noch weiter führt.

Dabei folgen wir Kroneckers Diktum: Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott

”

gemacht, alles andere ist Menschenwerk.“ Tatsächlich beginnen wir bei den
natürlichen Zahlen, die durch einen Satz von auf Peano zurückgehenden Axio-
men definiert werden. Im zweiten Abschnitt werden daraus durch geeignete

Äquivalenzklassenbildung zuerst die ganzen Zahlen und aus diesen dann die ra-
tionalen Zahlen konstruiert. Schwieriger ist der Übergang von den rationalen zu
den reellen Zahlen in Abschnitt 3. Man kann R aus Q wiederum mittels einer
geeigneten Äquivalenzklassenbildung erhalten; eine andere Möglichkeit bieten
die Dedekindschen Schnitte. Wir stellen beide Verfahren vor, die jeweils zum
vollständigen archimedisch geordneten Körper der reellen Zahlen führen.

Demgegenüber ist der Weg von R zu C in Abschnitt 4 für die moderne Ma-
thematik fast trivial, wenngleich die komplexen Zahlen über Jahrhunderte auf
einem nur schwachen gedanklichen Fundament standen. Heute stellt man sich
unter C schlicht R2 mit einer passenden Addition und Multiplikation vor. Über
die Versuche, auch Vektoren des R n zu multiplizieren, berichtet der Abschnitt 5;
das funktioniert nur noch in den Dimensionen 4 und 8, und das auch nur mit

Abstrichen.

Der nächste Abschnitt beschäftigt sich wieder mit den reellen Zahlen, und
zwar mit der Zifferndarstellung. Die Abschnitte 7 und 8 diskutieren irrationale,
algebraische und transzendente Zahlen, und in Abschnitt 9 stellen wir mit π und
e die (außer 0 und 1) wohl wichtigsten reellen Zahlen genauer vor. Schließlich
werfen wir in Abschnitt 10 einen Blick auf die unendlich kleinen“ Größen der

”

Nichtstandardanalysis und in Abschnitt 11 auf die mitunter bizarre Welt der
p-adischen Zahlen. Der abschließende 12. Abschnitt ist Zufallszahlen gewidmet.

O. Deiser et al., 12 x 12 Schlüsselkonzepte zur Mathematik,

DOI 10.1007/978-3-8274-2298-9_2, © Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2011

30

2 Zahlen

2.1

Nat¨
urliche Zahlen

Das Zählen gehört zu den grundlegenden menschlichen Tätigkeiten: Wir zählen

Schafe, Pfeile, Geld, Schritte, Treppenstufen, Sterne, Tage, Jahre, Herzschläge,

Kalorien, Blutkörperchen. Weiter bildet das Zählen auch die Grundlage des Mes-
sens von Längen, Flächen, Volumina und Zeiten. Die Ergebnisse von Zählungen
notieren wir mit Hilfe eines bestimmten Notationssystems, etwa:

|, ||, |||, ||||, |||||, . . . ( Kerbennotation“)

”

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, . . . (r¨
omische Notation)

1, 2, 3, . . . , 10, 11, 12, . . . (Dezimalnotation)

Da zuweilen der Köcher leer und nichts zu zählen ist, ist auch die Einführung
eines Zeichens für eine Zählung der Leere“ sinnvoll, etwa eine waagrechte Kerbe

”

-“ oder die 0 in unserem heutigen Dezimalsystem. Ob man die Null als eine

”

natürliche Zahl ansieht oder nicht, ist letztendlich eine Frage der Konvention.

In der mathematischen Logik und in der Informatik gilt die Null als natürliche

Zahl, in der Zahlentheorie ist es dagegen oft bequemer, das Zählen mit der

Eins zu beginnen. In jedem Falle existiert ein je nach Konvention eindeutig
bestimmtes Anfangselement des Zählens.

Die Mathematik hat die natürlichen Zahlen lange als undefinierte Grund-
objekte betrachtet. Erst im späten 19. Jahrhundert wurde von Richard Dede-
kind und anderen die von einem Notationssystem unabhängige Struktur der
natürlichen Zahlen ans Licht gebracht und so eine Definition der natürlichen

Zahlen ermöglicht. Das entscheidende Merkmal ist die Nachfolgerbildung, die
einer natürlichen Zahl n ihren (direkten) Nachfolger S( n) zuordnet. Die Nach-
folgerbildung hat die folgenden Eigenschaften:

(1) Jede natürliche Zahl besitzt einen eindeutigen Nachfolger.

(2) Haben zwei natürliche Zahlen denselben Nachfolger, so sind sie gleich.

(3) Das Anfangselement ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl.

(4) Sei A eine Menge von natürlichen Zahlen, die das Anfangselement als

Element enthält und die mit jedem n auch S( n) als Element enthält.

Dann ist jede natürliche Zahl ein Element von A. (Induktionsprinzip)

Möchte man also zeigen, dass alle natürlichen Zahlen n eine bestimmte Eigen-
schaft E besitzen, so genügt es, die beiden folgenden Aussagen zu beweisen:

(I1) Das Anfangselement besitzt die Eigenschaft E . (Induktionsanfang)

(I2) Es gelte E ( n) für ein n. Dann gilt auch E ( S( n)). (Induktionsschritt)

Hat man (I1) und (I2) bewiesen, so gilt E ( n) für alle natürlichen Zahlen nach
dem Induktionsprinzip für A = {n | E ( n) }. In (I2) bezeichnet man die Annahme

E ( n) (oder gleichwertig n ∈ A) als Induktionsvoraussetzung.

Die Eigenschaften (1)–(4) genügen bereits für eine strukturelle Definition der
natürlichen Zahlen: Ein Tripel ( N, S, d) heißt eine Z¨
ahlreihe oder Dedekind-

Struktur mit Nachfolgerfunktion S und Anfangselement d ∈ N , falls gilt:

2.1

Natürliche Zahlen

31

(a) S: N → N .

(b) S ist injektiv.

(c) d /

∈ rng( S).

(d) Für alle A ⊆ N gilt: d ∈ A ∧ ∀n ( n ∈ A → S( n) ∈ A) → A = N .

(Induktionsprinzip)

Die Eigenschaften (1)–(4) (bzw. (a)–(d)) oder äquivalente Formulierungen wer-
den zuweilen auch Peano-Axiome genannt. Sie gehen aber auf Dedekind zurück.

Es lässt sich zeigen, dass es bis auf Isomorphie genau eine Zählreihe gibt. Wir
fixieren also eine Zählreihe (N , S, 0) und nennen N die Menge der natürlichen

Zahlen. Dass unser Anfangselement 0 die Rolle der Null übernimmt, wird erst
bei der Einführung der Addition auf N klar werden.

Mit Hilfe des Induktionsprinzips lässt sich beweisen, dass eine Funktion f auf

N wie folgt eindeutig definiert werden kann:

(R1) Man definiert f (0). (Rekursionsanfang)

(R2) Man definiert, für alle n ∈ N, den Wert f ( S( n)) mit Hilfe von f ( n).

(Rekursionsschritt)

Eine derartige Definition von f nennt man eine Rekursion (nach n ∈ N ). Oft
verwendet man im Rekursionsschritt die Sprechweise, dass der Wert f ( n) be-

”

reits definiert“ ist, und gibt an, wie sich f ( S( n)) aus f ( n) errechnet.

Mit Rekursion kann eine Arithmetik auf N erklärt werden. Wir definieren für
alle m ∈ N die Addition m + n durch Rekursion nach n:

m + 0 = m
m + S( n) = S( m + n) für alle n ∈ N .

Mit Hilfe der Addition definieren wir nun für alle m ∈ N die Multiplikation m·n
durch Rekursion nach n:

m · 0 = 0 ,
m · S( n) = ( m · n) + m für alle n ∈ N .

Damit sind wir bei einer arithmetischen Struktur (N , S, 0 , + , ·) angelangt. Es gilt

S( n) = n + 1 für alle n ∈ N. Die Addition und die Multiplikation sind assozia-
tiv und kommutativ, und es gilt das Distributivgesetz. All diese Eigenschaften
kann man durch geeignete Induktionen beweisen. In analoger Weise erklärt man
schließlich auch noch die Exponentiation, d. h., man definiert für alle m rekursiv
m 0 = 1 und mS( n) = mn · m.

Mit Hilfe der Addition definieren wir für alle n, m ∈ N:

n < m, falls es ein k = 0 mit n + k = m gibt .

Die Relation < erweist sich als eine lineare Ordnung auf N. Für alle n ∈ N sei

W ( n) = {m ∈ N | m < n} die Menge aller Vorgänger von n. Man kann nun
zeigen, dass für alle A ⊆ N das starke Induktionsprinzip gilt:

32

2 Zahlen

(4 ∗) ∀n ( W ( n) ⊆ A → n ∈ A) → A = N.

Wollen wir also A = N für eine Teilmenge A von N zeigen, so können wir
wie folgt vorgehen: Sei n ∈ N beliebig. Wir nehmen an, dass W ( n) ⊆ A gilt,
d. h., dass jedes m < n ein Element von A ist. Diese Annahme bezeichnet
man erneut als (starke) Induktionsvoraussetzung. Nun zeigen wir mit Hilfe der

Induktionsvoraussetzung, dass n selbst ein Element von A ist. Dieses Argument
nennt man wieder den (starken) Induktionsschritt. Nach (4 ∗) ist damit gezeigt,
dass A = N. (Ein Induktionsanfang entfällt bei der starken Induktion. Für n = 0
ist W ( n) die leere Menge und der allgemeine Induktionsschritt zeigt mit Hilfe
der trivialen Induktionsvoraussetzung ∅ ⊆ A, dass 0 ∈ A gilt.)

Den Beweisen durch starke Induktion entsprechen die Wertverlaufsrekursio-
nen in Definitionen. Eine Funktion f auf N kann wie folgt eindeutig definiert
werden:

(R ∗) Man definiert, für alle n ∈ N, den Wert f ( n) mit Hilfe der Werte f ( m),
m < n. (Rekursionsschritt)

Hier darf man also zur Definition von f ( n) annehmen, dass f ( m) für alle m < n
bereits definiert ist.

Wir wollen das starke Induktionsprinzip noch etwas umformulieren. Schreiben
wir die Implikation in (4 ∗) kontrapositiv, so sehen wir, dass für alle A ⊆ N gilt:

A = N → ∃n ¬( W ( n) ⊆ A → n ∈ A) ,
d. h.

A = N → ∃n ( W ( n) ⊆ A ∧ n /

∈ A) .

Setzen wir hier B = N − A, so erhalten wir, dass für alle B ⊆ N gilt:

(4 ∗∗) B = ∅ → ∃n ( W ( n) ∩ B = ∅ ∧ n ∈ B). (Prinzip vom kleinsten Element
f¨
ur B ⊆ N )

Jede nichtleere Teilmenge von N hat also ein kleinstes Element, d. h., die
lineare Ordnung < ist eine Wohlordnung auf N. Unsere Überlegung zeigt zudem,
dass die starke Induktion und die Wohlordnungseigenschaft von < rein logisch
äquivalent sind: Die beiden Aussagen gehen durch das Kontrapositionsgesetz
auseinander hervor, die starke Induktion für A ⊆ N entspricht dem Prinzip des
kleinsten Elements für B = N − A.

2.2

Ganze und rationale Zahlen

Die natürlichen Zahlen N und die zugehörigen Operationen der Addition und
der Multiplikation reichen für viele Zähl- und Messvorgänge nicht aus. Beispiele
sind Reste ( noch 4 von 10 Runden zu fahren“), Geldschulden ( 1210 Euro

”

”

roter Kontostand“), Anteile ( ein Drittel des Gewinns“), Verhältnisse ( Meter

”

”

zu Yard“). Diese Beispiele legen eine Erweiterung der natürlichen Zahlen zu
einem Zahlbereich nahe, in welchem wir die Addition und Multiplikation so frei

2.2

Ganze und rationale Zahlen

33
wie möglich umkehren können, d. h., für möglichst viele Zahlen a existieren

Zahlen b und c mit a + b = 0 und a · c = 1. Wir erreichen dies in zwei Schritten.

Gilt m > n für natürliche Zahlen n und m, so können wir die Differenz m − n
definieren als das eindeutige k mit n + k = m. Beim Rechnen mit Differenzen
entsteht schnell das Bedürfnis, dass

−n“ für alle n ∈ N ein mathematisches

”

Objekt ist und dass die Differenz m − n als m + ( −n) gelesen werden kann.

Dieses Bedürfnis kann durch eine formale Erweiterung der natürlichen Zahlen
um die negativen Zahlen −n, n ≥ 1, und eine geeignete Fortsetzung der Arith-
metik befriedigt werden. Man gelangt so zum Zahlbereich Z der ganzen Zahlen.

Alternativ zur Verwendung eines formalen Vorzeichens lässt sich Z aus N kon-
struieren, indem wir ein Paar ( n, m) von natürlichen Zahlen als Differenz n − m
lesen. Aus dieser Idee entspringt die folgende elegante algebraische Konstruktion
von Z. Wir setzen für alle n, m, n, m ∈ N:

( n, m) ∼ ( n, m) , falls n + m = n + m.

Die Relation ∼ ist eine Äquivalenzrelation auf N × N, und wir setzen:

[ n, m] = ( n, m) /∼ für alle n, m ∈ N ,

Z = N2 /∼ = {[ n, m] | n, m ∈ N }.

Die Elemente von Z heißen ganze Zahlen. Für ganze Zahlen definieren wir:

−[ n, m] = [ m, n] (additive Inversenbildung),

[ n, m] + [ n, m] = [ n + n, m + m] (Addition),

[ n, m] − [ n, m] = [ n, m] + ([ n, m]) (Subtraktion),

[ n, m] · [ n, m] = [ nn + mm, mn + nm] (Multiplikation),

[ n, m] < [ n, m] , falls n + m < n + m (Ordnung).

Die Struktur (Z , + , ·) ist ein kommutativer Ring (siehe Abschnitt 6.2), und <
ist eine lineare Ordnung auf Z. Wir können N ⊆ Z annehmen, indem wir n ∈ N
mit [ n, 0] ∈ Z identifizieren. Diese Einbettung respektiert die Arithmetik und

Ordnung auf N. Wie gewünscht gilt für alle [ n, m] ∈ Z:

[ n, m] − [ n, m] = [ n, m] + [ m, n] = [ n + m, n + m] = [0 , 0] = 0 ,

[ n, m] = [ n, 0] + [0 , m] = [ n, 0] − [ m, 0] = n − m.

Die ganzen Zahlen erlauben eine Subtraktion, aber keine allgemeine Division

(Umkehrung der Multiplikation). Wir führen deswegen obigen Erweiterungspro-
zess in analoger Weise noch einmal durch. Die Idee ist nun, ein Paar ( a, b) von
ganzen Zahlen mit b = 0 als Bruch a/b zu lesen. Die Null muss hier eine Sonder-
rolle spielen, denn wenn wir elementare Rechengesetze aufrechterhalten wollen,
gilt 0 · x = (0 + 0) · x = 0 · x + 0 · x und folglich 0 = 0 · x für alle x. Damit ist aber

0 · 1 / 0 = 1 unmöglich, im Gegensatz zu b · 1 /b = 1 für alle b = 0. Wir setzen
also Z ∗ = Z − { 0 } und definieren für alle ganzen Zahlen a, c ∈ Z und b, d ∈ Z ∗:

( a, b) ∼ ( c, d) falls ad = cb.

34

2 Zahlen

Dann ist ∼ eine Äquivalenzrelation auf Z × Z ∗, und wir setzen:

a/b = ( a, b) /∼ für alle a ∈ Z , b ∈ Z ∗,

Q = (Z × Z ∗) /∼ = {a/b | a ∈ Z , b ∈ Z ∗}.

Die Elemente von Q heißen rationale Zahlen. Wir definieren analog zu oben:

−( a/b) = ( −a) /b (additive Inversenbildung),

( a/b) − 1 = b/a, falls a = 0 (multiplikative Inversenbildung),
a/b + c/d = ( ad + cb) /( bd) (Addition),
a/b − c/d = a/b + ( −c/d) (Subtraktion),
a/b · c/d = ( ac) /( bd) (Multiplikation),

( a/b) /( c/d) = ( a/b) · ( c/d) − 1 , falls c = 0 (Division),
a/b < c/d, falls abd 2 < cdb 2 (Ordnung).

Die Struktur (Q , + , ·) ist ein Körper (siehe Abschnitt 6.3), und < ist eine
lineare Ordnung auf Q. Wir können wieder Z ⊆ Q erreichen, indem wir a ∈ Z
mit a/ 1 ∈ Q identifizieren. Dann ist insgesamt N ⊆ Z ⊆ Q. Die Arithmetik auf

Q hat die gewünschten Eigenschaften, speziell gelten

( a/b) /( a/b) = a/b · ( a/b) − 1 = ( ab) /( ba) = 1 / 1 = 1 für alle a, b ∈ Z ∗, a/b = a/ 1 · 1 /b = a · b− 1 für alle a ∈ Z und b ∈ Z ∗.

Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar, denn wir können alle ratio-
nalen Zahlen z. B. auflisten durch

0 / 1 , 1 / 1 , − 1 / 1 , 2 / 1 , − 2 / 1 , 1 / 2 , − 1 / 2 , 3 / 1 , − 3 / 1 , 1 / 3 , − 1 / 3 , . . .

Die Ordnung < auf Q ist dicht, d. h., zwischen zwei rationalen Zahlen q und p
liegt eine weitere rationale Zahl, etwa ( p + q) / 2. Zudem existiert kein größtes
und kein kleinstes Element. Man kann zeigen, dass diese Eigenschaften eine
abzählbare lineare Ordnung charakterisieren, d. h., jede abzählbare und dichte
lineare Ordnung ( M, < ) ohne größtes und ohne kleinstes Element ist isomorph
zu (Q , < ). Dieser ordnungstheoretische Satz stärkt noch einmal die Stellung der
rationalen Zahlen. Q hat aber auch Schwächen, was uns zum nächsten Abschnitt
bringt.

2.3

Reelle Zahlen

Die mathematische Modellierung eines räumlichen oder zeitlichen Kontinuums
bildet die Grundlage der durch die Infinitesimalrechnung eingeleiteten Natur-
beschreibung: Ein Stein fällt und ein Kreisel rotiert kontinuierlich, und auch
die Zeit fließt in kontinuierlicher Weise. Obwohl bei diesem Ansatz gerade kein

2.3

Reelle Zahlen

35

Fortschreiten von Punkt zu Punkt stattfinden soll, bleibt der Mathematik wohl
nichts anderes übrig, als ein Kontinuum aus Punkten aufzubauen. Der fallende

Stein wird durch eine Funktion beschrieben, die angibt, an welchem Punkt eines
räumlichen Kontinuums sich der Stein zu einem gegebenen Punkt eines zeitli-
chen Konntinuums befindet. Räumliches und zeitliches Linearkontinuum werden
mathematisch gleich behandelt, ein mehrdimensionales Kontinuum wird als ein
kartesisches Produkt eines Linearkontinuums aufgefasst. Die Punkte eines Line-
arkontinuums sind durch ein links und rechts“, ein vorher und nachher“, ein

”

”

früher und später“ geordnet. Zu diesen ordnungstheoretischen Gesichtpunkten

”

gesellt sich der arithmetische Charakter der Punkte, denn wir wollen mit den

Punkten eines Kontinuums rechnen und messen.

Die Mathematik hat die Aufgabe der Konstruktion eines arithmetischen

Kontinuums durch eine Erweiterung der rationalen Zahlen Q gelöst, die den

Zahlkörper R der reellen Zahlen erzeugt. Wie für die Schritte von N nach Z und
von Z nach Q lässt sich die Erweiterung von Q nach R als die bis auf Isomor-
phie eindeutige Behebung eines gewissen Mangels ansehen, die nicht mehr neue

Zahlen hinzufügt als zur Behebung des Mangels notwendig sind.

Auf den ersten Blick sehen die rationalen Zahlen Q schon wie ein gutes Modell
für ein Kontinuum aus: Die Punkte von Q sind dicht geordnet, und wir können
mit ihnen frei rechnen. Die folgende Eigenschaft, die lineare Vollst¨
andigkeit, ist
nun aber geeignet, die Schwächen von Q ans Licht zu bringen: Eine lineare

Ordnung K heißt vollst¨
andig, falls jede nichtleere beschränkte Teilmenge von K
ein Supremum und ein Infimum besitzt.

Anschaulich bedeutet die lineare Vollständigkeit, dass wir eine obere Schranke
einer beschränkten nichtleeren Teilmenge A von K so weit an A heranschieben
können, dass sie A berührt. Dieser Berührpunkt – das Supremum von A – soll
immer eindeutig existieren. Analoges gilt für die Existenz von Infima.

Die Ordnung der rationalen Zahlen ist unvollständig: A = {q ∈ Q | q 2 < 2 }

besitzt kein Supremum und kein Infimum in Q (siehe hierzu Abschnitt 2.8,

Irrationalität der Quadratwurzel aus 2). Die Funktion f : Q → Q mit f ( q) = q 2 −

2 für alle q besitzt also keine Nullstelle. Damit ist Q als Kontinuum ungeeignet.

De facto wimmelt es nur so an derartigen Unvollständigkeiten in Q, denn eine
vollständige und dichte lineare Ordnung ist, wie man beweisen kann, notwendig
überabzählbar. Der Vollständigkeitsbegriff ist damit weit weniger harmlos als
er aussieht.

Es lässt sich zeigen, dass es bis auf Isomorphie genau eine Erweiterung der
rationalen Zahlen gibt, die linear vollständig ist und die Rechengesetze von Q
bewahrt. Genauer lautet das Ergebnis: Es gibt einen bis auf Isomorphie eindeu-
tig bestimmten linear vollständigen angeordneten Körper (R , + , ·, < ). R enthält
automatisch Q als Unterkörper und dient als mathematisches Modell eines Kon-
tinuums. Die Elemente von R heißen reelle Zahlen.

36

2 Zahlen

Zwei klassische Konstruktionen von R stammen von Cantor und Dedekind.

Für die Cantorsche Konstruktion sei F die Menge aller Cauchy-Folgen in Q,
d. h., die Menge aller Folgen ( xn) n∈ N rationaler Zahlen mit der Eigenschaft

∀k ≥ 1 ∃n 0 ∀n, m ≥ n 0 |xn − xm| < 1 /k.

Wir setzen ( xn) n∈ N ∼ ( yn) n∈ N für zwei Folgen in F , falls die Differenzenfolge
der Folgen eine Nullfolge ist, d. h., ∀k ≥ 1 ∃n 0 ∀n ≥ n 0 |xn − yn| < 1 /k. Die

Relation ∼ ist eine Äquivalenzrelation auf F , und wir setzen

R = F/∼ = {( xn) n∈ N /∼ | ( xn) n∈ N ∈ F }.

Wir können Q ⊆ R erreichen, indem wir q ∈ Q mit ( q) n∈ N /∼ identifizieren. Auf
der Menge R können wir eine Arithmetik durch punktweise Addition und Multi-
plikation von Folgen einführen. Schließlich setzen wir ( xn) n∈ N /∼ < ( yn) n∈ N /∼,
falls gilt: ∃k ≥ 1 ∃n 0 ∀n ≥ n 0 yn − xn > 1 /k.

Bei der Konstruktion von Dedekind steht die Ordnung der rationalen Zahlen
im Vordergrund und sie strebt ohne Umschweife die lineare Vollständigkeit an.

Ein Paar ( L, R) von nichtleeren Teilmengen von Q heißt ein Schnitt in Q, falls
gilt: (1) L ∩ R = ∅, L ∪ R = Q, (2) für alle q ∈ L und p ∈ R gilt q < p,

(3) existiert sup( L) in Q, so gilt sup( L) ∈ L. Ein Schnitt ( L, R) beschreibt also
eine Zerlegung der rationalen Zahlen in einen linken und einen rechten Teil, und
er markiert genau dann eine Lücke in Q, falls sup( L) nicht existiert. Die Idee ist
nun, die Schnitte (und damit insbesondere die Lücken von Q) als Punkte und
dann weiter als Zahlen aufzufassen. Wir setzen also

R = {( L, R) | ( L, R) ist ein Schnitt in Q }.

Wir erhalten hier Q ⊆ R, indem wir q ∈ Q mit dem durch q markierten Schnitt

( Lq, Rq) mit Lq = {r ∈ Q | r ≤ q} identifizieren. Die Inklusion liefert eine
vollständige Ordnung auf R. Mit etwas Mühe lässt sich auch wieder die Arith-
metik von Q nach R fortsetzen. Wir erhalten ein zur Cantorschen Konstruktion
gleichwertiges Ergebnis.

Die lineare Vollständigkeit lässt eine interessante Aufspaltung zu: Ein ange-
ordneter Körper ( K, + , ·, < ) heißt metrisch vollständig, falls jede Cauchy-Folge
in K konvergiert, und er erfüllt das archimedische Axiom, falls für alle positi-
ven x, y in K ein n ∈ N existiert mit nx > y. Beide Bedingungen zusammen
sind äquivalent zur linearen Vollständigkeit. Damit können wir die reellen Zah-
len auch als metrisch vollständigen angeordneten Körper charakterisieren, der
das archimedische Axiom erfüllt. Aus dem archimedischen Axiom folgt, dass für
alle positiven x ∈ K ein n ∈ N existiert mit 1 /n < x. Damit schließt unser

Kontinuumsbegriff infinitesimale Größen aus (vgl. hierzu auch Abschnitt 2.11).

2.4

Komplexe Zahlen

37

2.4

Komplexe Zahlen

Als Konsequenz der Vollständigkeit der Menge R kann man beweisen, dass dort
alle Gleichungen, die offensichtlich“ eine Lösung haben, auch tatsächlich lösbar

”

sind. Bei x 5 + x = 1 zum Beispiel glaubt man das dem Graphen anzusehen, und
der Zwischenwertsatz aus Abschnitt 7.3 schafft endgültige Gewissheit. Anders
liegt der Fall bei der Gleichung x 2 = − 1, die in R (natürlich) nicht lösbar ist.

Seit mehr als 400 Jahren operiert man jedoch erfolgreich mit einer imaginären

√

”

Zahl“ i =

− 1, die das Quadrat − 1 haben soll. Es ist zunächst vielleicht einen

Kommentar wert, warum solche imaginären“ Größen nützlich sind.

”

Im 16. Jahrhundert wurden von italienischen Mathematikern, namentlich von

N. Tartaglia, Methoden entwickelt, um kubische Gleichungen der Form x 3 +
a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 zu lösen. Die Substitution x = t − a 2 / 3 eliminiert den
quadratischen Term und führt zur standardisierten Form t 3 = 3 pt + 2 q (mit
gewissen reellen Koeffizienten p und q), für die Tartaglia die Lösung

3

3
q +
q 2 − p 3 +
q −
q 2 − p 3

(2.1)

angab. Wendet man diese Formel im Beispiel t 3 = 15 t + 4 an, ergibt sich

√

√

3 2 + 11 − 1 + 3 2 − 11 − 1, also eine Größe, die in der Welt der reellen Zah-
len nicht handhabbar ist. Und doch hat jede kubische Gleichung nach dem

Zwischenwertsatz mindestens eine reelle Lösung, in unserem Beispiel t = 4. Das
lässt einen Kalkül wünschenswert erscheinen, in dem die Rechenregeln von R

√
gelten, aber eine
imaginäre Einheit“ i =

− 1 existiert, so dass man (2.1)

”

auswerten kann.

Dieser Kalkül wird im Körper der komplexen Zahlen realisiert. Zum Begriff
des Körpers vgl. Abschnitt 6.3; es sei hier nur gesagt, dass in einem Körper
die traditionellen Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetze der Addi-
tion und Multiplikation gelten. Diese Rechenregeln erzwingen wegen i 2 = − 1
für die Summe ( x + iy) + ( x + iy) den Wert ( x + x) + i( y + y) und für das

Produkt ( x + iy) · ( x + iy) den Wert ( xx − yy) + i( xy + xy). In der modernen Mathematik nimmt man solche Heuristiken als Ausgangspunkt einer rigorosen

Begriffsbildung. Man definiert daher die Menge der komplexen Zahlen als Er-
weiterung von R wie folgt. Auf R2 werden eine Addition und eine Multiplikation
gemäß

( x, y) + ( x, y) = ( x + x, y + y)

( x, y) · ( x, y) = ( xx − yy, xy + xy)

erklärt. (Warum man das so macht, ist nach der Vorbemerkung klar.) Man
kann nun nachweisen, dass R2 so zu einem Körper wird, in den R mittels x →

( x, 0) kanonisch eingebettet ist; lax gesagt erhält man also eine Obermenge
von R, in der die gleichen Rechenregeln wie dort gelten. Definitionsgemäß ist

(0 , 1) ·(0 , 1) = ( − 1 , 0), also ist (0 , 1) als Quadratwurzel aus − 1 in dieser größeren

38

2 Zahlen

Struktur anzusehen. Natürlich erhält man keinen angeordneten Körper, denn
sonst wären ja alle Quadrate nichtnegativ.

Die übliche Bezeichnungsweise für diesen Körper ist C. Man setzt i := (0 , 1)

und kann dann jedes Element ( x, y) von R2 als x + iy ∈ C schreiben. Die alge-
braische Definition von komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen nimmt ihnen
alles Imaginäre und macht sie zu genauso realen mathematischen Objekten wie
die reellen Zahlen.

Bei der komplexen Zahl z = x + iy nennt man die reelle Zahl x den Realteil
und die reelle Zahl y den Imagin¨
arteil ; die konjugiert komplexe Zahl ist z =

√
x − iy. Man nennt |z| =
x 2 + y 2 =
zz den Betrag von z; wie der reelle

Betrag erfüllt auch der komplexe Betrag die Eigenschaften |z 1 z 2 | = |z 1 ||z 2 |,

|z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 |. Weiter induziert der Betrag mittels d( z 1 , z 2) = |z 1 − z 2 |
eine Metrik, bezüglich der C vollständig ist.

Stellt man sich komplexe Zahlen geometrisch als Punkte in der Ebene vor,
spricht man von der Gaußschen Zahlenebene. Die Addition komplexer Zahlen
entspricht dann der Addition von Vektoren in R2. Alle komplexen Zahlen vom

Betrag 1 liegen in der Gaußschen Zahlenebene auf dem Rand des Einheitskrei-
ses. Die in Abschnitt 7.4 besprochene Eulersche Formel cos ϕ + i sin ϕ = eiϕ
ermöglicht es, komplexe Zahlen vom Betrag 1 als eiϕ mit ϕ ∈ R zu schreiben
und allgemein eine komplexe Zahl in der Polardarstellung z = |z|eiϕ. Für z = 0
ist das Argument ϕ als Winkel zwischen dem Vektor z und der positiven reellen

Achse zu interpretieren. Mit Hilfe der Polardarstellung kann man nun auch die

Multiplikation komplexer Zahlen visualisieren; man multipliziert zwei komplexe

Zahlen, indem man ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente addiert:

|z 1 |eiϕ 1 · |z 2 |eiϕ 2 = |z 1 ||z 2 |ei( ϕ 1+ ϕ 2) .

Sind weitere Ausdehnungen von C wünschenswert oder gar notwendig? Exis-

√

√
tiert z. B.

i in C? Was
i angeht, so zeigt die Polardarstellung i = eiπ/ 2, dass

√

√
sowohl z 1 = eiπ/ 4 = (1 + i) / 2 als auch z 2 = −eiπ/ 4 = −(1 + i) / 2 die Glei-

√
chung z 2 = i lösen, also als
i“ angesehen werden können. Im Gegensatz zur

”

√
reellen Analysis, wo
a die nichtnegative Lösung von x 2 = a ( ≥ 0) bezeichnet,
ist in der komplexen Analysis das Wurzelsymbol mit Vorsicht zu gebrauchen. Im
obigen Beispiel zeichnet keine natürliche Eigenschaft z 1 vor z 2 aus oder umge-

√
kehrt. Daher sollte man im Komplexen
a“ wirklich nur in Anführungszeichen

”

benutzen, denn eine gedankenlose Verwendung führt zum Beispiel zur Gleichung

√

√

√

√

√

4 =

16 =

( − 2) · ( − 8) =

− 2 · − 8 = 2 i · 8 i = − 4 .

Ein korrekter Umgang mit komplexen Wurzeln basiert auf den n-ten Einheits-
wurzeln ωk,n = ei 2 πk/n mit k = 1 , . . . , n. Es sind dies die n komplexen Lösungen
von zn = 1. Die n-ten Einheitswurzeln bilden in der Gaußschen Zahlenebene
ein regelmäßiges n-Eck.

2.5

Quaternionen

39

Dass eine weitere Ausdehnung von C nicht notwendig ist, um algebraische

Gleichungen zu lösen, ist eine Folge des Fundamentalsatzes der Algebra, wonach
jede Gleichung der Form zn + an− 1 zn− 1 + · · · + a 1 z + a 0 = 0 mit Koeffizienten
aj ∈ C und n ≥ 1 stets eine komplexe Lösung hat.

Über eine Ausdehnung von C anderer Natur berichtet der nächste Abschnitt.

2.5

Quaternionen

Das algebraische Fundament des Rechnens mit komplexen Zahlen in der Form
einer Addition und Multiplikation auf R2, wie sie im letzten Abschnitt erklärt
wurden, wurde 1835 von dem irischen Mathematiker W. R. Hamilton geschaffen.

(Wir werden seinem Namen erneut in Abschnitt 4.4 in ganz anderem Zusam-
menhang begegnen.) Durch diesen Erfolg angetrieben, beschäftigte er sich jah-
relang mit dem Problem, die Multiplikation von C = R2 auf R3 auf vernünftige

”

Weise“ fortzusetzen – ohne Erfolg.

Dass das in der Tat unmöglich ist, kann man heute mit ein wenig linearer

Algebra leicht einsehen. Hätte man auf R3 nämlich eine nullteilerfreie Multipli-
kation ( u, v) → uv mit einem Einselement e, könnte man die lineare Abbildung

Lu: v → uv betrachten; die Linearität ergibt sich aus dem Distributivgesetz, das
man von einer vernünftigen“ Multiplikation auf dem Vektorraum R3 verlangen

”

sollte. Nun hat jede lineare Abbildung auf R3 einen Eigenwert (Abschnitt 5.10),
es gibt also eine Zahl λ ∈ R und einen Vektor v = 0 mit Lu( v) = λv, d. h.

( u − λe) v = 0, woraus wegen der Nullteilerfreiheit u = λe folgt: Ein beliebiges

Element u von R3 wäre ein Vielfaches von e, was ein Widerspruch ist.

Zurück zu Hamilton. Er erkannte schließlich, dass es keine
vernünftige“

”

kommutative Multiplikation auf R3 gibt, denn seine Überlegungen zeigen für
e 2 = (0 , 1 , 0) und e 3 = (0 , 0 , 1), dass e 2 e 3 = −e 3 e 2 sein muss. Aber er kam nicht weiter bei der Frage, was der Wert des Produkts e 2 e 3 sein kann. Der entscheidende Durchbruch gelang am 16. Oktober 1843. Hamilton hatte die Idee, e 2 e 3
nicht in R3 zu suchen, sondern eine vierte Dimension hinzuzunehmen. So gelang
es ihm schließlich, auf R4 eine Multiplikation einzuführen (die Addition ist ka-
nonisch, nämlich die Vektoraddition), die bis auf die Kommutativität alle von R
oder C bekannten Eigenschaften hat; dies ist der mit H bezeichnete Schiefkörper
der Hamiltonschen Quaternionen. (Ein Schiefk¨
orper erfüllt alle Axiome eines

Körpers bis auf die Kommutativität der Multiplikation.) Aus Hamiltons Brie-
fen weiß man nicht nur, wann ihm der Gedankenblitz mit der vierten Dimension
gekommen ist, sondern auch, wo: unter der Brougham Bridge bei einem Spazier-
gang entlang des Royal Canal im Norden Dublins. Hamilton war so von seinen

Quaternionen eingenommen, dass er dort seine Produktformeln buchstäblich in

Stein gemeißelt hat; heute befindet sich an dieser Stelle eine Gedenkplakette,
die an diesen Moment in der Geschichte der Mathematik erinnert.

40

2 Zahlen

Explizit definiert Hamilton für e 1 = (1 , 0 , 0 , 0), e 2 = (0 , 1 , 0 , 0), e 3 =

(0 , 0 , 1 , 0), e 4 = (0 , 0 , 0 , 1)

e 2 e 3 = −e 3 e 2 = e 4 ,
e 3 e 4 = −e 4 e 3 = e 2 ,
e 4 e 2 = −e 2 e 4 = e 3 ,
e 22 = e 23 = e 24 = −e 1
sowie e 1 em = eme 1 = em für m = 1 , . . . , 4 und erhält durch distributives Aus-

rechnen einen Term für das Produkt xy = (

4
x

4
y
m=1
mem)(
m=1
mem). Man
kann dann nachrechnen, dass die so definierte Multiplikation das Distributivge-
setz erfüllt, assoziativ ist, jedes von 0 ∈ R4 verschiedene Element invertierbar
ist und der Körper C in H durch r + is → ( r, s, 0 , 0) eingebettet ist.

Einfacher ist es jedoch, H mittels komplexer (2 × 2)-Matrizen zu beschreiben.

Der R-Vektorraum H der komplexen (2 × 2)-Matrizen der Form M( z, w) =

z −w
ist abgeschlossen unter der Matrixmultiplikation, die Matrixmultiplika-
w
z
tion ist natürlich distributiv und assoziativ, und wegen det M ( z, w) = |z| 2 + |w| 2
ist jedes von 0 ∈ H verschiedene Element invertierbar, wobei die Inverse eben-
falls in H liegt. Die Quaternionenmultiplikation lässt sich äquivalent durch
diese Matrizen beschreiben: Für x, y ∈ H ist xy = u genau dann, wenn

M ( x 1 + ix 2 , x 3 + ix 4) M ( y 1 + iy 2 , y 3 + iy 4) = M ( u 1 + iu 2 , u 3 + iu 4). Da, wie gerade begründet, H ein Schiefkörper ist, ist es H also auch.

Prägnant formuliert ist die Abbildung

x 1 + ix 2 −x 3 − ix 4

Φ: H → H ,

Φ( x) =
x 3 − ix 4
x 1 − ix 2
ein Isomorphismus von R-Algebren. Dabei versteht man unter einer R -Algebra
einen R-Vektorraum V , auf dem eine Multiplikation genannte Abbildung

( u, v) → uv von V × V nach V erklärt ist, für die nur die Distributivität voraus-
gesetzt wird (mit anderen Worten, die Abbildungen v → uv und v → vu sind
stets linear); a priori wird weder die Kommutativität noch die Assoziativität
noch die Existenz eines Einselements verlangt.

Eine (reelle) Divisionsalgebra ist eine R-Algebra, in der die Gleichungen
xu = v und uy = v für u = 0 stets eindeutig lösbar sind. R, C und H sind

Divisionsalgebren. Gibt es noch weitere? Von Frobenius wurde 1877 bewiesen,
dass dies die einzigen endlich-dimensionalen assoziativen Divisionsalgebren sind.

Aber schon 1845 hatte Cayley eine Multiplikation auf R8 entdeckt (die Oktaven-
oder Oktionenalgebra O), die nicht mehr assoziativ ist, aber zu einer Divisionsal-
gebra führt. Die Elemente von O heißen auch Cayley-Zahlen. Sie erfüllen noch ei-
ne schwache Form der Assoziativität, nämlich u( uv) = ( u 2) v und ( uv) v = u( v 2)

für u, v ∈ O. Außer R, C und H ist O die einzige endlich-dimensionale Divisi-
onsalgebra, die im obigen Sinn schwach assoziativ ist. Das letzte Wort in dieser

Angelegenheit hat ein Satz von Kervaire und Milnor aus dem Jahr 1958: Je-
de endlich-dimensionale Divisionsalgebra hat notwendig die Dimension 1, 2, 4
oder 8. Der Beweis benutzt tiefliegende Resultate der algebraischen Topologie.

2.6
b-adische Darstellungen

41

2.6
b-adische Darstellungen

Die reellen Zahlen hatten wir in Abschnitt 2.3 aus den rationalen Zahlen durch
eine Vervollständigung gewonnen, die entweder mit Hilfe von Cauchy-Folgen ra-
tionaler Zahlen oder mit Hilfe von Dedekindschen Schnitten in Q durchgeführt
wurde. Beiden Konstruktionen ist gemeinsam, dass eine reelle Zahl
von Ge-

”

burt an“ mit beliebig genauen rationalen Approximationen ausgestattet ist, ja
sogar durch ein System von rationalen Approximationen definiert wird. Auch
im rechnerischen Umgang mit reellen Zahlen sind rationale Approximationen
von großer Bedeutung. Die Mathematik kennt heute viele rationale Entwick-

”

lungen“ von reellen Zahlen, etwa die endlichen und unendlichen Kettenbrüche
oder analytisch motivierte Summen wie etwa log(1 + x) = x − x 2 / 2 + x 3 / 3 ± · · · ,

|x| < 1, die für rationale x rationale Approximationen von oftmals irrationa-
len Funktionswerten liefern. Aber es sind vor allem die Dezimaldarstellungen
und ihre Verwandten, die sich im Alltag und im wissenschaftlichen Rechnen als

Standard bewährt haben.

Die Idee der Dezimaldarstellung ist, das reelle Intervall [0 , 1] wiederholt in je

10 gleich lange Teilintervalle zu zerlegen. Nach einer derartigen Zerlegung kann
man eine beliebige Zahl des Einheitsintervalls mit einer Genauigkeit von 1 / 10
lokalisieren, nach zwei Zerlegungen mit einer Genauigkeit von 1 / 100, nach drei

Zerlegungen mit einer Genauigkeit von 1 / 1000. (Der Leser hat dies vor Augen,
wenn er einen üblichen Meterstab zur Hand nimmt.) Nach k Zerlegungen haben
wir eine Genauigkeit von 1 / 10 k erreicht, und mit Hilfe eines Grenzübergangs
kann jede reelle Zahl durch diese iterierte Intervallzerlegung exakt beschrieben
werden, in vielen Fällen auch eindeutig.

Die skizzierte Idee wollen wir nun noch mathematisch präzisieren. Dabei be-
deutet es kaum Mehraufwand, allgemeinere Zerlegungen zu betrachten, die das
reelle Einheitsintervall nicht in je 10, sondern in je b Teile zerlegen, für eine belie-
bige vorgegebene natürliche Zahl b ≥ 2. Sei also b ≥ 2 eine natürliche Zahl. Für
jede natürliche Zahl n und jede Folge a 1 , a 2 , . . . , ai, . . . , i ≥ 1, von natürlichen

Zahlen ai ∈ { 0 , . . . , b − 1 } definieren wir
k

n.a 1 . . . ak = n + a 1 /b + a 2 /b 2 + · · · + ak/bk = n +
ai/bi
i=1
sowie

∞

n.a 1 . . . ak . . . = n + a 1 /b + a 2 /b 2 + · · · = n +
ai/bi.

i=1

Die unendliche Summe existiert, da für alle k ≥ 1 gilt:

k

k

k− 1

ai/bi ≤

1 /bi− 1 =

(1 /b) i.

i=1
i=1
i=0

42

2 Zahlen

Damit sind nach der Konvergenz der geometrischen Reihe die Partialsummen

von

∞ a
i=1
i/bi beschränkt, und wegen ai/bi ≥ 0 existiert daher die unendliche

Summe

∞ a
i=1
i/bi. Nach Konstruktion ist die reelle Zahl n.a 1 a 2 . . . ak . . . das

Supremum der rationalen Zahlen n.a 1 a 2 . . . ak.

Gilt x = ±n.a 1 a 2 . . . ak . . . für eine reelle Zahl x, so heißt ±n.a 1 a 2 . . . ak . . .

eine (unendliche) b-adische Darstellung oder b-adische Entwicklung von x. Für
b = 10 sprechen wir auch von einer Dezimaldarstellung. Seit Leibniz findet auch
die kleinstmögliche Basis b = 2 besondere Beachtung, und sie führt zu Dual-
oder Bin¨
ardarstellungen reeller Zahlen. Für jedes i heißt ai die i-te ( b-adische)

Nachkommaziffer der b-adischen Darstellung ±n.a 1 a 2 . . . ak . . . , und ±n heißt
der ganzzahlige Teil der Darstellung. Für alle k nennen wir die rationale Zahl

±n.a 1 a 2 . . . ak die k-te b-adische Näherung von ±n.a 1 a 2 . . . .

Ist ein x ≥ 0 gegeben, so können wir eine b-adische Darstellung von x wie
folgt finden. Wir definieren zunächst: n =
die größte natürliche Zahl m mit

”

m ≤ x“. Weiter definieren wir dann: a 1 = das größte a ∈ { 0 , . . . , b − 1 } mit

”

n + a/b ≤ x“, und rekursiv für alle i ≥ 1: ai+1 = das größte a ∈ { 0 , . . . , b − 1 }

”

mit n.a 1 . . . ai + a/bi+1 ≤ x“. Es ist leicht zu zeigen, dass x = n.a 1 . . . ak . . .

gilt, d. h., das Verfahren produziert eine b-adische Darstellung von x. Für eine
negative reelle Zahl x wenden wir das Verfahren auf −x an und erhalten dann
durch Vorschalten eines Minuszeichens eine b-adische Entwicklung von x. Damit
ist gezeigt, dass jede reelle Zahl mindestens eine b-adische Darstellung besitzt.

Für x > 0 können wir anstelle der Bedingung ≤ x“ in der Definition von n

”

und der Nachkommaziffern ai auch die Bedingung < x“ einsetzen. Wir erhalten

”

dann ebenfalls eine b-adische Entwicklung von x. Für x = 1 und b = 10 liefern
die beiden Methoden zum Beispiel die Entwicklungen x = 1 . 000 . . . und x =

0 . 999 . . . . In der Tat ist 1 =

9 / 10 i = 9 / 10 + 9 / 100 + 9 / 1000 + · · · . Nach
i≥ 1
unserer Definition ist eine Dezimaldarstellung ein Grenzwert, und dadurch wird
befriedigend beantwortet, warum 0 . 999 . . . wirklich gleich 1 ist und nicht noch
immer etwas zur Eins fehlt“.

” Man kann leicht einsehen, dass keine weiteren b-adischen Entwicklungen re-
eller Zahlen existieren. Damit besitzt jede reelle Zahl also mindestens eine und
höchstens zwei b-adische Darstellungen. Für irrationale Zahlen ist die Darstel-
lung stets eindeutig, da dann die

≤ x“- und < x“-Definitionen zusammen-

”

”

fallen. Für rationale Zahlen x > 0 finden wir genau dann zwei verschiedene

Darstellungen, wenn x von der Form n.a 1 . . . ak ist, mit ak ≥ 1. In diesem Fall
sind x = n.a 1 . . . ak 000 . . . und x = n.a 1 . . . akccc . . . mit ak = ak − 1 und c = b − 1 die beiden b-adischen Darstellungen von x. Der nichteindeutige Fall
ist dadurch charakterisiert, dass die Primfaktoren des Nenners des gekürzten

Bruchs x = p/q allesamt Teiler von b sind. So hat also 1 / 125 zwei unendli-
che Dezimaldarstellungen, 1 / 14 dagegen nur eine. Schließlich ist leicht zu sehen,
dass eine b-adische Darstellung n.a 1 . . . ai . . . genau dann eine rationale Zahl ist,
wenn die Folge der Nachkommaziffern ai periodisch ist, d. h., wenn ein k ≥ 1 und

2.7

Irrationale Zahlen

43
ein p ≥ 1 existieren derart, dass die Ziffern-Blöcke ak . . . ak+ p, ak+ p+1 . . . ak+2 p,

. . . übereinstimmen.

2.7

Irrationale Zahlen

Die pythagoreische Verhältnislehre besagte, dass es zu jeder positiven Größe d
natürliche Zahlen n und m gibt derart, dass sich d zur gewählten Maßeinheit

1 so verhält wie n zu m, d. h., das m-fache von d ist das n-fache der 1. Diese

Lehre, die später oft mit Alles ist Zahl“ zusammengefasst wurde, war aber, wie

”

die Pythagoreer erkennen mussten, nicht haltbar. Es gibt kompliziertere, sog.

irrationale Größen. Ein Beispiel ist die Länge d der Diagonalen eines Quadrats
mit Seitenlänge 1. Nach dem Satz des Pythagoras erfüllt d die Gleichung d 2 =

12 + 12 = 2. Wir nehmen an, es gilt d = n/m für gewisse natürliche Zahlen
n und m. Aufgrund von d 2 = 2 gilt dann also 2 m 2 = n 2. Ist e 1 = Z( m) die

Anzahl der Zweien in der Primfaktorzerlegung von m, so ist 2 e 1 = Z( m 2), und
damit ist 2 e 1 + 1 = Z(2 m 2). Die Zahl 2 m 2 lässt sich also ungerade oft durch

2 ohne Rest teilen. Ist analog e 2 = Z( n), so ist 2 e 2 = Z( n 2), und damit lässt
sich n 2 gerade oft durch 2 ohne Rest teilen. Aus 2 m 2 = n 2 erhalten wir einen

Widerspruch.

Die Gleichung x 2 = 2 ist also in Q unlösbar. Mit anderen Worten: Die Menge

A = {q ∈ Q | q 2 < 2 } besitzt kein Infimum und kein Supremum in Q. Die

Erweiterung von Q zu R fügt also tatsächlich neue Zahlen zu den rationalen

Zahlen hinzu (siehe Abschnitt 2.3). Die Elemente von R − Q heißen irrationale

Zahlen. Wir haben gezeigt, dass die positive Quadratwurzel der Zahl 2 eine
irrationale Zahl ist. Da die rationalen Zahlen abgeschlossen unter Addition und

Multiplikation sind, sind auch alle reellen Zahlen qd + r mit q, r ∈ Q, q = 0,
irrational. Damit haben wir bereits unendlich viele irrationale Zahlen vorliegen.

Viel stärker sind fast alle“ reellen Zahlen irrational, denn die rationalen Zahlen

”

bilden eine abzählbare Teilmenge der überabzählbaren Menge der reellen Zahlen

(siehe Kapitel 12).

Es sind verschiedene Methoden gefunden worden, die es erlauben, bestimmte
reelle Zahlen als irrational zu erkennen. Eine starke Verallgemeinerung der Irra-
tionalität der Quadratwurzel aus 2 ist der folgende Satz von Gauß: Jede reelle

Lösung einer algebraischen Gleichung
xk + ak− 1 xk− 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0
mit ganzzahligen Koeffizienten ai ist entweder eine ganze Zahl oder aber irra-
tional. Offenbar hat die Gleichung x 2 − 2 = 0 keine Lösungen in den ganzen

Zahlen, und damit sind die Lösungen von x 2 = 2 irrational. Ebenso sind alle

Lösungen der Gleichungen x 2 = 3, x 2 = 5, x 2 = 6, usw. irrationale Zahlen.

44

2 Zahlen

Auch die Eulersche Zahl e ist irrational: Nach Definition ist e =
k∈ N 1 /k!.

Wäre nun e = n/m für gewisse natürliche Zahlen n, m ≥ 1, so wäre die Zahl

r = m!( e −

1 /k!) eine natürliche Zahl ungleich 0, also r ≥ 1. Aber

0 ≤k≤m

r =
m! /k! <

1 /( m + 1) k = (1 − 1 /( m + 1))1 − 1 = 1 /m ≤ 1 ,
k>m
k≥ 1
also r < 1, im Widerspruch zu r ≥ 1. Subtilere analytische Methoden liefern die

Irrationalität der Kreiszahl π.

Ein herausragendes Werkzeug zur Darstellung und Untersuchung der irratio-
nalen Zahlen sind die unendlichen Kettenbrüche. Wir definieren rekursiv:

[ n 0] = n 0 ,

[ n 0 , . . . , nk+1] = n 0 + 1 /[ n 1 , . . . , nk+1] .

Hierbei ist n 0 eine beliebige ganze Zahl, während alle n 1 , . . . , nk als positive
natürliche Zahlen vorausgesetzt werden. Die rationale Zahl [ n 0 , . . . , nk] heißt
ein (endlicher) Kettenbruch der Tiefe k + 1 (zu Kettenbrüchen siehe auch Ab-
schnitt 3.8). Auf die eigenartige Form der Kettenbrüche kommt man durch eine

Analyse des Euklidischen Algorithmus aus Abschnitt 3.1. Es gilt zum Beispiel

[1] = 1 , [1 , 1] = 2 , [1 , 1 , 1] = 3 / 2 , [1 , 1 , 1 , 1] = 5 / 3 , [1 , 1 , 1 , 1 , 1] = 8 / 5 , . . . .

Hier tauchen die Fibonacci-Zahlen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . auf, die rekursiv durch
b 0 = 1, b 1 = 1, bn+2 = bn + bn+1 für alle n ∈ N definiert sind.

Man kann nun zeigen, dass für jede Folge ( ni) i∈ N mit n 0 ∈ Z und positiven
natürlichen Zahlen n 1 , n 2 , . . . der Grenzwert
lim [ n 0 , . . . , nk]

k→∞
der zugehörigen endlichen Kettenbrüche existiert. Wir bezeichnen diesen Grenz-
wert mit [ n 0 , n 1 , . . . ] und nennen [ n 0 , n 1 , . . . ] auch den unendlichen Kettenbruch
mit den N¨
aherungsbr¨
uchen [ n 0 , . . . , nk], k ∈ N. Es zeigt sich:

(a) Jeder unendliche Kettenbruch [ n 0 , n 1 , . . . ] ist eine irrationale Zahl.

(b) Jede irrationale Zahl lässt sich eindeutig als unendlicher Kettenbruch

[ n 0 , n 1 , . . . ] darstellen.

(Aus topologischer Sicht gilt stärker, dass die irrationalen Zahlen, ausgestattet
mit der Relativtopologie von R, homöomorph sind zum Raum aller betrachteten
unendlichen Folgen ( ni) i∈ N, ausgestattet mit der Produkttopologie der diskreten

Topologie. Siehe hierzu Kapitel 9.)

Beschränkt man auch den ersten Index n 0 auf die positiven natürlichen Zah-
len, so stellen die unendlichen Kettenbrüche genau die irrationalen Zahlen dar,
die größer als Eins sind. Der als Folge gesehen einfachste Kettenbruch lautet
dann [1 , 1 , 1 , . . . ]. Es gilt

√

[1 , 1 , 1 , 1 . . . ] = lim bn+1 /bn = ( 5 + 1) / 2 ≈ 1 . 6180339887 .

n→∞

Als Verhältnis zweier Größen ist dieser Wert bekannt als goldener Schnitt.

2.8

Algebraische und transzendente Zahlen

45

√

Ein weiteres Beispiel einer konkreten Berechnung ist [1 , 2 , 2 , 2 , . . . ] =

2. All-
gemein lässt sich zeigen, dass die periodischen Kettenbrüche genau die irratio-
nalen Lösungen von quadratischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten
darstellen.

Weiteres zu Kettenbrüchen findet man in den Abschnitten 3.8 und 3.9.

2.8

Algebraische und transzendente Zahlen

Eine komplexe Zahl heißt algebraisch, wenn sie Nullstelle eines nichtkonstanten

Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist, andernfalls heißt sie transzendent.

Eine Zahl α ∈ C ist also algebraisch, wenn sie eine Gleichung der Form
anxn + an− 1 xn− 1 + · · · + a 1 x + a 0 = 0

(2.2)

mit n ≥ 1, an = 0 und aj ∈ Q löst. Es ist klar, dass man äquivalenterweise
aj ∈ Z fordern kann, denn man kann (2.2) mit dem Hauptnenner der rationalen

Zahlen aj multiplizieren. Zum Beispiel sind alle mit Wurzeln gebildeten Zahlen

√
wie etwa 3 7 − 5 2 algebraisch; letztere löst die Gleichung (7 − x 3)5 = 2. Es
gibt jedoch auch andere algebraische Zahlen, wie z. B. die eindeutig bestimmte
reelle Lösung der Gleichung x 5 + 20 x + 16 = 0, von der man in der Algebra
zeigt, dass sie nicht durch Radikale“ auflösbar ist (vgl. Abschnitt 6.12). Auch

”

i ist eine algebraische Zahl, da i ja x 2 + 1 = 0 löst.

Mit α sind auch −α und 1 /α algebraisch; löst α etwa (2.2), so löst −α die

Gleichung anxn − an− 1 xn− 1 + · · · ± a 1 x ∓ a 0 = 0 und 1 /α die Gleichung
an + an− 1 x + · · · + a 1 xn− 1 + a 0 xn = 0. Erstaunlicher ist, dass Summe und

Produkt algebraischer Zahlen wieder algebraisch sind. Der Beweis hierfür ist
nicht ganz offensichtlich, denn sind P 1 und P 2 nichtkonstante Polynome über Q
mit P 1( α 1) = P 2( α 2) = 0, so drängt sich auf den ersten Blick kein Polynom Q
mit Q( α 1 + α 2) = 0 auf. Hier helfen ein Trick und ein bisschen lineare Algebra:

Man kann nämlich quadratische Matrizen M 1 und M 2 mit rationalen Einträgen
sowie einen Vektor v = 0 mit M 1 v = α 1 v und M 2 v = α 2 v finden; in der Sprache der linearen Algebra haben M 1 bzw. M 2 die Eigenwerte α 1 und α 2 mit
demselben Eigenvektor (zu diesen Begriffen siehe Abschnitt 5.10). Es ist nun
klar, dass v auch ein Eigenvektor von M 1 + M 2 zum Eigenwert α 1 + α 2 ist. Das
charakteristische Polynom von M 1 + M 2 ist dann ein Polynom mit rationalen

Koeffizienten, das α 1 + α 2 als Nullstelle hat. (Das Argument für das Produkt
ist analog.)

Diese Resultate kann man so zusammenfassen, dass die algebraischen Zahlen
einen Körper (Abschnitt 6.3) bilden, der mit Q bezeichnet wird. Nun könnte
man versuchen, die Definition der algebraischen Zahlen zu iterieren, indem man
jetzt die Nullstellen aller Polynome wie in (2.2) mit Koeffizienten in Q statt in

Q betrachtet. Es stellt sich jedoch heraus, dass man nichts Neues erhält: Q ist
algebraisch abgeschlossen, was bedeutet, dass ein nichtkonstantes Polynom mit

46

2 Zahlen

Koeffizienten in Q nur Nullstellen in Q besitzt bzw., in der Sprache der Algebra,
dass jedes Polynom über Q in Linearfaktoren zerfällt.

Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar (zu diesem Begriff sie-
he Abschnitt 12.1). Weil nämlich Q abzählbar ist, gibt es nur abzählbar viele

Polynome über Q vom festen Grad n (hier wird benutzt, dass das Produkt
zweier abzählbarer Mengen abzählbar ist) und daher nur abzählbar viele Poly-
nome über Q überhaupt (hier wird benutzt, dass eine abzählbare Vereinigung
abzählbarer Mengen abzählbar ist), und jedes dieser Polynome hat nur endlich
viele Nullstellen. Da C überabzählbar ist, ist klar, dass es transzendente Zahlen
gibt und diese sogar die überwältigende Mehrheit der komplexen Zahlen bilden.

Damit liegt freilich noch kein einziges explizites Beispiel vor. Das erste konkrete

Beispiel einer transzendenten Zahl stammt von Liouville, nämlich

∞

αL =

10 −k! = 0 . 110001 00 . . . 00

1 00 . . . 00

100 . . . .

k=1

17 Nullen

95 Nullen

Über diese Zahl bewies Liouville 1844, dass sie sich gut durch rationale Zahlen
approximieren lässt, genauer gilt für α = αL

∀

n ∈ N ∃pn, qn ∈ Z , qn ≥ 2 α − pn ≤ 1 ,

(2.3)

qn
qn
n
und dass alle Zahlen, die diese Bedingung erfüllen, transzendent sind. Zahlen
wie in (2.3) heißen Liouvillesche Zahlen; für die Liouvillesche Zahl αL kann man

p
n
n =

10 n! −k! und q
k=1
n = 10 n! wählen. Weiteres zu Liouvilleschen Zahlen
berichten wir in Abschnitt 3.9.

Viel tiefer liegt die Frage nach der Transzendenz klassischer mathematischer

Konstanten wie e oder π. Die Transzendenz von e wurde 1873 von Hermite be-
wiesen und die von π 1882 von Lindemann, aber bis heute weiß man nicht, ob
e + π irrational geschweige denn transzendent ist. Die Transzendenzbeweise für
e und π verlassen den Bereich der elementaren Zahlentheorie und benutzen Me-
thoden der Analysis, insbesondere Abschätzungen von Integralen. Lindemann

zeigte sogar, dass f

∞
ür eine algebraische Zahl b = 0 die Zahl eb (=
bk/k!)

k=0
transzendent ist. Wegen e 2 πi = 1 liefert das insbesondere die Transzendenz
von π.

Mit dem Beweis der Transzendenz von π ist das uralte Problem der Qua-
dratur des Kreises gelöst: Es ist unmöglich, mit Zirkel und Lineal ein Quadrat
zu konstruieren, das denselben Flächeninhalt wie ein Kreis vom Radius 1 hat.

In der Algebra zeigt man, dass nur gewisse algebraische Zahlen mit Zirkel und

√

Lineal konstruiert werden können, und da mit π auch
π transzendent ist, ist
die Quadratur des Kreises unmöglich.

Eine große Klasse transzendenter Zahlen liefert der Satz von Gelfond-

Schneider, den wir für reelle Zahlen formulieren, um komplexe Potenzen zu
umgehen: Sind a > 0 und b ∈ R algebraisch sowie a = 1 und b irrational, so
ist ab transzendent. Dieser Satz löst das siebte der 23 berühmten Probleme, die

2.9

Die Zahlen π und e

47

Hilbert 1900 auf dem Weltkongress in Paris formuliert hat. Hilbert hielt es in der

Schwierigkeit der Riemannschen Vermutung (Abschnitt 3.6) oder dem Großen

Fermatschen Satz (Abschnitt 3.10) für ebenbürtig, und noch 1919 vermutete er
in einem Vortrag, zu Lebzeiten des Publikums werde selbst die Transzendenz

√
von 2 2 nicht entschieden werden können. Mit dieser Einschätzung lag er falsch:

Dieser Spezialfall wurde schon 1930 von Kuzmin bewiesen, bevor Gelfond und

Schneider 1934 unabhängig voneinander ihren allgemeinen Satz veröffentlichten.

2.9

Die Zahlen π und e

Schon Archimedes wusste, dass der Flächeninhalt eines Kreises dem Quadrat
seines Radius proportional ist und der Umfang seinem Durchmesser, und zwar
mit derselben Proportionalitätskonstanten, die seit dem 17. Jahrhundert mit π
bezeichnet wird: F = πr 2, U = 2 πr. Im heutigen streng deduktiven Aufbau der

Mathematik betritt π üblicherweise zum ersten Mal die Bühne als das Doppelte
der kleinsten positiven Nullstelle der Cosinusfunktion (vgl. Abschnitt 2.5); alle

Eigenschaften der Zahl π werden daraus abgeleitet.

Für π sind diverse analytische Ausdrücke gefunden worden, angefangen beim

Wallisschen Produkt (2.4) aus dem Jahr 1655 bis zur Bailey-Borwein-Plouffe-

Formel (2.9) aus dem Jahr 1997; hier eine Auswahl:

π

2 · 2

=

· 4 · 4 · 6 · 6 · · ·

(2.4)

2

1 · 3 3 · 5 5 · 7
π

1

= 1 − 1 +

− 1 ± · · · (= arctan 1)

(2.5)

4

3

5

7
π 2

1

1

1

= 1 +

+

+

+ · · ·

(2.6)

6

4

9

16
π

1

1

= 4 arctan

− arctan

(2.7)

4

5

239

√ ∞

1

2 2 (4 k)!(1103 + 26390 k)

=

(2.8)

π

9801

( k!)43964 k
k=0

∞

1

4
π =

−

2

−

1

−

1

(2.9)

16 k

8 k + 1

8 k + 4

8 k + 5

8 k + 6
k=0

In den vorangegangenen Abschnitten wurde bereits erwähnt, dass π ir-
rational und sogar transzendent ist. Die Dezimaldarstellung ist daher nicht
periodisch, und seit Jahrhunderten werden immer mehr Dezimalstellen von
π = 3 . 14159265 . . . berechnet. Zur praktischen Berechnung sind (2.4), (2.5)

und (2.6) allerdings ungeeignet, da die Konvergenz viel zu langsam ist. Die

Formel (2.7), die 1706 von Machin gefunden wurde, gestattet mittels der Rei-
henentwicklung der Arcustangensfunktion recht problemlos, 100 Stellen von π

48

2 Zahlen
zu finden. Heute sind über 2 Billionen Stellen bekannt; die Berechnung benutzt

Algorithmen, deren Urvater die seltsame Formel (2.8) von Ramanujan ist. Das

Neue an (2.9) ist, dass man damit die n-te Stelle von π berechnen kann, ohne
die vorhergehenden Stellen auszurechnen, allerdings nicht im Dezimalsystem,
sondern im Binärsystem (Basis 2) oder Hexadezimalsystem (Basis 16).

Die Zahl π taucht nicht nur in den obigen Reihenentwicklungen auf
überraschende Weise auf, sondern auch in anderen Gebieten der Mathematik,
z. B. in der Wahrscheinlichkeitstheorie beim Buffonschen Nadelproblem. Hierbei
werden in der Ebene parallele Geraden im Abstand 1 gezogen. Dann lässt man
zufällig eine Nadel der Länge 1 auf die Ebene fallen. Mit welcher Wahrschein-
lichkeit trifft die Nadel dann eine der Geraden? Die Antwort ist 2 /π.

Die Zahl e, auch Eulersche Zahl genannt, wird als Grenzwert

∞

1 n

1
e = lim

1 +

=
n→∞
n
k!

k=0
erklärt; dass diese beiden Grenzwerte übereinstimmen, wurde zuerst von Euler
gezeigt. Wie π ist auch e transzendent; der recht einfache Beweis der Irrationa-
lität wurde in Abschnitt 2.7 vorgeführt. Auch von e = 2 . 71828 . . . wurden immer
mehr Dezimalstellen berechnet, momentan sind über 200 Milliarden bekannt.

Für e gibt es weit weniger spektakuläre Darstellungen als für π; erwähnenswert
ist vielleicht der mit [2 , 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , . . . ] abgekürzte Kettenbruch (siehe Abschnitt 3.8)

1
e = 2 +

.

1

1 +

1

2 +

.

1 + . .

Die Zahlen e und π sind eng miteinander verwoben, z. B. im Integral

√

∞
π =
e−x 2 dx

−∞
oder in der Stirlingschen Formel
n!

lim √
n = 1 ,
n→∞
n

2 πn e
am prägnantesten jedoch in der Eulerschen Formel (vgl. (7.3) in Abschnitt 7.4)

e 2 πi = 1 .

Auch e tritt in der Wahrscheinlichkeitstheorie an vielleicht unerwarteter Stel-
le auf. Ein einfaches Beispiel ist folgende Aufgabe. Sind n Personen auf einer

Party und greift am Ende jeder Gast zufällig einen Mantel (zugegebenermaßen
kein realistisches Szenario), mit welcher Wahrscheinlichkeit trägt dann niemand
seinen eigenen Mantel? Die Lösung lautet 1 − 1 + 1 − 1 + · · · + ( − 1) n , was eine

1!

2!

3!

n!

2.10

Infinitesimale Größen

49

Partialsumme der Exponentialreihe für e− 1 ist. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit
ist für große n also approximativ 1 /e. Subtiler ist die Allgegenwärtigkeit der Nor-
malverteilung mit der Dichte

1

√
e−x 2 / 2, die sich im Satz von de Moivre-Laplace

2 π
und allgemeiner im zentralen Grenzwertsatz manifestiert (vgl. Abschnitt 11.7);
was Ersteren angeht, so ist es die Stirlingsche Formel, durch die die Zahl e und
die Exponentialfunktion in die Stochastik Einzug halten.

2.10

Infinitesimale Gr¨
oßen

Seit dem 19. Jahrhundert hat es sich als Standard durchgesetzt, die Differen-
zierbarkeit einer Funktion mit Hilfe des Grenzwertbegriffs zu erklären; siehe Ab-
schnitt 7.5. Bei den Begründern der Differentialrechnung, insbesondere Leibniz,
taucht die Ableitung jedoch als Differentialquotient“ dy/dx zweier unendlich

”

”

kleiner“, aber – zumindest, was dx angeht – von 0 verschiedener Größen auf.

In der Welt der reellen Zahlen gibt es so etwas natürlich nicht, und die Leib-
nizschen Differentiale dienen bestenfalls zum intuitiven Verständnis der in die
präzise Form des Grenzwertkalküls gebrachten Aussagen.

Im Jahre 1960 gelang es A. Robinson jedoch, diese Ideen mit der rigorosen

Präzision der zeitgenössischen Mathematik in Einklang zu bringen, indem er
eine Erweiterung ∗ R des Körpers R definierte, die unendlich kleine“ Elemente

”

enthält, aber in der im Übrigen dieselben“ Aussagen wie in R gelten (auf diese

”

sehr vage Weise wird hier das in der Sprache der mathematischen Logik und

Modelltheorie verankerte

Übertragungsprinzip“ wiedergegeben).

”

Die Konstruktion von ∗ R aus R folgt derselben Idee wie die Konstruktion
von R aus Q mit dem Cantorschen Verfahren (siehe Abschnitt 2.3). Diesmal
gehen wir von der Menge F aller reeller Folgen aus. Wir wollen ( xn) ∼ ( yn)

setzen, wenn oft“ x

”

n = yn ist. Das wird mit dem Begriff des freien Ultrafilters
realisiert. Dies ist ein System U von Teilmengen von N mit den Eigenschaften:

∅ /∈ U ,

U ∈ U , U ⊆ V ⇒ V ∈ U ,

U 1 , U 2 ∈ U ⇒ U 1 ∩ U 2 ∈ U ,

U ∈ U oder N \ U ∈ U für alle Teilmengen U ⊆ N,

{ m ∈ N | m ≥ n } ∈ U für alle n ∈ N.

Mit dem Zornschen Lemma (Abschnitt 12.6) kann man die Existenz freier Ul-
trafilter beweisen, aber leider ist dies ein nichtkonstruktiver Existenzbeweis,
der kein explizites Beispiel liefert. Fixiert man nun einen solchen freien Ultra-
filter, so setzt man ( xn) ∼ ( yn), falls { n | xn = yn } ∈ U . Der Raum der

Äquivalenzklassen ∗ R = F/∼ enthält dann R via x → ( x, x, x, . . . ) /∼ auf kano-
nische Weise. Darüber hinaus trägt ∗ R die Struktur eines angeordneten Körpers,
der R als Unterkörper enthält, im Gegensatz zu R aber weder vollständig noch

50

2 Zahlen
archimedisch ist, und der Betrag generiert keine Metrik auf ∗ R. Die Elemente
von ∗ R werden auch hyperreelle Zahlen genannt.

In der Sprache der Algebra handelt es sich bei der Konstruktion von ∗ R
um nichts anderes als die Bildung des Quotientenrings von F nach dem Ideal

{ ( xn) | ( xn) ∼ (0) }; die Ultrafiltereigenschaften implizieren, dass dieses Ideal
maximal ist, so dass der Quotientenring F/∼ sogar ein Körper ist (zu diesen

Begriffen vgl. Abschnitt 6.5).

Wir wollen nun die Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen auf R
im Rahmen der Analysis auf ∗ R, der Nichtstandardanalysis, beschreiben; der
klassische Zugang wird in den Abschnitten 7.3 und 7.5 dargestellt. Zunächst
einige Vokabeln. Man nennt x ∈ ∗ R infinitesimal, wenn 0 < |x| < ε für alle
ε ∈ R mit ε > 0 gilt. Zwei hyperreelle Zahlen x, y ∈ ∗ R heißen infinitesimal
benachbart, in Zeichen x ∼

= y, wenn x − y infinitesimal oder x = y ist. Ist x ∈ ∗ R
endlich in dem Sinn, dass eine natürliche Zahl n mit |x| ≤ n existiert, so kann
man zeigen, dass { y ∈ ∗ R | y ∼

= x }, die Monade von x, genau eine reelle Zahl
enthält, die als Standardteil von x bezeichnet wird.

Sei nun f : R → R eine Funktion. f kann durch ( xn) /∼ → ( f( xn)) /∼ kano-
nisch zu einer Funktion ∗f : ∗ R → ∗ R fortgesetzt werden. Dass f bei x 0 stetig
ist, bedeutet intuitiv
x ≈ x 0

⇒
f ( x) ≈ f ( x 0) .

Ersetzt man hier ≈ durch ∼

=, so wird aus dieser ungenauen (und mathematisch
unbrauchbaren) Aussage ein rigoros beweisbarer Satz:

f ist genau dann bei x 0 stetig, wenn
x ∈ ∗ R , x ∼

= x 0

⇒

∗f( x) ∼

= f ( x 0) .

Auch die gleichmäßige Stetigkeit lässt sich nach diesem Muster charakterisieren,
nämlich durch
x, x ∈ ∗ R , x ∼

∗

= x

⇒

∗f( x) ∼

= f ( x) .

Nun zur Differenzierbarkeit. Sei dx eine beliebige infinitesimale Größe. Dann
ist dy := ∗f ( x 0 + dx) − f ( x 0) ∈ ∗ R wohldefiniert, und man kann im Körper ∗ R
den Quotienten dy/dx bilden. Die Differenzierbarkeit lässt sich jetzt so charak-
terisieren.

f ist genau dann bei x 0 differenzierbar mit Ableitung l, wenn für
jedes infinitesimale dx
dy

∗f( x

:=

0 + dx) − f ( x 0) ∼

= l
dx
dx
ist, mit anderen Worten, wenn stets l der Standardteil von dy/dx
ist.

2.11
p-adische Zahlen

51

Auf diese Weise hält die Leibnizsche Notation dy/dx für eine Ableitung Einzug
in die rigorose Mathematik.

Auch das Riemannsche Integral (Abschnitt 7.6) kann im Rahmen der Nicht-
standardanalysis eingeführt werden, und in diverse Gebiete der höheren Analysis
sind Nichtstandardmethoden eingebracht worden.

2.11
p-adische Zahlen

Die b-adische Darstellung einer ganzen Zahl
n
a
k=0
k bk , 0 ≤ ak < b, erinnert
äußerlich an ein Polynom in der Unbestimmten b; in der Tat werden beide
durch die endliche Folge a 0 , . . . , an kodiert. Am Beginn des 20. Jahrhunderts
hatte K. Hensel die Idee, diese Analogie auf unendliche Folgen auszudehnen,
um diophantische Gleichungen (Abschnitt 3.10) zu lösen. Aus den Polynomen
werden dann (formale) Potenzreihen, aber wie die in R nicht konvergente Reihe

∞ a
k=0
k bk zu interpretieren ist, ist höchst unklar.

Schreibt man statt

∞
a
k=0
k bk die Ziffernfolge . . . a 3 a 2 a 1 a 0, so wie man für
n a
k=0
k bk die Ziffernfolge an . . . a 1 a 0 schreibt, so lassen sich auf der Men-
ge Z b = { 0 , . . . , b − 1 } N dieser Ziffernfolgen eine Addition und Multiplikati-
on gemäß den Regeln der Grundschularithmetik einführen, z. B. . . . 85479 +

. . . 22627 = . . . 08106. (Formal wird induktiv die m-te Ziffer von . . . a 3 a 2 a 1 a 0 +

. . . a
m

3 a 2 a 1 a 0 als die m-te Ziffer der natürlichen Zahl

( a

) bk definiert.)

k=0
k + ak

Es zeigt sich, dass Z b so mit der Struktur eines kommutativen Rings mit Einsele-
ment (siehe Abschnitt 6.2) versehen wird, der Z als Unterring enthält. (In diesem

Kontext darf Z b nicht mit dem oft genauso bezeichneten Restklassenring Z /b Z
verwechselt werden.) Allerdings ist Z b im Allgemeinen nicht nullteilerfrei; z. B.

ist für b = 10

. . . 10112 · . . . 03125 = . . . 00000 .

Genau dann ist Z b nullteilerfrei, wenn b eine Primzahl ist. In diesem Fall ist es
möglich, den zugehörigen Quotientenkörper (siehe Abschnitt 6.7) Q b zu bilden.

Im Folgenden bezeichne p eine Primzahl; die Elemente von Q p heißen p-adische

Zahlen und die von Z p ganze p-adische Zahlen.

p-adische Zahlen können durch unendliche Reihen dargestellt werden; aller-
dings ist die Konvergenz dieser Reihen anders zu verstehen als in der Analysis
reeller Zahlen (siehe dazu Abschnitt 7.2). Um das zu erklären, setzen wir für
y = . . . a 2 a 1 a 0 ∈ Z p, y = 0,
ν( y) = min {s | as = 0 }

und

|y|p = p−ν( y) für y = 0 , | 0 |p = 0

52

2 Zahlen
sowie für x = y 1 /y 2 ∈ Q p mit y 1 , y 2 ∈ Z p, y 2 = 0,

|

|
y
x|

1 |p
p =

.

|y 2 |p

Dieser Ausdruck hängt nur von x und nicht von der Darstellung von x als Quoti-
ent ab. Die Funktion | . |p: Q p → R, genannt p-adische Bewertung, hat ähnliche

Eigenschaften wie der Betrag in R oder C, nämlich |x|p ≥ 0 und |x|p = 0 ge-
nau dann, wenn x = 0, |x 1 x 2 |p = |x 1 |p|x 2 |p. Ferner gilt nicht nur die übliche

Dreiecksungleichung |x 1 + x 2 |p ≤ |x 1 |p + |x 2 |p, sondern sogar die ultrametrische

Dreiecksungleichung

|x 1 + x 2 |p ≤ max {|x 1 |p, |x 2 |p}.

(1)

Sie impliziert, dass N eine beschränkte Teilmenge von Z p oder Q p ist: |n|p =

| 1 + · · · + 1 |p ≤ 1. Daher spricht man von einer nichtarchimedischen Bewertung.

Die p-adische Bewertung induziert gemäß dp( x 1 , x 2) = |x 1 − x 2 |p eine Metrik
auf Q p, die Q p zu einem vollständigen metrischen Raum macht; Z p = {x ∈ Q p |

|x|p ≤ 1 } ist eine kompakte Teilmenge. Der metrische Raum (Q p, dp) hat einige
vom Standpunkt der üblichen Analysis auf R ungewöhnliche Eigenschaften, die
auf der ultrametrischen Dreiecksungleichung (1) beruhen. Zum Beispiel ist jedes

Element einer Kugel B( y, r) = { x | dp( x, y) < r } ein Mittelpunkt, d. h., für
y ∈ B( y, r) ist B( y, r) = B( y, r), denn dp( x, y) ≤ max {dp( x, y) , dp( y, y) } und daher dp( x, y) < r genau dann, wenn dp( x, y) < r. Es stellt sich ferner heraus,

dass eine Reihe

∞
x
n=0
n p-adischer Zahlen genau dann konvergiert, wenn ( xn)

eine Nullfolge bildet, d. h. |xn|p → 0 erfüllt.

Man kann beweisen, dass jede ganze p-adische Zahl x = . . . a 2 a 1 a 0, wobei
ak ∈ { 0 , . . . , p − 1 }, eine Darstellung als bezüglich der p-adischen Bewertung

konvergente Reihe x =

∞
a
k=0
k pk besitzt. Insbesondere ist Z dicht in Z p. Be-
achtet man z. B. (mit q = p − 1) die Addition . . . qqqq + . . . 0001 = . . . 0000, so

folgt, dass . . . qqqq additiv invers zu . . . 0001 ist. Also gilt

∞
qpk = − 1.

k=0

Eine p-adische Zahl x ∈ Q p kann eindeutig als Reihe

∞

x =
akpk,

0 ≤ ak < p, n ∈ N
k= −N
dargestellt werden, symbolisch x = . . . a 2 a 1 a 0 .a− 1 . . . a−N . Umgekehrt konver-
giert jede solche Reihe gegen eine p-adische Zahl. Im Gegensatz zur p-adischen

Darstellung einer reellen Zahl (siehe Abschnitt 2.6) hat man hier endlich viele

Nachkommastellen“ und unendlich viele

Vorkommastellen“, und die Ziffern

”

”

sind eindeutig bestimmt.

In der Zahlentheorie liegt die Bedeutung der p-adischen Zahlen darin, dass
die Lösbarkeit diophantischer und anderer Gleichungen in Q auf die Lösbarkeit
der entsprechenden Gleichung in Q p zurückgeführt werden kann. Ein einfaches

Beispiel für dieses sogenannte Lokal-Global-Prinzip ist folgende Aussage: Sei

2.12

Zufallszahlen

53
a ∈ Q, a ≥ 0. Genau dann existiert eine rationale Zahl x mit x 2 = a, wenn
die Gleichung x 2 = a in allen Q p lösbar ist. Der Satz von Minkowski-Hasse
präzisiert Bedingungen, unter denen das Lokal-Global-Prinzip anwendbar ist.

2.12

Zufallszahlen

Welche Eigenschaften hat eine Folge von reellen Zahlen x 1 , x 2 , x 3 , . . . im In-
tervall [0 , 1], so dass wir sie als gleichverteilte Zufallszahlen ansehen wollen?

Wahrscheinlichkeitsmaße und Zufallsvariablen haben eine etablierte mathema-
tische Definition (siehe die Abschnitte 11.1 und 11.3). Bei der Gleichverteilung
auf dem Intervall [0 , 1] geht es beispielsweise um das Wahrscheinlichkeitsmaß μ,
welches jedem Teilintervall [ a, b] ⊆ [0 , 1] seine Länge μ([ a, b]) = b − a zuweist.

Welche Eigenschaften jedoch eine Folge von Zahlen zufällig machen, entzieht
sich bislang dem präzisen mathematischen Zugriff. Der Begriff Zufallszahl hat
keine Definition, und wir werden deshalb im Folgenden zumeist Gleichvertei-
lungseigenschaften diskutieren.

Sei d ∈ N. Man nennt eine Folge x 1 , x 2 , x 3 , . . . im d-dimensionalen Einheitsin-
tervall [0 , 1] d gleichverteilt, wenn für jedes Intervall J = [ a 1 , b 1] × · · · × [ ad, bd] ⊆

[0 , 1] d Folgendes gilt:

n

1
lim
χJ ( xj) = ( b 1 − a 1) · . . . · ( bd − ad) .

n→∞ n j=1

Man zählt also über die charakteristische Funktion ( χJ ( x) = 1 für x ∈ J,
χJ ( x) = 0 sonst), wie oft die Folge in das Intervall J trifft, und möchte, dass
die relative Häufigkeit dieser Ereignisse gegen das Volumen von J konvergiert.

Hermann Weyl hat in einer Arbeit aus dem Jahr 1916 gezeigt, dass für jede
irrationale Zahl α die durch xn = frac( α n), n ∈ N, definierte Folge der nicht-
ganzzahligen Anteile von α n gleichverteilt auf [0 , 1] ist. Ebenso ist die Folge
xn = frac( θn), n ∈ N, für fast alle reellen Zahlen θ mit |θ| > 1 gleichverteilt
auf [0 , 1] (Jurjen Koksma, 1935), wobei fast alle“ sich auf das Lebesgue-Maß

”

bezieht. Mit anderen Worten: Die |θ| > 1, für welche die Folge (frac( θn)) n nicht
gleichverteilt ist, bilden eine Menge vom Lebesgue-Maß Null.

Es sind nun weitere Schritte möglich, systematisch die Anforderungen an ei-
ne gleichverteilte Zahlenfolge zu verschärfen. Man kann beispielsweise aus einer
eindimensionalen Folge d-dimensionale Folgen konstruieren und überprüfen, ob
diese gleichverteilt sind. Die einfachste Verschärfung in diese Richtung lautet:

Eine Folge x 1 , x 2 , x 3 , . . . im Einheitsintervall [0 , 1] heißt gleichmäßig gleichver-
teilt, wenn für jede Dimension d die durch
yn = ( xn, xn+1 , . . . , xn+ d− 1) ,
n ∈ N ,
definierte Folge in [0 , 1] d gleichverteilt ist. Für die gleichverteilte Weyl-Folge

(frac( α n)) n mit irrationalem α scheitert die gleichmäßige Gleichverteilung be-

54

2 Zahlen
reits an der Dimension d = 2. Die Koksma-Folge (frac( θn)) n ist hingegen für
fast alle |θ| > 1 auch gleichmäßig gleichverteilt (Joel Franklin, 1963).

Konstruiert man aus einer endlichen Menge mit M Elementen über eine Funk-
tion f : { 0 , 1 , . . . , M − 1 }k → { 0 , 1 , . . . , M − 1 } die Rekursionsvorschrift zn+1 = f ( zn−k+1 , . . . , zn) ,
n = k, k + 1 , . . .

mit Startwerten z 1 , z 2 . . . , zk, so entsteht eine Folge natürlicher Zahlen ( zn), die
durch die Division xn = zn/M ins Einheitsintervall [0 , 1] abgebildet wird. Mit
diesem natürlichen und für stochastische Simulationsverfahren wichtigen Ansatz
trifft man unausweichlich auf genuin Unzufälliges, nämlich Periodizität. Man
kann sich leicht davon überzeugen, dass es für eine solche Rekursion natürliche

Zahlen N und P ≥ 1 gibt, so dass xn+ P = xn für alle n ∈ N gilt. Die kleinste
solche Zahl P heißt die Periode der Folge x 1 , x 2 , x 3 , . . . und wird im Folgenden
mit per( xn) bezeichnet. Es gilt per( xn) ≤ Mk.

Die durch zwei vorgegebene natürliche Zahlen a ≥ 1 und c ≥ 0 definierte
lineare Kongruenzmethode
zn+1 = ( azn + c) mod M
ist besonders einfach. Sie erreicht ihre maximale Periode M genau dann, wenn
c und M teilerfremd sind, a = 1 mod p für jeden Primteiler p von M gilt, und,
falls 4 ein Teiler von M ist, auch noch a = 1 mod 4 erfüllt ist. Ist M eine Potenz
von 2, so ist also ( a, c) = (5 , 1) ein Parametersatz, der den Kriterien für die
maximale Periode entspricht.

Es sind jedoch nicht nur die kurzen Perioden per( xn) ≤ M , welche lineare

Kongruenzmethoden ins akademische Abseits stellen. Bilden wir wie zuvor für
beliebige Dimensionen d aus der Folge ( xn) ⊂ [0 , 1] die Folge ( yn) ⊂ [0 , 1] d, so
finden sich Gitterstrukturen. Für den obigen Parametersatz gilt beispielsweise

{y 1 , . . . , yM} = {α 1 b 1 + · · · + αdbd | α 1 , . . . , αd ∈ Z } ∩ [0 , 1] d, wobei b 1 = 1 (1 , a, . . . , ad− 1) ist und die b

M
j die j-ten kanonischen Einheitsvek-
toren des R d für j = 2 , . . . , d sind.

Das Verfahren der Wahl, nach dem derzeit in Software-Paketen wie Mat-
lab, Maple oder R
gleichverteilte Zufallszahlen“ x

”

1 , x 2 , x 3 , . . . erzeugt wer-
den, ist der 1998 von Makoto Matsumoto und Takuji Nishimura vorgeschla-
gene Mersenne-Twister. Hier wird auf einer Menge mit M = 232 Elementen
eine Rekursion der Tiefe k = 624 angesetzt. Die Periode dieses Verfahrens ist
eine Mersennesche Primzahl, welche in der Zusammenfassung der 1998er Ar-
beit von den beiden Autoren als super astronomical“ bezeichnet wird. Es gilt

”

per( xn) = 219937 − 1.

3 Zahlentheorie

Zahlentheorie ist eines der wenigen Gebiete der Mathematik, das auch bei Nicht-
mathematikern und in den Medien auf Interesse stößt. Das liegt sicher mit daran,
dass es in ihr viele für nahezu jeden verständliche, aber meist ungelöste oder nur
mit ungaublich komplexen Methoden lösbare Probleme gibt. Natürlich liegt es
auch daran, dass jeder seine persönlichen Erfahrungen mit Zahlen gemacht hat.

Viele dieser Probleme haben mit der Suche nach ganzzahligen Lösungen polyno-
mialer Gleichungen oder Gleichungssysteme zu tun. Die dabei zu überwindenden

Schwierigkeiten zwangen dazu, Fragen über Teilbarkeit, Primzahlen und Prim-
faktorzerlegungen intensiv zu studieren und führten auf natürlichem Weg zum

Studium erweiterter Zahlbereiche und ihrer zugehörigen ganzen Zahlen. Wa-
ren im frühen 20. Jahrhundert viele Zahlentheoretiker fast stolz darauf, dass ihr

Forschungsstreben nicht der Verwendbarkeit ihrer Resultate, sondern allein dem
tieferen Verständnis und dem Aufdecken der Schönheit der Strukturen diente, so
ist heute der Einsatz der Zahlentheorie bei Daten- und Internetsicherheit nicht
mehr wegzudenken. Von all dem handelt dieses Kapitel ein wenig.

Wir beginnen im ersten Abschnitt mit den grundlegenden Definitionen zur

Teilbarkeitstheorie. Bezüglich der Addition reicht uns ein Element, nämlich die

1, um alle natürlichen Zahlen zu erzeugen. Bezüglich der Multiplikation, der für
die Teilbarkeit wichtigen Verknüpfung, brauchen wir unendlich viele, nämlich
alle Primzahlen; sie bilden den Gegenstand des 2. Abschnitts. Abschnitt 3 führt
in die Kongruenzrechnung ein, und mit den dabei gewonnenen Erkenntnissen
besprechen wir einfache Primzahltests und das RSA-Verschlüsselungsverfahren.

In Abschnitt 6 wird versucht, die Aussage über Primzahlen im Kleinen chao-

”

tisch, im Großen regelmäßig“ plausibel zu machen. In diesem Abschnitt werfen
wir auch einen Blick auf die für viele Fragen der Zahlentheorie wichtige Rie-
mannsche ζ-Funktion. Abschnitt 7 handelt von einem Juwel der Zahlentheorie,
dem Gaußschen Reziprozitätsgesetz, das beim Lösen quadratischer Gleichungen
in der Kongruenzrechnung, und nicht nur da, von großer Bedeutung ist. Die

Abschnitte 8 und 9 widmen sich den Kettenbrüchen und deren Anwendung auf
rationale Approximation. Damit lassen sich transzendente Zahlen nachweisen.

Sie spielen aber auch beim Lösen von Gleichungen in ganzen Zahlen eine Rolle,
was in Abschnitt 10 deutlich wird. Elliptische Kurven sind hilfreich beim ganz-
zahligen Lösen kubischer Gleichungen und werden sehr knapp im Abschnitt 11
vorgestellt. Der etwas lange letzte Abschnitt über Zahlkörper gibt einen ersten

Einblick in die algebraische Zahlentheorie, in der erweiterte Zahlbereiche und
die Struktur ihrer ganzen Zahlen untersucht werden. An Beispielen wird klar,
wie nützlich dies für Fragen über die gewöhnlichen ganzen Zahlen ist.

O. Deiser et al., 12 x 12 Schlüsselkonzepte zur Mathematik,

DOI 10.1007/978-3-8274-2298-9_3, © Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2011

56

3 Zahlentheorie

3.1

Teilbarkeit

Teilbarkeit, Primzahlen und Primfaktorzerlegung betrafen ursprünglich den Be-
reich der positiven ganzen Zahlen. Wir gönnen uns aber die Möglichkeit beliebi-
ger Subtraktion zur Verkürzung einiger Schlussketten und betrachten die Menge

Z der ganzen Zahlen. Addition und Multiplikation machen Z zu einem kommu-
tativen Ring mit 1 (siehe Abschnitt 6.2). Teilbarkeit betrifft die multiplikative

Struktur.

Es seien a, b ∈ Z. Wir sagen, a ist ein Teiler von b oder a teilt b und schreiben
a|b, wenn es eine ganze Zahl c gibt, so dass b = ac ist. Insbesondere gelten a| 0
und ± 1 |a für alle a. Ist b = 0 und a|b, so gilt 0 < |a| ≤ |b|, und die Menge aller

Teiler von b ist endlich. Sind a, b ∈ Z und sind nicht beide gleich 0, so ist der
gr¨
oßte gemeinsame Teiler von a und b die größte ganze Zahl, die a und b teilt.

Wir bezeichnen sie mit ggT( a, b); ggT( a, b) ist immer positiv.

Eine schnelle Berechnung von ggT( a, b) liefert der Euklidische Algorithmus.

Dieser beruht auf der Tatsache, dass es zu a, b ∈ Z mit a = 0 eindeutig be-
stimmte q, r ∈ Z gibt mit b = qa + r und 0 ≤ r < |a|. Ist dann c ein Teiler
von a und b, so gilt c|r, und ist c ein Teiler von a und r, so gilt c|b. Also gilt
ggT( a, b) = ggT( a, r). Die Zahlen q und r findet man wie folgt. Betrachte alle

Intervalle [ ca, ( c + 1) a) := {x ∈ Z | ca ≤ x < ( c + 1) a}, c ∈ Z. Jede gan-
ze Zahl liegt in genau einem dieser Intervalle. Dann ist q die ganze Zahl mit
b ∈ [ qa, ( q + 1) a) und r = b − qa. Wir sagen dann, dass Division (von b durch
a) mit Rest die Gleichung b = qa + r liefert. Der Algorithmus zur Berechnung
von ggT( a, b) geht nun wie folgt; wir dürfen a = 0 annehmen. Setze r 0 := |b|,
r 1 := |a|. Für i = 0 , 1 , 2 , . . . liefert uns Division mit Rest, solange ri+1 > 0, die Gleichung
ri = qi+1 ri+1 + ri+2 .

Wegen ri ≥ 0 und r 1 > r 2 > . . . gibt es ein kleinstes k ≥ 0 mit rk+2 = 0. Dann
ist rk+1 als Teiler von rk gleich ggT( rk, rk+1), und für jedes i = 0 , 1 , . . . , k − 1
gilt ggT( ri, ri+1) = ggT( ri+1 , ri+2). Also ist ggT( a, b) = rk+1.

Ist k = 0, so gilt ggT( a, b) = r 1 = |a| = ( |a|/a) ·a+0 ·b. Ist k > 1, so ist rk+1 =
rk− 1 −qkrk, also rk+1 eine ganzzahlige Linearkombination von rk und rk− 1. Nun
ist für i ≥ 2 jedes ri eine ganzzahlige Linearkombination von ri− 1 und ri− 2.

Indem wir also sukzessive rk, rk− 1 , . . . , r 2 durch Linearkombinationen von ri’s
mit kleinerem Index substituieren, erhalten wir ggT( a, b) = rk+1 als ganzzahlige

Linearkombination von r 0 und r 1 und damit als ganzzahlige Linearkombination
von a und b. Wir halten fest:

Sind a und b zwei ganze Zahlen, die nicht beide gleich 0 sind, so gibt
es ganze Zahlen c und d mit ggT( a, b) = ac + bd.

Zum Abschluss formulieren wir kurz einige häufig benutzte Bezeichnungen.

Gilt a|b, so heißt b Vielfaches von a. Nach unserer Definition ist 0 Vielfaches

3.2

Primzahlen und der Fundamentalsatz der Arithmetik

57
jeder ganzen Zahl. Sind a, b ∈ Z und nicht beide 0, so ist das kleinste gemein-
same Vielfache von a und b die kleinste positive Zahl, die Vielfaches von a und
von b ist. Wir bezeichnen sie mit kgV( a, b). Aus dem Satz über die eindeutige

Primfaktorzerlegung, über den wir im nächsten Abschnitt reden, folgt die Glei-
chung |ab| = ggT( a, b) · kgV( a, b). Die Zahlen a und b heißen relativ prim oder
teilerfremd, wenn ggT( a, b) = 1 ist.

3.2

Primzahlen und der Fundamentalsatz der Arithmetik

Eine Einheit in einem kommutativen Ring mit 1 ist ein Element, das ein multi-
plikatives Inverses besitzt, d. h., es ist ein Element a, zu dem es ein b mit ab = 1
gibt. Die Einheiten von Z sind ± 1. Ein Element a heißt unzerlegbar, wenn a
keine Einheit ist und eine Gleichung a = bc nur dann gelten kann, wenn b oder
c eine Einheit ist. Traditionell heißen die positiven unzerlegbaren Elemente von

Z Primzahlen.

In der Algebra (vgl. Abschnitt 6.5) wird ein Primelement p durch folgende

Eigenschaft gekennzeichnet: Teilt p das Produkt ab, so teilt p mindestens einen
der Faktoren. Primzahlen in Z erfüllen dieses Kriterium. Denn sei die Primzahl
p ein Teiler von ab und kein Teiler von a. Dann gibt es c mit cp = ab. Da
p Primzahl ist, sind ± 1 und ±p die einzigen Teiler von p. Da p kein Teiler
von a ist, ist ggT( p, a) = 1. Dann gibt es ganze Zahlen d, e mit 1 = dp + ea

(siehe Abschnitt 3.1), und es gilt b = bdp + eab = bdp + ecp = ( bd + ec) p.

Also ist p ein Teiler von b. Umgekehrt ist klar, dass eine ganze Zahl, die das

Primelementkriterium erfüllt, unzerlegbar ist. Diese Begriffe fallen also in Z
zusammen.

Ist n eine zerlegbare ganze Zahl, so gibt es von ± 1 verschiedene Zahlen a, b
mit n = ab. Dann gilt, dass |n| > max {|a|, |b|}. Durch starke Induktion nach

|n| (vgl. Abschnitt 2.1) sehen wir, dass jede Zahl ein Produkt unzerlegbarer

Elemente ist, dass also jedes von 0, ± 1 verschiedene Element von Z bis auf das

Vorzeichen ein Produkt von Primzahlen ist. Dies ist der erste Teil des folgenden

Satzes.

(Fundamentalsatz der Arithmetik)

Jede von 0 und ± 1 verschiedene ganze Zahl lässt sich bis auf einen
eventuellen Faktor − 1 als Produkt von Primzahlen darstellen. Diese

Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig.

Zum Nachweis der zweiten Aussage betrachten wir Primzahlen p 1 , . . . , pr und
q 1 , . . . qs mit p 1 p 2 · · · pr = q 1 q 2 · · · qs. Aus dem Primelementkriterium folgt, dass p 1 eines der qi teilt. Nach Umordnen dürfen wir annehmen, dass p 1 ein Teiler
von q 1 ist. Da p 1 keine Einheit und q 1 Primzahl ist, ist p 1 = q 1. In Z können
wir kürzen, da das Produkt zweier von 0 verschiedenen ganzen Zahlen von 0
verschieden ist. Deshalb gilt p 2 p 3 · · · pr = q 2 q 3 · · · qs. Ist r > 1, so ist auch

58

3 Zahlentheorie
s > 1, denn Primzahlen sind keine Einheiten. Induktiv folgt nach eventuellem

Umordnen der qi, dass r ≤ s, dass p 1 = q 1, p 2 = q 2, . . . , pr = qr und dass

1 = qr+1 · · · qs. Da Primzahlen keine Einheiten sind, muss dann s = r sein.

Mit Hilfe des Fundamentalsatzes sieht man auch leicht, dass es unendlich viele

Primzahlen gibt. Denn ist {p 1 , . . . , pk} eine endliche Menge von Primzahlen,
dann taucht in der Primfaktorzerlegung von n = p 1 · · · pk + 1 keines der pi auf.

Alle Primfaktoren von n sind somit weitere Primzahlen. Wegen n > 2 besitzt
n eine Primfaktorzerlegung, und wir erhalten eine weitere Primzahl. Die Menge
der Primzahlen ist also unendlich. Dieser Beweis stammt von Euklid (ca. 300
vor Christus). Übrigens ist die Menge P der Primzahlen sogar so groß, dass die

Summe
p∈ P 1 /p divergiert.

Auf einen weiteren Griechen geht ein hilfreiches Konzept für das Studium
der Primzahlen zurück, das Sieb des Eratosthenes (ca. 250 vor Christus). Insbe-
sondere liefert es einen schnellen Algorithmus, um alle Primzahlen bis zu einer
gegebenen natürlichen Zahl n zu finden. Betrachte dazu die Menge aller Zahlen
von 2 bis n. Ist 22 ≤ n, so entferne alle Vielfachen von 2. Das kleinste Element
der übrigbleibenden Menge ist dann eine Primzahl p 2 (in unserem Fall 3, aber
das spielt für das Verfahren keine Rolle), und zwar die kleinste nach p 1 = 2. Ist
p 2 ≤

2
n, so entferne alle Vielfachen von p 2. Es sei p 3 das kleinste Element der
verbleibenden Menge. Dann ist p 3 wieder eine Primzahl, und zwar die kleins-
te nach p 2. Dies machen wir bis zum kleinsten k mit p 2 > n. Dann ist die
k
verbliebene Menge vereinigt mit {p 1 , p 2 , . . . , pk− 1 } die Menge aller Primzahlen
kleiner gleich n. Denn ist p ein Element der verbliebenen Menge, so ist keines
der p 1 , . . . , pk− 1 ein Teiler von p. Alle Primfaktoren von p sind also mindestens
so groß wie pk. Wegen p ≤ n < p 2 gibt es h
k
öchstens einen solchen Faktor. Also
ist p eine Primzahl. Dieses Argument zeigt auch, dass wir, falls pi ≤ n ist, beim
i-ten Schritt nur die Vielfachen mpi von pi mit p 2 ≤
i
mpi ≤ n entfernen müssen.

Global kann man das Sieb auch wie folgt beschreiben: Beginne mit N 1 =

{ n ∈ N | n > 1 }; für k ≥ 1 entstehe Nk+1 aus Nk durch Aussieben aller

Vielfachen des kleinsten Elements pk von Nk, beginnend mit p 2 . Dann ist {p
k

1 <
p 2 < . . .} die Menge aller Primzahlen.

Diese einfache Idee lässt sich bei vielen Fragen über Primzahlen nutzen. Zum

Beispiel sind die Lücken von Nk, d. h. die Differenzen zweier aufeinanderfolgen-
der Elemente von Nk, leicht zu beschreiben. Sie sind periodisch mit der Periode
ϕ( p 1 · · · pk− 1), wobei für n ∈ N mit ϕ( n) die Anzahl der zu n teilerfremden
positiven Zahlen kleiner n bezeichnet wird. Rekursiv lassen sich die Lücken von

Nk+1 aus denen von Nk bestimmen und so Aussagen über die Lücken zwischen
den Primzahlen gewinnen. Hier gibt es viele, viele ungelöste Probleme, zum

Beispiel die Frage, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Ein Primzahl-
zwilling ist ein Paar von Primzahlen p, q mit q = p + 2 wie etwa 101 und 103.

Es gibt so viele Primzahlzwillinge wie es in der Primzahlmenge Lücken der

Länge 2 gibt. Der momentan größte bekannte Primzahlzwilling ist das Paar

65516468355 · 2333333 − 1 und 65516468355 · 2333333 + 1.

3.3

Kongruenzen

59

3.3

Kongruenzen

Im Folgenden sei m eine fest gewählte positive ganze Zahl. Wir nennen a, b ∈ Z
kongruent modulo m und schreiben a ≡ b mod m, falls m ein Teiler von a − b
ist. Das ist gleichbedeutend damit, dass a und b nach Division durch m den-
selben Rest r haben. Kongruenz modulo m“ ist eine Äquivalenzrelation (siehe

”

Abschnitt 1.7), und die Äquivalenzklassen heißen aus naheliegenden Gründen

Restklassen mod m. Die Menge aller Restklassen mod m bezeichnen wir mit

Z /m Z. Insgesamt gibt es m Restklassen, für jeden Rest 0 , 1 , . . . , m − 1 eine.

Die Restklasse von a ∈ Z bezeichnen wir mit [ a]. Restklassen addieren und
multiplizieren wir repräsentantenweise. D. h., wir setzen [ a] + [ b] := [ a + b] und

[ a][ b] := [ ab]. Dies ist wohldefiniert. Denn sind a bzw. b irgendwelche Repräsen-
tanten von [ a] bzw. [ b], so gibt es s, t ∈ Z mit a = a + sm und b = b + tm. Dann ist a + b = a + b + ( s + t) m und ab = ab + ( at + sb + stm) m, also a + b ≡ a + b und ab ≡ ab. Mit dieser Addition und Multiplikation ist Z /m Z ein kommutativer Ring mit Einselement [1] und Nullelement [0] = {mn | n ∈ Z } =: m Z,
und die Abbildung a → [ a], die jeder ganzen Zahl ihre Restklasse mod m zu-
ordnet, ist ein surjektiver Ringhomomorphismus. (Für diese Begriffe siehe die

Abschnitte 6.1 und 6.2.)

Als kleine Anwendung des eingeführten Begriffs geben wir einen kurzen Be-
weis der 11 -er Probe. Um diese zu formulieren, sei n = a 0100+ a 1101+ · · ·+ ak 10 k
mit 0 ≤ ai ≤ 9 die Dezimaldarstellung der natürlichen Zahl n. Die 11-er Probe
besagt, dass n genau dann durch 11 teilbar ist, wenn die alternierende Quer-
summe a 0 − a 1 ± · · · + ( − 1) kak, also die Summe der Ziffern mit abwechselnden

Vorzeichen, durch 11 teilbar ist. Um das einzusehen, bemerken wir, dass n genau
dann durch 11 teilbar ist, wenn n ≡ 0 mod 11, also wenn [ n] das Nullelement
von Z / 11Z ist. Aber [ n] = [ a 0][10]0 + [ a 1][10]1 + · · · + [ ak][10] k. Da 10 ≡ − 1
mod 11, ist [10] i = ( − 1) i[1], also n ≡ a 0 − a 1 ± · · · + ( − 1) kak mod 11.

Analog beweist man die 9 -er und 3 -er Probe. Diese besagen, dass n genau
dann durch 9 bzw. 3 teilbar ist, wenn es die Quersumme ist. Beachte zum

Beweis, dass 10 ≡ 1 mod 9 und mod 3 ist, so dass modulo 3 und 9 jede Potenz
von 10 gleich 1 ist.

Zerlegung ganzer Zahlen in Produkte hat ein Pendant bei den Restklassenrin-
gen: die direkte Summe. Dabei ist die direkte Summe R ⊕ S der Ringe R und S
als Menge das kartesische Produkt {( r, s) | r ∈ R, s ∈ S} mit der komponenten-
weisen Addition und Multiplikation: ( r, s)+( r, s) = ( r+ r, s+ s) , ( r, s)( r, s) =

( rr, ss). Das Nullelement ist (0 , 0), das Einselement ist (1 , 1), wenn R und S ein

Einselement haben, die wir beide mit 1 bezeichnen. Analog bilden wir direkte

Summen von mehr als zwei Ringen.

Ist k > 0 ein Teiler von m, so definiert die Zuordnung [ a] m → [ a] k einen

Ringhomomorphismus von Z /m Z nach Z /k Z, wobei der Index an den Restklas-
sen andeuten soll, modulo welcher Zahl die Restklasse zu bilden ist. Beachte,

60

3 Zahlentheorie
dass jede Restklasse von Z /m Z in genau einer Restklasse von Z /k Z enthalten
ist, wenn k ein Teiler von m ist. Unsere Zuordnung bildet jede Restklasse von

Z /m Z in die Klasse von Z /k Z ab, in der sie liegt. Ist m = m 1 · · · mr, so liefert
die Zuordnung [ a] m → ([ a] m , . . . , [ a]

) einen Ringhomomorphismus

1
mr
f : Z /m Z → Z /m 1Z ⊕ · · · ⊕ Z /mr Z .

Das Element [ a] m wird durch f auf 0 abgebildet, wenn [ a] m f
i
ür alle i das Null-
element ist, d. h., dass a ein Vielfaches jedes mi ist. Der Kern von f ist demnach
die Menge der Vielfachen der Restklasse [kgV( m 1 , . . . , mr)] m. Die Abbildung f
ist also genau dann injektiv, wenn m = m 1 · · · mr = kgV( m 1 , . . . , mr) gilt. Be-
trachtet man die Primzahlzerlegung der mi, so gilt das genau dann, wenn je
zwei der mi relativ prim sind, also außer 1 keinen gemeinsamen positiven Teiler
haben.

Da auf beiden Seiten des Pfeils Ringe mit m Elementen stehen, ist f bijektiv,
falls es injektiv ist. Wir erhalten somit:

Ist m = m 1 · · · mr und sind m 1 , . . . , mr paarweise relativ prim, so
ist die obige Abbildung f ein Isomorphismus von Ringen.

Dieses Ergebnis wird auch als Chinesischer Restsatz bezeichnet. Es ist nämlich
äquivalent zu folgender Aussage:

(Chinesischer Restsatz)

Gegeben seien paarweise relativ prime nat¨
urliche Zahlen m 1 , . . . , mr.

Dann hat das Gleichungssystem
x ≡ a 1 mod m 1

...

x ≡ ar mod mr
f¨
ur jedes r-Tupel ganzer Zahlen ( a 1 , . . . , ar) eine ganzzahlige Lösung.

Genauer gesagt ist die Menge aller ganzzahligen L¨
osungen des Glei-
chungssystems eine Restklasse mod m 1 · · · mr.

Finden z. B. in einem Prüfungsamt jede Woche von Montag bis Freitag

Prüfungen statt und wechseln sich zwei Prüfer und drei Beisitzer im werktägli-
chen Rhythmus ab, so muss ein Prüfling maximal 6 Wochen warten, um einen

Freitagstermin mit seinem Lieblingsprüfer und -beisitzer zu finden.

Im nächsten Abschnitt beschreiben wir einige Primzahltests. Dafür benötigen
wir Aussagen über die Einheiten des Rings Z /m Z. Ist R ein kommutativer Ring
mit 1, so bezeichnen wir die Menge seiner Einheiten (siehe Abschnitt 3.2) mit

R∗. Bezüglich der Multiplikation in R ist R∗ eine abelsche Gruppe. Denn ist R
ein Ring mit 1, so erfüllt ( R, ·) alle Gruppenaxiome (siehe Abschnitt 6.1) bis
auf die Existenz eines Inversen, das aber wird für Einheiten explizit gefordert.

3.4

Einfache Primzahltests

61

Ein Ringisomorphismus g: R → S bildet dann die Gruppe R∗ isomorph auf
die Gruppe S∗ ab. Die Menge der Einheiten ( R ⊕ S) ∗ der direkten Summe der

Ringe R und S ist die direkte Summe R∗ ⊕ S∗. Denn sind a ∈ R und b ∈ S

Einheiten mit Inversen c bzw. d, so ist ( c, d) Inverses von ( a, b) in R ⊕ S.

Die Einheiten von Z /m Z sind genau die Restklassen [ r] mit ggT( r, m) = 1.

Denn ggT( r, m) = 1 gilt genau dann, wenn es ganze Zahlen s und t mit sr+ tm =

1 gibt. Dies ist genau dann der Fall, wenn es eine Restklasse [ s] mod m gibt mit

[ r][ s] = [1]. Die Eulersche ϕ-Funktion ordnet jeder positiven ganzen Zahl m die

Anzahl ϕ( m) aller zu m relativ primen Zahlen k mit 0 < k < m zu. Also ist ϕ( m)

die Ordnung, d. h. die Anzahl der Elemente, der Einheitengruppe (Z /m Z) ∗ von

Z /m Z. Aus dem Chinesischen Restsatz folgt, dass ϕ( m 1 m 2) = ϕ( m 1) ϕ( m 2) ist,
falls m 1 und m 2 relativ prim sind.

Ist m = pi eine Primzahlpotenz, so sind bis auf die Vielfachen von p alle

Zahlen zu pi relativ prim. Also ist ϕ( pi) = pi− 1( p − 1). Es folgt, dass
r
i
ϕ( m) =
p j− 1( p
j
j − 1)

j=1
ist, wenn m = pi 1 · · · pir

1
r
die Primfaktorzerlegung von m ist.

Die Ordnung des Elements [ r] in der Gruppe (Z /m Z) ∗ ist die kleinste positive
ganze Zahl n mit [ rn] = [1]. Nach dem Satz von Lagrange (vgl. Abschnitt 6.1)

ist die Ordnung eines Elements einer endlichen Gruppe ein Teiler der Ordnung
der Gruppe. Wir erhalten deshalb als Spezialfall des Satzes von Lagrange:

(Satz von Euler)

Sind r und m relativ prim, so gilt die Kongruenz
rϕ( m) ≡ 1 mod m.

Ein Spezialfall hiervon wiederum ist der sogenannte kleine Satz von Fermat :

Ist p eine Primzahl, die r nicht teilt, so ist rp− 1 ≡ 1 mod p.

3.4

Einfache Primzahltests

In Abschnitt 3.5 werden wir sehen, dass das Kennen vieler großer“ Primzahlen

”

für sichere Datenübertragung wichtig ist. Aber wie stellt man fest, ob eine gege-

√
bene Zahl n prim ist? Kennt man alle Primzahlen unterhalb von
n, kann man
einfach durch sukzessives Dividieren von n durch diese Primzahlen feststellen,
ob n selbst prim ist. Aber selbst wenn wir eine Liste dieser Primzahlen hätten,
würde für große n dieses Verfahren zu lange dauern. Zum Beispiel ist die größte
bis Anfang 2010 bekannte Primzahl 243112609 − 1 eine Zahl mit 12 978 189 Zif-
fern. Die Wurzel davon hat etwa halb so viele Ziffern. Unterhalb von k gibt es

62

3 Zahlentheorie
stets mehr als k/(8 log k) Primzahlen (siehe Abschnitt 3.6), und für k ≥ 64 ist

√k > 8log( k). Wir müssten also über 103 · 106 Primzahlen gespeichert haben und
ebenso viele Divisionen durchführen, um mit diesem Verfahren nachzuweisen,
dass 243112609 − 1 prim ist. Um zu sehen, wie hoffnungslos die Situation ist,
sei daran erinnert, dass die Anzahl der Teilchen unseres Universums auf unter

1090 geschätzt wird und dass wir in 1000 Jahren weniger als 3 . 16 · 1015 Rechen-
operationen durchführen können, die mindestens eine 10-Milliardstel Sekunde
dauern. Wir benötigen bessere Testverfahren.

Es gibt eine Reihe von notwendigen und hinreichenden Kriterien zum Nach-
weis der Primalität einer natürlichen Zahl. Ein bekanntes, aber praktisch nicht
sehr nützliches ist die Wilsonsche Kongruenz :

Eine ganze Zahl n > 1 ist genau dann eine Primzahl, wenn ( n− 1)! ≡

− 1 mod n ist.

Ist n > 1 keine Primzahl, so hat n einen Teiler d mit 1 < d < n − 1, also ist
ggT(( n − 1)! , n) > 1 und ( n − 1)! ≡ ± 1 mod n. Ist n Primzahl, so ist jedes d
mit 1 ≤ d < n relativ prim zu n, und es gibt ein eindeutig bestimmtes e mit

1 ≤ e < p, so dass de ≡ 1 mod n. Dabei ist e = d genau dann, wenn d ≡ 1 mod n.

Für die letzte Behauptung nutzt man die Tatsache, dass Z /n Z ein Körper ist
und das Polynom X 2 = 1 in jedem Körper höchstens zwei Nullstellen hat (siehe

Abschnitt 6.8). Wir können daher die Faktoren von 2 · 3 · · · ( n − 2) paarweise so
zusammenfassen, dass das Produkt jedes Paares kongruent 1 mod n ist.

Etwas nützlicher ist folgendes Ergebnis, das wie die Sätze von Euler und

Fermat auf dem Satz von Lagrange (Abschnitt 6.1) beruht.

Die ganze Zahl n > 1 ist eine Primzahl, wenn zu jedem Primfaktor
p von n − 1 eine Zahl q existiert, so dass

(a) qn− 1 ≡ 1 mod n,
n− 1

(b) q p

≡ 1 mod n
gelten.

Gilt (a), so ist [ q] eine Einheit in Z /n Z, also ein Element von (Z /n Z) ∗, einer

Gruppe mit ϕ( n) ≤ n − 1 Elementen, und die Ordnung o von [ q] ist ein Teiler
von n − 1. (Zur Erinnerung (Abschnitt 3.3): ϕ( n) ist die Anzahl der zu n relativ
primen Zahlen zwischen 0 und n.) Bedingung (b) besagt, dass o kein Teiler von

( n − 1) /p ist. Also muss pk Teiler von o und damit auch von ϕ( n) sein, wenn pk
die höchste Potenz von p ist, die n − 1 teilt. Da dies für alle Primteiler p von
n − 1 gilt, ist n − 1 ein Teiler von ϕ( n). Also ist ϕ( n) = n − 1. Dann muss jedes
k mit 1 ≤ k < n zu n relativ prim sein, also n eine Primzahl sein.

Übrigens gilt im letzten Satz auch die Umkehrung.

Der kleine Satz von Fermat, so leicht er zu beweisen ist, ist nützlich als not-
wendiges Kriterium für die Primalität einer Zahl n. Denn gibt es ein zu n relativ
primes r mit rn− 1 ≡ 1 mod n, so wissen wir, dass n keine Primzahl ist, und das,

3.4

Einfache Primzahltests

63
ohne eine Produktzerlegung von n zu kennen. Es gibt aber Nicht-Primzahlen
n, so dass für jedes zu n relativ prime r die Gleichung rn− 1 ≡ 1 mod n gilt,
die sogenannten Carmichael-Zahlen. Die kleinste von ihnen, 561, ist durch 3, 11
und 17 teilbar.

Aber eine leichte Verbesserung des Fermatschen Satzes ist Grundlage des

Miller-Rabin-Tests, mit dem man nachweisen kann, dass ein gegebenes n
höchstwahrscheinlich“ eine Primzahl ist. Sei n ungerade und n − 1 = 2 ab mit

”

ungeradem b.

(i) Ist n prim und r relativ prim zu n, so gilt
rb ≡ 1 mod n oder r 2 cb ≡ − 1 mod n für ein c mit 0 ≤ c < a.

( ∗)

(ii) Ist n nicht prim, dann gibt es h¨
ochstens ( n − 1) / 4 zu n relativ prime

Zahlen r, die ( ∗) erfüllen.

Mit diesem Test kann man zwar zweifelsfrei feststellen, dass n nicht prim
ist, nämlich wenn man ein zu n relativ primes r < n findet, das ( ∗) nicht
erfüllt. Erfüllt ein primer Rest r jedoch ( ∗), folgt daraus noch nicht, dass n eine

Primzahl ist. Aber (ii) lässt folgende statistische Interpretation zu: Nehmen wir
an, n ist keine Primzahl. Wir wählen zufällig bezüglich der Gleichverteilung auf

{ 1 , . . . , n − 1 } einen Rest r. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass r relativ prim
ist und ( ∗) gilt, kleiner als 1 / 4. Daher ist bei k unabhängigen zufälligen Wahlen
solcher r die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Mal ( ∗) erfüllt ist, kleiner als 4 −k, bei
k = 20 also kleiner als 10 − 12. Man wird sich dann auf den Standpunkt stellen,
dass dies zu unwahrscheinlich ist, um wahr zu sein (obwohl es natürlich nicht
ausgeschlossen ist), und die Nullhypothese“, dass n nicht prim ist, verwerfen

”

(vgl. Abschnitt 11.9 über statistische Tests). In diesem Sinn ist es dann sehr
plausibel, n als Primzahl anzusehen.

Sollte die erweiterte Riemannsche Vermutung (siehe unten) gelten, so lässt
sich (i) zu einer notwendigen und hinreichenden Bedingung aufwerten:

Gilt die erweiterte Riemannsche Vermutung und ist n − 1 = 2 ab mit
ungeradem b, so ist n genau dann eine Primzahl, wenn ( ∗) für alle

2
zu n relativ primen r mit 0 < r <

(log n)2 gilt.

(log 3)2

Die Riemannsche Vermutung besagt etwas über die Nullstellen der ζ-Funktion,
die wir in Abschnitt 3.6 kennenlernen. Die erweiterte Riemannsche Vermutung
besagt etwas über die Nullstellen der Dedekindschen L-Funktionen. Das sind
gewisse Verallgemeinerungen der ζ-Funktion.

Ist n eine Mersenne-Zahl, d. h. eine Zahl der Form n = 2 p − 1 mit einer

Primzahl p, so ist n − 1 = 2(2 p− 1 − 1). In diesem Fall ist a = 1, und ( ∗)

reduziert sich zu rb ≡ 1 mod n mit b = 2 p− 1 − 1. Es ist daher viel weniger
zu prüfen. Mersenne-Zahlen sind sehr beliebt bei Menschen, die nach möglichst
großen Primzahlen suchen. Tatsächlich sind die neun größten zurzeit (März

2010) bekannten Primzahlen alles Mersenne-Zahlen. Beachte, dass eine Zahl

64

3 Zahlentheorie
der Form ab − 1 mit a, b > 1 höchstens dann eine Primzahl ist, wenn a = 2 und
b prim ist. Denn a − 1 teilt ab − 1 und ak − 1 teilt akl − 1. Daher kommt die
spezielle Form der Mersenne-Zahlen. Für Mersenne-Zahlen kennt man allerdings
schon seit langem ein Primalitätskriterium, das ohne die erweiterte Riemannsche

Vermutung auskommt:

(Primzahltest von Lucas und Lehner)

Es sei S 1 = 4 und für k ≥ 2 sei Sk := S 2

− 2 . Ist p prim, so ist
k− 1
die Mersenne-Zahl 2 p − 1 genau dann eine Primzahl, wenn sie ein

Teiler von Sp− 1 ist.

Der Beweis benutzt die Theorie der Kettenbrüche, auf die wir in Abschnitt 3.8
eingehen, insbesondere die Rolle der Kettenbrüche bei den ganzzahligen Lösun-
gen der Pellschen Gleichung x 2 − dy 2 = 1 für d = 3. Das Finden ganzzahliger

Lösungen von Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten ist Thema der Theo-
rie der diophantischen Gleichungen, womit wir uns in Abschnitt 3.10 beschäfti-
gen.

Eine Bemerkung zum Zeitaufwand von Rechnungen (am Computer). Mul-
tiplizieren und Dividieren geht schnell. Auch Potenzieren geht schnell. Z. B.

erhalten wir a 2 n durch n-maliges sukzessives Quadrieren. Ebenso geht das Be-
rechnen des ggT schnell mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus. Damit hält
sich der Zeitaufwand für das Überprüfen von ( ∗) in Grenzen.

3.5

Das RSA-Verfahren

Im letzten Abschnitt haben wir einige Primzahltests kennengelernt. Sie sind
schnell in dem Sinne, dass die zugehörigen Algorithmen eine polynomiale Lauf-
zeit haben. Das heißt, dass es ein k und C gibt, so dass die Laufzeit durch

Cnk beschränkt ist, wenn n die Eingabelänge für den Algorithmus ist. Man
benötigt z. B. für die binäre Darstellung der positiven ganzen Zahlen der Form

m =
n a
m bits, so dass ein

0
i 2 i mit ai ∈ { 0 , 1 } und an = 1 genau n < log2

Algorithmus für das Testen der Primalität von m polynomial ist, wenn die Lauf-
zeit für geeignete C und k durch C(log m) k beschr

2
änkt werden kann. Seit dem

Jahr 2002 weiß man, dass es einen polynomialen Algorithmus mit k = 13 gibt

(Algorithmus von Manindra Agrawal, Neeraj Kayal und Nitin Saxena).

Es lässt sich also relativ schnell entscheiden, ob eine gegebene Zahl prim ist.

Aber die Algorithmen gewinnen die Aussage, dass m nicht prim ist, ohne eine

Zerlegung von m in mindestens zwei Faktoren angeben zu müssen. Ist z. B.

ggT( r, m) = 1 und rm− 1 ≡ 1 mod m, so wissen wir nach dem kleinen Satz von

Fermat (Abschnitt 3.3), dass m nicht prim ist, ohne eine Zerlegung zu kennen.

Die Sicherheit des RSA-Verfahrens, benannt nach seinen Entwicklern Rivest,

Shamir und Adelman, beruht auf der Überzeugung, dass das Faktorisieren zu-
sammengesetzter Zahlen schwierig, d. h. überaus langwierig ist. Es wird in der

3.5

Das RSA-Verfahren

65

Kryptographie zur Chiffrierung und Dechiffrierung von Nachrichten genutzt und
ist ein sogenanntes asymmetrisches Kryptoverfahren. Ein asymmetrisches Ver-
fahren lässt sich wie folgt beschreiben.

(i) Der Empfänger von Nachrichten verfügt über zwei Schlüssel, von denen
er einen veröffentlicht. Der andere bleibt geheim.

(ii) Mit Hilfe des öffentlichen Schlüssels kann jeder, der will, eine Nach-
richt verschlüsseln und an den Empfänger verschicken. Dabei ist der

Verschlüsselungsprozess einfach.

(iii) Mit Hilfe des geheimen zweiten Schlüssels ist die Dechiffrierung ein-
fach, aber ohne diesen zweiten Schlüssel schwierig, und zwar schwierig
genug, dass eine Entschlüsselung in der Zeit, für die die Nachricht
geheim bleiben soll, nicht zu erwarten ist.

Beim RSA-Verfahren verschafft sich der Empfänger zwei große Primzahlen p
und q. Zurzeit wird empfohlen, Primzahlen mit mindestens 100 Dezimalziffern
zu wählen. Weiter wählt er eine nicht allzu kleine zu ( p − 1)( q − 1) relativ prime

Zahl a und verschafft sich mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus eine Zahl b,
so dass ab ≡ 1 mod ( p − 1)( q − 1) ist. Er veröffentlicht die beiden Zahlen a und
n = pq.

Ein Absender verwandelt eine Nachricht nach einem vereinbarten einfachen

Standardverfahren in eine Zahl m zwischen 0 und n. Ist die Nachricht zu lang,
so zerlegt er sie in passende Blöcke. Dann bildet er l : ≡ ma mod n mit 0 ≤
l < n und schickt l an den Empfänger. Der Empfänger bildet nun mit Hilfe
seines geheimen Schlüssels b die Zahl k : ≡ lb mod n mit 0 ≤ k < n. Mit Hilfe
des Standardverfahrens verwandelt der Empfänger die Zahl k wieder in eine

Nachricht.

Dieses ist die ursprüngliche Nachricht. Dazu müssen wir nur zeigen, dass für
jede ganze Zahl m die Gleichung mab ≡ m mod n gilt. Das gilt, falls mab ≡ m
mod p und mab ≡ m mod q gelten. Teilt p das m, so gilt 0 ≡ m ≡ mab mod p. Ist
m relativ prim zu p, so gilt nach dem kleinen Satz von Fermat mp− 1 ≡ 1 mod p.

Nach Konstruktion von b existiert ein ganzzahliges c mit ab = c( p − 1)( q − 1)+1.

Also gilt mab = ( mp− 1) c( q− 1) · m ≡ 1 · m mod p. Das gleiche Argument zeigt,
dass mab ≡ m mod q gilt.

Wir haben schon bemerkt, dass Potenzieren schnell geht. Will man z. B. m 43
berechnen, so bildet man durch sukzessives Quadrieren m 2 , m 4 , m 8 , m 16 , m 32
und anschließend m 32 m 8 m 2 m = m 43. Das sind insgesamt weniger als 2 · 5 =

2 log 32 Multiplikationen. Allgemein braucht man bei diesem Vorgehen für die

2

Berechnung ma maximal 2 log a Multiplikationen.

2

Zum Entschlüsseln ohne den geheimen Schlüssel benötigt man die Kenntnis
von ( p − 1)( q − 1). Das ist gleichbedeutend mit der Kenntnis der Faktorisie-
rung von n = pq. Denn kennt man pq und ( p − 1)( q − 1), so kennt man auch
p + q = pq − ( p − 1)( q − 1) − 1 und ( p − q)2 = ( p + q)2 − 4 pq. Quadratwur-zelziehen von Quadraten in Z geht schnell, so dass wir auch p − q kennen und

66

3 Zahlentheorie
damit p und q. Bisher ist kein polynomialer Algorithmus für Faktorzerlegungen
bekannt, und es wird vermutet, dass das Ziehen von a-ten Wurzeln mod pq,
was der Entschlüsselung der Nachricht ma mod pq entspricht, im Prinzip auf
eine Faktorisierung von pq hinausläuft. Selbst das Ziehen von Quadratwurzeln
mod n wird für große n als schwierig angesehen.

3.6

Die Verteilung der Primzahlen

Zwei sich scheinbar widersprechende Aspekte beschreiben die Verteilung der

Primzahlen innerhalb der ganzen Zahlen: völlig unvorhersehbar, wenn es um
die genaue Lage geht, und sehr regelmäßig, wenn nur die Asymptotik inter-
essiert. Das offenbar chaotische Verhalten im Kleinen ist Rechtfertigung für

Kryptosysteme, die davon ausgehen, dass das Faktorisieren großer ganzer Zah-
len schwierig ist. Indiz für dieses unregelmäßige Verhalten ist die Existenz einer
großen Anzahl unbewiesener relativ alter Vermutungen. Man weiß zwar, dass
für n > 1 zwischen n und 2 n immer eine Primzahl liegt, aber nicht, ob zwi-
schen n 2 und ( n + 1)2 auch immer eine zu finden ist. Da, wie wir sehen werden,
mit wachsendem n der Anteil der Primzahlen unterhalb von n gegen 0 strebt,
muss es beliebig große Lücken zwischen den Primzahlen geben. Man kann sol-
che Lücken auch leicht angeben. Ist m gegeben und n das Produkt sämtlicher

Primzahlen pj ≤ m, so ist jede der Zahlen n + 2, n + 3, . . . , n + m durch
eine dieser Primzahlen pj teilbar, so dass eine Lücke mindestens der Länge m
vorliegt. Andererseits wird vermutet, dass es unendlich viele Primzahlzwillin-
ge, d. h. Primzahlpaare der Form ( p, p + 2) gibt, dass also die kleinstmögliche

Lücke der Länge 2 unendlich oft vorkommt. Allgemeiner gibt es unendlich viele

Lückenfolgen, von denen vermutet wird, dass sie unendlich oft auftreten. Dies
wird z. B. von der Lückenfolge 2 , 4 , 2 vermutet. Beispiele für diese Folge sind die

Primzahlquadrupel (101 , 103 , 107 , 109), (191 , 193 , 197 , 199), (821 , 823 , 827 , 829) und (3251 , 3253 , 3257 , 3259).

Eine dieser alten Vermutungen konnten 2004 Ben J. Green und Terence Tao
beweisen. Diese besagt, dass es beliebig lange arithmetische Progressionen von

Primzahlen gibt. Die Frage nach der Existenz beliebig langer arithmetischer

Progressionen, also von Folgen der Form {a, a + d, a + 2 d, . . . , a + kd}, in ge-
wissen Teilmengen von N spielte in der Zahlentheorie stets eine wichtige Rolle.

Eines der gefeierten Ergebnisse ist der Beweis einer langen offenen Vermutung
von Erd˝
os und Turàn durch Szemerédi im Jahre 1975. Er zeigte, dass jedes

A ⊆ N mit lim sup # {a ≤ N | a ∈ A}/N > 0 beliebig lange arithmetische

N

Progressionen enthält. Wie wir weiter unten sehen, ist # {p ≤ N | p prim }

asymptotisch gleich log N , so dass Szemerédis Satz nicht greift. Aber ein auf

Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung beruhender Beweis des Satzes von

Szemerédi diente Green und Tao als Leitfaden für ihre Arbeit. Wie bahnbre-

3.6

Die Verteilung der Primzahlen

67
chend der Satz von Green und Tao ist, wird deutlich, wenn man bedenkt, dass
es bis 2004 nur den Satz von van der Korput aus dem Jahr 1939 gab, der besagt,
dass es unendlich viele arithmetische Progressionen der Länge 3 von Primzahlen
gibt, und dass es mit intensiven Computersuchen erst 2004 gelang, eine arith-
metische Progression der Länge 23 von Primzahlen zu finden. Der vorherige

Rekord einer Progression der Länge 22 stammte aus dem Jahr 1995.

Um eine arithmetische Progression der Länge k zu garantieren, muss man
schon bis zu sehr großen Primzahlen gehen, also einen globalen Blick entwi-
ckeln. Tut man das, so zeigt sich oft ein erstaunlich regelmäßiges Verhalten. Die
naheliegende Frage, wie sich asymptotisch für wachsende x der Anteil der Prim-
zahlen unterhalb x verändert, ist ein frappierendes Beispiel dafür. Der folgende

Satz ist einer der Meilensteine der Zahlentheorie. Er wurde von Legendre und
dem erst 15-jährigen Gauß ca. 1792 vermutet und 100 Jahre später von Jac-
ques Hadamard und Charles-Jean de la Vallée Poussin unabhängig voneinander
bewiesen. Zunächst nennen wir zwei für hinreichend große x ∈ R definierte

Funktionen f und g asymptotisch gleich, falls lim x→∞ f ( x) /g( x) = 1 ist. Wir
schreiben dafür f ( x) ∼ g( x). Dann besagt der Primzahlsatz :

Ist π( x) die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich x, so gilt
π( x) ∼
x

.

log( x)

Als Korollar erhält man daraus die Asymptotik pn ∼ n log n für die n-te Prim-
zahl.

Der Beweis dieses Satzes ist inzwischen relativ einfach, wenn man mit den

Methoden der Funktionentheorie, insbesondere mit dem Cauchyschen Integral-
satz und Residuenkalkül (vgl. Abschnitt 8.9 und 8.10) ein wenig vertraut ist.

Er steht in enger Verbindung mit der schon im Abschnitt 3.4 angesprochenen
ζ-Funktion, ganz besonders mit deren Nullstellen. Sie wurde von Euler für reelle

Zahlen x > 1 durch die Reihe

∞

1 /nx definiert, und Riemann dehnte diese
n=1

Definition auf komplexe Zahlen z mit Realteil Re z > 1 aus:

∞

ζ( z) =

1 /nz.

n=1

Wegen |n−z| = n− Re z ist die Reihe gleichmäßig konvergent auf Re z ≥ r für
jedes r > 1. Also ist nach dem Weierstraßschen Konvergenzsatz (Abschnitt 8.9)

ζ( z) in der Halbebene Re z > 1 holomorph. Für z = 1 erhält man die har-
monische Reihe, deren Partialsummen gegen ∞ wachsen. Aber das ist schon
das einzige Hindernis, ζ holomorph fortzusetzen. Denn eine clevere Umformung
zeigt, dass ζ( z) − 1 /( z − 1) für Re z > 1 mit einer in Re z > 0 holomorphen Funk-
tion übereinstimmt. Damit hat ζ eine meromorphe Erweiterung auf Re z > 0
mit einem einfachen Pol bei 1. (Riemann hat gezeigt, dass ζ sogar auf ganz C
meromorph fortsetzbar ist.)

68

3 Zahlentheorie

Einen ersten Hinweis, dass ζ etwas mit Primzahlen zu tun hat, gibt die auf

Euler zurückgehende Produktdarstellung

∞

1

ζ( z) =

=

(1 − p−z) − 1 ,

Re z > 1 ,
nz
n=1
p

die man durch Einsetzen von (1 −p−z) − 1 =

∞
p−zk in das Produkt einsieht.

k=0

Denn nach Ausmultiplizieren tritt jeder Term ( pk 1 · · · pkr

1
r ) −z genau einmal als

Summand auf und entspricht dem Summanden n−z in der ζ-Funktion, wenn
n = pk 1 · · · pkr

1
r
die Primfaktorzerlegung von n ist. Da alles absolut konvergiert,
brauchen wir uns beim Umordnen keine Gedanken zu machen.

Was nun den Beweis des Primzahlsatzes angeht, sind es Funktionen wie
h( z) = ζ( z) /ζ( z) − 1 /( z − 1), die dort auftauchen, und um den Cauchyschen

Integralsatz darauf anzuwenden, benötigt man Gebiete der rechten Halbebene,
in denen h holomorph ist. Deswegen sind die Nullstellen von ζ so entscheidend.

Aus der Eulerschen Produktdarstellung folgt ζ( z) = 0 für Re z > 1; erheblich
raffinierter ist der Nachweis, dass sogar ζ( z) = 0 für Re z ≥ 1 ist. Diese Aussage
ist der archimedische Punkt des Beweises des Primzahlsatzes mit funktionen-
theoretischen Methoden.

Asymptotische Gleichheit zweier Funktionen sagt wenig aus über die Diffe-
renz der Funktionen. Schon Gauß hat anstelle von x/ log x den dazu asympto-
x
tisch gleichen Integrallogarithmus Li( x) =
log t dt als Approximation für π( x)

2
herangezogen. Das Studium großer Primzahltabellen ließ ihn vermuten, dass der

Anstieg von π( x) gleich 1 / log( x) ist. Dass in der Tat Li( x) bessere Werte liefert,
soll folgende Tabelle illustrieren.

π( x)

x
π( x)

[Li( x)] − π( x)

π( x)

Li( x)

x/ log x

104

1229

16

0.987

1.131

106

78498

128

0.998

1.084

108

5 761 455

754

0.999 986

1.061

1010

455 052 511

3104

0.999 993

1.047

1012

37 607 912 018

38263

0.999 998

1.039

Die Beziehung π( x) ∼ Li( x) besagt nur, dass für jedes ε > 0 die Ungleichung

|
x
π( x) −
log t dt| < εx log x für genügend große x gilt. Kann man aber die Lage

2
der Nullstellen der auf die Halbebene Re z > 0 erweiterten ζ-Funktion besser
eingrenzen, erhält man deutlich bessere Abschätzungen. In dem kritischen Strei-
fen { 0 < Re z < 1 } liegen die Nullstellen symmetrisch zur kritischen Geraden

Re z = 1 / 2. Auf der kritischen Geraden fand Riemann viele Nullstellen, ab-
seits davon aber keine, und er stellte die heute nach ihm benannte Riemannsche

Vermutung auf:

Alle Nullstellen von ζ in Re z > 0 liegen auf der Geraden Re z = 1 / 2 .

3.7

Quadratische Reste

69

Dies ist eine der wichtigsten offenen Vermutungen der Mathematik mit vielen

Konsequenzen nicht nur für die Primzahlen. (Es ist eines der sieben Millenniums-

Probleme. Sie zu beweisen oder zu widerlegen, dafür hat die Clay-Stiftung ein

Preisgeld von 1 Million Dollar ausgelobt.) Die folgende Aussage stellt die Be-
ziehung zwischen Nullstellen von ζ und Abschätzungen für π( x) her:

Hat ζ f¨
ur ein a ≥ 1 / 2 in Re z > a keine Nullstelle, so gibt es ein
c > 0 , so dass

x

π( x) −
log t dt < cxa log x

2
f¨
ur alle x ≥ 2 gilt.

Es gilt auch die Umkehrung. Stimmt die Riemannsche Vermutung, so können
wir für a den bestmöglichen Wert 1 / 2 nehmen. Wir wissen, dass auf der kriti-
schen Geraden unendlich viele Nullstellen liegen, aber bis heute hat noch nie-
mand beweisen können, dass es ein a < 1 gibt, so dass ζ rechts von Re z = a
keine Nullstellen hat. Der Rand aller bisher gefundenen nullstellenfreien Berei-
che schmiegt sich bei wachsendem Absolutwert des Imaginärteils rapide an die

Gerade Re z = 1 an.

Übrigens stützen sämtliche Primzahltabellen (s. o.) die These, dass stets

Li( x) > π( x) ist. Aber schon 1914 konnte Littlewood beweisen, dass das nicht
stimmt, denn er zeigte, dass Li( x) − π( x) unendlich oft das Vorzeichen wech-
selt! Der erste Vorzeichenwechsel tritt definitionsgemäß bei der Skewes-Zahl auf;
heute weiß man, dass diese zwischen 1016 und 10381 liegt.

Ein weiteres Ergebnis zur regelmäßigen Verteilung der Primzahlen im Großen
ist ein Satz von Dirichlet, der besagt, dass sich die Primzahlen gleichmäßig auf
die zu m primen Restklassen mod m verteilen. Ist ggT( a, m) > 1, so enthält
die Restklasse von a mod m höchstens eine Primzahl. Aber auf die restlichen
ϕ( m) zu m relativ primen Restklassen verteilen sich die Primzahlen gleichmäßig:

lim
p− 1 /
p− 1 = 1 /ϕ( m); bei den Summen wird nur über
n→∞ p≡a mod m, p≤n
p≤n

Primzahlen summiert. Insbesondere liegen in all diesen Restklassen unendlich
viele Primzahlen.

3.7

Quadratische Reste

Lineare Gleichungen in einer Unbekannten in Z /n Z sind leicht zu behandeln.

Sie haben die Form [ a][ x] = [ b] oder, als Kongruenz geschrieben, die Form
ax ≡ b mod n. Ist ggT( a, n) = 1, so gibt es ganze Zahlen c, d mit ca + dn = 1.

Also ist [ c][ a] = [1] in Z /n Z, und [ cb] ist die eindeutige Lösung. Die Zahlen c
und d finden wir mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus (Abschnitt 3.1). Ist
ggT( a, n) = e > 1, so gibt es höchstens dann eine Lösung, wenn e auch ein

70

3 Zahlentheorie

Teiler von b ist, und nach Division von a und b durch e sind wir wieder im
vorhergehenden Fall.

Quadratische Gleichungen sind wesentlich interessanter. Die Hauptschwie-
rigkeit bei deren Lösung ist das Problem, zu entscheiden, ob eine Restklasse

[ r] ∈ Z /n Z Quadratwurzeln in Z /n Z besitzt, also ob [ r] ein Quadrat ist. Ist das
der Fall, so nennt man r einen quadratischen Rest mod n. Andernfalls heißt r
quadratischer Nichtrest mod n.

Wir konzentrieren uns in diesem Abschnitt auf den Fall, dass n eine un-
gerade Primzahl ist. Der allgemeine Fall lässt sich ohne große Mühe darauf
zurückführen. Z. B. folgt aus dem Chinesischen Restsatz, dass r genau dann
quadratischer Rest mod n ist, wenn es für jedes i = 1 , . . . , s quadratischer Rest
mod pki ist. Hier ist n = pk 1 · · · pks
i

1
s
die Primfaktorzerlegung von n. Weiter ist
für eine ungerade Primzahl p das zu p relativ prime r genau dann quadratischer

Rest mod pk, wenn es quadratischer Rest mod p ist.

Der Vollständigkeit halber vermerken wir, dass jede ungerade Zahl quadrati-
scher Rest mod 2 ist, dass 1, aber nicht 3 ein quadratischer Rest mod 4 ist, und
für k > 2 die ungerade Zahl r genau dann quadratischer Rest mod 2 k ist, wenn
r ≡ 1 mod 8 ist.

Bei der Frage, welche r für ungerade Primzahlen p quadratische Reste mod p
sind, können wir uns auf den Fall beschränken, dass r eine Primzahl ist. Um
dies einzusehen, ist es nützlich, das Legendre-Symbol ( r ) einzuführen. Hier ist p
p
eine Primzahl und r eine ganze Zahl, und wir setzen

⎧

⎪

⎪

⎨ 1 , falls p nicht r teilt und r quadratischer Rest mod p ist,
r

:=

− 1 , falls p nicht r teilt und r quadratischer Nichtrest mod p ist,
p

⎪

⎪

⎩ 0 , falls p Teiler von r ist.

Dass p das r teilt, ist gleichbedeutend damit, dass [ r] das Nullelement von

Z /p Z ist. Diesen Fall wollen wir nicht weiter betrachten. [0] ist natürlich ein

Quadrat. Die Menge (Z /p Z) ∗ der von 0 verschiedenen Elemente des Körpers

Z /p Z bilden bezüglich der Multiplikation eine abelsche Gruppe der Ordnung
p − 1. Diese Gruppe ist zyklisch. Das heißt, dass es ein Element [ a] ∈ (Z /p Z) ∗
gibt, so dass jedes Element von (Z /p Z) ∗ eine Potenz von [ a] ist. ( Übrigens ist
jede endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe der von 0 verschiedenen

Elemente eines beliebigen Körpers zyklisch. Dies folgt aus der Klassifikation
endlicher abelscher Gruppen (Abschnitt 6.6) und der Tatsache (Abschnitt 6.8),
dass Polynome vom Grad n über einem Körper höchstens n Nullstellen haben.)

Die Elemente von (Z /p Z) ∗ sind also {[ a] , [ a 2] , . . . , [ ap− 2] , [ ap− 1] = [1] }. Insp− 1
p− 1
besondere ist [ a 2 ] = [ − 1], denn [ a 2 ] ist verschieden von [1] und Nullstelle
von X 2 − 1. Nun ist [ ak] genau dann ein Quadrat, wenn k gerade ist, und wir
erhalten für eine ungerade Primzahl und nicht durch p teilbare Zahlen r, s:

p− 1

(i) ( r ) ≡ r 2 mod p.

p

3.7

Quadratische Reste

71

(ii) − 1 ist quadratischer Rest mod p, genau dann, wenn p − 1 durch 4
teilbar ist.

(iii) ( rs ) = ( r )( s ).

p
p
p

Wegen Aussage (iii) müssen wir uns nur noch um prime r mit 0 < r < p
kümmern, wegen (ii) reicht sogar 0 < r ≤ ( p − 1) / 2.

Dieser Fall wird durch das quadratische Reziprozit¨
atsgesetz, ein Juwel der ele-
mentaren Zahlentheorie, auf elegante Weise gelöst. Es erlaubt einen schnellen

Algorithmus zur Bestimmung des Legendre-Symbols ( q ) für ungerade Primzah-
p
len q und p. Der erste Beweis dieses Gesetzes erschien in den

Disquisitiones

”

Arithmeticae“, die C. F. Gauß 1801 im Alter von 24 Jahren veröffentlichte. Es
besagt:

(Quadratisches Reziprozitätsgesetz)

Seien p und q verschiedene ungerade Primzahlen. Dann gilt

q
p

( p− 1)( q− 1)

= ( − 1)

4

.

p
q

Insbesondere ist ( p ) = ( q ), wenn mindestens eines von p und q kongruent 1
q
p
mod 4 ist.

Für den Primfaktor 2 und ungerades p hat man

2

= 1

⇔
p ≡ ± 1 mod 8 .

p

Es gibt viele elementare Beweise des Reziprozitätsgesetzes, Gauß selbst hat
acht veröffentlicht.

Wir demonstrieren an einem Beispiel, wie man das Gesetz nutzt, zumindest
für kleine Zahlen, deren Primfaktorzerlegung leicht zu erhalten ist:

1927

41 · 47

41

47

3877

3877

=

=

=

3877

3877

3877

3877

41

47

3877 − 94 · 41

3877 − 82 · 47

23

23

=

=

41

47

41

47

41

47

17

1

23

6

= −

−

= −

= −

23

23

23

23

17

17

2

3

17

2

= −

= −

= −

= 1

17

17

3

3

Also ist 1927 ein quadratischer Rest mod 3877.

Das quadratische Reziprozitätsgesetz war einer der zentralen Ausgangspunkte
der algebraischen Zahlentheorie und war Anlass für viele weitreichende Entwick-
lungen. Seine Verallgemeinerung für höhere Potenzen, das Artinsche Rezipro-
zitätsgesetz, ist eines der Hauptergebnisse der Klassenk¨
orpertheorie, die sich
mit der Klassifikation aller galoisschen Erweiterungen (Abschnitt 6.10) eines

Zahlkörpers (Abschnitt 3.12) mit abelscher Galoisgruppe beschäftigt.

72

3 Zahlentheorie

3.8

Kettenbr¨
uche

Kettenbrüche dienen, ähnlich wie Dezimal-, Binär- oder, allgemeiner, b-adische

Darstellungen (siehe Abschnitt 2.6), der Beschreibung reeller Zahlen durch end-
liche oder unendliche Ziffernfolgen. Offensichtlich hängt die Ziffernfolge für die
b-adischen Darstellungen wesentlich von der Wahl des b ab. Hingegen hängt die

Kettenbruchentwicklung einer reellen Zahl r nur von dieser ab. Sie spiegelt, wie
wir sehen werden, unmittelbar zahlentheoretische Eigenschaften von r wider.

Der Begriff des Kettenbruchs wurde bereits in Abschnitt 2.7 erwähnt. Ein
endlicher Kettenbruch ist ein Ausdruck der Form

1

[ a 0 , a 1 , . . . , ak] = a 0 +

1
a 1 + ...

1

+

.

1
ak− 1 + ak

Dabei seien immer a 0 , . . . , ak reelle Zahlen mit ai > 0 für i > 0. Ein endlicher

Kettenbruch bestimmt damit eine reelle Zahl, die rational ist, wenn alle ai ganz
sind.

Ist a 0 , a 1 , . . . eine unendliche Folge reeller Zahlen mit ai > 0 für i > 0, so ver-
stehen wir unter dem unendlichen Kettenbruch [ a 0 , a 1 , . . . ] im Moment einfach
die Folge der endlichen Kettenbrüche [ a 0 , a 1 , . . . , ak], k = 1 , 2 , . . . . Konvergiert
die Folge, so identifizieren wir [ a 0 , a 1 , . . . ] mit dem Grenzwert.

Jedem endlichen Kettenbruch [ a 0 , . . . , ak] ordnen wir einen Bruch pk/qk =

[ a 0 , . . . , ak] zu mit eindeutig bestimmtem reellem Zähler und Nenner. Dies ge-
schieht induktiv nach der Länge k des Kettenbruchs. Ist k = 0, so setzen wir

1
p 0 = a 0 und q 0 = 1. Sei k > 0. Dann ist [ a 0 , . . . , ak] = a 0 +

. Dem

[ a 1 , . . . , ak]

kürzeren Kettenbruch [ a 1 , . . . , ak] haben wir schon einen Bruch, sagen wir a/b,
zugeordnet. Dann setzen wir pk = a 0 b + a und qk = b. Mit dieser Festlegung
folgt mit ein wenig Rechnung die Rekursionsformel für die pk, qk:

Wir setzen p− 1 = 1, q− 1 = 0, p 0 = a 0, q 0 = 1.

Dann gilt für k ≥ 1: pk = akpk− 1 + pk− 2, qk = akqk− 1 + qk− 2.

Wir nennen pk/qk den k-ten N¨
aherungsbruch oder die k-te Konvergente
des Kettenbruchs [ a 0 , a 1 , . . . ]. Diese Bezeichnung gilt auch für Kettenbrüche

[ a 0 , a 1 , . . . , an] für k ≤ n.

Ab jetzt nehmen wir an, dass alle ai ganz und, wie zuvor, für i > 0 alle ai > 0
sind. Dann sind auch alle pi, qi ganz. Die Gleichungen
p

( − 1) k
q
k− 1
k pk− 1 − pkqk− 1 = ( − 1) k
und

− pk =

,
qk− 1
qk
qkqk− 1

3.8

Kettenbrüche

73
die auch für nicht ganzzahlige Kettenbrüche gelten, zeigen, dass alle Näherungs-
brüche gekürzt sind und dass die Näherungsbrüche mit geradzahligen Indizes
monoton wachsen, während die mit ungeradem Index monoton fallen. Weiter
k− 1
folgt aus der Rekursionsformel, dass qk ≥ 2 2 für alle k ≥ 2 gilt. Insbesondere
ist die Folge der Näherungsbrüche immer konvergent. Nach Vereinbarung ist
dieser Grenzwert der Wert des Kettenbruchs.

Jede reelle Zahl ist der Wert eines eindeutig bestimmten endlichen oder un-
endlichen Kettenbruchs. Der Kettenbruch zur reellen Zahl r wird dabei durch
folgende Rekursion beschrieben.

r 0 = r,
a 0 = $r 0 %;

1
solange ri nicht ganz ist: ri+1 =

, ai
r

+1 = $ri+1 %.

i − ai

Dabei ist $x% der ganzzahlige Anteil der reellen Zahl x, d. h. die größte ganze

Zahl, die x nicht übersteigt. Wir erhalten genau dann einen endlichen Ketten-
bruch, wenn ein rk ganz ist. Dann ist ak = rk und r = [ a 0 , . . . , ak]. Insbesondere
ist dann r rational. Ist umgekehrt r rational, so sind alle ri rational, und der

Nenner (nach Kürzen) von ri+1 ist echt kleiner als der von ri, so dass wir nach
endlich vielen Schritten bei einem ganzzahligen rk ankommen. Ist r irrational,
so sind alle ri irrational, und wir erhalten einen unendlichen Kettenbruch, der
gegen r konvergiert. Die letzte Aussage folgt aus der Tatsache, dass r stets
zwischen zwei aufeinanderfolgenden Näherungsbrüchen liegt, was man am bes-
ten induktiv beweist. Aus den obigen Gleichungen folgt dann sogar, dass die

Ungleichung r − pk < 1 für alle Näherungsbrüche pk von r gilt.

qk
q 2
k
qk

Die obige Rekursion kommt nicht von ungefähr. Denn ist r der Wert eines

Kettenbruchs [ b 0 , b 1 , . . . ], so zeigt man induktiv, dass ri = [ bi, bi+1 , . . . ] und ai =
bi gelten. Damit das bei endlichen Kettenbrüchen bis zum letzten Glied wirklich
stimmt, besteht man darauf, dass das letzte Glied eines endlichen Kettenbruchs
größer als 1 ist. Es gilt nämlich [ a 0 , . . . , ak + 1] = [ a 0 , . . . , ak, 1]. Berücksichtigt
man dies, so sind also Kettenbruchdarstellungen reeller Zahlen eindeutig.

Die Ziffernfolge einer Kettenbruchdarstellung einer reellen Zahl r hängt so-
mit nur von r ab. Kettenbruchdarstellungen haben aber einen weiteren Vorzug,
der sie für zahlentheoretische Fragen attraktiv macht. Die Näherungsbrüche be-
schreiben die beste Approximation von r durch rationale Zahlen im folgenden

Sinn. Die rationale Zahl a/b, b > 0, heißt beste rationale Approximation der
reellen Zahl r, falls gilt: Ist c/d rational mit 0 < d ≤ b und c/d = a/b, so ist

|br − a| < |dr − c|. Das heißt, dass unter allen rationalen Zahlen, deren Nenner
nicht größer als b sind, a/b die Zahl r am besten approximiert, selbst wenn die

Differenz noch mit dem Nenner multipliziert wird.

r darf dabei durchaus rational sein. In der Dezimaldarstellung von 1 / 3 sind

0 / 1 , 3 / 10 , 33 / 100 , . . . die

Näherungsbrüche“. 3 / 10, 33 / 100 und alle weiteren

”

Näherungsbrüche“ sind aber keine besten Approximationen, da 1 / 3 einfach

”

besser ist. Die Näherungsbrüche des Kettenbruchs [0 , 3] von 1 / 3 sind 0 / 1 , 1 / 3,

74

3 Zahlentheorie
also tatsächlich am besten. Abgesehen von einer trivialen Ausnahme gilt dies
allgemein.

(i) Jede beste rationale Approximation der reellen Zahl r ist ein Nähe-
rungsbruch der Kettenbruchentwicklung von r.

(ii) Bis auf den nullten Näherungsbruch a 0 / 1 von a 0 + 1 / 2 , a 0 ganzzahlig,
ist jeder Näherungsbruch eine beste rationale Approximation.

Für a 0 +1 / 2 ist ( a 0 +1) / 1 genauso gut wie a 0 / 1, also ist nach unserer Definition
a 0 / 1 keine beste Approximation.

Aus Aussage (i) folgt mit ein wenig Rechnung, dass jeder Bruch a/b mit b > 0
und |r − a/b| < 1 /(2 b 2) ein Näherungsbruch von r ist.

Oben haben wir gesehen, dass für alle Näherungsbrüche von r die Ungleichung

r − pk < 1 gilt. Die 1 im Zähler der rechten Seite lässt sich nicht verkleinern,
qk
q 2
k
wenn man darauf besteht, dass die Ungleichung für alle r und alle k gelten
soll. Ist z. B. 0 < ε < 1, n > 2(1 − ε) /ε und r = [0 , n, 1 , n] =
n+1 , so ist
n( n+2)

r − p 1 > 1 −ε . Für gute rationale Approximationen irrationaler Zahlen reicht
q 1
q 2

1
es aber schon aus, eine unendliche Teilfolge der Folge der Näherungsbrüche zu
betrachten. Man interessiert sich also für die kleinste Konstante c > 0, für die es

für jedes irrationale r unendliche viele k mit r − pk < c gibt. Die Antwort ist
qk
q 2
k

√
c = 1 / 5. Denn es gilt, dass unter drei aufeinanderfolgenden Näherungsbrüchen

√
mindestens einer die gewünschte Ungleichung für c = 1 / 5 erfüllt. Dass sich

√

1 / 5 nicht unterbieten lässt, liegt an einer in vielen Zusammenhängen immer

√
wieder auftretenden Zahl: dem goldenen Schnitt τ = (1 +

5) / 2.

Die Rekursionsformel für Zähler und Nenner der Näherungsbrüche ergibt
für den Kettenbruch [1 , 1 , 1 , . . . ] für Zähler und Nenner die Fibonacci-Folge

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , . . . , wobei der Nenner um Eins hinterherhinkt ( pk = qk+1).

Der Quotient aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen konvergiert gegen den gol-
denen Schnitt, so dass [1 , 1 , 1 , . . . ] der Kettenbruch von τ ist. Hier gilt nun: Ist

√
c < 1 / 5, so gibt es für die Näherungsbrüche von τ nur endlich viele k mit

τ − pk < c .

qk
q 2
k

Die schöne Zahl τ zählt also zu den Zahlen, die sich am schlechtesten durch
rationale Zahlen approximieren lassen. Dass es für manche Zahlen besser geht
und welche zahlentheoretischen Eigenschaften dafür verantwortlich sind, damit
beschäftigen wir uns im folgenden Abschnitt 3.9.

3.9

Rationale Approximationen algebraischer Zahlen;

Liouvillesche Zahlen

Dieser Abschnitt setzt den Inhalt des vorhergehenden Abschnitts voraus. Dort
haben wir gesehen, dass ohne Einschränkung an die irrationale Zahl r die Un-

gleichung r − pk < c für unendlich viele Näherungsbrüche p
q
k /qk von r genau
k
q 2
k

√
dann erfüllt ist, wenn c ≥ 1 / 5 ist. Es ist aber leicht, zu einer beliebigen

3.9

Rationale Approximationen algebraischer Zahlen; Liouvillesche Zahlen

75
positiven Funktion f überabzählbar viele r anzugeben, so dass für alle k die

Ungleichung r − pk < f ( q
q
k ) erfüllt ist.

k

Beginne nämlich mit einem beliebigen ganzzahligen a 0, d. h. mit p 0 = a 0,
q 0 = 1, und wähle anschließend für k ≥ 0 eine natürliche Zahl ak+1, so dass

1
ak+1 > q 2 f( q
k
k )

erfüllt ist. Die Werte aller auf diese Weise konstruierten Kettenbrüche erfüllen
die gewünschten Ungleichungen. Wir sehen, dass sich Zahlen, deren Ketten-
bruchglieder rapide steigen, besser durch rationale Zahlen approximieren las-
sen als solche mit schwach oder gar nicht wachsenden ak. In dem Sinne ist
τ = [1 , 1 , 1 , . . . ] tatsächlich die Zahl, die sich am schlechtesten durch rationale

Zahlen approximieren lässt. Etwas allgemeiner gilt:

(a) Sind die Glieder der Kettenbruchentwicklung der irrationalen Zahl r
beschränkt, so gibt es c > 0, so dass die Ungleichung |r − p/q| < c
q 2
keine ganzzahligen Lösungen p, q mit q > 0 besitzt.

(b) Sind die Kettenbruchglieder von r unbeschränkt, so gibt es für jedes
c > 0 unendlich viele ganzzahlige p, q, die diese Ungleichung erfüllen.

Die Frage, wie gut sich irrationale Zahlen durch rationale approximieren las-
sen, spielte eine wichtige Rolle, um transzendente Zahlen explizit anzugeben.

Wir erinnern uns (vgl. Abschnitt 2.8), dass eine reelle oder komplexe Zahl al-
gebraisch heißt, wenn sie Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten
ist. Hat das Polynom den Grad n, so heißt die Zahl algebraisch vom Grad n. Da
ein Polynom vom Grad n höchstens n Nullstellen besitzt und es nur abzählbar
viele rationale Polynome gibt, ist die Menge aller algebraischen Zahlen abzähl-
bar. Die Menge aller reellen Zahlen ist überabzählbar. Also sind nahezu“ alle

”

reellen Zahlen nicht algebraisch, d. h. transzendent. Es ist aber schwierig, kon-
kret transzendente Zahlen anzugeben. Dies gelang Liouville 1844 zum ersten

Mal, indem er folgende Eigenschaft algebraischer Zahlen nachwies (siehe Ab-
schnitt 2.8).

Es sei r irrational und algebraisch vom Grad n. Dann gibt es c > 0 ,
so dass die Ungleichung |r − p/q| < c
qn keine ganzzahligen L¨
osungen
p, q mit q > 0 besitzt.

Der Beweis ist nicht sehr schwierig; die entscheidende Leistung des Satzes ist
es, einen Zusammenhang zwischen rationaler Approximierbarkeit und Transzen-
denz herzustellen. Es ist nun leicht, mit Hilfe von Kettenbrüchen explizit trans-
zendente Zahlen anzugeben. Wir wählen a 0 beliebig. Angenommen, a 0 , . . . , ak
sind gewählt und pk/qk ist der zugehörige Näherungsbruch. Wir wählen dann
irgendein ak+1 > qk− 1. Ist r der Wert des so konstruierten Kettenbruchs, dann
k
gilt

1

1

1
r − pk <

<

<

.

qk
qkqk+1
q 2 a
k
k+1
qk+1
k

76

3 Zahlentheorie

Sind jetzt eine natürliche Zahl n und ein c > 0 gegeben, so wähle k ≥ n so groß,
dass 1 /qk < c ist. Dann gilt |r − pk/qk| < c/qn. Also ist r keine algebraische
k

Zahl vom Grad n und somit insgesamt keine algebraische Zahl.

Reelle Zahlen r, für die es zu jedem natürlichen n und positiven c einen Bruch
p/q mit |r − p | < c
q
qn gibt, heißen Liouvillesche Zahlen. Dies sind also irrationale

Zahlen, die sich besonders gut durch rationale Zahlen approximieren lassen. Es
gibt zwar überabzählbar viele, sie haben aber das Lebesguemaß 0. Die meisten“

”

transzendenten Zahlen sind daher keine Liouvilleschen Zahlen.

Für Kettenbruchentwicklungen algebraischer Zahlen vom Grad zwei, soge-
nannter quadratischer Irrationalitäten, besagt der Satz von Liouville zusammen
mit (b) weiter oben, dass die Glieder beschränkt sind. Aber es gilt mehr. Denn
schon lange vor Liouville hat Lagrange folgende wunderbare Aussage bewiesen:

Kettenbr¨
uche quadratischer Irrationalit¨
aten sind periodisch. D. h.,
dass es l ≥ 0 und n > 0 gibt, so dass für die Folge ( ak) der Glieder
des Kettenbruchs ak+ n = ak für alle k ≥ l gilt. Umgekehrt ist der

Wert jedes periodischen Kettenbruchs eine quadratische Irrationa-
lit¨
at.

Übrigens ist die Umkehrung des Satzes von Liouville nicht richtig. Nicht jede
schlecht approximierbare reelle Zahl ist algebraisch. Im Gegenteil: Es sei ε > 0;
dann hat die Menge aller irrationalen r ∈ [0 , 1], für die ein c > 0 existiert, so
dass für alle Brüche p/q, q > 0, die Ungleichung |r − p/q| ≥ c/q 2+ ε gilt, das

Lebesguemaß 1.

Gute und schlechte rationale Approximierbarkeit spielt auch außerhalb der

Zahlentheorie eine Rolle. Bei mechanischen Systemen treten bei rationalen

Größenverhältnissen störende Resonanzen auf. Diese machen sich auch bei irra-
tionalen Verhältnissen noch bemerkbar, falls das Verhältnis eine Liouvillezahl
ist. Bei schlechter rationaler Approximierbarkeit verschwinden diese Phänome-
ne. Ein bemerkenswertes und zum Nachdenken aufforderndes Beispiel dazu ist
das einer schwingenden Saite der Länge L, deren Auslenkungen zu den Zeiten 0
und T > 0 und deren Endpunktauslenkungen während des gesamten Zeitinter-
valls [0 , T ] vorgegeben sind. Dann hat das Problem, die Auslenkung zu jedem

Zeitpunkt zu bestimmen, maximal eine Lösung, wenn das Verhältnis r = T /L
irrational ist. Ist r schlecht durch rationale Zahlen approximierbar, so kann man
zeigen, dass bei unendlich oft differenzierbaren Vorgaben auch die Lösung un-
endlich oft differenzierbar ist. Bei anderen Irrationalzahlen r kann es sein, dass
die formale Lösung, die bei irrationalem r immer existiert, unstetig oder nicht
einmal messbar ist. Die Größen L und T hängen natürlich von den gewählten

Einheiten ab. Diese sind so zu wählen, dass die Auslenkung u( x, t) der Saite die

Standardwellengleichung ∂ 2

∂t 2 u − ∂ 2

∂x 2 u = 0 erfüllt. Es bleibt aber verwunderlich,
dass die Lösbarkeit von solch subtilen Eigenschaften des Quotienten r abhängt.

3.10

Diophantische Gleichungen

77

3.10

Diophantische Gleichungen

Diophantische Gleichungen sind eigentlich gewöhnliche Gleichungen, meistens
eine endliche Familie von Gleichungen zwischen Polynomen in mehreren Va-
riablen mit ganzzahligen Koeffizienten, wie zum Beispiel X 2 + Y 2 = n oder

X 2 + Y 2 = Z 2. Diophantisch“ wird das Gleichungssystem, wenn man sich nur

”

für die ganzzahligen Lösungen interessiert. Der im 3. Jahrhundert in Alexandri-
en lebende (wahrscheinlich) griechische Mathematiker Diophantos diskutierte
in seinem Werk Arithmetika eine große Anzahl von Gleichungen dieses Typs,
insbesondere auch X 2 + Y 2 = Z 2. Diese soll Fermat zu seiner berühmten Rand-
notiz in seinem Exemplar der Arithmetika inspiriert haben. Diese Notiz besagt,
dass keine von 0 verschiedenen ganzen Zahlen die Gleichung Xn + Y n = Zn
erfüllen, wenn n > 2 ist. Er, Pierre de Fermat, habe einen wunderbaren Beweis
dieser Aussage, für den der Seitenrand leider nicht genug Platz biete. Ob Fermat
tatsächlich einen korrekten Beweis kannte, wissen wir nicht. Jedenfalls hat es
fast 350 Jahre gedauert bis zum Beweis dieser Aussage durch A. Wiles im Jahr

1994. (Die über Jahrhunderte unbewiesene Fermatsche Vermutung wurde im
deutschsprachigen Raum etwas irreführend großer Fermatscher Satz genannt.)

Die Auseinandersetzung vieler ganz großer Mathematiker mit dem Fermatschen

Problem war eine der treibenden Kräfte der algebraischen Zahlentheorie.

Das Studium der Nullstellenmenge einer endlichen Familie von Polynomen

(genannt Variet¨
at ) ist Gegenstand der algebraischen Geometrie, einer hochent-
wickelten, als schwierig angesehenen mathematischen Theorie mit weitreichen-
der Ausstrahlung in andere mathematische Gebiete und in die Physik. Darauf zu
bestehen, dass die Lösungen nur ganze Zahlen sein dürfen, erhöht den Schwie-
rigkeitsgrad weiter.

Wir beschränken uns im Folgenden nur auf die diophantischen Probleme,
die durch eine einzelne Gleichung gegeben sind, und schauen uns exemplarisch
einige Gleichungen an, die auch historisch von Bedeutung sind.

Die typische Frage bei der Behandlung einer diophantischen Gleichung ist,
ob die Gleichung keine, endlich viele oder unendlich viele ganzzahlige Lösungen
besitzt. Weiter interessiert die Frage, ob man alle Lösungen effektiv angeben
kann.

Die lineare diophantische Gleichung aX + bY = c mit ganzzahligen a, b und c
ist genau dann lösbar, wenn c ein Vielfaches des ggT( a, b) ist. Mit Hilfe des Eukli-
dischen Algorithmus erhält man ganze Zahlen e und f mit ae + bf = ggT( a, b)

(siehe Abschnitt 3.1). Damit sind x 0 = ec/ ggT( a, b) und y 0 = f c/ ggT( a, b)

Lösungen. Jede andere Lösung erhalten wir, indem wir e, f durch e + kb, f − ka,
k ∈ Z, ersetzen.

Deutlich interessanter sind quadratische Gleichungen. Z. B. gibt es für n ≡

3 mod 4 keine ganzzahligen Lösungen von X 2 + Y 2 = n. Denn dann ist eines
von X, Y ungerade und das andere gerade. Die Summe der Quadrate ist folglich

78

3 Zahlentheorie
kongruent 1 mod 4. Ist n eine Primzahl p ≡ 3 mod 4, so gilt umgekehrt, dass
p Summe zweier Quadrate ist. Da 2 = 12 + 12 ist, haben wir dazu nur zu
zeigen, dass für eine ungerade Primzahl p mit p ≡ 1 mod 4 auf dem Kreis
x 2 + y 2 = p ein Punkt mit ganzzahligen Koordinaten liegt. Dazu betrachten wir
die Menge G aller Punkte mit ganzzahligen Koordinaten im Quadrat {( x, y) |

0 ≤ x ≤ √p, 0 ≤ y ≤ √p}. Sie enthält mehr als p Punkte. Deshalb gibt es
zu jeder ganzen Zahl r zwei verschiedene Punkte ( x, y) und ( x, y) aus G mit
x − ry ≡ x − ry mod p. Da − 1 ein quadratischer Rest mod p ist, wenn p ≡ 1
mod 4 ist (siehe Abschnitt 3.7), gibt es r mit r 2 ≡ − 1 mod p. Nehmen wir ein
solches r, dann gilt für a = |x − x|, b = |y − y| die Gleichung a 2 + b 2 = p.

Nutzt man weiter die Tatsache, dass ein Produkt zweier Zahlen eine Summe
von zwei Quadraten ist, wenn die Faktoren es sind, so erhält man allgemein die

Aussage, dass n ≥ 0 genau dann eine Summe von zwei Quadraten ist, wenn in
der Primfaktorzerlegung von n die Primzahlen, die mod 4 zu 3 kongruent sind,
mit geradem Exponenten auftreten. Weiterhin gibt es zu gegebenem n höchstens
ein ungeordnetes Paar positiver ganzer Zahlen x, y mit x 2 + y 2 = n.

Es ist auch nicht jede nichtnegative Zahl Summe von drei Quadraten, aber

Lagrange konnte zeigen:

Jede nichtnegative ganze Zahl ist Summe von vier Quadraten.

Anstelle von Summen von Quadraten kann man allgemeiner Summen k-ter Po-
tenzen betrachten. Das Waringsche Problem, ob es zu jedem k eine Zahl w( k)

gibt, so dass jede natürliche Zahl Summe von w( k) k-ten Potenzen ist, wurde

Anfang des letzten Jahrhunderts von David Hilbert positiv beantwortet.

Bei einer homogenen Gleichung wie X 2 + Y 2 = Z 2 interessiert man sich nur
für von (0 , 0 , 0) verschiedene Lösungen ( x, y, z) mit ggT( x, y, z) = 1, da alle
anderen Lösungen ganzzahlige Vielfache davon sind. Division durch ±z ergibt
einen rationalen Punkt auf dem Einheitskreis x 2 + y 2 = 1. Umgekehrt erhält
man durch Multiplikation mit dem Hauptnenner der Koordinaten eines rationa-
len Punkts des Einheitskreises eine Lösung von X 2 + Y 2 = Z 2. Man rechnet nun
leicht nach, dass ein von ( − 1 , 0) verschiedener Punkt ( x, y) des Einheitskreises
genau dann rational ist, wenn die Steigung der durch ( − 1 , 0) und ( x, y) gehenden

Geraden rational ist. Damit lassen sich alle relativ primen Lösungstripel bestim-
men: Bis auf Reihenfolge der ersten beiden Zahlen und bis auf Vorzeichen sind
dies genau die Tripel der Form ( s 2 −r 2 , 2 rs, s 2 + r 2) mit s > r ≥ 0, ggT( s, r) = 1
und s − r ≡ 0 mod 2. Die positiven ganzzahligen Lösungen von X 2 + Y 2 = Z 2
heißen in Anlehnung an den Satz von Pythagoras Pythagor¨
aische Tripel. Geord-
net nach der Größe ihrer z-Koordinaten sind (3 , 4 , 5) , (5 , 12 , 13) , (15 , 8 , 17), und (7 , 24 , 25) die ersten vier relativ primen Pythagoräischen Tripel.

Eine weitere diophantische Gleichung historischen Ursprungs ist die Pellsche

Gleichung

X 2 − dY 2 = 1 .

3.11

Elliptische Kurven

79

Hier betrachten wir nur positive d’s, die keine Quadrate sind. Die anderen Fälle
sind leicht zu behandeln. Ebenso betrachten wir nur positive Lösungen, da sich
die anderen daraus ergeben. Die Gleichung ist interessant, da die Quotienten

√
ihrer Lösungen gute rationale Approximationen an
d sind und deshalb mit

Kettenbrüchen zu tun haben (siehe die Abschnitte 3.8 und 3.9). Denn ist ( a, b)

√

√
eine Lösung, so gilt ( a + b d)( a − b d) = ± 1, also

√
a −

1

1

1
d =

√

=

√

<

.

b
b( a + b d)

b 2( a/b +
d)

2 b 2

Wie wir aus dem Abschnitt über Kettenbrüche wissen, ist dann a/b ein Nähe-

√
rungsbruch von
d. Da Näherungsbrüche eindeutig bestimmte Zähler und Nen-
ner haben, müssen wir zum Lösen der Pellschen Gleichung nur noch wissen, wel-
che Näherungsbrüche zu Lösungen gehören. Es ist ein Satz von Lagrange (siehe

Abschnitt 3.9), dass die Kettenbrüche quadratischer Irrationalitäten periodisch
sind. Bei irrationalen Wurzeln beginnt die Periode mit dem ersten Glied. Es gibt

√

√
also zu jedem irrationalen
d ein p > 0 mit
d = [ a 0 , a 1 , . . . , ap, a 1 , . . . , ap, . . . ].

Damit können wir leicht alle Näherungsbrüche bestimmen und überprüfen, wel-
che die Pellsche Gleichung lösen. Mit den bisherigen Bezeichnungen lautet das

Ergebnis:

√

Es sei pn/qn der n-te N¨
aherungsbruch von
d = [ a 0 , a 1 , . . . , ap,
a 1 , . . . , ap, . . . ] . Dann sind die positiven Lösungen der Gleichung

X 2 − dY 2 = 1 genau die Paare ( pn, qn) , für die n die Form kp − 1 ,
k > 0 , hat und ungerade ist. Insbesondere hat X 2 − dY 2 = 1 stets
unendlich viele L¨
osungen.

3.11

Elliptische Kurven

Insgesamt sind quadratische diophantische Gleichungen (und Gleichungssys-
teme) gut verstanden. Hat man überhaupt eine rationale Lösung, so erhält
man wie bei der Gleichung x 2 + y 2 = 1 eine Parametrisierung aller rationa-
len Lösungen durch Tupel rationaler Zahlen. Die Existenz überprüft man mit
dem Minkowski-Hasse-Prinzip (Lokal-Global-Prinzip) (vgl. Abschnitt 2.11), das
grob Folgendes besagt: Haben die Gleichungen eine reelle Lösung und für alle m
eine sogenannte primitive Lösung in Z /m Z, so haben sie auch rationale Lösun-
gen. Schon für Gleichungen dritten Grades gilt das Minkowski-Hasse-Prinzip
allerdings nicht mehr.

Hat man aber im Falle einer homogenen diophantischen Gleichung dritten

Grades mit drei Unbekannten eine ganzzahlige Lösung, so können wir eine abel-
sche Gruppenstruktur auf der Lösungsmenge nutzen, um aus einer oder mehre-
ren Lösungen neue zu gewinnen. In diesem Falle lässt sich nämlich die Gleichung
durch einen rationalen Koordinatenwechsel in die Form Y 2 Z = X 3+ aXZ 2+ bZ 3

80

3 Zahlentheorie
oder, nach Division durch Z, in die Form y 2 = x 3 + ax + b mit rationalen a, b
bringen. Die durch diese Gleichungen beschriebenen Kurven heißen elliptische

Kurven, nicht weil die Kurven Ellipsen sind, sondern weil Integrale der Form

dx

√
beim Berechnen der Längen von Ellipsensegmenten auftreten. Wir
x 3+ ax+ b
suchen dann wieder nach den rationalen Punkten dieser Kurven. Bei der Di-
vision durch Z ist uns die nichttriviale Lösung (0 , 1 , 0) verloren gegangen, die
wir als unendlich fernen Punkt der Kurve hinzufügen. Dieser ist das Nullele-
ment einer auf der Kurve definierten abelschen Gruppenstruktur, die man im

Fall, dass 4 a 3 + 27 b 2 = 0 ist, geometrisch beschreiben kann. Sind P , Q Punkte
der Kurve, so schneidet die Gerade durch P und Q die Kurve in genau einem
weiteren Punkt R, wobei im Fall einer vertikalen Geraden R der unendlich
ferne Punkt ist. Ist P = Q, so ist die Gerade durch P und Q die Tangente an
die Kurve in P . Die Summe P + Q von P und Q ist dann der Spiegelpunkt

R von R bezüglich der Spiegelung an der x-Achse, wobei der unendlich ferne

Punkt sein eigener Spiegelpunkt ist. Die Punkte mit rationalen Koordinaten
bilden dabei eine Untergruppe, so dass wir weitere rationale Punkte erhalten,
indem wir bezüglich dieser Gruppenstruktur Vielfache eines oder ganzzahlige

Linearkombinationen mehrerer rationaler Punkte bilden.

Die Struktur dieser Untergruppe ist verbunden mit vielen wichtigen Ergeb-
nissen und Problemen der Zahlentheorie. Ein Satz von Mordell besagt, dass sie
für jede elliptische Kurve endlich erzeugt ist, sie also isomorph zu einer direkten

Summe einer endlichen abelschen Gruppe und Z k ist für ein geeignetes k ≥ 0

(vgl. Abschnitt 6.6). Das k hängt natürlich von der elliptischen Kurve, also
von a und b ab. Die Birch-und-Swinnerton-Dyer-Vermutung, eines der sieben

Millenniumsprobleme des Clay Mathematical Institute, behauptet, dass k die

Ordnung des Pols bei 1 einer der elliptischen Kurve zugeordneten ζ-Funktion
ist. Ein weiteres offenes Problem ist, ob die Menge dieser k beschränkt ist.

Die Gruppenstruktur elliptischer Kurven spielt auch in der Kryptographie
eine wichtige Rolle, wobei hier die Lösungen über einem endlichen Körper be-
trachtet werden. Das Verfahren beruht darauf, dass es bei gegebener elliptischer

Kurve E und gegebenem Element b ∈ E leicht ist, das Vielfache nb in E zu be-
rechnen, dass es aber bei genügend großem Körper und vernünftiger Wahl von

E und b ungemein schwierig ist, bei Kenntnis von E, b und nb die natürliche

Zahl n zu bestimmen.

3.12

Zahlk¨
orper

Dieser Abschnitt setzt Vertrautheit mit einigen Begriffen und Aussagen aus

Kapitel 6 voraus, insbesondere aus den Abschnitten über Körpererweiterun-
gen (6.9) und über Ideale und Teilbarkeit (6.5). Denn ein Zahlkörper ist nichts
anderes als eine endliche Körpererweiterung von Q. Bis auf Isomorphie ist

3.12

Zahlkörper

81
ein Zahlkörper damit ein Unterkörper K von C, der als Vektorraum über Q
endlich-dimensional ist. Beachte, dass Q ⊆ K ist und damit die Multiplika-
tion in K den Körper K zu einem Q-Vektorraum macht. Alle Elemente von

K sind dann algebraisch (vgl. Abschnitt 2.8). Das Hauptinteresse an einem

Zahlkörper K gilt nicht K selbst, sondern seinem Ring OK ganz-algebraischer

Zahlen. Das sind die Elemente aus K, die Nullstellen eines Polynoms der Form

Xn + an− 1 Xn− 1 + · · · + a 1 X + a 0 mit ganzzahligen a 0 , . . . , an− 1 sind. Beachte, dass jedes Element von K Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen

Koeffizienten ist. Für eine ganz-algebraische Zahl muss zusätzlich der höchste

Koeffizient gleich 1 sein. Ein solches Polynom nennen wir normiert. Wir werden
gleich sehen, dass OK für K eine ganz analoge Rolle spielt wie Z für Q.

Offensichtlich ist jedes n ∈ Z als Nullstelle von X − n ganz-algebraisch. Es
gibt keine weiteren ganz-algebraischen Zahlen in Q. Denn sind a und b relativ
prime ganze Zahlen und gilt ( a ) n + a

) n− 1 + · · · + a
b
n− 1( a
b

0 = 0, so ist an +
ban− 1 an− 1 + · · · + bna 0 = 0; also ist jeder Primteiler von b ein Teiler von a.

Da ggT( a, b) = 1 ist, ist b = ± 1 und deshalb a ∈ Z. Dies rechtfertigt den
b

Namensteil ganz“ in ganz-algebraisch. Zur Vereinfachung der Sprechweise ist

”

es günstig, ganz-algebraische Zahlen einfach ganz zu nennen und die Elemente
aus Z rationale ganze Zahlen zu nennen. Analog heißen die Primelemente von

OK einfach prim und die gewöhnlichen Primzahlen rationale Primzahlen.

√

Betrachten wir den Zahlkörper Q( i), i =

− 1. Ganz allgemein ist ein Ele-
ment x eines Zahlkörpers ganz, wenn sein Minimalpolynom ganzzahlig ist. Ein

Element von Q( i) ist also ganz, wenn es Nullstelle eines ganzzahligen normier-
ten Polynoms vom Grad höchstens 2 ist. Man rechnet leicht nach, dass dies
genau die Elemente der Form a + ib mit a, b ∈ Z, also die Elemente des Rings

Z[ i] sind. Die Elemente von Z[ i] heißen auch Gaußsche ganze Zahlen. Sie sind
die ganzzahligen Gitterpunkte der Gaußschen Zahlenebene. Für die Teilbar-
keitstheorie ist wichtig, wie die Einheiten, unzerlegbaren Elemente und Prim-
elemente aussehen und ob die eindeutige Primfaktorzerlegung gilt. Für diese

Fragen ist die Normabbildung N von Z[ i] in die nichtnegativen ganzen Zahlen,

N ( a+ ib) = ( a+ ib)( a−ib) = a 2 + b 2, sehr nützlich. Diese Abbildung ist multipli-
kativ, so dass genau die Zahlen mit Norm 1 Einheiten sind. Das sind die Zahlen

± 1 , ±i. Weiter gibt es zu α, β ∈ Z[ i] mit β = 0 Zahlen q, r ∈ Z[ i] mit α = qβ + r und N ( r) < N ( β). Damit ist Z[ i] ein euklidischer Ring und insbesondere ein

Hauptidealring, so dass Primelemente und unzerlegbare Elemente dasselbe sind
und die eindeutige Primfaktorisierung gilt.

Interessant ist auch die Bestimmung der Primelemente. Ist z = a + ib prim,
so teilt z eine rationale Primzahl p, da N ( z) ein Produkt rationaler Primzahlen
ist. Also ist N ( z) Teiler von N ( p) = p 2 und deshalb N ( z) = p oder N ( z) = p 2.

Ist N ( z) = p, so ist zum einen p nicht prim in Z[ i], und p ist Summe von zwei

Quadraten. Wir sehen, dass die rationale Primzahl p genau dann Summe von
zwei Quadraten ist, wenn p in Z[ i] nicht mehr prim ist. Aus Abschnitt 3.10
wissen wir, dass genau die zu 3 mod 4 kongruenten Primzahlen keine Summe

82

3 Zahlentheorie
von zwei Quadraten sind. Diese bleiben also prim in Z[ i]. Bis auf Multiplikation
mit Einheiten gibt es keine weiteren Primelemente. Denn ist N ( z) = p 2 = N ( p),
so unterscheiden sich p und z um eine Einheit, so dass p wie z ein Primelement
ist. Interessant ist auch, dass 2 = −i(1 + i)2 bis auf eine Einheit ein Quadrat
ist. Die anderen rationalen Primzahlen bleiben entweder prim oder zerfallen in
ein Produkt zweier echt verschiedener Primelemente.

Kommen wir wieder zurück zu allgemeinen Zahlkörpern K. Dass OK
tatsächlich ein Ring ist, ist nicht unmittelbar der Definition zu entnehmen. Es
folgt aber mit ähnlichen Argumenten, wie der Nachweis in Abschnitt 2.8, dass
die algebraischen Zahlen einen Körper bilden. Diese Argumente zeigen auch,
dass ein Element von K, das Nullstelle eines normierten Polynoms mit Koeffi-
zienten in OK ist, schon selbst in OK liegt. Jedes Element x ∈ K hat die Form
a/b mit a ∈ OK und b ∈ Z. Denn ist x Nullstelle des ganzzahligen Polynoms
bXn + an− 1 Xn− 1 + · · ·+ a 1 X + a 0, so ist ( bx) n +( bx) n− 1 an− 1 + · · ·+ bn− 1 a 0 = 0, also bx ∈ OK. Insbesondere ist K der Quotientenkörper (vgl. Abschnitt 6.7) von

OK .

Die letzten Aussagen bestärken die Analogie zwischen OK ⊆ K und Z ⊆ Q.

Wir haben aber schon am Beispiel von Z[ i] gesehen, dass zu ± 1 weitere Einheiten
hinzukommen und Primzahlen von Z in OK nicht mehr prim zu sein brauchen.

Aber, und darauf hat uns das Beispiel Z[ i] nicht vorbereitet, die Unterschiede
werden gravierender und mathematisch interessanter, wenn wir uns der Frage
der Eindeutigkeit von Faktorisierungen in unzerlegbare Elemente in OK zuwen-
den. Dies geschieht nicht nur aus Freude am Verallgemeinern, sondern man wird
durch konkrete Fragen über ganze Zahlen darauf geführt. Um z. B. die Fermat-
sche Vermutung zu zeigen, genügt es nachzuweisen, dass Xp + Y p = Zp für unge-
rade Primzahlen p keine ganzzahligen von Null verschiedenen Lösungen hat. Ist
ζ = e 2 πi/p, so ist Z[ ζ] der Ring der ganzen Zahlen von Q( ζ), und in Z[ ζ] gilt für
ganzzahlige y und z die Gleichung zp−yp = ( z−y)( z−ζy)( z−ζ 2 y) · · · ( z−ζp− 1 y).

Ein Gegenbeispiel zur Fermatvermutung führt daher zu zwei verschiedenen Fak-
torisierungen von xp, und man kann daraus folgern, dass im Ring Z[ ζ] die Fak-
torisierung in unzerlegbare Elemente anders als in Z nicht eindeutig ist. Man er-
hielte somit einen Widerspruch, wenn Faktorisierungen in Z[ ζ] eindeutig wären.

Dies wäre ein wirklich einfacher Beweis der Fermatschen Vermutung. Aber in

Z[ ζ] ist leider die Faktorisierung selten eindeutig.

√

Der Ganzheitsring von Q( − 5) ist ein einfaches Beispiel eines Ganzheitsrings,

√
in dem die Faktorisierung nicht eindeutig ist. Ganz allgemein gilt für K = Q( d)

mit ganzem quadratfreien d, dass

√

{a + b d | a, b ∈ Z },
d ≡ 1 mod 4

OK =

√

{a+ b d | a, b ∈ Z und a − b ≡ 0 mod 2 }, d ≡ 1 mod 4 .

2

√

Im Ganzheitsring von K = Q( − 5) haben wir die Gleichung 2 · 3 =

√

√

(1+

− 5)(1 − − 5). Man kann zeigen, dass alle vier Faktoren in OK unzerlegbar

3.12

Zahlkörper

83

√
sind. Hierzu kann man wieder die Norm nutzen, die hier a + b − 5 auf a 2 + 5 b 2

√

√
abbildet. Da 1 ± − 5 und 1 ± − 5 nicht in O

2

3

K liegen und damit keine Einheiten
von OK sein können, ist die Faktorzerlegung nicht eindeutig. Diese zunächst
überraschende Tatsache war der Anstoß zu einer der fruchtbarsten Ideen der
klassischen Algebra: der Einführung der Ideale. Zunächst von E. E. Kummer
als ideale Zahlen“ in einem größeren Zahlbereich gedachte Zahlen, um die ein-

”

deutige Faktorisierung zu retten, wurde die Idee von R. Dedekind in unserem
heutigen Idealbegriff konkretisiert.

Verfolgen wir also die Idee, die Elemente von OK durch die Ideale von OK
zu ersetzen. Zunächst definiert jedes r ∈ OK das Hauptideal ( r) = rOK al-
ler Vielfachen von r in OK . Schon dieser Übergang birgt ein Problem, da ein

Hauptideal sein erzeugendes Element nur bis auf Multiplikation mit einer Ein-
heit festlegt: Für r, s ∈ OK ist ( r) = ( s) genau dann, wenn es eine Einheit e
von OK gibt, so dass s = er ist. Daher ist die Einheitengruppe von OK wichtig
für uns, und wir werden weiter unten darauf eingehen. Auf der anderen Sei-
te verlangt man bei der eindeutigen Primfaktorzerlegung die Eindeutigkeit der

Faktoren nur bis auf Multiplikation mit einer Einheit. Für diese Frage der Ein-
deutigkeit ist es also angenehm, dass für Hauptideale Einheiten sich nicht vom

Einselement unterscheiden.

Ideale können wir multiplizieren und für sie eine Teilbarkeitstheorie entwickeln

(siehe Abschnitt 6.6): Das Produkt IJ der Ideale I und J ist das kleinste Ideal,
das alle Produkte ij, i ∈ I, j ∈ J, enthält; I teilt J, wenn J ⊆ I ist, und P ist
ein Primideal, wenn für je zwei Ideale I, J das Ideal P eines der Ideale I und J
enthält, wenn IJ ⊆ P ist (vgl. Abschnitt 6.6). Die Frage, ob sich jedes Ideal von

OK eindeutig in ein Produkt von Primidealen zerlegen lässt, ist also sinnvoll.

Und tatsächlich, der Übergang von den Elementen in OK zu den Idealen zahlt
sich aus, denn:

Jedes von 0 und R verschiedene Ideal in OK l¨
asst sich bis auf Rei-
henfolge eindeutig in ein Produkt von Primidealen zerlegen.

Dies liegt daran, dass OK ein Dedekind-Ring ist. Das ist ein nullteilerfreier kom-
mutativer Ring R mit 1, in dem jedes Ideal endlich erzeugt ist, jedes über R
ganze Element des Quotientenkörpers schon in R liegt und jedes von 0 verschie-
dene Primideal maximal ist. Diese drei Eigenschaften genügen, um die Existenz
und Eindeutigkeit von Primidealfaktorisierungen in R nachzuweisen.

√

√

Kommen wir zurück zum Ganzheitsring Z[ − 5] von Q( − 5) und betrachten

√

√

√
in ihm die drei Ideale I = (2 , 1 +

− 5), J = (3 , 1 + − 5) und L = (3 , 1 − − 5).

Dabei bezeichnet ( a, b), das kleinste Ideal, das a und b enthält. Diese Ideale sind

√
maximal, also prim, und eine kleine Rechnung zeigt, dass (2) = I 2, (1 +

− 5) =

√

IJ , (1 −

− 5) = IL und (3) = JL ist. Also ist I 2 JL die Primidealzerlegung

√

√
von (2)(3) = (1 +

− 5)(1 − − 5).

Keines der drei Ideale I, J oder L ist ein Hauptideal, da sonst die Elemente

√

2, 3 und 1 ±

− 5 zerlegbar wären. Dass beim Übergang von den Elementen

84

3 Zahlentheorie
zu den Idealen Ideale hinzukommen würden, die keine Hauptideale sind, war
unumgänglich, da in einem Hauptidealring die eindeutige Primfaktorzerlegung
gilt. Die Frage ist, wie viel kommt hinzu?

Im Folgenden wollen wir aus naheliegenden Gründen das Nullelement und

Nullideal (0) aus unseren Betrachtungen ausschließen. Wollen wir jedes Ideal I
als äquivalent zu ( r) I ansehen, so führt das zu folgender Definition: Die Ideale I
und J heißen äquivalent, wenn es Elemente r und s gibt mit ( r) I = ( s) J . Dies ist
eine Äquivalenzrelation, und die Anzahl hK der Äquivalenzklassen ist ein Maß
dafür, um wie viel der Idealbereich größer ist als der Bereich der Hauptideale.

Sie heißt Klassenzahl des Zahlk¨
orpers K. Es ist ein grundlegendes Ergebnis der
algebraischen Zahlentheorie, dass hK für jeden Zahlkörper K endlich ist. Sie
zu bestimmen ist nicht leicht und ist eine der großen Herausforderungen der

Theorie.

Kommen wir noch einmal zurück zur Frage, ob Xp + Y p = Zp für ungera-
de Primzahlen p von 0 verschiedene ganzzahlige Lösungen besitzt. Wir hatten
bemerkt, dass solche Lösungen nicht existieren, wenn in Z[ ζp] die eindeutige

Primfaktorzerlegung gilt, also wenn h Q( ζp) = 1 ist. Kummer konnte zeigen, dass
man die Argumentation bei von 1 verschiedener Klassenzahl retten kann, wenn
man weiß, dass p die Klassenzahl von Q( ζp) nicht teilt. Die Primzahlen p, die
h Q( ζp) nicht teilen, heißen reguläre Primzahlen.

Die Klassenzahl eines imaginär-quadratischen Zahlkörpers, d. h. eines Körpers

√

Q( d) mit quadratfreiem negativem d, ist genau dann 1, wenn d = − 1, − 2, − 3,

− 7, − 11, − 19, − 43, − 67, − 163. Dies wurde von Gauß vermutet, aber erst Mitte
des 20. Jahrhunderts bewiesen. Bei reell-quadratischen Zahlkörpern tritt Klas-
senzahl 1 viel häufiger auf. Es wird vermutet, dass dies unendlich oft geschieht.

Man weiß aber bis heute nicht, ob es überhaupt unendlich viele Zahlkörper mit

Klassenzahl 1 gibt.

Anders als die Klassenzahl ist die Gruppe O∗ der Einheiten fast immer unend-

K
lich. Nur für imaginär-quadratische Zahlkörper ist sie endlich, und man erhält:

√

Sei K = Q( d) mit negativem quadratfreiem d, so ist O∗ = { 1 , − 1 }, es sei

K
denn, d = − 1 , − 3. Für d = − 1 ist OK = Z[ i], der Ring der Gaußschen ganzen

Zahlen, und O∗ ist zyklisch von der Ordnung 4 mit i als Erzeugendem. F

K
ür
d = − 3 ist O∗ zyklisch von der Ordnung 6 mit ζ

K

6 als Erzeugendem.

Ist d quadratfrei und positiv, also K ein reell-quadratischer Zahlkörper, so

√
sind alle Elemente a+ b d ∈ OK, für die ( a, b) ganzzahlige Lösung der Pellschen

√

√

Gleichung a 2 − db 2 = ± 1 ist, Einheiten, denn es gilt dann ( a + b d)( a − b d) =

± 1. Ist d ≡ 1 mod 4, so sind dies alle Einheiten, wie man an der multiplikativen

√

Normabbildung OK → Z , a + b d → a 2 − db 2 erkennt. Im anderen Fall kommen

√
noch die Elemente a+ b d mit ungeraden a, b hinzu, für die a 2 −db 2 = ± 1 gilt. Die

2

4

Pellsche Gleichung hat unendlich viele ganzzahlige Lösungen (Abschnitt 3.10).

Also ist O∗ f

K
ür reell-quadratische Zahlkörper K stets unendlich.

4 Diskrete Mathematik

Die diskrete Mathematik untersucht endliche Strukturen, also endliche Men-
gen samt ihren Relationen und Funktionen. Neben allgemeinen Struktursätzen
sind hier vor allem auch Algorithmen von Interesse, die bestimmte kombinatori-
sche Objekte effizient konstruieren. Algorithmisch gelöste Optimierungsproble-
me bestimmen auch die vielen Anwendungen der diskreten Mathematik in der

Informationstechnologie.

Wir beginnen mit einigen kombinatorischen Verfahren zur rechnerischen Be-
stimmung der Anzahl der Elemente von endlichen Mengen. Diese Zählungen
spielen nicht zuletzt auch in der elementaren Wahrscheinlichkeitstheorie eine
wichtige Rolle. Im zweiten Abschnitt führen wir die grundlegenden Begriffe und

Sprechweisen der Graphentheorie ein. Sie sind für die diskrete Mathematik von
universeller Bedeutung, da sie immer eingesetzt werden können, wenn Relatio-
nen auf endlichen Mengen untersucht werden. Viele Fragestellungen der diskre-
ten Mathematik erlauben eine elegante graphentheoretische Formulierung.

In den zehn folgenden Abschnitten stellen wir dann, in loser historischer Rei-
henfolge, wichtige Grundbegriffe der Theorie vor, oft zusammen mit Algorith-
men und exemplarischen Beispielen. Wir beginnen mit den klassischen Euler-

Zügen, in denen die Graphentheorie historisch wurzelt. Begrifflich verwandt,
aber viel komplizierter sind die Hamilton-Kreise, die wir zusammen mit dem
noch ungelösten P = NP-Problem besprechen. Die Bäume sind das Thema
des fünften Abschnitts. Wir diskutieren aufspannende Teilbäume von Graphen,
werfen aber auch einen Blick auf den Baumbegriff der Ordnungstheorie und das
fundamentale Lemma von König. Der sechste Abschnitt beginnt mit dem ele-
mentaren Dirichletschen Taubenschlagprinzip und stellt dann den berühmten

Satz von Ramsey in der Sprechweise der Färbungen vor. Danach wenden wir
uns den bipartiten Graphen zu und besprechen den Heiratssatz in verschiedenen

Varianten. Im achten Kapitel isolieren wir ausgehend von der Frage nach der

Konstruktion von aufspannenden Bäumen mit minimalem Gewicht den Begriff
eines Matroids und die zugehörigen Greedy-Algorithmen. Im neunten Kapitel
definieren wir Netzwerke und Flüsse und stellen den Min-Max-Satz über maxi-
male Flüsse und minimale Schnitte vor. Kürzeste Wege in gewichteten Graphen
sind das Thema des zehnten Kapitels – die Algorithmen dieser Fragestellung
sind die Grundlage der modernen Routenplanung. Das elfte Kapitel behandelt
die effektive Transitivierung von Relationen mit Hilfe von Matrizen. Wir schlie-
ßen mit den planaren Graphen, die von der Eulerschen Polyederformel über das

Vierfarbenproblem bis zum modernen Begriff eines Minors einen weiten Bogen
spannen, der die vielen Facetten der Theorie besonders schön widerspiegelt.

O. Deiser et al., 12 x 12 Schlüsselkonzepte zur Mathematik,

DOI 10.1007/978-3-8274-2298-9_4, © Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2011

86

4 Diskrete Mathematik

4.1

Kombinatorisches Z¨
ahlen

Eine Grundaufgabe der endlichen Kombinatorik ist das Zählen der Elemente
von endlichen Mengen. Für eine endliche Menge M ist die M¨
achtigkeit oder

Kardinalit¨
at von M , in Zeichen |M |, definiert als die Anzahl der Elemente von

M . Die einfachsten für alle endlichen Mengen M und N gültigen Zählungen
sind:

|M ∪ N| = |M| + |N| − |M ∩ N|, |M × N| = |M| · |N|, |MN| = |N||M|,
wobei M N = {f | f : M → N }. Die letzte Aussage können wir so begründen:

Definieren wir eine Funktion f von M nach N , so haben wir, für jedes x ∈ M ,
genau |N | Möglichkeiten zur Definition von f ( x). Insgesamt gibt es dann |N ||M|

Funktionen von N nach M . (Einen strengeren Beweis liefert eine Induktion nach

|M|.) Ähnliche Argumente zeigen, dass für alle Mengen M und N mit |M| = m
und |N | = n gilt:

|{f: M → N | f ist injektiv }| = n( n − 1) · · · ( n − m + 1) = n! /( n − m)! ,

|{f: N → N | f ist bijektiv }| = n!

Speziell gibt es also n! Permutationen der Zahlen 1 , . . . , n.

Eines der wichtigsten Prinzipien des kombinatorischen Zählens lautet, dass

|M| = |N| genau dann gilt, wenn es eine Bijektion f: M → N gibt (vgl. hier-
zu auch Abschnitt 12.1). Eine Anwendung dieses Prinzips ist die Zählung der

Potenzmenge P( M) einer Menge M. Hier gilt:

|P( M) | = |M { 0 , 1 }| = 2 |M|.

Zum Beweis ordnen wir einem A ⊆ M die Indikatorfunktion χA: M → { 0 , 1 }

mit χA( x) = 1, falls x ∈ A, χA( x) = 0, falls x /

∈ A, zu. Die Funktion F :

P( M) → M{ 0 , 1 } mit F ( A) = χA für alle A ⊆ M ist bijektiv, und hieraus folgt die Behauptung.

Ist |M | = n und M = {x 1 , . . . , xn}, so können wir in ähnlicher Weise ein

A ⊆ M mit einem 0-1-Tupel ( a 1 , . . . , an) identifizieren: Wir setzen ai = 1, falls
xi ∈ A, und ai = 0 sonst. Dieser Übergang erlaubt uns, mengentheoretische

Operationen als Rechenoperationen mit 0-1-Tupeln darzustellen. Der Schnitt-
bildung entspricht die punktweise Minimumsbildung von 0-1-Tupeln, der Kom-
plementbildung der Tausch von 0 und 1, usw. Der Menge A = {x 1 , x 3 } entspricht
z. B. das Tupel 10100, und Ac entspricht dem Tupel 01011.

Statt alle Teilmengen einer Menge M mit n Elementen zu zählen, können
wir für jedes k ≤ n fragen: Wie viele Teilmengen von M gibt es, die genau k

Elemente besitzen? Wir definieren hierzu

[ M ] k = Pk( M ) = {A ⊆ M | |A| = k}.

4.1

Kombinatorisches Zählen

87

Es gilt nun |[ M ] k| = n , wobei die Binomialkoeffizienten n [gelesen: n über
k
k

k] definiert sind durch n = n! /(( n − k)! k!).

k

Zur Begründung von |[ M ] k| = n beobachten wir, dass es genau n · ( n − 1) ·
k

. . . · ( n − k + 1) = n! /( n − k)! Tupel ( a 1 , . . . , ak) mit paarweise verschiede-
nen Einträgen ai in { 1 , . . . , n} gibt. Für jedes derartige Tupel ( a 1 , . . . , ak) gibt
es aber genau k! Tupel ( b 1 , . . . , bk) mit {a 1 , . . . , ak} = {b 1 , . . . , bk}. Damit ist

|[ M] k| = n · . . . · ( n − k + 1) /k! = n .

k

Ein hübsches Korollar der Bestimmung der Mächtigkeit von [ M ] k ist die Sum-

menformel
n

= 2 n, die sich aus P( M) =

[ M ] k (mit paar-

0 ≤k≤n
k

0 ≤k≤n
weise disjunkten Summanden) ergibt.

Lesen wir Teilmengen von M wieder als

S

0-1-Tupel der Länge |M |, so ergibt unsere

Zählung von [ M ] k noch eine weitere Interpre-

tation der Binomialkoeffizienten:

n
ist die
k

…

Anzahl der 0-1-Tupel der Länge n mit ge-

nau k vielen Einsen. Damit ist n die Anzahl
k

1
k
n + 1
der Möglichkeiten, k Murmeln auf n Plätze zu
verteilen.

Ebenso gibt es
n

Zick-Zack-Pfade im obenstehenden Diagramm, die in n
k

Schritten vom Startpunkt S der ersten Zeile zum ( k + 1)-ten Punkt der ( n + 1)-
ten Zeile führen, wobei man bei jedem Schritt entweder um eins nach links oder
rechts unten gehen darf.

Weitere Zählungen, die die Binomialkoeffizienten involvieren, sind z. B.:

|{( a
n

1 , . . . , ak) | 1 ≤ a 1 < . . . < ak ≤ n}| = |[ { 1 , . . . , n}] k| =

,
k

|{( a
n

1 , . . . , ak) | 1 ≤ a 1 ≤ . . . ≤ ak ≤ n}| = |[1 , . . . , n + k − 1] k| =

.

n+ k− 1

Die Bezeichnung Binomialkoeffizienten“ rührt daher, dass die Werte n beim

”

k

Ausmultiplizieren von Binomen ( x + y) n auftauchen. Es gilt die binomische

Formel

n

( x + y) n =
xkyn−k.

k

0 ≤k≤n

In der Tat wählen wir beim distributiven Ausmultiplizieren von ( x + y) n n-
oft entweder x oder y. Wählen wir k-oft x, so erhalten wir den Term xkyn−k.

Nun ist die Wahl k-oft x“ auf n -viele Weisen möglich, und wir erhalten die

”

k
binomische Formel.

Eine Umformulierung unserer Zählung von [ M ] k lautet: n ist die Anzahl der
k

Möglichkeiten, eine Menge mit genau n Elementen so in zwei nummerierte Teile
zu zerlegen, dass der erste Teil k und der zweite Teil n − k Elemente besitzt.

Dies suggeriert folgende allgemeinere Frage: Wieviele Möglichkeiten gibt es, eine

Menge M mit genau n Elementen so in r nummerierte Teile zu zerlegen, dass der
i-te Teil genau ki-viele Elemente besitzt? Diese Zahl ist für alle k 1 , . . . , kr ≥ 0
mit k 1 + · · · + kr = n von Null verschieden. Eine Analyse des Problems ergibt,

88

4 Diskrete Mathematik

dass die gesuchte Anzahl gleich
n

= n! /( k
k 1 ...kr

1! . . . kr !) ist. Diese Werte sind
als Multinomialkoeffizienten bekannt. Analog zur binomischen Formel gilt

n

( x 1 + · · · + xr) n =
xk 1 · . . . · xkr
r ,
k

1

1 . . . kr

0 ≤ki≤n,k 1+ ···+ kr= n
der sog. Multinomialsatz .

4.2

Graphen

Wir betrachten Diagramme der folgenden Art: Wir zeichnen Punkte auf ein

Papier und verbinden einige Punkte mit einer Linie oder auch einem Pfeil;
die Verbindungen zwischen den Punkten können zudem mit Zahlen beschriftet
sein. Die mathematischen Fragen, die derartige Diagramme aufwerfen, bilden
die Themen der Graphentheorie. Wir fragen zum Beispiel: Gibt es einen Weg
von einem Punkt a zu einem Punkt b? Wie findet man einen kürzesten Weg?

Wie findet man einen preiswertesten Weg, wenn wir die Zahlen an den Verbin-
dungen als Kosten lesen? Enthält das Diagramm einen Kreis? Lassen sich alle

Verbindungen in einem ununterbrochenen Zug zeichnen? Können wir die Verbin-
dungslinien ohne Überschneidungen zeichnen? Sind zwei gegebene Diagramme
strukturell identisch? Kaum eine Theorie der Mathematik operiert mit so an-
schaulichen Begriffen wie die Graphentheorie. Hinzu kommen die vielfältigen

Anwendungen der Theorie, die von der Organisation von komplexen Verkehrs-
netzen über Job-Zuordnung und Stundenplanerstellung bis hin zur spielerischen

Frage reichen, wie man ein Labyrinth erkundet und wieder herausfindet. His-
torisch stehen die spielerischen Fragen sogar im Vordergrund, die Vielzahl der
praktischen Anwendungen ist ein jüngeres Phänomen.

Der einfachste Strukturtyp der Graphentheorie ist der folgende: Ein Graph ist
ein Paar G = ( E, K), bestehend aus einer endlichen nichtleeren Menge E von

Ecken und einer Menge K ⊆ {{a, b} | a, b ∈ E, a = b} von Kanten. Die Anzahl
der Ecken heißt die Ordnung von G, während man die Anzahl der Kanten als
die Gr¨
oße von G bezeichnet. In Visualisierungen von G zeichnen wir die Ecken

E als benannte Punkte und verbinden dann genau die Punkte a und b mit einer

Linie, für die {a, b} ∈ K gilt.

Obige Graphen sind endlich, ungerichtet (keine Pfeile an den Verbindungs-
linien), einfach (keine Mehrfachverbindungen zwischen zwei Ecken), schlingen-
frei (keine Verbindungen von einer Ecke zu sich selbst) und ungewichtet (keine

Zahlen an den Kanten). Entsprechend allgemeinere Graphen sind oft nützlich.

Gerichtete Graphen kann man z. B. in der Form G = ( E, K) mit K ⊆ E 2 no-
tieren. Hier bedeutet ( a, b) ∈ K, dass ein Pfeil von der Ecke a zur Ecke b führt.

Gerichtete Graphen sind damit beliebige Relationen auf endlichen Mengen, und
obige ungerichtete Graphen kann man als spezielle symmetrische Relationen auf
endlichen Mengen E ansehen.

4.2

Graphen

89

Wir schreiben auch ab ∈ K, falls die Ecken a und b durch eine Kante verbun-
den sind. (In ungerichteten Graphen ist ab = ba, in gerichteten Graphen ist ab
von ba zu unterscheiden.) Gilt ab ∈ K, so heißt die Ecke b ein Nachbar von a.

Eine Ecke b heißt ein Nachbar einer Teilmenge A von E, falls es ein a ∈ A gibt,
das mit b benachbart ist. Die Anzahl der Nachbarn einer Ecke a heißt der Grad
von a und wird mit d( a) bezeichnet.

Ein Kantenzug der L¨
ange n von a nach b in einem Graphen ist eine endliche

Folge a = a 0 , a 1 , . . . , an = b von Ecken derart, dass aiai+1 für alle i < n eine

Kante ist. Gilt a = b, so heißt der Kantenzug geschlossen, andernfalls heißt er
offen. Die Ecken a 0 , . . . , an heißen die besuchten Ecken und die Kanten aiai+1
die besuchten Kanten des Kantenzuges. Ein Kantenzug heißt ein Weg, wenn er
keine Ecke zweimal besucht. Wird keine Kante zweimal besucht, so heißt der

Kantenzug einfach. Jeder Weg ist offenbar ein einfacher Kantenzug.

Ist a 0 , . . . , an ein Weg mit n ≥ 2 und ist zudem ana 0 ∈ K, so heißt der

Kantenzug a 0 , . . . , an, a 0 ein Kreis mit n + 1 Ecken. Die kleinsten Kreise eines

Graphen sind seine Dreiecke, d. h. Kreise mit 3 Ecken.

Wichtige spezielle Graphen sind:

Kn = ( { 1 , . . . , n}, {ij | 1 ≤ i < j ≤ n}) für n ≥ 1 ,

Kn,m = ( { 1 , . . . , n + m}, {ij | 1 ≤ i ≤ n, n + 1 ≤ j ≤ n + m}) für n, m ≥ 1 ,

Cn = ( { 1 , . . . , n}, {i( i + 1) | 1 ≤ i < n} ∪ {n 1 }) für n ≥ 3 .

1

1

1

4

5

2

2

5

2

5

3

4

3

4

3

K5

K3, 2

C5

Ein Graph heißt vollst¨
andig, wenn je zwei seiner Ecken durch eine Kante
verbunden sind. Die Graphen Kn sind vollständig. Ein Graph heißt bipartit,
wenn es eine Zerlegung seiner Eckenmenge in Mengen E 1 und E 2 gibt derart,
dass die Nachbarn aller Ecken in E 1 der Menge E 2 angehören und umgekehrt.

Die Graphen Kn,m sind bipartit. Ein Graph heißt ein Kreis, falls er einen Kreis
besitzt, der alle Ecken besucht. Die Graphen Cn sind Kreise.

Ein Graph G = ( E, K) heißt ein Untergraph von G = ( E, K), falls E ⊆ E
und K = {ab ∈ K | a, b ∈ E}, d. h., G ist eine Unterstruktur von G im
üblichen Sinne. Dagegen heißt G ein Teilgraph von G, falls E ⊆ E und K ⊆ K
gilt.

90

4 Diskrete Mathematik

Ein Graph G = ( E, K) heißt zusammenh¨
angend, wenn sich je zwei seiner

Ecken durch einen Kantenzug verbinden lassen. Statt Kantenzug“ können wir

”

hier gleichwertig Weg“ fordern, denn wir können alle Kreise aus Kantenzügen

”

herausschneiden.

Eine Ecke a heißt erreichbar von einer Ecke b, falls es einen Weg von a
nach b gibt. Die Erreichbarkeit ist eine Äquivalenzrelation auf den Ecken. Die

Äquivalenzklassen dieser Relation heißen die Zusammenhangskomponenten des

Graphen. Ein Graph ist genau dann zusammenhängend, wenn er nur eine Zu-
sammenhangskomponente besitzt. Schließlich heißt eine Kante eine Br¨
ucke, falls
das Entfernen der Kante die Anzahl der Zusammenhangskomponenten erhöht.

4.3

Euler-Z¨
uge

Euler bewies im Jahre 1736, dass es nicht möglich ist, alle sieben Brücken der

Stadt Königsberg so abzulaufen, dass man jede Brücke genau einmal überquert
und am Ende wieder am Startpunkt ankommt. Weiter fand er einfaches Kri-
terium für das hinter der Frage liegende allgemeine Problem. Diese Ergebnisse
gelten als der Beginn der Graphentheorie.

Ein (geschlossener) Euler-Zug in einem Graphen G ist ein geschlossener Kan-
tenzug a 0 , . . . , an = a 0 in G derart, dass jede Kante von G genau einmal be-
sucht wird. Ein Graph G heißt eulersch, wenn ein Euler-Zug in G existiert.

Anschaulich ist ein Graph eulersch, wenn wir ihn in einem Zug zeichnen können
und dabei Anfangs- und Endpunkt gleich sind. Von praktischer Bedeutung sind

Euler-Züge zum Beispiel für Postboten, die jede Straße genau einmal abfahren
und am Ende wieder beim Postamt ankommen wollen.

Alle Kreise Cn sind eulersch. Die vollständigen Graphen K 3 und K 5 sind eu-
lersch, wie man sich leicht überlegt, nicht aber die Graphen K 2 und K 4. Ebenso
ist der bipartite Graph K 2 , 2 eulersch, nicht aber der Graph K 2 , 3. Beim Experi-
mentieren mit diesen und weiteren Graphen entdeckt man folgende notwendige

Bedingung für die Existenz von Euler-Zügen: Ist G eulersch, so haben alle Ecken
einen geraden Grad. Denn laufen wir auf einer Kante in eine Ecke hinein, so
müssen wir auf einer bislang unbenutzten Kante die Ecke wieder verlassen. Da
zudem die Startecke auch die Endecke sein soll, paart sich in dieser Weise auch
der letzte Schritt mit dem ersten.

Streichen wir alle Ecken mit dem Grad 0, so ist ein eulerscher Graph sicher zu-
sammenhängend. Erstaunlicherweise gilt nun folgende hinreichende Bedingung
für die Existenz von Euler-Zügen: Sei G ein zusammenhängender Graph und
jede Ecke habe einen geraden Grad; dann existiert ein Euler-Zug in G. Zum

Beweis beobachten wir: Starten wir bei einer beliebigen Ecke a und laufen wir
nun entlang beliebiger, aber bislang unbesuchter Kanten entlang, so gelangen
wir irgendwann wieder zur Ecke a zurück. Wir bleiben nämlich niemals bei einer

4.3

Euler-Züge

91

Ecke b = a stecken, da wir nach dem Hereinlaufen in die Ecke b insgesamt eine
ungerade Zahl von Kanten der Ecke verbraucht haben, also noch mindestens
eine Kante übrig ist.

Mit einem derartigen Lauf haben wir i. A. aber noch keinen Euler-Zug gefun-
den. Jedoch besitzt der aus allen noch unbesuchten Kanten gebildete Teilgraph
wieder die Eigenschaft, dass alle Ecken geraden Grad haben. Wir wiederholen
also unseren Lauf so oft, bis alle Kanten besucht worden sind. Am Ende erhalten
wir einen Euler-Zug durch eine Überlagerung von geschlossenen Kantenzügen.

Der Zusammenhang des Graphen wird gebraucht, damit wir die Kantenzüge
geeignet ineinander einhängen können.

Wir geben einen Algorithmus, der dieser Beweisskizze entspricht, konkret an.

Gegeben sei ein eulerscher Graph G mit Eckenmenge E = { 1 , . . . , n} und positi-
ven Graden der Ecken. Wir konstruieren eine Folge von einfachen geschlossenen

Kantenzügen Z 0 , Z 1 , . . . , Zm nach dem folgenden Verfahren von Carl Hierholzer
aus dem Jahre 1873.

Algorithmus von Hierholzer : Zunächst sei Z 0 = 1. Ist Zi konstruiert, aber
noch kein Euler-Zug, so sei a die erste Ecke auf Zi, von der eine noch unbe-
suchte Kante wegführt. Wir konstruieren nun einen einfachen geschlossenen in
a beginnenden Kantenzug Wi, indem wir immer die kleinste Ecke wählen, zu
der eine bislang unbesuchte Kante hinführt. Finden wir keine solche Ecke mehr,
so ist Wi konstruiert und wir sind notwendig wieder bei der Ecke a angelangt.

Wir fügen nun Wi in Zi an der ersten Stelle des Besuchs der Ecke a ein und
erhalten so den Kantenzug Zi+1. Das Verfahren wird so lange iteriert, bis alle

Kanten besucht wurden.

Wir führen den Algorithmus zur Illustration für den untenstehenden euler-
schen Graphen durch. Er verläuft wie folgt:

Z 0 = 1, nächste Startecke: 1, W 0 = 1 , 2 , 3 , 5 , 2 , 4 , 1

Z 1 = W 0, nächste Startecke: 4, W 1 = 4 , 6 , 7 , 8 , 4

Z 2 = 1 , 2 , 3 , 5 , 2 , 4 , 6 , 7 , 8 , 4 , 1, nächste Startecke: 5, W 2 = 5 , 8 , 10 , 5

Z 3 = 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 10 , 5 , 2 , 4 , 6 , 7 , 8 , 4 , 1, nächste Startecke: 7, W 3 = 7 , 9 , 10 , 7

Z 4 = 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 10 , 5 , 2 , 4 , 6 , 7 , 9 , 10 , 7 , 8 , 4 , 1.

Mit Z 4 ist ein Euler-Zug in G konstruiert.

Wir können auch Mehrfachverbin-

1

2

3
dungen zwischen zwei Ecken zulas-
sen. Zusätzlich können wir gerich-
tete Graphen betrachten, bei denen

4

5
die Kanten nur in einer Richtung
durchlaufen werden. Die für Euler-

Züge gute Bedingung lautet dann,

6

7

8
dass in jede Ecke genauso viele Kan-
ten hinein- wie herausführen. Obige

¨

9

10

Uberlegungen zeigen dann insbeson-

92

4 Diskrete Mathematik
dere: Jeder zusammenhängende einfache ungerichtete Graph besitzt einen ge-
schlossenen Kantenzug, der jede Kante genau zweimal durchläuft, und zwar je
einmal in jeder Richtung.

4.4

Hamilton-Kreise und das P = NP-Problem

Analog zur Existenz von Euler-Zügen kann man fragen, ob ein Graph einen

Kreis besitzt, der alle Ecken genau einmal besucht. Ein derartiger Kreis heißt
ein Hamilton-Kreis, und ein Graph heißt hamiltonsch, falls er einen Hamilton-

Kreis besitzt. (William Hamilton stellte 1857 ein Spiel vor, bei dem gezeigt
werden sollte, dass der Graph des Dodekaeders einen Hamilton-Kreis besitzt.)

Im Gegensatz zu den eulerschen Graphen ist kein einfaches Kriterium dafür
bekannt, ob ein Graph hamiltonsch ist oder nicht. Einige hinreichende Kriterien
sind gefunden worden. So gilt zum Beispiel folgender von Gabriel Dirac 1952
bewiesener Satz: Sei G = ( E, K) ein Graph der Ordnung n ≥ 3, und es gelte
d( a) ≥ n/ 2 für alle Ecken a; dann ist G hamiltonsch. Der Beweis des Satzes
liefert auch einen Algorithmus, der es erlaubt, einen Hamilton-Kreis für die
speziellen Graphen des Satzes zu konstruieren.

Ein allgemeines effektives Verfahren, das korrekt entscheidet, ob ein gegebe-
ner Graph hamiltonsch ist oder nicht, existiert wahrscheinlich nicht. Um dieses
wahrscheinlich“ zu präzisieren, müssen wir weiter ausholen.

” Viele Fragen der Graphentheorie und anderer mathematischer Gebiete führen
zu sogenannten Entscheidungsproblemen. Beispiele sind:

(a) Sind diese beiden Graphen isomorph?

(b) Ist dieser Graph zusammenhängend?

(c) Besitzt dieser Graph eine Brücke?

(d) Ist diese Zahl eine Primzahl?

Alle diese Fragen sind Ja-Nein-Fragen. Wie man dann z. B. im Falle der

Existenz einen Isomorphismus zwischen zwei Graphen findet, ist ein Konstruk-
tionsproblem, das auf einem anderen Blatt steht.

Formaler können wir ein Entscheidungsproblem definieren als eine Menge

I von sog. Inputs zusammen mit einer Funktion e: I → { 0 , 1 }, wobei 1 für
ja“ und 0 für
nein“ steht. Der Frage, ob zwei Graphen (mit Ecken in N)

”

”

isomorph sind, entspricht dann das Entscheidungsproblem e: I → { 0 , 1 } mit
der Input-Menge I = {( G 1 , G 2) | G 1 , G 2 sind Graphen mit Ecken in N } und
e( G 1 , G 2) = 1 genau dann, wenn es einen Isomorphismus zwischen G 1 und G 2
gibt.

Ist e ein Entscheidungsproblem, so stellt sich die Frage, ob sich die Funktion e
berechnen lässt und welche Komplexität eine Berechnung von e besitzt. Bere-
chenbare Entscheidungsprobleme heißen auch l¨
osbar. In der Komplexitätstheorie
sind viele interessante Klassen von Entscheidungsproblemen isoliert worden. Am

4.4

Hamilton-Kreise und das P = NP-Problem

93
wichtigsten sind hier die drei Klassen P, NP und co-NP, die wir informal wie
folgt beschreiben können: Die Klasse P besteht aus allen Entscheidungsproble-
men, die sich in polynomieller Laufzeit lösen lassen (gemessen an der Länge des

Inputs). Die Klasse NP besteht dagegen aus all denjenigen Entscheidungsproble-
men, für die man eine positive Lösung in polynomieller Zeit auf ihre Richtigkeit
hin überprüfen kann. Kurz: Geratene Lösungen lassen sich schnell verifizieren.

Analog besteht die Klasse co-NP aus allen Problemen, für die man eine negati-
ve Lösung in polynomieller Zeit verifizieren kann. Die Abkürzung NP steht für
non-deterministic polynomial und verweist auf eine äquivalente Definition der

Klasse NP mit Hilfe nichtdeterministischer Berechnungen.

Es ist nun eine offene Frage von fundamentaler Bedeutung, ob die Klassen

P und NP überhaupt verschieden sind. (Dieses sog. P = NP-Problem gehört
zu den sieben Millenniums-Problemen, auf die jeweils 1 Million Dollar Preisgeld
ausgesetzt ist.) Ebenso offen ist, ob die Klassen NP und co-NP verschieden sind.

Vermutet wird P = NP und NP = co-NP.

Das Problem zu entscheiden, ob ein gegebener Graph hamiltonsch ist oder
nicht, gehört der Klasse NP an, denn von einer geratenen Lösung – ein Weg in G

– können wir schnell überprüfen, ob diese Lösung tatsächlich ein Hamilton-Kreis
ist oder nicht. Diese Beobachtung ist aber noch keine Rechtfertigung für die

Aussage, dass das Hamilton-Problem wahrscheinlich“ nicht in P liegt. Hierzu

”

brauchen wir eine weitere komplexitätstheoretische Unterscheidung:

Ein Entscheidungsproblem e: I → { 0 , 1 } in NP heißt NP -vollständig, wenn
sich jedes Problem e: I → { 0 , 1 } in NP in polynomieller Zeit auf das Problem
e reduzieren lässt, d. h., wir können in polynomieller Zeit jedem I ∈ I ein

I ∈ I zuordnen, so dass e( I) = e( I). Aus der Definition folgt: Kann man von
einem einzigen NP-vollständigen Problem zeigen, dass es in polynomieller Zeit
lösbar ist, so ist P = NP. Da man annimmt, dass P = NP gilt, ist der Nachweis
der NP-Vollständigkeit das zurzeit beste Mittel, um zu begründen, warum ein

Problem
wahrscheinlich“ nicht in P liegt. Richard Karp hat 1972 bewiesen,

”

dass das Hamilton-Problem NP-vollständig ist. Damit ist dieses Problem nicht
polynomiell lösbar, es sei denn, es gilt wider Erwarten doch P = NP.

Anders liegen die Dinge für die Frage, ob zwei gegebene Graphen isomorph
sind. Dieses Problem liegt erneut in NP, denn für zwei Graphen G 1 und

G 2 können wir eine Funktion f : E 1 → E 2 in polynomieller Zeit darauf-
hin überprüfen, ob sie ein Isomorphismus ist oder nicht. Im Gegensatz zum

Hamilton-Problem und den meisten anderen Problemen, die in NP liegen und
für die kein polynomieller Algorithmus gefunden werden konnte, ist es nicht
gelungen zu zeigen, dass das Isomorphie-Problem NP-vollständig ist. Weiter
hat die Annahme, dass das Isomorphie-Problem in P liegt, ungewöhnliche kom-
plexitätstheoretische Konsequenzen, und deswegen gilt es auch hier als wahr-

”

scheinlich“, dass das Problem nicht in P liegt. Das Isomorphie-Problem gehört
damit anscheinend zu denjenigen Problemen in NP, die nicht in P liegen, aber
auch nicht NP-vollständig sind.

94

4 Diskrete Mathematik

4.5

B¨
aume

Der Begriff eines Baumes taucht in der Mathematik in verschiedenen Kontexten
auf. Wir betrachten zunächst Bäume in der Graphentheorie.

Ein Graph G heißt ein Wald, falls er keine Kreise besitzt. Ist G zudem zu-
sammenhängend, so heißt G ein Baum. Beispiele für Bäume sind:

5

6

7

8

2

3

4

2

3

4

9

1

5

1

8

7

6

Der linke Baum sieht in der Tat wie ein richtiger Baum aus, der rechte dagegen
wie ein Stern. Wir können aber jeden Baum-Graphen so zeichnen, dass er wie ein
richtiger Baum aussieht. Hierzu zeichnen wir eine beliebige Ecke als sog. Wurzel
aus. Alle zur Wurzel benachbarten Ecken tragen wir eine Stufe oberhalb der

Wurzel ein und ziehen Verbindungslinien. Die zweite Stufe besteht dann aus
allen neuen Nachbarn der Ecken der ersten Stufe, samt den entsprechenden

Verbindungslinien, usw. So entsteht ein Gebilde, das sich ausgehend von seiner

Wurzel nach oben in einer baumartigen Weise verzweigt.

Für Bäume gelten die beiden folgenden, nicht schwer einzusehenden Charak-
terisierungen:

Wegkriterium: Ein Graph G = ( E, K) ist genau dann ein Baum, wenn es für
alle a, b ∈ E genau einen Weg von a nach b gibt.

Kantenkriterium: Ein zusammenhängender Graph G = ( E, K) ist genau dann
ein Baum, wenn seine Größe gleich der um eins verminderten Ordnung ist, d. h.,
es gilt |K| = |E| − 1.

Bäume sind nicht nur für sich interessante Graphen, sie dienen auch dazu, an-
dere Graphen zu analysieren. Wichtig ist hier das Konzept eines aufspannenden

Baumes. Sei G = ( E, K) ein zusammenhängender Graph und sei G = ( E, K)

ein Baum mit K ⊆ K. Wir sagen, dass der Baum G den Graphen G auf-
spannt, falls es für alle a, b ∈ E einen Weg von a nach b in G gibt. Ist G ein

Netz mit Häusern (Ecken) und Straßen (Kanten), so beschreibt ein aufspannen-
der Baum eine geeignete und nicht weiter reduzierbare Stromversorgung: Legen
wir an allen Straßen des aufspannenden Baumes eine Stromleitung, so werden
alle Häuser mit Strom versorgt.

Es gibt verschiedene effiziente Verfahren, die für einen beliebigen zusam-
menhängenden Graphen einen aufspannenden Baum liefern. Ein derartiges Ver-
fahren ist die sog. Breitensuche BFS (für engl. breadth first search). Gegeben

4.6

Färbungen und der Satz von Ramsey

95
ist ein zusammenhängender Graph G = ( E, K) mit E = { 1 , . . . , n}. Wir kon-
struieren rekursiv Bäume Gi = ( Ei, Ki) mit dem BFS-Verfahren wie folgt:

Zunächst sei E 0 = { 1 } und K 0 = ∅. Sei nun Gi konstruiert für ein i. Ist

Ei = E, so stoppen wir mit Ausgabe von Gi. Andernfalls seien e 1 < . . . < em
die Ecken von E − Ei, die mit einer Ecke von Ei benachbart sind. Für jedes ej
sei kj die Kante von G, die ej mit einer kleinstmöglichen Ecke in Ei verbindet.

Wir setzen dann Ei+1 = Ei ∪ {e 1 , . . . , em}, Ki+1 = Ki ∪ {k 1 , . . . , km} und
wiederholen das Verfahren.

Verwandt ist die Tiefensuche oder das DFS-Verfahren (depth first search).

Hier wird der aufspannende Baum nicht stufen-, sondern astweise gebildet.

Die Theorie der partiellen Ordnungen stellt einen Baumbegriff zur Verfügung,
der viel allgemeiner ist als der der Graphentheorie: Eine partielle Ordnung P
heißt ein (Wurzel-)Baum, falls P ein kleinstes Element besitzt (die Wurzel )

und für alle p ∈ P die Menge {q ∈ P | q < p} wohlgeordnet ist. Ein q ∈ P
heißt ein direkter Nachfolger eines p ∈ P , falls p < q gilt, aber kein r existiert
mit p < r < q. Die direkten Nachfolger von p beschreiben die Verzweigung des

Baumes an der Stelle p. Besitzt p keinen direkten Nachfolger, so heißt p ein Blatt
des Baumes. Die Blätter von P sind genau die maximalen Elemente von P .

Die Bäume der Graphentheorie lassen sich durch eine stufenweise Anordnung,
gefolgt von einer von unten nach oben verlaufenden Transitivierung der Kan-
tenrelation, in ordnungstheoretische Bäume verwandeln. Umgekehrt können wir
jeden endlichen ordnungstheoretischen Baum als graphentheoretischen Baum
ansehen, indem wir, beginnend mit seiner Wurzel, stufenweise direkte Nachfol-
ger und entsprechende Verbindungslinien in ein Diagramm einzeichnen, dabei
aber die Transitivität der partiellen Ordnung unterdrücken. (Ist q ein direkter

Nachfolger von p und s ein solcher von q, so zeichnen wir Kanten pq und qs ein,
nicht aber ps.)

Unendliche ordnungstheoretische Bäume spielen eine wichtige Rolle in der

Kombinatorik. Wir nennen ein Z ⊆ P einen Zweig eines Baumes P , falls Z
eine maximale linear geordnete Teilmenge von P ist. Es gilt nun der folgende
fundamentale Existenzsatz von Dénes König aus dem Jahre 1927:

Lemma von König: Sei P ein unendlicher Baum derart, dass jedes
p ∈ P nur endliche viele direkte Nachfolger besitzt. Dann besitzt P
einen unendlichen Zweig.

Dieses Lemma erlaubt es oft, kombinatorische Ergebnisse zwischen dem Un-
endlichen und dem Endlichen zu übersetzen (vgl. Abschnitt 4.6).

4.6

F¨
arbungen und der Satz von Ramsey

Das Dirichletsche Taubenschlag- oder Schubfachprinzip besagt: Ist n > r und
verteilen wir n Tauben auf r Löcher, so gibt es ein Loch, das mit zwei Tauben

96

4 Diskrete Mathematik
besetzt ist. Eine andere Formulierung des Prinzips benutzt die Sprechweise der

Färbungen: Ist n > r und färben wir n Objekte mit r Farben, so gibt es zwei

Objekte, die die gleiche Farbe erhalten.

Einige einfache Anwendungen und Varianten des Prinzips sind:

(a) Hat eine reelle Funktion n + 1 Nullstellen im Intervall [0 , 1], so gibt es
zwei Nullstellen, deren Abstand kleinergleich 1 /n ist.

(b) Sind 6 Zahlen gegeben, so haben zwei der Zahlen denselben Rest bei
der Division durch 5. Analog haben von 13 Personen immer zwei im
selben Monat Geburtstag.

(c) Ist M eine Menge mit mehr als |n 1 | + . . . + |nr| Elementen und sind

M 1 , . . . , Mr Mengen mit M ⊆ M 1 ∪ . . . ∪ Mr, so existiert ein i mit

|Mi| > ni.

(d) Ist n > ( m − 1) r und färben wir n Objekte mit r Farben, so gibt es
mindestens m Objekte, die dieselbe Farbe erhalten.

Zur Formulierung einer starken Verallgemeinerung des Dirichletschen Prinzips
brauchen wir einige Vorbereitungen. Für jede natürliche Zahl r ≥ 1 und jede

Menge M nennen wir eine Funktion f : M → { 1 , . . . , r} auch eine Färbung der

Menge M mit r Farben. Für jedes x ∈ M heißt f ( x) die Farbe von x unter der

Färbung f . Eine Teilmenge N von M heißt homogen, falls jedes x ∈ N dieselbe

Farbe unter f besitzt, d. h., f |N ist eine konstante Funktion.

Wir führen weiter noch eine Notation ein, mit deren Hilfe wir Ergebnisse über
gewisse Färbungen einfach formulieren können. Für natürliche Zahlen n und m
schreiben wir n → ( m)22, falls für jede Färbung f: [ { 1 , . . . , n}]2 → { 1 , 2 } ein

M ⊆ { 1 , . . . , n} mit |M | = m existiert derart, dass [ M ]2 homogen gefärbt ist.

Hierbei ist wieder [ M ]2 die Menge der zweielementigen Teilmengen von M .

Die Pfeilnotation hat offenbar folgende Eigenschaft: n → ( m)22 bleibt richtig,
wenn n erhöht oder m erniedrigt wird.

Eine Färbung f : [ { 1 , . . . , n}]2 → { 1 , 2 } können wir graphentheoretisch sehr
anschaulich visualisieren. Wir betrachten den vollständigen Graphen mit der

Eckenmenge { 1 , . . . , n} und färben jede seiner n Kanten entweder rot“ oder

2

”

grün“. Gilt n → ( m)2

”

2, so existieren Ecken e 1 < . . . < em derart, dass alle Kan-
ten zwischen diesen Ecken dieselbe Farbe besitzen, d. h., der durch e 1 , . . . , em
gegebene Untergraph ist entweder komplett rot oder komplett grün gefärbt. Wir
können nun folgenden von Frank Ramsey 1930 bewiesenen Satz formulieren:

Satz von Ramsey: F¨
ur alle m existiert ein n mit n → ( m)22 .

Die kleinste für m geeignete Zahl n wie im Satz wird mit R( m) bezeichnet.

Nur wenige Werte R( m) konnten genau bestimmt werden. Es gilt zum Beispiel

R(1) = 1, R(2) = 2, R(3) = 6 und R(4) = 18. Mit diesen Werten erhalten wir
folgende Illustrationen des Satzes von Ramsey: Sitzen sechs Personen an einem

Tisch, so gibt es drei Personen, die sich paarweise mögen, oder drei Personen,
die sich paarweise nicht mögen. In jeder Gesellschaft von 18 Personen gibt es

4.7

Bipartite Graphen

97
vier Personen, die sich paarweise bereits kennen, oder vier Personen, die sich
paarweise noch nicht kennen.

Der Satz von Ramsey ist ein prominentes Beispiel für folgenden Typ von
mathematischen Sätzen: Gewisse mathematische Strukturen besitzen große Teil-
strukturen mit einer höheren Organisation und Ordnung. Der Satz von Bolzano-

Weierstraß aus der Analysis besagt, dass jede beschränkte Folge reeller Zahlen
eine konvergente Teilfolge besitzt, und er gehört damit zu diesem Typ. Kombi-
natorische Beispiele für derartige Sätze können wir aus dem Satz von Ramsey
erhalten: Sei n = R( m) für ein m, und es sei a 1 , . . . , an eine beliebige Folge
von natürlichen Zahlen. Dann existiert eine monotone steigende oder monoton
fallende Teilfolge der Länge m. Zum Beweis färben wir für alle 1 ≤ i < j ≤ n
das Paar {i, j} rot“, falls a
blau“, falls a

”

i < aj , und ”

j ≤ ai. Eine homoge-
ne Menge der Mächtigkeit m liefert dann die Indizes einer monoton steigenden
oder monoton fallenden Teilfolge von a 1 , . . . , an. Dieses Resultat kann noch ver-
bessert werden: Nach einem Satz von Erd˝
os und Szekeres besitzt jede Folge
natürlicher Zahlen der Länge n 2 + 1 eine monotone steigende oder monoton fal-
lende Teilfolge der Länge n + 1. Für diese Verbesserung sind problemspezifische

Untersuchungen notwendig, der Satz von Ramsey liefert dagegen eine Fülle von
derartigen Ergebnissen, wenn auch nicht immer mit den optimalen Werten.

Für natürliche Zahlen n, m, k, r schreiben wir n → ( m) kr, falls für jede

Färbung f : [ { 1 , . . . , n}] k → { 1 , . . . , r} ein M ⊆ { 1 , . . . , n} mit |M | = m existiert derart, dass [ M ] k homogen gefärbt ist. Es gilt nun:

Satz von Ramsey, allgemeine Version: F¨
ur alle m, k, r existiert ein n
mit n → ( m) kr.

Obige Formulierung (4) des Schubfachprinzips lautet in Pfeilnotation: Es gilt
n → ( m)1 r für alle m, r und alle n > ( m− 1) r. Damit ist der Satz von Ramsey eine

Verallgemeierung des Schubfachprinzips in der Variante (4), wobei die optimalen
n-Werte für k ≥ 2 nicht mehr einfach berechnet werden können. Schließlich gilt
folgende unendliche Version:

Satz von Ramsey, unendliche Version: F¨
ur alle m, k, r und alle f :

[N] k → { 1 , . . . , r} existiert ein unendliches A ⊆ N derart, dass [ A] k
homogen gef¨
arbt ist.

Man kann diese unendliche Version beweisen und dann mit Hilfe des Lemmas
von König über unendliche Zweige in Bäumen die endliche Version ableiten.

4.7

Bipartite Graphen

Wir nannten einen Graphen bipartit, wenn es eine Zerlegung seiner Ecken in
zwei Mengen E 1 und E 2 gibt derart, dass die Nachbarn aller Ecken in E 1 der

98

4 Diskrete Mathematik

Menge E 2 angehören und umgekehrt. Der Graph unten ist z. B. bipartit unter
der Zerlegung E 1 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } und E 2 = {a, b, c, d, e}.

6
e

1

2

3

5
d

4

5

4
c

6

7

8

3
b

9

10

2
a

1

Jeder Kreis in einem bipartiten Graphen muss eine gerade Länge haben, da
er zwischen den Mengen E 1 und E 2 hin- und herpendelt. Im Graphen rechts ist
zum Beispiel 3 , d, 1 , b, 3 ein Kreis der Länge 4. Nicht schwer einzusehen ist, dass
auch die Umkehrung gilt:

Kreiskriterium: Ein Graph G = ( E, K) ist genau dann bipartit, wenn jeder

Kreis in G eine gerade Länge hat.

Eine klassische Motivation für die Beschäftigung mit den auf den ersten Blick
recht speziellen bipartiten Graphen ist das Jobzuordnungsprobem: Gegeben sind

Mitarbeiter einer Firma (die Menge E 1) und zudem Aufgaben, die zu erledigen
sind (die Menge E 2). Wir verbinden nun jeden Mitarbeiter mit all denjenigen

Jobs durch eine Kante, die er ausführen kann. Dadurch entsteht ein bipartiter

Graph. Die Frage ist nun, wie wir die Jobs auf die Mitarbeiter so verteilen,
dass möglichst viele Mitarbeiter mit einem Job versorgt werden. Wir suchen ein
größtmögliches sog. Matching. Eine analoge Fragestellung ist das Heiratspro-
blem: Eine Menge E 1 von Frauen und eine Menge E 2 von Männern liefern einen
bipartiten Graphen, indem man alle gegengeschlechtlichen Sympathien als Kan-
ten einträgt. Der verkuppelnde Mathematiker soll nun ein größtmögliches Mat-
ching aus diesem Graphen extrahieren, also möglichst viele Frauen und Männer
so verheiraten, dass nur friedliche Ehen entstehen.

Im Graphen oben ist zum Beispiel 1c, 2b, 3d, 5e ein Matching, und es kann
kein Matching mit fünf Paaren geben, da die Ecken a und c nur mit der 1
verbunden sind und deswegen a oder c unversorgt bleiben muss. Derartige kom-
binatorische Begründungen sind nur in übersichtlichen Einzelfällen möglich. Wir
fragen deswegen nach Sätzen, die die Größe eines maximalen Matchings beleuch-
ten, und weiter nach einem effektiven Algorithmus, der es erlaubt, ein maximales

Matching zu konstruieren. Hierzu präzisieren wir zunächst unsere Begriffe.

Ein Matching in einem bipartiten Graphen ist eine Menge von Kanten derart,
dass je zwei Kanten der Menge keine Ecke gemeinsam haben. Die Matching-Zahl
m( G) von G ist definiert als max( {|M | | M ist ein Matching von G}).

4.7

Bipartite Graphen

99

Ein Phänomen der Graphentheorie sind sog. Min-Max-Sätze, die ein gewisses

Minimum als ein gewisses Maximum charakterisieren. Der über ein Maximum
definierten Matching-Zahl entspricht zum Beispiel ein natürliches Minimum:

Matching-Zahl und Tr¨
ager-Zahl : Für jeden bipartiten Graphen G = ( E, K)

gilt:

m( G) = min( {|T | | T ist ein Träger von G}) ,
wobei ein T ⊆ E ein Träger von G heißt, falls jede Kante von G eine Ecke
besitzt, die zu T gehört.

Dieser Satz geht auf Dénes König zurück (1931). Er ist äquivalent zum fol-
genden sog. Heiratssatz von Philip Hall aus dem Jahre 1935: Sei G = ( E, K)

bipartit durch die Zerlegung E 1 , E 2. Dann sind äquivalent:

(a) m( G) = |E 1 |.

(b) Jede Teilmenge A von E 1 hat mindestens |A| Nachbarn.

Hall hat genauer die folgende kombinatorische Auswahlaussage bewiesen: Sind

S 1 , . . . , Sn Teilmengen einer endlichen Menge S, so gibt es genau dann paarweise
verschiedene x 1 ∈ S 1, . . . , xn ∈ Sn, wenn die Vereinigung von je k-vielen

Mengen Si mindestens k Elemente besitzt. Dieser Satz ist, wie man leicht sieht,
eine Formulierung des Heiratssatzes in der Sprache der Mengen.

Wir skizzieren nun noch die Grundstruktur eines Verfahrens, mit dem wir ein
maximales Matching effektiv konstruieren können. Ist M ein Matching in einem
bipartiten Graphen, so heißt ein Weg a 0 , . . . , an in G M -alternierend, wenn die

Ecken a 0 und an zu keiner Kante von M gehören und zudem genau jede zweite
besuchte Kante des Weges in M liegt:

a0
a2

…

an− 1

∉ M

∈ M

∉ M

∈ M

∈ M

∉ M
a1
a3
an− 2
an

Aus einem M -alternierenden Weg a 0 , . . . , an lässt sich ein Matching M ab-
lesen, das eine Kante mehr besitzt als M , nämlich

M = {a 0 a 1 , a 2 a 3 , . . . , an− 1 an} ∪ ( M − {a 1 a 2 , . . . , an− 2 an− 1 }) .

M besteht also aus den /

∈ M“-Kanten des obigen Diagramms und allen Kanten

”

des Matchings M , die an dem alternierenden Weg gar nicht beteiligt sind. Da die

Ecken a 0 und an keiner Kante von M angehören, ist M wieder ein Matching. Es
gilt |M | = |M |+1. Da wir diese Prozedur iterieren können, ist die Konstruktion
eines maximalen Matchings auf die Konstruktion von M -alternierenden Wegen
zurückgeführt.

100

4 Diskrete Mathematik

4.8

Matroide

Bei unserer Untersuchung von Bäumen haben wir gesehen, wie wir einen auf-
spannenden Baum in einem zusammenhängenden Graphen konstruieren können.

Wir betrachten nun noch das allgemeinere Problem, wie wir einen aufspannen-
den Baum in einem gewichteten Graphen konstruieren können, der ein minima-
les Gewicht unter allen aufspannenden Bäumen besitzt.

Sei also G = ( E, K) ein zusammenhängender Graph, und sei g: K → R eine

Gewichtsfunktion. Für jedes K ⊆ K heißt g( K) =
k∈K g( k) das Gewicht
von K. Gesucht ist ein G aufspannender Baum ( E, K) mit minimalem Gewicht
g( K). Die Konstruktion solcher Bäume ist einfacher als man denken würde,
denn es zeigt sich, dass der folgende Ad-Hoc-Algorithmus geeignet ist:

Greedy-Algorithmus: Sei k 0 , . . . , kn eine Aufzählung aller Kanten von G mit
g( k 0) ≤ . . . ≤ g( kn). Wir konstruieren rekursiv Wälder Ki in G. Zunächst sei

K 0 = {k 0 }. Ist Ki konstruiert, so sei, im Falle der Existenz, k die erste Kante
der Aufzählung, die nicht in Ki liegt und für welche Ki ∪ {k} immer noch ein

Wald ist. Wir setzen dann Ki+1 = Ki ∪ {k} und wiederholen das Verfahren.

Existiert k nicht, so geben wir Ki als Ergebnis aus.

Das englische Wort
greedy“ bedeutet
gierig“, und in der Tat ist der Al-

”

”

gorithmus so gestrickt, dass er in jedem Schritt einfach die erstbeste Kante
verschlingt, die seinem Grundziel nicht widerstreitet, in unserem Fall der Kon-
struktion eines kreisfreien Graphen.

Für
den
gewichteten

Gra-

3

10
a
b
c
phen rechts sammelt der Greedy-

1

5

3

2

Algorithmus
folgende

Kanten:

ad, ej, ec, eh, ab, be, gi, f g, ij.

Dabei
d
e
werden die Kanten dh und hj und

7

4

2
die Kante bd ignoriert, da sie einen

5
f
g
h

1

Kreis erzeugen würden. Die aufge-

4

9

4
sammelten Kanten bilden einen auf-

5
spannenden Baum mit dem Gewicht
i
j

1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 5 + 5 = 26.

Beim Beweis der Korrektheit des Greedy-Algorithmus entdeckt man, dass nur
gewisse allgemeine Struktureigenschaften der Wälder eines Graphen benötigt
werden. Diese Struktureigenschaften fasst der von Hassler Whitney 1935 ein-
geführte Begriff eines Matroids zusammen, der eine wichtige Rolle in der mo-
dernen Kombinatorik einnimmt. Sei hierzu M eine beliebige endliche Menge,
und sei U ein nichtleeres System von Teilmengen von M. Dann heißt U ein

Matroid auf M , falls gilt:

(a) Ist A ∈ U und B ⊆ A, so ist B ∈ U . (Teilmengeneigenschaft)

(b) Sind A, B ∈ U und hat A genau ein Element mehr als B, so gibt es
ein a ∈ A − B mit B ∪ a ∈ U . (Austauscheigenschaft)

4.8

Matroide

101

Die Elemente von U nennt man auch unabhängige Mengen. Ein B ∈ U heißt
eine Basis, falls B maximal in U ist. Beispiele für Matroide sind:

(1) Sei M eine endliche Teilmenge eines Vektorraums V . Dann ist das Sys-
tem U der in V linear unabhängigen Teilmengen von M ein Matroid
auf M . Denn Teilmengen von linear unabhängigen Mengen sind linear
unabhängig, und die Austauscheigenschaft gilt nach dem Steinitzschen

Austauschsatz. Dieses Beispiel motiviert auch viele Bezeichnungen der

Matroid-Theorie.

(2) Ist M eine Menge und k ≤ |M |, so ist U = {A ⊆ M | |A| ≤ k} ein

Matroid auf M.

(3) Seien F, K Körper mit F ⊆ K, und sei M ⊆ K endlich. Dann ist das

System U = {X ⊆ M | X ist algebraisch unabhängig über F } ein

Matroid auf M .

(4) Ist G = ( E, K) ein Graph, so ist U = {L ⊆ K | ( E, L) ist ein Wald }

ein Matroid auf K. Ist G zusammenhängend, so sind die Basen dieses

Matroids genau die aufspannenden Bäume in G.

(5) Ist G = ( E, K) bipartit durch E 1 und E 2, so ist U = {{a ∈ E 1 |
a ist Ecke einer Kante in M } | M ist Matching von G} ein Matroid
auf E 1.

Wir können nun unser ursprüngliches Optimierungsproblem verallgemeinern.

Gegeben ist ein Matroid U auf M und eine Gewichtsfunktion g: M → R.

Gesucht ist eine Basis B mit minimalem Gewicht g( B) =
g( x). Diese
x∈B

Aufgabe erledigt erneut ein gieriges“ Verfahren:

”

Greedy-Algorithmus f¨
ur Matroide: Sei x 0 , . . . , xn eine Aufzählung von M mit
g( x 0) ≤ . . . ≤ g( xn). Wir konstruieren rekursiv Ai ∈ U . Zunächst sei A 0 = ∅. Ist

Ai konstruiert, so sei, im Falle der Existenz, x das erste Element der Aufzählung
mit x /

∈ Ai und Ai∪{x} ∈ U . Wir setzen dann Ai+1 = Ai∪{x} und wiederholen
das Verfahren. Existiert x nicht, so geben wir Ai als Ergebnis aus.

Alle gewichteten Optimierungsprobleme, die sich durch ein Matroid beschrei-
ben lassen, können also mit dem Greedy-Algorithmus gelöst werden. Man kann
den Greedy-Algorithmus zum Beispiel dazu verwenden, Matchings in bipartiten

Graphen zu konstruieren, die eine sog. Eignungsfunktion respektieren. Hier ist
auf der bipartiten Zerlegungsmenge E 1 zusätzlich eine Funktion gegeben, die
angibt, als wie wichtig“ es erachtet wird, dass ein a ∈ E am Matching beteiligt

”

wird (z. B.

allgemeine Erfahrung“ oder
bisherige Leistungen“ eines Mitar-

”

”

beiters einer Firma). Gesucht ist dann ein Matching mit einem größtmöglichen

Gewicht der beteiligten Ecken in E 1.

102

4 Diskrete Mathematik

4.9

Netzwerke und Fl¨
usse

Ein Netzwerk ist eine Struktur N = ( E, K, q, s, c) mit den folgenden Eigenschaf-
ten: (1) ( E, K) ist ein gerichteter Graph, (2) q und s sind verschiedene Ecken des

Graphen, (3) c: K → N. Die Ecke q heißt die Quelle und die Ecke s die Senke
des Netzwerks. Die Funktion c: K → N heißt die Kapazitätsfunktion von N.

Im folgenden Netzwerk sind die Kapazitäten an den Kanten eingetragen:

2
a
d

5

1

3

3

2

2
q
b
e
s

1

1

3

3
c
f

Ein Netzwerk kann man sich als ein verzweigtes System von gerichteten Roh-
ren – die Kanten des Netzwerks – vorstellen, die eine Quelle mit einer Senke
verbinden. Jedes Rohr hat dabei einen bestimmten Durchmesser – seine Ka-
pazität. Anwendungen dieser Netzwerke sind die Modellierung, Analyse und

Verbesserung von Verkehrsflüssen, Produktionsprozessen, usw. Die Frage, die
sich hier stellt, ist, welche Menge an Einheiten, Gütern, usw. wir kontinuierlich
von der Quelle in die Senke transportieren können. Hierzu definieren wir:

Ein Fluss in einem Netzwerk N ist eine Funktion f : K → N mit:

(a) f ( k) ≤ c( k) für alle k ∈ K,

(b)

f ( k) =
f ( k) für alle a ∈ E, a = q, s, wobei
k∈K,k+= a
k∈K,k−= a
k+ die End- und k− die Anfangsecke einer gerichteten Kante k ist.

Ein Fluss in einem Netzwerk kann also durch jedes Rohr“ nicht mehr trans-

”

portieren als es die Kapazität des Rohrs erlaubt. Zudem gilt, dass in jede von
der Quelle und Senke verschiedene Ecke genauso viel hinein- wie herausfließt.

Ist f ein Fluss in einem Netzwerk, so ist der Wert w( f ) von f definiert als
der Netto-Fluss in die Senke des Netzwerks, d. h., wir setzen

w( f ) =
f ( k) −
f ( k) .

k∈K,k+= s
k∈K,k−= s

Da in unseren Flüssen nichts verloren geht, ist der Wert eines Flusses gleich
dem Netto-Ausfluss der Quelle, d. h., es gilt:

w( f ) =
f ( k) −
f ( k) .

k∈K,k−= q
k∈K,k+= q

Einen Fluss können wir in der Form f ( k) /c( k) in ein Diagramm eintragen.

Obiges Netzwerk erlaubt zum Beispiel folgenden Fluss mit Wert 6:

4.9

Netzwerke und Flüsse

103

2/2
a
d

3/5

1/1

2/3

2/3

2/2

2/2
q
b
e
s

1/1

1/1

2/3

2/3
c
f

Für diesen Spezialfall ist leicht zu sehen, dass der Wert 6 nicht mehr verbessert
werden kann. Lester Ford und Delbert Fulkerson haben einen effektiven Algo-
rithmus entwickelt, der einen maximalen Fluss in einem beliebigen Netzwerk
konstruiert. Wir wollen hier nur noch diskutieren, dass diesem Maximierungs-

Problem wieder ein Minimierungs-Problem entspricht. Hierzu definieren wir:

Ein Schnitt in einem Netzwerk ist eine Zerlegung der Kantenmenge K in zwei

Mengen Q und S mit q ∈ Q und s ∈ S. Die Kapazität eines Schnittes ( Q, S)

wird dann definiert durch

c( Q, S) =
c( k) .

k∈K,k−∈Q,k+ ∈S

Der Wert c( Q, S) ist also der gesamte Vorwärtsfluss von der Menge Q in die

Menge S. Es gilt nun der folgende starke Min-Max-Satz von Ford-Fulkerson aus
dem Jahre 1956:

F¨
ur jedes Netzwerk N = ( E, K, q, s, c) gilt max { w( f ) | w ist Fluss
in N } = min { c( Q, S) | ( Q, S) ist Schnitt in N }.

Für obiges Netzwerk ist zum Beispiel Q = {q, a, b}, S = {c, d, e, f, s} ein

Schnitt mit der minimalen Kapazität c( q, c) + c( b, e) + c( a, e) + c( a, d) = 6.

Aus dem Satz von Ford-Fulkerson lässt sich der Min-Max-Satz über bipartite

Graphen gewinnen. Ist G = ( E, K) bipartit durch E 1 und E 2, so führen wir
neue Ecken q und s ein und definieren ein Netzwerk N = ( E, K, q, s, c) durch

E = E ∪ {q, s},

K = {ab | a ∈ E 1 , b ∈ E 2 , {a, b} ∈ K} ∪ {qa | a ∈ E 1 } ∪ {bs | b ∈ E 2 },
c( ab) = 1 für alle ab ∈ K.

Die maximalen Flüsse in N entsprechen nun, wie man leicht einsehen kann,
genau den maximalen Matchings in G. Ebenso entsprechen die Schnitte in N mit
minimaler Kapazität genau den minimalen Trägern in G. Damit ergibt sich der

Min-Max-Satz über bipartite Graphen aus dem Min-Max-Satz über Netzwerke.

104

4 Diskrete Mathematik

4.10

K¨
urzeste Wege

Für jeden Graphen G = ( E, K) können wir eine Abstandsfunktion d definieren.

Ist eine Ecke a erreichbar von einer Ecke b, so sei d( a, b) die Länge eines kürzesten

Weges von a nach b. Andernfalls sei d( a, b) = ∞. Die Funktion d hat mit den
üblichen Rechenregeln für den Wert ∞ die Eigenschaften einer Metrik.

Die Breitensuche, die wir zur Konstruktion aufspannender Bäume verwen-
det haben, liefert eine Möglichkeit, die Werte d( a, b) zu berechnen und einen
kürzesten Weg von a nach b zu finden: Wir starten bei der Ecke a und konstru-
ieren mit der Methode der Breitensuche so lange Bäume Bi mit Wurzel a, bis
wir keine neuen Ecken mehr finden. Wird hierbei die Ecke b im i-ten Schritt ge-
funden, so ist d( a, b) = i, und ein kürzester Weg lässt sich aus dem konstruierten

Baum ablesen. Wird dagegen die Ecke b nicht gefunden, so ist d( a, b) = ∞.

Interessanter und für Anwendungen von großer Bedeutung ist die Berechnung
von Abständen in Graphen G, die mit einer Gewichtsfunktion g von den Kanten
in die positiven reellen Zahlen ausgestattet sind. Für jede Kante ab beschreibt
g( ab) die

Länge“,

Zeitdauer“ oder die

Kosten“ zwischen den Ecken a und

”

”

”

b. Für ein U-Bahn-Netz kann beispielsweise g( ab) die Dauer sein, die eine U-

Bahn regulär braucht, um von der Station a zur Station b zu gelangen. Für
ein Straßennetz kann g( ab) die Gesamtkosten angeben, die entstehen, wenn ein

Lastwagen von a nach b fährt.

Ist G = ( E, K) ein Graph mit positiven Kantengewichten, so definieren wir die

L¨
ange eines Kantenzuges a 0 , a 1 , . . . , an als
g( a

0 ≤i<n
iai+1). Dann kann wie
oben eine Abstandsfunktion d mit metrischen Eigenschaften definiert werden.

Gegeben sei ein Graph G = ( E, K) mit E = { 1 , . . . , n} und Gewichtsfunkti-
on g. Weiter sei a ∈ E eine festgewählte Startecke. Ein effizienter Algorithmus
zur Berechnung von d( a, b) für alle b und zur Bestimmung von zugehörigen
kürzesten Wegen ist der Algorithmus von Dijkstra aus dem Jahre 1959. Die

Grundidee ist, die Abstände d( a, b) für alle Ecken b des Graphen durch Appro-
ximationen immer weiter zu verbessern, bis der Abstand d( a, b) gefunden ist.

Wir konstruieren hierzu rekursiv Funktionen d 0 , . . . , dn− 1 auf E und besuchte

Ecken a = e 1 , . . . , en− 1 (es gibt kein e 0) wie folgt:

Algorithmus von Dijkstra: Zunächst sei d 0( a) = 0 und d 0( b) = ∞ für alle
b = a. Sei nun di konstruiert für ein i < n. Ist i = n − 1, so stoppen wir mit

Ausgabe von dn− 1. Andernfalls sei ei+1 = die kleinste noch nicht besuchte

”

Ecke e mit di( e) = min( {di( b) | b ist noch nicht besucht })“. Für alle bereits
besuchten b sei di+1( b) = di( b), und ebenso sei di+1( b) = di( b) für alle b mit ei+1 b /

∈ K. Für alle anderen Ecken b setzen wir
di+1( b) = das Minimum von d

”

i( b) und di( ei+1) + g( ei+1 b)“.

Nun wiederholen wir das Verfahren.

Die Funktion di wird also lediglich in der Nachbarschaft der gerade besuchten

Ecke ei+1 verbessert. Der Algorithmus von Dijkstra ermittelt in der Tat den

4.10

Kürzeste Wege

105
gewichteten Abstand: Es gilt, wie man zeigen kann, d( a, b) = dn− 1( b) für alle

Startecken a und alle Ecken b.

Wir führen das Verfahren am Bei-

2
spiel des rechts stehenden Graphen

2

5
vor. Dabei geben die Zahlen an den

3

Kanten ab das Gewicht g( ab) an.

1

6

2

1

Die Startecke sei 1. Die folgende Ta-

10
belle gibt den Verlauf der Berech-

3
nung wieder. In der Zeile

BE“ ist

3

6

”

9
die aktuell besuchte Ecke notiert.

Ein

−“ gibt an, dass der gefunde-

3

5

1

”

ne Wert durch den weiteren Verlauf
nicht mehr verändert wird, da die

1

4

7

Ecke der Zeile gerade besucht wird
oder bereits besucht wurde.

d0
d1
d2
d3
d4
d5
d6

Ausgabe

BE

1

2

5

6

3

7

1

0

-

-

-

-

-

-

0

2

∞

3

-

-

-

-

-

3

3

∞

10

9

7

7

-

-

7

4

∞

9

9

9

9

9

8

8

5

∞

∞

5

-

-

-

-

5

6

∞

∞

∞

6

-

-

-

6

7

∞

∞

∞

∞

7

7

-

7

Damit ist d(1 , 1) = 0, d(1 , 2) = 3, d(1 , 3) = 7, d(1 , 4) = 8, usw. Aus der

Tabelle können wir auch kürzeste Wege von der Startecke 1 zu einer anderen

Ecke b gewinnen. Für b = 4 gilt z. B. d(1 , 4) = d 6(4). Der Eintrag d 6(4) gehört
zur besuchten Ecke 7. Der Eintrag d(1 , 7) = d 4(7) gehört zur besuchten Ecke

6. Der Eintrag d(1 , 6) = d 3(6) gehört zur besuchten Ecke 5, usw. Durch diese

Rückverfolgung finden wir 4, 7, 6, 5, 2, 1 als einen kürzesten Weg von 4 nach 1,
und damit ist 1, 2, 5, 6, 7, 4 ein kürzester Weg von 1 nach 4.

106

4 Diskrete Mathematik

4.11

Transitivierung von Relationen

Sei K eine beliebige zweistellige Relation auf E = { 1 , . . . , n}. Wir fragen: Wie
können wir effektiv die transitive H¨
ulle K+ von K berechnen, d. h. die kleinste
transitive Relation auf E, die K erweitert?

Graphentheoretisch betrachtet ist ( E, K) ein gerichteter Graph mit möglichen

Schlingen n der Form aa. Ist K symmetrisch und irreflexiv, so können wir

( E, K) als einen üblichen ungerichteten Graphen auffassen. In jedem Falle ist
die transitive Hülle K+ von K graphentheoretisch von hohem Interesse, da sie
die Erreichbarkeit in G = ( E, K) beschreibt: Für alle a, b ∈ E gilt a K+ b genau
dann, wenn es einen Kantenzug positiver Länge von a nach b in G gibt.

Zur Analyse der transitiven Hülle von K verwenden wir die Verknüpfung von

Relationen (vgl. 1.7). Für Relationen R, S auf { 1 , . . . , n} setzen wir:

R ◦ S = {( a, c) | es gibt ein b ∈ E mit ( a, b) ∈ R und ( b, c) ∈ S}.

Damit können wir K 1 = K und Km+1 = Km ◦ K für alle m > 1 definieren.

Eine einfache Induktion nach m ≥ 1 zeigt: Für alle a, b ∈ E gilt a Km b
genau dann, wenn es einen Kantenzug a = x 0 , . . . , xm = b im Graphen ( E, K)

gibt. Insbesondere gilt also K+ =

Km. Da wir Umwege von c nach c
m≥ 1
aus Kantenzügen von a nach b herausschneiden können, folgt die verbesserte

Darstellung

K+ =

Km.

1 ≤m≤n

Die Relation Kn kann hier durchaus noch neue Information enthalten. Exis-

tiert ein ab ∈ Kn −

Km, so ist aber notwendig a = b und ( G, K) ist

1 ≤m<n
hamiltonsch.

Zur Berechnung von K+ ist es nützlich, mit 0-1-Matrizen zu operieren. Für
jede Relation R auf { 1 , . . . , n} sei AR = ( aij)1 ≤i,j≤n die zugehörige darstellende

Matrix, d. h., es gilt

1 , falls ( i,j) ∈ R,
aij =

0 ,
falls ( i, j) /

∈ R.

Die Verknüpfung von Relationen lässt sich nun durch eine Variante der Matri-
zenmultiplikation rechnerisch beherrschen: Sind A und B ( n × n)-Matrizen mit

0-1-Einträgen, so ist ihr logisches Produkt A · B die 0-1-Matrix C = ( cij)1 ≤i,j≤n
mit

cij =
aikbkj = ai 1 · b 1 j + . . . + ain · bnj für alle 1 ≤ i, j ≤ n,

1 ≤k≤n
wobei hier nun + und · die Wahrheitswert-Operationen und“ und oder“ auf

”

”

{ 0 , 1 } sind, d. h., die Multiplikation ist wie üblich definiert und die Addition ist
gegeben durch i + j = max( i, j) für alle i, j ∈ { 0 , 1 }. Es gilt also

1 · 1 = 1 , 0 · 0 = 0 · 1 = 1 · 0 = 0 ,

4.12

Planare Graphen und Minoren

107

0 + 0 = 0 , 0 + 1 = 1 + 0 = 1 + 1 = 1 .

Die logische Matrizenmultiplikation ist assoziativ, wie man leicht nachrechnet.

Weiter gilt folgender Satz, der den Zusammenhang mit der Verknüpfung von

Relationen herstellt: Seien R und S Relationen auf E = { 1 , . . . , n}. Dann gilt

AR◦S = AR · AS. Insbesondere gilt AKm = ( AK) m für alle m ≥ 1.

Damit können wir die transitive Hülle K+ von K berechnen, indem wir der

Reihe nach die Matrizen A = AK, A 2, . . . , An bestimmen. Ist K reflexiv, so ist

An die darstellende Matrix von K+. Allgemein ist AK+ die punktweise logische

Addition der Matrizen A 1 , . . . , An.

Diese Berechnung der darstellenden Matrix von K+ benötigt unnötig viele

Rechenschritte. Für ein effizienteres Verfahren definieren wir für alle 0 ≤ m ≤ n:

K( m) = {( a, b) | es gibt einen gerichteten Kantenzug in G = ( E, K) von a
nach b mit Ecken in {a, b, 1 , . . . , m}}. Dann gilt K = K(0) ⊆ K(1) ⊆ . . . ⊆

K( n), und K( n) ist die transitive Hülle K+ von K. Es zeigt sich, dass wir die
darstellenden Matrizen der Relationen K( m) sehr effektiv berechnen können.

Hierzu verwenden wir die punktweise logische Summe zweier Zeilen einer 0-1-

Matrix A. Sind etwa (0 , 1 , 1 , 0 , 0 , 1) und (1 , 1 , 0 , 0 , 1 , 1) zwei solche Zeilen, so ist (1 , 1 , 1 , 0 , 1 , 1) die Summe dieser Zeilen. Für eine Matrix A = ( aij) ij sei weiter A( i, j) = aij. Damit können wir nun den Algorithmus von Stephen Warshall aus
dem Jahre 1962 formulieren. Er berechnet rekursiv 0-1-Matrizen AK = A(0),

A(1), . . . , A( n) und gibt A( n) als Ergebnis der Berechnung aus.

Algorithmus von Warshall: Sei A( m) konstruiert für ein m < n. Für alle

1 ≤ i ≤ n mit A( m)( i, m + 1) = 1 sei die i-te Zeile von A( m+1) die Summe der i-
ten und ( m+1)-ten Zeile von A( m). Die anderen Zeilen von A( m+1) übernehmen
wir unverändert aus der Matrix A( m).

Ist die Matrix A( m) berechnet, so ist die ( m + 1)-te Spalte die aktive“ Spalte

”

und die ( m + 1)-te Zeile die aktive“ Zeile. Die Einsen der aktiven Spalte mar-

”

kieren genau diejenigen Zeilen, auf die wir die aktive Zeile addieren. Die aktive

Spalte und Zeile bleibt dabei unverändert.

Der Warshall-Algorithmus leistet in der Tat das Gewünschte: Für alle m ≤ n
ist A( m) die darstellende Matrix der Relation K( m). Speziell ist also die Ausgabe

A( n) die darstellende Matrix der transitiven Hülle K+ von K.

Wir beobachten noch, dass wir uns die Matrizen A( m) während der Berech-
nung nicht merken müssen. Es genügt also ein Speicher für eine ( n × n)-Matrix
mit 0-1-Einträgen.

4.12

Planare Graphen und Minoren

Zeichnen wir einen Graphen, indem wir seine Ecken als Punkte und seine Kanten
als Verbindungslinien auf ein Papier malen, so sind manchmal Überschneidungen
der Verbindungslinien nicht zu vermeiden. Die vollständigen Graphen K 2, K 3

108

4 Diskrete Mathematik
und K 4 lassen sich ohne Überschneidungen zeichnen, nicht aber der Graph K 5.

Ebenso lässt sich der vollständig bipartite Graph K 3 , 2 ohne Überschneidungen
zeichnen, nicht aber der K 3 , 3.

1

4

1

5

2

2

5

4

3

3

6

Die Darstellungen oben sind im Hinblick auf das Vermeiden von Überschnei-
dungen nicht optimal. Der Leser wird sich leicht davon überzeugen, dass sich
sowohl der K 5 als auch der K 3 , 3 mit nur einer Kantenüberschneidung zeichnen
lassen.

Ein Graph heißt planar, falls er sich in der Ebene so darstellen lässt, dass sich
seine Kanten nicht überschneiden und nur in den Ecken berühren. Die Ecken
werden dabei als Punkte dargestellt und die Kanten dürfen aus beliebig vielen
endlichen Geradenstücken zusammengesetzt sein.

Für einen planar dargestellten Graphen sei e die Anzahl der Ecken, k die

Anzahl der Kanten und f die Anzahl der Flächen, wobei die äußere umgebende

Fläche mitzählt. So hat z. B. ein kreisfreier Graph eine, ein Kreis zwei und
ein Graph in der Form einer Acht drei Flächen. Für jeden planar dargestellten

Graphen gilt nun die Eulersche Polyederformel (graphentheoretische Version):

e − k + f = 2 .

Ein Beweis lässt sich elementar durch Induktion über die Anzahl der Flächen
führen. Die Formel gilt in der Tat auch für dreidimensionale Polyeder, denn diese
können wir plätten“, indem wir eine Fläche des Polyeders wählen und sie zur

”

umgebenden äußeren unendlichen Fläche eines planaren Graphen aufziehen“.

”

So wird zum Beispiel aus einem Kubus der untenstehende Graph.

Mit Hilfe der Eulerschen Polyeder-
formel kann man einen schönen Be-

4

3
weis dafür geben, dass es nur fünf re-
gelmäßige konvexe (d. h. nach außen

8

7
gekrümmte) Polyeder gibt, nämlich
ein Tetraeder mit 4, einen Kubus mit

5

6

6, ein Oktaeder mit 8, ein Dodeka-

1

2
eder mit 12 und ein Ikosaeder mit

20 Flächen. Zum Beweis seien wieder

4.12

Planare Graphen und Minoren

109
e, k, f die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen eines regelmäßigen Polyeders,
n die Zahl der Kanten seiner Flächen und d der Grad seiner Ecken. Dann gilt
nf = 2 k und de = 2 k. Mit der Polyederformel erhalten wir

1 /n + 1 /d = 1 / 2 + 1 /k.

(#)

Diese Beziehung kann für natürliche Zahlen n, d, k aber nur gelten, wenn n ≥ 3
und d ≥ 3 ist. Hiermit folgert man nun relativ leicht, dass

( n, d, k) = (3 , 3 , 6) , (3 , 4 , 12) , (3 , 5 , 30) , (4 , 3 , 12) , (5 , 3 , 30) alle möglichen Lösungen von (#) in den natürlichen Zahlen sind. Jede dieser

Lösungen legt ein regelmäßiges konvexes Polyeder eindeutig fest, und damit
kann es nur fünf derartige Polyeder geben.

Ein anderer klassischer Gegenstand der Theorie der planaren Graphen ist das
folgende Mitte des 19. Jahrhunderts formulierte Vierfarbenproblem: Lässt sich
jede Landkarte so mit vier Farben einfärben, dass Länder mit einer gemeinsamen

Grenze immer unterschiedlich gefärbt sind?

Wir können das Vierfärben graphentheoretisch formulieren, indem wir die

Länder der Karte als die Ecken eines Graphen ansehen und zwei Ecken genau
dann mit einer Kante verbinden, wenn die entsprechenden Länder benachbart
sind. Die graphentheoretische Frage lautet dann, ob man die Ecken eines plana-
ren Graphen immer so mit vier Farben einfärben kann, dass benachbarte Ecken
immer verschieden gefärbt sind. Das Problem erwies sich als überraschend kom-
plex. Percy Heawood bewies 1890, dass fünf Farben genügen. Aufbauend auf

Arbeiten von Heinrich Heesch konnten Kenneth Appel und Wolfgang Haken

1976 die ursprüngliche Frage schließlich positiv beantworten: Vier Farben rei-
chen aus. Bis heute müssen Computer eingesetzt werden, um eine große Zahl
von Einzelfällen auf ihre 4-Färbbarkeit zu überprüfen.

Bei der unabhängig vom Vierfarbenproblem durchgeführten strukturellen Un-
tersuchung der planaren Graphen spielten die einfachen Graphen K 5 und K 3 , 3
eine überraschend zentrale Rolle, da sie in allen nichtplanaren Graphen
auf-

”

tauchen“. Zur Präzisierung führen wir den Begriff eines Unterteilungsgraphen
ein.

Ein Graph G heißt ein Unterteilungsgraph eines Graphen G, falls G isomorph
zu einem Graphen ist, der aus G gewonnen werden kann, indem wir wiederholt
eine Kante ab durch zwei Kanten ac und cb ersetzen, wobei c eine neue Ecke ist.

Anschaulich platzieren wir also auf den Kanten von G endlich viele neue Ecken
und erhalten so G. So ist zum Beispiel jeder Kreis Cn ein Unterteilungsgraph
des Dreiecks C 3.

Kuratowski hat nun 1930 den folgenden Satz bewiesen, der nichtplanare Gra-
phen durch Unterteilungsgraphen charakterisiert: Ein Graph G ist genau dann
nichtplanar, wenn er einen Unterteilungsgraphen des K 5 oder des K 3 , 3 als Teil-
graphen enthält.

110

4 Diskrete Mathematik

Eine weitere Charakterisierung der nichtplanaren Graphen beruht auf dem
folgenden Kontraktionsbegriff: Ein Graph G heißt ein Minor eines Graphen

G, falls G isomorph zu einem Graphen ist, der aus G gewonnen werden kann,
indem wir, startend mit einem Teilgraphen von G, wiederholt die beiden Ecken
einer Kante zu einer einzigen Ecke verschmelzen. Bei einer derartigen Kontrak-
tion wird also aus einer Kante ab eine neue Ecke c, und die Nachbarn von c
sind die Nachbarn von a zusammen mit den Nachbarn von b. Statt mit ei-
nem Teilgraphen von G kann man auch direkt mit G starten und zusätzlich
zur Kantenkontraktion auch das Entfernen von Kanten und das Entfernen von

Ecken ohne Nachbarn als Reduktionsoperationen zulassen. Man erhält so einen
äquivalenten Begriff eines Minors.

Ist G ein Unterteilungsgraph von G, so ist G ein Minor von G. Die Um-
kehrung gilt im Allgemeinen nicht: Ein Graph G, der nur aus zwei Ecken und
einer Kante besteht, ist ein Minor des Kreises C 3. Aber der Kreis C 3 ist kein

Unterteilungsgraph von G.

Eine auf Klaus Wagner und das Jahr 1937 zurückgehende Formulierung des

Satzes von Kuratowski mit Hilfe von Minoren lautet: Ein Graph G ist genau
dann nicht planar, wenn der Graph K 5 oder der Graph K 3 , 3 ein Minor von G
ist.

Minoren sind ein prominenter Gegenstand der modernen Graphentheorie. Neil

Robertson und Paul Seymour haben mit einer mehrere hundert Seiten umfas-
senden Beweisführung im Jahre 2004 den folgenden Satz bewiesen:

Ist G 0 , G 1 , . . . , Gn, . . . eine Folge von Graphen, so existieren i < j
derart, dass Gi ein Minor von Gj ist.

Aus dem Satz folgt: Ist eine Klasse von Graphen abgeschlossen unter der

Bildung von Minoren, so gibt es eine endliche Menge V ∗ von Graphen derart,
dass ein beliebiger Graph G genau dann der Klasse angehört, wenn er keinen

Minor enthält, der zu V ∗ gehört. Für die Klasse der planaren Graphen ist zum

Beispiel G∗ = {K 5 , K 3 , 3 } eine derartige Menge von sog. verbotenen Minoren.

5 Lineare Algebra

Im Vorwort seines Buches

Linear Algebra“ beschreibt Peter Lax die lineare

”

Algebra als ein von Emmy Noether und Emil Artin geschaffenes Paradies. Die

Grundelemente dieser schönen Strukturtheorie, zu deren Schöpfern sicherlich
auch noch Hermann Graßmann zählt, werden in den folgenden zwölf Abschnit-
ten vorgestellt.

Die ersten beiden Abschnitte über Vektorräume (Abschnitt 5.1), lineare Un-
abhängigkeit und Basen (Abschnitt 5.2) sollen die Pforte zu diesem Paradies
ein kleines Stück weit öffnen. Ausgehend von der konkreten Anschauung des
uns umgebenden dreidimensionalen Raumes wird der abstrakte Begriff eines

Vektorraums über einem beliebigen Skalarenkörper K entwickelt und bis zur

Isomorphie von Räumen K-wertiger Funktionen mit endlichem Träger geführt.

Der folgende Abschnitt 5.3 behandelt dann lineare Abbildungen und Matrizen.

Wir besprechen hier die Strukturen, die die linearen Abbildungen zu einem

Vektorraum und die invertierbaren Abbildungen zu einer Gruppe machen.

Die beiden nächsten Abschnitte beschäftigen sich mit linearen Gleichungssys-
temen (Abschnitt 5.4) und Determinanten (Abschnitt 5.5). Wir diskutieren die

Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme und widmen uns der Gaußschen Eli-
mination sowohl als Umformung in Zeilenstufenform als auch als LR-Zerlegung.

Die Determinanten quadratischer Matrizen werden Emil Artin folgend aus den

Eigenschaften eines vorzeichenbehafteten Flächeninhalts entwickelt.

Die nächsten drei Abschnitte über euklidische und unitäre Vektorräume (Ab-
schnitt 5.6), über normierte Vektorräume (Abschnitt 5.7) und über Orthogo-
nalität (Abschnitt 5.8) fügen weitere Strukturelemente hinzu. Es wird mit dem
inneren Produkt über reellen oder komplexen Vektorräumen das vertraute Kon-
zept eines Winkels abstrahiert sowie mit dem Begriff der Norm das Konzept der

Längenmessung. Anhand von Orthonormalbasen, orthogonalen und unitären

Matrizen sowie orthogonalen Projektionen wird Orthogonalität ein wenig wei-
ter ausgeführt.

Abschnitt 5.9 definiert den Dualraum. Hier wird im Endlich-Dimensionalen
der Rieszsche Darstellungssatz vorgestellt sowie der Zusammenhang von adjun-
gierter Abbildung und transponierter Matrix besprochen.

Die letzten drei Abschnitte behandeln die Grundelemente der Eigenwert-
theorie. Es werden Eigenwerte und Eigenvektoren motiviert und definiert (Ab-
schnitt 5.10), bevor die Diagonalisierbarkeit von quadratischen Matrizen be-
sprochen wird (Abschnitt 5.11). Die Singulärwertzerlegung beliebiger rechtecki-
ger Matrizen und die Jordansche Normalform beliebiger quadratischer Matrizen

(Abschnitt 5.12) beenden unseren Streifzug durch die lineare Algebra.

O. Deiser et al., 12 x 12 Schlüsselkonzepte zur Mathematik,

DOI 10.1007/978-3-8274-2298-9_5, © Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2011

112

5 Lineare Algebra

5.1

Vektorr¨
aume

Für alle reellen Zahlen x, y, z können wir uns das Tripel ( x, y, z) ∈ R3 als Punkt
eines dreimensionalen räumlichen Kontinuums vorstellen. Daneben ist aber viel-
fach die Anschauung von ( x, y, z) als gerichteter Größe nützlich: ( x, y, z) ist ein

Pfeil“, der vom Nullpunkt 0 = (0 , 0 , 0) zum Punkt mit den Koordinaten x,

”

y und z zeigt, und allgemeiner dann jeder weitere Pfeil im dreidimensionalen

Raum, der die gleiche Richtung und Länge wie dieser Pfeil besitzt. Diese Inter-
pretation motiviert die folgenden Sprechweisen und Operationen.

Wir nennen ein Tripel ( x, y, z) reeller Zahlen einen Vektor. Wir addieren zwei

Vektoren und multiplizieren einen Vektor mit einer reellen Zahl α ∈ R wie folgt:

( x 1 , y 1 , z 1) + ( x 2 , y 2 , z 2) = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2) α( x, y, z) = ( αx, αy, αz)

( Vektoraddition bzw. Skalarmultiplikation im R3). Geometrisch bedeutet die

Vektoraddition das Aneinanderfügen zweier Pfeile und die Skalarmultiplikati-
on die Streckung ( Skalierung“) eines Pfeiles um den Faktor α ( Skalar“). Die

”

”

Physik trägt weitere Interpretationen bei: Wir können einen Vektor als Kraft
lesen, die in einem bestimmten Punkt angreift. Die Richtung des Vektors gibt
die Richtung der Kraft an und die Länge des Vektors ihre Stärke. Die Addi-
tion beschreibt dann die Gesamtkraft zweier Einzelkräfte, die in einem Punkt
angreifen, und die Skalarmultiplikation die Vervielfachung einer Kraft um einen

Faktor.

Die beiden Operationen lassen sich analog für beliebige n-Tupel ( x 1 , . . . , xn)

reeller Zahlen x 1 , . . . , xn durchführen. Wir definieren also für jede natürliche

Zahl n ≥ 1 den Vektorraum R n als die Menge aller n-Tupel ( x 1 , . . . , xn) reeller

Zahlen, die mit den beiden folgenden Operationen ausgestattet wird ( Vektorad-
dition bzw. Skalarmultiplikation im R n):

( x 1 , . . . , xn) + ( y 1 , . . . , yn) = ( x 1 + y 1 , . . . , xn + yn) ,
α( x 1 , . . . , xn) = ( αx 1 , . . . , αxn) .

Im Umgang mit Vektoren überwiegen wie so oft in der Mathematik bald nur
noch gewisse algebraische Struktureigenschaften wie etwa die Kommutativität
der Vektoraddition, und bei den Skalaren dominieren die Eigenschaften eines

Körpers (siehe Abschnitt 6.3). Diese Strukturen fasst man zum allgemeinen

Begriff eines Vektorraumes zusammen, und die Räume R n sind dann nur noch
spezielle, wenn auch besonders wichtige Beispiele des allgemeinen Begriffs. Wir
definieren also: Seien V eine Menge und K ein Körper, für die zwei Abbildungen

V × V → V, ( x, y) → x + y,

K × V → V, ( α, x) → αx

5.1

Vektorräume

113
erklärt sind. Zudem sei 0 ∈ V ein spezielles Element von V . Dann heißt V
ein Vektorraum mit Skalarenk¨
orper K und Nullvektor 0 oder auch kurz ein K-

Vektorraum, falls für alle v, v 1 , v 2 , v 3 ∈ V und alle α, β ∈ K die folgenden

Eigenschaften gelten:

(i) v 1 + ( v 2 + v 3) = ( v 1 + v 2) + v 3,

(ii) v + 0 = v, es gibt ein w mit v + w = 0,

(iii) v 1 + v 2 = v 2 + v 1,

(iv) 1 v = v, α( βv) = ( αβ) v, ( α + β) v = αv + βv, α( v 1 + v 2) = αv 1 + αv 2.

Den eindeutig bestimmten Vektor w in (ii) bezeichnen wir mit −v, und wir
definieren eine Subtraktion auf V durch v 1 − v 2 = v 1 + ( −v 2) für alle v 1 , v 2 ∈ V .

Die wichtigsten Beispiele sind die reellen Vektorräume (K = R) und die kom-
plexen Vektorräume (K = C). Zuweilen ist auch K = Q von Interesse, und
auch endliche Skalarenkörper wie K = { 0 , 1 } sind möglich. Ein sehr allgemeines

Beispiel ist das folgende. Seien M eine beliebige Menge und K ein beliebiger

Körper. Wir definieren

K M = {f | f: M → K }.

Unsere Vektoren sind hier also Funktionen von M in den Skalarenkörper K.

Die Addition und die Skalarmultiplikation erklären wir punktweise, d. h., wir
definieren für alle f, g ∈ K M und alle α ∈ K die Vektoren f + g und αf durch

( f + g)( x) = f ( x) + g( x) und ( αf )( x) = αf ( x) für alle x ∈ M . Es ist leicht zu sehen, dass K M unter diesen Operationen zu einem K-Vektorraum wird, mit
der Nullfunktion als Nullvektor.

Eine Teilmenge U ⊆ V eines Vektorraums V heißt ein Unterraum von V ,
wenn U mit der ererbten Addition und Skalarmultiplikation ein Vektorraum
ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn U abgeschlossen unter Addition und

Skalarmultiplikation ist, d. h., für alle Vektoren u 1 , u 2 ∈ U und alle Skalare
α ∈ K gilt u 1 + u 2 ∈ U und αu 1 ∈ U . So bildet beispielsweise {( x, y, 0) ∈ R3 |
x, y ∈ R } einen Unterraum des R3, {( x, y, 1) ∈ R3 | x, y ∈ R } hingegen nicht,
da der Nullvektor (0 , 0 , 0) nicht dazugehört. Ein wichtiger Unterraum des K M
ist

K M
fin = {f ∈ K M | supp( f ) ist endlich },
wobei supp( f ) = {x ∈ M | f ( x) = 0 } den Träger ( support“) der Funktion f be-

”

zeichnet. Natürlich ist K M nur f
fin
ür unendliche Mengen M ein echter Unterraum
des K M .

Für zwei Unterräume U 1 , U 2 ⊆ V eines Vektorraums V ist die Summe

U 1 + U 2 = {u 1 + u 2 | u 1 ∈ U 1 , u 2 ∈ U 2 }

der kleinste Unterraum von V , der die beiden Unterräume enthält. Haben U 1
und U 2 nur den Nullvektor gemeinsam, gilt also U 1 ∩ U 2 = { 0 }, so hat jeder

Vektor v ∈ U 1 + U 2 eine eindeutige Darstellung als v = u 1 + u 2 mit u 1 ∈ U 2,
u 2 ∈ U 2. Man nennt in diesem Fall die Summe der Unterräume direkt und
bezeichnet sie mit U 1 ⊕ U 2.

114

5 Lineare Algebra

5.2

Lineare Unabh¨
angigkeit und Dimension

Für den reellen Vektorraum R3 gelten für
typische“ Vektoren v

”

1 , v 2 , v 3 die
folgenden Aussagen:

{α 1 v 1 | α 1 ∈ R } ist eine Gerade,

{α 1 v 1 + α 2 v 2 | α 1 , α 2 ∈ R } ist eine Ebene,

{α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 | α 1 , α 2 , α 3 ∈ R } ist der ganze Raum R3.

Diese Aussagen treffen nur dann nicht zu, wenn v 1 der Nullvektor ist, wenn v 1
und v 2 auf einer gemeinsamen Geraden liegen oder wenn v 1, v 2 und v 3 in einer
gemeinsamen Ebene liegen. Ist nun aber {α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 | α 1 , α 2 , α 3 ∈ R }

der ganze R3, so ist leicht einzusehen, dass sich jeder Vektor v ∈ R3 sogar in ein-
deutiger Weise schreiben lässt als v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3. Die Skalare α 1 , α 2 , α 3
sind dann die Koordinaten“ von v bezüglich der Basisvektoren“ v

”

”

1 , v 2 , v 3. Die-
se Beobachtungen wollen wir im Folgenden präzisieren und in einem beliebigen

K-Vektorraum V untersuchen. Alle betrachteten Vektoren und Skalare sollen V
beziehungsweise K angehören.

Ein Vektor w heißt eine Linearkombination der Vektoren v 1 , . . . , vn, falls es

Skalare α 1 , . . . , αn gibt mit w = α 1 v 1 + · · · + αnvn. Für jedes A ⊂ V definieren wir nun span( A) als die Menge der Linearkombinationen von Vektoren in A:

span( A) = {α 1 v 1 + · · · + αnvn | n ∈ N , α 1 , . . . , αn ∈ K , v 1 , . . . , vn ∈ A}.

Hierbei lassen wir den Fall n = 0 als Länge der Linearkombination zu und
definieren die leere Summe“ als den Nullvektor. Damit gilt dann span( ∅) = { 0 }.

”

Man überprüft leicht, dass die Menge span( A) ein Unterraum von V ist, den
man den von A aufgespannten Unterraum oder die lineare H¨
ulle von A nennt.

Eine Menge A ⊆ V heißt linear unabhängig, wenn kein v ∈ A eine Linearkom-
bination der anderen Vektoren von A ist, d. h., es gilt v /

∈ span( A \ {v}) für alle
v ∈ A. Leicht einzusehen ist, dass eine Menge A genau dann linear unabhängig
ist, wenn sich der Nullvektor nur trivial mit Vektoren in A darstellen lässt, d. h.,
falls für alle α 1 , . . . , αn ∈ K und alle v 1 , . . . , vn ∈ A gilt:

α 1 v 1 + · · · + αnvn = 0 impliziert α 1 = · · · = αn = 0 .

Eine Menge A ⊆ V heißt erzeugend, falls span( A) = V gilt. Mit diesen Begrif-
fen können wir nun eines der Schlüsselkonzepte der Theorie der Vektorräume
definieren: Eine Menge B ⊆ V heißt eine Basis von V , falls B linear unabhängig
und erzeugend ist. Gleichwertig ist: B ist eine maximale linear unabhängige

Menge, d. h., B ist linear unabhängig und jede echte Obermenge von B ist
linear abhängig. Gleichwertig ist ebenfalls: Jeder Vektor v = 0 besitzt eine ein-
deutige Darstellung der Form v = α 1 v 1 + · · ·+ αnvn mit Vektoren v 1 , . . . , vn ∈ B
und von 0 verschiedenen Skalaren α 1 , . . . , αn.

5.2

Lineare Unabhängigkeit und Dimension

115

Mit Hilfe des Auswahlaxioms (Abschnitt 12.5 und 12.6) kann man beweisen,
dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt, und stärker, dass sich jede linear un-
abhängige Teilmenge zu einer Basis erweitern lässt ( Basiserg¨
anzungssatz). Dies
ist für RR = {f | f : R → R } oder den Vektorraum R über dem Skalarenkörper Q
alles andere als selbstverständlich, und die Basen dieser Vektorräume bleiben
abstrakt. In vielen Fällen lassen sich dagegen Basen leicht konkret angeben. So
sind zum Beispiel (1 , 0 , 0), (0 , 1 , 0), (0 , 0 , 1) oder auch (0 , 0 , 1), (0 , 1 , 1), (1 , 1 , 1) jeweils Basen des R3. Für alle n ≥ 1 und alle Körper K bilden die Vektoren
e 1 = (1 , 0 , 0 , . . . , 0) , e 2 = (0 , 1 , 0 , . . . , 0) , . . . , en = (0 , . . . , 0 , 1) eine Basis des K n. Man nennt e 1 , . . . , en die kanonischen Basisvektoren oder
auch die Standardbasisvektoren des K n. Weiter bilden für alle Mengen M die
charakteristischen Funktionen χ{y}: M → K, die durch χ{y}( y) = 1 und
χ{y}( x) = 0 für alle x = y definiert sind, eine Basis {χ{y} ∈ K M | y ∈ M}

fin
des Vektorraums K M .

fin

Zur Charakterisierung von Vektorräumen kann man folgende wichtige Eigen-
schaft zeigen: Hat ein Vektorraum V eine endliche Basis B, so hat jede Basis
von V die gleiche Anzahl von Elementen wie B. Man nennt diese Anzahl die

Dimension von V , in Zeichen dim( V ), und bezeichnet V als einen endlich-
dimensionalen Vektorraum. Insbesondere gilt dim( { 0 }) = 0. Auch in unendlich-
dimensionalen Vektorräumen besitzen je zwei Basen dieselbe Mächtigkeit (siehe

Abschnitt 12.1). Damit sind alle Basen eines Vektorraums stets gleich groß.

Der Basis- und Dimensionsbegriff führen nun zu einer überraschend einfachen

Charakterisierung von Vektorräumen. Sei V zunächst endlich-dimensional, und
sei {v 1 , . . . , vn} eine Basis von V . Wir können dann jeden Vektor v eindeutig
schreiben als v = α 1 v 1 + · · · + αnvn, wobei hier bei der Summation über die
volle Basis einzelne Skalare 0 sein dürfen. Das Tupel ( α 1 , . . . , αn) ∈ K n heißt
der Koordinatenvektor von v bzgl. der ( v 1 , . . . , vn), wobei die Anordnung der

Basisvektoren wichtig ist. Man sieht leicht, dass

T ( v) = der Koordinatenvektor von v bzgl. ( v

”

1 , . . . , vn)“
eine bijektive Abbildung T : V → K n definiert, die im folgenden Sinn die Vek-
torraumstruktur erhält: Es gilt T ( v + w) = T ( v) + T ( w) und T ( αv) = αT ( v) für alle v, w ∈ V und α ∈ K. Man nennt solch eine bijektive Abbildung einen

Isomorphismus und die beiden Vektorräume V und K n isomorph (siehe auch

Abschnitt 1.12 und 5.3). Unsere elementaren Beispiele { 0 }, K1 , K2 , . . . sind also
die“ Beispiele endlich-dimensionaler Vektorräume.

” Diese Überlegung greift auch für beliebige Vektorräume V . Ist B eine Basis
von V , so definiert die Abbildung auf die Skalare der darstellenden Linearkombi-
nationen einen Isomorphismus zwischen V und K B . Damit ist jeder Vektorraum
fin
isomorph zu einem Vektorraum K M , sofern die Menge M zu B gleichm
fin
ächtig
ist. Hat also V eine abzählbar unendliche Basis, so ist V isomorph zu KN , dem
fin

Raum aller Folgen mit endlichem Träger.

116

5 Lineare Algebra

5.3

Lineare Abbildungen und Matrizen

Eine Abbildung T : V → W zwischen zwei K-Vektorräumen V und W heißt line-
ar, wenn sie im folgenden Sinn die Vektorraumstruktur erhält: Für alle Vektoren
v, w ∈ V und alle Skalare α ∈ K gilt

T ( v + w) = T ( v) + T ( w) ,

T ( αv) = αT ( v) .

Die einfachsten linearen Abbildungen sind die Multiplikationen Tα: V → V ,
v → αv, mit einem vorgebenen Skalar α ∈ K. Wichtige Beispiele sind die im
vorherigen Abschnitt diskutierten Isomorphismen TV : V → K B , die auf die
fin

Koordinatenvektoren bezüglich einer Basis B von V abbilden. Für den reellen

Vektorraum P[ − 1 , 1] der Polynomfunktionen p: [ − 1 , 1] → R, x → p( x), sind die Multiplikation mit einem Polynom (zum Beispiel q( x) = x) und die Ableitung
p → pq,
p → p
lineare Abbildungen von P[ − 1 , 1] nach P[ − 1 , 1]. Lineare Abbildungen haben
viele schöne Eigenschaften. Einige davon sind: Linearkombinationen werden zu

Linearkombinationen der Bildvektoren. Der Nullvektor des Ausgangsraums V
wird auf den Nullvektor des Zielraums W abgebildet. Lineare Abbildungen, die
auf einer Basis des Ausgangsraums V übereinstimmen, sind gleich. Außerdem
bilden Isomorphismen Basen des Ausgangsraums auf Basen des Zielraums ab,
weswegen isomorphe Vektorräume dieselbe Dimension haben.

Seien S und T lineare Abbildungen von V nach W und α ∈ K ein Skalar.

Definieren wir die Summe S + T und das Produkt αT durch

( S + T )( x) = S( x) + T ( x) ,

( αT )( x) = αT ( x)

für alle x, y ∈ V , so wird die Menge der linearen Abbildungen mit einer Vek-
toraddition und einer skalaren Multiplikation versehen. Wir bezeichnen diesen

Vektorraum mit L( V, W ). Sind S: U → V und T : V → W lineare Abbildungen
zwischen Vektorräumen U, V und W , so definiert die Verkn¨
upfung

T ◦ S: U → W,
u → T ( S( u))

ebenfalls eine lineare Abbildung. Die Verknüpfung ist assoziativ und distributiv
bezüglich +, jedoch nicht kommutativ. Ein Beispiel hierfür ist, dass die Mul-
tiplikation mit x und die Ableitung auf dem Vektorraum der Polynome nicht
vertauschen.

Ist T : V → W ein Isomorphismus, so gibt es für jedes w ∈ W genau ein v ∈ V
mit T ( v) = w. Man bezeichnet den Vektor v mit T − 1( w) und definiert die zu

T inverse Abbildung T − 1: W → V , w → T − 1( w). Die inverse Abbildung ist
ebenfalls ein Isomorphismus, und es gilt

T − 1 ◦ T = Id V ,

T ◦ T − 1 = Id W ,

5.3

Lineare Abbildungen und Matrizen

117
wobei Id V und Id W die Identitätsabbildungen auf V beziehungsweise W sind.

Die Isomorphismen von V nach V bilden bezüglich der Verknüpfung sogar eine

Gruppe (siehe Abschnitt 6.1).

Man kann sich leicht davon überzeugen, dass das Bild und der Kern einer
linearen Abbildung T : V → W
rng( T ) = {T ( x) | x ∈ V },
ker( T ) = {x ∈ V | T ( x) = 0 }

Unterräume von W beziehungsweise V sind. Ebenso leicht zeigt man, dass ein
lineares T genau dann injektiv ist, wenn ker( T ) = { 0 } gilt, und die Surjek-
tivität ist definitionsgemäß äquivalent zu rng( T ) = W . Wir interessieren uns
im Folgenden für endlich-dimensionale Vektorräume und nehmen dim( V ) = n,
dim( W ) = m mit n, m ∈ N an. Eine geeignete Basiskonstruktion liefert die

Dimensionsformel für das Bild und den Kern einer linearen Abbildung,
dim rng( T ) + dim ker( T ) = n.

Im Fall n = m treten deswegen die Injektivität, Surjektivität und Bijektivität
automatisch zusammen auf.

Seien {v 1 , . . . , vn} eine Basis von V und {w 1 , . . . , wm} eine Basis von W .

Dann gibt es m · n eindeutig bestimmte Skalare aij ∈ K, so dass T vj =
a 1 jw 1 + · · · + amjwm für alle j erfüllt ist. Arrangieren wir die Skalare in ei-
nem Rechtecksschema mit m Zeilen und n Spalten, so nennt man die m × n

Matrix

⎛

⎞
a

⎜ 11 · · · a 1 n

.

.

⎟

A = ⎜

⎝ .

⎟

.

.. ⎠
am 1 · · · amn
die darstellende Matrix von T bezüglich ( v 1 , . . . , vn) und ( w 1 , . . . , wm). Bei-
spielsweise hat die im Fall n = m durch ( T ( v 1) , . . . , T ( vn)) = ( w 1 , . . . , wm)

festgelegte lineare Abbildung T als darstellende Matrix die Einheitsmatrix

Id ∈ K n×n, die durch Id ii = 1 und Id ij = 0 für i = j definiert ist.

Die m×n-Matrizen bilden mit der komponentenweisen Addition und skalaren

Multiplikation

( A + B) ij = aij + bij,

( αA) ij = αaij
einen Vektorraum, den wir mit K m×n bezeichnen. Die Abbildung von L( V, W )

nach K m×n, welche einem T seine darstellende Matrix A bezüglich ( v 1 , . . . , vn)

und ( w 1 , . . . , wm) zuordnet, ist ein Isomorphismus. Die Matrizen sind also die“

”

Beispiele linearer Abbildungen zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen.

Seien U ein weiterer Vektorraum mit Basis {u 1 , . . . , ul} und S: U → V eine
lineare Abbildung mit darstellender Matrix B ∈ K n×l bezüglich ( u 1 , . . . , ul)

und ( v 1 , . . . , vn). Dann hat die Verknüpfung T ◦ S: U → W eine darstellende

Matrix C ∈ K m×l bezüglich ( u 1 , . . . , ul) und ( w 1 , . . . , wm) mit den Einträgen
cij = ai 1 b 1 j + · · · + ainbnj.

118

5 Lineare Algebra

Die Matrix C heißt das Matrixprodukt von A und B. Man schreibt C = AB.

Wie die Verknüpfung linearer Abbildungen ist die so definierte Matrizenmulti-
plikation assoziativ und distributiv bezüglich +, jedoch nicht kommutativ. Zum

Beispiel ist

0 1

0 0

1 0

0 0

0 0

0 1

=

=

=

.

0 0

1 0

0 0

0 1

1 0

0 0

Gibt es für eine quadratische Matrix A ∈ K n×n ein B ∈ K n×n mit AB =

Id = BA, so heißt A invertierbar. Die Matrix B ist eindeutig bestimmt und wird
die zu A inverse Matrix A− 1 genannt. Die invertierbaren Matrizen des K n×n
bilden bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe.

Sei A ∈ K m×n. Schreibt man einen Vektor x ∈ K n als Spaltenvektor, das
heißt als Matrix mit n Zeilen und einer Spalte, so erhält man als Spezialfall der

Matrizenmultipikation das Matrix-Vektor-Produkt Ax ∈ K m mit Komponenten

( Ax) i = ai 1 x 1 + · · · + ainxn.

Man kann nun eine lineare Abbildung T : V → W folgendermaßen mit ei-
nem Matrix-Vektor-Produkt darstellen: Sei A die darstellende Matrix von T
bezüglich ( v 1 , . . . , vn) und ( w 1 , . . . , wm), und seien TV : V → K n und TW :

W → K m die Isomorphismen, die auf die zugehörigen Koordinatenvektoren ab-
bilden. Dann gilt T ( v) = T − 1( AT

W

V ( v)) für alle v ∈ V . Oft ist es hilfreich, eine
m × n-Matrix als n-Tupel ihrer Spaltenvektoren zu notieren, A = ( a 1 , . . . , an),
und dementsprechend den Vektor Ax als eine Linearkombination der Spalten-
vektoren von A zu lesen,

Ax = x 1 a 1 + · · · + xnan.

Im Fall des j-ten kanonischen Einheitsvektors ej ∈ K n ergibt sich dann ins-
besondere Aej als die j-te Spalte von A und aij als die i-te Komponente des

Vektors Aej, das heißt Aej = aj und ( Aej) i = aij.

Tauschen bei einer Matrix Zeilen und Spalten ihre Rolle, so definiert die
entsprechende Abbildung K m×n → K n×m, ( aij) → ( aji), einen Isomorphismus,
den man die Transposition nennt. Die Matrix, die durch Transposition von A
entsteht, heißt die zu A transponierte Matrix und wird mit AT bezeichnet. Es
gilt also AT
ij = aji für alle i und j. Für das Bild von A sind die Spaltenvektoren
von A erzeugend, während das Bild von AT von den Zeilenvektoren von A
erzeugt wird. Es kann jedoch gezeigt werden, dass
dim rng( A) = dim rng( AT )

gilt. Eine Matrix besitzt also die gleiche Anzahl linear unabhängiger Spalten-
und Zeilenvektoren. Man bezeichnet dim rng( A) als den Rang der Matrix A. Eine

Matrix und ihre Transponierte haben demnach denselben Rang, und dieser ist
kleiner gleich min( m, n).

5.4

Lineare Gleichungssysteme

119

5.4

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme gibt es seit mehr als 2000 Jahren. Man hat Lehm-
tafeln aus dem antiken Babylon gefunden, auf denen über lineare Gleichungs-
systeme die Größe von Getreidefeldern mit ihrem Ertrag pro Flächeneinheit in

Beziehung gesetzt wird. Viele Fragen auch des modernen Alltags lassen sich in
lineare Gleichungssysteme übersetzen. Ein geometrisch motiviertes Beispiel ist
die Suche nach dem Schnittpunkt zweier Geraden in der Ebene. Beschreiben
wir die Geraden durch die Gleichungen ax + by = e und cx + dy = f , so ergibt
sich ein lineares System mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten,

a b
x
e

=

.

c d
y
f

Die geometrische Anschauung lässt entweder keinen, genau einen oder unendlich
viele Lösungen ( x, y) zu, je nachdem ob die Geraden parallel liegen, sich in genau
einem Punkt schneiden oder zusammenfallen. Das Trio 0 , 1 , ∞“ findet sich auch

”

in der allgemeinen Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme wieder, die wir im

Folgenden für die Skalarenkörper K = R oder C diskutieren.

Seien A ∈ K m×n und b ∈ K m. Wir nehmen an, dass es einen Vektor x∗ ∈ K n
mit Ax∗ = b gibt. Die Lösungsmenge für das lineare Gleichungssystem Ax = b
lässt sich dann als

{x ∈ K n | Ax = b} = {x∗ + x | x ∈ ker( A) }

schreiben, wobei ker( A) = {x ∈ K n | Ax = 0 } die Vektoren enthält, welche das
homogene lineare Gleichungssystem Ax = 0 lösen. Da der Kern einer Matrix ein

Unterraum des R n ist, ist die Lösungsmenge ein um den Vektor x∗ verschobener

Unterraum, ein sogenannter affiner Unterraum. Sie ist entweder einelementig,
und zwar genau dann, wenn ker( A) = { 0 } gilt, oder sie enthält unendlich viele

Vektoren. Ist {b 1 , . . . , bl} eine Basis von ker( A), so kann man die Lösungsmenge
auch als

{x ∈ K n | Ax = b} = {x∗ + α 1 b 1 + · · · + αlbl | α 1 , . . . , αl ∈ K }

darstellen. Die Annahme, dass es ein x∗ ∈ K n mit Ax∗ = b gibt, lässt sich
äquivalent als b ∈ rng( A) formulieren, und es ergibt sich als Kriterium für die

Lösbarkeit, dass der Rang von A mit dem Rang der erweiterten Systemmatrix

( A, b) ∈ K m×( n+1) übereinstimmt.

Die eindeutige Lösbarkeit ist also äquivalent dazu, dass b ∈ rng( A) und
ker( A) = { 0 } gilt. Für Gleichungssysteme mit n Gleichungen und n Unbe-
kannten ist dieser Fall jedoch bereits durch die Bedingung ker( A) = { 0 } cha-
rakterisiert, da dann automatisch rng( A) = K n gilt. Die Matrix A ∈ K n×n ist
dann invertierbar, und die eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems ist
durch x = A− 1 b gegeben.

120

5 Lineare Algebra

In konkreten Fällen mit überschaubarer Zahl von Gleichungen und Unbekann-
ten kann mit Papier und Bleistift über das Gaußsche Eliminationsverfahren die

Lösungsmenge bestimmt werden. Die grundlegende Idee hierfür ist, die lineare

Gleichung Ax = b so zu verändern, dass ein neues lineares Gleichungssystem
mit gleicher Lösungsmenge entsteht, das aber einfacher lösbar ist. Die Matrix
des Zielsystems soll Zeilenstufenform haben, was Folgendes bedeutet: Zeilen, die
gleich dem Nullvektor sind, stehen unterhalb von Zeilen mit nicht verschwin-
denden Einträgen. Der erste nicht verschwindende Eintrag der j-ten Zeile steht
rechts vom ersten nicht verschwindenden Eintrag der Vorgängerzeile. Markieren
wir nicht verschwindende Komponenten mit einem ×, so ist

⎛

⎞

× × × ×

⎜

⎟

A = ⎜

⎝ 0 × × × ⎟

⎠

0 0 0 ×
ein schematisches Beispiel für eine 3 × 4-Matrix in Zeilenstufenform. Hier hat
das lineare Gleichungssystem Ax = b für jede rechte Seite b ∈ K3 unendlich viele

Lösungen: Die vierte Komponente eines jeden Lösungsvektors x ist eindeutig als
x 4 = b 3 /a 34 festgelegt, während für die zweite und dritte Komponente beliebige

Lösungen der skalaren Gleichung a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 − a 24 x 4 möglich sind.

Die möglichen Schritte einer Gaußschen Elimination sind die elementaren

Zeilenoperationen, von denen es drei verschiedene Typen gibt. Der erste Typ
vertauscht zwei Zeilen des Gleichungssystems. Der zweite Typ multipliziert eine

Zeile mit einem Skalar ungleich Null. Der dritte Typ ersetzt eine Zeile durch
die Summe der Zeile mit einer Vorgängerzeile. Matrizen, die durch elementa-
re Zeilenoperationen ineinander überführbar sind, nennt man zeilen¨
aquivalent.

Zeilenäquivalenz ist eine Äquivalenzrelation (siehe auch Abschnitt 1.9). Man
überzeugt sich leicht davon, dass lineare Gleichungssysteme mit zeilenäquiva-
lenten erweiterten Systemmatrizen die gleiche Lösungsmenge haben.

Eine alternative Formulierung der Gaußschen Elimination verwendet die so-
genannten Elementarmatrizen. Die Linksmultiplikation des Gleichungssystems
mit einer Elementarmatrix E ∈ K m×m entspricht einer elementaren Zeilenope-
ration. Der erste Typ, welcher die k-te mit der l-ten Zeile vertauscht, hat die

Einträge ekl = elk = 1, ejj = 1 für j ∈ {k, l} und eij = 0 sonst. Der zweite Typ,
der die k-te Zeile mit α multipliziert, ist von der Form ekk = α, ejj = 1 für
j = k und eij = 0 sonst. Der dritte Typ schließlich, der die k-te zur l-ten Zeile
addiert, ist durch elk = 1, ejj = 1 für alle j und eij = 0 sonst definiert. Ein

Gaußscher Eliminationsprozess kann dann durch eine endliche Folge von Ele-
mentarmatrizen E 1 , . . . , El kodiert werden, die auf das einfachere Zielsystem

El · · · E 1 Ax = El · · · E 1 b
führen. Diese Darstellung ist die Grundlage für eine Faktorisierung der Matrix A,
die unter dem Namen LR-Zerlegung den Rahmen für die numerische Fehlerana-
lyse des Gaußschen Eliminationsverfahrens vorgibt (siehe Abschnitt 10.4).

5.5

Determinanten

121

5.5

Determinanten

Wir betrachten ein Parallelogramm, das von zwei Vektoren a, b ∈ R2 auf-
gespannt wird, und berechnen seinen Flächeninhalt F mit Hilfe des Kosi-
nussatzes. Für den zwischen den Vektoren a und b liegenden Winkel ϑ gilt

&a& · &b& · cos ϑ = a, b, wobei a, b = a 1 b 1 + a 2 b 2 ist. Wir erhalten F =

&a& 2 · &b& 2 − a, b 2 = |a 1 b 2 − a 2 b 1 |.

Die Funktion D: R2 × R2 → R, ( a, b) → a 1 b 2 − a 2 b 1, besitzt die Eigenschaften
eines vorzeichenbehafteten Flächeninhalts:

(a) Für festes a ist b → D( a, b) eine lineare Abbildung. Bei festem b gilt
das Gleiche für a → D( a, b).

(b) Für alle a, b gilt D( a, b) = −D( b, a).

(c) Für die Einheitsvektoren e 1 , e 2 ∈ R2 gilt D( e 1 , e 2) = 1.

Man stellt sich zur n-dimensionalen Verallgemeinerung im K-Vektoraum K n die

Frage, ob es eine Funktion D: K n ×· · ·× K n → K, ( a 1 , . . . , an) → D( a 1 , . . . , an), gibt, welche Folgendes erfüllt:

(a) D ist multilinear: Werden alle Vektoren bis auf einen festgehalten, so
ist die resultierende Abbildung von K n nach K linear.

(b) D ist alternierend: Werden zwei Vektoren miteinander vertauscht, so
wechselt der Funktionswert das Vorzeichen.

(c) D ist normiert: Es gilt D( e 1 , . . . , en) = 1.

Die Frage nach der Existenz eines solchen D kann mit
ja“ beantwortet und

”

sogar durch eine Eindeutigkeitsaussage verstärkt werden.

Fasst man die Vektoren a 1 , . . . , an ∈ K n als die Spalten einer n × n-Matrix

A ∈ K n×n auf, so definiert das eindeutige D über die Festlegung
det( A) = D( a 1 , . . . , an)

die Determinante der Matrix A. Um zu einer expliziten Formel für die Deter-

minante zu gelangen, schreibt man a
n

1 =
a
j=1

1 j ej als Linearkombination der

Einheitsvektoren und erhält det( A) =
n
a
j=1

1 j D( ej , a 2 , . . . , an). Wiederholt
man dies auch für die anderen Spalten, so ergibt sich eine Summe mit nn Sum-
manden, von denen aber nur n! viele nicht verschwinden:

det( A) =
a 1 ,p(1) · · · an,p( n) D( ep(1) , . . . , ep( n)) .

p∈Sn

Hierbei ist Sn die Menge aller Permutationen von n Elementen, das heißt die

Menge aller bijektiven Abbildungen p: { 1 , . . . , n} → { 1 , . . . , n}. Je nachdem, ob
für eine Permutation p die Anzahl der Paare ( i, j) mit i < j und p( i) > p( j)

gerade oder ungerade ist, setzt man das Signum zu σ( p) = 1 oder σ( p) = − 1.

Mit dem Signum vereinfacht sich die obige Gleichung zur Leibnizschen Formel

det( A) =
σ( p) a

· · ·

1 ,p(1)

an,p( n) .

p∈Sn

122

5 Lineare Algebra

Mit der Leibnizschen Formel kann man zum Beispiel leicht beweisen, dass die

Transposition einer quadratischen Matrix ihre Determinante nicht verändert:

det( A) = det( AT ) .

Die Determinante kann alternativ als Summe von Determinanten geringerer

Dimension geschrieben werden. Bezeichnen wir mit Aij ∈ K( n− 1) ×( n− 1) die

Matrix, die durch die Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte von A ∈ K n×n
entsteht, so gilt
n

n

det( A) =

( − 1) i+ jaij det( Aij) =

( − 1) i+ jaij det( Aij)

i=1
j=1
für alle i, j ∈ { 1 , . . . , n}. Diese Entwicklung der Determinante nach einer belie-
bigen Zeile oder Spalte trägt den Namen Laplacescher Entwicklungssatz. Ent-
wickelt man beispielsweise die Determinante einer Matrix A ∈ K3 × 3 nach der
ersten Zeile, so ergibt sich

a 22 a 23
a 21 a 23
a 21 a 22
det( A) = a 11 · det

− a 12 · det

+ a 13 · det

.

a 32 a 33
a 31 a 33
a 31 a 32

Die Determinante des Produkts zweier Matrizen A, B ∈ K n×n erweist sich
als das Produkt der Determinanten,
det( AB) = det( A) det( B) .

Aus dieser Produktregel folgt für invertierbare Matrizen det( A− 1) = det( A) − 1,
und dass eine Matrix A genau dann invertierbar ist, wenn det( A) = 0 gilt. Daher
haben genau die von linear abhängigen Vektoren aufgespannten Parallelepipe-
de verschwindenden Flächeninhalt. Sind A, B ∈ K n×n ähnlich, das heißt A =

T BT − 1 für eine invertierbare Matrix T ∈ K n×n, dann gilt det( A) = det( B).

Oder anders formuliert: Von ähnlichen Matrizen aufgespannte Parallelepipede
haben den gleichen Flächeninhalt.

Für ein lineares Gleichungssystem Ax = b mit einer invertierbaren Matrix A
erlaubt die Determinantentheorie eine geschlossene Darstellung des Lösungsvek-
tors x, die Cramersche Regel heißt. Wir ersetzen in der Matrix A die k-te Spalte
durch den Vektor b und nennen diese Matrix Ak. Es gilt
det( Ak) = D( a 1 , . . . , ak− 1 , b, ak+1 , . . . , an)

n

=
xjD( a 1 , . . . , ak− 1 , aj, ak+1 , . . . , an) = xk det( A) ,
j=1
und damit ist xk = det( Ak) / det( A) für alle k = 1 , . . . , n bestimmt.

5.6

Euklidische und unitäre Vektorräume

123

5.6

Euklidische und unit¨
are Vektorr¨
aume

Nach dem Satz des Pythagoras gelten in rechtwinkligen Dreiecken die folgen-
den Längenbeziehungen: Die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse ist die

Summe der Flächen der Quadrate über den beiden Katheten. Einem Vektor
x = ( x 1 , x 2) ∈ R2 kann man ein rechtwinkliges Dreieck zuordnen, dessen Hy-
potenuse der Vektor x ist und dessen Katheten die Länge |x 1 | und |x 2 | haben.

Bezeichnen wir die Länge des Vektors mit &x& , so sagt also der Satz des Pytha-
goras, dass

&x& =
x 2 + x 2

1

2
gilt. &x& wird auch die Norm des Vektors x genannt. Wir verallgemeinern nun
auf ein beliebiges Dreieck, welches von zwei Vektoren x, y ∈ R2 aufgespannt
wird. Ist ϑ der Winkel zwischen x und y, so gilt nach dem Kosinussatz

&x& 2 + &y& 2 = &x − y& 2 + 2 · &x& · &y& · cos ϑ.

Rechnet man die Normquadrate aus, so lässt sich diese Gleichung zu x 1 y 1 +
x 2 y 2 = &x&·&y&· cos ϑ umschreiben. Man nennt die hier auftauchende reelle Zahl
x, y = x 1 y 1+ x 2 y 2 das innere Produkt oder Skalarprodukt der Vektoren x und y und verallgemeinert diesen Begriff entlang seiner grundlegenden Eigenschaften
auf beliebige reelle Vektorräume.

Sei V ein reeller Vektorraum. Eine Abbildung . , . : V ×V → R heißt inneres

Produkt, falls Folgendes gilt. Die Abbildung ist bilinear : Für festes x ∈ V ist
y → x, y linear, und für festes y ∈ V ist x → x, y linear. Die Abbildung ist
symmetrisch: x, y = y, x für alle x, y ∈ V . Die Abbildung ist positiv definit:

x, x ≥ 0 für alle x ∈ V und x, x = 0 nur für x = 0. Reelle Vektorräume mit
innerem Produkt heißen euklidisch.

Ein wichtiger euklidischer Vektorraum ist der R n mit dem inneren Produkt
x, y = x 1 y 1 + · · · + xnyn

( x, y ∈ R n) .

Dies lässt sich als das Produkt des Zeilenvektors xT mit dem Spaltenvektor y
lesen, x, y = xT y. Wir verwenden nun, dass die Transponierte eines Matrix-
produktes das Produkt der Transponierten in umgekehrter Reihenfolge ist, und
erhalten für A ∈ R n×n

Ax, y = ( Ax) T y = ( xT AT ) y = xT ( AT y) = x, AT y.

In Worten lässt sich das so formulieren: Eine Matrix wechselt durch Transposi-
tion die Seite im inneren Produkt.

Für den komplexen Vektorraum C2 ist die Abbildung ( x, y) → x 1 y 1 + x 2 y 2
nicht definit, da beispielsweise der Vektor x = (1 , i) wegen x 21 + x 22 = 1 − 1 = 0
auf die Null geschickt wird.

124

5 Lineare Algebra

Man nimmt für komplexe Vektorräume V deshalb eine geringfügige Anpas-
sung vor, die die Möglichkeit der komplexen Konjugation berücksichtigt. Eine

Abbildung . , . : V ×V → C heißt inneres Produkt, falls Folgendes gilt. Die Ab-
bildung ist sesquilinear : Es gilt x+ y, z = x, z+ y, z, x, y+ z = x, y+ x, z
und αx, y = αx, y = x, ¯
αy für alle x, y, z ∈ V und alle α ∈ C. Die Abbil-
dung ist hermitesch: x, y = y, x für alle x, y ∈ V . Die Abbildung ist positiv
definit : x, x ≥ 0 für alle x ∈ V und x, x = 0 nur für x = 0. Komplexe

Vektorräume mit innerem Produkt nennt man unit¨
ar.

Beispiele für unitäre Vektorräume sind der C n mit dem inneren Produkt
x, y = x 1 y 1 + · · · + xnyn

( x, y ∈ C n)

oder der Raum C[0 , 1] der stetigen komplexwertigen Funktionen f : [ − 1 , 1] → C
mit dem inneren Produkt 1
f, g =
f ( x) g( x) dx

( f, g ∈ C[ − 1 , 1]) .

− 1

In beiden Fällen, für euklidische und unitäre Vektorräume V , definiert das

innere Produkt über V → [0 , ∞), x → &x& =
x, x, eine Norm (siehe auch
die Abschnitte 5.7 und 8.1). Diese Norm erfüllt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung

|x, y| ≤ &x& · &y&
und liefert so eine obere Schranke für den Betrag des inneren Produkts. Die

Cauchy-Schwarz-Ungleichung wird genau dann zu einer Gleichung, wenn die

Vektoren x und y linear abhängig sind. Sie garantiert, dass der Quotient

Re x, y/( &x& · &y& ) für x, y = 0 im Intervall [ − 1 , 1] liegt, und man definiert
in Analogie zur Situation im R2 den Winkel ϑ ∈ [ − π , π ] zwischen zwei Vekto-

2

2
ren x, y ∈ V \ { 0 } über

Re x, y
cos ϑ = &x& · &y&.

Da cos( ± π ) = 0 gilt, erklärt diese Definition, weshalb man Vektoren x, y ∈ V

2
mit x, y = 0 als orthogonal oder aufeinander senkrecht stehend bezeich-
net. Beispielsweise stehen die kanonischen Einheitsvektoren e 1 , . . . , en im R n
bezüglich des üblichen Skalarprodukts paarweise aufeinander senkrecht. Ein
weiteres Beispiel sind die monischen Legendre-Polynome, die man über die

Dreiterm-Rekursion

Pn+1( x) = xPn( x) − Pn− 1( x) ,

P

4 − n− 2

0( x) = 1 ,

P 1( x) = x
definieren kann. Das n-te monische Legendre-Polynom Pn ist ein Polynom vom

Grad n mit führendem Koeffizienten gleich Eins. Als Polynome sind die Pn ste-
tige Funktionen und stehen bezüglich des obigen inneren Produkts im C[ − 1 , 1]

aufeinander senkrecht. Die Orthogonalität der Legendre-Polynome spielt insbe-
sondere für die Konstruktion der Gauß-Legendre-Quadraturformel eine wichtige

Rolle, siehe Abschnitt 10.10.

5.7

Normierte Vektorräume

125

5.7

Normierte Vektorr¨
aume

Auf einem euklidischen oder unitären Vektorraum V kann man über das innere

Produkt eine Norm V → [0 , ∞), x →
x, x, als Abbildung zur Längen-
messung definieren. Man leitet aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung |x, y| ≤

&x& · &y& ab, dass dann auch die Dreiecksungleichung

&x + y& ≤ &x& + &y&
für alle x, y ∈ V gilt. Die Dreiecksungleichung lässt im R2 zwei offensichtliche
geometrische Interpretationen zu, je nachdem, ob man sich auf die von x, x + y
oder y, x + y aufgespannten Dreiecke oder auf das von x, y aufgespannte Par-
allelogramm bezieht. Für die Dreiecke besagt die Ungleichung, dass keine Seite
länger als die Summe der anderen beiden Seitenlängen ist. Für das Paralle-
logramm erhält man, dass keine Diagonale länger als die Summe der beiden

Seitenlängen ist.

Man isoliert nun neben der Dreiecksungleichung zwei weitere wichtige Ei-
genschaften der Längenmessung und nennt auf einem reellen oder komplexen

Vektorraum V eine Abbildung V → [0 , ∞), x → &x& , Norm, wenn sie Folgendes
erfüllt:

(a) Homogenität: &αx& = |α| · &x& für alle x ∈ V und alle Skalare α.

(b) Definitheit: &x& = 0 genau dann, wenn x = 0.

(c) Dreiecksungleichung: &x + y& ≤ &x& + &y& für alle x, y ∈ V .

Einen reellen oder komplexen Vektorraum mit einer Norm nennt man einen
normierten Vektorraum (siehe auch Abschnitt 8.1). Normen müssen nicht von
einem inneren Produkt stammen. Auf dem R n oder C n definieren

&x& 1 = |x 1 | + · · · + |xn| oder &x&∞ = max {|x 1 |, . . . , |xn|}

die Summennorm beziehungsweise die Supremumsnorm. Die

Einheitskreise“

”

der Ebene

{x ∈ R2 | &x& 1 ≤ 1 },

{x ∈ R2 | &x&∞ ≤ 1 }

haben die Form eines auf der Spitze stehenden bzw. eines achsenparallelen Qua-
drats. Ein anderes Beispiel ist der Raum der stetigen Funktionen C[ − 1 , 1], den
man durch

1

&f& 1 =

|f( x) | dx oder &f&∞ = sup {|f( x) | | x ∈ [ − 1 , 1] }

− 1
normieren kann. Diese Spielarten einer Summen- und einer Supremumsnorm
bauen darauf auf, dass stetige Funktionen auf einem kompakten Intervall inte-
grierbar und beschränkt sind.

126

5 Lineare Algebra

Dass die obigen Beispiele tatsächlich alles Normen sind, die nicht von einem
inneren Produkt abhängen, lässt sich mit Hilfe der folgenden Charakterisierung
begründen. Nach einem Satz von Pascual Jordan und John von Neumann (1935)

stammt eine Norm & · & nämlich genau dann von einem inneren Produkt, wenn
sie die Parallelogrammgleichung

&x + y& 2 + &x − y& 2 = 2 &x& 2 + 2 &y& 2
für alle x, y ∈ V erfüllt. Die Übersetzung der Parallelogrammgleichung in die
ebene Geometrie besagt, dass die Quadratsumme der Längen der vier Seiten
eines Parallelogramms gleich der Quadratsumme der Längen der beiden Diago-
nalen ist.

Seien V und W normierte Vektorräume, deren Normen wir der notationellen

Einfachheit halber beide mit & · & bezeichnen. Die von den beiden Vektorraum-

Normen induzierte Norm &T & einer linearen Abbildung T : V → W definiert
man als die kleineste Zahl C ≥ 0, für die &T x& ≤ C&x& für alle x ∈ V erfüllt ist.

Man überzeugt sich leicht davon, dass L( V, W ) → [0 , ∞), T → &T & , tatsächlich
eine Norm ist, und leitet folgende oft recht hilfreiche Umformulierungen her:

&

&T x&

T & = sup

&T x&.

x=0 &x&

= sup
x =1

Als Spezialfall einer induzierten Norm ergibt sich die induzierte Ma-
trixnorm &A& einer Matrix A ∈ R m×n, indem A als lineare Abbildung von

R n nach R m interpretiert wird. Da in jedem endlich-dimensionalen Raum die

Einheitssphäre“ {x | &x& = 1 } kompakt und die Normfunktion x → &x& ste-

”

tig ist, sind die obigen Suprema Maxima. Wählen wir als Vektorraum-Normen
jeweils die Summennorm, so gilt

&A& 1 := max &Ax& 1 = max {&aj& 1 | aj ist die j-te Spalte von A},
x 1=1
weswegen &A& 1 auch als die Spaltensummennorm von A bezeichnet wird. Ist die
zugrundeliegende Vektorraum-Norm jeweils die Supremumsnorm, so ergibt sich
die Zeilensummennorm von A,

&A&∞ := max &Ax&∞ = max {&zi& 1 | zi ist die i-te Zeile von A}.

x
∞=1

Im Endlich-Dimensionalen sind alle Normen in folgendem Sinne ¨
aquivalent:

Sei V ein Vektorraum mit dim( V ) < ∞, auf dem zwei Normen & · &a und & · &b
definiert sind. Dann gibt es Konstanten c, C > 0, so dass
c&x&a ≤ &x&b ≤ C&x&a
für alle x ∈ V gilt. Beispielsweise gilt &x&∞ ≤ &x& 1 ≤ n&x&∞ für alle x ∈ R n.

Konvergiert also eine Folge ( xk) in V gegen x ∈ V bezüglich & · &a, das heißt
lim k→∞ &xk − x&a = 0, so gilt automatisch lim k→∞ &xk − x&b = 0.

5.8

Orthogonalität

127

5.8

Orthogonalit¨
at

Wir betrachten die kanonische Basis {e 1 , . . . , en} des C n durch die Brille des
inneren Produkts x, y = x 1 y 1 + · · · + xnyn und seiner zugehörigen Norm

&x& = ( |x 1 | 2 + · · · + |xn| 2)1 / 2. Es fällt auf, dass alle Basisvektoren aufeinander
senkrecht stehen und normiert sind: Es gilt
ej, ek = 0 für alle j = k, &ej& = 1 für alle j.

Treffen die beiden Eigenschaften des Aufeinander-senkrecht-Stehens und des

Normiertseins auf eine beliebige Basis B eines endlich-dimensionalen euklidi-
schen oder unitären Vektorraums V zu, so nennt man B eine Orthonormalbasis.

Die kanonische Basis des C n ist also eine Orthonormalbasis. Ebenso besitzt jede
hermitesche n × n-Matrix normierte Eigenvektoren, die eine Orthonormalbasis
des C n bilden (siehe Abschnitt 5.11).

Ist {q 1 , . . . , qn} eine Orthonormalbasis eines euklidischen oder unitären Vek-
torraums V , so lassen sich die für jeden Vektor x ∈ V eindeutig festgeleg-
ten Skalare der Basisentwicklung über das innere Produkt schreiben: Es gilt
x = x, q 1 q 1 + · · · + x, qnqn. Verwenden wir diese Darstellung zur Berechnung
von &x& , so ergibt sich die Parsevalsche Gleichung

&x& 2 = |x, q 1 | 2 + · · · + |x, qn| 2 ,
die im Zweidimensionalen auf den Satz des Pythagoras zurückfällt.

Jede Basis {a 1 , . . . , an} eines euklidischen oder unitären Vektorraums V lässt
sich über das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren in eine Ortho-
normalbasis verwandeln. Im ersten Schritt wird der erste Vektor normiert,
q 1 = q 1 /&q 1 & . Dann wird mit ˜
q 2 = a 2 − a 2 , q 1 q 1 ein zu q 1 orthogonaler Vek-
tor definiert und über q 2 = ˜
q 2 /& ˜
q 2 & ebenfalls normiert. Der k-te Schritt des

Verfahrens setzt

˜
qk = ak − ak, qk− 1 qk− 1 − · · · − ak, q 1 q 1 ,
qk = ˜
qk/& ˜
qk&.

Nach n Schritten erhält man n aufeinander senkrecht stehende, normierte Vek-
toren q 1 , . . . , qn, die eine Orthonormalbasis von V bilden.

Eine Matrix Q ∈ R n×n, deren Spaltenvektoren eine Orthonormalbasis des R n
bezüglich des inneren Produkts x, y = x 1 y 1 + · · · + xnyn sind, nennt man eine
orthogonale Matrix. Äquivalent lässt sich die Orthogonalität einer Matrix auch
als

QQT = QT Q = Id
ausdrücken. Eine Matrix ist also genau dann orthogonal, wenn die Inverse die

Transponierte ist. Aus dieser Charakterisierung ergibt sich det( Q) = ± 1 sowie

Qx, Qy = x, QT Qy = x, y,

&Qx& = &x&

128

5 Lineare Algebra
für alle x, y ∈ R n. Die letzten beiden Eigenschaften nennt man Winkel- bezie-
hungsweise L¨
angentreue. Man kann zeigen, dass alle längentreuen Abbildungen
f : R n → R n mit f (0) = 0 automatisch winkeltreu und linear sind und der

Multiplikation mit einer orthogonalen Matrix entsprechen.

Wir wechseln zurück in den C n und statten ihn wieder mit dem üblichen
inneren Produkt x, y = x 1 y 1 + · · · + xnyn aus. Eine Matrix U ∈ C n×n, deren

Spalten eine Orthonormalbasis des C n bilden, heißt eine unitäre Matrix. Die
hierzu äquivalente Bedingung lautet

U U ∗ = U ∗U = Id ,
wobei wir mit U ∗ ∈ C n×n die adjungierte Matrix bezeichnen, die nach kom-
ponentenweisem komplex Konjugieren und Transponieren entsteht, das heißt

( U ∗) ij = Uji für alle i, j. Ähnlich wie für orthogonale Matrizen ergibt sich

| det( U) | = 1 sowie

Ux, Uy = x, U∗Uy = x, y,

&Ux& = &x&
für alle x, y ∈ C n.

Sei W ⊆ V ein Unterraum eines euklidischen oder unitären Vektorraums V .

Man sammelt im orthogonalen Komplement von W die Vektoren, welche auf
allen Elementen des Unterraums W senkrecht stehen:

W ⊥ = {x ∈ V | x, y = 0 für alle y ∈ W } .

Das orthogonale Komplement W ⊥ ist ein Unterraum von V , der mit W nur den

Nullvektor gemeinsam hat. Sei im Folgenden V endlich-dimensional. Dann gilt

V = W ⊕ W ⊥, und es gibt für jeden Vektor x ∈ V genau ein Paar von Vektoren
xW ∈ W und xW ⊥ ∈ W ⊥, so dass x = xW + xW ⊥ gilt. Die Abbildung

PW : V → W,
x → xW
ist linear und erfüllt P 2 = P

W

W sowie PW x, y = x, PW y für alle x, y ∈ V .

Man nennt sie die orthogonale Projektion auf den Unterraum W . Für Vektoren
x ∈ V und y ∈ W können wir die Differenz als x−y = PW x−y + xW ⊥ schreiben
und erhalten nach dem Satz des Pythagoras

&x − y& 2 = &PW x − y& 2 + &xW⊥& 2 .

Von dieser Gleichung lesen wir ab, dass es genau ein Element des Unterraums W
gibt, nämlich y = PW x, für das die Länge von x − y minimal ausfällt. Oder
anders formuliert: PW x ist der eindeutig bestimmte Vektor in W , der zu x den
kleinsten Abstand hat. Man nennt PW x deshalb auch die Bestapproximation
von x in W .

5.9

Dualität

129

5.9

Dualit¨
at

Unter den linearen Abbildungen nehmen die Abbildungen : V → K, welche von
einem K-Vektorraum in seinen Skalarenkörper führen, eine besondere Stellung
ein. Man nennt sie lineare Funktionale und den K-Vektorraum

L( V, K) = { | : V → K ist linear } =: V
den Dualraum von V .

Eine lineare Abbildung T : V → W zwischen zwei K-Vektorräumen V und

W definiert durch die Hintereinanderausführung mit einem Funktional ∈ W
eine lineare Abbildung ◦ T : V → K, also ein Element von V . Man nennt die
entsprechende Abbildung zwischen den beiden Dualräumen

T : W → V , → ◦ T
die zu T adjungierte Abbildung. Sie erfüllt ( T )( x) = ( T x) für alle ∈ W und
alle x ∈ V . Wir wollen diese Konzepte im Folgenden für endlich-dimensionale

Vektorräume mit dim( V ) = n und dim( W ) = m etwas genauer beleuchten.

Sei x 1 , . . . , xn eine Basis von V . Dann gibt es für jeden Vektor x ∈ V eindeutig
bestimmte Skalare k 1( x) , . . . , kn( x) ∈ K, so dass x = k 1( x) x 1+ · · ·+ kn( x) xn gilt.

Man kann sich nun leicht davon überzeugen, dass die Koeffizienten-Abbildungen
kj: V → K , x → kj( x)

( j = 1 , . . . , n)

linear sind und somit kj ∈ V für alle j gilt. Mehr noch: Die Funktionale
k 1 , . . . , kn bilden eine Basis von V , und daher gilt insbesondere
dim( V ) = dim( V ) = n.

Ist V ein euklidischer Vektorraum mit einem inneren Produkt . , . , so be-
sitzt V eine Orthonormalbasis x 1 , . . . , xn (siehe Abschnitt 5.8). Die zugehörigen

Koeffizienten-Funktionale lassen sich mit dem inneren Produkt als
kj: V → R , x → x, xj
schreiben. Da die Funktionale k 1 , . . . , kn eine Basis von V sind, gibt es für jedes

∈ V eindeutig bestimmte Skalare α 1 , . . . , αn ∈ R mit = α 1 k 1 + · · · + αnkn.

Das bedeutet für alle x ∈ V

( x) = α 1 x, x 1 + · · · + αnx, xn = x, α 1 x 1 + · · · + αnxn =: x, d , und wir haben einen eindeutig bestimmten Vektor d ∈ V gefunden, der

( x) = x, d für alle x ∈ V erfüllt. Oder anders formuliert: Jedes lineare

Funktional ∈ V lässt sich über das innere Produkt mit einem eindeutig be-
stimmten Vektor d ∈ V darstellen. Dies ist eine endlich-dimensionale Version
des Rieszschen Darstellungssatzes von 1907/1909, welcher lineare Funktionale
auf Funktionenräumen über Integrale darstellt.

130

5 Lineare Algebra

Wir verwenden die Rieszsche Darstellung, um für euklidische Vektorräume

( V, . , . V ) und ( W, . , . W ) die zu T : V → W adjungierte Abbildung T ge-
nauer zu beschreiben. Seien d ∈ W und dT ∈ V die darstellenden Vektoren
der Funktionale ∈ W beziehungsweise T ∈ V . Hiermit schreiben wir die

Gleichung ( T )( x) = ( T x), die für alle x ∈ V gilt, als

x, dT V = T x, d W
x ∈ V, ∈ W .

Das heißt, dass mit der adjungierten Abbildung im inneren Produkt ein Seiten-
wechsel vollzogen wird.

Seien ∈ W und d ∈ W der darstellende Vektor. Es gilt ∈ ker( T ) ge-
nau dann, wenn ( T x) = 0 für alle x ∈ V erfüllt ist, was gleichbedeutend zu

T x, d = 0 für alle x ∈ V ist. Wir können also über den Rieszschen Dar-
stellungssatz den Kern von T mit dem orthogonalen Komplement von rng( T )

identifizieren und erhalten insbesondere
dim ker( T ) = dim rng( T ) ⊥.

Wegen W = rng( T ) ⊕ rng( T ) ⊥ gilt m = dim rng( T ) + dim rng( T ) ⊥. Mit der

Dimensionsformel erhalten wir m = dim rng( T ) + dim ker( T ). Das Bild von T
und das Bild von T haben also die gleiche Dimension:

dim rng( T ) = dim rng( T ) .

Wir spezialisieren uns auf den Fall V = R n und W = R m und betrachten
anstelle der linearen Abbildung T ihre darstellende Matrix A = ( Aij) ∈ R m×n
bezüglich der Standardbasen. Unsere Überlegungen zu adjungierten Abbildun-
gen garantieren, dass es für jedes y ∈ R m genau einen Vektor z ∈ R n gibt, der
x, z R n = Ax, y R m für alle x ∈ R n erfüllt. Den Vektor z erhält man durch

Multiplikation von y mit der zu A transponierten Matrix

AT = AT
ij

= ( Aji) ∈ R n×m.

Die Dualitätsbeziehung schreibt sich dann als x, AT y R n = Ax, y R m für alle
x ∈ R n und y ∈ R m, und obige Überlegung beweist, dass der Zeilen- und

Spaltenrang einer beliebigen Matrix A ∈ R m×n gleich sind.

Für unitäre Vektorräume greifen die gleichen Argumente wie im Euklidischen,
nur dass bei der Definition des darstellenden Vektors eine komplexe Konjugation
skalarer Koeffizienten berücksichtigt werden muss. Die darstellende Matrix der
adjungierten Abbildung ist dann die zu A ∈ C m×n adjungierte Matrix

A∗ = A∗
ij

= Aji ∈ C n×m,
die aus A durch Transposition und komplexe Konjugation entsteht. Es gilt ins-
besondere x, A∗y C n = Ax, y C m für alle x ∈ C n und y ∈ C m.

5.10

Eigenwerte und Eigenvektoren

131

5.10

Eigenwerte und Eigenvektoren

Die einfachste lineare Abbildung auf dem C n ist die Multiplikation x → λ∗x mit
einem vorgegebenen Skalar λ∗ ∈ C. Die Multiplikation x → Ax mit einer belie-
bigen quadratischen Matrix A ∈ C n×n ist zwar wesentlich komplizierter, aber
es stellt sich doch die Frage, ob man einen Skalar λ ∈ C und einen Unterraum

{ 0 } = U ⊂ C n finden kann, so dass

Ax = λx
für alle x ∈ U gilt. Diese Frage wird für den komplexen Vektorraum C n for-
muliert, da man im reellen Vektorraum R n zu oft mit einer negativen Antwort
rechnen muss. Eines der zahlreichen Beispiele hierfür ist die Rotationsmatrix

cos ϑ − sin ϑ

A =

,
sin ϑ
cos ϑ
welche die Vektoren der Ebene gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel ϑ ∈

(0 , π) dreht. Für diese Matrix A gibt es keinen reellen Skalar λ ∈ R und keinen

Vektor x ∈ R2 \ { 0 } mit Ax = λx. Die eingangs gewählte Formulierung im
komplexen Vektorraum hingegen erlaubt eine reiche mathematische Theorie,
deren Anwendungen bis in die Quantenmechanik reichen.

Angenommen, es gibt einen Skalar λ und einen Vektor x mit Ax = λx. Dann
gilt x ∈ ker( λ Id − A) = {x ∈ C n | λx − Ax = 0 }, und U = ker( λ Id − A)

ist tatsächlich ein Unterraum mit den gewünschten Eigenschaften. Man schließt
nun den trivialen Fall x = 0 aus und bezeichnet einen Skalar λ ∈ C und einen

Vektor x ∈ C n \ { 0 } mit Ax = λx als einen Eigenwert und einen Eigenvektor
der Matrix A. Den Unterraum ker( λ Id − A), in dem die zu λ gehörigen Eigen-
vektoren liegen, nennt man den zu λ gehörigen Eigenraum von A. Die Menge
aller Eigenwerte heißt das Spektrum von A und wird mit σ( A) bezeichnet.

Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten λ 1 , . . . , λm sind linear un-
abhängig. Aus diesem Grund kann eine Matrix A ∈ C n×n maximal n verschie-
dene Eigenwerte haben. Die Dimension des Eigenraums ker( λ Id − A) heißt die
geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ, und die Summe der geometrischen

Vielfachheiten der verschiedenen Eigenwerte einer Matrix ergibt maximal n.

Ist λ ein Eigenwert einer Matrix A, so gilt ker( λ Id − A) = { 0 }. Dies ist
gleichbedeutend dazu, dass die Matrix λ Id − A nicht invertierbar ist, und dies
ist äquivalent zu det( λ Id − A) = 0. Die Eigenwerte einer Matrix A sind also die

Nullstellen der Funktion
pA: C → C ,
λ → det( λ Id − A) .

Die Funktion pA ist ein Polynom n-ten Grades und heißt das charakteristische

Polynom der Matrix A. Der führende Koeffizient des Polynoms ist 1. Nach dem

132

5 Lineare Algebra

Fundamentalsatz der Algebra hat das charakteristische Polynom k verschiede-
ne Nullstellen λ 1 , . . . , λk mit Vielfachheiten n 1 , . . . , nk, wobei die Summe der

Vielfachheiten genau n ergibt. Es gilt also
pA( λ) = ( λ − λ 1) n 1 · · · ( λ − λk) nk .

Neben dem führenden sind noch zwei weitere Koeffizienten des charakteristi-
schen Polynoms einfach anzugeben. Es gilt
pA( λ) = λn − spur( A) λn− 1 + · · · + ( − 1) n det( A) ,
wobei spur( A) = a 11 + · · · + ann die Spur der Matrix A ist. Ein Abgleich der
beiden Darstellungen des charakteristischen Polynoms liefert
spur( A) = n 1 λ 1 + · · · + nkλk,
det( A) = λn 1 · · · λnk .

1
k

Die Vielfachheit, mit der ein Eigenwert Nullstelle des charakteristischen Po-
lynoms ist, heißt die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts, und die Summe
der algebraischen Vielfachheiten der verschiedenen Eigenwerte einer Matrix ist
genau n. Man kann zeigen, dass die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes
immer kleiner gleich seiner algebraischen ist. Ein einfaches Beispiel dafür, dass
die geometrische Vielfachheit echt kleiner als die algebraische ausfallen kann,
liefert die Matrix

3

2

A =

.

− 2 − 1

Ihr charakteristisches Polynom pA( λ) = λ 2 − 2 λ + 1 = ( λ − 1)2 hat λ = 1 als
doppelte Nullstelle, während für den Eigenraum ker(Id − A) = span(( − 1 , 1) T )

gilt.

Sei A ∈ C n×n eine Matrix mit Eigenwert λ und Eigenvektor x. Ist A inver-
tierbar, so gilt λ = 0, und man folgert aus Ax = λx durch Multiplikation mit
der inversen Matrix, dass A− 1 x = λ− 1 x gilt. Die inverse Matrix hat also die
inversen Eigenwerte und die gleichen Eigenvektoren. Sei A ∈ C n×n beliebig.

Aus der Eigenwertgleichung ergibt sich A 2 x = A( λx) = λ( Ax) = λ 2 x, und x ist
auch Eigenvektor von A 2 zum Eigenwert λ 2. Diese Beobachtung verallgemeinert
sich dazu, dass λk Eigenwert von Ak für alle natürlichen Zahlen k ≥ 0 ist, und
liefert den folgenden spektralen Abbildungssatz : Für jedes Polynom p: C → C
gilt
σ( p( A)) = {p( λ) | λ ∈ σ( A) }.

Für das charakteristische Polynom pA ergibt der spektrale Abbildungssatz, dass
alle Eigenwerte der Matrix pA( A) Null sind. Diese Aussage lässt sich jedoch noch
zum Satz von Cayley-Hamilton verstärken, wonach sogar
pA( A) = An − spur( A) An− 1 + · · · + ( − 1) n det( A)Id = 0
gilt.

5.11

Diagonalisierung

133

5.11

Diagonalisierung

Sei A ∈ C n×n eine Matrix und seien λ 1 , . . . , λn ∈ C ihre Eigenwerte, wobei
die Eigenwerte entsprechend ihrer algebraischen Vielfachheit mehrfach genannt
werden. Wir wählen n zugehörige Eigenvektoren x 1 , . . . , xn ∈ C n \ { 0 } und
schreiben

Axj = λj xj

( j = 1 , . . . , n) .

In Matrixschreibweise liest sich dies als AX = XΛ für die Diagonalmatrix

Λ = diag( λ 1 , . . . , λn) und die Matrix X = ( x 1 , . . . , xn), deren Spalten die vorge-
gebenen Eigenvektoren sind. Argumentieren wir rückwärts und betrachten für
die Matrix A eine Matrix X, deren Spalten alle nicht der Nullvektor sind und die
zudem AX = X diag( λ 1 , . . . , λn) erfüllt, so sind die Diagonaleinträge λ 1 , . . . , λn

Eigenwerte von A und die Spalten von X zugehörige Eigenvektoren.

Diese Beobachtung motiviert den Begriff der Diagonalisierbarkeit: Eine Ma-
trix A ∈ C n×n heißt diagonalisierbar, falls es ein invertierbares X ∈ C n×n und
eine Diagonalmatrix Λ ∈ C n×n gibt mit

A = XΛ X− 1 .

Diagonalisierbare Matrizen sind also ähnlich zu Diagonalmatrizen (siehe Ab-
schnitt 5.5). Man kann sich leicht davon überzeugen, dass die Diagonalisier-
barkeit einer Matrix gleichbedeutend dazu ist, dass es eine Basis des C n gibt,
die aus Eigenvektoren der Matrix besteht. Ebenso gilt: Eine Matrix ist genau
dann diagonalisierbar, wenn für jeden ihrer Eigenwerte die algebraische und die
geometrische Vielfachheit jeweils übereinstimmen.

Mit diagonalisierbaren Matrizen lässt sich besonders gut rechnen. Das Qua-
drat einer diagonalisierbaren Matrix A ist

A 2 = ( XΛ X− 1)( XΛ X− 1) = XΛ2 X− 1 = X diag( λ 21 , . . . , λ 2 n) X− 1
und wird somit wesentlich über die Quadrate der Eigenwerte bestimmt. Ebenso
gilt Am = X diag( λm

1 , . . . , λm
n ) X − 1 für alle m ∈ N und deshalb auch
p( A) = X diag( p( λ 1) , . . . , p( λn)) X− 1
für alle Polynome p: C → C, z → amzm + · · · + a 1 z + a 0. Dass die Musik“ vor

”

allem auf der Diagonalen spielt, gilt auch für gewöhnliche Differentialgleichun-
gen y( t) = Ay( t), y(0) = y 0, deren rechte Seite von einer diagonalisierbaren

Matrix A stammt: Die vom Satz von Picard-Lindelöf (siehe Abschnitt 8.4) ga-
rantierte, eindeutig bestimmte Lösung y( t) = eAty 0 erfüllt
y( t) = X diag(exp( λ 1 t) , . . . , exp( λnt)) X− 1 y 0 ,
und ist somit von skalaren Exponentialfunktionen, die entsprechend den Eigen-
werten wachsen, bestimmt.

134

5 Lineare Algebra

Seien A diagonalisierbar und X = ( x 1 , . . . , xn) wie oben. Jeder Vektor y ∈

C n besitzt dann eine eindeutige Darstellung y = k 1( y) x 1 + · · · + kn( y) xn mit Skalaren k 1( y) , . . . , kn( y) ∈ C. Die linearen Abbildungen

Pj: C n → C n,
y → kj( y) xj

( j = 1 , . . . , n)

bilden in die lineare Hülle des Eigenvektors xj ab und erfüllen Id = P 1 + · · ·+ Pn.

Es gilt die Projektionseigenschaft P 2
j

= Pj für alle j sowie Pj Pk = 0 für alle
j = k. Man sagt deshalb, dass die Eigenprojektoren P 1 , . . . , Pn eine Zerlegung
der Eins definieren. Die Diagonalisierung schreibt man entsprechend als

A = λ 1 P 1 + · · · + λnPn
und nennt sie die spektrale Zerlegung der Matrix A.

Ist die Basis bezüglich des inneren Produkts v, w = v 1 w 1 + · · · + vnwn eine

Orthonormalbasis, so ist die Transformationsmatrix X nicht nur invertierbar,
sondern auch unitär: XX∗ = X∗X = Id. In diesem Fall gilt

A = XΛ X∗,
und man spricht von der unit¨
aren Diagonalisierbarkeit der Matrix A. Die ad-
jungierte Matrix A∗ ist dann ebenfalls unitär diagonalisierbar, und es gilt

A∗ = XΛ ∗X∗ = X diag(¯
λ 1 , . . . , ¯
λn) X∗. Hiervon liest man ab, dass die Eigen-
werte von A∗ die komplex konjugierten Eigenwerte von A sind und dass die

Eigenvektoren von A∗ und A übereinstimmen: A∗xj = ¯
λjxj für alle j. Hieraus
ergibt sich AA∗xj = |λj| 2 xj = A∗Axj für alle j. Das bedeutet, dass A und A∗
miteinander vertauschen, oder auch dass

AA∗ = A∗A
gilt. Matrizen, die mit ihrer Adjungierten vertauschen, heißen normal. Man be-
weist zur vorigen Überlegung auch die Rückrichtung und erhält, dass die unitär
diagonalisierbaren Matrizen genau die normalen Matrizen sind. Für unitär dia-
gonalisierbare Matrizen kann man die Eigenprojektoren explizit als

Pj: C n → C n,
y → y, xjxj

( j = 1 , . . . , n)

schreiben und überprüft, dass sie Orthogonalprojektionen sind. Das liefert den

Spektralsatz der linearen Algebra: Normale Matrizen sind Linearkombinationen
von Orthogonalprojektoren.

Die hermiteschen Matrizen A ∈ C n×n erfüllen A = A∗ und sind besondere

Beispiele für normale Matrizen. Nach den obigen Überlegungen besitzen die-
se Matrizen nur reelle Eigenwerte und sind zudem unitär diagonalisierbar. Für
die reell symmetrischen Matrizen A ∈ R n×n gilt A = AT . Sie sind spezielle
hermitesche Matrizen und haben deshalb nur reelle Eigenwerte. Die Symmetrie
erzwingt eine orthogonale Diagonalisierung A = XΛ XT mit einer orthogona-
len Matrix X ∈ R n×n, die XXT = XT X = Id erfüllt. Für reell symmetrische

Matrizen kann die Diagonalisierung also ausschließlich mit reellen Größen for-
muliert werden.

5.12

Singulärwertzerlegung und Jordansche Normalform

135

5.12

Singul¨
arwertzerlegung und Jordansche Normalform

Eine quadratische Matrix A ∈ C n×n ist genau dann diagonalisierbar, wenn es
eine Basis des C n aus Eigenvektoren gibt. Von der Restriktivität dieser Eigen-
schaft überzeugt man sich leicht, indem man die Familie von Matrizen A ∈ C2 × 2
mit det( A) = 1 und spur( A) = 2 betrachtet. Diese haben alle 1 als alleinigen

Eigenwert, und die Einheitsmatrix ist die einzige unter ihnen, die diagonali-
sierbar ist. Im Folgenden werden deshalb zwei Konzepte zur Matrixzerlegung
vorgestellt, die auch jenseits der Diagonalisierbarkeit greifen.

Der jüngere der beiden Ansätze, die Singul¨
arwertzerlegung, hat seine Wur-
zeln in voneinander unabhängigen Arbeiten über Bilinearformen der italieni-
schen und französischen Mathematiker Eugenio Beltrami (1873) und Camil-
le Jordan (1874). Er zielt auf beliebige rechteckige Matrizen A ∈ C m×n und
verwendet anstelle einer Basis zwei Basen zur Transformation auf Diagonal-
gestalt. Zu seiner Herleitung kann man sich auf die Beobachtung stützen,
dass die Matrix B = A∗A ∈ C n×n hermitesch ist und deshalb der C n ei-
ne Orthonormalbasis v 1 , . . . , vn aus Eigenvektoren von B besitzt. Wir be-
zeichnen mit λ 1( B) , . . . , λn( B) die zugehörigen Eigenwerte, wobei wir entspre-
chend ihrer algebraischen Vielfachheit Eigenwerte auch mehrfach nennen. Es
gilt λj( B) = Bvj, vj = Avj, Avj ≥ 0, und wir definieren über

σj =
λj( B) ≥ 0

( j = 1 , . . . , n)

die Singul¨
arwerte der Matrix A. Wir nummerieren die Singulärwerte in ab-
steigender Reihenfolge, so dass σ 1 , . . . , σr > 0 und σr+1 , . . . , σn = 0 für ein
r ≤ min( m, n) gilt. Man überzeugt sich leicht davon, dass die Vektoren
uj = σ− 1 Av
j
j ∈ C m

( j = 1 , . . . , r)

normiert sind und paarweise aufeinander senkrecht stehen. Ist r < m, so
ergänzen wir durch Vektoren ur+1 , . . . , um zu einer Orthonormalbasis des C m.

Wir erhalten mit den unitären Matrizen U = ( u 1 , . . . , um) ∈ C m×m und

V = ( v 1 , . . . , vn) ∈ C n×n die Singulärwertzerlegung der Matrix A:

A = U diag( σ 1 , . . . , σn) V ∗.

Aus der Singulärwertzerlegung lassen sich viele Eigenschaften einer Ma-
trix ablesen. Es gilt beispielsweise rng( A) = span( u 1 , . . . , ur) und ker( A) =
span( vr+1 , . . . , vn). Demzufolge ist auch der Rang einer Matrix gleich der An-
zahl ihrer positiven Singulärwerte, und der Betrag der Determinante ist das

Produkt der Singulärwerte:

| det( A) | = | det( U)) | · det(diag( σ 1 , . . . , σn)) · | det( V ∗) | = σ 1 · · · σn.

136

5 Lineare Algebra

Die zweite Matrixzerlegung ist ebenfalls in zwei voneinander unabhängigen

Arbeiten entwickelt worden (Karl Weierstraß, 1868; Camille Jordan, 1870) und
wird heute als die Jordansche Normalform bezeichnet. Wir stellen sie für qua-
dratische Matrizen A ∈ C n×n vor. Man erweitert hier die auf der Existenz einer

Eigenvektorbasis fußende Diagonalisierung zu einer auf einer verallgemeinerten

Eigenvektorbasis aufsetzenden Blockdiagonalisierung. Sei λ ∈ C ein Eigenwert
der Matrix A, dessen algebraische und geometrische Vielfachheit wir mit aλ
beziehungsweise gλ bezeichnen. Wir nennen einen Vektor x ∈ C n \ { 0 } einen
zu λ gehörigen Hauptvektor, wenn es eine natürliche Zahl m ≥ 1 gibt, so dass

( A − λ Id) mx = 0 gilt. Ein Eigenvektor ist demnach ein Spezialfall eines Haupt-
vektors. Die iterierten Kerne Nm( λ) := ker( A − λ Id) m sind aufsteigend ineinan-
der geschachtelte Unterräume des C n, zwischen denen die Abbildung A−λ Id den
einstufigen Abstieg Nm( λ) → Nm− 1( λ) vermittelt. Da wir im Endlichdimensio-
nalen arbeiten, gibt es eine natürliche Zahl iλ ≥ 1, den Index des Eigenwerts λ,
ab dem die aufsteigende Kette stagniert:

N 1( λ) ⊂ N 2( λ) ⊂ . . . ⊂ Ni ( λ) = N
λ
iλ+1( λ) = . . .

Man nennt den Unterraum H( λ) := Ni ( λ) den Hauptraum des Eigenwerts λ
λ
und zeigt dim H( λ) = aλ. Sind λ 1 , . . . , λk ∈ C die verschiedenen Eigenwerte
von A, so ist der C n die direkte Summe der zugehörigen Haupträume:

k

%

C n =

H( λj) .

j=1

Dies bedeutet, dass für jede quadratische Matrix der C n eine Basis aus Haupt-
vektoren x 1 , . . . , xn besitzt. Eine solche Basis kann derart gewählt werden, dass
sie A auf eine Blockdiagonalgestalt XAX − 1 transformiert, die aus gλ + · · ·+ g

1
λk
quadratischen Bidiagonalmatrizen Ji( λj) besteht, die auf ihrer Diagonale den
zugehörigen Eigenwert λj und auf der Superdiagonale nur Einsen tragen:

⎛

⎞
λ

⎜ j 1

⎜

⎟

.

.

⎜

.

⎟

.

. .

⎟

Ji( λj ) = ⎜

⎜

⎟ .

⎝

⎟
λj 1 ⎠
λj

Diese Bidiagonalmatrizen heißen die Jordan-Bl¨
ocke und die transformierte Ma-
trix XAX− 1 die Jordansche Normalform von A. Jedem Eigenwert λ werden gλ

Jordan-Blöcke zugeordnet, wobei die Größe der einzelnen zu λ gehörigen Blöcke
zwischen 1 und iλ liegt und sich insgesamt zu aλ aufsummiert. Ein Jordan-

Block der Größe L + 1 gehört zu L + 1 Basisvektoren xl, . . . , xl+ L, die man eine

Jordan-Kette nennt. Sie entstehen durch wiederholte Anwendung von A − λ Id,
bis man zu einem Eigenvektor hin abgestiegen ist:

Axj = λxj + xj+1

( j = l, . . . , l + L − 1) ,

Axl+ L = λxl+ L.

6 Algebra

Algebra ist neben der Analysis und Geometrie eines der ganz großen Gebie-
te der Mathematik. Ursprünglich hauptsächlich mit dem Lösen polynomialer

Gleichungen beschäftigt, hat sie sich unter dem maßgeblichen Einfluss von Em-
my Noether zu einer Theorie entwickelt, die wichtige Strukturen wie Gruppen,

Ringe, Ideale und Körper bereitstellt und untersucht. Die dabei gewonnenen,
oft sehr tiefliegenden Einsichten lassen sich dann erfolgreich nicht nur bei der

Behandlung von Gleichungen einsetzen; algebraische Methoden und Hilfsmittel
nutzt jedes Teilgebiet der Mathematik.

Dieses Kapitel will den Leser in den ersten drei Abschnitten mit den algebrai-
schen Grundstrukturen Gruppe, Ring und Körper ein wenig vertraut machen
und anschließend die einzelnen Theorien ein kleines Stück weiter entwickeln.

Dies beginnt in Abschnitt 4 für Gruppen mit der Diskussion über Normalteiler
und Faktorgruppen. Diese erlauben, Gruppen in kleinere Bausteine zu zerlegen,
die man zuerst studieren kann, bevor man sich der ganzen Gruppe widmet.

Eine ähnliche Rolle spielen die Ideale in Ringen. Sie haben aber eine weitaus
wichtigere Funktion als ideale Zahlen“, die in der Teilbarkeitstheorie eine große

”

Rolle spielen. Darauf geht Abschnitt 5 ein. In Abschnitt 6 werden die endlich er-
zeugten abelschen Gruppen klassifiziert, ein Ergebnis, das in vielen Disziplinen
verwendet wird. In Abschnitt 7 wird eine dem Übergang von Z zu Q entsprechen-
de Konstruktion für gewisse Ringe, sogenannte Integritätsbereiche, vorgestellt.

Es geht dabei darum, den Ring in einen möglichst kleinen Körper einzubetten.

Eigenschaften des Rings aller Polynome mit Koeffizienten in einem gegebenen

Körper kommen im darauf folgenden Abschnitt zur Sprache. Die Theorie der

Körpererweiterungen ist ein ganz wichtiger Teil der Algebra. In Abschnitt 9
werden die wesentlichen Grundbegriffe erläutert, und Abschnitt 10 zeigt, dass
man damit Fragen, ob gewisse Konstruktionen mit Zirkel und Lineal machbar
sind, beantworten kann. Abschnitt 11 führt in die Galoistheorie ein. Sie bezieht
die Symmetrien von Körpererweiterungen in die Betrachtung mit ein, und man
gewinnt damit einen Überblick über ganze Familien von Körpererweiterungen.

Die Struktur dieser Symmetriegruppen spielt eine entscheidende Rolle bei der

Beantwortung der Frage, welche Polynomgleichungen eine Lösung durch Radi-
kale besitzen. Mit diesem ganz phantastischen Ergebnis des jungen Galois aus
dem Jahr 1832 schließt das Kapitel.

O. Deiser et al., 12 x 12 Schlüsselkonzepte zur Mathematik,

DOI 10.1007/978-3-8274-2298-9_6, © Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2011

138

6 Algebra

6.1

Gruppen

Gruppen treten oft als Gruppen von Symmetrien geometrischer oder algebrai-
scher Objekte auf, und Symmetrien spielen in Mathematik und Physik eine
wichtige Rolle.

Als einfaches Beispiel betrachten wir ein Dreieck Δ der euklidischen Ebene.

Eine Symmetrie von Δ ist eine abstandserhaltende Selbstabbildung der Ebene,
die Δ in sich abbildet. Eine abstandserhaltende Selbstabbildung der Ebene ist
entweder eine Drehung um einen Punkt der Ebene, eine Spiegelung an einer

Geraden oder eine Translation, d. h. eine Parallelverschiebung der Ebene. Da
solche Abbildungen Winkel erhalten, hat Δ außer der Identität höchstens dann
eine weitere Symmetrie, wenn mindestens zwei Winkel gleich sind, das Dreieck
also gleichschenklig ist. Ist es gleichschenklig, aber nicht gleichseitig, so gibt es
genau eine von der Identität verschiedene Symmetrie, nämlich die Spiegelung an
der Mittelsenkrechten der von den Schenkeln verschiedenen Seite. Ist Δ gleich-
seitig, so sind alle Spiegelungen an Mittelsenkrechten und die Drehungen um
die Winkel 0 , 2 π/ 3 und 4 π/ 3 um den Mittelpunkt von Δ Symmetrien, und das
sind alle.

Mathematisch gesehen sind Symmetrien bijektive Abbildungen einer Menge

M in sich, die je nach Gegebenheit gewisse Größen oder Eigenschaften inva-
riant halten. Im geometrischen Kontext kann man wie in unserem Beispiel an
abstandserhaltende Abbildungen denken oder solche, die Geraden in Geraden
überführen, oder solche, die Winkel erhalten. In der Algebra oder anderen ma-
thematischen Disziplinen kann man an strukturerhaltende Abbildungen denken,
wie z. B. in der linearen Algebra an lineare Abbildungen. In der Theorie der

Körpererweiterungen spielt die Menge aller Isomorphismen des großen Körpers,
der die Elemente des kleineren Körpers festhält (das ist die Galoisgruppe der

Erweiterung, siehe Abschnitt 6.9), eine entscheidende Rolle.

Nun gibt es auf der Menge aller Symmetrien eines Objekts eine naheliegende

Verknüpfung: Die Komposition (Hintereinanderausführung) g ◦f der Symmetri-
en f und g ist nämlich wieder eine Symmetrie. Bezeichnen wir die Menge aller

Symmetrien eines uns interessierenden Objekts mit G, so gelten für G und ◦
folgende Aussagen:

(i) (Assoziativität) Für alle g, h, k ∈ G gilt ( g ◦ h) ◦ k = g ◦ ( h ◦ k) .

(ii) (Einselement) Es gibt e ∈ G, so dass für alle g ∈ G die Gleichungen
e ◦ g = g ◦ e = g gelten. Ein solches e heißt Einselement.

(iii) (Inverses) Zu jedem Einselement e und g ∈ G gibt es ein g ∈ G mit
g ◦ g = g ◦ g = e. Wir nennen g ein Inverses von g (bezüglich e).

Löst man sich von den Symmetrien einer Menge und betrachtet einfach eine

Menge G mit einer Verknüpfung ◦, so dass die Bedingungen (i)–(iii) gelten, so
nennen wir das Paar ( G, ◦) eine Gruppe. Meistens schreiben wir nur G, nennen

6.1

Gruppen

139
die Verknüpfung Multiplikation und schreiben anstelle von f ◦ g dann f · g oder
kürzer f g.

Man kommt übrigens mit schwächeren Forderungen an eine Gruppe aus. In

(ii) genügt es, von e nur eg = g für alle g ∈ G zu fordern ( e heißt dann Linkseins)

und in (iii) nur gg = e zu verlangen ( g heißt dann Linksinverses von g). Jedes

Linksinverse ist auch Rechtsinverses. Denn ist g ein Linksinverses von g, so
gilt (wegen (i) können wir auf Klammern verzichten)

gg = egg = gggg = geg = gg = e.

Ebenso ist jede Linkseins eine Rechtseins, wie ge = ggg = eg = g zeigt.

Sind weiter e und ¯
e Einselemente, so gilt ¯
e = ¯
ee = e. Also gibt es genau
ein Einselement, und wir schreiben dafür ab jetzt 1 G oder nur 1, falls klar
ist, zu welcher Gruppe die Eins gehört. Sind g und g− Inverse von g, so gilt
g− = g−gg = eg = g, so dass es zu jedem g ∈ G genau ein Inverses gibt. Wir
schreiben dafür ab jetzt g− 1.

Mit der Addition als Verknüpfung sind Z, Q und R uns wohlvertraute Grup-
pen, ebenso wie die von Null verschiedenen Elemente von Q und R mit der Mul-
tiplikation als Verknüpfung. Bei all diesen Beispielen gilt für die Verknüpfung
zusätzlich:

(iv) (Kommutativität) Für alle g, h ∈ G gilt gh = hg.

Eine Gruppe, in der (iv) gilt, heißt kommutative oder abelsche Gruppe. In abel-
schen Gruppen wird die Verknüpfung meistens mit + bezeichnet und heißt dann

Addition.

Die Gruppe aller Symmetrien eines gleichseitigen Dreiecks ist nicht abelsch.

Denn beim Komponieren von Spiegelungen und Drehungen kommt es im All-
gemeinen auf die Reihenfolge an: Spiegelt man die Ebene an einer durch den

Punkt p gehenden Geraden g und dreht dann um den Punkt p mit dem Winkel
α, so erhalten wir eine Spiegelung an der um den Winkel α/ 2 gedrehten Gerade;
dreht man erst mit Winkel α um p und spiegelt dann an g, so erhalten wir eine

Spiegelung an der um −α/ 2 gedrehten Geraden. Wir erhalten also verschiedene

Ergebnisse für 0 < α < π.

Es folgen weitere Beispiele nicht-abelscher Gruppen.

(1) Die Menge aller bijektiven Selbstabbildungen einer Menge M mit min-
destens drei Elementen mit der Komposition als Verknüpfung. Die bijektiven

Abbildungen von M nennt man auch Permutationen von M , und die Gruppe al-
ler Permutationen von { 1 , 2 , . . . , n} heißt symmetrische Gruppe auf n Elementen
und wird oft mit Sn bezeichnet. In der linearen Algebra treten die symmetri-
schen Gruppen beim Bearbeiten von Determinanten auf, und man lernt, dass
jede Permutation ein Produkt von Transpositionen ist. Das sind Permutatio-
nen, die alle Elemente von { 1 , 2 , . . . , n} bis auf zwei festhalten und diese beiden
vertauschen.

140

6 Algebra

(2) Die Menge GLn(R) aller reellen n × n-Matrizen mit von Null verschie-
dener Determinante (vgl. Abschnitt 5.5) ist mit der Matrizenmultiplikation als

Verknüpfung eine Gruppe. Ist n > 1, dann ist diese Gruppe nicht abelsch. Die

“

”

letzte Aussage folgt aus der Tatsache, dass das Produkt der Matrizen

1 1

0 1

“

”

und

1 0
von der Reihenfolge der Faktoren abhängt. Allgemeiner kann man

1 1

R durch einen beliebigen Körper K ersetzen (vgl. Abschnitt 6.3). Noch ein
wenig allgemeiner ist die Menge aller Automorphismen eines mindestens zwei-
dimensionalen Vektorraums in sich mit der Komposition als Verknüpfung eine
nicht-abelsche Gruppe.

(3) Für n ≥ 3 sei Pn ein n-seitiges regelmäßiges Polygon in der Ebene.

Die Symmetriegruppe des Polygons Pn, d. h. die Menge aller Abbildungen, die
das Polygon kongruent auf sich selbst abbilden, mit der Komposition als Ver-
knüpfung, heißt Diedergruppe der Ordnung 2 n und wird mit Dn, manchmal aber
auch mit D 2 n bezeichnet. Sie ist eine nicht-abelsche Gruppe mit 2 n Elementen:

Es gibt die n Drehungen um den Mittelpunkt von Pn um Vielfache des Winkels

2 π/n und n Spiegelungen an Achsen durch den Mittelpunkt von Pn, die das

Polygon in Eckpunkten oder Seitenmittelpunkten treffen. Die n Drehungen bil-
den schon selbst eine Gruppe, die Menge der Spiegelungen aber nicht, und zwar
aus zwei Gründen. Zum einen fehlt ein Einselement. Außerdem ist das Produkt
zweier Spiegelungen eine Drehung (um den Winkel 0, wenn die Spiegelungen
gleich sind).

Übrigens ist das Bild auf unserem Umschlag eine farbliche Umsetzung der

Gruppentafel der Diedergruppe der Ordnung 12. Eine Gruppentafel einer Grup-
pe G der Ordnung n ist eine n × n-Matrix ( gij) mit gij ∈ G, die wie folgt
entsteht: Nach Durchnummerieren der Gruppenelemente ( g 1 = 1 , g 2 , . . . , gn) ist
gij = gigj. Insbesondere ist g 1 i = gi 1 = gi, und in jeder Zeile und jeder Spalte
kommt jedes Gruppenelement genau einmal vor. In unserem Bild entspricht je-
de Farbe einem Gruppenelement. Wir überlassen es dem Leser, herauszufinden,
welche Farben die Spiegelungen haben. Jedenfalls sieht man sofort, dass das

Produkt zweier Spiegelungen eine Drehung ist. Die einfarbigen Diagonalen, die
zyklisch gedacht die einzelnen Quadranten ausfüllen, geben einen Hinweis auf
die einfache Struktur der Gruppe.

Es sollte klar sein, was eine Untergruppe einer gegebenen Gruppe G ist,
nämlich eine Teilmenge H ⊆ G, so dass die Verknüpfung zweier Elemente aus

H wieder ein Element aus H ist und H mit dieser Verknüpfung wieder eine

Gruppe ist. Man muss dazu nicht alle drei Gruppenaxiome überprüfen. Denn
ist H nicht leer und ist für alle h, k ∈ H das Element hk− 1 in H, so ist H
eine Untergruppe. Im Beispiel (3) bilden die n Drehungen eine Untergruppe der

Symmetriegruppe von Pn.

Ist H eine Untergruppe von G, so nennen wir die Mengen gH := {gh | h ∈ H},
g ∈ G, Linksnebenklassen von H. Analog heißen die Mengen Hg Rechtsneben-
klassen von H. Jede Nebenklasse hat die Mächtigkeit von H, und sowohl die

6.1

Gruppen

141

Links- als auch die Rechtsnebenklassen von H zerlegen G. Denn zwei Links-
nebenklassen sind identisch, wenn ihr Durchschnitt nicht leer ist. Dasselbe gilt
natürlich auch für Rechtsnebenklassen. Die Menge der Linksnebenklassen be-
zeichnen wir mit G/H, die der Rechtsnebenklassen mit H\G.

Die Anzahl der Elemente von G, d. h. die Mächtigkeit von G, nennen wir die

Ordnung von G und bezeichnen sie mit |G|. Ist H ⊆ G eine Untergruppe, so
nennen wir die Anzahl der Links- bzw. Rechtsnebenklassen von H den Index von

H in G und bezeichnen ihn mit |G/H| bzw. |H\G|. Mit diesen Bezeichnungen
erhalten wir:

(Satz von Lagrange)

Ist G endlich und H eine Untergruppe von G, so teilt die Ord-
nung von H die Ordnung von G, und es gilt |G| = |H| · |G/H| =

|H|·|H\G|. Insbesondere besitzt eine Gruppe G von Primzahlordnung
keine nichttrivialen, d. h. von { 1 G} und G verschiedenen Untergrup-
pen.

Ist g Element der Gruppe G, so verstehen wir, wie gewohnt, unter gn das

Produkt gg · · · g mit n Faktoren für n > 0, g 0 ist das Einselement, und für
n < 0 ist gn = ( g− 1) −n. Mit diesen Bezeichnungen ist die Menge {gn| n ∈ Z }

eine Untergruppe von G, die entweder endlich oder abzählbar unendlich ist. Die

Anzahl der Elemente dieser Gruppe nennen wir die Ordnung von g. Nach dem

Satz von Lagrange teilt die Ordnung von g die Ordnung von G, und ist G von

Primzahlordnung, so gilt für jedes g = 1 G die Gleichung G = {gn | n ∈ Z }. Gilt
die letzte Gleichung für ein g ∈ G, so heißt G zyklische Gruppe.

Die strukturerhaltenden Abbildungen zwischen Gruppen heißen Homomor-
phismen. Das sind Abbildungen f : G → H mit f ( gg) = f ( g) f ( g) . Dabei ist natürlich gg das Produkt von g und g in der Gruppe G und f ( g) f ( g)

das Produkt von f ( g) und f ( g) in der Gruppe H. Homomorphismen bilden

Einselemente auf Einselemente und Inverse auf Inverse ab. Ist f : G → H ein

Homomorphismus zwischen Gruppen, so ist das Bild f ( G) von f und der Kern
ker( f ) := f − 1(1 H ) von f eine Untergruppe.

Ist f : G → H ein bijektiver Homomorphismus, so ist auch f− 1: H → G ein

Homomorphismus. Ein bijektiver Homomorphismus heißt deshalb Isomorphis-
mus. Isomorphismen von G in sich selbst heißen Automorphismen. Gruppen,
zwischen denen es einen Isomorphismus gibt, nennt man isomorph. Sind z. B.

die Mengen M und N gleichmächtig, so sind die Gruppen der Permutationen
von M und N isomorph. Ist k: M → N eine Bijektion, so definiert die Zuord-
nung α → k ◦ α ◦ k− 1 , α Permutation von M, einen Isomorphismus zwischen
beiden Gruppen.

Benennt man die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks mit 1 , 2 und 3, so definiert
jede kongruente Selbstabbildung des Dreiecks in sich selbst eine Permutation
der Ecken, also ein Element von S 3. Diese Zuordnung ist ein Isomorphismus
zwischen der Symmetriegruppe des Dreiecks und S 3.

142

6 Algebra

6.2

Ringe

Ringe haben zwei Verknüpfungen und erinnern stark an die uns vertraute Si-
tuation bei den ganzen Zahlen. Viele Fragestellungen über ganze Zahlen, ins-
besondere die Teilbarkeitstheorie, werden auch bei den allgemeineren Ringen
untersucht, und diese Ergebnisse führen oft zu überraschenden Einsichten über
ganze Zahlen.

Die beiden Verknüpfungen bei Ringen werden in Anlehnung an die ganzen

Zahlen üblicherweise mit + und · bezeichnet und heißen Addition bzw. Multi-
plikation. An diese werden relativ wenige Forderungen gestellt.

Eine Menge R mit zwei Verknüpfungen + und · heißt Ring, wenn Folgendes
gilt:

(i) R mit der Verknüpfung + ist eine abelsche Gruppe.

(ii) Die Verknüpfung · ist assoziativ.

(iii) Es gelten die Distributivgesetze ( a+ b) ·c = ( a·c)+( b·c) und c·( a+ b) =

( c · a) + ( c · b) für a, b, c ∈ R.

Ist die Verknüpfung · zusätzlich kommutativ, so sprechen wir von einem kom-
mutativen Ring. Besitzt · außerdem ein Einselement, so sprechen wir von einem

Ring mit 1.

Streng genommen ist der Ring { 0 }, der nur aus dem Nullelement besteht, ein

Ring mit 1. Im Folgenden wollen wir aber immer fordern, dass ein Ring mit 1
mindestens zwei Elemente besitzt. Dann gilt natürlich auch 1 = 0.

Wie schon bei Gruppen schreiben wir anstelle von r · s kürzer rs.

Das Standardbeispiel eines Rings sind die ganzen Zahlen Z mit der üblichen

Addition und Multiplikation. Z ist ein kommutativer Ring mit 1. Natürlich
sind auch Q, R und C mit der üblichen Addition und Multiplikation kom-
mutative Ringe mit 1. Ein nichtkommutativer Ring mit 1 ist für n > 1 die

Menge M ( n × n; R) aller reellen n × n-Matrizen mit der Matrizenaddition und

-multiplikation als Verknüpfungen. Etwas allgemeiner können wir anstelle von

R einen beliebigen Ring R nehmen. Besitzt R keine 1, so besitzt natürlich auch

M ( n × n; R) keine 1.

In der elementaren Zahlentheorie spielen die Restklassenringe Z /m Z eine
wichtige Rolle (siehe Abschnitt 3.3). Hier sind die Elemente die Restklassen
modulo m, wobei m eine positive ganze Zahl ist. Das heißt, dass wir zwei ganze

Zahlen in Z /m Z als gleich ansehen, wenn sich bei Division mit Rest durch m
für beide Zahlen derselbe Rest ergibt. Das ist gleichbedeutend damit, dass die

Differenz der Zahlen durch m teilbar ist. Die Menge der Zahlen mit demselben

Rest k wird oft mit ¯
k, k = 0 , 1 , . . . , m − 1 , bezeichnet. Zwei Restklassen ¯ a und

¯
b werden addiert und multipliziert, indem man irgendwelche Elemente aus ¯
a
und ¯
b hernimmt, diese wie in Z addiert bzw. multipliziert und vom Resultat
den Rest modulo m bildet. Wir erhalten einen kommutativen Ring mit ¯

1 als

Einselement.

6.3

Körper

143

In der algebraischen Zahlentheorie untersucht man die Teilbarkeitstheorie der

Ringe der ganzen Zahlen von Zahlk¨
orpern (siehe die Abschnitte 3.12 und 6.5).

In der Analysis interessiert man sich für Unterringe des Rings aller Abbildungen
einer Menge U in die rellen oder komplexen Zahlen. Addition und Multiplika-
tion werden hier punktweise getätigt: ( f + g)( x) := f ( x) + g( x), x ∈ U . Ist U
eine offene Teilmenge des R n, so interessiert man sich z. B. für den Unterring
aller stetigen, aller r-mal stetig differenzierbaren oder aller beliebig oft differen-
zierbaren Abbildungen. Ein weiteres wichtiges Beispiel ist der Ring R[ X] aller

Polynome einer Variablen X mit reellen Koeffizienten, über die wir im Abschnitt

6.8 mehr erfahren. Wieder kann man allgemeiner anstelle von R einen beliebigen

Körper K betrachten. Der entsprechende Ring wird dann mit K[ X] bezeichnet.

Analog zum Begriff der Untergruppe einer Gruppe ist ein Unterring eines

Ringes R eine Teilmenge U ⊆ R, so dass die Summe und das Produkt zweier

Elemente von U wieder in U liegen und U mit der dadurch definierten Addition
und Multiplikation ein Ring ist.

Die strukturerhaltenden Abbildungen, also Abbildungen f : R → S zwischen

Ringen, für die f ( r + r) = f ( r) + f ( r) und f ( rr) = f ( r) f ( r) für alle r, r ∈ R gelten, heißen Ringhomomorphismen. Zum Beispiel ist die Abbildung

¯: Z → Z /m Z, die jeder ganzen Zahl a ihre Restklasse ¯ a modulo m zuordnet,
ein Ringhomomorphismus. Ein weiteres Beispiel ist die Auswertungsabbildung
ea: K[ X] → K, die einem Polynom f ∈ K[ X] seinen Wert f ( a) an der Stelle
a ∈ K zuordnet.

6.3

K¨
orper

Ein K¨
orper ist ein kommutativer Ring mit 1, in dem jedes von 0 verschiedene

Element ein multiplikatives Inverses besitzt. In einem Körper können wir also bis
auf die Division durch 0 alle vier Grundrechenarten unbeschränkt durchführen.

Die Standardbeispiele sind die uns wohlvertrauten Körper Q, R und C. Aber es
gibt auch andere für Mathematik und Anwendungen wichtige Körper.

In einem Körper ist das Produkt zweier von Null verschiedener Elemente
stets ungleich Null. Denn ist a = 0 und ab = 0, so ist b = a− 1 ab = a− 1 · 0 = 0.

In Ringen kommt es durchaus vor, dass ab = 0 ist, obwohl a und b von Null
verschieden sind. Eine weitere Besonderheit bei Körpern ist die Tatsache, dass
die strukturerhaltenden Abbildungen entweder alles auf 0 abbilden oder injektiv
sind. Denn ist f : K → L eine solche Abbildung und a = 0 ein Element mit
f ( a) = 0, so gilt f ( b) = f ( aa− 1 b) = f ( a) f ( a− 1 b) = 0 · f ( a− 1 b) = 0 für jedes Element b ∈ K.

Es sei K ein Körper und 1 K sein Einselement. Für jede nichtnegative ganze

Zahl n sei n 1 K = 1 K + · · · + 1 K, wobei n die Anzahl der Summanden ist. Für
n < 0 sei n 1 K = −( −n)1 K. Für n, m ∈ Z gilt ( nm)1 K = ( n 1 K)( m 1 K). Also

144

6 Algebra
definiert n → n 1 K einen Ringhomomorphismus c: Z → K. Ist diese Abbildung
injektiv, so besitzt jedes n 1 K mit n = 0 ein Inverses in K, und die Elemente
der Form m 1 K( n 1 K ) − 1 mit m, n ∈ Z und n > 0 bilden einen zu Q isomorphen

Unterkörper von K. Es ist der kleinste Unterkörper, den K enthält, da jeder

Unterkörper das Null- und Einselement von K enthält. Wir sagen in diesem

Fall, dass K Charakteristik 0 hat, in Zeichen char K = 0.

Ist c: Z → K nicht injektiv, so sei p die kleinste positive ganze Zahl mit
p 1 K = 0. Wäre p = mn mit m, n > 1, so wären m 1 K und n 1 K ungleich 0,
aber ihr Produkt wäre 0. Also muss p eine Primzahl sein. Wir sagen dann, dass
die Charakteristik char K von K gleich p ist. Der Kern von c ist das Ideal p Z
von Z. Das Bild von c ist also isomorph zu Z /p Z, und dieser Restklassenring
ist ein Körper, da p eine Primzahl ist. Denn jede ganze Zahl a ≡ 0 mod p ist
zu p relativ prim. Es gibt daher ganze Zahlen s, t mit 1 = sp + ta, so dass
ta ≡ 1 mod p (siehe Abschnitt 3.1), und die Restklasse ¯ t ist ein Inverses der

Restklasse ¯
a. Hat also K Charakteristik p > 0, so ist der kleinste Unterkörper
von K isomorph zu Z /p Z, einem Körper mit p Elementen.

Der kleinste Unterkörper eines Körpers K heißt Primk¨
orper von K.

Ist K ein Unterkörper des Körpers L, so ist L mit seiner eigenen Addition
und der Einschränkung der Multiplikation auf K × L als Skalarmultiplikation
ein K-Vektorraum. Ein endlicher Körper ist somit ein endlich-dimensionaler

Vektorraum über seinem Primkörper. Ist char K = p und hat K Dimension n
über seinem Primkörper, so hat K genau pn Elemente. Umgekehrt kann man
zeigen, dass es zu jeder Primzahl p und positiver natürlicher Zahl n bis auf

Isomorphie genau einen Körper mit pn Elementen gibt. Er wird oft mit GF ( pn)

bezeichnet. ( GF steht für Galois field, field ist das englische Wort für Körper).

6.4

Normalteiler und Faktorgruppen

Ist f : G → H ein Homomorphismus zwischen den Gruppen G und H, so ha-
ben wir in Abschnitt 6.1 gesehen, dass f ( G) und K := ker( f ) Untergruppen
von H bzw. G sind. Zwei Elemente g und g von G liegen in derselben Links-
bzw. Rechtsnebenklasse von K, wenn g− 1 g bzw. gg− 1 in K liegt. Also bildet
f jede Nebenklasse auf ein einziges Element von f ( G) ⊆ H ab. Ist umgekehrt
h ∈ f ( G) und sind g, g ∈ f− 1( h), so sind g− 1 g und gg− 1 in K. Also ist f − 1( g) eine Links- und Rechtsnebenklasse von K. Insbesondere ist jede Linksnebenklasse von K eine Rechtsnebenklasse und umgekehrt. Es sei ¯
f : G/K → f ( G)

definiert durch ¯
f ( gK) = f ( g) . Da diese Abbildung bijektiv ist, können wir die

Gruppenstruktur von f ( G) mit Hilfe von ¯
f − 1 auf G/K übertragen.

Wir erhalten damit eine Verknüpfung auf der Menge der Linksnebenklassen
von K, die G/K zu einer Gruppe macht. Diese Gruppenstruktur lässt sich direkt
angeben. Ganz allgemein erhalten wir durch A · B := {ab ∈ G | a ∈ A, b ∈ B}

6.4

Normalteiler und Faktorgruppen

145
eine Verknüpfung auf der Potenzmenge von G. Für einelementige Mengen {g}

schreiben wir anstelle von {g} · A und A · {g} kürzer gA und Ag. Sind dann

A = gK und B = gK Restklassen von K, so ist wegen

A · B = gK · gK = g( Kg) · K = g( gK) · K = ( gg) K · K = ( gg) K
die Menge A · B selbst eine Nebenklasse, und für jeden Repräsentanten g von A
und g von B ist gg ein Repräsentant von A · B. Wegen f ( A) = f ( g), f ( B) =
f ( g) und f ( A · B) = f ( gg) = f ( g) f ( g) ist ( A, B) → A · B die gesuchte Verknüpfung, die G/K zu einer zu f ( G) isomorphen Gruppe macht.

Man könnte nun versucht sein, für jede Untergruppe L von G die Links-
bzw. Rechtsnebenklassen von L nach obigem Muster zu verknüpfen. Das klappt
aber nur für bestimmte Untergruppen. Das Problem liegt darin, dass A · B für

Linksnebenklassen A, B von L im Allgemeinen keine Linksnebenklasse von L
ist. Ist z. B. A = 1 GL = L und B = gL, so liegt das Element g = 1 Gg 1 G in

A · B. Ist A · B eine Linksnebenklasse, so muss diese die Klasse gL = B sein.

Andererseits liegt für alle a ∈ L und alle g ∈ B das Element ag in A·B. Also gilt

Lg ⊆ gL. Damit L · ( gL) für alle g ∈ G eine Linksnebenklasse ist, muss daher
für alle g ∈ G die Relation Lg ⊆ gL gelten. Da aus Lg− 1 ⊆ g− 1 L die Relation
gL ⊆ Lg folgt, gilt daher für alle g ∈ G die Gleichung gL = Lg. Wir haben
oben schon gesehen, dass dann die Verknüpfung ( A, B) → A · B die Menge
der Nebenklassen (Rechts- und Linksnebenklassen sind gleich) zu einer Gruppe
macht.

Nicht für jede Untergruppe einer Gruppe ist jede Linksnebenklasse auch ei-
ne Rechtsnebenklasse. Zwar gilt das offensichtlich für abelsche Gruppen. Aber
schon in der kleinsten nicht-abelschen Gruppe, der Gruppe der Symmetrien
des gleichseitigen Dreiecks, besitzt jede Untergruppe der Ordnung 2 – davon
gibt es drei – Linksnebenklassen, die keine Rechtsnebenklassen sind. Eine sol-
che Untergruppe hat die Form { id , f }, wobei f eine Spiegelung ist. Ist dann g
eine Drehung um den Winkel 2 π/ 3, so ist {g, g ◦ f } eine Linksnebenklasse, und

{g, f ◦ g} ist die Rechtsnebenklasse, die g enthält. Wäre dies eine Linksneben-
klasse, so wäre f ◦ g = g ◦ f , aber wir haben gesehen, dass dies nicht zutrifft.

Untergruppen, für die Links- und Rechtsnebenklassen gleich sind, sind also et-
was Besonderes: Eine Untergruppe N der Gruppe G heißt Normalteiler von G,
falls jede Linksnebenklasse von N eine Rechtsnebenklasse ist und umgekehrt.

Das ist gleichbedeutend damit, dass für alle g ∈ G die Gleichung gN g− 1 = N
gilt.

Ist N ⊆ G ein Normalteiler, so heißt G/N mit der oben beschriebenen Ver-
knüpfung Faktorgruppe oder Quotientengruppe von G und N , manchmal auch

G mod N , weil eine Gleichung gN = gN gilt, wenn sich g und g nur um
einen Faktor aus N unterscheiden: g− 1 g ∈ N . Die kanonische Abbildung p:

G → G/N , die jedem Element g ∈ G seine Nebenklasse gN zuordnet, ist ein
surjektiver Homomorphismus mit Kern N . Wir sehen also, dass Normalteiler

146

6 Algebra
genau die Kerne von Gruppenhomorphismen sind. Dass für einen Homomor-
phismus f : G → H die Zuordnung g(ker( f )) → f ( g) ein Isomorphismus von

G/ ker( f ) auf f ( G) ist, ist die Aussage des Homomorphiesatzes.

Mit Hilfe einer Farbrepräsentation der Gruppentafel einer Gruppe G wie
auf unserem Umschlagbild (siehe Abschnitt 6.1) lässt sich farblich entscheiden,
ob eine Untergruppe U Normalteiler ist. Dazu nummeriere man die Elemen-
te ( u 1 = 1 , u 2 , . . . , us) von U und wähle Repräsentanten ( e 1 = 1 , . . . , er) der

Linksnebenklassen von U . Dann gibt es zu jedem g ∈ G genau ein ei und
uj mit g = eiuj . Ordne die Elemente von G lexikographisch nach ( ij) und
gib jeder Linksnebenklasse eine Farbe. Die Gruppentafel besteht dann aus r 2
quadratischen s × s-Blöcken, wobei jedes Element der Tafel die Farbe seiner

Nebenklasse trägt. Die Untergruppe U ist genau dann Normalteiler, wenn jeder

Block einfarbig ist. In diesem Falle ist die Tafel der Blöcke die Gruppentafel der

Faktorgruppe. Auf unserem Umschlagbild haben wir anstelle einer Farbe Farb-
gruppen (gelb-braun und blau-grün) für die Nebenklassen der Drehuntergruppe
gewählt. Übrigens ist auch die Untergruppe, die außer der 1 noch die Drehung
um den Winkel π enthält, ein Normalteiler, sogar ein besonderer. Er ist die

Untergruppe aller Elemente, die mit jedem Element der Gruppe vertauschen.

Diese Untergruppe heißt das Zentrum der Gruppe.

Die Faktorgruppen von (Z , +), d. h. Z mit der Addition als Verknüpfung, sind
uns als Restklassengruppen schon mehrmals begegnet. Da Z abelsch ist, sind
alle Untergruppen Normalteiler. Die von { 0 } verschiedenen Untergruppen von

Z entsprechen eineindeutig den positiven ganzen Zahlen: Ist U ⊆ Z eine von

{ 0 } verschiedene Untergruppe und ist m die kleinste in U enthaltene positive

Zahl, so ist U = m Z := {n ∈ Z | ∃k ∈ Z n = km}, und Z /m Z ist die Gruppe
der Restklassen modulo m. Zwei ganze Zahlen aus Z gehören genau dann zur
selben Nebenklasse von m Z, wenn nach Division durch m mit Rest beide Zahlen
denselben Rest haben. Daher kommt der Name Restklasse.

Normalteiler und deren Faktorgruppen erlauben es, Gruppen in Faktoren zu
zerlegen und zunächst diese kleineren Gruppen zu studieren. Anschließend muss
man sich zu gegebenem Normalteiler N und Faktorgruppe Q einen Überblick
über alle Gruppen G verschaffen, die N als Normalteiler besitzen, so dass G/N
zu Q isomorph ist. Das Einselement und die ganze Gruppe bilden immer einen

Normalteiler. Gruppen, die keine weiteren Normalteiler besitzen, sind nicht
mehr in Faktoren zerlegbar. Sie sind, wie die Primzahlen bei den ganzen Zah-
len, die Bausteine der Gruppen und heißen einfache Gruppen. Es ist eine der
großen Leistungen des ausgehenden letzten Jahrhunderts, alle endlichen einfa-
chen Gruppen klassifiziert zu haben. Es gibt mehrere unendliche Familien und

26 sogenannte sporadische einfache Gruppen, die in keine Familie passen. Da
die Ordnung einer Untergruppe stets die Gruppenordnung teilt, sind Gruppen
von Primzahlordnung offensichtlich einfache Gruppen. Hat G die Ordnung p
mit p prim, so ist G isomorph zur Gruppe Z /p Z der Restklassen modulo p.

Die alternierenden Gruppen An aller geraden Permutationen von { 1 , . . . , n},

6.5

Ideale und Teilbarkeit in Ringen

147
n ≥ 5 , bilden eine weitere unendliche Familie einfacher Gruppen. Diese sind alle
nicht-abelsch. Zur Erinnerung: Eine Permutation heißt gerade, wenn sie Pro-
dukt einer geraden Anzahl von Transpositionen ist (vgl. Abschnitt 5.5). An ist
eine Untergruppe vom Index 2 der symmetrischen Gruppe Sn und ist wie jede

Untergruppe vom Index 2 einer beliebigen Gruppe ein Normalteiler. Aber An
selbst hat für n ≥ 5 keine nichttrivialen Normalteiler.

6.5

Ideale und Teilbarkeit in Ringen

Etwas wichtiger als Unterringe sind die Ideale eines Rings. Für nichtkommuta-
tive Ringe unterscheidet man dabei Links-, Rechts- und beidseitige Ideale. Dies
sind Unterringe J von R, so dass für alle r ∈ R und u ∈ J das Element ru

(Linksideale) bzw. ur (Rechtsideale) bzw. die Elemente ru und ur (beidseitige

Ideale) in J liegt bzw. liegen.

Ist J ein zweiseitiges Ideal des Rings R, so induzieren die Verknüpfungen
von R Verknüpfungen auf der Menge R/J der Nebenklassen r + J von J (hier
ist r ∈ R), die R/J wieder zu einem Ring machen. Addiert und multipliziert
werden r + J und r + J , indem man irgendwelche Repräsentanten r + u und
r + u, u, u ∈ J, nimmt, diese addiert bzw. multipliziert und anschließend zur

Nebenklasse übergeht. Damit dies für die Addition wohldefiniert ist, d. h. nicht
von der Wahl der Repräsentanten abhängt, reicht es, dass J eine Untergruppe
der abelschen Gruppe ( R, +) ist. Die Idealeigenschaft macht die Multiplikation
wohldefiniert, da ( r + u)( r + u) = rr + ru + ur + uu unabhängig von u und u in der Restklasse ( rr) + J liegt, wenn J ein zweiseitiges Ideal ist. Die Abbildung p: R → R/J, die jedem Ringelement r seine Restklasse r + J zuordnet,
ist ein Ringhomomorphismus mit Kern J , und umgekehrt ist der Kern jedes

Ringhomomorphismus ein zweiseitiges Ideal.

Im Rest dieses Abschnitts beschäftigen wir uns mit der Teilbarkeitstheorie in
kommutativen Ringen mit 1. Dort fallen alle drei Begriffe zusammen.

Ideale spielen in der Teilbarkeitstheorie eine wichtige Rolle und traten als
gedachte ideale“ Zahlen bei E. E. Kummers Untersuchungen zur Fermatschen

”

Vermutung zum ersten Mal in Erscheinung (vgl. Abschnitt 3.12). In kommuta-
tiven Ringen R mit 1 ist für jedes r ∈ R die Menge rR := {ru | u ∈ R} ein

Ideal. Ein solches Ideal heißt Hauptideal. Nach Definition ist für r, s ∈ R das

Element r ein Teiler von s, wenn es ein t ∈ R gibt mit s = rt. Insbesondere liegt
dann s in rR, so dass sR ⊆ rR ist. Deswegen sagt man für zwei Ideale J und

K von R, dass J ein Teiler von K ist, wenn K ⊆ J gilt.

Im Ring Z der ganzen Zahlen ist jedes Ideal ein Hauptideal, denn jede Unter-
gruppe von (Z , +) hat die Form m · Z für ein geeignetes nichtnegatives m ∈ Z.

Bis auf einen Faktor ± 1 entsprechen die Ideale den ganzen Zahlen. Ein kom-
mutativer Ring mit 1 heißt Hauptidealring, wenn jedes Ideal Hauptideal ist und

148

6 Algebra
es keine Nullteiler gibt. Das ist ein von 0 verschiedenes Element n, zu dem es
ein m = 0 mit nm = 0 gibt. Sind zum Beispiel n, m ∈ Z beide größer als 1,
so sind ¯
n und ¯
m Nullteiler im Restklassenring Z /( nm)Z. In Hauptidealringen
entsprechen die Ideale bis auf Multiplikation mit Einheiten den Ringelementen.

Dabei ist eine Einheit einfach ein Teiler von 1. Ist e eine Einheit und f ein

Element mit ef = 1, so gilt für jedes r ∈ R, dass r ein Teiler von re und re ein

Teiler von ref = r ist. Also ist rR = ( re) R.

Ein kommutativer nullteilerfreier Ring mit 1 heißt Integrit¨
atsbereich. In sol-
chen kann man kürzen. Das heißt, dass aus ab = ac mit a = 0 folgt, dass b = c
ist. Denn es gilt a( b − c) = 0, und a wäre im Fall b = c ein Nullteiler. In einem

Integritätsbereich heißt ein Element r = 0 unzerlegbar oder irreduzibel, wenn es
keine Einheit ist und in jeder Faktorisierung r = ab einer der beiden Faktoren
eine Einheit ist. In Z ist ein unzerlegbares Element bis auf das Vorzeichen eine

Primzahl. In Integritätsbereichen unterscheidet man Primelemente von unzer-
legbaren Elementen. Dort heißt ein Element p prim, falls Folgendes gilt: Teilt p
das Produkt ab, so teilt p mindestens einen der Faktoren. Weiterhin wird ver-
langt, dass p = 0 und keine Einheit ist. In Z sind die positiven und negativen

Primzahlen genau die Primelemente. Ein Primelement eines Integritätsbereichs
ist immer unzerlegbar, aber die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Zum

√

Beispiel ist {a + b 5 i | a, b ∈ Z } ein Unterring der komplexen Zahlen, in dem 2

√

√
unzerlegbar ist. Nun teilt 2 das Produkt (1+

5 i)(1 − 5 i) = 6, teilt aber keinen
der beiden Faktoren. In ZPE-Ringen, das sind Integritätsbereiche, in denen je-
des von 0 verschiedene Element eine bis auf Reihenfolge und Multiplikation mit

Einheiten eindeutige Faktorisierungen in unzerlegbare Elemente besitzt, sind
allerdings alle unzerlegbaren Elemente prim. Dies gilt insbesondere in Haupt-
idealringen. Integritätsbereiche, die einen dem Euklidischen Algorithmus in Z

(siehe Abschnitt 3.1) analogen Teilbarkeitsalgorithmus zulassen, heißen euklidi-
sche Ringe. Euklidische Ringe sind Hauptidealringe, also auch ZPE-Ringe.

Bevor wir definieren, was ein Primideal ist, wollen wir festlegen, wie Ideale
zu multiplizieren sind. Das Produkt IJ der Ideale I und J ist die Menge aller
r ∈ R, die sich als endliche Summe von Elementen der Form ab mit a ∈ I und
b ∈ J darstellen lassen. Dies ist ein in dem Ideal I ∩ J enthaltenes Ideal. Für

Hauptideale aR und bR gilt ( aR)( bR) = ( ab) R, so dass die Idealmultiplikation
die Multiplikation in R verallgemeinert. Die Multiplikation von Idealen ist asso-
ziativ und kommutativ mit R als Einselement. In Analogie zur Definition eines

Primelementes ist nun ein Primideal ein von R und { 0 } verschiedenes Ideal P,
für das gilt: Teilt P das Ideal IJ, so teilt es mindestens eines von I und J.

Nach Definition folgt also aus IJ ⊆ P, dass I ⊆ P oder J ⊆ P gilt.

Der Vorteil, Elemente von R durch Ideale zu ersetzen, liegt darin, dass in
für das Lösen diophantischer algebraischer Gleichungen (vgl. Abschnitt 3.10)

wichtigen Ringen sich jedes Ideal bis auf Reihenfolge eindeutig in ein Produkt
von Primidealen zerlegen lässt, während sich Elemente oft nicht eindeutig in
ein Produkt von unzerlegbaren Elementen zerlegen lassen. Oben haben wir ein

6.6

Endlich erzeugte abelsche Gruppen

149

Beispiel gesehen. Allgemeiner lassen sich Ideale in den Ringen ganzer Zahlen in

Zahlkörpern eindeutig in ein Produkt von Primidealen zerlegen. Ein Zahlkörper
ist eine endliche Erweiterung von Q in C, d. h. ein Unterkörper K von C, der
als Vektorraum über seinem Primkörper Q endlich-dimensional ist. Ein Element
aus K heißt ganz, wenn es Nullstelle eines Polynoms der Form Xn+ an− 1 Xn− 1+

· · · + a 1 X + a 0 ist, wobei alle ai in Z sind. Die ganzen Elemente von K bilden
einen Unterring von K, den Ring der ganzen Zahlen in K. (Zu algebraischen

Zahlkörpern siehe auch den Abschnitt 3.12.)

Noch allgemeiner lassen sich Ideale in Dedekind-Ringen eindeutig in Primidea-
le zerlegen. Dabei ist ein Dedekind-Ring ein Integritätsbereich, in dem jede echt
aufsteigende Folge von Idealen endlich ist (ein solcher Ring heißt Noethersch)

und das einzige Ideal, das ein Primideal echt enthält, der ganze Ring ist (man
sagt dafür auch, dass alle Primideale maximal sind).

6.6

Endlich erzeugte abelsche Gruppen

Ist E Teilmenge einer Gruppe G, so heißt die kleinste Untergruppe von G, die

E enthält, die von E erzeugte Untergruppe. Die Elemente dieser Untergruppe
sind genau die Elemente von G, die sich als endliches Produkt von Elementen
aus E und deren Inversen schreiben lassen. (Wir vereinbaren, dass die von ∅
erzeugte Untergruppe { 1 } ist.) Ist die von E erzeugte Untergruppe ganz G, so
heißt E ein Erzeugendensystem von G, und G heißt endlich erzeugt, wenn G
ein endliches Erzeugendensystem besitzt. Seit Mitte des letzten Jahrhunderts
weiß man, dass es nicht möglich ist, endlich erzeugte Gruppen (sogar endlich
präsentierbare Gruppen, eine echte Unterklasse der endlich erzeugten Gruppen)

zu klassifizieren. Verlangt man aber zusätzlich, dass die Gruppen abelsch sind,
so lassen sie sich bis auf Isomorphie einfach beschreiben.

Eine Gruppe G, die von einem Element erzeugt wird, heißt zyklische Gruppe.

Ist e ein Erzeugendes, so hat jedes Element von G die Form en, n ∈ Z (vgl.

Abschnitt 6.1). Ist en = 1 G für alle n > 0, so ist G isomorph zu Z. Anderenfalls
ist G isomorph zu Z /m Z, wobei m die kleinste positive ganze Zahl n ist, für die
en = 1 G ist. In jedem Fall ist eine zyklische Gruppe abelsch.

Üblicherweise nennt man die Verknüpfung in abelschen Gruppen Addition“

”

und benutzt das Pluszeichen als Verknüpfungssymbol. Dem schließen wir uns
an, so dass wir anstelle von gn jetzt n·g oder ng schreiben, wenn g Element einer
abelschen Gruppe und n ∈ Z ist. Wie in Vektorräumen gibt es also in abelschen

Gruppen eine Skalarmultiplikation, wobei die Skalare hierbei aus dem Ring der
ganzen Zahlen stammen.

Zum Verständnis der Struktur der endlich erzeugten abelschen Gruppen ist
der Begriff der direkten Summe abelscher Gruppen von zentraler Bedeutung.

150

6 Algebra

Es gibt ein analoges Konzept bei beliebigen Gruppen – es heißt dann direktes

Produkt –, wir bleiben aber bei den abelschen Gruppen.

Als Menge ist die direkte Summe der abelschen Gruppen A 1 , . . . , An das kar-
tesische Produkt A 1 × · · · × An. Die Addition geschieht komponentenweise wie
z. B. im R n: ( a 1 , . . . , an) + ( b 1 , . . . , bn) = ( a 1 + b 1 , . . . , an + bn) . Mit dieser Addition wird das kartesische Produkt zu einer abelschen Gruppe. Sie heißt

&
die direkte Summe von A
n

1 , . . . , An und wird mit

A
i=1
i oder A 1 ⊕ · · · ⊕ An
bezeichnet. Sind alle Ai = A, so schreibt man für die direkte Summe inkonse-
quenterweise nicht n · A, sondern An. Unter n · A oder einfacher nA versteht
man die Unterguppe von A, deren Elemente n-fache von Elementen aus A sind.

Als Beispiel kennen wir schon n Z.

Es sei ei ∈ Z n das Element, dessen i-te Komponente 1 und dessen ande-
re Komponenten alle 0 sind. Sind nun a 1 , . . . , an irgendwelche Elemente einer
abelschen Gruppe A, so gibt es genau einen Homomorphismus f : Z n → A mit
f ( ei) = ai, i = 1 , . . . , n. Das liegt daran, dass sich jedes Element von Z n eindeu-
tig als ganzzahlige Linearkombination der ei, i = 1 , . . . , n, schreiben lässt. Ganz
allgemein heißt ein Erzeugendensystem {b 1 , . . . , bn} einer abelschen Gruppe A
frei-abelsches Erzeugendensystem oder in Anlehnung an die Begriffsbildung in

Vektorräumen einfach (und kürzer) Basis von A, wenn sich jedes Element von

A eindeutig als ganzzahlige Linearkombination der bi schreiben lässt. Besitzt A
eine Basis, so heißt A frei-abelsche Gruppe, und besteht die Basis aus n Elemen-
ten, so ist A zu Z n isomorph. Für Menschen, die mit Vektorräumen vertrauter
sind als mit Gruppen, lohnt es, sich Z n als die Vektoren des Q n vorzustellen,
deren Koordinaten ganze Zahlen sind. Wir sehen dann, dass jede Basis von Z n
auch eine Basis des Vektorraums Q n ist und somit aus n Elementen besteht. Wei-
ter ist jede Basis der abelschen Gruppe Z n Bild der Standardbasis {e 1 , . . . , en}

unter einer linearen Selbstabbildung von Q n, deren Matrix ganzzahlige Einträge
und Determinante ± 1 hat.

Ist {a 1 , . . . , an} ein Erzeugendensystem der abelschen Gruppe A, so ist der
eindeutige Homomorphismus f : Z n → A mit f ( ei) = ai, i = 1 , . . . , n, surjektiv,
so dass A zur Faktorgruppe Z n/f− 1(0 A) isomorph ist. Jede Untergruppe einer
abelschen Gruppe ist Normalteiler, ist also Kern eines Homomorphismus. Es
lohnt deshalb, sich einen Überblick über die Untergruppen von Z n zu verschaf-
fen.

Ist F eine Untergruppe von Z n, dann gibt es eine Basis {b 1 , . . . , bn}

von Z n, eine nichtnegative ganze Zahl k ≤ n und positive ganze

Zahlen τ 1 , . . . , τk, so dass für 1 ≤ i < k die Zahl τi ein Teiler von
τi+1 ist und {τ 1 b 1 , . . . , τkbk} eine Basis von U ist. Insbesondere ist U
eine frei-abelsche Gruppe. (Nach ¨

Ubereinkunft ist die triviale Gruppe

{ 0 } frei-abelsch mit ∅ als Basis.)

Die Aussage erinnert an die Tatsache, dass es für einen Unterraum U eines
endlich-dimensionalen Vektorraums V eine Basis von V gibt, deren erste Ele-

6.6

Endlich erzeugte abelsche Gruppen

151
mente eine Basis von U ergeben. Bei abelschen Gruppen müssen wir nur beim

Beweis vorsichtiger operieren, da der Quotient zweier ganzer Zahlen r und s nur
dann eine ganze Zahl ergibt, wenn s ein Teiler von r ist.

Da es zu je zwei Basen einer frei-abelschen Gruppe einen Isomorphismus gibt,
der die eine Basis auf die andere abbildet, können wir den Satz wie folgt um-
formulieren:

Ist A eine von n Elementen erzeugte abelsche Gruppe, dann gibt es
einen surjektiven Homomorphismus f : Z n → A, dessen Kern F das
k-Tupel ( τ 1 e 1 , . . . , τkek) als Basis hat. Dabei ist 0 ≤ k ≤ n, und für

1 ≤ i < k ist τi ein Teiler von τi+1 .

Damit ist A isomorph zu Z n/F . Da die kanonische Abbildung Z n = Z k ⊕

Z n−k → Z /τ 1Z ⊕ · · · ⊕ Z /τk Z ⊕ Z n−k, die ei für 1 ≤ i ≤ k auf die Restklasse 1
des i-ten Summanden und Z n−k identisch abbildet, auch Kern F hat, haben
wir folgendes Ergebnis.

Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe ist isomorph zu einer Gruppe
der Form

Z f ⊕ Z /τ 1Z ⊕ · · · ⊕ Z /τk Z .

Dabei sind f und k ganze nichtnegative Zahlen, und die τi sind po-
sitive ganze Zahlen, bei denen jede die darauf folgende teilt. Mit f
wird der Rang der Gruppe bezeichnet, die τi heißen Torsionskoeffizi-
enten. Zwei isomorphe abelsche Gruppen haben denselben Rang und
dieselben Torsionskoeffizienten.

Die letzte Aussage lässt sich aus der Betrachtung der von den Elementen end-
licher Ordnung erzeugten Untergruppe E und der Untergruppen von E, die von

Elementen einer gegebenen Ordnung erzeugt werden, gewinnen. Zum Beispiel
ist τk die maximale Ordnung, die ein Element endlicher Ordnung haben kann,
und sind τl+1 , . . . , τk alle zu τk gleichen Torsionskoeffizienten, so hat die von
allen Elementen der Ordnung τk erzeugte Untergruppe die Ordnung τk( k − l).

Der Sinn der Teilbarkeitsbedingungen der Torsionskoeffizienten wird klar,
wenn man an den kanonischen Homomorphismus

Z /( m 1 m 2 · · · mk)Z → Z /m 1Z ⊕ · · · ⊕ Z /mk
denkt, der im Fall paarweise teilerfremder mi ein Isomorphismus ist (Chinesi-
scher Restsatz, siehe Abschnitt 3.3).

Viele Autoren schreiben anstelle von Z /m Z kürzer Z m. Da aber Z m je nach

Kontext stark unterschiedliche Bedeutung haben kann, sollte man sich immer
vergewissern, was mit dem Symbol Z m wirklich gemeint ist.

152

6 Algebra

6.7

Quotientenk¨
orper

Anlass, den Zahlbereich Z auf Q zu erweitern, ist der Wunsch, Gleichungen der

Form ax = b für a = 0 lösen zu können. In dem erweiterten Zahlbereich sollen
dann wieder alle Gleichungen der Form x + a = b und cx = b für beliebige a, b
und c = 0 eindeutig lösbar sein. Sollen in dem erweiterten Zahlbereich Addition
und Multiplikation assoziativ und kommutativ sein und das Distributionsgesetz
gelten, so läuft unser Problem darauf hinaus, den Ring Z in einen (möglichst
kleinen) Körper einzubetten. Die rationalen Zahlen lassen sich in der Form m/n
mit m, n ∈ Z und n = 0 darstellen, also als geordnete Paare ( m, n) mit m, n ∈ Z,
n = 0. Die Darstellung ist erst nach Kürzen des Bruchs und Festlegen des

Vorzeichens von n eindeutig.

Wollen wir allgemeiner einen kommutativen Ring R mit 1 in einen Körper
einbetten, so können wir versuchen, analog vorzugehen. Zunächst müssen wir
natürlich voraussetzen, dass R nullteilerfrei, also ein Integritätsbereich ist. Wei-
ter ergibt Kürzen nur Sinn in Ringen, in denen die eindeutige Faktorisierung
in unzerlegbare Elemente gilt, und größer und kleiner als 0 ist in den wenigs-
ten Ringen definiert. Allerdings wurden diese Konzepte bei der Konstruktion
der rationalen Zahlen aus den ganzen nicht wirklich benötigt. Denn die Brüche
m/n und a/b sind genau dann gleich, wenn mb = na ist. Dies legt folgende

Konstruktion nahe.

Es sei R ein Integritätsbereich. Auf der Menge M := {( a, b) ∈ R × R | b = 0 }

führen wir die Relation

( a, b) ∼ ( c, d) genau dann, wenn ad = bc ist“ ein.

”

Dies ist eine Äquivalenzrelation. Reflexivität und Symmetrie sind klar. Gelten

( a, b) ∼ ( c, d) und ( c, d) ∼ ( e, f ), so folgt aus den Gleichungen ad = bc und cf =
de die Gleichung af cd = becd. Ist cd = 0, so folgt af = be, da R nullteilerfrei
ist. Ist cd = 0, so ist c = 0, also wegen d = 0 auch a = 0 = e. Daher gilt auch in
diesem Fall af = eb, so dass in jedem Fall ( a, b) ∼ ( e, f ) gilt.

Auf M definieren wir eine Addition durch ( a, b) + ( c, d) = ( ad + cb, bd) und
eine Multiplikation durch ( a, b)( c, d) = ( ac, bd). Da R nullteilerfrei ist, ist bd =

0, so dass die Definitionen sinnvoll sind. Man sieht leicht, dass Addition und

Multiplikation mit der Äquivalenzrelation verträglich sind. Ist z. B. ( a, b) ∼

( a, b), also ab = ba, so gilt ( ad + cb)( bd) = ( bd)( ad + cb), also ( a, b) + ( c, d) ∼

( a, b) + ( c, d).

Addition und Multiplikation auf M induzieren daher eine Addition und Mul-
tiplikation auf der Menge K der Äquivalenzklassen, die K zu einem kommutati-
ven Ring mit Einselement (1 , 1) macht. Die Abbildung j: R → K, j( r) = ( r, 1)

ist ein injektiver Ringhomomorphismus, und ist a = 0, so ist ( b, a) das Inverse
von ( a, b), da ( ba, ab) ∼ (1 , 1). Also ist K ein Körper, der (ein isomorphes Bild
von) R enthält. Hat r ∈ R in R ein Inverses s, so ist ( s, 1) ∼ (1 , r), so dass wir
nur dann für r ∈ R ein neues“ Inverses in K konstruieren, wenn r in R nicht

”

6.8

Polynome

153
invertierbar ist. Ist insbesondere R schon ein Körper, so ist ( a, b) ∼ ( ab− 1 , 1),
so dass j: R → K ein Isomorphismus ist.

Wir nennen K den Quotientenk¨
orper von R. K hat folgende Eigenschaft: Ist i:

R → L eine Einbettung von R in einen Körper L, so gibt es einen Körperhomo-
morphismus f : K → L mit i = f ◦ j. Da nichttriviale Körperhomomorphismen
stets injektiv sind (siehe Abschnitt 6.3), ist K bis auf Isomorphie der kleinste

Körper, in den sich R einbetten lässt.

Die Elemente des Quotientenkörpers eines Rings R schreibt man in Anlehnung
an die rationalen Zahlen in der Form a/b und meint damit die Äquivalenzklasse
des Paares ( a, b).

Ein in der Algebra häufiger auftauchender Quotientenkörper ist K( X), der

Körper der rationalen Funktionen in einer Variablen über dem Körper K. Es
ist der Quotientenkörper des Polynomrings K[ X], mit dem wir uns im nächsten

Abschnitt näher beschäftigen.

6.8

Polynome

Im Folgenden sei K ein Körper. Ein Polynom (in einer Variablen X) über K ist
ein Ausdruck P der Form
anXn + an− 1 Xn− 1 + · · · + a 1 X + a 0 ,
ai ∈ K, i = 0 , 1 , . . . , n.

Die ai nennt man die Koeffizienten von P . Der Grad von P ist das größte j
mit aj = 0. Sind alle ai = 0, so bekommt P den Grad −∞. Für ein Polynom

P wie oben setzen wir ai = 0 für i > n. Somit hat jedes Polynom unendlich
viele Koeffizienten, von denen aber höchstens endlich viele von 0 verschieden
sind. Der von 0 verschiedene Koeffizient mit höchstem Index heißt höchster

Koeffizient des Polynoms. Die Menge aller Polynome über K bezeichnen wir
mit K[ X]. Die Polynome vom Grad 0 und −∞ heißen konstant.

Nach Definition sind zwei Polynome über K genau dann gleich, wenn alle

Koeffizienten übereinstimmen. Da (nach unserer Vereinbarung über Ringe mit 1)

jeder Körper mindestens zwei Elemente besitzt, ist K[ X] immer unendlich. Es
ist deshalb Vorsicht geboten, will man, wie wir das aus der Analysis gewohnt
sind, ein Polynom P als Abbildung von K nach K auffassen, die das Element
x ∈ K auf P ( x) = anxn+ · · ·+ a 0 ∈ K abbildet. Denn ist K ein endlicher Körper,
so ist die Menge aller Abbildungen von K nach K endlich. Ist z. B. K = Z / 2Z,
so ist jede durch ein Polynom aus (Z / 2Z)[ X] definierte Abbildung Z / 2Z →

Z / 2Z gleich einer der vier Abbildungen, die durch Polynome aus (Z / 2Z)[ X]

vom Grad höchstens 1 beschrieben werden. Wir werden allerdings am Ende des

Abschnitts sehen, dass die Abbildung, die einem Polynom aus K[ X] die durch
das Polynom definierte Abbildung von K in K zuordnet, für unendliche Körper
injektiv ist, wir also für Körper wie Q, R oder C durchaus die Polynome mit

154

6 Algebra
ihren induzierten Abbildungen identifizieren dürfen. Für ein Polynom P über

K bezeichnen wir die zugehörige Abbildung von K in sich mit ˆ

P .

Man addiert zwei Polynome, indem man ihre Koeffizienten addiert. Das Pro-
dukt der Polynome P = anXn + · · · + a 0 und Q = bmXm + · · · + b 0 ist das

Polynom R = c
k
n+ mX n+ m + · · · + c 0 mit ck =
a
i=0
ibk−i, k = 0 , . . . , n + m.

Das Produkt von P und Q entsteht also durch distributives Ausmultiplizieren
von ( anXn + · · · + a 0)( bmXm + · · · + b 0) und anschließendes Zusammenfas-
sen der Terme mit demselben X-Exponenten, wobei für a, b ∈ K die Gleichung

( aXi)( bXj ) = ( ab) Xi+ j gilt. Mit dieser Addition und Multiplikation wird K[ X]

zu einem kommutativen Ring mit dem konstanten Polynom 1 als Einselement,
und die Zuordnung P → ˆ

P ist ein Ringhomomorphismus.

Für den Grad von Summe und Produkt gilt: Grad( P + Q) ≤ max { Grad P,

Grad Q}, Gleichheit gilt, wenn die Grade von P und Q verschieden sind;

Grad( P Q) = Grad P + Grad Q.

Das X in der Schreibweise für ein Polynom ist eigentlich überflüssig; es kommt
nur auf die Koeffizienten an. Formal ist ein Polynom eine Folge ( ai) i≥ 0 mit
höchstens endlich vielen von 0 verschiedenen Gliedern, und Folgen werden ad-
diert wie gewohnt, nur ist die Multiplikation anders. Unsere Schreibweise sug-
geriert, dass wir in das X Elemente r eines K enthaltenden Ringes R einsetzen
können und ein neues Element P ( r) ∈ R erhalten. Ob man die Variable (sie
wird oft auch Unbestimmte genannt) X oder irgendetwas anderes nennt, spielt
keine Rolle. Die Ringe K[ X] und K[ T ] sind für uns identisch, die Schreibweise
gibt nur vor, wie die Variable bezeichnet wird. Wir werden allerdings X mit
dem Polynom 1 X ∈ K[ X] identifizieren. Dann ist K[ X] ein K-Vektorraum mit

Basis {Xn | n ≥ 0 }, wobei wie üblich X 0 = 1 gesetzt wird. K[ X] ist der kleinste

Unterring von K[ X], der die Konstanten und X enthält.

Die wichtigste Eigenschaft von K[ X] ist, dass dort eine Division mit Rest
wie bei den ganzen Zahlen existiert, K[ X] also ein euklidischer Ring ist (siehe

Abschnitt 6.5). Es gilt nämlich Folgendes:

Es seien P, S ∈ K[ X] mit S = 0 . Dann existieren eindeutig bestimm-
te Q, R ∈ K[ X] mit P = QS + R und Grad R < Grad S.

Q ist der Quotient“ und R der Rest.

”

Ist m := Grad S > Grad P =: n, so ist Q = 0 und R = P . Ist m ≤ n,
so ist Q ein Polynom vom Grad n − m, und seine Koeffizienten cn−m, . . . , c 0
ergeben sich rekursiv durch Koeffizientenvergleich von P und QS: Das Polynom

Q wird so bestimmt, dass die Koeffizienten dn, dn− 1 , . . . , dm von QS mit den
entsprechenden Koeffizienten von P übereinstimmen. Zum Beispiel ist cn−m =
an/bm und cn−m− 1 = an− 1 /bm −anbm− 1 /b 2 m, wenn ai bzw. bj die Koeffizienten
von P bzw. S sind. Hat man alle Koeffizienten von Q bestimmt, so ist R =

P − QS.

Aus der Division mit Rest folgt unmittelbar, dass K[ X], wie jeder euklidische

Ring, ein Hauptidealring ist. Denn sei J ⊆ K[ X] ein von { 0 } verschiedenes

6.8

Polynome

155

Ideal. Dann gibt es in J genau ein von 0 verschiedenes Polynom S kleinsten

Grades mit höchstem Koeffizienten 1. Ist nun P ∈ J ein von 0 verschiedenes

Polynom, so gibt es Q und R mit P = QS + R und Grad R < Grad S. Da mit

P, Q ∈ J auch R ∈ J ist, ist R = 0, also P ∈ K[ X] · S. Somit ist J = K[ X] · S
ein Hauptideal.

Es folgt, dass in K[ X] jedes nichtkonstante Polynom eindeutig bis auf Rei-
henfolge und Multiplikation mit Konstanten (also den Elementen aus K) in ein

Produkt von unzerlegbaren Polynomen zerlegt werden kann und jedes unzer-
legbare Polynom ein Primelement ist. Üblicherweise heißen die unzerlegbaren

Polynome irreduzibel. Weiter gilt, dass K[ X] · P für jedes irreduzible P ein ma-
ximales Ideal ist, d. h. maximal unter den von K[ X] verschiedenen Idealen von

K[ X] ist. Denn ist P ∈ K[ X] · S = K[ X], so existiert Q mit P = QS, und Grad S > 0. Da P prim ist, teilt P entweder Q oder S. Also hat eines von Q
und S mindestens den Grad von P . Dann muss Q konstant sein, und damit sind
die von P und S erzeugten Hauptideale gleich.

Wir folgern, dass für jedes irreduzible Polynom P ∈ K[ X] der Quotientenring

K[ X] /( K[ X] · P ) ein Körper ist. Denn ganz allgemein gilt: Ist J ein maximales

Ideal in dem kommutativen Ring R mit 1 , dann ist R/J ein K¨
orper.

Im Allgemeinen ist es schwierig zu entscheiden, ob ein Polynom irreduzibel
ist. Für ganzzahlige Polynome gibt es das Eisensteinkriterium:

P = anXn + · · ·+ a 0 sei ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten.

Gibt es eine Primzahl p, so dass ai ≡ 0 mod p für i = n, an ≡ 0
mod p und a 0 ≡ 0 mod p 2 , dann ist P irreduzibel über Q .

Dies kann man benutzen, um zu zeigen, dass für primes p das p-te Kreistei-
lungspolynom P ( X) = Xp− 1 + Xp− 2 + · · · + X + 1 über Q irreduzibel ist: Man
ersetze X durch Y + 1. Auf das resultierende Polynom Q in Y lässt sich das

Eisensteinkriterium anwenden. Damit ist P unzerlegbar, da anderenfalls auch

Q zerlegbar wäre.

Eine Nullstelle des Polynoms P ∈ K[ X] ist ein Element a ∈ K mit ˆ

P ( a) = 0.

Ist a Nullstelle von P , so gibt es ein Polynom Q, so dass P ( X) = Q( X)( X − a).

Dies folgt aus der Division von P durch X − a. Der Rest R, der höchstens Grad

0 haben kann, ist gleich 0, weil ˆ

P ( a) = ˆ

Q( a)( a − a) = 0 ist. Es folgt, dass ein

Polynom vom Grad n ≥ 0 höchstens n Nullstellen hat. Sind P und Q Polynome
vom Grad höchstens n, so dass ˆ

P und ˆ

Q für n + 1 verschiedene Elemente von K
denselben Wert annehmen, so hat P − Q höchstens den Grad n und mindestens
n + 1 Nullstellen. Also ist P − Q = 0, d. h. P = Q. Damit ist für unendliche

Körper K die Abbildung P → ˆ

P eine injektive Abbildung von K[ X] in den

Ring aller Selbstabbildungen von K.

156

6 Algebra

6.9

K¨
orpererweiterungen

Eine Körpererweiterung des Körpers K ist ein Körper L, der K als Unterkörper
enthält. Wir schreiben dafür L : K. Die Einschränkung der Multiplikation von L
auf K ×L macht L zu einem K-Vektorraum. Die Dimension von L über K heißt
der Grad [ L : K] von L : K. Die Erweiterung heißt endlich, wenn ihr Grad end-
lich ist, sonst heißt sie unendlich. Der Körper K( X) der rationalen Funktionen
über K (siehe Abschnitt 6.7) ist ein Beispiel einer unendlichen Erweiterung von

K. Ein Element von L heißt algebraisch (¨
uber K), falls es Nullstelle eines von

0 verschiedenen Polynoms mit Koeffizienten in K ist. L : K heißt algebraisch,
wenn jedes Element von L über K algebraisch ist.

Jede endliche Erweiterung L : K ist algebraisch. Denn ist a ∈ L, so gibt es
ein n ∈ N, so dass 1 , a, a 2 , . . . , an linear abhängig sind; also gibt es ai ∈ K mit
anan + · · · + a 1 a + a 0 = 0. Ist L : K eine Erweiterung und sind a 1 , . . . , ak ∈ L, so bezeichnen wir mit K( a 1 , . . . , ak) den kleinsten Unterkörper von L, der K
und a 1 , . . . , ak enthält. Ist L : K endlich, so gibt es immer a 1 , . . . , ak ∈ L
mit L = K( a 1 , . . . , ak). In Abschnitt 2.8 haben wir die unendliche Erweiterung

Q : Q aller algebraischen komplexen Zahlen über Q kennengelernt. Diese Er-
weiterung ist maximal unter den algebraischen Erweiterungen von Q und heißt
der algebraische Abschluss von Q. Ganz allgemein besitzt jeder Körper einen
algebraischen Abschluss.

Für jedes algebraische a ∈ L gibt es genau ein Polynom P kleinsten Grades
über K mit P ( a) = 0 und höchstem Koeffizienten 1. Es ist irreduzibel und
heißt Minimalpolynom von a. Ist f : K[ X] → K( a) der durch X → a definierte

Ringhomomorphismus, so ist der Kern von f das Ideal K[ X] · P und der von f
induzierte Ringhomomorphismus K[ X] /( K[ X] · P ) → K( a) ein Isomorphismus
von Körpern.

Sei umgekehrt P ∈ K[ X] ein irreduzibles Polynom vom Grad größer als 1.

Dann gibt es einen Oberkörper L = K( a) von K, so dass a eine Nullstelle von P
ist, nämlich L = K[ X] /( K[ X] · P ). Die Nebenklasse a := X + K[ X] · P ist eine Nullstelle von P . Man sagt dann, dass K( a) durch Adjungieren der Nullstelle a
von P aus K entstanden ist.

Ist a ∈ L nicht algebraisch (über K), so heißt a transzendent (über K). Ist
a ∈ L transzendent, so ist der durch X → a definierte Ringhomomorphismus f :

K[ X] → K( a) injektiv und induziert einen Isomorphismus ¯
f : K( X) → K( a).

Man nennt dann K( a) : K eine einfache transzendente Erweiterung.

Zwei Körpererweiterungen L : K und M : K heißen isomorph, wenn es einen

Isomorphismus von L auf M gibt, der jedes Element von K auf sich selbst
abbildet. Da nach dem Fundamentalsatz der Algebra (Abschnitt 2.4) jedes Po-
lynom mit komplexen Koeffizienten über C in Linearfaktoren zerfällt, ist jede
algebraische, insbesondere jede endliche Erweiterung eines Unterkörpers von C
isomorph zu einem Unterkörper von C. Das hilft unserer Vorstellung.

6.10

Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

157

Im übernächsten Abschnitt werden wir uns etwas intensiver mit endlichen

Körpererweiterungen beschäftigen und einige Beispiele kennenlernen.

6.10

Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

Gegeben sei ein Kreis der euklidischen Ebene. Lässt sich allein mit Hilfe von Zir-
kel und Lineal ein flächengleiches Quadrat konstruieren? Dies ist das berühmte,
schon von den Griechen gestellte Problem der Quadratur des Kreises. Zwei wei-
tere Probleme haben den Griechen Kopfschmerzen bereitet: die Dreiteilung von

Winkeln und die Volumenverdopplung eines Würfels, jeweils mit Zirkel und Li-
neal. Zur Präzisierung des Problems müssen wir uns darüber einigen, was mit

”

Hilfe von Zirkel und Lineal konstruieren“ bedeutet.

Zunächst: Die Eingabedaten der Probleme sind Punktmengen der Ebene. Ein

Kreis ist gegeben durch zwei Punkte; der eine davon ist der Mittelpunkt, der
zweite bestimmt durch seinen Abstand zum ersten den Radius. Ändert man
die Reihenfolge der Punkte, so erhält man einen flächengleichen Kreis. Ebenso
bestimmen zwei Punkte die Länge der Kante eines Würfels, und drei Punkte
bestimmen den Kosinus eines Winkels, wenn wir festlegen, welcher Punkt der

Scheitelpunkt ist.

Es sei M eine Teilmenge der euklidischen Ebene. Eine Gerade von M ist ei-
ne Gerade durch zwei verschiedene Punkte von M . Ein Kreis von M ist ein

Kreis mit Mittelpunkt in M , dessen Radius der Abstand zweier (nicht not-
wendig verschiedener) Punkte von M ist. Wir sagen, dass ein Punkt P der

Ebene in einem Schritt mit Hilfe von Zirkel und Lineal aus M entsteht, wenn

P Schnittpunkt zweier verschiedener Geraden, zweier verschiedener Kreise oder
eines Kreises und einer Geraden von M ist. Ein Punkt P der Ebene entsteht
aus einer Menge M mit Hilfe von Zirkel und Lineal, wenn es eine endliche Folge

P 1 , . . . , Pk = P gibt, so dass für i = 1 , . . . , k der Punkt Pi in einem Schritt
aus M ∪ {P 1 , . . . , Pi− 1 } mit Hilfe von Zirkel und Lineal entsteht. Wir nehmen
immer an, dass M mindestens zwei Punkte enthält, da aus einer einpunktigen

Menge durch Zirkel und Lineal nur der Punkt selbst reproduziert wird.

Durch das Einführen von kartesischen Koordinaten werden unsere geometri-
schen Probleme algebraischen Argumenten zugänglich: Ist M eine Teilmenge,
so sei KM der kleinste Unterkörper von R, der die Koordinaten aller Punk-
te aus M enthält. Dabei richten wir das Koordinatensystem so ein, dass (0 , 0)

und (1 , 0) Punkte von M sind. Kreise in M erfüllen Gleichungen der Form

( x − x 0)2 + ( y − y 0)2 = ( x 2 − x 1)2 + ( y 2 − y 1)2 mit ( xi, yi) ∈ M , i = 0 , 1 , 2, und Geraden in M lineare Gleichungen mit Koeffizienten in KM . Die Koordinaten
eines Schnittpunkts zweier Kreise, eines Kreises mit einer Geraden oder zweier

Geraden von M sind also Nullstellen eines Polynoms vom Grad 2 oder 1 mit

Koeffizienten in KM . Es folgt: Entsteht P = ( a, b) aus M in einem Schritt mit

158

6 Algebra

Hilfe von Zirkel und Lineal, so sind die Grade [ KM ( a) : KM ] und [ KM ( b) : KM ]

2 oder 1. Mittels vollständiger Induktion erhalten wir: Entsteht ( a, b) aus M mit

Hilfe von Zirkel und Lineal, so ist [ KM ( a, b) : KM ] eine Potenz von 2 . Denn
sind L : K und Q : L endliche Erweiterungen, so gilt [ Q : K] = [ Q : L] · [ L : K].

Damit lässt sich nun einfach zeigen, dass die zu Beginn des Abschnitts ange-
sprochenen Probleme nicht lösbar sind.

Die Verdopplung des Würfels läuft darauf hinaus, mit Hilfe von Zirkel und

√

Lineal aus M = {(0 , 0) , (1 , 0) } zwei Punkte mit Abstand 3 2 zu konstruieren.

√

Dann lässt sich natürlich auch ( 3 2 , 0) konstruieren. Können wir das, dann ist

√

√
der Grad von Q( 3 2) eine Potenz von 2. Aber 3 2 ist Nullstelle von X 3 − 2.

Das Eisensteinkriterium aus Abschnitt 6.8 zeigt, dass dieses Polynom irredu-

√

√

√
zibel über Q ist. Daher ist { 1 , 3 2 , ( 3 2)2 } eine Basis von Q( 3 2) über Q, und

√

[Q( 3 2) : K] ist 3 und keine Potenz von 2.

Den Winkel π/ 3 kann man leicht aus {(0 , 0) , (1 , 0) } konstruieren, da
cos( π/ 3) = 1 / 2 ist. Lässt sich π/ 3 dreiteilen, dann können wir (cos( π/ 9) , 0),
also auch ( a, 0) mit a = 2 cos( π/ 9) konstruieren. Geht das, so ist [Q( a) : Q]

eine Potenz von 2. Zweimaliges Anwenden des Additionstheorems cos( α + β) =
cos( α) cos( β) − sin( α) sin( β) auf cos( π/ 9 + π/ 9 + π/ 9) zeigt, dass a Nullstelle von P = X 3 − 3 X − 1 ist. Da Q( Y ) := P ( Y + 1) = Y 3 + 3 Y 2 − 3 wegen des Eisensteinkriteriums irreduzibel ist, ist P irreduzibel. Wir erhalten also wieder

[ K( a) : K] = 3.

Schließlich lässt sich ein zum Einheitskreis flächengleiches Quadrat konstru-

√
ieren, wenn wir aus {(0 , 0) , (1 , 0) } den Punkt ( π, 0) konstruieren können. Da-

√
mit wäre
π algebraisch über Q, also auch π algebraisch über Q. Nach einem
berühmten Satz von Lindemann ist aber π nicht algebraisch, sondern wie die

Eulersche Zahl e transzendent (vgl. Abschnitt 2.9).

6.11

Galoistheorie

Im vorigen Abschnitt haben wir nur die Tatsache, dass ein Oberkörper von K ein

K-Vektorraum ist, genutzt, um zu zeigen, dass gewisse geometrische Probleme
mit Zirkel und Lineal nicht lösbar sind. Die wesentliche neue Idee von É. Galois
war, bei der Untersuchung von Körpererweiterungen deren Symmetriegruppen
miteinzubeziehen. Zu Galois’ Lebzeiten war das Konzept der Gruppe noch nicht
geklärt. Umso erstaunlicher sind daher seine Ergebnisse, die ein lange offenes
zentrales Problem vollständig klärten, nämlich die Frage, wann eine polynomiale

Gleichung durch Radikale gelöst werden kann. Die Antwort liegt in der Struk-
tur der Symmetriegruppe einer dem Polynom zugeordneten Körpererweiterung.

Über dieses phantastische Ergebnis, eilig aufgeschrieben 1832 in der Nacht vor
einem für Galois tödlichen Duell, berichten wir im nächsten Abschnitt. Hier be-
handeln wir die zugrundeliegende Theorie, die auf einer bestechend einfachen

6.11

Galoistheorie

159

Idee beruht. Sie hat neben der erwähnten Anwendung auf Radikallösungen von

Polynomen viele weitere Anwendungen, was auch Galois bewusst war, und zählt
zum Rüstzeug jedes Algebraikers.

Im Folgenden seien alle Erweiterungen endlich.

Ist L : K eine Erweiterung, so ist die Menge aller Automorphismen von L,
die K elementweise festhalten, eine Untergruppe der Gruppe aller Automor-
phismen von L. Wir bezeichnen diese Gruppe mit GL: K und nennen sie die

Galoisgruppe der Erweiterung L : K. Einen Körper M mit K ⊆ M ⊆ L nennen
wir Zwischenk¨
orper von L : K. Ist M Zwischenkörper von L : K, so ist GL: M

Untergruppe von GL: K. Ist umgekehrt U eine Untergruppe von GL: K, so ist
die Menge aller Elemente von L, die von allen Automorphismen g ∈ U auf sich
abgebildet, also festgehalten werden, ein Zwischenkörper von L : K. Wir nennen
ihn den Fixk¨
orper von U und bezeichnen ihn mit Fix( U ). Bezeichnen wir die

Menge der Zwischenkörper von L : K mit Z und die Menge aller Untergruppen
von GL: K mit U , so erhalten wir damit zwei Abbildungen

GL: −: Z → U ,

M → GL: M ,

Fix: U → Z ,

U → Fix( U ) .

Das Hauptergebnis der Galoistheorie besagt, dass für gewisse Erweiterungen

L : K diese Abbildungen bijektiv und zueinander invers sind.

Nach Definition von GL: K gilt K ⊆ Fix( GL: K). Damit K als Fixkörper einer

Untergruppe von GL: K auftritt, muss also Fix( GL: K) = K gelten. Eine solche

Erweiterung nennen wir galoissch, denn es gilt:

(Fundamentalsatz der Galoistheorie)

Es sei L : K eine endliche galoissche Erweiterung, Z die Menge
der Zwischenk¨
orper von L : K und U die Menge der Untergruppen
von GL: K. Dann gilt:

(i) Die Abbildungen GL: −: Z → U und Fix: U → Z sind
zueinander inverse Bijektionen.

(ii) F¨
ur M ∈ Z gilt [ M : K] = [ GL: K : GL: M ] , d. h., der Grad
von M ¨
uber K ist gleich dem Index von GL: M in GL: K.

(iii) M : K ist genau dann galoissch, wenn GL: M ein Nor-
malteiler von GL: K ist, und dann ist GM: K isomorph zur

Quotientengruppe GL: K/GL: M .

Für jedes U ∈ U gilt U ⊆ GL:Fix( U), da nach Definition von Fix( U) jedes

Element von U den Zwischenkörper Fix( U ) elementweise festhält. Ebenso gilt
für jeden Zwischenkörper M , dass M ⊆ Fix( GL: M ) ist. Gleichheit in der letzten

Inklusion ist nach Definition gleichbedeutend damit, dass L : M galoissch ist.

Deswegen ist es nützlich zu erkennen, welche Erweiterungen galoissch sind.

160

6 Algebra

√

Dass nicht alle Erweiterungen galoissch sind, zeigt das Beispiel Q( 3 2) : Q,

√
wobei mit 3 2 die reelle dritte Wurzel von 2 gemeint ist. Jeder Automorphismus

√

√
von Q( 3 2) muss 3 2 auf eine dritte Wurzel von 2 abbilden. Es gibt aber nur eine

√
in Q( 3 2). Da jeder Körperautomorphismus den Primkörper festhält, besteht

√

G Q 3 √

3

√

2) = Q ist.

(

2):Q nur aus der Identität, so dass Fix( G Q( 2):Q) = Q( 3

Ist L = K( a) und f das Minimalpolynom von a, so muss jedes Element
von GL: K das Element a wieder auf eine Nullstelle von f abbilden. Denn die

Elemente von GL: K halten die Koeffizienten von f fest, und a ist Nullstelle
von f . Da jedes Element von K( a) Linearkombination von Potenzen von a ist,
ist ein Element α ∈ GL: K durch α( a) festgelegt, und eine solche Festlegung
definiert auch ein Element von GL: K. Die Anzahl der Elemente in GL: K ist also
gleich der Anzahl der Nullstellen von f in L. Nun gilt folgender Satz:

Es sei G eine n-elementige Gruppe von Automorphismen des

K¨
orpers M . Dann gilt [ M : Fix( G)] = n.

Der Beweis des Satzes nutzt nur Standardkenntnisse über das Lösen linearer

Gleichungssysteme (siehe Abschnitt 5.4) und die Tatsache, dass jede Menge von

Automorphismen von L linear unabhängig ist im L-Vektorraum aller Abbildun-
gen von L nach L mit punktweiser Addition und Skalarmultiplikation.

Nun ist [ K( a) : K] = Grad f . Also ist K( a) : K genau dann galoissch, wenn f
genau Grad f viele verschiedene Nullstellen in K( a) hat, also genau dann, wenn
f in K( a) in Linearfaktoren zerfällt, von denen keine zwei gleich sind.

Dies legt folgende Begriffe nahe. Die Erweiterung L : K heißt normal, wenn
jedes irreduzible Polynom f aus K[ X] mit einer Nullstelle in L über L schon
ganz in Linearfaktoren zerfällt, also wenn das Minimalpolynom fa ∈ K[ X] jedes

Elements a ∈ L über L in Linearfaktoren zerfällt. Die normale Erweiterung

L : K heißt separabel, wenn für alle a ∈ L diese Linearfaktoren paarweise
verschieden sind.

Separabilität lässt sich für beliebige algebraische Erweiterungen definieren,
aber wir benötigen dies nicht. Hat K die Charakteristik 0, so ist jede algebraische

Erweiterung von K separabel.

Folgendes Ergebnis ist dann nicht überraschend:

Eine endliche Erweiterung L : K ist genau dann galoissch, wenn sie
normal und separabel ist.

Mit dieser Aussage und obigem Satz ist der Beweis des Fundamentalsatzes
nicht mehr schwer. Wir haben z. B. gesehen, dass für einen Zwischenkörper M
die Gleichung Fix ◦ GL: −( M) = M gilt, wenn L : M galoissch ist. Sei also a ∈ L.

Da L : K nach Annahme galoissch, also normal und separabel ist, zerfällt das

Minimalpolynom von a über K in L in lauter verschiedene Linearfaktoren. Das

Minimalpolynom g von a über M ist ein Teiler von f , aufgefasst als Polynom
über M , und zerfällt deshalb in L auch in lauter verschiedene Linearfaktoren.

Also ist L : M galoissch, und wir erhalten die Gleichung Fix ◦ GL: − = id Z .

6.11

Galoistheorie

161

Die Beziehung U ⊆ GL:Fix( U) folgt, wie schon oben bemerkt, aus der Defi-
nition von Fix( U ). Aus der Tatsache, dass für jeden Zwischenkörper M , also
auch für Fix( U ), die Erweiterung galoissch ist, folgt mit Hilfe obigen Satzes die

Gleichung |U | = |G

|

L:Fix( U ) und damit die Gleichheit von U und GL:Fix( U ). Das
bedeutet, dass GL: − ◦ Fix = id U gilt, und Aussage (i) ist bewiesen.

Die Beweise von (ii) und (iii) sind von ähnlichem Schwierigkeitsgrad.

√

Als Beispiel besprechen wir kurz die Erweiterung Q( ζ, 3 2) : Q, wobei

2 πi

√
ζ = e 3 = 1 ( − 1 +

3 i) eine der beiden von 1 verschiedenen dritten Einheits-

2
wurzeln ist. Wir werden sehen, dass D 3, die 6-elementige Symmetriegruppe des
gleichseitigen Dreiecks, die Galoisgruppe dieser Erweiterung ist. Wer als Galois-
gruppe die 12-elementige Diedergruppe D 6 bevorzugt, deren Gruppentafel unse-

√
ren Umschlag ziert, kann sich mit Q( ζ, 6 2) : Q auseinandersetzen. Die Gruppe

D 6 hat allerdings schon recht viele Untergruppen, daher unsere Beschränkung
auf D 3.

√

Wir wissen schon, dass Q( 3 2) über Q Grad 3 hat und in R enthalten ist. Also

√
liegt ζ nicht in Q( 3 2). Da ζ Nullstelle des quadratischen Polynoms X 2 + X + 1

√

√
ist, ist der Grad von Q( ζ, 3 2) : Q( 3 2) gleich 2, insgesamt also der Grad von

√

√

Q( ζ, 3 2) : Q gleich 6. Jeder Automorphismus von Q( ζ, 3 2) ist schon durch seine

√

Wirkung auf ζ und 3 2 festgelegt. Dabei muss ζ auf eine der beiden Nullstellen

√

√

√
ζ und ζ 2 = ζ von X 2 + X + 1 und 3 2 auf eine der Nullstellen 3 2, ζ 3 2 und

√
ζ 2 3 2 von X 3 − 2 abgebildet werden. Das ergibt 6 mögliche Automorphismen,
und tatsächlich können alle realisiert werden. Denn X 2 + X + 1 ist irreduzibel

√
über Q( 3 2), und X 3 − 2 ist irreduzibel über Q( ζ).

√

√

Der durch σ( ζ) = ζ 2, σ( 3 2) = 3 2 definierte Automorphismus σ hat Ord-

√

√
nung 2, der durch ρ( ζ) = ζ, ρ( 3 2) = ζ 3 2 definierte Automorphismus ρ hat

Ordnung 3, und σρ = ρ 2 σ. Wir sehen, dass die Galoisgruppe der Erweiterung
zu D 3 isomorph ist, wobei σ einer Spiegelung und ρ der Drehung des Dreiecks
um den Mittelpunkt um den Winkel 2 π/ 3 entspricht.

Insgesamt gibt es außer der ganzen Gruppe und { id } vier weitere Untergrup-
pen: die Untergruppe ρ der Drehungen und die von den einzelnen Spiegelungen
erzeugten Untergruppen σ, σρ und σρ 2 der Ordnung 2.

√

6

Q( ζ, 3 2)

{ id }

%%
l
l

%%

A

A

A

A l
l

%
l

%
l

A
l

A

%

%
l

√

A √
l √

A
l

%

%

3

Q( 3 2)

Q( ζ 3 2) Q( ζ 2 3 2)

σ
σρ 2 σρ

%

%

2

Q( ζ)

S

S

%
ρ

S

S

%

P

P

P

P

%

P

P

P

P

S

S %

1

Q

D 3

Obiges Diagramm beschreibt den Sachverhalt. In der ersten Spalte stehen die

Erweiterungsgrade der Zwischenkörper bzw. der Index der Unterguppen, die
zweite listet die Zwischenkörper, die dritte die zugehörigen Untergruppen auf.

162

6 Algebra

Jede Linie bedeutet eine Inklusion, bei den Körpern von unten nach oben, bei
den Gruppen von oben nach unten.

6.12

L¨
osbarkeit polynomialer Gleichungen durch Radikale

Im Abschnitt 2.4 haben wir explizite Ausdrücke gesehen, die alle Lösungen ei-
nes Polynoms vom Grad höchstens 3 beschreiben. Solche Ausdrücke gibt es auch
für Polynome 4-ten Grades. In diese Ausdrücke gehen außer den vier Grundre-
chenarten nur noch zweite, dritte oder vierte Wurzeln ein. In diesem Abschnitt
werden wir sehen, dass es im Allgemeinen für Polynome vom Grad größer 4
solche Formeln nicht geben kann. Genauer werden wir ein notwendiges und hin-
reichendes Kriterium angeben, wann ein gegebenes Polynom über dem Körper

K sich durch Radikale lösen lässt. Wir beschränken uns dabei auf Körper der

Charakteristik 0.

Zunächst präzisieren wir, was durch Radikale lösbar“ heißen soll.

”

Eine Radikalerweiterung des K¨
orpers K ist eine Erweiterung R : K mit R =

K( a 1 , . . . , an), so dass für jedes i = 1 , . . . , n eine natürliche Zahl pi existiert
mit api ∈ K( a
i

1 , . . . , ai− 1). Anders ausgedrückt erhalten wir R aus K durch
sukzessives Adjungieren von Wurzeln (Radikalen). Ein Polynom f ∈ K[ X] lässt
sich durch Radikale l¨
osen, wenn es eine Radikalerweiterung R : K gibt, über
der f in Linearfaktoren zerfällt. Das heißt, dass alle Nullstellen von f in einer

Radikalerweiterung liegen.

Zerfällt f ∈ K[ X] in R in Linearfaktoren und sind a 1 , . . . , ak die Nullstel-
len von f in R, so ist K( a 1 , . . . , ak) der kleinste Unterkörper von R, über
dem f in Linearfaktoren zerfällt. Dieser Körper heißt der Zerf¨
allungsk¨
orper von
f . Ist L ein weiterer Zerfällungskörper von f , so gibt es einen Isomorphismus
α: K( a 1 , . . . , ak) → L, der K elementweise festhält. Wir dürfen also von dem

Zerfällungskörper Zf von f sprechen.

Ist L : K normal, so enthält L den Zerfällungskörper aller Minimalpolynome
von Elementen von L. Ist L : K endlich, so ist L = K( a 1 , . . . , ak) für geeignete
ai ∈ L. Also ist L der Zerfällungskörper des Produkts der Minimalpolynome
von a 1 , . . . , ak. Es gilt aber auch die Umkehrung:

Eine endliche Erweiterung L : K ist genau dann normal, wenn L
der Zerf¨
allungsk¨
orper Zf eines Polynoms f ∈ K[ X] ist.

Da in Charakteristik 0 alle Erweiterungen separabel sind, ist L : K genau dann
galoissch, wenn L Zerfällungskörper eines Polynoms über K ist. Galois’ phan-
tastische Entdeckung war, dass die Lösbarkeit eines Polynoms f ∈ K[ X] durch

Radikale unmittelbar mit der Struktur der Galoisgruppe von Zf : K zusam-
menhängt. Dazu brauchen wir einen neuen Begriff.

Eine Gruppe G heißt aufl¨
osbar, wenn es eine endliche Folge { 1 } ⊆ G 1 ⊆ . . . ⊆

Gn = G von Untergruppen gibt, in der jede Gruppe in der darauf folgenden ein

6.12

Lösbarkeit polynomialer Gleichungen durch Radikale

163

Normalteiler mit abelscher Quotientengruppe ist. Insbesondere ist jede abelsche

Gruppe auflösbar, aber auch die symmetrische Gruppe S 4 (siehe Abschnitt 6.1)

ist auflösbar. Betrachte dazu { 1 } ⊆ G 1 ⊆ A 4 ⊆ S 4, wobei A 4 die Untergruppe
der geraden Permutationen und G 1 die Untergruppe aller geraden Permutatio-
nen der Ordnung 2 oder 1 ist. Andererseits haben wir in Abschnitt 6.4 erwähnt,
dass An für n > 4 eine einfache Gruppe ist, also nur triviale Normalteiler besitzt.

Da sie obendrein nicht abelsch ist, ist sie nicht auflösbar.

Galois’ Ergebnis ist folgender Satz:

Es sei K ein K¨
orper der Charakteristik 0 . Genau dann ist f ∈ K[ X]

durch Radikale l¨
osbar, wenn die Galoisgruppe von Zf : K aufl¨
osbar
ist.

Hier sehen wir, warum bis zum Grad 4 die Gleichungen lösbar sind. Denn
die Galoisgruppe von Zf : K permutiert die Nullstellen von f , und jedes Ele-
ment wird durch seine Wirkung auf die Nullstellen von f festgelegt. Also ist

GZf: K eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe Sn, wenn Grad f = n ist,
und GZf: K ist auflösbar, wenn Grad f ≤ 4 ist. Denn Untergruppen auflösbarer

Gruppen sind auflösbar. Weiter gilt: Ist N Normalteiler von G und sind zwei der

Gruppen N , G und G/N auflösbar, so auch die dritte. Wir werden dies gleich
nutzen.

Die Beziehung zwischen auflösbar (Gruppe) und lösbar (Gleichung) wollen
wir kurz andeuten. Mit Hilfe des Fundamentalsatzes der Galoistheorie, insbe-
sondere der Aussage (iii), folgt eine Richtung des Satzes, wenn wir zeigen, dass
die Galoisgruppe jeder normalen Radikalerweiterung K( a 1 , . . . , ar) : K auf-
lösbar ist. Wir nehmen an, dass die Exponenten ni mit ani ∈ K( a
i

1 , . . . , ai− 1)

Primzahlen sind (das ist keine Einschränkung) und dass die n 1-ten Einheits-
wurzeln in K sind. Dann ist K( a 1) : K normal. Induktiv nehmen wir an, dass

GK( a 1 ,...,ar): K( a 1) auflösbar ist. Ein Element von g ∈ GK( a 1): K ist durch g( a 1) festgelegt. Dies ist eine Nullstelle von Xn 1 − an 1. Diese haben alle die Form

1
a 1 · ξi, wenn ξ eine primitive n 1-te Einheitswurzel ist. Sind g, h Elemente der

Galoisgruppe mit g( a 1) = a 1 · ξi und h( a 1) = a 1 · ξj, so bilden g ◦ h und h ◦ g beide a 1 auf a 1 · ξi+ j ab. Also ist GK( a 1): K abelsch und somit GK( a 1 ,...,ar): K
auflösbar.

Folgende Aussage hilft bei der Suche nach Polynomen, die keine Lösungen
durch Radikale haben.

Es sei f ein irreduzibles Polynom ¨
uber Q mit primem Grad p. Hat
f genau 2 nichtreelle Nullstellen in C , so ist die Galoisgruppe von

Zf : Q die symmetrische Gruppe Sp.

Als Folgerung sehen wir, dass jedes f = X 5 − apX + p mit p prim und ganzer

Zahl a ≥ 2 nicht durch Radikale lösbar ist. Mit etwas Kurvendiskussion kann
man nämlich sehen, dass f genau 3 reelle Nullstellen hat, und das Eisenstein-
kriterium aus Abschnitt 6.8 stellt sicher, dass f irreduzibel ist.

7 Elementare Analysis

Convergence is our business“ verkündete die Deutsche Telekom vor ein paar

”

Jahren in einer Anzeige. Nein, möchten wir einwenden, Konvergenz von Folgen
und Reihen ist das Kerngeschäft der mathematischen Analysis, und dieser Be-
griff zieht sich wie ein roter Faden durch alle Gebiete der Mathematik, die der

Analysis nahestehen.

Dieses Kapitel lässt, ausgehend vom Konvergenzbegriff, die Analysis der

Funktionen einer reellen Veränderlichen Revue passieren. Dabei legen wir die

Rigorosität zugrunde, die von den Mathematikern des 19. Jahrhunderts entwi-
ckelt wurde, blicken aber auch weiter zurück, um einige Probleme aufzuzeigen,
die entstanden, als man diese bisweilen

Epsilontik“ genannte Methodologie

”

noch nicht zur Verfügung hatte. Sie gestattet uns heute einen glasklaren Blick
auf die Analysis. Auch wenn sie für Novizen gewöhnungsbedürftig ist, ist diese

Vorgehensweise doch eine Bestätigung für Wittgensteins Diktum:

Alles, was

”

überhaupt gedacht werden kann, kann klar gedacht werden. Alles, was sich aus-
sprechen lässt, lässt sich klar aussprechen.“

Im Einzelnen behandeln wir in den ersten neun Abschnitten einige grund-
legende Themen der eindimensionalen Analysis: Konvergenz von Folgen und

Reihen, stetige und differenzierbare Funktionen, insbesondere die trigonome-
trischen Funktionen, die Exponentialfunktion und den Logarithmus, ferner das

Riemannsche Integral und den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
sowie das Problem der Vertauschung von Grenzprozessen und den Satz von

Taylor. In den Abschnitten 10 und 11 geht es um Fourierreihen und die Fou-
riertransformation; diese Themen gehören nicht immer zum Pflichtprogramm.

Schließlich werfen wir im letzten Abschnitt über stetige Kurven einen ersten

Blick ins Mehrdimensionale.

Der Vorsatz elementar“ im Titel dieses Kapitels soll andeuten, dass die vorge-

”

stellten Ideen und Resultate die Grundbausteine für fortgeschrittenere Theorien
liefern; elementar“ sollte nicht mit trivial“ verwechselt werden.

”

”

O. Deiser et al., 12 x 12 Schlüsselkonzepte zur Mathematik,

DOI 10.1007/978-3-8274-2298-9_7, © Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2011

166

7 Elementare Analysis

7.1

Folgen und Grenzwerte

Die Idee, dass sich die Glieder einer Folge mehr und mehr einem Grenzwert“

”

annähern, drückt man folgendermaßen in der Sprache der Mathematik aus.

Eine Folge ( an) reeller Zahlen heißt konvergent zum Grenzwert a,
falls es zu jedem ε > 0 einen Index N ∈ N gibt, so dass |an − a| ≤ ε
f¨
ur alle n ≥ N gilt.

Kompakter kann man diese Bedingung mittels Quantoren wiedergeben:

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N |an − a| ≤ ε.

(7.1)

Diese Definition formalisiert tatsächlich das sich immer besser Annähern“ der

”

Folgenglieder an den Grenzwert: Wie klein man auch die Genauigkeitsschranke
ε > 0 vorgibt, wenn man nur lange genug wartet (nämlich bis zum Index N ),
unterscheiden sich ab da die Folgenglieder an vom Grenzwert a um höchstens ε.

Natürlich wird man N in der Regel um so größer wählen müssen, je kleiner man
ε vorgibt.

Übrigens kann man die Grenzwertdefinition genauso gut mit < ε“ statt ≤ ε“

”

”

ausdrücken; die Lehrbuchliteratur ist hier nicht einheitlich. Manchmal ist die
eine Variante vorteilhafter anzuwenden und manchmal die andere; inhaltlich
sind beide Versionen äquivalent.

Mathematische Anfänger sehen in (7.1) bisweilen ein zufälliges Kauderwelsch
von Quantoren. Natürlich ist es das ganz und gar nicht; im Gegenteil ist es
die kanonische Übersetzung der ungenauen Idee

( a

” n) strebt gegen a“. Wer
spaßeshalber mit den Quantoren in (7.1) jonglieren möchte, kann z. B.

∃N ∈ N ∀ε > 0 ∀n ≥ N |an − a| ≤ ε
studieren (damit werden genau die schließlich konstanten Folgen beschrieben).

Das einfachste Beispiel einer konvergenten Folge (außer den konstanten Fol-
gen) ist gewiss (1 /n) mit dem Grenzwert 0; für N kann man in (7.1) jede
natürliche Zahl, die ≥ 1 /ε ist, wählen. (Wenn man tiefer in die Struktur der
reellen Zahlen einsteigt, stellt man fest, dass es das archimedische Axiom aus Ab-
schnitt 2.3 ist, das die Existenz solcher natürlicher Zahlen garantiert.) Übrigens
verlangt (7.1) nicht die kleinstmögliche Wahl von N . Betrachtet man etwa
an = 1 /( n 3 + n), so gilt wegen n 3 + n ≥ 2 n die Abschätzung |an| ≤ 1 / 2 n; also folgt (7.1) (mit a = 0) garantiert für jedes N ≥ 1 / 2 ε. Für ε = 10 − 3 z. B. funktioniert daher N = 500, wie unser einfaches Argument zeigt; das kleinstmögliche

N ist in diesem Beispiel aber N = 10.

Konvergiert die Folge ( an) gegen a, schreibt man an → a oder lim n→∞ an =
a; die letztere Schreibweise ist allerdings erst dadurch gerechtfertigt, dass der

Grenzwert eindeutig bestimmt ist. Den (wenn auch einfachen) Nachweis dieser

Tatsache sollte man nicht als Spitzfindigkeit abtun, im Gegenteil ist er für den
systematischen Aufbau der Analysis unumgänglich.

7.1

Folgen und Grenzwerte

167

Direkt aus der Definition kann man einige einfache Grenzwertsätze schließen,
z. B.: Aus an → a und bn → b folgt an + bn → a + b, kurz
lim ( an + bn) = lim an + lim bn.

n→∞
n→∞
n→∞

Eine analoge Formel gilt für Differenzen, Produkte und Quotienten; so erhält
man dann Beziehungen wie

3 n 3 + 2 n 2 − n + 7

3
lim

=
n→∞

2 n 3 − 2 n + 9

2

(der Trick, um die Grenzwertsätze anzuwenden, ist in diesem Beispiel, durch n 3
zu kürzen).

Tieferliegende Aussagen basieren letztendlich auf der Vollständigkeit von R.

Ein Problem bei der Anwendung der Grenzwertdefinition (7.1) ist, dass man
den Grenzwert der Folge bereits kennen (bzw. erraten haben) muss, um (7.1)

verifizieren zu können. Wenn man das Beispiel an = (1+1 /n) n ansieht, mag man
erahnen, dass diese Folge konvergiert, aber ein expliziter Grenzwert drängt sich
nicht auf. (Eigentlich erahnt man die Konvergenz nur, wenn man einige Werte

.

.

.

mit einem Computer berechnet: a 10 = 2 . 5937, a 100 = 2 . 7048, a 1000 = 2 . 7169,

.

.

a 10000 = 2 . 7181, a 100000 = 2 . 7182.) Hier hilft der Begriff der Cauchy-Folge
weiter.

Eine Folge ( an) reeller Zahlen heißt Cauchy-Folge, falls es zu jedem
ε > 0 einen Index N ∈ N gibt, so dass |an − am| ≤ ε für alle
m, n ≥ N gilt.

In Quantorenschreibweise:

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀m, n ≥ N |an − am| ≤ ε.

Damit wird ausgedrückt, dass die Folgenglieder einander immer näher kommen.

Es ist einfach zu zeigen, dass jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist.

Die Umkehrung ist jedoch tief in den Eigenschaften der Menge R verwurzelt

(vgl. Abschnitt 2.3):

R ist (metrisch) vollständig, d. h., jede Cauchy-Folge reeller Zahlen
konvergiert.

Diese Aussage gestattet es, Konvergenzaussagen zu treffen, ohne explizit einen

Grenzwert angeben zu müssen. Ein Beispiel ist das Kriterium, wonach eine
monotone und beschränkte Folge konvergiert. Da diese Voraussetzung auf die

Folge ((1 + 1 /n) n) zutrifft, ist sie konvergent; die Eulersche Zahl e ist definiert
als ihr Grenzwert:

1 n
e := lim

1 +

= 2 . 71828 . . . .

n→∞
n

Beschränkte, nicht monotone Folgen brauchen natürlich nicht zu konvergieren

(Beispiel: an = ( − 1) n). Es gilt jedoch der wichtige Satz von Bolzano-Weierstraß,
der ebenfalls auf der Vollständigkeit von R beruht:

168

7 Elementare Analysis

Jede beschr¨
ankte Folge reeller Zahlen hat eine konvergente Teilfolge.

Der Begriff der Konvergenz überträgt sich wörtlich auf Folgen komplexer Zah-
len, hier ist mit | . | der Betrag in C gemeint. Auch der Übergang von R zum
euklidischen Raum R d ist kanonisch; man muss nur den Betrag durch die eukli-
dische Norm ersetzen. Wenn man sich jetzt noch klarmacht, dass |an − a| bzw.

&an −a& den Abstand von an und a wiedergibt, erhält man sofort die Definition
der Konvergenz in einem metrischen Raum ( M, d)

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N d( an, a) ≤ ε
bzw. analog die der Cauchy-Eigenschaft. Während C und R d vollständig sind,
braucht das für einen abstrakten metrischen Raum nicht zu gelten; Näheres
dazu ist im Abschnitt 8.1 über metrische und normierte Räume zu finden.

7.2

Unendliche Reihen und Produkte

Der Begriff der unendlichen Reihe präzisiert die Idee, eine Summe mit unendlich

vielen Summanden zu bilden. Euler versuchte im 18. Jahrhundert,

∞ ( − 1) k
k=0

zu summieren; da die Partialsummen
n

( − 1) k abwechselnd 1 und 0 sind,
k=0
schloss er, dass die Wahrheit wohl in der Mitte liegt, und ordnete der Reihe den

Wert 1 / 2 zu, mit widersprüchlichen Konsequenzen. Mit dem heutigen präzisen

Grenzwertbegriff ist jedoch klar, dass diese Reihe schlicht nicht konvergiert.

Man nennt eine unendliche Reihe reeller Zahlen ak konvergent zum Grenzwert

A und schreibt

∞
a
n
a
k=0
k = A, wenn die Folge der Partialsummen sn =
k=0
k

gegen A konvergiert. Andernfalls nennt man

∞
a
k=0
k divergent.

Ein Beispiel einer konvergenten Reihe ist die geometrische Reihe

∞
qk für
k=0

|q| < 1; dies ist elementar festzustellen, und man erhält als Grenzwert 1 / 1 −q.

Auch

∞

1 /k 2 ist eine konvergente Reihe, ihr Grenzwert ist aber nicht elemen-
k=1
tar zu ermitteln; er lautet übrigens π 2 / 6. Das Standardbeispiel einer divergenten

Reihe ist die harmonische Reihe

∞

1 /k.

k=1

F

∞
ür die Konvergenz von
a
k=0
k ist die Bedingung ak → 0 notwendig; wie
aber die harmonische Reihe zeigt, ist dieses Kriterium nicht hinreichend. Es

zeigt jedoch sofort die Divergenz von

∞ ( − 1) k.

k=0

Mit wenig Übertreibung lässt sich sagen, dass die geometrische Reihe die ein-
zige Reihe ist, deren Grenzwert man ohne Mühen ermitteln kann. Andererseits
ist es häufig einfach festzustellen, dass eine Reihe überhaupt konvergiert, ohne
ihren Grenzwert zu bestimmen. Dazu gibt es verschiedene Konvergenzkriterien,
die alle auf der Vollständigkeit von R beruhen. Zunächst wäre das Majoranten-
kriterium zu nennen:

Ist

∞
b

∞
a
k=0 k konvergent und stets |ak| ≤ bk, so ist auch
k=0
k
konvergent.

7.2

Unendliche Reihen und Produkte

169

Die Idee, die gegebene Reihe mit einer geometrischen Reihe zu vergleichen, führt
zum Quotientenkriterium bzw. Wurzelkriterium:

Ist f¨
ur ein q < 1 bis auf endlich viele Ausnahmen stets |ak+1 /ak| ≤ q

bzw. stets k |a

∞
k | ≤ q, so ist
a
k=0
k konvergent.

Ein anderes Vergleichskriterium ist das Integralvergleichskriterium:

Ist f : [0 , ∞) → R monoton fallend und (uneigentlich Riemann-)

integrierbar, so konvergiert

∞
f ( k) .

k=0

Mit dem Integralvergleichskriterium erhält man sofort die Konvergenz von

∞ 1 /k 2, Quotienten- und Wurzelkriterium sind dafür zu schwach.

k=1

Diesen Kriterien ist gemein, dass sie bei erfolgreicher Anwendung nicht nur

die Konvergenz von

∞
a

∞

|a
k=0
k liefern, sondern sogar die von
k=0
k|; man

spricht dann von absoluter Konvergenz der Reihe

∞
a
k=0
k . Etwas anders liegt
der Fall beim Leibniz-Kriterium, das von den Oszillationen der Folgenglieder
lebt:

Ist ( ak) eine monoton fallende Nullfolge, so konvergiert die alternie-

rende Reihe a

∞

0 − a 1 + a 2 ± · · · =

( − 1) ka
k=0
k.

Dies ist zum Beispiel f

∞
ür die alternierende harmonische Reihe

( − 1) k+1 /k
k=1
der Fall; aber den Wert dieser Reihe zu ermitteln (er lautet log 2) steht auf
einem anderen Blatt.

Nicht absolut konvergente Reihen halten einige Überraschungen bereit. So

braucht

∞
a 3 nicht zu konvergieren, wenn

∞
a
k=0
k
k=0
k konvergiert, obwohl doch
bei gleichem Vorzeichen die a 3
viel kleiner“ als die a
k ”

k sind. Das mag man als

Marginalie auffassen; mathematisch schwerwiegender ist, dass für nicht absolut
konvergente Reihen das unendliche Kommutativgesetz“ nicht gilt; dies ist der

”

Inhalt der folgenden, auf Dirichlet und Riemann zurückgehenden Dichotomie.

Ist π: N → N eine Bijektion, so heißt die Reihe

∞
a
k=0
π( k) aus naheliegenden

Gr

∞

∞
ünden eine Umordnung der Reihe
a
a
k=0
k. Dann gilt: (1) Ist
k=0
k abso-
lut konvergent, so konvergiert jede Umordnung, und zwar zum gleichen Grenz-

wert. (2) Ist hingegen

∞
a
k=0
k eine konvergente, aber nicht absolut konvergente

Reihe, so existiert einerseits eine divergente Umordnung und andererseits zu je-

der Zahl B ∈ R eine konvergente Umordnung mit

∞
a
k=0
π( k) = B. Das unter

(1) beschriebene Phänomen wird auch unbedingte Konvergenz genannt.

Ein explizites Beispiel ist die Umordnung 1 − 1 − 1 + 1 − 1 − 1 + 1 − 1 − 1 ±

2

4

3

6

8

5

10

12

· · · der alternierenden harmonischen Reihe, die nicht gegen log 2 konvergiert,
sondern gegen 1 log 2.

2

Eng verwandt mit den unendlichen Reihen sind die unendlichen Produkte,

'

kurz geschrieben als

∞
a
k=0
k = a 0 · a 1 · a 2 · · · · . Man nennt ein solches Produkt

'

konvergent, wenn die Folge der Partialprodukte ( p
n
n) = (
a
k=0
k) konvergiert,
mit der Zusatzforderung, dass lim pn = 0, falls alle ak = 0. Der Grund hierfür ist,

170

7 Elementare Analysis
dass man Nullteilerfreiheit auch für unendliche Produkte garantieren möchte;

'

das Produkt

∞

1 /k wird also nicht als konvergent angesehen.

k=1

Unendliche Produkte werden insbesondere in der Funktionentheorie studiert,
wo man z. B. die Produktdarstellung

∞

sin( πx) = πx

1 − x 2
k 2
k=1
der Sinusfunktion beweist.

7.3

Stetige Funktionen

Kleine Ursache – kleine Wirkung! Das ist die Grundidee der Stetigkeit. Wie
üblich in der Mathematik gewinnt dieser Begriff seine Kraft erst nach einer

Übersetzung in die präzise mathematische Sprache. Zwei äquivalente Varianten
stehen zur Verfügung, diese Idee auszudrücken, einmal die Folgenstetigkeit und
einmal die ε- δ-Definition der Stetigkeit:

(a) Eine Funktion f : M → R auf einer Teilmenge M ⊆ R ist stetig
bei x 0 ∈ M , wenn aus xn ∈ M , xn → x 0 stets f ( xn) → f ( x 0) folgt.

(b) Eine Funktion f : M → R auf einer Teilmenge M ⊆ R ist stetig
bei x 0 ∈ M , wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass aus
x ∈ M , |x − x 0 | ≤ δ stets |f ( x) − f ( x 0) | ≤ ε folgt.

F¨
ur diesen Sachverhalt schreibt man auch lim f ( x) = f ( x 0) .

x→x 0

Wieder macht es nichts aus, ob man

≤“ oder < “ schreibt. Die Implikati-

”

”

on (b) ⇒ (a) ist recht einfach; für (a) ⇒ (b) argumentiert man mit einem

Widerspruchsbeweis. Man beachte, dass (a) bzw. (b) in der Tat die intuitive

Vorstellung wenn x ≈ x

”

0, dann f ( x) ≈ f ( x 0)“ wiedergeben.

Stetigkeit ist ein lokaler Begriff: Um die Stetigkeit an der Stelle x 0 zu un-
tersuchen, muss man die Funktion nur in einer Umgebung von x 0 kennen. Ein
globaler Begriff entsteht, wenn man Stetigkeit an jeder Stelle von M fordert;
dann nennt man f stetig auf M .

Alle klassischen Funktionen der Analysis (Polynome, trigonometrische Funk-
tionen, Exponentialfunktion, Logarithmus etc.) sowie ihre Summen, Produkte,

Kompositionen etc. sind stetig. Unstetige Funktionen muss man also konstru-

”

ieren“. Außer einfachen Sprüngen wie bei f ( x) = 0 für x < 0, f ( x) = 1 für
x ≥ 0 können auch raffiniertere Unstetigkeiten wie bei f ( x) = sin 1 /x für x = 0,
f (0) = 0 auftreten.

7.3

Stetige Funktionen

171
f(x)

1
x

−1

1

−1

Hätte man übrigens vergessen, f (0) = 0 separat zu definieren, und also f ( x) =
sin 1 /x auf R \ { 0 } betrachtet, wäre die Frage der Stetigkeit bei 0 sinnlos (genauso
sinnlos wie die Frage, ob f ( x) = 1 /x bei 0 stetig ist); denn eine Funktion kann
nur dort stetig sein, wo sie definiert ist! Wenn sie an einem nicht isolierten Punkt
nicht definiert ist, kann man allerdings fragen, ob sie dort stetig ergänzbar ist.

(Unsere Funktion ist es nicht.)

Aus den entsprechenden Grenzwertsätzen für Folgen ergibt sich, dass Sum-
men, Produkte, Kompositionen etc. stetiger Funktionen wieder stetig sind; ins-
besondere bildet die Menge aller stetigen Funktionen von M nach R einen Vek-
torraum, der mit C( M ) bezeichnet wird.

Für stetige Funktionen auf Intervallen sind zwei Sätze besonders bedeutsam:

(Zwischenwertsatz)

Eine stetige Funktion auf einem Intervall nimmt mit zwei Werten

A und B auch s¨
amtliche Werte zwischen A und B an.

(Satz vom Maximum)

Eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall [ a, b] ist be-
schr¨
ankt und nimmt ihr Supremum an: Es existiert eine Stelle x 0
mit f ( x 0) = sup
f ( x) . Analog wird das Infimum angenommen.

a≤x≤b

So einleuchtend diese Sätze auch erscheinen mögen, ihre Beweise sind doch
nicht ganz auf der Hand liegend; sie benötigen nämlich die Vollständigkeit von

R bzw. daraus abgeleitete Aussagen. [Zum Beweis des Satzes vom Maximum
wählen wir eine Folge ( xn) in [ a, b] mit f ( xn) → K := sup f ( x), wobei a priori
x

K = ∞ nicht ausgeschlossen ist. Nun kann man nach dem Satz von Bolzano-

Weierstraß zu einer konvergenten Teilfolge xn → x
k

0 übergehen, und man zeigt
f ( x 0) = K und damit en passant K < ∞.] Dass die Aussagen nicht ganz
selbstverständlich sind, erkennt man auch daran, dass sie falsch werden, wenn
man sie mit den Augen eines Siebtklässlers betrachtet, der nur rationale Zahlen
kennt: Z. B. nimmt f ( x) = x 2 die Werte f (0) = 0 und f (2) = 4 an, in Q wird

√
aber der Wert 2 nicht angenommen, da

2 irrational ist.

Mutatis mutandis überträgt sich die Definiton der Stetigkeit auf Funktionen
auf dem R d bzw. auf Abbildungen zwischen metrischen Räumen (siehe Ab-
schnitt 8.1).

172

7 Elementare Analysis

Eine Verschärfung des Stetigkeitsbegriffs ist die gleichmäßige Stetigkeit. Sei f :

M → R eine stetige Funktion. Schreibt man die ε- δ-Bedingung mit Quantoren,
so bedeutet das

∀x 0 ∈ M ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ M |x − x 0 | ≤ δ ⇒ |f( x) − f( x 0) | ≤ ε.

Es ist also damit zu rechnen, dass δ nicht nur von ε abhängt, sondern auch von
der betrachteten Stelle x 0. Wenn man δ jedoch unabhängig von x 0 wählen kann,
nennt man die Funktion gleichm¨
aßig stetig:

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, x 0 ∈ M |x − x 0 | ≤ δ ⇒ |f( x) − f( x 0) | ≤ ε.

Es ist zu beachten, dass dieser Begriff globaler Natur ist.

Eine wichtige Klasse von gleichmäßig stetigen Funktionen sind die Lipschitz-
stetigen Funktionen, die definitionsgemäß eine Abschätzung der Form

|f( x) − f( x) | ≤ L|x − x|

√
auf ihrem Definitionsbereich erfüllen. Die Wurzelfunktion x
→
x auf [0 , ∞) ist
gleichmäßig stetig, ohne Lipschitz-stetig zu sein. Hingegen ist die durch f ( x) =

1 /x definierte Funktion auf (0 , ∞) nicht gleichmäßig stetig.

Eine in der höheren Analysis wichtige Tatsache ist, dass stetige Funktionen
auf kompakten Mengen automatisch gleichmäßig stetig sind. In der elementa-
ren Analysis macht man nur an einer Stelle Gebrauch davon: beim Beweis der

Riemann-Integrierbarkeit stetiger Funktionen.

7.4

Exponentialfunktion, Logarithmus und trigonometrische

Funktionen

Diese Funktionen zählen seit den Anfängen der Differential- und Integralrech-
nung zu den wichtigsten Funktionen der Mathematik. Vom Standpunkt der
heutigen Analysis ist jedoch zuerst die Frage zu klären, wie diese Funktionen
überhaupt definiert sind und wie man ihre grundlegenden Eigenschaften beweist.

Der heute übliche Zugang ist vollkommen ahistorisch, und das Pferd wird da-
bei gewissermaßen von hinten aufgezäumt. Betrachten wir naiv die e-Funktion“

”

x
→ ex, wobei e = lim n(1 + 1 /n) n. Naiv ist an dieser Betrachtung, dass nicht

√

√
ganz klar ist, was z. B. e 2 (in Worten: e = 2 . 7182 . . . hoch

2 = 1 . 4142 . . . )

überhaupt ist. Setzt man sich über diesen (nicht ganz unerheblichen) Einwand
hinweg und akzeptiert man die Überlegungen der Mathematiker des 17. und

18. Jahrhunderts, so ist die Ableitung der e-Funktion wieder die e-Funktion
und deshalb die zweite, dritte etc. Ableitung auch. Daraus ergibt sich (vgl. Ab-
schnitt 7.9) eine Taylorentwicklung

∞
xk
ex“ =

.

”

k!

k=0

7.4

Exponentialfunktion, Logarithmus und trigonometrische Funktionen

173

Die rechte Seite dieser Gleichung stellt nun für die moderne Analysis kein Pro-
blem dar, da man mit dem Quotientenkriterium zeigen kann, dass diese Reihe
für jedes x ∈ R konvergiert. Heutzutage definiert man also die Exponentialfunk-
tion exp: R → R durch

∞
xk
exp( x) =

.

(7.2)

k!

k=0

Man beweist dann die an die Potenzgesetze erinnernde Funktionalgleichung
exp( x + y) = exp( x) exp( y) sowie exp(1) = e. Daraus ergibt sich für rationale

√
x = p/q, dass wirklich exp( x) = ex = q ep.

Ferner beweist man, dass exp die reelle Achse streng monoton und stetig auf

(0 , ∞) abbildet; die Umkehrfunktion ist der (natürliche) Logarithmus, der in der

Mathematik meistens mit log und von Physikern und Ingenieuren gern mit ln
abgekürzt wird. Jetzt ist es nur noch ein kleiner Schritt zur allgemeinen Potenz
ax für a > 0, die durch ax := exp( x log a) definiert wird.

Die Winkelfunktionen Sinus und Cosinus wurden ursprünglich durch Sei-
tenverhältnisse am rechtwinkligen Dreieck erklärt. Misst man den Winkel im

Dreieck richtig (nämlich im Bogenmaß) und vertraut man den Mathematikern
früherer Jahrhunderte, erhält man differenzierbare Funktionen, die eine gewisse

Taylorreihenentwicklung gestatten. Euler hat den Zusammenhang dieser Rei-
hen mit der Exponentialreihe erkannt, wobei er die Chuzpe hatte, in (7.2) auch
komplexe Zahlen zuzulassen.

Moderne Darstellungen gehen wieder rückwärts vor. Zuerst definiert man für
komplexe Zahlen z die Exponentialreihe

∞
zk
exp( z) =

;
k!

k=0
wieder ist das eine auf ganz C konvergente Reihe. Dann betrachtet man speziell
rein imaginäre Zahlen der Form z = ix mit x ∈ R und setzt
cos x := Re exp( ix) ,
sin x := Im exp( ix) .

Dieser Definition ist nun die berühmte Eulersche Formel
cos x + i sin x = eix
in die Wiege gelegt, durch die die enge Verwandtschaft der trigonometrischen

Funktionen mit der Exponentialfunktion offensichtlich wird. Alle Eigenschaf-
ten von cos und sin (Stetigkeit, Additionstheoreme, Periodizität etc.) können
nun durch Rückgriff auf die Exponentialfunktion und ihre Funktionalgleichung
bewiesen werden.

In diesem Zusammenhang erscheint π als das Doppelte der kleinsten positi-
ven Nullstelle der Cosinusfunktion, deren Existenz mit dem Zwischenwertsatz
gezeigt wird. Als Periode von Sinus und Cosinus ergibt sich dann 2 π, d. h.

sin( x + 2 π) = sin x, und weiter die Formel
eiπ + 1 = 0 ,

(7.3)

174

7 Elementare Analysis
die die fünf fundamentalen mathematischen Größen 0, 1, e, π und i miteinander
verknüpft. A posteriori zeigt man auch, dass der Umfang des Einheitskreises 2 π
ist, in Übereinstimmung mit der Schulmathematik.

Die Formel (7.3) wurde im Jahr 1990 übrigens von den Lesern der Zeit-
schrift The Mathematical Intelligencer zur schönsten mathematischen Aussa-

”

ge“ gewählt. Zur Auswahl standen 24 mathematische Sätze; Platz 2 belegte die

Eulersche Polyederformel (Abschnitt 4.12) und Platz 3 Euklids Satz, dass es
unendlich viele Primzahlen gibt (Abschnitt 3.2).

7.5

Differenzierbare Funktionen

Die Ableitung einer Funktion gibt ihre Änderungsrate an. Kennt man für eine

Funktion f den Wert f ( x), weiß man, wie groß f bei x ist; kennt man f ( x), weiß
man, wie sich f in der Nähe von x ändert. Geometrisch ist f ( x) die Tangenten-
steigung an den Graphen von f bei x, physikalisch ist f ( x) die Geschwindigkeit
im Zeitpunkt x, wenn f das Weg-Zeit-Gesetz einer Bewegung beschreibt. Die-
se geometrische bzw. physikalische Motivation waren es, die die Urväter der

Differentialrechnung, Leibniz bzw. Newton, leiteten.

Die moderne rigorose Definition der Ableitung beruht auf dem Grenzwertbe-
griff. Man nennt eine Funktion f : I → R auf einem Intervall differenzierbar bei
x 0 ∈ I mit Ableitung f ( x 0), wenn
f ( x
lim

0 + h) − f ( x 0) =: f( x 0)

(7.4)

h→ 0
h
existiert. Wie bei der Stetigkeit handelt es sich hierbei um einen lokalen Begriff:

Um die Differenzierbarkeit bei x 0 zu entscheiden, muss man f nur in einer

Umgebung von x 0 kennen. Ist f an jeder Stelle differenzierbar, nennt man f
eine differenzierbare Funktion.

Eine Umformulierung von (7.4) ist erhellend. Setzt man für eine bei x 0 diffe-
renzierbare Funktion f als Abweichung zur Linearisierung ϕ( h) = f ( x 0 + h) −
f ( x 0) − hf ( x 0), so gilt definitionsgemäß für alle h
f ( x 0 + h) = f ( x 0) + hf ( x 0) + ϕ( h);

(7.5)

die Grenzwertaussage (7.4) übersetzt sich nun zu
ϕ( h)

lim

= 0

(7.6)

h→ 0
h
oder in Anlehnung an die groß-O“-Notation aus Abschnitt 1.11 kurz ϕ( h) =

”

o( h) für h → 0. In der Nähe“ von x
kleine“ |h|, lässt sich f ( x

”

0, also für ”

0 + h)

durch eine affin-lineare Funktion h
→ f ( x 0) + hf ( x 0) approximieren, wobei der

Fehler ϕ( h) gemäß (7.6) von kleinerer als linearer Ordnung ist. Umgekehrt ist
eine Funktion mit
f ( x 0 + h) = f ( x 0) + hl + ϕ( h) mit ϕ( h) = o( h)

(7.7)

7.5

Differenzierbare Funktionen

175
für eine reelle Zahl l differenzierbar bei x 0 mit Ableitung f( x 0) = l. Auf diese

Weise erscheinen die differenzierbaren Funktionen als die einfachsten Funktio-
nen nach den affin-linearen Funktionen der Form x
→ b+ lx, denn sie sind durch
solche Funktionen lokal gut approximierbar. Diese Sichtweise wird es insbeson-
dere erlauben, Differenzierbarkeit für Funktionen auf dem R d zu erklären.

Die bekannten Regeln über die Ableitung von Summen, Produkten und Quo-
tienten differenzierbarer Funktionen

f
f g − f g

( f + g) = f + g,

( f g) = f g + f g,

=
g
g 2
beweist man ohne große Mühe; insbesondere kann man in der Sprache der linea-
ren Algebra festhalten, dass die differenzierbaren Funktionen einen Vektorraum
bilden, auf dem die Abbildungen f
→ f bzw. f
→ f( x 0) linear sind. Für die

Komposition f ◦ g gilt die Kettenregel ( f ◦ g) = ( f ◦ g) · g, die man am besten
mittels (7.5) und (7.6) zeigt. (Das Problem bei (7.4) liegt darin, dass man im
kanonischen Ansatz den Differenzenquotienten von f ◦ g mit g( x 0 + h) − g( x 0)

erweitert, was aber 0 sein kann.)

Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion braucht nicht stetig zu sein,
sie kann sogar auf kompakten Intervallen unbeschränkt sein (Beispiel: f ( x) =

|x| 3 / 2 sin 1 /x für x = 0 und f(0) = 0). Allerdings erfüllt jede Ableitung die

Aussage des Zwischenwertsatzes ( Satz von Darboux ), was zeigt, dass die Un-
stetigkeiten keine einfachen Sprünge sein können. Außerdem liefert der Satz
von Baire aus Abschnitt 8.12, dass f an den meisten“ Stellen stetig ist.

”

Der zentrale Satz über differenzierbare Funktionen ist der Mittelwertsatz :

Ist f : [ a, b] → R stetig und auf ( a, b) differenzierbar, so existiert eine

Stelle ξ ∈ ( a, b) mit
f ( b) − f ( a)

f ( ξ) =

.

(7.8)

b − a
f(x)

f(b) − f(a)

b − a
x
a
ξ
b

Dieser Satz ist anschaulich und aus der Alltagserfahrung absolut plausibel.

Stellt man sich etwa unter f ( x) den Weg vor, den ein Fahrzeug bis zum Zeit-
punkt x zurückgelegt hat, so gibt die rechte Seite von (7.8) die Durchschnittsge-
schwindigkeit zwischen den Zeitpunkten a und b wieder, und der Mittelwertsatz

176

7 Elementare Analysis
macht die Aussage, dass das Fahrzeug in mindestens einem Moment wirklich
diese Geschwindigkeit hatte, was unmittelbar einleuchtet. Das ist freilich kein
rigoroser Beweis. Dieser führt den Mittelwertsatz auf den als Satz von Rolle
bekannten Spezialfall f ( a) = f ( b) zurück, und den Satz von Rolle beweist man
mit dem Satz vom Maximum und der Definition der Differenzierbarkeit: Hat f
bei ξ ∈ ( a, b) eine Maximal- oder Minimalstelle, so zeigt (7.4) f( ξ) = 0.

Als Konsequenz von (7.8) kann man zahlreiche Ungleichungen über klassische

Funktionen beweisen. Ist nämlich f beschränkt, etwa |f ( x) | ≤ K für alle x, so
erhält man aus (7.8) die Ungleichung

|f( x 1) − f( x 2) | ≤ K|x 1 − x 2 |,

(7.9)

die z. B. | sin x 1 − sin x 2 | ≤ |x 1 − x 2 | als Spezialfall enthält. Insbesondere ist f

Lipschitz-stetig.

7.6

Das Riemannsche Integral

Der Ausgangspunkt bei der Entwicklung der Integralrechnung war das Pro-
blem, den Flächeninhalt krummlinig begrenzter Figuren zu bestimmen, z. B.

den Flächeninhalt unter einer Kurve“.

”

f(x)

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0
x

0

1

2

3

4

5

Man betrachte eine beschränkte Funktion f auf einem kompakten Inter-
vall [ a, b]. Wenn man sich zum Ziel setzt, den (einstweilen naiv aufgefass-
ten) Flächeninhalt unter der Kurve“ zu studieren, liegt es nahe, diesen durch

”

Rechtecksinhalte anzunähern, denn Rechtecke sind die einzigen Figuren, deren

Flächeninhalt a priori definiert ist. Zur rigorosen Definition des Integrals geht
man so vor. Sei durch a = x 0 < x 1 < . . . < xn = b eine Zerlegung Z des Inter-
valls in n Teilintervalle gegeben. Dazu assoziieren wir Unter- und Obersummen
gemäß
n

n

S( f, Z) =
mk( xk − xk− 1) ,

S( f, Z) =

Mk( xk − xk− 1) ,
k=1
k=1
wobei mk = inf {f ( x) | xk− 1 ≤ x ≤ xk} und Mk = sup {f( x) | xk− 1 ≤ x ≤ xk}.

(Es ist −∞ < mk und Mk < ∞, da f beschränkt ist.) Unter- und Obersummen
kann man leicht als Summen von Rechtecksflächen visualisieren:

7.6

Das Riemannsche Integral

177
f(x)

f(x)

10

10

8

8

6

6

4

4

2

2

0
x

0
x

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

Sei Z die Menge aller Zerlegungen von [ a, b]. Da stets S( f, Z) ≤ S( f, Z) gilt,
erhält man

S( f ) := sup S( f, Z) ≤ inf S( f, Z) =: S( f ) .

Z∈Z

Z∈Z

Die Funktion f heißt Riemann-integrierbar, wenn hier Gleichheit gilt, und man
setzt dann
b
f ( x) dx = S( f ) = S( f ) .

a

Die dieser Definition zugrundeliegende Intuition ist, dass man immer feinere“

”

Zerlegungen betrachtet, für die die durch S( f, Z) und S( f, Z) gegebenen Recht-
eckssummen gegen einen gemeinsamen Wert streben sollten, den man dann für
f ≥ 0 als Flächeninhalt unter der Kurve“ ansehen kann.

”

Obwohl die obige Skizze suggeriert, dass dieses Vorgehen wirklich funktioniert,
sind dem doch zumindest bei pathologischen Funktionen Grenzen gesetzt. Für
die Dirichletsche Sprungfunktion, die rationale Zahlen auf 0 und irrationale Zah-
len auf 1 abbildet, ist nämlich S( f ) = 0 und S( f ) = b−a; also ist diese Funktion
nicht Riemann-integrierbar. Andererseits kann man sehr wohl die Integrierbar-
keit aller stetigen Funktionen beweisen; dazu verwendet man deren gleichmäßige

Stetigkeit. Ein Satz der fortgeschrittenen Integrationstheorie besagt, dass man
mit dem Riemannschen Ansatz nicht viel weiter gehen kann: Genau dann ist ei-
ne beschränkte Funktion auf [ a, b] Riemann-integrierbar, wenn die Menge ihrer

Unstetigkeitsstellen eine Nullmenge (siehe Abschnitt 8.6), also klein“ ist.

”

In der auf Leibniz zurückgehenden Notation des Integrals sollte man in dem

Symbol
ein langgestrecktes S (für Summe) sehen, und das dx entsteht bei

Leibniz aus Δ x = xk − xk− 1 durch einen mysteriösen Grenzübergang. Vom
heutigen Standpunkt ist in der elementaren Analysis dx ein Symbol, das zwar
eigentlich vollkommen überflüssig, in vielen Anwendungen aber recht praktisch

ist (z. B. hilft es,

1 xt 2 dx von 1 xt 2 dt zu unterscheiden) und aus historischen

0

0

Gründen mitgeschleppt wird. Erst höheren Semestern ist es vorbehalten, in dx
eine Differentialform zu erkennen; vgl. auch Abschnitt 2.10.

Die Menge R[ a, b] aller auf [ a, b] Riemann-integrierbaren Funktionen bildet
einen Vektorraum, und Integration ist eine lineare Operation:

b
b
b

( αf + βg)( x) dx = α
f ( x) dx + β
g( x) dx.

a
a
a

178

7 Elementare Analysis

Der Nachweis dafür ist leider etwas mühselig, und noch mühseliger wäre es, wenn
man mit Hilfe der Definition ein Integral konkret ausrechnen müsste. Effektive

Techniken dafür basieren auf dem Hauptsatz der Differential- und Integralrech-
nung, der im nächsten Abschnitt besprochen wird.

Bislang war immer die stillschweigende Voraussetzung der Beschränktheit der

Funktion und der Kompaktheit des Definitionsintervalls gemacht worden. Diese
kann man jedoch bisweilen aufgeben, was zu den sogenannten uneigentlichen

Integralen führt. Pars pro toto betrachten wir eine Funktion f : [ a, ∞) → R.

b

Falls f auf [ a, b] stets integrierbar ist und lim b→∞
f ( x) dx existiert, nennt
a
man f uneigentlich Riemann-integrierbar und bezeichnet diesen Grenzwert mit

∞

∞

∞

√
f ( x) dx. Zum Beispiel ist

1 /x 2 dx = 1 und
e−x 2 dx =
π/ 2; während
a

1

0
das erste Beispiel trivial ist, sobald man 1 /x 2 integrieren kann, ist der Beweis

∞

√
des zweiten trickreich. Die Aussage
e−x 2 dx =
π/ 2 ist fundamental für die

0

Wahrscheinlichkeitsrechnung (Dichte der Normalverteilung).

7.7

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Dieser Satz stellt eine Verbindung von Differentiation und Integration her und
trägt den Namen Hauptsatz“ mit vollem Recht. Um ihn zu auszusprechen, ist

”

der Begriff einer Stammfunktion praktisch: Eine Funktion F heißt Stammfunk-
tion von f , wenn F = f gilt.

Nun können wir den Hauptsatz bequem formulieren.

Sei f : [ a, b] → R eine Riemann-integrierbare Funktion. Wir setzen

F
x

0( x) =
f ( t) dt f¨
ur x ∈ [ a, b] . Dann gilt:

a

(a) Wenn f bei x 0 stetig ist, ist F 0 bei x 0 differenzierbar mit

F 0( x 0) = f( x 0) . Insbesondere ist F 0 eine Stammfunktion von f,
wenn f stetig ist.

(b) Ist F irgendeine Stammfunktion der stetigen Funktion f , so gilt
b
f ( t) dt = F ( b) − F ( a) .

a

Diese Aussage stellt einen auf den ersten Blick verblüffenden Zusammenhang
zwischen zwei a priori unzusammenhängenden mathematischen Konzepten her,
denn die Integration stellt sich hier als Umkehrung der Differentiation heraus.

So überraschend und fundamental der Satz auch ist, ist sein Beweis doch nicht
einmal sehr schwierig, da man in (a) ziemlich unmittelbar die Definition (7.4)

verifizieren kann. Für (b) braucht man die wichtige Beobachtung, dass sich die

Stammfunktionen F und F 0 nur durch eine Konstante unterscheiden, was man
aus dem Mittelwertsatz herleitet (speziell aus (7.6) mit M = 0). An dieser Stelle
sei explizit auf den Unterschied der folgenden Aussagen hingewiesen: (1) Wenn

7.7

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

179

F eine Stammfunktion von f und F − G = const . ist, ist auch G eine Stamm-
funktion von f . (2) Wenn F und G Stammfunktionen von f auf einem Intervall
sind, ist F −G = const . Hierbei ist (1) trivial, die Umkehrung (2), die wir gerade
verwandt haben, ist es aber nicht.

Eine Variante ist noch:

(c) Ist g: [ a, b] → R eine differenzierbare Funktion mit Riemann-
integrierbarer Ableitung, so gilt
b
g( t) dt = g( b) − g( a) .

a

Gerade diese Variante ist intuitiv leicht einzusehen, wenn man sie diskreti-
siert, was dem Hauptsatz etwas von der Aura des Überraschenden nimmt. Jeder

Sparer kennt sie nämlich: In einem Sparbuch gibt es doch eine Spalte für den

Kontostand zum Zeitpunkt x (das entspricht g( x)) und eine für die Einzahlungen
bzw. Abhebungen (das entspricht der Änderungsrate von g und deshalb g( x)).

Die Summe aller Einzahlungen bzw. Abhebungen zwischen zwei Zeitpunkten a

und b (das entspricht
b g( t) dt) ist aber nichts anderes als g( b) − g( a).

a

Die rechentechnische Ausbeute des Hauptsatzes ist, dass man Integrale kon-
kret bestimmen kann, wenn man eine Stammfunktion des Integranden kennt,
und im Zweifelsfall kann man versuchen, eine zu erraten. So erhält man sofort

2 1 /x 2 dx = 1 / 2, da x → − 1 /x eine Stammfunktion von x → 1 /x 2 auf [1 , 2] ist.

1

Das Raten kann man systematisieren, indem man einen Grundkatalog von Ab-
leitungsbeispielen und die Differentiationsregeln rückwärts liest. So wird aus der

Produktregel die Regel von der partiellen Integration

b
b
f ( x) g( x) dx = ( f ( b) g( b) − f ( a) g( a)) −
f ( x) g( x) dx
a
a
und aus der Kettenregel die Substitutionsregel

b
g( b)

f ( g( x)) g( x) dx =
f ( u) du.

a
g( a)

Bei der Substitutionsregel ist die Leibnizsche Differentialsymbolik eine willkom-
mene Eselsbrücke. Man substituiert nämlich u = g( x) und erhält in der Leib-
nizschen Schreibweise du/dx = g( x) und daher (sic!) g( x) dx = du.

So kann man komplizierte Integrale wie
b log x dx oder b 1 dx explizit
a
a cos x

berechnen, aber bei
b e−x 2 dx versagen alle Tricks. In der Tat kann man bewei-
a
sen, dass x → e−x 2 keine explizite“ Stammfunktion besitzt, womit man eine

”

Funktion meint, die man durch Summe, Produkt, Komposition etc. aus den
klassischen Funktionen (Polynome, exp, log, sin, cos etc.) kombinieren“ kann

”

(was natürlich zu präzisieren wäre). Computeralgebraprogramme wie Maple
oder Mathematica können die raffiniertesten Stammfunktionen in Sekunden-
schnelle bestimmen – oder entscheiden, dass eine explizite Lösung unmöglich
ist.

180

7 Elementare Analysis

Da das Integrieren konkret auf die Bestimmung von Stammfunktionen hin-

ausläuft, hat sich die Bezeichnung
f ( x) dx, das sogenannte unbestimmte Inte-
gral, für eine Stammfunktion von f eingebürgert. Allerdings ist diese Notation

mit Vorsicht zu genießen:

f ( x) dx = F ( x) sollte man wirklich nur als prak-
tische Schreibweise für F = f lesen, nicht aber als mathematische Gleichung;

sonst würde man von

2 x dx = x 2 und

2 x dx = x 2 + 1 schnell zu 0 = 1
gelangen. . .

7.8

Vertauschung von Grenzprozessen

Wie das Beispiel

1 = lim
lim (1 − 1 /m) n = lim
lim (1 − 1 /m) n = 0
n→∞ m→∞
m→∞ n→∞
zeigt, kommt es im Allgemeinen bei der Ausführung von mehreren Grenzpro-
zessen auf deren Reihenfolge an. Ein anderes Beispiel ist

1

1

1

= lim
nxn(1 − xn) dx =
lim nxn(1 − xn) dx = 0 .

2
n→∞
n→∞

0

0

Auch hier geht es um die Vertauschung von Grenzprozessen, denn hinter dem

Integral verbirgt sich ja der Grenzwert von Ober- und Untersummen.

Es ist eine entscheidende Idee der Analysis,
komplizierte“ Funktionen als

”

Grenzwerte von
einfachen“ Funktionen darzustellen; konkrete Beispiele wer-

”

den wir mit den Taylor- und Fourierreihen der nächsten Abschnitte besprechen.

Daher ist es wichtig zu wissen, welche Eigenschaften sich unter welchen Bedin-
gungen auf die Grenzfunktion einer konvergenten Funktionenfolge oder -reihe
übertragen. Jedenfalls überträgt sich die Stetigkeit nicht automatisch, denn setzt
man fn( x) = xn, so konvergiert die Folge ( fn( x)) n für jedes x ∈ [0 , 1], aber die

Grenzfunktion, das ist f : [0 , 1] → R mit f ( x) = 0 für x < 1 und f (1) = 1, ist
nicht stetig, obwohl alle fn stetig sind. (Das ist die Essenz des ersten Beispiels.)

Ebenso zeigt unser zweites Beispiel, dass man den Limes im Allgemeinen nicht
unters Integral“ ziehen darf. Dass man ähnliche Probleme beim Differenzieren

”

hat, wird durch das Beispiel der differenzierbaren Funktionen fn: [ − 1 , 1] → R

mit fn( x) =
x 2 + 1 /n belegt, wo wegen fn( x) → |x| die Grenzfunktion nicht
differenzierbar ist.

Positive Resultate in dieser Richtung kann man nur unter strengeren Annah-
men beweisen. Der entscheidende Begriff in diesem Zusammenhang ist der der
gleichmäßigen Konvergenz. Seien fn, f : X → R Funktionen auf einer Menge X.

Schreibt man explizit aus, was die Aussage f

” n( x) → f ( x) für alle x ∈ X“ (also
die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge) bedeutet, erhält man

∀x ∈ X ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N |fn( x) − f( x) | ≤ ε.

7.8

Vertauschung von Grenzprozessen

181

Es ist daher damit zu rechnen, dass N nicht nur von ε, sondern auch von x
abhängt. Ist dies nicht der Fall, nennt man die Funktionenfolge gleichm¨
aßig
konvergent :

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N ∀x ∈ X |fn( x) − f( x) | ≤ ε.

Man kann sich diese Bedingung so vorstellen, dass man um den Graphen von
f einen Schlauch der Dicke 2 ε legt, und die Definition der gleichmäßigen Kon-
vergenz verlangt, dass von einem N ab die Graphen aller fn innerhalb dieses

Schlauchs verlaufen.

f(x)

ε
ε
x

Wer mit dem Begriff der Metrik vertraut ist, kann die obige Definition zu-
mindest für beschränkte Funktionen auch wie folgt wiedergeben. Für zwei be-
schränkte Funktionen auf X setzen wir d( f, g) = sup

|f( x) − g( x) |. Dann
x∈X
konvergiert ( fn) genau dann gleichmäßig gegen f , wenn

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N d( fn, f) ≤ ε
gilt, wenn also ( fn) gegen f bzgl. der Metrik d im Raum aller beschränkten

Funktionen konvergiert.

Folgende Sätze können nun über die Vertauschung von Grenzprozessen gezeigt
werden:

Seien fn, f : [ a, b] → R mit fn( x) → f ( x) für alle x.

(a) Sind alle fn stetig und ist die Konvergenz gleichm¨
aßig, so ist
auch f stetig.

(b) Sind alle fn Riemann-integrierbar und ist die Konvergenz gleich-
m¨
aßig, so ist auch f Riemann-integrierbar, und es gilt

b
b
lim
fn( x) dx =
f ( x) dx.

n→∞
a
a

(c) Sind alle fn differenzierbar und konvergiert die Folge der Ablei-
tungen ( f n) gleichm¨
aßig gegen eine Grenzfunktion g, so ist f diffe-
renzierbar, und es gilt f = g, d. h. (lim n fn) = lim n f n.

Man beachte, dass in (c) die gleichmäßige Konvergenz der Ableitungen voraus-
gesetzt wird; wenn ( f n) konvergiert – so die Aussage von (c) stark verkürzt –,
dann gegen das Richtige.

182

7 Elementare Analysis

Der Beweis von (a) benutzt ein sogenanntes ε/ 3-Argument. Da Varianten die-
ses Arguments auch an anderen Stellen benutzt werden, sei es hier kurz skizziert.

Um die Stetigkeit von f bei x 0 zu zeigen, muss man |f ( x) − f ( x 0) | ≤ ε für alle
x in der Nähe“ von x

”

0 beweisen. Dazu schiebt man fn( x) bzw. fn( x 0) in diese

Differenz ein und benutzt die Dreiecksungleichung:

|f( x) − f( x 0) | ≤ |f( x) − fn( x) | + |fn( x) − fn( x 0) | + |fn( x 0) − f( x 0) |.

Ist nun n groß genug, so sind der erste sowie der letzte Term wegen der
gleichmäßigen Konvergenz jeweils durch ε/ 3 abzuschätzen, egal, was x und x 0
sind. Für solch ein n, das nun fixiert wird, benutzt man nun die Stetigkeit von
fn, um auch den mittleren Term durch ε/ 3 abzuschätzen, wenn nur |x − x 0 | ≤ δ
ist ( δ = δ( ε, x 0 , n) passend). Insgesamt folgt

|f( x) − f( x 0) | ≤ ε/ 3 + ε/ 3 + ε/ 3 = ε
für |x − x 0 | ≤ δ und damit die Stetigkeit von f bei x 0.

Wir erwähnen noch den Weierstraßschen Approximationssatz, wonach jede
stetige Funktion auf [ a, b] ein gleichmäßiger Grenzwert von Polynomfunktionen
ist.

7.9

Taylorentwicklung und Potenzreihen

Die Quintessenz der Differenzierbarkeit ist die gute lokale Approximierbarkeit
durch affin-lineare Funktionen. Indem man Polynome höheren Grades heran-
zieht, sollte es möglich sein, die Approximationsgüte zu verbessern.

Sei f eine hinreichend oft differenzierbare Funktion auf einem Intervall I. Wir
suchen ein Polynom Tn, das an der Stelle a ∈ I in seinen ersten n Ableitungen
mit denen von f übereinstimmt. Es zeigt sich, dass Tn die Form
n
f( k)( a)

Tn( x) =

( x − a) k
k!

k=0
hat; Tn wird das n-te Taylorpolynom genannt. Schreibt man f ( x) = Tn( x) +

Rn+1( x), so macht der fundamentale Satz von Taylor folgende Aussage über
das Restglied Rn+1.

Ist f : I → R eine ( n + 1) -mal differenzierbare Funktion und a ∈ I,
so existiert f¨
ur alle x ein ξ zwischen a und x mit
f ( n+1)( ξ)

f ( x) = Tn( x) +

( x − a) n+1 .

( n + 1)!

7.9

Taylorentwicklung und Potenzreihen

183

Für n = 0 geht dieser Satz in den Mittelwertsatz über. Eine äquivalente

Umformulierung ist
n
f( k)( a)

f ( n+1)( a + ϑh)

f ( a + h) =
hk +
hn+1
k!

( n + 1)!

k=0
für ein ϑ = ϑ( a, h) ∈ (0 , 1). Ist f ( n+1) sogar stetig, schließt man
n+1
f( k)( a)

f ( a + h) =
hk + o( hn+1)

k!

k=0
und damit die lokale Approximierbarkeit durch das Taylorpolynom vom Grad

≤ n + 1 mit einem Fehlerterm, der von kleinerer Ordnung als hn+1 ist. (Zur

Erinnerung: o( hn+1) steht für einen Term ϕ( h) mit ϕ( h) /hn+1 → 0 für h → 0.)

Ein Beispiel ist
sin x = x − x 3 + o( x 3) .

6
f(x)

2

1
x

−3

−2

−1

1

2

3

−1

−2

Man beachte, dass die Approximation von sin x durch x − 1 x 3 nur in ei-

6
ner Umgebung von 0 gut ist; deshalb haben wir von lokaler Approximation
gesprochen. Um z. B. eine auf [ −π, π] gültige gute Approximation durch ein Po-
lynom zu erhalten, was nach dem in Abschnitt 7.8 erwähnten Weierstraßschen

Approximationssatz ja möglich ist, muss man Polynome viel höheren Grades
heranziehen.

Mit dem Satz von Taylor lässt sich das Kriterium für das Vorliegen eines
lokalen Extremums aus der Schulmathematik begründen und erweitern. Für
eine in einer Umgebung von a ( n + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion gelte
f ( a) = f ( a) = · · · = f( n)( a) = 0, aber f ( n+1)( a) = 0, sagen wir > 0. Für hinreichend kleine h ist dann der Term c( h) := f ( n+1)( a + ϑh) /( n + 1)! aus
der Taylorentwicklung positiv, und nun lautet diese einfach f ( a + h) = f ( a) +
c( h) hn+1. Ist n ungerade, folgt c( h) hn+1 > 0 für h = 0, und es liegt bei a ein striktes lokales Minimum vor. Ist jedoch n gerade, hat c( h) hn+1 das Vorzeichen
von h, und es liegt kein Extremum vor.

184

7 Elementare Analysis

Ist f beliebig häufig differenzierbar, könnte man versuchen, in den obigen

Überlegungen den Grenzübergang n → ∞ durchzuführen. Das führt zur Tay-
lorreihe

∞
f( k)( a)

T∞( x) =

( x − a) k
k!

k=0
der Funktion f im Entwicklungspunkt a. Es stellt sich natürlich sofort die Frage,
ob diese Reihe konvergiert, und wenn ja, ob sie gegen f ( x) konvergiert. Leider
sind beide Fragen im Allgemeinen zu verneinen; aber die Antwort lautet jeweils
ja“, wenn R

”

n+1( x) → 0 für n → ∞ gilt. Letzteres trifft glücklicherweise auf
alle klassischen Funktionen zu, zumindest in einer Umgebung des Entwicklungs-
punkts. Hier sind einige Beispiele für Taylorentwicklungen:

∞

1
ex =
xk

( x ∈ R)

k!

k=0

∞

( − 1) k
sin x =
x 2 k+1

( x ∈ R)

(2 k + 1)!

k=0

∞

( − 1) k
cos x =
x 2 k

( x ∈ R)

(2 k)!

k=0

∞

( − 1) k+1
log(1 + x) =
xk

( − 1 < x ≤ 1)

k
k=1

∞

α

(1 + x) α =
xk

( − 1 < x < 1)

k
k=0

Bei den ersten drei Reihen erhält man die Reihen zurück, die in Abschnitt 7.4
zur Definition dienten. Im letzten Beispiel, der binomischen Reihe, ist für α ∈ R
und k ∈ N

α
α( α − 1) · · · ( α − k + 1)

=

.

k
k!

Eine Reihe der Form

∞
c
k=0 k( x − a) k heißt Potenzreihe (mit Entwick-
lungspunkt a). Das Konvergenzverhalten solcher Reihen ist vergleichsweise
überschaubar. Durch Anwendung des Wurzelkriteriums für unendliche Reihen
erhält man nämlich ein R ∈ [0 , ∞], so dass die Reihe für |x − a| < R konvergiert
und für |x − a| > R divergiert; für |x − a| = R sind keine allgemeinen Aussagen

möglich. Man kann R explizit durch R = 1 / lim sup n |cn| berechnen; R heißt
der Konvergenzradius der Potenzreihe. Wo ein Radius ist, sollte ein Kreis sein;
diesen sieht man, wenn man Potenzreihen im Komplexen betrachtet, für die die
obigen Aussagen genauso gelten, und dann definiert {x ∈ C | |x − a| < R} einen

Kreis in der komplexen Ebene. Komplexe Potenzreihen führen in die Welt der

Funktionentheorie, über die in Abschnitt 8.9 ein wenig berichtet wird.

7.10

Fourierreihen

185

Eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R definiert also eine Funktion f :

( a − R, a + R) → R, f ( x) =

∞
c
k=0 k( x − a) k. Nicht nur konvergiert diese

Reihe auf I = ( a − R, a + R), sie konvergiert auf kompakten Teilintervallen von

I sogar gleichmäßig, wenn auch nicht notwendig auf I selbst. Da Stetigkeit ein
lokaler Begriff ist, kann man daraus folgern (vgl. (a) in Abschnitt 7.8), dass
f stetig ist. Genauso kann man das dortige Differenzierbarkeitskriterium (c)

anwenden, um f ( x) =

∞
c
k=0 kk( x − a) k− 1 auf I zu erhalten. Durch Wieder-
holung dieses Schlusses gelangt man zu dem Ergebnis, dass f beliebig oft auf I
differenzierbar ist mit f ( n)( a) = n! cn. Damit ist die Taylorreihe von f die diese

Funktion definierende Potenzreihe, was oben für die Exponential-, Sinus- und

Cosinusfunktion schon beobachtet wurde.

7.10

Fourierreihen

Im Jahre 1822 erschien Joseph Fouriers Buch Th´
eorie analytique de la cha-
leur, in dem er systematisch die Idee, eine beliebige“ periodische Funktion als

”

Reihe über Sinus- und Cosinusterme darzustellen, auf Differentialgleichungen
der mathematischen Physik und ihre Randwertprobleme anwandte. Allerdings
geschah das nicht mit der heutigen mathematischen Strenge, da keine Kon-
vergenzüberlegungen angestellt wurden und die unendlichen Reihen formal wie
endliche Reihen manipuliert wurden. Mehr noch, zu Fouriers Zeit existierte nicht
einmal der moderne Funktionsbegriff; für Fourier und seine Zeitgenossen war ei-
ne Funktion durch eine Formel, in der Regel eine Potenzreihe, gegeben.

Vom heutigen Standpunkt aus stellt sich die Theorie so dar. Wir betrachten
eine 2 π-periodische Funktion f ; es gilt also f ( x+2 π) = f ( x) auf R. (Die Periode

2 π zu wählen ist eine Normierung, die schreibtechnische Vorteile hat.) Diese
wird eindeutig durch ihre Einschränkung auf das Intervall [ −π, π) festgelegt.

Wir versuchen, f als trigonometrische Reihe

∞
a

0 +

( a

2
k cos kx + bk sin kx)

(7.10)

k=1
zu schreiben. Falls diese Reihe auf [ −π, π] gleichmäßig gegen f konvergiert (not-
wendigerweise ist dann f stetig), erhält man nach Multiplikation der Reihe mit
cos nx bzw. sin nx und gliedweiser Integration, was wegen der gleichmäßigen

Konvergenz erlaubt ist,

1
π

1
π
an =
f ( x) cos nx dx,
bn =
f ( x) sin nx dx.

(7.11)

π

−
π
π

−π

186

7 Elementare Analysis

(Damit das auch für n = 0 stimmt, hat man in (7.10) das absolute Glied als
a 0 / 2 statt a 0 angesetzt.) Hierzu benötigt man die Orthogonalitätsrelationen“

”

des trigonometrischen Systems ( n, m ≥ 1)

π
π
π
cos nx cos mx dx =
sin nx sin mx dx = δnm · π,
cos nx sin mx dx = 0

−π

−π

−π
mit dem Kroneckersymbol δnm = 1 für n = m und δnm = 0 für n = m.

Unabhängig von der Qualität der Reihe (7.10) definiert man die Fourierkoef-
fizienten an und bn einer auf [ −π, π] integrierbaren Funktion durch (7.11). Dann
erhebt sich die Frage, was die mit diesen Koeffizienten gebildete Reihe (7.10) mit
der Ausgangsfunktion zu tun hat. Die mit Fourierreihen zusammenhängenden

Konvergenzfragen gehören zu den delikatesten Problemen der klassischen Ana-
lysis.

Der Erste, der rigorose Konvergenzsätze für Fourierreihen bewiesen hat, war

Dirichlet. Seine Resultate enthalten das folgende, einfach zu formulierende Er-
gebnis als Spezialfall: Ist f stückweise stetig differenzierbar, so konvergiert die

Reihe (7.10) gegen ( f ( x+) + f ( x−)) / 2 und in einem Stetigkeitspunkt in der

Tat gegen f ( x). Die Konvergenz ist gleichmäßig auf jedem kompakten Teilin-
tervall, auf dem f stetig differenzierbar ist. Hier stehen f ( x+) bzw. f ( x−) für
die einseitigen Grenzwerte
f ( x+) = lim f ( x + h) ,
f ( x−) = lim f ( x − h) .

h→ 0
h→ 0
h> 0
h> 0

Das Resultat ist insbesondere auf die durch f ( x) = π−x auf (0 , 2 π) sowie durch

2
f (0) = 0 definierte und 2 π-periodisch fortgesetzte Sägezahnfunktion anwendbar
mit der Fourierentwicklung

∞

1 sin kx = f( x) .

k
k=1

Die folgende Skizze zeigt die Approximation von f durch die ersten 8 Terme der

Fourierreihe.

f(x)

1
x

−3 −2 −1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

−1

7.11

Fouriertransformation

187

Weitere Konvergenzergebnisse stammen von Riemann, der in diesem Zu-
sammenhang den nach ihm benannten Integralbegriff schuf. Dass die bloße

Stetigkeit nicht hinreichend für die punktweise Konvergenz der Fourierreihe
ist, zeigte DuBois-Reymond 1876. Sein Gegenbeispiel wirft die Frage auf, ob
und wie eine stetige Funktion durch ihre Fourierreihe repräsentiert wird. 1896
gab der damals kaum zwanzigjährige Fejér die Antwort. Er betrachtete nicht
die Partialsummen Sn der Fourierreihe, sondern deren arithmetische Mittel

Tn = ( S 0 + · · · + Sn− 1) /n, und er bewies, dass ( Tn) für jede 2 π-periodische
stetige Funktion f gleichmäßig gegen f konvergiert. Insbesondere sind steti-
ge Funktionen durch ihre Fourierkoeffizienten eindeutig bestimmt: Sind alle an
und bn = 0, so muss die Funktion die Nullfunktion gewesen sein. Anders als
bei Taylorreihen folgt jetzt, falls die Fourierreihe der stetigen Funktion f bei
x überhaupt konvergiert, dass sie gegen f ( x) konvergiert. Der tiefliegende Satz
von Carleson (1966) besagt, dass die Fourierreihe einer stetigen Funktion in der

Tat fast überall konvergiert in dem Sinn, dass die Divergenzpunkte eine Null-
menge bilden. (Dieser Satz kontrastiert mit einem Beispiel von Kolmogorov,
der eine (Lebesgue-) integrierbare Funktion auf [ −π, π] mit überall divergenter

Fourierreihe konstruiert hatte.)

Die Theorie der Fourierreihen hat die Mathematik seit ihren Anfängen stark
befruchtet, insbesondere hat sie die Entwicklung des modernen Funktions- und
des Integralbegriffs vorangetrieben und später das Konzept des Hilbertraums
inspiriert, als nicht nur punktweise Konvergenz, sondern auch Konvergenz im
quadratischen Mittel untersucht wurde. Auch die Anfänge der Mengenlehre fin-
den sich hier. Cantor hatte nämlich bewiesen, dass für eine überall gegen 0
konvergente trigonometrische Reihe alle Koeffizienten verschwinden müssen. Er
fragte sich nun, ob man diese Schlussfolgerung auch erhält, wenn nicht an allen

Stellen Konvergenz gegen 0 vorliegt bzw. wie groß diese Ausnahmemengen sein
dürfen. Eins seiner Resultate ist, dass Konvergenz auf dem Komplement einer
konvergenten Folge ausreicht, z. B. auf [ −π, π] \ { 1 , 1 / 2 , 1 / 3 , . . . }.

7.11

Fouriertransformation

Wenn man die Eulersche Formel eix = cos x + i sin x heranzieht, kann man eine

Fourierreihe auch in komplexer Form

∞

1
π
ckeikx,
ck =
f ( x) e−ikx dx

2 π

−
k= −∞
π

schreiben; die Konvergenz der Reihe ist dabei als lim

N

N →∞
c
k= −N
k eikx zu
verstehen. Geht man von einer Funktion der Periode L statt 2 π aus, muss
man die komplexe Exponentialfunktion durch eikx 2 π/L ersetzen; durch den

Grenzübergang L → ∞ kann man dann zu einem Analogon der Fourierreihen

188

7 Elementare Analysis
bei nichtperiodischen Funktionen gelangen. Dies ist die Fouriertransformierte
einer Funktion, die folgendermaßen erklärt ist.

∞

Sei f : R → R (oder f : R → C) eine Funktion mit

|

−∞ f ( x) | dx < ∞; wir
schreiben dafür kurz f ∈ L 1. (Am besten wäre es, an dieser Stelle das Lebesgue-

Integral zu benutzen, aber das uneigentliche Riemannsche tut’s für den Moment
auch.) Einer solchen Funktion wird eine weitere Funktion (
f : R → C gemäß

∞

(

1
f ( y) = √
f ( x) e−ixy dx

2 π

−∞
zugeordnet; sie heißt die Fouriertransformierte von f . Das definierende Integral
existiert, da ja f ∈ L 1 ist. Die Definition von (
f ist in der Literatur nicht

√
ganz einheitlich. Manche Autoren verwenden den Vorfaktor 1 / 2 π statt 1 / 2 π,
andere den Vorfaktor 1; wieder andere benutzen den Term e− 2 πixy. Daraus
resultieren sechs verschiedene mögliche Varianten mit entsprechenden Varianten
aller Folgeformeln.

Die Funktion (
f erweist sich immer als stetig mit lim

(

|y|→∞ f ( y) = 0 (die-
se Aussage ist als Riemann-Lebesgue-Lemma bekannt), aber nicht immer ist

(
f ∈ L 1. Wenn das doch der Fall ist, kann man auch die Fouriertransformierte
von (
f berechnen. Das Ergebnis lässt sich besonders einfach formulieren, wenn f

(
stetig war: Dann ist nämlich (
f ( x) = f ( −x) überall auf R. Äquivalent dazu ist
die Fourier-Umkehrformel : Sei f ∈ L 1 stetig, und sei ebenfalls (
f ∈ L 1; dann
gilt für alle x ∈ R

1

∞
f ( x) = √

(
f ( y) eixy dy.

2 π

−∞

Man sollte an dieser Stelle die Analogie zwischen der Definition von (
f und der
von ck oben sowie zwischen der Fourier-Umkehrformel und der Darstellung einer

periodischen Funktion durch ihre Fourierreihe f ( x) =

∞
k= −∞ ckeikx sehen.

Hier sind einige Beispiele von Fouriertransformierten.

)

1 für |x| ≤ 1

2 sin y
f ( x) =

(
f ( y) =

0 für |x| > 1
π
y

) 2 1
f ( x) = e−|x|

(
f ( y) =
π 1 + y 2
f ( x) = e−x 2 / 2

(
f ( y) = e−y 2 / 2

Den Übergang von f zu (
f bezeichnet man als Fouriertransformation. Ihre
eigentliche Heimat ist die Funktionalanalysis, wo man auch nicht integrierba-
re Funktionen, Wahrscheinlichkeitsmaße und Distributionen transformiert. Die

Fouriertransformation eines Maßes führt zu den sogenannten charakteristischen

Funktionen der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Besonders interessant ist die Wechselwirkung der Fouriertransformation mit

Ableitungen. Hier gilt nämlich, die Integrierbarkeit aller beteiligten Funktionen
vorausgesetzt,

( (
f )( y) = iy (
f ( y) ,

(
f

( y) = −i(*
xf )( y) ,

7.12

Kurven im R d

189
wobei xf für die Funktion x → xf ( x) steht. Ableitungen gehen unter der

Fouriertransformation in Multiplikationen und Multiplikationen in Ableitungen
über; in diesem Sinn überführt die Fouriertransformation analytische in alge-
braische Probleme. Diese Methode wird mit großem Erfolg in der Theorie der
linearen Differentialgleichungen angewandt.

7.12

Kurven im R d

Unter einer stetigen Kurve im R d versteht man eine Funktion f : I → R d
auf einem Intervall, für die alle Koordinatenfunktionen f 1 , . . . , fd stetig sind.

Wer mit der euklidischen Metrik vertraut ist, kann natürlich stattdessen ein-
fach sagen, dass f stetig ist. Es ist zu bemerken, dass definitionsgemäß ei-
ne Kurve eine Abbildung ist und nicht deren Bild, genannt Spur von f , also

Sp( f ) = { f ( t) | t ∈ I }, wie man es eigentlich umgangssprachlich erwarten
würde; die Kurven
f, g: [0 , 1] → R2 ,
f ( t) = (cos 2 πt, sin 2 πt) ,
g( t) = (cos 2 πt 2 , sin 2 πt 2)

haben beide als Bild den Einheitskreis, sind aber verschiedene Kurven. Man
sagt, f und g seien verschiedene Parametrisierungen des Einheitskreises. Ein

Beispiel einer Kurve im R3 ist die Schraubenlinie t → (cos t, sin t, t).

z
y
x

Analog sind stetig differenzierbare Kurven erklärt. Diesen kann man auf
naheliegende Weise Tangentialvektoren zuordnen, nämlich durch f ( t)

=

( f 1( t) , . . . , f ( t)). Die physikalische Interpretation ist die des Geschwindigkeits-
d
vektors eines Teilchens zum Zeitpunkt t, wenn t → f ( t) das Weg-Zeit-Gesetz
beschreibt.

Die Bogenl¨
ange einer stetig differenzierbaren Kurve f : [ a, b] → R d definiert

man als Grenzwert der Polygonzuglängen
n
f( t
k=1
k ) − f ( tk− 1) zu einer Zer-
legung a = t 0 < t 1 < · · · < tn = b, wenn die Feinheit der Zerlegung gegen 0
strebt. (R d trägt die euklidische Norm.) In der Tat existiert dieser Grenzwert für

solche f , und man kann ihn durch das Integral L =
b f( t) dt berechnen. Es
a
stellt sich die Frage, inwiefern L von der Parametrisierung der Kurve abhängt.

190

7 Elementare Analysis

Dazu sei ϕ: [ α, β] → [ a, b] eine stetig differenzierbare Bijektion (eine Parameter-
transformation); g = f ◦ ϕ ist dann eine Kurve mit demselben Bild wie f . Die

Substitutionsregel der Integralrechnung liefert
β g( u) du = b f( t) dt; al-
α
a
so ist die Bogenlänge invariant gegenüber Parametertransformationen.

Auch die Tangentialvektoren sind bis auf einen Faktor unabhängig von der

Parametrisierung; ist ϕ monoton wachsend, ist der Faktor positiv, und die Para-
metertransformation ist orientierungstreu; ist ϕ monoton fallend, ist der Faktor
negativ, und die Parametertransformation ist orientierungsumkehrend.

Zu einer stetig differenzierbaren Kurve f : [ a, b] → R d können wir eine kanoni-
sche Umparametrisierung auf die Bogenlänge als Parameter vornehmen; dazu sei

ϕ: [0 , L] → [ a, b] die Umkehrfunktion zu t → t f( s) ds und g = f ◦ ϕ. In die-a
ser Parametrisierung gilt stets g( u) = 1, die Kurve wird also mit konstanter

Geschwindigkeit durchlaufen. Die Änderungsrate des Tangentialvektors im Zeit-
punkt t können wir dann als Maß für die Kr¨
ummung ansehen; bei zweimal stetig
differenzierbaren Kurven führt das auf die Größe g( u) für den Betrag der

Krümmung. Bei einer ebenen Kurve ( d = 2) können wir noch danach fragen, ob
die Kurve nach links oder nach rechts gekrümmt ist. Dazu dreht man den (nor-

mierten) Tangentialvektor g( u) mittels der Drehmatrix D =

0 − 1
um 90 ◦

1

0
und erhält den Normaleneinheitsvektor Ng( u). Es stellt sich heraus, dass g( u)

hierzu parallel ist, und man definiert die Krümmung als den entsprechenden

Proportionalitätsfaktor: κg( u) = g( u) , Dg( u)
. Bezüglich der ursprünglichen

Parametrisierung durch f ( t) = ( x( t) , y( t)) erhält man
x( t) y( t) − x( t) y( t)

κf ( t) =

.

f ( t) 3

Linkskrümmung entspricht jetzt κf ( t) < 0 und Rechtskrümmung κf ( t) > 0;
ein im Uhrzeigersinn durchlaufener Kreis vom Radius r hat die konstante

Krümmung 1 /r, in Übereinstimmung mit der Alltagserfahrung.

8 H¨
ohere Analysis

Dieses Kapitel widmet sich Fragestellungen, die auf der eindimensionalen Ana-
lysis aufbauen. Zunächst diskutieren wir den Begriff des metrischen bzw. nor-
mierten Raums, der es insbesondere gestattet, Konvergenz und Stetigkeit im
euklidischen Raum R n zu definieren. Um die Differenzierbarkeit zu übertragen,
benötigt man den richtigen Blick auf die eindimensionale Situation; das wird
im zweiten Abschnitt erklärt und im dritten weitergeführt. Es folgen zwei Ab-
schnitte über gewöhnliche Differentialgleichungen; es ist klar, dass nur die aller-
wichtigsten Facetten dieses riesigen Gebietes beleuchtet werden können.

Die nächsten Abschnitte behandeln die Lebesguesche Integrationstheorie. Es
gibt viele Möglichkeiten, das Lebesgue-Integral einzuführen; wie Lebesgue selbst
definieren wir zuerst das Lebesguesche Maß und leiten anschließend daraus das

Integral her. Einer der Vorzüge des Lebesgueschen Integrals ist, dass es sich auf
dem euklidischen Raum (oder noch allgemeineren Strukturen) mit der gleichen

Leichtigkeit erklären lässt wie auf Intervallen und daher das Integral der Wahl
für den R n ist. Ein spezieller Aspekt der mehrdimensionalen Integration ist
der Gaußsche Integralsatz, das mehrdimensionale Analogon zum Hauptsatz der

Differential- und Integralrechnung; davon handelt der achte Abschnitt.

Die folgenden beiden Abschnitte beschäftigen sich – wiederum sehr kurso-
risch – mit der Funktionentheorie, also der Theorie der differenzierbaren Funk-
tionen einer komplexen Veränderlichen. Wenngleich der Ausgangspunkt hier
dieselbe Differenzierbarkeitsdefinition wie im Reellen ist, unterscheiden sich die

Schlussfolgerungen doch drastisch. Schließlich widmen sich die letzten beiden

Abschnitte allgemeinen Existenzprinzipien, einmal Fixpunktsätzen und dann
dem Baireschen Kategoriensatz. Letzterer hat als erstaunliche Konsequenz, dass
die typische“ stetige Funktion auf R an keiner Stelle differenzierbar ist.

”

O. Deiser et al., 12 x 12 Schlüsselkonzepte zur Mathematik,

DOI 10.1007/978-3-8274-2298-9_8, © Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2011

192

8 Höhere Analysis

8.1

Metrische und normierte R¨
aume

Viele Ideen der eindimensionalen Analysis beruhen darauf, den Abstand |x − y|
zweier Zahlen zu kontrollieren; Konvergenz und Stetigkeit sind Beispiele dafür.

Die abstrakte und allgemeine Version des Abstandsbegriffs ist der Begriff der

Metrik.

Sei M eine Menge. Eine Abbildung d: M × M → [0 , ∞) heißt Metrik, wenn

(a) d( x, y) = 0 genau dann, wenn x = y;

(b) d( x, y) = d( y, x) für alle x, y ∈ M ;

(c) d( x, z) ≤ d( x, y) + d( y, z) für alle x, y, z ∈ M .

Diese drei Bedingungen geben in abstrakter Form wieder, was man vom Be-
griff des Abstands erwartet; man spricht vom metrischen Raum ( M, d). Die

Bedingung (c) nennt man Dreiecksungleichung, auf den zweidimensionalen ele-
mentargeometrischen Abstand bezogen besagt sie nämlich, dass in einem Drei-
eck jede Seite höchstens so lang ist wie die Summe der beiden übrigen. Hier sind
einige Beispiele für metrische Räume.

(1) R (oder eine Teilmenge davon) mit d( x, y) = |x − y|.

(2) C (oder eine Teilmenge davon) mit d( x, y) = |x − y|.

(3) Eine beliebige Menge mit der diskreten Metrik d( x, y) = 1 für x = y und
d( x, y) = 0 für x = y.

(4) Die Menge aller { 0 , 1 }-wertigen Folgen mit

∞

d(( xn) , ( yn)) =

2 −n|xn − yn|.

n=0

Weitere Beispiele lassen sich am einfachsten mit Hilfe des Begriffs der Norm
beschreiben, den wir schon im Abschnitt 5.7 kennengelernt haben. Sei X ein

R-Vektorraum. Eine Norm ist eine Abbildung . : X → [0 , ∞) mit

(a) x = 0 genau dann, wenn x = 0;

(b) λx = |λ| x für alle λ ∈ R, x ∈ X;

(c) x + y ≤ x + y für alle x, y ∈ X.

Man interpretiert x als Länge des Vektors x und spricht von ( X, . ) als
normiertem Raum, und analog definiert man normierte C-Vektorräume. Wie-
der nennt man (c) die Dreiecksungleichung. Auf jedem normierten Raum wird
mittels d( x, y) = x − y eine kanonisch abgeleitete Metrik eingeführt; die Drei-
ecksungleichung für die Norm impliziert dabei die Dreiecksungleichung für die

Metrik. (Nicht alle Metriken entstehen so; z. B. die aus (3) für X = R nicht.

Der Definitionsbereich einer Norm ist im Übrigen immer ein Vektorraum, bei
einer Metrik kann es eine beliebige Menge sein.) Einige Beispiele:

(5) Der Raum R d mit der euklidischen Norm

+ d

,1 / 2
x =

|xk| 2
k=1

8.1

Metrische und normierte Räume

193
für x = ( x 1 , . . . , xd). Der Beweis der Dreiecksungleichung in diesem Beispiel
ist nicht ganz offensichtlich und benutzt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

(Abschnitt 5.6). Im Folgenden werden wir stets die euklidische Norm auf R d
verwenden und in diesem Kontext das Symbol . dafür reservieren.

(6) Der Raum C[0 , 1] der stetigen Funktionen auf [0 , 1] mit der Supremums-
norm
f∞ = sup |f( x) |.

x∈[0 , 1]

(7) Der Raum C[0 , 1] mit der Integralnorm

1
f 1 =

|f( x) | dx.

0

Wie in den Abschnitten 7.1 und 7.3 bereits ausgeführt, übertragen sich die

Begriffe Konvergenz und Stetigkeit fast von allein auf metrische Räume. Hier
folgen noch einmal die Definitionen.

Seien ( M, d) und ( M , d) metrische R¨
aume.

Eine Folge ( xn) in M konvergiert gegen x ∈ M , in Zeichen xn → x,
falls

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N d( xn, x) ≤ ε.

Eine Funktion f : M → M heißt stetig bei x ∈ M , falls aus xn → x
stets f ( xn) → f ( x) folgt. Das ist äquivalent zu der ε-δ-Bedingung

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀y ∈ M d( x, y) ≤ δ ⇒ d( f( x) , f( y)) ≤ ε.

Im Beispiel (5) ist Konvergenz bezüglich der euklidischen Norm äquivalent zur
koordinatenweisen Konvergenz, und im Beispiel (6) ist Konvergenz bezüglich der

Supremumsnorm äquivalent zur gleichmäßigen Konvergenz. Dass die Normen
in (6) und (7) grundsätzlich verschieden sind, sieht man daran, dass die durch
fn( x) = xn definierte Folge bezüglich der Integralnorm gegen 0 konvergiert,
bezüglich der Supremumsnorm aber überhaupt nicht konvergent ist.

Manche Aussagen über Konvergenz und Stetigkeit übertragen sich ohne

Mühen von der reellen Achse auf abstrakte metrische Räume, zum Beispiel,
dass der Grenzwert einer konvergenten Folge eindeutig bestimmt ist. Ande-
re benötigen zusätzliche Annahmen. Eine wichtige solche Annahme ist die

Vollständigkeit. Eine Cauchy-Folge in einem metrischen Raum erfüllt defini-
tionsgemäß die Bedingung

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n, m ≥ N d( xn, xm) ≤ ε.

Ein metrischer Raum heißt vollst¨
andig, wenn jede Cauchy-Folge darin konver-
giert; und ein vollständiger normierter Raum wird Banachraum genannt. In den
obigen Beispielen ist nur (7) nicht vollständig.

194

8 Höhere Analysis

Der Begriff der Metrik eröffnet die Möglichkeit einer geometrischen Sprache,
die zu den Grundkonzepten der mengentheoretischen Topologie führt, über die
in Abschnitt 9.1 berichtet wird. In einem metrischen Raum ( M, d) nennen wir

B( x, ε) = { y ∈ M | d( x, y) < ε }, ε > 0, die ε-Kugel um x. Eine Teilmenge

O ⊆ M heißt offen, wenn O mit jedem Element x ∈ O auch eine ε-Kugel

B( x, ε) umfasst, in Quantoren

∀x ∈ O ∃ε > 0 B( x, ε) ⊆ O.

Eine Teilmenge A ⊆ M heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement M \ A offen
ist. Äquivalent dazu ist eine Folgenbedingung: A ist genau dann abgeschlossen,
wenn der Grenzwert jeder konvergenten Folge in A ebenfalls in A liegt. Natürlich
gibt es Mengen, die weder offen noch abgeschlossen sind (z. B. Q in R), und in
manchen metrischen Räumen auch Teilmengen außer ∅ und M , die beides sind

(z. B. { ( xn) | x 0 = 0 } in Beispiel (4)).

Die Stetigkeit einer Abbildung lässt sich sehr einfach in diesem Vokabular
wiedergeben. Wie auf Intervallen heißt eine Abbildung f : M → M zwischen
metrischen Räumen stetig, wenn sie in jedem Punkt von M stetig ist. Das ε- δ-

Kriterium zusammen mit der Tatsache, dass die offen aussehende Kugel B( y, ε)

auch wirklich offen ist, gestattet folgende Umformulierung: Genau dann ist f :

M → M stetig, wenn das Urbild f − 1[ O] jeder offenen Menge O von M offen
in M ist.

Ein zentraler Begriff der Theorie metrischer Räume wie der Analysis insge-
samt ist Kompaktheit, wofür im Detail auf Abschnitt 9.7 verwiesen sei. In der

Welt der metrischen Räume kann man Kompaktheit durch den hier äquivalenten

Begriff der Folgenkompaktheit erklären. Eine Teilmenge K eines metrischen

Raums heißt kompakt, wenn jede Folge in K eine in K konvergente Teilfolge
besitzt. In Beispiel (4) ist M selbst kompakt, und im R d sind genau die ab-
geschlossenen beschränkten Mengen kompakt ( Satz von Heine-Borel ). In Bei-
spiel (6) sind genau diejenigen Teilmengen K ⊆ C[0 , 1] kompakt, die abgeschlos-
sen, beschränkt und gleichgradig stetig sind ( Satz von Arzel´
a-Ascoli ); Letzteres
bedeutet

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀f ∈ K ∀x, y ∈ M d( x, y) ≤ δ ⇒ d( f( x) , f( y)) ≤ ε.

Für jedes f ∈ K funktioniert also dasselbe δ im ε- δ-Kriterium der (gleichmäßi-
gen) Stetigkeit. In der Sprache der elementaren Analysis besagt der Satz einfach,
dass eine beschränkte gleichgradig stetige Funktionenfolge eine gleichmäßig kon-
vergente Teilfolge besitzt.

Stetige Abbildungen erhalten die Kompaktheit: Das stetige Bild einer kom-
pakten Menge ist wieder kompakt. Insbesondere gilt das Analogon des Satzes
vom Maximum: Ist K eine kompakte Teilmenge eines metrischen Raums und f :

K → R stetig, so ist f beschränkt und nimmt sein Supremum und Infimum an.

8.2

Partielle und totale Differenzierbarkeit

195

8.2

Partielle und totale Differenzierbarkeit

Zur Definition der Differenzierbarkeit bei Funktionen mehrerer Veränderlicher
gibt es einen pragmatischen und einen mathematisch-begrifflichen Zugang;
glücklicherweise liefern sie aber fast immer dasselbe.

Der pragmatische Zugang führt zum Begriff der partiellen Ableitung. Wenn f :

U → R eine auf einer offenen Teilmenge des R n definierte Funktion ist, erklärt
man ihre partiellen Ableitungen an einer Stelle a ∈ U durch formelmäßigen

Rückgriff auf die eindimensionale Theorie. Die k-te partielle Ableitung ist durch
den Grenzwert

∂f
f ( a

( D

1 , . . . , ak− 1 , ak + h, ak+1 , . . . , an)

k f )( a) =

( a) = lim

∂xk
h→ 0
h
definiert, falls dieser existiert. Man friert also alle Variablen bis auf die k-
te ein und untersucht die in einer Umgebung von ak definierte Funktion
t → f ( a 1 , . . . , ak− 1 , t, ak+1 , . . . , an) einer Veränderlichen auf Differenzierbar-
keit. Wenn alle n partiellen Ableitungen existieren, heißt f bei a partiell diffe-
renzierbar. In diesem Fall nennt man den hier als Zeile geschriebenen Vektor

(grad f )( a) = (( D 1 f )( a) , . . . , ( Dnf )( a))

den Gradienten von f bei a. Für f ( x 1 , x 2) = ( x 1 + x 2) ex 1 ist beispielsweise (grad f )( x 1 , x 2) = ((1 + x 1 + x 2) ex 1 , ex 1 ).

Das Problem bei diesem Zugang ist, dass er inhaltlich nicht mit der Diffe-
renzierbarkeit in R kompatibel ist, denn partielle Differenzierbarkeit impliziert
nicht die Stetigkeit, was man ja erwarten würde. Das übliche Gegenbeispiel
hierfür ist die Funktion

⎧

⎨ x 1 x 2
für ( x 1 , x 2) = (0 , 0) ,
f ( x
x 2 + x 2

1 , x 2) = ⎩ 1

2

0
für ( x 1 , x 2) = (0 , 0) .

Statt sich von der rechnerischen Seite (ausgedrückt in (7.4)) leiten zu lassen,
sollte man sich den mathematisch-inhaltlichen Aspekt, nämlich die lineare Ap-
proximierbarkeit (ausgedrückt in (7.5) und (7.7)) zum Vorbild nehmen. Man
definiert daher: Eine Funktion f : U → R heißt differenzierbar bei a, wenn es
eine (notwendigerweise eindeutig bestimmte) lineare Abbildung l: R n → R und
eine in einer Umgebung von 0 ∈ R n erklärte Funktion ϕ mit
ϕ( h)

f ( a + h) = f ( a) + l( h) + ϕ( h) ,
lim
h→ 0 h = 0

(8.1)

gibt. Das entspricht genau der aus dem Eindimensionalen bekannten Idee, f
in einer Umgebung von a durch eine affin-lineare Funktion zu approximieren,
wobei der Fehler von kleinerer als linearer Ordnung ist. Dieser Differenzierbar-
keitsbegriff wird auch totale Differenzierbarkeit genannt.

196

8 Höhere Analysis

Aus der Definition ergibt sich nun sofort die Stetigkeit einer differenzierbaren

Funktion; das ist ein Hinweis darauf, dass man die richtige“ Verallgemeinerung

”

gefunden hat. Die Verbindung zur partiellen Differenzierbarkeit ist sehr eng;
denn eine differenzierbare Funktion ist partiell differenzierbar, und es gilt für
die lineare Abbildung l aus (8.1)

n

l( h) =

( Dkf )( a) hk = (grad f )( a) h = (grad f )( a) , h
.

(8.2)

k=1

(Im vorletzten Term haben wir (grad f )( a) als (1 ×n)-Matrix aufgefasst, im letz-
ten als Vektor.) Umgekehrt braucht eine partiell differenzierbare Funktion nicht
differenzierbar zu sein, wie das obige Beispiel zeigt. Aber wenn die Funktion in
einer Umgebung von a partiell differenzierbar ist und die partiellen Ableitungen
bei a stetig sind, folgt die Differenzierbarkeit. Daher sieht man sofort, dass die
anfangs genannte Funktion f ( x 1 , x 2) = ( x 1 + x 2) ex 1 auf R2 differenzierbar ist.

Heimlich haben wir mit der neuen Sicht auf die Differenzierbarkeit im R n
einen weiteren Wechsel des Standpunkts vorgenommen. Während die partielle

Differenzierbarkeit vom Rechnen mit den n Variablen einer Funktion lebt, sieht
man bei der Differenzierbarkeit f als Funktion einer Veränderlichen – allerdings
ist diese keine Zahl, sondern ein Vektor.

Was für Funktionen auf R die Ableitung f( a) ist, ist bei Funktionen auf
dem R n die lineare Abbildung l aus (8.1), die in (8.2) durch den Gradienten
repräsentiert wurde. Je nach Standpunkt kann man (grad f )( a) als (Spalten-)

Vektor wie im letzten Term von (8.2) auffassen oder als (1 × n)-Matrix (bzw.

Zeilenvektor) wie im vorletzten Term; mathematisch besteht zwischen diesen

Objekten eine kanonische Isomorphie. Letzteres macht den Übergang zu den
vektorwertigen Funktionen einfacher; die Darstellung als Spaltenvektor erhellt
aber die geometrische Bedeutung des Gradienten. Diese ergibt sich aus der For-
mel für die Richtungsableitung einer differenzierbaren Funktion
f ( a + hv) − f ( a)

( Dv)( a) = lim

= (grad f )( a) , v
.

h→ 0
h

Daher zeigt (grad f )( a) in die Richtung des stärksten Anstiegs von f bei a.

Die Diskussion vektorwertiger Funktionen f : U → R m fällt nun nicht mehr
schwer. Eine solche Funktion heißt differenzierbar bei a, wenn es eine lineare

Abbildung L: R n → R m und eine in einer Umgebung von 0 ∈ R n erklärte

R m-wertige Funktion ϕ mit
ϕ( h)

f ( a + h) = f ( a) + L( h) + ϕ( h) ,
lim
h→ 0 h = 0

(8.3)

gibt. Wenn man L bezüglich der kanonischen Basen von R n und R m als Matrix
schreibt, steht in der i-ten Zeile der Gradient der i-ten Koordinatenfunktion.

Diese Matrix heißt die Jacobi-Matrix ( Df )( a) von f bei a; sie ist die mehr-
dimensionale Verallgemeinerung der Zahl f ( a). Die Kettenregel nimmt jetzt

8.3

Mittelwertsatz, Taylorformel und lokale Extrema

197
eine besonders einfache Form an, denn die Jacobi-Matrix der Komposition ist
das Produkt der Jacobi-Matrizen: ( D( f ◦ g))( a) = ( Df )( g( a))( Dg)( a).

Wir wollen noch einen Blick auf höhere Ableitungen, speziell der Ordnung 2,
werfen. Die Funktion f : U → R sei differenzierbar; ihre Ableitung ist dann die

Funktion Df : U → R n, a → (grad f )( a). Wenn diese Funktion erneut differen-
zierbar ist, kann man ihre Ableitung als ( n × n)-Matrix beschreiben, nämlich
als Jacobi-Matrix von Df . Die Einträge dieser Matrix, die Hessesche Matrix ge-
nannt und mit ( Hf )( a) bezeichnet wird, sind die zweiten partiellen Ableitungen

∂ 2 f

( a). Wenn die zweiten partiellen Ableitungen stetig sind, spielt es keine

∂xi ∂xj

Rolle, in welcher Reihenfolge partiell differenziert wird ( Satz von Schwarz ); in
diesem Fall ist die Hessesche Matrix symmetrisch.

8.3

Mittelwertsatz, Taylorformel und lokale Extrema

Wir führen die Diskussion des vorigen Abschnitts weiter und widmen uns zuerst
der mehrdimensionalen Version des Mittelwertsatzes. Sei f : U → R auf der
offenen Menge U ⊆ R n differenzierbar, und seien a, b ∈ U . Wir machen die
geometrische Annahme, dass auch die Verbindungsstrecke von a nach b, das ist

S = { (1 − t) a + tb | 0 ≤ t ≤ 1 }, zu U gehört, was in konvexen Mengen stets
zutrifft. Dann garantiert der Mittelwertsatz die Existenz einer Stelle ξ ∈ S mit
f ( b) − f ( a) = (grad f )( ξ) , b − a
.

(8.4)

Diese Aussage ist vollkommen analog zum eindimensionalen Mittelwertsatz (vgl.

(7.8) in Abschnitt 7.5); sie wird mittels der Hilfsfunktion t → f ((1 − t) a + tb)

auch auf diesen zurückgeführt. Jedoch reicht die bloße partielle Differenzier-
barkeit als Voraussetzung nicht aus. Und genau wie in (7.9) erhält man eine

Ungleichungsversion, wenn stets (grad f )( x) ≤ K auf S gilt, nämlich

|f( b) − f( a) | ≤ Kb − a.

(8.5)

Mittels derselben Hilfsfunktion kann man auch die Taylorsche Formel
übertragen. Da das Schwierigste dabei ist, eine kompakte Notation zu ersin-
nen, wollen wir uns nur mit der Taylorentwicklung der Ordnung 2 befassen.

Hierzu sei f : U → R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion mit Hesse-
scher Matrix ( Hf )( x) an der Stelle x. Die Strecke von a nach a + h liege in U .

Dann existiert ein ϑ ∈ (0 , 1) mit

1
f ( a + h) = f ( a) + (grad f )( a) , h + ( Hf )( a + ϑh) h, h
,

2
und wie im eindimensionalen Fall ergibt sich die quadratische Approximation

1
f ( a + h) = f ( a) + (grad f )( a) , h + ( Hf )( a) h, h + o( h 2)

2
für h → 0 in einer Umgebung von a.

198

8 Höhere Analysis

Für vektorwertige Funktionen gilt übrigens kein Mittelwertsatz in der Form
von (8.4). Das zeigt das einfache Beispiel f : [0 , 2 π] → R2, f ( t) = (cos t, sin t), wo f (0) = f (2 π), aber stets f( t) = 1 gilt. (8.5) überträgt sich jedoch ohne

Mühe.

Wie im Fall einer Funktion auf einem Intervall kann mittels der Taylorent-
wicklung ein hinreichendes Kriterium für das Vorliegen eines lokalen Extremums
hergeleitet werden. Sei f eine in einer Umgebung von a ∈ R n zweimal stetig
differenzierbare reellwertige Funktion. Es gelte (grad f )( a) = 0, was notwendig
für das Vorliegen eines lokalen Extremums ist; um das einzusehen, betrachte
man die Funktionen t → f ( a + tv) einer Veränderlichen. Man nennt dann a
einen kritischen Punkt der Funktion f .

Im Fall n = 1 ist f ( a) > 0 ein hinreichendes Kriterium für das Vorliegen
eines lokalen Minimums in einem kritischen Punkt. In der mehrdimensionalen

Theorie übernimmt die symmetrische ( n × n)-Matrix ( Hf )( a), die Hessesche

Matrix, die Rolle der 2. Ableitung, und mit dem richtigen Positivitätsbegriff
erhält man tatsächlich das gewünschte Kriterium:

Gilt (grad f )( a) = 0 und ist ( Hf )( a) positiv definit, so hat f bei a
ein striktes lokales Minimum.

Dabei heißt eine symmetrische ( n × n)-Matrix A positiv definit, wenn für h = 0
stets Ah, h
> 0 ist. Positive Definitheit lässt sich äquivalent dadurch beschrei-
ben, dass alle Eigenwerte positiv sind bzw. dass alle Hauptunterdeterminanten,
das sind die Determinanten der ( k × k)-Matrizen ( aij) i,j=1 ,...,k, k = 1 , . . . , n,
positiv sind.

Dieses Kriterium ist außer im Fall n = 2 nur schwer praktisch anzuwenden.

Da lokale Maxima analog zu behandeln sind, gestattet es im Fall n = 2 jedoch

folgendes einfache Kriterium f
α β
ür die Hessesche Matrix A = ( Hf )( a) =
β δ
in einem kritischen Punkt: Ist α > 0 und det A > 0, liegt ein lokales Minimum
vor; ist α < 0 und det A > 0, liegt ein lokales Maximum vor. Aber man kann
noch eine weitere Information gewinnen, die kein Analogon im Eindimensiona-
len hat. Ist nämlich det A < 0, so liegt garantiert kein Extremum vor; es gibt
dann ja einen positiven und einen negativen Eigenwert, und in der Richtung der
entsprechenden Eigenvektoren wird f einmal minimal und einmal maximal: Es
liegt ein Sattelpunkt vor.

8.4

Der Satz von Picard-Lindel¨
of

Diverse Probleme in den Naturwissenschaften werden durch Differentialglei-
chungen mathematisch beschrieben, man denke etwa an die Planetenbewegung,
chemische Prozesse oder Populationsdynamik. Treten in den Gleichungen nur

Funktionen einer Veränderlichen auf, spricht man von gewöhnlichen Differenti-
algleichungen; treten Funktionen mehrerer Veränderlicher auf, spricht man von

8.4

Der Satz von Picard-Lindelöf

199
partiellen Differentialgleichungen. In diesem und dem nächsten Abschnitt wer-
fen wir einen Blick auf einen winzigen Ausschnitt der Theorie gewöhnlicher

Differentialgleichungen.

In diesem Abschnitt diskutieren wir den zentralen Existenz- und Eindeutig-
keitssatz, den Satz von Picard-Lindelöf. Wir betrachten die allgemeine Form ei-
ner expliziten Differentialgleichung 1. Ordnung y = f ( t, y). Da die unabhängige

Variable häufig die physikalische Bedeutung der Zeit hat, ist es üblich, dafür den

Buchstaben t statt x zu verwenden. Die Gleichung zu lösen heißt, eine auf ei-
nem Intervall definierte Funktion φ: I → R zu finden, die φ( t) = f ( t, φ( t))

auf I erfüllt. Wie schon das einfachste Beispiel y = f ( t) zeigt, in dem eine

Stammfunktion von f gesucht wird, kann man nicht mit eindeutiger Lösbarkeit
rechnen. Die kann man nur unter weiteren Vorgaben erhoffen, wie in dem An-
fangswertproblem
y = f ( t, y) ,
y(0) = u 0 .

(8.6)

Unter milden Voraussetzungen an f kann man in der Tat die eindeutige

Lösbarkeit von (8.6) in einer Umgebung der Anfangsstelle t 0 = 0 zeigen; dies
ist der Inhalt des Satzes von Picard-Lindelöf, der weiter unten formuliert wird.

Die Strategie, (8.6) zu lösen, besteht darin, das Anfangswertproblem auf eine
äquivalente Integralgleichung für stetige Funktionen, nämlich
t
y( t) = u 0 +
f ( s, y( s)) ds

( t ∈ I) ,

(8.7)

0
zurückzuführen. Der Gewinn der Umformulierung ist, dass man (8.7) mittels
kraftvoller Fixpunktprinzipien (siehe Abschnitt 8.11) angehen kann, denn (8.7)

fragt ja nach einem Fixpunkt y der durch die rechte Seite definierten Abbil-
dung. (Die Kunst besteht darin, I und eine passende Teilmenge M des Funk-
tionenraums C( I) so zu wählen, dass auf die fragliche Abbildung mit M als

Definitionsbereich z. B. der Banachsche Fixpunktsatz angewandt werden kann.)

Des Weiteren ist es möglich, auf dieselbe Weise Systeme gewöhnlicher Differen-
tialgleichungen zu studieren; formal sehen diese genauso aus wie (8.6), nur sind
unter y und f jetzt vektorwertige Funktionen zu verstehen.

Der bereits angesprochene Satz von Picard-Lindel¨
of lautet:

Sei G ⊆ R n+1 mit (0 , u 0) ∈ G und f : G → R n stetig. Ferner
erf¨
ulle f in einer Umgebung U von (0 , u 0) eine Lipschitz-Bedingung
bez¨
uglich des

2. Arguments“, also eine Bedingung der Form

”

f( t, u) − f( t, v) ≤ Lu − v für ( t, u) , ( t, v) ∈ U.

Dann gibt es ein Intervall um 0 , auf dem (8.6) eindeutig l¨
osbar ist.

Insbesondere trifft die Voraussetzung zu, wenn f stetig differenzierbar ist; das
ist eine Konsequenz des Mittelwertsatzes. Ist f nur stetig, kann man immer
noch die Existenz einer Lösung beweisen ( Existenzsatz von Peano), aber die

Eindeutigkeit kann verloren gehen; das Standardbeispiel ist f ( t, u) = 2

|u| mit
u 0 = 0, wo unter anderem y( t) = 0 und y( t) = t · |t| Lösungen sind.

200

8 Höhere Analysis

Der Satz von Picard-Lindelöf macht nur eine lokale Existenzaussage; selbst
wenn f auf R2 definiert ist und harmlos aussieht, brauchen Lösungen von (8.6)

nicht auf ganz R zu existieren: y = y 2 mit y(0) = 1 hat auf einer Umgebung
von 0 die eindeutige Lösung φ( t) = 1 /(1 − t)2, die aber für t → 1 unbeschränkt
wird ( Blow-up-Phänomen“).

”

Explizite Lösungsformeln darf man sich von den Existenzsätzen allerdings
nicht versprechen. Besonders einfach liegen die Verhältnisse jedoch bei den li-
nearen Systemen der Form
y = Ay;
hier ist A eine ( n × n)-Matrix. Jetzt existieren die Lösungen in der Tat auf
ganz R, und sie bilden einen Vektorraum, da A eine lineare Abbildung auf R n
ist“. Dessen Dimension ist n, denn nach dem Satz von Picard-Lindelöf ist die

”

Abbildung u → Lösung von y = Ay, y(0) = u“ bijektiv und natürlich linear,

”

folglich ein Vektorraum-Isomorphismus. Um alle Lösungen des Systems zu be-
stimmen, reicht es, n linear unabhängige Lösungen zu finden, ein sogenanntes

Fundamentalsystem. Das gelingt häufig mittels des Ansatzes y( t) = ueλt, wobei
λ ein Eigenwert von A ist, und immer mittels der Exponentialmatrix. Für eine

( n × n)-Matrix A ist eA durch die absolut konvergente Reihe

∞

Ak
eA =
k!

k=0
erklärt; falls A und B kommutieren, gilt dann eA+ B = eAeB , und es ist d eAt =
dt

AeAt. Letzteres impliziert, dass die Spalten von eAt ein Fundamentalsystem
bilden.

Gleichungen höherer Ordnung können auf Systeme 1. Ordnung zurückgeführt
werden, indem man die sukzessiven Ableitungen als Hilfsfunktionen einsetzt.

Die Gleichung y( n) = f ( t, y, y, . . . , y( n− 1)) transformiert sich mittels y 1 = y,
y 2 = y, . . . , yn = y( n− 1) in das System
y 1 = y 2 , y 2 = y 3 , . . . , yn− 1 = yn, yn = f( t, y 1 , . . . , yn) .

Auf diese Weise lassen sich die obigen Resultate auch für Gleichungen n-ter

Ordnung gewinnen.

8.5

Stabilit¨
at von Gleichgewichtspunkten

Im letzten Abschnitt wurde der fundamentale Existenz- und Eindeutigkeitssatz
für Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen formuliert. Im Allgemeinen ist
es unmöglich, solche Gleichungen explizit zu lösen; in der modernen Theorie dy-
namischer Systeme studiert man daher qualitative Eigenschaften der Lösungen.

Wir betrachten folgendes Szenario. Gegeben sei eine in einer Umgebung U von

8.5

Stabilität von Gleichgewichtspunkten

201
u 0 ∈ R n stetig differenzierbare Abbildung f : U → R n mit f ( u 0) = 0. Dann ist
die konstante Funktion φ = u 0 die Lösung des Anfangswertproblems
y = f ( y) ,
y(0) = u 0 .

Man nennt u 0 daher einen Gleichgewichtspunkt des Systems y = f ( y). Wir
fragen nach der Stabilität dieses Gleichgewichts, d. h., ob für hinreichend nahe
bei u 0 liegende Anfangswerte u die Lösung von
y = f ( y) ,
y(0) = u

(8.8)

für alle Zeiten in der Nähe“ des Gleichgewichtspunkts u

”

0 bleibt.

Diese Idee wird folgendermaßen präzisiert. Der Punkt u 0 heißt stabiles Gleich-
gewicht, falls es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 mit folgender Eigenschaft gibt: Wenn
u − u 0 ≤ δ ist, existiert die eindeutig bestimmte Lösung φ von (8.8) für
alle t ≥ 0, und sie erfüllt φ( t) − u 0 ≤ ε für alle t ≥ 0. Falls zusätzlich
lim t→∞ φ( t) = u 0 gilt, spricht man von einem asymptotisch stabilen Gleich-
gewicht. Ist das Gleichgewicht nicht stabil, heißt es instabil. (Es gibt Beispiele
instabiler Gleichgewichte, wo trotzdem lim t→∞ φ( t) = u 0 erfüllt ist.)

Bevor wir einen Blick auf allgemeine nichtlineare Systeme werfen, wenden wir
uns dem einfachen Fall eines linearen Anfangswertproblems y = Ay, y(0) = u
zu. Hier lässt sich die Stabilität des Gleichgewichts 0 an den Eigenwerten der

Matrix ablesen. Diese seien nämlich λ 1 , . . . , λn, und es sei σ = max Re λk. Ist
σ < 0, ist 0 ein asymptotisch stabiles Gleichgewicht; ist σ > 0, ist 0 ein instabiles

Gleichgewicht; und ist σ = 0, ist 0 kein asymptotisch stabiles Gleichgewicht, das
genau dann stabil ist, wenn für alle Eigenwerte mit Realteil 0 geometrische und
arithmetische Vielfachheit übereinstimmen.

Eine Strategie zur Stabilitätsanalyse von (8.8) besteht darin, die Nichtlinea-
rität f durch eine lineare Abbildung zu approximieren. Dass dies in einer Umge-
bung von u 0 möglich ist, besagt gerade die Voraussetzung der Differenzierbar-
keit von f . Schreibt man A für die Jacobi-Matrix ( Df )( u 0) und hat σ dieselbe

Bedeutung wie oben, so hat man analog zum linearen Fall den Satz, dass u 0
für σ < 0 asymptotisch stabil ist und für σ > 0 instabil; für σ = 0 ist keine
allgemeine Aussage möglich.

Für die Gleichung des mathematischen Pendels ϕ + g sin ϕ = 0, umgeformt
l
in ein System (8.8) mittels f ( u 1 , u 2) = ( u 2 , − g sin u
l

1), liefert dieses Kriteri-
um keinen Aufschluss über die Stabilität des Gleichgewichts (0 , 0). Aber ei-
ne andere Methode, die direkte Methode von Lyapunov, hilft weiter. Hier be-
dient man sich des Begriffs der Lyapunov-Funktion. Eine in einer Umgebung

V von u 0 definierte stetig differenzierbare Funktion E heißt Lyapunov-Funktion

(zu f ), falls E bei u 0 ein striktes lokales Minimum besitzt und die Funkti-
on ∂E: u → (grad E)( u) , f ( u)
auf V die Ungleichung ∂E ≤ 0 erfüllt. Wenn
sogar ∂E( u) < 0 für u = u 0 gilt, spricht man von einer strikten Lyapunov-

Funktion. Löst φ die Differentialgleichung y = f ( y), so folgt aus der Ketten-
regel d E( φ( t)) = ∂E( φ( t)); die Ungleichung ∂E ≤ 0 impliziert also, dass E
dt

202

8 Höhere Analysis
längs jeder Lösung abnimmt. Diese Information gewinnt man hier direkt“ mit

”

Hilfe der rechten Seite f , ohne eine Lösung explizit kennen zu müssen. Der

Lyapunovsche Stabilitätssatz besagt nun, dass u 0 ein [asymptotisch] stabiler

Gleichgewichtspunkt ist, wenn es eine [strikte] Lyapunov-Funktion gibt.

Leider bleibt die Frage offen, wie man der Abbildung f ansehen kann, ob
es eine Lyapunov-Funktion gibt, bzw. wie man sie gegebenenfalls findet, denn
dafür gibt es keine Patentrezepte. In physikalischen Systemen ist die Energie
oft ein Kandidat für eine Lyapunov-Funktion. Für das mathematische Pendel
klappt dieser Ansatz jedenfalls und liefert E( u 1 , u 2) = 1 u 2

(1 − cos u

2

2 + gl

1).

Hier ist sogar ∂E = 0; man sagt, E sei ein 1. Integral“: Längs einer Lösung ist

”

E( φ( t)) = const.

8.6

Das Lebesguesche Maß

Was ist der Flächeninhalt einer vorgelegten ebenen Figur? Für einfache Figu-
ren wie ein Rechteck ist die Antwort offensichtlich, nämlich das Produkt der

Seitenlängen; für kompliziertere Dinge wie Kreise, Ellipsen etc. hält die Schul-
mathematik Formeln bereit, die mit der Ausschöpfung durch einfache Figuren
wie Recht- oder Dreiecke begründet werden. Durch die Riemannsche Integration
kommen noch Ordinatenmengen – die Fläche unter einer Kurve“ – hinzu.

”

Was hier begrifflich geschieht, ist, dass gewissen Teilmengen A des R2 eine

Zahl λ( A), ihr Flächeninhalt, zugewiesen wird, und zwar so, dass Rechtecken ihr
elementargeometrischer Inhalt zugeordnet wird. Ferner erwartet man, dass das

”

Ganze die Summe seiner Teile“ ist: Sind A 1 , . . . , An paarweise disjunkt, so sollte
λ( A 1 ∪ · · · ∪ An) = λ( A 1) + · · · + λ( An) sein. Es waren Borel und Lebesgue, die
um 1900 erkannten, dass diese Form der Additivität zu kurz greift; schließlich ist
ein Kreis keine endliche Vereinigung von Rechtecken, wohl aber eine abzählbar
unendliche. Daher stellt sich das folgende Maßproblem:

Gibt es eine Abbildung auf der Potenzmenge des R2, λ: P(R2) → [0 , ∞], mit
folgenden Eigenschaften:

(1) Für ein Rechteck A = [ a 1 , b 1] × [ a 2 , b 2] gilt
λ( A) = ( b 1 − a 1)( b 2 − a 2) .

(2) Sind A 1 , A 2 , . . . paarweise disjunkt, so gilt
λ( A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ) = λ( A 1) + λ( A 2) + · · · .

(3) Es gilt stets λ( x + A) = λ( A), wobei x + A = { x + a | a ∈ A }.

Wenn ja, ist sie eindeutig bestimmt?

Die Eigenschaft (2) heißt σ-Additivit¨
at und die Eigenschaft (3) Translations-
invarianz.

8.6

Das Lebesguesche Maß

203

Natürlich muss man hier akzeptieren, dass der Wert ∞ angenommen wird,
denn was sollte λ(R2) sonst sein? Eine positive Lösung würde den Flächeninhalt
dann axiomatisch charakterisieren.

In dieser mathematischen Präzision stellt sich das Maßproblem in jeder Di-
mension, wenn man (1) entsprechend anpasst; das gilt auch für die Dimension 1,
in der Praktiker nichts anderes als Intervalle messen wollen. Die Lösung des

Maßproblems ist aber fundamental für den Aufbau des Lebesgueschen Integral-
begriffs und daher in jeder Dimension relevant.

Zunächst einmal ist die Lösung sehr ernüchternd: Es gibt nämlich keine sol-
che Abbildung, zumindest nicht, wenn man mit der Mengenlehre ZFC operiert,
die das Auswahlaxiom einschließt (siehe Abschnitt 12.5). Und doch gibt es ein
positives Resultat, wenn man darauf verzichtet, λ für alle Teilmengen definieren
zu wollen, und sich damit bescheidet, dies für hinreichend viele Teilmengen zu
tun.

Zur Präzisierung und zum Nachweis dieses Sachverhalts muss man sich durch
eine recht trockene und manchmal schwer zu visualisierende Begriffswelt schla-
gen. Der Kernbegriff ist jedoch unumgänglich, nicht nur hier, sondern auch in
der Wahrscheinlichkeitstheorie, und das ist der einer σ-Algebra. Eine σ-Algebra
auf einer Menge M ist ein System A von Teilmengen von M mit folgenden drei

Eigenschaften:

(a) ∅ ∈ A .

(b) Mit A liegt auch das Komplement M \ A in A .

(c) Sind A

∞

1 , A 2 , . . . ∈ A , so auch

A
j=1
j .

Triviale Beispiele sind die Potenzmenge von M (die größte σ-Algebra) und

{∅, M} (die kleinste σ-Algebra). Für die Analysis auf dem R d ist die bei wei-
tem wichtigste σ-Algebra die Borelsche σ-Algebra B o(R d); diese ist definiert
als der Schnitt sämtlicher σ-Algebren, die alle offenen Teilmengen enthalten.

Sie ist also die kleinste σ-Algebra, die die offenen Teilmengen umfasst. Leider
ist es meistens recht schwerfällig nachzuweisen, dass eine gegebene Teilmen-
ge eine Borelmenge ist. Für Q argumentiert man z. B. so. Man schreibe Q als

Abz

∞
ählung {r 1 , r 2 , . . . } =

{r
j=1
j }; jede Menge {rj } ist abgeschlossen und des-
halb gemäß (b) borelsch, und nun zeigt (c), dass auch Q borelsch ist. Obwohl
es nichtborelsche Mengen gibt, kann man aber mit nur geringer Übertreibung
behaupten, dass jede wichtige Menge A ⊆ R d eine Borelmenge ist. Kurzum,
man vergibt sich fast nichts, wenn man statt aller Teilmengen von R d nur die

Borelmengen betrachtet. Über einige Paradoxa der Maßtheorie, die mit patholo-
gischen, insbesondere nichtborelschen Mengen zusammenhängen, berichtet der

Abschnitt 12.7.

Nun können wir die positive Lösung des Maßproblems formulieren.

Es gibt genau eine Abbildung λ: B o(R d) → [0 , ∞] mit:

(1) λ([ a 1 , b 1] × · · · × [ ad, bd]) = ( b 1 − a 1) · · · ( bd − ad) .

204

8 Höhere Analysis

(2) Sind A 1 , A 2 , . . . ∈ B o(R d) paarweise disjunkt, so gilt
λ( A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ) = λ( A 1) + λ( A 2) + · · · .

(3) F¨
ur jede Borelmenge A und jedes x ∈ R d gilt λ( x + A) = λ( A) .

Man nennt λ das d-dimensionale Lebesguemaß.

Der Beweis des Satzes ist nicht einfach und technisch aufwändig, aber letzt-
endlich konstruktiv, denn der Ansatz

- ∞

∞

.

λ( A) = inf
λ( Ij) | A ⊆

Ij, Ij Intervall
j=1
j=1
führt zum Erfolg; mit Intervall ist hier eine Menge wie unter (1) gemeint, wofür
λ ja vorgegeben ist. Man nennt A ⊆ R d eine Nullmenge, wenn das obige Infimum

= 0 ist.

Kehren wir zur einleitenden Frage dieses Abschnitts zurück. Wie berich-
tet, besitzen borelsche Mengen einen kanonisch definierten Flächeninhalt. Jetzt
können wir den Kreis zum Ausgangspunkt des Riemannschen Integrals schlie-
ßen. Für eine stückweise stetige Funktion f : [ a, b] → [0 , ∞) ist nämlich in der

Tat A = { ( x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f ( x) }, die Menge der Punkte unter

”

der Kurve“, eine Borelmenge mit λ( A) =
b f( x) dx.

a

8.7

Das Lebesguesche Integral

Das Riemannsche Integral ist recht einfach zu erklären und führt zu einer be-
friedigenden Theorie für stetige Funktionen auf einem kompakten Intervall.

Alles, was darüber hinausgeht, ist beim Riemannschen Zugang jedoch recht
schwerfällig: Unbeschränkte Funktionen und nicht kompakte Intervalle ver-
langen einen weiteren Grenzübergang, der punktweise Grenzwert einer Folge

Riemann-integrierbarer Funktionen braucht nicht integrierbar zu sein (selbst
wenn die Grenzfunktion beschränkt ist), Sätze über die Vertauschbarkeit von Li-
mes und Integral sind jenseits der gleichmäßigen Konvergenz nur sehr mühevoll
zu gewinnen, und der Übergang ins Höherdimensionale macht Probleme. Da-
her ist das Riemannsche Integral für die Bedürfnisse der höheren Analysis
nicht der Weisheit letzter Schluss, und J. Dieudonné schreibt im ersten Band
seiner Grundz¨
uge der modernen Analysis leicht verächtlich, das Riemannsche

Integral habe heute bestenfalls den Stellenwert einer
halbwegs interessanten

”

Übungsaufgabe“.

Mit dem Lebesgueschen Integral steht jedoch ein Integralbegriff zur

Verfügung, der diese Mankos überwindet. Wir besprechen zuerst, wie man das

Lebesguesche Integral einer Funktion f ≥ 0 auf einem Intervall I erklärt; hierbei
dürfen sowohl das Intervall als auch die Funktion unbeschränkt sein. Die Grund-
idee ist, die Funktion durch Treppenfunktionen fn zu approximieren, wofür sich

8.7

Das Lebesguesche Integral

205
ein Integralbegriff aufdrängt, und dann den Grenzübergang n → ∞ zu machen.

Das ist oberflächlich betrachtet die gleiche Strategie wie beim Riemannschen

Integral. Im Ansatz unterscheiden sich die beiden Integralbegriffe dadurch, dass
man beim Riemannschen Integral den Definitionsbereich in kleine Teilintervalle
aufteilt und beim Lebesgueschen den Wertevorrat, also [0 , ∞). Lebesgue selbst
hat in einem Vortrag das unterschiedliche Vorgehen so veranschaulicht: Das

Riemannsche Vorgehen ähnele einem Kaufmann ohne System“, der seine Ein-

”

nahmen in der Reihenfolge zählt, in der er sie erhält. Seinen eigenen Ansatz
vergleicht er mit dem eines umsichtigen Kaufmanns“, der m( E

”

1) Münzen zu

1 Krone, m( E 2) Münzen zu 2 Kronen, m( E 3) Scheine zu 5 Kronen etc. zählt
und natürlich dieselben Gesamteinnahmen bilanziert, weil er, wie reich er auch

”

sei, nur eine endliche Anzahl von Banknoten zu zählen hat.“ Und Lebesgue
ergänzt: Aber für uns, die wir unendlich viele Indivisiblen zu zählen haben, ist

”

der Unterschied zwischen den beiden Vorgehensweisen wesentlich.“

Schauen wir uns nun die Details an. Zu n ≥ 1 setze

˜
k
k
k + 1
fn( x) =
für

≤ f( x) <

, k = 0 , 1 , 2 , . . .

2 n

2 n

2 n
und
fn( x) = min { ˜
fn( x) , 2 n}.

Die Skizze zeigt ein Beispiel für ei-
f(x)

ne Funktion f und f 1. Die Funktion
fn nimmt nur die endlich vielen Werte

0 , 1 /

2

2 n, 2 / 2 n, . . . , 2 n an, und zwar k/ 2 n auf
der Menge Ek,n = f − 1[[ k/ 2 n, k+1 / 2 n)],
dem Urbild dieses Intervalls unter f , und

1

2 n auf En = f − 1[[2 n, ∞)]. Nun gibt es
einen naheliegenden Kandidaten für das

0
x

Integral von fn; der Beitrag über der

0

1

2

3

Menge Ek,n sollte k/ 2 n mal Länge von

”

Ek,n“ sein. Im Beispiel der Skizze ist sichtlich“ E

”

k,n stets eine endliche Verei-
nigung von Intervallen und hat daher eine wohldefinierte Länge. Um diese Größe
allgemein als Lebesguesches Maß von Ek,n interpretieren zu können und so den

Weg zum Lebesgueschen Integral weiter zu beschreiten, machen wir jetzt über f
die Annahme, dass für alle Intervalle J das Urbild f − 1[ J ] eine Borelmenge ist;
solche Funktionen werden Borel-messbar genannt. Es folgt dann übrigens, dass
sogar für alle Borelmengen A das Urbild f − 1[ A] seinerseits eine Borelmenge ist,
was häufig als Definition der Messbarkeit benutzt wird.

Für Borel-messbares f ≥ 0 ist daher

4 n− 1
k
fn dλ =
λ( E

2 n
k,n) + 2 nλ( En) ∈ [0 , ∞]

(8.9)

I
k=0

206

8 Höhere Analysis
erklärt. Ferner gilt ja f 1( x) ≤ f 2( x) ≤ . . . und fn( x) → f ( x) für alle x (man sagt, ( fn) konvergiere monoton); daraus folgt, dass auch die Folge der Integrale
f

I
n dλ monoton wächst. Daher können wir für Borel-messbare Funktionen
f ≥ 0 das Lebesguesche Integral

f dλ = lim
fn dλ ∈ [0 , ∞]

n→∞

I

I
definieren. Ist das Integral endlich, heißt f integrierbar.

An diesem Vorgehen ist ein Aspekt unbefriedigend, nämlich, dass wir f
auf eine penibel vorgeschriebene Art und Weise durch Treppenfunktionen ap-
proximiert haben. Wäre dasselbe Ergebnis herausgekommen, wenn man den

Wertevorrat durch Intervalle der Länge 3 −n statt 2 −n diskretisiert hätte?

Glücklicherweise ja: Sind ( gn) und ( hn) Folgen Borel-messbarer Treppenfunk-

tionen, die monoton gegen f konvergieren, so gilt lim n
g
h

I
n dλ = lim n

I
n dλ.

Im letzten Schritt befreien wir uns nun von der Positivitätsannahme. Ist f :

I → R Borel-messbar, so sind es auch der Positiv- bzw. Negativteil f +: x →
max {f ( x) , 0 } bzw. f −: x → max {−f ( x) , 0 }; es ist dann f = f + − f −. f heißt

integrierbar, wenn f + und f − es sind, mit anderen Worten, wenn

|f| dλ < ∞

I
ist. In diesem Fall setzt man

f dλ =
f + dλ −
f − dλ.

I

I

I

Es ist nun nicht schwer zu zeigen, dass die integrierbaren Funktionen einen

Vektorraum bilden, auf dem f →
f dλ linear ist. Das ist genauso wie in der

I

Riemannschen Theorie, und jeder Integralbegriff sollte das leisten. Ferner stellt
sich beruhigenderweise heraus, dass das Riemannsche und das Lebesguesche

Integral einer stückweise stetigen Funktion denselben Wert haben. Deswegen
wird das Lebesguesche Integral über [ a, b] auch mit dem traditionellen Symbol
b f( x) dx bezeichnet.

a

Was die Lebesguesche Theorie so überlegen macht, ist die Leichtigkeit, mit
der Grenzwertsätze bewiesen werden können; das ist ihr gewissermaßen durch
die σ-Additivität des Lebesgueschen Maßes, worauf sie basiert, in die Wiege
gelegt. Der wohl wichtigste Grenzwertsatz ist der Lebesguesche Konvergenzsatz,
auch Satz von der dominierten Konvergenz genannt:

Seien g, f 1 , f 2 , . . . : I → R integrierbar. Es gelte |fn( x) | ≤ g( x) sowie
fn( x) → f ( x) für alle x. Dann ist auch f integrierbar, und es gilt

fn dλ →
f dλ.

I

I

Man beachte, dass nur die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge voraus-
gesetzt wird.

8.8

Der Gaußsche Integralsatz

207

Ein weiterer Vorzug der Lebesgueschen Theorie ist ihre Flexibilität. Bei der

Einführung des Lebesgueschen Integrals ist an keiner Stelle ausgenutzt worden,
dass die Funktion auf einem Intervall definiert war. Das geschah nur sehr indi-
rekt, indem in (8.9) das eindimensionale Lebesguemaß verwandt wurde. Daher
lässt sich genauso ein Lebesgue-Integral für Funktionen gewinnen, die auf einer

Borelmenge des R d erklärt sind. Zur Berechnung solcher Funktionen steht der
mächtige Satz von Fubini zur Verfügung, der z. B. Integrale über R2 auf iterierte

Integrale zurückführt; kurz besagt er

+

,

+

,
f ( x, y) d( x, y) =
f ( x, y) dx
dy =
f ( x, y) dy
dx.

R2

R

R

R

R

Noch allgemeiner gestattet die obige Vorgehensweise, ein Integral auf einer Men-
ge zu definieren, auf der ein σ-additives Maß vorliegt. Das ist die Grundlage der

Wahrscheinlichkeitstheorie; siehe insbesondere Abschnitt 11.1 und 11.3.

8.8

Der Gaußsche Integralsatz

Der Gaußsche Integralsatz (auch als Divergenzsatz bekannt) kann als mehr-
dimensionale Version des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung
angesehen werden. Wenn wir diesen für eine stetig differenzierbare Funktion f
in der Form
b
f ( x) dx = f ( b) − f ( a)

(8.10)

a
formulieren, können wir seine Aussage so wiedergeben: Das Integral über die

Ableitung ist gleich einer
orientierten Summe der Randwerte der Funktion“,

”

orientiert deshalb, weil ein Plus- und ein Minuszeichen auftauchen.

Der Gaußsche Integralsatz macht eine ganz ähnliche Aussage, die aber einige
weitere Begriffe voraussetzt. Wir beschreiben diese zuerst für den R3, genauer
für die Kugel B = {x ∈ R3 | x ≤ ρ}. Statt einer Funktion f betrachten
wir nun ein in einer Umgebung U von B definiertes stetig differenzierbares

Vektorfeld f : U → R3, und statt der Ableitung betrachtet man die Divergenz
von f = ( f 1 , f 2 , f 3),

∂f

∂f

∂f
div f =

1 +

2 +

3 .

∂x 1

∂x 2

∂x 3

Dies ist eine stetige Funktion auf U . Die linke Seite in (8.10) muss man im

Gaußschen Integralsatz durch

(div f )( x) dx ersetzen. Nun zur rechten Sei-

B
te, der orientierten Summe der Randterme. Hier erwartet man jetzt ein Inte-
gral über den Rand von B; dieses nimmt im Gaußschen Integralsatz die Form
f( x) ,ν( x) dS( x) an. Hier ist erklärungsbedürftig, was ν( x) und dS( x) be-

∂B
deuten.

208

8 Höhere Analysis

Ersteres ist einfach, zumindest im Fall der Kugel. Für x ∈ ∂B ist ν( x) der nach
außen (hierin liegt die Orientierung des Randes) weisende Vektor der Länge 1,
der in x senkrecht auf dem Rand der Kugel steht; das ist einfach x/ x = x/ρ.

Mit dS( x) ist angedeutet, dass gemäß des kanonischen Oberflächenmaßes zu
integrieren ist. Um das zu erklären, stellen wir uns die Kugeloberfläche mit

Hilfe von Längen- und Breitengraden parametrisiert vor, d. h., wir wählen die

Parametrisierung

Φ: [0 , 2 π] × [0 , π] → ∂B,

Φ( t 1 , t 2) = (cos t 1 sin t 2 , sin t 1 sin t 2 , cos t 2) .

Nun betrachten wir ein kleines“ Rechteck R in der t

”

1- t 2-Ebene um den Punkt t.

Es wird unter Φ auf ein
kleines krummliniges Viereck“ abgebildet. Wenn Φ

”

linear wäre, wäre Φ( R) ein Parallelogramm mit Flächeninhalt (det Φ T Φ)1 / 2.

Aber als differenzierbare Abbildung wird Φ im Kleinen von linearen Abbildun-
gen approximiert, also ist es plausibel, dass Φ( R) ungefähr den Flächeninhalt

(det( DΦ)( t) T ( DΦ)( t))1 / 2 haben sollte, wobei ( DΦ)( t) die Jacobi-Matrix von Φ
bei t ist. Wir setzen daher gΦ( t) = det( DΦ)( t) T ( DΦ)( t) und für eine stetige

(oder beschränkte borelsche) Funktion h: ∂B → R

2 π
π
h( x) dS( x) =
h(Φ( t)) gΦ( t)1 / 2 dt 2 dt 1 .

∂B

0

0

Der Term gΦ( t) wird auch Maßtensor genannt, explizit ist in unserem Bei-
spiel gΦ( t) = sin2 t 2. Implizit haben wir übrigens das Lebesguesche Maß auf

der Kugeloberfläche erklärt, nämlich durch λ∂B( A) =
χ

∂B

A( x) dS( x) mit der

Indikatorfunktion χA( x) = 1 für x ∈ A und χA( x) = 0 für x /

∈ A.

Der Gaußsche Integralsatz lautet nun

(div f )( x) dx =
f( x) , ν( x) dS( x) .

(8.11)

B

∂B

Nicht nur ist die Aussage zu der des Hauptsatzes analog, auch der Beweis wird
auf diesen zurückgeführt. Für Physiker ist (8.11) im Übrigen evident, denn die

Divergenz ist ein Maß für die Quellstärke einer stationären Strömung, so dass
auf der linken Seite die insgesamt in B erzeugte Substanz steht, die dem, was
durch den Rand fließt, die Waage halten muss, und das steht auf der rechten

Seite.

Die obigen Ausführungen können genauso gemacht werden, wenn eine kom-
pakte Teilmenge B ⊆ R n mit glattem Rand statt einer Kugel betrachtet wird.

Auch dann kann man die Existenz eines eindeutig bestimmten äußeren Einheits-
normalenfeldes ν nachweisen und mit einer entsprechenden Parametrisierung Φ
arbeiten. Möglicherweise braucht man aber mehrere Φ (einen endlichen Atlas“),

”

um ganz ∂B zu überdecken. Jedenfalls gilt (8.11) in voller Allgemeinheit.

8.9

Holomorphe Funktionen

209

Eine wichtige Anwendung des Gaußschen Integralsatzes ist die Formel von
der partiellen Integration. Seien U ⊆ R n offen, B ⊆ U kompakt mit glattem

Rand, f, g: U → R stetig differenzierbar, und g verschwinde auf ∂B. Dann ist

∂g

∂f
f ( x)

( x) dx = −

( x) g( x) dx.

∂x

∂x

B
j

B
j

Diese und andere Anwendungen wie die Greenschen Formeln sind fundamental
in der Theorie partieller Differentialgleichungen.

8.9

Holomorphe Funktionen

Die Funktionentheorie beschäftigt sich mit den differenzierbaren Funktionen
einer komplexen Veränderlichen auf einer offenen Teilmenge von C, also solchen

Funktionen f : U → C, für die für alle z ∈ U der Grenzwert
f ( z + h) − f ( z)

f ( z) = lim
h→ 0
h
existiert. Wenngleich diese Definition identisch mit der Definition der Ablei-
tung einer reellen Funktion auf einem Intervall ist, sind die Konsequenzen völlig
unterschiedlich, von denen einige im Folgenden vorgestellt werden sollen. Des-
halb tragen komplex-differenzierbare Funktionen auch einen eigenen Namen, sie
werden holomorph (oder analytisch; weshalb, wird gleich erklärt) genannt.

Der erste Unterschied ist, dass komplex-differenzierbare Funktionen automa-
tisch beliebig häufig differenzierbar sind und sogar in einer Umgebung jedes

Punkts des Definitionsbereichs durch eine Potenzreihe dargestellt werden:

∞
f( k)( z
f ( z) =

0) ( z − z
k!

0) k.

k=0

Die Reihe konvergiert in jedem offenen Kreis um z 0, der in U liegt. Funktio-
nen, die durch Potenzreihen dargestellt werden, heißen analytisch; daher ist die

Namensgebung analytisch“ für holomorph“ berechtigt.

”

”

Die nächste überraschende Eigenschaft drückt der Satz von Liouville aus: Je-
de auf ganz C holomorphe beschränkte Funktion ist konstant. Natürlich ist das
reelle Analogon zu diesem Satz falsch, wie das Beispiel der Sinusfunktion zeigt.

Andersherum kann man argumentieren, dass die komplexe Sinusfunktion, die

wie die reelle durch die Reihe

∞

( − 1) k zk definiert wird, unbeschränkt sein
k=0 (2 k+1)!

muss. Es gilt sogar der wesentlich tieferliegende Satz von Picard : Jede auf ganz

C holomorphe Funktion, die zwei komplexe Zahlen als Werte nicht annimmt,
ist konstant. Eine der Anwendungen des Satzes von Liouville ist der Fundamen-
talsatz der Algebra: Jedes nichtkonstante Polynom mit komplexen Koeffizienten
hat mindestens eine komplexe Nullstelle.

210

8 Höhere Analysis

Aus der Potenzreihenentwicklung schließt man den Identitätssatz für holomor-
phe Funktionen auf Gebieten. Eine offene zusammenhängende Teilmenge von C
wird Gebiet genannt; das ist eine offene Teilmenge G, in der je zwei Punkte

”

durch einen stetigen Weg verbunden werden können“, d. h., zu z 0 , z 1 ∈ G exis-
tiert eine stetige Abbildung γ: [ α 0 , α 1] → G mit γ( α 0) = z 0 und γ( α 1) = z 1.

(Diese Beschreibung zusammenhängender offener Teilmengen von C ist mit der
allgemeinen topologischen Definition kompatibel; vgl. Abschnitt 9.5.) Der Iden-
tit¨
atssatz besagt, dass zwei holomorphe Funktionen auf einem Gebiet G be-
reits dann übereinstimmen, wenn sie nur auf einer in G konvergenten Folge
übereinstimmen.

Auch die Konvergenzaussagen über Folgen holomorpher Funktionen gestal-
ten sich viel glatter als in der reellen Theorie; zu letzterer vgl. Abschnitt 7.8. Es
gilt nämlich der Weierstraßsche Konvergenzsatz : Sind fn: U → C holomorphe

Funktionen auf einer offenen Menge und konvergiert die Folge ( fn) auf kom-
pakten Teilmengen von U gleichmäßig, etwa gegen die Grenzfunktion f , so ist
f ebenfalls holomorph, und ( f n) konvergiert auf kompakten Teilmengen von U
gleichmäßig gegen f .

All diese Aussagen basieren auf dem Cauchyschen Integralsatz, dem Dreh-
und Angelpunkt der Funktionentheorie. Bei diesem geht es um komplexe Kur-
venintegrale. Um ein solches Integral zu erklären, sei γ: [ α, β] → C eine steti-
ge und stückweise stetig differenzierbare Kurve, im Folgenden kurz Kurve ge-
nannt (vgl. auch Abschnitt 7.12). Ferner sei f eine auf der Spur von γ, also auf

Sp( γ) = {γ( t) | α ≤ t ≤ β} erklärte stetige Funktion. Dann definiert man

β
f ( z) dz =
f ( γ( t)) γ( t) dt.

γ
α

Nun sei f : G → C holomorph auf einem Gebiet, und γ sei zusätzlich geschlos-
sen, was nichts anderes als γ( α) = γ( β) bedeutet. Der Cauchysche Integralsatz

behauptet dann
f ( z) dz = 0, vorausgesetzt, dass das Innere“ von Sp( γ) zu G
γ

”

gehört. Was das bedeutet, ist im Fall, dass γ eine Kreislinie beschreibt, klar, im

Allgemeinen aber nicht so offensichtlich, wie es auf den ersten Blick erscheint.

Man möchte ausdrücken, dass Sp( γ) keine

Löcher“ von G umschließt.

”

Klärung bietet hier der Begriff der Homotopie, über den ausführlich in Ab-
schnitt 9.10 berichtet wird. Zwei geschlossene Kurven γ 0 , γ 1: [ α, β] → G heißen
in G homotop, wenn es eine stetige Abbildung H: [0 , 1] × [ α, β] → G gibt mit
folgenden Eigenschaften: H(0 , t) = γ 0( t), H(1 , t) = γ 1( t), H( s, 0) = H( s, 1) für

8.10

Der Residuensatz

211
alle s und t. Die Vorstellung ist, dass γ 0 mit Hilfe der geschlossenen Wege γs:

t → H( s, t) stetig in γ 1 überführt wird, ohne G zu verlassen. Eine geschlosse-
ne Kurve heißt nullhomotop, wenn sie zu einer konstanten Kurve homotop ist.

Wenn jede geschlossene Kurve in G nullhomotop ist, nennt man G einfach zu-
sammenh¨
angend ; anschaulich hat ein solches Gebiet keine Löcher. Beispielsweise
sind konvexe Gebiete einfach zusammenhängend.

Nun können wir den Cauchyschen Integralsatz präzise formulieren.

Sei G ein Gebiet, und sei γ eine nullhomotope geschlossene Kurve.

Ferner sei f : G → C holomorph. Dann gilt

f ( z) dz = 0 .

γ

Weiter gilt dies f¨
ur alle geschlossenen Kurven, wenn G einfach zu-
sammenh¨
angend ist.

Eine Weiterentwicklung dieses Satzes ist der Residuensatz, über den der
nächste Abschnitt berichtet.

8.10

Der Residuensatz

In diesem Abschnitt befassen wir uns mit Funktionen, die
bis auf einzelne

”

Stellen“ in einem Gebiet holomorph sind, wie etwa f ( z) = 1 /z, wo z 0 = 0 solch
ein Ausnahmepunkt ist.

Technisch gesehen seien ein Gebiet G und eine Teilmenge S ⊆ G vorgegeben,
wobei S keinen Häufungspunkt in G hat (zum Beispiel eine endliche Menge). Fer-
ner sei f : G \ S → C holomorph; die Punkte in S werden die Singularitäten von
f genannt. Sie sind isoliert in dem Sinn, dass f in einer punktierten Umgebung
von z 0 ∈ S, also in ˙

B( z 0 , r) = {z ∈ C | 0 < |z − z 0 | < r} holomorph ist. Isolierte

Singularitäten fallen in drei Kategorien: einmal die hebbaren Singularit¨
aten, die
dadurch bestimmt sind, dass man durch eine geschickte Zuweisung eines Wertes
f ( z 0) eine auf dem ganzen Kreis B( z 0 , r) holomorphe Funktion erhält, dann
die Pole, für die lim z→z |f ( z) | = ∞ ist, und schließlich alle

0
übrigen, die man
wesentliche Singularit¨
aten nennt. Der Satz von Casorati-Weierstraß charakte-
risiert wesentliche Singularitäten dadurch, dass das Bild jeder punktierten Um-
gebung ˙

B( z 0 , ε) dicht in C liegt. Typische Beipiele sind f ( z) = sin z/z ( z 0 = 0
ist hier eine hebbare Singularität; man setze nämlich f (0) = 1), f ( z) = 1 /z

( z 0 = 0 ist hier ein Pol) und f ( z) = exp(1 /z) ( z 0 = 0 ist hier eine wesentliche

Singularität).

Ist die Funktion f im punktierten Kreis ˙

B( z 0 , r) holomorph, kann man f in
eine Laurentreihe

∞

f ( z) =
cn( z − z 0) n
n= −∞

212

8 Höhere Analysis
entwickeln; hebbare Singularitäten sind jetzt dadurch charakterisiert, dass
cn = 0 für alle n < 0, Pole dadurch, dass cn = 0 für mindestens ein und
höchstens endlich viele n < 0, und wesentliche Singularitäten dadurch, dass
cn = 0 für unendlich viele n < 0 gilt. Besitzt f nur Pole als Singularitäten,
nennt man f meromorph. Der Koeffizient c− 1 ist von besonderer Bedeutung; er
wird Residuum genannt und mit res( f ; z 0) bezeichnet.

Der Residuensatz berechnet für eine holomorphe Funktion mit isolierten Sin-

gularitäten das Kurvenintegral
f ( z) dz durch eine gewichtete Summe der Re-
γ
siduen. Die Wichtung zählt dabei, wie häufig γ eine Singularität z 0 /

∈ Sp( γ)

umrundet“. Diese Größe wird durch die Umlaufzahl

”

1
dz
n( γ; z 0) = 2 πi
z − z
γ

0
wiedergegeben, von der man nachweist, dass sie stets eine ganze Zahl ist, die
in einfachen Fällen mit der elementargeometrischen Umlaufzahl übereinstimmt;
z. B. ist für die einmal im Uhrzeigersinn durchlaufene Kreislinie, parametrisiert
durch γ: [0 , 2 π] → C, γ( t) = eit, die Umlaufzahl n( γ; z 0) = 1, wenn |z 0 | < 1, und n( γ; z 0) = 0, wenn |z 0 | > 1.

Die präzise Fassung des Residuensatzes lautet:

Seien G ein Gebiet, S ⊆ G eine (notwendigerweise höchstens ab-
z¨
ahlbare) Teilmenge ohne H¨
aufungspunkte in G, f : G \ S → C holo-
morph, und sei γ eine nullhomotope Kurve in G mit S ∩ Sp( γ) = ∅.

Dann gilt

1

f ( z) dz =
n( γ; z

2 πi

0) res( f ; z 0) .

γ
z 0 ∈S

Der Satz kann recht einfach auf den Cauchyschen Integralsatz zurückgeführt
werden. Er hat viele Anwendungen in der Funktionentheorie, aber auch in der
reellen Analysis bei der Berechnung uneigentlicher Integrale. Das soll an ei-
nem Beispiel skizziert werden, das freilich auch mit reellen Methoden behan-

∞
delt werden könnte. Um das uneigentliche Riemannsche Integral

1

−∞ / 1+ x 4 dx
zu berechnen, kann man folgenden Umweg ins Komplexe machen. Sei f ( z) =

1 / 1+ z 4; diese Funktion ist meromorph mit den Polen z 1 = eiπ/ 4, z 2 = ei 3 π/ 4,
z 3 = ei 5 π/ 4, z 4 = ei 7 π/ 4. Für R > 1 integrieren wir f über die folgende Kurve γ = γ( R): Sp( γ) verläuft auf der reellen Achse von −R bis R (diesen Teil der

Kurve nennen wir γ 1) und dann längs eines Halbkreises mit Radius R in der
oberen Halbebene von R nach −R (diesen Teil der Kurve nennen wir γ 2). Nach
dem Residuensatz ist

1

1
π
f ( z) dz = res( f ; z

√ ;

2 πi

1) + res( f ; z 2) = 2 πi
γ

2

8.11

Fixpunktsätze

213

die letzte Gleichung erfordert eine kurze Rechnung. Ferner ist
f ( z) dz =
γ 1

R

− f ( x) dx sowie lim
f ( z) dz = 0. Daraus ergibt sich

R

R→∞ γ 2 ∞ 1
π
dx = √ .

−∞ 1 + x 4

2

8.11

Fixpunkts¨
atze

Das Lösen von Gleichungen ist eine Kernaufgabe der Mathematik, und in der
öffentlichen Wahrnehmung wird sie bisweilen als damit identisch angesehen.

Es ist eine Binsenweisheit, dass man durch Umformen Gleichungen häufig in
eine besser zugängliche Form bringen kann; zum Beispiel ist 4 ξ − cos ξ = sin ξ
äquivalent zur Gleichung 1 / 4(cos ξ + sin ξ) = ξ. In dieser Gestalt erkennen wir
die Gleichung als Fixpunktaufgabe wieder, nämlich für die Abbildung F : x →

1 / 4(cos x + sin x) ist ein Fixpunkt gesucht, das ist ein ξ, das unter F invariant
gelassen wird:

F ( ξ) = ξ.

In der mathematischen Literatur gibt es Hunderte von Aussagen der folgenden

Form: Gewisse Abbildungen F : M → M besitzen einen Fixpunkt. Nur die
wenigsten dieser Fixpunktsätze sind wirklich bedeutsam; in diesem Abschnitt
diskutieren wir drei der wichtigsten.

Zunächst ist der Banachsche Fixpunktsatz zu nennen.

Sei ( M, d) ein nichtleerer vollst¨
andiger metrischer Raum, und sei F :

M → M eine Kontraktion; d. h., es existiert eine Zahl q < 1 mit
d( F ( x) , F ( y)) ≤ q d( x, y) für alle x, y ∈ M.

Dann besitzt F genau einen Fixpunkt. Genauer gilt: Ist x 0 ∈ M
beliebig, so konvergiert die durch
xn+1 = F ( xn) , n ≥ 0 ,
definierte Iterationsfolge gegen den eindeutig bestimmten Fixpunkt
ξ, und zwar ist
d( xn, ξ) ≤ qn d( x

1 − q

1 , x 0) .

Die Grundidee des Beweises soll kurz angedeutet werden. Durch einen

Teleskopsummentrick schätzt man d( x
k− 1
n+ k, xn) ≤
d( x
j=0
n+ j+1 , xn+ j ) ≤
k− 1 qn+ jd( x
j=0

1 , x 0) ab. Das zeigt, dass ( xn) eine Cauchy-Folge ist; der Grenz-
wert ξ muss dann ein Fixpunkt sein. Durch Grenzübergang k → ∞ folgt die
behauptete a-priori-Abschätzung für d( xn, ξ), und die Eindeutigkeit des Fix-
punkts ist eine unmittelbare Konsequenz der Kontraktionsbedingung.

214

8 Höhere Analysis

Der Beweis ist konstruktiv. Man erhält den Fixpunkt explizit als Grenzwert
der Iterationsfolge, und mittels der a-priori-Abschätzung weiß man, wie viele

Terme man zur Approximation bis zur gewünschten Genauigkeit benötigt.

Der Banachsche Fixpunktsatz wartet mit einem so günstigen Preis-Leistungs-

Verhältnis auf wie kaum ein anderer Satz der Mathematik; bei fast trivialem

Beweis ist er praktisch universell anwendbar, vom Newtonverfahren bis zu den

Fraktalen. Wir haben im Abschnitt 8.4 über den Satz von Picard-Lindelöf be-
reits angedeutet, wie ein Anfangswertproblem für ein System gewöhnlicher Diffe-
rentialgleichungen in ein äquivalentes Fixpunktproblem überführt werden kann.

Die Schwierigkeit bei der Anwendung des Banachschen Fixpunktsatzes liegt in
der Regel nicht darin, die Abbildung F zu finden, sondern vielmehr eine Menge

M als Definitionsbereich, die unter F invariant ist und auf der F kontraktiv ist.

Das trifft insbesondere beim Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf zu.

Auf das einleitende Beispiel F ( x) = 1 / 4(cos x + sin x) zurückkommend, sieht
man hier sofort, dass F das Intervall [ − 1 / 2 , 1 / 2] in sich abbildet und wegen des

Mittelwertsatzes eine Kontraktion mit q = 1 / 2 ist (vgl. (7.9) in Abschnitt 7.5).

Der eindeutige Fixpunkt ist 0 . 31518. . . . Startet man die Iterationsfolge xn+1 =

F ( xn) bei x 0 = 0, lauten die ersten Glieder auf 5 Stellen

0; 0 . 25; 0 . 30407; 0 . 31338; 0 . 31489; 0 . 31513; 0 . 31517; 0 . 31518; 0 . 31518 .

Hier konvergiert die Iterationsfolge schneller als von der a-priori-Abschätzung
vorausgesagt, denn diese garantiert |xn − ξ| ≤ (1 / 2) n · 1 ≤ 10 − 5 für n ≥ 16,

1 / 2

4
obwohl bereits |x 7 − ξ| ≤ 10 − 5.

Kommen wir jetzt zum Brouwerschen Fixpunktsatz.

Sei B = {x ∈ R d | x ≤ 1 }, und sei F : B → B stetig. Dann besitzt

F einen Fixpunkt.

Dieser Satz liegt ungleich tiefer als der Banachsche Fixpunktsatz, außer im

Fall d = 1, wo er leicht auf den Zwischenwertsatz zurückgeführt werden kann. Es
ist nicht einmal intuitiv einleuchtend, ob die Aussage plausibel ist. Im Gegensatz
zum Banachschen Satz ist der Beweis hier nicht konstruktiv, und natürlich kann
man keine Eindeutigkeit erwarten (betrachte die identische Abbildung). In der

Tat gilt der Brouwersche Satz nicht nur für die Kugel, sondern für jede kompakte
konvexe Menge. In dieser Form lässt er sich sogar auf unendlich-dimensionale

Räume ausdehnen; das ist der Inhalt des Schauderschen Fixpunktsatzes:

Seien X ein normierter Raum, K ⊆ X nichtleer, kompakt und kon-
vex, und sei F : K → K stetig. Dann besitzt F einen Fixpunkt.

Auch der Brouwersche und der Schaudersche Fixpunktsatz haben zahllose

Anwendungen, zum Beispiel impliziert letzterer den Existenzsatz von Peano
aus Abschnitt 8.4.

8.12

Der Bairesche Kategoriensatz

215

8.12

Der Bairesche Kategoriensatz

Der Satz von Baire gestattet elegante Existenzbeweise (zum Beispiel für stetige

Funktionen, die an keiner Stelle differenzierbar sind) und führt außerdem zu
einem Kleinheitsbegriff für Teilmengen.

Der Ausgangspunkt ist die Beobachtung, dass in jedem metrischen Raum
der Schnitt von endlich vielen offenen und dichten Teilmengen wieder dicht
ist. (Dabei heißt D ⊆ M dicht, wenn D = M ist.) Wie das Beispiel von Q,
abgezählt als Q = { rn | n ∈ N }, mit den offenen dichten Mengen Q \ {rn}

demonstriert, braucht diese Aussage für abzählbar viele solche Teilmengen nicht
mehr zu gelten. Baire zeigte (ursprünglich für die reelle Achse), dass man jedoch
in vollständigen metrischen Räumen ein positives Resultat besitzt:

(Satz von Baire)

Ist ( M, d) ein vollst¨
andiger metrischer Raum und sind O 1 , O 2 , . . .

offen und dicht, so ist auch

∞

O
n=1
n dicht.

Dieser unscheinbar anmutende Satz, der gar nicht schwer zu beweisen ist, hat
sich zu einem universellen Prinzip der abstrakten Analysis entwickelt; einige

Anwendungen sollen gleich genannt werden.

Offene und dichte Teilmengen eines vollständigen metrischen Raums sind also
sehr dicht“, man kann nämlich abzählbar viele davon schneiden, und das Re-

”

sultat ist wieder eine dichte und insbesondere nichtleere Teilmenge. Man kann
noch einen Schritt weitergehen. Nennt man einen abzählbaren Schnitt offener

Mengen eine Gδ-Menge (hier soll G an Gebiet und δ an Durchschnitt erinnern),
so kann man die Aussage des Satzes von Baire auch folgendermaßen wieder-
geben, denn
abzählbar mal abzählbar ist abzählbar“: Der Schnitt abzählbar

”

vieler dichter Gδ-Mengen eines vollständigen metrischen Raums ist wieder eine
dichte Gδ-Menge.

Häufig drückt man den Baireschen Satz in einer etwas anderen Sprache aus,
die von Baire selbst stammt. Dazu benötigen wir ein paar Vokabeln. Eine Teil-
menge E von M heißt nirgends dicht, wenn ihr Abschluss keine inneren Punk-
te besitzt (zu diesen topologischen Grundbegriffen siehe Abschnitt 9.1); eine
abzählbare Vereinigung von nirgends dichten Mengen heißt Menge 1. Kategorie,
und eine Menge 2. Kategorie ist eine Menge, die nicht von 1. Kategorie ist. Ein

Beispiel einer Menge 1. Kategorie ist Q wegen der Darstellung Q =
n∈ N {rn}.

Durch Komplementbildung erhält man aus dem Satz von Baire die folgende

Fassung, die als Bairescher Kategoriensatz bekannt ist.

In einem vollst¨
andigen metrischen Raum ( M, d) liegt das Komple-
ment einer Menge 1. Kategorie dicht. Insbesondere ist M selbst von

2. Kategorie.

Man kann den Baireschen Kategoriensatz nutzen, um die Existenz mathema-
tischer Objekte mit vorgelegten Eigenschaften zu begründen, nach folgendem

216

8 Höhere Analysis

Muster. Gesucht sind etwa stetige Funktionen auf [0 , 1], die nirgends differen-
zierbar sind. Man betrachte dazu das Ensemble aller interessierenden Objek-
te (hier den Raum C[0 , 1] aller stetigen Funktionen) und mache es zu einem
vollständigen metrischen Raum (hier durch die von der Supremumsnorm ab-
geleitete Metrik). Dann zeige man, dass die Objekte, die die gewünschte Ei-
genschaft nicht haben, darin eine Menge 1. Kategorie bilden (das gelingt hier
für die Menge der stetigen Funktionen, die mindestens eine Differenzierbarkeits-
stelle haben). Da der gesamte Raum nach dem Baireschen Kategoriensatz von

2. Kategorie ist, muss es Elemente mit der gesuchten Eigenschaft (also stetige,
nirgends differenzierbare Funktionen) geben.

An dieser Beweisstrategie sind zwei Dinge bemerkenswert. Zum einen ist der

Beweis nicht konstruktiv; er liefert kein explizites Beispiel. Zum anderen zeigt
er aber das
typische“ Verhalten, denn eine Menge 1. Kategorie kann nach

”

dem Baireschen Satz als klein“, sogar als vernachlässigbar“ angesehen werden.

”

”

Die typische stetige Funktion ist also im Gegensatz zur Anschauung nirgends
differenzierbar, was die vormathematische Definition“, eine stetige Funktion sei

”

eine Funktion, deren Graphen man durchgehend zeichnen könne, ad absurdum
führt. Eine andere nichtkonstruktive Methode zum Beweis der Existenz stetiger,
nirgends differenzierbarer Funktionen hält die Wahrscheinlichkeitstheorie bereit,
siehe Abschnitt 11.12.

Es folgt eine Aufzählung weiterer Anwendungen; die Argumentation ist dabei
im Detail bisweilen recht verwickelt.

(1) Wenn fn: M → R stetige Funktionen auf einem vollständigen metrischen

Raum sind, die punktweise gegen die Grenzfunktion f konvergieren, so muss
f zwar nicht stetig sein, kann aber auch nicht vollkommen unstetig sein: Die

Stetigkeitspunkte von f bilden eine dichte Gδ-Menge. Insbesondere besitzt die

Ableitung einer differenzierbaren Funktion auf R viele“ Stetigkeitsstellen.

”

(2) Ist T : X → Y eine stetige bijektive lineare Abbildung zwischen zwei

Banachräumen, so ist auch die Umkehrabbildung stetig. Dieser Satz ist funda-
mental in der Funktionalanalysis.

(3) Es gibt stetige 2 π-periodische Funktionen, deren Fourierreihe an
überabzählbar vielen Stellen divergiert.

(4) Ist f : R → R beliebig häufig differenzierbar und existiert zu jedem x ∈ R
eine Ableitungsordnung n = nx mit f ( n)( x) = 0, so ist f ein Polynom.

Auf der reellen Achse kann man die Vernachlässigbarkeit einer Menge außer
durch den Mächtigkeitsbegriff (siehe Abschnitt 12.1) – abzählbare Teilmengen
von R sind gewiss als klein“ anzusehen – sowohl topologisch (Mengen 1. Ka-

”

tegorie) als auch maßtheoretisch (Nullmengen) messen. Zur Erinnerung: A ⊆ R
heißt Nullmenge, wenn es zu jedem ε > 0 eine Folge von Intervallen [ an, bn] mit

Gesamtlänge ≤ ε gibt, die A überdecken: A ⊆

[ a

( b
n
n, bn],
n
n − an) ≤ ε.

Erstaunlicherweise sind diese Kleinheitsbegriffe alles andere als deckungsgleich,
denn man kann R als Vereinigung einer Nullmenge und einer Menge 1. Kategorie
schreiben.

9 Topologie und Geometrie

Die Topologie beschäftigt sich mit dem Begriff des Raums und wird deshalb
oft als Teilgebiet der Geometrie gesehen. Daher mag es verwundern, dass eine

Grobeinteilung der Topologie das Gebiet der geometrischen Topologie expli-
zit erwähnt. Die anderen Hauptgebiete sind die mengentheoretische und die
algebraische Topologie. Die Verallgemeinerung des Raumkonzepts in der men-
gentheoretischen Topologie vom euklidischen zum metrischen und schließlich
topologischen Raum führt zu einem ausgesprochen flexiblen Konzept, dessen

Vokabular und Grundbegriffe Einzug in nahezu alle mathematischen Bereiche
gefunden hat. Was dabei Raum genannt wird, ist allerdings sehr allgemein,
sehr abstrakt und entzieht sich oft unserer Vorstellungskraft. Geometrische To-
pologie untersucht dagegen Räume, die zumindest im Kleinen sich nur wenig
von euklidischen Räumen unterscheiden. Algebraische Topologie entstand aus
dem erfolgreichen Versuch, Strukturen in diesen Räumen mit Hilfe algebraischer

Konzepte zu organisieren.

Die Grobeinteilung der Geometrie nennt neben der Topologie unter anderen
die Differentialgeometrie und die axiomatische Geometrie. Letztere beschäftigt
sich mit Mengen von Punkten, Geraden, Ebenen etc., zwischen denen Inzidenz-
beziehungen gelten, die gewisse Axiome erfüllen. Diese Art von Geometrie wird
traditionellerweise in der Schule unterrichtet. Sie hat nichts gemein mit der

Differentialgeometrie; diese betrachtet die Räume der geometrischen Topologie,
die zusätzlich eine infinitesimal definierte Metrik besitzen, wie Zustandsräume
klassischer mechanischer Systeme oder die Raumzeiten der allgemeinen Relati-
vitätstheorie.

In diesem Kapitel sollen einige einführende Aspekte dieser disparaten Theo-
rien angesprochen werden.

Die Abschnitte 1 bis 7 beschreiben die grundlegenden Definitionen und eini-
ge wichtige Ergebnisse der mengentheoretischen Topologie wie Zusammenhang,

Kompaktheit, Produkt- und Quotiententopologie, alles Konzepte, die im allge-
meinen Sprachgebrauch von Mathematikern Einzug gefunden haben. Abschnitt

8 untersucht Flächen im R3 und gibt einen ersten elementaren Einblick in die

Differentialgeometrie. Mannigfaltigkeiten sind das primäre Untersuchungsobjekt
der geometrischen Topologie (Abschnitt 9), und die Abschnitte 10 und 11 ge-
ben einen – zugegeben vagen – Einblick in zwei Konzepte aus der algebraischen

Topologie. Das Kapitel schließt mit einem Exkurs über euklidische und nicht-
euklidische Geometrie.

O. Deiser et al., 12 x 12 Schlüsselkonzepte zur Mathematik,

DOI 10.1007/978-3-8274-2298-9_9, © Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2011

218

9 Topologie und Geometrie

9.1

Topologische R¨
aume

In Abschnitt 8.1 haben wir gesehen, wie mühelos sich Konvergenz- und Ste-
tigkeitsbegriff vom Bereich der reellen Zahlen auf metrische Räume übertragen
lassen. Wir haben dort auch erfahren, dass es zum Überprüfen der Stetigkeit
einer Abbildung zwischen metrischen Räumen genügt, die offenen Mengen die-
ser Räume zu kennen: Eine Abbildung ist genau dann stetig, wenn die Urbilder
offener Mengen offen sind. Nun gibt es ziemlich unterschiedliche Metriken auf
einer Menge, deren zugehörige offene Mengen übereinstimmen. Zum Beispiel
hat die Metrik d( x, y) := min { 1 , |x − y|} dieselben offenen Mengen wie die

Standardmetrik auf R. Aber der Durchmesser von (R , d) ist 1, die abgeschlos-
sene Einheitskugel um x, d. h. die Menge {y ∈ R | d( x, y) ≤ 1 }, ist ganz R,
während die offene Einheitskugel um x das Intervall ( x − 1 , x + 1) ist, sich also
die abgeschlossene Einheitskugel um x deutlich von der abgeschlossenen Men-
ge [ x − 1 , x + 1] unterscheidet, die aus ( x − 1 , x + 1) durch Hinzunahme aller

Grenzwerte von Folgen in ( x − 1 , x + 1) entsteht.

Dies legt nahe, für Stetigkeits- und Konvergenzuntersuchungen anstelle von

Metriken Strukturen auf Mengen zu beschreiben, die auf dem Begriff der offenen

Menge beruhen. Folgendes Axiomensystem hat sich dabei, nicht nur weil es so
einfach ist, als erfolgreich erwiesen.

Es sei X eine Menge. Eine Menge T von Teilmengen von X heißt Topologie
auf X, falls gilt:

O(i) X und ∅ gehören zu T .

O(ii) Beliebige Vereinigungen von Mengen aus T gehören zu T .

O(iii) Endliche Durchschnitte von Mengen aus T gehören zu T .

Ein topologischer Raum ist dann ein Paar ( X, T ), wobei T eine Topologie auf
der Menge X ist. Die Elemente von T heißen die offenen Mengen von ( X, T ),
und wie bei den metrischen Räumen heißt eine Teilmenge von X abgeschlossen,
wenn sie das Komplement einer offenen Menge ist. Ist ( X, T ) ein topologischer

Raum, so nennen wir die Elemente von X Punkte des topologischen Raums.

Man kann übrigens auf das Axiom O(i) verzichten und sieht das auch in
manchen Büchern, wenn man akzeptiert, dass die leere Vereinigung, also die

Vereinigung keiner Menge, die leere Menge ist und der leere Durchschnitt von

Teilmengen von X ganz X ist.

Die erste Axiomatisierung topologischer Räume von F. Hausdorff im Jahr

1914 stellte nicht die offenen Mengen in den Vordergrund, sondern den Umge-
bungsbegriff. Das mag daran gelegen haben, dass sich damit ohne Umweg der

Begriff beliebig nah“ formalisieren lässt, der eine wesentliche Rolle in unserer

”

Vorstellung von Konvergenz und Stetigkeit spielt. Anschaulich soll eine Um-
gebung eines Punktes x alle Punkte enthalten, die genügend nah bei x sind.

In einem metrischen Raum sind z. B. die Punkte der ε-Kugel B( x, ε) um x,

B( x, ε) = {y | d( y, x) < ε}, alle Punkte, die ε-nahe bei x sind. Eine Umgebung

9.1

Topologische Räume

219
von x ist also eine Menge, die ein B( x, ε) enthält. Die Menge B( x, ε) selbst wird
auch als ε-Umgebung von x bezeichnet. Beliebig nahe heißt dann ε-nahe für alle
ε > 0. Zwei verschiedene Punkte können dann nicht beliebig nahe beieinander
sein; aber ein Punkt x kann einer Teilmenge A beliebig nahe sein, nämlich wenn
jede ε-Umgebung von x einen Punkt aus A enthält.

Nun ist B( x, ε) offen, und jede offene Menge, die x enthält, enthält auch
ein B( x, ε). Folgende Definition bietet sich deshalb an: Eine Teilmenge U eines
topologischen Raums ist eine Umgebung eines Punkts x, wenn es eine offene

Menge W mit x ∈ W ⊆ U gibt.

Wird für x ∈ X die Menge aller Umgebungen von x mit U ( x) bezeichnet, so
gilt für die Familie ( U ( x)) x∈X:

U(i) Ist U ∈ U ( x) und U ⊆ V , so ist V ∈ U ( x).

U(ii) Für alle U ∈ U ( x) ist x ∈ U .

U(iii) Sind U, V ∈ U ( x), so ist U ∩ V ∈ U ( x).

U(iv) Zu jedem U ∈ U ( x) gibt es ein V ∈ U ( x), so dass für alle y ∈ V gilt,
dass U ∈ U ( y) ist.

U(i–iii) sind klar. Als V in U(iv) nehmen wir irgendeine offene Menge V mit
x ∈ V ⊆ U . Die Existenz einer solchen Menge folgt aus der Umgebungsdefiniti-
on.

Eine Familie ( U ( x)) x∈X, die U(i–iv) erfüllt, nennt man Umgebungssystem
auf der Menge X. Aus einem Umgebungssystem erhält man eine Topologie,
indem man eine Menge offen nennt, wenn sie Umgebung jedes ihrer Punkte
ist. Ist ( U ( x)) x∈X das Umgebungssystem des topologischen Raums ( X, T ),
so bekommen wir auf diese Weise die Topologie T zurück. Ebenso erhalten
wir, wenn wir mit einem Umgebungssystem starten, mit dessen Hilfe offene

Mengen definieren und mit diesen wieder ein Umgebungssystem bestimmen,
das ursprüngliche Umgebungssystem zurück. Deswegen spielt es keine Rolle, ob
wir topologische Räume mit Hilfe einer Topologie oder eines Umgebungssystems
definieren.

Konvergenz von Folgen formuliert sich etwas einfacher mit Hilfe von Umge-
bungen. Die Folge ( xi) i=1 , 2 ,... von Punkten des topologischen Raums ( X, T )

konvergiert gegen den Punkt x ∈ X genau dann, wenn außerhalb jeder Umge-
bung von x höchstens endlich viele Folgenglieder liegen. Für metrische Räume
ist diese Definition äquivalent zur ursprünglichen, so dass zwei Metriken auf
einer Menge mit denselben zugehörigen offenen Mengen dieselben konvergenten

Folgen besitzen.

Wir werden, wie in der Literatur üblich, zur Vereinfachung der Notation an-
stelle von ( X, T ) einfach X schreiben. Wenn wir also von einem topologischen

Raum X sprechen, so denken wir uns die Menge X mit einer Topologie verse-
hen, und auf diese beziehen wir uns, wenn wir von offenen Mengen von X und

Umgebungen von Punkten in X sprechen.

220

9 Topologie und Geometrie

Da unsere Begriffswahl den Verhältnissen in metrischen Räumen entnommen
ist, sind selbstverständlich die offenen Mengen eines metrischen Raumes ( X, d)

eine Topologie auf X. Wir erhalten damit ein großes Beispielreservoir. Ein to-
pologischer Raum, dessen offene Mengen die offenen Mengen einer Metrik sind,
heißt metrisierbar. Es ist leicht, nicht metrisierbare topologische Räume anzu-
geben. In einem metrischen Raum sind alle Punkte abgeschlossen (wir erlauben
uns hier und im Folgenden die etwas schlampige Sprechweise, eine einelementi-
ge Menge mit dem in ihr liegenden Element zu benennen). Nun ist {∅, X} für
jede Menge X eine Topologie. In diesem topologischen Raum sind ∅ und X die
einzigen abgeschlossenen Mengen. Ein Punkt ist daher in dieser Topologie nur
dann abgeschlossen, wenn dieser Punkt das einzige Element von X ist. Die To-
pologie {∅, X} auf X heißt indiskrete Topologie auf X (jeder Punkt liegt in jeder

Umgebung jedes anderen Punktes, so dass jeder Punkt jedem anderen Punkt
beliebig nahe ist). Die Menge aller Teilmengen von X ist ebenso eine Topologie.

Sie heißt die diskrete Topologie auf X (jeder Punkt besitzt eine Umgebung, die
keinen weiteren Punkt enthält, so dass kein Punkt einer Menge, die ihn nicht
enthält, beliebig nahe ist).

Weitere Beispiele und auch Verfahren, selbst interessante Beispiele zu kon-
struieren, werden wir in den folgenden Abschnitten kennenlernen, insbesondere
in 9.4, 9.5 und 9.7.

Schneidet jede Umgebung des Punktes x die Teilmenge A des topologischen

Raums X, ist also x beliebig nahe bei A, so heißt x Ber¨
uhrpunkt von A, und die

Menge aller Berührpunkte von A heißt der Abschluss von A oder abgeschlossene

H¨
ulle von A. Enthält A eine Umgebung von x, so heißt x innerer Punkt von

A, und die Menge aller inneren Punkte von A heißt das Innere oder der offene

Kern von A. Der Abschluss von A wird mit A bezeichnet und ist die kleinste

◦
abgeschlossene Menge, die A enthält. Das Innere von A wird mit A oder Int A

◦
bezeichnet und ist die größte in A enthaltene offene Menge. Die Differenz A \ A
heißt der Rand von A, wird mit Fr( A) bezeichnet und ist als Durchschnitt der

◦
abgeschlossenen Mengen A und X \ A stets abgeschlossen. Anstelle von Fr( A)

findet man in der Literatur oft die Bezeichnung ∂A.

Die Forderungen O(i–iii) an eine Topologie sind leicht zu erfüllen. Dies erlaubt
es, topologische Räume mit den abstrusesten Eigenschaften zu konstruieren.

Das ist manchmal instruktiv, aber man sollte es nicht übertreiben: Viele inter-
essante Räume sind Unterräume des R n oder eines unendlich-dimensionalen

Banachraums (vgl. Abschnitt 8.1), oder sie entstehen aus solchen mit Hilfe
expliziter Konstruktionen (vgl. Abschnitt 9.4). Dabei ist ein Unterraum ei-
nes topologischen Raums ( X, T ) eine Teilmenge A ⊆ X mit der Topologie

T ∩ A := {A ∩ W | W ∈ T }. Aus naheliegenden Gründen heißt diese Topologie
die Spurtopologie: Die offenen Mengen von A sind die Spuren, die die offenen

Mengen von X auf A hinterlassen.

9.2

Stetige Abbildungen

221

9.2

Stetige Abbildungen

Wenn wir uns ins Gedächtnis rufen, dass in einem metrischen Raum Umge-
bungen des Punkts x Mengen sind, die eine ε-Kugel B( x, ε) enthalten, so ist
die ε- δ-Definition der Stetigkeit einer Abbildung f im Punkt x (Abschnitt 8.1)

äquivalent zu der Bedingung, dass das Urbild jeder Umgebung von f ( x) eine

Umgebung von x ist. Diese Formulierung übernehmen wir wörtlich für Abbil-
dungen zwischen topologischen Räumen.

Es seien ( X, T ) und ( Y, S ) topologische Räume und f : X → Y eine Abbil-
dung. Sie heißt stetig in x ∈ X, wenn das Urbild jeder Umgebung von f ( x) eine

Umgebung von x ist ( U ∈ U ( f( x)) ⇒ f − 1( U) ∈ U ( x)). Die Abbildung heißt
stetig, wenn sie in jedem Punkt x ∈ X stetig ist. Mit Hilfe offener Mengen lässt
sich dies einfacher formulieren:

( X, T ), ( Y, S ) und f seien wie oben. Genau dann ist f stetig, wenn
die Urbilder offener Mengen offen sind ( W ∈ S ⇒ f − 1( W ) ∈ T ).

Dass die Komposition zweier stetiger Abbildungen wieder stetig ist, folgt un-
mittelbar aus der Definition. Denn ist f : X → Y in x ∈ X und g: Y → Z in
y = f ( x) stetig und ist W ⊆ Z eine Umgebung von ( g ◦ f )( x) = g( y), so ist we-
gen der Stetigkeit von g in y die Menge V := g− 1( W ) eine Umgebung von f ( x)

in Y und wegen der Stetigkeit von f in x die Menge f − 1( V ) = f − 1( g− 1( W )) =

( g ◦ f ) − 1( W ) eine Umgebung von x. Also ist g ◦ f in x stetig.

Ist X ein diskreter Raum, so sind alle Abbildungen von X in einen beliebigen

Raum stetig; ist X indiskret, so sind alle Abbildungen von irgendeinem Raum
nach X stetig. Diskrete und indiskrete Räume sind also, was stetige Abbildungen
anlangt, ziemlich uninteressant.

Überraschend erscheint auf den ersten Blick folgendes Beispiel. Es seien ∅, { 0 }

und { 0 , 1 } die offenen Mengen des Raumes X := { 0 , 1 }. Dann gibt es stetige
surjektive Abbildungen f : [0 , 1] → X, und zwar sehr viele. Nimm nämlich ir-
gendeine offene echte Teilmenge W von [0 , 1] und setze f ( t) = 0 für t ∈ W und
f ( t) = 1 sonst; dann ist f stetig.

Während es auf einer Menge sehr viele verschiedene Metriken geben kann, die
dieselben stetigen Abbildungen in metrische Räume besitzen, sind zwei Topolo-
gien auf X, die dieselben stetigen Abbildungen in topologische Räume besitzen,
identisch. Für konvergente Folgen gilt die entsprechende Aussage nicht. Das
liegt daran, dass eine Folge höchstens abzählbar viele Punkte hat. Das sind zu
wenige Punkte, um die Umgebungen eines Punktes in den Griff zu bekommen.

In einem topologischen Raum gilt z. B. im Allgemeinen nicht, dass es zu jedem

Punkt x ∈ A eine in A liegende gegen x konvergierende Folge gibt. Allerdings
gehört jeder Punkt zu A, der Grenzwert einer in A liegenden Folge ist.

Zum Isomorphiebegriff topologischer R¨
aume: Unter einem Isomorphismus

(vgl. Abschnitt 1.12) zwischen den topologischen Räumen X und Y versteht
man eine bijektive Abbildung, f : X → Y , die die Menge der offenen Mengen

222

9 Topologie und Geometrie
von X bijektiv auf die Menge der offenen Mengen von Y abbildet. Dies ist genau
dann der Fall, wenn f und die Umkehrabbildung f − 1 stetig sind, und f heißt
dann ein Hom¨
oomorphismus. Gibt es zwischen X und Y einen Homöomorphis-
mus, heißen X und Y hom¨
oomorph.

Interpretiert man die Menge der offenen Mengen als Struktur eines topolo-
gischen Raumes, so würde man erwarten, dass die strukturerhaltenden Abbil-
dungen offene Mengen auf offene Mengen abbilden. Homöomorphismen tun das,
aber stetige Abbildungen nur ganz selten. Um einzusehen, dass die stetigen Ab-
bildungen doch die
richtigen“ Abbildungen zwischen topologischen Räumen

”

sind, erinnern wir an die Bemerkung, dass die Formalisierung des Begriffs be-

”

liebig nahe“ bei der Definition topologischer Räume Pate stand. Wenn wir für
jede Teilmenge A des topologischen Raums wissen, welche Punkte zum Ab-
schluss von A gehören, also welche Punkte A beliebig nahe sind, kennen wir
alle abgeschlossenen Mengen und somit die Topologie. Als Struktur bietet sich
somit an, die Teilmenge A und den Punkt x in Relation zu setzen, wenn x ∈ A
ist. Ist nun f eine Abbildung zwischen topologischen Räumen, so ist f genau
dann in x stetig, wenn für jede Menge A gilt, dass f ( x) ∈ f ( A) ist, wenn x ∈ A
ist (ist x beliebig nahe an A, so ist f ( x) beliebig nahe an f ( A)). Dies entspricht
auch unserer Anschauung, dass stetige Abbildungen nichts auseinanderreißen.

Insgesamt ist also f : X → Y genau dann stetig, wenn für alle A ⊆ X gilt,
dass f ( A) ⊆ f ( A) ist. Allerdings bleibt es dabei, dass, anders als bei Grup-
pen, Ringen, Körpern, Vektorräumen, eine bijektive strukturerhaltende (d. h.

hier: stetige) Abbildung im Allgemeinen kein Isomorphismus ist. Die identische

Abbildung auf X, einmal versehen mit der diskreten, das andere Mal mit der
indiskreten Topologie, ist dafür ein frappierendes Beispiel.

9.3

Beschreibung von Topologien

Um Topologien auf einer Menge festzulegen, listet man selten die Menge aller
offenen Mengen auf. Um kürzer eine Topologie zu beschreiben, kann man die

Tatsache nutzen, dass der Durchschnitt einer beliebigen Menge von Topologien
auf X wieder eine Topologie auf X ist. Insbesondere gibt es zu einer vorgege-
benen Menge S von Teilmengen von X eine kleinste Topologie auf X, die S
enthält. Ist umgekehrt T eine Topologie auf X, so heißt eine Teilmenge S der

Potenzmenge von X Subbasis von T , falls T die kleinste Topologie auf X ist,
die S enthält. Wir sagen dann, dass T von S erzeugt wird. Die offenen Men-
gen, d. h. die Elemente von T , sind dann genau die Vereinigungen endlicher

Durchschnitte von S . Genauer: Jedes W ∈ T hat die Form

S ,
j∈J S∈Sj

9.3

Beschreibung von Topologien

223
wobei J eine Menge und Sj für jedes j ∈ J eine endliche Teilmenge von S
ist. Eine Basis einer Topologie auf X ist eine Menge B von Teilmengen von

X, so dass jede offene Menge der Topologie eine Vereinigung von Mengen aus

B ist. Beispiel einer Subbasis der Standardtopologie auf R, d. h. der durch
die übliche Metrik induzierten Topologie, ist die Menge der Intervalle ( −∞, a),

( b, ∞), a, b ∈ Q. Eine Basis der Standardtopologie des R n ist die Menge aller
offener Würfel mit einem rationalen Eckpunkt und rationaler Kantenlänge, also
von Würfeln der Form Wa,b := {x ∈ R n | ai < xi < ai + b, i = 1 , . . . , n}, wobei
a ∈ R n rationale Koordinaten hat und b > 0 rational ist. Diese Basis von R n
besteht aus abzählbar vielen Elementen.

Subbasen gestatten nicht nur, Topologien ökonomischer zu beschreiben, sie
sind auch nützlich, um Stetigkeit von Abbildungen zu überprüfen: Ist f : X →

Y eine Abbildung zwischen topologischen Räumen, so ist f stetig, wenn die

Urbilder der Mengen einer Subbasis von Y in X offen sind.

Auch Umgebungssysteme eines topologischen Raumes lassen sich knapper
beschreiben. Da jede Obermenge einer Umgebung von x ∈ X wieder eine Um-
gebung von x ist, genügt es, zu jedem x ∈ X eine Menge B( x) von Umgebungen
von x anzugeben, so dass jede Umgebung von x eine Obermenge einer Menge
aus B( x) ist. Wir nennen dann B( x) eine Umgebungsbasis von x. Ist ( X, d) ein
metrischer Raum, so ist für jedes x ∈ X die Menge B( x) := {B( x, 1 /n) | n ∈ N }

eine Umgebungsbasis von x. Jeder Punkt eines metrischen Raums besitzt also
eine abzählbare Umgebungsbasis. Abzählbarkeit spielt eine wichtige Rolle. Des-
wegen zeichnet man topologische Räume, deren Punkte alle eine abzählbare Um-
gebungsbasis besitzen, aus und sagt, dass sie das 1. Abz¨
ahlbarkeitsaxiom erfüllen.

Besitzt ein Raum eine abzählbare Basis, so sagt man, dass er das 2. Abz¨
ahlbar-
keitsaxiom erfüllt. Ein Raum, der das 2. Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, erfüllt
natürlich auch das 1. Abzählbarkeitsaxiom.

Die Eigenschaft, eines der Abzählbarkeitsaxiome zu erfüllen, vererbt sich auf

Unterräume eines topologischen Raums.

Es folgen einige Beispiele.

(i) Die Intervalle [ a, ∞), a ∈ R, bilden die Basis einer Topologie auf R. Jeder

Punkt a ∈ R besitzt eine einelementige Umgebungsbasis, nämlich die Umgebung

[ a, ∞). Der Raum selbst besitzt keine abzählbare Basis.

(ii) Beliebt ist auch die von den halboffenen Intervallen {[ a, b) | a, b ∈ R }

erzeugte Topologie auf R. Der zugehörige Raum heißt Sorgenfrey-Gerade. Die

Topologie enthält die Standardtopologie als echte Teilmenge und erfüllt das 1.,
aber nicht das 2. Abzählbarkeitsaxiom.

(iii) Die Menge aller unendlichen Intervalle ( a, ∞), ( −∞, b), a, b ∈ Q, ist eine

Subbasis der Standardtopologie auf R.

224

9 Topologie und Geometrie

9.4

Produktr¨
aume und Quotientenr¨
aume

Betrachten wir die offenen Mengen des R2 = R × R, so fällt auf, dass jedes

Produkt V × W offener Mengen V, W ⊆ R in R × R offen ist, aber nicht jede
offene Menge von R × R Rechtecksform“ V ×W hat, wie das Innere eines Kreises

”

zeigt. Aber die Rechtecke“ V × W , V, W offen in R, bilden eine Basis, da ja

”

schon die offenen Rechtecke ( a, b) × ( c, d) eine Basis bilden. Dies legt folgende

Definition nahe: Es seien X, Y topologische Räume; dann heißt die von den

Mengen der Form V × W , V offen in X und W offen in Y , erzeugte Topologie
auf X × Y die Produkttopologie der Topologien auf X und Y , und X × Y mit der

Produkttopologie heißt das topologische Produkt von X und Y oder, einfacher,
das Produkt von X und Y . Beachte, dass die Menge aller Mengen der Form

V × W , V offen in X und W offen in Y , sogar eine Basis der Produkttopologie

ist wegen der Gleichung

V

V

W
j∈J,k∈K
j ×Wk = (
j∈J
j ) ×(
k∈K
k ). Damit ist
klar, wie auf endlichen Produkten X 1 × · · · × Xn die Produkttopologie aussieht:

Als Basis nehme man die Quader“ W

”

1 × · · · × Wn, Wj offen in Xj , j = 1 , . . . , n.

Bei unendlichen Produkten dauerte es eine Weile, bis man sich darauf einigte,
welche Topologie vernünftig ist. Wesentlich ist dabei die Beobachtung, dass die

Menge der offenen Quader“ W

”

1 × · · · × Wn, für die alle Wj bis auf höchstens
eines gleich dem ganzen Raum Xj sind, eine Subbasis der Produkttopologie ist.

Das bedeutet, dass die Produkttopologie auf X 1 ×· · ·×Xn die kleinste Topologie
ist, so dass für alle i die Projektion pi: X 1 × · · · × Xn → Xi, ( x 1 , . . . , xn) → xi,
auf den i-ten Faktor stetig ist. Dies fordern wir nun für beliebige Produkte.

'

Die entsprechende Topologie auf

X
j∈J
j hat dann eine Basis, deren Mengen

'

die

Quader“

W

”

j∈J
j sind, wobei jedes Wj offen in Xj ist und alle bis auf
endlich viele der Wj gleich Xj sind. Als angenehme Zugabe erhalten wir eine
einfache Charakterisierung stetiger Abbildungen in ein Produkt hinein: Ist Y

'

ein topologischer Raum, so ist eine Abbildung f : Y →

X
j∈J
j genau dann
stetig, wenn alle Kompositionen pi ◦ f : Y → Xi stetig sind. Dabei ist, wie oben,
pi die Projektion auf den i-ten Faktor.

'

Gilt Xj = X für alle j ∈ J, so schreibt man anstelle von

X
j∈J
j oft X J , da

'

die Punkte von

X
j∈J
j in diesem Fall einfach die Abbildungen von J in X sind.

In der Produkttopologie von XJ konvergiert dann eine Folge von Abbildungen
fn: J → X genau dann gegen f : J → X, wenn ( fn) punktweise gegen f konver-
giert. Das heißt, dass für alle j ∈ J die Folge fn( j) in X gegen f ( j) konvergiert.

'

Anstelle der Familie ( pi:

X
j∈J
j → Xi) i∈J kann man etwas allgemeiner
eine Menge X und eine Familie von Abbildungen ( fj : X → Xj) j∈J betrachten,
wobei die Xj topologische Räume sind. Die kleinste Topologie auf X, so dass alle
fj stetig sind, heißt dann die Initialtopologie auf X bezüglich der Familie ( fj).

Mit dieser Topologie auf X ist eine Abbildung g: Y → X genau dann stetig,
wenn alle Kompositionen fj ◦ g: Y → Xj stetig sind. Die Produkttopologie

'

ist somit die Initialtopologie bezüglich der Familie ( pi:

X
j∈J
j → Xi) i∈J .

9.4

Produkträume und Quotientenräume

225

Zusätzlich gilt für die Produkttopologie, dass die Zuordnung f → ( pj ◦ f ) j∈J

'

'

eine Bijektion von C( Y,

X

C( Y, X
j∈J
j ) auf
j∈J
j ) definiert, wobei wir mit

C( A, B) die Menge der stetigen Abbildungen des topologischen Raums A in
den topologischen Raum B bezeichnen. Beachte, dass die Spurtopologie auf der

Teilmenge A des topologischen Raums X die Initialtopologie auf A bezüglich
der Inklusion A ⊆ X ist.

Durch Umkehren der Pfeile erhält man anstelle einer Familie ( fj: X → Xj)

von Abbildungen einer Menge X in topologische Räume Xj eine Familie ( fj:

Xj → X) und kann die größte Topologie auf X betrachten, so dass alle fj stetig
sind. Die entsprechende Topologie heißt dann Finaltopologie auf X bezüglich
der Familie ( fj). Interessant für uns ist der Spezialfall einer einzigen surjektiven

Abbildung f : Y → X, wobei Y ein topologischer Raum ist. Die Finaltopolo-
gie auf X bezüglich f heißt Quotiententopologie, und X mit dieser Topologie
heißt Quotientenraum. Der Name rührt daher, dass eine surjektive Abbildung
f : Y → X zu einer Äquivalenzrelation führt, deren Äquivalenzklassen die Urbil-
der der Punkte von X sind. Bezeichnen wir diese Äquivalenzrelation mit ∼, so
können wir X mit Y /∼, der Menge der Äquivalenzklassen, identifizieren, also als

Quotienten auffassen. Eine Menge W ⊆ X ist offene Menge der Quotientento-
pologie genau dann, wenn ihr Urbild f − 1( W ) in Y offen ist, und eine Abbildung
g: X → Z von X in einen topologischen Raum Z ist genau dann bezüglich der

Quotiententopologie stetig, wenn die Komposition g ◦ f stetig ist. Eine stetige

Abbildung X → Z ist also dasselbe“ wie eine stetige Abbildung h: Y → Z, die

”

jedes f -Urbild eines Punktes von X auf einen Punkt von Z abbildet. Die letzte

Aussage bedeutet einfach, dass es eine Abbildung g: X → Z mit h = g ◦ f gibt.

Es folgen einige Beispiele.

(i) (Kollabieren eines Unterraums) Es sei Y ein topologischer Raum und

A ⊆ Y . Zwei Punkte von Y seien äquivalent, wenn sie entweder gleich sind
oder beide in A liegen. Der zugehörige Quotientenraum wird aus naheliegenden

Gründen mit Y /A bezeichnet. Er entsteht aus Y , indem man A auf einen Punkt
kollabieren lässt.

(ii) (Kegel über Z) Es sei Z ein topologischer Raum, [0 , 1] sei das Einheitsin-
tervall mit der Standardtopologie. Dann heißt aus naheliegenden Gründen der

Raum Z × [0 , 1] der Zylinder über Z und C( Z) := ( Z × [0 , 1]) /( Z × { 1 }) der Kegel ¨
uber Z.

Z × {1}

C(Z)

Z × [0, 1]

Z

Z × {0}

Z

Z × {0}

226

9 Topologie und Geometrie

Warnung: Das Bild legt nahe, dass der Kegel über z. B. einem Intervall ( a, b) ⊆

R die Vereinigung aller Verbindungsstrecken im R2 von Punkten im Intervall

( a, b) ×{ 0 } mit dem Kegelpunkt (0 , 1) ist. Das ist aber nicht so. Mit ein bisschen

Nachdenken sieht man, dass der Bildpunkt von ( a, b) × { 1 } in C(( a, b)) keine
abzählbare Umgebungsbasis besitzt. Also ist C(( a, b)) nicht einmal metrisierbar,
geschweige denn ein Unterraum von R2. Die Vorstellung, die das Bild vermittelt,
ist aber korrekt, wenn Z ein kompakter (siehe Abschnitt 9.7) Unterraum eines

R n ist.

(iii) ( M¨
obiusband ) Hier nimmt man ein Rechteck, sagen wir R := [0 , 1] ×

[ − 1 , 1]. Auf R sei ∼ die von (0 , y) ∼ (1 , −y), y ∈ [ − 1 , 1], erzeugte Äquivalenzrelation. Der Quotientenraum R/∼, eigentlich jeder dazu homöomorphe Raum,
heißt Möbiusband (siehe Bild).

Bild von { 0 } × [ − 1 , 1]

(iv) (Verkleben zweier Räume mittels einer Abbildung) Hier nimmt man
zwei (disjunkte) Räume X und Y und klebt“ einen Unterraum A von X an

”

Y an. Dazu muss man für alle a ∈ A festlegen, an welchen Punkt von Y
der Punkt a angeklebt wird. Das macht man mit einer stetigen Abbildung
f : A → Y . Etwas formaler betrachtet man auf der disjunkten Vereinigung

X Y die von a ∼ f ( a), a ∈ A, erzeugte Äquivalenzrelation und bildet
den Quotientenraum ( X Y ) /∼ =: X ∪f Y . Dabei ist eine Teilmenge von

X Y genau dann offen, wenn ihre Durchschnitte mit X und Y offen sind.

X

Verklebung von A an f ( A)

Y

Die naheliegende Abbildung Y → X ∪f Y ist dann eine Einbettung, d. h. ein

Homöomorphismus auf sein Bild. Ist speziell Y ein Punkt, so erhalten wir X/A.

Die Stetigkeit von f garantiert eine Verträglichkeit der offenen Mengen von X,

Y und X ∪f Y . Dennoch muss man sich, selbst bei sehr harmlosen Klebeab-
bildungen, auf Überraschungen einstellen. Sind zum Beispiel X = R × { 1 } und

Y = R × { 0 } disjunkte Kopien von R, ist A = R \ { 0 } und f ( x, 1) = ( x, 0), x ∈ R \{ 0 }, so enthält X ∪f Y zwei zu R homöomorphe Unterräume, nämlich die

Bilder von Y und X. Damit besitzt jeder Punkt des Quotienten beliebig kleine
zu offenen Intervallen homöomorphe offene Umgebungen, aber jede Umgebung
des Bildpunkts x 1 von ( x, 1) trifft jede Umgebung des Bildpunkts x 0 von ( x, 0),

9.5

Zusammenhang

227
obwohl in X ∪f Y die Punkte x 0 und x 1 verschieden sind. So etwas kann in
metrischen Räumen nicht passieren.

(v) (Nochmals das Möbiusband) Nimm den Kreisring X := {z ∈ C | 1 ≤

|z| ≤ 2 }, den Unterraum A := {z ∈ C | |z| = 1 } von X und eine weitere Kopie

Y von A, die wir uns als zu X disjunkt denken. Definiere f : A → Y durch
f ( z) = z 2. Dann ist X ∪f Y wieder ein Möbiusband. Mit etwas Nachdenken
findet man einen Homöomorphismus, der den Unterraum Y von X ∪f Y auf den

Mittelkreis des Möbiusbandes, d.h. das Bild von [0 , 1] × { 0 } in R/∼ aus Beispiel

(iii) abbildet.

(vi) (Anheften einer n-Zelle an Y ) Dies ist ein Spezialfall des Verklebens, bei
der X = Bn, die Einheitskugel im R n, und A = Sn− 1 := {x ∈ R n | x = 1 } die
n − 1-dimensionale Sphäre, also der Rand von Bn ist. (Diese Konstruktion ist in
obigem Bild angedeutet.) Das Anheften einer 0-Zelle bedeutet, einen isolierten

Punkt hinzuzufügen. Anstelle einer n-Zelle kann man auf naheliegende Wei-
se auf einen Schlag eine beliebige Familie von n-Zellen anheften. Einen Raum,
den man aus der leeren Menge durch sukzessives Anheften von Familien von
n-Zellen, n = 0 , . . . , k, erhält, nennt man einen k-dimensionalen CW-Komplex

(hier wird natürlich angenommen, dass die Familie der angehefteten k-Zellen
nichtleer ist). Diese Räume spielen in der geometrischen Topologie und Homo-
topietheorie eine wichtige Rolle.

9.5

Zusammenhang

Der Zwischenwertsatz der elementaren Analysis (siehe Abschnitt 8.3) beruht
wesentlich auf der Vollständigkeit von R. Wir werden den Zwischenwertsatz in
diesem Abschnitt deutlich verallgemeinern und seinen Beweis auf den Zusam-
menhangsbegriff gründen. Um den klassischen Satz als Spezialfall zu erhalten,
müssen wir zeigen, dass das Einheitsintervall [0 , 1] zusammenhängend ist, und
hier geht wieder ein, dass R vollständig ist.

Bevor wir den Begriff Zusammenhang definieren, betrachten wir einen Raum

X, der sich in zwei nicht leere Mengen A und B := X \A zerlegen lässt, die nichts
miteinander zu tun haben. Letzteres soll heißen, dass jeder Punkt von A eine zu

B disjunkte und damit in A liegende Umgebung besitzt und jeder Punkt von B
eine zu A disjunkte und damit in B liegende Umgebung besitzt. Zwangsläufig
sind dann A und B offen und abgeschlossen, und die Abbildung f : X → { 0 , 1 },
f ( x) = 0, falls x ∈ A, f ( x) = 1, falls x ∈ B, ist dann stetig und surjektiv. Die
stetige Abbildung f zerreißt“ X in zwei Teile, und da vorstellungsgemäß (siehe

”

Abschnitt 9.2) stetige Abbildungen nichts auseinanderreißen, was zusammen-
gehört, fassen wir dann X als nicht zusammenhängend auf. Positiv formuliert
lautet die Definition: Ein topologischer Raum X heißt zusammenh¨
angend, wenn

X die einzige nichtleere offene und abgeschlossene Teilmenge von X ist.

228

9 Topologie und Geometrie

Die Existenz einer von X verschiedenen nichtleeren offenen und abgeschlosse-
nen Menge A ist äquivalent zur Existenz einer Zerlegung von X in zwei disjunkte
offene nichtleere Mengen, nämlich A und X \A. Wie wir gesehen haben, ist diese

Aussage wiederum äquivalent zur Existenz einer stetigen surjektiven Abbildung
f : X → { 0 , 1 }.

Aus der Definition folgt unmittelbar, dass stetige Bilder zusammenhängen-
der Räume zusammenhängend sind. Denn ist f : X → Y surjektiv und stetig
und ist A ⊆ Y nichtleer, offen, abgeschlossen und von Y verschieden, so ist
f − 1( A) nichtleer, offen, abgeschlossen und von X verschieden. Insbesondere ist
jeder zu einem zusammenhängenden Raum homöomorphe Raum selbst zusam-
menhängend.

Ein wichtiges Beispiel für einen zusammenhängenden Raum ist das Einheitsin-
tervall [0 , 1]. Sei nämlich A eine nichtleere offene und abgeschlossene Teilmenge.

Indem wir notfalls zum Komplement übergehen, können wir annehmen, dass

0 ∈ A ist. Ist das Komplement B von A nichtleer, so sei m das Infimum von B.

Da A und B offen sind, kann m weder zu A noch zu B gehören, und wir haben
einen Widerspruch.

Eine Teilmenge A eines Raumes heißt zusammenhängend, falls A als Un-
terraum zusammenhängend ist. Ist A ⊆ X zusammenhängend, so ist auch A
zusammenhängend. Denn ist C eine offene und abgeschlossene Teilmenge von

A, so ist A ∩ C offen und abgeschlossen in A. Wichtig ist, dass A ∩ C nicht leer
ist, wenn C = ∅. Das liegt natürlich daran, dass jeder Punkt von A im Abschluss
von A liegt.

Sind A und B zusammenhängende Teilmengen eines Raumes und trifft A die

Menge B oder B die Menge A, so ist A∪B zusammenhängend, und ist Aj, j ∈ J,
eine Familie zusammenhängender Teilmengen mit nichtleerem Durchschnitt, so

ist

A
j∈J
j zusammenhängend. Insbesondere ist für einen gegebenen Punkt
x 0 ∈ X die Menge aller Punkte x, zu denen es eine stetige Abbildung w: [0 , 1] →

X mit w(0) = x 0 und w(1) = x gibt, zusammenhängend. Ein solches w nennen
wir Weg (in X) von x 0 nach x, und gibt es zu jedem Punkt x von X einen Weg
von x 0 nach x, so nennen wir X wegzusammenhängend.

Wegzusammenhängende Räume sind zusammenhängend. Die Umkehrung gilt
nicht. Das Standardbeispiel dazu ist der Raum X := {( x, sin(1 /x)) ∈ R2 |

0 < x ≤ 1 } ∪ {(0 , y) ∈ R2 | − 1 ≤ y ≤ 1 }, d. h. der Abschluss des Graphen
der Funktion x → sin(1 /x), 0 < x ≤ 1 (vgl. Skizze auf Seite 171). Nun ist
der Graph einer auf (0 , 1] definierten stetigen Funktion als stetiges Bild der
wegzusammenhängenden Menge (0 , 1] zusammenhängend, also ist auch X als

Abschluss einer zusammenhängenden Menge zusammenhängend. Es gibt aber
keinen Weg in X von (1 /π, 0) zu irgendeinem Punkt der Form (0 , y) ∈ X. Das
liegt daran, dass die zweite Komponente w 2 eines solchen Wegs w = ( w 1 , w 2) in
jedem Intervall ( τ − ε, τ ) jeden Wert zwischen − 1 und 1 unendlich oft annimmt,
wenn τ der erste Zeitpunkt t ist, an dem w 1( t) = 0 ist. Aber w 2( t) muss für
t → τ gegen w 2( τ ) konvergieren, wenn w 2 stetig ist.

9.6

Trennung

229

◦

Für jede Teilmenge A eines Raumes X ist X = A ∪ Fr A ∪ ( X \ A) eine dis-

◦
junkte Zerlegung von X, und A und X \ A sind offen. Eine zusammenhängen-

◦
de Teilmenge von X, die A und X \ A trifft, muss deshalb auch Fr A treffen.

Zusammen mit der Tatsache, dass stetige Bilder zusammenhängender Räume
zusammenhängend sind, erhalten wir den Zwischenwertsatz:

Es sei B ⊆ Y ein Unterraum und f : X → Y sei stetig. Ist X

◦
zusammenh¨
angend und trifft f ( X) sowohl B als auch Y \B, so trifft
f ( X) auch Fr B.

Den üblichen Zwischenwertsatz erhalten wir aus der Tatsache, dass jedes In-
tervall [ a, b] zusammenhängend ist und dass für jeden Wert c zwischen f ( a) und
f ( b), f : [ a, b] → R stetig, der Rand von ( c, ∞) in R gleich {c} ist. Ist also eine
der Zahlen f ( a) und f ( b) größer als c und die andere kleiner, so nimmt f in

( a, b) den Wert c an.

Auch für gewisse Beweise lässt sich der Zusammenhangsbegriff nutzen. Wenn
man z. B. nachweisen will, dass alle Punkte eines Raums eine gewisse Eigen-
schaft besitzen, so genügt es bei einem zusammenhängenden Raum zu zeigen,
dass die Menge der Punkte, die die Eigenschaft erfüllen, nichtleer, offen und
abgeschlossen ist. Hier ist ein Beispiel. Es sei X ein Raum, in dem jeder Punkt
x eine Umgebung Ux besitzt, so dass es zu jedem y ∈ Ux einen Weg in X von
x nach y gibt. Dann kann man zeigen, dass X wegzusammenhängend ist, wenn

X zusammenhängend ist. Wir nutzen dazu aus, dass ein Weg von a nach b und
ein Weg von b nach c sich zu einem Weg von a nach c zusammensetzen lassen.

Weiter ist für einen Weg w von a nach b die Abbildung w−( t) := w(1 − t),
t ∈ [0 , 1], ein Weg von b nach a. Verwendet man dies, so sieht man, dass die

Menge V aller Punkte von X, die mit einem gegebenen Punkt x 0 durch einen

Weg verbunden sind, nichtleer, offen und abgeschlossen und somit ganz X ist.

Insbesondere ist ein zusammenhängender lokal wegzusammenhängender Raum
wegzusammenhängend. Dieses Argumentationsschema wird häufig in der Funk-
tionentheorie (vgl. Abschnitt 8.9) angewandt.

Dabei heißt ein Raum lokal wegzusammenh¨
angend, wenn jeder Punkt eine

Umgebungsbasis aus wegzusammenhängenden Umgebungen besitzt. Analog de-
finiert man lokal zusammenh¨
angend oder – allgemeiner – lokal
irgendetwas“,

”

wenn irgendetwas“ eine Eigenschaft ist, die topologische Räume haben können.

”

9.6

Trennung

Sind x und y verschiedene Punkte des metrischen Raumes ( X, d), so sind für ε <
d( x, y) / 2 die ε-Umgebungen B( x, ε) , B( y, ε) von x und y disjunkt. Insbesondere sind alle Punkte eines metrischen Raumes abgeschlossen. (Hier erlauben wir uns
wieder wie schon im Abschnitt 9.1, einpunktige Mengen durch ihre Punkte zu

230

9 Topologie und Geometrie
benennen.) Sind weiter A und B disjunkte abgeschlossene Mengen, so ist die

Funktion
d( x, A) − d( x, B)

f ( x) :=

,
x ∈ X,
d( x, A) + d( x, B)

eine stetige Abbildung f : X → [ − 1 , 1] mit A ⊆ f− 1(1) und B ⊆ f − 1( − 1).

Insbesondere sind f − 1((0 , 1]) und f − 1([ − 1 , 0)) disjunkte Umgebungen von A
und B. Anschaulich gesprochen lassen sich in metrischen Räumen Punkte und
sogar disjunkte abgeschlossene Mengen durch offene Mengen trennen.

In einem indiskreten Raum lassen sich je zwei nichtleere disjunkte Mengen
nicht durch offene Mengen trennen (außer ∅ und X gibt es ja keine), und gibt
es in ihm mindestens zwei Punkte, so ist kein Punkt abgeschlossen. Beim Ver-
kleben zweier Räume (Beispiel (iv) in Abschnitt 9.4) haben wir ein Beispiel
eines Raumes gesehen, dessen Punkte alle abgeschlossen sind, es aber Punkte
gab, die sich nicht durch offene Mengen trennen ließen. Will man also über die

Trennungseigenschaften verfügen, die wir z. B. von Unterräumen euklidischer

Räume kennen, so muss man diese fordern. Räume, die eine oder mehrere der
angesprochenen Trennungseigenschaften besitzen, bekommen dann einen spezi-
ellen Namen.

Die vielleicht wichtigsten darunter sind die Hausdorffr¨
aume, in denen sich je
zwei Punkte durch offene Mengen trennen lassen, und die normalen R¨
aume.

Letztere sind Räume, in denen alle Punkte abgeschlossen sind und sich zwei
disjunkte abgeschlossene Mengen durch offene Mengen trennen lassen.

Hausdorffräume heißen oft auch T 2-Räume, und Räume, in denen alle Punk-
te abgeschlossen sind, heißen T 1-Räume. T 3-Räume sind Räume, in denen sich
abgeschlossene Mengen und in ihnen nicht enthaltene Punkte durch offene Men-
gen trennen lassen, in T 4-Räumen lassen sich je zwei disjunkte abgeschlossene

Mengen durch offene Mengen trennen. Ein Raum ist also normal, wenn er T 1-
und T 4-Raum ist. Ein Raum, der T 1- und T 3-Raum ist, heißt regulär. Wie wir
oben gesehen haben, sind metrische Räume normal.

Ein ganz wichtiges Ergebnis ist, dass in T 4-Räumen disjunkte abgeschlosse-
ne Mengen sogar durch stetige Abbildungen getrennt werden können. Genauer
gelten:

(Fortsetzungssatz von Tietze)

Jede auf einer abgeschlossenen Menge A eines T 4 -Raumes X vor-
gegebene stetige Funktion f : A → [0 , 1] lässt sich zu einer stetigen

Funktion F : X → [0 , 1] fortsetzen.

Korollar (Lemma von Urysohn)

Sind A und B disjunkte abgeschlossene Mengen eines T 4 -Raumes X,
so gibt es eine stetige Abbildung F : X → [0 , 1] mit F ( A) ⊆ { 0 } und

F ( B) ⊆ { 1 }.

9.7

Kompaktheit

231

9.7

Kompaktheit

Zwei Eigenschaften beschränkter abgeschlossener Teilmengen A des R n spielen
in der Analysis eine wichtige Rolle. Einmal besitzt jede Folge von Punkten in

A einen Häufungspunkt in A, und zum anderen nimmt jede stetige Funktion f :

A → R auf A ihr Maximum und ihr Minimum an. Diese Aussagen gelten für
beschränkte abgeschlossene Teilmengen eines vollständigen metrischen Raumes
im Allgemeinen nicht mehr. Eine Analyse der Beweise zeigt, dass die sogenann-
te Heine-Borel-Eigenschaft wesentlich ist. Diese wird deshalb zur definierenden

Eigenschaft für kompakte Räume. Wir benötigen zuvor den Begriff der ¨

Uber-
deckung eines Raumes X. Das ist eine Familie W := ( Wj) j∈J von Teilmengen

von X mit X =

W
j∈J
j . Eine Teilüberdeckung von W ist eine Unterfamilie

( Wj) j∈I, I ⊆ J, die wieder eine Überdeckung ist. Die Teilüberdeckung heißt
endlich, wenn I endlich ist. Sind alle Wj, j ∈ J, offen, so heißt die Überdeckung

W offen. Mit diesen Bezeichnungen nennen wir einen topologischen Raum kom-
pakt, wenn jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Eine

Teilmenge A von X heißt kompakt, wenn sie als Unterraum kompakt ist.

Ist f : X → Y stetig und ist X kompakt, so ist auch f ( X) kompakt. Denn ist

( Wj) j∈J eine offene Überdeckung von f ( X), so ist wegen der Stetigkeit von f die

Familie ( f − 1( Wj )) j∈J eine offene Überdeckung von X. Ist ( f − 1( Wj)) j∈I eine
endliche Teilüberdeckung von X, so ist ( Wj) j∈I eine endliche Teilüberdeckung
der ursprünglichen Überdeckung von f ( X). Insbesondere ist also jeder zu einem
kompakten Raum homöomorphe Raum selbst kompakt.

Ist A ⊆ X ein Unterraum von X, so gehört zu jeder offenen Menge V von A
nach Definition der Unterraumtopologie eine offene Menge W von X mit V =

W ∩ A. Zu einer offenen Überdeckung von A gehört also eine Familie ( Wj) j∈J
offener Mengen von X, deren Vereinigung A enthält. Ist A abgeschlossen, so
ist ( Wj) j∈J zusammen mit der offenen Menge X \ A eine offene Überdeckung
von X. Also ist jede abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raums selbst
kompakt.

Jede endliche Teilmenge eines topologischen Raumes ist kompakt. In einem
diskreten Raum sind genau die endlichen Teilmengen kompakt. In einem indis-
kreten Raum sind alle Teilmengen kompakt. Es braucht also nicht jede kom-
pakte Teilmenge eines Raumes abgeschlossen zu sein. Es gilt aber: In einem

Hausdorffraum ist jede kompakte Teilmenge abgeschlossen.

Etwas allgemeiner gilt, dass sich in einem Hausdorffraum je zwei disjunkte
kompakte Mengen durch offene Mengen trennen lassen. Es folgt, dass jeder
kompakte Hausdorffraum normal ist.

Weiter sehen wir, dass eine kompakte Teilmenge A eines metrischen Raumes
abgeschlossen und beschränkt ist. Denn wäre A nicht beschränkt und ist x ∈ A,
so wäre ( B( x, i) ∩ A) i∈ N eine offene Überdeckung von A, die keine endliche

Teilüberdeckung besitzt.

232

9 Topologie und Geometrie

Daraus folgt unmittelbar, dass eine auf einem kompakten Raum definierte
stetige Funktion ihr Maximum und Minimum annimmt. Denn ist f : X → R
stetig, so ist mit X auch f ( X) kompakt, also in R beschränkt und abgeschlossen.

Also gehören inf f ( X) und sup f ( X) zu f ( X).

In R n sind umgekehrt beschränkte und abgeschlossene Mengen auch kompakt

( Satz von Heine-Borel ). Dazu genügt es nachzuweisen, dass ein n-dimensionaler

Würfel kompakt ist. Denn eine beschränkte abgeschlossene Teilmenge des R n
liegt in einem Würfel und ist in diesem abgeschlossen. Dass ein Würfel der

Kantenlänge a kompakt ist, zeigt man mit dem Intervallschachtelungsargu-
ment aus der elementaren Analysis. Man startet mit einer offenen Überdeckung
des Würfels. Besitzt diese keine endliche Teilüberdeckung, so zerlege man den

Würfel in 2 n Würfel der Kantenlänge a/ 2. Mindestens einer davon besitzt kei-
ne endliche Teilüberdeckung der ursprünglichen Überdeckung. Diesen zerlegt
man in 2 n Würfel der Kantenlänge a/ 4. Wieder besitzt wenigstens einer davon
keine endliche Teilüberdeckung. So fortfahrend erhalten wir eine absteigende

Folge von Würfeln Wi der Kantenlänge a/ 2 i, also eine Würfelschachtelung, die
gegen einen Punkt x des ursprünglichen Würfels konvergiert, und kein Wi be-
sitzt eine endliche Teilüberdeckung. Nun liegt x in einer der offenen Mengen
der Überdeckung, sagen wir in V . Dann gibt es ε > 0 mit B( x, ε) ⊆ V . Da

√

Wi Durchmesser
na/ 2 i hat, lässt sich daher, im Widerspruch zur Wahl von

√

Wi, jedes Wi mit
na/ 2 i < ε schon mit einer einzigen Menge der Überdeckung
überdecken, nämlich durch V .

Dass in einem kompakten Raum jede Folge einen Häufungspunkt besitzt,
sieht man am besten, indem man die Kompaktheit mit Hilfe abgeschlosse-
ner Mengen formuliert. Ist W = ( Wj) j∈J eine offene Überdeckung von X,
so ist A = ( Aj) j∈J mit Aj := X \ Wj, j ∈ J, eine Familie abgeschlosse-
ner Mengen mit leerem Durchschnitt und umgekehrt. Also ist X genau dann
kompakt, wenn jede Familie ( Aj) j∈J abgeschlossener Mengen in X mit leerem

Durchschnitt eine endliche Teilfamilie mit leerem Durchschnitt enthält ( endli-
che Durchschnittseigenschaft ). Ist nun ( xn) eine Folge im topologischen Raum

X, so ist nach Definition z ∈ X ein Häufungspunkt von ( xn), wenn jede Um-
gebung von z jedes Endstück {xn | n ≥ m}, m ∈ N, der Folge trifft. Also ist

∞ {x
m=1
n | n ≥ m} die Menge H der Häufungspunkte der Folge ( xn). Da keine

der Mengen
m

{x
k=1
n | n ≥ k} = {xn | n ≥ m} leer ist, ist für kompaktes X die

Menge H auch nicht leer.

Beachte: Im Allgemeinen ist es nicht richtig, dass ein Häufungspunkt z ei-
ner Folge Grenzwert einer Teilfolge ist. Es ist richtig, falls z eine abzählbare

Umgebungsbasis besitzt. Demnach besitzt in einem kompakten Raum, der das

1. Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, jede Folge eine konvergente Teilfolge. Ein Raum,
in dem jede Folge eine konvergente Teilfolge besitzt, heißt folgenkompakt (vgl.

Abschnitt 8.1).

Ein ganz wichtiges Kompaktheitsergebnis ist der Satz von Tikhonov :

9.8

Flächen im R3

233

Ist ( Xj) j∈J eine Familie nichtleerer topologischer Räume, so ist

'

X
j∈J
j genau dann kompakt, wenn jedes Xj , j ∈ J , kompakt ist.

Eine Richtung der Implikation ist leicht, da jedes Xi stetiges Bild des Produkts
unter der Projektion auf den i-ten Faktor ist. Die Umkehrung ist interessanter
und für unendliche Produkte etwas diffiziler. Der übliche Beweis nutzt das Fil-
terkonzept, auf das wir nicht eingehen, und beruht ganz wesentlich darauf, wie
für unendliche Produkte die Produkttopologie definiert wurde.

Wegen der guten Eigenschaften kompakter Räume sucht man nach Kompak-
tifizierungen gegebener topologischer Räume X. Das sind kompakte Räume ˆ

X,
die X als dichten Teilraum enthalten. Letzteres heißt, dass ˆ

X der Abschluss X
von X in ˆ

X ist.

Die Aleksandrovsche Einpunkt-Kompaktifizierung X+ entsteht aus X durch

Hinzufügen eines einzigen neuen Punkts ∞. Eine Umgebungsbasis von ∞ bilden
die Mengen {∞}∪( X \K) mit K ⊆ X kompakt. Die Punkte aus X behalten ihre

Umgebungsbasen aus X. Ist X hausdorffsch und sind somit kompakte Mengen
abgeschlossen, so definiert dies eine Topologie auf X+, und X+ ist kompakt.

Wenn X außerdem lokal kompakt ist, d. h., wenn jeder Punkt von X eine Umge-
bungsbasis aus kompakten Umgebungen besitzt, so ist X+ selbst hausdorffsch.

Ist X nicht kompakt, so ist es dicht in X+. Zum Beispiel ist (R n)+ homöomorph
zur n-dimensionalen Sphäre Sn := {x ∈ R n+1 | x = 1 }. Die stereographische

Projektion Sn \ {(0 , . . . , 0 , 1) } → R n zusammen mit (0 , . . . , 0 , 1) → ∞ definiert einen Homöomorphismus von Sn auf X+. Die Alexandrovsche Einpunkt-

Kompaktifizierung eines Raumes X wird oft mit αX bezeichnet.

Die mengentheoretische Topologie kennt noch andere Kompaktifizierungen.

Die größte unter ihnen ist die Stone- ˇ

Cech-Kompaktifizierung βX eines halb-
wegs gutartigen Raums X, etwa eines normalen Raums. Benötigt die Aleksan-
drovsche Kompaktifizierung maximal einen weiteren Punkt, so enthält βX meis-
tens sehr viele weitere Punkte; z. B. hat β N die Mächtigkeit der Potenzmenge
von R. Sie hat folgende universelle Eigenschaft: Ist f : X → Y eine stetige Ab-
bildung in einen kompakten Hausdorffraum, so existiert eine stetige Fortsetzung

F : βX → Y . Das Beispiel f ( x) = sin 1 /x zeigt also, dass [0 , 1] nicht die Stone-

Čech-Kompaktifizierung von (0 , 1] ist.

9.8

Fl¨
achen im R3

Dieser Abschnitt gewährt uns einen ersten knappen Einblick in die Differential-
geometrie. Diese studiert Räume, die als topologische Räume lokal aussehen wie
offene Mengen des R n und mit einer infinitesimal gegebenen Metrik versehen
sind, was sie für die Physik interessant macht.

Wir beschränken uns auf Flächen im R3, also Objekte, die wir uns recht gut
vorstellen können. Schon diese Theorie hat eine lange Geschichte mit vielen

234

9 Topologie und Geometrie

Ergebnissen und vielen immer noch offenen Fragen. Wir konzentrieren uns auf
die Erläuterung einiger grundlegenden Konzepte und einiger Beispiele.

Eine Fl¨
ache im R3 ist ein Unterraum M des R3, in dem jeder Punkt eine zu
einer offenen Teilmenge des R2 homöomorphe Umgebung besitzt. Es gibt also
zu jedem p ∈ M einen Homöomorphismus ϕ: U → V mit U offen in R2, V
offen in M und p ∈ V . Ein solches ϕ nennen wir eine lokale Parametrisierung
von M um p. Damit M keine Kanten oder Spitzen hat, sondern schön glatt
aussieht, verlangen wir zusätzlich, dass alle ϕ, aufgefasst als Abbildung nach

R

∂ϕ

∂ϕ

3, unendlich oft stetig differenzierbar und dass die Spalten
und
der

∂u 1

∂u 2

3 × 2-Matrix der partiellen Ableitungen erster Ordnung in jedem Punkt u ∈ U
linear unabhängig sind.

∂ϕ (u)

n = 2
ϕ

∂p2

M
e2
p
u e

W

1

∂ϕ (u)

∂p1

U ⊂ R2

Der von diesen beiden Vektoren aufgespannte Unterraum des R2 heißt der

Tangentialraum in p = ϕ( u) an M und wird mit Tp( M ) bezeichnet. Die Tan-
gentialebene in p an M , also die Ebene, die M in p berührt, ist der affine

Unterraum p + Tp( M ). Der Raum Tp( M ) und damit auch die Tangentialebene
an M in p hängen nur von M und p ab und nicht von der gewählten lokalen

Parametrisierung.

Einfache Beispiele sind die Lösungsmengen quadratischer Gleichungen wie
x 2
a 2 + y 2
b 2 + z 2
c 2

= 1 (Ellipsoid), x 2
a 2 + y 2
b 2 − z 2
c 2

= 1 (einschaliges Hyperboloid),
x 2
a 2 − y 2
b 2 − z 2
c 2

= 1 (zweischaliges Hyperboloid) oder z = x 2
a 2 + y 2
b 2

(elliptisches

Paraboloid).

z
z
z
z
c
a 1
b
a
a
b
a
b
y
y
x
y
x
x
x
y

Dass diese Mengen tatsächlich Flächen sind, sieht man z. B. beim Ellipsoid
wie folgt. Die offene Teilmenge, deren Punkte positive z-Koordinate haben,

kann man durch ϕ( u 1 , u 2) = u 1 , u 2 ,
c 2(1 − u 21
parametrisieren, wobei
a 2 − u 2

2
b 2 )

u 2
u 2

( u

1

2

1 , u 2) die Punkte der offenen Ellipsenscheibe a 2 + b 2 < 1 durchläuft. Ist die z-

Komponente negativ, so nimmt man u 1 , u 2 , − c 2(1 − u 21

, und verfährt
a 2 − u 2

2
b 2 )

analog mit den Punkten, deren x- bzw. y-Koordinaten von 0 verschieden sind.

9.8

Flächen im R3

235

Weitere beliebte Flächen sind die Rotationsflächen. Man erhält sie durch Ro-
tation um die x-Achse des in der x- y-Ebene liegenden Graphen einer positiven
unendlich oft differenzierbaren Funktion.

Das Standardskalarprodukt des R3 induziert ein Skalarprodukt auf den Tan-
gentialräumen in den Punkten der Fläche M . Die Abbildung, die jedem Punkt
p ∈ M dieses Skalarprodukt in Tp( M ) zuordnet, heißt 1. Fundamentalform. Für
das Skalarprodukt in Tp( M ) schreibt man oft , p. Ist ϕ: U → W eine loka-

∂ϕ

∂ϕ
le Parametrisierung, so sind

( u) und

( u) eine Basis von T

∂u
ϕ( u)( M ), so
i

∂uj
dass man das Skalarprodukt in p = ϕ( u) kennt, wenn man die Skalarprodukte
zwischen allen Paaren dieser Basisvektoren kennt. Die entsprechende symme-
trische 2 × 2-Matrix wird oft mit ( gij( u)) bezeichnet. Der Name Fundamental-
form kommt daher, dass ein Skalarprodukt eine (symmetrische, positiv definite)

quadratische Form ist. Und sie ist fundamental, da sie die metrischen Verhält-
nisse auf der Fläche vollständig bestimmt. Ist w: [ r, s] → M ein stückweise
stetig differenzierbarer Weg in M , so ist seine Länge (siehe Abschnitt 7.12)

s

s
w( t) , w( t) dt =
w( t) , w( t)

r
r
w( t) dt, denn w( t) ∈ Tw( t)( M ). Der

Abstand zweier Punkte a und b in M ist für ein in M lebendes Wesen das

Infimum der Längen aller stückweise stetig differenzierbaren Wege in M von
a nach b. Ist M zusammenhängend (Abschnitt 9.5), so gibt es zwischen zwei

Punkten von M immer einen unendlich oft differenzierbaren Weg. Dieses Infi-
mum wird nicht immer angenommen. In der x- y-Ebene ohne den Nullpunkt zum

Beispiel, einer recht simplen Fläche, ist der Abstand zwischen ( − 1 , 0) und (1 , 0)

gleich 2, aber jeder Weg zwischen diesen Punkten, der den Nullpunkt meidet,
ist länger als 2.

Der Ersatz für gerade Linien auf M sind Wege w: [ r, s] → M , für die für alle
r ≤ t 1 < t 2 ≤ s der Teil von w zwischen t 1 und t 2 die kürzeste Verbindung auf

M zwischen w( t 1) und w( t 2) ist, wenn w( t 1) und w( t 2) genügend nahe beiein-
ander sind. Ein solcher Weg w heißt Geod¨
atische, falls w zusätzlich proportional
zur Bogenlänge parametrisiert ist. Diese Bedingungen führen zu einer Differen-
tialgleichung 2. Ordnung, so dass wir für jedes p ∈ M und v ∈ Tp( M ) genau
eine maximale Geodätische w: ( r, s) → M finden mit 0 ∈ ( r, s), w(0) = p und
w(0) = v.

Die Geodätischen werden allein durch die 1. Fundamentalform bestimmt, wir
brauchen dazu keine weitere Information, wie die Fläche im R3 liegt. Um den

Unterschied klar zu machen, nennen wir zwei Flächen isometrisch isomorph,
wenn es eine bijektive stetig differenzierbare Abbildung f der einen auf die an-
dere gibt, so dass die Ableitung in jedem Punkt eine Orthonormalbasis dessen

Tangentialraums in eine Orthonormalbasis des Tangentialraums des Bildpunkts
abbildet. Dann gehen nämlich die 1. Fundamentalformen ineinander über. Be-
trachte zum Beispiel den unendlichen Zylinder {( x, y, z) | x 2 + y 2 = 1 }, aus
dem die durch ( − 1 , 0 , 0) gehende Mantellinie entfernt worden ist, und den Strei-
fen −π < x < π der x- y-Ebene. Dann bildet f ( x, y) := (cos( x) , sin( x) , y) den

236

9 Topologie und Geometrie

Streifen bijektiv auf den Zylinder ohne Mantellinie ab. Den Tangentialraum des

Streifens in ( x, y) können wir mit dem R2 identifizieren, und dessen Standard-
basis geht unter der Ableitung von f im Punkt ( x, y) über in die Vektoren

( − sin( x) , cos( x) , 0) und (0 , 0 , 1). Das ist eine Orthonormalbasis des Tangential-
raums in (cos( x) , sin( x) , y) des Zylinders. Also sind der Streifen und Zylinderteil
isometrisch isomorph. Es gibt aber keine abstandserhaltende Abbildung des R3,
die die eine Fläche in die andere überführt.

Eigenschaften einer Fläche, die man aus der 1. Fundamentalform herleiten
kann, nennt man Eigenschaften der inneren Geometrie der Fläche. Man kann
sie allein aus den Abstandsverhältnissen in der Fläche verstehen, ohne Bezug
zum umgebenden Raum herstellen zu müssen.

Aber es ist manchmal von Vorteil, dies doch zu tun. Eine geodätische Kurve
w in M lässt sich nämlich auch dadurch charakterisieren, dass ihre zweite Ablei-
tung in jedem Punkt eine Normale an diese Fläche ist, also auf dem jeweiligen

Tangentialraum senkrecht steht. Damit kann man sehen, dass auf der 2-Sphäre
vom Radius r um den Nullpunkt genau die mit konstanter Geschwindigkeit
durchlaufenen Großkreise, das sind die Schnittkreise der Sphäre mit Ebenen
durch den Nullpunkt, die Geodätischen sind. Denn jede Normalengerade an die

Sphäre geht durch den Nullpunkt. Wir sehen auch, dass bei Rotationsflächen
alle Meridiane, das sind die Kurven, die durch Rotation um einen festen Winkel
aus dem die Fläche definierenden Graphen entstehen, Geodätische sind, und auf
dem Zylinder sind es die Kurven konstanter Steigung.

Überraschend und wichtig für die weitere Entwicklung der Differentialgeome-
trie ist die Tatsache, dass bei Flächen, anders als bei Kurven im Raum, die
innere Geometrie auch Auskunft über Krümmungseigenschaften gibt. Dass es
lokal betrachtet z. B. Unterschiede zwischen der Sphäre und dem Zylinder gibt,
die wir gefühlsmäßig mit Krümmung verbinden, sehen wir an der Winkelsum-
me geodätischer Dreiecke, die auf dem Zylinder stets π ist, aber bei der Sphäre
stets größer ist, selbst wenn das Dreieck sehr klein ist. Auf dem hyperbolischen

Paraboloid z = x 2 − y 2 ist diese Summe kleiner als π. Das Krümmungskonzept,
das diese Phänomene erklärt, geht zurück auf C. F. Gauß und heißt entspre-
chend Gaußkrümmung. Die Gaußkrümmung ist eine reellwertige Funktion, die
jedem Punkt der Fläche ihre Krümmung in diesem Punkt zuordnet. Die übliche

Definition geschieht mit Hilfe der sogenannten 2. Fundamentalform, die explizit
die Lage der Fläche im umgebenden Raum nutzt. Aus den Eigenschaften der

2. Fundamentalform lässt sich folgende Definition der Gaußkrümmung herleiten,
die sich zunächst auch auf den umgebenden Raum bezieht. Es sei b ein Punkt
der Fläche M . Es sei nb einer der beiden Einheitsvektoren des R3, die ortho-
gonal zum Tangentialraum Tb( M ) sind. Zu jedem 1-dimensionalen Unterraum

X von Tb( M ) sei EX der von X und nb aufgespannte Unterraum des R3. Der

Durchschnitt von M mit dem affinen Unterraum EX + b ist in einer Umgebung
von b eine ebene Kurve. Deren Krümmung in b sei kb( X). Beachte, dass kb( X)

ein Vorzeichen hat. Ist die Kurve durch Bogenlänge parametrisiert, so ist ihre

9.8

Flächen im R3

237
zweite Ableitung kb( X) · nb. Dabei hängt kb( X) nicht vom Durchlaufsinn der

Kurve ab. (Das ist anders als in Abschnitt 7.12, ist aber kein Widerspruch, da
dort von einer kanonischen Orientierung der Ebene ausgegangen wird.)

EX + b
nb

M
b

X + b

M ∩ (EX + b)

Man stellt nun fest, dass entweder kb( X) nicht von X abhängt oder dass
es genau zwei zueinander orthogonale X 1, X 2 gibt, so dass kb( X 1) das Mini-
mum und kb( X 2) das Maximum all dieser Krümmungen ist. Man nennt dann

X 1 und X 2 die Hauptkrümmungsrichtungen und kb( X 1) und kb( X 2) die Haupt-
kr¨
ummungen von M in b. Diese hängen offensichtlich nicht allein von der inneren

Geometrie ab, wie das Beispiel von Ebene und Zylinder weiter oben zeigt. Ins-
besondere hängen ihre Vorzeichen von der Wahl von nb ab. Aber ihr Produkt
kb( X 1) kb( X 2) lässt sich allein aus der Kenntnis der 1. Fundamentalform in einer
beliebigen Umgebung von b in M bestimmen. Dies ist die Aussage des gefeierten

Theorema egregium von Gauß. Man nennt dieses Produkt die Gaußkr¨
ummung

K( b) von M in b. Im Fall, dass kb( X) für alle X gleich ist, nimmt man natürlich
kb( X)2 für K( b), wobei es auf die Wahl von X nicht ankommt.

Punkte, in denen die Gaußkrümmung größer, kleiner oder gleich 0 ist, nennt
man respektive elliptisch, hyperbolisch oder Flachpunkt. Alle Punkte eines El-
lipsoids haben positive Krümmung, eines hyperbolischen Paraboloids negative

Krümmung, und alle Punkte eines Zylinders haben Krümmung 0.

Hier sind noch einige mit der Gaußkrümmung verbundene Ergebnisse.

(a) Winkelsummen: Die Summe der Innenwinkel eines geodätischen Drei-

ecks Δ ist π +

K( b) dA( b), wobei dA( b) der infinitesimale Flächen-

Δ
inhalt in b ist.

(b) Flächeninhalte von geodätischen Scheiben: Ist Ab( r) der Flächeninhalt
der Menge der Punkte von M , deren Abstand von b höchstens r ist, so
ist K( b) = lim r→ 0 12(1 − Ab( r)

πr 2 ). Beachte, dass πr 2 der Flächeninhalt
der Kreisscheibe vom Radius r der Ebene ist.

(c) Topologie von Flächen, der Satz von Gauß-Bonnet: Für jede kompak-

te Fläche M des R3 ist

K( b) dA( b) = (1 − g)4 π, wobei g ≥ 0

M
ganz ist. Zwei kompakte Flächen M 1 und M 2 des R3 sind genau dann

homöomorph, wenn

K( b) dA( b) =

K( b) dA( b). Die Zahl g

M 1

M 2
heißt Geschlecht der Fläche. Die Sphäre z. B. hat Geschlecht 0, der

Torus S 1 × S 1 Geschlecht 1 (siehe auch Abschnitt 9.9).

238

9 Topologie und Geometrie

9.9

Mannigfaltigkeiten

Vom Standpunkt der mengentheoretischen Topologie sind Mannigfaltigkeiten
harmlos aussehende Räume mit sehr guten Eigenschaften. Eine n-dimensionale

Mannigfaltigkeit, oder kürzer n-Mannigfaltigkeit, ist ein Hausdorffraum M mit
abzählbarer Basis, in dem jeder Punkt eine zu einer offenen Teilmenge des R n
homöomorphe offene Umgebung besitzt. Die Flächen im R3 aus Abschnitt 9.8
sind spezielle 2-Mannigfaltigkeiten. Zu einer n-Mannigfaltigkeit M gibt es also
eine Familie von Homöomorphismen ϕi: Wi → Ui, i ∈ J, wobei die Ui offen in

R n sind und ( Wi) i∈J eine offene Überdeckung von M ist. Eine solche Familie
heißt Atlas von M , die ϕi heißen Karten des Atlas. Für je zwei Karten ϕi und ϕj
haben wir den Homöomorphismus ϕji := ϕj ◦ ϕ− 1: ϕ
i
i( Wi ∩ Wj ) → ϕj ( Wi ∩ Wj )

zwischen offenen Mengen des R n. Die Abbildungen ϕji heißen die Kartenwechsel
des Atlas. Sind alle Kartenwechsel k-mal stetig differenzierbar, so heißt der Atlas
ein Ck-Atlas, 0 ≤ k ≤ ∞. Mannigfaltigkeiten mit einem Ck-Atlas heißen Ck-

Mannigfaltigkeiten, und unter einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit verstehen
wir eine Ck-Mannigfaltigkeit mit k ≥ 1. Anstelle von C 0-Mannigfaltigkeit sagt
man meist topologische Mannigfaltigkeit. Die Flächen aus Abschnitt 9.8 sind

C∞-Mannigfaltigkeiten. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind die globalen

Objekte, auf denen Differentialgleichungen leben. Genauer lassen sich ihnen auf
natürliche Weise Objekte wie z. B. das Tangentialbündel und damit verwand-
te Vektorbündel zuordnen, auf denen Differentialgleichungen leben. Deswegen
spielen sie in der Mathematik und Physik eine wichtige Rolle.

Eine Abbildung f : M → N zwischen Ck-Mannigfaltigkeiten heißt Ck-

Abbildung, wenn für jede Karte ϕ: W → U von M und ϕ: W → U von

N die Abbildung ϕ ◦ f ◦ ϕ− 1: ϕ( W ∩ f − 1( W )) → ϕ( W ) zwischen offenen

Mengen euklidischer Räume k-mal stetig differenzierbar ist.

Zwei topologische Mannigfaltigkeiten heißen isomorph, wenn sie homöomorph
sind. Zwei Ck-Mannigfaltigkeiten heißen isomorph, wenn es eine bijektive Abbil-
dung f zwischen ihnen gibt, so dass f und f − 1 beide k-mal stetig differenzierbar
sind. Ein solches f nennt man einen Ck- Diffeomorphismus, manchmal auch nur

Diffeomorphismus, dies aber nur, wenn k ≥ 1 ist.

Zwei Ck-Atlanten einer Mannigfaltigkeit nennen wir äquivalent, wenn ihre

Vereinigung wieder ein Ck-Atlas ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Iden-
tität ein Ck-Diffeomorphismus ist. Wir identifizieren dann die beiden Mannig-
faltigkeiten. Jede Ck-Mannigfaltigkeit besitzt einen maximalen Ck-Atlas. Man
kann zeigen, dass für k ≥ 1 jeder maximale Ck-Atlas einen C∞-Unteratlas be-
sitzt. Wir betrachten deswegen ab jetzt nur noch C∞-Mannigfaltigkeiten.

Hier sind einige der wesentlichen Fragen, die man Mannigfaltigkeiten stellt,
und einige Antworten.

(a) Glätten: Besitzt der maximale Atlas jeder topologischen n-Mannigfal-
tigkeit einen C∞-Unteratlas? Ja für n ≤ 3; aber im Allgemeinen nein

9.9

Mannigfaltigkeiten

239
in höheren Dimensionen. In den Dimensionen 5, 6 und 7 ist die Ant-
wort positiv, wenn einige Homologiegruppen (siehe Abschnitt 9.11)

verschwinden. Ab Dimension 8 nutzt auch das nichts mehr.

(b) Eindeutigkeit der Glättungen: Sind zwei homöomorphe differenzierba-
re Mannigfaltigkeiten diffeomorph? Ja, wenn n ≤ 6 und nicht gleich 4
ist; nein in höheren Dimensionen.

(c) Klassifikation differenzierbarer und topologischer Mannigfaltigkeiten:

Das ist einfach in den Dimensionen 1 und 2, in Dimension 3 im Prinzip
gemacht, aber schwierig, und nachweisbar unmöglich ab Dimension 4.

Allerdings weiß man sehr viel, wenn man den Homotopietyp der Man-
nigfaltigkeit vorschreibt (siehe dazu Abschnitt 9.10).

Klassifikationsfragen differenzierbarer und topologischer Mannigfaltigkeiten
in Dimension n ≥ 5 nutzen intensiv Methoden der algebraischen Topologie, auf
die wir ein ganz klein wenig in den Abschnitten 9.10 und 9.11 eingehen. Zu

Dimension 3 und 4 kommen wir weiter unten. Die in all diesen Fällen geleistete

Arbeit wurde in den letzten 50 Jahren reichlich mit Fieldsmedaillen bedacht,
den Nobelpreisen der Mathematik.

Dimension 1 und 2 sind relativ einfach zu klassifizieren. Zusammenhängende

1-Mannigfaltigkeiten sind entweder zur Einheitskreislinie im R2 oder zur reellen

Geraden diffeomorph. Um alle kompakten zusammenhängenden Flächen, d. h.

zusammenhängende 2-Mannigfaltigkeiten, zu beschreiben, ist folgendes Kon-
zept nützlich. Sind M und N zwei zusammenhängende n-Mannigfaltigkeiten,
so erhält man ihre zusammenhängende Summe M # N , indem man aus M und

N das Innere einer eingebetteten n-dimensionalen Kugel entfernt und die bei-
den Resträume entlang der Ränder der Kugeln vermöge eines Diffeomorphismus
oder Homöomorphismus verklebt. M # N ist bis auf Isomorphie von den Wahlen
der Kugeln unabhängig.

Eine 2-Mannigfaltigkeit ist orientierbar, wenn sie keine Kopie des Möbius-
bandes enthält. (Letzteres hat als Fläche im R3 keine

Vorder-“ und

”

Rückseite“; vgl. die Skizze auf Seite 226.) Jede orientierbare zusammenhängen-

”

de 2-Mannigfaltigkeit entsteht aus der 2-Sphäre, indem man sukzessive zusam-
menhängende Summen mit dem Torus, der Oberfläche eines Rings im R3, bildet.

Geschieht dies g-mal, so erhält man eine Fläche vom Geschlecht g.

1

2

. . .

g

Die kompakten zusammenhängenden nichtorientierbaren Flächen vom Ge-
schlecht g sind zusammenhängende Summen von g Kopien der projektiven Ebe-
ne. Dabei ist die projektive Ebene die Fläche, die aus der Kreisscheibe durch

Identifizieren gegenüberliegender Randpunkte entsteht. Entfernt man aus der
projektiven Ebene eine Kreisscheibe, so entsteht ein Möbiusband.

240

9 Topologie und Geometrie

Kompakte 2-Mannigfaltigkeiten sind genau dann homöomorph, wenn sie glei-
ches Geschlecht haben und beide orientierbar oder beide nichtorientierbar sind.

In Dimension 3 schnellt der Schwierigkeitsgrad drastisch in die Höhe. Wir
nennen eine 3-dimensionale orientierbare differenzierbare Mannigfaltigkeit ir-
reduzibel, wenn jede differenzierbar eingebettete 2-Sphäre eine Kugel beran-
det. Man kann zeigen, dass jede kompakte zusammenhängende orientierbare

3-Mannigfaltigkeit eine zusammenhängende Summe endlich vieler irreduzibler

3-Mannigfaltigkeiten und endlich vieler Kopien von S 2 ×S 1 ist und dass die Sum-
manden bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind. Daher interessiert man
sich nur noch für irreduzible 3-Mannigfaltigkeiten. Diese kann man entlang ein-
gebetteter Tori weiter zerlegen. Unter diesen gibt es eine bis auf Diffeomorphie
eindeutige Familie, die die Mannigfaltigkeit in Bestandteile zerlegt, die nur noch
in einem gewissen Sinne triviale Einbettungen von Tori zulässt. Ende der 1970er

Jahre gab Thurston eine Familie von acht Geometrien im Sinne des Erlanger

Programms von Felix Klein (siehe Abschnitt 9.12) an und vermutete, dass je-
der dieser Bestandteile der 3-Mannigfaltigkeit zu einer dieser Geometrien zählt.

Diese Vermutung wurde 2003 von G. Perelman mit tiefliegenden auf der Theorie
partieller Differentialgleichungen beruhenden Methoden der Differentialgeome-
trie bewiesen. Die Überprüfung der Korrektheit seines Beweises durch eine Rei-
he hochkarätiger Mathematiker hat über sechs Jahre gedauert. Damit ist zwar
noch nicht alles über 3-Mannigfaltigkeiten gesagt, aber man hat doch einen ge-
wissen Überblick. Insbesondere wurde durch Perelman die Poincaré-Vermutung
in Dimension 3 gelöst, eines der sieben Millenniumsprobleme des Clay Ma-
thematical Institute. Es ist bis jetzt das einzige dieser Probleme, das gelöst
wurde. Die Poincaré-Vermutung besagt, dass eine zur 3-dimensionalen Sphäre
homotopieäquivalente (siehe Abschnitt 9.10) 3-Mannigfaltigkeit tatsächlich zur

3-Sphäre homöomorph ist. Das Analogon der Poincaré-Vermutung in den Di-
mensionen 1 und 2 ist einfach, und es wurde in Dimensionen oberhalb 4 in
den 1960er Jahren von S. Smale und in Dimension 4 mit ausgesprochen sub-
tilen Methoden der geometrischen Topologie 1982 von M. Freedman bewiesen.

Eine kompakte zusammenhängende 3-Mannigfaltigkeit ist genau dann zu S 3
homotopieäquivalent, wenn sie einfach zusammenh¨
angend ist, d. h., wenn ihre

Fundamentalgruppe (Abschnitt 9.10) trivial ist. Für höher-dimensionale Man-
nigfaltigkeiten muss man zusätzlich fordern, dass alle Homologiegruppen bis zur
halben Dimension verschwinden.

Dimension 4 ist ein ausgesprochener Sonderfall. Methoden der mathemati-
schen Physik zeigen uns eine unglaublich vielfältige Welt mit noch vielen weißen

Flecken auf der Landkarte. Gibt es bis Dimension 3 zu jeder kompakten topolo-
gischen Mannigfaltigkeit bis auf Diffeomorphie genau eine zu ihr homöomorphe
differenzierbare Mannigfaltigkeit und in Dimension größer als 4, wenn über-
haupt eine, dann höchstens endlich viele, so gibt es unendlich viele kompakte

4-Mannigfaltigkeiten, von denen jede homöomorph zu unendlich vielen paarwei-
se nicht diffeomorphen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ist. Besonders ein-

9.10

Homotopie

241
drucksvoll ist die Situation für die euklidischen Räume. Ist n = 4, so gibt es bis
auf Diffeomorphie genau eine zum R n homöomorphe differenzierbare Mannigfal-
tigkeit. Ist n = 4, so gibt es überabzählbar viele. Das macht nachdenklich, insbe-
sondere wenn man daran denkt, dass das Raum-Zeit-Kontinuum 4-dimensional
ist.

9.10

Homotopie

Vermutet man, dass zwei Räume homöomorph sind, so versucht man, einen

Homöomorphismus zwischen ihnen zu konstruieren. Wenn man aber, wie z. B.

bei R3 und R4, vermutet, dass sie nicht homöomorph sind, und man nicht sieht,
wie dem Problem direkt beizukommen ist, kann man nach notwendigen Kriterien
suchen, die einer Berechnung eher zugänglich sind. Die Homotopietheorie liefert
hierzu starke Werkzeuge. Sie reduziert Räume auf ein relativ starres Skelett,
assoziiert zu ihnen Ringe und Gruppen und übersetzt kontinuierliche Probleme
in kombinatorische und algebraische Fragen.

Im Folgenden bezeichnet I stets das Einheitsintervall [0 , 1]. Ist f : X × I → Y
eine Abbildung, so sei f ( −, t): X → Y für t ∈ I gegeben durch f ( −, t)( x) =
f ( x, t). Analog definieren wir für jedes x ∈ X den Weg f ( x, −): I → Y . Zwei
stetige Abbildungen a, b: X → Y heißen homotop, wenn es ein stetiges f : X ×

I → Y gibt mit a = f ( −, 0) und b = f ( −, 1). Die Abbildung f heißt dann

Homotopie zwischen a und b. Die Familie der f ( −, t) verbindet die Abbildungen
a und b auf stetige Weise durch stetige Abbildungen. Anders ausgedrückt lässt
sich mit Hilfe der f ( −, t) die Abbildung a stetig in die Abbildung b deformieren.

Die Homotopie f bewegt dabei für jedes x ∈ X den Punkt a( x) entlang des in

Y liegenden Wegs f ( x, −) in den Punkt b( x). Ist A ⊆ X und für jedes x ∈ A
der Weg f ( x, −) konstant, so heißt f Homotopie relativ A.

Homotopie und Homotopie relativ A sind Äquivalenzrelationen auf der Men-
ge aller stetigen Abbildungen zwischen zwei gegebenen topologischen Räumen,
und sind a, b: X → Y und c, d: Y → Z homotop, so sind auch c ◦ a, d ◦ b: X → Z
homotop. Dies führt zu einem neuen Äquivalenzbegriff zwischen topologischen

Räumen. Eine stetige Abbildung f : X → Y heißt Homotopieäquivalenz, wenn
es ein stetiges g: Y → X gibt, so dass g ◦ f zu id X und f ◦ g zu id Y homotop ist.

Die Abbildung g heißt dann Homotopieinverses von f . Zwei Räume heißen ho-
motopie¨
aquivalent, wenn es zwischen ihnen eine Homotopieäquivalenz gibt. Man
sagt dann auch, dass die Räume denselben Homotopietyp haben. Homöomorphe

Räume sind offensichtlich homotopieäquivalent.

Die Inklusion j: Sn− 1 → R n \ { 0 } ist ein Beispiel einer Homotopieäqui-
valenz, die kein Homöomorphismus ist. Ein Homotopieinverses ist die Re-
traktionsabbildung x → r( x) := x/x; denn es ist r ◦ j = id Sn− 1, und
f ( x, t) = tx + (1 − t) x/x definiert eine Homotopie zwischen j ◦ r und idR n\{ 0 }.

242

9 Topologie und Geometrie

Der R n selbst ist homotopieäquivalent zu einem Punkt. Solche Räume heißen
aus naheliegendem Grund zusammenziehbar. Alle R n haben also denselben Ho-
motopietyp. Ist aber f : R k → R l ein Homöomorphismus, so sind R k \ { 0 } und

R l \ {f(0) } und somit auch R k \ { 0 } und R l \ { 0 } homöomorph. Dann sind
aber Sk− 1 und Sl− 1 homotopieäquivalent. Wir müssen also zeigen, dass sie es
für k = l nicht sind, um die Homöomorphie von R k und R l zu widerlegen. Es
reicht jetzt zwar nicht aus, nur zu zeigen, dass die Sphären nicht homöomorph
sind, dafür haben wir es jetzt aber mit etwas kleineren“ kompakten Räumen

”

zu tun. Dass für k = l die k- und l-Sphäre nicht homotopieäquivalent sind, sieht
man an einigen der Invarianten wie Homotopie- und Homologiegruppen, die in
der algebraischen Topologie topologischen Räumen zugeordnet werden. (Erstere
werden unten definiert, letztere im nächsten Abschnitt.) Homotopie- und Ho-
mologiegruppen sind wie die meisten dieser Invarianten Homotopieinvarianten.

Dies hat zur Folge, dass homotopieäquivalente Räume isomorphe Homotopie-
und Homologiegruppen besitzen. Ist k > 0, so ist die n-te (singuläre) Homo-
logiegruppe von Sk stets 0 (will sagen, die nur aus dem neutralen Element
bestehende Gruppe), außer wenn n = 0 oder n = k ist; dann ist diese Gruppe
isomorph zu Z. Für n > 0 ist die n-te Homologiegruppe von S 0 stets 0. Also ist

Sk zu Sl genau dann homotopieäquivalent, wenn k = l ist.

Homotopiegruppen eines Raumes lassen sich leichter beschreiben als die Ho-
mologiegruppen. Sie sind aber im Allgemeinen sehr viel schwieriger zu berech-
nen. Homotopiegruppen eines Raumes X werden immer bezüglich eines Basis-
punkts x 0 ∈ X definiert. Die Elemente der n-ten Homotopiegruppe πn( X, x 0)

von ( X, x 0) sind die Homotopieklassen relativ {e 1 } aller stetigen Abbildungen f :

Sn → X mit f ( e 1) = x 0. Dabei ist e 1 ∈ Sn der erste Vektor der Standardbasis
des R n+1.

Die erste Homotopiegruppe, also π 1( X, x 0), heißt auch Fundamentalgruppe
von X zum Basispunkt x 0. Ihre Elemente entsprechen Homotopieklassen relativ

{ 0 , 1 } von geschlossenen Wegen w: I → X mit Anfangs- und Endpunkt x 0. Sind
w und w zwei solche Wege, so erhalten wir einen neuen Weg w ∗ w, indem wir
erst w und anschließend w jeweils mit doppelter Geschwindigkeit durchlaufen.

Die Homotopieklasse von w ∗ w hängt nur von den Homotopieklassen von w
und w ab, so dass ∗ eine Multiplikation auf π 1( X, x 0) induziert. Mit dieser

Multiplikation wird π 1( X, x 0) eine Gruppe. Das Einselement ist die Klasse des
konstanten Wegs in x 0, und das Inverse der Klasse von w ist die Klasse des
umgekehrt durchlaufenen Wegs w−, w−( t) = w(1 −t). Auf analoge Weise erklärt
man eine Multiplikation der höheren Homotopiegruppen. Der Isomorphietyp
dieser Gruppen hängt für wegzusammenhängende X nicht vom Basispunkt ab.

Deswegen unterdrückt man diesen oft in der Notation, wenn es nur auf den

Isomorphietyp ankommt. Die Fundamentalgruppe der 1-Sphäre ist isomorph zu

Z, wobei n ∈ Z der Homotopieklasse der Wege entspricht, die S 1 n-mal im
positiven Sinn umlaufen. Im Allgemeinen ist π 1( X, x 0) nicht abelsch. Betrachte
zum Beispiel zwei Kreise, die sich in einem Punkt x 0 berühren. Man kann zeigen,

9.11

Homologie

243
dass ein Weg, der erst den ersten und dann den zweiten Kreis umläuft, nicht
homotop zu einem Weg ist, der die Kreise in umgekehrter Reihenfolge umläuft.

Die höheren Homotopiegruppen sind alle abelsch. Es ist relativ leicht zu sehen,
dass πn( S 1) = 0 für n > 1 und dass πn( Sk) = 0 für n < k ist. Weiter gilt
wie bei der Fundamentalgruppe, dass πn( Sn) zu Z isomorph ist, wobei der

Isomorphismus zählt, wie oft eine Abbildung Sn positiv oder negativ überdeckt.

Eine Abbildung f : Sn → X ist genau dann homotop relativ {e 1 } zu einer
konstanten Abbildung, wenn sich f zu einer stetigen Abbildung F : Bn+1 → X
erweitern lässt, wobei Bn+1 ⊆ R n+1 die Einheitskugel ist. Geht dies nicht,
so ergibt sich die Vorstellung, dass X ein ( n + 1)-dimensionales Loch hat,
das vom Bild von f eingeschlossen wird. Die obigen Ergebnisse über die Ho-
motopiegruppen der Sphären bestätigen also unsere Vorstellung, dass die k-

Sphäre ein ( k + 1)-dimensionales Loch“ hat und dass die n-te Homotopiegrup-

”

pe ( n + 1)-dimensionale

Löcher“ entdeckt. Die Überraschung war groß, als

”

H. Hopf um 1930 nachwies, dass π 3( S 2) unendlich ist, die 2-Sphäre demnach
ein 4-dimensionales Loch“ hat. Inzwischen weiß man, dass es für jedes k > 1

”

beliebig große n mit πn( Sk) = 0 gibt. Die Bestimmung der Homotopiegruppen
der Sphären hat sich als sehr schwierig herausgestellt und ist eine der größten

Herausforderungen der algebraischen Topologie. Die genaue Kenntnis ist aus-
gesprochen wichtig für viele Fragen der geometrischen Topologie, insbesondere,
was das Verständnis von Mannigfaltigkeiten betrifft.

9.11

Homologie

Auch in der Homologietheorie sucht man nach Objekten im Raum X, die poten-
tiell etwas umschließen, und fragt, ob man das auffüllen kann oder nicht. Kann
man es nicht auffüllen, so liegt in einem gewissen Sinne ein Loch vor. Diese Ideen
präzise umzusetzen hat auch historisch ein wenig gedauert. Selbst die Definiti-
on der noch einigermaßen anschaulichen simplizialen Homologietheorie benötigt
ein wenig Aufwand. Wir begnügen uns deshalb mit einem kleinen Beispiel.

Es seien A, B, C und D vier nicht in einer Ebene liegende Punkte im R3. Zu
ihnen fügen wir die sechs zwischen ihnen liegenden Kanten und die von je drei

Punkten aufgespannten vier Dreiecke hinzu. Jede Kante hat zwei Richtungen,
jedes Dreieck zwei Umlaufsinne, die wir uns als Orientierungen der Kanten bzw.

Dreiecke denken. Punkte besitzen nur eine Orientierung. Die formalen ganzzahli-
gen Linearkombinationen der orientierten Punkte, Kanten und Dreiecke nennen
wir 0-, 1- bzw. 2-Ketten. Ketten bilden bezüglich komponentenweiser Addition
eine abelsche Gruppe. Dabei identifizieren wir noch das negative einer orientier-
ten Kante (eines orientierten Dreiecks) mit der umgekehrt orientierten Kante

(dem umgekehrt orientierten Dreieck). Der Rand eines orientierten Dreiecks ist
die Summe der gerichteten Kanten, die den Umlaufsinn bestimmen. Der Rand

244

9 Topologie und Geometrie
einer gerichteten Kante ist die Differenz des End- und Anfangspunkts. Punk-
te haben keinen Rand, also Rand 0. Die Randabbildung dehnen wir linear auf
die Ketten aus; so ist etwa der Rand von AB + BC gleich C − A. Nun ist
klar, wann eine Kette ein Rand heißt. Als Beispiel betrachten wir eine 0-Kette
aA+ bB+ cC+ dD, a, b, c, d ∈ Z. Sie ist genau dann ein Rand, wenn a+ b+ c+ d = 0
ist. Denn der Rand jeder Kante ist die Differenz zweier Punkte, so dass eine 0-

Kette höchstens dann Rand ist, wenn die Koeffizientensumme Null ist, und ist
umgekehrt a = −( b+ c+ d), so ist der Rand von ( b+ c+ d) AB +( c+ d) BC + dCD
gleich −( b + c + d) A + bB + cC + dD = aA + bB + cC + dD. Eine Kette heißt Zykel, wenn ihr Rand 0 ist. Jeder Rand ist ein Zykel. Die 1- und 2-dimensionalen

Zykel sind für uns die Objekte, die potentiell etwas einschließen. Ist ein Zykel
ein Rand, so lässt er sich auffüllen. Wir nennen deswegen zwei Zykel äquivalent
oder homolog, wenn sie sich um einen Rand unterscheiden. Die entsprechenden

Homologieklassen lassen sich repräsentantenweise addieren und bilden die Ho-
mologiegruppen unseres Beispiels. Da jeder Punkt zum Punkt A homolog ist,
ist jede 0-Kette homolog zu einem Vielfachen von A, die entsprechende 0. Ho-
mologiegruppe ist also isomorph zu Z. Jeder 1-Zykel ist Summe von Rändern
von Dreiecken, also ein Rand. Denn man sieht schnell, dass jeder 1-Zykel Sum-
me geschlossener Kantenwege der Länge 3, das sind Ränder von Dreiecken, und
der Länge 4 ist. Aber z. B. der Kantenweg AB + BC + CD + DA ist gleich

( AB + BC + CA) + ( AC + CD + DA), da CA + AC = 0 ist. Also verschwindet
die 1. Homologiegruppe. Die 2. Homologiegruppe ist die Gruppe der 2-Zykel,
da die Gruppe der 3-Ketten trivial ist. Eine 2-Kette ist ein Zykel, wenn sich
die Kanten der Ränder der involvierten Dreiecke gegenseitig aufheben. Jede 2-

Kette lässt sich eindeutig in der Form a BDC + b ACD + c ADB + d ABC mit
a, b, c, d ∈ Z schreiben. Diese ist genau dann ein Zykel, wenn a, b, c und d gleich
sind. Also ist die 2. Homologiegruppe isomorph zu Z. Sie entdeckt demnach das

3-dimensionale Loch unseres Objekts. Die höheren Homologiegruppen sind tri-
vial, da die freie abelsche Gruppe über der leeren Menge nach Definition trivial
ist. Wir sehen hier den ersten Unterschied zu den Homotopiegruppen. Denn
der Raum, den die Vereinigung der Punkte, Kanten und Dreiecke bildet, ist
der Rand eines Tetraeders und somit homöomorph zu S 2. Aber deren höhere

Homotopiegruppen sind nicht alle 0.

Das Beispiel sollte klarmachen, wie man Ketten, Zykel, Ränder und Homolo-
giegruppen für Simplizialkomplexe definiert. Dies sind wie in unserem Beispiel

Mengen von Simplices in einem euklidischen Raum, so dass sich je zwei Simplices
in einem gemeinsamen Seitensimplex schneiden. Dabei ist ein k-dimensionales

Simplex die konvexe Hülle von k + 1 Punkten, die einen k-dimensionalen affi-
nen Unterraum aufspannen. Eine Seite ist dann die Hülle einer nicht notwendig
echten Teilmenge der Punkte.

Es ergibt sich aber hier sofort ein großes Problem. Eigentlich will man topo-
logischen Räumen Homologiegruppen zuordnen. Der einem Simplizialkomplex
zugeordnete topologische Raum ist die Vereinigung all seiner Simplices. Dieser

9.12

Euklidische und nichteuklidische Geometrie

245

Raum lässt sich aber auf unendlich viele schwer übersehbare Weisen in Sim-
plices zerlegen. Sind die zugehörigen Homologiegruppen überhaupt isomorph?

Zusätzlich möchte man dann auch wissen, ob alle uns interessierenden Räume
wie zum Beispiel Mannigfaltigkeiten (siehe Abschnitt 9.9) homöomorph zu einer

Vereinigung der Simplices eines Simplizialkomplexes sind. Solche Räume hei-
ßen triangulierbar. Diese Fragen führten zur sogenannten Triangulations- und

Hauptvermutung. Erstere besagt, dass jede Mannigfaltigkeit triangulierbar ist.

Die Hauptvermutung besagt, dass zwei Simplizialkomplexe, deren zugehörige

Räume homöomorph sind, im naheliegenden Sinn isomorph sind, nachdem man
ihre Simplices eventuell weiter in kleinere zerlegt hat. Beide Vermutungen ha-
ben sich als falsch herausgestellt. Aber lange bevor man das wusste, konnte man
mit Hilfe der sogenannten simplizialen Approximation stetiger Abbildungen zwi-
schen triangulierten Räumen nachweisen, dass die Homologiegruppen triangu-
lierbarer Räume nicht von den Triangulierungen abhängen. Obendrein hatte
man mit der singul¨
aren Homologietheorie eine für alle topologischen Räume de-
finierte Homologietheorie, die homotopieinvariant war und auf triangulierbaren

Räumen mit der simplizialen Theorie übereinstimmte.

Der Unterschied zwischen Homotopie- und Homologiegruppen lässt sich grob
wie folgt andeuten. Die Zykel der Homotopiegruppen sind Bilder von Sphären,
und berandet werden Bilder von Kugeln. Die Zykel der Homologiegruppen sind
sehr viel allgemeiner, insbesondere sind Bilder kompakter orientierbarer Man-
nigfaltigkeiten Zykel, aber nicht nur diese. Ebenso werden Bilder beliebiger ori-
entierbarer kompakter Mannigfaltigkeiten mit Rand berandet, aber nicht nur
diese. Es gibt daher eine Abbildung h: πn( X, x 0) → Hn( X) von den Homotopie-
in die Homologiegruppen, die sogenannte Hurewicz-Abbildung. Diese ist im All-
gemeinen weder surjektiv noch injektiv. Sie ist aber ein Isomorphismus, wenn

X wegzusammenhängend und πi( X) für 1 ≤ i < n trivial ist.

9.12

Euklidische und nichteuklidische Geometrie

In diesem abschließenden Abschnitt beschäftigen wir uns mit der klassischen
ebenen Geometrie auf axiomatischer Grundlage.

Ca. 300 v. Chr. schrieb Euklid die Elemente, ein Werk, das die zu dieser Zeit
in Griechenland bekannten Sätze der Geometrie und der Zahlentheorie darstellt
und begründet. Für die Geometrie blieben die Elemente bis ins 19. Jahrhundert
der maßgebliche Text, dessen logische Strenge lange unerreicht blieb.

Euklid beginnt seine Abhandlung mit Definitionen, Postulaten und Axiomen,
die er der Anschauung entlehnt und als evident annimmt. Einige muten modern
an, wie seine Definition eines Quadrats, andere bleiben nebulös ( Ein Punkt ist,

”

was keine Teile hat. Eine Linie ist eine Länge ohne Breite.“). Aus diesen Grund-
annahmen (und bereits daraus bewiesenen Aussagen) baut Euklid streng de-

246

9 Topologie und Geometrie
duktiv das Gebäude der ebenen Geometrie auf, die wir heute euklidisch nennen.

Euklids Bedeutung liegt insbesondere darin, dass er die Geometrie als kohärentes

System darstellt, in dem alle Aussagen rigoros bewiesen werden; er begnügt sich
nicht damit, sie bloß durch verschiedene Beispiele zu belegen. Daher sind die

Elemente, obwohl 2300 Jahre alt, in der Anlage durch und durch modern.

Vom heutigen Standpunkt aus ist Euklids Durchführung jedoch nicht ganz oh-
ne Kritik zu sehen. Zum einen können neue Begriffe nur durch bereits eingeführte
definiert werden, was Euklids obige

Definition“ einer Geraden nicht leistet.

”

Zum anderen benutzt er Schlussweisen, die ihm intuitiv selbstverständlich er-
scheinen, die aber nicht aus seinen Axiomen folgen, z. B. dass eine Gerade
durch einen Eckpunkt eines Dreiecks, die in das Innere“ des Dreiecks zeigt, die

”

gegenüberliegende Seite schneidet. Im Jahr 1899 veröffentlichte D. Hilbert ein

Axiomensystem, das von derlei Unvollkommenheiten frei ist.

Hilberts Ausgangspunkt sind zwei

Systeme von Dingen“, will sagen zwei

”

Mengen, P und G , deren Elemente Punkte“ bzw. Geraden“ genannt werden.

”

”

Was Punkte“ und Geraden“ eigentlich sind, ist unerheblich, entscheidend sind

”

”

einzig die Beziehungen zwischen ihnen. Diese werden durch verschiedene Axiome
festgelegt. (In diesem Zusammenhang wird das Bonmot Hilberts überliefert,
wonach man stets statt Punkt, Gerade, Ebene auch Tisch, Stuhl, Bierseidel
sagen können muss.)

Die erste Gruppe von Axiomen sind die Inzidenzaxiome. Sie erklären, was es
bedeutet, dass der Punkt P auf der Geraden g liegt; diese wollen wir nun etwas
näher vorstellen.

(I1) Zwei verschiedene Punkte liegen auf genau einer Geraden.

(I2) Auf jeder Geraden liegen mindestens zwei Punkte.

(I3) Es gibt drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen.

Es ist klar, dass die kartesische Ebene R2 der analytischen Geometrie diese

Axiome erfüllt. Man kann dieses Beispiel auch dualisieren: Mit P = die Menge
der Geraden in R2, G = die Menge der Punkte von R2 und P ∈ P liegt auf

”

g ∈ G“ ⇔ g ∈ P erhält man ebenfalls ein Modell derselben Inzidenzgeometrie.

Ein weiteres Beispiel, das zeigt, wie allgemein die Axiome (I1)–(I3) sind, ist

P = {a, b, c}, eine Menge mit drei Elementen, und G = alle zweielementigen

Teilmengen von P mit P ∈ P liegt auf g ∈ G“ ⇔ P ∈ g.

”

Die sphärische Geometrie erfüllt die Inzidenzaxiome jedoch nicht. Hier ist P
eine Sphäre im Raum R3, d. h. die Oberfläche einer Kugel, G die Menge der

Großkreise (also der Schnitte der Sphäre mit Ebenen durch den Mittelpunkt)

und P ∈ P liegt auf g ∈ G“ ⇔ P ∈ g. (I1) ist verletzt, da Nord- und Südpol

”

auf unendlich vielen Großkreisen liegen. Identifiziert man aber zwei antipodale

Punkte und betrachtet man den entsprechenden Raum der Äquivalenzklassen,
die sogenannte projektive Ebene, so sind die Inzidenzaxiome erfüllt.

Die nächste Axiomengruppe regelt die Sprechweise der Punkt B liegt zwi-

”

schen den Punkten A und C“. Wir erwähnen nur eines dieser Axiome:

9.12

Euklidische und nichteuklidische Geometrie

247

(Z1) Zwischen je zwei verschiedenen Punkten liegt ein weiterer Punkt.

Die Z-Axiome gestatten es, die Strecke zwischen zwei Punkten, einen von einem

Punkt ausgehenden Strahl und den Winkel zwischen zwei Strahlen zu definie-
ren; Letzterer ist definitionsgemäß die Vereinigung dieser Strahlen. Das obige

Beispiel einer Geometrie mit drei Punkten erfüllt (Z1) nicht, in der Tat tut dies
keine endliche Geometrie, da aus (Z1) sogar folgt, dass zwischen zwei verschie-
denen Punkten unendlich viele Punkte liegen.

Die dritte Axiomengruppe beschäftigt sich mit Kongruenzbeziehungen: Wann
sind zwei Strecken bzw. Winkel kongruent (d. h. gleich groß“)? Die Kongruenz-

”

axiome sollen hier ebenfalls nicht aufgezählt werden.

Die bisher genannten Axiome bilden die Basis der sogenannten absoluten Geo-
metrie. In ihr lassen sich noch nicht alle Sätze der klassischen euklidischen Geo-
metrie beweisen, etwa der Satz über die Winkelsumme im Dreieck. Hierzu fehlt
noch das Parallelenaxiom; zwei Geraden g und h heißen parallel, wenn g = h
ist oder g und h keinen gemeinsamen Punkt haben.

(P) Zu jedem Punkt P und jeder Geraden g gibt es höchstens eine Gerade
durch P , die zu g parallel ist.

Die Hilbertschen Axiome werden vervollständigt durch sogenannte Stetig-
keitsaxiome, die z. B. die Ebene Q2 ausschließen. In diesem Axiomensystem
sind die Sätze der euklidischen Geometrie rigoros ableitbar.

Das Parallelenaxiom (P) spielt eine besondere Rolle bei Euklid, aber er drückt
es nicht in der angegebenen Weise aus, sondern in der folgenden verklausulierten

Form, die jedoch modulo der übrigen Axiome Euklids zu (P) äquivalent ist:

(P )

Wenn zwei gerade Linien von einer dritten so geschnitten werden,

”

dass die beiden innern, an einerlei Seite der schneidenden Linie liegen-
den Winkel kleiner als zwei rechte sind, so treffen die beiden geraden

Linien, wenn man sie so weit, als nötig ist, verlängert, an eben der Sei-
te zusammen, an welcher die Winkel liegen, die kleiner als zwei rechte
sind.“

Die meisten Kommentatoren gehen davon aus, dass Euklid davon überzeugt
war, (P ) aus seinen übrigen Axiomen herleiten zu können. Diese Überzeugung
teilten alle Mathematiker bis zum Beginn des 19. Jahrhunderts, und es wurden
verschiedene fehlerhafte Beweise produziert. Diese versuchten nämlich, etwas in
den Begriff der Parallelität hineinzulesen, das dort gar nicht steht, z. B. dass
parallele Geraden einen festen Abstand haben; aber der Abstandsbegriff ist den

Euklidschen Axiomen fremd. In den 30er Jahren des 19. Jahrhunderts wendete
sich jedoch das Blatt. J. Bolyai (1832) und N. Lobachevski (1840) konstruierten
nämlich unabhängig voneinander ein Modell einer Geometrie, das die Axiome

Euklids mit Ausnahme des Parallelenaxioms erfüllt. Auch Gauß war eine solche

Geometrie bekannt, wie wir aus seinen Briefen wissen, aber er hat nichts dazu
veröffentlicht.

248

9 Topologie und Geometrie

Bolyai und Lobachevski konstruierten ihre Geometrie auf einer negativ ge-
krümmten Fläche im (euklidischen) Raum; sie wird heute hyperbolische Geo-
metrie genannt. In ihr ist die Winkelsumme in jedem Dreieck kleiner als 180 ◦.

Es gibt auch nichteuklidische Geometrien, in denen die Winkelsumme von Drei-
ecken stets größer als 180 ◦ ist.

Nach Poincaré kann man ein Modell der hyperbolischen Geometrie auch in
der euklidischen Ebene konstruieren. Dazu betrachtet man die obere Halbebene
des R2 bzw. äquivalenterweise die obere Halbebene H der komplexen Ebene,
also H = { z ∈ C | Im z > 0 }. Die Geraden in dieser Geometrie sind senkrechte
euklidische Halbgeraden sowie euklidische Halbkreise mit Mittelpunkt auf der
reellen Achse. Es ist klar, dass in dieser Geometrie das Parallelenaxiom verletzt
ist: Sowohl die imaginäre Achse als auch der obere Einheitshalbkreis sind Par-
allelen zu { z ∈ H | Re z = − 2 } durch den Punkt i. Um die Kongruenzaxiome
zu verifizieren, bedient man sich der hyperbolischen Metrik

|w − z| + |w − z|
dH ( w, z) = log |w − z| − |w − z|.

Insgesamt zeigen diese Konstruktionen, dass es nicht nur eine Geometrie gibt,
und was die richtige Geometrie des uns umgebenden physikalischen Raums ist,
ist Gegenstand heftiger Debatten in der Physik.

Als rein mathematische Frage hat F. Klein 1872 in seiner als

Erlanger

”

Programm“ bekannt gewordenen Antrittsvorlesung die Idee aufgebracht, Geo-
metrien Gruppen von Transformationen zuzuordnen, die Geraden in Geraden
überführen und unter denen die Sätze der Geometrie erhalten bleiben. Was die
euklidische Geometrie angeht, spielt die Lage und Größe einer geometrischen Fi-
gur keine Rolle, so dass Translationen, Rotationen, Spiegelungen und Streckun-
gen (Dilatationen) zu dieser Transformationsgruppe gehören. Für die hyperbo-
lische Geometrie im Poincaréschen Modell ist dies die Gruppe der gebrochen-
linearen Transformationen
az + b

T ( z) =

,
a, b, c, d ∈ R , ad − bc = 1 .

cz + d

Allgemein wirft Klein folgendes umgekehrte Problem auf.

Es ist eine Mannigfaltigkeit und in derselben eine Transformati-

”

onsgruppe gegeben; man soll die der Mannigfaltigkeit angehörigen

Gebilde hinsichtlich solcher Eigenschaften untersuchen, die durch die

Transformationen der Gruppe nicht geändert werden.“

Die Bearbeitung dieses Forschungsprogramms hat in den letzten 100 Jahren zu
einer fruchtbaren Wechselwirkung von Geometrie und Gruppentheorie geführt.

10 Numerik

Der Numerik geht es um die Näherung und Berechnung mathematischer Größen.

War man bei der Umsetzung von Rechenverfahren bis zum 20. Jahrhundert
auf Papier und Bleistift oder mechanische Rechenmaschinen angewiesen, so
eröffnete die Erfindung des Computers neue Möglichkeiten. Der technischen

Neuerung folgte ein systematischer Aufbau der Theorie zur Genauigkeit und

Stabilität von numerischen Algorithmen. Diese Entwicklung findet ihren Wi-
derhall auch in den folgenden zwölf Abschnitten.

Zu Beginn diskutieren wir drei grundlegende Begriffe der Numerik: die Kon-
dition eines mathematischen Problems (Abschnitt 10.1), die Gleitkommazah-
len (Abschnitt 10.2) und die Stabilität eines numerischen Verfahrens (Ab-
schnitt 10.3). Insbesondere die Kondition und die Stabilität gehören zum theo-
retischen Werkzeug, mit dem die erreichte Genauigkeit einer numerischen Simu-
lation abgeschätzt werden kann.

Die nächste inhaltliche Einheit bilden die drei großen Themen der nume-
rischen linearen Algebra: lineare Gleichungssysteme (Abschnitt 10.4), Least-

Squares-Probleme (Abschnitt 10.5) und Eigenwerte linearer Abbildungen (Ab-
schnitt 10.6). Für die linearen Gleichungssysteme wird das Gaußsche Elimi-
nationsverfahren diskutiert. Das Least-Squares-Problem wird mit einer QR-

Zerlegung der Systemmatrix gelöst. Als exemplarischer Eigenwertlöser wird die

Vektoriteration vorgestellt.

Die folgenden zwei Abschnitte widmen sich Fragen der Approximationstheo-
rie, indem sie die Interpolation von stetigen Funktionen mit algebraischen Poly-
nomen x → xk (Abschnitt 10.7) und mit trigonometrischen Polynomen x → eikx

(Abschnitt 10.8) ansprechen. Für die algebraischen Polynome liegt unser Au-
genmerk auf den Lebesgue-Konstanten sowie den baryzentrischen Interpolati-
onsformeln. Die trigonometrischen Polynome werden als Träger der diskreten
und schnellen Fourier-Transformation besprochen.

Das nächste Beitragspaar befasst sich mit der numerischen Integration von
stetigen Funktionen. Abschnitt 10.9 behandelt grundlegende Fragen der Kondi-
tion, einfache Summationsverfahren sowie die summierte Trapezregel. Orthogo-
nale Polynome und die Gaußschen Quadraturverfahren stehen im Mittelpunkt
von Abschnitt 10.10.

Zuletzt werden die Runge-Kutta-Verfahren zur numerischen Lösung gewöhn-
licher Differentialgleichungen (Abschnitt 10.11) und das Newton-Verfahren als
iterative Methode zum Lösen nichtlinearer Gleichungssysteme (Abschnitt 10.12)

vorgestellt. In beiden Abschnitten stehen Kondition und Stabilität außen vor,
da für deren Diskussion ein weiterer theoretischer Rahmen erforderlich wäre.

O. Deiser et al., 12 x 12 Schlüsselkonzepte zur Mathematik,

DOI 10.1007/978-3-8274-2298-9_10, © Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2011

250

10 Numerik

10.1

Die Kondition

Lineare Gleichungssysteme mit nur zwei Gleichungen und zwei Unbekannten
können bereits überraschen. In einer Arbeit aus dem Jahr 1966 diskutiert Wil-
liam Kahan das lineare Gleichungssystem Aw = b mit

0 . 2161 0 . 1441

0 . 1440

A =

,
b =

.

1 . 2969 0 . 8648

0 . 8642

Die Matrix A ist invertierbar, und das Gleichungssystem hat die eindeutige

Lösung w = (2 , − 2) T . Angenommen, der Lösungsvektor wäre nicht bekannt, so
dass die Genauigkeit einer numerischen Lösung ˆ
w nicht über die Differenz zur
exakten Lösung w, sondern nur über das Residuum b − A ˆ
w beurteilt werden
kann. Für das Kahansche Beispiel weicht der Vektor ˆ
w = (0 . 9911 , − 0 . 4870) T
sowohl in der Länge als auch in der Richtung von der Lösung w deutlich ab.

Dennoch ist das Residuum b − A ˆ
w = ( − 10 − 8 , 10 − 8) T klein. Dies kann durch
den numerische Grundbegriff der Kondition erklärt werden.

Wir widmen uns der abstrakten Problemstellung, dass für eine Funktion f und
ein gegebenes x der Funktionswert y = f ( x) berechnet werden soll. Addieren
wir eine kleine Störung Δ x, so stellt sich die Frage, wie weit f ( x + Δ x) und f ( x)

voneinander abweichen und wie sehr f die Störung verstärkt. Kontextabhängig
wird man Δ x und die Differenz Δ y = f ( x+Δ x) −f ( x) mit einem absoluten oder
einem relativen Fehlermaß messen. Ist f : R2 → R beispielsweise eine Funktion
von R2 nach R, so könnte man den Abstand der Funktionswerte im Betrag
absolut messen und die Störung komponentenweise relativ:

|

|Δ x

Δ y| = |Δ y|,

| Δ x| = max
k |
k=1 , 2

|xk| .

Die Kondition κf ( x) einer beliebigen Funktion f für den Punkt x definiert
man nun als die kleinste Zahl κ ≥ 0, für die es ein δ > 0 gibt, so dass

| f( x + Δ x) − f( x) | ≤ κ| Δ x|
für alle | Δ x| ≤ δ gilt. Die Kondition hängt von den verwendeten Fehlermaßen
ab und spiegelt wider, wie sehr f kleine Störungen verstärkt. Stammen die Feh-
lermaße von einer Metrik, so ist die Kondition eine lokale Lipschitz-Konstante.

Probleme heißen gut konditioniert oder schlecht konditioniert, je nachdem, ob
ihre Kondition in etwa 1 oder sehr groß ist. Ist die Kondition gleich unendlich,
so spricht man von einem schlecht gestellten Problem.

Wir betrachten eine Funktion f : R2 → R mit stetiger erster Ableitung im

Punkt x und verwenden die speziellen Fehlermaße von eben. Dann kann man
aus der Taylor-Formel ableiten, dass

+

,

1

∂f

∂f

κ

f ( x) = |

( x)

( x)

f ( x) | ∂x

· |x 1 | +

· |x 2 |

1

∂x 2

10.1

Die Kondition

251
gilt. Wenden wir dies für die Addition f ( x 1 , x 2) = x 1 + x 2 an, so ergibt sich

|x
κ

1 | + |x 2 |

+( x) = |x 1 + x 2 | .

Haben x 1 und x 2 gleiches Vorzeichen, so ist κ+( x) = 1, und man betrachtet
die Addition bei gleichem Vorzeichen als gut konditioniert. Sind x 1 und x 2
fast betragsgleich und haben entgegengesetztes Vorzeichen, so fällt |x 1 | + |x 2 |
deutlich größer als |x 1 + x 2 | aus, und die Kondition κ+( x) ist sehr groß. Eine

Subtraktion fast gleich großer positiver Zahlen ist deshalb schlecht konditioniert.

Man spricht in diesem Fall von Ausl¨
oschung (siehe auch Abschnitt 10.3).

Sei nun A ∈ R n×n eine invertierbare Matrix und f : R n → R n, f ( x) = A− 1 x,
die Funktion, welche die Lösung des zu A gehörigen Gleichungssystems mit
rechter Seite x angibt. Wir wählen relative Fehlermaße bezüglich einer beliebigen

Norm des R n,

| Δ x| = Δ x/x,

| Δ y| = Δ y/y
und erhalten
f( Ax + Δ x) − f( Ax) · Ax

A− 1 · Ax
κf ( Ax) = lim
sup
δ→ 0 ||
f( Ax) · Δ x

=
x

,

Δ x||≤δ
wobei A− 1 = max {A− 1 x | x = 1 } die Matrixnorm von A− 1 bezeichnet,
siehe Abschnitt 5.7. Es ergibt sich unmittelbar κf ( Ax) ≤ A− 1 · A, und da

A invertierbar ist, auch κf ( x) ≤ A− 1 · A für alle x. Man nennt die positive

Zahl
κ( A) = A− 1 · A
die Kondition der Matrix A. Die Kondition einer Matrix hängt von der verwen-
deten Norm ab und gibt darüber Auskunft, wie sich Störungen der rechten Seite
schlimmstenfalls auf die Lösung des linearen Gleichungssystems auswirken. Für
schlecht konditionierte Gleichungssysteme sucht man deshalb nach invertierba-
ren Matrizen M , für die κ( M A) deutlich kleiner als κ( A) ausfällt, und arbeitet
mit dem zu Aw = b äquivalenten Gleichungssystem M Aw = M b. Dieses praxis-
relevante Vorgehen nennt man Vorkonditionierung.

Wir kehren nun zu Kahans Beispiel zurück. In der Supremumsnorm schreiben
sich die relativen Fehler als

|
b − Az∞
w − z∞

Δ x| =

,

| Δ y| =

.

b∞
w∞

Für den Quotienten | Δ y| /| Δ x| und somit für die Kondition von f ( x) = A− 1 x
im Punkt b erhält man dann in etwa 2 · 108. Die Inverse

3

− 86480000 14410000

A− 1 =

129690000 − 21610000
hat nur Einträge mit sehr großem Betrag, und die Kondition der Matrix A liegt
bei etwa 3 · 108. Dass ein Vektor mit kleinem Residuum so weit weg von der
exakten Lösung liegen kann, erklärt sich also durch schlechte Kondition.

252

10 Numerik

10.2

Gleitkomma-Arithmetik

Auf einem Computer stehen nur endlich viele Informationseinheiten zur

Verfügung. Man arbeitet deshalb bei der Umsetzung numerischer Verfahren mit
endlichen Teilmengen der rationalen Zahlen Q, welche einen möglichst weiten

Bereich der reellen Zahlen überstreichen. Eine solche Menge von Gleitkomma-
zahlen wird durch vier ganze Zahlen festgelegt: die Basis b, die Pr¨
azision p,
sowie die Zahlen e min und e max, welche den Exponentenbereich abgrenzen. Man
setzt

/

0

G =

± m · be−p | 0 ≤ m ≤ bp − 1 , e min ≤ e ≤ e max .

Alternativ kann man eine Gleitkommazahl auch als

+

,

±
d
d
dp
m · be−p = ± be

1 + 2 + . . . +
b
b 2
bp
darstellen, wobei die Ziffern d 1 , . . . , dp aus der Menge { 0 , 1 , . . . , b − 1 } stammen.

Für die Basis b = 10 kann dies als ± m · 10 e−p = ± 10 e · 0 .d 1 d 2 . . . dp umge-
schrieben werden, und die Zahlen haben in Abhängigkeit vom Exponenten e ein
gleitendes

Komma“. (In der Numerik ist es üblich, der internationalen Kon-

”

vention folgend, Dezimalbrüche mit einem Punkt statt Komma zu schreiben;
trotzdem nennt man im Deutschen Gleitkomma-Arithmetik, was im Englischen
floating point arithmetic heißt.) Um für jedes x ∈ G, x = 0, eine eindeutige Dar-
stellung zu erreichen, fordert man zusätzlich m ≥ bp− 1 oder äquivalent d 1 = 0.

Solche Gleitkommazahlen heißen normalisiert, und wir gehen im Folgenden von
normalisierten Zahlen aus. Es gilt für den kleinsten und größten Betrag:

g min := min {|x| | x ∈ G, x = 0 } = be min − 1 ,
g max := max {|x| | x ∈ G} = be max (1 − b−p) .

Der IEEE-Gleitkommastandard 754r, der vom weltweiten Berufsverband des

Institute of Electrical and Electronics Engineers“ (IEEE) entwickelt wurde,

”

hat die Basis b = 2. Dieser Standard wird von fast allen modernen Prozessoren
und Softwarepaketen umgesetzt. Die zwei Hauptformate single precision und
double precision werden von Gleitkommazahlen mit 32 beziehungsweise 64 Bits
getragen. Die Bits werden so verteilt, dass die einfache Genauigkeit die Präzision
p = 24 und den Exponentenbereich ( e min , e max) = ( − 125 , 128) hat, während für
die doppelte Genauigkeit p = 53 und ( e min , e max) = ( − 1021 , 1024) gilt.

Gleitkommazahlen sind nicht äquidistant, da die Abstände bei jeder Potenz
der Basis b um einen Faktor b springen. Die nächstgrößere Gleitkommazahl nach
der 1 folgt im Abstand der Maschinengenauigkeit ε := b 1 −p. Alle Gleitkomma-
zahlen zwischen 1 und b haben den gleichen Abstand ε, die Gleitkommazahlen
zwischen b− 1 und 1 haben den Abstand ε/b. Allgemein gilt für jedes x ∈ G
εb− 1 |x| ≤ min {|x − y| | y ∈ G, y = x} ≤ ε|x|.

10.2

Gleitkomma-Arithmetik

253

Seien G∞ die Menge aller Gleitkommazahlen mit unbegrenztem Exponenten-
bereich, e ∈ Z und
fl: R → G∞, x → argmin {|x − y| | y ∈ G∞}

die Rundungsabbildung. Im Fall, dass eine reelle Zahl x ∈ R genau in der Mitte
zweier Gleitkommazahlen liegt, muss eine Rundungsregel greifen. Der IEEE-

Standard wählt hierfür diejenige der beiden Gleitkommazahlen, deren letzte

Ziffer dp gerade ist ( round to even“).

”

Wir kehren in den beschränkten Exponentenbereich zurück. Auch wenn
die doppelte Genauigkeit des IEEE-Standards Gleitkommazahlen des Betrags

10 ± 308 enthält, läuft man durch einfache arithmetische Operationen wie das

Quadrieren oft aus den aufgelösten Betragsgrößen heraus. Man spricht von

¨

Uberlauf und Unterlauf, falls

| fl( x) | > g max bzw. 0 < | fl( x) | < g min
für ein x ∈ R gilt. Überlauf lässt sich jedoch durch geeignete Skalierun-
gen eindämmen. Zum Beispiel kann man die euklidische Länge eines Vektors

( x 1 , x 2) ∈ R2 folgendermaßen berechnen:

s = max {|x 1 |, |x 2 |},
x 2 = s · ( x 1 /s)2 + ( x 2 /s)2 .

Oft werden Gleitkommazahlen nicht durch ihre Maschinengenauigkeit ε =
b 1 −p charakterisiert, sondern durch 1 ε, den sogenannten unit round off. Dies

2
ist durch den relativen Fehler | fl( x) − x|/|x| der Rundungsabbildung begründet.

Liegt x ∈ R vom Betrag her im Intervall [ g min , g max], so gilt
fl( x) = x(1 + δ)

für ein δ ∈ R mit |δ| ≤ 1 ε. Das heißt, dass der relative Fehler nicht größer

2
als die halbe Maschinengenauigkeit ausfällt. Für die Hauptformate des IEEE-

Standards ist 1 ε ≈ 6 · 10 − 8 beziehungsweise 1 ε ≈ 1 · 10 − 16 bei einfacher und

2

2
doppelter Genauigkeit.

Diese einfache, aber wichtige Abschätzung motiviert, dass man für die
grundlegenden arithmetischen Operationen Plus, Minus, Mal und Geteilt das

Standardmodell der Gleitkomma-Arithmetik annimmt: Für alle x, y ∈ G mit

|x op y| ∈ [ g min , g max] gilt
fl( x) op fl( y) = ( x op y)(1 + δ) ,

|δ| ≤ 1 ε,

2
wobei wir mit op sowohl die üblichen arithmetischen Operationen + , −, ·, / auf
den reellen Zahlen als auch die entsprechenden Gleitkomma-Operationen be-
zeichnen. Das Modell verlangt also für die Gleitkomma-Arithmetik eine gleich
große Fehlerschranke, wie sie für das Runden des exakten Ergebnisses gilt. Es ist
für fast alle modernen Computer gültig und wird insbesondere von den IEEE-

Standards umgesetzt. Es ist deshalb der allgemeine Ausgangspunkt für die Feh-
leranalyse numerischer Verfahren.

254

10 Numerik

10.3

Numerische Stabilit¨
at

Die numerische Berechnung der Nullstellen eines Polynoms zweiten Grades sollte
einfach sein, da man sogar auf eine geschlossene Lösungsformel zurückgreifen
kann. Wir geben uns zu Testzwecken zwei Nullstellen vor, x+ = 3000 und x− =

1 + 10 − 12. Das Polynom

( x − x+) · ( x − x−) = x 2 + bx + c
hat die Koeffizienten b = −( x+ + x−) = − 3001 − 10 − 12 und c = x+ x− =

√

3000 + 3 · 10 − 9. Wir werten die Lösungsformel x± = 1 ( −b ±
b 2 − 4 c) in

2

Gleitkomma-Arithmetik mit doppelter Genauigkeit, das heißt mit einer Ma-
schinengenauigkeit ε = 2 − 52 ≈ 2 · 10 − 16, aus und erhalten die Werte 3000 und

1 . 000000000000910. Weshalb ist die kleinere Nullstelle ab der zwölften Nach-
kommastelle falsch, obwohl die Gleitkommazahlen das Intervall [1 , 2] mit Ge-
nauigkeit ε auflösen?

Wir betrachten die Abbildung f ( x) = 1 ( −x
x 2 − 4 x

2

1 −

1

2) und berechnen
ihre Konditionszahl bezüglich der Fehlermaße, die wir in Abschnitt 10.1 für die

Diskussion der Auslöschung verwendet haben. Man erhält

1
x 1

√

+ 1 · |x

2

1 | +

|x 2 |

√
x 2
x 2
κ

1 − 4 x 2

1 − 4 x 2
f ( x) =

1 x
x 2 − 4 x

2

1 +

1

2
und für x = ( b, c) ergibt sich eine Kondition von etwa 2. Numerische Fehler
lassen sich also durch eine Konditionszahl allein nicht erklären. Wir erweitern
deshalb die Fehleranalyse um ihren zweiten Grundbegriff, der Stabilität.

Wir stellen uns also dem Problem, für eine Funktion f und ein gegebenes x den

Wert f ( x) zu berechnen, und arbeiten in Gleitkomma-Arithmetik mit Maschi-
nengenauigkeit ε. Das numerische Verfahren modellieren wir durch eine Funk-
tion ˆ
f , der ein leicht gestörter Eingabewert x + Δ x übergeben wird. Der nume-
rische Fehler schreibt sich dann als

f ( x) − ˆ
f ( x + Δ x) = f ( x) − f ( x + Δ x) + f ( x + Δ x) − ˆ
f ( x + Δ x) .

Der erste Summand ist im Fehlermaß durch die entsprechende Konditionszahl
beschränkt: Für hinreichend kleines | Δ x| gilt

| f( x) − f( x + Δ x) | ≤ κf ( x) | Δ x| .

Für den zweiten Summanden definiert man den Stabilit¨
atsindikator σ ˆ( x) des
f
numerischen Verfahrens ˆ
f im Punkt x als die kleinste Zahl σ ≥ 0, für die es ein
δ > 0 gibt, so dass

| f( x) − ˆ
f ( x) | ≤ σ κf ( x) ε

10.3

Numerische Stabilität

255
für alle ε ≤ δ gilt. Der Stabilitätsindikator hängt von den verwendeten Fehlerma-
ßen ab und kontrolliert gemeinsam mit der Kondition des Problems den Fehler
des numerischen Verfahrens. Diese Definition zielt nicht auf die Ausführung des

Verfahrens auf einem konkreten Rechner mit fester Maschinengenauigkeit, son-
dern auf eine idealisierte Situation, in der die Maschinengenauigkeit hinreichend
klein gewählt werden kann, so dass sie unter die δ-Schranke fällt.

Ein numerisches Verfahren heißt stabil oder instabil, je nachdem, ob der Stabi-
litätsindikator von der Größenordnung 1 oder sehr groß ist. Ein stabiles Verfah-
ren erreicht für ein gut konditioniertes Problem in etwa Maschinengenauigkeit.

Für ein schlecht konditioniertes Problem sind hingegen alle Verfahren im Sinne
dieser Definition stabil.

Im vorherigen Beispiel zur Nullstellenberechnung liegt der numerische Fehler
drei Größenordnungen über dem, was man für ein stabiles Verfahren erwar-
ten würde. Wie diese Instabilität entsteht, lässt sich aus der Kettenregel für
den Stabilitätsindikator erklären: Ein numerisches Verfahren besteht aus einer

Abfolge von Gleitkomma-Operationen, die man zu handhabbaren Teilschritten
zusammenfasst. Unser Beispielverfahren kann man als ˆ
f = ˆ
h ◦ ˆ
g zerlegen, wobei

ˆ
g und ˆ
h die Probleme g( x 1 , x 2) = ( x 1 ,
x 2 − 4 x

( −y

1

2) und h( y 1 , y 2) = 1

2

1 − y 2)

lösen. Die Produktabschätzung für den Stabilitätsindikator

σ ˆ( x) κ
σ ( g( x)) + σ
f
f ( x) ≤ κh( g( x)) ·

ˆ
h

ˆ
g ( x) κg ( x)

legt nahe, die Kondition der Teilprobleme g( x) und h( g( x)) für den Punkt
x = ( b, c) zu überprüfen, und man findet in h( g( b, c)) eine Auslöschung. Die

Instabilität ist hier also einem schlecht konditionierten Teilproblem geschul-
det. Berechnet man alternativ die kleinere Nullstelle über den Quotienten

√
x− = c/x+ = c/ 1 ( −b +
b 2 − 4 c), so fußt das Verfahren auf einer Formel,

2
die sich aus gut konditionierten, stabil lösbaren Einzelproblemen zusammen-
setzt. Das Verfahren ist also stabil und liefert erwartungsgemäß die Nullstelle

1 . 000000000001000.

In der Praxis ist die Schätzung des Stabilitätsindikators σ ˆ( x) meist schwie-
f
rig, da er vom Fehler des Verfahrens und der Kondition des Problems abhängt.

Man wechselt deshalb die Perspektive und betrachtet das Ergebnis ˆ
f ( x) eines
numerischen Verfahrens als den Wert der Funktion f für einen gestörten Ein-
gabepunkt x + Δ x:

ˆ
f ( x) = f ( x + Δ x) .

Man schätzt anstelle des Vorw¨
artsfehlers | f ( x) − ˆ
f ( x) | den Rückwärtsfehler

| Δ x| und ergänzt den zuvor entwickelten Begriff der Vorwärtsstabilität folgen-
dermaßen. Der Stabilit¨
atsindikator ρ ˆ( x) der Rückwärtsanalyse für das Verfah-
f
ren ˆ
f im Punkt x ist die kleinste Zahl ρ ≥ 0, für die es ein δ > 0 gibt, so
dass

| Δ x| ≤ ρ ε

256

10 Numerik
für alle ε ≤ δ gilt. Man nennt ein numerisches Verfahren ˆ
f r¨
uckw¨
artsstabil im

Punkt x, wenn der Stabilitätsindikator ρ ˆ( x) von der Größenordnung 1 ist. Im
f
gut konditionierten Fall berechnet also ein rückwärtsstabiles Verfahren die rich-
tige Lösung für ein naheliegendes Problem, während ein vorwärtsstabiles Ver-
fahren lediglich eine fast richtige Lösung für ein naheliegendes Problem liefert.

Diese Interpretation wird auch von der leicht zu beweisenden Abschätzung
σ ˆ( x) ≤ ρ ( x)

f

ˆ
f
gestützt. Aus der Rückwärtsstabilität folgt also die Vorwärtsstabilität.

Die Produktformel für ein zusammengesetztes Verfahren ˆ
f = ˆ
h ◦ ˆ
g, deren
erster Teilschritt auf einer invertierbaren Abbildung g beruht, lautet
ρ ˆ( x) ≤ ρ

(ˆ
g( x)) .

f

ˆ
g ( x) + κg− 1 ( g( x)) ρˆ
h

Ist der erste Teilschritt beispielsweise eine Addition g( x) = 1 + x für ein be-
tragskleines x, so ist die relative Konditionszahl

|( g− 1) ( g( x)) | · |g( x) |

| 1 + x|
κg− 1( g( x)) =

|g− 1( g( x)) |

=

|x|
sehr groß, und das Verfahren möglicher Weise nicht rückwärtsstabil. Man verliert
in diesem Fall Information über den Eingabewert x, da die Gleitkommazahlen
den Bereich kurz unter und nach der 1 gröber auflösen als die Bereiche kleinen

Betrags.

Ein vorwärtsstabiles, aber nicht rückwärtsstabiles Verfahren ist das Lösen li-
nearer 2 × 2-Systeme. Wir vergleichen die Cramersche Regel mit dem Gaußschen

Eliminationsverfahren mit Spaltenpivotisierung (siehe Abschnitte 5.5 und 10.6)

und lösen das schlecht konditionierte Gleichungssystem Aw = b, das wir im Ab-
schnitt 10.1 diskutiert haben. Wir erhalten in doppelter Genauigkeit folgende
relative Fehler für die numerische Lösung ˆ
w und die echte Lösung w = (2 , − 2) T :

κ( A) ≈ 3 · 108

| w − ˆ
w|

| b − A ˆ
w|

Cramer (vorwärtsstabil)

1 . 7998 · 10 − 9

1 . 1673 · 10 − 10

Gauß (rückwärtsstabil)

1 . 7998 · 10 − 9

7 . 7038 · 10 − 17

Das rückwärtsstabile Gaußsche Eliminationsverfahren hat einen Rückwärts-
fehler | b − A ˆ
w| = b − A ˆ
w∞/b∞ in der Größenordnung der Maschinen-
genauigkeit, während der Vorwärtsfehler | w − ˆ
w| = w − ˆ
w∞/w∞ etwa
acht Größenordnungen darüber liegt. Dies bestätigt nicht nur die Faustregel,
dass der Vorwärtsfehler durch die Kondition mal dem Rückwärtsfehler be-
schränkt ist, sondern zeigt, dass diese obere Schranke von der Größenordnung
her auch angenommen werden kann. Der Rückwärtsfehler der Cramerschen Re-
gel liegt etwa sechs Größenordnungen über der Maschinengenauigkeit, während
der Vorwärtsfehler gleich dem des Eliminationsverfahrens ist.

10.4

Das Gaußsche Eliminationsverfahren

257

10.4

Das Gaußsche Eliminationsverfahren

Die Gaußsche Elimination ist ein direktes Verfahren zum Lösen linearer Glei-
chungssysteme, das in der westlichen Kultur zumeist Carl Friedrich Gauß zu-
geschrieben wird. Schon vor unserer Zeitrechnung wurde die Methode aber in
der chinesischen Mathematik für konkrete Systeme mit bis zu fünf Unbekannten
verwendet.

Die Idee der Gaußschen Elimination ist es, lineare Gleichungssysteme mit
m Gleichungen und n Unbekannten zu lösen, indem man sie durch sukzessive

Umformungen in obere Trapezgestalt überführt (siehe auch Abschnitt 5.4). Ein

System Ax = b mit A ∈ R m×n und b ∈ R m wird durch Linksmultiplikation mit
einfach handhabbaren Matrizen auf die Form Rx = ˜
b gebracht, wobei R ∈ R m×n
eine obere Trapezmatrix ist und R( k, l) = 0 für alle k > l erfüllt. Schematisch
sieht die Elimination folgendermaßen aus:

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

× × × × ×

× × × × ×

× × × × ×

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

A = ⎜

⎝ × × × × × ⎟

⎠ → ⎜

⎝

× × × × ⎟

⎠ → ⎜

⎝

× × × × ⎟

⎠ = R.

× × × × ×

× × × ×

× × ×

Wir diskutieren zuerst den Fall einer invertierbaren Matrix A ∈ R n×n. Hier
besitzt Ax = b immer eine eindeutig bestimmte Lösung x, und es gilt der fol-
gende Satz: Genau dann, wenn die Untermatrizen A(1 : k, 1 : k) ∈ R k×k für alle
k < n ebenfalls invertierbar sind, lässt A eine eindeutige Zerlegung der Form

⎛

⎞ ⎛

⎞

1

× × ×

⎜

⎟ ⎜

⎟

A = ⎜

⎝ × 1 ⎟

⎠ ⎜

⎝

× × ⎟

⎠ = LR

× × 1

×
zu, wobei der Linksfaktor L ∈ R n×n eine untere Dreiecksmatrix mit lauter

Einsen auf der Diagonalen und der Rechtsfaktor R ∈ R n×n eine invertierbare
obere Dreiecksmatrix ist.

Die Gaußsche Elimination berechnet die LR-Zerlegung in folgender Weise.

Man multipliziert das Gleichungssystem Ax = b von links mit unteren Drei-
ecksmatrizen L 1 , . . . , Ln− 1. Bezeichnen wir mit A( k) = Lk− 1 · · · L 1 A, so ist

Lk die Dreiecksmatrix mit lauter Einsen auf der Diagonalen und dem Vektor

−A( k)( k+1 : n, k) /A( k)( k, k) ∈ R n−k in der k-ten Spalte unterhalb der Diagonalen. Die Invertierbarkeit der Untermatrizen von A garantiert, dass die Pivotele-
mente A( k)( k, k) nicht verschwinden. Die Linksmultiplikation mit Lk entspricht
der simultanen Addition eines Vielfachen der k-ten zu den darauffolgenden Zei-
len. Dies räumt das System Ax = b unterhalb der Diagonalen aus und bringt
es auf obere Dreiecksform Rx = c, wobei R = A( n) = Ln− 1 · · · L 1 A der Rechts-
faktor ist und c = Ln− 1 · · · L 1 b gilt. Der Linksfaktor ist L = L− 1 · · · L− 1 . Das

1
n− 1

258

10 Numerik

Dreieckssystem Rx = c lässt sich nun durch Rückwärts-Substitution einfach
lösen, und wir erhalten das gesuchte x über
x( k) = ( c( k) − R( k, k + 1 : n) · x( k + 1 : n)) /R( k, k) , k = 1 , . . . , n.

Dieses einfache Eliminationsverfahren ist möglicherweise instabil. Seien ˆ

L und

ˆ

R die in Gleitkomma-Arithmetik mit Maschinengenauigkeit ε berechneten LR-

Faktoren von A, und bezeichne · ∞ die Zeilensummennorm einer Matrix.

Man kann dann zeigen, dass der Rückwärtsfehler ˆ

L ˆ

R − A∞/A∞ vor allem
von L∞R∞/A∞ dominiert wird. Dieser Quotient kann aber beliebig groß
sein, wie das folgende Beispiel zeigt:

δ 1

1 0
δ

1

=

.

1 1

1 1

0 1 − 1
δ
δ

Hier gelten A∞ → 1 und L∞, R∞ → ∞, falls δ → 0.

Wir führen deshalb zusätzliche Zeilenvertauschungen ein, die darauf abzielen,
nicht durch kleine Pivotelemente zu teilen, und verbessern so in den meisten

Fällen die Stabilität des Verfahrens. Man sucht im l-ten Schritt in der l-ten Spal-
te nach dem betragsgrößten Element A( l)( k∗, l) und vertauscht die l-te mit der
k∗-ten Zeile, bevor die Matrix Ll gebildet wird. Die zugehörige Permutationsma-
trix Pl geht durch die Vertauschung der l-ten und der k∗-ten Zeile aus der Ein-
heitsmatrix hervor. Das Eliminationsverfahren führt dann auf das obere Drei-
eckssystem Rx = c mit R = Ln− 1 Pn− 1 · · · L 1 P 1 A und c = Ln− 1 Pn− 1 · · · L 1 P 1 b.

Da nur spaltenweise nach dem betragsgrößten Element gesucht wird, spricht
man von einer Spaltenpivotisierung. Durch Einfügen mehrerer Inverser der Per-
mutationsmatrizen P 1 , . . . , Pn− 1 lässt sich die invertierbare obere Dreiecksma-
trix R als R = LP A schreiben, wobei L eine untere Dreiecksmatrix mit lauter

Einsen auf der Diagonalen ist, deren Einträge alle vom Betrag her kleiner oder
gleich 1 sind. P ist eine Permutationsmatrix. Gaußsche Elimination mit Spal-
tenpivotisierung berechnet also die LR-Zerlegung von P A.

Verlassen wir die quadratischen Matrizen, die gemeinsam mit ihren Unterma-
trizen invertierbar sind, so gilt Folgendes. Für jede Matrix A ∈ R m×n gibt es
eine Permutationsmatrix P ∈ R m×m, eine untere Dreiecksmatrix L ∈ R m×m
mit Einsen auf der Diagonalen und allen Einträgen vom Betrag her kleiner oder
gleich 1 sowie eine obere Trapezmatrix R ∈ R m×n, so dass P A = LR gilt. Die

Linksmultiplikation mit P garantiert, dass das oben beschriebene Eliminations-
verfahren wohldefinierte Matrizen L 1 , . . . , Ln− 1 aufbaut und zu einem oberen

Trapezsystem führt. Die linearen Gleichungssysteme Ax = b und Rx = L− 1 P b
haben dieselbe Lösungsmenge.

Gaußsche Elimination mit Spaltenpivotisierung braucht größenordnungs-
mäßig 2 (min {m, n})3 skalare Additionen und Multiplikationen. Die Matrix A

3
kann während der Rechnung mit dem Rechtsfaktor R überschrieben werden. Für
den quadratischen Fall m = n hat man die folgende Stabilitätsabschätzung von

10.4

Das Gaußsche Eliminationsverfahren

259

James Wilkinson aus dem Jahr 1961. Die durch Gaußsche Elimination mit Spal-
tenpivotisierung berechnete numerische Lösung ˆ
x ist die Lösung eines gestörten

Gleichungssystems ( A + E)ˆ
x = b, und für die Störung gilt

+

,

E∞ ≤ nε

5 ˆ

L∞ ˆ

R∞

3 +

+ O( ε 2) .

A∞

2

A∞

ˆ

L und ˆ

R sind hierbei die berechneten LR-Faktoren von P A. Diese Abschätzung
gleicht der für die Elimination ohne Pivotisierung bis auf den wesentlichen Un-
terschied, dass die Pivotisierung |L( i, j) | ≤ 1 erzwingt.

Prinzipiell kritisch ist immer der Rechtsfaktor. Unser vorheriges Beispiel zeigt,
dass er ohne Spaltenpivotisierung beliebig wachsen kann. Für den mit Spalten-
pivotisierung berechneten Rechtsfaktor gibt es jedoch die dimensionabhängige
obere Schranke R∞/A∞ ≤ 1 2 n− 1, die von den Matrizen angenommen
n
wird, bei denen auf der Diagonale 1, unterhalb der Diagonale − 1, in der letzten

Spalte 1 und ansonsten 0 steht. Im Fall n = 3 ergibt sich beispielsweise:

⎛

⎞

⎛

⎞ ⎛

⎞

1

0 1

1

0 0

1 0 1

⎜

⎜

⎟

⎜

⎟ ⎜

⎟

⎝ − 1 1 1 ⎟

⎠ = ⎜

⎝ − 1 1 0 ⎟

⎠ ⎜

⎝ 0 1 2 ⎟

⎠ .

− 1 − 1 1

− 1 − 1 1

0 0 4

Aus der 2001 von Daniel Spielman und Shang-Hua Teng ins Leben gerufenen

Smoothed Analysis stammen Erklärungsansätze, weshalb in der Praxis auftre-
tende Matrizen fast immer gutartige Rechtsfaktoren haben. Folgendes Experi-
ment mit n = 70 und dem eben besprochenen A deutet die Argumentations-
richtung an: G ist die numerische Umsetzung einer Matrix, deren Einträge un-
abhängige, identisch gemäß N (0 , σ 2), σ = 10 − 9, verteilte Zufallsvariablen sind.

Wir lösen in doppelter Genauigkeit für eine beliebige rechte Seite Ax = b und

( A + G) x = b durch Gaußsche Elimination mit Spaltenpivotisierung. Im ersten

Fall ist der Rückwärtsfehler erwartungsgemäß etwa 104, während das durch G
gestörte System fast auf Maschinengenauigkeit gelöst wird.

R∞/A∞ ≈ 1019

Aˆ x − b∞

( A + G)ˆ x − b∞

ˆ
x für Ax = b

3 . 0721 · 104

3 . 0721 · 104

ˆ
x für ( A + G) x = b

1 . 1888 · 10 − 8

2 . 1511 · 10 − 15

Die Smoothed Analysis hat die vermuteten Stabilitätsbschätzungen für die

Gaußsche Elimination mit Spaltenpivotisierung noch nicht bewiesen. Ungeklärt
ist auch, welche Störungstypen das Stabilitätsverhalten wie beeinflussen.

Gauß hat im Juni 1798 in seinem wissenschaftlichen Tagebuch geschrieben:

Problema eliminationis ita solutum ut nihil amplius desiderari possit. (Problem
der Elimination so gelöst, dass nichts mehr zu wünschen bleibt.) Wir wünschen
uns trotzdem noch eine vollständige Erklärung ihrer Stabilität.

260

10 Numerik

10.5

Die Methode der kleinsten Quadrate

Im Vorwort seines Buches über die Bewegung der Himmelskörper schreibt Gauß,
dass die erste Anwendung seiner Methode der kleinsten Fehlerquadrate zur Wie-
derauffindung des Asteroiden Ceres im Dezember 1801 geführt hat. Es gibt
begründete Zweifel, ob Gauß diese Methode als Erster gefunden hat. Ihr Ein-
satz, um den flüchtigen Planeten der Beobachtung wieder zurückzugeben“, ist

”

jedoch sicher ein Glanzstück angewandter Mathematik.

Die abstrakte Problemstellung linearer Ausgleichsrechnung ist die folgende.

Gegeben sind ein Vektor b ∈ R m von Messwerten und eine Matrix A ∈ R m×n.

Gesucht ist ein Vektor x ∈ R n, so dass Ax möglichst gut die Messwerte repro-
duziert. Da die Anzahl m der Messungen in der Regel größer als die Anzahl n
der Unbekannten ist, hat man es meist mit einem überbestimmten Gleichungs-
system zu tun. Man sucht deshalb nach einem Vektor x, für den das Residuum
b − Ax minimal ist. Kontextabhängig wird man das Residuum mit unterschied-
lichen Normen messen. Ist die Wahl jedoch auf die euklidische Norm gefallen,
so löst man ein Problem der kleinsten Fehlerquadrate, wenn man
m

b − Ax 22 =

( bk − ( Ax) k)2
k=1
minimiert. Bezeichnen wir mit P b die orthogonale Projektion von b in das Bild
von A, so ist jedes x mit Ax = P b eine Lösung des Ausgleichsproblems. Hat

A vollen Rang, so ist die Lösung x auch eindeutig. Wir werden im Folgenden
immer annehmen, dass m ≥ n gilt, und A vollen Rang n hat.

Die Bedingung Ax = P b ist äquivalent dazu, dass b − Ax im Kern der trans-
ponierten Matrix AT liegt, und dies ist äquivalent zur Normalengleichung

AT Ax = AT b.

Die Matrix AT A ist positiv definit und erlaubt eine Faktorisierung AT A =

LLT , wobei die invertierbare untere Dreiecksmatrix L ∈ R n×n der Cholesky-

Faktor von A genannt wird. Die Normalengleichung lässt sich effizient und
rückwärtsstabil mit etwa 1 n 3 arithmetischen Operationen lösen.

3

Obwohl das Ausgleichsproblem und die Normalengleichung die gleiche

Lösung haben, sind sie für die Konstruktion numerischer Verfahren keines-
wegs äquivalent, wie folgendes Beispiel von Peter Läuchli aus dem Jahr 1961
verdeutlicht. Seien

⎛

⎞

⎛ ⎞

⎜ 1 1 ⎟

⎜ 2 ⎟

A = ⎜

⎝ δ 0 ⎟

⎠ ,
b = ⎜

⎝ δ ⎟

⎠ .

0 δ
δ

Unabhängig von δ > 0 ist die exakte Lösung x = (1 , 1) T . Berechnen wir jedoch
für δ = 10 − 7 in doppelter Genauigkeit die Lösung der Normalengleichung, so

10.5

Die Methode der kleinsten Quadrate

261
erhalten wir einen relativen Fehler x − ˆ
x 2 /x 2 von etwa 10 − 2. Die nume-
rische Fehleranalyse klärt die Situation. Für relative Fehlermaße bezüglich der
euklidischen Norm ist die Kondition des Problems in etwa 107. Das Verfahren

ˆ
f = ˆ
h ◦ ˆ
g mit g( x) = AT x und h( y) = ( AT A) − 1 y hat jedoch einen zweiten

Teilschritt, dessen Kondition κh( g( b)) ≈ 1014 noch schlechter ist. Der Weg über
die Normalengleichung kann also zu einem instabilen Verfahren führen.

Eine alternative Methode stammt aus einer einflussreichen Veröffentlichung
von Gene Golub aus dem Jahr 1965. Sie verwendet orthogonale Transformatio-
nen, um dann ein oberes Dreieckssystem zu lösen. Die Matrix A ∈ R m×n lässt
eine eindeutige Zerlegung in eine orthogonale Matrix Q ∈ R m×m und eine obere

Trapezmatrix R ∈ R m×n mit positiven Diagonaleinträgen zu:

⎛

⎞

⎛

⎞ ⎛

⎞

× ×

× × ×

× ×

⎜

⎟

⎜

⎟ ⎜

⎟

A = ⎜

⎝ × × ⎟

⎠ = ⎜

⎝ × × × ⎟

⎠ ⎜

⎝

× ⎟

⎠ = QR.

× ×

× × ×

Mit der QR-Zerlegung schreibt sich das Normquadrat des Residuums als
b − Ax 22 = ( QT b)(1 : n) − R(1 : n, :) x 22 + ( QT b)( n + 1 : m) 22 , wobei ( QT b)(1 : n) die Projektion von QT b auf die ersten n Zeilen bezeichnet.

Die Lösung des Ausgleichsproblems ist deshalb die Lösung des oberen Drei-
eckssystems R(1 : n, :) x = ( QT b)(1 : n), welches durch Rückwärtssubstitution
rückwärtsstabil gelöst wird.

Ein rückwärtsstabiles Verfahren zur QR-Zerlegung geht auf Alston Househol-
der 1958 zurück. Im ersten Schritt wird die erste Spalte a = A(: , 1) der Matrix A
durch Multiplikation mit einer orthogonalen Householder-Matrix

H 1 = Id − 2 vvT /v 22
auf ein Vielfaches des ersten Einheitsvektors e 1 = (1 , 0 , . . . , 0) T ∈ R m abgebil-
det. Diese Matrizen werden auch Reflektoren genannt, weil sie an der Hyper-
ebene aller auf v senkrecht stehenden Vektoren spiegeln. Von den beiden für
v in Frage kommenden Vektoren a ± ae 1 wählt man v = a + sgn( a 1) ae 1.

Im k-ten Schritt bearbeitet man dann die Matrix ( Hk− 1 · · · H 1 A)( k : m, k : n)

und bildet deren erste Spalte durch eine Householder-Matrix ˜

Hk auf den ersten
kanonischen Einheitsvektor im R m−k+1 ab. Die zugehörige m×m-Householder-

Matrix Hk ergibt sich als

Id 0

Hk =

.

0

˜

Hk

Wie im Gaußschen Eliminationsverfahren werden also sukzessive die Einträge
unter der Diagonalen eliminiert, nur dass die einfachen Transformationsmatrizen
nicht untere Dreiecksform haben, sondern orthogonal sind. Die QR-Zerlegung
benötigt arithmetische Operationen in einer Größenordnung von 2 m 2 n − 2 n 3.

3

262

10 Numerik

10.6

Eigenwertprobleme

Wir beschäftigen uns nach den linearen Gleichungssystemen und Ausgleichs-
problemen mit dem dritten großen Thema der numerischen linearen Algebra,
den linearen Eigenwertproblemen. Ist A ∈ R n×n eine Matrix, so berechnen wir

Zahlen λ und Vektoren x = 0, welche die lineare Eigenwertgleichung

Ax = λx
erfüllen. Lineare Eigenwertprobleme sind fast überall anzutreffen. Ein beliebtes

Beispiel ist das Google-Eigenwertproblem, welches die Wichtigkeit einer Inter-
netseite zu bestimmen hilft.

Der Einfachheit halber beschränken wir uns hier auf symmetrische Matri-
zen A = AT , die genau n betragsverschiedene Eigenwerte besitzen, und num-
merieren diese nach ihrem Betrag, |λ 1 | > . . . > |λn|. Die Eigenräume sind
dann alle eindimensional. Die relative Konditionszahl der Abbildung auf den
j-ten Eigenwert A → λj = λj( A) ist durch κλ ( A) = A/|λ
j
j | gegeben, wobei

A = sup {Ax | x = 1 } die zur euklidischen Norm gehörige Matrixnorm ist.

Verwenden wir, dass für symmetrische Matrizen A die Matrixnorm A gleich
dem Betrag |λ 1 | des dominanten Eigenwertes λ 1 ist, so ergibt sich

A

|λ
κ

1 |
λ ( A) =
j

|λj| = |λj|

( j = 1 , . . . , n) .

Das heißt, dass die n verschiedenen Eigenwerte λ 1 , . . . , λn alle gut konditioniert
sind, es sei denn, die betragskleineren Eigenwerte sind vom Betrag her sehr viel
kleiner als |λ 1 |.

In den eindimensionalen Eigenräumen gibt es genau zwei normierte Eigen-
vektoren. Wir bezeichnen mit xj den zum Eigenwert λj gehörigen normierten

Eigenvektor, dessen erste nicht verschwindende Komponente positiv ist, und
nennen ihn den j-ten Eigenvektor. Für die relative Konditionszahl der Abbil-
dung auf den j-ten Eigenvektor A → xj = xj( A) gilt

A
κx ( A) =
j

|λj| · min {|λk − λj| | k = j}

( j = 1 , . . . , n) .

Ein Eigenvektor ist also tendenziell schlechter konditioniert als der ihm zugehö-
rige Eigenwert, da seine Konditionszahl auch vom Abstand zum nächstliegenden

Eigenwert abhängt.

Das einfachste Verfahren zur Berechnung des dominanten Eigenvektors ist
die Vektoriteration. Ausgehend von einem Startvektor v ∈ R n, der auf x 1
nicht senkrecht steht, berechnet man iterativ die Vektoren vk := Akv/Akv.

Im Grenzwert k → ∞ konvergiert nämlich der Abstand von vk zum domi-
nanten Eigenraum gegen Null. Dies gilt aus folgendem Grund: Wir schreiben
v = v, x 1 x 1 + · · · + v, xn xn als Linearkombination der (orthogonalen) Eigen-
vektoren und stellen Akv entsprechend als

Akv = v, x 1 λk 1 x 1 + · · · + v, xn λknxn

10.6

Eigenwertprobleme

263
dar. Da die Eigenvektoren alle aufeinander senkrecht stehen, gilt außerdem

Akv 2 = v, x 1
2 λ 2 k

1

+ · · · + v, xn 2 λ 2 k
n , und wir finden eine positive Kon-
stante C > 0, die von A und v abhängt, so dass
vk − ( ±x 1) ≤ C|λ 2 /λ 1 |k
für alle k ≥ 0 gilt. Das Vorzeichen ± kann sich abhängig vom Vorzeichen von λk 1
pro Iterationsschritt ändern. Berechnet man in den Iterationsschleifen zusätzlich
den Rayleigh-Quotienten
r: R n \ { 0 } → R ,
x → x, Ax
x, x
des Vektors vk, so erhält man auch den dominanten Eigenwert. Schreiben wir
nämlich vk und Avk als Linearkombination der Eigenvektoren, so ergibt sich
r( vk) = vk, x 1
2 λ 1 + · · · + vk, xn 2 λn, und wir finden eine Konstante c > 0, so
dass

|r( vk) − λ 1 | ≤ c |λ 2 /λ 1 | 2 k
für alle k ≥ 0 gilt. Die Vektoriteration konvergiert also linear gegen den domi-
nanten Eigenraum und quadratisch gegen den dominanten Eigenwert.

Diese Konvergenz ist langsam, wenn der erste und zweite Eigenwert nahe
beieinanderliegen, und es gibt deswegen viele weitergehende Verfahren zur Ei-
genwertberechnung. Google verwendet jedoch eine Variante der Vektoriteration.

Die hier auftretenden Matrizen sind zwar nicht symmetrisch, aber sehr groß und
haben nur wenige von 0 verschiedene Einträge, so dass es vorteilhaft ist, in der

Iteration im Wesentlichen nur Matrix-Vektor-Produkte zu berechnen.

Oft wird einer Eigenwertberechnung eine orthogonale Ähnlichkeitstrans-
formation vorangestellt, die möglichst viele Matrixeinträge auf 0 setzt. Man
geht hier ähnlich wie bei der in Abschnitt 10.5 diskutierten QR-Zerlegung vor.

Durch die k-te der insgesamt n − 2 Konjugationen mit Householder-Matrizen

H 1 , . . . , Hn− 2 werden die Spalten- und Zeilenabschnitte A( k + 2 : n, k) und

A( k, k + 2 : n) eliminiert. Das Produkt

QT AQ := HT
n− 2 · · · H T

1 A H 1 · · · Hn− 2
ist dann eine Tridiagonalmatrix mit ( QT AQ)( k, l) = 0 für |k − l| > 1. Im Fall
n = 3 bedeutet das

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

× × ×

× × ×

× ×

⎜

⎟ HT ⎜

⎟ ·

⎜

⎟

H

A = ⎜

1 ·

1

⎝ × × × ⎟

⎠ −→ ⎜

⎝ × × × ⎟

⎠ −→ ⎜

⎝ × × × ⎟

⎠ = QT AQ.

× × ×

× ×

× ×

Dieses rückwärtsstabile Verfahren benötigt etwa 4 n 3 arithmetische Operatio-

3
nen und übergibt mit QT AQ eine symmetrische Matrix an den Eigenwertlöser,
welche die gleichen Eigenwerte wie A hat, aber nur noch 5 n arithmetische Ope-
rationen für eine Matrix-Vektor-Multiplikation braucht. Diese Vorbehandlung
garantiert in den meisten Fällen eine erhebliche Effizienzsteigerung.

264

10 Numerik

10.7

Polynominterpolation

Gegeben seien n + 1 paarweise verschiedene Stützstellen x 0 , . . . , xn im Inter-
vall [ − 1 , 1] und n + 1 dazugehörige reelle Werte y 0 , . . . , yn, die sich beispiels-
weise aus einer Reihe von Temperaturmessungen oder dem wiederholten Blick
auf den Kontostand ergeben haben können. Die einfachsten Funktionen, mit
denen man solche Punkte interpolieren kann, sind Polynome. Für die Paare

( x 0 , y 0) , . . . , ( xn, yn) gibt es genau ein Polynom pn( x) vom Grad kleiner oder
gleich n mit

∀j = 0 , . . . , n : pn( xj) = yj.

Das Polynom, welches zu den speziellen Werten yk = 1 und yj = 0 für alle j = k
gehört, wird das k-te Lagrange-Polynom k( x) genannt. Hiermit lässt sich das

Interpolationspolynom pn( x) in der auf Joseph-Louis Lagrange im Jahr 1795
zurückgehenden Darstellung als
n

pn( x) =
yj j( x)

j=0

'

schreiben. Bezeichnen wir das Stützstellenpolynom
n

( x − x
j=0
j ) mit sn+1( x)

'

und die baryzentrischen Gewichte

( x
j= k
k − xj ) − 1 mit wk , so ergibt sich

'

( x − xj)

w

j= k

'

k
k ( x) =

= sn

( x

+1( x) x − x
j= k
k − xj )

k
und damit auch die erste baryzentrische Interpolationsformel
n
y
p
j wj
n( x) = sn+1( x)

.

x − xj
j=0

Diese Formel erlaubt eine rückwärtsstabile Berechnung des Interpolationspoly-
noms mit etwa 5 n arithmetischen Operationen für vorberechnete baryzentrische

Gewichte. Möchte man eine weitere Stützstelle xn+1 hinzufügen, so müssen die
bisherigen baryzentrischen Gewichte wk, k = 0 , . . . , n, jeweils durch xk − xn+1
geteilt und ein weiteres Gewicht wn+1 berechnet werden. Dieses Update benötigt
in etwa 4 n arithmetische Operationen.

Neben der stabilen Berechenbarkeit stellt sich auch die Frage nach der Kon-
dition. Wir nehmen an, die reellen Werte y 0 , . . . , yn wären die Funktionswerte
einer stetigen Funktion f an den Stellen x 0 , . . . , xn, und bezeichnen mit Pnf
das zugehörige Interpolationspolynom. Die absolute Kondition der Polynom-
interpolation ist dann

P

Λ
nf ∞
n =
sup

.

f
f ∈C[ − 1 , 1]

∞

10.7

Polynominterpolation

265

Diese Konditionszahl heißt auch die Lebesgue-Konstante. Sie gibt für feste

Stützstellen an, wie stark sich Änderungen der zu interpolierenden Funktion auf
das Interpolationspolynom auswirken. Die Lebesgue-Konstante wächst mindes-
tens wie 2 log( n + 1) + 0 . 5212, egal wie die Stützstellen liegen. Dieses unbe-
π
schränkte Wachstum spiegelt sich auch im Satz von Georg Faber aus dem Jahr

1901 wider, der zu jeder Stützknotenmenge eine stetige Funktion f findet, so
dass die Folge der Interpolationspolynome nicht gleichmäßig gegen f konver-
giert. Für äquidistante Stützstellen wächst die Lebesgue-Konstante nicht nur
logarithmisch, sondern sogar exponentiell in der Knotenzahl n.

In dieses düstere Bild passt das berühmte Beispiel von Carl Runge, der 1901
das Interpolationspolynom der Funktion f ( x) = 1 /(1 + 25 x 2) für äquidistante

Stützstellen untersuchte. Er zeigte, dass es eine kritische Konstante xc ≈ 0 . 72
gibt, so dass der Fehler f ( x) − ( Pnf )( x) dann und nur dann für n → ∞ ge-
gen Null konvergiert, wenn |x| < xc ist. Der Beweis benötigt Argumente der

Funktionentheorie. Dennoch kann man die Problemlage erahnen, wenn man die

Formel
f ( n+1)( ξ)

f ( x) − ( Pnf )( x) = sn+1( x) ( n + 1)!

betrachtet, die den Interpolationsfehler im allgemeinen Fall beschreibt. Die Ab-
leitungen von f werden hier an einer Stelle ξ ausgewertet, die in der konvexen

Hülle von x und den Stützstellen liegt. Im Beispiel von Runge sind nun die
höheren Ableitungen von f an den Rändern des Intervalls nicht klein genug, um
das Wachstum des äquidistanten Stützstellenpolynoms aufzufangen.

Anders liegt der Fall für die Chebyshev-Knoten erster Art, das heißt für die

Nullstellen des ( n + 1)-ten Chebyshev-Polynoms,

x

2 j+1 π
j = cos

,
j = 0 , . . . , n.

n+1 2

Für diese Stützstellen, die sich zu den Rändern des Intervalls [ − 1 , 1] hin passend
häufen, fällt die Supremumsnorm sn+1 ∞ des Stützstellenpolynoms minimal
aus. Die Lebesgue-Konstante ist mit Λ n ≤ 2 log( n + 1) + 1 fast bestmöglich. Es
π
gibt zudem eine Konstante Cs > 0, so dass für alle s-mal stetig differenzierbaren

Funktionen f
f − Pnf∞ ≤ Cs n−s+1 f( s) ∞
gilt. Man spricht hier von spektraler Konvergenz. Die baryzentrischen Gewich-
te sind aus der Formel w
π
j = ( − 1) j sin( 2 j+1

) einfach zu berechnen. Aus all
n+1 2
diesen Gründen sind die Chebyshev-Knoten für die Polynominterpolation die

Stützstellen der Wahl. Wir treffen sie auch in Abschnitt 10.10 bei der Gauß-

Chebyshev-Quadratur wieder.

266

10 Numerik

10.8

Die schnelle Fouriertransformation

Wechseln wir für die Interpolation von den algebraischen Polynomen x → xk
zu den trigonometrischen Polynomen x → eikx, so berühren wir die mathemati-
sche Grundlage vieler Algorithmen zur Bild- und Signalverarbeitung. Ohne die
schnelle Fouriertransformation (oder auch Fast Fourier Transform, FFT) wären

Audioformate wie MP3 und Datenübertragung im Wireless LAN nicht denkbar.

Gegeben seien n paarweise verschiedene Stützstellen x 0 , . . . , xn− 1 im Intervall

[0 , 2 π) und n dazugehörige komplexe Zahlen y 0 , . . . , yn− 1. Dann gibt es genau

ein trigonometrisches Polynom p
n− 1
n( x) =
c
j=0
j eijx vom Grad kleiner oder
gleich n − 1, welches

∀j = 0 , . . . , n − 1 : pn( xj) = yj
erfüllt. Wir beschränken uns auf äquidistante Stützstellen xk = 2 πk/n und
stellen fest, dass in diesem Fall die Auswertung der trigonometrischen Monome

jk
eijxk =
e 2 πi/n

= ωjk
n
eine Potenz der ersten Einheitswurzel vom Grad n ergibt. Die Koeffizienten

des Interpolationspolynoms lassen sich als c
n− 1
j = 1
y
n
k=0
k ω−jk
n
schreiben, und
der Koeffizientenvektor c = ( c 0 , . . . , cn− 1) T ergibt sich aus dem Wertevektor
y = ( y 0 , . . . , yn− 1) T durch die lineare Abbildung c = 1 F y, wobei F die Fourier-
n

Matrix

n− 1

F =
ω−jk
n
j,k=0
ist. Unter normalen Umständen erfordert eine solche Matrix-Vektor-Multipli-
kation etwa 2 n 2 arithmetische Operationen. Ist n = 2 m jedoch eine Potenz
von 2, so kann die Fourier-Matrix als F = Am · · · A 1 P faktorisiert werden. P
ist eine Permutationsmatrix, die gerade und ungerade Indizes vertauscht. Die

Faktoren A 1 , . . . , Am sind die blockdiagonalen Matrizen

⎛

⎞

B

⎜ 2 k 0 · · · 0

⎜

⎟

⎜ 0 B

⎟

2 k · · ·

0 ⎟

Ak = ⎜

⎜ .

.

.

.

⎟ ∈ R n×n,

⎝ .

⎟

.

..

. . .. ⎠

0

0

· · · B 2 k
wobei der 2 m−k-mal wiederholte Diagonalblock von der Form

Id

B

2 k− 1

Ω2 k− 1

∈ R2 k× 2 k

2 k =

Id2 k− 1 −Ω2 k− 1
und Ω r = diag(1 , ω− 1

2 k , . . . , ω−r+1

2 k

) eine Diagonalmatrix der Länge r = 2 k− 1
ist. Da die Matrixfaktoren pro Zeile maximal zwei Einträge haben, benötigt die

Berechnung von c = Am . . . A 1 P y etwa 2 n log n arithmetische Operationen.

10.8

Die schnelle Fouriertransformation

267

Diese Art der Koeffizientenberechnung ist rückwärtsstabil. Sie heißt die
schnelle Fouriertransformation mit Radix-2-Faktorisierung. Sie geht auf eine

Arbeit von Gauß aus dem Jahr 1805 zurück, in der der Algorithmus zur Inter-
polation von Asteroidenflugbahnen verwendet wird. Die erneute Entdeckung der

Faktorisierung durch James Cooley und John Tukey in den 1960er Jahren führte
zu einer der einflussreichsten Veröffentlichungen der numerischen Mathematik.

Sind die yj = f ( xj) die Werte einer stetigen 2 π-periodischen Funktion f ,
so setzt man oft die zweite Hälfte der Stützstellen an den Anfang und sieht
sie als äquidistant im Intervall [ −π, π) verteilt an. Aufgrund der Periodizität
bedeutet dies nur eine symmetrische Umnummerierung. Das zu xk = 2 πk/n
und f gehörige Interpolationspolynom Pnf schreibt sich dann als ( Pnf )( x) =
n/ 2 − 1 c
j= −n/ 2 j eijx. Der j-te Interpolationskoeffizient
n/ 2 − 1
n/ 2 − 1

1

1

1
cj =
ykω−jk

· 2 π
f ( xk) e−ijxk =

Tn( gj)

n
n

= 2 π n

2 π
k= −n/ 2
k= −n/ 2
ist der Wert der summierten Trapezregel Tn für die numerische Quadratur der

2 π-periodischen Funktion gj( x) = f ( x) e−ijx, siehe auch Abschnitt 10.9. Ande-
rerseits ergibt das Integral über die Funktion gj gerade den j-ten Fourierkoeffi-
zienten der Funktion f ,
π

(

1
fj =
f ( x) e−ijxdx,

2 π

−π
siehe Abschnitt 7.9. Die Interpolationskoeffizienten approximieren also die Fou-
rierkoeffizienten. Für stetig differenzierbare 2 π-periodische Funktionen konver-

giert die Fourierreihe f ( x) =

∞

(
f
j= −∞ j eijx gleichmäßig. Man folgert damit aus
der Interpolationseigenschaft von Pnf , dass

∞

c

(
j =
fj+ kn
k= −∞
gilt. In jedem cj sind also neben (
fj noch unendlich viele weitere Fourierkoef-
fizienten als sogenannte Aliase versteckt. Diese Verbindungen zur Theorie der

Fourierreihen legen nahe, die Abbildung y → 1 F y = c die diskrete Fourier-
n
transformation zu nennen.

Die Fehleranalyse der trigonometrischen Interpolation und der Polynomin-
terpolation mit Chebyshev-Stützstellen sind eng verwandt. Die Lebesgue-

Konstante Λ n = sup { Pnf ∞/f ∞ | f stetig , 2 π-periodisch } bezüglich der

Supremumsnorm wächst mindestens wie 4
π 2 (log n + 3) + 0 . 1. Es gibt eine Kon-
stante Cs > 0, so dass für alle s-mal stetig differenzierbaren 2 π-periodischen

Funktionen f
f − Pnf∞ ≤ Cs n−s f( s) ∞
gilt. Mit wachsendem Polynomgrad n verschlechtert sich also wieder die absolute

Konditionszahl, während der Interpolationsfehler sogar spektral konvergiert.

268

10 Numerik

10.9

Numerische Integration und Summation

Die Approximation des Integrals einer stetigen Funktion f : [ a, b] → R erfolgt
über einen Summationsprozess
b
n

I( f ) :=
f ( x) dx ≈
wjf ( xj ) =: Q( f ) ,
a
j=0
den man numerische Quadratur nennt. Durch die Konstruktion von guten

Stützstellen x 0 , . . . , xn ∈ [ a, b] und Gewichten w 0 , . . . , wn ∈ R enstehen Quadra-
turformeln, die den Inhalt krummlinig berandeter Flächen durch den einfacherer

Flächen approximieren.

Wir beginnen mit einer vergleichenden Konditionsbetrachtung. Die absolute
und die relative Konditionszahl der Abbildung f → I( f ) bezüglich der Supre-
mumsnorm f ∞ = sup {|f ( x) | | x ∈ [ a, b] } sind
f∞
κ abs
f

( I) = 1 ,
κ rel
f ( I ) = |I( f) | .

Für die Quadraturabbildung f → Q( f ) gilt
w
κ abs

1 f ∞
f

( Q) = w 1 ,
κ rel
f ( Q) =

|Q( f) | ,
wobei w 1 = |w 0 | + . . . + |wn| die
1-Norm des Vektors w = ( w 0 , . . . , wn)

der Quadraturgewichte ist. Die beiden relativen Konditionszahlen können für

Funktionen mit vielen Vorzeichenwechseln beliebig groß werden, weswegen die

Integration und Quadratur von oszillierenden Funktionen beide schlecht kondi-
tioniert sind. Nehmen wir an, dass die Integrale konstanter Funktionen exakt
berechnet werden, so gilt
κ abs
f

( Q) ≥ κ abs
f

( I) ,
wobei die beiden Konditionszahlen genau dann gleich sind, wenn die Quadra-
turgewichte w 0 , . . . , wn ≥ 0 erfüllen. Damit die Quadratur die Kondition des
vorliegenden Integrals nicht verschlechtert, werden also üblicher Weise Quadra-
turformeln mit positiven Gewichten konstruiert.

Die einfachsten Quadraturformeln sind die einfache Mittelpunktsregel und die
einfache Trapezregel,

M[ a,b]( f) = ( b − a) f( a+ b ) ,

T

( f ( a) + f ( b)) .

2

[ a,b]( f ) = b−a

2

Sie approximieren das Integral durch die Fläche des Rechtecks mit Höhe f ( a+ b )

2
beziehungsweise durch die des Sehnentrapezes. Beide Regeln integrieren lineare

Funktionen offenbar exakt. Das folgt auch aus der Darstellung des Quadratur-
fehlers für zweimal stetig differenzierbare Funktionen mittels geeigneter Zwi-
schenstellen ξ 1 , ξ 2 ∈ ( a, b) als

M[ a,b]( f) − I( f) = − ( b−a)3 f( ξ
f ( ξ

24

1) ,

T[ a,b]( f) − I( f) = ( b−a)3

12

2) .

10.9

Numerische Integration und Summation

269

Diese einfachen Ansätze lassen sich folgendermaßen verbessern. Man legt die

Stützstellen als äquidistantes Gitter ins Intervall [ a, b], xj = a+ jh, h = ( b−a) /n,
j = 0 , . . . , n, und definiert die summierte Trapezregel durch die Summation über
die Werte von n einfachen Trapezregeln:

n

n− 1

Tn( f ) :=

T[ x

( f ( x
hf ( x
j− 1 ,xj ]( f ) = h

2

0) + f ( xn)) +
j ) .

j=1
j=1

Für zweimal stetig differenzierbare Funktionen summiert sich dann der Quadra-
turfehler zu

Tn( f ) − I( f ) = b−a h 2 f ( ξ) ,
ξ ∈ ( a, b) geeignet .

12

Analog kann man aus n einfachen Mittelpunktsregeln eine summierte Mittel-
punktsregel konstruieren, die ebenfalls einen Fehler der Größenordnung n− 2
erreicht. Die summierte Trapezregel ist jedoch in folgender Beziehung einzig-
artig: Für (2 m + 2)-fach stetig differenzierbare Funktionen der Periode b − a
gilt

Tn( f ) − I( f ) = Cm( b − a) h 2 m+2 f(2 m+2)( ξ) ,
ξ ∈ ( a, b) geeignet ,
wobei Cm ≥ 0 eine von n und f unabhängige Konstante ist. Für periodische

Funktionen ist die summierte Trapezregel also spektral konvergent (siehe auch

Abschnitte 10.7 und 10.8 für spektral konvergente Interpolationsverfahren).

Ist eine geeignete Quadraturformel konstruiert, so muss am Ende der Vektor

( w 0 f ( x 0) , . . . , wnf ( xn)) aufsummiert werden. Wir bezeichnen mit ε die Maschi-
nengenauigkeit und mit ˆ

S( y) den in Gleitkomma-Arithmetik berechneten Wert
der Summe S( y) = y 0 + . . . + yn eines beliebigen Vektors y = ( y 0 , . . . , yn).

Die rekursive Summation summiert der Reihe nach auf, was im Fall n = 4 der

Klammerung

S = ((( y 0 + y 1) + y 2) + y 3) + y 4
entspricht. Dies ergibt einen absoluten Vorwärtsfehler, dessen obere Schranke
linear mit der Summationslänge wächst, |S( y) − ˆ

S( y) | ≤ εny 1 + O( ε 2). Die
paarweise Summation hingegen addiert benachbarte Komponenten des Vektors
und erzeugt so im ersten Schritt den Vektor ( y 0 + y 1 , . . . , yn− 1 + yn) oder ( y 0 +
y 1 , . . . , yn− 2 + yn− 1 , yn), je nachdem, ob n ungerade oder gerade ist. Dieser

Summationsprozess wird rekursiv wiederholt, bis nach etwa log n Schritten die

Gesamtsumme berechnet ist. Im Fall n = 4 klammert die paarweise Summation
also folgendermaßen:

S = (( y 0 + y 1) + ( y 2 + y 3)) + y 4 .

Der absolute Vorwärtsfehler hat dann eine obere Schranke, die nur logarithmisch
wächst, |S( y) − ˆ

S( y) | ≤ ε log ny 1 + O( ε 2). Dies ist eine deutliche Verbesserung
zum linearen Anwachs bei der rekursiven Summation.

270

10 Numerik

10.10

Die Gaußschen Quadraturverfahren

Wir wollen für eine nichtnegative Funktion ω: ( a, b) → [0 , ∞) das zugehörige
gewichtete Integrationsproblem
b
n

f ( x) ω( x) dx ≈
wjf ( xj)

a
j=0
numerisch lösen, indem wir uns erneut auf den Spuren von Gauß bewegen. In
einer Arbeit zur numerischen Integration aus dem Jahr 1814 verfolgte er folgen-
den Ansatz: Er sah in der optimalen Wahl von n + 1 Stützstellen x 0 , . . . , xn und
n + 1 Gewichten w 0 , . . . , wn die Möglichkeit, das Integral von Polynomen vom

Grad kleiner oder gleich 2 n + 1 exakt zu berechnen. Wird dieses Ziel erreicht, so
wird insbesondere das Integral der zu den Stützstellen gehörigen Interpolations-

polynome p
n
n( x) =
f ( x
j=0
j ) j ( x) exakt berechnet, und die Gewichte müssen
durch die Formel
b
wj =
j( x) ω( x) dx,
j = 0 , . . . , n
a

'

beschrieben sein, wobei j( x) =

( x − x
k= j
k ) /( xj − xk ) das j-te Lagrange-

Polynom ist (vgl. Abschnitt 10.7). Da j ( xj) = 1 und j( xk) = 0 für j = k gilt
und j( x)2 ein Polynom vom Grad 2 n ist, gilt dann auch
n

b
wj =
wk j ( xk)2 =
j( x)2 ω( x) dx > 0 .

k=0
a

Die Stützstellen sind durch die Zielvorgabe auch eindeutig festgelegt. Bevor wir
sie im Detail angeben, erlauben wir uns einen kurzen Diskurs über orthogonale

Polynome.

Eine Folge von Polynomen ( πj) j≥ 0, deren j-tes Folgenglied ein Polynom vom

Grad j mit führendem Koeffizienten 1 ist, heißt orthogonal bezüglich ω, falls
b
πj( x) πk( x) ω( x) dx = 0 ,
j = k
a
gilt. Eine solche Polynomfolge ist durch die Orthogonalitätsbedingung und die

Forderung, dass der führende Koeffizient 1 ist, eindeutig bestimmt. Sie erfüllt
eine Dreiterm-Rekursion
πj+1( x) = ( x − αj) πj( x) − βjπj− 1( x) ,
π 0( x) = 1 ,
π 1( x) = x + α 0 ,
für deren Koeffizienten

b
b
xπj( x)2 ω( x) dx
πj( x)2 ω( x) dx
α
a
a
j =

,
β

b
j =
b
π
π
a
j ( x)2 ω( x) dx
a
j− 1( x)2 ω( x) dx

10.10

Die Gaußschen Quadraturverfahren

271
gilt. Für viele klassische orthogonale Polynomsysteme sind die Rekursionsko-
effizienten bekannt. Besonders einfach sind sie im Fall der Legendre-Polynome
und der Chebyshev-Polynome erster Art, die von Adrien-Marie Legendre (1783)

beziehungsweise Pafnuty Chebyshev (1854) eingeführt wurden. Beide Systeme
gehören zu Gewichtsfunktionen auf dem Intervall ( − 1 , 1). Für die Legendre-

Polynome ist es die Eins-Funktion ω( x) = 1, welche die Koeffizienten αj = 0,
j ≥ 0, und βj = 1 /(4 − j− 2), j ≥ 1, erzeugt. Für die Chebyshev-Polynome ist

√
es die Funktion ω( x) = 1 / 1 − x 2, welche zu den Koeffizienten αj = 0, j ≥ 0,
und β 1 = 1 , β

, j ≥ 2, führt.

2
j = 1

4

Die Stützstellen der Gaußschen Quadratur stammen von dem zu ω gehörigen
orthogonalen Polynomsystem. Das j-te orthogonale Polynom πj besitzt j ver-
schiedene Nullstellen im Intervall ( a, b), und die Stützstellen x 0 , . . . , xn müssen
genau die n + 1 Nullstellen des ( n + 1)-ten orthogonalen Polynoms sein. Die

Gauß-Chebyshev-Quadraturformel wird dann beispielsweise aus den Gewichten

w

2 j+1 π
j =
π
und den Stützstellen x
aufgebaut.

n+1
j = cos
n+1 2

Für die Integration bezüglich anderer Gewichtsfunktionen erlaubt die

Dreiterm-Rekursion die Berechnung der Quadraturformel über das Lösen ei-
nes lineares Eigenwertproblems. Die Stützstellen x 0 , . . . , xn sind nämlich die
n + 1 verschiedenen Eigenwerte der symmetrischen Tridiagonalmatrix

⎛

√

⎞
α
β

⎜ 0

1

⎜ √

√

⎟

⎜ β
β

⎟

⎜

1
α 1

2

⎟

⎜

⎟

.

.

.

⎜

.

⎟

.

. .

. .

.

⎜

⎟

⎜

√

√

⎟

⎝
β

⎟
n− 1 αn− 1
βn

√

⎠
βn
αn

Die Gewichte lassen sich aus der Formel w
b
j

=
vj, 1
ω( x) dx berech-
a
nen, wobei vj, 1 die erste Komponente des normalisierten j-ten Eigenvektors
ist. Das vorliegende Eigenwertproblem ist gut konditioniert und lässt sich
rückwärtsstabil mit einer Anzahl von arithmetischen Operationen lösen, die
von der Größenordnung n 2 ist. Für die Berechnung vieler Stützstellen gibt es
sogar Verfahren, die geeignete gewöhnliche Differentialgleichungen lösen und im
numerischen Aufwand proportional zu n sind.

Für (2 n+2)-mal stetig differenzierbare Funktionen f ist der Integrationsfehler
der Gaußschen Quadraturverfahren durch

b
n

f (2 n+2)( ξ)

b
f ( x) ω( x) dx −
wjf ( xj ) =
πn

(2 n + 2)!

+1( x)2 ω( x) dx,
a
j=0
a
gegeben, wobei ξ ∈ ( a, b) ist. Polynome vom Grad 2 n + 1 werden also exakt
integriert, und dieser hohe Grad an Genauigkeit begründet, dass die Gaußsche

Quadratur in vielen Situationen das Verfahren der Wahl ist.

272

10 Numerik

10.11

Runge-Kutta-Verfahren

Wir betrachten eine Funktion f : R × R d → R d in zwei Argumenten ( t, x) und
die gewöhnliche Differentialgleichung
x( t) = f ( t, x) ,
x( t 0) = x 0
mit einem Anfangswert ( t 0 , x 0) ∈ R × R d. Wir nehmen an, dass es genau eine
stetig differenzierbare Funktion t → x( t) gibt, welche die Differentialgleichung
löst. Für die numerische Approximation der Lösung x( t) in vorgegebenen Zeit-
punkten t 0 < t 1 < . . . < tn konstruiert man eine Funktion ˆ
x: {t 0 , . . . , tn} → R d
mit der Eigenschaft x( tj) ≈ ˆ
x( tj) für alle j = 0 , . . . , n. Wir nehmen der Ein-
fachheit halber an, dass alle Zeitpunkte den gleichen Abstand ˆ
τ = tj+1 − tj
haben.

Das explizite Euler-Verfahren aus dem Jahr 1768 approximiert die Lösungs-
kurve t → x( t) in den Punkten t 0 , . . . , tn durch ihre Tangenten, x( tj+1) ≈
x( tj) + ( tj+1 − tj) x( tj), und definiert

ˆ
x( t 0) = x 0 ,

ˆ
x( tj+1) = ˆ
x( tj ) + ˆ
τ f ( tj, ˆ
x( tj ))

( j = 0 , . . . , n − 1) .

Die aneinandergesetzten Tangenten ergeben einen Polygonzug

ˆ
x( t) = ˆ
x( tj) + ( t − tj) f ( tj, ˆ
x( tj))

( t ∈ [ tj, tj+1] , j = 0 , . . . , n − 1) .

Die lokale Tangenten-Approximation ist eine Taylor-Entwicklung erster Ord-
nung, und man kann leicht abschätzen, wie weit sich der Polygonzug nach kurzer

Zeit von der Lösungskurve entfernt. Für jede kompakte Menge K ⊂ R × R d fin-
det sich nämlich eine Konstante CK > 0 und ein τK > 0, so dass für alle

Anfangswerte ( t 0 , x 0) ∈ K und alle 0 < τ < τK
x( t 0 + τ) − ˆ x( t 0 + τ) ≤ CKτ 2
gilt. Da das Euler-Verfahren Schritt für Schritt das gleiche Konstruktionsprinzip
wiederholt, kann man hieraus
max x( tj) − ˆ
x( tj ) ≤ C ˆ
τ
j=0 ,...,n
für eine weitere Konstante C > 0 folgern, sofern die Schrittweite ˆ
τ hinreichend
klein ist. Man sagt deshalb, dass das Euler-Verfahren von der Ordnung p = 1
konvergiert.

Im Spezialfall einer von x unabhängigen Differentialgleichung x( t) = f ( t) mit

Anfangswert x( t 0) = x 0 kann man die exakte Lösung x mittels eines Integrals
t
schreiben. Es gilt x( t
j+1
j+1) = x( tj ) +
f ( s) ds für alle j = 0 , . . . , n − 1. Man
tj
erkennt, dass das Euler-Verfahren mit
tj+1
f ( s) ds ≈ ( tj+1 − tj) f ( tj)

tj

10.11

Runge-Kutta-Verfahren

273
eine Quadraturformel verwendet, die nur konstante Funktionen exakt integriert.

Carl Runge schlug nun 1869 vor, wenigstens lineare Funktionen exakt zu inte-

grieren und die Mittelpunktsregel
b f( s) ds ≈ ( b − a) f( a+ b) einzusetzen. Dies
a

2
motiviert ein Verfahren

ˆ
x( t 0) = x 0 ,

ˆ
x( tj+1) = ˆ
x( tj) + ˆ
τ ψ( tj, ˆ
x( tj) , ˆ
τ )

( j = 0 , . . . , n − 1) ,
welches die Inkrementfunktion ψ: R × R d × (0 , ∞) → R d des Euler-Verfahrens
ψ( t, x, τ ) = f ( t, x) durch die ineinander geschachtelte f -Auswertung
ψ( t, x, τ ) = f ( t + τ , x + τ f ( t, x))

2

2
ersetzt. Martin Kutta baute im Jahr 1901 diese Verbesserung in rekursiver Wei-
se aus. Er schrieb die Rungesche Inkrementfunktion in der zweistufigen Form
k 1( t, x, τ ) = f ( t, x), ψ( t, x, τ ) = f ( t + τ , x + τ k

2

2 1), was die folgende Verallgemei-
nerung zum s-stufigen expliziten Runge-Kutta-Verfahren nahelegt:

ki( t, x, τ ) = f ( t + ciτ, x + τ ( ai 1 k 1 + . . . + ai( i− 1) ki− 1)) ( i = 1 , . . . , s) ,
ψ( t, x, τ ) = b 1 k 1( t, x, τ ) + . . . + bsks( t, x, τ ) ,
wobei b, c ∈ R s Vektoren sind und A ∈ R s×s eine untere Dreiecksmatrix mit
lauter Nullen auf der Diagonalen ist. Zum Beispiel wird das Euler-Verfahren
durch b = 1, c = 0 und A = 0 definiert, das von Runge durch b = (0 , 1),
c = (0 , 1 ) und A ∈ R2 × 2 mit a

, a

2

21 = 1

2

11 = a 12 = a 22 = 0.

Angenommen, ein s-stufiges Runge-Kutta-Verfahren hat die folgende Eigen-
schaft: Für jede Differentialgleichung x( t) = f ( t, x), x( t 0) = x 0 gibt es eine

Konstante C > 0, so dass
max x( tj) − ˆ
x( tj) ≤ C ˆ
τ p
j=0 ,...,n
für hinreichend kleine Schrittweiten ˆ
τ gilt. Man sagt in diesem Fall, dass das

Verfahren von der Ordnung p konvergiert, und zeigt, dass p ≤ s gilt. Ein
erster Schritt in die Richtung der bestmöglichen Konvergenzordnung ist die

Überprüfung der folgenden Konsistenzbedingung:

1
lim
x( t 0 + τ) − ˆ x( t 0 + τ) = 0 .

τ → 0 τ

Dafür muss die Inkrementfunktion ψ( t, x, 0) = f ( t, x) erfüllen. Da ki( t, x, 0) =
f ( t, x) für alle i = 0 , . . . , s gilt, bedeutet dies b 1 + . . . + bs = 1 für den Parame-
tervektor b. Weitergehende, technisch anspruchsvollere Bedingungsgleichungen
an A, b und c führen zu Runge-Kutta-Verfahren bestmöglicher Ordnung. Der

Satz, dass die
numerische Berechnung irgend einer L¨
osung einer gegebenen

”

Differentialgleichung . . . die Aufmerksamkeit der Mathematiker bisher wenig
in Anspruch genommen“ hat, ist mittlerweile, fast 150 Jahre nach Runges ein-
flussreicher Arbeit, Geschichte.

274

10 Numerik

10.12

Das Newton-Verfahren

Wir suchen für eine stetig differenzierbare Funktion f : R → R eine Nullstelle,
also ein x∗ ∈ R mit f ( x∗) = 0. Wir linearisieren, um eine Folge reeller Zahlen
x 1 , x 2 , x 3 . . . zu konstruieren, die gegen die Nullstelle x∗ konvergiert: Unter der

Annahme, dass xn nahe bei x∗ liegt, approximieren wir die Funktion f durch
ihre Tangente im Punkt xn und werten in x∗ aus:

0 = f ( x∗) ≈ f ( xn) + f( xn)( x∗ − xn) .

Gilt f ( xn) = 0, so motiviert diese lokale Näherung die Iterationsvorschrift
xn+1 = xn − f ( xn) ,
f ( xn)

welche gemeinsam mit einem Startwert x 0 ∈ R das Newton-Verfahren definiert.

Isaac Newton hat 1669 in seiner Abhandlung

De analysi per aequationes

”

numero terminorum infinitas“ eine derartige Methode angewandt, um für das
kubische Polynom f ( x) = x 3 − 2 x − 5 die reelle Nullstelle in der Nähe von x = 2
zu approximieren. Die Formulierung für polynomielle Gleichungen und später
für nichtlineare Gleichungssysteme geht auf die britischen Mathematiker Joseph

Raphson (1690) beziehungsweise Thomas Simpson (1740) zurück.

Ist F : R d → R d stetig differenzierbar und J( x) = ( ∂jFi( x)) ∈ R d×d die

Jacobi-Matrix von F im Punkt x ∈ R d, so schreibt sich das Newton-Verfahren
als
xn+1 = xn − J( xn) − 1 F ( xn) .

Streng genommen haben wir also im Mehrdimensionalen zwei Schritte pro Ite-
ration. Zum einen wird das lineare Gleichungssystem J ( xn) dn = −F ( xn) nach
der sogenannten Newton-Korrektur dn gelöst, und dann wird dn im Schritt
xn+1 = xn + dn auf den Vorgänger xn addiert.

Für die grundlegende Form der Konvergenztheorie trifft man drei Annah-
men. Wir formulieren sie mittels einer Norm · auf R d und ihrer zugehörigen

Matrixnorm A = max {Ax | x = 1 }, A ∈ R d×d.

(a) Es gibt ein x∗ ∈ R d mit F ( x∗) = 0.

(b) Es gibt eine offene Menge Ω x∗, so dass J: Ω → R d×d Lipschitz-stetig
ist mit Lipschitz-Konstante γ > 0.

(c) J∗ := J( x∗) ist invertierbar.

Unter diesen drei Voraussetzungen kann man zeigen, dass es ein ε > 0 gibt,
so dass für alle Startwerte x 0 ∈ R d mit x 0 − x∗ < ε das Newton-Verfahren
wohldefiniert ist und eine Folge x 1 , x 2 , x 3 , . . . aufbaut, die gegen x∗ konvergiert.

Insbesondere gilt für alle n = 0 , 1 , 2 , . . .

xn+1 − x∗ ≤ γ · J− 1

∗ · xn − x∗ 2 .

10.12

Das Newton-Verfahren

275

Für gute Startwerte und invertierbare Ableitungen ist das Newton-Verfahren
also quadratisch konvergent.

Die Wahl des Startwertes ist für den Erfolg wesentlich. Suchen wir zum

Beispiel die Nullstelle x∗ = 0 der Funktion f ( x) = arctan( x) ausgehend von
x 0 = 10, so bewegen wir uns jenseits des eben diskutierten lokalen Konvergenz-
satzes:

n

0

1

2

3

4
xn

10

− 138 . 584

2 . 989 · 104

− 1 . 404 · 109

3 . 094 · 1018
dn

− 148 . 584 3 . 003 · 104

− 1 . 404 · 109

3 . 094 · 1018

− 1 . 504 · 1037

Die Iterierten xn schwingen mit immer größerer Amplitude. Die Newton-

Korrekturen dn jedoch zeigen zumindest in die Richtung der Nullstelle. Die-
se Beobachtung motiviert die Konstruktion von ged¨
ampften Newton-Verfahren,
welche die ursprüngliche Newton-Iteration durch
xn+1 = xn + λndn
mit geeigneten Skalaren λn ∈ (0 , 1] korrigieren.

Den Abbruch eines Newton-Verfahrens kann man am Fehler xn − x∗ oder am

Residuum F ( xn) festmachen. Wir sprechen exemplarisch ein einfaches Kriteri-
um an. Man schreibt xn − x∗ = xn+1 − dn − x∗ und folgert mit der obigen
quadratischen Fehlerabschätzung
xn − x∗ ≤ dn + γ · J− 1

∗ · xn − x∗ 2 .

Dies bedeutet, dass nahe x∗ der Fehler und die Newton-Korrektur vergleich-
bare Länge haben, und man beendet die Iteration, sobald dn < τ für eine
vorgegebene Toleranz τ > 0 erfüllt ist.

Für die Wahl einer erreichbaren Toleranz τ muss berücksichtigt werden, dass
die tatsächlich berechnete Newton-Iteration von der Form

ˆ
xn+1 = ˆ
xn − ( J(ˆ
xn) + En) − 1( F (ˆ
xn) + en) + εn
ist. Man kann sie im Standardmodell der Gleitkomma-Arithmetik mit Maschi-
nengenauigkeit ε (siehe Abschnitt 10.2) analysieren und zeigen, dass der relative

Fehler ˆ
xn − x∗/x∗ monoton fällt, bis er bei

ˆ xn+1 − x∗ ≈ J− 1

∗
ε
x∗
x∗ ψ( F, x∗) + 12
stagniert, wobei die Funktion ψ den Fehler der F -Auswertung in der Form
en ≤ uF (ˆ xn) + ψ( F, ˆ xn, u) kontrolliert. Dieses Ergebnis illustriert die Wich-
tigkeit der F -Auswertungen für die Genauigkeit des Newton-Verfahrens.

11 Stochastik

Den Zufall beherrschbar zu machen ist das Ziel aller Glücksritter, ihn berechen-
bar zu machen ist Aufgabe der Mathematik. Das Teilgebiet der Mathematik, in
dem zufällige Phänomene modelliert und untersucht werden, ist die Stochastik.

Sie ist im 17. Jahrhundert aus dem Verlangen entstanden, die Gesetzmäßigkeiten
des Glücksspiels zu erforschen, und auch heute hat dessen zeitgenössische Ver-
sion, die Finanzspekulation, der Stochastik starke Impulse verliehen.

Die moderne Stochastik wurde um 1930 von A. N. Kolmogorov begründet.

Wie in jeder mathematischen Disziplin ist der Ausgangspunkt eine Handvoll

Definitionen, aus denen die Theorie entwickelt wird. Das technische Vehikel ist
hier eine Verallgemeinerung der Lebesgueschen Maß- und Integrationstheorie; in
diesem Sinn ist die Stochastik eine Unterabteilung der Analysis. Diese Sichtweise
trägt allerdings nicht der stochastischen Intuition Rechnung. In seinem Buch

Probability hat L. Breiman diesen Doppelcharakter so beschrieben: Probability

”

theory has a right hand and a left hand. On the right is the rigorous foundational
work using the tools of measure theory. The left hand ‘thinks probabilistically,’

reduces problems to gambling situations, coin-tossing, and motions of a physical
particle.“

Dementsprechend wird die Stochastik gelegentlich in einen
elementaren“

”

und einen fortgeschrittenen“ Teil aufgespalten; in ersterem wird versucht, den

”

maßtheoretisch-technischen Aspekt auf ein Minimum zu reduzieren. Hier wollen
wir weitgehend diesen elementaren Standpunkt einnehmen, aber bisweilen auf
nichttriviale maßtheoretische Konstruktionen hinweisen.

Eine andere Schichtung der Stochastik geschieht durch die Einteilung in Wahr-
scheinlichkeitstheorie und Statistik; in der Wahrscheinlichkeitstheorie geht man
davon aus, die auftretenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu kennen; die Auf-
gabe der Statistik ist es, diese aus Beobachtungen zu schätzen.

Im Einzelnen stellen wir in den Abschnitten 11.1 bis 11.4 das wahrscheinlich-
keitstheoretische Grundvokabular (Wahrscheinlichkeitsmaß und Wahrschein-
lichkeitsraum, Zufallsvariable, Erwartungswert und Varianz, Unabhängigkeit)

vor, besprechen dann in 11.5 bis 11.7 Grenzwertsätze (Null-Eins-Gesetze, das

Gesetz der großen Zahl und den zentralen Grenzwertsatz) und schließen dar-
an zwei Abschnitte aus der Statistik über Parameterschätzung und statistische

Tests an. Es sei bemerkt, dass die Statistik einen eigenen mathematischen Be-
griffsapparat benutzt, der auf dem Begriff des statistischen Raums aufbaut;
darauf gehen wir aber nicht ein. Die letzten drei Abschnitte behandeln einige

Themen aus dem Bereich der stochastischen Prozesse wie Markovsche Ketten,

Irrfahrten und die Brownsche Bewegung.

O. Deiser et al., 12 x 12 Schlüsselkonzepte zur Mathematik,

DOI 10.1007/978-3-8274-2298-9_11, © Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2011

278

11 Stochastik

11.1

Wahrscheinlichkeitsr¨
aume

Der erste Schritt, den Zufall berechenbar zu machen, besteht darin, eine mathe-
matische Struktur zu ersinnen, mit der man zufällige Phänomene fassen kann.

Dies gelang um 1930 mit dem Begriff des Wahrscheinlichkeitsraums und des

Wahrscheinlichkeitsmaßes.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses anzugeben bedeutet, diesem Ereig-
nis eine Zahl zwischen 0 und 1 zuzuordnen mit der Interpretation, dass es für
das Ereignis um so wahrscheinlicher ist einzutreten, je größer diese Zahl ist.

Ferner sollte die Wahrscheinlichkeit unvereinbarer Ereignisse additiv sein. Diese

Forderung übersetzt man wie folgt. Ereignisse sind Teilmengen einer gewissen

Grundmenge Ω, deren Elemente Elementarereignisse heißen, und die Zuordnung

A → P( A) sollte den Regeln

P( A ∪ B) = P( A) + P( B) für A ∩ B = ∅

(11.1)

und P(Ω) = 1 genügen. Man beachte, dass (11.1) die Philosophie das Ganze ist

”

die Summe seiner Teile“ wiedergibt, genauso, wie wir es bei der Diskussion des

Flächeninhalts am Anfang von Abschnitt 8.6 postuliert haben. Und genau wie
dort greift (11.1) mathematisch zu kurz (man muss statt zweier oder endlich vie-
ler eine Folge von Ereignissen berücksichtigen), und genau wie dort muss man im

Allgemeinen das Vorhaben aufgeben, jeder Teilmenge eine Wahrscheinlichkeit
zuordnen zu wollen.

Somit kommen wir zur fundamentalen Definition der Wahrscheinlichkeits-
theorie. Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Tripel (Ω , A , P), das aus einer

Menge Ω (den Elementarereignissen), einer σ-Algebra von Teilmengen von Ω

(den Ereignissen, denen Wahrscheinlichkeiten zugewiesen werden sollen) und
einem Wahrscheinlichkeitsmaß P auf A besteht (das die Wahrscheinlichkeiten
der Ereignisse angibt). Dabei ist eine σ-Algebra wie in Abschnitt 8.6 ein System

A von Teilmengen von Ω mit:

(a) ∅ ∈ A .

(b) Mit A liegt auch das Komplement Ω \ A in A .

(c) Sind A

∞

1 , A 2 , . . . ∈ A , so auch

A
j=1
j .

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf A ist eine Abbildung P: A → [0 , 1] mit

P(Ω) = 1 und

P( A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ) = P( A 1) + P( A 2) + · · ·

(11.2)

für paarweise disjunkte Aj ∈ A .

Das sieht nach trockener Materie aus, besitzt aber naheliegende stochastische

Interpretationen. Beginnen wir mit (11.2). Hier wird für einander ausschließen-
de Ereignisse A 1 , A 2 , . . . ausgesagt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eines der

Ereignisse eintritt, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Wie
beim Lebesgueschen Maß ist der Vorzug von (11.2) gegenüber der endlichen Va-
riante (11.1) darin begründet, hier den ersten Schritt zu den wichtigen Grenz-

11.1

Wahrscheinlichkeitsräume

279
wertsätzen vorliegen zu haben. Und um (11.2) in konkreten Beispielen beweisen
zu können, muss man darauf gefasst sein, als Definitionsbereich von P nicht
die Potenzmenge von Ω, sondern nur ein Teilsystem A ⊆ P(Ω) nehmen zu
können. An dieses Teilsystem, das die interessierenden Ereignisse repräsentiert,
stellt man die Forderungen (a), (b) und (c), denn (b) besagt, dass mit einem

Ereignis A auch A tritt nicht ein“ ein Ereignis ist, und (c) formuliert, dass mit

”

A 1 , A 2 , . . . auch Eines der Ereignisse A

”

k tritt ein“ ein Ereignis ist. Mit Hilfe

von (b) erh

∞
ält man dann auch

A

Alle A
k=1
k ∈ A , d. h.,

”

k treten ein“ ist ein

Ereignis, und weiter

∞

A

Unendlich viele der A
k=1
n≥k
n ∈ A , d. h., ”

k treten
ein“ ist ein Ereignis. Schließlich garantiert (a), dass es überhaupt Ereignisse
gibt.

Wir wollen drei Beispiele ansehen.

(1) Zuerst zum Zufallsexperiment par excellence, dem (einmaligen) Wurf eines
fairen Würfels. Es wird durch folgenden Wahrscheinlichkeitsraum beschrieben:

Ω = { 1 , 2 , . . . , 6 }, A ist die Potenzmenge von Ω, und P( A) = |A|/ 6 mit |A| =

Anzahl der Elemente von A. Die Frage, ob man eine gerade Zahl würfelt, ist
dann die nach P( { 2 , 4 , 6 }). Allgemein nennt man Wahrscheinlichkeitsräume der

Bauart Ω = endliche Menge, A = P(Ω) und P( A) = |A|/|Ω | Laplace-Räume;

Lottospiel und Kartenmischen sind von diesem Typ. Um konkrete Wahrschein-
lichkeiten auszurechnen, sind häufig kombinatorische Überlegungen nötig, vgl.

Abschnitt 4.1.

(2) Im nächsten Beispiel werden Pfeile auf eine kreisförmige Scheibe geworfen,
der Zufall soll dabei keine Vorliebe für einen bestimmten Bereich der Scheibe
zeigen. Das wahrscheinlichkeitstheoretische Modell hierfür ist der Wahrschein-
lichkeitsraum mit Ω ⊆ R2, das die Scheibe repräsentiert, mit P( A) = λ( A) /λ(Ω)

( λ( A) = Flächeninhalt von A). Hier ist P a priori nur auf geometrisch einfachen

Teilmengen vorgegeben, und im Abschnitt 8.6 wurde erläutert, dass man λ
und damit P auf die σ-Algebra der Borelmengen, nicht aber auf die gesamte

Potenzmenge fortsetzen kann. Also ist A = B o(Ω) eine adäquate Wahl. Für
einen geübten Dartsspieler ist natürlich nicht die homogene Gleichverteilung als

Wahrscheinlichkeitsmaß zu nehmen, sondern eines, das Bereichen in der Mitte
der Scheibe eine höhere Wahrscheinlichkeit zumisst als außen.

(3) Im dritten Beispiel betrachten wir die Standardnormalverteilung, der idea-
lisiert viele experimentelle Daten folgen (warum, erklärt der zentrale Grenzwert-
satz in Abschnitt 11.7). Für Teilintervalle A ⊆ R setze

P

1

( A) = √
e−x 2 / 2 dx;

(11.3)

2 π

A
der Vorfaktor garantiert, dass P(R) = 1. Wie beim Lebesgueschen Maß ist es
auch hier möglich, das auf Intervallen vorgegebene Wahrscheinlichkeitsmaß auf
die Borelsche σ-Algebra (nicht aber auf die Potenzmenge) so fortzusetzen, dass

(11.2) gilt.

280

11 Stochastik

Wie die letzten beiden Beispiele zeigen, ist die Wahl der σ-Algebra manch-
mal eine sehr subtile Aufgabe, deren Lösung auf nichttrivialen Existenzsätzen
beruht. Anfängern kann jedoch geraten werden, diesen Punkt zunächst einmal
zu ignorieren, insbesondere, wenn sie das Lebesguesche Maß noch nicht kennen-
gelernt haben. Ist Ω abzählbar, kann man jedoch immer A = P(Ω) wählen.

11.2

Zufallsvariable

Eine Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω , A , P) ist eine Borel-
messbare Abbildung X: Ω → R; d. h., für borelsche Teilmengen B ⊆ R ist

X− 1[ B] = { ω | X( ω) ∈ B } ∈ A . (Es genügt, dies nur für Intervalle zu fordern.)

Um diesen kargen Begriff mit Leben zu erfüllen, stellen wir uns Tyche, die

Göttin des Zufalls, vor, die volle Information über die Zufallswelt Ω besitzt –
sie weiß also, welches ω ∈ Ω sie ausgewählt hat –, uns aber nur einen Aspekt
davon mitteilt, nämlich X( ω). Einen Funktionswert X( ω) nennt man auch eine

Realisierung der Zufallsvariablen X.

Im Beispiel des Laplace-Raums Ω = { 1 , 2 , . . . , 6 } × { 1 , 2 , . . . , 6 }, der das zwei-
malige Würfeln eines fairen Würfels beschreibt, ist etwa X( ω) = X( ω 1 , ω 2) = ω 2
eine Zufallsvariable, die das Resultat des zweiten Wurfs wiedergibt. Im Gegen-
satz zur Bezeichnung Zufallsvariable“ ist nichts Zufälliges an X; im Gegenteil

”

ist X so deterministisch wie jede Abbildung: Wenn man ω hineinsteckt, kommt

X( ω) heraus.

Nur ist es so, dass bloß Tyche weiß, welches ω in die Zufallsvariable X einge-
geben wurde, und die entscheidende stochastische Frage ist, mit welcher Wahr-
scheinlichkeit X einen gewissen Wert (den wir ja beobachten) annimmt bzw.

in einem gewissen Bereich liegt: Es geht also um P( { ω | X( ω) = b }) bzw.

P( { ω | X( ω) ∈ B }). Da Mengen wie diese in der Wahrscheinlichkeitstheorie
auf Schritt und Tritt auftreten, haben sich naheliegende Kurzschreibweisen ein-
gebürgert:

P( X = b) = P( { ω | X( ω) = b }) , P( X ∈ B) = P( { ω | X( ω) ∈ B })

sowie {X ≥ 0 } = { ω | X( ω) ≥ 0 } etc.

Die Frage ist also die nach der Verteilung von X, das ist das gemäß

P X: B o(R) → [0 , 1] , P X( B) = P( X ∈ B)

(11.4)

erklärte Wahrscheinlichkeitsmaß auf den Borelmengen von R; damit der letzte

Term überhaupt definiert ist, muss man in der Definition einer Zufallsvariablen
sicherstellen, dass {X ∈ B} wirklich zum Definitionsbereich A von P gehört.

Es ist zu bemerken, dass der Wahrscheinlichkeitsraum (Ω , A , P) mehr und
mehr in den Hintergrund tritt und die gesamte stochastische Information über

X in der Verteilung P X kodiert ist, und nur diese ist von Interesse. (Es ist

11.2

Zufallsvariable

281
bloß wichtig zu wissen, dass es überhaupt einen Wahrscheinlichkeitsraum im

Hintergrund gibt.) Beim zweimaligen Würfeln kann die Zufallsvariable Augen-

”

summe“ einerseits auf Ω = { 1 , 2 , . . . , 6 } × { 1 , 2 , . . . , 6 } durch X( ω) = ω 1 + ω 2
modelliert werden, andererseits auf dem durch ˜

P( { 2 }) = 1 / 36, ˜P( { 3 }) = 2 / 36, . . . ,

˜

P( { 12 }) = 1 / 36 bestimmten Wahrscheinlichkeitsraum ˜Ω = { 2 , 3 , . . . , 12 } durch

˜

X(˜
ω) = ˜
ω. Beide Zufallsvariablen sind stochastisch äquivalent, da sie dieselbe

Verteilung besitzen.

Man unterscheidet zwei wichtige Typen von Zufallsvariablen, die diskret und
die stetig verteilten; die elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung kennt übrigens
nur diese beiden, und erst der maßtheoretisch fundierten Wahrscheinlichkeits-
theorie bleibt es vorbehalten, die beiden Spezialfälle einem einheitlichen Kon-
zept unterzuordnen. Eine diskret verteilte Zufallsvariable nimmt nur endlich
oder abzählbar viele Werte b 1 , b 2 , . . . mit positiver Wahrscheinlichkeit an, und
ihre Verteilung ist durch die Zahlen
pk = P( X = bk)

(11.5)

festgelegt. Bei einer stetig verteilten Zufallsvariablen bestimmt man die Wahr-
scheinlichkeit, dass a ≤ X ≤ b ist, durch ein Integral
b

P( a ≤ X ≤ b) =
f ( t) dt

(11.6)

a
mit einer Funktion f : R → [0 , ∞), die im uneigentlichen Riemannschen oder

gar im Lebesgueschen Sinn integrierbar ist mit

R f ( t) dt = 1; in der Regel
ist f sogar stückweise stetig. Man nennt f die Dichte der Verteilung; sie ist
allerdings nur bis auf Gleichheit fast überall, d. h. außerhalb einer Menge vom

Lebesguemaß 0, eindeutig bestimmt. (11.6) legt nach allgemeinen Sätzen der

Maßtheorie das Wahrscheinlichkeitsmaß P X auf B o(R) durch

P X( B) = P( X ∈ B) =
f ( t) dt

B
fest. Die elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung drückt alle Aussagen über die

Verteilung von X durch (11.5) bzw. (11.6) aus, die moderne Wahrscheinlich-
keitstheorie benutzt stattdessen das Wahrscheinlichkeitsmaß P X.

Eine andere Möglichkeit, die Verteilung von X zu bestimmen, sieht die Ver-
teilungsfunktion FX von X vor. Sie ist durch

FX : R → [0 , 1] ,

FX ( t) = P( X ≤ t)

definiert. Jede Verteilungsfunktion ist monoton wachsend, rechtsseitig stetig und
erfüllt lim t→−∞ FX ( t) = 0 und lim t→∞ FX( t) = 1. Ist X stetig verteilt, so ist

FX ebenfalls stetig (daher der Name). Tatsächlich besitzt FX dann sogar eine
etwas stärkere Eigenschaft, die man Absolutstetigkeit nennt, weswegen stetig

282

11 Stochastik
verteilte Zufallsvariable auch absolutstetig verteilt genannt werden. (Die Stetig-
keit einer Verteilungsfunktion garantiert noch nicht die Existenz einer Dichte
wie in (11.6), wohl aber die Absolutstetigkeit.) (11.6) kann man jetzt durch

P( a ≤ X ≤ b) = FX( b) − FX( a)

ausdrücken, denn P X( {a}) = 0. Ist FX stetig differenzierbar, so ist nach dem

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung F eine Dichte f

X
ür X. Ist X
diskret verteilt mit P( X = bk) = pk, so macht FX bei bk einen Sprung der

Höhe pk.

Wichtige Beispiele für diskrete Zufallsvariable sind binomialverteilte und

Poisson-verteilte Zufallsvariable. Bei der Binomialverteilung geht es darum,
einen Versuch, der nur zwei Ausgänge hat (üblicherweise Erfolg“ und Miss-

”

”

erfolg“ genannt), n-mal unabhängig durchzuführen und nach der Wahrschein-
lichkeit für genau k Erfolge zu fragen, wenn ein einzelner Versuch mit der Wahr-
scheinlichkeit p erfolgreich ist. Die entsprechende Verteilung ist die Binomial-
verteilung:

P
n

( X = k) =
pk(1 − p) n−k,
k = 0 , 1 , . . . , n.

k

Die Poisson-Verteilung kann als Grenzfall für kleines p und großes n aufgefasst
werden; sie tritt als Verteilung seltener Ereignisse“ auf (z. B. Tippfehler pro

”

Seite dieses Buchs). Sie ist bestimmt durch

P
λk

( X = k) =
e−λ,
k = 0 , 1 , 2 , . . . ,
k!

mit einem Parameter λ, der im obigen Beispiel die durchschnittliche Zahl der

Tippfehler misst und im Abschnitt 11.3 detaillierter erläutert wird.

Zwei wichtige Beispiele stetiger Verteilungen sind die Gleichverteilung auf

[ a, b] mit der Dichte

1 /b−a für a ≤ t ≤ b
f ( t) =

0
sonst
sowie normalverteilte Zufallsvariable. Allgemeiner als in Beispiel (3) aus Ab-
schnitt 11.1 nennt man eine Zufallsvariable normalverteilt (genauer N ( μ, σ 2)-
normalverteilt), wenn ihre Verteilung eine Dichte der Form

1
f ( t) = √
e−( t−μ)2 / 2 σ 2

2 πσ
besitzt. Der Graph dieser Dichte ist die oft genannte Glockenkurve. Normalver-
teilte Zufallsvariable treten in vielen Anwendungen auf; vgl. Abschnitt 11.7.

11.3

Erwartungswert und Varianz

283
f(x)

1
x

−2

−1

0

1

2
σ = 0, 5 μ = 0
σ = 1
μ = 0
σ = 1
μ = 0, 75
σ = 0, 5 μ = 0, 5

11.3

Erwartungswert und Varianz

Bei einem Zufallsexperiment, das durch eine Zufallsvariable X modelliert wird,
ist die gesamte stochastische Information in der Verteilung P X enthalten, vgl.

(11.4), (11.5) und (11.6). Eine wichtige speziellere Frage ist, welchen Wert X
im Durchschnitt“ annimmt.

” Am durchsichtigsten ist diese Frage für diskret verteilte Zufallsvariable, etwa
mit der Verteilung P( X = bk) = pk, zu beantworten. Der Durchschnittswert“,

”

genannt Erwartungswert von X, ist das mit den Wahrscheinlichkeiten pk ge-
wichtete Mittel der Werte bk:

∞

E( X) =
bkpk.

(11.7)

k=1

Ist X binomialverteilt mit den Parametern n und p (kurz: b( n, p)-verteilt), ergibt
sich
n

E
n

( X) =
k
pk(1 − p) n−k = np,
k
k=0
und ist X Poisson-verteilt zum Parameter λ, folgt

∞

E
λk

( X) =
k
e−λ = λ,
k!

k=0
was die im letzten Abschnitt gegebene Interpretation von λ erläutert.

Im Fall einer stetig verteilten Zufallsvariablen mit Dichte f versucht man
durch Diskretisierung eine Formel für den Erwartungswert zu entwickeln. Das

Resultat ist

∞

E( X) =
xf ( x) dx.

(11.8)

−∞

284

11 Stochastik

Bei einer auf dem Intervall [ a, b] gleichverteilten Zufallsvariablen ist dann wie
erwartet E( X) = a+ b/ 2, und bei einer N( μ, σ 2)-normalverteilten Zufallsvariablen
ist E( X) = μ; damit ist die Bedeutung des ersten Parameters μ erklärt.

Die Definition des Erwartungswerts in der maßtheoretisch begründeten Wahr-
scheinlichkeitstheorie ist

E( X) =

X d P =
x d P X( x);

(11.9)

Ω

R
dies schließt (11.7) und (11.8) als Spezialfälle ein. Natürlich ist die stillschwei-
gende Voraussetzung in diesen Formeln für E( X), dass die definierenden In-
tegrale existieren. Ein Standardbeispiel für eine Zufallsvariable, die keinen Er-
wartungswert besitzt, ist eine Cauchy-verteilte Zufallsvariable mit der Dichte
f ( x) = 1 /π(1+ x 2). Solche Zufallsvariablen werden häufig als paradox aufgefasst:

Obwohl alle Werte von |X| endlich sind, ist der Durchschnittswert unendlich!

Rein analytisch ist ein solches Verhalten natürlich überhaupt nicht paradox, wie
z. B. das Paradebeispiel der Funktion f : (0 , 1] → R mit f ( x) = 1 /x zeigt.

Aus der allgemeinen Definition ergibt sich sofort die Linearität des Erwar-
tungswerts, insbesondere E( X 1 + X 2) = E( X 1) + E( X 2), was für stetig verteilte

Xj aus (11.8) allein nur mühsam zu schließen ist. Die Linearität gestattet einen
neuen Blick auf den Erwartungswert einer b( n, p)-binomialverteilten Zufallsva-
riablen X. Dazu seien nämlich Y 1 , . . . , Yn Zufallsvariable, die nur die Werte 0
und 1 annehmen, und zwar mit den Wahrscheinlichkeiten 1 − p bzw. p. Dann

kann X als
n

Y
k=1
k dargestellt werden, und da trivialerweise E( Yk) = p ist,
ergibt sich sofort ohne komplizierte Rechnung E( X) = np.

Zufallsvariable mit demselben Erwartungswert können sehr unterschiedlich
sein, denn der Erwartungswert repräsentiert nur einen Aspekt der Verteilung.

Eine naheliegende Frage ist daher die nach der durchschnittlichen Abweichung
vom Erwartungswert. Diese kann nicht durch E( X − E( X)) gemessen wer-
den, weil dieser Term immer 0 ist. Die Einführung von Beträgen, nämlich

E( |X − E( X) |), führt zu einem analytisch nur schwer zu handhabenden Aus-
druck. Erfolgversprechender ist das Quadrieren, das zur Definition der Varianz
von X führt:

1

2

Var( X) = E ( X − E( X))2 = E( X 2) − (E( X))2 .

Diese Formel setzt voraus, dass E( X 2) existiert, was impliziert, dass auch E( X)

existiert. Setzt man abkürzend μ = E( X), so ist die Varianz einer diskret ver-
teilten Zufallsvariablen mit P( X = bk) = pk

∞

∞

Var( X) =

( bk − μ)2 pk =
b 2 kpk − μ 2
k=1
k=1
und die einer stetig verteilten Zufallsvariablen mit Dichte f

∞

∞

Var( X) =

( x − μ)2 f ( x) dx =
x 2 f ( x) dx − μ 2 .

−∞

−∞

11.4

Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit

285

Konkrete Beispiele sind b( n, p)-verteilte Zufallsvariable mit Var( X) = np(1 − p)

und N ( μ, σ 2)-verteilte Zufallsvariable mit Var( X) = σ 2.

Die Wurzel aus der Varianz wird Standardabweichung genannt: σ( X) =

Var( X)1 / 2. Für N ( μ, σ 2)-verteiltes X ist in der Tat σ( X) = σ, und wich-
tige Werte für eine solche Zufallsvariable sind P( |X − μ| ≤ σ) = 0 . 683 . . . ,

P( |X − μ| ≤ 2 σ) = 0 . 954 . . . , P( |X − μ| ≤ 3 σ) = 0 . 997 . . . . Anwender geben
diese Wahrscheinlichkeiten oft in der Form 68.3 % der Werte von X liegen zwi-

”

schen μ − σ und μ + σ“ wieder; man beachte dazu auch, dass in Anwendungen
σ( X) dieselbe physikalische Dimension wie X hat.

Erwartungswert und Varianz sind die ersten Momente einer Zufallsvariablen
bzw. deren Verteilung. Allgemein ist das n-te Moment als

∞

E( Xn) =

Xn d P =
xn d P X ( x)

Ω

−∞
und das n-te zentrierte Moment als

∞

E(( X − E X) n) =

( X − E X) n d P =

( x − E X) n d P X( x)

Ω

−∞
erklärt. Normalisierte Formen des 3. bzw. 4. zentrierten Moments sind in der

Statistik als Schiefe bzw. Exzess bekannt.

11.4

Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabh¨
angigkeit

Die vorangegangenen Abschnitte legen den Schluss nahe, die Wahrscheinlich-
keitstheorie sei eine Unterabteilung der Integrationstheorie, die bloß ein eigenes

Vokabular verwendet: Funktionen heißen Zufallsvariable, ihre Werte Realisierun-
gen, messbare Mengen Ereignisse, und statt Integral sagt man Erwartungswert.

In diesem Abschnitt kommt nun eine neue Idee hinzu, die der Wahrschein-
lichkeitstheorie eigen ist, nämlich die Unabhängigkeit bzw. das Bedingen von

Ereignissen.

Als einfaches Beispiel betrachten wir das zweimalige Werfen eines fairen

Würfels. Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 10 Augen zu erzielen, ist dann 1 / 6.

Falls man jedoch weiß, dass der erste Wurf eine 6 produziert hat, ist die gesuchte

Wahrscheinlichkeit 1 / 2. Das ist kein Widerspruch, da die zweite Wahrscheinlich-
keit eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist; man sucht die Wahrscheinlichkeit des

Ereignisses A

Augensumme ≥ 10“ nicht schlechthin, sondern unter der Be-

”

dingung, dass das Ereignis B

1. Würfelwurf = 6“ eingetreten ist. Solch eine

”

bedingte Wahrscheinlichkeit P( A | B) ist durch

P

P( A ∩ B)

( A | B) =

P( B)

erklärt, falls, wie in unserem Beispiel, P( B) = 0 ist.

286

11 Stochastik

Aus der Definition ergeben sich sofort zwei wichtige Konsequenzen. Zunächst
gilt die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit, deren Aussage unmittelbar
plausibel ist: Bilden B 1 , B 2 , . . . eine endliche oder unendliche Folge paarweise

disjunkter Ereignisse mit P( Bk) = 0 und

B
k
k = Ω, so gilt für jedes Ereignis A

P( A) =

P( A | Bk)P( Bk) .

k

Gewiss haben alle Leser mit Hilfe genau dieser Formel die Aussage P( A) = 1 / 6
des obigen Beispiels nachvollzogen.

Die Bayessche Formel versucht, die bedingte Wahrscheinlichkeit P( A | B) mit

P( B | A) in Beziehung zu setzen. Sie lautet

P

P( A | B

( B

1)P( B 1)

1 | A) =

P

,

( A | B
k
k )P( Bk)

wobei A und die Bk wie oben sind und diesmal auch P( A) = 0 ist. Es ist trivial,
diese Formel rechnerisch zu verifizieren, und doch sind ihre Konsequenzen oft
kontraintuitiv. Ein typisches Beispiel sind medizinische Tests. Mit den Ereig-
nissen A

Test auf Erkrankung positiv“, B

Patient erkrankt“ und B

Pa-

”

1 ”

2 ”

tient nicht erkrankt“ ist die den Patienten interessierende Wahrscheinlichkeit

P( B 1 | A). Bei einem idealen Test wäre P( A | B 1) = 1 und P( A | B 2) = 0, in der
realen Welt machen Tests aber bisweilen fehlerhafte Vorhersagen, so dass bei-
spielsweise P( A | B 1) = 0 . 9999 (diese Wahrscheinlichkeit wird Sensitivität des

Tests genannt) und P( A | B 2) = 0 . 002 (die Komplementärwahrscheinlichkeit

1 − P( A | B 2) = P( A c | B 2) heißt Spezifität des Tests). Um die Bayessche Formel
anzuwenden, benötigt man noch den Wert P( B 1), die sogenannte Prävalenz.

Diese Wahrscheinlichkeit ist in der Regel sehr klein, weil schwere Erkrankungen
sehr selten sind, sagen wir z. B. P( B 1) = 0 . 0001; dann liefert die Bayessche For-
mel P( B 1 | A) = 0 . 047. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine positiv getestete Person
wirklich erkrankt ist, liegt also unter 5 %. Die Erklärung dieses Phänomens liegt
darin, dass es sehr viel mehr Gesunde als Kranke gibt; daher wirkt sich die kleine

Fehlerwahrscheinlichkeit, gesunde Patienten als krank zu testen, entsprechend
stark aus. Auch das bekannte Ziegenparadoxon lässt sich mit der Bayesschen

Formel erklären.

Gestattet das Eintreten von B keinen Rückschluss auf die Wahrscheinlichkeit
für das Eintreten von A, nennt man A und B unabh¨
angig; die definierende

Bedingung ist also

P( A ∩ B) = P( A)P( B) .

Liegen mehr als zwei Ereignisse A 1 , . . . , An vor, werden diese unabhängig ge-
nannt, wenn für jede Teilmenge F ⊆ { 1 , . . . , n} die Produktformel

P

Ak =

P( Ak)

k∈F
k∈F

11.4

Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit

287
gilt; für n = 3 ist also nicht nur P( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3) = P( A 1)P( A 2)P( A 3) gefordert,
sondern auch P( A 1 ∩ A 2) = P( A 1)P( A 2) etc. Schließlich wird eine Folge von

Ereignissen unabhängig genannt, wenn es je endlich viele davon sind.

Der Unabhängigkeitsbegriff überträgt sich leicht auf Zufallsvariable. Die Zu-
fallsvariablen X 1 , . . . , Xn heißen unabhängig, wenn für beliebige Borelmengen

(oder bloß Intervalle) Bk die Ereignisse {X 1 ∈ B 1 }, . . . , {Xn ∈ Bn} unabhängig
sind. Explizit lautet diese Forderung

P( X 1 ∈ B 1 , . . . , Xn ∈ Bn) = P( X 1 ∈ B 1) · · · · · P( Xn ∈ Bn) .

(11.10)

Hier benötigt man die entsprechende Formel für Teilmengen nicht, da sie be-
reits enthalten ist; einige der Bk können ja R sein. Wieder wird eine Folge von

Zufallsvariablen unabhängig genannt, wenn es je endlich viele davon sind.

Wir können nun die Darstellung einer binomialverteilten Zufallsvariablen
als Summe von { 0 , 1 }-wertigen Zufallsvariablen X = Y 1 + · · · + Yn aus dem
letzten Abschnitt präzisieren. Die umgangssprachliche Unabhängigkeit der Ver-
suchswiederholung in der ursprünglichen Beschreibung von X weicht jetzt der

Präzisierung, dass X Summe der unabhängigen Zufallsvariablen Y 1 , . . . , Yn mit
der Verteilung P( Yk = 1) = p und P( Yk = 0) = 1 − p ist.

Die obige Formel (11.10) lässt sich mittels der gemeinsamen Verteilung der Xk
wiedergeben. Der Einfachheit halber betrachten wir zwei Zufallsvariable X 1 und

X 2 und den assoziierten Zufallsvektor X = ( X 1 , X 2). Die Verteilung von X ist
wie in (11.4) das auf den Borelmengen von R2 erklärte Wahrscheinlichkeitsmaß

PX: B o(R2) → [0 , 1] , PX( B) = P(X ∈ B);

PX wird die gemeinsame Verteilung von X 1 und X 2 genannt. Nach allgemeinen

Sätzen der Maßtheorie ist PX durch die Werte auf den Rechtecken B 1 × B 2
eindeutig bestimmt, und (11.10) kann man kompakt mit Hilfe der maßtheore-
tischen Konstruktion des Produktmaßes durch PX = P X ⊗ P
wiedergeben.

1

X 2

Haben die unabhängigen Zufallsvariablen Xk eine stetige Verteilung mit Dichte
fk, so hat X die Dichte f 1 ⊗ f 2: ( x 1 , x 2) → f 1( x 1) f 2( x 2), d. h.

PX( B) =
f 1( x 1) f 2( x 2) dx 1 dx 2 .

B

Daraus kann man schließen, dass X 1 + X 2 stetig verteilt ist mit der Dichte

f ( x) = ( f 1 ∗ f 2)( x) = R f 2( y) f 1( x − y) dy; f 1 ∗ f 2 heißt Faltung von f 1 und f 2.

Für die Erwartungswerte unabhängiger Zufallsvariabler gilt der Produktsatz

E( X 1 · · · Xn) = E( X 1) · · · E( Xn)

und für ihre Varianz

Var( X 1 + · · · + Xn) = Var( X 1) + · · · + Var( Xn) .

Zum Beweis der letzten Gleichung benötigt man, dass unabhängige Zufallsva-
riable unkorreliert sind, d. h.

E(( X 1 − E( X 1))( X 2 − E( X 2))) = E( X 1 − E( X 1))E( X 2 − E( X 2)) = 0 .

288

11 Stochastik

11.5

Null-Eins-Gesetze

Unter einem Null-Eins-Gesetz versteht man eine Aussage, die garantiert, dass
gewissen Ereignissen nur die Wahrscheinlichkeiten 0 oder 1 zukommen können;
statt P( A) = 1 bedient man sich auch der Sprechweise, A trete fast sicher

(abgekürzt f. s.) ein. Das ist der höchste Grad an Sicherheit, den die Wahr-
scheinlichkeitstheorie bieten kann; da ein Wahrscheinlichkeitsmaß Nullmengen
gewissermaßen nicht wahrnehmen kann, kann man keine absolute Sicherheit (das
wäre A = Ω) postulieren.

Ein sehr einfaches, aber dennoch sehr schlagkräftiges Null-Eins-Gesetz ist das

Lemma von Borel-Cantelli. Hier betrachtet man Ereignisse A 1 , A 2 , . . . und das

Ereignis A =

∞

∞

A
n=1
k= n
k =: lim sup An; es ist also ω ∈ A genau dann, wenn
es unendlich viele Ereignisse Ak , A , . . . mit ω ∈ A
gibt (die Auswahl der

1
k 2
kj

Teilfolge k 1 , k 2 , . . . darf von ω abhängen). Man kann A verbal mit unendlich

”

viele Ak treten ein“ umschreiben. Dann besagt das Lemma von Borel-Cantelli:

(a) Gilt

∞

P( A
k=1
k ) < ∞, so folgt P( A) = 0 .

(b) Sind die A

∞
k unabh¨
angig mit

P( A
k=1
k ) = ∞, so folgt P( A) = 1 .

Ein zweites wichtiges Null-Eins-Gesetz beschäftigt sich mit Folgen un-
abhängiger Zufallsvariabler X 1 , X 2 , . . . und Ereignissen A, deren Eintreten
nicht von den Werten endlich vieler dieser Zufallsvariablen“ abhängt; man den-

”

ke z. B. an das Ereignis A = { ω |

X
k
k( ω) konvergiert }. Zur Präzisierung
dessen betrachtet man die kleinste σ-Algebra Ak, die alle Mengen der Form

X− 1[ B] mit l > k und B ∈ B
l
o(R) enthält; Ereignisse in dieser σ-Algebra inter-
pretiert man als nicht von den Werten von X 1 , . . . , Xk abhängig. Der Schnitt

T = k∈ N Ak wird die σ-Algebra der terminalen Ereignisse genannt. Diese

Ereignisse sind es, die eben etwas ungenau als nicht von endlich vielen der X

”

k

abhängig“ beschrieben wurden, und man kann beweisen, dass { ω |

X
k
k( ω)

konvergiert } in diesem technischen Sinn ein terminales Ereignis ist.

Nun können wir das Kolmogorovsche Null-Eins-Gesetz formulieren.

Sind X 1 , X 2 , . . . unabhängige Zufallsvariable und ist A ein termina-
les Ereignis, so ist P( A) = 0 oder P( A) = 1 .

Tritt also ein terminales Ereignis mit positiver Wahrscheinlichkeit ein, so tritt
es fast sicher ein.

11.6

Das Gesetz der großen Zahl

Jeder Würfelspieler weiß, dass nach sehr häufigem, sagen wir n-maligem Werfen
eines fairen Würfels die Augensumme in der Größenordnung 3 . 5 × n liegt und
dass unter diesen n Würfen etwa n/ 6 Sechsen sind. Diese Werte leiten sich nicht

11.6

Das Gesetz der großen Zahl

289
nur aus der Erfahrung des Glücksspielers her, sondern sind auch Ausdruck eines
intuitiven Vorverständnisses von Erwartungswert und Wahrscheinlichkeit, wo-
nach der zu erwartende Wert sich im Mittel ungefähr einstellt, wenn man den

Versuch nur oft genug wiederholt. Eine solche Gesetzmäßigkeit wird landläufig

Gesetz der großen Zahl genannt.

Das erwähnte intuitive Vorverständnis korrespondiert hier mit einem beweis-
baren mathematischen Satz, den wir in diesem Abschnitt diskutieren. Nicht im-
mer liegen Glücksspieler mit ihrer Intuition richtig: Wenn im Lotto seit 30 Wo-
chen nicht mehr die 19 gezogen wurde, so ist es natürlich keinen Deut wahr-
scheinlicher, dass sie in der nächsten Ziehung kommt; die Ziehungen sind ja
unabhängig.

Betrachten wir das obige Szenario auf dem mathematischen Seziertisch, so
geht es um ein Zufallsexperiment (Würfelwurf), das durch eine Zufallsvariable

X mit Erwartungswert E( X) modelliert wird. (Auch das Zufallsexperiment An-

”

zahl der Sechsen“ ordnet sich dem unter; man muss nur dem Ereignis A = Sechs

”

kommt“ die Indikatorvariable χA( ω) = 1, wenn ω ∈ A, und χA( ω) = 0, wenn
ω /

∈ A, zuordnen.) Dieses Experiment wird n-mal durchgeführt und zwar so,
dass keine Ausführung eines Versuchs einen anderen Versuch der Versuchsreihe
beeinflusst. Mathematisch gesehen haben wir es mit unabhängigen Zufallsvaria-
blen X 1 , . . . , Xn zu tun, die dieselbe Verteilung wie X besitzen. Es interessiert
dann die neue Zufallsvariable Sn = X 1 + · · · + Xn, von der das heuristische

Gesetz der großen Zahl behauptet, sie sei für große n von der Größenordnung

E( X) · n, oder anders gesagt, es sei Sn/n ≈ E( X).

Eine solche approximative Gleichheit wird mathematisch durch die Grenz-
wertbeziehung lim n→∞ Sn/n = E( X) präzisiert. In dieser Form machen wir
nun aber die Idealisierung, nicht nur n, sondern unendlich viele unabhängige

Kopien unserer ursprünglichen Zufallsvariablen zu besitzen und das Zufallsex-
periment also unendlich oft durchzuführen. Um hier sicheren Boden unter den

Füßen zu haben, muss man einen nichttrivialen Existenzsatz beweisen, der es
gestattet, zu einer gegebenen Zufallsvariablen X: Ω → R einen neuen Wahr-
scheinlichkeitsraum ( ˜

Ω , ˜

A , ˜P) zu konstruieren, auf dem eine Folge unabhängiger

Zufallsvariabler existiert, die alle dieselbe Verteilung wie X haben; man spricht
von unabhängigen Kopien von X. Das gelingt mittels der maßtheoretischen

Konstruktion des unendlichen Produkts der Verteilung P X.

Des Weiteren ist zu präzisieren, in welchem Sinn die Folge ( Sn/n) gegen E( X)

konvergieren soll. Hier sind zwei unterschiedliche Konvergenzarten wichtig, die
fast sichere und die stochastische Konvergenz. Die fast sichere Konvergenz ist
selbsterklärend: Eine Folge ( Zn) von Zufallsvariablen konvergiert fast sicher
gegen die Zufallsvariable Z, wenn P( { ω | Zn( ω) → Z( ω) }) = 1 ist; kurz Zn → Z

P
f. s. Für die stochastische Konvergenz Zn → Z betrachtet man hingegen die

Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung ≥ ε und verlangt P( |Zn − Z| ≥ ε) → 0
für jedes ε > 0. Die fast sichere Konvergenz impliziert die stochastische, aber

290

11 Stochastik
nicht umgekehrt; es braucht dann nicht einmal ein einziges ω mit Zn( ω) → Z( ω)

zu geben. Jedoch folgt aus der stochastischen Konvergenz die Existenz einer fast
sicher konvergenten Teilfolge.

Je nach Wahl des zugrundeliegenden Konvergenzbegriffs können wir nun zwei

Versionen des Gesetzes der großen Zahl formulieren. Es sei X eine Zufallsva-
riable mit Erwartungswert E( X), und X 1 , X 2 , . . . seien (auf welchem Wahr-
scheinlichkeitsraum auch immer definierte) unabhängige Kopien von X sowie

Sn = X 1 + · · · + Xn.

Sn P

(Schwaches Gesetz der großen Zahl)

→ E( X)

n

S

(Starkes Gesetz der großen Zahl)

n → E( X) f. s.

n

Beide Sätze lassen sich einfacher beweisen, wenn X endliche Varianz hat; der

Beweis des schwachen Gesetzes ist dann sogar beinahe trivial. Er beruht auf der
einfachen Chebyshevschen Ungleichung

P( |Z| ≥ α) ≤ 1 Var( Z)

α 2
für eine Zufallsvariable Z mit E( Z) = 0 und für α > 0. Wendet man diese

Ungleichung nämlich auf Z = Sn − n E( X) und α = nε an, folgt

P Sn − E

( X) ≥ ε = P( |Sn − n E( X) | ≥ nε)

n

≤

1

1 Var( X)

Var( Sn − n E( X)) =

→ 0 ,
n 2 ε 2
n
ε 2
was zu beweisen war; man beachte, dass Var( Sn − n E( X)) = Var( Sn) =

Var( X 1) + · · · + Var( Xn) aufgrund der Unabhängigkeit gilt.

Man mag sich fragen, warum das schwache Gesetz explizit formuliert wird,
wenn es doch sowieso aus dem starken folgt. Der Grund liegt darin, dass es

(zumindest im Fall endlicher Varianz) viel einfacher zu beweisen ist und sogar,
wie oben gezeigt, die quantitative Abschätzung

P Sn − E

Var( X)

( X) ≥ ε ≤ 1

(11.11)

n
n
ε 2
für die Abweichung gestattet, die für die schließende Statistik wichtig ist.

Gesetze der großen Zahl werden auch für nicht identisch verteilte, aber un-
abhängige Zufallsvariable studiert; man sucht dann nach Bedingungen für die

Konvergenz der Mittel 1 /n(( X 1 − E( X 1)) + · · · + ( Xn − E( Xn))) gegen 0; für die

fast sichere Konvergenz ist zum Beispiel

∞

Var( Xn/n) < ∞ hinreichend.

n=1

11.7

Der zentrale Grenzwertsatz

In vielen Anwendungen tauchen Zufallsvariable auf, die zumindest näherungs-
weise normalverteilt sind (Körpergröße bei Erstklässlern, jährliche Nieder-
schlagsmenge in einer Wetterstation, Milchleistung der Kühe eines Bauernhofs

11.7

Der zentrale Grenzwertsatz

291
etc.). Der zentrale Grenzwertsatz erklärt, warum; die Aussage dieses Satzes
kann man mit

Die Summe vieler unabhängiger Zufallsvariabler ist ungefähr

”

normalverteilt“ wiedergeben; natürlich steckt hinter den Wörtern viele“ und

”

ungefähr“ wieder ein Grenzprozess, der gleich erläutert werden soll. In Anwen-

”

dungen kann man sich häufig vorstellen, dass viele Einzeleinflüsse die in der

Summe beobachtete Zufallsgröße ausmachen, die nach dem zentralen Grenz-
wertsatz also näherungsweise normalverteilt ist.

Wir betrachten zunächst den Fall identisch verteilter Zufallsvariabler. Wir
gehen von einer Zufallsvariablen X mit endlicher Varianz σ 2 ( > 0) und Erwar-
tungswert μ aus, und es seien X 1 , X 2 , . . . unabhängige Kopien von X. Dann
werden die standardisierten Summenvariablen

( X

S∗

1 + · · · + Xn) − nμ

√
n =
nσ
definiert, für die E( S∗n) = 0 und Var( S∗n) = 1 gilt. Bezeichnet man noch mit ϕ
bzw. Φ die Dichte bzw. Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, also

1
t
ϕ( t) = √
e−t 2 / 2 ,

Φ( t) =
ϕ( s) ds,

2 π

−∞
so besagt der zentrale Grenzwertsatz
lim P( a ≤ S∗n ≤ b) = Φ( b) − Φ( a)

(11.12)

n→∞
für alle a, b ∈ R. Die Konvergenz ist sogar gleichmäßig in a und b. Bezeichnet
man mit Φ μ,σ 2 die Verteilungsfunktion der N ( μ, σ 2)-Normalverteilung, kann
man also

lim P( a ≤ Sn ≤ b) − (Φ nμ,nσ 2( b) − Φ nμ,nσ 2( a) = 0

(11.13)

n→∞
bzw.

lim P( a ≤ Sn ≤ b) − (Φ( b−nμ

√

) − Φ( a−nμ

√

) = 0
n→∞
nσ
nσ
schließen; und in diesem Sinn ist die Summenvariable Sn = X 1 + · · · + Xn
ungefähr wie eine normalverteilte Zufallsvariable mit demselben Erwartungs-
wert und derselben Varianz wie Sn verteilt. Die Universalität dieses Satzes ist
bemerkenswert, denn die Grenzverteilung hängt überhaupt nicht von der Ver-
teilung der Ausgangsvariablen X ab, solange diese endliche Varianz hat. (Die

Voraussetzung σ 2 > 0 schließt nur den deterministischen Fall einer fast sicher
konstanten Zufallsvariablen aus.)

Die hinter (11.12) stehende Konvergenz wird Verteilungskonvergenz genannt;
man kann sie mittels der beteiligten Verteilungsfunktionen durch FS∗ ( t) → Φ( t)

n
für alle t ausdrücken. Der Beweis des zentralen Grenzwertsatzes ist technisch
aufwändig und wird häufig mit Hilfe der Maschinerie der charakteristischen

Funktionen geführt; die charakteristische Funktion φX einer Zufallsvariablen X
ist definiert durch

φX ( t) = E( eitX) =
eitx d P X ( x);

R

292

11 Stochastik
sie stimmt bis auf ein Vorzeichen und den Normierungsfaktor mit der Fourier-

Transformation des Wahrscheinlichkeitsmaßes P X überein.

Ein wichtiger Spezialfall des zentralen Grenzwertsatzes ist allerdings elemen-
tarer Behandlung zugänglich. Ist nämlich X eine Zufallsvariable mit der Ver-
teilung P( X = 1) = p, P( X = 0) = 1 − p, so ist die obige Summenvariable

Sn binomialverteilt, genauer B( n, p)-verteilt; in diesem Fall beschreiben (11.12)

bzw. (11.13) die Approximation einer Binomialverteilung durch eine Normalver-
teilung. Dies ist der Satz von de Moivre-Laplace. Sein Beweis fußt auf der Idee,
die in den Binomialkoeffizienten steckenden Fakultäten mittels der Asymptotik
der Stirlingschen Formel

n n√
n! ∼

2 πn
e
zu vereinfachen (das Symbol ∼ soll bedeuten, dass der Quotient beider Seiten
gegen 1 konvergiert); mit der Stirlingschen Formel kommt also die e-Funktion
ins Spiel. An einem Histogramm lässt sich die sich herausbildende Glockenkurve
gut erkennen.

f(x)

x

Handbücher der angewandten Statistik geben die Faustregel an, dass man
unter der Bedingung np(1 − p) ≥ 9 so tun darf, als sei eine B( n, p)-verteilte

Zufallsvariable N ( np, np(1 − p))-verteilt.

Sind die X 1 , X 2 , . . . nicht identisch verteilt, so gilt (11.12) entsprechend, wenn
man mit s 2 n = Var( X 1 + · · · + Xn) = Var( X 1) + · · · + Var( Xn)

( X

S∗

1 − E( X 1)) + · · · + ( Xn − E( Xn))

n =
sn
setzt; man muss allerdings Voraussetzungen treffen, die verhindern, dass eine
der Zufallsvariablen Xk einen dominierenden Einfluss auf die Summe Sn besitzt.

Die allgemeinste Bedingung dieser Art wurde von Lindeberg gefunden; leichter
zugänglich ist jedoch die nach Lyapounov benannte Bedingung
n

1

lim

E |Xk − E( Xk) | 2+ δ = 0
für ein δ > 0 ,
n→∞ s 2+ δ
n
k=1
die die Gültigkeit von (11.12) impliziert.

11.8

Parameterschätzung

293

11.8

Parametersch¨
atzung

In den bisherigen Betrachtungen gingen wir stillschweigend davon aus, die auf-
tretenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen in allen Aspekten genau zu kennen;
das ist in Anwendungen aber nicht immer der Fall. Zwar ergibt sich die Wahr-
scheinlichkeitsverteilung beim fairen Würfeln a priori aus der Symmetrie des

Würfels, aber wenn man eine Reißzwecke wirft, ist es nicht klar, mit wel-
cher Wahrscheinlichkeit sie auf dem Rücken oder auf der Seite landet. In ei-
ner ähnlichen Situation befindet man sich in der empirischen Forschung: Wenn
bei einer Wahl über Bestehen oder Abwahl der Regierung abgestimmt wird,
versuchen Demoskopen, das Wahlergebnis vorherzusagen und somit die Wahr-
scheinlichkeit p 0 für einen Wahlerfolg der Regierung zu bestimmen, die freilich
vor der Wahl unbekannt ist; und ein Bauer hat guten Grund zu der Annah-
me, dass sein Ernteertrag normalverteilt ist, aber die Parameter μ und σ 2 der

Verteilung liegen nicht explizit vor.

Solche Parameter zu schätzen ist eine Aufgabe der mathematischen Statis-
tik. Stellen wir uns etwa das Problem, den Erwartungswert einer unbekannten

Verteilung zu schätzen, so liegt es nahe, n unabhängige Realisierungen einer

Zufallsvariablen X mit der fraglichen Verteilung zu bilden und diese zu mitteln,
also die neue Zufallsvariable

¯

1

X =

( X
n

1 + · · · + Xn)

einzuführen. Dann wird man ¯

X( ω) als Schätzwert des Erwartungswerts von

X ansehen. Das ist natürlich das Vorgehen der Demoskopie: Hier hat X die

Verteilung P( X = 1) = p 0 und P( X = 0) = 1 − p 0; jedes Xk repräsentiert
eine Wählerbefragung, die in der Stichprobe ( X 1( ω) , . . . , Xn( ω)) resultiert, und

¯

X( ω) ist der Anteil der Regierungsanhänger unter den n Befragten. Wird die

Befragung mit anderen Probanden wiederholt, bekommt man einen neuen Wert

¯

X( ω), der genauso gut als Schätzwert für den wahren Wert p 0 = E( X) angese-
hen werden kann. Wie gut ist dieses Schätzverfahren also?

Der Schätzer ¯

X hat gegenüber anderen Schätzern (wie z. B. dem Median Y
oder dem zugegebenermaßen wenig überzeugenden Schätzer Z = 1 / 2( X 1 + Xn))

mehrere Vorzüge. Zum einen ist er erwartungstreu. Zur Erläuterung dieses Be-
griffs begeben wir uns wieder ins Beispiel der Demoskopie und werden mit der

Notation etwas penibler. Genau genommen ist unser Standpunkt ja, dass X
nicht eine explizit vorab bekannte Verteilung hat, sondern die Verteilung von

X ist eine aus der Familie P p mit P p( X = 1) = p und P p( X = 0) = 1 − p,

0 ≤ p ≤ 1, wir wissen nur nicht, welche. Entsprechend bezeichnen wir Erwar-
tungswerte mit E p statt einfach mit E. Dann gilt nach den Rechenregeln des

Erwartungswerts

E p( ¯

X) = p = E p( X);

294

11 Stochastik
im Mittel schätzt ¯

X also den richtigen Wert. Auch der Schätzer Z ist erwar-
tungstreu, nicht aber Y .

Des Weiteren ist ¯

X konsistent, d. h.

lim P p( | ¯

X( n) − p| ≥ ε) = 0 für alle ε > 0 ,
n→∞
wobei wir ¯

X( n) statt ¯

X geschrieben haben, denn ¯

X hängt ja von n ab. Die-
se Aussage ist nichts anderes als das schwache Gesetz der großen Zahl (Ab-
schnitt 11.6). (Die Schätzer Y und Z sind nicht konsistent.) In Worten besagt
die Konsistenz, dass für große Stichprobenumfänge die Wahrscheinlichkeit einer

Abweichung des Schätzers vom wahren Wert klein ist.

Das schwache Gesetz der großen Zahl leistet noch andere gute Dienste.

Die langjährige Leiterin des Allensbacher Instituts für Demoskopie, Elisabeth

Noelle-Neumann, wird mit den Worten zitiert, es sei ein Wunder, dass man nur
ein paar Tausend Leute befragen müsse, um die Meinung eines ganzen Volkes zu
kennen. Das schwache Gesetz der großen Zahl liefert eine Erklärung. Aus seiner
quantitativen Form (11.11) schließt man nämlich

P
p(1 − p)

p( | ¯

X( n) − p| ≥ ε) ≤ 1

≤ 1 ;
n
ε 2

4 nε 2
um also die Wahlaussicht p bis auf eine Abweichung von ε = 0 . 02 mit einer

Fehlerwahrscheinlichkeit von 5 % zu bestimmen, genügt es, n = 12500 (un-
abhängige!) Wähler zu befragen.

Zur Schätzung der Varianz einer Zufallsvariablen bedient man sich des

Schätzers
n

1

s 2 =

|Xk − ¯

X| 2 .

n − 1 k=1

Dieser Schätzer ist erwartungstreu (um das zu erreichen, hat man den Term
n − 1 statt n im Nenner) und konsistent.

Statt Erwartungswert und Varianz genau schätzen zu wollen, erscheint es oft
sinnvoller, sich mit einem Intervall zufriedenzugeben, das sehr wahrscheinlich“

”

diesen Wert enthält. Man spricht dann von einem Konfidenzintervall zum Konfi-
denzniveau 1 − α, wenn sehr wahrscheinlich“ mit Wahrscheinlichkeit ≥ 1 − α“

”

”

bedeuten soll. (Typische Werte sind α = 0 . 05 oder α = 0 . 01.) Um ein solches In-
tervall für eine Erfolgswahrscheinlichkeit p zu bestimmen, geht man so vor. Man
beschafft sich n unabhängige Zufallsvariable mit der Verteilung P( X = 1) = p,

P( X = 0) = 1 − p und betrachtet deren Summe Sn, die B( n, p)-binomialverteilt
ist. Es sei k = Sn( ω) eine Realisierung von Sn. Mit anderen Worten wird das

Zufallsexperiment n-mal konkret durchgeführt, und man zählt die Anzahl k der

Erfolge bei dieser Durchführung. Nun versucht man, p∗ und p∗ so zu berechnen,
dass für die B( n, p∗)-Verteilung die Wahrscheinlichkeit für k oder mehr Erfolge
unter α/ 2 liegt und für die B( n, p∗)-Verteilung die Wahrscheinlichkeit für k oder
weniger Erfolge ebenfalls unter α/ 2 liegt. (Das ist übrigens leichter gesagt als

11.9

Statistische Tests

295
getan.) Die dem zugrundeliegende Idee ist, dass p < p∗ inkompatibel mit der

Beobachtung
k Erfolge“ ist, wenn es zu viele sind, und das Gleiche gilt für

”

p > p∗, wenn es zu wenige sind. Das Intervall I = [ p∗, p∗] enthält dann p mit
einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 1 − α. Man beachte, dass k zufällig ist
und deshalb I = I( ω) ebenfalls; formal ist P p( { ω | p ∈ I( ω) }) ≥ 1 − α.

Konfidenzintervalle sind in der Literatur vertafelt (neuerdings natürlich auch
online); man findet z. B. für n = 20 und k = 5 das Konfidenzintervall

[0 . 116 , 0 . 474] zum Konfidenzniveau 0 . 95. Die Interpretation dieser Zahlen ist:

Beobachtet man bei 20 Versuchen 5 Erfolge und rät man anschließend, die Er-
folgswahrscheinlichkeit liege zwischen 0.116 und 0.474, so liegt man mit dieser

Strategie in 95 % aller Fälle richtig.

11.9

Statistische Tests

Wir wollen die Grundideen der Testtheorie anhand eines einfachen Beispiels ent-
wickeln. In einer Zuckerfabrik werden 500 g-Tüten abgefüllt; natürlich kommt
es vor, dass in manchen Tüten ein klein wenig mehr und in anderen ein klein
wenig weniger ist. Da sich beim Abfüllen der Tüten viele unabhängige Einflüsse
überlagern, können wir das Gewicht einer Tüte mit einer N ( μ, σ 2)-verteilten

Zufallsvariablen modellieren. Der Betreiber der Zuckerfabrik behauptet, seine

Anlage arbeite im Durchschnitt einwandfrei, mit Abweichungen von ± 8 Gramm;
mit anderen Worten behauptet er, die Parameter unserer Verteilung seien
μ = 500 und σ = 8. Ein Vertreter des Eichamts möchte nun diese Angaben
überprüfen; er bezweifelt nicht, dass die Standardabweichung 8 beträgt, aber
er möchte feststellen, ob der Verbraucher tatsächlich im Schnitt (mindestens)

500 Gramm pro Tüte bekommt. Das Eichamt nimmt sich nun zufällig 3 Zu-
ckertüten und bestimmt das mittlere Gewicht; es ergeben sich 490 Gramm.

Muss die Zuckerfabrik nun ein Bußgeld zahlen?

Wahrscheinlichkeitstheoretisch liegt folgende Situation vor: Wir haben es mit
einer N ( μ, σ)-Verteilung zu tun, in der σ = 8 bekannt, aber μ unbekannt
ist. Die Behauptung der Zuckerfabrik ist μ ≥ 500. Um den Wahrheitsgehalt
dieser Behauptung zu beleuchten, hat das Eichamt drei gemäß der angebli-
chen Verteilung verteilte unabhängige Zufallsvariable beobachtet und die Werte
x 1 = X 1( ω), x 2 = X 2( ω) und x 3 = X 3( ω) gemessen. Dann wurde die Prüfgröße

¯

X = 1 ( X

( x

3

1 + X 2 + X 3) gebildet und ausgewertet: ¯
x = 13 1 + x 2 + x 3) = 490. Um
zu ermessen, ob das ein unter den gegebenen Umständen zu erwartender Wert
oder ein höchst unwahrscheinlicher Wert ist, müssen wir die Verteilung von ¯

X
unter der Hypothese μ ≥ 500 kennen; diese ist eine N ( μ, 82 / 3)-Verteilung, und
die Wahrscheinlichkeit, dass ¯

X ≤ 490 ist, beträgt 0 . 015 für μ = 500 und ist für
größere μ noch kleiner. Das heißt: Wenn die Angaben der Zuckerfabrik stim-
men, kommt ein Ergebnis wie bei der Messung nur in höchstens 1.5 % aller

296

11 Stochastik

Überprüfungen vor, ist also eher unwahrscheinlich. Unmöglich ist es allerdings
nicht, aber eben unwahrscheinlich, und deshalb werden wohl die Angaben der

Zuckerfabrik kritisch beäugt werden.

Systematisieren wir das Vorangegangene. Wir hatten eine Menge von Vertei-
lungen P ϑ zur Auswahl (alle N( μ, σ 2)-Verteilungen mit σ = 8), und es war zu
überprüfen, ob die vorliegende Verteilung einer Teilmenge H hiervon angehört

(diejenigen mit μ ≥ 500). Dazu haben wir die in Frage stehende Zufallsvariable
n-mal unabhängig reproduziert und eine Testgr¨
oße, eine neue Zufallsvariable

T (nämlich ¯

X), gebildet; T wird auch Teststatistik genannt. Entscheidend ist
nun, die Verteilung von T unter Annahme der Hypothese zu kennen. Führt die

Testgröße zu einem zu unwahrscheinlichen“ Wert, verwirft man die Hypothe-

”

se, dass ϑ ∈ H. Was zu unwahrscheinlich“ heißt, muss man zu Beginn des

”

Tests festlegen – man kann sich die Spielregeln natürlich nicht im Nachhinein
aussuchen. Übliche Werte sind 5 % oder 1 %. Ein eher verbraucherfreundlicher

Eichinspektor würde z. B. das Niveau auf 5 % festlegen und Messergebnisse, die
unwahrscheinlicher als dieses Niveau sind, zum Anlass nehmen, ein Bußgeldver-
fahren in Gang zu setzen. Ein eher fabrikantenfreundlicher Inspektor würde das

Niveau 1 % ansetzen und unseren Fabrikanten von oben davonkommen lassen.

Systematisieren wir weiter. Wir testen eine Nullhypothese H 0 gegen eine Alter-
native H 1, nämlich ϑ ∈ H gegen ϑ /

∈ H. Und je nachdem, wie unsere Testgröße
ausfällt, wird das massiv ( signifikant“) gegen die Nullhypothese sprechen oder

”

nicht. Im ersten Fall sagt man, man verwirft die Nullhypothese, und im zweiten
beh¨
alt man sie bei bzw. verwirft sie nicht. Widerlegt oder bewiesen ist damit
nichts; selbst, wenn fast alles gegen die Nullhypothese spricht, kann sie ja richtig
sein.

Man kann nun nach Abschluss des Tests zwei Fehler machen:

• H 0 ist richtig, wird aber verworfen. ( Fehler 1. Art)

• H 0 ist falsch, wird aber beibehalten. ( Fehler 2. Art)

Bis hierher ist der Aufbau der Begriffe symmetrisch (ob wir μ ≥ 500 gegen μ <

500 testen oder umgekehrt, erscheint irrelevant). Jedoch ist es praktisch so, dass
die beiden Fehler unterschiedliches Gewicht haben. Es ist nun die Konvention
der Statistik, dass der Fehler 1. Art der gravierendere ist und deshalb genauer
kontrolliert werden sollte. Dieser Konvention haben wir gemäß dem Motto in
dubio pro reo bei der Anlage des Zuckerbeispiels bereits entsprochen.

Zu Beginn eines Tests gibt man sich ein α > 0 vor; die Irrtumswahrschein-
lichkeit für einen Fehler 1. Art soll dann garantiert ≤ α sein. α heißt das Niveau
des Tests, wie gesagt sind α = 0 . 05 und α = 0 . 01 gängige Werte. Ein Test der

Nullhypothese ϑ ∈ H gegen die Alternative ϑ /

∈ H zum Niveau α mittels der

Teststatistik T verlangt dann, eine Teilmenge A ⊆ R (genannt Ablehnungsbe-
reich oder Verwerfungsbereich) mit

P ϑ( T ∈ A) ≤ α
für alle ϑ ∈ H

(11.14)

11.10

Markovsche Ketten

297
zu bestimmen. Ist die Nullhypothese richtig, liegt T nur mit einer Wahrschein-
lichkeit ≤ α in A; die Interpretation ist: Das ist zu unwahrscheinlich, um wahr
zu sein, also wird die Nullhypothese verworfen. Häufig sind Ablehnungsbereiche
von der Form [ t, ∞) bzw. ( −∞, t]; (11.14) nimmt dann die Form P ϑ( T ≥ t) ≤ α
bzw. P ϑ( T ≤ t) ≤ α für alle ϑ ∈ H an. Dann sprechen nur sehr große bzw. nur
sehr kleine Werte von T gegen die Nullhypothese; solch ein Test wird einseitig
genannt. (Unser Zuckerbeispiel war von diesem Typ.) Bei einem zweiseitigen

Test ist die Nullhypothese z. B. μ = μ 0, und sowohl sehr große als auch sehr
kleine Werte von T sprechen dagegen; der Ablehnungsbereich hat die Form

( −∞, t u] ∪ [ t o , ∞).

Leider kann man bei einem Test die Fehler 1. Art und 2. Art nicht gleichzeitig
kontrollieren. Schreiben wir die Menge Θ aller Parameterwerte als Θ = H ∪ K,
wobei H der Nullhypothese und K der Alternative entspricht. Die G¨
utefunktion
einer Teststatistik T mit dem Ablehnungsbereich A ist durch

GT : Θ → [0 , 1] ,

GT ( ϑ) = P ϑ( T ∈ A)

definiert. Ein Fehler 2. Art bei Vorliegen eines ϑ ∈ K tritt dann auf, wenn

T /

∈ A ausfällt. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist P ϑ( T /∈ A) = 1 − GT ( ϑ), und
für ϑ ∈ K kann sie bis zu 1 − α betragen.

Um zwei verschiedene Testverfahren (also verschiedene Teststatistiken) zu
vergleichen, kann man ihre Gütefunktionen heranziehen. Ist GT ≥ G
auf

1

T 2

K, so kontrolliert T 1 den Fehler 2. Art besser als T 2; man sagt dann, T 1 sei
trennsch¨
arfer als T 2. Das Verfahren in unserem Beispiel wird Gauß-Test ge-
nannt. Der Gauß-Test ist trennschärfer als jeder andere Test (zum gleichen

Niveau und gleichen Stichprobenumfang) des Erwartungswerts einer normal-
verteilten Zufallsvariablen mit bekannter Varianz.

Es sei erwähnt, dass die Voraussetzung der bekannten Varianz häufig un-
realistisch ist. Bei unbekannter Varianz ist diese noch aus der Stichprobe zu
schätzen; dies führt zu Teststatistiken, die nicht mehr normalverteilt sind, son-
dern einer sogenannten Studentschen t-Verteilung folgen. (Diese Verteilung wur-
de von W. S. Gosset gefunden und unter dem Pseudonym Student veröffentlicht;
sein Arbeitgeber, die Guinness-Brauerei in Dublin, gestattete ihren Angestellten
nämlich nicht, wissenschaftliche Arbeiten zu publizieren, weil man befürchtete,
darin könnten Betriebsgeheimnisse enthalten sein.)

11.10

Markovsche Ketten

Manche Anwendungen in der Physik, der Biologie oder den Wirtschaftswissen-
schaften lassen sich mit Hilfe von Folgen von Zufallsvariablen modellieren, die
eine bestimmte Abhängigkeitsstruktur aufweisen; auch Googles
page rank“-

”

Algorithmus ist hier zu nennen. Betrachten wir der Anschaulichkeit halber ein

298

11 Stochastik
weniger seriöses Beispiel. Stellen Sie sich einen Mensakoch vor, der seine Beila-
gen nach folgendem Speiseplan vorbereitet: Kocht er an einem Tag Kartoffeln,
so kocht er am nächsten Tag mit 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit Nudeln und
mit 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit Reis (Kartoffeln aber garantiert nicht);
kocht er an einem Tag Nudeln, so kocht er am nächsten Tag mit 50-prozentiger

Wahrscheinlichkeit Kartoffeln und mit je 25-prozentiger Wahrscheinlichkeit Nu-
deln oder Reis; kocht er an einem Tag Reis, so kocht er am nächsten Tag mit
je 331 / 3-prozentiger Wahrscheinlichkeit Kartoffeln, Nudeln oder Reis. Wenn es
heute Reis gibt, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass es in drei Tagen
auch Reis gibt? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es heute in einem Jahr

Reis gibt?

Der hier entstehende Prozess ist eine Markovsche Kette. Darunter versteht
man eine Folge von Zufallsvariablen X 0 , X 1 , X 2 , . . . mit Werten in einer endli-
chen oder abzählbar unendlichen Menge S, dem Zustandsraum, die die Bedin-
gung

P( Xn+1 = in+1 | Xn = in, . . . , X 0 = i 0) = P( Xn+1 = in+1 | Xn = in) (11.15)

für alle n und alle Auswahlen von Elementen i 0 , . . . , in+1 ∈ S erfüllen. (11.15)

wird Markov-Eigenschaft genannt und drückt die

Gedächtnislosigkeit“ des

”

stochastischen Prozesses ( Xn) n≥ 0 aus: Bei gegebener Gegenwart ( Xn = in)

hängt die Zukunft ( Xn+1 = in+1) nicht von der Vergangenheit ( Xn− 1 = in− 1 ,

. . . , X 0 = i 0) ab. Ist die rechte Seite in (11.15) unabhängig von n, d. h., gibt es
pij mit

P( Xn+1 = j | Xn = i) = pij für alle n ≥ 0 ,

(11.16)

so heißt die Markovkette zeitlich homogen; im Folgenden betrachten wir nur sol-
che Ketten. Die Interpretation von pij ist dann die der Übergangswahrscheinlich-
keit vom Zustand i in den Zustand j, die zu jedem Zeitpunkt n dieselbe ist.

In diesem Abschnitt werden wir nur zeitlich homogene Markovketten mit
endlichem Zustandsraum S untersuchen; es bietet sich dann an, S als { 1 , . . . , s}

zu bezeichnen, und die Übergangswahrscheinlichkeiten können nun bequem als

¨

Ubergangsmatrix P = ( pij) i,j=1 ,...,s notiert werden. Nach Konstruktion ist je-

de Zeilensumme
p
j
ij

= 1, und natürlich sind die Einträge pij ≥ 0. Eine

Matrix mit diesen Eigenschaften wird stochastische Matrix genannt. Es ist ein
nichttrivialer Existenzsatz, dass es zu jeder stochastischen Matrix P und jedem

Wahrscheinlichkeitsvektor μ = ( μ 1 , . . . , μs) (d. h., μ ist eine Wahrscheinlich-
keitsverteilung auf { 1 , . . . , s}) eine Markovkette ( Xn) n≥ 0 gibt, die (11.15) und

(11.16) erfüllt und daher P als Übergangsmatrix sowie μ als Startverteilung

(d. h. P X = μ) besitzt. Diese ist eindeutig bestimmt in dem Sinn, dass die

0
gemeinsamen Verteilungen der X 0 , . . . , Xn eindeutig bestimmt sind. In unse-

11.10

Markovsche Ketten

299
rem Beispiel aus dem ersten Absatz ist mit der Identifikation Kartoffeln = 1,

Nudeln = 2 und Reis = 3

⎛

⎞

⎜ 0 1 / 2 1 / 2 ⎟

P = ⎜

⎝ 1 /

⎟

2 1 / 4 1 / 4 ⎠ ,
μ = (0 , 0 , 1) .

1 / 3 1 / 3 1 / 3

Es ist nun nicht schwer, die Verteilung von X 1 zu bestimmen, da ja nach der

Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit aus Abschnitt 11.4

P( X 1 = j) =

P( X 1 = j | X 0 = i)P( X 0 = i) =
μipij.

i
i

Schreibt man wie bei μ die Wahrscheinlichkeiten P( X 1 = j) in einen Zeilen-
vektor μ(1), so lässt sich die letzte Rechnung kompakt durch μ(1) = μP wie-
dergeben. Analog ergibt sich die Verteilung von X 2 durch μ(2) = μ(1) P =
μP 2 und allgemein die von Xn durch μ( n) = μP n. Die n-Schritt- Über-
gangswahrscheinlichkeiten werden also durch die Matrixpotenz P n gegeben.

Daher wird die anfängliche Frage nach P( X 3 = 3) im Mensabeispiel durch

.

151 / 432 = 0 . 3495 beantwortet.

Die zweite anfangs aufgeworfene Frage betrifft das Langzeitverhalten Mar-
kovscher Ketten. Wir setzen dazu voraus, dass es eine Potenz P N gibt, deren
sämtliche Einträge strikt positiv sind; für je zwei Zustände i und j ist also
die Wahrscheinlichkeit p( N) > 0, in N Schritten von i nach j zu gelangen. Das
ij
impliziert, dass die Markovkette den Zustandsraum ohne periodische Muster
durcheinanderwirbelt“; die technische Vokabel dafür ist irreduzibel und aperi-

”

odisch.

Für solche Ketten existiert π = lim n→∞ μP n für jede Startverteilung μ, und
der Grenzwert ist unabhängig von μ. Da sofort π = πP folgt, wird π die sta-
tion¨
are Verteilung der Kette genannt. (In der Sprache der linearen Algebra
ist π ein
linker“ Eigenvektor von P zum Eigenwert 1.) Darüber hinaus ist

”

die Konvergenz gegen die stationäre Verteilung exponentiell schnell; Genaueres
lässt sich aus dem Eigenwertverhalten der Matrix P ablesen. Setzt man nämlich
r = max { |λ| | λ = 1 ein Eigenwert von P }, so gilt r < 1, und für die Konver-
genzgeschwindigkeit hat man eine Abschätzung der Form π − μP n ≤ M rn.

Die Markovsche Kette des Mensabeispiels ist irreduzibel und aperiodisch ( P 2
hat nur positive Einträge), und die stationäre Verteilung ist (5 / 17 , 6 / 17 , 6 / 17);
ferner ist r = 7 / 12. Für große n ist daher 6 / 17 eine sehr gute Approximation an

P( Xn = 3); der Fehler ist für n ≥ 10 kleiner als 10 − 4. Egal, was es heute gab,

.

heute in einem Jahr wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 6 / 17 = 0 . 3529 Reis
angeboten.

300

11 Stochastik

11.11

Irrfahrten

Es seien X 1 , X 2 , . . . unabhängige identisch verteilte Zufallsvariable mit Werten
im R d, also Zufallsvektoren. Wie schon in vorangegangenen Abschnitten wollen
wir die Summenvariablen Sn = X 1 + · · · + Xn betrachten, aber diesmal unter
einem anderen Aspekt. Die Vorstellung ist jetzt, dass ein zum Zeitpunkt n = 0
im Punkte 0 ∈ R d startender Zufallswanderer ω sich in der ersten Zeiteinheit
von dort nach S 1( ω) = X 1( ω) begibt, in der zweiten Zeiteinheit von dort nach

S 2( ω) = S 1( ω) + X 2( ω), in der dritten von dort nach S 3( ω) = S 2( ω) + X 3( ω) usw. Auf diese Weise entsteht ein zufälliger Pfad, n → Sn( ω), die Irrfahrt (engl.

random walk ) des Zufallswanderers.

Speziell wollen wir uns im Folgenden mit der symmetrischen d-dimensionalen

Irrfahrt auf dem Gitter Z d beschäftigen. Im Fall d = 1 ist jetzt die Verteilung
der Xj durch P( Xj = − 1) = P( Xj = 1) = 1 / 2 vorgegeben; der Wanderer wirft
also eine faire Münze, ob er als Nächstes einen Schritt nach vorn oder zurück
macht. Die Verteilung von Sn ist eine verschobene Binomialverteilung. Im Fall
d = 2 hat er vier Möglichkeiten (vor, zurück, links, rechts), die jeweils mit
der Wahrscheinlichkeit 1 / 4 gewählt werden, und im Fall d = 3 kommen noch
oben und unten hinzu. Allgemein ist bei der d-dimensionalen symmetrischen

Irrfahrt die Verteilung der Xj durch P( Xj = ±ek) = 1 / 2 d gegeben, wobei die
ek die kanonischen Basisvektoren des R d bezeichnen. Man zeigt leicht, dass
der mittlere quadratische Abstand einer solchen Irrfahrt vom Ursprung mit der

Anzahl der Schritte übereinstimmt: E( Sn 2) = n.

Eine zentrale Frage ist, ob der Zufallswanderer zu seinem Ausgangspunkt
zurückkehrt, genauer, ob das Ereignis S

” n = 0 unendlich oft“ die Wahrschein-
lichkeit 1 hat. Man kann mit einer Verallgemeinerung des Kolmogorovschen

Null-Eins-Gesetzes aus Abschnitt 11.5 zeigen, dass für diese Wahrscheinlichkeit
nur die Werte 1 oder 0 in Frage kommen; im ersten Fall nennt man die Irrfahrt
rekurrent und im zweiten transient. Bei der symmetrischen Irrfahrt hängt das

Wiederkehrverhalten stark von der Dimension ab:

Die d-dimensionale symmetrische Irrfahrt ist rekurrent f¨
ur d ≤ 2
und transient f¨
ur d ≥ 3 .

Dieser Satz von P´
olya wird gern griffig so formuliert: Man kann sich im Empire

State Building verlaufen, nicht aber in Manhattan.

Allerdings kann es bis zur Rückkehr lange dauern. Sei nämlich T ( ω) =
inf { n ≥ 1 | Sn( ω) = 0 } der Zeitpunkt der ersten Rückkehr; T ist eine Zufalls-
variable mit Werten in N ∪ {∞}. Für d ≤ 2 besagt der Satz von Pólya T < ∞
fast sicher; es gilt aber E( T ) = ∞. Man nennt die Irrfahrt dann nullrekurrent.

Irrfahrten ( Sn) auf dem Gitter Z d, ob symmetrisch oder nicht, kann man kano-
nisch als Markovsche Ketten auf dem unendlichen Zustandsraum Z d auffassen,
und die Begriffe Transienz, Rekurrenz und Nullrekurrenz können allgemeiner
für Markovsche Ketten definiert und studiert werden.

11.12

Die Brownsche Bewegung

301

Werfen wir noch einen genaueren Blick auf die eindimensionale symme-
trische Irrfahrt. Eine interessante Skala von Zufallsvariablen ist hier L 2 n =
sup { m ≤ 2 n | Sm = 0 }; L 2 n gibt den Zeitpunkt des letzten Besuchs der 0
vor dem Zeitpunkt 2 n an. Die asymptotische Verteilung der L 2 n beschreibt das

Arcussinusgesetz

1
b
dx

2

√

√
lim P a ≤ L 2 n ≤ b =

=

(arcsin
b − arcsin a) .

n→∞

2 n
π
π
a
x(1 − x)

Insbesondere folgt P( L 2 n ≤ n) → 1 / 2. Diese Konsequenz ist kontraintuitiv:

Wenn Sie mit Ihrem Nachbarn das ganze Jahr täglich um einen Euro auf Kopf
oder Zahl bei einer fairen Münze wetten, werden Sie also mit einer Wahrschein-
lichkeit von etwa 1 / 2 von Juli bis Dezember dauernd auf Verlust stehen.

11.12

Die Brownsche Bewegung

Die Brownsche Bewegung ist das fundamentale Beispiel eines stochastischen

Prozesses in kontinuierlicher Zeit. Die erste Arbeit, die sich mathematisch rigo-
ros damit befasst, stammt von N. Wiener aus dem Jahr 1924, weswegen auch
der Name Wienerscher Prozess gebräuchlich ist. Doch schon am Beginn des

20. Jahrhunderts benutzte Bachelier die Brownsche Bewegung in seiner Theo-
rie der Börsenkurse, und Einstein verwandte sie in seiner molekularkinetischen

Theorie der Wärme. Der Name erinnert an den Botaniker Robert Brown, der

1828 eine stetige wimmelnde Bewegung“ von Pollen unter dem Mikroskop be-

”

obachtete.

Die formale Definition einer (eindimensionalen) Brownschen Bewegung ist die
einer Familie von Zufallsvariablen ( Bt) t≥ 0 auf einem Wahrscheinlichkeitsraum

(Ω , A , P) mit den Eigenschaften (1) B 0 = 0 f. s., (2) Bt ist N (0 , t)-verteilt,

(3) die Zuwächse sind unabhängig (d. h., Bt − B , B − B , . . . , B − B

2
t 1
t 3
t 2
tn
tn− 1
sind für alle t 1 ≤ · · · ≤ tn, n ≥ 1, unabhängig), (4) die Pfade t → Bt( ω) des

Prozesses sind stetig. Dass es solche Zufallsvariablen überhaupt gibt, ist kei-
ne Selbstverständlichkeit, und Wiener war der Erste, der ihre Existenz rigoros
bewiesen hat, und zwar mittels zufälliger Fourierreihen. Ein anderer Existenz-
beweis besteht darin, die Brownsche Bewegung als Grenzfall von symmetrischen

Irrfahrten (Abschnitt 11.11) zu erhalten. Hierbei skaliert man die Länge eines

√

Zeitintervalls zu h, die Länge eines Schritts der Irrfahrt ( S( h)

n

) zu
h, interpoliert
zwischen den Punkten ( kh, S( h)) ∈ R2 linear (was einen zufälligen Polygonzug
k
liefert) und geht zum Grenzwert h → 0 über. Diese Skalierung wird dadurch
motiviert, dass bei einer symmetrischen Irrfahrt mit Schrittweite s der mittlere
quadratische Abstand vom Ursprung nach n Zeitschritten ns 2 ist.

Gleich ihren zeitdiskreten Analoga, den Markovschen Ketten, ist die Brown-
sche Bewegung gedächtnislos und daher ein sogenannter Markov-Prozess; das
wird durch Bedingung (3) ausgedrückt. Anders gesagt ist für festes t 0 auch

302

11 Stochastik

( Bt+ t − B )

0
t 0 t≥ 0 eine Brownsche Bewegung. Eine entscheidende Ausdehnung
ist die Idee der starken Markov-Eigenschaft : Für gewisse zufällige Zeiten T ,
genannt Stoppzeiten, ist ( Bt+ T − BT ) t≥ 0 ebenfalls eine Brownsche Bewegung.

Dabei heißt eine Zufallsvariable T : Ω → [0 , ∞] Stoppzeit, wenn die Gültigkeit der

Ungleichung T ( ω) ≤ s nur von den Werten Bt( ω) für t ≤ s abhängt. (Die techni-
sche Übersetzung dieser informellen Beschreibung erfolgt mit Hilfe der von den

Zufallsvariablen Bt, t ≤ s, erzeugten σ-Algebra Fs und lautet {T ≤ s} ∈ Fs
für alle s.) Zum Beispiel ist Ta( ω) = inf { t ≥ 0 | Bt( ω) = a } eine Stoppzeit,
genannt Passierzeit bei a.

Unter den Pfadeigenschaften sticht besonders deren Nichtdifferenzierbarkeit
hervor. Fast sicher gilt nämlich, dass ein Pfad t → Bt( ω) an keiner Stelle dif-
ferenzierbar ist. Was vor dem Hintergrund der elementaren Analysis als pa-
thologische Ausnahme erscheint, nämlich eine stetige, nirgends differenzierbare

Funktion, erweist sich unter dem stochastischen Blickwinkel als Regelfall. (In

Abschnitt 8.12 sind wir der Existenz solcher Funktionen schon einmal begegnet;
auch dort gestattete der Satz von Baire die Interpretation, dass die typische“

”

stetige Funktion nirgends differenzierbar ist.)

Bt

Bt

600

200

500

400

100

300

200

0

Iteration

20 · 103 40 · 103 60 · 103 80 · 103 100 · 103

100

0

Iteration −100

−100

20 · 103 40 · 103 60 · 103 80 · 103 100 · 103

−200

−200

Die Nullstellenmenge eines Brownschen Pfads Z( ω) = { t | Bt( ω) = 0 } erweist
sich fast sicher als überabzählbare abgeschlossene Menge ohne isolierte Punkte
vom Lebesguemaß 0 und ist daher vom Typ einer Cantormenge; der Beweis fußt
auf der starken Markov-Eigenschaft. Für die Verteilung der letzten Nullstelle
vor dem Zeitpunkt 1, also von L = sup { t ≤ 1 | Bt = 0 }, gilt wie im diskreten

√

Fall der Irrfahrt ein Arcussinusgesetz der Form P( a ≤ L ≤ b) = 2 (arcsin b −
π

√
arcsin
a).

Eine d-dimensionale Brownsche Bewegung ist eine Familie von Zufallsvekto-
ren B( d): Ω → R d, t ≥ 0, f
t
ür die die Koordinaten ( B 1
t , . . . , Bd
t ) stets unabhängig
sind und die ( Bk
t ) t≥ 0 jeweils eindimensionale Brownsche Bewegungen sind. (Sie
ist ein Modell dessen, was Brown 1828 beobachtet hat.) Wir interessieren uns
wie bei der d-dimensionalen Irrfahrt für das Rekurrenzverhalten. Wie gerade
berichtet, kehrt in der Dimension 1 eine Brownsche Bewegung mit Wahrschein-
lichkeit 1 zum Ursprung zurück, für d ≥ 2 ist diese Wahrscheinlichkeit aber 0.

Aber in der Dimension 2 gilt noch fast sicher inf { B(2) | t > 0 } = 0; die
t

Brownsche Bewegung kehrt also fast sicher in jede ε-Umgebung des Ursprungs
zurück. In diesem Sinn ist die zweidimensionale Brownsche Bewegung rekurrent;
in höheren Dimensionen trifft das wie bei der Irrfahrt nicht mehr zu.

12 Mengenlehre und Logik

In diesem Kapitel stellen wir zentrale Begriffe und Ergebnisse der Mengenlehre
und allgemeiner der mathematischen Logik vor. Dabei wollen wir dieses wei-
te Feld nicht repräsentativ abstecken, sondern wir greifen vor allem Themen
auf, die aus grundlagentheoretischer Sicht für die Mathematik als Ganzes von

Bedeutung sind.

Wir beginnen mit einer Darstellung des Mächtigkeitsvergleichs von Men-
gen mit Hilfe von injektiven und bijektiven Funktionen. Im zweiten Ab-
schnitt besprechen wir dann das Diagonalverfahren, mit dessen Hilfe wir

Größenunterschiede im Unendlichen aufzeigen können. Von fundamentaler Be-
deutung ist dabei die Überabzählbarkeit der Menge der reellen Zahlen. Vom Dia-
gonalverfahren führt ein direkter Weg zur Russell-Antinomie, die wir im dritten

Abschnitt diskutieren. Sie zeigt, dass die freie Mengenbildung über Eigenschaf-
ten nicht haltbar ist. Eine erfolgreiche Lösung der aufgeworfenen Schwierigkeiten
stellt die Zermelo-Fraenkel-Axiomatik dar, deren Axiome wir in Abschnitt vier
vorstellen. Dem vieldiskutierten Auswahlaxiom und seiner Verwendung in der

Mathematik widmen wir den fünften Abschnitt, und dem zum Auswahlaxiom
äquivalenten Zornschen Lemma den sechsten. Im siebten Abschnitt besprechen
wir schließlich noch die schwerwiegenden Limitationen und zuweilen als paradox
empfundenen Sätze, zu denen das Auswahlaxiom in der Maßtheorie führt.

Im achten Abschnitt stellen wir Turings bestechendes Maschinen-Modell vor,
mit dessen Hilfe wir eine präzise Definition einer algorithmisch berechenbaren

Funktion geben können – eine Definition, die auch durch moderne Program-
miersprachen nicht erweitert wird. Danach betrachten wir in Abschnitt neun
formale Beweise und weiter das Wechselspiel zwischen Syntax und Semantik,
das im Korrektheitssatz und im Gödelschen Vollständigkeitssatz zum Ausdruck
kommt. Die beiden auch außerhalb der Mathematik vielbeachteten Gödelschen

Unvollständigkeitssätze, die die Grenzen eines formalen grundlagentheoretischen

Axiomensystems aufzeigen, sind das Thema des zehnten Abschnitts. Im elf-
ten Abschnitt stellen wir die transfiniten Zahlen vor, die aus dem allgemeinen

Wohlordnungsbegriff hervorgehen und ein Abzählen von beliebig großen Men-
gen ermöglichen. Das Kapitel schließt mit einer Einführung in das innerhalb der

Zermelo-Fraenkel-Axiomatik nachweisbar unlösbare Kontinuumsproblem: Die
unbekannte Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen lässt diese Grundstruk-
tur der Mathematik in einem geheimnisvollen Licht erscheinen.

O. Deiser et al., 12 x 12 Schlüsselkonzepte zur Mathematik,

DOI 10.1007/978-3-8274-2298-9_12, © Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2011

304

12 Mengenlehre und Logik

12.1

M¨
achtigkeiten

Zwei Hirten, die ihre Schafherden vergleichen wollen, können ihre Schafe paar-
weise durch ein Tor schicken, je eines von jeder Herde. Haben am Ende beide

Hirten keine Schafe mehr, so sind die Herden gleich groß. Andernfalls hat der-
jenige, der noch Schafe übrig hat, mehr Schafe als der andere.

Mathematisch betrachtet entsteht durch den Vergleich der Schafherden eine

Funktion: Dem Schaf x von Herde M wird das Schaf y von Herde N zugeordnet,
wenn x und y gemeinsam durch das Tor geschickt werden. Es ergibt sich eine

Injektion f , deren Definitionsbereich entweder eine echte Teilmenge von M oder
aber ganz M ist. Im ersten Fall hat M mehr Schafe als N . Ist im zweiten Fall
der Wertebereich von f ganz N (d. h., f : M → N ist bijektiv), so sind die

Herden gleich groß. Andernfalls ist die Herde N größer als die Herde M .

Dieser Idee folgend gelangen wir zu einem einfach definierten Größenvergleich
für zwei beliebige Mengen. Allerdings ist etwas Vorsicht geboten, da bei unendli-
chen Mengen der klassische Euklidsche Grundsatz das Ganze ist größer als der

”

Teil“ nicht mehr gilt. Würden wir definieren: M hat weniger Elemente als N ,

”

falls es eine Injektion f : M → N gibt, die nicht surjektiv ist“, so hätte N weniger

Elemente als N selbst, da die Zuordnung f ( n) = n + 1 eine derartige Injektion
darstellt. Unsere Definition wäre nur für endliche Mengen korrekt. Nach einiger

Suche findet man aber Definitionen für den Größenvergleich zweier Mengen, die
sich universell eignen und die der Intuition immer noch entgegenkommen. Wir
definieren nämlich für je zwei Mengen M und N :

|M| ≤ |N|, falls es ein injektives f: M → N gibt,

|M| = |N|, falls es ein bijektives f: M → N gibt,

|M| < |N|, falls |M| ≤ |N| und non( |M| = |N|).

Gilt |M | ≤ |N |, so sagen wir, dass die Mächtigkeit von M kleinergleich der

M¨
achtigkeit von N ist. Gilt |M | = |N |, so sagen wir, dass M und N dieselbe

M¨
achtigkeit haben oder gleichm¨
achtig sind. Analoge Sprechweisen gelten für

|M| < |N|.

Das Kleinergleich für Mächtigkeiten ist transitiv, und die Gleichmächtigkeit
hat die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation. Unerwartete Schwierigkeiten be-
reitet aber die Frage, ob das Kleinergleich mit der Gleichmächtigkeit so zusam-
menhängt, wie es die Zeichenwahl suggeriert. In der Tat gilt aber der Satz von

Cantor-Bernstein:

Gilt |M | ≤ |N | und |N | ≤ |M |, so gilt |M | = |N |.

Die Aufgabe des nichttrivialen, aber letztendlich doch elementaren Beweises
ist es, zwei abstrakt gegebene Injektionen f : M → N und g: N → M zu einer

Bijektion h: M → N zu verschmelzen.

12.1

Mächtigkeiten

305

Mit Hilfe dies Satzes von Cantor-Bernstein lassen sich dann alle elementa-
ren Eigenschaften der Mächtigkeitsrelationen beweisen, z. B. die Transitivität
von < . Ebenso hilft der Satz bei der Etablierung der Gleichmächtigkeit zweier

Mengen M und N . Denn der Beweis von |M | ≤ |N | und von |N | ≤ |M | durch

Konstruktion zweier Injektionen ist oft einfacher als der Beweis von |M | = |N |
durch Konstruktion einer Bijektion.

Offen bleibt die Frage der Linearität des Mächtigkeitsvergleichs. Man vermu-
tet aufgrund der Erfahrungen im Endlichen, dass |M | ≤ |N | oder |N | ≤ |M |
für alle Mengen M und N gilt. Dieser Vergleichbarkeitssatz ist richtig, aber
nicht mehr mit elementaren Mitteln beweisbar (siehe Abschnitt 12.5). Einen
einfachen Beweis kann man mit Hilfe des Zornschen Lemmas führen (siehe Ab-
schnitt 12.6).

Die Mächtigkeitsvergleiche lassen sich auch zur Definition der Endlichkeit
verwenden: Eine Menge M heißt endlich, falls es eine natürliche Zahl n gibt
derart, dass M und { 0 , 1 , . . . , n − 1 } gleichmächtig sind. Andernfalls heißt sie
unendlich. Eine gleichwertige Definition, die ohne natürliche Zahlen auskommt,
stammt von Dedekind: Eine Menge M heißt (Dedekind-) unendlich, falls es eine

Bijektion zwischen M und einer echten Teilmenge von M gibt. Andernfalls heißt
sie (Dedekind-) endlich. Das Phänomen, dass das Ganze ebenso groß sein kann
wie einer seiner echten Teile, charakterisiert die Unendlichkeit.

Im Endlichen ist alles einfach: Es gilt |{ 0 , . . . , n − 1 }| ≤ |{ 0 , . . . , m − 1 }|
genau dann, wenn n ≤ m. Die Methode der Hirten ist also korrekt, was
niemanden überrascht. Überraschend sind dann aber viele der folgenden

Mächtigkeitsresultate für prominente unendliche Mengen:

| N | = | Z | = | Q | = | N2 | = | N n| = |{s | s ist eine endliche Folge in N }|,

| R | = | R2 | = | R n| = | NR | = |P(N) |, wobei n ≥ 1 .

Es gibt also nur abzählbar viele Bücher über einem abzählbaren Alphabet.

Ebenso hat die Ebene R2 nur R-viele Punkte, und Gleiches gilt für die mehrdi-
mensionalen Kontinua R n und sogar für NR = {f | f : N → R }.

Dagegen fallen die Mächtigkeiten der natürlichen Zahlen und der reellen Zah-
len nicht zusammen: Es gilt | N | < | R |. Die Mächtigkeitstheorie für unendliche

Mengen ist also nicht trivial in dem Sinne, dass je zwei unendliche Mengen
gleichmächtig wären. Es gibt Größenunterschiede nicht nur im Endlichen, son-
dern auch im Unendlichen. Diesem bemerkenswerten Ergebnis widmen wir den
folgenden Abschnitt über das Diagonalverfahren.

Eine Menge M heißt abz¨
ahlbar, falls |M | ≤ | N | gilt, und abzählbar unendlich,
falls |M | = | N | gilt. Ist M nicht abzählbar, so heißt M überabzählbar. Das

Resultat | N | < | R | besagt also, dass die reellen Zahlen überabzählbar sind.

Eine abzählbare Menge M lässt sich als eine endliche oder unendliche Folge
x 0 , x 1 , . . . , xn, . . . erschöpfend aufzählen. Die Überabzählbarkeit einer Menge M
besagt dagegen: Ist x 0 , x 1 , . . . , xn, . . . eine Folge in M , so gibt es ein y ∈ M ,

306

12 Mengenlehre und Logik
das von allen xn verschieden ist. Für die reellen Zahlen gilt also: Jede noch so
geschickt konstruierte Folge reeller Zahlen vergisst“ eine reelle Zahl.

”

Trotz | Q | < | R | sind die rationalen Zahlen dicht in R: Sind x < y reelle Zahlen,
so gibt es eine rationale Zahl q mit x < q < y. Dieses zuweilen als kontraintuitiv
bezeichnete Ergebnis zeigt, wie sehr ein mehr“ oder weniger“ im Unendlichen

”

”

einer exakten Definition bedarf.

12.2

Das Diagonalverfahren

Gegeben seien Funktionen fn: N → N für alle n ∈ N. Wir fragen: Gibt es eine

Funktion g: N → N, die alle fn dominiert? Dabei soll g dominiert f“ bedeuten,

”

dass es ein n 0 gibt mit: g( k) > f ( k) für alle k ≥ n 0.

In der Tat gibt es immer eine solche Funktion g, und wir können sie aus den

Funktionen f 0 , f 1 , . . . , fn, . . . durch eine diagonale“ Konstruktion gewinnen.

”

Zur Definition des Wertes g( n) verwenden wir die Werte f 0( n) , . . . , fn( n) und
setzen g( n) = max( {fk( n) | k ≤ n}) + 1. Dann ist g wie gewünscht, denn für
alle n und alle k ≥ n gilt, dass g( k) > fn( k).

Eine Variante dieser Konstruktion bildete de facto das erste diagonale Argu-
mentieren in der Mathematik (Paul du Bois-Reymond 1875). Große Beachtung
und Bedeutung erlangte die Idee aber erst, als Cantor 1892 mit ihrer Hilfe einen
neuen Beweis für die ¨

Uberabz¨
ahlbarkeit der reellen Zahlen vorlegte, ein grundle-
gendes Resultat, das er bereits 1874 mit einer anderen Methode bewiesen hatte:

Seien x 0 , x 1 , . . . , xn, . . . reelle Zahlen. Dann existiert eine reelle

Zahl y mit y = xn für alle n ∈ N .

Zum Beweis dieses Satzes schreiben wir alle von Null verschiedenen xn in

Dezimaldarstellung:

x 0 = a 0 , b 0 , 0 b 0 , 1 b 0 , 2 . . . b 0 ,n, . . .

x 1 = a 1 , b 1 , 0 b 1 , 1 b 1 , 2 . . . b 1 ,n, . . .

...

xn = an, bn, 0 bn, 1 bn, 2 . . . bn,n, . . .

...

Wir definieren nun y = 0 , c 0 c 1 c 2 . . . ∈ R diagonal“ durch c

”

n = 5 falls bn,n = 4
und cn = 4 falls bn,n = 4. Dann ist y = xn für alle n ∈ N aufgrund der

Eindeutigkeit der nicht in 0 terminierenden Dezimaldarstellung einer reellen

Zahl ungleich 0.

Der Beweis zeigt, dass es keine Surjektion f : N → R geben kann, denn sonst
wäre f (0) , f (1) , . . . , f ( n) , . . . ein Gegenbeispiel zum obigen Satz. Insbesonde-

12.2

Das Diagonalverfahren

307
re gilt non( | N | = | R |). Sicher gilt aber | N | ≤ | R |, denn die Identität ist eine

Injektion von N nach R. Insgesamt haben wir also | N | < | R | gezeigt.

Auch obige Konstruktion einer dominierenden Funktion liefert die Überab-
zählbarkeit der reellen Zahlen als ein recht einfaches Korollar. Denn sie zeigt
insbesondere, dass es keine Folge von Funktionen von N nach N geben kann, die
alle Funktionen von N nach N durchläuft. Damit ist | N | < | NN |. Aus der mit Hilfe
des Satzes von Cantor-Bernstein nicht schwer zu zeigenden Gleichmächtigkeit
von NN und R ergibt sich dann die Überabzählbarkeit von R.

Eine der schönsten, allgemeinsten und zugleich einfachsten Anwendungen der

Diagonalmethode ist der Beweis des folgenden starken Satzes von Cantor :

Sei M eine Menge. Dann gilt |M | < |P( M ) |.

Zunächst ist |M | ≤ |P( M ) |, denn f ( a) = {a} definiert eine Injektion von

M nach P( M). Es genügt also zu zeigen, dass es keine Surjektion von M nach

P( M) gibt. Sei hierzu g: M → P( M). Wir setzen D = {a ∈ M | a /∈ g( a) }.

Dann ist D /

∈ rng( g) und also g nicht surjektiv: Annahme, es gibt ein a∗ ∈ M mit
g( a∗) = D. Dann gilt a∗ ∈ D genau dann, wenn a∗ /

∈ g( a∗) = D, Widerspruch.

Ist zum Beispiel M = { 1 , 2 , 3 , 4 } und g(1) = ∅, g(2) = { 1 , 2 , 3 }, g(3) = M , g(4) = { 3 }, so ist D = { 1 , 4 }, und in der Tat liegt D nicht im Wertebereich von g.

Jede Funktion g auf M generiert“ in diesem Sinne eine neue Teilmenge von M .

”

Man kann sich anhand von Matrizen davon überzeugen, dass diese Konstruktion
den Namen Diagonalverfahren verdient. Wir identifizieren Teilmengen von M
wie üblich mit 0-1-Folgen der Länge 4, also ∅ mit 0000, { 1 , 2 , 3 } mit 1110, M
mit 1111, { 3 } mit 0010.

⎛

⎞

0 0 0 0

⎜

⎜

⎟

⎜1 1 1 0⎟

⎜

⎟

⎝

⎟

1 1 1 1⎠

0 0 1 0

Der Funktion g ordnen wir entsprechend die Matrix ( aij )1 ≤i,j≤ 4 zu mit aij = 1,
falls j ∈ g( i), und aij = 0 sonst (vgl. das Diagramm). Die Diagonale dieser

Matrix ist 0110 und entspricht der Menge E = {a ∈ M | a ∈ g( a) } = { 2 , 3 }.

Der 0-1-Tausch der Diagonalen ist 1001, was der Menge D = {a ∈ M | a /

∈
g( a) } = { 1 , 4 } entspricht. Die Folge 1001 ist dann per Konstruktion von jeder

Zeile der Matrix verschieden, und folglich ist D = g( i) für alle 1 ≤ i ≤ 4.

Die Menge D lässt sich bei dieser Betrachtungsweise also aus der Funktion g
diagonal ablesen“.

” Nach dem Satz von Cantor gilt:

| N |< |P(N) | < |P( P(N)) | < |P( P( P(N))) | < . . .

Aus der Gleichmächtigkeit von R und P(N) erhalten wir erneut die Überab-
zählbarkeit der reellen Zahlen. Weiter ist |P( P(N)) | = |P(R) | = | RR |, und

308

12 Mengenlehre und Logik
damit sind also die natürlichen Zahlen, die reellen Zahlen und die Menge RR
der reellen Funktionen drei Repräsentanten für verschiedene Stufen des Unend-
lichen. Welche Unendlichkeitsstufe nimmt nun die Menge R genau ein? Dieses
sog. Kontinuumsproblem diskutieren wir in einem eigenen Abschnitt (siehe Ab-
schnitt 12.12).

12.3

Die Russell-Antinomie

Wir betrachten noch einmal den Beweis des Satzes von Cantor aus dem vor-
angehenden Abschnitt. Dort hatten wir gesehen, dass für jede Menge M und
jede Funktion g auf M die Menge D = {a ∈ M | a /

∈ g( a) } nicht im Wer-
tebereich von g liegen kann. (Hierzu ist es nicht notwendig anzunehmen, dass
rng( g) ⊆ P( M ) ist.) Wählen wir als Funktion g die Identität auf M , so zeigt
das Argument, dass für jede Menge M die Menge D = {a ∈ M | a /

∈ a} kein

Element von M sein kann. Das ist eine etwas skurrile Erkenntnis über Mengen,
aber wir stoßen auf ernsthafte logische Probleme, wenn wir die Menge M sehr
groß wählen. Ist nämlich M = {a | a = a} die Menge aller Objekte, so folgt aus
unserer Überlegung, dass D = {a ∈ M | a /

∈ a} = {a | a /∈ a} kein Element von

M ist. Aber sicher gilt D = D, also gilt doch D ∈ M nach Definition von M .

Wir haben einen Widerspruch erzeugt, ohne irgendetwas widerlegen zu wollen!

Die Frage: Wo ist hier der Argumentationsfehler?“ lässt sich in der Tat nur

”

durch eine Revision unserer stillschweigend oder naiv gemachten Annahmen
über die Mengenbildung beantworten, denn in der Argumentation selbst ist
kein Fehler zu finden. Diese Revision verlief historisch alles andere als einfach.

Zum ersten Mal seit der Entdeckung der irrationalen Zahlen durch die alten

Griechen sah sich die Mathematik gezwungen, ihre Fundamente zu diskutieren
und zu überarbeiten. Es hat nach der Wende zum 20. Jahrhundert, als obiger

Widerspruch unter dem Namen

Russellsche Antinomie“ bekannt wurde und

”

daneben auch andere
mengentheoretische Antinomien“ die Runde machten,

”

mehrere Jahrzehnte gedauert, bis sich die Wogen wieder geglättet hatten und
eine Fundierung der Mathematik erreicht war, die allen antinomischen Angriffen
trotzen konnte und schließlich auch breite Akzeptanz fand.

In der Tat ist Bertrand Russell durch Überlegungen im Umfeld des Satzes von

Cantor auf seine Antinomie gestoßen, die unabhängig auch von Ernst Zermelo
gefunden wurde. Es lohnt sich, das Argument von jedem unnötigen Kontext zu
befreien und auf seine logische Form zu reduzieren. Wir formulieren also das

Ergebnis neu und wiederholen den kurzen Beweis:

(Russell-Zermelo-Antinomie)

Die Zusammenfassung R = {a | a /

∈ a} ist keine Menge. Das heißt
genau: Es gibt keine Menge R derart, dass f¨
ur alle Objekte a gilt:

a ∈ R genau dann, wenn a /

∈ a.

(#)

12.3

Die Russell-Antinomie

309

Zum Beweis nehmen wir an, dass eine Menge R mit der Eigenschaft (#)

existiert. Setzen wir nun das Objekt R für a in (#) ein, so erhalten wir: R ∈ R
genau dann, wenn R /

∈ R, Widerspruch.

In dieser Form sieht die Russell-Antinomie eher nach einem positiven Ergeb-
nis aus. Ein Widerspruch entsteht erst, wenn wir die uneingeschränkte Bildung
von Mengen durch Eigenschaften zulassen. Für jede Eigenschaft E ( a) hatten
wir die Menge {a | E ( a) } aller Objekte a mit der Eigenschaft E gebildet (sie-
he Abschnitt 1.5). Die Existenz dieser zu E gehörigen Menge haben wir ohne

Bedenken angenommen, und genau hier liegt der Fehler.

Zusammenfassend lassen sich die Ereignisse wie folgt beschreiben. Eine naive

Mengenlehre enthält als zentrales Prinzip das Komprehensionsschema:

F¨
ur jede Eigenschaft E ( a) existiert die Menge {a | E ( a) } aller Ob-
jekte a, auf die die Eigenschaft E zutrifft.

Der Name Schema“ bedeutet hier, dass wir ein Axiom pro Eigenschaft vor-

”

liegen haben, also unendlich viele Aussagen postulieren.

Die Russell-Zermelo-Antinomie zeigt, dass das Komprehensionsschema in sei-
ner allgemeinen Form nicht haltbar ist. Die Eigenschaft E ( a) = a /

∈ a“ führt

”

rein logisch zu Widersprüchen. Die Mengenbildung ist also nicht so harmlos, wie
sie aussieht!

Georg Cantor, der Begründer der Mengenlehre, war sich der Schwierigkeiten
der inkonsistenten Zusammenfassungen übrigens schon einige Jahre vor Russell
und Zermelo bewusst. Leider hat er aber darüber nur brieflich mit Hilbert dis-
kutiert, so dass seine Erfahrungen die nachfolgende wissenschaftliche Diskussion
nur indirekt beeinflussten.

Ein naheliegender Lösungs-Ansatz ist, im Komprehensionsschema alle proble-
matischen Eigenschaften auszuschließen. Das Problem ist hier aber nicht nur ei-
ne Definition von problematisch“, sondern es erhebt sich auch die Frage, welche

”

Objektwelt man eigentlich axiomatisch beschreiben will, wenn man bestimmte

Eigenschaften nur aufgrund von syntaktischen Merkmalen von der Komprehen-
sion ausschließt.

Eine Alternative zu diesem syntaktischen Ansatz stellt ein inhaltlich motivier-
tes Axiomensystem dar, das ein intendiertes Modell verfolgt. Eine Axiomatisie-
rung der Zahlentheorie beschreibt zum Beispiel das Modell 0, 1, 2, . . . , das man
vor Augen zu haben glaubt. Durch die Beschreibung eines intuitiven Modells
kann man zu einer gefühlten Sicherheit gelangen, nicht erneut mit einem inkon-
sistenten System zu arbeiten. Welches Modell eine axiomatische Mengenlehre
aber überhaupt beschreiben will, ist zunächst nicht klar.

Neben inhaltlichen Aspekten wird man sich schließlich auch mit der Anfor-
derung konfrontiert sehen, ein einfaches und brauchbares System zu etablieren,
das breite Verwendung in der Mathematik finden kann.

Bei der Lösung, die sich im 20. Jahrhundert schließlich durchgesetzt hat, do-
miniert zunächst der pragmatische Aspekt, den mathematisch wertvollen Teil

310

12 Mengenlehre und Logik
der naiven Mengenlehre zu retten: Das Komprehensionsschema wird durch einen

Satz von Axiomen ersetzt, der die Existenz von Mengen vorsichtig, aber liberal
genug behandelt. Statt problematische Komprehensions-Eigenschaften zu strei-
chen, werden hinreichend viele nützliche Eigenschaften gesammelt. Das erfolg-
reichste derartige Axiomensystem diskutieren wir im folgenden Kapitel. Dieses

System besitzt zudem ein a posteriori gefundenes intendiertes Modell“ (siehe

”

Abschnitt 12.11).

12.4

Die Zermelo-Fraenkel-Axiomatik

Ernst Zermelo stellte 1908 ein System von Axiomen vor, das im Lauf der Zeit
noch ergänzt wurde und heute als Zermelo-Fraenkel-Axiomatik (kurz ZFC) der

Mengenlehre bekannt ist. Die beiden Leitmotive sind: (A) Manche Zusammen-

”

fassungen“ {x | E ( x) } sind zu groß, um Mengen sein zu können (etwa {x | x = x}

oder {x | x /

∈ x}). Sie bilden kein Ganzes“ mehr, mit dem man als Objekt wei-

”

terarbeiten könnte (vgl. Abschnitt 1.5). (B) Mengentheoretische Axiome werden
aus der mathematischen Praxis gewonnen. Wir sammeln, was wir brauchen.

Jedes Objekt der Theorie ZFC ist eine Menge (es gibt keine Urelemente“).

”

Neben der Gleichheit haben wir nur eine zweistellige Relation ∈, die Epsilon-
oder Element -Relation. Wir fordern:

Extensionalit¨
atsaxiom: Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie die
gleichen Elemente haben.

An die Stelle des inkonsistenten Komprehensionsschemas tritt nun folgendes

Prinzip, das vorsichtiger, aber ähnlich flexibel ist:

Aussonderungsschema (Existenz von y = {z ∈ x | E ( z) }): Zu jeder Eigen-
schaft E und jeder Menge x gibt es eine Menge y, die genau die Elemente von
x enthält, auf die E zutrifft.

Das Axiom folgt dem ersten Leitmotiv: Die Komprehension y = {z ∈ x |

E ( z) } liefert eine Teilmenge von x, und y kann daher nicht zu groß“ sein. Das

”

Aussonderungsschema wird nun durch Existenz-Axiome flankiert, die Mengen
liefern, aus denen man aussondern kann. Wir fordern:

Existenz der leeren Menge (Existenz von ∅): Es gibt eine Menge, die kein

Element besitzt.

Paarmengenaxiom (Existenz von z = {x, y}): Für alle Mengen x, y gibt es
eine Menge z, die genau x und y als Elemente besitzt.

Vereinigungsmengenaxiom (Existenz von y =
x): Zu jeder Menge x existiert
eine Menge y, deren Elemente genau die Elemente der Elemente von x sind.

Unendlichkeitsaxiom (Existenz von N ): Es existiert eine kleinste Menge x, die
die leere Menge als Element enthält und die mit jedem ihrer Elemente y auch
y ∪ {y} als Element enthält.

12.4

Die Zermelo-Fraenkel-Axiomatik

311

Potenzmengenaxiom (Existenz von y = P( x) ): Zu jeder Menge x existiert
eine Menge y, die genau die Teilmengen von x als Elemente besitzt.

Die Menge x des Unendlichkeitsaxioms heißt Menge der nat¨
urlichen Zahlen
und wird mit N oder ω bezeichnet. Informal gilt N = { 0 , 1 , 2 , . . .} mit 0 = ∅, 1 =

{ 0 }, 2 = { 0 , 1 }, . . . , n+1 = n∪{n} = { 0 , . . . , n}, . . . . Der Satz von Cantor zeigt, dass das Potenzmengenaxiom ausgehend von N zu vielen Stufen des Unendlichen
führt. In der Mathematik wenden wir das Potenzmengenaxiom z. B. an, wenn
wir R aus Q konstruieren. Das letzte Axiom der Zermelo-Axiomatik von 1908
ist ein vieldiskutiertes Axiom, dem wir den folgenden Abschnitt widmen:

Auswahlaxiom: Ist x eine Menge, deren Elemente nichtleer und paarweise
disjunkt sind, so gibt es eine Menge y, die mit jedem Element von x genau ein

Element gemeinsam hat.

Zermelos System wurde schließlich noch um zwei Axiome ergänzt:

Ersetzungsschema (Existenz von {F ( y) | y ∈ x}): Das Bild einer Menge x
unter einer Funktion F ist eine Menge.

Fundierungsaxiom oder Regularit¨
atsaxiom (Existenz ∈-minimaler Elemente):

Jede Menge x = ∅ hat ein Element y, das mit x kein Element gemeinsam hat.

Erst mit Hilfe des Ersetzungsschemas kann man z. B. die Existenz der Menge

M = {Pn(N) | n ∈ N } zeigen, wobei P 0(N) = N und Pn+1(N) = P( Pn(N)).

Wir ersetzen“ in der Menge { 0 , 1 , 2 , . . .} jedes Element n durch das sprachlich

”

zugeordnete Objekt Pn(N) und erhalten so M.

Das Fundierungsaxiom schließt Mengen x mit x = {x}, x ∈ x oder unendliche
absteigende Folgen x 0 x 1 x 2 x 3 . . . aus. Es führt zu einem recht klaren

Bild des durch die Axiomatik beschriebenen Universums (siehe Abschnitt 12.11).

Das vorgestellte Axiomensystem wird mit ZFC bezeichnet, wobei Z“ für Zer-

”

melo, F“ für Fraenkel und C“ für das Auswahlaxiom steht (engl. axiom of

”

”

”

choice“). Wird ZFC in einer formalen Sprache formuliert, so kann der Eigen-
schaftsbegriff im Aussonderungsschema und der sprachliche Funktionsbegriff im

Ersetzungsschema präzisiert werden.

ZFC dient heute nicht nur als Axiomatisierung der Mengenlehre, sondern
auch als Fundament für die gesamte Mathematik. Alle mathematischen Objekte
lassen sich als Mengen interpretieren und alle Beweise, die in den verschiedenen

Gebieten der Mathematik geführt werden, lassen sich auf der Basis der ZFC-

Axiome durchführen. Daneben ist die axiomatische Mengenlehre selber zu einer
mathematischen Disziplin mit einer eigenen Dynamik geworden.

Mit der Axiomatik ZFC gelang es, alle mengentheoretischen Paradoxien zu
eliminieren und zugleich alle wichtigen mengentheoretischen Begriffsbildungen
und Konstrukte zu retten. Die Theorie erwies sich dann aber als unvollständig:

Es gibt interessante Aussagen, die sich in ZFC weder beweisen noch widerlegen
lassen (vgl. Abschnitt 12.10 und Abschnitt 12.12). Dadurch wurde die Suche
nach neuen Axiomen zu einem spannenden Thema, und seine bis heute nicht

312

12 Mengenlehre und Logik
abgeschlossene Durchführung brachte einen ungeahnten Reichtum an verborge-
ner mengentheoretischer Struktur ans Licht.

12.5

Das Auswahlaxiom

Zermelos Auswahlaxiom von 1908 lautet:

Ist x eine Menge, deren Elemente nichtleer und paarweise disjunkt
sind, so existiert eine Menge y, die mit jedem Element von x genau
ein Element gemeinsam hat.

Ist y wie im Axiom, so nennen wir y eine Auswahlmenge für x.

Das Auswahlaxiom hat eine andere Natur als alle anderen Existenzaxiome
des Systems ZFC. Letztere behaupten die Existenz einer in einer bestimmten

Situation eindeutig bestimmten Menge, zum Beispiel von z = {x, y} für gege-
bene x und y oder von y = {z ∈ x | E ( z) } für eine gegebene Menge x und eine
betrachtete Eigenschaft E . Das Auswahlaxiom dagegen liefert, gegeben x, eine
unbestimmte dunkle“ Auswahlmenge y. Wenn wir mit y arbeiten, wissen wir

”

im Allgemeinen nicht mehr genau, welches Objekt wir in der Hand haben. De
facto lassen sich alle Existenzaxiome von ZF als Instanzen des Komprehensi-
onsschemas schreiben und besagen damit, dass bestimmte Zusammenfassungen
eine Menge liefern. Das Auswahlaxiom dagegen erlaubt keine derartige Lesart.

Die folgenden Aussagen sind allesamt äquivalent zum Auswahlaxiom (über
den restlichen Axiomen):

Existenz von Auswahlfunktionen: Sind I eine Menge und Mi | i ∈ I eine I-

Folge nichtleerer Mengen, so ist ×

M
i∈I
i nichtleer, d. h., es gibt ein f : I →

M
i∈I
i mit f ( i) ∈ Mi für alle i ∈ I.

Existenz von vollst¨
andigen Repr¨
asentantensystemen: Jede Äquivalenzrelation
besitzt ein vollständiges Repräsentantensystem.

Existenz von Injektionen zu Surjektionen: Für alle surjektiven f : A → B gibt
es ein injektives g: B → A mit f ( g( b)) = b für alle b ∈ B.

Wohlordnungssatz: Jede Menge lässt sich wohlordnen.

Vergleichbarkeitssatz: Für alle Mengen M, N gilt |M | ≤ |N | oder |N | ≤ |M |.

Multiplikationssatz: Für alle unendlichen Mengen M gilt |M × M | = |M |.

Zornsches Lemma: Sei P eine partielle Ordnung derart, dass jede linear geord-
nete Teilmenge von P eine obere Schranke besitzt. Dann existiert ein maximales

Element von P .

Hausdorffsches Maximalprinzip: Jede partielle Ordnung besitzt eine maximale
lineare Teilordnung.

Existenz von Basen in Vektorr¨
aumen: Jeder Vektorraum besitzt eine Basis.

12.5

Das Auswahlaxiom

313

Satz von Tikhonov: Das Produkt von kompakten topologischen Räumen ist
kompakt.

Daneben gibt es viele Sätze der Mathematik, die zwar nicht äquivalent zum

Auswahlaxiom sind, aber auch nicht ohne Auswahlaxiom beweisbar sind, z. B.:

(a)

Eine abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen ist abzählbar.“

”

(b)

Jede unendliche Menge ist Dedekind-unendlich.“

”

(c)

Jeder unendliche Baum, dessen Knoten nur endlich viele Nachfolger

”

haben, besitzt einen unendlichen Zweig.“

(d)

Jede Menge lässt sich linear ordnen.“

”

(e) Der Satz von Hahn-Banach aus der Funktionalanalysis.

Selbst wenn M eine Menge nichtleerer und paarweise disjunkter Mengen ist,
die alle genau zwei Elemente besitzen, lässt sich die Existenz einer Auswahl-
menge für M in der Regel nicht ohne Verwendung des Auswahlaxioms zeigen.

Russell hat hier bildhaft auf den Unterschied zwischen Socken und Schuhen hin-
gewiesen. Aus einer unendlichen Menge S von Sockenpaaren können wir eine

Auswahlmenge nur mit Hilfe des Auswahlaxioms gewinnen: Wir wählen“ für

”

jedes Sockenpaar S ∈ S ein s ∈ S. Liegt dagegen eine unendliche Menge S
von Schuhen vor, so wird das Auswahlaxiom nicht gebraucht. Die Menge L der
linken Schuhe ist dagegen eine Auswahlmenge für S , die sich durch Vereinigung

und Aussonderung gewinnen lässt: L = {s ∈

S | s ist ein linker Schuh }.

Im Endlichen wird das Auswahlaxiom dagegen nicht benötigt. Man zeigt leicht
durch Induktion nach n ∈ N, dass für eine n-elementige Menge x wie im Aus-
wahlaxiom eine Auswahlmenge y existiert. Das Auswahlaxiom und seine Pro-
blematik gehören damit ganz dem Reich des Unendlichen an.

Den Einsatz des Auswahlaxioms erkennt man in Beweisen sehr leicht an For-
mulierungen wie
für jedes a ∈ A wählen wir ein b ∈ B mit den und jenen

”

Eigenschaften“ oder für jedes a ∈ A sei f ( a) ein b ∈ B mit . . .“. Können wir

”

dagegen Objekte eindeutig definieren und etwa schreiben für jedes a ∈ A sei

”

f ( a) das eindeutig bestimmte b ∈ B mit . . .“, so muss das Auswahlaxiom nicht
herangezogen werden.

Das Auswahlaxiom ist vor allem aufgrund seiner zuweilen als pathologisch“

”

oder
kontraintuitiv“ empfundenen Konsequenzen kritisiert worden. Es führt

”

zum Beispiel zur Existenz einer Wohlordnung auf den reellen Zahlen, und es
produziert Teilmengen von R, die nicht Lebesgue-messbar sind. Ganz allgemein
sind die Konsequenzen des Auswahlaxioms in der Maßtheorie besonders ver-
blüffend (siehe Abschnitt 12.7).

Man weiß durch Arbeiten von Kurt Gödel, dass das Auswahlaxiom nicht
für einen Widerspruch der mengentheoretischen Fundierung verantwortlich sein
kann: Ist ZF widerspruchsfrei, so ist auch ZFC widerspruchsfrei. Wenigstens in
diesem Sinne ist das Auswahlaxiom also über jeden Zweifel erhaben.

314

12 Mengenlehre und Logik

12.6

Das Zornsche Lemma

Das nach dem Mathematiker Max Zorn benannte Zornsche Lemma lautet:

Sei P eine partielle Ordnung derart, dass jede linear geordnete Teil-
menge von P eine obere Schranke besitzt. Dann existiert ein maxi-
males Element von P .

Wir wollen die kompakte Notation dieses Satzes etwas auflösen. Sei hierzu ≤
die auf der Menge P gegebene partielle Ordnung, d. h., ≤ ist reflexiv, antisym-
metrisch und transitiv auf P . Eine Teilmenge A von P heißt linear geordnet,
falls für alle a, b ∈ A gilt, dass a ≤ b oder b ≤ a. Ein s ∈ P heißt obere Schranke
von A, falls A ≤ s gilt, d. h., es gilt a ≤ s für alle a ∈ A. Die Schranke s kann,
muss aber nicht zu A gehören. Schließlich heißt ein z ∈ P maximal in P , falls
es kein x ∈ P gibt mit z < x. Maximal“ bedeutet also nichts liegt darüber“

”

”

und nicht etwa alles liegt darunter“. Wir bemerken schließlich, dass die leere

”

Menge als linear geordnete Teilmenge von P gilt. Nach Voraussetzung existiert
eine obere Schranke s ∈ P von ∅, also ist P automatisch nichtleer.

Allen Anwendungen des Zornschen Lemmas liegt ein gemeinsames Schema
zugrunde. Man möchte zeigen, dass ein Objekt existiert, das in einem gewis-
sen Sinne nicht mehr verbessert werden kann, also optimal oder maximal in
bestimmter Hinsicht ist. Das Zornsche Lemma wird dann zum Beweis der Exis-
tenz eines solchen guten Objekts eingesetzt. Man definiert hierzu eine Menge P
von Approximationen an das gesuchte Objekt. Diese Approximationen ordnet
man partiell durch eine Ordnung, die angibt, wann eine Approximation besser
ist als eine andere. Damit sind die Vorbereitungen zu Ende. Man muss nun nur
noch nachweisen, dass jede linear geordnete Menge von Approximationen eine
gemeinsame Verbesserung zulässt, d. h., dass jedes linear geordnete A ⊆ P eine
obere Schranke in P besitzt. Sobald man dies bewiesen hat, liefert das Zornsche

Lemma ein maximales Element von P .

In Anwendungen ist in den meisten Fällen P ein nichtleeres Mengensys-
tem, das durch die Inklusion ⊆ partiell geordnet wird. Die obere Schranken-

Bedingung ist zudem dadurch gesichert, dass für alle nichtleeren linear geord-

neten Teilsysteme A von P , sogenannte (nichtleere) Ketten, auch s =

A ∈ P
ist. Dann ist nämlich s eine obere Schranke von A. Wir halten also explizit fest:

Sei P = ∅ ein Mengensystem derart, das für alle Ketten A ⊆ P gilt,

dass

A ∈ P . Dann existiert ein maximales Element von P .

Wir besprechen einige Anwendungen. Zuerst zeigen wir den Basiserg¨
anzungs-
satz : Jede linear unabhängige Teilmenge E 0 eines Vektorraumes V lässt sich
zu einer Basis ergänzen, d. h., es existiert eine Basis B von V mit B ⊇ E 0.

Die Approximationen“ sind hier die linear unabhängigen Teilmengen von V ,

”

die E 0 fortsetzen. Ein linear unabhängiges A ⊆ V ist besser“ als ein linear

”

12.7

Paradoxa der Maßtheorie

315
unabhängiges B ⊆ V , falls B ⊂ A gilt. Wir definieren also P = {E ⊆ V |

E ist linear unabhängig und E ⊇ E 0 }. Ist nun A ⊆ P eine Kette, so ist

A
linear unabhängig und eine Obermenge von E 0, also ein Element von P . Nach
dem Zornschen Lemma existiert also ein maximales B ∈ P . Dann ist aber B
eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V und damit eine Basis von

V . Zudem ist B ⊇ E 0.

Weiter zeigen wir den Vergleichbarkeitssatz f¨
ur M¨
achtigkeiten: Für je zwei

Mengen M und N gilt |M | ≤ |N | oder |N | ≤ |M |. Als Menge von Approxima-
tionen verwenden wir P = {f | f : A → B bijektiv , A ⊆ M, B ⊆ N }. Ist A ⊆ P

eine Kette, so ist

A ∈ P . Also existiert ein maximales Element g von P . Dann
gilt aber dom( g) = M oder rng( g) = N , da wir andernfalls g noch fortsetzen
könnten, indem wir ein x ∈ M − dom( g) auf ein y ∈ N − rng( g) abbilden. Im
ersten Fall ist g: M → N injektiv und damit |M | ≤ |N |, und im zweiten Fall ist
g− 1: N → M injektiv, also |N | ≤ |M |.

Hat man diesen Beweistyp einige Male durchgeführt, so wird man schnell

Wendungen der Form eine typische Anwendung des Zornschen Lemmas zeigt

”

. . . “ gebrauchen. Erfahrungsgemäß liegen anfängliche Schwierigkeiten zumeist
auch eher darin, mit den Grundbegriffen der Ordnungstheorie umgehen zu
können. Der Rest ist dann Approximieren und Schrankensuche.

Es bleibt die Frage, wie sich das so vielseitig verwendbare Zornsche Lemma
selbst beweisen lässt. Der Beweis kann nicht völlig elementar sein, denn es gilt:

Das Zornsche Lemma impliziert das Auswahlaxiom. Zum Beweis sei M eine

Menge von nichtleeren paarweise disjunkten Mengen. Wir setzen P = {X | X

ist eine Auswahlmenge für ein N ⊆ M }. Für jede Kette A in P ist

A ∈ P . Also
existiert ein maximales Element Y von P , und Y ist dann eine Auswahlmenge
für M .

Eine sehr anschauliche Beweisidee für das Zornsche Lemma lautet:

Steige

”

die partielle Ordnung so lange hinauf, bis du nicht mehr weiterkommst.“ Zur

Umsetzung dieser Idee müssen allerdings die transfiniten Zahlen verwendet wer-
den, damit der Aufstieg formal befriedigend durchgeführt werden kann (siehe

Abschnitt 12.11). Das Auswahlaxiom wird dann als

Schrittmacher“ benutzt.

”

Ist man bei x ∈ P angekommen, so wählt“ man im Falle der Existenz ein y > x

”

für den nächsten Schritt nach oben.

12.7

Paradoxa der Maßtheorie

Das Auswahlaxiom führt in der Maßtheorie zu bemerkenswerten Phänomenen.

So kann zum Beispiel nicht allen Teilmengen A von R ein σ-additives translati-
onsinvariantes Längenmaß λ( A) zugeordnet werden. Dies zeigt die Konstruktion
von Vitali: Wir definieren für alle x, y ∈ R x ∼ y, falls x−y ∈ Q, und betrachten
ein vollständiges Repräsentantensystem V ⊆ [0 , 1] für die Äquivalenzrelation ∼.

316

12 Mengenlehre und Logik

Zur Gewinnung der Menge V wird das Auswahlaxiom benutzt. Dann hat V
keine σ-additive Länge λ( V ): Annahme doch. Die abzählbar vielen Translatio-
nen V + q = {v + q | v ∈ V }, q ∈ Q, sind eine Zerlegung von R, also hat nach
σ-Additivität ein V + q eine positive Länge η (sonst wäre λ(R) = 0). Nach Trans-
lationsinvarianz gilt dann aber auch λ( V ) = η. Sei nun n so groß, dass n · η > 2,

und seien 0 < q 1 < . . . < qn < 1 rationale Zahlen. Sei W =

V + q

1 ≤i≤n
i.

Dann ist W ⊆ [0 , 2] und λ( W ) = nη > 2 = λ([0 , 2]) ≥ λ( W ), Widerspruch!

Allgemein sind σ-additive Maße, die auf der ganzen Potenzmenge einer
überabzählbaren Menge definiert sind, schwer zu haben, auch ohne zusätzliche

Symmetrieforderungen wie die Translationsinvarianz. Die Maßtheorie begnügt
sich deswegen mit der Konstruktion von Maßen auf hinreichend großen Teil-
systemen der Potenzmenge, sogenannten σ-Algebren. Dies ist für viele Anwen-
dungen zwar ausreichend, aber zurück bleibt eine Verunsicherung, die durch die
folgenden, weitaus dramatischeren Resultate noch verstärkt wird.

Wir brauchen folgenden allgemeinen Begriff der Zerlegungsgleichheit. Sei hier-
zu M eine Menge, und sei G eine Gruppe von Bijektionen auf M . Dann heißen
zwei Teilmengen A und B von M zerlegungsgleich oder st¨
uckweise kongruent
bzgl. G, falls es A 1 , . . . , An ⊆ A, B 1 , . . . , Bn ⊆ B sowie g 1 , . . . , gn ∈ G gibt mit den Eigenschaften:

(a) Ai ∩ Aj = Bi ∩ Bj = ∅ für alle 1 ≤ i < j ≤ n,

(b)

A

B

1 ≤i≤n
i = A,

1 ≤i≤n
i = B,

(c) gi[ Ai] = Bi für alle 1 ≤ i ≤ n.

Sind A und B zerlegungsgleich bzgl. G, so schreiben wir A ∼G B. In der Tat ist
die Zerlegungsgleichheit eine Äquivalenzrelation auf der Potenzmenge von M .

Ist z. B. G die Gruppe aller Translationen auf R, so sind die Mengen A =

[0 , 1] ∪ [2 , 4] ∪ { 6 }, und B = [3 , − 1] ∪ { 0 } ∪ [1 , 2] zerlegungsgleich. Denn seien A 1 = [0 , 1], A 2 = [2 , 4], A 3 = { 6 }, B 1 = [1 , 2], B 2 = [3 , − 1], B 3 = { 0 }. Dann sind g 1 = tr1, g 2 = tr − 5 und g 3 = tr − 6 wie gewünscht, wobei für alle a ∈ R die

Translation tr a um a definiert ist durch tr a( x) = x + a für alle x ∈ R.

Wir nennen nun ein nichtleeres A ⊆ M paradox bzgl. G, falls es eine Zerlegung
von A in disjunkte Mengen B und C gibt mit A ∼G B ∼G C. Die Mengen

B und C heißen dann eine paradoxe Zerlegung von A bzgl. G. Die Menge A
zerfällt in diesem Fall also in zwei zerlegungsgleiche Teile B und C und ist
selbst zerlegungsgleich zu jedem dieser Teile.

Damit können wir nun die maßtheoretischen Paradoxa von Hausdorff und

Banach-Tarski formulieren. Das Hausdorff-Paradoxon lautet:

Sei S 2 = {x ∈ R3 | d( x, 0) = 1 } die Oberfläche der Einheitskugel im

R3 . Dann ist S 2 paradox bzgl. der Gruppe SO3 aller Rotationen im

R3 um eine Achse durch den Nullpunkt.

Die Sphäre S 2 zerfällt also in Teile A und B derart, dass S 2, A, B durch

Rotationen zur Deckung gebracht werden können. Es folgt, dass es keinen rota-
tionsinvarianten endlich-additiven Inhalt geben kann, der auf allen Teilmengen

12.8

Berechenbare Funktionen

317
von S 2 definiert ist. Im Gegensatz dazu gibt es nach einem Satz von Banach
einen isometrieinvarianten Inhalt, der auf allen Teilmengen A von R2 definiert
ist. Folglich gilt ein Analogon zum Hausdorff-Paradoxon nicht für die Ebene.

Die Ursache für dieses Dimensionsphänomen sind kombinatorische Gruppen,
die sich in der Rotationsgruppe SO3 finden, aber nicht in der Isometriegruppe

I 2 der Ebene.

Das Banach-Tarski-Paradoxon baut auf dem Hausdorff-Paradoxon auf. Die
verwendete Gruppe ist hier die Gruppe I + aller orientierungserhaltenden Iso-

3
metrien im R3. Diese Gruppe wird von allen Translationen und Rotationen
im R3 erzeugt, und darüber hinaus lässt sich sogar jedes Element der Gruppe
schreiben als eine Rotation um eine Achse, gefolgt von einer Translation um
einen zu dieser Achse parallelen Vektor. In seiner irritierend allgemeinen Form
lautet das Banach-Tarski-Paradoxon nun:

Seien A und B beschr¨
ankte Teilmengen des R3 mit nichtleerem In-
neren, d. h., es gebe x 1 , x 2 ∈ R3 und ε 1 , ε 2 > 0 mit Uε ( x

1

1) ⊆ A und

Uε ( x

. Folglich ist

2

2) ⊆ B. Dann gilt A ∼ B bzgl. der Gruppe I +

3
jede beschr¨
ankte Teilmenge des R3 mit nichtleerem Inneren paradox
bzgl. I + .

3

Nach dem Banach-Tarski-Paradoxon sind zum Beispiel eine Erbse und die

Sonne zerlegungsgleich. Wir können die Erbse in endlich viele Teile zerlegen und
diese Teile durch Anwendungen von Rotationen und Translationen zur Sonne
zusammensetzen. Die regelmäßige Form der Sonne ist nicht entscheidend: Wir
können die Erbse analog auch zum Asteroidengürtel zusammensetzen, der auch
noch beliebig viel Feinstaub enthalten darf. Eine andere Zerlegung der Erbse
liefert alle Galaxien unseres Universums . . .

Alle diese Zerlegungen der Erbse können nicht messbar für ein isometrieinvari-
antes Volumenmaß sein, und nur unter Messbarkeits-Voraussetzungen wäre das

Ergebnis wirklich paradox. In jedem Falle ist das Resultat aber verblüffend. Es
erlaubt uns einen Einblick in die geheimnisvolle Welt der irregulären Teilmengen
des dreidimensionalen Raumes.

12.8

Berechenbare Funktionen

Während der Begriff Algorithmus selbst schwer präzise zu fassen ist, ist es Alan

Turing und anderen bereits in den 1930er Jahren gelungen, den Begriff der

(algorithmisch) berechenbaren Funktion genau zu definieren. In der Folge wur-
den dann eine Vielzahl von unterschiedlichen Definitionen gegeben, die sich alle
äquivalent erwiesen. Wir stellen hier die klassische sog. Turing-Berechenbarkeit
vor, die sich anhand eines einfachen Maschinen-Modells besonders gut illustrie-
ren lässt.

318

12 Mengenlehre und Logik

Eine Turing-Maschine besteht aus einem zweiseitig unendlichen Band von

Zellen, die entweder mit 0 ( leer“) oder mit 1 ( voll“) beschriftet sind. Weiter

”

”

besitzt eine Turing-Maschine einen beweglichen Lese- und Schreibkopf, der sich
immer über einer bestimmten Zelle befindet.

Lese- und Schreibkopf

. . .

. . .

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

0

1

Ein Turing-Programm ist ein P : ( Q−{q 0 }) ×{ 0 , 1 } → Q×{ 0 , 1 }×{
, r}, wobei

Q = {q 0 , . . . , qn}, n ≥ 1, eine endliche Menge von paarweise verschiedenen sog.

Zust¨
anden ist. Speziell heißt q 0 der Haltezustand und q 1 der Startzustand.

Eine Turing-Maschine arbeitet unter einem Turing-Programm P wie folgt.

Unsere Inputs“ sind Tupel natürlicher Zahlen beliebiger Länge. Für einen Input

”

( n 1 , . . . , nk) ∈ N k beschriften wir das Band mit

. . . 01 n 1+101 n 2+10 . . . 01 nk+10 . . . ,
wobei 1 m eine Folge von m aufeinanderfolgenden Einsen bedeutet. Dem Input

(2 , 0 , 1) entspricht also z. B. das Band . . . 0111010110 . . . Der Kopf befindet sich
zu Beginn über der ersten 1 des Bandes, und die Maschine selbst befindet sich
im Startzustand q 1. Nun wird folgende Anweisung iteriert:

Aktion einer Turing-Maschine im Zustand q unter dem Programm P : Ist
q = q 0, so stoppt die Maschine. Andernfalls liest der Kopf den Inhalt c der Zelle
unter dem Kopf. Sei P ( q, c) = ( p, b, d). Dann:

1. begibt sich die Maschine in den Zustand p,

2. löscht der Kopf die gelesene Zelle und beschriftet sie mit b,

3. bewegt sich der Kopf um eine Zelle nach links, falls d =
, und um eine

Zelle nach rechts, falls d = r gilt.

Wird der Haltezustand erreicht, so nennen wir die Anzahl der Einsen, die sich
am Ende auf dem Band befinden, das Ergebnis der Berechnung und bezeich-
nen es mit P ( n 1 , . . . , nk). Wir sagen dann, dass das Programm P bei Input

( n 1 , . . . , nk) konvergiert oder terminiert. Wird der Haltezustand nicht erreicht,
so sagen wir, dass das Programm P bei Input ( n 1 , . . . , nk) divergiert.

Eine Funktion f : A → N mit A ⊆ N k heißt (Turing-) berechenbar, falls es ein

Turing-Programm P gibt, so dass für alle ( n 1 , . . . , nk) ∈ N k gilt:

(i) ( n 1 , . . . , nk) ∈ A genau dann, wenn P bei Input ( n 1 , . . . , nk) termi-
niert,

(ii) f ( n 1 , . . . , nk) = P ( n 1 , . . . , nk) für alle ( n 1 , . . . , nk) ∈ A.

Wir geben zur Illustration ein einfaches Turing-Programm konkret an. Es
zeigt, dass die Addition f : N2 → N mit f ( n, m) = n + m Turing-berechenbar
ist. Das Verlaufsprotokoll rechts unten zeigt die Arbeitsweise des Programms.

12.8

Berechenbare Funktionen

319

Der Input ist (2 , 4), was der Beschriftung
q1

0

→
q2

1
r

. . . 01110111110 . . . entspricht. Das

X“ deu-
q1

1

→
q1

1
r

”

q2

0

→
q3

0
l
tet die Position des Kopfes an und rechts ist
q2

1

→
q2

1
r
jeweils der aktuelle Zustand notiert. Am Ende
q3

1

→
q4

0
l
bleiben 6 Einsen, wie es sein soll.

q4

1

→
q5

0
l

Der Umfang der Turing-Berechenbarkeit ist
q5

1

→
q0

0
l
enorm: Jede Funktion f : A → N, die mit Hilfe
einer modernen Programmiersprache berechnet werden kann, ist, wie man zeigen
kann, Turing-berechenbar!

X

Mit Hilfe von Turing-Maschinen können

…0001110111110000…

q1

X
wir auch die Grenzen der Berechenbarkeit

…0001110111110000…

q1

X
aufzeigen. Ein Biber der Gewichtsklasse n

…0001110111110000…

q1

X
ist ein Turing-Programm mit den Zuständen

…0001110111110000…

q1

X
q 0 , . . . , qn+1, welches bei Eingabe des leeren

…0001111111110000…

q2

X

Bandes terminiert. Der Fleiß eines Bibers ist

…0001111111110000…

q2

X
das Ergebnis der Berechnung bei Eingabe des

…0001111111110000…

q2

X
leeren Bandes. Ein Biber P heißt ein Gewin-

…0001111111110000…

q2

X
ner seiner Klasse, falls kein Biber derselben

…0001111111110000…

q2

X

Klasse fleißiger ist als P . Für alle n ∈ N de-

…0001111111110000…

q2

X
finieren wir Σ( n) =
der Fleiß eines Gewin-

…0001111111110000…

q3

”

X
ners der Gewichtsklasse n“. Die Zahl Σ( n)

…0001111111100000…

q4

X
ist also die größtmögliche Anzahl an Einsen,

…0001111111000000…

q5

X
die eine Turing-Maschine mit den Zuständen

…0001111110000000…

q0
q 0 , . . . , qn+1 auf ein leeres Band schreiben
kann.

Die Funktion Σ wächst enorm. Der links
q1

0
q2

1
l
wiedergegebene Biber der Gewichtsklasse 4
q1

1
q1

1
l
wurde von H. Marxen und J. Buntrock ge-
q2

0
q3

1
r
q2

1
q2

1
r
funden. Er terminiert mit 4098 Einsen nach
q3

0
q1

1
l
über 10 Millionen Schritten. Biber der Klas-
q3

1
q4

1
r
se 5 können über 10100 Einsen schreiben, be-
q4

0
q1

1
l
vor sie terminieren.

q4

1
q5

1
r

Man
kann
zeigen,
dass
die

Biber-
q5

0
q0

1
r

Funktion Σ nicht berechenbar ist. Viele ande-
q5

1
q3

0
r
re Beispiele und allgemeine theoretische Er-
gebnisse zeigen: Zwischen Berechenbarkeit und Definierbarkeit liegen Welten,
ebenso wie zwischen Definierbarkeit und abstrakter Existenz.

320

12 Mengenlehre und Logik

12.9

Formale Beweise und Modelle

Beweise werden in der Mathematik in einer nicht genau spezifizierten Form der

Umgangssprache geführt. Je nach Kommunikationsebene wird dabei ein unter-
schiedliches Maß an Ausführlichkeit, Genauigkeit und Bildhaftigkeit verwendet.

In jedem Falle aber wird inhaltlich argumentiert.

Dem semantischen Argumentieren steht der formale Beweisbegriff gegenüber,
der das mathematische Beweisen als ein Operieren mit Zeichenketten auffasst,
die nach den strengen syntaktischen Regeln eines sog. Kalküls umgeformt wer-
den. Statt von formalen Beweisen spricht man auch von Herleitungen.

Wir wollen hier das von Gerhard Gentzen entwickelte nat¨
urliche Schließen
vorstellen, das zwar ein formaler Kalkül ist, sich aber doch wie ein bis ins Detail
aufgelöstes mathematisches Argumentieren anfühlt und dadurch seine Bezeich-
nung natürlich“ rechtfertigt. Herleitungen haben hier die Form von Bäumen,

”

an deren Wurzel die bewiesene Aussage steht und an deren Blättern sich die

Annahmen befinden, die man bei der Beweisführung getätigt hat. Der Baum
selbst wird durch das Anwenden von Schlussregeln gebildet.

Die wichtigste Schlussregel ist der modus ponens oder die Pfeil-Beseitigung:

Haben wir A → B und A bewiesen, so haben wir auch B bewiesen.

…

…

A → B

A

B

Das Diagramm oben zeigt die entsprechende Beweisfigur in unserem Baum-
kalkül. Die Punkte stehen dabei für Bäume mit Wurzel A → B bzw. A, und
der Strich für das Anwenden der Schlussregel. Es entsteht ein neuer Baum, an
dessen Wurzel die Aussage B steht.

Ein ebenso wichtiges Element unseres Baumkalküls ist das sog. Abbinden von

Annahmen oder die Pfeil-Einf¨
uhrung.

…

B

A

→ B

Haben wir B mit Hilfe einer Annahme A bewiesen, so haben wir A → B be-
wiesen, ohne dass wir dazu dann noch A annehmen müssten. Dies ist wichtig, da
wir ja unsere Ergebnisse mit möglichst wenigen Annahmen beweisen möchten.

Das Diagramm rechts zeigt diesen Vorgang wieder als Figur. Beim Übergang zu

A → B werden alle Blätter des darüberliegenden Baumes, an denen A steht, als
gebunden“ markiert. Liegt ein Beweisbaum vor, dessen Blätter alle gebunden

”

sind, so hängt die bewiesene Aussage von keiner Annahme mehr ab.

Mit diesen beiden Schlussregeln leiten wir nun zur Illustration die Rückrich-
tung des Kontrapositionsgesetzes her, also die Aussage ( ¬B → ¬A) → ( A → B).

Da wir möglichst viele Implikationen zur Verfügung haben möchten, führen wir

12.9

Formale Beweise und Modelle

321
ein spezielles Aussagensymbol ein, das sog. Falsum ⊥. Die Negation ¬A einer

Aussage ist dann gleichwertig mit A → ⊥. Die zu beweisende Aussage lautet
nun also (( B → ⊥) → ( A → ⊥)) → ( A → B). Eine nach den Regeln unseres

Kalküls gebildete Herleitung dieser Aussage ist der folgende Baum:

➀

➁

(B → ⊥) → (A → ⊥)

B → ⊥

➂

A → ⊥

A

⊥

(Abbinden von Annahme ➁)

➃ ((B→⊥)→⊥)→B

(B → ⊥) → ⊥

B

(Abbinden von Annahme ➂)

A → B

(Abbinden von Annahme ➀)

((B → ⊥) → (A → ⊥)) → (A → B)

Dieser Beweisbaum hat vier Blätter, nämlich die mit den Ziffern 1 bis 4 be-
zeichneten Aussagen. Jeder Schluss ist entweder eine Pfeileinführung oder eine

Pfeilbeseitigung. Die Pfeileinführungen zeigen, dass die an der Wurzel bewiese-
ne Aussage nicht mehr von den Annahmen 1 bis 3 abhängt, denn diese sind alle
mit gebunden“ markiert. Sie hängt nur noch von der nichtgebundenen vierten

”

Annahme ab, also von ¬ ¬ B → B. Diese Aussage ist innerhalb der klassi-
schen Logik aber ein Axiom (Streichen einer doppelten Negation). Damit ist
die Rückrichtung des Kontrapositionsgesetzes im Rahmen der klassischen Logik
bewiesen. Es gibt, wie man zeigen kann, keinen Beweis, der auf das Streichen
einer doppelten Negation verzichten könnte. Damit beleuchtet der Kalkül das

Kontrapositionsgesetz auf eine neue Art und Weise.

Neben der Pfeil-Beseitigung und Pfeil-Einführung hat der Kalkül des
natürlichen Schließens noch weitere Einführungs- und Beseitigungsregeln für
die anderen Junktoren und für die Quantoren, auf die wir hier nicht weiter
eingehen können. Insgesamt ergibt sich ein korrekter und vollst¨
andiger Kalkül.

Diese beiden Begriffe wollen wir nun noch erläutern.

Hierzu brauchen wir den Begriff der G¨
ultigkeit (oder Wahrheit) einer formal
notierten Aussage A in einer Struktur oder einem Modell M . Wir begnügen uns
mit einer anschaulichen Erläuterung dieses Begriffs. Als Beispiel für eine Aussage

A betrachten wir das formal notierte Kommutativgesetz für ein zweistelliges

Funktionssymbol ◦:

A = ∀x ∀y ( x ◦ y = y ◦ x)“.

”

Ist M eine nichtleere Menge und ist ◦M : M 2 → M eine zweistellige Operation,
so sagen wir, dass A in M gilt oder A in M wahr ist oder M ein Modell von A
ist, falls A gelesen über M zutrifft, d. h., für alle x, y ∈ M gilt x ◦M y = y ◦M x.

Die Modelle von A sind also einfach die mit einer kommutativen Operation
ausgestatteten Mengen.

Der Leser wird sich selbst leicht weitere Beispiel für die Gültigkeit von Aus-
sagen in Modellen zurechtlegen können. So gilt ∀x ∃y ( y < x) in (Z , < Z), nicht

322

12 Mengenlehre und Logik
aber in (N , < N). Die Aussage ∀x ∃y ( y · y · y = x) gilt in (R , · R), aber nicht in

(Q , · Q).

Ist Σ eine Menge von Aussagen, so sagen wir, dass M ein Modell von Σ ist,
falls jedes A von Σ in M gilt. Besteht zum Beispiel Σ aus den Gruppenaxiomen,
so sind die Modelle von Σ genau die Gruppen. Und die Modelle von Σ, in denen
die Aussage ∀x ∀y ( x ◦ y = y ◦ x) gilt, sind genau die kommutativen Gruppen.

Ist Σ eine Menge von Aussagen, so sagen wir, dass sich eine Aussage A aus

Σ herleiten oder in Σ formal beweisen lässt, falls es einen Beweisbaum mit

Wurzel A gibt, dessen nichtgebundene Annahmen alle zu Σ gehören oder logische

Axiome sind (etwa der Form ¬¬B → B).

Wir können nun die Korrektheit und Vollständigkeit unseres Kalküls formu-
lieren. Relativ einfach zu zeigen ist der folgende Korrektheitssatz , der besagt,
dass die Schlussregeln des Kalküls semantisch korrekt“ sind:

”

Sei A eine Aussage, die sich aus einer Menge Σ von Aussagen her-
leiten l¨
asst. Dann gilt die Aussage A in jedem Modell von Σ .

Wir können also mit unserem Kalkül keinen Unfug herleiten.

Die Umkehrung des Korrektheitssatzes ist als G¨
odelscher Vollst¨
andigkeitssatz
bekannt. Er ist wesentlich schwieriger zu beweisen und gilt als einer der Eck-
pfeiler der mathematischen Logik:

Sei Σ eine Menge von Aussagen, und sei A eine Aussage, die in
jedem Modell von Σ gilt. Dann l¨
asst sich A aus Σ herleiten.

Unser Kalkül ist also vollständig in dem Sinne, dass er das semantische Argu-
mentieren restlos einfängt: Ein üblicher mathematischer Beweis einer Aussage

A, der sich auf eine Menge Σ von Voraussetzungen stützt, zeigt durch semanti-
sche Argumentation, dass A in jedem Modell von Σ gilt. Wenn wir zeigen wollen,
dass A aus den Gruppenaxiomen Σ folgt, so beginnen wir unseren Beweis mit
dem Satz Sei G eine beliebige Gruppe“ und beweisen, dass die Aussage A in G

”

gilt. Damit haben wir gezeigt, dass A in jeder Gruppe gilt, also in jedem Modell
von Σ. Nach dem Gödelschen Vollständigkeitssatz existiert dann ein Beweis-
baum (ein syntaktisches Objekt) mit Wurzel A und ungebundenen Annahmen,
die zu Σ gehören oder logische Axiome darstellen. Jedem informalen Beweis der

Mathematik entspricht in dieser Weise ein formaler Beweis, der sich aufgrund
seiner syntaktischen Natur mechanisch auf seine Richtigkeit überprüfen lässt.

Man kann also den Gödelschen Vollständigkeitssatz so lesen, dass er den tieferen

Grund ans Licht bringt, warum in der Mathematik allenfalls über Annahmen,
niemals aber über Argumentationen gestritten wird.

12.10

Die Gödelschen Unvollständigkeitssätze

323

12.10

Die G¨
odelschen Unvollst¨
andigkeitss¨
atze

Die Gödelschen Unvollständigkeitssätze zählen zu den tiefsten Einblicken in die

Möglichkeiten und Grenzen einer axiomatisch begründeten Mathematik. Zu ih-
rer Motivation und exakten Formulierung schicken wir einige Begriffe voraus.

Ein Axiomensystem Σ ist ein System von Aussagen in einer bestimmten Spra-
che derart, dass wir von jeder Aussage der Sprache entscheiden können, ob sie
zu dem System gehört oder nicht. Beispiele sind die Axiomatik ZFC der ∈-

Sprache, die zahlentheoretische Peano-Axiomatik PA der Sprache + , ·, S, 0, so-
wie die Gruppenaxiome der Sprache ◦. Zwei klassische Forderungen, die man an
ein Axiomensystem stellt, sind seine Vollständigkeit und seine Widerspruchs-
freiheit.

Die Vollst¨
andigkeit eines Axiomensystems Σ bedeutet, dass sich für jede Aus-
sage A der Sprache der Axiomatik A oder ¬ A mit Hilfe von Σ beweisen lässt.

Das System Σ lässt sich dann nicht mehr substantiell verstärken, es entscheidet
alle Aussagen seiner Sprache. Diese Vollständigkeit wird nur dann angestrebt,
wenn man ein intendiertes Modell vor Augen hat, das man axiomatisch beschrei-
ben möchte. So soll PA vollständig sein, da das als eindeutig empfundene Modell

0, 1, 2, 3, . . . axiomatisch eingefangen“ werden soll. Die Axiome der Gruppen-

”

theorie wollen dagegen gar nicht vollständig sein. Es geht hier darum, einen Satz
von Struktureigenschaften zu bündeln und zu analysieren, der in verschiedenen
mathematischen Kontexten auftritt.

Die Widerspruchsfreiheit oder Konsistenz einer Axiomatik Σ bedeutet, dass
die Aussage ∃x ( x = x) mit Hilfe von Σ nicht bewiesen werden kann. Die Wider-
spruchsfreiheit ist offenbar für jede Axiomatik von Interesse. Ist eine Axiomatik

Σ widerspruchsfrei und vollständig, so ist für alle Aussagen A entweder A oder

¬ A beweisbar. Für grundlagentheoretische Systeme wäre dies der Idealfall.

Die beiden Gödelschen Unvollständigkeitssätze betreffen die Vollständigkeit
und die Widerspruchsfreiheit von fundamentstiftenden Systemen wie PA oder

ZFC. Der erste G¨
odelsche Unvollst¨
andigkeitssatz lautet:

Die Axiomensysteme PA und ZFC sind, wenn sie widerspruchsfrei
sind, unvollst¨
andig: Ist PA widerspruchsfrei, so gibt es eine Aussa-
ge A derart, dass weder A noch ¬A mit Hilfe von PA beweisbar ist.

Analoges gilt f¨
ur ZFC.

Allgemeiner gilt: Ist Σ ein widerspruchsfreies Axiomensystem, das ein ge-
wisses Maß an arithmetischer Argumentation zulässt, so ist Σ unvollständig.

Damit sind insbesondere auch alle widerspruchsfreien axiomatischen Erweite-
rungen von PA und ZFC unvollständig.

Die Idee des Beweises ist, das formale Beweisen innerhalb der betrachteten

Axiomatik Σ nachzubauen. Eine Axiomatik, die ein gewisses Maß an Arithmetik
zulässt, kann über Aussagen, Axiomensysteme, formale Beweise usw. reden. Am

Beispiel der Zahlentheorie geschieht dies vereinfacht geschildert wie folgt: PA

324

12 Mengenlehre und Logik
spricht zunächst nur über natürliche Zahlen. Durch eine geeignete Kodierung
kann PA aber auch über endliche Folgen natürlicher Zahlen sprechen, damit
dann über endliche Zeichenketten, und damit dann über Axiomensysteme und
formale Beweise. Mit Hilfe einer diagonalen Konstruktion lässt sich nun eine

Aussage A angeben, die besagt: Ich bin nicht beweisbar.“ Diese Aussage erweist

”

sich dann als weder beweisbar noch widerlegbar, es sei denn, das betrachtete

System PA ist widerspruchsvoll.

Der zweite G¨
odelsche Unvollst¨
andigkeitssatz gibt eine unbeweisbare Aussage
an, die eine konkretere Bedeutung hat als die selbstbezügliche Aussage Ich bin

”

nicht beweisbar“:

Die Axiomensysteme PA und ZFC k¨
onnen, wenn sie widerspruchs-
frei sind, ihre eigene Widerspruchsfreiheit nicht beweisen: Ist

Con(PA) die formalisierte Aussage

Es gibt keinen Beweis in PA

”

von ∃x ( x = x) “, so ist Con(PA) nicht in PA beweisbar (es sei
denn, PA ist widerspruchsvoll). Das Gleiche gilt wieder f¨
ur ZFC
und axiomatische Verst¨
arkungen von PA und ZFC.

Um die Widerspruchsfreiheit von PA zu beweisen, muss man also mit einem
substantiell stärkeren Axiomensystem arbeiten. In der Axiomatik ZFC kann
man in der Tat die Widerspruchsfreiheit von PA relativ einfach zeigen, indem
man ein Modell der Peano-Arithmetik angibt: Die mengentheoretische Kon-
struktion von N zeigt, dass ZFC die Widerspruchsfreiheit von PA beweisen kann.

Andererseits kann man, wenn ZFC widerspruchsfrei ist, in ZFC kein Modell von

ZFC konstruieren. Man kennt mittlerweile aber viele mathematisch interessante

Erweiterungen von ZFC, die die Widerspruchsfreiheit von ZFC beweisen.

Die Gödelschen Unvollständigkeitssätze beendeten das sog. Hilbertsche Pro-
gramm. Nach dem Aufkommen der mengentheoretischen Paradoxien wollte Hil-
bert die Mathematik mit finitären Methoden als widerspruchsfrei nachweisen.

Prinzipiell konnte man hoffen, formalisierte Systeme wie PA und ZFC kombi-
natorisch auf ihre Konsistenz untersuchen zu können. Gödel zeigte, dass das

Programm zum Scheitern verurteilt war. Wir müssen mit der prinzipiellen

Möglichkeit eines Widerspruchs in starken grundlagentheoretischen Theorien
leben. Ob diese Gefahr nur theoretisch oder mit einem

Wohnen unter einem

”

Vulkan“ zu vergleichen ist, lässt sich kaum beurteilen. 100 Jahre der Untersu-
chung von ZFC haben jedenfalls keinen Widerspruch ans Licht gebracht, und
die Widerspruchsfreiheit der Peano-Arithmetik wird heute nur von sehr wenigen

Mathematikern bezweifelt.

Im Laufe der Zeit wurden weitere Belege der Unvollständigkeit von PA und

ZFC gefunden. Für die PA fanden Paris und Harrington eine in ZFC beweis-
bare Aussage mit einer greifbaren mathematischen Bedeutung, die in PA nicht
beweisbar ist. Für ZFC selbst liefert die Cantorsche Kontinuumshypothese ein

Beispiel für eine Aussage, die unter der Voraussetzung der Widerspruchsfreiheit
von ZFC weder beweisbar noch widerlegbar ist (siehe Abschnitt 12.12).

12.11

Transfinite Zahlen

325

12.11

Transfinite Zahlen

Eine lineare Ordnung auf einer Menge M heißt eine Wohlordnung, falls jede
nichtleere Teilmenge von M ein kleinstes Element besitzt. Beispiele für Wohl-
ordnungen sind, mit k ∈ N beliebig:

0 , 1 , . . . , k − 1 (Länge k)

0 , 1 , 2 , . . . (Länge ω)

1 , 2 , 3 , . . . , 0 (Länge ω + 1)

k, k + 1 , k + 2 , . . . , 0 , 1 , 2 , . . . , k − 1 (Länge ω + k)

0 , 2 , 4 , 6 , 8 , . . . , 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , . . . (Länge ω + ω = ω · 2) 0 , 3 , 6 , 9 , 12 , . . . , 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , . . . , 2 , 5 , 8 , 11 , 14 , . . . (Länge ω · 3) ω ist hier nur ein Zeichen, das an das Unendlichkeitssymbol ∞ erinnert, und
wir verwenden arithmetische Notationen zur Bezeichnung der Länge“ der an-

”

gegebenen Wohlordnungen.

Ordnen wir die natürlichen Zahlen in einem quadratischen Schema wie rechts
an, so gewinnen wir, Zeile für Zeile lesend, die Wohlordnung

0 , 2 , 5 , 9 , . . . , 1 , 4 , 8 , . . . , 3 , 7 , . . . , 6 , 11 , . . . , 10 , . . .

der Länge ω · ω = ω 2.

Ähnlich erhält man Wohlordnungen der Länge ω 3 , ω 4 , . . . , ωω, . . . .

Zur genaueren Untersuchung des Wohlordnungsbegriffs betrachten wir struk-
turerhaltende Abbildungen. Seien M und N Wohlordnungen. M und N heißen
gleichlang, wenn es einen Ordnungsisomorphismus zwischen ihnen gibt (siehe

Abschnitt 1.12). M heißt k¨
urzer als N , falls es ein x ∈ N gibt derart, dass M
und das Anfangsstück Nx = {y ∈ N | y < x} von N gleichlang sind. Man kann
nun zeigen: Je zwei Wohlordnungen sind gleichlang, oder die eine ist kürzer als
die andere. Dies motiviert folgende Abstraktion: Jeder Wohlordnung M ordnen
wir ein Zeichen α zu, das wir den Ordnungstyp oder die L¨
ange von M nennen.

Dies geschieht derart, dass gleichlange Wohlordnungen und nur diese das gleiche

Zeichen erhalten. Jedes solche Zeichen α heißt dann auch eine Ordinalzahl . Ist α
der Ordnungstyp einer Wohlordnung auf einer unendlichen Menge M , so heißt
α eine transfinite Zahl.

Die Ordinalzahlen sind selbst in natürlicher Weise wohlgeordnet. Die ersten

Ordinalzahlen lauten, bei arithmetischer Zeichenvergabe:

0 , 1 , 2 , 3 , . . . , ω, ω + 1 , ω + 2 , . . . , ω · 2 , . . . , ω · 3 , . . . , ω 2 , . . . , ωω, . . . , ωωω , . . .

Jede Ordinalzahl α hat einen eindeutigen Nachfolger α + 1. Im Gegensatz
zu den natürlichen Zahlen haben manche Ordinalzahlen ungleich 0 aber keinen
direkten Vorgänger mehr, etwa ω, ω · 2, ω 2. Diese Zahlen heißen Limesordinal-
zahlen, Zahlen mit einem direktem Vorgänger dagegen Nachfolgerordinalzahlen.

326

12 Mengenlehre und Logik

Wohlordnungen gibt es aber nun in so reichhaltiger Weise, dass arithmetische

Bezeichnungen nicht ausreichen. Wie die Ordinalzahlen allgemein und rigoros
definiert werden können, ist (wie die Definition der Mächtigkeit einer Menge)

eine nichttriviale Angelegenheit. Man isoliert hierzu eine Klasse von kanonischen

Wohlordnungen, die die Aufgabe der Zeichenzuordnung übernehmen können.

Eine Definition, die dies leistet, ist erst 1923 von John von Neumann gefunden
worden, als die Ordinalzahlen in informaler Gestalt schon einige Jahrzehnte in

Gebrauch waren. Eine Menge α heißt (von Neumannsche) Ordinalzahl, falls gilt:

(i) α ist ∈-transitiv, d. h., für alle β ∈ α und alle γ ∈ β gilt γ ∈ α,

(ii) die ∈-Relation ist eine Wohlordnung auf α.

Die Mengen 0 = ∅, 1 = { 0 }, 2 = { 0 , 1 }, . . . , n = { 0 , . . . , n − 1 } erfüllen die Eigenschaften (i) und (ii) und können als natürliche Zahlen dienen. Damit liefert
die Definition auch gleich eine Definition von ω = N = { 0 , 1 , 2 , . . .}. Die Menge
ω ist selbst wieder eine von Neumannsche Ordinalzahl und zudem die erste

Limesordinalzahl. Der direkte Nachfolger von ω ist ω ∪ {ω}. Allgemein ist für
alle α die Menge α + 1 = α ∪ {α} der direkte Nachfolger von α.

Es lässt sich zeigen, dass es für jede Wohlordnung M eine eindeutig bestimmte
von Neumannsche Ordinalzahl α gibt, so dass M und α gleichlang sind. Dieses
α wird nun als der Ordnungstyp oder die Länge von M definiert. Damit sind
die Ordinalzahlen in rigoroser Weise eingeführt. Man kann zeigen, dass die Zu-
sammenfassung {α | α ist Ordinalzahl } ähnlich wie die Russell-Komprehension
keine Menge mehr bildet (siehe Abschnitt 12.3).

Ordinalzahlen lassen sich addieren und multiplizieren, und man kann auch
eine Exponentiation auf ihnen einführen. Neben dem Vorhandensein arithme-
tischer Operationen gibt es noch eine andere entscheidende Eigenschaft, die
es rechtfertigt, die Ordinalzahlen als Fortsetzung der natürlichen Zahlen zu
betrachten: Die Methoden der Induktion und Rekursion lassen sich von den
natürlichen Zahlen auf die Ordinalzahlen erweitern. Man spricht dann von trans-
finiter Induktion und transfiniter Rekursion. Ein wichtiges Beispiel für eine
transfinite Rekursion ist die sog. von Neumannsche Hierarchie. Hier definieren
wir durch Rekursion entlang der Ordinalzahlen:

V 0 = ∅, Vα+1 = P( Vα) für alle Ordinalzahlen α,

Vλ =

V
α<λ
α für alle Limesordinalzahlen λ.

Man kann mit Hilfe des Fundierungsaxioms zeigen, dass jede Menge ein Element
einer dieser Stufen Vα ist. Damit beschreibt die Vα-Hierarchie das intendierte

”

Modell“ der Theorie ZFC: Der Bereich aller Mengen wird ausgeschöpft, wenn
wir startend mit der leeren Menge entlang der Ordinalzahlen die Potenzmen-
genoperation iterieren. Alles entsteht aus dem Nichts.

12.12

Die Kontinuumshypothese

327

12.12

Die Kontinuumshypothese

Die reellen Zahlen R sind überabzählbar, sie haben eine größere Mächtigkeit
als die natürlichen Zahlen N. Wie groß ist die Mächtigkeit von R genau? Zur

Präzisierung dieser Frage ist es nicht notwendig, einen allgemeinen Kardinal-
zahlbegriff einzuführen, der gleichmächtigen Mengen und nur diesen dieselbe

Kardinalzahl zuordnet. Wer über die Mächtigkeit von R nachdenkt, kann, wie

Cantor 1878, auf folgende Kontinuumshypothese stoßen:

Sei A ⊆ R überabzählbar. Dann gilt |A| = | R |.

Eine äquivalente Version lautet:

Gilt | N | ≤ |M| und |M | ≤ | R | für ein M, so ist | N | = |M | oder

| R | = |M|.

In dieser Form besagt die Hypothese einfach, dass es keine Mächtigkeit gibt, die
echt zwischen den Mächtigkeiten von N und R liegt.

Die erste durch N repräsentierte Unendlichkeitsstufe wird mit ℵ 0 [lies:

Aleph 0] bezeichnet. Man kann nun zeigen, dass es eine kleinste Unendlichkeits-
stufe ℵ 1 [lies: Aleph 1] gibt, die größer ist als ℵ 0: Es gibt eine überabzählbare

Menge M , so dass für jede überabzählbare N gilt, dass |M | ≤ |N |. Mit Hilfe
dieses Satzes lässt sich die Kontinuumshypothese so formulieren:

R repräsentiert die kleinste überabzählbare Mächtigkeitsstufe, d. h.,
f¨
ur alle ¨
uberabz¨
ahlbaren Mengen N ist | R | ≤ |N |.

Die Mengen R, P(N) und N { 0 , 1 } = {f | f : N → { 0 , 1 }} sind gleichmächtig.

Die Mächtigkeitsstufe dieser Mengen wird mit 2 ℵ 0 bezeichnet, was im Hinblick
auf die Menge N { 0 , 1 } nicht überrascht. (Hat eine endliche Menge M genau n

Elemente, so hat M { 0 , 1 } genau 2 n Elemente. Ebenso hat für jede abzählbar
unendliche Menge M die Menge M { 0 , 1 } die Mächtigkeit 2 ℵ 0 .) Damit erhalten
wir die bestechende arithmetische Version der Kontinuumshypothese:

2 ℵ 0 = ℵ 1 .

Das Kontinuumsproblem ist nun in einem gewissen Sinne ebenso gelöst wie
offen. Es gilt der folgende bemerkenswerte Satz von der Unabh¨
angigkeit der

Kontinuumshypothese (Gödel 1937, Cohen 1963):

Die Kontinuumshypothese ist in der Axiomatik ZFC weder beweisbar
noch widerlegbar (vorausgesetzt, ZFC ist widerspruchsfrei).

Während die Kontinuumshypothese also weder beweisbar noch widerlegbar
ist, ist diese Unbeweisbarkeit und Unwiderlegbarkeit selbst beweisbar.

328

12 Mengenlehre und Logik

In einfachen Fällen lassen sich derartige Unabhängigkeitsergebnisse leicht ge-
winnen. Es gilt z. B.: Das Kommutativgesetz Für alle x, y gilt x ◦ y = y ◦ x“

”

ist unabhängig von den Gruppenaxiomen: Es ist mit Hilfe der Gruppenaxiome
weder beweisbar noch widerlegbar.

Zum Beweis genügt es, eine kommutative Gruppe G 1 sowie eine nichtkom-
mutative Gruppe G 2 zu konstruieren. Denn jede Aussage, die sich mit Hilfe der

Gruppenaxiome beweisen lässt, gilt in jeder beliebigen Gruppe. Würde also das

Kommutativgesetz aus den Gruppenaxiomen folgen, so würde es in G 2 gelten,
was nicht der Fall ist. Würde die Negation des Kommutativgesetzes aus den

Gruppenaxiomen folgen, so würde sie in G 1 gelten, was nicht der Fall ist. Die-
ses Gesetz ist also, auf der Basis der Gruppenaxiome, weder beweisbar noch
widerlegbar. Die Gruppenaxiome sind einfach nicht stark genug, diese Frage zu
entscheiden.

Ein analoger Ansatz führt zum Beweis der Unabhängigkeit der Kontinuums-
hypothese: Zum Beweis der Unabhängigkeit werden zwei

Modelle“ M

”

1 und

M 2 der Theorie ZFC konstruiert. In M 1 gilt die Kontinuumshypothese, in M 2
ist sie verletzt. Im Gegensatz zum Beispiel aus der Gruppentheorie ist die

Durchführung dieses Ansatzes für die Kontinuumshypothese aber ein enorm
aufwändiges Projekt, bei dem logische Untiefen zu umschiffen sind, denn auf-
grund der Gödelschen Sätze können wir in ZFC kein Modell von ZFC konstru-
ieren. Insgesamt ist aber die Vorstellung, dass zwei Welten von ZFC konstruiert
werden, in denen die Kontinuumshypothese einmal gilt und einmal nicht, doch
die richtige.

Die klassische Mathematik, konkretisiert durch ZFC, kennt also die Größe
ihrer Grundstruktur R nicht. Der Übergang von N zu R alias P(N) bleibt
rätselhaft. Noch spannender als philosophische Betrachtungen über mathema-

”

tische Wahrheit“ ist die Suche von
guten“ Erweiterungen von ZFC, die die

”

Kontinuumshypothese entscheiden. Viele interessante – sich oft widersprechen-
de – derartige Erweiterungen sind gefunden worden. Viele Mathematiker haben
das Bild von Verzweigungen oberhalb einer Basistheorie“ akzeptiert, in jüngster

”

Zeit sind dagegen Argumente für die Lösung 2 ℵ 0 = ℵ 2 vorgebracht worden, bei
der R nicht die erste, sondern die zweite überabzählbare Stufe repräsentiert.

Ist ZFC zu schwach für die Lösung der Kontinuumshypothese, so ist die Theo-
rie doch immerhin stark genug, um zu zeigen, dass für viele überabzählbare

A ⊆ R gilt, dass A und R gleichmächtig sind. Diese Aussage gilt, wie man leicht
sehen kann, für alle offenen Teilmengen A von R. Cantor bewies sie 1884 für
alle abgeschlossenen Mengen A, Hausdorff und Alexandrov konnten sie 1916 für
alle Borelmengen A zeigen, und Lusin und Suslin konnten das Ergebnis kurz
darauf noch einmal erweitern, nämlich auf die sog. analytischen Mengen. Für
noch kompliziertere Mengen schwinden dann aber nachweisbar die Kräfte von

ZFC, und wir brauchen wieder Erweiterungen der Axiomatik, um interessante

Klassen von definierbaren Teilmengen von R in den Griff zu bekommen.

Index

Abbildung, 16
baryzentrische Interpolationsformel, 264
adjungierte, 129

Basis
differenzierbare, 196, 238
einer abelschen Gruppe, 150
inverse, 116
einer Topologie, 223
lineare, 116
eines Vektorraums, 114
stetige, 193, 194, 221

Basisergänzungssatz, 115, 314
strukturerhaltende, 25

Baum, 94

Abbinden von Annahmen, 320

Bayessche Formel, 286
abgeschlossene Hülle, 220
bedingte Wahrscheinlichkeit, 285

Ableitung, 174

Berührpunkt, 220

Leibnizsche Symbolik, 51, 179

Bestapproximation, 128
partielle, 195
beste rationale Approximation, 73, 75

Ableitungsregeln, 175

Betrag einer komplexen Zahl, 38

Abschluss

Beweis, 3
algebraischer, 156
direkter, 8
in einem topologischen Raum, 220
durch Widerspruch, 8
absolute Konvergenz, 169
formaler, 322
abzählbar, 305
indirekter, 8
unendlich, 305
konstruktiver, 23

Abzählbarkeitsaxiome, 223

Bewertung, 52
affiner Unterraum, 119
nichtarchimedische, 52
ähnliche Matrizen, 122

BFS-Verfahren, 94

Aleksandrov-Kompaktifizierung, 233

Biber, 319

Algorithmus, 317
bijektiv, 17

Euklidischer, 56

Bild, 18, 117
extrahierter, 23

Binomialkoeffizient, 87, 282

Algorithmus von

Binomialverteilung, 282

Agrawal, Kayal und Saxena, 64
binomische Formel, 87

Hierholzer, 91

Blatt, 95

Warshall, 107

Bogenlänge, 189

Allquantor, 6

Borelmenge, 203

Anfangswertproblem, 199

Borelsche σ-Algebra, 203

Anheften einer n-Zelle, 227

Breitensuche, 94
äquivalente Normen, 126

Brouwerscher Fixpunktsatz, 214

Äquivalenz, 4

Brownsche Bewegung, 301

Äquivalenzklasse, 20

Brücke, 90

Äquivalenzrelation, 15, 19

Buffonsches Nadelproblem, 48
archimedisches Axiom, 36, 166

Arcussinusgesetz, 301, 302

Cantorsche Konstruktion der reellen
arithmetische Progressionen, 66

Zahlen, 36
asymptotisch

Carmichael-Zahlen, 63
gleich, 25

Cauchy-Folge, 167, 193
schneller wachsend, 25

Cauchy-Schwarz-Ungleichung, 124

Atlas, 238

Cauchyscher Integralsatz, 211

Auslöschung, 251

Cayley-Zahlen, 40

Aussage, 4

Charakteristik eines K

Aussonderungsschema, 310
örpers, 144
charakteristische Funktion, 291

Auswahlaxiom, 311, 312
charakteristisches Polynom, 131

Automorphismus, 141

Chebyshevsche Ungleichung, 290

Axiomensystem, 323

Chinesischer Restsatz, 60

Cholesky-Zerlegung, 260

Bailey-Borwein-Plouffe-Formel, 47

Cramersche Regel, 122, 256

Bairescher Kategoriensatz, 215

CW-Komplex, 227

Banach-Tarski-Paradoxon, 317

Banachraum, 193, 216
darstellende Matrix, 117

Banachscher Fixpunktsatz, 199, 213
de Morgansche Regeln, 5, 13

O. Deiser et al., 12 x 12 Schlüsselkonzepte zur Mathematik,

DOI 10.1007/978-3-8274-2298-9, © Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2011

330

Index

Dedekind-Ring, 83, 149
elliptische Kurven, 80

Dedekind-Struktur, 30
endlich, 305

Dedekind-unendlich, 305
endliche Durchschnittseigenschaft, 232

Dedekindscher Schnitt, 36

Entscheidungsproblem, 92

Definition, 2
der Klasse co-NP, 93

Definitionsbereich, 16
der Klasse NP, 93

Determinante, 121
der Klasse P, 93

DFS-Verfahren, 95
lösbares, 92

Diagonalverfahren, 306
ε/ 3-Argument, 182
dicht, 23, 306

Ereignis, 278

Dichte einer Verteilung, 281
terminales, 288

Diedergruppe, 140

Erlanger Programm, 248

Diffeomorphismus, 238

Ersetzungsschema, 311

Differentialgleichung, 199

Erwartungstreue, 293

System, 200

Erwartungswert, 283

Differenz, 12
euklidische Geometrie, 246
symmetrische, 13

Euklidischer Algorithmus, 56

Differenzierbarkeit, 50, 174, 195

Euler-Zug, 90
partielle, 195

Eulersche Formel, 38, 48, 173
totale, 195

Eulersche ϕ-Funktion, 61

Differenzierbarkeit der Grenzfunktion,

Eulersche Polyederformel, 108

181

Eulersche Zahl, 44, 48, 167

Dimension, 115
ex falso quodlibet, 5
direkte Methode von Lyapunov, 201

Existenz, 23

Dirichletsche Sprungfunktion, 177

Existenzquantor, 6
disjunkt, 12

Existenzsatz von Peano, 199

Disjunktion, 4
explizites Euler-Verfahren, 272

Distributivgesetze, 5, 13

Exponentialfunktion, 173

Divergenz, 207

Exponentialmatrix, 200

Divisionsalgebra, 40

Extensionalitätsaxiom, 310

Dreieck, 89

Extensionalitätsprinzip, 11

Dreiecksungleichung, 125, 192

Extrema einer Funktion, 176, 183, 198
ultrametrische, 52

Dualraum, 129

Faktorgruppe, 145
duplex negatio affirmat, 5

Faktorisierung, 20

Durchschnitt, 12, 13

Fallunterscheidung, 8

Faltung, 287
e, 44, 48, 167

Familie, 17

Ecke, 88

Färbung, 96
besuchte, 89

Fast Fourier Transform (FFT), 266
erreichbare, 90
fast sicher, 288

Eigenraum, 131

Fehler 1. und 2. Art, 296

Eigenvektor, 131

Fermatsche Vermutung, 77, 82

Eigenwert, 131, 200, 299

Fibonacci-Zahlen, 44, 74

Eigenwertproblem, 131, 262

Finaltopologie, 225

Einbettung, 27

Fixkörper, 159
einfach zusammenhängend, 211, 240

Fixpunkt, 213

Eingabegröße, 25

Fläche, 234

Einheit eines Rings, 57, 84, 148

Fluss, 102

Einheitswurzeln, 38

Folge, 17

Einschränkung einer Funktion, 17
gleichverteilte, 53

Eisensteinkriterium, 155
konvergente, 166

Element, 9
in einem metrischen Raum, 168,
größtes/kleinstes, 22

193
maximales/minimales, 22
folgenkompakt, 232

Element-Relation, 310

Formel von der totalen
elementare Zeilenoperation, 120

Wahrscheinlichkeit, 286

Elementarmatrix, 120

Formel von Tartaglia, 37

Ellipsoid, 234

Fourierkoeffizienten, 186

Index

331

Fourierreihe, 185, 216

Grad

Fouriertransformation, 187
einer algebraischen Zahl, 75
diskrete, 267
einer Körpererweiterung, 156
schnelle, 266
eines Polynoms, 153

Fourier-Umkehrformel, 188

Gradient, 195

Fundamentalform

Graph, 88
erste, 235
bipartiter, 97
zweite, 236
einfacher, 88

Fundamentalgruppe, 242
eulerscher, 90

Fundamentalsatz der Algebra, 39, 209
hamiltonscher, 92

Fundamentalsatz der Arithmetik, 57
planarer, 108

Fundamentalsatz der Galoistheorie, 159
schlingenfreier, 88

Fundamentalsystem, 200
ungerichteter, 88

Fundierungsaxiom, 311
ungewichteter, 88

Funktion, 16
vollständiger, 89
analytische, 209
zusammenhängender, 90
berechenbare, 16, 317

Greedy-Algorithmus, 100

Borel-messbare, 205, 280
für Matroide, 101
charakteristische, 291

Grenzwert, 166
differenzierbare, 50, 174, 195
größter gemeinsamer Teiler, 56
gleichmäßig stetige, 50, 172

Gruppe, 138
holomorphe, 209
abelsche, 139

Lebesgue-integrierbare, 206
endlich erzeugte, 151

Lipschitz-stetige, 172
alternierende, 146
nirgends differenzierbare, 216, 302
auflösbare, 162
partiell differenzierbare, 195

Diedergruppe, 140
periodische, 185
einfache, 146

Riemann-integrierbare, 177
endlich erzeugte, 149
stetige, 50, 170, 193, 194
sporadische, 146
symmetrische, 139, 163

Galoisgruppe, 159
zyklische, 149

Galoistheorie, 158

Gruppentafel, 140, 146

Fundamentalsatz der, 159

Gültigkeit, 321

Gaußkr

G
ümmung, 237
ütefunktion, 297

Gaußsche Elimination, 120, 256, 257

Gaußsche Quadratur, 270

Hamilton-Kreis, 92

Gaußsche Zahlenebene, 38

Hauptideal, 147

Gaußscher Integralsatz, 207

Hauptidealring, 84, 147

Gebiet, 210

Hauptkrümmungen, 237

Geodätische, 235

Hauptraum, 136

Geometrisierungsvermutung, 240

Hauptsatz der Differential- und

Geschlecht, 239

Integralrechnung, 178, 179

Gesetz der großen Zahl, 290

Hauptvektor, 136

Gewicht, 100

Hausdorff-Paradoxon, 316

Gewichtsfunktion, 104

Hausdorffraum, 230
gewöhnliche Differentialgleichung, 133,

Hausdorffsches Maximalprinzip, 312

198, 272

Heiratssatz, 99

Gleichgewicht

Herleitung, 320, 322
stabiles, 201

Hessesche Matrix, 197
gleichlange Wohlordnungen, 325

Hilbertsches Programm, 324
gleichmächtig, 304
homogenes Gleichungssystem, 119
gleichmäßige Konvergenz, 181

Homologiegruppe, 244

Gleichverteilung, 53, 279, 282

Homomorphiesatz, 146

Gleitkommazahl, 252

Homomorphismus, 27

Glockenkurve, 282, 292
von Gruppen, 141

Gödelsche Unvollständigkeitssätze, 323
von Ringen, 143

Gödelscher Vollständigkeitssatz, 322

Homöomorphismus, 222
goldener Schnitt, 44, 74

Homotopie, 210, 241

Homotopieäquivalenz, 241

332

Index

Homotopiegruppe, 242

Kalkül, 320

Householder-Reflektor, 261, 263
korrekter, 321

Hülle
vollständiger, 321
abgeschlossene, 220

Kante, 88
lineare, 114
besuchte, 89
transitive, 106

Kantenkriterium, 94
hyperbolische Geometrie, 248

Kantenzug

Hyperboloid, 234
geschlossener/offener, 89

Kapazität, 103

Ideal, 147

Kapazitätsfunktion, 102
maximales, 155

Kardinalität, 86

Identit

Karte, 238
ät, 15

Identit

Kern, 117
ätssatz, 210

Imagin

Kette, 314
ärteil, 38

Implikation, 4
n-Kette, 243

Index eines Eigenwerts, 136

Kettenbruch, 44, 72, 76

Induktion, 23

Kettenregel, 175
transfinite, 326

Klassenzahl, 84

Induktionsprinzip, 30
kleinstes gemeinsames Vielfaches, 57
starkes, 31

Kolmogorovsches Null-Eins-Gesetz, 288

Infimum, 22

Kompaktheit, 194, 231

Initialtopologie, 224

Komplement, 12
injektiv, 17

Komplexität, 25
innerer Punkt, 220

Komposition, 17

Inneres einer Menge, 220

Komprehensionsschema, 309
inneres Produkt, 123

Kondition, 250

Input, 92
der Addition, 251

Integral
der Integration, 268

Lebesguesches, 206
der Polynominterpolation, 264

Riemannsches, 177
der Quadratur, 268
unbestimmtes, 180
einer Matrix, 251
uneigentliches, 178, 212
eines Eigenvektors, 262

Integrallogarithmus, 68
eines Eigenwerts, 262

Integralnorm, 193

Konfidenzintervall, 294

Integralvergleichskriterium, 169

Kongruenz modulo m, 59

Integrationsregeln, 179
konjugiert komplexe Zahl, 38

Integrierbarkeit der Grenzfunktion, 181,

Konjunktion, 4

206

Konsistenz

Integrit
einer Axiomatik, 323
ätsbereich, 148

Interpolation
eines numerischen Verfahrens, 273
algebraische Polynome, 264
eines Schätzers, 294
trigonometrische Polynome, 266

Konstruktionen mit Zirkel und Lineal,
inverse Matrix, 118

157

Inzidenzaxiome, 246

Kontinuum, 34
irreduzibles Element, 148

Kontinuumshypothese, 308, 327
irreduzibles Polynom, 155

Kontinuumsproblem, 308, 327

Irrfahrt, 300

Kontrapositionsgesetz, 5
isomorphe Strukturen, 27

Konvergente eines Kettenbruchs, 72

Isomorphismus, 27

Konvergenz, 166, 219
von Gruppen, 141
fast sichere, 289
von Vektorr
gleichm
äumen, 115
äßige, 181
in einem metrischen Raum, 168, 193
in Verteilung, 291

Jacobi-Matrix, 196
lineare, 263

Jobzuordnung, 98
punktweise, 180

Jordansche Normalform, 136
quadratische, 263, 275

Junktor, 4
spektrale, 265, 267, 269
stochastische, 289

Konvergenzordnung, 272

Index

333

Konvergenzradius, 184

Mächtigkeit, 86, 304

Korollar, 3

Mächtigkeitsstufe, 327

Körper, 143

Majorantenkriterium, 168
algebraisch abgeschlossener, 45

Mannigfaltigkeit, 238
endlicher, 144

Markov-Eigenschaft, 298, 302

Zahlkörper, 80

Markovsche Kette, 298

Körpererweiterung, 156
aperiodische irreduzible, 299
algebraische, 156

Maschinengenauigkeit, 252
endliche, 156

Maßtensor, 208
galoissche, 159

Matching, 98
normale, 160

Matching-Zahl, 98

Radikalerweiterung, 162

Matrix, 117
separable, 160
adjungierte, 128, 130
transzendente, 156
diagonalisierbare, 133

Korrektheitssatz, 322
hermitesche, 127, 134

Kostenfunktion, 104
inverse, 118

Kreis, 89
normale, 134

Kreiskriterium, 98
orthogonale, 127, 261

Kreuzprodukt, 12
positiv definite, 198

Krümmung, 190, 237
stochastische, 298
kubische Gleichungen, 37
symmetrische, 134, 271

Kugel in metrischen Räumen, 52, 194
transponierte, 118, 130

Kuratowski-Paar, 11
unitäre, 128

Kurve, 189, 210

Matrixnorm, 126, 251, 262, 274

Kurvenintegral, 210

Matrixprodukt, 118

Matroid, 100

Lagrange-Polynom, 264
maximales Element, 314

Landau-Symbole, 25

Menge, 9, 10

Laplace-Raum, 279

1. und 2. Kategorie, 215

Laplacescher Entwicklungssatz, 122
abgeschlossene, 194, 218

Laurentreihe, 211
beschränkte, 22

Lebesgue-Konstante, 265, 267
borelsche, 203

Lebesgue-messbar, 313
dichte, 215

Lebesguemaß, 204
offene, 194, 218

Lebesguescher Konvergenzsatz, 206
unabhängige, 101

Legendre-Symbol, 70

Mengenklammer, 11

Leibniz-Kriterium, 169

Mengenkomprehension, 11

Leibnizsche Formel, 121

Mengenoperationen, 12

Lemma, 3

Mengensystem, 10

Lemma von

Mensakoch, 298

Borel-Cantelli, 288

Mersenne-Twister, 54

K

Mersenne-Zahlen, 63
önig, 95

Urysohn, 230

Mersennesche Primzahl, 54, 63
linear geordnet, 314

Methode der kleinsten Quadrate, 260
linear unabh

Metrik, 192
ängig, 114
lineare Ausgleichungsrechnung, 260
metrischer Raum, 192
lineare Kongruenzmethode, 54

Min-Max-Satz, 99, 103
lineare Vollst

Minimalpolynom, 156
ändigkeit, 35
lineares Funktional, 129

Minkowski-Hasse-Prinzip, 52, 79
lineares Gleichungssystem, 119, 257

Minor, 110

Linearkombination, 114

Mittelpunktsregel

Linksfaktor, 257
einfache, 268, 273

Logarithmus, 173
summierte, 269

Lokal-Global-Prinzip, 52, 79

Mittelwertsatz, 175, 197

L

M
ösbarkeit durch Radikale, 162
öbiusband, 226

LR-Zerlegung, 120, 257

Modell, 321

Lyapunov-Funktion, 201
modus ponens, 320

Momente einer Zufallsvariablen, 285

Monomorphismus, 27

334

Index

Multinomialkoeffizient, 88

Ordnungstyp, 325

Multinomialsatz, 88
orientierbar, 239

Multiplikationssatz, 312
orthogonale Polynome, 270

Chebyshev-Polynome, 271

Nachbar, 89

Legendre-Polynome, 124, 271

Nachfolger, 95
orthogonale Projektion, 128
nat
orthogonales Komplement, 128
ürliches Schließen, 320

Nebenklasse, 140, 145

Orthogonalität, 186

Negation, 4

Orthonormalbasis, 127

Netzwerk, 102

Newton-Verfahren, 274

Paarmengenaxiom, 310
gedämpftes, 275

Paraboloid, 234
nichteuklidische Geometrie, 248

Paradoxa der Maßtheorie, 315

Nichtstandardanalysis, 50

Parallelenaxiom, 247

Niveau eines Tests, 296

Parallelogrammgleichung, 126
non-deterministic polynomial, 93

Parsevalsche Gleichung, 127

Norm, 123, 125, 192

Partialsumme, 168
induzierte Matrixnorm, 126, 251, 262,
partielle Integration, 179, 209

274
partielle Ordnung, 15

Integralnorm, 193
strikte, 21

Spaltensummennorm, 126
vollständige, 22

Summennorm, 125

Peano-Axiome, 31, 323

Supremumsnorm, 125

Pellsche Gleichung, 78

Zeilensummennorm, 126

Permutation, 121, 139, 147

Normabbildung in einem Zahlkörper, 81

Pfeil

Normalengleichung, 260

Beseitigung, 320
normaler Raum, 230

Einführung, 320

Normalteiler, 145
π, 47, 173

Normalverteilung, 282, 291

Pivotelement, 257
normierter Raum, 192

Poincaré-Vermutung, 240

NP-vollständig, 93

Poisson-Verteilung, 282

Null-Eins-Gesetze, 288

Pol, 211
nullhomotop, 211

Polygonzug, 272

Nullhypothese, 296

Polynom, 153

Nullmenge, 204, 216
als Abbildung auf einem Körper, 154

Nullstelle eines Polynoms, 155
irreduzibles, 155

Nullteiler, 148
normiertes, 81
numerische Quadratur, 268

Polynomring, 153

Potenzmenge, 13, 86

Oberfl

Potenzmengenaxiom, 311
ächenintegral, 208

Obermenge, 11

Potenzreihe, 184, 209

Obersumme, 176
precision
offener Kern, 220
double, 252

Operation
single, 252

Primelement, 57, 148
n-stellige, 17

Ordinalzahl, 325

Primfaktorzerlegung, 57, 65

Limesordinalzahl, 325
in Ringen, 83

Nachfolgerordinalzahl, 325

Primideal, 148
von Neumannsche, 326

Primidealzerlegung, 83

Ordnung

Primkörper, 144
einer Gruppe, 141

Primzahl, 57
eines Graphen, 88

Mersennesche, 54, 63
eines Gruppenelements, 141
reguläre, 84
lexikographische, 23

Primzahlsatz, 67
lineare, 23
von Dirichlet, 69
vollst

Primzahltests
ändige, 35
partielle, 15, 21

Lucas-Lehner-Test, 64
totale, 23

Miller-Rabin-Test, 63

Index

335

Primzahlverteilung

Residuum, 250, 275

Asymptotik, 67

Restklasse, 59, 146

Lücken, 66

Restklassenring, 59, 142, 144

Primzahlzwilling, 58

Richtungsableitung, 196

Prinzip vom kleinsten Element, 32

Riemann-Integral, 177

Produkt, 18

Riemann-Lebesgue-Lemma, 188
kartesisches, 12

Riemannsche Vermutung, 63, 68

Produkttopologie, 224

Rieszscher Darstellungssatz, 129

Programm, 318

Ring, 142
projektive Ebene, 239, 246
euklidischer, 148

Proposition, 3

Noetherscher, 149
punktweise Konvergenz, 180

Ringhomomorphismus, 143

Pythagoräische Tripel, 78

Ringschluss, 8

RSA-Verfahren, 65

QR-Zerlegung, 261

Rückwärts-Substitution, 258
quadratischer Rest, 70

Rückwärtsfehler, 255
quadratisches Reziprozit
r
ätsgesetz, 71
ückwärtsstabil, 256

Quadratur des Kreises, 46, 157

Rundung, 253

Quantor, 6

Runge-Kutta-Verfahren, 273

Quantorenregeln, 7

Russell-Antinomie, 11, 308

Quaternionen, 39

Russell-Zermelo-Antinomie, 308

Quelle, 102

Quotientengruppe, 145

Satz, 3

Quotientenkorper, 153

Satz vom Maximum, 171

Quotientenkriterium, 169

Satz von

Quotiententopologie, 225

Arzelá-Ascoli, 194

Baire, 215

Rand

Bolzano-Weierstraß, 167
einer Menge, 220

Cantor, 307
in der Homologietheorie, 244

Cantor-Bernstein, 304
random walk, 300

Carleson, 187

Rang einer Matrix, 118

Casorati-Weierstraß, 211

Rayleigh-Quotient, 263

Cayley-Hamilton, 132

Realteil, 38

Darboux, 175

Rechtseindeutigkeit, 16
de Moivre-Laplace, 292

Rechtsfaktor, 257

Dirichlet, 69

Reihe

Erd˝os und Szekeres, 97
binomische, 184

Euler, 61
geometrische, 168

Fejér, 187
harmonische, 168

Fermat
trigonometrische, 185
großer, 77
unendliche, 168
kleiner, 61
absolute Konvergenz, 169

Ford-Fulkerson, 103

Umordnung, 169

Fubini, 207
unbedingte Konvergenz, 169

Galois, 163

Rekurrenz, 300, 302

Gauß-Bonnet, 237

Rekursion, 31

Gelfond-Schneider, 46
transfinite, 326

Green und Tao, 66

Relation, 14

Hahn-Banach, 313
antisymmetrische, 15

Heine-Borel, 194, 232
irreflexive, 15

Kuratowski, 109
reflexive, 15

Lagrange, 141
symmetrische, 15

Lebesgue, 206
transitive, 15

Liouville, 209
relativ prim, 57

Minkowski-Hasse, 52

Repr

Peano, 199
äsentant, 20

Repr

Picard, 209
äsentantensystem, 20

Residuensatz, 212

Picard-Lindelöf, 199

Pólya, 300

336

Index

Satz von ( Forts. )

Summation

Ramsey, 96, 97
paarweise, 269

Robertson-Seymour, 110
rekursive, 269

Rolle, 176

Summe von Quadraten, 78, 81

Taylor, 182, 197

Supremum, 22

Tietze, 230

Supremumsnorm, 193

Tikhonov, 232, 313
surjektiv, 17

Satz von der dominierten Konvergenz,

206

Schätzer, 293
t-Verteilung, 297

Schauderscher Fixpunktsatz, 214

T 2-Raum, 230

Tangentialraum, 234

Schiefkörper, 39

Tangentialvektor, 189

Schlussregel, 320

Taubenschlagprinzip, 95

Schnitt, 103

Tautologie, 5

Schranke

Taylorformel, 182, 197
obere, 22, 314

Taylorpolynom, 182
untere, 22

Teiler, 56

Schubfachprinzip, 95
eines Ideals, 83, 147

Senke, 102
teilerfremd, 57

Sieb des Eratosthenes, 58

Teilgraph, 89
σ-Algebra, 203, 278

Teilmenge, 11

Signum einer Permutation, 121
echte, 11

Simplizialkomplex, 244

Teilordnung, 27

Singulärwertzerlegung, 135
tertium non datur, 5

Singularität, 211

Teststatistik, 296

Skalarprodukt, 123

Theorem, 3

Skewes-Zahl, 69

Theorema egregium, 237

Smoothed Analysis, 259

Tiefensuche, 95

Sorgenfrey-Gerade, 223

Topologie, 218

Spaltenpivotisierung, 258
diskrete, 220
spektraler Abbildungssatz, 132
finale, 225

Spektralsatz, 134
indiskrete, 220

Spektrum, 131
initiale, 224

Spur, 132
topologischer Raum, 218
einer Kurve, 189

Hausdorffraum, 230

Spurtopologie, 220
kompakter, 231

Stabilitätsindikator
metrisierbarer, 220
der Rückwärtsanalyse, 255
normaler, 230
der Vorwärtsanalyse, 254

Stammfunktion, 178

T 2-Raum, 230
wegzusammenh

Standardabweichung, 285
ängender, 228
zusammenh

Standardnormalverteilung, 291
ängender, 227
zusammenziehbarer, 242

Standardteil, 50

Torsionskoeffizient, 151

Statistik, 293, 295

Tr
statistischer Test, 295
äger-Zahl, 99
transponierte Matrix, 118, 130

Stetigkeit, 50, 170, 193, 194, 221

Transposition, 139
gleichgradige, 194

Trapezregel
gleichmäßige, 50, 172
einfache, 268

Stetigkeit der Grenzfunktion, 181, 216
summierte, 269

Stirlingsche Formel, 48, 292
triangulierbar, 245
stochastischer Prozess, 301
trigonometrische Funktionen, 173

Stone- Čech-Kompaktifizierung, 233
trigonometrische Reihe, 185

Stoppzeit, 302

Tripel, 12

Struktur, 25, 321

Tupel, 11
stückweise kongruent, 316

Turing-berechenbar, 318

Student-Verteilung, 297

Turing-Maschine, 318

Stufen des Unendlichen, 308

Turing-Programm, 318

Subbasis, 222

Substitutionsregel, 179

Index

337
überabzählbar, 305, 327

Vielfachheit

Überabzählbarkeit der reellen Zahlen, 306
algebraische, 132

Überdeckung, 231
geometrische, 131

Überlauf, 253

Vierfarbenproblem, 109

Ultrafilter, 49
vollständiger metrischer Raum, 193, 215

Umgebung, 219

Vollständigkeit

Umgebungsbasis, 223
lineare, 35

Umkehrfunktion, 17
von R, 36, 167

Umkehrrelation, 15

Vollständigkeitssatz, 322

Umlaufzahl, 212

Vorkonditionierung, 251

Unabhängigkeit

Vorwärtsfehler, 255
von Ereignissen, 286
vorwärtsstabil, 255
von Zufallsvariablen, 287
unbedingte Konvergenz, 169

Wahrheitstafel, 4

Unbestimmte, 154

Wahrheitswert, 4
unendlich, 305

Wahrscheinlichkeitsmaß, 278
unendliche Reihe, 168

Wahrscheinlichkeitsraum, 278
unendliches Produkt, 169

Wald, 94

Unendlichkeitsaxiom, 310

Wallissches Produkt, 47
unit round off, 253

Waringsches Problem, 78

Untergraph, 89

Wegkriterium, 94

Untergruppe, 27, 140
wegzusammenh
von Z n, 150
ängend, 228

Weierstraßscher Approximationssatz, 182

Unterkörper, 27, 144

Weierstraßscher Konvergenzsatz, 210

Unterlauf, 253

Wertebereich, 16

Unterraum, 113

Wertverlaufsrekursion, 32

Unterstuktur, 27

Widerspruchsfreiheit, 323

Untersumme, 176

Wilsonsche Kongruenz, 62

Unterteilungsgraph, 109

Winkeldreiteilung, 157

Unvollständigkeitssatz

Winkelfunktionen, 173
erster, 323

Wohlordnung, 23, 325
zweiter, 324

Wohlordnungssatz, 312
unzerlegbares Element, 57, 148

W

Urbild, 18
ürfelverdopplung, 157

Wurzelkriterium, 169

Urelement, 310

Zahlen

Varianz, 284
algebraische, 45, 75

Varietät, 77

Carmichael-Zahlen, 63

Vektor, 112

Fibonacci-Zahlen, 74

Vektoriteration, 262
ganz-algebraische, 81

Vektorraum, 113
ganze, 33
euklidischer, 123

Gaußsche, 81
normierter, 125, 192
hyperreelle, 50
unitärer, 124
infinitesimale, 50

Vereinigung, 12, 13
irrationale, 43

Vereinigungsmengenaxiom, 310
komplexe, 37

Vergleichbarkeitssatz, 305, 312, 315
konjugiert komplexe, 38

Verkleben topologischer Räume, 226

Polardarstellung, 38

Verknüpfung, 15, 17, 116

Liouvillesche, 46, 76
funktionale, 17

Mersenne-Zahlen, 63
n-stellige, 17
nat

Vertauschung von Grenzprozessen, 180,
ürliche, 30, 311

Arithmetik, 31

206

Nachfolgerbildung, 30

Verteilung einer Zufallsvariablen, 280
diskrete, 281
p-adische, 51

Primzahlen, 57
gemeinsame, 287
rationale, 34
stetige, 281

Verteilungsfunktion, 281

338

Index

Zahlen ( Forts. )

reelle, 35
b-adische Darstellung, 41
beste rationale Approximation, 73,

75

Vollständigkeit, 36, 167
transfinite, 325
transzendente, 45, 75

Zahlkörper, 80
imaginär-quadratischer, 84
reell-quadratischer, 84

Zählreihe, 30
zeilenäquivalente Matrizen, 120

Zeilenstufenform, 120
zentraler Grenzwertsatz, 291

Zentrum einer Gruppe, 146

Zerfällungskörper, 162

Zerlegung, 20
der Eins, 134
paradoxe, 316
spektrale, 134
zerlegungsgleich, 316

Zermelo-Fraenkel-Axiomatik, 310

Zeta-Funktion, 67

ZFC, 311, 323

Ziffer, 252

Zornsches Lemma, 49, 312, 314

ZPE-Ring, 148

Zufallsvariable, 280

Realisierung, 280
unabhängige, 287
unkorrelierte, 287

Zufallszahlen, 53
zusammenhängend, 227
zusammenhängende Summe, 239

Zusammenhangskomponente, 90
zusammenziehbar, 242

Zustand

Haltezustand, 318

Startzustand, 318

Zweig, 95

Zwischenkörper, 159

Zwischenwertsatz, 171, 175, 229

Zykel, 244