4000 Jahre Algebra: Geschichte – Kulturen – Menschen
Author: Heinz-Wilhelm Alten; Alireza Djafari Naini; Bettina Eick; Menso Folkerts; Hartmut Schlosser; Karl-Heinz Schlote; Heiko Wesemüller-Kock; Hans Wußing
Date: 2013-09-18T21:12:18+00:00
Keywords: Science; Algebra; History & Philosophy; Bildung; Mathematics
Description: Die Entstehung, Entwicklung und Wandlung der Algebra als Teil unserer Kulturgeschichte beschreiben Wissenschaftler von fünf Universitäten. Ursprünge, Anstöße und die Entwicklung algebraischer Begriffe und Methoden werden in enger Verflechtung mit historischen Ereignissen und menschlichen Schicksalen dargestellt. Ein erster Spannungsbogen reicht von den Frühformen des Rechnens mit natürlichen Zahlen und Brüchen zur Lösung einfacher Gleichungen bis hin zur Lösung von Gleichungen dritten und vierten Grades in der Renaissance. Von den misslungenen Versuchen zur Lösung allgemeiner Gleichungen höher
Publisher: Springer-Verlag

Vom Zählstein zum Computer

Herausgegeben von

H.-W. Alten · A. Djafari Naini · H. Wesemüller-Kock

Institut für Mathematik und Angewandte Informatik

Zentrum für Fernstudium und Weiterbildung

Universität Hildesheim

In der Reihe „Vom Zählstein zum Computer“
sind außerdem erschienen:

 Jahre Mathematik

Wußing

Band . Von den Anfängen bis Leibniz und Newton

ISBN ----

Band . Von Euler bis zur Gegenwart

ISBN ----

 Jahre Geometrie

Scriba, Schreiber

ISBN ----

Überblick und Biographien,

Hans Wußing et al. ISBN ----

Vom Zählstein zum Computer – Altertum (Videofilm),

H. Wesemüller-Kock und A. Gottwald ISBN ----

Vom Zählstein zum Computer – Mittelalter (Videofilm),

H. Wesemüller-Kock und A. Gottwald

H.-W. Alten · A. Djafari Naini · M. Folkerts

H. Schlosser · K.-H. Schlote · H. Wußing

 Jahre

Algebra

Geschichte

Kulturen

Menschen

Mit  Abbildungen, davon  in Farbe

123

Professor Dr. Heinz-Wilhelm Alten

Dr. Alireza Djafari Naini

Institut für Mathematik und

Zentrum für Fernstudium

Angewandte Informatik
und Weiterbildung (ZFW)

Universität Hildesheim

Universität Hildesheim

Marienburger Platz 

Marienburger Platz 

 Hildesheim

 Hildesheim

Professor Dr. Menso Folkerts

Professor Dr. Hartmut Schlosser

Institut für Geschichte

Institut für Mathematik
der Naturwissenschaften
und Informatik

Universität München

Universität Greifswald

Museumsinsel 

Friedrich-Ludwig-Jahn-Str. a

 München

 Greifswald

Professor Dr. Karl-Heinz Schlote

Professor Dr. Hans Wußing

Sächsische Akademie

Sächsische Akademie
der Wissenschaften zu Leipzig
der Wissenschaften zu Leipzig

Karl-Tauchnitz-Str. 

Karl-Tauchnitz-Str. 

 Leipzig

 Leipzig

. korrigierter Nachdruck 

ISBN ----
e-ISBN ----

DOI ./----

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Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

Mathematics Subject Classification (): -, -, A

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und daher von jedermann benutzt werden dürften.

Einbandgestaltung: deblik, Berlin

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Satz: TeX-Satz durch Sylvia Voß und Thomas Speck

Gedruckt auf säurefreiem Papier

        
springer.de

Vorwort des Herausgebers

Algebra und Arithmetik sind nächst der Geometrie diejenigen Teilgebiete der

Mathematik, mit denen Menschen sich schon in grauer Vorzeit beschäftigt ha-
ben. Die Entwicklung der Zahlvorstellung und der Zahlzeichen läßt sich bis in
die Altsteinzeit vor 20 000 bis 30 000 Jahren zurück verfolgen. In dieser Peri-
ode entwickelten sich bereits erste Formen elementaren Rechnens, also jenes

Gebietes, das schon in den frühen Hochkulturen der Menschheit – in Ägypten
und Mesopotamien seit etwa 3000 v. Chr. – zu erstaunlicher Blüte geführt,
später von den Griechen als Arithmetik bezeichnet wurde und noch heute als

Lehre der vier Grundrechenarten die ersten Jahre des Mathematikunterrichts
beherrscht.

Mit Algebra haben sich Menschen indes erst seit etwa 4000 Jahren beschäftigt,
als Handel, Feldvermessung und andere geometrische Probleme im Vorde-
ren Orient auf lineare und quadratische Gleichungen führten. Deshalb haben
wir diesem vornehmlich der Algebra gewidmeten Nachfolger des im Jahre

2000 erschienenen Buches 5000 Jahre Geometrie“ den Titel 4000 Jahre Al-

”

”

gebra“ gegeben. Der Name Algebra entstammt jedoch erst einer wesentlich
späteren Epoche, nämlich dem Werk al-Kit¯
ab al-muhtas

”

.ar f¯ı h.is¯
ab al-˘
gabr

¯
wa-l-muq¯
abala“ des aus Choresmien stammenden persischen Gelehrten al-

Hw¯
arizm¯ı, in Europa meist als Mohammed ben Musa bekannt und zitiert.

˘

Das in diesem Buchtitel enthaltene al-ˇ
gabr“ bedeutet wörtlich das Ausüben

”

”

von Zwang“, in der Gleichungslehre jedoch das Ergänzen“ einer Gleichung

”

durch Addition gleicher Terme auf beiden Seiten zur Elimination subtraktiver

Glieder.

Was es nun mit dieser Algebra auf sich hat, was aus den ersten Bemühungen
der Ägypter und Babylonier um das Auflösen von Gleichungen im Laufe der

Jahrtausende geworden ist, wie griechische Mathematiker algebraischen Glei-
chungen mit geometrischen Methoden zu Leibe rückten, wie chinesische und
indische Gelehrte Verfahren zur Berechnung der Wurzeln solcher Gleichungen
ersannen, wie islamische Wissenschaftler die geometrische Algebra der Grie-
chen durch Übersetzung bewahrten und weiter entwickelten, wie Algebra erst
wieder im hohen Mittelalter in Europa betrieben wurde und Rechenmeister
der frühen Neuzeit kaufmännisches Rechnen lehrten, wie sich Cardano und

Tartaglia im 15. Jahrhundert um die Priorität für die Auflösungsformeln für
kubische Gleichungen gestritten haben, wie der nur 27 Jahre alt gewordene

Norweger Niels Henrik Abel nach zunächst vergeblichen Versuchen bewies,
daß es allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen höheren als vierten Gra-
des nicht gibt, wie der im Alter von 20 Jahren im Duell gefallene Franzose

Evariste Galois die Grundlagen für die nach ihm benannte Theorie schuf, wie

Carl Friedrich Gauß den Fundamentalsatz der Algebra bewies und wie sich –
beginnend im 19. Jahrhundert – die Algebra von der Lehre der Gleichungen
zur Theorie algebraischer Strukturen im 20. Jahrhundert wandelte und als

Computeralgebra in den letzten Jahrzehnten neue Triumphe feierte – all dies
und vieles mehr können Sie in diesem Buch erfahren.

VI

Vorwort

Mit diesem Buch legt die Projektgruppe Geschichte der Mathematik der

Universität Hildesheim den dritten Band ihrer Reihe

Vom Zählstein zum

”

Computer“ vor. Zur Einführung erschien 1997 der erste Band mit dem Titel

Überblick und Biographien“ im Franzbecker-Verlag Hildesheim. Ihm folgte

”

1998 ein Begleitfilm zur Geschichte der Mathematik im Altertum; ein ent-
sprechender Film zum Mittelalter wird demnächst erscheinen. Der im Jahr

2000 beim Springer-Verlag herausgebrachte Band

5000 Jahre Geometrie“

”

trägt – wie der neue Band 4000 Jahre Algebra“– den Untertitel Geschichte,

”

”

Kulturen, Menschen“. Damit will die Projektgruppe ihr besonderes Anliegen
ausdrücken, die Geschichte der Mathematik als einen wesentlichen Teil der

Kulturgeschichte der Menschheit darzustellen. Die Autoren sind diesem An-
liegen auch im vorliegenden Bande vorzüglich gerecht geworden. Wenngleich
die Algebra gegenüber der Geometrie weit weniger anschaulich ist, mit ihrem

Formalismus manchen zunächst abschrecken mag und sich im letzten Jahr-
hundert zu höchster Abstraktion entwickelt hat, ist es den Autoren gelungen,
die Genese der algebraischen Begriffe und Methoden als kulturgeschichtliches

Phänomen zu beschreiben, ihre Entstehung und Ausprägung einzubetten in
die politische und wirtschaftliche Situation und die Besonderheiten der Kul-
tur der jeweiligen Periode. Dies erschöpft sich nicht in den jedem Kapitel
vorangestellten Tabellen, die einen Überblick über die wichtigsten politischen
und kulturellen Ereignisse der jeweiligen Kultur bzw. Epochen vermitteln,
sondern wird im ersten Abschnitt jedes Kapitels ausführlicher dargestellt
und findet sich in enger Verflechtung im laufenden Text bei der Beschreibung
der Verhältnisse und Lebensumstände der schöpferischen Menschen, denen
wir die Entwicklung der Algebra verdanken.

Die Kapitel 1 bis 3 stammen im wesentlichen aus der Feder des Mathematik-
historikers und Mitherausgebers Dr. Alireza Djafari Naini, mitgestaltet und
ergänzt durch Beiträge des Verfassers dieses Vorworts. Die Kapitel 4 und 5
sind zum großen Teil das Werk von Prof. Dr. Hans Wußing, langjähriger Lei-
ter des Karl-Sudhoff-Institutes der Universität Leipzig, erweitert und ergänzt
durch detailreiche Beiträge von Prof. Dr. Menso Folkerts, Leiter des Instituts
für Geschichte der Naturwissenschaften der Ludwig-Maximilians-Universität

München.

Die sorgfältige Aufarbeitung und ausführliche Darstellung der Entwicklung
der Algebra in der Neuzeit in den Kapiteln 6 – 10 verdanken wir Herrn Dr.

Karl-Heinz Schlote, Mathematikhistoriker an der Sächsischen Akademie der

Wissenschaften zu Leipzig. Den Abschnitt 10.4 über Computeralgebra ver-
faßte Herr Professor Dr. Hartmut Schlosser, Ernst-Moritz-Arndt-Universität

Greifswald.

Auch die Vorschläge für die zahlreichen Abbildungen stammen von den Au-
toren, ebenso die Vorlagen für die ohne Quellenangabe eingefügten Figuren
und Tabellen, die Vorschläge für Aufgaben und die Auflistung der wesentli-
chen Inhalte und Ergebnisse der Algebra in der jeweiligen Epoche am Ende
eines jeden Kapitels.

Vorwort

VII

Die Aufgaben sind von sehr unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad und ver-
langen auch sehr unterschiedliche Vorkenntnisse. Für die Bewältigung der

Aufgaben in den Kapiteln 1–5 dürften im allgemeinen die auf der Mittelstufe
der Gymnasien erworbenen Kenntnisse ausreichen, während für die Aufga-
ben zu den Kapiteln 6–10 Begriffe und Methoden vonnöten sind, die erst in
der Oberstufe der Gymnasien oder im Grundstudium der Mathematik be-
handelt werden. Dies liegt in der Natur der Sache, weil gerade die Algebra
im Laufe der Jahrhunderte zu einem derart komplexen Gebäude mit höchster

Abstraktion gewachsen ist, daß es wohl kaum noch Fachleute gibt, die das
riesige Gebiet vollständig beherrschen.

Umso mehr danke ich den Autoren, die es verstanden haben, diese so kom-
plizierte Materie – von Außenstehenden oft als trocken empfunden und hin-
sichtlich moderner Abstraktionen als intellektuelle Spielerei mit Begriffen be-
zeichnet – in lebendiger und verständlicher Weise darzustellen.

Die den Kapiteln vorangestellten Bildseiten mit den Porträts herausragen-
der Algebraiker der jeweiligen Periode und die Karten entwarf und gestaltete
der Medienwissenschaftler und Mitherausgeber Heiko Wesemüller-Kock. Ihm
danke ich für seine tatkräftige Unterstützung bei der Entwicklung und Ge-
staltung dieses Bandes, dem Historiker Hubert Mainzer für seine Vorschläge
zu den Karten und zur Geschichte des alten China.

Für einige Abbildungen in diesem Buch ist es uns nicht gelungen, die Rechts-
inhaber zu ermitteln bzw. unsere Anfragen blieben unbeantwortet. Betroffene
und Personen, die zur Klärung in einzelnen Fällen beitragen können, werden
gebeten, sich beim Verlag zu melden.

Für die kritische Durchsicht von Texten danke ich den Kollegen Folkerts,

Kahle, Purkert, Scriba und Sesiano, für die Umsetzung der Manuskripte, Ab-
bildungen, Tabellen und Figuren zu druckfertigen Vorlagen auf dem Compu-
ter Wolfram Schobert und dem Dipl.-Informatiker Thomas Speck sowie vielen
nicht namentlich erwähnten Helfern, ganz besonders aber Kathrin Vornkahl
und Sylvia Voß, die den größten Teil dieser komplizierten Arbeit ausführten.

Für die Überprüfung meiner Übersetzung der Textpassagen von Cardano,

Tartaglia und Bombelli aus dem Lateinischen bzw. Italienischen danke ich

Herrn Dr. Johannes Köhler vom Institut für Philosophie der Universität Hil-
desheim, für die Unterstützung des Projekts der Leitung der Universität Hil-
desheim, sowie dem Dekan Prof. Dr. Klaus-Jürgen Förster und dem Leiter
des Zentrums für Fernstudium und Weiterbildung, Dr. Erwin Wagner.

Herzlichen Dank sage ich Frau Möller-Meyer und der Universitätsgesellschaft

Hildesheim für ihre finanzielle Unterstützung zur Herausgabe farbiger Abbil-
dungen. Nicht zuletzt gilt mein Dank dem Springer-Verlag für das Eingehen
auf unsere Wünsche und die hervorragende Ausstattung dieses Buches.

Möge auch dieser Band viele anregen, sich intensiver mit der Geschichte der

Mathematik und der in 4000 Jahren entwickelten Algebra zu beschäftigen und
dazu führen, daß dieses zu enormer Größe und Bedeutung gewachsene Gebiet
nicht nur als Stolperstein in der Schule angesehen, sondern als wichtiger Be-

VIII

Vorwort
standteil unserer Kultur und Zivilisation gewürdigt und als unentbehrliche

Grundlage für die Lösung der Probleme in unserer von moderner Technik
geprägten Welt begriffen und gefördert wird.

Im Namen der Herausgeber

Hildesheim, im Jaunar 2003

Heinz-Wilhelm Alten

Hinweise f¨
ur den Leser

In den Kapiteln 1 – 5 sind die Lebensdaten der Gelehrten auch im laufenden

Text enthalten, in den Kapiteln 6 – 10 wegen der großen Anzahl nur verein-
zelt. Im Personenregister sind alle Lebensdaten (soweit bekannt) aufgeführt.

Runde Klammern (. . . ) enthalten ergänzende Einschübe oder Hinweise auf

Abbildungen oder Aufgaben.

Eckige Klammern [. . . ] enthalten

– im laufenden Text Hinweise auf Literatur

– unter Abbildungen Quellenangaben.

Abbildungen sind nach Teilkapiteln nummeriert, z. B. bedeutet Abb. 7.4.1
die erste Abbildung in Teil 4 von Kapitel 7.

Aufgaben sind am Ende jedes Kapitels zusammengefaßt, aber wie die Abbil-
dungen nach Kapiteln nummeriert, z. B. bedeutet Aufgabe 7.4.2 die zweite

Aufgabe zu Teil 4 von Kapitel 7.

Die Transskriptionen chinesischer bzw. indischer Namen und Begriffe erfolg-
ten entsprechend [Martzloff 1997] bzw. [Tropfke 1980]. Die Schreibweise von

Namen und Werken islamischer Gelehrter entspricht der wissenschaftlichen

Transskription aus dem Arabischen.

Inhaltsverzeichnis

1 Anf¨
ange von Arithmetik und Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1 Zählen, Zahlen und Rechnen am Beginn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Arithmetik und Algebra im alten Ägypten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.0 Abriß der kulturgeschichtlichen Entwicklung im Niltal . . .

8

1.2.1 Altägyptische Zahlzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.2 Arithmetik im alten Ägypten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.3 Primitive Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3 Mesopotamische (Babylonische) Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.3.0 Entwicklung früher Hochkulturen in Mesopotamien . . . . . .

21

1.3.1 Zahlzeichen in Keilschrift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.3.2 Die Methode des einfachen falschen Ansatzes . . . . . . . . . . . .

29

1.3.3 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.3.4 Nichtlineare Systeme und quadratische Gleichungen . . . . . .

34

1.3.5 Kubische Gleichungen: Der Beginn eines 3500 Jahre alten

Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

√

1.3.6 Näherungswerte von

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

1.4 Aufgaben zu Kapitel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2 Die geometrische Algebra der Griechen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.0 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.1 Beginn des abstrakten Denkens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.1.1 Ionische Periode (ca. 600 – 450 v. Chr.) . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.1.2 Athenische Periode (450 – 300 v. Chr. ) . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.1.3 Hellenistische Periode (ca. 300 v. Chr. – ca. 150 n. Chr.) . .

56

2.1.4 Spätantike (ca. 300 – ca. 500 n. Chr. ) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

2.2 Das besondere Merkmal der griechischen Algebra . . . . . . . . . . . . .

59

2.3 Lineare und quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

2.3.1 Die Elemente“ des Euklid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

”

2.3.2 Die Methode der Flächenanlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

2.3.3 Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

2.3.4 Rein quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

2.3.5 Ein Diorismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

2.3.6 Lösung quadratischer Gleichungen nach Euklid . . . . . . . . . .

72

2.4 Kubische und biquadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

2.4.1 Kubische Gleichungen in Kugel und Zylinder“ von

”

Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

X

Inhaltsverzeichnis

2.4.2 Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks durch

Einschiebung“ von Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

”

2.4.3 Dreiteilung des Winkels nach Archimedes . . . . . . . . . . . . . . .

83

2.4.4 Archimedes und die biquadratischen Gleichungen . . . . . . . .

84

2.4.5 Das Delische Problem – die Würfelverdopplung . . . . . . . . . .

86

2.5 Die Quadratur des Kreises mittels der Quadratrix . . . . . . . . . . . . .

90

2.6

Formale Algebra“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

”

2.6.1 Formale Algebra vor Diophant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

2.6.2 Synkopierte Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

2.6.3

Arithmetika“ von Diophant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

”

2.7 Aufgaben zu Kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3 Algebra im Orient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.1 Algebra in China . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.1.0 Geschichtlicher Abriß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.1.1 Zahlzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.1.2 Quadrat- und Kubikwurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.1.3 Der doppelte falsche Ansatz ( Überschuß und Fehlbetrag) . 120

3.1.4 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.1.5 Algebra im 13. Jahrhundert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.2 Algebra in Indien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.2.0 Geschichtlicher Abriß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

3.2.1 Zahlzeichen und das dezimale Stellenwertsystem . . . . . . . . . 134

3.2.2 Algebraische Ausdrucksweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.2.3 Näherungsverfahren für Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.2.4 Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

3.2.5 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

3.3 Algebra in den Ländern des Islam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

3.3.0 Geschichtlicher Abriß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

3.3.1 Die Verbreitung der indischen Ziffern in den islamischen

Ländern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

3.3.2 Algebraische Ausdrucksweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

3.3.3 Lineare und unbestimmte Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3.3.4 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

3.3.5 Arithmetisierung der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

3.3.6 Die (geometrische) Theorie von cUmar Hayy¯
am für die

˘

Gleichungen dritten Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

3.3.7 Eine Abhandlung von Hayy¯
am über Algebra . . . . . . . . . . . . 180

˘

3.3.8 Gleichungen vierten Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

3.3.9 Numerische Auflösung algebraischer Gleichungen . . . . . . . . 185

3.4 Aufgaben zu Kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Inhaltsverzeichnis

XI

4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance . . 197

4.0 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

4.1 Übersetzungen aus dem Arabischen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

4.2 Leonardo von Pisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

4.3 Jordanus Nemorarius und Johannes de Muris . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

4.4 Die Entwicklung in Italien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

4.4.1 Luca Pacioli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

4.5 Entwicklungen in Westeuropa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

4.5.1 Nicolas Chuquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

4.5.2 Robert Recorde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

4.5.3 Simon Stevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

4.5.4 Pedro Nunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

4.6 Frühe Algebra im deutschsprachigen Raum – die Deutsche Coß . 227

4.6.1 Die sog. Deutsche Coß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

4.6.2 Adam Ries, Abraham Ries u. Jacob Ries als Cossisten . . . . 233

4.6.3 Chistoph Rudolff und Michael Stifel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

4.7 Zur Entwicklung des Zahlbegriffes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

4.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

5 Algebra wird zur selbst¨
andigen Disziplin (16./17. Jh.) . . . . . 249

5.0 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

5.1 Gleichungen dritten und vierten Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

5.1.1 Lösungen für Gleichungen dritten Grades . . . . . . . . . . . . . . . 253

5.1.2 Niccolò Tartaglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

5.1.3 Girolamo Cardano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

5.1.4 Auflösung von Gleichungen vierten Grades . . . . . . . . . . . . . . 261

5.1.5 Rafael Bombelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

5.2 Viète und Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

5.2.1 François Viète (Franciscus Vieta) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

5.2.2 René Descartes (Cartesius) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

5.2.3 Die algebraischen Methoden von Descartes . . . . . . . . . . . . . . 276

5.3 Newton und Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

5.3.1 Isaac Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

5.3.2 Zur Vorgeschichte des Fundamentalsatzes der Algebra . . . 283

5.3.3 Leonhard Euler und der Fundamentalsatz der Algebra . . . . 286

5.3.4 Euler und sein Algebralehrbuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

5.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

XII

Inhaltsverzeichnis

6 Algebra in der 2. H¨
alfte des 18. und am

Beginn des 19. Jahrhunderts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

6.0 Historische Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

6.1 Die Begründung des Rechnens in den gewöhnlichen

Zahlbereichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

6.2 Die Begründung der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

6.3 Algebra als Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

6.4 Lösbarkeit der allgemeinen Gleichung n-ten Grades in Radikalen 317

6.4.1 Die Ergebnisse von Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

6.4.2 Die Lösungsansätze von Vandermonde und Waring . . . . . . . 321

6.4.3 Ruffini und erste Ergebnisse über Permutationsgruppen . . 323

6.4.4 Gauß und die Auflösung der Kreisteilungsgleichung . . . . . . 325

6.4.5 Abels Beweis für die Nichtauflösbarkeit der allgemeinen

Gleichung 5. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

6.5 Zum Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra durch Gauß . . . 331

6.6 Die Herausforderung der Algebra durch neue Objektbereiche

. . 335

6.6.1 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

6.6.2 Einfluß der Disquisitiones arithmeticae“ von Gauß . . . . . . 340

”

6.7 Aufgaben zu Kapitel 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

7.0 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

7.1 Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen – Galois-Theorie . . 350

7.1.1 Der Beitrag von Niels Henrik Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

7.1.2 Die Lösung des Problems durch Evariste Galois . . . . . . . . . . 354

7.2 Von Permutationen zu Permutationsgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

7.3 Auf dem Weg zur abstrakten Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

7.3.1 George Peacock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

7.3.2 Augustus de Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

7.3.3 Duncan Farquharson Gregory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

7.3.4 George Boole und die Algebra der Logik . . . . . . . . . . . . . . . . 375

7.4 Erste Definitionen abstrakter algebraischer Systeme . . . . . . . . . . 378

7.4.1 William Rowan Hamilton und die Quaternionen . . . . . . . . . 378

7.4.2 Arthur Cayley – Oktonionen und die erste Definition des
abstrakten Gruppenbegriffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

7.5 Zahlentheoretische Einflüsse auf die Entwicklung der Algebra . . . 391

7.5.1 Gaußsche ganze Zahlen und Reziprozitätsgesetze . . . . . . . . . 391

7.5.2 Kummers Schöpfung der idealen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 397

7.6 Die Fortschritte in der linearen Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

7.6.1 Die Entwicklung des Matrizenkalküls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

Inhaltsverzeichnis

XIII

7.6.2 Die Entwicklung der Theorie der Vektorräume . . . . . . . . . . . 410

7.6.3 Die Arbeiten von Hermann Günther Graßmann . . . . . . . . . . 414

7.7 Aufgaben zu Kapitel 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880 . . . . . . . . . . 429

8.0 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

8.1 Weitere Fortschritte im Verständnis der Galois-Theorie . . . . . . . . 434

8.1.1 Die Rezeption der Galois-Theorie in Deutschland . . . . . . . . 435

8.1.2 Die Darstellung der Galois-Theorie durch Joseph Alfred

Serret und Camille Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

8.2 Die große Zeit der Invariantentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

8.2.1 Die britische Schule der Invariantentheorie . . . . . . . . . . . . . . 447

8.2.2 Die Weiterentwicklung und die Formulierung des

Grundproblems der Invariantentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

8.3 Die Theorie der Transformationsgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

8.3.1 Kleins Erlanger Programm und die Theorie der endlichen

Transformationsgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

8.3.2 Die Liesche Theorie der kontinuierlichen

Transformationsgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

8.4 Die ersten Strukturuntersuchungen bei hyperkomplexen Systemen465

8.4.1 Hankels Theorie der complexen Zahlensysteme“ . . . . . . . . 466

”

8.4.2 Die Klassifikation der Algebren bei Benjamin Peirce . . . . . 467

8.5 Aufgaben zu Kapitel 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert . . . . . . . . . . . . . . . 475

9.0 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

9.1 Mengenlehre und Algebra der Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

9.1.1 Schröders Algebra der Logik und Freges Logizismus . . . . . . 480

9.1.2 Die axiomatische Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

9.2 Die Herausbildung des abstrakten Gruppenbegriffs . . . . . . . . . . . . 489

9.3 Dedekind und Kronecker: Algebraische Zahlen, Divisoren, Körper504

9.4 Die axiomatische Fixierung des Körperbegriffs . . . . . . . . . . . . . . . . 515

9.5 Die Profilierung weiterer Teilgebiete der Algebra . . . . . . . . . . . . . . 527

9.5.1 Hyperkomplexe Systeme (Algebren) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527

9.5.2 Darstellungen von Gruppen und Algebren . . . . . . . . . . . . . . 537

9.5.3 Die algebraische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541

9.6 Aufgaben zu Kapitel 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547

XIV

Inhaltsverzeichnis

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

10.0 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

10.1 Die Etablierung der modernen abstrakten Algebra . . . . . . . . . . 557

10.1.1 Aufbau einer allgemeinen Ring- und Idealtheorie . . . . . 558

10.1.2

Moderne Algebra“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563

”

10.2 Von der Algebra zur Mathematik der Strukturen . . . . . . . . . . . 569

10.2.1 Die Entstehung der Verbandstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . 572

10.2.2 Bourbaki und Strukturkonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

10.3 Die Wechselwirkung der abstrakten Algebra . . . . . . . . . . . . . . . 582

10.3.1 Die algebraische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583

10.3.2 Anwendungen der Algebra in der Physik . . . . . . . . . . . . 586

10.3.3 Die algebraische Durchdringung der Topologie . . . . . . . 588

10.3.4 Algebraische Methoden in anderen Bereichen . . . . . . . . 590

10.4 Computeralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

10.4.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

10.4.2 Charakterisierung der Computeralgebra . . . . . . . . . . . . 595

10.4.3 Die Entwicklung von Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599

10.4.4 Die Entwicklung von Computeralgebrasystemen . . . . . . 606

10.4.5 Anwendungen der Computeralgebra, mathematische

Bildung, Präsentation in der Gesellschaft . . . . . . . . . . . . 608

10.5 Aufgaben zu Kapitel 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613

Personenregister mit Lebensdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645

1 Anf¨
ange von Arithmetik und Algebra

2

1 Anfänge von Arithmetik und Algebra

1.1 Z¨
ahlen, Zahlen und Rechnen am Beginn

Schon in prähistorischer Zeit entwickelten Menschen erste Vorstellungen von

Zahl und Form, begannen mit dem Zählen und unterschieden dabei nur ein,
zwei und viele Dinge. Noch Anfang des 20. Jhs. stießen Ethnographen auf
diese Zählweise bei Expeditionen zu Stämmen, die noch auf der Kulturstufe
der Steinzeit lebten. Auch in der Sprache spiegelt sich genau dieses Phänomen
wider: Neben den uns vertrauten Begriffen Einzahl und Mehrzahl (Singular
und Plural) findet sich im Ur-indogermanischen, in semitischen Sprachen und
auch im Griechischen die Zweizahl“ (Dual) und im Deutschen das Paar.

”

Die ersten bekannten Zeugnisse von Zählen und Zahlen sind 20 000 bis 30 000

Jahre alt, stammen also aus der älteren Steinzeit. Besonderes Aufsehen er-
regten die Funde von Ishango (Kongo 1950) und Vestonice (Mähren 1937).

Letzterer ist der sieben Zoll lange Knochen eines Wolfes mit 55 Einkerbun-
gen, die in fünf Gruppen zu je 5 kurzen und sechs Gruppen mit je 5 langen

Kerben angeordnet sind, also deutlich auf eine Fünferbündelung hinweisen
und eine markante Erweiterung des Zahlbegriffs dokumentieren.

Zu dieser Zeit lebten die Menschen noch in Höhlen und unter Bedingun-
gen, die sich von denen der Tiere nur wenig unterschieden. Sie gingen in den

Wäldern auf Nahrungssuche, sammelten Wurzeln und Früchte und jagten

Tiere mit einfachen Waffen, z. B. mit dem Wurfspeer und der Keule. In der
späteren Steinzeit entstanden Malereien, Figuren und geometrische Orna-
mente. Eindrucksvolle Zeugen jener künstlerischer Tätigkeiten sind die etwa
vor 15 000 Jahren entstandenen Höhlenmalereien in Frankreich und Spani-
en. In der mittleren Steinzeit vor ungefähr 10 000 Jahren begann die Periode
der Seßhaftigkeit, möglich geworden durch das Schmelzen der Eisdecke über

Europa und Asien. Bauern begannen mit der Errichtung kleiner Dörfer und
produzierten einen großen Teil ihrer Nahrung selbst, indem sie Äcker mit

Dämmen und Gräben anlegten und dazu einfache Werkzeuge und primiti-
ve geometrische Kenntnisse entwickelten. Die Bedürfnisse und Tätigkeiten
des Alltags führten so zu größerem Gebrauch und Verständnis von Zahl und

Form.

In der Jungsteinzeit – geprägt durch die Domestizierung von Schaf, Ziege,

Schwein, Rind und Pferd und den Ackerbau mit vom Rind gezogenen Pflug –
werden geometrische Elemente in künstlerisch verfeinerter Form zur Herstel-
lung keramischer Gefäße und ihres Schmuckes mit dekorativen Ornamenten
verwendet, vgl. [Scriba/Schreiber 2000]. Von genauen astronomischen Beob-
achtungen, geometrischen Kenntnissen und erstaunlichen technischen Fähig-
keiten zeugen die Bauten der Megalithkulturen jener Epoche im Westen und

Süden Europas: Der berühmte Steinkreis von Stonehenge, der weniger be-
kannte Ring of Brogar (Abb. 1.1.1) und die Steinzeitsiedlung Skara Brae auf
den Orkney-Inseln, die Kuppel- und Ganggräber mit Spiralmotiven in Irland
und Frankreich, die Steinsetzungen in der Bretagne, die Taulas und Talayots
auf Menorca (Abb. 1.1.2) und die Steinzeittempel auf Malta.

1.1 Zählen, Zahlen und Rechnen am Beginn

3

Abb. 1.1.1. Ring of Brogar, Steinsetzung auf den Orkney-Inseln, um 3500 v. Chr.

[Foto Alten]

Abb. 1.1.2. Tisch (Taula) von Trepucó, eingeschlossen von einem Steinkreis mit

Menhiren, bei Mahon (Menorca) um 1000 v. Chr.

[Foto Alten]

4

1 Anfänge von Arithmetik und Algebra

Parallel dazu vollzogen sich die weitere Entwicklung des Zahlbegriffes und die

Einführung von Zahlzeichen und primitiven Rechnungen. Die Bildung größe-
rer Zahlen durch Addition läßt sich am Beispiel der von den australischen

Kamilaroi benutzten Methode nachvollziehen:

1 heißt mal

2 heißt bulan, 4 heißt bulan-bulan

3 heißt guliba, 5 heißt bulan-guliba, 6 heißt guliba-guliba.

Zum Zählen brauchte man zunächst Zahlwörter. Dabei traten in den einzel-
nen Kulturkreisen große Unterschiede auf, die sich z.T. noch in den lebenden

Sprachen wiederfinden. In der Frühzeit wurden die ersten Zahlwörter noch als

Adjektive dekliniert, z. B. die Wörter für 1, 2, 3 und 4 im Indogermanischen.

Das hat sich im Griechischen bis 4 (téttares, téttara) erhalten, während es im

Lateinischen bei 3 (tres, tria) abbricht. Die Zwei hat immer eine besondere

Rolle gespielt, sie tritt oft in mehreren Formen auf: z. B. gr. d´
yo und ampho,
lat. duo und ambo, entsprechend noch englisch two und both, deutsch zwei
und beide; ebenso als Ordnungszahl lat. secundus ( der zweite, der folgende)

und alter (der andere), was sich im Deutschen noch heute in anderthalb“

”

(lat. sesqui-alter) und in der Algebra im Begriff sesquilineare Form“ wieder-

”

findet!

Die Entwicklung in Handwerk und Handel, aber auch von Streit um Eigentum
an Vieh und Krieg (Zahl der Krieger, Waffen und Gefangenen) erforderte die

Verwendung immer größerer Zahlen. Das führte zu immer neuen Zahlwörtern,
zu deren schriftlicher Fixierung durch Zahlzeichen und Zahlschriften und zur

Entwicklung von Zahlsystemen. Das Zählen mit den Fingern einer Hand oder
beider Hände bescherte die Schwellen 5 und 10 und die Bündelung gereihter,
einfacher Zeichen (Striche oder Kerben) wie , ,

,

,
für 1, 2, 3, 4, 5 zu

Zeichen wie
für 10 in Ägypten und zu den römischen Zahlzeichen V und

X, wobei die obere Hälfte des X – das v anstelle des u verwendet – die oft
gehörte Wendung Ein X für ein U vormachen“ erklärt, während die uralte

”

Bündelung
noch heute beim Notieren von Abstimmungen und anderen

Vorgängen verwendet wird.

Interessant ist in diesem Zusammenhang die Bildung der über die Schwellen
hinausführenden Zahlwörter für 11, 12, ..., 19 durch Addition: un-decem, un-
dici, on-ze für 11, duo-decim, do-dici, dou-ze für 12, ... in den romanischen

(und den slawischen) Sprachen, während es in den germanischen Sprachen
besondere Wörter für elf und zwölf gibt, womit wohl auch die noch heute ge-
bräuchliche Rechnung in Dutzend und Groß (144 = 122) und der Handel en

”

gros“ zusammenhängen. Bemerkenswert ist auch die subtraktive Zählweise
undeviginti = eins von zwanzig (19) im Lateinischen, die sich in der Zahl-
schrift als XIX, aber auch schon bei IV = 5 - 1 = 4 und bei IX = 10 − 1 = 9
findet. Die Fortsetzung dieser Bündelung führt auf das Dezimalsystem und
drückt sich sprachlich wie schriftlich in neuen Wörtern und Zeichen wie C

= 100 (Centum) und M = 1000 (Mille) aus.

1.1 Zählen, Zahlen und Rechnen am Beginn

5

Abweichend hiervon benutzten keltische Stämme – später auch die Mayas und
die Azteken – die auf der Zählung von Fingern und Zehen eines Menschen
beruhende Grundzahl 20 für das von ihnen entwickelte Zahlsystem, das heute
noch in soixante-dix (60 + 10 für 70) und quatre-vingt (4 mal 20 für 80) im

Französischen zutage tritt und sich im Namen Hôpital des Quinze-Vingts“

”

eines alten Pariser Pflegehauses für dreihundert blinde Kriegsveteranen fin-
det.

Hingegen stammt das in Abschnitt 1.3 beschriebene Sexagesimalsystem aus

Mesopotamien und hat sich bis heute in unserer Zeitrechnung und Winkel-
messung (60 Minuten à 60 Sekunden) erhalten.

Mit Hilfe dieser auf Bündelung und Reihung basierenden Zahlsysteme konn-
ten immer größere Zahlen gebildet und eine zunächst noch primitive Arith-
metik entwickelt werden. Daraus entstand allmählich die elementare Arith-
metik, das Rechnen in den vier Grundrechenarten, auf deren Basis sich frühe

Formen der Algebra bildeten.

So findet die Addition bereits ihren sichtbaren Ausdruck in der additiven

Darstellung der natürlichen Zahlen, sei es bei der Reihung und Bündelung
von Strichen und Kerben in steinzeitlichen Kulturen oder in den Schreibwei-
sen der Zahlen im alten Orient. Auch die als schwieriger geltende Subtraktion

– verkappt als durch Probieren gefundene Ergänzungen – findet sich schon
in früher Zeit, später in römischen Zahlzeichen und Zahlwörtern. Peinlich
werden jedoch lange Zeit Subtraktionen vermieden, die aus dem Bereich der
natürlichen Zahlen heraus führen. Während negative Zahlen in China schon
in der frühen Han-Zeit (um 100 v. Chr.) bei der Lösung von Systemen linea-
rer Gleichungen vorkommen, erlangen diese Zahlen in Europa erst im hohen

Mittelalter bei Leonardo von Pisa zur Bezeichnung von Schulden Bürger-

”

recht“. Und selbst im 18. Jh. versuchte noch Fahrenheit bei der Einführung
der nach ihm benannten Temperaturskala die Verwendung negativer Zahlen
zu vermeiden, indem er den Gefrierpunkt des Wassers bei +32 ◦F festlegte!

Hingegen sind die Multiplikation und das Rechnen mit Brüchen schon in den
altorientalischen Kulturen gängige Operationen, zumeist begonnen als Ver-
dopplung und Halbieren, wie dies auch heute noch bei uns im Schulunterricht
vielfach üblich ist, wo auch – der historischen Entwicklung entsprechend – die

Bruchrechnung meistens vor dem Rechnen mit negativen Zahlen behandelt
wird.

Für weitere Einzelheiten zur Entstehung von Zahlwörtern, Zahlschriften und

Zahlsystemen sei auf [Menninger 1958] und [Ifrah 1987] verwiesen. Von den
im Niltal und in Mesopotamien entwickelten Zahlschriften, Zahlsystemen und

Anfängen der Algebra wird in den folgenden Abschnitten berichtet.

6

1 Anfänge von Arithmetik und Algebra

1.2 Arithmetik und Algebra im alten ¨

Agypten

Allgemeine

Hauptstadt,

Geschichte

Geschichte

Kulturgeschichte
der Wissenschaft

Frühzeit ca.

This , Mastabas

Zahlzeichen bis 1 000 000,

3300–2740

(rechteckiger

Hieroglyphen
flachgedeckter Hochbau
aus Ziegeln)

König Menes

Memphis, Mastabas,
um 2850 v. Chr.

Stufenpyramide des

Djoser, Hieroglyphen

Altes Reich

Pyramiden von Giseh

Scheffelmaß, Gewichte
ca. 2740–2150
und anderen Orten

Erste Zwischenzeit
ca. 2150–2040

Mittleres Reich

Theben, Malerei,

Ältestes astronomisches
ca. 2040–1788

Plastik,

Instrument, Holztafeln,

Literatur

Papyrus Moskau,

Papyrus Rhind, Papyrus

Kahun, Papyrus Theben

Zweite Zwischen-

Londoner Lederrolle
zeit ca. 1788–1580

(Hyksoszeit)

Neues Reich

Theben, Tempel und
primitive Astronomie,
ca. 1580–1090

Königsgräber, El

Papyrus Rollin, Papyrus

Amarna Sonnenkult

Harris

(Echnaton)

Dritte

Zwischenzeit

1090–670

Spätzeit 670–332

Assyrische Eroberung,

Demotische Papyri
saitisches Reich,

Perserherrschaft

332 v. Chr.

Alexandria, Mittelpunkt

Euklid , Eratosthenes,
bis 395 n. Chr.

griechisch-hellenistischer

Archimedes, Apollonius,

Hellenismus,

Wissenschaft und

Ptolemaios, Heron,

Herrschaft der

Kultur

Diophant

Ptolemäer und

Römer

1.2 Arithmetik und Algebra im alten Ägypten

7

Abb. 1.2.1. Ägypten im Altertum (links); Obelisk im Amun-Tempel von Karnak

(rechts). Nur wenige Obelisken stehen noch in Ägypten. Andere wurden verschenkt
oder einfach abtransportiert: nach Paris, Rom, Istanbul, ...

[Foto Alten]

8

1 Anfänge von Arithmetik und Algebra

1.2.0 Abriß der kulturgeschichtlichen Entwicklung im Niltal

Mit der Vereinigung der Königreiche Unterägypten und Oberägypten durch

König Menes beginnt die eigentliche“ Geschichte Ägyptens und damit die

”

der 30 ägyptischen Dynastien. Residenzstadt war zu dieser Zeit Memphis. Zu
eben dieser Zeit entstand die erste Schrift der Ägypter, die Bilderschrift der
sog. Hieroglyphen (gr. hieros = heilig, glyphe = Skulptur). Die aus Jahrtau-
senden hinterlassenen Baudenkmäler, Kunstwerke und die großartigen Pyra-
miden der Pharaonen zeugen von der enormen kulturellen Entwicklung im

Nilgebiet. Die Monumente lassen Rückschlüsse auf die technischen und orga-
nisatorischen Fähigkeiten ihrer Erbauer zu. Herodot (484–425) berichtet, daß
hunderttausend Menschen am Bau der Cheopspyramide zusammengearbei-
tet haben, um dieses gewaltige Bauwerk in der kurzen Zeit von zwei Jahren
zu errichten. Archäologen schätzen heutzutage, daß etwa 10 000 bis 25 000

Menschen insbesondere während der Überschwemmungszeiten etwa 30 Jahre
lang daran gearbeitet haben. Schriftdokumente aus der damaligen Zeit und

Kultur sind neben Lederrollen vor allem die Papyri, die aus dem Mark der

Papyrusstaude gewonnen wurden. Mittels eines gespaltenen Rohres wurden

Texte und Berechnungen von einem Schreiber“, der zu den Staatsbeamten

”

gehörte und des Rechnens kundig sein mußte, mit gefärbter Tusche aufge-
schrieben. Bedingt durch das trockene Klima Ägyptens sind Papyri vielfach
erhalten geblieben, und deshalb verfügen wir über zahlreiche Urkunden. Die-
se historischen Dokumente sind in hieratischer Schrift (gr. hieratikos = prie-
sterlich) verfaßt, einer Vereinfachung der Bilderschrift der Hieroglyphen, die
meist von rechts nach links geschrieben wurde. Jedes Zeichen bedeutet einen
oder mehrere aufeinanderfolgende Konsonanten (konsonantische Schrift), wo-
bei die dazwischenliegenden Vokale zu erraten bzw. aus dem Kontext zu er-
schließen sind. Für die geschichtliche Hinterfragung der Mathematik sind drei
der erhaltenen Dokumente wichtig:

1) Der Papyrus Rhind,

2) der Papyrus Moskau,

3) die Londoner Lederrolle.

Die beiden Papyri entstanden gegen Ende des Mittleren Reiches, wurden aber
in der uns überlieferten Fassung erst in der Hyksoszeit niedergeschrieben bzw.

kopiert. Aus dieser Zeit stammt auch die in London verwahrte Lederrolle. Die
in diesen Dokumenten enthaltenen mathematischen Kenntnisse wurden zum

Teil vermutlich schon wesentlich früher gewonnen, waren doch bereits zum

Bau der großen Pyramiden umfangreiche Kenntnisse erforderlich. Leider sind
jedoch aus der Zeit des Alten Reiches keine mathematischen Texte überliefert.

Die Mathematik der Ägypter entstand aus praktischen Bedürfnissen. Es wur-
den die verschiedensten Probleme aus dem Alltagsleben behandelt, mit denen
die Bauern, Landvermesser, Architekten und Beamten zu tun hatten. Dazu
gehörten z. B. die Berechnung von Flächen und Rauminhalten, etwa das Fas-
sungsvermögen eines Speichers und die Berechnung des Getreides für eine

1.2 Arithmetik und Algebra im alten Ägypten

9

Abb. 1.2.2. Pyramiden von Gizeh, Ägypten

[Foto Alten]

bestimmte Menge Brot. Außerdem finden sich auch rein theoretische Auf-
gaben zur Einübung der schwierigen Technik der Bruchrechnung (Papyrus

Rhind), deren Anwendung in vielfältigen Aufgaben erforderlich ist. Über die

Erfindung der Geometrie durch die Ägypter berichtet Herodot, daß sie durch

10

1 Anfänge von Arithmetik und Algebra

Abb. 1.2.3. Ägyptischer Schreiber

( Ägyptisches Museum Kairo)[Foto Alten]

die ständigen Überflutungen des Nils gezwungen waren, ihre Felder immer
wieder neu zu vermessen.

Wenngleich manche Ägyptologen diese Darstellung Herodots als Legende an-
sehen, dürfte die Entstehung der ägyptischen Geometrie auch durch dieses
immer wiederkehrende Naturereignis veranlaßt worden sein.

Die entscheidende Epoche der Mathematik in Ägypten“ lag im Mittleren

”

”

Reich“, zeitlich einzuordnen zwischen 2040–1788 v. Chr. (s. Zeittafel). Zwei

Papyri, die als Lehrbücher der Mathematik galten, enthalten den größten Teil
der uns bekannten Mathematik der Ägypter dieser Zeit:

1. Der Papyrus Rhind, überwiegend im Britischen Museum in London aufbe-
wahrt. Teilstücke befinden sich in New York. Er wurde von dem schottischen

Ägyptologen A. Henry Rhind im Jahre 1858 in Luxor erworben, der ihn dann

1.2 Arithmetik und Algebra im alten Ägypten

11

Abb. 1.2.4. Hieroglyphen in der Pfeilerhalle des Tempels in Medinet Habu

(Theben, Oberägypten)

[Foto Alten]

dem Britischen Museum vermachte. Der vermutlich vom Schreiber Ahmes an-
gefertigte Papyrus ist 5,34 m lang und 33 cm hoch. Er enthält eine Sammlung
von 85 Aufgaben, die in Kapitel gegliedert sind, jedoch keine Überschriften

12

1 Anfänge von Arithmetik und Algebra
tragen. Um den Text analysieren zu können, muß man jede Aufgabe für sich
behandeln, denn sie sind sehr unterschiedlich.

2. Der Moskauer Papyrus, der im Museum der schönen Künste“ in Moskau

”

aufbewahrt wird. Er stammt aus der Totenstadt Drah Abu’l Negga bei The-
ben (s. Landkarte) und wurde 1893 in Ägypten gekauft. Dieser Papyrus ist

5,44 m lang, 8 cm hoch und enthält eine Sammlung von 25 Aufgaben.

Neben den beiden erwähnten Quellen gibt es noch einige weniger umfangrei-
che mit spezieller Problematik wie z. B. zwei Holztafeln aus Achmim (jetzt in

Kairo), die Umrechnungen für Getreide (in Hekat“) und verschiedene arith-

”

metische und geometrische Aufgaben enthalten. Eine Lederrolle (in London)

ist mit einer Reihe von Stammbruchzerlegungen beschriftet. In Bedeutung
und Umfang sind diese Quellen jedoch den genannten Papyri nicht gleichzu-
setzen.

1.2.1 Alt¨
agyptische Zahlzeichen

Die Zahlen werden im alten Ägypten additiv in einem Zahlsystem dargestellt,
das auf der Basis 10 beruht – vermutlich, weil dies den 10 Fingern der Men-
schen entspricht. Für jede Zehnerpotenz bis 106 gibt es ein eigenes Zeichen
in Gestalt einer Hieroglyphe:

So ist z. B.

2375486 =

,
d. h. jedes Zeichen wird so oft gesetzt, wie die betreffende Zehnerpotenz in
der Zahl vorkommt. Dabei ist es prinzipiell gleichgültig, in welcher Reihenfol-
ge die Zeichen angeordnet werden, aber die Ägypter verwendeten stets eine
übersichtliche und ästhetisch ansprechende Anordnung.

Da die alten Ägypter Bruchrechnung (bis auf wenige Ausnahmen) nur mit

Stammbrüchen betrieben, brauchten sie zur Kennzeichnung solcher Brüche
ein besonderes Zeichen: sie setzten das Symbol
über den Nenner, also
für 1 . Für 1 und 1 verwendeten sie auch die Zeichen
bzw.

, für 2
n

2

4

3
und 3 die besonderen Symbole
bzw.

. In Anlehnung an die ägyptische

4

Darstellung schreiben wir n für 1 und 3 für 2 .

n

3

1.2 Arithmetik und Algebra im alten Ägypten

13

1.2.2 Arithmetik im alten ¨

Agypten

Zerlegung in Stammbr¨
uche

Zum Verständnis der altägyptischen Methoden zur Lösung linearer und rein
quadratischer Gleichungen ist die Kenntnis der von den Ägyptern benutzten

Darstellung gewöhnlicher Brüche als Summe von Stammbrüchen und der
von ihnen verwendeten Multiplikations- und Divisionsverfahren erforderlich.

Diese werden deshalb hier kurz vorgestellt.

Der ägyptische Rechner stellte jeden Bruch m ( m, n ∈ N , m, n > 1) mit Aus-
n
nahme von 2 und 3 als eine endliche Summe von Stammbrüchen dar, also von

3

4

Brüchen der Form 1 , k > 1. Der Kürze halber nennen wir eine solche Summe
k
eine Standardform. Der Ägypter benutzte die Summe anstelle des Bruches
selbst. Um Standardformen für m anzugeben, genügte es, Standardformen
n
von Brüchen der Form 2 zu kennen, weil jeder Zähler m ∈ N in der Form
n

m =
k
a
i=0
i 2 i (mit ai = 0 oder 1 für i = 0 , . . . , k und k ∈ N0) darstellbar
ist. Im Papyrus Rhind gibt es eine Tabelle mit Standardformen für Brüche
der Form 2 mit ungeradem Nenner n, 5 ≤ n ≤ 101.

n

Die Tabelle gibt z. B. an: 2 = 1 + 1 + 1 .

97

56

679

776

Es ist klar, daß diese Darstellung nicht eindeutig ist. Beispielsweise gilt die

Gleichung

1

1

1

=

+
für n ∈ N .

n
n + 1
n( n + 1)

Daraus folgt 2 = 2 +

2

= 1 +

1

= 1 +

1

.

97

98

97 · 98

49

97 · 49

49

4753

Das Problem der Zerlegung von Brüchen in Standardform umfaßt ungefähr
ein Viertel des Textes im Papyrus Rhind. Die Zerlegungen lassen sich nicht
durch ein einheitliches Prinzip erklären; offensichtlich wurden bei der Aus-
wahl verschiedene Gesichtspunkte berücksichtigt.

Die betrachteten Zerlegungen sind Darstellungen durch endlich viele Stamm-
brüche. Zerlegungen in unendlich viele Stammbrüche haben die Ägypter nicht
betrachtet, da sie außerhalb ihrer Vorstellungen und Möglichkeiten lagen.

Multiplikationsverfahren

Die Multiplikationsverfahren waren bei den Ägyptern im Grunde nichts an-
deres als die sukzessive Verdoppelung und lassen sich wie folgt in moderner

Schreibweise darstellen: Um a·b zu finden, wobei a ∈ N , b ∈ Q+, wird zunächst
a in Dualdarstellung ausgedrückt, also

a =
n
a
i=0
i 2 i, ai = 0 oder 1 , n ∈ N0 ,
dann gilt
a · b = a 0 b + a 12 b + . . . + an 2 nb.

Beispiel 1.2.1: Wie die Ägypter die Multiplikation 13 · 11 ausgeführt haben:

14

1 Anfänge von Arithmetik und Algebra

Text

Erläuterung des Verfahrens

/1

11 Zuerst wurde 11 mit 1, dann mit 2,

2

22 mit 4, schließlich mit 8 multipliziert,

(denn 8 ist die größte Zweierpotenz, die
kleiner als (a =13) ist.

/4

44 dann werden die mit / bezeichneten Ergebnisse

/8

88 (1, 4, 8) addiert: (1 + 22 + 23)11 = 143.

Divisionsverfahren

Die ägyptischen Rechner dachten auch in ihren Divisionsverfahren meistens
im Dualsystem [Eves 1976, S. 40, 48]. Wenn der zu berechnende Bruch eine
endliche Darstellung im Dualsystem besaß, hatten sie keine Schwierigkeiten,
diese Darstellung zu bestimmen.

Beispiel 1.2.2: Papyrus Rhind Aufgabe 70 [Vogel 1958, S. 44].

Für die Berechnung von 100 : 7¯

2¯

4¯

8 sei d = 7 ¯

2¯

4¯

8 = 7 + 1 + 1 + 1 .

2

4

8

Text

Erläuterung des Verfahrens

1

7 ¯

2 ¯

4 ¯

8 1 · d

2

15 ¯

2 ¯

4 2 · d

/4

31 ¯

2 4 · d

/8

63 8 · d

/ ¯

3

5 ¯

4 2 ·

3
d

Die Summe der letzten drei Zeilen ergibt:

23 d + 8 d + 4 d = 9934

Es fehlt noch 14 (von 100).

63

¯

8 Im vorletzten Produkt ist 8 d = 63, also 1

63 d = 18 .

/ 42 126

¯

4 2

63 d = 14 ,

2 l

63 äßt sich nach der Tabelle im Papyrus

Rhind zerlegen gemäß 2

63 = 1

42 + 1

126 .

Die Summe der mit / markierten Zahlen liefert das Ergebnis:

2

1

1

100 : 7 ¯

2 ¯

4 ¯

8 = 4 + 8 +

+

+

= 12 ¯

3 42 126 .

3

42

126

Dieses Beispiel zeigt, wie die Ägypter die Stammbruchtabelle für ihre Berech-
nungen benutzten.

In dem obigen Beispiel sagt der Schreiber
verdoppele den Betrag, um 1

”

4
zu erhalten“. Das zeigt, daß sie sich den Bruch m einerseits als m · 1 und
n
n
andererseits als m : n vorstellten. Das bedeutet, daß sich die Ägypter einen

Bruch als Vielfaches eines Stammbruches, aber auch als Verhältnis zweier
natürlicher Zahlen (z. B. 2 · 1 = 2 ) vorstellen konnten, und dann, wenn

63

63
nötig, 2 durch eine Standardform ersetzten (wie im obigen Beispiel 2 =
n

63

42 126).

Mit dem Verdoppeln und Halbieren einer Zahl begann die Menschheit sehr
früh. Auch heutzutage beginnen die Kinder in der Schule beim Einstieg in die

1.2 Arithmetik und Algebra im alten Ägypten

15

Bruchrechnung meist mit Halbierung. So ist zu erklären, daß die alten Ägyp-
ter versuchten, echte Brüche als Summe von Brüchen der Gestalt 1

2 k ( k ∈ N)

darzustellen.

Wenn der Bruch keine endliche Darstellung im Dualsystem besaß, suchten
die Ägypter Lösungen ad hoc, da sie den Begriff der unendlichen Reihe nicht
kannten.

Beispiel 1.2.3: Aufgabe 36 aus Papyrus Rhind [Vogel 1958, S. 36].

Bestimmung einer Standardform des Quotienten 30 :

106

1 106

¯

2

53

/

¯

4 26 ¯

2

Also ist 30 = 1 + 1 + 1 + 1 .

/ 106

1

106

4

53

106

212

/ 53

2

/ 212

¯

2

Fortgesetzte Halbierung würde auf einen unendlichen Dualbruch führen:

30 = 1

106

22 + 1

25 +

1

210 + · · ·

1.2.3 Primitive Algebra

Die Ägypter konnten lineare Gleichungen mit einer Unbekannten und rein
quadratische Gleichungen durch die sogenannte Hau-Rechnung“ lösen. (Das

”

ägyptische Wort
aha“ bedeutet Quantität, Haufen, Menge. Dieses Wort

”

wurde früher falsch als Hau“ ausgesprochen, daher die Bezeichnung Hau-

”

”

Rechnung“).

Solche Gleichungen traten schon sehr früh bei der Lösung praktischer Pro-
bleme auf. Sollte etwa ein Stück Land der Größe c derart auf zwei Erben
aufgeteilt werden, daß der eine viermal so viel erhielt wie der andere, so war
die lineare Gleichung x + x = c zu lösen (vgl. Beispiel 1.2.4). Entsprechend

4
führte die Bestimmung von Länge und Breite einer rechteckigen Ackerfläche
der Größe c, deren Breite 3 der Länge beträgt, auf die quadratische Glei-

4
chung 3 x 2 = c (vgl. Beispiel 1.2.6).

4

Lineare Gleichungen

Lineare Gleichungen wurden meistens mit der Methode des einfachen falschen

Ansatzes gelöst, die auch bei den Babyloniern verwendet wurde und in Ab-
schnitt 1.3.2 erläutert wird.

Diese Methode wurde in Ägypten zur Lösung von Gleichungen der Gestalt
ax = c ( a ∈ Q+ , c ∈ N)

verwendet. Man wähle eine geeignete“ Zahl x

”

1, setze diese für x in die Glei-
chung ein und erhält ax 1 = c 1.

16

1 Anfänge von Arithmetik und Algebra

Im Falle c = c 1 ist x 1 keine Lösung. Man hat also einen falschen Ansatz“

”

gemacht. Dennoch hilft diese Methode weiter. Um die richtige Lösung zu
finden, muß
x = c
x 1
c 1
sein, also
x = x 1 · c .

c 1

Geeignet“ ist eine Zahl x

”

1, die auf eine natürliche Zahl c 1 führt.

Beispiel 1.2.4: Papyrus Rhind, Aufgabe 26

Eine Gr¨
oße und ihr Viertel ergeben zusammen 15. Was ist die Gr¨
oße?“

”

(In der heute üblichen Schreibweise: x + x = 15.)

4

Lösung: Rechne mit 4“, gewählt wird also x

”

1 = 4 (diese Zahl ist geeignet,
da ihr Viertel ganzzahlig ist). Es ist
x 1
x 1 +

= 5 , d. h. c 1 = 5 .

4

Dann wird der Quotient c gebildet und das Ergebnis mit der
falschen
c 1

”

Lösung“ x 1 multipliziert und man erhält x = 4 · 3 = 12. Im Text wird sogar
noch die Probe durchgeführt:

1

12 +

· 12 = 15 .

4

Diese Methode wurde noch Anfang des 20. Jhs. in Schulen gelehrt.

Beispiel 1.2.5: In Papyrus Rhind, Aufgabe 24 wird die Gleichung x+ x = 19

7
wie folgt gelöst: Gewählt wird x 1 = 7, dann erhält man x 1 + x 1 = 8. Nach

7
der Formel der Methode des falschen Ansatzes ist x = 7 · 19 = 16 ¯2 ¯8 die

8

Antwort. Im Papyrus Rhind wurde die Lösung ausführlich in drei Schritten
geschrieben:

Text

Erklärung des Verfahrens

1.

/1

7 Man teilt den Haufen ( x) in 7 Teilhaufen ( x )

7

/¯

7

1 x ist ein Teilhaufen

7

2.

/ 1

8 Der zweite Schritt ist

/ 2

16 die Berechnung von 19

8

¯

2

4 19 = 2 + 1 + 1

8

4

8

/¯

4

2 wie in Beispiel 1.2.1

/¯

8

1 bereits gelöst.

3.

/¯

1

2 ¯

4 ¯

8 Der dritte Schritt ist die Berechnung von

/ 2

4 ¯

2 ¯

4 7 · 19 = 16 ¯2 ¯8, wie das Beispiel

8

/ 4

9 ¯

2 im Multiplikationsverfahren zeigt.

Am Ende kommt die Probe, wobei der erste Schritt benutzt wird:

1.2 Arithmetik und Algebra im alten Ägypten

17

⎛

⎞

1 16 ¯

2 ¯

8

7 · 19

8

Probe:

¯

7 2 ¯

4 ¯

8 ..... ⎝ +

19 ⎠

8

19

=

19

Man vermutet, daß die Ägypter diese Aufgabe durch die Methode des ein-
fachen falschen Ansatzes gelöst haben. Den ersten Schritt (erste Zeile) kann
man so interpretieren: Ein Haufen ist sieben, also ist (zweite Zeile) ein siebtel

Haufen eins. Zusammen haben wir acht Haufen ( x 1 + x 1 = 8).

7

Im zweiten Schritt berechneten sie 19 mit der Methode des einfachen falschen

8

Ansatzes. Schließlich berechneten sie gemäß dieser Methode 7 · 19 (3. Schritt).

8

Das letzte Beispiel zeigt anschaulich den Zusammenhang von arithmetischen

Operationen und der Algebra bei den Ägyptern, denn ihre Algebra baute
darauf auf.

Aus Papyrus Rhind ist uns eine allgemein beschreibende Formel für folgende

Aufgabe überliefert worden. Sie lautet:

2 zu machen von einem Stammbruch.

3

(Gemeint ist, wie man 2 eines Stammbruches finden kann.) Die Lösung wird

3
so beschrieben: Wenn dir gesagt ist, was ist 2 von 1 , so mache es zweimal

3

5
und sechsmal. Dies ist sein 2 . ( sein 2“ bedeutet 2 des Stammbruches.) So

3

”

3

3
muß jeder Stammbruch, der vorkommen mag, behandelt werden [Vogel 1958,

S. 43]. In moderner Schreibweise: Ist x der Stammbruch, so ist 2 x = 1 x + 1 x.

3

2

6

In der im Papyrus Rhind angegebenen Tabelle für 2 sind alle durch drei teil-
n
baren Nenner nach obigem Muster zerlegt worden.

Rein quadratische Gleichungen

Beispiel 1.2.6: Papyrus Moskau, Aufgabe 6

Gegeben sei ein Rechteck mit Länge x und Breite y, y = 3 x, Inhalt 12.

4

Gesucht sind x und y. Man erhält 12 = 3 x 2 , also x = 4 .

4

Beispiel 1.2.7: Ein Problem aus dem Papyrus Theben aus der Zeit von

1995–1788 v. Chr. (Berliner Papyrus 6619) [Waerden 1966 b, S. 46]:

Gegeben seien zwei Quadrate mit den Seiten x und y, wobei y = 3 x (im Text

4
steht 1 + 1 anstatt 3 ), x 2 + y 2 = 100. Im Text werden x und y durch die

2

4

4

Methode des einfachen falschen Ansatzes wie folgt berechnet:

Nimm ein Quadrat mit Seite 1 und nimm 3 von 1, das ist

”

4

1 + 1 als Seite der anderen Fläche. Multipliziere 1 + 1

2

4

2

4
mit sich selbst, das ergibt

1 + 1 .Wenn also die Seite der

2

16
einen Fl¨
ache als 1, die der anderen als

1 + 1 angenommen

2

4
ist, addiere man die beiden Fl¨
achen: Ergebnis 1 + 1 + 1 .

2

16

Ziehe daraus die Wurzel 1 , das ist 1 + 1 . Ziehe die Wurzel

4

1 Offenbar kannten die Ägypter im Mittleren Reich bereits den Begriff Wurzel“,

”

allerdings nur für Zahlen, deren Quadrat als Quadrat einer rationalen Zahl ge-
geben ist.

18

1 Anfänge von Arithmetik und Algebra

Abb. 1.2.5.

Mengenangaben im Wandrelief des Grabes eines Königssohnes im

Tal der Königinnen in Theben

[Foto Alten]

aus der gegebenen Zahl 100, das ist 10.Wie oft geht 1 + 14
in 10 auf ? Es geht 8 mal.“

In heutiger Schreibweise: 100 = x 2+ y 2 = 25 x 2. Sei x = 1, dann ist 25 x 2 = 25 ,

16

16

16
aber 25 x 2 = 100; deshalb 5 x = 10, also x = 8 , y = 6.

16

4

Dieses Beispiel zeigt, daß sich das Divisionsverfahren bei den Ägyptern nicht
nur auf Stammbruchzerlegung, sondern auch auf die Lösung einer Gleichung
bezieht.

In diesem Papyrus kommt das Fachwort Größe“ für Unbekannte vor, indem

”

zwei Unbekannte als die erste Größe“ und
die zweite Größe“ bezeichnet

”

”

werden.

Diese Bezeichnung wurde rund 2000 Jahre später von Diophant als erste

”

Zahl“ und zweite Zahl“ für zwei Unbekannte benutzt.

”

Aus der Spätzeit stammen die Aufgaben Nr. 34 und 35 im Papyrus Kairo,

J.E. 89137 und 89140 (ca. 3. Jh. v. Chr.). Beide sind spezielle Formen der
folgenden Aufgabe:

In einem Rechteck sind die Fläche und die Länge der Diagonalen gegeben,
also xy = α, x 2 + y 2 = β 2, wobei α und β bekannte positive Zahlen, x und y die Länge bzw. die Breite des Rechtecks sind. Um x und y zu ermitteln,
werden im Text zunächst (wie bei den Babyloniern) x+ y und x−y berechnet.

1.2 Arithmetik und Algebra im alten Ägypten

19

Wesentliche Merkmale der Algebra in ¨

Agypten

Die Ägypter wußten, wie man einen Bruch in eine

Standardform“

”

zerlegen kann und höchstwahrscheinlich, daß eine solche Zerlegung nicht
eindeutig ist. Die Stammbrüche bildeten die Bausteine ihrer Rechenope-
rationen.

Der Begriff Beweis“ war ihnen fremd, sie gaben Handlungsanweisungen

”

zur Berechnung anhand konkreter Beispiele, ohne jedoch die zugrunde
liegende Methode zu begründen. Ihre Rechtfertigung bestand lediglich in
der Probe zur Bestätigung der konkret durchgeführten Rechnung.

Wahrscheinlich waren sie in der Lage, ein allgemeines Verfahren anhand
von speziellen Beispielen zu entwickeln. Dies ist bemerkenswert, denn es
kann als erster Schritt zur Abstraktion betrachtet werden.

Die

Ägypter konnten lineare Gleichungen lösen, rein quadratische

Gleichungen nur dann, wenn dazu die Wurzel aus dem Quadrat einer
rationalen Zahl gezogen werden mußte.

Das algebraische Denken als eine Abstraktion der normalen Rechenope-
rationen gab es bei den Ägyptern nur im Fall der Hau-Rechnung“ (vgl.

”

Algebra in China). Ansonsten dachten sie völlig konkret und arbeiteten
mit Zahlenbeispielen.

Die Art der Multiplikation und die Stammbruchrechnung der Ägypter
wurde von den Griechen übernommen.

Die Methode des einfachen falschen Ansatzes wurde bereits von den

Babyloniern verwendet, später benutzten sie die Chinesen, Inder und

Moslems und im Mittelalter die Europäer.

20

1 Anfänge von Arithmetik und Algebra

1.3 Mesopotamische (Babylonische) Algebra

Allgemeine Geschichte

Kulturgeschichte & Geschichte der

Wissenschaft

Um 3200

Einwanderung der

Bilderschrift, Keilschrift,
v. Chr.

Sumerer

Tempelbau, Kanäle

3000–2700

Sumerische Stadtstaaten

Keramik, farbige Mosaike, Stelen,
v. Chr.

Weihetafeln, Schrifttafeln mit

Zahlen,

Sexagesimalsystem,
ca. 2700–1900

Einwanderung und
metrologische Tabellen,

Herrschaft der Akkader

Rechentafeln
und anderer semitischer

Völker
ca. 2350–2300

Sargon I
ca. 2150–2050

Herrschaft der Gutäer

2050–1958

Neusumerisches Reich

Sexagesimales Positionssystem

1900–1600

Altbabylonisches Reich

Erste bekannte Aufgabentexte

(Tell Harmal)

1728–1686

König Hammurapi

Bauten, Neuordnung der Gesetze,

Hochblüte der Algebra und

Geometrie, Texte aus Susa

1600–1250

Hethiter und Kassiten

Astronomische Berechnungen und
in Mesopotamien

Beobachtungen

1375–1047

Mittelassyrisches Reich

Zikkurate, königliche Residenz

Assur, Reliefdarstellungen

883–612

Neuassyrisches Reich

Residenzen Nimrud, Ninive

625–539

Neubabylonisches Reich

Blüte von Astrologie und

Astronomie

539

Kyros II (der Große)

Ein inneres Lücken-Zeichen für
erobert Babylon,

Null, Höhepunkt der Astronomie
persische Herrschaft

330

Alexander der Große

Hellenismus, Übernahme des
erobert Babylon

Sexagesimalsystems

323

Tod Alexanders in

Babylon, danach
regieren Seleukiden in

Mesopotamien

1.3 Mesopotamische (Babylonische) Algebra

21

Schwarzes Meer

HETHITER
um 2000

Kaspisches

Van-See

Meer

Urmia-See

Ninive

S U B A R T U

A S S Y R I E N

Assur

Euphrat

Tigris

Mari

A M U R R U

Damaskus

A K K A D

Akkad

E L A M

Babylon

Susa

Nippur E R

M

SEMITEN

Lagasch

S U Uruk

SUMERER
nach 3000

Ur
um 3200

Eridu

"Unteres

"Weltreich" Sargons von Akkad (2350-2295 v.Chr.)

Meer"

Altassyrisches Reich Schamschiadads I. (1749-1717 v.Chr.)

Reich Hammurapis von Babylon (1728-1686 v.Chr.)

Pers. Golf

Neubabylonisches Reich (625-539 v.Chr.)

Abb. 1.3.1. Mesopotamien

1.3.0 Entwicklung fr¨
uher Hochkulturen in Mesopotamien

Die ersten Hochkulturen der Menschheit entstanden dort, wo Fruchtbarkeit,

Klima, Ackerbau und Viehzucht eine seßhafte Lebensweise ermöglichten: in
den Oasen längs der großen Flüsse in der heißen Zone beidseits des nördlichen

Wendekreises, also im Niltal, im Tal des Indus und im Land zwischen den
beiden Strömen Euphrat und Tigris, in Mesopotamien.

Die älteste bekannte Hochkultur entstand im dritten Jahrtausend im Mün-
dungsgebiet des Euphrat. Sie wurde von den dort seßhaft gewordenen Sume-
rern entwickelt. Sie gründeten Stadtstaaten und errichteten den von ihnen
verehrten Gottheiten auf hohen Terrassen monumentale Tempel aus Ziegeln.

22

1 Anfänge von Arithmetik und Algebra

In ihnen residierte der Lugal, der Stadtfürst, zugleich oberster Priester und
weltlicher Herrscher. Ihm unterstand die Verwaltung des Tempels und der

Stadt. Vorräte wurden angelegt, in Tonkrügen aufbewahrt, amtlich gekenn-
zeichnet durch Stempelsiegel, die in den weichen Ton gedrückt worden waren.

Auf Tontafeln wurden die Bestände durch keilförmige Zeichen registriert.

Die Keilschrift war geboren und mit ihr die Zeichen für Zahlen zur Angabe
von Vorräten an Getreide, Öl und Wein, zur Beschreibung von Beständen an

Eseln, Schafen und Ziegen, an Waffen und Baumaterial.

Die ältesten überlieferten Tafeln mit Zahlzeichen in sumerischer Keilschrift
entstanden um 2900 v. Chr. in Uruk: erste Dokumente der in der Folgezeit
zu erstaunlicher Blüte entwickelten Mathematik in Mesopotamien. Hier wur-
de zum ersten Mal in der Geschichte der Menschheit ein Positionssystem

(Stellenwertsystem) zur Darstellung natürlicher und gebrochener Zahlen ent-
wickelt, das auf der Basis 60 beruhende Sexagesimalsystem. Im Zusammen-
hang damit entstand die noch heute übliche Einteilung der 24 Stunden eines

Tages in jeweils 60 Minuten und die Aufteilung jeder Minute in 60 Sekunden
sowie die Einteilung des Kreises in 360 Grad.

Den sumerischen Stadtstaaten und Dynastien folgten das Mesopotamien, Tei-
le Syriens und Kleinasiens sowie Elam umfassende Weltreich Sargons I. von

Akkad (2350–2300) und seiner Erben, die Fremdherrschaft der Gutäer aus

Abb. 1.3.2. Schriftdenkmal des Königs Kilamuwa in nordsemitisch/altphöniki-
scher Schrift (9. Jh. v. Chr., Nordsyrien, Pergamon-Museum Berlin)

[Foto Alten]

1.3 Mesopotamische (Babylonische) Algebra

23

Abb. 1.3.3. Ausschnitt mit Keilschrift aus einem Relief im Palast von Nimrud:

König Assurnasirpal II. bei kultischer Handlung (9. Jh. v. Chr., Mesopotamien,

Pergamon-Museum Berlin)

[Foto Alten]

24

1 Anfänge von Arithmetik und Algebra
dem Iran (2150–2050) und die Wiederherstellung des akkadisch-sumerischen

Reiches unter der dritten Dynastie von Ur (2050–1950).

Die seit 2000 aus Kanaan eingewanderten Semiten gründeten im mittleren

Verlauf von Euphrat und Tigris die Stadt Babylon (von Babili = Gottespfor-
te), Zentrum des zur beherrschenden Macht in Mesopotamien aufgestiegenen

Altbabylonischen Reiches, das unter dem durch seine Gesetzgebung berühmt
gewordenen König Hammurapi (1728–1686) sogar das am oberen Tigris ent-
standene Altassyrische Reich zum Vasallenstaat unterwarf, aber um 1530
durch Einfälle der Hethiter aus Kleinasien und der Kassiten aus dem Iran
und schließlich durch die Herrschaft der Elamiter sein Ende fand. Kultur- und

Verwaltungssprache war in dieser Zeit das in akkadischer Keilschrift geschrie-
bene Akkadische – glanzvoller Beleg ist das im Palast von Mari gefundene

Archiv der 20 000 Tontafeln aus der Zeit des Hammurapi.

Im

Goldenen Zeitalter“ der elamitischen Herschaft um 1250 entstand die

”

neue Stadt Dar-Untasch mit der gewaltigen Zikkurat von Tschogha Sambil.

Diese Stufenpyramide – bei Susa (Shush) in der Provinz Khuzistan des Iran
gelegen – wurde erst 1934 durch Luftaufnahmen entdeckt (vgl. Abb. 1.3.4).

Sie ist weniger zerstört und großartiger als alle anderen Zikkurats des Zwei-
stromlandes. An vielen Ziegeln der Mauern haben die Texte in Keilschrift die

Zeiten überdauert (vgl. Abb. 1.3.5).

Der fast 800 Jahre währenden Vorherrschaft der Assyrer in Mesopotamien

(Mittelassyrisches Reich (1375–1047) und Neuassyrisches Reich (883–612))

und den brutalen Kriegs- und Vernichtungszügen der grausamen Herrscher
von Assur und Ninive - Salmanassar I., Tiglatpileser I., Assurnasirpal II.,

Sargon II., Sanherib und Asarhaddon, um nur einige Namen zu nennen –
wurde erst durch die Zerstörung Assurs (614) und Ninives (612) ein Ende ge-
setzt. König Nabopolassar führte das sog. Neubabylonische Reich (625–539)

zu höchster Blüte. Mesopotamien, Elam, Syrien und Palästina gehörten zu
diesem Reich, die gefangenen Juden weinten an den Wassern von Babylon.

Die Astronomie der Chaldäer und die zur Beschreibung der Himmelsbeob-
achtung unerläßliche Mathematik erfuhren eine ungeahnte Blüte: Systeme
linearer Gleichungen, gewisse quadratische und kubische Gleichungen wur-

√
den gelöst, erstaunliche Näherungswerte für

2 gefunden und vieles andere
mehr.

Die Eroberung Mesopotamiens durch die Perser (539) unter Kyros II. brachte
das Ende selbständiger Reiche in Mesopotamien: Babylonien wurde persische

Provinz und im Jahre 331 Teil des Weltreiches Alexanders des Großen.

Weil die in Mesopotamien gefundenen Dokumente mathematischen Inhalts
zumeist aus dem Altbabylonischen oder dem Neubabylonischen Reich stam-
men, ist für die im Laufe von 1500 Jahren entwickelte mesopotamische Ma-
thematik die Bezeichnung Babylonische Mathematik“ weitgehend üblich ge-

”

worden.

Als Quelle der mesopotamischen Mathematik sind Tontafeln erhalten, in wel-
che Bildzeichen mit Griffeln eingeritzt wurden. Später drückte man keilförmi-

1.3 Mesopotamische (Babylonische) Algebra

25

Abb. 1.3.4. Zikkurat (Stufenturm) von Tschogha Sambil, religiöses Zentrum der

Elamiter um 1250 v. Chr.

[Foto Pakzad]

Abb. 1.3.5. Elamitische Keilschrift an der Zikkurat von Tschogha Sambil (um

1250 v. Chr.)

[Foto Alten]

26

1 Anfänge von Arithmetik und Algebra

Abb. 1.3.6. Unsterbliche Wache am Palast des Darius in Susa (Pergamon-Museum

Berlin)

[Foto Alten]

1.3 Mesopotamische (Babylonische) Algebra

27
ge Griffel in den noch weichen Ton, daher der Name Keilschrift“. Die Texte

”

unterscheiden sich in Tabellen und Aufgabensammlungen. Aufzufinden sind
diese wichtigen Dokumente an folgenden Stellen:

British Museum, London (BM),

Antiquités Orientales, Louvre, Paris (AO),

Vorderasiatische Abteilung der Staatlichen Museen, Berlin (VAT),

Yale Babylonien Collection der Yale Universität, New Haven (YBC),

Bibliothéque Nationale et Universitaire, Straßburg (SKT).

Sie sind dort mit der Abkürzung der Sammlung versehen, in welcher sie
aufzufinden sind, ebenfalls mit den Inventarnummern. Insbesondere hat Otto

Neugebauer seit 1935 die mathematischen Texte übersetzt und veröffentlicht.

Wir besitzen viele Zeugnisse der mesopotamischen und einige der ägypti-
schen Mathematik, wir kennen auch ziemlich genau die Entwicklung der alten

Kulturen, jedoch kennen wir die Schöpfer der mathematischen Erkenntnis-
se nicht. Erst bei den Griechen können wir beginnen, die mathematischen

Errungenschaften einer bestimmten Person oder Schule zuzuordnen.

Die babylonischen Keilschrifttexte mathematischen Inhalts haben die Form
einer Vorschrift oder eines Rezeptes. In den Aufgaben wird mit konkreten

Zahlen gerechnet. Die Texte sind jedoch so formuliert, daß an ihrer Stel-
le auch andere Zahlen oder gar Variablen (Platzhalter) eingesetzt werden
können, für welche die Babylonier aber keine Zeichen hatten. Einige Aufga-
ben bzw. Probleme lassen Rückschlüsse auf theoretisches Denken zu, z. B. die

Betrachtung von Gleichungen vierten oder höheren Grades.

1.3.1 Zahlzeichen in Keilschrift

Die in Mesopotamien gebräuchliche Keilschrift wurde auch zur Darstellung
von Zahlen benutzt. Das von den Sumerern schon verwendete Zahlsystem ist

– grob gesprochen – das Sexagesimalsystem (Basis 60), in Wirklichkeit aber
ein gemischtes Dezimal- und Sexagesimalsystem, denn sie verwendeten das
durch senkrechten Druck eines runden Griffels in Ton entstehende Zeichen
für 10, das durch schräg gehaltenen Griffel geprägte Zeichen
für 60 (in
kleinerer Form auch für 1) und setzten bis zu 5 mal nebeneinander (also
für 10, 20, ..., 50) und
bis zu 9 mal (für 60, 120, ..., 540). Für 600 benutzten
sie dann den Abdruck
eines größeren Griffels.

Diese altsumerischen Zahlzeichen wurden später durch die mit einem an-
geschärften Griffel entstehenden Zeichen ersetzt:

Keil
für 1 , 60 , 602 , . . . , aber auch für 1 , 1 , . . . ;

60

3600

Winkelhaken
für 10 , 10 · 60 = 600 , 10 · 602 = 36000 , . . .

28

1 Anfänge von Arithmetik und Algebra

In den Keilschrifttexten in der Zeit 2000–200 v. Chr. wurden die ganzen Zah-
len von 1 bis 59 nach der Gruppierungsmethode“ im sexagesimalen Positi-

”

onssystem geschrieben, indem der Winkelhaken für 10 so oft gesetzt wurde,
wie Zehner in der Zahl auftraten, der Keil für 1 so oft, wie Einer auftraten.

Die anderen ganzen Zahlen und Brüche wurden sexagesimal geschrieben, z. B.

= 2 · (10) + 5 = 25

= (12 , 30 , 5) s = 12 · 602 + 30 · 60 + 5 = 45 005

Die Darstellung einer Zahl a im Sexagesimalsystem bezeichnen wir mit as.

Zahlen ohne untere Indizes stehen im Dezimalsystem. Es ist klar, daß wir für
die Zahlen 1 , . . . , 59 keine Indizes zu schreiben brauchen, weil diese Zahlen in
beiden Systemen dieselbe Darstellung haben.

In einem Positionssystem (Stellenwertsystem) wird der Wert eines Zahlzei-
chens (einer Ziffer) eindeutig durch seine Stellung in der Zahl festgelegt, also
ist ein solches System ohne eine Ziffer für Fehl- oder Leerstellen (d. h. ohne

Null) unmöglich. Weil die Babylonier kein Zeichen für die Leerstelle hatten,
haben die Schreiber manchmal versucht, eine fehlende Stelle durch Auseinan-
derrücken der Zahlen deutlich zu machen. Andernfalls mußte man anhand des

Zusammenhangs oder aus eingefügten Erklärungen den genauen Wert fest-
stellen. Z. B. kann die Zahl
als (1 , 0 , 4) s = 602+0 · 60+4 = 3604 oder

(1 , 4) s = 1 · 60 + 4 = 64 oder (1 , 0 , 0 , 4) s = 1 · 603 + 0 · 602 + 0 · 60 + 4 = 216 004
gelesen werden.

Erst in den Susa-Texten aus der Perserzeit finden sich gelegentlich zwei kleine,
schräg gestellte Winkelhaken
als Lückenzeichen im Innern von Zahldarstel-
lungen [Gericke 1984, S. 13]. Zahlen im Sexagesimalsystem werden in diesem

Text wie folgt geschrieben:

Wir trennen die Potenzen von 60 durch Kommata, z. B. ist 5 , 6 , 10 im Sexa-
gesimalsystem gleich 5 × 602 + 6 × 60 + 10 im Dezimalsystem. Entsprechend
ist (5 , 6 , 10 , 0) s = 5 × 603 + 6 × 602 + 10 × 60 + 0 . Das Semikolon hat die Rolle des modernen Dezimalkommas, z. B. ist (5 , 6; 1) s = 5 × 60 + 6 + 1 und

60

(5; 6 , 1) s = 5 + 6 + 1 .

60

3600

Das Zeichen für die Subtraktion war
z. B. 38 = 4 · (10) − 2 =

.

Die ersten Texte über Multiplikation und Reziprokentafeln stammen aus der

Zeit um 2000 v. Chr. Die Reziprokentafeln 1 benutzten die Babylonier als
a

Hilfsmittel für die Division, indem sie die Zahl b : a als b · 1 = b berechneten.

a
a

Später haben sie Tafeln für Quadrate, Quadratwurzeln, Kubikwurzeln und

Potenzen sowie eine Tafel für n 2 + n 3 erstellt.

1.3 Mesopotamische (Babylonische) Algebra

29

Abb. 1.3.7. Figur zum einfachen falschen Ansatz

1.3.2 Die Methode des einfachen falschen Ansatzes

Die kulturelle Entwicklung im Zweistromland führte zwangsläufig auch zur

Entstehung einer Rechenkultur“ und zur Entwicklung mathematischer Me-

”

thoden, die sich nicht nur in der Darstellung von Zahlen zur Addition und

Subtraktion erschöpfte. Vielmehr führten der Bau von Tempeln und Palästen,
die Anlage von Straßen, die Aufteilung von Feldern und astronomische Beob-
achtungen zur Betrachtung geometrischer Figuren und zur Berechnung von

Diagonalen, Umfängen, Flächeninhalten oder Volumina und damit zur Um-
wandlung von Problemen der Geometrie in Aufgaben der Algebra. Aber auch
die Entwicklung in Handel und Verkehr erforderte die Bereitstellung mathe-
matischer Methoden zur Lösung der auftretenden Probleme. Insbesondere
stieß man sehr bald auf praktische Probleme, welche – modern gesprochen –
die Lösung linearer oder quadratischer Gleichungen oder von Systemen sol-
cher Gleichungen erforderte, später auch auf Gleichungen dritten und vierten

Grades. Allerdings waren die Rechner der Antike weit davon entfernt, einen
wirksamen Symbolismus zur allgemeinen Behandlung solcher Gleichungen
und Systeme zu benutzen, wie er uns heute zur Verfügung steht und erst
in der Neuzeit entwickelt wurde. Die Babylonier (wie auch die Ägypter) for-
mulierten vielmehr konkrete Beispiele und deren Lösung in Texten und ver-
suchten, die Lösung experimentell zu ermitteln, z. B. mit der Methode des
einfachen falschen Ansatzes.

30

1 Anfänge von Arithmetik und Algebra

Zur Lösung der Gleichung αx + β = b wählte man eine beliebige Zahl x 1 und
berechnete αx 1 + β = b 1 . Dann ist x = b−β (vgl. Abb. 1.3.7).

x 1
b 1 −β

Die Babylonier (auch die Ägypter) wendeten die Methode jedoch nur auf

Gleichungen der Gestalt ax = b an. Hier ein Beispiel aus dem Text Susa C
altbabylonischer Zeit [Tropfke 1980, S. 368]:

In einem Rechteck ist die Diagonale gleich 40, die Breite ( y) gleich 3 der

4

Länge ( x). Wie groß sind die Länge und die Breite?

Die Lösung entspricht (in heutiger Symbolik) dem Gleichungssystem

y = 3 x,
y 2 + x 2 = 40. Die Verwendung von
y 2 + x 2 läßt darauf schließen,

4
daß die Babylonier offenbar den Lehrsatz des Pythagoras kannten. Im Text
wird der vorläufige Wert x 1 = 60 für x eingesetzt. Man erhält y 1 = 3 60 = 45

4

√
und für die Diagonale
y 2 + x 2 =

452 + 602 = 75 = (1 , 15)

1

1
s. Die Lösung
ergibt sich dann (nach dem Strahlensatz) aus x = 40 zu x = 32, y = 24.

60

75

Dieselbe Aufgabe hätte man auch ohne die Methode des falschen Ansatzes
lösen können:

2
d =
x 2 + 3 x

= 5 x = 40.

4

4

Durch solche Aufgaben, die aus einfachen Flächenberechnungen entstanden
sind, konnte theoretisches Interesse unterstützt werden.

Sie wurden von den Lehrern für ihre Schüler umgestellt, indem sie zunächst
die Flächen berechneten und daraus Übungsaufgaben wie oben kombinierten,
deren Lösungen zudem keine krummen Zahlen“ enthielten.

”

Die Anwendung des einfachen falschen Ansatzes ist eine algebraische Lösungs-
form, die bis ins 17. Jahrhundert in mathematischen Büchern zu finden war.

Der Grund für die Entstehung einer solchen Methode war die Nicht-Existenz
eines wirksamen Symbolismus in der Algebra. Für heutige Schüler und Stu-
denten ist die Lösung einer linearen Gleichung αx + β = b kein Problem.

Auch bei den Ägyptern im Papyrus Rhind und später in Griechenland bei

Diophant (ca. 250 – ca. 330), in Indien bei Bhaskara II (1114–1185?) und im

Bakhsh¯
al¯ı-Manuskript (wahrscheinlich im 6. Jh. geschrieben) begegnen wir
dieser Methode.

Später wurde diese Regel im Abendland bekannt, wo sie z. B. im Liber abbaci
von Leonardo von Pisa (1170–1240) erscheint.

1.3.3 Lineare Gleichungssysteme

Viele praktische Probleme führten die Babylonier auf die Betrachtung von

Systemen linearer Gleichungen.

Beispiel 1.3.1: Dem altbabylonischen Text VAT 8389 [Waerden 1966 b, S.

106] entnehmen wir folgendes Beispiel:

Von 1 b`
ur habe ich 4 gur Getreide geerntet. Von einem zweiten b`
ur habe ich

”

3 gur Getreide geerntet. Das Getreide ¨
ubertrifft das Getreide um (8 , 20) s .

Meine Felder addiert sind (30 , 0) s . Wie groß sind meine Felder?“

1.3 Mesopotamische (Babylonische) Algebra

31

Darin bedeuten (8 , 20) s, bzw. (30 , 0) s Angaben in sila bzw. in SAR, und die
hier und in anderen Aufgaben verwendeten babylonischen Maße sind:

1 Finger ≈

1,7 cm

(Längenmaß)

1 sila

= 63 Kubikfinger (Raummaß)

1 gur

=

(5 , 0) s sila

(Raummaß)

1 Elle

≈

50 cm

(Längenmaß)

1 GAR =

12 Ellen

(Längenmaß)

1 SAR

=

(1GAR) 2

(Flächenmaß)

1 bùr

= (30 , 0) s SAR (Flächenmaß)

Der Finger, die Elle und das GAR waren Grundlängenmaße; die Flächenein-
heit SAR wurde auf GAR aufgebaut. (GAR bedeutet die Grenze und SAR
bedeutet das Beet.) Ein Sila war ein Holzgefäß, das die für ein Brot notwendi-
ge Getreidemenge faßte. Dieses war wahrscheinlich dem täglichen Nahrungs-
bedarf eines damaligen Sklaven gleichwertig [Tropfke 1980, S. 70ff.].

Seien α bzw. β der Flächeninhalt des ersten bzw. des zweiten Feldes (in

SAR): in dem ersten Feld wurden (pro bùr = (30 , 0) s SAR) 4 gur = (20 , 0) s
sila Getreide geerntet, insgesamt wurden also vom ersten Feld
α

(20 , 0)

(30 , 0) s
s
sila Getreide geerntet; vom zweiten Feld wurden (pro bùr) 3 gur= (15 , 0) s
sila Getreide geerntet, insgesamt also
β

(15 , 0)

(30 , 0) s
s sila Getreide. Folglich
erhalten wir:

(20 , 0) s α − (15 , 0) sβ = (8 , 20)

(30 , 0) s

(30 , 0) s
s

(1.3.1)

α + β = (30 , 0) s

Wird hingegen der Text Das Getreide übertrifft das Getreide um (8 , 20)

”

s“ ge-
deutet als der Unterschied der geernteten Getreidemengen beträgt (8 , 20)

”

s“,
so sind zwei Fälle zu betrachten:

(Fall 1) (20 , 0) s α − (15 , 0) s β > 0

(30 , 0) s

(30 , 0) s

(Fall 2) (20 , 0) s α − (15 , 0) s β < 0

(30 , 0) s

(30 , 0) s

Im Text wird nur der Fall 1 betrachtet, obwohl in beiden Fällen positive ra-
tionale Lösungen auftreten; wir wollen später (s. C weiter unten) erklären,
warum das so ist. Also wird im Text im wesentlichen das lineare Gleichungs-
system (1.3.1) in zwei Unbekannten α und β betrachtet.

Im Text wird zunächst α = β angenommen, also α = β = (15 . 0) s und damit
die linke Seite der ersten Gleichung berechnet:

(20 , 0) s
µ =

(15 , 0) s − (15 , 0) s (15 , 0) s.

(30 , 0) s

(30 , 0) s

Die Berechnung im Text kann folgendermaßen dargestellt werden (um p zu
q
finden, wird im Text zunächst 1 berechnet, dann wird 1 multipliziert mit p):

q
q

32

1 Anfänge von Arithmetik und Algebra

1

= (0; 0 , 2)

(30 , 0) s
s

(20 , 0) s = (20 , 0)

(30 , 0) s
s · (0; 0 , 2) s = (0; 40) s

(20 , 0) s (15 , 0)

(30 , 0) s
s = (0; 40) s · (15 , 0) s = (10 , 0) s

(15 , 0) s = (0; 0 , 2)

(30 , 0) s
s · (15 , 0) s = (0; 30) s

(15 , 0) s (15 , 0)

(30 , 0) s
s = (0; 30) s · (15 , 0) s = (7 , 30) s

(10 , 0) s − (7 , 30) s = (2 , 30) s

(1.3.2)

Wenn also α = β wäre, dann wäre die Differenz der Erträge (2 , 30) s sila, aber
die Differenz ist in der Tat (8 , 20) s sila. Nun heißt es im Text:

(8 , 20) s − (2 , 30) s = (5 , 50) s

(1.3.3)

(0; 40) s + (0; 30) s = (1; 10) s

(1.3.4)

(5 , 0)

2
s · (1; 10) s = (5 , 50) s

(1.3.5)

Im Text wird die Zahl (5 , 0) s einmal zu (15 , 0) s addiert (d. h. zur Hälfte des
gesamten Flächeninhalts) und einmal davon subtrahiert und man erhält:

α = (15 , 0) s + (5 , 0) s = (20 , 0) s

(1.3.6)

β = (15 , 0) s − (5 , 0) s = (10 , 0) s

Einige Bemerkungen zu Beispiel 1.3.1:

A: Obwohl die Werte von α und β in (1.3.6) das Gleichungssystem (1.3.1)

erfüllen, geht aus dem Text keine Begründung für die zur Lösung verwende-
te Methode hervor. (Die Babylonier kannten das Einsetzungs- oder Substi-
tutionsverfahren für die Lösung des Systems (1.3.1), d. h. sie konnten z. B.

α = (30 , 0) s − β aus der zweiten Gleichung finden und in die erste Gleichung
einsetzen, daraus β und schließlich α berechnen.)

Eine babylonische“ Begründung für die Methode des Textes könnte wie folgt

”

sein: Sei (20 , 0) s = α

= β

(30 , 0) s

0, (15 , 0) s

(30 , 0) s

0, (30 , 0) s = 2 λ 0 ; dann haben wir nach (1.3.2)

in dem Text:

α 0 λ 0 − β 0 λ 0 = (2 , 30) s

(1.3.7)

und nach (1.3.3)

2 Für diesen Schritt sagt der Text: Das Reziproke von (1; 10) s kenne ich nicht. Was
muß ich mit (1; 10) s multiplizieren, um (5 , 50) s zu erhalten? Nimm (5 , 0) s, denn

(5 , 0) s · (1; 10) s = (5 , 50) s.

1.3 Mesopotamische (Babylonische) Algebra

33

( α 0 α − β 0 β) − ( α 0 λ 0 − β 0 λ 0) = (5 , 50) s

(1.3.8)

oder äquivalent dazu:

α 0( α − λ 0) + β 0( λ 0 − β) = (5 , 50) s .

(1.3.9)

Aber nach (1.3.4) haben wir α 0 + β 0 = (1; 10) s und nach (1.3.5)

(5 , 50) s = (5 , 0)

α 0+ β 0
s; also erhält man nach (1.3.9):

α 0( α − λ 0) + β 0( λ 0 − β) = (5 , 0) s .

(1.3.10)

α 0 + β 0

Erste Rechtfertigung von (1.3.6):

Wir haben α + β = 2 λ 0, also α − λ 0 = λ 0 − β; nach (1.3.10) erhält man dann
α 0( α − λ 0) + β 0( α − λ 0) = (5 , 0) s .

α 0 + β 0

Daraus folgt α − λ 0 = (5 , 0) s oder äquivalent α = (5 , 0) s + λ 0; also gilt α = (5 , 0) s+(15 , 0) s; daraus folgt β = 2 λ 0 −α = λ 0 −(5 , 0) s = (15 , 0) s−(5 , 0) s.

Zweite Rechtfertigung von (1.3.6):

Nach (1.3.10) liegt (5 , 0) s zwischen α − λ 0 und λ 0 − β, aber α − λ 0 = λ 0 − β, deshalb erhält man α − λ 0 = λ 0 − β = (5 , 0) s, also ist α = (5 , 0) s + (15 , 0) s =

(20 , 0) s; β = (15 , 0) s − (5 , 0) s = (10 , 0 s).

B: Der Text des Beispiels sagt Das Reziproke von (1; 10)

”

s kenne ich nicht“ .

Das liegt daran, daß

1

= 6 nicht als endlicher Sexagesimalbruch dar-

(1;10) s

7
gestellt werden kann, weil, ggT(6,7) =1 und kein Primfaktor von 7 in der

Menge der Primfaktoren von 60 enthalten ist.

C: Der Text des Beispiels 1.3.1 betrachtet nur Fall 1; also nicht das lineare

Gleichungssystem

(15 , 0) sβ − (20 , 0) sα = (8 , 20)

(30 , 0) s

(30 , 0) s
s
β + α = (30 , 0) s

.

Dessen Lösung ist α = 2400 , β = 10200 (im Dezimalsystem). Nun ist

7

7
ggT(2400,7) = ggT(10200,7) = 1 und 7 kein Primfaktor von 60.

Also gibt es in diesem Fall keine Darstellungen von α und β als endliche

Sexagesimalbrüche. Das ist vielleicht der Grund, warum der Text im Beispiel

1.3.1 den Fall 2 nicht behandelt.

34

1 Anfänge von Arithmetik und Algebra

1.3.4 Nichtlineare Systeme und quadratische Gleichungen

Im Zusammenhang mit Flächenberechnungen stießen die Babylonier auf qua-
dratische Gleichungen. Um einen Eindruck von den Methoden zu gewinnen,
mit denen man in Mesopotamien schon vor Jahrtausenden solche Aufgaben
beschrieb und behandelte, studiert man am besten Originaltexte aus jener

Zeit.

Im folgenden diskutieren wir einen altbabylonischen Text aus der Zeit der

Hammurapi -Dynastie (1700 v. Chr.). Er wird in AO 8862 ( Paris, Louvre,

Antiquités Orientales) aufbewahrt.

Beispiel 1.3.2: Übersetzung eines Keilschrifttextes [Waerden 1966 b, S. 102]:

L¨
ange und Breite habe ich multipliziert und so die Fl¨
ache gemacht, wiederum,
was die L¨
ange ¨
uber die Breite hinausgeht, zur Fl¨
ache habe ich addiert und

(es gibt) 3,3. Wiederum L¨
ange und Breite addiert (gibt) 27. L¨
ange, Breite
und Fl¨
ache (ist) was?

In moderner Form würde das Problem wie folgt formuliert:

xy + x − y = (3 , 3) s ,

(1.3.11)

x + y = 27
wobei x die Länge und y die Breite bezeichnet. Zur Lösung dieser Aufgabe
heißt es weiter im Text:

Du bei Deinem Verfahren: 27, die Summe von L¨
ange und Breite,
zu (3 , 3) s addiere; (es gibt) (3 , 30) s . 2 zu 27 addiere; (es gibt 29).

In heutiger Darstellung heißt dies
x( y + 2) = (3 , 30) s
x + ( y + 2) = 29

.

Nun erhält man (mit y = y + 2)

xy = (3 , 30) s

(1.3.12)

x + y = 29

.

Der Algorithmus, den der Autor für die Lösung von (1.3.12) angibt, entspricht
dem folgenden Satz von Viète über Summe und Produkt der Wurzeln einer
quadratischen Gleichung:

Die Lösungen des Gleichungssystems
xy = α
x + y = β
sind

1.3 Mesopotamische (Babylonische) Algebra

35

⎧

⎧

⎨ x = β + ( β )2 − α

⎨ x = β − ( β)2 − α

2

2

2

2

⎩
und

(1.3.13)

y = β −

( β )2 − α

⎩ y = β + ( β)2 − α

2

2

2

2

Im Text wird dieses Verfahren so beschrieben:

Seine H¨
alfte von 29, brichst Du ab; (14; 30) s mal (14; 30) s (ist) (3 , 30; 15) s;

(d. h. ( β )2 = (14; 30)2

) × (14 + 30 ) = 210 1 = 3 × 60 + 30 +

2
s = (14 + 30

60

60

4

15 = (3 , 30; 15)

60
s). Von (3 , 30; 15) s, (3 , 30) s subtrahierst Du; (0; 15) s (ist) der

Unterschied (im Dezimalsystem 1 ) . (0; 15)

4
s hat (0; 30) s (als) Quadratwurzel

(d. h. 15 = 30 × 30 = 1 × 1 ) . (0; 30)

60

60

60

2

2
s zur ersten (14; 30) s addiere; (es gibt)

15 (als) L¨
ange [ d. h. 30 + 14 + 30 = 15]. (0; 30)

60

60
s von der zweiten (14; 30) s
subtrahierst Du; (es gibt) 14 (als) Breite: 2, das Du zu 27 addiert hast, von 14,
der Breite, subtrahierst Du; (es gibt) 12 (als) endg¨
ultige Breite. 15 L¨
ange, 12

Breite habe ich multipliziert. 15 mal 12 (gibt) (3 , 0) s (als) Fl¨
ache. 15 L¨
ange

¨
uber 12 Breite, was ragt es hinaus? (Um) 3 geht es dar¨
uber hinaus. 3 zu

(3 , 0) s, der Fl¨
ache, addiere. (3 , 3) s (ist das Resultat).

Dieser Text beschreibt also den Algorithmus, mit dem die Lösung gemäß der

(uns geläufigen) Formel berechnet wird, erläutert auch noch die Rechenprobe,
läßt aber nicht erkennen, wie man diese Formel gefunden hat.

Da die Babylonier bereits die binomische Formel ( a + b)( a − b) = a 2 − b 2
kannten, ist zu vermuten, daß sie ähnlich vorgegangen sind wie später Dio-
phant: Macht man für das System xy = α, x + y = β den Ansatz x = β + µ,

2

y = β − µ so folgt wegen xy = ( β )2 − µ 2 = α, daß µ =

( β )2 − α ist und

2

2

2
damit (1.3.13).

Die Rolle der Hilfsvariablen y ist in diesem Beispiel merkwürdig. Der Text
gibt nur die Länge x = 15 und y = 14 für das System (1.3.12) an. Also ist
die Lösung des Systems (1.3.11) nach dem Text x = 15, y = 12. Aber auch
x = 14 und y = 15 ist Lösung des Systems (1.3.12), daraus folgt x = 14 und
y = 13, die andere Lösung des Systems (1.3.11).

Um die Einführung von y in Beispiel 1.3.2 zu rechtfertigen, kann man wie
folgt argumentieren:

Sei y = y + d, dann ist (1.3.11) gleichwertig dem System
xy = (3 , 3) s + xd − x + y − d
y = 27 + d − x

.

y von der zweiten Gleichung wird in der rechten Seite der ersten Gleichung
eingesetzt:

xy = (3 , 3) s + x( d − 2) + 27 .

Um x auf der rechten Seite der letzten Gleichung zu beseitigen, muß d = 2
gesetzt werden. Dann erhalten wir (1.3.12) (siehe auch Aufgabe 1.3.1).

36

1 Anfänge von Arithmetik und Algebra

Abb. 1.3.8. Autographie AO 8862 [Neugebauer 1935, Tafel 35] Ab der 6. Zeile
kann man alle Zahlen des Beispiels 1.3.2 wiederfinden

1.3 Mesopotamische (Babylonische) Algebra

37

Das Beispiel zeigt, daß die Babylonier ein Gleichungssystem der Gestalt

(1.3.12) lösen konnten. Ob sie sich mit einer Lösung begnügten, weil x und
y in den Gleichungen vertauscht werden können, sei dahingestellt.

Die Babylonier haben also gewisse nichtlineare Gleichungssysteme betrachtet
und zwar solche, die schließlich auf das Lösen einer quadratischen Gleichung
hinauslaufen, wie das folgende Gleichungssystem zeigt.

Beispiel 1.3.3: Eine Aufgabe der Susa-Texte IX [Gericke 1984, S. 26] in
moderner Schreibweise lautet:

Seien x und y die Länge bzw. die Breite eines Rechtecks und die folgenden

Bedingungen erfüllt:

xy + x + y = 1

( i)

1

.

(3 x + 4 y) + y = (0; 30)

( ii)

17
s

Um x und y zu ermitteln, wird im Text ( ii) mit 17 multipliziert:

3 x + 21 y = 17 · (0; 30) s = (8; 30) s ( ii)

.

Nun werden im Text Hilfsunbekannte eingeführt:

x = 3( x + 1), y = 21( y + 1).

Damit ergibt sich

x + y = 3 x + 21 y + 24 = (8; 30) s + 24 = (32; 30) s

(nach ( ii) )

x · y = (1 , 3) s( xy + x + y + 1) = (1 , 3) s. 2 = (2 , 6) s (nach ( i))

also das System
x + y = (32;30) s ( iii) .

xy = (2 , 6) s

Nun wird die den Babyloniern bekannte Identität
x + y
x − y

(

)2 − (

)2 = xy

2

2
benutzt (es ist nicht bekannt, wie die Babylonier diese Identität rechtfertig-
ten). Damit erhält man aus ( iii)

x − y

(16; 15)2 − (2 , 6)

=

(11; 45)

s
s =
s

2
und schließlich

28
y = (16; 15) s + (11; 45) s = 28 ,
y + 1 = (

) s = (1; 20) s

21

38

1 Anfänge von Arithmetik und Algebra

(4; 30) s
x = (16; 15) s − (11; 45) s = (4; 30) s,
x + 1 =

= (1; 30) s

3
y = (0; 20) s,
x = (0; 30) s.

Also ist eine Lösung ( x, y) = ((0; 30) s, (0; 20) s) = ( 1 , 1 ) . Es ist zu bemerken,

2

3
daß im Text der negative Wurzelwert, also der folgende Fall nicht betrachtet
wird:

(16;15)2 −
s

(2 , 6) s = x−y

In diesem Falle, ergibt sich:

2
x + y
y − x

= (16; 15) s,

= (11; 45) s

.

2

2

Daraus folgt

28

20
x = (16; 15) s + (11; 45) s = 28

,
x + 1 = (

) s = 9 +

= (9; 20) s

3

60

(4; 30) s
y = (16; 15) s − (11; 45) s = (4; 30) s,
y + 1 =

21
x = (8; 20) s,
y = − 11 = −(0; 47 , 8 , 34 , 17) s.

14

Also ist die Lösung in diesem Fall

25

( x, y) = ((8; 20) s − (0; 47 , 8 , 34 , 17) s) = (

, − 11 ) .

3

14

Diese Lösung war für die Babylonier nicht akzeptabel, denn y (d. h. die Breite)

ist negativ; 11 hat auch keine endliche Darstellung im Sexagesimalsystem.

14

1.3.5 Kubische Gleichungen: Der Beginn eines 3500 Jahre alten

Problems

In einem altbabylonischen Keilschrifttext – die zerbrochene Tafel wird zum

Teil im Britischen Museum in London (BM 85 200), zum Teil in Berlin (VAT

6599) aufbewahrt – ist von einer quaderförmigen Ausschachtung die Rede.

Im Zusammenhang damit werden mehrere Aufgaben betrachtet, bei denen
die Summe Querschnitt plus Volumen“ eine Rolle spielt, also in moderner

”

Bezeichnung xy + xyz, wenn x, y, z Länge, Breite und Tiefe des Quaders be-
zeichnen. Die Vorgabe dieser Summe und verschiedene Nebenbedingungen
führen auf Gleichungssysteme, die durch Transformation auf eine Gleichung

1.3 Mesopotamische (Babylonische) Algebra

39
ersten, zweiten oder dritten Grades zurückgeführt werden oder durch Kunst-
griffe gelöst werden. Insbesondere konnten spezielle Gleichungen durch die

√

Verwendung von Tabellen für die Multiplikation, für 1 , n 2,
n , n 3 und
n
n 2 + n 3 gelöst werden; z. B. steht eine Tabelle für n 2 + n 3 auf einer spätba-
bylonischen Keilschrifttafel zur Verfügung (VAT 8492).

Beispiel 1.3.4:

Querschnitt und Volumen sollst Du addieren: es ist (1; 10) s , d. h.

1
xy + xyz = (1; 10) s = 1

.

6

Außerdem gibt der Text die Nebenbedingungen y = 2 x und z = 12 x.

3

Daraus folgt

(12 x)3 + (12 x)2 = (12 x)2(12 x + 1) = (4 , 12) s = 252

.

Nach der Tabelle für n 2 + n 3 erhält der Rechner 12 x = 6 . Der Aufgabensteller
hat die Nebenbedingungen und die Zahlenwerte offenbar so gewählt, daß die

Tafel für n 2+ n 3 benutzt werden kann. Man erkennt hier (wie auch an früheren

Beispielen), daß die konkreten Aufgaben der Babylonier nicht unmittelbar
aus praktischen Problemen stammten, sondern für Lehrzwecke so konstruiert
wurden, daß sie mit den verfügbaren Hilfsmitteln lösbar waren – so wie auch
heute noch für Schüler und Studenten Klausuraufgaben meist so konstruiert
werden, daß sie mit glatten Zahlen“ lösbar sind; vgl. [Høyrup 2002].

”

Auch die Gleichung x 3 = a lösten die Babylonier mit Hilfe einer Tabelle der

Kubikzahlen, wenn a = n 3, also eine Kubikzahl war.

So beginnt ein Jahrtausende fortwährender Versuch der Lösung von kubi-
schen Gleichungen. Die Lösungsmethode mit Hilfe angefertigter Tabellen
kann nicht als eine algebraische Methode betrachtet werden. Es war nur eine
rechnerische Methode, um ein maßgeschneidertes Problem zu lösen. Lösungs-
formeln für allgemeine Gleichungen dritten Grades wurden erst im 16. Jh. in

Italien gefunden(vgl. Abschnitt 5.1).

√

1.3.6 N¨
aherungswerte von

2

Die Babylonier konnten aus Tabellen Quadrate und ihre Quadratwurzeln ab-
lesen, soweit es sich um sogenannte vollständige“, d. h. um reine Quadrat-

”

zahlen, handelte.

Ansonsten haben sie nach einem Näherungswert gesucht. So berechneten sie
die Diagonale eines Quadrates mit der Seitenlänge 1 und lösten dabei die

Gleichung x 2 = 2 näherungsweise. Schon um 1675 v. Chr. fanden sie einen
erstaunlich guten Näherungswert, nämlich

√ 2 ≈ (1;24 , 51 , 10) s ≈ 1 , 414213 .

40

1 Anfänge von Arithmetik und Algebra

Es ist aber nicht genau bekannt, wie sie zu der obigen Näherung gekommen
sind.

Die Zahlen 1,24,51,10 erscheinen in dieser Reihenfolge in der sexagesimalen

√

√

Entwicklung der

2, und wegen 0 <

2 − (1; 24 , 51 , 10) s < 1

603 liefern sie
einen guten Näherungswert. Diese Abschätzung ist im Dezimalsystem min-
destens auf fünf Dezimalen genau. Wir stellen hier zwei Möglichkeiten vor,

√
wie die Babylonier diesen Näherungswert für

2 ermittelt haben könnten.

I. Wahrscheinlich haben sie im wesentlichen die Zahlen 1,24,51,10 mit Hilfe
einer Sexagesimalschachtelung gefunden, indem sie (modern gesprochen) die

Äquivalenz a < b ⇒ a 2 < b 2 für a > 0 benutzten und durch wiederholte

Versuche das größte k bestimmten, für das (1 + k )2 < 2 ist:

60

√

1 <

2 < 1 + 1

√

1 + 24 <

2 < 1 + 24+1

60

60

√

1 + 24 + 51

2 < 1 + 24 + 51+1

60

602 <

60

602

√

1 + 24 + 51

2 < 1 + 24 + 51

60

602 + 10

603 <

60

602 + 10+1

603

Dieses Verfahren entspricht der noch heute verwendeten Methode der Inter-
vallschachtelung mit Dezimalbrüchen, die im n-ten Schritt den exakten Wert
der n-ten Stelle ausgibt.

Vermutlich haben die Babylonier auch durch einfache Rechnungen mit suk-

√
sessiven arithmetischen Mitteln

2 wie folgt angenähert.

√

II. Der Anfangswert – ein grober Näherungswert für

2 – ist x 1 = 1. Da 1 zu
klein und 2 zu groß ist, ist das arithmetische Mittel, d. h. 3 = (1; 30)

2
s = x 2
ein besserer Näherungswert. x 2 ist immer noch zu groß. Daraus folgt, daß 2
x 2
zu klein ist. Das arithmetische Mittel dieser zwei Abschätzungen

1

2

1 3

4

17

5

25

( x 2 +

) =

(

+

) =

= 1 +

= 1 +

= (1; 25) s := x 3

2
x 2

2 2

3

12

12

60

√
ist größer als

2 und eine bessere obere Schranke als x 2.

Im nächsten Schritt erhält man
x 4 = 1 ( x

) = 577 = 1 + 169 = 1 + 24 + 51

≈ 1 , 414216 .

2

3 + 2
x 3

408

408

60

602 + 10

603 +

240

603 · 408

Der von den Babyloniern benutzte Näherungswert

24

51

10

(1; 24 , 51 , 10) s = 1 +

+

+

≈ 1 , 414213

60

602

603
ist besser als x 4 = 1 , 414216, während x 5 = 1 , 414213562 bereits in 9 Dezi-

√
malen mit

2 übereinstimmt (vgl. auch Abschnitt 3.2.3).

Abbildung 1.3.9 b) zeigt die Abbildung einer Keilschrift in der Yale Baby-

”

lonian Collection“.

In stilisierter Darstellung und mit den in arabischen Ziffern geschriebenen

Zahlen erhält man daraus Abbildung 1.3.9 a), ein Quadrat mit der Sei-
tenlänge 1 = (0; 30)

2
s. Die Zahl (0; 42 , 25 , 35) s ist eine Abschätzung für

1.3 Mesopotamische (Babylonische) Algebra

41

√

Abb. 1.3.9. Zur Berechnung von

2

[Keilschrifttext aus der Yale Babylonian Collection, YBC7289]

√
die Länge der Diagonale (=

2 ), und (1; 24 , 51 , 10)

2
s ist der oben disku-

√
tierte erstaunlich gute Näherungswert für

2. Die wiederholte Bildung des
arithmetischen Mittels liefert schon nach wenigen Schritten erstaunlich gute

Näherungswerte ( quadratische Konvergenz“) und wurde vor der Einführung

”

des Taschenrechners im Schulunterricht als babylonisches Wurzelziehen“ ge-

”

lehrt. Sie entspricht der Berechnung der Glieder der quadratisch konvergenten

Folge

1

2
xn+1 =

( xn +

) .

(1.3.14)

2
xn
mit geeignet gewähltem Anfangswert x 1.

Dieses Verfahren wurde später von Heron von Alexandria in seiner Vermes-

”

sungslehre“ beschrieben und wird deshalb auch Heronisches Wurzelziehen“

”

genannt. Es entspricht der von den Griechen benutzten Näherungsformel
a 2 ±r ≈ a± r .

(1.3.15)

2 a

Wegen 2 = ( 3 )2 − 1 erhält man nach (1.3.15) mit a = 3 , r = 1

2

4

2

4

√

3

17

25

2 =

( )2 − 1 ≈ 3 − 1 =

= 1 +

= (1; 25) s = x 3 .

2

4

2

4 · 3

12

60

√

Erneute Anwendung der Heronischen Formel“ (1.3.15) auf

2 =

( 17 )2 − 1

”

12

144
liefert den besseren Näherungswert 17 − 1 · 1 · 12 = 577 = 1 + 169 , also

12

144

2

17

408

408
denselben Wert wie x 4 nach der babylonischen Formel“ (1.3.14) mit x

”

1 = 1.

42

1 Anfänge von Arithmetik und Algebra

Wesentliche Inhalte der Algebra in Mesopotamien

≈ 3000 v. Chr.

Sexagesimales Zahlensystem

≈ 2400 v. Chr.

Rechentechnik:

Multiplikationstafeln, Reziprokentafeln, Sexage-
simales Positionssystem

≈ 1900–1600

Wichtige mathematische Texte

(Altbabylonisches Reich) Lineare Gleichungen ( ax = b), Methode

(Hammurapi 1728–1686) des einfachen falschen Ansatzes,

Quadratische Gleichungen der Gestalt
x 2 + ax = b, x 2 − ax = b,

√

Näherungswerte von

2,

Kubische Gleichungen der Form
x 3 = a, x 3 + x 2 = a,

Lineare und spezielle nichtlineare Gleichungssy-
steme mit zwei Unbekannten, Berechnung pytha-
goreischer Zahlentripel

( x, y, z) mit x 2 + y 2 = z 2 ,
die binomischen Formeln

( a + b)2 = a 2 + 2 ab + b 2

( a + b)( a − b) = a 2 − b 2

539–330

Ein inneres Lückenzeichen für Null, einige ma-
persische Herrschaft
thematische Texte

Auswirkungen

Die Mesopotamische Mathematik übte Einflüsse auf die griechische Ma-
thematik aus, möglicherweise schon auf Thales und die Pythagoreer, eben-
so in hellenistischer Zeit auf Heron, Ptolemaios und insbesondere auf

Diophant. Auch al-Hw¯
arizm¯ı profitierte von der Ausstrahlung der Me-

˘
sopotamischen Algebra, die durch ihn eine Weiterentwicklung erfuhr. Die
nachhaltigste Auswirkung der Mesopotamischen Mathematik ist die noch
heute in der Winkel- und Zeiteinteilung lebendige Verwendung des Sexa-
gesimalsystems.

1.4 Aufgaben zu Kapitel 1

43

1.4 Aufgaben zu Kapitel 1

Aufgabe 1.2.1: Verteilung von Broten (aus Papyrus Rhind)

Verteile 100 Brote auf 5 Männer, so daß ihre Anteile eine arithmetische Folge
bilden, außerdem soll 1 der Summe der drei größten Teile gleich der Summe

7
der zwei kleinsten Teile sein.

Aufgabe 1.2.2: Einfacher falscher Ansatz (aus Papyrus Rhind).

2 , 1 und 1 eines Wertes ist insgesamt 33. Was ist dieser Wert?

3

2

7

Aufgabe 1.3.1:Zinseszinsrechnung

In einer babylonischen Tafel aus dem 17. Jh. v. Chr. im Louvre (Antiquités

Orientales 6770,3) steht das folgende Problem:

Mit Zinseszinsrechnung von 20% pro Jahr: Wie lange dauert die Verdoppe-
lung eines Betrages?

Man löse das obige Problem wie folgt:

a) Mit moderner Methode
b) Berechne (1 , 2)3 und (1 , 2)4, dann α durch eine lineare Interpolation,
so daß (1 , 2) α = 2. Zeige, daß die Antwort mit der babylonischen Lösung

(3; 47 , 13 , 20) s dieses Problems übereinstimmt.

Aufgabe 1.3.2: Lineare Gleichungen

Auf einer ebenfalls im Louvre aufbewahrten Tafel findet sich das folgende

Problem:

Es gibt einen Stein, von dem zuerst x + (0; 25)

7
s gin weggenommen wurden,
dann wieder 1 ( x + (0; 25)

11

7
s) + (0; 50) s gin zugelegt wurden, so daß das alte

Gewicht wieder hergestellt war. Finde x.

Aufgabe 1.3.3: Nichtlineares System

Gegeben sei das System
x · y + x − y = a .

x + y = b

Man löse dieses System mit der babylonischen Methode des Beispiels 1.3.2.

Hinweis: Setze
x = x + m .

y = y + n

Aufgabe 1.3.4: Quadratische Gleichung

Sei f ( x) = αx 2 + β, x ∈ A( A ⊆ R), seien α, β zwei reelle Konstanten und x 1 ∈ A, f ( x 1) = b 1, b 1 = β, b ∈ f ( A).

Man zeige, daß x = ±x
b−β

1
die Lösungen der Gleichung αx 2 + β = b sind.

b 1 −β

44

1 Anfänge von Arithmetik und Algebra

Aufgabe 1.3.5: Babylonisches Wurzelziehen und Heronische Formel

Zeigen Sie: Die dem babylonischen Wurzelziehen“ entsprechende Rekursi-

”

onsformel xn+1 = 1 ( x

) mit dem Anfangswert x

2
n +
b
xn

0 ∈ R+ liefert dieselbe

√

Folge ( xn) von Näherungswerten für
b wie die wiederholte Anwendung der

√

Heronischen Formel“
a 2 ± r ≈ a ± r , wenn man mit a = x

”

2 a

0 beginnt.

2 Die geometrische Algebra der Griechen

46

2 Die geometrische Algebra der Griechen

Allgemeine Geschichte

Kulturgeschichte

3./2. Jtd.

Herrschaft von Mykene

Minoische und mykenische
über Peloponnes und

Kultur

Kreta
um 1000 v. Chr.

Dorische Wanderung

Geometrische Kunst

∼ 900

Griechen besiedeln die

Griechen übernehmen das

Inseln der Ägäis und die
phönizische Alphabet

Westküste Kleinasiens

8.–6. Jh.

Gründung griechischer

Archaische Kunst,

Kolonien in Sizilien,
monumentale Plastik und

Unteritalien, Libyen und

Architektur, Vasenmalerei,
am Schwarzen Meer

Epen des Homer, Lehrgedichte
des Hesiod
ca. 600–ca. 450

Ionische Periode

Naturphilosophie: Thales,

Anaximandros, Hekataios,

Anaximenes

490

Schlacht bei Marathon

Pythagoras, Heraklit

490–448

Perserkriege

Parmenides, Empedokles,

Anaxagoras
ca. 450–ca. 300

Athenische Periode

Sophisten

462–429

Höchste Blüte Athens

Sokrates, Platon, Tragödien
unter Perikles
des Aischylos, Sophokles,

Euripides

431–404

Peloponnesischer Krieg

Entstehung der dorischen,
zwischen Athen und
phrygischen und lydischen

Sparta

Tonarten in der Musik

387

Gründung der Akademie

Bau der Akropolis von Athen,
durch Platon
klassische Skulpturen von

Polyklet und Phidias
ab 338

Griechenland unter

335 Gründung des Lyzeums
makedonischer Herrschaft
durch Aristoteles

334–323

Kriegszüge Alexanders d.

Hippokrates von Kos

Gr. nach Persien,

Begründer der

Ägypten, Indien
wissenschaftlichen Medizin

311

Teilung des

Durch Verschmelzung

Alexander-Reiches
griechischer und orientalischer

Kulturen bildet sich die sog.

hellenistische Kultur
ca. 300 v. Chr.

Hellenistische

Philosophie der Stoa, der

– ca. 150 n. Chr.

(alexandrinische) Periode

Epikureer, der Skeptiker:

Lehrgedichte und Epigramme
als Formen der Dichtkunst.

Barocke Spätzeit griechischer

Kunst. Mathematische und
naturwissenschaftliche

Erkenntnisse von Euklid,

Aristarch, Archimedes,

Apollonios von Perge.

ca. 150 n. Chr.

Spätantike

Ptolemaios, Diophant,

– ca. 500

Proklos.

2 Die geometrische Algebra der Griechen

47

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48

2 Die geometrische Algebra der Griechen

2.0 Einf¨
uhrung

Schon im dritten Jahrtausend v. Chr. hatten die Bewohner Kretas die nach
dem sagenhaften König Minos benannte minoische Kultur entwickelt und ih-
ren Einfluß über die ägäische Inselwelt durch Handelsbeziehungen auch nach

Ägypten ausgedehnt, während auf dem Festland des heutigen Griechenland
die sog. helladische Kultur bestand.

Um die Wende vom dritten zum zweiten Jahrtausend stießen aus den Weiten
des Nordens indogermanische Stämme, die Achaier, in den Süden des Bal-
kans und nach Griechenland vor. In mehreren Wellen wanderten Ionier und

Aioler ein, unterwarfen die dort ansässige Urbevölkerung und vermischten
sich mit ihr. Während die Ionier vornehmlich Attika, Euböa und benach-
barte Inseln besiedelten, drangen die Achäer und Aioler in den Peloponnes
vor und entwickelten dort die mykenische Kultur, die ihren Höhepunkt vom

16. – 14. Jh. erreichte und mit dem Vordringen der Achäer nach Kreta zur
kretisch-mykenischen Kultur verschmolz.

Diese von Homer als Heldenzeitalter besungene Epoche fand mit Besitznahme
des Peloponnes im Zuge der dorischen Wanderung in den letzten Jahrhunder-
ten des zweiten Jahrtausends ihr Ende. Das mykenische Reich zerbrach. Auch
das in der frühen Eisenzeit zu großer Macht aufgestiegene Reich der Hethiter
in Kleinasien zerfiel um 1200 v. Chr. – Anlaß und Möglichkeit für griechi-
sche Stämme, sich in der ägäischen Inselwelt und an den Küsten Kleinasiens
auszubreiten.

Im 13. Jh. v. Chr. hatte die Eisenzeit die Bronzezeit abgelöst und umfassende

Veränderungen im Kriegswesen gebracht. Die Waffen und andere Produkti-
onsmittel konnten wesentlich verbessert werden, ebenso Werkzeuge, von de-
nen z. B. die gängigsten wie Hammer, Säge und Zange bereits in der heute
noch üblichen Standardform geschaffen wurden.

Von der Metallverarbeitung profitierten Schiffbau, Bergbau, Töpferei und

Weberei. Der neue Rohstoff, die damit entwickelte Technik und die Beschäfti-
gung von Sklaven versetzten die Menschen in die Lage, über den Eigenbedarf
hinaus zu produzieren und förderten den Handel. Das führte nicht zuletzt zu
gesellschaftlichem Reichtum und zu stärkerer Beteiligung breiter Schichten
an den Angelegenheiten wirtschaftlicher oder öffentlicher Interessen.

Die Einwanderungszeit der Dorer fand um die Jahrtausendwende ihren Ab-
schluß. Neue Völker, insbesondere Hebräer, Assyrer und Phönizier traten im

Vorderen Orient in den Vordergrund. Um 900 v. Chr. beginnt die Entwick-
lung einer gemeinsamen eigenständigen Kultur der griechischen Stämme, die
sich seit dem 8. Jh. Hellenen und ihr Land Hellas nennen. Sichtbares Zeichen
dieser Gemeinsamkeit sind die 776 v. Chr. in Olympia erstmals ausgetragenen

Wettkämpfe der Hellenen.

Im 8. –6. Jh. v. Chr. setzte sich die Bevölkerung in den Handelsstädten aus
freien Bürgern mit Bürgerrechten sowie aus Fremden und Sklaven (ohne

2.1 Beginn des abstrakten Denkens

49

Stimmrecht) zusammen. Ausbeutung der untersten Gesellschaftsschicht be-
stimmte den Tagesablauf (antike Sklavereigesellschaft), Händler und Kauf-
leute erlebten Hochkonjunkturen der damaligen Zeit.

Die Freien konnten, da sie sich nicht an der Produktion zu beteiligen brauch-
ten, ihre Zeit für die Weiterentwicklung von Wissenschaften und Kunst ein-
setzen, wodurch die Kultur einen erheblichen Aufschwung erfuhr und die

Entstehung der Philosophie und Mathematik begünstigt wurde. Die Anstren-
gungen in der Politik führten zur Entstehung der Stadtstaaten, der Poleis,
deren Struktur sich erheblich von den früheren zentralistischen Regierungs-
formen unterschied.

Nach 800 v. Chr. begann eine neue Ausbreitung der hellenischen Zivilisati-
on und Kultur. Zahlreiche Siedlungen (Kolonien) entstanden in Unteritalien,
auf Sizilien, an den Küsten des Hellesponts, des Bosporus und des Schwar-
zen Meeres. Die ionischen Städte an den Küsten Kleinasiens erlebten einen
ungeheuren Aufschwung und eine Hochblüte der Kultur.

Vom 7. Jh. v. Chr. an haben die Ionier die kulturelle und wirtschaftliche

Führung übernommen. Durch den lebhaften Warenhandel und die erweiter-
ten Möglichkeiten in der Seefahrt knüpften sie Verbindungen zu den Küsten
des gesamten Mittelmeerraumes und nach Mesopotamien, Skythien und zu
noch weiter entfernten Ländern. Bis zum 6. Jh. v. Chr. blieb Milet in Ionien
die wichtigste griechische Stadt.

2.1 Beginn des abstrakten Denkens

Mit dieser Entwicklung war die Zeit für theoretische Fragen reif, um den Ur-
sprung und das Wesen der Dinge zu erfahren: man konnte philosophieren.

In dieser Zeit entstand auch die Mathematik als wissenschaftliche Disziplin.

Zuvor standen ihre Anwendbarkeit und die Nutzbarkeit im Vordergrund. Es
waren überwiegend praktische Probleme, sowohl in technischen als auch in

Verwaltungsfragen, die zu lösen waren. Man fragte z. B.: Wie baue ich eine

”

Pyramide?“ Wie beschaffe ich mir die Steuern?“ In der nachfolgenden Zeit

”

stellten vor allem die Philosophen und Mathematiker (oft in einer Person)

die Frage nach dem Warum, d. h. sie wollten nicht nur wissen, wie etwas
abläuft, sondern auch warum. Damit rückte die Suche nach den Ursachen
einer Erscheinung in den Mittelpunkt. Sie suchten nach Erklärungen für die

Entstehung des Universums, nach Deutungen und Lösungen von physikali-
schen und mathematischen Problemen, z. B. fragte Thales (624–548 v. Chr.˙):

Warum halbiert der Durchmesser die Kreisfläche?“ Die Philosophen und

”

Mathematiker halfen, eine überschaubare Ordnung in diese neue Denkweise
zu bringen und logische Schlußfolgerungen zu ermöglichen.

Die griechische Mathematik wird in vier Perioden eingeteil: die ionische, die
athenische und die hellenistische Periode sowie die Spätantike.

50

2 Die geometrische Algebra der Griechen

2.1.1 Ionische Periode (ca. 600 – 450 v. Chr.)

Der erste ionische Naturphilosoph, Mathematiker und Astronom ist Tha-
les von Milet. Er lebte in dieser lebendigen Handelsstadt an der kleinasiati-
schen Küste, die seinerzeit als das größte ionische Kulturzentrum galt. Thales
gehörte zu den auserwählten Staatsmännern, Gesetzgebern und Moralisten,
die als die

Sieben Weisen“ bezeichnet wurden. Er verstand die Welt als

”

durch die Natur gegeben, schrieb die Ereignisse derselben aber nicht mehr
der Willkür der griechischen Götter zu. Vielmehr suchte er nach einer Er-
klärung für den Anfang und hielt das Wasser für den Urstoff, den Grund
alles Seienden. Zu den mathematischen Leistungen des Thales berichtet Hie-
ronymos, daß dieser die Pyramidenhöhe mit Hilfe ihres Schattens berechnete.

Dazu nahm er genau zu dem Zeitpunkt Maß, in dem der menschliche Körper
und sein Schatten die gleiche Länge hatten. Wichtige Sätze über die Winkel
ebener Figuren werden ihm zugeschrieben. So lernt jeder Schüler noch heute
den Satz des Thales“:

”

Der einem Halbkreis einbeschriebene Winkel ist ein rechter Winkel.

Zum Dank für diese Erkenntnis soll Thales den Göttern einen Ochsen geopfert
haben. Jedoch existieren keine schriftlichen Dokumente des Thales.

Abb. 2.1.2. Ausschnitt aus dem Stadttor von Milet (Pergamon-Museum Berlin)

[Foto Alten]

2.1 Beginn des abstrakten Denkens

51

Neben die naturphilosophische Denkweise trat in der folgenden Periode
die religiös-philosophisch ausgerichtete Gedankenwelt der Pythagoreer. Der

Gründer der nach ihm benannten Lehre ist Pythagoras (ca. 580 – ca. 500
v. Chr.). Er wuchs in Samos auf, einer Insel im Meer vor Milet. Er könnte
bei Thales und dessen Schüler Anaximander gelernt haben. Aus der Literatur
ist bekannt, daß Pythagoras zahlreiche Reisen in fast alle Länder des Ostens
unternommen hat, so auch nach Ägypten, wo er von dem persischen Erobe-
rer Kambyses gefangen genommen und nach Babylon gebracht worden sein
soll. Dort – so ist zu lesen – verbrachte er sieben Jahre, in denen er von den

Priestern in die Mystik und von den Magiern in die Zahlenlehre, Musik und
andere Wissenschaften eingeweiht wurde. Der Neuplatoniker Iamblichos (ca.

250 – ca. 330 n. Chr.) berichtet, daß er dort auch die Goldene Proportion“

”

gelernt habe, die besagt:

m : h = a : n,
wobei h und a das harmonische und das arithmetische Mittel zwischen m
und n sind, d. h.:

2
m + n
h =

, a =

.

1 + 1

2
m
n

Vermutlich kam Pythagoras auch mit Zarathustra (Gründer der altiranischen

Religion Parsismus“) und seiner Lehre in Berührung, die von einem Dualis-

”

mus zwischen dem bösen Geist Ahriman und dem guten Gott Ahura Masda
ausgeht und die Menschen zu ethischen Entscheidungen herausfordert.

Später gründete Pythagoras in Italien eine religiös-philosophisch und poli-
tisch ausgerichtete Sekte, die nach ihrem Gründer benannt wurde. Sie wand-
te sich gegen die Auflockerung der Sitten in großen Teilen des Adels und
praktizierte selbst ein strenges Leben voll Selbstbeherrschung und kollektiver

Disziplin. Ihre Mitglieder widmeten sich dem Studium der Wissenschaften
und der Philosophie. Die Antwort auf die Frage nach der Erhebung der Seele
und der Vereinigung mit Gott fanden sie in der Mathematik, die zu einem Teil
ihrer Religion wurde. Für die Pythagoreer lag das Wesen der Welt, im Gegen-
satz zu früheren Auffassungen von Wasser oder Luft als Urstoff, in der göttli-
chen Harmonie der Zahlen. Deren Verinnerlichung machte sie, ihrem Glauben
folgend, unsterblich. Musik, Harmonie und Zahlen gehörten ihrer Lehre un-
trennbar an. Diese Auffassung findet sich noch im europäischen Mittelalter,
wo Harmonielehre (Musik) mit Geometrie, Arithmetik und Astronomie die
vier nichttrivialen Wissenschaften des Quadriviums bilden.

Aus dem Interesse an den Eigenschaften von Zahlen, auch auf dem Hinter-
grund althergebrachter Zahlenmystik, entwickelte sich die Mathematik der

Pythagoreer als exakte Wissenschaft, in der mathematische Sätze auf der

Grundlage von Postulaten bewiesen sowie Eigenschaften und Gesetzmäßig-
keiten von Zahlen abstrakt formuliert wurden. Bei ihrem Zahlenstudium stie-
ßen die Pythagoreer aber an ihre Grenzen, vermutlich als Hippasos (ca. 450
v. Chr. ) die inkommensurablen Strecken entdeckte. Das sind Strecken, de-
ren Längenverhältnis nicht durch das Verhältnis zweier natürlicher Zahlen

52

2 Die geometrische Algebra der Griechen

√

(also durch einen Bruch) angebbar ist, z. B.

2. Da durch diese Entdeckung
irrationaler Größen ihre auf natürlichen Zahlen basierende Theorie ins Wan-
ken geriet, sollen die Pythagoreer Hippasos aus ihrem Bund ausgeschlossen
haben.

2.1.2 Athenische Periode (450 – 300 v. Chr. )

Nach den erfolgreichen Perserkriegen im 5. Jh., während derer der attische

Seebund zum Kampf gegen die Perser gegründet wurde, war Athen zur be-
deutendsten Seemacht geworden. In dieser Zeit erfolgte auch die politische

Einigung und Festigung der Griechen.

So brach unter der Herrschaft von Perikles das Goldene Zeitalter“ der Kunst

”

und Wissenschaft an. Athen wurde zum Zentrum der mathematischen Ak-
tivitäten und galt als politisch und kulturell führender Stadtstaat. Zenon
von Elea (um 490–430 v. Chr.) erörterte logische Probleme, die zum einen
die Teilbarkeit und Nichtteilbarkeit der Dinge enthalten, zum anderen den

Begriff der Bewegung thematisieren (Paradoxie des Achilles und der Schild-
kröte). Als Philosophen traten im Athen des 5. Jhs. v. Chr. vor allem die

Sophisten (Weisheitslehrer) auf. Sie diskutierten auch die sogenannten klas-
sischen Probleme der Mathematik: die Verdopplung des Würfels, die Drei-
teilung des Winkels und die Quadratur des Kreises. Dabei wollten sie sich
nicht, wie vor ihnen die Ägypter und Babylonier, mit Näherungslösungen
zufrieden geben, sondern verlangten nach einer genauen Lösung. Die Versu-
che, dies mit Zirkel und Lineal als alleinigen Hilfsmitteln zu leisten, schlugen
fehl. Das führte dazu, neue Methoden zur Lösung solcher Problem zu suchen,
vgl. [Scriba/Schreiber, S. 40ff.]. So fand Hippias von Elis um 420 v. Chr. zur

Dreiteilung des Winkels die später Quadratrix genannte Kurve (vgl. 2.2.5).

Die Sophisten widmeten sich jedoch in erster Linie der Redekunst, der Rhe-
torik. Mit ihrem gesamten Wissensschatz gingen sie unter das Volk, auf die

Marktplätze und in die Häuser der Reichen und verkauften dort ihre Kennt-
nisse wie eine Ware. Dadurch wuchs die Bedeutung der Sophisten unter der

Bevölkerung, wurde sie doch durch deren Unterweisungen in die Lage ver-
setzt, beispielsweise in Volksversammlungen logisch zu argumentieren oder
allgemein Streitgespräche führen zu können.

Bei den Philosophen Platon und Aristoteles stieß diese Art der Wissensver-
mittlung jedoch auf herbe Kritik. Sie widersetzten sich dem aufklärerischen

Geist, von dem die städtische Bevölkerung profitierte. Für die Herausbil-
dung der logischen Wissenschaften jedoch haben die Sophisten und Sokrates

(469–399 v. Chr.) große Vorarbeit geleistet. Ihre Verdienste liegen in der Ver-
mittlung der Kunst, logisch zu diskutieren, sowie in ersten Ansätzen über die

Lehre vom Begriff, von der Definition und der Induktion.

Zur Zeit Platons (427–347 v. Chr.), eines Schülers von Sokrates, war die
kulturelle Blüte Athens bereits im Niedergang begriffen. Der Peloponnesische

Krieg und zahlreiche weitere Kriege hatten die Demokratie in eine Krise

2.1 Beginn des abstrakten Denkens

53

Abb. 2.1.3. Berühmte Zeugen klassisch-griechischer Architektur auf der Akropolis
von Athen: die Propyläen (437–432 v. Chr.)

[Foto Alten]

Abb. 2.1.4. Der aus pentelischem Marmor geschaffene Parthenon (447–438
v. Chr.) gilt als vollendetes Meisterwerk griechischer Architektur

[Foto Alten]

54

2 Die geometrische Algebra der Griechen
versetzt, die Platon durch seine Lehren über Philosophie und Tugend zu
meistern versuchte. Um 377 v. Chr. gründete er seine Akademie, die bis 529

Bestand hatte und dann von Kaiser Justinian geschlossen wurde. Sie diente
der Lehre und der philosophischen und wissenschaftlichen Forschung.

Für Platons Weltverständnis ist das Wesen des Seienden entscheidend. Die
wirkliche Welt besteht für ihn aus Ideen, die vernünftig und wirklich sind. Als
höchste Idee bezeichnet er die des Guten und Schönen. Die mit den Sinnen
wahrnehmbaren Dinge bezeichnet er als unvollständige Abbilder der Ideen.

Die Mathematik dient Platon als Mittel zur Erkenntnis der idealen Welt.

So ist für ihn eine gezeichnete Gerade nur ein Zerrbild der idealen Geraden;
durch ihre Betrachtung jedoch kann die Erinnerung an das Idealbild geschaf-
fen werden. Wie sehr Platon sich zur Mathematik hingezogen fühlte, verrät
der ihm zugeschriebene Ausspruch: Kein der Mathematik Unkundiger trete

”

unter mein Dach“. Zwar hinterließ er selbst keine eigenen mathematischen

Werke, jedoch bemühten sich die Akademiker“ darum, die Lehre der Ele-

”

mente zu einem wohlgeordneten System der Geometrie zu entwickeln und
übten nicht zuletzt dadurch nachhaltigen Einfluß auf das mathematische Ge-
schehen aus. In der Platonischen Schule haben große Mathematiker gewirkt:

Archytas von Tarent (428? – 365?), Theaetet (gest. 369) – ihm wird die Theo-
rie der Irrationalen zugeschrieben (im 10. Buch der Elemente Euklids) – und

Eudoxos (ca. 408 – 355), der die Theorie der Proportionen (fünftes Buch
der Elemente) und die der fünf regulären Körper, der Platonischen Körper,
aufgestellt hat.

Der griechische Philosoph und Gelehrte Aristoteles (384 v. Chr. – 322 v. Chr.)

gilt als bedeutendster Denker der Antike. Er war ein Schüler Platons und in
der Zeit von 367 – 347 v. Chr. an dessen Akademie tätig, dann Lehrer des
jungen Alexander, der als der Große“ in die Geschichte einging. 335 v. Chr.

”

gründete er in Athen die Philosophenschule Lykeion“. Für mathematische

”

Grundfragen interessierte sich Aristoteles deshalb, weil er durch sie Zugang
zu allgemeinen Gesichtspunkten (logische Schriften) und kennzeichnende Il-
lustrationsbeispiele (philosophische Schriften) hatte. Er gilt als Schöpfer der

Wissenschaft der Logik, auf die sich mathematische Schlüsse stützen und die
insbesondere die schon von den Eleaten benutzte Anwendung indirekter Be-
weise ermöglicht. Sie ist uns aus seinem Werk Organon“ bekannt und war

”

bis in das 19. Jh. die wesentliche Grundlage der Mathematik. Hierin liegen
die Wurzeln zum logischen Formalismus und die Einführung des noch heute
üblichen Aussagekalküls. Er besagt u. a. daß jeder Aussage und jeder zulässi-
gen Verknüpfung solcher Aussagen genau einer von zwei Wahrheitswerten
zugeordnet wird: falsch oder wahr, es gibt keine dritte Möglichkeit (tertium

√
non datur). Aristoteles wird der Irrationalitätsbeweis für

2 aufgrund des

Widerspruchs von gerade und ungerade zugeschrieben.

Als letzter Repräsentant dieser Periode lebte Euklid (360? – 290? v. Chr.)

Über sein Leben sind kaum gesicherte Daten übermittelt. Er soll jedoch
jünger gewesen sein als Eudoxos und älter als Archimedes. Um 300 v. Chr.

2.1 Beginn des abstrakten Denkens

55

Abb. 2.1.5. Skulptur aus dem Gymnasium der Giganten in Athen (links); Statue
des Aristoteles in Stageira/Griechenland (rechts)

[links: Foto Alten, rechts: Foto Joh. Mars]

soll er in Alexandria gelebt und Geometrie gelehrt haben. Euklid gilt als der

Begründer der dortigen mathematischen Schule. Das einflußreichste Mathe-
matikbuch aller Zeiten, das die Kriterien der griechischen Mathematik dieser

Epoche widerspiegelt, sind die Elemente“ des Euklid. Das Werk ist der älte-

”

ste größere mathematische Text, der aus der griechischen Antike überliefert
wurde. Es zeichnet sich besonders durch das deduktive Vorgehen und die

Beweise aus, die auf Definitionen, Axiomen und Postulaten beruhen und
mit der Methodologie des Aristoteles geführt werden. Die Bausteine der
in 13 Bücher gegliederten Elemente“ sind die

Propositionen“, bestehend

”

”

aus Lehrsätzen mit Beweis und Aufgaben mit anschließender Lösung, vgl.

[Scriba/Schreiber 2000, S. 49ff.].

56

2 Die geometrische Algebra der Griechen

2.1.3 Hellenistische Periode (ca. 300 v. Chr. – ca. 150 n. Chr.)

In der zweiten Hälfte des 4. Jhs. v. Chr. wurde Makedonien unter König

Philipp II. zum mächtigsten Staat in Griechenland. Die griechischen Städte
verloren ihre Selbständigkeit und mußten sich wieder einem König unter-
ordnen. Mit der Absicherung von Philipps Macht beginnt das Zeitalter des

Hellenismus, das aufgrund der Ausbreitung griechischer Lebensweisen und

Kultur nach Osten eine Verschmelzung von abend- und morgenländischer

Kultur hervorbringt.

Nach der Ermordung Philipps übernahm Alexander III. – den die Geschichte
den Großen nennt – die Macht und sicherte sie dadurch ab, daß er mögliche

Konkurrenten beseitigen ließ. Unter seiner Herrschaft entstand ein gewaltiges

Reich. Die von ihm gegründete Stadt Alexandria in Ägypten entwickelte sich
zum kulturellen Mittelpunkt der antiken Welt. Als neu entstandene Stadt
ohne Traditionen war sie offen für neue Einflüsse. Griechische, ägyptische
und jüdische Bevölkerungsschichten tolerierten einander. Der Handel erfuhr
einen neuen Aufschwung, Entdeckungsreisen schufen Verbindungen zu ent-
ferntesten Kulturen.

Das Museion, das über eine reichhaltige Bibliothek von ca. 700 000 Schriftrol-
len verfügte, unterhielt eine Gemeinschaft von Gelehrten, die vom König ein

Gehalt erhielten und sich ganz ihren Studien hätten widmen können. Trotz-
dem gingen viele einem Beruf nach, z. B. als Architekt, Arzt oder Feldmesser.

Dieser Studienort, das Museion, wurde zum Anziehungspunkt für Gelehrte
aus der damals bekannten Welt. Dort wurden die Disziplinen Literatur, Ma-
thematik, Astronomie und Medizin als Wissenschaft per se studiert, wobei
die Mathematik einen besonderen Stellenwert einnahm. Sie entwickelte sich
unabhängig von Philosophie und Religion.

Ermöglicht durch die neu geschaffenen Verbindungen zu anderen Kultu-
ren erhielt die angewandte Mathematik durch die von den Alexandrinern
als Wissenschaften akzeptierten Gebiete wie Optik, Mechanik, Landvermes-
sung, Astronomie und Logistik neue Impulse. In dieser aufgeschlossenen At-
mosphäre konnten sich über den langen Zeitraum von 600 Jahren hinweg

Mathematiker in verschiedenen Disziplinen entfalten. Einige der bedeutend-
sten werden hier kurz vorgestellt (vgl. [Wußing 1997, S. 71, 73, 74] und

[Scriba/Schreiber 2000, S. 67–73]).

Archimedes von Syrakus (ca. 287–212 v. Chr.) wurde in Syrakus geboren
und war wahrscheinlich der Sohn des Astronomen Phidias. In Alexandria
lernte er bei den Nachfolgern Euklids das mathematische und physikalische

Wissen und hatte erheblichen Einfluß auf die Mathematik seiner Zeit. Er galt
als großer Mathematiker und Physiker, auch als Erfinder. So konstruierte
er verschiedene Maschinen, z. B. Wasserpumpen und Kriegsmaschinen. Dem

König Hieron II. und dessen Nachfolgern diente er mit seinen Kenntnissen
als technischer Berater.

2.1 Beginn des abstrakten Denkens

57

Von Archimedes ist eine nette Anekdote bekannt, die besagt, wie er zur Ent-
deckung des Auftriebsgesetzes kam. Demnach sollte er für besagten König

Hieron feststellen, ob eine gefertigte Krone aus reinem Gold, wie gewünscht,
bestand. Es sollten keine anderen Metalle beigemischt sein. Durch Zufall ent-
deckte Archimedes die Lösung dieses Problems, als er in der Badewanne lag.

So bemerkte er, daß jeder Körper im Wasser um so viel leichter wird, wie
das Gewicht der verdrängten Wassermenge beträgt. Demnach muß die Ge-
wichtsabnahme der Krone im Wasser der eines gleich schweren Goldklumpens
entsprechen. Nur dann ist beider Rauminhalt gleich und die Krone demnach
aus reinem Gold. Über diese Erkenntnis war Archimedes derartig erfreut, daß
er aus der Wanne sprang und, ohne sich anzukleiden, durch die Straßen lief.

Dabei rief er begeistert: Heureka!“ (Ich habe es gefunden!).

”

Die Parabelquadratur (Berechnung des Flächeninhalts eines Parabelseg-
ments) führte er mechanisch und geometrisch durch, vgl. den Videofilm Vom

”

Zählstein zum Computer – Altertum“ [Wesemüller-Kock/Gottwald 1998]. Ei-
nige weitere Werke von Archimedes werden später vorgestellt.

Eratosthenes von Kyrene (ca. 276–194 v. Chr.), ein Zeitgenosse des Archi-
medes , galt als Universalgelehrter und arbeitete in Alexandria auf den Ge-
bieten der Philologie, Grammatik, Mathematik, Literatur, Astronomie und

Geometrie. Seit 235 v. Chr. war er der Vorsteher des dortigen Museions. Von

Eratosthenes kennen wir u. a. das Sieb des Eratosthenes“, ein Verfahren

”

zur Aussonderung von Primzahlen, und eine Methode zur Bestimmung des

Erdumfanges.

Apollonios von Perge (ca. 260–190 v. Chr.), ein jüngerer Zeitgenosse von

Archimedes, wurde in dem Städtchen Perge im Süden Kleinasiens geboren
und stand ebenfalls mit dem Museion und Alexandria in Verbindung. Als
sein Hauptwerk ist die neuartige, systematische Darlegung der Kegelschnitte,
die Conica, bekannt, seit deren Bekanntwerden der Gebrauch der Begriffe

Ellipse, Parabel, Hyperbel“ üblich geworden ist. Deren Entstehung erklärt er

”

als erster ganz klar dadurch, daß man einen Kegel mit einer Ebene schneidet.

2.1.4 Sp¨
atantike (ca. 300 – ca. 500 n. Chr. )

Diophant (ca. 250 n. Chr.) löste durch sein erstes Werk, die Arithmetika“,

”

die Arithmetik und die Algebra vollständig von der Geometrie ab. Die Le-
bensdaten des Diophant sind nicht genau festzulegen. Anhand der Widmung
seiner Arithmetika an den sehr verehrten Dionysios“, vermutlich den von

”

247 – 264 wirkenden alexandrinischen Bischof Dionysios den Großen, ist an-
zunehmen, daß er um 250 n. Chr. gelebt hat. Aufgrund dieser Verbindung
könnte er Christ gewesen sein und in Alexandria gelebt haben. Er kannte die
babylonische Mathematik und benutzte diese Kenntnis beim Aufbau seiner

Arithmetika“. Sie besteht aus 13 Büchern, von denen zehn erhalten geblie-

”

ben sind. Die Arithmetika gilt als Hauptwerk der Antike zur Algebra.

58

2 Die geometrische Algebra der Griechen

Abb. 2.1.6. Ptolemaios bei der Beobachtung der Gestirne nach der Abbildung von

Gregor Reisch in der Margarita Philosophica 1503 (verwendete Ausgabe: Straßburg

1504)

Über das Privatleben Diophants erfährt man etwas aus seiner Grabinschrift,
die als algebraisches Rätselgedicht geschrieben wurde. Demnach war er ver-
heiratet und hatte einen Sohn. Die Inschrift lautet [Cantor 1880, S. 465]:

2.2 Das besondere Merkmal der griechischen Algebra

59

Hier dies Grabmal deckt Diophant. Schauet das Wunder!

Durch des Entschlafenen Kunst lehret sein Alter der Stein.

Knabe zu sein gew¨
ahrte ihm Gott ein Sechstel des Lebens;

Noch ein Zw¨
olftel dazu, sproßt’ auf der Wange der Bart;

Dazu ein Siebentel noch, da schloß er das B¨
undnis der Ehe,

Nach f¨
unf Jahren entsprang aus der Verbindung ein Sohn.

Wehe das Kind, das vielgeliebte, die H¨
alfte der Jahre

Hatt’ es des Vaters erreicht, als es dem Schicksal erlag.

Darauf vier Jahre hindurch durch der Gr¨
oßen Betrachtung den Kummer

Von sich scheuchend, auch er kam an das irdische Ziel.

Diophant war der letzte große griechische Mathematiker der Antike. Pappos
von Alexandria (um 300 n. Chr.) stellte die Werke der klassischen Autoren
zusammen, um sie möglichst vollständig gegen das aufstrebende Christen-
tum zu verteidigen. Die antike Kultur sollte erhalten bleiben. Vom Leiter der

Akademie in Alexandria, Proklos Diadochos (410–485), stammt ein umfang-
reicher Kommentar zu Euklids Elementen. Die Akademie in Athen wurde als
eine der letzten mathematischen Schulen auf Befehl des christlichen Kaisers

Justinian 529 n. Chr. geschlossen. Er wollte die heidnischen und verderbli-

”

chen Lehren“ nicht weiter dulden.

Der im 2. Jh. in Alexandria tätige Gelehrte Klaudios Ptolemaios faßte im

Almagest“ die Erkenntnisse seiner Vorgänger bei astronomischen Beobach-

”

tungen und die Berechnungen mit Hilfe der Sehnentrigonometrie zusammen
vgl. [Scriba/Schreiber, S. 78ff.]. Dieses Werk und sein astrologischer Tetra-

”

biblos“ fanden großes Interesse bei indischen und arabischen Übersetzern und
wirkten auch bei den Gelehrten im mittelalterlichen Europa stark nach. Mit
seiner Kegelprojektion leistete Ptolemaios einen frühen Beitrag zur Karto-
graphie.

Für die geographische Ortsbestimmung wurden in der Spätantike bereits aus-
geklügelte Instrumente entwickelt. Ein interessantes Beispiel ist die zwischen

250 und 350 n. Chr. entstandene Sonnenuhr von Philippi (vgl. Abb. 2.1.7),
mit ähnlichen Merkmalen wie das von Hipparch vorgeschlagene Astrolabium.

Sie diente der Bestimmung des Azimuts und der Höhe von Sternen. Insbeson-
dere konnte man mit ihr die geographische Breite des Standortes bestimmen,
indem die Höhe der Sonne während ihrer Kulmination zur Tag- und Nacht-
gleiche gemessen wurde.

2.2 Das besondere Merkmal der griechischen Algebra

Die Leitlinie für die Geschichte der Algebra in Griechenland von Pythago-
ras (ca. 560 – 480 v. Chr.) bis Diophant (ca. 250 – ca. 330 n. Chr.) ist die

Gleichungstheorie: Lineare Gleichungen und quadratische Gleichungen (Ab-
schnitt 3.4), sodann kubische Gleichungen und biquadratische Gleichungen

(Abschnitt 3.5), deren lösung durch Konstruktionen mit Zirkel und Line-
al allein nicht gelang. Die drei berühmten klassischen Probleme dieser Art,

60

2 Die geometrische Algebra der Griechen

Abb. 2.1.7. Sonnenuhr von Philippi (aus der Zeit zwischen 250 und 350 n. Chr.).

[Zeichnung nach Vorlage in

Antike griechische Technologie“, Thessaloniki 2000]

”

nämlich die Winkeldreiteilung, die Würfelverdopplung und die Quadratur
des Kreises wurden zwar erst im 19. Jh. mit den modernen Methoden der

Algebra und Analysis gelöst, indem nachgewiesen wurde, daß ihre Lösung
äquivalent zur Lösung kubischer bzw. transzendenter Gleichungen ist, de-
ren Lösung nicht als Strecken mit Zirkel und Lineal allein (in endlich vielen

Schritten!) konstruiert werden können. Jedoch ersannen bereits die Griechen
geometrische Verfahren unter Verwendung anderer Hilfsmittel, welche den

Nachweis der Existenz der Lösungen brachten bzw. die Lösungen oder Nähe-
rungswerte dafür in Gestalt von Strecken lieferten. Die Griechen erdachten
somit implizit im Altertum geometrische Verfahren zur Behandlung gewis-
ser kubischer (auch biquadratischer) Gleichungen, deren zahlen- bzw. for-
melmäßige Auflösung erst in der Renaissance gelang (vgl. Kap. 4: Tartaglia,

Cardano, Ferrari). Deshalb werden die sog. klassischen Probleme wie auch
die Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks des Archimedes hier ausführ-
licher behandelt (vgl. dazu auch Abschnitt 2.2.2 in [Scriba/Schreiber 2000,

S. 40–48]).

Die altgriechische Algebra wurde also durch Geometrie begründet, deshalb
spricht man von geometrischer Algebra“. In jüngere Zeit ist diese Interpre-

”

tation stark umstritten, vgl. dazu [Knorr 1975], [Szabo 1969]. Das Buch II

2.2 Das besondere Merkmal der griechischen Algebra

61
der Elemente“ Euklids enthält eine Reihe von algebraischen Aussagen, aus-

”

gedrückt in geometrischer Einkleidung. In geometrischen Formulierungen ist
auch die Lehre von den regulären Polygonen und Polyedern und die Lehre
von den Kegelschnitten beschrieben, wie sie sich bei den großen Gelehrten der
damaligen Zeit, Theaetet (gest. 369 v. Chr.), Archimedes und Apollonios fin-
det. Die Terminologie in der geometrischen Algebra der Griechen ist teilweise
eine Fortsetzung der Formulierungen der mesopotamischen Algebra. Die Me-
sopotamier nannten das Produkt xy Rechteck“, x 2 Viereck“. Die Griechen

”

”

nannten a 2
das Quadrat über a“ und ab
das von a und b aufgespannte

”

”

Rechteck“. Ausdrücke wie Multiplizieren und Wurzelziehen verwendeten die

Griechen im Gegensatz zu den Mesopotamiern nur für ganze Zahlen und

Brüche. Warum haben die Griechen geometrische (d. h. anschauliche) Bezie-
hungen bevorzugt? Zum einen gab es ästhetische“ Gründe, weil nach ihrer

”

Philosophie Formen (und deshalb Geometrie) eine wichtige Rolle spielten,
wie z. B. beim Tempelbau, zum anderen auf Grund praktischer Probleme,
wie bei Navigationsberechnungen.

Es sind aber wichtigere Gründe, die die Griechen veranlaßten, algebra-
ische Probleme mit geometrischen Methoden zu behandeln. nämlich die Ent-
deckung der irrationalen Zahlen durch die Pythagoreer (nach Pappos). Seit
dem 5. Jh. v. Chr. war bekannt, daß es Streckenverhältnisse wie das der Dia-
gonale eines Quadrates zu dessen Seite gibt, die sich nicht durch das Verhält-
nis p : q natürlicher Zahlen p und q ausdrücken lassen. Solche Strecken nannte
man inkommensurabel, d. h. nicht mit dem gleichen Maß meßbar. Theaetet
und insbesondere Eudoxos gelang es, einen Kalkül mit Größen-Verhältnis-
sen zu entwickeln, der unserem Rechnen mit reellen Zahlen gleichwertig ist,
obwohl diese Größen-Verhältnisse nicht als Zahlen betrachtet wurden. Das

Verhältnis zweier inkommensurabler Strecken kann nicht durch (natürliche)

Zahlen dargestellt werden. Mangels eines noch nicht genügend weit entwickel-
ten Zahlbegriffs und einer uns heute geläufigen Formelsprache konnten die

Griechen der klassischen Zeit algebraische Probleme nur in der Sprache der
von ihnen weit entwickelten Geometrie formulieren und lösen. Der Nachteil
dieser
geometrischen Algebra“ ist die Beschreibung der Gleichungen (vor

”

allem größer als 3. Grades) und der zu ihrer Lösung gefundenen Verfahren
mittels der umständlichen Proportionenlehre.

Erst gegen Ende der hellenistischen Periode finden sich erste Ansätze einer
algebraischen Symbolik in Diophant‘s Arithmetik“, vermutlich fußend auf

”

den lange zuvor in Mesopotamien entwickelten Elementen formalen algebra-
ischen Denkens.

Im Gegensatz zur vorgriechischen Mathematik werden die Zahlzeichen der

Griechen erst am Ende des Kapitels gebracht, da die Mathematiker bis zum

Ende der Zeit des Euklid im wesentlichen keine Zahlzeichen in den formalen
mathematischen Texten gebrauchten.

62

2 Die geometrische Algebra der Griechen

2.3 Lineare und quadratische Gleichungen

Die Altpythagoreer hatten die Methode der Flächenanlegung in der Geome-
trie entdeckt, und Euklid hat diese Methode in den Elementen (hauptsächlich
im Buch VI) systematisch diskutiert. Mit dieser Methode kann man (algebra-
isch gesehen) gewisse lineare und quadratische Gleichungen mit einer Unbe-
kannten (geometrisch) lösen. Sie wird daher im Abschnitt 2.3.2 allgemein be-
schrieben, bevor in den Abschnitten 2.3.3 und 2.3.4 die linearen bzw. die rein
quadratischen Gleichungen der Form ax = c und x 2 = b nach der Lösungs-
methode Euklids behandelt werden.

Die quadratischen Gleichungen der Gestalt ax 2 + c = bx; ( a, b, c > 0,
b 2 − 4 ac ≥ 0) und ax 2 = bx + c ( a, b, c > 0) sollen anschließend ebenfalls nach der Methode Euklids mit Hilfe der Flächenanlegung gelöst werden.

2.3.1 Die

Elemente“ des Euklid

”

In den Elementen“ faßte Euklid das mathematische Wissen seiner Zeit zu-

”

sammen. Wesentliche Teile dieses Werkes werden auch heute noch in unseren

Schulen gelehrt. Es besteht aus 13 Büchern, in denen Definitionen, Axiome

(das sind nach Euklid die Behauptungen, die jeder Vernünftige ohne Be-
weis akzeptiert) und Postulate (geometrische Behauptungen ohne Beweis)

als Grundlagen seiner Propositionen – das sind Lehrsätze mit Beweisen oder

Aufgaben mit Lösungen – formuliert sind. Heute verwenden wir Axiome und

Postulate als synonyme Begriffe (d. h. Behauptungen, die wir als Grundlage
einer mathematischen Disziplin ohne Beweis akzeptieren, die natürlich unbe-
dingt widerspruchsfrei und möglichst auch unabhängig sein müssen). Damit
baut Euklid das eigentliche Lehrgebäude auf, wie es uns in abgewandelter,
moderner Form auch heute noch als Kern einer deduktiv ausgerichteten ma-
thematischen Theorie dient.

Die Bücher beinhalten folgende Themen:

I

Grundlagen (axiomatischer Aufbau)

II

Geometrische Algebra

III

Kreislehre

IV

Reguläre Polygone

V

Proportionenlehre des Eudoxos

VI

Anwendung der Proportionenlehre auf ebene Geometrie

VII - IX Arithmetik

X

Irrationalitäten (Theorie der mit Zirkel und Lineal konstruierbaren

Größen)

XI – XIII Stereometrie

2.3 Lineare und quadratische Gleichungen

63

Abb. 2.3.1. Euklid in der rechten Archivolte des Königsportals der Kathedrale von

Chartres (Frankreich). Neben Euklid sind auch Archimedes und andere griechische

Gelehrte an dieser ab 1260 entstandenen frühgotischen Kathedrale dargestellt.

[Szene aus dem Videofilm Vom Zählstein zum Computer – Mittelalter“, Wesemüller-Kock 2003]

”

Eine detaillierte Beschreibung des allgemeinen Inhalts der

Elemente“ ist

”

in dem Werk 5000 Jahre Geometrie“ [Scriba/Schreiber 2000, S. 49–61] zu

”

finden.

Die Beiträge der

Elemente“ zur Algebra sind geometrische Lösungen der

”

linearen Gleichungen und einiger Gattungen der quadratischen Gleichungen,
die im wesentlichen aus den Büchern I, II, IV, V und VI stammen.

Das Merkmal der klassischen griechischen Mathematik (450–300 v. Chr.),
jede algebraische Aussage geometrisch zu behandeln, findet sich bereits in der

Formulierung des Distributivgesetzes ( a + b) a = ab + a 2 und dessen Beweis
nach Euklid in Buch II, Prop. 31:

Teilt man eine Strecke, wie es gerade trifft, so ist das Rechteck aus

”

der ganzen Strecke und einem der Abschnitte dem Rechteck aus den

Abschnitten und dem Quadrat über vorgenanntem Abschnitt zusam-
men gleich.

1 In diesem Kapitel benutzen wir die deutsche Übersetzung und Kommentierung
der Elemente“ aus dem Griechischen von Thaer [Euklid]

”

64

2 Die geometrische Algebra der Griechen

Man teile die Strecke AB beliebig, in C. Ich behaupte, daß AB ·BC =

AC · CB + BC 2 . 2

A

C

B

F

D

E

Abb. 2.3.2. Figur zum Distributivgesetz

Man zeichne n¨
amlich ¨
uber CB das Quadrat CDEB, verl¨
angere ED
nach F und ziehe durch A AF ||CD oder BE. Hier ist Pgm. 3 AE =

AD + CE. AE ist nun AB · BC; denn es wird von AB, BE umfaßt,
und BE = BC. Und AD ist AC · CB; denn DC = CB. Und DB ist

CB 2 . Also ist AB · BC = AC · CB + BC 2 . “

Wie man aus dem Satz und dem Beweis sieht, unterschied man nicht wie heu-
te zwischen einer Strecke und ihrer Länge (ausgedrückt durch Maßzahl und

Einheit), zwischen einer Fläche und ihrem Inhalt, zwischen einem Körper und
seinem Volumen. Vielmehr wurden Strecken mit ihrer Länge, Flächenstücke
mit ihrem Inhalt, Körper mit ihrem Volumen identifiziert bzw. Zahlen durch

Streckenlängen, Flächeninhalte oder Volumina dargestellt und deshalb nur
positive Zahlen verwendet – ein Grund dafür, daß auch die Gleichung ax = c
und nicht ax + c = 0 bzw. Gleichungen der Gestalt ax 2 + c = bx aber nicht
ax 2 + bx + c = 0 behandelt wurden. Die geometrische Algebra ist auch der

Grund für die bis in die Neuzeit erhobene Forderung der Homogenität“ bzw.

”

Dimensionstreue“ algebraischer Gleichungen, so daß also z. B. in ax 2+ c = bx

”

folgendes gelten muß: repräsentiert x eine Länge, ebenso b, so müssen x 2
und c Flächeninhalte darstellen, jedoch muss a dimensionslos sein, etwa das

Verhältnis zweier Längen bedeuten. Die Griechen konnten auch irrationale

√

Zahlen repräsentieren, z. B.

2 als Länge der Diagonalen eines Quadrates
mit der Seitenlänge 1, aber der Begriff der allgemeinen Quadratwurzel stand
ihnen nicht zur Verfügung, da ihnen der Limesbegriff fehlte. Mangels ge-
eigneter Präzisierung des Irrationalen nannten sie Strecken wie Seiten und

2 BC 2 ist das Quadrat über BC.

3 Pgm. AE ist das Parallelogramm mit den Eckpunkten AF EB. Der Name Paral-
lelogramm, wörtlich parallelliniges Flächenstück, wird bei Euklid ohne Definiti-
on benutzt. Auch AD und CE sind Parallelogramme (im Satz und in der Figur

Rechtecke).

2.3 Lineare und quadratische Gleichungen

65

Diagonale eines Quadrates inkommensurabel, d. h. nicht mit dem gleichen

√

√

Maß meßbar. Dennoch hätte Euklid beispielsweise

2 +

3 mit Hilfe von

Strecken berechnen“, d. h. wie in Abbildung 2.3.3 darstellen können.

”

A

1

1

B

C

Ö2

1. AB 2 + AC 2 = BC 2

H

Ö3

3

1

M

P

N

2. M N · NP = NH 2

B

C

N

H

√

√

3. BH =

2 +

3

√ √

√

√

Abb. 2.3.3. Darstellung von

2 ,

3 und

2 +

3 als Strecken

In den Elementen“ des Euklid begegnet man zum ersten Mal strengen Be-

”

weisen und Formulierungen auf der Basis von Definitionen und Axiomen.

Hier liegt einer der entscheidenden Unterschiede zwischen der klassischen
griechischen Mathematik und ihren Vorgängern: die Strenge der Beweise.

In der vorgriechischen Mathematik stand die Anwendbarkeit und die Nütz-
lichkeit der Mathematik im Vordergrund, in der klassischen griechischen Ma-
thematik und Philosophie die Suche nach dem Verständnis der Wahrheit
durch strenge Beweise.

66

2 Die geometrische Algebra der Griechen

2.3.2 Die Methode der Fl¨
achenanlegung

Die von den Pythagoreern entwickelte Methode der Flächenanlegung dient
insbesondere der Verwandlung eines Polygons in ein flächengleiches Paralle-
logramm bzw. Rechteck, indem man das Polygon in Dreiecke zerlegt, jedes
in ein flächengleiches Parallelogramm verwandelt und diese zusammenfaßt.

Die drei Fälle der einfachen, der elliptischen und der hyperbolischen Flächen-
anlegung werden am Beispiel der Anlegung eines Parallelogramms an die

Strecke AB beschrieben.

Sei AB eine gegebene Strecke, G eine gegebene geradlinig begrenzte Figur
mit dem Flächeninhalt σ.

(I)

Im Fall von Abb. 2.3.4 sagt man: Wir haben
das Parallelogramm ABCD mit Flächeninhalt
σ an die Strecke AB angelegt4.

(II)

Im Fall von Abb. 2.3.5 sagt man: Wir haben
das Parallelogramm AB 1 C 1 D mit Flächen-
inhalt σ an die Strecke AB (defizient =
elliptisch5) so angelegt, daß das Parallelo-
gramm B 1 BCC 1 fehlt. Ist µ der Flächeninhalt
des Parallelogramms BB 1 C 1 C, so sagt man
entsprechend, daß wir das Parallelogramm

BB 1 C 1 C mit Flächeninhalt µ an die Strecke

AB (defizient) so angelegt haben, daß das Par-
allelogramm B 1 ADC 1 fehlt.

(III) Im Fall von Abb. 2.3.6 sagt man: Wir haben
das Parallelogramm AB 1 C 1 D mit Flächenin-
halt σ an die Strecke AB (hyperbolisch6=
überschießend) so angelegt, daß das Paralle-
logramm BB 1 C 1 C überschießt.

4 Das griechische Wort für anlegen ist παραβ ` αλλιν (paraballein); daher stammt
das Wort Parabel.

5 elliptisch: ´ λλ` ιπιν (elleipein), d. h. fehlen.

6 hyperbolisch: ` υπρβ ` αλλιν (hyperballein), d. h. überschießen.

2.3 Lineare und quadratische Gleichungen

67

D

C

A

B

Abb. 2.3.4. Einfache Flächenanlegung

D

C 1

C

A

B 1

B

Abb. 2.3.5. Elliptische Flächenanlegung

D

C

C 1

A

B

B 1

Abb. 2.3.6. Hyperbolische Flächenanlegung

2.3.3 Lineare Gleichungen

Zur Lösung der Gleichung ax = b nach der geometrischen Methode Euklids
muß man die Symbole a, x und b zunächst geometrisch interpretieren. Deutet
man a und x als Streckenlängen, so muß b wegen der Homogenität (Dimen-
sionstreue) einen Flächeninhalt darstellen, etwa den eines Rechtecks mit den

Seitenlängen β und γ. Man betrachtet daher αx = βγ anstelle von ax = b.

Geometrisch lautet dann die Aufgabe:

Gegeben sei ein Rechteck mit den Seitenlängen β und γ. Konstruiere ein

”

flächengleiches Rechteck, dessen eine Seite die Länge α hat“.

Das gelingt mit Hilfe der Konstruktion von Prop. 44 aus Buch I der Elemente,
die in deutscher Übersetzung lautet:

68

2 Die geometrische Algebra der Griechen

An eine gegebene Strecke ein einem gegebenen Parallelogramm glei-

”

ches Parallelogramm in einem gegebenen geradlinigen Winkel anzu-
legen.“
β · γ = x · α

Abb. 2.3.7. Lösung von αx = βγ mit Ergänzungsparallelogrammen

In Buch VI, Prop. 12, gibt es eine andere geometrische Methode für die

Lösung der Gleichung αx = βγ:

Hier konstruiert Euklid die Strecke x mit Hilfe ähnlicher Dreiecke bzw. nach
dem Strahlensatz als vierte Proportionale“ so, daß gilt:

”

α : γ = β : x

Die Gerade durch M N ist parallel zur Geraden durch P Q.

Abb. 2.3.8. Lösung der Gleichung αx = βγ mit dem Strahlensatz

2.3 Lineare und quadratische Gleichungen

69

2.3.4 Rein quadratische Gleichungen

In Buch VI, Prop. 13 formuliert Euklid die Aufgabe

Zu zwei gegebenen

”

Strecken die mittlere Proportionale zu finden.“, d. h. für zwei Strecken α und
β muß x so konstruiert werden, daß α : x = x : β gilt ( x heißt dann die
mittlere Proportionale“ zu α und β). Die Griechen verwendeten keine Bruch-

”

schreibweise, sondern nur Proportionen. Euklid konstruiert x (löst also die

Gleichung x 2 = αβ) mit Hilfe des Höhensatzes (s. Abb. 2.3.9): α und β wer-
den als Abschnitte der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks der Höhe

KH gewählt; also gilt αβ = KH 2 deshalb x = KH.

Kreis mit Radius α+ β

2
und Durchmesser M N

Abb. 2.3.9. Lösung der Gleichung x 2 = αβ mit dem Höhensatz

Eine andere geometrische Lösungsmethode der rein quadratischen Gleichung
x 2 = αβ liefert Prop. 14 aus Buch VI: In gleichen winkelgleichen Paralle-

”

logrammen sind die Seiten um gleiche Winkel umgekehrt proportional. Und
winkelgleiche Parallelogramme, in denen die Seiten um gleiche Winkel umge-
kehrt proportional sind, sind gleich“. Man konstruiert also ein Quadrat mit
dem Flächeninhalt αβ, dessen Seite das gesuchte x ist.

2.3.5 Ein Diorismos

Schon in 2.3.1 wurde begründet, weshalb in der geometrischen Algebra der

Griechen die allgemeine quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0 nicht be-
handelt wurde: Die einzelnen Terme waren ihrer geometrischen Interpreta-
tion entsprechend positiv. Man mußte daher die Typen (1) ax 2 + bx = c,

(2) ax 2 = bx + c und (3) ax 2 + c = bx unterscheiden, wie dies auch der
persische Gelehrte al-Hwarizm¯ı (al-Chorezmi) noch 1000 Jahre später getan

˘
hat. Auch kannten die Griechen nicht den Begriff der Null.

Bei den Typen (1) und (2) gibt es stets eine positive reelle Lösung (und eine
damals nicht bekannte negative Lösung). Bei Typ (3) kann es jedoch mehrere

Fälle geben: zwei verschiedene positive Lösungen, genau eine positive Lösung

70

2 Die geometrische Algebra der Griechen
oder gar keine reellen (sondern zwei konjugiert komplexe) Lösungen. Der
letztgenannte Fall war aus damaliger Sicht unmöglich, und man war daher
bestrebt, ihn von vornherein auszuschließen, indem man Bedingungen für die

Möglichkeit oder Unmöglichkeit einer Lösung suchte, einen sog. Diorismos.

Einen solchen Diorismos für die Möglichkeit einer Lösung der Gleichung
ax 2 + c = bx liefert Euklid in Buch VI, Prop. 28, nämlich die Bedingung

(modern formuliert) b 2 − 4 ac ≥ 0. Der Beweis fußt auf Prop. 27 aus Buch VI:

Von allen Parallelogrammen, die man an eine feste Strecke so anlegen kann,

”

daß ein Parallelogramm fehlt, welches einem ¨
uber ihrer H¨
alfte gezeichneten

¨
ahnlich ist und ¨
ahnlich liegt, ist das ¨
uber der H¨
alfte angelegte, das selbst dem
fehlenden ¨
ahnlich ist, das gr¨
oßte.“

Zum Verständnis dieses Satzes muß man sich zunächst verdeutlichen, was
mit

Anlegung eines Flächenstückes an eine feste Strecke“ und den dabei

”

auftretenden Fällen gemeint ist (s. Abschnitt 2.3.2).

Der Satz lautet in moderner Formulierung:

Sei ABN M (Abb. 2.3.10 und 2.3.11) ein Parallelogramm; C bzw. D Mittel-
punkt der Strecke AB bzw. M N ; D 0 der Schnittpunkt der Geraden durch B
und D und der Geraden durch A und M ; D ein beliebiger Punkt der Strecke

D 0 B 7. Dann gilt:

Der Flächeninhalt des Parallelogramms ACDM ist höchstens gleich dem

Flächeninhalt des Parallelogramms ACDM .

Bezeichnen wir den Flächeninhalt des Parallelogramms U V V U durch
µ ( U V V U ) , so erhält die letzte Aussage die Gestalt
µ ( ACDM ) ≤ µ ( ACDM ) .

(2.3.1)

Algebraische Interpretation von Buch VI, Prop. 27

Mit Hilfe der Abb. 2.3.10 und 2.3.11 läßt sich der geometrische Sachverhalt
der Proposition wie folgt algebraisch in heutiger Schreibweise interpretieren

(umstritten ist jedoch, ob dies schon die Griechen algebraisch interpretierten):

µ ( ACDM ) = AC · CD sin α

(2.3.2)

1
µ ( ACDM ) =

AB · CD sin α

(2.3.3)

2

CD

BC

AB − AC

AC

=

=

= 2 − 2

.

(2.3.4)

CD

BC

AB

AB

2

7 Abb. 2.3.10 zeigt den Fall, in dem D auf der Strecke DB liegt; Abb. 2.3.11
zeigt den Fall, in dem D auf der Strecke DD 0 liegt. Der Punkt X liegt auf der

”

Strecke U V “, bedeutet, daß X zwischen U und V liegt, oder U oder V ist.

2.3 Lineare und quadratische Gleichungen

71

AC = CB, M D = DN , 0 < α < π

Abb. 2.3.10. Figur 1 zu Prop. 27 aus Buch VI

AC = CB, M D = DN, 0 < α < π

Abb. 2.3.11. Figur 2 zu Prop. 27 aus Buch VI

Deshalb folgt (aus (2 . 3 . 2) und (2 . 3 . 4)) :

µ ( ACDM ) = AC · CD 2 − 2 AC
sin α

AB

= 2 CD · AC sin α − 2 CD ( AC) 2 sin α .

AB

Mit σ = µ ( ACDM ) und AC = x erhält man daraus die quadratische

Gleichung

72

2 Die geometrische Algebra der Griechen

2 CD
x 2
sin α − x · 2 CD sin α + σ = 0 .

(2.3.5)

AB

√

Die Wurzeln der Gleichung (2.3.5) sind

AB

CD sin α ±

∆

, wobei

2 CD sin α

∆ = CD 2sin2 α − 2 CD σ sin α und + im Fall der Abb. 2.3.10, − im Fall der

AB

Abb. 2.3.11 gilt.

Wegen (2.3.1) und (2.3.3) gilt nun

1
σ = µ( ACDM ) ≤ µ( ACDM ) = AB · CD sin α

2
und deshalb auch

CD
σ · 2
sin α ≤ CD 2 sin2 α ⇔ ∆ ≥ 0 ,

AB
d. h. die Aussage (2.3.1) ist äquivalent zur Aussage

Die quadratische Gleichung (2.3.5) hat reelle Wurzeln“.

(2.3.6)

”

Durch diese Äquivalenz der geometrischen Aussage (2.3.1) und der algebra-
ischen Aussage (2.3.6) wird der Zusammenhang zwischen Geometrie und Al-
gebra für den Fall quadratischer Gleichungen der Gestalt ax 2 + c = bx mit
a, b, c > 0 hergestellt und es wird klar, weshalb anstelle dieser Gleichung zur
geometrischen Lösung in 2.3.6 die Gestalt (2.3.5) verwendet wird.

Es ist klar, daß gilt:

(Q) Mit den Bezeichnungen aus Abb. 2.3.10 sei 0 < σ ≤ 1 AB · CD sin α.

”

2

Dann ist die Bestimmung aller Wurzeln der Gleichung (2.3.5) äquivalent
zur Bestimmung aller Parallelogramme ACDM mit µ( ACDM ) = σ. “

2.3.6 L¨
osung quadratischer Gleichungen nach Euklid

Aufgrund der Interpretation von Buch VI, Prop. 27 in 2.3.5 betrachten wir
an Stelle der Gleichung ax 2 + c = bx die Gleichung
x 2 · 2 CD sin α − x · 2 CD sin α + σ = 0

(2.3.7)

AB
mit der Bedingung

0 < σ ≤ 1 AB · CD · sin α .

(2.3.8)

2

Unter dieser Bedingung läßt sich Gleichung (2.3.7) im wesentlichen geome-
trisch lösen. In der folgenden Prop. 28 des gleichen Buches gibt Euklid die
konkrete geometrische Lösung der Gleichung:

2.3 Lineare und quadratische Gleichungen

73

An eine gegebene Strecke ein einer gegebenen geradlinigen Figur gleiches

”

Parallelogramm so anzulegen, daß ein einem gegebenen ¨
ahnliches Parallelo-
gramm fehlt; hierbei darf die gegebene geradlinige Figur nicht gr¨
oßer sein
als das dem fehlenden ¨
ahnliche ¨
uber der H¨
alfte der Strecke zu zeichnende

Parallelogramm.“

Seien AB und CD beliebig gegebene Strecken und σ der Flächeninhalt ei-
ner gegebenen geradlinigen Figur“ (d. h. eines Polygons). Mit den Strecken

”

AB, CD und einem Winkel der Größe α konstruieren wir die Parallelogram-
me ABN M wie in den Abbildungen 2.3.10 und 2.3.11 und betrachten die

Punkte C, D, D 0 wie in den erwähnten Abbildungen; nun konstruieren wir
den Punkt D auf der Strecke BD bzw. DD 0 und damit die Parallelogramme

SDF D und ACDM , so daß gilt:

1
µ( SDF D) =

AB · CD sin α − σ.

(2.3.9)

2

Dann gilt:

(E1) Die Lösungen der Gleichung (2.3.7) mit der Bedingung (2.3.8) sind die
zwei Strecken:

AC + CC,

AC − CC

(Abb.2.3.10) (Abb. 2.3.11)

(E2) µ( ACDM ) = σ.

Die Lösungen aus (E1) sind die beiden Strecken AC aus Abb. 2.3.10 und

2.3.11. Euklid betrachtet als Lösung der Aufgabe aus Prop. 28, Buch VI nur
die Strecke AC = AC + CC aus Abb. 2.3.10. Wie später gezeigt wird, haben
die Strecken CC in Abb. 2.3.10 und Abb. 2.3.11 gleiche Länge.

Anzumerken bleibt, daß der Fall D = D auftreten kann. In diesem Fall ist

C = C, F = D, µ( SDF D) = 0 und σ = 1 AB · CD sin α, d. h. die beiden

2

Lösungen aus (E1) fallen zusammen.

Damit ist gezeigt, daß mit den Methoden der Elemente jede quadratische

Gleichung der Form ax 2 + c = bx
a, b, c > 0 , b 2 − 4 ac ≥ 0
geometrisch
zu lösen ist.

(E1) und (E2) sind in den Aufgaben 2.3.3 und 2.3.4 zu beweisen.

Ähnlich wie hier wird mit Hilfe von Buch VI, Prop. 29 die Gleichung ax 2 =
bx + c für a, b, c > 0 geometrisch gelöst.

Ein Beispiel

Benutzen Sie die geometrische Methode aus 2.3.5 und finden Sie die Wurzeln
der Gleichung:

1

1
x 2 − x +

= 0

.

(2.3.10)

2

4

74

2 Die geometrische Algebra der Griechen

Mit CD = 1 , α = 90 ◦, AB = 2 , σ = 1 erhalten wir diese Gleichung.

2

4

ABN M ist ein Rechteck,

AC = CB = M D = DN = 1,

AM = CD = 12

Abb. 2.3.12. Konstruktion zur Lösung von ax 2 + c = bx

Die Bedingung 0 < σ ≤ 1 AB · CD sin α ist auch erfüllt. Jetzt konstruieren

2
wir das Rechteck ABN M wie in Abb. 2.3.12. Nun bestimmen wir den Punkt

D auf der Strecke BD, so daß gilt:

s = µ( SDF D) = 1 AB · CD · sin α − σ = 1 .

2

4

Dafür genügt es, DF und damit F auf der Strecke DN zu bestimmen. Nun
gilt DF : DS = CB : CD und s = DF · DS. Daher gilt DF 2 = CB · s = 1 , CD

2

√
und DF = 1

2 läßt sich dann geometrisch nach dem Höhensatz (als Höhe des

2
rechtwinkligen Dreiecks mit den Hypotenusenabschnitten 1 und 1 ) konstru-

2
ieren. Die durch F gehende Parallele zur Geraden durch B und N schneidet
die Diagonale BD 0 in D und die Strecke AB in C.

√

AC = AC + CC = 1 + 1

2 ist eine Wurzel der Gleichung (2.3.10). Sei

2

C auf der Strecke DM mit DC = CC, dann ist die andere Wurzel der

0

0

√

Gleichung (2.3.10) nach 2.3.6 gleich M C 0, also 1 − 1 2.

2

Bemerkung: Bei der Lösung der Gleichung ax 2 + c = bx handelte es sich um
eine defiziente (elliptische) Flächenanlegung (in Abb. 2.3.10 und 2.3.11 haben
wir an die Strecke AB das Parallelogramm ACDM mit dem Flächeninhalt
σ so angelegt, daß das Parallelogramm CBT D fehlt).

2.4 Kubische und biquadratische Gleichungen

Wir machen jetzt einen Sprung von der griechischen Mathematik des vier-
ten Jhs. v. Chr. zu der des dritten Jhs. v. Chr. und ihrem hervorragenden

Vertreter Archimedes. Der um 287 v. Chr. geborene Archimedes wurde glei-
chermaßen als Mathematiker und Physiker und durch seine technischen Kon-
struktionen als Ingenieur berühmt. Bei der Eroberung von Syrakus durch die

2.4 Kubische und biquadratische Gleichungen

75

Römer im Jahre 212 v. Chr. wurde er von den Soldaten erschlagen, während
er geometrische Figuren im Sand zeichnete – so die Legende. Er beschäftigte
sich insbesondere auch mit der Berechnung der Rauminhalte und Oberflächen
von Körpern und stieß dabei auf kubische und biquadratische Gleichungen.

Wie Euklid besaß auch Archimedes nicht die analytische Technik für die
praktische Berechnung, aber auch er konnte durch die Identifizierung der

Zahlen mit Strecken in einer erstaunlichen Weise Sätze beweisen, die bereits
den Kern der Infinitesimalrechnung enthalten.

2.4.1 Kubische Gleichungen in

Kugel und Zylinder“ von

”

Archimedes

Archimedes hat in seiner Schrift Kugel und Zylinder“ [Archimedes a, II, 4]

”

die Lösung des folgenden Problems P auf die Lösung einer kubischen Glei-
chung der Form x 2 ( α − x) = β mit α, β > 0 reduziert.

Für die Lösung der Gleichung gibt Archimedes die Anzahl der Wurzeln der

Gleichung im Intervall [0 , α] durch die Benutzung von Kegelschnitten an und
bestimmt diese Wurzeln mittels der Schnittpunkte einer Hyperbel mit einer

Parabel.

Problem P: Eine gegebene Vollkugel ist durch eine Ebene so zu schnei-
den, daß die Volumina V 1 , V 2( V 1 > V 2) der zwei Kugelseg-
mente ein gegebenes Verhältnis zueinander haben.

Sei V 1 = k mit k > l > 0, dann haben wir

V 1

= k , aber V
πr 3 ,

V 2
l

V 1+ V 2
k+ l

1 + V 2 = 4

3
wobei r der Radius der Kugel ist. Deshalb erhält man:

V 1
k

=

.

4 πr 3
k + l

3

Archimedes hat in seinem o.g. Werk Kugel und Zylinder, II“, in Satz 2 im

”

wesentlichen die folgende Aussage bewiesen:

P0 : Das Volumen eines Kugelsegmentes der Höhe h mit dem Kugelradius r
ist gleich πh 2 (3 r − h) , (s. Abb. 2.4.1).

3

Heute leiten wir diese Formel schnell durch Integralrechnung her.

Archimedes hat angekündigt, die Lösung des Problems P anzugeben, also

Aussagen über die Lösungen der Gleichung
x 2 · ( α − x) = β

(2.4.1)

zu machen. Der geometrischen Interpretation der Griechen und der damit
verbundenen Forderung der Homogenität (Dimensionstreue) von Gleichungen
entsprechend muß bei Deutung von x als Strecke 0 < x < α gelten und β die

Gestalt b 2 c mit b, c > 0 haben.

76

2 Die geometrische Algebra der Griechen

O: Mittelpunkt der Kugel, x 2 + y 2 + z 2 = r 2 Gleichung der Kugeloberfläche
im kartesischen Koordinatensystem x, y, z.

Abb. 2.4.1. Figur zu Problem P

Archimedes hat zwar angekündigt, die Lösung des Problems P am Schluß
seiner Schriften zu geben, aber die versprochene Lösung fehlt. Eutokios (geb.

ca. 480 n. Chr.) hat später eine Schrift, höchstwahrscheinlich die von Archi-
medes selbst, gefunden, die die versprochene Lösung im Spezialfall enthält.

Die Aussagen in dieser Schrift lassen sich mit moderner Kurvendiskussion
leicht gewinnen.

Sei y = f ( x) = x 2 ( α − x) , dann ist f ( x) = 2 xα − 3 x 2 = 0

⇐⇒

x = 0 ∨ x = 2 α . Da f ( x) zwischen 0 und 2 α positiv, zwischen 2 α und

3

3

3
α negativ ist, hat die Kurve im Intervall [0 , α] den in Abb. 2.4.2 skizzierten

Verlauf.

Abb. 2.4.2. Graph von y = x 2( α − x)

2.4 Kubische und biquadratische Gleichungen

77

Daraus ist ersichtlich:

1.

β = 4 α 3 ⇒ die Gleichung (2.4.1) hat nur eine Doppel-Wurzel im In-

27
tervall (0 , α) und diese ist 2 α .

3

2.

β > 4 α 3 ⇒ die Gleichung (2.4.1) hat keine Wurzel im Intervall (0 , α).

27

3. 0 < β < 4 α 3 ⇒ die Gleichung (2.4.1) hat genau zwei verschiedene Wurzeln

27
x 1 , x 2 im Intervall (0 , α) mit 0 < x 1 < 2 α < x

3

2 < α .

Archimedes hingegen löst das Problem geometrisch durch die Bestimmung
der Schnittpunkte bzw. des Berührungspunktes einer Hyperbel und einer

Parabel wie folgt (modern formuliert):

Wir betrachten das Hyperbelstück C 1 : y =
β

, 0 < x < α und das Pa-
α−x
rabelstück C 2 : y = x 2 , 0 < x < α (im kartesischen Koordinatensystem
x, y). Es ist klar, daß x 0 genau dann die x-Koordinate eines Schnitt- oder

Berührungspunktes von C 1 und C 2 ist, wenn x 0 eine Wurzel der Gleichung

(2.4.1) zwischen 0 und α ist.

Für einen Schnittpunkt ( x 0 , y 0) der beiden Kurven C 1 und C 2 gilt
β

= x 2
α−x 0

0
und daraus folgt (2.4.1) für x = x 0.

Nach Eutokios fand Archimedes den Wert von β, so daß C 1 und C 2 einander
berühren. Dafür benutzte er die folgenden zwei Sätze:

Satz 2.4.1 Gegeben sind die Parabel y = px 2 und der Punkt M = ( x 0 , y 0) ,
x 0 > 0 auf der Parabel, dann gilt (s. Abb. 2.4.3):

Der Schnittpunkt N der Tangente an die Parabel in M mit der x-Achse
halbiert das Intervall [0 , x 0] . Umgekehrt ist die Gerade l durch ( x 0 , 0) und

2

( x 0 , y 0) die Tangente an die Parabel im Punkt ( x 0 , y 0) .

Sei M der Berührungspunkt der Geraden l und der Parabel; dann ist

2 px 0 ( x − x 0) = y − px 20 die Gleichung von l; für y = 0 folgt x = x 0

2 ,
also N =
x 0

2 , 0 .

Abb. 2.4.3. Figur zu Satz 2.4.1

78

2 Die geometrische Algebra der Griechen

Sei M der Berührungspunkt der Geraden l und der Hyperbel, dann ist

− p ( x − x
x 2

0) = y − y 0 die Gleichung von l; sei y = 0, bzw. x = 0 in

0
dieser Gleichung, dann erhält man x = 2 x 0, bzw. y = 2 y 0, also ist M
der Mittelpunkt der Strecke N S.

Abb. 2.4.4. Figur zu Satz 2.4.2

Satz 2.4.2 Gegeben sind die Hyperbel y = q , der Punkt M = ( x
x

0 , y 0) , x 0 > 0
auf der Hyperbel und eine Gerade l, die durch M verl¨
auft und die x- und die
y-Achse schneidet, dann gilt (s. Abb. 2.4.4):

M ist der Mittelpunkt der Strecke zwischen den beiden Schnittpunkten (mit
den Achsen) genau dann, wenn die Gerade die Tangente an die Hyperbel im

Punkt M ist.

Hinweise zum Beweis der Sätze sind unter den beiden Abbildungen gegeben.

Der Beweis der Umkehrung beider Sätze sei als Aufgabe dem Leser überlas-
sen.

Sei nun M = ( x 0 , y 0) ein Berührungspunkt der Kurven y =
β
und y = x 2.

α−x

Nach den Sätzen 2.4.1 und 2.4.2 gilt dann (vgl Abb. 2.4.5) OQ = QM = x 0

2
und QM = M R. Deshalb sind die Dreiecke QM M und QRU ähnlich, und
es ist QM = M U also wegen OQ = QM dann OM = 2 α .

3

Also muß β die folgende Bedingung erfüllen:

β
α 2

4 α 3

= (2 ) , d. h. β =

.

α − 2 α

3

27

3

Dann berühren sich die Kurven C 1 mit β = 4 α 3 und C

27

2 im Punkt

M =

2 α , 4 α 2

.

3

9

Nun folgert Archimedes richtig, daß die Gleichung (2.4.1) genau dann min-
destens eine Lösung 0 < x 0 < α besitzt, wenn β ≤ 4 α 3 ( β ist immer po-

27
sitiv). Wenn β < 4 α 3 , dann hat die Gleichung (2.4.1) genau zwei verschie-

27
dene Lösungen x 1 < x 2 im Intervall (0 , α), und es gilt 0 < x 1 < 2 α und 3

2.4 Kubische und biquadratische Gleichungen

79

Abb. 2.4.5. Figur zu den Lösungen der Gleichung (2.4.1)

2 α < x

( C

3

2 < α. Wenn β > 4 α 3

27

1 ∩ C 2 = ∅), dann besitzt die Gleichung keine

Lösung in (0 , α). Wenn β = 4 α 3 ist, gibt es in (0 , α) nur die Lösung x = 2 α .

27

3

Zur Lösung des Problems P ist (2.4.1) mit α = 3 r, β = 4 r 3 k
zu lösen, um
k+ l
die Höhe h = x des Kugelsegmentes V 1 zu bestimmen. Wegen
k

4 α 3
β = 4 r 3

< 4 r 3 =
k + l

27
hat diese Gleichung genau eine Wurzel x 0 im Intervall (0 , 2 r).

Archimedes hat den Berührungspunkt der Hyperbel y =
β
und der Para-
α−x
bel y = x 2 in Abhängigkeit von β betrachtet. Er hat Bedingungen gefunden,
unter denen die Gleichung (2.4.1) d. h. x 3 + β = αx 2 genau zwei verschie-
dene positive Wurzeln, keine positive Wurzel oder nur eine positive Wurzel
besitzt. In den islamischen Ländern hat sich al-Hayy¯
am mit Gleichungen

˘
dritten Grades beschäftigt. Er hat sich ebenfalls mit der obigen Gleichung

√
befaßt, aber er hat dazu den Schnittpunkt der Parabel y 2 = 3 β( α − x) und

der Hyperbel xy = 3 β 2 betrachtet und gezeigt, daß die Gleichung (2.4.1) für
β ≤ α 3 entweder zwei Wurzeln oder eine oder gar keine (positive) Wurzel hat

8
und für β ≥ α 3 gar keine (positive) Wurzel besitzt. Beide Unterscheidungen
sind richtig, aber das Ergebnis von Archimedes ist befriedigender, weil seine

Bedingungen sich gegenseitig auschließende Fälle kennzeichnen.

80

2 Die geometrische Algebra der Griechen

2.4.2 Konstruktion des regelm¨
aßigen Siebenecks durch

Einschiebung“ von Archimedes

”

Archimedes hat sich auch schon mit der Konstruktion eines regelmäßigen

Siebenecks befaßt. Seine auf Einschiebung“ (gr. ν ˜
υσις = neusis) beruhen-

”

de geometrische Konstruktion entspricht in der Algebra der Lösung einer
kubischen Gleichung und wird hier nach der vom Gelehrten T¯
abit ibn Qur-

¯
ra überlieferten Beschreibung (in moderner Sprache) dargestellt, vgl. auch

[Scriba/Schreiber 2000, S. 70]. T¯
abit ibn Qurra stammte aus Harran (in der

¯
heutigen Türkei), wurde 836 geboren und starb 901. Er wirkte am Hofe
des Kalifen in Bagdad als Mathematiker und Astronom und übersetzte alte

Schriften aus dem Griechischen und Syrischen ins Arabische.

Die Methode der Einschiebung kann nach dem Mathematiker und Astrono-
men Pappos von Alexandria (um 300 n. Chr.) wie folgt beschrieben werden:

P

K 1

P1

P2
l

K 2

K 1 ∩ l = {P 1 } , K 2 ∩ l = {P 2 } , P 1 P 2 = α

Abb. 2.4.6. Zur Einschiebung nach Pappos

Seien K 1 und K 2 zwei Kurven, P ein Punkt, α > 0. Eine Gerade l durch P
ist so zu bestimmen, daß l die Kurven K 1 und K 2 schneidet und der Abstand
der Schnittpunkte gleich α ist (siehe Abb. 2.4.6).

Archimedes hat für die Teilung einer Strecke eine andere Methode der Ein-
schiebung als Pappos benutzt.

Er betrachtet das Quadrat ACRW wie in Abb. 2.4.7 und legt durch W eine

Gerade W M , so daß:

(Flächeninhalt von W U R) = (Flächeninhalt von CT M )

(2.4.2)

2.4 Kubische und biquadratische Gleichungen

81

Abb. 2.4.7. Zur Einschiebung nach Archimedes

Die von Archimedes ersonnene Konstruktion erfolgt nach T¯
abit ibn Qurra

¯
im wesentlichen in zwei Schritten [Tropfke 1940, S. 429]:

Schritt I: Sei AC eine Strecke. Wir bestimmen zwei Punkte D und M ( D
innerhalb und M außerhalb der Strecke, D = A, C; M = A, C wie in Abb.

2.4.8), so daß zugleich gilt (s. Aufgabe 2.3.7):

CM 2 = AC · AD und AD 2 = CD · DM

.

(2.4.3)

A

D

C

M
x
a
y

Abb. 2.4.8. Figur zu Schritt I

Schritt II: Seien A, D, C, M wie in Schritt I; es gibt B außerhalb der Gera-
den durch A und C, so daß AB = BC = M C. Es folgt, daß <

) BM C = µ = π 7

(der Beweis sei dem Leser überlassen) und <

) BAD = 2 µ = 2 π (siehe Abb.

7

2.4.9). Also ist es klar, daß AB eine Seite eines regelmäßigen Siebeneckes ist,
das dem Kreis durch M, B, A einbeschrieben ist (siehe Abb. 2.4.10).

Erläuterungen: Algebraisch kann man die Bestimmung der Punkte D und M
in Schritt I auf die Lösung einer kubischen Gleichung reduzieren:

Sei AC = a, AD = x, CM = y, dann sind die Gleichungen (2.4.3) den

Gleichungen (2.4.4) äquivalent (siehe Abbildung 2.4.8):

82

2 Die geometrische Algebra der Griechen

B
m

2m

2m
m

A

D

C

M

Abb. 2.4.9. Figur zu Schritt II
y 2 = ax und x 2 = ( a − x)( y + a − x) .

(2.4.4)

Die zweite Gleichung ist wegen 0 < x < a äquivalent zu y = a 2 x−a . Also
a−x
ist die Existenz zweier Punkte D und M wie in Schritt I für 0 < x < a der

2

Existenz einer Wurzel x der Gleichung ax = a 2

2 x−a
gleichwertig.

a−x

Für x = a ist diese der Gleichung x ( a − x) 2 = a (2 x − a) 2 äquivalent, d. h.

der kubischen Gleichung
x 3 − 6 ax 2 + 5 a 2 x − a 3 = 0 .

(2.4.5)

Die Funktion f ( x) = x 3 − 6 ax 2 +5 a 2 x− a 3 hat wegen f (0) = f ( a) = −a 3 und f ( a ) = a 3 die beiden Nullstellen x

) und x

, a) (Zwischenwert-

2

8

1 ∈ (0 , a

2

2 ∈ ( a

2
satz für stetige Funktionen). Da f ( a) = −a 3 < 0 und f ( x) → ∞ für x → ∞
muß die dritte Nullstelle von f rechts von a liegen.

Bemerkung: Das regelmäßige Siebeneck ist nicht mit Zirkel und Lineal
konstruierbar, wie Carl Friedrich Gauß (1777 – 1855) später bewies. Er hat
allgemein den folgenden Satz bewiesen:

Satz 2.4.3 Sei n ∈ N , n ≥ 3 , Vn ein regelmäßiges n–Eck. Dann sind die

Aussagen K 1 und K 2 zueinander ¨
aquivalent:

( K 1) Vn ist konstruierbar mit Zirkel und Lineal.

( K 2) Es gibt k ∈ N mit n = 2 k oder es gibt k ∈ N0 und l paarweise
verschiedene Fermatsche Primzahlen p 1 , . . . , pl, mit n = 2 kp 1 . . . pl.

Dabei heißt eine Primzahl p eine Fermatsche Primzahl , wenn sie die Gestalt
p = 22 n + 1 hat. Für n = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 erhalten wir der Reihe nach die Werte 3 , 5 , 17 , 257 , 65537, und alle sind Primzahlen, aber 225 + 1 ist keine Primzahl,
weil sie durch 641 teilbar ist, wie Leonhard Euler (1707 – 1783) bewies. Es
ist nicht bekannt, ob es unendlich viele Fermatsche Primzahlen gibt.

2.4 Kubische und biquadratische Gleichungen

83

A 6

1

A

4

5 = M

5

A

2

7

7

9

8

C

A

D

4

3 6

A = A 1

Kreis K

A 3

A 2

Die Punkte D und M auf der Geraden durch A und C werden durch

Einschiebung gemäß Abb. 2.4.7 konstruiert (Schritt I), sodann die

Punkte A 7 und A 6 wie in Abb. 2.4.9 (Schritt II) usw.. Dann sind

A 1 , . . . , A 7 die Ecken eines regelmäßigen Siebeneckes. Es ist klar, daß
die Winkel ˆ

1 , . . . , ˆ

8 einander kongruent sind und sie die gemeinsame

Größe µ = π 7 besitzen. Es ist auch klar, daß der Winkel ˆ9 = 2 µ ist.

Abb. 2.4.10. Zur Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks durch Einschiebung

Wir wollen hier nicht den Begriff der Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal
streng definieren, dieser Begriff sollte anschaulich klar sein. Als Beispiel folgt
aus diesem Satz, daß die regelmäßigen n–Ecke mit n = 3 , 5 , 17 mit Zirkel und

Lineal konstruierbar sind, die regelmäßigen n–Ecke mit n = 7 , 9 hingegen
nicht. Der Beweis von ( K 1) ⇒ ( K 2) wurde im Jahre 1837 von P. L. Wantzel
vollendet.

2.4.3 Dreiteilung des Winkels nach Archimedes

Eines der sog. klassischen Probleme der Mathematik ist die von vielen grie-
chischen Mathematikern behandelte Teilung eines beliebigen Winkels in drei
gleiche Teile (vgl. [Scriba/Schreiber 2000, S. 44ff.]). Mit Zirkel und Lineal al-
lein läßt sich auch dieses Problem nicht lösen, wie man allerdings erst durch
seine algebraische Betrachtung in der Neuzeit bewies: Es führt auf die Lösung
einer i.a. irreduziblen kubischen Gleichung. Die Griechen suchten indes nach
geometrischen Lösungen. Auch hier war Archimedes erfolgreich: Mit der oben
beschriebenen Methode der Einschiebung“ löste er die Aufgabe der Winkel-

”

dreiteilung, blieb allerdings den Beweis für seine Behauptung schuldig (vgl.

Liber assumptorum, Satz VIII [Archimedes b], [Heath 1887]).

84

2 Die geometrische Algebra der Griechen

<

) M ON = λ, SQ = OM ⇒ < ) SQO = λ 3

Abb. 2.4.11. Figur zur Dreiteilung des Winkels

Sei <

) M ON ein Winkel der Größe λ, 0 ◦ < λ < 90 ◦, K der Kreis mit dem

Mittelpunkt O und dem Radius r, M M ein Durchmesser des Kreises.

Archimedes behauptet, daß ein Punkt S auf K (wie in Abbildung 2.4.11)

existiert, so daß die Gerade durch N S die Gerade durch M M in einem

Punkt Q mit der Eigenschaft QS = r schneidet. Er gibt keinen Beweis für
diese Behauptung.

Auch hier wird das Problem durch neusis“ (Einschiebung) gelöst. Gegeben

”

sind der Kreis K und die Gerade lo durch M, M , und wir müssen eine Gerade
l durch N so bestimmen, daß l die Kurven K und lo schneidet und der

Abstand der Schnittpunkte S und Q gleich r ist. Angenommen, daß l existiert
und QS = r, dann folgt, daß <

) SQO = λ . Begründung: In Abb. 2.4.11 sieht

3
man aufgrund des Außenwinkelsatzes sofort, daß <

) N SO = 2 · < ) SOM =

2 · < ) SQM und < ) M ON = 3 · < ) SQO.

Also hat Archimedes die Dreiteilung eines beliebigen Winkels auf die obige

Einschiebung reduziert. Es kann gezeigt werden, daß die Lösung dieses Ein-
schiebungsproblems aus der Lösung der kubischen Gleichung x 3 − 3 r 2 x −

2 r 3 cos λ = 0 folgt, bzw. aus der Berechnung von cos δ aus der trigonometri-
schen Formel 4 cos3 δ − 3 cos δ = cos 3 δ für 3 δ = λ.

2.4.4 Archimedes und die biquadratischen Gleichungen

Archimedes hat in seinem Buch

Über Spiralen“ [Heath 1887, S. c, ci und

”

156–159] in den Sätzen 5, 6 und 7 die folgende Aussage ( E 0) zu einem spezi-
ellen Einschiebungsproblem ohne Beweis benutzt.

( E 0): Sei K ein Kreis mit dem Mittelpunkt O; der Punkt N ∈ K und die

Strecke der Länge α > 0 seien vorgegeben; M M sei ein Durchmesser
von K; N = M, M ; l 0 die Gerade, die M M enthält. Dann existiert eine

Gerade l durch N , welche den Kreis in einem Punkte S und die Gerade l 0

2.4 Kubische und biquadratische Gleichungen

85
außerhalb des Kreises in einem Punkte Q derart schneidet, daß die beiden

Schnittpunkte den Abstand α haben (Abb. 2.4.12).

r

®

QS = QS = α

Abb. 2.4.12. Figur zu ( E 0) und ( E 1)

Wie Abb. 2.4.12 zeigt, gilt sogar die Verschärfung von ( E 0):

( E 1): Seien K, O, N, α, M M und l 0 vorgegeben wie in ( E 0), dann existieren
genau zwei verschiedene Geraden l, l durch N , sodaß l den Kreis in S und
die Gerade l 0 außerhalb des Kreises in Q und l den Kreis in S und l 0
außerhalb des Kreises in Q derart schneiden, daß SQ = SQ = α ist und

O zwischen Q und Q liegt. Dabei kann S oder S mit N zusammenfallen,
also l oder l Tangente an K in N sein.

Die Behandlung dieses Einschiebungsproblems mit den Mitteln der moder-
nen Algebra führt auf eine biquadratische Gleichung und auf den zu ( E 1)

äquivalenten Satz der Algebra

Satz 2.4.4 Die biquadratische Gleichung
x 4 − (2 r 2 + α 2) x 2 − (2 α 2 r cos λ) x + r 4 − α 2 r 2 = 0
besitzt f¨
ur α < 0 genau eine Wurzel in ( −∞, −r) und genau eine Wurzel in

( r, + ∞) .

Die Herleitung dieser Gleichung erfordert geschicktes Rechnen und sei ebenso
wie der Beweis des Satzes dem Leser als Aufgabe überlassen. Dieses Einschie-
bungsproblem und seine Lösung zeigen, daß bereits Archimedes prinzipiell in
der Lage war, Wurzeln gewisser Gleichungen vierten Grades geometrisch zu
bestimmen.

86

2 Die geometrische Algebra der Griechen

2.4.5 Das Delische Problem – die W¨
urfelverdopplung

Das klassische Problem der Würfelverdoppelung hat nach Eutokios folgenden

Ursprung: Wegen der Überwindung einer herrschenden Pest wandten sich die

Delier (Einwohner der Insel Delos) an das Orakel von Delphi. Sie erhielten
von ihm den Auftrag, einen der würfelförmigen Altäre im Tempel des Apollon
zu verdoppeln, also einen gleichförmigen Altar mit doppeltem Rauminhalt zu
errichten, vgl. [Scriba/Schreiber 2000, S. 41ff.].

Abb. 2.4.13. Antikes Theater in Delphi

[Foto Alten]

Geometrisch gesehen ist dieses Problem die Übertragung des nach Pythagoras
zu lösenden Problems der Quadratverdopplung auf den dreidimensionalen

Fall, algebraisch bedeutet es den Übergang vom Ziehen einer Quadratwurzel
auf die Berechnung einer Kubikwurzel.

Reduzierung des Problems auf die Bestimmung zweier mittlerer

Proportionalen nach Hippokrates

Für die Griechen war dieses Problem wie folgt zu lösen:

Gegeben sei eine Strecke der Länge a. Zu konstruieren ist eine Strecke der

√

Länge y, so daß y 3 = 2 a 3, also y = 3 2 a.

Hippokrates von Chios, ein von ca. 450–430 v. Chr. in Athen wirkender Ma-
thematiker und Astronom, führte die Lösung des Problems zurück auf die

2.4 Kubische und biquadratische Gleichungen

87

Bestimmung zweier mittlerer Proportionalen zwischen a und 2 a, d. h. auf die

Bestimmung zweier Strecken x und y, so daß
a : y = y : x = x : 2 a.

(2.4.6)

Für die griechischen Mathematiker nach Hippokrates bedeutete die Verdopp-
lung des Kubus die Bestimmung zweier mittlerer Proportionalen zwischen
zwei vorgegebenen Strecken.

Die Bestimmung zweier mittlerer Proportionalen nach

Menaichmos (durch Anwendung der Kegelschnitte)

Um 360 v. Chr. konstruierte der griechische Mathematiker und Astronom Me-
naichmos, ein Schüler des Eudoxos von Knidos, die mittleren Proportionalen
x und y durch die Bestimmung der Schnittpunkte zweier Kegelschnitte.

Aus (2.4.6) folgt, daß ax = y 2 , 2 a 2 = xy, deshalb ist 2 a 2 = y 2 · y, und a
daraus folgt y 3 = 2 a 3. Es ist klar, daß die Gleichungen (2.4.6) jedem Paar
der folgenden Gleichungen gleichwertig sind:

y 2 = ax, xy = 2 a 2 , x 2 = 2 ay

.

(2.4.7)

( π 1)

( η)

( π 2)

Demgemäß konnte Menaichmos die kubische Gleichung y 3 = 2 a 3 geometrisch
lösen, indem er die Schnittpunkte der beiden Parabeln π 1 und π 2 oder die

Schnittpunkte der Hyperbel η mit einer der beiden Parabeln bestimmte (siehe

Abb. 2.4.14 und Abschnitt 3.3.6).

Die Bestimmung von zwei mittleren Proportionalen nach

Archytas (durch Bestimmung des Schnittpunktes dreier Fl¨
achen)

Eine interessante Konstruktion von zwei mittleren Proportionalen zwischen
zwei vorgegebenen Strecken der Längen l und d (mit l < d) stammt von

Archytas von Tarent, einem pythagoreischen Mathematiker und Philosophen,
der etwa von 400 bis 360 v. Chr. wirkte und auch als Feldherr und Staatsmann
in Erscheinung trat.

In diesem Zusammenhang sollen zwei weitere Mathematiker genannt werden:

1. Eudemos von Rhodos: lebte in der zweiten Hälfte des vierten Jahrhun-
derts v. Chr., Schüler von Aristoteles, schrieb eine Geschichte der Geo-
metrie.

2. Eutokios von Askalon: geboren ca. 480 v. Chr. in Palästina, griechischer

Mathematiker.

88

2 Die geometrische Algebra der Griechen

√

√
π 1 ∩ π 2 ∩ η =
a 3 4 , a 3 2

Abb. 2.4.14. Zur Bestimmung von mittleren Proportionalen

Eutokios sagt, daß Eudemos in seiner Geschichte der Geometrie diese Kon-
struktion Archytas zugeschrieben hat. Es ist nebenbei interessant zu bemer-
ken, daß Proklos Diadochos (geb. 411 oder 410, gest. 485; aus Konstantinopel,
neuplatonischer Philosoph, Mathematiker und Astronom) sagt, daß Eudemos
in seiner Geschichte der Geometrie die Methode der Flächenanlegung den Py-
thagoreern zuschreibt. Proklos’ Kommentar zu Buch I der Elemente Euklids
ist eine wichtige Quelle für die Geschichte der Mathematik.

Die Konstruktion des Archytas kann modern durch analytische Geometrie
folgendermaßen beschrieben werden [Heath 1921, Bd. I, S. 247]:

Seien l < d zwei vorgegebene Strecken. Archytas betrachtet den Zylinder

Z, den Torus T und den Kegel K, wie folgt durch Gleichungen in einem
kartesischen x, y, z -System beschrieben:

⎧

⎪

⎨ ( y − r) 2 + x 2

= r 2

( x ≤ 0 , z ≥ 0) Z

2

⎪
x 2 + y 2 − r

+ z 2 = r 2

T

(2.4.8)

⎩

√
µy

=
x 2 + z 2

K

2.4 Kubische und biquadratische Gleichungen

89

Rotation des Strahles OM um die y-Achse erzeugt den Kegel K,

Rotation des Kreises CT um die z-Achse erzeugt den Torus T .

Abb. 2.4.15. Figur zur Konstruktion des Archytas

√
wobei r = d , µ =
d 2 −l 2 (siehe Erläuterung unten). Dann bestimmt er die

2
l
gemeinsamen Punkte von Z, T und K, also Z ∩ T ∩ K.

Sei S ∈ Z ∩ T ∩ K, S = ( x 0 , y 0 , z 0) = (0 , 0 , 0) , S 0 = ( x 0 , y 0 , 0) , O =

(0 , 0 , 0) .

Archytas gibt die Beziehung zwischen den beiden Strecken OS und OS 0 wie
folgt an, wobei OS der Abstand zwischen dem Koordinatenursprung und dem

Schnittpunkt S der drei Flächen ist und OS 0 die Projektion von OS auf die
x, y-Ebene:

d : OS = OS : OS 0 = OS 0 : l

.

(2.4.9)

1

2

Wie man leicht nachrechnet, werden diese Gleichungen durch OS = l 3 d 3 ,

2

1

OS 0 = l 3 d 3 erfüllt.

Archytas hat also zwei mittlere Proportionalen zwischen l und d konstruiert
und damit die Würfelverdoppelung geleistet.

Erl¨
auterung: Z ist eine Halb-Zylinderfläche mit dem Halbkreis

CZ : ( y − r) 2 + x 2 = r 2 , z = 0 , x ≤ 0
als Leitkurve; jede Erzeugende von Z ist parallel zur z-Achse. T ist ein Torus
mit dem Innenradius 0; T entsteht durch Rotation des Kreises

CT : ( y − r) 2 + z 2 = r 2, x = 0 um die z-Achse.

90

2 Die geometrische Algebra der Griechen

Sei M ein Punkt von CZ mit der Eigenschaft OM = l. Dann ist tan ϕ =

√d 2 −l 2 mit ϕ wie in Abb. 2.4.15. Deshalb ist y = − l

√
x die Gleichung
l
d 2 −l 2
der Geraden g durch O und M . Die Fläche des Kegels, der durch die Rota-
tion der Geraden l um die y-Achse (mit y ≥ 0) entsteht, hat die Gleichung

√
y =
l

√
x 2 + z 2.

d 2 −l 2

S 0 ist der Fußpunkt des Lotes von S auf die xy-Ebene, also S 0 ∈ CZ.

2.5 Die Quadratur des Kreises mittels der Quadratrix

Die Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal ist ein von den Griechen
aufgeworfenes Problem, mit dessen Lösung sich Mathematiker vieler Gene-
rationen über 2000 Jahre beschäftigt haben, bis es im Jahre 1882 von dem
deutschen Mathematiker Carl L. F. von Lindemann (1852–1939) endgültig
gelöst wurde, indem er nachwies, daß eine Lösung dieses Problems mit Zir-
kel und Lineal allein nicht möglich ist. Dennoch versuchen sich auch heute
noch Laien an diesem Problem, weil sie den Beweis von Lindemann nicht
akzeptieren (bzw. nicht verstehen) oder — in den meisten Fällen — die Auf-
gabenstellung gar nicht richtig verstanden haben. Sie beschäftigen mit teils
erstaunlichen Näherungslösungen sogar Gerichte und Politiker bis hin zum

Bundespräsidenten. So ist denn Quadratur des Kreises“ zu einem geflügelten

”

Wort für ein besonders schwieriges bzw. unlösbares Problem geworden.

Es handelt sich dabei genauer gesagt um folgendes Problem:

Gegeben sei ein Kreis mir Radius r. Gesucht ist ein Quadrat mit gleichem

Flächeninhalt. Dieses Quadrat soll mit alleiniger Hilfe von Zirkel und Lineal
in endlich vielen Schritten konstruiert werden. Dabei darf der Zirkel nur
zum Schlagen eines Kreises um einen gegebenen Mittelpunkt (also nicht als

Stechzirkel), das Lineal nur zum Zeichnen einer Geraden durch zwei gegebene

Punkte benutzt werden.

Die Griechen hatten sehr bald erkannt, daß der Flächeninhalt proportional
zu r 2, also F = cr 2 ist, aber c keine rationale Zahl ist. Erst Lindemann zeigte

1882, daß c auch keine algebraische Irrationalzahl ist, also keiner algebra-
ischen Gleichung genügt, d. h. es gibt keine Gleichung der Gestalt
a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + anxn = 0
mit ganzzahligen Koeffizienten ak ( k = 0 , . . . , n; n ∈ N) mit c als Lösung.

Die Kreiszahl“ π liegt also außerhalb der Menge der algebraischen Zahlen,

”

überschreitet“ in diesem Sinn die Grenzen der Algebra und wird deshalb

”

eine transzendente Zahl genannt.

Schon um 430 v. Chr. hatte Antiphon versucht, die Kreisfläche durch re-
gelmäßige 3 · 2 n-Ecke oder 4 · 2 n-Ecke auszuschöpfen, die man mit be-
kannten Methoden in flächengleiche Quadrate verwandeln konnte. Ande-
re Mathematiker suchten dem Problem mit speziellen Kurven zu Leibe zu

2.5 Die Quadratur des Kreises mittels der Quadratrix

91
rücken – so wie später die Winkeldreiteilung mit der Kisso¨ıde des Diokles
und die Würfelverdopplung mit der Koncho¨ıde des Nikomedes gelang, vgl.

[Scriba/Schreiber 2000, S. 42ff.]. Hippias von Elis hatte um 420 v. Chr. eine

Kurve zur Dreiteilung des Winkels gefunden. Deinostratos und sein Bruder

Menaichmos benutzten diese Kurve um 350 v. Chr. zur Quadratur des Kreises
und nannten sie deshalb Quadratrix. Die Kenntnis dieser Kurve verdanken
wir ihrer Beschreibung durch Pappos.

Wir beschreiben diese Kurve in moderner Form (vgl. Abb. 2.5.1).

Die Strecke P (0) Q(0) der Länge a werde mit konstanter Geschwindigkeit
υ > 0 parallel zur x–Achse nach unten verschoben und erreiche zur Zeit t 0
die Endlage P ( t 0) Q( t 0). Gleichzeitig werde die Strecke OP (0) = P ( t 0) P (0) mit derselben Länge a um den Punkt O mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω > 0 im Uhrzeigersinn gedreht und erreiche zur Zeit t 0 die Endla-
ge P ( t 0) Q( t 0). Der Schnittpunkt beider Strecken beschreibt dabei die Qua-
dratrix. Zur Zeit t, 0 < t < t 0, ist die Lage der Strecken P ( t) Q( t) bzw.

OR( t). Der Winkel <

) P ( t) OR( t) hängt von der Zeit t ab und hat die Größe
ϕ( t) = ωt. Es ist klar, daß |P (0) P ( t) | = υt. Sei S( t) = ( x( t) , y( t)) der Schnittpunkt der beiden Strecken zur Zeit t.

Weil sich die beiden Strecken mit konstanter Geschwindigkeit υ bzw. kon-
stanter Winkelgeschwindigkeit ω bewegen, ist y( t) proportional zu θ( t), al-
so y( t) = c θ( t). Aus y(0) = a und θ(0) = π folgt y( t) = 2 a θ( t). Wegen 2
π
θ( t) = arctan y( t) , also y = 2 a arctan y für 0 < x ≤ a oder x = y cot π y für x( t)

π
x

2 a
o < y ≤ a und lim y cot π y = 2 a erhält man
y→ 0+

2 a
π
x = y cot π y 0 < y ≤ a

2 a

(2.5.1)

x = 2 a
y = 0
π
als Beschreibung des geometrischen Ortes von S( t).

Abb. 2.5.1. Kinematische Erzeugung der Quadratrix

P (0) Q(0) = P (0) P ( t 0) = a,

P (0) P ( t) = υt
r( θ) = |OS| (d. h. r( θ( t)) = |OS( t) |); die Funktion r : [0 , π 2 ] −→ R ist eine echt monoton wachsende Funktion im Intervall [0 , π 2 ].

92

2 Die geometrische Algebra der Griechen

Diese Kurve nannte Deinostratos Quadratrix. Im Polarkoordinatensystem
kann die Quadratrix wie folgt dargestellt werden:

r ( θ) = 2 a θ

0 < θ ≤ π
π sin θ

2

.

(2.5.2)

r (0) = lim

2 a
θ
θ→ 0+

= 2 a
π sin θ
π

Wir können viele Punkte der Quadratrix mit Zirkel und Lineal allein finden,
z. B. ist für n ∈ N der Winkel θ = π

2 n allein mit Zirkel und Lineal konstru-
ierbar (weil das Halbieren eines Winkels immer mit Zirkel und Lineal allein
möglich ist). Ebenso ist die Strecke y = 2 a · π
a
π

2 n 2 n− 1 mit Zirkel und Line-
al allein konstruierbar (die Strecke a ist vorgegeben). In (2.5.1) wird a = 4
gesetzt und wir erhalten:

x = y cot πy 0 < y ≤ 4

8

.

x = 8
y = 0
π

Abb. 2.5.2. Konstruktion der Quadratrix mit a = 4

Die Strecke OM in Abb. 2.5.2 hat die Länge 8 . Wenn wir mehr Punkte als
π

A, B, C auf der Quadratrix konstruieren, dann erhalten wir bessere Näherun-
gen für 8 und deshalb für π.

π

Sei ein Winkel <

) M OZ der Größe θ rad wie in Abb. 2.5.3 gegeben, sei Q
der Schnittpunkt des Strahls OZ mit der Quadratrix, dann ist nach (2.5.2)

ON = 2 α θ die y-Koordinate des Punktes Q.

π

2.5 Die Quadratur des Kreises mittels der Quadratrix

93

Abb. 2.5.3. Verwendung der Quadratrix zur Winkelteilung

Mittels des Strahlensatzes läßt sich (mit Zirkel und Lineal allein) für jede
natürliche Zahl ein Punkt N auf der Strecke ON so konstruieren, daß

1

ON =

ON,
n
wobei N der Schnittpunkt der zur x-Achse parallelen Geraden durch Q ist.

Sei Q der Schnittpunkt der parallelen Geraden durch N zur x-Achse mit
der Quadratrix. Dann ist ON = 2 α · θ die y-Koordinate des Punktes Q,
π
n
also θ rad die Größe des Winkels <

) M OQ. Das bedeutet, daß wir einen
n
beliebigen Winkel mit Hilfe der Quadratrix in n gleiche Teile teilen können;
insbesondere kann man einen beliebigen Winkel mit Hilfe dieser Kurve drei-
teilen.

Mit endlich vielen Schritten können mit Zirkel und Lineal nur endlich viele

Punkte der Quadratrix konstruiert werden, nicht ihr gesamter Verlauf. Des-
halb erlaubt diese Methode durch Konstruktion hinreichend vieler Punkte
zwar die Angabe von π oder die Winkelteilung mit beliebiger Genauigkeit

(mit beliebig kleinem Fehler), aber nicht die exakte Lösung des Problems.

94

2 Die geometrische Algebra der Griechen

2.6

Formale Algebra“

”

Unter formaler Algebra“ soll hier diejenige Art von Algebra verstanden wer-

”

den, die – wie zuvor in Mesopotamien – zur Behandlung der im Alltag anfal-
lenden Probleme auch in Griechenland lange Zeit neben der wissenschaftlich
begründeten geometrischen Algebra“ betrieben wurde.

”

2.6.1 Formale Algebra vor Diophant

Mangels hinreichender Quellen können wir heute den Einfluß der babyloni-
schen Algebra auf die Entwicklung der formalen Mathematik in Griechenland
nicht lückenlos verfolgen, aber sie existierte parallel zur geometrischen Alge-
bra. Die formale Algebra war jedoch für praktische Probleme notwendig, z. B.

bei der Landvermessung und mancherlei technischen Problemen.

Nach Iamblichos von Chalkis (geb. ca. 250 n. Chr. in Chalkis, Syrien; gest.

ca. 330; Neuplatoniker, Philosoph und Wundertäter) hat bereits Thymaridas
von Paros (Mathematiker in der ersten Hälfte des 4. Jahrhunderts v. Chr.)

das folgende lineare Gleichungssystem, genannt Blume von Thymaridas“,

”

gelöst, vgl. [Cantor 1880, Bd. 1, S. 158]:

Wenn gegebene und unbekannte Größen sich in eine gegebene teilen und

”

eine von ihnen mit jeder anderen zu einer Summe verbunden wird, so wird
die Summe aller dieser Paare nach Subtraktion der ursprünglichen Summe
bei drei Zahlen der zu den übrigen addierten ganz zuerkannt, bei vier deren

Hälfte, bei fünf deren Drittel, bei sechs deren Viertel und so fort.“

In heutiger Schreibweise sieht das verbal formulierte Gleichungssystem wie
folgt aus:

x 1 + x 2 + . . . + xn = s
x 1 + x 2 = a 1
x 1 + x 3 = a 2

..

.

.

..

x 1 + xn = an− 1 ,
wobei x 1 , x 2 , x 3 , . . . , xn Unbekannte und s, a 1 , a 2 , . . . , an− 1 bekannt sind.

Die Lösung wird für n = 3 , 4 , 5 , 6 angegeben und ist x 1 = a 1+ ... + an− 1 −s , n− 2
x 2 = a 1 − x 1 , . . . , xn = an− 1 − x 1. Dieses Beispiel zeigt, daß sich die griechischen Mathematiker bereits vor Diophant mit linearen Gleichungssystemen
beschäftigten.

Auf dem Gebiet der unbestimmten Gleichungen — das sind Gleichungssy-
steme, bei denen mehr Unbekannte als Gleichungen auftreten — ist das sog.

2.6

Formale Algebra“

95

”

Rinderproblem“ des Archimedes sehr bekannt. Es sollen die Anzahlen wei-

”

ßer, schwarzer, brauner und bunter Kühe und Stiere in der Rinderherde des

Sonnengottes Helios bestimmt werden, die auf der Insel Trinakria (Sizili-
en) weiden. Dabei müssen neun Bedingungen erfüllt sein. Auf dem Weg zur

Lösung stößt man schließlich auf die Pellsche“ Gleichung:

”

t 2 − 4729494 u 2 = 1
mit der Nebenbedingung, daß u ein Vielfaches von 9304 sein soll. Dieses Pro-
blem ist praktisch unlösbar, da die kleinste mögliche Lösung für u eine Zahl
größer als 10200 000 ist. Es wurde von Archimedes möglicherweise angegeben,
um zu zeigen, daß es unvorstellbar große Zahlen gibt.

Auch von Heron von Alexandria (Mitte des 2. Jhs. n. Chr.) sind unbestimm-
te Gleichungen überliefert. Sein Werk Metrika“ enthält neben der Vermes-

”

sungslehre, der Berechnung von Flächen und Volumina auch die Berechnung
von Quadrat- und Kubikwurzeln. Er wandte sich von der geometrischen

Denkweise ab, indem er Zahlen nicht mehr als Strecken betrachtete, sondern
mit den Zahlen selbst abstrakt rechnete.

Die Geodäsie, die Heron mit Hilfe babylonischer Rechentechniken und ägyp-
tischer Näherungsverfahren ergänzte, wurde an Feldmesser und Handwerker
weitergegeben.

2.6.2 Synkopierte Algebra

Die in der Spätzeit von Diophant in Alexandria entwickelte Algebra nennt
man auch synkopierte Algebra“, weil sie weder symbolisch wie die heutige

”

Algebra, noch eine rhetorische Algebra“ ist, bei welcher jede algebraische

”

Formel durch Worte dargestellt wird.

Diophant war wahrscheinlich der erste Mathematiker, der Symbole für die

Unbekannte und ihre Potenzen, für Gleichheit, Subtrahieren usw. systema-
tisch verwendete. Er verwendete das von den Griechen schon seit ungefähr

450 vor Chr. für Zahlen benutzte griechische Alphabet, also für das praktische

Rechnen nur wenig geeignete Zahlbuchstaben wie folgt:

α
β
γ
δ
ε
ς
ζ
η
ϑ

1

2

3

4

5

6

7

8

9
ι
κ
λ
µ
ν
ξ
o
π

10

20

30

40

50

60

70

80

90
ρ
σ
τ
υ
ϕ
χ
ψ
ω

100 200 300 400 500 600 700 800 900

,α

,β

,γ

,δ

,ε

,ς

,ζ

,η

,ϑ

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000

In dieser Tabelle sind ς (vau),

(koppa),

(sampi) Zeichen aus einem semi-
tischen Alphabet.

Diese Zahlbuchstaben wurden (um sie nicht mit Wortbuchstaben zu verwech-
seln) manchmal überstrichen oder mit einem Strich versehen ( α oder α statt
des Zahlbuchstabens α), z. B. 184 = ρπδ = ρπδ; 580 = ϕπ = ϕπ.

96

2 Die geometrische Algebra der Griechen

M ist die Abkürzung für µυρι ´
ας (10 000) und n · 10 000 ( n ∈ N) wurde in der

Form n , M

M
n oder nM geschrieben, z. B. 85 6980 = 85 M + 6 980 = πε

M ,ς π;
dagegen würde Diophant diese Zahl so πε · ,ς π schreiben.

Für unbekannte Potenzen usw. benutzte Diophant folgende Bezeichnungen:

0

M

: Einheiten
µoναδες
ς

: Unbekannte ( x)

´
αριϑµ´
oς arithmos d. h. Zahl

∆ Y

: Quadrat ( x 2)

δ ´
υναµις, also in Antiqua ∆Y N AM IΣ,
daraus ∆ Y.

K Y

: Kubus ( x 3)

κ´
υβoς, also in Antiqua KY BOΣ, dar-
aus K Y.

∆ Y ∆ : Quadratoquadrat ( x 4) δυναµoδ ´
υναµις

∆K Y : Quadratokubus ( x 5)

δυναµ´
oκυβoς

K Y K : Kubokubus ( x 6)

κυβ ´
oκυβoς

=

: gleich

’´
ισoς

: minus
λε´
ιπειν; nach Heath ist
eine Kombi-
nation der griechischen Buchstaben Λ
und I, die die Anfangsbuchstaben des

Stammes
λιπ“ sind. Das Verb λ¯
ειπω

”

bedeutet fehlen, mangeln.

Diophant benutzte das Symbol
als Minus- bzw. als Trennungszeichen und
setzte alle negativen Terme hinter die positiven Terme. Beispielsweise würde

Diophant x 4 − 3 x + 10 x 2 − 7 so schreiben:

0

∆ Y ∆α∆ Y¯
ι
ςγMζ.

Diophant hatte auch Bezeichnungen für negative Potenzen von x (z. B. 1 x
bzw. 1
x 2 bezeichnet er mit ς X bzw. ∆ YX ) und nannte sie ´
αριϑoστ ´
oν bzw.

δυναµoστ ´
oν. Ähnlich verhält es sich bei 1
x 3 , 1
x 4 , 1
x 5 , 1
x 6 . Diophant beschreibt

Multiplikation und Division verbal.

Für die Lösung des Problems

Ein Kubus soll um 2 größer werden als ein Quadrat“

”

betrachtet Diophant die kubische Gleichung (in heutiger Schreibweise)

( x − 1) 3 = ( x + 1) 2 + 2
oder äquivalent
x 3 − 4 x 2 + x − 4 = 0 ,
für deren Lösung er ohne Rechnung x = 4 angibt [Tropfke 1940, S. 426]. Es
ist das erste Mal, daß eine kubische Gleichung in einer rein algebraischen

Form behandelt wird. Diese kubische Gleichung ist die einzige überlieferte

Gleichung dritten Grades mit einer Unbekannten in der griechischen Arith-

”

metik“.

2.6

Formale Algebra“

97

”

Abb. 2.6.1. Pompejus-Säule in Alexandria

[Foto Alten]

2.6.3

Arithmetika“ von Diophant

”

Diophant, der sein Werk als systematisches Lehrbuch über Algebra betrach-
tete, widmete seine Arithmetika“ dem
sehr verehrten Dionysios“. Wahr-

”

”

scheinlich handelte es sich bei ihm um den heiligen Dionysios, der 247 n. Chr.

Bischof von Alexandria wurde. Das Werk besteht aus 13 Büchern, von denen
nur zehn Bücher mit insgesamt 290 Aufgaben rein arithmetischen Inhalts
sind. Die Bücher I, II, III, XI, XII, XIII sind auf griechisch (in der deutschen

Übersetzung von Arthur Czwalina) und die Bücher IV, V, VI, VII, die erst in
den siebziger Jahren des 20. Jahrhunderts aufgefunden wurden, auf arabisch
übermittelt [Diophant b]. Sie erhalten bestimmte Gleichungen in Buch I und

Gleichungen bzw. Gleichungssysteme in den übrigen Büchern. Die Aufgaben
von Buch I sind überwiegend Gleichungen (Systeme) mit nur einer positiven

Lösung. Am Anfang schrieb Diophant [Diophant a], [Czwalina 1952, S. 7]:

98

2 Die geometrische Algebra der Griechen

Abb. 2.6.2. Das erste Blatt der vier Bücher des Diophant, die in der Bibliothek

¯

Ast¯
an-i Quds-i Rid.aw¯ı in Maschad (Iran) in Arabisch gefunden (wiederentdeckt)

wurden

2.6

Formale Algebra“

99

”

Nun wollen wir aber den Weg zu den Problemen, deren wir eine große Fülle

”

haben, beschreiten. Da es sich um viele und umfangreiche Probleme handelt,
und da es deswegen lange dauert, bis sie von denjenigen, die sie studieren,
im Gedächtnis behalten und beherrscht werden, so habe ich mich entschlos-
sen, so weit wie möglich eine Teilung der Probleme vorzunehmen, mit den
elementaren Problemen anzufangen und allmählich zu den schwierigeren vor-
zuschreiten. So nämlich wird der Weg für den Anfänger leichter sein, und so
wird der Stoff auch leichter im Gedächtnis bleiben.“

In der Arithmetika“ bedeutet Zahl“ eine rationale Zahl“. Diophant sucht

”

”

”

nur positive rationale Lösungen, obwohl er in seinen Zwischenrechnungen
auch abzuziehende Größen“ benutzt.

”

Im folgenden sollen drei (in moderner Form dargestellte) Beispiele Einblick
in dieses Werk geben. Das erste Beispiel behandelt ein lineares Gleichungs-
system mit drei Unbekannten und drei Gleichungen (Aufgabe 18, Buch I)8.

Beispiel 2.6.1: Das System

⎧

⎨ x 1 + x 2 = x 3 + 20

⎩ x 1 + x 3 = x 2 + 40
x 2 + x 3 = x 1 + 30
ist gegeben. Diophant löst das Problem durch zwei Methoden:

1. Sei x 1 + x 2 + x 3 = 2 x. Dann ist

2 x = 2 x 3 + 20 ⇒ x 3 = x − 10

2 x = 2 x 1 + 30 ⇒ x 1 = x − 15

2 x = 2 x 2 + 40 ⇒ x 2 = x − 20

Daraus folgt (durch Addition der drei Gleichungen) 3 x = 2 x + 45, also
x = 45 , x 1 = 30 , x 2 = 25 , x 3 = 35.

2. Sei x 3 = x. Dann ist

x 1 + x 2 = x + 20

⇒ x
x

1 + 2 x 2 + x = x + x 1 + 50 ⇒ x 2 = 25

2 + x = x 1 + 30

8 In den Aufgaben 27, 28, 29, 30 im ersten Buch benutzt Diophant die babylonische

Methode zur Lösung der quadratischen Gleichungen, wie in der Geschichte der

Algebra in Babylonien erwähnt. In den genannten vier Aufgaben sind zwei Zahlen
x, y gesucht, für die (Aufgabe 27) x + y und x · y, (Aufgabe 28) x + y und x 2 + y 2, (Aufgabe 29) x + y und x 2 − y 2 und letztlich (Aufgabe 30) x − y und x · y gegeben sind.

100

2 Die geometrische Algebra der Griechen

Sodann gilt

x 1 + x 2 = x + 20

⇒ x 1 + 5 = x

⇒ x
x

1 = 30 , x = 35

.

1 + x = x 2 + 40
x 1 + x = 65

Im nächsten Beispiel wird eine unbestimmte Gleichung aus Buch II, Aufgabe

9 mit Lösung zitiert.

Beispiel 2.6.2: Eine gegebene Zahl, die die Summe zweier Quadrate ist, ist
in zwei andere Quadrate zu zerlegen.

Die Zahl 13, die die Summe von 9 und 4 ist, ist in die Summe zweier anderer

Quadrate zu zerlegen. Es werden die Wurzeln aus den gegebenen Summanden
genommen, also 2 und 3. Die Wurzel des einen gesuchten Summanden setzen
wir in der Form x + 2 an, die des anderen in der Form ax − 3, wobei a beliebig
ist, also zum Beispiel 2 x − 3.

Dann werden die Quadrate x 2 + 4 x + 4 und 4 x 2 − 12 x + 9 sein. Die Summe
ist dann 5 x 2 − 8 x + 13. Sie soll aber 13 sein. Also ist x = 8 . Die Wurzel des

5
einen gesuchten Summanden ist also x + 2 = 18 , die des anderen 2 x − 3 = 1 .

5

5

Die Quadrate aber sind 324 und 1 . Die Summe der beiden Quadrate ist

25

25

325 = 13, also gleich der gegebenen Zahl.

25

Das dritte Beispiel ist Aufgabe 24 aus Buch VIII Arithmetik“. Zunächst zi-

”

tieren wir die Aufgabe und ihre Lösung. Wir wollen diese Aufgabe mit Hilfe
moderner, analytischer Methoden diskutieren.

Beispiel 2.6.3: Eine gegebene Zahl ist als Summe zweier Summanden dar-
zustellen, und es soll das Produkt der Summanden gleich sein einem um seine

Wurzel verminderten Kubus.

Es sei die Zahl 6 gegeben. Es werde x 1 = x gesetzt, also x 2 = 6 − x,
aber x 1 x 2 = 6 x − x 2. Dieser Ausdruck soll gleich y 3 − y sein. Ich bil-
de also y = ax − 1, wo a beliebig ist, z. B. a = 2. Ich bilde nun also

(2 x − 1)3 − (2 x − 1) = 8 x 3 − 12 x 2 + 4 x. Dieser Ausdruck soll 6 x − x 2 sein.

Wenn die Koeffizienten von x in beiden Ausdrücken gleich wären, würde sich
x als rational ergeben. Die 4 ist entstanden aus 3 · 2 − 2, die 6 aber ergibt
sich aus der Gleichheit. Ich muß also a so bestimmen, daß 3 a − a gleich 6
wird. Ich muß also y = 3 x − 1 setzen und erhalte y 3 − y = 27 x 3 − 27 x 2 + 6 x.

Dieser Ausdruck muß gleich 6 x − x 2 sein. Es ergibt sich also x = 26 . Es ist

27
also x 1 = 26 , x

.

27

2 = 136

27

In der heutigen Schreibweise lautet die Aufgabe: Bestimme x 1 , x 2 , y ∈ Q+,
sodaß
x 1 + x 2 = 6
x 1 · x 2 = y 3 − y

Mit x 1 = x, x 2 = 6 − x wird daraus die Aufgabe:

Bestimme x, y ∈ Q+, sodaß y 3 − y = 6 x − x 2.

2.6

Formale Algebra“

101

”

Abb. 2.6.3. Figur zu Beispiel 3

Wie Diophant zu der oben (in moderner Formelsprache) beschriebenen

Lösung gekommen ist, wird aus dieser Beschreibung nicht ohne weiteres
klar. Insbesondere stellt sich die Frage nach einer Begründung für den An-
satz y = ax − 1. Die geometrische Betrachtungsweise der Griechen legt
folgende Interpretation (in moderner Terminologie) nahe. Die Gleichung
f ( x, y) := y 3 − y + x 2 − 6 x = 0 beschreibt eine algebraische Kurve drit-
ter Ordnung in der x, y-Ebene. Die von Diophant gesuchte positive rationale

Lösung ( x 1 , y 1) entspricht einem Punkt der Kurve mit positiven rationalen

Koordinaten x 1 , y 1. Kennt man nun bereits einen Punkt ( x 0 , y 0) der Kurve
mit rationalen Koordinaten, so schneidet die Tangente y − y 0 = a( x − x 0)

∂ f( x
mit a = − ∂x

0 ,y 0) in diesem Punkt die Kurve in einem weiteren Punkt

∂ f

∂y ( x 0 ,y 0)

mit rationalen Koordinaten, wenn die Koeffizienten des Polynoms f ratio-
nal sind. Im konkreten Fall von Aufgabe 3 ist f(0 , − 1) = 0 , also (0 , − 1)

ein Kurvenpunkt, daher y = ax − 1 eine Gerade durch diesen Punkt, wel-
cher bei passender Wahl von a Tangente ist. Das ist für a = 3 (wegen

∂ f(0 , − 1) = − 6, ∂ f(0 , − 1) = 2) der Fall (vgl. Abb. 2.6.3). Für a = 2

∂x

∂y
erhält man eine Sekante, also keine Lösung des Problems. Entwickelt man
f an der Stelle ( x 0 , y 0) = (0 , − 1) nach Taylor (indem man y = ( y + 1) − 1
setzt), so sieht man aus ( y + 1)3 − 3( y + 1)2 + 3( y + 1) − ( y + 1) − 6 x + x 2 = 0, daß sich bei Elimination von y durch den Ansatz y + 1 = ax die linearen

Glieder für a = 3 aufheben, dann x 0 = 0 eine Doppelwurzel der kubischen

Gleichung und die dritte Wurzel x 1 = 26 wegen der rationalen Koeffizienten

27
zwangsläufig rational ist. Dann sind auch y 1 = 17 und x
rational.

9

2 = 136

27

102

2 Die geometrische Algebra der Griechen

Seit ihrer Übersetzung ins Arabische (10. Jh.) beeinflußte die Arithmetika“

”

von Diophant die Weiterentwicklung der Arithmetik, Algebra und Zahlen-
theorie in den islamischen Ländern. Sie nahm ihren Einzug auch in die Ma-
thematik in Mittel- und Westeuropa zur Zeit der Renaissance und später,
was besonders in den Werken von Pierre Fermat erkennbar ist.

Als weitere Schrift Diophants ist noch ein Fragment über Polygonalzahlen
erhalten, in dem er auf die elementare Zahlentheorie der Pythagoreer zurück-
greift.

Wesentliche Inhalte der Algebra in Griechenland

≈ 585 v. Chr. Thales

Durchmesser halbiert den Kreis; einbeschriebener

Winkel im Halbkreis ist ein rechter; Berechnung
der Höhe einer Pyramide mittels ihres Schattens

Geometrische Algebra

≈ 440

Hippokrates

Würfelverdopplung (delisches Problem) durch die

Bestimmung von zwei mittleren Proportionalen

≈ 420

Dreiteilung des Winkels (und Teilung eines Win-

Hippias
kels in n gleiche Teile) mit Hilfe der Kurve Qua-
dratrix

≈ 390

Archytas

Lösung des delischen Problems durch die Bestim-
mung eines Schnittpunktes dreier Flächen

≈ 350

Brüder Deino- Lösung des delischen Problems durch die Bestim-
stratos u. Me- mung von zwei mittleren Proportionalen mit Hilfe
naichmos
zweier Kegelschnitte, Kreisquadratur mittels der

Quadratrix von Hippias

≈ 330

Euklid

Geometrische Lösung linearer und rein quadrati-
scher Gleichungen sowie der quadratischen Glei-
chungen ax 2 + b = cx, ax 2 = bx + c, ax 2 + bx =
c( a, b, c > 0) mittels Flächenanlegung und forma-
len geometrischen Beweisen.

287–212

Archimedes

Probleme, die auf Gleichungen dritten oder vier-
ten Grades führen (Kugelteilung, Dreiteilung des

Winkels, Konstruktion des regelmäßigen Sieben-
ecks, Würfelverdopplung)

Synkopierte Algebra

≈ 250 n. Chr. Diophant

Bestimmte und unbestimmte Gleichungen (dio-
phantische Gleichungen) ersten und höheren Ga-
des und Systeme solcher Gleichungen

≈ 520

Kommentar zu Archimedes

Über Kugel und Zy-

Eutokios

”

linder“, Bericht über die Geschichte des delischen

Problems

2.7 Aufgaben zu Kapitel 2

103

2.7 Aufgaben zu Kapitel 2

Aufgabe 2.3.1: Flächenanlegung

Zeige: Für die Abbildungen 2.3.10 und 2.3.11 gilt die Gleichung
µ( CCDS) = µ( DT N F )

.

Aufgabe 2.3.2: Ein Maximumproblem

Benutze Aufgabe 2.3.1 und zeige, daß gilt:

Unter allen Rechtecken von gegebenem Umfang 4 a hat
das Quadrat (der Seite a) den größten Flächeninhalt.

Das bedeutet, daß die Lösung des Maximumproblems ein Ergebnis von Buch

VI, Prop. 27 der Elemente“ ist.

”

Aufgaben zum Diorismus

Aufgabe 2.3.3: Beweise die Aussage (E1) in 2.3.6 mit modernen Mitteln“.

”

Aufgabe 2.3.4: Beweise die Aussage (E2) in 2.3.6 mit modernen Mitteln“.

”

Aufgabe 2.3.5: Sei s > 0 und ABCD ein Parallelogramm. Finde einen

Punkt D auf der Geraden durch B und D (s. Abb. 2.7.1), sodaß das Paral-
lelogramm ADCD den Flächeninhalt s besitzt und zeige s < µ( ABCD) ⇔

DC < DC.

D

C

C
a

A

D

A

B

Abb. 2.7.1. Figur zur Aufgabe 2.3.5

Aufgabe 2.3.6: Mit den Bezeichnungen der Abbildungen 2.3.10 und 2.3.11
zeige man:

Sei 0 < σ ≤ µ ( ACDM ) . Dann gilt in beiden Fällen
µ ( ACDM ) = σ ⇐⇒ µ ( SDF D) = µ ( ACDM ) − σ .

104

2 Die geometrische Algebra der Griechen

Aufgabe 2.3.7: Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks

Man zeige:

a) Es gibt eine Gerade W M wie in Abb. 2.4.7, so daß Gleichung (2.4.2) gilt.

b) Sei µ = π , dann gilt:

7

8cos4 µ + 4cos3 µ − 8cos2 µ − 3 cos µ + 1 = 0 .

Daraus folgt:

8cos3 µ − 4cos2 µ − 4 cos µ + 1 = 0 .

c) Seien A 1 = A, A 2 , . . . , A 7 die Ecken eines regelmäßigen Siebeneckes, ein-
beschrieben im Kreis K und A, D, C, M wie in Abbildung 2.4.10. Dann
gelten die Beziehungen (2.4.3) aus 2.4.2.

d) Die Zahlen cos qπ und sin qπ sind für jedes q ∈ Q algebraisch9. Die

Zahlen sec qπ und tan qπ sind algebraisch (falls cos qπ = 0). Die Zah-
len cosec qπ, cot qπ sind algebraisch (falls sin qπ = 0). Beispielsweise ist
die Zahl cos π + tan π algebraisch.

7

13

Hinweis zu d): Verwende die Moivreschen Formeln.

Aufgabe 2.3.8: Dreiteilung des Winkels

Zeige, daß ein Winkel von 60 ◦ allein mit Zirkel und Lineal nicht dreigeteilt
werden kann.

Hinweis: Benutze die Identität cos 3 v = 4 cos3 v − 3 cos v und den Satz: Sei f
ein irreduzibles Polynom über Q vom Grad
n = 2 k
und f ( α) = 0 ( α ∈ R). Dann ist α allein mit Zirkel und Lineal nicht konstru-
ierbar.

Aufgabe 2.3.9: Dreiteilung eines rechten Winkels

Zeige, daß ein Winkel von 90 ◦ allein mit Zirkel und Lineal dreigeteilt werden
kann.

Aufgabe 2.3.10: Zur Bestimmung von zwei mittleren Proportionalen

Zeige die Richtigkeit der Gleichungen (2.4.9).

9 Eine komplexe Zahl heißt algebraisch, wenn sie einer Gleichung der Form
anxn + an− 1 xn− 1 + · · · + a 1 x + a 0 = 0
mit rationalen Koeffizienten ak( k = 0 , . . . , n; n ∈ N0) genügt. Die Menge A aller
algebraische Zahlen bildet einen algebraisch abgeschlossenen Körper, d. h. für
bk ∈ A( k = 0 , . . . , n;
n ∈ N0) sind auch alle Wurzeln der Gleichung bnxn +

· · · + b 1 x + b 0 = 0 algebraisch.

3 Algebra im Orient

106

3 Algebra im Orient

3.1 Algebra in China

Allgemeine Geschichte

Kulturgeschichte

3000–1500

Frühe Stromtalkulturen am

Huang-Ho und Jangtsekiang
um

Legendäre

Bronzeinschriften in

2000–1500

Hsia-Dynastie,
vorklassischer Sprache

Begründet vom
mythischen Kaiser Yü

1500–1030

Shang-Dynastie

Erste Lieder, Entwicklung der

Schrift

1030–481

Chou-Dynastie

Konfuzius (551–479) verkündet
seine Sittenlehre, Laotse (um

300) begründet die Lehre vom

Taoismus

221–207

Shi-Huang-ti einigt die

Erster Bau der chinesischen

Reiche und wird erster

Mauer (2450 km)

Kaiser

206 v. Chr.

Han-Dynastien

Blüte von Mathematik,

–220 n. Chr.

Astronomie, Philosophie und
gereimter Prosa, Zahlzeichen

221–280

Zeit der drei Reiche

Mathematische Inselsammlung

260–618

Weiterer Zerfall,

Vordringen des Buddhismus,

Verschiedene

Tempel, Klöster mit

Dynastien

Buddhafiguren entstehen

618–906

Tang-Dynastie

Blüte von Wirtschaft und

Höhepunkt

Kultur (Malerei, Lyrik von
chinesischer Macht

Li-Tai-po, Tu-fu und Po-Kü-i)

907–960

Periode der 5

Dynastien

960–1278

Sung-Dynastien

Tuschmalereien von Tieren
und Pflanzen

1278–1368

Yuan-Dynastie

Zweite Blüte der Mathematik;

(Mongolenherrschaft)

Blau-Weiß-Porzellane,

Lackarbeiten, Malerei; Reise

Marco Polos (1271–1291)

1368–1644

Ming-Dynastie

Monumentale Bauten,

Erneuerung der chin. Mauer

Ming-Gräber

1644–1911

Chhing-Dynastie

Französischer und britischer

Einfluß und Konflikte

1911

Ausrufung der

Republik

1949

Große Proletarische

Ausrufung der

Kulturrevolution (1965–69)

Volksrepublik unter

Mao Tse-tung

3.1 Algebra in China

107

Abb. 3.1.1. China im Altertum und im Mittelalter

3.1.0 Geschichtlicher Abriß

Die Entstehung der Kultur und das allmähliche Werden des Staates China
ist (größtenteils) durch Erzählungen und Legenden bekannt, die etwa im 6.

Jh. v. Chr. aus der Erinnerung oder Überlieferung aufgeschrieben wurden.

500 Jahre später folgten rekonstruktive Aufzeichnungen zur Geschichte der

Kaiser und zur Institution des Reiches durch das Werk Shiji von Sima Qi-
an (145–73 v. Chr.), dem Vater der chinesischen Geschichtsschreibung. Wie
archäologische Funde zeigen (s. u.), könnte er auf wenige erhaltene beschrifte-
te Holz- oder Bambustäfelchen zurückgegriffen haben, deren Vorhandensein
zumindest für den Zeitraum von 770–221 v. Chr. belegt wird. Die meisten
früheren schriftlichen Zeugnisse waren der wenig dauerhaften Qualität des

Schriftmaterials wie z. B. Bambus oder Holz und nicht zuletzt der Bücher-
verbrennung durch den Gewaltherrscher König Shi Huang-ti im Jahre 213
v. Chr. zum Opfer gefallen.

108

3 Algebra im Orient

Abb. 3.1.2. Bücherverbrennung im Jahre 213 v. Chr.

Vor der ersten historisch nachweisbaren Dynastie der Shang- Könige gab es
im Bereich des Huangho-Beckens eine hoch entwickelte Bauernkultur mit

Ackerbau, Tierhaltung, der Herstellung von Keramik und der Technik des

Spinnens. Nach und nach wurde auch der Süden unterhalb des Jangtseflusses
besiedelt.

Mit der Shang-Herrschaft (1650–1027 v. Chr.) begann eine Folge von Dy-
nastien, begleitet von zahlreichen Auseinandersetzungen, bis die letzte, die

Ming-Dynastie, im Jahre 1644 n. Chr. unter die Fremdherrschaft der Qing
geriet. Damit zerfiel das Kaiserreich.

Aus der Shang-Zeit jedoch liegen erste Zeugnisse der chinesischen Schrift vor.

Sie wurden auf Tierknochen und Bauchpanzerplatten von Schildkröten ein-
geritzt und von den Priestern zur Orakelbestimmung verwendet. Die Fragen
an das Orakel bezogen sich u. a. auf kriegerische Auseinandersetzungen (die

Shang waren Heerkönige) oder man wollte wissen, ob ein bestimmter Mensch
schuldig oder unschuldig war. Ein erhaltener Orakelknochen enthält die An-
frage, ob drei Schafe und zwei Rinder oder drei Schafe und fünf Rinder durch

Ertränken oder Verbrennen vom Shang-König aus Dankbarkeit für eine gute

Ernte bestimmten Göttern des Pantheons geopfert werden sollen.

Die Knochen wurden ins Feuer geworfen, und anhand der entstandenen Risse
konnte die Antwort gedeutet werden. Äußerst wichtig für die Landwirtschaft
war das Wissen um den richtigen Zeitpunkt für Aussaat und Ernte. Auch
dieses Problem wurde dem Orakel als Frage vorgelegt.

3.1 Algebra in China

109

Abb. 3.1.3. Orakelknochen (14. – 12. Jh. v. Chr.)

Ebenfalls aus der Shang-Zeit ist ein dezimales Zahlensystem, aber kein Posi-
tionssystem, mit zehn Individualzeichen übermittelt, die den heutigen Zahl-
zeichen ähnlich sind. Auf Zauberwürfeln, Gegenständen aus Bronze und Ton,
auf Orakelknochen sowie auf Bronzemünzen konnte man den Zahlzeichen be-
gegnen.

Schon während dieser Epoche bestanden also sowohl ein Schrift- als auch
ein Zahlensystem, was für die Organisation eines derart mächtigen Staates
unabdingbar war. Damit hatten die Herrscher ein Instrument der Macht in
der Hand, mit dem sie jederzeit Vorgänge und Bestände überprüfen konnten.

Schrift und Zahl bildeten aber auch einen engen Zusammenhang zum Erstel-
len eines Kalenders, der dringend für die Bestellung der Felder erforderlich
war. So entstand der erste Kalender, der zugleich ein Sonnen- und Mond-
kalender war. Die Jahreslänge wurde durch die Sonne, die des Monats vom

Mond bestimmt.

Zum Ausgleich der unterschiedlichen Umlaufzeiten des Mondes um die Er-
de und der Erde um die Sonne wurden länger und kürzer dauernde Monate
festgelegt. Dieser Kalender aber war ungenau und nicht zuletzt für die Land-
wirtschaft ungünstig. So blieb es über viele Dynastien hinweg eine Aufgabe
der Könige bzw. ihrer Hofastronomen, den Kalender zu vervollkommnen.

Chou-Dynastie (1130 – 481 v. Chr.)

Ausgang des 11. Jh. v. Chr. wurden die Shang von der damals mächtigsten

Adelsfamilie, der Chou, abgelöst. Unter ihrer feudalistischen Herrschaft er-
hielt die zivilisatorische Entwicklung dennoch großen Aufschwung, was sich
in allen Lebensbereichen widerspiegelte. Handwerk, Handel und Verwaltung
wurden ausgebaut, und die Erkenntnisse der Astronomie erweiterten sich
durch zahlreiche Beobachtungen und Aufzeichnungen. Interessant ist ein Be-
richt aus dem Jahre 687 v. Chr. von einem Meteoritenschwarm, der wie ein

Regenschauer am Himmel vorüberzog.

Zur Zeit des Konfuzius (551–479 v. Chr.), des großen Philosophen und poli-
tischen Denkers, befanden sich die großen Fürsten der Chou bereits in krie-
gerischen Auseinandersetzungen um die Vorherrschaft, die schließlich um 481
v. Chr. zu sieben verfeindeten Staaten führten.

110

3 Algebra im Orient

K¨
ampfende Reiche (481 – 221 v. Chr.)

Es gab keine einheitliche Herrschaft mehr im Reich. Während dieser Zeit
vollzog sich unter starkem Einfluß der Philosophie ein Umbruch im gesell-
schaftlichen und geistigen Bereich. Konfuzius lehrte, sich auf die alten Werte
wie Güte und gegenseitigen Respekt zu besinnen, sowohl im privaten Bereich
als auch in der Beziehung zwischen Herrscher und Untertanen. Die Sitten-
lehre des Konfuzius beeinflußte über Jahrtausende hinweg die chinesische

Staatsphilosophie und das chinesische Denken.

Gegen Ende des 4. Jhs., Anfang des 3. Jhs. v. Chr. wirkte der als Wahr-
heitslehrer bezeichnete chinesische Philosoph Laotse, der als Begründer des

Taoismus (Tao, d. h. der Weg, Urgrund) gilt. Nach seiner Anschauung stellte
das Tao die magische Kraft dar, aus der alles entspringt und von der die Welt
in immer wechselnden Kombinationen des Gegensatzes von Yin und Yang
zusammengehalten wird. Als ursprüngliche Repräsentanten des dualistischen

Prinzips der Schöpfung von Yin und Yang gelten Fu Xi, (als Erfinder der

Rechenkunst mit dem Winkelmaß dargestellt) und die Göttin Nü Gua (mit
dem Attribut des Zirkels für das Gleichgewicht zuständig). Ihre umschlun-
genen, schlangenförmigen Körper symbolisieren die Einheit der Schöpfung

(Abb. 3.1.4).

Die Einstellung der Taoisten war kein Weg aus der Ausweglosigkeit der

Kämpfenden Reiche, bereitete aber im 1. Jh. n. Chr. den Weg vor für den aus

Indien kommenden Buddhismus. Dies zeugt von kulturellen Beziehungen zwi-

Abb. 3.1.4. Die zwei mythischen Schöpfer Fu Xi (rechts mit Winkelmaß) und

Nü Gua (links mit Zirkel); in der Bildmitte zwei Geistwesen mit Flügeln (Stein-
abreibung, Ausschnitt; Jiaxiang, Provinz Shandong; Östliche Han-Dynastie, um

150 n. Chr.)

3.1 Algebra in China

111
schen China und Indien in jener Zeit. Als eines der frühen überlieferten Zeug-
nisse der chinesischen Astronomie, frühestens aus dem 4. Jh. v. Chr., gilt das

Zhoubi suanjing (Chou Pei Suan Ching, Klassische Arithmetik des Gnomon
und die Kreisbahnen des Himmels), in dem die Mathematik als Instrument für
geometrische Berechnungen dient. Interessant daran ist eine Auseinanderset-
zung in Dialogform über den Satz des Pythagoras sowie über Bruchrechnung
und das Ziehen von Quadratwurzeln als vorausgesetzte Rechenfertigkeiten
für geometrische Messungen und Berechnungen [Scriba/Schreiber 2000, S.

111ff.].

Chin-Dynastie (221 – 206 v. Chr.)

Unter dem ersten Kaiser Cheng, der den Titel Shi-Huang-Ti, d. h. Des An-

”

fangs erhabener Kaiser der Chin-Dynastie“ trug, kam es zu einer Vereinigung
der kämpfenden Reiche, deren Name China sich von dieser Dynastie ablei-
tet. Zum Schutz dieses gewaltigen Staates gegen die Hunnen zwang der Kai-
ser seine Untertanen zum Bau der chinesischen Mauer mit einer Länge von

2450 km. Spätere Erweiterungen führten zu einer Gesammtlänge von über

6000 km. Unter Kaiser Chengs Regentschaft wurden zahlreiche Änderungen
durchgeführt: Die Lehnsdomänen wurden aufgehoben, und aus dem Lehnssy-
stem wurde ein Verwaltungssystem. Sprache, Gesetze, Maße, Gewichte und

Schrift (Fragmente echten Papiers von 49 v. Chr. wurden 1957 in der Nähe
von Xiàn gefunden), wurden vereinheitlicht. Chinesische Seiden und Brokate
gelangten mit Karawanen durch die mittelasiatischen Länder über die Seiden-
straße bis nach Europa. Rom war ein dankbarer Abnehmer dieser kostbaren

Waren.

Cheng war ein unerbittlicher Herrscher, der jeden Widerspruch ahndete. So-
gar die Schriften von Gelehrten, die mit seiner Politik nicht übereinstimmten,
ließ er im Jahre 213 v. Chr. verbrennen. Verschont blieben, mit wenigen Aus-
nahmen nur Bücher über Medizin, Landwirtschaft und Orakel.

Im Jahre 207 v. Chr. wurde die Chin-Dynastie von einer Bauernarmee unter

Gaozu besiegt und fand damit ihr Ende.

Han-Dynastie (206 v. Chr. – 220 n. Chr.)

Der Armeeführer Gaozu wurde zum ersten Kaiser dieser Dynastie. Unter ihm
kam das Beamtentum zur Hochblüte, und das chinesische Reich wurde seit-
dem über 2000 Jahre von kaiserlichen Beamten verwaltet. Zur Ausbildung
der höheren chinesischen Beamten wurde eine Akademie errichtet, deren Ab-
solventen einen umfangreichen Lehrplan zu bewältigen hatten. Die Staats-
und Gesellschaftsphilosophie des Konfuzius mußte beherrscht werden, Ma-
thematik und Astronomie waren vorgeschriebene Pflichtfächer. Nach einem
strengen Auswahlverfahren und bestandener Prüfung genossen die Beamten
höchstes Ansehen und konnten weitere hohe Ämter übernehmen. Künste und

Wissenschaften wie Philosophie, Astronomie und Mathematik entwickelten
sich in hohem Maße weiter. So ordnet man z. B. die Grundformen der chi-
nesischen Zahlzeichen dem Beginn der Han-Dynastie zu, und seit dem 2. Jh.

112

3 Algebra im Orient

Abb. 3.1.5. Wie ein Lindwurm zieht sich die Chinesische Mauer über die Ge-
birgskämme. Nahezu 2000 Jahre haben Menschen an ihr gebaut, zum Schutz vor
den Steppenvölkern im Norden.

[Foto Alten]

3.1 Algebra in China

113
v. Chr. ist die frühe Form des Abakus, eines Rechenbrettes bekannt, auf dem
die Zahlen von 1 bis 9 mit Stäbchen aus Holz oder Bambus ausgelegt sind.

Das Rechenbuch Jiuzhang suanshu (Chiu Chang Suan Shu, Neun Bücher
arithmetischer Technik) in der von Liu Hui 263 n. Chr. kommentierten Form,
deren einzelne Stücke wahrscheinlich erheblich älteren Ursprungs sind und
deren Verfasser uns namentlich nicht bekannt sind, ist eine Zusammenfas-
sung der mathematischen Leistungen über mehrere Jahrhunderte hinweg. Es
ist ein rein mathematisches Werk und entspricht inhaltlich den praktischen

Bedürfnissen seiner Zeit im Wirtschafts- und Verwaltungsbereich sowie dem

Ingenieurwesen. Feldmessung und Tauschregeln von Früchten, proportiona-
le Verteilung, Beurteilung der Arbeitsleistung und Steuerfragen werden hier
behandelt. Die verschiedenen Problemgruppen sind in Aufgaben formuliert
und mit Lösungsanweisungen versehen, von denen einige im weiteren Text
erläutert werden. Zur Bewältigung der Aufgaben waren teilweise hohe ma-
thematische Kenntnisse erforderlich, über die ein Praktiker nicht unbedingt
verfügte.

Die Neun Bücher“ wurden nach Liu Hui noch mehrfach kommentiert, u. a.

”

von Sunzi (3. oder 4. Jh.), von Zu Chongzhi (5. Jh.), von Liu Zhou (6. Jh.) und
im 7. Jh. von Li Chunfeng. 1084 erschien dieses Werk erstmals in gedruckter

Form.

Im Jahre 263 n. Chr. schrieb Liu Hui sein kleines Buch Haidao suanjing (Hai

Tao Suan Ching, Mathematische Inselsammlung) als eine Ergänzung seiner

Kommentare in Neun Büchern“ über praktische Geometrie.

”

Diese beiden Werke von Liu Hui wurden 656 zum offiziellen Lehrbuch zum

Studium für Beamte und Ingenieure erklärt und galten ab 702 für diese auch
in Japan als Pflichtlektüre.

Zur Zeit der späten Han-Dynastie wirkte der Astronom, Mathematiker, Geo-
graph und Instrumentenbauer Chang Heng (78–139 n. Chr.), der als einer der
bedeutendsten Universalgelehrten seines Landes gilt. Er baute den ersten be-
kannten Seismographen der Welt und lehrte die Kugelgestalt der Erde sowie
die Unendlichkeit des Weltalls.

Das Reich der Han zerfiel durch innenpolitische Machtkämpfe und wurde
schließlich von den Heerführern aufgeteilt. Aus den Auseinandersetzungen
gingen die Drei Reiche“ hervor.

”

Zeit der Teilungen (221 – 618)

Diese Zeit war geprägt durch ständige kriegerische Auseinandersetzungen um
die Vorherrschaft zunächst der drei Reiche, später folgten weitere Spaltun-
gen. Von 518–618 herrschte die Sui-Dynastie, und während dieses kurzen

Zeitraumes gelang es ihr, eine politische Einigung herbeizuführen. Der Taois-
mus wurde vom Buddhismus verdrängt, der dann zur Staatsreligion erhoben
wurde.

114

3 Algebra im Orient

Abb. 3.1.6. Eines der ersten seismographischen Geräte. Die Richtung zum Epi-
zentrum eines Erdbebens soll bei der Erschütterung des Gerätes durch ein herab-
fallendes Teil angezeigt werden (Museum einer Mittelpunktschule in Wuxi/China)

[Foto Alten]

Tang-Dynastie (618 – 906)

Unter den Tang wurde China zu einer Weltmacht und seine Bevölkerung kam
zu Wohlstand. Handel, Handwerk, Kunst und Wissenschaften erfuhren einen
gewaltigen Aufschwung, für den die Entwicklung der Buchdruck-Kunst von
großer Bedeutung war.

Die kaiserliche Akademie erstellte einen Lehrplan mit sechs vorgegebenen

Disziplinen, u. a. auch mit Mathematik, für dessen Bewältigung sieben Jahre
vorgegeben wurden. Auf die besondere Stellung der Mathematik jener Zeit
weist eindeutig die übermittelte Zahl von 3260 geprüften Gelehrten dieses

Faches innerhalb von ca. 22 Jahren hin, und als Beweis für die Fortschrit-
te auf mathematisch-astronomischem Gebiet sei die Gradmessung genannt.

Zwar äußerte bereits der Astronom und Mathematiker Liu Zhuo (544–610)

die Idee, die Messung eines Meridiangrades mit Hilfe einer Schnur durch-
zuführen, verwirklicht wurde sie aber erst 725 durch den Astronomen Nan

Gong-yue. Jener Liu Zhuo hat an der Entwicklung eines Interpolationsver-
fahrens gearbeitet, um es bei astronomischen Berechnungen anzuwenden.

Das große Reich zerfiel 907 und wurde bis 960 von fünf Dynastien regiert.

Für die Weiterentwicklung der Kultur und Wissenschaft ist die anschließende

Periode wichtig.

3.1 Algebra in China

115

Sung-Dynastie (960 – 1278)

Diese Epoche stellt einen weiteren Höhepunkt der chinesischen Wissenschaft
und Technik dar. Es gab zahlreiche Erfindungen und Erkenntnisse, die die

Bewältigung des Alltags erleichterten. So lieferte der Mathematiker und Inge-
nieur Shen Gua eine Beschreibung zum Gebrauch des Kompasses, der durch
die Ausweitung des Seehandels notwendig wurde, geographische Kartenwerke
wurden erstellt. Eine Verbesserung des Kalenders enthielt genauere Angaben
zu den klimatischen Besonderheiten des Jahreszeitenwechsels, wichtig für die

Landwirtschaft und die Seefahrt.

Das 13. Jh. bedeutete für die chinesische Algebra einen nochmaligen Höhe-
punkt. Insbesondere traten die höheren Beamten Qin Jiushao (Ch’in Chiu-

Shao, ca. 1200–ca. 1261) und Li Ye (ursprünglich Li Zhi, 1178–1265) hervor
sowie der Wanderlehrer Zhu Shijie (Chu Shih-Chieh, Ende des 13. Jhs.). Ei-
nige ihrer Leistungen werden hier im Abschnitt 3.1.5 vorgestellt.

Diese entscheidende Zeit der kulturellen Entwicklung wurde unterbrochen
durch den Einfall der Mongolen in Nordchina im Jahre 1211. Wenige Jahre
danach gelang es Dschingis-Khan (1155–1227) ein riesiges Reich zu schaffen,
das sich fast über die ganze Mitte des asiatisch-europäischen Kontinents aus-
dehnte. Für den schrecklichen Feldherrn bedeutete das Massakrieren seiner

Feinde und das Schänden ihrer Frauen die größte Freude. Er entriß ihnen ihre

Pferde und Viehherden, und diese Geißel der Menschheit“ bekam Eurasien

”

vom Amur bis zur Oder zu spüren. Die Handelswege waren zu dieser Zeit
wegen strenger Bewachung ohne Angst vor Überfällen zu passieren.

Yuan-Dynastie (1278 – 1368)

Kublai Khan, der Begründer der Yuan-Dynastie in China, war ein Enkel des

Dschingis-Khan. Im Jahre 1280 ließ er sich zum Kaiser ausrufen und ver-
größerte sein Reich durch die Eroberung von Korea und Tibet. Durch die

Erweiterung des Reiches und die Möglichkeit, die Handelswege ungehindert
passieren zu können, kam es zu einer Wechselbeziehung zwischen chinesischen

Gelehrten und denen der islamischen Länder. Im chinesischen Observatorium
arbeiteten Gelehrte des Iran und aus Mittelasien, ebenso waren chinesische

Astronomen in der Sternwarte des Nas¯ır ad-D¯ın at.-T¯us¯ı (1201–1274) in Ma-
raga tätig. Infolgedessen erfolgte der Kenntnisaustausch auch auf dem Gebiet
der Mathematik. Die zweite Hälfte des 13. Jhs. gilt als Blütezeit der chinesi-
schen Mathematik: Mehrere hervorragende Mathematiker schrieben wichtige

Werke. Die großen Leistungen der chinesischen Algebra fanden ihren Weg in
den Westen.

Trotz der ihnen aufgezwungenen Fremdherrschaft versuchte die chinesische

Bevölkerung, ihre Kultur aufrecht zu erhalten, was sich aber als recht schwie-
rig herausstellte. Die Gefahr der kulturellen Vernichtung wurde erst durch die

Vertreibung des letzten Yuan-Kaisers zurück in die Mongolei gebannt.

116

3 Algebra im Orient

China nach 1368

Aus der Zeit der durch ihre Architektur und Kunst bekannten Ming-Dynastie

(1368–1644) sind keine bedeutenden mathematischen Beiträge überliefert.

Wegen der Abschottung Chinas während der Regierungszeit der Mandschu-

Kaiser (1644–1912), die erst unter dem Druck Englands, Frankreichs und Ja-
pans ihr Reich ab 1842 fremden Einflüssen öffneten, wurden den chinesischen

Wissenschaftlern die neuen Entdeckungen und Entwicklungen europäischer

Mathematiker erst allmählich bekannt.

Nach den Wirren in den Jahrzehnten seit Ausrufung der Republik (Bürger-
kriege, Krieg mit Japan, sowjetische Besetzung der Mandschurei, Ausrufung
der Volksrepublik durch Mao Tse-tung, Kulturrevolution) hat sich auch das
wissenschaftliche Leben in China wieder normalisiert. Dabei hat auch die mo-
derne Mathematik ihren Einzug in China gehalten und raschen Aufschwung
erfahren.

Hervorzuheben sind ihre eigenständigen wissenschaftlichen Leistungen in den
letzten Jahrzehnten, wo junge Chinesen bei den Olympiaden der mathema-
tischen Disziplinen unter den Besten waren und chinesische Mathematiker
wertvolle Beiträge zur Entwicklung der Mathematik geleistet haben.

3.1.1 Zahlzeichen

Aus der Han-Zeit sind uns chinesische Zahlzeichen als Hieroglyphenziffern
bekannt. Es sind Individualzeichen für 1–9, mit denen die Zahlen nach einem
multiplikativen Prinzip dargestellt werden, z. B. 20 als 2 · 10 , 30 als 3 · 10
usw. bis 90, ebenso für die Zahlen 200 als 2 · 100, 2000 als 2 · 1000, usw. Das
altchinesische Zahlensystem ist ein Dezimalsystem, aber kein vollständiges

Positionssystem. Bei der Anwendung dieses Systems konnten die Chinesen
ohne ein Zeichen für die Null auskommen. Dieses Prinzip ist schon bei den

Zahlen auf Orakelknochen aus der Shang-Zeit erkennbar.

Rechenbrett mit St¨
abchen

Seit dem 2. Jh. v. Chr. wurde in China das Rechenbrett eingesetzt, auf dem
das Positionssystem angewendet wurde. Die Zahlen wurden durch Stäbchen
aus Holz, später aus Gußeisen und für die Reichen aus Elfenbein, ausgelegt,
wobei deren Richtung und Position ihren Wert bestimmten. Für die Einer
stand ein senkrechter Stab, der auch für Hunderter und Zehntausender und
allgemein für die Potenzen 102 n (n = 1,2,3,... ) galt:

Zehner wurden als waagerechte Stäbe dargestellt:

3.1 Algebra in China

117

Abb. 3.1.7. Chinesische Zahlzeichen (links) und Darstellung der Zahl 41 957

(rechts)

[Menninger 1958, Bd. II, S. 270 und 274]

ebenso wie Tausender, Hunderttausender und allgemein die Potenzen 102 n+1,
z. B.:

7928 = (7 · 103 + 9 · 102 + 2 · 10 + 8) =

.

Anstelle der noch unbekannten Null haben die Chinesen zumindest bis ins 8.

Jh., ebenso wie die Babylonier vor ihnen, eine Lücke gelassen, z. B. bei

70 316 =

.

Der größten Zahl 1 644 866 437 500 begegnet man in dem Werk Neun Bücher

”

Arithmetischer Technik“, Buch IV. Ein eigenes Zeichen für Null, der Punkt,
erscheint in China erstmals in einer astronomischen Schrift aus dem Jahr 718.

Im 13. Jh. wird die Null als Kreis dargestellt.

Die chinesische Darstellung der Zahlen setzte sich auch in Japan und Korea
durch [Menninger II, S. 266]. Sie wurde dort erst in jüngster Zeit durch die in-
dische Zahlenschreibweise ersetzt, jedoch überwiegend im wissenschaftlichen
und geschäftlichen Bereich.

Der Suanpan, der chinesische Abakus, besteht aus einem Rahmen mit senk-
recht parallel zueinander stehenden Stangen oder Drähten, auf denen jeweils
fünf bewegliche Kugelscheiben aufgezogen sind. Über einer Unterteilung be-
finden sich jeweils zwei weitere Scheiben.

Dieses Rechenbrett, mit dem die vier Grundrechenarten durchgeführt wer-
den können, ist seit 1436 nachweisbar, vermutlich aber schon vor dieser Zeit

118

3 Algebra im Orient

Abb. 3.1.8. Suanpan (chinesisches Rechenbrett mit runden Holzscheiben)

[Foto Alten]

entwickelt worden. In Japan taucht im nächsten Jahrhundert die japanische

Variante, der Soroban, auf.

Ob der Gebrauch von Rechenbrettern in anderen Ländern wie z. B. in Ruß-
land oder im Nahen Osten auf einer Übernahme oder auf jeweils eigener

Entwicklung beruht, ist eine bislang nicht entschiedene Frage.

Neun B¨
ucher arithmetischer Technik

Das Rechenbuch Jiuzhang suanshu (Chiu Chang Suan Shu, Neun Bücher

”

arithmetischer Technik“)[Vogel 1968] besteht aus 246 beschreibenden Aufga-
ben ohne einleitende Texte, aber mit Lösungshinweisen. Oftmals ist es schwer,
den Text zu verstehen. Es bedurfte damals der Kenntnis der vier Grundre-
chenarten, des Umganges mit dem Abakus und vielfach der Unterstützung
eines Lehrers, um die Aufgaben erfolgreich lösen zu können. Folgende Berei-
che gehören zur Algebra und werden hier ausführlicher erläutert.

3.1.2 Quadrat- und Kubikwurzeln

Das Buch IV der Neun Bücher“ enthält 24 Aufgaben, von denen sich die

”

letzten 12 Aufgaben mit der Bestimmung der Seite einer gegebenen quadra-
tischen Fläche, der Seite eines Würfels bei gegebenem Volumen und dem

Durchmesser einer Kugel von gegebenem Volumen befassen.

Am Ende des Buches werden die Methoden kai fang und kai li fang zum

Ausziehen von Quadrat- und Kubikwurzeln beschrieben. Diese numerischen

Methoden wurden dezimal durchgeführt und konnten auf dem Rechenbrett
vollzogen werden. Sie beruhten auf der zweiten und dritten Potenz eines Bi-
noms, d. h. die Chinesen kannten die binomischen Formeln, ohne sie in diesem

Zusammenhang zu erwähnen. Diese kompakten Methoden, deren vollständige

Rekonstruktion erst Mitte des vorigen Jahrhunderts gelang, werden seit der

Han-Zeit angewendet und zeugen vom Stand der chinesischen Mathematik
in jener Zeit.

3.1 Algebra in China

119

Der Ausgangspunkt bei der Anwendung der Methode kai fang ist folgender:

√

Zu bestimmen ist die positive Wurzel x =
p der reinquadratischen Glei-
chung x 2 = p.

Sei p eine natürliche Zahl mit 5 oder 6 Ziffern, also x dreiziffrig. Dann setzt
man
p = (100 x 1 + 10 x 2 + x 3)2

= 104 x 2
x

1 + 2 · 102 x 1 + 10 x 2 10 x 2 + 2

102 x 1 + 10 x 2 + x 3

3 .

Zunächst wird x 1 als die größte Zahl bestimmt, für die 104 x 2 < p ist. Dann

1
wird der Rest p − 104 x 21 gebildet und x 2 als größte Zahl bestimmt, für die

10 x 2 < p− 104 x 21 ist. Dann wird [ 2 · 102 x

2 · 102 x 1

1 + 10 x 2 ] 10 x 2 vom ersten Rest
subtrahiert und entsprechend für die Bestimmung von x 3 verfahren.

Anhand der Aufgabe 12 aus Buch IV wird die chinesische Methode erläutert.

Die Aufgabe lautet: Jetzt hat man eine quadratische Fläche von 55 225 Pu.

Die Frage ist: Wie groß ist die Quadratseite? Die Antwort sagt: 235 Schritt.

Die Methode der Chinesen ähnelt dem um 1819 bekannt gewordenen und
noch heute angewandten Schema von Horner und Ruffini, mit dem man den

Wert eines Polynoms höheren Grades bestimmt.

√

Sei also x =

55 225 oder x 2 = 55 225 = (100 x 1 + 10 x 2 + x 3).

Die o. g. drei Schritte werden nach dem Horner-Schema ausgeführt:

I. Berechnung des Restes
r 1 = p − 104 x 21

10000

0

55225

+20000

-40000
x 1 = 2:

+20000

15225

10000

40000

II. Berechnung des Restes
r 2 = r 1 − [2 · 102 x 1 + 10 x 2] · 10 x 2 = 15225 − 100 x 2 − 4000 x 2

2

100

4000

15225

+300

-12900
x 2 = 3:

+300

2325

100

4600

III. Berechnung des Restes
r 3 = r 2 −

[2(102 x 1 + 10 x 2) + x 3] .x 3 = 2325 − x 2 −

3

460 x 3

1

460

2325

+5

-2325
x 3 = 5 :

+5

0

1

470

Daraus folgt x = 235.

120

3 Algebra im Orient

Wenn man das Horner-Schema um 90˚ entgegen dem Uhrzeigersinn dreht,
erkennt man seine Verwandtschaft mit dem chinesischen Verfahren.

x 1 = 2

(I)

5525

− 40000

15225

0

+2000 +20000 40000

10000

10000
x 2 = 3

(II)

15225

− 12900

2325

4000

+300

+300 4600

100

100
x 3 = 5

(III)

2325

− 2325

0

460

+5

+5 470

1

1

Die Chinesen vollzogen ihr Lösungsrezept in vier Zeilen auf dem Rechen-
brett. Ihre Regel dazu ist in den Neun Büchern“ angegeben. Ausführliche

”

Beschreibungen findet man z. B. in [Juschkewitsch 1964, S. 41ff.] und [Vogel

1968, S. 40, 113ff.].

Ähnlich gingen die Chinesen beim Ziehen der Kubikwurzel vor. Im 13. Jh.

waren sie in der Lage, auch höhere Wurzeln zu ziehen.

Methoden zum Ziehen von Quadrat- und Kubikwurzeln wurden nachweisbar
erstmals in China angewendet. Später traten Regeln zur Bestimmung von

Quadrat- und Kubikwurzeln zunächst bei ¯

Aryabhat.a I in Indien auf, danach
bei den Gelehrten in den islamischen Ländern. Etwa seit der Mitte des 12.

Jhs. kannte man in Europa eine Regel zum Ziehen von Quadratwurzeln. Die

Regel für Kubikwurzeln trat erstmals bei Leonardo von Pisa auf und fand
noch im 19. Jahrhundert Anwendung in unseren Schulen.

3.1.3 Der doppelte falsche Ansatz ( ¨

Uberschuß und Fehlbetrag)

Die Methode des einfachen falschen Ansatzes wurde bereits im Teil Babylo-
nische Algebra erörtert. Die des doppelten falschen Ansatzes, aus der arabi-
schen Mathematikterminologie als Regel al-Hat.a’ayn (al-Chatayn), d. h. als

˘

Regel zweier Fehler überliefert, kommt schon früher bei den Chinesen in Buch

VII der Neun Bücher“ vor und wird auch als Methode Überschuß und Fehl-

”

”

betrag“ bezeichnet.

Die Chinesen gehen von der linearen Gleichung der Form ax = b mit a = 0
aus (ähnlich auch für ax + b = d), und setzen beim doppelten falschen Ansatz
für x zwei willkürlich gewählte Versuchszahlen x 1 und x 2 ( x 1 > x 2) ein:

ax 1 = b + d 1 ,
ax 2 = b − d 2

.

3.1 Algebra in China

121

Dabei kann der Wert für ax entweder größer, kleiner oder auch gleich b aus-
fallen. Hier soll folgender Fall beschrieben werden:

d 1 ist der Überschuß und d 2 der Fehlbetrag. Aus den obigen drei Gleichungen
ergibt sich:

b ( x 1 − x 2) = d 1 x 2 + d 2 x 1 ,
a ( x 1 − x 2) = d 1 + d 2
und
x = x 1 d 2+ x 2 d 1

.

d 1+ d 2

Die Autoren des Werkes Neun Bücher“ operieren nur mit positiven Zahlen.

”

Die Rechenmethode wird in 4 Schritten vorgegeben, die auf dem Rechenbrett
vollzogen werden.

Schritt 1: Auf das Rechenbrett wird gelegt
x 1 x 2
d 1 d 2

Schritt 2: Die Diagonalelemente werden multipliziert und die Summe shih

(Dividend) x 1 d 2 + x 2 d 1 wird gebildet.

Schritt 3: Es wird die Summe fa (Divisor) gebildet: d 1 + d 2

Schritt 4: Shih durch fa geteilt.

Als Beispiel diene Aufgabe 10 aus Buch VII:

Jetzt hat man eine Wand, 9 Fuß hoch. Eine Melone wächst an dieser nach

”

oben kriechend und wird dabei täglich 7 Zoll länger (1 Fuß = 10 Zoll). Ein

Kürbis wächst an ihr nach unten kriechend und wird dabei täglich 1 Fuß
länger.

Frage: In wieviel Tagen treffen sie zusammen und wie lang ist dann jedes,

”

die Melone und der Kürbis?“

Die Lösung lautet in heutiger Schreibweise:

Sei 7 x die Länge der Melonenpflanze (in Zoll) nach x Tagen, 10 x die Länge
der Kürbispflanze (in Zoll) nach x Tagen.

Wir müssen x so bestimmen, so daß 90 − 10 x = 7 x, also 17 x = 90. Mit den

Versuchszahlen x 1 = 6; x 2 = 5 erhält man 17 x 1 = 102 = 90 + 12 = 90 + d 1,
d 1 = 12; 17 x 2 = 85 = 90 − 5 = 90 − d 2, d 2 = 5. Dann ist entsprechend der

Regel des doppelten falschen Ansatzes x = x 1 d 2+ x 2 d 1 = 90 = 5 5 (Tage), die
d 2+ d 1

17

17

Länge der Melonenpflanze 7 x = 7 × 90 = 37 1 (Zoll) = 3 (Fuß) 7 1 (Zoll), die

17

17

17

Länge der Kürbispflanze 10 x = 10 × 90 = 52 16 (Zoll) = 5 (Fuß) 2 16 (Zoll).

17

17

17

Diese Lösungsmethode für lineare Gleichungen erscheint zum ersten Mal bei
den chinesischen Gelehrten. Die indischen Mathematiker kannten nur den
einfachen falschen Ansatz. Später erschien der doppelte falsche Ansatz bei
den islamischen Mathematikern wie al-Hw¯
arizm¯ı, Qust.¯a ibn L¯uq¯a und al-

˘

Qalas.¯ad¯ı und dann im Abendland bei Leonardo von Pisa. Viele Jahrhunderte
lang wurden Aufgaben in dieser Weise gelöst. Sogar noch im Jahre 1884 wurde
diese Methode an den Gymnasien Österreichs gelehrt.

122

3 Algebra im Orient

3.1.4 Lineare Gleichungssysteme

In Buch VIII der Neun Bücher“ wird die chinesische Lösung linearer Glei-

”

chungssysteme dargestellt. Es enthält 18 Aufgaben dieser Art mit bis zu fünf

Unbekannten. Sie werden dort nach der Fangcheng (rechteckige Tabelle) –

Methode gelöst. Diese Methode ist allgemein anwendbar zur Lösung linearer

Gleichungssysteme mit beliebig vielen Unbekannten. Sie tritt erstmalig bei
den Chinesen auf und entspricht unserem Gaußschen Algorithmus.

Die erste Aufgabe enthält drei Unbekannte, in moderner Schreibweise:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2
a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3

.

Bei der Regel zur Lösung dieser Aufgabe wird von der rechteckigen Tabelle
in folgender Anordnung der Zahlenwerte ausgegangen:

a 31
a 21
a 11
a 32
a 22
a 12
a 33
a 23
a 13
b 3
b 2
b 1

.

Zuerst wird die zweite Spalte mit a 11 multipliziert. Danach werden die Zah-
len der rechten Spalte so oft (also a 21 mal) von denen der mittleren Spalte
subtrahiert, daß in der zweiten Spalte oben nichts mehr steht.

a 31
a 11
a 31
a 11
a 32 a 11 · a 22 − a 21 · a 12 a 12
a
a
a

=

32

22

12
a 33 a 11 · a 23 − a 21 · a 13 a 13
a 33
a
a

23

13
b 3
a 11 · b 2 − a 21 · b 1
b 1
b 3
b
b

2

1

Entsprechend wird mit der linken Spalte verfahren, damit an der Stelle a 31
nichts mehr (bzw. 0) steht:

a 11
a
a
a

32

22

12
a
a
a

33

23

13
b
b
b

3

2

1

.

Durch die Anwendung des obigen Verfahrens auf diese Tabelle erhält man
eine Tabelle, in deren oberem linken Dreieck keine Zahl mehr steht:

a 11
a
a

22

12
a a
a

33

23

13
b b
b

3

2

1

.

3.1 Algebra in China

123

Drehen wir diese Matrix (nach chinesischer Schreibweise) um 90˚, so erhalten
wir die dem Gaußschen Algorithmus entsprechende Anordnung.

Jetzt betrachten wir das System
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1
a x
x

22 2 + a 23 3 = b 2
a x

33 3 = b

3
und erhalten sukzessiv die Werte der Unbekannten x 3 , x 2 , x 1.

Die erste Aufgabe des Buches ist folgende:

Aus 3 Garben einer guten Ernte, 2 Garben einer mittelmäßigen Ernte und

”

1 Garbe einer schlechten Ernte erhält man den Ertrag von 39 Tou. Aus 2

Garben einer guten Ernte, 3 Garben einer mittelmäßigen Ernte und 1 Garbe
einer schlechten Ernte erhält man 34 Tou. Aus 1 Garbe guter Ernte, 2 Garben
mittelmäßiger Ernte und 3 Garben schlechter Ernte erhält man 26 Tou. Wie
viel ist der Ertrag je 1 Garbe der guten, der mittelmäßigen und der schlechten

Ernte?

Die Regel lautet: Lege auf der rechten Seite hin 3 Garben der guten Ernte,

2 Garben der mittelmäßigen Ernte, 1 Garbe der schlechten Ernte sowie den

Ertrag, die 39 Tou. Die Reihen der mittleren und geringen Ernte lege hin wie
auf der rechten Seite.“

Das folgende Gleichungssystem ist zu lösen:

3 G + 2 M + S = 39

2 G + 3 M + S = 34

G + 2 M + 3 S = 26

,
wobei G, M, S der Reihe nach den Ertrag einer Garbe der guten, mittelmäßi-
gen und schlechten Ernte bezeichnen. Nach der Fangcheng-Methode trans-
formieren wir die Matrix

⎛

⎞

⎛

⎞

1 2 3

0 0 3

⎜

⎜ 2 3 2 ⎟

⎜ 0 5 2 ⎟

⎝

⎟

⎜

⎟

3 1 1 ⎠

⇒ ⎝36 1 1 ⎠

26 34 39

99 24 39
und erhalten das zum Ausgangssystem äquivalente Gleichungssystem

3 G + 2 M + S = 39

5 M + S = 24

36 S = 99
mit der Lösung S = 11 ; M = 17 ; G = 37 .

4

4

4

In weiteren Aufgaben erscheinen bei den Umformungen der rechteckigen Ta-
belle auch negative Zahlen, ebenso bei Multiplikationen und Divisionen. Um

124

3 Algebra im Orient
solche Operationen mit negativen Zahlen zu erklären, gibt der Autor die
geläufigen Plus-Minus-Regeln, zheng fu (Chêng fu) an z. B. α +( −β) = α−β.

Um die Fangcheng-Methode zur Auflösung allgemeiner linearer Gleichungs-
systeme zu erweitern, führten die Chinesen negative Zahlen ein, mit denen
sie nach den obigen Regeln formal rechnen konnten. Negative Lösungen von

Gleichungen und Gleichungssystemen aber ließen sie bis etwa zum 13. Jahr-
hundert noch nicht zu. Negative Zahlen fanden im 7. Jh. ihren Einzug in die

Werke indischer Mathematiker.

Eine Weiterentwicklung der Theorie der Gleichungssysteme erfolgte erst im

Jahre 1683 durch den Japaner Seki Kowa mittels der Determinantenrechnung.

3.1.5 Algebra im 13. Jahrhundert

Das 13. Jh. stellte für die chinesische Algebra einen Höhepunkt dar. Zu dieser

Zeit während der Sung-Dynastie (960–1279) wirkte in Südchina Qin Jiushao,
ein höherer Beamter. Im Jahr 1247 verfaßte er das Werk Mathematische

”

Abhandlung in neun Büchern“ ( Shushu jiuzhang). Es enthält ein speziel-
les Zeichen für Null, die Behandlung von unbestimmten Gleichungen und
vor allem die Erweiterung der numerischen Auflösung entsprechend dem be-
reits beschriebenen Horner-Verfahren“ bezogen auf algebraische Gleichun-

”

gen höheren Grades. In dem früher verfaßten Werk

Neun Bücher Arith-

”

metischer Technik“ wurde das Verfahren zur Berechnung der Quadrat- und

Kubikwurzeln benutzt. Qin Jiushao löste z. B. die Gleichung

−x 4 + 763 200 x 2 − 40 642 560 000 = 0
nach diesem sukzessiven Approximationsverfahren.

Der nächste große Algebraiker war Li Ye (1178–1265), ebenfalls höherer Be-
amter. Er lebte in dem von Mongolen besetzten Nordchina und beschäftigte
sich in seinem wichtigsten Werk Ceyuan haijing (Der Seespiegel der Kreis-
messung) insbesondere mit der Lösung von Gleichungen. Die Darstellung des
o. g. Verfahrens, das er als Methode des Himmelselementes“, ( tianyuan shu,

”

tianyuan = Unbekannte, das Himmelselement, shu = Methode) bezeichnete,
fehlt in seinem Werk. Deshalb wird vermutet, daß sie in seinem Wirkungs-
bereich bekannt war. Obwohl die beiden Algebraiker Zeitgenossen waren,
scheinen sie sich gegenseitig nicht beeinflußt zu haben.

Auf dem Rechenbrett stellte sich das Verfahren bei Li Ye im 2. Buch so
dar, daß die Koeffizienten des Polynoms nach aufsteigenden Potenzen der

Unbekannten von oben nach unten, beginnend mit dem freien Glied, in eine

Spalte geordnet wurden. Fehlende Potenzen in einer Gleichung erschienen
als Kreis, dem Zeichen für Null. Die Kennzeichnung der negativen Zahlen
erfolgte durch einen Schrägstrich an der ersten Ziffer. Die Zahlen sind von
rechts in Zweiergruppen zu lesen. Dabei ist

Symbol für 50. Beispiel:

−x 4 + 763 200 x 2 − 40 642 560 000 = 0

3.1 Algebra in China

125

− 40 642 560 000

0

763 200

0

− 1

Die Schreibweise der Koeffizienten unterscheidet sich bei Qin Jiushao von
der des Li Ye derart, daß er die negativen in schwarzer und die positiven

Koeffizienten in roter Farbe schreibt.

Die Methode tianyuan ist eine der größten Leistungen der chinesischen Ma-
thematik, die erst im 15. Jh. von al-K¯
a˘s¯ı (gest. ca. 1429) wieder angewendet
wurde. In Europa erschien sie im 16. Jh. in einer umständlichen Form bei

François Viète in Frankreich, und erst zu Beginn des 19. Jhs. war sie fast
gleichzeitig bei Paolo Ruffini (1765–1822) in Italien und bei William G. Hor-
ner (1786–1837) in England zu finden.

Die Darstellung der Gleichung in der Form f(x) = 0 ist zum ersten Mal in der
chinesischen Mathematik zu finden. Bei den griechischen, islamischen und
später bei den europäischen Mathematikern wurden die Glieder von Glei-
chungen so auf die beiden Seiten verteilt, daß nur positive Koeffizienten auf-
traten. Erst im 17. Jh. wurde bei René Descartes (1596–1650) und Thomas

Harriot (1560–1621) die Darstellung f(x) = 0 eingeführt. Interessant ist, daß

Descartes fehlende Potenzen der Gleichung durch Sternchen kennzeichnet, im

Gegensatz zum Kreis (Null) bei den Chinesen.

Wenige Jahre nach dem Tod der beiden genannten chinesischen Mathemati-
ker lebte der große Gelehrte Zhu Shijie (um 1300). In seinem Werk Siyuan
yujian (Kostbarer Spiegel der vier Elemente) leistet er einen großen Beitrag
zur Entwicklung der eigenständigen Algebra. Es ist wohl das letzte bedeu-
tende mathematische Buch vor der Ankunft der Jesuiten im 16. Jh.

Im Vorwort dieses Werkes erfahren wir von der 20-jährigen Tätigkeit des Au-
tors als Wanderlehrer, während der er zahlreiche Schüler unterrichtete, für
die er 1299 ein Einführungsbuch geschrieben hat.

Nichtlineare Gleichungssysteme

Im Kostbaren Spiegel der vier Elemente“ entwickelte Zhu Shijie ein Bezeich-

”

nungssystem für Gleichungen höheren Grades mit vier Unbekannten und löste

Gleichungssysteme, die auf derartige Gleichungen führten. Die Schreibweise
der nichtlinearen Gleichungen soll anhand des folgenden Beispiels erörtert
werden. Sie stellt die Anordnung der Koeffizienten auf dem Rechenbrett dar.

x 2 + y 2 + z 2 + u 2 + 2 xy + 2 xz + 2 xu + 2 yz + 2 yu + 2 zu Die Elemente sind:

Himmel tian (= x), Erde di (= y), Mensch ren (= z), Ding wu (= u)

126

3 Algebra im Orient

Die Koeffizienten der Potenzen von x werden nach unten, die von y nach links,
die von z nach rechts und die von u nach oben geschrieben. Die Koeffizienten
der Produkte xy, yu, uz, xz werden in den Zwischenfeldern notiert, und die

Produkte xu und zy erscheinen im Innenfeld.

Das folgende Gleichungssystem wird von Zhu Shijie in der heutigen Schreib-
weise wie folgt gelöst:

⎧

⎪

⎪

⎨ x − 2 y + z = 0

2 x − x 2 + 4 y − xy 2 + 4 z + xz = 0

⎪

⎪

⎩ x 2 + y 2 − z 2 = 0

2 x + 2 y − u = 0

Aus der ersten Gleichung folgt y = x+ z , y wird in die zweite Gleichung (der

2

Form 2 x+4 y+4 z = x + y 2 − z, x = 0) und in die dritte Gleichung eingesetzt: x

6 z + 4 x
x + z

= x − z + (

)2

(3.1.1)

x

2
bzw.

x + z
x + z
x 2 − z 2 + (

)2 = ( x + z)( x − z +

) = 0

.

(3.1.2)

2

4

Für x + z = 0 erhält man aus (3.1.1) x = − 1; z = 1; sodann y = 0; u = − 2 .

Um nur positive Lösungen zu erhalten, nimmt man x + z = 0 an; jetzt folgt
x − z + x+ z = 0 aus der Gleichung (3.1.2) d. h. z = 5 x, und durch sukzessive

4

3

Elimination der Unbekannten erhält man die einzige Lösung x = 3 , y = 4 ,
z = 5 , u = 14.

Aus dem Gleichungssystem läßt sich die Gleichung

2 y 3 − uy 2 − 22 y 2 + 10 uy + 28 y − u 2 − 2 u = 0
mit zwei Unbekannten u und y ermitteln, die bei Li Ye wie folgt auf dem

Rechenbrett dargestellt wird:

3.1 Algebra in China

127

Der Kostbare Spiegel“ von Zhu Shijie erschien im 15. Jh. zusammen mit

”

Arbeiten von Yang Hui als Lehrbuch in Korea, wo es wahrscheinlich 1433
gedruckt wurde. In Japan erschien es als Druck 1658, später wurde es durch

Kommentare japanischer Mathematiker ergänzt.

Wesentliche Inhalte der chinesischen Algebra

Ca. 1400 v. Chr. Orakelknochen mit Zahlzeichen

6.–4. Jh. v. Chr. Zhoubi suanjing (Klassische Arithmetik des Gnomon und die Kreis-
bahnen des Himmels): Werk über Astronomie und Kalenderrechnung
unter Anwendung des pythagoreischen Lehrsatzes; Verwendung von

Quadratwurzeln

2. Jh. v. Chr.

Rechenbrett mit Stäbchen

Jiuzhang suanshu (Neun B¨
ucher arithmetischer Technik): Berech-
nung von Quadrat- und Kubikwurzeln (unter Verwendung einer Art

Horner- Schema); doppelter falscher Ansatz ( Überschuß und Fehlbe-
trag); lineare Gleichungssysteme mit mehreren Unbekannten, gelöst
nach der Fangcheng-Methode (entspricht dem Gaußschen Algorith-
mus) unter Verwendung auch von negativen Zahlen; quadratische

Gleichungen; unbestimmte Gleichungen

3. Jh. n. Chr.

LIU HUI: Kommentierte Ausgabe der Neun Bücher arithmetischer

”

Technik“

5. Jh.

Chang chui-chin (Mathematisches Handbuch)

Aufgaben der 100 Vögel

7.–8. Jh.

Indische Gelehrte in chinesischen Ämtern

Übernahme der indischen Ziffern

8. Jh.

Japan: Mathematischer Unterricht nach chinesischem Vorbild

13. Jh.

Aufschwung der chinesischen Algebra

LI YE und QIN JIUSHAO ( Der Seespiegel der Kreismessung und

Mathematische Abhandlung in neun B¨
uchern):

Tianyuan-Methode zur numerischen Lösung algebraischer Gleichun-
gen höheren Grades (entspricht der Methode des Horner-Schemas);

ZHU SHIJIE ( Kostbarer Spiegel der vier Elemente):

Methode des Himmelselements“ als Bezeichnungssystem zur Dar-

”

stellung von nichtlinearen Gleichungen; Lösung von nichtlinearen

Gleichungen

YANG HUI

Angabe des Pascalschen Dreiecks der Binomialkoeffizienten bis n = 6

13.–15. Jh

Austausch mathematischer Kenntnisse (z. B. Tianyuan-Methode)

durch persische und mittelasiatische Astronomen in China und chi-
nesische Gelehrte an den Observatorien in Maraga (Persien) und Sa-
markand

16. Jh.

Übermittlung mathematischer und astronomischer Kenntnisse Euro-
pas durch Jesuiten in China

128

3 Algebra im Orient

3.2 Algebra in Indien

Allgemeine Geschichte

Kulturgeschichte

3. Jt. v. Chr.

Stadtkulturen im Industal:

Rechtwinklig angelegte

Mohenjo-Daro, Harappa

Straßen mit Kanalisation
seit 2000 v. Chr. Eindringen der Indoarier

Sprache Sanskrit

1500–200

Vedische Periode

Indoarisch-Brahmanische

Kultur und Religion,

Rigveden, Heldenepos

Mahabharata,

Kharos.t.h¯ı-Schrift und

Zahlzeichen
ca. 560–480

Buddha stiftet neue Religion

Buddhismus in Nordostindien
ca. 545–470

Mah¯
av¯ıra stiftet neue Religion Jainismus breitet sich in

Nordwestindien aus

327–325

Alexander d. Gr. in Indien

Hellenistischer Einfluß

322–184

Reich der Maurya-Dynastie

Tempel und Steinplastik

(Großer Stupa von Sanchi)

271–231

Kaiser Ashoka: größte Aus-

Buddhismus wird
dehnung des Maurya Reiches

Staatsreligion

184–320 n. Chr. Verschiedene Herrscherhäuser

Hellenistisch geprägte
regieren Kleinstaaten

Ghandara-Kultur, römische

Abgesandte bereisen Indien,
der Geograph Ptolemaios
beschreibt Indien

320–480

Reich der Gupta-Dynastie

Goldenes Zeitalter“ von

”

Wissenschaft und Kunst

480–1525

Viele Dynastien in indischen

Aufleben und Erstarken des

Teilstaaten
brahmanischen Hinduismus,

Tempel mit Skulpturen und
geometrischem Schmuck,

Hochblüte der indischen

Mathematik
ca. 505–587

Var¯
ahamihira

Astronomische

Beobachtungen und

Berechnungen

712

Beginn der allmählichen

Eindringen arabischer und

Eroberung des Subkontinents
persischer Kulturelemente
durch den Islam

1498

Vasco da Gama landet in

Begegnung mit christlicher

Calicut

Religion und abendländischer

Kultur

1525–1754

Reich der Großmoguln

Blütezeit der sog. Mogul-

Architektur und -Malerei mit
geometrischer Ornamentik

1600

Gründung der britischen

Verstärkter Einfluß
ostindischen Kompagnie
westeuropäischer Kultur
ab 1757

England bricht die Herrschaft
der Hindufürsten

1877

Victoria wird Kaiserin von

Indien

1920

Gandhi ruft zum gewaltlosen

Widerstand auf

1947

Unabhängigkeit und Teilung
in Indien und Pakistan

2. Hälfte 20. Jh. Aufstieg zur Atommacht

Entwicklung zum

Industriestaat

3.2 Algebra in Indien

129

Abb. 3.2.1. Kulturen und Staaten Indiens im Altertum und im Mittelalter

130

3 Algebra im Orient

3.2.0 Geschichtlicher Abriß

Um die Mitte des dritten Jahrtausends v. Chr. blühte im Industal eine hoch-
entwickelte Stadtkultur, die Induskultur. Zeugnis davon geben eindrucksvoll
die Ruinen der alten Städte Mohenjo-Daro und Harappa: Es gab dort breit
angelegte Straßen, Häuser aus gebrannten Ziegeln mit Badezimmern, Ab-
wassersysteme und Zitadellen. Nirgendwo im alten Orient war damals eine
so hochentwickelte Zivilisation zu finden wie hier.

Aus dieser Zeit wurde eine noch nicht entzifferte Schrift gefunden, die durch
ihre Entschlüsselung weitere Hinweise geben könnte. Mathematische Kennt-
nisse belegt ein aus einer Muschel angefertigtes Lineal mit Dezimalteilung.

Etwa um 2000 v. Chr. strömten arische Stämme von Nord-West nach Indien
ein und unterdrückten die einheimische Bevölkerung. Ihre Sprache, der auch
die Bezeichnung Arier entstammt, war Sanskrit. Sie verbreitete sich in In-
dien und wurde während der folgenden tausend Jahre in Wort und Schrift
vervollkommnet. Die vedische Periode begann um 1500 v. Chr. Stufenweise
dehnte sich der Einfluß der Eroberer aus, und unter ihrer Herrschaft entstand
die Aufteilung der Bevölkerung in unterschiedliche Gesellschaftsschichten, in

Kasten. Den höchsten Rang vertraten die neuen Herren: Adlige und Geistli-
che. Beendet wurde diese von wenig wissenschaftlicher Entwicklung geprägte

Zeit mit der Ausbreitung des Buddhismus im 6. Jh. v. Chr.

Armeen des persischen Königs Darius zogen in Indien ein und eroberten
einen Teil des Panjab (Fünfstromland). Gleichzeitig entstand in Ostindien
das Reich von Magadha, in dem Buddha lebte. Seine Religion breitete sich
sehr schnell im Land (und in China sowie in anderen asiatischen Ländern)

aus und untergrub die bis dahin geltende religiöse Autorität der Veda.

Etwa zu dieser Zeit entstand das Werk Śulbas¯
utras (Schnurregeln). Es wur-
de vermutlich von einem frommen Schreiber mit mathematik-historischem

Interesse verfaßt, denn es enthält mathematische Regeln und geometrische

Richtlinien zur rituellen Konstruktion von Altären. Bemerkenswert sind die
zur Konstruktion verwendeten Meßschnüre, wovon sich auch der Name des

Werkes ableiten läßt [Scriba/Schreiber 2000, S. 144ff.].

327 v. Chr. drang Alexander der Große auf seinem Zug gegen die Perser
auch in Indien ein. Nach seinem Tod entstanden die Seleukiden-Monarchien,
die sich über Syrien, Mesopotamien, Iran und Teile Mittelasiens erstreckten.

So entstanden Kontakte mit dem ägyptischen, babylonischen und syrischen

Kulturgut.

Fast gleichzeitig entstand im Indusbecken und im Gangestal die neue Maurya-

Dynastie, die sich nach und nach über Indien ausbreitete. Ihr bekanntester

Herrscher war König Ashoka. Unter ihm erreichte der Buddhismus als Staats-
religion seinen Höhepunkt. Auf diesen König weisen große Steinpfosten mit

Inschriften zurück, die in jeder wichtigen Stadt Indiens errichtet waren. Die
in ihnen enthaltenen Zeichen für Zahlen gelten als die frühesten erhaltenen

Vorstufen unserer heutigen Zahlensymbole.

3.2 Algebra in Indien

131

Abb. 3.2.2. Relief am Osttor des Großen Stupas von Sanchi (Indien, 2. Jh. v. Chr.)

[Foto Alten]

Der Maurya-Dynastie folgte nach zahlreichen Invasionen die Gupta-Dynastie

(bis 480 n. Chr.). Das Sanskrit erlebte seine Renaissance, und Indien wurde
mit seinen Universitätsgründungen“ zum Zentrum für Wissenschaft, Kunst

”

und Medizin.

Das älteste erhaltene Werk zur Astronomie ist die anonyme Schrift S¯
urya-

Siddh¯
ant.a (Lehre der Sonne) aus dem 5. Jh. n. Chr., in dem eine in Versen
geschriebene Sinustafel vorkommt. Stand die Mathematik bisher im Dienste
der Religion, so vollzog sich hier ein Wechsel zur Astronomie.

Zwischen 450 n. Chr. und 1400 wurde Indien wiederum von zahlreichen
fremden Invasionen heimgesucht: Zunächst stürmten die Weißen Hunnen das

Land, im 8. Jh. die Araber und im 11. Jh. die Perser.

Aus dieser unruhigen Zeit verfügen wir über wichtige Quellen zur Astronomie
und Mathematik in Indien sowie über Biographien und Lebenswerke heraus-
ragender Gelehrter. So stammt wahrscheinlich aus dem 6. Jh. die anonyme

Bakhsh¯
al¯ı-Handschrift“, benannt nach ihrem Fundort, an dem sie 1881 aus-

”

gegraben wurde. Sie ist eine der ältesten erhaltenen Aufgabensammlungen
der alten indischen Mathematik und wurde auf 70 Streifen Birkenrinde ge-
schrieben. Sie beinhaltet den einfachen falschen Ansatz, lineare Gleichungen
und Gleichungssysteme sowie quadratische Gleichungen (auch mit negativen

Koeffizienten!). Etwa aus dieser Zeit stammen auch Funde indischer Ziffern-
schriften.

132

3 Algebra im Orient

Abb. 3.2.3. Taj Mahal (Agra, Indien). Das vom Großmogul Shah Jahan zwischen

1630 und 1652 für seine nach der Geburt ihres 14. Kindes verstorbene Lieblingsgat-
tin erbaute Mausoleum wird oft als der vollkommenste Bau“ der Welt gepriesen.

”

[Foto Alten]

3.2 Algebra in Indien

133

Abb. 3.2.4. Observatorium Jantar Mantar, das erste und größte Observatorium
des Jai Singh aus dem 18. Jh. (Jaipur, Indien)

[Foto Alten]

Nun folgen einige Mathematiker, vor allem aber Astronomen, die wesentli-
che Beiträge zur Algebra geleistet haben. Ihre Schriften waren bevorzugt in

Versform geschrieben, was das Auswendiglernen erleichtern sollte.

Der erste, der sich mit algebraischen Problemen beschäftigte, war der In-
der ¯

Aryabhat.a I, geb. 476 in Patna. Als junger Mathematiker verfaßte er

499 das Buch ¯

Aryabhat.¯ıya über Mathematik und Astronomie. Dieses Werk
ist eine wichtige Quelle der altindischen Mathematik und enthält eine Einlei-
tung sowie zwei astronomische und einen mathematischen Teil. Aus Sicht der

Algebra sind seine Regeln zur Berechnung der Quadrat- und Kubikwurzeln,
die Behandlung allgemeiner arithmetischer Reihen sowie die Behandlung von

Gleichungssystemen und quadratischen Gleichungen bemerkenswert.

Brahmagupta (geb. 598, gest. nach 665) lebte und arbeitete im astronomi-
schen Zentrum von Ujjain, führte in seinem 21 Kapitel umfassenden Werk

Br¯
ahmasphut.asiddh¯ant.a (Vervollkommnung der Lehre Brahmas) als erster
indischer Mathematiker das Rechnen mit positiven und negativen Zahlen
beim Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und beim Quadrieren ein und,
ebenfalls als erster, eine allgemeine Form für quadratische Gleichungen, von
denen er nur positive Lösungen angab.

134

3 Algebra im Orient

Bh¯
askara II (geb. 1114, gest. 1185?) schrieb um 1150 sein Werk Siddh¯
ant

”

.a-

Siromani“ (Der Kranz der Wissenschaften). Es ist die wichtigste Quelle der
indischen Mathematik und besteht aus vier Teilen. Der erste Teil, L¯ıl¯
avat¯ı“

”

(Die Schöne) beinhaltet überwiegend Aufgaben der Geometrie und Arith-
metik, der zweite Teil B¯ıjaganita“ (Die Lehre vom Rechnen mit Hilfe der

”

Elemente) enthält Algebra und Zahlentheorie, der Rest des Werkes befaßt sich
mit Problemen aus der Astronomie. Bh¯
askara II entwickelte die Erkenntnisse
seiner Vorgänger ¯

Aryabhat.a, Brahmagupta und anderer fort, indem er für
die Lösung quadratischer Gleichungen zwei Wurzeln angab und die Lehre
von den Gleichungssystemen weiterentwickelte.

Nach Bh¯
askara II gab es in der Entwicklung der indischen Mathematik bis
ins 19. Jh. keine erwähnenswerte Fortsetzung, obgleich die gigantischen Fe-
stungsbauten des Mittelalters und die prachtvollen Paläste und Prunkbauten
der Großmoguln umfangreiche statische Berechnungen erforderten, wie z. B.

die Residenz von Akbar dem Großen in Fatehpur Sikri, die Mogul-Architektur
in Lahore, das Rote Fort in Delhi und das berümte Taj Mahal in Agra (vgl.

Abb. 3.2.3).

Auch die Berechnungen zu den intensiven astronomischen Beobachtungen
erforderten ein hohes Maß mathematischer Kenntnisse. Den hohen Rang der
indischen Astronomie dokumentieren die auf Weisung des Maharadschahs Jai

Singh zwischen 1718 und 1734 in ganz Indien erbauten Observatorien, von
denen vier erhalten sind, darunter das erste und größte in seiner Residenz

Jaipur erbaute Jantar Mantar (vgl. Abb. 3.2.5).

Im Jahre 1887 wurde in Indien ein mathematisches Genie mit Namen Sriniva-
sa Ramanujan geboren, das schon bald Aufmerksamkeit durch Forschungen
innerhalb der Zahlentheorie erregte. Nach dem Besuch der Höheren Schule
beschäftigte er sich autodidaktisch mit der Mathematik und stand seit 1913
in reger Korrespondenz mit dem englischen Mathematiker G. H. Hardy mit
dem er auch einige Jahre in England zusammen arbeitete. Er starb im Alter
von 33 Jahren und hinterließ ein in der Fachwelt hochgeschätztes Œuvre.

3.2.1 Zahlzeichen und das dezimale Stellenwertsystem

Die ältesten uns bekannten Zahlzeichen in West-Indien und dem heutigen

Afghanistan sind die Kharos.t.h¯ı-Zahlen, die in der Zeit vom 4. bis zum 3.

Jh. v. Chr. verwendet wurden. Die Ziffern dieser Zahlen werden nicht durch

Buchstaben sondern durch Zeichen ausgedrückt:

Aus den Individualzeichen für 1 - 4, 10, 20, 100 konnte man alle natürlichen

Zahlen bis 100 durch additive Verknüpfung darstellen, ähnlich wie bei der

3.2 Algebra in Indien

135
römischen Zahlenschreibweise. Die Vielfachen von Hundert wurden multipli-
kativ dargestellt.

Die Zahlen wurden von rechts nach links geschrieben, wie das Beispiel zeigt:

274 =

= 4 + (10 + 20 + 20 + 20) + (100 · 2)

Eine wichtigere Bedeutung hatten über 1000 Jahre hinweg in weiten Teilen

Indiens die Br¯
ahm¯ı-Zahlen. Sie sind seit dem 3. Jh. v. Chr. bekannt und
in vielen Br¯
ahm¯ı-Inschriften des Königs Ashoka, der zu dieser Zeit lebte,
enthalten. Sie finden sich auf Kupferplatten und an Tempel- und Felswänden
wieder.

Diese Zahlen sind dem br¯
ahm¯ıschen Alphabet ähnlich; für die Einer, die Zeh-
ner und für die Zahlen Hundert und Tausend gibt es besondere Zeichen. Hier
werden die Vielfachen von Hundert und auch die von Tausend multiplikativ
angegeben und von links nach rechts geschrieben.

Die gr¨
oßte Leistung der indischen Wissenschaft:

die Erfindung des dezimalen Positionssystems

Die ursprünglichen Darstellungen von Zahlen in Stellenwertsystemen in Indi-
en sind noch nicht in Ziffern, sondern in Wortzahlen oder Sinnbildern abgefaßt
und in Versen gehalten. So wird z. B. für die Zahl 1 der Mond angegeben, weil
es ihn nur einmal gibt. Für die Zahl 2 gelten Flügel, Zwillinge oder Augen,
weil diese immer als Paar auftreten, für die Fünf stehen die (fünf) Sinne.

Diese Wörter treten bei größeren Zahlen dekadisch aneinander.

Man begann mit den Einern und endete mit der höchsten Zehnerpotenz,
entgegen der Br¯
ahm¯ı-Schreibweise.

Flügel Sinne Loch Mond

Beispiel 1052:

2

5

0

1

¯

Aryabhat.a I bediente sich einer anderen Methode, indem er die Zahlen durch

Silben bezeichnete. Sein Schüler Bh¯
askara I verlieh der silbenhaften Ziffern-
schreibweise Stellenwertcharakter, der positionell ist und eine Null enthält.

Um 500 n. Chr. kannten die Astronomen bereits die Positionsschreibweise.

Etwa im 6. Jh. n. Chr. verwendeten die indischen Gelehrten zur Darstellung
ihrer Zahlen Br¯
ahm¯ı-Ziffern. Auf einer Gurjara-Inschrift von 595 n. Chr. ist
die Jahreszahl Samvat 346 in dieser Weise aufgeführt.

136

3 Algebra im Orient

Ohne eine Null kann kein Positionssystem funktionieren. Über ihre Herkunft
jedoch sind die Historiker unterschiedlicher Meinung. Vermutlich ergab sich
ihre Verbreitung durch babylonische Schriften über Himmelskunde, in denen
das babylonische Sexagesimalsystem aufgeführt war; in späterer Zeit auch
mit einem Zeichen für eine fehlende Ziffer, also für Null, inmitten einer Zahl,
dargestellt durch zwei kleine schräge Keile, nicht aber an deren Ende (vgl.

S. 28). Dieses System haben die Griechen insbesondere für astronomische

Berechnungen verwendet und vervollständigten es durch ein Zeichen wie 0
für Null.

Die indischen Gelehrten erhielten alle diese Kenntnisse durch die alexandri-
nischen Feldzüge und ließen sie in ihr astronomisches Werk S¯
urya- Siddh¯
ant.a
einfließen. Ihren Br¯
ahm¯ı-Ziffern 1–9 fügten sie die griechische Null hinzu und
übernahmen die griechisch-babylonische Reihenfolge von links nach rechts. Es
ergab sich eine Verschmelzung der Erkenntnisse dreier Kulturen, wobei be-
merkt werden muß, daß die Inder das dezimale Positionssystem vollständig
ausbauten bis zu der heute noch verwendeten Form.

Spätestens seit dem 7. Jh. sind die neun Ziffern und die Null allgemein be-
kannt gewesen. Ein Null-Zeichen in Kreisform erscheint zuerst im Jahre 870
in der Gwalior-Inschrift [Menninger 1958, Bd. II, S. 214].

Abb. 3.2.5. Inschrift von Gwalior

Gegen Ende der vierten Zeile steht die Zahl 270 mit ◦ als Nullzeichen

Wahrscheinlich zur Zeit der Sassaniden-Dynastie in Persien (226–641 n. Chr.)

drang das dezimale Stellenwertsystem nach und nach in viele Teile des Na-
hen Ostens vor. Während dieser Periode bestand ein enger Kontakt zwischen

Persien, Ägypten und Indien. Spätestens jetzt muß das altbabylonische Se-
xagesimalsystem zu diesen Kulturen gelangt sein. Die älteste deutliche Be-
zugnahme auf das indische Stellenwertsystem außerhalb Indiens findet sich

662 in einem Werk des syrischen Bischofs Severus Sebokht.

Über die Wanderung des dezimalen Positionssystems in die islamischen

Länder und nach Westeuropa wird in den jeweiligen Kapiteln berichtet.

3.2 Algebra in Indien

137

3.2.2 Algebraische Ausdrucksweise

Von Brahmagupta I kennen wir den ersten Hinweis auf negative Zahlen.

In seinem Werk Br¯
ahmasphut.asiddh¯ant.a gibt er Regeln für die Addition,

Subtraktion, Multiplikation und das Quadrieren der positiven und negativen

Zahlen korrekt an, die Quadratwurzelziehung jedoch konnte er nicht exakt

durchführen. Er sagt (nach unserer heutigen Schreibweise), daß

( |α|)2 =

|α|, und

( − |α|)2 = − |α | wobei α eine reelle Zahl ist; z. B. haben wir

nach seiner Regel

(4)2 = 4 und

( − 4)2 = − 4. Später gibt Bh¯askara II
die korrekte Regel an: Die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl ist so-

”

wohl positiv als auch negativ.“ Mit imaginären Zahlen allerdings hatten die

Inder Schwierigkeiten. Mah¯
av¯ıra sagt: Es liegt in der Natur der Sache, daß

”

eine negative Größe kein Quadrat ist, also keine Quadratwurzel hat“ – ei-
ne korrekte Aussage, wenn, wie damals üblich, unter Größen nur reelle bzw.

rational-reelle Zahlen verstanden werden. Erst in der Neuzeit konnten eu-
ropäische Gelehrte diese Merkwürdigkeit durch Erweiterung zum System der
komplexen Zahlen aufklären.

Die beiden indischen Mathematiker ¯

Aryabhat.a II (10. Jh.) und Śr¯ıdhara ( 9.-

10. Jh.) haben die folgenden Eigenschaften der Null in Worten ausgedrückt:

α ± 0 = α; 0 + α = α; α − α = 0; α · 0 = 0 · α = 0;

0 : α = 0

; wobei
α eine reelle Zahl ist. Den Fall 0 : 0 haben die altindischen Mathematiker
nicht richtig untersucht, im Gegensatz zu Bh¯
askara II, der im wesentlichen
behauptete, daß α : 0 mit α = 0 unendlich sein muß.

Mindestens seit dem 3. Jh. v. Chr. wurde eine Unbekannte in der altindischen

Mathematik y¯
avat-t¯
avat (soviel – wieviel, eine beliebige Menge) genannt.

Wenn mehrere Unbekannte vorkamen, bezeichnete man diese mit verschiede-
nen Wörtern für Farben; x 0, das absolute Glied, mit r¯
upa (Form), abgekürzt:

r¯
u; usw. bis zur 15. Unbekannten.

r¯
upa
abgekürzt r¯
u = absolutes Glied
y¯
avat-t¯
avat
y¯
a = erste Unbekannte

”

k¯
alaka (schwarz)

k¯
a = zweite Unbekannte

”

n¯ılaka (blau)

n¯ı = dritte Unbekannte

”

p¯ıtaka (gelb)

p¯ı = vierte Unbekannte

”

lohitaka (rot)

lo = fünfte Unbekannte

”

haritaka (grün)

ha = sechste Unbekannte

”

In B¯ıjagan

”

. ita“ von Bh¯
askara II finden wir z. B. y¯
a 5 k¯
a 2 n¯ı 8 p¯ı 7 (d. h.

5 x + 2 y + 8 z + 7 w).

Dieses Beispiel zeigt, daß die Summanden bei der Addition nacheinander
geschrieben werden. Bei der Subtraktion setzt man einen Punkt oder einen
kleinen Kreis über den betreffenden Koeffizienten. Die Koeffizienten werden
rechts von den Unbekannten geschrieben. Um die Potenzen zu bezeichnen

138

3 Algebra im Orient
benutzte man die Wörter varga (Quadrat), ghana (Kubus) und gh¯
ata (Pro-
dukt). Beispiele dafür:

varga
abgekürzt va

= 2. Potenz
ghana
gha

= 3. Potenz

”

varga-varga
va-va

= 4. Potenz

”

varga-ghana-gh¯
ata
va-gha-gh¯
ata

= 5. Potenz

”

varga-ghana
va-gha

= 6. Potenz

”

varga-varga-ghana-gh¯
ata
va-va-gha-gh¯
ata = 7. Potenz

”

varga-varga-varga
va-va-va

= 8. Potenz

”

ghana ghana
gha-gha

= 9. Potenz

”

x 4 y 2 würde so geschrieben: Y¯
avava-k¯
ava-bh¯
a wobei bh¯
a die Abkürzung für
bh¯
avita (Produkt) ist.

In dieser Darstellungsform erkennt man die Anfänge einer symbolischen Al-
gebra in der altindischen Mathematik, die von den islamischen Gelehrten
jedoch nicht übernommen wurde. Vielmehr verwendeten sie weiterhin Worte
für algebraische Ausdrücke, wie ihre europäischen Kollegen im Mittelalter.

3.2.3 N¨
aherungsverfahren f¨
ur Wurzeln

In den Śulbas¯
utras (Schnurregeln) wird eine rationale Näherung für die Länge
der Diagonale eines Quadrates mit der Seitenlänge 1 angegeben:

√ 2 ≈ 1 + 1 + 1 − 1 .

3

3 · 4

3 · 4 · 34

Algebraisch gesehen gibt dies einen Näherungswert für die positive Wurzel der
quadratischen Gleichung x 2 − 2 = 0 . Woher kommt dieser Näherungswert?

Aus dem Text ist nicht zu ersehen, wie man darauf gekommen ist. In der

Bakhsh¯
al¯ı-Handschrift wird ein Iterationsalgorithmus für eine angenäherte

Berechnung der Quadratwurzel einer beliebigen reellen Zahl A > 0 gegeben.

Der Algorithmus lautet in moderner Schreibweise:

Es wird eine erste Näherung x 1 bestimmt gemäß

√

r

A =
a 2 + r ≈ a +

=
x 1

,

2 a
wobei a eine ganze Zahl und a 2 das größte in A enthaltene Quadrat ist.

Es wird eine Folge xn durch das Anfangsglied x 1 und die Rekursionsformel

1

A
xn+1 =

( xn +

)

(3.2.1)

2
xn
definiert (vgl. S. 40f. und Aufgabe 1.3.5).

Es läßt sich zeigen: je größer n gewählt wird, desto kleiner ist die Differenz

√
xn −

A für n ≥ 2.

3.2 Algebra in Indien

139

Für A = 2, x 1 = 3 erhält man aus der Gleichung (3.2.1):

2
x

3

1 + 2

+ 4

17

5

1

1
x
x 1

2

3

2 =

=

=

= 1 +

= 1 +

+

,

2

2

12

12

3

3 · 4
x

17

2 + 2

+ 24

577

577

169
x
x 2

12

17

3 =

=

=

=

= 1 +

2

2

3 · 4 · 34

408

408

170

1

1

= 1 +

− 1 = 1 + +

−

1

.

408

408

3

3 · 4

3 · 4 · 34

Dieser Näherungswert wurde bereits in den Schnurregeln angegeben.

Seine Genauigkeit ergibt sich gemäß:

√

√

0 < 577 −

408

2 < 1 . 4142157 −

2 < 1 . 4142157 − 1 . 4142135 = 0 . 0000022 < 5 · 10 − 6.

Also liefert das Verfahren in zwei Schritten bereits fünf Nachkommastellen
genau. Dieses Iterationsverfahren wird in dem Bakhsh¯
al¯ı-Text auch für an-

√
dere Beispiele angewendet. Es ist interessant, diesen Näherungswert von

2

√
mit dem besseren babylonischen Näherungswert (1; 24 , 51 , 10) für

2 zu ver-
s
gleichen, der bereits 1800 Jahre früher errechnet wurde: Die beiden Werte
unterscheiden sich erst in der sechsten Dezimale.

Diesen Näherungswertbestimmungen begegnen wir später bei den islamischen

Mathematikern und bei Leonardo von Pisa.

¯

Arayabhat.a und Brahmagupta geben für Näherungen zur Bestimmung von

√

Kubikwurzeln die Formel 3 a 3 + r ≈ a + r

3 a 2 an.

3.2.4 Lineare Gleichungen

Die Algebra wurde in Indien sehr hoch eingeschätzt und als die mit Beweisen
versehene Lehre vom Rechnen mit unbekannten Größen bezeichnet. Insbeson-
dere war hiermit die Auflösung von Gleichungen ersten und zweiten Grades
gemeint.

Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten

Solche Probleme erscheinen bei ¯

Aryabhat.a I, z. B. in dieser Aufgabe:

Zwei Männer haben ein gleiches Vermögen, das aus einer unterschiedlichen

Anzahl von Gegenständen (Kühe) und Barsummen (Rupien) besteht, wobei
x der Preis des Gegenstandes, a, c die Anzahl der Gegenstände und b, d die

Anzahl der Geldstücke sind, also ax + b = cx + d.

Die Regel von ¯

Aryabhat.a I lautet (im Original in Versform)

d − b
x =

.

a − c

140

3 Algebra im Orient

Ähnlichen Aufgaben begegnet man in ausführlicherer Form bei Brahmagupta
und bei Bh¯
askara. Auch bei früheren Gelehrten aus Ägypten und Mesopota-
mien erscheinen derartige Gleichungen. Sie sind überwiegend aus dem Alltag
entstanden, doch ¯

Aryabhat.a I entlehnte seine Kurieraufgabe“, die später

”

weltweit bekannt wurde, der Astronomie. Sie lautet:

Hier wird der Zeitpunkt des Zusammentreffens von zwei sich mit gleichm¨
aßi-
ger Geschwindigkeit aufeinander zu bewegenden bzw. sich in gleicher Richtung
bewegenden K¨
orper berechnet. [Elfering, S. 151]

t sei der Zeitpunkt der Konjunktion, a der Abstand und v 1 bzw. v 2 die

Geschwindigkeit der beiden Himmelskörper. Nach ¯

Aryabhat.a I gilt dann
t =
a
bei entgegengesetzter und t =
a

( v
v 1+ v 2
v 1 −v 2

1 > v 2) bei gleichgerichteter

Bewegung. Solche Kurieraufgaben erscheinen in verschiedenen Formen be-
reits in den Schnurregeln“, in der Bakhsh¯
al¯ı-Handschrift und bei Śr¯ıdhara,

”

wo sie jeweils auch auf quadratische Gleichungen führen. Die Lösungen der

Aufgaben von den zuletzt genannten werden erst später behandelt.

Lineare Gleichungssysteme

¯

Aryabhat.a I löste das folgende Gleichungssystem:

x 2 + x 3 + · · · + xn− 1 + xn = a 1
x 1

+ x 3 + · · · + xn− 1 + xn = a 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
x 1 + x 2 + x 3 + · · · + xn− 1

= an
oder
n
xi = aj, i = j, j = 1 , 2 ,...,n.

i=1
n

Seine Lösung (in moderner Schreibweise) mit s =
xi ist
i=1
n
aj = ( x 2 + x 3 + ... + xn) + ( x 1 + x 3 + ... + xn) + ... + ( x 1 + ...xn− 1) j=1

= ( s − x 1) + ( s − x 2) + ... + ( s − xn) = ns − s = ( n − 1) s .

Daraus folgt:

n
aj
j=1
s =

(3.2.2)

n − 1
xk = s − ak
f ¨
ur
k = 1 , 2 , ..., n.

(3.2.3)

In der folgenden Aufgabe verwendet Mah¯
av¯ıra die o.g. Regel:

Vier Kaufleute werden, jeder einzeln, vom Zolleinnehmer nach dem Ge-

”

samtwert ihrer Waren gefragt. Der erste Kaufmann antwortet, der Wert sei

3.2 Algebra in Indien

141

22, der zweite sagt, 23, der dritte 24 und der vierte 27. Jeder von ihnen ver-
schweigt (ber¨
ucksichtigt nicht) den Wert seiner eigenen Ware. – Oh mein

Freund, sage mir den Wert deiner Ware, die Du besitzt!“

Nach der Formel (3.2.2) gilt:

22 + 23 + 24 + 27
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =

= 32

.

4 − 1

Dann folgt aus (3.2.3) x 1 = 10 , x 2 = 9 , x 3 = 8 , x 4 = 5 .

Mah¯
av¯ıra untersucht einen allgemeineren Fall des linearen Gleichungssystems
der Form:

n

bi
xi − cixi = ai

, i = 1 , 2,..., n

.

i=1

Aufgaben dieser Art waren später in der mittelalterlichen islamischen und
europäischen Literatur weit verbreitet.

3.2.5 Quadratische Gleichungen

Der indische Mathematiker ¯

Aryabhat.a I verfaßte im Jahre 499 das Buch

¯

Aryabhat.¯ıya über Mathematik und Astronomie. Es ist in Versform geschrie-
ben, um das Auswendiglernen zu erleichtern und stellt eine wichtige Quel-
le der altindischen Mathematik dar. Die behandelten Probleme, die auf
vollständige quadratische Gleichungen führen, sind uns von den Schnurre-

”

geln“ bekannt, und die Lösungen solcher Gleichungen sind erstmalig in der

Bakhsh¯
al¯ı-Handschrift und von ¯

Aryabhat.a I her bekannt. Für die Auffin-
dung der Anzahl der Glieder einer arithmetischen Reihe löste ¯

Aryabhat.a I
eine quadratische Gleichung auf. Hier gibt er in Worten das Ergebnis an:

Die Anzahl der Glieder einer (arithmetischen) Reihe (wird folgendermaßen

”

gebildet): (Die Summe der Reihe) multipliziere man mit der Reihendifferenz
und acht; dazu addiere man ein Quadrat, das aus einer Differenz besteht
zwischen dem zweifachen Anfangsglied (der Reihe) und der Reihendifferenz;

(von dem Ganzen) die Quadratwurzel; (dann) das zweifache Anfangsglied
abgezogen, (alles) durch die Reihendifferenz dividiert, (dann) die Eins addiert

(und von diesem ganzen Ausdruck) die H¨
alfte.“ [Elfering, S. 129].

Die arithmetische Reihe lautet:

a + ( a + d) + ... ( a + ( n − 1) d)

,
wobei a das Anfangsglied, d die Differenz, n die Anzahl der Glieder und S
die Summe der Reihe sind.

¯

Aryabhat.a I behauptet:

⎛

⎞

1

8 Sd + (2 a − d)2 − 2 a
n =

⎝

+ 1⎠

.

(3.2.4)

2
d

142

3 Algebra im Orient

Er erhält durch

n − 1

S = n
a +
d

2
die quadratische Gleichung
dn 2 + (2 a − d) n = 2 S

.

(3.2.5)

Er gibt an: Die Lösung der Gleichung (3.2.5) ist (3.2.4). (3.2.4) findet man
in ähnlicher Form bei Diophant .

Die Nachfolger von ¯

Aryabhat.a I beschäftigten sich mit der Gleichungslehre
ausführlicher.

Bereits Brahmagupta löste allgemeine quadratische Gleichungen der Form
ax 2 + bx = c

,
a > 0

(3.2.6)

durch quadratische Ergänzung, indem er die Gleichung (3.2.6) einmal mit 4 a
zum anderen mit a multiplizierte:

4 a 2 x 2 + 4 abx = 4 ac

,
a 2 x 2 + abx = ac

(3.2.7)

oder
b
b

(2 ax + b)2 = b 2 + 4 ac

,

( ax +

)2 = ( )2 + ac,

2

2
indem er die linke Seite der Gleichungen (3.2.7) durch das Quadrat eines Bi-
noms ersten Grades ersetzte und b 2 bzw. ( b )2 rechts addierte. Brahmagupta

2
bezeichnete diesen Vorgang als Beseitigung des mittleren Gliedes.“

”

Seine Lösungen lauten:

√

b 2 + 4 ac − b

( b )2 + ac − b

2

2
x =

,
x =

.

(3.2.8)

2 a
a

Er gibt nur die positive Wurzel an, ohne die negative zu erwähnen.

Der Fortschritt liegt darin, daß Brahmagupta bei der Behandlung der qua-
dratischen Gleichungen von nur einer Form ausgeht, wobei er b und c als
negative Zahlen zuläßt im Gegensatz zu den Babyloniern und Diophant, die
drei Formen der quadratischen Gleichungen mit positiven Koeffizienten
ax 2 + bx = c,
ax 2 = bx + c,
ax 2 + c = bx

(3.2.9)

mit jeweils unterschiedlichen Lösungen verwenden. Die nachfolgenden Ma-
thematiker der islamischen Länder nahmen die Anwendung negativer Zahlen
nicht auf, sondern gingen wieder von den drei Hauptfällen (3.2.9) aus.

3.2 Algebra in Indien

143

Einen weiteren Fortschritt nach Brahmagupta stellt die Berücksichtigung
beider Wurzeln der quadratischen Gleichungen dar, die im 9. Jh. durch

Pr.th¯udakasv¯am¯ı und Mah¯av¯ıra belegt sind.

Bh¯
askara II stellt die Bedingung für die Existenz der Wurzeln der quadra-
tischen Gleichung fest. Seine Lösungsmethode gleicht der von Brahmagupta
durch quadratische Ergänzung.

√

2

Er sagt: Ist b negativ in (3.2.7) und b >
ac + b

(bzw. |b| >
b 2 + 4 ac),

2

2
so erhält man, indem man die Wurzel positiv oder negativ nimmt, einen
zweifachen Wert für die Unbekannte. Dies gilt in manchen Fällen.

Zwei Beispiele von Bh¯
askara II [Tropfke 1980, S. 417]:

Der 8. Teil einer Herde Affen, quadriert, sprang in einem Wald herum, die

”

12 übrigen waren auf einem Hügel zu sehen. Wieviel waren es im ganzen?“

Lösung:

x 2 + 12 = x, x 2 − 64 x = − 768 ,

64
also x = 32 ± 16. Das zweite Beispiel lautet:

Der 5. Teil einer Affenherde minus drei, quadriert, ging in eine Höhle, nur

”

ein Affe war noch zu sehen. Wie viel Affen waren es?“

Lösung: ( x − 3)2 + 1 = x, oder x 2 − 55 x = − 250 .

5

Daraus folgt x = 50 oder x = 5, aber x = 5 ist nicht annehmbar sagt

Bh¯
askara II, da x − 3 negativ ist. Deshalb ist x = 50 die Anzahl der Herde

5
der Affen.

Bei einer geometrischen Aufgabe gibt Bh¯
askara II eine negative Lösung an
und folgert, daß es sich um eine entgegengesetzte Richtung handelt.

Folgende Gleichungen höheren Grades erscheinen in dem Werk B¯ıjagan.ita
von Bh¯
askara II. Die erste lautet:

Was ist die Zahl, o’ gelehrter Mann, die multipliziert mit 12 und um den

”

Würfel der Zahl vermehrt, gleich ist, sechsmal das Quadrat der Zahl mit 35
addiert.“ Die Schreibweise in heutiger Form lautet:

12 x + x 3 = 6 x 2 + 35

.

Um diese Gleichung zu lösen, subtrahiert er von beiden Seiten der Gleichung

6 x 2 + 8, und es erscheinen auf beiden Seiten Potenzen dritten Grades

( x − 2)3 = 33

.

Also folgt daraus x − 2 = 3, d. h. x = 5.

Ähnlich verfährt er mit der zweiten Gleichung
x 4 − 2 x 2 − 400 x = 9999 .

144

3 Algebra im Orient

Er addiert beiderseits 4 x 2 + 400 x + 1 und erhält nach der Umformung

2
x 2 + 1

= (2 x + 100)2

.

Nach Bh¯
askara II folgt
x 2 + 1 = 2 x + 100 .

Er gibt nur die Lösung x = 11 an, die Wurzel x = − 9 aber nicht, weil er den

Fall x 2 + 1 = − (2 x + 100) nicht betrachtet. Mit Gleichungen höheren Gra-
des haben die Inder sich damals nur wenig beschäftigt. Erst die islamischen

Gelehrten leisteten einen großen Beitrag zur Lösung kubischer Gleichungen.

Die Inder haben sich besonders durch die Auflösung unbestimmter Gleichun-
gen bzw. Gleichungssysteme (Diophantische Gleichungen) in ganzen Zahlen
der Form ax + by = c ( a, b, c ∈ Z) hervorgetan. Dazu stammt von ¯

Aryabhat.a

I die erste, in Verse geschriebene Regel. Mit Brahmagupta beginnt die Auf-
lösung unbestimmter quadratischer Gleichungen der Form N x 2 ± k = y 2
in ganzen Zahlen. Bedeutsam ist die allgemeine zyklische Methode“ nach

”

Bh¯
askara II.

Solche Gleichungen entstanden aus der astronomischen Kalenderrechnung zu

Lagebeziehungen von Himmelskörpern mit unterschiedlichen Umlaufzeiten.

Die Lösungsmethoden für derartige algebraische Gleichungen werden mittels
zahlentheoretischer Verfahren durchgeführt, weshalb sie nicht in dieses Buch
aufgenommen worden sind.

3.2 Algebra in Indien

145

Wesentliche Merkmale der indischen Algebra

6.–5. Jh. v. Chr. ´

Sulbas¯
utras(Schnurregeln)

Eine Näherung für die Länge der Diagonale des

√

Einheitsquadrates (also für

2)

4.–3. Jh.

Kharos.t.h¯ı- Zahlen

3. Jh.

Br¯
ahm¯ı-Zahlzeichen

5. Jh. n. Chr

¯

ARYABHAT

. A I

( ¯

Aryabhat.iya)

Buch über Mathematik und Astronomie in Versform

Quadratische Gleichungen; arithmetische Reihe;

Näherungsverfahren für Quadrat- und Kubikwurzeln

6. Jh.?

Bakhsh¯
al¯ı-Handschrift

Enthält einen Iterationsalgorithmus zur Berechnung
der Quadratwurzel

6. Jh.

Einführung eines Zeichens für Null und des (dezimalen)

Positionssystems für Zahldarstellungen

6.–7. Jh.

BRAHMAGUPTA

( Brahmasphut.asiddh¯ant.a)

Erste Hinweise auf negative Zahlen; Verwendung
algebraischer Ausdrucksweise

7.–8. Jh.

Verbreitung der indischen Ziffern in Syrien und in Bagdad

10. Jh.

SR¯IDHARA und ¯

ARYABHAT

. A II

Eigenschaften der Null in Worten formuliert

12. Jh.

BH ¯

ASKARA II

( B¯ıjagan

. ita)

Weitere algebraische Ausdrücke; unbestimmte Gleichungen

(Pellsche Gleichungen) und quadratische Gleichungen mit
negativen Lösungen

146

3 Algebra im Orient

3.3 Algebra in den L¨
andern des Islam

622

Auswanderung (Hiˇ
gra, Hedschra) Muh.ammads von Mekka nach

Medina (Beginn des arabischen Kalenders)

632

Muh.ammads Tod

635

Eroberung von Damaskus und Mesopotamien

642

Eroberung von Ägypten

635/51 Eroberung von Persien, Ende des Sassanidenreiches

711

Übergang bei Gibraltar, Westgotenreich in Spanien zerschlagen

712

Eroberung von Choresmien (zwischen Kaspischem Meer und

Aralsee),Vorstoß bis zum Indus

732

Karl Martell besiegt die Araber bei Tours und Poitiers

9. Jh.

Araber auf Kreta, Sizilien

West

Ost

634–644

Kalif cUmar

(Bücherverbrennung)

661–750

Umayyaden, Sitz Damaskus

717–720

Kalif cUmar II: 718

Umsiedlung der Gelehrten
vom Museion in Alexandria
nach Antiochia

756–1031

Umayyaden, Sitz Córdoba,

750–1517

Abbasiden, Sitz 763–1258
seit 929 Kalifat

Bagdad, 1261–1517 Kairo

754–775

Kalif al-Mans.¯
ur, Gründer

Bagdads (763)

8.–10. Jh.:

Übersetzungen aus dem

768–809

Kalif H¯
ar¯
un ar-Rašh¯ıd

Griechischen ins Arabische

11.–13. Jh.: Übersetzungen aus dem

813–833

Kalif al-Ma c m¯
un

Arabischen ins Lateinische

912–961

Emir, ab 929 Kalif cAbd
ar-Rah.m¯an

961–976

Kalif al-H

. akam II,

Bibliothek in Córdoba

969–1171

Fatimiden in Ägypten, Hauptstadt Kairo (gegründet 969)

1031

Zerfall des Kalifats von

1206–1227 Dschingis-Khan, Einbruch

Córdoba in Fürstentümer
der Mongolen

1258

H¯
ul¯
ag¯
u-Khan erobert

Bagdad, Ilkh¯
an-Dynastie

1409–1449 Ulu ˙g Beg in Samarkand

(Usbekistan)

1492

Untergang Granadas, des

1504

Babur erobert Kabul und
letzten maurischen

Kandahar (Afghanistan)

Königreiches

1517

Kairo von den Türken
erobert

1523–1527 Babur erobert Nordindien,
wird zum Gründer des

Reiches und der Dynastie
der Großmoguln

3.3 Algebra in den Ländern des Islam

147
er
laltte

Mit
im
rned
an¨L
neh
islamisc
in
ik
emath

Mat
erd
trenneZ

1.

3.

3.

bb.

A

148

3 Algebra im Orient

3.3.0 Geschichtlicher Abriß

In der Literatur wird der Beginn der Geschichte in den islamischen Ländern“

”

meistens mit der Zeit der Konsolidierung der islamischen Herrschaft (7./8. Jh.)

festgesetzt.

Durch die Eroberungskriege der Araber (gemeint sind die Stämme, die damals
die arabische Halbinsel bewohnten) erfolgten Einflüsse vieler Kulturen, die
sich bis ins 15. Jh. fortsetzten. Aus dieser Zeitspanne sind zahlreiche Manu-
skripte erhalten, die in Arabisch und ab 10. Jh. auch in Persisch geschrieben
oder kopiert wurden und uns als arabische Kenntnisse überliefert sind. Aus
welchen ursprünglichen wissenschaftlichen Quellen die späteren islamischen

Gelehrten schöpften, ist oft nicht mehr nachvollziehbar.

Die frühen Wissenschaftler dieser Zeit machten sich die geistigen Auffassun-
gen in dem neuen Weltreich zu eigen und begannen mit dem Aufbau ei-
ner neuen Kultur. Wenn also von der Mathematik bzw. den Wissenschaften
allgemein in den islamischen Ländern die Rede ist, so sind damit die Er-
rungenschaften gemeint, die sich durch eine fruchtbare Zusammenarbeit der

Gelehrten vieler Völker unter Anwendung von Arabisch als offizieller Spra-
che ergeben haben. Somit kann das 7. Jh. geschichtlich und in bezug auf die

Wissenschaften als ein Meilenstein angesehen werden.

Der Begründer der islamischen Religion ist der Prophet Muh.ammad ibn
cAbdall¯ah aus Mekka, der von 569–632 n. Chr. lebte, zunächst als Hirt,
später als Kaufmann. In seiner Heimat und durch zahlreiche Handelsrei-
sen kam Muh.ammad mit vielen Religionsrichtungen in Kontakt und eignete
sich Kenntnisse über die jüdische und christliche Religion an. Seit seinem

40. Lebensjahr empfing er Offenbarungen durch den Erzengel Gabriel und
verkündete Allah als den alleinigen Gott, zu dessen Propheten er sich beru-
fen fühlte. Er betrachtete sich als Erneuerer der Religion Abrahams und als

Nachfolger von Moses und Jesus, die im Islam als Propheten verehrt werden.

Die Offenbarungen sind als Anweisungen unter dem späteren Kalifen cUtm¯
an

¯

(644–656) in das heilige Buch des Islam, den Koran, aufgenommen worden.

Diese Anweisungen enthalten viele praktische Vorschriften für das tägliche

Leben und zur Organisation des islamischen Staates.

Wegen seiner religiösen und politischen Ansichten war Muh.ammad im Jah-
re 622 gezwungen, nach Yatrib zu emigrieren, dem heutigen Medina. Seine

¯

Anhänger folgten ihm und immer mehr Menschen schlossen sich ihnen an.

Dieses Jahr der Hi˘
gra (Auswanderung) wurde zum Beginn der Zeitrechnung
im neuen Kalender der Muslime, wie die Anhänger des Islam fortan genannt
wurden. In Medina setzte Muh.ammad seine Verkündigungen fort und gewann
immer mehr Anerkennung. Bereits nach wenigen Jahren hatte sich die neue

Religion über die arabische Halbinsel ausgebreitet. Im Jahre 630 kehrte er als
anerkannter Prophet zurück nach Mekka. Diese Stadt bildete schon damals
einen gesamtarabischen Wallfahrtsort mit dem Zentrum der Kaaba, einem
würfelförmigen Bauwerk mit einem eingemauerten schwarzen Meteoriten an

3.3 Algebra in den Ländern des Islam

149
der SO-Ecke. Hier wurde damals zu vielen Göttern bzw. Götzen gebetet.

Mekka wurde jetzt zum religiösen Mittelpunkt der islamischen Welt, und die

Kaaba zum Heiligtum des Islam. Jeder gläubige Muslim sollte ein Mal in
seinem Leben dorthin pilgern. 632 verstarb Muh.ammad.

Bereits ein Jahr nach dem Tod des Propheten begann der Siegeszug des Is-
lam unter den Nachfolgern Muh.ammads, den Kalifen (Stellvertreter). Der
erste Kalif war sein Schwiegervater Ab¯
u Bakr (632–634), der die arabischen

Stämme einte und aus ihnen ein schlagkräftiges Soldatenheer zusammenstell-
te. Unter seinen Nachfolgern cUmar (634–644) und cUtm¯
an (644–656) wur-

¯
den Syrien (635–637), das sassanidische Mesopotamien (635), das Persische

Reich (635–651) und Ägypten (640–642) erobert. Nach cUtm¯
an übernahm

¯
cAl¯ı (656–661) als vierter Kalif die Herrschaft. Der größte Gegner cAl¯ıs war

Muc¯
awiya, der umayyadische Statthalter Syriens, der ihm den Kalifentitel
streitig machte und diesen nach cAl¯ıs Ermordung auch übernahm.

Mit Muc¯
awiya begann das Umayyadenkalifat (661–750). Die Umayyaden ver-
legten die damalige Hauptstadt von Medina (Sitz der ersten drei Kalifen)

nach Damaskus. Auf diese Weise kam die Muslim-Kultur in direkten Kontakt
mit der spätantiken Kultur der römischen bzw. byzantinischen Provinzen, die
erst kurz vorher von den Arabern erobert worden waren.

Durch ihre zahlreichen Eroberungen kamen die Araber mit höher entwickelten

Kulturen als ihrer eigenen in Kontakt und begegneten den griechischen, per-
sischen und indischen Wissenschaften. Diese nahmen sie an und entwickelten
sie weiter. Allerdings wird von dem schon erwähnten zweiten Kalifen cUmar
berichtet, daß er viele der im Iran erbeuteten Bücher verbrennen ließ, ähnlich
wie dies 213 v. Chr. in China unter Shi-Huang-ti geschah. cUmar soll seine

Anordnung folgendermaßen begründet haben:

Enthalten diese Bücher et-

”

was, was zur Wahrheit führt, so hat uns Allah das gegeben, was noch besser
zu dieser hinführt; sollten sie aber etwas Falsches enthalten, so sind sie über-
flüssig.“ Die Bücherverbrennung könnte als eine Art Machtdemonstration der
ersten Herrscher ausgelegt werden. Später jedoch führte das Zusammentreffen
der vielschichtigen Kulturen und somit auch der jeweiligen wissenschaftlichen

Erkenntnisse zu einer zumeist fruchtbaren Weiterentwicklung auf dem Gebiet
der Naturwissenschaften.

Unter den Umayyaden breitete sich das Reich Ende des 7. Jhs./Anfang des

8. Jhs. nach Nordafrika (706–715), nach Turkestan (711–712) und dem Pand-
schab aus. Im Jahre 711 setzten die Araber unter dem berberischen Feldherrn

T

. ¯
ariq bei dem nach ihm benannten ˘

Gabal al T

. ¯
ariq ( Berg des Tarik, Gibral-
tar) ihren Fuß zum ersten Mal in Spanien auf europäisches Festland und zogen
weiter nach Frankreich. Hier stoppte 732 der merowingische Karl Martell den
arabischen Eroberungszug auf den Feldern zwischen Tours und Poitiers.

In der Mitte des 8. Jh. begann mit al-Mans.¯ur (754–775) die Herrschaft der

Abbasiden über das islamische Reich, die (theoretisch) bis in die Mitte des

13. Jhs. dauerte. Bagdad wurde zur neuen Hauptstadt und zum Zentrum
einer Förderung der Wissenschaften. Al-Mans.¯urs Nachfolger H¯ar¯un ar-Raš¯ıd

150

3 Algebra im Orient

(786–809), bekannt aus 1001 Nacht, gründete eine Bibliothek, in der die wis-
senschaftlichen Quellen und auch ihre Übersetzungen den Interessierten in
den Sprachen Sanskrit, Persisch und Griechisch zur Verfügung standen.

Zu Beginn des 9. Jhs. erbaute ar-Raš¯ıds Sohn al-Ma c m¯
un (813–833) das Haus
der Weisheit (Bayt al-H

. ikma), dem eine umfangreiche Bibliothek und ein

Observatorium angegliedert waren. In diesem Wissenschaftszentrum bestand
die Hauptaufgabe der Gelehrten vieler Völker zunächst darin, Übersetzun-
gen und Abschriften ihrer griechischen, syrischen, indischen und persischen

Quellen sowie anderer vorhandener Werke aus den eroberten Gebieten in die
arabische Sprache zu übertragen. Auch die Fähigkeiten in Handwerk und

Baukunst erweiterten sich stetig, und ein weit verzweigter Handel zeugte von
wirtschaftlichem Aufschwung. In der Landwirtschaft führte die künstliche

Bewässerung zu reicheren Ernten.

Bedingt durch die Größe des islamischen Reiches war es den Abbasiden nicht
möglich, dieses Territorium über den gesamten Zeitraum ihrer Regentschaft
unbeschadet zusammen zu halten. Schon früher mußten Teilgebiete an rivali-
sierende Nebendynastien abgegeben werden. So löste sich Spanien von Bag-
dad ab und machte sich unter den Umayyaden von Córdoba selbständig. 929
wurde die Rivalität zwischen Córdoba und Bagdad durch die Proklamation
des westlichen Kalifats unter cAbd ar-Rah.m¯an III. (912–961) manifestiert.

Auch Ägypten entzog sich unter den T

. ¯
ul¯
uniden (868–904) der Zentralgewalt
von Bagdad. Es folgten weitere Lokaldynastien in Ost und West. Zur Zeit
der Fatimiden (969–1171), einer Berber-Dynastie, die ihren Herrschaftsbe-
reich um Ägypten erweiterte und ein unabhängiges schiitisches Kalifat ent-
stehen ließ, lag die kulturelle Führung der westlichen Länder des Islam nun in

Ägypten. In der Hauptstadt Kairo entstanden ein gut ausgestattetes Obser-
vatorium und die Akademie D¯
ar al-h

”

. ikma“, was so viel heißt wie Wohnsitz
der Wissenschaften. Um die Wende vom 10. zum 11. Jh. wirkten dort der

Astronom Ibn Y¯
unus (950–100) sowie der Astronom, Physiker und Mathe-
matiker Ibn al-Hayt.am (etwa 965–1039).

Der im Jahre 980 bei Buchara geborene Ibn Sin¯
a (lat. Avicenna) gilt als Uni-
versalgelehrter in der mittelalterlichen Welt des Islam. Er war zugleich Po-
litiker, Dichter, Philosoph, Mathematiker, Astronom und ein führender Ver-
treter der Medizin. Seine mehr als 270 Werke haben auch im europäischen

Mittelalter großen Einfluß ausgeübt, wo er unter dem lateinischen Namen

Avicenna größte Verehrung genoß. Er befaßte sich mit dem Bau von musi-
kalischen und astronomischen Instrumenten (vgl. [Djafari Naini 1991], Abb.

3.3.3 und den Videofilm Vom Zählstein zum Computer – Mittelalter“) und

”

faßte in seinem Buch der Genesung“ die Mathematik aus den Elementen des

”

Euklid und dem Almagest des Ptolemaios zusammen.

Im Jahre 1258 endete die Abbasiden-Herrschaft endgültig mit der Ermordung
ihres letzten Kalifen durch die Mongolen. In der Zeit vom 9. bis 16. Jh.

verlagerten sich die Wissenschaftszentren auf verschiedene Städte wie Ghasni,

3.3 Algebra in den Ländern des Islam

151

Abb. 3.3.2. Astrolabium, Gerät zur geographischen Ortsbestimmung (links); Ibn

Sin¯
a (lat. Avicenna), persischer Universalgelehrter (980–1027; rechts)

Isfahan, Raiy, Maraga, insbesondere auch nach Buchara und Samarkand in

Choresmien (heute Usbekistan).

Der Umayyaden-Herrscher cAbd ar-Rah.m¯an I. (756–788) gründete in Spanien
ein unabhängiges Königreich mit der Hauptstadt Córdoba als Keimzelle einer
drei Jahrhunderte währenden Herrschaft. In dieser Zeit entwickelte sich eine
originelle islamische Kunst und Kultur mit maurisch-spanischen Elementen.

Wirtschaft und Wissenschaften gediehen und Córdoba wurde zum Mekka
des Westens. Es wurde neben Bagdad zum bedeutendsten Kulturzentrum
der islamischen Welt. 600 Moscheen soll es damals in Córdoba gegeben ha-
ben. Von der hervorragenden Baukunst jener Zeit zeugt der Säulenwald der
großen Freitagsmoschee, der berühmten Mezquita (siehe Abb. 3.3.5). In der
nahe bei Córdoba liegenden Sommerresidenz der Kalifen Medina az-Zahr¯
a’

(Stadt der Blumen) befand sich die gewaltige Universitätsbibliothek mit et-
wa 400 000 Manuskripten, die in 44 Bänden katalogisiert waren. Auch in
anderen Orten der vom Islam beherrschten iberischen Halbinsel blühte die

Wissenschaft: in der Übersetzerschule von Toledo wurden Werke islamischer

Gelehrter ins Lateinische übertragen, Robert von Chester übersetzte um 1145
in Segovia die berühmte algebraische Schrift von al-Hw¯
arizm¯ı. Die arabische

˘

Poesie, Philosophie, Mathematik, Astronomie, Chemie und Medizin wurden
weiterentwickelt, ebenso die Gartenbaukunst mit Anlagen zur Bewässerung.

Córdoba blieb bis zur Reconquista im Jahre 1236 ein Zentrum des Islam und
der Wissenschaft, obgleich dort 1031 Emirat und Kalifat erloschen.

152

3 Algebra im Orient

Abb. 3.3.3. Instrument für astronomische Beobachtungen (nach einer Beschrei-
bung von Ibn S¯ın¯
a, Modell in Holz angefertigt nach Angaben von A. Djafari Naini)

3.3 Algebra in den Ländern des Islam

153

Abb. 3.3.4. Kuppel der Tillja-Kari Moschee und Medrese in Samarkand

(Choresmien, heute Usbekistan)

[Foto Alten]

154

3 Algebra im Orient

Abb. 3.3.5. Der Säulenwald der Mezquita in Córdoba, ein Bau des Umayyaden-

Emirs cAbd ar-Rah.m¯an 786/87

[Foto Alten]

3.3 Algebra in den Ländern des Islam

155

Abb. 3.3.6. Löwenhof der Alhambra in Granada (13. / 14. Jh.) mit Blick auf den

Löwenbrunnen, eingefaßt von 124 grazilen Marmorsäulen

[Foto Alten]

156

3 Algebra im Orient

Unter diesen günstigen Bedingungen wirkte hier im 12. Jh. der aus dem heu-
tigen Mauretanien stammende Philosoph Ibn Rušd (1126–1198), der unter
dem Namen Averroes in Europa bekannt wurde. Er sowie der jüdische Den-
ker Moses ben Maimon (1135–1204 in Kairo), beide aus Córdoba stammend,
beschäftigten sich auch mit mathematischen Fragen (Ibn Rušd mit Geome-
trie, Moses ben Maimon mit Wurzelrechnung, Kreisumfang und Kreisdurch-
messer) und mit Problemen der Astronomie.

Trotz der großartigen Entwicklung in Córdoba reichte der Stand der Wis-
senschaften nicht an die Größe des Ostens heran. Er war jedoch von ent-
scheidender Bedeutung für die Übermittlung des mathematischen Wissens
der Griechen und der Gelehrten des islamischen Kulturkreises nach Europa.

Im Jahre 1236 eroberte König Ferdinand III. von Kastilien Córdoba von
den Muslimen zurück. Das Zentrum des arabischen Westens war von nun
an Granada. Dort entstand im 13. und 14. Jahrhundert der riesige Komplex

Qalacat al-h.ambr¯a (Rote Festung) und Qas.r al-h.ambr¯a (Roter Palast), den
wir die Alhambra nennen.

Im Löwenhof der Alhambra entfaltete sich maurische Baukunst in der zweiten

Hälfte des 14. Jahrhunderts zu höchster Pracht (Abb. 3.3.6). In Granada
wirkte der letzte maurische Mathematiker al-Qalas.¯ad¯ı (gest. 1486), der kurz
vor der Rückeroberung von Granada nach Tunis übersiedelte.

Aneignung des Wissens fremder Kulturen

Zwischen dem 8. und 10. Jh. fand in den Wissenschaftszentren eine rege

Übersetzungstätigkeit statt.

Bereits zur Umayyadenzeit um 730 wurden astronomische Texte, auf in-
dischen und persischen Quellen beruhend, ins Arabische umgeschrieben.

Die Übersetzungsarbeit der wissenschaftlichen Werke beginnt mit al-Faz¯
ar¯ıs

Übersetzung der Siddh¯
antas. Wie wichtig für die Herrschenden die Aneig-
nung und Besitznahme der Manuskripte früherer Kulturen war, zeigt das
folgende Beispiel: Sie schickten Gesandte in fremde Länder, um nach wis-
senschaftlichen Quellen zu suchen. Einer dieser Boten war Ish.¯aq ibn H.unayn

(830–910), der bekannte Übersetzer der Werke Euklids und Archimedes’, der
u. a. das medizinische Buch des Galen beschaffen sollte. Dieser Auftrag führ-
te ihn durch das obere Mesopotamien, Syrien, Palästina und Ägypten, bis er
schließlich einen Teil dieses Manuskriptes fand.

Im Haus der Weisheit in Bagdad bestand die Hauptaufgabe der Gelehrten
vieler Völker zunächst darin, die vorhandenen Werke aus den eroberten Ge-
bieten in die arabische Sprache zu übertragen. Bis zum 10. Jh. wurden grie-
chische Werke von Ptolemaios, Euklid, Hypsikles, Apollonius, Archimedes,

Menelaos, Diophant und Heron übersetzt. Hierdurch nahm die griechische

Wissenschaft ihren Einfluß auf die Mathematik und Astronomie in den isla-
mischen Ländern. Die Originaltexte der griechischen Gelehrten sind zum Teil
verloren gegangen, aber das Abendland konnte durch die arabischen Über-
setzungen oder Kommentierungen diese Werke kennen lernen.

3.3 Algebra in den Ländern des Islam

157

Abb. 3.3.7. Arabische Übersetzung der Elemente des Euklid in 15 prachtvoll aus-
gestatteten Büchern, aus dem 9. Jh. durch Is.haq ibn Hunayn-T¯abit ibn Qurra

¯

¯

[Parlaments-Bibliothek Teheran, Maˇ
glis 200]

158

3 Algebra im Orient

Die Aufbewahrung und Vermittlung des Wissens der früheren Kulturen für
die Nachwelt ist eine hervorragende Leistung der Gelehrten in den islamischen

Ländern. Die Tradierung ihres mathematischen Wissens hat die Entwicklung
der europäischen Mathematik nachhaltig beeinflußt.

Beginn der eigenen mathematischen Kultur

Dieser Kulturschritt nahm seinen Anfang mit der Kommentierung der schon
erwähnten Übersetzungen. Das soll anhand der Entwicklung der Algebra ver-
anschaulicht werden. Auf diesem mathematischen Gebiet haben sechs Ge-
lehrte die entscheidendsten Leistungen hervorgebracht, von denen die beiden
letztgenannten sich mit numerischer Auflösung algebraischer Gleichungen be-
faßten.

Einer der ersten hervorragenden Mathematiker seiner Zeit war al-Hw¯
arizm¯ı

˘

(al-Chorezmi, Muh.ammad ibn M¯us¯a, 780?-850?). Als Mathematiker und

Astronom wirkte er im Haus der Weisheit und schrieb mindestens fünf uns
bekannte Werke über Arithmetik, Algebra, Astronomie, Geographie und Ka-
lenderrechnung. Zwei seiner Bücher nahmen großen Einfluß auf die Entwick-
lung der Mathematik, nämlich zunächst das der Arithmetik, das in Form einer
lateinischen Übersetzung ohne Titel überliefert wurde und dessen Titel ver-
mutlich Algoritmi de numero Indorum“ ist. Dieses Buch stellt die wichtigste

”

Quelle für das Rechnen mit indischen Ziffern in Europa dar. Eine vollständige
lateinische Bearbeitung dieses Werkes wurde vor einigen Jahren in New York
in der Bibliothek der Hispanic Society of Amerika entdeckt [Folkerts 1997].

Die Bezeichnung Algorismus“, sprachgeschichtlich abgeleitet vom Namen al-

”

Hw¯
arizm¯ı, entstand für das in seiner Schrift beschriebene Rechnen mit dem

˘
dezimalen Stellenwertsystem. Den gleichen Ursprung hat auch der Ausdruck

Algorithmus“.

”

Das zweite Buch ist al-Kit¯
ab al-muhtas

”

.ar f¯ı h.is¯
ab al-˘
gabr wa-l-muq¯
abala“,

˘
d. h. Ein kurzgefaßtes Buch über die Rechenverfahren durch Ergänzen und

”

Ausgleichen“. Zum ersten Mal in der Geschichte erscheint ein eigenständiges

Werk über Algebra und im Titel einer Schrift das Wort Algebra, das aus dem

Ausdruck al-˘
gabr (das Ergänzen) hervorgegangen ist und inzwischen zur Be-
zeichnung für all das geworden ist, was heute unter Algebra verstanden wird.

Nach al-Hw¯
arizm¯ı erfuhr die Algebra eine Weiterentwicklung durch den in

˘

Ägypten lebenden Ab¯
u K¯
amil (ca. 850–930) in seinem Lehrbuch Kit¯
ab al-

”

˘
gabr wa-l-muq¯
abala“( Buch über Ergänzen und Ausgleichen). Er schrieb auch
eine Abhandlung Kit¯
ab at

”

. T

. ar¯
a’if fi l-h.is¯ab“ (das Buch der Seltenheiten der

Rechenkunst) über unbestimmte lineare Gleichungen, sog. Vogelaufgaben.

Zur Zeit der Buyiden-Dynastie wirkte in Raiy, Isfahan und Bagdad der in

Kara˘
g ( in der Nähe von Teheran) geborene Gelehrte al-Kara˘
g¯ı (gest. zwi-
schen 1019 und 1029), dem ebenfalls fruchtbare Erkenntnisse zur Algebra
gelungen sind. Von ihm existieren ein Werk zur Arithmetik und zwei Werke
zur Algebra. Um das Jahr 1000 kamen die seldschukischen Türken als neue

Herrscher nach Persien, und der Mittelpunkt der wissenschaftlichen Forschun-
gen verlagerte sich jetzt nach Isfahan. Dort wurde 1074 dem Mathematiker,

3.3 Algebra in den Ländern des Islam

159

Abb. 3.3.8. Erste Seite der ältesten lateinischen Schrift über das indische Rech-
nen nach al-Hw¯
arizm¯ı (Bearbeitung der Übersetzung des verloren gegangenen ara-

˘
bischen Orginaltextes) [Folkerts 1997, Tafel 1]

160

3 Algebra im Orient

Astronomen, Philosophen und Dichter cUmar Hayy¯
am (al-Chayy¯
am, cUmar

˘
ibn Ibr¯
ah¯ım, 1048?-1131?) vom Sultan Malik-Š¯
ah die Leitung einer Astrono-
mengruppe angetragen, die den alten persischen Kalender reformieren sollte.

Dieser Kalender soll einen Fehler von nur einem Tag im Verlauf von 5.000

Jahren enthalten haben. Der reformierte Kalender, nach seiner Korrektur von
hervorragender Genauigkeit, wurde 1079 gänzlich vollendet und eingeführt,
später aber durch den muslimischen Mondkalender ersetzt. cUmar Hayy¯
am

˘
war neben seiner wissenschaftlichen Tätigkeit auch einer der größten Dichter

Persiens, der in seinen kurzen, sprachlich vollendeten Gedichten seine Einstel-
lung zu allen großen Fragen des Lebens zusammenfaßte. Durch Fitzgerald, der

1859 die englische Übersetzung von cUmar Hayy¯
ams Rub¯
ac¯ıy¯
at (Vierzeiler)

˘
veröffentlichte, wurde der Perser auch in Europa bekannt. Im nachfolgen-
den Gedicht (in deutscher Übersetzung) scheint er auf die Kalenderreform
anzuspielen, indem er sagt:

Doch meine Rechenkunst, die hat das Jahr

Von Grund vereinfacht, meint ihr – w¨
ars nur wahr!

Hab nur gestrichen vom Kalenderblatt

Den Tag, der noch nicht ist, und den, der war.

Mit cUmar Hayy¯
am (gest. etwa 1131), als dessen bedeutendste mathema-

˘
tische Leistung seine geometrische Theorie der Gleichungen dritten Grades
anzusehen ist, begann eine neue Phase der Algebra.

Im 13. Jh. wurde ganze Asien von mongolischen Nomaden überrannt. Nach-
dem diese seßhaft geworden waren, wurden unter dem Einfluß der einheimi-
schen Kulturen der Perser, Inder und Chinesen neue wissenschaftliche Zen-
tren gegründet, u. a. in Maraga in der Nähe von Täbris. Zu dieser Zeit lebte
der in Chorasan geborene Perser Nas.¯ır ad-D¯ın at.-T.¯us¯ı (1201–1274), ein her-
vorragender Gelehrter und Politiker, der auf den Gebieten der Philosophie,

Mathematik und Astronomie noch heute einen besonderen Ruf genießt. Für
ihn ließ H¯
ul¯
ag¯
u Kh¯
an im Jahre 1256 eine große Sternwarte mit umfangrei-
cher Bibliothek und einem Observatorium errichten, dessen Leitung er ihm
übertrug. Hier untersuchte at.-T.¯us¯ı systematisch die Anwendung des Sinussat-
zes für alle möglichen Fälle ebener Dreiecke [Scriba/Schreiber, S. 179]. Seine

Sammlung zur Arithmetik mit Hilfe von Brett und Staub“ enthält u. a. ein

”

allgemeines Verfahren zum Ausziehen von Wurzeln aus ganzen Zahlen. Nach-
weislich von dieser Zeit an bestanden Wechselbeziehungen zwischen den chi-
nesischen und persischen Astronomen, denn am Observatorium von Maraga
waren chinesische Astronomen tätig, und persische Gelehrte übermitttelten
ihre astronomischen und mathematischen Kenntnisse und Methoden nach Pe-
king. Nach der Zersplitterung des Mongolenreiches im 14. Jh. eroberte T¯ım¯
ur

(1336 -1405), ein Enkel Dschingis Kh¯
ans, die Länder des Mittleren und Nahen

Ostens, und das Zentrum von Politik und Wissenschaften wurde Samarkand

(vgl. Abb. 3.3.4 ). Um 1420 leitete hier einer der letzten großen persischen Ge-
lehrten al-K¯
aš¯ı (al-Kaschi, Giy¯
at ad-D¯ın ˇ

Gamš¯ıd, geb. in Kaschan, gest. etwa

¯

1429 in Samarkand) unter T¯ım¯
urs Enkel Ulu ˙g Beg das dortige Observatori-

3.3 Algebra in den Ländern des Islam

161
um und betrieb während dieser Zeit umfangreiche Studien der Astronomie
und Mathematik. Sein Hauptwerk, Schlüssel zur Arithmetik“ ist eine Zu-

”

sammenfassung der Leistungen und der Ergebnisse der damaligen Zeit, also
ein Standardwerk. Ein weiteres ist die Abhandlung über die Sehne und den

”

Sinus“. Es enthält ein Iterationsverfahren zur Berechnung von sinus 1 ◦.

3.3.1 Die Verbreitung der indischen Ziffern in den islamischen

L¨
andern

Im Jahre 773 brachte ein Inder das Werk Siddh¯
anta“, verfaßt wahrscheinlich

”

von Brahmagupta, nach Bagdad an den Hof des Kalifen al-Mans.¯ur. Dieser
ließ es vom Sanskrit ins Arabische übersetzen, und so konnten die islami-
schen Gelehrten mit den indischen Ziffern bekannt werden. Wie bereits in

Abschnitt 3.2.1 erwähnt, wußte jedoch schon der syrische Bischof Severus

Sebokht um die Mitte des 7. Jhs. von astronomischen Werken der Inder. Er
erlangte Kenntnis der indischen Ziffern und hob hervor, daß ihre Zahlen-

”

schreibweise, die mit Hilfe von neun Zeichen vorgenommen wird, über jedes

Lob erhaben sei“ [Sezgin, S. 20, 211]. Es ist nicht auszuschließen, daß bereits
auch andere Gelehrte dieser Region zu seiner Zeit Bekanntschaft mit diesen

Abb. 3.3.9. Stammtafel unserer Zahlzeichen aus [Menninger 1958]

162

3 Algebra im Orient

Ziffern machten [Tropfke 1980, S. 45]. Das Abendland wurde im 12. Jh. durch
die Übersetzung des Werkes von al-Hw¯
arizm¯ı Die Rechenkunst der Inder“,

˘

”

das nur in lateinischer Bearbeitung erhalten ist, mit den indischen Ziffern
bekannt gemacht.

Mittelalterliche Handschriften weisen nach, daß sich die indischen Ziffern
bei den Arabern in die ostarabischen Ziffern und in die westarabischen oder

˙

Gub¯
ar-Ziffern entwickelten [Tropfke 1980, S. 51-53].

Die ersteren waren die Zahlzeichen der östlichen, arabisch schreibenden

Völker in Ägypten, Persien, Syrien und der Türkei. In diesen Ländern werden
sie indische Ziffern genannt. In den westarabischen Ländern wie Marokko wer-
den sie heute auch verwendet, aber arabische Ziffern genannt. Hingegen waren
die westarabischen Ziffern die unmittelbaren Vorläufer der abendländischen

Zahlenschreibweise (vgl. Stammtafel unserer Zahlzeichen“, Abb. 3.3.9).

”

Untrennbar mit diesen Ziffern ist die Null verbunden. Die Inder bezeichnen
sie als Š¯
unya Leer“. Al-Hw¯
arizm¯ı übertrug Š¯
unya ins Arabische als as

”

.-s.ifr

˘
die Leere“. Später wurde durch die Übersetzung seines o.g. Werkes die Null

”

auch im Abendland bekannt. Dort übersetzte man den Namen nun nicht
mehr, sondern übernahm um 1200 das arabische Wort als cifra und zephirum

(bei Leonardo von Pisa). Im Italienischen wird zephirum zu zefiro oder zefro.

Aus zefro wird zevero oder umgangssprachlich zero. Im Französischen wird
aus cifra das Wort chiffre gebildet und gleichbedeutend ebenso die italienische

Form zero für Null. Bald bezeichnet chiffre jedoch nicht nur die Null, sondern
alle 10 Zahlzeichen, wie das aus der gleichen Wurzel entstandene deutsche

Wort Ziffer.

3.3.2 Algebraische Ausdrucksweise

Das Werk al-Kit¯
ab al-muhtas

Ein

”

.ar f¯ı h.is¯
ab al-˘
gabr wa-l-muq¯
abala“, d. h.

˘

”

kurzgefaßtes Buch über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausglei-
chen“ von al-Hw¯
arizm¯ı, welches in Arabisch geschrieben wurde1, enthält fol-

˘
gende Ausdrücke: al-˘
gabr (das Ergänzen, die Wiederherstellung, das Ein-
richten, das Restaurieren, das Ausüben von Zwang) was bedeutet: Addition
gleicher Terme zu beiden Seiten einer Gleichung, um subtraktive Glieder zu
eliminieren, al-muqâbala (das Ausgleichen, die Gegenüberstellung, das Op-
ponieren) bedeutet: Zusammenfassung jeder Gruppe von Gliedern gleicher

Dimension in einer Gleichung zu einem Glied.

1 Eine arabische Handschrift des Textes, geschrieben im Jahre 1342, ist in der

Bodleian Library, Oxford zu finden. Der arabische Text wurde mit englischer

Übersetzung herausgegeben von Frederic Rosen (The Algebra of Mohammad
ben Musa, London, 1831). Es existieren auch lateinische Übersetzungen dieses

Textes, die entweder von dem Engländer Robert von Chester (angefertigt im

Jahre 1145 in Segovia) oder von dem Italiener Gerhard von Cremona (1114–

1187, geschrieben in Toledo) stammen.

3.3 Algebra in den Ländern des Islam

163

Beispiel:

Die Gleichung
x 2 − 3 x +12 = 5 x + 2
wird durch al-˘
gabr zu
x 2 +12 = 8 x + 2
und durch al-muq¯
abala zu
x 2 +10 = 8 x
umgeformt.

Nach der Durchführung von al-˘
gabr“ und
al-muq¯
abala“ sollen am Ende

”

”

nur additive und keine subtraktiven Glieder auftreten wie in dem gezeigten

Beispiel. Daneben sind noch zwei weitere Operationen wichtig:

al-radd bedeutet Zurückführung, d. h.: Ist der Koeffizient der höchsten Po-
tenz größer als 1, wird die Gleichung durch den Koeffizienten geteilt, al-ikm¯
al
bedeutet Vervollständigung, d. h.: Ist der Koeffizient der höchsten Potenz klei-
ner als 1, wird die Gleichung mit dem Inversen des Koeffizienten multipliziert.

Unser heutiges Wort Algebra“ stammt von al-˘
gabr“ ab. Interessant ist der

”

”

Wandel dieses Wortes. So bedeutet Algebrista“ in Spanien Knocheneinren-

”

”

ker“, Chirurg“. In England stand noch im 16. Jh. an den Läden der Barbiere

”

Algebra and Blood-Letting“, d. h. Knocheneinrenkung und Aderlaß“, denn

”

”

die Barbiere waren in jener Zeit eine Art Chiropraktiker. Die Übersetzungen
der Begriffe al-˘
gabr“ und al-muq¯
abala“ ins Lateinische heißen Restauratio

”

”

”

et oppositio“ oder Algebra et almucabala“.

”

Die islamischen Mathematiker verwendeten in den arabischen Werken über

Algebra keine algebraischen Symbole und Zahlzeichen, sondern drückten bis
zum Ende des Mittelalters vorwiegend alles mit Worten aus. So wurden Zah-
len mit
dirham“ bezeichnet, abgeleitet von der griechischen Münzeinheit

”

Drachme“, die Wurzel einer Gleichung hieß ˘
gidr“, ebenfalls die Unbekann-

”

”

te, die außerdem auch šay’“, das Ding, genannt wurde. Das Quadrat der

”

Unbekannten oder die zweite Potenz hieß m¯
al“, das Vermögen.

”

Die dritte Potenz trug die Bezeichnung ka’b“, der Würfel. Für die Potenzen

”

höherer Ordnung wurde meistens eine Kombination der zweiten und dritten

Potenzen genommen.

Zum ersten Mal im 15. Jh. stoßen wir bei den westarabischen Gelehrten wie

Ibn Qunfud (1340?–1407) aus Algier und al-Qalas.¯ad¯ı (geb. 1400? in Spanien,

¯
gest. 1486 in Tunesien) auf eine arithmetische und algebraische Symbolik,
die eine Erleichterung gegenüber den wörtlichen Bezeichnungen darstellten.

Die Symbolik des al-Qalas.¯ad¯ı, die sich auf einem höheren Stand als die seines

Vorgängers befand, ist in seinem Werk Entschleierung der Wissenschaft der

”

Arithmetik“ zu finden. Aus Abb. 3.3.10 ist zu ersehen, daß al-Qalas.¯ad¯ı zur

Bezeichnung der Quadratwurzel den Anfangsbuchstaben von ˇ
gidr“ (Wurzel)

” ¯
über die Zahl setzt. Ebenso diente dieser Buchstabe zur Kennzeichnung der
unbekannten Größe des Dreisatzes, wobei die Proportionen durch drei Punk-
te ∴ voneinander getrennt sind. Bei den quadratischen Gleichungen erschei-
nen über deren Koeffizienten die Anfangsbuchstaben von ˘say“ und m¯
al“.

”

”

Al-Qalas.¯ad¯ı verwendete als Gleichheitszeichen den letzten Buchstaben des

Wortes cdl“ (gleich) [Juschkewitsch 1964, S. 269].

”

164

3 Algebra im Orient

Abb. 3.3.10. Arabische Schreibweise von Wurzeln, quadratischen Gleichungen und

Proportionen im 15. Jh. [Juschkewitsch 1964]

Die arabischen Ausdrücke gelangten ab dem 12. Jh. infolge der lateinischen

Übersetzungen zahlreicher arabischer Schriften ins Abendland. Šay’“ wurde

”

mit res“ übersetzt, ˘
gidr“ mit radix“, m¯
al“ mit census“ und ka’b“ mit

”

”

”

”

”

”

cubus“. Die italienische Bezeichnung cosa“ für šay’ “, in deutsch Coß“

”

”

”

”

oder

Dingk“, bildet den Ursprung des Namens

Cossisten“, wie man die

”

”

Algebraiker des 15. und 16. Jhs. in Deutschland nannte.

3.3 Algebra in den Ländern des Islam

165

3.3.3 Lineare und unbestimmte Gleichungen

Die Algebra der Erbteilung – Lineare Gleichungen

Die zweite Hälfte der Algebra von al-Hw¯
arizm¯ı ist Testaments- und Erbtei-

˘
lungsaufgaben gewidmet. Dabei handelt es sich um das moslemische Erbrecht,
das strengen und verwickelten Regeln unterworfen ist. Die Aufgaben sind in

Gruppen geteilt und schreiten im allgemeinen nach Schwierigkeitsgrad fort.

Erst aus deren Lösungen erkennt man die Anwendung des Religionsrechts.

Als Beispiel die Aufgabe: Ein Mann stirbt und hinterläßt 2 Söhne. Einem
anderen Manne vermacht er 1 seines Besitzes. Er hinterläßt 10 Dirham an

3

Vermögen und eine Schuldforderung von 10 Dirham gegen einen der Söhne.

Würde man die Aufgabe nach dem Aufteilungsprinzip lösen, so müßte der
eine Sohn zuerst seine Schuld von 10 Dirham bezahlen und dann müßten 20

Dirham aufgeteilt werden, von denen der Fremde 1 und jeder Sohn 1 bekäme.

3

3

Nach dem Islamischen Erbrecht gilt jedoch folgendes:

1. Der Betrag, um den das ausstehende Darlehen den gesetzlichen Anteil des

Sohnes überschreitet, wird wie ein Geschenk für den Sohn behandelt.

2. Das Geschenk geht dem Nachlaß voraus und der Nachlaß geht den gesetz-
lichen Anteilen voraus.

Al-Hw¯
arizm¯ı setzt x für den rechtmäßigen Nachlaß jedes Sohnes. Der mit

˘

Schulden belastete Sohn muß nur soviel in die Masse geben, wie sein Anteil bei
der Teilung beträgt (also x). Aus der Schuld werden x Dirham zum Vermögen
hinzugegeben (10 + x ). Dann erhält der Fremde 10+ x . Daher gilt 10+ x +2 x =

3

3

10 + x und es ergibt sich x = 5.

Der Sohn-Schuldner muß also zunächst 5 Dirham herausgeben, die er dann
wieder erhält. Sein Bruder erhält, wie auch der Fremde, 5 Dirham aus dem

Nachlaß.

Vogelaufgaben – Unbestimmte lineare Gleichungen

Eines der bekannten mathematik-historischen Probleme bilden die Vogelauf-
gaben. Sie führen auf unbestimmte lineare Gleichungen, für die ganzzahlige
positive Lösungen gesucht werden.

Ab¯
u K¯
amil widmete diesen Aufgaben eine kleine gesonderte Abhandlung

Kitâb at¸ T

”

. ar¯
a’if fi l-h.is¯ab“ (Das Buch der Seltenheiten der Rechenkunst)

[Suter 1910/1911]. Man hat den Eindruck, der Verfasser habe das Werk nur
deshalb geschrieben, um den Nichtmathematikern und Mathematikern seiner

Zeit zu zeigen, daß Gleichungen genau eine Lösung, mehrere Lösungen oder
auch keine Lösung haben können. Sein Werk besteht aus sechs Aufgaben mit

Lösungen, die sich im Schwierigkeitsgrad steigern.

Das Typische bei den Vogelaufgaben, die erstmals in China und danach in

Indien auftreten, ist die Gesamtzahl der Vögel und des Geldbetrages von
jeweils 100, von denen man ausgeht. Nun möchte man 3, 4 oder 5 Arten

Vögel in verschiedener Preislage erwerben.

166

3 Algebra im Orient

Die erste Aufgabe von Ab¯
u K¯
amil lautet:

Für 100 Drachmen sollen 100 Vögel von drei Arten gekauft werden: Enten,

Hühner und Sperlinge. Davon kostet eine Ente 5 Drachmen, ein Huhn 1

Drachme und je 20 Sperlinge kosten 1 Drachme. Wie viel Vögel jeder Art
sind es?

Die Anzahl der Enten sei x, die der Sperlinge y, also 100 −x−y die Anzahl der

Hühner, die hier mit z bezeichnet wird. Dann lauten die beiden Gleichungen
in heutiger Schreibweise:

x + y + z = 100

5 x + 1 y + z = 100

.

20

Ab¯
u K¯
amil eliminiert in den Gleichungen die letzte Unbekannte, hier z. Dann
ergibt sich

100 − x − y = 100 − 5 x − 1 y.

20

Daraus folgt

4 x = 19 y oder y = 4 x + 4 x.

20

19

Die Aufgabe hat nur eine Lösung: x = 19, y = 80, z = 1.

Die nächsten Aufgaben 2, 3, 4 besitzen 6, 98 und 304 Lösungen, Aufgabe 5
hat keine Lösung und schließlich folgt Aufgabe 6 mit 2676 Lösungen, die den

Höhepunkt des Werkes darstellt (vgl. [Djafari Naini 1982] und die Aufgaben

3.3.3 und 3.3.4).

Durch Leonardo von Pisa (um 1170 – nach 1240) finden die Vogelaufgaben
über Byzanz ihren Einzug ins Abendland. Er nimmt sie in Kapital 11 sei-
nes Werkes Liber abbaci“ auf, geht jedoch jeweils von der Gesamtzahl 30

”

aus. Schließlich hat Leonhard Euler (1770) in seiner Vollständigen Anlei-

”

tung zur Algebra“ das Problem der 100 Vögel“ und die ähnlich aufgebauten

”

Zecheraufgaben“ aufgenommen.

”

3.3.4 Quadratische Gleichungen

Al-Hw¯
arizm¯
ı (Al-Chorezmi)

˘

Das schon erwähnte algebraische Werk al-˘
gabr wa-l-muq¯
abala“ verfaßte al-

”

Hw¯
arizm¯ı (780?-850?) auf Wunsch des Kalifen al-Ma c m¯
un zu Bagdad. Es soll-

˘
te zur Lösung von Problemen aus dem täglichen Leben dienen. Außer dem er-
sten Teil mit den Lösungen quadratischer Gleichungen enthalten die weiteren

Abschnitte Hilfen zu Testamenten und Erbschaften, aber auch kaufmänni-
sche Berechnungen. Der Name al-Hw¯
arizm¯ı ist mit dem Begriff

Algebra“

˘

”

fest verbunden, schrieb er doch als erster ein eigenständiges Werk über dieses
mathematische Teilgebiet, unter dem noch bis in die Mitte des 19. Jh. hinein
die Lehre von den Gleichungen“ verstanden wurde, s. [Djafari Naini 1997].

”

3.3 Algebra in den Ländern des Islam

167

In seinem Werk gibt es noch keine Zahlzeichen oder Symbole, er erklärt alles
in Worten. Eine Formelsprache gab es noch nicht (s. Abschnitt 3.3.2 ).

Die folgenden Typen von linearen und quadratischen Gleichungen (in moder-
ner Schreibweise) behandelte al-Hw¯
arizm¯ı:

˘

1. ax 2 = bx ;

2. ax 2 = b;

3. ax = b;

4. ax 2 = bx;

5. ax 2 + c = bx;

6. bx + c = ax 2;
wobei a, b, c gegebene positive Zahlen sind. Die endgültige Zusammenfassung
aller Typen in einer Form ax 2 + bx + c = 0 wurde später nach der Annah-
me der Null und der negativen Zahlen in Europa erzielt. Zwar kannte der

Inder Brahmagupta (598- nach 665) diese allgemeine Form, die sich aber
wahrscheinlich nicht außerhalb Indiens verbreitet hat.

Al-Hw¯
arizm¯ı dividierte die Gleichungen durch a, um Normalformen“ zu er-

˘

”

halten:

I. x 2 = px;

II. x 2 = p;

III. x = p;

IV. x 2 + px = q;

V. x 2 + q = px;

VI. px + q = x 2;
wobei p und q gegebene positive rationale Zahlen sind.

Er betrachtete nur positive Lösungen und bewies geometrisch, daß die Lösun-
gen von IV, V, VI der Reihe nach sind:

−p + ( p)2 + q; p ± ( p)2 − q falls ( p)2 ≥ q;
p +

( p )2 + q .

2

2

2

2

2

2

2

Bei der Behandlung des Typus x 2 = px berücksichtigte er die Null nicht als

Lösung, eine Auffassung, die bis ins 17. Jh. vertreten wurde.

Bei der Gleichung x = p gab er nicht nur die Lösung, sondern auch das Qua-
drat (m¯
al) der Unbekannten an, wodurch er die Lösung in seine Systematik
der quadratischen Gleichungen einpaßte. Für die anderen Typen gab er die
entsprechenden Regeln in Worten wieder und brachte dafür geometrische Be-
weise. Dabei behandelte al-Hw¯
arizm¯ı nur spezielle Zahlenbeispiele, wobei er

˘
jedoch darauf hinwies, daß die Beweise und Regeln auch für allgemeine Fälle
gelten.

Die Kenntnisse der Lösungsformeln von quadratischen Gleichungen besaß
al-Hw¯
arizm¯ı wahrscheinlich von den alten Kulturen, die jedoch noch keine

˘

Beweise lieferten. Die erforderlichen Grundlagen zur Lösung derartiger Glei-
chungen, wie eine vernünftige geometrische Definition der positiven reellen

Zahlen, die geometrische Existenz der Quadratwurzel, geometrische Defini-
tionen der Operationen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division
kannte bereits Euklid und gab auch geometrische Lösungen an. Lösungen
über den Weg des algebraischen Kalküls“ finden sich in seinen Elementen

”

nicht. Diophant gibt keinen Beweis an, sondern sucht Zuflucht bei seinem
unbegründeten (aber sehr fruchtbaren) Kalkül und kommt somit zu einer
rechnerischen Lösung.

168

3 Algebra im Orient

Al-Hw¯
arizm¯ıs Ergebnis basierte also auf einer Kombination der Strenge Eu-

˘
klids mit den rechnerischen Aspekten der Babylonier, des Diophant, des In-
ders Brahmagupta und seiner zusätzlichen geometrischen Beweise für die

Lösungsformeln der quadratischen Gleichungen. Diese Beweise stellen eine

Phase des Wandels der Geometrie zur Algebra mit fundierten mathemati-
schen Grundlagen dar. Der Prozeß dauert bis heute an. Dazu das folgende

Gedicht [von Anonymous, in American Mathematical Monthly 73], das diese

Umwandlung zum Inhalt hat:

Said a young man named A. Grothendieck2:

”

In Geometry I’m rather weak.

I’m no Altshiller-Court3;

It’s just not my forte,

So I’d best make it more Algébrique.“4

Als eine Erläuterung der Methode al-Hw¯
arizm¯ıs sei sein Beweis für die Glei-

˘
chung des Typs x 2 + q = px angegeben; ( p, q > 0). Er führt den Beweis für
das spezielle Beispiel x 2 +21 = 10 x und erklärt, daß die Lösung nicht möglich
ist, wenn ( p )2 − q < 0 gilt. Wenn ( p )2 = q gilt, dann ist x = p die einzige 2

2

2

Wurzel der Gleichung; wenn ( p )2 − q > 0 gilt, dann hat die Gleichung zwei

2

(positive) Wurzeln; eine Wurzel ist kleiner als p , die andere größer als p . Um

2

2
die kleinere der beiden Wurzeln zu erhalten, benutzt er die Abb. 3.3.11 Es
ist klar, daß für beide Wurzeln x < p gilt, denn q = x( p − x) > 0.

Der Kürze halber bezeichnen wir den Flächeninhalt eines Rechtecks mit
µ ( · · ·). Der Abbildung 3.3.11 entnimmt man
µ( U V W N ) = µ( SW M Q) − [ µ( SV UP ) + µ( P NM Q)] = µ( SW M Q) − µ( P DAQ)

p − 2

2

2
x

= p

−x( p−x). Wegen x(p-x)= q folgt daraus p −x =
p

− q,

2

2

2

2

2
also x = p −
p

− q, d. h. x < p.

2

2

2

2

Nun sagt al-Hw¯
arizm¯ı, daß die andere Wurzel p +
p

− q ist.

˘

2

2

Auf ähnliche Weise löst er die Typen IV und VI. Für jeden Typ gibt er die

Lösungsmenge in Worten an und beweist seine Aussagen geometrisch. Al-

Hw¯
arizm¯ıs Verfahren wurde von allen bis heute bekannten Mathematikern

˘
der islamischen Länder wie Ab¯
u K¯
amil, al-Kara˘
g¯ı und cUmar Hayy¯
am bis zu

˘

2 Alexander Grothendieck, geb. 1928 in Berlin, arbeitete auf dem Gebiet der
algebraischen Geometrie und der Funktionalanalysis. Grothendieck erhielt im

Jahre 1966 für seine Beiträge zur algebraischen Geometrie auf dem internationa-
len Mathematikerkongress in Moskau die Fields-Medaille, den Nobelpreis“ für

”

Mathematik.

3 Nathan Altshiller Court (1881–1968), Geometer

4 übersetzt: Es sagte ein junger Mann namens A. Grothendiek: In Geometrie bin

”

ich ziemlich schwach. Ich bin nicht Altshiller Court. Es ist nicht grade meine

Stärke, so habe ich mich mehr mit Algebra beschäftigt.“

3.3 Algebra in den Ländern des Islam

169

QBCP ist ein Rechteck

DCBA ist ein Quadrat
mit QB = p
mit AB = x

QM = p 2 ; MN steht senkrecht auf QB

U V W N ist ein Quadrat mit U N = p −

2
x

Abb. 3.3.11. Figur zur Lösung quadratischer Gleichungen nach al-Hw¯
arizm¯ı

¯

Bah¯
a c ad-D¯ın al-c ¯

Amil¯ı (1547–1622) exakt oder ähnlich wiederholt. Seine Al-
gebra hatte im Abendland Auswirkungen u. a. auf die Werke von Leonardo

Fibonacci (ca. 1170–1240) und Girolamo Cardano (1501–1576), der ihn zu

Beginn seiner Algebra würdigt mit den Worten: Diese Kunst geht zurück

”

auf Muh.ammad Ibn M¯us¯a al-Hw¯arizm¯ı“.

˘

Ab¯
u K¯
amil

Die Algebra von al-Hw¯
arizm¯ı diente dem Mathematiker Ab¯
u K¯
amil (Su˘
g¯
a

˘
ibn Aslam al-Mis.r¯ı (850–930)) als Vorlage für sein algebraisches Werk Kit¯ab

”

al-˘
gabr wa-l-muq¯
abala“[Ab¯
u K¯
amil], in dem er auch für die Beweise seiner

Regeln Geometrie verwendete. Dabei stützte er sich ausdrücklich im Gegen-
satz zu seinem Vorgänger unmittelbar auf die Sätze II 5 und 6 der Elemente
von Euklid und gab auch für die Typen IV,V,VI eine Regel für die Berech-
nung von x 2.

Um dieses Verfahren mit der Methode von al-Hw¯
arizm¯ı zu vergleichen, geben

˘
wir den Beweis von Ab¯
u K¯
amil für die Lösungen des Typs x 2 + q = px an.

Sei ( p )2 > q. Auch Ab¯
u K¯
amil erklärt, wenn ( p )2 < q, dann ist die Lösung

2

2
der Aufgabe nicht möglich. Im Falle x 2 < q (oder äquivalent: x < p , weil

2
x 2 < q ⇔ 2 x 2 < q + x 2 ⇔ 2 x 2 < px ⇔ x < p für positive x) betrachtet er 2
die Abbildung 3.3.12.

170

3 Algebra im Orient

ABCD ist ein Quadrat mit AB = x

DCEF ist ein Rechteck mit Flächeninhalt q

G ist der Mittelpunkt von AF

AIHG ist ein Quadrat.

Abb. 3.3.12. Figur zur Lösung quadratischer Gleichungen nach Ab¯
u K¯
amil.

In dieser Abbildung haben wir DA · x = x 2 < q =DC ·DF = x · DF , also

DA < DF ; und aus Euklid Elemente II, 55, folgt

AD · DF + ( DG)2 = ( AG)2

.

(3.3.1)

Wir haben
px = x 2 + q = µ( ABCD)

+ µ( DCEF ) = µ( ABEF ) = x · AF , also AF = p
und
p

GF = AG =

.

(3.3.2)

2

Es folgt aus (3.3.1) und (3.3.2): q + ( p − x)2 = ( p )2, also p − x =

( p )2 − q

2

2

2

2

und x = p −

( p )2 − q; also ist die Lösungsformel in diesem Fall bewiesen.

2

2

Ähnlich betrachtet Ab¯
u K¯
amil den Fall x > p und erhält die andere Lösung

2

5 Teilt man eine Strecke sowohl in gleiche als auch in ungleiche Abschnitte, so ist

”

das Rechteck aus den ungleichen Abschnitten der ganzen Strecke zusammen mit
dem Quadrat über der Strecke zwischen den Teilpunkten dem Quadrat über der

Hälfte gleich.“ [Euklid , S. 36]

3.3 Algebra in den Ländern des Islam

171

x = p +

( p )2 − q. Er erklärt, daß im Falle ( p )2 = q die einzige Lösung der

2

2

2

Aufgabe x = p ist. Ab¯
u K¯
amil sagt weiter, daß die Lösung x = p −

( p )2 − q

2

2

2

bzw. x = p +

( p )2 − q durch Hinzufügung“ bzw. Verminderung“ erhalten

2

2

”

”

wird, und erklärt seine Regeln am Beispiel x 2 + 21 = 10 x. Dieses Beispiel ist
in einer arabischen Handschrift in Abb. 3.3.13 zu sehen; sie enthält auch die

Regel für die Berechnung von x 2.

Durch die Gegenüberstellung der algebraischen Lösung mit dem geometri-
schen Beweis zeigt Ab¯
u K¯
amil anschaulich, daß beide Wege zum gleichen

Ergebnis führen.

Vergleich von al-Hw¯
arizm¯ı und Ab¯
u K¯
amil

˘

Ab¯
u K¯
amil kannte die

Algebra“ seines Vorgängers al-Hw¯
arizm¯ı und ent-

”

˘
wickelte die darin niedergeschriebenen Kenntnisse auf einer höheren Ebene
weiter, was durch folgende Angaben deutlich wird:

I) Die Koeffizienten oder die Wurzeln von Gleichungen konnten bei Ab¯
u

K¯
amil rational oder irrational sein; Al-Hw¯
arizm¯ı wählte die Koeffizienten

˘
nie als irrationale Zahlen und benutzte selten irrationale Zahlen als Wurzeln
von Gleichungen.

II) Ab¯
u K¯
amil benutzte in einer eingehenderen Weise als al-Hw¯
arizm¯ı rein

˘
algebraische Gleichungen für seine Lösung der geometrischen Probleme und
entwickelte deshalb den vorher erwähnten Wandel der Geometrie zur Algebra.

Als Beispiel für I und II: Wenn dir gesagt wird, in einem gleichseitigen und

”

gleichwinkligen Dreieck, die Summe seines Fl¨
acheninhaltes und seiner H¨
ohe
ist 10, wieviel ist seine H¨
ohe?“ [Ab¯
u K¯
amil, S. 147]

In moderner Schreibweise löst er dieses Problem wie folgt: Sei x die Höhe,
dann ist der Flächeninhalt gleich x 2

√ . Deshalb erhalten wir x 2

√ + x = 10, also

3

3

√

√
x 2 +

3 x =

300. Daraus folgt

√
x = −

3 +

3 + 300 .

4

4

In diesem Beispiel sind die Koeffizienten und die Wurzeln irrational. Es ist
auch wichtig zu bemerken, daß Ab¯
u K¯
amil ohne Betrachtung der Dimensi-
onstreue den Ausdruck x 2

√ + x schreibt, wobei x 2

√ ein Flächeninhalt und x

3

3
eine Länge ist6.

Der nachfolgende Algebraiker al-Kara˘
g¯ı hat die Formeln für die Wurzeln der
quadratischen Gleichung in der Normalform durch quadratische Ergänzung,
im Gegensatz zu al-Hw¯
arizm¯ı, rein rechnerisch hergeleitet.

˘

6 vgl. die Diskussion am Ende von 2.2, Babylonische Algebra, Quadratische Glei-
chungen

172

3 Algebra im Orient

Abb. 3.3.13. Auszug aus Kit¯
ab al-˘
gabr wa-l-muq¯
abala von Ab¯
u K¯
amil

[Handschrift Kara Mustafa Paša 379]

3.3 Algebra in den Ländern des Islam

173

3.3.5 Arithmetisierung der Algebra

Al-Kara˘
g¯ı

Der persische Mathematiker al-Kara˘
g¯ı hat auf der Grundlage der algebra-
ischen Werke von al-Hw¯
arizm¯ı und Ab¯
u K¯
amil und in Anlehnung an die

˘

Arithmetika“ von Diophant die Algebra als eine eigenständige Disziplin ent-

”

wickelt, indem er sich nach und nach von der geometrischen Beweisführung
seiner Vorgänger abwandte und als erster das Ziel der Algebra als die Bestim-
mung der unbekannten Größen durch die bekannten definierte. Diese Definiti-
on blieb bis zum Anfang des 19. Jhs. gültig und wird als die Arithmetisierung
der Algebra bezeichnet [Brentjes 1990, S. 240f.].

Von al-Kara˘
g¯ı existieren drei Werke: ein arithmetisches, al-K¯
af¯ı fi l-h

”

. is¯
ab“

(Genügendes über das Rechnen), ein praktisches Werk für Staatsbeamte und

Kaufleute sowie die beiden algebraischen Werke al-Bad¯ıcfi l-h

”

. is¯
ab“ (Wunder-
bares über die Arithmetik; enthält überwiegend unbestimmte Gleichungen)

und sein zweiteiliges Werk al-Fahr¯ı fi (s

”

.in¯
acat a) l-˘
gabr wa-l-muq¯
abala“, das

˘
er dem Wesir Fahr al-Mulk von Bagdad widmete und von dessen Namen sich

˘
auch der Titel ableitet. Im ersten Teil hat sich al-Kara˘
g¯ı mit Theorie und

Beispielen befaßt, der zweite Teil besteht zum größten Teil aus unbestimm-
ten Gleichungen, die Diophant und Ab¯
u K¯
amil entlehnt sind. Von einem
der verschollenen Werke dieses Gelehrten, das von As-Samaw c al (s. u.) über-
liefert worden ist, weiß man, daß in ihm erstmals die Beschreibung eines
arithmetischen (Pascalschen) Dreiecks zu finden ist. Al-Kara˘
g¯ı formulierte
das Potenzgesetz (in moderner Schreibweise)

xm · xn = xm+ n (m, n ganze Zahlen)

für die Fälle m und n beide positiv oder beide negativ in Worten.

Die Eigenschaften der Polynome stellte er insbesondere durch die Division
der Polynome durch Monome fest, wie z. B. bei

10 x 2 + 10 x 3 : 5 x = 2 x + 2 x 2 .

In al-Fahr¯ı“ summiert er mehrere endliche arithmetische Reihen, und au-

”

˘
ßerdem gibt er (in moderner Schreibweise) den interessanten algebraisch-
geometrischen Beweis für die Formel
n

n

k 3 = (
k)2

,
n ∈ N .

(3.3.3)

k=1
k=1

174

3 Algebra im Orient

Abb. 3.3.14. Figur zum Beweis der Summenformel (3.3.3)

Al-Kara˘
g¯ı betrachtet die Quadrate M NnPnQn ( n ∈ N) mit
n

n

M Nn =
k = n( n+1) und µ( M N
k)2

2
nPnQn) = (
k=1
k=1
und die Gnomone“ N

”

n− 1 NnPnQnQn− 1 Pn− 1 = Γn mit dem Flächeninhalt
n

µ ( Γn) = 2 · n ·
k − n 2 = 2 n ( n+1) n − n 2 = n 3.

2
k=1

Nun ist die Summe der Flächeninhalte der Gnomone Γn gleich dem Flächen-
n

n

inhalt des Quadrates M NnPnQn, also
k 3 = (
k)2.

k=1
k=1

As-Samaw c al

Der in Bagdad geborene As-Samaw c al (gest. 1175 in Maraga), Sohn eines
marokkanischen Dichters und einer gebildeten Irakerin, wirkte in seiner Ge-
burtsstadt als Mathematiker und Arzt. Er wurde schon in jungen Jahren
mit den Rechenweisen der Inder bekannt und schrieb bereits mit 19 Jahren
sein wichtigstes mathematisches Werk al-B¯
ahir f¯ı al-ˇ
gabr (Leuchtendes über

”

Algebra)“ [Peiffer/Dahan-Dalmedico, S. 87]. Zum Studium von Euklids Ele-
menten war es ihm nicht möglich, einen befähigten Lehrer zu finden; so tief
war das mathematische Niveau zu dieser Zeit in Bagdad gesunken. Also war
er auf das Selbststudium mathematischer Lektüre angewiesen. Außer mit den
schon erwähnten Elementen befaßte er sich mit Werken von Ab¯
u K¯
amil und
von al-Kara˘
g¯ı. Sein besonderes Interesse widmete er der Algebra und Arith-
metik.

3.3 Algebra in den Ländern des Islam

175

As-Samaw c al hat das Potenzgesetz
xm · xn = xm+ n
auf ganze Zahlen für m und n ohne die oben genannte Einschränkung erwei-
tert. Er betrachtete auch Ausdrücke wie
anxn,

−l≤n≤k
wobei l und k nicht negative ganze Zahlen sind, und die Division von Po-
lynomen durch Polynome, die nicht notwendig Monome (wie bei al-Kara˘
g¯ı)

sind, z. B. 20 x 2 + 30 x dividiert durch 6 x 2 + 12. Für diesen Quotienten gilt

√
für |x| >

2 die Darstellung

20 x 2+30 x = 3 1 + 5 · 1 − 62 · 1

· 1

6 x 2+12

3
x

3
x 2 − 10 · 1
x 3 + 13 1

3
x 4 + 20 · 1
x 5

∞

− 262 · 1
a

3
x 6 − 40 · 1
x 7 + · · · =
nx−n ,
n=0
mit a 0 = 3 1 , a

3

1 = 5 und an+2 = − 2 an für jedes n ∈ N0. As-Samaw c al gibt
an, daß der Quotient 20 x 2+30 x eine Approximation der Form

6 x 2+12

3 1 + 5 · 1 − 6 2 · 1

3
x

3
x 2 + · · · − 40 · 1
x 7
besitzt.

As-Samaw c al hat auch Gleichungen der Form xn −a = 0 untersucht und konn-
te die n-te Wurzel einer positiven rationalen Zahl a im Prinzip mit beliebiger

Genauigkeit berechnen.

3.3.6 Die (geometrische) Theorie von cUmar Hayy¯
am f¨
ur die

˘

Gleichungen dritten Grades

Um 1074 schrieb der persische, in Nischabur geborene Astronom, Philosoph,

Dichter und Mathematiker cUmar Hayy¯
am sein Buch Ris¯
ala f¯ı-l-bar¯
ah¯ın cal¯
a

˘

”

mas¯
a c il al-˘
gabr wa-l-muq¯
abala“ ( Über die Beweise für die Aufgaben der Al-

”

gebra und al-muq¯
abala“) Er war Leiter des Observatoriums in Isfahan und
entwickelte einen sehr präzisen Sonnenkalender.

Bereits 200 Jahre vor cUmar Hayy¯
am beschäftigten sich die Mathematiker der

˘
islamischen Länder mit Gleichungen dritten Grades, indem sie insbesondere
die speziellen Probleme der Griechen zu lösen versuchten (s. Abschnitt 2.4.1
und 2.4.2).

Für cUmar Hayy¯
am ist Algebra die Lehre vom Auflösen der Gleichungen. In

˘
seinem Werk – wie bei seinen Vorgängern ohne Formelsprache – klassifizierte
er zunächst die Gleichungen dritten Grades, dann konstruierte er geometrisch

176

3 Algebra im Orient

Abb. 3.3.15. Grabmal des cUmar Hayy¯
am in Nischabur

˘

[Foto: Alten]

3.3 Algebra in den Ländern des Islam

177
die Wurzeln der betrachteten Gleichungen, und zuletzt bestimmte er Bedin-
gungen für die Existenz positiver Lösungen. Er untersuchte Gleichungen bis
einschließlich dritten Grades.

Hayy¯
ams Behandlung der Gleichungen dritten Grades ist als großer Fort-

˘
schritt in der Entwicklung der Algebra anzusehen. Gleichungen dritten Gra-
des, deren Wurzeln verschieden von Null sind, teilte er in vierzehn Fälle ein
und untersuchte sie ausführlich; dabei betrachtete er nur die positiven Lösun-
gen für α, β, γ > 0:

(A) Eine Form mit zwei Gliedern : x 3 = α;

(B) Sechs Formen mit drei Gliedern :

( B 1)

x 3 + αx = β;

( B 2)

x 3 + α = βx;

( B 3)

x 3 = αx + β;

( B 4)

x 3 + αx 2 = β;

( B 5)

x 3 + α = βx 2;

( B 6)

x 3 = αx 2 + β;

(C) Sieben Formen mit vier Gliedern:

(C1)

x 3 + αx 2 + βx = γ;

(C2)

x 3 + βx + γ = αx 2;

(C3)

x 3 = αx 2 + βx + γ;

(C4)

x 3 + αx 2 + γ = βx;

(C5)

x 3 + αx 2 = βx + γ;

(C6)

x 3 + βx = αx 2 + γ;

(C7)

x 3 + γ = αx 2 + βx.

Die geometrische Methode zur Bestimmung der Lösung von (A) mit Hilfe
zweier Kegelschnitte ist ähnlich der von Menaichmos (s. Abschn. (2.4.5)),
wobei Hayy¯
am den Schnittpunkt zweier Parabeln benutzt.

˘

Einige der Fälle von (B) und (C) sollen nach Hayy¯
ams Vorschrift in heutiger

˘

Sprache dargestellt werden.

( B 1) : x 3 + αx = β

Hayy¯
am beschreibt ( B 1) in der Form x 3 + a 2 x = a 2 b mit a > 0 , b > 0

˘
also in dimensionstreuer“ Form. Um diese Form zu begründen, löst er zuvor

”

folgende Aufgabe:

Gegeben sei ein Quader mit der quadratischen Grundfläche k 2 und der Höhe
d. Ebenfalls sei ein anderes Quadrat b 2 gegeben. Konstruiere einen Quader
auf dem zweiten Quadrat gleich dem ersten Quader.

Hayy¯
am konstruiert geometrisch die Strecke h so, daß b 2 h = k 2 d ist, indem

˘
mit Hilfe des Strahlensatzes zunächst eine Strecke s so bestimmt wird, daß
k : b = b : s ist und dann h so, daß k : s = b : d.

Er schreibt in der Gleichung ( B 1) a 2 anstelle von α (wegen des Homogenitäts-
prinzips), und nach der obigen Vorschrift konstruiert er die Strecke b so, daß
β = a 2 b ist.

Nun betrachtet er den Kreis x 2 + y 2 = bx und die Parabel x 2 = ay.

178

3 Algebra im Orient

Die x-Koordinate von P ist die positive Wurzel der Gleichung x 3 + αx = β

( α > 0 , β > 0)

Abb. 3.3.16. Lösung einer kubischen Gleichung mit Kegelschnitten

Die Lösung der Gleichung ( B 1) ist die x-Koordinate des Schnittpunktes der
beiden Kegelschnitte, denn aus x 2 = ay folgt x 2 + ( x 2 )2 = bx und (wegen
a
x > 0) x 3 + a 2 x = a 2 b (Abb. 3.3.16).

Damit ist die Gleichung geometrisch gelöst und ihre positive Lösung als

Strecke bestimmt. Diese Gleichung besitzt nach der Cardanischen Formel au-
ßer dieser reellen positiven Wurzel auch zwei komplexe Wurzeln, die jedoch
von Hayy¯
am nicht betrachtet wurden.

˘

( B 5) : x 3 + α = βx 2

Diese Gleichung wurde bereits in 2.4.1 untersucht und am Ende des Abschnit-
tes erwähnt, wie cUmar Hayy¯
am sie behandelte.

˘

In C gibt es 4 Formen mit einem Trinom auf einer Seite und einem Monom
auf der anderen Seite und 3 Formen mit Binomen auf beiden Seiten.

Hier soll die Gleichung ( C 6) erörtert werden:

( C 6) : x 3 + βx = αx 2 + γ

In diesem Fall bestimmt cUmar Hayy¯
am eine Lösung mit Hilfe des Schnitt-

˘
punktes eines Kreises und einer Hyperbel. Seine Untersuchung ist korrekt,
aber er hat nur eine positive Wurzel in Betracht gezogen und nicht beach-
tet, daß zwei weitere positive Lösungen auftreten können. Die beiden Kurven
schneiden sich immer in mindestens einem Punkt mit positiver Abszisse, ver-
schieden von γ . Hayy¯
am unterscheidet drei Fälle:

β

˘

3.3 Algebra in den Ländern des Islam

179
a)

γ 0 := γβ
b)

Abb. 3.3.17. Geometrische Lösung kubischer Gleichungen

Fall a) α < γ : Der Kreis und die Hyperbel mit den Gleichungen y 2 =
β

√ γ

( x − α)( γ − x) bzw. y =
β β −x werden betrachtet. Im Schnittpunkt haben
β
x
beide Kurven gleiche Ordinaten. Für deren Quadrate gilt:

( γ
β β −x)2

− x) .

x 2

= ( x − α)( γβ

Für x = γ folgt x 3 + βx = αx 2 + γ.

β

In diesem Fall besitzt die Gleichung genau eine positive Wurzel.

Fall b) α > γ : Betrachtet werden die Hyperbel und der Kreis mit den
β

Gleichungen

√ x−γ
y =
β
β

,
y 2 = ( x − α)( γ − x).

x
β

Daraus folgt wie im Fall a) die Gleichung ( C 6).

Ebenso wie bei Fall a) schneiden sich die beiden Kegelschnitte in einem Punkt
mit positiver Abszisse verschieden von γ . Doch können jetzt noch ein oder
β
zwei weitere Schnittpunkte mit positiver Abszisse x = γ auftreten, d. h. die
β

Gleichung ( C 6) kann jetzt genau eine positive Wurzel und zwei komplexe

Wurzeln, drei verschiedene positive Wurzeln oder nur positive Wurzeln mit
einer doppelten Wurzel besitzen.

Fall c) ist trivial: Wenn α = γ , dann entartet der Kreis γ
zum Punkt
β

0 := γ
β

( x, y) = ( γ , 0), und durch diesen Punkt geht auch die Hyperbel.

β

Warum es für Hayy¯
am so schwierig war, die möglicherweise drei verschiedenen

˘
positiven Wurzeln zeichnerisch zu entdecken, zeigt sein folgendes Beispiel:

Durch Zeichnen von Kreis und Hyperbel für die Gleichung
x 3 + x = 11 x 2 + 1

6

6

180

3 Algebra im Orient

S 0 = ( 16 , 0) liegt zwar auf beiden Kurven, ist aber keine Lösung von C 6.

Die Abzissen der Schnittpunkte S 1 = ( 13 , 12 ), S 2 = ( 12 , 23 ), S 3 = (1 , 56 ) sind die drei Wurzeln von x 3 + x = 11

6 x 2 + 16 .

Abb. 3.3.18. Lösung einer kubischen Gleichung mit drei positiven Wurzeln
wird gezeigt, daß K und H drei Schnittpunkte mit positiven Abszissen (ver-
schieden von 1 ) besitzen, nämlich die Abszissen 1, 1 , 1 .

6

2

3

Es ist α = 11 > γ = 1 (Fall b);

6
β

6

K: y 2 = ( x − 11 )( 1 − x) = −( x − 1)2 + 25 ⇒ y 2 + ( x − 1)2 = 25 , 6

6

36

36

√ x− 1

H: y =

1

6 ⇒ y = 6 x− 1.

x

6 x

Mit Hilfe der Kegelschnitte gelang Hayy¯
am eine geometrische Theorie zur

˘

Lösung kubischer Gleichungen. Dabei benutzte er bevorzugt den Kreis und
gleichseitige Hyperbeln. Die Symmetrieachsen der verwendeten Hyperbeln
und deren Asymptoten verlaufen in den hier behandelten Fällen parallel zu
den Koordinatenachsen (in unserem Sinn). Hayy¯
am gab offen zu, daß er ku-

˘
bische Gleichungen nicht in Radikalen (in unserer Sprechweise) lösen konnte
und hoffte, daß seine Nachfolger einmal in der Lage dazu sein würden. Einen
ersten Fortschritt brachten die Bemühungen von Šaraf ad-D¯ın at.-T.¯us¯ı. Die

Bewältigung dieser Problematik gelang aber erst italienischen Mathemati-
kern, insbesondere Scipione del Ferro, Niccolò Tartaglia, Girolamo Cardano
und Rafael Bombelli (vgl. Abschn. 5.1).

3.3.7 Eine Abhandlung von Hayy¯
am ¨
uber Algebra

˘

Eine kleine Handschrift von Hayy¯
am, ohne Titel überliefert, wird in der zen-

˘
tralen Bibliothek der Universität von Teheran aufbewahrt (Abb. 3.3.20).

Diese Handschrift, bestehend aus zwei Kapiteln, wurde früher verfaßt als das
in 3.3.6 genannte Werk Über die Beweise für die Aufgaben der Algebra und

”

al-muq¯
abala“. Das erste Kapitel behandelt die Lösung folgenden Problems:

3.3 Algebra in den Ländern des Islam

181

Man soll einen Punkt G auf dem Viertelbogen des Kreises ABCD mit G =

A, B so konstruieren, daß das Verhältnis OA : GH = OH : HB erfüllt ist,
wobei GH senkrecht auf BD ist (Abb. 3.3.19 ).

Dieses Problem führt Hayy¯
am auf die Konstruktion eines rechtwinkligen Drei-

˘
ecks OGF zurück, so daß OG + GH = OF ist, wobei F der Schnittpunkt des

Durchmessers DB mit der Tangente im Punkt G des Kreises ist. Das letzte

Problem führt Hayy¯
am auf die folgende kubische Gleichung zurück, wobei

˘

GH = x und OH = µ gesetzt wird.

Dann gilt:

x 2
x 2 + µ 2 + x = µ +

⇒ x 3 + 2 µ 2 x = 2 µx 2 + 2 µ 3 .

µ

Hayy¯
am wählt den speziellen Wert µ = 10, erhält

˘
x 3 + 200 x = 20 x 2 + 2000

(3.3.4)

und macht in der Abhandlung deutlich, daß sein Beweis unabhängig vom

Wert 10 ist.

Es gibt genau ein positives x, das dieser Gleichung genügt, und dieses ist die

√

Abszisse des Schnittpunktes P der Hyperbel y = 10 2 x− 10 und des Kreises
x
y 2 = ( x − 10) (20 − x).

Abb. 3.3.19. Figur zum Problem von cUmar Hayy¯
am

˘

182

3 Algebra im Orient

Abb. 3.3.20. Kleine Handschrift von cUmar Hayy¯
am

˘

[Zentralbibliothek der Universität Teheran]

3.3 Algebra in den Ländern des Islam

183

H : y = 10

2 x− 10
x

( µ − 10)

K : y = {( x − 10)(20 − x) } 12 ( µ = 10)

Abb. 3.3.21. Lösung einer kubischen Gleichung mit Kegelschnitten

Jetzt geht Hayy¯
am auf das erste Problem zurück und will eine Nähe-

˘
rungslösung für den Winkel ξ = ∠ GOH (Abb. 3.3.19) finden, indem er das

Verhältnis OA : GH = OH : HB mit Hilfe trigonometrischer Funktionen in
die Form

1
cos ξ

=

(3.3.5)

sin ξ

1 − cos ξ
überführt. Diese Gleichung wird näherungsweise erfüllt durch sin ξ ≈ 50 oder

60
ξ ≈ 57 ◦.

Hayy¯
am bemerkt, daß er diese Nährungswerte durch Probieren und Interpo-

˘
lieren, wie bei der Aufstellung der Sinus-Tabellen, gefunden hat.

Mit dem Wert x ≈ 15 . 7 aus Abb. 3.3.21 folgt dann tan ξ = x ≈ 15 . 7 , also

10

10
ξ ≈ 57 ◦ 30 .

3.3.8 Gleichungen vierten Grades

Die Mathematiker in den islamischen Ländern haben sich in dem betrachteten

Zeitraum auch mit der geometrischen Auflösung einiger Gleichungen vierten

Grades beschäftigt, auf die sie bei gewissen geometrischen Problemen stießen.

In einer anonymen Handschrift wird eine Aufgabe behandelt, mit der sich
die Algebraiker und Geometer dieser Zeit eine Weile beschäftigten, ohne sie
lösen zu können [Woepcke 1861]. Sie lautet:

Konstruiere ein Trapez ABCD mit dem Flächeninhalt 90,

AB = AD = BC = 10 und CD < 10, vgl. Abb. 3.3.22.

184

3 Algebra im Orient

90
y =
y

10 - x

P

D

C

G

90

9

10

A

B
x²+y²=100

AB = AD = BC = 10 CG = x

BG ist ein Lot auf der Verlängerung von DC: 0 < x < 10

√

BG =

100 − x 2

Abb. 3.3.22. Geometrische Lösung einer Gleichung vierten Grades

Wir nehmen an, ABCD sei ein solches Trapez (Abb. 3.3.22). Mit CG = x,

√

0 < x < 10 erhält man 90 =

100 − x 2 10+(10 − 2 x) und daraus für x = 10

2

90

=

100 − x 2

.

(3.3.6)

10 − x

Also kann x als die positive Abszisse eines Schnittpunktes P des Kreises K:

x 2 + y 2 = 100 und der Hyperbel H: y =

90
bestimmt werden. Die Aufgabe

10 −x
hat deshalb genau eine Lösung (Abb. 3.3.22). Umformung von (3.3.6) führt
auf die Gleichung vierten Grades

20 x 3 + 1900 = x 4 + 2000 x.

Der Verfasser der anonymen Handschrift konnte diese Gleichung nicht algebra-
isch lösen. Es ist geometrisch klar, daß sie genau eine Wurzel 0 < x < 10
besitzt.

Die Westaraber beschäftigten sich nicht mit der geometrischen Theorie der

Gleichungen. Im 17. Jh. haben sich die Europäer, u. a. Descartes, eingehend
damit auseinandergesetzt.

3.3 Algebra in den Ländern des Islam

185

3.3.9 Numerische Aufl¨
osung algebraischer Gleichungen
a) Radizieren mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes und des Horner-

”

Schemas“

Die Mathematiker der islamischen Länder haben sich sehr intensiv um die
numerische Lösung der Gleichung xn = α, also die Berechnung der Wurzel

√
x = n α, bemüht.

Das Ausziehen einer Kubikwurzel nach der chinesischen Methode, die der
heutigen Horner-Methode ähnelt, behandelt zum ersten Mal an-Nasaw¯ı (gest.

etwa 1030).

Auch sollen Ab¯
u l-Waf¯
a’ (940–997/98), al-B¯ır¯
un¯ı (973 - 1048) und cUmar

Hayy¯
am Werke über das Ausziehen von Wurzeln höherer Exponenten verfaßt

˘
haben, die jedoch nicht erhalten geblieben sind [Juschkewitsch S. 242].

In der Gaw¯
amical-h
t wa-t-tur¯
ab“ ( Sammlung zur Arithmetik

”

. is¯
ab bi-t-tah

˘

”

mit Hilfe von Brett und Staub“) von Nas.¯ır ad- D¯ın at.-T.¯us¯ı , geschrieben
etwa 1265, ist die erste Erläuterung eines allgemeinen Verfahrens für das

Wurzelziehen enthalten. Dieser vielseitig gebildete Gelehrte wurde 1201 in

Chorasan geboren und starb 1274 während einer Reise nach Bagdad. In sei-
ner Geburtsstadt erhielt er seine erste Ausbildung durch seinen Vater, einen
schiitischen Juristen, und einen Bruder seiner Mutter, u. a. in Logik und

Naturphilosophie und studierte außerdem Algebra und Geometrie. Er ver-
vollkommnete seine Ausbildung in Nischabur, einem bedeutenden geistigen
und kulturellen Zentrum. Etwa im Alter von 50 Jahren wurde er Hofastrologe
unter dem Mongolenfürsten H¯
ul¯
ag¯
u-Kh¯
an, der für ihn in Maraga ein Obser-
vatorium errichten ließ und ihm die Leitung desselben übertrug. An dieser
bedeutenden mathematisch-astronomischen Schule des islamischen Mittelal-
ters wirkten Gelehrte aus Damaskus, Mossul, Kaswin und sogar chinesische

Astronomen. Eines der Arbeitsergebnisse dieses wissenschaftlichen Zentrums
waren Tabellen, die dem Kh¯
an zu Ehren als Zi˘
g- ¯Ilh¯
an¯ı“ bezeichnet wurden.

”

˘

At.-T.¯us¯ı beschreibt im Abschnitt Über die Bestimmung anderer Basen von

”

Potenzen“ seines o.g. Werkes das Wurzelziehen ausführlich am Beispiel

√ 6244140626.

Nas.¯ır ad-D¯ın at.-T.¯us¯ı teilt die zu radizierende Zahl, angefangen von den Ei-
nern, in Perioden auf. Die Länge jeder Periode ist gleich dem Wurzelexponent
bis auf die letzte Periode, deren Länge kleiner oder gleich dem Wurzelexpo-
nent ist. Im Beispiel ist der Wurzelexponent gleich 6 und die Länge der letzten

Periode gleich 3 (Abb. 3.3.23).

Im Text setzt er fort:

Wir suchen (mittels Probieren) die gr¨
oßte Zahl, deren entsprechende Potenz

”

man von der letzten Periode (244) subtrahieren kann, also 244 − 26 = 180.“

Mit Hilfe der binomischen Formeln entwickelt Nas.¯ır ad-D¯ın at.-T.¯us¯ı

(10 α + u)6 − (10 α)6

186

3 Algebra im Orient
in folgende Form:

6

5

6

4 2

6

3 3

6

2 4

6

5

6

6

(

)(10 α) u + (

)(10 α) u + (

)(10 α) u + (

)(10 α) u + (

)(10 α) u + (

) u .

(3.3.7)

1

2

3

4

5

6

Für α = 2 berechnet er (3.3.7) mittels des Hornerschemas:

1

2

22

23

24

25

2

8

24

64

160

1

4

12

32

80

192

2

2

12

48

160

1

6

24

80

240

2

2

16

80

1

8

40

160

2

2

20

1

10

60

2

2

12

1

Jetzt kann der Ausdruck (3.3.7) wie folgt geschrieben werden:

u 5 + 120 u 4 + 6 000 u 3 + 160 000 u 2 + 2 400 000 u + 19 200 000 u

(3.3.8)

At.-T.¯us¯ı berechnet das größte u, so daß der Ausdruck (3.3.8) kleiner oder
gleich 244 140 626 − 26 · 106 = 180 140 626 ist.

Durch 6-maliges ( u = 1 , 2 , ..., 6) Probieren - jedes Mal mit Hilfe des Horner-
schemas – findet er für das größte u den Wert 5. Die fünf Versuche, die er am

Ende nicht verwendete, wischte er ab. Deshalb heißt sein Werk

Brett und

”

Staub“.

1 120 6 000 160 000 2 400 000 19 200 000

5

5

625 33 125

965 625 16 828 125

1 125 6 625 193 125 3 365 625 36 028 125

3.3 Algebra in den Ländern des Islam

187

Also ist für u = 5 der Wert von (3.3.8): 5 × 36 028 125. Daraus folgt

180 140 626 − 5 × 36 028 125 = 1 , d. h. (25)6 + 1 = 244 140 626 .

Es gibt zwei Vermutungen für den Ursprung dieser Methode, nämlich zunächst
die, daß Nas.¯ır ad-D¯ın at.-T.¯us¯ı das Wurzelziehen aus cUmar Hayy¯ams verloren-

˘
gegangenem Werk Schwierigkeiten der Arithmetik erfahren hat. Die zweite

Vermutung ist, daß er dieses Verfahren in seinem Observatorium in Maraga
von den dort tätigen chinesischen Astronomen übernommen hat. Er selbst
erhebt keinen Anspruch auf die Entdeckung dieser Methode. Später beschrieb
al-K¯
aš¯ı das gleiche Verfahren ausführlich in seinem Werk Schl¨
ussel zur Arith-
metik [Luckey 1951].

b) N¨
aherungsverfahren f¨
ur Wurzeln.

Wurzel der Gleichung xn = α

Wie schon erwähnt, konnten die Babylonier bereits um 1675 v. Chr. einen

√
guten Näherungswert für

2 ermitteln, um die Diagonale eines Quadrats zu
berechnen. Die Griechen benutzten für eine Quadratwurzel die Näherungs-
formel

r
a 2 + r ≈ a +

.

2 a

Sie fand auch später in den islamischen Ländern Anwendung. Auch die Formel

r
a 2 + r ≈ a + 2 a + 1
wurde in viele Abhandlungen aufgenommen. Nas.¯ır ad-D¯ın at.-T.¯us¯ı arbeitete
mit der Näherungsformel

188

3 Algebra im Orient

Abb. 3.3.23. Ausziehen der sechsten Wurzel aus der Zahl 244 140 626. Aus Brett

”

und Staub“ von Nas.¯ır ad-D¯ın at.-T.¯us¯ı

[Teheraner Universitätsbibliothek]

√
k ak + r ≈ a +
r

( a+1) k−ak
für positive r < ( a + 1) k − ak, und al-K¯aš¯ı verwendete sie zur Ermittlung des

Näherungswertes von

√

5

5

21

44 240 899 506 197 =

(536)5 + 21 ≈ 536 +

.

414 237 740 281

At.-T.¯us¯ı gibt nicht an, auf welchem Weg er zur obigen Näherungsformel ge-
langt ist. Heute würden wir diese Formel durch lineare Interpolation erzielen,
wie in Abb. 3.3.24 dargestellt.

3.3 Algebra in den Ländern des Islam

189

√

OM Näherungswert für k ak + r,

√

( OM − a) : 1 = r : [( a + 1) k − ak] ⇒ k ak + r ≈ OM = a +
r

( a+1) k−ak

Abb. 3.3.24. Berechnung von Näherungswerten durch Interpolation

N¨
aherungen f¨
ur Wurzeln von Gleichungen dritten Grades

Eine Weiterentwicklung der Näherungslösung der reinen Gleichung x 3 = a
wurde von dem Mathematiker und Astronomen Šaraf ad-D¯ın at.-T.¯us¯ı (geb.

um 1135 in Tus/Iran, gest. um 1213), der in Damaskus, Aleppo, Mosul, Bag-
dad und Hamadan als Lehrer gewirkt haben soll, im Fall der allgemeinen

Gleichung 3. Grades überliefert.

Von ihm gab es ein bedeutendes Werk

¨

Uber Gleichungen“, das verloren

”

gegangen ist. Es existiert aber noch ein anonymer verkürzter Text, vgl.

[Rashed 1994, Kap. III]. Vor seinem Auffinden kannten wir lediglich von
cUmar Hayy¯am die geometrische Lösung von Gleichungen dritten Grades

˘
und die iterative Methode von al-K¯
aš¯ı. Jetzt wissen wir, daß Šaraf ad-D¯ın
at.-T.¯us¯ı Gleichungen dritten Grades im allgemeinen numerisch lösen konnte.

Er hat Bedingungen gefunden, unter denen Gleichungen dritten Grades po-
sitive Lösungen besitzen. In diesem Zusammenhang erkannte er die Stellung
der Diskriminante [Peiffer/Dajan-Dalmedico 1994, S. 94]. So sagte er z. B.,
die Gleichung x 3 + α = βx besitzt dann und nur dann positive Wurzeln,
wenn β 3 − α 2 ≥ 0 ist, obwohl er keine Lösungsformel entdeckte, in der diese

27

4

Diskriminante auftritt. Šaraf ad-D¯ın at.-T.¯us¯ı löste u. a. folgende Gleichungen
näherungsweise:

x 3 + 12 x 2 + 102 x = 34 345 395, x 3 + 6 x 2 + 3 000 000 x = 996 694 407,
x 3 − 30 x 2 − 600 x = 29 792 331.

190

3 Algebra im Orient

Seine Methode wird am Beispiel der Gleichung
x 3 + 36 x = 91 750 087

(3.3.9)

erläutert. Wir setzen x = 100 a + 10 b + c in (3.3.9) ein und erhalten

106 · a 3 + 105 · 3 a 2 b + 104 · 3 ab 2 + 104 · 3 a 2 c + 103 · 6 abc + 103 · b 3 + 102 ·

3 ac 2 + 102 · 3 b 2 c + 10 · 3 bc 2 + c 3 + 102 · 36 a + 10 · 36 b + 36 c = 91 750 087.

Dann bestimmen wir das größte a, sodaß a 3 < 91, finden a = 4, damit

(100 a)3 + 36 (100 a) = 106 · 64 + 102 · 144 = 64 014 400
und berechnen 91 750 087 − 64 014 400 = 27 735 687.

Im zweiten Schritt bestimmen wir das größte b, so daß 3 a 2 b < 277, d. h. b = 5,
und berechnen den Wert

27 735 687 − 3 a 2 b · 105 − 3 ab 2 · 104 − b 3 · 103 − 36 b · 10

=

608 887

.

Im dritten Schritt bestimmen wir das größte c, sodaß 3 a 2 c < 60, d. h. c = 1.

Nun berechnen wir den letzten Rest

608 887 − 3 a 2 c · 104 − 6 abc · 103 − 3 ac 2 · 102 − 3 b 2 c · 102 − 3 bc 2 · 10 − c 3 − 36 c = 0 .

In diesem Fall ist der Rest gleich Null, also ist 451 eine Wurzel der Gleichung,
d. h.

4513 + 36 · 451 = 91 750 087.

Bei diesem Verfahren ist zu vermuten, daß das absolute Glied der Gleichung

(3.3.9) aus vorgegebenem Wurzelwert berechnet wurde.

c) Iterationsmethode von al-K¯
aˇ
s¯
ı

Die Berechnung der Näherungswerte für positive Lösungen von Gleichun-
gen hat im östlichen Teil der islamischen Länder eine lange Tradition. Bevor
sie die Lösung von Gleichungen dritten Grades durch cUmar Hayy¯
am kann-

˘
ten, haben die Gelehrten bereits solche Gleichungen numerisch näherungswei-
se gelöst. Den Höhepunkt der numerischen Lösung von Gleichungen dritten

Grades erreichte erst im 15. Jh. al-K¯
aš¯ı.

Solche Gleichungen sind in Ris¯
ala al-Watar wa-l-g¯ıb“ (Abhandlung über die

”

Sehne und den Sinus) aufgenommen, eine Schrift, die zwar verloren ging,
aber am Anfang von al-K¯
aš¯ı Hauptwerk Schlüssel zur Arithmetik“ erwähnt

”

wird. Kenntnisse über den Inhalt haben wir jedoch aus einer ausführlichen

Beschreibung des M¯ıram Čalab¯ı (gest. 1524), dem Enkel von Q¯
ad.¯ı-z¯adeh (um

1360– um 1437). Letzterer war nach al-K¯
aš¯ı Leiter des Observatoriums.

Für die Aufstellung der astronomischen Tabellen mußte al-K¯
aš¯ı sin 1 ◦ mit
großer Genauigkeit berechnen. Dafür verwendete er die Winkeldreiteilungs-
gleichung
sin 3 γ = 3 sin γ − 4 sin3 γ .

Diese Gleichung hat er in die Form x 3 + α = βx oder
α + x 3
x =

(3.3.10)

β
gebracht, wobei er für α = 1 sin 3 ◦ und β = 3 einsetzte.

4

4

3.3 Algebra in den Ländern des Islam

191

Mit Hilfe dieser Gleichung und seinem originellen Verfahren, das heute als

Iterationsverfahren bekannt ist, konnte er sin 1 ◦ mit beliebiger Genauigkeit
wie folgt berechnen:

α+ x 3
x
n− 1

0 := α , x

, x

, · · · , x
β

1 := α+ x 3

0
β

2 := α+ x 3

1
β
n :=
β

.

Für sin 1 ◦ hat al-K¯
aš¯ı den Näherungswert 0 , 017452406437283571 errechnet.

Es kann gezeigt werden, daß die Folge x 0 , x 1 , x 2 , ... gegen sin 1 ◦ konvergiert.

Diese Konvergenzeigenschaft erwähnt al-K¯
aš¯ı nicht, aber es ist für ihn an-
schaulich klar gewesen, daß man für wachsende n bessere Näherungen erhält.

Die Iterationsmethode bedeutet einen Höhepunkt der Leistungen islamischer

Mathematiker für die numerische Auflösung algebraischer Gleichungen, die in
ihrer Bedeutung bezüglich der Gleichungen dritten Grades nicht geringer ist
als die geometrische Theorie des cUmar al-Hayy¯
am. Der Mathematikhistori-

˘
ker Hermann Hankel (1839–1873) äußerte sich im 19. Jh. über K¯
aš¯ıs Methode
anerkennend, indem er sagte, sie stehe an Feinheit und Eleganz sämtlichen

”

nach Viète im Occidente entdeckten Approximationsmethoden nicht nach“.

Die Werke späterer Mathematiker weisen z. T. einen Stillstand oder sogar
einen Rückschritt der mathematischen Leistungen auf wie z. B. das Werk

Essenz der Rechenkunst“ des Bah¯
a c ad-D¯ın ¯

Amil¯ı, das ca. 100 Jahre nach

”

der Ermordung Ulu ˙g Begs (1449) geschrieben wurde. Die Schule von Samar-
kand war bereits dem Zerfall zum Opfer gefallen. Zu dieser Zeit regierten in

Persien die Safawiden in der neuen, großzügig aufgebauten Hauptstadt Is-
fahan. Die Herrscher dieser Dynastie interessierten sich mehr für schiitische

Theologie und Architektur. Da aber die meisten Gelehrten im Dienste des

Staates standen, waren sie somit abhängig von seiner Gunst. Dies war ein
wichtiger Aspekt für den Stillstand der mathematischen und astronomischen

Forschung jener Zeit.

192

3 Algebra im Orient

Wesentliche Inhalte der Algebra in den islamischen L¨
andern

8. Jh.

Übernahme der indischen Ziffern

8.–10. Jh.

Übersetzungen griechischer, persischer und indischer Werke (ins-
bes. in Bagdad) – zuvor keine eigenständige mathematische Kul-
tur

8.–9. Jh.

AL-HW ¯

ARIZM¯I (AL-CHOREZMI)

˘

Algoritmi de numero Indorum (Rechnen mit indischen Ziffern)

Die Europäer wurden später durch die Übersetzung dieses nur
in lateinischer Fassung existierenden Werkes mit den indischen

Ziffern bekannt gemacht; al-Kit¯
ab al-muhtas.ar f¯ı h.is¯ab al-˘gabr

¯
wa-l-muq¯
abala (Ein kurzgefaßtes Buch ¨
uber die Rechenverfahren
durch Erg¨
anzen und Ausgleichen): Lösung der Gleichungen zwei-
ten Grades mit geometrischem Beweis

9.–10. Jh.

AB ¯

U K ¯

AMIL

Buch ¨
uber Erg¨
anzen und Ausgleichen: Erweiterung quadrati-
scher Gleichungen auf rationale oder irrationale Koeffizienten und

Lösungen, geometrische Beweise unter Anwendung von Euklids

Elementen; Das Buch der Seltenheit der Rechenkunst: Vogelauf-
gaben

10.–11. Jh.

AL-KARA ˘

G¯I

K¯
af¯ı f¯ıl-h

. is¯
ab (Gen¨
ugendes ¨
uber das Rechnen), al- Fahr¯ı ... und

˘
al-Bad¯ıc ... Entwicklung der Algebra als eigenständige Diszi-
plin durch schrittweise Abwendung von der geometrischen Be-
weisführung. Fortsetzung dieser Entwicklung durch as-Samaw c al.

11. Jh.

cUMAR HAYY ¯

AM

˘ ¯

Geometrische Lösungen für alle Typen kubischer Gleichungen
mittels Kegelschnitten

12.–13. Jh.

˘

SARAF AD-D¯IN AT

¯

. -T

. US¯I

Fortführung der geometrischen Lösung kubischer Gleichungen von
cUmar Hayy¯am und numerische Lösung allg. kubischer Gleichun-

˘
gen

13. Jh.

NAS¯

¯

. IR AD-D¯IN AT

. -T

. US¯I

Radizieren mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes und Horner-

Schema

15. Jh.

AL-K ¯

AŠ¯I

Entwicklung eines originellen Iterationsverfahrens

3.4 Aufgaben zu Kapitel 3

193

3.4 Aufgaben zu Kapitel 3

Originalaufgaben aus Neun Bücher Arithmetischer Technik“ (3.1.1 – 3.1.4)

”

Aufgabe 3.1.1: Berechnung der Quadratwurzel nach der Methode Kai fang

(Buch IV, 13)

Man hat eine quadratische Fläche von 25281 Pu. Die Frage ist: Wie groß ist
die Quadratseite?

Aufgabe 3.1.2:Berechnung einer Würfelkante nach der Methode Kai li fang

(Buch IV, 20)

Man hat den Rauminhalt eines Würfels von 1953 1 Kubikfuß. Die Frage ist:

8

Wie groß ist die Würfelseite?

Aufgabe 3.1.3: Zur Methode des doppelten falschen Ansatzes (Buch VII,

11)

Eine Binse wächst am 1.Tag um eine Länge von 3 Fuß; ein Riedgras wächst
am 1. Tag um eine Länge von 1 Fuß. Die Binse wächst täglich um die Hälfte
ihres Zuwachses vom Tag zuvor, das Riedgras wächst täglich um das Doppel-
te seines Zuwachses vom Tag zuvor. Frage: In wie viel Tagen sind sie gleich
lang und wie groß ist die gleiche Länge?

Aufgabe 3.1.4: Zur Methode Fangcheng (Buch VIII, 8)

Jetzt hat man 2 Rinder und 5 Schafe verkauft und damit 13 Schweine ge-
kauft, wobei ein Rest von 1000 Geldstücken übrig blieb. Man hat 3 Rinder
und 3 Schweine verkauft und damit 9 Schafe gekauft; das Geld reichte gerade.

Man hat 6 Schafe und 8 Schweine verkauft und damit 5 Rinder gekauft, aber
das Geld reichte nicht um 600 Geldstücke. Frage: Wie hoch ist der Preis von
jedem, vom Rind, vom Schaf und vom Schwein?

Aufgabe 3.1.5: Schranken für Wurzeln nach der Methode Kai fang

√

Zeige: 2 . 236067977 <

5 < 2 . 236067978

Aufgabe 3.1.6: Zerbrochene Eier [Tropfke 1980, S. 640]

Eine alte Frau verkaufte Eier auf dem Markt, und da kamen zufällig zwei

Männer daher und stießen die Frau an und zerbrachen ihre Eier. Sie führte
sie vor den Richter, und das Urteil bestimmte, daß sie der Frau ihre Eier
ersetzen sollen. Und sie fragten die Alte, wieviel Eier es waren, um sie zu
bezahlen, und die Frau sagte: Ich weiß es nicht; ich weiß nur das, daß ich zu
zwei und zwei abgezählt habe, und es blieb eines übrig, dann zu drei und
drei, und es blieb 1, zu 4 und 4, und es blieb 1, zu 5 und 5, und es blieb 1,
zu 6 und 6, und es blieb 1, zu 7 und 7, und es blieb nichts, nicht ein einziges.

Und wie viele Eier der alten Frau waren es?

194

3 Algebra im Orient

Aufgabe 3.1.7: Aus einem Werk von XU YUE

In einem Werk, das unter dem Namen von Xu Yue (etwa 190) überliefert ist,
aber möglicherweise erst um 570 von dem Kommentator Ehn Luan geschrie-
ben wurde, befindet sich folgende Aufgabe:

Ein Hahn kostet 5 (Geld-) Stücke, eine Henne 4 Stücke und vier Küken 1

Stück.

Wieviel Hähne, Hennen und Küken kann man für 100 (Geld-) Stücke kaufen,
wenn es insgesamt 100 Vögel sind?

Bemerkung: Aufgaben vom Typ 3.1.6 und 3.1.7 kann man bei den Chinesen
bis ins 3. Jahrhundert v. Chr. zurück verfolgen. Gerade an dieser Aufgaben-
form ist die Entwicklung der unbestimmten Gleichungen in der chronologi-
schen Reihenfolge China, Indien, Islamische Länder und Europa sehr gut zu
beobachten.

Aufgabe 3.2.1: Erbteilung (von Bhâskara II)

Das Vermögen zweier Personen ist zu ermitteln, wenn die erste nach Erhalt
von 100 von der zweiten Person doppelt so reich würde, während die zweite
nach Erhalt von 10 von der ersten ihren Reichtum auf das Sechsfache steigern
würde.

Aufgabe 3.2.2: Anzahl einer Herde Pfauen (von Mâhavˆıra)

Das Quadrat von einem Sechzehntel der Pfauen-Herde saß auf einem Man-
gobaum, während das Quadrat von einem Neuntel des Restes und vierzehn
weitere Pfauen auf einem Tam¯
alabaum saßen. Wie viele Pfauen waren es?

(Mit dem Rest sind 15 gemeint.)

16

Aufgabe 3.2.3: Vergrößerung eines Altars (nach K¯
aty¯
ayana)

Gegeben ist die Grundfläche eines Altars
in Gestalt eines Falken“ (Abb.

”

3.4.1), dessen Körper von vier gleichen Quadraten mit der Länge 1, des-
sen Flügel von zwei Rechtecken mit den Seiten EH = EH = 1 und

EF = EF = 1 + 1 und dessen Schwanz von einem Rechteck mit den Seiten

5

P S = 1 und P Q = 1 + 1 gebildet wird. Der Flächeninhalt der Grundfläche

10
beträgt 7 1 . Es sollen nun alle linearen Abmessungen der Figur außer den

2
konstant bleibenden Längen F L = F L = 1 und T Q = 1 im Verhältnis

5

10
x derart vergrößert werden, daß die Gesamtfläche um m Flächeneinheiten
größer wird [Juschkewitsch 1964, S. 99].

Aufgabe 3.2.4: Kauf und Verkauf von Seide (von Mâhavˆıra)

Man hat 300 Stück chinesischer Seide, 6 Hastas breit und ebenso lang. Be-
rechne, der du die Methode der inversen Proportion kennst, wieviel Stück der-
selben Seide man bräuchte, wenn diese Stücke 5 auf 3 Hastas messen würden.

3.4 Aufgaben zu Kapitel 3

195

A

B

F L

E

E´

L´F´

GM

H

H´

M´G´

D

P

S

C

TQ

R

Abb. 3.4.1. Grundfläche eines Altars (zu Aufg. 3.2.3)

Aufgabe 3.2.5: Verkauf einer Frau (von Śr¯ıpati )

Wenn man für eine Frau, die 16 Jahre alt ist, 70 Geldstücke bekommt, was be-
kommt man für eine andere Frau, die 20 Jahre alt ist und dieselbe Schönheit
und Hautfarbe hat?

Aufgabe 3.2.6: Die gefundene Börse (von Mâhavˆıra)

Drei Kaufleute sahen auf dem Weg eine Geldbörse. Einer von ihnen sagte zu
den anderen: Wenn ich diese Börse behalte, so werde ich zweimal so reich

”

sein wie ihr beide zusammen mit dem Geld, das ihr in der Hand habt!“ Da
sagte der zweite von ihnen: Ich werde dreimal so reich sein!“ Dann sagte der

”

dritte: Ich werde fünfmal so reich sein.“ Wie viel Geld ist in der Börse und

”

wie viel Geld hatte anfänglich jeder Kaufmann?

Aufgabe 3.2.7: Warentausch (von Mâhavˆıra )

Für 8 Mâsas (Gewichtseinheit) bekommt man 60 Jackbaum-Früchte; dagegen
bekommt man für 10 Mâsas 80 Granatäpfel. Wie viel Granatäpfel bekommt
man für 900 Jackbaum-Früchte?

Erbteilungsaufgaben von al-Hw¯
arizm¯ı

˘

Aufgabe 3.3.1: Vermächtnis einer Frau

Eine Frau stirbt, hinterläßt den Ehemann, einen Sohn und 3 Töchter und ver-
macht einem Manne 1 und 1 ihres Kapitals. (Hier ist zu bemerken, daß der

7

8

Ehemann 1 des Restes, ein Sohn aber doppelt so viel wie eine Tochter erhält).

4

196

3 Algebra im Orient

Aufgabe 3.3.2: Vermächtnis eines Mannes

Ein Mann stirbt und hinterläßt Mutter, Ehefrau, Bruder und zwei Schwe-
stern und einen Fremden, dem er 1 seines Besitz testamentarisch überläßt.

9

(Seine Mutter erbt 1 und seine Frau 1 seines Besitzes, und der Anteil seines

6

4

Bruders ist doppelt so hoch wie der einer Schwester.) Finden Sie eine fällig
werdende Aufteilung des Besitzes.

Unbestimmte Gleichungen bei Vogelaufgaben von Ab¯
u K¯
amil

Aufgabe 3.3.3: (Aufgabe 2 von Ab¯
u K¯
amil)

x + y + z = 100

1 x + 1 y + 2 z = 100

3

2

Aufgabe 3.3.4: (Aufgabe 5 von Ab¯
u K¯
amil)

x + y + z = 100

3 x + 1 y + 1 z = 100

20

3

Aufgabe 3.3.5: Division von Polynomen

Benutzen Sie die Verfahrensweise der Division von as-Samaw c al, um den Quo-
tienten von 2 x 3 − 11 x 2 − 13 x − 5 durch 2 x − 5 zu ermitteln.

Aufgabe 3.3.6: Der faule Arbeiter (nach al-Kara˘
g¯ı)

Ein Tagelöhner erhält 10 Dirham im Monat, wenn er arbeitet. Wenn er aber
nicht arbeitet, muß er 6 Dirham pro Monat bezahlen. Es ist ein Monat derart
vergangen, daß er keinen Lohn erhält, aber auch nichts bezahlen muß. Wie-
viel Tage hat er gearbeitet?

Aufgabe 3.3.7: Berechnung einer fünften Wurzel

Berechne die fünfte Wurzel aus der Zahl 44 240 899 506 197 nach der Nähe-
rungsmethode von at.-T.¯us¯ı .

4 Algebra im Europa des Mittelalters und der

Renaissance

198

4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance

375 – 568 Germanische Völkerwanderung

486–751

Fränkisches Reich der Merowinger
um 500

Angeln, Sachsen und Juten wandern in England ein

711

Araber überqueren die Meerenge von Gibraltar, erobern die ibe-
rische Halbinsel bis auf Asturien

718–1492

Reconquista (Rückeroberung) der iberischen Halbinsel

732

Sieg Karl Martells über die Araber bei Tours und Poitiers

756

Umayyaden gründen das Reich (seit 929 Kalifat) von Córdoba

800

Karl der Große wird in Rom zum Kaiser gekrönt

843

Vertrag von Verdun: Karolingerreich wird in drei Teile geteilt
ab 862

In Nowgorod herrschen Normannen (Waräger)

911

An der Seinemündung entsteht das Herzogtum Normandie

955

Schlacht auf dem Lechfeld (Ungarn zurückgeschlagen)

962

Otto I (d. Gr.) wird vom Papst zum Kaiser des Heiligen Römi-
schen Reiches gekrönt

10. Jh.

Frühe romanische (ottonische) Baukunst

987–1328

Kapetinger regieren Frankreich
um 1000

Leif Eriksson entdeckt Nordamerika (Vinland)

1024–1137 Fränkisch-Salische Kaiser

1066

Schlacht bei Hastings, Normannen erobern England

1077

Gang Heinrichs IV. nach Canossa

1096–1270 Kreuzzüge

11./12. Jh. Romanische Dome, Klöster und Skulpturen in Westeuropa

1130–1260 Normannisch-Staufische Herrschaft in Sizilien und Unteritalien

∼ 1150–1535 Ausbreitung und Herrschaft der Hanse über die Ostsee

12./13. Jh. Aufblühen oberitalienischer Städte (Pisa, Venedig, Genua, Mai-
land), frühe Gotik in der Île de France

1138–1250 Herrschaft der Staufer in Deutschland

13./14. Jh. Hochgotische Kathedralen in Westeuropa

14. Jh.

Der Maler Giotto di Bondone (1266–1337) und die Dichter Pe-
trarca (1304–1374) und Boccaccio (1313–1375) leiten die Renais-
sance ein

1337–1453 Hundertjähriger Krieg zwischen England und Frankreich

1397–1523 Kalmarer Union der skandinavischen Länder unter dänischer

Führung

1434–1498 Florenz unter der Herrschaft der Medici
um 1445

Erfindung des Buchdrucks mit beweglichen Lettern (Gutenberg)

1453

Untergang des oströmischen Reiches

15. Jh.

Spätgotik in Deutschland, England und Frankreich

1452–1519 Leonardo da Vinci

1469

Vereinigung von Kastilien und Aragon

1470

Moskau wird Drittes Rom“

”

1471–1528 Albrecht Dürer

1475–1520 Michelangelo

1492

Erster Erdglobus in Europa (Martin Behaim, Nürnberg)

1492

Eroberung Granadas, Ende der Reconquista, (Wieder-)Ent-
deckung Amerikas durch Kolumbus

4.0 Einführung

199

4.0 Einf¨
uhrung

In der Periode des Mittelalters herrschte ein starkes Kulturgefälle von Osten
nach Westen. Noch bis weit ins 13. Jahrhundert hinein hat Europa trotz aller
kriegerischen Verwicklungen vom hohen Stand von Kultur und Technik in
den Ländern des Nahen und Fernen Ostens, insbesondere der Länder des Is-
lam, profitiert. Papierherstellung, Kenntnisse von Heilkräutern, Zierpflanzen
und Obstgehölze, Architektur, vermutlich auch die Herstellung von Pulver
und der Kompaß waren nach Europa gelangt. Noch heute erregen die aus
planmäßigen Züchtungen hervorgegangenen Araber“ die Bewunderung der

”

Pferdeliebhaber. In der Kunst des Webens von Brokat- und Seidenstoffen
sowie in der Metallverarbeitung waren die Muslime den Europäern damals
weit überlegen; die Bezeichnungen Damast“ und Damaszener“ (Stahlklin-

”

”

gen) verweisen auf ein Zentrum handwerklicher Tätigkeit, auf Damaskus im
heutigen Syrien.

Abb. 4.0.1. Bögen im Vorraum des Mihrab der Mezquita in Córdoba (10. Jh.)

[Foto Alten]

200

4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance

Durch die Berührung mit den Muslimen waren Teile der hochentwickelten

Wissenschaft des Islam, die ihrerseits große Teile der antiken Wissenschaft in
sich aufgenommen und weiterentwickelt hatte, nach Europa gelangt. Auf diese

Weise waren unter anderem die antiken Philosophen Aristoteles und Platon
sowie der antike Astronom Ptolemaios in Europa bekannt geworden. Mitte
des 13. Jahrhunderts hatten sich deren Anschauungen unter dem Druck der
mittelalterlichen Kirche endgültig mit der christlichen Dogmatik zum System
der scholastischen Philosophie verschmolzen.

Seit dem 8./9. Jahrhundert zeigten sich – mit der Herausbildung der Feudal-
gesellschaft – auch in Europa deutliche Fortschritte in Wissenschaft, Techno-
logie und Kultur. Romanische und gotische Kathedralen spiegeln nicht nur
verschiedene Kunststile, sondern auch bedeutende Fortschritte in der Tech-
nologie wider. Durch den fränkischen König und Kaiser Karl den Großen
wurde der Klerus angewiesen, Bildung zu erwerben und zu vermitteln; das

Reich mußte verwaltet werden. Aus einigen Kloster- und Domschulen gingen
später Universitäten hervor. Klöster entwickelten sich zu ökonomischen und
kulturellen Zentren. Ihnen und den Übersetzerschulen im muslimisch besetz-
ten Teil der Iberischen Halbinsel kommt ein großes Verdienst bei der Pflege
und Erschließung überkommener wissenschaftlicher Manuskripte zu.

Die Scholastik hat im Hochmittelalter während des 13./14. Jahrhunderts her-
vorragende, auch naturwissenschaftlich orientierte Gelehrte hervorgebracht,
beispielsweise Roger Bacon, Albertus Magnus, Wilhelm von Ockham und

Thomas Bradwardine sowie Nicolaus Oresme, Bischof von Lisieux, einen
der bedeutendsten Mathematiker des europäischen Mittelalters. Es gab Bril-
len, Windmühlen, Uhren; man verfügte über die starken Mineralsäuren. Die

Äbtissin Hildegard von Bingen verfaßte schon im 12. Jahrhundert eine Schrift,
in der über 1000 Tiere und Pflanzen beschrieben wurden.

Die Renaissance wird in der Geschichtswissenschaft als eine Periode des Über-
ganges vom Mittelalter zur Neuzeit verstanden und in diesem Sinne interpre-
tiert. In der Tat traten – in Politik, Ökonomie, Gesellschaft, Kultur und

Wissenschaft – viele neue Züge zutage, die auf eine zukünftige radikale Um-
wandlung der europäischen Gesellschaft hindeuten.

Schon zu Beginn des 14. Jahrhunderts zeigten sich erste Züge einer herauf-
ziehenden neuen Gesellschaft, besonders in Italien, wo die Traditionen der

Antike noch am lebendigsten waren und die Zeugnisse der antiken Architek-
tur allen deutlich vor Augen standen. Während des 14., 15. und 16. Jahrhun-
derts begannen sich in Süd-, West- und Mitteleuropa und Teilen Osteuropas

Elemente des Frühkapitalismus herauszubilden; die Neuorientierung erfaßte
alle Lebensbereiche. Der allmähliche Übergang zur frühkapitalistischen Ge-
sellschaft war begleitet von tiefen sozialen Widersprüchen, von Erhebungen
der Stadtbewohner und der Bauern gegen die Feudalordnung, von zahlrei-
chen Kriegen und von der Entstehung von Nationen und Nationalstaaten.

Das äußere Bild war geprägt von einem bisher nicht gekannten Aufschwung
der handwerklichen Produktion, von der zunehmenden Ablösung der Natu-

4.0 Einführung

201
ralwirtschaft durch die Geldwirtschaft, vom Aufblühen der Städte, aber auch
von gärenden geistigen und religiösen Bewegungen, vom Zusammenbruch des
mittelalterlichen Weltbildes und nicht zuletzt von einer glanzvollen Entfal-
tung von Kunst und Wissenschaft.

Das Interesse der Träger der neuen Wissenschaft und Kultur an einer dies-
seits orientierten und praktischen Zwecken dienenden Wissenschaft richtete
sich zunächst auf das Kennenlernen und die Erschließung und Nutzung der
aus der Antike überkommenen Wissenschaften. Die Antike erschien in Ver-
klärung als goldenes Zeitalter“; dies wiederherzustellen, ihm zur Wiederge-

”

burt (renaissance) zu verhelfen, galt als Ziel damaliger geistiger Eliten, im

Klerus, im Bürgertum, an den Höfen, an den Universitäten. Die Losung ad

”

fontes“ (zurück zu den Quellen) rückte die systematische Suche nach antiken

Quellen und deren Erschließung durch Textkritik (Befreiung von nachträgli-
chen Streichungen und Einschiebungen) und die schließliche Wiederherstel-
lung der Originaltexte in den Mittelpunkt der Tätigkeit der sich als Humani-
sten bezeichnenden Gelehrten, Dichter, Publizisten, Philosophen und Sprach-
gelehrten. Dann, schon auf dem Höhepunkt der Renaissance, lernte man jene

Manuskripte kennen, die die vor dem Ansturm der Türken fliehenden byzan-
tinischen Gelehrten nach Italien brachten; 1453 fiel Byzanz (Konstantinopel)

in die Hände der Türken. Die antiken Sprachen – griechisch, lateinisch, he-
bräisch – wurden zum bevorzugten Studiengegenstand.

Am Ende des 15. Jahrhunderts lagen – im Anschluß an die vermittelnde
ausgebreitete Übersetzungstätigkeit im islamischen Bereich und während des
europäischen Mittelalters – auch wichtige mathematische Schriften der Antike
vor und wurden allgemein zugänglich, insbesondere nach der Erfindung des

Buchdruckes. Die wichtigsten dieser Schriften sind:

Apollonius von Perge:

Konika“, Buch I-IV, lateinisch 1537

”

Archimedes:

Gesamtausgabe griechisch 1544, lateinisch

1558 (Auswahl bereits 1270)

Aristoteles:

nach früheren Auswahlen mehrere Gesamt-
ausgaben, z. B. lateinisch 1472, 1495/98,

1533

Diophant von Alexandria: lateinisch 1575

Euklid:

lateinisch 1505, griechisch 1533

Heron von Alexandria:

Auswahl griechisch-lateinisch 1571, 1589,

1616

Menelaos von Alexandria: lateinisch 1558

Nikomachos von Gerasa:

griechisch 1538, 1554

Pappos von Alexandria:

lateinisch 1588

Platon:

Gesamtausgabe lateinisch 1483/84, grie-
chisch 1513, 1578

Ptolemaios:

Almagest“ griechisch 1538,

Tetrabiblos“

”

”

lateinisch 1484, griechisch 1535

202

4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance

Abb. 4.0.2. Sieg des Ziffernrechnens über das Abakusrechnen. Zeitgenösssische

Darstellung von 1504

[aus G. Reisch: Margarita philosophica]

Bald jedoch, schon im ausgehenden 15. Jahrhundert, wuchs die Renaissance
über die bloße Aneignung der Antike hinaus. Eine Fülle neuer Einsichten
konnte im 16. Jahrhundert erzielt werden, im Bereich der Produktion, bei
der geographischen Erschließung der Erde, in Wissenschaft und Kunst. Es
wurde offensichtlich, daß die Antike übertroffen werden konnte und übertrof-
fen worden war. Tiere, Pflanzen, Erdteile waren entdeckt worden, von denen

4.0 Einführung

203
sich bei den Alten nicht einmal eine Andeutung fand. Es gab Räder- und

Taschenuhren, Schießpulver, Feuerwaffen, Spinnräder, Papier, Buchdruck; es
gab bedeutende Fortschritte im Bauwesen, im Schiffbau, im Bergbau und in
der Metallurgie. Diese Entwicklung ging charakteristischerweise nicht zurück
auf die lateinisch schreibenden Gelehrten an den unter kirchlicher Oberauf-
sicht stehenden Universitäten. Es waren vielmehr die unter der Sammelbe-
zeichnung artefici“ oder virtuosi“ auftretenden Handwerker, Kaufleute, Re-

”

”

chenmeister, Büchsenmeister, Zeugmeister, Ingenieure, Architekten, bilden-
den Künstler usw., denen die entscheidenden Anstöße zu verdanken waren
und die sich der systematischen Erforschung und Darstellung der Produktion
in ihren Nationalsprachen zuzuwenden begannen. Man spricht daher gerade-
zu von der wissenschaftlich-literarischen Entdeckung der Produktion.“

”

Die neue Auffassung vom Sinn und Nutzen der Wissenschaft vermochte sich
mit dem Erstarken des Frühkapitalismus durchzusetzen und ergriff in zuneh-
mendem Maße auch die Vertreter der Universitätswissenschaft. Der durch
die Praktiker erworbene Schatz naturwissenschaftlicher, mathematischer und
technischer Kenntnisse wurde von den Vertretern der offiziellen Wissenschaft,
die traditionsgemäß auf die Systematisierung des Wissens orientiert waren,
theoretisch durchdrungen. Es kam zu einer Art Begegnung von Praxis und

Theorie, zu einem stufenweisen Zusammenwachsen mit revolutionären Fol-
gen: Am Beginn des 17. Jahrhunderts wurden bereits die Grundlagen der
klassischen Naturwissenschaft bzw. der sog. Wissenschaftlichen Revolution
gelegt. Was die Algebra betrifft, so zeigen sich analoge Entwicklungsgänge.

Der Fortschritt der Algebra seit dem Hochmittelalter bis zur Renaissance
beruht auf zwei historischen Quellen.

Zum einen ist es die Erschließung des wissenschaftlichen Erbes: die sog.

geometrische Algebra bei Euklid. Dort wurden geometrische Methoden zur

Lösung von Problemen verwendet, die z. B. mit der Lösung quadratischer

Gleichungen inhaltsgleich sind (vgl. 2.3). Die Weiterentwicklung der antiken

Gleichungstheorie“ durch Klassifizierung der quadratischen Gleichungen er-

”

folgte insbesondere durch al-Hw¯
arizm¯ı in seiner Abhandlung
al-Kit¯
ab al-

˘

”

muhtas.ar f¯ı h.is¯ab al-˘gabr wa-l-muq¯abala“. In diesen Gedankenkreis gehören

˘
auch die geometrischen Lösungsansätze für kubische Gleichungen.

Zum andern ist es der direkte Einfluß des Frühkapitalismus: Verstärkung der

Handelstätigkeit und der Übergang zur Geldwirtschaft. So entwickelte sich in
den vom Frühkapitalismus erfaßten Ländern ein neuer Berufsstand, der des

Rechenmeisters, eines Meisters des Abbacus.“ Häufig im Auftrage der Stadt-

”

verwaltungen führten die Rechenmeister kommunale Rechenarbeiten aus und
unterhielten eigene Rechenschulen, in denen gegen Entgelt der Umgang mit

Zahlen und ihren Schreibweisen, die Grundrechenarten, Bruchrechnung und

Anwendungen auf Probleme des täglichen Lebens bei Kauf, Tausch, Geld-
geschäften, Umrechnungen von verschiedenen Währungen und Maßen, Drei-
satz, Zins- und Zinseszinsrechung, Kunst der doppelten Buchführung und
anderes mehr gelehrt wurden. In manchen Fällen paarte sich das praktische

204

4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance

Rechnen mit dem Interesse an theoretischen Fragen, die wir heute der Al-
gebra zurechnen, insbesondere bei der Behandlung von Aufgaben, die auf

Gleichungen führen. Bereits bei Leonardo Fibonacci von Pisa zeigt sich in
seinem

Liber abbaci“ von 1202 die Doppelfunktion von praktischem Rech-

”

nen und Behandlung von Gleichungen.

Intereressant ist auch der Umstand, daß nach und nach Abkürzungen in Ge-
brauch kamen, für Addition und Subtraktion, für die gesuchte Größe, die als
res“ (lateinisch: Sache) oder italienisch als cosa“ bezeichnet wurde. Auch

”

”

kamen Bezeichnungen für die Potenzen der gesuchten Größe auf. Al-Hw¯
arizm¯ı

˘
hatte für die zweite Potenz das Wort für Vermögen benutzt; nun spricht man
census“ bzw. cens.“ Das Wort cosa“ für die Unbekannte wurde sozusagen

”

”

”

zum Symbol für die Kunst der Bestimmung der Unbekannten, für die Kunst
der Auflösung von Gleichungen. So sprach man schließlich von cossischer

”

Kunst“ oder einfach von Coß“ und

Cossisten.“ Natürlich war die Gren-

”

”

ze zwischen Rechenmeistern und Cossisten fließend. Häufig auch verbanden
sich Rechenmeistertätigkeit und cossische Leistung in Personalunion, etwa
bei Adam Ries.

Anfangs erfanden die Autoren Abkürzungen nach eigenem Geschmack. Nach
und nach aber bürgerten sich verbindlich werdende Bezeichnungen – verbal
und bei Symbolen – ein, beginnend mit denen für die ersten Potenzen der

Variablen (der Unbekannten, der gesuchten Größe) und für die Operationen
der Addition und Subtraktion. Die Coß selbst erlebte eine innere, äußerlich
an ihren Symbolen sichtbar werdende Entwicklung, die in die Existenz einer

Algebra als einer neuen, selbständigen Disziplin einmünden sollte. Geogra-
phisch gesehen vollzog sich diese Entwicklung ausgehend von Italien, wie die

Ausprägung des kaufmännischen Rechnens auch, wurde dann hauptsächlich
durch deutsche, niederländische, englische und französische Cossisten weiter-
geführt. Mit Vieta endet diese und beginnt eine neue Periode.

4.1 ¨

Ubersetzungen aus dem Arabischen

In Westeuropa sind aus der Zeit vor dem 12. Jahrhundert keine algebraischen

Schriften bekannt – es sei denn, man rechnet einen isoliert stehenden kleinen

Text, der sich mit positiven und negativen Zahlen beschäftigt, zur Algebra.

Erst durch die Übersetzungen aus dem Arabischen gelangte algebraisches

Wissen auch nach Westeuropa.

Die Schrift von al-Hw¯
arizm¯ı zur Algebra wurde im 12. Jahrhundert zweimal

˘
ins Lateinische übersetzt: durch Robert von Chester in Segovia (1145; siehe

[Hughes 1989]) und etwas später durch Gerhard von Cremona [Hughes 1986];
ferner gibt es eine Bearbeitung, deren Autor umstritten ist (siehe [Kaunzner

1986]). Durch diese Übersetzungen lernte man al-Hw¯
arizm¯ıs Verfahren ken-

˘
nen, lineare und quadratische Gleichungen in geometrischer Form zu lösen.

Ausgehend von diesen Übersetzungen, wurden seine sechs Klassen von Glei-

4.1 Übersetzungen aus dem Arabischen

205
chungen, die alle denkbaren Fälle von linearen und quadratischen Gleichun-
gen umfassen, zum Allgemeingut der algebraischen Schriften bis zum 16.

Jahrhundert.

Im Jahre 1145 übersetzte Plato von Tivoli den Liber embadorum“ (Buch der

”

Messungen) ins Lateinische. Sein Autor war Abraham bar Hiyya, ein jüdi-
scher Gelehrter, der in der 1. Hälfte des 12. Jahrhunderts in Barcelona lebte
und in der lateinischen Welt unter dem Namen Savasorda“ bekannt war. Das

”

Buch der Messungen“ lehrt nicht nur geometrisches, sondern auch algebra-

”

isches Wissen, u. a. die Lösung quadratischer Gleichungen. Savasorda wußte,
daß die Gleichung x 2 + b = ax zwei verschiedene Lösungen besitzt, und bewies
alle Fälle geometrisch mit Hilfe des 2. Buchs von Euklids Elementen“. Er be-

”

handelte Flächen- und Inhaltsbestimmungen ebener und räumlicher Figuren
und setzte bei der Lösung geometrischer Probleme geschickt die Algebra ein.

Das Buch wurde u. a. von Leonardo von Pisa für seine Practica geometriae“

”

benutzt.

Auch die algebraische Schrift von Ab¯
u K¯
amil wurde ins Lateinische (und
später auch ins Hebräische) übersetzt (siehe [Sesiano 1993]). Dadurch lernte
man im Westen nicht nur seine Verfahren kennen, um Gleichungen 1. und

2. Grades geometrisch zu lösen, sondern auch seine Bestimmung der Seiten
des regelmäßigen 5-Ecks und 10-Ecks mit Hilfe algebraischer Methoden und
seine Behandlung unbestimmter quadratischer Gleichungen. Obwohl nur eine
lateinische Handschrift erhalten ist, hat das Werk einen großen Einfluß auf
die weitere Entwicklung der Algebra im Westen ausgeübt, insbesondere auf

Leonardo von Pisas Liber abbaci“ und seine

Practica geometriae“, die im

”

”

wesentlichen dem 2. Teil von Ab¯
u K¯
amils Schrift entspricht. Zum Überset-
zungsprogramm des 12. Jahrhunderts gehörte auch der

Liber augmenti et

”

diminutionis“ ( Buch über Vergrößerung und Verringerung“), der von Ab¯
u

”

K¯
amil oder von Abraham ibn Ezra (um 1090–1167) stammen könnte. In
ihm werden mit Hilfe des doppelten falschen Ansatzes lineare Gleichungen
mit einer Unbekannten und lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten
gelöst.

Erst in den letzten Jahrzehnten ist ein umfangreiches algebraisches Werk
in lateinischer Sprache wieder bekannt geworden: der

Liber mahameleth“,

”

den Johannes Hispalensis um 1150 in Spanien unter Einfluß arabischer Quel-
len zusammenstellte. Der Ausdruck mu‘¯
amal¯
at“ bezeichnet die Anwendung

”

der Arithmetik und der Algebra, insbesondere auf den Handel. Die Schrift
enthält eine umfangreiche Aufgabensammlung mit einem einleitenden Ab-
schnitt über die Teile der Mathematik, die man zum Lösen der Aufgaben
braucht. Die algebraischen Probleme werden - ähnlich wie bei Ab¯
u K¯
amil –
auch geometrisch gelöst. Durch die Übersetzungen algebraischer Texte aus
dem Arabischen wurde der Westen mit der arabischen Art, algebraische Pro-
bleme geometrisch zu lösen, vertraut. Noch im 15. Jahrhundert findet man,
z. B. bei Johannes Regiomontanus (1436–1476), das Bestreben, algebraische

Lösungen durch geometrische zu ersetzen.

206

4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance

4.2 Leonardo von Pisa

Das algebraische Wissen der Araber wirkte im Westen sowohl direkt durch

Übersetzungen als auch indirekt durch Schriften europäischer Autoren, die

Kenntnisse über die mathematischen Verfahren hatten. Der wichtigste von
ihnen war Leonardo von Pisa, auch Leonardo Fibonacci als Sohn des Bonaccio
genannt, weil sein Vater den Beinamen Bonaccio (der Gutmütige) trug. Seine

Schriften bilden ein Bindeglied zwischen der theoretischen Mathematik, die
später an den Universitäten gelehrt wurde, und der anwendungsbezogenen
praktischen Mathematik, die sich an die Kaufleute richtete. Leonardos Liber

”

abbaci“, der noch auf Latein geschrieben war, wurde zum Ausgangspunkt
zahlreicher nationalsprachiger Arbeiten zur praktischen Mathematik.

Leonardo stammte aus Pisa, das um 1200 Handelsniederlassungen im ganzen

Mittelmeergebiet besaß. Durch die Beschäftigung seines Vaters in der pisani-
schen Handelsniederlassung Bugia in Nordafrika konnte Leonardo auf Han-
delsreisen in alle Teile des Mittelmeerraums ein Wissen erwerben, das weit
über die in Kaufmannskreisen üblichen Kenntnisse hinausging. Die Frucht
seiner Studien ist der

Liber abbaci“ (1202; überarbeitet 1228). Der Name

”

Abbacus“ hat nichts mit dem antiken oder mittelalterlichen Rechenbrett

”

zu tun, sondern bezeichnet die neue Arithmetik, die Leonardo die indische“

”

nennt. Leonardo systematisierte im

Liber abbaci“ ein umfangreiches Mate-

”

rial, das er aus arabischen Werken schöpfte; er benutzte aber auch das antike

Erbe und nahm eigene Aufgaben und Methoden hinzu. Schwerpunkte des
umfangreichen Werks sind die Arithmetik sowie die Algebra der linearen und
quadratischen Gleichungen und der unbestimmten Gleichungen. Leonardo ist
der größte Algorithmiker des westlichen Mittelalters. Er informiert ausführ-
lich über die Grundrechenarten, er vervollkommnet die Methode, den Haupt-
nenner zu finden, gibt die Teilbarkeitsmerkmale bei der Division durch 2, 3, 5
und 9 an und erwähnt die Siebener-, Neuner- und Elferprobe. Großen Umfang
nehmen bei ihm die Methoden ein, Aufgaben aus dem kaufmännischen Rech-
nen zu lösen, die auf der Proportionenlehre beruhen. Er behandelt Aufgaben
mit drei, fünf und mehr Größen, die direkt oder umgekehrt proportional sein
können. Zur Lösung linearer Gleichungen wendet Leonardo verschiedene Me-
thoden an: den einfachen und doppelten falschen Ansatz sowie eine in Worte
gekleidete algebraische Lösung. Viele Aufgaben sind orientalischen oder an-
tiken griechischen Ursprungs, ebenso wie die zugehörigen Lösungsmethoden,
die Leonardo allerdings weiterentwickelt hat. Im Zusammenhang mit linearen

Gleichungen ließ Leonardo auch Aufgaben mit negativen Lösungen zu, die er
als Schuld“ interpretierte. Bei der numerischen Berechnung der Quadrat-

”

und Kubikwurzeln ging er von den in den islamischen Ländern bekannten

Näherungsverfahren aus und berechnete die Werte durch einen Iterations-
algorithmus. Der

Liber abbaci“ regte künftige Generationen zu speziellen

”

Schriften zur Arithmetik und Algebra an. Seine Aufgaben und Lösungsme-
thoden fanden Eingang in italienische, deutsche, französische und englische

Bücher; einige begegnen uns noch in Leonhard Eulers Algebra“ (1768).

”

4.2 Leonardo von Pisa

207

Abb. 4.2.3. Schiefer Turm von Pisa

[Foto Alten]

208

4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance

Leonardo sagt im algebraischen Teil seines

Liber abbaci“, daß drei Arten

”

von Größen betrachtet werden: radix bzw. res, quadratus bzw. census, nu-
merus simplex bzw. denarius bzw. dragma. Radix entspricht der gesuchten

Größe (Variable), census dem Quadrat und dragma einer Zahl. Leonardo
unterscheidet bei den quadratischen Gleichungen (modern ausgedrückt)

ax 2 = bx, ax 2 = b, ax = b, ax 2 + bx = c, ax + c = bx 2, ax 2 + c = bx, wobei die Koeffizienten positive ganze oder rationale Zahlen sind. Die Lösung
wird in Worten beschrieben. Der Beweis wird, bei speziellen numerischen

Vorgaben, geometrisch geführt.

Offensichtlich lehnt sich Leonardo an al-Hw¯
arizm¯ı an, ist aber, so wird fest-

˘
gestellt, deutlich sorgloser und manchmal auch ziemlich unklar.

Was die Aufgaben betrifft – rund einhundert –, so treten dort auch höhere

Potenzen der Variablen auf. Nur eine Aufgabe ist kommerzieller Art (Zins-
rechnung). Die anderen – viele von ihnen ebenfalls aus dem arabischen Be-
reich – sind zum Teil vom Typ: Man soll zwei oder drei Zahlen finden, die Teil
einer gegebenen Zahl (meist 10) sind und gewissen Bedingungen genügen. Ein

Beispiel:

Ich teilte 10 in zwei Teile, und ich dividierte dies durch jenes und jenes

”

durch dies und ich erhielt 3 1“ [ Franci/Rigatelli 1985, S. 21].

3

Sei die eine gesuchte Zahl x, dann ist die andere 10 − x. Der Text führt auf
die Gleichung (in moderner Schreibweise)

10
x : (10 − x) + (10 − x) : x =

.

3

Durch Umwandlung erhielt er schließlich die Normalform

160

16
x =
x 2 + 100 .

3

3

Die bei Leonardo auftretende Gleichung höchsten Grades lautet
x 8 + 100 x 4 = 10000 .

Er versteht die Gleichung ganz richtig als quadratisch in x 4 und fügt bei der

Gleichung x 4 = x 2 + 1 hinzu:

Wenn census census gleich ist census und

”

dragma, so ist dies dasselbe wie census ist gleich res und dragma.“

Zur Vorgeschichte: Ein spätestens aus dem 9. Jahrhundert stammender Text,
von dem modernere Abschriften erhalten sind, gibt Regeln für das Rechnen
mit positiven und negativen Zahlen [Folkerts 1972][Tropfke 1981, S. 146].

Die erste Akzeptanz einer negativen Gleichungsform, wenn auch in der vor-
sichtigen Form von Schulden, dürfte sich zuerst bei Leonardo finden. Im Li-

”

ber abbaci“ beschäftigt er sich ausführlich auch mit Gleichungssystemen, un-
ter anderem auch mit dem berühmten Problem, wo eine gewisse Anzahl von

4.2 Leonardo von Pisa

209

Personen, die über eine feste, aber unbekannte Geldmenge verfügen, eine

Börse mit unbekanntem Inhalt finden. Im Falle von vier Personen mit den

Geldmengen x 1, x 2, x 3, x 4 und dem Börseninhalt b laufen die Textvorgaben
von Leonardo auf das Gleichungssystem
x 1 + b = 2( x 2 + x 3)

x 2 + b = 3( x 3 + x 4)

x 3 + b = 4( x 4 + x 1)

x 4 + b = 5( x 1 + x 2)

hinaus. Leonardo sagt:

Ich werde zeigen, daß dieses Problem unl¨
osbar ist,

”

wenn nicht zugelassen wird, daß der erste Partner Schulden hat.“ [Tropfke

1981, S. 146/147]. Als Lösung gibt Leonardo an x 1 = − 1, x 2 = 4, x 3 = 1,
x 4 = 4, b = 11. Was die Null betrifft, so befindet sich in einer anonymen

Abhandlung aus dem 12. Jahrhundert die Bemerkung: Ter nihil nihil est“

”

(Dreimal Null ist Null). Bei Leonardo wird die Null in die Diskussion über

Lösungen einbezogen, z. B. bei der Lösung der Gleichung x 2 + 4 = 4 x. Er

√
erhält, modern geschrieben, die Lösungen x 1 , 2 = 2 ±

4 − 4 und erläutert:

Ziehe 4 von dem Quadrat der halben Anzahl der
x , das

4 ist, ab; es

”

bleibt Null ( remanet zephyrum). Dies zu der halben Anzahl der x addiert
oder davon subtrahiert, ergibt 2“ [Tropfke 1980, S. 142].

Auch in zwei kleineren Schriften ( Flos“ und Liber quadratorum“) hat sich

”

”

Leonardo mit algebraischen Problemen beschäftigt. Im Flos“ ( Blume“; we-

”

”

gen der blühenden Art, in der schwierige Aufgaben bewältigt werden, die
selbst den Keim zu Neuem in sich tragen) behandelt Leonardo eine Aufgabe,
die ihm von Johannes von Palermo vorgelegt wurde, der sich damals am Hofe
des Kaisers Friedrich II. aufhielt: die kubische Gleichung x 3 + 2 x 2 + 10 x = 20
zu lösen. Zunächst beweist Leonardo, daß x keine ganze (positive) Zahl sein
kann, aber auch kein Bruch oder eine Quadratwurzel aus einer rationalen

Zahl. Dann zeigt Leonardo, daß x nicht von der Form einer der bei Eu-
klid vorkommenden Irrationalitäten sein kann. Schließlich gibt er eine Nähe-
rungslösung in sexagesimalen Brüchen an, ohne allerdings das Verfahren zu
beschreiben, mit dessen Hilfe er auf diesen Wert gekommen ist. Dieses Er-
gebnis ist bemerkenswert genau. Diese Aufgabe findet sich mit denselben

Zahlenwerten übrigens auch bei cUmar Hayy¯
am. - In dieser Schrift werden

˘
auch einige Probleme der Unterhaltungsmathematik behandelt. Eine Aufga-
be, bei der eine bestimmte Geldsumme unter drei Personen verteilt wird, fin-
det sich auch in al-Kara˘
g¯ıs Algebra“. Leonardo hat die Lösung, die er selbst

”

als
überaus schön“ bezeichnet, im

Flos“ niedergeschrieben und darüber

”

”

hinaus noch drei andere Methoden gefunden, die im Liber abbaci“ zugäng-

”

lich sind. Bei zwei Aufgaben, bei denen mehrere Männer ein Pferd kaufen
und nach dem Beitrag der einzelnen Personen gefragt wird, ergibt sich für
die Unbekannte ein negativer Wert. Ähnlich wie auch im Liber abbaci“, läßt

”

Leonardo diese Lösung zu, wenn man akzeptiert, daß eine Person kein Gut-
haben, sondern eine Schuld hat.

210

4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance

Der

Liber quadratorum“ ( Buch der Quadrate“, 1225 geschrieben) enthält

”

”

Aufgaben mit unbestimmten quadratischen Gleichungen. U.a. geht es um die

Aufgabe, eine (rationale) Quadratzahl so zu bestimmen, daß sie, um 5 ver-
größert oder vermindert, wiederum (rationale) Quadratzahlen liefert. Dassel-
be Problem findet man auch bei al-Kara˘
g¯ı . In der letzten Aufgabe des Liber

”

quadratorum“ sollen drei Zahlen x, y und z so bestimmt werden, daß jede
der Summen x + y + z + x 2, x + y + z + x 2 + y 2, x + y + z + x 2 + y 2 + z 2 eine Quadratzahl ist.

Leonardo verfaßte auch eine

Practica geometriae“ (1220 oder 1221). Sie

”

beschäftigt sich mit wissenschaftlichen Fragen (Definition geometrischer

Grundbegriffe, Bestimmen der Quadrat- und Kubikwurzel, Heronische Drei-
ecksformel, Würfelverdopplung, Fünf- und Zehneck, Sehnenrechnung), vor al-
lem aber mit der praktischen Geometrie (Längen-, Flächen- und Körpermaße;

Ausmessung beliebiger Felder; Vermessung mit dem Quadranten; Flächen-
und Volumenformeln für ebene Figuren und Körper). Die Methoden, die

Leonardo gebraucht, knüpfen an Heron und an die römischen Feldmesser

(Agrimensoren) an (vgl. [Scriba/Schreiber, S. 86ff.]). Oft löst Leonardo geo-
metrische Aufgaben mit Hilfe der Algebra, indem er sie auf quadratische

Gleichungen zurückführt. Manches erinnert an die Schriften von Savasorda
und Ab¯
u K¯
amil. Ähnlich wie der

Liber abbaci“, wurde auch die

Practica

”

”

geometriae“ Ausgangspunkt für Schriften zur praktischen Mathematik insbe-
sondere im italienischen Raum: es gibt zahlreiche in handschriftlicher Form
erhaltene Traktate in italienischer Sprache, und auch Luca Pacioli hat in
seiner Summa“ (1494) Leonardos Practica geometriae“ ausgiebig benutzt.

”

”

4.3 Jordanus Nemorarius und Johannes de Muris

Einen originellen Beitrag zur Algebra lieferte Jordanus Nemorarius, einer der
bedeutendsten Mathematiker des Mittelalters, der im 13. Jh. lebte. Er ver-
faßte u. a. eine Schrift

De numeris datis“ ( ¨

Uber gegebene Zahlen“; hrsg.

”

”

von [Hughes 1981]), die nach dem Vorbild von Euklids

Data“ verfaßt ist.

”

Alle Aufgaben sind von der Form: Wenn gewisse Zahlenausdrücke gegeben
sind, so sind auch die darin vorkommenden Zahlen gegeben, d. h., man kann
sie aus ihnen berechnen. Anders als in früheren algebraischen Texten, ver-
zichtet Jordanus auf Anwendungen in der Geometrie; seine Probleme stellen
abstrakte Zahlenbeispiele dar. Seine Schrift gilt zu Recht als die erste wissen-
schaftliche Darstellung der Algebra, die seit Diophant in Europa geschrieben
wurde. Juschkewitsch [1964, S. 388] nennt das Werk gleichsam das Hoch-

”

schullehrbuch der abstrakten Algebra des 13. Jahrhunderts; es ist auf einer
methodischen Anordnung der Beispiele aufgebaut, die zunächst in allgemei-
ner Form gelöst und dann anhand von Zahlenbeispielen erläutert werden.“

Wie alle mittelalterlichen Autoren, die sich mit Algebra beschäftigt haben,
leidet auch Jordanus an dem Mangel einer allgemeinen mathematischen Zei-

4.3 Jordanus Nemorarius und Johannes de Muris

211
chensprache. Aber während noch lange nach ihm jede Operation mit allge-
meinen Zahlen an Strecken oder Rechtecken ausgeführt wurde, tritt bei ihm
das Buchstabensymbol als rein arithmetisches Zeichen für eine beliebige Zahl
auf. Allerdings führt er für die Ergebnisse der Zwischenschritte stets weitere
neue Buchstabenbezeichnungen ein; dies erschwert dem modernen Leser das

Verständnis.

Das Werk besteht aus vier Büchern. Im 1. Buch werden die Aufgaben über

Gleichungen zweiten Grades mit zwei Unbekannten zusammenfassend behan-
delt. Die Grundformen sind die Gleichungssysteme x + y = a, x − y = b (I.1);
x + y = a, x · y = b (I.3) und x − y = a, x · y = b (I.5); dabei werden die Lösungsregeln für jedes System rein verbal formuliert. Die letzten beiden Systeme werden nicht auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt, sondern
mit Hilfe von Umformungen auf die Form des ersten, linearen Systems ge-
bracht. Immer wieder führt Jordanus spätere Aufgaben auf sie zurück, ja er
geht dabei so weit, daß er z. B. ( x + a) x = b nicht als einfache quadratische

Gleichung auffaßt, sondern mit Hilfe von ( x + a) − x = a auf I.5 zurückführt.

Die Lösungsmethoden, die Jordanus hier verwendet, findet man in ähnlicher

Weise schon bei den Babyloniern.

Die Aufgaben von Buch 2 werden im wesentlichen mit Hilfe von Proportionen
ausgedrückt. Die Probleme führen auf lineare Gleichungen, wobei Jordanus
mit den einfachsten beginnt und bis zu Gleichungssystemen mit vier Unbe-
kannten fortschreitet. Besonders interessant ist die Aufgabe 27. Sie führt auf
das Gleichungssystem
x 1 + 1 ( x

2

2 + x 3 + x 4) = 37
x 2 + 1 ( x

3

3 + x 4 + x 1) = 37
x 3 + 1 ( x

4

4 + x 1 + x 2) = 37
x 4 + 1 ( x

5

1 + x 2 + x 3) = 37 .

Dieser Aufgabentyp ist bereits bei al-Kara˘
g¯ı und bei Leonardo Fibonacci zu
finden. Jordanus’ Lösungsmethode beruht auf dem einfachen falschen Ansatz.

Er akzeptiert nur positive Lösungen und geht der Frage nach, unter welchen

Bedingungen positive Lösungen existieren.

Buch 3 handelt ebenfalls von Proportionen und von Aufgaben mit mehreren

Unbekannten, die daraus gebildet werden. Es unterscheidet sich von Buch 2
dadurch, daß hier fast überall Quadratwurzeln ausgezogen werden müssen,
die in Buch 2 nie vorkommen.

In Buch 4 finden wir u. a. Regeln zur Lösung von drei Typen quadratischer

Gleichungen (IV.8-10) in der Form, wie sie von al-Hw¯
arizm¯ı, Savasorda und

˘

Abu Bakr überliefert werden.

Jordanus’ algebraische Schrift wurde stark beachtet. U.a. beabsichtigte Jo-
hannes Regiomontanus (1436–1476), das Werk in seiner eigenen Druckerei
zu veröffentlichen. In der Handschrift C 80 der Sächsischen Landesbibliothek

Dresden, die den Stand der Algebra in Süddeutschland und an der Universität

212

4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance

Leipzig nach 1480 wiedergibt, werden u. a. Sätze aus Jordanus’ De numeris

”

datis“ zitiert, und auch Adam Ries (1492–1559) hat dieses Werk gekannt und
benutzt: in der Handschrift seiner algebraischen Schrift (der Coß“; s. unten)

”

befindet sich eine deutsche Übersetzung von Teilen von Jordanus’ Schrift.

Ähnlich einflußreich wie Jordanus’ De numeris datis“ war eine arithmetisch-

”

algebraische Schrift von Johannes de Muris (Jean de Murs, um 1290/95 - nach

1345). Er erwarb im Jahre 1321 an der Pariser Universität den Titel eines

Magisters. Von 1338 bis 1342 war er Schreiber im Dienste des Königs Philippe
d’Évreux, und 1344 wurde er vom Papst Clemens VI. nach Avignon geru-
fen. Um 1323 schrieb Johannes de Muris Kurzfassungen zur Musiktheorie
und zur Arithmetik des Boethius ( Musica speculativa“ bzw.

Arithmetica

”

”

speculativa“), die speziell als Lehrbücher an den Universitäten große Verbrei-
tung erfuhren. Im Jahre 1343 vollendete er sein mathematisches Hauptwerk
mit dem Titel Quadripartitum numerorum“ (Edition: [L’Huillier 1990]). Es

”

trägt seinen Namen, weil es in vier Bücher eingeteilt ist. Das Werk behandelt

Arithmetik und Algebra; dazu kommen in Buch 4 Abschnitte zur Musiktheo-
rie und Mechanik. Die algebraischen Abschnitte befinden sich vor allem in

Buch 3 und in einer umfangreichen Ergänzung, die zwischen Buch 3 und 4
eingefügt ist und den Namen Semiliber“ (Halbbuch) trägt. Die algebraischen

”

Teile in Johannes de Muris’ Schrift beruhen auf Leonardo von Pisas

Liber

”

abbaci“ und seinem

Flos“. Er teilt wie Leonardo die linearen und quadra-

”

Abb. 4.3.4. Südrose der Kathedrale Notre Dame in Paris

[Foto Alten]

4.3 Jordanus Nemorarius und Johannes de Muris

213
tischen Gleichungen in sechs Klassen ein und lehrt, wie sie aufzulösen sind.

Um die Methoden zu erläutern, formuliert er 45 spezielle Aufgaben und lehrt,
wie sie gelöst werden müssen. Ein Beispiel (Buch 3, Questio 17; [L’Huillier,

S. 318]):

(Die Zahl) 10 wird in zwei Teile geteilt, und der Quotient wird zum Divisor
hinzugefügt. Es ergibt sich 5 1 . Was sind die Teile?

2

Antworte: Der größere Teil sei x, der kleinere 10 −x. Nimm 10 −x von 5 1 weg;

2
es bleibt 1 x − 4 1 übrig, weil 10 um diesen Wert 5 1 übertrifft. Das, was nach

2

2
der Subtraktion übrig bleibt, ist der Quotient. Multipliziere ihn mit 10 − x;
es ergibt sich 14 1 x + ( −x 2 − 45). Dies ist gleich x. Daher wirst du (nach dem

2

5. der sechs Fälle) als Teile, die du suchst, 6 und 4 finden.

Zu lösen ist also das Gleichungssystem
x

1
x + y = 10 ,

+ y = 5 .

y

2

Wegen y = 10 − x folgt aus der zweiten Gleichung:

x

1

1

= 5

− y = x − 4 .

y

2

2

Dann ist

1

1

1
x = ( x − 4 ) · y = ( x − 4 ) · (10 − x) = 14 x − x 2 − 45 .

2

2

2

Dies führt auf die quadratische Gleichung

1
x 2 + 45 = 13 x.

2

Dies ist eine Gleichung des Typs (5): x 2 + c = bx, dessen Lösung vorher
dargestellt worden war.

[Man beachte, daß bei Johannes de Muris keine Symbole benutzt werden: alles
wird verbal ausgedrückt. x heißt bei ihm res (Ding) oder radix (Wurzel), x 2
census (entsprechend dem arabischen Ausdruck für x 2). Für 10 − x steht

10 minus re. Für
addieren“, subtrahieren“ und
multiplizieren“ werden

”

”

”

die lateinischen Ausdrücke addere, auferre, ducere in ... benutzt. Auch die

Gleichheit wird durch Verben ausgedrückt: equari (gleich sein), remanere

(sich ergeben), exire (herauskommen).]

Ebenso wie bei Jordanus’ algebraischer Schrift, beabsichtigte Johannes Regio-
montanus auch, das Quadripartitum numerorum“ in seiner eigenen Drucke-

”

rei herauszugeben. Er besaß eine Abschrift des Werks (heute New York, Co-
lumbia University, Plimpton 188), die er intensiv studiert hat: Der Codex
enthält zahlreiche Randbemerkungen von der Hand des Regiomontanus, in
denen dieser öfters algebraische Lösungen des Johannes de Muris durch geo-
metrische ersetzte.

214

4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance

4.4 Die Entwicklung in Italien

Nicht lange nach Leonardos Liber abbaci“ entstanden die ersten mathema-

”

tischen Fachtexte, die nicht mehr in der Gelehrtensprache Latein, sondern in
einer Landessprache (Italienisch) geschrieben waren.

Das Aufkommen nationalsprachiger Texte und, damit verbunden, auch das

Entstehen spezieller Schulen, in denen in diesen Sprachen unterrichtet wird,
steht in Zusammenhang mit der sogenannten wirtschaftlichen Revolution“

”

im Hochmittelalter. Sie bescherte den italienischen Handelsstädten einen un-
geheuren Reichtum, an dem vor allem die Händler und Bankiers Anteil hat-
ten. Die Kenntnisse in Mathematik und Buchführung, die sie benötigten,
konnten sie nicht auf Universitäten erwerben: die dort benutzten Algorismus-

Schriften waren auf Latein geschrieben und lehrten Methoden, die für das

Rechnen der Praktiker nicht besonders geeignet waren. Tatsächlich hat es
zunächst kaum Kontakte zwischen Kaufleuten und Universitätslehrern ge-
geben. Stattdessen entwickelte man eigene Schulen, an denen die Mathema-
tik nach den Erfordernissen für künftige Kaufleute gelehrt wurde. Eine der-
artige Schule, an der spezielle Lehrer, die maestri d’abbaco, unterrichteten,
wird erstmals im Jahre 1284 in den Statuten von Verona erwähnt. Der erste

Abbacus-Lehrer, dessen Namen wir kennen, ist ein maestro Neri, der 1304 in

Florenz wirkte. Schon 1316 schlossen sich die Abbacus-Lehrer in Florenz mit
den übrigen Lehrern zu einer Gilde zusammen. 1343 gab es in Florenz sechs

Abbacus-Schulen mit 1000 bis 1200 Schülern. Die Schüler waren zumeist etwa

10 bis 12 Jahre alt und Söhne von Kaufleuten und Händlern.

Die an diesen Schulen benutzten Abbacus-Schriften behandelten die mathe-
matischen Methoden und Techniken, die die italienischen Kaufleute benötig-
ten. Die abbaci wurden aber nicht nur für die Schüler der Abbacus-Schulen
geschrieben, sondern sie sollten wohl auch dazu dienen, mathematische Pro-
bleme zu lösen, die in der Praxis auftreten konnten. Von etwa 1290 bis 1500
gibt es mehr als 200 Abbacus- und verwandte Texte in italienischer Sprache.

Der älteste Traktat ist der anonyme

Livero del abbecho“ (um 1290). Die

”

Mehrzahl der Arbeiten stammt aus der zweiten Hälfte des 15. Jahrhunderts,
aber immerhin 40 wurden im 14. Jahrhundert geschrieben.

Die mit dem Wort abbacus bezeichneten Schriften haben nichts mit dem
mittelalterlichen Abakus, dem Rechenbrett, zu tun, sondern sie beruhen aus-
schließlich auf dem indisch-arabischen Zahlensystem. Üblicherweise behan-
deln sie neben umfangreichen Anweisungen zur Zahlenschreibweise und zu
den arithmetischen Operationen, die durch Beispiele aus der kaufmännischen

Praxis und aus der Unterhaltungsmathematik erläutert werden, auch Alge-
bra und Geometrie. Sie sind somit Textbücher zur praktischen Mathematik,
die auch einige theoretische Teile enthalten.

Es fällt auf, daß in den libri d’abbaco auch algebraische Inhalte gelehrt wer-
den, die ein Kaufmann nicht unbedingt wissen mußte. Tatsächlich waren es
bis zum 16. Jahrhundert in Westeuropa fast ausschließlich Rechenmeister, die

4.4 Die Entwicklung in Italien

215
die Algebra weiterentwickelten. Aus moderner Sicht liegt ihre Bedeutung ge-
rade darin, daß sie eine brauchbare algebraische Symbolik schufen und nach
zunächst falschen Versuchen Verfahren zur Lösung der Gleichungen 3. und 4.

Grades anboten.

Die frühe Entwicklung der Algebra in Italien ist im 19. und 20. Jahrhundert
insbesondere von italienischen Mathematikern und Mathematikhistorikern
untersucht worden. Genannt seien aus dem 19. Jahrhundert Pietro Cossa-
li (1768–1815), Guglielmo Libri (1803–1869) und Baldassarre Boncompagni

(1821–1894).

Diese Tradition wurde im 20. Jahrhundert fortgesetzt. Eine Überblicksar-
beit

Towards a History of Algebra from Leonardo of Pisa to Luca Pacioli“

”

[Franci/Rigatelli 1985] erschien 1985 und stammt von den Mathematikhi-
storikerinnen R. Franci und L. Toti Rigatelli. Überdies hatten sie auf ei-
ner mathematikhistorischen Tagung am Mathematischen Forschungsinstitut

Oberwolfach (Schwarzwald) mit Nachdruck und dem Verweis auf zahlreiche

Quellen herausgestellt: Der Höhepunkt der frühen italienischen Algebra wur-
de nicht mit dem Werk von del Ferro, Tartaglia, Cardano, Bombelli und
anderen erreicht. Er fällt vielmehr in die Zeit des 13./14. und des frühen 15.

Jahrhunderts. Das Bild ist nur dadurch zugunsten der späteren Periode ver-
zeichnet, weil dort gedruckte Quellen vorliegen, während die früheren Quellen
ungedruckt bleiben mußten.

Wir folgen hier weitgehend der Darstellung von [Franci/Rigatelli 1985] sowie
einigen einschlägigen Arbeiten von Jens Høyrup.

Das 15. Kapitel über Algebra im Liber abbaci“ des Leonardo, das sich, wie

”

gesagt, auf al-Hw¯
arizm¯ı bezieht, hat insbesondere in den in hoher Blüte ste-

˘
henden italienischen Rechenschulen (abbacus-Schulen) des 14. und 15. Jahr-
hunderts einen bedeutenden Einfluß ausgeübt.

Die Autorinnen [Franci/Rigatelli 1985] berichten über eine Reihe von Ma-
nuskripten in italienischer Sprache von al-Hw¯
arizm¯ıs algebraischer Abhand-

˘
lung. Das vermutlich früheste stammt aus dem Jahre 1390, ein anderes un-
gefähr aus dem Jahre 1400. Noch mehr Manuskripte gehören in das 15. Jahr-
hundert, von denen das des Meisters Benedetto von Florenz –

Practicha

”

d’arismetrica“ – eine besonders hohe Bedeutung erlangt hat. In diese Gruppe
hat man auch eine Ragionamenti d’algebra“ eines gewissen Raffaello Canac-

”

ci zu rechnen. Ein anonymer Autor schließt sich in einem Manuskript von ca.

1465 eng an al-Hw¯
arizm¯ı an.

˘

Die früheste italienische Abhandlung zum Abbacus, die in Teilen auf Alge-
bra eingeht, trägt den Titel

Libro di Ragioni“. Es stammt von dem Flo-

”

rentiner Paolo Gerardi und wurde 1328 in Montpellier geschrieben. Der so-
zusagen algebraische Teil

Regolle delle cose“ behandelt die 6 Gleichungs-

”

typen des

Liber abbaci“ von Leonardo und weitere 9 Gleichungstypen, in

”

denen dritte Potenzen auftreten. Beispielsweise ist ax 3 = bx 2 + cx reduzier-
bar auf einen quadratischen Typ. Dagegen sind ax 3 = bx + c, ax 3 = bx 2 + c,
ax 3 = bx 2 + cx + d echt kubische Gleichungen. Freilich sind die angegebenen

216

4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance

Lösungen falsch, haben aber einen großen Einfluß auf die weitere Entwicklung
ausgeübt.

Im nächsten Abschnitt gehen die Autorinnen ausführlich auf die Practicha

”

d’arismetrica“ (1463) des Benedetto von Florenz ein. Dort erwähnt Bene-
detto einen gewissen Biagio, der um 1340 gestorben sein soll und in Florenz
gewirkt habe. Biagio habe, nach Benedettos Meinung, als erster Algebra auf
kommerzielle Probleme angewandt.

Benedetto gibt zwei Probleme wieder, von denen Biagio gesagt habe, sie seien
unlösbar mit den Mitteln der Algebra:

(1)

Suche eine Gr¨
oße derart, daß durch Multiplikation eines um drei ver-

”

mehrten Drittels mit dem um vier vermehrten Viertels die gesuchte Gr¨
oße
entsteht.“

Die Aufgabe führt auf eine quadratische Gleichung, die keine reelle Lösung
besitzt.

(2) Teile 10 in zwei Teile derart, daß ihr Produkt das Vierfache des Quoti-

”

enten der gr¨
oßeren Zahl durch die kleinere ist.“

Mit x + y = 10 und x < y hat man xy = 4 · y . Daraus folgt x 2 = 4 und x = 2
x

Wir können aber erkennen, worin die Schwierigkeit liegt: Wenn er x als größe-
ren Teil setzt, so ist der kleinere 10 − x. Dann ist x(10 − x) = 4 x . Und er

10 −x
erhält 20 x 2 = 96 x + x 3 mit der Lösung 8 und den von ihm nicht akzeptierten

Lösungen 12 und 0.

Betrachtet man dagegen x als den kleineren Teil, so entsteht in der Tat ein
mit den damaligen Mitteln der Algebra nicht lösbares Problem: Man erhält
die echt kubische Gleichung x 3 + 40 = 10 x 2 + 4 x.

Das früheste vollständig auf Algebra orientierte Abbacus-Manuskript trägt
den Titel

Aliabraa-Argibra“ und stammt vom Meister Dardi von Pisa und

”

wurde 1344 verfaßt. Vier Kopien bzw. Übersetzungen haben sich erhalten.

Man hat an anderen erhalten gebliebenen Manuskripten nachweisen können,
daß

Aliabraa“ einen großen Einfluß auf andere Abbacus-Schulen ausgeübt

”

hat.

Auch Dardi von Pisa hat sich mit Gleichungen dritten und vierten Grades
befaßt. Eine von ihm behandelte Gleichung dritten Grades vom Typ x 3 +
ax 2 + bx = c führt auf eine Lösungsformel, die allerdings nur richtig ist, wenn
a 2 = 3 b ist [Scholz 1990, S. 147/148].

Einen längeren Abschnitt widmen die Autorinnen Franci und Rigatelli Mei-
ster Antonio de’Mazzinghi, der als der geschickteste Algebraist galt. Leider
haben sich nur längere Auszüge aus seinen Schriften erhalten.

Antonio stammt aus Florenz und wurde 1355 geboren. Er erhielt seine Aus-
bildung bei dem berühmten Abbacisten Paolo dell’Abbaco. Daneben galten
seine wissenschaftlichen Interessen der Astrologie/Astronomie, Musik, dem

Bauwesen und der Perspektive.

Unter der Bezeichnung termini d’algebra führt Antonio die ersten 6 Poten-
zen der Unbekannten ein: cosa, censo, cubo, censo di censo, cubo relato oder

4.4 Die Entwicklung in Italien

217

Abb. 4.4.5. Der Dom S. Maria del Fiore zu Florenz – ein Meisterwerk italienischer

Renaissance, begonnen 1296 von Arnolfo di Cambio, weitergeführt von Giotto, Ta-
lenti und Giovanni di Lapo, vollendet 1436 mit der Kuppel von Brunelleschi.

[Foto Alten]

218

4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance
duplici cubo, cubo di cubo für x 1 bis x 6. Es folgen Regeln für Multiplikation
und Division der Potenzen; letzteres führt auf Potenzen der Form 1 bis 1
x
x 6 ,
genannt cosa-esimi bis cubo di cubo-esimi. Dann werden Regeln für Multi-
plikation und Division von Monomen und Polynomen dargelegt.

Neben 44 theoretischen Aufgaben vom Typ Teile eine Zahl in zwei (drei, vier

”

oder fünf) Teile, so daß ...“ werden 11 praktische Aufgaben, u. a. Tauschhan-
del, Geldwechsel und Zinsen, behandelt.

Antonio bietet die Behandlung – in Worten, ohne Symbolik – von komplizier-
ten Problemen, bei denen zwei oder mehr Unbekannte auftreten. Beispiels-
weise behandelt er die Gleichungssysteme (in moderner Bezeichnung)

√

√
u + v = 10 ,
uv

=

11 +

12
u−v
oder
u · v = 6 ,
u 2 + v 2 = 13
oder
x : y = z : t,
x 2 + y 2 = 60 ,
z 2 + t 2 = x · y,
z · t = 10 .

In den folgenden Abschnitten gehen die Autorinnen ausführlich auf die Si-
tuation im Florenz des 14. Jahrhunderts ein. Dort gab es zwei Strömungen
in der Algebra: eine von Leonardo von Pisa inspirierte und von Biagio und

Antonio weitergeführte und eine andere, deren Beginn unklar ist, mit dem
herausragenden Gerardi als erstem Exponenten.

Zwei anonyme Manuskripte vom Ende des 14. Jahrhunderts zeigen das Zu-
sammenfließen der Tendenzen. Dort finden sich einige Fortschritte, die in
die Zukunft weisen. Durch die Transformation x = y − p geht die Glei-

3
chung x 3 + px 2 = q über in eine Gleichung y 3 = py + q ohne quadratisches

Glied. Und es wird ein Verfahren angegeben, eine kubische Gleichung zu kon-
struieren, die eine vorgegebene Zahl als Wurzel besitzt [Scholz, S. 148/149]

[Franci/Rigatelli, S. 48]. Doch betonen die Autorinnen, daß sich von hier aus
keine Verbindung zu den späteren Leistungen von Scipione del Ferro bzw.

Girolamo Cardano nachweisen ließ.

Es ist hier unmöglich, die Fülle der Manuskripte, deren Inhalte sowie die Ver-
treter der Abbacus-Schulen und der Algebra wiederzugeben [Franci/Rigatelli,

S. 45-61]. Jene Männer waren u. a. Vertreter der reichen Kaufmannschaft.

Giovanni di Bartolo arbeitete mit Filippo Brunelleschi beim Bau der großen

Kuppel des Florentiner Domes zusammen. Der Maler Piero della Francesca
war zugleich ein bedeutender Algebraiker.

4.4.1 Luca Pacioli

Ein weiteres Kapitel von [Franci/Rigatelli] The unmerited fame: Luca Pa-

”

cioli” ist Luca Pacioli (ca. 1445–1517) gewidmet. Die Autorinnen stellen
zunächst klar, daß Luca Pacioli, obgleich er in seinen Leistungen deutlich
hinter früheren ungedruckten Texten zurückblieb, seinen Ruhm vor allem
dem Umstand verdankt, daß sein Werk gedruckt wurde:

Luca Pacioli ...

”

4.4 Die Entwicklung in Italien

219
surely is the best-known abacist of the 15th century, even if he was not the
most skilled. ...his fame is due to the fact that his work, unlike others which
we judge to be better, was printed.“

[Franci/Rigatelli, S. 61]

Der Ruhm von Luca Pacioli beruht auf seiner umfangreichen Darstellung

Summa de arithmetica, geometria, proportioni e proportionalit`
a“ (1494,

”

zweite Edition 1523).

Die

Summa“ enthält das mathematische Wissen, das an den Abbacus-

”

Schulen gelehrt wurde. Ein Teil davon, die 4., 5. und 6. Abhandlung der

8. distinctio“ , sind der Algebra gewidmet, that is called by people the rule

”

”

of the thing or the great art, that is speculative practice, otherwise called Al-
gebra and almuchabala in Arabic languages, after the opinion of some people
in our language is the same to say restaurationis and oppositionis. Algebra
that is Restauratio, Almuchabala that is oppositio.”

[Franci/Rigatelli, S. 62]

Luca Pacioli führt Bezeichnungen ein: grandi dei caratteri algebraici (d. i.

Potenzexponenten der algebraischen Charaktere). Er verwendet das Symbol

R (ein R mit kleinem Querstrich). Dann bedeutet

R
eine Zahl

R 2 cosa, d.i. modern die Unbekannte x

R 3 censo, d.i. x 2

R 4 cubo, d.i. x 3

R 5 censo de censo, d.i. x 4
usw. bis R 10, d.i. x 9, censo di primo relato.

Dann folgen die Regeln der Multiplikation der Charaktere.

Die Gleichungen typisiert er folgendermaßen (moderne Bezeichnungen, ohne

Koeffizienten):

(1) Censo de censo equale a numero ( x 4 = a)

(2) Censo de censo equale a cosa ( x 4 = x)

(3) Censo de censo equale a censo ( x 4 = x 2)

(4) Censo de censo e censo equale a cosa ( x 4 + x 2 = x)

(5) Censo de censo e cosa equale a censo ( x 4 + x = x 2)

(6) Censo de censo e numero equale a censo ( x 4 + a = x 2)

(7) Censo de censo e censo equale a numero ( x 4 + x 2 = a)

(8) Censo de censo equale a numero e censo ( x 4 = a + x 2)

Luca Pacioli bemerkt, daß z. B. aus den Gleichungen (1) und (2) – durch

Multiplikation mit Potenzen der Unbekannten – weitere Gleichungen erhalten
werden können. Bei Gleichungen der Typen (3), (4), (5), muß durch eine
geeignete Potenz dividiert werden. Besondere Aufmerksamkeit verdienen die

Gleichungen der Typen
ax 3 + bx + c = 0 ,
ax 3 + bx 2 + c = 0 und ax 4 + bx 3 + c = 0.

Luca Pacioli behauptet nicht – und das muß beachtet werden – daß diese

Gleichungen nicht lösbar seien ( Cardano wird später behaupten, daß Pacioli
die Unlösbarkeit behauptet habe). Luca Pacioli stellt lediglich fest, daß bisher

220

4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance
noch keine allgemeine Regel gefunden worden sei, nur spezielle Fälle seien
durch Probieren gelöst worden. But of number, cosa and cubo however they

”

are compound, or of number, censo, censo and cubo, or of number, cubo and
censo di censo nobody until now has formed general rules, because they are not
proportional among them (...) And therefore, until now, for their equations,
one cannot give general rules, exept that, sometimes by trial. (...) in some
particular cases, and therefore when in your equations you find terms with
different intervals without proportion, you shall say that the art, until now,
has not given the solution to this case (...).Even if the case may be possible.”

[Franci/Rigatelli, S. 64/65]

Luca Pacioli behandelt theoretische Probleme von dem bekannten Typ: Teile

”

eine gegebene Zahl in zwei, drei. Teile, so daß.....“ Daneben werden Probleme
des Geschäftslebens behandelt. z. B. Tausch, Geldwechsel, Zinsen, Geschäfts-
reisen.

Die Autorinnen kommen zu dem Schluß, daß die Algebra von Luca Pacioli in-
haltlich keine neuen Elemente gegenüber früheren Abhandlungen hinzufügt.

Andererseits ist offensichtlich, daß die späteren Autoren – Scipione del Fer-
ro, Cardano, Tartaglia, Ferrari und andere – nicht nur von der Lektüre der

Summa“ profitiert haben, sondern auch von jenen zahlreichen Manuskript

”

gebliebenen Abhandlungen früherer Zeit. Das Problem der Lösung der Glei-
chungen dritten und vierten Grades jedenfalls war zeitlich vor der Summa“

”

bereits im Bewußtsein der Abbacisten bzw. Algebraiker vorhanden.

4.5 Entwicklungen in Westeuropa

Auch außerhalb Italiens gab es in jener Zeit Algebraiker von Format. Abge-
sehen von der sogenannten Deutschen Coß“, auf die gesondert eingegangen

”

werden soll, erwähnen wir hier Chuquet für Frankreich, Recorde für England,

Stevin für die Niederlande und Nunes für Portugal.

4.5.1 Nicolas Chuquet

Der vermutlich 1445 in Paris geborene Chuquet studierte wohl in Paris Me-
dizin. Er wirkte in Lyon möglicherweise als Arzt. Er starb um 1488.

Die 1484 niedergeschriebene Abhandlung Le triparty en la science des nom-

”

bres“ blieb zwar damals ungedruckt, hat aber dennoch einen großen Einfluß
ausgeübt. Das Manuskript besteht aus drei Hauptteilen – daher Triparty –
und zwar Rechnen mit rationalen Zahlen, Rechnen mit irrationalen Zahlen
und Theorie der Gleichungen.

Die Bezeichnungen für die Potenzen der Variablen erinnern schon an die
moderne Auffassung. So steht 120 für 12, 121 für 12 x, 122 für 12 x 2 usw.

Auch treten negative Potenzexponenten auf: 121 ˜
m ist, wegen 1 ˜
m gleich − 1,
zu verstehen als 12 − 1, also gleich 12 x− 1 = 12 [Struik, S. 60/61]. Dann folgen
x

4.5 Entwicklungen in Westeuropa

221
die Regeln für die Multiplikation von Potenzen, in seiner Schreibweise etwa

120 · 120 = 1440+0 = 1440 = 144.

Dahinter verbirgt sich der Spezialfall von xm · xn = xm+ n.

Bei der Behandlung quadratischer Gleichungen folgt Chuquet den bekannten

Regeln, doch werden negative Wurzeln nicht anerkannt. In einigen Aufgaben
führt er zur Lösung zwei Unbekannte mit unterschiedlichen Bezeichnungen
ein. Übrigens stammen von ihm die Wortbildungen Billion, Trillion, Quadril-
lion für 1012, 1018, 1024.

4.5.2 Robert Recorde

Auch der englische Arzt und Autor mathematischer Bücher, Robert Recorde

(ca. 1512–1558), gehört in die Reihe der Persönlichkeiten, die zur Entwicklung
algebraischen Denkens beitrugen. Als Arzt war er bei König Edward VI. und

Königin Mary tätig.

Das Anliegen seiner mathematischen Bücher war wohl mehr pädagogischer

Art. Daher sind die Bücher vorwiegend in Form von Dialogen zwischen Lehrer
und Schüler geschrieben. Es scheint, daß er sein Leben im Gefängnis beenden
mußte, möglicherweise deswegen, weil er in seinen Schriften expressis verbis

Vernunft über Autorität stellte. Jedenfalls sind die Gründe seiner Inhaftie-
rung unbekannt.

Sehr erfolgreich war Recordes

The Ground of Arts“ (1543), das jahrhun-

”

dertelang nachgedruckt wurde und die Grundelemente der Arithmetik lehr-
te. Der

Pathway to Knowledge” (1551) ist der Geometrie gewidmet,

The

”

”

Castle of Knowledge” (1556) der Astronomie.

Am bedeutendsten im Hinblick auf die Entwicklung der Algebra in England
war sein

Whetstone of Witte“ (1557), zu übersetzen etwa mit Wetzstein

”

”

des Verstandes.“ Recorde führte das moderne Gleichheitszeichen = ein, mit
der folgenden Begründung: To avoid the tedious repetition of these words –

”

is equal to – I will set as I do often in work use, a pair of parallels, or gemov

(twin) lines of one length, thus = , because no 2 things can be more equal.”

(modernisierte englische Sprache; zitiert nach [Katz 1993, S. 327])

Bei den von Recorde verwendeten Symbolen für die Potenzen der Unbekann-
ten sieht man deutlich, daß er noch der Periode der Coß angehört; insbeson-
dere der Deutschen Coß. Zum erstenmal in England erschienen die Zeichen +
und − im Druck, im Anschluß an M. Stifel. Beispiele entnahm Recorde auch
von dem deutschen Cossisten J. Scheubel (oder Scheybl) (1494–1580). Re-
corde modifizierte und erweiterte die cossischen Symbole für Zensus, Cubus
und die aufsteigende Folge der Sursolide.“ Das sind sehr spezielle Zeichen,

”

die hier nicht wiedergegeben werden können [vgl. Katz, S. 327].

Jedenfalls gehört Recorde zu den Wegbereitern der Mathematik in England;
er stand am Beginn einer Reihe englischer Autoren, vgl. dazu [Howson 1982].

222

4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance

Abb. 4.5.6. Titelblatt des Whetstone of Witte“ von Robert Recorde

”

4.5 Entwicklungen in Westeuropa

223

Abb. 4.5.7. Das 1264 gegründete Merton College ist das älteste der Colleges, aus
denen die berühmte Universität Oxford hervorging.

[Foto Gottwald]

4.5.3 Simon Stevin

Simon Stevin (1548–1620), vielseitig als Naturforscher, Zivil- und Militärin-
genieur tätig und engagiert im Befreiungskampf der Niederlande gegen die

Spanier, gehört in die Reihe der Wegbereiter der Algebra als selbständiger

Disziplin, unmittelbar in die Zeit vor der Entstehung der Arbeiten von Vieta.

Der Bereich seiner Arbeiten umfaßt u. a. Rabatt- und Zinstabellen, Berech-
nung rechtwinkliger sphärischer Dreiecke, reguläre und halbreguläre Körper,

Astronomie, Geographie, Musiktheorie, Hydraulik, hydrostatisches Parado-
xon und Fallversuche.

Als Folge des Vorstoßes der Türken bis nach Wien gelangten einige Andeu-
tungen über die in östlichen Ländern verwendeten Dezimalbrüche, die türki-

”

schen Zahlen“, nach Mitteleuropa, wo sich unabhängig davon ebenfalls ähn-
liche Grundideen herausgebildet hatten, u. a. in der Wiener astronomischen

Schule.

Die endgültige Einführung der Dezimalbrüche in Europa verdankt man Ste-
vin. In seinem 1585 veröffentlichten Büchlein De Thiende“(Das Zehnte) er-

”

klärte er:

Thiende ist eine Art der Rechenkunst, durch welche man alle unter den

”

Menschen als notwendig anfallende Rechnungen mittels ganzer Zahlen ohne

Br¨
uche erledigt; sie wird gefunden aus der Zehnerreihe, bestehend in den

Ziffern, durch die irgendeine Zahl geschrieben wird.“ [Gericke/Vogel, S. 13].

224

4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance

Stevin führte eine spezielle Symbolik für Dezimalzahlen ein. Beispielsweise
schrieb er für den Dezimalbruch 6 , 3759

6 0

3 1

7 2

5 3

9 4

Die Bedeutung ist klar: Die eingeringelten Zahlen bedeuten den zehnten,
hundertsten ... Teil der ganzen Zahl.

In den weiteren Teilen von De Thiende“ werden die Grundrechenarten ge-

”

lehrt und die Anwendung der Dezimalbruchrechung auf Landmessung, Tuch-
messung, Weinmessung und Astronomie; ferner gibt es allgemein gehaltene

Anweisungen für Münzmeister und Kaufleute.

Die Schreibweise für Dezimalbrüche bei Stevin hängt eng mit seiner Auf-
fassung von

Gleichung“ zusammen, die sich in einer anderen Schrift, in

”

L’Arithm´
etique“ (1585) findet. Auch und besonders hier zeigt sich Ste-

”

vin unter dem Eindruck der antiken, nun zugänglich gewordenen Schriften,
die neu hinzugekommen waren (Diophant), sowie der Entdeckungen bei der

Auflösung höherer, insbesondere kubischer Gleichungen. Man könnte sogar
sagen, daß

L’Arithm´
etique“ eine Art Überblick über den Stand der Alge-

”

bra am Ausgang des 16. Jahrhunderts gibt, noch vor Vieta, der wesentliche

Beiträge zur Terminologie und Bezeichnung mathematischer Begriffe lieferte

(vgl. 5.2.1).

Stevin bezeichnet mit Kreisen sozusagen die Potenzen der gesuchten Größe.

So würde 1 2
gleich 2 1

+8 der Gleichung 1 x 2 = 2 x + 8 mit der Lösung
x = 4 entsprechen. Entsprechend schreibt Stevin zur Geschichte der Algebra:

Kenntnisse über Einzelheiten fehlen ihm, doch verweist er auf die Antike,
auf Luca Pacioli, Cardano, del Ferro, Tartaglia , Fior, Ferrari und Bombelli
sowie die Ars magna“, die jüngst in Italien erschienen sei.

”

Für kubische Gleichungen, von einigen weiteren unbekannten Autoren erfun-
den, schreibt Stevin (natürlich ohne Gleichheitszeichen)

3
gleich 1

0

(entspricht x 3 = ax + b) oder

3
gleich 2

0

(entspricht x 3 = ax 2 + b).

Die Gleichung vierten Grades wird mit Ferrari in Verbindung gebracht und
erscheint als 4
gleich 3

2

1

0

.

Bemerkenswert ist auch die Tatsache, daß sich bei Stevin eine Erweiterung
des Zahlbegriffes über den der natürlichen Zahl hinaus expressis verbis findet.

Im Gegensatz zu fast allen Mathematikern seiner Zeit hielt er Quadratzahlen,

Quadratwurzeln, negative und irrationale Zahlen für Zahlen von derselben

Natur. Dies folgte einigermaßen zwingend sowohl aus den Tendenzen der

Entwicklung der Algebra als auch aus seiner Theorie der Dezimalzahlen.

4.5.4 Pedro Nunes

Der Einfluss von Pacioli ist auch auf der iberischen Halbinsel, im fernen

Portugal, nachweisbar, insbesondere bei Nunes (lat. Nonius) (1502–1578).

Das zeigt sich u. a. an der Terminologie. Er schreibt in Anlehnung an das

Italienische co für cosa (d.i. x), ce für censo (d.i. x 2), cu für cubo (d.i. x 3)

4.5 Entwicklungen in Westeuropa

225

Pedro Nunes

Robert Recorde
und ¯
p bzw. ¯
m für plus und minus [Katz, S. 327]. Doch scheint er von der

Entwicklung in Deutschland nicht berührt worden zu sein.

Nunes hatte in Salamanca und in Lissabon Medizin studiert. Schließlich
wurde er Professor der Mathematik an der Universität Coimbra. Zu seinen

Schülern zählt auch der berühmt gewordene Jesuit und Mathematiker Chri-
stoph Clavius (1537–1612).

Von Nunes stammen übrigens auch Beiträge zur Navigation. Portugal war im

16. Jahrhundert eine führende Seemacht geworden und im Besitz riesiger Ko-
lonialgebiete. Diese Expansion war im 15. Jahrhundert durch Prinz Heinrich
den Seefahrer (1394–1460) an seiner Navigatoren”akademie“ in Sagres vor-
bereitet worden. Nunes nun fand heraus, daß sich die Fahrtkurve kürzester

Distanz (Großkreis) von der für die Navigation bequemeren Fahrtkurve der

Loxodrome unterscheidet.

Was die Algebra betrifft, so schrieb Nunes 1532 ein

Libro de Algebra en

”

Arithmetica y Geometria“. Dort behandelt er quadratische und spezielle ku-
bische Gleichungen; natürlich kann er deren allgemeine Lösung nicht kennen,
da die Ars magna“ von Cardano erst 1545 erscheinen wird.

”

Um ein Beispiel zu nennen [Katz, S. 327/328], so behandelte Nunes ein klassi-
sches Problem: Es sollen zwei Zahlen x und y gefunden werden, wobei deren

Produkt und die Summe ihrer Quadrate bekannt sind. Das führt auf eine
quadratische Gleichung in x 2. Nunes trifft Fallunterscheidungen bezüglich
der Größenverhältnisse der beiden Variablen.

Der Text des

Libro de Algebra...“, ursprünglich portugiesisch geschrieben,

”

blieb zunächst ungedruckt. Nunes versprach sich mehr von einer spanischen

Version. Er übersetzte den Text, der erst 1567(?) in Antwerpen in den Nieder-
landen gedruckt wurde. Nunes stellte mit Bedauern fest, daß nun sein Werk
durch bessere Bücher überholt sei. Und im übrigen wünsche er sich, mit dem

226

4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance

Abb. 4.5.8. Alte Bibliothek der Universität von Coimbra, die 1290 als erste Uni-
verität Portugals in Lissabon gegründet, aber 1307 nach Coimbra verlegt wurde.

[Foto Alten]

4.6 Frühe Algebra im deutschsprachigen Raum – die Deutsche Coß

227

Blick auf ältere Autoren, insbesondere die der Antike, daß die Wege, auf de-
nen die Ergebnisse gefunden wurden, nicht verdeckt oder verwischt würden,
sondern ebenfalls dargelegt werden sollten.

4.6 Fr¨
uhe Algebra im deutschsprachigen Raum – die
sog. Deutsche Coß

Zeitverzögert gegenüber Italien entwickelte sich auch in den deutschsprachi-
gen Regionen mathematisches, speziell algebraisches Denken, gestützt teilwei-
se auf die wissenschaftliche Tradition der Klöster und Universitäten, teilweise
auch inauguriert durch den besonders in Süddeutschland rasch aufblühenden

Frühkapitalismus und den sich herausbildenden Berufsstand der Rechenmei-
ster. Dieser spannende Prozeß ist seit dem Ende des 19. Jahrhunderts, vor
allem aber nach dem Ende des 2. Weltkrieges gründlich erforscht worden,
u. a. durch Arbeiten von H. E. Wappler, B. Berlet, M. Curtze, F. Deubner,

K. Vogel, W. Kaunzner, H. Wußing.

Vogel und Kaunzner haben auf die Bedeutung des süddeutschen Raumes
als Wiege der seit dem 13. Jahrhundert deutlich zutage tretenden Wieder-
belebung der Mathematik verwiesen, auf Wien, die reichen Handelsstädte

Augsburg, Nürnberg und Regensburg und deren Umfeld.

Man weiß u. a. von einer schon im 10. Jahrhundert erwähnten Bibliothek
in Regensburg und später im Kloster St. Emmeram bei Regensburg, die
aber 1250 geplündert worden sein soll. Nach 1347 gab es dort, unter wenigen

Büchern, auch mathematische Texte.

Seit dem 14./15. Jahrhundert belebte sich die Entwicklung der Mathematik.

Zunächst wurden aus Frankreich, Italien, Spanien und England stammende

Texte kopiert, die im Kern auf al-Hw¯
arizm¯ı zurückgingen. Auch entstanden

˘
einige Anleitungen zum Rechnen mit Brüchen, Potenzen und Wurzeln. Dazu
kamen Möglichkeiten, den Unterricht an den Artistenfakultäten der Univer-
sitäten in mathematisch/astronomischer Hinsicht anzureichern. Hier wurde
die Wiener Universität führend. Johannes von Gmunden (ca. 1380/84 -1442)

und Georg Peuerbach (1423–1461) entwickelten die indisch-arabischen Re-
chentechniken sowie die Astronomie weiter. Die Anziehungskraft der Wiener
mathematisch-astronomischen Schule war so stark, daß der junge Johannes

Müller (1436–1476) aus Königsberg in Franken mit 14 Jahren nach Wien
überwechselte; unter dem latinisierten Namen Regiomontanus ging er in die

Geschichte der Wissenschaften ein. Neben seiner herausragenden fünfbändi-
gen Darstellung der ebenen und sphärischen Trigonometrie ( De triangulis

”

omnimodis“, 1533 im Druck, postum) beschäftigte sich Regiomontanus auch
mit Algebra (hierzu siehe unten).

Aus der Frühgeschichte der Algebra/Mathematik in Deutschland sind weitere

Details bekannt. Wir beziehen uns hier auf die Überblicksdarstellung von

Wolfgang Kaunzner [Kaunzner 1992].

228

4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance

Abb. 4.6.9. Anleitung zum Ziffernrechnen, Titelblatt des Rechenbüchleins von

Johann Böschenstein, 3. Aufl. des 1518 in Augsburg erschienenen Buches

4.6 Frühe Algebra im deutschsprachigen Raum – die Deutsche Coß

229

In Bamberg
begann der Druck der ersten deutschen kaufm¨
annischen Re-

”

chenb¨
ucher“ [Kaunzner, S. 158]. Ein sog. Blockbuch – jede Seite wurde aus
je einer Holztafel herausgeschnitten – entstand zwischen 1470 und 1480 [Vo-
gel 1980]. Es folgten 1482 und 1483 zwei weitere Bamberger Rechenbücher,
die vermutlich von dem Nürnberger Rechenmeister Ulrich Wagner (gest.

1489/90) stammen. Ihre Inhalte sind kaufmännischer Art, mit Einschluß des

Dreisatzes und von Tabellen zu Relationen von Gold- und Silberwährungen.

4.6.1 Die sog. Deutsche Coß

Schon kurz vor dieser Zeit beginnt ein neuer historischer Abschnitt der

Algebra-Entwicklung, die sog. Deutsche Coß. Den Zeitraum zwischen 1460

”

und 1550 nennt man in der Geschichte der Mathematik ’deutsche Coß’, weil
es den damals hier lebenden und wirkenden Fachleuten gelang, den ¨
osterrei-
chischen, den s¨
ud- und mitteldeutschen Sprachraum zum Mittelpunkt einer

Entwicklung zu machen, die sich zum Ziel setzte, die mathematische Termi-
nologie vom geschriebenen Wort zu l¨
osen. Diese Vorstellungen konnten in
großem Maße verwirklicht werden.“ [Kaunzner 1992, S. 159/160].

Die Cossisten hatten auch Anteil an der Entwicklung einer algebraischen

Symbolik. Während in der wissenschaftlichen Mathematik die Namen und

Potenzen der Unbekannten, das Verknüpfen und die Gleichheit von Termen
stets verbal ausgedrückt wurden (zur Ausnahme Jordanus s. oben), begann
man in Italien und in Frankreich seit Ende des 14. Jahrhunderts damit, die

Fachausdrücke abzukürzen, zumeist durch die Anfangsbuchstaben der be-
treffenden Wörter. Solche Abkürzungen wurden manchmal durch besondere

Zeichen ersetzt, z. B. bei Chuquet (siehe S. 220). Richtungsweisend war aber
eine andere Entwicklung, die von Süddeutschland ausging und an der nicht
nur Rechenmeister, sondern auch Wissenschaftler beteiligt waren. Hier ist in
erster Linie Johannes Regiomontanus (1436–1476) zu nennen. Er benutzte
eine algebraische Symbolik, die vor ihm nicht nachweisbar ist. Wir finden
diese Symbolik schon in einer von ihm geschriebenen Handschrift aus dem

Jahr 1456, die zahlreiche arithmetische und algebraische Probleme behandelt

(jetzt New York, Columbia University, Plimpton 188), dann auch in Briefen
aus dem Jahre 1463 und etwa gleichzeitig im Autograph seiner Dreiecks-

”

lehre.“ Regiomontanus benutzt an allen drei Stellen hochgestellte Zeichen
für die Unbekannte x und ihr Quadrat x 2, den langgezogenen Strich für das

Gleichheitszeichen, das Zeichen für die Quadratwurzel und die Abkürzung
für minus. Nach unserem gegenwärtigen Wissen war er der erste, der in der

Algebra diejenigen Abkürzungen benutzte, die später als die Symbole der

Cossisten große Verbreitung erlangten [Folkerts 1996a].

Einige Probleme, die in Regiomontanus’ Handschrift aus dem Jahre 1456 be-
handelt werden, findet man in ganz ähnlicher Form auch in Texten italieni-
scher Rechenmeister; andere Texte aus der Sammlung haben in den 80er Jah-
ren des 15. Jhs. über Johannes Widmann Eingang in die Algebrastudien an

230

4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance
der Universität Leipzig gefunden. Somit ist die Sammlung des Regiomontanus
ein Bindeglied zwischen den italienischen maestri d’abbaco und den deut-
schen Autoren algebraischer Schriften. Bei zwei Aufgaben treten schon im

Gleichungsansatz negative Zahlen auf, die als Schulden interpretiert werden.

Regiomontanus bemüht sich, bei Aufgaben der unbestimmten Analytik allge-
meine Lösungsverfahren zu finden, er kennt die chinesische ta yen-Methode
zum Lösen des Resteproblems und beschäftigt sich mit dem näherungswei-
sen Ausziehen der Quadratwurzel. Bei einem Zinseszinsproblem, das auf eine
kubische Gleichung führt und das man in ähnlicher Form schon bei den ita-
lienischen maestri d’abbaco findet, weist Regiomontanus auf den körperlichen

Gnomon hin; die beigefügte Figur läßt an die Lösung der allgemeinen kubi-
schen Gleichung denken, die Scipione del Ferro etwa 50 Jahre später fand

(siehe unten). Aus seinem Briefwechsel wissen wir, daß Regiomontanus ahn-
te, wie man vorgehen müsse, um die allgemeine kubische Gleichung zu lösen,
wenn er auch noch nicht dazu in der Lage war. Eine Dreiecksaufgabe in sei-
nem Briefwechsel führt ebenfalls auf eine kubische Gleichung. Regiomontanus
erkennt den Zusammenhang mit der Aufgabe, die Sehne zum Bogen 1 ◦ zu
bestimmen, wenn die Sehne zum Bogen 3 ◦ bekannt ist; er wusste also, daß
die Winkeldreiteilung mit der Lösung der allgemeinen kubischen Gleichung
zu tun hat.

Neben Regiomontanus beschäftigte sich um die Mitte des 15. Jhs. vor allem

Fridericus Amann (in früheren mathematikhistorischen Arbeiten wird er als

Fridericus Gerhart“ bezeichnet) aus dem Benediktinerkloster St. Emmeram

”

bei Regensburg ( † 1464/65) mit Algebra. Er nutzte den umfangreichen Be-
stand mathematischer und astronomischer Handschriften in St. Emmeram
und kannte indirekt (wohl über das Kloster Reichenbach bei Regensburg)

auch die mathematisch-astronomischen Arbeiten an der Wiener Universität.

Fridericus verfaßte bzw. kopierte zwischen 1457 und 1463 in Regensburg zahl-
reiche mathematische, astronomische und geographische Schriften. Eine Sam-
melhandschrift mit z.T. mathematischen Texten, die Fridericus 1461 schrieb,
ist der Codex München, Clm 14908. Er enthält u. a. die erste uns bekann-
te deutsch geschriebene Algebra, die in Worten die Auflösung der sechs auf
al-Hw¯
arizm¯ı zurückgehenden Typen linearer und quadratischer Gleichungen

˘
beschreibt. Dabei benutzt Fridericus Symbole, um die Potenzen der Veränder-
lichen zu bezeichnen, die an die Symbolik bei Regiomontanus erinnern. Diese
deutsche Algebra beginnt mit den Worten: Machmet in dem puech algebra

”

vnd almalcobula hat gespruchet diese wort: Census, radix, numerus.“ Dies
bedeutet, daß Fridericus unterstellte, al-Hw¯
arizm¯ı habe in seinem Buch diese

˘

Worte eingeführt ([Kaunzner, S. 168], zu Fridericus Amann siehe auch [Gerl

1999]).

Einige Zeit spielte Leipzig eine führende Rolle in der Entwicklung der Al-
gebra: Im Jahre 1481 wurde hier die erste zusammenhängende große Alge-
braschrift verfaßt [Vogel 1981]. 1486 hielt der aus Eger stammende Johannes

Widmann (ca. 1460 - nach 1500) in Leipzig die erste Algebravorlesung in

4.6 Frühe Algebra im deutschsprachigen Raum – die Deutsche Coß

231

Deutschland. Der Text dieser Vorlesung befindet sich in der bekannten Sam-
melhandschrift C 80 (heute in der Sächsischen Landesbibliothek Dresden),
die mit dem Unterricht an der Universität Leipzig in Beziehung steht. Dort
werden auch für die Addition und die Subtraktion die Zeichen + und − be-
nutzt. Widmann war es, der diese Zeichen in seinem in Leipzig gedruckten

Rechenbuch aus dem Jahre 1489 ( Behende vnnd hubsche Rechn¯
ug auff allen

”

kauffmanschafft“) verwendete; von da aus haben sie sich allgemein durchge-
setzt. ( Über unser heutiges Wissen zu Widmann informiert [Kaunzner 1996].)

Widmann benutzte auch spezielle Symbole für die Potenzen für x 0 bis x 4, her-
geleitet aus den Wortbezeichnungen φ (gesprochen Dragma oder Numerus),

(Radix),

(Zensus), C (Kubus),

(Census de censu), usw. In dieser

Zeit ist auch das Wurzelsymbol entstanden. Diese Symbolik ermöglichte es,
algebraische Sachverhalte in abgekürzter Form darzustellen; der mathema-
tische Sachverhalt konnte viel übersichtlicher angegeben werden als in der
bisher benutzten verbalen Form. Dies dürfte wesentlich zum Aufschwung der

Algebra im 16. und frühen 17. Jahrhundert beigetragen haben.

Die Handschrift C 80, die eine zentrale Stellung für die Algebra in Deutsch-
land in der 2. Hälfte des 15. Jahrhunderts einnimmt, bildet auch eine Ver-
bindung zu dem allseits bekannten Rechenmeister Adam Ries (1492–1559;
zu ihm siehe unten). Während seines Aufenthaltes in Erfurt (1517–1522) sah

Ries diese Handschrift; wie Widman hat auch Ries Randbemerkungen in sie
eingetragen. Viele der Rechenaufgaben hat Ries in seine algebraische Schrift,
die Coß“, übernommen.

”

Mit Leipzig verbunden ist auch eine andere wichtige Person zur Algebra in

Deutschland, die um 1500 wirkte: Andreas Alexander, siehe [Folkerts 1996b].

Er war ein Schüler von Aquinas, einem Mönch des Predigerordens, der herum-
reiste und für Geld Mathematik unterrichtete. Andreas Alexander stammte
aus Regensburg, wurde 1485 in Köln immatrikuliert und studierte von 1493
an in Leipzig. Später lehrte er an der dortigen Universität Mathematik; zwi-
schen 1502 und 1504 hielt er Vorlesungen über Mathematik, Perspektive und
über die Bücher 1 und 3 von Euklids Elementen.“ Sein Todesjahr ist unbe-

”

kannt.

Er schrieb u. a. eine lateinische Algebra, deren deutsche Übersetzung sowie
eine Einführung zu Euklid . Diese Texte befinden sich vermutlich in einer

Handschrift, die sich heute in der Universitätsbibliothek Leipzig befindet,
aber noch nicht systematisch untersucht wurde (Hs. 1696). Andreas Alexan-
ders algebraische Schrift hat ein anderes algebraisches Werk aus dem Anfang
des 16. Jahrhunderts beeinflußt, dessen anonymer Autor sich Initius Algebras
nennt. Eine Handschrift dieses Textes (Dresden, C 349) wurde von Adam Ries
selbst geschrieben. Ob Ries möglicherweise an der Entstehung des Initius Al-
gebras beteiligt war, ist noch ungeklärt.

Aus dem Anfang des 16. Jahrhunderts stammen zwei Coß-Darstellungen in
deutscher Sprache. 1521 erschien in Nürnberg von dem aus Erfurt stam-
menden Heinrich Schreyber (geb. vor 1496, gest. Winter 1525/26), genannt

232

4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance

Abb. 4.6.10. Titelblatt der 4. Aufl. des zuerst 1489 in Leipzig gedruckten Rechen-
buches von Johannes Widmann

4.6 Frühe Algebra im deutschsprachigen Raum – die Deutsche Coß

233

Grammateus, das Buch

Ayn new kunstlich Buech welches gar gewiß und

”

behend lernet nach der gemainen regel Detre, welschen practic, regeln falsi
vnd etlichen regeln Cosse mancherlay sch¨
one vnd zuwissen not¨
urffig rechnung
auff kauffmanschafft....“

Vier Jahre später, 1525, wurde in Straßburg eine Darstellung der Coß von

Christoff Rudolff (1500?-1545?) gedruckt.

Behend vnnd Hubsch Rechnung

”

durch die kunstreichen regeln Algebre, so gemeinicklich die Coss genennet
werden (...) Zusammen bracht durch Christoffen Rudolff vom Jauer.“ Rudolff
stammt aus Jauer in Schlesien und hat in Wien bei Schreyber studiert.

Das Buch von Rudolff hat einen erheblichen Einfluss auf die weitere Entwick-
lung ausgeübt, insbesondere, nachdem Michael Stifel (1487?-1567) 1553 ei-
ne erweiterte und verbesserte Ausgabe der Rudolffschen Coß herausgebracht
hatte. Stifel hatte schon vorher, 1544, ein höchst bedeutsames mathemati-
sches Buch im Druck erscheinen lassen, die

Arithmetica integra“, übrigens

”

bei demselben Drucker Petreius (1497?-1550), der im Jahr zuvor, 1543, De

”

revolutionibus“ von N. Copernicus (1473–1543) und ein Jahr später, 1545,
die Ars magna“ von Cardano zum Druck brachte.

”

Übrigens hat Stifel ein überaus bewegtes Leben geführt. Als protestantischer

Pfarrer, der auch an der Seite Luthers als Schöpfer von Kirchenliedern hervor-
trat, geriet er dennoch wegen einer Weltuntergangsvorhersage in ernsthaften

Gegensatz zu ihm. Von den kriegerischen Auseinandersetzungen mehrfach
zum Wohnsitzwechsel gezwungen, hielt er im fortgeschrittenen Alter in Jena
mathematische Vorlesungen.

4.6.2 Adam Ries, Abraham Ries und Jacob Ries als Cossisten

Auch das Jahr 1524 ist bemerkenswert. Der deutsche Rechenmeister Adam

Ries (1492–1559), der als Verfasser dreier, immer wieder aufgelegter Re-
chenbücher im deutschsprachigen Raum einen geradezu legendären Ruhm
erreicht hat, hat sich auch als Cossist betätigt. Diese Leistung, die schon En-
de des 19. Jahrhunderts von B. Berlet erkannt worden war, wurde aber erst
aus Anlaß des 500. Geburtstages von Ries deutlich und in der Öffentlichkeit
bekannt, mit der Druckausgabe seines Manuskriptes zur Coß, deren erster

Teil auf das Jahr 1524 datiert ist.

Adam Ries stammt aus Staffelstein in Franken. Über seine Ausbildung ist
nichts bekannt, aber er verstand Latein. Ries ließ sich einige Zeit in Erfurt
nieder, ging aber 1522/23 in die nach Silberfunden rasch aufblühende Stadt

Annaberg im Erzgebirge, arbeitete als Bergbeamter“ in Vertrauensstellun-

”

gen des Erzbergbaues und betrieb eine erfolgreiche Rechenschule. Zwei seiner

Söhne, Abraham (1533?-1604) und Jacob (?-1604) waren ebenfalls als Cos-
sisten tätig. Abraham war seinem Vater als Leiter der Rechenschule gefolgt
und wurde, wie der Vater, Sächsischer Hofarithmeticus“.

”

Adam Ries publizierte sein erstes Rechenbuch Rechenung auff der linihen...“

”

schon 1518 in Erfurt. Es lehrte nur das Rechnen auf dem Abakus, auf den

234

4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance

Abb. 4.6.11. Denkmal von Adam Ries in Annaberg-Buchholz

[Foto Alten]

Linien, wie man sagte. Das zweite Rechenbuch, Rechenung auff der linihen

”

unnd federn...“ erschien ebenfalls erstmals in Erfurt, 1522. Es lehrte sowohl
das Rechnen auf dem Abakus, aber auch das schriftliche Rechnen mit den
indisch-arabischen Ziffern. Es war überaus erfolgreich bis weit ins 17. Jahr-
hundert hinein. Bis heute (2003) sind 120 Auflagen nachgewiesen. Das drit-
te Rechenbuch, vom Umfang her das umfangreichste,

Rechenung nach der

”

lenge (ausführlich, H. Wußing (Wg)) auff den Linihen und Feder...“, wur-
de 1550 in Leipzig gedruckt, erlebte aber wegen der Druckkosten nur eine
weitere Auflage, 1611.

Die Rechenbücher sind frei von cossischen Symbolen und algebraischen Denk-
weisen im engeren Sinne, etwa der Verwendung von Gleichungen. Vielmehr
beruht die Lösung der Aufgaben auf der Anwendung der regula falsi. Dennoch
ist klar, daß sich Ries als Cossist empfunden hat. Der Verzicht auf die Coß
in seinen Lehrbüchern geschah mit Rücksicht auf seine Leser; die Coß galt
als zu schwer. Im dritten Rechenbuch schreibt er: Will allhie nach einander

”

setzen die exempla / so ich zuvor in meinem B¨
uchlein angezeiget / vnnd die
nach notturft (Bedarf, Wg) erkleren / hiemit ein jeder die Cos desto leichter
begreiffen man / welche ich ob Gott wil / mit der Zeit auch klerlich (klar
geschrieben, Wg) am tag geben will“ [A. Ries 1611, Blatt 167, Rs].

4.6 Frühe Algebra im deutschsprachigen Raum – die Deutsche Coß

235

Abb. 4.6.12. Einführung der cossischen Symbole. In der zweiten Zeile wird das

Symbol
für die Unbekannte eingegführt:

Radix ader Coß. Die Wurtzel oder

”

das Dingk genant welches geschwengert itzliche Zal zu tragen.“ [Ries 1992, S. 109]

Zum Zeitpunkt der Erstauflage, 1550, hatte Ries schon längst Schriftliches
zur Coß niedergelegt. Unter dem Titel Coß“ sind 1664 von einem Dresdener

”

Rechenmeister 534 Seiten von Adam Ries zur

Coß“ zusammengebunden

”

und damit vor dem Verlust gerettet worden. Auf historisch verschlungenen

Wegen hat sich das kostbare Manuskript erhalten; es befindet sich jetzt in

Annaberg-Buchholz, dem hauptsächlichen Wirkungsort von Ries.

Die Analyse der

Coß“ hat ergeben [Kaunzner/Wußing 1992], daß es sich

”

um zwei cossische Schriften handelt. Die erste ist, wie gesagt, auf das Jahr

1524 datiert; die zweite stammt vom alt gewordenen Ries und ist undatiert,
muß aber, da er z. B. Cardano benennt, nach 1544 niedergeschrieben worden
sein.

Es sind echte cossische Schriften. Es werden cossische Symbole φ,

,

, C bis

x 5 eingeführt. Besonders hübsch ist die Erläuterung für die Variable: Radix
oder Coß,

∼ x 1 (siehe 2. Zeile in Abb. 4.6.12).

Im Anschluss an die Traditionslinie des al-Hw¯
arizm¯ı behandelt Adam Ries

˘
acht Typen von Gleichungen ersten und zweiten Grades.

Volgenn hernach die Acht equaciones Algebre gezogenn auß seynem ersten

”

buch genant gebra vnd almuchabala In welchen Zwey Zeichenn in den ersten
viern einander Vorgleicht werden Vnnd in den andern vieren drey Zeichen...“

[Ries 1992, S. 111].

236

4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance

Mit anderen Worten: In einigen Gleichungen treten nur zwei Symbolzeichen

(für Dragma, Radix, Zensus, Kubus) auf. Bei den anderen kommen drei

Zeichen vor. Behandelt werden Gleichungen des ersten Grades, reine Glei-
chungen des zweiten, dritten und vierten Grades sowie drei Typen gemischt-
quadratischer Gleichungen und solche Gleichungen, die sich auf gemischt-
quadratische Gleichungen zurückführen lassen.

Da Ries, alter Tradition gemäß, nur positive Koeffizienten zuläßt, muß er

Fallunterscheidungen treffen. Wie die Analyse der von Ries angegebenen Bei-
spiele zeigt, gelten ihm nur positive Lösungen als Lösungen; komplexwertige

Lösungen sind natürlich gänzlich außerhalb seiner Reichweite. (Zwei der von

Ries formulierten Aufgaben führen auf negative Lösungen. Er rechnet richtig
und macht formal sogar die Probe mit 20-80.)

Ries gibt acht Regeln zur Lösung der acht Gleichungstypen, die wir modern
so schreiben würden (alle Koeffizienten a, b > 0):

1
ax = b, 2
ax 2 = b, 3
ax 3 = b, 4
ax 4 = b, 5
x 2+ ax = b, 6
x 2 −ax = −b,

7
x 2 − ax = b, 8
x 2 k + axk = b mit k > 1 ganz.

Es fehlt der Gleichungstyp x 2 + ax = −b. Diese Gleichungen besitzen keine
positiven Lösungen, sondern nur negative oder komplexe. Daher muß Ries –
wie viele seiner Zeitgenossen auch – auf die Behandlung jenes Gleichungstyps
verzichten.

Hier sei der Aufgabentyp (5) in Riesscher Originalsprache zitiert. Es wird
auch das Lösungsverfahren angegeben: Er verwendet die quadratische Ergän-
zung. Der Leser wird den Text nachvollziehen können; es handelt sich um die

Lösung der Gleichung 12 x + 3 x 2 = 135 mit der Lösung x = 5; die andere

Lösung x = − 7 wird verworfen.

Die funffte eequacio ist So drey Signa ane mittel einander nachvolgen offt

”

berurter proporcionalistischer ordnung / Das erste den letzten Zweyen vor-
gleicht wirtt / solln die Zwey minsten / Nemlich das erst vnd mittelst /

Durchs letzt Vnd meyst geteylt werden / wie kurtzlich bemelt (bemerkt wor-
den, Wg) ist / Alß dan sol das mittelste Zeichen werden halbirt / vnd den
halben teyl sol man in sich quadrate f¨
urenn darnach Zum ersten Zeichen ad-
dirn Vnd radix quadrata von solcher heuffelung weniger der halbe teil des
mittelsten Zeichenns eroffnet die frag Wie hi 12

+3
seint gleich 135 φ

teyl φ+
in
komen 45 vom ersten Zeichen vnd 4 vom mitteln Medier

4 werdenn 2 die f¨
ure in sich komen 4 addir Zw 45 seint 49 Darvon ist
radix quadrata 7 Nim hinwegk den halben teyl des mittelsten Zeichens als

2 pleibenn 5 souil macht 1 radix proba sprich 12 radices machen 60

Vnd 3 quadraten von 5 dem radix machen 75 addir Zusammen komen

135 an der Zahl gleich dem ersten zeichen.“ [a.a.O., S. 113].

Auf der so gewonnenen theoretischen Basis wendet sich Ries nun der Behand-
lung einer Fülle von Aufgaben zu und zwar solcher, die sich auf die erste Regel

(lineare Gleichungen) beziehen, viele davon mit praktischem Bezug. Einige
davon sind recht kompliziert (natürlich wissen wir nicht, ob weitere Teile der

4.6 Frühe Algebra im deutschsprachigen Raum – die Deutsche Coß

237

Coß“ von Ries verloren gegangen sind, die eventuell auch Aufgaben behan-

”

deln, die auf quadratische Gleichungen führen).

Um dem Leser einen Eindruck zu vermitteln, sei hier eine Aufgabe zitiert, die
gleichzeitig auch den sozusagen abstrakten und in einer langen Tradition ste-
henden Charakter der Riesschen Arbeiten belegt ( ÷ bedeutet Subtraktion):

Item auß 10 Zwey teyl zu machen / so ich den grossern in dem kleinernn

”

dividir das 5 komenn Machs also setz der großer teyl 1
so muß nothalben

1
der kleiner sein 10 φ minus 1
teyl 1
in 10 φ ÷ 1
komenn 10 φ÷ 1
gleich dem quocient

5 Multiplicir

5 denn quocient mit dem nenner alß

10 φ ÷ 1
komenn 50 φ ÷ 5
gleich dem Zeler als 1
gib vff peydenn
teylen Zw komen einem teyl 50 φ Vnd dem andernn 6

/teyl 50 in 6
nach vnderichtung der Regel kommen 8 1 Der großer teyl souil ist radix werd

3

Den Nim vonn 10 pleibt

1 2
der kleinste teyl Das magstu probirnn also

3

Resoluir beyde Zaln in ire teyl komen 25 vnd teyle eyns in anders so komen

5 wie obenn gemeltt.“ [a.a.O., S.122]

Der erste Teil der Coß“ schließt mit einer Aufgabe über eine durch den Wind

”

umgeknickte Stange. Ihre Gesamtlänge ist gegeben sowie die Entfernung vom

Fußpunkt der Stange, in der die umgebrochene Spitze den Boden berührt.

Gesucht ist die Höhe der Knickstelle über dem Boden, eine Aufgabe, die die

Anwendung des Satzes von Pythagoras und das Ziehen der Quadratwurzel
erfordert, also die Anwendung der ersten Regel übersteigt.

Beim zweiten Teil der Coß“ – nach 1544 niedergeschrieben – handelt es sich

”

um einen Manuskriptentwurf. Die Schrift ist erheblich größer, weil der alt
gewordene Ries sich wohl keine Brille leisten konnte. Ries hat dieses Manu-
skript seinen Söhnen als eine Art Vermächtnis hinterlassen; auch erwähnt er
inzwischen erzielte Fortschritte in der Algebra.

Meynen lieben Sonen Adam Abraham Jacob Isaac Vnd Paulo die Riesen

”

genannt Zuhanden

Lieben Sohn pißher hab ich euch beschriebn gemeine rechnung auff den Lini-
hen / Fedren auch forteil Vnd behendigkeit Practica genant / neben andern
schonen Rechnungen der Muntz Vnd anderen Regelnn Darauß ir gantz cler-
lich vornomen habt vnd werdett / wie die Jugent in erstem anheben vnder-
weist sol werden / So ist nun lieben sohn ein andere Rechenung vorhanden
welche geschieht durch examinierung der Vnitet Die durch den Hocherfar-
nen Arithmeticum Algebram eynen Arabischen Philosophenn vor Vil Jarn zu
den Zeiten des grosen Allexander s erfunden Vnd ist pißherr Von allen lieb-
habern gemelter Kunst nichts hohers vnd lieblichers auch behenderß am tag
bracht Es haben auch etliche wol von diser Rechnung geschrieben / als Bohe-
tius Campanus / Johannes Muris / vnd Zu vnsern geZeiten der Wolerfarne

Mathematicus Magister Andreas Allexander / Christoff Rudloff ( !, Wg) /

Michael Stieffel und Jeronimus Cardanus Welcher schreiben dan noch vor
augen / Vnd ist derselbigen schreiben / mit genugsamer Vnderricht auch mit
sichtiger beweisung sonderlich durch M. Andream Allexandrum vorf¨
urrt ... /

Diweil ich dan nun mit alter beladen / euch als meinen lieben sohnen nichts

238

4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance
besseres geben vnd lassen mag Dan vnderricht gemelter Rechnung durch er-
forschung der Vnitet 1 / ...“ [a.a.O., S. 329/330].

Mit anderen Worten: Adam Ries hat Hervorragendes auch im Felde der Coß
geleistet. Nur, leider, sind seine Schriften damals nicht zum Druck gelangt.

Im Vergleich der beiden Fassungen der Coß“, der von 1524 und der späteren,

”

zeigt sich die frühe Fassung als eigenständige Leistung. Die spätere, unvollen-
det gebliebene ist im wesentlichen als Rezeption der inzwischen durch andere

Forscher und Cossisten erzielten Ergebnisse einzuordnen und wäre, wenn sie
gedruckt worden wäre, sozusagen zu spät gekommen. Sie enthält jedoch einen
in pädagogischer Hinsicht interessanten Zugang zum Rechnen mit den cossi-
schen Symbolen.

Vier der fünf Söhne von Adam Ries waren auf mathematischem Gebiet tätig;
dabei ragt Abraham besonders hervor. Er übernahm die Rechenschule seines

Vaters in Annaberg, wurde wie sein Vater in Dresden Hofarithmeticus“ und

”

hinterließ zahlreiche mathematische Schriften, darunter eine umfangreiche
auf das Jahr 1578 datierte cossische Schrift, den in der Sächsischen Staats-
und Landesbibliothek Dresden aufbewahrten Kodex C 411, der 1999 heraus-
gegeben wurde [Wußing 1999]. Wie eine kürzlich angestellte Analyse erwiesen
hat, handelt es sich keineswegs, wie man vermuten könnte, um eine Art Kopie
der Coß“ seines Vaters, sondern vielmehr um eine eigenständige, sogar über

”

die Coß“ des Vaters hinausgehende Leistung.

”

Auch Abraham behandelt – wenn man Reduktionen vornimmt – dieselben

Typen quadratischer Gleichungen, faßt aber alle reinen Gleichungen zu einem

Typ zusammen, und dehnt die Symbolik der cossischen Zeichen weiter aus.

Vor allem aber stellt er, anders als der Vater, eine Fülle von Aufgaben, die
wirklich auf quadratische Gleichungen führen; der Vater hatte (jedenfalls, so-
weit wir aus den erhaltenen Texten wissen ) nur lineare Aufgaben behandelt.

Die Coß“ von Abraham Ries trägt den Titel:

”

Kurtze vnd Grundliche vnder

”

richtung Subtiler vnd Kunst,
reicher Rechnung In Gemein

Coß genandt. So durch Examinie”

rung monadis 2 verrichtet wurdt

Treulich Beschrieben Vnd verferti”

get durch Abraham Riesen
von S. Annabergk Anno 1578.“

Das Manuskript umfaßt 117 Blätter. Als Beispiel soll hier eine Aufgabe wie-
dergegeben werden, die dem dritten Typ ( ax 2 + bx = c) angehört.

Es seindt etliche gesellen, haben

10 fl (Gulden, Wg) in gemein zuuorn,

”

Nuhn legtt ein Jder so uil fl darzu als der gesellen sein theilen als dan den

1 erforschung der Vnitet“ bedeutet: Aufsuchen der einen maßgeblichen Lösung

”

im jeweiligen Beispiel

2 Examinierung monadis“ bedeutet dasselbe wie erforschung der Vnitet“

”

”

4.6 Frühe Algebra im deutschsprachigen Raum – die Deutsche Coß

239
halben theill wieder Vnder sich be kombtt einer 5 1 fl wieuiel sein der gesellen

2
geweßenn Setz der gesellen sein gewesen 1

So hatt nuhn einer gelegett 1
fl Derwege haben sie alle zusammen bracht 1

, darzu addir die 10 fl

1

+10 φ
so in Zuuorn haben, wurdt 1

+10 φ theil in halb wurdt

2

Dieser halbe theil soll außgetheilett werden in die Zall der gesellen als 1
kombbt in quotient 1 z+10 φ gleich 5 1 φ. Multiplicir 5 1 φ mit 2
kommen 11

2

2

2
gleich 1

+10 φ Halbir 11, wurdt 11 multiplicir in sich quadrate. Kombtt

2

121 Dauon Subtrahir 10. Rest 81 Hieraus Extrahir Radicem quadratam kombtt

4

4

9 . Addir zum halben theil als 11 thutt Summa 10. Souiel sein der gesellen

2

2
geweßen.“ [Codex C 411, fol. 110v]

Weiterhin befindet sich in der Dresdener Landesbibliothek eine kurze, aber
kunstvoll auf Pergament geschriebene Coß“ aus der Feder von Jacob Ries,

”

Signatur C 496. Man darf unterstellen, daß Jacob durch seinen Bruder Abra-
ham mit der Coß vertraut gemacht worden ist, da die anderen Brüder Adam
d. J., Isaac und Paul nicht als Cossisten hervorgetreten sind. Am Beginn des

C 496 schrieb Jacob:

Kurtze erclerung vber Mahomets Coß, welche ehr, Artem Restaurationis

”

und oppositionis Numeri genandt. Durch Jacob Riesen tzusammen getzogen.

Anno 1562.“[Ries, Jacob 1562, C 496, 1.2. Vs]

Wie ich von meinem Bruder bericht entpfangen Als hatt Mahomet in sei-

”

nen buch, welches ehr Artem Restaurationis et Oppositionis Numeri genendt,

Volgende gestalt von der Coß geschrieben“ [Ries, Jacob 1562, C 496, Bl.3, Vs]

Natürlich ist mit Mahomet“ der muslimische Gelehrte al-Hw¯
arizm¯ı gemeint.

”

˘

Die Worte restauratio“ und oppositio“ entsprechen den Worten al-ˇ
gabr“

”

”

”

(Wiederherstellung) bzw. al-muq¯
abala“ (Gegenüberstellung) im Titel seiner

”

algebraischen Schrift.

4.6.3 Chistoph Rudolff und Michael Stifel

Zu Beginn der zweiten

Coß“ hatte Adam Ries u. a. auf Rudolff, Stifel und

”

Cardano verwiesen, die neuerdings Beiträge zur Algebra geleistet hätten. 1525
hatte Christoph Rudolff (um 1500 - vor 1543) eine Coß unter dem Titel

Behend unnd H¨
ubsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre so ge-

”

meinicklich die Coss genennt werden“ erscheinen lassen. Stifel verfaßte 1553

(1554 erschienen) in Königsberg in Ostpreußen eine Neubearbeitung der Coß
von Rudolff; betitelt

Die Coß Christoffs Rudolffs. Die sch¨
onen Exempeln

”

der Coß Durch Michael Stifel gebessert und sehr gemehrt.“ [Stifel 1553]

Doch war Stifel schon vorher mit mathematischen Schriften hervorgetreten,
u. a. mit der Arithmetica integra“ (Gesamte Arithmetik) (Nürnberg 1544),

”

der vermutlich besten Zusammenfassung damaliger Arithmetik und Coß bzw.

Algebra, vor der Ars magna“ von Cardano, die ein Jahr später erschien.

”

Die Coß von Rudolff enthält das Positionssystem, die Rechenregeln für ganze
positive Zahlen. Bei der Multiplikation von Potenzen verweist Rudolff dar-
auf, daß dies der Addition der Exponenten entspricht (wenn man moderne

240

4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance

Terminologie verwendet). Es folgen die Einführung spezieller Symbole für die

Potenzen der Unbekannten, die der Zeichen + und − (die Grammateus, d. h.

Heinrich Schreyber, der Lehrer von Rudolff in Wien, schon 1518 verwendet
hatte, die aber bereits von Widmann 1449 gebraucht worden waren) und

√
das Quadratwurzelzeichen

. Die Gleichheit drückt er häufig mit dem Wort
gleich“ aus, gelegentlich aber auch mit einem Punkt. So entspricht 1

. 2

”

der Gleichung x = 2.

Der zweite Teil seiner Coß beschäftigt sich mit der Auflösung algebraischer

Gleichungen. Anders aber als al-Hw¯
arizm¯ı unterscheidet Rudolff acht Typen

˘
quadratischer Gleichungen; die Lösungswege werden in Worten gegeben. Bei-
spiele erläutern das Verfahren. Auch Gleichungen höheren Grades treten auf,
z. B., modern geschrieben, axn + bxn− 1 = cxn− 2.

Schließlich folgen mehrere hundert Beispiele, die nach den angegebenen Ver-
fahren zu lösen sind. Am Ende des Textes präsentiert Rudolff drei irreduzible
kubische Gleichungen. Er gibt zwar die Lösungen an, aber ohne Lösungsme-
thode. Andere, so meint Rudolff, werden die Kunst finden, wie in solchen

Fällen zu verfahren sei [Katz 1993].

Die

Arithmetica integra“ von Stifel weist bedeutende neue Fortschritte auf

”

[Jentsch 1986]. Stifel rechnet mit negativen Zahlen (obwohl er sie
numeri

”

absurdi“ nennt), gleichberechtigt zur Arithmetik der positiven Zahlen. Dies
setzt ihn in den Stand, die Fallunterschiede bei quadratischen Gleichungen
zu vermeiden.

In der überarbeiteten Coß von Rudolff drückt sich Stifel voller Stolz so aus:

Denn wie er (Rudolff ) verwirfft die menge der 24 Regeln vnd setzet da f¨
ur 8

”

Regel der Coß / Also setze ich f¨
urr die selbige 8 Regeln / eine einzige Regel

/ mit der ich alles ausricht / das er mit seynen 8 Regeln hat außgericht...“.

[Stifel, 1553, Blatt 147, Vs]. Freilich bleibt er inkonsequent; negative Wurzeln
erkennt er nicht als Wurzeln an.

Die Äquivalenz von Potenzen mit Potenzexponenten – auch negative Po-
tenzexponenten werden behandelt – wird ausführlich dargestellt, mit einer
starken Annäherung an die Prinzipien logarithmischen Rechnens. Auch die

Wortbildung Exponent“ stammt von Stifel. Es darf als sicher gelten, daß

”

John Neper (1550–1617) und Jobst Bürgi (1552–1632), denen die Aufstel-
lung von ersten Logarithmentafeln (1614 bzw. 1620) zu danken ist, von Stifel
beeinflußt worden sind.

Was das Studium der Irrationalitäten betrifft, so findet Jentsch folgende

Einschätzung:

Wohl als erster Mathematiker nach der Antike durchschaut

”

Stifel das schwierige 10. Buch der Elemente des Euklid

¨
uber die Irratio-
nalit¨
aten wieder vollst¨
andig. Durch Heraussch¨
alen des arithmetischen Kerns
aus der geometrischen H¨
ulle sowie durch Einf¨
uhrung cossischer Symbole, zu
denen er selbst wertvolle Beitr¨
age geliefert hat, macht er das Ganze durch-

√

3

√
sichtiger. Durch die Untersuchung von Beziehungen
a +
b = u +
v ,
die auf die Besch¨
aftigung mit der

Kubikcoß“ hinzielen, und allgemeinerer

”

4.6 Frühe Algebra im deutschsprachigen Raum – die Deutsche Coß

241

Abb. 4.6.13. Titelblatt der Arithmetica integra“ von Michael Stifel

”

Wurzelausdr¨
ucke geht er ¨
uber Euklid und Pacioli hinaus.“ [Jentsch 1986,

S. 23]

Es scheint, daß Stifel dem Drängen seiner Freunde gern gefolgt ist, die

Coß“ von Rudolff neu herauszugeben. Stifel fügte den jeweiligen Kapiteln

”

Ergänzungen an, darunter verdichtete Ausführungen aus der

Arithmetica

”

integra“ mit zahlreichen Beispielen. Stifel behandelte auch, nach der Publi-
kation der Ars magna“, die Lösungsformel für die kubische Gleichung.

”

Stifel hat die künftige Entwicklung in erstaunlichem Maße beeinflußt, so bei

Simon Stevin, bei Christoph Clavius und damit bei Descartes, der die

Al-

”

gebra“ (1609) von Clavius studiert hatte. Sogar der junge Euler hat noch die

Neubearbeitung der Rudolffschen Coß“ als Lehrbuch benutzt.

”

242

4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance

Abb. 4.6.14. Titelblatt der Coß Christoph Rudolffs

4.7 Zur Entwicklung des Zahlbegriffes

Die Verwendung der natürlichen Zahlen und der Brüche geht bis in die Anti-
ke zurück. Trotz der Leistung von Eudoxos aber hatte die Antike zwar zum

Studium der geometrischen Irrationalitäten, nicht aber zur Anerkennung des

Irrationalen als Zahl vorstoßen können. Die bewußte Verwendung negativer

Zahlen erfolgte bereits innerhalb der chinesischen, der indischen und gele-
gentlich in der islamischen Mathematik. In Europa erlangten negative ganze
und gebrochene Zahlen erst im Frühkapitalismus unter Kaufleuten und Re-
chenmeistern volle Anerkennung. Lange dagegen war die Frage umstritten,
ob etwa Zahlenwerte, die sich durch Radizieren oder bei geometrischen Kon-
struktionen als Längen ergeben, wirkliche Zahlen sind. Beispielsweise findet
man im Jahre 1544 bei Stifel die scharfsinnige Überlegung:

Mit Recht wird bei den irrationalen Zahlen dar¨
uber disputiert, ob sie wahre

”

Zahlen sind oder nur fingierte.... Denn bei Beweisen an geometrischen Fi-
guren haben die irrationalen Zahlen noch Erfolg, wo uns die rationalen im

Stich lassen, und sie beweisen genau das, was die rationalen Zahlen nicht
beweisen konnten, jedenfalls mit den Beweismitteln, die sie uns bieten. Wir
werden also veranlaßt, ja gezwungen, zuzugeben, daß sie in Wahrheit exi-

4.7 Zur Entwicklung des Zahlbegriffes

243

Abb. 4.6.15. Die Regel der Coß

[fol. 28r aus Von der Kunstrechnung“ von Michael Stifel]

”

stieren, n¨
amlich auf Grund ihrer Wirkungen, die wir als wirklich, gewiß und
feststehend empfinden.

Aber andere Gr¨
unde veranlassen uns zu der entgegengesetzten Behauptung,
daß wir n¨
amlich bestreiten m¨
ussen, daß die irrationalen Zahlen Zahlen sind.

N¨
amlich wenn wir versuchen, sie der Z¨
ahlung zu unterwerfen und sie mit
rationalen Zahlen in ein Verh¨
altnis zu setzen, dann finden wir, daß sie uns
fortw¨
ahrend entweichen, so daß keine von ihnen sich genau erfassen l¨
aßt...Es
kann aber nicht etwas eine wahre Zahl genannt werden, bei dem es keine

Genauigkeit gibt und was zu wahren Zahlen kein bekanntes Verh¨
altnis hat.

So wie eine unendliche Zahl keine Zahl ist, so ist eine irrationale Zahl keine
wahre Zahl, weil sie sozusagen unter einem Nebel der Unendlichkeit verborgen
ist.“ [Deutsch zitiert bei Gericke 1975, S. 68/69]

Gleichzeitig hat Stifel offenbar doch den zahlenartigen Charakter der irratio-
nalen Zahlen akzeptiert, zumindest ein sehr wichtige Eigenschaft der irratio-
nalen Zahlen erfaßt, wenn er feststellt:

Nun fallen ... unendlich viele gebrochene Zahlen zwischen je zwei aufeinan-

”

derfolgende ganze Zahlen und ebenso fallen auch unendlich viele irrationale

Zahlen zwischen je zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen.“ [Deutsch zitiert
bei Gericke 1975, S. 69]

244

4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance

Eine vollständige Anerkennung der irrationalen Zahlen als Zahlen findet sich
in Europa bei Stevin; vom Standpunkt seines dezimalen Positionssystems
für alle Zahlen muß dies sogar einigermaßen zwingend erscheinen. Jedoch
schuf erst die Herausbildung der Methoden der analytischen Geometrie durch

Fermat und Descartes die Voraussetzung zur allgemeinen Anerkennung der
irrationalen Zahlen: Jedem Punkt der Zahlengeraden entspricht eine Zahl.

Schließlich fixierte Newton, im Anschluß an Barrow, in der Arithmetica uni-

”

versalis“ (1673/83, Druck erst 1707) einen allgemeinen Zahlbegriff:

Unter Zahl verstehen wir nicht sowohl eine Menge von Einheiten, sondern

”

vielmehr das abstrakte Verh¨
altnis irgendeiner Gr¨
oße zu einer anderen Gr¨
oße
derselben Gattung, die als Einheit angenommen wird. Sie ist von dreifacher

Art; ganz, gebrochen und irrational; ganz, wenn die Einheit sie mißt; gebro-
chen, wenn ein Teil der Einheit, dessen Vielfaches die Einheit ist, sie mißt;
irrational, wenn die Einheit mit ihr inkommensurabel ist.“ [Deutsch zitiert
bei Gericke 1975, S. 71/72]

Noch mühsamer war der Weg zur Anerkennung der komplexen Zahlen. Die

Mathematiker der Renaissance hatten – wie berichtet werden wird – erste,
teilweise sogar ziemlich intensive Berührung mit komplexen Zahlen gehabt.

Diese fanden im 17. und 18. Jahrhundert weite Verbreitung, ohne daß freilich
begriffliche Klarheit über deren Wesen erreicht werden konnte. Beispielsweise
war sich Girard dessen bewußt, daß man nur unter Heranziehung der kom-
plexen Zahlen den Fundamentalsatz der Algebra in voller Allgemeinheit aus-
sprechen könne, daß nämlich eine algebraische Gleichung des Grades n auch
genau n Wurzeln habe; umgekehrt folge nur aus diesem Umstand eine Art

Existenzberechtigung für den Gebrauch der komplexen Zahlen. In demselben

Zusammenhang prägte Descartes den Begriff imagin¨
are (eingebildete, ver-
meintliche) Zahl, wobei er zugesteht, daß man noch keine rechte Vorstellung
von solchen Zahlen“ habe. In der G´
eom´
etrie“ von 1637 heißt es:

”

”

Endlich bemerken wir, daß sowohl die wahren wie die falschen (positiven wie

”

negativen, Wg) Wurzeln einer Gleichung nicht immer real, sondern manch-
mal nur imagin¨
ar (seulement imaginaires) sind, d. h. man kann sich zwar al-
lemale bei jeder beliebigen Gleichung so viele Wurzeln, wie ich angegeben habe

(nämlich so viele, wie der Grad der Gleichung ist, Wg) vorstellen, aber manch-
mal giebt es keine Gr¨
ossen, die den so vorgestellten entsprechen.“ [Descartes

1894, S. 79]

√

√

√

Leibniz fand u. a. 1675 die Beziehung

1 +

− 3 + 1 − − 3 = 6, die
in seltsamer Weise das Komplexe mit dem Reellen verknüpfte und die die

Absonderlichkeiten beim Umgang mit den eingebildeten“ Zahlen betonte. So

”

erklärt sich seine geradezu mystische Einschätzung der imaginären Zahlen als
einem Wunder der Analysis, dem Monstrum der idealen Welt, einer feinen

”

und wunderbaren Zuflucht des g¨
ottlichen Geistes, beinahe einem Zwitterwesen
zwischen Sein und Nichtsein“ [Tropfke 1980, Band II, S. 109 ].

Die weitere Entwicklung knüpfte an Euler an; darüber wird weiter unten
berichtet werden.

4.7 Zur Entwicklung des Zahlbegriffes

245

1180?–1250?

Leonardo Fibonacci
von

Pisa:

Liber abbaci“ (1202, 2.

”

Auflage 1228),

Practica geometriae“(1220),

Liber quadra-

”

”

torum“(1225); Arithmetik, lineare und quadratische Gleichun-
gen, unbestimmte Gleichungen, Nährungswerte für Quadrat-
und Kubikwurzeln durch Iteration (basierend auf arabischen

Werken)

1. Hälfte 13. Jh. Jordanus Nemorarius (Jordanus de Nemore): De numeris

”

datis“(englische Übersetzung, herausgegeben 1981); Propor-
tionen, Systeme linearer Gleichungen, Typen quadratischer

Gleichungen

1. Hälfte 14. Jh. Johannes de Muris:

Quadripartitum numerorum“ (1343;

”

Ed. L’Huilier 1990); Musiktheorie, Mechanik, lineare und qua-
dratische Gleichungen

14./15. Jh.

Maestri

D’Abbaco (Abbacus-Lehrer): Lösung praktischer

Probleme im indisch-arabischen Zahlensystem

1436–1476

Regiomontanus (Johannes Müller): Joannis Regiomontani

”

opera collectanea“ (Faksimiledruck 1972); erste algebraische

Symbolik

1445–1514

Luca Pacioli:

Summa de arithmetica, geometria, proportio-

”

ni e proportionalità“(1494): Lehrstoffe der Abbacus-Schulen,

Lösung von Gleichungen (bis vierten Gerades) durch Probie-
ren

1445?–1488

Nicolas

Chuquet:

Le triparty en la science des nom-

”

bres“(1484) Rechnen mit rationalen und irrationalen Zahlen,

Theorie der Gleichungen

1465–1526

Scipione
del

Ferro: Lösungsformel für Gleichungen vom

Typ x 3 + bx = c

2. Hälfte 15. Jh. Johannes Widmann: Behennde vnnd hubsche Rechn¯
ug auff

”

allen kauffmanschafften“(1489): Spezielle Symbole für Poten-
zen, erste Algebravorlesung in Deutschland (Leipzig)

1470/1480

Bamberger Blockbuch

1483

Bamberger Rechenbuch (Autor: Ulrich Wagner?)

∼ 1470–1525

Gregor Reisch:

Margarita Philosophica“(1503)

”

1487?–1567

Michael

Stifel:

Arithmetica integra“(1539),

Die Coß

”

”

Christoffs Rudolffs. Die schönen Exempeln der Coß Durch Mi-
chael Stifel Gebessert und sehr gemehrt“(1553)

1492–1559

Adam Ries:

Rechenung auff der linihen“(1518), Rechenung

”

”

auff der linihen unnd Federn“(1522), Rechnung nach der len-

”

ge auff den Linihen und Feder“(1550): Lehre vom Rechnen auf
dem Abbacus und mit den indisch-arabischen Ziffern.

Coß“(1550, hrsg. 1664): Verwendung der cossischen Symbole,

”

Lösung reiner Gleichungen ersten bis vierten Grades und der

3 Typen gemischt-quadratischer Gleichungen

1495–1552

Peter Apian:

Eyn Newe Und wolgegründte underweysung

”

aller Kauffmanns Rechnung“
vor 1496–1525

Heinrich Schreyber(Grammateus):

Behend und khünst-

”

lich Rechnung nach der Regel und wellisch practic“(1521)

1500?–1545?

Christoff Rudolff:

Behend und Hübsch Rechnung durch

”

die kunstreichen regeln Algebre so gemeinicklich die Coss ge-
nennt werden“(1525)

1502–1578

Pedro Nunes:

Libro de Algebra en Arithmetica y Geome-

”

tria“(1532/1564)

1510?–1558

Robert Recorde:

The Whetstone of Witte“

”

1533?–1604

Abraham Ries:

Dresdener Kodex C 411“(1578, hrsg. 1999):

”

Weitere cossische Zeichen, Aufgaben zu quadratischen Glei-
chungen

246

4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance

4.8 Aufgaben

Aufgabe 4.2.1: Originalaufgabe von Recorde (aus dem Whetstone of Wit-

”

te“)

Eine Armee besteht aus Herzögen, Grafen und Soldaten. Jeder Herzog hat

”

unter sich zweimal soviel Grafen, als es Herzöge gibt. Jeder Graf hat unter
sich viermal so viel Soldaten, als es Herzöge gibt. Der zweihundertste Teil
der Anzahl der Soldaten ist 9 mal so groß als die Zahl der Herzöge. Wieviel

Herzöge, Grafen und Soldaten gibt es?“

Aufgabe 4.2.2: Originalaufgabe von Recorde

Ein Gentleman, der die Schläue eines prahlenden Arithmetikers prüfen will,

”

sagt folgendes: Ich habe in beiden Händen 8 Kronen. Wenn ich die Summe
von jeder Hand einzeln für sich zähle und die Quadrate und die Kuben von
beiden hinzufüge, werden es 194 Kronen aus machen. Nun sage mir, was ist
in jeder Hand?“

Aufgabe 4.2.3: Beispiel von Stevin und Girard [Tropfke, S. 86]

Überprüfen Sie die Richtigkeit folgender Lösungen: Stevin hatte für die Glei-
chung x 3 = 6 x 2 − 10 x+3 die Lösung x 1 = 3 gefunden. Girard fand die beiden

anderen, x

5

2 , 3 = 3 ±

.

2

4

Aufgabe 4.2.4: Beispiel von Girard [Tropfke, S. 85]

Girard behandelte u. a. die Gleichung
x 7 = 4 x 6 + 14 x 5 − 56 x 4 − 49 x 3 + 196 x 2 + 36 x − 144
und gab alle Lösungen an. Wie lauten sie?

Aufgabe 4.2.5: Originalaufgabe von Nunes

Gesucht sind zwei Zahlen x und y, deren Produkt 10 ist und die Summe ihrer

Quadrate 20.

Originalaufgaben von Adam Ries

Aus Rechenbuch/ auff der Linien und Ziphren...“ [Ries, Adam 1574]

”

Aufgabe 4.3.1 (a.a.O., Bl. 58, Vs)

Item einer spricht / Gott grüß euch Gesellen alle dreissig. Antwort einer /

”

Wann vnser noch so viel vnd halb so viel weren / so weren vnser dreissig. Die
frag wie viel jhr gewesen?“ (Versuchen Sie die Lösung mit Hilfe der regula
falsi zu finden.)

4.8 Aufgaben

247

Aufgabe 4.3.2 (a.a.O., Bl. 60, Vs)

Item / ein Kauffmann zeucht hinweg mit gelt / gewinnt ein drittheil seines

”

hauptgutes / vnd 4. fl. (Gulden, Wg) mehr / legt an hauptgut vnd gewinn /
gewinnt den vierdten theil / bringt zusamen 40. fl. wie viel hat erzum ersten
außgeführt?“

Aufgabe 4.3.3 (a.a.O., Bl. 71, Vs)

Vihekauff. Item / einer 100 fl. dafür will er 100. haupt Vihes kauffen / nem-

”

lich / Ochsen / Schwein / Kälber / vnd Geissen / Kost ein Ochs 4 fl. ein

Schwein anderthalben fl. ein Kalb einen halben fl. vnd ein Geiß ein ort ( 14

Gulden, Wg) von einem fl. wie viel sol er jeglicher haben für die 100. fl?“

(Achtung: mehrere Lösungen, u. a. 12 Ochsen, 20 Schweine, 20 Kälber, 48

Ziegen)

Aufgabe 4.3.4: Klassische Aufgabe Schneckengang“ (a.a.O., Bl. 72, Rs)

”

Item ein Schneck ist in einem Brunn 32. den tieff / kreucht alle tag herauf

”

4. eln 2 . vnd fellt des nachts zurück 3. eln / und 3 in wie viel tagen kompt

3

4
sie herauß?“

Originalaufgaben von Adam Ries aus der Coß“ [Ries, Adam; Coß“]

”

”

Aufgabe 4.3.5 ( Coß“, S. 123)

”

10 in zwei Teile zerlegen, so daß

(a) Quotient 10

(b) zwei um 2 verschiedene Summanden ergeben 10.

Aufgabe 4.3.6 ( Coß“, S. 266)

”

Einer kauft etliche Leder zu Bautzen, 100 für 70 fl, verkauft in Leipzig 1

Zentner um 3 fl, verliert an 100 fl 15 fl. Wie viele Leder gehen auf 1 Zentner?

(Ansatz: x Leder gehen auf 1 Zentner)

Aufgabe 4.3.7 ( Coß“, S. 289)

”

Ein Spieler hat Geld. Verliert 15 fl, gewinnt 37 fl, hat dann 4 fl.

(Achtung: führt auf negative Lösung)

Aufgabe 4.3.8 ( Coß“, S. 289)

”

Sieben Leute kaufen ein Haus um 100 fl. A begehrt von B

2 , B von C

3 ,

3

4

C von D

4 , D von E 5 , E von F

6 , F von G

7 , G von A

8 .

5

6

7

8

9

(Ansatz: A begehrt x, dann G = 100 − 8 x, usw.)

9

248

4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance

Aufgabe 4.3.9: Originalaufgabe von Abraham Ries [Ries, Abraham; Coß“,

”

S. 223]

Es seindt etliche gesellen, haben 10 fl in gemein zuurn. Nuhn legtt ein Ider

”

souiel fl darzu als der gesellen sein theilen als dan den halben theill wieder

Vnder sich be kombtt einer 5 1 fl wieuiel sein der gesellen geweßenn“ (qua-

2
dratisches Problem).

Abb. 4.8.16. Viehkauf-Aufgabe aus der Ziffernrechnung von Adam Ries

5 Algebra wird zur selbst¨
andigen Disziplin

(16./17. Jh.)

250

5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16./17. Jh.)

um 1510 Peter Henlein fertigt in Nürnberg erste Taschenuhren

1517

Luthers

Thesenanschlag,

Beginn
der

Reformation
in

Deutschland

1518–1550 Rechenbücher von Adam Ries

1519–1522 Erste Weltumsegelung

1543

De revolutionibus“ von Copernicus wird gedruckt

”

1543

Paracelsus begründet die moderne Medizin

1547

Iwan IV. (der Schreckliche) nimmt den Titel Zar“ an

”

1548–1603 Elisabeth I. regiert England

1560

In Neapel wird die erste europäische Akademie gegründet

1564–1616 William Shakespeare

1582

Gregorianischer Kalender löst den Julianischen (zunächst in
katholischen Ländern) ab

1587

Erster Versuch einer britischen Koloniebildung in Amerika

(Virginia)

1588

Untergang der spanischen Armada

1609

Johannes Kepler veröffentlicht die beiden ersten Gesetze der

Planetenbewegung

1610

Galileo Galilei veröffentlicht sensationelle astronomische

Entdeckungen mit dem Fernrohr

1614

Erste Logarithmentafel (Lord Merchiston Neper)

1618–1648 Dreißigjähriger Krieg

1633

Galilei muß sein Bekenntnis zum copernicanischen Weltsy-
stem widerrufen

1643–1715 Regierung Ludwig XIV. ( Sonnenkönig“) in Frankreich

”

1644

Blaise Pascal baut die erste erhalten gebliebene mechanische

Rechenmaschine (und erhält 1649 ein königliches Privileg für
die Herstellung)

1646

Athanasius Kircher beschreibt als erster die Laterna Magi-

”

ca“

1662

(offizielle) Gründung der Royal Society in London

1666

Gründung der Pariser Akademie

1666

Nach einer Pestepidemie und dem folgenden Großbrand von

London Beginn des Wiederaufbaus unter Leitung von Chri-
stopher Wren

1666–84 Bau des Canal du Midi in Frankreich

1672

Gottfried Wilhelm Leibniz erfindet die Staffelwalze als Ele-
ment mechanischer Rechengeräte

1687

Newtons Philosophiae naturalis principia mathematica“

”

1709

Ehrenfried Walter v. Tschirnhaus und Johann Friedrich

Böttger erfinden in Sachsen das europäische weiße Hartpor-
zellan

1725

Eröffnung der Petersburger Akademie

1733–43 Große russische Nordexpedition unter Vitus Bering

1735–37 Gradmessungsexpeditionen der Pariser Akademie nach

Südamerika und Lappland beweisen Abplattung der Erde

1740–86 Regierung Friedrich II. (der Große“) in Preußen

”

1741

Neugründung der Berliner Akademie, Berufung Leonhard

Eulers nach Berlin

1756–1763 Siebenjähriger Krieg

1762–96 Regierung Katharina II. in Rußland

1768–79 Entdeckungsreisen von James Cook

5.0 Vorbemerkungen

251

5.0 Vorbemerkungen

Lineare und quadratische Gleichungen waren in der hellenistischen Antike
und in der muslimischen Welt sicher beherrscht worden, freilich auf geometri-
schem Hintergrund. Beispielsweise klassifizierte und behandelte al-Hw¯
arizm¯ı

˘
sechs Typen von Gleichungen, darunter auch echt quadratische Gleichungen.

An Beispielen zwar – etwa der Gleichung x 2 + 21 = 10 x –, aber in allgemeiner

Sprachführung, wird der rechnerische Lösungsweg angegeben. Der Beweis für
das Lösungsverfahren erfolgt geometrisch (s.S. 166–169 und [Juschkewitsch

1964, S. 206f.]). Weitere herausragende Beiträge zur Algebra stammen u. a.

von Ab¯
u l-Waf¯
a’, Ab¯
u K¯
amil und al-Kara˘
g¯ı (S. 169–175).

Bei anderen Autoren werden Lösungen von Gleichungen mittels Kegelschnit-
ten gesucht. Ein gewisser Ab¯
u l- ˘

G¯
ud soll (um 1000) Allgemeines über ku-
bische Gleichungen geschrieben haben [Hofmann 1963, Bd. I, S. 67]. Ein

Lösungsverfahren für kubische Gleichungen mittels Kegelschnitten stammt
von cUmar al-Hayy¯
am (1050–1122), doch hielt er eine rechnerische Auflösung

˘
für unmöglich (vgl. S. 175–184).

Der Inhalt von al-Hw¯
arizm¯ıs Abhandlung
al-Kit¯
ab al-muhtas.ar f¯ı h.is¯ab al-

˘

”

˘

˘
gabr wa-l-muq¯
abala“ (Ein kurzgefaßtes Buch ¨
uber die Rechenverfahren durch

Erg¨
anzen und Ausgleichen) [Juschkewitsch 1964, S. 204] ist in mehreren

Versionen im Mittelalter nach Europa tradiert worden. Es handelt sich im

Hauptteil – worauf es uns hier ankommt – um eine Art Lehrbuch über das

Auflösen von linearen und quadratischen Gleichungen, nicht in allgemeiner

Form, sondern mit Zahlkoeffizienten. Durch al-˘
gabr“ (Auffüllen, Ergänzen,

”

lat. restauratio; zur Vermeidung von negativen Termen) und wa-l-muq¯
abala“

”

(Gegenüberstellung, Ausgleichen, lat. oppositio) entstehen sechs Gleichungs-
typen; sie werden – ohne Symbole – verbal formuliert.

Dieses Werk und die Methoden von al-Hw¯
arizm¯ı zur Lösung von linearen und

˘
quadratischen Gleichungen haben im europäischen Mittelalter, während der

Renaissance und noch weit bis ins 17. Jahrhundert inhaltlich und methodo-
logisch als Vorbild gedient.

Auf einen anderen Zusammenhang zwischen der Auflösung von quadratischen

Gleichungen und der Theorie der Irrationalitäten sei wenigstens hingewiesen

[Stillwell 1989, S. 59]. Die Wurzeln quadratischer Gleichungen mit rationalen

√

Koeffizienten sind von der Form a +
b, wo a und b rational sind. In Euklid,

Buch X, wird in geometrischer Form ausführlich die Theorie der Irrationa-

√ √
litäten vom Typ
a ±
b behandelt, wo a und b rational sind.

Wie es scheint [Stillwell 1989, S. 53], ist bis zur Renaissance kein Fortschritt
in der Lehre von den Irrationalitäten erzielt worden, mit Ausnahme einer Be-
merkung von Leonardo Fibonacci, wonach die Wurzeln der kubischen Glei-
chung x 3 + 2 x 2 + 10 x = 20 nicht vom Typ der Euklidischen Irrationalitäten
sein können (damit ist allerdings noch nicht entschieden, ob diese Gleichungs-
wurzeln nicht doch mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind).

252

5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16./17. Jh.)

Abb. 5.0.1. In der Bodleian Library der Universität Oxford kann man orientalische
und hebräische Manuskripte ab dem 7. Jh. bewundern

[Foto Alten]

5.1 Gleichungen dritten und vierten Grades

253

Sowohl in der griechisch hellenistischen Antike wie auch im Mittelalter in den

Ländern des Islam traten Gleichungen zumeist im Zusammenhang mit geo-
metrischen Problemen auf, und ihre Lösungen wurden in der Regel auch mit
geometrischen Methoden gefunden bzw. bewiesen. Daneben wurden die Lehre
von den Proportionen und elementare arithmetische Operationen zur Lösung
herangezogen. Auch das europäische Mittelalter brachte auf diesem Gebiet
keine wesentlichen Fortschritte. So ist es kein Wunder, daß unter den Sieben

Freien Künsten des Mittelalters Geometrie und Arithmetik (neben Musik
und Astronomie) als mathematische Disziplinen des Quadriviums auftraten,
aber die Etablierung der Algebra (und anderer Teilgebiete) als selbständige

Disziplinen der Mathematik erst in der Neuzeit erfolgte.

Diese Entwicklung begann in der Spätzeit der Renaissance mit den Untersu-
chungen und Schriften über die Lösung der Gleichungen dritten und vierten

Grades durch Scipione del Ferro, Niccolò Tartaglia und Girolamo Cardano
und wird deshalb hier als eigenes Kapitel behandelt. Sie spiegelt sich auch
wieder in den Schriften und Buchtiteln dieser Wissenschaftler. Das im Titel
des berühmten Buches von al-Hw¯
arizm¯ı enthaltene Wort al-ˇ
gabr kennzeichnet

˘
fortan als Algebra eine eigenständige mathematische Disziplin: die Theorie
der Gleichungen und Gleichungssysteme und ihrer Lösungen.

5.1 Gleichungen dritten und vierten Grades

5.1.1 L¨
osungen f¨
ur Gleichungen dritten Grades

Die Entdeckung der Lösungsformeln für die kubischen und die biquadrati-
schen Gleichungen stellt einen der ersten und bedeutendsten Schritte über die

Errungenschaften der antiken und muslimischen Mathematik hinaus dar. Zu-
gleich spiegeln sich in der komplizierten Geschichte der handelnden Personen
und der Tradierung des Wissens die Wechselbeziehungen zwischen offizieller

Universitätswissenschaft und der artefici-Wissenschaft deutlich wieder.

Der Mathematikprofessor Scipione del Ferro (1465?-1525) in Bologna dürf-
te [Øystein Ore, Stillwell] um 1515 die algebraische Lösung der Gleichung
dritten Grades vom Typ x 3 + ax = b gefunden haben. Er gab sie weiter
an seinen Schwiegersohn und Nachfolger Annibale della Nave. Del Ferros
anderer Schüler Antonio Maria Fiore ging als Lehrer der Mathematik nach

Venedig. Um sich bekannt zu machen forderte er 1535 den dort wirkenden

Rechenmeister Niccolò Tartaglia (1506?-1559) zu einem öffentlichen Wettbe-
werb heraus. Der Text, der dreißig Aufgaben enthält, ist bekannt. Am Beginn
der Herausforderung heißt es:

Dies sind die dreißig Probleme, die ich, Antonio Maria Fior, Dir, Meister

”

Niccol`
o Tartaglia gestellt habe.

1 Finde mir eine Zahl derart, daß, wenn ihr Kubus addiert wird, das Resultat
sechs ist, d. h. 6 . (Führt auf die Gleichung x 3 + x = 6.)

254

5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16./17. Jh.)

Abb. 5.1.1. Die Bronzepferde auf der Basilika von San Marco in Venedig sind sehr
alt. Kaiser Theodosius hatte sie Ende des 4. Jhs. von Chios zum Schmuck des Hip-
podroms nach Konstantinopel bringen lassen. Bei der Plünderung Konstantinopels
durch die Kreuzritter im Jahre 1204 wurden sie von Venezianern geraubt.

[Foto Alten]

5.1 Gleichungen dritten und vierten Grades

255

2 Finde mir zwei Zahlen in doppelter Proportion derart, wenn das Quadrat
der gr¨
oßeren Zahl multipliziert wird mit der kleineren, und wenn dieses Pro-
dukt zu den zwei urspr¨
unglichen Zahlen addiert wird, das Ergebnis vierzig
sein wird, d. h. 40 . (Führt auf die Gleichung 4 x 3 + 3 x = 40.)

(...)

15 Ein Mann verkauft einen Saphir f¨
ur

500

Dukaten und macht einen

Gewinn in der dritten Potenz seines Kapitals. Wie groß ist dieser Profit?

(Führt auf die Gleichung x 3 + x = 500.)

(...) “ [Fauvel/Gray 1987, S. 254 (englisch), dt. Übersetzung Wg.]

Tartaglia hat uns berichtet, daß er erst in der allerletzten Minute, in der

Nacht vom 12. auf den 13. Februar, vor dem Wettbewerb die Lösung fand
und so den Wettbewerb gewann.

5.1.2 Niccol`
o Tartaglia

Einige Worte zu Tartaglia, der eigentlich Fontana geheißen haben dürfte.

(Von ihm stammt auch eine Autobiographie: N. Tartaglia: Quesiti et Inven-
tione Diverse. Venedig 1546). Er wurde 1499 oder 1500 in Brescia geboren
und stammte aus ärmlichen Verhältnissen. Er starb 1557 in Venedig. Der

Name Tartaglia“ bedeutet Stotterer“. Während der Plünderung 1512 von

”

”

Brescia durch die Franzosen wurde der Junge am Kopf schwer verletzt und
behielt die Behinderung des Stotterns. Mit 14 Jahren sollte er bei einem Leh-
rer mit dem Alphabet bekannt gemacht werden, doch reichte das Schulgeld
nur bis zum Buchstaben K. Mit einem gestohlenen Lehrbuch hat er sich dann
selbst Lesen und Schreiben beigebracht.

Immer noch mit geringem Einkommen ging er nach Venedig, hielt in einer

Kirche öffentliche Vorlesungen zur Mathematik und publizierte wissenschaft-
liche Werke, u. a. Euklid in italienischer Sprache (1543) und

¨

Uber schwim-

”

mende K¨
orper“ von Archimedes (1543). Durch Probeschießen fand Tartaglia,
daß bei einem Erhebungswinkel des Geschützrohres von 45˚ das Geschoß am
weitesten fliegt.

Die Nachricht vom Erfolg Tartaglias im Wettbewerb mit Fiore sprach sich
herum und erreichte auch den berühmten Arzt Professor Girolamo Carda-
no, der, obwohl seinerseits ein ausgezeichneter Mathematiker, die Auflösung
der kubischen Gleichung nicht hatte finden können. Man traf sich nach eini-
gem Hin und Her 1539 in Mailand. Nach dringlichen Bitten erhielt Cardano
von Tartaglia Lösungsformeln für spezielle Fälle kubischer Gleichungen, nicht
aber den Beweis. Cardano versprach – höchstwahrscheinlich – mit heiligen

Eiden, das Verfahren niemals anderen zu überlassen.

Aber Cardano hielt sich nicht an die Absprache und veröffentlichte die

Lösungsmethode 1545 in seinem Buch

Ars magna sive de regulis algebrai-

”

cis“ (Die große Kunst oder über die Regeln der Algebra), möglicherweise,
weil ihm bekannt wurde, daß auch del Ferro die Lösung besessen hatte und

Tartaglia als Plagiator empfunden wurde.

256

5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16./17. Jh.)

Niccolò Tartaglia

Girolamo Cardano

In der Ars magna“, in Kapitel I, äußerst sich Cardano aus seiner Sicht über

”

die Urheberschaft der Lösungsformeln:

In unseren Tagen hat Scipione del Ferro aus Bologna den Fall gel¨
ost, daß

”

der Kubus und die erste Potenz (der Unbekannten, A.) gleich einer Kon-
stanten sind – eine sehr elegante und bewundernswerte Leistung.... Um nicht

¨
ubertroffen zu werden, l¨
oste mein Freund Niccol`
o Tartaglia im Wetteifer mit
ihm denselben Fall, als er sich im Wettkampf mit seinem [Scipionis] Sch¨
uler

Antonio Maria Fior befand, und gab es (die L¨
osung, A.) mir auf viele Bitten
hin. Denn ich war durch die Worte

Luca Pacciolis get¨
auscht worden, der
bestritt, daß irgendeine allgemeinere Regel als seine eigene entdeckt werden
k¨
onne. Ungeachtet der vielen Dinge, die ich schon entdeckt hatte, wie wohl be-
kannt ist, hatte ich aufgegeben und mich nicht bem¨
uht, noch weiter zu suchen.

Dann jedoch, als ich Tartaglias L¨
osung erhalten hatte und nach ihrem Be-
weis suchte, erkannte ich, daß es noch sehr viele andere Dinge gab, die man
finden k¨
onnte. Als ich diesen Gedanken mit wachsender Zuversicht verfolgte,
entdeckte ich diese anderen Dinge, zum Teil selbst, zum Teil durch Lodovi-
co Ferrari, meinen fr¨
uheren Sch¨
uler .... Die Beweise, außer den dreien von

Mohammed (Ben Musa = Al-Hw¯
arizm¯ı, A.) und den beiden von Lodovico,

˘
sind alle von mir“ [Cardano, Ars magna, fol. 3, dt. Übers. Alten].

Tartaglia reagierte wütend auf den von Cardano begangenen Vertrauens-
bruch. Der Streit erfaßte ganz Italien, zumal er auch soziologische Hinter-
gründe besaß – Universitätswissenschaft contra artefici-Wissenschaft.

Tartaglia hat 1539 über sein Treffen mit Cardano berichtet, in Form der

Wiedergabe des zwischen ihnen geführten Gespräches. Hier seien wiedergeben
jene Passagen, die auf das Versprechen von Cardano anspielen, die Lösung
nicht weiterzugeben.

5.1 Gleichungen dritten und vierten Grades

257

Cardano:

Ich schw¨
ore Euch bei Gottes heiligem Evangelium und als wahrer

”

Ehrenmann, nicht nur Eure Entdeckungen niemals zu ver¨
offentlichen, wenn

Ihr sie mir zur Kenntnis gebt, sondern ich verspreche Euch auch und ver-
pf¨
ande meinen Glauben als ein echter Christ, sie verschl¨
usselt zu notieren,
so daß niemand nach meinem Tode in der Lage sein wird, sie zu verstehen.

Wenn Ihr mir nun glauben wollt, dann glaubt mir, sonst laßt es sein.“

Schließlich übergibt Tartaglia den rechnerischen Weg zur Auflösung der Glei-
chungstypen x 3 + ax = b bzw. x 3 = ax + b, übrigens in Gedichtform (hier
nur der erste Teil mit Erläuterungen nach [Gericke 1992, S. 227]; vgl. dazu
die Beschreibung von Cardano auf S. 258)

x 3 + ax = b
u − v = b

3
uv = a 3

√

√
x = 3 u − 3 v

Der springende Punkt ist der, daß zwei Hilfsgrößen u und v eingeführt werden

3

3
mit u − v = b und uv = a
bzw. u + v = b und uv = a

.

3

3

Bei der Verabschiedung erinnert Tartaglia Cardano nochmals an dessen Ver-
sprechen.

Tartaglia: Nun, erinnert Euch Exzellenz, und vergeßt nicht Euer glaubw¨
urdi-

”

ges Versprechen, denn wenn es durch ungl¨
ucklichen Zufall gebrochen wird,
d. h. wenn Ihr diese L¨
osungen publiziert, sei es in diesem Buch, das Ihr zur

Zeit drucken lassen wollt, oder auch wenn Ihr sie in einem anderen, von die-
sem verschiedenen Buch ver¨
offentlicht, ohne daß Ihr meinen Namen angebt
und mich als den wirklichen Entdecker anerkennt, so verspreche ich Euch
und schw¨
ore, daß ich unverz¨
uglich ein anderes Buch ver¨
offentlichen werde,
das nicht sehr angenehm f¨
ur Euch sein wird“.

Cardano:

Zweifelt nicht, daß ich mein Versprechen halten werde...“

”

Tartaglia:

Nun bitte, vergeßt es nicht.“

”

[Tartaglia, Quesiti et Inventioni Diverse 1546, S. 120-122; dt. Übers. Alten]

5.1.3 Girolamo Cardano

Zunächst ein paar Informationen über Cardano [Stillwell 1989, S. 61/62].

Cardano wurde 1501 in Pavia geboren; er starb 1576 in Rom. Sein Vater
war Rechtsanwalt und Arzt. Cardano begann 1520 das Medizinstudium in

Pavia und promovierte 1526 in Padua. Nach einigen Anfangsschwierigkeiten

258

5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16./17. Jh.)

wegen seiner unehelichen Geburt wurde er ein höchst erfolgreicher Arzt in

Mailand; sein Ruhm breitete sich über ganz Europa aus. Sein prominente-
ster Patient war der Erzbischof von Schottland, der an Asthma litt. Cardano
fand durch Beobachtung heraus, daß die Bettfedern daran Schuld waren; die

Ersetzung durch anderes Bettzeug aus Seide und Leinen führte sofort zur

Besserung [Katz 1993]. Daneben befaßte er sich erfolgreich mit Mathematik,
mit Wahrscheinlichkeitsrechnung, mit der Dechiffrierung von Geheimtexten.

Persönliche Schicksalsschläge trafen Cardano schwer und oft. Ein Onkel wur-
de vergiftet; Versuche, Cardano und seinen Vater zu vergiften, scheiterten.

1546 starb seine Frau. Sein ältester Sohn wurde enthauptet wegen Giftmor-
des an seiner Frau. Cardano ging nach Bologna, aber dort wurde 1565 sein

Schüler Ferrari von dessen Schwester vergiftet.

Cardano publizierte ein Jahr vor seinem Tode ein Art Autobiographie

De

”

vita propria Liber“ (Das Buch meines Lebens). Dort geht er aber kaum auf

Tartaglia ein, lediglich mit dem Bemerken, er habe einige wenige Anregun-

”

gen von ihm erhalten“.

Im gewissen Sinne ist Cardano eine schillernde Figur, aber seine Ars magna“

”

war ein schrittmachendes Werk, das Standardwerk der Algebra bis zu den

Schriften von Vieta und Descartes. Die erste Auflage erschien 1545 bei Johann

Petreius in Nürnberg, übrigens mit einer Widmung von Andreas Osiander,
der zwei Jahre zuvor

De revolutionibus“ von Nicolaus Copernicus (1473–

”

1543) ebenfalls in Nürnberg herausgegeben hatte. Weitere Auflagen der Ars

”

magna“ erschienen 1570 und 1663.

Cardano behandelt die Algebra vom Duktus her wie al-Hw¯
arizm¯ı: Die Re-

˘
chenwege werden demonstriert, die Beweise aber werden geometrisch geführt,
unter starkem Rückgriff auf die Elemente des Euklid . Auf Einzelheiten der
von Cardano verwendeten Terminologie [Struik 1969] soll hier nicht einge-
gangen werden; nur so viel sei festgehalten: Für Unbekannte“ schreibt er res

”

(lateinisch) bzw. cosa (italienisch). Cubus“ bedeutet einen festen Körper,

”

aber auch die dritte Potenz. So steht

Cubus et res aequales numero“ für

”

eine Gleichung vom Typ ax 3 + bx = c.

Am Anfang der

Ars magna“ (Kapitel 11-23) erörtert Cardano allgemeine

”

Fragen: Diskussion über die Anzahl der Wurzeln, ob diese positiv oder negativ
sind (er spricht von wahr“ und fiktiv“).

”

”

Wir wollen aus der Ars magna“ zwei Beispiele vorführen.

”

Fall1: In Kapitel 11 – Tartaglia hatte die Lösung in Gedichtform mitgeteilt

– behandelt Cardano die Gleichung vom Typ x 3 + ax = b. Er beschreibt den

Rechengang mit folgenden Worten: Bilde die dritte Potenz von einem Drittel

”

des Koeffizienten der Unbekannten; addiere dazu das Quadrat der H¨
alfte des
konstanten Gliedes der Gleichung; und nimm die Wurzel aus dem Ganzen,
d. h. die Quadratwurzel. Bilde sie zweimal. Zur einen addiere die H¨
alfte der

Zahl, die du schon mit sich multipliziert hast; von der anderen subtrahiere
dieselbe H¨
alfte. Du hast dann ein Binom (Summe zweier Ausdr¨
ucke, A.) und
seine Apotome (deren Differenz, A.). Dann subtrahiere die Kubikwurzel aus

5.1 Gleichungen dritten und vierten Grades

259

Abb. 5.1.2. Titelblatt der Artis magnae, sive de regulis algebraicis“

”

[Girolamo Cardano , Nürnberg 1545 ]

260

5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16./17. Jh.)

der Apotome von der Kubikwurzel aus dem Binom. Der dabei ¨
ubrig bleibende

Rest ist der Wert der Sache (der Unbekannten x, A. )“ [Cardano, fol. 30; dt.

Übers. A.].

Gemäß dieser Rechenanweisung baut sich die Lösungsformel schrittweise auf:

a 3

3

2

3

2

3

2

,
a

+ b

,
a

+ b

+ b ,
a

+ b

− b ,

3

3

2

3

2

2

3

2

2

3

3

2

3

2
x =
a

+ b

+ b − 3
a

+ b

− b .

3

2

2

3

2

2

3

In Tartaglias Gedicht hatte sich der Ansatz u − v = b, u · v =
a
mit

3
zwei neu eingeführten Größen u und v verborgen. Dann entspricht in Car-

3

2
danos (Euklids ) Terminologie u =
a

+ b

+ b dem Binomium,

3

2

2

3

2
v =
a

+ b

− b der Apotome.

3

2

2

Wie immer beweist Cardano die Formel geometrisch. In algebraischer Um-
setzung läuft der geometrische Beweis in folgender Weise:

√

√ 3

√

√
x 3 + ax = ( 3 u − 3 v) + a ( 3 u − 3 v)

√ 3

√ 2 √

√ √ 2

√ 3

√

√

√

= ( 3 u) − 3 ( 3 u) 3 v + 3 3 u ( 3 v) − ( 3 v) + 3 3 uv ( 3 u − 3 v)

= u − v = b.

Cardano gibt zwei Beispiele an, die Lösungen der Gleichungen x 3 + 6 x = 20
und x 3 + 3 x = 10. Im ersten Fall ergibt das Lösungsverfahren

√

√
x = 3

108 + 10 − 3

108 − 10. Andererseits erkennt man leicht, daß x = 2
eine Lösung ist. Vermutlich hat dies Cardano gewußt, aber es bleibt unklar,
ob er den Wurzelausdruck mit 2 identifiziert hat.

Fall 2: Gleichungen vom Typ x 3 = ax + b (Kap. 12). Mit geringfügigen

Änderungen – auf der Basis des Ansatzes u + v = b – ergibt sich in diesem

3

2

3

3

2

3

Fall die Lösungsformel zu x =
b +
b

− a +
b −
b

− a .

2

2

3

2

2

3

Im Anschluß an die Behandlung der Gleichung x 3 = 6 x + 6 wirft Cardano die
weitergehende Frage auf, was eintritt, wenn der Radikand aus der Quadrat-
wurzel negativ ist. Er erkennt die Schwierigkeit, verweist zwar auf Kapitel 25
mit speziellen lösbaren Fällen, kann aber keine allgemeine Lösung des Pro-
blems anbieten. (Bombelli erst wußte mit den Quadratwurzeln aus negativen

Zahlen umzugehen.)

Schon aus dem Bisherigen sollte klar geworden sein, daß beim historisch ech-
ten Cardano nicht von der Lösungsformel für kubische Gleichungen gespro-
chen werden kann. Vielmehr muß er, da nur positive Koeffizienten zugelassen
sind, 23 verschiedene Fälle unterscheiden, u. a.

XI: x 3 + ax = b, XII: x 3 = ax + b, XIII: x 3 + a = bx,

XIV: x 3 = ax 2 + b, XV: x 3 + ax 2 = b, ...., XXIII: x 3 + ax 2 + b = cx.

Cardano vermochte es, alle kubischen Gleichungen auf die Typen

( A) x 3 = ax + b und (B) x 3 + ax = b zu reduzieren. (Im einzelnen vergleiche man [Tropfke, 4. Aufl., S. 450-452]). Der Typ (A) führt zum Ansatz x = y + z,

√

√
der Typ (B) auf x = y − z mit y = 3 u, z = 3 v.

5.1 Gleichungen dritten und vierten Grades

261

Da wir heute, durch Verzicht auf die Forderung ausschließlich positiver Ko-
effizienten, auf Cardanos Fallunterscheidung verzichten können, führen wir
die Normalform der kubischen Gleichung x 3 + ax 2 + bx + c = 0 mittels der

Transformation x = y − a auf die reduzierte Form y 3 + py + q = 0 zurück

3
und erhalten als einheitliche Cardanische Lösungsformel für die eine Wurzel

3

2

3

3

2

3
y
q
p
q
p

1 =

−q +

+

+

−q −

+

. Die Formel liefert eine

2

2

3

2

2

3

2

3
reelle Lösung und zwei konjugiert komplexe Lösungen, wenn q

+ p

> 0

2

3

2

3
ist, drei zusammenfallende reelle Lösungen, falls
q

+ p

= 0 ist. Ist der

2

3

Radikand der Quadratwurzel kleiner als Null, so besitzt die Gleichung drei
reelle Lösungen.

Dieser letztere Fall bietet wegen der auftretenden imaginären Größen beson-
dere Schwierigkeiten; auf algebraischem Wege sind die reellen Lösungen nicht
zu finden. Der Fall erhielt daher die Bezeichnung casus irreducibilis“ (nicht

”

zurückführbarer Fall). Erst Vieta gab um 1600 eine Lösung, und zwar auf
trigonometrischem Wege.

5.1.4 Aufl¨
osung von Gleichungen vierten Grades

Zur Überraschung der Zeitgenossen gab die

Ars magna“ auch eine Metho-

”

de zur Auflösung der Gleichungen vierten Grades, die von Ludovico Fer-
rari (1522–1565) herrührt. In Kap. 39 [Cardano 1545, fol. 72ff. ; Cardano

1993 (engl. Übers. Witmer), S. 235] behandelt Cardano zunächst Gleichun-
gen höheren Grades, die sich auf kubische Gleichungen zurückführen lassen,
z. B. x 6 = x 2 + 1, kubisch in x 2. Dann aber folgt die Regel II.

Es gibt eine andere Regel, besser als die vorangehende. Es ist die von Lo-

”

dovico Ferrari, der sie mir auf meine Bitte gab. Durch sie haben wir all die

L¨
osungen f¨
ur Gleichungen mit der vierten Potenz, dem Quadrat, der ersten

Potenz (der Unbekannten, A.) und der Zahl (dem konstanten Glied, A.) oder
aus der vierten Potenz, dem Kubus, dem Quadrat und der Zahl, und ich gebe
sie hier in einer Reihenfolge an:

1. x 4 = bx 2 + ax + N , 2. x 4 = bx 2 + cx 3 + N , 3. x 4 = cx 3 + N , ... , 7. x 4 + cx 3 = N , ..., 20 . x 4 + ax + N = bx 2 .

In all diesen F¨
allen, welche tats¨
achlich (nur) die allgemeinsten sind, denn
es gibt 67 weitere, ist es ratsam, diejenigen, welche den Kubus enthalten,
auf Gleichungen zu reduzieren, in denen stattdessen die Unbekannte x vor-
kommt, wie die siebte auf die vierte oder die zweite auf die erste“ [Cardano

1545, fol. 73, dt. Übers. Alten].

Zunächst wird, wie bei der kubischen Gleichung auch, durch einfache Va-
riablentransformation, das Glied mit der zweithöchsten Potenz beseitigt. Es
erscheint die allgemeine Gleichung vom Typ x 4 + px 2 + qx + r = 0.

Der Grundgedanke besteht darin, eine Beziehung zwischen zwei Quadraten
herzustellen, zusammen mit einer kubischen Hilfsgleichung in einer neu ein-

262

5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16./17. Jh.)

geführten Unbestimmten y. Dann besteht die Lösung aus einer Quadrat-
wurzel aus einer Summe von dritten Wurzeln, gemäß der Lösungsformel für
kubische Gleichungen.

Durch Addition von ( p + y)2 + ( p + 2 y) x 2 und Subtraktion von qx + r auf
beiden Seiten entsteht die Gleichung

2
x 2 + p + y

= x 2 ( p + 2 y) − qx + p 2 − r + 2 py + y 2 .

Auch die rechte Seite wird zum Quadrat, wenn y der kubischen Gleichung (der

sogenannten kubischen Resolvente“) 4 ( p + 2 y) p 2 − r + 2 py + y 2 − q 2 = 0

”

genügt.

Als Beispiel behandelt Cardano im Problem V [Cardano 1545, fol. 74] ein
von einem anderen Algebraiker übernommenes Problem, das dieser als nicht
lösbar bezeichnet hatte. Das Problem lautet: Teile 10 in drei proportiona-
le Teile, so, daß das Produkt des ersten und des zweiten 6 ergibt. Dann
hat man die Gleichungen x + y + z = 10, x : y = y : z, xy = 6. Bei

Elimination von x und z erhält man eine Gleichung vierten Grades in y,
nämlich y 4 + 6 y 2 + 36 = 60 y. Cardano beschreibt den Lösungsweg ausführ-
lich. Verkürzt dargestellt: Durch Einführung einer Hilfsgröße b und Addition
von (2 b+6) y 2 + b 2 +12 b erhält man [ y 2 + (6 + b)]2 = y 2(2 b +6)+60 y + b 2+12 b.

Die rechte Seite ist dann auch ein Quadrat, wenn 4(2 b + 6)( b 2 + 12 b) = 602
ist, also b der kubischen Gleichung b 3 + 15 b 2 + 36 b = 450 genügt.

Dies ist die zugehörige kubische Resolvente, auf die Cardano zurückgreifen
kann, da er sie schon vorher behandelt hatte.

Bei Cardano ist noch nachzutragen, daß er auch negative Zahlen als Lösungen
zuläßt, z.B. für die Gleichung x 2 = 9 mit den Wurzeln 3 und − 3. [Cardano

1545, fol. 4] Bei der Behandlung einer quadratischen Gleichung stieß Cardano
auch auf komplexe Zahlen (wie wir heute sagen würden), und zwar am Bei-
spiel der Gleichung x 2 + 40 = 10 x. Der Text lautet in moderner Bezeichung
und in deutscher Übersetzung:

Die zweite Art einer negativen Annahme betrifft die Quadratwurzel aus einer

”

negativen Zahl. Ich will ein Beispiel nennen: Wenn jemand sagte: teile 10 in
zwei Teile, deren Produkt 30 oder 40 ist, so ist klar, daß dieser Fall unm¨
oglich
ist. Desungeachtet wollen wir wie folgt verfahren: Wir teilen 10 in zwei gleiche

Teile, von denen jeder 5 ist. Diese quadrieren wir, das macht 25. Wenn du
willst, subtrahiere 40 von den gerade erhaltenen 25, wie ich es dir im Kapitel

¨
uber Operationen im sechsten Buch gezeigt habe; der damit erhaltene Rest
ist − 15, die Quadratwurzel daraus, addiert zu oder subtrahiert von 5 gibt die

√

√
beiden Teile mit dem Produkt 40. Diese sind also 5 +

− 15 und 5 − − 15.“

[Cardano 1545, fol. 66; dt. Übers. Alten].

Und ein wenig später kommt er zu dem Schluß:

So schreitet Arithmetik

”

scharfsinnig voran. Das Ende davon ist, wie gesagt, so raffiniert wie es unn¨
utz
ist.“ [Cardano 1545, fol. 66].

5.1 Gleichungen dritten und vierten Grades

263

5.1.5 Rafael Bombelli

Der Ingenieur Rafael Bombelli (1526–1572), geboren in Bologna, gehört eben-
falls der Gruppe der artefici-Mathematiker an. Mit ihm bricht die Folge der
großen Renaissance-Algebraiker Italiens ab; das Schwergewicht der Entwick-
lung verlagerte sich nach Frankreich und den Niederlanden.

Bombelli [DSB 1970, Bd. 2, S. 279-281] verbrachte einen Großteil seines Le-
bens im Dienste eines römischen Edelmannes. Er erwarb sich großes Ansehen
als Ingenieur, insbesondere bei der Entwässerung von Sümpfen.

Bombelli war vertraut mit der Lage in der Algebra, fand aber, daß die meisten

Autoren nicht tief genug in die Dinge eingedrungen seien und daß Cardano
den Stoff schlecht dargelegt habe. So entschloß er sich seinerseits zur Nieder-
schrift eines Lehrbuches der Algebra; das geschah zwischen 1557 und 1560.

Sein Buch L’Algebra“ erschien 1572 in Bologna. (Er konnte sein Werk nicht

”

vollenden; die Bücher IV und V kamen erst 1929 aus dem Nachlaß heraus.)

Abb. 5.1.3. Titelblatt von L’Algebra“

”

[Rafael Bombelli, Bologna 2. Aufl. 1579]

264

5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16./17. Jh.)

Es verdient herausgehoben zu werden, daß Bombelli in Rom Gelegenheit
hatte, ein Manuskript von Diophant einzusehen. Man begann diesen Text
zu übersetzen, doch blieb die Aufgabe zunächst unvollendet. Bombellis

L’Algebra“ aber steht deutlich unter dem Einfluß der Denkweise von Dio-

”

phant.

Im Vorwort von L’Algebra“ gibt Bombelli eine Art historischen, höchst le-

”

senswerten Bericht zur Geschichte der Algebra:

Ich habe mich entschieden, zuerst die meisten der Autoren zu betrachten, die

”

bis jetzt dar¨
uber (Algebra, A.) geschrieben haben, so daß ich ausf¨
ullen kann,
was sie ausgelassen haben. Es sind sehr viele, und man glaubt, daß unter ih-
nen Mohammed ibn Musa, ein Araber, sicherlich der erste ist, und es gibt ein
kleines Buch von ihm, aber nur von sehr geringem Wert. Ich glaube, daß das

Wort Algebra“ von ihm stammt, denn vor einigen Jahren sagte Bruder Luca

”

(Pacioli) vom Borgo San Sepolcro des Minoritenordens, als er es sich selbst
zur Aufgabe gemacht hatte ¨
uber diese Wissenschaft sowohl in Latein wie in

Italienisch zu schreiben, daß das Wort Algebra“ arabisch sei und in unserer

”

Sprache

Position“ (Lage) bedeute, und daß die(se) Wissenschaft von den

”

Arabern stamme. Viele, die nach ihm geschrieben haben, haben dies geglaubt
und ¨

Ahnliches gesagt, aber in den letzten Jahren ist eine griechische Arbeit

¨
uber diese Disziplin in der p¨
apstlichen Bibliothek im Vatikan entdeckt worden,
verfaßt von einem gewissen Diophantus von Alexandria, einem griechischen

Autor, der zur Zeit des Antoninus Pius lebte. Als sie mir vom Meister An-
tonio Maria Pazzi aus Reggio, ¨
offentlicher Dozent der Mathematik in Rom,
gezeigt worden war und wir einen Autor um sein Urteil befragt hatten, der
in Zahlen(theorie) sehr bewandert ist (obgleich er sich nicht mit irrationalen

Zahlen befaßte, aber nur bei ihm begegnet man einer perfekten Arbeitsweise),
da begannen er und ich sie (die Arbeit, A.) zu ¨
ubersetzen, um die Welt mit
einem solchen vollst¨
andigen Werk zu bereichern, und wir haben f¨
unf (von sie-
ben) B¨
uchern ¨
ubersetzt. Den Rest haben wir wegen der Schwierigkeiten, die
jedem von uns begegneten, nicht zu Ende f¨
uhren k¨
onnen. Wir haben festge-
stellt, daß er (Diophant, A.) in dieser Arbeit oft die indischen Autoren zitiert,
und so ist uns klar geworden, daß es diese Disziplin vor den Arabern bei den

Indern gab. Nach ihm (aber es war eine lange Zeit vergangen) schrieb Leo-
nardo von Pisa in Lateinisch, aber nach ihm gab es keinen, der irgend etwas

Brauchbares (dazu, A.) sagte, bis der oben erw¨
ahnte Bruder Luca (wenn er
auch ein nachl¨
assiger Schreiber war und deshalb einige Fehler machte) des-
ungeachtet in der Tat der erste war, der Licht auf diese Wissenschaft warf,
wenn es auch einige gibt, die sich selbst in Szene setzen und sich alle Ehre
zurechnen, indem sie b¨
osartig die wenigen Fehler des Bruders beklagen und
nichts ¨
uber sein gutes Werk sagen. Danach haben in unseren Zeiten sowohl

Barbaren als auch Italiener (dar¨
uber, A.) geschrieben, so etwa Oroncio, Scri-
belio und Boglione, Franzosen; der Deutsche Johann Stifel, und ein gewisser

Spanier 1 , der weitschweifig in seiner eigenen Sprache schrieb. Aber gewiß war

1 Gemeint sind die Franzosen Oronce Fine und Jean Bond, die Deutschen Heinrich

Schreyber, Michael Stifel und der Portugiese Pedro Nunes (nach E. Knobloch)

5.1 Gleichungen dritten und vierten Grades

265
es kein anderer als Cardano von Mailand, der in das Geheimnis der Algebra
in seiner Ars magna eindrang, wo er sehr viel ¨
uber diese Wissenschaft sagte,
aber in seiner Ausdruckweise dunkel blieb. Er behandelte sie ebenso in gewis-
sen seiner Schriften, die er mit unserem Ludovico Ferrari aus Bologna gegen

Nicolo Tartaglia aus Brescia verfaßte. Darin finden sich ¨
außerst sch¨
one und
einfallsreiche Aufgaben dieser Wissenschaft, aber mit so wenig Bescheiden-
heit gegen¨
uber Tartaglia (formuliert, A.) (dem es wie jenem zur Gewohnheit
geworden war, Schlechtes zu sagen, und der dann glaubte, er habe sich zu ei-
nem ehrenwerten Weisen gemacht, wenn er jemandem Schlechtes nachgesagt
hatte), daß er fast all die ehrenwerten Gelehrten beleidigte, die klar erkannt
hatten, daß er (Tartaglia, A.) ¨
uber Cardano und Ferrari Unsinn redete, die
doch in unseren Tagen eher g¨
ottliche als menschliche Genies sind. Es gibt
noch andere, die ¨
uber diesen Gegenstand geschrieben haben, aber ich h¨
atte
genug zu tun, wollte ich sie alle nennen. Weil aber ihre B¨
ucher von geringem

Nutzen gewesen sind, will ich ¨
uber sie hinweg gehen. Ich sage nur, daß auch
ich, nachdem ich gesehen hatte, wieviel von diesem Gegenstand von den oben
erw¨
ahnten Autoren behandelt worden ist, meinerseits die vorliegende Arbeit
f¨
ur das Gemeinwohl zusammengestellt habe, indem ich sie in drei B¨
ucher
aufgeteilt habe“ [Bombelli 1572, aus A gli Lettori“ (Vorwort an die Leser),

”

dt. Übers. Alten].

Auch Cardano war – wie geschildert – auf Quadratwurzeln aus negativen

Zahlen gestoßen. Natürlich sah sich auch Bombelli mit diesem Problem kon-
frontiert. Anders aber als Cardano verstand er diese Ausdrücke als kubische

Wurzeln: Gegen Ende des ersten Teils seiner Algebra schrieb er von
einer

”

anderen Art Kubikwurzel, sehr verschieden von der fr¨
uheren, die aus dem

Kapitel ¨
uber den Kubus gleich dem Ding und der Zahl (Gleichung vom Typ
x 3 = ax + b , Wg.) stammt; .... diese Art von Wurzel hat ihre eigenen Algo-
rithmen f¨
ur verschiedene Operationen und einen neuen Namen“. [Katz 1993,

S. 335; dt. Übers. A.]

Bombelli schlug einen eigenen Namen für diese Wurzeln vor, die weder positiv

(piu) noch negativ (meno) sind. Er bezeichnete folgendermaßen: p. di m.

√

(heißt piu di meno, plus von minus), so würde p. di m. 11 bedeuten + − 121.

√

Und m.d.m. 11 (meno di meno 11) bedeutet − − 121.

An Hand von Beispielen gibt Bombelli – zum erstenmal in der Geschichte
der Mathematik – Rechenregeln für imaginäre Größen an. Wir würden für die

Multiplikationsregeln schreiben: (+1) ( i) = + i, ( − 1) ( i) = −i, (+1) ( −i) = −i, ( − 1) ( −i) = + i, (+ i) (+ i) = − 1, (+ i) ( −i) = +1, ( −i) ( −i) = − 1.

Es wäre eine lohnende Studie, die Entwicklung der algebraischen Symbolik
und Begriffssprache im Detail zu verfolgen. Doch eine systematische Behand-
lung dieser komplizierten Entwicklung gehört in die Geschichte der Zahlen-
theorie.

Was die Symbolik betrifft, so ging man, allgemein gesprochen, von verbalen

Texten nach und nach zur Verwendung von Symbolen über. Anfangs ver-
wendete jeder Autor individuelle Zeichen; erst im 17. Jahrhundert setzte sich
schrittweise eine einheitliche Symbolik durch.

266

5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16./17. Jh.)

Auch Bombelli stand in dieser Entwicklungslinie; seine Bezeichnungsweisen
muten uns schon relativ modern an. Er schrieb R.q. (gemeint ist radix qua-
dratum) für die Quadratwurzel und R.c. für die Kubikwurzel. Auch kenn-
zeichnete er Zusammengehöriges durch eine Art von Klammer: .

√

Beispielsweise steht R.c. 2 p R.q. 21 für 3 2 +

21; dabei bedeuten p (piu)

bzw. m (meno) Abkürzungen für + und −. Auch für die Exponenten der Va-
riablen führte Bombelli Bezeichnungen ein; der Potenzexponent wurde durch
einen daruntergesetzten Halbkreis verdeutlicht, eine Schreibweise, die sich
vorteilhaft von der Coß abhob [Katz 1993, S. 335].

5.2 Vì
ete und Descartes

5.2.1 Fran¸
cois Vì
ete (Franciscus Vieta)

Mit dem wissenschaftlichen Werk von Vieta erreichte die Entwicklung der

Algebra einen gewissen Grad des Abschlusses. Aufbauend auf Cardano, Ste-
vin, auf die wiederentdeckte Schrift von Diophant, möglicherweise – dies ist
umstritten – auch anknüpfend an Bombelli lag sein Hauptverdienst in der
konsequenten Verwendung von Symbolen und Bezeichnungen. Damit bereite-
te Vieta unter anderem auch die Leistung von Descartes vor. Übrigens gehört
die Entstehung einer symbolischen Algebra zu den Voraussetzungen für die

Herausbildung der modernen Mathematik, einschließlich der Entwicklung der

Infinitesimalmathematik.

Bis zu einem gewissen Grade kann man feststellen, daß mit Vieta die Algebra
zu einer zweiten selbständigen mathematischen Disziplin geworden ist, neben
der Geometrie. Noch bis gegen Ende des 16. Jahrhunderts bestand Algebra“

”

in einer Sammlung von Regeln zum Auflösen von Gleichungen. Nun, mit
einer ausgebildeten Symbolik, wird algebraisches Denken in Sätzen und mit
algebraisch geführten Beweisen zu einem sich nach eigenen Problemstellungen
entwickelnden Wissenszweig. Und bei Descartes wird man sehen, daß und wie
die Geometrie sozusagen algebraisiert wird.

François Viète (latinisiert Vieta), geboren 1540 in Fontenay-le-Comte als

Sohn eines Juristen, studierte seinerseits Jura in Poitiers und betrieb in Fon-
tenay eine erfolgreiche Anwaltspraxis, ehe er sich 1564 in die Dienste von

Antoinette und Jean de Partenay begab. Zugleich unterrichtete er die wißbe-
gierige, sich für Astronomie und Mathematik interessierende damals elfjähri-
ge Tochter Catherine. Bemerkenswerterweise lenkte ihn das Interesse seiner

Schülerin selbst auf die Beschäftigung mit Astronomie und Mathematik.

1566 siedelte Vieta nach La Rochelle über und kam, obwohl selbst Katholik,
in Berührung mit kalvinistischen Kreisen, und das in dem vor erbitterten

Glaubensauseinandersetzungen stehenden Frankreich. Unter anderem machte

Vieta die Bekanntschaft von Heinrich von Navarra, der später, durch Über-
tritt zum Katholizismus, als Heinrich IV. König von Frankreich wurde. Paris

”

ist eine Messe wert“ ist sein bekanntester Ausspruch.

5.2 Viète und Descartes

267

1571 ging Vieta als avocat au Parlement“ nach Paris und kam dort in Kon-

”

takt mit einigen Mathematikern, u. a. mit Petrus Ramus(1515–1572). Dort
erlebte Vieta 1572 auch die schreckliche sog. Bartholomäusnacht, das Mas-
saker der Katholiken an den Protestanten. Auch Petrus Ramus fiel ihm zum

Opfer. Vieta wechselte mehrfach seinen Aufenthaltsort; Intrigen bewirkten
sogar, daß ihm von 1584 bis 1589 der Aufenthalt am Hofe in Paris untersagt
wurde. Er nutzte die Zeit zu gründlichen wissenschaftlichen Studien.

Als König Heinrich III. seinen Hof nach Tours verlegte, wurde Vieta nach

Tours berufen und diente dem König, indem er gegnerische Korrespondenzen
entzifferte. Nach der Ermordung von Heinrich III. (1589) trat Vieta, mit juri-
stischen Aufgaben und wiederum mit der Entzifferung feindlicher Nachrichten
betraut, in die Dienste von Heinrich IV. und lebte in Paris. Aus gesundheit-
lichen Gründen gab Vieta seine Verpflichtungen auf und starb 1603 in Paris.

Die algebraischen Schriften von Vieta.

Vieta hat ein umfangreiches mathematisches Opus hinterlassen. Ein Teil da-
von konnte erst postum zum Druck gelangen oder ist sogar Manuskript ge-
blieben. Auf ihn geht u. a. zurück ein Canon mathematicus... (seit 1571) mit

Tabellen aller sechs trigonometrischen Funktionen, mit einer Darlegung der
ebenen und sphärischen Trigonometrie. Einzelleistungen umfassen u. a. eine

Näherungskonstruktion für das regelmäßige Siebeneck, Studien zu unend-
lichen geometrischen Reihen, Widerlegungen angeblicher Kreisquadraturen
und die geometrische Behandlung des casus irreducibilis. Der später nach
de Moivre benannte Satz dürfte Vieta bekannt gewesen sein. Doch war Vie-
ta ein Gegner des Copernicanischen Weltsystems und der Gregorianischen

Kalenderreform.

Was die Algebra betrifft, so sind insbesondere folgende Werke hervorzuheben

(vgl. dazu die Auflistung bei [Reich/Gericke 1973, S. 12-20]):

(1) In artem analyticem Isagoge, 1591

(2) Zeteticorum libri quinque, 1593

(3) De aequationum recognitione et emendatione Tractatus duo, postum 1615

(4) Ad logisticem Speciosam Notae priores, postum 1631.

Die Titel einiger dieser Arbeiten sind schwer sinngemäß zu übersetzen, da
der Sprachgebrauch mancher Worte – z. B.

Analysis“ – beträchtlich vom

”

heutigen abweicht. Wörtlich übersetzt heißt

In artem analyticem Isagoge“

”

soviel wie Einführung in die analytische Kunst“. Inhaltlich handelt sich um

”

Einführung und Begründung des algebraischen Rechnens, der Buchstaben-
rechnung. Es ist also angemessen, wie es K. Reich und H. Gericke tun, den

Titel zu wählen Einf¨
uhrung in die Algebra“. Und aus dem zweiten Titel –

”

Erste Bemerkungen zu einer prächtigen Rechenkunst“ – wird Formeln f¨
ur

”

”

das algebraische Rechnen“. Bei den Zetetica – nach dem griechischen z¯
ete¯
o,

268

5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16./17. Jh.)

Abb. 5.2.4. Titelblatt des Buches De aequationum recognitione et emendatione

”

Tractatus duo“

[Franciscus Vieta, Paris 1615, Bayrische Staatsbibliothek München]

5.2 Viète und Descartes

269

Abb. 5.2.5. Der Wurzelsatz von Vieta aus De aequationum recognitione et emen-

”

datione Tractatus duo“

[Franciscus Vieta, Paris 1615]

suchen – handelt es sich um fünf Bücher mit Aufgaben, die mit Hilfe der

Buchstabenrechnung gelöst werden.

Die Isagoge“ beginnt mit einer großmächtigen Ankündigung dessen, was er

”

leisten will, und das in der Widmung an Catherine de Partenay. Dort heißt
es u. a.:

Unermeßlich sind die Wohltaten, die Ihr mir in Zeiten gr¨
oßten

”

Ungl¨
ucks erwiesen habt. ¨

Uberhaupt verdanke ich Euch mein ganzes Leben,

. . . insbesondere aber verdanke ich Euch . . . das Studium der Mathematik, zu
dem mich Eure Liebe zu diesem Gegenstand und die großen Kenntnisse, die

Ihr in diesem Fach besitzt, angeregt haben, . . .

270

5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16./17. Jh.)

Verehrungsw¨
urdigste F¨
urstin, was neu ist, pflegt anfangs roh und unf¨
ormig
vorgelegt zu werden und muß dann in den folgenden Jahrhunderten gegl¨
attet
und vervollkommnet werden. So ist auch die Kunst, die ich nun vortrage,
eine neue oder doch auch wieder eine so alte und von Barbaren verunstaltete,
daß ich es f¨
ur notwendig hielt, alle ihre Scheinbeweise zu beseitigen, damit
auch nicht die geringste Unreinheit an ihr zur¨
uckbleibe und damit sie nicht
nach dem alten Moder rieche, und ihr eine vollkommen neue Form zu ge-
ben, sowie auch neue Bezeichnungen zu erfinden und einzuf¨
uhren. Da man
allerdings bisher an diese zu wenig gew¨
ohnt ist, wird es kaum ausbleiben, daß
viele schon von vorneherein abgeschreckt werden und Anstoß nehmen. Zwar
stimmten alle Mathematiker darin ¨
uberein, daß in ihrer Algebra oder Almu-
cabala, die sie priesen und eine große Kunst nannten, unvergleichliches Gold
verborgen sei, aber gefunden haben sie es nicht. So gelobten sie Hekatomben
und r¨
usteten zu Opfern f¨
ur Apollo und die Musen f¨
ur den Fall, daß einer auch
nur das eine oder andere der Probleme l¨
osen w¨
urde, von deren Art ich zehn
oder zwanzig ohne weiteres darlege, da es meine Kunst erlaubt, die L¨
osungen
aller mathematischen Probleme mit gr¨
oßter Sicherheit zu finden.

So sei es mir gestattet, mit wenigen Worten die Waren . . . zu empfehlen und
meinem Wunsch Ausdruck zu verleihen, daß Eurem f¨
ordernden Mitwirken
der ihm aus dieser Sache zustehende Ruhm – sofern das Werk wirklich einen
solchen verdient – nicht vorenthalten werde.

Denn im Gegensatz zu anderen Disziplinen sind in der Mathematik die Mei-
nung des einzelnen und auch das Urteil nicht frei. Hier wird mit Griffel und

Staub gearbeitet, hier n¨
utzen keine ¨

Uberredungsk¨
unste von Rhetoren und kei-
ne Winkelz¨
uge der Advokaten. Das Metall, das ich hier vorlege, zeigt den

Glanz des Goldes, das man solange ersehnt hat. Dieses Gold ist nun entwe-
der Alchemistengold und tr¨
ugerisch oder aus der Erde gewonnenes, echtes.

Wenn es Alchemistengold ist, dann freilich d¨
urfte es sich in Rauch aufl¨
osen,
etwa bei der K¨
onigsprobe. Ist es jedoch echtes Gold, und das ist es in der

Tat – denn ich bin ja kein Scharlatan – so will ich doch jene Leute nicht
des Betruges zeihen, die keine M¨
uhe scheuten, um es herauszuholen aus vor-
her nie betretenen Gruben, deren Zugang durch feuerspeiende Drachen und
anderes b¨
oses und todbringendes Gew¨
urm bewacht und verwehrt war. Ich er-
warte und fordere aber mit Recht, daß sie wenigstens ihren Einfluß, den ich
f¨
ur gut halte, geltend machen gegen die Unwissenheit und Schn¨
odigkeit von

Leuten, die andere gerne schlecht machen und das Lob anderer schm¨
alern.“

[Reich/Gericke, S. 34/35]

Vieta behielt Recht mit seiner Befürchtung: Die fremdartige, überreichlich
mit Kunstworten operierende Terminologie, die zudem noch bekannten Be-
griffen andere Begriffsinhalte zuordnete, erschwerte die Adaption seines Wer-
kes beträchtlich. Zitieren wir beispielsweise aus dem Kapitel I der Isagoge“

”

(man muß sehr aufmerksam lesen!):

¨

Uber die Definition und Einteilung der Analysis und ¨
uber die Hilfsmittel der

”

Zetesis.

5.2 Viète und Descartes

271

Es gibt in der Mathematik einen Weg zum Aufsuchen der Wahrheit, den Plato
als erster gefunden haben soll und der von Theon Analysis genannt und von
ihm definiert worden ist, n¨
amlich die Annahme des Gesuchten als bekannt <
und der Weg von dort > durch Folgerungen zu etwas als wahr Bekannten. Die

Synthesis dagegen ist die Annahme des Bekannten < und der Weg von dort

> durch Folgerungen zur Vollendung und Erfassung des gesuchten. W¨
ahrend
aber die Alten nur eine zweifache Analysis behandelt haben, die Zetetike und

Poristike, auf die sich die Definition Theons haupts¨
achlich erstreckt, habe ich
noch eine dritte Art eingef¨
uhrt, welche Rhetike oder Exegetike genannt wer-
de. Es ist bekannt, daß die Zetetike diejenige < Analysis > ist, durch welche
die Richtigkeit eines aufgestellten Satzes ¨
uber eine Gleichung oder Proportion
nachgepr¨
uft wird, die Exegetike diejenige, durch welche aus der aufgestellten

Gleichung oder Proportion die gesuchte Gr¨
oße selbst ermittelt wird. Und so
mag die ganze analytische Kunst, die sich jene dreifache Aufgabe zuschreibt,
definiert werden als die Lehre des geschickten Findens (Doctrina bene inve-
niendi) in der Mathematik. Die Zetesis kommt zustande durch die Kunst der

Logik mittels Syllogismen und Enthymemen (verkürzte Syllogismen), deren

Grundlage die Grundgesetze sind, aus denen die Gleichungen und Propor-
tionen erschlossen werden, und die ihrerseits sowohl aus Axiomen abgeleitet
werden, als auch aus S¨
atzen, die durch die Kraft der Analysis selbst aufzu-
stellen sind. Die Art und Weise, an die Zetesis heranzugehen, ist eine eige-
ne Kunst, die das Rechnen nicht mehr in Zahlen aus¨
ubt, was f¨
ur die alten

Analytiker ein Hemmschuh gewesen ist, sondern durch die neu einzuf¨
uhren-
de Logistica speciosa, welche zum Vergleich von Gr¨
oßen untereinander viel
g¨
unstiger und wirkungsvoller ist als die Logistica numerosa, wobei zuerst das

Gesetz f¨
ur die homogenen Gr¨
oßen zugrunde gelegt und von da aus festgelegt
wird, was zu tun ist beim Gebrauch von Gr¨
oßen, die ihrer Dimension nach (ex
genere ad genus) auf- oder absteigen in der Reihenfolge oder Skala, nach der
die Grade ihrer Potenzen oder ihre Dimensionen bei Vergleichen bezeichnet
und unterschieden werden.“ [Reich/Gericke, S. 37/38]

Bei aller Kompliziertheit tritt der entscheidende Grundgedanke – mit der

Unterscheidung zwischen Logistica speciosa und Logistica numerosa – schon
zutage. Eine weitere Präzisierung erfolgt zu Beginn von Kapitel IV:

¨

Uber die Vorschriften der Logistica speciosa.

”

Die Logistica numerosa ist die, die durch Zahlen, die Logistica speciosa die,
die durch die species oder formae rerum ausgef¨
uhrt wird, z. B. mit Hilfe der

Elemente des Alphabets.“ [Reich/Gericke, S. 44]

Die echte Neuerung ist angekündigt: die durchgängige Verwendung von Buch-
staben. Die Differenzierung zwischen bekannten und gesuchten Größen wird
festgelegt.

Damit die Arbeit (Durchführung der Zetesis, Wg) durch ein schematisch

”

anzuwendendes Verfahren unterst¨
utzt wird, m¨
ogen die gegebenen Gr¨
oßen von
den gesuchten unbekannten unterschieden werden durch eine feste und immer
gleichbleibende und einpr¨
agsame Bezeichnungsweise, wie etwa dadurch, daß

272

5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16./17. Jh.)

man die gesuchten Gr¨
oßen mit dem Buchstaben A oder einem anderen Vokal

E, I, O, U, Y, die gegebenen mit den Buchstaben B, G, D oder anderen

Konsonanten bezeichnet.“ [Reich/Gericke, S. 52]

Das ist die entscheidende Stelle. Nun ist es möglich, nicht nur Regeln (z. B.

zum Auflösen von Gleichungen) oder Beispiele anzugeben, sondern allgemei-
ne Formeln. Die Symbole können Zahlen bedeuten, aber auch andere Größen,
z. B. Strecken oder Winkel. Vieta verwendete durchgängig (wie in Deutsch-
land) die Zeichen + und −, noch nicht aber das von Recorde eingeführ-
te Gleichheitszeichen =. Statt dessen beschrieb er die Gleichheit von Aus-
drücken verbal mit den Worten aequabitur oder aequale. Er gebrauchte den

Bruchstrich, verwendete aber, gemäß alter Tradition, das Wörtchen in für
die Multiplikation. Zusammengehörige Terme schrieb er untereinander und
verband sie mittels geschweifter Klammern. Beispielsweise würde Vieta den

Ausdruck

⎧

⎫

⎪

⎪ B in A

⎨

⎪

⎪

−

⎬

B in H

BA + BA−BH = B in der Form B in A +
aequale B

D

F

D

⎪

⎪

F

⎩

⎪

⎪

⎭
geschrieben haben. Auch die algebraische Umformtechnik hat Vieta weit ent-
wickelt: Auflösen, Abspalten von Faktoren, Verwandlung unbestimmter Aus-
drücke in vollständige Quadrate, Transformation von Gleichungen durch neu
eingeführte Variable, Rationalmachen der Nenner und anderes mehr werden
virtuos gehandhabt. Doch sind negative Größen nicht zugelassen.

Aus der Fülle der von Vieta behandelten Beispiele und Methoden sei wenig-
stens eine Kostprobe angegeben, allerdings in einer der heutigen Schreibweise
angepaßten Form; die Vokale bedeuten, wie gesagt, Variable bzw. gesuchte

Größen:

An + An− 1 B + An− 2 C 2 + ... + AF n− 1 = Gn

.

Noch in der Isagoge“ behandelt Vieta die Herstellung der Normalform von

”

(algebraischen) Gleichungen. Aus Gründen der Homogenität treten auch die

Koeffizienten in Potenzen auf. Um die Normalform herzustellen, kann man
drei Verfahren verwenden:

Antithesis (Größen wechseln mit umgekehrtem Vorzeichen die Seiten),

Hypobibasmus (Herabdrücken der Dimension durch Division; z. B. wird aus

A 3 + BA 2 = Z 2 A der Ausdruck A 2 + BA = Z 2 für A = 0),

Parabolismus (Befreiung vom Koeffizienten des höchsten Gliedes; z. B. BA 2 +

D 2 A = Z 3 geht über in A 2 + D 2 A = Z 3 für B = 0).

B

B

Schließlich beweist Vieta, daß – modern gesprochen – diese Umformungen
äquivalente Gleichungen liefern.

Nach den theoretischen Überlegungen Vietas in der

Isagoge“, die hier nur

”

verkürzt wiedergegeben werden konnten, publizierte er 1593 (zwei Jahre nach

5.2 Viète und Descartes

273
der

Isagoge“) die Aufgabensammlung

Zeteticorum libri quinque“. Viele

”

”

der Aufgaben schließen an Diophant an; Vieta kann aber mit seiner Be-
zeichnungsweise die Überlegenheit demonstrieren. (Vgl. die zusammenfas-
sende Gegenüberstellung der Aufgaben bei Vieta, Diophant und Bombelli

[Reich/Gericke, S. 93-96]. Dabei hat sich gezeigt, daß Vieta einen Zugang zu

Diophant über Bombelli und einen weiteren Text gehabt haben muß.)

Beispiele:

[Zetetica, Buch I, Aufgabe 1] Gegeben die Differenz zweier Seiten und deren

Summe. Gesucht sind die Seiten. Bezeichne B die Differenz, D die Summe
und A die kleinere Seite. Dann ist 2 A + B = D. Mittels Antithesis erhält
man 2 A = D − B, also ist A = 1 D − 1 B. Für die größere Seite E erhält man

2

2

E = 1 D + 1 B.

2

2

Diophant hatte die Aufgabe ebenfalls abstrakt formuliert: Eine gegebene Zahl
in zwei Teile zu teilen, deren Differenz gegeben ist. Jedoch rechnete Diophant,
wie stets, die Aufgabe nur mit vorgegebenen Zahlen durch; in diesem Falle
mit 100 als gegebener Zahl und der Differenz 40.

Im Unterschied zu Diophant formuliert Vieta eine Existenzaussage: Wenn

”

also die Differenz zweier Seiten und deren Summe gegeben sind, dann k¨
onnen
die Seiten gefunden werden. Denn, die halbe Summe minus der halben Dif-
ferenz der Seiten ist gleich der kleineren Seite, plus derselben, gleich der
gr¨
oßeren Seite. Das ist es, was die Zetesis zeigt.“ [Reich/Gericke s.o., S. 98]

Das zweite Buch der Zetetica“ behandelt quadratische, das dritte kubische

”

Probleme.

Buch 2. Aufgabe 13: Wenn die Summe zweier Quadrate und ihre Differenz
gegeben ist, die Seiten zu finden.

Buch 3. Aufgabe 5: Wenn die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks und
die Differenz der Katheten gegeben ist, die Seiten zu finden.

Buch 3, Aufgabe 19, von Vieta selbst als bemerkenswert bezeichnet: Sei die

Differerenz der Kuben und das Rechteck (d. h. ihr Produkt)gegeben; gesucht
ist die Differenz der Seiten. Die Aufgabe führt auf die kubische Gleichung
x − y 3 + 3 xy( x − y) = x 3 − y 3, die Vieta in Aufgabe 15 schon algebraisch
behandelt hatte, nach dem von Tartaglia, Cardano und Scipione del Ferro
gewiesenen, aber geometrisch bewiesenem Weg.

De recognitione...“ (Untersuchung) hatte Vieta nicht mehr vollenden können.

”

Der Text behandelt die Theorie der Gleichungen. Unter anderem geht es um
die Zusammenhänge zwischen mittleren Proportionalen und quadratischen

Gleichungen, um den Zusammenhang zwischen vier stetigen Proportionalen
und kubischen Gleichungen. Es folgen, unter dem Titel
emendatio“ (Ver-

”

besserung), Methoden der Umformung von Gleichungen, unter anderem die

Beseitigung des zweithöchsten Gliedes und eine Transformation, um negative

Gleichungskoeffizienten in positive zu verwandeln.

Hier findet sich auch der nach Vieta benannte Wurzelsatz, also die Konstruk-
tion von Gleichungen mit Hilfe ihrer Lösungen und zwar für die Grade 2 bis

5. Beispielsweise heißt es für quadratische Gleichungen:

274

5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16./17. Jh.)

Wenn ( B + D) A − A 2 = BD (quadratische Gleichung in A), so sind B und

D die beiden Lösungen.

Und für kubische Gleichungen heißt es:

Wenn A 3 − ( B + D + G) A 2 + ( BD + BG + DG) A = BDG, so sind B, D, G Lösungen.

5.2.2 Ren´
e Descartes (Cartesius)

Durch das Wirken von René Descartes erhielten Algebra und algebraisches

Denken eine wiederum signifikant stärkere Stellung in der Mathematik, die
weit in die Zukunft wirkte. Descartes brachte Geometrie und Algebra in einen
inneren Zusammenhang; bis zu einem gewissen Grade beruht die analytische

Geometrie auf einer Verschmelzung beider Disziplinen.

Neben Descartes darf Pierre Fermat als Begründer der analytischen Geome-
trie gelten. Fermat übernahm die Bezeichnungen von Vieta für bekannte und
unbekannte Größen, hat aber kaum im eigentlichen Sinne zur Entwicklung
der Algebra beigetragen. Doch konnte er einen exakten Beweis liefern, daß
jede Gleichung zweiten Grades in zwei Variablen einen Kegelschnitt darstellt.

Descartes wurde 1596 in La Haye (Touraine) geboren. Er war 32 Jahre jünger
als Galilei und 46 bzw. 50 Jahre älter als Newton bzw. Leibniz. Descartes
gehört also zu der mittleren Generation zwischen den Initiatoren und den

Vollendern der sog. Wissenschaftlichen Revolution [Wußing 2002], in deren

Gefolge sich die moderne Naturwissenschaft und die neuzeitliche Mathematik
der Variablen herausbildeten. Descartes nahm in diesem Prozeß eine zentra-
le Stellung ein, als Mathematiker, als Naturforscher mit seinen Beiträgen
zu Optik und Mechanik und als Schöpfer eines universellen Weltbildes, das
getragen war von einer auf Vernunft gegründeten Philosophie.

Descartes stammt aus einer Amtsadelfamilie; der Vater war Parlamentsrat in

Rennes. Der junge Descartes gelangte von 1604 bis 1612 an das Jesuitenkol-
leg in La Flèche, das eine vorzügliche, umfassende Ausbildung vermittelte,
auch in moderner Naturwissenschaft und Mathematik. Trotz eines Studiums
der Rechtswissenschaft schlug er eine juristische Laufbahn aus und stand
statt dessen – von 1617 bis 1621 – im Militärdienst und nahm als eine Art

Beobachter an einigen Feldzügen des Dreißigjährigen Krieges teil. Dabei be-
nutzte er sich bietende Gelegenheiten, um mit bedeutenden Wissenschaftlern
in Kontakt zu treten, u. a. mit Stevin und möglicherweise mit dem deutschen

Mathematiker Johannes Faulhaber (1580–1635).

Descartes war zeitlebens scheu und zurückhaltend und liebte ein zurückgezo-
genes Leben. Einer seiner Wahlsprüche lautete: Bene vixit, qui bene latuit“

”

(Gut hat gelebt, wer sich gut verborgen gehalten hat). So nahm Descartes
nach einem Aufenthalt in Paris, der ihn in Berührung zu einem sich um Ma-
rin Mersenne (1588–1648) formierenden Kreis französischer Naturforscher ge-
bracht hatte, schließlich 1628/29 seinen Aufenthalt in den republikanischen

5.2 Viète und Descartes

275

Abb. 5.2.6. Innenhof des königlichen Schlosses in Stockholm [Foto Alten]

Niederlanden, in der Erwartung, dort größere Gedankenfreiheit zu finden
als in dem royalistischen, von Glaubenskämpfen zerissenen Frankreich. Ihm
schwebte eine umfassende Beschreibung des Universums unter dem Titel Le

”

monde“ (Die Welt) vor, die die Bildung der Himmelskörper und der Erde,
die Entstehung des tierischen und menschlichen Körpers und schließlich sogar
das Wechselspiel zwischen Körper und Denken erklären sollte.

Anfang der dreißiger Jahre wurde auch in den Niederlanden die Verurteilung

(1633) von Galilei bekannt; an der Universität Lüttich wurde die Erörte-
rung der copernicanischen Lehre untersagt. Daraufhin hielt Descartes die

Veröffentlichung von

Le monde“ zurück. Er entschloß sich lediglich zur –

”

anonymen – Publikation eines relativ ungefährlichen Teiles, einer Methoden-
lehre, unter dem Titel

Discours de la m´
ethode“ (1637) (Abhandlung von

”

der Methode). Aber selbst der

Discours“ brachte Descartes in ernsthafte

”

Schwierigkeiten. Ein Professorenkolloquium in Utrecht verwarf 1642 seine

Philosophie als im Widerspruch zur offiziellen Theologie stehend. Die Schrif-
ten von Descartes wurden 1663 sogar auf den päpstlichen Index der verbote-
nen Schriften gesetzt.

Schließlich folgte Descartes einer Einladung der schwedischen Königin Chri-
stine an den Hof nach Stockholm, um die gebildete Herrscherin in Philosophie
zu unterweisen und in Stockholm eine Akademie zu gründen. Im Oktober

1649 traf Descartes in Stockholm ein. Seine Pflichten waren beschwerlich:

Um fünf Uhr morgens hatte er sich zum Unterricht bei der Königin einzu-
finden, und das im strengen skandinavischen Winter. Descartes zog sich eine

Lungenentzündung zu und verstarb am 11. Februar 1650.

276

5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16./17. Jh.)

5.2.3 Die algebraischen Methoden von Descartes

Der

Discours“ gehört zu den Marksteinen in der Herausbildung der mo-

”

dernen Naturwissenschaft und Mathematik, sowohl im allgemeinen als auch
im speziellen. So verdient es hervorgehoben zu werden, daß bei Descartes
der Begriff des

Gesetzes“ erstmals klar im Sinne des naturwissenschaftli-

”

chen Gesetzes verwendet wird; bisher hatte er sich lediglich auf religiöse oder
juristische Zusammenhänge bezogen.

Der

Discours“ enthält drei Anhänge; gedacht als Probe auf seine philoso-

”

phische Methode, einen über Meteore und Himmelserscheinungen im allge-
meinen, einen über Dioptrik und einen dritten über Geometrie. Der dritte

Anhang ist für die Geschichte der Mathematik von außerordentlicher Be-
deutung, und zwar für die Entstehung der analytischen Geometrie und die

Fortentwicklung der Geometrie. Seine Beiträge zur analytischen Geometrie
sollen jedoch hier nicht betrachtet werden, wie überhaupt die Geschichte der
analytischen Geometrie hier nicht weiter verfolgt wird (vgl. [Scriba/Schreiber

2000, S. 303ff.]).

Abb. 5.2.7. Titelblatt des Discours de la méthode“ [René Descartes 1637]

”

5.2 Viète und Descartes

277

Abb. 5.2.8. Zur Grundvorstellung der analytischen Geometrie von Descartes

Auch die mathematische Leistung von Descartes entsprang seiner rationali-
stischen Philosophie. Es ging um klare Begriffe, um scharfe Definitionen und
um einprägsame Bezeichnungen. So ist es verständlich, daß er sich des neu-
en Werkzeuges der symbolischen Algebra bediente, das größere Klarheit und
mehr Sicherheit beim Gebrauch von Begriffen und bei Rechnungen ermöglich-
te. Descartes wurde seinerseits Wegbereiter mathematischer Symbolik. Auf
ihn geht die Gepflogenheit zurück, die Variablen mit den letzten Buchstaben
des Alphabets – x, y, z – zu bezeichnen. Er verwendete durchgehend die

Zeichen + und −, die heutige Potenzschreibweise und das Quadratwurzelzei-
chen, allerdings ohne den Querstrich. Doch fehlt bei ihm noch das heutige,
auf Recorde zurückgehende Gleichheitszeichen =. Statt dessen verwendete er
ein komplizierteres Symbol für aequatur.

Die Grundvorstellung der analytischen Geometrie bei Descartes ist noch re-
lativ einfach. Eine Schar paralleler, nicht notwendig äquidistanter Geraden
schneidet auf einer Geraden, die nicht parallel zu denen der Schar liegt,

Strecken ab, die von einem Anfangspunkt A an gemessen werden (Abb. 5.2.9).

Auf jeder der Parallelen der Schar liegt eine Strecke; ein Endpunkt befindet
sich auf der ausgezeichneten Geraden. Wenn nun eine von Scharparalle zu

Scharparallele sich nicht ändernde Beziehung zwischen den von A aus ge-
messenen Strecken und den Strecken auf den Parallelen besteht, dann hat
man in dieser Beziehung eine Gleichung einer Kurve. Die Wortverbindung

Gleichung einer Kurve“ tritt bei Descartes allerdings nur einmal auf.

”

Descartes verfolgte das Ziel, eine geometrische Basis für die Lösung algebra-
ischer Probleme zu errichten. Er schrieb:

Alle Probleme der Geometrie

”

k¨
onnen leicht auf einen solchen Ausdruck gebracht werden, daß es nachher
nur der Kenntnis der L¨
ange gewisser gerader Linien bedarf, um dieselbe zu
construiren. Und gleichwie sich die gesammte Arithmetik nur aus vier oder
f¨
unf Operationen zusammensetzt, n¨
amlich aus den Operationen der Additi-
on, der Subtraction, der Multiplication, der Division und des Ausziehens von

278

5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16./17. Jh.)

Abb. 5.2.9. Multiplikation von Strecken nach Descartes

Wurzeln, welches ja auch als eine Art von Division angesehen werden kann:

so hat man auch in der Geometrie, um die gesuchten Linien so umzuformen,
daß sie auf Bekanntes f¨
uhren, nichts Anderes zu thun, als andere Linien ih-
nen hinzuzuf¨
ugen oder von ihnen abzuziehen, oder aber, wenn eine solche
gegeben ist, die ich, um sie mit den Zahlen in n¨
ahere Beziehung zu bringen,
die Einheit nennen werde, und die gew¨
ohnlich ganz nach Belieben genommen
werden kann, und man hat noch zwei andere, eine vierte Linie zu finden,
welche sich zu einer dieser beiden verh¨
alt, wie die andere zur Einheit, was
daßelbe ist, wie die Multiplication;... Und ich werde mich nicht scheuen, diese
der Arithmetik entnommenen Ausdr¨
ucke in die Geometrie einzuf¨
uhren, um
mich dadurch verst¨
andlicher zu machen“ [Descartes 1894, Geometrie, S.1]

Nehmen wir das Beispiel der Multiplikation.

Es sei zum Beispiel

AB
die Einheit und es w¨
are

BD
mit

BC
zu

”

multipliciren, so habe ich nur die Punkte A und

C zu verbinden, dann

DE parallel mit CA zu ziehen und BE ist das Product der Multiplication“.

[Descartes 1894, Geometrie, S. 2], (Abb. 5.2.10).

Diese Passage klingt harmlos, enthält aber doch einen wesentlichen Fort-
schritt: Unter den mit Buchstaben bezeichneten Strecken AB, BD, usw. wer-
den nicht nur die geometrischen Strecken, sondern zugleich die den Strecken

(unter Zugrundelegung einer Einheit) entsprechenden Zahlenwerte verstan-
den.

Descartes beschreibt auch, wie man die Quadratwurzel aus einer Strecke zie-
hen kann.

√

Gegeben die Strecke GH, gesucht ist

GH. Man verlängere HG über G
hinaus um die Einheit GF . Dann wird der Kreisbogen über F H mit dem

Mittelpunkt K von F H geschlagen. Die Höhe GJ ist dann die gesuchte Wur-
zel aus GH (Abb. 5.2.11). – Descartes gibt keinen Beweis; er ergibt sich aus
dem Höhensatz – Descartes verzichtet an dieser Stelle auf die Behandlung
von Kubik- und höheren Wurzeln.

5.2 Viète und Descartes

279

Abb. 5.2.10. Konstruktion der Quadratwurzel nach Descartes

In diesem Sinne ist beispielsweise die geometrische Konstruktion der Mul-
tiplikation von Strecken gleichwertig mit dem Produkt zweier Zahlenwerte.

Mehr noch: Ausdrücke wie a 2, a 3 usw. stellen eine Zahl dar und bedeuten
nicht nur Flächen- bzw. Rauminhalte. Somit befreite sich Descartes – ähnlich
wie zuvor Vieta – vom hemmenden Prinzip der Dimensionstreue. Nach klas-

√
sischer Auffassung wäre etwa der Ausdruck 3 a − bc 5 ganz sinnleer: Dritte

Wurzeln kann man nur (als Bestimmung der Kantenlänge eines Würfels) aus

Ausdrücken der Dimension 3 ziehen. Jetzt handelt es sich jedoch um das Wur-
zelziehen aus einer Zahl, die nicht notwendig eine geometrische Bedeutung
haben muß.

Auf dieser theoretischen Basis traf Descartes die Unterscheidung zwischen
zwei wesentlichen Typen von Aufgaben:

1. Bestimmte Aufgaben. In unserer Sprechweise bedeutet das die Auflösung
von algebraischen Gleichungen durch geometrische Konstruktion.

2. Unbestimmte Aufgaben. Wir würden heute von der Konstruktion geometri-
scher Örter bzw. von der Gleichung einer Kurve bzw. von der Abhängigkeit
von Variablen sprechen.

Der erste Fall tritt ein, wenn man genau soviel Gleichungen aufstellen kann
wie man gesuchte Linien hat; hat man weniger Gleichungen als gesuchte

Linien, so handelt es sich um eine unbestimmte Aufgabe.

Beispiel einer bestimmten Aufgabe:

Lösung der Gleichung z 2 = az + b 2, b = LM > 0, a > 0.

OM ist eine der gesuchten Lösungen, und zwar die positive (Abb. 5.2.12).

Beispiel einer unbestimmten Aufgabe: Das von Pappos in der Antike gestellte,
aber seitdem ungelöste Problem Locus ad quattuor lineas“ (Geometrischer

”

Ort zu vier Linien):

Gegeben seien vier Geraden a, b, c, d. Gesucht ist der geometrische Ort
aller Punkte P mit folgender Eigenschaft: Von P aus werden nach den vier

Geraden und unter vorgegebenen Winkeln α, β, γ, δ Geraden gezogen. Dann
soll P A · P B = P C · P D gelten.

280

5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16./17. Jh.)

Abb. 5.2.11. Lösung einer quadratischen Gleichung nach Descartes

Der geometrische Ort, und das ist das Ergebnis, ist stets ein Kegelschnitt.

Descartes ist stolz, daß er dieses Problem bewältigen konnte. Er wählt eine

Gerade, etwa a, als feste Bezugsgerade aus, wählt einen Anfangspunkt O und
führt dort eine Einheit ein. OA etwa wird als eine Variable behandelt. Die
durch A und P gehende Gerade nimmt die Stelle der zweiten Variablen ein.

La G´
eom´
etrie“ mündet in einen dritten Teil, in dem Descartes sozusagen

”

die algebraischen Früchte seiner geometrisch-analytischen Untersuchungen
erntet. Er unterschied bei Gleichungswurzeln zwischen wahren“ (d. h. po-

”

sitiven) und falschen“ (d. h. negativen) Lösungen. Er sprach davon, daß es

”

Gleichungen n-ten Grades mit n Lösungen gibt, aber er bezog keine klare

Haltung zu dem 1629 von Girard formulierten, wenn auch nicht bewiesenen

Fundamentalsatz der Algebra. Wisset also, daß f¨
ur eine Gleichung so viele

”

verschiedene Wurzeln, d. h. Werte der unbekannten Gr¨
osse existiren k¨
onnen
als diese unbekannte Gr¨
osse Dimensionen hat,...“ . [Descartes 1894, S. 69]

Descartes wußte, daß jede ganzzahlige Lösung einer algebraischen Gleichung
mit ganzzahligen Koeffizienten das absolute Glied teilt. Ferner formulierte
er die folgenden Regeln (eine schwache Form der sog. Cartesischen Zeichen-
regeln): Die Anzahl der positiven Wurzeln einer algebraischen Gleichung ist
höchstens gleich der Anzahl der Vorzeichenwechsel der Koeffizienten. Die An-
zahl der negativen Wurzeln ist höchstens gleich der der Zeichenfolgen der

Koeffizienten.

Ferner l¨
aßt sich ... feststellen, wie viele wahre und wie vie-

”

le falsche Wurzeln eine Gleichung haben kann; es k¨
onnen n¨
amlich so viele
wahre Wurzeln vorhanden sein als die Anzahl der Wechsel der Vorzeichen +
und − beträgt, und so viele falsche, wie oft zwei Zeichen + oder zwei Zeichen

− aufeinander folgen“ [Descartes 1894, S. 70]. Diese Regeln sind richtig; ein

Beweis aber stammt erst von C. F. Gauß aus dem Jahre 1826.

An dieser Stelle ist noch eine Bemerkung angebracht: Descartes erwähnt Car-
dano und Scipio Ferreus. Jedoch bleibt – wie u. a. auch D. J. Struik in seiner

Anthologie hervorhebt – das Verhältnis zu Vieta unklar. Dies gilt auch für
die Beziehung von Descartes zu dem englischen Mathematiker und Astrono-

5.3 Newton und Euler

281

Abb. 5.2.12. Zum Problem Locus ad quattuor lineas“

”

men Thomas Harriot (1560–1621). Harriot schrieb, vermutlich um 1610, die
einflußreiche Artis analyticae praxis“ (Die Praxis der analytischen Kunst;

”

gedruckt London 1631). Sie nimmt in einigen Punkten die Gleichungslehre
von Descartes vorweg. Auch verwendete Harriot das Gleichungszeichen = und
die Zeichen < und > in unserer heutigen Bedeutung.

5.3 Newton und Euler

5.3.1 Isaac Newton

Auch Isaac Newton (1642–1727), der wohl bedeutendste Naturforscher der

Menschheit und herausragender Mathematiker – mit seiner Fluxionsrechnung
gehört er zu den Begründern der Infinitesimalmathematik – hat seinen Platz
in einer Geschichte der Algebra.

Newton gelangte 1661 zum Studium an das Trinity College von Cambridge
und folgte 1669 seinem Lehrer Isaac Barrow auf den Lucasischen Lehrstuhl.

1696 siedelte er nach London über, erwarb sich große Verdienste um die

Stabilisierung des britischen Münzwesens und wurde daraufhin geadelt. Von

1703 bis zu seinem Tode wirkte er als Präsident der Royal Society.

Die wissenschaftlich produktivste Periode Newtons fällt in die Jahre 1664 bis

1669; damals hatte er längere Zeit wegen eines Pestzuges Cambridge verlassen
und lebte in seiner ländlichen Heimat. Dort faßte er die Grundideen seines

Lebenswerkes, die sich teilweise erst später in grundlegenden Publikationen
niederschlugen, z. B. in den

Philosophiae naturalis principia mathematica“

”

(Mathematische Prinzipien der Naturwissenschaft 1687) mit dem Gesetz der
allgemeinen Gravitation.

Newton hat zwischen 1673 und 1683 Vorlesungen zur Algebra gehalten. In

Buchform wurden sie 1707 unter dem Titel Arithmetica universalis“ heraus-

”

gegeben. Eine englische Version erschien als Universal arithmetick“ 1720.

”

282

5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16./17. Jh.)

Isaac Newton

Pierre de Fermat

Die

Arithmetica“ enthält Methoden zum Lösen von Gleichungen, Untersu-

”

chungen über Wurzeln, die Suche nach Teilern von Polynomen und anderes
mehr. Die Terminologie ist spezifisch für Newton: Die Wurzeln heißen af-
firmative, wenn sie positiv sind, sonst negative. Er gebraucht dimension für

Grad der Gleichung, quantity eines Termes für den Koeffizienten, rectangle
für das Produkt.

Von besonderem Interesse sind die Aussagen von Newton über die (elemen-
tar)symmetrischen Funktionen der Wurzeln einer Gleichung, im Anschluß an

Vieta, nun aber in voller Allgemeinheit (vgl. die Anthologie in [Struik 1969,

S. 94]). Wenn, in moderner Schreibweise, eine Gleichung
xn + a 1 xn− 1 + a 2 xn− 2 + ... + an = 0
gegeben ist, so ist a 1 die negative Summe der Wurzeln, a 2 die Summe aller

Produkte von je zwei Wurzeln. Im Originaltext der englischen Version heißt
es:

From the generation of equations it is evident, that the known quantity of the

”

second term of the equation, if its sign be changed, is equal to the aggregate of
all the roots under their proper signs; and that of the third term, equal to the
aggregate of the rectangles of each of two of the roots; that of the fourth, if its
sign be changed, is equal to the aggregate of the contents under each three of
the roots, that of the fifth is equal to the aggregate of the contents each four,
and so on ad infinitum“. [Struik 1969, S. 94]

Ein weiterer Beitrag Newtons zur Algebra betrifft die Klassifikation der Kur-
ven dritten Grades. Descartes und Fermat hatten Gleichungen und Kurven-
bilder in Beziehung gesetzt; von Fermat stammt der Beweis, daß alle quadrati-
schen Gleichungen Kegelschnitte repräsentieren, doch hatte er die Schwierig-
keiten beim Studium von Kurven höherer Ordnung bei weitem unterschätzt.

5.3 Newton und Euler

283

Immerhin hatte Fermat, deutlicher als Descartes, Kurven in zwei Koordina-
tenachsen eingebettet.

Wie sieht es nun mit Kurven dritter Ordnung aus? Newton studierte Glei-
chungen, die kubisch in zwei Variablen sind, also Gleichungen der Form
ax 3 + bx 2 y + cxy 2 + dy 3 + ex 2 + f xy + gy 2 + hx + ky + l = 0; a, b, c, d = 0.

Gesucht sind die entsprechenden Kurven, und das in den vier Koordinaten-

Quadranten. Newton hat diese überaus schwierige Frage systematisch in An-
griff genommen und – nach eigenen Worten – 72 Typen angegeben. Es gibt
darüber hinaus einige nicht von ihm explizit genannte Sonderfälle, deren

Zählung jedoch nicht eindeutig ist. Die Publikation erfolgte in einem Anhang
zu den Opticks“ im Jahre 1704. Für Einzelheiten und die Folgeentwicklung

”

sei u. a. verwiesen auf [Brieskorn 1981, S. 118], [Scriba/Schreiber 2000, S.

308/309], [Scholz 1990, S. 265-274].

Die weit ausgreifenden Untersuchungen über algebraische Kurven, wobei die

Bestimmung der Anzahl der Schnittpunkte zweier Kurven zu einem besonders
gepflegten Gegenstand wurde, mündete schließlich in die Aussage von Euler:

Zwei algebraische Kurven, eine von der Ordnung m und die andere von

”

der Ordnung n, k¨
onnen sich in mn Punkten schneiden. Die Wahrheit die-
ses Satzes wird von den Mathematikern anerkannt, aber man muß zugeben,
daß man nirgends einen zureichend exakten Beweis daf¨
ur findet“ (L. Euler:

Démonstration sur le nombre des points où deux lignes des ordres quelconques
peuvent se couper. Mémoires de l’Académie des Sciences de Berlin (4)(1748),

1750, S. 234-248. - Zitiert nach [Scholz 1990, S. 273]).

5.3.2 Zur Vorgeschichte des Fundamentalsatzes der Algebra

Die Aussage, daß jede algebraische Gleichung n-ten Grades im Bereich der
komplexen Zahlen stets genau n nicht notwendig voneinander verschiedene

Lösungen hat, wird allgemein als Fundamentalsatz der Algebra bezeichnet.

Der Sachverhalt kann jedoch auch als Faktorisierungseigenschaft für das ent-
sprechende Polynom formuliert werden und lautet dann: Jedes Polynom vom

Grad n ≥ 1 mit reellen Koeffizienten kann in ein Produkt von reellen Fakto-
ren ersten und zweiten Grades zerlegt werden, bzw. äquivalent dazu: Jedes

Polynom vom Grad n ≥ 1 mit komplexen Koeffizienten kann als ein Produkt
von n linearen Faktoren mit komplexen Koeffizienten dargestellt werden.

Einen ersten Schritt zur Formulierung dieses Satzes unternahm ein gewisser

Peter Roth (gest. 1617), Rechenmeister in Nürnberg, über den relativ wenig
bekannt ist [Schneider 1999][Tropfke 1980, Bd. 1, 4. Aufl.]. Er veröffentlichte

1608 ein ausführliches Buch

Arithmetica Philosophica. Oder sch¨
one neue

”

wolgegr¨
undete ¨

Uberauß K¨
unstliche Rechnung der Coß oder Algebrae“. Ganz
in den Traditionen von Cardano stehend und beeinflußt von Faulhaber behan-
delte Roth ausführlich Gleichungen und gab, im Unterschied zu Faulhaber,

284

5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16./17. Jh.)

nicht nur die Lösungen kubischer Gleichungen, sondern auch die Lösungswe-
ge an. Roth hatte 13 Typen kubischer Gleichungen unterschieden und war
auch auf den casus irreducibilis gestoßen. Im Anschluß an die Aufzählung
der Typen machte Roth – worauf es hier ankommt – ohne Beweis eine Be-
merkung, wonach eine Gleichung n-ten Grades höchstens n Wurzeln haben
könne: ...seynd in allen nachfolgenden Cossen auffs meinste so vil geltungen

”

radicis zu finden / mit wieviel die h¨
ochste Quantitet der f¨
urgegebenen Cossi-
schen aequation / verm¨
og der Cossischen Progression verzeichnet wird. Aber
allhie ist solches nicht zu verstehn / daß darumb eine jede Cubiccossische

Vergleichung dreyerley Geltungen / ein ZZ.cossische viererley geltungen des
radicis leidet / sondern alle die / so am meisten geltungen leiden / die haben
ihr so viel / vnd auch gar nicht mehr.“ [Tropfke 1980, S. 489/490]

Roth hat sich mit seiner Arithmetica Philosophica“, die weit über die Bedürf-

”

nisse der Rechenschulen hinausging, hohes Ansehen erworben; Descartes hat
später auf Roths Schrift zurückgegriffen.

Ivo Schneider hat 1999 in einer Studie die Verdienste von Roth so zusam-
mengefaßt: Immerhin hatte Roth mit der im ersten Teil seiner ’Arithmetica

”

philosophica’ skizzierten Cardanischen L¨
osungstheorie und den im zweiten

Teil ausf¨
uhrlich dargestellten L¨
osungswegen f¨
ur die Probleme des Faulhaber-
schen ’Lustgartens’ den Bereich der kubischen Gleichungen nicht nur f¨
ur die
deutschen Rechenmeister, sondern auch allen interessierten Liebhabern der

Mathematik f¨
ur ein autodidaktisches Studium zug¨
anglich gemacht.“ [Schnei-
der 1999, S. 309]

Ersichtlich ging es noch nicht um einen Beweis für die Existenz von Wurzeln,
sondern um die Anzahl der Wurzeln. Trotzdem scheint es angebracht, diese
und andere Ergebnisse in die Vorgeschichte des Fundamentalsatzes der Alge-
bra einzuordnen. Hierher gehören z. B. Untersuchungen von Thomas Harri-
ot (1560?–1621) über die Zerlegung von Polynomen in Linearfaktoren; auch
näherte er sich der Cartesischen Zeichenregel [Tropfke 1980, S. 490-492].

Das Jahr 1629 brachte einen deutlichen Schritt vorwärts in Richtung auf
den Fundamentalsatz der Algebra. In diesem Jahr veröffentlichte der in den

Niederlanden tätige Mathematiker Albert Girard (1595–1632) in Amsterdam
ein für die Geschichte der Algebra bedeutsames Werk,

Invention nouvelle

”

en alg`
ebre“. Dort stellt Girard fest, daß, wenn man die unmöglichen“ (ima-

”

ginären bzw. komplexen) Lösungen mitzählt, jede Gleichung n-ten Grades n

Wurzeln hat. Genauer: Jede Gleichung der Algebra enthält so viele Lösungen,
wie die denomination“ (Exponent) der höchsten Größe anzeigt. Toutes les

”

”

equations d’alg`
ebre re¸
coivent autant de solutions, que la denomination de la
plus haute quantit´
e le demonstre...“ [Tropfke 1980, S. 492].

Girard stand deutlich unter dem Einfluß von Simon Stevin, dessen Werke

Girard herausgegeben hatte. So übernahm Girard die Bezeichnungen Stevins
bei der Potenzschreibweise. Im Unterschied aber zu Stevin erkannte Girard
imaginäre/komplexe Zahlen als Lösungen an; beispielsweise hat x 4 = 4 x − 3

5.3 Newton und Euler

285

Gottfried Wilhelm Leibniz

Johann I Bernoulli

√

√
die Lösungen 1, 1, − 1 +

− 2, − 1 − − 2. Er begründet auch, warum er
komplexe Zahlen als Lösungen zählt:

Man k¨
onnte nun fragen, wozu diese L¨
osungen dienen k¨
onnen, die doch

”

unm¨
oglich sind. Ich antworte: Aus drei Gr¨
unden: (1) um der Sicherheit der
allgemeinen Regel willen, (2) weil man dann weiß, daß es keine anderen

L¨
osungen geben kann, (3) wegen ihrer N¨
utzlichkeit; diese ist leicht einzuse-
hen, denn sie dienen zum Auffinden der L¨
osungen ¨
ahnlicher Gleichungen.“

[Tropfke 1980, S. 492]

Struik [Struik, S. 85] weist darauf hin, daß in der Originalpassage von Girard
zum Fundamentalsatz der Algebra eine Einschränkung verborgen sein könn-
te. Dies hängt mit der von Girard getroffenen Einteilung der Gleichungen
in einfache“, vollständige“, unvollständige“ und gemischte“ Gleichungen

”

”

”

”

zusammen. Doch würde es hier zu weit führen, diesen Dingen im einzelnen
nachzugehen.

Einen wesentlichen Impuls erhielt die Beschäftigung mit dem Fundamental-
satz der Algebra ab 1702 durch Arbeiten von Leibniz und Johann I Bernoulli

(1667–1748) zur Infinitesimalmathematik. Beide Gelehrte entwickelten darin
die Methode der Partialbruchzerlegung zur Integration von gebrochenratio-
nalen Funktionen F ( x) = P ( x) /Q( x) mit Polynomen P und Q. Das Wesen dieses Verfahrens besteht darin, daß man das im Nenner stehende Polynom

Q( x) in Faktoren ersten und zweiten Grades zerlegte und auf dieser Basis
eine Zerlegung des Bruches P ( x) /Q( x) in einfache Brüche erhielt, die sich
integrieren ließen. Die Methode war aber nur dann allgemein gültig, wenn
die geforderte Zerlegung des Nennerpolynoms stets möglich war, d. h. wenn
der Fundamentalsatz der Algebra galt. Auf Grund eines Gegenbeispiels“

”

√

√
x 4 + a 4 = ( xx − aa − 1)( xx + aa − 1)

286

5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16./17. Jh.)

folgerte Leibniz überraschenderweise, daß die erforderliche Zerlegung nicht
immer möglich sei, eine Meinung der sich Joh. I Bernoulli nicht anschloß.

In den folgenden Jahren diskutierten verschiedene Mathematiker wiederholt
dieses Beispiel und um 1720 erschienen mehrere Arbeiten, die das Beispiel

"

als fehlerhaft nachwiesen und das Integral
dx
x 4+ a 4 korrekt berechneten.

5.3.3 Leonhard Euler und der Fundamentalsatz der Algebra

Girard hatte den allgemeinen Fundamentalsatz der Algebra ausgesprochen.

Der Satz galt als richtig, aber der Beweis des tiefliegenden Satzes ist schwierig;
er gelang schließlich erst Gauß, der vier voneinander unabhängige Beweise
lieferte. Der erste stammt aus dem Jahre 1799 und stellt den Gegenstand
seiner Dissertation dar.

Ein ernsthafter Beweisansatz stammt von Jean Le Rond d’Alembert (1717–

1783), seit 1759 ständiger Sekretär der französischen Akademie. Dazu sei
verwiesen auf seine Abhandlung Recherches sur le calcul int´
egral“, Histoire

”

de l’Académie Royale, Berlin, 1746 (1748).

Diese Abhandlung ermöglichte entscheidende Fortschritte bei der Integra-
tion von gebrochen rationalen Funktionen durch die Methode der Partial-
bruchzerlegung. Die Aussage von d’Alembert [Struik, S. 99] läuft darauf hin-
aus, daß jedes Polynom von gerader Ordnung in Faktoren zweiten Grades

x 2 + ax + b ( ... ) mit reellen Koeffizienten zerlegt werden kann.

Der Beweis wurde geometrisch geführt. Genau genommen handelte es sich
nicht um einen Beweis für die Existenz einer Wurzel, sondern nur für die

Form der Wurzeln. Auf Lücken und Schwächen bei d’Alembert hat dann
später Gauß hingewiesen.

D’Alembert nahm ohne Beweis an, daß der Betrag des betrachteten Po-
lynoms ein Minimum x 0 hat, und bewies, daß dieses Minimum den Wert

Null haben muß. Mit anderen Worten: x 0 ist eine Nullstelle des Polynoms,
und von dem Polynom kann der Faktor ( x − x 0) abgespalten werden. Durch
sukzessive Anwendung der Schlußweise auf das als zweiter Faktor verblei-
bende Restpolynom erhält man eine vollständige Zerlegung des Polynoms.

Am Rande vermerkte d’Alembert noch zwei wichtige Beobachtungen: Wenn

√
die komplexe Zahl a + b − 1 Wurzel eines Polynoms P mit reellen Koef-

√
fizienten ist, so ist auch a − b − 1 Wurzel von P , und P kann in einen
quadratischen Faktor der Art xx + mx + n und ein Restpolynom zerlegt
werden. Ersetzt man in einem reellen Polynom P ( x) die Veränderliche x

√
durch eine komplexe Zahl z = z 1 + z 2 − 1 ( z 1, z 2 reelle Zahlen), dann wird

√

P ( z) = Q 1( z 1 , z 2) + Q 2( z 1 , z 2) − 1 mit reellen Polynomen Q 1 und Q 2, und P ( z) = 0 gilt genau dann, wenn Q 1 = 0 und Q 2 = 0 sind.

Wenig später, 1749, veröffentlichte Euler einen algebraischen Beweis des Sat-
zes. Leonhard Euler (1707–1783) war der produktivste Mathematiker der

Menschheitsgeschichte; die in der Schweiz herausgegebenen Gesammelten Ab-
handlungen ( Opera omnia“) umfassen bisher mehr als 70 Bände. Seine ma-

”

5.3 Newton und Euler

287

Abb. 5.3.13. Akademie der Wissenschaften in St. Petersburg [Foto Alten]

thematischen Studien zeigen Euler als äußerst vielseitigen Gelehrten: Theo-
retische Mechanik, Differentialrechnung, Integralrechnung, Differentialglei-
chungen, Variationsrechnung und Algebra wurden von ihm wesentlich berei-
chert und in hervorragenden Lehrbüchern dargestellt. Bis zu einem gewissen

Grade kann man sagen, daß Euler den Typ des modernen Lehrbuchs geschaf-
fen hat. Aus seiner Feder stammt auch eine Fülle von naturwissenschaftlich-
technischen Untersuchungen zur Astronomie, Geodäsie, Kartographie, Balli-
stik, Optik, Navigation, Schiffbau und anderes mehr.

Euler wurde am 15. April 1707 in Basel als Sohn eines Pfarrers geboren. Er
studierte bei Johann Bernoulli Mathematik. Dessen Söhne Daniel und Niko-
laus wurden an die neugegründete St. Petersburger Akademie berufen; 1727
folgte Euler und entfaltete dort eine weitgefächerte wissenschaftliche Tätig-
keit. Als wegen innenpolitischer Wirren in Rußland die Lage an der Akademie
unerquicklich geworden war, folgte Euler 1741 einer Einladung des preußi-
schen Königs Friedrich II. an die Berliner Akademie, pflegte aber weiterhin die

Beziehungen nach St. Petersburg. Auch in Berlin war Euler äußerst produk-
tiv, doch entstanden Spannungen innerhalb der Akademie und zum König.

So kehrte Euler 1766 nach St. Petersburg zurück, hochgeehrt von der Zarin

Katherina II. Trotz vollständiger Erblindung setzte er die Publikations- und

Forschungstätigkeit fort. Er starb am 18. September 1783 in St. Petersburg.

Hier kann nur auf einige Aspekte von Eulers Beitrag zur Algebra eingegan-
gen werden. Im Zusammenhang mit der Partialbruchzerlegung ging Euler
in seiner Introductio in Analysin Infinitorum“ (Einführung in die Analysis

”

288

5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16./17. Jh.)

des Unendlichen) von 1748 auch auf die Zerlegung eines Polynoms in Linear-
faktoren ein. Sie wird als gegeben, als selbstverständlich vorausgesetzt. Die

Zerlegung besteht aus reellen oder imaginären Linearfaktoren bzw. aus reel-
len Faktoren zweiten Grades; andere imaginäre Größen als imaginäre Größen

√
der Form a + b − 1 könne es nicht geben. Wenn eine ganze Funktion von

”

Z ( Euler versteht unter ganze Funktion“ eine ganzrationale Funktion) ima-

”

gin¨
are Linearfunktionen hat, so ist deren Anzahl gerade und sie lassen sich
zu je zweien so zusammenfassen, daß ihr Produkt reell ist....Also kann jede
ganze Funktion von Z in reelle Faktoren ersten Grades oder zweiten Gra-
des zerlegt werden. Obwohl das nicht in aller Strenge bewiesen ist, wird doch
die Wahrheit dieses Satzes im folgenden immer mehr gest¨
utzt werden,....“

[Tropfke 1980, S. 496]

Den Versuch eines Beweises für die mögliche Zerlegung unternahm Euler in
seiner Abhandlung

Recherches sur les racines imaginaires des ´
equations“

”

[Mém. Acad. Sc. Berlin 5 (1749) 1751]. Auch dieser Beweis war noch unvoll-
kommen.

√

Immerhin konnte Euler zeigen, daß zu jeder Wurzel der Form x + y − 1 auch

√
die konjugiert komplexe Wurzel x − y − 1 existiert und damit ein Faktor
x 2 + ax + b der algebraischen Gleichung. Ferner bewies er, daß eine algebra-
ische Gleichung ungeraden Grades wenigstens eine reelle Wurzel hat, daß eine

Gleichung geraden Grades entweder keine reelle Wurzel oder ein Paar solcher

Wurzeln hat und daß eine Gleichung geraden Grades mit negativem Abso-
lutglied wenigstens eine positive und eine negative Wurzel hat. Zum Beweis
führte er die Gleichung n-ten Grades sukzessive auf Gleichungen niedrigeren

Grades zurück und zog sehr stark die geometrischen Anschauungen heran.

So weiß man von einem Polynom P ( x) ungeraden Grades 2 n + 1, daß sich
der Wert des Polynoms für betragsmäßig große Werte von x so verhält wie
sein Summand höchsten Grades. Also gilt:

für x → ∞ folgt x 2 n+1 → ∞ und P ( x) → ∞ sowie
für x → −∞ folgt x 2 n+1 → −∞ und P ( x) → −∞.

Nach dem Kontinuitätsprinzip schlossen die Mathematiker des 18. Jahrhun-
derts, daß die durch das Polynom P ( x) definierte Kurve, die für große positive
x-Werte oberhalb der x-Achse und für große negative x-Werte unterhalb der
x-Achse verläuft, notwendigerweise einmal die x-Achse schneiden muß. Ein

Beweis dieser scheinbar so naheliegenden Tatsache beruht wesentlich auf der

Vollständigkeit der reellen Zahlen und auf dem Zwischenwertsatz von Bolza-
no.

Doch enthält die Abhandlung von Euler auch algebraisch geführte Beweise
für einschlägige Sätze, z. B.: Jedes Polynom vom vierten Grade kann in zwei
reelle Faktoren des Grades zwei zerlegt werden.

Euler war überzeugt, daß er einen korrekten Beweis des allgemeinen, in der

Analysis vorausgesetzten Satzes geliefert habe, daß jedes Polynom in reelle

Faktoren zerlegt werden kann, entweder des ersten oder des zweiten Gra-

5.3 Newton und Euler

289
des. Der zweite Teil seiner Abhandlung ist dem Beweis gewidmet, daß alle

√
nichtreellen Wurzeln von der Form A + B − 1 sind.

Die Eulersche Beweisskizze versuchten dann 1759 der als Offizier, später als

Gouverneur tätige und mit Lagrange befreundete F. D. de Foncenex sowie

1772 Lagrange selbst zu verbessern, doch beschränkten sie sich dabei auf den
algebraischen Teil des Beweises, so daß das grundlegende Manko erhalten
blieb. Gleiches gilt auch für P. S. Laplace, der 1795 einen neuen algebra-
ischen Beweis formulierte, die Veröffentlichung erfolgte erst 1812.

5.3.4 Euler und sein Algebralehrbuch

Eulers Vollst¨
andige Anleitung zur Algebra“ von 1770 hat erheblich zur Aus-

”

breitung eines Standards an algebraischen Methoden und Kenntnissen bei-
getragen. Die Algebra“ erschien in St. Petersburg, war in deutscher Sprache

”

verfaßt und wurde vielfach übersetzt und nachgedruckt, insbesondere mit den
von Lagrange stammenden Anmerkungen und Zusätzen. Wir zitieren hier im
allgemeinen aus der von J. Ph. Grüson 1796 herausgebrachten deutschen

Ausgabe.

Im Vorwort erzählt Grüson die bekannte Anekdote, wonach Eulers Bedien-
steter, ein Schneider, auf Grund der ungewöhnlichen Klarheit des Textes
imstande gewesen sei, sich die Algebra vollständig anzueignen.

Der verewigte Euler wußte ¨
uberall Gr¨
undlichkeit und Deutlichkeit so gl¨
uck-

”

lich zu vereinigen, daß seine Absicht, ein Lehrbuch der Algebra abzufassen,
aus welchem jeder Liebhaber der Mathematik ohne Beyh¨
ulfe eines Lehrers,
die Buchstabenrechenkunst und gemeine Algebra gr¨
undlich zu erlernen im

Stande w¨
are, nicht verfehlt werden konnte; auch genoß er das Vergn¨
ugen,
sich davon durch Erfahrung zu ¨
uberzeugen. Er war nemlich gerade zu der

Zeit, als er die Algebra ausarbeitete, seines Gesichts v¨
ollig beraubt, und da-
her gen¨
othigt, sie seinem Bedienten in die Feder zu dictiren. Dieser junge

Mensch, von Profession ein Schneider, war von sehr mittelm¨
aßigen Talen-
ten, und verstand, als Euler sich seiner zu diesem Zwecke bediente, von der

Mathematik nichts weiter, als daß er mechanisch fertig rechnen konnte, und
doch faßte er nicht nur, ohne weitere Erkl¨
arung, alles dasjenige, was ihm
dictirt wurde, sondern wurde auch dadurch gar bald in den Stand gesetzt, die
in der Folge vorkommenden schweren Buchstabenrechnungen ganz allein aus-
zuf¨
uhren, und alle ihm vorgelegten algebraischen Aufgaben mit viel Fertigkeit
aufzul¨
osen.“ [ Euler/Grüson 1796]

Die

Algebra“ besteht aus zwei Teilen. In Teil I, der arithmetischen Inhal-

”

tes ist, werden die verschiedenen Rechnungsarten mit einfachen Gr¨
oßen, die
verschiedenen Rechnungsarten mit zusammengesetzten Gr¨
oßen und Von den

Verh¨
altnissen und Proportionen gelehrt. Teil II handelt von den algebraischen

Gleichungen und deren Aufl¨
osung und von der unbestimmten Analytik.

Einige Punkte seien hervorgehoben. Da ist die relativ altmodische Erklärung
der imaginären Zahlen, obgleich doch Euler in seinen Forschungsstudien ima-

290

5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16./17. Jh.)

ginäre (komplexe) Zahlen sogar als Beweismittel verwendet hatte. In der

Algebra“ heißt es lediglich: §143. Weil nun alle möglichen Zahlen, die man

”

”

sich nur immer vorstellen mag, entweder gr¨
oßer oder kleiner als

0 , oder

0 selbst sind; so ist klar, daß die Quadratwurzel von negativen Zahlen nicht
einmal unter die m¨
oglichen Zahlen gerechnet werden kann. Folglich muß man
behaupten, daß sie unm¨
ogliche Zahlen sind. Und dieser Umstand leitet auf
den Begriff von solchen Zahlen, welche ihrer Natur nach unm¨
oglich sind, und
gew¨
ohnlich imagin¨
are oder eingebildete Zahlen genannt werden, weil sie bloß
in der Einbildung statt finden.

( ... )

§145. Gleichwohl aber stellen sie sich unserm Verstande dar, und finden in
unserer Einbildung statt; daher sie auch bloß eingebildete Zahlen genannt

√
werden. Ungeachtet aber diese Zahlen, als z. B.

− 4 , ihrer Natur nach ganz
und gar unm¨
oglich sind, so haben wir doch davon einen hinl¨
anglichen Begriff,
indem wir wissen, daß dadurch eine solche Zahl angedeutet werde, welche mit
sich selbst multiplicirt, zum Product − 4 hervorbringe; und dieser Begriff ist
hinreichend, um diese Zahlen in der Rechnung geh¨
orig zu behandeln.

§151. Endlich muß noch der Zweifel gehoben werden, daß, da dergleichen

Zahlen unm¨
oglich sind, dieselben auch ganz und gar keinen Nutzen zu haben
scheinen und diese Lehre als eine bloße Grille angesehen werden k¨
onnte.

Allein sie ist in der That von der gr¨
oßten Wichtigkeit, indem oft Fragen
vorkommen, von welchen man sogleich nicht wissen kann, ob sie m¨
oglich sind
oder nicht. Wenn nun ihre Aufl¨
osung auf solche unm¨
oglichen Zahlen f¨
uhrt,
so ist es ein sicheres Zeichen, daß die Frage selbst unm¨
oglich sey. Um dieses
mit einem Beispiel zu erl¨
autern, so wollen wir folgende Frage betrachten: man
soll die Zahl 12 in zwey solche Theile zerlegen, deren Product 40 ausmache;
wenn man nun diese Frage nach den Regeln aufl¨
oset, so finde man f¨
ur die

√

√
zwey gesuchten Theile 6 +

− 4 und 6 − − 4 , welche folglich unmöglich
sind, und hieraus eben erkennt man, daß diese Frage sich durch nichts auf-
l¨
osen l¨
aßt. Wollte man aber die Zahl

12 in zwey solche Theile zerf¨
allen,
deren Product 35 w¨
are, so ist offenbar, daß diese Theile 7 und 5 seyn
w¨
urden.“ [ Euler/Grüson, Teil I, S. 76].

In Teil II wird einleitend der Zweck der Algebra erklärt:

Der Zweck der Algebra, so wie aller Theile der Mathematik ist, den Werth

”

unbekannter Gr¨
oßen zu bestimmen, und diese muß durch genaue Erw¨
agung
der Bedingungen, die dabey vorgeschrieben sind, und die durch bekannte

Gr¨
oßen ausgedr¨
uckt werden, geschehen. Daher wird die Algebra auch so be-
schrieben, daß man darin zeige, wie aus bekannten Gr¨
oßen unbekannte zu
finden sind.“ [ Euler/Grüson, Teil II, S. 3].

Der erste Abschnitt des zweiten Teiles bietet die Auflösung der algebraischen

Gleichungen bis zum Grade vier. Benannt werden die Regeln des Cardano,
des Scipio del Ferro und die Regel des Bombelli. (Der Herausgeber macht auf

S.136 die Anmerkung, daß die Regel des Bombelli viel mehr dem Ludewig

5.3 Newton und Euler

291

Abb. 5.3.14. Titelblatt von Eulers Algebra“

”

292

5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16./17. Jh.)

Ferrari geh¨
ort und daß man die Regel des Cardano dann fälschlicherweise
ihm, und nicht dem Scipio del Ferro zuschreibt.)

Es wird eine große Anzahl von Aufgaben vorgerechnet. Nehmen wir ein Bei-
spiel [Euler/Grüson 1796, S. 122-124]: Euler behandelt die kubische Glei-
chung
x 3 − 6 x 2 + 13 x − 12 = 0 .

Mit Hilfe der Transformation x− 2 = y erhält man die Gleichung y 3+ y− 2 = 0
mit der Lösung

1

√

√

3

1 3
y =

27 + 6 21 +

27 − 6 21 .

3

3

Bey Aufl¨
osung dieses Beyspiels sind wir auf eine doppelte Irrationalit¨
at ge-

”

rathen; gleichwohl l¨
aßt sich daraus nicht schließen, daß die Wurzel irratio-
nal sey, indem es sich gl¨
ucklicher Weise f¨
ugen k¨
onnte, daß die Binomien

√

27 ± 6 21 wirkliche Cubi wären. Dies trifft auch hier zu ...“ [Euler/Grüson,

√

√

√

S. 123]. Die dritte Potenz von 3+ 21 ist 27 + 6 21; analog für 27 − 6 21.

2

√

√

Also ist y = 1

3+

21

+ 1

3 − 21

= 1 + 1 = 1 und damit x = 3 eine

3

2

3

2

2

2

Lösung. Dividiert man die kubische Gleichung durch x− 3, so erhält man eine
quadratische Gleichung mit den beiden komplexen (Euler sagt imagin¨
aren)

√

Wurzeln x = 3 ± − 7 .

2

Bezüglich der Möglichkeiten, Gleichungen höheren als vierten Grades auf-
zulösen, äußert sich Euler in § 219: So weit ist man bisher in Auflösung der

”

algebraischen Gleichungen gekommen, nemlich bis auf den vierten Grad, und
alle Bem¨
uhungen, die Gleichungen vom f¨
unften und den h¨
oheren Graden auf
gleiche Art aufzul¨
osen, oder wenigstens auf die niedrigsten Grade zu brin-
gen, sind fruchtlos gewesen, so daß es nicht m¨
oglich ist, allgemeine Regeln
zu geben, wodurch die Wurzeln von h¨
oheren Gleichungen gefunden werden
k¨
onnten.

Alles, was darin geleistet worden, geht nur auf ganz besondere F¨
alle...“ [Eu-
ler/Grüson, S. 446].

Etwas klarer drückte sich der Herausgeber Hofrat Kaußler von Eulers

Al-

”

gebra“ aus, und zwar in der Vorrede zum Teil III (1796), der die Zusätze
von Lagrange enthält. Dort werden unbestimmte (diophantische) Gleichun-
gen behandelt. Kaußler schrieb:

Was aber die unbestimmten Gleichungen

”

von h¨
oheren Graden, als der zweite, anbetrifft, so hat man nur besondere

Methoden f¨
ur einige einzelne F¨
alle, und es ist zu vermuthen, daß die all-
gemeine Aufl¨
osung derselben eben so unm¨
oglich ist, als die Aufl¨
osung der-
jenigen bestimmten Gleichungen, die ¨
uber den vierten Grad steigen.“ [Eu-
ler/Ebert/Kaußler 1796, Teil III, Vorrede IX]

5.3 Newton und Euler

293

Wesentliche Inhalte der Algebra im 16. und 17. Jahrhundert

1465–1526 Scipione del Ferro: Lösungsformel für Gleichungen vom

Typ x 3 + bx = c

1500?–1557 Niccolò

Tartaglia

: Lösungsformel für 3 Fälle kubischer

Gleichungen

1501–1576 Girolamo Cardano:

Ars magna sive de regulis algebrai-

”

cis“(1545); Lösungsformeln für alle Gleichungen vierten Grades
mit Hilfe kubischer Resolvente

1522–1565 Ludovici Ferrari: Methoden zur Auflösung von Gleichungen
vierten Grades

1526–1572 Raffaelo Bombelli:

L’Algebra“(1572); Quadratwurzeln

”

aus negativen Zahlen, Rechenregeln für imaginäre Größen, Ku-
bikwurzeln, Symbole

1540–1603 Franc

¸ois Viète:

In artem analyticem isagoge“(1591),

Ad

”

”

logisticam speciosam notae priores“(postum 1631),

Zeteti-

”

corum libri quinque“(1593), Buchstabenrechnung, Normalfor-
men für algebraische Gleichungen, Wurzelsatz

1548–1620 Simon

Stevin:

De

Thiende“(1585),

Practique

”

”

d’Arithmétique“ (1585); Dezimalbrüche und deren prak-
tische Anwendung

∼ 1560–1621 Thomas Harriot: Artis analyticae praxis“(1631)

”

1580–1635 Johann Faulhaber: Arithmetischer cubicossischer Lustgar-

”

ten“(1604)

1595–1632 Albert Girard: Invention nouvelle en algèbre“(1629); For-

”

mulierung des Fundamentalsatzes der Algebra, spezielle Typen
kubischer und biquadratischer Gleichungen

1596–1650 René

Descartes:

Discours de la méthode“ (1637); Ver-

”

schmelzung geometrischer und algebraischer Methoden, analy-
tische Geometrie, Einführung der Symbole für Variablen, Po-
tenzen und Wurzeln, cartesische Zeichenregeln

1642–1727 Isaac Newton:

Arithmetica universalis“(1707), Untersu-

”

chungen über Wurzeln von Gleichungen, Teiler von Polyno-
men, symmetrische Funktionen der Wurzeln, Klassifikation der
algebraischen Kurven dritter Ordnung

1646–1716 Gottfried

Wilhelm

Leibniz:

Mathematische

Schrif-

”

ten“(hrsg. 1849–1863, 7 Bände): Partialbruchzerlegung gebro-
chenrationaler Funktionen

1707–1783 Leonhard

Euler:

Vollständige

Anleitung
zur

Alge-

”

bra“(1770); Epochales Lehrbuch zur Algebra als Wissenschaft,
aus bekannten Größen unbekannte zu berechnen

294

5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16./17. Jh.)

5.4 Aufgaben

Aufgabe 5.1.1: Reduktion kubischer Gleichungen

Reduzieren Sie die Normalform der kubischen Gleichung x 3 + ax 2 + bx+ c = 0
auf die Form y 3 + py + q = 0 mit Hilfe der Transformation x = y − a . Stellen

3

Sie mit Hilfe des Ansatzes y = u + v die allgemeine Lösungsformel für y auf.

Originalaufgaben aus der Ars magna“ von G. Cardano:

”

Aufgabe 5.1.2: Aus Ars magna“, Kap. XI

”

Lösen Sie die kubische Gleichung x 3 + 3 x = 10 mit der Rechenanweisung von

Cardano.

Aufgabe 5.1.3: Aus Ars magna“, Kap. XI

”

Geben Sie alle drei Lösungen der Gleichung x 3 + 6 x = 20 an.

Aufgabe 5.1.4: Aus Ars magna“, Kap. XII

”

Lösen Sie die kubische Gleichung x 3 = 6 x + 40.

Aufgabe 5.1.5: Ars magna“, Kap. XXXIX, Problem VII

”

Suchen Sie eine Zahl x, die mit ihrem Kubus multipliziert und vermehrt um

6 Kubi gleich 64 ist.

Aufgabe 5.1.6: Ars magna“, Kap. XXXIX, Problem IX

”

Finde eine Zahl, deren 4. Potenz und ihr Vierfaches, vermehrt um 8, dem

10fachen ihres Quadrates gleich ist.

Aufgabe 5.1.7: Ars magna“, Kap. XXXIX, Problem VI

”

Lösen Sie die Aufgabe: Suche eine Zahl, welche gleich ist ihrer Quadratwur-

”

zel und zweimal ihrer Kubikwurzel.“ (Führt auf die Gleichung x 6 = x 3 + 2 x 2)

Aufgabe 5.1.8: Originalaufgabe von Bombelli

√

Bilden Sie das Quadrat von 3 2 +

− 3.

Originalaufgaben von Vieta aus Zeteticorum libri quinque“

”

Aufgabe 5.2.1: Lineares Problem (Buch I, Aufgabe 2)

Wenn die Differenz zweier Seiten und deren Verhältnis gegeben sind, die Sei-
ten zu finden.

5.4 Aufgaben

295

Aufgabe 5.2.2: Quadratisches Problem (Buch II, Aufgabe 18)

Wenn die Summe zweier Seiten und die Summe der Kuben gegeben sind, die

Seiten einzeln zu finden.

Aufgabe 5.2.3: Kubisches Problem (Buch III, Aufgabe 6)

Wenn die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks und die Summe der Ka-
theten gegeben sind, die Katheten zu finden.

Aufgabe 5.2.4: Zum Wurzelsatz von Vieta

Versuchen Sie, den Vietaschen Wurzelsatz für eine kubische Gleichung in A
in dessen Originalschreibweise zu formulieren.

Aufgabe 5.2.5: Zu den Beispielen von Descartes

Beweisen Sie die Richtigkeit der Aussagen bei den Beispielen von Descartes
zu der bestimmten und unbestimmten Aufgabe im Text dieses Buches.

Originalaufgaben von Euler aus [Euler/Grüson 1796]

Aufgabe 5.3.1: (aus Teil II, S. 5)

20 Personen, Männer und Weiber, zehren in einem Wirthshause. Ein Mann
verzehrt 8 Groschen, ein Weib aber 7 Groschen, und die ganze Zeche beläuft
sich auf 6 Reichstaler. Nun ist die Frage, wie viel Männer und Weiber da-
selbst gewesen? (6 Reichstaler sind 144 Groschen)

Aufgabe 5.3.2: (aus Teil II, S. 16/17)

Ein Mann hinterläßt 11000 Reichstaler und dazu eine Witwe, zwei Söhne und
drei Töchter. Nach seinem Testament soll die Frau zweimal mehr bekommen
als ein Sohn und ein Sohn zweimal mehr als eine Tochter. Wie viel bekommt
ein jeder?

Aufgabe 5.3.3: (aus Teil II, S. 21)

Suche eine arithmetische Progression, wovon das erste Glied gleich 5, und das
letzte gleich 10, die Summe aber gleich 60 ist.

Aufgabe 5.3.4: (aus Teil II, S. 31/32)

Ein Maulesel und ein Esel tragen ein jeder etliche Pud (russisches Gewichts-
maß). Der Esel beschwert sich über seine Last und sagt zum Maulesel, gäbst
du mir ein Pud von deiner Last, so hätte ich zweimal so viel als du. Hierauf
antwortet der Maulesel, wenn du mir ein Pud von deiner Last gäbest, so hätte
ich dreimal so viel als du. Wie viel Pud hat nun ein jeder gehabt?

296

5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16./17. Jh.)

Aufgabe 5.3.5: (aus Teil II, S. 57/58)

Es kauft jemand ein Pferd für einige Reichstaler, verkauft dasselbe wieder für

119 Reichstaler, und gewinnt daran so viel Prozente, als das Pferd gekostet
hat. Nun ist die Frage, wie teuer dasselbe eingekauft worden?

Aufgabe 5.3.6: (aus Teil II, S. 77)

Man suche zwei Zahlen, deren Produkt 105 sei, und wenn man ihre Quadrate
zusammen addiert, so sei die Summe gleich 274.

Aufgabe 5.3.7: (aus Teil II, S. 94)

Finde alle Zahlen, deren Kubus gleich 8 ist.

Aufgabe 5.3.8: (aus Teil II, S. 111)

Es sind zwei Zahlen, deren Differenz 12 ist. Wenn man nun diese Differenz
mit der Summe ihrer Kuben multipliziert, so kommt 102 144 heraus. Welche

Zahlen sind es?

Aufgabe 5.3.9: (aus Teil II, S. 111)

Es verbinden sich einige Personen zu einer Gesellschaft, und jeder legt zehn-
mal so viel Gulden ein, als der Personen sind, und mit dieser Summe gewinnen
sie sechs Prozent mehr, als ihrer sind. Nun findet sichs, daß der Gewinn zu-
sammen 392 Gulden betrage. Wie viel sind der Kaufleute gewesen?

Aufgabe 5.3.10: (aus Teil II, S. 144)

Lösen Sie die biquadratische Gleichung x 4 − 25 x 2 + 60 x − 36 = 0 .

Aufgabe 5.3.11: (aus Teil II, S. 147 – 149)

Lösen Sie die Gleichung x 4 − 8 x 3 + 14 x 2 + 4 x − 8 = 0 .

6 Algebra in der zweiten H¨
alfte des 18. und
am Beginn des 19. Jahrhunderts

298

6 Algebra in der 2. Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts

1769

James Watt erhält ein Patent auf die wesentlich verbesserte New-
comensche Dampfmaschine
ca. 1770

Beginn der Industriellen Revolution in England

1770

James Cook nimmt im Verlauf seiner Entdeckungsreise (bis 1779)

Australien für die britische Krone in Besitz

1775–1783

Amerikanischer Unabhängigkeitskrieg

1776

Unabhängigkeitserklärung der britischen Kolonien in Amerika,

Erklärung der Menschenrechte und Zusammenschluß der einzel-
nen Staaten zu den USA (1777)

1777

Lavoisier leitet mit der Widerlegung der Phlogistontheorie eine
neue Entwicklungsetappe der Chemie ein

1778

Carl v. Linné begründet das nach ihm benannte System der

Pflanzen
ca. 1780–1830 Zeit der Wiener Klassik in der Musik (Mozart, Beethoven,

Haydn)

1781

Immanuel Kant veröffentlicht sein erstes philosophisches Haupt-
werk: Kritik der reinen Vernunft“

”

ca. 1785

Ende der Periode des Sturm und Drang in der deutschen Litera-
tur

1789–1794

Französische Revolution

1790–1810

Zeit der Weimarer Klassik in der Literatur

1794

Gründung der École Polytechnique in Paris

1796

Johann Gottlieb Fichte präsentiert eine Ausarbeitung seiner Wis-
senschaftslehre

1797

Friedrich Wilhelm Schelling entwickelt Grundvorstellungen der
romantischen Naturphilosophie
ca. 1798–1830 Zeit der Romantik

1798

Beginn der Napoleonischen Eroberungskriege

1801

R. Arkwright wendet erstmals den verbesserten, von ihm 1787
erfundenen mechanischen Webstuhl praktisch an

1801

Erste deutsche Zuckerrübenfabrik nimmt ihren Betrieb auf

1804

Einführung des bürgerlichen Gesetzbuches Code Napoléon“ im

”

Machtbereich Frankreichs

1806

Napoleon errichtet die Kontinentalsperre gegen England

1808–1811

Friedrich Arnold Brockhaus gibt sein Konversationslexikon her-
aus

1809

Jean Baptiste de Lamarck veröffentlicht seine Abstammungslehre
ca. 1810

Maschinenstürmerbewegung“ in England

”

1812

Einrichtung des humanistischen Gymnasiums als Vorstufe zur

Universität in Preußen

1812

Jacob und Wilhelm Grimm veröffentlichen der ersten Band ihrer

Kinder- und Hausmärchen

1814

Einsatz einer Lokomotive von G. Stevenson als Grubenbahn

1815

Wiener Kongreß - Neuordnung des europäischen Staatensystems

1815

Gründung des Deutschen Bundes

1819

Karlsbader Beschlüsse - Beschränkung der politischen und gei-
stigen Freiheit in Deutschland

1819

Die Deutsche Grammatik“ von Jacob Grimm erscheint in der

”

ersten Auflage

1820

Hans Christian Oerstedt entdeckt die Ablenkung einer Magnet-
nadel durch einen elektrischen Strom

1825

Mit der Errichtung der Republik Bolivien unter S. Bolivar endet
das spanische Kolonialreich in Südamerika

1825

Gründung der ersten deutschen technischen Lehranstalt (später

Technische Hochschule) in Karlsruhe

6.0 Historische Einführung

299

6.0 Historische Einf¨
uhrung

Die letzten Jahrzehnte des 18. Jahrhunderts und die ersten des 19. Jahrhun-
derts standen ganz im Zeichen der beginnenden Industrialisierung, der sog.

Industriellen Revolution. Sie begann nach der Jahrhundertmitte in England,
setzte sich dann in Frankreich und Westeuropa, sowie in den 30er Jahren des

19. Jahrhunderts in Deutschland und den USA fort und erreichte schließlich

Rußland und Japan. Diese Industrialisierung, deren Wesen im Übergang von
der handwerklichen Fertigung in Manufakturen zur industriellen Produktion
in Fabriken bestand, führte zu einer tiefgreifenden Umgestaltung der Pro-
duktion. Daraus ergaben sich nach und nach neue Anforderungen an die

Naturwissenschaften und die Mathematik.

Abb. 6.0.1. Saal mit Maschinenwebstühlen von Roberts

[Bibliothek Technische Universität Berlin]

Zugleich kam es zu einer Umgestaltung der politischen Systeme, die in der

Französischen Revolution von 1789 ihren hervorstechendsten Ausdruck fand.

Im Gefolge dieser Revolution wurde durch die Französischen Revolutionskrie-
ge (1792 – 1802) und die Napoleonischen Kriege fast das gesamte europäische

Staatengefüge erschüttert und neu geordnet. Die Kriege förderten aber auch
eine rasche Verbreitung der Ideen der Französischen Revolution in weiten

Teilen Europas.

Eine der vielen Auswirkungen all dieser Ereignisse betraf wichtige Verände-
rungen im Bildungssystem einzelner Länder. Mit der École Polytechnique war

300

6 Algebra in der 2. Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts

Abb. 6.0.2. Sturm auf die Bastille 1789

[aus Belhoste, Bruno: A.-L. Cauchy. Springer Berlin 1991]

1794 in Paris ein neuer Typ von höherer Bildungseinrichtung geschaffen wor-
den, der die neuen Anforderungen an Wissenschaft und Technik besser um-
setzen sollte als es bisher durch die Universitäten und Akademien geschehen
war und der gewährleisten sollte, daß der Bedarf an gut ausgebildeten Militär-
und Zivilingenieuren gedeckt werden konnte. Sehr bald entstanden in anderen
europäischen Staaten ebenfalls polytechnische Schulen, die sich deutlich am

Pariser Vorbild orientierten, doch ebenso klar den regionalen Bedürfnissen

Rechnung trugen. Derartige Schulen wurden u. a. in Prag, Wien, Karlsruhe,

München, Dresden und Zürich gegründet. Die institutionellen Veränderungen
bezüglich der Bildungseinrichtungen bestärkten außerdem die schon im Zu-
ge der verschiedenen Strömungen der Aufklärungsphilosophie in der zweiten

Hälfte des 18. Jahrhunderts in Gang gekommene Diskussion um eine Reform
des Bildungswesens, die sich nun in den Lehrplänen der École Polytechni-
que bzw. École Normale niederschlugen. In vielen europäischen Ländern for-
mierten sich pädagogische Reformbewegungen. In Preußen leitete Wilhelm
v. Humboldt (1767–1835) mit seinen auf dem klassisch idealistischen Hu-
manismus fußenden Ideen eine umfassende Reform des Bildungswesens ein
und realisierte am Beispiel der Berliner Universität ein neues modernes Uni-
versitätskonzept, das sehr rasch von anderen Ländern übernommen wurde.

Aus all diesen Veränderungen resultierte eine Neubewertung der Naturwis-
senschaften und Mathematik, die wesentlich die Entwicklung in der nächsten

Periode prägte.

6.0 Historische Einführung

301

Abb. 6.0.3. Hügel von Sainte Genevieve 1840. Vorn die École Polytechnique, in
der Mitte das Collège Henri IV, einst die École Centrale du Panthéon, welche der
junge Cauchy 1802 besuchte.

[aus Belhoste, Bruno: A.-L. Cauchy. Springer Berlin 1991]

Die Mathematik des 18. Jahrhunderts wurde zweifellos von der Entwicklung
der Analysis dominiert. Zu beeindruckend waren die Erfolge, die die Infini-
tesimalmathematik bei der Behandlung mathematischer und physikalischer

Probleme erzielte, und selten war die Wechselwirkung zwischen Mathematik
und Physik intensiver als in diesen Jahrzehnten. Viele neue Resultate in der

Analysis wurden in dem Bestreben erzielt, physikalische Fragestellungen zu
lösen. Dabei war das Ganze ein innermathematischer Prozeß, denn Gebie-
te wie Mechanik, Optik, Astronomie, Geodäsie aber auch Architektur und

Ballistik zählten im Mathematikverständnis jener Zeit noch zu den mathe-
matischen Wissenschaften.

In den ersten Jahrzehnten des 19. Jahrhunderts begann eine Neuorientierung
im mathematischen Denken, die eine Sicherung der Grundlagen mathema-
tischer Betrachtung stärker in den Mittelpunkt rückte. Die großen Erfolge
und das rasche Voranschreiten der Analysis basierten allzuoft auf Begrif-
fen und Methoden, deren exakte Fundierung heftig umstritten war. Nicht
selten waren die unklare Formulierung von Begriffen oder ihre an der An-
schauung orientierte Begründung Ursache von falschen Ergebnissen gewesen.

Diese kritische Durcharbeitung der Grundlagen brachte z. B. in der Analysis
eine exakte Definition solcher Begriffe wie Grenzwert, Stetigkeit einer Funk-
tion und Konvergenz einer Reihe, warf aber auch das Problem auf, bei den
verschiedenen Studien stärker die Frage nach der Existenz der einzelnen ma-

302

6 Algebra in der 2. Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts
thematischen Objekte zu beachten, d. h. Existenzbeweise zu führen. Zwar
stand bei dieser Verschärfung der Grundlagen die Analysis im Mittelpunkt,
doch wirkten die allgemeinen Forderungen nach einer sorgfältigen, exakten

Definition der Begriffe und Methoden sowie einer Sicherung der Existenz der
mathematischen Objekte auch in anderen mathematischen Teildisziplinen,
wie Algebra und Arithmetik.

Wenn die Algebra auch nicht im Mittelpunkt des Interesses der Mathemati-
ker des 18. Jahrhunderts stand, so vollzogen sich trotzdem in ihr wesentliche

Veränderungen. Die von Vieta, Descartes u. a. eingeleitete Entwicklung er-
hielt eine weitere Ausprägung. Die vielfältigen Erfolge der Analysis führten
insbesondere zu einer Aufwertung der arithmetischen Größen gegenüber den
geometrischen. Durch die Arbeiten Descartes’ waren zudem enge Beziehun-
gen zwischen beiden Bereichen hergestellt und die große Allgemeinheit der
arithmetischen Lösung eines geometrischen Problems verdeutlicht worden.

Mit der Einführung der infinitesimalen Größen konnten auch die arithme-
tischen Größen in gewissem Sinne als stetig betrachtet werden, im Gegen-
satz zu dem bis dahin vorherrschenden diskreten (unstetigen) Charakter der

Zahlen. Ein grundsätzliches Unterscheidungsmerkmal zu den geometrischen

Größen fiel damit weg. Die etwa im gleichen Zeitraum erfolgende Anwendung
mathematischer Symbole und des Rechnens mit ihnen in Form der Buchsta-
benrechnung ließen zwei neue Wesenszüge der Algebra deutlich hervortreten.

Zum ersten dokumentiert dieses Vorgehen die allgemeine Tendenz zur Sym-
bolisierung und zum kalkülmäßigen Erfassen von Rechnungen. Zum zweiten
verkörperte die Algebra in dieser Form die analytische Methode.

6.1 Die Begr¨
undung des Rechnens in den gew¨
ohnlichen

Zahlbereichen

In der Buchstabenrechnung standen die Buchstaben stellvertretend für nicht
näher bestimmte Größen, speziell für arithmetische Größen aus einem gewis-
sen Zahlbereich. Dieser konnte, obwohl die formale Rechnung unverändert
blieb, durchaus sehr unterschiedlich sein. Im Verlauf bzw. im Ergebnis dieser
formalen Rechnungen konnte man sehr schnell auf Ausdrücke stoßen, die beim

Einsetzen konkreter Zahlen aus dem betrachteten Zahlbereich herausführten,
etwa zu den negativen bzw. imaginären Zahlen. Um dieses Problem zu besei-
tigen, war eine exakte Fundierung des Zahlensystems unumgänglich. Durch
das Rechnen mit Symbolen erhielt die Buchstabenrechnung den Charakter
einer universellen Arithmetik, wie es Newton bereits mit dem Begriff univer-

”

sal arithmetick“ zum Ausdruck gebracht hatte. Diese universelle Arithmetik
wurde deutlich von der gewöhnlichen Arithmetik unterschieden und zur Al-
gebra gerechnet. Euler sah in seiner Anleitung zur Algebra“ den Unterschied

”

der Arithmetik zur Algebra darin, daß die Arithmetik nur gewisse Berech-
nungsmethoden der Praxis umfaßte, während die Algebra im allgemeinen alle

6.1 Die Begründung des Rechnens in den gewöhnlichen Zahlbereichen

303

Wilhelm von Humboldt

Immanuel Kant

Fälle enthielt, die in den Rechnungen mit Zahlen auftreten konnten. [Euler

1796, S. 2] Man sah in der Algebra eine Möglichkeit, das Rechnen mit Zahlen
zu begründen. Die Notwendigkeit, die Zahlbereiche und das Rechnen mit den

Zahlen neu zu begründen, ergab sich auch aus den allgemeinen Anforderun-
gen an eine exakte Theorie in jener Zeit. Das Ideal war in dieser Hinsicht
immer noch die Geometrie in der von Euklid geprägten Form. Von diesem
streng deduktiven Aufbau, bei dem die Grundbegriffe in Definitionen und die
fundamentalen Voraussetzungen in Axiomen und Postulaten fixiert wurden,
waren Arithmetik und Algebra noch weit entfernt.

Schon die Frage, ob die negativen bzw. imaginären Zahlen existierten, ob man
sie als mathematische Größen anerkennen kann, war sehr umstritten. Für den
bedeutenden Philosophen Immanuel Kant (1724–1804) war z. B. der Gedan-

”

ke, ... als wenn negative Gr¨
oßen weniger als Nichts w¨
aren, ... nichtig und un-
gereimt“. [Kant, S. 215] Ähnlich ablehnend äußerten sich etwa Lazare Carnot
in Frankreich und William Frend (1757–1841) in England. Viele Mathema-
tiker erkannten die Eigenständigkeit der negativen Zahlen an und bemühten
sich um deren Begründung. In Deutschland fand vor allem die Interpretati-
on der negativen Zahlen als entgegengesetzte Größe große Verbreitung, wie
sie der als Lehrbuchautor sehr erfolgreiche Göttinger Mathematikprofessor

Abraham Gotthelf Kästner 1758 in seinem Buch Anfangsgr¨
unde der Arith-

”

metik, Geometrie, ebenen und sph¨
arischen Trigonometrie und Perspektiv“
dargelegt hatte. Eine befriedigende Lösung der auftretenden Schwierigkeiten
gelang damit aber nicht.

Ähnlich verhielt es sich mit dem Gebrauch der imaginären Zahlen. Neben der

Rolle, die sie bei der Lösung der allgemeinen Gleichung dritten und vierten

Grades spielten (vgl. Kap. 5 ), hatten sie sich dann bei vielen Anwendungen
in der Analysis als sehr nützlich erwiesen. In der Begründungsproblematik

304

6 Algebra in der 2. Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts
bestand der entscheidende Unterschied zu den negativen Zahlen aus heutiger

Sicht darin, daß mit den komplexen Zahlen erstmals eine Algebra mit zwei

Basiselementen vorlag. Doch dies mußte erst in mühsamer Detailforschung
erkannt werden.

Gleichgültig, ob bezüglich der negativen oder der komplexen Zahlen, stets
wurden die Mathematiker auf die Frage der Verknüpfung von Größen geführt.

Wenn man das Rechnen mit diesen Zahlen auf eine ähnliche methodische

Basis wie die Geometrie stellen wollte, mußte man die Eigenschaften her-
ausfinden, die das Rechnen in dem jeweiligen Zahlbereich charakterisierten.

Dieser Trend wurde sowohl durch die aufkommende Forderung nach Lehrbar-
keit der Mathematik als auch durch die Anwendung der Buchstabenrechnung
und das kalkülmäßige Erfassen von Rechenmethoden verstärkt. Bei einer
lehrbuchmäßigen, systematischen Darstellung des Rechnens in den einzel-
nen Zahlbereichen war die Hervorhebung einzelner Rechenregeln gegenüber
anderen nahezu unumgänglich, wollte man sich nicht in einer Fülle von Glei-
chungen und Rechenvorschriften verlieren. Dies galt im verstärkten Maße
für die Buchstabenrechnung, da durch den höheren Allgemeinheitsgrad der

Drang zur Abstraktion entsprechend größer war.

All diese Bestrebungen kamen zum Ende des 18. Jahrhunderts deutlicher
zum Ausdruck und lassen sich etwa mit einem Blick auf die Lehrbuchlitera-
tur jener Zeit belegen. So verzichtete Wenceslaus Johann Karsten in seinem

Lehrbuch von 1782 noch weitgehend auf den Gebrauch der Buchstabensym-
bole, erkannte aber die Subtraktion als die zur Addition entgegengesetzte

Operation, ebenso die Division im Bezug zur Multiplikation, und formulier-
te verbal die Kommutativität der Multiplikation und das Distributivgesetz.

Einen weiteren Fortschritt markierten die von Johann Joseph Anton Ide 1803
edierten Anfangsgr¨
unde der reinen Mathematik“. Ide begann darin mit einer

”

recht allgemeinen Betrachtung über das Operieren mit Dingen (Objekten),
die dann den Charakter von Größen erhielten. Er unternahm auch den deutli-
chen Versuch, aus der Vielzahl der Relationen, die für die verknüpften Größen
galten, einige auszusondern und an die Spitze zu stellen. Alle anderen Bezie-
hungen waren dann aus diesen Relationen ableitbar. Insbesondere wählte er
das Kommutativgesetz der Addition und Multiplikation, das Distributivge-
setz und das Assoziativgesetz der Multiplikation als solche grundlegende Re-
lationen aus. Ob Ide diese Ideen weiter ausbauen konnte, ist nicht bekannt.

Nachdem er zunächst als Privatgelehrter in Göttingen gelebt hatte, wurde
er 1803 Mathematikprofessor an der Universität Moskau, wo er bereits drei

Jahre später im Alter von 31 Jahren verstarb.

Einen Höhepunkt erreichte diese Entwicklung mit Martin Ohm und seinem
mehrbändigen Versuch eines vollkommen consequenten Systems der Mathe-

”

matik“, dem einzigen umfassenden Versuch einer logisch dargelegten Inter-
pretation des arithmetisch-algebraischen Bereichs [Novy 1973, S. 83]. Ohm
war der Bruder des bekannten Physikers Georg Simon Ohm und wirkte ab

1821 an der noch jungen Berliner Universität. Er vereinigte viele der in den

6.1 Die Begründung des Rechnens in den gewöhnlichen Zahlbereichen

305

Bernard Bolzano

Martin Ohm
einzelnen Schriften anderer Mathematiker enthaltenen Aspekte. Er rückte die

Operationen in den Mittelpunkt der Betrachtungen, nicht die Eigenschaften
von Größen waren für ihn entscheidend, sondern die Eigenschaften der Ope-
rationen.

In den verschiedensten Erscheinungen des Kalkuls ... erblickt der Verf. nicht

”

Eigenschaften der Gr¨
oßen, sondern Eigenschaften der Operationen, welche
letztere aus der Betrachtung der Zahl mit Nothwendigkeit hervorgehen, und
welche Gegens¨
atze und Beziehungen ¨
außern, die in dem ganzen physischen
und psychischen Haushalte der Natur allenthalben sich wieder nachweisen
lassen.“ [Ohm 1828, S. VII]

Bei den verknüpften Objekten überschritt er jedoch nicht den traditionel-
len Rahmen, d. h. er hatte stets die Verknüpfung von Größen im Sinn, und
orientierte sich deutlich an dem Rechnen mit Zahlen. Die grundlegenden Ei-
genschaften der Operationen wurden von ihm herausgebildet und als Lehr-

”

saetze“ zusammengefaßt. Diese Lehrsätze behandelte er wie Axiome und ver-
merkte, daß alle weiteren Relationen aus ihnen ableitbar sind (vgl. auch [Novy

1973, S. 83ff.], [Bekemeier 1987], [Schlote 1988, S. 13ff.]). Ja, er argumentier-
te sogar, daß diese die jeweilige Verknüpfung bestimmenden Lehrsätze beim

Übergang zu allgemeineren Größen erhalten bleiben, was sehr an das von

George Peacock formulierte Permanenzprinzip erinnert. Die klare Darstel-
lung und die Zusammenfassung der einzelnen Vorstellungen über das Zah-
lensystem, die Hervorhebung der grundlegenden Verknüpfungsgesetze für die

Operationen in dem jeweiligen Zahlbereich und der Umfang des erfaßten

Stoffgebietes zeichneten Ohms Werk aus und führten dazu, daß einige Zeit-
genossen und nachfolgende Generationen daran anknüpften.

Aus der Vielzahl der Mathematiker, die sich mit dem Aufbau des Zahlensy-
stems beschäftigt haben, sei noch der böhmische Philosoph und Religions-

306

6 Algebra in der 2. Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts
wissenschaftler Bernard Bolzano erwähnt, da er sich von einem allgemeinen
philosophischen Standpunkt des Problems annahm. Er strebte einen einheit-
lichen Aufbau der Mathematik auf der Basis einer klaren Bestimmung der

Begriffe, der logischen Schlußweisen und der Relationen zwischen den Begrif-
fen an. Da die Größenlehre, die er der Zahlenlehre voranstellte, unvollendet
geblieben ist, fehlt der für die Algebra interessante Fall der Einführung von
zwei Verknüpfungen und der dann geltenden Verknüpfungsregeln. Dies führ-
te Bolzano nur in der Zahlenlehre durch, wobei er zwei Distributivgesetze
angab, die Kommutativität der Multiplikation also nicht als selbstverständ-
lich annahm. Interessant ist die Einführung der Addition in den allgemeinen

Darlegungen der Größenlehre“, sie erfolgte mit Hilfe des zuvor definierten

”

Funktionsbegriffs, rückte also ebenfalls die Operation anstelle der verknüpf-
ten Größen in den Blickpunkt. Obwohl Bolzano viele Zeitgenossen in der

Exaktheit der Darlegungen, etwa zu den Zahlbereichen und den Operationen
in ihnen, übertraf, war jedoch die Wirkung seiner Schriften auf den wei-
teren Fortschritt der Algebra gering. Sein Schaffen belegt aber, aus welch
unterschiedlichen Perspektiven Mathematiker diese Problematik in Angriff
nahmen. Bolzanos geringer Einfluß war seiner isolierten Stellung und den
geringen Publikationsmöglichkeiten geschuldet. Nachdem er 1819 von seiner

Theologieprofessur wegen gesellschaftskritischer Äußerungen entbunden wor-
den war, lebte er über 20 Jahre sehr zurückgezogen. Seine nachgelassenen

Schriften, insbesondere zur Logik und zur Analysis, weisen ihn als einen be-
deutenden Mathematiker der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts aus.

6.2 Die Begr¨
undung der komplexen Zahlen

Noch schwieriger gestaltete sich, wie eingangs schon erwähnt, die Anerken-
nung der imaginären Zahlen. Entsprechend der Vorgehensweise bei den ne-
gativen Zahlen sahen viele Mathematiker in der Angabe einer geometrischen

Darstellung für diese Zahlen, mit der zugleich auch die Rechenoperationen
mit diesen Zahlen ausgeführt werden konnten, ein geeignetes Mittel zur Be-
gründung der imaginären Zahlen. Einen ersten derartigen Ansatz lieferte be-
reits der als Geistlicher tätige und ab 1649 als Mathematiker aktive Engländer

John Wallis für rein imaginäre Größen im Jahre 1685. Er betrachtete die Wur-
zel aus einer negativen Zahl als mittlere geometrische Proportionale aus einer
positiven und einer negativen Zahl. Diese Proportionale wurde senkrecht zur

Zahlenachse abgetragen. Wallis sah aber darin keine exakte Begründung der
komplexen Zahlen und lehnte ihre Benutzung ab. In diesem Sinne hat die

Wallissche Arbeit die Anerkennung der komplexen Zahlen nicht befördert.

Auch wenn in dem folgenden Jahrhundert das Wesen und die Benutzung kom-
plexer Zahlen von mehreren bedeutenden Mathematikern diskutiert wurde –
der erste, der einen wichtigen Fortschritt bezüglich der Begründung dieser

Zahlen erzielte, war der dänische Mathematiker und Geodät Caspar Wessel.

6.2 Die Begründung der komplexen Zahlen

307

In einer der Dänischen Akademie der Wissenschaften 1796 vorgelegten Ab-
handlung stellte er die komplexen Zahlen als gerichtete Strecken in der Ebene
dar. Wessel hatte jedoch ein umfassenderes Ziel: er wollte eine geometrische

Methode schaffen und griff dabei Leibnizsche Gedanken zur Formulierung
eines geometrischen Kalküls wieder auf. Für die Aufstellung dieses geometri-
schen Kalküls widmete er sich besonders den Regeln, die in dem Kalkül gelten
sollten und orientierte sich an den Rechenregeln der Arithmetik. Ohne auf die
entsprechenden Begriffe zurückgreifen zu können, formulierte er diese Regeln,
etwa das Kommutativ- und das Assoziativgesetz. Er verwendete den Begriff
der Einheit, wählte vier Einheiten (1, ε, − 1, −ε ) und gab die Multiplikation
dieser Einheiten an, letzteres unter Rückgriff auf die geometrische Darstel-
lung der Einheiten und die Regel, daß der Richtungswinkel des Produktes
gleich der Summe der Richtungswinkel der Faktoren ist. Erst dann stellte

√
er fest, daß ε =

− 1 ist, die komplexen Zahlen sich seinen Betrachtungen
also unterordnete, und daß er das Produkt so bestimmt hatte, daß es keiner
der gewöhnlichen Rechenregeln widersprach. Eine beliebige Größe ließ sich
stets als (reelle) Linearkombination von zwei Einheiten darstellen und das

Produkt derartiger Größen war durch die Multiplikation der Einheiten ein-
deutig festgelegt, wobei Wessel implizit das Distributivgesetz voraussetzte.

Damit enthielten Wessels Untersuchungen viele interessante Ideen im Vor-
feld der Herausbildung abstrakter algebraischer Strukturüberlegungen. Auf

Grund des Strebens nach einer geometrischen Methode versuchte Wessel dann
seine Methode auf dreidimensionale Größen auszudehnen. Er führte eine wei-
tere Einheit ein. Es gelang ihm aber nicht, die Multiplikation für beliebige
dreidimensionale Größen zu definieren, sondern nur für spezielle Größen. Die-
se Verknüpfung – Wessel sprach wohl bewußt nicht von einer Multiplikation

– verletzte das Kommutativ-, das Assoziativ- und auch das Distributivgesetz,
reichte aber zur Lösung von Wessels praktischen Anwendungsproblemen aus.

Die Arbeit wurde erst etwa 100 Jahre nach ihrer Erstveröffentlichung wieder-
entdeckt und in französischer Übersetzung publiziert. Zum 200. Jahrerstag
des Erscheinens der Wesselschen Originalarbeit würdigte die Dänische Aka-
demie die Leistungen Wessels mit einem Symposium und zwei Publikationen,
von denen eine die erste Übersetzung von Wessels Arbeit ins Englische ent-
hielt [Branner/Lützen 1999].

Zu Beginn des 19. Jahrhunderts erschienen mehrere weitere Arbeiten zur Be-
gründung der komplexen Zahlen. Adrien Quentin Buée (1805) interpretierte

√− 1 als Symbol für das Senkrechtstehen und gelangte zu einer entsprechen-
den geometrischen Darstellung komplexer Zahlen. Ein Jahr später veröffent-
lichte Jean Robert Argand eine Darstellung der imaginären Größen durch

”

geometrische Konstruktion“. Er kombinierte die Vorstellungen von Größe
und Richtung, wie er sie bei den negativen Zahlen realisiert sah und wollte
das System der reellen Zahlen entsprechend erweitern. Den Übergang von
einer positiven Zahl a zu −a deutete er als die zweimalige Anwendung einer

Operation, die a zunächst in eine nicht näher bestimmte Größe x und die-

308

6 Algebra in der 2. Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts

Abb. 6.2.4. a) Geometrische Interpretation komplexer Zahlen, b) Multiplikation
komplexer Zahlen in Polarkoordinaten

√
se in −a transformierte. Gleiches wurde durch die Multiplikation mit

− 1
bzw. geometrisch anschaulich durch Drehung der Strecke OA (der Länge a)

√
um 90 ◦ geleistet. Argand interpretierte folglich

− 1 als Operation, die eine

Drehung der die nachfolgende Zahl repräsentierenden Strecke um 90 ◦ (im
mathematisch positiven Drehsinn) bewirkte. Mit diesem Konzept konnte er
die Rechenoperationen mit komplexen Zahlen geometrisch ausführen und be-
wies verschiedene Sätze der Geometrie und Trigonometrie. Obwohl Argands

Idee sieben Jahre später, 1813, von Jacques Frédéric Français, Joseph-Diaz

Gergonne, François-Joseph Servois und Argand selbst in mehreren Artikeln
nochmals diskutiert wurde, blieb ihr ein spürbarer Einfluß auf die weitere

Entwicklung versagt. Erst 1847 entriß sie Augustin-Louis Cauchy der völli-
gen Vergessenheit. Inzwischen hatten aber zahlreiche Mathematiker, unter
ihnen John Warren, George Peacock, Carl Friedrich Gauß und Cauchy, eige-
ne Beiträge zu dieser Frage geleistet. In diesem Rahmen kann lediglich noch
auf den Beitrag von Gauß eingegangen werden.

Gauß hatte sich immer wieder seit frühester Jugend mit der Begründung der
imaginären Zahlen auseinandergesetzt. Bereits in seiner Dissertation, in der
er noch auf eine Anwendung der imaginären Zahlen verzichtete, plädierte er
für eine Anerkennung derselben. Die Einführung dieser Größen müsse aber
mit großer Sorgfalt erfolgen und man könne nicht a priori annehmen, daß
für diese Größen die Rechenregeln wie für die reellen Zahlen gelten. In den

Disquisitiones arithmeticae“ beklagte er, daß die Theorie der imaginären

”

Größen nach unsrer Ansicht bisher von Niemand auf klare Begriffe zur¨
uck-

”

gef¨
uhrt worden“ sei [Gauß 1889, S. 63]. 1831, in der Anzeige seiner Arbeit
zur Theorie der biquadratischen Reste faßte er seine Ansichten über die ima-
ginären Größen zusammen:

6.2 Die Begründung der komplexen Zahlen

309

Der Verf. nennt jede Gr¨
osse a + bi , wo a und b reelle Gr¨
ossen bedeu-

”

√
ten, und i der K¨
urze wegen anstatt

− 1 geschrieben ist, eine complexe
ganze Zahl, wenn zugleich
a
und
b
ganze Zahlen sind. Die complexen

Gr¨
ossen stehen also nicht den reellen entgegen, sondern enthalten diese als
einen speciellen Fall, wo b = 0 , unter sich ...“ [Gauß, Werke, Bd. 2, S. 171]

Die Versetzung der Lehre von den biquadratischen Resten in das Gebiet

”

der complexen Zahlen k¨
onnte vielleicht manchem, der mit der Natur der
imagin¨
aren Gr¨
ossen weniger vertraut und in falschen Vorstellungen davon
befangen ist, anst¨
ossig und unnat¨
urlich scheinen, und die Meinung veranlas-
sen, daß die Untersuchung dadurch gleichsam in die Luft gestellt sei, eine
schwankende Haltung bekomme, und sich von der Anschaulichkeit ganz ent-
ferne. Nichts w¨
urde unbegr¨
undeter sein, als eine solche Meinung. Im Gegen-
teil ist die Arithmetik der complexen Zahlen der anschaulichsten Versinnli-
chung f¨
ahig. ...“ [Gauß, Werke, Bd. 2, S. 174]

Auf wenigen Seiten legte Gauß die geometrische Darstellung der komplexen

Zahlen in aller Klarheit dar. Zugleich hatte er mit den eingangs getroffenen

Festlegungen eine Standardbezeichnung für die komplexen Zahlen geschaffen,
die sich nach und nach durchsetzte. Zum Schluß vermerkte er zur Rechtfer-
tigung seines Eingehens auf die Theorie der komplexen Zahlen:

Wir haben geglaubt, den Freunden der Mathematik durch diese kurze Dar-

”

stellung der Hauptmomente einer neuen Theorie der sogenannten imagin¨
aren

Gr¨
ossen einen Dienst zu erweisen. Hat man diesen Gegenstand bisher aus
einem falschen Gesichtspunkt betrachtet und eine geheimnisvolle Dunkelheit
dabei gefunden, so ist dies grossentheils den wenig schicklichen Benennungen

√
zuzuschreiben. H¨
atte man +1 , − 1 , − 1 nicht positive, negative, imaginäre

(oder unm¨
ogliche) Einheit, sondern etwa directe, inverse, laterale Einheit ge-
nannt, so h¨
atte von einer solchen Dunkelheit kaum die Rede sein k¨
onnen.“

[Gauß, Werke, Bd. 2, S. 177f.]

Schließlich versprach Gauß für eine spätere Arbeit die Beantwortung der Fra-
ge
warum die Relationen zwischen Dingen, die eine Mannigfaltigkeit von

”

mehr als zwei Dimensionen darbieten, nicht noch andere in der allgemeinen

Arithmetik zul¨
assige Arten von Gr¨
ossen liefern k¨
onnen.“ [Gauß, Werke, Bd.

2, S. 178]

Obwohl Gauß die Beantwortung dieser Frage schuldig blieb, so wirkte diese

Fragestellung noch Jahrzehnte später äußerst anregend für weitere algebra-
ische Untersuchungen. Zugleich hob Gauß mehrmals hervor, daß die geome-
trische Darstellung nicht zur Rechtfertigung der komplexen Zahlen ausreicht,
sondern dies in einer allgemeinen Theorie oder, wie er es 1849 ausdrückte,
in einem
h¨
ohern von R¨
aumlichem unabh¨
angigen Gebiete der allgemeinen

”

abstracten Gr¨
ossenlehre“ [Gauß, Werke, Bd. 3, S. 79] erfolgen müsse. Mit
diesem Verweis auf eine allgemeine Theorie rückte Gauß eine abstraktere

Herangehensweise stärker ins Blickfeld und lenkte die Aufmerksamkeit auf
algebraische, strukturelle Überlegungen. Da die obigen Zitate aus der hier

310

6 Algebra in der 2. Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts
betrachteten Periode herausfallen, dokumentieren sie zugleich die im nach-
folgenden Zeitabschnitt beginnende Zunahme algebraisch struktureller Be-
trachtungen.

Auch nach den Gaußschen Publikationen dauerte es noch längere Zeit bis
die komplexen Zahlen allgemeine Anerkennung fanden. So ist es nicht ver-
wunderlich, daß in den folgenden Jahren weitere Arbeiten zur geometrischen

Darstellung der komplexen Zahlen publiziert wurden, auf die aber hier nicht
eingegangen werden kann. Noch 1867 beklagte Hermann Hankel in seinem

Buch

Theorie der complexen Zahlensysteme“, daß von den meisten Ma-

”

thematikern die Theorie der komplexen Zahlen nur unzureichend dargeboten
werde. Dabei hatte Hankel wohl nicht nur eine bloße Rechtfertigung der kom-
plexen Zahlen etwa durch eine geometrische Darstellung im Blick, sondern
eine umfassende Theorie dieser Zahlen, wie er sie dann präsentierte.

Aus der Zeit bis zur Jahrhundertmitte seien noch zwei Arbeiten hervorge-
hoben, die Begründung der komplexen Zahlen durch William Rowan Hamil-
ton und Augustin-Louis Cauchy. Ausgehend von einer eigenen Interpretation
philosophischer Ideen Kants strebte Hamilton einen Aufbau der Algebra als

Wissenschaft der reinen Zeit an und fand in diesem Kontext 1833 eine logisch
einwandfreie arithmetische Begründung der komplexen Zahlen. Er deutete die
komplexe Zahl a + bi als Zahlenpaar ( a, b) und definierte die Addition bzw.

Multiplikation durch die Gesetze

( a 1 , b 1) + ( a 2 , b 2) = ( a 1 + a 2 , b 1 + b 2)

( a 1 , b 1)( a 2 , b 2) = ( a 1 a 2 − b 1 b 2 , a 1 b 2 + a 2 b 1).

Für die so definierten Operationen wies er die üblichen Rechenregeln nach

(vgl. Aufgabe 6.2.1). Modern ausgedrückt könnte man sagen, daß die Menge
der Zahlenpaare mit den obigen Operationen einen Körper bilden und die

Zahlenpaare zu den von Gauß geometrisch interpretierten Zahlen isomorph
sind, also mit den komplexen Zahlen identifiziert werden können. Dabei ent-
wickelte Hamilton weitere interessante algebraische Überlegungen, die ihn
schließlich zur Entdeckung der Quaternionen führten (vgl. Kap. 7.4.1).

Die 1847 von Cauchy vorgestellte Begründung der komplexen Zahlen belegte
ebenfalls die inzwischen fortgeschrittene Entwicklung der Algebra. Er griff
auf die von Gauß begründete Theorie des Rechnens mit Restklassen zurück
und definierte die komplexen Zahlen durch algebraische Kongruenzen modulo
x 2 + 1 (vgl. Aufg. 6.2.2).

Zusammenfassend kann festgestellt werden, daß im Bemühen um eine lehr-
buchhafte Präsentation des arithmetischen Rechnens und eine Begründung
desselben in den verschiedenen Zahlbereichen sowie des Buchstabenrechnens
die Aufmerksamkeit der Mathematiker stärker auf abstraktere algebraische

Überlegungen gelenkt wurde und u. a. zu einer Hervorhebung der geltenden

Rechenregeln führte.

6.3 Algebra als Methode

311

6.3 Algebra als Methode

Es sei noch auf einen zweiten Trend in der Entwicklung der Algebra dieser Zeit
verwiesen. Mit dem Aufschwung der Analysis und der deutlichen Hinwendung
zu formelmäßigen Ableitungen gelangte die Algebra zugleich in den Status
einer Methode, neue Resultate zu gewinnen. Die Algebra galt faktisch als

Verkörperung der analytischen Methode. Die Werke von Euler, Clairaut und

Lagrange enthielten vielfältige Anwendungen für diese Methode. Diese enge

Verknüpfung von Algebra und analytischer Methode führte nahezu direkt zu
den Auseinandersetzungen um die richtige Wissenschaftsmethodologie und zu
philosophischen Bestrebungen. Die Diskussion um die Wissenschaftsmetho-
dologie galt vor allem der Frage, ob der analytischen oder der synthetischen

Methode die Priorität bei der Ableitung und Begründung von Resultaten
zukomme. Mit Newton und der Rezeption seines Werkes hatte die Analyse
als Wissenschaftsmethode einen starken Impuls erhalten und wurde in Frank-
reich zur vorherrschenden Methode in den Wissenschaften. Doch während die
analytische Methode in den Naturwissenschaften deutlich dominierte, lehnten
sie zahlreiche Mathematiker ab und legten ihre Resultate deduktiv im Stile
der euklidischen Tradition dar. Die Anhänger der beiden Methoden hoben
mehrfach die Vorteile der jeweils von ihnen bevorzugten Methode sowie die

Schwächen der anderen hervor und ordneten die einzelnen mathematischen

Teilgebiete der Analyse oder der Synthese zu. Prototyp einer synthetisch
aufgebauten Disziplin war die Geometrie; aber auch Untersuchungen, die die

Beweise der Resultate in geometrischer Sprache präsentierten und nicht auf
algebraische Mittel zurückgriffen, zählten zu dieser Kategorie, so etwa Arbei-
ten zur Fluxionenrechnung von Newton und seinen Anhängern. Zur Analyse
wurden all jene Gebiete gerechnet, die mittels algebraischer Überlegungen,
insbesondere durch Benutzung von Gleichungen, eine Lösung der behandelten

Probleme anstrebten. Ein Beispiel war die Infinitesimalmathematik Leibniz-
scher Prägung. Die Auseinandersetzung um die Wissenschaftsmethodologie
basierte auf dem Faktum, daß die analytische Methode sehr erfolgreich bei der

Lösung der verschiedensten Probleme angewandt wurde, die Methode selbst
in ihrer begrifflichen Fundierung und dem streng logischen Aufbau aber sehr
unsicher war und darin nicht den Normen der Zeit entsprach. Die Synthe-
sis besaß zwar die gewünschte Klarheit sowie mathematische Strenge und
konnte auf eine lange erfolgreiche Anwendung in pädagogisch–didaktischer

Hinsicht bei der Vermittlung mathematischen Wissens verweisen, aber zahl-
reiche neuere Probleme der Naturwissenschaften ließen sich nur schwer mit
synthetischen Methoden behandeln.

Die Diskussion um die Wissenschaftsmethodologie ist von verschiedenen phi-
losophischen Ansichten beeinflußt worden. Für die Entwicklung der Algebra
waren besonders die von Étienne Bonnot de Condillac hervorgebrachten Ide-
en von Bedeutung. Auf der Basis des Empirismus von John Locke stehend,
hatte Condillac 1746 in dem

Essai sur l’origine des connaissance humai-

”

nes“ verschiedene Ideen dieser Philosophie weiter ausgebaut und u. a. das

312

6 Algebra in der 2. Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts

Étienne Bonnot de Condillac

John Locke

Problem des Ursprungs der Sprache genauer studiert, das für Jahrzehnte ei-
ne außerordentlich eifrig diskutierte Thematik in der Aufklärungsphilosophie
wurde. Die Berliner Akademie der Wissenschaften stellte die Frage nach dem

Sprachursprung als Preisaufgabe, nachdem sie fast 20 Jahre in der Akade-
mie erörtert worden war. Der Preis wurde Johann Gottfried Herder 1771
für seine Abhandlung ¨
uber den Ursprung der Sprache“ zuerkannt, der auch

”

mit zahlreichen weiteren theoretischen Arbeiten die europäische Geistesge-
schichte spürbar beeinflußte. Condillac versuchte in seinem

Essai ...“ und

”

nachfolgenden Schriften zu zeigen, wie der Prozeß der Sprachentstehung von
den Sinneswahrnehmungen bis zu den Denkoperationen führt. Dabei kam
er zu wichtigen Einsichten in die Rolle einer Sprache für das Denken, für
die Formulierung der Ergebnisse von Denkoperationen, über die Bedeutung
von Zeichen und Zeichensystemen zur Fixierung und Handhabung von Ideen
u. a. Sein Ziel war die Schaffung einer universellen Methode zum Aufbau der

Wissenschaften sowie eine sensualistische Begründung von Mathematik und

Logik. Die universelle Methode, die er durch eine von ihm verbesserte Analy-
se verkörpert sah, bringt bei Anwendung auf eine Wissenschaft in derselben
eine bestimmte Wissenschaftssprache hervor. Die Qualität der Sprache be-
stimmt nun den Entwicklungsstand der jeweiligen Wissenschaft und das Maß
der Vollkommenheit bei der Anwendung der Methode. Eine unvollkommene

Sprache bedingt Mängel in der Methode und ist oft Ursache von Irrtümern in
der Wissenschaft [Condillac, S. 119–123]. Als Beispiel für seine These verwies

Condillac auf die Mathematik und speziell auf die Algebra. Letztere sah er
in einer Doppelfunktion, als analytische Methode und als Sprache der Ma-
thematik. Condillac reduzierte damit Fortschritte der Mathematik generell
auf formale (sprachliche) Aspekte. Zwar ist diese These in der von Condil-
lac vertretenen Ausschließlichkeit falsch, wirkte in jener Phase jedoch positv

6.3 Algebra als Methode

313
für die Entwicklung der Algebra, da die Betonung der Sprache eine begriffli-
che Klärung und logische Strukturierung förderte. Condillacs Sprachkonzept
wurde von verschiedenen Gelehrten auch in anderen Wissenschaftsdisziplinen
erfolgreich umgesetzt, etwa von Antoine Laurent de Lavoisier in der Chemie.

Condillacs Ideen stimulierten in der Mathematik die Tendenz zur Abstraktion
und Formalisierung. Sehr klar brachte er die Vorteile einer exakten Symbolik
zum Ausdruck:

Das Rechnen und das Schließen mit algebraischen Zeichen erfordert fast

”

kein Ged¨
achtnis: die Zeichen stehen vor Augen, der Geist f¨
uhrt die Feder,
und die L¨
osung findet sich mechanisch.

Das Ged¨
achtnis wird vor allem beim Schließen und Rechnen mit W¨
ortern
notwendig, und oft reicht es nicht aus.“ [Condillac, S. 242f.]

Weiterhin betonte er, daß sich mit der Lösung eines Problems zugleich die

Lösung weiterer ähnlicher Probleme ergibt, hob die Ausnutzung von Analogi-
en bei der Anwendung seiner Methode hervor und lenkte die Aufmerksamkeit
auf die Operationen mit Symbolen. Er betrachtete die Operationen als for-
male Verknüpfungen und löste sie deutlich von den verknüpften Objekten ab.

Damit hatte Condillac im philosophischen Kontext wichtige Ideen formuliert,
die bei dem Voranschreiten zu abstrakteren Auffassungen in der Mathematik
und speziell der Algebra eine zentrale Rolle spielten. Dabei ist auch zu be-
denken, daß im 18. Jahrhundert die Verbindung zwischen Mathematik und

Philosophie wesentlich enger war als in der Moderne und uns zahlreiche Ge-
lehrte jener Zeit als würdige Vertreter beider Disziplinen entgegentreten. Man
denke nur an Leibniz, Euler und d’Alembert. Es handelt sich um ein schönes

Beispiel fruchtbarer Wechselbeziehungen zwischen Mathematik und Philoso-
phie. Für eine ausführlichere Darstellung sei auf [Schlote 1988] verwiesen.

Die Vorstellung von der Algebra als Sprache der Mathematik war keine ori-
ginäre Schöpfung von Condillac. So finden sich Ansätze dazu bereits bei Leib-
niz und Newton, und Clairaut hatte 1748 in seinen Elements d’Alg`
ebre“ die

”

Algebra explizit als Sprache bezeichnet. Condillac hat sich klar in diese Tradi-
tionslinie gestellt und ausdrücklich auf Clairaut, Euler und Lagrange in seinen
um 1780 verfaßten Werken Bezug genommen. Speziell in Eulers Vollst¨
andige

”

Anleitung zur Algebra“ sah er eine mustergültige Umsetzung der analytischen

Methode in der Mathematik. Viele Mathematiker rezipierten die Condillac-
schen Gedanken als eine Bestätigung ihres bisherigen Schaffens und griffen
entsprechende Anregungen auf. Gelegentliche Übertreibungen wie bei La-
grange, der in seiner Functionen-Rechnung“ die Differential-Rechnung mit

”

”

der Algebra, von welcher sie bis jetzt getrennt war“, vereinigen wollte und die

Algebra sogar als die der Differential- und Integralrechnung übergeordnete

Disziplin ansah, verdeutlichen, welche Kraft die Tendenz zur Symbolisierung
und zum Aufbau von Kalkülen am Ende des 18. Jahrhunderts gewonnen hat-
te, aber auch wie eng die Beziehungen zwischen Algebra und Analysis (als
mathematisches Teilgebiet, nicht als allgemeine Methode!) waren.

314

6 Algebra in der 2. Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts

Ein sehr eindrucksvolles Beispiel für das enge Wechselspiel der beiden Dis-
ziplinen ist die sogenannte Operatorenrechnung,deren Prinzip erstmals von

Louis François Jean Arbogast im Jahre 1800 formuliert wurde. Die Operatoren-
rechnung beruhte wesentlich auf der Ausnutzung von Analogien, wie sie zwi-
schen der Berechnung von ( x + y) n und dn( xy) bestehen. Die auszuführende

Operation wurde durch ein Symbol dargestellt und formal von dem Objekt
getrennt, auf das die Operation angewandt werden sollte. Dieses Symbol in-
terpretierte man als eigenständige Größe und führte die üblichen algebra-
ischen Rechnungen aus. Das Verfahren wurde von Mathematikern wie Fou-
rier, Cauchy und Boole recht erfolgreich bei der Lösung von Differentialglei-
chungen eingesetzt. Ein einfaches Beispiel soll die Vorgehensweise erläutern:

Zu lösen sei die Gleichung
y + dy/dx = axn,
wobei a eine Konstante ist. Die Ableitung d/dx wird jetzt als formale Ope-
ration aufgefaßt, mit der die üblichen algebraischen Operationen ausführbar
sind. Die Gleichung kann dann in der Form

(1 + d/dx) y = axn
geschrieben werden und als formale Lösung ergibt sich durch Inversenbildung
y = (1 + d/dx) − 1 axn.

Anstelle der Integrationskonstanten ist hier nun noch ein Term anzufügen, der
bei der Anwendung der Operation (1+ d/dx) verschwindet, also (1+ d/dx) − 10.

Die vollständige Lösung lautet also
y = (1 + d/dx) − 1 axn + (1 + d/dx) − 10 .

Es gilt nun, die beiden Terme zu bestimmen. Für den zweiten Term erhält
man zunächst

(1 + d/dx) − 10 = d− 1 /dx− 1(1 + d− 1 /dx− 1) − 10 = (1 + d− 1 /dx− 1) − 1 C.

Der letzte Schritt ergibt sich durch Ausführung der Operation d− 1 /dx− 1 =

" dx, C eine beliebige Integrationskonstante. Jetzt wird der Ausdruck (1 +
d− 1 /dx− 1) − 1 formal in eine Reihe entwickelt und die Operationen der Reihe
werden gliedweise auf die Konstante C angewandt. Dies liefert

(1 + d− 1 /dx− 1) − 1 C = (1 − d− 1 /dx− 1 + d− 2 /dx− 2 − ... ) C

= C(1 − x + x 2 / 2! − x 3 / 3! + ... ) = Ce−x.

Analog entwickelt man den Ausdruck (1 + d/dx) − 1 im ersten Term in eine
geometrische Reihe und führt die entsprechenden Operationen der Reihen-
glieder aus:

(1 + d/dx) − 1 axn = (1 − d/dx + d 2 /dx 2 − ... ) axn

= a( xn − nxn− 1 + n( n − 1) xn− 2 − ... ) .

Offensichtlich verschwindet ab dem ( n + 1)-ten Glied der Ausdruck in der

Klammer, und man erhält als Lösung der obigen Differentialgleichung
y = a( xn − nxn− 1 + n( n − 1) xn− 2 − ... + ( − 1) nn!) + Ce−x.

6.3 Algebra als Methode

315

Abb. 6.3.5. Titelblatt Du Calcul des Dérivations“ von L. F. A. Arbogast

”

316

6 Algebra in der 2. Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts

Aus algebraischer Sicht dokumentiert die Operatorenrechnung einen wichti-
gen Abstraktionsschritt, denn mit der durch ein Symbol dargestellten Ope-
ration wurde ein Objekt algebraischen Rechnungen unterworfen, das von den
bisher behandelten völlig verschieden war. Die verknüpften Objekte erhiel-
ten einen neuen Charakter und es war keineswegs klar, ob in dem neuen
erweiterten Objektbereich das Rechnen mit Buchstaben genauso ausgeführt
werden konnte wie bisher. Wieder standen die Mathematiker vor der Frage,
welches die bestimmenden Regeln für die algebraischen Rechnungen sind. Es
ist wohl nicht sehr verwunderlich, daß es im Rahmen der Bemühungen um
eine Begründung der Operatorenrechnung zu einer begrifflichen Fixierung
wichtiger Rechenregeln kam. Natürlich waren diese Regeln schon durch das

Rechnen in den verschiedenen Zahlbereichen bekannt, aber sie waren dort
stillschweigend benutzt und noch nicht durch Begriffe besonders hervorge-
hoben worden. Als erstes wurden von F.-J. Servois 1814 die Eigenschaften,
distributiv bzw. miteinander kommutativ zu sein, als wichtige Eigenschaf-
ten für die Untersuchung von Funktionen angegeben. Die Betonung liegt hier
auf der begrifflichen Fixierung. Die Eigenschaften selbst waren bereits vor-
her von Gauß bzw. Legendre für allgemeinere Objekte nachgewiesen worden,
von Gauß in seinen Untersuchungen über die Komposition der Formen (vgl.

Abschn. 6.6.2), von Legendre in geometrischen Studien.

Zusammenfassend kann als wichtigstes Fazit der Entwicklung der Algebra
am Ende des 18. und zu Beginn des 19. Jahrhunderts die Veränderung des

Gegenstandsbereichs der Algebra verbunden mit einem deutlichen Ansatz
zu abstrakteren Untersuchungen festgestellt werden. Neben die traditionel-
le Aufgabe des Lösens von Gleichungen traten Studien, die letztlich auf die

Erforschung der Struktur bekannter und neuer Objektbereiche abzielten. Die

Objektbereiche, sei es als Zahlbereich, Menge von Funktionen o. ä., lagen
jeweils in einer konkreten Realisierung vor, es handelte sich also nicht um
abstrakte Strukturuntersuchungen, wie sie dann in der Algebra des 20. Jahr-
hunderts auftraten.

Eine adäquate Wiedergabe der Algebraentwicklung erfordert natürlich auch
eine gebührende Berücksichtigung des traditionellen Forschungsgebietes. Dies
umso mehr, als es sich hierbei nicht um eine bloße Fortschreibung alter Metho-
den handelt. Vielmehr erreichten die Forschungen zur Lösung polynomialer

Gleichungen eine neue Qualität, die zu wesentlichen neuen Ergebnissen führ-
ten. Auf die Frage nach der Auflösbarkeit der allgemeinen Gleichung n-ten

Grades formulierte Paolo Ruffini eine negative Antwort, für deren Richtigkeit
er aber noch keinen vollständigen Beweis geben konnte. Der Beweis gelang
dann Niels Henrik Abel 1824. Das Fundamentaltheorem der Algebra erhielt
von Gauß eine erste exakte Rechtfertigung. Beide Themenkomplexe sollen
im folgenden genauer analysiert werden. Grundsätzlich ergaben sich in der

Gleichungstheorie zwei Fragen:

- ob auch die Gleichungen höheren als vierten Grades in Radikalen lösbar
sind

- wieviele Lösungen eine allgemeine Gleichung n-ten Grades besitzt.

6.4 Lösbarkeit der allgemeinen Gleichung n-ten Grades in Radikalen

317

Bei der Beantwortung dieser Fragen kam erschwerend hinzu, daß man über
den Charakter der Wurzeln keine klare Aussage getroffen hatte. Neben den
als Lösung anerkannten reellen Zahlen konnten komplexe Zahlen auftreten,
die nur als scheinbare, imaginäre Wurzeln der Gleichung betrachtet wurden.

Außerdem waren aber auch völlig neue Größen als Gleichungslösungen denk-
bar, wobei man von diesen Größen noch nachweisen mußte, ob sie wie die
üblichen reellen Zahlen die Ausführungen der vier arithmetischen Grundope-
rationen gestatten oder nicht. Erst Gauß hat 1799 diesen Schwachpunkt in
den frühen Untersuchungen von Gleichungen klar herausgearbeitet. Im all-
gemeinen nahm man aber an, daß die Lösungen von Gleichungen reelle oder
imaginäre Zahlen sind. Zunächst soll die erste Frage weiter untersucht wer-
den.

6.4 Das Problem der L¨
osbarkeit der allgemeinen

Gleichung n-ten Grades in Radikalen

Seit den großen Erfolgen der Renaissance-Mathematiker bei der Auflösung
der Gleichung dritten und vierten Grades (vgl. Kap. 5) hatte man sich ver-
geblich bemüht, eine Formel für die Lösung der allgemeinen Gleichung fünf-
ten und höheren Grades abzuleiten. Die Aufgabe bestand also darin, für die

Gleichung

P ( x) = xn + a 1 xn− 1 + ... + an− 1 x + an = 0

(6.4.1)

eine Lösung x 0 mit P ( x 0) = 0 in Form einer Summe von gegebenenfalls
ineinandergeschachtelten Wurzelausdrücken anzugeben, die nur die Koeffi-
zienten ai von P ( x) enthielten. Einen ersten Versuch, eine derartige For-
mel zu konstruieren, publizierte Ehrenfried Walter v. Tschirnhaus 1683. Er
schlug vor, die Unbekannte x durch eine neue Unbekannte y so zu erset-
zen, daß die Gleichung (6.4.1) eine einfachere Gestalt P 1( y) = 0 annahm.

Durch geschickte Wahl der Substitution wollte er für P 1( y) = 0 die Gestalt
yn − c = 0 erreichen. Nachdem er das Verfahren erfolgreich auf Gleichungen
dritten Grades angewandt hatte, glaubte er, auch die allgemeine Gleichung
fünften Grades behandeln zu können. Doch wie Leibniz zeigte, erforderte
die Bestimmung der Substitution die Lösung einer Gleichung 24. Grades, für
die nicht allgemein nachgewiesen werden kann, daß sie sich als Produkt von

Gleichungen höchstens vierten Grades schreiben läßt. Trotz des hartnäcki-
gen Bemühens vieler Mathematiker blieb dann dieser Zustand für fast ein

Jahrhundert unverändert, jedoch schufen Euler und Étienne Bézout durch
weitere Durchdringung des von Jan Hudde verbesserten Cardanoschen Ver-
fahrens wichtige Voraussetzungen für einen Wandel in der Theorie zur Lösung
der Gleichungen.

318

6 Algebra in der 2. Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts

Die entscheidende Wende vollzog sich im Jahre 1770, als gleich drei Mathema-
tiker unabhängig voneinander neue Einsichten zu diesem Problem erzielten.

Es waren dies der Engländer Waring und die Franzosen Vandermonde und

Lagrange, letzterer in Berlin wirkend. Formal gingen sie von dem gleichen

Ansatzpunkt aus: sie analysierten die Arbeiten ihrer Vorgänger und woll-
ten ermitteln, warum die bekannten Lösungsverfahren für die Gleichungen
zweiten, dritten und vierten Grades zum Erfolg führten und wo die Schwie-
rigkeiten bei der Übertragung auf Gleichungen höheren Grades lagen.

6.4.1 Die Ergebnisse von Lagrange

Die größten Fortschritte hatte dabei Joseph Louis Lagrange erzielt, der zu
diesem Zeitpunkt bereits ein anerkannter Mathematiker war. Er hatte be-
deutende astronomische Arbeiten publiziert und Grundlegendes zur Varia-
tionsrechnung geleistet. 1766 trat er die Nachfolge von Euler in der Berliner

Akademie an. Euler selbst hatte den Kollegen, mit dem er seit über 10 Jahren
einen regen Gedankenaustausch pflegte und bei der Lösung mehrerer mathe-
matischer Probleme im fairen Wettsteit stand, bei seiner Rückkehr an die

Petersburger Akademie vorgeschlagen. Für 20 Jahre wirkte Lagrange dann
in Berlin. Seine Untersuchungen zur Frage der Auflösbarkeit begann er mit
der allgemeinen Gleichung dritten Grades. An diesem Beispiel sollen wichtige

Punkte seines Vorgehens erläutert werden.

Sei
x 3 + px + q = 0

(6.4.2)

die schon von Tartaglia bzw. del Ferro betrachtete Gleichung, auf die die
allgemeine Gleichung leicht transformiert werden kann. Wie Hudde setzt La-
grange die Lösung x als Summe zweier Unbestimmten an x = y + u, verfügt
über u durch die Bedingung u = −p/ 3 y und erhält die sog. Resolvente
y 6 + qy 3 − p 3 / 27 = 0 .

Diese Hilfsgleichung ist die sog. Huddesche Resolvente. Sie hat den Grad 6,
doch ist sie auf Grund ihrer Struktur einfacher als die Ausgangsgleichung. Mit
der Substitution z = y 3 geht die Gleichung in eine quadratische Gleichung
über mit den Lösungen
q 2 p 3
z 1 , 2 = − q ±

+

.

2

4

27

Daraus ergeben sich dann leicht die Lösungen der Hilfsgleichung als Wurzeln
einer reinen Gleichung dritten Grades y 3 = z 1 bzw. y 3 = z 2 gemäß

√
y 1 , ..., y 6 = ωk 3 zj

6.4 Lösbarkeit der allgemeinen Gleichung n-ten Grades in Radikalen

319
für j = 1, 2; k = 0, 1, 2 und ω eine primitive dritte Einheitswurzel, d. h. ω
genügt der Gleichung ω 3 = 1 und ω = 1. Für die Lösungen der Ausgangs-
gleichung (6.4.2) errechnet man dann

√

√
x 1 = y 1 + y 4 = 3 z 1 + 3 z 2

√

√
x 2 = y 3 + y 5 = ω 2 3 z 1 + ω 3 z 2

√

√
x 3 = y 2 + y 6 = ω 3 z 1 + ω 2 3 z 2 .

Bereits Euler und Bézout bemerkten nun, daß die Wurzeln y 1, ... , y 6 der Hilfs-
gleichung durch die Wurzeln x 1, x 2, x 3 der Ausgangsgleichung ausgedrückt
werden können:

y 1 = 1 / 3( x 1 + ωx 2 + ω 2 x 3)

y 2 = 1 / 3( x 3 + ωx 1 + ω 2 x 2)

y 3 = 1 / 3( x 2 + ωx 3 + ω 2 x 1)

y 4 = 1 / 3( x 1 + ωx 3 + ω 2 x 2)

y 5 = 1 / 3( x 2 + ωx 1 + ω 2 x 3)

y 6 = 1 / 3( x 3 + ωx 2 + ω 2 x 1) .

Anders ausgedrückt: Die sechs Lösungen yi der Hilfsgleichungen sind die Wer-
te des Ausdrucks y = 1 / 3( X 1 + ωX 2 + ω 2 X 3), wenn die Xi die Wurzeln der Ausgangsgleichung in jeder möglichen Anordnung durchlaufen. Die Anzahl
der möglichen Anordnungen für die Wurzeln x 1, x 2, x 3 der Ausgangsgleichung
stimmt also mit dem Grad der Hilfsgleichung übereinein. Die grundlegende

Erkenntnis Lagranges aus der Analyse aller bekannten Lösungsverfahren für

Gleichungen dritten Grades war die

¨
außerst bemerkenswerte“ Eigenschaft

”

des Ausdrucks ( X 1 + ωX 2 + ω 2 X 3)3, bei allen sechs Vertauschungen der Wur-
zeln der Ausgangsgleichung nur zwei verschiedene Werte anzunehmen.

Analog analysierte Lagrange die allgemeine Gleichung vierten Grades und
fand in der Funktion y = x 1 x 2 + x 3 x 4 die für die Reduktion der Resolven-
te wichtige Beziehung zwischen den Wurzeln der Ausgangsgleichung. Diese

Funktion nimmt bei den 24 Permutationen der vier Wurzeln xi nur drei ver-
schiedene Werte an. Folglich existiert eine Gleichung dritten Grades, der y
genügt, und die Koeffizienten dieser Gleichung sind rationale Funktionen der

Koeffizienten der Ausgangsgleichung.

Dieses Ergebnis bestärkte Lagrange in der Einsicht, daß der Schlüssel zur

Auflösung der Gleichungen fünften und höheren Grades in dem Auffinden
entsprechender Resolventen und deren Eigenschaften liege. Er hielt jedoch
nur die Methoden von Tschirnhaus bzw. von Euler und Bézout für erfolgver-
sprechend, da sie die Gleichung niedrigeren Grades nach einem gleichartigen

Prinzip behandelten und so die Möglichkeit der Übertragung auf Gleichun-
gen fünften und höheren Grades böten. Trotz komplizierter und ermüdender

Rechnungen kam er nicht zum Ziel und zweifelte, ob diese Methoden über-
haupt zum Erfolg führen. Er stellte sich deshalb im abschließenden Teil seiner
umfangreichen Abhandlung die Aufgabe, ein Verfahren zu finden, daß es a
priori erlaubt, den Erfolg dieser Methoden abzuschätzen. Er formulierte seine

Überlegungen für die allgemeine Gleichung n-ten Grades und lieferte wichtige

Anregungen für die weitere Entwicklung.

320

6 Algebra in der 2. Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts

Da für Gleichungen n-ten Grades ( n ≥ 5) mit einer n-ten Einheitswurzel
w = 1 die Setzung
y = x 1 + ωx 2 + ... + ωn− 1 xn

( ∗)

als einfachste Funktion der Wurzeln u. a. bei Euler und Bézout nicht zum

Ziel geführt hatte, betrachtete er jetzt eine beliebige rationale Funktion
f ( x 1 , x 2 , ..., xn) der Wurzeln xi (1 ≤ i ≤ n) als Hilfsfunktion. Diese nimmt für
die n! Permutationen der Wurzeln im allgemeinen n! unterschiedliche Werte
fk (1 ≤ k ≤ n!) an, so daß die entsprechende Gleichung lautet

P ( y) = ( y − f 1)( y − f 2) ... ( y − fn!) .

Diese Gleichung wurde später als Lagrangesche Resolvente bezeichnet. (Heu-
te werden oft nur die linearen Setzungen ( ∗) für verschiedene primitive n-
te Einheitswurzeln als Lagrangesche Resolventen bezeichnet.) Gemäß seiner

These spiegelt sich die Auflösbarkeit der Ausgangsgleichung in einer entspre-
chenden Gradreduktion der Hilfsgleichung wider. Da dies eintritt, wenn die

Funktion f bei den Permutationen der Wurzeln xi nicht immer verschiedene

Werte annimmt, begann Lagrange die Eigenschaften der rationalen Funktio-
nen genauer zu analysieren und klärte zunächst auf, wie gewisse Symmetrien
der Funktionen den Grad der Resolvente verringern. Bleibt die Funktion f
bei der Permutation von k Variablen ( k < n) ungeändert – man sagt auch
f ist in k Variablen symmetrisch – so läßt sich der Grad der Lagrangeschen

Resolvente auf n! /k! reduzieren. Eine analoge Aussage formulierte Lagrange,
falls f in mehreren disjunkten Gruppen von Veränderlichen symmetrisch ist.

Die Wertigkeit der Funktion f , d. h. die Anzahl der Werte, die f annehmen
kann, ist stets ein Teiler von n!.

Für die weitere Untersuchung führte Lagrange dann die ¨
ahnlichen Funktio-

”

nen“ ein. Zwei rationale Funktionen f und g heißen ähnlich, wenn f und g bei
den gleichen Permutationen invariant bleiben, d. h. bei allen Permutationen
der Wurzeln, bei denen sich f nicht verändert, bleibt auch g unverändert und
umgekehrt. Als einfachste Beispiele ähnlicher Funktionen nannte er die ele-
mentarsymmetrischen Funktionen. Für diese ähnlichen Funktionen leitete er
nun die folgenden wichtigen Ergebnisse her: Die Werte ähnlicher Funktionen
werden durch Gleichungen desselben Grades bestimmt und dieser Grad ist ein

Teiler von n!. Sind die Werte u 1 , ..., un bzw. t 1 , ..., tn zweier ähnlicher Funk-
tionen u( x 1 , ..., xn) und t( x 1 , ..., xn) paarweise verschieden, so lassen sich die Werte ui rational durch die tj und die Koeffizienten der Gleichung ausdrücken
und umgekehrt. In beiden Fällen sind die Werte ähnlicher Funktionen im Be-
zug auf die Wurzeln einer vorgegebenen Gleichung n-ten Grades zu verste-
hen. Damit hatte Lagrange in schwachen, aber wichtigen Ansätzen die Keime
für die in der späteren Galois-Theorie enthaltenen strukturellen Einsichten
gelegt. Die Ausführungen über die Werte einer rationalen Funktion, bzw.

die ähnlichen Funktionen und die rationale Bestimmtheit von deren Wer-
ten führen zu den gruppentheoretischen bzw. körpertheoretischen Aspekten
dieser Theorie. Auch wenn viele wichtige Aspekte dieser abstrakten Bildun-

6.4 Lösbarkeit der allgemeinen Gleichung n-ten Grades in Radikalen

321
gen von Lagrange überhaupt nicht berührt wurden und er den traditionellen
begrifflichen Rahmen nicht verließ, so hatte er mit seiner ausführlichen, sy-
stematischen Darstellung klar gemacht, daß die bisherigen Methoden nicht
zum Ziel führen, und einen neuen Weg aufgezeigt.

Einen weiteren Bestandteil der Lagrangeschen Abhandlung bildete das Stu-
dium der Gleichung
xn − 1 = 0 .

(6.4.3)

Die Gleichung hat die triviale Wurzel x = 1, die anderen Wurzeln genügen
dann der Gleichung
xn− 1 + xn− 2 + ... + x + 1 = 0 .

Unter Hinweis auf Abraham de Moivre vermerkt Lagrange den Zusammen-
hang dieser Gleichung mit dem Problem, die Kreislinie in n gleiche Teile zu
teilen. Sie wird deshalb auch Kreisteilungsgleichung genannt. Er faßt mehrere

Eigenschaften der Lösungen der Kreisteilungsgleichung zusammen, die sich
bereits in den Arbeiten von Euler befinden. So etwa, daß die Lösungen der

Gleichungen als Potenzen einer der Wurzeln, z. B. α 1 = 1 ausgedrückt werden
können, d. h. α 1, α 2, ... , αn− 1, αn = 1 sind die Wurzeln der Gleichung, und

1

1

1
daß für eine Primzahl n auch jede andere Wurzel, also jede andere Potenz
αm von α

1

1 mit 2 ≤ m ≤ n alle Lösungen der Gleichung liefert. Er studiert
dann den Fall, wenn n keine Primzahl ist, weist die Lösbarkeit der Gleichung

(6.4.3) für n = 2 i 3 j 5 k 7 l mit natürlichen Zahlen i, j, k, l nach und untersucht die Menge der Wurzeln αm, α 2 m, ... , αnm, falls m nicht relativ prim zu n ist.

Die Menge
αim
enthält dann nicht alle Lösungen der Gleichung (6.4.3).

Man wird sich wundern, wieso Lagrange die Struktur der Zahl n so genau
angibt, doch für n = 11 und alle nachfolgenden Primzahlen mußte er die

Lösbarkeit der Gleichung offen lassen.

6.4.2 Die L¨
osungsans¨
atze von Vandermonde und Waring

Die Lösung des Falles n = 11 gelang fast zur gleichen Zeit Alexandre

Théophile Vandermonde, dessen Arbeit noch vor und damit unabhängig von
der Lagranges entstand. Auch Vandermonde wählte die Arbeiten von Euler
und Bézout als Ausgangspunkt und begann seinen 1770 verfaßten Artikel

Sur la r´
esolution des ´
equations“ mit einer Analyse der Lösungsmethoden

”

für die Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades. Er versuchte einen
direkten Zugang zu dem Problem und wollte die Auflösung der Gleichung
in drei Schritten vollziehen. Zuerst ist eine Funktion der Wurzeln zu finden,
die, je nach der Bedeutung, die der Funktion beigelegt wird, jeden Wert der

Wurzeln annimmt, d. h. diese Funktion muß n-wertig sein. Für die quadrati-

sche Gleichung erfüllt die Funktion 1 ( x

( x

2

1 + x 2 +

1 + x 2 )2 − 4 x 1 x 2) diese

Bedingung. Diese Funktion soll dann in eine Form gebracht werden, die sich

322

6 Algebra in der 2. Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts
bei einer Vertauschung der Wurzeln nicht ändert, dies ist im obigen Bei-
spiel der Fall. Schließlich soll sie als Funktion der elementarsymmetrischen

Funktionen dargestellt werden, was im obigen Beispiel mit x 1 x 2 und x 1 + x 2
als den elementarsymmetrischen Funktionen in zwei Unbestimmten ebenfalls
erfüllt ist. Letzteres bedeutet aber nichts anderes, als daß die symmetrischen

Funktionen durch die elementarsymmetrischen ausgedrückt werden sollen,
also die gesuchte Funktion eine Funktion der Koeffizienten der Ausgangs-
gleichung wird. Dieses Programm beinhaltete aus heutiger Sicht interessante

Ansätze für körpertheoretische Betrachtungen, die sich um den Wurzelkörper

(Zerfällungskörper) der Gleichung n-ten Grades gruppieren, d. h. um die Zah-
lenmenge, in der alle Lösungen der Gleichung enthalten sind. Zugleich läßt
es die großen rechnerischen Probleme ahnen, die für eine konkret vorgelegte

Gleichung zu bewältigen waren. Man sagt auch, daß Vandermonde im Ge-
gensatz zur algebraischen Vorgehensweise von Lagrange den arithmetischen

Aspekt betonte.

Zur Realisierung des Programms wählte Vandermonde einen Ansatz für die
gesuchte n-wertige Funktion, der wesentlich die n-ten Einheitswurzeln be-
nutzte. Aus diesem Grund widmete er der Gleichung xn − 1 = 0 sowie den

Relationen zwischen den Einheitswurzeln spezielle Aufmerksamkeit und kam,
als ein wichtiges Ergebnis, zur Lösung der Gleichung für n = 11.

Einen zweiten wichtigen Punkt bildeten Überlegungen zu symmetrischen und
elementarsymmetrischen Funktionen. Im Kontext des Auflösungsproblems
war dies eng mit dem Studium von Vertauschungen der Wurzeln verknüpft,
die Vandermonde zu ersten, unter einer schwerfälligen Terminologie verbor-
genen Einsichten über Permutationen führten. In diesen Andeutungen ging
er über Lagrange hinaus, obwohl er insgesamt nicht die Klarheit und Ergeb-
nisbreite wie dieser erreichte.

Als dritter Mathematiker publizierte Edward Waring eine bemerkenswerte

Arbeit zur Auflösung der Gleichung n-ten Grades. Der vor allem durch das
nach ihm benannte Problem bekannte Waring lehrte in Cambridge als Ma-
thematikprofessor und hatte sich schon längere Zeit mit der Lösung von Glei-
chungen beschäftigt. Er kam aber nicht zu so allgemeinen Aussagen wie La-
grange. Besonders beschäftigte er sich mit Gleichungen vom Typ xn − 1 = 0,
die er für kleine Werte von n löste. Zwar bestimmte er wie Vandermonde
die Lösungsstruktur, wenn n ein Produkt mehrerer Primzahlen war, doch
ließ er den Fall n = 11 ungelöst und machte auch keine allgemeine Aussage
über die Lösbarkeit der Gleichung für beliebiges n. In diesem Kontext führte
er umfangreiche Studien über die symmetrischen Funktionen durch, die für
die weiteren Forschungen zur Auflösung der Gleichung n-ten Grades interes-
sant waren. Bereits 1762 hatte er bewiesen, daß jede rationale symmetrische

Funktion der Wurzeln einer Gleichung n-ten Grades als rationale Funktion
der Gleichungskoeffizienten dargestellt werden könne, 1770 gab er eine wei-
tere Herleitung dieses Satzes, der auch von Vandermonde angegeben wurde.

Erwähnenswert ist noch Warings Idee, die Gleichungen zu suchen, für die die

Lösungen eine spezielle vorgegebene Struktur haben.

6.4 Lösbarkeit der allgemeinen Gleichung n-ten Grades in Radikalen

323

Paolo Ruffini

Edward Waring

Der Vollständigkeit halber sei noch auf eine Arbeit des Italieners Gian Fran-
cesco Malfatti aus dem Jahre 1770 hingewiesen, in der dieser im Anschluß an
die Eulersche Vorgehensweise die Gleichung dritten Grades löste und dann
aber bei der Anwendung seiner Methode auf die allgemeine Gleichung fünf-
ten Grades wie seine Vorgänger scheiterte. Methodisch brachte er keine neuen

Ideen hervor.

6.4.3 Ruffini und erste Ergebnisse ¨
uber Permutationsgruppen

Der von Lagrange und Vandermonde geschaffene neue Zugang zur Auflösung
der allgemeinen Gleichung n-ten Grades fand nur allmählich Verbreitung un-
ter den Mathematikern. Ein weiterer bedeutender Erkenntnisfortschritt ver-
bindet sich mit Paolo Ruffini. Er war seit 1791 praktischer Arzt und Profes-
sor für Mathematik in Modena. Nach der Befreiung von der napoleonischen

Fremdherrschaft, während der er als Mitglied der nationalen italienischen

Bewegung Lehrverbot hatte, bekleidete er ab 1814 erfolgreich sowohl einen
medizinischen, als auch einen mathematischen Lehrstuhl. In seinen Arbeiten,
die er ab 1799 veröffentlichte, entwickelte er weitgehend die gruppentheoreti-
sche Seite des Auflösungsproblems, sprach als erster die Unmöglichkeit aus,
die allgemeine Gleichung fünften und höheren Grades in Radikalen auflösen
zu können, und bewies diese Aussage teilweise. Bereits in dem zweibändigen

Algebralehrbuch Theoria generale delle Equazioni“ benutzte er die Theorie

”

der Permutationen als grundlegendes Beweismittel.

Ruffini ging von Lagranges Einsicht in den Zusammenhang zwischen der Auf-
lösung einer Gleichung und den Permutationen, die rationale Funktionen von
n Größen ungeändert lassen bzw. ändern, aus und stellte seinen Studien ei-
ne Analyse der Menge der Permutationen voran. Unter einer Permutation

324

6 Algebra in der 2. Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts
versteht man dabei eine Anordnung, die alle der endlich vielen vorkommen-
den Elemente (hier die Wurzeln der Gleichung) in irgendeiner Reihenfolge
enthält. Stellt man eine eindeutige Beziehung zwischen den vorgegebenen

Elementen und natürlichen Zahlen her, so kann die durch die Permutati-
on hervorgerufene Veränderung in der Anordnung der Elemente durch das

Übereinanderschreiben der jeweiligen Anordnung der natürlichen Zahlen dar-

#

$
gestellt werden, z. B. bedeutet

123

, daß die Elemente x

132

1, x 2, x 3 in der

Reihenfolge x 1, x 3, x 2 genommen werden.

Entscheidend für die Fortschritte in der Auflösungstheorie war, daß Ruffini
nicht nur die einzelnen Permutationen betrachtete, sondern auch die Men-
ge der Permutationen und deren Eigenschaften studierte. Er zeichnete die

Gesamtheit der Permutationen begrifflich aus und schuf damit, wenngleich
in anderer Terminologie, den Begriff der Permutationsgruppe. Die wichtigste

Eigenschaft dieser Gesamtheiten von Permutationen war deren Abgeschlos-
senheit bei Hintereinanderausführung von Permutationen aus der jeweiligen

Menge, d. h. wendet man erst eine Permutation auf die Elemente der Grund-
menge an und auf das Ergebnis eine zweite Permutation, so kann das Ergeb-
nis dieser Hintereinanderausführung der beiden Permutationen durch eine
einzige Permutation erhalten werden, die ebenfalls in der Gesamtheit der

Permutationen enthalten ist. Der Gruppenbegriff reduzierte sich bei Ruffini
darauf, Gesamtheiten von Permutationen, die gegenüber der Verknüpfungs-
operation des Hintereinanderausführens abgeschlossen sind, hervorzuheben
und mit einem speziellen Begriff zu belegen. Man kann also nur bedingt von
einer Definition der Permutationsgruppen sprechen. Das Fehlen der übrigen

Gruppeneigenschaften in der Definition war jedoch nicht entscheidend, da die-
se in dem konkret vorgelegtem Fall automatisch erfüllt waren. Doch Ruffini
blieb nicht bei der Auszeichnung der Permutationsgruppen stehen, sondern
gab auch eine erste Klassifikation derselben. Er unterschied
permutazioni

”

semplici“, d. h. Gesamtheiten, deren Elemente sich alle durch Hintereinander-
ausführungen aus nur einer Permutation ergeben, – man sagt auch, die Menge
wird von der Permutation erzeugt – und permutazioni composte“, d. h. Ge-

”

samtheiten, die von mehreren Permutationen erzeugt werden. Die ersteren
entsprechen in moderner Terminologie den (endlichen) zyklischen Gruppen.

Die zusammengesetzten Gruppen differenzierte Ruffini weiter in drei Arten,
die man modern als intransitive, transitiv imprimitive bzw. transitiv primi-
tive Permutationsgruppen bezeichnen würde. Es sei jedoch nochmals betont,
daß die von Ruffini gegebenen Begriffsbestimmungen nur in Ansätzen mit den
modernen Definitionen vergleichbar sind. Wesentlich war, daß er überhaupt
die Notwendigkeit empfand, eine solche Unterscheidung vorzunehmen.

Die Transitivität einer Permutationsgruppe bezeichnet die Eigenschaft, daß
ein beliebiges Element der Gruppe durch die Anwendung von Permutationen
in alle anderen Elemente überführt werden kann. Eine transitive Permuta-
tionsgruppe heißt dann imprimitiv, wenn es mindestens zwei elementfremde

Teilmengen gibt, die durch die Permutationen der Gruppe ineinander trans-
formiert werden, sonst primitiv.

6.4 Lösbarkeit der allgemeinen Gleichung n-ten Grades in Radikalen

325

Zurück zu Ruffinis Arbeiten. Bereits in seiner ersten Arbeit entwickelte Ruf-
fini die neuen Einsichten in die Struktur der Permutationsgruppen. Insbe-
sondere gab er faktisch eine fast vollständige Analyse der Untergruppen der
symmetrischen Gruppe 5 an, aus der er die Nichtauflösbarkeit der allge-

meinen Gleichung fünften Grades folgern konnte. In späteren Arbeiten 1802
und 1803 hat er den Beweis ergänzt und verbessert, letzteres unter Rückgriff
auf die von Pietro Abbati im Beweis vorgenommenen Vereinfachungen. 1804
brachte dann Malfatti einige Einwände gegen den Ruffinischen Beweis vor.

Diese waren zwar verfehlt, doch Ruffini reagierte mit einer erneuten Darstel-
lung seines Beweises und kam auch danach noch mehrmals auf das Problem
der Auflösung von Gleichungen höheren Grades zurück. Insgesamt markierte

Ruffini mit seinen Arbeiten eine wichtige Etappe in der Benutzung grup-
pentheoretischer Methoden bei der Behandlung des Auflösungsproblems und
verkörpert damit zugleich den beginnenden Wandel in den mathematischen

Anschauungen.

6.4.4 Gauß und die Aufl¨
osung der Kreisteilungsgleichung

Von einer ganz anderen Seite näherte sich der junge Gauß dem Auflösungs-
problem. Er konzentrierte sich auf die detaillierte Untersuchung der Auflös-
barkeit eines speziellen Gleichungstyps, der Kreisteilungsgleichung xn− 1 = 0,
und bewies, daß diese Gleichung für alle natürlichen Zahlen n stets auflösbar
ist (vgl. Aufg. 6.4.4). Diese Untersuchungen bettete er jedoch in seine umfang-
reichen zahlentheoretischen Forschungen ein, die er seit seinem Studium 1796
durchführte und die er 1801 in der berühmten, grundlegenden Publikation

Disquisitiones arithmeticae“ veröffentlichte. Diese Schrift sollte dann einen

”

wichtigen Bestandteil jenes gewaltigen Werkes bilden, das Gauß im Verlaufe
seines Lebens errichtete und das die Zeitgenossen sowie die nachfolgenden Ge-
nerationen nachhaltig beeinflußte und ihn zum bedeutendsten Mathematiker
seiner Zeit machte. Völlig zu Recht wird er als
princeps mathematicorum“

”

bezeichnet. Noch heute faszinieren die zahlreichen Einzelergebnisse, doch dies
wird übertroffen von der systematischen Behandlung verschiedener Themen-
komplexe, mit denen er an wichtigen Beispielen das moderne mathematische

Denken vorbereitete. Er strebte konsequent nach verallgemeinerungsfähigen

Beweisen und allgemeinen Theorien ohne den Bezug zu konstruktiven al-
gorithmischen Aspekten zu verlieren. Er vollzog seine Abstraktionen nicht
der Abstraktion willen, sondern um einen besseren Überblick über die un-
tersuchte Problematik zu erhalten, und dies betraf nicht die Mathematik
allein. Gauß gehört zu den großen Ausnahmen, die im Verlaufe ihres Schaf-
fens nie den Blick zu den Nachbargebieten verloren. Er war einerseits im
hohen Maße fähig, seine mathematischen Kenntnisse erfolgreich in den Na-
turwissenschaften anzuwenden, und erschloß sich vor allem in der zweiten

Lebenshälfte Gebiete wie die Physik, die Astronomie, die Geodäsie und die

Technik und entnahm ihnen Anregungen zu neuen interessanten Forschun-
gen. Da das Gaußsche Lebenswerk, seine Biographie und der zeitgeschichtli-

326

6 Algebra in der 2. Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts

Der junge Niels Henrik Abel

Der junge Carl Friedrich Gauß
che Hintergrund in diesem Rahmen nicht näher dargelegt werden können, sei
stellvertretend aus der umfangreichen Gauß-Literatur auf [Bühler 1987] und

[Wußing 1989] verwiesen.

Die Kreisteilungsgleichung behandelte Gauß im Abschnitt 7 der Disquisitio-

”

nes“. Er wiederholte eine Reihe von Resultaten, die sich schon bei Euler und

Lagrange finden. Doch bereits 1796 hatte Gauß ein wichtiges Einzelergebnis
erzielt, als er die Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17-Ecks mit Zirkel und

Lineal nachwies. Er lieferte dann auch die allgemeine Lösung des Problems:

Ein reguläres n-Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn
n das Produkt einer Potenz von zwei und endlich vielen Primzahlen der Form

22 ν + 1 ist. Der Beweis folgte aus der Theorie der Kreisteilung. Wenn n von
der geforderten Struktur ist, erhält man die Lösung der entsprechenden Glei-
chung durch sukzessive Lösung von quadratischen Gleichungen. Die Lösun-
gen letzterer können aber mit Zirkel und Lineal konstruiert werden, folglich
auch die Lösung der Ausgangsgleichung, die dann die Seite des regelmäßigen
n-Ecks ergibt.

Gegenüber Euler und Lagrange zeichnete sich die Gaußsche Darstellung
durch eine effektivere Symbolik sowie eine systematischere und umfassen-
de Behandlung der Theorie aus. Dabei bediente sich Gauß, und dies war für
die Verbreitung seiner Ideen nicht unerheblich, der damals üblichen Termi-
nologie. Er zeigte zunächst die Irreduzibilität des Polynoms
p( x) = xn− 1 + xn− 2 + ... + x + 1

(6.4.4)

über dem Ring der ganzen Zahlen, d. h. wenn das Polynom in zwei nichttri-
viale Faktoren zerlegt werden kann, so können die Koeffizienten der Faktorpo-
lynome keine ganzen Zahlen sein. Ohne es besonders hervorzuheben, rückte

6.4 Lösbarkeit der allgemeinen Gleichung n-ten Grades in Radikalen

327

Gauß damit die Betrachtung unterschiedlicher Zahlbereiche in den Blick-
punkt. Eine Fortsetzung dieses Weges hätte weitere Einsichten in die Erwei-
terung des Zahlbereichs der Ausgangsgleichung bei der Lösung der Gleichung
n-ten Grades, also die Problematik der Körpererweiterung zur Folge gehabt.

Er richtete dann seine Aufmerksamkeit auf das Studium der Menge der Wur-
zeln der Kreisteilungsgleichung und vermerkte, daß diese Menge eine endliche
zyklische Gruppe bildet. In dem Beweis bediente er sich bereits einer Argu-
mentationsweise, die als typisch gruppentheoretisch bezeichnet werden kann.

Besonders hervorhebenswert sind jedoch die weiteren Aussagen zur Struk-
tur dieser Menge und die Einführung der sogenannten Gaußschen Perioden,
da sie ein Studium der Untergruppen beinhalten. Gauß nutzte dazu die in
vorangehenden Abschnitten hergeleiteten zahlentheoretischen Resultate. Er
wählte ein primitives Element g modulo n, d. h. die Menge der Potenzen von

g,

1 , g, g 2 , ..., gn− 2 , ist der Menge { 1 , 2 , ..., n − 1 } der Restklassen mod n bis auf die Reihenfolge der Elemente gleich. Daher stimmen die primitiven

Einheitswurzeln ζ, ζ 2, ... , ζn− 1 bis auf die Reihenfolge mit den Wurzeln ζ,
ζg, ζg 2 , ... , ζgn− 2 überein. Gauß schrieb [ g] für rg , r eine Wurzel von (6.4.4),

so daß [1], [ g], ... , gn− 2 die Menge der Einheitswurzeln = 1 repräsentiert.

Der Ersetzung von ζ durch ζg entspricht also eine zyklische Vertauschung
der Wurzeln. Gleiches gilt für die von Gauß betrachtete Menge [ λ], [ λg], ... ,

λgn− 2 mit einer zu n teilerfremden ganzen Zahl λ. Ist nun die natürliche

Zahl e ein Teiler von n − 1, hat man also eine Zerlegung von n − 1 als Pro-
dukt zweier natürlicher Zahlen e und f , dann läßt sich, wie Gauß zeigte, die

Menge der Wurzeln der Gleichung (6.4.4) in e Klassen zu f Elementen [ λ],

[ λge], λg 2 e , ... , λg( f− 1) e aufteilen.

Mit h = ge bildete Gauß nun die Summen ( f, λ) = [ λ] + [ λh] + ... + λhf− 1 .

Diese Summen sind unabhängig von der Wahl von g und werden als Gaußsche

Perioden bezeichnet. Aus der Herleitung erkennt man, daß es e verschiedene

Perioden mit je f Summanden gibt und in der Summe der e Perioden je-
de Wurzel der Kreisteilungsgleichung je einmal vorkommt. Für λ = 1 bildet
die Menge der Summanden der Periode ( f, 1) wieder eine zyklische Gruppe.

Damit enthielt die Bildung der Gaußschen Perioden den gruppentheoreti-
schen Satz, daß für jeden Teiler f der Ordnung einer zyklischen Gruppe eine
zyklische Untergruppe der Ordnung f existiert.

Doch Gauß ging noch weiter und bewies, daß zu festem f die Perioden mul-
tipliziert werden können und das Produkt eine Linearkombination der Peri-
oden ( f, µ) ist. Auf diese Weise definierte Gauß in der Menge der Perioden
eine algebraische Struktur, ohne dies explizit hervorzuheben. Die Einsichten
in diese Struktur liefern aber die Mittel, um die Auflösbarkeit der Kreistei-
lungsgleichung als auch die obige Aussage zur Konstruierbarkeit regelmäßiger
n-Ecke mit Zirkel und Lineal herzuleiten. Als zentrales Ergebnis seiner Theo-
rie formulierte Gauß den Satz: Wenn n− 1 ein Produkt von Primzahlen αβγ...

ist, so ist die Kreisteilungsgleichung durch die Lösung von Gleichungen der

Grade α, β, γ, ... auflösbar.

328

6 Algebra in der 2. Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts

Die Gaußschen Ausführungen zur Kreisteilungsgleichung haben Abel und Ga-
lois bei der Herausarbeitung der Auflösungstheorie algebraischer Gleichungen
nachhaltig beeinflußt. Schon dies belegt die große Bedeutung der Gaußschen

Theorie für die weitere Entwicklung der Algebra. An einem konkreten Bei-
spiel war damit gezeigt, daß es spezielle Typen von Gleichungen n-ten Gra-
des gibt, die auflösbar sind, und dies allgemein für alle natürlichen Zahlen
n nachgewiesen. Zusammen mit der von Gauß an anderer Stelle geäußer-
ten Überzeugung, daß die allgemeine Gleichung n-ten Grades nicht auflösbar
sei, implizierte dies die Suche nach weiteren auflösbaren Gleichungen. Zu-
gleich enthielten die Überlegungen, wenn auch am konkreten Objekt, Vor-
stufen wichtiger körper- und gruppentheoretischer Begriffe und deuteten die

Kraft allgemeiner Begriffsbildungen an. Damit markierte Gauß den Beginn
einer neuen Etappe in der Entwicklung der Algebra. Die Disquisitiones“ ent-

”

hielten noch weitere interessante algebraische Aspekte, die im übernächsten

Abschnitt behandelt werden.

6.4.5 Abels Beweis f¨
ur die Nichtaufl¨
osbarkeit der allgemeinen

Gleichung 5. Grades

Die Beantwortung der ursprünglichen Fragestellung nach der Auflösbarkeit
von Gleichungen höheren als vierten Grades erfolgte durch den Norweger

Niels Henrik Abel (1802–1829) . Dieser hatte sich schon während seiner Schul-
zeit mit der Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen beschäftigt und dazu
die Arbeiten von Lagrange, Gauß und Cauchy studiert. Ruffinis Ergebnisse
lernte er dagegen erst später kennen. Abel glaubte zunächst eine Methode
für die Auflösbarkeit der allgemeinen Gleichung fünften Grades in Radikalen
gefunden zu haben, doch bemerkte er noch rechtzeitig vor der Publikation
einen Fehler und begann intensiv nach einem Beweis zu suchen, der die Auf-
lösbarkeit als unmöglich nachwies. Die erste Fassung eines solchen Beweises
veröffentlichte er 1824 in Christiana (Oslo), zwei Jahre später erschien dann
eine wesentlich überarbeitete Version in Crelles Journal.

Abel ging von der allgemeinen Gleichung 5. Grades
y 5 − ay 4 + by 3 − cy 2 + dy − e = 0
aus und nahm diese als algebraisch auflösbar an. Daraus folgerte er sofort,
daß man y in der Form

1

2
m− 1
y = p + p 1 R m + p 2 R m + ... + pm− 1 R m

(6.4.5)

schreiben könne, wobei m eine Primzahl ist und R, p, p 1, ... pm− 1 Funktionen
von der gleichen Art wie y sind, die man letztlich auf rationale Funktionen
der Größen a, b, c, d, e zurückführen kann [Abel 1881, Vol. 1, S. 28]. In
der zweiten Fassung des Beweises gab er für diese Folgerung eine detaillierte

6.4 Lösbarkeit der allgemeinen Gleichung n-ten Grades in Radikalen

329

Herleitung dieses Ausdrucks. Dazu definierte er zuerst, was er unter einer
algebraischen Funktion (im Sinne von Radikalausdruck) verstand:

Wenn x, x, x , ... eine endliche Menge beliebiger Gr¨
ossen sind, so sagt

”

man: v sei eine algebraische Function dieser Gr¨
ossen, wenn es sich durch
x, x, x , etc. vermittelst folgender Operationen ausdr¨
ucken l¨
aßt. Erstlich
durch die Addition, zweitens durch die Multiplikation, sowohl von Gr¨
ossen,
die von x, x, x , ... abh¨
angen, als von Gr¨
ossen, die nicht davon abh¨
angen;
drittens durch die Division; viertens durch Ausziehen von Wurzeln mit Ex-
ponenten, die Primzahlen sind.“ [Abel 1826, S. 65]

Entsteht die Funktion nur durch die ersten beiden Operationen, so nannte
er die Funktion ganz rational, entsteht sie durch die ersten drei, so ratio-
nal. Danach leitete er ab, daß die ganzen rationalen Funktionen die Gestalt

Ai xi 1 ...xik haben und die rationalen Funktionen Quotienten der-

1 ...ik

1
k
i 1 ,...ik
artiger Funktionen sind. Dabei praktizierte Abel wohl erstmals das Prinzip
der intensionalen Definition, indem er die ganzrationalen bzw. die rationalen

Funktionen durch gewisse Eigenschaften charakterisierte und daraus die obige

Gestalt, die sonst zur Definition dieser Funktionen verwendet wurde, folgerte.

Bei diesem Vorgehen wies er faktisch die Menge der rationalen Funktionen
als Körper nach.

Für die weitere Konstruktion der algebraischen Funktionen bildete Abel
dann die sogenannte algebraischen Funktionen erster Ordnung, die die Form

√

√
p 1 = f ( x, x, . . . , n p, n p . . . ) hatten, wobei die p, p, ... rationale

Funktionen der x, x, ... sind und f eine rationale Funktion ihrer Ar-
gumente ist. Die algebraischen Funktionen erster Ordnung entstanden al-

√

√
so, modern gesprochen, durch Adjunktion der Radikale n p, n p, ...

zum Grundkörper der rationalen Funktionen. Im nächsten Schritt bilde-
te Abel die algebraischen Funktionen zweiter Ordnung, die die Gestalt

p 2 = f ( x, x, ..., n

√p, n√p,..., n 1 p , n 1 p,... ) hatten, wobei f wieder eine

1

1
rationale Funktion ihrer Argumente ist und die p , p, ... algebraische Funk-

1

1
tionen erster Ordnung sind, d. h. Abel adjungierte also weitere Radikale zum

Körper der rationalen Funktionen. Er setzte diesen Prozeß weiter fort und
gelangte schließlich zu den algebraischen Funktionen µ-ter Ordnung. Wurden
im letzten Schritt m unabhängige Radikale adjungiert, so bezeichnete er die
entsprechende Funktion p als Funktion µ-ter Ordnung und m-ten Grades.

Nach dem Beweis, daß die Adjunktion von m Radikalen auch suksessive in

Einzelschritten erfolgen kann, formulierte er den Satz, der ihm die eingangs
erwähnte Darstellung von y lieferte.

Den Ausdruck für y setzte Abel dann in die Ausgangsgleichung ein und erhielt

1
m− 1
die Gleichung q + q 1 R m + ... + qm− 1 R m = 0. Dabei waren q, q 1, q 2, .... ganze rationale Funktionen von a, b, c, d, e, p, p 1, p 2, ... und R. Der entscheidende Schritt war nun Abels Beweis, daß diese Relation nur gilt, wenn notwendig
q = q 1 = ... = qm− 1 = 0 ist.

330

6 Algebra in der 2. Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts

1

Als Konsequenz ergab sich, daß z = R m der reinen Gleichung zm − R = 0
genügte, aber keiner Gleichung q + q 1 z + ... + qm− 1 zm− 1 = 0 mit rationalen

Funktionen in a, b, ...

p, p 1, p 2, ... und R als Koeffizienten. Daraus folgerte

1

1

Abel , daß R m in dem abgeleiteten Ausdruck (6.4.5) für y durch αiR m mit
i = 1, ...

m − 1 und α eine m-te Einheitswurzel, ersetzt werden kann, und
der so gebildete Ausdruck

1
m− 1
yi = p + p 1 αiR m + ... + pm− 1 αi( m− 1) R m
ebenfalls der Ausgangsgleichung genügt, also eine Wurzel der Ausgangsglei-
chung ist. All diese Gleichungen für die yi faßte er als ein Gleichungssystem

1
m− 1
mit den Unbekannten p, p 1 R m , ... , pm− 1 R m auf, eleminierte die Unbe-

1
kannten und konnte so p, p 1, ... , pm, R und R m als rationale Funktionen
der Wurzeln yi der Ausgangsgleichung nachweisen. Abel vermerkte nun, daß
diese Eigenschaft auch für jene Radikale gilt, die in die Bildung von p, p 1, ... ,

R eingegangen waren, und schloß mit dem zentralen Satz, daß jede irratio-
nale Funktion, die in dem Ausdruck von y (6.4.5) vorkommt, eine rationale

Funktion der Wurzeln der vorgelegten Gleichung sei:

En poursuivant ce raisonnement on conclura que toutes les fonctions irra-

”

tionelles contenues dans l’expression de y sont des fonctions rationelles des
racines de l’´
equation propos´
ee.“ [Abel 1881, Bd. 1, S. 30f.]

Damit hatte Abel genau jenen Punkt erreicht, den Ruffini als Ausgangspunkt
für seinen Beweis gewählt hatte, und konnte unter Rückgriff auf die Resultate
von Lagrange und Cauchy den Beweis leicht vollenden. Aus den Cauchyschen

Untersuchungen von 1812 über die Anzahl der Werte, die eine Funktion an-
nehmen kann, wenn man die Variablen auf alle möglichen Arten permutiert,
folgerte er daß m nur den Wert 2 oder 5 haben kann. Abel betrachtete beide

Fälle separat und erhielt jeweils einen Widerspruch, also war die Annahme,
daß die allgemeine Gleichung 5. Grades in Radikalen auflösbar ist, falsch.

Mit diesem Beweis hatte Abel ein zentrales Problem der Algebra gelöst. Nach-
dem die gruppentheoretische Seite des Problems von Ruffini, Cauchy u. a.

aufgeklärt worden war und zum Studium der Permutationsgruppen geführt
hatte, erhellte Abel nun die körpertheoretischen Aspekte. Doch der Beweis
der Unmöglichkeit, die allgemeine Gleichung fünften und höheren Grades in

Radikalen aufzulösen, war letztlich nur die Lösung eines Teilaspektes, offen
blieb noch die Bestimmung der Gleichungen, für die diese Auflösung doch
möglich war.

Die Beantwortung dieser Frage brachte eine weitere Vertiefung der Einsichten
in die algebraischen Strukturen mit sich und stand am Beginn einer neuen

Etappe der Algebraentwicklung, die den Gegenstand des nächsten Kapitels
bildet. Zunächst wenden wir uns noch dem zweiten zentralen algebraischen

Problem am Ende des 18. Jahrhunderts zu.

6.5 Zum Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra durch Gauß

331

6.5 Zum Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra
durch Carl Friedrich Gauß

Nachdem sich zahlreiche Mathematiker um einen exakten Beweis des Funda-
mentalsatzes der Algebra bemüht hatten (vgl. Abschn. 5.3.3 ), reichte Carl

Friedrich Gauß im Jahre 1799 einen neuen Beweis des Satzes als Inaugu-
raldissertation ein. Später legte er noch drei weitere, von diesem ersten we-
sentlich verschiedene Beweise des Fundamentalsatzes der Algebra vor. Mit
der Dissertation wurde Gauß im Sommer 1799 durch Johann Friedrich Pfaff
an der Braunschweigischen Landesuniversität in Helmstedt in absentia pro-
moviert, nachdem er zuvor dank der finanziellen Unterstützung des Herzogs
von Braunschweig 1792–95 am Collegium Carolinum in Braunschweig und

1795–98 an der Universität in Göttingen studiert hatte. In seiner Arbeit kri-
tisierte Gauß sehr klar als den allen vorangegangenen Arbeiten anhaftenden

Mangel, daß die Existenz der Wurzeln polynomialer Gleichungen stets als
selbstverständlich angenommen wurde und man nur nachwies, daß sie von

√
der Form a + b − 1 sind:

...; da nun aber durch diesen Beweis selbst unumst¨
osslich dargethan werden

”

soll, daß die Gleichung X = 0 wirklich Wurzeln habe, so scheint es nicht er-
laubt, die Existenz derselben vorauszusetzen. Ohne Zweifel werden diejenigen,
welche das Tr¨
ugerische der Schlussweise noch nicht durchschaut haben, die

Antwort geben: hier solle nicht bewiesen werden, daß der Gleichung X = 0
gen¨
ugt werden k¨
onne, ..., sondern nur, daß ihr durch Werthe von x, die in

√
der Form a + b − 1 auftreten, genügt werden könne; jenes werde als Grund-
satz vorausgesetzt. Da man sich aber ausser reellen und imagin¨
aren Gr¨
ossen

√
a + b − 1 keine anderen Grössen-Formen vorstellen kann, so ist es nicht
ganz klar, worin sich das, was bewiesen werden soll, von dem unterscheidet,
was als Grundsatz angenommen wird; ja sogar, wenn es m¨
oglich, noch andere

Gr¨
ossen-Formen auszudenken, etwa die Formen F, F , F , ... so d¨
urfte doch
nicht ohne Beweis zugestanden, daß jener Gleichung entweder durch einen
reellen Werth von x gen¨
ugt werden k¨
onne, oder durch einen von der Form

√
a + b − 1 , oder von der Form F , oder F usw.“ [Gauß 1890, S. 16f.]

Seinen eigenen Beweis begann Gauß mit der Untersuchung zweier Hilfsglei-
chungen in den Unbestimmten r und φ, die dem Real- bzw. Imaginärteil
der vorgelegten Ausgangsgleichung n-ten Grades entsprechen, wenn man
x = r( cosφ + isinφ) setzt. Ohne auf die Ersetzung Bezug zu nehmen, konnte

Gauß für solche Werte von r und φ, für die die beiden Hilfsgleichungen erfüllt
sind, die Teilbarkeit der Ausgangsgleichung durch einen quadratischen oder
einen linearen Faktor nachweisen. Um die Existenz derartiger Werte von r
und φ zu sichern, für die beide Hilfsgleichungen verschwinden“, interpretier-

”

te Gauß diese Gleichungen als Gleichungen von zwei algebraischen Kurven

T und U in Polarkoordinaten. Seine Idee war es nun, einen Schnittpunkt
dieser Kurven nachzuweisen. Dann hätte das Ausgangspolynom einen linea-

332

6 Algebra in der 2. Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts
ren oder quadratischen Faktor und durch sukzessive Wiederholung erhielte
er eine vollständige Faktorisierung des Polynoms. Gauß studierte dazu die

Schnittpunkte der beiden Kurven mit einem Kreis mit Radius R. Er be-
wies das Lemma, daß für hinreichend großen Radius R der Kreis mit der

Kurve T = 0

2 m Schnittpunkte und mit der Kurve U = 0 ebenfalls 2 m

Schnittpunkte hat. Außerdem wechseln die Schnittpunkte miteinander ab,
d. h. auf der Kreislinie liegt zwischen zwei Schnittpunkten der Kurve U = 0
ein Schnittpunkt der Kurve T = 0 und zwischen zwei Schnittpunkten der

Kurve T = 0 ein Schnittpunkt der Kurve U = 0. Mit Verweis auf die höhere

Geometrie und die Sätze über die Schnittpunktanzahl algebraischer Kurven
folgerte er, daß die Kurven U = 0 und T = 0 den Kreis auch in nicht mehr
als 2 m Punkten schneiden könne. Er bezog sich dann auf die aus der höheren

Geometrie bekannte Tatsache, daß jede algebraische Curve (oder jeder ein-

”

zelne Theil einer algebraischen Curve, wenn dieselbe zuf¨
allig aus mehreren
zusammengesetzt ist) entweder in sich zur¨
uckl¨
auft, oder nach beiden Seiten
ins Unendliche ausl¨
auft, und daß also, wenn ein Zweig einer algebraischen

Curve in einen begrenzten Raum eintritt, er nothwendig aus demselben wie-
der heraustreten muss.“ [Gauß 1890, S. 33] Daraus folgerte er die Existenz
eines Schnittpunktes beider Kurven, indem er die gegenteilige Annahme zum

Widerspruch führte. Somit ist die Ausgangsgleichung durch einen linearen
bzw. einen quadratischen Faktor teilbar.

Ende 1815 gab Gauß einen zweiten algebraischen Beweis des Fundamental-
satzes. In diesem Beweis folgte er im wesentlichen dem zuvor von Euler, La-
grange und Laplace beschrittenen Weg. Er begann mit Untersuchungen der
symmetrischen Funktionen. Zunächst bildete er aus n beliebigen unabhängi-
gen Größen ai ( i = 1 , 2 , . . . , m) die elementarsymmetrischen Funktionen σi
und zeigte, daß es zu einer beliebigen ganzrationalen, symmetrischen Funk-
tionen f der ai genau eine ganzrationale Funkton von m Unbestimmten gibt,
die in f übergeht, wenn man für die Unbestimmten die elementarsymmetri-
schen Funktionen einsetzt. Mit anderen Worten, Gauß lieferte einen erneuten

Beweis des Hauptsatzes der symmetrischen Funktionen. Als Folge ergab sich
die algebraische Unabhängigkeit der elementarsymmetrischen Funktionen σi
und der Fakt, daß eine algebraische Relation Φ( σ 1 , ..., σm) = 0 zwischen den
σ 1 , σ 2 , ..., σm notwendigerweise eine Identität ist. Man kann also an die Stelle
der σi auch die Koeffizienten a 1, ... , am einer algebraischen Gleichung m-ten

Grades setzen, für die ebenfalls die Relation Φ = 0 gilt. Dies war ein neuer

Aspekt, den Gauß hier einführte. Die für ein in Faktoren zerlegbares Poly-
nom abgeleitete Relation galt demnach für alle Polynome. Dieses Vorgehen
wird gelegentlich als Gaußsches Prinzip oder als Prinzip der Fortsetzung von

Identitäten bezeichnet.

Danach führte Gauß die Diskriminante für ein Polynom f ( x) ein und leitete
einige wichtige Eigenschaften ab: Die Diskriminante des Polynoms f ver-
schwindet genau dann, wenn f ( x) und f ( x) einen gemeinsamen Faktor ha-
ben. Im folgenden setzte er voraus, daß das Fundamentaltheorem für alle Po-

6.5 Zum Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra durch Gauß

333

Abb. 6.5.6. Skizze zum Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra von C. F. Gauß
für das Beispiel x 2 + 1 = 0
lynome vom Grad 2 n− 1 r mit ungeradem r erfüllt sei und bewies die Aussage
für ein Polynom vom Grade m = 2 nr 1, r 1 ebenfalls ungerade. Dazu betrachte-
te er eine Hilfsfunktion φ( u, x), die ein Produkt von Linearfaktoren vom Typ
α+ βu+ γx mit den Unbekannten u und x sei. Ist w eine weitere Unbestimmte

und setzt man φ u + w dφ( u,x) , x − w dφ( u,x)

= Ω, so konnte Gauß φ( u, x)

dx
du
als einen Teiler dieses Ausdrucks nachweisen. Diesen Satz wandte er nun auf
m

%
die spezielle Hilfsfunktion f ( u, x) =

( u − ( ai + aj) x + aiaj) mit den

1 ≤i<j≤m
m beliebigen Größen ai (1 ≤ i ≤ m) an, die den Grad 1 m( m − 1) = 2 n− 1 r

2

2 ,
r 2 ungerade, hat. Diese Funktion ist in den ai symmetrisch, so daß f ( u, x)

als ganze Funktion von u, x und den elementarsymmetrischen Funktionen
σ 1, ... , σm der ai dargestellt werden kann, und das eingangs genannte Prinzip
anwendbar ist. Unter Rückgriff auf die bereitgestellten Lemmata konstruierte

Gauß eine Wurzel für diese Hilfsgleichung und leitete daraus eine Wurzel für
die Ausgangsgleichung ab. Diese aufwendige Beweisführung war notwendig,
da Gauß offenbar nicht mit dem Begriff des Zerfällungskörpers bzw. einer
zu dieser Begriffsbildung äquivalenten Eigenschaft arbeiten wollte. (Man ver-
gleiche dazu auch die Argumentation von Barthel Leendert van der Waerden

[van der Waerden 1985, S. 98].) Unter Verweis auf die bekannte Tatsache,
daß eine Gleichung ungeraden Grades stets eine reelle Lösung hat, vollendete

Gauß den Beweis, da die von ihm angegebene Konstruktion der Hilfsfunktion
nach endlich vielen Schritten auf ein Polynom ungeraden Grades führen muß.

Auch in diesem Beweis hob Gauß den zu seinen Vorgängern veränderten

Standpunkt klar hervor. Unter Hinweis auf die ausführliche Kritik in der

Arbeit von 1799 schrieb er:

Diese Annahme (der Zerlegbarkeit einer Funktion in Linearfaktoren, K.-H.

”

S.) selbst ist aber, wenigstens an diesem Orte, an welchem es sich um den
allgemeinen Beweis dieser Zerlegbarkeit handelt, nichts als eine Petitio prin-

334

6 Algebra in der 2. Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts
cipii. Und gleichwohl haben sich vor durchaus ¨
ahnlichen Schl¨
ussen nicht Alle
geh¨
utet, welche analytische Beweise unseres Haupt-Theorems versucht haben.

Der Ursprung solchen augenf¨
alligen Irrthums kann man schon im Titel dieser

Untersuchungen selbst erkennen, da Alle nur die Form der Gleichungswurzeln
untersucht haben, w¨
ahrend die unbesonnen vorausgesetzte Existenz derselben
h¨
atte bewiesen werden m¨
ussen.“ [Gauß 1890, S. 44]

Trotz der unbestreitbaren Fortschritte, die mit den Gaußschen Beweisen er-
reicht wurden, mußte auch Gauß auf Elemente der Anschauung, insbesondere
auf die Stetigkeit der reellen Zahlen zurückgreifen und konnte damit einen
prinzipiellen Schwachpunkt der vorangegangenen Beweise nicht umgehen.

Der dritte Gaußsche Beweis, auf den er kurz nach seinem zweiten durch fort-

”

gesetztes Nachdenken ¨
uber denselben Gegenstand“ geführt wurde, war nach

Gaußens Ansicht wesentlich einfacher. Er bildete zunächst wieder die Po-
lynome T und U in den Veränderlichen r und φ wie im ersten Beweis des

Fundamentalsatzes, diesmal jedoch mit kleinen Buchstaben bezeichnet. Zum

Nachweis der Existenz eines Punktes P , in dem beide Polynome verschwin-
den, berechnete er das Doppelintegral über einen Quotientenausdruck, der
t, u sowie deren erste und zweite Ableitungen enthielt. Unter der Annahme,
daß ein solcher Punkt P nicht existiere, konnte Gauß die Integrationsreihen-
folge bei der Berechnung des Doppelintegrals vertauschen, was aber zu zwei
verschiedenen Werten für das Integral, also zu einem Widerspruch führte.

Wie Gauß zu dem benutzten Quotientenausdruck gekommen ist, blieb bisher
unklar, man vergleiche aber die Vermutung von van der Waerden [van der

Waerden 1985, S. 101f.].

Zu seinem Goldenen Doktorjubiläum 1849 stellte Gauß schließlich noch einen
vierten Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra auf, wobei er direkt an
seine Dissertation anknüpfte. Die wesentliche Veränderung bestand in der

Benutzung der komplexen Zahlen, da dieser Begriff nach Gauß inzwischen
jedermann gel¨
aufig“ sei. Damit schloß sich auch in dem Gaußschen Werke

”

der Kreis in der Behandlung des Fundamentalsatzes der Algebra. Nach der

Publikation der Dissertation galt das Fundamentaltheorem entsprechend den

Exaktheitsvorstellungen jener Zeit als vollständig bewiesen.

Die Bedeutung des Fundamentalsatzes der Algebra besteht nicht nur in dem

Beweis des Theorems selbst, sondern in den methodischen Anregungen, die
davon ausgingen. So versuchten immer wieder Mathematiker den Satz unter
verschiedenen Aspekten zu beweisen, etwa besonders elegant, einfach oder
unter Rückgriff auf möglichst wenige nicht algebraische Argumentationen.

Leopold Kronecker hat den zweiten, algebraischen Beweis von Gauß mehr-
fach analysiert. Dabei verknüpfte er diese Überlegungen mit dem von ihm auf

Systeme von Moduln erweiterten Gaußschen Kongruenzbegriff und kam so zu
einer Verallgemeinerung der Fragestellung. In seiner
allgemeinen Arithme-

”

tik“ (1887) löste er das Problem, ein Primmodulsystem zu bestimmen, für das
eine gegebene ganze Funktion einer Variablen, also ein gegebenes Polynom P ,
als ein Produkt von Linearfaktoren dargestellt werden kann, und gab in die-

6.6 Die Herausforderung der Algebra durch neue Objektbereiche

335
sem Kontext die Konstruktion des Zerfällungskörpers an. Kronecker hat den
von den Koeffizienten des Polynoms P erzeugten Quotientenkörper so durch

Hinzunahme neuer Größen erweitert, daß das Polynom in dem erweiterten

Körper in Linearfaktoren zerfällt.

6.6 Die Herausforderung der Algebra durch neue

Objektbereiche

Neben den traditionellen Forschungen zur Gleichungstheorie und den Bemü-
hungen um eine Begründung des Rechnens in den verschiedenen Zahlberei-
chen gab es in der Mitte des 18. und zu Beginn des 19 Jahrhunderts einige
weitere Themen, die für die Entwicklung der Algebra von Bedeutung waren.

6.6.1 Determinanten

Die Begriffe Determinante und Matrix hängen historisch sehr eng zusam-
men und scheinen in unserem heutigen Verständnis untrennbar verbunden.

Der Matrixbegriff ist jedoch erst rund 170 Jahre nach den ersten Überlegun-
gen zu Determinanten geprägt worden. Die Einführung der Determinanten
erfolgte beim Studium linearer Gleichungssysteme um 1680 unabhängig von-
einander durch Gottfried Wilhelm Leibniz und den Japaner Takakazu Seki.

Leibniz betrachtete ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und
zwei Unbekannten, für dessen Notation er seine Indexschreibweise benutz-
te. Bei der Elimination der Unbekannten erhielt er eine Determinante, deren

Verschwinden die Bedingung für die Lösbarkeit des Systems lieferte. Seki
versuchte die Lösung von Gleichungssystemen durch die Einführung von De-
terminanten in einer schematischen Lösungsformel anzugeben. Für die Be-
rechnung der Determinante im Falle von drei Unbekannten formulierte er
eine Vorschrift, die der Sarrusschen Regel entspricht. Unter Rückgriff auf die

Resultate chinesischer Mathematiker schuf Seki auch Methoden zur numeri-
schen Lösung von algebraischen Gleichungen, die insbesondere zu dem nach

William George Horner benannten Schema führen. Seki, dessen Leistungen
vor allem durch seine Schüler überliefert wurden, gilt als der bedeutendste
japanische Mathematiker vor dem Kontakt Japans mit den Erkenntnissen
europäischer Mathematiker und Naturforscher.

Im 18. Jahrhundert wurden die Determinanten ein fester Bestandteil der

Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme und zur Formulierung von

Lösungsbedingungen simultaner algebraischer Gleichungen. Speziell durch
die Arbeiten der Mathematiker in der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts
reiften sie zu einem wichtigen Hilfsmittel bei der Behandlung von Problemen
der algebraischen Geometrie und Zahlentheorie.

Im Rahmen seiner Studien zur Anzahl der möglichen Schnittpunkte zweier
algebraischer Kurven und der Anzahl der Punkte, durch die eine algebraische

336

6 Algebra in der 2. Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts

August Leopold Crelle

Gabriel Cramer

Kurve eindeutig bestimmt ist, berechnete Gabriel Cramer die Koeffizienten
der Gleichung A + By + Cx + Dy 2 + Exy + x 2 = 0 eines allgemeinen Kegel-
schnitts, der durch fünf vorgegebene Punkte verläuft, und stellte dabei die
heute nach ihm benannte Regel auf. Für Gleichungssysteme mit bis zu vier

Unbekannten trat diese Regel, wenn auch mit ungünstiger Bezeichnungswei-
se, bereits in Maclaurins Abhandlung zur Algebra auf, die dieser um 1730
verfaßte, die aber erst posthum 1748 erschien. Neben der besseren Nota-
tion hat wohl auch Euler, indem er in seinem Algebrabuch die Regel mit

Cramers Namen verknüpfte, dazu beigetragen, daß man heute von der Cra-
merschen Regel spricht. Cramer hatte Euler 1727 kennengelernt, als er auf
einer seiner Studienreisen für etwa fünf Monate zu den Studenten von Jo-
hann I Bernoulli gehörte. Bézout hat dann 1764 die Berechnungsvorschrift
für Determinanten systematisch behandelt und nachgewiesen, daß für lineare

(homogene) Gleichungssysteme aus dem Verschwinden der Determinante die

Existenz einer von Null verschiedenen Lösung folgt. In dem von 1764–69 er-
schienenen sechsbändigen Cours de math´
ematique“ leitete er ein Kriterium

”

dafür her, daß zwei vorgegebene Polynome eine gemeinsame Nullstelle ha-
ben. Sein Verfahren beinhaltete die Bildung der Resultante, einer speziellen

Determinante aus den Koeffizienten der beiden Polynome. Auch bei Bézout
standen die Arbeiten zur Eliminationstheorie in engem Zusammenhang mit
der Bestimmung der Schnittpunkte zweier algebraischer Kurven und ord-
nen sich damit zugleich in die Frühgeschichte der algebraischen Geometrie
ein, auf die später noch näher eingegangen werden wird. Hervorzuheben ist
dabei der nach Bézout benannte Satz, der einen Zusammenhang zwischen
dem Grad und der Schnittvielfachheit von Kurven herstellt und später in
der algebraischen Geometrie eine abstrakte Formulierung erhielt. Es sei noch
vermerkt, daß Bézouts

Cours ...“ eine sehr große Verbreitung erfuhr und

”

6.6 Die Herausforderung der Algebra durch neue Objektbereiche

337
in der englischen Übersetzung ein Standardlehrbuch an den amerikanischen

Hochschulen im 19. Jahrhunderts war. Das Werk wurde zwar teilweise wegen
der mangelnden Strenge in den Darlegungen kritisiert, doch war es Bézout
gelungen, seine Erfahrungen als Lehrer im Unterricht von mathematisch nicht
vorgebildeten Schülern (künftigen Schiffsoffizieren) nutzbringend in der Dar-
stellung zu verwerten. In seinen Forschungen, für die ihm der Lehrberuf wenig

Zeit ließ, konzentrierte sich Bézout auf die Lösung von algebraischen Glei-
chungen. 1779 faßte er dann seine Ergebnisse in der Th´
eorie des ´
equations

”

alg´
ebriques“ zusammen.

Wie Bézout haben sich auch mehrere andere bekannte Mathematiker, u. a.

Euler, Lagrange und Laplace, vor allem der Berechnung von Determinanten
gewidmet. Einen wichtigen Fortschritt in der Theorie erzielte Vandermonde in
einer 1771 vollendeten und 1776 erschienenen Arbeit zur Eliminationstheorie.

Im Bestreben, eine allgemeine Lösungsformel für ein Gleichungssystem von n

Gleichungen aufzustellen, formulierte er eine Reihe von grundlegenden Theo-
remen über Determinanten und gilt deshalb als ein Begründer der Determi-
nantentheorie. Zu diesen Resultaten gehörten die Aussagen, daß eine gerade

Anzahl von Transpositionen der Spalten oder Zeilen (d. h. der Vertauschung
zweier benachbarter Spalten oder Zeilen) das Vorzeichen der Determinante
nicht ändert, eine ungerade Anzahl es aber ändert, daß die Determinante
ihren Wert nicht ändert, wenn Zeilen und Spalten miteinander vertauscht
werden (d. h. wenn man zur transponierten Koeffizientenmatrix übergeht).

Eine neue wichtige Anwendung der Determinanten eröffnete Gauß in den

Disquisitiones arithmeticae“, als er sie zur Charakterisierung der Substitu-

”

tionen binärer und ternärer quadratischer Formen einsetzte. Gauß verwendete
dabei eine abkürzende Schreibweise, die die Koeffizienten der Form bzw. der

Substitutionsgleichungen in einer bestimmten Anordnung verzeichnete und
auf der Tatsache basierte, daß die Form bzw. die Substitutionsgleichungen
durch die Koeffizienten eindeutig bestimmt sind. So schrieb er die ternäre
quadratische Form f = ax 2 + ax 2 + ax 2 + 2 bxx + 2 bxx + 2 bxx kurz

#

$
aaa
als
und die Substitution
bbb
x = αy + βy + γy
α, β, γ
x = αy + βy + γy
als ( S) = α, β, γ
x = αy + βy + γy
α, β, γ

Diese schematische Anordnung der Koeffizienten entsprach ganz dem späte-
ren Matrixbegriff, wurde aber von Gauß nicht mit einem speziellen Terminus
bezeichnet, also nicht als eigenständiges mathematisches Objekt hervorgeho-
ben. Diesen Schritt hielt Gauß anscheinend für überflüssig. Für seine Unter-
suchung der ternären Formen mußte er auch die Hintereinanderausführung
von zwei Substitutionen betrachten und wies nach, daß das Ergebnis dieses

Prozesses auch durch eine einzige Substitution erreicht werden kann. Wenn
also die Form f durch die Substitution ( S) in die Form f und f durch die

338

6 Algebra in der 2. Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts

Substitution ( S) in die Form f übergeht, so gibt es eine Substitution ( T )

durch die f in f transformiert wird. Ohne weiteren Kommentar gab Gauß
die Substitution ( T ) an, die sich eindeutig aus ( S) und ( S) berechnen ließ.

δ ε ς

Ist ( S) wie oben angegeben und ( S) von der Form δ ε ς , so errechnete
δ ε ς

Gauß die Substitution ( T ) für die Hintereinanderausführung zu
αδ + βδ + γδ
αε + βε + γε
ας + βς + γς
αδ + βδ + γδ
αε + βε + γε
ας + βς + γς .

αδ + βδ + γδ αε + βε + γε ας + βς + γς

Dies ist genau das Produkt der Koeffizientenmatrizen der beiden Substitu-
tionen. Da Gauß sogar davon sprach, daß die von ihm definierte Äquivalenz
zwischen ternären quadratischen Formen erhalten bleibt (s. u.), hat die Deter-
minante dieser Produktmatrix den Wert ± 1, wenn die Determinanten beider

Substitutionen ( S) und ( S) diesen Wert hatten.

Somit hatte Gauß faktisch als Nebenprodukt seiner zahlentheoretischen Stu-
dien die Matrizenmultiplikation definiert und ein Beispiel für die Berechnung
der Determinante eines Matrizenproduktes gegeben. Dies wurde einer der

Ausgangspunkte für den grundlegenden Beitrag, den Augustin-Louis Cauchy

1812 zur Determinantentheorie lieferte. Cauchy knüpfte sowohl an die in den

Disquisitiones“ enthaltenen Vorstellungen an, als auch an Ideen von Vander-

”

monde, der in seiner Abhandlung darauf hingewiesen hatte, zur Berechnung
von Determinanten Elemente der Permutationstheorie zu verwenden.

In der Arbeit von 1812, die auch Cauchys erste Arbeit zur Permutations-
theorie war, definierte dieser die Derterminante als eine spezielle multilineare
alternierende Funktion von n 2 Variablen, d. h. als eine Funktion, die bei der

Permutation der Variablen nur zwei alternierende Werte k und −k annimmt.

Er betrachtete das Produkt
a 1 a 2 a 3 ...an( a 2 − a 1)( a 3 − a 1) ... ( an − a 1)( a 3 − a 2) ... ( an − a 2) ... ( an − an− 1), das er mit S( ±a 1 a 2 a 3 ...an

2 3
n) abkürzte, schrieb dann die Potenzen der ai als
zweiten Index, z. B. ar,s statt as und fuhr fort:

r
on obtiendra pour resultat une nouvelle fonction symmetrique altern´
ee, qui,

”

..., sera repr´
esent´
ee par

S( ±a 1 , 1 a 2 , 2 a 3 , 3 ...an,n) , le signe S etant rela-
tif aux premier indices de chaque lettre. Telle est la forme la plus g´
en´
erale
du fonctions que je d´
esignerai dans la suite sous le nom de d´
eterminants.“

[Cauchy 1882, 2. Serie, Bd.1, S 114]

Dies entspricht der üblichen Berechnungsvorschrift für den Wert einer De-

terminante

( ± 1) aσ(1)1 aσ(2)2 ...aσ( n) n, wobei σ alle Permutationen der Zah-
σ
lenfolge 1 , 2 , ...n durchläuft und das Vorzeichen + für gerade Permutationen
und − für ungerade Permutationen dieser Zahlen zu wählen ist. Nachdem
er die Determinante S( ±a 1 , 1 a 2 , 2 a 3 , 3 ...an,n) für n = 2 und n = 3 berechnet

6.6 Die Herausforderung der Algebra durch neue Objektbereiche

339
hatte, gab Cauchy auch die heute übliche Anordnung der Elemente der Deter-
minante in einem quadratischen Schema unter Benutzung doppelter Indizes
an:

En g´
en´
eral, le d´
eterminant du n iéme ordre ou S( ±a

”

1 , 1 a 2 , 2 a 3 , 3 ...an,n)

renferma un nombre ´
egal `
a n 2 de quantit´
es diff´
erentes qui seront respecti-
vement

⎧

⎪

⎪

⎪ a 1 , 1 , a 1 , 2 , a 1 , 3 , ... a 1 ,n,

⎪

⎨ a 2 , 1 , a 2 , 2 , a 2 , 3 , ... a 2 ,n,

⎪ a 3 , 1 , a 3 , 2 , a 3 , 3 , ... a 3 ,n,

. “

⎪

⎪

⎪

⎩ ..., ..., ..., ... ...,
an, 1 , an, 2 , an, 3 , ... an,n,

[Cauchy 1882, 2. Ser., Bd.1, S. 114f.] Auf dieser Basis konnte er die Theorie
der Determinanten in eine strenge deduktive Form bringen und verständlich
entwickeln. So führte er u. a die konjugierten Elemente ein, unterschied klar
zwischen den einzelnen Elementen der Determinante bzw. zwischen den Un-
terdeterminanten verschiedener Ordnung, formulierte und bewies zahlreiche

Sätze, wie die Formel für das Produkt zweier Determinanten. Auch die Ter-
minologie wurde wesentlich von Cauchy geprägt, insbesondere wurde durch
ihn der Begriff der Determinante klar fixiert, nachdem zuvor verschiedene an-
dere Bezeichnungen noch üblich waren bzw. mit Determinante auch andere
mathematische Objekte bezeichnet wurden. Viele Historiker sehen deshalb in

Cauchy den formalen Begründer der Determinantentheorie.

Die Bedeutung dieser zu Beginn des 19. Jahrhunderts vollzogenen Ausfor-
mung der Determinantentheorie für die Algebra bestand weniger in den Ver-
besserungen bei der Lösung linearer Gleichungssysteme, sondern vor allem
darin, daß mit den Determinanten ein neues mathematisches Objekt ausge-
zeichnet wurde, das zwar wieder eine Zahl repräsentierte, aber in bestimmter

Weise von n 2 anderen Zahlen abhing. Die Multiplikation zweier Determinan-
ten war nicht nur die Multiplikation zweier Zahlen, sondern es war die Ver-
knüpfung zweier neuer Objekte, nämlich der quadratischen Schemata, die die

Determinanten repräsentierten. Auch wenn die Berechnungen völlig in den
bekannten Zahlbereichen durchgeführt werden konnten, so wurden doch zwei
neue Objekte verknüpft und sie ergaben wieder ein derartiges Objekt, ein
quadratisches Schema, dem man nach der festgelegten Vorschrift einen Wert
zuweisen konnte und der genau das Produkt der Werte der beiden verknüpf-
ten Schemata war. Die Determinanten konnten also nicht einfach in einen der

Zahlbereiche integriert werden, sie erforderten einen eigenen Status. Die Ver-
knüpfungsregeln entsprachen zwar den vom Rechnen mit Zahlen bekannten

Gesetzen, aber sie mußten für die neuen Objekte erneut verifiziert werden.

Während die Determinantentheorie zu Beginn des 19. Jahrhunderts einen
deutlichen Aufschwung erlebte und Determinanten vielfältig angewendet
wurden, fanden die Matrizen, die hinsichtlich der Verknüpfungsregeln einige
interessante Abweichungen offenbart hätten, in diesem Zeitraum kaum Auf-
merksamkeit unter den Mathematikern.

340

6 Algebra in der 2. Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts

6.6.2 Der Einfluß der

Disquisitiones arithmeticae“ von Gauß

”

Bereits mehrfach ist auf Gauß’ großes zahlentheoretisches Werk Disquisitio-

”

nes arithmeticae“ Bezug genommen worden. Einige weitere, für die Algebra-
entwicklung wichtige Aspekte sollen jetzt etwas genauer erläutert werden. Mit
diesem Buch eröffnete der 20jährige Gauß eine neue Ära der Zahlentheorie
und markierte den Beginn der modernen Entwicklungsphase dieses mathe-
matischen Teilgebiets. Er systematisierte die vorhandenen Theorien und Me-
thoden, erweiterte sie und standardisierte die Terminologie. Die Abhandlung
erschien 1801.

An die Spitze seines Werkes stellte Gauß den Begriff der Kongruenz und die

Theorie der Kongruenzen.

Wenn die Zahl
a in der Differenz der Zahlen

”

b, c aufgeht, so werden
b und
c nach
a congruent, im andern Falle
incongruent genannt.“ [Gauß 1889, S. 1] Dabei heißt a der Modul. Als Zeichen
der Kongruenz führte Gauß das Symbol ≡ ein und schrieb die Definition kurz
als b ≡ c (mod a).

Der Begriff der Kongruenz trat schon früher bei Euler, Lagrange und Legendre
auf, aber erst Gauß benutzte ihn systematisch und gab der Theorie eine ele-
gante Form. Er wies die Kongruenz, modern ausgedrückt, als Äquivalenzre-
lation nach, zeigte, wie man mit Kongruenzen rechnen kann und definierte
den Begriff auch für Polynome. Durch die Anwendung seiner Resultate auf

Potenzen bzw. speziell auf Quadrate leitete er u. a. den kleinen Fermatschen

Satz ( ap− 1 ≡ 1 (mod p), wenn a eine nicht durch die Primzahl p teilbare Zahl
ist.) und das quadratische Reziprozitätsgesetz ab. Auch die Bestimmung der
n-ten Einheitswurzeln behandelte er in diesem Rahmen.

Gauß war sich völlig bewußt, daß es zu einem festen Modul m unendlich viele

Zahlen gab, die den gleichen Rest a bei der Division durch m haben, nämlich
alle Zahlen a + km, k eine beliebige ganze Zahl, und hatte mit der Einführung
der kleinsten Reste faktisch ein Repräsentantensystem für diese Zahlenmen-
gen (Restklassen) gefunden. Es erscheint dann nur als ein kleiner Schritt, um
das Rechnen mit den Kongruenzen als ein Rechnen mit den Restklassen zu
interpretieren und den strukturellen Gesichtspunkten stärkeres Gewicht zu
verleihen. Gauß hat jedoch darauf nicht explizit hingewiesen.

Im 5. Abschnitt seiner Arbeit wandte sich Gauß der Theorie der Formen
zu, um eine allgemeine Methode zur Bestimmung aller Lösungen einer unbe-
stimmten Gleichung zweiten Grades in zwei Unbestimmten zu finden. Eine
binäre quadratische Form nahm er in der Gestalt
ax 2 + 2 bxy + cy 2; a, b, c ganze Zahlen, abgekürzt als ( a, b, c),
an und ordnete ihr die Diskriminante, von Gauß als Determinante (!) bezeich-
net, D = b 2 −ac zu. Von dieser Diskriminante hängen, wie Gauß vermerkt, die

Eigenschaften der Form hauptsächlich ab. [Gauß 1889, S. 112] Wieder konnte
er seine Studien auf zahlreiche Ergebnisse von Euler, Lagrange und Legendre
aufbauen, die er auch ausdrücklich erwähnt, insbesondere Lagranges Recher-

”

ches d’Arithm´
etique“, ein wichtiges Werk aus der Frühgeschichte der Formen.

6.6 Die Herausforderung der Algebra durch neue Objektbereiche

341

Abb. 6.6.7. Titelblatt der Disquisitiones arithmeticae“ von C. F. Gauß

”

342

6 Algebra in der 2. Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts

Darin hatte Lagrange, im Bestreben, alle ganzen Zahlen zu ermitteln, die in
der Form Bt 2 + Ctu + Hu 2 mit ganzen Zahlen B, C, H darstellbar sind,
eine eingehende Untersuchung von binären quadratischen Formen und deren

Verhalten bei linearen Variablentransformationen durchgeführt. Die Zahl A
heißt durch die obige Form dargestellt, wenn es ganzzahlige Werte T , U der

Unbestimmten t bzw. u gibt, so daß A = BT 2 + CT U + HU 2 gilt. In moder-
ner Terminologie ausgedrückt, konnte er nachweisen, daß bei vorgegebener
fester Diskriminante D nur endlich viele Klassen nichtäquivalenter Formen
auftreten und die Diskriminante eine Invariante bei den linearen Variablen-
transformationen ist.

Aus den Arbeiten seiner Vorgänger gewann Gauß offenbar die Überzeugung,
daß die Eigenschaften der binären quadratischen Formen, deren Klassifika-
tion und die Beziehungen zwischen den einzelnen Klassen ein grundlegendes

Mittel zur Lösung des vorgelegten Problems über unbestimmte Gleichun-
gen sind. Er begann seine Untersuchungen mit der Analyse des Transfor-
mationsverhaltens der Form bei Variablensubstitution und der Einführung
eines Äquivalenzbegriffs. Die Form F = ax 2 + 2 bxy + cy 2 und die Form

F = ax 2 + 2 bxy + cy 2 heißen äquivalent, wenn F durch eine lineare

Substitution x = αx + βy, y = γx + δy mit ( αβ − γδ) = ± 1 in F und F durch eine analoge Substitution x = δx − βy, y = −γx + αy in F transformiert werden können. Die Koeffizienten der Substitutionen müssen dabei
ganze Zahlen sein. Ist ( αβ − γδ) = +1, so heißen die Formen eigentlich, für

( αβ − γδ) = − 1 uneigentlich äquivalent. Als notwendige Bedingung für die

Äquivalenz der Formen erhält man die Gleichheit der Diskriminanten, doch
dies ist nicht hinreichend, und es ergibt sich die Frage, wie viele Klassen
nichtäquivalenter Formen zu einer beliebig, aber fest vorgegebenen Diskrimi-
nante existieren. Gauß wies die Endlichkeit dieser Klassenanzahl nach, und
was er beim Rechnen mit Kongruenzen wohl noch als selbstverständlich über-
gangen hatte, brachte er jetzt klar zum Ausdruck:

Schon oben (Artikel 175, 195, 211) haben wir gezeigt, dass, wenn irgend ei-

”

ne ganze (sei es positive, sei es negative) Zahl D gegeben ist, eine endliche

Anzahl von Formen F, F , F , ... mit der Determinante D von der Beschaf-
fenheit angegeben werden kann, daß jede beliebige Form mit der Determinante

D irgend einer von jenen und nur einer einzigen eigentlich ¨
aquivalent ist.

Somit k¨
onnen s¨
amtliche Formen mit der Determinante

D (deren Anzahl
unendlich gross ist) nach jenen Formen in Klassen geteilt werden, indem
man n¨
amlich aus der Gesamtheit aller Formen, welche der Form F eigent-
lich ¨
aquivalent sind, die erste Klasse, aus den Formen, welche der Form F
eigentlich ¨
aquivalent sind, die zweite Klasse, usw. bildet.

Aus den einzelnen Klassen der Formen mit der gegebenen Determinante

D kann irgend eine Form ausgew¨
ahlt und gleichsam als repr¨
asentierende

Form (Repr¨
asentant) der ganzen Klasse betrachtet werden.“ [Gauß 1889, S.

212f.]

6.6 Die Herausforderung der Algebra durch neue Objektbereiche

343

Nach der Einteilung der Formenklassen in Ordnungen, die hier nicht von In-
teresse ist, ging Gauß zu einem andern sehr wichtigen, bisher noch von Nie-

”

mand ber¨
uhrten Gegenstande, n¨
amlich der Composition der Formen, ¨
uber“.

[Gauß 1889, S. 229] Diese Komposition der Formen definierte er wie folgt:

Wenn die Form

”

AX 2 + 2 BXY + CY 2 = F

¨
ubergeht in das Product zweier Formen:

ax 2 + 2 bxy + cy 2 = f,
ax 2 + 2 bxy + cy 2 = f
durch eine Substitution von der Form

X = pxx + pxy + pyx + pyy

Y = qxx + qxy + qyx + qyy,

..., so werden wir einfach sagen, die Form F sei transformierbar in f f ;
ist diese Transformation ¨
uberdies so beschaffen, daß die sechs Zahlen
pq−qp,
pq−qp,
pq−qp,
pq−qp,
pq −qp,
pq−qp
keinen gemeinschaftlichen Teiler haben, so werden wir die F o r m F a u s
d e n F o r m e n f, f zusammengesetzt (componiert) nennen.“ [Gauß

1889, S. 231f., Hervorhebungen im Original]

In einer Fußnote merkte Gauß die Kommutativität dieser Zusammensetzung
an. Es handelt sich bei der Komposition der Formen um eine ternäre Relation,
die in einem offensichtlichen Sinne kommutativ und assoziativ ist. Nachdem
er dann im Artikel 236 die direkte Herangehensweise, die Komposition der

Form F aus zwei gegebenen Formen f und f erläutert hatte, wies er für beide

Betrachtungsweisen (d. h. F wird in die Zusammensetzung f f transformiert
bzw. F wird aus den Formen f und f komponiert) die Unabhängigkeit dieser

Bildungen von der Wahl der Repräsentanten einer Formenklasse nach. Für
den zweiten Fall lautet dies bei Gauß:

Wenn die Form G aus den Formen g, g in derselben Weise zusammen-

”

gesetzt ist, wie F aus f, f respective, und die Formen g, g den Formen
f, f eigentlich ¨
aquivalent sind, so werden auch die Formen F, G, eigentlich

¨
aquivalent sein.“ [Gauß 1889, S. 243]

Damit konnte Gauß seine Komposition der Formen heranziehen, um eine Zu-
sammensetzung der Formenklassen zu definieren. Diese Verknüpfung führte
nicht aus der Menge der Formenklassen heraus und ist eine Verknüpfung im
heutigen Sinne mit eindeutigem Ergebnis. Sie war sowohl kommutativ als

344

6 Algebra in der 2. Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts
auch assoziativ. Auf ersteres hatte Gauß in der erwähnten Fußnote hinge-
wiesen, die Assoziativität bildete die Aussage des Artikels 240. Somit bilde-
te die endliche Menge der Formenklassen mit dieser Zusammensetzung als

Verknüpfung eine endliche abelsche Gruppe, und auch Gauß hatte diese Ver-
knüpfung im Blick. Nach der Komposition der Ordnungen und Geschlechter
behandelte er kurz die Komposition der Formenklassen und stellte u. a. fest,
daß man die Verknüpfung der Formenklassen als Addition schreiben kann,
daß modern formuliert, die Gleichung a + x = b stets eindeutig lösbar ist und
die Rolle des Einselements durch die sog. Hauptklasse“, d. i. die Klasse aller

”

zur Hauptform“ x 2 − Dy 2 äquivalenten Formen, ausgeübt wird.

”

Mit den Formen und den Formenklassen hatte Gauß völlig neue Objekte ver-
knüpft, die sich nicht mit den bisher bekannten Methoden behandeln ließen.

Zugleich enthüllte er die Struktur der Mengen dieser Objekte so weit, daß
strukturelle Übereinstimmungen mit den Zahlbereichen deutlich wurden, wie

Gauß mit der Übernahme der Symbolik wohl andeuten wollte.

Wesentliche Inhalte der Algebra 1770–1825

1769

Leonhard Euler publiziert seine

Vollständige Anleitung zur

”

Algebra“

1770

Joseph Louis Lagrange: Grundlegende Analyse der Verfah-
ren zur Auflösung algebraischer Gleichungen bis vierten Grades,
erste Einsichten zu Permutationsgruppen

1771

Alexandre Théophile Vandermonde: Erste Einsichten über

Permutationsgruppen, Auflösbarkeit der Kreisteilungsgleichung
xn − 1 = 0 für n ≤ 11

1771

Alexandre

Théophile

Vandermonde: Zusammenfassende

Darstellung der Determinantentheorie, ein zweiter Teil erscheint

1776

1775

Joseph Louis Lagrange: Grundlegende Einsichten zur Dar-
stellung einer Zahl durch eine binäre quadratische Form

1780

Étienne Bonnot de Condillac analysiert in

La Logique“

”

die Rolle einer exakten Wissenschaftssprache

1796

Carl Friedrich Gauß findet den ersten Beweis für die Auf-
lösbarkeit der Gleichung x 17 − 1 = 0 in Radikalen und die Kon-
struierbarkeit des regulären 17-Ecks mit Zirkel und Lineal

1796

Carl Friedrich Hindenburg veröffentlicht eine Zusammen-
fassung seiner kombinatorischen Methoden und Resultate

1797

Caspar Wessel publiziert eine geometrische Darstellung der
komplexen Zahlen

1799

Carl Friedrich Gauß: Beweis des Fundamentalsatzes der Al-
gebra

6.7 Aufgaben zu Kapitel 6

345

1799

Paolo Ruffini gibt einen sehr lückenhaften Beweis, daß für
n > 4 die allgemeine Gleichung n-ten Grades nicht in Radikalen
auflösbar ist und führt Untersuchungen zu Permutationsgruppen
durch

1801

Carl Friedrich Gauß veröffentlicht die Disquisitiones arith-

”

meticae“, ein grundlegendes zahlentheoretisches Werk mit we-
sentlichen algebraischen Elementen

1806

Jean Robert Argand publiziert eine geometrische Darstellung
der komplexen Zahlen

1810–1831 Joseph-Diaz Gergonne gibt die erste mathematische Fach-
zeitschrift Annales de mathématiques“ heraus

”

1814

Franc

¸ois-Joseph Servois führt die Begriffe kommutativ und
distributiv im Rahmen der Operatorenrechnung ein

1815

Augustin-Louis Cauchy: Erste systematische Darstellung zur

Theorie der Permutationen sowie der Determinanten

1816

Charles Babbage entwickelt in einem unveröffentlichten Ma-
nuskript Vorstellungen zur Begründung der Mathematik, u. a.

eine Version des Permanenzprinzips.

1819

Carl Friedrich Gauß
betrachtet dreidimensionale Größen
mit nichtkommutativer Multiplikation, publiziert aber nicht da-
zu

1822

Martin Ohm gibt sein neunbändiges Werk Versuch eines voll-

”

kommen consequenten Systems der Mathematik“ heraus

1824

Niels Henrik Abel beweist, daß die allgemeine Gleichung fünf-
ten Grades nicht in Radikalen auflösbar ist, dehnt 1826 den Be-
weis auf Gleichungen höheren als vierten Grades aus

6.7 Aufgaben zu Kapitel 6

Aufgabe 6.5.1: Zum Fundamentalsatz der Algebra

Man beweise folgende Teilaussage des Fundamentalsatzes der Algebra: Die

Gleichung n-ten Grades anxn + an− 1 xn− 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 mit reellen Zahlen ai (1 ≤ i ≤ n) und einer natürlichen Zahl n hat nicht mehr als
n paarweise verschiedene Lösungen. Man zeige zunächst die Aussage: Wenn
die obige Gleichung eine Nullstelle x = a besitzt, dann ist das Polynom
f ( x) = anxn + an− 1 xn− 1 + . . . + a 1 x + a 0 durch x − a teilbar [Cofman, Bd.

2, S. 23].

Aufgabe 6.4.4: Kreisteilungsgleichung

Man löse die Kreisteilungsgleichung xn − 1 = 0 für n = 5 und n = 6.

Hinweis für n = 5: Man benutze die Zerlegung

x 5 − 1 = ( x − 1) x 2 ( x + x− 1)2 + ( x + x− 1) − 1 [Cofman, Bd. 2, S. 25, 196].

346

6 Algebra in der 2. Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts

Aufgabe 6.2.1: Komplexe Zahlen nach W. R. Hamilton

Bei seiner arithmetischen Begründung der komplexen Zahlen definierte W.

R. Hamilton diese Zahlen als die Menge aller Zahlenpaare z := ( x, y) mit x, y
reelle Zahlen. Die Gleichheit zweier Zahlenpaare definierte er durch: ( x, y) =

( x, y) genau dann, wenn x = x und y = y. Die arithmetischen Operationen

Addition und Multiplikation erklärte er durch: ( x, y)+( x, y) := ( x+ x, y+ y)

( x, y) ×( x, y) := ( xx − yy, xy + xy). Man beweise, daß mit diesen Ope-
rationen die Menge der Zahlenpaare einen Körper bildet. Ist dieser Körper
kommutativ?

Aufgabe 6.4.1: Permutationen als Produkt von Transpositionen

Unter den Permutationen von n Elementen spielen die Permutationen, bei
denen nur zwei Elemente vertauscht werden, d. h. die zweigliedrigen Zyklen,
eine ausgezeichnete Rolle. Sie werden auch Transpositionen genannt. Man
zeige, daß jede Permutation entweder selbst eine Transposition ist oder als

Produkt von Transpositionen geschrieben werden kann. [Perron, Bd. 2, S. 102]

Aufgabe 6.4.2: Gruppe der Permutationen

Sei M eine endliche Menge. Man beweise, daß die Menge der Permutatio-
nen von M bezüglich der Hintereinanderausführung der Permutationen eine

Gruppe bildet.

Aufgabe 6.4.3: Untergruppen von 3

Man bestimme die Untergruppen der Permutationsgruppe 3. Hinweise: Man

benutze die Zyklendarstellung der Permutationen.

Aufgabe 6.4.5: Permutation eines Polynoms von n Ver¨
anderlichen

Zu den Grundaufgaben der Galois-Theorie gehört es, das Verhalten von Funk-
tionen der Wurzeln bei der Permutation der Wurzeln zu untersuchen. Man
zeige, daß die folgende Grundvoraussetzung erfüllt ist: Die Permutationen,
die ein Polynom von n unabhängigen Veränderlichen ungeändert lassen, bil-
den eine Gruppe. [Perron, Bd. 2, S. 113]

Erläuterung: Sei f ( x 1, . . . , xn) ein Polynom der n Veränderlichen x 1, . . . , xn; π eine Permutation der Zahlen 1, . . . , n. Dann bleibt f ungeändert bei der

Permutation π, wenn f ( xπ(1), . . . , xπ( n)) = f ( x 1, . . . , xn) ist.

Aufgabe 6.2.2: Charakterisierung komplexen Zahlen nach A.-L.

Cauchy

Man bestätige die von A.-L. Cauchy gegebene Charakterisierung der komple-
xen Zahlen durch Restklassenbildung im Polynomring R[ x] über den reellen

Zahlen modulo dem Polynom x 2 + 1.

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe in
der ersten H¨
alfte des 19. Jahrhunderts

348

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe

1826–1850: Eine Zeit großer Fortschritte in der Mathematik, wichtiger natur-
wissenschaftlicher Entdeckungen und technischer Erfindungen, bedeutender

Werke des Klassizismus in der Architektur, der Romantik in Literatur, Malerei
und Musik, aber auch kolonialer Expansion und politisch-sozialer Unruhen.

1826

N. I. Lobatschewski stellt in Kasan eine nichteuklidische Geome-
trie vor.

1827

G. S. Ohm findet das nach ihm benannte Gesetz für elektrische

Ströme.

1828

F. Wöhler gelingt die erste Synthese eines organischen Stoffes

(Harnstoff) aus anorganischen Bestandteilen.

1829

Griechenland erringt die Unabhängigkeit von der Türkei.

1830

Revolutionäre Erhebungen in mehreren europäischen Ländern.

1831

M. Faraday entdeckt die elektromagnetische Induktion.

1832

F. A. Diesterweg fördert, in Berlin wirkend, das Volksschulwesen

1832

J. Bolyai publiziert seine unabhängig von Gauß und Lobatschew-
ski gefundene nichteuklidische Geometrie.

1832

Erster elektromagnetischer Telegraph von C. F. Gauß und W.

Weber in Göttingen

1833

Gründung des Deutschen Zollvereins durch Preußen

1835

Wiederkehr des Halleyschen Kometen bestätigt die zuvor aus-
geführten Berechnungen

1837

Beginn der Regierungszeit von Königin Victoria von England

1837

König Ernst August von Hannover entläßt die Göttinger Sieben“

”

wegen ihres Protestes gegen die Aufhebung des Staatsgrundge-
setzes.

1837

A. Lortzing setzt mit Zar und Zimmermann“ die Tradition der

”

deutschen romantischen Oper fort.

1838

Großbritannien beginnt den Opiumkrieg gegen China zur Siche-
rung der Handelsinteressen, endet 1842 mit der Öffnung der chi-
nesischen Häfen und der Abtretung Hongkongs an England.

1839

Erste deutsche Fernstrecke der Eisenbahn von Leipzig nach Dres-
den eröffnet

1840

J. v. Liebig begründet die Agrikulturchemie.

1842

A. Comte vollendet sein sechsbändiges Werk zur Begründung des

Positivismus.

1842

J. R. Mayer formuliert den Energieerhaltungssatz, der un-
abhängig von J. P. Joule und H. v. Helmholtz (1848) begründet
wird.

1843

Der erste Ozeandampfer mit Schiffsschrauben wird gebaut.

1844

Weberaufstände in Schlesien

1845–1848 Hungersnot in Irland verursacht Massenauswanderung.

1846

Krieg zwischen Mexiko und den USA

1847

Einführung des 10-Stunden-Tags in England

1847

Goldfunde in Kalifornien, Beginn des Goldrauschs“

”

1848

K. Marx und F. Engels veröffentlichen das Kommunistische Ma-

”

nifest“.

1848/49 Revolutionäre Erhebungen in mehreren europäischen Ländern

1848

Deutsche Nationalversammlung arbeitet eine Verfassung aus.

1848

In Frankreich wird die Einrichtung öffentlicher Bibliotheken be-
schlossen.

1850

Einrichtung von Volksbüchereien in England und Deutschland

1850

R. Wagner vollendet die Oper Lohengrin“.

”

7.0 Vorbemerkungen

349

7.0 Vorbemerkungen

Die Jahrzehnte nach dem Ende der Napoleonischen Kriege und die Neuord-
nung Europas durch die Siegermächte waren gekennzeichnet durch die Domi-
nanz der Restaurationsbestrebungen unter den politisch Mächtigen und dem
unaufhaltsamen Voranschreiten der Entwicklung zur Industriegesellschaft im
ökonomischen Bereich. In der deutschen Geschichte wird diese Zeit bis zu den
revolutionären Erhebungen 1848 als Vormärz bezeichnet. Die Industrielle Re-
volution erfaßte weitere europäische Staaten, insbesondere Deutschland. In
der Philosophie treten die Einzelwissenschaften nach dem Zusammenbruch
des deutschen Idealismus als umfassendes geschlossenes philosophisches Sy-
stem in Konkurrenz zur Philosophie und artikulieren einen eigenen, metho-
disch abgesicherten Erkenntnisanspruch. In diesem Spannungsverhältnis bil-
det sich dann der in Gestalt der Soziologie zunächst als Einzelwissenschaft
auftretende Positivismus als neue Philosophie heraus, die dann bis zum Ende
des Jahrhunderts einen starken Einfluß ausüben wird.

In Anlehnung an die in Frankreich entwickelten neuen Ideen und Formen
im Bildungswesen und zunehmend im Bestreben, den neuen aus den ökono-
mischen Veränderungen entstehenden Anforderungen Rechnung zu tragen,
kam es in den einzelnen Ländern zu verschiedenen Ansätzen zur Reform des
jeweiligen Bildungswesens. Mit diesen Umgestaltungen begann der Wandel
des Wissenschaftsbetriebs zu jenen festen Organisationsformen mit Institu-
ten, Laboratorien, Bibliotheken usw., in der uns die Einzelwissenschaften
arbeitsteilig klar getrennt am Ende des Jahrhunderts gegenübertreten. Es
war zugleich der Weg vom Amateur-Forscher, in dem Sinne, daß die ma-
thematische oder naturwissenschaftliche Forschung nicht zur Sicherung des

Lebensunterhalts ausreichte, zum staatlich besoldeten, systematisch forschen-
den Universitätsprofessor.

So wie der Prozeß der Industrialisierung sich über ein Jahrhundert erstreck-
te und in seinem Verlauf durch große nationale Unterschiede gekennzeichnet
war, zeigte auch die Mathematikentwicklung und insbesondere die Umge-
staltung der Algebra ein sehr facettenreiches Bild. Analysis und Geometrie
waren die dominierenden Gebiete. Aber auch zahlentheoretische Untersu-
chungen fanden immer wieder das Interesse der Mathematiker und traten,
wie im folgenden gezeigt wird, in eine enge Wechselbeziehung zur Algebra,
eine Beziehung, die sich für beide Gebiete als sehr fruchtbar erwies. Um die

Kontinuität, aber auch die verschiedenen Nuancen dieses Prozesses in der Al-
gebra zu erfassen, wird zunächst auf wichtige Fortschritte in der Behandlung
einiger zentraler algebraischer Fragestellungen eingegangen, die vor allem im
dritten und vierten Jahrzehnt des 19. Jahrhunderts hervorgebracht wurden
und die den Anschluß an das zu Beginn des Jahrhunderts erreichte Niveau
herstellten.

350

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe

Abb. 7.0.1. Fassade der Humboldt-Universität in Berlin

[Foto Alten]

7.1 Die Aufl¨
osbarkeit algebraischer Gleichungen –

Galois-Theorie

7.1.1 Der Beitrag von Niels Henrik Abel

Nach dem Unmöglichkeitsbeweis für die Auflösbarkeit der allgemeinen algebra-
ischen Gleichung höheren als vierten Grades setzte Abel seine Untersuchung
des Auflösbarkeitsproblems fort. Eine zusätzliche Anregung erhielt er durch
seine Studien über elliptische Funktionen, in denen er mit der genialen Idee,
statt der elliptischen Integrale deren Umkehrfunktion zu betrachten, ein neu-
es Forschungsgebiet eröffnet hatte. Ausgehend von der kanonischen Form der
elliptischen Integrale führte Abel die Funktionen ϕ( α), f ( α) und F ( α) ein,
die im wesentlichen den von Carl Gustav Jacob Jacobi unabhängig von Abel
definierten, heute gebräuchlichen, elliptischen Funktionen sn( α), cn( α) und
dn( α) entsprechen. Ein wichtiges Problem stellte nun die komplexe Multi-
plikation bzw. Division der elliptischen Funktionen dar, d. h. das Verfahren,

ϕ( nα) bzw. ϕ 1 α rational durch ϕ( α), f ( α) und F ( α) auszudrücken. Die n
methodische Anregung dazu lieferten ihm vor allem die Gaußsche Theorie
der Kreisteilung und für die Problemstellung die Resultate von Giulio Car-
lo Fagnano und anderer Mathematiker über die einfache Teilung bzw. Ver-
vielfältigung des Lemniskatenbogens. Die Länge des Lemniskatenbogens wird

7.1 Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen – Galois-Theorie

351
durch ein elliptisches Integral beschrieben und Gauß hatte in seiner Kreistei-
lungstheorie insbesondere angemerkt, daß sie sich auch auf die Teilung der

Lemniskate und anderer transzendenter Kurven anwenden lasse [Gauß 1889,

S. 397]. Am Beispiel der Kreisteilungsgleichung hatte Gauß wichtige Ein-
sichten in die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen erzielt (vgl. Abschn.

6.4.4). Abel war mit diesen Resultaten bestens vertraut und wurde von ihnen
sehr inspiriert. So fanden bei Abel die Studien über elliptische Funktionen
eine enge Verknüpfung mit der Auflösungstheorie algebraischer Gleichungen
und führten auf beiden Gebieten zu interessanten Ergebnissen, von denen
hier nur die algebraisch relevanten berücksichtigt werden können.

Verbunden mit diesen Forschungen war eine schrittweise Präzisierung der Be-
griffe algebraisch aufl¨
osbar“, irreduzibel“ und rational ausdr¨
uckbar“. Eine

”

”

”

erste wichtige Verschärfung des Begriffs
algebraisch aufl¨
osbar“ nahm Abel

”

in der 1827 erschienenen Arbeit über elliptische Funktionen vor, indem er
ihn vom Grundkörper der betrachteten Gleichung abhängig machte. Abel

vermerkte, daß die Funktionen ϕ 1 α , f 1 α und F

1 α durch die Funk-
n
n
n
tionen ϕ( α), f ( α) und F ( α) ausgedrückt werden können und diese Formel
bezüglich α keine anderen Irrationalitäten enthält als Wurzeln. Dies gibt nach

Abel eine Klasse sehr allgemeiner Gleichungen, die algebraisch auflösbar sind.

Er fuhr dann fort:

Il est `
a remarquer, que les expressions des racines contiennent des quan-

”

tit´
es constantes qui, en g´
en´
eral, ne sont pas exprimables par des quantit´
es
alg´
ebriques.“ [Abel 1827, S. 103]

D. h. die Gleichungen sind über den rationalen Zahlen im allgemeinen nicht
auflösbar, wohl aber über einem erweiterten Grundkörper.

Im Jahre 1829 hat Abel weitere wichtige Resultate zur Auflösbarkeit von Glei-
chungen publiziert. Als Ziel nannte er die Verallgemeinerung der Gaußschen

Methode zur Behandlung der Kreisteilungsgleichung. Er nahm dazu an, zwei
beliebige Wurzeln der vorgelegten Gleichung seien so miteinander verknüpft,
daß man die eine durch die andere rational ausdrücken kann [Abel 1829, S.

131]. In den ersten Abschnitten der Arbeit betrachtete er, dabei klar dem

Gaußschen Vorgehen folgend, die Auflösbarkeit einer irreduziblen Gleichung,
leitete die Einteilung der Gleichungswurzeln in mehrere Gruppen ab, wobei
sich die Wurzeln einer Gruppe rational durch eine von ihnen ausdrücken las-
sen, und bewies die Auflösbarkeit der erhaltenen zyklischen Gleichungen. Bei
all dem machte er die Abhängigkeit der Begriffe wie irreduzibel und auflösbar
von dem gewählten Grundkörper deutlich. Im vierten Paragraphen widmete
er sich dann den Gleichungen, die nach Kronecker heute als Abelsche Glei-
chungen bezeichnet werden. Abel setzte jetzt voraus, daß alle Wurzeln der
untersuchten Gleichung rational durch eine von ihnen ausgedrückt werden
können. Ist x eine solche Wurzel, so schrieb er die übrigen Wurzeln der Glei-
chung als θx, θ 1 x... mit rationalen Funktionen θ, θ 1 ... (Abel ließ generell bei
der Funktionsschreibweise die Klammern um das Argument weg, also θx statt
θ( x).) Der Hauptsatz der Abhandlung besagte nun, wenn zusätzlich zu der

352

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe
obigen Darstellung der Wurzeln für zwei beliebige der Funktionen θ – etwa
θi und θk – gilt θiθkx = θkθix, dann ist die Gleichung algebraisch auflösbar.

Ist weiterhin der Grad n der vorgelegten irreduziblen Gleichung ein Produkt
von verschiedenen Primzahlpotenzen, n = pn 1 ...pnr

1
r , so kann die Auflösung
dieser Gleichung auf die Auflösung von Hilfsgleichungen niedrigeren Grades
zurückgeführt werden, genauer auf die Auflösung von n 1 Gleichungen vom

Grad p 1, n 2 Gleichungen vom Grad p 2 usw. Wieder erwähnte Abel Gauß
und bemerkte, daß zwischen den Wurzeln der Kreisteilungsgleichung ein der-
artiger rationaler Zusammenhang bestehe. Den Beweis gründete Abel auf das

Studium der Permutationen, die man erhält, wenn man in der Darstellung
aller Wurzeln der Gleichung als rationale Funktionen einer von ihnen, etwa
von x 1, diese durch eine andere Wurzel xi ersetzt, also von θ 1 x 1, θ 2 x 1, ... , θnx 1, zu θ 1 xi, θ 2 xi, ... θnxi übergeht. Die θkxi ( k = 1, 2, ... , n) ergeben, wenn auch in anderer Reihenfolge, wieder alle Wurzeln der Gleichung. Wenn, modern formuliert, die so erhaltene Permutationsgruppe kommutativ ist, kann
die vorgegebene Gleichung, wie im obigen Satz behauptet, auf die Auflösung
von Gleichungen niedrigeren Grades zurückgeführt werden, und jede dieser

Gleichungen ist auflösbar.

Bereits 1828, vermutlich vor dem Abfassen der obigen Abhandlung, hatte

Abel begonnen, seine Untersuchungen über die Auflösbarkeit algebraischer

Gleichungen zusammenfassend darzustellen. Diese Arbeit blieb durch den
frühen Tod Abels unvollendet und wurde erst 1839 aus seinem Nachlaß pu-
bliziert. Neben einer guten Skizze der historischen Entwicklung benannte

Abel klar die grundlegenden Probleme der Theorie:

On sait que toute expression alg´
ebrique peut satisfairè
a une ´
equation d’un

”

degr´
e plus ou moins ´
elev´
e, selon la nature particulì
ere de cette expression. Il
y a de cette manì
ere un infinit´
e d’´
equations particulì
eres qui sont r´
esolubles
alg´
ebriquement. De l`
a d´
erivent naturellement les deux probl`
emes suivants,
dont la solution compl`
ete comprend toute la th´
eorie de la r´
esolution alg´
ebrique
des ´
equations, savoir:

1. Trouver toutes les ´
equations d’un degr´
e d´
etermin´
e quelconque qui soient
r´
esolubles alg´
ebriquement.

2. Juger si une ´
equation donn´
ee est r´
esoluble alg´
ebriquement, ou non.“

[Abel 1881, Bd. 2, S. 218f.]

Eine zweite Version für die Einleitung zu diesem Artikel enthielt eine weitere

Präzisierung der Begriffe Radikal(ausdruck)“, irreduzibel“ und aufl¨
osbar“,

”

”

”

die Abel klar in Abhängigkeit von einem vorgegebenen Grundkörper P ( α, β,
γ, δ, . . . ) definierte. Dabei konnten α, β, γ, δ, . . . unbestimmte oder bestimmte

(algebraische) Größen sein. Als Radikalausdruck der vorgegebenen Größen
α, β, γ, δ, . . . bezeichnete er jede Größe, die aus jenen durch die Operationen
der Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und des Ausziehens von

Wurzeln mit Primzahlexponenten gebildet werden kann [Abel 1881, Bd. 2, S.

330f.].

7.1 Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen – Galois-Theorie

353

Abb. 7.1.2. Portal der Universität in Christiania (Oslo). Hier erhielt N. H. Abel

1820 eine Freistelle und veröffentlichte 1824 seinen Unmöglichkeitsbeweis

[Foto Alten]

Abel hatte somit die verschiedenen Aspekte der Auflösung algebraischer Glei-
chungen deutlich umrissen und wichtige körpertheoretische Überlegungen zur

Bewältigung der Problematik bereitgestellt. Zu den historischen Besonderhei-
ten in der Geschichte der Auflösungstheorie algebraischer Gleichungen gehört
die Tatsache, daß die Hauptakteure in dieser Theorie ihre wichtigen Ergeb-
nisse bereits in jungen Jahren am Beginn ihrer mathematischen Karriere

354

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe
erzielten. Doch während Gauß dann ein umfangreiches Lebenswerk aufbauen
konnte, war dies Abel und Galois nicht vergönnt. Abel wurde 1802 als zwei-
tes von sieben Kindern eines Pfarrers in Südnorwegen geboren und wuchs
in einer schwierigen Zeit in bescheidenen materiellen Verhältnissen auf, die
sich durch den Tod des Vaters 1820 noch verschlechterten. Durch die Un-
terstützung seines Lehrers Bernt Holmboe, der Abels mathematisches Talent
entdeckt und gefördert sowie einige Professoren der Universität von Christia-
nia (Oslo) darauf aufmerksam gemacht hatte, erhielt Abel im gleichen Jahr,

1820, eine Freistelle an der Universität. Auf mathematischem Gebiet blieb
er aber im wesentlichen Autodidakt, da an der damals jungen Universität
noch keine mathematischen Vorlesungen gehalten wurden. Nach ersten eige-
nen Arbeiten sollte ein Reisestipendium Abel die Möglichkeit geben, seine

Kenntnisse in Deutschland und Frankreich zu ergänzen und einen Kontakt
zu bedeutenden Mathematikern des Kontinents herzustellen. Während er in

Berlin in dem Bauingenieur und Wissenschaftsorganisator August Leopold

Crelle sehr rasch einen Freund und Förderer fand, stand sein Frankreichauf-
enthalt 1826 unter einem ungünstigen Stern. So blieb eine große, der Pariser

Akademie vorgelegte Arbeit, die u. a. eine weitgehende Verallgemeinerung
des Additionstheorems für elliptische Integrale, sog. Abelsches Theorem, ent-
hielt, unbeachtet und wurde nicht, wie erhofft, der Ausgangspunkt für einen

Gedankenaustausch mit den führenden französischen Mathematikern. Ende

1826 reiste Abel über Berlin nach Christiania zurück, wo er, da sich der Auf-
bau einer mathematischen Ausbildung an der Universität nicht wie geplant
entwickelte, sehr bald in große finanzielle Schwierigkeiten geriet. Während
sich Crelle in Berlin um eine gesicherte Stellung für Abel bemühte, erkrankte
dieser an Tuberkulose und verstarb 26jährig noch bevor ihn die Nachricht
von Crelles erfolgreichem Wirken erreichte. Eine detaillierte Schilderung des

Lebens von Abel und seines Werkes findet man in [Stubhaug 2000].

7.1.2 Die L¨
osung des Problems durch Evariste Galois

Während Abel sich noch darum bemühte, das erste von ihm genannte Pro-
blem zu lösen und alle auflösbaren algebraischen Gleichungen zu einem be-
liebigen aber fest vorgegebenen Grad zu bestimmen, begann der 15-jährige

Evariste Galois die Werke von Legendre, Lagrange, Gauß, Cauchy u. a. zu
studieren. Nur wenige Jahre später, 1829/31, sollte Galois das Auflösungs-
problem lösen und zu einem ersten Abschluß bringen. Das tragische Schicksal
dieses jungen Franzosen, dessen Leben nach weniger als 21 Jahren in einem

Duell ein Ende nahm, noch bevor die Geisteswelt jener Zeit bereit war, sei-
ne neuen Ideen anzuerkennen, ist mehrfach literarisch verarbeitet worden.

Selten waren revolutionäre mathematische Ideen so eng mit leidenschaftli-
chen politischen Aktivitäten verbunden wie bei Galois. Ungestüm und mit
jugendlicher Unerfahrenheit und Selbstüberschätzung rebellierte er gegen das

Alte, in der Mathematik, im Bildungssystem und im politischen Leben. Die

7.1 Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen – Galois-Theorie

355

Lehrbücher seiner Zeit kritisierte er, da sie die grundlegenden Ideen in einem

Wust von Sätzen und hinter einer die Schwierigkeiten verschleiernden Rheto-
rik versteckten, ebenso die meisten Gelehrten der Akademie, die hochmütig
und nur an der Mehrung ihres Ruhms sowie an einträglichen Posten interes-
siert seien, aber nicht am Fortschritt der Wissenschaft. Er war ein begeisterter

Anhänger der Revolution von 1830 und der Republikaner, zweimal wurde er
aus politischen Gründen verhaftet. Für eine ausführliche Beschreibung seines

Lebensweges sei auf [Rigatelli 1996] verwiesen.

Seit Galois aber mit 15 Jahren sein Interesse an der Mathematik entdeckt
hatte, war die Mathematik sein Lebensinhalt. Die Forschungen über ma-
thematische Sachverhalte verbanden sich bei Galois mit Gedanken über das

Wesen der Mathematik und deren Methode. Er vollzog dabei eine entschei-
dende methodologische Neuorientierung, die direkt zum strukturellen Den-
ken führte. Die kalkülmäßige Behandlung mathematischer Fragen habe einen

Stand erreicht, schrieb Galois, auf dem sie den Fortschritt hemmt, die langen

Rechnungen verschleiern nur die grundlegenden mathematischen Sachverhal-
te. Auch eine Vereinfachung der intellektuellen Einsicht, indem man eine Ele-
ganz der Kalküle zu erreichen versucht, kann nur im beschränkten Rahmen

Verbesserungen bringen. Die Aufgabe der zukünftigen Mathematiker sah Ga-
lois in der Zusammenfassung der Operationen und deren Klassifikation nach
ihren Schwierigkeiten und nicht nach ihrer Form. Die umfangreichen, bis ins

Detail ausgearbeiteten Kalküle werden sich dann als Spezialfälle unterordnen,
die kalkülmäßige Behandlung von Problemen lehnte er also nicht grundsätz-
lich ab [Galois 1908, S. 25ff.]. Obwohl verschiedene Passagen der Manuskripte

Galois’ Einsicht verdeutlichten, daß seine neue Herangehensweise an mathe-
matische Fragestellungen für die Zeitgenossen schwer verständlich war, hat
er, die Tatsachen völlig ignorierend, bewußt versucht, sich außerhalb jeder
mathematischen Tradition zu stellen, und damit das Verständnis seiner Ide-
en weiter erschwert. Aus heutiger Sicht ist klar, daß er sehr wohl in der

Tradition von Lagrange, Cauchy, Gauß und Abel stand, was auch aus den

Arbeiten und Manuskripten deutlich wird. Er übernahm von ihnen nicht nur
die Problemstellungen der Auflösungstheorie algebraischer Gleichungen, son-
dern auch die Mittel zu deren Lösung. Nicht die Vertiefung der Einsichten in
die gruppen- bzw. körpertheoretische Struktur der Aufgabenstellung ist sein
großes Verdienst, sondern die Wechselbeziehungen zwischen den körpertheo-
retischen und den gruppentheoretischen Aspekten als Schlüssel für die er-
folgreiche Behandlung der Theorie erkannt und diese Strukturbeziehungen
herausgearbeitet zu haben.

Es gehört zu den tragischen Besonderheiten im Leben Galois’, daß er nur we-
nige seiner Resultate publizieren konnte. Als 18-jähriger sandte Galois zwei
kleinere Arbeiten zur Auflösung algebraischer Gleichungen an die Pariser

Akademie, die von Cauchy in den Sitzungen von 25. Mai und vom 1. Juni

1829 vorgelegt wurden, dann aber verloren gingen. Eine weitere, für Ga-
lois’ Stil ausführliche Abhandlung wurde 1831 von Siméon Denis Poisson

356

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe
als unverständlich abgelehnt. So waren zunächst neben zwei kleinen, jeweils
zweiseitigen Noten zur Auflösungstheorie bzw. zur numerischen Lösung von

Gleichungen nur die Arbeit

Sur la th´
eorie des nombres“ und der

Lettre

”

”

`
a Auguste Chevalier“ allgemein zugänglich. Erst 1846 erschienen dann auf

Drängen der Freunde und des Bruders von Evariste Galois die von Joseph

Liouville herausgegebenen Schriften von Galois. Den Brief an Auguste Che-
valier hatte Galois in der Nacht vor dem tödlichen Duell verfaßt. Er war

Galois’ mathematisches Testament, in dem er die wichtigsten Ergebnisse sei-
ner Forschungen nochmals benannte, neben der Auflösungstheorie auch die

Klassifikation der Abelschen Integrale. Mit dem Brief übergab Galois seinem

Freund noch einige weitere Manuskripte und Notizen.

Die oben erwähnte, scheinbar zur Zahlentheorie gehörige Arbeit war, wie Ga-
lois in einer Fußnote feststellte, wichtiger Bestandteil seiner Forschungen zur

Theorie der Permutationen und zu algebraischen Gleichungen. In ihr legte
er die ersten Grundlagen der Theorie endlicher kommutativer Körper, diese

Körper wurden später nach ihm Galois-Felder genannt. Den Ausgangspunkt
seiner Forschungen bildete die Gaußsche Theorie der Kongruenzen modulo
einer Primzahl p. Gauß hatte bereits nachgewiesen, daß die Restklassen mo-
dulo p addiert und multipliziert werden können und sich bezüglich dieser Ver-
knüpfungen genauso verhielten wie die rationalen Zahlen, also einen Körper
bildeten, ohne jedoch den Körperbegriff zu benutzen. Er hatte dann auch
höhere Kongruenzen, etwa x 2 ≡ a (mod p), betrachtet, aber stets rationale

Lösungen gesucht. Galois betrachtete nun die Kongruenz F ( x) ≡ 0 (mod p)

mit einem modulo p irreduziblen Polynom F ( x), d. h. die Koeffizienten sind

Elemente aus dem Restklassenkörper modulo p und es gibt keine Polynome
φ, ψ und χ, so daß φ( x) · ψ( x) = F ( x) + pχ( x) gilt. Aus der Irreduzibilität folgte, daß die Kongruenz keine Wurzel niedrigeren Grades als ν besitzt, wobei ν der Grad von F ( x) ist. In Analogie zur imaginären Einheit bei den
komplexen Zahlen interpretierte Galois die Wurzeln der Kongruenz als neue
imaginäre Größen. War i eine der Wurzeln, so bildete er die Ausdrücke
a + a 1 i + a 2 i 2 + ... + aν− 1 iν− 1 (A),
wobei die Koeffizienten a bzw. ak ganze Zahlen modulo p waren. Jeder Ko-
effizient kann also nur p verschiedene Werte annehmen und man erhält ins-
gesamt pν Elemente. Die Ausdrücke (A) können addiert, subtrahiert, mul-
tipliziert sowie dividiert werden und erfüllen die üblichen Rechenregeln, sie
bilden folglich einen Körper, ein sog. Galois-Feld. Galois hatte damit, mo-
dern formuliert, bewiesen, daß die Anzahl der Elemente in einem Galois-Feld
der Charakteristik p stets eine Potenz von p ist. Er unterzog die Ausdrücke

(A) einer eingehenden Analyse und konnte die Struktur der Lösungen der

Kongruenz F ( x) ≡ 0 (mod p) völlig aufdecken. Dabei bediente er sich u. a.

der schon von Euler und Gauß angewandten Verfahrensweise. Er betrachtete
die Menge der pν − 1 Ausdrücke (A), in denen nicht alle Koeffizienten a, a 1,
a 2, ...

aν− 1 gleich Null waren, wählte ein Element α der Form (A) aus und

7.1 Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen – Galois-Theorie

357
bestimmte die von diesem Element erzeugte Gruppe (d. h. alle voneinander
verschiedenen Potenzen von α), die eine Untergruppe U der multiplikativen

Gruppe des Galois-Feldes ist. Es sei n die kleinste Potenz, für die αn = 1
gilt. Falls die Menge der Potenzen von α nicht alle Ausdrücke der Form (A)

enthält, wenn also noch ein weiteres von Null verschiedenes Element β des

Galois-Feldes existiert, das nicht zu der Untergruppe U gehört, so bildete

Galois die Nebenklasse βU zu dieser Untergruppe usw. Die Gesamtheit der

Nebenklassen und die Untergruppe enthalten schließlich alle von Null ver-
schiedenen Elemente des Galois-Feldes. Die Untergruppe hat nach Konstruk-
tion die Ordnung n und diese ist, wie Galois vermerkte, ein Teiler von pν − 1,
der Ordnung der multiplikativen Gruppe des Galois-Feldes. Daraus folgerte
er, daß αpν − 1 = 1 ist und, unter Berufung auf den wie in der Zahlentheorie
zu führenden Beweis, daß eine primitive Wurzel existiert, die er wieder mit α
bezeichnete, und für die n = pν − 1 gilt. Damit ist jedes Element des Galois-

Feldes eine Nullstelle des Polynoms xpν − x und jedes irreduzible Polynom F
vom Grade ν muß ein Teiler dieses Polynoms modulo p sein. Als Umkehrung
dieses
bemerkenswerten Resultats“ verwies Galois auf den schon von Abel

”

bewiesenen Satz, daß zu einer vorgegebenen algebraischen Gleichung stets
eine rationale Funktion θ aller ihrer Wurzeln derart gefunden werden kann,
daß jede der Wurzeln rational durch θ ausgedrückt werden kann.

Am Rande sei hier kurz eingefügt, daß die Theorie der Galois-Felder der

Ordnung pν mit einer Primzahl p heute eine wichtige Anwendung in der

Kodierungstheorie gefunden hat. Wenn bei der Nachrichtenübermittlung in
den Kanälen jeweils pν verschiedene Signale übertragen werden, so liefert die

Theorie eine Anordnung der Signale, die eine klare Trennung der einzelnen

Gruppen ermöglicht. Mit anderen Worten, die Übertragung der Signale er-
folgt so, daß keine Verwechslung der kodierten Buchstaben erfolgen kann.

Dagegen ist für Kanäle, in denen n verschiedene Signale übertragen werden
können, wobei n nicht die Form pν hat, die klare Unterscheidung der Signale
schwierig.

Nach der Angabe eines Beispiels wandte sich Galois im letzten Teil dieses

Artikels der Auflösung von primitiven algebraischen Gleichungen zu und ver-
suchte die für Kongruenzen erzielten Einsichten zu nutzen. Er ging von einer
algebraischen Gleichung f ( x) = 0 vom Grad pν mit den Wurzeln xk aus.

Der Index k kann pν verschiedene Werte annehmen und genügt der Kon-
gruenz kpν ≡ k ( mod p). Ist V eine rationale Funktion dieser Wurzeln, so
transformierte Galois diese Funktion, indem er die Wurzel mit dem Index
k durch jene mit dem Index ( ak + b) pr ersetzte, wobei die Konstanten fol-
gende Bedingungen erfüllten: apν− 1 ≡ 1, bpν− 1 ≡ b ( mod p), r ganzzahlig;
ansonsten beliebig wählbar waren. Da es pν ( pν − 1) ν Möglichkeiten gibt, eine
solche Vertauschung der Wurzeln in der Funktion V vorzunehmen, wird V
im allgemeinen ebenso viele verschiedene Formen annehmen. Wenn jedoch
jede rationale Funktion der Wurzeln durch diese Permutationen der Wurzeln
ungeändert bleibt, so wird nach Galois’ Meinung jeder mit der Gleichungs-

358

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe
theorie Vertraute ohne Mühe erkennen, daß die Gleichung durch Radikale
lösbar ist. Ebenso ohne Beweis konstatierte er, wenn eine primitive Glei-
chung nicht dieser Bedingung genügt, so kann sie sicher nicht durch Radikale
gelöst werden, wobei er die Grade 9 und 25 als Ausnahmen angab.

In einer anschließenden Bemerkung ließ Galois erkennen, daß er den für die

Galois-Theorie grundlegenden Zusammenhang zwischen der Theorie der Per-
mutationen und der Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen klar erfaßt hat-
te. Der zu untersuchenden Gleichung war eine Gruppe zuzuordnen und aus
der Struktur dieser Gruppe konnte die Auflösbarkeit in Radikalen abgele-
sen werden. Während bisher das Wort Gruppe“ bei Galois, wie auch vorher

”

schon bei Abel , in der umgangssprachlichen Bedeutung eines Zusammenfas-
sens von zusammengehörigen Dingen benutzt wurde, bezeichnete er diesmal
eine Menge von Objekten als Gruppe, für die dies auch im mathematischen

Sinne gerechtfertigt war. Damit hatte Galois im Juni 1830 wichtige Einsichten
in die Auflösungstheorie algebraischer Gleichungen erzielt, die umfassende

Theorie zeichnete sich in ersten Konturen ab.

Innerhalb weniger Monate hat Galois trotz widriger Lebensumstände die Fra-
ge der Auflösbarkeit in Radikalen weiter aufgeklärt und in dem auf den 16.

Januar 1831 datierten Manuskript M´
emoire sur la condition de r´
esolubilit´
e

”

des ´
equations par radicaux“ die Resultate systematisch dargestellt. Es war
jenes Manuskript, das auf Grund des Urteils von Poisson von der Pariser

Akademie nicht gedruckt wurde. Galois beschränkte seine Darlegung auf die

Behandlung algebraischer Gleichungen vom Primzahlgrad und wies nur kurz
darauf hin, daß die Theorie noch weitere Anwendungen habe, u. a. bei den

Modulargleichungen in der Theorie der elliptischen Funktionen. Er begann
dann mit der Formulierung einiger Definitionen und wichtiger Lemmata. So
bezeichnete er eine Gleichung als reduzibel, wenn sie einen rationalen Tei-
ler hat. Rational bedeutete dabei, daß sich alle Koeffizienten dieser Funkti-
on als rationale Funktionen der als gegeben betrachteten Koeffizienten der

Ausgangsgleichung ausdrücken lassen und schloß die Möglichkeit ein, daß be-
stimmte Größen als bekannt angesehen werden und zur Menge der gegebenen

Größen hinzugefügt werden. Galois sprach von Adjungierten der Gleichung
bzw. vom Adjungieren von Größen zur Gleichung und betonte, daß die Ad-
junktion von Größen, also die Erweiterung des Grundkörpers, die Eigenschaf-
ten einer Gleichung beeinflußt.

Cela pos´
e, nous appellerons rationnelle toute quantit´
e qui s’exprimera en

”

fonction rationnelle des coefficients de l’´
equation et d’un certain nombre de
quantit´
es adjointes `
a l’´
equation et convenues arbitrairement.“ [Galois 1989,

S. 418]

Außerdem definierte er, in Analogie zu Cauchy, aber abweichend vom heu-
tigen Sprachgebrauch, eine Permutation als Bezeichnung für die Anordnung
bestimmter Objekte, hier die Wurzeln einer Gleichung, und eine Substitution
als Übergang von einer Permutation zu einer anderen. Für die notwendigen
permutationstheoretischen Untersuchungen erklärte er noch, sobald es sich

7.1 Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen – Galois-Theorie

359
um die Einteilung der Substitutionen in Gruppen handele, wird zunächst
angenommen, daß alle Substitutionen aus ein und derselben Permutation

(Anordnung) hervorgegangen sind. Da es bei diesen Untersuchungen jedoch
keine Rolle spielt, welches die ursprüngliche Anordnung war, kann die Aus-
gangspermutation beliebig gewählt werden. In einer solchen Gruppe ist stets
mit den Substitutionen S und T auch die Substitution ST enthalten. Damit
hatte Galois klar verdeutlicht, wichtig war die Struktur der Gruppen, auf
die deren Bildungsweise keinen Einfluß hatte. Mit der multiplikativen Ab-
geschlossenheit, d. h. die Multiplikation zweier Gruppenelemente ergibt wie-
der ein Element der Gruppe, hatte er zugleich eine zentrale Eigenschaft der

Gruppen hervorgehoben. Auffallend ist dabei der uneinheitliche Gebrauch
des Wortes Gruppe, einmal bezeichnete es nur eine Zusammenfassung von

Objekten, im zweiten Fall handelte es sich um Gruppen im mathematischen

Sinne.

In vier nachfolgenden Hilfssätzen sicherte Galois u. a. die Existenz einer Funk-
tion V von n Veränderlichen, die beim Einsetzen jeder der n! Anordnungen
der n Wurzeln einer gegebenen Gleichung jeweils verschiedene Werte an-
nimmt, wobei die Gleichung keine mehrfachen Wurzeln haben soll (Lemma

2), zum anderen die Tatsache, daß sich jede der Wurzeln als rationale Funkti-
on der Funktion V ausdrücken läßt (Lemma 3), d. h. es existiert ein primitives

Element. In der Beweisskizze konstruierte Galois eine ganzrationale Funktion,
der V genügte, und betrachtete dann den irreduziblen Faktor dieser Funkti-
on, der V als Wurzel hat. Sind V , V ... die anderen Wurzeln dieses Faktors
und ist a = f ( V ) eine Wurzel der Ausgangsgleichung, so besagte das Lemma

4, daß auch b = f ( V ) eine Wurzel der Ausgangsgleichung sei.

Auf dieser Grundlage formulierte Galois nun die zentralen Sätze seiner Theo-
rie. Im Theorem 1 bewies er die Existenz der einer gegebenen Gleichung zuge-
ordneten Gruppe, der sog. Galoisschen Gruppe, sowie deren Eigenschaft, daß
jede Funktion der Wurzeln genau dann rational bekannt ist, wenn sie bei der

Anwendung der Substitutionen dieser Gruppe unverändert bleibt, also für
jede Anordnung der Wurzeln den gleichen Wert hat (vgl. Aufg. 6.4.5). Ra-
tional bekannt nannte Galois dabei eine Funktion, wenn deren Werte sich als
rationale Funktionen der Koeffizienten der Ausgangsgleichung und der adjun-
gierten Größen ausdrücken ließen. Sowohl in der Formulierung des Satzes als
auch im Beweis sprach Galois zunächst von der Gruppe der Permutationen

(Anordnungen) und ging dann zur Gruppe der Substitutionen über. In einer

Anmerkung betonte er, eine frühere Aussage wiederholend, daß es jedoch nur
auf die Gruppe der Substitutionen ankommt. In den beiden folgenden Theo-
remen klärte er dann auf, wie sich die Gruppe ändert, wenn man eine bzw.

alle Wurzeln einer Hilfsgleichung zur Ausgangsgleichung adjungiert, wenn
man also den Koeffizientenkörper erweitert. Die hier dokumentierte Einsicht
in die Auflösungstheorie hatte Galois in den folgenden Monaten weiter ver-
tieft und in prägnanter Form in seinem Brief an Chevalier zum Ausdruck
gebracht. Unter Bezugnahme auf seine frühere Veröffentlichung verwies er in

360

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe
dem Brief auf den großen Unterschied, der zwischen der Adjunktion einer
und aller Wurzeln einer Hilfsgleichung bestehe.

Dans les deux cas, le groupe de l’´
equation se partage par l’adjonction en

”

groupes tel, que l’on passe de l’un `
a l’autre par la mˆ
eme substitution; mais le
condition que ces groupes aient les mˆ
emes substitutions n’a lieu certainement
que le second cas. Cela s’appelle la d´
ecomposition propre.“ [Galois 1989, S.

408]

Erklärend fügte Galois hinzu, wenn die Gruppe G die Gruppe H enthält, so
kann G in

Gruppen“ zerlegt werden, die man durch Anwendung ein und

”

derselben Substitution auf alle Permutationen (Anordnungen) von H erhält,

G = H + HS + HS + . . . .

Außerdem kann man G derart in Gruppen“ mit den gleichen Substitutionen

”

zerlegen, daß gilt

G = H + T H + T H + . . . .

Die beiden Zerlegungen fallen gewöhnlich nicht zusammen, wenn dies doch
der Fall ist, so nannte Galois die Zerlegung eigentlich. Modern ausgedrückt,
beschreibt Galois hier die Zerlegung der Gruppe G in Rechts- bzw. Linksne-
benklassen bezüglich einer Untergruppe H, und die Gleichheit der Zerlegun-
gen charakterisiert die Normalteilereigenschaft von H. Für das Verständnis
dieses Abschnittes ist es noch wichtig, zu beachten, daß Galois wieder von
den Gruppen der Permutationen (Anordnungen) ausging und er auch die

Nebenklassen als Gruppen bezeichnete, das Wort Gruppe also auch noch im
umgangssprachlichen Sinne verwendete.

Als nächstes wandte sich Galois dem Problem zu, ein Kriterium für die Auf-
lösbarkeit einer Gleichung in einfachen Radikalen anzugeben. Er skizzierte
eine kurze, aber weitreichende Antwort, die seine Einsicht in die wesentliche

Rolle der eigentlichen Zerlegungen“ dokumentierte. Um eine Gleichung auf-

”

zulösen, muß man die Gruppe der Gleichung sukzessiv verkleinern bis man
die triviale, aus einer Permutation (Anordnung) bestehende Gruppe erhält.

Die Verkleinerung der Gruppe konnte gemäß der dargelegten Theorie nur
durch die Adjunktion von Wurzeln einer Hilfsgleichung geschehen. Wegen der

Auflösbarkeit der Gleichung muss es eine Zahl p geben, für die eine eigent-

”

liche Zerlegung“ der Gruppe nach einer Untergruppe H mit p Teilgruppen“

”

existierte, d. h. H ein Normalteiler mit Index p ist. Die Untergruppe H bildete
dann die kleinere Gruppe. Von all den Zahlen p wählt Galois die kleinste. Als

Anwendung analysierte er in der Arbeit die Auflösung irreduzibler Gleichun-
gen vom Primzahlgrad p und leitete folgende Kriterien ab: Eine derartige

Gleichung ist genau dann in Radikalen auflösbar, wenn jede Funktion der

Wurzeln, die sich bei der Ersetzung von xk durch xak+ b ( a, b ganze Zahlen
mod p, a = 0) nicht ändert, rational bekannt ist, bzw. wenn sich alle Wurzeln

7.1 Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen – Galois-Theorie

361
als rationale Funktionen von zwei von ihnen darstellen lassen. In dem Brief
an Chevalier skizzierte Galois dann die Anwendung der Theorie auf sog. pri-
mitive Gleichungen und auf Modulargleichungen elliptischer Funktionen. Für
eine ausführlichere Darstellung seiner Ideen verblieb ihm keine Zeit.

In seinem kurzen mathematischen Schaffen gab Galois der Auflösungstheorie
algebraischer Gleichungen eine neue Gestalt. Er erkannte die zentrale Rolle
der Normalteilereigenschaft gewisser Untergruppen für die Entscheidung der

Auflösbarkeit in Radikalen und arbeitete unter Präzisierung weiterer Struk-
turbegriffe die Grundzüge der nach ihm benannten Theorie heraus. Wohl
von sicherer Intuition geleitet, entdeckte er Zusammenhänge, ohne sie in
exakt definierten Begriffen erfassen und entsprechend beweisen zu können.

Auf diesem noch unsicheren Pfad war er der Entwicklung weit vorausge-
eilt und es verwundert kaum, daß die Bedeutung der Galoisschen Resultate
erst viel später erkannt wurde. Dazu bedurfte es nicht nur des Schließens
von Lücken in verschiedenen Beweisen und der Absicherung der Galoisschen

Entwicklungen, sondern vor allem der Analyse und präzisen Ausformung sei-
nes methodischen Vorgehens. Beides war aber untrennbar mit neuartigen,
auf Strukturbetrachtungen zielenden Untersuchungen verbunden. In diesem

Sinne steht Galois’ Theorie für einen grundlegenden Wandel in der algebrai-
schen Forschung: die klassische Theorie der algebraischen Gleichungen wird
abgelöst durch das Studium von Gruppen und Körpern, also von algebrai-
schen Strukturen. So ist es wohl nicht zufällig, daß die schrittweise Einsicht
in die Bedeutung der Galoisschen Arbeiten eng mit weiteren Fortschritten
in der Gruppen- bzw. Körpertheorie verbunden war. In der Folgezeit lieferte
die Anwendung der Galois-Theorie den Mathematikern dann eine Antwort
auf verschiedene interessante Probleme. Dies betraf etwa die Beantwortung
der seit dem Altertum betrachteten Frage, welche geometrischen Größen in
der reellen Ebene man mit Zirkel und Lineal aus endlich vielen Grundgrößen
konstruieren kann. Dazu gehörten auch die negative Entscheidung zu den
klassischen Problemen des Altertums und eine Übersicht darüber, wann ein
reguläres n-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Zunächst stießen jedoch Galois’ Arbeiten auf Unverständnis und hatten kei-
nen spürbaren Einfluß auf die Entwicklung der Algebra. Auch die Publika-
tion des Briefes an Chevalier und der darin enthaltene Aufruf, Gauß und

Jacobi mögen ihr Urteil über die Bedeutung der dargelegten Resultate ab-
geben, bewirkten keine Reaktion. Mit seiner kurzen, in dem Brief sogar ex-
trem verkürzten Darstellungsweise und der konsequenten Vermeidung von

Anknüpfungspunkten an die bereits vorliegenden Resultate machte es Galois
dem Leser auch nicht leicht, einen Zugang zu seiner Ideenwelt zu finden. Es
dauerte bis 1843, ehe Liouville nach Erhalt des Galoisschen Nachlasses und
der Lektüre einiger Arbeiten vor der Pariser Akademie auf die interessanten

Resultate zur Gleichungstheorie aufmerksam machte und eine Publikation
ankündigte. Diese erfolgte dann 1846, und er machte der mathematischen

Fachwelt neben den bereits veröffentlichten Arbeiten auch die beiden bisher

362

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe
unpublizierten M´
emoires“ zur Gleichungstheorie aus dem Nachlaß zugäng-

”

lich. Durch die Ankündigung, weitere Manuskripte aus dem Nachlaß Galois’

publizieren sowie einen ausführlichen Kommentar der Arbeiten verfassen zu
wollen, hat Liouville die rasche Hinwendung zum Studium der Galoisschen

Schriften nochmals verzögert. Er sicherte sich dadurch ein gewisses Vorrecht
auf die Bearbeitung der Schriften, hat aber diese Absicht nie realisiert. Er
hat aber mehrere Seminare zum Studium der Galoisschen Arbeiten durch-
geführt, wodurch er mehrere Mathematiker zur Beschäftigung mit den alge-
braischen Problemen anregte, und auch an dem Manuskript des angekündig-
ten Kommentars gearbeitet. Man vergleiche dazu auch die Ausführungen in

[Lützen 1990].

Doch bevor diese Entwicklung weiter verfolgt werden kann, ist es notwendig,
einen Blick auf die übrigen Resultate zu werfen, die in der Algebra bis zur

Mitte des 19. Jahrhunderts erzielt wurden.

7.2 Von Permutationen zu Permutationsgruppen

In den vorangegangenen Abschnitten war bereits wiederholt auf die wichtige

Rolle hingewiesen worden, die Permutationen und die Struktur der Permu-
tationsgruppen in der Auflösungstheorie algebraischer Gleichungen spielten.

Deshalb soll im folgenden die Geschichte der Permutationsgruppen kurz be-
trachtet werden. Diese Entwicklung verlief keineswegs geradlinig. Lange Zeit
nahmen die Permutationen eine untergeordnete Rolle ein und traten nur gele-
gentlich als Hilfsmittel bei anderen mathematischen Betrachtungen auf, ohne
daß sie dabei begrifflich fixiert bzw. als eigenständiges mathematisches Unter-
suchungsobjekt hervorgehoben wurden. Wie noch näher zu zeigen sein wird,
schuf Cauchy dann in einer 1815 publizierten Arbeit große Teile des begriff-
lichen Rahmens und verlieh der Theorie der Permutationen den Charakter
eines eigenständigen Gebietes, ohne daß dabei die enge Verknüpfung mit der

Auflösungstheorie algebraischer Gleichungen besonders hervorgehoben wur-
de. Da die Arbeiten Galois’ zunächst nicht rezipiert wurden, entwickelte sich
die Theorie der Permutationen bis zur Jahrhundertmitte separat, ohne we-
sentliche Impulse von der Gleichungstheorie zu erhalten.

Dabei hatten die Arbeiten zur Auflösungstheorie von Lagrange, Vandermon-
de und Ruffini wesentlich dazu beigetragen, die Permutationen stärker in das

Blickfeld der Mathematiker zu rücken. Zuvor waren Permutationen lediglich
bei kombinatorischen Überlegungen aufgetreten, die man zur Untersuchung
verschiedener Problemstellungen heranzog, etwa in der Wahrscheinlichkeits-
rechnung oder bei der Berechnung spezieller Ausdrücke wie Potenzen von

Binomen bzw. Polynomen. Noch in dem 1803 bis 1808 erschienenen Mathe-

”

matischen W¨
orterbuch“ von Georg Simon Klügel waren Permutationen nicht
als eigenständiger Begriff in Form eines Stichwortes enthalten und wurden
nur im Rahmen der Kombinatorik und in einigen anderen Artikeln behan-
delt bzw. erwähnt. Nov´
y hob hervor, daß sich die Permutationen völlig von

7.2 Von Permutationen zu Permutationsgruppen

363

Joseph Liouville

Augustin-Louis Cauchy
den üblichen Zahlbereichen unterschieden, z. B. gibt es stets nur endlich viele

Permutationen von einer vorgegebenen Anzahl von Elementen. Sie stellten
in diesem Sinne völlig andere algebraische Objekte dar, für die eine sinnvolle

Verknüpfung erklärt war, und hätten so abstraktere algebraische Überlegun-
gen stimulieren können. Doch scheinen gerade diese Unterschiede das Her-
stellen von Analogien zwischen beiden Bereichen erschwert zu haben [Novy

1973, S. 154f.].

Den grundlegenden Wandel erzielte Cauchy, als er im Anschluß an Ruffini
analysierte, wieviele Werte rationale Funktionen bei der Permutation ihrer

Variablenwerte annehmen können. Dabei strebte er unter dieser Zielstellung
bereits einen systematischen Aufbau der Theorie an. Zu diesem Zeitpunkt
stand Cauchy noch am Anfang seiner wechselvollen, aber außerordentlich er-
folgreichen Karriere als Mathematiker. Nachdem er bis 1813 als Ingenieur
in Nordfrankreich tätig war, eröffnete erst der Sturz Napoleons dem kaiser-
treuen und konservativen Cauchy die Möglichkeit zu Lehrpositionen an den
bedeutenden Pariser Hochschulen und zur Mitgliedschaft in der Pariser Aka-
demie. Er wurde einer der bedeutendsten und produktivsten Mathematiker
des 19. Jahrhunderts und hat wesentlich die neuen Entwicklungstendenzen
der Mathematik mitgeprägt, speziell der Analysis und der mathematischen

Physik gab er ein neues Gesicht. Für eine ausführliche Beschreibung der Bio-
graphie Cauchys und eine Würdigung seiner Leistungen sei auf [Belhoste

1991] verwiesen.

In der erwähnten Arbeit bezeichnete Cauchy, abweichend vom heutigen

Sprachgebrauch, die Anordnung von n Größen als Permutation, und den

Übergang von einer Anordnung zu einer anderen nannte er

Substitution“.

”

Als er sich 1844 dann erneut mit der Permutationstheorie beschäftigte, änder-
te er die Terminologie und sprach von Arrangement“ als Anordnung von n

”

364

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe

Größen und von Permutation“ bzw. Substitution“, um den Übergang von

”

”

einem Arrangement“ zum anderen zu bezeichnen. Gleichzeitig definierte er

”

1815 die heute übliche Permutationsschreibweise, bei der die Anordnung der
n Größen vor und nach Ausführung der Substitution in Klammern gesetzt
übereinander geschrieben wird. 1846 kehrte er diese Schreibweise dann um,
d. h. die Ausgangsanordnung stand unten. Auch kürzte er bereits 1815 eine

Permutation durch einen Buchstaben ab, damit gleichsam deren Akzeptanz
als eigenständiges Objekt unterstreichend, und führte die Hintereinander-
ausführung von Permutationen – als Produkt bezeichnet – und die Potenz-
schreibweise ein. Auch die Bezeichnung identische und zyklische Permutation
traten 1815 auf, die Zyklendarstellung, die Bezeichnung inverse Permutati-
on, das Symbol 1 für die identische Permutation u. a. erst 1846. Damit hatte

Cauchy bereits 1815 wichtige Teile der Terminologie entwickelt, die nicht zu-
letzt wegen der exponierten Stellung und des Ansehens Cauchys unter den

Mathematikern zum Standard wurden. Cauchy bewies dann eine Reihe von

Sätzen, die inhaltlich schon bei Ruffini zu finden waren. Mit dem Satz, daß
die Anzahl der verschiedenen Werte einer nichtsymmetrischen Funktion von
n Größen bei der Anwendung aller möglichen Permutationen, d. h. der vollen
symmetrischen Gruppe, nur kleiner als die größte in n enthaltene Primzahl
werden kann, wenn ihr Wert zwei ist, vertiefte er die entsprechende Aussage
von Ruffini beträchtlich, und erweiterte die Aufgabenstellung, die er in der

1812 verfaßten, aber erst 1815 erschienen Arbeit

Sur les fonctions que ne

”

peuvent obtenir que deux valeurs ´
egales...“ formuliert hatte.

1845 begann Cauchy sich erneut mit Permutationen zu beschäftigen und
integrierte eine zusammenfassende Übersicht über die Permutationentheo-
rie in den dritten Band seiner ab 1844 in Lieferungen publizierten

Exerci-

”

ses d’analyse et de physique math´
ematique“. Der Teil über Permutationen
ist in den Lieferungen 29–32 enthalten, die im Herbst 1845 bzw. Frühjahr

1846 erschienen [Neumann 1989]. Nach der Einführung der oben erwähnten

Begriffe, einschließlich der Ordnung einer Permutation und der Zyklendar-
stellung, bewies er einige Sätze über die Ordnung einer aus verschiedenen

Zyklen zusammengesetzten Permutation und definierte die zueinander ähn-
lichen Permutationen als Permutationen, die die gleiche Zyklendarstellung
haben, d. h. die gleiche Anzahl von Zyklen mit gleicher Ordnung der ent-
sprechenden Zyklen. Es gelang ihm dann, die zu einer gegebenen Permuta-
tion P ähnlichen Permutationen eindeutig als Produkt aus drei Faktoren zu
charakterisieren, dessen äußere Faktoren zueinander inverse Permutationen
sind und dessen mittlerer Faktor die Permutation P ist: Alle Produkte die-
ser Art erzeugen eine zu P ähnliche Permutation und jede zu P ähnliche

Permutation läßt sich so darstellen. Nachfolgend behandelte er die Aufga-
ben, zu einer gegebenen Permutation P alle ähnlichen Permutationen bzw.

zu zwei gegebenen ähnlichen Permutationen P und Q jene Permutation R
konkret zu bestimmen, die gemäß der obigen Darstellung P in Q transfor-
miert, also RP R− 1 = Q. Die Bildung des aus einer vorgegebenen Menge von

Permutationen durch beliebig häufige multiplikative Verknüpfung erzeugten

7.2 Von Permutationen zu Permutationsgruppen

365

Systems konjugierter Substitutionen“ leitete faktisch die Untersuchung der

”

Permutationsgruppen ein:

Etant donn´
ees une ou plusieurs substitutions qui renferment les n lettres

”

x, y, z, ... , ou du moins plusieurs d’entre elles, je nommerai substitutions
d´
eriv´
ees toutes celles que l’on pourra d´
eduire des substitutions donn´
ees, mul-
tipli´
ees une ou plusieurs fois les unes par les autres, ou par elles-mˆ
emes,
dans un ordre quelconque; et les substitutions donn´
ees, jointes aux substi-
tutions d´
eriv´
ees, formeront ce que j‘appellerai un syst`
eme de substitutions
conjugu´
ees. L’ordre de ce syst`
eme sera le nombre total des substitutions qu’il
pr´
esente, y compris la substitution qui offre deux termes ´
egaux et se r´
eduit `
a
l’unit´
e.“ [Cauchy 1844, S. 183]

Für die Ordnung eines solchen Systems konjugierter Substitutionen leitete
er dann ab, daß sie stets die Zahl n! aller aus n Buchstaben bildbaren An-
ordnungen teilt, d. h. die Ordnung einer Permutationsgruppe ist ein Teiler
der Ordnung der entsprechenden vollen symmetrischen Gruppe. Als Folge-
rung leitete Cauchy ab, daß die Ordnung jedes Elementes die Ordnung des

Systems konjugierter Substitutionen teilt, und: Wenn ein solches System von
mehreren Substitutionen P , Q, R . . . erzeugt wird, P , Q, R . . . paarweise
miteinander vertauschbar sind und die Gleichung P hQkRl . . . = 1 nur für

P h = 1, Qk = 1, Rl . . . = 1 erfüllt ist, so ist die Ordnung des Systems das

Produkt der Ordnung der Erzeugenden.

Die Eigenschaft der Vertauschbarkeit war Gegenstand weiterer Untersuchun-
gen Cauchys und mündete in den Begriff der vertauschbaren Gruppen“ ein:

”

Zwei Systeme konjugierter Substitutionen heißen miteinander vertauschbar

( permutables entre eux“) wenn die Faktoren in jedem Produkt von je einem

”

Element aus den beiden Systemen vertauschbar sind. In den Erläuterungen
zu dieser Definition diskutierte Cauchy auch den Fall, wenn die Vertauschbar-
keit zwischen den Elementen der beiden Systeme nicht erfüllt ist, sondern nur
die Relation P Q = QP gilt, mit P , P aus dem ersten System konjugierter

Substitutionen und Q, Q aus dem zweiten. Er hob hervor, daß dann zwar die

Elemente der beiden Systeme nicht untereinander vertauschbar waren, wohl
aber die Systeme als Ganzes. Er betrachtete die Systeme (Gruppen) also als
eigenständige Objekte, die er wieder verknüpfte. Er kam aber nicht zur De-
finition der Normalteilereigenschaft. Dies scheint für ihn nicht von Interesse
gewesen zu sein. Erwähnt sei noch, daß Cauchy in mehreren Beweisen die

Gruppe in Form einer Tabelle angab, die aber nur bedingt mit der späteren

Gruppentafel Cayleys verglichen werden kann. Im Einzelfall trat dabei auch
die Zerlegung einer Gruppe in Nebenklassen bezüglich einer Untergruppe auf,
jedoch ohne daß Cauchy darauf besonders hinwies.

In weiteren Abschnitten des Kapitels behandelte Cauchy spezielle Permuta-
tionen. Die Theorie basiert wesentlich auf dem Rechnen mit Restklassen nach
einem beliebigen Modul und verwendete Ideen wie sie in den Untersuchungen
über n-te Einheitswurzeln auftraten. Die Darlegungen können insgesamt als
eine Vorstufe der später von Serret und entwickelten Darstellungstheorie von

Substitutionen angesehen werden.

366

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe

Nach dieser zusammenfassenden Darstellung der Permutationstheorie griff

Cauchy in den folgenden beiden Jahren in mehreren kleineren Arbeiten ein-
zelne Themen nochmals auf, ohne inhaltlich neue Gesichtspunkte aufzuzei-
gen. Auch in diesen Abhandlungen stellte er keinen engeren Bezug zur Auf-
lösungstheorie algebraischer Gleichungen her. Die Art der Behandlungsweise
ließ erkennen, daß Cauchy die Problemstellung als eigenständig ansah und
sie in dieser Form für ihn von Interesse war. Er verleugnete nicht, daß er
die ersten Anregungen durch Arbeiten zur Gleichungstheorie erhielt, aber er
löste die Untersuchungen davon ab. So fragte er nicht, wieviel Werte eine

Funktion bei der Permutation der Wurzeln annehmen kann, sondern analy-
sierte diese Frage allgemein für Funktionen von n Buchstaben, wenn diesel-
ben permutiert werden. Die gruppentheoretischen Aspekte seiner Ergebnisse
würdigte er ebenfalls kaum und hatte sie in ihrer Tragweite wohl nicht er-
kannt. Trotzdem hatten Cauchys Publikationen einen beträchtlichen Einfluß.

Mehrere Mathematiker knüpften an seine Ergebnisse an. Nach der Veröffent-
lichung von Galois’ Schriften wurde allmählich die Verbindung der Theorie
der Permutationsgruppen zur Auflösungstheorie neu geknüpft und entfaltete
auf dem jetzt erreichten höheren Niveau eine sehr stimulierende Wirkung.

In diesem Kontext wie auch bei einer eigenständigen Betrachung der Per-
mutationsgruppen fanden dann gruppentheoretische Aspekte eine verstärkte

Berücksichtigung.

7.3 Auf dem Weg zur abstrakten Algebra – die
englische algebraische Schule

Die bisher dargestellte Entwicklung der Algebra war vor allem von Mathe-
matikern des europäischen Kontinents getragen worden. Die Mathematik auf
den britischen Inseln hatte in diesen Jahrzehnten einen Sonderweg beschrit-
ten. Die daraus erwachsenden Probleme und die Anstrengungen zu deren

Bewältigung bildeten einen Ausgangspunkt für einen wichtigen Schritt zu ei-
ner abstrakteren Auffassung von Algebra, die englische Mathematiker in den

30er Jahren des 19. Jahrhunderts entwickelten.

Zu Beginn des 19. Jahrhunderts hatte England eine ökonomische Spitzen-
stellung inne. Doch einer fortgeschrittenen Wirtschaft stand ein mangelhaf-
tes Bildungswesen gegenüber. Keine der im Gefolge der Französischen Re-
volution im Bildungswesen hervorgebrachten Neuerungen wurde in England
übernommen. Der Bedarf an ausgebildeten Fachkräften zusammen mit dem

Streben Einzelner nach wissenschaftlicher und technischer Bildung sowie der

Einfluß der schottischen Aufklärung führten zu einer Reihe von individuellen

Initiativen zur Förderung der Bildung, wie neue Privatschulen und wissen-
schaftliche Vereinigungen. In dieser einzigartigen Weise vollzog sich, teilweise
in enger Verbindung mit der Produktion, der allmähliche Aufschwung der Na-
turwissenschaften in England. Speziell in der Mathematik und Physik war der

7.3 Auf dem Weg zur abstrakten Algebra

367

Rückstand zum europäischen Spitzenniveau zu Beginn des 19. Jahrhunderts
weiter drastisch gewachsen. In einem übertriebenen Nationalstolz hatte man
die Mathematik nur in der von Newton bevorzugten Richtung und Metho-
de betrieben und andere Neuerungen, wie den Calculus, die Differential– und

Integralrechnung Leibnizscher Prägung, ignoriert. In den Jahrzehnten um die

Jahrhundertwende bemühten sich nun mehrere Gelehrte darum, diese Situa-
tion abzuändern. Sie versuchten, sowohl die Ursachen für die Rückständigkeit
der englischen Mathematik aufzudecken, als auch Verbesserungsmöglichkei-
ten anzugeben. Bei den Ursachen nannten sie insbesondere gesellschaftliche

Faktoren, etwa die fehlende institutionelle Unterstützung und die schlechten

Publikationsmöglichkeiten, und schlugen eine an der französischen Mathema-
tik orientierte Modernisierung vor.

In welchem Umfang sich die einzelnen auch für die Übernahme der moder-
nen Mathematik entschieden, stets stellten sie sich in den Gegensatz zur
herrschenden Lehrmeinung. Diese Auseinandersetzung ließ die bestehenden

Probleme noch klarer hervortreten, erklärt aber auch manche schwanken-
de Haltung. Ein wichtiger Aspekt in den Modernisierungsbemühungen war
die Verbesserung des Universitätsstudiums. Dies war jedoch kein spezifisch
britisches Anliegen, sondern muß im Kontext einer allgemeinen europäischen

Reformbewegung gesehen werden, die im Bildungswesen mehrerer Länder des

Kontinents am Anfang des 19. Jahrhunderts stattfand.

Einer der ersten, der die Analysis kontinentaler Prägung übernahm und pro-
pagierte, war der junge Robert Woodhouse. Er hatte 1790–94 am Caius Col-
lege in Cambridge studiert und vier Jahre später dort den Titel eines Master
of Arts erworben. Bis zu seinem Tod 1827 gehörte er dann dem Lehrkörper
der Universität Cambridge an, ab 1820 als Professor. Woodhouse trat ins-
besondere als Kritiker und Reformator des mathematischen Lehrbetriebes in

England hervor. Sein Interesse galt vorrangig methodologischen und philo-
sophischen Fragen der Mathematik, wie der theoretischen Begründung des

Calculus, der Rolle von synthetischer (geometrischer) und analytischer Me-
thode oder der Schaffung einer geeigneten Terminologie. Er pries nicht nur
die moderne Analysis, sondern zugleich die analytische Methode, wandte sich
aber gegen einseitige Übertreibungen und betonte die Notwendigkeit einer ex-
akten logischen Fundierung, die er sowohl für den Calculus, als auch für die

Newtonsche Fluxionenrechnung anstrebte. Dies war auch das Ziel seines Bu-
ches The Principles of Analytical Calculation“. Erreichen wollte Woodhouse

”

dieses Ziel durch eine geeignet gewählte Symbolik und ein auf gewissen Prin-
zipien und formalen Analogien basierendes Operieren mit diesen Symbolen.

Daraus sollte sich eine Art Sprache ergeben, mit der unter Einbeziehung und

Beachtung logischer Grundsätze wahre Aussagen abgeleitet werden konnten.

Die Theorie der Grenzwerte als auch die Lagrangesche Methodik sah er als
ungeeignet für die angestrebte Begründung an. Da Woodhouse zumindest
einige der Condillacschen Schriften kannte – 1800 rezensierte er

La langue

”

des calculs“ –, kann man mit hoher Wahrscheinlichkeit annehmen, daß er

368

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe

William Herschel

Carles Babbage
an Condillacs Ideen anknüpfte und daraus vermutlich unter Einbeziehung
von Gedanken der schottischen Aufklärung seine eigene Methode entwickel-
te. In den Principles“ hat Woodhouse dann seine allgemeinen Ansichten auf

”

die Infinitesimalmathematik angewandt. In den folgenden Jahren verfaßte er
mehrere Bücher zur Verbreitung des Calculus. Am wirkungsvollsten wird sein

Lehrbuch zur Trigonometrie von 1809 angesehen. Jedoch scheint der Wider-
stand gegen die neuen Ideen so stark gewesen zu sein, daß Woodhouse sie
nicht in den Cambridger Lehrbetrieb einführte.

Doch das Wirken von Woodhouse war nicht erfolglos. Mehrere seiner Stu-
denten griffen diese Ideen auf und einige von ihnen gehörten 1812 zu den

Gründungsmitgliedern der

Analytical Society“, die sich die Förderung und

”

Verbreitung der Analysis kontinentaler Prägung als Ziel setzte. (Einige Hi-
storiker datieren die Gründung der Gesellschaft auf 1811.) Als einen ersten
notwendigen Schritt betrachteten sie dabei die Schaffung eines entsprechen-
den Lehrbuches und Charles Babbage, William Herschel und George Peacock
übersetzten Lacroix’

Trait´
e el´
ementaire du calcul diff´
erentiel et du calcul

”

int´
egral“. Die Übersetzung erschien 1816. Mit der Übersetzung war zugleich
eine Diskussion um die Begründung der Infinitesimalrechnung verbunden,
doch ist die Dokumentenlage dazu recht spärlich. Letztlich entschied man,
der algebraisch geprägten Lagrangeschen Methode des Reihenansatzes den

Vorzug zu geben. Vor allem Babbage und auch Herschel scheinen dabei eine
formale Herangehensweise, eine geeignete Symbolik und die Schaffung eines
formalen (abstrakten) Kalküls unter Ausnutzung von Analogien betont zu
haben und standen sowohl in der von Locke und de Condillac ausgehenden
philosophischen Traditionslinie als auch in dem von der Operatorenrechnung
geschaffenen Ideenfeld. Während von Herschel kaum allgemeine Reflexionen
zu diesem Thema bekannt sind, hat sich Babbage intensiv damit auseinander-

7.3 Auf dem Weg zur abstrakten Algebra

369
gesetzt und etwa seit 1816 an seinen Essays on the Philosophy of Analysis“

”

gearbeitet. Er sah die Begründung in einer formalen, von den vorhandenen

Gebieten der Mathematik losgelösten Theorie, die auf dem Prinzip der Iden-
tität basiere und die etwa durch die Anwendung auf Zahlen die Aussagen der

Analysis liefere [Knobloch 1981], [Fisch 1999]. Seine Überlegungen gingen
jedoch über die Fundierung der Infinitesimalrechnung hinaus, er wollte mit
der neuen Theorie eine sichere Basis für alle Zweige der Mathematik legen. In
den unveröffentlichten Manuskripten zur Philosophy of analysis“ findet man

”

dann bereits jene Ideen, die gewöhnlich mit dem Namen Peacock verbunden
sind:

Das Wesen der Algebra besteht im Manipulieren mit Symbolen in einer von
jeder speziellen Interpretation unabhängigen Weise und dieses Operieren er-
folgt nach ganz formalen Regeln.

Jede Form (im Sinne von Relation bzw. Gleichung) mit allgemeinen Symbolen
aber spezifischen Werten, die einer anderen Form algebraisch äquivalent ist,
bleibt jener Form algebraisch äquivalent, wenn die Symbole allgemein in Form
und Wert sind.

Dieses Permanenzprinzip, von Babbage wohl im Sinne einer Abstraktion ge-
sehen, findet sich in Ansätzen schon in den Condillacschen Überlegungen
zum Analogiebegriff. Babbage betonte weiterhin den abstrakten Charakter
der Algebra und deren Eigenständigkeit, sie kann also nicht als universelle

Arithmetik angesehen werden.

Diese neuen Vorstellungen, die beträchtlich über die Einführung des moder-
nen Calculus und der damit verbundenen Methodik hinausgingen, stießen auf
großen Widerstand, und speziell im Lehrbetrieb scheiterte manche Initiative
zur Einführung der neuen Ideen. Die

Analytical Society“ war nicht lange

”

wirksam, ihre formelle Auflösung wird z. T. bereits auf Ende 1813 datiert,
obwohl die Aktivitäten einzelner Mitglieder bis zum Ende des Jahrzehnts
reichten. Doch Anfang der 20er Jahre wandten sich mit Babbage und Her-
schel dann auch zwei der aktivsten Streiter für eine Refom der englischen

Mathematik verstärkt anderen Themen zu, Herschel vor allem der Astrono-
mie, Babbage der Konstruktion von Rechenmaschinen.

7.3.1 George Peacock

Es blieb Peacock vorbehalten, die algebraischen Aspekte klar aus den Pro-
blemstellungen herauszulösen, die sich im Rahmen der Reformbemühungen
und der damit verbundenen Bemühungen zur Fundierung der neuen Metho-
den ergeben hatten. Er wurde damit zum Begründer der englischen algebrai-
schen Schule. Nach seinem Studium an der Universität Cambridge war er
dort ab 1815 in verschiedenen Lehrpositionen tätig. Aber erst 1837 erlangte
er eine Professur und übernahm dann zwei Jahre später ein kirchliches Amt.

Peacocks Vorstellungen sind vor allem durch sein 1830 publiziertes Lehrbuch

A Treatise on Algebra“ [Peacock 1830] und den 1833 vorgetragenen Bericht

”

370

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe
über die Fortschritte in der Analysis [Peacock 1834] überliefert. In dem Lehr-
buch definierte er faktisch eine neue mathematische Disziplin, die symbolische

Algebra, als
the science which treats of the combinations of arbitrary signs and symbols

”

by means of defined through arbitrary laws.“ [Peacock 1830, S. 71]

In dieser Form repräsentierte die symbolische Algebra eine völlig abstrakte

Auffassung von Algebra, für die mit Blick auf die Euklidische Geometrie ein
axiomatischer Aufbau anzustreben war. Die Symbole (Buchstaben) waren
abstrakte Größen, die zunächst keine Realisierung als Zahlen, geometrische

Objekte oder ähnliches hatten und nur den geforderten Verknüpfungsregeln
genügen mußten. Damit hatte Peacock die algebraischen Verknüpfungen in
den Mittelpunkt algebraischer Untersuchungen gerückt und auch diese Ope-
rationen konnten zunächst beliebig festgelegt werden. In dieser abstrakten

Form scheint die symbolische Algebra der Babbageschen Idee einer allgemei-
nen, formalen Wissenschaft als Basis der Mathematik sehr nahe zu stehen.

Doch die Propagierung einer derartigen Algebra war nicht unproblematisch.

Peacock mußte sichern, daß man mit der symbolischen Algebra wahre Aus-
sagen erhalten konnte und es sich nicht, wie von seinen Widersachern be-
hauptet, um ein sinnloses Hantieren mit bedeutungslosen Zeichen handelte.

Er versuchte, diese Schwierigkeiten zu beheben, indem er noch eine arithme-
tische Algebra einführte. Die arithmetische Algebra war einerseits noch eng
mit dem Rechnen mit Zahlen verknüpft und diente andererseits der symboli-
schen Algebra als anregende Wissenschaft. Der Bruch mit den Auffassungen
des 18. Jahrhunderts, wie er sich in der symbolischen Algebra manifestierte,
wurde dadurch stark relativiert. Die arithmetische Algebra entsprach im we-
sentlichen der Buchstabenrechnung, wenn man also die arithmetischen Rech-
nungen mit Buchstaben statt mit Zahlen ausführte. Damit blieben jedoch
auch die prinzipiellen Schwierigkeiten bei der Erweiterung der Zahlbereiche
bestehen.

Die Richtigkeit seiner Überlegungen konnte Peacock am einfachsten durch
die Angabe eines Modells demonstrieren und er griff auf das zurück, was ihm
wohl am naheliegendsten und sichersten erschien, die Arithmetik. Die Bezie-
hung zwischen der arithmetischen und der symbolischen Algebra stellte er
dann durch das sogenannte Prinzip der Permanenz äquivalenter Formen her.

Obwohl er mit diesem Prinzip die Übertragung von Eigenschaften äquiva-
lenter Formen, von Verknüpfungsregeln in beide Richtungen erklärte, nutzte
er es nur, um aus Beziehungen im Bereich der arithmetischen Algebra auf
entsprechende Relationen in der symbolischen Algebra zu schließen. Durch
diese einseitige Anwendung des Permanenzprinzips und die Wahl der Arith-
metik als anregende Wissenschaft schränkte Peacock die Kraft seiner Ideen
zur symbolischen Algebra wesentlich ein. Die zunächst von ihm proklamier-
te Freiheit des Mathematikers bei der Wahl der Verknüpfungsregeln für die
abstrakten Symbole hätte auch Systeme zugelassen, bei denen Kommutativ-,

Assoziativ- oder Distributivgesetz verletzt waren. Dieser Weg wurde damit

7.3 Auf dem Weg zur abstrakten Algebra

371

Augustus de Morgan

George Peacock
versperrt und solche Systeme lagen wohl außerhalb von Peacocks Intentio-
nen. Ihm ging es nicht um die Schaffung abstrakter Systeme von Symbolen,
sondern um eine Fundierung und Vereinheitlichung bereits vorliegender ma-
thematischer Kenntnisse, speziell des Rechnens in den einzelnen Zahlberei-
chen. In der 1842/45 erschienenen zweiten Auflage des Buches nahm Peacock
stärker auf eine geometrische Interpretation der Symbole und Verknüpfungs-
regeln Bezug und schuf so einige Elemente der Vektorrechnung. Um Peacocks

Leistungen gerecht zu beurteilen, muß man auch dessen feste Einbindung in
den Lehrbetrieb der Universität Cambridge und die Stellung der Mathematik
im Lehrsystem beachten. Die Mathematik sollte zum Auffinden von Wahr-
heiten in der Natur befähigen, eine symbolische Algebra, die nur als Spiel mit
bedeutungslosen Zeichen angesehen werden konnte und keine Interpretation
in der Realität besaß, wäre dazu nicht geeignet gewesen.

7.3.2 Augustus de Morgan

Durch seine Lehrtätigkeit fand Peacock mit Augustus de Morgan, Duncan

Gregory u. a. einige Schüler, die seine Ideen aufgriffen und weiterentwickelten.

Der in Indien geborene De Morgan lehrte nach seinem Studium ab 1828 als

Professor an der neugegrüdeten Universität London und trat besonders mit
neuen Ideen zur Logik hervor. Er stand mit mehreren bekannten Persönlich-
keiten seiner Zeit im Gedankenaustausch und war sowohl mit den verschiede-
nen Ansichten zu mathematischen Fragestellungen als auch philosophischen

Überlegungen vertraut. Wichtigster Impuls für die Beschäftigung mit alge-
braischen Problemen war das Bestreben, die vorhandenen Unzulänglichkeiten
in der Mathematik zu beseitigen und der umgestalteten Mathematik einen

372

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe
festen Platz im System der Universitätsausbildung zu sichern. So verwun-
dert es nicht, daß de Morgans erste umfassendere Äußerung zur Algebra in
einem breiteren pädagogischen Rahmen geschah und mit allgemeinen Über-
legungen zum Aufbau einer Wissenschaft einherging. Er betonte die große

Bedeutung, die die Prozesse des logischen Schließens und des Interpretierens
der abgeleiteten Resultate haben, trennte aber zugleich beide klar von ein-
ander. Die deduktiv abgeleiteten Ergebnisse können keine größere Sicherheit
aufweisen als die Ausgangssätze, und dies habe nichts mit der Korrektheit des
mathematischen Schließens zu tun. Die Mathematik könne ihre Funktion im

Bildungssystem auch dann erfüllen, wenn aus hypothetischen Voraussetzun-
gen exakte Folgerungen gezogen würden, doch seien letztere genauso ungewiß
wie die Prämissen. Er definierte die Algebra nun
as a system of investigation, without any rules except those under which we

”

may please to lay ourselves for the sake of attaining any desirable object. The
hypotheses, the meaning of the symbols, however laid down, are in our own
power: subject only to the great rule of all search after truth, that nothing is to
be asserted as a conclusion, more than is actually contained in the premises.“

[De Morgan, 1835, S. 99]

Zwar akzeptierte de Morgan die Arithmetik als anregende Wissenschaft und
das Prinzip der Permanenz äquivalenter Formen als mögliche Hilfen bei der

Erkenntnisgewinnung, aber er sprach ihnen keine allgemeine Gültigkeit zu.

Damit hob er die von Peacock vorgenommenen Einschränkungen bei der Wahl
der Verknüpfungsregeln auf und lenkte zugleich die Aufmerksamkeit auf den
strukturellen Gesichtspunkt. In seinen Arbeiten zur Begründung der Algebra
wich er bewußt von den Peacockschen Bezeichnungen ab, die er als unge-
eignet ansah, und unterschied zwischen technischer und logischer Algebra.

Die erstere umfaßte den algorithmischen Aspekt, also das Rechnen mit den
abstrakten Symbolen entsprechend den gewählten Regeln. Die letztere defi-
nierte er als
the science which investigates the method of giving meaning to the primary

”

symbols, and of interpreting subsequent symbolic results“ [De Morgan 1841,

173]

und rückte die Frage nach der Interpretation der Symbole in den Mittelpunkt
der Betrachtungen. Wie Peacock wies er der Interpretationsproblematik eine
große Bedeutung zu und stellte sie in seinen weiteren Forschungen über das

Studium der Verknüpfungsgesetze. Die in der technischen Algebra abgelei-
teten Resultate waren nur dann sinnvoll, wenn den Symbolen eine konkrete

Bedeutung zugewiesen werden konnte. Diese Ausrichtung der Forschungsak-
zente auf die logische Algebra trug auch der kritischen bis ablehnenden Hal-
tung gegenüber der symbolischen Algebra Rechnung, die von William Rowan

Hamilton, William Whewell und anderen eingenommen wurde. Zugleich re-
flektierte diese Akzentuierung den erreichten Entwicklungsstand.

7.3 Auf dem Weg zur abstrakten Algebra

373

Nachdem man die Gleichheit der Verknüpfungsregeln als wichtige Gemein-
samkeit bei verschiedenen mathematischen Problemstellungen erkannt hatte,
erste Schritte bei der Ausbildung eines allgemeinen Kalküls gegangen war und
nicht zuletzt mit Blick auf das Buchstabenrechnen eine gewisse Vertrautheit
mit diesen Rechnungen erreicht hatte, verblieb die Frage der Interpretation
als wichtigste Aufgabe. Die in der symbolischen oder technischen Algebra
praktizierte Vorgehensweise war nur dann gerechtfertigt, wenn man das Er-
gebnis der formalen Rechnungen mit den Symbolen wieder entsprechend dem

Ausgangssachverhalt interpretieren konnte und dieses Ergebnis als wahr, als
richtig anzusehen war. Diese stets vorhandene Forderung, die eigene Vorge-
hensweise zu legitimieren, war ein wichtiger Grund dafür, warum die Vertreter
der englischen algebraischen Schule nicht bis zur Untersuchung der durch die

Verknüpfungsgesetze definierten algebraischen Strukturen vordrangen.

De Morgan folgte diesen Intentionen und ordnete die technische Algebra der
logischen unter. Strukturelle Betrachtungen äußerten sich oft in dem Verweis
auf ein Modell der Arithmetik. Ein solches Modell bildeten die komplexen

Zahlen, die in de Morgans vierteiliger Artikelserie zur Begründung der Alge-
bra einen breiten Raum einnahmen. So gab er im zweiten Teil im Bestreben
die Regeln für das Operieren mit den Zahlen von der Bedeutung der Sym-
bole zu separieren, acht Regeln an, die implizit auch jene enthalten, die die
komplexen Zahlen als Körper definieren. Im viertenTeil versuchte er dann, zu
einer vorgegebenen Struktur eine Realisierung in der Arithmetik zu finden.

Angeregt durch Hamiltons Darstellung der komplexen Zahlen als Zahlenpaa-
re und die Entdeckung der Quaternionen (vgl. Abschn. 7.4.1) betrachtete de

Morgan ein Größensystem, das aus drei Einheiten gebildet wurde, eine sog.

triple algebra, wobei in diesem System die üblichen Gesetze der Arithmetik
gelten sollten. Er wollte folglich eine dreidimensionale kommutative Divisi-
onsalgebra konstruieren. Obwohl dieser Versuch erfolglos blieb – eine solche

Algebra existiert nicht – entwickelte er wichtige Ideen auf dem Weg zur De-
finition einer abstrakten n-dimensionalen Algebra. Er vermerkte u. a., daß
mit der Festlegung des Produktes mehrerer Einheiten auch das ganze System
bestimmt sei.

Etwa zur gleichen Zeit und unabhängig voneinander wurden diese Ideen auch
von Herman Günther Graßmann und Hamilton hervorgebracht und wei-
ter ausgebaut. Hervorhebenswert ist de Morgans prinzipielles Vorgehen: er
wählte ein System von abstrakten Größen, unterwarf es bestimmten Ver-
knüpfungsregeln und suchte nach Realisierungen des so definierten Objektes.

Mit der Forderung, daß zu dem System der Symbole und den vorausgesetzten

Verknüpfungsregeln keine neuen hinzukommen dürfen, außer solchen, die sich
durch Kombination der Ausgangsgrößen bzw. -regeln ergeben, lieferte er einen
ersten Ansatz, um die Abgeschlossenheit gegenüber den Verknüpfungsrela-
tionen zu sichern. Schließlich sei noch erwähnt, daß in der de Morganschen

Betrachtungsweise auch die komplexen Zahlen als eine von zwei Einheiten
erzeugte Algebra über den reellen Zahlen erscheinen.

374

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe

7.3.3 Duncan Farquharson Gregory

Duncan Farquharson Gregory gehörte einer schottischen Gelehrtenfamilie mit
großer Tradition an, deren berühmtester Vertreter wohl der durch seine be-
deutsamen Beiträge zur Infinitesimalrechnung bekannte James Gregory war
ein Ururgroßvater von Duncan. Gregory genoß eine gute wissenschaftliche

Ausbildung, studierte in Edinburgh, Genf und Cambridge, wo er ab 1837
lehrte. Bereits 1844 verstarb er im Alter von 30 Jahren, noch ehe seine Ka-
riere richtig begonnen hatte.

Die Suche nach einer Begründung der Operatorenrechnung bildete für ihn den

Ausgangspunkt für algebraische Überlegungen. In diesem Rahmen erkannte
er die Bedeutung der Verknüpfungsregeln und fand wichtige Anregungen in

Peacocks symbolischer Algebra. 1840 definierte er die symbolische Algebra
als
the science which treats of the combination of operations defined not by

”

their nature, that is by what they are or what they do, but by the laws of
combination to which they are subject.“ [Gregory 1840, S. 208]

und bezeichnete die Trennung des Operationssymbols von dem der quantita-
tiven Größen als zentrale Idee seines Vorgehens. Gregory war einerseits um
eine klare Behandlung der symbolischen Algebra als eigenständiges Gebiet,
andererseits um eine Fundierung der Operatorenrechnung bemüht. Standen
bei Peacock die Arithmetik und damit Zahlen als Interpretation der Symbole
im Hintergrund, so waren es bei Gregory Operatoren, wenn gleich der Opera-
torbegriff noch nicht exakt bestimmt war. Gregory sprach meist von Opera-
tionen, Funktionen usw. und betonte mehrfach den Unterschied zu Peacock.

Faktisch lotete er den Anwendungsbereich weiter aus und kam zu wichti-
gen strukturellen Einsichten. Gregory faßte die Operationen in verschiedenen

Klassen zusammen. Wenn die in diesen Klassen definierten Verknüpfungen

– er sprach von Kombinationen – den gleichen Gesetzen genügten, so gelten
in den Klassen auch die gleichen abgeleiteten Theoreme, mit anderen Wor-
ten sie haben die gleiche algebraische Struktur. Diese Vorstellungen werden
später im Isomorphie- und Homomorphiebegriff eine exakte Ausformung er-
fahren. Das Wesen des Übergangs von der arithmetischen zur symbolischen

Algebra, wie auch die Begründung der Operatorenrechnung sah er nicht im

Aufdecken von Analogien, sondern in der Annahme einer Klasse unbekannter

(abstrakter) Operationen, die den gleichen Verknüpfungsgesetzen genügten,
so daß die gleiche Struktur vorlag. Die von Gregory angegebenen Beispiele
offenbaren dann die Grenzen seines Standpunktes. Durch die bestehenden

Unklarheiten, was er unter einem Symbol verstehen wollte, und durch die

Unterscheidung von Symbol und Operation wurde die Behandlung der Ver-
knüpfungsregeln unnötig verwirrt. Die Verknüpfungsregeln formulierte er nur
für Operationen. Daß im Bereich der Objekte, auf die die Operationen ange-
wendet werden, die gleichen Gesetze gelten können, erwähnt er nicht, selbst
wenn er dies in den Rechnungen benutzt. Die Darlegungen waren noch deut-

7.3 Auf dem Weg zur abstrakten Algebra

375
lich von dem Ausgangsproblem, der Begründung der Operatorenrechnung,
geprägt, die in den allgemeinen Überlegungen enthaltene Möglichkeit zu ab-
strakten strukturellen Betrachtungen wurde nicht ausgeschöpft.

Ebenso wie bei Gregory waren die Beiträge von Robert Murphy deutlich von
der Operatorenrechnung geprägt, jedoch spielten für ihn algebraische Aspek-
te kaum eine Rolle. Trotzdem sind zwei Fakten hervorhebenswert. Zum einen
sind dies Murphys Studien zu Verknüpfungen, die man heute zur Theorie
der linearen Operatoren rechnen würde. Darin leitete er bis auf die Asso-
ziativität alle Eigenschaften ab, um die Menge der linearen Operatoren als

Algebra nachzuweisen. Zum anderen, und dies ist aus algebraischer Sicht noch
wichtiger, wies er auf die Existenz von Operationen hin, die nicht miteinan-
der vertauschbar sind. Damit war 1837 in Verbindung mit dem Versuch die

Separation der Symbole, also letztlich die Operatorenrechnung, auf Differenti-
algleichungen mit variablen Koeffizienten auszudehnen, ein nichttriviales Bei-
spiel für das Auftreten nichtkommutativer Verknüpfungen aufgefunden, und
dieses Beispiel ließ sich nicht als Spiel mit bedeutungslosen Symbolen abtun.

Sieben Jahre später hob George Boole diesen Aspekt bei der Beschäftigung
mit dem gleichen Problem klar hervor.

7.3.4 George Boole und die Algebra der Logik

George Boole leistete mit seinen Schriften einen wesentlichen Beitrag zur Ver-
breitung der Ideen der englischen algebraischen Schule, obwohl keine seiner

Arbeiten der Algebra gewidmet war. Er hatte sich große Teile seiner ma-
thematischen Bildung autodidaktisch angeeignet und gründete nach kurzer

Lehrtätigkeit in seiner Geburtsstadt Lincoln eine eigene Schule. Seine For-
schungen begann er mit Fragen zur Operatorenrechnung. Dabei verfügte er
über sehr breit gefächerte Kenntnisse, die klassische Arbeiten von Lagrange,

Cauchy, Laplace, Euler und Servois ebenso umfaßten wie Resultate von Gre-
gory und de Morgan und bis zu philosophischen Ausführungen des Schotten

William Hamilton und John Stuart Mill reichten. Bereits als 18jähriger soll

Boole 1833 den für sein weiteres Schaffen entscheidenden Einfall gehabt ha-
ben, logische Beziehungen in algebraischer Form symbolisch auszudrücken.

Bis zur Realisierung dieser Idee sollten noch 14 Jahre vergehen. (Für eine
detaillierte Analyse und Einordnung der Booleschen Arbeiten vom Stand-
punkt der Logikgeschichte vergleiche man die Ausführungen von Peckhaus

[Peckhaus 1997, Kap. 5.1.]).

Doch es ging Boole nicht nur um das formelmäßige Erfassen logischer Rela-
tionen, sein Ziel war die Schaffung eines universellen Symbolkalküls, mit des-
sen Verknüpfungsregeln die Gesetze des menschlichen Denkens erfaßt werden
sollten. Die Operationen des menschlichen Geistes beim Fällen von Urteilen
wurden von ihm analysiert, die grundlegenden Regeln herausgearbeitet und
mit Symbolen formuliert. Entscheidender Bestandteil dieses Prozesses war ein

Auswahlprozeß zum Zwecke der Klassenbildung, in dem Boole davon ausging,

376

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe
daß der Mensch fähig ist, aus einer beliebigen Zusammenfassung von Objek-
ten diejenigen auszusondern, die zu einer gegebenen Klasse gehören, und sie
klar von den anderen zu unterscheiden. Die Operationen des menschlichen

Geistes erfaßte er dann mittels der Klassen als Verknüpfungen derselben,
stellte sie in Formeln dar und konstatierte auf dieser Basis die Analogie zu
den Betrachtungen der symbolischen Algebra. Neben den aus der Arithmetik
vertrauten Verknüpfungsregeln, unter denen jedoch stets das Assoziativge-
setz fehlte, fand er mit der von ihm als Indexgesetz bezeichneten Relation
x 2 = x bzw. xn = x ein völlig abweichendes Gesetz und stellte fest, daß
das von ihm abgeleitete System nur dann in der Arithmetik realisiert werden
könne, wenn alle Symbole nur die Werte Null und Eins annehmen können.

Ginge man so vor, so stimmte die Algebra der Logik strukturell völlig mit
diesem speziellen arithmetischen System überein:

Let us conceive, then, of an Algebra in which the symbols x, y, z, & c . admit

”

indifferently of the values 0 and 1 , and of these values alone. The laws, the
axioms, and the processes, of such an Algebra will be identical in their whole
extent with the laws, the axioms, and the processes of an Algebra of logic.

Difference of interpretation will alone divide them.“ [Boole 1854, S. 37f.]

Es handelte sich für Boole also nicht um eine Anwendung eines Systems
der symbolischen Algebra auf die Logik, sondern um eine eigenständige Be-
gründung der letzteren und die Herausarbeitung von deren algebraischer

Struktur. In der sich bei Gregory anbahnenden Ablösung der im Kalkül der
symbolischen Algebra durchgeführten Rechnungen von einer quantitativen

Interpretation vollzog Boole einen weiteren wichtigen Schritt und dehnte die

Anwendbarkeit auf nichtquantitative Bereiche aus. Im damaligen Mathema-
tikverständnis kann man sogar von einer Ausdehnung auf nichtmathemati-
sche Bereiche sprechen, und Boole war sich dieser Tatsache voll bewußt. Er
stellte fest, daß seine symbolische Logik nicht unter den geltenden Mathe-
matikbegriff subsumiert werden könne und rechnete die von ihm erkannten

Gesetze zu einer allgemeinen Mathematik, die der eigentlichen Mathematik
vorgelagert sei. Mit Blick auf die von Boole zum großen Teil selbst angegebene

Traditionslinie kann man in dessen allgemeinem Kalkül den Versuch sehen,
eine universelle Wissenschaftssprache im Sinne von Condillac und Marquis
de Condorcet zu entwickeln.

Für Boole hatte der strukturelle Gesichtspunkt Priorität gegenüber der In-
terpretationsproblematik. Die Gesetze für die Operationen des menschlichen

Geistes, d. h. die Verknüpfungsregeln, waren für ihn das Entscheidende. Eine

Änderung dieser Gesetze, auch wenn sie als trivial erscheint, hätte in der An-
wendung eine völlig andere Wissenschaft zur Folge und dies gelte analog für
die symbolische Algebra [Boole 1847, S. 3, 6]. Zugleich deutete sich die Er-
kenntnis an, daß die weitere Entwicklung wesentlich durch die Aufdeckung der
strukturellen Gemeinsamkeiten zwischen einzelnen Gebieten gefördert wird.

Die Ermittlung der Verknüpfungsgesetze muß für jedes Gebiet, jede Problem-
stellung unabhängig erfolgen. Erst anhand der erkannten Gesetze kann dann

7.3 Auf dem Weg zur abstrakten Algebra

377
durch Vergleich die Übereinstimmung mit den Regeln anderer Gebiete, et-
wa der Algebra, festgestellt und die Übertragbarkeit des gesamten Kalküls
konstatiert werden. Der Symbolik wies Boole dabei eine große Bedeutung zu,
da sie eine vereinheitlichende, vereinfachende und anregende Wirkung ha-
be und auf der innigen Verflechtung der Sprache mit dem Denken basiere.

Doch die Symbole bleiben nur“ Hilfsmittel, die das Ableiten eines gewissen

”

Formalismus begünstigen. Die Gesetze des Denkens hängen nicht von spe-
ziellen Interpretationen ab, und nicht jeder Zwischenschritt bei Rechnungen
in dem symbolischen Kalkül muß interpretierbar sein. Es genügt, wenn das

Endergebnis eindeutig und widerspruchsfrei interpretiert werden kann.

Mit der Publikation der Arbeit

An Investigation of the Laws of Thought,

”

...“ erreichten die Booleschen Forschungen 1854 einen gewissen Abschluß.

Sie lieferten ihm eine sichere Basis für weitere mathematische bzw. logische

Untersuchungen und harmonierten auch mit den philosophischen Auffassun-
gen seiner Zeit. Hatte er anfangs noch ganz dem Gregoryschen Standpunkt
folgend die Operationen im Stile der Operatorenforschung behandelt, traten
in den in

An Investigation ...“ abgeleiteten Verknüpfungsregeln stets nur

”

Objekte aus der gleichen Objektmenge auf, ohne daß Boole die veränderte

Sichtweise besonders erwähnte. Auf die zu diesem Zeitpunkt erzielten Fort-
schritte in der Algebra ging er nicht ein, und es bleibt offen, ob er sie für
seine Betrachtungen für relevant hielt. So ignorierte er etwa die in den Studi-
en von de Morgan und Hamilton aufgetretene, höchst sonderbare Tatsache,
daß das Produkt zweier von Null verschiedener Elemente Null sein konnte,
d. h. modern formuliert das Vorhandensein von Nullteilern. Dabei findet sich
auch in Booles Arbeit implizit ein entsprechendes Beispiel für Nullteiler, dies
wurde von ihm jedoch nicht weiter diskutiert.

Die Bedeutung des Booleschen Schaffens liegt zum einen in der Schaffung
einer Algebra der Logik und den damit verbundenen Impulsen für weitere
logische Untersuchungen, zum anderen in der Tatsache, daß er bei der Her-
ausarbeitung dieser Algebra der Logik den Ideen zur Erfassung abstrakter

Zusammenhänge in Symbolen und Kalkülen eine allgemeine breite Basis gab,
ebenso den Ideen zur Interpretation der Symbole und der in den Kalkülen ab-
geleiteten Ergebnisse. Nach der Mitte des Jahrhunderts wurde das Studium
formaler Systeme von nicht näher bestimmten abstrakten Symbolen nicht mit
der gleichen Intensität fortgesetzt, so daß man Boole oft als letzten Vertreter
der englischen algebraischen Schule bezeichnet. Auf dem erreichten Abstrak-
tionsniveau bedurfte es erst einer Verbreiterung der inhaltlichen Basis, ehe
man zu weiteren Verallgemeinerungen übergehen konnte. Dazu kamen noch
einige für England spezifische Faktoren, die eine größere Verbreitung der Ide-
en der Schule um Peacock hemmten. Es bleibt das Verdienst der englischen
algebraischen Schule, mit ihren Ansätzen zu einer abstrakten Auffassung von

Algebra und zur axiomatischen Definition algebraischer Strukturen erste ein-
fache Einsichten in diesem Prozeß erzielt und wichtige Anregungen für die
weitere Entwicklung geliefert zu haben. Bei der Einschätzung der Wirksam-

378

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe
keit dieser Schule muß die in den vorangegangenen Darlegungen aufgezeigte,
seit dem Beginn des Jahrhunderts bestehende Kontinuität der Entwicklung
beachtet werden. Zentrum der Aktivitäten war Cambridge, doch durch die
vielfältigen Beziehungen der Träger dieser Bewegung fanden die Ideen eine
größere Verbreitung, so daß einige Historiker diesbezüglich von einem Cam-
bridger Netzwerk sprechen.

7.4 Erste Definitionen abstrakter algebraischer Systeme

7.4.1 William Rowan Hamilton und die Quaternionen

Parallel zu den Bemühungen innerhalb der englischen algebraischen Schule
um die Herausarbeitung einer abstrakten Auffassung von Algebra als Grund-
lage für die Rechnungen in der Analysis und der Arithmetik entwickelte der

Ire William Rowan Hamilton eine eigenständige Begründung der Mathema-
tik. Er fußte in seinen Arbeiten wesentlich auf philosophischen Vorstellungen,
die er aus der romantischen Naturphilosophie Coleridges und den Werken

Kants gewonnen hatte. Von Sammuel Taylor Coleridge übernahm er den Be-
griff der auf gewisse (Ur)Intuitionen gegründeten Wissenschaft, der bei ihm
zur reinen Wissenschaft wurde. Während er für die Geometrie die Intuition
des Raumes akzeptierte, fand er in der reinen Zeit“ die Urintuition für einen

”

exakten Aufbau der Algebra als Wissenschaft.

Die Arbeiten Coleridges und vor allem die Bekanntschaft mit den Werken
von Immanuel Kant (1724–1804) bestärkten Hamilton in der Ausarbeitung
seiner Ideen. Wie bei verschiedenen anderen mathematischen Fragen, bei de-
nen es weniger um Berechnungen und die Anwendung spezifischer Kalküle,
sondern mehr um gewisse Grundansichten zur Behandlung der jeweiligen Pro-
bleme ging, wie etwa bei der Raumauffassung in der Geometrie, erwies sich
die Kantsche Philosophie als sehr einflußreich. Im Falle Hamiltons ist dieser

Einfluß durchweg als positiv und stimulierend anzusehen.

Als Grundbegriffe seiner Theorie definierte Hamilton die genau voneinander
zu unterscheidenden Zeitmomente als Objekte des Denkens und den Zeit-
schritt als Differenz zweier Zeitmomente. Mit Hilfe einer Folge von Zeit-
schritten konstruierte er dann die Zahlen und wies für die einzelnen Zahl-
bereiche die üblichen Relationen (Gleichheit, Größer bzw. Kleiner als) und
die Verknüpfungsregeln nach. Für die Konstruktion der reellen Zahlen mußte
er noch die Intuition der stetigen Progression der Zeit heranziehen, um die
rellen Zahlen als Kontinuum nachzuweisen. Bei der Zusammenstellung der

Eigenschaften der einzelnen Zahlbereiche hob er für die rationalen bzw. die
reellen Zahlen im wesentlichen all jene hervor, die diese beiden Bereiche als

Körper charakterisieren. Mit dem Begriff des Körpers wird dabei ein abstrak-
tes algebraisches Objekt bezeichnet, das eine endliche oder unendliche Men-
ge von Elementen umfaßt, für die zwei Verknüpfungen definiert sind. Diese

7.4 Erste Definitionen abstrakter algebraischer Systeme

379

Verknüpfungen sind innerhalb der Menge uneingeschränkt ausführbar – die

Verknüpfung zweier Elemente ergibt also stets wieder ein Element der Men-
ge – und genügen gewissen zusätzlichen Bedingungen. Hamilton bemerkte
dann, daß man problemlos zur Betrachtung von zwei Zeitmomenten überge-
hen kann, und wiederholte nun die durchgeführte Konstruktion. Über Paare
von Zeitschritten kam er zu Zahlenpaaren, übertrug die von den reellen Zah-
len bekannten Operationen und verifizierte die entsprechenden Verknüpfungs-
regeln.

Für die Multiplikation wurden jedoch zusätzliche Überlegungen notwendig:

Zwar hatte Hamilton die erste Komponente des Zahlenpaares mit den reellen

Zahlen identifiziert, eine nach der vorgenommenen Konstruktion naheliegen-
de Setzung, doch für die Multiplikation blieb die Frage offen, wie zwei Paare
der Art (0 , a) zu verknüpfen sind. Bei diesen Untersuchungen führte er ver-
mutlich zum ersten Mal die sog. Multiplikationskonstanten ein und schrieb:

(0 , a 2)(0 , b 2) = ( γ 1 a 2 b 2 , γ 2 a 2 b 2) .

Die Konstanten γ 1, γ 2 können beliebig angenommen werden, aber, so Hamil-
ton, es gibt Gründe, sie in der Form γ 1 = − 1, γ 2 = 0 zu wählen. Dies bildete
die Basis für die im vorigen Kapitel erwähnte arithmetische Begründung der
komplexen Zahlen. Später berichtete Hamilton, daß er auch andere Setzungen
für die Konstanten untersucht hatte.

Von besonderer Bedeutung an der Hamiltonschen Argumentationsweise war
die Tatsache, daß sie sich einfach verallgemeinern ließ, und Hamilton setz-
te auch 1834/35 seine Forschungen mit Studien über sog.

Triplets“ bzw.

”

später über

Sets“ fort. Erstere entsprachen Zahlen mit drei Komponenten,

”

also Zahlen, die man als Zahlentripel ( a 1 , a 2 , a 3) darstellte, letztere n-Tupeln
von Zahlen. Für diese Objekte, für die es in der Arithmetik kein Pendant
gab, versuchte er die Verknüpfungen so zu definieren, daß sie gewisse Ver-
knüpfungsregeln erfüllten. Dabei war Hamilton zunächst entsprechend seiner

Konstruktion keinerlei Beschränkungen unterworfen. Weder eine
anregen-

”

de Wissenschaft“ noch das Permanenzprinzip mußten berücksichtigt werden.

Was bei Peacock noch als Möglichkeit im Hintergrund blieb, wurde hier als
reales Problem formuliert: Zu einem System nicht näher bestimmter Objekte
wurden die Verknüpfungsregeln vorgegeben und es war zu entscheiden, ob

Verknüpfungen der Objekte existierten, die diese Regeln erfüllten. Anders
ausgedrückt: für ein abstraktes System wurde die algebraische Struktur de-
finiert und die Aufgabe war das Studium dieser Struktur, wobei zuerst die

Widerspruchsfreiheit der Definition zu beweisen war, was durch die Angabe
eines Beispiels für diese Struktur geschehen konnte.

Hamiltons Forschungen waren jedoch keineswegs eine direkte Fortsetzung der

Ideen der englischen algebraischen Schule. Er hat im Gegenteil lange Zeit in
der Grundposition die symbolische Algebra abgelehnt und betont, daß seine

Sichtweise eine völlig andere sei. Sein im gewissen Sinne konstruktiver Auf-
bau konnte nicht als Spiel mit bedeutungslosen Zeichen abgewertet werden.

380

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe

Über die Realisierung als Zeitschritte hatten die Grundelemente seiner Al-
gebra stets eine konkrete Gestalt, wiesen aber nicht die Allgemeinheit auf
wie bei den Vertretern der englischen algebraischen Schule. Doch war Hamil-
tons Ansatz allgemein genug, um verschiedene Anregungen zu integrieren,
und führte in der speziellen historischen Situation zu einem bedeutenden wie
überraschenden Ergebnis: der Entdeckung der Quaternionen. Bereits in den

30er Jahren zeigte Hamilton eine aufgeschlossenere Haltung gegenüber den

Vorstellungen der englischen algebraischen Schule und griff einige Ideen auf.

Später, nach der Entdeckung der Quaternionen, hat er den Einfluß dieser

Tradition klar anerkannt.

Es darf jedoch nicht verkannt werden, daß ein wesentlicher Impuls für die

Ausdehnung der Forschungen auf Triplets geometrischer Natur war. Aus den

Schriften Warrens lernte Hamilton die geometrische Darstellung der komple-
xen Zahlen kennen. Die dadurch hergestellte Äquivalenz zwischen den Punk-
ten der Ebene und den komplexen Zahlen wollte er nun auf den Raum und
höhere oder
hyperkomplexe“ Zahlen übertragen. Mit den Triplets und ih-

”

rer geometrischen Darstellung hoffte er ein neues Mittel zur Beschreibung
der realen dreidimensionalen Welt gefunden zu haben, von der er speziell
auch neue wirkungsvolle Möglichkeiten erwarten durfte, um physikalische

Vorgänge zu erfassen und mathematisch beschreiben zu können. Hier verein-
ten sich naturwissenschaftliche und philosophische Überlegungen und bilde-
ten einen wichtigen Antrieb für Hamiltons Forschungen. Wie hoch Hamilton
die geometrischen Aspekte schätzte, belegt die zentrale Rolle, die er der sog.

Normgleichung zuwies. Die Normgleichung: Norm des Produktes = Produkt
der Normen brachte den geometrischen Sachverhalt zum Ausdruck, daß die

Länge der Linie, die das Produkt zweier komplexer Zahlen darstellt, gleich
dem Produkt der Längen der beiden Ausgangslinien war, welche die beiden

Faktoren repräsentierten. Für zwei komplexe Zahlen a 1 + a 2 i und b 1 + b 2 i
hatte sie die Form

( a 1 b 1 − a 2 b 2)2 + ( a 2 b 1 + b 2 a 1)2 = ( a 2 + a 2)( b 2 + b 2) .

1

2

1

2

Die Normgleichung gehörte zu jenen Verknüpfungsregeln, die Hamilton als
wichtig für eine Bestimmung eines algebraischen Systems einschätzte. Mehr-
fach verwarf er die von ihm gewählte Multiplikation von Triplets, weil im
jeweiligen Fall die Normgleichung nicht erfüllt war. Für die Rechnungen mit

Triplets benutzte Hamilton die Darstellung als Linearkombination der Basis-
einheiten (1 , 0 , 0), (0 , 1 , 0) und (0 , 0 , 1), die im folgenden abweichend von der originalen Bezeichnungsweise als 1, i und j geschrieben werden, so daß ein

Triplet die Form x = a 11 + a 2 i + a 3 j hat.

Das entscheidende Problem war die Festlegung der Multiplikation zweier Tri-
plets. Analog zum Vorgehen bei den komplexen Zahlen sollte das Produkt von
zwei Einheiten wieder eine Linearkombination der Basiseinheiten sein. For-
mal algebraisch sicherte Hamilton damit, daß die Multiplikation nicht aus
der Menge der Triplets herausführte, das Produkt also wieder ein Triplet

7.4 Erste Definitionen abstrakter algebraischer Systeme

381
war. Zugleich entsprach dies den geometrischen Intentionen, denn die Tri-
plets konnten nur dann eine sinnvolle Darstellung von gerichteten Strecken
im Raum sein, wenn ihr Produkt wieder ein Objekt im Raum ergab. Er erhielt
also

( a 11 + a 2 i + a 3 j)( b 11 + b 2 i + b 3 j) =
a 1 b 11+ a 2 b 1 i· 1+ a 3 b 1 j· 1+ a 1 b 21 ·i+ a 2 b 2 i·i+ a 3 b 2 j·i+ a 1 b 31 ·j+ a 2 b 3 i·j+ a 3 b 3 j·j.

Für jedes Produkt von zwei Einheiten mußten nun eine Summe der Form
γlm, 11 + γlm, 2 i + γlm, 3 j

( l, m = 1 , 2 , 3) gesetzt und die Multiplikationskon-
stanten γlm,n bestimmt werden. Während es naheliegend war, die Einheit 1
als Identität wirken zu lassen, also 1 · i = i usw., und i 2 = j 2 = − 1 zu setzen,
blieb die Bestimmung für die Produkte i · j und j · i völlig offen. Hamilton
hat verschiedene Setzungen vorgenommen, z. B. i · j = j · i, i · j = − 1 bzw.

i · j = 0. All diese Annahmen führten nicht zum Ziel, da mindestens eine der
von ihm vorausgesetzten Verknüpfungsregeln nicht erfüllt war.

Die Rechnungen zeigten deutliche Einflüsse von Ideen der Operatorenrech-
nung. Auch die Resultate de Morgans hatte Hamilton seit dem Beginn der

40er Jahre verarbeitet. Weiterhin erwähnte er Arbeiten Cauchys und dessen
formale Auffassung einer Gleichung von imaginären Zahlen als symbolischen

Ausdruck für zwei Gleichungen zwischen reellen Größen. De Morgan hatte
diese Idee in der Gleichheitsdefinition für hyperkomplexe Zahlen in drei und
mehr Einheiten verwendet, eine Definition, die Hamilton neue Ansatzpunk-
te in seinen Studien lieferte. Schließlich könnten auch die Bekanntschaft mit

Gotthold Eisenstein im Sommer 1843, der Gedankenaustausch mit John Gra-
ves oder die Auseinandersetzung mit einer Arbeit Ohms die erneute intensive

Hinwendung zum Studium der Triplets ausgelöst haben. Diesmal hatte Ha-
milton Erfolg. Wie er selbst berichtete, kam ihm auf dem Weg zu einer Sitzung
der Royal Irish Academy am 16. Oktober 1843 der entscheidende Einfall, i · j
als neue Einheit k einzuführen und ij = −ji zu setzen, d. h. auf das Kom-
mutativgesetz zu verzichten. Die für die Multiplikation wichtigen Relationen
faßte er in den Gleichungen
i 2 = j 2 = k 2 = ijk = − 1
zusammen. Eine Quaternion schrieb er in der Form q = a · 1 + bi + cj + dk.

Über 20 Jahre später schilderte Hamilton seinem Sohn das Ereignis wie folgt:

But on the 16 th day of the same month – which happened to be a Monday,

”

and a Council day of the Royal Irish Academy – I was walking in to attend
and preside, and your mother was walking with me, along the Royal Canal,

...; and although she talked with me now and then, yet an under-current of
thought was going on in my mind, which gave at last a result, whereof it is not
too much to say that I felt at once the importance. An electric circuit seemed
to close; and a spark flashed forth, the herald (as I foresaw, immediately) of
many long years to come of definitely directed thought and work, by myself if

382

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe
spared, and at all events on the part of others, if I should even be allowed to
live long enough distinctly to communicate the discovery. Nor could I resist
the impulse – unphilosophical as it may have been – to cut with a knife on
a stone of Brougham Bridge, as we passed it, the fundamental formula with
the symbols i, j, k ; namely
i 2 = j 2 = k 2 = ijk = − 1 ,
which contain the Solution of the Problem, but of course, as an inscription,
has long since mouldered away.“ [Graves 1882, Vol. 2, S. 434f.]

Hamilton hatte damit ein neues System vierdimensionaler Größen entdeckt,
die Quaternionen. Jahrelang hatte er um eine Bestimmung der Multiplika-
tion für Triplets gerungen und dabei immer wieder an der Normgleichung
festgehalten. Angesichts des geometrischen Hintergrunds war ihm diese Glei-
chung wichtiger als die Kommutativität der Multiplikation. Wie schon bei den

Forschungen von de Morgan über dreidimensionale Größen vermerkt wurde,
existiert kein algebraisches System in drei Einheiten, das alle Voraussetzun-
gen, speziell die durch die Normgleichung bedingte Nullteilerfreiheit, erfüllt.

Die Bedeutung der Hamiltonschen Entdeckung besteht zum einem darin, er-
kannt zu haben, daß das Problem mit vierdimensionalen Größen gelöst wer-
den kann und diesen Schritt auch vollzogen zu haben, sowie zum anderen mit
den Quaternionen erstmals ein geschlossenes System hyperkomplexer Größen
geschaffen zu haben, in dem das Kommutativgesetz nicht gültig war. Damit
brach er mit einer über Jahrhunderte festverwurzelten Meinung der Mathe-
matiker. Die Kommutativität der Multiplikation aufzugeben, war ein völlig
neuer Gedanke, und dies wird oft als revolutionärer Schritt in der Geschichte
der Algebra bezeichnet. Doch nichtkommutative Verknüpfungen waren be-
reits früher von anderen Mathematikern studiert worden, es sei an Boole erin-
nert, und auch Eisenstein könnte Hamilton darüber in Verbindung mit seinen

Studien über Formen dritten Grades und die Hintereinanderausführung von

(Matrizen-) Substitutionen berichtet haben. Der entscheidende Unterschied
war die Entdeckung der Quaternionen als geschlossenes System nichtkommu-
tativer Größen und die Ähnlichkeit dieser Größen mit Zahlen. Mit den Qua-
ternionen erhielten die abstrakten Auffassungen der englischen algebraischen

Schule eine erste konkrete Realisierung. Dabei hatte Hamilton nicht einen
bekannten Zahlbereich untersucht und die Eigenschaften der Quaternionen
aus einer Fülle von Relationen extrahiert, sondern er hatte mit den Ver-
knüpfungsregeln implizit die Struktur des neuen Größensystems vorgegeben
und dann nach möglichen Realisierungen gesucht. Wichtige Orientierungen
lieferte ihm, wie seinen Vorgängern und Zeitgenossen, die Arithmetik. Die zu
den Quaternionen führenden Forschungen verdeutlichen, wie er Kommutativ-
und Distributivgesetz sowie die Normgleichung und Assoziativität als wich-
tige Verknüpfungsregeln erkannte, wobei er erstmals den Begriff assoziativ
zur Kennzeichnung der entsprechenden Eigenschaft verwendete. Ergänzend
sei darauf hingewiesen, daß sich De Morgan in seinen Studien zu hyperkom-
plexen Zahlen stärker an die gew¨
ohnlichen symbolischen Regeln“ gebunden

”

7.4 Erste Definitionen abstrakter algebraischer Systeme

383

Abb. 7.4.1. Titelblatt Lectures on Quaternions“ von W. R. Hamilton 1853

”

384

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe
fühlte und nur eine Änderung der Normdefinition in Erwägung zog, der Asso-
ziativität aber eine geringere Bedeutung zuwies. Dies unterstreicht nochmals,
wie neuartig das Hamiltonsche Vorgehen war. Es ist historisch interessant,
daß die zentralen Aussagen, die Hamilton beim Studium der Triplets jahre-
lang beschäftigten, in zahlentheoretischen Arbeiten bereits formuliert waren.

So bewies A.-M. Legendre in der Th´
eorie des nombres“ 1830 mit einem Ge-

”

genbeispiel, daß die Identität ( a 2 + b 2 + c 2)( x 2 + y 2 + z 2) = ( u 2 + v 2 + w 2) mit u, v, w Bilinearformen in a, b, c, x, y und z nicht allgemein gilt, also die Normgleichung für Triplets nicht allgemein erfüllt ist. Die entsprechende Normgleichung für die Quaternionen findet sich bereits 1748 als Relation
für die Summe von vier Quadraten in einem Brief von Euler an Goldbach.

Schließlich fand man im Nachlaß von Gauß ein auf das Jahr 1819 datiertes

Manuskript über Mutationen des Raumes“, das u. a. die Multiplikationsre-

”

geln für die Quaternionen – Gauß betrachtete sog. Scalen – enthielt.

Neben den Quaternionen ist Hamilton noch für mehrere weitere Entdeckun-
gen bekannt. Dabei war der als Sohn eines Anwalts in Dublin geborene Ha-
milton als Kind vor allem durch seine ungewöhnliche Sprachbegabung aufge-
fallen. Als Fünfjähriger beherrschte er neben Englich und Französisch bereits
ausgezeichnet Latein, Griechisch und Hebräisch. Erst ab 1820, also als 15-
jähriger, beschäftigte er sich intensiver mit Astronomie und wenig später mit

Mathematik. Noch als Schüler begann er Mitte der 20er Jahre mit Untersu-
chungen zur geometrischen Optik und legte 1824 eine erste Arbeit der Iri-
schen Akademie vor. Teilweise in Unkenntnis der Arbeiten seiner Vorgänger
und Zeitgenossen leitete er einige Resultate her und entdeckte eine
bemer-

”

kenswerte Analogie“ zwischen der geometrischen Optik und dem Variations-
prinzip der kleinsten Wirkung. Auf dieser Basis gab er dann eine Begründung
der geometrischen Optik mit der von ihm entwickelten Methode der charak-
teristischen Funktion und formulierte grundlegende Einsichten in der Theo-
rie der Abbildungsfehler. Spektakulär war 1832 die theoretische Voraussage
der konischen Refraktion der optisch zweiachsigen Kristalle durch Hamilton
und der experimentelle Nachweis dieser Erscheinung durch Humphrey Lloyd
zwei Monate später. Bereits 1827 war Hamilton, ohne sein Studium in sei-
ner Geburtsstadt Dublin abgeschlossen zu haben, zum Royal Astronomer
am Dunsick Observatorium und Professor der Astronomie am Trinity Col-
lege Dublin berufen worden. Die Stellung am Observatorium gab ihm die

Möglichkeit, sich seinen mathematischen und literarischen Interessen zu wid-
men, als praktischer Astronom trat er jedoch nicht in Erscheinung. Eine sehr
detailreiche Beschreibung der Persönlichkeit Hamiltons und seiner wissen-
schaftlichen Leistung hat Hankins gegeben [Hankins 1980]. Mitte der 30er

Jahre wandte Hamilton dann seine Methode der charakteristischen Funktion
in der Mechanik an und kam zur Beschreibung eines Systems von Masse-
punkten durch die später nach ihm benannte Funktion und die Differen-
tialgleichungen. Die Hamiltonsche Methode war sehr elegant, konnte in der
praktischen Anwendbarkeit aber nicht mit dem von Lagrange geschaffenen

Formalismus konkurrieren. Im 20. Jahrhundert kam sie zu neuen Ehren, da

7.4 Erste Definitionen abstrakter algebraischer Systeme

385

Abb. 7.4.2. Trinity College in Dublin/Irland

[Foto Alten]

sie die Brücke zwischen klassischer Mechanik und Quantenmechanik schlug:

Ersetzt man die Größen der Mechanik durch entsprechende Operatoren der

Quantenmechanik, so erhält man die Bewegungsgesetze der Quantenmecha-
nik. Von all den Entdeckungen haben jedoch die Quaternionen Hamiltons
weitere Forschungen am stärksten beeinflußt.

Trotz einer anfänglichen Reserviertheit und Kritik gegenüber der Nichtkom-
mutativität wurden die Quaternionen relativ rasch anerkannt. Hamilton wid-
mete sich einerseits dem intensiven Studium der neuen Größen und versuchte
andererseits seine Konstruktion auf weitere höhere komplexe Zahlen, sog. n-
sets, auszudehnen. Letzteres stellte erste Überlegungen zu n-dimensionalen

Systemen hyperkomplexer Zahlen dar. Aus den Verknüpfungsregeln leitete

Hamilton die Bedingungsgleichungen für die Multiplikationskonstanten ab,
brach aber die Untersuchungen nach der Angabe der sich aus der Asso-
ziativität ergebenden n 4 Bestimmungsgleichungen mit dem Hinweis auf die

Schwierigkeiten bei der Lösung dieser Gleichungen ab. Die Untersuchung der

Quaternionen sollte aber fortan Hamiltons Hauptbeschäftigung werden. Er
hat sich sehr um die Anwendung der Quaternionen bemüht. In den ersten
vier Jahren nach der Entdeckung der neuen Größen publizierte er über 20

Arbeiten, in denen er mit Hilfe der Quaternionen Probleme der Mechanik,

Astronomie und Geometrie löste. Weitere Anwendungen sah er in der Elek-
trizitätslehre, der Wärmelehre und der sphärischen Trigonometrie. In den fol-

386

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe
genden Jahren haben Hamilton und die Anhänger der Quaternionentheorie
die ursprüngliche, auch philosophisch motivierte Zielstellung, eine Methode
zur Beschreibung der realen dreidimensionalen Welt zu schaffen, verabso-
lutiert. Mit dem Versuch, die Quaternionentheorie als universell einsetzbare
mathematische Methode zu etablieren, stießen sie jedoch zunehmend auf Kri-
tik und versperrten sich den Zugang zu aktuellen Forschungen.

Dabei hatte Hamilton selbst mit der Einführung des Vektorbegriffs das Tor
zu neuen Entwicklungen aufgestoßen. 1846 publizierte er seine Deutung einer

Quaternion als eine aus einem reellen Teil (Skalar) und einem Vektor zusam-
mengesetzte Größe in der Form q = w + xi+ yj + zk = Sq + V q mit Sq = w als Skalar und V q = xi + yj + zk als Vektor. Der Vektorteil repräsentierte eine

Richtung im Raum und Hamilton versuchte, diese Deutung für seine Ziele
zu nutzen, sowie eine geometrische Interpretation für eine vollständige Qua-
ternion herzuleiten. In diesem Kontext schuf er erste wichtige Beiträge zur

Vektorrechnung und Vektoranalysis, ohne jedoch die Bedeutung dieser Ent-
wicklung zu erkennen. So traten u. a. Produktbildungen auf, die dem Skalar-
bzw. dem Vektorprodukt äquivalent waren, und auch die als Nabla-Operator
bekannte Bildung wurde eingeführt. 1885 hat dann Cayley eine Interpreta-
tion der Quaternionenmultiplikation als Rotation (Drehstreckung) im Raum
angegeben. Neben den geometrischen Interpretationen hat die intensive Aus-
arbeitung der Quaternionentheorie die Anerkennung der neuen Größen sehr
unterstützt. 1853 veröffentlichte Hamilton seine 1848 gehaltenen Vorlesun-
gen unter dem Titel

Lectures on Quaternions“, eine mehr als 800 Seiten

”

umfassende ausführliche Darstellung der Theorie. Nach einer
metaphysi-

”

schen“ Begründung seines Konzeptes der Algebra sowie der Konstruktion
der Quaternionen innerhalb desselben führte er eine umfassende neue Ter-
minologie ein, beschrieb genau die Rechenoperationen mit Quaternionen und
behandelte zahlreiche Anwendungen. Trotz des Umfanges war das Buch kei-
neswegs leicht verständlich und forderte vom Leser ein beträchtliches Maß
an Ausdauer und Enthusiasmus. Im Artikel 669 des Buches demonstrierte

Hamilton nochmals die Möglichkeiten seines Konzepts und definierte die Bi-
quaternionen in der Form q = q 1 + iq 2, mit reellen Quaternionen q 1, q 2 und
der imaginären Einheit i. Die Biquaternionen entsprachen also Quaternionen,
in denen statt der reellen Zahlen komplexe Zahlen als Koeffizienten gewählt
wurden. Die Biquaternionen stellten ein weiteres neues Größensystem dar,
doch hat Hamilton die Eigenschaften dieser Zahlen nicht weiter verfolgt. Bei
der Definition der algebraischen Operationen bemerkte er nämlich, daß das

Produkt zweier Biquaternionen verschwinden konnte, obwohl beide Fakto-
ren von Null verschieden waren, d. h. er war auf die Existenz von Nullteilern
gestoßen. Dieser Fakt stellte einen zu großen Makel dar, als daß Hamilton
die weitere Analyse dieses System für sinnvoll erachtete. Er prägte jedoch
noch für derartige Biquaternionen den Begriff nullifier“ und faßte sie in der

”

nullific class“ zusammen. Der Abbruch der Untersuchungen verdeutlicht zu-

”

gleich, wie eng auch bei Hamilton noch die Bindungen an die Arithmetik und
die dort üblichen Verknüpfungsregeln waren.

7.4 Erste Definitionen abstrakter algebraischer Systeme

387

7.4.2 Arthur Cayley – Oktonionen und die erste Definition des
abstrakten Gruppenbegriffs

Der mit den Quaternionen eröffnete Weg wurde konsequent beschritten und
sehr rasch trugen die neuen Ideen erste Früchte. Im Dezember 1843, nur
wenige Wochen nach der Entdeckung der Quaternionen teilte John Graves,
mit dem Hamilton intensiv über die Probleme bei der Untersuchung der

Triplets korrespondiert hatte, die Entdeckung eines neuen Größensystems mit
acht Basiseinheiten mit. Er bezeichnete die Basiseinheiten mit 1, i, j, k, l, m,
n, o und nannte die daraus gebildeten Größen Oktaven. Die Multiplikation
der Oktaven definierte er durch folgende Gleichungen für die Basiselemente:

i 2 = j 2 = k 2 = l 2 = m 2 = n 2 = o 2 = − 1 ,
ijk = − 1, m = il = −li, n = jl = −lj, o = kl = −lk.

Das System der Oktaven war distributiv und erfüllte auch die Normgleichung,
doch die Multiplikation war weder kommutativ noch assoziativ. Die Algebra
der Oktaven wich also noch stärker von den in der Arithmetik üblichen Ver-
knüpfungsregeln ab als die Quaternionen. Hamilton versäumte es jedoch, die

Entdeckung seines Briefpartners in der Irischen Akademie der Wissenschaf-
ten bekannt zu machen. So konnte Arthur Cayley, angeregt durch Hamiltons

Quaternionen, die Oktaven 1845 wiederentdecken und unter der Bezeichnung

Oktonionen publizieren. Obwohl Hamilton die Priorität von Graves klarstell-
te, wurden diese hyperkomplexen Größen als Oktonionen oder Cayley-Zahlen
bekannt. Cayley hat in seinen Schriften zugleich das grundlegend Neue in der

Definition der Quaternionen und Oktonionen klar hervorgehoben.

Hence in the octuple system in question neither the commutative nor dis-

”

tributive law holdes, which is a still wider departure from the laws of ordina-
ry algebra than that which is presented by Sir W. Hamilton’s quaternions.“

[Cayley 1889, Vol. 1, S. 301] ( Distributive law“ ist offenbar ein Schreibfehler

”

Cayleys, er hatte zuvor die Oktonionen als nicht assoziativ nachgewiesen.)

Mit Cayley betritt hier ein Mann die Bühne der Algebra, der in den folgenden

Jahrzehnten wiederholt mit wichtigen Ideen zu ganz unterschiedlichen alge-
braischen Fragestellungen in Erscheinung treten sollte. Cayley hatte als Sohn
eines Kaufmanns seine frühe Kindheit in St. Petersburg verbracht und nach
dem Schulbesuch in London ab 1840 an der Universität Cambridge studiert.

Bereits 1842 schloß er dank seiner außergewöhnlichen mathematischen Be-
gabung das Studium ab und erhielt eine Lehrerstelle am Trinity College der

Universität Cambridge. Gerade 21jährig, sollte er damit der jüngste Absol-
vent sein, der während des gesamten 19. Jahrhunderts an der Universität eine

Lehrerstelle erhielt. Da sich ihm jedoch in den nächsten Jahren keine Auf-
stiegschance bot, absolvierte er 1845–49 ein Jurastudium und arbeitete dann

14 Jahre am Gericht. Während dieser Zeit war Cayley weiterhin mathema-
tisch sehr aktiv, publizierte nahezu 300 Arbeiten und lernte mit dem ebenfalls
am Gericht tätigen James Joseph Sylvester einen Mathematiker kennen, der
in der gleichen Lage war wie er selbst. Zwischen beiden Gelehrten entwickel-
te sich ein enger persönlicher Kontakt und eine fruchtbare wissenschaftliche

388

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe

Zusammenarbeit. 1863 erhielt Cayley dann die neu geschaffene Professur für
reine Mathematik in Cambridge. Neben den algebraischen Überlegungen bil-
deten Untersuchungen zur Geometrie einen Schwerpunkt der Cayleyschen

Interessen. Durch die Verbindung dieser beiden Forschungsgebiete wurde er
zu einem bedeutenden Vertreter der algebraischen Geometrie, in der meh-
rere Begriffe mit seinem Namen verknüpft sind. Neben den Untersuchungen
zu Kurven und Flächen mit dem Cayleyschen Schnittpunktsatz und der Be-
handlung von Singularitäten seien hier nur seine Idee einer n-dimensionalen

Geometrie und die nach ihm benannte projektive Maßbestimmung genannt.

Letztere erlaubte eine Einordnung der metrischen Geometrie in die projek-
tive. Weitere wichtige Arbeiten Cayleys waren der Analysis, insbesondere
elliptischen Funktionen und Differentialgleichungen, der Mechanik und der

Astronomie gewidmet. Doch zurück zu den Oktonionen.

Ausgehend von den Oktonionen suchte Cayley dann nach weiteren Verall-
gemeinerungen und knüpfte Verbindungen zu anderen Gebieten der Mathe-
matik. So hob er hervor, daß die Oktonionen die Normgleichung erfüllen,
und verknüpfte dies mit dem zahlentheoretischen Problem festzustellen, für
welche natürliche Zahlen n eine Identität der Form

( x 21 + x 22 + ... + x 2 n)( y 21 + y 22 + ... + y 2 n) = ( z 21 + z 22 + ... + z 2 n) besteht, wobei x 1, ... , xn, y 1, ... , yn reelle Zahlen und die z 1, ... , zn lineare Funktionen der xi und yi sind. Die Oktonionen verdeutlichten auch die einschränkende Wirkung der Normgleichung, wollte man diese Verknüpfungsre-
gel aufrecht erhalten, mußten andere wichtige Eigenschaften, hier die Asso-
ziativität, aufgegeben werden. Die Frage nach den möglichen Algebren, die
die Normgleichung erfüllen, eröffnete eine neue Forschungsrichtung für das

Studium hyperkomplexer Systeme, sie mündete später in die Theorie der

Kompositionsalgebren ein. Sowohl Graves als auch Cayley haben sich mit
dieser Frage beschäftigt. Graves versuchte eine Algebra mit 16 Einheiten zu
konstruieren, die der Normgleichung genügen sollte, und Cayley suchte ein

Zahlensystem, das die obige Relation für 2 n Quadrate erfüllte. Beide blieben
erfolglos. Sie mußten es sein, denn wie Adolf Hurwitz 1898 bewies, existiert die
obige Relation für die Quadrate nur für n = 1, 2, 4 und 8. Cayley formulierte
in seinen diesbezüglichen Forschungen 1852 zwei Bedingungen, die für das

Erfülltsein der Relation hinreichend sind. Später, 1881, ermittelte er alle Ok-
tonionensysteme, die die Normgleichung erfüllen. An Cayleys Studien knüpfte
dann wieder Thomas Kirkman an und zeigte, daß für 15 imaginäre Einheiten
nicht beide von Cayley aufgestellten Bedingungen gleichzeitig erfüllt werden
können. Außerdem stellte er mit den Pluquaternionen ein weiteres nicht as-
soziatives hyperkomplexes System auf, das jedoch nichts grundsätzlich Neues
bot.

Cayley hat mit seinen Studien jedoch nicht nur die Theorie der hyperkom-
plexen Systeme vorangebracht, sondern auch andere Bereiche der Algebra
sehr bereichert. Er übertrug als erster die Ideen der englischen algebraischen

Schule auf Systeme mit nur einer Verknüpfung. Dies brachte zwar hinsichtlich

7.4 Erste Definitionen abstrakter algebraischer Systeme

389

Abb. 7.4.3. King’s College in Cambridge

[Foto Alten]

390

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe
der Abstraktionen keine neuen Akzente, aber er stellte erstmals die Bezie-
hung zu anderen algebraischen Forschungen her und lotete die allgemeinen

Vorstellungen dahingehend weiter aus, indem er deren Anwendbarkeit auf

Systeme mit einer Verknüpfung verdeutlichte. Die Bekanntschaft mit den

Ideen der englischen algebraischen Schule erfolgte vorrangig durch Cayleys
enge Kontakte zu Boole. Nachdem Cayley Cauchys Theorie der Permutati-
onsgruppen studiert hatte, entwickelte er 1854 in der Arbeit On the Theory

”

of Groups, as Depending on the Symbolic Equation θn = 1“ eine abstrakte

Auffassung des Gruppenbegriffs, wobei er sich direkt auf Galois und die Glei-
chungstheorie bezog. Er hatte erkannt, daß der Gruppenbegriff, der bisher
nur als Permutationsgruppe vorlag, entsprechend der abstrakten Vorstellun-
gen verallgemeinert werden kann. Ganz im Sinne der Operatorenrechnung
und der Umsetzung dieser Vorstellungen bei Gregory und dem jungen Boole
betrachtete Cayley eine Menge von Operationen auf einem nicht näher be-
stimmten Größensystem, wobei er als konkretes Beispiel auf die Theorie der

Permutationen verwies. Für diese Operationen definierte er die Gleichheit, die

Summe und Differenz zweier Operationen sowie die zusammengesetzte Ope-
ration, d. h. die Hintereinanderausführung, und wies für diese Verknüpfungen
die üblichen Regeln nach. Für die zusammengesetzte Operation, d. h. die Mul-
tiplikation, stellte er die Abhängigkeit von der Reihenfolge der Operationen,
also die Nichtkommutativität, fest und zeigte die Assoziativität. Außerdem
erklärte er die Operation 1 als Identität, während er für Gleichungen der

Art θ ± Φ = 0 keine besondere Erläuterung als nötig erachtete. Nach die-
sen allgemeinen einführenden Überlegungen über die Verknüpfung abstrakter

Symbole ging Cayley zur Definition der Gruppe über:

A set of symbols 1 , α, β, ... all of them different, and such that the product

”

of any two of them (no matter in what order), or the product of any one of
them into itself, belongs to the set, is said to be a group. It follows that if
the entire group is multiplied by any one of the symbols, either as further or
nearer factor, the effect is simply to reproduce the group, or what is the same
thing, that if the symbols of the group are multiplied together so as to form a
table, thus:

Further factors

1
α
β
r
s

1

1
α
β

...

re
α
α
α 2
βα
a
or

Ne
fact
β
β
αβ
β 2

...

that as well each line as each column of the square will contain all the symbols

1 , α, β, ... . It also follows that the product of any number of the symbols, with
or without repetitions, and in any order whatever, is a symbol of the group.“

[Cayley 1889, Vol. 2, S. 124] ( Further“ bzw. nearer factor“ bezeichnet die

”

”

Multiplikation von links bzw. von rechts.)

7.5 Zahlentheoretische Einflüsse auf die Entwicklung der Algebra

391

Die nachfolgende Diskussion von Spezialfällen der symbolischen Gleichung
θn = 1 belegte, daß Cayley die Gruppeneigenschaft als gemeinsames struktu-
relles Element in sehr verschiedenen Bildungen und Kalkülen erkannt hatte.

Für n = 4 leitete er zwei unterschiedliche Typen von Gruppen ab und nann-
te für die von der Gruppe der vierten Einheitswurzeln abweichende Struktur

Beispiele aus der Theorie der elliptischen Funktionen, der Theorie der qua-
dratischen Formen und der Matrizenrechnung. Für n = 6 bildete die Per-
mutationsgruppe für drei Elemente ein Beispiel für einen Typ der erhaltenen

Gruppenstruktur. Schließlich hob er hervor, daß auch Systeme von hyper-
komplexen Zahlen wie die Quaternionen hinsichtlich der Multiplikation die

Gruppendefinition erfüllen.

Trotz der verschiedenen Beispiele war Cayleys Definition des abstrakten

Gruppenbegriffs historisch verfrüht. Es fehlte sowohl die Anerkennung für
derartige formale Untersuchungen, als auch das nötige konkrete Material
in den einzelnen Teilgebieten der Mathematik, das durch seine Reichhaltig-
keit einen solchen Abstraktionsschritt nahegelegt hätte. Die Gruppenstruktur
wurde zu diesem Zeitpunkt nur als Permutationsgruppe analysiert, so daß
keine Notwendigkeit zu einer allgemeineren vereinheitlichenden Fassung des

Begriffs vorlag. Der Cayleysche Gruppenbegriff hatte deshalb zunächst kei-
nen Einfluß auf die weitere Entwicklung der Algebra. Umso fruchtbarer war
dann das erneute Aufgreifen dieser Problematik durch Cayley am Ende der

70er Jahre, als sich die Bedeutung des Gruppenbegriffs in mehreren Gebieten
der Mathematik deutlich abzeichnete.

7.5 Zahlentheoretische Einfl¨
usse auf die Entwicklung
der Algebra

Schon mehrfach ist die anregende Wirkung der Zahlentheorie in den vor-
angegangenen Kapiteln hervorgetreten und deutlich geworden, daß wichtige

Fortschritte in der Algebra in dem Bemühen um die Lösung zahlentheore-
tischer Probleme entstanden. Man denke nur an die Lösung Diophantischer

Gleichungen, die Darstellung von Zahlen durch Formen oder die Teilbar-
keitslehre. Im folgenden sollen weitere interessante Beispiele des Einflusses
der Zahlentheorie auf die Entwicklung der Algebra vorgestellt werden.

7.5.1 Gaußsche ganze Zahlen und Reziprozit¨
atsgesetze

Im vorigen Kapitel haben wir u. a. die reiche algebraische Gedankenwelt
der Gaußschen Disquisitiones arithmeticae“ kennengelernt. Ein Thema war

”

dabei die Teilbarkeitslehre bis hin zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.

Bereits in den frühen Arbeiten befand sich eine Reihe von Ideen, deren wei-
terer Ausbau zur Theorie der algebraischen Zahlen geführt hätte. Gauß hat
dies in der für ihn typischen Art weiter verfolgt, ohne es publik zu machen.

392

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe

Erst als er seine Studien zur Verallgemeinerung der Teilbarkeit auf höhere

Kongruenzen publizierte, eröffnete er zugleich den Zugang zur algebraischen

Zahlentheorie und zu den ganzen algebraischen Zahlen. Hatte früher die Kon-
gruenz x 2 ≡ q ( mod p) im Mittelpunkt des Interesses gestanden, so waren es
jetzt die Relationen x 4 ≡ q (mod p) und x 3 ≡ q (mod p), wobei p eine ungerade Primzahl und q eine zu p teilerfremde Zahl ist. Für beide Kongruenzen
suchte Gauß nach Regeln, die dem quadratischen Reziprozitätsgesetz analog
waren und war in beiden Fällen erfolgreich. Das kubische Reziprozitätsgesetz
fand man jedoch erst in seinem Nachlaß. Zum biquadratischen Reziprozitäts-
gesetz veröffentlichte er 1828 und 1832 zwei umfassende Studien. Die Basis
bildeten die Untersuchungen zum quadratischen Reziprozitätsgesetz, und bei
der Ankündigung eines weiteren Beweises für dieses Theorem gab er 1817
einen der seltenen Einblicke in den schwierigen Schaffensprozeß:

Seit dem Jahre 1805 hatte er (der Verfasser) nemlich angefangen, sich

”

mit den Theorien der cubischen und biquadratischen Reste zu besch¨
aftigen,
welche noch weit reichhaltiger und interessanter sind, als die Theorie der
quadratischen Reste. Es zeigten sich bei jenen Untersuchungen dieselben Er-
scheinungen wie bei der letztern, nur gleichsam mit vergr¨
ossertem Masssta-
be. Durch Induction, ..., fanden sich sogleich eine Anzahl h¨
ochst einfacher

Theoreme, die jene Theorien ganz ersch¨
opften, mit den f¨
ur die quadratischen

Reste geltenden Lehrs¨
atzen eine ¨
uberraschende Aehnlichkeit haben, und na-
mentlich auch zu dem Fundamentaltheorem das Gegenst¨
uck darbieten. Allein
die Schwierigkeiten, f¨
ur jene Lehrs¨
atze ganz befriedigende Beweise zu finden,
zeigten sich hier noch viel gr¨
osser, und erst nach vielen, eine ziemliche Reihe
von Jahren hindurch fortgesetzten Versuchen ist es dem Verfasser endlich
gelungen, sein Ziel zu erreichen. Die grosse Analogie der Lehrs¨
atze selbst,
bei den quadratischen und bei den h¨
ohern Resten, liess vermuthen, daß es
auch analoge Beweise f¨
ur jene und diese geben m¨
usse; allein die zuerst f¨
ur
die quadratischen Reste gefundenen Beweisarten vertrugen gar keine Anwen-
dung auf die h¨
oheren Reste, und gerade dieser Umstand war der Beweggrund,
f¨
ur jene immer noch andere neue Beweise aufzusuchen.“ [Gauß 1870, Bd. 2,

S. 161]

Gauß bemerkte an anderer Stelle, daß für die allgemeine Theorie eine Erwei-
terung des Feldes der höheren Arithmetik nötig sei. Er begann diese Erwei-
terung mit der Betrachtung der sog. ganzen Gaußschen Zahlen a + bi; a, b
bezeichnen ganze Zahlen, i die imaginäre Einheit, d. h. eine Wurzel der Glei-
chung x 2 +1 = 0. Für diese Zahlen definierte er die Addition, Subtraktion und

Multiplikation, zeigte, daß diese Operationen nicht aus dem Bereich dieser

Zahlen herausführten und baute eine zur gewöhnlichen Arithmetik analoge

Theorie auf. Er bestimmte die vier Einheiten für den neuen Zahlbereich, wo-
bei eine Einheit eine Zahl z des Zahlbereiches ist, für die eine Zahl z in dem

Bereich existiert mit zz = 1, d. h. für die es ein Inverses in dem Bereich gibt.

Für Zahlen, die sich nur um Einheiten als Faktor unterschieden, führte er den

Begriff der assoziierten Zahlen ein und ordnete jeder Zahl z = a+ bi eine Norm

7.5 Zahlentheoretische Einflüsse auf die Entwicklung der Algebra

393

N ( z) = ( a + bi)( a − bi) = a 2 + b 2 zu. Die Norm erfüllte die Normgleichung, d. h. N ( z 1 z 2) = N ( z 1) N ( z 2). Die Einheiten waren dann genau die Zahlen mit der Norm 1. Schließlich nannte Gauß eine Zahl zusammengesetzt, wenn sie
als Produkt von zwei nicht trivialen (d. h. von den Einheiten verschiedenen)

Faktoren ausgedrückt werden konnte.

Der entgegengesetzte Fall charakterisierte genau die Primzahlen. Die Frage
war nun, ob man mit den Primzahlen in dem neuen Bereich die gleichen

Eigenschaften verbinden konnte, wie in der Arithmetik der ganzrationalen

Zahlen, ob insbesondere der zentrale Satz von der eindeutigen Primzahlzer-
legung weiterhin gültig war. Es zeigte sich sehr schnell, daß eine Reihe von

Primzahlen jetzt zerlegbar waren, etwa 5 = (1 + 2 i)(1 − 2 i), während an-
dere, etwa 3, die Primzahleigenschaft behielten. Gauß charakterisierte dann
alle Primzahlen im Bereich der ganzen komplexen Zahlen und bewies, daß
auch für diese Zahlen der Satz von der eindeutigen Zerlegung in Primzahlen
gilt. Nach der schon früher erwähnten geometrischen Darstellung der kom-
plexen Zahlen als Punkte in der Ebene (vgl. Abschn. 6.2), der arithmetischen

Operationen mit ihnen und der ganzen komplexen Zahlen als Gitterpunkte
entwickelte Gauß die zu den gewöhnlichen ganzen Zahlen analoge Arithme-
tik weiter. Mit diesem Vorgehen verdeutlichte er, daß diese neuen Zahlen
tatsächlich als Objekte der Arithmetik angesehen werden können, d. h. sich
wie
gew¨
ohnliche“ ganze Zahlen verhalten, und sich auf diesem Wege neue

”

Resultate in der Arithmetik der ganzen Zahlen erzielen lassen.

Am Ende der Darlegungen zur Theorie der ganzen komplexen Zahlen for-
mulierte Gauß das biquadratische Reziprozitätsgesetz. Den angekündigten
dritten Teil der Abhandlung mit dem Beweis dieses Satzes hat er nie fertig-
gestellt. In seinem Nachlaß fand sich lediglich eine Beweisskizze dazu. Gauß
hatte sich in der Arbeit zu den biquadratischen Resten auch zu anderen

Reziprozitätsgesetzen geäußert. Er vermerkte, daß für das kubische Rezipro-
zitätsgesetz ganze Zahlen der Form a + bρ (mit a, b ganze Zahlen und ρ
eine nichttriviale dritte Einheitswurzel) zu analysieren sind, und in ähnlicher

Weise Reste höherer Ordnung mit Hilfe anderer imaginärer Größen studiert
werden können. Dies gehört, wie er mehrfach bei verschiedenen Gelegenhei-
ten betonte, zu den schwierigsten Gegenständen der höheren Arithmetik. Es
liegt nahe, in dieser höheren Arithmetik eine Theorie der algebraischen Zah-
len zu sehen, doch Gauß hat keine konkreten Hinweise gegeben, wie weit
seine Überlegungen für eine solche allgemeine Theorie gediehen waren. Die
von ihm vorgenommenen Untersuchungen blieben stets an konkreten Bei-
spielen orientiert. Er lotete diese Fälle mit der ihm eigenen Gründlichkeit
sehr genau aus und wies auch auf mögliche Verallgemeinerungen hin. Diese

Abstraktionen vorzunehmen und weiterzuverfolgen, dürfte ihm jedoch ange-
sichts der großen Probleme bei der Bewältigung der Beweise für das kubische
bzw. biquadratische Reziprozitätsgesetz als äußerst problematisch erschienen
sein.

394

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe

Die Wirkung der Gaußschen Arbeiten war beträchtlich. Johann Peter Gu-
stav Lejeune Dirichlet und Carl Gustav Jacob Jacobi waren bereits von der

Ankündigung des ersten Teils der Gaußschen Arbeit förmlich fasziniert und
begannen die Gaußschen Ideen aufzugreifen und fortzusetzen. Für Dirichlet
fiel dies fast zusammen mit dem Beginn seiner erfolgreichen Tätigkeit an
der Berliner Universität im Jahre 1829. Zuvor hatte sich der in Düren bei

Aachen geborene Sohn eines Postkommissars von 1822–26 bei den bedeu-
tenden französischen Mathematikern in Paris ausgezeichnete mathematische

Kenntnisse angeeignet. In seinen Forschungen und Vorlesungen setzte er die

Ideen von Gauß fort und erschloß seinen Zeitgenossen zugleich die Ergebnis-
se der französischen Mathematik, speziell zur Analysis und mathematischen

Physik, wobei er zu deren Fortentwicklung wesentlich beitrug.

Mit der Aufnahme von Problemen der aktuellen Forschung in die Vorlesungen
gehörte Dirichlet zu jenen Gelehrten, die eine neue Etappe in der mathema-
tischen Lehre in Deutschland einleiteten. Man vergleiche die Würdigung von

Dirichlets Schaffen einschließlich seiner Vorlesungstätigkeit durch Minkowski

[Minkowski 1911, Bd. 2, S. 447-461]. Die Zahlentheorie war stets eines der
bevorzugten Arbeitsgebiete von Dirichlet.

Im September 1832 stellte er erste Ergebnisse seiner Forschungen vor. Auch
er nannte als Ziel seiner Arbeit den Nachweis eines Reziprozitätsgesetzes.

Zunächst hob er das Aufdecken der Analogie zwischen der Arithmetik der
ganzen Zahlen und der der ganzen komplexen Zahlen als das zentrale Ergebnis
der Gaußschen Arbeiten hervor und führte analoge Studien durch. Dabei
schlug er in einer Fußnote eine weitere Verallgemeinerung der Gaußschen

Ideen vor:

√

On peut, au lieu des expressions de la form t + u − 1 , considérer celles

”

√
de la forme plus g´
en´
erale t + u a , a ´
etant sans diviseur carr´
e.“ [Dirichlet

1832, S. 379]

Diese Zahlen lassen sich vom gleichen Standpunkt analysieren wie die ganzen
komplexen Zahlen und man darf Resultate erwarten, die den für die ganzen
komplexen Zahlen abgeleiteten Sätzen analog sind. Doch Dirichlet hat diese

Verallgemeinerung nicht weiter verfolgt, so daß es unklar blieb, ob er hiermit
wirklich ausdrücken wollte, daß die Arithmetik der ganzen Zahlen in allen
quadratischen Zahlkörpern ähnlich zu der der ganzen komplexen Zahlen sei,
und damit weitgehend mit der Arithmetik der gewöhnlichen ganzen Zahlen
übereinstimmte. In dieser wie in späteren Arbeiten beschränkte er sich auf
die ganzen komplexen Zahlen und bemühte sich um eine umfassende Über-
tragung der arithmetischen Resultate. So bewies er als Hauptergebnis dieser

Arbeit das quadratische Reziprozitätsgesetz für die ganzen komplexen Zahlen
sowie später die Existenz von unendlich vielen komplexen Primzahlen in einer
arithmetischen Folge {an + b} mit teilerfremden komplexen Zahlen a und b,
formulierte den Euklidischen Algorithmus und leitete unter Anwendung des-

7.5 Zahlentheoretische Einflüsse auf die Entwicklung der Algebra

395
selben einige Teilbarkeitsaussagen ab, die dann gestatteten, die Eindeutigkeit
der Zerlegung einer ganzen komplexen Zahl in Primfaktoren nachzuweisen.

Dirichlet hat mit diesen und weiteren Arbeiten, in denen er systematisch
auf Methoden der Analysis zurückgriff, der Entwicklung der Zahlentheorie
wichtige Impulse verliehen, bezüglich der Algebra hat er die vorhandenen

Ideen weiter vertieft. Zwar traten gelegentlich Größen auf, die er im Sinne
des obigen Zitats als allgemeine algebraische Zahl hätte betrachten können,
doch hob er sie in keiner Weise hervor. Vor diesem Hintergrund kann man
zwar in der 1846 publizierten Arbeit

Zur Theorie der complexen Einhei-

”

ten“ eine

Inangriffnahme der Theorie der h¨
oheren algebraischen Zahlen“

”

und eine erstmalige Ausdehnung der Betrachtungen ¨
uber die quadratischen

”

Irrationalit¨
aten und die Kreisteilungszahlen“ hinaus sehen, wie Felix Klein
es tat [Klein 1926, Bd. 1, S. 97], aber man darf dann den Begriffen nicht
jene abstrakte allgemeine Bedeutung zuweisen, die sie durch Richard Dede-
kind erhielten. Dirichlet ging in dieser Arbeit von einer irreduziblen Glei-
chung F ( ω) = ωn + p 1 ωn− 1 + ... + pn = 0 mit ganzen Zahlen pi aus. Mit den Wurzeln α, β, ... , ρ dieser Gleichung bildete er Ausdrücke der Form
φ( α) = t + uα + ... + zαn− 1, φ( β) = t + uβ + ... + zβn− 1, ... mit n unbestimmten ganzen Zahlen t, u, ... z und fragte dann nach den Systemen,
für die φ( α) φ( β) ...φ( ρ) = 1 gilt, d. h. er wollte in dem durch die Gleichung

F ( ω) = 0 definierten Körper die Einheiten bestimmen. Die Wurzeln β, ..., ρ
bzw. die Größen φ( β), ..., φ( ρ) werden als die Konjugierten von α bzw. φ( α) bezeichnet, so daß das Produkt φ( α) φ( β) ...φ( ρ) die Norm von φ( α) darstellt.

Als Ergebnis formulierte er den sog. Dirichletschen Einheitensatz, mit dem
er die Anzahl der sog. Grundeinheiten bestimmte und die Struktur der Ein-
heitengruppe vollständig beschrieb.

In der Zwischenzeit hatten Jacobi und ab 1843 Eisenstein weitere wichtige Re-
sultate in Verbindung mit Studien zum kubischen Reziprozitätsgesetz erzielt.

Jacobi hatte schon 1827 dieses Reziprozitätsgesetz im Bezug auf zwei ganzra-
tionale Primzahlen angegeben, und in seiner Vorlesung zur Zahlentheorie von

1836/37 bewies er ausgehend von der Theorie der Kreisteilungsgleichung das
kubische und das biquadratische Reziprozitätsgesetz – die Vorlesungen wur-
den jedoch nicht veröffentlicht. Der erste publizierte Beweis des kubischen

Reziprozitätsgesetzes stammte von Eisenstein aus dem Jahre 1844. Jacobi
wie auch Eisenstein studierten dazu die komplexen Zahlen der Gestalt a + bρ
bzw. a + bρ 2 mit einer (primitiven) dritten Einheitswurzel ρ und konnten den
mehrfach von Gauß und Dirichlet geäußerten Hinweis auf die Analogie zwi-
schen der Arithmetik dieser Zahlen und der Arithmetik der ganzrationalen

Zahlen vollauf bestätigen.

Übrigens betrachtete Eisenstein das Studium derartiger ganzer komplexer

Zahlen in seiner Publikation bereits als Allgemeingut der Mathematiker, denn
obwohl die Theorie der Zahlen a + bρ ( ρ primitive dritte Einheitswurzel)

noch nirgends systematisch dargestellt worden war, setzte er die

Elemen-

”

tars¨
atze der Theorie“ als bekannt voraus. Sowohl Eisenstein als auch Jacobi

396

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe
wiesen auch auf den Zusammenhang mit der Teilungs- bzw. Multiplikations-
theorie elliptischer Funktionen hin. Jacobi vertrat sogar die Meinung, daß

Gauß durch die Studien zur Multiplikation elliptischer Funktionen zum bi-
quadratischen Reziprozitätsgesetz gekommen sei und man auf diese Weise
verschiedene Gattungen der komplexen Zahlen erhalte.

Dies verdeutlicht den engen Zusammenhang zwischen den für Nichtmathe-
matiker getrennt erscheinenden Teilgebieten der Mathematik, und die Kom-
plexität wurde von den führenden Mathematikern in ihrem Schaffen auch
reflektiert und genau analysiert. Jacobi war dabei wohl einer der besten Ken-
ner beider Theorien. Die Theorie der elliptischen Funktionen hatte er ab dem

Ende der 20er Jahre gemeinsam mit Abel in einem legendären Wettstreit ge-
schaffen, der nur durch den frühen Tod des Norwegers abrupt beendet wurde.

Ähnlich wie Dirichlet hat auch Jacobi wesentlich an der Umgestaltung des

Lehrbetriebs in Deutschland mitgewirkt. Nach philologischen und philosophi-
schen Studien an der Berliner Universität bei gleichzeitiger autodidaktischer

Aneignung mathematischer Kenntnisse lehrte er ab 1826 an der Universität

Königsberg. Dort gründete er 1834 zusammen mit dem Mathematiker und

Physiker Franz Ernst Neumann sowie seinem Schüler Ludwig Adolph Sohn-
cke ein mathematisch-physikalisches Seminar, das beispielgebend für ganz

Deutschland wurde. 1844 ließ sich Jacobi aus gesundheitlichen Gründen nach

Berlin versetzen, wo er bis zu seinem Tod 1851 ohne feste Anstellung an der

Universität als Akademiemitglied wirkte.

In der Person Eisensteins, Jacobis Mitstreiter und Widerpart beim Beweis des
kubischen Reziprozitätsgesetzes und beim Studium elliptischer Funktionen,
ergaben sich viele Parallelen zum Schicksal Abels. Auch Eisenstein wuchs in
bescheidenen finanziellen Verhältnissen auf. Er zeigte schon frühzeitig mathe-
matische Interessen und fand als Gymnasiast in dem Meteorologen Heinrich

Wilhelm Dove und dem Mathematiker Karl Schellbach zwei Lehrer, die sein

Talent erkannten und förderten. In dieser Zeit hörte er außerdem Vorlesungen
an der Berliner Universität, u. a. bei Dirichlet, und studierte die Werke von

Euler, Lagrange und vor allem Gauß. Bereits während seines ersten Seme-
sters an der Universität Berlin reichte Eisenstein der dortigen Akademie eine

Arbeit über binäre kubische Formen ein, was fortan die Unterstützung durch

August Leopold Crelle und Alexander v. Humboldt zur Folge hatte. Durch
verschiedene Zuwendungen hat Humboldt immer wieder die finanzielle Not

Eisensteins gemildert und eine Fortsetzung der Studien ermöglicht. Nach der

Veröffentlichung von 25 Arbeiten in Crelles Journal erhielt Eisenstein 1845
die Promotion ehrenhalber und habilitierte sich 1847 in Berlin. Wie auch im

Falle Jacobis bedurfte es größter Anstrengungen von A. v. Humboldt, um Ei-
senstein nach den revolutionären Ereignissen 1848/49 vor größeren, vor allem
finanziellen Repressalien zu schützen. Eisenstein war, soweit es seine schwa-
che Gesundheit zuließ, unermüdlich mathematisch aktiv und starb 1852 im

Alter von 29 Jahren.

7.5 Zahlentheoretische Einflüsse auf die Entwicklung der Algebra

397

7.5.2 Kummers Sch¨
opfung der idealen Zahlen

Nach der erfolgreichen Beschäftigung mit dem kubischen und dem biqua-
dratischen Reziprozitätsgesetz wandten sich Jacobi und Eisenstein einigen
höheren Kongruenzen zu und untersuchten die Körper der 5., 8. und 12.

Einheitswurzeln. Doch waren die diesbezüglichen Ergebnisse weit weniger
vollständig. Eine Arbeit Jacobis zu diesem Themenkreis, in der er die Zerle-
gung der Primzahlen p des Typs p = λm + 1 in Primfaktoren im Ring der
λ-ten Einheitswurzel für λ = 5, 8 und 12 nachwies, regte jedoch Ernst Eduard

Kummer zu Studien auf diesem Gebiet an und wurde so der Ausgangspunkt
für wichtige neue Ideen. Kummer gehörte mit Leopold Kronecker und Karl

Weierstraß zu jenem Dreigestirn bedeutender Mathematiker, die das Werk
von Jacobi und Dirichlet fortsetzten und Berlin zu einem führenden Zentrum
der sog. reinen Mathematik machten. Altersmäßig der älteren Generation zu-
zurechnen, kam Kummer erst 1855 als Nachfolger Dirichlets nach Berlin, wo
er bis zur Emeritierung 1883 lehrte. Zuvor hatte der in Sorau (Zary) geborene

Sohn eines Arztes ab 1828 in Halle zunächst Theologie und Philosophie, dann
aber Mathematik studiert und nach der Promotion 1831 in seiner Geburts-
stadt sowie ab 1832 in Liegnitz (Legnica) als Gymnasiallehrer gearbeitet. Zu
seinen Schülern gehörten u. a. Kronecker und Ferdinand Joachimsthal, die
er beide für die Mathematik begeistern konnte. In dieser Zeit forschte Kum-
mer vor allem zur Funktionentheorie und trat mit Jacobi und Dirichlet in
wissenschaftlichen Gedankenaustausch. Den beiden letzteren gelang es 1842
mit maßgeblicher Unterstützung durch A. v. Humboldt, für Kummer durch
eine Berufung als Mathematikprofessor an die Universität Breslau neue Per-
spektiven zu eröffnen. In Breslau blieb Kummer bis 1855. Dort entstanden
seine bedeutenden algebraisch-zahlentheoretischen Arbeiten, und dort setz-
te er auch 1845 trotz beträchtlicher Widerstände die von Jacobi und A. v.

Humboldt angeregte Promotion ehrenhalber von Eisenstein durch. An der

Berliner Universität, wo er sich in der Forschung stärker geometrischen The-
men zuwandte, hatte er großen Anteil an der Gründung des Mathematischen

Seminars, das 1861 die Arbeit aufnahm. Von seinen Schülern und Doktoran-
den wurden mehrere später bedeutende Mathematiker. In der Akademie und
an der Universität begleitete Kummer mehrfach wichtige leitende Funktio-
nen. Wenn auch die Schwerpunkte seiner Forschungen wechselten, so bildeten
die Arbeiten von Gauß und Dirichlet meist den Ausgangspunkt seiner Über-
legungen.

1844 glaubte Kummer zunächst, die von Jacobi angegebene Zerlegung für
beliebige Kreisteilungsringe bewiesen zu haben, also den Satz: Für eine un-
gerade Primzahl λ zerfällt im Ring der λ-ten Einheitswurzeln Z [ ζλ] jede

Primzahl der Form p = λm + 1 in λ − 1 Faktoren. Der Ring Z [ ζλ] be-
steht dabei aus allen Polynomen in ζλ mit ganzzahligen Koeffizienten, die
in der üblichen Weise addiert und multipliziert werden, ζλ ist eine primiti-
ve λ-te Einheitswurzel. Vermutlich entdeckte Jacobi als erster einen Fehler
in der von Kummer zur Publikation eingereichten Arbeit. Dieser zog dar-

398

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe
aufhin den Artikel zurück und konnte noch im gleichen Jahr auf der Basis
seiner umfangreichen Rechnungen zu den höheren Reziprozitätsgesetzen und
den Kreisteilungskörpern erste Beispiele von mehrdeutigen Primelementzer-
legungen im Ring der 23-sten Einheitswurzeln angeben. Da die Rechnungen
in diesem Fall recht umständlich sind, soll das Wesentliche der Kummerschen

Ideen an einem einfacheren Beispiel erläutert werden.

√

√

Im Ring Z

− 5 , also in der Menge der Zahlen a + b − 5 mit ganzen Zah-
len a und b, betrachtet man die Zahl 21. Für diese erhält man die beiden

Zerlegungen

√

√

21 = 3 · 7 = (4 +

− 5)(4 − − 5) .

( ∗)

√

Jedem Element z = a + b − 5 des Ringes kann eine Norm N ( z) = ( a +

√

√
b − 5)( a − b − 5) = a 2 + 5 b 2 zugeordnet werden, und es gilt N ( zz) =

N ( z) N ( z). Mit Hilfe dieser Eigenschaft zeigt man nun, daß die Faktoren der
beiden Zerlegungen sich nicht weiter zerlegen lassen. Wäre beispielsweise 3

√

√
zusammengesetzt, also 3 = ( a + b − 5)( c + d − 5), so müßte für die Nor-
men gelten 9 = ( a 2 + 5 b 2)( c 2 + 5 d 2). Da aber die Zahl 3 nicht in der Form
a 2 + 5 b 2 darstellbar ist, erhält man aus dieser Gleichung nur die trivialen

Zerlegungen 3 = 1 · 3 = ( − 1) · ( − 3) = 3 · 1 = ( − 3) · ( − 1). Die Gleichung

√

( ∗) liefert folglich im Ring Z

− 5 zwei grundsätzlich verschiedene Zerle-
gungen der Zahl 21 in Faktoren, die selbst nicht weiter zerlegbar sind. Die

Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung, wie sie für die ganzen Gaußschen und
einige andere Mengen komplexer Zahlen nachgewiesen worden war, konnte
also nicht beliebig übertragen werden. Die oft zitierte Analogie zu den ganz-
rationalen Zahlen war nicht so umfassend wie viele Mathematiker zunächst
geglaubt hatten. Das Kummersche Beispiel demonstrierte sehr klar, daß die
im Bereich der ganzen Zahlen äquivalenten Aussagen:

- Eine Primzahl kann nicht als Produkt von zwei, von der Einheit verschie-

”

denen Faktoren geschrieben werden.“

- Wenn ein Produkt durch eine Primzahl teilbar ist, so ist mindestens einer

”

der Faktoren durch diese Primzahl teilbar.“
in den Zahlenringen Z[ ζ] zwei verschiedene, nicht äquivalente Eigenschaften
beschreiben können. Mit anderen Worten: die irreduziblen Elemente muß-
ten nicht notwendigerweise Primelemente sein. Kummer hat sich nun inten-
siv mit der Frage beschäftigt, ob und wie man diese Schwierigkeiten behe-
ben und auch für diese Zahlkörper eine entsprechende Arithmetik aufbau-
en kann. Er fand die Lösung in der Einführung der sog. “idealen Zahlen“,
über die er seinem Schüler Kronecker erstmals im Oktober 1845 berichtete.

Bei der Einführung der
idealen Zahlen“ ließ sich Kummer von der Vorstel-

”

lung leiten, daß die in den mehrdeutigen Zerlegungen auftretenden Faktoren
tatsächlich keine Primelemente sind, sondern aus besagten
idealen Prim-

”

faktoren“ zusammengesetzt sind. Die Bestimmung der
idealen Zahlen“ ist

”

recht aufwendig und die von Kummer entwickelten Methoden waren stets
von lokaler Art, d. h. sie gestatteten es, für jede gegebene Zahl einzeln die

Zusammensetzung aus idealen Zahlen“ zu ermitteln, aber nicht für alle gan-

”

7.5 Zahlentheoretische Einflüsse auf die Entwicklung der Algebra

399

Ernst Eduard Kummer

Karl Weierstraß
zen Zahlen des Körpers zusammen. Ein Vorteil bei diesen Studien war, daß

Kummer von einem Körper der λ-ten Einheitswurzeln ( λ eine ungerade Prim-
zahl) ausging und er dadurch umfassend auf die Gaußsche Kreisteilungstheo-
rie zurückgreifen konnte. Auch später hat er sich auf Kreisteilungskörper
beschränkt. Die Basis für die Berechnung der idealen Zahlen“ bildete dann

”

eine Zuordnung, die er zwischen der Zerlegung des Kreisteilungspolynoms

Φ( x) = xλ− 1 + xλ− 2 + ... + 1 in irreduzible Faktoren mod p und der Zer-
legung der Zahl p in ideale Primfaktoren im Ring Z [ ζλ] herstellen konnte.

Einfach gestaltete sich der Fall p = mλ + 1, für den Kummer ein Zerfallen
des Kreisteilungspolynoms in Linearfaktoren mod p nachwies.

Kummer publizierte die Theorie der
idealen Zahlen“ 1847 in Crelles Jour-

”

nal in zwei Arbeiten [Kummer 1847a, 1847b]. Zu diesem Zeitpunkt war die

Theorie der algebraischen Zahlen durch ein weiteres Ereignis stärker in das

Blickfeld der Mathematiker gerückt worden. Am 1. März 1847 trug Gabriel

Lamé vor der Pariser Akademie der Wissenschaften seine Abhandlung über
den Beweis des großen Fermatschen Satzes vor. In der Diskussion vermutete

Liouville einen Fehler in dem Beweis. Er hatte sich ebenfalls mit der Glei-
chung xn + yn = zn beschäftigt und den Beweis der eindeutigen Zerlegbar-
keit der ganzen Zahlen in Primelemente als notwendigen Schritt erkannt, um
über die Lösbarkeit der Gleichung entscheiden zu können. Diese Zerlegbarkeit
hatte Lamé aber nicht bewiesen. Da Lamé seinen Beweis“ bereits publiziert

”

hatte, löste Liouville mit seiner berechtigten Kritik eine intensive Beschäfti-
gung mit den algebraischen Zahlen aus. Noch im gleichen Jahr zeigte Cauchy,
daß der Euklidische Algorithmus nicht allgemein für die algebraischen Zah-
len galt. Er stellte damit einen Fehler von Pierre Wantzel richtig, der am

Ende einer Arbeit zum Euklidischen Algorithmus im Ring der dritten Ein-
heitswurzeln noch 1847 behauptet hatte, daß die Überlegungen auf beliebige

400

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe

Ringe von Einheitswurzeln übertragbar seien. Cauchys Ergebnis entsprach
im Prinzip jener Einsicht, die Kummer drei Jahre zuvor mit dem Beispiel der

Mehrdeutigkeit der Primelementzerlegung im Ring der 23sten Einheitswur-
zeln erreicht hatte. Auch Kummer befaßte sich in diesem Jahr 1847 mit dem
großen Fermatschen Satz und konnte ihn unter Anwendung seiner Theorie der
idealen Zahlen“ innerhalb kurzer Zeit für eine ganze Klasse von ungeraden

”

Primzahlen beweisen.

In den folgenden Jahren hat Kummer seine Theorie weiter ausgebaut und
schloß unter anderem 1857 eine Lücke, die Dedekind, Cauchy und Liouville
im Jahr zuvor entdeckt hatten. Es sollte aber noch über ein Jahrzehnt dau-
ern, ehe die Theorie eine grundlegende Verallgemeinerung erfuhr und ihre
abschließende Form erhielt.

7.6 Die Fortschritte in der linearen Algebra

Elemente der linearen Algebra lassen sich bis in die Anfänge der Mathematik
zurück verfolgen. Man denke nur an die verschiedenen Verfahren zur Behand-
lung linearer Probleme in der mesopotamischen bzw. griechischen Mathema-
tik, insbesondere an die Lösung einfacher linearer Gleichungssysteme, z. B.

das Verfahren des Thymaridas von Paros, oder an die von chinesischen Ma-
thematikern hervorgebrachte Fang-cheng-Methode zur Lösung linearer Glei-
chungssysteme mit den zu Matrizen ähnlichen Bildungen (s. 3.1.4), die tiefe

Einsichten in die Struktur linearer Systeme offenbart. Doch bei all diesen

Errungenschaften handelte es sich stets um die Entwicklung und Verbesse-
rungen von einzelnen Methoden und Verfahren zur Lösung linearer Probleme,
in keiner Phase der Entwicklung wurde das Bestreben spürbar, daraus eine
umfassendere allgemeine Theorie zu formen. Auch die Einführung und weite-
re Ausformung einer geeigneten algebraischen Symbolik, wie sie vor allem von

Vieta und Descartes vorangebracht wurde, änderte daran zunächst wenig.

Ein erster spürbarer Impuls entstand um die Mitte des 18. Jahrhunderts, als
durch verschiedene geometrische Fragen lineare Gleichungssysteme stärker
ins Blickfeld der Mathematiker rückten und zu weiteren Lösungsverfahren
und neuen Elementen führten, wie etwa die Cramersche Regel bzw. De-
terminanten (vgl. Abschn. 6.6.1). Beim Lösen der linearen Gleichungssy-
steme stieß man auch auf jene Effekte, deren genaue Erfassung für den

Aufbau einer Lösungstheorie große Bedeutung erlangen sollte. Bereits Eu-
ler hatte 1750 darauf hingewiesen, daß bei n Gleichungen mit n Unbekann-
ten keine der Gleichungen aus den anderen hervorgehen dürfe, da sonst
nicht alle Unbekannten eindeutig bestimmt werden könnten. Dies war ei-
ne der Wurzeln für die Begriffe der linearen Unabhängigkeit und des Ran-
ges einer Matrix. Weitere Impulse lieferte der Gebrauch linearer Substi-
tutionen bei geometrischen und zahlentheoretischen Fragen (vgl. Abschn.

7.5.1). So führte die Zurückführung symmetrischer Bilinearformen auf ge-
wisse Normalformen über die Diagonalisierung der zugehörigen Matrix zur

7.6 Die Fortschritte in der linearen Algebra

401

Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren. Während Euler, der 1748
erstmals die Frage nach der Transformation einer ternären quadratischen

Form Q( x, y, z) = ax 2 + bxy + cxz + dy 2 + eyz + f z 2 auf die Normalform Q( x, y, z) = ax 2 + by 2 + cz 2 als allgemeines Problem behandelte, bei
der Berechnung der zugehörigen orthogonalen Transformation noch keiner-
lei Beziehungen zur Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren her-
stellte, ließ Lagrange, als er 40 Jahre später das gleiche Problem in seiner

M´
echanique analytique“ darlegte, diesen Aspekt in der Anlage seiner Rech-

”

nung deutlich werden, ohne ihn jedoch begrifflich hervorzuheben. Der Über-
gang von Q zu Q wird als Hauptachsentransformation bezeichnet, da bei
einer geometrischen Interpretation die Hauptachsen der geometrischen Figur

Q( x, y, z) = k, die bei der Transformation aus dem geometrischen Ge-
bilde Q( x, y, z) = k hervorgeht, genau den Koordinatenachsen x, y und
z des neuen Koordinatensystems entsprechen. Q( x, y, z) = k ist das zur

Form Q gehörige geometrische Gebilde bezüglich der Ausgangskoordinaten
x, y, z. Diese Äquivalenz zwischen der Transformation der Form und der des
geometrischen Gebildes, d. h. des Koordinatensystems, tritt jedoch nur bei
quadratischen Formen auf, im allgemeinen unterscheiden sich die Transfor-
mationsgleichungen.

Während Lagranges Vorgänger und Zeitgenossen das Problem lösten, indem
sie die Koordinatentransformation in einem Gleichungssystem erfaßten und
die Unbekannten unter Rückgriff auf trigonometrische Formeln bestimmten,
eröffnete Lagrange eine völlig neue Sichtweise und verdeutlichte, daß es auf
die Bestimmung einer geeigneten Transformation ankam, deren Koeffizien-
ten die als Orthogonalitätsrelationen bekannten Beziehungen erfüllten. Dies-
bezüglich zeigte er dann, modern formuliert: Ist A die durch die Koeffizienten
der quadratischen Form festgelegte Matrix, so sind durch die Eigenwerte von

A und die zugehörigen Eigenvektoren die Koeffizienten jener gesuchten ortho-
gonalen Transformation bestimmt, die die quadratische Form auf Hauptach-
senform überführt. Die Eigenwerte treten als Koeffizienten in der transfor-
mierten Form auf. Lagranges Betrachtungen beschränkten sich zwar auf den
dreidimensionalen Fall, aber wie die Problemstellung konnte auch der Beweis
relativ leicht auf n Variable ausgedehnt werden. Rein formal galt dies auch
für Eulers Beweis für die Existenz einer geeigneten Hauptachsentransforma-
tion. Dieser Schritt wurde dann 1829 von Cauchy vollzogen, der zugleich die

Verbindung mit einem anderen wichtigen Problemkreis herstellte.

Zeitlich parallel, aber völlig unabhängig von den obigen Untersuchungen trat
die Bestimmung von Eigenwerten bei der Lösung linearer Differentialglei-
chungssysteme auf. Diese meist aus physikalischen Überlegungen hervorge-
henden Gleichungen ließen sich zunächst ohne größere Schwierigkeiten lösen.

Durch den physikalischen Hintergrund, insbesondere etwa durch die Frage
nach der Stabilität der Planetenbewegung im Sonnensystem, wurde klar, wie
bedeutsam es war, daß die Eigenwerte des entsprechenden Koeffizientensy-
stems reell sind. So lieferte das 1778 von Lagrange aufgestellte Differential-

402

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe
gleichungssystem für die langfristigen, auch säkular genannten Änderungen
der Exzentrizitäten der Planetenbahnen nur dann eine stabile Bewegung in-
nerhalb des Planetensystems, d. h. eine Änderung der Exzentrizitäten nur
innerhalb gewisser Schranken, wenn die Eigenwerte des Systems reell waren.

Die Koeffizientensysteme der Gleichungen waren so umfangreich bzw. um-
faßten auch Buchstaben statt konkreter Zahlenwerte, daß mit den bisherigen

Methoden die Eigenwerte nicht als reell nachgewiesen werden konnten und
man in einige physikalische und aus heutiger Sicht fragwürdige mathemati-
sche Argumente Zuflucht nahm. Schwierigkeiten bereitete speziell das Auftre-
ten mehrfacher Nullstellen in der zu lösenden Polynomgleichung. 1789 gelang
dann Laplace der gesuchte Nachweis für die Stabilität und damit ein für die
theoretische Astronomie wie für die allgemeine Geisteshaltung jener Zeit be-
deutsames Resultat. Obwohl Laplaces Beweis keineswegs fehlerfrei war, trat
bei ihm erstmals die grundlegende Einsicht hervor, daß das Reell-Sein der

Eigenwerte mit der Symmetrie der Koeffizienten des betrachteten Systems
zusammenhing. Jahrzehnte später wurde dieser Zusammenhang von Cauchy
neu entdeckt und hervorgehoben.

Angeregt durch seine Lehrtätigkeit an der École Polytechnique beschäftigte
sich Cauchy mit der allgemeinen Fläche zweiter Ordnung und erkannte 1829,
daß er durch Anwendung seiner Determinantentheorie Lagranges Theorem
über die Hauptachsentransformation verallgemeinern konnte. Als wichtigstes

Resultat bewies er dabei, daß die Eigenwerte einer symmetrischen ( n × n)-

Matrix, Cauchy sprach von symmetrischem System, reell sind. Im gleichen

Jahr stellte Jacques Charles François Sturm auch die Beziehung zu den Stu-
dien über die Säkulargleichung her, ein Fakt, auf den Cauchy nur hinwies
und auf den er wohl von Sturm aufmerksam gemacht worden war. Damit
war 1829 der gemeinsame algebraische Inhalt der Hauptachsentransformati-
on quadratischer Formen und der Lösung von linearen Differentialgleichungs-
systemen erkannt und außerdem mit der Anwendung der Determinanten ein
neues Verfahren zum Studium dieser Probleme aufgezeigt worden. Übrigens
stellte Cauchys Arbeit, da sie ja die Transformation von Flächen behandelte,
zugleich eine der ersten Arbeiten zur n-dimensionalen Geometrie dar.

Es sei am Rande vermerkt, daß die in Umsetzung der Ideen von Descar-
tes und Fermat entwickelte Beschreibung und Untersuchung geometrischer

Objekte mit algebraischen Mitteln ein wichtiger Ausgangspunkt für die n-
dimensionale Geometrie wurde. Bei der rein algebraischen Betrachtung von

Formen, Gleichungen oder Determinanten gab es keinen Grund, sich auf die

Fälle n ≤ 3 zu beschränken, die angewandten algebraischen Operationen wa-
ren auch für größere n erklärt. Es lag also nahe, in den Fällen, in denen die
algebraische Situation völlig analog zum Fall n = 3 oder n = 2 war, die
geometrische Interpretation für diese größeren n zu übernehmen und damit
die geometrischen Begriffe auf die höheren Dimensionen zu übertragen. So
verfuhr Cayley 1843, als er feststellte, daß die unter Verwendung von Determi-
nanten gegebene Beschreibung von Geraden oder Ebenen mittels homogener

7.6 Die Fortschritte in der linearen Algebra

403

x y z t
x y t

x

Koordinaten, d. h.

1 y 1 z 1 t 1
x

1 y 1 t 1

= 0 bzw.

= 0, entsprechend für

x

x

2 y 2 z 2 t 2

2 y 2 t 2
x

3 y 3 z 3 t 3

( n − 1)-dimensionale Objekte im n-dimensionalen Raum gilt. Es darf aber
nicht verkannt werden, daß diesem formalen Übergang zum n-dimensionalen

Raum mit der vorherrschenden Überzeugung von der Dreidimensionalität un-
seres Anschauungsraumes ein massiver Widerstand entgegenwirkte. Für eine
detaillierte Darstellung der Herausbildung der n-dimensionalen Geometrie sei
auf [Scriba/Schreiber 2000, Kap. 7.6] verwiesen.

Die oben erwähnten Arbeiten zur Transformation von Formen, zu deren Ei-
genwerten etc. hatten jedoch alle einen wesentlichen Makel: die abgeleiteten

Sätze galten nur im allgemeinen, d. h. es gab eine Reihe von Einzelfällen, in
denen der angegebene Beweis nicht mehr anwendbar bzw. falsch war. Ent-
sprechend der vorherrschenden Auffassung von mathematischer Strenge sah
man diese Einzelfälle als unwesentliche Ausnahmen an, die die Aussage des

Satzes nicht beeinträchtigten, und war meist überzeugt, daß sich die Beweise
durch einige zusätzliche Betrachtungen auf diese Sonderfälle ausdehnen lie-
ßen. Es war dann vor allem Karl Weierstraß, der nach seiner Berufung nach

Berlin (1856) deutlich machte, daß gerade diese Sonderfälle umfangreiche
mathematische Untersuchungen erforderten und nicht selten der Forschung
neue Impulse verliehen. Seine Arbeiten und Vorlesungen wurden sehr bald
der Ausgangspunkt für eine neue, auf eine exakte Begründung der einzelnen
mathematischen Theorien gerichtete Herangehensweise in der Mathematik.

Mit dieser kritischen Grundhaltung unterzog er, angeregt von dem Berliner

Mathematiker Carl Wilhelm Borchardt, u. a. die oben angeführten Arbeiten
von Lagrange und Laplace zu den säkularen Störungen sowie von Cauchy
über die Transformation quadratischer Formen einer genauen Analyse, in die
er auch Abhandlungen von Jacobi, Dirichlet und Borchardt einbezog, die ver-
sucht hatten, den genannten Theoremen eine exaktere Darstellung zu geben.

Im Ergebnis dieser Forschungen entwickelte Weierstraß die Theorie der Ele-
mentarteiler und schuf damit die Basis für eine allgemeine Klassifikation der

Matrizen.

Doch auch Weierstraß sprach nicht von Matrizen, sondern stellte seine Theo-
rie für Bilinearformen auf. Die wichtigsten Resultate publizierte er 1868, ob-
wohl er die wesentlichen Einsichten bereits 1858 im Anschluß an seine er-
ste Arbeit zu dieser Problematik erzielt haben dürfte. Die Grundzüge seiner

Theorie sind folgende: Seien sΦ + Ψ eine Familie von Bilinearformen, s eine
komplexe Zahl und Ψ eine definite Form. Es bezeichne D 0( s) die Determi-
nante von sΦ + Ψ , D 1( s) den größten gemeinsamen Teiler der Minoren (Un-
terdeterminanten) ersten Grades von D 0( s), allgemein Dj( s) den größten ge-
meinsamen Teiler der Minoren j-ten Grades von D 0( s). Dann teilt Dj( s) das

Polynom Dj− 1( s), und bildet man die Quotienten Ej( s) = Dj− 1( s) /Dj( s), so ist Ej ( s) ein Teiler von Ej− 1( s). Die Ej( s) werden allgemein als Elementar-

404

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe
teiler von D 0( s) bezeichnet, gelegentlich werden jedoch auch die Faktoren
ejk = ( s−sk) mjk der Polynome Ej als Elementarteiler gewählt, wobei sk eine
der l verschiedenen Wurzeln von D( s) bezeichnet. Zwei Scharen von nicht-
singulären Bilinearformen sΦ + Ψ und sΦ + Ψ sind nach Weierstraß genau
dann äquivalent, d. h. sie lassen sich durch nichtsinguläre lineare Transfor-
mationen der Variablen x und y ineinander überführen, wenn sie die gleichen

Elementarteiler haben. Nichtsingulär bedeutet dabei, daß die dem jeweili-
gen Koeffizientensystem entsprechende Determinante von Null verschieden
ist. Als Folgerung ließ sich für das Koeffizientenschema einer Bilinearform,
also für eine Matrix, eine Normalform ableiten, die im wesentlichen der sog.

Jordanschen Normalform entsprach – auf letztere wird noch zurückzukom-
men sein. Es sei noch angemerkt, daß in den 50ern und Anfang der 60er

Jahre die im engen brieflichen Kontakt stehenden Cayley und Sylvester so-
wie Henry John Stephen Smith mehrere Arbeiten publizierten, die teilweise
ohne vollständigen Beweis einzelne wesentliche Bestandteile der Elementar-
teilertheorie und des Rechnens mit Matrizen sowie Anwendungen in der Geo-
metrie enthielten. Insbesondere hatte Smith bei der Suche nach ganzzahligen

Lösungen für ein System von Kongruenzen mit ganzzahligen Koeffizienten
ein Ergebnis abgeleitet, das für den betrachteten Fall die Weierstraßschen

Elementarteiler angab.

7.6.1 Die Entwicklung des Matrizenkalk¨
uls

Zunächst soll jedoch die Entstehung des Matrixbegriffs und der formal al-
gebraischen Rechenoperationen mit Matrizen skizziert werden. Auch hierbei
zeigt es sich, daß Matrizen unter sehr verschiedenen Gesichtspunkten ver-
wendet wurden, was lange Zeit zu Parallelentwicklungen führte. Zentraler

Ausgangspunkt waren auch hier die Untersuchungen zu den Eigenschaften
von Formen. Gauß hatte bereits 1801 eine abkürzende Bezeichnungsweise
für Formen eingeführt und bei der Komposition der Formen auch die Ver-
knüpfung dieser Koeffizientenschemata angegeben (vgl. Abschn. 6.6.2). Eben-
so betrachtete Cauchy in seinen Arbeiten zur Determinantentheorie ein zu
einer Matrix äquivalentes Schema, konzentrierte sich aber auf die Determi-
nanten. Während Cauchy noch zwischen dem symmetrischen System“ und

”

der zugehörigen Determinante unterschied, wurde in den folgenden Jahren
häufig der Begriff der Determinante nicht klar von dem der Matrix bzw.

einem dazu gleichwertigen Begriff getrennt. Wichtige Impulse ergaben sich
dann aus den weiteren Studien über Formen, deren Klassifikation und deren

Transformation bei Variablensubstitutionen. So entwickelte Eisenstein 1844
als junger Student im Bemühen, die Gaußsche Theorie auf quadratische For-
men in drei Unbestimmten auszudehnen, auch die Gaußsche Symbolik weiter,
bezeichnete das Koeffizientenschema für eine Substitution der Variablen mit
einem Buchstaben sowie die Hintereinanderausführung zweier Substitutio-
nen durch das Produkt der Buchstaben und wies auf
einen Algorithmus

”

7.6 Die Fortschritte in der linearen Algebra

405

Charles Hermite

Gotthold Eisenstein
der Rechnung mit linearen Systemen“ hin, dabei die Nichtkommutativität
der Multiplikation betonend. Es dominierte jedoch noch der Aspekt, durch
eine geeignete Symbolik die Darstellung übersichtlicher zu machen. Wichtig
für die spätere Rezeption der Ideen erwies sich, daß Eisenstein in diesem

Zusammenhang eine allgemeine Fragestellung nach der Invarianz gewisser

Eigenschaften aufwarf, die das Grundproblem der Invariantentheorie zum

Ausdruck brachte. Die Frage war unabhängig von Eisenstein bereits 1841
von George Boole formuliert worden und wurde sehr schnell von vielen Ma-
thematikern aufgegriffen. Die Grundidee war, von einer Menge mathemati-
scher Objekte jene Eigenschaften zu bestimmen, die bei Transformationen
erhalten, also invariant, bleiben. Genauer beinhaltete dies für Formen folgen-
des: Es seien {fi( x 1 , x 2 , ..., xn) } eine Menge von n-ären Formen der Gestalt

ai; i
xi 1 xi 2 ...xin mit 1 ≤ i ≤ k und komplexen Koeffizienten

1 ,i 2 ,...,in

1

2
n
i 1 ,i 2 ,...,in
ai; i
und {S} eine Menge linearer Substitutionen der Unbestimmten

1 ,i 2 ,...,in
x 1, x 2, ... , xn. Gesucht werden alle homogenen Polynome I( ai, ... ) des Ko-
effizientensystems ai, ... für die bei Anwendung der Substitutionen S gilt:

I( a

) = (det S) gI( a

), g eine ganze Zahl und a
i,i 1 ,i 2 ,...,in
i,i 1 ,i 2 ,...,in
i; . . . die Ko-
effizienten der transformierten Form f
i ( x 1 , . . . , xn) = fi( S( x 1 , . . . , xn)).

Die Funktion I heißt die (ganzrationale) Invariante der Formen fi vom Ge-
wicht g. Bei weiterer Verallgemeinerung dieser Aufgabe kann man dann die

Menge der transformierten Objekte, der Transformationen bzw. der Invari-
anten allgemeiner bestimmen und zum Beispiel rationale, algebraische oder
analytische Invarianten der Formen ermitteln.

In einer späteren, posthum 1852 erschienenen Arbeit baute Eisenstein die

Ansätze zur Symbolik weiter aus und skizzierte, daß sein Algorithmus der

”

Rechung mit linearen Systemen“ Addition und Multiplikation umfaßte und

406

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe
bis auf die Nichtkommutativität eine Analogie zu dem üblichen Rechnen mit

Zahlen bestand. Für die linearen Substitutionen, aufgefaßt als eigenständige
mathematische Objekte, konnten also Rechenoperationen definiert werden,
die bis auf die genannte Ausnahme den Rechenregeln für die arithmetischen

Operationen genügten. Implizit hatte Eisenstein damit die Menge der linea-
ren Substitutionen n-ärer Formen als hyperkomplexes System oder Algebra
nachgewiesen, ohne jedoch diese Eigenschaft explizit zu formulieren. Die Ei-
sensteinsche Symbolik wurde dann 1854 von Charles Hermite übernommen,
der Eisenstein in Berlin kennengelernt und mit ihm im Briefwechsel gestan-
den hatte. Zu diesem Zeitpunkt war der 32-jährige Hermite bereits mehrere

Jahre an der École Polytechnique tätig und hatte mit wichtigen Arbeiten auf
sich aufmerksam gemacht. Durch eine außerordentlich umfangreiche Korre-
spondenz, mehrere Lehrbücher und sein Wirken an der École Polytechnique

(ab 1869 als Professor) sowie an der Sorbonne wurde er zu einer zentralen

Persönlichkeit in der Mathematik der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts
und zum Lehrer mehrerer herausragender französischer Mathematiker. Her-
mite wandte Eisensteins Symbolik ebenfalls in Arbeiten zur Zahlentheorie
und über elliptische Funktionen an, ohne sie zunächst wesentlich auszubauen.

Dabei formulierte er u. a. das sog. Cayley-Hermite-Problem, alle Substitu-
tionen der Unbestimmten einer quadratischen Form zu bestimmen, die die

Form invariant lassen, wobei die quadratische Form eine von Null verschie-
dene Determinante haben soll. Unter Bezug auf die oben erwähnten Arbei-
ten Cauchys zur Transformation quadratischer Formen bemerkte er 1855 für
spezielle, von ihm eingeführte Formen, sog. Hermitesche Formen, daß deren

Eigenwerte reell sind. Die entsprechenden Hermiteschen Matrizen sind da-
durch definiert, daß die Matrix A gleich der Transponierten jener Matrix ist,
die entsteht, wenn die Elemente von A durch die konjugiert-komplexen Werte
ersetzt werden, d. h. ( aij) = (¯
aji). Hermite hatte diese Formen erstmals bei

Studien zu Gauß’ Disquisitiones“ betrachtet und erkannt, daß viele Sätze der

”

Gaußschen Theorie auch für diese Formen gültig bleiben. Übrigens folgerte

Alfred Clebsch, der Ende der 50er Jahre bei der Analyse von Fragen der Op-
tik ebenfalls die Realität der Eigenwerte für Hermitesche Matrizen entdeckt
hatte, 1863 aus diesem Resultat, daß die von Null verschiedenen Eigenwerte
einer reellen schiefsymmetrischen Matrix rein imaginär sind. Schiefsymme-
trisch bedeutet dabei, daß für die Matrixelemente die Gleichung −aij = aji
gilt.

Als sich Cayley mit der Cauchyschen Determinantentheorie vertraut mach-
te und eigene Berechnungen anstellte, leitete er 1846 ein Ergebnis ab, das
als Lösung für das von Hermite aufgeworfene Problem für die spezielle Form
f = x 21+ x 22+ ... + x 2 n angesehen werden konnte. 1855 griff er die Frage nach der

Invarianz der quadratischen Form wieder auf und hielt es für sehr geeignet,
in der Theorie linearer Gleichungen für ein System von Größen, die in einem
quadratischen Schema angeordnet sind, den Begriff der Matrix einzuführen.

Abweichend von der heutigen Bezeichnungsweise wählte er zur Begrenzung

7.6 Die Fortschritte in der linearen Algebra

407
des Schemas zwei gerade Linien. In dieser Symbolik stellte er auch die zusam-
mengesetzte Matrix, d. h. das Produkt zweier Matrizen, und die inverse Ma-
trix dar. In den folgenden Jahren hat Cayley den formal rechnerischen Aspekt
der Matrizentheorie vervollständigt und die Ergebnisse 1858 publiziert [Cay-
ley 1858]. Er bezeichnete jetzt eine Matrix abkürzend mit einem Buchstaben
und definierte auch die Matrizenaddition. Die Cayleyschen Vorstellungen zum

Matrizenkalkül ordnen sich klar in die von der englischen algebraischen Schu-
le begründete Tradition ein, sowohl hinsichtlich des kalkülmäßigen Erfassens
von Operationen als auch bezüglich der Betonung der Verknüpfungsregeln
unter Ausnutzung von Analogien und einer induktiven Begründungsweise. In
diesem Sinne waren die Ansätze bei Eisenstein und Hermite auch Ausdruck
analoger Bestrebungen auf dem europäischen Kontinent.

Cayleys zusammenfassende Bemerkung zum Matrizenkalkül war inhaltlich
völlig mit den Eisensteinschen Bemerkungen von 1852 identisch und charakte-
risierte die Matrizen implizit als nichtkommutatives hyperkomplexes System.

Ein interessantes Resultat und zugleich ein Beispiel für die Anwendung des

Matrizenkalküls bildete der nach Cayley und Hamilton benannte Satz, daß
jede Matrix A ihrer charakteristischen Gleichung det( A − λI) = 0 genügt.

Cayley begnügte sich jedoch damit, den Satz für 2 × 2-Matrizen nachzurech-
nen, zu versichern, daß er den Beweis für 3 × 3-Matrizen geführt habe und die-
ser analog verlaufe, und mit dem Hinweis, auf diese Rechnungen und auf die

Ausführung des allgemeinen Beweises zu verzichten. Der im Matrizenkalkül
relativ einfache Beweis wurde dann 1878 von Georg Frobenius gegeben.

Cayley eröffnete jedoch noch eine wichtige Perspektive für die weitere Ent-
wicklung. Er ordnete jeder Quaternion eine Matrix zu und zeigte, daß diese

Matrizen den gleichen Relationen genügten wie die Quaternionen. Waren die
bisherigen Hinweise auf den Zusammenhang zwischen hyperkomplexen Syste-
men und Matrizen nur allgemeiner Natur gewesen, so wurde hier explizit eine

Algebra durch Matrizen dargestellt. Zwar hatte diese Zuordnung bei Cayley
nur den Charakter einer Randbemerkung und es blieb offen, ob dieser Zusam-
menhang allgemein galt, doch sollte diese Vorgehensweise Jahrzehnte später
zur Grundlage einer ganzen Forschungsrichtung werden, der Theorie linearer

Darstellungen.

Die Cayleyschen Arbeiten zum Matrizenkalkül fanden zunächst kaum Beach-
tung und wurden erst nach 1880 außerhalb Englands bekannt. Es verwundert
daher nicht, daß der Matrizenkalkül in der Zwischenzeit von anderen Ma-
thematikern neu entdeckt wurde. Wieder bildeten Studien über elliptische

Funktionen und über Formen den Ausgangspunkt, von dem aus sich Ed-
mond Laguerre 1867 unter Hinweis auf die Arbeiten von Gauß, Eisenstein,

Hermite und Sylvester der Matrizenalgebra näherte und ähnlich wie Cayley
die Grundzüge des Kalküls entwickelte. In der Publikation erwies sich La-
guerre als genauer Kenner der algebraischen Operationen mit Matrizen, er
erwähnte u. a. auch das Auftreten von Nullteilern bei der Matrizenmultipli-
kation und wandte im zweiten Teil der Arbeit den Kalkül dann zur Lösung

408

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe
des Cayley-Hermite-Problems an. Besonders hervorhebenswert ist seine Fest-
stellung am Ende der Ausführungen zum Matrizenkalkül, in der die Idee der

Darstellungstheorie klarer als bei Cayley zum Ausdruck kam:

Le calcul des Syst`
emes lin´
eares donne ainsi une interpr´
etation simple et pour

”

ainsi dire arithm´
etique des imaginaires ordinaires, des quaternions, des clefs
alg´
ebriques de Cauchy, des imaginaires congruentielles de Galois.“ [Laguerre

1867, S. 230]

Die anschließende Bemerkung enthielt indirekt die Aussage, daß jedes hy-
perkomplexe System durch ein System von Matrizen darstellbar ist und jede

Matrix als hyperkomplexe Größe geschrieben werden kann. Doch Laguerres

Ergebnisse wurden ebenfalls kaum zur Kenntnis genommen.

Es blieb Frobenius vorbehalten, ein weiteres Jahrzehnt später 1878 die Rolle
des Gesetzgebers für die Matrizentheorie zu übernehmen. Damit fallen die

Frobeniusschen Publikationen bereits in die nächste Periode der Algebra-
entwicklung, doch soll im Interesse eines besseren Überblicks die Geschichte
der Matrizentheorie hier in einem Komplex behandelt werden. Als Schüler
von Weierstraß und Kronecker war Frobenius sehr gut mit deren strengeren

Auffassungen zur exakten Darlegung mathematischer Ergebnisse vertraut,
unterzog von diesem Standpunkt aus verschiedene Resultate zur Theorie der

Formen einer kritischen Analyse und versuchte, die bestehenden Lücken in
den Beweisen zu ergänzen. In Unkenntnis der Arbeiten von Cayley [Cayley

1858] und Laguerre entdeckte er den Matrizenkalkül neu und nutzte ihn,
um die Theorie exakt und elegant präsentieren zu können. In diesem Be-
streben schuf er eine umfassende Verknüpfung des formal algebraischen Ma-
trizenkalküls mit den zahlreichen Resultaten der von Gauß und Cauchy bis
zu Weierstraß und Kronecker reichenden Traditionslinie, insbesondere der

Elementarteilertheorie. Er vereinfachte zahlreiche Beweise und ergänzte die

Theorie um weitere wertvolle Ergebnisse. Dazu gehören beispielsweise mehre-
re Aussagen über ähnliche Matrizen, von Frobenius als kongruent bezeichnet,
und der von ihm 1879/80 geschaffene arithmetische Zugang zu Weierstraß’

Elementarteilertheorie. Viele bereits bekannte Begriffe definierte er in kurzer
eleganter Form, neu fügte er den Begriff des Ranges einer Matrix und des Mi-
nimalpolynoms hinzu, die bei der Klassifikation der Matrizen und für Struk-
turuntersuchungen eine wichtige Rolle spielen. Den Rang einer m × n-Matrix
definierte er als die größte Zahl r, für die wenigstens eine von Null verschie-
dene r-reihige Unterdeterminate der Matrix existiert; das Minimalpolynom
einer Matrix als das Polynom niedrigsten Grades, dem die Matrix genügt.

Frobenius erläuterte die Bildung des Minimalpolynoms aus den Faktoren des
charakteristischen Polynoms und behauptete die Eindeutigkeit des ersteren.

Bezüglich der Bildung des charakteristischen Polynoms xn − c 1 xn− 1 + ... ± cn
einer Matrix A = ( aij) behauptete Henry Taber 1890, daß der Koeffizient ci
die Summe der i-reihigen Hauptunterdeterminanten von A sei, also speziell
cn = det A und c 1 = Spur von A = a 11 + ... + ann. Hauptunterdeterminanten

7.6 Die Fortschritte in der linearen Algebra

409
von A sind jene Unterdeterminanten, deren Hauptdiagonalelemente in der

Hauptdiagonale von A liegen.

Es muß jedoch darauf hingewiesen werden, daß Frobenius bei seiner syste-
matischen Darstellung der Theorie noch auf zahlreiche weitere Ergebnisse
zurückgreifen konnte. 1870 hatte Camille Jordan seine aus der Beschäftigung
mit der Galoisschen Theorie hervorgegangenen Erkenntnisse in dem Buch

Trait´
e des substitutions“ zusammengefaßt und dabei u. a. eine kanonische

”

Form für eine lineare homogene Substitution angegeben. Ein Jahr später for-
mulierte er diese Aussage allgemein für Transformationen über den komple-
xen Zahlen. Angeregt wurde er dazu durch die Frage, wann ein Differential-
gleichungssystem dnY /dtn = AY in Teilsysteme überführt werden kann, die
eine direkte Integration gestatten. Nach der Reduktion auf ein System erster

Ordnung stellte Jordan mit Verweis auf sein Verfahren zur Überführung einer

Substitution in ihre kanonische Form fest, daß durch eine lineare Transforma-
tion der Variablen das Differentialgleichungssystem in mehrere Teilsysteme
der Form ˙

Y = J Y übergeht, die direkt integriert werden können. Die Koef-
fizientenmatrix B des Differentialgleichungssystems erster Ordnung läßt sich
also in eine Diagonalgestalt transformieren mit den sog. Jordan-Kästchen als

Diagonalelementen, genauer: B nimmt die Gestalt

⎛

⎞

⎛

⎞
λ

J
i 0 ... 0

0

1 0 ... 0

⎜

⎜ 1 λ

⎟
i ... 0

0

⎜ 0 J

⎟

⎜

⎟

2 ... 0

⎝

⎟

⎜ 0 1 ... 0 0 ⎟ an,

... ... ... ... ⎠ mit Ji = ⎜

⎝

⎟

... ... ... ... ... ⎠

0 0 ... Jk

0 0 ... 1 λi
λi sind dabei die Wurzeln der charakteristischen Gleichung von B. Dies ent-
sprach der von Weierstraß 1868 abgeleiteten Normalform, ohne daß Jordan
diese Analogie bemerkte. Wieder war es ein Problem aus der Theorie der Dif-
ferentialgleichungen im Komplexen, das zur Aufdeckung dieser Beziehungen
führte. Meyer Hamburger bemerkte 1873, daß das Jordansche Reduktionsver-
fahren vorteilhaft in der von Lazarus Fuchs entdeckten Lösungsmethode für

Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit variablen Koeffizienten angewandt
werden könne. In seinen Ausführungen knüpfte er zwar eine Verbindung zu

Weierstraß’ Elementarteilertheorie, es blieb aber offen, ob er die Äquivalenz
der beiden Normalformen erkannt hatte. Dies wurde dann 1874 von Kronecker
geleistet, was wiederum zu einer kurzen Kontroverse mit Jordan führte, in
deren Ergebnis die Gleichwertigkeit beider Methoden klar herausgestellt wur-
de. Diese Entwicklungen waren Frobenius bekannt, als er mit seinen Studien
über Bilinearformen begann, und es ist vor diesem Hintergrund nicht verwun-
derlich, wenn er einleitend in der Abhandlung von 1878 erklärt,
statt der

”

Transformationen der bilinearen Formen die Zusammensetzung der linearen

Substitutionen zu behandeln“. [Frobenius 1878, S. 2]

Die Theorie der Matrizen hat in den folgenden Jahren eine vielfältige Ent-
wicklung erfahren. Neben den schon aufgezeigten Verbindungen zu verschie-
denen Teilgebieten der Mathematik seien noch die Definition transzendenter

410

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe

Funktionen für Matrizen und der Gebrauch unendlicher Matrizen hervorge-
hoben. Ersteres geschah 1892 durch William Henry Metzler, letzteres durch

George William Hill 1877. Unendliche Matrizen und Determinanten traten
implizit bereits bei Jean-Baptiste Joseph de Fourier gelegentlich der Ent-
wicklung einer Funktion in eine Fourier-Reihe auf, doch erst am Ende des

19. Jahrhunderts wurde die Idee in der Theorie zur Lösung von Integralglei-
chungen umfassend angewandt und bildete einen der Ausgangspunkte für die

Schaffung der Funktionalanalysis am Beginn des 20. Jahrhunderts.

Um die Jahrhundertwende erschienen auch die ersten systematischen und um-
fassenden Bücher zur Matrizentheorie, 1899 von Peter Muth

Theorie und

”

Anwendung der Elementartheiler“ und 1907 Maxime Bôchers Introduction

”

to higher algebra“, das 1910 ins Deutsche übersetzt wurde. Diese Publika-
tionen machten die Resultate der Matrizentheorie einem breiteren Kreis von

Mathematikern und Physikern zugänglich und trugen wesentlich zur Verbrei-
tung und Anwendung dieser Ideen bei.

7.6.2 Die Entwicklung der Theorie der Vektorr¨
aume

Die skizzierte Entwicklung der Matrizenrechnung verlief jedoch weitgehend
ohne jeden Bezug zu einem Gebiet der Mathematik, mit dem sie heute fest
verbunden ist, der Theorie der Vektorräume. Die algebraischen Aspekte bei
der Herausbildung dieser Theorie sollen im folgenden betrachtet werden. Für
eine ausführliche Analyse der Entwicklung sei auf das Buch von M. J. Crowe

[Crowe 1967] verwiesen.

Einzelne Elemente der Vektorrechnung traten schon frühzeitig in Untersu-
chungen auf, in denen versucht wurde, für physikalische Sachverhalte eine
quantitative, mathematische Beschreibung zu geben. Ein wichtiger Aspekt
war dabei die Zusammensetzung von Bewegungen oder allgemeiner die Zu-
sammensetzung von Kräften. Überlegungen dazu lassen sich bis in die Antike
und das Mittelalter zurückverfolgen. Die Parallelogrammregel zur Addition
zweier Kräfte findet man in unterschiedlich klarer Ausprägung im 16. Jahr-
hundert bei Simon Stevin und Galileo Galilei und am Ende des 17. Jahr-
hunderts bei Newton und Pierre Varignon. Man kann aber weder von der

Formulierung eines Vektorbegriffs sprechen, noch von der Entwicklung ei-
nes Kalküls der Vektorrechnung. Einen weiteren wichtigen Impuls gab dann

Leibniz, als er seine Unzufriedenheit mit den seit Descartes und Fermat ein-
geführten analytischen Methoden artikulierte und die Schaffung von
une

”

autre analyse proprement g´
eometrique lin´
eaire, qui nous exprime directement
situm, ...“ [Gerhardt 1899, S. 568f.] forderte. Leibniz hat die Forderung nach
einem geometrischen Kalkül mehrfach wiederholt, aber außer dem Hinweis,
einige Grundzüge des Kalküls gefunden zu haben, nichts dazu veröffentlicht.

Wenn er auch damit keine unmittelbare Wirkung erzielte, so blieb die Leib-
nizsche Aufgabenstellung lebendig genug, um anregend auf spätere Genera-
tionen zu wirken. Beginnend mit Wessels Arbeit zur analytischen Darstellung

7.6 Die Fortschritte in der linearen Algebra

411
einer Richtung, in der er auch eine geometrische Interpretation der komplexen

Zahlen gab (vgl. Abschn. 6.2) und damit erstmals die beiden Forschungsmo-
tive – die Suche nach einem geometrischen Kalkül und die Rechtfertigung
des Rechnens mit imaginären Größen durch deren geometrische Darstellung

– zusammenführte, entstanden am Anfang des 19. Jahrhunderts mehrere Ar-
beiten, die den Leibnizschen Intentionen verpflichtet waren.

Ein erstes vektorielles System konstruierte August Ferdinand Möbius 1827
mit dem

Barycentrischen Calcul“, den er in dem gleichnamigen Buch

”

ausführlich darlegte und bereits im Untertitel als neues Hilfsmittel zur ana-

”

lytischen Behandlung der Geometrie“ kennzeichnete [Möbius 1827]. Möbius
hatte 1809–1813 an der Leipziger Universität erst Rechtswissenschaften, dann

Mathematik studiert. Ein Reisestipendium ermöglichte ihm die Vertiefung
seiner Studien bei Gauß in Göttingen, wo er sich 1813/14 zwei Semester der

Astronomie widmete, und bei Johann Friedrich Pfaff in Halle, wo er 1814 ma-
thematische Vorlesungen hörte. Nach der Habilitation 1815 in Leipzig begann

Möbius mit der Vorlesungstätigkeit und wurde Anfang des Jahres 1816 auf

Empfehlung von Gauß zum außerordentlichen Professor der Astronomie und

Observator auf der Sternwarte berufen. In seinen Forschungen beschäftigte
sich Möbius erfolgreich mit Fragen der angewandten Mathematik, etwa der

Optik, der Astronomie, der Mechanik bzw. der Kristallstruktur. Seine Haupt-
leistungen lagen auf mathematischem Gebiet, wo er besonders durch wichtige

Ergebnisse in der Geometrie hervortrat. Jedoch wurde die Bedeutung seiner

Überlegungen zur Klassifizierung der geometrischen Verwandtschaften, d. h.

zur Charakterisierung verschiedener Geometrien, die er in dem oben erwähn-
ten Buch entwickelte und die er als Grundlage der ganzen Geometrie bezeich-
nete, zu seinen Lebzeiten nicht erkannt und entsprechend gewürdigt. Mit der

Entdeckung des später nach ihm benannten Bandes, dem ersten Beispiel ei-
ner einseitigen Fläche, publizierte er 1865 kurz vor seinem Tod ein weiteres
wichtiges Resultat.

Bei seinen Überlegungen zum baryzentrischen Kalkül, die bis ins Jahr 1818
zurückreichten, ging Möbius vom Begriff des Schwerpunkts aus, der bei vielen
physikalischen Aufgaben vorteilhaft verwendet wurde. Der von ihm entwickel-
te Kalkül basierte auf der Beobachtung, daß der Schwerpunkt eines Massen-
punktsystems eindeutig bestimmt ist, und daß man jeden Punkt der Ebene
bzw. des Raumes als Schwerpunkt eines solchen Systems erhalten kann, wenn
auch negative Werte für die Massen der Punkte zugelassen werden. Für die

Punkte A, B, ... mit den Massen α, β, ... ergibt sich der (gewichtete) Schwer-
punkt S durch ( α + β + ... ) S = αA + βB + ... . Wählt man nun die Punkte A, B, C in der Ebene bzw. die Punkte A, B, C, D im dreidimensionalen

Raum als fest vorgegebene Punkte, so ist ein beliebiger

Schwerpunkt“ S

”

durch S = αA + βB + γC bzw. S = αA + βB + γC + δD mit α + β + γ = 1
bzw. α + β + γ + δ = 1 eindeutig bestimmt und ( α, β, γ) bzw. ( α, β, γ, δ) sind
die baryzentrischen Koordinaten des Punktes. Es ergibt sich dann ein im we-
sentlichen mit der Vektorrechnung äquivalenter Kalkül. In diesem Rahmen

412

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe
gab Möbius eine neue Herleitung zahlreicher geometrischer Resultate. Sein
baryzentrischer Kalkül wurde von bedeutenden Mathematikern, wie Gauß,

Cauchy und Dirichlet als nützliche Methode zur Lösung geometrischer Pro-
bleme anerkannt, doch Möbius hat den Ansatz nicht weiter ausgebaut. Die

Darlegung seines Kalküls enthielt mit der Einführung gerichteter Strecken
ein weiteres Element zur Vektorrechnung. Möbius bezeichnete die Strecke
vom Punkt A zum Punkt B mit AB, die Strecke von B nach A mit BA oder

−AB und definierte dann die Addition von derartigen kollinearen Strecken.

Die späteren Erweiterungen, wie die Definition der Addition von Strecken,
die nicht kollinear sind, die er 1843 in dem astronomischen Werk

Die Ele-

”

mente der Mechanik des Himmels“ veröffentlichte, waren zwar eigenständige

Entdeckungen, doch hatte er zu diesem Zeitpunkt bereits weitere wichtige

Anregungen von Giusto Bellavitis und Hermann Günther Graßmann erhal-
ten. So hatte ihm Bellavitis bereits 1835 eine Methode zur Addition derartiger

Strecken brieflich mitgeteilt.

Der Italiener Bellavitis war zu diesem Zeitpunkt noch in der Verwaltung sei-
nes Geburtsortes Bassano angestellt und hatte sich seine mathematischen

Kenntnisse vorwiegend autodidaktisch angeeignet. Erst durch die Publika-
tion mehrerer Arbeiten, u. a. mit der oben erwähnten Methode, eröffnete
sich ihm 1845 die Möglichkeit zu einer Professur an der Universität Padua.

Bei Bellavitis kamen wie bei Wessel wieder beide Forschungsmotive, die Su-
che nach einem geometrischen Kalkül und die Rechtfertigung des Rechnens
mit imaginären Größen durch deren geometrische Darstellung, zum Tragen.

Angeregt durch die Arbeit Buées zur geometrischen Darstellung komplexer

Zahlen, stellte er Anfang der 30er Jahre seinen Kalk¨
ul der Equipollenzen“ als

”

eine Rechnung mit geometrischen Größen auf und publizierte ihn 1832, 1833
und 1835. Die Ergebnisse dieser Rechnung waren völlig mit jenen Aussagen
äquivalent, die man durch die geometrische Darstellung der komplexen Zah-
len erhielt. Wie auch mehrere andere Mathematiker war sich Bellavitis dieser

Tatsache bewußt, doch betonte er, daß sein Verfahren geometrische Größen
zum Gegenstand habe und nicht auf den komplexen Zahlen basiere. Der Ver-
such, den Kalkül auf den dreidimensionalen Raum auszudehnen, scheiterte
wie bei Wessel an der Definition einer Multiplikation für diese Größen.

Schließlich sei noch kurz auf Bernard Bolzano verwiesen, der 1804 in dem

Buch Betrachtungen ¨
uber einige Gegenst¨
ande der Elementargeometrie“ den

”

Versuch unternahm, eine Geometrie von nicht näher bestimmten Objekten
zu konstruieren. Die bereits für die Algebra hervorgehobene Tendenz, unbe-
stimmte abstrakte Objekte und die Operationen mit ihnen einer genaueren

Analyse zu unterziehen, zeigte sich auch hier. Sie war dann für die Heraus-
bildung der Theorie linearer Räume von Bedeutung.

Völlig unabhängig von all diesen Entwicklungen kam es im ersten Drittel
des 19. Jahrhunderts in der Kristallographie im Bestreben, den regelmäßi-
gen Aufbau der Kristalle zu erklären, zum Studium vektorieller Systeme. Die

Vertreter der dynamistischen Schule der Kristallographie wählten dazu im

7.6 Die Fortschritte in der linearen Algebra

413

August Ferdinand Möbius

Hermann Günther Graßmann

Innern der Kristalle wirkende Kräftesysteme, die sich jeweils aus drei Grund-
kräften zusammensetzten. Die bei den Kristallformen beobachteten Symme-
trien sollten sich aus der spezifischen Anordnung der Grundkräfte und der
aus ihnen gebildeten Kräftesysteme ergeben. Damit führte die Analyse der

Kristallformen nahezu zwangsläufig zum Studium von vollständigen Kräfte-
systemen, die aus drei Grundkräften rational kombinierbar waren, d. h. zu
dreidimensionalen Vektorräumen. Dieser Schritt wurde fast gleichzeitig von
dem Gymnasiallehrer Justus Günther Graßmann und dem Professor der Mi-
neralogie, Technologie und Naturgeschichte Johann Friedrich Christian Hessel
vollzogen, jedoch ohne die Verwendung der Begriffe Vektor bzw. Vektorraum.

Graßmann ging 1829 in seiner
geometrischen Combinationslehre“ von drei

”

gerichteten Grundstrecken, als Elementarträger bezeichnet, aus und bildete
daraus als ganzzahlige Linearkombinationen die zusammengesetzten Träger

(Vektoren). Graßmanns Kalkül, der durch eine eigenwillige Terminologie und

Symbolik gekennzeichnet war, beinhaltete auch die Untersuchung gewisser

Symmetriebeziehungen und implizit das symbolische Erfassen der entspre-
chenden endlichen orthogonalen Gruppen. In Form der endlichen Punktsym-
metriesysteme traten diese Gruppen 1830 bei Hessel ebenfalls implizit auf.

Die eingangs skizzierte dynamistische Grundidee, daß die Kristallgestalten
gewisse symmetrische Kräftesysteme widerspiegeln, setzte er in eine Aus-
zeichnung einzelner Punktsymmetriesysteme um, die modern formuliert be-
sagte, daß diese Systeme den dreidimensionalen rationalen Vektorraum inva-
riant lassen. Zum Aufbau dieses Raumes definierte er für gerichtete Strecken,
von ihm Gerenstrahl genannt, die Addition und die skalare Multiplikation
mit rationalen Zahlen und konstruierte den gerengesetzlichen Strahlenverein.

Für eine ausführliche Erörterung der beiden Systeme sei auf das Buch von E.

Scholz verwiesen. [Scholz 1989, S. 48ff.]. Die Vorstellungen von Graßmann und

414

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe

Hessel wurden jedoch von den Mathematikern jener Zeit nicht zur Kenntnis
genommen und hatten mit einer Ausnahme keinen Einfluß auf die weite-
re Entwicklung der Vektorrechnung. In den Arbeiten von Graßmanns Sohn

Hermann Günther, die sowohl eine Theorie n-dimensionaler Vektorräume,
als auch wichtige Ergebnisse über hyperkomplexe Zahlen enthielten, fanden
diese Ideen jedoch eine großartige Fortführung.

7.6.3 Die Arbeiten von Hermann G¨
unther Graßmann

Hermann Günther Graßmann studierte in Berlin Philologie, Theologie sowie

Philosophie und eignete sich dann autodidaktisch mathematische und phy-
sikalische Kenntnisse an. Zwischen 1831 und 1840 legte er die erforderlichen

Lehramtsprüfungen für Theologie, Physik sowie Mathematik ab und war Zeit
seines Lebens als Lehrer in Stettin tätig. Schon frühzeitig bemühte er sich
um eine Umsetzung der Leibnizschen Ideen von einem geometrischen Kalkül,
doch zunächst ohne Erfolg. Nachdem er bereits Anfang der 30er Jahre ei-
ne Addition für gerichtete Strecken, also die Vektoraddition, definiert hatte,
erhielt er neue Anregungen durch die Studien seines Vaters über Produktbil-
dungen in der Geometrie [Graßmann, J. 1824, S. 174]; [Graßmann, J. 1835,

S. 10]. Er entwickelte die Ideen seines Vaters weiter, definierte ein Produkt
von gerichteten Strecken und verknüpfte es mit der Jahre zuvor untersuchten

Addition. Dieser letzte Schritt mag zwar trivial erscheinen, war aber ent-
scheidend. Graßmann war jetzt überzeugt, daß er damit den Schlüssel zu
einer neuen wirksamen Methode gefunden hatte. Auch die Tatsache, daß die
von ihm eingeführte Multiplikation nichtkommutativ war, hielt ihn nicht da-
von ab, dieses Produkt weiter zu untersuchen. Durch schulische und andere

Pflichten hatte er zunächst nicht die Zeit, um diese Ansätze auszubauen, so
daß ihm erst 1839 bei der Vorbereitung auf die Lehramtsprüfung in Mathe-
matik der entscheidende Durchbruch gelang:

Durch diesen Erfolg nun hielt ich mich zu der Hoffnung berechtigt, in dieser

”

neuen Analyse die einzig naturgem¨
asse Methode gefunden zu haben, nach
welcher jede Anwendung der Mathematik auf die Natur fortschreiten m¨
usse,
und nach welcher gleichfalls die Geometrie zu behandeln sei, ...“ [Graßmann

1894, Bd. 1, 1. Teilband, S. 9].

Graßmann wandte die neue Methode zur Behandlung der Laplaceschen Ge-
zeitenlehre an und erreichte eine Vereinfachung der Darstellung, die er in der

Prüfungsarbeit Theorie der Ebbe und Flut“ vorlegte. Darin gab er eine er-

”

ste verkürzte Darlegung der neuen Methode, wobei er sich hinsichtlich der

Begründung mehrfach auf die Gesetze der algebraischen Analysis berief:

Da es aber die Grenzen dieser Arbeit nicht erlauben, die von mir angewandte

”

Methode der geometrischen Analyse in ihren Prinzipien darzulegen, so werde
ich die Gesetze derselben, obgleich sie einer ganz unabh¨
angigen Entwickelung
f¨
ahig sind, aus den verwandten Gesetzen der algebraischen Analyse entleh-
nen.“ [Graßmann 1894, Bd. 3, 1. Teilband, S. 18]

7.6 Die Fortschritte in der linearen Algebra

415

Alle Gesetze algebraischer Differenziation und somit auch der Integration

”

gelten auch in der geometrischen Analyse, sofern sie n¨
amlich durch keine
anderen Operationen als Addition und Subtraktion gewonnen sind.“ [ebenda,

S. 21]

Insgesamt präsentierte er in der geometrischen Analyse einen großen Teil der

Vektoranalysis in einer Form, die der modernen Darstellung meist äquivalent
ist. Neben der Vektoraddition enthielt sie zwei Arten von Produktbildung

(Vektor- und Skalarprodukt), die Differentiation von Vektoren und einige

Elemente von Vektorfunktionen, vgl. [Crowe 1967, S 54ff.]; [Scholz 1984].

Die Hinweise auf die algebraische Analysis verdeutlichen zugleich, daß die

Bedeutung der Graßmannschen Arbeit nicht nur in der Schaffung eines er-
sten System der Vektoranalysis lag, sondern auch in der Herausarbeitung
algebraischer Aspekte. Dies geschah in mehreren Schritten, beginnend 1844
mit dem ausführlichen Aufbau der Theorie in dem Buch

Die lineale Aus-

”

dehnungslehre“. Dabei sei die Vielzahl der Einflüsse, die Graßmann in diesem

Prozeß verarbeitete, hervorgehoben. Sie reichten von der Philosophie, spezi-
ell den Lehren Schleiermachers und Kants, über pädagogische Aufgaben, wie
sie sich aus seiner schulischen Tätigkeit ergaben, bis zur Auseinandersetzung
mit naturwissenschaftlichen und mathematischen Themen, z. B. den Arbeiten
seines Vaters zur Kristallographie bzw. zur Begründung der Elementargeo-
metrie, den Diskussionen um die Interpretation der negativen Zahlen als den
positiven entgegengesetzt gerichtete Strecken und der Tendenz zur Forma-
lisierung, die er aus den Werken französischer Mathematiker kennenlernte.

Aus all diesen Anregungen gewann Graßmann die Einsicht, daß ein grundle-
gender Neuaufbau der Mathematik notwendig sei und gab den Auffassungen
in Zusammenarbeit mit seinem Bruder Robert eine programmatische Ge-
stalt. Beide stellten sich das Ziel, eine Darstellung der Mathematik auf dieser
neuen Basis vorzulegen (vgl. [Lewis 1977], [Schlote 1988, Kap. 1.4.]). Kenn-
zeichnend für die Graßmannschen Vorstellungen war das Streben nach einem
konstruktiven, klaren begrifflichen Aufbau der Mathematik unter Berücksich-
tigung dialektischer Gedanken. Die Begriffe der Form bzw. Denkform und der

Verknüpfung als Grundbegriffe für den Neuaufbau wählend, charakterisierte

Graßmann die Mathematik als Formenlehre und unterschied bei den Formen
jeweils die beiden Gegensätze der stetigen und diskreten bzw. der algebra-
ischen und der kombinatorischen Form. Durch Kombination erhielt er daraus
eine Unterteilung der Mathematik in vier Teilgebiete. Eines der Teilgebiete
war die Ausdehnungslehre, das der Geometrie entsprechende abstrakte Wis-
sensgebiet. Für Graßmann gehörte die Geometrie, d. h. die Anschauung des

Raumes, als eine Art Urintuition zur angewandten Mathematik, eine Auf-
fassung, die in ähnlicher Form auch von vielen seiner Zeitgenossen vertreten
wurde. Auf der Basis dieser abstrakten, philosophisch motivierten Herange-
hensweise schuf Graßmann wichtige Ideen zur Theorie der Vektorräume und
zur Algebra. Zugleich wurde es aber dadurch für seine Zeitgenossen nahezu
unmöglich, die neuen Vorstellungen in ihrer vollen Tragweite zu erfassen.

416

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe

Abb. 7.6.4. Titelblatt von Die lineale Ausdehnungslehre“ von Hermann Günther

”

Grassmann

7.6 Die Fortschritte in der linearen Algebra

417

Ein zentraler Punkt bei dem Aufbau der Mathematik war für Graßmann die

Verknüpfung der Formen. In dem einleitenden Kapitel zur Ausdehnungsleh-

”

re“ untersuchte er deshalb die Eigenschaften von Verknüpfungen, die dann
in allen Teilgebieten der Mathematik Anwendung finden sollten. Er kam so
zu einer Betonung der Verknüpfungsregeln und zu der Einsicht, daß er von
der konkreten Realisierung der Verknüpfung abstrahieren mußte, wenn er
die Struktur der Verknüpfung erkennen wollte. In diesem Sinne charakte-
risierte er die Mathematik auch als die Wissenschaft von der Verknüpfung
von Größen. Noch deutlicher und detaillierter ausgeführt kam dieser Stand-
punkt in dem Buch

Formenlehre“ zum Ausdruck, das Robert Graßmann

”

in Zusammenarbeit mit seinem Bruder Hermann Günther im Rahmen ih-
res Programms zur Neubegründung der Mathematik verfaßte [Graßmann

1872]. Nachdem Hermann Günther Graßmann die Ausdehnungslehre als neu-
en Zweig der Mathematik bestimmt hatte, analysierte er in dem Abschnitt

Allgemeine Formenlehre“ jene allgemeinen Eigenschaften, die allen Ver-

”

knüpfungen gemeinsam waren. In diesem Kontext stellte er erste Betrachtun-
gen zur Frage der Abgeschlossenheit einer Menge von Größen gegenüber einer

Verknüpfung an, ohne eine vollständige Antwort geben zu können. Für eine

Menge von Größen mit einer Verknüpfung formulierte er als Eigenschaften
das Assoziativ- und das Kommutativgesetz sowie die Existenz eines inversen
und eines neutralen Elementes, ohne jedoch diese Begriffe zu benutzen. Die

Verknüpfung bezeichnete er dann als Addition. Lagen zwei Verknüpfungen
vor, so sollte die zweite Verknüpfung mit der ersten durch das Distribu-
tivgesetz verbunden sein, und nur wenn die erste alle Gesetze der Addition
erfüllte, bezeichnete er diese zweite Verknüpfung als Multiplikation. Die Mul-
tiplikation konnte also auch nichtkommutativ sein. Graßmann sprach nur von

Addition bzw. Multiplikation, wenn diese Verknüpfungen die genannten Ei-
genschaften erfüllten, wenn die mit ihnen versehene Menge von Größen also
eine gewisse Struktur aufwies. Er hat die Mengen mit dieser Struktur aber
nie besonders ausgezeichnet, obwohl er alle Eigenschaften formuliert hatte,
um diese Menge als kommutative Gruppe, als Vektorraum oder als Ring zu
charakterisieren. Dies verdeutlicht die Bedeutung der Graßmannschen Ideen
für die Entwicklung der Algebra, aber auch ihre Grenzen. Die Möglichkeit,

Mengen von Größen mit ein oder zwei Verknüpfungen als neue mathemati-
sche Objekte auszuzeichnen, war für ihn ohne Interesse.

In der

Ausdehnungslehre“ wandte sich Graßmann dann der Konstruktion

”

der Ausdehnungsgebiete zu. Die Grundlage bildete ein kontinuierlicher Er-
zeugungsprozeß, durch den sukzessiv die Gebiete verschiedener Stufe gebildet
wurden. So entstand ein Gebilde erster Stufe durch die als Grundänderung
bezeichnete Bewegung eines nicht näher bestimmten Elementes in eine be-
stimmte Richtung, die Bewegung eines Gebildes erster Stufe in eine zweite,
von der ersten verschiedene Richtung ergab ein Gebilde zweiter Stufe usw.

Die verschiedenen Gebilde einer Stufe faßte er dann zu dem entsprechenden

Gebiet dieser Stufe zusammen. Da Graßmann die Ausdehnungslehre klar von

418

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe
der anschaulichen dreidimensionalen Geometrie abgehoben hatte, bestand für
ihn keine Veranlassung, den Erzeugungsprozeß mit den Gebieten dritter Stu-
fe abzubrechen, und er konstruierte in analoger Weise ein Gebiet n-ter Stufe.

Er nahm dann für ein Gebiet n-ter Stufe verschiedene Grundänderungen an,
aus denen durch entsprechende Verknüpfung alle Elemente des Gebietes kon-
struiert werden konnten. Für die dabei definierten Verknüpfungen wies er
nach, daß sie den in der

Allgemeinen Formenlehre“ formulierten Gesetzen

”

genügten. Da er außerdem noch eine Multiplikation der Elemente mit reel-
len Zahlen erklärte, erhielt er letztlich in den Gebieten eine lineare Struktur,
einen linearen Raum. Auch diese Konstruktion führte er sukzessive durch,
beginnend mit einem Gebiet erster Stufe. Die konstruktive Erzeugung der

Gebiete n-ter Stufe lieferte Graßmann zugleich die Basis für die Definition
des sog. äußeren Produktes zweier Größen, das er als das von den beiden

Größen aufgespannte Gebilde erklärte. Für zwei Größen a, b aus Gebieten
erster Stufe war dies das von ihnen erzeugte Parallelogramm, das entstand,
wenn man die Größe a längs der anderen bewegt, bzw. was äquivalent dazu
ist, wenn a in jedem Element (Punkt) von b angetragen wird. Diese Pro-
duktbildung stimmte im wesentlichen mit dem geometrischen Produkt über-
ein, das er in der Arbeit über Ebbe und Flut erklärt hatte, doch macht die
umständliche Darlegung auch die Probleme deutlich, mit denen Graßmanns
abstrakter Aufbau der Theorie verbunden war. Mit der Benennung ¨
außeres

”

Produkt“ wollte Graßmann andeuten,
daß diese Art des Produktes nur, sofern die Faktoren aus einander treten,

”

und das Produkt eine neue Ausdehnung darstellt, einen geltenden Werth hat,
hingegen, wenn die Faktoren in einander bleiben, gleich Null gesetzt wird“

[Graßmann 1894, Bd. 1, 1. Teilband, S. 89].

Geht man davon aus, daß in den Ausdehnungsgebieten eine Basis vorliegt,
eine Darstellung, die Graßmann erst in der zweiten Auflage der

Ausdeh-

”

nungslehre“ wählte, so wird das Produkt durch folgende Gleichungen der

Basiselemente ei ( i = 1, 2, ...

n) bestimmt:

eiej = −ejei, eiei = ejej = 0, ei( ej + ek) = eiej + eiek.

Zusammen mit den entsprechenden Gesetzen für die Addition definieren diese

Gleichungen natürlich ein hyperkomplexes System. Das Produkt wird meist
als (Graßmannsches) äußeres oder alternierendes Produkt bezeichnet und das
hyperkomplexe System als Graßmann-Algebra. Graßmann selbst hat diesen

Aspekt nicht beachtet und sich in seinem Buch den Anwendungen der Aus-
dehnungslehre zugewandt. Neben der Geometrie, die er bereits wiederholt zur

Veranschaulichung seiner Ideen herangezogen hatte, besprach er Anwendun-
gen auf Physik, Kristallographie und die Lösung linearer Gleichungssysteme.

Durch die Übertragung der Resultate auf sog. Elementargrößen erhielt er
einen vollständigen Kalkül für das Rechnen mit Punkten und leitete u. a.

viele der von Möbius im

Barycentrischen Calcul“ angegebenen Aussagen

”

ab.

7.6 Die Fortschritte in der linearen Algebra

419

Obwohl Graßmanns Theorie viele neue Ideen enthielt und er mit zahlrei-
chen Beispielen deren Anwendbarkeit nachwies, fand sie kaum Anerkennung.

Die Hauptgründe dürften in der sehr abstrakten und schwer verständlichen,
mit einer umfangreichen neuen Terminologie verbundenen Darstellung liegen
und in der Tatsache, daß es ihm nicht gelang, irgendein wichtiges, vorher un-
gelöstes Problem mit der neuen Theorie zu lösen. Ende der 50er, Anfang der

60er Jahre entschloß sich Graßmann, nachdem sich einige bedeutende Ma-
thematiker wie Hamilton, Luigi Cremona u. a. sehr anerkennend über sein

Werk geäußert hatten und er einige Prioritätsansprüche gegenüber Cauchy
und Adhémar Barré de Saint Venant hatte reklamieren müssen, zu einer
grundlegenden Neubearbeitung der Ausdehnungslehre“, die 1862 erschien.

”

In dieser Neuauflage verzichtete er auf jede philosophische Begründung und
konzentrierte sich auf eine strenge mathematische Darstellung. Er ging von
einem System von Einheiten {ei} ( i = 1, 2, ... n) als Basis eines Vereins von

Größen aus und arbeitete den Begriff der extensiven Größe als formale Linear-

kombination der Einheiten heraus, a = α 1 e 1 + α 2 e 2 + ... + αnen =
αiei.

Für diese Größen definierte er dann eine additive Verknüpfung sowie die

Multiplikation • mit einer Zahl und charakterisierte beide Operationen im
wesentlichen axiomatisch durch Angabe der Verknüpfungsregeln. Durch die-
se abstrakten Festlegungen erreichte Graßmann einen hohen Allgemeinheits-
grad, z. B. wäre es möglich, statt der reellen Zahlen auch einen abstrakten

Koeffizientenbereich zu wählen. Die Gleichungen lauteten:

a + b =
αiei+
βiei =

( αi + βi) ei (Addition)

β •
αiei =

( βαi) ei = (
αiei) • β (Skalarmultiplikation)

a • β = β • a,

( a • β) • γ = a • ( β • γ)

( a + b) • β = a • β + b • β,
a • ( β + γ) = a • β + a • γ
a • 1 = a
a • β = 0 genau dann, wenn entweder a = 0 oder β = 0.

Graßmann bewies dann u. a. folgende wichtige Theoreme, die in der mo-
dernen Terminologie der Theorie der linearen Vektorräume wiedergegeben
werden: Ein linearer n-dimensionaler Raum wird von genau n unabhängigen

Elementen erzeugt. Es seien L ein von den Vektoren {ei} ( i = 1, 2, ... n)

erzeugter Vektorraum und a 1, a 2, ..., ap ( p < n) ein System linear unabhängi-
ger Vektoren aus L, dann können p Vektoren ek durch die al ( l = 1, 2, ...,
p)

ersetzt werden und die restlichen Vektoren ej erzeugen zusammen mit den al
den vorgegebenen Vektorraum L (Steinitzscher Austauschsatz). Sind E und

F zwei lineare Teilräume eines linearen Raumes, so gilt für die Dimension
der Summe E + F der beiden Teilräume die Relation
dim( E + F ) + dim( E ∩ F ) = dim E + dim F.

Die lineare Unabhängigkeit von Elementen (Vektoren) hatte er zuvor durch
die äquivalente Eigenschaft erklärt, daß die Elemente in keiner Zahlbezie-

”

hung zueinander stehen“.

420

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe

Von entscheidender Bedeutung war die Definition einer zweiten Verknüpfung
in der Menge der extensiven Größen. Bereits 1855 hatte Graßmann den
verschiedenen Arten der Multiplikation eine Studie gewidmet und klar ver-
deutlicht, auf welch vielfältige Art und Weise die Multiplikation für exten-
sive Größen definiert werden kann. In der Analyse der multiplikativen Ver-
knüpfung erkannte er offenbar einen Schlüssel, um die in der Praxis vorkom-
menden Systeme extensiver Größen zu klassifizieren. Für die Festlegung der
multiplikativen Verknüpfung wählte er wieder einen möglichst allgemeinen

Ausgangspunkt und bestimmte das Produkt durch

(
αiei)(
βjej) =

( αiβj) [ ei ∗ ej] ,
wobei er kommentarlos das Distributivgesetz voraussetzte, ganz entsprechend
seiner früheren Definition einer Multiplikation. Zur weiteren Bestimmung der
verschiedenen Produktbildungen führte er dann aus:

Da das Produkt extensiver Gr¨
ossen nach der Erkl¨
arung wieder entweder eine

”

extensive Gr¨
osse oder eine Zahlgr¨
oße ist, so muss dasselbe (...) aus einem

System von Einheiten numerisch ableitbar sein. Welches dies System von

Einheiten sei, und wie aus ihnen die Produkte

[ er ∗ es] , aus denen jenes

Produkt zusammengesetzt ist, numerisch abzuleiten seien, dar¨
uber sagt die

Definition nichts aus. Soll also der Begriff eines besonderen Produktes genau
festgestellt werden, so m¨
ussen noch ¨
uber jenes System von Einheiten und ¨
uber
diese Ableitungen die n¨
otigen Bestimmungen getroffen werden.“ [Graßmann

1894, Bd. 1, 2. Teilband, S. 28]

Die nötigen Bestimmungen wurden dann in Form von Bestimmungsgleichun-
gen formuliert. Graßmann ließ also zunächst offen, ob das Produkt zweier

Einheiten als neue Einheit zum Ausgangssystem hinzugenommen wird, ei-
ne Linearkombination der Ausgangseinheiten bzw. eine Zahl war, oder ei-
ne Kombination dieser Möglichkeiten auftrat. Um die für die Wissenschaft
nützlichen Produktbildungen zu erhalten, stellte er einige Zusatzbedingun-
gen. Die meisten Bedingungen waren geometrisch motiviert, doch spielten
auch mehrere andere Faktoren eine wichtige Rolle, und manches erscheint aus
heutiger Sicht unverständlich. So beispielsweise die besonders einschränkende

Forderung, daß in den Bestimmungsgleichungen stets nur Produkte mit gleich
vielen Faktoren vorkommen sollen, wobei er sich meist auf zwei Faktoren be-
schränkte. Damit schloß Graßmann wichtige Systeme, wie die Quaternionen,
aus den weiteren Betrachtungen aus. Trotzdem erhielt er in dem erwähnten

Artikel über die Arten der Multiplikation 16 verschiedene Produkte, unter
denen er das algebraische, das kombinatorische oder äußere, das innere und
das komplexe Produkt hervorhob. Während das erste der bei Zahlen üblichen

Multiplikation entsprach, waren die beiden folgenden für die Ausdehnungs-
lehre von großer Bedeutung und das letzte stellte eine Verallgemeinerung der

Multiplikation komplexer Zahlen dar. Berücksichtigt man noch die additive

Verknüpfung der extensiven Größen, so hatte Graßmann damit interessante
hyperkomplexe Systeme (Algebren) definiert, von denen die durch das äußere

7.6 Die Fortschritte in der linearen Algebra

421

Produkt charakterisierte (Graßmann-) Algebra später besondere Aufmerk-
samkeit fand. In der

Ausdehnungslehre“ von 1862 hat sich Graßmann auf

”

eine ausführliche Behandlung des äußeren und des inneren Produktes sowie
deren Anwendungen konzentriert.

Rückblickend besticht das Graßmannsche Werk durch eine Fülle neuer, zu-
kunftsweisender Ideen, die Geometrie und Algebra gleichermaßen betreffen.

Geometrisch sind die konsequente Orientierung auf n-dimensionale Größen
und Gebiete, sowie die Formulierung wichtiger Einsichten in die Theorie der
linearen Räume und in die Vektoranalysis hervorzuheben, algebraisch grund-
legende Überlegungen zum Aufbau hyperkomplexer Systeme (Algebren), spe-
ziell die Bedeutung der Multiplikation für die Klassifikation dieser Systeme
sowie die Herausarbeitung der algebraischen Aspekte in der Theorie der li-
nearen Räume und der Vektoranalysis. Doch auch die zweite Auflage der

Ausdehnungslehre“ und weitere Schriften Graßmanns zu diesem Themen-

”

kreis fanden erst mit großer zeitlicher Verzögerung eine entsprechende Würdi-
gung. So bilden die Graßmannschen Erkenntnisse zunächst einen singulären

Punkt in der Geschichte der Algebra und haben erst in den letzten Jahr-
zehnten des 19. Jahrhunderts noch einen Einfluß auf die Entwicklung der

Mathematik ausgeübt.

Am Rande sei noch auf einen sozialen Aspekt hingewiesen: H. G. Graßmann
wie auch sein Vater waren zeitlebens im Schuldienst tätig. Viele andere be-
deutende deutsche Mathematiker haben damals ihre Kariere ebenfalls im

Schuldienst beginnen müssen, da der Berufsstand des Mathematikers sich
erst langsam herausbildete. In jenen Jahrzehnten hatten die Lehrer noch die

Zeit und den Ehrgeiz, mathematische Forschungen durchzuführen, und das

Abfassen der Schulprogramme bot ihnen einen Anreiz zu diesen Studien sowie
die Möglichkeit, ihre Ergebnisse zu publizieren. Zugleich waren die Schulpro-
gramme eine Chance, sich für eine Universitätsprofessur zu empfehlen.

Wie bei den hyperkomplexen Systemen wurden die Publikationen Hamiltons
über die Quaternionen auch bezüglich der Vektorrechnung maßgebend. Die
einzelnen Aspekte sind bereits in dem Abschnitt über Quaternionen erwähnt
worden. Hamilton hatte selbst große Anstrengungen unternommen, um die
erfolgreiche Anwendung der Quaternionen auf physikalische Probleme nach-
zuweisen, und fand bei der Umsetzung dieses Programms die Unterstützung
mehrerer Mathematiker und Physiker. Hervorzuheben sind dabei der Aus-
bau der Quaternionentheorie durch Peter Guthrie Tait und der Rückgriff Ja-
mes Clark Maxwells auf die Quaternionen in seiner berühmten Abhandlung
zur Elektrodynamik A Treatise on Electricity and Magnetism“ (1873), ob-

”

wohl Maxwell insgesamt den Quaternionen eher ablehnend gegenüberstand.

Es war dann Josiah Willard Gibbs, der sich völlig von den Quaternionen
löste und eine reine Vektorrechnung aufbaute. Er betrachtete nur noch den

Vektoranteil V = ai + bj + ck der Quaternion Q = q + V und sah in den Ein-
heiten i, j, k ein System von Einheitsvektoren mit i · i = j · j = k · k = 1 und
i·j = j ·i = i·k = k·i = j ·k = k ·j = 0, wobei die multiplikative Verknüpfung

422

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe
durch das innere Produkt gegeben wurde. 1881 und 1884 gab er als Privat-
druck eine vollständige Ausarbeitung der Theorie unter dem Titel

Vector

”

Analysis“ heraus. Dabei hob er die Analogie seiner Theorie zur Graßmann-
schen Ausdehnungslehre hervor und maß dieser Verwandtschaft eine größere

Bedeutung zu als der Beziehung zu Hamiltons Quaternionen [Gibbs 1881, S.

17]. Zugleich hat er aber später die Unabhängigkeit seiner Forschungen von
den Graßmannschen Schriften betont und eine diesbezügliche Beeinflussung
verneint.

Die weitere Entwicklung der Vektorrechnung war wesentlich durch die Kon-
kurrenz verschiedener Systeme, die meist auf die Ideen Hamiltons oder Graß-
manns zurückgeführt wurden, gekennzeichnet. Man spricht diesbezüglich
auch von den Gruppen der Quaternionisten und den Graßmannianern, wobei
es in beiden Gruppierungen zu Übertreibungen und zur unzulässigen Verab-
solutierung kam, indem die jeweilige Theorie als einzig richtige Basis für eine

Beschreibung der Natur angesehen wurde. Insgesamt erschienen in den bei-
den Jahrzehnten um die Jahrhundertwende über 1000 Arbeiten zur Vektor-
rechnung. Besonders einflußreich waren die Darstellungen der Theorie durch

Oliver Heaviside im ersten Band der

Electromagnetic Theory“ (1893) und

”

die in Anlehnung daran entstandene Einf¨
uhrung in die Maxwellsche Theorie

”

der Elektrizit¨
at“ von August Föppl (1894). Noch 1908 beklagte Franz Jung
die in der Vektoranalysis vorherrschende große Uneinigkeit in der Form und
fuhr dann fort:

Es spiegelt sich dies beispielsweise sehr deutlich in der Enzyklop¨
adie der ma-

”

thematischen Wissenschaften ab. Fast an jeder Stelle wo hier das Rechnen
mit Vektoren Verwendung findet, bekommt man eine andere Bezeichnungs-
weise zu sehen.“ [Jung 1908, S. 383]

In den Anwendungen, speziell in der Physik, herrschte beim Gebrauch der

Vektorrechnung jedoch eine größere Klarheit und Einheitlichkeit vor. Vom
mathematischen Standpunkt erscheint die abstrakt axiomatische Herange-
hensweise aus der Sicht der linearen Räume bzw. der Moduln noch beson-
ders interessant, die dann am Anfang des 20. Jahrhunderts zu einer soliden
algebraischen Basis der Theorie und zu ihrer festen Integration in die Algebra
führte; dies wird ein Gegenstand des folgenden Kapitels sein.

7.6 Die Fortschritte in der linearen Algebra

423

Wesentliche Inhalte und Ergebnisse in der Algebra von 1826–1850

1827

Niels Henrik Abel präzisiert in einer Arbeit über elliptische Funktionen

Begriffe der Auflösungstheorie algebraischer Gleichungen und verdeutlicht
die Abhängigkeit der Auflösbarkeit vom Grundkörper.

1827

August Ferdinand Möbius konstruiert ein erstes vektorielles System.

1828

Carl Friedrich Gauß publiziert eine Studie zum biquadratischen Rezi-
prozitätsgesetz, eine zweite folgt 1832. Es ist die erste systematische Dar-
legung zu algebraischen Zahlen.

1829

Niels Henrik Abel beweist die Auflösbarkeit bestimmter Gleichungsty-
pen, u. a. der nach ihm benannten Gleichungen.

1829

Augustin-Louis Cauchy verallgemeinert die Beweise von Euler und La-
grange zur Hauptachsentransformationen auf n Variable und wendet dabei
seine Determinantentheorie an.

1829–31

Evariste Galois entwickelt die Grundzüge der nach ihm benannten Theo-
rie und löst das Auflösungsproblem algebraischer Gleichungen.

1829

Justus

Günther

Graßmann
und ein Jahr später Johann Friedrich

Christian Hessel benutzen bei der Analyse von Kristallsystemen implizit
dreidimensionale Vektorräume.

1830

Evariste Galois formuliert wichtige Resultate zur Theorie der endlichen

Körper.

1830

George Peacock stellt in seinem Algebra-Lehrbuch die Idee einer sym-
bolischen Algebra vor, die die Untersuchung der Verknüpfungsregeln der

Symbole besonders betont.

1832

Evariste Galois faßt in einem Brief seine Ergebnisse zur Galois-Theorie
zusammen.

1832

Peter Gustav Lejeune Dirichlet regt die Analyse der ganzen komplexen

Zahlen an.

Ab 1833 Die von Peacock begründete englische algebraische Schule diskutiert ver-
schiedene allgemeine Vorstellungen vom Wesen der Algebra.

1833

William Rowan Hamilton gibt eine arithmetische Begründung der kom-
plexen Zahlen und eine Begründung der Algebra als Wissenschaft der reinen

Zeit.

1839–1844 Augustus de Morgan entwickelt in einer Artikelserie zur Begründung der

Algebra erste Vorstellungen von hyperkomplexen Systemen.

1841

George Boole formuliert das Grundproblem der Invariantentheorie, un-
abhängig wirft Gotthold Eisenstein eine analoge Frage auf.

1843

William

Rowan

Hamilton entdeckt nach jahrelangen Forschungen die

Quaternionen, das erste geschlossene nichtkommutative System hyperkom-
plexer Zahlen.

1843

John

Graves entdeckt die Oktaven, die unabhängig 1845 von Arthur

Cayley definiert und als Oktonionen publik gemacht werden.

1844

Hermann Günther Graßmann entwickelt in der

Linealen Ausdehnungs-

”

lehre“ Grundeinsichten zur Theorie n-dimensionaler Vektorräume und zur

Algebrentheorie.

1844

Augustin-Louis Cauchy erweitert seine Resultate zur Permutationentheo-
rie und gibt eine erste zusammenfassende Darstellung.

1844

Gotthold Eisenstein gelingt ein erster Beweis des kubischen Rezipro-
zitätsgesetzes. Er studiert wie auch Carl Gustav Jacob Jacobi die Arith-
metik ganzer komplexer Zahlen a + bρ mit einer (primitiven) dritten Ein-
heitswurzel ρ.

1846

Joseph Liouville publiziert den Nachlaß von Evariste Galois.

1846

Peter Gustav Lejeune Dirichlet beschreibt in dem nach ihm benannten

Einheitensatz die Struktur der Einheitengruppe.

1846

William Rowan Hamilton deutet die Quaternionen als eine aus Skalar-
und Vektoranteil zusammengesetzte Größe.

1847

Ernst Eduard Kummer veröffentlicht erstmals seine seit 1845 entwickelte

Theorie der idealen Zahlen.

1849

Joseph

Alfred

Serret
publiziert sein Lehrbuch

Cours d’Algèbre

”

supérieure“ mit einer ausführlichen Darstellung der Permutationstheorie.

424

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe

7.7 Aufgaben zu Kapitel 7

Aufgabe 7.1.1: Irreduzibili¨
at von Polynomen, Konstruktion des re-
gelm¨
aßigen Siebenecks

Sei Q[ x] die Menge aller Polynome mit Koeffizienten aus Q. Das Polynom
anxn + . . . + a 1 x + a 0 ∈ Q[ x] hat den Grad n, wenn an = 0 ist; es heißt normiert, wenn an = 1 ist. Ein Polynom g( x) ∈ Q[ x] heißt irreduzibel über Q,
wenn in jeder Zerlegung g( x) = f 1( x) f 2( x) mit f 1( x), f 2( x) ∈ Q[ x] entweder f 1( x) oder f 2( x) ein Polynom vom Grad 0 (also eine Konstante) ist.

Man zeige:

a) Das Polynom f ( x) = x 3 − 1 x 2 − 1 x + 1 ist das einzige normierte, über 2

2

8

Q irreduzible Polynom, für welches f(cos π ) = 0 ist.

7
b) Das regelmäßige Siebeneck ist mit Zirkel und Lineal allein nicht konstru-
ierbar.

Hinweis: Man vergleiche hierzu Abschn. 2.5.3 und benutze den Satz: Sei
f ( x) ∈ Q[ x] ein über Q irreduzibles Polynom vom Grad n = 2 k ( k ∈ N0
und f ( α) = 0 für α ∈ R). Dann ist α mit Zirkel und Lineal allein nicht
konstruierbar.

Aufgabe 7.1.2: Zum klassischen Polynom der Winkeldreiteilung

Man zeige: Das Polynom x 3 − 3 x − 1 ist irreduzibel über Q. Daraus folgt:

Die Dreiteilung eines Winkels ist mit Zirkel und Lineal allein im allgemeinen
nicht möglich.

Hinweis: Vgl. hierzu Abschn. 2.4.3 und 2.4.4 und Aufgabe 7.1.1.

Aufgabe 7.1.3: Zum klassischen Problem der W¨
urfelverdopplung

Man zeige: Das Polynom x 3 − 2 ist irreduzibel über Q. Daraus folgt: Die

Verdopplung eines Würfels ist mit Zirkel und Lineal allein im allgemeinen
nicht möglich (vgl. 2.4.5).

Aufgabe 7.1.4: Konstruktion des regelm¨
aßigen Siebzehnecks

1796 bewies der erst neunzehnjährige C. F. Gauß die Konstruierbarkeit eines
regelmäßigen 17-Ecks mit Zirkel und Lineal. Im folgenden wird die Konstruk-
tionsmethode unter Rückgriff auf die Galois-Theorie erläutert. Man vollziehe
diesen Gedankengang nach:

Die Eckpunkte des 17-Ecks werden durch die Lösung αk = cos 2 kπ + i sin 2 kπ

17

17

(k = 0, 1, 2, ... 16) der Kreisteilungsgleichung xp = 1 für p = 17 gegeben.

Um die Lösungen dieser Gleichung zu ermitteln, schreibt man sie in der Form
x 17 − 1 = 0. Diese Gleichung zerfällt in die Gleichungen x − 1 = 0 und

( ∗) x 16 + x 15 + . . . + x + 1 = 0.

Die Lösungen von ( ∗) sind α 1, α 2, . . . , α 16. Unter ihnen wählen wir eine
primitive Einheitswurzel, etwa α 1, und bezeichnen sie mit ε. Dann werden

7.7 Aufgaben zu Kapitel 7

425
alle Lösungen von ( ∗) durch die Potenzen εk ( k = 1 , . . . , 16) von ε dargestellt.

Ebenso kann man die Lösungen von ( ∗) darstellen durch die Potenzen εgj ,
wobei g ein erzeugendes Element der primen Restklassengruppe modulo 17 ist
und j = 0 , 1 , . . . , 15. Wir wählen g = 3. Die aufeinander folgenden Potenzen
von 3 sind dann modulo 17 kongruent zu

1, 3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4, 12, 2, 6.

Die Potenzen εk der primitiven Wurzel ε werden entsprechend geordnet
ε, ε 3, ε 9, ε 10, ε 13, ε 5, ε 15, ε 11, ε 16, ε 14, ε 8, ε 7, ε 4, ε 12, ε 2, ε 6 .

Da p − 1 = 16 die Teiler 1, 2, 4, 8, 16 hat, kann man entsprechend eine

16gliedrige Periode, zwei 8gliedrige Perioden, vier 4gliedrige usw. bilden. Die

16gliedrige Periode wird durch die Summe aller Wurzeln εi gegeben, die bei-
den 8gliedrigen Perioden lauten:

η 1 = ε + ε 9 + ε 13 + ε 15 + ε 16 + ε 8 + ε 4 + ε 2 ,
η 2 = ε 3 + ε 10 + ε 5 + ε 11 + ε 14 + ε 7 + ε 12 + ε 6 .

Man beweise, daß diese beiden Perioden die Relationen
η 1 + η 2 = − 1, η 1 η 2 = − 4 erfüllen.

Folglich sind η 1 und η 2 die Wurzeln der quadratischen Gleichung x 2+ x− 4 = 0
und daher mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Nun bildet man die vier 4gliedrigen Perioden
ϕ 1 = ε + ε 13 + ε 16 + ε 4 ,
ϕ 2 = ε 9 + ε 15 + ε 8 + ε 2 ,
ϕ 3 = ε 3 + ε 5 + ε 14 + ε 12 ,
ϕ 4 = ε 10 + ε 11 + ε 7 + ε 6 .

Man zeige analog zu dem obigen Vorgehen, daß diese Perioden die Relationen
ϕ 1 + ϕ 2 = η 1, ϕ 1 ϕ 2 = − 1, ϕ 3 + ϕ 4 = η 2, ϕ 3 ϕ 4 = − 1 erfüllen. Folglich sind ϕ 1 und ϕ 2 die Wurzeln der quadratischen Gleichung x 2 − η 1 x − 1 = 0,
bzw. ϕ 3 und ϕ 4 die der Gleichung x 2 − η 2 x − 1 = 0. Da η 1 und η 2 nach dem vorangegangenen Schritt mit Zirkel und Lineal konstruierbare Größen sind,
lassen sich auch die Perioden ϕi auf diese Weise konstruieren.

Analog verfährt man mit den 2- bzw. eingliedrigen Perioden. Auch hier erhält
man wieder quadratische Gleichungen, deren Koeffizienten mit Zirkel und

Lineal konstruierbar sind, so daß auch die Wurzeln dieser Gleichungen auf
diese Weise konstruiert werden können.

Dabei genügt es, die beiden zweigliedrigen Perioden φ 1 = ε + ε 16 und
φ 2 = ε 13 + ε 4 zu betrachten. Sie genügen den Relationen φ 1 + φ 2 = ϕ 1 und
φ 1 φ 2 = ϕ 3 und sind somit die Lösungen der Gleichung x 2 − ϕ 1 x + ϕ 3 = 0.

Schließlich folgt aus ε + ε 16 = φ 1 und εε 16 = 1, daß ε und ε 16 Lösungen
der Gleichungen x 2 − φ 1 x + 1 = 0 sind. Somit kann ε mit Zirkel und Lineal
konstruiert werden.

Ergänzende Bemerkung:

Zur Auflösung der Kreisteilungsgleichung xp − 1 = 0 mit p − 1 = a 1 a 2 . . . am
genügt es, nacheinander die folgenden Perioden zu betrachten. Zuerst bildet
man die a 1 Perioden

426

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe
ηi = εgi− 1 + εgi− 1+ a 1 + . . . + εgi− 1+ p− 1+ a 1 ( i = 1 , 2 , ...a 1).

Diese Perioden sind die Lösungen einer Resolvente, einer zyklischen Ga-
loisschen Gleichung vom Grade a 1. Adjungiert man die Lösungen, d. h. die

Größen ηi zu dem Koeffizientenkörper der Ausgangsgleichung, so wird die
zugehörige Permutationsgruppe auf einen Normalteiler N 1 reduziert, der ge-
nau aus den Permutationen der Wurzeln besteht, bei denen die Perioden ηi
ihren Wert nicht ändern.

Nun werden die a2 Perioden
ϕi = εg( i− 1) a 1 + εg( i− 1) a 1+ a 1 a 2 + . . . + εg( i− 1) a 1+ p− 1+ a 1 a 2 ( i = 1 , 2 , . . . , a 2) gebildet. Sie sind wieder die Lösung einer zyklischen Resolvente vom Grade
a 2. Durch Adjunktion dieser Lösungen reduziert sich die zugehörige Gruppe
auf einen Normalteiler N 2 von N 1, der aus den Permutationen besteht, bei
denen die Perioden ϕi ungeändert bleiben. Analog fährt man fort, bis die
zugehörige Gruppe auf die Einheitsgruppe reduziert ist. [Perron, Bd. 2], [van
der Waerden 1985], [Cofman, Bd. 2, S. 29-32]

Aufgabe 7.2.1: Zyklische Permutationsgruppen

Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn all ihre Elemente als Potenzen eines
einzigen Elementes a geschrieben werden können. G wird auch die von a
erzeugte zyklische Gruppe genannt. Man bestätige die Aussage: Es gibt zy-
klische Permutationsgruppen beliebiger Ordnung.

Aufgabe 7.4.1: Regul¨
are Halbgruppen

In einer Halbgruppe G heißt ein Element a regulär, wenn aus ax = ay mit
x, y aus G folgt x = y; und wenn aus va = ua mit u, v aus G folgt u = v.

Ist jedes Element von G regulär, so heißt G eine reguläre Halbgruppe. Man
zeige, daß jede endliche, reguläre Halbgruppe eine Gruppe ist. [Lugowski, II,

S. 4]

Aufgabe 7.4.2: Kriterium f¨
ur Untergruppen

Man beweise das übliche Untergruppenkriterium: Eine nichtleere Untermenge

U einer Gruppe G ist genau dann eine Untergruppe von G, wenn gilt:

- mit je zwei Elementen a, b aus U ist auch das Produkt ab ein Element aus

U , und

- zu jedem Element a aus U ist auch das inverse Element a− 1 in U enthalten.

Für endliche Gruppen G kann die zweite Bedingung entfallen. Weshalb?

Aufgabe 7.5.1: Teilbarkeitskriterien von Pascal

Man beweise das von B. Pascal formulierte Teilbarkeitskriterium: Die natürli-
che Zahl a ist durch die natürliche Zahl m teilbar, wenn m die Zahl
a 0 + a 1 r 1 + a 2 r 2 + . . . + anrn teilt. Dabei sind ai die einzelnen Ziffern in der Dezimaldarstellung von a, d. h. a = a 0 + 10 a 1 + . . . + 10 nan mit 0 ≤ ai ≤ 9

7.7 Aufgaben zu Kapitel 7

427
für i = 0, 1, . . . , n und an = 0, und r 1, r 2, . . . rn sind die Reste der Zahlen 10, 10 a 1, 10 a 2, . . . , 10 an− 1 bei der Division durch m.[Cofman, Bd. 2, S. 3]

Aufgabe 7.5.2: Teilbarkeitskriterium von Eisenstein-Sch¨
onemann
und Th. Sch¨
onemann

Auf G. Eisenstein geht folgendes Teilbarkeitskriterium zurück: Sei R ein Ring,
in dem der Satz von der eindeutigen Primelementzerlegung gilt (sog. ZPE-

Ring), und f ( x) = anxn + an− 1 xn− 1 + . . . + a 1 x + a 0 ein Polynom vom Grade n mit Koeffizienten aus R. Wenn es in R ein Primelement p gibt, das an
nicht teilt, aber alle anderen Koeffizienten von f , und wenn außerdem p 2
nicht das Absolutglied a 0 teilt, dann besitzt f ( x) im Polynomring R[ x] bis
auf konstante Faktoren keinen echten Teiler.

Man beweise diesen Satz.

Hinweis: Man führe einen Widerspruchsbeweis, indem man eine Zerlegung
für f annimmt und aus den obigen Teilbarkeitsaussagen einen Widerspruch
für die Koeffizienten ableitet.

Aufgabe 7.5.3: Kleiner Satz von Fermat

Man beweise das als kleiner Fermatscher Satz bekannte Resultat: Für jede

Primzahl p und jede natürliche Zahl a ist ap − a durch p teilbar.

Hinweis: Man unterscheide die Fälle, daß p ein Teiler von a ist bzw. p zu a
teilerfremd ist.[Cofman, Bd. 2, S. 2]

Aufgabe 7.5.4: Gemeinsamer Teiler zweier Polynome Bezüglich eines
gemeinsamen Teilers zweier Polynome f ( x) und g( x) aus R[ x] ( R ein kom-
mutativer, nullteilerfreier Ring und K der Quotientenkörper von R) beweise
man die folgende Aussage:

Sind f und g vom Grad n bzw. m, so haben sie genau dann einen nichtkon-
stanten gemeinsamen Teiler t( x) aus K[ x], wenn es in K[ x] zwei Polynome
h( x) = 0 und k( x) = 0 gibt, die höchstens den Grad n − 1 bzw. m − 1 haben und der Gleichung f ( x) k( x) − g( x) h( x) = 0 genügen.

Hinweis: Man nehme die Polynome in der Form
f ( x) = a 0 xn + a 1 xn− 1 + . . . + an
g( x) = b 0 xn + b 1 xm− 1 + . . . + bm
h( x) = c 0 xn− 1 + c 1 xn− 2 + . . . + cn− 1
k( x) = d 0 xm− 1 + d 1 xm− 2 + . . . + dm− 1
an, setze sie in die angegebene Gleichung ein und leite durch Koeffizientenver-
gleich ein Gleichungssystem für die unbekannten Größen d 0, ..., dm− 1, −c 0,

..., −cn− 1 ab. Die Transponierte der Koeffizientenmatrix dieses Gleichungs-
system ist die sog. Resultante oder Sylvestersche Determinante von f und g.

Man überlegt sich leicht, daß die Existenz eines gemeinsamen Teilers von f
und g mit dem Verschwinden ihrer Resultante gleichwertig ist.

428

7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe

Aufgabe 7.6.1: Eigenschaften von Matrizen

Man zeige:

a) Die Diagonalelemente einer schiefsymmetrischen Matrix sind Null.

b) Die von Null verschiedenen Eigenwerte einer reellen, schiefsymmetrischen

Matrix sind rein imaginär.

c) Seien A und B reelle Matrizen, A symmetrisch, B schiefsymmetrisch.

Dann ist C = A + iB hermitesch und hat reelle Eigenwerte.

Aufgabe 7.6.2: Realit¨
at von Eigenwerten

Man beweise den in etwas vereinfachter Form auf Hermite zurückgehenden

Satz:

Die Gleichung |A − λB| = 0 mit hermiteschen Matrizen A und B hat lauter
reelle Wurzeln, wenn B positiv oder negativ definit ist (also die hermitesche

Form xBx für alle komplexen Vektoren x mit xx > 0 entweder stets positiv
oder stets negativ ist).

Bemerkung: Dieser Satz ist sowohl in der Theorie der Hauptachsentransfor-
mation, bei der Untersuchung kleiner Schwingungen als auch beim Studium
säkularer Planetenbewegungen von Bedeutung.

Hinweis: Man bemerkt zunächst, daß die Gleichung stets von n-tem Grade
ist, da der Koeffizient von λn die mit ( − 1) n multiplizierte Determinante der

Matrix B ist. Wegen der Definitheit von B ist diese Determinante von Null
verschieden. [Perron, Algebra II, S. 20]

Aufgabe 7.6.3: Absch¨
atzung der charakteristischen Zahlen

Bei verschiedenen Aufgaben spielt die charakteristische Gleichung einer Ma-
trix eine wichtige Rolle, und häufig ist es vorteilhaft eine Abschätzung der

Lösungen, der sog. charakteristischen Wurzeln (oder Zahlen), dieser Glei-
chung zu haben. Ist ( ai,j ) = A ( i = 1 , 2 , . . . , n; j = 1 , 2 , . . . , n) eine quadratische Matrix und I die Einheitsmatrix, so bezeichnet man die Beziehung

( A − λI) = 0 als die charakteristische Gleichung von A. Man zeige:

Für jede charakteristische Wurzel λ der Matrix A gilt |λ| ≤ K, wo-
bei K = max |ai 1 |p 1+ |ai 2 |p 1+ ... + |ain|pn mit beliebigen positiven Zahlen pi, l≤i≤n
pi
i = 1 , . . . , n ist.

Aufgabe 7.6.4: Austauschsatz von Steinitz

Man beweise den Steinitzschen Austauschsatz für Vektorräume: Seien V ein
endlicher Vektorraum über dem Körper K mit einer Basis aus n Vektoren und

{v 1, v 2, . . . , vm} ein System von m linear unabhängigen Elementen (Vektoren)

in V . Dann gibt es auch eine Basis von V aus n Vektoren, unter denen v 1,
v 2, . . . , vm alle vorkommen. Mit anderen Worten: Man kann m Basisvektoren
durch die vi austauschen.

8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850
bis 1880

430

8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880

1850

R. Clausius formuliert den 2. Hauptsatz der Thermodynamik.

1851

Erste Weltausstellung in London

1852

Charles Louis Napoléon läßt sich nach einem Staatsstreich (1851) als Na-
poleon III. zum Kaiser von Frankreich wählen und begründet das zweite

Kaiserreich.

1852

Beginn einer verstärkten europäischen Einwanderung in die USA

1852

J. Meyer vollendet sein 52bändiges Großes Konversations-Lexikon“.

”

1853–56 Krimkrieg zwischen Rußland und der Türkei, Frankreich und Großbri-
tannien

1853–56 Afrikadurchquerung Livingstones mit Entdeckung der Viktoria-Fälle

1854

Der erste Band von J. und W. Grimms

Deutsches Wörterbuch“ er-

”

scheint.

1854

B. Riemann entwickelt in seinem Habilitationsvortrag Grundideen der

Theorie (differenzierbarer) Mannigfaltigkeiten

1855

J. C. Maxwell veröffentlicht eine erste Arbeit zur elektromagnetischen

Feldtheorie.

1857

Erste Weltwirtschaftskrise

1857

L. Pasteur publiziert erste Arbeiten zur Bakteriologie.

1858

Entdeckung der Kathodenstrahlen durch J. Plücker

1858

Begründung der Zellular-Pathologie durch R. Virchow

1859

Italienischer Befreiungskrieg unter G. Garibaldi

1859

R. Bunsen und G. Kirchhoff schaffen die Grundlagen der Spektralanalyse.

1859

Ch. Darwin veröffentlicht die Grundzüge seiner Evolutionstheorie.

1861–65 Sezessionskrieg in den USA. Sieg der industrialisierten Nordstaaten und

Abschaffung der Sklaverei

1864

Preußisch- Österreichischer Krieg gegen Dänemark

1864

Genfer Konvention über die humane Behandlung von Kriegsgefangenen

1865

Gründung der BASF in Ludwigshafen

1865–70 Krieg von Brasilien, Argentinien und Uruguay gegen Paraguay

1865

G. Mendel begründet mit der Publikation grundlegender Resultate die

Genetik.

ca. 1865 In der französischen Malerei beginnt die Entwicklung der Stilrichtung des

Impressionismus.

1866

Krieg Preußens gegen Österreich und den Deutschen Bund

1867

Goethes Faust I erscheint als erster Band in Reclams Universal-

Bibliothek.

1867

K. Marx faßt im ersten Band von Das Kapital“ wichtige Erkenntnise der

”

politischen Ökonomie zusammen.

1868

E. Haeckel macht den Entwicklungsgedanken mit populärwissenschaftli-
chen Schriften in der Bevölkerung bekannt.

1869

D. I. Mendelejev und L. Meyer entdecken unabhängig voneinander das

Periodensystem der Elemente.

1869

Fertigstellung des Suez-Kanals nach zehnjähriger Bauzeit

1870/71 Deutsch-Französischer Krieg

1871

Wilhelm I. wird deutscher Kaiser.

1871

Ch. Darwin wendet die Evolutionstheorie auf die Abstammung des Men-
schen an.

1873

Deutschland, Rußland und Österreich verbünden sich im Drei-Kaiser-

Bündnis.

1874

Gründung des Allgemeinen Postvereins“ in Bern

”

1874

R. Wagner vollendet mit der Oper

Götterdämmerung“ den Ring des

”

”

Nibelungen“.

1875

Gründung der Sozialistischen Arbeiterpartei Deutschlands

8.0 Vorbemerkungen

431

8.0 Vorbemerkungen

Als am ersten Mai 1851 die erste Weltausstellung im neuerrichteten Kri-
stallpalast im Londoner Hyde Park eröffnet wurde, erhielt alle Welt den
neuen Zeitgeist vor Augen geführt. Die Industrielle Revolution hatte zu ei-
ner grundlegenden Umgestaltung der Lebensverhältnisse geführt, der Einsatz
von Maschinen hatte die menschlichen Möglichkeiten in ungeahnter Weise
vervielfältigt. Die 563 Meter lange Ausstellungshalle war eigens für die Welt-
ausstellung aus vorgefertigten, genormten Bauteilen errichtet worden und
demonstrierte eindrucksvoll die neuen Möglichkeiten der Architektur. Die
vielfältigen Erfolge der Industrie und der Wissenschaften erzeugten unter den

Menschen einen nachhaltigen Fortschrittsoptimismus, der zu einem Charak-
teristikum des ganzen Jahrhunderts wurde. Die Naturwissenschaften und die

Mathematik entwickelten sich zum geistigen Träger dieses Optimismus. Mit
der sich entwickelnden Industrialisierung im Rahmen der Industriellen Revo-
lution hatte sich in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts ein qualitativ neues

Verhältnis zwischen den Naturwissenschaften einschließlich der Mathematik
und der materiellen Produktion herausgebildet, das für die Mathematik ei-
ne Flut von neuen Anregungen und Anwendungsmöglichkeiten bereit hielt.

War diese Beziehung zunächst durch die Anwendung naturwissenschaftlicher
und mathematischer Kenntnisse für die Entwicklung der Produktion gekenn-
zeichnet, so erreichte das Wechselverhältnis zur Produktion nach der Jahr-
hundertmitte eine neue Qualität, indem man zunehmend von einer Verwis-
senschaftlichung der Produktion sprechen kann. Naturwissenschaftliche Er-
gebnisse wurden jetzt immer mehr zur Grundlage der Produktion. Die dabei
erzielten Erfolge veranlaßten wiederum zahlreiche Unternehmer, verstärkt di-
rekt oder indirekt Mittel für die Förderung der Wissenschaften zur Verfügung
zu stellen.

Die Naturwissenschaften und die Mathematik nahmen unter den veränder-
ten Bedingungen eine stürmische Entwicklung und entfalteten zugleich eine
innere Dynamik. Die Naturwissenschaften und insbesondere die Mathematik
wurden zum Leitbild für die wissenschaftliche Methode, für wissenschaftliches

Denken. Bildeten die Naturwissenschaften einerseits verstärkt die Grundla-
ge der industriellen Produktion, so lösten sich andererseits große Teile der
einzelnen Disziplinen immer mehr aus der Arbeit an der Schaffung neuer

Verfahren zur materiellen Produktion heraus und formierten sich in abstrak-
ten Wissenssystemen. Der große Zuwachs an wissenschaftlichen Resultaten
führte zu einem starken Ausbau der vorhandenen und zur Entstehung meh-
rerer neuer Spezialgebiete in den einzelnen naturwissenschaftlichen Diszipli-
nen und der Mathematik. Untrennbar mit diesem umfassenden Erkenntnis-
zuwachs verbunden war eine beträchtliche Zunahme der personellen Basis:

die Zahl der Mathematiker, Chemiker, Physiker etc. vergrößerte sich enorm.

Zugleich traten zu den bisher bestehenden Zentren der mathematischen For-
schung – Frankreich, England und Deutschland – mit Italien und Rußland
neue hinzu.

432

8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880

Gestützt wurde dieser Prozeß der Neuformierung der einzelnen naturwissen-
schaftlichen Disziplinen und der Mathematik durch eine quantitative Zunah-
me der höheren Bildungseinrichtungen. Es entstanden weitere Universitäten
und polytechnische Schulen sowie höhere allgemeinbildende Schulen, aber
auch nationale und lokale Akademien, nationale und später sogar internatio-
nale Vereinigungen und Gesellschaften, die den Kenntnisaustausch auf ver-
schiedenen Wissensgebieten förderten.

Auf mathematischem Gebiet wurden beispielsweise 1864 bzw. 1865 die Mos-
kauer bzw. die Londoner Mathematische Gesellschaft gegründet, die bald
nationalen Charakter annahmen. 1872 formierte sich die Französische Ma-
thematische Gesellschaft, 1891 die Deutsche Mathematiker-Vereinigung. Sehr
rasch wurde dann auch die Notwendigkeit zur Schaffung internationaler Or-
ganisationsformen empfunden. Bereits 1897 fand der I. Internationale Ma-
thematikerkongreß in Zürich statt.

Die größere Anzahl an allgemeinbildenden höheren Schulen führte sehr bald
zu einem erhöhten Bedarf an Lehrern für Mathematik bzw. naturwissen-
schaftliche Fächer. Die Aufgabe, diese Lehrer auszubilden, wurde von den

Philosophischen Fakultäten der Universitäten übernommen, die sich mit der

Wahrnehmung der neuen Funktion endgültig von ihrem Status als Vorbil-
dungsanstalt für das Studium der Theologie, Medizin oder Rechtswissen-
schaften befreiten und eine größere Eigenständigkeit erreichten. Insbesonde-
re in der Mathematik brachte dieser Prozeß eine deutliche Zunahme in der

Anzahl der Professorenstellen und in der zweiten Hälfte des Jahrhunderts
mit der Gründung von Instituten bzw. Seminaren eine starke institutionelle

Fundierung mit sich. Beides wirkte sehr stimulierend für die Entwicklung der
mathematischen Forschung.

Der Aufschwung der naturwissenschaftlichen und mathematischen Forschung
erforderte auch neue Möglichkeiten des Informationsaustausches. Die Spezia-
lisierung zwischen den einzelnen Disziplinen war so weit fortgeschritten und
der Wissenszuwachs so groß, daß die Gründung zahlreicher fachspezifischer

Zeitschriften möglich und notwendig wurde. In mehreren Fällen übernahmen
lokale oder nationale Verbände und Gesellschaften die Herausgeberschaft,
doch eine ganze Reihe bedeutender Zeitschriften verdankte ihre Entstehung
dem Weitblick und dem Engagement einzelner Verleger.

Während die 1810 von Joseph-Diaz Gergonne edierte Zeitschrift

Annales

”

des Math´
ematiques Pures et Appliqu´
ees“ als erste, nur der Mathematik ge-
widmete Zeitschrift nur bis 1831 erschien, hat das 1826 von August Leopold

Crelle begründete Journal f¨
ur die reine und angewandte Mathematik“ noch

”

heute Bestand. Der erste Artikel in Crelles Journal, wie die Zeitschrift kurz
hieß, war übrigens Abels Beweis für die Unmöglichkeit der Auflösung der
allgemeinen Gleichung 5. Grades in Radikalen. Mit Liouvilles

Journal des

”

Math´
ematiques Pures et Appliqu´
ees“ (1836), Darboux Bulletin des Sciences

”

Math´
ematiques“ (1870), den Mathematischen Annalen“ (1868), dem Ame-

”

”

rican Journal of Mathematics“ (1878) und den

Acta Matematica“ (1882)

”

8.0 Vorbemerkungen

433

Abb. 8.0.1. Titelblatt des ersten Heftes von Crelles Journal“ 1826

”

434

8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880
seien nur einige Zeitschriften genannt, die im Laufe des Jahrhunderts ent-
standen und sich zu international bedeutenden Publikationsorganen auf dem

Gebiet der Mathematik entwickelten.

Schon zu Beginn des Jahrhunderts hatte sich ein Wandel in der Publikations-
sprache vollzogen. Das Latein als allgemeine Wissenschaftssprache wurde
durch die einzelnen Nationalsprachen abgelöst. Dies führte zunächst zu eini-
gen Sprachbarrieren, wenn man von den relativ weitverbreiteten Sprachkennt-
nissen in Französisch absieht. Das Erlernen der modernen“ Fremdsprachen

”

gehörte lange Zeit nicht zum Ausbildungsbestandteil an allgemeinbildenden

Schulen bzw. Hochschulen, blieb also der privaten Initiative überlassen, und
zur Herausbildung einer oder einiger bevorzugter Publikationssprachen war
es noch ein langer Weg. So erlernte Gauß noch im hohen Alter die russische

Sprache, um die Arbeiten Lobatschewskijs zur nichteuklidischen Geometrie
studieren zu können. Die Bevorzugung der Nationalsprache bei der Publika-
tion wissenschaftlicher Arbeiten führte u. a. dazu, daß über mehrere Jahr-
zehnte die einzelnen Resultate teilweise verspätet oder gar nicht im Ausland
zur Kenntnis genommen wurden und es wiederholt zu Mehrfachentdeckungen
kam.

8.1 Weitere Fortschritte im Verst¨
andnis der

Galois-Theorie

Um die Mitte des 19. Jahrhunderts zeichnete sich in der algebraischen For-
schung eine Reihe neuer Themenfelder ab, deren Bearbeitung bald zu einem
grundlegenden Wandel in dieser Disziplin führen sollte. Aber noch befand
man sich am Anfang dieser Entwicklung. Die zusammenfassenden Darstellun-
gen und die Lehrbücher der Algebra waren noch ganz in dem seit Jahrzehnten
benutzten Stil abgefaßt bzw. waren nur unwesentlich veränderte Neueditio-
nen der um die Jahrhundertwende entstandenen Erstausgaben. Auch das
neue 1849 erschienene Lehrbuch

Cours d’Alg`
ebre sup´
erieure“ von Joseph

”

Alfred Serret, das fast bis zum Ende des Jahrhunderts eine dominierende

Stellung einnahm, folgte in der Erstauflage dieser Tradition. Den Inhalt der

Algebra definierte er weiterhin als Gleichungstheorie:

L’Alg`
ebre est, `
a proprement parler, l’Analyse des ´
equations; les diverses

”

th´
eories partielles qu’elle comprend se rattachent toutes, plus ou moins, `
a cet
objet principal.“ [Serret 1849, S. 1]

Die folgenden Lektionen verdeutlichen Serrets Bemühen, neuere Ergebnisse
zu integrieren und den adäquaten Eindruck vom Stand der aktuellen For-
schung zu vermitteln. Er behandelte u. a. Ergebnisse von Gauß, Lagrange,

Cauchy und Abel , Galois erwähnte er nur in einer Fußnote bezüglich eines

Satzes über die Irreduzibilität einer Gleichung vom Primzahlgrad. Es gelang

Serret jedoch noch nicht, dem gesamten Stoff eine neue, der inneren Logik

8.1 Weitere Fortschritte im Verständnis der Galois-Theorie

435
folgende Systematik zu geben und ihn auf eine entsprechende begriffliche Ba-
sis zu stellen. Er blieb in seinen Darlegungen deutlich dem jeweiligen Autor
in Inhalt und Terminologie verpflichtet. Doch ein solcher Umschwung konn-
te von Serret auch objektiv nicht geleistet werden, dazu bedurfte es noch
der Aufklärung weiterer struktureller Zusammenhänge, insbesondere des vol-
len Verständnisses der Galois-Theorie, von dem man zu diesem Zeitpunkt
noch weit entfernt war. Die nachfolgenden Auflagen von Serrets Algebrabuch
vermitteln einen guten Eindruck von dem wachsenden Verständnis für die

Galois-Theorie sowie den strukturellen Einsichten und lassen den beginnen-
den Wandel deutlich werden. Dazu ist es notwendig, den Faden der von Galois
und Abel ausgehenden Entwicklung (vgl. Abschn. 7.1) wieder aufzunehmen
und die weitere Rezeption der Galoisschen Arbeiten zu untersuchen.

Die Publikation der Galoisschen Schriften hatte in den europäischen Ländern
eine sehr unterschiedliche Wirkung. Die erste Präzisierung der Galois-Theorie
mit einer Vervollständigung der Beweise präsentierte der Italiener Enrico Bet-
ti ab 1851. Er hatte 1846 sein Studium an der Universität Pisa mit der Promo-
tion abgeschlossen und wirkte nach der aktiven Beteiligung am italienischen

Freiheitskampf ab 1849 zunächst als Professor an einem Lyzeum, dann an der

Universität Pisa. Dort wurde er zum Mitbegründer der neuen italienischen

Mathematikerschule, war aber auch weiter politisch aktiv. Die wohl wichtig-
sten Arbeiten zur Galois-Theorie [Betti 1852], [Betti 1855] erschienen 1852
und 1855. Dabei markiert Betti den Übergang zu jenen Kommentatoren der

Galoisschen Schriften, die nicht nur ein Ausfüllen der Beweislücken im Auge
hatten, sondern sich zunehmend der Herausarbeitung des algebraischen Ge-
halts der Theorie widmeten. Die gruppentheoretischen Hilfsmittel, d. h. die

Betrachtungen über Permutationen, die Definition der Permutationsgruppe
und deren Eigenschaften, wurden den Darlegungen zur Auflösungstheorie
vorangestellt. Mit den Nachweis, daß die von Galois definierte Gleichung der

Gruppe tatsächlich eine Permutationsgruppe ist, gelang Betti ein wesentli-
cher Beitrag zur algebraischen Durchdringung der Theorie.

8.1.1 Die Rezeption der Galois-Theorie in Deutschland

In Deutschland war es der Gymnasiallehrer Theodor Schönemann, der sich
auf Veranlassung von Carl Gustav Jacob Jacobi mit den Arbeiten Galois’

befaßte und 1853 eine der von Galois gelassenen Lücken in den Beweisen ge-
nauer ausführte. Schönemann hatte sich seit Ende der 30er Jahre vor allem
mit Funktionenkongruenzen beschäftigt und unabhängig von Gauß und Ga-
lois 1846 wichtige Einsichten in die Theorie der Galois-Felder in der Sprache
der Kongruenzen publiziert. Bei aller inhaltlichen Verwandtschaft mit den
entsprechenden Galoisschen Arbeiten erreichte er nicht dessen Abstraktions-
niveau. Auch in der Arbeit über die Wurzeln der Gleichungen hat er den
algebraischen Gehalt der Theorie nicht erfaßt, so daß er kaum zu deren bes-
serem Verständnis beitrug. Die neueren Ergebnisse zur Permutationentheorie

436

8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880
ließ er ebenfalls unberücksichtigt. Etwa zum gleichen Zeitpunkt, wahrschein-
lich während des Paris-Aufenthalts 1853, hat sich Leopold Kronecker inten-
siv mit dem Galoisschen Werk bekannt gemacht. Er konzentrierte sich dann
auf die Aufklärung der körpertheoretischen Aspekte des Auflösungsproblems.

Dies geschah auf der Basis einer genauen Kenntnis der in der Arithmetik
ganzer algebraischer Zahlen erzielten Ergebnisse, speziell der Forschungen

Kummers und dessen idealen Zahlen“ (vgl. Abschn. 7.5.2). Kronecker selbst

”

hatte sich 1845 in seiner Dissertation mit komplexen Einheiten in gewis-
sen Kreisteilungskörpern beschäftigt und war zu Ergebnissen gekommen, die
enge Beziehungen zu Kummers Theorie der idealen Zahlen aufwiesen. Au-
ßerdem hatte er auch die Arbeiten Abels zur Gleichungstheorie studiert. Bei
der Beschäftigung mit dem Auflösungsproblem war er nun bestrebt, die in
den arithmetischen Studien gewonnenen Ideen mit den algebraischen Unter-
suchungen zur Galois-Theorie zu verbinden. Diese Vereinigung der in bei-
den Gebieten enthaltenen impliziten Vorstellungen zum Körperbegriff ließ

Kronecker frühzeitig die zentrale Rolle dieses Begriffs für Algebra und Zahlen-
theorie erkennen. In der Arbeit

¨

Uber die algebraisch aufl¨
osbaren Gleichungen

”

(I. Abh.)“ würdigte er zunächst die Leistungen von Abel und Galois, doch,
so seine Kritik, wurde die Natur der auflösbaren Gleichungen selbst durch
die angegebenen Kriterien, vor allem durch das Galoissche, mehr verdeckt als
erhellt. Er fuhr fort:

Und so blieben die aufl¨
osbaren Gleichungen selbst bisher in einem gewissen

”

Dunkel, ... welches nur durch Aufl¨
osung des Problems, alle aufl¨
osbaren Glei-
chungen zu finden, vollst¨
andig aufgekl¨
art werden konnte. Denn alsdann hat
man nicht bloß unendlich viele neue aufl¨
osbare Gleichungen, sondern eben al-
le m¨
oglichen gewissermaßen vor Augen und kann an der entwickelten Form
ihrer Wurzeln alle ihre Eigenschaften auffinden und erweisen.

Es ist nun aber, wie gesagt, bei obigem Probleme noch erforderlich, den

Zusammenhang zwischen dem gesuchten algebraischen Ausdruck und den

Co¨
efficienten der Gleichung zu bestimmen; deshalb ist die Aufgabe vielmehr
dahin zu stellen:

Die allgemeinste algebraische Function irgend welcher Gr¨
oßen

A, B, C, ...

zu finden, welche einer Gleichung von einem gegebenen Grade gen¨
ugt, deren

Co¨
efficienten rationale Functionen jener Gr¨
oßen sind.“ [Kronecker 1895, Bd.

4, S. 3-4]

Algebraische Funktion ist hier im Sinne von Radikalausdruck zu verste-
hen und rationale Funktion ist eine solche mit ganzzahligen oder rationa-
len Koeffizienten. Kronecker ging also implizit von dem Erweiterungskörper

Q( A, B, C, ... ) über den rationalen Zahlen als Koeffizientenkörper der Glei-
chung aus. Da er keine Aussagen über die Größen A, B, C, ... machte, könnte
man diese sowohl als Unbestimmte, als auch als algebraische Irrationalitäten
interpretieren, so daß der Erweiterungskörper auch ein Funktionenkörper sein
kann. In späteren Arbeiten hat Kronecker diesen Fall explizit in seine Be-
trachtungen mit eingeschlossen.

8.1 Weitere Fortschritte im Verständnis der Galois-Theorie

437

Beim Studium der vorgelegten auflösbaren Gleichung vom Primzahlgrad
präzisierte Kronecker zunächst die Abelsche Vorgehensweise, indem er etwa
beim Begriff der Irreduzibilität und bei der von Abel angegebenen Formel für
die Wurzeln der Gleichung klar die rationale Abhängigkeit von dem zugrun-
de gelegten Koeffizientenkörper angab, und kam dann zu einer genaueren

Charakterisierung der Wurzelgrößen sowie zu folgendem Resultat:

jede aufl¨
osbare Gleichung von einem Primzahlgrade ist eine Abel sche, wenn

”

man eine Gr¨
oße
r 1
als bekannt annimmt, welche selbst Wurzel einer

Abel schen Gleichung ist; ...“ [Kronecker 1895, Bd. 4, S. 7]

Unter Abelscher Gleichung verstand Kronecker eine Gleichung, für die es eine
ganze rationale Funktion Θ( x) mit rationalen Funktionen der Größen A, B,

C, ... als Koeffizienten gab, so daß für die Wurzeln xi der Gleichung galt:

x 1 = Θ( xn), und xk+1 = Θ( xk) für k = 1, 2, ...n − 1. In moderner Terminologie bedeutet dies, daß jede auflösbare und über Q( A, B, C, ... ) irreduzible

Gleichung vom Primzahlgrad nach Adjunktion einer Wurzel einer geeigneten
über Q( A, B, C, ... ) zyklischen Gleichung selbst zyklisch wird. Daraus leitete

Kronecker dann eine Formel für die Wurzeln der vorgelegten Gleichung ab,
welche die Bildung der Wurzeln aus den Ausgangsgrößen angab. Die Arbeit
gipfelte in dem Satz,
daß die Wurzel jeder Abel schen Gleichung mit ganz-

”

zahligen Co¨
efficienten als rationale Function von Wurzeln der Einheit darge-
stellt werden kann; ...“ [Kronecker 1895, Bd. 4, S. 10], d. h. jeder Körper, der
über dem Körper Q der rationalen Zahlen abelsch ist, ist ein Teilkörper eines

Kreisteilungskörpers. Zusammen mit der Umkehrung, daß jeder Teilkörper
eines Kreisteilungskörpers abelsch ist, bildet der Satz eine Vermutung, die

Kronecker nach eigener Aussage seit Ende der 40er Jahre beschäftigte und
die für die Entwicklung der Theorie algebraischer Zahlen von großer Bedeu-
tung war. Die Aussage wurde erstmals von Heinrich Weber 1886 bewiesen
und ist heute als Satz von Kronecker-Weber bekannt.

Nach der besprochenen Arbeit hat Kronecker 1856 eine zweite Abhandlung
gleichen Titels publiziert, in der er sich auf reelle Erweiterungskörper des

Körpers der rationalen Zahlen konzentrierte. Unter Präzisierung einer Schluß-
weise von Galois bewies er u. a., daß für eine über einem reellen Erwei-
terungskörper Q( A, B, C, ... ) auflösbare Gleichung vom Primzahlgrad µ = 2
entweder alle Wurzeln reell sind oder nur eine einzige. Zwischen 1854 und 1862
erschienen weitere Arbeiten Kroneckers, die sich mit Kreisteilungsgleichun-
gen bzw. den algebraischen Gleichungen beschäftigten, denen die singulären

Moduln bei der komplexen Multiplikation elliptischer Funktionen genügen
müssen. Ein Teil der darin enthaltenen Ergebnisse ging ebenfalls auf die Ende
der 40er Jahre durchgeführten mathematischen Studien zurück. Die zeitlich
parallele Beschäftigung mit den abelschen Gleichungen und der komplexen

Multiplikation elliptischer Funktionen veranlaßte Kronecker vermutlich, sei-
ne Forschung auf einen imaginär-quadratischen Grundkörper auszudehnen.

Er stellte dabei folgende Hypothese auf, für die auch die Aussage über die

Beziehungen zwischen abelschen Körpern und Kreisteilungskörpern als An-

438

8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880
regung angesehen werden kann: Ist die Gleichung f ( x) = 0 in bezug auf den

√
imaginär-quadratischen Zahlkörper K = Q( −d) abelsch, so lassen sich alle

√

Wurzeln der Gleichung als rationale Funktion (in bezug auf K) von

−d,
gewissen Einheitswurzeln und gewissen singulären Moduln ausdrücken. Die-
se Vermutung hat Kronecker, als er sie rund 30 Jahre später publizierte, als
seinen Jugendtraum bezeichnet, so daß sie als

Kroneckers Jugendtraum“

”

bekannt wurde. Sie wurde nach einer Präzisierung 1920 von Teiji Takagi be-
wiesen.

Diese Forschungen verdeutlichen, wie eng algebraische und zahlentheoreti-
sche Aspekte in dieser Phase des Kroneckerschen Schaffens verknüpft waren.

Kronecker sah in seinen Ergebnissen zugleich einen Beitrag zur Klassifizie-
rung der Irrationalitäten, dabei hatte er die Abhängigkeit dieser Klassifizie-
rung von der Wahl des Grundkörpers klar erkannt. Im Vergleich zu seinen

Vorgängern, Abel und Galois, hob er den Körperbegriff deutlich als zentra-
len Begriff hervor und wählte ihn als Ausgangspunkt der Untersuchungen.

In seinen Arbeiten ging er jedoch zunächst nicht über den Gebrauch des im-
pliziten Körperbegriffs hinaus: die Elemente des Körpers werden konstruktiv
bestimmt, aber nicht zu einem neuen Objekt zusammengefaßt. In späteren

Veröffentlichungen berichtete er jedoch, daß er in den 60er Jahren eine solche

Zusammenfassung der durcheinander rational ausdrückbaren Größen in den

Blick genommen hatte und bereits 1865/66 darüber in Vorlesungen vortrug.

Diese Weiterentwicklung des Körperbegriffs durch Kronecker wird in einem
späteren Abschnitt zu analysieren sein.

8.1.2 Die Darstellung der Galois-Theorie durch Joseph Alfred

Serret und Camille Jordan

In Frankreich widmeten sich neben Liouville vor allem Charles Hermite und

Joseph Alfred Serret der Fortsetzung von Galois’ Ideen. Dabei wurde dieser

Prozeß dadurch belastet, daß der Auflösungstheorie die Theorie der Permu-
tationsgruppen in der von Cauchy festgefügten Form relativ eigenständig
gegenüberstand. Hermite erkannte 1851 eine von Victor Puiseux betrachte-
te Menge von Permutationen als Galois-Gruppe einer Gleichung. Puiseux
studierte die Entwicklung der durch f ( z, w) = 0 definierten algebraischen

Funktion w( z) und hatte nachgewiesen, daß die Wurzeln w 1, ... , wn der Glei-
chung f ( z, w) = 0 in Potenzreihen von z − z 0 entwickelbar waren. Setzte man
diese Wurzeln längs eines geschlossenen Weges von z 0 nach z 0 fort, wobei z 0
kein Verzweigungspunkt war und der Weg keine solchen Punkte enthielt, so
lieferte die Fortsetzung eine Permutation der Wurzeln wi. Diese Permutatio-
nen bilden eine Gruppe, ohne daß Puiseux den Begriff benutzte, und Hermite
stellte 1851 klar heraus, daß bei gewissen Voraussetzungen über den zugrun-
de gelegten Rationalitätsbereich diese Gruppe genau die Galois-Gruppe der

Gleichung f ( z, w) = 0 ist.

Serret, der seit 1849 als Professor an der École Polytechnique lehrte, hat-
te 1854 für die zweite Auflage seines Algebralehrbuchs

Cours d’Alg`
ebre

”

8.1 Weitere Fortschritte im Verständnis der Galois-Theorie

439
sup´
erieure“ ein Kapitel zur Galois-Theorie vorbereitet, stellte es dann doch
kurzfristig mit Rücksicht auf Liouville zurück und beschränkte sich darauf,
die Leistungen Galois’ im Vorwort und in einigen Passagen des Buches zu
loben sowie seinen Kommentar mit den Hinweis auf eine mögliche Publi-
kation zu erwähnen. Dieser Kommentar fand dann Aufnahme in die dritte,

1866 erschienene Auflage, die damit die erste lehrbuchmäßige Darstellung
der Galois-Theorie enthielt. Die Würdigung von Galois’ Leistung, die Serret,
ergänzt durch Hinweise auf die neueren Ergebnisse von Hermite, Kronecker,

Betti u. a., in die dritte Auflage unverändert übernahm, zielte aber noch
ganz auf die Auflösungstheorie algebraischer Gleichungen. Er zitierte wichti-
ge Einzelresultate, füllte Beweislücken aus oder vereinfachte die Beweise, aber
er sah in der Galoisschen Behandlung des Problems keine neue Methode. Die

Entdeckung des Gruppenbegriffs und der Normalteilereigenschaft sowie deren
prinzipielle Rolle für die Auflösungstheorie und darüber hinaus für die ganze

Mathematik wurden nicht gewürdigt. Doch die in der dritten Auflage deut-
lich werdenden Fortschritte waren trotzdem beachtlich. Die Auflage erschien
als zweibändige Ausgabe, was auch die inhaltliche Erweiterung verdeutlicht.

Gleichzeitig straffte Serret die Gliederung und gestaltete sie übersichtlicher.

Bei der Präsentation des Stoffes kamen sowohl Serrets umfangreiche Lehr-
erfahrungen als auch seine breit gefächerten mathematischen Interessen zum

Tragen. Seit 1861 war er Professor für Himmelsmechanik am Collège de Fran-
ce und ab 1863 hatte er eine Professur für Differential- und Integralrechnung
an der Sorbonne inne. Ohne die Wirkung seines Algebralehrbuches zu ne-
gieren, muß jedoch vermerkt werden, daß die Hauptleistungen von Serret
auf dem Gebiet der Analysis lagen. Er gehörte zu einer Gruppe jüngerer
französischer Mathematiker, die sich in den Jahrzehnten um die Jahrhun-
dertmitte sehr um die Entwicklung der Differentialgeometrie verdient machte,
untersuchte in diesem Rahmen Geodätische und stellte zusammen mit Jean

Frédéric Frenet die Fundamentalformeln in der Theorie der Raumkurven auf.

Doch zurück zu Serrets Algebra-Buch. Die Theorie der Permutationen,
die rund ein Drittel des Buches umfaßt, lieferte jetzt die Mittel, um das

Auflösungsproblem gruppentheoretisch zu behandeln. Serret übernahm die

Cauchysche Definition eines Systems konjugierter Substitutionen mit der
multiplikativen Abgeschlossenheit der Menge als einziger charakterisierender

Eigenschaft und leitete verschiedene Sätze über diese Systeme, d. h. also Sätze
über Permutationsgruppen, für die spätere Anwendung her. Dabei bezeichne-
te Substitution den Übergang von einer Permutation zur anderen, während

Permutation nur die Anordnung (der Grundelemente, z. B. Buchstaben oder

Zahlen) erfaßte. Das Hauptproblem der Theorie formulierte er schon ganz
gruppentheoretisch:

Le probl`
eme g´
en´
eral que l’on a en vue dans la th´
eorie des substitutions peut

”

ˆ
etre ´
enonc´
e dans les termes suivants: Quels sont les syst`
emes des substitutions
conjugu´
ees que l’on peut former avec n lettres donn´
ees? “ [Serret 1866, Band

2, S. 256]

440

8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880

Serret mußte jedoch eingestehen, daß dieses für die Algebra so bedeutsame

Problem trotz der Bemühungen der Gelehrten bisher noch keine Lösung er-
fahren habe und er nur wenige allgemeine Sätze präsentieren könne. Es folgten

10 Theoreme über wichtige Eigenschaften der Permutationsgruppen, die sehr
klar den Grad der Verselbständigung der permutationstheoretischen Grup-
pentheorie dokumentieren. Zu den Theoremen gehören z. B. die (in moderner

Terminologie formulierten) Aussagen:

– Die n! Permutationen von n Ziffern bilden eine Gruppe, welche die alter-
nierende Gruppe von der Ordnung n! / 2 enthält.

– Alle mit einer Permutation T von n Ziffern vertauschbaren Permutationen
von n Ziffern bilden eine Gruppe.

– Wenn eine Gruppe von Permutationen von n Ziffern neben allen Zyklen
dritter Ordnung, die mit n − 1 der gegebenen Ziffern gebildet werden
können, noch andere Permutationen umfaßt, dann enthält sie alle mit n

Ziffern bildbaren Zyklen dritter Ordnung.

Serret führte dann die Cauchyschen Entwicklungen mit den Galoisschen zu-
sammen, indem er explizit eine groupe de permutation“ mit Hilfe eines Sy-

”

stems konjugierter Substitutionen definierte. Sind 1, S 1, S 2, ... , Sn− 1 die n

Substitutionen des Systems, die von k Ziffern gebildet werden, und ist A 0
eine beliebige

Permutation“, also Anordnung, dieser k Ziffern, so liefert

”

die Anwendung der n Substitutionen die Permutationen A 0, S 1 A 0 = A 1,

S 2 A 0 = A 2, ... , Sn− 1 A 0 = An− 1. Diese n Permutationen bilden nach Serret eine Permutationsgruppe, und die Substitutionen Si des obigen Systems
nannte er die Substitutionen der Gruppe. An zahlreichen Stellen verwendete
er dann diese Begriffe als inhaltlich gleichwertig, doch kam er nicht zu dem
naheliegenden Begriff der Substitutionsgruppe. Das logisch korrekte Festhal-
ten an der Unterscheidung zwischen Substitution und Permutation wirkte
hier hemmend, um die strukturelle Übereinstimmung auch begrifflich deut-
lich werden zu lassen. Durch die Verbindung der Galoisschen Überlegungen
mit Cauchys Resultaten zur Permutationentheorie kamen auch die bei letzte-
ren vorhandenen Tendenzen zur Verselbständigung dieser Forschungen zum

Tragen. Damit markieren Serrets Ausführungen über Permutationsgruppen
zugleich den Übergang dieser Forschungen von bloßen Hilfsbetrachtungen
zur Auflösungstheorie algebraischer Gleichungen, zur gruppentheoretischen

Behandlung dieses Problems und zur Verselbständigung der Theorie der Per-
mutationsgruppen. In diesem Punkte ging Serret deutlich über Betti hinaus,
bei dem die obige Differenzierung zwischen Permutation und Substitution
ebenfalls zu registrieren war. Interessant sind dabei die von Serret in sei-
nem Buch eingefügten Betrachtungen

Sur quelques cas particuliers de la

”

th´
eorie des substitutions“. Darin verließ er den Bereich der Gleichungstheorie
und wandte gruppentheoretisches Denken auf das Studium von Funktionen
an, blieb aber begrifflich ganz im Rahmen der Permutationsgruppen. Für
die Untersuchungen, die Elemente der Analysis, Zahlentheorie und Permuta-

8.1 Weitere Fortschritte im Verständnis der Galois-Theorie

441
tionstheorie verknüpften, wählte er die Funktionen Θ( z) = az+ b
az+ b mit ganzen

Zahlen a, b, a, b als Ausgangspunkt, wobei alle Zahlen modulo einer un-
geraden Primzahl p genommen wurden. Er zeigte, daß es nur endlich viele,
genau ( p + 1) p( p − 1), derartige Funktionen gibt, und unterteilte mit Hilfe
der Determinante ∆ = ab − ab die Menge der Funktionen in zwei Klassen.

Die Hintereinanderausführung zweier Funktionen definierte dann eine Mul-
tiplikation, und die endliche Menge aller Funktionen Θ( z) bildet damit, wie

Serret bemerkte, eine Gruppe, in dem Sinne, daß die Multiplikation nicht aus
der Menge herausführt. Mit Verweis auf die Zusammensetzungsvorschrift der

Determinanten stellte er außerdem fest, daß eine der eingeführten Klassen
gebrochen linearer Funktionen ebenfalls die Gruppeneigenschaft besaß. In
dieser Art trat das von der Permutationentheorie abgelöste gruppentheoreti-
sche Denken noch mehrfach in Serrets Ausführungen auf, u. a. wenn er die
von einer Funktion Θ( z) erzeugte zyklische Gruppe studierte. Die Ergebnisse
dieses Abschnittes, der übrigens wesentlich auf einer Publikation Serrets aus
dem Jahre 1859 beruhte, waren u. a. eine Aufstellung verschiedener Typen
gebrochen linearer Funktionen und Aussagen über die Struktur der Permu-
tationsgruppen, wobei er im Anschluß an Hermite mit der Darstellung einer

Substitution (als Übergang von einer Permutation zu einer anderen) durch
eine zahlentheoretische Funktion arbeitete. Dabei verwandte Serret in ein-
zelnen Passagen den Begriff der Gruppe auch noch im umgangssprachlichen

Sinne. Die Verwendung gruppentheoretischer Elemente außerhalb der Theo-
rie der Permutationsgruppen wurde von ihm weder besonders thematisiert
noch begrifflich hervorgehoben. All dies charakterisiert das Übergangsstadi-
um, in dem sich die Gruppentheorie zu diesem Zeitpunkt befand.

Die Darlegung der Galoisschen Theorie bildete dann den Abschluß des Bu-
ches. Serret folgte dabei eng der Galoisschen Vorgehensweise, vermerkte aber,
daß er sich konsequent auf den Standpunkt der Substitutionen gestellt ha-
be. Entsprechend veränderte er die Bezeichnungsweise, so sprach er z. B. von
dem der Gleichung eigenen konjugierten System“ (von Substitutionen) statt

”

von der Gruppe der Gleichung“, wie Galois es tat. Abgesehen von diesen for-

”

malen Änderungen war die Anlehnung an Galois gegen Ende so stark, daß

Serret sogar einige Passagen zitierte.

Den Höhepunkt der auf der Basis der Permutationsgruppen vorgenomme-
nen Kommentierung der Galois-Theorie bildeten die Arbeiten von Camille

Jordan, die ab 1861 erschienen. Jordan hatte ein Jahr zuvor sein Studium
an der École Polytechnique mit der Promotion abgeschlossen und war nun,
wie es für viele französische Mathematiker des 19. Jahrhunderts typisch war,
als Ingenieur tätig. Diese Beschäftigung ließ ihm reichlich Zeit für mathema-
tische Forschungen. Jordan nutzte sie für bemerkenswerte Beiträge zu fast
allen Gebieten der Mathematik seiner Zeit und war einer der bedeutend-
sten französischen Mathematiker in der Generation zwischen Hermite und

Poincaré. Obwohl er mit dem Cours d’analyse“ ein einflußreiches, weitver-

”

breitetes Standardlehrbuch schuf, mit den nach ihm benannten Kurvensatz

442

8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880

Enrico Betti

Camille Jordan
und Inhaltsbegriff sowie zahlreichen weiteren wichtigen Resultaten wesent-
lich zum Fortschritt der Analysis beitrug, wurde er vor allem als Algebraiker
gewürdigt. Ab 1873 lehrte er dann bis zu seiner Emeritierung 1912 gleichzeitig
an der École Polytechnique und dem Collège de France.

Die ersten Arbeiten zur Galois-Theorie stellten ihn noch in die Reihe je-
ner Kommentatoren, die Beweise zu Teilen der Galoisschen Theorie genau
ausführten, damit die einzelnen Aussagen nachprüfbar machten und sie in die
zeitgenössische Mathematik einfügten. Erwähnt sei, daß Jordan die Bedeu-
tung der Normalteiler für die Auflösbarkeit der Gleichung in Radikalen klar
darlegte. Nachdem er in der Arbeit von 1861 den Zusammenhang zwischen Ir-
reduzibilität der vorgelegten Gleichung und der Transitivität der zugehörigen

Galois“-Gruppe neu bewiesen hatte, bemerkte er, daß damit die Klassifikati-

”

on der auflösbaren Gleichungen eine Bestimmung aller möglichen transitiven

Gruppen erfordert und formte in ersten Ansätzen den späteren Begriff der

Kompositionsreihe. In den beiden folgenden kurzen Noten (1864/65) stellte

Jordan nur die Ergebnisse seiner Forschungen meist ohne Beweis vor. Die

Fortschritte betrafen die verbesserte Terminologie, in der er sich jetzt von

Cauchy löste und stärker an Hermite orientierte, und die deutlichere grup-
pentheoretische Ausrichtung der Resultate. Mehrfach betonte er, daß man,
um die Eigenschaften von Gleichungen zu untersuchen, die Eigenschaften der
zugehörigen Gruppe analysieren muß und führte dies explizit durch.

In einem 1867 publizierten Brief an Liouville formulierte Jordan dann drei

Aufgaben, die zur Auflösung von Gleichungen nötig waren und die alle eine
gruppentheoretische Ausrichtung hatten. Sie forderten die Bestimmung aller

Gruppen, die zu irreduziblen, in Radikalen auflösbaren Gleichungen belie-
bigen Grades gehören, bzw. die Konstruktion gewisser Untergruppen. Drei

Jahre später formulierte er im Trait´
e des substitutions ...“ dann ganz grup-

”

8.1 Weitere Fortschritte im Verständnis der Galois-Theorie

443

Abb. 8.1.2. Titelblatt von Jordans Monographie Traité des substitutions et des

”

équations algébriques“
pentheoretisch: Construire explicitement pour chaque degr´
e donn´
e les divers

”

groupes r´
esolubles, transitifs et g´
en´
eraux.“ [Jordan 1870, S. 396f.] Er stellte al-
so die Bestimmung der verschiedenen allgemeinen“, auflösbaren, transitiven

”

Gruppen und gewisser Untergruppen als Aufgabe, wobei das Adjektiv allge-

”

mein“ bedeutete, daß die Gruppe nicht als Normalteiler in einer Untergruppe
der vollen symmetrischen Gruppe auftreten kann. In den entsprechenden Pu-
blikationen von 1867 und 1869 prägte Jordan die gruppentheoretischen Züge
immer deutlicher aus und ging auch inhaltlich über Galois hinaus. In der No-

444

8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880
te Commentaire sur Galois“ von 1869 wurde der Wandel klar sichtbar. Am

”

Beginn standen die gruppentheoretischen Grundlagen, die Jordan für seinen

Aufbau der Galois-Theorie benötigte und die er begrifflich fixierte: Substi-
tution, Produkt zweier Substitutionen, Gruppe, transitive Gruppe, einfache
und zusammengesetzte Gruppe u. a. Den Gruppenbegriff definierte er nur
durch die Abgeschlossenheit der Menge (von Permutationen) gegenüber der

Multiplikation und führte anschließend die von den Permutationen a, b, c, ...

abgeleitete Gruppe ( a, b, c, ... ), le groupe d´
eriv´
e“, ein, die in moderner Ter-

”

minologie der von a, b, c, ... erzeugten Gruppe entspricht. Untergruppe und

Normalteiler bestimmte er, ohne diese Begriffe zu verwenden, durch die Ei-
genschaften des Enthaltenseins in einer Gruppe bzw. der Vertauschbarkeit der

Gruppe mit einer beliebigen Permutation, d. h. die von a, a 1, ... abgeleitete

Gruppe ( a, a 1 , ... ) stimmt mit ( b− 1 ab, b− 1 a 1 b, ... ) überein. Den gruppentheo-
retischen Vorbereitungen folgte die Darlegung der Galois-Theorie, wobei er
aus Platzgründen einige Beweise wegließ.

Mit dieser Arbeit schloß Jordan faktisch die Herausbildung des permuta-
tionstheoretischen Gruppenbegriffs unter den französischen Mathematikern
ab. Ausführlich entwickelte er seine Ergebnisse dann in der grundlegenden

Monographie Trait´
e des substitutions et des ´
equations alg´
ebriques“ und do-

”

kumentierte darin zugleich die erreichte Verselbständigung dieses Gruppen-
begriffs. In dem Buch legte Jordan jedoch nicht nur die Lösung der von

Galois aufgeworfenen Fragen zur Auflösung von Gleichungen und einen sy-
stematischen Aufbau der Theorie der Permutationsgruppen vor, sondern zu-
gleich eine sorgfältige Durchsicht der gesamten Mathematik nach möglichen

Anwendungen der Gruppentheorie in diesem permutationstheoretischen Ge-
wand. Damit trat deutlich Jordans Bestreben hervor, auf der neuen, als
tragfähig erkannten begrifflichen Basis eine Synthese verschiedener mathe-
matischer Forschungen vorzunehmen. Dieses Zusammenführen und Neuord-
nen mathematischer Forschungen mit Hilfe neuer abstrakter Begriffe wurde
ein Wesenszug der folgenden Mathematikentwicklung, und Jordan gehörte zu
den ersten, die dies konsequent umsetzten. Sein Festhalten am permutations-
theoretischen Gruppenbegriff läßt auch die Grenzen seines Werkes erkennen,
obwohl er, wie noch gezeigt wird, bereits wichtige Schritte für eine weitere

Abstraktion gegangen war.

Im Vorwort zum Trait´
e ...“ würdigte Jordan die Leistungen seiner Vorgänger

”

und Zeitgenossen. Nach Lagrange, Abel u. a. erzielte Galois das entscheidende

Resultat, daß jeder Gleichung eine Permutationsgruppe zugeordnet werden
kann, in deren Struktur sich alle wesentlichen Eigenschaften der Gleichung
widerspiegeln. Daran anknüpfend fuhr er fort:

De ce point de vue ´
elev´
e, le prob`
eme de la r´
esolution par radicaux, qui

”

nagù
ere encore semblait former l’unique objet de la th´
eorie des ´
equations,
n’apparaˆıt plus que comme les premier anneau d’une longue chaˆıne de ques-
tions relatives aux transformations des irrationnelles et `
a leur classification.“

[Jordan 1870, S. VI]

8.1 Weitere Fortschritte im Verständnis der Galois-Theorie

445

Als jene Fragestellungen, die zum Problem der Auflösbarkeit hinzugekommen
waren, nannte Jordan die Teilung und Multiplikation transzendenter Funktio-
nen und Aufgaben aus der analytischen Geometrie. Beide Themen behandelte
er im Buch III seiner Monographie ausführlich und verwies bezüglich des er-
sten auf die Arbeiten von Galois, Hermite, Brioschi und Kronecker, bezüglich
des zweiten auf Hesse, Cayley, Clebsch, Kummer u. a. Bei der Betrachtung
transzendenter Funktionen knüpfte er an die oben erwähnten Überlegungen
von Puiseux und Hermite an, unterschied jedoch zwischen der algebraischen

Galoisschen Gruppe der Gleichung f ( z, w) = 0 und deren Monodromiegrup-
pe bezüglich der komplexen Veränderlichen z, die er dann als Normalteiler
der ersteren nachwies.

Jordans Grundprinzip bei den geometrischen Anwendungen basierte auf der

Vorstellung, die geometrische Aufgabenstellung mit algebraischen Gleichun-
gen zu erfassen und letztere dann mit den ausgearbeiteten Galoisschen Me-
thoden zu behandeln. Auf diese Weise diskutierte er u. a. die Ermittlung der 9

Inflexionspunkte einer ebenen kubischen Kurve, die auf 12 Geraden liegen, die

Bestimmung der 16 singulären Punkte der Kummerschen Fl¨
ache“ bzw. die

”

Bestimmung der 27 Geraden einer Fläche dritten Grades. Jordans Vorgehens-
weise konnte immer dann zum Erfolg führen, wenn es um die Bestimmung
von Punkten, Linien bzw. Flächen ging, und die jeweilige Aufgabenstellung
nur endlich viele Lösungen hatte. Die gesuchten Objekte ließen sich durch
ein System von Gleichungen beschreiben, aus denen man durch Elimination
aller Unbekannten bis auf eine dann eine Gleichung in einer Unbekannten
erhielt. Der Grad dieser Gleichung lieferte zugleich die Anzahl der Lösungen,
die Lösungen der Gleichung ergaben die gesuchten geometrischen Objekte.

Um seine Vorstellungen effektiv umsetzen zu können, hatte Jordan zuvor
im Buch II des

Trait´
e ...“ die Theorie der Permutationsgruppen entspre-

”

chend aufbereitet und beherrschbar gemacht. Er knüpfte an die analyti-
sche Darstellung von Permutationen an und führte auf dieser Basis eine
detaillierte Untersuchung der linearen Substitutionen durch (in moderner

Terminologie: eine Untersuchung der allgemeinen linearen Gruppe aller in-
vertierbaren linearen Transformationen in n Variablen (mod p) und ihrer

Untergruppen). In diesem Zusammenhang gab er auch jenes Verfahren an,
das, in Matrizenschreibweise umgesetzt, die Reduktion einer Matrix auf die

Jordansche“ Normalform beinhaltet. Auch den ein Jahr zuvor angegebenen

”

Satz über die Kompositionsreihen einer Gruppe bewies er jetzt vollständig
als reine gruppentheoretische Aussage. Unter der Kompositionsreihe einer

Gruppe G verstand Jordan eine Folge ineinander enthaltener Untergruppen

Gi, die mit der nur aus dem Einselement bestehenden Gruppe {e} endet,

G = G 0 ⊃ G 1 ⊃ G 2 ⊃ ... ⊃ Gn = {e}, und in der jede Gruppe Gi maximaler

Normalteiler in der vorhergehenden Gruppe Gi− 1 ist. Der Hauptsatz besag-
te, daß die

Kompositionsfaktoren“, d. h. die Quotienten der Gruppenord-

”

nungen zweier aufeinanderfolgender Gruppen, bis auf ihre Reihenfolge durch
die Gruppe G eindeutig bestimmt sind. 1889 hat dann Otto Hölder auf ei-

446

8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880
ner abstrakteren begrifflichen Basis die Aussage des Satzes verschärft und
die Faktorgruppen Gi/Gi+1 als bis auf Isomorphie und Reihenfolge eindeutig
bestimmt nachgewiesen, dabei werden diese Faktorgruppen als Kompositions-
faktoren bezeichnet. Obwohl Jordan im Buch 2 des Trait´
e ...“ die wichtigen

”

Vorstellungen zur Isomorphie von (Permutations-)Gruppen entwickelte, stieß
er nicht bis zum Begriff der Faktorgruppe vor. Seine Definition des Isomor-
phismus zweier Gruppen forderte die Existenz einer eindeutigen Zuordnung
zwischen den Permutationen der beiden Gruppen, wobei die Gruppenopera-
tion erhalten bleiben sollte, d. h. das Bild des Produktes zweier Elemente ist
dem Produkt der Bilder dieser Gruppenelemente gleich; sie entsprach damit
einem Homomorphismus nach moderner Terminologie. In Form des isomor-

”

phisme holo´
edrique“ betrachtete jedoch Jordan auch die modern als Isomor-
phismus bezeichnete Abbildung und kam in einer späteren Arbeit von 1875
bis zu einer impliziten Definition der Faktorgruppe.

Im 4. Buch griff Jordan schließlich die gruppentheoretischen Ergebnisse auf
und wandte sich der Auflösungstheorie algebraischer Gleichungen zu. Dabei
nutzte er die im zweiten Kommentar zur Galois-Theorie gegebene algebra-
ische Charakterisierung der Auflösbarkeit: Eine Gleichung ist genau dann in

Radikalen auflösbar, wenn die zugehörige Gruppe eine Kompositionsreihe mit

Primzahlpotenzen als Kompositionsfaktoren (nach Jordanscher Sprechweise)

hat. Er verifizierte einige notwendige und hinreichende Kriterien für die Auf-
lösbarkeit, z. B.:

Pour qu’une ´
equation soit r´
esoluble par radicaux, il faut et il suffit que ses

”

facteurs de composition soient tous premiers.“

Tout groupe

Γ
contenu

”

dans un groupe r´
esoluble G est lui-mˆ
eme r´
esoluble.“ [Jordan 1870, S. 387]

Mit Hilfe dieser Kriterien konnte er die Aufgabe auf drei Probleme, die ein-
gangs schon zitierte Ermittlung der auflösbaren transitiven Gruppen und
gewisser Untergruppen, reduzieren. Die ausführliche Behandlung dieser Pro-
bleme bildet den Abschluß des Buches.

Jordan trug mit seinen Arbeiten zur Galois-Theorie wesentlich zur Aner-
kennung und Rezeption der Galoisschen Ideen bei und verschaffte ihr den

Status einer zentralen algebraischen Theorie. Die Einordnung in ein großes

Programm zur Erforschung der endlichen Substitutionsgruppen führte zu ei-
ner einseitigen Betonung gruppentheoretischer Aspekte, wobei jedoch Jordan
das Abstraktionsniveau der Permutationstheorie nicht überschritt. So kam es,
daß das Jordansche Werk innerhalb weniger Jahre im Ansatz faktisch schon
wieder überholt war. Der Hauptgrund lag in dem raschen Voranschreiten
des Abstraktionsprozesses, der in kurzer Zeit die Formulierung abstrakterer
algebraischer Begriffe hervorbrachte und die von Jordan selbst so meisterhaft
demonstrierte Systematisierung der Ergebnisse aus verschiedenen Gebieten
der Mathematik auf neuer begrifflicher Basis fortsetzte.

8.2 Die große Zeit der Invariantentheorie

447

8.2 Die große Zeit der Invariantentheorie

Bevor die weitere Entwicklung zur modernen abstrakten Algebra dargestellt
werden kann, muß die Aufmerksamkeit auf ein Gebiet gerichtet werden, das
um die Mitte des 19. Jahrhunderts sehr rasch zu einem dominierenden Ge-
biet der algebraischen Forschung aufstieg und mit seiner weitläufigen sym-
bolischen Rechentechnik einen gewissen Gegensatz zu der Herausbildung ab-
strakter algebraischer Begriffe markiert: die algebraische Invariantentheorie.

Es sei jedoch bereits an dieser Stelle angemerkt, daß die Invariantentheo-
rie, wenn auch in stark veränderter Form, später sehr wohl Eingang in die
abstrakte Algebra gefunden hat. Die Invariantentheorie wurzelte in Problem-
stellungen aus drei verschiedenen Gebieten, der Zahlentheorie, der Geometrie
und der (linearen) Algebra, oder genauer der Theorie der Formen, dem Stu-
dium projektiver Eigenschaften von Kurven und der Determinantentheorie.

8.2.1 Die britische Schule der Invariantentheorie

Obwohl bereits in den Arbeiten von Lagrange und Gauß über Formen er-
ste Ansätze zu invariantentheoretischen Überlegungen zu finden waren, und

Gauß 1801 die Diskriminante einer binären quadratischen Form als Invari-
ante erkannte, wird George Boole als Vater der Invariantentheorie angese-
hen. Er stellte das allgemeine Problem, bei der linearen Transformation der

Variablen eines homogenen Polynoms vom Grade n in m Unbekannten die
algebraischen Relationen in den Koeffizienten des Polynoms zu bestimmen,
die bei der Transformation bis auf die Multiplikation mit einer Potenz der

Transformationsdeterminante ungeändert bleiben. Unter Benutzung der Mul-
tiindexschreibweise (d. h. beispielsweise xα = xα 1 xα 2 ...xαm

1

2
m ) bedeutet dies in

Formeln ausgedrückt: Seien Pj( x 1 , x 2 , ..., xm) =
ajαxα
p homogene Po-
α
lynome in den m Unbekannten x 1, x 2, ...

xm, x = Cx eine lineare nicht sin-

guläre Transformation der Unbekannten und P ( x) = P
a xα
j
j ( Cx) =
jα
α
die transformierten Polynome. Ein Polynom f in den ajα heißt Invariante
der Polynome Pj vom Grade g, wenn gilt f ( a ) = (det C) gf ( a
jα
jα). Hängt f
außerdem noch von den Unbekannten ab, spricht man von einer Kovariante.

Mit einer Eliminationsmethode bestimmte Boole einige einfache Invarianten
und deutete Anwendungen seiner Untersuchungen bei geometrischen Pro-
blemen und bei der Lösung von Polynomgleichungen an. Seine Anregungen
wurden sehr rasch von Arthur Cayley aufgegriffen, der 1845/46 zwei grund-
legende Arbeiten zur Invariantentheorie publizierte, in denen er die Betrach-
tungen auf Multilinearformen erweiterte und zwei Methoden zur Berechnung
von Invarianten vorstellte: die erste verknüpfte die Theorie mit der Lösung
von Differentialgleichungen, die zweite mit der Determinantentheorie. Letzte-
re wurde als Hyperdeterminantenmethode bzw. Cayleys Ω-Prozeß bekannt.

448

8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880

Cayley hat diese Methode später jedoch nicht weiterentwickelt, und sah in den

Beziehungen zur Theorie der Differentialgleichungen die Grundlagen für die

Theorie der Invarianten. In diesem Zusammenhang griff er ausgiebig auf die

Methoden der englischen algebraischen Schule und die Verfahren der Ope-
ratorenrechnung, insbesondere die Separation der Symbole, zurück. In der

Arbeit von 1846 formulierte er auch die Ziele der Invariantentheorie, was
sehr inspirierend für die weitere Entwicklung wirkte. Er forderte:

To find all the derivatives (d. h. Invarianten K.-H. S.) of any number of

”

functions, which have the property of preserving their form unaltered after any
linear transformation of the variables“ sowie
determining the independent

”

derivatives, and the relations between these and the remaining ones.“ [Cayley

1889, Bd. 1, S. 95]

Wichtige Anregungen erhielt Cayley dabei durch den Kontakt mit Boole, der
ihm z. B. 1844 in einem Brief ein neues Verfahren zur Berechnung einer neuen

Invariante für eine binäre Form vierten Grades mitteilte und vermerkte, daß
zwischen dieser und zwei bereits bekannten Invarianten eine polynomiale Re-
lation bestehe. James Joseph Sylvester bezeichnete diese Relationen später
als Syzygien (erster Ordnung). Sylvester wandte sich, nachdem er 1846 die

Bekanntschaft Cayleys gemacht hatte, ebenfalls intensiv der Invariantentheo-
rie zu und schuf auch eine grundlegende Terminologie für diese Theorie, die
sich gegenüber den vorher von Cayley geprägten Begriffen durchsetzte und
auch von letzterem übernommen wurde. Sylvester, obwohl sieben Jahre älter
als Cayley, bezeichnete diesen später als seinen geistigen Vater, der ihm die

Augen für die Geheimnisse der Mathematik öffnete. Wiederholt wiesen beide

Gelehrte bei der Publikationen neuer Resultate auf die anregende Wirkung
hin, die ihre Gespräche auf die Formung der Ideen hatte. Dabei fanden die

Gespräche vor allem in den Pausen während ihrer Arbeit am Gericht statt,
wo beide zur Sicherung ihres Lebensunterhalts tätig waren. Während Cayley
diesen Weg wegen fehlender Aufstiegschancen gewählt hatte, gab Sylvester

1843 seinen Posten an der Universität von Virginia in Charlottesville nach
längeren Streitigkeiten mit seinen Kollegen auf. In England waren Sylvesters
akademische Aufstiegschancen wegen seiner jüdischen Abstammung sehr ein-
geschränkt. Sein aufbrausendes, viele kleine Streitigkeiten herausforderndes

Wesen tat ein übriges. Bereits während seiner Schul- und Studienzeit hatte er
mehrmals die Ausbildungsstätte gewechselt und mehrere Schikanen erdulden
müssen. 1855 gelang es ihm durch die Unterstützung von Freunden, einen

Ruf als Mathematikprofessor an die Militärakademie in Woolwich zu erhal-
ten, und er lehrte dort bis 1870. Erst sechs Jahre später fand er eine neue

Anstellung als Professor an der neu gegründeten Johns Hopkins Universität
in Baltimore, wo er bis zu seinem Wechsel an die Universität Oxford im De-
zember 1883 einen großen Anteil am Aufbau der mathematischen Forschung
in den USA hatte. Sylvester entfaltete neben seinen Forschungen auch ei-
ne rege organisatorische Tätigkeit, was sich u. a. in der Herausgabe bzw.

Gründung mathematischer Zeitschriften niederschlug.

8.2 Die große Zeit der Invariantentheorie

449

Percy Alexander MacMahon, der in England die Nachfolge von Cayley und

Sylvester in den invariantentheoretischen Forschungen antrat, beschrieb die-
se frühe Entwicklungsphase der Theorie mit den Worten, daß die Invarian-
tentheorie der starken Hand Cayleys entsprang und durch die Geistesblitze
vermöge Sylvesters Scharfsinn erhellt, zum Kunstwerk wurde [Bell 1967, S.

364]. In den 50er Jahren begründeten Cayley und Sylvester, im regen Gedan-
kenaustausch miteinander stehend, mit ihren Arbeiten die britische Schule
der Invariantentheorie, zu der außerdem der Ire George Salmon sowie Edwin

Balley Elliott und Herbert Westren Turnbull gehörten. Sylvester publizierte
seit Beginn der 50er Jahre zahlreiche Arbeiten, die neben der Terminologie
viele neue Resultate, u. a. 1852 die Cayley-Aronholdschen Differentialglei-
chungen für Invarianten binärer Formen sowie unabhängig von Jacobi das

Trägheitsgesetz für quadratische Formen, und eine weitere Systematisierung
und Durchbildung der Methoden beinhalteten. Cayley begann 1854 mit ei-
ner Folge von zehn schrittmachenden Veröffentlichungen, den Memoir(s) on

”

quantics“, in denen er die Verbindungen der Invariantentheorie zur Geometrie
wesentlich vertiefte. Mit

Quantic“ bezeichnete Cayley eine beliebige Form

”

und mit

Theory of quantics“ dann die Invariantentheorie. Cayley wählte

”

einen sehr abstrakten Ausgangspunkt, der auch schon in seinen ersten Arbei-
ten deutlich geworden war. Durch die Auffassung des Raumes als Zahlenman-
nigfaltigkeit öffnete er den Weg zur n-dimensionalen Geometrie und schuf
neue Möglichkeiten zur Anwendung algebraisch-zahlentheoretischer Mittel.

Sein Hauptziel war eine Klassifikation der Geometrie, doch wird dies in der

Abfolge der einzelnen Arbeiten nur bedingt sichtbar, sondern erst durch den
retrospektiven Blick auf das Gesamtwerk. Die Notwendigkeit einer solchen

Klassifikation war nach der stürmischen Entwicklung der Geometrie seit Be-
ginn des Jahrhunderts von vielen Mathematikern als dringendes Bedürfnis
empfunden worden und hatte zu verschiedenen Ansätzen von Ordnungsprin-
zipien etwa bei Poncelet, Möbius, Plücker und Steiner geführt (vgl. [Scri-
ba/Schreiber 2000, Kap. 7]).

Cayley hatte sich besonders mit den Arbeiten französischer Mathematiker
um Michel Chasles zur projektiven Geometrie beschäftigt und knüpfte dann
an die von Julius Plücker stark geförderte analytische Richtung an. Dabei
scheint Cayley schon sehr bald nach dem Bekanntwerden mit den Booleschen

Ansätzen zur Invariantentheorie die Überzeugung gewonnen zu haben, daß
er damit ein Mittel zur Klassifikation der Geometrie zur Verfügung hat. Mit
den

Memoirs on quantics“ sollte dieses Ziel realisiert werden. Hervorzuhe-

”

ben ist vor allem die sechste Arbeit in dieser Folge, in der es Cayley 1859
gelang, die metrische (euklidische) Geometrie in die projektive Geometrie
einzubetten. Er entwickelte zunächst einige Elemente der projektiven Geo-
metrie. Der Zusammenhang zur Theorie der Formen ergab sich durch die

Verwendung homogener Koordinaten, so daß die Sachverhalte der eindimen-
sionalen Geometrie durch binäre Formen, die der zweidimensionalen Geome-
trie durch ternäre Formen ausgedrückt werden konnten. Cayley hat sich auf

450

8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880

Paul Gordan

James Joseph Sylvester
die Behandlung dieser beiden Fälle beschränkt, ohne die Allgemeingültigkeit
seiner Überlegungen in Frage zu stellen. Aus vorangegangenen Studien wußte
er, daß durch das Nullsetzen einer Invariante bzw. Kovariante einer vorgege-
benen Form gewisse Relationen zwischen den Punkten des durch die Form
definierten Punktsystems festgelegt werden, und er auf diese Weise projek-
tive Grundeigenschaften erfassen konnte. Er kam dann mit abstrakten Be-
trachtungen zum Abstandsbegriff. Dabei ging er von einer einen Kegelschnitt
definierenden quadratischen Form f ( x, x) sowie der entsprechenden polaren

Form f ( x, y) aus und definierte dazu eine kovariante Form F , durch die ein
dualer Kegelschnitt festgelegt wurde. Einen Kegelschnitt als feste Bezugs-
größe wählend, von Cayley als das Absolute bezeichnet, leitete er dann den

Ausdruck Dist( x, y) = arccos
f ( x,y)

√

√
für den Abstand zweier Punkte
f ( x,x)

f ( y,y)

x, y her. Mit dem analogen Ausdruck für den Abstand zweier Linien wählte er
den Winkel zwischen den Linien als Entfernungsmaß. Bei spezieller Wahl des

Absoluten reduzierte sich die Abstandsdefinition auf die euklidische Maß-
bestimmung. Damit hatte Cayley sein Ziel erreicht und konnte feststellen:

Metrical geometry is thus a part of descriptive geometry, and descriptive

”

geometry is all geometry, and reciprocally.“ [Cayley 1889, Vol. 2, S. 592]

(Mit
descriptive geometry“ bezeichnete Cayley die projektive Geometrie.)

”

Die Tatsache, daß er mit seiner projektiven Maßbestimmung ein Mittel in der

Hand hatte, um auch andere Geometrien, speziell die nichteuklidischen, zu
erfassen, und damit einen Weg zur Klassifikation der Geometrien aufgedeckt
hatte, wurde von Cayley vermutlich nicht erkannt, zumindest führte er diese

Möglichkeit nicht weiter aus.

8.2 Die große Zeit der Invariantentheorie

451

8.2.2 Die Weiterentwicklung und die Formulierung des

Grundproblems der Invariantentheorie

Unabhängig von der Entwicklung in Großbritannien war die Entstehung der

Invariantentheorie durch die Forschungen von Jacobi, Hesse und Eisenstein
angeregt worden, auf deren Arbeiten Cayley mehrfach hinwies. Jacobi hatte
in seiner systematischen Ausarbeitung der Determinantentheorie 1841 u. a.

festgestellt, daß für ein System von n linearen Formen in n Unbekannten die

Determinante der aus den Koeffizienten der Formen gebildeten Matrix eine

Invariante bei unimodularen Transformationen der Unbekannten war, und

daß die später nach ihm benannte Funktionaldeterminante Φ = det

∂ 2 f

∂xi∂xj
der Form f = f ( x 1 , x 2 , ...xn) vom Grade k im Nullpunkt genommen eine

Invariante der Form f lieferte. Wenig später formte Ludwig Otto Hesse den

Determinantenkalkül zu einem wichtigen Mittel beim Studium ebener Kur-
ven, speziell der Bestimmung kritischer Punkte. Für ebene Kurven dritter

Ordnung bildete er die nach ihm benannte Hessesche Kovariante H, die der

Jacobischen Funktionaldeterminante entsprach, d. h. H = det

∂ 2 f

, und

∂xi∂xj
zeigte, daß die Inflexionspunkte der Kurve f durch das Lösen der Gleichung

H = 0 ermittelt werden konnten. Die damit von Hesse geknüpfte Bezie-
hung zwischen Geometrie und Invariantentheorie bildete ein wichtiges Motiv
für die weitere Beschäftigung mit Invarianten. Im gleichen Jahr, 1844, gab

Eisenstein bei der Untersuchung binärer Formen die Invarianten und Kovari-
anten für binäre Formen dritten bzw. vierten Grades an, die Cayley später als
vollständiges System erkannte. Ergänzend sei an dieser Stelle noch Hermite
genannt, der, meist von zahlentheoretischen Fragestellungen ausgehend, ab

Anfang der 50er Jahre ebenfalls wichtige Resultate erzielte.

In den folgenden Jahrzehnten nahm die Invariantentheorie einen raschen

Aufschwung. Zahlreiche Mathematiker widmeten sich der Berechnung spe-
zieller Invarianten. Hervorgehoben sei Francesco Brioschi, der die Theorie in

Italien bekannt machte und sie um mehrere interessante Ergebnisse, u. a.

über ternäre Formen, bereicherte. Im letzten Drittel des 19. Jahrhunderts
sahen nicht wenige Mathematiker in der Invariantentheorie sogar ein Gebiet,
das viele Bereiche der Mathematik wieder zusammengeführt hatte. Sylvester
schrieb beispielsweise 1864:

As all roads are said to lead to Rome, so I find, in my own case at least, that

”

all algebraical inquiries sooner or later end at the Capitol of Modern Algebra
over whose shining portal is inscribed, Theory of Invariants.“ [Sylvester 1864,

S. 380]

Bereits 1849 erweiterte Siegfried Aronhold die Betrachtungen auf ternäre

Formen, wobei er die Fragen deutlich von einer geometrischen Interpretation
ablöste. Die Theorie begann also eine gewisse Eigendynamik zu entwickeln.

In mehr als einem Jahrzehnt schuf Aronhold dann eine Invariantentheorie
der kubischen ternären Formen, entdeckte die entsprechenden Arbeiten der
britischen Mathematiker und formte zusammen mit Alfred Clebsch in scharf-

452

8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880
sinniger Verarbeitung der dort vorhandenen Terminologie einen umfassenden
speziellen Kalkül, um die Invarianten und Kovarianten allgemeiner Formen zu
berechnen und ausdrücken zu können. Diese sog. symbolische Methode bzw.

Clebsch-Aronhold-Symbolik legte er 1863 im Detail dar, sie unterschied sich
wesentlich von der Vorgehensweise der britischen Mathematiker, die stärker
an der konkreten Berechnung der Invarianten und Kovarianten festhielten.

Neben den zahlreichen geometrischen Anwendungen, die zweifellos die rasche

Entwicklung der Invariantentheorie stark stimulierten, rückte sehr schnell die
von Cayley aufgeworfene und von Sylvester präzisierte Frage nach einem end-
lichen vollständigen Fundamentalsystem von (unabhängigen) Invarianten und

Kovarianten in den Mittelpunkt der Forschungen. Jede Invariante bzw. Ko-
variante einer Form bzw. eines Formensystems sollte sich aus den Elementen
des Fundamentalsystems als ganze rationale Funktion mit Zahlenkoeffizienten
darstellen lassen, und die Unabhängigkeit der Elemente besagte, daß das Sy-
stem minimal sein sollte. Es gab also keine Polynomgleichung, die beim Erset-
zen der Unbestimmten durch Invarianten des Systems identisch erfüllt wurde,
d. h. das Fundamentalsystem sollte asyzygetisch sein, wie Sylvester es nannte.

Damit verbunden war das Syzygien-Problem, alle irreduziblen algebraischen

Relationen zwischen den Invarianten und Kovarianten eines endlichen For-
mensystems zu bestimmen. Diese Aufgabe wurde von Cayley und Sylvester in
einigen Spezialfällen gelöst. In dem Second Memoir on quantics“ gab Cayley

”

einen Algorithmus an, um für eine binäre Form die Anzahl der unabhängi-
gen Kovarianten vorgegebenen Grades und vorgegebener Ordnung in einem

Fundamentalsystem zu berechnen, und folgerte in der gleichen Arbeit, daß
es für binäre Formen höherer Ordnung im allgemeinen kein solches endliches

System gebe. Diese Vermutung wurde dann 1868 von Paul Gordan mit dem

Nachweis, daß für eine beliebige binäre Form stets ein endliches vollständi-
ges Fundamentalsystem existiert, eindrucksvoll widerlegt. 1870 dehnte er den

Beweis auf endliche Systeme binärer Formen aus. Der Beweis des Satzes, der
auch als erstes Fundamentaltheorem der Invariantentheorie bezeichnet wird,
war kompliziert und erforderte einen großen Rechenaufwand. Gordan griff
dabei auf mehrere Resultate von Clebsch zurück, so daß man gelegentlich
auch vom Clebsch-Gordanschen Satz spricht.

Clebsch hatte Gordan 1863 nach Gießen geholt, wo sich letzterer im gleichen

Jahr habilitierte. Beide Mathematiker arbeiteten erfolgreich auf dem Gebiet
der Abelschen Funktionen zusammen und Clebsch führte Gordan 1868 in
die Invariantentheorie ein. Möglicherweise wurde eine intensivere gemeinsa-
me Forschung auf diesem Gebiet durch Clebschs Wechsel an die Universität

Göttingen behindert, auf jeden Fall hat Gordan die erhaltenen Anregungen
aufgegriffen und sich fortan sehr intensiv dem Studium der Invarianten gewid-
met. Er galt bald als der Meister der Invariantentheorie unter den deutschen

Mathematikern. In Erlangen, wo Gordan dann von 1875 – 1910 als Professor
für Mathematik lehrte, war er auch der Doktorvater von Emmy Noether, die
zwei Generationen später eine neue Etappe der Algebraentwicklung prägen
sollte.

8.2 Die große Zeit der Invariantentheorie

453

Ein wichtiges Merkmal von Gordans Existenzbeweis für ein endliches Funda-
mentalsystem war, daß er konstruktiv geführt wurde, das darin verwendete

Verfahren zeigte also, wie man prinzipiell das vollständige Invariantensystem
berechnen konnte. Doch letztlich war der Gordansche Satz nur ein kleiner

Schritt zur Lösung des Grundproblems der Invariantentheorie, bis zum Be-
weis eines analogen Satzes für n-äre Formen war der Weg noch weit. Das

Resultat ermutigte aber viele Mathematiker zu weiteren Forschungen, und

Gordan trug selbst dazu mit der Bestimmung eines vollständigen Systems
für spezielle ternäre Formen bei. Mit zunehmender Zahl der Veränderlichen,
des Grades der Formen bzw. der Anzahl der Formen wurden die Berechnun-
gen immer aufwendiger und komplizierter. Zwar hatte sich die symbolische

Methode als leistungsfähiger erwiesen als das Verfahren der englischen Schu-
le, doch der entscheidende Erfolg blieb ihr versagt. Es muß jedoch angemerkt
werden, daß sich die Invariantentheorie nicht in den umfangreichen formalen

Rechnungen erschöpfte, sondern die Vorstellungen zur Invarianz viel breiter
gefaßt wurden. Die Frage nach der Invarianz von Eigenschaften war natürlich
nicht auf Formen beschränkt, sondern konnte bei zahlreichen mathemati-
schen Objekten in vielfältiger Weise als eine sinnvolle Aufgabe formuliert
werden. So zählten u. a. die Forschungen zur Äquivalenz von Formen, die zu
grundlegenden Aussagen über Matrizen und zur Elementarteilertheorie führ-
ten (vgl. Abschn. 7.6 ), wie auch Überlegungen zu Transformationsgruppen
und Differentialinvarianten zur Invariantentheorie. Von diesem allgemeinen

Standpunkt sollte sich der Invariantentheorie auf der abstrakteren Basis der
modernen Algebra im 20. Jahrhundert eine neue Perspektive eröffnen.

Doch zunächst blieb die Bestimmung eines vollständigen Fundamentalsy-
stems im Mittelpunkt des Interesses. 1888 erstaunte schließlich David Hilbert
die mathematische Welt, als er mit einer völlig neuen Methode die Existenz
eines endlichen vollständigen Fundamentalsystems für eine beliebige endliche

Anzahl von n-ären Formen k-ten Grades nachwies. Der Beweis war ein reiner

Existenzbeweis. Hilbert zeigte also nur“, daß ein solches endliches System

”

existierte, gab aber kein Verfahren an, wie die Invarianten konstruiert werden
konnten. Diese Vorgehensweise war so neuartig, daß viele Mathematiker dem

Beweis mit Skepsis begegneten. Gordan sprach davon, daß dies keine Mathe-
matik, sondern Theologie sei. Die Meinung änderte sich, als Hilbert 1890/93
in zwei Arbeiten seine Ideen genauer darlegte und 1893 auch einen konstruk-
tiven Beweis publizierte. Die grundlegende Aussage war der sog. Hilbertsche

Basissatz:

Ist irgend eine nicht abbrechende Reihe von Formen der n Ver¨
anderlichen

”

x 1 , x 2 , ..., xn vorgelegt, etwa F 1 , F 2 , F 3 , ... , so gibt es stets eine Zahl
m
von der Art, daß jede Form jener Reihe sich in die Gestalt

F = A 1 F 1 +

A 2 F 2 + ... + AmFm bringen l¨
asst, wo A 1 , A 2 , ..., Am geeignete Formen der
n¨
amlichen n Ver¨
anderlichen sind.“ [Hilbert 1890, S. 474]

Mit Hilfe dieses Satzes löste Hilbert zugleich das Problem der Syzygienbil-
dung, indem er zeigte, daß der Prozeß der Syzygienbildung nach endlich vielen

454

8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880

Schritten abbrach und die höheren Syzygien dann verschwinden. Die Arbeit
von 1893 enthielt dann neben der Verallgemeinerung einiger Sätze auch den
sog. Nullstellen-Satz, der eine wichtige Rolle in der algebraischen Geometrie
spielte.

Hilbert hatte somit in seinen Arbeiten auf einem abstrakteren Niveau mehre-
re Anregungen verschiedener algebraischer Richtungen vereinigt und wichtige

Impulse für die weitere Entwicklung der abstrakten Algebra und der axioma-
tischen Methode gegeben. In der Einleitung zu der Arbeit über Invarian-
tensysteme hob er fünf elementare Eigenschaften“ eines Invariantensystems

”

hervor, was als ein Versuch zur strukturellen Charakterisierung gewertet wer-
den kann. Die Eigenschaften besagten u. a., daß ein vollständiges Invarian-
tensystem ein algebraisch abgeschlossenes Gebiet von Funktionen war, und
daß darin die übliche Faktorisierungseigenschaft, d. h. die Zerlegbarkeit in

Primelemente galt. Außerdem warf Hilbert kurz die Frage nach der logischen

Unabhängigkeit der fünf Eigenschaften auf, eine Frage, die für die axiomati-
sche Charakterisierung mathematischer Objekte sehr wesentlich ist und deren

Klärung ein wichtiger Schritt bei der Herausbildung der axiomatischen Me-
thode war. Damit gehören Hilberts Arbeiten nicht nur zeitlich, sondern auch
inhaltlich bereits der nächsten Entwicklungsphase an. Sie wurden an dieser

Stelle behandelt, da ihre Entstehung in den Kontext der Invariantentheorie
gehört und sie die klassische algebraische Invariantentheorie zu einem Ab-
schluß brachten. Tatsächlich verlor die Invariantentheorie in den 90er Jahren
des 19. Jahrhunderts ihre zentrale Stellung in der mathematischen und spe-
ziell der algebraischen Forschung. Hilbert selbst erklärte, die Hauptaufgaben
dieser Disziplin gelöst zu haben, und wandte sich anderen Fragestellungen
zu. Die Invariantentheorie war jedoch keineswegs tot, mehrere Mathemati-
ker widmeten sich in jener Zeit weiterhin der Berechnung von Invarianten,
verallgemeinerten bzw. verbesserten die Methoden und behandelten sie wei-
terhin in ihren Lehrbüchern, aber es dauerte mehrere Jahrzehnte bevor die

Invariantentheorie im neuen Gewand bei Fragen der Darstellungstheorie eine

Renaissance erlebte.

8.3 Die Theorie der Transformationsgruppen

8.3.1 Kleins Erlanger Programm und die Theorie der endlichen

Transformationsgruppen

Bereits im vorangegangenen Abschnitt war im Zusammenhang mit Cayleys
projektiver Maßbestimmung das Problem der Klassifikation der Geometrie
gestreift worden. Es soll nun die Behandlung dieser Fragestellung betrachtet
werden, soweit sie für die Entwicklung der Algebra von Interesse war. Wich-
tige Fortschritte erzielte dabei Felix Klein im engen Gedankenaustausch mit

Sophus Lie und Otto Stolz. Durch seinen Lehrer Alfred Clebsch mit den

8.3 Die Theorie der Transformationsgruppen

455
invariantentheoretischen Arbeiten Cayleys und Cremonas sowie durch Stolz
mit den Ideen der nichteuklidischen Geometrie bekannt gemacht, kam Klein

Anfang 1870 auf den Gedanken, daß sich eine Verbindung zwischen der Cay-
leyschen Maßbestimmung und der nichteuklidischen Geometrie herstellen las-
sen müsse. In zwei Publikationen zur nichteuklidischen bzw. zur metrischen

Geometrie nahm er 1871 eine Klassifikation der Geometrien auf invarianten-
theoretischer Basis vor, wobei er die Cayleysche Maßbestimmung unter Rück-
griff auf das Doppelverhältnis und die Logarithmusfunktion auf den Raum
übertrug und so modifizierte, daß auch die nichteuklidischen Geometrien er-
faßt wurden [Klein 1871], [Klein, 1872a]. Die Ausformung dieser Vorstellung
war durch einen raschen Kenntniszuwachs bei Klein gekennzeichnet. Zum
einen lernte er in Paris die Theorie der Permutationsgruppen und Ergeb-
nisse der französischen geometrischen Schule kennen, zum anderen lieferten
die Veröffentlichung von Riemanns Habilitationsvortrag und die Reflexionen
von Hermann v. Helmholtz über die Grundlagen der Geometrie weitere An-
regungen. Bereits im Frühjahr 1871 hatte Klein zusammen mit Lie in ei-
ner Arbeit über
ebene Kurven, welche durch ein geschlossenes System von

”

einfach unendlich vielen vertauschbaren linearen Transformationen in sich

¨
ubergehen“ [Klein, Lie 1871] die Hinwendung zu gruppentheoretischen Über-
legungen deutlich werden lassen. Beide Autoren verwiesen darin nicht nur
auf die engen Beziehungen zu den Untersuchungen über Substitutionsgrup-
pen (Permutationsgruppen) von Serret und Jordan, sondern hoben zugleich
den
tiefgreifenden Unterschied“ hervor, daß statt diskret veränderlichen,

”

jetzt kontinuierlich veränderliche Größen auftreten. Ein Jahr später, in der
zweiten Arbeit über die nichteuklidische Geometrie [Klein 1872b], bezeich-
nete Klein dann ein geschlossenes System von Transformationen als Trans-
formationsgruppe und baute die schon früher erwähnte Analogie zum Begriff
der Gruppe von Substitutionen aus. Formal definierte Klein die Transfor-
mationsgruppen in Anlehnung an Jordan nur durch die Abgeschlossenheit
der Menge gegenüber der Gruppenoperation. Zwar setzte er meist explizit
voraus, daß zu einer Transformation auch die dazu inverse existiert, doch
übersah er den für die weitere Herausbildung des Gruppenbegriffs wichtigen

Fakt, daß für unendliche Gruppen die Zugehörigkeit der inversen Transforma-
tion zur Gruppe keineswegs selbstverständlich war und zusätzlich gefordert
werden mußte. Lie hat dieses Manko sehr bald bemerkt und in seinen Arbei-
ten korrigiert. In der erwähnten Arbeit entwickelte Klein die Grundgedanken
seines Erlanger Programms, das dann aus drucktechnischen Gründen sogar
vor dieser Arbeit erschien: Die verschiedenen Methoden der Geometrie sind

”

durch eine zugeh¨
orige Transformationsgruppe charakterisiert“ [Klein 1872 b,

S. 120]. Er hatte erkannt, daß die von ihm angestrebte einheitliche metho-
dische Darstellung der verschiedenen Geometrien durch die Gruppentheorie
erreicht werden konnte. Unter einer Geometrie verstand er einen Raum mit
einer Gruppe von Transformationen, welche die wesentlichen Eigenschaften
der räumlichen Dinge ungeändert ließ, bzw., wenn man von der mathema-

456

8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880
tisch unwesentlichen anschaulichen Vorstellung des Raumes abstrahierte, ei-
ne mehrfach ausgedehnte Mannigfaltigkeit mit einer Transformationsgruppe.

Die einzelnen Geometrien ergaben sich dann als Lösung des folgenden um-
fassenden Problems:

Es ist eine Mannigfaltigkeit und in derselben eine Transformationsgrup-

”

pe gegeben; man soll die der Mannigfaltigkeit angeh¨
origen Gebilde hinsicht-
lich solcher Eigenschaften untersuchen, die durch die Transformationen der

Gruppe nicht ge¨
andert werden.“ [Klein 1893, S. 67]

In der sog. Hauptgruppe faßte Klein jene Transformationen zusammen, die
die
geometrischen Eigenschaften r¨
aumlicher Gebilde ¨
uberhaupt unge¨
andert

”

lassen“, so daß die Untersuchungsmethode nur in der Betrachtung umfassen-
derer Gruppen bestehen konnte, bei denen nur ein Teil der geometrischen

Eigenschaften erhalten blieb. Dies hat Klein dann für verschiedene Geome-
trien durchgeführt und baute ausgehend von der projektiven Geometrie ei-
ne Hierarchie von Geometrien auf, die euklidische wie nichteuklidische Geo-
metrien als Spezialfälle enthielt. Die affine Gruppe hatte er jedoch, wie er
später einschätzte als Ergebnis einseitiger Tradition“, nicht berücksichtigt.

”

Abschließend deutete er die Möglichkeit abstrakterer Untersuchungen in Sin-
ne seines Programms für ( n-dimensionale) Mannigfaltigkeiten an.

In den Schlußbemerkungen des Programms verglich Klein den in seiner

Schrift erreichten Entwicklungsstand der Geometrie mit dem der Galoisschen

Theorie. Indem er dabei die Untersuchung von Gruppen von ¨

Anderungen“

”

als Gemeinsamkeit hervorhob und die Auflösungstheorie der Gleichungen
bzw. die Behandlung von Mannigfaltigkeiten als Anwendung dieser gruppen-
theoretischen Ergebnisse sah, billigte er der Gruppentheorie den Charakter
einer eigenständigen mathematischen Teildisziplin zu und ließ die Richtung
ahnen, in der die weiteren Abstraktionen erfolgen mußten.

Es waren jedoch nicht nur die Publikationen des Erlanger Programms und
der zu diesem Themenkreis gehörigen Arbeiten Kleins, die einen wichtigen

Fortschritt in der Entwicklung des gruppentheoretischen Denkens in den 70er

Jahren des 19. Jahrhunderts hervorbrachten. Im gleichen Maße müssen die
bereits in dem Jahrzehnt zuvor verstärkt aufgekommenen bewegungsgeome-
trischen Vorstellungen und die von Lie aufgestellte Theorie der kontinuierli-
chen Transformationsgruppen genannt werden, die dieser im regen Gedanken-
austausch mit Klein und etwa parallel zu dessen Forschungen hervorbrachte.

Erstere waren insbesondere ein Ausdruck der neuen Aspekte, die sich in den

Wechselbeziehungen zwischen den Naturwissenschaften und der Mathematik
im 19. Jahrhundert entwickelten. Speziell die Mathematisierung physikali-
scher Teilgebiete, wie Optik, Hydrodynamik, Kristallographie, Elektro- und

Thermodynamik, machte große Fortschritte. Der Aufschwung der mathema-
tischen Physik führte u. a. dazu, die physikalischen Bewegungen stärker in
den Mittelpunkt des Interesses zu rücken. Die Punkte des Raumes sah man
als das abstrakte mathematische Bild von Massepunkten an, die den physi-

8.3 Die Theorie der Transformationsgruppen

457
kalischen Körper beschrieben, und die Koordinatentransformationen als die

Veranschaulichung der realen physikalischen Bewegungen. In diesen Kontext
gehören auch die Bemühungen zur Aufklärung der Grundlagen der Geome-
trie, die speziell im Anschluß an den berühmten Habilitationsvortrag von Ber-
nard Riemann von v. Helmholtz unternommen wurden und die eine beacht-
liche Diskussion unter Mathematikern wie Lie, Klein, Poincaré, Pasch und

Hilbert auslösten. Dies bedingte sowohl eine Klärung verschiedener Begriffe
und Postulate im Vorfeld der axiomatischen Charakterisierung der Geometrie
als auch ein fruchtbares Wechselspiel der Vorstellungen zu einem abstrak-
teren mathematischen Raumbegriff und dem an den Anwendungen orientier-
ten physikalischen. Entscheidend aus algebraischer Sicht war, daß man bei
all diesen Betrachtungen zwangsläufig auf die Zusammensetzung von Bewe-
gungen geführt wurde. Kam in dieser Phase die Erkenntnis hinzu, bei diesen

Zusammensetzungen vom konkreten Objekt abstrahieren zu können, so war
ein weiterer Weg zum Begriff der Transformationsgruppe frei. Als eine Folge
dieser Auffassung bildeten dann die Bewegungen, d. h. die Transformationen,
als Gruppenelement den Gegenstand der Untersuchung, was einen qualita-
tiven Unterschied zur einfachen Anwendung gruppentheoretischer Ideen auf
geometrische Probleme darstellte.

Diese impliziten gruppentheoretischen Elemente, die im Studium von zusam-
mengesetzten Bewegungen enthalten waren, lassen sich mehrfach im 19. Jahr-
hundert nachweisen. Hervorgehoben seien die zunächst wenig beachteten und
verstandenen Ergebnisse von Olinde Rodrigues, der 1840 die Komposition
endlicher Bewegungen als nicht kommutativ erkannte, während infinitesima-
le Bewegungen miteinander vertauscht werden konnten. Ähnlich unbeachtet
blieben lange Zeit die im Rahmen der Kristallographie betriebenen Studien
von Bewegungen, doch sollten sie, zumindest die Ergebnisse der französischen

Schule, dann den Ausgangspunkt für die erste große Arbeit zur Klassifikation
der Transformationsgruppen durch Camille Jordan liefern. 1868 publizierte

Jordan in dem

M´
emoire sur les groupes de mouvement“ eine umfassende

”

Analyse der physikalisch möglichen Bewegungen eines starren Körpers im

Raum, die auf eine Klassifikation der Bewegungsgruppen hinauslief und de-
ren Ergebnisse er vorab in den Comptes Rendus der Pariser Akademie 1867
anzeigte. Er vermerkte, daß jede dieser Bewegungen eines starren Körpers als
eine Schraubenbewegung, Drehung um eine Achse und Translation in Rich-
tung der Achse, dargestellt werden kann, und charakterisierte sein Anliegen
dann mit den Worten:

Le probl`
eme qu’il s’agit de r´
esoudre peut donc s’´
enoncer de l’une ou de

”

l’autre des deux manì
eres suivantes:

1˚ Former tous les groupes possibles de mouvements.

2˚ Former de toutes les manì
eres possibles des syst`
emes de mol´
ecules super-
posables `
a eux-mˆ
emes dans divers positions.“ [Jordan 1868/69, S. 168]

458

8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880

Bezüglich der zweiten Formulierung der Aufgabenstellung knüpfte er direkt
an die kristallographischen Arbeiten Bravais’ an. Die Gruppeneigenschaft de-
finierte er wieder durch die Abgeschlossenheit gegenüber der Verknüpfungs-
relation, übernahm also den permutationstheoretischen Gruppenbegriff, ohne
darauf explizit hinzuweisen und ohne Andeutung einer notwendig werdenden

Präzisierung.

Die weitere Entwicklung war dann vor allem mit Klein und seinen an das

Erlanger Programm anschließenden Forschungen verknüpft. Zusammen mit

Lie hatte Klein, wie schon dargelegt, allgemeine Untersuchungen über Grup-
pen geometrischer Bewegungen begonnen und das Erlanger Programm stellte
dabei nur“ einen, wenn auch wichtigen Zwischenschritt dar. In den Studien

”

zu der damals mehrfach erörterten Rolle imaginärer Elemente in der Geo-
metrie ging Klein dazu über, die Drehungen der Riemannschen Zahlenkugel
gruppentheoretisch zu interpretieren. Damit löste er sich von der bis dahin
vorherrschenden Auffassung, mit der Anwendung der permutationstheoreti-
schen Resultate in der Geometrie zwar eine anschauliche Interpretation dieser

Ideen zu erhalten, aber kaum zu grundlegend neuen Einsichten zu kommen.

Auch Jordan hatte 1870 keine Veranlassung gesehen, in seinem

Trait´
e ...“

”

auf seine Klassifikation der Transformationsgruppen hinzuweisen. Erstmals
hat Klein den neuen Standpunkt in einer Arbeit von 1875 realisiert und
die Deckabbildungen regulärer Polyeder als Gruppenelemente behandelt. Er
formulierte als ein Ziel seiner Arbeit, wobei er die gebrochen linearen Trans-
formationen in den Begriff der linearen Transformation mit einschloß:

Die spezielle Aufgabe, welche ich weiterhin in Angriff nahm, knüpfte an

”

den Umstand an, dass bei gewöhnlicher Maassbestimmung ein lange erle-
digtes Problem ist: alle endlichen Gruppen von Bewegungen zu construiren.

Es schien möglich, für allgemeine projektivische Maassbestimmung dasselbe

Problem zu lösen und damit also, was für algebraische Untersuchungen von

Wichtigkeit sein muss, alle endlichen Gruppen linearer Transformationen ei-
nes komplexen Argumentes x + iy zu gewinnen. Es hängt diese Bestimmung
auf das Genaueste mit der Theorie der regulären Körper zusammen ...“ [Klein

1875/76, S. 183f.]

Bei der Lösung dieser Aufgabe ging Klein dann deutlich über Jordan hin-
aus und kam zu eingehenden Betrachtungen der Erzeugenden der einzel-
nen Transformationsgruppen und zur Isomorphie von Gruppen. Er lotete
die neuen Vorstellungen weiter aus und vollzog, angeregt durch Diskussio-
nen mit Gordan, den entscheidenden Schritt, das Studium der Deckabbil-
dungen auch für die Theorie der Gleichung 5. Grades als Ausgangspunkt
zu wählen. Nachdem er auf die früher dargelegte Verbindung zwischen den
algebraischen Gleichungen und den regulären Polyedern, speziell die Interpre-
tation der Gleichung 5. Grades am Ikosaeder, verwiesen hatte, stellte er die
umgekehrte Aufgabe, geradezu die Theorie der Gleichungen f¨
unften Grades

”

aus der Betrachtung des Ikosaeders abzuleiten“ [Klein 1877, S. 503], und fügte

8.3 Die Theorie der Transformationsgruppen

459
den bereits bekannten Ergebnissen noch neue hinzu. Die vollständige Theorie
bildete 1884 den Gegenstand seines Buches Vorlesungen ¨
uber das Ikosaeder

”

und die Aufl¨
osung der Gleichungen vom f¨
unften Grade“. Sehr klar brachte
er einleitend den gruppentheoretischen Charakter der Studien zum Ausdruck:

Es sind nun aber, . . . , im Folgenden nicht eigentlich die hiermit aufgezählten

”

Figuren selbst, die den Gegenstand unserer Betrachtung ausmachen, viel-
mehr sind es jene

Drehungen, oder auch Spiegelungen, oder kurz gesagt:

diejenigen elementargeometrischen Operationen, durch welche die genannten

Figuren mit sich selbst zur Deckung kommen. Die Figuren sind f¨
ur uns nur
das Orientirungsmittel, verm¨
oge dessen wir die Gesammtheit gewisser Dre-
hungen oder sonstiger Um¨
anderungen ¨
ubersehen . . .

Indem wir uns jetzt die Aufgabe stellen, die in Rede stehenden Drehungen etc.

zu studiren, durch welche die genannten Configurationen in sich übergehen,
gebietet sich von vornherein der Anschluss an jene wichtige und umfassen-
de Theorie, welche zumal durch Galois’ bahnbrechende Arbeiten geschaffen
worden ist und die man als Gruppentheorie bezeichnet. Ursprünglich aus der

Gleichungstheorie erwachsen und dementsprechend auf die Vertauschungen
irgendwelcher Elemente bezüglich, umfasst diese Theorie, wie man seit lan-
ge erkannt hat, überhaupt jede Frage, bei der es sich um eine geschlossene

Mannigfaltigkeit irgend welcher Operationen handelt. Man sagt von beliebi-
gen Operationen, daß sie eine Gruppe bilden, wenn je zwei der Operationen
zusammengesetzt immer wieder eine Operation unter den bereits gegebenen
erzeugen. In diesem Sinne haben wir sofort den Satz: Die Drehungen, welche
einen regul¨
aren K¨
orper mit sich selbst zur Deckung bringen, bilden in ihrer

Gesammtheit eine Gruppe.“ [Klein 1884, S. 4f.]

Damit atmete die nachfolgende Darlegung der gruppentheoretischen Grund-
begriffe, die Klein aus der Permutationstheorie übertrug, durchaus den Geist
einer weiteren Abstraktion, des Voranschreitens zu abstrakten, die Struktur
erfassenden Begriffsbildungen. Klein unterstrich dies beispielsweise an der

Isomorphie, ein Begriff, der dem modernen Homomorphiebegriff entspricht:

Die isomorphe Beziehung kann eine wechselseitig eindeutige sein; man

”

spricht dann von holoedrischem Isomorphismus. Es sind in diesem Falle die
beiden Gruppen abstract genommen überhaupt identisch, und es ist nur die

Bedeutung der beiderseitigen Operationen, in denen eine Verschiedenheit lie-
gen kann.“ [Klein, Ikosaeder 1884, S. 8]

Klein analysierte die Deckabbildungen der regulären Polyeder im Detail und
hob dabei jeweils die Isomorphie zu den entsprechenden Permutationsgrup-
pen hervor, betonte also die strukturelle Übereinstimmung. Auch die Bezie-
hung zur Theorie der Formen stellte er klar heraus.

460

8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880

Während Klein sich vor allem auf die endlichen Gruppen linearer Substitu-
tionen einer Variablen konzentrierte, versuchte Jordan ab 1878 die endlichen

Gruppen linearer Transformationen mit beliebiger endlicher Variablenzahl zu
klassifizieren und löste die Aufgabe für niedrige Variablenzahlen (2, 3). Diese
umfangreichen Untersuchungen mündeten Ende der 90er Jahre in die Dar-
stellungstheorie von Gruppen durch lineare Substitutionen ein, die von Georg

Frobenius, William Burnside (1852–1927) Theodor Molien (1861–1941) und

Issai Schur (1875–1941) aufgebaut wurde.

Ein weiteres wichtiges Anwendungsgebiet, in dem Klein die ordnende Kraft
der Gruppentheorie demonstrieren konnte, eröffnete sich ihm mit den Unter-
suchungen zu elliptischen Modulfunktionen, denen er sich Ende der 70er Jahre
zuwandte. Insbesondere das Studium jener eindeutigen Funktionen, die bei
der Anwendung einer Transformationsgruppe ungeändert blieben und die er
ab 1890 als automorphe Funktionen bezeichnete, erregte sein Interesse. Etwa
zur gleichen Zeit, aber unabhängig von Klein, kam Henri Poincaré ebenfalls
zur Betrachtung analoger Fragestellungen und erzielte wesentliche Resultate.

Wichtige Anregungen erhielt er durch Arbeiten von Lazarus Fuchs zur In-
tegration linearer Differentialgleichungen und von Charles Hermite über el-
liptische Funktionen. Die entscheidende Neuerung bei der Verwendung grup-
pentheoretischer Überlegungen war, daß bei den Transformationen ellipti-
scher Funktionen auch unendliche Transformationsgruppen auftreten konn-
ten und somit Inhalt und Umfang des Begriffs der Transformationsgruppe er-
weitert wurde. Diese Erweiterung des Gruppenbegriffs vollzog sich ohne große

Schwierigkeiten, so daß die einzelnen Mathematiker es nicht für nötig erach-
teten, über diesen Schritt zu reflektieren. 1897 publizierten Robert Fricke

(1861–1930) und Klein eine systematische Darstellung der Theorie der auto-
morphen Funktionen auf gruppentheoretischer Grundlage; der zweite Band
erschien in drei Lieferungen 1901–1912.

8.3.2 Die Liesche Theorie der kontinuierlichen

Transformationsgruppen

Neben den Forschungen Kleins kam den Arbeiten des Norwegers Sophus Lie
über Transformationsgruppen eine große Bedeutung zu. Anknüpfend an die
anregende, durch den Ausbruch des Deutsch-Französischen Krieges vorzeitig
beendete Zusammenarbeit mit Klein in Paris formte Lie seine eigenen For-
schungen aus und kam bereits 1871 zum Begriff der Transformationsgrup-
pe sowie zum Studium der Berührungstransformationen. Dabei verstand er
unter einer Berührungstransformation eine räumliche Umformung, bei der

Flächen, die sich berühren, in ebensolche übergehen. Jede Berührungstrans-
formation ist durch ein System von Gleichungen, im allgemeinen Differenti-
algleichungen, bestimmt, woraus sich jene einzigartige Synthese von Geome-
trie und Theorie der Differentialgleichungen ergab, die das Liesche Schaffen
auszeichnete. Seinen Übergang von ursprünglich geometrischen zu gruppen-
theoretischen Untersuchungen beschrieb Lie rückblickend so:

8.3 Die Theorie der Transformationsgruppen

461

Andrerseits entwickelte ich in den Jahren 1870–74 den Begriff der endlichen

”

continuirlichen Gruppe und erkannte seine weitreichende Bedeutung für die

Geometrie und für die Theorie der Differentialgleichungen. ... So traten für
mich die Begriffe Transformation und Transformationsgruppe immer mehr in
den Vordergrund und ich entwickelte nach und nach eine allgemeine Trans-
formationstheorie.“ [Lie 1893, dritter Abschnitt, S. XVI]

Lie und Klein hatten sich 1870 in Berlin kennengelernt, wo sie sich beide
zur Vertiefung ihrer mathematischen Kenntnisse aufhielten. Erst zwei Jahre
zuvor hatte sich Lie nach der Lektüre von Arbeiten Poncelets und Plückers
endgültig für die Mathematik entschieden. Das freundschaftliche Verhältnis
zu dem sieben Jahre jüngeren Klein sollte seinen weiteren Lebensweg wesent-
lich beeinflussen. Beide beschlossen ihre Studien bei den führenden französi-
schen Mathematikern, Jordan und Darboux, in Paris fortzusetzen, wobei sie
sich insbesondere für die differentialgeometrischen Forschungen Darboux’ in-
teressierten. Obwohl der Aufenthalt durch den Deutsch-Französischen Krieg
früher als geplant abrupt beendet wurde, haben beide im persönlichen Kon-
takt mit Darboux und Jordan wertvolle Anregungen für ihre weiteren For-
schungen erhalten. Bei Lie führte dies zur Theorie der Transformationsgrup-
pen, denen er sich dann Zeit seines Lebens widmete, bei Klein schlug sich
dies in den im vorangegangenen Abschnitt behandelten Arbeiten zum Er-
langer Programm und zur Klassifikation der Transformationsgruppen nieder.

Es zeigte sich jedoch recht bald, daß Lie die vollständige Ausarbeitung der

Theorie nicht im Alleingang bewältigen würde. Die 1872 für ihn geschaffene

Professur an Norwegens einziger Universität in Christiania (Oslo) brachte
ihm zwar soziale Sicherheit, wissenschaftlich war es jedoch eine isolierte Stel-
lung. Anregende Diskussionen mit Kollegen und begabten Studenten, wie
sie Klein zur gleichen Zeit in München bzw. Leipzig führen konnte, fehlten
völlig. Klein, der nach der Habilitation 1871 in Göttingen, in Erlangen 1872–

75, München 1875–80 und Leipzig 1880–86 wirkte, erkannte dieses Dilemma
und schickte mit der Unterstützung seiner Kollegen während seiner Leipzi-
ger Amtszeit den jungen Friedrich Engel 1884 zu Lie nach Norwegen. Engel
sollte sich in die Theorie Lies einarbeiten und diesen dann bei den Forschun-
gen zur Seite stehen. Schließlich organisierte Klein bei seinem Wechsel an die

Universität Göttingen, daß Lie sein Nachfolger in Leipzig wurde. In Leipzig
entfaltete Lie eine umfangreiche Forschungstätigkeit und schuf in Zusammen-
arbeit mit seinen Schülern bedeutende zusammenfassende Darstellungen zur

Theorie der Transformationsgruppen. Seit 1889 wurde seine Arbeit jedoch
durch eine schwere Erkrankung überschattet, die langsam, aber stetig voran-
schritt und zu jener Zeit noch unheilbar war. Lie litt an perniziöser Anämie.

1898 kehrte er nach Christiania zurück, wo er im Jahr darauf verstarb. Für
weitere biographische Details sei auf [Fritsche 1999] und [Stubhaug 2002] ver-
wiesen, für eine eingehende Betrachtung der Forschungen von Klein und Lie
vom Standpunkt der Aufdeckung und Anwendung von Symmetrievorstellun-
gen auf [Yaglom 1988].

462

8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880

Wesentlich stimuliert durch die von ihm erkannten Anwendungsmöglichkei-
ten, stellte sich Lie die Klassifikation der Transformationsgruppen als zentrale

Aufgabe seiner Forschungen. Mit der 1874 erschienenen Arbeit

¨

Uber Grup-

”

pen von Transformationen“ begann er die Folge seiner Publikationen zur

Theorie der Transformationsgruppen und gab alle Transformationsgruppen
an, die nur von einer Variablen abhängen. Ab 1875 nahm er auch die sog. infi-
nitesimalen Transformationen zum Studium von Transformationsgruppen zu

Hilfe. Die Begriffsbildungen und Formulierungen wiesen in diesen frühen Ar-
beiten Lies noch eine Reihe von Ungenauigkeiten auf. So hatte er eine Trans-
formationsgruppe als eine Schar von Transformationen fi( x 1 , ...xn, a 1 , ...ar)

definiert, bei der die Zusammensetzung von zwei Transformationen der Schar
wieder eine Transformation der Schar ergab. Die Parameter der zusammen-
gesetzten Transformation sollten dabei nur von den Parametern der beiden
verknüpften Transformationen abhängen. Mit anderen Worten: Sind
x = f

= f

, ...x , b
i
i( x 1 , ...xn, a 1 , ...ar) und x
i
i( x 1
n

1 , ...br)

zwei Transformationen der Gruppe, so ergibt deren Hintereinanderausführung
eine Transformation der Gruppe in der Form
x = f
i
i( f 1( x, a) , ...fn( x, a) , b 1 , ...br ) = fi( x 1 , ...xn, c 1 , ...cr) , und die ck hängen allein von den aj und bj ab ( i = 1 , . . . , n; j, k = 1 , . . . , r).

Über die Eigenschaften der Funktionen fi machte Lie zunächst keine genaue-
ren Aussagen, in einer Arbeit aus dem Jahre 1880 setzte er dann die fi als
analytische Funktionen voraus, die in jedem Punkt des Definitionsbereichs
durch Potenzreihen gegeben waren. Gleichzeitig nahm er für die Transforma-
tionsgruppen an, daß mit jeder Transformation auch deren inverse zur Grup-
pe gehöre, glaubte aber, diese Eigenschaft aus der Gruppeneigenschaft, d. h.

der multiplikativen Abgeschlossenheit, ableiten zu können [Lie 1880, S. 445].

Zuvor hatte er bereits 1876 und 1878 für endliche kontinuierliche Transforma-
tionsgruppen gezeigt, daß wenigstens eine identische Transformation und zu
jeder Transformation mindestens eine inverse auch zur Gruppe gehörten. Die
infinitesimalen Transformationen zu einer vorgegebenen Transformation f de-
finierte Lie durch Differentiation von f nach den Parametern aj, j = 1, ...r,
und drückte diese als Differentialoperator aus. Die Rechnungen mit den Dif-
ferentialausdrücken führten ihn dann auf fast natürlichem Wege zur Betrach-
tung der heute als Kommutator [ A, B] bezeichneten Beziehung AB − BA, bei
vorgegebenen Ausdrücken A und B (statt [ A, B] schrieb Lie ( A, B)). Weiter-
hin bestätigte er für die zu einer r-dimensionalen kontinuierlichen Transfor-
mationsgruppe gehörigen infinitesimalen Transformationen, daß sie als Line-
arkombination von r linear unabhängigen infinitesimalen Transformationen
darstellbar sind und zu je zwei Transformationen auch deren Kommutator
zu dieser Menge gehört, d. h. sind A 1 , ..., Ar die linear unabhängigen infini-

tesimalen Transformationen, so gilt [ Ai, Aj] =
ck A
ij
k , ( i, j, k = 1 , . . . , r).

Für die infinitesimalen Transformationen leitete er auch die Jacobische Iden-

8.3 Die Theorie der Transformationsgruppen

463
tität [[ A, B] , C] + [[ B, C] , A] + [[ C, A] , B] = 0 ab. Umgekehrt bewies Lie, daß
für eine Schar von r linear unabhängigen infinitesimalen Transformationen
die Abgeschlossenheit gegenüber der Kommutatorbildung hinreichend ist, um
aus jeder dieser Transformationen eine eindimensionale Transformationsgrup-
pe zu konstruieren, und daß sich all diese Gruppen zu einer r-dimensionalen

Gruppe vereinigen lassen. Ohne die Leistungen Lies zu schmälern, muß jedoch
einschränkend bemerkt werden, daß diese und zahlreiche weitere Aussagen
nicht in der von ihm gewählten pauschalen Formulierung gelten, sondern nur
lokal. Lie erkannte auch, daß die in der obigen Relation auftretenden Größen
ck weder von den Variablen x noch von den Parametern a abhingen, also
ij

Konstanten waren. Damit erhielt aber die Menge der infinitesimalen Trans-
formationen eine wichtige algebraische Struktur. Mit der Kommutatorbildung
als Multiplikation bildete sie ein hyperkomplexes System, eine Algebra, und
die Konstanten ck waren genau die Multiplikationskonstanten des Systems,
ij
die seit Hamilton in vielen Betrachtungen über hyperkomplexe Systeme ver-
wendet wurden. Damit hingen diese Konstanten nur von der Definition der

Gruppenoperation ab und waren nicht an die Realisierung der Gruppe als

Transformationsgruppe gebunden. Heute wird ein lineares Größensystem mit
einer Produktbildung [ a, b], für die [ a, b] = − [ b, a] und die Jacobische Iden-
tität gelten, als Lie-Algebra bezeichnet.

In den weiteren Forschungen präzisierte und vertiefte Lie die Ergebnisse und
formulierte dann drei Theoreme, welche die Beziehungen zwischen den konti-
nuierlichen Transformationsgruppen und den Gruppen infinitesimaler Trans-
formationen aufklärten und die er später auch als Haupttheoreme bezeichne-
te. Er bewies speziell, wie zu jeder kontinuierlichen Transformationsgruppe
eine Gruppe von infinitesimalen Transformationen erhalten wird und um-
gekehrt. Damit hatte er die grundlegenden Beziehungen zwischen den r-
dimensionalen kontinuierlichen Transformationsgruppen und den infinitesi-
malen Transformationen oder wie man in moderner Terminologie sagt, zwi-
schen Lie-Gruppen und Lie-Algebren erkannt, auch wenn er bei verschiedenen

Beweisen nicht darauf hinwies, daß sie nur lokal gültig sind.

Schließlich kam er 1883 zu der grundlegenden Unterscheidung zwischen end-
lichen und unendlichen kontinuierlichen Gruppen:

Kontinuierlich heißt eine Gruppe, deren s¨
amtliche Operationen durch un-

”

endlichmalige Wiederholung von infinitesimalen Transformationen erzeugt
sind; diskontinuierlich heißt dagegen eine Gruppe, deren Operationen s¨
amt-
lich endlich verschieden sind.“ [Lie 1924, S. 314]

Einige Jahre später faßte Lie dies in folgende Worte:

Eine Transforma-

”

tionsgruppe heißt continuirlich, wenn es m¨
oglich ist, zu jeder der Gruppe
angeh¨
origen Transformation gewisse andere Transformationen der Gruppe
anzugeben, welche von der betreffenden Transformation nur unendlich wenig
verschieden sind, wenn es dagegen nicht m¨
oglich ist, den ganzen in der Grup-
pe enthaltenen Inbegriff von Transformationen in einzelne discrete Schaaren
zu zerlegen.“ [Lie 1888, S. 3]

464

8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880

Émile Picard

Friedrich Engel

Entsprechend der Einteilung der diskontinuierlichen Transformationsgrup-
pen in endliche und unendliche, je nachdem die Anzahl ihrer Operationen
begrenzt oder unbegrenzt war, differenzierte Lie die kontinuierlichen Grup-
pen. Für eine endliche kontinuierliche Gruppe hängen die Operationen nur
von variablen Parametern ab, für eine unendliche Gruppe von beliebigen

Funktionen. Als äquivalente Charakterisierung der endlich bzw. unendlich
kontinuierlichen Gruppen wies Lie dann das Auftreten von endlich bzw. un-
endlich vielen unabhängigen infinitesimalen Transformationen nach. Im Rah-
men der Anwendung seiner Ergebnisse auf die Integration von Differential-
gleichungen und der Weiterentwicklung der entsprechenden Theorie leitete
er diese Einteilung der kontinuierlichen Transformationsgruppen auch mit

Hilfe der einer Transformation zugeordneten Differentialgleichung ab. Eine
unendliche kontinuierliche Transformationsgruppe charakterisierte er als eine

Schar von Transformationen, die durch ein System von Differentialgleichun-
gen definiert ist, so daß mit x = f

= g
i
i( x 1 , ...xn ) und xi
i( x 1 , ...xn) auch
x = g
i
i( f 1( x) , ...fn ( x)) Lösung des Systems ist und die allgemeine Lösung
von willkürlichen Funktionen abhängt. Da Lie in der erwähnten Arbeit von

1883 auch ausführte, daß es neben den von ihm definierten Typen noch einen
dritten Typ von Transformationsgruppen gibt, zu dem z. B. die Bewegun-
gen der Ebene gehörten, kann man mit dem Jahr 1883 die Klassifikation der

Transformationsgruppen als prinzipiell vollendet ansehen.

Im gleichen Jahr publizierte der französische Mathematiker Émile Picard eine
erste wichtige Arbeit zur Realisierung von Lies großer Idee, eine zur Galois-
schen Theorie analoge Theorie für die Lösung von Differentialgleichungen
zu entwickeln. Mit weiteren Arbeiten haben Picard 1887 und Ernest Ves-
siot (1865–1952) 1892 diese Theorie weiter ausgebaut und zu einem gewis-
sen Abschluß gebracht. Sie waren es zugleich, die Lies gruppentheoretische

8.4 Die ersten Strukturuntersuchungen bei hyperkomplexen Systemen

465

Zielsetzungen anerkannten und deutlicher zur Geltung brachten und damit
auch die durch den Übergang von den Permutationsgruppen zu den Trans-
formationsgruppen bedingten Fortschritte hervortreten ließen. Die weitere

Beschäftigung mit der Theorie der kontinuierlichen Transformationsgruppen
hatte, wie bereits mit Lies Äußerungen zur Existenz der Inversen angedeutet
wurde, Auswirkungen auf die Erkenntnis der eine Gruppe charakterisierenden

Eigenschaften, d. h. auf die abstrakte axiomatische Formulierung des Grup-
penbegriffs. Bevor dies jedoch weiterverfolgt wird, soll noch ein Blick auf die
anderen algebraischen Gebiete geworfen werden.

8.4 Die ersten Strukturuntersuchungen bei
hyperkomplexen Systemen

Ein weiteres Gebiet, das in den 70er Jahren eine deutliche Profilierung erhielt,
war die Untersuchung hyperkomplexer Zahlensysteme. Die diesbezüglichen

Ergebnisse standen nicht so im Blickpunkt wie jene über Transformations-
gruppen oder zur Galois-Theorie und waren mit teilweise sehr unterschied-
lichen Fragestellungen in der Mathematik verknüpft. In gewisser Hinsicht
stellten die Fortschritte bei den hyperkomplexen Systemen einen weiteren

Gradmesser dar, inwieweit algebraisches Denken größere Teile der Mathema-
tik durchdrungen hatte.

Im vorangegangenen Kapitel (Abschnitt 7.6) sind bereits jene Entwicklungen
betrachtet worden, die mit Fragen der linearen Algebra in Verbindung stehen.

Da diese Forschungen, wie die Beispiele Graßmann und Cayley zeigen, auf
einem beachtlichen Abstraktionsniveau stattfanden, bildeten sie eine Haupt-
quelle, aus der die Überlegungen zu hyperkomplexen Systemen ihre Anregun-
gen erfuhren. Ergänzend sei zu Cayley noch erwähnt, daß er in der Arbeit,
in der er eine abstrakte Definition der endlichen Gruppe vorlegte, auch erst-
mals eine Gruppenalgebra, die Gruppenalgebra der symmetrischen Gruppe

3, konstruierte und damit ein weiteres Beispiel für ein hyperkomplexes Sy-

stem angab. Cayley bildete die formalen Summen aus den Gruppenelementen,
definierte deren Addition elementweise und erklärte die Multiplikation durch
die Gruppenoperation, wobei er die Linearität der Verknüpfung stillschwei-
gend voraussetzte. Anschließend hob er nicht nur hervor, daß die Menge dieser

Größen ein hyperkomplexes System bildet, sondern auch, daß dieses System
von den bis dahin bekannten Systemen verschieden sei:

It does not appear that there is in this system anything analogous to the

”

modulus
w 2 + x 2 + y 2 + z 2 , so important in the theory of quaternions.“

[Cayley 1854, S. 129]

Die Bildung der Gruppenalgebra erwies sich wie die des Gruppenbegriffs
als historisch zu früh, doch wurde damit in der späteren Entwicklung die
enge Beziehung zwischen den Darstellungen der endlichen Gruppen und den

Darstellungen der Gruppenalgebra hergestellt.

466

8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880

Ende der 60er Jahre lagen somit eine ganze Reihe von hyperkomplexen Sy-
stemen vor. Neben den bisher erwähnten Quaternionen und Biquaternionen

Hamiltons, den Matrizenalgebren, und Graßmanns Produktbildungen seien
noch Saint Venants Studien zur Multiplikation von Vektoren und Cauchys
clefs alg´
ebriques“ genannt. Die Einführung letzterer war möglicherweise von

”

Graßmanns Studien angeregt. Die clefs“ hatten ebenfalls den Charakter ab-

”

strakter Einheiten, die je nach der Multiplikation, die man für sie definierte,
unterschiedliche hyperkomplexe Systeme bildeten. Cauchy hat seine Ideen
jedoch nur angedeutet und nicht genauer entwickelt. So vermerkte er zum

Beispiel, daß sich die imaginären Zahlen und die Quaternionen seinen clefs“

”

unterordnen, ohne dies im Detail auszuführen.

8.4.1 Hankels

Theorie der complexen Zahlensysteme“

”

Eine Zusammenfassung der vielfältigen Ansätze zu hyperkomplexen Zahlen
bot dann Hermann Hankel 1867 in seinem Buch

Theorie der complexen

”

Zahlensysteme“, das man als Grundstein für eine eigenständige Theorie be-
trachten kann. Erstmals wurden die Forschungen der englischen algebraischen

Schule im deutschen Sprachraum systematisch behandelt und mit der konti-
nentalen Entwicklung verwoben. Hankel gab in dem Buch einen Aufbau des

Zahlensystems bis zu den imaginären Zahlen und setzte dies für höhere kom-
plexe Zahlen fort, so daß die reellen und komplexen Zahlen als Spezialfall einer
allgemeineren Theorie erschienen. Deutlich betonte er, daß die unterschiedli-
chen Systeme höherer komplexer Zahlen, also die hyperkomplexen Systeme,
durch die verschiedenen Definitionen der Produktbildung entstanden. Mit der

Unterscheidung zwischen begrenzten und unbegrenzten Systemen und dem

Nachweis, daß unter den linearen Systemen kein höheres komplexes Zahlensy-
stem existiert als die komplexen Zahlen selbst, das assoziativ, distributiv und
nullteilerfrei ist, rückte er das Studium der Struktur dieser Systeme stärker
in den Mittelpunkt der Betrachtungen. Begrenzt nannte er ein System, wenn
die multiplikative Verknüpfung nicht auf neue Einheiten führte, in unbe-
grenzten Systemen lieferte die Multiplikation der Grundeinheiten stets neue

Einheiten, es existierte also keine endliche Basismenge. Ausführlicher analy-
sierte Hankel die Quaternionen und die alternierenden Zahlen und schenkte
insbesondere der geometrischen Umsetzung und Anwendung dieser Systeme
große Aufmerksamkeit. Schließlich eröffnete er noch die Verbindung zu den
algebraischen Zahlkörpern, indem er auch die
von Gauss und Dirichlet in

”

die Zahlenlehre eingef¨
uhrten allgemeinen complexen ganzen Zahlen“ [Han-
kel 1867, S. 103] als Beispiele für hyperkomplexe Zahlen einordnete. Diese
von Hankel nur formal benannte Beziehung zwischen zwei mathematischen

Forschungsthemen sollte in den Händen von Dedekind sehr bald eine sehr
fruchtbare Bearbeitung erfahren. Hankels Verdienst bleibt es, mit seinem

Buch die vorhandene Vielfalt hyperkomplexer Systeme weitgehend erfasst,
sehr gut dargestellt und zum Teil zu Forschungsrichtungen vereint zu haben.

8.4 Die ersten Strukturuntersuchungen bei hyperkomplexen Systemen

467

Zugleich leitete er in ersten Ansätzen einen Wandel in den Forschungszielen
hin zur Strukturuntersuchung ein. Mit Blick auf die Gesamtentwicklung der

Mathematik ist die Entstehungsgeschichte des Buches noch bemerkenswert.

Hankel schrieb das Buch als Lehrbuch zur Funktionentheorie und wollte da-
mit dem Bedürfnis nach einer zusammenfassenden exakten Darstellung dieses
in rascher Entwicklung begriffenen Zweiges der Mathematik Rechnung tra-
gen. Entsprechend seinen Vorstellungen vom Aufbau der Mathematik sollte
in diesem ersten Teil ein allgemeines begriffliches Fundament in Form der

Theorie hyperkomplexer Zahlen gelegt werden. Somit waren es weniger kon-
krete algebraische Forschungen, als vielmehr Belange der Lehre und Überle-
gungen zum Aufbau einer mathematischen Theorie, die die Schaffung dieses
wichtigen Werkes stimulierten.

Bei der Ausformung dieser Ansichten hat zweifellos auch Hankels Kontakt
zu führenden deutschen Mathematikern eine Rolle gespielt. Hankel hatte
sein 1857 in Leipzig begonnenes Studium 1860 in Göttingen bei Riemann
und 1861 für kurze Zeit in Berlin bei Kronecker und Weierstraß fortgesetzt.

Vor allem Riemann hat ihn wissenschaftlich stark beeinflußt, und wieder-
holt griff er in seinen Arbeiten Themen der Riemannschen Forschungen zur

Funktionentheorie und Analysis auf. Nach der Habilitation 1863 in Leipzig
und der Tätigkeit als Privatdozent an der Leipziger Universität nahm Han-
kel 1867 eine Professur in Erlangen an und wechselte 1869 an die Universität

Tübingen. Neben den mathematischen Forschungen interessierte er sich seit
seiner Gymnasialzeit auch sehr für die Geschichte der Mathematik, und viele
seiner Arbeiten enthielten sehr sachkundige historische Bemerkungen zur be-
handelten Thematik. Diese geschickte Kombination von historischen Fakten
mit mathematischen Ausführungen kam speziell in der oben besprochenen

Theorie der complexen Zahlensysteme“ sehr vorteilhaft zur Geltung. Han-

”

kels früher Tod 1873 verhinderte die Vollendung eines geplanten umfassenden
mathematikhistorischen Werkes, doch gelten die aus dem Nachlaß publizier-
ten Ausarbeitungen als eine wichtige Zwischenstation auf dem Weg zu den
großen zusammenfassenden Darstellungen zur Mathematikgeschichte wie sie
dann von Moritz Cantor und anderen geschaffen wurden.

8.4.2 Die Klassifikation der Algebren bei Benjamin Peirce

Der nächste entscheidende Entwicklungsschritt in der Untersuchung hyper-
komplexer Systeme wurde jedoch nicht in Europa vollzogen, sondern im auf-
strebenden Nordamerika. Nachdem bereits in der ersten Hälfte des 19. Jahr-
hunderts nicht zuletzt dank einer allgemeinen Bildungsreform in den USA
eine stärkere Betonung der naturwissenschaftlichen Bildung mit dem Ziel
erfolgt war, den Anschluß an das Wissenschaftsniveau in Europa zu errei-
chen, kam es nach der Jahrhundertmitte u. a. stimuliert durch die sich aus
dem Wachsen von Industrie und Landwirtschaft resultierenden Fragestellun-
gen zu einer weiteren Umgestaltung und zu einem Aufschwung von Mathe-
matik und Naturwissenschaften. Eine Auswirkung dieses Prozesses war die

468

8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880

Hermann Hankel

Benjamin Peirce

Gründung mehrerer Universitäten und anderer höherer Bildungseinrichtun-
gen. Das Ausgangsniveau der Mathematik war sehr niedrig. Seit den 20er

Jahren entstanden mehrere Mathematiklehrbücher und Übersetzungen von
französischen Originalwerken. In dieser Hinsicht läßt sich dieser Aufschwung
mit dem Neuanfang auf mathematischem Terrain in England vergleichen.

Jedoch entwickelte sich in den USA erst allmählich eine mathematische For-
schung, die vorrangig auf Probleme der Anwendung konzentriert blieb. Mit

Benjamin Peirce, der seit 1833 als Professor an der Harvard University wirkte,
rückten in den 60er Jahren erstmals Fragen ohne direkten Anwendungsbezug
in das Blickfeld und mündeten in eigenständige Forschungen ein. Er gilt des-
halb mit Recht als Vater der reinen Mathematik in den USA. Doch auch Peir-
ce hatte sich zuvor intensiv mit Anwendungsfragen beschäftigt und war sehr
gut mit verschiedenen Entwicklungen der französischen und britischen Ma-
thematik vertraut, u. a. war er an der Übersetzung von Laplaces M´
ecanique

”

c´
eleste“ beteiligt und ein eifriger Anhänger von Hamiltons Quaternionen.

1847 hatte er über Kometenbahnen sowie deren Berechnung publiziert und
seit 1852 arbeitete er mit der amerikanischen Vermessungsbehörde zusam-
men und förderte insbesondere die Ausdehnung des geodätischen Systems ins

Landesinnere und die Vereinigung des Triangulationsnetzes der Ostküste mit
dem der Westküste. Für eine ausführliche Analyse der Entwicklung der Ma-
thematik in den USA und speziell der verschiedenen Bemühungen am Ende
des 19. Jahrhunderts, den Anschluß an das europäische Niveau herzustellen,
wird auf [Tarwater 1977] und [Parshall, Rowe 1994] verwiesen.

In seinem Werk zu hyperkomplexen Systemen trat dann deutlich eine formal-
logische Betrachtungsweise hervor, was wohl vorrangig dem Einfluß der logi-
schen Studien seines Sohnes Charles Sanders und dem Studium der logischen

Arbeiten von George Boole und Augustus De Morgan geschuldet war. Außer-

8.4 Die ersten Strukturuntersuchungen bei hyperkomplexen Systemen

469
dem wurden weitere Einflüsse der englischen und französischen Mathematik
deutlich (vgl. dazu [Schlote 1988, Kap. 2.2]). Peirces Arbeit erschien 1870
zunächst nur als Privatdruck in etwa 100 Exemplaren unter dem Titel Line-

”

ar Associative Algebra“. Die formal-logischen Vorstellungen dokumentierten
sich gleich zu Beginn der Arbeit in seiner Definition der Mathematik als the

”

science which draws necessary conclusions“. [B. Peirce 1881, S. 98] Der Dis-
kussion dieser Definition schloß sich dann eine Charakterisierung der Algebra
als formale Mathematik und eine Unterscheidung in gewöhnliche oder arith-
metische, logische und eine nicht näher bezeichnete dritte Art von Algebra
an. Für diese Typen erklärte er je drei Teile:

The symbols of an algebra, with the laws of combination, constitute its lan-

”

guage; the methods of using the symbols in the drawing of inferences is its
art; and their interpretation is its scientific application.“ [B. Peirce 1881, S.

98]

Im weiteren behandelte er aber nur den ersten Teil, die Sprache. Dieser Teil
war für Peirce entsprechend seines Mathematikbegriffs von besonderem Inter-
esse. Die Symbolik entkleidete die Gedanken ihrer ¨
außeren Form“, ließ ihre

”

Verknüpfung und Abhängigkeit deutlich werden und deckte so Ähnlichkeiten
im logischen Schema von scheinbar völlig verschiedenen Problemstellungen
auf. Eine wichtige Aufgabe sah Peirce in der Analyse dieser logisch-algebra-
ischen Schemata und der Bestimmung der verschiedenen Typen. Diese Sche-
mata waren letztlich hyperkomplexe Systeme, Peirce sprach von Algebren
ohne über die damit entstehende doppelte Bedeutung des Begriffs zu reflek-
tieren, so daß die Analyse der Algebren die Aufklärung von deren Struktur
beinhaltete.

Peirce kommt das Verdienst zu, als erster systematisch Untersuchungen zur

Struktur hyperkomplexer Systeme durchgeführt und erste Klassifikations-
prinzipien aufgestellt zu haben. Die Klassifikation behandelte er dann als rein
mathematisches Problem, ohne die eingangs skizzierten philosophischen und
logischen Erörterungen. Einige der Kriterien, wie die Einteilung der Algebren
nach der Anzahl der Basiselemente, erscheinen vom modernen Standpunkt
trivial, doch lieferten sie Peirce ein Mittel, um die formulierte Aufgabe in An-
griff nehmen zu können. In der Arbeit gab er 163 Algebren mit höchstens 6

Basiselementen an. Die Darlegung der Klassifikationsprinzipien war jedoch so
allgemein gehalten, daß diese Einschränkung in der Anzahl der Basiseinheiten
keine Rolle spielt. Hinsichtlich des Begriffssystems setzte Peirce die Begriffe
kommutativ, assoziativ und distributiv als bekannt voraus, ein Zeichen, daß
der Abstraktionsprozess in der Algebra auch im Bezug auf eine neue Termi-
nologie vorankam. Als weitere Eigenschaft definierte er die Linearität, d. h.

das Produkt zweier Basiseinheiten ist wieder eine Linearkombination der Ba-
siseinheiten. Dies sicherte Peirce zunächst die Abgeschlossenheit des Systems.

Zugleich vermerkte er, daß eine Algebra mit endlich vielen unabhängigen Be-
griffen (Einheiten) bei geeigneter Wahl der Basiselemente stets eine lineare

Algebra ist. Als Koeffizienten wählte er die komplexen Zahlen, er unterschied

470

8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880
aber deutlich zwischen den Koeffizienten und den Größen aus dem Grund-
bereich der Algebra und hielt auch hier die Ausführungen so allgemein, daß
sie für einen beliebigen Körper als Koeffizientenbereich gelten. Gegenstand
seiner Analyse waren, wie es der Titel der Arbeit andeutet, endliche lineare
assoziative Algebren mit komplexen Koeffizienten; die Kommutativität setzte
er im allgemeinen nicht voraus.

Als weitere Klassifikationsprinzipien, neben der Unterscheidung nach der An-
zahl der Basiselemente, formulierte er das

Principle of the substitution of

”

letters“, später oft als Äquivalenzprinzip bezeichnet, sowie die Einteilung in
reine und gemischte Algebren. Ersteres besagte, in moderner Terminologie,
daß zwischen isomorphen Algebren nicht unterschieden werden muss. Als rein
bezeichnete Peirce eine Algebra, wenn in den Produkten einer Einheit mit je
einer der übrigen Einheiten alle Einheiten mindestens einmal auftraten. Im
anderen Fall, also in gemischten Algebren, ließen sich die Einheiten in minde-
sten zwei Mengen teilen, so daß, die Mengen als paarweise durchschnittsfremd
vorausgesetzt, das Produkt von Einheiten aus verschiedenen Mengen stets

Null ergibt. Diese Definitionen waren nicht exakt formuliert, doch kann man
in diesen Überlegungen einen ersten Vorstoß zum Begriff der direkten Summe
von Algebren sehen. Das hohe, von Peirce gewählte Abstraktionsniveau kam
übrigens auch dadurch zum Ausdruck, daß die bisher besprochenen Klassifi-
kationsprinzipien angegeben wurden, ohne auf die Verknüpfungsoperationen
in der Algebra genauer eingehen zu müssen. Bei der Betrachtung der Multi-
plikation führte Peirce dann als weitere wichtige Begriffe, die des Nilfactor“,

”

des idempotenten und des nilpotenten Elements ein. Ersteren übernahm er
von Hamilton, letztere waren völlig neu. Die Definition des Nilfactors“ war

”

die erste publizierte, allerdings noch unvollständige Charakterisierung des

Begriffs Nullteiler. Zuvor hatte Karl Weierstraß bereits 1861/62 eine exakte

Definition gegeben, diese aber erst 1883 Hermann Amandus Schwarz in einem

Brief mitgeteilt. Weierstraß schrieb:

Eine derartige Gr¨
oße b ist dadurch charakterisiert, daß sich ihr, und zwar

”

auf unendlich viele Arten, eine andere Gr¨
oße c, die nicht gleich Null ist, so
zugesellen l¨
aßt, daß bc = 0 ist; ich will sie deshalb Theiler der Null“ nennen,

”

und diese Benennung auch f¨
ur den Fall ausdehnen, wo sie selbst den Wert

Null hat.“ [Schwarz 1884, S. 398]

Der Brief wurde von Schwarz 1884 veröffentlicht. Ein idempotentes Element
definierte Peirce durch die Relation an = a, was er aber sogleich auf a 2 = a
einschränkte, und ein nilpotentes durch an = 0. Dabei könnte die Defini-
tion der Idempotenz durch Booles Indexgesetz in dessen algebraischer Logik
angeregt worden sein.

Die Einführung der idem- und nilpotenten Elemente bildete auch die Basis für
das vielleicht interessanteste Kriterium zur Strukturanalyse der Algebren: die
später nach Peirce benannte Zerlegung einer Algebra. Zunächst unterschied

Peirce, ob die Algebra einen idempotenten Ausdruck enthielt oder nicht. Im
ersten Fall nannte er sie idempotent, im zweiten Fall nilpotent. Diese Be-
zeichnungen wurden durch zwei Sätze von Peirce gerechtfertigt. Einerseits

8.4 Die ersten Strukturuntersuchungen bei hyperkomplexen Systemen

471
zeigte er, daß jede (endlich dimensionale) lineare assoziative Algebra entwe-
der mindestens einen idempotenten oder einen nilpotenten Ausdruck enthält,
und andererseits wies er in einer Algebra ohne einen idempotenten Ausdruck
alle Elemente als nilpotent nach. In einer Algebra mit idempotenten Element
i zerlegte er jedes Element a der Algebra in vier Bestandteile ak ( k = 1, 2,

3, 4): a 1 = iai, a 2 = i( a − ai), a 3 = ( a − ia) i, a 4 = a − ia − ai + iai und teilte die Elemente der Algebra in vier entsprechende Gruppen ein. Durch
geeignete Wahl der Basiselemente erreichte er, daß die erste Gruppe nur ein
idempotentes Element enthielt und alle weiteren, eventuell noch vorhandenen
idempotenten Elemente zur vierten Gruppe gehörten, so daß für diesen Teil
die Zerlegung wiederholt werden konnte. Für die Multiplikation von Elemen-
ten aus den einzelnen Gruppen gab er an, zu welcher Gruppe das Produkt
gehörte und stellte dies in einer Multiplikationstabelle im Sinne der Kom-
plexmultiplikation zusammen. Beispielsweise liefert die Multiplikation eines

Elements der ersten Gruppe mit einem der zweiten Gruppe ein Element der
zweiten Gruppe, während man bei der Vertauschung der Reihenfolge stets

Null erhält. Schließlich folgerte Peirce noch, daß in einer reinen Algebra die
erste und vierte Gruppe nur dann gemeinsam vorkommen, wenn auch die bei-
den anderen Gruppen auftreten. Die Analyse der nilpotenten Algebren erwies
sich als wesentlich schwieriger und Peirce mußte sich mit der Formulierung
einiger Ansatzpunkte begnügen. Doch reichten die von ihm geschaffenen Prin-
zipien aus, um die erwähnte Charakterisierung der Algebren mit bis zu sechs

Basiseinheiten an Hand ihrer Multiplikationstabelle vorzunehmen.

Mit dem Streben, unter möglichst allgemeinen Voraussetzungen die Eigen-
schaften abstrakter Algebren zu ermitteln, erwies sich Peirce zwar als ein
würdiger Erbe der Traditionen von Peacock und Hamilton und prägte eine
neue Richtung der mathematischen Forschung, doch fand er zunächst kaum

Anerkennung. In den USA war die mathematische Forschung in ihrem Niveau
noch zu unterentwickelt und sehr stark auf Anwendungen orientiert, so daß
es erst Ende der 80er Jahre zu einer verstärkten Rezeption der Ergebnisse
kam. Zusammen mit den inzwischen in Europa erzielten Fortschritten hat die

Peircesche Arbeit trotz der zeitlichen Verzögerung noch wesentlichen Einfluß
auf die Ausprägung der algebraischen Forschungen in den USA ausgeübt.

Auch in Europa war die Resonanz auf Peirces Ideen gering und beschränkte
sich zunächst auf Reaktionen englischer Mathematiker. Die Situation verbes-
serte sich etwas, nachdem die Arbeit 1881 in dem erst drei Jahre zuvor von

James Joseph Sylvester, Benjamin Peirce und Simon Newcomb gegründeten

Zeitschrift

American Journal of Mathematics“ nochmals abgedruckt und

”

von Peirce bzw. seinem Sohn durch Zusätze ergänzt wurde. Speziell die Sup-
plemente von Charles Sanders Peirce enthielten wichtige neue Erkenntnisse.

Er beweis zum einen, that any associative algebra – may be represented in a

”

matrix“ [C. S. Peirce 1881, S. 223], zum anderen, daß die reellen Quaternio-
nen, die komplexen und die reellen Zahlen die einzigen assoziativen Algebren
mit eindeutiger Division (Divisionsalgebren) über den reellen Zahlen sind.

472

8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880

Die Vorstellungen zur Darstellung von Algebren durch Matrizen entwickelte

C. S. Peirce um 1870 im Rahmen seiner logischen Studien und publizierte den
obigen Satz erstmals 1875. In den Kommentaren zur Arbeit seines Vaters gab
er zu jeder der dort verzeichneten Algebren die sog. relative form“ an, aus

”

der leicht die Darstellung der Algebra folgte. Den zweiten Satz über die Divi-
sionsalgebren hatte C. S. Peirce unabhängig von G. F. Frobenius abgeleitet,
der denselben 1878 angab. Die Aussage des Satzes stand gleichsam für einen
neuen Typ in den Strukturaussagen, verdeutlichte sie doch, daß es trotz der
zahlreichen, inzwischen bekannten Algebren nur sehr wenige gab, welche die
von den Zahlen vertrauten Eigenschaften besaßen.

Den entscheidenden Impuls für die Rezeption der Peirceschen Arbeit und
der Vorstellungen zur Matrizendarstellung gab allerdings Sylvester 1881. An-
knüpfend an Cayleys Arbeit zur Matrizentheorie von 1858 und dessen Hin-
weis auf die Darstellung der Quaternionen durch 2 × 2-Matrizen, schuf er in

Analogie dazu das System der Nonionen sowie deren Darstellung durch 3 × 3-

Matrizen und führte eine Methode von C. S. Peirce genau aus, wie man eine

Matrix als System hyperkomplexer Größen (Algebra) schreiben kann. Durch
die Publikation der Ergebnisse in den Comptes Rendus der Pariser Akademie
wurden diese in Europa bekannt und regten weitere Studien an.

Die Angabe der 163 Algebren durch Benjamin Peirce lieferte zugleich einen
deutlichen Hinweis darauf, daß künftig Fortschritte eher im Stile des Frobenius-

Peirceschen Satzes zu suchen waren. Der Aufwand für eine rechnerische Be-
handlung der Strukturanalyse erwies sich als zu umfangreich. Mit steigen-
der Anzahl der Basiselemente nahm die Zahl der möglichen hyperkomplexen

Systeme so stark zu, daß eine Angabe aller Algebren schon für kleine Ba-
sismengen kaum noch durchführbar war und nicht als sinnvoll erschien. Der

Fortschritt konnte nur in einer Verstärkung der strukturellen Betrachtungen
bestehen und dies stützte genau jene Tendenzen, die sich auch in den anderen

Gebieten der Algebra abzeichneten.

8.4 Die ersten Strukturuntersuchungen bei hyperkomplexen Systemen

473

Wesentliche Inhalte und Ereignisse in der Algebra 1850–1875

1853

Leopold Kronecker vereinigt in seiner Arbeit über algebraisch auflösbare Glei-
chungen die Ideen von Galois und Abel.

1853

William

Rowan

Hamilton stellt in den

Lectures on Quaternions“ wichtige

”

Resultate über Quaternionen zusammen, führt dabei u. a. die Biquaternionen ein
und erkennt das Auftreten von Nullteilern.

1854

Arthur

Cayley
gibt eine abstrakte Definition des Gruppenbegriffs mit Hilfe
einer Gruppentabelle.

1854

Arthur Cayley beginnt eine zehnteilige Artikel-Serie, in der er wichtige Elemen-
te der Invariantentheorie und deren Verbindung zur Geometrie entwickelt.

1854

George Boole erfaßt die Gesetze des logischen Denkens durch algebraische Re-
lationen und schafft damit die Algebra der Logik.

1855

Charles Hermite untersucht die Eigenschaften der später nach ihm benannten

Formen und Matrizen.

1858

Arthur Cayley publiziert eine erste Übersicht zu arithmetischen Operationen
mit Matrizen und gibt für ein spezielles hyperkomplexes System die Darstellung
als Matrizenalgebra an.

1859

Arthur Cayley gibt die nach ihm benannte Maßbestimmung an und bettet die
metrische (euklidische) Geometrie in die projektive ein.

1860

Émile Mathieu entdeckt fünf einfache endliche Gruppen, die sich nicht in die
allgemeine Theorie einordnen lassen. Sie werden später als sporadische Gruppen
bezeichnet.

1861/62 Karl Weierstraß lehrt in seinen Vorlesungen eine exakte Definition des Null-
teilers.

1863

Alfred Clebsch veröffentlicht eine ausführliche, systematische Darstellung der
sog. Clebsch-Aronhold-Symbolik.

1866

In der dritten Auflage von Serrets Algebralehrbuch erscheint die erste lehr-
buchmäßige Darstellung der Galois-Theorie.

1867

Hermann Hankel faßt in den Buch

Theorie der complexen Zahlensysteme“ viele

”

Resultate über hyperkomplexe Systeme zusammen.

1868

Paul Gordan weist für eine beliebige binäre Form die Existenz eines endlichen
vollständigen Fundamentalsystems nach.

1868

Camille Jordan entwickelt eine Klassifikation der Bewegungsgruppen.

1868

Karl Weierstraß publiziert seine Elementarteilertheorie.

1869

Camille Jordan formuliert den später nach ihn benannten Satz über Komposi-
tionsreihen.

1870

Camille Jordan vollendet mit dem Buch

Traité des substitutions . . . “ die Her-

”

ausbildung des permutationstheoretischen Gruppenbegriffs und fördert die Ver-
breitung der Galois-Theorie.

1871

Richard Dedekind definiert im X. Supplement zur Dirichlets

Vorlesungen über

”

Zahlentheorie“ den Körperbegriff als Zahlkörper und entwickelt die Idealtheorie.

1871

Benjamin Peirce publiziert eine erste Strukturuntersuchung hyperkomplexer Sy-
steme und führt u. a. die idempotenten und nilpotenten Elemente ein.

1872

Felix Klein formuliert eine Definition für den Begriff der Transformationsgruppe.

1872

Im Erlanger Programm“ liefert Felix Klein eine Klassifikation der Geometrie

”

mit gruppentheoretischen Mitteln.

1872

Peter Sylow stellt die nach ihm benannten Sätze für Permutationsgruppen auf.

1872

Camille Jordan gibt in Forschungen zu Differentialgleichungen die Transforma-
tion einer Matrix auf Jordansche Normalform an.

1873

Georg Cantor beweist die Abzählbarkeit der algebraischen und die Nichtabzähl-
barkeit der reellen Zahlen.

1873

Charles Hermite beweist die Transzendenz der Zahl e.

1873

Ernst Schröder beginnt mit dem Aufbau der
absoluten Algebra“.

”

1874

Sophus Lie beginnt mit dem systematischen Aufbau der Theorie der kontinuier-
lichen Transformationsgruppen.

1874

Leopold Kronecker zeigt die Äquivalenz der von Weierstraß und Jordan
erzeugten Normalformen einer Matrix.

474

8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880

8.5 Aufgaben zu Kapitel 8

Aufgabe 8.1.1: Konjugierte Untergruppen

Sei G eine Gruppe, U eine Untergruppe von G und a ein beliebiges Element
von G. Man zeige: Der Komplex a− 1 U a = {x = a− 1 ua mit u aus U } ist eine Gruppe. Diese Gruppe wird eine zu U konjugierte Gruppe genannt.

Aufgabe 8.1.2: Nebenklassen

Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe der Ordnung n. Man zeige: Für
ein beliebiges Element g aus G enthält auch jede Rechts-Nebenklasse Hg bzw.

Links-Nebenklasse gH jeweils n verschiedene Elemente. Weiterhin sind zwei

Rechts-Nebenklassen bzw. Links-Nebenklassen von H entweder miteinander
identisch oder sie haben kein Element gemeinsam. [Perron, Bd. 2, S. 118]

Aufgabe 8.1.3: Normalteiler

Bei der Untersuchung der konjugierten Untergruppen u. a. im Rahmen der

Studien zur Galois-Theorie erkannten die Mathematiker die besondere Rolle
der Normalteiler, d. h. jener Untergruppen von G, die mit all ihren konjugier-
ten Gruppen übereinstimmten. Man zeige:

a) Für zwei Untergruppen U , V der Gruppe G, von denen wenigstens eine
ein Normalteiler ist, gilt U V = V U und U V ist eine Untergruppe von G.

( U V bezeichnet die Komplexmultiplikation von U und V , d. h. U V = {uv :

u aus U und v aus V }).

b)Wenn U und V beide Normalteiler sind, so ist U V entweder gleich G oder
ein Normalteiler von G.

c) Wenn U und V zwei verschiedene maximale Normalteiler von G sind (d. h.

es gibt keinen Normalteiler X von G, der U oder V als Normalteiler
enthält), dann gilt U V = G. [Perron, Bd. 2, S. 122, 124]

Aufgabe 8.3.1: Normalteiler und Faktorgruppe

Man zeige, daß in der Gruppe der euklidischen Bewegungen in der Ebene
die Gruppe der ebenen Translationen einen Normalteiler bildet und daß die

Faktorgruppe der ebenen euklidischen Bewegungen nach diesem Normalteiler
zur Gruppe der Drehungen um einen Punkt isomorph ist.

Aufgabe 8.4.1: Quaternionen

Man gebe die Multiplikationstabelle der Quaternionen als Algebra mit 4 Ba-
siseinheiten an.

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert

– erste Schritte zur abstrakten Algebra

476

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert

1876

R. Koch entdeckt die Milzbrandbakterien als Krankheitserreger.

1877

Krieg Rußlands gegen die Türkei, in dessen Ergebnis 1878 die Balkanstaaten
ihre Unabhängigkeit erlangen

1878

Der deutsche Reichstag beschließt das von Bismarck vorgelegte Sozialisten-
gesetz (bis 1890 in Kraft).

1979

T. A. Edison erfindet die Kohlefadenlampe mit Schraubsockel.

1881

L. v. Ranke beginnt mit der Publikation seiner 16 bändigen Weltgeschichte“.

”

1882

Deutschland, Italien und Österreich begründen den Dreibund.

1882

Großbritannien besetzt Ägypten.

1882

R. Koch entdeckt den Tuberkelbazillus.

1883

G. Daimler erhält ein Patent auf den von ihm konstruierten Benzinmotor.

1884

S. Arrhenius publiziert seine Theorie der elektrolytischen Dissoziation.

1886

H. Hertz erzeugt Radiowellen und weist sie als elektromagnetische Wellen
nach.

1889

Gründung der sozialdemokratischen Zweiten Internationale“ in Paris

”

1889

Japan wird konstitutionelle Monarchie.

1890

E. v. Behring und S. Kitasato erkennen den Zusammenhang zwischen Im-
munität und dem Auftreten von Antikörpern im Blut.

ca. 1890

Zeit des Impressionismus und Naturalismus in Literatur und Kunst

– ca. 1910

1894–1895

Japanisch-Chinesischer Krieg, Korea erringt die Unabhängigkeit von China.

1895

S. Freund begründet die Psychoanalyse.

1895

C. Röntgen entdeckt die X-Strahlen (Röntgen-Strahlen).

1896

Entdeckung der radioaktiven Strahlung des Urans durch A. Becquerel

1896

Erste Olympische Spiele der Neuzeit in Athen

1898

Spanisch-Amerikanischer Krieg, Kuba wird unabhängig (ab 1901 unter

Schutz der USA), die USA erwerben erstmals Kolonien und begründen ihre

Stellung als Weltmacht.

1900

M. Planck erkennt, daß Emission und Absorption von Strahlung in Energie-
quanten erfolgt und leitet einen grundlegenden Wandel der Physik ein.

1900

Die europäischen Großmächte schlagen den Boxer-Aufstand in China nieder.

Ab ca. 1900 Parallelentwicklung verschiedener Kunstrichtungen, die in ihrer Vielfalt den

Beginn der Moderne markieren (Jugendstil, Expressionismus, Dekadenz,

Neuklassik usw.)

1901

E. Fischer gelingt der Aufbau von Eiweißstoffen aus Aminosäuren.

1904

T. Boveri erkennt die Chromosomen als Träger der Erbanlagen.

1904–1905

Japanisch-Russischer Krieg um Korea und die Mandschurai endet mit dem

Sieg Japans.g

1905

Revolution in Rußland

1905

In drei grundlegenden Arbeiten stellt A. Einstein die Lichtquantenhypothese
auf, entwickelt die Spezielle Relativitätstheorie und erklärt die Brownsche

Molekularbewegung.

1905/06

1. Marokko-Krise

1905/07

Wirtschaftskrise in führenden Industriestaaten

1907

Frankreich, Großbritannien und Rußland schließen sich im Entente-Bündnis
zusammen.

1909

R. E Peary erreicht als erster Mensch den Nordpol.

1911

R. Amundsen erreicht als erster Mensch den Südpol.

1911

E. Rutherford stellt ein Atommodell mit massereichem Kern und Elektro-
nenhülle vor.

1912

Tibet trennt sich von China (Friedensschluß 1920).

1912/13

Balkankriege

1913

N. Bohr entwickelt sein Atommodell.

1914–1918

Erster Weltkrieg

1914

Eröffnung des Panama-Kanals

1915

A. Einstein publiziert die Allgemeine Relativitätstheorie.

1917

Revolutionen in Rußland, Sturz des Zaren, Errichtung einer Sowjetrepublik

1918/19
revolutionäre Erhebungen in mehreren Ländern, Bürgerkrieg in Rußland (bis

1921)

1918/19

Grippe-Epidemie fordert weltweit ca. 20 Millionen Tote.

1920

M. Gandhi beginnt den gewaltlosen Kampf um ein unabhängiges Indien.

1920

Öffentlicher Rundfunk in den USA

9.0 Vorbemerkungen

477

9.0 Vorbemerkungen

Im Verlauf der 70er Jahre des 19. Jahrhunderts trat die Mathematik in eine
neue Entwicklungsphase ein. In den vorangegangenen Jahrzehnten hatte man
nicht nur eine Fülle von neuen Resultaten in traditionsreichen wie in neuen

Gebieten der Mathematik erzielt, sondern man gelangte auch zu einer neu-
en Sichtweise auf die Objekte, die sich vielfach in begrifflichen Änderungen
in den einzelnen Gebieten artikulierte. Erinnert sei nur an die Bemühungen
um eine exakte Fundierung der Analysis und an den im vorangegangenen

Kapitel dargestellten Wandel in der Geometrie (vgl. auch [Scriba, Schrei-
ber 2000, Kap. 7]). Nach den zahlreichen Erweiterungen der mathematischen

Erkenntnisse und den Möglichkeiten zu deren Anwendung sahen die Mathe-
matiker zunehmend die innere Strukturierung der mathematischen Theorien
als eine weitere Forschungsaufgabe an. Durch die vielfältigen Spezialisierun-
gen in den einzelnen Teilgebieten ging für viele Mathematiker der Überblick
über die Gesamtdisziplin verloren, die Wiederherstellung der alten Einheit
auf neuer Stufe oder besser das Auffinden vereinheitlichender, übergreifen-
der Begriffe und Methoden erschien ihnen als eine wichtige Aufgabe. Hinzu
kam, daß mit den Unmöglichkeitsbeweisen, wie der Unlösbarkeit der allge-
meinen Gleichung 5. und höheren Grades in Radikalen, die Frage nach der

Reichweite mathematischer Methoden und dem Wesen mathematischer Be-
weise neu durchdacht werden mußte. Auch die wachsende Kompliziertheit der
mathematischen Begriffsbildungen weckte das Bedürfnis nach einer logischen

Durchdringung und Analyse der verwendeten sprachlichen und deduktiven

Mittel. Schließlich lieferte das Hauptbetätigungsfeld der Mathematiker jener

Zeit, die Ausbildung von Lehramtskandidaten, weitere Anregungen, um nach
neuen Darstellungsprinzipien und ordnenden Methoden für die Stoffülle zu
suchen. Die Überlegungen zur Bewältigung dieser Probleme bildeten die Ba-
sis jener Studien, aus denen ein Jahrzehnt später die axiomatische Methode,
die Bestrebungen zum exakten logischen Aufbau der einzelnen Theorien und
die Ansätze zur Mengenlehre und zur mengentheoretischen Durchdringung
einzelner Teile der Mathematik hervorgingen. All diese Tendenzen spielten
auch in der Algebraentwicklung eine wichtige Rolle, wie sie zuvor durch die

Fortschritte der Algebra mit hervorgebracht worden waren. Sie bildeten den
großen Rahmen, in dem sich die weiteren Fortschritte der Algebra vollzogen.

Zur Abrundung dieses Bildes muß jedoch noch erwähnt werden, daß in den
letzten Jahrzehnten des 19. Jahrhunderts speziell in Deutschland einige nega-
tive Effekte der vorangegangenen Entwicklung spürbar wurden. Die Mathe-
matik hatte im Prozeß der Emanzipation der einzelnen Naturwissenschaften
am Ende des 18. und zu Beginn des 19. Jahrhunderts und als Reaktion auf die
innerdisziplinären Begründungsprobleme, die sich aus der Vernachlässigung
der logischen Grundlagen in der vorangegangenen Wachstumsperiode erga-
ben, einen Wandel zur reinen Mathematik vollzogen. Die Anwendungen der

Mathematik in anderen Wissenschaften wurden vernachlässigt bzw. erfuh-
ren eine übertrieben theoretische Ausprägung. Dabei ging die Anlehnung an

478

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert
die Mathematik soweit, in einzelnen technischen Wissensgebieten das Kon-
struieren deduktiv gestalten zu wollen. Dies alles gipfelte in teilweise hefti-
gen Auseinandersetzungen um die Rolle der Mathematik in den technischen

Wissenschaften in den 90er Jahren, in denen schließlich das Verhältnis der

Mathematik zu den Anwendungen in anderen Wissenschaften neu bestimmt
wurde. Im folgenden sollen jene Aspekte der oben genannten drei Entwick-
lungstendenzen grob umrissen werden, die für die weitere Entwicklung der

Algebra besonders wichtig erscheinen.

9.1 Mengenlehre und Algebra der Logik

Durch die Mengenlehre wurde jenes Begriffssystem hervorgebracht, das es
ermöglichte, die abstrakten algebraischen Bildungen adäquat zu erfassen und
die algebraischen Inhalte der einzelnen Sachverhalte deutlich werden zu las-
sen. Zugleich enthielt die Mengenlehre Methoden, um beliebige algebraische

Objekte, die verschiedenen algebraischen Strukturen, zu konstruieren. Ihren

Ausgangspunkt nahm die Mengenlehre Anfang der 70er Jahre in Untersu-
chungen von Georg Cantor zur Darstellbarkeit einer Funktion durch eine tri-
gonometrische Reihe und in dem 1872 begonnenen Briefwechsel Cantors mit

Richard Dedekind über mengentheoretische Fragen. Dedekind hatte bereits
über ein Jahrzehnt vorher in seinen algebraischen Arbeiten eine mengentheo-
retische Betrachtungsweise verwendet und faktisch mit Mengen gerechnet,
ohne dies aber explizit zu betonen. Deutlich sichtbar wurde die mengentheore-
tische Herangehensweise Dedekinds 1871 in den Ausführungen zur Idealtheo-
rie, auf die im folgenden Abschnitt noch näher eingegangen wird. Cantor, der
sich 1869 in Halle habilitiert hatte, formulierte in einer 1872 publizierten Ar-
beit sowohl die heute nach ihm benannte Fundierung der reellen Zahlen mit

Hilfe von Fundamentalfolgen als auch die Definition der ersten Ableitung M
einer linearen Punktmenge M als Menge der Häufungspunkte von M . Beim

Studium der Ableitungsordnungen von Punktmengen entdeckte er dann, da
die natürlichen Zahlen zur Kennzeichnung dieser Ordnungen nicht ausreich-
ten, die transfiniten Ordinalzahlen. Als Beginn der Mengenlehre wird häufig

Cantors Beweis der Abzählbarkeit der algebraischen und der Nichtabzählbar-
keit der reellen Zahlen angesehen, den er 1873 Dedekind brieflich mitteilte
und 1874 publizierte. Das Ergebnis kann man auch so formulieren, daß fast
alle reellen Zahlen transzendent sind. Hinsichtlich des Begriffs der transzen-
denten Zahl sei daran erinnert, daß Liouville 1844 die Existenz von Zahlen
nachwies, die nicht Nullstellen irgendeines Polynoms mit ganzzahligen Ko-
effizienten waren. Damit war zugleich die Basis für die Unterscheidung der
irrationalen Zahlen in algebraische und transzendente gelegt: die algebra-
ischen Zahlen genügen einer solchen Polynomgleichung, die transzendenten
nicht. Der Cantorsche Satz klärte die wichtige Frage nach der Anzahl“ der

”

transzendenten Zahlen, und im gleichen Jahr 1873 stellte Hermite die Tran-
szendenz von e fest. Fünf Jahre später zeigte Cantor die Gleichmächtigkeit

9.1 Mengenlehre und Algebra der Logik

479
der Punktmengen von Einheitsstrecke und Einheitsquadrat. Er hatte inzwi-
schen 1872 eine außerordentliche Professur an der Universität Halle erhalten
und wurde 1879 zum ordentlichen Professor berufen. In dieser Position wirkte
er in Halle bis zu seiner Emeritierung 1913. Jedoch litt er ab 1884 an schwe-
ren Depressionen, die oft längere klinische Behandlungen erforderten und den

Gang seiner Forschungen unterbrachen. Da die neuen Ideen der Mengenlehre
von vielen Mathematikern skeptisch, oft ablehnend betrachtet wurden, ver-
suchte Cantor, sein Werk auch philosophisch zu untermauern. Dazu führte
er umfangreiche Studien zur Philosophiegeschichte durch.

Das Kernstück blieben aber die Forschungen zur Mengenlehre. 1879 bis 1884
faßte Cantor seine Ergebnisse zur Mengenlehre erstmals in sechs Arbei-
ten Ueber unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten“ zusammen, 1895/97

”

folgte ein zweiter verbesserter Überblick, der die bekannte Mengendefinition
enthielt und eine Begründung der transfiniten Mengenlehre lieferte. Doch

Cantor wußte seit 1883 auch um eine erste Antinomiein seiner Theorie, die
eine neue Klärung der Grundlagen notwendig machte. Zwischenzeitlich hatte

Dedekind in seiner um die Mitte der 70er Jahre verfaßten, erst 1888 erschie-
nenen Begründung der natürlichen Zahlen eine weitere Anwendung der Men-
genlehre gegeben. In den 90er Jahren wurde dann allmählich die große Bedeu-
tung der Mengenlehre für die Mathematik von den Mathematikern erkannt,
und es begann die mengentheoretische Durchdringung erster Teilgebiete der

Mathematik. Zu Leben und Werk Cantors vgl. auch [Purkert/Ilgauds 1987].

In der Logik waren die Beziehungen zur Algebra teilweise enger und weiter
zurückreichend, erwies sich doch eine wesentlicher Teil der Logik, die Alge-
bra der Logik, in einzelnen Entwicklungsabschnitten als nahezu untrennbar
mit der Algebra verbunden. An erster Stelle sind hier Booles Arbeiten zur

Logik zu nennen, die bereits im Zusammenhang mit den Forschungen der
englischen algebraischen Schule Erwähnung fanden (vgl. Abschn. 7.3.4) und
die uns ins Jahr 1847 zurückführen. Ausgehend von den neuen Ideen der
symbolischen Algebra und des Operatorenkalküls konstruierte Boole in The

”

Mathematical Analysis of Logic“ einen logischen Kalkül, der die Auswahl ge-
wisser Objekte aus einer beliebigen Zusammenfassung von Objekten und das

Zusammenfassen der ausgewählten Objekte zu einer Klasse als zentrale gei-
stige Operation annahm. Im Ergebnis entstand die erste nichtquantitative

Interpretation wichtiger Ideen der symbolischen Algebra. Die grundlegenden

Relationen des Booleschen Kalküls waren die Distributivität und die Kom-
mutativität der Auswahloperation sowie die von Boole als Indexgesetz be-
zeichnete Relation xn = x, welche besagt, daß die Wiederholung derselben

Auswahl kein neues Ergebnis liefert. In der 1854 publizierten Monographie

An Investigation of the Laws of Thought“ rückte Boole stärker den Aufbau

”

der Logik als Wissenschaft in den Blickpunkt, als Wissenschaft, die die Ge-
setze des Denkens erfaßt. Es war also nicht mehr die symbolische Algebra,
deren Gesetze im Rahmen der Logik interpretiert werden können, sondern
er ging jetzt von den Gesetzen des Denkens aus, und diese Gesetze behan-

480

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert
delte er nach den Prinzipien der symbolischen Algebra. Man spricht auch
davon, daß Boole die Analogie zur Algebra psychologisch begründete (vgl.

[Peckhaus 1997, S. 210ff.] sowie die dort zitierte Literatur). Als grundlegende

Gesetze des Kalküls formulierte Boole die Kommutativität der logischen Ad-
dition und Multiplikation ( x + y = y + x, xy = yx), die Dualität x 2 = x und die Distributivität von logischer Multiplikation bezüglich logischer Addition
z( x + y) = zx + zy. Er vermerkte auch, daß bei einer quantitativen Interpre-
tation der Symbole diese nur die Werte 0 und 1 annehmen können und die so
entstehende Algebra völlig mit der Algebra der Logik übereinstimmt [Boole

1854, S. 37f.]. Dabei kann Algebra nicht nur im Sinne des Operierens in dem
algebraischen Kalkül, sondern auch als hyperkomplexes System verstanden
werden.

Die Rezeption der Booleschen Ideen war zunächst gering. Eine Fortsetzung
fand die Algebra der Logik dann durch William Stabley Jevons und John

Venn. Ersterer schuf 1864 ausgehend von Boole eine eigene Wissenschafts-
lehre mit einer starken logischen Komponente und letzterer 1881 eine die
historische Entwicklung der symbolischen Logik betonende, von Boole ab-
weichende, eigenständige Darstellung, mit der er zugleich die Beziehung zu
verschiedenen anderen Entwicklungsrichtungen herstellte. Beide übten einen
starken Einfluß auf die Entwicklung der mathematischen Logik in Großbri-
tannien aus und plädierten für eine klare Trennung von Mathematik und

Logik. In dem gleichen Zeitraum hatte in den USA Charles Sanders Peirce
in den ab 1870 publizierten Studien zur

Logik der Relative“ die Boolesche

”

Algebra durch die Einführung einer neuen dyadischen Relation

Inklusion“

”

beträchtlich erweitert und wichtige Anregungen für die weitere Forschung
geliefert. Auf die von ihm hergestellten Verbindungen zu der Arbeit seines

Vaters Benjamin Peirce über assoziative Algebren ist schon hingewiesen wor-
den.

9.1.1 Schr¨
oders Algebra der Logik und Freges Logizismus

Als Höhepunkt der Algebra der Logik werden meist die ab 1890 erschiene-
nen Vorlesungen ¨
uber die Algebra der Logik“ von Ernst Schröder angesehen.

”

Bis 1895 publizierte er drei Bände dieses unvollendet gebliebenen Werkes,

1905 wurde von Karl Eugen Müller ein zweiter Teil des zweiten Bandes aus
dem Nachlaß ediert. Ähnlich wie Leibniz strebte Schröder nach der Schaffung
einer wissenschaftlichen Universalsprache, die dann zur Reform des Wissen-
schaftssystems dienen sollte. Es ging ihm um eine bessere Begründung der

Naturwissenschaften, die ihre Basis in einer verbesserten Fundierung der Ma-
thematik finden sollte. Schröders Forschungen ordnen sich damit in die Be-
strebungen zur Begründung der Mathematik ein. Den Ausgangspunkt seines

Systems bildete eine absolute Algebra“, als deren Modell er dann die Logik

”

aufbaute.

Schröder, Sohn des engagierten Mannheimer Naturwissenschaftlers und Schul-
direktors Heinrich Schröder, hatte ab 1860 in Heidelberg Naturwissenschaf-

9.1 Mengenlehre und Algebra der Logik

481
ten und Mathematik, u. a. bei Gustav Robert Kirchhoff und Robert Wilhelm

Bunsen, studiert und war zwei Jahre später ohne Dissertation promoviert
worden. Ein Stipendium ermöglichte ihm für weitere zwei Jahre die Vertie-
fung seiner Studien in dem berühmten mathematisch-physikalischen Seminar
der Universität Königsberg. Nach bestandener Prüfung für Lehramtskandida-
ten habilitierte er sich am Polytechnikum in Zürich und lehrte dort 1864–1868
als Privatdozent sowie gleichzeitig an der Kantonsschule in Zürich. Nach wei-
teren Jahren im Schuldienst und der Kriegsteilnahme 1870 erhielt er 1874
einen Ruf als Professor an die Polytechnische Schule in Darmstadt und ging

1876 an das Polytechnikum in Karlsruhe, wo er bis zu seinem Lebensende

1902 blieb. Schröder gehörte zu jenen, die bereits frühzeitig die Cantorsche

Mengenlehre unterstützten. Sein bekanntester Beitrag ist ein Beweisversuch
für den schon von Cantor vermuteten Satz von Schröder – Bernstein. Aus sei-
nem frühen Schaffen sind zwei Arbeiten hervorzuheben, die sich zwar eben-
falls den Bemühungen um eine Begründung der Mathematik unterordnen
und zur kombinatorischen Analysis gehören, die aber später für die Entwick-
lung der Theorie komplexer dynamischer Systeme bedeutsam wurden. Für

Einzelheiten vergleiche man [Alexander 1994].

Die beim Aufbau der
absoluten Algebra“ von Schröder erbrachten algebra-

”

ischen Leistungen waren nicht neu, es besticht aber die Zusammenfassung
verschiedener Elemente und deren systematische Anwendung auf die Lo-
gik. Peckhaus stellte Schröders absolute Algebra und dessen Begründung
der Logik in den Kontext der Diskussionen um die algebraische Analysis
in Deutschland. Er benannte dabei Carl Friedrich Hindenburg und dessen

Schule zur kombinatorischen Analysis, Martin Ohm mit seinem Versuch ei-

”

nes vollkommen konsequenten Systems der Mathematik“, Hermann Günther

Graßmann mit der Ausdehnungslehre“ und dem Lehrbuch der Arithmetik“,

”

”

Robert Graßmanns Wissenschaftslehre und Logik sowie Hermann Hankels

Untersuchungen über hyperkomplexe Zahlensysteme als die Forschungen, die
einen spürbaren Einfluß auf Schröders Schaffen hatten. Für eine ausführliche

Analyse der Schröderschen Logik einschließlich der Einflußfaktoren auf deren

Aufbau vergleiche man [Peckhaus 1997, Kap. 6]. In seinem Hauptwerk beleg-
te Schröder außerdem die Kenntnis der neueren algebraischen Arbeiten von

Dedekind und Kronecker sowie der mengentheoretischen Ausführungen von

Cantor und Dedekind. Die Algebra der Logik Schröders kann damit als ein

Beispiel gelten, inwieweit die abstrakten algebraischen Betrachtungsweisen in

Verbindung mit Elementen der Mengenlehre begannen, in andere Teilgebiete
der Mathematik auszustrahlen. Ein Blick auf die Entwicklung der absoluten

”

Algebra“ zeigt, daß Schröder an diesem Prozeß aktiv teilgenommen hat. Erst-
mals hatte er 1873 zur absoluten Algebra in dem

Lehrbuch der Arithmetik

”

und Algebra“ publiziert und die Ziele seiner Untersuchungen formuliert. In
dem

Lehrbuch ...“ definierte er die Mathematik als Lehre von den Zahlen.

”

Diese Definition war recht weitreichend, denn er gab keine quantitative Be-
stimmung des Zahlbegriffs, sondern hielt sogar die Einführung von Zahlen,

482

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert

Ernst Schröder

Giuseppe Peano
die allgemeiner als die hyperkomplexen Zahlen waren, für möglich, wenn diese
sich als zweckmäßig erwiesen. Seine Charakterisierung der Zahl als willkürlich
vom Menschen geschaffene Zeichen zur Erreichung unterschiedlichster Zwecke
ähnelt der bekannten, 1888 von Dedekind publizierten Formulierung:

Die Zahlen sind freie Sch¨
opfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als

”

ein Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und sch¨
arfer aufzufas-
sen.“ [Dedekind 1888, S. VIIf.]

Bei der konstruktiven Einführung der natürlichen Zahlen benutzte Schröder
dann Mengen als Zusammenfassungen von Einheiten, wobei die Einheiten
die zu zählenden Objekte darstellten. Die für die absolute Algebra relevanten

Betrachtungen gehörten zum Inhalt des vierten Kapitels des

Lehrbuches“,

”

in dem er die Verknüpfungsgesetze der verschiedenen, von ihm für das Rech-
nen mit Zahlen erklärten Operationen in realer Hinsicht“ wie auch formal

”

behandelte. Die Untersuchung der Verknüpfungsgesetze würde es letztlich
ermöglichen, die verschiedenen, bei unterschiedlichsten Anwendungen auftre-
tenden Zahlensysteme (Zahl in Schröders abstrakten Sinne) ausgehend von
den Verknüpfungsoperationen und den zugehörigen Verknüpfungsregeln zu
analysieren. Unter Hinweis auf Hankel diskutierte Schröder z. B. ein System
mit assoziativer, aber nicht kommutativer Multiplikation. Die Analyse der
für ein Zahlengebiet definierbaren Verknüpfungen, das vollständige Erfassen
der aus gewissen vorausgesetzten Eigenschaften ableitbaren Folgerungen so-
wie die Bestimmung der mit Hilfe der definierten Verknüpfungsoperationen
konstruierbaren geschlossenen Zahlensysteme bildeten wichtige Ziele der for-
malen Algebra. Durch die Angabe der möglichen realen Interpretation der
abstrakten Zahlen und Verknüpfungsoperationen, sei sie geometrisch, physi-
kalisch oder sonst wie, entwickelte sich nach Schröders Vorstellungen aus der
formalen Algebra die absolute Algebra. Der Aufbau der absoluten Algebra

9.1 Mengenlehre und Algebra der Logik

483
beinhaltete also unweigerlich sorgfältige abstrakte Überlegungen zu algebra-
ischen Systemen, bedingt durch die Anlehnung an Zahlensysteme, vor allem
zu hyperkomplexen Zahlen. Auch wenn Schröder nicht zu Strukturbetrach-
tungen für diese algebraischen Systeme vorstieß, so darf die Bedeutung seiner

Arbeiten für die Algebra nicht unterschätzt werden. Sie liegt in der Vertie-
fung der Beziehungen zwischen Algebra und Logik, indem er die Interpretier-
barkeit algebraischer Operationen in der Logik aufdeckte und dies auf einer
allgemeinen, abstrakten Basis realisierte.

Die Umgestaltung des ursprünglich algebraisch dominierten Forschungspro-
gramms in ein formal-logisches war wesentlich durch Schröders wachsende

Kenntnis der Arbeiten seiner Zeitgenossen bedingt, also den eingangs ge-
nannten Einflüssen zu verdanken. Eine ausführliche Fußnote im

Lehrbuch“

”

verdeutlicht, daß Schröder beispielsweise das 1872 von Robert Graßmann
herausgegebene Werk Die Formenlehre oder Mathematik“ erst während des

”

Korrekturvorganges zu seinem Buch kennenlernte, und die Lektüre äußerst
anregend auf ihn wirkte. Bereits 1874 gab Schröder eine Verallgemeinerung
seiner Ansichten bekannt und führte den Begriff der

Operationsstufe“ ein,

”

unter dem er eine Operation und die zugehörigen Inversen zusammenfaßte.

In dieser Zeit entdeckte er auch die Dualität von logischer Addition und Mul-
tiplikation sowie die Analogie zwischen algebraischer und logischer Struktur
und begann sich auf formal-logische Untersuchungen zu konzentrieren. Zu-
gleich vertiefte er kontinuierlich seine Kenntnis der aktuellen logischen Ar-
beiten sowie der klassischen Werke von Boole und anderen. Eine wichtige

Erweiterung erfuhren seine logischen Studien durch die Logik der Relative,
die er im Anschluß an Charles Sanders Peirce übernahm und ausbaute. Diese

Überlegungen gestalteten sich viel umfangreicher als Schröder dies angenom-
men hatte und mündeten in ein Programm zur Grundlegung formalisierbarer
oder mit formalen Mitteln arbeitender Wissenschaften ein. Die Bedeutung
der ausgedehnten logischen Forschungen Schröders für die Algebra liegen in
der Behandlung der Logik vom strukturellen Standpunkt aus und in der Er-
kenntnis der algebraischen Struktur der Logik. Als wichtige Struktur erwies
sich dabei die des Verbandes. So trat in Schröders Vorlesungen ...“ erstmals

”

ein nichtdistributiver Verband auf, ohne daß Schröder jedoch den Begriff des

Verbandes benutzte bzw. definierte.

Neben der algebraischen gab es noch eine zweite Richtung der Logikent-
wicklung, die gewöhnlich als Logisierung der Mathematik oder Logizismus
bezeichnet wird und die sich mehrfach in heftiger Diskussion mit der ersteren
befand. Der entscheidende Unterschied, der die Herausbildung der verschiede-
nen Richtungen in der Forschungen zu den Grundlagen der Mathematik zur

Folge hatte, lag in den Auffassungen zum Gegebensein mathematischer Ob-
jekte. Während Frege eine Erklärung dieser Objekte für unverzichtbar hielt,
sahen andere sie, etwa die Zahlen, als a priori gegeben an. Über die Methode,
die am besten geeignet für die Behandlung der mathematischen Objekte und

484

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert
den Aufbau der Mathematik war, herrschte dagegen sehr bald Einigkeit. Es
war dies die axiomatische Methode.

Ein Repräsentant der logizistischen Auffassungen war Gottlob Frege. Der aus

Wismar stammende Frege hatte in Jena (1869–1871) und Göttingen (1871–

1873) neben Mathematik auch Physik, Chemie und Philosophie studiert. 1874
habilitierte er sich in Jena mit einer Arbeit zum Größenbegriff. Der Univer-
sität Jena blieb er bis zu seiner Versetzung in den Ruhestand 1918 treu, ab

1879 als außerordentlicher Professor und ab 1896 als Honorarprofessor. Seine
grundlegenden Arbeiten zur mathematischen Logik fanden jedoch zu seinen

Lebzeiten kaum Anerkennung, was einen formalen Ausdruck in der Tatsache
fand, daß Frege nie eine Berufung als Ordinarius erhielt. Obwohl er in Jena
ein umfangreiches Vorlesungsprogramm bewältigte, hat er nur gelegentlich
über Logik und seine damit verbundenen Forschungen vorgetragen.

Erste wichtige Ergebnisse publizierte Frege 1879 in der

Begriffsschrift, ei-

”

ne der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens“. Mit
der Begriffsschrift, der ersten vollständig formalisierten Sprache, wollte er sich
die notwendigen Mittel schaffen, um eine exakte begriffliche Begründung der

Mathematik und der Wissenschaften im allgemeinen geben zu können. Nach-
dem Frege 1884 sein Programm zur Fundierung der Arithmetik formuliert
hatte, setzte er dies in seiner zweibändigen Monographie Grundgesetze der

”

Arithmetik“ (1893/1903) um. Die schon sicher geglaubte Realisierung des

Programms erwies sich jedoch als Trugschluß: Noch vor Veröffentlichung des
zweiten Bandes brachte Bertrand Russell das kunstvoll geformte Gebäude
durch eine von ihm aufgedeckte Antinomie ins Wanken. Zunächst war Frege
überzeugt, diese Antinomie beseitigen zu können und unternahm verschiede-
ne Versuche zur Umgestaltung seiner Theorie, ohne aber letztlich erfolgreich
zu sein. Den Russellschen Weg, das Problem mit Hilfe der Typentheorie zu
lösen, lehnte er wegen der Verwendung nichtlogischer Mittel ab. Obwohl Frege
selbst sein Programm dann als gescheitert betrachtete, hat er unbestritten die

Entwicklung der Logik wesentlich gefördert und bedeutende Ideen zu deren

Ausgestaltung hervorgebracht.

Wichtige Beiträge zum Logizismus lieferte auch der Italiener Giuseppe Peano.

Der aus einer Bauernfamilie im Piemont stammende Peano hatte 1876–1880
an der Universität Turin studiert und blieb der Universität bis zu seinem

Tod 1932 treu. 1890 wurde er außerordentlicher Professor für Analysis, fünf

Jahre später erhielt er ein Ordinariat. Außerdem lehrte er von 1886–1901 als

Professor an der Turiner Militärakademie. Peano erzielte wichtige Resultate
zur Analysis, die er selbst als seine bedeutendsten einschätzte. Mit mehre-
ren berühmten Gegenbeispielen deckte er Unkorrektheiten im Gebrauch von

Begriffen auf, so zeigte er mit der nach ihm benannten Kurve, daß bei ste-
tigen, aber nicht eineindeutigen Abbildungen die Dimension nicht erhalten
zu bleiben braucht. Besonders engagierte er sich für die Überwindung von

Dummheit und sprachlichen Verständigungsschwierigkeiten, was u. a. in sei-
nem Wirken für eine Reform des Mathematikunterrichts in Italien und seiner

9.1 Mengenlehre und Algebra der Logik

485
zunehmenden Beschäftigung (ab 1900) mit der Entwicklung einer künstlichen
internationalen Sprache zum Ausdruck kam. Seine grundlegenden Beiträge
zur mathematischen Logik und zur Axiomatik wurden zu seinen Lebzeiten
kaum anerkannt, so daß er vor allem über seine Schüler und Mitarbeiter die

Hinwendung zur Axiomatik und zum strukturellen Denken gefördert hat.

Bereits die 1889 publizierten Prinzipien der Arithmetik, die auch das be-
kannte Axiomensystem für die natürlichen Zahlen enthielten, basierten auf
den Überlegungen für eine formalisierte Sprache, die Peano als Pasigraphie
bezeichnete. Er hat diese Sprache in den folgenden Jahrzehnten weiter ver-
vollständigt und in den fünf Bänden des

Formulaire de math´
ematiques“

”

insbesondere die prinzipielle Möglichkeit aufgezeigt, daß durch Erweiterung
seiner Pasigraphie alle Gebiete der Mathematik in dieser formalen Sprache
dargestellt werden können. Es verdient hervorgehoben zu werden, daß Pea-
no in seinen Forschungen auch auf Vertreter der algebraischen Richtung wie

Boole, Peirce oder Schröder verwies und in programmatischen Erklärungen
algebraische Aspekte mit einschloß. So sprach er davon, daß mittels der Pa-
sigraphie dargestellte Aussagen in Form und Präzision den Gleichungen der

Algebra ähneln und daraus analog der Auflösung von Gleichungen neue Aus-
sagen abgeleitet werden können. Peano hatte die Symbole der Pasigraphie
sehr sorgfältig gewählt, so daß eine ganze Reihe von ihnen zu Standardbe-
zeichnungen wurden.

All die erwähnten logischen Untersuchungen haben einerseits die Entwicklung
der Mathematik im Sinne der skizzierten Tendenz zur Präzisierung der ein-
zelnen Schlußweisen beeinflußt und vorangebracht, andererseits waren sie ein
wichtiger Bestandteil einer sich als eigenständig herausbildenden mathemati-
schen Teildisziplin, der mathematischen Logik. Die verschiedenen Auffassun-
gen zur und die Diskussionen über die Stellung der Logik in der Mathematik
sollen hier nicht weiter thematisiert werden.

9.1.2 Die axiomatische Methode

Die Forschungen zur Logik enthielten zugleich einen wichtigen Beitrag zur

Herausbildung der axiomatischen Methode. In ihren Ursprüngen geht die-
se Methode bis in die griechische Antike zurück und brachte die allgemeine

Auffassung zum Ausdruck, wie man sich den Aufbau der Mathematik als
deduktive Wissenschaft vorstellte. Das für zwei Jahrtausende wirkende Vor-
bild waren die

Elemente“ Euklids. Das darin angegebene Axiomen- (und

”

Postulaten-)system der Geometrie, insbesondere die Stellung des Paralle-
lenaxioms, bildete ebenso für zwei Jahrtausende einen Forschungsgegenstand
für die Mathematiker. Anfang der 80er Jahre des 19. Jahrhunderts erfolgte
dann im Rahmen der Geometrie eine weitere Durchbildung der axiomatischen

Methode. 1882 präsentierte Moritz Pasch im Bestreben, die vielfältigen geo-
metrischen Untersuchungen auf eine einheitliche Basis zu stellen, ein neues

Axiomensystem für die Geometrie und beschrieb mit folgenden Worten die
charakteristischen Merkmale der Methode:

486

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert

Die Mathematik stellt Relationen zwischen den mathematischen Begriffen

”

auf, welche den Erfahrungsthatsachen entsprechen sollen, aber weitaus in
ihrer Mehrzahl der Erfahrung nicht unmittelbar entlehnt, sondern ’bewie-
sen’ werden; die (ausser den Definitionen der abgeleiteten Begriffe) zur Be-
weisf¨
uhrung nothwendigen Erkenntnisse bilden selbst einen Theil der aufzu-
stellenden Relationen. Nach Ausscheidung der auf Beweise gest¨
utzten S¨
atze,
der Lehrs¨
atze, bleibt eine Gruppe von S¨
atzen zur¨
uck, aus denen alle ¨
ubrigen
sich folgern lassen, die Grunds¨
atze; diese sind unmittelbar auf Beobachtungen
gegr¨
undet, freilich auf Beobachtungen, welche seit undenklichen Zeiten sich
unaufh¨
orlich wiederholt haben, ...

Die Grunds¨
atze sollen das von der Mathematik zu verarbeitende empirische

Material vollst¨
andig umfassen, so daß man nach ihrer Aufstellung auf die

Sinneswahrnehmungen nicht mehr zur¨
uckzugehen braucht“ [Pasch 1882, S.

17].

Zuvor hatte Pasch analog zwischen Grundbegriffen und abgeleiteten Begriffen
unterschieden. Während letztere definiert werden, ist dies bei ersteren nicht
der Fall, und sie lassen sich nicht auf andere, einfachere Begriffe zurückführen.

Für die Grundbegriffe galt:

. . . keine Erkl¨
arung ist im Stande, dasjenige Mittel zu ersetzen, welches

”

allein das Verst¨
andnis jener einfachen, auf andere nicht zur¨
uckf¨
uhrbaren Be-
griffe erschliesst, n¨
amlich den Hinweis auf geeignete Naturobjecte ...“ [Pasch,

1882, S. 16]

Die Tatsache, daß die Gelehrten bei geometrischen Untersuchungen häufig auf

Mittel der Anschauung im dreidimensionalen Raum zurückgegriffen hatten,
ließ den mit der axiomatischen Methode verbundenen Abstraktionsprozeß
deutlich hervortreten und veranlaßte nun jene Mathematiker, die sich wie

Pasch um die Begründung der Geometrie mühten, diesen Aspekt besonders
zu betonen. Insgesamt ging Pasch, der ab 1870 an der Universität Gießen als

Privatdozent bzw. ab 1875 als ordentlicher Professor lehrte, beim Aufbau der
euklidischen Geometrie erstmals deutlich über die Elemente Euklids hinaus,
indem er die logische Strenge der Darstellung verbesserte und Lücken im Be-
griffssystem und in Beweisen ausfüllte. Insbesondere gelang ihm die korrekte

Erfassung der Anordnungsbeziehungen durch die Einführung der Zwischen-
relation als weiteren Grundbegriff neben Inzidenz und Kongruenz. Die For-
schungen zur Begründung der Geometrie und in diesem Zusammenhang die

Studien zur Axiomatik fanden dann 1899 in Hilberts Buch Die Grundlagen

”

der Geometrie“ einen Höhepunkt. Für eine genauere Darstellung dieses Pro-
zesses vergleiche man die Ausführungen in [Scriba/Schreiber 2000, Kap. 8.1]

und das Buch von Toepell [Toepell 1986].

Neben der Geometrie bildete die Arithmetik ein zentrales Gebiet für die Ent-
wicklung und Anwendung der axiomatischen Methode. Die Begründung der

Zahlbereiche und des Rechnens in ihnen war noch nicht abgeschlossen und
harrte speziell bezüglich der natürlichen Zahlen einer Lösung. So verwundert
es wohl kaum, daß in dem allgemeinen Bestreben um eine Verschärfung der

9.1 Mengenlehre und Algebra der Logik

487

Moritz Pasch

Bertrand Russell

Grundlagen der Mathematik der Aufbau der Arithmetik von mehreren Ma-
thematikern in Angriff genommen wurde. Dabei kam Frege und Peano das

Verdienst zu, die Ausdehnung der axiomatischen Methode von der Geome-
trie auf die Arithmetik vollzogen zu haben. Letzterer publizierte 1889 die

Arithmetices principia ...“, nachdem er bereits ein Jahr zuvor, anknüpfend

”

an Graßmanns Ausdehnungslehre“, reelle Vektorräume und weitere wichtige

”

Begriffe der linearen Algebra definiert hatte. In den arithmetischen Studien
stützte er sich außer auf Graßmanns Lehrbuch der Arithmetik und Arbeiten
von Charles Sanders Peirce vor allem auf Dedekinds Begründung der natürli-
chen Zahlen in der Schrift

Was sind und was sollen die Zahlen?“ (1888).

”

Dedekind behandelte das Problem vom Standpunkt der Mengenlehre aus,
die nach Peano benannten Axiome wurden von ihm als Sätze mengentheo-
retisch abgeleitet. Die Schrift ist deshalb bereits als wichtiger Beitrag zur

Mengenlehre erwähnt worden. Peano beschrieb die natürlichen Zahlen durch
die folgenden Axiome, die hier in abgewandelter Form unter Verzicht auf die

Peanosche Pasigraphie wiedergegeben werden:

1. Null ist eine natürliche Zahl.

2. Ist n eine natürliche Zahl, so ist auch der Nachfolger S( n) von n eine
natürliche Zahl.

3. Ist n eine natürliche Zahl, so gilt S( n) = 0.

4. Hat Null die Eigenschaft E und folgt aus der Tatsache, daß n die Eigen-
schaft E besitzt stets, daß der Nachfolger S( n) die Eigenschaft E hat, so
haben alle natürlichen Zahlen die Eigenschaft E. Oder mit anderen Wor-
ten: Die Eigenschaft E folgt aus der Eigenschaft eine natürliche Zahl zu
sein. (Induktionsprinzip)

5. Sind n und m natürliche Zahlen, so folgt aus S( n) = S( m) stets n = m.

488

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert

1891 wies Peano für dieses Axiomensystem bereits eine Eigenschaft nach, die
in den logisch-abstrakten Untersuchungen zur Axiomatik eine große Rolle
spielen sollte, nämlich die Unabhängigkeit der Axiome des vorgelegten Sy-
stems, d. h. keines der Axiome des Systems kann als Folgerung der übrigen

Axiome abgeleitet werden. Nur wenig später in der zweiten Hälfte der 90er

Jahre behandelten David Hilbert und Mario Pieri unabhängig voneinander
im geometrischen Kontext die zweite wichtige Frage bei der Aufstellung von

Axiomensystemen, die (semantische) Widerspruchsfreiheit des Systems. Da-
bei handelt es sich um den Nachweis, daß aus den Axiomen des Systems
durch logisches Schließen kein Widerspruch, eine Aussage und ihr Gegen-
teil, gefolgert werden kann. Dieser Nachweis wird häufig durch die Angabe
eines Modells geführt, von dem die Widerspruchsfreiheit bekannt ist. Eine
dritte zentrale Forderung an ein Axiomensystem zum Aufbau einer mathe-
matischen Theorie war die Vollständigkeit. Diese Eigenschaft steht im engen

Zusammenhang mit der Widerspruchsfreiheit und besagt, daß das System in
gewisser Weise hinreichend umfangreich ist, so daß der Inhalt der durch das

System begründeten Theorie im wesentlichen eindeutig festgelegt ist.

Auch Frege leistete in seinen Arbeiten wesentliche Beiträge zur Ausgestaltung
der axiomatischen Methode. Bereits in der

Begriffsschrift“ schuf er ein in

”

seiner schwierigen Symbolik formuliertes Axiomensystem der Logik, das bis
auf wenige Änderungen noch heute Bestand hat. In diesem Buch baute er
auch eine Theorie der Folgen auf, die wie Dedekind 1893 bekannte, sehr
enge Berührungspunkte mit dessen Theorie der Ketten aufwies. Schließlich
präsentierte er in den

Grundgesetzen der Arithmetik“ ein Axiomensystem

”

der Logik, das die Basis seiner Zurückführung der Arithmetik auf die Logik
bilden sollte.

Neben der Anwendung der axiomatischen Methode in weiteren Gebieten der

Mathematik begannen ab der Wende zum 20. Jahrhundert allgemeine Be-
trachtungen über Axiomensysteme eine größere Rolle in den Forschungen zu
spielen. Im Mittelpunkt stand die Analyse von Axiomensystemen hinsichtlich

Unabhängigkeit, Widerspruchsfreiheit und Vollständigkeit. Als Bestandteil
der Untersuchungen formaler Systeme fiel die Weiterentwicklung der axioma-
tischen Methode hauptsächlich in das Gebiet der mathematischen Logik. Als
eine gewisse Zäsur kann dabei das Erscheinen der

Principia mathematica“

”

von Bertrand Russell und Alfred North Whitehead in den Jahren 1910–1913
gelten. Auch von Nichtmathematikern wurde die Mathematik nun als eine

Wissenschaft gesehen, in der man aus beliebigen Voraussetzungen richtige

Schlußfolgerungen zog, oder wie Russell es 1903 exakter ausdrückte:

Pure Mathematics is the class of all propositions of the form
p implies

”

”

q,“ where p and q are propositions containing one or more variables, the
same in the two propositions, and neither p nor q contains any constants
except logical constants.“ [Russell 1903, S. 3. Siehe auch S. Vii f.]

Russell will nach eigenen Angaben den 1903 in den

Priciples of mathe-

”

matics“ formulierten logizistischen Begründungsversuch der Mathematik un-

9.2 Die Herausbildung des abstrakten Gruppenbegriffs

489
abhängig von Frege gefunden haben. Der Logizismus sah ganz dem obigen

Zitat entsprechend die Mathematik als einen Teil der Logik an und war eine
der Hauptrichtungen, die sich im Ringen um eine Fundierung der Mathema-
tik an der Wende zum 20. Jahrhundert herausbildete. Russell modifizierte das

Fregesche Programm und entwickelte die verzweigte Typentheorie zur Ver-
meidung der bekannten Antinomien. Zusammen mit seinem Lehrer White-
head präsentierte er in den

Principia mathematica“ die dabei gefundenen

”

Resultate und unternahm einen Neuaufbau der Mengenlehre und weiter Tei-
le der durch die Mengenlehre darstellbaren Mathematik, ein Aufbau, der in

Form der einfachen Typentheorie auch gegenwärtig zur Axiomatisierung der

Mengenlehre benutzt wird. Der philosophische Logizismus ist inzwischen in-
folge der Erkenntnisse über die Gabelbarkeit der Mengenlehre an bestimmten

Axiomen im wesentlichen erloschen.

Bereits in diesen Phasen mathematischer Forschung hatte sich Russell für so-
zialwissenschaftliche Fragen interessiert und als Pazifist betätigt. Soziale und
philosophische Themen rückten in den 30er Jahren immer mehr in den Mit-
telpunkt seines Schaffens, nach 1945 dominierte zunehmend sein politisches

Wirken, u. a. war er nach 1960 ein führender Vertreter der Weltfriedensbe-
wegung. Whitehead hat sich nach der Beschäftigung mit der
universellen

”

Algebra“ und der Logik vor allem mit den Grundlagen der Physik auseinan-
dergesetzt und u. a. in Konkurrenz zur Einsteinschen Relativitätstheorie eine
eigene Gravitationstheorie aufgestellt. Diese Forschungen waren eingebettet
in den Kontext allgemeiner naturphilosophischer Überlegungen.

Frühzeitige Anwendungen der axiomatischen Methode fanden sich auf dem

Gebiet der Algebra. Das Zusammenspiel der drei skizzierten Tendenzen, die

Entstehung der Mengenlehre und die beginnende mengentheoretische Durch-
dringung mathematischer Teilgebiete, die Herausbildung der mathematischen

Logik und die formal-logische Analyse einiger mathematischer Disziplinen so-
wie die Entwicklung der axiomatischen Methode und der sich allmählich aus-
prägenden Auffassung von der Mathematik als Strukturmathematik, bildeten
den Hintergrund, vor dem die Fortschritte in der Algebra erreicht wurden,
die jetzt wieder näher in den Blick genommen werden sollen.

9.2 Die Herausbildung des abstrakten Gruppenbegriffs

Einen ersten abstrakten Gruppenbegriff hatte Cayley für endliche Gruppen
bereits 1854 formuliert, der aber auf Grund der fehlenden Untermauerung
mit konkreten mathematischen Sachverhalten mehr als gedankliche Speku-
lation, denn als Abstraktion aus bewährten mathematischen Vorstellungen
erscheinen mußte und keine historische Wirkung erzielte (vgl. Kap. 7.4.2).

Als Cayley sich jedoch nach mehr als 20 Jahren 1878 erneut mit gruppen-
theoretischen Arbeiten zu Wort meldete, erzielte er eine nachhaltige Wirkung
und initiierte sowohl mehrere Arbeiten, die zur sukzessiven Ausformung des

490

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert
abstrakten axiomatischen Gruppenbegriffs führten, als auch weitere Arbeiten
mit abstrakt gruppentheoretischem Charakter. Das Wesen dieses sich inner-
halb weniger Jahre vollziehenden Prozesses besteht darin, daß auf dem Ende
der 70er Jahre erreichten Kenntnisstand in rascher Folge eine Verschmelzung
der drei historischen Wurzeln des Gruppenbegriffs erfolgte und ein neues Ab-
straktionsniveau erreicht wurde [Wußing 1969]. In Cayleys Arbeiten spielten
diese Prozesse jedoch noch keine Rolle. Cayley fußte zum einen auf der Theo-
rie der Permutationsgruppen und zum anderen auf einer Verallgemeinerung
von Auffassungen der englischen algebraischen Schule. Sein Ausgangspunkt
zur Definition der Gruppe, die auf nicht näher bestimmten Buchstabensym-
bolen operierenden Funktionssymbole, erinnert sehr stark an eine Weiterent-
wicklung früherer Ansichten von Duncan Farquharson Gregory. Ohne den
allgemeinen abstrakten Rahmen zu verlassen, stellte Cayley die Beziehungen
zu den Permutationsgruppen her, indem er Substitutionen als eine mögliche

Interpretation der Funktionssymbole angab. Auch die Definition der Gruppe
folgt im Sprachgebrauch der englischen algebraischen Schule:

A set of symbols α, β, γ, ... , such that the product αβ of each two of them

”

(in each order, αβ or βα ), is a symbol of the set, is a group ... A group
is defined by means of the laws of combination of its symbols.“ [Cayley 1889,

Vol. 10, S. 402]

Cayleys Betrachtungen beschränkten sich auf endliche Gruppen und er for-
mulierte die Aufgabe, alle Gruppen für eine vorgegebene Ordnung n aufzu-
stellen. Auch in diesem Punkt gab er den Zusammenhang zu den Permuta-
tionsgruppen an und brachte in dem nach ihm benannten Satz zum Ausdruck,
daß sich jede endliche Gruppe als Permutationsgruppe darstellen läßt.

Die Verschmelzung zwischen gruppentheoretischen Ideen aus dem Gebiet der

Permutationsgruppen und der Zahlentheorie trat nur wenig später in der

Arbeit von Georg Frobenius und Ludwig Stickelberger (1850–1936) deutlich
hervor [Frobenius/Stickelberger 1879]. Beide Gelehrte lehrten zu diesem Zeit-
punkt am Polytechnikum in Zürich, der heutigen ETH, Frobenius seit 1875
als Professor und Stickelberger als Privatdozent. Zuvor hatten beide einen

Teil ihrer Ausbildung in Berlin absolviert, Frobenius erhielt dort im gleichen

Jahr 1874 eine außerordentliche Professur in dem Stickelberger bei Weierstraß
promovierte. Während Stickelberger, der 1879–1924 in Freiburg/Br. lehrte,
nur mit wenigen, aber wichtigen Arbeiten hervortrat, hat Frobenius nach sei-
ner Berufung an die Berliner Universität (1892) die Tradition von Kummer
und Kronecker fortgesetzt und richtungsweisende Beträge zur Gruppentheo-
rie und zur Darstellungstheorie geleistet.

Ausgehend von zahlentheoretischen Studien über Potenzreste bei Euler und

Gauß sowie von den Arbeiten zur Auflösung algebraischer Gleichungen von

Lagrange und Abel , nahmen Frobenius und Stickelberger in ihrer gemeinsa-
men Arbeit weiterführende Resultate von Gauß bzw. Ernst Schering über die

Zerlegungen einer Gruppe in primäre Gruppen bzw. in elementare Gruppen,
von deren Ordnung jede durch die folgende teilbar ist, genauer in den Blick

9.2 Die Herausbildung des abstrakten Gruppenbegriffs

491
und suchten eine Antwort auf die Frage, ob es gewisse, allen diesen Zerle-
gungen gemeinsame Eigenschaften gäbe. Für die abstrakte Formulierung der

Zusammenhänge lehnten sie sich methodisch an Dedekinds Modultheorie an:

Um die abstracte Entwicklung m¨
oglichst bequem und fasslich darstellen zu

”

k¨
onnen, kn¨
upfen wir sie an die Untersuchung der Klassen von Zahlen an, die
in bezug auf einen gegebenen Modul incongruent und relativ prim zu demsel-
ben sind, ohne dabei von den speciellen Eigenschaften dieser Elemente Ge-
brauch zu machen.“ [Frobenius/Stickelberger 1879, S. 218]

Die Definition der Gruppe war allgemein gehalten, unterschied sich hinsicht-
lich der gestellten Forderungen aber nicht von früheren Definitionen. In einer

Fußnote wurden unendliche Gruppen ausdrücklich eingeschlossen. Wichti-
ge Anregungen für das weitere Vorgehen entnahmen sie der Dedekindschen

Teilbarkeitslehre, wie er sie im X. Supplement zu Dirichlets Zahlentheorie“

”

publiziert hatte, und der Kroneckerschen Arbeit über Eigenschaften der Klas-
senanzahl idealer komplexer Zahlen von 1870. Sie erklärten die Teilbarkeit
von Gruppen: Wenn alle Elemente der Gruppe B auch der Gruppe A an-

”

geh¨
oren, so heisst A durch B theilbar, ...“ [Frobenius/Stickelberger 1879,

S. 220], definierten als weitere wichtige Begriffe den der Basis, des Rangs einer

Gruppe (als Anzahl der Basiselemente) und der primären Gruppe (Gruppen-
ordnung ist eine Primzahlpotenz) und übertrugen den Irreduzibilitätsbegriff
auf Gruppen. Eine Gruppe nannten sie irreduzibel, bei ihnen noch irreduc-
tibel, wenn sie nicht in zwei Factoren zerf¨
allt werden kann, ohne daß einer

”

derselben gleich der ganzen Gruppe ist.“ [Frobenius/Stickelberger 1879, S.

218] Als wesentliches Ziel der Arbeit konstatierten Frobenius und Stickelber-
ger dann den Basissatz für abelsche Gruppen:

I. Eine Gruppe, die nicht irreductibel ist, kann in lauter irreductible Factoren

”

zerlegt werden.

Eine solche Zerlegung ist in der Regel auf viele verschiedene Weisen m¨
oglich.

Wie man sie aber auch ausf¨
uhren mag, man erh¨
alt doch stets die gleiche An-
zahl von irreductiblen Factoren, und dieselben k¨
onnen einander in zwei ver-
schiedenen Zerlegungen so zugeordnet werden, daß die entsprechenden Facto-
ren von gleicher Ordnung sind. Der Beweis dieser Behauptung (§8), sowie die
genaue Charakterisierung der irreductiblen Factoren einer Gruppe (§9) bildet
den Hauptgegenstand der folgenden Untersuchung.“ [Frobenius/Stickelberger

1879, S. 221]

Abschließend behandelten sie aus dem Gebiet der Zahlentheorie die Reste
der Potenzen rationaler ganzer Zahlen in bezug auf einen zusammengesetzten

Modul und die Reste der Potenzen komplexer ganzer Zahlen.

Eine weitere Publikation, welche die im Rahmen der Zahlentheorie entwickel-
te implizite Charakterisierung des Gruppenbegriffs mit der Theorie der Per-
mutationsgruppen verband, war 1882 das Buch

Substitutionentheorie und

”

ihre Anwendung auf die Algebra“ von Eugen Netto (1846–1919).

Netto,
ein Schüler von Kronecker und sehr gut mit dessen Auffassungen vertraut,
griff dabei nicht nur auf dessen schon erwähnte Arbeit über Eigenschaften

492

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert
der Klassenanzahl idealer komplexer Zahlen zurück, sondern nahm auch auf
die ebenfalls 1882 erschienene Festschrift zu Kummers Goldenem Doktorju-
biläum Grundz¨
uge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Gr¨
oßen“

”

Bezug, die er zu seinem Bedauern nur noch in Ansätzen für seine Substi-
tutionentheorie benutzen konnte. Inhaltlich fußte Netto bezüglich der Theo-
rie der Permutationsgruppen natürlich wesentlich auf den bekannten, schon
klassischen Monographien von Serret [Serret 1849] und Jordan [Jordan 1870],
wobei er sich in den Begriffen und Bezeichnungen eng an Jordan anschloß.

In der Diktion seiner Darstellung berief er sich jedoch ganz auf Kronecker
und begründete den Übergang zu abstrakten Darlegungen ganz im Stile des
axiomatischen Denkens damit, die grundlegenden Gemeinsamkeiten verschie-
dener Theorien herauszuarbeiten und die Konzepte übertragen zu können.

Die im vorliegenden Buche durchgef¨
uhrte Darstellung der Substitutionen-

”

theorie weicht in mehreren nicht unwesentlichen Punkten von den bisher

¨
ublichen ab. Hierbei waren Gesichtspunkte massgebend, welche hervorgeho-
ben werden m¨
ussen.

Es ist unzweifelhaft, daß der Kreis der Anwendungen eines Algorithmus sich
ausdehnen wird, wenn es gelingt, die Grundlagen und den Aufbau desselben
von allen nicht unbedingt geforderten Voraussetzungen zu befreien, und ihm
durch die Allgemeinheit der Objekte, mit denen er arbeitet, auch die M¨
oglich-
keit des Eingreifens in die verschiedensten Gebiete zu geben. Dass die Theorie
der Gruppenbildung eine solche Darstellung zul¨
asst, spricht f¨
ur ihre weitgrei-
fende Bedeutung und f¨
ur ihre Zukunft.“ [Netto 1882, S. III]

Nach dieser Ankündigung war der Inhalt des Buches eher ernüchternd. Netto
blieb im großen und ganzen noch sehr eng der Theorie der Permutationsgrup-
pen verhaftet. Die Definition des Gruppenbegriffs brachte keine neuen Ge-
sichtspunkte. Lediglich bei der Analyse der abelschen Gruppen verließ er den

Boden der Permutationsgruppen und übernahm in §§ 131 und 132 fast wört-
lich die Kroneckerschen Ausführungen mit der impliziten Gruppendefinition,
ohne – und das ist interessant - die Bezeichnung Gruppe zu gebrauchen. Mit
dem Hinweis, daß im vorliegenden Fall der Substitutionsgruppen die abstrak-
ten Elemente durch Substitutionen ersetzt werden müssen (Man erinnere
sich, daß im damaligen Sprachgebrauch der Übergang von zwei Anordnun-
gen (Permutationen) als Substitution bezeichnet wurde.), verließ er die ab-
strakte Ebene der Darlegungen, sprach jetzt auch wieder von (Substitutions-)

Gruppen und folgerte sofort den Basissatz für endliche Gruppen. Auch bei
den Ausführungen zu ein- und mehrstufigen Isomorphismen von Gruppen,
d. h. von isomorphen bzw. homomorphen Abbildungen, blieb er im Konkre-
ten, nämlich in der Theorie der Permutationsgruppen und verzichtete auf
eine abstrakte Darstellung. Dazu hätte es lediglich einer Fortführung der

Kroneckerschen Ansätze bedurft, da Nettos diesbezügliche Untersuchungen
nicht von speziellen Eigenschaften der Substitutionen abhingen. Somit hatte

Netto zwar die Bedeutung des Gruppenbegriffs erkannt und sich um eine ab-
strakte Formulierung bemüht, aber, und dies macht seine Grenzen deutlich, er

9.2 Die Herausbildung des abstrakten Gruppenbegriffs

493

Eugen Netto

Heinrich Weber
vermochte nicht, die Permutationstheorie von diesem abstrakten Standpunkt
konsequent zu präsentieren oder gar den aus Zahlentheorie und Permutations-
theorie abstrahierten allgemeinen Begriff an die Spitze der Darlegungen zu
stellen.

Ebenfalls ein gewisses Zwischenstadium auf dem Weg zum abstrakten Grup-
penbegriff verkörperte die 1882 erschienene Arbeit

Beweis des Satzes, daß

”

jede eigentlich primitive quadratische Form unendlich viele Primzahlen dar-
zustellen f¨
ahig ist“ von Heinrich Weber. Sie hatte eine klare zahlentheoreti-
sche Zielstellung. Weber bezog sich dabei auf Arbeiten von Dirichlet, Sche-
ring, Mertens und Kronecker, strebte aber zugleich eine allgemeine abstrakte

Darstellung an, mit der er eine größere Verständlichkeit erreichen wollte.

Dieser Aspekt macht die Ausführungen für die Entwicklung der Algebra in-
teressant und, da Weber das Abstraktionsniveau in der ganzen Arbeit bei-
behält, zu einem Beispiel für die Anwendung der axiomatischen Methode.

Die algebraischen Grundlagen faßte Weber in einem einleitenden Abschnitt
zusammen und definierte:

Ein System G von h Elementen irgendwelcher Art, Θ

”

1 , Θ 2 , ..., Θh
heißt
eine Gruppe vom Grade h , wenn es den folgenden Bedingungen gen¨
ugt:

Durch irgend eine Vorschrift, welche als Composition oder Multiplikation be-
zeichnet wird, leitet man aus zwei Elementen des Systems ein neues Element
desselben Systems her. In Zeichen ΘrΘs = Θt.

Es ist stets

( ΘrΘs) Θt = Θr( ΘsΘt) = ΘrΘsΘt.

Aus ΘΘr = ΘΘs und aus ΘrΘ = ΘsΘ folgt stets Θr = Θs. “

[Weber 1882, S. 302]

494

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert

Es spricht für den axiomatischen Standpunkt, daß Weber beim Übergang zu
abelschen Gruppen in der Definition lediglich das Hinzutreten einer weiteren

Bedingung

IV. F¨
ur je zwei Elemente Θ

”

r , Θs
der Gruppe ist ΘrΘs = ΘsΘr, ... “

[Weber 1882, S. 304] zu den bereits bekannten vermerkte. Als Folgerung aus
der Gruppendefinition bewies er u. a. die Existenz eines Einselements, von
ihm als Hauptelement bezeichnet, und des reziproken Elements zu einem be-
liebig vorgegebenen Element. Das Haupttheorem dieses Abschnitts war nach
der Definition weiterer Begriffe der schon mehrfach erwähnte Basissatz für
endliche abelsche Gruppen. Die in diesem Theorem nachgewiesene Darstel-
lung eines Gruppenelementes als Produkt von Potenzen der Basiselemente
bildete für Weber dann den Ausgangspunkt für die abstrakte, nur auf grup-
pentheoretische Überlegungen gegründete Einführung des Charakters eines

Elements und den Aufbau einer Theorie der Charaktere. Wie der Basissatz
war diese Theorie nicht neu, Weber knüpft ausdrücklich an Dirichlet an. Her-
vorzuheben ist auch hier die konsequent gruppentheoretische Formulierung.

Die Webersche Darstellung war hinsichtlich Abstraktionsniveau und Klar-
heit beispielhaft. Um als Schlußpunkt bei der Herausbildung des abstrakten

Gruppenbegriffs gelten zu können, fehlte ihr jedoch die Zusammenfassung
der verschiedenen Traditionslinien; denn bei seiner Definition der Gruppe
bezog Weber weder die Forschungen über Permutationsgruppen noch über

Transformationsgruppen ein.

In der Folgezeit hat Weber mit weiteren Arbeiten, über die noch zu berich-
ten sein wird, die Entwicklung der Algebra und der Zahlentheorie wesentlich
befördert. Doch er war darüber hinaus ein sehr vielseitiger Mathematiker und
ein guter Lehrer, der seine Schüler, unter ihnen David Hilbert und Hermann

Minkowski, zu begeistern und zu inspirieren wußte. Wichtige Ergebnisse er-
zielte er zur Analysis, über algebraische Funktionen und zur mathematischen

Physik. Er stand dabei ganz in der Tradition des Königsberger mathematisch-
physikalischen Seminars, in dem er nach der Promotion in Heidelberg (1863)

seine Studien vertieft hatte und 1875–1883 als Professor lehrte. Einen prägen-
den Einfluß auf seine Forschungen hatte die Freundschaft mit Dedekind und
die Beschäftigung mit dem Schaffen Riemanns, dessen

Gesammelte Wer-

”

ke“ er mit Dedekind herausgab. Eine grundlegend überarbeitete Fassung
von Riemanns Vorlesungen über

Die partiellen Differentialgleichungen der

”

mathematischen Physik“ stammt ebenfalls aus seiner Feder. Weitere wich-
tige Stationen seiner akademischen Laufbahn waren das Polytechnikum in

Zürich (1870–1875) sowie die Universitäten in Marburg (1884–1892), Göttin-
gen (1892–1895) und Straßburg (1895–1913). Bei letzterer handelte es sich
um die 1872 gegründete und aus politischen Gründen besonders geförderte
deutsche Universität.

Die bei Weber noch fehlende explizite Zusammenführung der drei histori-
schen Wurzeln der Gruppentheorie wurde noch im gleichen Jahr, ja sogar im
gleichen Band der

Mathematischen Annalen“ von Walter v. Dyck vollzo-

”

9.2 Die Herausbildung des abstrakten Gruppenbegriffs

495
gen. Es ist deshalb legitim, die Herausbildung des abstrakten axiomatischen

Gruppenbegriffs mit dem Jahr 1882 zu verknüpfen. Die Verbindung zwischen
den einzelnen Richtungen wurde von Dyck ganz bewußt vollzogen. Mehrfach
hob er hervor, daß er von der speziellen Darstellungsform der Gruppen abse-
hen will und es ihm um das Erkennen der zur Gruppenbildung wesentlichen

”

Eigenschaften“ geht. Als Schüler von Klein war er mit allen drei Traditions-
linien gruppentheoretischer Forschungen vertraut, hatte selbst zu den An-
wendungen der Gruppentheorie in der Geometrie geforscht und näherte sich
dem notwendigen Abstraktionsschritt gerade durch diese geometrische Be-
trachtungsweise. Die dadurch erzielte

Versinnlichung gruppentheoretischer

”

Operationen“ ermöglichte es, in einfachen Fällen die Gesamtheit der Ope-
rationen einer Gruppe in ihrer gegenseitigen Stellung zu überblicken und
das Wesentliche einer Gruppe von den durch die specielle Erscheinungs-

”

form zuf¨
allig hineingetragenen Eigenschaften zu sondern“ [Dyck 1882, S. 4].

Er verkannte jedoch nicht die Gefahr, daß die geometrische Sichtweise zu
einer gewissen Einseitigkeit führen kann.

F¨
ur die Weiterentwickelung der vorliegenden gruppentheoretischen Probleme

”

hat n¨
amlich an Stelle jeder geometrischen Sprechweise die analytische (com-
binatorische) Formulirung einzutreten. F¨
ur sie aber hat diese erste geometri-
sche Orientirung gewisse Gesichtspuncte ergeben, die in der geometrischen

Fassung, wie ihrem analytischen Inhalte nach, zu entwickeln, den Zweck der
vorliegenden Arbeit bildet.“ [Dyck 1882, S. 5]

Die unmittelbare Anregung zu dem zweiteiligen Artikel erhielt Dyck durch
die eingangs erwähnten Arbeiten Cayleys, dessen Gruppendefinition er als

Motto über seine Arbeit stellte. Da er sich hinsichtlich der abstrakten Auf-
fassungen auf Graßmanns Ausdehnungslehre“, Hankels

Complexe Zahlen-

”

”

systeme“ und Schröders Absolute Algebra“ berief, manifestierte sich damit

”

zugleich die Wirkung der zu Beginn des Kapitels geschilderten allgemeinen

Entwicklungstendenzen. Auch sprachlich wurde die Nähe zu den obigen Ar-
beiten deutlich, wenn er konstatierte:

Indem wir ... die gruppentheoretischen Operationen rein formal auffassen,

”

zeigt sich deutlich ihre Stellung in einer formalen Entwickelung analytischer

Operationen ¨
uberhaupt. Es sind Multiplicationsoperationen, welche das as-
sociative, nicht aber das commutative Princip befolgen. Dabei wird diesen

Operationen durch gewisse Multiplicationsregeln ... der Charakter eines spe-
ciellen Operationskreises ertheilt, der eine unendliche oder auch eine endliche

Gruppe von Operationen umfasst.“ [Dyck 1882, S. 2]

In den Darlegungen ging Dyck aus von gewissen erzeugenden Operationen

A 1, A 2, A 3, ...

Am, die er nicht näher bestimmte, und betrachtete die durch

Iteration und Combination dieser Operationen“ entstehende Gruppe, in heu-

”

tiger Terminologie also die von den Ai erzeugte freie Gruppe. Jedes Element
der Gruppe wird durch einen Ausdruck der Form Aµ 1 Aµ 2 ...Aν 1 Aν 2 ... darge-

1

2

1

2
stellt, und da er zunächst keinerlei Relationen zwischen den Elementen for-
derte, waren all diese Ausdrücke verschieden. Beispielsweise stimmen wegen

496

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert

Ludwig Otto Hölder

Walter von Dyck
der fehlenden Kommutativität der Verknüpfung die Ausdrücke A 1 A 2 A 1 und

A 2 A

1

2 im allgemeinen nicht überein. Dyck nahm außerdem an, daß zu jedem

Ai auch die inverse Operation zur Gruppe gehört und gab dann den Grup-
pen durch das Stellen weiterer Bedingungen eine spezielle Struktur. Diese zu
erfüllenden Relationen schrieb er in der Form Fh( Ai) = 1. Ein wichtiges Re-
sultat der Arbeit war der Nachweis, daß die durch diese Relationen erhaltene

Gruppe G, modern formuliert, eine Faktorgruppe der Ausgangsgruppe G ist.

Zuvor hatte Dyck bereits erklärt, daß er seinem abstrakten Ausgangspunkt
entsprechend isomorphe Gruppen als identisch ansehen werde.

Dyck setzte dann seine Erkenntnisse für spezielle Gruppen um und widmete
sich der geometrischen Versinnlichung der Gruppe G. Er behandelte sowohl
die in Verbindung mit den Transformationen elliptischer Funktionen unter-
suchten Transformationsgruppen als auch die Permutationsgruppen und die

Polyedergruppen und zeigte, daß sie in der abstrakten Theorie inbegriffen wa-
ren und durch zweckmäßige Umformung der Relationen Fh( Ai) = 1 erhalten
werden konnten. Im zweiten, 1883 erschienenen Teil der Arbeit unterstrich

Dyck nochmals das Verhältnis der abstrakten Theorie zu den vielfältigen De-
tailstudien über spezielle Gruppen und brachte Aspekte einer axiomatischen

Darstellung stärker zur Geltung. Den Wert und die Ausnutzung spezieller

Gegebenheiten bei der Lösung der konkreten Probleme stellte er nicht in Ab-
rede, es ging ihm aber vor allem um die Frage, in wie weit sie (die speziellen

”

Beziehungen, K.-H. S.) in rein gruppentheoretischen und in wie weit in an-
deren Eigenschaften des gestellten Problems ihre Begr¨
undung finden.“ [Dyck

1883, S. 71]

Die besprochenen

Gruppentheoretischen Studien“ waren Bestandteil der

”

Dyckschen Habilitationsschrift, auch in seinem weiteren mathematischen

Schaffen folgte Dyck mehrfach Anregungen Kleins. Eine besondere Wirk-

9.2 Die Herausbildung des abstrakten Gruppenbegriffs

497
samkeit entfaltete er jedoch, auch dabei quasi dem Beispiel seines Lehrers
folgend, als Wissenschaftsorganisator. So war Dyck zwölf Jahre Rektor der

Technischen Hochschule München (1900–1906, 1919–1925), bekleidete wich-
tige Leitungsfunktionen u. a. in der Deutschen Mathematiker-Vereinigung,
im Deutschen Museum sowie in der Notgemeinschaft der Deutschen Wis-
senschaft und förderte maßgeblich die Herausgabe der

Encyklop¨
adie der

”

mathematischen Wissenschaften“.

Die bisherigen Ausführungen zeigen, daß mit der Formulierung des abstrak-
ten Gruppenbegriffs die Gruppenaxiome keineswegs schon vollständig vorla-
gen. Die Definition einer Gruppe, wie die oben zitierte von Heinrich Weber,
war die Ausnahme, oft begnügte man sich damit, die Abgeschlossenheit der

Menge gegenüber der Gruppenoperation zu fordern. Die weitere Herausbil-
dung der Gruppenaxiome vollzog sich nun parallel zur Ausbreitung des Grup-
penbegriffs. Ein wichtiger Beitrag resultierte aus den Bemühungen von So-
phus Lie, die Theorie der unendlichen Transformationsgruppen systematisch
aufzubauen. Hatte bereits die Formulierung des abstrakten Gruppenbegriffs
wesentliche Impulse aus der Verschmelzung von Studien zu Permutations-
und Transformationsgruppen erhalten, so lieferte dieser Prozeß bei gleich-
zeitiger Ausweitung der Betrachtungen auf unendliche Gruppen auch die

Ausformung der Gruppenaxiome. Lie hatte im Streben nach einer Klassi-
fikation der Transformationsgruppen eine Schar von Transformationen mit
einem Differentialgleichungssystem verknüpft und die Gruppeneigenschaft
durch Bedingungen an die Lösungen dieses Systems charakterisiert. (vgl. Ab-
schn. 8.3.2) Bei dem systematischen Aufbau der Theorie wählte Lie diese Be-
ziehung als Ausgangspunkt und definierte die Transformationsgruppen mit

Hilfe der Lösungen eines Systems (partieller) Differentialgleichungen und den

Eigenschaften, welche die Lösungen des System erfüllen sollten. Insbesondere
mußte mit zwei Transformationen, die Lösungen des Systems waren, auch de-
ren Nacheinanderausführung wieder eine Lösung des Systems sein. Dies war,
wie Lie sofort anmerkte, eine Einschränkung der untersuchten Gruppen, denn
es gab Transformationsgruppen, die sich nicht auf diese Weise definieren lie-
ßen. Er rechtfertigte den Schritt aber durch Hinweise auf die angestrebte

Anwendung der Resultate in einer allgemeinen Theorie der Differentialglei-
chungen und die großen Schwierigkeiten, die bei Einbeziehung dieser Grup-
pen das Auffinden allgemeiner Resultate außerordentlich behindern würden.

Außerdem forderte er dann:

Zur Vereinfachung der Theorie f¨
uhren wir noch eine zweite Voraussetzung

”

ein, wir wollen n¨
amlich nur solche unendliche continuirliche Gruppen be-
trachten, deren Transformationen paarweise zu einander invers sind. In die-
ser Voraussetzung liegt dann zugleich, daß die betreffenden Gruppen die iden-
tische Transformation enthalten, denn f¨
uhren wir zwei zu einander inverse

Transformationen einer Gruppe aus, so bekommen wir wieder eine Transfor-
mation der Gruppe, eben die identische Transformation.“ [Lie 1891, S. 319]

498

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert

Abb. 9.2.1. Titelblatt des Buches Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffes“

”

von Hans Wussing

9.2 Die Herausbildung des abstrakten Gruppenbegriffs

499

Diese zweite Voraussetzung stellte jedoch keine Einschränkung dar. Lie hatte
sie zuvor, 1889 [Lie 1889, S. 558], unabhängig von der ersten Forderung for-
muliert, wies aber jetzt nach, daß sie in jeder durch Differentialgleichungen
definierten Transformationsgruppe erfüllt war. Damit hatte Lie aus metho-
dischen Gründen zwei wichtige Gruppenaxiome fixiert und zwar jene zwei,
die sich – sah man von der speziellen Realisierung der Transformationsgrup-
pe ab – für unendliche Gruppen nicht aus den übrigen Eigenschaften der

Gruppendefinition ableiten ließen. Mit Blick auf den abstrakten axiomati-
schen Gruppenbegriff war dabei insbesondere die Unterscheidung zwischen

Voraussetzung (Axiom), und dem im konkreten Fall stets erfüllten Sachver-
halt wichtig. Lie hat später, 1894, seine klaren Einsichten in die Bedeutung
des Gruppenbegriffs in der Mathematik und die mit der Ausdehnung grup-
pentheoretischen Denkens einhergehende abstraktere Fassung des Begriffs in
einem Artikel zur Würdigung der Leistungen Galois’ artikuliert. Er löste den

Begriff jetzt deutlich von den Realisierungen als Transformationsgruppe ab,
forderte als definierende Eigenschaft jedoch nur die Abgeschlossenheit der

Menge gegenüber der Verknüpfungsoperation. Diese Definition sollte dann
durch die Angabe weiterer Eigenschaften (Axiome) präzisiert werden:

Pratiquement, on pr´
ecise dans chaque cas particulier cette d´
efinition. ... En-

”

fin, on n’a pas encore montr´
e, d’une facon entì
erement satisfaisante au point
de vue purement th´
eoretique, s’il ´
etait n´
ecessaire d’ajouter `
a la d´
efinition de
groupes continus que parmi leurs transformations se trouve la transformation
identique. En ´
etendant la notion de groupè
a des op´
erations quelconques, on
n’a pas le droit de conclure que de la d´
efinition donn´
ee plus haut r´
esulte le
partage des op´
erations du groupe en couples d’op´
erations inverses. Il arrive
aussi que le principe d’associativit´
e n’est pas valable pour tous les groupes
d’op´
erations.“ [Galois 1989, S. 74f.]

Berücksichtigt man die inzwischen erreichten Fortschritte in der Formulierung
des abstrakten Gruppenbegriffs, so blieb Lie trotz der impliziten Angabe al-
ler Gruppenaxiome und der angedeuteten Möglichkeit, durch das Fordern
unterschiedlicher Axiome verschiedene Gruppen zu erhalten, hinter dem ak-
tuellen Forschungsstand zurück. Die Orientierung auf unendliche kontinuier-
liche Transformationsgruppen wirkte hier wohl zu stark auf ihn.

Zu diesem Zeitpunkt war die abstrakt-axiomatische Formulierung der Grup-
pendefinition in weiteren Anwendungen deutlich vorangekommen. So hatte

Frobenius 1887 in der Absicht, einen abstrakten Beweis für die von Ludwig

Sylow 1872 für Permutationsgruppen abgeleiteten Sätze zu geben, vier Po-
stulate aufgestellt, die für ein System nicht näher bestimmter Elemente die

Eigenschaft erzwang, eine endliche Gruppe zu sein. Bewußt berief er sich
nicht auf den Satz, daß jede endliche Gruppe als Permutationsgruppe reali-
siert werden kann, sondern strebte einen unabhängigen Beweis an. Auf dieser

Basis zeigte er, daß jede endliche Gruppe, deren Ordnung durch die ν-te

Potenz der Primzahl p teilbar ist, stets eine Untergruppe der Ordnung pν
besitzt, kurz p-Sylow-Gruppe genannt. Weitere Schritte vollzog Otto Hölder

500

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert

1889 in Untersuchungen zur Galois-Theorie, in denen er sich unter Hinweis
auf Abel, Kronecker und Jordan mit dem Prozeß der Hinzunahme gewisser

Hilfsgrößen zu dem Rationalitätsbereich der Gleichung befaßte. Nach einer

Anregung von Klein fragte Hölder, ob es möglich ist, eine vorgegebene Glei-
chung zu lösen, indem man die Wurzeln einer Folge von Hilfsgleichungen zum

Grundbereich adjungiert. Dabei sollte keine der adjungierten Hilfsgrößen ei-
ne accessorische Irrationalit¨
at“ und die Galois-Gruppe jeder Hilfsgleichung

”

nach der Adjunktion aller Wurzeln der Hilfsgleichungen einfach sein. Ei-
ne
accessorische Irrationalit¨
at“ bezeichnete eine Größe, die nicht rational

”

durch die Elemente des Grundbereiches und die bereits adjungierten Wurzeln
der Hilfsgleichungen ausdrückbar war. In Anlehnung an die Dycksche Arbeit
gründete er seine Darlegungen auf abstrakte gruppentheoretische Resultate
und begann mit der abstrakten Gruppendefinition. Die einzelnen Axiome zur

Bestimmung der Gruppeneigenschaft waren klar strukturiert und stimmten
inhaltlich mit den von Frobenius angegebenen überein. Er forderte für eine

Gesamtheit von endlich vielen Operationen (Gruppenelementen) die Eindeu-
tigkeit der Verknüpfung zweier Operationen zu einer dritten innerhalb der

Gesamtheit, die Gültigkeit des Assoziativgesetzes, und daß für Operationen

A, B, C aus AB = AC bzw. BA = CA stets B = C folgt. Ausdrücklich betonte er, daß das Kommutativgesetz nicht erfüllt sein muß, und daß wegen
der endlichen Anzahl der Operationen aus diesen Eigenschaften die Existenz
einer identischen Operation folgt sowie zu jeder Operation A eine eindeutig
bestimmte inverse Operation bestimmt werden kann. Als weiteren wichtigen

Begriff definierte er dann die Faktorgruppe und verschärfte das Jordansche

Resultat zu dem bekannten Satz von Jordan- Hölder: Zu jeder Gruppe gibt
es eine Hauptreihe von ineinander enthaltenen Gruppen, die mit der nur aus
der Identität bestehenden Gruppe endet, wobei jede der Gruppen ein maxi-
maler Normalteiler in der vorangegangenen Gruppe ist, und diese Folge von

Gruppen ist bis auf Isomorphie und Reihenfolge eindeutig bestimmt, d. h.

die aus zwei aufeinanderfolgenden Gruppen gebildeten Faktorgruppen sind
bis auf Isomorphie und Reihenfolge durch die Ausgangsgruppe eindeutig fest-
gelegt. Eine solche Folge von Gruppen wird Kompositionsreihe genannt und
der Satz lautet dann in der heute üblichen Terminologie, daß die Kompo-
sitionsreihe einer Gruppe bis auf Isomorphie und Reihenfolge der Faktoren
eindeutig bestimmt ist. Ergänzend sei noch vermerkt, daß im Zuge der wei-
teren Entwicklung der abstrakten Algebra der Satz 1928 von Otto Schreier
auf unendliche Gruppen und auf sogenannte Gruppen mit Operatoren aus-
gedehnt wurde [Schreier 1928]. In den 90er Jahren wandte sich Hölder auf
dem erreichten Abstraktionsniveau der von Cayley gestellten Aufgabe zu,
alle Gruppen zu einer gegebenen Ordnung anzugeben und beschäftigte sich
anknüpfend an Frobenius’ Ausführungen zu den Sylowschen Gruppen inten-
siv mit der Struktur einfacher und zusammengesetzter Gruppen (vgl. z. B.

[Hölder 1892], [Hölder 1893], [Hölder 1895]). Im übrigen war Hölder ein sehr
vielseitiger Mathematiker, der auf vielen Gebieten der Mathematik wichtige

9.2 Die Herausbildung des abstrakten Gruppenbegriffs

501

Beiträge geleistet hat. Neben der Algebra waren dies u. a. verschiedene Ge-
biete der Analysis, die Zahlentheorie, die Mechanik, die Geometrie und die

Grundlagen der Mathematik. Zahlreiche Begriffe und Sätze der Mathematik
sind heute mit seinem Namen verbunden. 1899 wurde er Nachfolger von Lie
in Leipzig, wo er auch nach seiner Emeritierung 1928 aktiv war und Vor-
lesungen hielt. Die meisten der algebraischen Arbeiten entstanden während
seiner Tätigkeit an den Universitäten Göttingen (1884–1889) und Tübingen

(1889–1896).

Nur wenige Jahre später war es wieder eine Arbeit zur Galois-Theorie [We-
ber 1893], in der eine abstrakte axiomatische Definition des Gruppenbegriffs
gegeben wurde. Die Definition umfaßte nun auch die unendlichen Gruppen
und diente zugleich als Basis für eine Bestimmung des Körperbegriffs. Dies
unterstreicht die langanhaltende und ungeheuer anregende Rolle, welche die

Galois-Theorie in der Geschichte der Algebra gespielt hat. Dabei war diese

Wirksamkeit nicht auf die Gruppentheorie beschränkt, sondern ist, wie die

Darlegungen in den vorangegangenen Kapiteln zeigen, durchaus übergreifend
zu sehen: Sie erfaßte gleichermaßen die Körpertheorie und strahlte in viele

Gebiete der Mathematik aus. Als Beispiel sei Heinrich Weber zitiert, der in
der Einleitung zu obiger Arbeit die Behandlung der Galois-Theorie von einem
die algebraischen Grundstrukturen betonenden Standpunkt als methodische

Neuerung hervorhob:

Im Folgenden ist der Versuch gemacht, die Galois’sche Theorie der algebra-

”

ischen Gleichungen in einer Weise zu begr¨
unden, die soweit m¨
oglich alle F¨
alle
umfasst, in denen diese Theorie angewandt worden ist. Sie ergiebt sich hier
als eine unmittelbare Consequenz des zum K¨
orperbegriff erweiterten Gruppen-
begriffs, als ein formales Gesetz ganz ohne R¨
ucksicht auf die Zahlenbedeutung
der verwendeten Elemente. ... Die Theorie erscheint bei dieser Auffassung
freilich als ein reiner Formalismus, der durch Belegung der einzelnen Ele-
mente mit Zahlenwerten erst Inhalt und Leben gewinnt. Dagegen ist diese

Form auf alle denkbaren F¨
alle, in denen die gemachten Voraussetzungen zu-
treffen, anwendbar, die einerseits in die Functionentheorie andererseits in die

Zahlentheorie hin¨
ubergreifen.“ [Weber 1893, S. 521]

Die von Weber an den Anfang gestellte axiomatische Gruppendefinition
stimmt zunächst inhaltlich mit der oben erwähnten Charakterisierung bei

Hölder überein, jedoch ging er von einem System S von endlich oder unend-
lich vielen Dingen aus. Statt im Falle eines endlichen Systems die Existenz
eines identischen und eines inversen Elements aus den Axiomen zu folgern,
bewies er:

4) Wenn von den drei Elementen A, B, C zwei beliebig aus S genommen

”

werden, so kann man das dritte immer und nur auf eine Weise so bestimmen,
daß AB = C ist. “ [Weber 1893, S. 522]

und merkte zu dem Beweis als entscheidenden Unterschied für unendliche

Gruppen an:

502

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert

F¨
ur unendliche Gruppen ist dieser Schluss nicht mehr zwingend. F¨
ur un-

”

endliche Gruppen wollen wir also die Eigenschaft 4) noch als Forderung in
die Begriffsbestimmung mit aufnehmen. “ [Weber 1893, S. 523]

Damit waren auch die unendlichen Gruppen vollständig axiomatisch defi-
niert. Durch eine Fülle von Beispielen dokumentierte Weber das vielfältige

Erscheinungsbild von Gruppen und berücksichtigte dabei mit Ausnahme der
kontinuierlichen Transformationsgruppen, also der Lie-Gruppen, alle Typen,
die bei der Genesis des abstrakt-axiomatischen Gruppenbegriffs eine Rolle ge-
spielt hatten. Erwähnenswert ist außerdem, daß Weber, ganz in Sinne seines

Lehrers Dedekind, mit den strukturellen Überlegungen nicht bei den Grup-
pen stehen blieb und eine Ausdehnung des Formalismus für sinnvoll hielt.

In der gleichen Arbeit beschrieb er den Körperbegriff als eine Erweiterung
der Gruppe, als eine Gruppe mit zwei Kompositionen, und deutete an, daß
auch Systeme mit drei Kompositionen bzw. andere Begriffsbildungen eine

Untersuchung wert sein könnten.

Die weitere Durchsetzung des abstrakten Gruppenbegriffs kann im Rahmen
des breiteren Prozesses einer stärkeren Hinwendung zum Gebrauch abstrakter
algebraischer Strukturbegriffe betrachtet werden. Die Herausbildung abstrak-
ter algebraischer Begriffe war in den einzelnen Zweigen der Algebra weit ge-
nug vorangekommen, um dieses Phänomen in seiner Wirkung auf die gesamte

Disziplin spürbar werden zu lassen. Dies wird im Abschnitt 10.1 behandelt
werden.

Bei den im Vorangegangenen dargestellten Fortschritten in der abstrakten
axiomatischen Gruppendefinition von Dyck bis Weber darf jedoch nicht ver-
gessen werden, daß dieser Prozeß von zahlreichen Untersuchungen zu kon-
kreten Gruppen begleitet war, seien es Permutations- oder Transformations-
gruppen oder endliche Gruppen auf dem neu gewonnenen abstrakten Niveau.

So wie Hölder begannen sich in den Jahrzehnten um die Jahrhundertwende
mehrere Mathematiker verstärkt dem Studium der endlichen Gruppen zuzu-
wenden. Besonders deutsche und amerikanische Mathematiker griffen die ab-
strakten Untersuchungen auf, was auf Grund der historischen Gegebenheiten
aber nicht verwundert. So wie Deutschland in der gesamten Wissenschaft-
sentwicklung in der 2. Hälfte des 19. Jahrhunderts eine Spitzenstellung in
der Welt erreicht hatte, galt dies auch für die Mathematik. Insbesondere die
uns hier interessierende Entstehung und Etablierung abstrakter algebraischer

Begriffsbildungen und Methoden war in den Jahrzehnten vor der Jahrhun-
dertwende von deutschen Wissenschaftlern dominiert worden. Zur gleichen

Zeit unternahmen die USA große Anstrengungen zum Aufbau einer eigenen

Wissenschaft und einer universitären Ausbildung, wobei sie auch wesentlich
auf Erfahrungen in Deutschland zurückgriffen. Nicht zuletzt nutzten mehrere
junge Gelehrte angesichts des mageren Stellenangebots für eine Professoren-
karriere in Deutschland die Möglichkeit, an einer amerikanischen Hochschul-
einrichtung eine Lehrposition anzutreten.

9.2 Die Herausbildung des abstrakten Gruppenbegriffs

503

Georg Frobenius

Eliakim Hastings Moore

In den Forschungen zu endlichen Gruppen wurde das Begriffssystem der

Gruppentheorie auf dem abstrakten Niveau weiter vervollkommnet. Richard

Dedekind und George Abram Miller führten den Kommutator und Kommu-
tatorgruppen ein ([Dedekind 1897], [Miller 1898]), Otto Hölder und Eliakim

Hastings Moore die Automorphismen einer Gruppe ([Hölder 1893], [Moore

1895]). Auch William Burnside widmete sich in seinem Lehrbuch Theory of

”

groups of finite order“ [Burnside 1897] dem Studium von Automorphismen
und hatte wohl die Analyse der Automorphismengruppen einiger elementa-
rer Gruppen in den Blick genommen. In dem Buch stellte er auch die damals
bekannten Sätze über einfache Gruppen zusammen und hat im Zusammen-
hang mit den 1861 von Émile Léonard Mathieu angegebenen Gruppen ver-
mutlich den Terminus der sporadischen einfachen Gruppe geprägt. Burnsides

Ziel war der Aufbau einer Theorie endlicher Gruppen, unabhängig von jeder
speziellen Art die Gruppen darzustellen, doch orientierte er sich in der er-
sten Auflage des Buches noch sehr stark auf die Permutationsgruppen, die er
als wertvolles Studienobjekt für diesen Zweck ansah. Leonard Eugene Dick-
son unternahm, angeregt durch Arbeiten über Lie-Gruppen, umfangreiche

Forschungen über endliche lineare Gruppen, d. h. der umkehrbaren linearen

Transformationen eines Vektorraumes. Da diese Transformationen durch re-
guläre ( n×n)-Matrizen beschrieben werden können, entsprach dies der Theo-
rie der multiplikativen Gruppe dieser Matrizen. Die Ergebnisse faßte Dickson
u. a. 1900 in einer Monographie zusammen. Einen wesentlichen Beitrag zur

Gruppentheorie lieferte schließlich ab 1896 Frobenius mit seiner Theorie der

Charaktere, mit der er Ideen von Dirichlet und Dedekind im Bereich der
abelschen Gruppen fortführte. Diese Arbeiten haben eine enge Beziehung
zu Fragen der Darstellungstheorie, so daß auf sie im Abschnitt 9.5.2 näher
eingegangen wird.

504

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert

9.3 Dedekind und Kronecker: Algebraische Zahlen,

Ideale und Divisoren, K¨
orper

Wir haben die Idealtheorie in einem noch ursprünglichen, recht schwer
verständlichen Zustand verlassen: bei Kummers Theorie der idealen Zahlen

(vgl. Abschn. 7.5.2). Die seit den 70er Jahren des 19. Jahrhunderts zutage
tretenden Entwicklungen können als ein Musterbeispiel für die sich in der Ma-
thematik vollziehenden Umgestaltungen gelten. In den Personen Dedekinds
und Kroneckers traten sich am gleichen Untersuchungsgegenstand zwei For-
scher mit völlig verschiedenen Grundauffassungen gegenüber. Kronecker war

Anhänger eines konstruktiven, finitistischen Herangehens an die Begründung
der Mathematik. Mathematische Begriffsbildungen und Beweise sollten in
endlich vielen Schritten nachvollziehbar sein und im Ergebnis zur Konstruk-
tion des jeweiligen Objektes führen. Die Definition von Begriffen mit Hilfe
unendlicher Mengen, ohne die Angabe, wie die Elemente der Menge erhalten,
also konstruiert, werden können, bzw. wie man von einem Objekt entscheiden
kann, ob es zur Menge gehört, waren für ihn unannehmbar. Sein Hauptziel
war es, die irrationalen Zahlen zu vermeiden und die gesamte Mathematik auf
die ganzen Zahlen und die mit ihnen unmittelbar verknüpften Begriffe und

Gesetzmäßigkeiten zu gründen, oder anders ausgedrückt, Kronecker wollte
die Mathematik arithmetisieren. Dedekind gehörte dagegen zu den Schöpfern
der modernen Mengenlehre und hat mit seinen Vorstellungen, grundlegende

Begriffe der Mathematik als Mengen mit Struktur zu bestimmen, sie durch in-
nere Eigenschaften zu charakterisieren, wesentlich an dem eingangs beschrie-
benen strukturellen Wandel der Mathematik mitgewirkt. Schon frühzeitig
hatte er erkannt, daß mit dem Übergang zu abstrakteren Begriffen die Darle-
gung mathematischer Sachverhalte und Zusammenhänge eine größere Klar-
heit und mathematische Strenge gewinnen kann. Diese Einsicht setzte er mit
sicherem Blick für geeignete mathematische Abstraktionen eindrucksvoll um.

... die gr¨
oßten und fruchtbarsten Fortschritte in der Mathematik und ande-

”

ren Wissenschaften sind vorzugsweise durch die Sch¨
opfung und Einf¨
uhrung
neuer Begriffe gemacht, nachdem die h¨
aufige Wiederkehr zusammengesetzter

Erscheinungen, welche von den alten Begriffen nur m¨
uhsehlig beherrscht wer-
den, dazu gedr¨
angt hat. ¨

Uber diesen Gegenstand habe ich im Sommer 1854
bei Gelegenheit meiner Habilitation als Privatdocent zu G¨
ottingen einen Vor-
trag ... zu halten gehabt, dessen Absicht auch von Gauß gebilligt wurde; ...“

[Dedekind 1888, S. XI]

Trotz der unüberwindbaren Gegensätze in den mathematisch-philosophischen

Grundauffassungen und der Konkurrenz bei der Bearbeitung verschiedener
mathematischer Probleme haben sich beide Gelehrte mit großer Hochachtung
über einander und die Leistungen des Widersachers geäußert. Dieser gegen-
seitigen Wertschätzung und dem Charakter Dedekinds, der das ruhige, etwas
zurückgezogene Forschen liebte, war es wohl auch zu danken, daß es zu kei-
nen Prioritätsstreitigkeiten kam. Gelegenheit zu letzterem hätte es durchaus

9.3 Dedekind und Kronecker: Algebraische Zahlen, Divisoren, Körper

505
gegeben, da Dedekind und Kronecker erst nach jahre- bzw. jahrzehntelangen

Forschungen jeweils vollständige Theorien publizierten, so daß die einzelnen

Entwicklungsschritte im Dunkeln blieben. So hatte Kummer bereits 1859 auf
eine in Kürze erscheinende

Theorie der allgemeinsten complexen Zahlen“

”

von Kronecker hingewiesen, doch sollte diese noch 22 Jahre auf sich warten
lassen.

Eine wichtige Frage für den weiteren Fortschritt in der Behandlung der Kum-
merschen Theorie der idealen Primfaktoren war die Charakterisierung der
ganzen algebraischen Zahlen in den algebraischen Zahlkörpern Q( α) über
den rationalen Zahlen Q. In den bisherigen Arbeiten von Dirichlet, Kummer
u. a. bezeichnete eine ganze algebraische Zahl eine Lösung der Gleichung
xn + a 1 xn− 1 + ... + an− 1 x + an = 0 mit ganzen Zahlen a 1, ... an. Dedekind und Kronecker beschäftigten sich mit der Frage, ob diese Beschreibung einer
ganzen algebraischen Zahl, wenn man sie als Definition wählt, auch allgemein
gültig war und nicht nur für spezielle Zahlkörper galt. Die Überlegungen bei-
der Gelehrten zur Beantwortung der Frage wurden leider nicht überliefert,
sondern nur deren Antwort in Form von vollständigen Theorien. Beide Ge-
lehrte erkannten in ihren Forschungen die Bedingungen, die eine natürliche

Verallgemeinerung des Begriffs der ganzen algebraischen Zahl erfüllen mußte:

1. Summe und Produkt ganzer Zahlen mußte wieder ganze Zahlen sein. 2.

Eine rationale Zahl sollte genau dann eine ganze Zahl im Sinne der neuen De-
finition sein, wenn sie im gewöhnlichen Sinne eine ganze Zahl war. 3. Mit einer
ganzen Zahl sollten auch deren Konjugierte eine ganze Zahl sein. Charakte-
risiert man die ganzen algebraischen Zahlen gemäß der obigen Definition, so
erfüllte die Menge dieser Zahlen die angegebenen drei Bedingungen.

Dedekind hat die Ergebnisse seiner Forschungen erstmals 1871 in der zweiten

Auflage von Dirichlets Vorlesungen ¨
uber Zahlentheorie“ im X. Supplement

”

veröffentlicht. Obwohl er diese Darlegungen für die dritte bzw. vierte Aufla-
ge der Vorlesungen, dann als XI. Supplement, überarbeitete und wesentlich
ergänzte, handelte es sich bei dem X. Supplement nicht etwa um einen ersten
vorsichtigen Versuch, die Problematik in den Griff zu bekommen. Im Ge-
genteil, Dedekind präsentierte eine vollständige Theorie und eröffnete einen
völlig neuen Blick auf die Dinge. Ganz in Sinne seines Strebens, die We-
senszüge einer Theorie herauszuarbeiten und möglichst allgemeine Aussagen
zu erhalten, stellte er den Begriff des Körpers und dessen grundlegende Ei-
genschaften an den Anfang der Untersuchungen über algebraische Zahlen, um
auf diese Weise einen weitgreifenden Überblick über die algebraische Zahlen-
theorie zu geben:

Indem wir versuchen, den Leser in diese neuen Ideen einzuf¨
uhren, stellen

”

wir uns auf einen etwas h¨
oheren Standpunkt und beginnen damit, einen Be-
griff einzuf¨
uhren, welcher wohl geeignet scheint, als Grundlage f¨
ur die h¨
ohe-
re Algebra und die mit ihr zusammenh¨
angenden Teile der Zahlentheorie zu
dienen.

506

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert

I. Unter einem K¨
orper wollen wir jedes System von unendlich vielen reel-
len oder komplexen Zahlen verstehen, welches in sich so abgeschlossen und
vollst¨
andig ist, daß die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division
von je zwei Zahlen immer wieder eine Zahl desselben Systems hervorbringt.“

[Dedekind 1964, S. 223f.]

Damit definierte er erstmals explizit Körper als Grundobjekt, als eigenständi-
ges algebraisches Objekt, und diese Definition erfolgte nicht durch eine Be-
schreibung der Elemente des Körpers, sondern durch die Angabe der Eigen-
schaften, welche die Operationen mit den Körperelementen erfüllen müssen.

Die Körper selbst wurden Gegenstand der Betrachtungen, nicht nur deren

Elemente. Zwar behandelte Dedekind im X. Supplement nur Zahlkörper,
doch die grundsätzlich neue Rolle, die er dem Körperbegriff zuwies, blieb
davon unberührt.

Entsprechend seinem Ziel, die Arithmetik der Zahlkörper zu präsentieren,
definierte Dedekind die für die Teilbarkeitslehre nötigen Begriffe, wie Divi-
sor, Multiplum (Vielfaches), größter gemeinschaftlicher Divisor und klein-
stes gemeinschaftliches Multiplum. So nannte er einen Körper A Divisor des

Körpers B, wenn alle in A enthaltenen Zahlen auch in B liegen, d. h. der

Divisor A war ein Unterkörper von B. Der kleinste Körper wird durch die
rationalen Zahlen gebildet, der größte durch den Körper aller Zahlen“. Nach

”

der Einführung der konjugierten Körper mit Hilfe isomorpher Abbildungen
betrachtete Dedekind dann die endlichen algebraischen Erweiterungen des

Körpers der rationalen Zahlen und kam damit in diesem abstrakteren Rah-
men auch auf jene Probleme zurück, welche die Mathematiker seit Galois in

Verbindung mit der Lösbarkeit von Gleichungen in Radikalen beschäftigt hat-
ten. Dedekind charakterisierte die Körpererweiterungen als Körper, die nur
eine endliche Anzahl von Divisoren haben, und bezeichnete sie als endliche

Körper. Dabei wählte er für den Aufbau der Theorie einen hyperkomplexen

Standpunkt, d. h. er betrachtete die Körpererweiterungen als endlichdimen-
sionale Algebren über den rationalen Zahlen, so daß die Ausführungen über
die Wahl einer Basis, die Linearunabhängigkeit von deren Elementen, die

Diskriminante bzw. die Norm eines Elementes gleichsam für die Theorie der

Algebren und der Vektorräume bedeutungsvoll waren. Nachdem er sich die
nötigen allgemeinen Grundlagen geschaffen hatte, wandte sich Dedekind dem
engeren Gegenstand der Untersuchungen zu. Er definierte die ganzen algebra-
ischen Zahlen, die Grundbegriffe der Teilbarkeitslehre wie Teilbarkeit, Prim-
zahl, Einheit usw. sowie den Modulbegriff und begann mit dem Aufbau einer

Arithmetik der Moduln. Als Modul bezeichnete er ein System von Zahlen,
deren Summe und Differenz zu dem gleichen System gehören. Da Dedekind
nur Moduln über den ganzen Zahlen Z im Blick hatte, war es selbstverständ-
lich, daß mit einem Element m des Moduls auch die Produkte hm bzw. mh,
h eine ganze Zahl, zum Modul gehörten. In der allgemeinen Moduldefinition,
wenn also der Ring der ganzen Zahlen durch einen abstrakten Ring ersetzt
wird, muß dies zusätzlich gefordert werden. Insbesondere wies Dedekind die

9.3 Dedekind und Kronecker: Algebraische Zahlen, Divisoren, Körper

507
ganzen algebraischen Zahlen als Z-Modul der Dimension n nach, d. h. in dem

Körper Q( α) existieren n ganze algebraische Zahlen ω 1, ω 2, ... ωn, so daß jede
ganze algebraische Zahl eindeutig als Linearkombination dieser ωi mit ganzen

Zahlen als Koeffizienten darstellbar ist: ω = h 1 ω 1 + h 2 ω 2 + ... + hnωn, hi ∈ Z.

Kernstück der Untersuchungen bildete natürlich die Frage nach der Primzahl-
zerlegung der ganzen Zahlen. Um eine größere Sicherheit der Beweisführung
zu erlangen, ging Dedekind nun mit Verweis auf Kummers ideale Zahlen da-
zu über, künftig stets das ganze System der ganzen Zahlen eines endlichen

Körpers zu betrachten und fuhr fort:

Wir gr¨
unden die Theorie der in o enthaltenen Zahlen d. h. aller ganzen

”

Zahlen des K¨
orpers Ω , auf den folgenden neuen Begriff: Ein System a von
unendlich vielen in o enthaltenen Zahlen soll ein I d e a l heißen, wenn es
den beiden Bedingungen gen¨
ugt:

I. Die Summe und Differenz je zweier Zahlen in a sind wieder Zahlen in a .

II. Jedes Produkt aus einer Zahl in a und einer Zahl in o ist wieder eine Zahl
in a .“ [ Dedekind, 1964, S. 251]

Die Teilbarkeit zweier Ideale erklärte er mengentheoretisch: Das Ideal d ist

Teiler des Ideals a, wenn alle Zahlen von a in d enthalten sind, oft verkürzt
formuliert als Teilen heißt umfassen“. Es folgten die Definition der Begriffe

”

Primideal bzw. Hauptideal. Ein Primideal ist ein von der Menge aller ganzen
algebraischen Zahlen o und von dem nur aus dem Nullelement bestehenden

Ideal (Nullideal) verschiedenes Ideal, das mit dem Produkt zweier Elemen-
te mindestens eines der beiden Elemente enthält. Ein Hauptideal bezeichnet
die Menge aller Zahlen, die durch eine beliebig vorgegebene ganze algebra-
ische Zahl η teilbar sind, man spricht auch von dem von η erzeugten Ideal
i( η). Schließlich bewies Dedekind den angestrebten Hauptsatz: Jedes Ideal
von ganzen Zahlen läßt sich bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeu-
tig als Produkt von endlich vielen Primidealpotenzen darstellen. Damit war
die Idealtheorie als sinnvolle Verallgemeinerung der Theorie der gewöhnli-
chen ganzen Zahlen nachgewiesen. Doch Dedekind ging in seinen algebra-
isch-zahlentheoretischen Forschungen noch weiter. Jedem Ideal (außer dem

Nullideal) ordnete er eineindeutig eine ideale komplexe Zahl im Kummer-
schen Sinne zu, was die Übertragung von wesentlichen Resultaten der Kum-
merschen Theorie ermöglichte. Er nahm eine Einteilung der Ideale in Klassen
vor, verknüpfte diese Klassen, was zur Idealklassengruppe führte, und leite-
te die Endlichkeit der Klassenzahl ab. Zur Bestimmung der Klassenzahl hat

Dedekind später im XI. Supplement die Riemannsche Zeta-Funktion zu der
heute nach ihm benannten Zeta-Funktion verallgemeinert. Zum Abschluß
des X. Supplements wandte er die entwickelte Theorie auf die quadratischen

√

Zahlkörper Q( d) an, die ihm wohl sowohl als Anregung für die Schaffung
der Idealtheorie als auch als Testobjekt für die gefundenen Resultate dienten.

Die Resonanz auf die Idealtheorie war sehr spärlich und für Dedekind sehr
enttäuschend [Edwards 1980, S. 347ff.]. Er selbst sah die Ursache dafür allein
in der ungünstigen Art der Darstellung, die er seiner Theorie gegeben hatte

508

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert
und beschloß, einen veränderten, ausführlicheren Aufbau der Theorie zu ent-
wickeln. Das Ergebnis waren der Artikel Sur la th´
eorie des nombres entiers

”

alg´
ebriques“ [Dedekind 1877] und das XI. Supplement zur dritten Auflage
von Dirichlets Zahlentheorie [Dedekind 1871]. Dedekind ließ zum einen den
hyperkomplexen Standpunkt nicht mehr hervortreten und rückte die Defi-
nition des Produkts von Idealen an den Anfang. Damit erhielt die Theorie
eine größere Eigenständigkeit, denn die zuvor in der Darstellung bestehende

Analogie zu Kummers Theorie der idealen Zahlen ging verloren. Gleichzeitig
entstand als neues Problem der Nachweis, daß zu zwei Idealen A und B mit

A ⊂ B ein Ideal C existiert, so daß A = BC ist, und daß die daraus resultie-
rende Teilbarkeitsdefinition, B teilt A, wenn es ein Ideal C gibt mit A = BC,
mit der bisherigen Definition äquivalent war. Die Lösung dieses Problems
sollte Dedekind große Mühe bereiten und ihn über ein Jahrzehnt beschäfti-
gen. Nach einem technisch schwierigen Beweis legte er 1894 in der vierten

Auflage von Dirichlets Zahlentheorie einen neuen Beweis auf der Basis einer
umfangreichen Modultheorie vor, die er seit dem Ende der 80er Jahre aufge-
baut und mit vielen neuen Einsichten bereichert hatte (vgl. [Edwards 1880,

350-352]). Gleichzeitig präsentierte er die Idealtheorie in einer abschließenden

Form, die seinen Ansprüchen von einem abstrakten, exakten Aufbau einer
mathematischen Theorie gerecht wurde. Einen im gleichen Jahr von Adolf

Hurwitz vorgeschlagenen wesentlich einfacheren Zugang [Hurwitz 1894], der
weitgehend mit dem von ihm selbst 1892 gegebenen übereinstimmte, lehnte

Dedekind ab [Dedekind 1895].

Zehn Jahre nach dem Erscheinen von Dedekinds X. Supplement trat auch

Kronecker mit seiner, bereits 1859 von Kummer angekündigten Theorie der
algebraischen Größen an eine breitere Öffentlichkeit und publizierte sie An-
fang des Jahres 1882 als Festschrift zum Goldenen Doktorjubiläum seines

Lehrers und Freundes Kummer [Kronecker 1882]. Das offizielle Publikations-
datum war der 10. September 1881, der Tag des Jubiläums. Die Kronecker-
sche Festschrift enthielt jedoch mehr als die Theorie der Primzerlegung in be-
liebigen algebraischen Zahlkörpern. Sie umfaßte u. a. neben den körpertheore-
tischen Grundlagen eine Darstellung der Galois-Theorie von ausgesprochen

”

eigener Pr¨
agung“ [Neumann 1997, S. 303] und in Umrissen eine großangeleg-
te Theorie der algebraischen Funktionenkörper, in die sich die Theorie der

Zahlkörper als Spezialfall einordnete. Es erwies sich aber für viele Mathe-
matiker als sehr schwierig, den Kroneckerschen Gedankengängen in der mit

Spannung erwarteten Arbeit zu folgen, noch heute gilt die Arbeit als schwer
lesbar. Weierstraß bemerkte beispielweise dazu:

Sie enth¨
alt die Resultate

”

langj¨
ahriger Forschungen in concisester Form ... so daß ich f¨
urchte, sie wird
vorderhand mehr bewundert als studirt werden.“ [Bölling 1993, S. 259] Selbst

Dedekind hat das Studium der Festschrift große Schwierigkeiten bereitet,
man vergleiche dazu den Artikel von Edwards, Neumann und Purkert [Ed-
wards et al. 1982]. Deshalb regte er 1893 an, ein Schüler Kroneckers möge
eine vollständige und systematische Ausarbeitung der Theorie vornehmen

9.3 Dedekind und Kronecker: Algebraische Zahlen, Divisoren, Körper

509

[Dedekind 1930, Bd. 3, S.427]. Dies hatte sein Freund H. Weber bereits 1887
getan. Wie O. Neumann in einer detaillierten Analyse der Kroneckerschen Di-
visorentheorie [Neumann 2002] vermutet, hat Weber diese Ausarbeitung in
sein Lehrbuch der Algebra von 1895/96 [Weber 1895] als Theorie der Funk-
tionale übernommen. Dabei stellte Weber sowohl die Beziehung zu Kummers
idealen Zahlen als auch zu Dedekinds Idealen her:

Es liegt nahe, die Functionale des Körpers Ω, mit denen wie mit den Zahlen

”

in Ω gerechnet wird, geradezu als ideale Zahlen des Körpers Ω zu bezeichnen.

Diese Ausdrucksweise würde sich einerseits an die Idealfactoren von Kummer,
andererseits an die von Dedekind eingeführten Ideale anschliessen, die zu den

Functionalen in einer sehr nahen, später zu erörternden Beziehung stehen.“

[Weber 1895, S. 500]

In verschiedenen Darstellungen zur Ideal- und Divisorentheorie fand je-
doch insbesondere in den letzten Jahrzehnten die Webersche Darlegung der

Kroneckerschen Theorie keine Beachtung. Stattdessen wurde oft die von dem
ungarischen Mathematiker Gyula König 1903 publizierte Monographie Ein-

”

leitung in die allgemeine Theorie der algebraischen Gr¨
ossen“ genannt. König
war zwar kein Kronecker-Schüler, hatte sich aber das Ziel gesetzt, den Geist
der Kroneckerschen Methode stärker zu verbreiten, und in diesem Bestreben
eine kritische Überarbeitung der Theorie vorgenommen.

Kronecker leitete seine Arbeit mit der Bemerkung ein, im Ergebnis seiner
algebraischen und zahlentheoretischen Studien der arithmetischen Seite der

Algebra besondere Aufmerksamkeit zu schenken, und resümierte kurz die
bisherige Verwendung des Körperbegriffs. Er hielt an dem Begriff des

Ra-

”

tionalit¨
ats-Bereichs“ fest, den er teilweise implizit nach der Arbeit

Ueber

”

die algebraisch aufl¨
osbaren Gleichungen“ (1853) vor allem in den Arbeiten
der 70er Jahre sowie in seinen Vorlesungen benutzt und entwickelt hatte.

Dedekinds Begriff Körper lehnte er ab, da dadurch für die Zahlengröße eine

Vorstellung assoziiert werden könne, die stärker auf die Anordnung als Maß-
größe Bezug nimmt, als auf die algebraischen Eigenschaften. Kronecker ging
von gewissen, nicht näher bestimmten Größen , , , ... aus und defi-
nierte den Rationalitätsbereich ( , , , ... ) als Erweiterungskörper des

Körpers der rationalen Zahlen Q bei Adjunktion der Größen , , , ... :

Der Rationalit¨
ats-Bereich ( , , , ... ) enthält, wie schon die Bezeich-

”

nung deutlich erkennen l¨
asst, alle diejenigen Gr¨
ossen, welche rationale Funk-
tionen der Gr¨
ossen

, , , ... mit ganzzahligen Coefficienten sind.“

[Kronecker 1882, S. 4]

Den Größenbegriff wollte er dabei
in der weitesten arithmetisch-algebra-

”

ischen Bedeutung“ nehmen, so daß auch Formen beliebig, aber endlich vieler

Veränderlicher unter einer Größe verstanden werden konnten. Er betonte,
daß die Einteilung in Rationalitätsbereiche nur auf die algebraischen Eigen-

√
schaften Bezug nahm, nicht aber auf Größenrelationen und somit

2 und
eine noch so nahe bei ihr liegende rationale Zahl begrifflich völlig getrennte

510

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert

Objekte waren. Kronecker führte dann die Gattungsbereiche ein, die durch

Adjunktion eines algebraischen Elements zu einem natürlichen Rationalitäts-
bereich entstanden. Die natürlichen Rationalitätsbereiche wurden durch den

Körper der rationalen Zahlen Q und dessen transzendente Erweiterungen mit
endlichem Transzendenzgrad (d. h. zu Q werden endlich viele transzendente

Größen adjungiert) gebildet, wobei er anmerkte, daß einerseits die Adjunk-
tion einer transzendenten Größe der Adjunktion einer Unbestimmten gleich-
kam, und es andererseits ausreicht, jene natürlichen Rationalitätsbereiche zu
betrachten, zu denen noch die Wurzel einer irreduziblen algebraischen Funk-
tion der Größen , , , ... hinzugetreten war. Letzteres entspricht dem

Satz vom primitiven Element. Ausdrücklich wandte sich Kronecker gegen
die Adjunktion unendlich vieler Größen, es genüge sich nur die Adjunction

”

besonderer, aus der Untersuchung selbst sich ergebender Gr¨
ossen vorzubehal-
ten“ [Kronecker 1882, S. 10]. Auch die Körper aller algebraischen Zahlen oder
aller algebraischen Funktionen faßte er nicht unter den Begriff des Rationa-
litätsbereichs, sondern sprach dann von einem

Gr¨
ossenreich“. Dies unter-

”

streicht nochmals den Kroneckerschen Finitheitsanspruch und verdeutlicht
die Unterschiede zu Dedekind, der mit seinem Körperbegriff problemlos die

Menge aller algebraischen Zahlen als Körper erfassen konnte.

Nach der Einteilung der ganzen algebraischen Zahlen, deren Darstellung
durch eine Basis, Betrachtungen über die Irreduziblität ganzer Funktionen
und über Diskriminanten und deren Teiler sowie der Behandlung der Galois-

Theorie baute Kronecker im zweiten Teil der Arbeit seine Teilbarkeitslehre,
die Divisorentheorie, auf.

Zuvor sei aber kurz dem Hinweis Kroneckers auf seine früheren Forschun-
gen nachgegangen; für eine ausführliche Darstellung sei auf [Purkert 1972]

verwiesen. Wie aus der bereits erwähnten Ankündigung Kummers und meh-
reren Bemerkungen von Zeitgenossen hervorgeht, war Kronecker Ende der

50er, Anfang der 60er Jahre zu grundlegenden Einsichten über die Arith-
metik algebraischer Größen vorgestoßen und hatte dabei den Körperbegriff
als wesentlichen Grundbegriff für diese Theorie herausgearbeitet. Zu jenen

Arbeiten, auf die er in der Festschrift direkt Bezug nahm, gehörten jene aus
dem Jahre 1873 über Sturmsche Reihen [Kronecker 1873] bzw. dem Jahre

1879, die eine Zusammenfassung seiner Einsichten zur Galois-Theorie ent-
hielt [Kronecker 1879]. Während Kronecker in der ersten Arbeit insbesondere
faktisch eine Unterscheidung von algebraischen und transzendenten Erweite-
rungen vornahm und den Satz vom primitiven Element ableitete, prägte er
in der letzteren mit Rationalit¨
ats-Bezirk“ erstmals einen Begriff für den Ko-

”

effizientenkörper einer Gleichung. Daraus ging dann die obige Definition des

Rationalitätsbereichs hervor.

Doch zurück zur Festschrift von 1881. Der zentrale Begriff seiner Teilbarkeits-
theorie war für Kronecker nicht der des Primideals, weil dieser vom betrach-
teten Grundkörper abhing, sondern der Begriff des größten gemeinsamen Tei-
lers. Bei vorgegebenem Rationalitätsbereich, d. h. vorgegebenem Zahl- oder

9.3 Dedekind und Kronecker: Algebraische Zahlen, Divisoren, Körper

511

Funktionenkörper K bezeichnete er ein Polynom mit Koeffizienten aus K als
eine Form (mit Koeffizienten aus K). Eine solche Form hieß ganz, wenn alle
ihre Koeffizienten ganze Zahlen von K waren. Für eine Menge x 1, x 2, ...

xn
von ganzen algebraischen Zahlen definierte er den größten gemeinsamen Tei-
ler dann, indem er alle Zahlen z angab, die durch diesen größten gemeinsamen

Teiler teilbar waren. Dazu bildete er die Form ψ = u 1 x 1 + u 2 x 2 + ... + unxn
mit den Unbestimmten ui sowie die Norm N ( ψ) zu dieser Form. Die Norm

N ( ψ) ist eine homogene Form vom Grad n in den ui, deren Koeffizienten
als gewöhnliche ganze Zahlen nachgewiesen werden können. Ist p der größte
gemeinsame Teiler der Koeffizienten von N ( ψ), so wird die algebraische Zahl
z genau dann von dem größten gemeinsamen Teiler der xi, geteilt, wenn die

Koeffizienten der Form zN ( ψ) 1 durch die gewöhnliche Zahl p teilbar sind.

ψ

Bei diesen Überlegungen wurde K als Normalkörper vorausgesetzt, so daß
zu jedem Element auch alle seine Konjugierten gebildet werden können und
die Norm eines Elementes x als Produkt aller Konjugierten von x sinnvoll
erklärt ist. Die Teilbarkeitstheorie entwickelte Kronecker dann in dieser allge-
meinen Weise für Formen und zeigte, daß die obige Definition der Teilbarkeit
die üblichen Eigenschaften erfüllt. Dazu definierte er für zwei ganze Formen
α und β (mit Koeffizienten im Körper K), daß β durch den zu α gehörigen

Divisor mod [ α] teilbar ist, in Zeichen β ≡ 0 mod [ α], wenn alle Koeffizien-
ten der ganzen Form βN ( α) /α durch den größten gemeinsamen Teiler p der

Koeffizienten von N ( α) teilbar sind. Der zu α gehörige Divisor war dabei als
αp/N ( α) erklärt worden. Der zu β gehörige Divisor mod [ β] hieß dann durch
den Divisor von α teilbar, wenn β ≡ 0 mod [ α] war, und Kronecker nannte
zwei Divisoren mod [ α] und mod [ β] absolut äquivalent, wenn beide durch-
einander teilbar waren. Neben anderen Eigenschaften bewies er den grund-
legenden Satz: Ist α eine algebraische Form, sind β und δ ganze Formen mit

Koeffizienten in K, und ist δ eine primitive Form (d. h. der größte gemein-
same Teiler der Koeffizienten von N ( δ) ist 1 und es gelte βδ ≡ 0 mod [ α]),
dann gilt β ≡ 0 mod [ α]. Eine wichtige Folgerung aus diesem Satz ist die

Transitivität der absoluten Äquivalenz als Relation zwischen Divisoren. In
einem zweiten Fundamentaltheorem zeigte Kronecker, daß Divisoren, welche
die gleichen Koeffizienten haben, absolut äquivalent sind, d. h. jeder Divi-
sor ist einem linearen (von einer Linearform gebildeten) Divisor äquivalent.

Nach Einführung der Primdivisoren als Divisoren, die im Sinne der obigen

Teilbarkeitsdefinition nur durch sich selbst oder Eins teilbar sind, leitete er
analog zur Zerlegung eines Ideals in Primideale ab, daß jeder Divisor einem

Produkt von Primdivisoren absolut äquivalent und diese Zerlegung bis auf
absolute Äquivalenz und die Reihenfolge der Faktoren eindeutig bestimmt
ist. Kronecker stellte dann einige Beziehungen zur Kummerschen Theorie
her und vertiefte seine Studien mit Divisorensystemen höherer Stufe weiter,
was aber hier nicht näher ausgeführt werden soll.

Es sei noch der Zusammenhang der Kroneckerschen Theorie mit Dedekinds

Idealen hergestellt: Ist α eine Form über dem Körper K, dann betrachtet man
das von den Koeffizienten von α erzeugte Ideal I. Dieses Ideal I ist für absolut

512

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert
äquivalente Formen gleich, so daß jeder Äquivalenzklasse absolut äquivalenter

Formen ein Ideal von K zugeordnet werden kann. Die umgekehrte Zuordnung
ergibt sich, indem man zu vorgegebenem Ideal eine endliche Basis des Ideals
bestimmt und damit eine Form definiert. Dem Produkt zweier Formen ent-
spricht dann genau das Produkt der zugeordneten Ideale und umgekehrt, so
daß auch die Primelemente einander entsprechen und die Korrespondenz der
beiden Hauptsätze hergestellt werden kann.Es muß aber betont werden, daß
diese Beziehung zwischen den Theorien Kroneckers und Dedekinds auf den

Kenntnissen der modernen Algebra basiert. Kronecker hatte bekanntlich den

Gebrauch mengentheoretischer Vorstellungen konsequent abgelehnt und folg-
lich Begriffe wie Ideal oder Modul (als algebraisches Objekt) bewußt nicht
benutzt, er hätte also eine solche Analogie zwischen den beiden Theorien
selbst nie hergeleitet.

Trotz der erwähnten Schwierigkeiten, die sich dem Leser bei der Lektüre
der

Festschrift“ boten, erzielten die Kroneckerschen Ideen vor allem durch

”

Kroneckers Vorträge an der Berliner Akademie, seine Vorlesungen an der

Universität und durch viele persönliche Kontakte einen beachtlichen Einfluß.

Ja, bis zum ersten Jahrzehnt des 20. Jahrhunderts dürften die Kronecker-
schen Methoden eine stärkere Beachtung und Verbreitung erfahren haben
als die abstrakten Begriffe und Ideen Dedekinds. Zu jenen, die die vielen, in
der Festschrift enthaltenen Ideen ausformten und klarer darstellten, gehörten
so bekannte Mathematiker wie Kurt Hensel, Helmut Hasse sowie Hermann

Weyl. Barthel Leendert van der Waerden hat 1930 die Perlen, die unter die-

”

sem Wortschwall verborgen“ [van der Waerden 1966, S. 159] waren, in sein
einflussreiches, heute schon klassisches Standardwerk Moderne Algebra“ auf-

”

genommen. Schließlich rühmte André Weil 1950 die Leistung Kroneckers als
einen Versuch, einen neuen Zweig der Mathematik zu schaffen, der die Zah-
lentheorie und die algebraische Geometrie als Spezialfälle enthielt [Weil 1950,

S. 50]. Für einen Vergleich der Teilbarkeitstheorien von Kronecker und Dede-
kind sowie von Zolotarev und deren Einordnung in die allgemeine Theorie der

Ringe mit einer Theorie des größten gemeinsamen Teilers sei auf [Neumann

2002] verwiesen.

Unbeachtet von der mathematischen Welt in West- und Mitteleuropa schuf
der Russe Egor Ivanovič Zolotarev einen eigenen Zugang zur Theorie der
algebraischen Zahlen. Zolotarev gehörte zu den großen Talenten in der von

Pafnuti Lvovič Čebyšev ab 1847 in Petersburg aufgebauten mathematischen

Schule. Nachdem die russische Mathematik in den Jahrzehnten um die Wen-
de zum 19. Jahrhundert u. a. durch ein zu enges Verharren in der Eulerschen

Tradition den Anschluß an das internationale Spitzenniveau verloren hatte,
brachten nach Nikolaj Ivanovič Lobačevskij und Mihail Vassilevič Ostrograds-
kij die Vertreter dieser Schule in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts auf
mehreren Gebieten der Mathematik beachtliche Resultate hervor. Neben der

Wahrscheinlichkeitsrechnung und der Analysis sowie ihren Anwendungen auf
physikalische Probleme gehörte die Zahlentheorie zu diesen bevorzugten For-

9.3 Dedekind und Kronecker: Algebraische Zahlen, Divisoren, Körper

513
schungsgebieten, so daß auch von einer Petersburger Schule der Zahlentheo-
rie gesprochen wird. Zu ihr werden Čebyšev, Alexksandr Nikolaevič Korkin,

Andrej Andreevič Markov, Georgij Feodosjevič Voronoj, Zolotarev u. a. ge-
rechnet.

Für die hier behandelte Thematik sind besonders die Arbeiten des bereits

1878 im Alter von 31 Jahren an den Folgen eines Unfalls verstorbenen Zo-
lotarev interessant. Nachdem er sich bereits in der Dissertation mit Fragen
der Arithmetik algebraischer Zahlen beschäftigt hatte, verfaßte er 1876 die
umfangreichste Ausarbeitung seiner Theorie [Zolotarev 1880]. Er definierte
zunächst die ganzen algebraischen Zahlen im Zahlkörper Q( θ) und dann die
ganzen Zahlen mod p: Die rationale Zahl m/n heißt ganze Zahl modulo p,
wenn der Nenner n nicht durch p teilbar ist, eine algebraische Zahl α heißt
ganz modulo p, wenn sie einer Gleichung αm + b 1 αm− 1 + ... + bm = 0 genügt,
in der die bi ganzrationale Zahlen mod p sind. Für die ganzen Zahlen mod p
aus Q( θ) wies Zolotarev dann die Ringeigenschaften nach, ohne den Ringbe-
griff zu benutzen, und charakterisierte die Eigenschaften, ganze Zahl in Q( θ)

zu sein und ganze Zahl mod p für alle Primzahlen p zu sein, als äquivalent.

Ein Großteil der Untersuchungen war dann dem Studium der ganzen Zahlen
mod p und der Teilbarkeit in dieser Menge gewidmet. Stellvertretend seien
einige wichtige Ergebnisse erwähnt: Wenn im Ring der ganzen Zahlen mod p
das Produkt βγ zweier ganzer Zahlen durch die Zahl α teilbar und β relativ
prim zu α ist, dann ist γ durch α teilbar. Der Ring der ganzen Zahlen mod p
ist ein Ring mit eindeutiger Primfaktorzerlegung, wobei es nur endlich viele

Primfaktoren bis auf Einheiten gibt. Nach dieser ßemi-lokalen”Betrachtung
der Theorie ging Zolotarev wieder zur globalen Theorie der ganzen Zahlen
in Q( θ) über und entwickelte eine entsprechende Theorie. Zu einer kleinen

Beweislücke siehe [Neumann 2002, S.180]. Abgesehen von der fehlenden be-
grifflichen Durchdringung bot Zolotarevs Theorie ebenfalls Potential für ver-
schiedene Verallgemeinerungen. So war vielfach die Übertragung auf Funktio-
nenkörper möglich und ein großer Teil mündete in das Studium sogenannter
lokaler und semilokaler Ringe ein. Gelegentlich wird in Zolotarevs Darlegun-
gen ein Vorgriff auf die Henselsche p-adik“ gesehen [Kolmogorov 1978, S.

”

112], doch fehlt der Grenzübergang zu unendlichen p − adischen Reihen.

Die Kummersche Theorie der idealen Primfaktoren bot somit die Anregung
zu drei interessanten Entwicklungen, von denen jede grundlegende Impulse
für den weiteren Fortschritt der Mathematik enthielt. Eine zweite, nicht weni-
ger wichtige Anregung resultierte aus der Entwicklung der Funktionentheorie
und dort speziell aus dem Bestreben, die von Riemann und Weierstraß erziel-
ten Ergebnisse zur Theorie der algebraischen Funktionen algebraisch oder wie
man es damals nannte, arithmetisch abzuleiten. Man vergleiche dazu etwa die
detaillierten Darlegungen in [Ullrich 1999].

Die obige Darstellung bedarf jedoch noch einer wichtigen Ergänzung, könnte
sie doch zu dem Schluß verleiten, Dedekind hätte sich in seinen Untersu-
chungen nur auf Zahlkörper gestützt und wäre nicht wie Kronecker zu analo-
gen Aussagen in Funktionenkörpern vorgestoßen. Das Gegenteil war der Fall.

514

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert

1880 reichten Dedekind und H. Weber eine gemeinsame Arbeit Theorie der

”

algebraischen Functionen einer Ver¨
anderlichen“ zur Veröffentlichung in Crel-
les Journal ein. Die Arbeit erschien jedoch erst 1882 im gleichen Band wie

Kroneckers Grundz¨
uge“. Kronecker hatte als Herausgeber von Crelles Jour-

”

nal die beiden Autoren gebeten, deren eingereichte Publikation bis zur Fer-
tigstellung seiner Theorie der algebraischen Größen zurückstellen zu dürfen.

Dedekind und Weber dürften bei ihrer Einwilligung wohl eine Verzögerung
von einigen Wochen erwartet haben, aber nicht von fast eineinhalb Jahren.

Während Dedekind in Kroneckers Vorgehen keine böse Absicht sah, beurteil-
ten mehrere Zeitgenossen dieses Verhalten als äußerst kritikwürdig. Dedekind
ließ sich jedoch nicht zu einer Auseinandersetzung mit Kronecker drängen
und hat auch später derartige Diskussionen, insbesondere zu Prioritätsan-
sprüchen, abgelehnt.

Die Zusammenarbeit von Dedekind und Weber entsprang ihrer gemeinsamen

Beschäftigung mit der Herausgabe der Riemannschen Werke. In der 1880
vollendeten Arbeit stellten sie sich das Ziel,
die Theorie der algebraischen

”

Functionen einer Ver¨
anderlichen, welche eines der Hauptergebnisse der Rie-
mannschen Sch¨
opfung ist, von einem einfachen und zugleich strengen und
v¨
ollig allgemeinen Gesichtspunkt aus zu begr¨
unden.“ [Dedekind/Weber 1882,

S. 181] Ein wesentliches Ziel dieser Darlegung der Riemannschen Ideen im
algebraisch-zahlentheoretischen Rahmen war es, die Analogie zwischen der

Theorie der algebraischen Zahlen und jener der algebraischen Funktionen
aufzuzeigen. (Man vergleiche hierzu die eingehende Analyse von P. Ullrich

[Ullrich 1999].) Ihr Anspruch war zwar weit geringer als der Kroneckersche,
doch erwies sich die Beschränkung auf Funktionen einer Variablen als sehr
vorteilhaft, um die Unterschiede zur Theorie der algebraischen Zahlen genau
herauszuarbeiten und die Theorie in einer gewissen Vollständigkeit entwickeln
zu können. Nach der Einführung des Körpers algebraischer Funktionen als
ein System solcher Functionen von der Beschaffenheit, daß die Anwendung

”

der vier Species auf Functionen des Systems immer zu Functionen dessel-
ben Systems f¨
uhrt“, [Dedekind/Weber 1882, S. 182] bauten sie die Theorie
systematisch in Analogie zu den algebraischen Zahlen auf und definierten

Grundbegriffe wie Basis eines Körpers, Modul, Norm, Diskriminante, ganze
algebraische Funktion, Teilbarkeit ganzer Funktionen etc. Die Teilbarkeits-
theorie entwickelten sie zunächst für Moduln, was auch die Definition des Pro-
duktes zweier Moduln und der Kongruenz bezüglich eines Moduls bedingte,
um sie dann für Ideale zu formulieren und u. a. die eindeutige Primidealzer-
legung für Ideale im Ring der ganzen algebraischen Funktionen abzuleiten.

Im zweiten Teil der Arbeit stand die Theorie der Riemannschen Fläche im

Mittelpunkt und begann mit der algebraischen Definition der Punkte der
zum Körper der algebraischen Funktionen gehörigen Riemannschen Fläche
und der Fläche selbst als Gesamtheit aller dieser Punkte. Die nachfolgenden

Betrachtungen reichten schließlich bis zur rein algebraischen Einführung der

Differentiation und der Differentiale im Körper der algebraischen Funktio-

9.4 Die axiomatische Fixierung des Körperbegriffs

515
nen und zum Beweis des Satzes von Riemann-Roch. In vielen Fällen werden
hier die ersten Ansätze zu Entwicklungen greifbar, die sich später als sehr
fruchtbar erwiesen. Dies betraf Elemente einer Verzweigungstheorie ebenso
wie die Bewertungstheorie. Für eine detaillierte Würdigung der Dedekind-

Weberschen Arbeit muß auf die Darlegungen von W.-D. Geyer [Geyer 1981],

W. Strobl [Strobl 1982] und O. Neumann [Neumann 1997] verwiesen werden.

9.4 Die axiomatische Fixierung des K¨
orperbegriffs

In den vorangegangenen Darlegungen ist deutlich der starke Einfluß der
algebraischen Zahlentheorie auf die Herausbildung algebraischer Strukturen
wie Ideal und Körper hervorgetreten. Hinzu kam, daß diese Überlegungen
zugleich eine Betrachtung der Galois-Theorie einschlossen. Es vereinten sich
hier zentrale Fragestellungen der Zahlentheorie und der Algebra, was das In-
teresse an diesen Forschungen und ihren Ergebnissen zweifellos erhöhte und
die Wirksamkeit der neuen Ideen und Begriffsbildungen vor Augen führte.

Von den vielen Arbeiten, die an die besprochenen grundlegenden Darstellun-
gen anknüpften, können nur einige stellvertretend erwähnt werden. Kronecker
wandte sich 1887 nochmals dem Fall einer algebraischen Körpererweiterung
zu. Bereits 1873 hatte er, wie schon kurz erwähnt wurde, für transzendente

Erweiterungen festgestellt:

In der That kann ... jede Gr¨
osse, welche nicht in einer algebraischen Be-

”

ziehung zu den ¨
ubrigen steht, f¨
ur alle algebraischen Fragen als eine neue
unabh¨
angige Variable gelten; ...“ [Kronecker 1873, S. 312]

Mit anderen Worten: Ist α eine transzendente Zahl über dem Körper K, so
ist der durch Adjunktion von α zu K entstehende Körper K( α) isomorph
zum Körper K( x) der rationalen Funktionen in einer Veränderlichen mit

Koeffizienten aus K.

Ist α dagegen eine algebraische Zahl und p( x) ein normiertes irreduzibles

Polynom, das α als Nullstelle hat, so muß bei obiger Zuordnung beachtet
werden, daß in K( α) zusätzlich die Relation p( α) = 0 gilt. Man bildet des-
halb unter den Polynomen über K die Restklassen modulo p( x), d. h. alle

Polynome, die bei der Division durch p( x) den gleichen Rest ergeben, werden
in einer Restklasse zusammengefaßt. Die Menge dieser Restklassen, bezeich-
net als K [ x] /( p( x)), bildet einen Körper und hat die gleichen algebraischen

Eigenschaften wie der Zahlkörper K( α); dabei ist ( p( x)) das von p( x) er-
zeugte Ideal. Beide Körper sind zueinander isomorph. In dem Bestreben, die
irrationalen Größen in der Algebra entbehrlich zu machen und für Funk-
tionen eine Zerlegung in Linearfaktoren ohne Rückgriff auf die irrationalen

Wurzeln anzugeben, zeigte Kronecker nun, daß obiger Sachverhalt auch für
den Zerfällungskörper eines Polynoms gilt. Dabei versteht man unter dem

Zerfällungskörper eines Polynoms p( x) mit Koeffizienten aus K den klein-
sten Erweiterungskörper K von K, in dem p( x) vollständig in Linearfaktoren

516

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert
zerfällt. Kronecker hat die einzelnen Sachverhalte in der Sprache der Kongru-
enzen formuliert und Beispiele für die Zerlegung einer Funktion unter Ver-
meidung irrationaler Größen angegeben, die Zusammenfassung der Elemente
zum Restklassenkörper nahm er nicht explizit vor. Trotzdem stellten die Be-
trachtungen einen wesentlichen Beitrag bei der Herausbildung des abstrakten

Körperbegriffs dar, da sie die Reihe der Beispiele, die einen Anreiz zum ab-
strakten Begriff bilden, um ein wichtiges ergänzten. In moderner Terminologie
lautete das Kroneckersche Resultat: K( α 1 , α 2 , ...αn) ∼

= K [ x] /( G( x)); α 1, α 2,

..., αn die Nullstellen des gegebenen Polynoms f ( x) und G( x) die Galoissche

Resolvente von f ( x).

Im gleichen Jahr 1873 vollendete Weber seine mehrteilige, ein Jahr zuvor
begonnene Abhandlung

Theorie der Abel’schen Zahlk¨
orper“, die das Ziel

”

hatte, alle Abelschen Zahlkörper vollständig zu bestimmen und darzustellen.

Die Aufgabe wird durch den Beweis des Satzes von Kronecker-Weber gelöst,
daß jede abelsche Erweiterung des Körpers der rationalen Zahlen Teilkörper
eines Kreisteilungskörpers ist und umgekehrt jeder Teilkörper eines Kreistei-
lungskörpers abelsch ist. Den Satz hatte Kronecker 1853 ohne Beweis ange-
geben. (vgl. Abschn. 8.1.1) Die Arbeit zeigte eine zunehmende Vertrautheit
mit den körpertheoretischen Begriffen, u. a. wurden konjugierte Körper und

Normalkörper definiert. Den methodischen Schwerpunkt bildete aber die Be-
stimmung der Untergruppen der dem vorgelegten Kreisteilungskörper zuge-
ordneten Galoisschen Gruppe, um dann dazu die Unterkörper aufzufinden.

Von grundsätzlicher Bedeutung für die Herausbildung des Körperbegriffs war

Webers schon bezüglich der Gruppentheorie besprochene Arbeit aus dem Jah-
re 1893: Die allgemeinen Grundlagen der Galoisschen Gleichungstheorie“.

”

Es ging Weber um eine möglichst allgemeine Begründung der Galois-Theorie,
und dies ließ ihn den begrifflichen Formulierungen eine besondere Aufmerk-
samkeit schenken. Einleitend hob er die Vorteile hervor, welche die formale,
nahezu axiomatische Behandlung der Theorie mit sich brachte, und betonte
als wichtigsten Fakt die Einbeziehung der endlichen Körper in den abstrakten

Körperbegriff:

Ich beginne, um vollkommen klar zu sein, mit einer genauen Begriffsbestim-

”

mung des Gruppen- und K¨
orperbegriffs, wobei besonders der K¨
orperbegriff
so gefasst ist, daß er auch auf Gebilde anwendbar ist, die bisher unter die-
sem Namen nicht mitbezeichnet waren, die aber doch alle f¨
ur unsere Frage
entscheidenden Merkmale besitzen, n¨
amlich die endlichen K¨
orper, im eigent-
lichen Sinne, d. h. K¨
orper die nur aus einer endlichen Anzahl von Elementen
bestehen.“ [Weber 1893, S. 521]

Diese Ankündigung setzte Weber dann sogleich um und formulierte eine axio-
matische Definition von Gruppe und Körper. Den Körperbegriff ordnete er
dabei dem der Gruppe unter, indem er einen Körper als eine Gruppe mit
zwei Arten der Composition“ auffaßte, die erste Operation Addition, die

”

zweite Multiplikation nannte und einige einschränkende Bedingungen stellte.

Diese Bedingungen beinhalteten die Kommutativität beider Operationen, daß
das Nullelement bei verschiedenen Relationen für die Multiplikation als Aus-

9.4 Die axiomatische Fixierung des Körperbegriffs

517
nahmeobjekt ausgeschlossen wurde und daß die beiden Operationen distribu-
tiv verknüpft waren. Als Beispiele für einen Körper führte er den Körper der
rationalen Zahlen, die algebraischen Zahlkörper sowie die endlichen Körper
an, für letztere speziell die Restklassenkörper der ganzen Zahlen nach einer

Primzahl. Am Ende des Artikels leitete er noch ein Kriterium zur Unter-
scheidung zwischen endlichen und unendlichen Körpern ab. Weber unter-
strich seinen abstrakten Ausgangspunkt durch den Hinweis, daß man durch

Abänderung der Axiome weitere, zu analysierende Systeme erhalten könne
und nannte als derartige Möglichkeiten: das Auftreten von Nullteilern zuzu-
lassen, die Kommutativität der Operationen nicht zu fordern bzw. eine dritte

Verknüpfung zu betrachten. Er wandte sich dann dem Studium der algebra-
ischen Körpererweiterungen zu, definierte die sogenannten Formenkörper, die
aus allen rationalen Funktionen in den Unbestimmten x, y, z, ... mit Ko-
effizienten aus einem vorgegebenen Körper Ω gebildet wurden, und unter-
suchte die ganzen Elemente dieser Körper sowie die Teilbarkeitseigenschaf-
ten. In Form der

Congruenzk¨
orper“ studierte er die Restklassenkörper des

”

Polynomringes Ω [ t] nach dem von einem irreduziblen Polynom erzeugten

Ideal und vermerkte u. a., daß alle endlich-algebraischen Zahl- und Funk-
tionskörper als

Congruenzk¨
orper“ erhalten werden können. Auf dieser Ba-

”

sis formulierte er schließlich die angestrebte Begründung der Galois-Theorie,
die soweit m¨
oglich alle F¨
alle umfasst, in denen diese Theorie angewandt

”

worden ist.“ [Weber 1893, S. 521]

Mit dieser Arbeit rückte Weber, ebenso wie Dedekind in dem ein Jahr
später erschienenen XI. Supplement zur 4. Auflage von Dirichlets Vorle-
sungen zur Zahlentheorie, die Theorie einer bestimmten Klasse von Körper-
erweiterungen in den Mittelpunkt der Galois-Theorie. Er arbeitete mit der

Automorphismengruppe des jeweils betrachteten Erweiterungskörpers und
wies sie als isomorph zur traditionellen Galois-Gruppe nach. Eine derar-
tige Auffassung der Galois-Gruppe als Automorphismengruppe hatte De-
dekind bereits ab 1857 in Vorlesungen vorgetragen, aber nicht publiziert

[Purkert 1976], [Scharlau 1981]. In einem Manuskript gab er bereits zu die-
sem frühen Zeitpunkt der Galois-Theorie eine lehrbuchmäßige Darstellung

[Scharlau 1982]. Damit brachten die oben genannten Arbeiten eine längere

Beschäftigung mit diesem Gegenstand zu einem vorläufigen Abschluß und
markierten einen wichtigen Schritt sowohl in der Ausformung abstrakter
algebraischer Begriffe als auch beim Übergang zu einer allgemeineren Auf-
fassung der Galois-Theorie. Es sei aber betont, daß es noch nicht um ein

Studium der Körper an sich als Objekte der Algebra ging. Die körpertheore-
tischen Untersuchungen blieben dem Ziel untergeordnet, die Galois-Theorie
möglichst allgemein zu formulieren.

Einen wesentlichen Einfluß auf die Verbreitung dieser abstrakten Definitionen
und Auffassungen von den algebraischen Objekten sowie der Methoden zur

Behandlung der algebraischen Fragestellungen übte Webers

Lehrbuch der

”

Algebra“ aus, das 1895/96 in zwei Bänden erschien. Mehr als eine Genera-
tion von Mathematikern wurde von diesem Buch geprägt, das erst nach über

518

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert

Hermann Minkowski

Kurt Hensel

Ernst Steinitz

30 Jahren durch van der Waerdens

Moderne Algebra“ abgelöst wurde. Die

”

Galois-Theorie bildete einen wichtigen Bestandteil des Buches, ihre Darstel-
lung war dem Charakter des Buches entsprechend ausführlicher und leichter
faßbar. Die Bestimmung der Galois-Theorie als ein Studium von Körperer-
weiterungen und der zugehörigen Gruppen behielt Weber bei, die Auflösbar-
keit algebraischer Gleichungen behandelte er als Anwendung und trennte dies
klar von der Theorie ab. Für eine ausführliche Besprechung der Weberschen

Arbeiten wie der gesamten Entwicklung der Galois-Theorie sei auf [Kiernan

1971] verwiesen.

Zeitlich fast parallel zu den Weberschen Arbeiten begann Hilbert, sich mit der
algebraischen Zahlentheorie zu beschäftigen. 1893 wurden Hilbert und Min-
kowski von der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (DMV) gebeten, einen

Überblick über den aktuellen Stand der Zahlentheorie zu geben. Während

Minkowski den Teil zur Theorie der rationalen Zahlen zusammenstellen soll-
te, widmete sich Hilbert der Theorie der algebraischen Zahlen. Hilbert und

Minkowski hatten sich während ihres Studiums in Königsberg angefreun-
det, eine enge, für beide bedeutsame Freundschaft, die bis zu Minkowskis

Tod 1909 bestand. Während Hilbert den Anfang seiner wissenschaftlichen

Laufbahn vollständig in Königsberg absolvierte und dann 1895 als Ordina-
rius nach Göttingen wechselte, wo er wesentlich zum Aufstieg der dortigen

Universität zu einem führenden mathematisch-physikalischen Lehr- und For-
schungszentrum beitrug, habilitierte sich Minkowski 1887 in Bonn und kehrte
dann 1894/95 an der Universität Königsberg sowie 1902 in Göttingen an die

Seite Hilberts zurück. Zwischenzeitlich lehrte er 1896–1902 als Professor am

Polytechnikum in Zürich. Beide Mathematiker waren sehr vielseitige Ver-
treter ihres Faches und haben die Mathematikentwicklung außerordentlich
stark beeinflußt. Insbesondere galt Hilbert zu Beginn des 20. Jahrhunderts
als einer der bedeutendsten und leistungsfähigsten Mathematiker. Hilberts

Lebenswerk läßt sich deutlich in sechs Abschnitte gliedern, von denen mit

Blick auf die Algebra vor allem die ersten drei wichtig sind, in denen er sich
mit der Invariantentheorie, mit der Theorie der algebraischen Zahlkörper und
in Verbindung mit den Grundlagen der Geometrie mit der axiomatischen Me-

9.4 Die axiomatische Fixierung des Körperbegriffs

519
thode beschäftigte. Die übrigen drei Forschungsgebiete waren die Theorie der

Integralgleichungen, die mathematische Physik und die Grundlagen der Ma-
thematik. Eine nahezu legendäre Berühmtheit erreichte sein Vortrag auf dem

II. Internationalen Mathematiker-Kongreß in Paris im Jahre 1900, in dem
er anhand von 23 Problemen darlegte, welch vielfältige Fragestellungen noch
von den Mathematikern zu bearbeiten waren. Zugleich verbreitete er einen
ungebrochenen Forschungsoptimismus:

Diese ¨

Uberzeugung von der L¨
osbarkeit eines jeden mathematischen Problems

”

ist uns ein kr¨
aftiger Ansporn w¨
ahrend der Arbeit: wir h¨
oren in uns den steten

Zuruf: Da ist das Problem, suche die L¨
osung. Du kannst sie durch reines

Denken finden; denn in der Mathematik gibt es kein Ignorabimus.“ [Hilbert

1971, S. 34]

Die von Hilbert formulierten Probleme erwiesen sich als sehr anregend und
haben zahlreiche Untersuchungen stimuliert. Zu den Kollegen, mit denen sich

Hilbert bei der Abfassung seines Pariser Vortrages beriet und die ihn un-
terstützten, gehörte auch Minkowski.

Minkowski hat in seinem Schaffen in genialer Weise geometrische Vorstellun-
gen mit neuen Ideen in anderen Gebieten der Mathematik verknüpft, was
zu grundlegenden Arbeiten in der Zahlentheorie, der Speziellen Relativitäts-
theorie und der Mathematischen Physik, der Theorie konvexer Punktmengen
u. a. führte. Da hier nur wenige Stichworte zu Leben und Werk von Hilbert
bzw. Minkowski gegeben werden können, sei für eine genauere Darstellung
aus der bezüglich Hilbert recht umfangreichen Literatur stellvertretend auf

[Reid 1970], [Weyl 1944], [Hilbert 1909] [Minkowski 1973] und [Hancock 1964]

verwiesen.

Die starke Beanspruchung durch die grundlegenden Forschungen zu dem

Buch über die Geometrie der Zahlen veranlaßten Minkowski jedoch, seinen

Beitrag zu dem von der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (DMV) erbete-
nen Bericht zum Stand der Zahlentheorie abzusagen. Doch leistete er letztlich
mit der Publikation seines Buches zur Geometrie der Zahlen im Jahre 1910
einen schöpferischen, über die Zielstellung des Berichts hinausgehenden Bei-
trag zur Zahlentheorie. Außerdem förderte er die Entwicklung durch seine
sorgfältigen kritischen Kommentare zu dem Hilbertschen Manuskript. Die

Arbeit Hilberts Die Theorie der algebraischen Zahlk¨
orper“, im Vorwort auf

”

den April 1897 datiert, erschien in den Jahresberichten der DMV für das Jahr

1896 und gilt seitdem als ein Meisterstück der mathematischen Literatur.

Hilbert gab einen umfassenden systematischen Überblick über die algebra-
ische Zahlentheorie. Dabei füllte er zahlreiche Lücken aus, fügte wichtige
eigene Resultate hinzu, vereinfachte vielfach die Darstellung der Beweise und
formte große Teile der heute üblichen Bezeichnungen. Im einzelnen umfaßten
die fünf Teile des

Zahlberichts“ die allgemeine Dedekindsche Theorie der

”

Zahlkörper, die Galoisschen Erweiterungen, die quadratischen Zahlkörper,
die Kreisteilungskörper und die Kummerschen Körper. Hilbert bevorzugte
zwar, wie es die Kapitelüberschrift andeutet, die Dedekindsche idealtheo-
retische Begründung der Theorie, hat aber die Kroneckerschen Methoden

520

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert
erläutert und bemühte sich um eine ausgewogene Beurteilung der beiden For-
schungsrichtungen. Erstmals in der Literatur arbeitete er den Zusammenhang
zwischen beiden Theorien und die Gleichwertigkeit der beiden körpertheore-
tischen Zugangsweisen heraus. Im zweiten Abschnitt behandelte Hilbert die

Galoisschen Körper. Durch die enge Beziehung zwischen einem Galois-Körper
und seiner Galois-Gruppe sowie den Beziehungen zwischen den Unterkörpern
des Körpers und den Untergruppen der Galois-Gruppe lassen sich Fragen
der Körpererweiterungen leichter und vollständiger behandeln. Insbesonde-
re gelang Hilbert eine weitgehende Aufklärung der sog. Verzweigungen, mit
denen er sich schon in einer Arbeit aus dem Jahre 1894 beschäftigt hatte.

Konsequent nutzte er die erwähnte Beziehung zwischen Körper und Grup-
pe, führte dabei die Zerlegungs-, Trägheits- und Verzweigungsgruppe eines

Primideals ein und vertiefte die bei Dedekind, Kronecker und anderen zuta-
ge getretene Verbindung zwischen algebraischer Zahlentheorie und klassischer

Galois-Theorie. Die folgenden Kapitel waren dann dem eingehenden Studium
spezieller Galoisscher Körper gewidmet, von denen er viele bekannte Ergeb-
nisse auf neue Art und unter Schaffung einer neuen“ Sprache verständlicher

”

zusammenstellte.

Der Hilbertsche Zahlbericht hat die weitere Entwicklung der algebraischen

Zahlentheorie nachhaltig beeinflußt. Zugleich demonstrierte er eindrucksvoll
die Verwendung algebraischer Methoden und hat durch diese Beispielwirkung
deren weitere Herausbildung stimuliert, ohne auf abstrakte Begriffsbildung

Bezug zu nehmen. Etwas pointiert formuliert: Hilbert benutzte alle Mittel zu
einer strukturellen Darstellung der Algebra und hat an deren Entwicklung
aktiv mitgewirkt, aber er betrieb keine Strukturmathematik und führte kei-
ne Untersuchung algebraischer Strukturen durch. Die Begriffsbildungen wie

Körper, Gruppe, Modul etc., die sich als zentrale algebraische Strukturen
erweisen sollten, waren für ihn wichtige Mittel, um konkrete Forschungen
etwa der algebraischen Zahlentheorie vorzunehmen, aber sie bildeten nicht
selbst den Gegenstand abstrakter Analysen. Diese Einschätzung wird da-
durch bestätigt, daß Hilbert z. B. den Ringbegriff konkret als Zahlring oder

Integritätsbereich einführte und kaum Beziehungen zwischen den bei ver-
schiedenen Studien verwendeten algebraischen Begriffen, etwa zwischen Mo-
dul und Gruppe, herstellte. Letzteres hätte ihn zur Herausarbeitung der Un-
terschiede zwischen den einzelnen Begriffen bzw. zu deren Übereinstimmung
geführt, wofür es aber keine Hinweise gibt. Für eine ausführliche Diskussion
der gesamten Problematik sei auf [Corry 1996] verwiesen.

Stimulierend für die weitere Entwicklung der Körpertheorie erwiesen sich die

Arbeiten von Hensel zur Theorie der p-adischen Zahlen, mit denen er ab

1897 hervortrat. Als Motivation nannte er die Analogie zwischen den Re-
sultaten der Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen und
der der algebraischen Zahlen, durch die es ihm möglich erschien, die Zerle-
gung der algebraischen Zahlen mit einer einfacheren Methode herzuleiten,
die der Entwicklung einer algebraischen Funktion in eine Potenzreihe für die

9.4 Die axiomatische Fixierung des Körperbegriffs

521

Umgebung einer beliebigen Stelle entsprach [Hensel 1899, S. 83f.]. Hensel
vermutete also, daß auf Grund der Analogie in den Ergebnissen auch die

Beweismethoden angeglichen werden konnten, und er schätzte die Methoden
der Funktionentheorie
bez¨
uglich ihrer Brauchbarkeit und Wirksamkeit“ als

”

wesentlich effektiver ein [Hensel 1908, S. 1]. Während seines wissenschaftli-
chen Werdeganges hatte er sich sehr gute Kenntnisse in beiden Disziplinen,

Zahlentheorie und Funktionentheorie, angeeignet. Als Schüler von Kronecker
war Hensel mit dessen Theorie bestens vertraut, aber er gehörte zu den weni-
gen, die zugleich die Dedekindschen Arbeiten schätzten und genau studierten.

Außerdem hörte er in Berlin die Weierstraßschen Vorlesungen und hatte als

Privatdozent ab 1886 wöchentlich Kontakt zu Weierstraß. Vor diesem Hin-
tergrund ist es nicht verwunderlich, daß Hensel versuchte, beeindruckt vom

Kalkül der Potenzreihenentwicklung, diese Methode auch zur Untersuchung
von Zahlen anzuwenden. Zusammen mit Georg Landsberg entwickelte er die

Dedekind-Webersche Theorie der algebraischen Funktionen weiter und stellte
die Resultate in dem Buch Theorie der algebraischen Funktionen einer Va-

”

riablen“ auf der Basis der Weierstraßschen Ideen und unter Rückgriff auf die

Potenzreihenentwicklungen dar. Ab 1902 wirkte Hensel dann bis zur Emeri-
tierung als Professor der Mathematik an der Universität Marburg.

Hensel ging zunächst aus von der Darstellung einer positiven ganzen Zahl
in einem p-adischen Zahlsystem, d. h. einem Zahlsystem, in dem die Ba-
sis abweichend von dem üblichen Zahlsystem nicht die Zahl 10, sondern
eine Primzahl p ist. Eine Zahl C entspricht dann der endlichen Summe

C = c 0 + c 1 p + c 2 p 2 + ... + cnpn, wobei ci ganze Zahlen mit 0 ≤ c 1 ≤ p − 1
sind. Um die Ausführbarkeit der arithmetischen Grundoperationen zu si-
chern, erwies es sich als notwendig, diesen Zahlbereich durch Hinzunahme
der entsprechenden unendlichen Reihen zu erweitern, so daß er dann eine p-
adische Zahl C definierte durch C = cipi + ci+1 pi+1 + ci+2 pi+2 + ... + ckpk + ... .

Dabei war i eine beliebige ganze Zahl, konnte also auch negativ sein. Die ne-
gativen Exponenten waren notwendig, um auch rationale Zahlen durch eine

Potenzreihe darzustellen. Mit der Erweiterung des Bereichs der p-adischen

Zahlen stellte sich für Hensel das Problem der Konvergenz dieser Reihen.

Er erkannte, daß die Reihen im allgemeinen nicht im gewöhnlichen Sinne
bezüglich des durch den Absolutbetrag definierten Abstandsbegriffs konver-
gieren. Der von Hensel eingeführte Abstandsbegriff war etwas kompliziert
und umständlich zu gebrauchen, erfüllte aber seinen Zweck und regte wei-
tere wichtige Überlegungen an, die dann bei Josef Andreas Kürschák in die

Bewertungstheorie einmündeten. Danach ordnet man der obigen p-adischen

Zahl C den p-adischen Absolutbetrag |C| = p−i zu, und weist nach, daß der
p
p-adische Absolutbetrag analoge Eigenschaften wie der übliche Absolutbetrag
besitzt. Die durch den p-adischen Absolutbetrag definierte Konvergenz war
der von Hensel eingeführten äquivalent. Die Menge der Zahlen C mit einer p-
adisch konvergenten Reihenentwicklung bildeten nun für Hensel den weiteren

Untersuchungsgegenstand, und er wies diese Menge als Körper K( p) nach.

522

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert

Entscheidend war dabei, daß dieser Körper K( p), der heute gewöhnlich mit

Qp bezeichnet wird, nicht in das vertraute Schema passte, er ließ sich nicht
als Zahl- oder Funktionenkörper einordnen, und genau aus dieser Eigenschaft
resultierte die anregende Wirkung der Henselschen Untersuchungen für die

Weiterentwicklung des Körperbegriffs. (Man beachte, daß die Dedekindschen

Zahlkörper alle Unterkörper des Körpers der komplexen Zahlen waren.) Hen-
sels ursprüngliches Ziel, eine neue Methode zur Charakterisierung transzen-
denter Zahlen zu schaffen, schlug jedoch fehl. Der von ihm 1905 vorgestellte

Beweis für die Transzendenz von e erwies sich als fehlerhaft, was zu einem
spürbar nachlassenden Interesse an der Theorie der p-adischen Zahlen bei vie-
len Mathematikern führte. Für eine detaillierte Behandlung der Genesis der
p-adischen Zahlen und des Henselschen Transzendenzbeweises sei auf [Ullrich

1998a] und [Ullrich 1998b] verwiesen. Erst 1987 konnte ein Transzendenzbe-
weis von e mit p-adischen Methoden geführt werden. Erwähnenswert ist noch,
daß auch das meist nach Hasse benannte Lokal-Global-Prinzip, das eine wich-
tige Rolle in vielen Forschungen der algebraischen Zahlentheorie spielt, in den

Grundzügen auf Hensel zurückgeht. In seiner Synthese von Analysis und den
algebraischen Forschungen Dedekindscher und Kroneckerscher Prägung schuf

Hensel mehrere fruchtbare Ideen für die Entwicklung der Algebra, ohne sie
inhaltlich und begrifflich völlig auszuformen.

Einen grundlegenden Wandel in der Zielsetzung der algebraischen Forschun-
gen und damit einen wichtigen Schritt in Richtung auf die abstrakte Alge-
bra vollzog Ernst Steinitz 1910 mit seiner Arbeit Algebraische Theorie der

”

K¨
orper“. Steinitz hatte ab 1890 in Breslau (Wroclaw) und Berlin studiert
und lehrte nach der Habilitation 1894 in Breslau ab 1896 an der TH Berlin-

Charlottenburg. Weitere Wirkungsstätten als Professor waren dann 1910 die

Technische Hochschule in Breslau und ab 1920 die Universität Kiel. Neben
seinem grundlegenden Beitrag zur Körpertheorie sind die Arbeiten zur Theo-
rie der Polyeder, zur linearen Algebra und über Elementarteiler von Matrizen
aus ganzen algebraischen Zahlen hervorhebenswert. In der Algebraische(n)

”

Theorie der K¨
orper“ machte er, begrifflich an die Arbeit Webers zur Galois-

Theorie [Weber 1893] anknüpfend, den Körperbegriff selbst, als abstrakte
algebraische Struktur, zum Untersuchungsgegenstand:

W¨
ahrend aber bei Weber das Ziel eine allgemeine, von der Zahlenbedeutung

”

der Elemente unabh¨
angige Behandlung der Galoisschen Theorie ist, steht f¨
ur
uns der K¨
orperbegriff selbst im Mittelpunkt des Interesses. Eine ¨

Ubersicht

¨
uber alle m¨
oglichen K¨
orpertypen zu gewinnen, und ihre Beziehungen unter-
einander in ihren Grundz¨
ugen festzustellen, kann als Programm dieser Arbeit
gelten.

Zu diesen allgemeinen Untersuchungen wurde ich besonders durch Hensels

Theorie der algebraischen Zahlen ... angeregt, in welcher der K¨
orper der
p-adischen Zahlen den Ausgangspunkt bildet, ein K¨
orper, der weder den

Funktionen- noch den Zahlk¨
orpern im gew¨
ohnlichen Sinne des Wortes bei-
zuz¨
ahlen ist.“ [Steinitz 1930, S.5]

9.4 Die axiomatische Fixierung des Körperbegriffs

523

Abb. 9.4.2. Titelblatt vom Nachdruck des Buches

Algebraische Theorie der

”

Körper“ von Ernst Steinitz

524

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert

Diese Zielsetzung hat Steinitz dann mustergültig umgesetzt. Es darf jedoch
nicht verkannt werden, daß es noch einige, von Steinitz nicht erwähnte Fak-
ten gab, die gleichfalls dazu beitrugen, den Boden für derartige, abstrakte
algebraische Betrachtungen zu bereiten. Neben den früher schon besproche-
nen Entwicklungen in der Gruppentheorie und der Zahlentheorie muß vor
allem die amerikanische Schule zur Analyse axiomatischer Systeme erwähnt
werden. Diese Schule, die als eines der ersten Beispiele eigenständiger For-
schung der aufstrebenden US-amerikanischen Mathematik gilt, bildete sich
um die Wende zum 20. Jahrhundert unter der Leitung von Eliakim Hastings

Moore an der 1890 neu gegründeten Universität Chicago heraus.

Der Aufschwung der Mathematik orientierte sich stark an der Entwicklung
in Deutschland und wurde u. a. von Gastvorträgen und der Lehrtätigkeit
deutscher Wissenschaftler gefördert. Für eine umfassende Darstellung des

Prozesses sei auf [Parshall/Rowe 1994] verwiesen. 1901 begann Moore, der
zuvor schon zur algebraischen Geometrie und zur Gruppentheorie geforscht
hatte, sich mit Hilberts

Grundlagen der Geometrie“ auseinanderzusetzen.

”

Besondere Aufmerksamkeit widmete er dabei den Fragen der Axiomatik, d. h.

den Beziehungen zwischen einzelnen Gruppen von Axiomen, der logischen

Reduzierbarkeit und der Widerspruchsfreiheit des Systems.

Edward Huntington verstärkte den in diesen Forschungen enthaltenen Trend
und machte das Studium der Eigenschaften beliebiger Axiomensysteme zum

Gegenstand der Untersuchung. Er begann seine Analyse mit zwei von Weber
bzw. Burnside benutzten Axiomensystemen für Gruppen. In den folgenden

Jahren wurden dann verschiedene Axiomensysteme für Gruppen, Körper,
und assoziative Algebren, aber auch für die projektive Geometrie und die

Algebra der Logik von Moore, Huntington, Dickson, Veblen u. a. auf Wider-
spruchsfreiheit, Vollständigkeit und Unabhängigkeit untersucht. Gleichzeitig
setzte sich die mit Peano begonnene axiomatische Begründung des Zahlensy-
stems mit entsprechenden Systemen für die reellen und die komplexen Zah-
len von Hilbert (1900) bzw. Huntington (1905) fort. Die Verwendung der

Axiomatik hatte also im ersten Jahrzehnt des 20. Jahrhunderts an Kontur
gewonnen.

Die Steinitzsche Zielsetzung ging jedoch deutlich über diesen Trend hinaus.

Ihn interessierte nicht die logische Untersuchung des Axiomensystems eines

Körpers, sondern die algebraische Struktur, die er aus den Axiomen ableiten
konnte. Ausgehend von den einfachsten Körpern wollte er alle anderen daraus
aufbauen, eine gewaltige Aufgabe.

Steinitz gliederte sein Buch in vier Kapitel. Nach den Grundlagen behandel-
te er in den folgenden Kapiteln die algebraischen, die unendlichen algebra-
ischen und die transzendenten Erweiterungen. Ausgehend vom Begriff eines

Systems mit doppelter Komposition und der Definition der Isomorphie zweier
solcher Systeme charakterisierte er ein System S mit doppelter Komposition
als Körper, wenn es die folgenden Axiome (Steinitz sprach von Bedingungen)

erfüllte:

9.4 Die axiomatische Fixierung des Körperbegriffs

525
assoziatives Gesetz der Addition ( a + b) + c = a + ( b + c)

kommutatives Gesetz der Addition a + b = b + a
assoziatives Gesetz der Multiplikation ( ab) c = a( bc)

kommutatives Gesetz der Multiplikation ab = ba
distributives Gesetz a( b + c) = ab + ac

Gesetz der unbeschränkten und eindeutigen Subtraktion.

Für beliebige Elemente a, b aus S ist die Gleichung a + x = b stets eindeutig
lösbar.

Gesetz der unbeschränkten und eindeutigen Multiplikation.

In S existiert ein Element a = 0. Für ein solches a und beliebiges b aus S ist
die Gleichung ax = b stets eindeutig lösbar.

Nach einigen einfachen Folgerungen aus den Axiomen, wie der Existenz
des Null- bzw. Einselements, der Nullteilerfreiheit und der Übertragbarkeit
von Sätzen über lineare Gleichungssysteme auf beliebige Körper, klärte er
die für seine Zielsetzung wichtigen Begriffe des Teilkörpers, des Erweite-
rungskörpers, der Adjunktion einer Menge und der Konstruktion des Quoti-
entenkörpers aus einem Integritätsbereich. Die Primkörper, d. h. Körper ohne
echten Teilkörper, wurden von Steinitz als grundlegende Bausteine beim Auf-
bau der verschiedenen Körper erkannt und in dieser Eigenschaft erstmals her-
vorgehoben: In jedem Körper existiert ein eindeutig bestimmter Primkörper
als kleinster Unterkörper. Als erstes Kriterium zur Klassifikation der Körper
bot sich die Unterscheidung nach dem in ihnen enthaltenen Primkörper an,
und Steinitz führte dazu die Charakteristik eines Körpers K ein. Er setzte
diese Null, falls der Primkörper von K dem Körper Q der rationalen Zah-
len isomorph war, und p, falls sich der Primkörper isomorph zum Restklas-
senkörper Z p = Z /( p) der ganzen Zahlen modulo einer Primzahl p erwies.

Andere Fälle können nicht auftreten. Die nun folgende Analyse der Körper-
erweiterungen begann er mit den einfachen Erweiterungen, bei denen nur ein

Element zum Ausgangskörper adjungiert wurde. Dies führte ihn zu der grund-
legenden Unterscheidung zwischen algebraischen und transzendenten Erwei-
terungen. In transzendenten Erweiterungen sind alle Potenzen des adjungier-
ten Elements α im Bezug auf den Grundkörper K linear unabhängig, d. h. aus
c 0 α 0+ c 1 α+ c 2 α 2+ ... = 0 (mit ci aus K) folgt ci = 0 für alle i; in algebraischen Körpern ist dies nicht der Fall. Zwei beliebige einfache transzendente Erweiterungen von K wies er als äquivalent nach, denn für ein beliebiges trans-
zendentes Element α über K, ist K( α) isomorph zu dem Funktionenkörper

K( x) mit der Unbestimmten x. Dabei bedeutete die Äquivalenz zweier Er-
weiterungen, daß zwischen beiden Erweiterungskörpern ein Isomorphismus
existiert, der den Grundkörper K elementweise festläßt. Ist α algebraisch
über K und ϕ( x) das irreduzible Polynom, das α als Nullstelle hat, dann gilt

K( α) ∼

= K [ x] /( ϕ( x)). Steinitz benutzte jedoch nicht die Idealschreibweise,
sondern sprach vom Restklassenring K [ x] modulo ϕ( x). Nach der Definition
der algebraischen (d. h. jedes Element des Erweiterungskörpers ist algebraisch
bezüglich K) und der endlichen Erweiterungen (d. h. der Erweiterungskörper

526

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert
ist ein endlichdimensionaler Vektorraum über K) gab er dann eine vollständi-
ge Klassifikation derselben. Als weitere Körpertypen führte er die vollkomme-
nen, die normalen und die separablen Körper ein, letztere bezeichnete er als

Körper erster Art. Insgesamt entwickelte er alle nötigen Begriffe und Sätze,
um die Galois-Theorie, ohne sie explizit aufzubauen, als Theorie der endli-
chen, normalen, separablen Körpererweiterungen darzustellen und damit die

Gültigkeit des Hauptsatzes der Galois-Theorie genau abzugrenzen. Im dritten

Kapitel wandte sich Steinitz den unendlichen algebraischen Erweiterungen zu
und krönte die Untersuchung mit dem Hauptsatz, daß zu jedem Körper K ein
bis auf Äquivalenz eindeutig bestimmter algebraisch abgeschlossener Körper
existiert. Neben dem algebraischen Ergebnis verdient hierbei die Verwendung
des Zermeloschen Wohlordnungssatzes im Beweis des Satzes eine besondere

Erwähnung. Der Wohlordnungssatz bzw. das dazu äquivalente Auswahlprin-
zip waren damals unter den Mathematikern noch sehr umstritten und die

Steinitzsche Arbeit lieferte eine der wichtigen frühen Anwendungen. Steinitz
fügte in die Arbeit eigens einen Abschnitt zur Vermittlung der mengentheo-
retischen Grundbegriffe ein und verteidigte den Rückgriff auf das Auswahl-
axiom mit einem Hinweis auf den damit verbundenen Nutzen:

Noch stehen viele Mathematiker dem Auswahlprinzip ablehnend gegen¨
uber.

”

Mit der zunehmenden Erkenntnis, daß es Fragen in der Mathematik gibt, die
ohne dieses Prinzip nicht entschieden werden k¨
onnen, d¨
urfte der Widerstand
gegen dasselbe mehr und mehr schwinden.“ [Steinitz 1930, S. 8]

Auf den Wohlordnungssatz mußte Steinitz dann auch beim Studium der
transzendenten Erweiterungen zurückgreifen, beispielsweise in der Theorie
des Transzendenzgrades oder zum Beweis des Satzes, daß jede Erweite-
rung eines Körpers zerlegt werden kann in eine rein transzendente und eine
nachfolgende algebraische Erweiterung. Zuvor hatte er die nötigen Begrif-
fe, wie transzendente und rein transzendente Erweiterung sowie algebraisch
abhängig, definiert.

Bei Zusammenfassung der Ergebnisse ergab sich somit eine vollständige Klas-
sifikation der endlichen Erweiterungskörper und eine systematische Übersicht
für unendliche Erweiterungen, wobei die Herleitung ganz abstrakt, auf der

Basis der Körperaxiome erfolgte. Zugleich hatte Steinitz seine Betrachtun-
gen wesentlich auf die Mengenlehre gegründet, und erst die Einbeziehung
mengentheoretischer Sätze und Schlußweisen ermöglichte den Beweis grund-
legender Aussagen über unendliche Erweiterungen. Die zu diesem Zeitpunkt
einzigartige Verbindung von abstrakten algebraischen Untersuchungen mit
axiomatischem Denken und mengentheoretischer Begründung ließen die Stei-
nitzsche Arbeit zu einem wichtigen Eckpfeiler bei der Entstehung der
mo-

”

dernen abstrakten Algebra“ werden. Vor allem als methodisches Vorbild, aber
auch hinsichtlich konkreter körpertheoretischer Probleme, wirkte die Arbeit
als äußerst anregend auf die Zeitgenossen und die nachfolgende Mathemati-
kergeneration.

9.5 Die Profilierung weiterer Teilgebiete der Algebra

527

9.5 Die Profilierung weiterer Teilgebiete der Algebra

Nachdem in den vorangegangenen Abschnitten die Grundzüge der Algebra-
entwicklung um die Wende zum 20. Jahrhundert am Beispiel der im Mittel-
punkt der algebraischen Forschung stehenden Themen, Gruppen, Körper und

Ideale, dargelegt worden ist, soll nun das Bild durch einen Blick auf weitere
wichtige Problemfelder abgerundet werden.

9.5.1 Hyperkomplexe Systeme (Algebren)

Nachdem Benjamin Peirce und Hermann Hankel um 1870 bereits erste

Ansätze zur Klassifikation der Algebren entwickelt hatten (vgl. Abschn. 8.4),
waren die Untersuchungen in den nachfolgenden Jahrzehnten primär darauf
gerichtet, Prinzipien zur Einteilung der Algebren aufzufinden und die für
die verschiedenen Klassen typische Struktur anzugeben. Zunächst sei an die
hyperkomplexen Methoden Dedekinds erinnert, die er 1871 in der zweiten

Auflage von Dirichlets Vorlesungen zur Zahlentheorie verwendete. 1885 kam
er darauf zurück,
weil die analytische Behandlung, welche die Theorie der endlichen K¨
orper

”

verlangt, sich fast w¨
ortlich auf die Theorie der aus
n Haupteinheiten ge-
bildeten ¨
ubercomplexen Gr¨
oßen anwenden l¨
aßt; man braucht nur den K¨
orper
der rationalen Zahlen, auf welchen bei jener Untersuchung die Coordinaten
beschr¨
ankt waren, zu ersetzen durch den K¨
orper aller reellen oder lieber durch
den K¨
orper aller complexen Zahlen, ...“ [Dedekind 1885, S. 141f.]

Als Ergebnis seiner Studien bewies Dedekind, daß jede endliche kommutative

Algebra über den komplexen Zahlen ohne Radikal eine direkte Summe von

Körpern ist, die jeweils zum Körper der komplexen Zahlen isomorph sind. Als

Radikal bezeichnet man dabei die Menge der Größen, die ein nilpotentes Ideal
erzeugen. Dabei heißt allgemein ein Ideal a nilpotent, wenn es eine natürliche

Zahl n gibt, für die a n = (0) gilt. Außerdem muß noch angemerkt werden,
daß die Mathematiker über ein halbes Jahrhundert lang um eine geeignete

Definition des Radikalbegriffs für Algebren gerungen haben. Dedekind besaß
noch keinen expliziten Radikalbegriff und hatte die nilpotenten Elemente di-
rekt ausgeschlossen. Den verschiedenen Radikalbegriffen ist im wesentlichen
die Eigenschaft gemeinsam, daß das Radikal ein dem vorgelegten Ring bzw.

der Algebra eindeutig zugeordnetes zweiseitiges Ideal ist, so daß der Restklas-
senring des Ringes (der Algebra) nach seinem Radikal möglichst das Nullideal
als Radikal besitzt. Außerdem sollen Ringe (Algebren) ohne Radikal, d. h. nur
mit dem Nullideal als Radikal, eine möglichst einfache Struktur haben, z. B.

die direkte Summe von Ringen (Algebren) sein.

Auslöser für den Dedekindschen Artikel war die Publikation eines Briefes von

Weierstraß durch H. A. Schwarz, in dem ersterer über seine seit den 60er Jah-
ren in Vorlesungen vorgetragene Theorie der aus n Haupteinheiten gebildeten

Größen (d. h. die Theorie der hyperkomplexen Zahlen) berichtete. Weierstraß

528

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert
ging von der von Gauß aufgeworfenen Frage aus,
warum die Relation zwi-

”

schen Dingen, die eine Mannigfaltigkeit von mehr als zwei Dimensionen dar-
bieten, nicht noch andere in der allgemeinen Arithmetik zul¨
assige Arten von

Gr¨
oßen liefern k¨
onnen, ...“ [Gauß 1870, Bd. 2, S. 178], und leitete ab, daß
eine kommutative Algebra über den reellen Zahlen mit mehr als zwei Ein-
heiten stets Nullteiler besitze. Weierstraß vertrat die Ansicht, daß man zwar
in einer Arithmetik allgemeiner komplexer Größen entsprechende Resultate
auf den größeren Bereich verallgemeinern kann, aber prinzipiell keine neuen

Einsichten erzielt. Er glaubte, auch Gauß habe diese Einsicht besessen und
dies in der oben zitierten Formulierung zum Ausdruck bringen wollen.

Im Gegensatz dazu sah Dedekind sehr wohl einen Unterschied zwischen der

Arithmetik der komplexen Zahlen und jener der höheren komplexen Zahlen
und artikulierte seinen Einspruch in der erwähnten Publikation. Für ihn wa-
ren die höheren komplexen Zahlen aber keine neuen Größen, sondern längst in
der Algebra gebräuchlich. Auch diesmal präsentierte er seine Darlegungen in
verallgemeinerungsfähiger Form, so daß sie als Vorbild für weitere Struktur-
untersuchungen dienen konnten. Die Arbeiten von Dedekind und Weierstraß
belegten die lang anhaltende anregende Wirkung der Gaußschen Fragestel-
lung und zugleich die stimulierende Ausstrahlung der körpertheoretischen
und der zahlentheoretischen Forschungen auf das Studium hyperkomplexer

Systeme (Algebren). Außerdem trugen die Arbeiten zu einer stärkeren Akzep-
tanz von Überlegungen zu hyperkomplexen Zahlen bei. Hölder, Julius Peter-
sen, Eduard Weyr, Hilbert und Eduard Study publizierten danach ebenfalls
zu den Eigenschaften hyperkomplexer Zahlsysteme. Otto Stolz behandelte
sie 1886 in seinen Vorlesungen über allgemeine Arithmetik, wobei er sich an
die Hankelschen Darlegungen (vgl. Abschn. 8.4.1) anschloß. Wie Stolz sah
die Mehrzahl der Mathematiker in der Theorie der hyperkomplexen Zahlen
eine nützliche Erweiterung der komplexen Zahlen und eine geeignete Basis
zur abstrakten Begründung derselben.

Einen neuen Impuls erhielt die weitere Entwicklung durch die Verschmelzung
der aufgezeigten Ideenströme mit den Lieschen Untersuchungen über kontinu-
ierliche Transformationsgruppen, deren wichtige Rolle für die Gruppentheo-
rie bereits gewürdigt wurde (vgl. Abschn. 8.3.2). Erste Anregungen gaben

Lie und Poincaré, letzterer verwies erstmals ausdrücklich darauf, daß Bezie-
hungen zwischen Algebren und gewissen kontinuierlichen Transformations-
gruppen bestehen und lenkte zugleich die Aufmerksamkeit auf die Darstel-
lung eines hyperkomplexen Systems als Matrizenalgebra und die Möglichkeit,
aus der Analyse der charakteristischen Gleichung Aussagen über die Algebra
ableiten zu können [Poincaré 1884]. Georg Scheffers und Study setzten diesen

Weg zielstrebig fort und klärten die Struktur der niedrigdimensionalen Alge-
bren auf. Alle verschiedenen Typen von Systemen in n Grundzahlen anzu-

”

geben“, stellte sich Study als Aufgabe [Study 1889, S. 240] und klassifizierte
die Systeme mit 2, 3 bzw. 4 Einheiten. Neben den konkreten Einzelergebnis-
sen hatten einige der Studyschen Arbeiten noch eine integrierende Funktion,

9.5 Die Profilierung weiterer Teilgebiete der Algebra

529
da Study die schon von anderen Mathematikern formal hergestellten Bezie-
hungen zwischen hyperkomplexen Zahlen und Forschungen über Matrizen,

Bilinearformen oder Transformationsgruppen klar aufzeigte und für das Stu-
dium der hyperkomplexen Systeme nutzte. Damit wurde die Theorie der hy-
perkomplexen Systeme wesentlich bereichert. Ohne die Poincarésche Arbeit
zu kennen, konstruierte er die Zuordnung zwischen einem hyperkomplexen

System und bestimmten Transformationsgruppen und klärte damit den be-
haupteten Zusammenhang auf. Wichtigstes Element der Studyschen Klassi-
fikation war die Verwendung des Minimalpolynoms, das er in Anlehnung an

Weierstraß einführte, jedoch ohne es begrifflich auszuzeichnen. Als Minimal-
polynom eines Systems mit n Einheiten wird dabei das Polynom niedrigsten

Grades k ≤ n bezeichnet, dem alle Elemente des Systems genügen. Derartige

Betrachtungen hatten bereits Benjamin Peirce und Weierstraß durchgeführt,
und letzterer hatte den Fall k = n genauer dargelegt. Study klassifizierte die

Systeme mit bis zu vier Basiseinheiten in Abhängigkeit von k und den jeweils
auftretenden Nullstellen des Minimalpolynoms (einfache oder mehrfache, re-
elle oder konjugiert komplexe Nullstellen). Außerdem hob er die Bedeutung
des Koeffizientenbereichs hervor, indem er zwischen Systemen über den re-
ellen bzw. den komplexen Zahlen unterschied. Den Nutzen der Studien über

Systeme hyperkomplexer Zahlen sah Study im Wesentlichen darin, daß sie

”

gewisse Gruppen von Transformationen in einer sehr einfachen Weise erstens
zu bestimmen und zweitens darzustellen gestatten.“ [Study 1889, S. 214]

Scheffers, ein Schüler von Lie, ging in seinen Forschungen von den Arbeiten

Weierstraß’ und Dedekinds aus, integrierte aber zunehmend die Ideen des
zuvor in Leipzig wirkenden Study. Study, der sich 1885 in Leipzig habilitiert
hatte, ging 1889 als Privatdozent an die Universität Marburg und 1893/94 als

Lecturer an die Johns Hopkins Universität Baltimore, bevor Bonn 1894-1897
sowie ab 1904 seine Hauptwirkungsstätte wurde. Vor allem durch die virtuose

Anwendung invariantentheoretischer Methoden erwarb er sich einen Ruf als
ausgezeichneter Geometer, der viele neue geometrische Ideen förderte. Schef-
fers folgte sowohl in seiner Dissertation (1890) als auch in seiner Habilitations-
schrift (1891) den Anregungen Lies und hatte in den folgenden Jahren großen

Anteil an der Edition von drei Bänden mit Vorlesungen bzw. einer zusam-
menfassenden Darstellung Lies zur Theorie der Berührungstransformationen.

Als Professor an der Technischen Hochschule Darmstadt (1896–1907) und der

Technischen Hochschule Berlin-Charlottenburg (1907–1935) erwarb er sich
dann einen guten Ruf als vielseitiger Lehrbuchautor und als Forscher auf
dem Gebiet der Differentialgeometrie. Die hier zu besprechenden Arbeiten
standen also am Beginn der Forschungsaktivitäten von Scheffers, und erst in
deren Verlauf lernte er auch die oben besprochenen Arbeiten Studys kennen.

Den Zusammenhang zu den Transformationsgruppen stellte Scheffers her,
indem er die Produktbildung xy = z in einem hyperkomplexen System für
festes y als eine Transformation des Systems in sich interpretierte ( x, y, z sind

Elemente aus dem hyperkomplexen System). Durchläuft y alle Elemente des

530

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert

Systems, so erhält man eine Schar von Transformationen, die eine Grup-
pe bilden. Er betrachtete auch die zu der Transformationsgruppe gehörigen
infinitesimalen Transformationen und zeigte, modern formuliert, daß eine Al-
gebra mit der Kommutatorbildung [ x, y] = xy − yx als Multiplikation eine

Lie-Algebra wird. Zur Klassifikation der hyperkomplexen Systeme zog er we-

&

'

n

sentlich die Determinante ∆x = det
ai x
heran ( ai
die Multiplika-
jk
j
jk
j=1
tionskonstanten und xj die Koeffizienten eines beliebigen Elementes aus dem
hyperkomplexen System). Die Determinante war zuvor schon von Weierstraß
und Dedekind betrachtet worden. Eine wichtige Ergänzung der bisherigen

Klassifizierungsmethoden war die Übertragung einer Einteilung der Trans-
formationsgruppen in zwei Klassen auf die hyperkomplexen Systeme, was
zur Unterscheidung zwischen Kegelschnitt- und Nichtkegelschnittsystemen
führte. Da erstere stets eine Teilalgebra enthielten, die zu den Quaternionen
isomorph war, sprach Scheffers später von Quaternionen- und Nichtquater-
nionensystemen. Für letztere wies er u. a. die Existenz einer Basis {ei} nach,
so daß jedes Produkt ekek+ i eine Linearkombination der Einheiten e 1, e 2,

..., ek ist. In der modernen Theorie der Lie-Gruppen ergibt sich hier ein Zu-
sammenhang zur Theorie der nichtauflösbaren und auflösbaren Lie-Gruppen.

Neben diesen Resultaten zur Struktur der Quaternionen- und Nichtquater-
nionensysteme gelang Scheffers die Aufstellung aller Systeme mit 5 Basis-
einheiten, wobei er zu der Studyschen Methode überging und die Systeme
nach dem Grad des Minimalpolynoms klassifizierte. In der Übersichtsdarstel-
lung von 1891 [Scheffers 1891] führte er dann einer Anregung Studys folgend
zusätzlich die Unterscheidung zwischen reduziblen und irreduziblen Systemen
ein, wobei er, in moderner Terminologie formuliert, eine Algebra als reduzi-
bel bezeichnete, wenn sie die direkte Summe zweier echter Teilalgebren war.

Die Algebra A ist die direkte Summe der Teilalgebren B und C, wenn gilt:

A = B + C und BC = 0. Da Scheffers die Eindeutigkeit der Zerlegbarkeit
eines hyperkomplexen Systems in irreduzible Systeme und die multiplikative

Zusammensetzung des Minimalpolynoms des Systems aus den Minimalpoly-
nomen der irreduziblen Teilsysteme nachweisen konnte, war ihm die Über-
tragung eines wichtigen Begriffs für die Klassifikation der Algebren gelungen,
und die Aufgabe reduzierte sich nun im wesentlichen auf die Bestimmung
der irreduziblen hyperkomplexen Systeme. In diesem Sinne bestimmte er alle
irreduziblen Quaternionensysteme mit bis zu acht Basiseinheiten. Die von
ihm ebenfalls definierte

Multiplikation von Zahlensystemen“ brachte außer

”

der Einsicht, daß die Menge der hyperkomplexen Systeme wieder ein solches

System bildet, keine bemerkenswerten Resultate. Interessant ist die Schef-
ferssche Sicht auf die Stellung der Theorie hyperkomplexer Systeme, die er
der Theorie der Transformationsgruppen unterordnete und als einen Teil der-
selben betrachtete [Scheffers 1891, S. 388, 293]. Mit diesem Herabsetzen der

Algebrentheorie zu einer Untersuchungsmethode für Transformationsgruppen
verkannte Scheffers zweifellos die Situation, doch da er sich als Lie-Schüler

9.5 Die Profilierung weiterer Teilgebiete der Algebra

531
lange und sehr intensiv an der Entwicklung der Lieschen Theorie beteiligte,
ist dieser Überschwang verständlich. Trotz der Übertreibung verdeutlicht die

Einschätzung den großen Stellenwert, den die Forschungen über Transforma-
tionsgruppen in jenen Jahren hatten.

Etwa zeitgleich gelang Wilhelm Killing bei einer ganz anderen Zielstellung ein
grundlegender Beitrag zur Struktur der Lie-Algebren, der zunächst nur wenig

Beachtung fand. Killings Interesse galt vor allem den Grundlagen der Geo-
metrie, mit denen er sich seit seiner Studienzeit 1865/72 beschäftigte. Viele
neue Impulse erhielt er durch die Fortsetzung des Studiums an der Berliner

Universität ab dem Wintersemester 1867/68, wobei die Seminare seines Leh-
rers Weierstraß besonders anregend auf ihn wirkten. Nach der Erforschung
einiger

Raumformen“ (Geometrien), wandte sich Killing der Erweiterung

”

der Raumformen zu. In die axiomatisch definierte Raumform führte er un-
endlich kleine (gleichförmige) Bewegungen ein, die er analytisch beschrieb
und deren Zusammensetzung er dann untersuchte. Als Resultat erhielt er ei-
ne Verbindung zwischen den Grundlagen der Geometrie und den Gruppen
dieser infinitesimalen Bewegungen, die nichts anderes als Lie-Algebren waren.

Erst nach der Veröffentlichung seiner Arbeit [Killing 1884], die als Schulpro-
gramm erschien, wurde er von Klein auf die Lieschen Arbeiten hingewiesen
und begann 1885 einen fruchtbaren Briefwechsel mit dem Lie-Schüler Fried-
rich Engel in Leipzig. Der von W. Hein publizierte Briefwechsel [Hein 1997]

liefert interessante Einblicke in diese Schaffensperiode Killings sowie einen

Überblick über sein Werk. Für eine genaue Analyse der Killingschen Arbei-
ten, deren Beziehungen zu den geometrischen Forschungen der Zeit und ihren

Platz in der Geschichte der Lie-Algebren sei auf [Hawkins 1980] und [Hawkins

1982] verwiesen.

Engel veranlaßte Killing auch, die Liesche Terminologie zu übernehmen und
in einigen Punkten Lies Priorität anzuerkennen. Zur Terminologie sei dabei
noch angemerkt, daß die Bezeichnungen Lie-Gruppe bzw. Lie-Algebra erst
in den 30er Jahren des 20. Jahrhunderts geprägt wurden, vorher sprach man
von kontinuierlichen (Transformations-)Gruppen und Gruppen infinitesima-
ler Transformationen. Im Bestreben, einen Überblick über die verschiedenen

Raumformen zu erhalten, und die Weierstraßsche Theorie der Elementarteiler
als methodischen Leitfaden nutzend, schuf Killing 1888–90 in einer vierteili-
gen Arbeit eine Klassifikation der einfachen Lie-Algebren [Killing 1888]. Mit
zahlreichen Anregungen, aber auch mit aufmunternden Worten hat Engel
die Entstehung und Publikation der vier Artikel spürbar unterstützt. Killing
gab vier Grundtypen und sechs Spezialfälle für die Struktur der einfachen

Lie-Algebren an und hatte damit erstmals eine große Klasse von Algebren
vollständig klassifiziert. Bei den dabei verwendeten Begriffen wird der Ein-
fluß der Gruppentheorie spürbar. So hieß eine Transformationsgruppe (Lie-

Algebra) einfach, wenn sie keine invariante Untergruppe besitzt, d. h. wenn
in der Algebra kein echtes Ideal existiert. Eine Untergruppe (Teilalgebra)

U hieß invariant in der Transformationsgruppe (Lie-Algebra) G, wenn für

532

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert

X aus U und Y aus G das Produkt ( X, Y ) stets in U lag. Als neue Klas-
se von Lie-Algebren führte Killing die halbeinfachen Lie-Algebren ein, die
er als Zusammensetzung von einfachen Lie-Algebren definierte und die mit
letzteren viele Eigenschaften gemeinsam besaßen. Eine Lie-Algebra war die

Zusammensetzung zweier Lie-Algebren, wenn das Produkt von zwei Elemen-
ten aus verschiedenen Teilalgebren stets Null war. Das wichtigste Element der

Killingschen Klassifikation bildete die von ihm eingeführte charakteristische

Gleichung, auch Killingsche Gleichung genannt, zu deren Definition er impli-
zit Elemente der modern als adjungierte Darstellung bezeichneten Abbildung
verwendete und durch deren Untersuchung mittels der Elementarteilertheorie
er einen völlig neuen Blick auf das Studium der Lie-Algebren eröffnete.

Die Arbeit Killings hat die weiteren Forschungen zur Struktur der Lie-

Algebren und der linearen assoziativen Algebren entscheidend beeinflußt.

Zwar waren die Darlegungen hinsichtlich Exaktheit und Eleganz noch ver-
besserungsbedürftig, worüber sich Killing völlig im Klaren war, doch in den

Grundideen bildeten sie die Basis für die bedeutenden Beiträge von Élie Car-
tan , Joseph Henry Maclagan Wedderburn, Hermann Weyl und anderen bis
hin zur modernen Entwicklung der abstrakten harmonischen Analyse und
der Kac-Moody-Algebren. Killing hatte die Bedeutung seiner Arbeit nicht
erkannt und den Weg zum Studium von Lie-Algebren nicht weiterverfolgt,
er wandte sich wieder den Raumformen zu. Eine wichtige persönliche Konse-
quenz der vierteiligen Publikation war für Killing, daß er 1892 eine Professur
an der Universität Münster und damit bessere Möglichkeiten zur Forschung
erhielt, nachdem er zuvor an verschiedenen Gymnasien, vor allem in Brauns-
berg (Braniewo), gelehrt hatte.

Die Präzisierung und Vertiefung der Killingschen Resultate wurde von Élie

Cartan vorgenommen. Dabei eröffnete dem aus einfachen Verhältnissen stam-
menden Cartan nur der glückliche Umstand, durch die Initiative eines Schul-
inspektors ein staatliches Stipendium zu erhalten, den Weg zu einer höheren

Ausbildung. Cartan dankte diese Gunst, indem er einer der bedeutendsten

Mathematiker in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts wurde. Nach dem

Studium an der Pariser École Normale Supérieure lehrte und forschte er in

Montpellier, Lyon, Nancy und ab 1912 als Professor an der Sorbonne in Paris.

In seinen Forschungen schuf er Grundlegendes zur Analysis differenzierbarer

Mannigfaltigkeiten, wobei er in einzigartiger Weise die Differentialgeometrie
und die Theorie der Differentialgleichungssysteme eng mit der Theorie der

Lie-Gruppen verband. Als seine bedeutendste Leistung gilt meist die Schaf-
fung des Kalküls der äußeren Differentialformen, den er mit großer Virtuosität
auf verschiedenste Problem erfolgreich anwandte und der u. a. die Verwen-
dung neuer algebraischer Überlegungen ermöglichte.

Mit seiner Dissertation betrat Cartan 1894 das Feld der Lie-Gruppen, das
er für die folgenden drei Jahrzehnte fast allein beherrschen sollte. Er hat-
te sich eingehend mit der Theorie der Transformationsgruppen beschäftigt,
kannte die vielfältigen Anwendungen der Gruppentheorie in den Naturwis-

9.5 Die Profilierung weiterer Teilgebiete der Algebra

533
senschaften und sah eine zentrale Aufgabe in der Aufklärung struktureller

Aspekte, die zu einer Klassifikation unterschiedlicher Objekte führte. In der

Dissertation [Cartan 1894] korrigierte er die Anzahl der Ausnahmefälle in der

Killingschen Klassifikation von sechs auf fünf und arbeitete die Bedeutung
der Killingschen (charakteristischen) Gleichung klar heraus. So konnte er eine
integrable (auflösbare) bzw. halbeinfache Lie-Algebra vollständig durch Ei-
genschaften des Koeffizienten bei der dritthöchsten Potenz der Unbestimm-
ten in dieser Gleichung charakterisieren. Weiterhin bewies er den zentralen

Struktursatz, daß es in einer nichtintegrablen (nichtauflösbaren) Lie-Algebra

A eine größte integrable Teilalgebra Γ gibt, die eine zu A homomorphe (bei

Cartan noch isomorphe) halbeinfache Algebra A/Γ bestimmt [Cartan 1894,

S. 97]. Für viele der von Killing angegebenen Einzelresultate deckte Cartan
die inneren Zusammenhänge auf und formte den Grundstock einer umfassen-
den Theorie, der Theorie der halbeinfachen Lie-Algebren.

Bei der intensiven Beschäftigung mit den kontinuierlichen Transformations-
gruppen war Cartan die Beziehungen zwischen diesen Gruppen und den hy-
perkomplexen Systemen, die von Lie, Scheffers, Study u. a. dargelegt wor-
den waren, nicht entgangen. So ergänzte er 1895 seine Ausführungen zu
einem Struktursatz für Lie-Algebren durch eine Formulierung der Aussage
für hyperkomplexe Systeme. Damit eröffnete er nicht nur den Weg für die

Übertragung der Strukturaussagen, sondern stärkte auch die Profilierung der

Algebrentheorie als eigenständiges Teilgebiet der Algebra. In den folgenden

Jahren realisierte er diesen Ansatz und schuf die Grundzüge einer Struktur-
theorie für lineare assoziative Algebren. Die Haupttheoreme dieser Theorie
hatte Theodor Molien 1891 bereits abgeleitet, doch hatte Cartan die ent-
sprechende Publikation nicht zur Kenntnis genommen. Moliens Zugang zu
den hyperkomplexen Systemen entsprach dem der arithmetisch geprägten

Richtung von Weierstraß, Dedekind und anderen. Molien war mit dem aktu-
ellen Forschungsstand sehr gut vertraut, kannte die Arbeiten von Frobenius,

Sylvester, Lie, Engel, Scheffers usw., war eng mit Study und Adolf Hurwitz
befreundet und hatte 1883–85 unter Klein Fragen der Gruppentheorie stu-
diert. Seit 1885 wirkte er in Dorpat, ab 1888 gemeinsam mit Friedrich Schur.

Ausgangspunkt in der 1891 vollendeten Dissertation [Molien 1893] war für

Molien die Analyse des Systems der Multiplikationskonstanten und die De-
finition des begleitenden Systems A zu einer assoziativen Algebra A über
den komplexen Zahlen: Für zwei beliebige Elemente x, u aus A ist x = xu,
n

d. h. x =
ai x
i
kl
k ul (1 ≤ i ≤ n). Läßt sich die Basis von A so wählen,
k,l=1
daß die ersten r Komponenten x des Produktes xu nur von den ersten r
i
r

Komponenten der Faktoren abhängen, d. h. x =
ai x
i
kl k ul (1 ≤ i ≤ r),
k,l=1
dann definieren diese r Gleichungen das begleitende System A. Mit ande-
ren Worten: Ist {ei} eine entsprechende Basis von A, so bilden die Einheiten
er+1 , ...en ein zweiseitiges Ideal in A. Ein hyperkomplexes System, das kein

534

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert
begleitendes System besitzt, nannte Molien
urspr¨
unglich“, und dieser Be-

”

griff ist dem der einfachen Algebra äquivalent. Neben der charakteristischen

Gleichung und dem Minimalpolynom, von ihm Ranggleichung genannt, zog
er noch spezielle, auf dem hyperkomplexen System definierte Bilinearformen
zu seinen Untersuchungen heran und fügte den Einsichten seiner Vorgänger,
wie sich die Struktur des hyperkomplexen Systems in Eigenschaften dieser

Polynome niederschlug, mehrere neue, vor allem die Einfachheit des Systems
betreffende hinzu. Er kam dann zu dem grundlegenden Resultat, daß jedes
hyperkomplexe System in die (direkte) Summe von ursprünglichen (einfa-
chen) Systemen und einem Restsystem zerfällt und jedes einfache System
einem vollständigen Matrizenring isomorph ist. Damit war die Struktur der
einfachen Algebren über den komplexen Zahlen aufgeklärt. Für eine weitere

Analyse der Molienschen Arbeiten sei auf [Hawkins 1972] verwiesen.

Wie bereits vermerkt, gelangte Cartan ausgehend von seinen Untersuchun-
gen über kontinuierliche Transformationsgruppen zu völlig analogen Aussa-
gen zur Struktur assoziativer Algebren [Cartan 1897], [Cartan 1898]. Das
bei der Zerlegung einer Algebra in die direkte Summe einfacher Algebren
auftretende Restsystem charakterisierte er als nilpotente invariante Teilalge-
bra. Wichtige Orientierungen lieferte ihm auch die Scheffersche Einteilung in

Quaternionen- und Nichtquaternionensysteme. Ausführlich behandelte Car-
tan die reellen Systeme, d. h. die Algebren über den reellen Zahlen, und doku-
mentierte mit diesen Ergebnissen in einer bisher nicht gekannten Ausführlich-
keit den Einfluß des Koeffizientenbereichs auf die Struktur der Algebra. Trotz
der engen Beziehungen zu den Transformationsgruppen betonte Cartan die

Eigenständigkeit der Strukturuntersuchungen für assoziative Algebren, was
letztlich eine Hervorhebung des algebraischen Charakters dieser Forschungen
bedeutete.

Diese Etablierung der Algebrentheorie als spezielles Teilgebiet der Algebra
wurde fast zeitgleich durch den Artikel von Study in der Enzyklop¨
adie der

”

mathematischen Wissenschaften“ unterstrichen. Die Schaffung dieser Enzy-
klopädie war 1895 von der Deutschen Mathematiker-Vereinigung auf Initiati-
ve von Franz Meyer, Felix Klein und Heinrich Weber diskutiert und beschlos-
sen worden. Man wollte den Notwendigkeiten der Zeit und dem veränderten

Wechselverhältnis zwischen der Mathematik und den Naturwissenschaften

Rechnung tragen. Nach der raschen und umfassenden Entwicklung der Ma-
thematik im 19. Jahrhundert sollte die Enzyklopädie
in knapper, zu rascher Orientierung geeigneter Form, aber mit m¨
oglichster

”

Vollst¨
andigkeit eine Gesamtdarstellung der mathematischen Wissenschaften
nach ihrem gegenw¨
artigen Inhalt an gesicherten Resultaten ... geben und zu-
gleich durch sorgf¨
altige Literaturangaben die geschichtliche Entwicklung der
mathematischen Methoden seit dem Beginn des 19. Jahrhunderts“ nachwei-
sen [Encyklopädie 1898, Bd. 1,1, S. IX].

Die Theorie der gemeinen und h¨
oheren complexen Zahlen“ [Study1898] bil-

”

dete den Abschnitt 4 im ersten Teil des Bandes I – Arithmetik und Algebra –

9.5 Die Profilierung weiterer Teilgebiete der Algebra

535
und stand damit gleichberechtigt neben Galois-Theorie, Theorie der algebra-
ischen Zahlkörper, Mengenlehre, partiellen Differentialgleichungen und an-
deren im starken Aufschwung befindlichen Gebieten der Mathematik. Study
lieferte mit seinem Beitrag eine Übersicht über die wichtigsten Resultate zur

Theorie hyperkomplexer Systeme, die auch eine erste Würdigung der Arbei-
ten Moliens und einen Hinweis auf die Artikel Cartans enthielt. Ein wichtiger

Effekt dieser Übersicht war insbesondere ein Entwirren der Begriffsvielfalt,
zu der es in den vorangegangenen Jahren durch mehrere zeitlich parallel ent-
standene Publikationen gekommen war. Zehn Jahre später hat dann Cartan
für die französische Übersetzung der

Enzyklop¨
adie“ den Studyschen Bei-

”

trag grundlegend überarbeitet und umfangreiche Ergänzungen und Verände-
rungen vorgenommen [Cartan 1908]. Durch die in der Zwischenzeit erziel-
ten Fortschritte konnte er der Algebrentheorie eine wesentlich abgerundetere

Darstellung geben und die vielfältigen Beziehungen der hyperkomplexen Me-
thoden zu anderen mathematischen Teilgebieten hervortreten lassen, ohne
die Eigenständigkeit der Theorie in Frage zu stellen. Cartan referierte auch
die Ergebnisse einiger US-amerikanischer Mathematiker, den krönenden Ab-
schluß dieser Entwicklungslinie erfaßte er jedoch nicht mehr.

Dieser Abschluß bestand in einer Synthese von klassischer Theorie, axiomati-
scher Methode und formal logischen Betrachtungen zu einer abstrakten Alge-
brentheorie über beliebigen Körpern. Auf die Studien zu Axiomensystemen
und zur Logik als einer bevorzugten Forschungsrichtung in der jungen auf-
strebenden US-amerikanischen Mathematik ist schon verwiesen worden. Die

Gruppen um Huntington und Moore schufen damit jenes anregende geistige

Klima, das den Übergang zur Algebrentheorie als abstrakter, axiomatisch be-
gründeter Strukturtheorie begünstigte. Nachdem George Pratt Starkweather
ab 1899 die Schefferschen Klassifikationsmethoden analysiert und weitere hy-
perkomplexe Systeme bestimmt hatte, nahm Herbert Edwin Hawkes ab 1902
eine erste Verschmelzung der amerikanischen und europäischen Traditions-
linien vor, wie sie sich in den Arbeiten von Benjamin und Charles Sanders

Peirce bzw. von Scheffers, Study, Molien u. a. dokumentierte. Innerhalb weni-
ger Jahre wurde eine Fülle von Einzelresultaten erzielt und 1907 unternahm

James Byrnie Shaw einen mit Studys Enzyklopädieartikel vergleichbaren Ver-
such zur Vereinheitlichung der Theorie in seiner

Synopsis of Linear Asso-

”

ciative Algebras“, der aber sehr rasch überholt sein sollte. Leonard Eugene

Dickson hatte 1903 in dem oben skizzierten Kontext die Axiomensysteme für
einen abstrakten Körper bzw. für eine lineare assoziative Algebra über einem
beliebigen Körper nach rein logischen Gesichtspunkten, wie Widerspruchsfrei-
heit und Äquivalenz der Axiomensysteme untersucht [Dickson 1903a], [Dick-
son 1903b]. Die Definition sollte u. a. das Nebeneinander der Bezeichnungen
hyperkomplexes System, System hyperkomplexer Zahlen und Algebra besei-
tigen. Nach Dickson wurde eine lineare assoziative Algebra kurz als Algebra
bezeichnet. Mit der Frage nach den möglichen Divisionsalgebren entdeckte

Dickson dann ein scheinbar gelöstes Problem, das über Jahre hinweg Stoff

536

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert

Leonard Eugene Dickson

Joseph Henry Maclagan Wedderburn
für neue Forschungen bot. Den Schlußpunkt dieser Entwicklungsphase bil-
deten die Arbeiten von Wedderburn, der nach dem Studium in Edinburgh

1904 in dem auf geometrische Untersuchungen orientierten Kreis um Moore
und Dickson an der Universität Chicago seine Kenntnisse vertiefte, bevor er
an den Universitäten in Edinburgh (1905–1909) und Princeton (1909–1914,

1918–1945) eine Lehrtätigkeit ausübte. Wichtigstes Resultat des Chicago-
er Aufenthalts war die Aussage, daß jeder endliche Schiefkörper kommutativ
und damit ein Galois-Feld ist. Unabhängig von Wedderburn hatte auch Dick-
son einen Beweis dieses Satzes gefunden, aus dem sofort eine Klassifikation
aller endlichen halbeinfachen Algebren folgte, der aber darüber hinaus wich-
tige Anwendungen in der Geometrie und Zahlentheorie hatte. Zusammen mit

Oswald Veblen leitete Wedderburn in den folgenden Jahren wichtige Erkennt-
nisse zur projektiven Geometrie, genauer über Pascalsche und Desarguesche

Geometrien, ab. (Vgl. dazu [Parshall 1983])

Mit seiner Arbeit

On Hypercomplex Numbers“ (1908) legte Wedderburn

”

dann den Grundstein für eine abstrakte Algebrentheorie. Da die bisherigen

Methoden zur Klassifikation meist von dem speziellen Koeffizientenbereich

(reelle bzw. komplexe Zahlen) abhingen, wählte er bewußt einen axiomatisch-
mengentheoretischen Ausgangspunkt, der ihn zu einem abstrakten Aufbau
der Theorie führte. Als methodisches Vorbild diente ihm die Gruppentheorie.

Wedderburn ging vom Rechnen mit Komplexen aus, was ihm die elegante

Definition wichtiger Begriffe ermöglichte. So charakterisierte er die Invari-
anz eines Teilkomplexes B (als linearer Unterraum) in der Algebra A durch

AB ⊆ B und BA ⊆ B, d. h. B ist ein zweiseitiges Ideal in A, und die Re-
duzibilität einer Algebra A in die Summe der Teilalgebren B und C durch

A = B + C und BC = 0 = CB. Die grundlegenden Struktursätze Wedder-
burns verallgemeinerten dann die Resultate von Peirce, Molien, Cartan u. a.

9.5 Die Profilierung weiterer Teilgebiete der Algebra

537
und besagten, daß jede Algebra (als Vektorraum) die direkte Summe einer
halbeinfachen Algebra und einer eindeutig bestimmten, maximalen nilpoten-
ten, invarianten Algebra ist, jede halbeinfache Algebra eindeutig als direkte

Summe von einfachen Algebren dargestellt werden kann, und daß jede einfa-
che Algebra eine volle Matrizenalgebra über einer Divisionsalgebra ist. Zuvor
hatte er für die heute als Radikal bezeichnete maximale nilpotente, invari-
ante Algebra nachgewiesen, daß sie alle nilpotenten invarianten Teilalgebren
enthielt, und die halbeinfachen Algebren als Algebren ohne Radikal definiert.

Schließlich versuchte Wedderburn, die Reichweite seiner Theorie abzustecken.

Für nichtassoziative Algebren blieben mehrere Aussagen gültig, doch konn-
te eine solche Algebra einfach sein und trotzdem nur nilpotente Elemente
enthalten.

Wie die Steinitzsche Arbeit in der Körpertheorie so markierte Wedderburn
den Übergang zur modernen Algebra“ in der Algebrentheorie. Nach der Re-

”

zeption der Ideen Wedderburns, die maßgeblich durch Arbeiten von Dickson
gefördert wurde, war die Algebrentheorie a very different thing from what

”

it was before. Much of it took on the grace of civilized generality and unity.“

[Bell 1938, S. 30]. Das Studium der nilpotenten und der Divisionsalgebren bil-
dete das bevorzugte Thema der weiteren algebrentheoretischen Forschungen,
wobei insbesondere durch die Bearbeitung und Fortsetzung der klassischen

Theorie mit den neuen Methoden die Vorteile der abstrakten Herangehens-
weise deutlich hervortraten und immer besser verstanden wurden.

9.5.2 Darstellungen von Gruppen und Algebren

Mehrfach ist in den vorangegangenen Abschnitten auf Darstellungen von

Algebren bzw. Gruppen und wichtige Resultate über dieselben hingewiesen
worden. Nachfolgend soll die historische Entwicklung dieses Teilgebietes der

Algebra kurz skizziert werden. Mit dem Begriff der Darstellung folgten die

Mathematiker der im täglichen Leben häufiger auftretenden Vorgehensweise
in schwierigen Situationen: bei einer komplizierten Problemlage den Sachver-
halt auf eine uns vertraute Sachlage zu übertragen, die Fragestellung zunächst
dort zu entscheiden und diese Lösung als Orientierung für die Bewältigung
des Ausgangsproblems zu nehmen. Eine Darstellung eines algebraischen Ob-
jektes kann vereinfacht als eine homomorphe Zuordnung zu einer Menge von
linearen Abbildungen eines Vektorraumes gekennzeichnet werden, wobei die-
se Menge der Abbildungen häufig durch Matrizen repräsentiert wird. Die

Anfänge der Darstellungstheorie sind durch die Realisierung der Quaternio-
nen bzw. der Nonionen als Matrizen und der von C. S. Peirce und Frobenius
unabhängig voneinander bewiesenen Einsicht markiert, daß jede (endlich di-
mensionale) assoziative Algebra als Matrizenalgebra dargestellt werden kann.

Schließlich sei daran erinnert, daß in den Struktursätzen über Algebren die

Realisierung der einfachen Algebren als Matrizenalgebren ein wichtiges Teil-
ergebnis war. Die Einsichten in die Struktur der Algebren bildeten dann am

538

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert

Ende des 19. Jahrhunderts einen möglichen Zugang zur Darstellungstheorie
von Gruppen. Molien ordnete jeder endlichen Gruppe die Gruppenalgebra
zu, eine Bildung, die Cayley erstmals 1854 vorgenommen hatte (vgl. Abschn.

7.4.2), und konnte auf diese Algebra jene Betrachtungen anwenden, die er in
seiner Strukturtheorie vorgenommen hatte. Sein Ziel war es, unter Heranzie-
hung der

Theorie der h¨
ohern complexen Zahlensysteme“ einige allgemeine

”

Sätze über die

Darstellbarkeit einer gegebenen discreten Gruppe“ abzulei-

”

ten [Molien 1897, S. 259]. Er bewies zunächst die Zerlegung einer endlichen

Gruppe in irreduzible Komponenten sowie die vollständige Reduzibilität jeder
regulären Darstellung einer endlichen Gruppe und konzentrierte sich dann auf
die irreduziblen Bestandteile. Er erkannte u. a., daß jede irreduzible Darstel-
lung einer Komponente der regulären Darstellung isomorph ist und fand die

Beziehung zwischen dem Grad der irreduziblen Darstellung und der Gruppen-
ordnung. In seinen Darlegungen formulierte er auch eine wichtige Relation,
die nichts anderes als die Orthogonalität der Gruppencharaktere ausdrückte,
doch hat Molien erst später aus den Arbeiten von Frobenius die Bildung der

Gruppencharaktere kennengelernt. Es tritt uns hier wieder das Phänomen der

Parallelentwicklung wissenschaftlicher Ergebnisse entgegen, das bei der re-
trospektiven Betrachtung meist eine gewisse Verwunderung auslöst, das aber
zugleich mit aller Deutlichkeit aufzeigt, wie vielschichtig und störanfällig der
wissenschaftliche Kommunikationsprozeß sein kann. Molien und Frobenius
erzielten fast zeitgleich analoge Ergebnisse zur Darstellungstheorie endlicher

Gruppen. Beide näherten sich dem Thema aus unterschiedlichen Positionen,
was die Unabhängigkeit ihrer Forschungen unterstreicht, doch hätten die ge-
genseitige Kenntnis der Arbeiten bzw. ein Gedankenaustausch die Entwick-
lung zweifellos beschleunigt. Frobenius wurde im Herbst 1897 von Study auf
die Arbeiten von Molien hingewiesen und nahm dann brieflichen Kontakt zu

Molien auf, wodurch letzterer wiederum von den Frobeniusschen Resultaten

Kenntnis erhielt.

Frobenius’ Beschäftigung mit den Gruppencharakteren und der Darstellungs-
theorie endlicher Gruppen ging auf eine Anregung Dedekinds zurück. Dede-
kind hatte eine allgemeine Definition der Charaktere für endliche Abelsche

Gruppen 1879 in der dritten Auflage von Dirichlets Vorlesungen ¨
uber Zah-

”

lentheorie“ vorgenommen, wobei er sich auf Vorleistungen von Kronecker,

Schering und Gauß stützte. Letzterer hatte den Begriff des Charakters be-
reits 1801 in den

Disquisitiones arithmeticae“ beim Studium quadrati-

”

scher Formen eingeführt. Zur Verbreitung der Dedekindschen Ideen über

Gruppencharaktere trug dann Weber bei, der u. a. in seinem

Lehrbuch

”

der Algebra“ (1896) den Begriff auf nichtabelsche Gruppen erweiterte und

Charaktere als beliebige komplexwertige Funktionen χ auf der Gruppe mit
χ( gg) = χ( g) χ( g) definierte. Etwa um 1880 kam Dedekind in Studien zur

Galois-Theorie auch zur Einführung der sogenannten Gruppendeterminante
und erkannte sehr bald, daß für endliche Abelsche Gruppen die Gruppen-
determinante in ein Produkt von Linearfaktoren zerfiel, mit den Gruppen-

9.5 Die Profilierung weiterer Teilgebiete der Algebra

539
charakteren als Koeffizienten. Später, 1886, stellte er bei der Berechnung der

Gruppendeterminante für nichtkommutative Gruppen fest, daß er ebenfalls
eine Zerlegung in Linearfaktoren erreichen konnte, wenn er als Koeffizien-
ten hyperkomplexe Zahlen zuließ. Eine allgemeine Aussage gelang Dedekind
nicht, und er hat diese Forschungen nicht intensiv weiterbetrieben, doch frag-
te er 1895 bei Frobenius, der 1892 der Nachfolger von Kronecker an der Ber-
liner Universität geworden war und dessen gruppentheoretischen Arbeiten

Dedekind schätzte, recht pauschal an:

... dr¨
angen sich in Ihre Untersuchung auch ¨
ubercomplexe Gr¨
ossen ein mit

”

nicht commutativer Multiplication?“ [Dedekind Werke Bd. 2, S. 419f.]

Nach weiteren Briefen Dedekinds (1896), in denen er seine bisherigen Unter-
suchungen über die Gruppendeterminante und Gruppencharaktere darlegte
sowie einige Vermutungen äußerte, begann Frobenius, weiterhin im engen

Gedankenaustausch mit Dedekind stehend, sich mit den Problemen ausein-
anderzusetzen. Innerhalb von vier Jahren publizierte Frobenius mehrere fun-
damentale Arbeiten über Gruppencharaktere, in denen er deren Beziehung
zur Darstellungstheorie herausarbeitete. Er deckte wichtige Eigenschaften der

Charaktere auf und bewies u. a. die oben angegebenen Resultate von Molien.

Er gab mehrere Methoden zur Berechnung der Charaktere an und berechnete
die Charaktertafel für mehrere Gruppen. Nach dem Studium der Molienschen

Arbeiten formulierte er seine Ergebnisse unter Verwendung der Matrizendar-
stellung und wies die von ihm zu jedem Primfaktor der Gruppendeterminante
definierten Charaktere jeweils als Spur der irreduziblen Darstellungen nach.

Schließlich gelangte auch Burnside in den Jahren vor der Jahrhundertwende
zu zahlreichen Einsichten über Darstellungen und Gruppencharaktere, um
dann im Jahre 1900 mit zwei Arbeiten völlig überraschend die Tür zu neu-
en Forschungen aufzustoßen, indem er erstmals mit Hilfe der Theorie der

Charaktere Aussagen über die Struktur der Gruppe ableitete. Burnside, der
seit 1885 als Professor am Royal Naval College in Greenwich lehrte und sich
zunächst mit Fragen der Mathematischen Physik und der komplexen Funk-
tionentheorie beschäftigt hatte, wandte sich ab 1893 verstärkt dem Studium
von Gruppen zu und trat sehr bald mit neuen Ergebnissen über endliche

Gruppen hervor (vgl. Absch. 9.2). Sein Interesse beschränkte sich jedoch
nicht auf die endlichen Gruppen, sondern schloß auch die stetigen Transfor-
mationsgruppen ein, so daß er einer der wenigen britischen Mathematiker
war, der mit der Theorie der Lie-Gruppen vertraut war. Wohl vertraut mit

Cartans Struktursätzen für Lie-Algebren und der Schefferschen Ausarbeitung
von Lies Vorlesungen ¨
uber continuirliche Transformationsgruppen“ näherte

”

er sich der Darstellungstheorie für Gruppen, ähnlich wie Molien, über das

Studium der Gruppenalgebra, die er jedoch als Lie-Algebra betrachtete. Er
deckte einige Zusammenhänge zwischen den kontinuierlichen Gruppen mit n

Parametern und den endlichen Gruppen der Ordnung n auf und bewies zahl-
reiche der grundlegenden Frobeniusschen Theoreme zur Darstellungstheorie
neu. Auch wenn Burnside später seine Unabhängigkeit betonte, muß doch

540

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert

Issai Schur

William Burnside
berücksichtigt werden, daß er bei diesen Arbeiten auch einige der Frobenius-
schen Arbeiten kannte. Für eine genaue Analyse dieser Abhängigkeit wie für
die gesamte Theorie der Gruppencharaktere sei auf die Arbeiten von Hawkins

[Hawkins 1971], [Hawkins 1972] und [Hawkins 1974] verwiesen. Das herausra-
gende Resultat bei der erstmaligen Verwendung der Gruppencharaktere zur

Strukturuntersuchung bei Gruppen war die Auflösbarkeit aller Gruppen von
ungerader Ordnung kleiner als 40 000.

Von nun an spielte die Theorie der Gruppencharaktere eine wichtige Rolle
in der Entwicklung der Gruppentheorie. Frobenius war diesen neuen An-
regungen unmittelbar gefolgt und bewies 1901 die Zerlegung der heute als

Frobenius-Gruppen bezeichneten Gruppen in ein Produkt aus einem Normal-
teiler (Frobenius-Kern) und einer Untergruppe, die ihr eigener Normalisator
ist, eines der wenigen Resultate aus jener Zeit, das auch später nicht ohne

Verwendung der Gruppencharaktere bewiesen werden konnte. 1905 stellte

Dickson eine Verbindung zur Körpertheorie her, indem er jedem Fastkörper
eindeutig eine gewisse Frobenius-Gruppe zuordnete, so daß die Klassifika-
tion dieser Frobenius-Gruppen jener der endlichen Fastkörper äquivalent war.

Unter Fastkörper verstand Dickson eine Menge, die mit zwei Operationen,

Addition und Multiplikation, versehen war, in der jedoch die multiplikative

Gruppe nicht die gesamte Menge umfaßte und nicht kommutativ war.

Im gleichen Jahr veröffentlichte Issai Schur, ein Schüler von Frobenius, eine

Neubegründung der Darstellungstheorie der Gruppen, bei der er wesentlich
auf den heute als Schursches Lemma bekannten Satz zurückgriff. Außerdem
führte er wichtige neue Ideen und Begriffe in die Algebra ein, die einen spürba-
ren Einfluß auf die weitere Entwicklung ausübten. Bereits 1901 hatte er in
seiner Dissertation die polynomialen Darstellungen der allgemeinen linearen

Gruppe über dem Körper der komplexen Zahlen mit Methoden bestimmt, die

9.5 Die Profilierung weiterer Teilgebiete der Algebra

541
noch heute in der Theorie der algebraischen Gruppen angewandt werden. Bei
der Untersuchung von Darstellungen endlicher Gruppen über algebraischen

Zahlkörpern definierte er den später nach ihm benannten Index und in Ver-
bindung mit projektiven Darstellungen den ebenfalls nach ihm benannten

Schurschen Multiplikator.

Aus der Fülle von Resultaten zur Darstellungstheorie seien noch zwei all-
gemeineren Charakters erwähnt: Der Satz von Maschke und die Young-

Tableaus. Heinrich Maschke gehörte zu jenen Mathematikern, die am Ende
des 19. Jahrhunderts keine Entwicklungschancen in Deutschland sahen und
in die USA auswanderten. Er vollzog diesen Schritt 1891 und wirkte ab 1892
in der noch jungen mathematischen Abteilung der Universität Chicago, nach-
dem er zuvor als Lehrer in Berlin und als Mitarbeiter von Klein in Göttingen
tätig war. In Chicago arbeitete er mit Oskar Bolza und Moore zusammen.

Anknüpfend an Ergebnisse von Moore über die Existenz einer invarianten

Hermiteschen Form für jede endliche Gruppe linearer Transformationen mit
komplexen Koeffizienten bewies Maschke 1898 den nach ihm benannten Satz:

Jede endliche Gruppe linearer Transformationen ist vollständig reduzibel. All-
gemeiner: Jede Darstellung einer endlichen Gruppe über einem Körper der

Charakteristik Null oder mit einer zur Gruppenordnung teilerfremden Cha-
rakteristik ist vollständig reduzibel. Die Young-Tableaus wurden von dem
in Cambridge tätigen Alfred Young eingeführt, der zunächst zur Invarian-
tentheorie arbeitete und sich dann mit der Darstellung der symmetrischen

Gruppen und deren Gruppenalgebra beschäftigte. In einer Reihe von Arbei-
ten verdeutlichte er ab 1900 die Bedeutung der Partitionen für die Darstellun-
gen dieser Gruppen. Jeder Partition der Zahl n entsprach dabei ein Young-

Tableau und dieses ist mit einer irreduziblen Darstellung der symmetrischen

Gruppe n verknüpft. Frobenius, der zunächst unabhängig von Young eini-

ge Ergebnisse über die Darstellung der symmetrischen Gruppen publiziert
hatte, gelang dann 1903 der Nachweis, daß mit Hilfe der Young-Tableaus al-
le irreduziblen Darstellungen der symmetrischen Gruppen erhalten werden
konnten.

Die Darstellungstheorie fand auch in den folgenden Jahren immer wieder das

Interesse der Mathematiker und wurde um viele bemerkenswerte Erkenntnis-
se bereichert. Sehr bald sollte sie durch ihre Bedeutung für die mathematische

Behandlung der Quantenmechanik stärker ins Zentrum der Forschungen von

Mathematikern und theoretischen Physikern rücken.

9.5.3 Die algebraische Geometrie

Bereits mehrfach ist auf eine enge Verbindung zwischen algebraischen Vorstel-
lungen und Entwicklungen in anderen Gebieten der Mathematik verwiesen
worden, und gewöhnlich hat sich diese gegenseitige Beeinflussung fruchtbrin-
gend auf beide Gebiete ausgewirkt. Im 20. Jahrhundert sollte mit der algebra-
ischen Geometrie dann aus einer dieser seit dem Altertum bestehenden Wech-

542

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert
selbeziehung ein neues eigenständiges Teilgebiet der Mathematik hervorge-
hen. Im Verlaufe dieses Entwicklungsprozesses kam es zu mehreren tiefliegen-
den Veränderungen in der Auffassung, was der Gegenstand der algebraischen

Geometrie ist. Grundsätzlich ist die algebraische Geometrie ein Teilgebiet der

Geometrie und kann sehr grob und ganz allgemein als die Behandlung geo-
metrischer Sachverhalte mit algebraischen Methoden beschrieben werden. In
diesem Sinne können ihre Anfänge bis in die Antike zurückverfolgt werden,
doch hat sie sich nicht zuletzt durch den Einfluß der abstrakten Algebra zu
einer Theorie der Schemata und der algebraischen Räume gewandelt.

Zu den frühen Elementen gehörten das Studium der Kegelschnitte bei Apol-
lonius und später als Kurven zweiter Ordnung bei Descartes und Fermat, die

Klassifikation der Kurven dritter Ordnung durch Newton, die Analyse des

Schnittverhaltens algebraischer Kurven durch Cramer, Euler und Bézout usw.

All diese Probleme wurden innerhalb der Geometrie behandelt, für Details sei
der Leser etwa auf [Scriba/Schreiber 2000] und [Kline 1972] verwiesen. In die-
sen Wechselbeziehungen zwischen Algebra und Geometrie entstanden auch
neue algebraische Ideen und Methoden zur Meisterung der geometrischen

Probleme. Die Fortschritte in der Eliminations- und der Determinantentheo-
rie in Verbindung mit dem Studium von Kurven und deren Schnittpunkten
sind in den Ausführungen zur linearen Algebra schon genannt worden. Das

Aufblühen der projektiven Geometrie in der ersten Hälfte des 19. Jahrhun-
derts eröffnete die Möglichkeiten, das Studium höherer Kurven und Flächen
zu intensivieren und zahlreiche allgemeine Aussagen über verschiedene Lage-
beziehungen bei algebraischen Kurven und Flächen abzuleiten. So schneiden
sich zwei Kurven zweiter Ordnung in maximal vier Punkten, und Newtons

72 Typen der Kurven dritten Ordnung ließen sich in drei projektiv verschie-
dene Klassen einteilen. Der ab 1836 zusätzlich als Professor für Physik an
der Universität Bonn tätige und später auch auf physikalischem Gebiet sehr
erfolgreiche Mathematiker Julius Plücker analysierte das Schnittverhalten
höherer Kurven, klärte mit den sog. Plückerschen Formeln die Beziehun-
gen zwischen der Ordnung und der Klasse einer Kurve sowie verschiedenen

Singularitäten der Kurve (Doppelpunkte, Umkehrpunkte) auf und stellte die

Ergebnisse 1839 in der

Theorie der algebraischen Curven“ detailliert dar.

”

Wichtige Themenkreise bildeten die Vorstellungen über geometrische Trans-
formationen, die bis zu Kleins Erlanger Programm führten (vgl. Absch. 8.3.1),
und das Dualitätskonzept.

Neue Akzente entstanden durch die sich entwickelnde Theorie der Funktio-
nen einer komplexen Veränderlichen. Mit der Theorie der später nach ihm
benannten Fläche und den Untersuchungen zur Klassifikation aller meromor-
pher Funktionen auf diesen Flächen stieß Riemann ab den 50er Jahren des 19.

Jahrhunderts in völlig neue Gebiete vor und brachte eine Fülle neuer Fra-
gestellungen und Ideen hervor. Er charakterisierte diese Funktionen durch
ihre Singularitäten und ihre Perioden“ auf den Riemannschen Flächen und

”

unterschied die Funktionen in drei Gattungen, wobei er erstmals auch topo-

9.5 Die Profilierung weiterer Teilgebiete der Algebra

543

Julius Plücker

Alfred Clebsch
logische Vorstellungen verwendete. In diesen Studien führte er den Begriff
der birationalen Transformation zwischen zwei Funktionen ein (oder zwi-
schen zwei irreduziblen algebraischen Kurven, wie man bei Betonung einer
geometrischen Sprechweise sagen würde), die sich in entsprechenden Rela-
tionen der zugehörigen Riemannschen Flächen niederschlug und dann zur

Bildung von Äquivalenzklassen von Kurven bzw. Flächen Anlaß gab. Zwi-
schen zwei algebraischen Kurven F ( x, y) und F 1( x 1 , y 1) liegt eine birationale

Transformation vor, wenn die Unbestimmten x, y und x 1 , y 1 durch rationale

Funktionen in einander überführt werden (d. h. x 1 = ϕ( x, y), y 1 = η( x, y)

und umgekehrt x = ν( x 1 , y 1), y = µ( x 1 , y 1) mit rationalen Funktionen ϕ, η, ν und µ). Dabei unterschied man sehr bald zwischen Transformationen, die nur die beiden Kurven eineindeutig aufeinander abbilden, und jenen,
welche die ganze Fläche eineindeutig abbilden. Letztere Transformationen
werden Cremona-Transformationen genannt, nach dem italienischen Mathe-
matiker Luigi Cremona, der 1854 erstmals derartige Abbildungen einführte
und untersuchte. Die Bestimmung der Invarianten dieser Äquivalenzklassen
bei birationalen Transformationen wurde eines der zentralen Forschungsziele
der algebraischen Geometrie. Eine erste Invariante hatte Riemann mit dem

(topologischen) Geschlecht p einer Fläche bzw. algebraischen Funktion ge-
funden und dann zu gegebenen p die verschiedenen Äquivalenzklassen an

Hand der Verzweigungsstruktur der entsprechenden Riemannschen Flächen
beschrieben. Den Begriff

Geschlecht“ prägte Clebsch, der, nach vergebli-

”

chen Bemühungen die Riemannschen Ideen zu verstehen, einen eigenen Auf-
bau der Abelschen Funktionen gab und 1863, mit der Aufsehen erregenden

Arbeit

¨

Uber die Anwendung der Abelschen Integrale in der Geometrie“ be-

”

ginnend, die Verbindung zur Theorie der algebraischen Kurven herstellte.

Für diesen funktionentheoretischen Zugang zur algebraischen Geometrie hat

544

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert

Alexander Willhelm von Brill

Emanuel Lasker
er dann Grundlegendes geleistet, u. a. arbeitete er die Bedeutung des Ge-
schlechts für die Klassifikation der algebraischen Kurven klar heraus. Da-
neben war er ab etwa 1865 zusammen mit Gordan an der Schaffung eines
sog. algebraisch-geometrischen Zugangs zur algebraischen Geometrie betei-
ligt. Gemeinsam leiteten sie bekannte und neue Sätze mit algebraischen Me-
thoden ab. Viele der Lücken in ihren oft unvollständigen Beweisen wurden
ab 1871 von Alexander Brill und Max Noether geschlossen. 1874 bewiesen
letztere u. a. algebraisch den Satz von Riemann-Roch und die Invarianz des

Geschlechts bei birationalen Abbildungen sowie den Brill-Noetherschen Rest-
satz. Bei dem Ausbau der Theorie der algebraischen Kurven konzentrierten
sie sich auf die ebenen algebraischen Kurven mit einfachen Singularitäten
und glaubten, nicht zuletzt auf Grund zweier von ihnen entdeckter Trans-
formationstheoreme, daß man die Kurven mit komplizierteren Singularitäten
als Grenzfälle dieser einfacheren Kurven erhalten könne. Außerdem arbeite-
ten Cayley, Clebsch und Noether erste deutliche Unterschiede zwischen der

Theorie der algebraischen Kurven und der der algebraischen Flächen heraus.

Um 1890 bildete sich dann die italienische Schule der algebraischen Geome-
trie unter der Leitung von Guido Castelnuovo, Frederigo Enriques und dem
etwas später dazu kommenden Francesco Severi heraus und verallgemeinerte
den Brill-Noetherschen Zugang zum Studium von algebraischen Flächen und
höherdimensionalen algebraischen Mannigfaltigkeiten (Varietäten).

Zu Beginn der 80er Jahre des 19. Jahrhunderts wurde mit mehreren Publika-
tionen ein dritter, der sog. arithmetische oder algebraisch-zahlentheoretische

Zugang zur Theorie der Abelschen Funktionen von Kronecker, Dedekind und

Weber geschaffen, wobei die Forschungen teilweise weiter zurückreichen. Ge-
legentlich werden auch einige der von Weierstraß in Vorlesungen vorgetrage-
nen Ergebnisse zu dieser Richtung gerechnet. Stärker als in der zuvor skiz-

9.5 Die Profilierung weiterer Teilgebiete der Algebra

545
zierten Richtung konzentrierten sich diese Mathematiker auf die Benutzung
algebraischer Begriffe und Methoden. Grundlegend war die Analogie zwischen
den algebraischen Zahlen eines algebraischen Zahlkörpers und den algebra-
ischen Funktionen auf einer Riemannschen Fläche. Das Bestreben, die in der

Theorie der algebraischen Zahlen erkannten Sachverhalte auf algebraische

Funktionen zu übertragen, hat die Herausbildung abstrakter algebraischer

Begriffe und einer ebensolchen Darstellungsweise stark gefördert. Die Ergeb-
nisse von Kronecker, Dedekind und Weber bildeten Meilensteine auf dem

Weg zur abstrakten Algebra, aber auch zur modernen algebraischen Geo-
metrie, die Arbeiten [Kronecker 1882] und [Dedekind/Weber 1882] sind in
ihrer Bedeutung für die Algebra bereits besprochen worden. (vgl. Abschn.

9.3) Die sich hier offenbarende Brücke zwischen algebraischer Zahlentheo-
rie, Algebra und algebraischer Geometrie mag manchen vielleicht zunächst
in Erstaunen versetzen, doch wird das Bild klarer, wenn man sich verge-
genwärtigt, daß das Anliegen der algebraischen Geometrie vereinfacht als das

Studium der Lösungsmenge von Polynomgleichungssystemen fi( x 1 , ...xn) = 0

( i = 1, 2, ... m) in mehreren Unbestimmten beschrieben werden kann, daß
also algebraische Varietäten durch Polynomideale erzeugt werden. Eine sol-
che Beschreibung regt zugleich die geometrische Interpretation der Aufga-
be als Schnitt ( n − 1)-dimensionaler Flächen im n-dimensionalen Raum an.

Für die Bestimmung der Lösungsmenge von Polynomgleichungen waren so-
wohl Eliminationsmethoden als auch die Eigenschaften von Polynomen und
von Zahlen der Lösungsmenge von Interesse. Dies führte u. a. zu den elimi-
nationstheoretischen Methoden, wie sie von Kronecker und seinen Schülern
entwickelt wurden, und zu Ergebnissen in der Theorie der Polynomideale.

Zu letzteren gehören Hilberts Nullstellensatz, daß für ein Polynom g, das
in allen gemeinsamen Nullstellen der Polynome fi( x 1 , ...xn) = 0 ( i = 1,

2, ...

m) verschwindet, eine ganze Zahl s und Polynome ci existieren, so

daß gs =
cifi gilt, sowie die Sätze von Emanuel Lasker (1868–1941, einst

Weltmeister im Schach) und Francis Sowerby Macaulay (1862–1937) über die

Zerlegung von Idealen in Primärideale. Diese Mathematiker setzten den von

Kronecker eröffneten Weg fort, geometrische Eigenschaften von Varietäten in
eine algebraische Sprache zu übertragen.

So hat die algebraische Geometrie mit vielen Fragestellungen algebraische

Forschungen angeregt und ein großes Reservoir zur Anwendung neuer algebra-
ischer Erkenntnisse bereitgestellt. Mit der fortschreitenden Etablierung der
abstrakten Algebra im 20. Jahrhundert vollzog auch die algebraische Geo-
metrie eine Wendung zur abstrakten Theorie, wodurch nicht zuletzt die skiz-
zierten unterschiedlichen Zugänge auf eine einheitliche Basis gestellt wurden.

546

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert

Wichtige Ereignisse der Algebraentwicklung 1871–1920

1876 E. I. Zolotarev verfaßt einen Zugang zur Theorie der algebraischen Zahlen,
der die Idee der p− adischen Zahlen benutzt.

1878 A. Cayley formuliert erneut eine abstrakte Definition der endlichen Gruppe.

1878 G. Frobenius entwickelt eine umfassende Matrizentheorie, wobei er u. a.

den Matrizenkalkül mit der Elementarteilertheorie vereinigt.

1878 G. F. Frobenius gibt die möglichen assoziativen Divisionsalgebren an. Das

Resultat wird unabhängig auch von C. S. Peirce erzielt und 1881 publiziert.

1879 G. Frobenius und L. Stickelberger leiten den Basissatz für abelsche

Gruppen ab.

1879 G. Cantor publiziert bis 1884 die Grundlagen der Mengenlehre.

G. Frege entwickelt in der Begriffsschrift“ die erste vollständig formalisierte

”

Sprache zum exakten Aufbau der Mathematik.

1880 R. Dedekind und H. Weber vollenden ihre Arbeit zur Theorie der algebra-
ischen Funktionen einer Veränderlichen, die 1882 erscheint.

1881 J. W. Gibbs entwickelt eine Vektoranalysis.

1882 W. v. Dyck gibt eine abstrakte axiomatische Definition der Gruppe an.

L.

Kronecker
veröffentlicht seine allgemeine Theorie der algebraischen

Größen.

1887 G. Frobenius gibt einen abstrakten Beweis der Sylowschen Sätze.

1888–S. Lie publiziert mit Unterstützung seiner Schüler sein dreibändiges grund-

1893 legendes Werk Theorie der Transformationsgruppen“.

”

1888 D. Hilbert formuliert einen reinen Existenzbeweis für ein endliches
vollständiges Fundamentalsystem für ein endliches System n-ärer Formen
k-ten Grades.

1889 O. Hölder verschärft die Ergebnisse Jordans zum Satz von Jordan-Hölder.

1890 E. Schröder faßt seine Ergebnisse in der dreibändigen Algebra der Logik“

”

zusammen.

1891 S. Lie präzisiert die Gruppendefinition durch die Axiome zur Existenz des

Einselements und des inversen Elements.

1893 H. Weber veröffentlicht eine allgemeine Darstellung der Galois-Theorie als

Theorie der Körpererweiterungen. Dabei definiert er Gruppen- und Körper-
begriff axiomatisch.

1893 D. Hilbert publiziert den nach ihm benannten Basissatz.

1893 O. Heaviside und A. Föppl verhelfen durch die Verwendung der Vektorana-
lysis in Darstellungen zur Elektrodynamik der Vektorrechnung zum Durch-
bruch.

1894 R. Dedekind gibt im XI. Supplement seiner Idealtheorie und der Galois-

Theorie als Theorie der Körpererweiterungen eine abschließende Gestalt.

1895 G. Cantor veröffentlicht bis 1897 eine überarbeitete Zusammenfassung der

Mengenlehre einschließlich der Theorie transfiniter Mengen.

1896 G. Frobenius beginnt mit dem Aufbau der Theorie der Gruppencharaktere.

1897 W. Burnside publiziert seine Monographie zur Theorie der endlichen Grup-
pen.

D. Hilbert vollendet seinen

Zahlbericht“.

”

1897 R. Dedekind legt in den Arbeiten über Dualgruppen seine Ergebnisse über

Verbände vor.

1898 A. N. Whitehead publiziert seine Übersicht über die universelle Algebra“.

”

1898 A. Hurwitz beweist, daß die Normgleichung nur für Systeme mit 1, 2, 4
oder 8 Basiseinheiten erfüllt wird.

1900 D.

Hilbert
benennt
in
einem

Vortrag
auf
dem

Internationalen

Mathematiker-Kongreß in Paris 23 Probleme für die Entwicklung der Ma-
thematik im 20. Jahrhundert.

1913 J. A.Kürschak führt den Begriff des bewerteten Körpers ein und weist die

Existenz der Komplettierung eines Körpers nach.

1914 A. Fraenkel gibt eine axiomatische Definition des Ringbegriffs.

1918 A. Ostrowski bestimmt alle Bewertungen des Körpers der rationalen Zah-
len.

9.6 Aufgaben zu Kapitel 9

547

9.6 Aufgaben zu Kapitel 9

Aufgabe 9.2.1: Darstellung endlicher Gruppen als Permutationsgruppen

Ein wichtiges Resultat beim Studium der Permutationsgruppen bildete die Einsicht,
daß jede abstrakte Gruppe endlicher Ordnung als Permutationsgruppe dargestellt
werden kann. Seien a 1, a 2, ... , an die Elemente einer endlichen Gruppe der Ordnung
n, dann ist das Produkt aiak zweier Gruppenelemente wieder ein Element der

Gruppe, das mit a( i,k) bezeichnet werden soll, also aiak = a( i,k). Für einen beliebig
gewählten Index k (1 ≤ k ≤ n) durchlaufen die Produkte a 1 ak, a 2 ak, ..., anak alle Gruppenelemente. Mit der obigen Bezeichnungsweise sind diese Produkte gleich
a(1 ,k) , a(2 ,k) , ..., a( n,k) und die Indizes (1 , k), (2 , k), ... , ( n, k) sind eine Permutation der Ziffern 1, 2, ..., n. Ordnet man nun dem Gruppenelement ak die Permutation

#

$

1 ,

2 ,

. . . ,
n
πk =
zu, so wird dadurch eine eineindeutige Zuordnung

(1 , k) , (2 , k) , . . . , ( n, k)

zwischen dem Gruppenelement und der Permutation πk definiert.

Man zeige, daß dem Produkt aiak der Gruppenelemente das Produkt πiπk der

Permutationen entspricht und die Permutationen eine Darstellung als Permuta-
tionsgruppe liefern. [Perron, Bd. 2, S. 108]

Aufgabe 9.2.2: Ein Satz von Dyck

Man beweise den von W. Dyck angegeben Satz: Seien die Gruppen G 1 und G 2
durch definierende Relationen in derselben Menge von Erzeugenden gegeben. Jede
definierende Relation von G 1 komme unter den definierenden Relationen von G 2
vor. Dann ist G 2 einer Faktorgruppe von G 1 isomorph.

Aufgabe 9.2.3: Automorphismengruppe

Man beweise: Die Gesamtheit aller Automorphismen eines Ringe bildet eine Grup-
pe, die Automorphismengruppe des Ringes. Die Verknüpfung wird durch die

Hintereinanderausführung der Automorphismen im Sinne von Abbildungen gege-
ben.[Lugowski, II, S. 38]

Aufgabe 9.3.1: Hauptidealringe

Das von einem Element a des Ringes R erzeugte Ideal A = ( a) wird als Hauptideal
bezeichnet. Es besteht aus allen Ausdrücken der Form ra + na mit r aus R und
einer ganzen Zahl n. Die Ringe, in denen jedes Ideal ein Hauptideal ist, werden
besonders ausgezeichnet und heißen Hauptidealringe. Man zeige, daß der Ring G
der ganzen Zahlen und der Ring K[ x] der Polynome in einer Unbestimmten x über
einem (kommutativen) Körper K Hauptidealringe sind.

Aufgabe 9.3.2: Ideale in Ringen

Für ein fest gewähltes Element a aus einem kommutativen Ring R bilde man die

Menge ( a) = {ra + ga, mit r aus R und g eine ganze Zahl }. Man beweise: ( a) ist ein Ideal in R, das von a erzeugte Ideal, und es ist das kleinste Ideal von R, das a
enthält.[Lugowski, II, S. 29]

Aufgabe 9.3.3: Primfaktorzerlegung in enklidischen Ringen

Die aus der Arithmetik bekannte (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeuti-
ge Darstellbarkeit einer ganzen Zahl als Produkt von Primzahlpotenzen regte die

548

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert

Mathematiker immer wieder zu Verallgemeinerungen an. Man zeige, daß die Aus-
sage allgemein für sog. euklidische Ringe gilt. Dabei heißt ein kommutativer Ring

R euklidisch, wenn jedem Ringelement a = 0 eine nicht negative ganze Zahl g( a)

zugeordnet werden kann mit den Eigenschaften:

Für a = 0 und b = 0 ist ab = 0 und g( ab) ≥ g( a).

Zu je zwei Ringelementen a, b ( a = 0) gibt es Elemente q, r aus R, so daß b = aq + r
ist, wobei entweder r = 0 ist oder g( r) < g( a) gilt.

Hinweis: Man zeige zunächst, daß in R für einen echten Teiler b des Elementes a
gilt: g( b) < g( a); und leite dann durch Induktion nach g( a) die Zerlegung jedes von Null verschiedenen Elementes in ein Produkt von Primelementen ab. Schließlich
beweist man noch die Eindeutigkeit der Zerlegung.

(Einen vollständigen Beweis findet man in [Waerden 1930, 1931, Bd. 1, S. 70ff.]

Aufgabe 9.3.4: Primfaktorzerlegung in Polynomringen

Die obige Aussage über die eindeutige Zerlegung eines Ringelementes in ein Pro-
dukt von Primfaktoren läßt sich verallgemeinern. Wie im vorangegangenen Kapitel
dargelegt wurde, war es das herausragende Ergebnis der Dedekindschen Idealtheo-
rie, die eindeutige Zerlegbarkeit jedes im Ring der ganzen algebraischen Zahlen ei-
nes algebraischen Zahlkörpers enthaltenen Ideals in ein Produkt von endlich vielen

Primidealpotenzen nachzuweisen. Der Beweis dieser Aussage würde den Rahmen
dieser Darlegungen sprengen, doch soll wenigstens eine andere, auf Gauß zurück-
gehende Verallgemeinerung formuliert werden: Gilt in einem kommutativen null-
teilerfreien Ring R mit Einselement der Satz von der eindeutigen Zerlegbarkeit in

Primfaktoren, so ist er auch für den Polynombereich R[ x] richtig.

Zum Beweis zerlegt man ein beliebiges Polynom f ( x) aus [ x] in den Inhalt und
ein primitives Polynom, d. h. f ( x) = dp( x). Dabei ist der Inhalt d als der größte
gemeinsame Teiler der Koeffizienten von f definiert und p bezeichnet ein Polynom
vom Inhalt Eins. Zu vorgegebenen f ( x) sind d und p( x) bis auf Einheitsfaktoren
eindeutig bestimmt. Mittels indirekten Beweis zeige man durch Betrachtung der
auftretenden Koeffizienten, daß das Produkt zweier primitiver Polynome wieder
ein primitives Polynom ist.

Der weitere Beweis basiert auf folgender Idee: Da R ein kommutativer nullteiler-
freier Ring ist, kann man dazu einen eindeutig bestimmten Quotientenkörper QR
konstruieren. In dem Polynombereich QR[ x] gilt die eindeutige Zerlegung in Prim-
faktoren. Die Frage ist nun, ob man eine Beziehung zwischen den Polynomen in

QR[ x] und R[ x] so herstellen kann, daß sich die Zerlegung überträgt.

Dazu schreibt man jedes Polynom φ( x) aus QR[ x] in der Form f( x) /b mit f( x) aus R[ x] und b aus R und wobei b das Produkt aller Nenner der Koeffizienten von φ( x) ist. Ist p das zu f gehörige primitive Polynom und d der Inhalt von f , so erhält man
die Darstellung φ( x) = ( d/b) f ( x). Man beweise, daß dies die gesuchte Zuordnung
liefert. Genauer: Das primitive Polynom p( x) ist eindeutig bis auf Einheiten in R
durch φ( x) bestimmt und umgekehrt ist φ( x) durch p( x) bis auf Einheiten in QR[ x]

festgelegt. Dem Produkt zweier Polynome φ( x) und ψ( x) aus QR[ x] entspricht dann
bis auf Einheiten das Produkt der zugehörigen Einheitsformen und umgekehrt.

Weiterhin folgt aus der Unzerlegbarkeit von φ( x) in QR[ x] die Unzerlegbarkeit von
p( x) in R[ x] und umgekehrt.

Nach dem Beweis dieser Behauptung kann mittels obiger Zuordnung die Prim-
faktorzerlegung der Polynome φ( x) auf die primitiven Polynome p( x) übertragen

9.6 Aufgaben zu Kapitel 9

549
werden. Um den Beweis abzuschließen, stellt man fest, daß ein beliebiges Polynom
f ( x) aus R[ x] entweder eine unzerlegbare Konstante oder ein unzerlegbares pri-
mitives Polynom oder als Produkt seines Inhaltes mit einem primitiven Polynom
geschrieben werden kann. Im letzten Fall zerlegt man beide Faktoren getrennt in

Primfaktoren und erhält die gesuchte Zerlegung. (Die Zerlegung des Inhaltes ist
nach Voraussetzung über R eindeutig bis auf Einheiten möglich, die Zerlegung des
primitiven Polynoms folgt aus obiger Konstruktion.) Man führe die angedeuteten

Beweisschritte im Detail aus. [Waerden 1930, 1931, Bd. 1, § 21]

Aufgabe 9.3.5: Homomorphiesatz f¨
ur Ringe

Gegeben sei ein Homomorphismus f des Ringes R auf den Ring S mit dem Kern

K = {a ∈ R : f( a) = 0 }. Sei [ a] die Restklasse von a ∈ R bezüglich K und a = f ( a). Man zeige: Dann ist die Abbildung ϕ mit ϕ( a) = [ a] ein Isomorphismus von S auf R/ K.

Aufgabe 9.3.6: Separable Polynome

Sei K ein Körper und K[ x] der Polynomring über K. Ein irreduzibles Polynom f ( x)

aus K[ x] heißt separabel, wenn es nur einfache Nullstellen besitzt, sonst inseparabel.

Man beweise, daß f ( x) genau dann inseparabel ist, wenn f ( x) = 0 gilt.

Hinweis: Man benutze die Aussage, daß ein Polynom f ( x)
= 0 aus K[ x] genau dann
keine mehrfache Nullstelle hat, wenn f ( x) und f ( x) teilerfremd sind.

Aufgabe 9.4.1: Ideale eines K¨
orpers

Man zeige, daß ein Körper nur die trivialen Ideale besitzt, das Nullideal und sich
selbst.

Aufgabe 9.4.2: Typen von Primk¨
orpern

Man beweise, daß (bis auf Isomorphie) nur die zwei von Steinitz angegebenen Typen
von Primkörpern, der Körper der rationalen Zahlen und die Restklassenkörper der
ganzen Zahlen modulo einer Primzahl p, existieren.

Hinweis: Man betrachte die Menge der Vielfachen des Einselements. [Steinitz, S. 18]

Aufgabe 9.4.3: Endliche K¨
orpererweiterung

Man beweise den Steinitzschen Satz: Jede endliche Körpererweiterung ist algebra-
isch.

Aufgabe 9.4.4: Durchschnitt von Unterk¨
orpern

Man beweise, daß der Durchschnitt D von beliebig vielen Unterkörpern eines

Körpers K wieder ein Unterkörper von K ist.

Aufgabe 9.4.5: K¨
orper von Primzahlcharakteristik

In seiner Klassifikation der Körper zeigte Steinitz den Satz: Die p− te Potenz aller

Elemente eines Körpers K von der Charakteristik p bilden einen Körper Kp. Ist der

Körper K vollkommen, so ist Kp mit K identisch, sonst nur ein Teil von K. Man
erhält eine isomorphe Beziehung zwischen K und Kp, indem man jedem Element
von K seine p− te Potenz zuordnet. Man beweise diesen Satz.

Hinweis: Steinitz wies zunächst nach, daß ein Körper der Charakteristik p ( p Prim-
zahl) vollkommen ist, wenn sich in ihm die Ausziehung der p-ten Wurzel (die sich

550

9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert
hier als eindeutige Operation erweist) ausnahmslos ausführen läßt, sonst unvoll-
kommen. [Steinitz, S. 50ff.]

Aufgabe 9.4.6: Homomorphe Bilder eines K¨
orpers

Man gebe die homomorphen Bilder eines Körpers an.

Aufgabe 9.4.7: p-adische Darstellung nat¨
urlicher Zahlen

Man beweise den von Hensel in seiner Einführung in die Theorie der p− adischen

Zahlen formulierten Satz: Jede natürliche Zahl g läßt sich auf eine einzige Wei-
se nach steigenden Potenzen der Primzahl p entwickeln, d. h. so in der Form
g = a 0 + a 1 p + ... + as ps darstellen, daß die Koeffizienten ai eindeutig bestimmte Zahlen der Reihe 0, 1, ... , p − 1 sind. [Hensel, Bd. 1]

Aufgabe 9.4.8: Entwicklung nat¨
urlicher Zahlen als p-adische Zahlen

Man entwickle 216 als p-adische Zahl für p = 2 , 3, und 5.

Aufgabe 9.4.9: Rechnen mit p-adischen Zahlen

Als abkürzende Bezeichung für eine p-adische Zahl g = a 0 + a 1 p + . . . + asps schrieb Hensel g = a 0 a 1 a 2 . . . as Man überlege sich, daß eine p-adische Zahl g ungeändert bleibt, wenn man zwei aufeinanderfolgende Ziffern ai, ai+1 durch ai + p, ai+1 − 1
ersetzt.

Unter Berücksichtigung dieser Regel bestimme man für die p-adischen Zahlen mit
p = 5 die folgende Summe bzw. Differenz:

2 , 3102114 + 3 , 14120213 sowie 3 , 1300231 − 4 , 2432340.

Hinweis: Die Operationen werden von links nach rechts ausgeführt.[Hensel, Bd. 1]

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert

552

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert

1921

Freistaat Irland gegründet

1921

F. G. Banting isoliert mit Mitarbeitern das Insulin.

1921

Politische Neuordnung in verschiedenen Staaten Kleinasiens

1922

Gründung der UdSSR

1922

Neunmächteabkommen über Öffnung Chinas, Viermächteabkommen
über Besitzstände im Pazifik

1923

A. H. Compton / L.-V.-P. de Broglie: physikalische Objekte haben so-
wohl Teilchen- als auch Wellencharakter.

1923

Atatürk wird erster Präsident der türkischen Republik.

1923

Th. H. Morgan publiziert mit seinen Mitarbeitern eine grundlegende

Zusammenfassung der Ergebnisse zur Chromosomen-Theorie der Ver-
erbung.

1924

J. V. Stalin übernimmt die Macht in der Sowjetunion und errichtet ein
totalitäres Regime.

1927

Ch. A. Lindbergh überfliegt erstmals im Non-Stop-Flug den Nordat-
lantik.

1927

Einrichtung von überseeischen Funksprechverbindungen

1927

Erster erfolgreicher Tonfilm in den USA

1928

Grundlegende Fortschritte in der Quantenphysik durch N. Bohr (Kom-
plementaritätsprinzip), W. Heisenberg (Unbestimmtheitsrelation), P.

Dirac (relativistische Quantenphysik) und A. Sommerfeld (Elektronen-
theorie der Metalle)

Ab 1928
militärische Auseinandersetzungen zwischen Japan und China

1929–1933 Weltwirtschaftskrise

1929

Erste Fernsehsendung in Berlin, ein Jahr später erste drahtlose Über-
tragung

1933

Nationalsozialistische Partei übernimmt die Macht in Deutschland.

1938

Entdeckung der Kernspaltung am Uran durch O. Hahn, L. Meitner und

F. Straßmann

1939–1945 Zweiter Weltkrieg

1941

K. Zuse baut den ersten funktionstüchtigen programmgesteuerten ele-
tromechanischen Rechner.

1945

Atombombenabwürfe auf Hiroshima und Nagasaki. Die verheerenden

Folgen führen bei vielen Gelehrten zu einem Umdenken bezüglich der

Verantwortung der Wissenschaftler.

1945

Gründung der Vereinten Nationen (UNO)

1946

Beginn des Kalten Krieges

1949

Gründung der BRD und der DDR

1950

Beginn der Kriege in Indochina und Korea

1957

Die Sowjetunion startet den ersten künstlichen Satelliten Sputnik I“.

”

Die USA starten ein umfangreiches Programm, um die Rückstände in
der Weltraumforschung aufzuholen.

1961

Erster bemannter Raumflug durch den Kosmonauten J. Gagarin

1965

Die Leistungsfähigkeit der Computer wird duch den Einsatz integrierter

Schaltkreise wesentlich erhöht.

1975

Einsatz von Computern mit Mikroprozessoren

1989

Ende des Kalten Krieges, Zusammenbruch der sozialistischen Gesell-
schaftssysteme in Mittel- und Osteuropa

10.0 Vorbemerkungen

553

10.0 Vorbemerkungen

Bevor in diesem abschließenden Kapitel die Entwicklung der Algebra im 20.

Jahrhundert skizziert werden soll, erscheint es angebracht, wenigstens schlag-
lichtartig mit einigen Bemerkungen den historischen Hintergrund anzudeu-
ten, vor dem diese Entwicklung stattfand.

An erster Stelle ist dabei der dominierende Einfluß der beiden schrecklichen

Weltkriege zu nennen, in denen die Zahl der Opfer eine neue, bisher unvor-
stellbare Größenordnung erreichte und in denen ein riesiges Wirtschaftspo-
tential vernichtet wurde. Mit dem Einsatz der Atombomben im August 1945
wurde auf grausame Weise deutlich, daß die Kriegstechnik einen die Existenz
der Menschheit bedrohenden Stand erreicht hatte. Die Gefahr eines Atom-
krieges blieb in der folgenden Auseinandersetzung der Gesellschaftssysteme
im sog. Kalten Krieg lange Zeit latent. Der große Anteil von Wissenschaft-
lern an der Herstellung von Waffen und Waffensystemen, speziell am Bau
der Atombombe, vergrößerte die Furcht vor und das Mißtrauen gegenüber
den Wissenschaften bis hin zu wissenschaftsfeindlichen Haltungen. Für viele

Gelehrte wurden die verheerenden Folgen der Atombombenabwürfe auf Hi-
roshima und Nagasaki zu einem Schlüsselereignis, um über die Nutzung der

Ergebnisse ihrer wissenschaftlichen Forschungen genauer nachzudenken und
um künftig zu versuchen, deren mißbräuchliche Verwendung zu verhindern.

Der Einfluß von Naturwissenschaften, Technik und Mathematik auf das

Voranschreiten der Wirtschaft hat sich ständig weiter erhöht und ist heu-
te allgegenwärtig. Die Wissenschaften sind zur unverzichtbaren Vorausset-
zung und zum Bestandteil des Produktionsprozesses geworden. Grundlegen-
de wirtschaftliche Umwälzungen des 20. Jahrhunderts hatten ihren Ursprung
in den Naturwissenschaften und der Mathematik. Entsprechend verstärkte
sich auch die Korrelation zu Ereignissen in Ökonomie und Gesellschaft. Das

Auf und Ab der Wirtschaftszyklen zeigte auch in den Wissenschaften deutli-
che Spuren. Die Professionalisierung der Wissenschaften erreichte ungeahnte

Ausmaße. Der Beruf des Mathematikers wurde zu einem Massenberuf, mit
fließenden Übergängen zu den Computerwissenschaften/Informatik, zur Be-
triebswirtschaftslehre, zu den ingenieurwissenschaftlichen Richtungen, zur Fi-
nanzwirtschaft u. a. Doch obwohl die wachsende Bedeutung der Mathematik
und Naturwissenschaften unbestritten war und ist, sahen sich diese Wissen-
schaften wiederholt mit einer abnehmenden Bereitschaft konfrontiert, ihre
allseitige Entwicklung zu finanzieren. Statt dessen sollten vorwiegend die ge-
winnträchtigen Richtungen gefördert werden. Auch dieser äußere Druck hatte
zur Folge, daß die Mathematiker sich im größeren Umfang als zu Beginn des

Jahrhunderts mit Fragen der angewandten Mathematik beschäftigten.

Die Geisteshaltung der Zeit erfuhr ebenfalls einen durchgreifenden Wandel.

Durch die Relativitätstheorie verloren Raum und Zeit ihren absoluten Cha-
rakter. Die Erkenntnisse der Elementarteilchenphysik untergruben die Jahr-
hunderte alte Denkstruktur von Ursache und Wirkung, da hier das Kausal-

554

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert
gesetz nicht anwendbar war. Doch waren diese Resultate im Detail mit dem

Alltagsbewußtsein nicht mehr erfaßbar, die Kluft zwischen den hochspeziali-
sierten Wissenschaften und dem Verständnis in breiten Kreisen der Bevölke-
rung wurde immer größer und galt zunehmend als unüberbrückbar. Auch
innerhalb der einzelnen Wissenschaften verstärkte sich das Spezialistentum
in teilweise beängstigendem Maße. In den Geistes-, Sozial- und Kunstwissen-
schaften fand diese Entwicklung in eigenen Systemen ihren Ausdruck. In der

Philosophie entstanden verschiedene Grundströmungen, denen die Untersu-
chung der menschlichen Sprache als Aufgabe gemeinsam war und die als Ana-
lytische Philosophie, Logischer Positivismus, Common-Sense-Philosophy u. a.

bekannt wurden. Einer ihrer Forschungsgegenstände war auch die logische

Analyse wissenschaftlicher Aussagen und Prinzipien zu deren Verifikation.

In den 70er Jahren erhielten Umweltprobleme einen nennenswerten Stellen-
wert im öffentlichen Bewußtsein. Erst allmählich begannen die Menschen
zu akzeptieren, daß der gewaltige Wissenszuwachs der vorangegangenen 150

Jahre durch einen riesigen materiellen Aufwand erkauft worden war und das
ungeheure Wirtschaftswachstum in diesen Jahren auch eine ganze Reihe ne-
gativer Auswirkungen hatte. Die Lösung dieser Probleme erforderte ein glo-
bales Handeln der Menschen und mit dem Zurückstellen regionaler Interessen
eine grundlegende Umorientierung im öffentlichen Bewußtsein. Neben einem
allgemeinen Vertrauen in die Leistungsfähigkeit der Wissenschaften bei der

Lösung der globalen Menschheitsprobleme wuchs die Angst und Skepsis vor
der Verwertung wissenschaftlicher Resultate. Immer stärker trat die Frage
in den Vordergrund, ob das technisch Machbare auch realisiert werden sollte
oder ob der jeweilige Eingriff in die Natur tatsächlich zum Wohle und Fort-
schritt der Menschheit beiträgt. Eine Problematik, die unverändert aktuell
ist und in deren Diskussion, wie z. B. die Frage der Gentechnologie zeigt, sehr
gegensätzliche Meinungen vertreten werden.

Die Mathematik hat vor diesem Hintergrund die am Ende des 19. Jahrhun-
derts begonnene Wandlung zum Denken in Begriffen und neuen Strukturen
fortgesetzt und vollendet. Die Fundamente wurden methodologisch, logisch
und philosophisch tiefer gelegt, mit der Mengenlehre kam ein neuer tragen-
der Bestandteil hinzu. Zugleich eröffneten sich neue Möglichkeiten, da die

Gegenstände der Forschung nun nicht mehr eine unmittelbare Entsprechung
in der materiellen Welt haben mußten. Das Austesten dieser Möglichkeiten
erwies sich als außerordentlich erfolgreich und brachte zahlreiche neue ab-
strakte Begriffe und Theorien hervor. Neben der axiomatischen Fundierung
und dem Ausbau der Mengenlehre erreichten die Abstraktionen speziell auf
dem Gebiet der Analysis ein beachtliches Niveau, die in die Funktionalana-
lysis und in die mengentheoretische Topologie mit der Theorie der topologi-
schen Räume einmündeten. Die Theorie der Riemannschen Flächen erhielt
durch Hermann Weyl eine feste Basis. Die Verästelung der Mathematik in
immer neue Spezialgebiete setzte sich fort. Nach der Mitte des 20. Jahrhun-
derts erreichte das Wachstum der Mathematik ein solches Tempo, daß sich

10.0 Vorbemerkungen

555
etwa alle zwölf Jahre die Zahl der publizierten mathematischen Arbeiten ver-
doppelte, ähnlich schnell nahm die Zahl der aktiv tätigen Mathematiker zu.

Für das Jahr 2000 schätzt man die Zahl der mathematischen Arbeiten auf
etwa 100 000. Schon Hilbert hatte in seinem Vortrag auf dem Internationa-
len Mathematiker-Kongreß in Paris im Jahre 1900 das Problem des Zerfalls
in mehrere Spezialgebiete gesehen und leidenschaftlich für die Einheit der

Mathematik plädiert:

... es dr¨
angt sich uns die Frage auf, ob der Mathematik einst bevorsteht, was

”

anderen Wissenschaften l¨
angst widerfahren ist, n¨
amlich daß sie in einzelne

Teilwissenschaften zerf¨
allt, deren Vertreter kaum noch einander verstehen
und deren Zusammenhang daher immer loser wird. Ich glaube und w¨
unsche
dies nicht; die mathematische Wissenschaft ist meiner Ansicht nach ein un-
teilbares Ganzes, ein Organismus, dessen Lebensf¨
ahigkeit durch den Zusam-
menhang seiner Teile bedingt wird. Denn bei aller Verschiedenheit des ma-
thematischen Wissenstoffes im einzelnen gewahren wir doch sehr deutlich die

Gleichheit der logischen Hilfsmittel, die Verwandtschaft der Ideenbildungen in
der ganzen Mathematik und die zahlreichen Analogien in ihren verschiedenen

Wissensgebieten. Auch bemerken wir: je weiter eine mathematische Theorie
ausgebildet wird, desto harmonischer und einheitlicher gestaltet sich ihr Auf-
bau, und ungeahnte Beziehungen zwischen bisher getrennten Wissenszweigen
werden entdeckt. So kommt es, daß mit der Ausdehnung der Mathematik ihr
einheitlicher Charakter nicht verloren geht, sondern desto deutlicher offenbar
wird.“ [Hilbert 1971, S. 79]

50 Jahre später stellte Jean Dieudonné im Namen der Bourbaki-Gruppe die
gleiche Frage:

... whether the domain of mathematics is not becoming a tower of Babel,

”

in which autonomous disciplines are being more and more widely separated
from one another, not only in their aims, but also in their methods and even
in their language.“ [Bourbaki 1950, S. 221] Auch die Antwort war ähnlich,
wobei er die Hilbertschen Argumente unter dem Begriff der axiomatischen

Methode zusammenfassen konnte:

Today, we believe however, that the internal evolution of mathematical

”

science has, in spite of appearance, brought about a closer unity among its
different parts, so as to create something like a central nucleus that is more
coherent than it has ever been. The essential part of this evolution has been
the systematic study of the relations existing between different mathemati-
cal theories, and which has led to what is generally known as the ,axiomatic
method‘.“ [Bourbaki 1950, S. 221]

Unter maßgeblicher Beteiligung der Bourbaki-Gruppe hatte die Mathematik
zu diesem Zeitpunkt durch das Strukturkonzept eine neue Gestalt bekommen.

Das Studium von Strukturen war für mehrere Jahrzehnte zum Hauptgegen-
stand der Mathematik geworden. Als Ergebnis eines fast ein Jahrhundert
währenden Prozesses hatten die Mathematiker erkannt, daß man für viele

Problemstellungen von den konkreten Objekten abstrahieren konnte und daß

556

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert
vor allem die Verknüpfung zwischen den Objekten und die Eigenschaften der
durch die Verknüpfungsregeln definierten Struktur wichtig waren. Eine solche

Betrachtungsweise ließ die oft unter vielen Einzelheiten verborgenen grund-
legenden Ideen von Theorien deutlich hervortreten und offenbarte teilweise
überraschende Analogien zwischen scheinbar völlig verschiedenen Teilgebie-
ten. Die Bourbaki-Gruppe, eine Gruppe junger, überwiegend französischer

Mathematiker, begann Mitte der 30er Jahre einige mathematische Diszipli-
nen nach diesem Konzept aufzubauen und in Monographien darzustellen.

Sie erkannten die algebraischen, die topologischen und die Ordnungsstruk-
turen als die logisch einfachsten, als sog. Mutterstrukturen, aus denen sich
durch vielfältige Vermischungen und Abstufungen die übrigen Teilgebiete der

Mathematik ergeben sollten. Große Teile der Mathematik konnten auf die-
se Weise erfaßt werden, und die Bourbaki-Gruppe hat mit ihren Büchern
einen starken Einfluß auf die Mathematikentwicklung ausgeübt. Der Begriff
der Struktur und das Bestreben Strukturen aufzudecken hat in den Dekaden
nach der Jahrhundertmitte über die Mathematik hinaus einen starken Ein-
fluß auf das Denken in anderen Wissenschaften ausgeübt. Struktur der Spra-
che, Struktur des Denkens, Struktur der Gesellschaft, Struktur der Materie,
alles sollte mit dem Strukturbegriff erfaßt werden. Doch traf diese sehr ab-
strakte Darstellungsweise im letzten Drittel des 20. Jahrhunderts zunehmend
auf Widerspruch, was zu einer deutlichen Abkehr von diesen Auffassungen
führte. Unbestritten blieb das Verdienst, grundlegende Ideen der einzelnen
mathematischen Theorien und wichtige Beziehungen zwischen ihnen aufge-
deckt und eine effektive Terminologie und Methodik für die Behandlung vieler

Fragestellungen geschaffen zu haben. Zurückgedrängt wurden gewisse Einsei-
tigkeiten und Übertreibungen bei der Umsetzung der abstrakten Behandlung
der Mathematik. Fragen der Anwendungen und der Numerik rückten wieder
stärker in den Blickpunkt der Forschung. Die sich um 1970 als eigenständi-
ge Disziplin verselbständigende Informatik veränderte die Arbeit vieler Ma-
thematiker beträchtlich. Algorithmen und Approximationen erhielten einen
neuen Stellenwert, die diskrete Mathematik erfuhr einen großen Aufschwung.

Abschließend kehren wir nochmals zu den gesellschaftlichen Rahmenbedin-
gungen zurück. Die erste Hälfte des Jahrhunderts war durch einen deutli-
chen Wechsel in den mathematischen Führungspositionen gekennzeichnet.

Deutschland verlor die absolute Vorrangstellung, übte aber weiterhin einen
starken Einfluß auf die mathematische Forschung aus und bestimmte in vielen

Gebieten das Spitzenniveau mit. Durch die Vertreibung zahlreicher Naturwis-
senschaftler aus rassistischen und/oder politischen Gründen durch die Natio-
nalsozialisten wurde die wissenschaftliche Leistungsfähigkeit Deutschlands ab

1933 drastisch verringert. Nach [Pinl 1969] bzw. [Siegmund-Schultze 1998]

erhielten 130 Mathematiker in Deutschland, Österreich und der Tschecho-
slowakei ein Lehrverbot, etwa 100 von ihnen flohen, die Hälfte davon in die

USA. Zu den Flüchtlingen gehörten so bedeutende Vertreter ihres Faches wie

Isaac Paul Bernays, Richard Brauer, Richard Courant, Kurt Gödel, Emmy

10.1 Die Etablierung der modernen abstrakten Algebra

557

Noether, Otto Neugebauer, John von Neumann und Hermann Weyl. Der Zu-
strom dieser hervorragenden Gelehrten beschleunigte den Aufstieg der USA
zu einem der führenden Länder in der Entwicklung der Mathematik. Daneben
erreichte auch die Sowjetunion dank einer kontinuierlichen staatlichen Förde-
rung Spitzenniveau. Wenig später, Ende der 30er Jahre, gelang es Frankreich
vor allem durch die Bourbaki-Gruppe, sich wieder, wie vor dem 1. Weltkrieg,
als ein Zentrum der Mathematikentwicklung zu etablieren. Schließlich bilde-
ten sich in mehreren Ländern kleinere Gruppen, die in einzelnen Teilberei-
chen der Mathematik mit grundlegenden Beiträgen zum Erkenntnisfortschritt
hervortraten. Die internationale Zusammenarbeit war durch die beiden Welt-
kriege und die politischen Spannungen sowohl in der Vorkriegs- als auch in
der Nachkriegszeit über längere Phasen empfindlich gestört.

Nach dem 2. Weltkrieg übernahmen die USA allein die dominierende Posi-
tion in der mathematischen Forschung. Frankreich, Großbritannien und die

Sowjetunion, trotz der Kriegsopfer und der stalinistischen Repressalien gegen
verschiedene Wissenschaftler, festigten ihre Position. Am eindrucksvollsten
waren wohl die Fortschritte der japanischen Mathematiker, doch auch die

Entwicklung in Ländern wie Indien und Brasilien ist bemerkenswert. Die in-
ternationale Zusammenarbeit intensivierte sich, gefördert durch die Interna-
tionale Mathematiker-Vereinigung. Ab 1950 trafen sich die besten Mathema-
tiker der Welt wieder alle vier Jahre auf den Internationalen Mathematiker-

Kongressen (der Kongreß für 1982 wurde auf Grund der politischen Ereignisse
in Polen ein Jahr später in Warschau abgehalten), der letzte Vorkriegskon-
greß fand 1936 in Oslo statt. Auf dem Osloer Kongreß wurde erstmals die

Fields-Medaille für herausragende mathematische Leistungen vergeben. Diese

Medaille wird gewöhnlich als die bedeutendste mathematische Auszeichnung
angesehen und oft auch als Nobelpreis f¨
ur Mathematik“ bezeichnet.

”

10.1 Die Etablierung der modernen abstrakten Algebra

Da es in diesem Rahmen nicht möglich ist, die ungeheuer vielfältige Entwick-
lung algebraischer Ideen im 20. Jahrhundert auch nur annähernd adäquat
darzustellen, soll hier lediglich versucht werden, einige Entwicklungslinien zu
skizzieren. Einen ersten Schwerpunkt bildet die Etablierung der abstrakten

Algebra in den 20er Jahren. Mit den Arbeiten von Steinitz, Wedderburn
u. a. hatte die Algebra eine erste wichtige Stufe hinsichtlich Abstraktion und
axiomatischer Darstellung erreicht. Für den nach einer kurzen ruhigen Pha-
se mit wenigen herausragenden Ergebnissen Anfang der 20er Jahre des 20.

Jahrhunderts einsetzenden Aufschwung der Algebra spielten die Fortschritte
einer abstrakten axiomatischen Darstellung in anderen Gebieten der Mathe-
matik, wie Mengenlehre, Topologie und Analysis eine wichtige Rolle. Man
denke nur daran, daß der abstrakte Vektorraumbegriff genau in jenen Jah-
ren durch Hermann Weyl, Stefan Banach und Norbert Wiener axiomatisch

558

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert
definiert und erfolgreich eingesetzt wurde. Während Weyl ihn in den Darle-
gungen zur Relativitätstheorie nutzte [Weyl 1918], bildete er für Banach und

Wiener die Basis für den Aufbau einer allgemeinen Theorie der vollständi-
gen normierten linearen Räume und der Operationen in ihnen [Banach 1922]

[Banach 1932], heute als Theorie der Banach-Räume ein Grundbestandteil
der Funktionalanalysis. Es war wohl nicht zufällig, daß auch in der Algebra
in jenen Jahren ein wichtiger Schritt in Richtung auf die abstrakte Algebra
durch Emmy Noether vollzogen wurde. Der Gegenstand ihrer Forschungen
kann grob als eine allgemeine Ringtheorie umrissen werden.

10.1.1 Aufbau einer allgemeinen Ring- und Idealtheorie

Der Ringbegriff war erstmals 1914 von Abraham Fraenkel in seiner Disserta-
tion axiomatisch definiert und eingehend untersucht worden. Die Forschun-
gen waren aus der Beschäftigung mit den p-adischen Zahlen Hensels hervor-
gegangen. Diese hatte Fraenkel 1912 axiomatisch charakterisiert und dann
insbesondere die Eigenschaften der Axiomensysteme im Stile der amerikani-
schen Schule um Huntington untersucht. Nach der Dissertation bei Hensel
in Marburg habilitierte sich Fraenkel dort 1916 mit einer weiteren Arbeit
zur Ringtheorie und wirkte dort, unterbrochen vom Kriegsdienst, bis 1921
als Privatdozent, dann bis 1928 als außerordentlicher Professor. Fraenkel war
ein überzeugter Zionist und emigrierte 1933 nach Israel. Dort lehrte er als

Professor an der Universität Jerusalem, an der er bereits 1929–1931 eine

Gastprofessur inne hatte.

In der Dissertation studierte Fraenkel zunächst die Eigenschaften eines Axio-
mensystems für Ringe, doch machte er dann die Ringe selbst zum Objekt sei-
ner Untersuchungen, wie Steinitz es für die Körper getan hatte. Er analysierte
verschiedene Zerlegungseigenschaften, ohne zum Idealbegriff zu kommen, und
bewies die Zerlegung von separablen Ringen in eine Summe von einfachen

Ringen. Die Separabilität und die Einfachheit von Ringen definierte er durch
spezielle Teilbarkeitseigenschaften. Trotz beträchtlicher Unterschiede im De-
tail kann die Rolle der einfachen Ringe beim Aufbau der separablen Ringe
mit der der Primkörper in der Steinitzschen Körpertheorie verglichen werden.

Bevor sich Fraenkel Anfang der 20er Jahre ganz der Mengenlehre zuwand-
te, schrieb er noch zwei weitere Arbeiten zur Ringtheorie, in denen ihm die

Steinitzsche Theorie weiterhin als methodisches Vorbild und die p-adischen

Zahlen als konkretes Modell dienten. Der Orientierung an den p-adischen

Zahlen waren auch die Abweichungen geschuldet, die in den Ringaxiomen im

Vergleich zu der später gebräuchlichen Definition auftraten. In den Forschun-
gen zur Mengenlehre war Fraenkel dann sehr erfolgreich. Er verallgemeinerte
das Zermelosche Axiomensystem und baute die Darstellung der Mengenlehre
u. a. bezüglich der Ordnungs- und Wohlordnungstheorie aus.

Emmy Noether hatte 1908 mit einem invariantentheoretischen Thema bei

Paul Gordan in Erlangen promoviert und beschäftigte sich auch danach –

10.1 Die Etablierung der modernen abstrakten Algebra

559

Abraham Fraenkel

Edmund Landau
ganz im klassischen Sinne auf die Bestimmung der Invarianten orientiert – mit
diesem Gebiet. Erst allmählich, im Verlauf eines Jahrzehnts, wandelte sie sich
zur Vertreterin der abstrakten Algebra, nicht zuletzt dank der Zusammen-
arbeit mit Ernst Fischer in Erlangen und ab 1915 mit Hilbert in Göttingen.

Emmy Noether war die Tochter des bekannten Mathematikers Max Noether,
von dem einige bedeutende Leistungen im Abschnitt zur algebraischen Geo-
metrie gewürdigt wurden. Sie gehört zu den wenigen Frauen am Anfang des

20. Jahrhunderts, die trotz der damals noch vielen Vorbehalte und Behin-
derungen ein Universitätsstudium aufnahmen und eine Laufbahn als Hoch-
schullehrer einschlugen. Unter großen persönlichen Entbehrungen eroberte
sie sich einen geachteten Platz unter den männlichen Kollegen. Die Habili-
tation E. Noethers konnte Hilbert erst im Jahre 1919 mit der Unterstützung
seiner Kollegen in der Philosophischen Fakultät der Göttinger Universität
durchsetzen, die früheren Versuche waren an den Gesetzeshürden geschei-
tert. Die Anstellung als ordentlicher Professor blieb E. Noether trotz ihrer
bedeutenden wissenschaftlichen Resultate zeitlebens versagt, 1922 erhielt sie
den Titel eines nichtbeamteten außerordentlichen Professors und erst 1923
einen bezahlten Lehrauftrag. Für eine ausführliche Würdigung sei auf [Dick

1970] und [Teicher 1999] verwiesen.

Die erste Arbeit, die E. Noether im Stil der abstrakten Algebra schrieb, war

1919 eine gemeinsame Publikation mit Werner Schmeidler. Der Gegenstand
war eine schon 1915 von Edmund Landau angeregte Frage nach der Über-
tragung Dedekindscher Zerlegungssätze auf nichtkommutative Strukturen.

Landau hatte bei dieser Gelegenheit Noether auch auf die Dedekindschen

Schriften hingewiesen, die fortan für sie zu einer Fundgrube von Ideen werden
sollten. An Hand von formalen Differentialausdrücken oder Differentialope-
ratoren, wie man heute sagen würde, kamen Noether und Schmeidler zur

560

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert

Definition des Modulbegriffs und solcher Bildungen wie direkten Summen-
und Durchschnittsdarstellungen, Restklassenmodul usw. Erstmals wurden
auch die einseitigen Moduln und Ideale definiert. Noether und Schmeidler
abstrahierten von der konkreten Bedeutung der Objekte und richteten ihre

Aufmerksamkeit auf die Verknüpfungen zwischen den Objekten und die dafür
geltenden formalen Regeln. Auf dieser Basis traten die abstrakten algebra-
ischen Eigenschaften deutlich hervor und die Zerlegungseigenschaften konn-
ten in Analogie zu den Polynomidealen abgeleitet werden. Die Arbeit folgte
in der Intention ganz dem strukturellen Denken und markiert einen wichtigen

Übergangsschritt, Übergangsschritt deshalb, weil, wie L. Corry betonte, die

Begründung der Sätze über Polynomideale im Konkreten durch Eigenschaf-
ten des Systems der reellen bzw. komplexen Zahlen erfolgte [Corry 1996, S.

226].

Den vollständigen Übergang vollzog E. Noether 1921 in der Arbeit

Ide-

”

altheorie in Ringbereichen“ [Noether 1921]:

Den Inhalt der vorliegenden Arbeit bildet die ¨

Ubertragung der Zerlegungss¨
atze

”

der ganzen Zahlen, bzw. der Ideale in algebraischen Zahlk¨
orpern, auf Ideale
in beliebigen Integrit¨
ats-, allgemeiner Ringbereichen.“ [Noether 1921, S. 25]

Bisher war der Ringbegriff von den Mathematikern kaum beachtet worden,
jetzt machte Noether ihn zum zentralen Gegenstand der Untersuchungen
und baute die kommutative Ringtheorie abstrakt und im vollem Umfange
auf. Was die Übertragung der Zerlegungssätze betraf, so bemerkte sie, daß
die Irreduzibilität der Zerlegung für die ganzen Zahlen auf vier verschiedene

Weisen charakterisiert werden kann. Ist g = pρ 1 pρ 2 ...pρn

1

2
n

= q 1 q 2 ...qn eine Zer-
legung der ganzen Zahl g, so gilt z. B. für die Primzahlpotenzen qi, daß sie zum
einen paarweise teilerfremd sind, die Faktoren nicht weiter in Faktoren mit
der gleichen Eigenschaft zerlegt werden können und außerdem das Produkt
der qi ihrem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen gleich ist. Zum anderen
ist jede Komponente der Zerlegung primär, d. h., ist ein Produkt bc durch qi
teilbar, aber b nicht, so gibt es eine Potenz von c, die durch qi teilbar ist, und
die qi sind zugleich die größten primären Komponenten. Ausgehend von ei-
nem abstrakten Aufbau der Theorie gelang es Noether nun, die verschiedenen

Charakterisierungen der Zerlegung einer Zahl auf Ideale in beliebigen Ringbe-
reichen zu übertragen und darüber hinaus noch mehrere neue Sätze abzulei-
ten, die auch für Polynomideale bisher unbekannt waren. Dabei erkannte sie,
daß all diese Sätze auf einer speziellen strukturellen Eigenschaft der Ringbe-
reiche basierten, der sog. Endlichkeitsbedingung, die besagt, daß jedes Ideal
des Ringes eine endliche Basis besitzt. Diese Eigenschaft wies Noether als
äquivalent zur Gültigkeit des Teilerkettensatzes bzw. zur Erfüllung der auf-
steigenden Kettenbedingung nach. Ein Ring erfüllt den Teilerkettensatz bzw.

die aufsteigende Kettenbedingung, wenn in ihm jede aufsteigende Kette von

Idealen, in der jedes Ideal Teiler des vorangegangenen ist, nur endlich viele
verschiedene Glieder hat. Damit waren die Zerlegungssätze eine Folgerung
aus allgemeinen Struktureigenschaften der Ringe, eine Bezugnahme etwa auf

10.1 Die Etablierung der modernen abstrakten Algebra

561
die speziellen Eigenschaften der Polynombereiche war völlig überflüssig. Dies
stellte nicht nur eine großartige Abstraktionsleistung dar, sondern begründe-
te auch eine neue Sichtweise auf die Algebra. Die Endlichkeitsbedingung oder
eine ihr äquivalente Forderung wurde als Eigenschaft von der untersuchten

Struktur vorausgesetzt, definierte faktisch eine neue Teilstruktur und für die-
se folgten bestimmte Aussagen, hier die Zerlegungssätze. Der Nachweis, daß
bestimmte Bereiche diese Voraussetzungen erfüllten, war ein davon völlig
unabhängiges Problem und von den allgemeinen Untersuchungen völlig los-
gelöst. Sehr vorteilhaft erwies sich die von Noether bemerkte Äquivalenz der

Endlichkeitsbedingung mit dem Teilerkettensatz bzw. verschiedenen anderen

Bedingungen, wie der Existenz wenigstens eines maximalen Ideals in jeder

Menge von Idealen (Maximalbedingung für Ideale). Während der Teilerket-
tensatz gut für abstrakte Beweise geeignet war, ließ sich die Gültigkeit der

Endlichkeitsbedingung leichter nachweisen.

Hatte Noether die strukturelle Auffassung in der Arbeit zur Ringtheorie be-
reits klar demonstriert, so war die axiomatische Methode noch im Hinter-
grund geblieben. Diese trat dann in ihrer zweiten großen Arbeit

Abstrak-

”

ter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenk¨
orpern“

[Noether 1926] deutlich hervor. Die dabei von Noether geschaffene elegante

Mischung von Denken in algebraischen Strukturen und axiomatischer Me-
thode prägten jenen Stil, der typisch für die neue Auffassung der Algebra
wurde. Das Ziel der Arbeit war die abstrakte Charakterisierung jener Ringe,
deren Idealtheorie mit der des Ringes aller algebraisch ganzen Zahlen eines

”

endlichen algebraischen Zahlk¨
orpers ¨
ubereinstimmt“, d. h. es ging um eine Ab-
straktion aus der Dedekindschen Theorie. Wieder gelang Noether eine fast
vollständig Lösung, indem sie diese Ringe, die heute meist als Dedekindsche
oder ZPI-Ringe bezeichnet werden, durch fünf Axiome bestimmte. Sie stellte
diese Axiome an den Anfang der Arbeit und machte dann die Bedeutung
der einzelnen Axiome deutlich. Als wichtige

Nebenresultate“ leitete sie die

”

Isomorphiesätze für Moduln und Ringe ab. Mit dem Nachweis, daß in Zahl-
und Funktionenkörpern das angegebene Axiomensystem erfüllt war, stellte
sie den Anschluß an die klassische Theorie her.

Diese Verknüpfung der abstrakten Theorie mit den klassischen Ergebnissen
war für die Legitimation der neuen Ideen sehr wichtig. Es ging nicht um eine

Abstraktion der Abstraktion willen, sondern um eine bessere Widerspiege-
lung und Hervorhebung der algebraischen Eigenschaften bei den verschiede-
nen Sachverhalten. In diesem Sinne mühte sich Noether beispielsweise um eine

Einordnung der klassischen Eliminationstheorie, die ja in der algebraischen

Geometrie von großer Bedeutung war. Ein Teilschritt war die Bearbeitung
der Dissertation des im I. Weltkrieg nach Kämpfen vor Dixmuiden vermißten

Kurt Hentzelt, die dem
allgemeinen Problem der Eliminationstheorie, die

”

gemeinsamen Nullstellen aller Polynome eines Ideals zu bestimmen“ gewid-
met war. In einer Anmerkung verdeutlichte sie ihren Standpunkt:

562

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert

Diese ganz auf Grund eigener Ideen verfaßte Dissertation ist l¨
uckenlos auf-

”

gebaut; aber Hilfssatz reiht sich an Hilfssatz, alle Begriffe sind durch Formeln
mit vier und f¨
unf Indizes umschrieben, der Text fehlt fast vollst¨
andig, so daß
dem Verst¨
andnis die gr¨
oßten Schwierigkeiten bereitet werden. ...

Ich gebe die Arbeit in rein begrifflicher Fassung wieder, wodurch eine große

Vereinfachung der durchweg in den Grundgedanken auf Hentzelt zur¨
uckge-
henden Beweise erzielt wird, und, wie ich hoffe, die Sch¨
onheit der Arbeit
offenbar wird.“ [Hentzelt/Noether 1923, S. 53]

Noch im gleichen Jahr gelangen ihr weitere wichtige Fortschritte bei der Ein-
ordnung der Eliminationstheorie in die allgemeine Idealtheorie. Eine Neube-
gründung der Nullstellentheorie der Polynomideale auf der Basis der abstrak-
ten Idealtheorie publizierte dann Barthel Leendert van der Waerden, einer
ihrer bekanntesten Schüler, der 1924 nach seiner Promotion nach Göttingen
gekommen war und sich dem Kreis um Noether anschloß. Bereits vor van der

Waerdens Ankunft in Göttingen hatte Noether analoge Resultate erhalten
und darüber vorgetragen, doch überließ sie dem jungen Kollegen die alleinige

Veröffentlichung. In der Summe all dieser Forschungen formten Noether und
ihre Schüler die Idealtheorie zu einer Säule der modernen abstrakten Algebra
und schufen die Basis für weitere fruchtbare Studien. Als Beispiel seien die

Studien von Wolfgang Krull genannt, der 1920/21 ein Studienjahr in Göttin-
gen weilte, aber nur eine einzige Vorlesung von Noether hörte. Trotzdem
griff er ihre Ideen rasch auf und wirkte für deren Verbreitung. Für über zwei

Jahrzehnte bildete die Theorie kommutativer Ringe sein bevorzugtes Arbeits-
gebiet, auf dem er viele neue Ergebnisse erzielte. So eröffnete er 1928 mit der

Einführung der später nach ihm benannten Dimension von Ringen und Idea-
len völlig neue Entwicklungen in der Theorie der Noetherschen Ringe. Große

Bedeutung, insbesondere in der algebraischen Geometrie, erlangten seine seit

Beginn der 30er Jahre durchgeführten Untersuchungen über die sog. Krull-

Ringe und die Stellenringe, auch als lokale Ringe bezeichnet. Auch die An-
wendung des Lokal-Global-Prinzips in der kommutativen Algebra hat Krull
durch seine Arbeiten stark gefördert. Mit dem Ergebnisbericht Idealtheorie“

”

präsentierte er 1935 einen zusammenfassenden Überblick über die neugestal-
tete Theorie im kommutativen Fall, die allgemeine Modul-, Ring- und Ide-
altheorie fand 1939 in seinem gleichnamigen Beitrag für die zweite Auflage
der Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften eine umfassende Be-
handlung. Nach seinem Wechsel von Erlangen an die Universität Bonn (1939)

und der Einberufung zum Kriegsdienst traten neben die algebraischen Arbei-
ten auch solche über Differentialgleichungen, Hilbert-Räume u. a. Begonnen
hatte Krull seine wissenschaftliche Laufbahn in Freiburg, wo er 1921 promo-
vierte und nach der Habilitation 1922 und einer Privatdozentur vier Jahre
später zu außerordentlichen Professor aufstieg, bevor er 1928 Nachfolger von

Johann Radon in Erlangen wurde.

10.1 Die Etablierung der modernen abstrakten Algebra

563

Wolfgang Krull

Emil Artin

10.1.2

Moderne Algebra“

”

Emmy Noether hatte sich in der Zwischenzeit der Gestaltung einer weiteren

Säule der Algebra, der Algebrentheorie, zugewandt und der

Erfassung des

”

Nichtkommutativen“ einen großen Teil ihrer Aufmerksamkeit geschenkt. Die-
se Untersuchungen waren sehr breit angelegt, verarbeiteten viele Resultate
aus mehreren Gebieten der Algebra und wirkten ihrerseits auf diese Gebie-
te positiv zurück. Nicht einzelne Teile, sondern die gesamte Algebra erhielt
ein neues Gesicht, das in van der Waerdens Buch Moderne Algebra“ seinen

”

brillanten Ausdruck fand.

Zunächst soll aber das Bild noch durch einige spezielle Beiträge abgerundet
werden. Emil Artin, der 1921 in Leipzig promoviert hatte, dann von 1922 bis
zu seiner Emigration 1937 an der 1919 neu gegründeten Universität Hamburg
tätig war (ab 1925 als Professor) und sehr eng mit der Gruppe um Noether zu-
sammenarbeitete, hatte sich besonders dem Studium der sog. Klassenkörper
verschrieben und grundlegende Beiträge zum Aufbau der Klassenkörpertheo-
rie geleistet. Die Behandlung dieser meist zur algebraischen Zahlentheorie ge-
rechneten Probleme erforderte eine intensive Beschäftigung mit algebraischen

Fragen und fand großes Interesse bei den Vertretern der abstrakten Algebra.

Die dann in den 30er Jahren von Artin, Jacques Herbrand, Hasse und Claude

Chevalley gegebene rein algebraische Beschreibung der Klassenkörpertheorie
bezeugte eindrucksvoll die Kraft des neuen algebraischen Denkens. Als ei-
nes der Resultate der algebraischen Studien konnte Artin 1927 die Wedder-
burnschen Struktursätze für Algebren über einem Körper verallgemeinern auf

Ringe, die eine zur aufsteigenden Kettenbedingung duale absteigende Ketten-
bedingung erfüllen. Noether und ihre Schüler setzten diese Ansätze fort und
formulierten die Theorie für Ringe, die einer Kettenbedingung genügen und
über einem Körper mit beliebiger Charakteristik definiert sind. Bisher hatte

564

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert
man immer nur algebraisch abgeschlossene Körper der Charakteristik Null
betrachtet. Diese Studien brachten zwar beträchtliche Fortschritte, führten
aber noch nicht zu der gewünschten allgemeinen Theorie, da es trotz der

Ansätze von Gottfried Köthe u. a. nicht gelang, dem Begriff des Radikals die
nötige allgemeine, aber flexible Gestalt zu geben. Dies wurde eine der großen

Leistungen von Nathan Jacobson, der auf der Basis einer neuen Definition
des Radikals 1943 die Ausdehnung der Theorie auf Ringe ohne Endlichkeits-
bedingung veröffentlichte.

In den Studien über Algebren wurden auch erstmals im stärkeren Maße die
amerikanischen Arbeiten berücksichtigt. Während Wedderburns grundlegen-
de Arbeiten von 1905 und 1908 keine ihrer Bedeutung angemessene Be-
sprechung in dem Standardreferateorgan der damaligen Zeit, dem

Jahr-

”

buch ¨
uber die Fortschritte der Mathematik“, fanden, erschien Dicksons Buch

Algebras and their arithmetics“ vier Jahre nach der Originalausgabe 1927

”

überarbeitet in deutscher Übersetzung. Dickson gab in dem Werk nicht nur
einen Überblick über die Algebrentheorie und machte die von ihm und sei-
nen Schülern an der Universität Chicago erzielten Ergebnisse über zyklische
und Divisionsalgebren bekannt, sondern lieferte zugleich ein weiteres Beispiel
für eine abstrakte axiomatische Darstellung eines mathematischen Teilgebie-
tes. Er kombinierte die amerikanische Tradition der logischen Untersuchung
von Axiomensystemen mit konkreten, auf abstrakter Basis durchgeführten
algebraischen Studien und konnte in dieser Form stimulierend für die weitere

Ausgestaltung der abstrakten Algebra wirken, oder wie Artin es rückblickend
einschätzte:

While the Europeans obtained very advanced results in the classification of

”

their special cases (von Algebren, K.-H. S.) with methods that were not well
adapted to generalization, the Americans achieved an abstract formulation of
the problem, developed a very suitable terminology, and discovered the germs
of the modern methods.“ [Artin 1950, S. 65]

Die Forschungen über Algebren hatten durch die Arbeiten der amerikani-
schen Mathematiker um Dickson und Adrian Abraham Albert einen großen

Aufschwung genommen. Nun beteiligten sich zunehmend Mathematiker wie

Emil Artin, Richard Brauer, Helmut Hasse, Max Deuring und Andreas Spei-
ser daran, die zum Kreis um Emmy Noether gehörten oder deren abstrakter

Auffassung von Algebra nahe standen. Inhaltlich bildete die Charakterisie-
rung der Divisionsalgebren über dem Körper der p-adischen Zahlen bzw. über
einem beliebigen Körper algebraischer Zahlen sowie die Ermittlung von de-
ren Eigenschaften ein wichtiges Thema der Untersuchungen. Die Ergebnisse
brachten eine Vertiefung der Strukturaufklärung für einzelne Klassen von Al-
gebren, etwa die einfachen Algebren, aber auch Einsichten in die Zahlentheo-
rie der Algebren und den Zusammenhang mit der Arithmetik der Zahlkörper.

Die Bedeutung der Noetherschen Arbeiten über Algebren ist wohl neben den
verschiedenen Einzelresultaten vor allem darin zu sehen, daß auf der Basis
eines abstrakten, modultheoretischen Aufbaus der Theorie die in früheren

10.1 Die Etablierung der modernen abstrakten Algebra

565

Arbeiten enthaltenen Keime für weitreichende Verbindungen in andere ma-
thematische Gebiete umfassend entwickelt wurden. Dies gilt sowohl für die

Vertiefung der von Molien aufgezeigten Beziehungen zwischen Algebren und
der Darstellung endlicher Gruppen, als auch für die in der algebraischen Zah-
lentheorie bedeutsamen Studien über verschränkte Produkte, über normale
zyklische Algebren und über relativ-galoissche Zahlkörper. Noether hatte er-
kannt, daß der Aufbau einer abstrakten Theorie der Ideale in und der Moduln
über nichtkommutativen Ringen äußerst sinnvoll sein konnte, da deren An-
wendung in Analogie zur kommutativen Theorie neue Wege zur Lösung arith-
metischer Fragestellungen eröffnete. Ihre eigenen Ergebnisse und die nachfol-
gende Entwicklung haben diese Vermutung eindrucksvoll bestätigt. Mehrfach
konnten aus den Einsichten über Algebren neue Aussagen für den kommuta-
tiven Fall abgeleitet werden, und Noether nannte diese Methode dann
die

”

Anwendung des Nichtkommutativen auf das Kommutative“. In ihrem Haupt-
vortrag auf dem Internationalen Mathematiker-Kongreß in Zürich 1932 be-
schrieb sie das Wesen dieses Prinzips mit Blick auf die Anwendung in der

Zahlentheorie mit den Worten:

Man sucht verm¨
oge der Theorie der Algebren invariante und einfache For-

”

mulierungen f¨
ur bekannte Tatsachen ¨
uber quadratische Formen oder zyklische

K¨
orper zu gewinnen, d. h. solche Formulierungen, die nur von Struktureigen-
schaften der Algebren abh¨
angen. Hat man einmal diese invarianten Formulie-
rungen bewiesen ..., so ist damit von selbst eine ¨

Ubertragung dieser Tatsachen
auf beliebige galoissche K¨
orper gewonnen.“ [Noether 1932, S. 189]

Für die Intensität der Forschungen über Algebren spricht die Tatsache, daß
bereits 1935 eine weitere Zusammenfassung der neueren Ergebnisse ange-
bracht erschien [Deuring 1935, S. III]. Es handelte sich um den Ergebnis-
bericht

Algebren“ des Noether-Schülers Deuring. Im Charakter entsprach

”

der Bericht der schon erwähnten Publikation von Krull zur Idealtheorie. Bei-
de Berichte erschienen in der Reihe

Ergebnisse der Mathematik und ihrer

”

Grenzgebiete“, die von der Leitung des deutschen mathematischen Refera-
teorgans Zentralblatt f¨
ur Mathematik“ seit 1932 herausgegeben wurde und

”

das Ziel hatte, in einzelnen selbst¨
andigen Berichten in Problemstellung, Li-

”

teratur und haupts¨
achliche Entwicklungsrichtung spezieller moderner Gebiete
einzuf¨
uhren.“ [Reidemeister 1932, S. III] Gleichzeitig muß man berücksichti-
gen, daß nicht nur die Fülle der Ergebnisse, sondern wohl auch der Wunsch,
diese Gebiete im Stil der modernen Algebra darzustellen, die Entstehung
dieser Veröffentlichungen gefördert hat.

Mit den Studien über Algebren kam gleichzeitig eine allgemeine Tendenz
zum Tragen, die schon Dedekind im X. Supplement bevorzugt hatte, dann
aber wieder etwas in den Hintergrund gerückt war: Die sog. Linearisierung
der Algebra. Im Wesen beruhte dies darauf, daß sich viele Überlegungen in
der Algebra auf dem Modulbegriff aufbauen lassen und man bei dieser Be-
trachtungsweise viele Bildungen der linearen Algebra anwenden kann, die als

Ergebnis zwar wieder einen Modul ergeben, aber im allgemeinen z. B. keine

566

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert

Ideale ergeben. Es ist also sinnvoll, zu versuchen, die einzelnen Aussagen ganz
allgemein für Moduln abzuleiten, und sie nicht durch eine zu enge Begriffs-
wahl unnötig einzuschränken. Auch dieser Aspekt dokumentiert den Wandel,
der sich in der Algebra seit Ende der 20er Jahre deutlich abzeichnete.

Schließlich seien noch einige Fortschritte in der Körpertheorie und aus ihr
hervorgegangene Forschungen genannt. Bereits 1913 hatte Kürschák, ange-
regt von Hensels Körper der p-adischen Zahlen, den Begriff des bewerte-
ten Körpers definiert und die Existenz der Komplettierung eines Körpers
bezüglich einer Bewertung nachgewiesen. 1918 bestimmte Alexander Ostrow-
ski alle Bewertungen des Körpers der rationalen Zahlen. Forschungen zur Be-
wertungstheorie spielten auch in den folgenden Jahren eine wichtige Rolle, da
sie eine Brücke zwischen Algebra, Analysis und Zahlentheorie schlugen. Ein
weiterer wichtiger Begriff war der des formal-reellen Körpers, den Artin und

Schreier ab Mitte der 20er Jahre untersuchten. Sie definierten diese Körper

1927 durch die Eigenschaft, daß − 1 in ihnen nicht als Summe von Quadra-
ten geschrieben werden kann. Bemerkenswerterweise konnten sie genau diese

Körper als jene nachweisen, in denen die übliche Ordnungsrelation eingeführt
werden kann. Die Ergebnisse über formal-reelle Körper, zu denen es keine
echte formal-reelle algebraische Erweiterung gibt, sog. reell-abgeschlossene

Körper, bildeten dann im gleichen Jahr die Basis für Artins Lösung des 17.

Hilbertschen Problems. Dieses Problem forderte die Darstellbarkeit einer ra-
tionalen Funktion mit reellen Koeffizienten, die stets nichtnegative Werte
annimmt, als Quadratsumme von rationalen Funktionen mit reellen Koeffi-
zienten.

Außerdem fiel Artins abstrakte Formulierung der Galois-Theorie in diese Zeit.

Er stellte sie erstmals 1926 in einer Vorlesungsreihe vor, und durch die Auf-
nahme in van der Waerdens Algebra-Lehrbuch wurde sie allgemein publik.

Artin hat sich weiterhin intensiv mit der Galois-Theorie beschäftigt und die

Darstellung verbessert. Nach seiner Emigration in die USA, wo er als Profes-
sor vor allem an den Universitäten in Bloomington (1938–1946) und Prince-
ton (1946–1958) lehrte, publizierte er 1938 bzw. 1942 seine Neubegründung
der Theorie, die großen Anklang fand und mehrfach als Vorbild für die Be-
handlung der Galois-Theorie diente. Artin leitete dabei den Hauptsatz der

Theorie ab, ohne den Satz vom primitiven Element heranzuziehen. Der er-
ste diesbezügliche Beweis war bereits in dem Lehrbuch von Otto Haupt aus
dem Jahre 1929 enthalten und ging auf Friedrich Karl Schmidt zurück. Das

Lehrbuch enthielt auch eine Übersicht über die Galois-Theorie für unendliche

Körpererweiterungen, die Krull 1928 geschaffen hatte.

Die angegebenen Beispiele belegen die Fülle und Breite der algebraischen

Ergebnisse in den 20er Jahren des 20. Jahrhunderts und veranschaulichen
den Aufschwung, den die Algebraentwicklung nahm. Das allgemeine Symbol
der neuen Auffassung von Algebra wurde dann das schon erwähnte Lehrbuch

Moderne Algebra“ von van der Waerden. Sein Titel wurde gleichsam zur

”

Bezeichnung der ganzen Richtung. Durch dieses Lehrbuch rückte die Algebra

10.1 Die Etablierung der modernen abstrakten Algebra

567

Abb. 10.1.1. Titelblatt Moderne Algebra“ von B. L. van der Waerden 1930

”

568

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert
schlagartig“, wie Garrett Birkhoff vermerkte, in den Mittelpunkt der ma-

”

thematischen Forschungen und stand gleichberechtigt neben so großen tradi-
tionsreichen Gebieten wie Analysis oder Geometrie:

Even in 1929 its concepts and methods (i. e. of modern“ algebra) were still

”

”

considered to have marginal interest as compared with those of analysis in
most universities, including Harvard. By exhibiting their mathematical and
philosophical unity and by showing their power as developed by E. Noether
and her other younger colleages (most notably E. Artin , R. Brauer, and H.

Hasse) van der Waerden made
modern algebra“ suddenly seem central in

”

mathematics. It is not too much to say that the freshness and enthusiasm of
his exposition electrified the mathematical world – especially mathematicians
under 30 like myself.“ [Birkhoff 1973, S. 771]

Van der Waerdens Buch bildete den krönenden Abschluß einer ganzen Reihe
von Algebra-Lehrbüchern, die in den 20er Jahren in rascher Folge erschienen
waren, nachdem in den Jahrzehnten zuvor das Webersche Lehrbuch mit sei-
nen verschiedenen Editionen recht klar dominiert hatte. Stellvertretend seien

A. Speiser, R. Fricke, L. E. Dickson, H. Hasse, Oskar Perron und O. Haupt
in der chronologischen Reihenfolge des Erscheinens ihrer Lehrbücher als Au-
toren genannt. All diese Bücher wurden durch van der Waerdens

Moderne

”

Algebra“ in den Hintergrund gedrängt. Durch den klaren und eleganten Stil
wurde das Buch für Jahrzehnte die

Bibel“ der Algebraiker und wird noch

”

heute als Lehrbuch empfohlen. Van der Waerden orientierte sich bei der Aus-
arbeitung des Buches an den Werken von jenen beiden Protagonisten der
abstrakten Algebra, die in der obigen Aufzählung der Lehrbuchautoren feh-
len, Noether und Artin . Die Vorlesungen, die er bei beiden hörte, haben einen
großen Einfluß auf die Textgestaltung ausgeübt, eine Tatsache, zu der er sich
immer bekannte und die er u. a. in der Einleitung und durch den Untertitel

Unter Benutzung der Vorlesungen von E. Artin und E. Noether “ zum Aus-

”

druck brachte. Ja, die Ausarbeitung der Artinschen Algebra-Vorlesung vom

Sommer 1926 durch van der Waerden bildete auch den Ausgangspunkt des

Buches. Ursprünglich sollte dies die Basis eines gemeinsamen Lehrbuches zur

Algebra sein, doch Artin überließ angesichts der vorzüglichen Ausarbeitung
van der Waerden die alleinige Fertigstellung des Werkes. Einleitend charak-
terisierte dieser das Ziel des Buches mit folgenden Worten, die zugleich die
neuen Gesichtspunkte deutlich hervorhoben:

Die
abstrakte“,
formale“ oder
axiomatische“ Richtung, der die Algebra

”

”

”

”

ihren erneuten Aufschwung in der j¨
ungsten Zeit verdankt, hat vor allem in
der K¨
orpertheorie, der Idealtheorie, der Gruppentheorie und der Theorie der
hyperkomplexen Zahlen zu einer Reihe von neuartigen Begriffsbildungen, zur

Einsicht in neue Zusammenh¨
ange und zu weitreichenden Resultaten gef¨
uhrt.

In diese ganze Begriffswelt den Leser einzuf¨
uhren, soll das Hauptziel des Bu-
ches sein.“ [Waerden 1930, 1931, S. 1]

Die einzelnen Teilgebiete der Algebra standen gleichberechtigt nebeneinan-
der und erhielten eine einheitliche axiomatische Behandlung. Zugleich trat

10.2 Von der Algebra zur Mathematik der Strukturen

569
der strukturelle Aspekt deutlich hervor, wurde die Gleichheit in den Be-
handlungsmethoden erkennbar. Ganz wie van der Waerden E. Noethers For-
schungsmaxime charakterisiert hatte, waren alle Beziehungen von ihren be-

”

sonderen Objekten losgel¨
ost und auf allgemeine begriffliche Zusammenh¨
ange
zur¨
uckgef¨
uhrt“ worden [Waerden 1935, S. 469]. Die axiomatische Methode
war von einer Methode zur Klärung und Vertiefung der logischen Grundla-
gen zu einer effektiven und erfolgreich eingesetzten Forschungsmethode um-
gesetzt worden. Nach H. Weyl wandte E. Noether sie meisterhaft an und
machte die Algebra zum Eldorado der Axiomatik [Weyl 1935, S. 214].

Abschließend soll noch auf eine Besonderheit in dieser Entwicklungsetappe
der Algebra hingewiesen werden. Die entscheidende Wandlung zur modernen

Algebra war vorrangig das Werk deutschsprachiger Mathematiker und hatte
kaum Bezug zu den Forschungen in anderen Ländern, die einer breiteren, kal-
kulatorische Gesichtspunkte einschließenden Auffassung von Algebra folgten.

Dies hatte seinen Grund in der besonderen historischen Situation nach dem

Ersten Weltkrieg, in der Deutschland wesentlich auf Betreiben Frankreichs
in der Mathematik für fast ein Jahrzehnt isoliert blieb und die internationa-
le Kommunikation empfindlich gestört war. Zugleich hatte Frankreich zahl-
reiche junge Mathematiker im Krieg verloren und mußte große Anstrengun-
gen auf die Ausbildung einer neuen Mathematikergeneration verwenden. Erst

Mitte der 20er Jahre erfolgte allmählich wieder eine engere Kontaktaufnahme
mit ausländischen Kollegen und eine gegenseitige Rezeption der inzwischen
erzielten Ergebnisse. Angesichts dieser Tatsachen ist es wohl nicht verwun-
derlich, daß die Mathematiker in Deutschland die bereits am Ende des 19.

Jahrhunderts begründete Tendenz zur Abstraktion fortsetzten. Von den übri-
gen Forschungen seien die Studien zur Gruppentheorie – etwa von Philip Hall
über Gruppenerweiterungen – und zur universellen Algebra genannt. Alfred

North Whitehead hatte 1898 in dem Buch

A treatise of universal algebra“

”

die Algebra in der Tradition der englisch algebraischen Schule behandelt, was
auch die algebraische Logik einschloß.

10.2 Von der Algebra zur Mathematik der Strukturen

Mit der

Moderne(n) Algebra“ von van der Waerden und den daran an-

”

knüpfenden Publikationen wie den Ergebnisberichten von Krull und Deuring
hatte die Algebra ein deutliches Gesicht als eine Mathematik algebraischer

Strukturen bekommen. In den 30er Jahren setzte sich diese Entwicklung fort
und gewann deutlich an Breitenwirkung. Die wesentlichen Impulse kamen
zunehmend von Mathematikern in den USA und Frankreich, während in

Deutschland die Forschung durch die Veränderungen in der politischen Si-
tuation und die nachfolgende Vertreibung zahlreicher Gelehrter sehr gestört
wurde und an Dynamik verlor. Der markanteste neue Aspekt war die Aus-
dehnung des Strukturbegriffs über die Algebra hinaus und das Bestreben, die

570

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert
gesamte Mathematik als Strukturmathematik darzustellen. Im historischen

Rückblick werden diese Vorstellungen vor allem mit der Bourbaki-Gruppe von
französischen Mathematikern verknüpft, die mit ihren Werken zweifellos die
größte Wirkung erzielte. Es gab jedoch auch unter den amerikanischen und
den deutschsprachigen Mathematikern einige beachtenswerte Ansätze zu die-
sen Abstraktionen, die ebenfalls recht wirksam waren. Sie sind nicht zuletzt
ein Ausdruck jener breiten, durchgreifenden Wandlung der Mathematik, die
in den 20er Jahren immer klarere Konturen angenommen hatte (vgl. Abschn.

10.1). Im Rahmen des gewachsenen Interesses an Grundlagenuntersuchungen
widmeten sich einzelne Gelehrte wiederholt den Fundamenten der einzelnen

Gebiete, sei es aus formal logischer Sicht, sei es zur Analyse mengentheo-
retischer Aspekte oder um die Anwendung der axiomatischen Methode zu
verbessern. Dies bedingte zunächst im wesentlichen ähnliche Abstraktionen,
wie sie von Noether, Artin etc. auf dem Weg zur modernen Algebra vollzogen
wurden. Die Forschungen enthielten meist implizit den Keim, den Aspekt der
gemeinsamen Struktur stärker zu betonen, letztlich den Abstraktionsprozeß
fortzusetzen und allgemeine methodologische Überlegungen anzustellen. Es
sei aber betont, daß diese Ansätze auch in der Algebra vorhanden waren, es
sich also nicht um eine Entwicklung neben der Algebra handelte, sondern um

Ergebnisse, die sowohl in als auch außerhalb der Algebra erzielt wurden und
die dann in eine neue Entwicklungsphase der Algebra einmündeten. Zu Recht
vermerkte Herbert Mehrtens, daß die moderne Algebra mehrfach als Vorbild
und als Lieferant von Methoden und Begriffen für diese Entwicklung diente,
in der Noetherschen Schule jedoch auf eine derartige, nicht mehr an inhalt-

”

lichen Problemen orientierte Abstraktion“ kein Wert gelegt wurde [Mehrtens

1979, S. 157].

Die Betonung der gemeinsamen strukturellen Basis von verschiedenen Theori-
en konnte sehr unterschiedlich sein. Saunders MacLane charakterisierte z. B.

die Algebra als die Untersuchung der Struktur von Axiomensystemen und
vermerkte an anderer Stelle:

Any algebraic variety, such as group“, a field“, a group with operators“,

”

”

”

”

and the like, concerns essentually a system composed of a number of func-
tions. If this notion of a system be extended to include relations as well, then
we can say that any abstract mathematical theory consists of some system
and a number of axioms and theorems about this system. ... In the first place,
many typical algebraic concepts ... are really relations between systems and
can be defined with complete generality. ... Many algebraic theorems may be
viewed as special cases of the general theorem that two isomorphic systems
have the same structure.“ [MacLane 1934, S. 53f.]

Die von MacLane angegebenen Fragen zu allgemeinen Strukturuntersuchun-
gen entsprachen jenen Problemen, die bei der Entstehung der abstrakten

Algebra eine Rolle spielten und zum großen Teil in van der Waerdens Buch
ihren Niederschlag gefunden hatten.

10.2 Von der Algebra zur Mathematik der Strukturen

571

Während MacLanes Überlegungen auf dem nicht genau bestimmten Begriff
des axiomatisch definierten Systems fußten, wählten Øystein Ore und Birk-
hoff eine zum Begriff des Verbandes äquivalente Bildung als Basis für ihre
allgemeinen Betrachtungen. Beide waren, wie sie selbst bezeugten, sehr gut
mit dem aktuellen Forschungsstand zur abstrakten Algebra vertraut. Dabei
erscheint der Wandel in Ores Intentionen recht überraschend. Ore hatte in

Oslo, Göttingen und Paris studiert und lehrte dann, abgesehen von einem fast
zehnjährigen Intermezzo an der Yale Universität in New Haven (1936–1945),
an der Universität Oslo. 1930–32 war er an der Herausgabe der gesammelten

Werke Dedekinds beteiligt und hatte dabei insbesondere mit E. Noether zu-
sammengearbeitet. Trotzdem hatte er in seinen algebraischen Forschungen,
der Übertragung von Zerlegungssätzen auf nichtkommutative Polynomringe,
nicht auf die Ideen Noethers zurückgegriffen, sondern benutzte im Stile von

Lasker und Macaulay die speziellen Eigenschaften der Polynome. 1935 offen-
barte er dann in einer Begründung der abstrakten Algebra eine weitgehende

Abkehr von seiner bisherigen Auffassung von Algebra. Seine Grundidee war
folgende: Da viele Theoreme über verschiedene algebraische Bereiche eine
große Ähnlichkeit aufwiesen, beruhten sie vermutlich auf gemeinsamen, ganz
allgemeinen strukturellen Eigenschaften. Das Ziel seiner Forschungen war die

Aufdeckung dieser Eigenschaften. Dies entsprach gemäß Ore einer weiteren,
über die bisherige Betrachtungsweise der Algebra hinausgehenden Abstrak-
tion, bei der man sich nur noch für die Relationen zwischen verschiedenen
ausgezeichneten Teilgebieten interessierte. Die vorliegende Algebra war durch
eine Abstraktion entstanden, bei der nur von der Spezifik der Elemente ab-
gesehen wurde und die Beziehungen zwischen ihnen im Mittelpunkt standen.

In the discussion of the structure of algebraic domains, one is not primarily

”

interested in the elements of these domains but in the relations of certain
distinguished sub-domains ... For all these systems there are defined the two
operations of union and cross-cut satisfying the ordinary axioms. This leads
naturally to the introduction of new systems, which we shall call structu-
res, having these two operations. The elements of the structure correspond
isomorphically with respect to union and cross-cut to the distinguished sub-
domains of the original sub-domain while the elements of the original domain
are completely eliminated in the structure.“ [Ore 1935, S. 406]

Bezüglich der beiden Operationen sind nun die Elemente der Struktur den
ausgezeichneten Teilgebieten des Ausgangsgebiets isomorph, während die ein-
zelnen Elemente der Teilgebiete bei der Betrachtung der Struktur völlig eli-
miniert sind. In den folgenden Jahren machte Ore dann mehrere Anwendun-
gen seines Strukturkonzepts (Struktur ist hier als mathematisches Objekt zu
verstehen!) vor allem in der Gruppentheorie, wobei Zerlegungseigenschaften
wieder einen wichtigen Untersuchungsgegenstand bildeten, bevor er sich dann
vor allem der Graphentheorie zuwandte. Als Beispiele seien die Herleitung ei-
ner transfiniten Version des Satzes von Jordan-Hölder und der Aufbau einer

Theorie der Quasigruppen genannt. Die Quasigruppen gehören in die breite

572

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert

Saunders MacLane

Garrett Birkhoff

Palette der Verallgemeinerungen des Gruppenbegriffs, die damals von mehre-
ren Mathematikern in Angriff genommen wurden und zu teilweise sehr frucht-
baren Begriffsbildungen wie Halbgruppe, Gruppoid führten. All diese Begriffe
entstanden durch eine Reduzierung des Axiomensystems für eine Gruppe, im

Falle der Quasigruppe verzichtete Ore auf die Assoziativität der Gruppenope-
ration sowie die Existenz eines Einselements und der Inversen und forderte
nur, daß zu Elementen a und b zwei Elemente x, y der Quasigruppe existieren,
mit ax = b und ya = b. Besonders hervorzuheben ist noch das Brandtsche

Gruppoid, das Heinrich Brandt im Rahmen zahlentheoretischer Forschungen

1926 eingeführt hatte. Ohne auf die Details dieser Entwicklung einzugehen,
muß festgehalten werden, daß die Theorie der Gruppoide und Halbgruppen
über die Zahlentheorie hinaus sehr vielfältige Anwendungen erfuhr und etwa
in den Untersuchungen über theoretische Syntaxen und Sprachen sowie in
der Automatentheorie eine wichtige Rolle spielt. Das Brandtsche Gruppoid
war schließlich ein Ausgangspunkt für den Kategorienbegriff von Eilenberg-

MacLane, einer abstrakten algebraischen Bildung, die noch näher betrachtet
werden wird.

10.2.1 Die Entstehung der Verbandstheorie

Bevor auf die verbandstheoretischen Studien von Garrett Birkhoff, dem Sohn
des durch zahlreiche Resultate auf den verschiedenen Teilgebieten der Ana-
lysis und über dynamische Systeme bedeutenden amerikanischen Mathema-
tikers George David Birkhoff, näher eingegangen werden wird, soll kurz die

Entwicklung der Verbandstheorie skizziert werden. Der Verbandsbegriff wur-
de erstmals bereits Ende des 19. Jahrhunderts von Ernst Schröder und De-
dekind eingeführt, blieb aber für mehrere Jahrzehnte im wesentlichen unbe-
achtet. Schröder hatte sich intensiv dem Aufbau der Logik gewidmet und zur

10.2 Von der Algebra zur Mathematik der Strukturen

573

Erfassung der logischen Operationen auf die Mittel der Algebra zurückgegrif-
fen (vgl. Abschn. 9.1.1). In den Studien zu den allgemeinen Verknüpfungen,
die in seinen logischen Kalkül und einen axiomatisch orientierten Aufbau der

Logik einmündeten, deckte er die Unterschiede seines logischen Kalküls zu
den üblichen (an den arithmetischen Operationen orientierten) algebraischen

Kalkülen auf. Er erkannte die Unabhängigkeit des Distributivgesetzes von
den anderen Verknüpfungsregeln und die Tatsache, daß nur ein Distributiv-
gesetz, z. B. a ∩ ( b ∪ c) = ( a ∩ b) ∪ ( a ∩ c), vorausgesetzt werden muß, das dazu
duale Gesetz a ∪ ( b ∩ c) = ( a ∪ b) ∩ ( a ∪ c) konnte er dann daraus ableiten.

Damit hatte er aber die Verbandsstruktur im Logikkalkül herausgearbeitet.

Am genauesten führte Schröder dies in seinen mehrbändigen

Vorlesungen

”

¨
uber die Algebra der Logik“ aus.

Diese Vorlesungen bildeten dann auch für Dedekind einen Anreiz zu seinen
verbandstheoretischen Veröffentlichungen, die eigentliche Wurzel bildeten je-
doch seine algebraischen Studien, insbesondere zur Teilbarkeitslehre (vgl.

Abschn. 9.3). Mit der mengentheoretischen Interpretation der Teilbarkeits-
beziehung legte er zugleich die Basis für das Erkennen verbandstheoretischer

Eigenschaften, die sich im Operieren mit Moduln bzw. Idealen und deren
größtem gemeinsamen Teiler und deren kleinstem gemeinschaftlichen Vielfa-
chen ergaben. Entscheidend dabei war, daß die Bildung des größten gemeinsa-
men Teilers und des kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen als Operationen
in der Menge der Moduln, Ideale oder auch anderer algebraischer Objekte
aufgefaßt wurden. Einen zweiten Schritt bildete dann die Erkenntnis, daß es
sinnvoll war, auch in diesem Fall nach der entstehenden algebraischen Struk-
tur zu fragen, also etwa zu untersuchen, ob die Menge der Moduln mit den ge-
nannten Verknüpfungen (größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinschaft-
liches Vielfaches) eine algebraische Struktur erhielt. Die nötigen Begriffe und

Bezeichnungen sowie die Herleitung der einzelnen Resultate hatte Dedekind

1871 im X. Supplement zu Dirichlets Zahlentheorie bzw. den überarbeiteten

Versionen in den nachfolgenden Auflagen sowie in einigen ergänzenden Arbei-
ten vorgenommen. Im XI. Supplement von 1894 findet sich beispielsweise eine
vollständige axiomatische Charakterisierung eines Verbandes, wobei er auch,
da er Verbände von Moduln betrachtete, die spezielle, als Modulargleichung
bezeichnete Eigenschaft m+( a−b) = ( m+ a) −b hervorhob. Darin bezeichnen
a, b, m Moduln, + die Bildung des größten gemeinsamen Teilers, − die Bil-
dung des kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen, und m sei teilbar durch b,
d. h. m ist als Menge in b enthalten. Verbände mit dieser Eigenschaft werden
heute modulare oder Dedekindsche Verbände genannt. Dedekind hatte be-
reits 1877 bei Betrachtungen über Idealklassen eine äquivalente Beschreibung
der Modulargleichung durch zwei Gleichungen gegeben. Die verbandstheore-
tischen Vorstellungen entwickelte er erst 1897 in Form der Dualgruppen sy-
stematisch. Aus verschiedenen Stellen in Dedekinds Arbeiten und aus seinem

Nachlaß wird jedoch deutlich, daß er bereits früher abstrakte Untersuchun-
gen der Gruppe der Moduln durchgeführt hatte. In seinen Forschungen zur

574

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert
algebraischen Zahlentheorie war er immer wieder auf die Verbandsstruktur
geführt worden und hatte bei Moduln, Idealen und Zahlen, aber auch bei

Körpern und Gruppen verschiedene Modelle von Verbänden vorliegen. Mit

Schröders logischen Systemen trat dann ein weiteres Modell aus einem völlig
anderen Teilgebiet der Mathematik hinzu. Das Erscheinen von Schröders

Vorlesungen zur Algebra der Logik“ diente Dedekind als formaler Anlaß,

”

um seine abstrakten Untersuchungen über Dualgruppen zu publizieren [De-
dekind 1897b]. In der Arbeit gab Dedekind eine klare axiomatische Definition
der Dualgruppe, die der modernen Verbandsdefinition entspricht:

Ein System A von irgendwelchen Dingen α, β, γ , ... soll eine Dualgruppe

”

heißen, wenn es zwei Operationen ± gibt, welche aus je zwei Dingen α, β
zwei ebenfalls in A enthaltene Dinge α ± β erzeugen, und zugleich den

Bedingungen A gen¨
ugen.“ [Dedekind 1930, Bd. 2, S. 113]

Die Bedingungen A umfassen das Kommutativ-, das Assoziativ- und das

Verschmelzungsgesetz für die Operationen ±, also die Formeln:

α + β = β + α
α − β = β − α
α + ( β + γ) = ( α + β) + γ
α − ( β − γ) = ( α − β) − γ
α + ( α − β) = α
α − ( α + β) = α

(Man beachte, daß Dedekind mit + und − abstrakte Operationen bezeichnet,
die nicht mit den entsprechenden arithmetischen Operationen zu verwechseln
sind. Um diese Verwechslungen zu vermeiden, werden + und − meist durch

∩ und ∪ bzw. und ersetzt.)

Nach der Angabe der ihm bekannten wichtigen Beispiele für das Auftreten
von Dualgruppen, wobei das Fehlen der Geometrie zu vermerken ist, behan-
delte Dedekind das distributive und das modulare Gesetz. Die Dualgruppen,
die diesen Gesetzen genügen, nannte er vom Idealtypus bzw. vom Modul-
typus, da die von Idealen bzw. von Moduln gebildete Dualgruppe jeweils
ein Modell für die entsprechende Gruppe lieferte. Dedekind stellte dann die

Beziehungen zwischen diesen zusätzlichen Axiomen klar heraus, jede Dual-
gruppe vom Idealtypus ist auch vom Modultypus, aber es gibt Dualgruppen
vom Modultypus, die nicht vom Idealtypus sind. Weiterhin existieren Dual-
gruppen, die nicht vom Modultypus sind. In seinen Untersuchungen bemerkte

Dedekind auch, daß man eine Ordnungsrelation in einer Dualgruppe definie-
ren kann, doch hat er diese Idee nicht weiter ausgebaut. In diesem Punkt
blieb er, wie Mehrtens feststellt, in der Tradition der zahlentheoretischen Be-
trachtungen – ein abstrakter Ordnungsbegriff lag zu jener Zeit noch nicht vor.

[vgl. Mehrtens 1979, S. 100f.] Dedekinds Arbeit zu den Dualgruppen wurde
später von E. Noether und auch von Bourbaki wegen ihrer klaren abstrakt-
axiomatischen Ausrichtung gewürdigt und als einer der ersten Beiträge zur
axiomatischen Algebra bezeichnet.

In einer zweiten Arbeit widmete sich Dedekind dem Studium des von drei

Moduln erzeugten Verbandes, den er als aus 28 Elementen bestehend nach-
wies und dessen Eigenschaften er aufzeigte. Da er im XI. Supplement von

10.2 Von der Algebra zur Mathematik der Strukturen

575

1894 bereits einige Ergebnisse erwähnt hatte, griff Dedekind hier auf ältere

Untersuchungen zurück. Neben der Analyse des konkreten Beispiels bilde-
ten abstrakte Fragestellungen wie der sog. Kettensatz den Gegenstand der

Arbeit.

Die Arbeiten von Schröder und Dedekind fanden zunächst keine unmittelbare

Fortsetzung. Schließt man sich dem Standpunkt Ores an, daß der Übergang
zur Verbandsstruktur einen zweiten, der Definition der abstrakten algebra-
ischen Begriffe nachfolgenden Abstraktionsschritt erfordert, so können die

Ansätze zur Verbandstheorie bei Schröder und Dedekind als historisch ver-
früht eingestuft werden. In diesem Sinne war es zunächst erforderlich, den

Weg zur abstrakten Algebra zu gehen, um dann zu weiteren abstrakten Bil-
dungen fortzuschreiten. Da für die meisten Mathematiker die Anwendung der
neuen Ideen keine nennenswerten Verbesserungen in der Behandlung der kon-
kreten mathematischen Probleme mit sich brachte, bestand kein Anlaß diesen
abstrakten Überlegungen zu folgen. Erst Ende der 20er Jahre kam es dann
aus verschiedenen Richtungen zu einer Annäherung an die Verbandsstruktur,
die sehr rasch in den Aufbau einer umfassenden Theorie überging. Den wich-
tigsten Nährboden für diese Entwicklung bildeten die Fortschritte in den ver-
schiedenen Teilen der Mathematik hinsichtlich des abstrakten axiomatisch-
mengentheoretischen Aufbaus der einzelnen Theorien, wie er speziell für die

Algebra in den vorangegangenen Abschnitten beschrieben wurde.

Karl Menger kam 1928 in einer Kombination von Grundlagenuntersuchun-
gen zur Mengenlehre und geometrischen Überlegungen zur Definition einer
von ihm als Feld bezeichneten Struktur, die einen Verband darstellte. Durch
eine Abschwächung des Axiomensystems erhielt er dann eine Charakterisie-
rung der projektiven Geometrie als Verband. Ausgehend von der Logik und
den Schröderschen Studien legte Fritz (!) Klein ab 1929 einige Überlegungen
zu Grundlagenfragen, speziell zur Rolle von abstrakten Verknüpfungen und
den axiomatischen Strukturen vor. Den unmittelbaren Anlaß lieferten Fra-
gen der Zahlentheorie und Algebra. Fritz Klein erkannte, daß es sich meist
um Mengensysteme handelte, die gegenüber den Mengenoperationen Bildung
des Durchschnitts bzw. der sog. relativen Vereinigung abgeschlossen waren.

Die zugrunde liegende Struktur bezeichnete er 1932 als Verband und stellte
die Verbände an den Anfang der axiomatischen Studien, wies ihnen also die

Rolle eines strukturellen Grundbegriffs zu.

Um das Bild der Vorgeschichte der Verbandstheorie abzurunden, seien noch
einige Studien genannt, die im Rahmen der abstrakten Algebra bzw. der ame-
rikanischen Tradition zur Untersuchung von Axiomensystemen durchgeführt
wurden. Wolfgang Krull (1924, 1928) und Heinrich Grell (1927) hatten in
ihren Forschungen zur Idealtheorie auch verbandstheoretische Überlegungen
hervorgebracht. Die Grellsche Arbeit hatte sogar sehr enge Bezüge zu De-
dekinds Dualgruppenarbeit, obwohl er erst nachträglich von E. Noether auf
diese Publikation hingewiesen worden war. Da die behandelte Fragestellung

– Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe – eine Verallge-

576

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert
meinerung der entsprechenden Dedekindschen Aufgabe war, ist dies nicht
verwunderlich. In der Endfassung seiner Arbeit lehnte sich Grell auch in der

Terminologie an Dedekind an. In die amerikanische Traditionslinie gehören

Arbeiten von Huntington, Orrin Frink, Albert Bennett u. a., die sich um die

Analyse von Booleschen Algebren rankten.

Studien zur abstrakten Algebra, u. a. van der Waerdens

Moderne Alge-

”

bra“, bildeten auch den unmittelbaren Ausgangspunkt für Garrett Birkhoff.

Dieser hatte bis 1932 an der Harvard Universität Cambridge (Mass.) stu-
diert und lehrte fortan an dieser Universität, ab 1946 als Professor, außerdem
war er auch in der Industrie tätig. Ein spezieller Themenkreis der Birkhoff-
schen Forschungen in den Jahren 1932/33 war die Gruppentheorie, in der
er insbesondere an die Ergebnisse von Robert Remak über die Zerlegbar-
keit endlicher Gruppen in direkt unzerlegbare Faktoren anknüpfte. Birkhoff
war von der Nützlichkeit und den Möglichkeiten einer abstrakten Betrach-
tung mathematischer Theorien, wie sie in der Anwendung der axiomatischen

Methode und in der modernen Algebra zum Ausdruck kam, überzeugt. An-
ders als bei Dedekind und Schröder, die sich erst durch eigene Beiträge den

Weg zu abstrakteren Auffassungen bahnen und selbst wichtige Teile der neu-
en Methodik schaffen mußten, konnte Birkhoff diese veränderte Sichtweise
und die zu ihrer Untermauerung dienenden Einzelresultate als Allgemeingut
voraussetzen und gleich in seiner ersten Arbeit 1933 wichtige Teile der Ver-
bandstheorie entwickeln. Er definierte eine verallgemeinerte Algebra mit ganz
allgemeinen Operationen, wobei Algebra hier als mathematisches Objekt zu
verstehen ist und weitgehend dem heute üblichen Begriff der universellen Al-
gebra entspricht. Am System der Teilalgebren, das gegenüber der Bildung
von beliebigen Durchschnitten und Verbindungen abgeschlossen ist, leitete
er die Verbandseigenschaften ab. Dabei bezeichnet Verbindung den Durch-
schnitt aller umfassenden Teilalgebren. Die sich ergebende Verbandsdefinition
war sehr allgemein, für viele Fälle war es jedoch sinnvoll, den Begriff etwas
einzuschränken und nur endlichstellige bzw. zweistellige Operationen anzu-
nehmen. Unter Verweis auf Klein gab Birkhoff auch diese Definition eines

Verbandes an. Er ergänzte seine Ausführungen durch die Betrachtung der
modularen und distributiven Verbände und zeigte als wichtige Anwendung,
daß jeder distributive Verband einem Mengenverband und jeder endlichen

Booleschen Algebra ein Mengenkörper entsprach. Weitere Anwendungen gab
er in der Gruppen- und Ringtheorie. Durch ein breites Forschungsspektrum
war Birkhoff in der Lage, innerhalb weniger Jahre die Verbandstheorie mit
zahlreichen Bereichen der Mathematik erfolgreich zu verknüpfen und so die

Bedeutung der neuen Begriffsbildung an mehreren Modellen nachzuweisen.

Neben der Algebra schlug er die Brücke zur Mengenlehre, zur Maßtheorie, zur

Wahrscheinlichkeitsrechnung, zur Geometrie und zur Topologie. Mit seinen

Arbeiten hob Birkhoff den Verbandsbegriff als Verallgemeinerung der in all
diesen Gebieten vorhandenen strukturellen Gemeinsamkeiten hervor, machte
diesen einheitlichen Begriff zum Gegenstand einer eigenständigen Untersu-

10.2 Von der Algebra zur Mathematik der Strukturen

577
chung und zeigte die Möglichkeiten der Verbandstheorie auf. 1940 publizier-
te er die erste Monographie zur Verbandstheorie, nachdem ein Jahr zuvor

Hans Hermes und Gottfried Köthe wichtige Resultate in einem Beitrag zur

Enzyklop¨
adie der mathematischen Wissenschaften“ zusammengefaßt darge-

”

stellt hatten. Die rasche Etablierung der Verbandstheorie bis zum Ende der

30er Jahre ist in Verbindung mit den Erfolgen der Strukturmathematik zu
sehen. Sowohl die Aufdeckung struktureller Gemeinsamkeiten und deren For-
mulierung mit Hilfe der axiomatischen Methode als auch die eigenständige

Untersuchung der abstrakten Systeme einschließlich weiterer Verallgemeine-
rungen hatten sich als sehr fruchtbar erwiesen und waren allmählich zum

Allgemeingut der Mathematiker geworden. Auf diesem Fundament konnte
die Verbandstheorie, deren wichtigste Wurzeln in der Entwicklung der mo-
dernen Algebra lagen, aufbauen und die vielfältigen Beziehungen zu anderen

Teilgebieten der Mathematik herausarbeiten. Diese Anwendungen lieferten
die Rechtfertigung für die vollzogenen Abstraktionen sowie zugleich den An-
reiz für weitere Untersuchungen und bildeten den Nährboden, auf dem eine
rasche Etablierung der Theorie erfolgen konnte.

Bezüglich des Aufschwungs der Strukturmathematik in den 30er Jahren sei
noch ein Argument angeführt, das sich aus den persönlichen Erinnerungen
verschiedener Mathematiker ableiten läßt und auf das H. Mehrtens hinge-
wiesen hat [Mehrtens 1979, S. 200]. Die Ausbildung an den meisten Uni-
versitäten folgte noch weitgehend den klassischen Darstellungen der Mathe-
matik; Lehrbücher, welche die neuen Ideen, z. B. der abstrakten Algebra,
integrierten, waren erst im Entstehen. Die jungen Mathematiker lernten die
moderne Mathematik erst relativ spät, mit der Annäherung an eine For-
schungstätigkeit kennen und schätzen. Die dabei auftretende Diskrepanz zwi-
schen der scheinbar unfruchtbaren konservativen Ausbildung und den Erfol-
gen der modernen Mathematik erzeugte den Impetus, im Abstraktionsprozeß
fortzufahren und die Strukturmathematik weiter auszubilden.

10.2.2 Bourbaki und Strukturkonzepte

Die Unzufriedenheit mit der klassischen Darstellung der Analysis in den
französischen Lehrbüchern war auch der unmittelbare Anlaß für die Gründung
der Bourbaki-Gruppe. Ende 1934 traf sich erstmals eine Reihe junger französi-
scher Mathematiker und stellte sich das Ziel, in gemeinsamer Arbeit ein Lehr-
buch der Differential- und Integralrechnung zu verfassen. Dieses sollte so mo-
dern wie möglich sein und für 25 Jahre den Standard in der Lehre dieses Teil-
gebietes bestimmen. Zu den Gründungsmitgliedern der Gruppe gehören Hen-
ri Cartan, Claude Chevalley, Jean Coulomb, Jean Delsarte, Jean Dieudonné,

Paul Dubreil, Charles Ehresmann, Jean Leray, Szolem Mandelbrojt, René de

Possel und André Weil. Später schlossen sich weitere bedeutende Mathema-
tiker der Gruppe an, unter ihnen Samuel Eilenberg, Alexander Grothendieck,

Pierre Samuel und Jean-Pierre Serre, während andere ihre Mitarbeit an dem

578

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert

Jean Dieudonné

Henri Cartan

Projekt einstellten. Um eine ständige Erneuerung der Gruppe zu sichern und
ein Festhalten an veralteten Konzepten zu verhindern, sollten die Mitglieder
der Gruppe nicht älter als 50 Jahre sein, ein Grundsatz, der in der zweiten

Hälfte des Jahrhunderts mehrfach durchbrochen wurde. Ein Wesenszug der
gemeinsamen Arbeit war die Diskussion der von einzelnen Mitgliedern der

Gruppe ausgearbeiteten Kapitel des Buches, in deren Ergebnis die einzelnen

Manuskripte immer wieder neu geschrieben und verbessert wurden, bis alle
der vorgelegten Formulierung zustimmten. Doch die Diskussionen konnten
sich nicht auf inhaltliche Fragen beschränken, auch methodische und metho-
dologische Probleme waren zu lösen. Sollte der Stoff abstrakt axiomatisch
dargestellt werden, welche Begriffe sollten als Basis gewählt werden? Vie-
le weitere Fragen mußten geklärt werden. Rückblickend bezeichneten einige

Bourbaki-Mitglieder die Fertigstellung der Bücher als ein Wunder angesichts
der großen Meinungsverschiedenheiten. In diesem Prozeß wurden wichtige Be-
griffe herausgearbeitet oder exakter gefaßt und so eine feste begriffliche Basis
für viele Teilgebiete der Mathematik geschaffen. Aus dem Plan, ein modernes

Analysislehrbuch zu schaffen, wurde allmählich ein Programm zu einer ein-
heitlichen umfassenden Darstellung des Gesamtbildes der Mathematik. Sehr
bald erkannte die Bourbaki-Gruppe, daß man sich auf ausgewählte wichtige

Teile der Mathematik beschränken mußte. Für eine ausführliche Analyse der

Gründung der Bourbaki-Gruppe und deren Aktivitäten in der ersten Deka-
de ihres Bestehens sei auf die Arbeiten von L. Beaulieu verwiesen [Beaulieu

1989], [Beaulieu 1994].

Zur Realisierung des neuen Programms wurden ab 1939 unter dem Namen Ni-
colas Bourbaki die berühmten Bände der Reihe El´
ements de math´
ematiques“

”

veröffentlicht. Mit diesen Büchern sowie mit ihren eigenen Werken haben die

Mitglieder der Bourbaki-Gruppe einen prägenden Einfluß auf die Entwick-

10.2 Von der Algebra zur Mathematik der Strukturen

579
lung der Mathematik ausgeübt. Von zentraler Bedeutung war dabei, daß die

Gruppe ein neues Bild der Mathematik als einer Mathematik der Strukturen
entwickelte und in den Publikationen umsetzte. Basierend auf dem Struktur-
konzept errichtete man sprichwörtlich eine

Architektur der Mathematik“,

”

so auch der Titel eines Artikels, in dem Dieudonné 1948 unter dem Namen

Bourbaki die Ansichten zum Aufbau programmatisch zusammenfaßte. Die

Strukturen erschienen als das geeignete Mittel, um die Einheit der Mathe-
matik zu sichern und in der mathematischen Praxis zum Tragen zu bringen:

Each structure carries with it its own language, freighted with special intui-

”

tive references derived from the theories from which the axiomatic analysis ...

has derived the structure. And, for the research worker who suddenly disco-
vers this structure in the phenomena which he is studying, it is like a sudden
modulation which orients at once the stroke in an unexpected direction in the
intuitive course of his thought and which illumines with a new light the ma-
thematical landscape in which he is moving about. ... Mathematics has less
then ever been reduced to a purely mechanical game of isolated formulas; more
then ever does intuition dominate in the genesis of discoveries. But hence-
forth, it possesses the powerful tools furnished by the theory of the great types
of structures; in a single view, it sweeps over immense domains, now unified
by the axiomatic method, but which were formerly in a completely chaotic
state.“ [Bourbaki 1950, S. 227f.]

Es deutet sich auch der formalistische Standpunkt an, den die Bourbakisten
in der Behandlung der Mathematik einnahmen. Doch hat man dies nicht als

Grundhaltung zur Behandlung der Mathematik interpretiert und wich mehr-
fach davon ab. Dem entsprach, daß sich die Mitglieder der Bourbaki-Gruppe
an den Diskussionen zwischen des Anhängern des Intuitionismus, des Forma-
lismus und des Logizismus um die Grundlagen der Mathematik nicht beteilig-
ten. Auch das Strukturkonzept wurde keineswegs immer konsequent in allen

Büchern der Gruppe umgesetzt. Die formale Theorie der Strukturen wurde
im Kapitel 4 des Buches zur Mengenlehre entwickelt, das erstmals 1957 er-
schien. Dort traten als Beispiele jene drei Strukturen auf, die Bourbaki auch
als Mutterstrukturen bezeichnete: die algebraischen, die topologischen und
die Ordnungsstrukturen. Ein großer Teil der in diesem Kapitel entwickelten

Theorie der Strukturen fand jedoch, wie Corry zeigte, in den anderen Bänden
der El´
ements“ keine Anwendung, und diese Theorie hatte nicht die Bedeu-

”

tung für die Entwicklung der Mathematik, die ihr gewöhnlich zugeschrieben
wird [Corry 1996, S. 321-342]. Die Ursache liegt vor allem darin, daß der

Begriff der Struktur in zahlreichen Publikationen auch von Mitgliedern der

Bourbaki-Gruppe nicht im Sinne der abstrakten formalen Definition, sondern
in einer anschaulicheren, aber nicht exakt definierten Bedeutung gebraucht
wurde. So entstand ein Bild der Mathematik als Theorie der Strukturen, mit
dem man allgemein den Übergang zum abstrakten, axiomatisch fundierten
streng deduktiven Aufbau der einzelnen Teilgebiete der Mathematik verband,
aber nicht die strenge Gliederung der Mathematik nach der formalen Struk-

580

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert
turtheorie. Hinzu kam, daß die disziplinäre Aufspaltung der Mathematik in
verschiedene Teilgebiete durchaus dem Bild von verschiedenen Strukturen
und deren Ineinandergreifen entsprach. Dies mindert nicht die Leistung der

Bourbaki-Gruppe und deren Bedeutung für die Entwicklung der Mathematik
im 20. Jahrhundert.

Für die Algebra war das Wirken der Bourbaki-Gruppe vor allem in zweierlei

Hinsicht von Bedeutung. Zum einen wurde die Bedeutung der Algebra durch
die Kennzeichnung als Grundstruktur weiter erhöht. Zugleich profitierte sie,
wie jedes der behandelten Gebiete, von der Zusammenfassung der in den
letzten Jahren erzielten Ergebnisse und der Neustrukturierung des gesamten

Aufbaus, doch war dieser Impuls mit Blick auf van der Waerdens Moderne

”

Algebra“, die ja eine wichtige Vorbildfunktion für die Bourbaki-Gruppe hatte,
schwächer als bei anderen Teilgebieten. Zum zweiten bedingten die zahlrei-
chen Anwendungen algebraischer Methoden eine intensive Beschäftigung mit
vielen speziellen algebraischen Fragen.

Das Erscheinen der ersten Kapitel von Bourbakis

Algebra“ im Jahre 1942

”

kann auch als der Beginn einer neuen Phase in der Entwicklung der Struktur-
mathematik angesehen werden. Nicht nur, daß damit die Algebra im Sinne
des Bourbakischen Strukturkonzepts vorlag, im gleichen Jahr erschien auch
die erste Arbeit, in der die Begriffe Kategorie“ und Funktor“ benutzt wur-

”

”

den und die damit am Anfang der Kategorientheorie steht. Ein Jahr zuvor
war der

Survey of modern algebra“ von

Birkhoff und MacLane erschie-

”

nen, das erste englischsprachige Lehrbuch, das die Algebra im Stile von van
der Waerdens Buch darlegte. Dabei war es vor allem die Kategorientheo-
rie, welche die Merkmale der neuen Entwicklungsphase in sich vereinigte. Sie
stellte einerseits die Fortsetzung der in Verbindung mit der Verbandstheo-
rie, dem Oreschen Strukturbegriff und entsprechenden verwandten Überle-
gungen geschaffenen Vorstellungen dar, andererseits eine gewisse Alternative
zur Bourbakischen Strukturtheorie. Wichtige Impulse für ihre Herausbildung
und Anerkennung erhielt sie aus den Anwendungen der abstrakten Algebra,
insbesondere in der Geometrie und der Topologie.

Wie in den verschiedenen Ansätzen zu einer Strukturtheorie wurde auch in
der Kategorientheorie von den einzelnen mathematischen Objekten abstra-
hiert und nur die Zusammenfassung zu neuen Objekten wie Gruppen, Vek-
torräumen, Mengen usw. betrachtet. Im Mittelpunkt standen die Beziehun-
gen zwischen diesen neuen Objekten, wobei sich für verschiedene Fragestel-
lungen die gleichzeitige Untersuchung all dieser Relationen als notwendig und
günstig erwies. Diese Beziehungen werden durch die sog. Morphismen erfaßt,
und eine Kategorie enthält neben der Menge der Objekte die Menge der

Morphismen als zweiten grundlegenden Bestandteil. Um von einer Katego-
rie sprechen zu können, müssen die Morphismen noch gewisse Bedingungen
erfüllen, die ihrem Wesen nach bereits bei anderen algebraischen Betrachtun-
gen eine Rolle spielten:

10.2 Von der Algebra zur Mathematik der Strukturen

581

Zu zwei Objekten A, B der Kategorie gibt es wenigstens einen Morphismus f ,
der A in B abbildet und zu jedem Objekt A existiert ein eindeutig bestimmter
identischer Morphismus 1 A.

Ist C ein weiteres Objekt und g ein Morphismus von B in C, so existiert die

Komposition f • g der Morphismen f und g, die A in C abbildet.

Für diese Komposition der Morphismen wird das Assoziativgesetz gefordert
und ferner, daß der identische Morphismus als Identität bei der Komposition
mit f wirkt, d. h. 1 A • f = f = f • 1 B.

Beispiele für Kategorien sind etwa die Kategorie Grp mit allen Gruppen als

Objekten und den Homomorphismen zwischen Gruppen als Morphismen, die

Kategorie Set aller Mengen und der Funktionen zwischen ihnen oder die Ka-
tegorie Top aller topologischen Räume und der stetigen Funktionen. Es sei
noch angemerkt, daß es möglich ist, den Kategorienbegriff allein mit Hilfe
der Morphismen zu definieren. Diese Definition erwies sich als kompliziert
und nicht gut handhabbar, unterstreicht aber die besondere Bedeutung, die
entsprechend den Grundgedanken der Kategorientheorie den Relationen zwi-
schen den Objekten beigemessen wird.

Ein weiterer Abstraktionsschritt war schließlich die Untersuchung von Ab-
bildungen zwischen Kategorien, die zum Begriff des Funktors führte. Als be-
sonderes Charakteristikum eines Funktors ist hervorzuheben, daß er sowohl
die Objekte der beiden Kategorien, als auch die zugehörigen Morphismen ab-
bildet und dabei die Identität und die Komposition respektiert. In Formeln
bedeutet das: Ist F ein Funktor von der Kategorie K auf die Kategorie H, so
wird jedes A aus K auf F ( A) aus H abgebildet und der Morphismus f von

A auf B hat den Morphismus F ( f ) der Kategorie H als Bild und F ( f ) bildet F ( A) auf F ( B) ab. Außerdem gilt F (1 A) = 1 F ( A) und F ( f •g) = F ( f ) ∗F ( g).

Die Kategorientheorie fand zunächst keine große Resonanz bei den Mathema-
tikern, obwohl bereits Ende der 30er Jahre in mehreren Arbeiten Elemente
der Kategorientheorie in impliziter Form aufgetreten waren. Den Begriff der

Kategorie, allerdings mit einer von obiger Definition abweichenden Bedeu-
tung, hatten Lasar Aronovič Ljusternik und Lev Genrichoviě Schnirelmann

Ende der 20er Jahre bei der Anwendung topologischer Methoden in der Varia-
tionsrechnung eingeführt. Trotz der engen Verknüpfung der Entstehung der

Kategorientheorie mit Fragen der algebraischen Topologie hoben Eilenberg
und MacLane bereits in einer der nachfolgenden Arbeiten 1945 die allge-
meinen Gesichtspunkte hervor und stellten sie damit in die oben skizzierte

Traditionslinie der abstrakten Algebra:

In a metamathematical sense our theory provides general concepts applica-

”

ble to all branches of abstract mathematics, and so contributes to the current
trend towards uniform treatment of different mathematical disciplines. In par-
ticular, it provides opportunities for the comparison of constructions and for
the isomorphism occuring in different branches of mathematics; in this way
it may occasionally suggest new results by analogy.

582

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert

The theory also emphasizes that, whatever new abstract objects are construc-
ted in a specified way out of given ones, it is advisable to regard the con-
struction of the corresponding induced mappings on these new objects as an
integral part of the definition ... This emphasis on the specification of the type
of mappings employed gives more insight into the degree of invariance of the
various concepts involved.“ [Eilenberg/MacLane 1945, S. 236]

Die Kategorientheorie hat sich dann in enger Verbindung mit dem Auf-
schwung der algebraischen Topologie in den 40er Jahren sehr rasch entwickelt
und bot für zahlreiche mathematische Sachverhalte den Rahmen für eine ein-
heitliche abstrakte Darstellung. Sie ermöglichte später auch eine neue alter-
native Behandlung einiger Grundlagenfragen der Mathematik.

An dieser Stelle sei eine allgemeine Bemerkung zur Durchsetzung neuer
algebraischer Theorien eingeflochten. Mehrfach wurde in diesem historischen

Abriß darauf hingewiesen, daß die Durchsetzung und Rezeption neuer Ideen
in der Algebra meist einen längeren Zeitraum beanspruchte, wie dies gewöhn-
lich bei wissenschaftlichen Neuerungen der Fall ist. Die Kriterien, um diese

Rezeption zu messen, sind dabei unterschiedlich und u. a. vom betrachte-
ten Zeitraum abhängig. Für die Entwicklung im 20. Jahrhundert kann die

Übernahme in den Lehrbetrieb der Universitäten als ein Kriterium für die
allgemeine Anerkennung der neuen Ideen genommen werden. So wurde das

Erscheinen des Lehrbuches von Birkhoff und MacLane bzw. die Mitte der

40er Jahre wiederholt als der Zeitpunkt bezeichnet, zu dem die moderne ab-
strakte Algebra weitgehend in den Studienbetrieb Eingang gefunden hatte.

Die Übernahme der Bourbakischen Ideen kann man etwa auf die Mitte der

60er Jahre datieren, ähnliches gilt für die Kategorientheorie. Ein weiteres

Indiz für die Fortschritte in der Verbreitung der abstrakten Algebra waren
das Weglassen des Attributs moderne“ durch van der Waerden bei der Neu-

”

edition seines Algebrabuches im Jahre 1955 und das Ersetzen des Lehrbuches
von Birkhoff und MacLane durch ein neues der gleichen Autoren im Jahre

1960 ebenfalls unter dem Titel Algebra. Diese Art der Algebra war nun nicht
mehr neu, sondern galt als üblicher Standard bzw. klassisch. Birkhoff und

MacLane gründeten dabei ihre Darstellung auf wesentliche Elemente der Ka-
tegorientheorie sowie auf Ideen der universellen Algebra, machten also auch
diese Abstraktionen zum Gegenstand der Lehrbuchliteratur.

10.3 Die Wechselwirkung der abstrakten Algebra mit
anderen Teilgebieten der Mathematik

In diesem Abschnitt soll an einigen Beispielen das Vordringen algebraischer

Methoden in andere Bereiche der Mathematik und in die Physik behandelt
werden, das sich in Verbindung mit der Herausbildung der abstrakten Alge-
bra vollzog. Ohne dies in jedem Einzelfall hervorzuheben, hat häufig auch
die Algebra weitere Impulse für ihre Entwicklung erfahren. Diese richteten

10.3 Die Wechselwirkung der abstrakten Algebra

583
sich primär auf die Lösung konkreter Probleme und weniger auf die Stimulie-
rung weiterer Abstraktionen. Durch die erfolgreiche Anwendung der algebra-
ischen Methoden wurden jedoch zugleich das erreichte Abstraktionsniveau
legitimiert und somit zumindest die vorgenommenen Verallgemeinerungen
als sinnvoll nachgewiesen.

10.3.1 Die algebraische Geometrie

Die klassische algebraische Geometrie; wie sie im Anschluß an Max Noether
vor allem durch die italienischen Geometer um Castelnuovo und Severi aus-
geformt worden war, nahm in ihren Grundbegriffen noch stark auf die geo-
metrische Intuition Bezug. Häufig lagen den Überlegungen der Körper der
reellen bzw. der komplexen Zahlen oder andere Zahlkörper als Grundkörper
zugrunde. Doch schon Dedekind und Weber hatten in ihrer Arbeit von 1882
vermerkt, daß sie in ihren Betrachtungen nur die algebraische Abgeschlossen-
heit des Grundkörpers verwendet hatten. Mit der allmählichen Etablierung
einer abstrakten algebraischen Betrachtungsweise ergab sich bezüglich der
algebraischen Geometrie die Aufgabe, diese ebenfalls auf solch eine abstrak-
te Basis zu stellen. Dies konnte dadurch geschehen, daß in den auftretenden

Gleichungen die Koeffizienten bzw. bei den Punkten die Koordinaten in be-
liebigen Körpern gewählt wurden und alle Folgerungen von einem streng
algebraischen Standpunkt ohne Heranziehung der Analysis oder der Topolo-
gie vorgenommen wurden. Zugleich verdeutlichten die teilweise komplizierten
und nicht einheitlichen Definitionen verschiedener Begriffe, die das Verständ-
nis der einzelnen Arbeiten erschwerten und auch zu Meinungsverschieden-
heiten führten, daß die logischen Grundlagen dieses Teilgebietes stark ver-
besserungsbedürftig waren. Dementsprechend unterzogen E. Noether, Krull,
van der Waerden, F. K. Schmidt u. a. die Grundbegriffe der algebraischen

Geometrie einer kritischen Analyse und gaben ihnen eine algebraische For-
mulierung. Dabei schufen sie große Teile jenes Gebietes, das gewöhnlich als
kommutative Algebra bezeichnet wird. Eine wichtige Basis stellte die von

Noether und Krull entwickelte allgemeine Ring- und Idealtheorie dar. Neben
den Zerlegungssätzen für Ideale, auf deren Bedeutung für die algebraische

Geometrie schon hingewiesen wurde, seien die Heranziehung zahlreicher be-
wertungstheoretischer Resultate sowie der Theorie der lokalen Ringe – das
sind kommutative Ringe, die nur ein maximales Ideal besitzen – erwähnt. Die

Bedeutung dieser Ergebnisse für die algebraische Geometrie wurde größten-
teils erst mit der allgemeinen Durchsetzung der abstrakten Algebra Anfang
der 40er Jahre erkannt. Anknüpfend an Vorarbeiten von E. Noether strebte
van der Waerden eine Neubegründung der algebraischen Geometrie an und
widmete sich zunächst der Verallgemeinerung und rein algebraischen Defini-
tion des allgemeinen Punktes auf einer algebraischen Mannigfaltigkeit und
der Schnittvielfachheit. Zur Definition eines geeigneten Begriffs der Vielfach-
heit führte er u. a. die Idee der relationstreuen Spezialisierung ein, die grob

584

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert
formuliert verlangt, daß beim Übergang von einer irreduziblen Mannigfaltig-
keit zu einer Untermannigfaltigkeit niedrigerer Dimension die algebraischen

Relationen zwischen den Punkten erhalten bleiben oder anders ausgedrückt,
daß beim Ersetzen der Unbestimmten und Parameter in den Gleichungen
durch speziellere Wertsysteme die algebraischen Relationen zwischen den

Lösungen und den Parametern bestehen bleiben. Mit den neuen algebra-
ischen Mitteln löste van der Waerden eine ganze Reihe von Problemen der
algebraischen Geometrie. Insbesondere gelang ihm eine Verallgemeinerung
des Bézoutschen Satzes auf den Schnitt einer ( n − r)-dimensionalen algebra-
ischen Mannigfaltigkeit mit einer r-dimensionalen in einem n-dimensionalen
projektiven Raum. Der Bézoutsche Satz besagte (was natürlich bereits eine

Verallgemeinerung der ursprünglichen Aussage von Bézout war), daß die An-
zahl der Schnittpunkte von n algebraischen Hyperflächen im n-dimensionalen
projektiven Raum gleich dem Produkt der Gradzahlen der einzelnen Hyper-
flächen ist, wenn die Schnittpunkte mit ihrer Vielfachheit genommen werden
und es insgesamt nur endlich viele gibt. 1933 begann van der Waerden mit
einer Serie von Arbeiten unter dem Titel

Zur algebraischen Geometrie“,

”

in denen er einen systematischen und strengen Neuaufbau dieses Gebietes
vornahm und viele Resultate anderer Mathematiker verarbeitete. Bis 1958
erschienen 19 Beiträge in dieser Serie.

Ab den 40er Jahren leistete auch André Weil wichtige Beiträge zur Neube-
gründung der algebraischen Geometrie. Bei den grundlegenden Begriffen sei
speziell die verbesserte Definition der Schnittvielfachheit hervorgehoben, die
er von gewissen Restriktionen befreite, die van der Waerden noch hatte for-
dern müssen und welche die Anwendung dieser Definition merklich erschwer-
ten. Weils Arbeiten standen im engen Zusammenhang mit zahlentheoreti-
schen Problemen und führten u. a. zur Verallgemeinerung der Riemannschen

Zeta-Funktion und zum Beweis der Riemannschen Vermutung für gewisse

Funktionenkörper. 1946 publizierte er eine monographische Darstellung der
abstrakten algebraischen Geometrie, bei der er von beliebigen Körpern aus-
ging.

Ende der 40er Jahre begannen weitere abstrakte Begriffe das Bild der Ma-
thematik im Sinne des Bourbakischen Strukturkonzepts zu verändern. Jean

Leray hatte 1945 in einer kurzen Mitteilung eine Definition der Garben und
der Spektralfolgen gegeben, die Leray und Henri Cartan in den folgenden Jah-
ren zu einem wichtigen Werkzeug in vielen Teilgebieten der Mathematik aus-
bauten. Große Fortschritte erzielten die algebraische Topologie, die Differen-
tialgeometrie und die Theorie der komplexen Mannigfaltigkeiten. Gleichzeitig
fand auch der in den 30er Jahren eingeführte Begriff des Vektorbündels Ein-
gang in die algebraische Geometrie. Begünstigt wurde die Übernahme dieser

Grundbegriffe in die algebraische Geometrie durch eine Entdeckung von Os-
car Zariski, dem es beim Studium von Singularitäten auf projektiven algebra-
ischen Mannigfaltigkeiten gelungen war, mit algebraischen Mitteln eine Topo-
logie auf einer Mannigfaltigkeit zu definieren. Weil bemerkte dann, daß diese

10.3 Die Wechselwirkung der abstrakten Algebra

585

Hermann Weyl

Oscar Zariski
später nach Zariski benannte Topologie auch für die Mannigfaltigkeiten der
abstrakten algebraischen Geometrie definiert werden konnte. Damit war das

Tor geöffnet, um die Übertragung von verschiedenen Methoden und Resulta-
ten in Angriff zu nehmen, die auf topologischen Eigenschaften beruhten. Von
den zahlreichen Mathematikern, die neben den schon genannten an diesem

Prozeß beteiligt waren, seien Alexander Grothendieck, Jean-Pierre Serre, Shi-
ing - Shen Chern, Kunihiko Kodaira, Friedrich Hirzebruch und Claude Che-
valley erwähnt. Ein Problem, auf das sich viele Forschungen konzentrierten,
war die Verallgemeinerung des Satzes von Riemann-Roch. Nachdem Fried-
rich Karl Schmidt bereits in den 30er Jahren eine erste Verallgemeinerung
dieses Satzes abgeleitet und wichtige Vorarbeiten in Verbindung mit zahlen-
theoretischen Studien geleistet hatte, hatten sich fast alle der oben erwähn-
ten Mathematiker mit diesem Satz beschäftigt. Eine erste Verallgemeinerung
des Riemann-Rochschen Satzes auf projektive algebraische (nichtsinguläre)

Mannigfaltigkeiten beliebiger Dimension konnte dann Hirzebruch 1954 pu-
blizieren, wobei er insbesondere auf Resultate von Cartan, Kodaira, Serre
u. a. zur Garbentheorie zurückgriff. Schließlich brachte Grothendieck die ab-
strakte Betrachtungsweise weiter voran und begann etwa 1957 damit, sein

Programm von einer großen Verallgemeinerung der algebraischen Geometrie
zu realisieren. Die neue Theorie sollte alle bisherigen Entwicklungen enthalten
und ging von der Kategorie aller kommutativen Ringe mit Einselement aus.

Von grundlegender Bedeutung für dieses Programm war die Theorie der sog.

Schemata, eine gigantische von Grothendieck entwickelte Theorie, die seit-
dem eine dominierende Rolle in der algebraischen Geometrie spielt. In der
neuen abstrakten Geometrie fand übrigens auch der allgemeine Punkt, nun
wohl begründet, seinen festen Platz, und die topologischen Argumentationen
aus der italienischen Schule waren wieder anwendbar.

586

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert

10.3.2 Anwendungen der Algebra in der Physik

Traditionsgemäß gibt es enge Beziehungen zwischen Mathematik und Physik,
war doch die Lösung vieler physikalischer Fragestellungen an den Einsatz ent-
sprechender mathematischer Methoden geknüpft. Umgekehrt verdankte die

Mathematik wichtige Impulse zur Entwicklung neuer Theorien und Metho-
den häufig der Beschäftigung mit physikalischen Problemen. Ein wichtiges

Beispiel lieferte im 20. Jahrhundert auch die Algebra. Es handelt sich dabei
um die Suche nach einer befriedigenden Begründung der Quantenmechanik,
die sich in den ersten Jahrzehnten des 20. Jahrhunderts sehr rasch entwickelt
hatte. Bei dieser Suche zogen die Mathematiker Methoden aus vielen Gebie-
ten der Mathematik heran.

Im folgenden sollen nur Methoden vorgestellt werden, die wesentlich algebra-
ische Mittel benutzten. Bekanntlich gab es zunächst vier verschiedene Ansätze
zur Formulierung der Quantenmechanik: Die Matrizenmechanik Heisenbergs,
die Wellenmechanik Schrödingers, den Formalismus Diracs und den Operato-
renformalismus von Born und Wiener. Grundlegend für Wiener war die Inter-
pretation der physikalisch beobachtbaren Größen, der Observablen, als Ope-
ratoren in einem Hilbertraum, sowie der Nachweis, daß für die Observablen
algebraische Operationen definiert werden können und die Beschreibung des
physikalischen Zustands eines Systems durch eine sog. Zustandsfunktion. Die

Zustandsfunktionen bilden den Hilbert-Raum, auf dem die Operatoren defi-
niert sind. In mehreren bedeutenden Arbeiten wurden Ende der 20er Jahre
dann die Beziehungen dieser Theorien zueinander aufgeklärt. Pascual Jordan
zeigte 1933, daß die Observablen mit diesen Operationen eine kommutative,
nichtassoziative distributive Algebra bilden. Diese Algebren werden heute als

Jordan-Algebren bezeichnet. Die Aufklärung der Struktur und der Darstel-
lungen von Jordan-Algebren wurde ein neues Forschungsproblem, bei dessen

Lösung Algebra und Funktionalanalysis eng zusammenspielten. Aus den Re-
sultaten erhoffte man sich dann eine genauere Beschreibung quantenmecha-
nischer Prozese und die Möglichkeit, neue Einsichten ableiten zu können. Das
größte Manko der Theorie war jedoch, daß die quantenmechanischen Größen
nicht mit beschränkten Operatoren über endlichdimensionalen Räumen dar-
stellbar waren, sondern unbeschränkte Operatoren und unendlichdimensio-
nale Räume erforderten. Entsprechend konnte die grundlegende Kommuta-
torrelation pq − qp = ( h/ 2 πi) I ( q repräsentiert die Ortskoordinaten, p die

Impulskoordinaten des Teilchens, h das Plancksche Wirkungsquantum und

I den identischen Operator) nicht realisiert werden. Neben anderen widmete
sich John von Neumann, der bereits 1927 in seinem Artikel Mathematische

”

Begr¨
undung der Quantenmechanik“ eine abstrakte Definition des Hilbert-

Raumes gegeben und die Theorie der Operatoren auf diesen Räumen syste-
matisch entwickelt hatte, dieser Herausforderung und fügte den algebraischen

Bedingungen 1936 einige topologische hinzu, ohne eine endgültige Lösung zu
erreichen. Doch bildeten diese Studien einen wichtigen Anreiz für die Theorie
der Operatorenalgebren, wie sie von Neumann für die nach ihm benannten

Algebren Ende der 30er Jahre entwickelte.

10.3 Die Wechselwirkung der abstrakten Algebra

587

Ein weiteres Konzept zur Beschreibung quantenmechanischer Vorgänge stell-
ten Birkhoff und von Neumann 1936 unter Rückgriff auf Elemente der Ver-
bandstheorie vor. Die Verbandsstruktur wurde durch die abgeschlossenen Un-
terräume des zugrunde gelegten Hilbert-Raumes, des Zustandsraumes, gelie-
fert. In diesen Forschungen kamen auch von Neumanns Kenntnisse aus dem

Studium der von Neumann-Algebren und der in diesem Zusammenhang von
ihm aufgedeckten Beziehungen zwischen den stetigen Geometrien und den
endlichdimensionalen projektiven Geometrien zum Tragen.

Einen anderen Weg hatte Weyl eingeschlagen. Er hatte sich intensiv mit

Darstellungen von Lie-Gruppen beschäftigt. Anknüpfend an Resultate von

Schur und Élie Cartan sowie im regen Gedankenaustausch mit letzterem und
später mit E. Noether erzielte er wertvolle neue Resultate. U. a. stellte er
den Zusammenhang zwischen den Methoden von Schur und E. Cartan für
die Darstellungen der speziellen linearen Gruppe her, bewies die vollständige

Reduzibilität dieser Darstellungen und dehnte seine Theorie auf alle halb-
einfachen Gruppen aus. Etwa 1927 wandte er sich dann der Anwendung der

Gruppendarstellungen in der Quantenmechanik zu. Er betrachtete die zwi-
schen den Orts- und Impulskoordinaten bestehenden Kommutatorrelationen
als definierende Relationen für die Multiplikation in der Menge dieser Größen,
die dadurch die Struktur einer Lie-Algebra erhielt. Er ging dann zur Unter-
suchung der zugehörigen Lie-Gruppe über und leitete, teilweise heuristisch,
neue Ergebnisse zur Darstellung dieser Gruppen ab. Die exakte Begründung
einiger dieser Argumentationen führte zu neuen Einsichten über einparamet-
rige Gruppen unitärer Transformationen und zum Nachweis der Eindeutig-
keit für gewisse irreduzible unitäre Darstellungen von Lie-Gruppen. Die sy-
stematische Präsentation seiner Ideen zur Anwendung der Gruppentheorie in
der Monographie Gruppentheorie und Quantenmechanik“ (1928) wirkte sehr

”

anregend auf die weitere Entwicklung. Eine weitere Anwendung der Darstel-
lungstheorie gab Weyl einige Jahre später zusammen mit R. Brauer, als beide
anknüpfend an Diracs Quantentheorie des Elektrons die Darstellung der Spi-
noralgebra behandelten. Paul Dirac hatte die Spinoren 1928 eingeführt, als
er eine gegenüber der Lorentz-Transformation invariante Gleichung für das

Elektron aufstellte, die später nach ihm benannte Gleichung. Den Begriff Spi-
nor verwendete er nicht, dieser wurde erst von Weyl und Brauer geprägt, die
dann u. a. eine Darstellung der Gruppe der Rotationen in n Dimensionen
herleiteten. Bei all diesen Untersuchungen spielten die sog. Clifford-Algebren
eine wichtige Rolle, die Clifford als Anwendung des Graßmannschen äußeren

Produkts bei geometrischen Betrachtungen bereits 1878 definiert hatte. Man
erhält die erste Clifford-Algebra, wenn man von n Einheiten ek ( k = 1, ...n)

ausgeht, die Produktbildung den Bedingungen e 2 = − 1 und e
k
k ej = −ej ek
unterwirft und als Basis der Algebra die 2 n Größen 1, ek, ekej ( k < j),
ekejel ( k < j < l) usw. wählt. Durch die zusätzliche Forderung, daß nur Pro-
dukte mit einer geraden Anzahl von Faktoren auftreten sollen, erhält man
die sog. zweite Clifford-Algebra, die eine Teilalgebra der ersten ist. Den Zu-

588

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert

Pavel Sergejevič Aleksandroff

Heinz Hopf
sammenhang zwischen der zweiten Clifford-Algebra und den Rotationen in n

Dimensionen erkannte erstmals Rudolf Lipschitz 1884, seine Arbeit fand aber
wenig Beachtung. Die Clifford-Algebren spielten dann eine wichtige Rolle in
der Theorie der Lie-Gruppen.

10.3.3 Die algebraische Durchdringung der Topologie

Ein weiteres Teilgebiet der Mathematik, das unter dem Einfluß der abstrakten

Algebra einen deutlichen Wandel erfuhr, war die kombinatorische Topologie.

Diese hatte durch Poincaré in den Jahren 1895–1901 eine erste systematische

Behandlung erfahren. Sie war entstanden in dem Bestreben, mit kombina-
torischen bzw. algebraischen Methoden geometrische Fragen über Kurven,

Flächen und Räume zu lösen, insbesondere deren topologische Invarianten
zu bestimmen und, grob formuliert, um die Abweichungen der einzelnen Ge-
bilde von in ihren Eigenschaften bekannten Mannigfaltigkeiten zu ermitteln.

Lange Zeit bildete die Untersuchung von kombinatorischen Eigenschaften von

Polyedern und deren Zerlegungen in sog. Simplizes das wichtigste Verfahren
der kombinatorischen Topologie. Unter einem Simplex kann man sich da-
bei, etwas vereinfacht, im euklidischen Raum die von n linear unabhängigen

Punkten erzeugte konvexe Punktmenge vorstellen. Für die Simplizes wurde
jeweils der Rand definiert und durch einen entsprechenden Operator beschrie-
ben. Dieser Operator diente zugleich zur Charakterisierung der sog. Zyklen.

Um gewisse Beziehungen zwischen der Menge der Ränder und der der Zy-
klen zu erfassen, hatte Poincaré den Begriff der Homologie eingeführt und
diese durch gewisse ganze Zahlen, genauer die sog. Bettischen Zahlen und
die Torsionskoeffizienten, beschrieben. Es dauerte jedoch bis zur Mitte der

20er Jahre, bis der algebraische Hintergrund dieser Betrachtungen erkannt

10.3 Die Wechselwirkung der abstrakten Algebra

589
wurde. E. Noether wies in Gesprächen mit Pavel Sergejevič Aleksandroff,

Heinz Hopf und anderen 1925/26 darauf hin, daß das Verfahren durch die

Verwendung gruppentheoretischer Ideen übersichtlicher beschrieben werden
könne, insbesondere daß die Menge der Ränder bzw. der Zyklen jeweils Grup-
pen bilden, aus denen als Faktorgruppe die Homologiegruppe hervorging.

Hopf setzte diese Anregungen 1928 um. Unabhängig von ihm definierte auch

Walther Mayer die Homologiegruppen in einer 1927 eingereichten Arbeit über
abstrakte Topologie, nachdem er von Leopold Vietoris die Verwendung der
gruppentheoretischen Terminologie kennengelernt hatte. Die neue Termino-
logie der Homologiegruppen fand relativ rasch allgemeine Anerkennung. Ihre

Vorteile demonstrierte sie auch bei der Beschreibung weiterer Versuche, die
vorhandenen Methoden der algebraischen Topologie zu verallgemeinern bzw.

zu ergänzen. Hierzu zählte das Erfassen gewisser Dualitätsbeziehungen, die

Definition der Kohomologiegruppen und die Bestimmung einer Multiplika-
tion für die Elemente der Homologie- bzw. Kohomologiegruppen. Die Un-
tersuchung dieser multiplikativen Struktur bildete den Ausgangspunkt für
die als H-Räume und als Hopf-Algebren bezeichneten Bildungen. In ihrem

Buch

Topologie“ sprachen Aleksandroff und Hopf 1935 von einer starken

”

Tendenz zur Algebraisierung auf gruppentheoretischer Grundlage, der sie in
dem Werk gefolgt seien. Herbert Seifert und William Threlfall benutzten ih-
rerseits die Homologiegruppen in ihrem Lehrbuch der Topologie“ (1934) wie

”

selbstverständlich.

Die weitere Entwicklung der Homologietheorie war dann eng mit der Katego-
rientheorie verknüpft, diente erstere doch als ein erstes wichtiges Beispiel für
die letztere. Dieser Zusammenhang wird klar, wenn man sich folgendes ver-
deutlicht: Zu einem beliebigen Raum bestimmt man zunächst mit Hilfe des

Randoperators die Homologiegruppe. Betrachtet man nun eine Klasse von

Räumen und die stetigen Abbildungen zwischen diesen, so kann jedem Raum
eine Homologiegruppe zugeordnet werden. Zugleich induziert aber jede steti-
ge Abbildung zwischen zwei Räumen einen Homomorphismus der Homologie-
gruppen, und diese Zuordnung respektiert die Identität und die Verknüpfung
zweier Abbildungen. Die Mengen der Räume und der Abbildungen bzw. der

Homologiegruppen und der Homomorphismen besitzen aber genau die Eigen-
schaften, die in der Definition des Kategorienbegriffs gefordert werden, und
die oben beschriebene Zuordnung zwischen ihnen erfüllen die Funktoreigen-
schaften. Genau diesen Sachverhalt erfaßten dann Eilenberg und MacLane

1942 mit der Definition der Begriffe Kategorie und Funktor.

Ein weiteres Teilgebiet der algebraischen Topologie ist die Homotopietheo-
rie, die ebenfalls bis auf Poincaré zurückgeht, auf die aber an dieser Stelle
nicht näher eingegangen werden kann. Auch in der Homotopietheorie spie-
len algebraische Betrachtungen eine wichtige Rolle. Zugleich waren die dort
vorliegenden Verhältnisse Ausgangspunkt für weitere abstrakte Begriffe, etwa
den des adjungierten Funktors. In den folgenden Jahren entwickelten die Ma-
thematiker immer umfassendere und ausgeklügeltere Methoden um die ver-

590

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert
schiedenen Probleme zu lösen, beispielsweise um die Poincarésche Vermutung
über die Homöomorphie einer n-dimensionalen Sphäre zu einer geschlosse-
nen n-dimensionalen Mannigfaltigkeit gleichen Homotopietyps (d. h. mit ver-
schwindender Fundamentalgruppe und trivialer Homologie höherer Dimensi-
on) zu beweisen oder um Fragen der Überlagerung von Räumen in Angriff
zu nehmen, wie man sie etwa von den Riemannschen Flächen kennt. Dies
schloß die Suche nach immer neuen Wegen zur Berechnung der Homologie-,

Kohomologie- bzw. Homotopiegruppen für konkrete Mannigfaltigkeiten oder

Klassen von ihnen ein, wobei man Elemente aus verschiedenen Bereichen der

Mathematik heranzog. Viele dieser Methoden, die unter dem Begriff der ho-
mologischen Algebra zusammengefaßt werden, wirkten auch auf die Algebra
zurück und haben deren Bild weiter verändert. Im übrigen ergab sich bei vie-
len Fragen die etwas überraschende Einsicht, daß die Verhältnisse in Räumen
mit drei und vier Dimensionen viel komplizierter sind, als in höher dimensio-
nalen Räumen, sich deren Eigenschaften also wesentlich unterscheiden.

10.3.4 Algebraische Methoden in anderen Bereichen

Im folgenden soll noch an einigen weiteren Beispielen das Vordringen algebra-
ischer Ideen und Methoden in andere Bereiche der Mathematik kurz skizziert
werden, ohne dies in separate Abschnitte zu gliedern.

Als erstes seien einige Forschungen genannt, die sich an die Verbandstheo-
rie anschlossen. Auf die Zusammenhänge mit der Geometrie wurde bereits
verwiesen. Die Ansätze von Birkhoff und Menger wurden vor allem von letz-
terem und seinen Schülern Ende der 30er Jahre mit Arbeiten zur Begründung
der Geometrie fortgesetzt, die sich sowohl auf die projektive, wie auf die affi-
ne und die nichteuklidische Geometrie bezogen. Die größte Aufmerksamkeit
erregte wohl von Neumanns kurzzeitige Beschäftigung mit verbandstheoreti-
schen Methoden, die ihn ausgehend von den Studien über Operatorenalge-
bren zur stetigen Geometrie und zu Anwendungen in der Quantenmechanik
führten. In den Untersuchungen der Operatorenalgebren hatte er mit Hilfe
von Projektionsoperatoren auf abgeschlossenen Teilräumen des Hilbertrau-
mes eine Dimensionsfunktion für eine Teilmenge der Algebren definiert. Diese

Dimensionsfunktion erlaubte die Klassifikation der Algebren in Typklassen.

Dies war die berühmte Einteilung der von Neumann-Algebren in fünf Klassen.

Für zwei dieser Klassen war die Dimensionsfunktion stetig. Diese Vorgehens-
weise nutzte er dann zur Konstruktion von Beispielen für stetige Geometrien,
d. h. Geometrien, in denen die Dimension der einzelnen Räume alle Werte in
einem gewissen Intervall annehmen kann.

Die Neumannschen Arbeiten machten bereits auf das Auftreten von Ele-
menten der Verbandstheorie in der Funktionalanalysis aufmerksam. Die wohl
wichtigste Anwendung auf diesem Gebiet war die Ausnutzung der Möglich-
keit, durch die Verbandsstruktur eine Halbordnung auf der betrachteten Men-
ge zu definieren. Bereits 1928 hatte Frédéric Riesz eine auf einer Menge von

10.3 Die Wechselwirkung der abstrakten Algebra

591

Funktionen definierbare Ordnungsstruktur in der Spektraltheorie zur Zerle-
gung linearer Operatoren genutzt. Die verbandstheoretischen Gesichtspunkte
blieben jedoch im Hintergrund. Ähnlich verhielt es sich bei der Verallgemei-
nerung des Konvergenzbegriffes der Analysis auf sog. Moore-Smith- oder ver-
allgemeinerte Folgen, bei denen als Indexmenge nicht die Folge der natürli-
chen Zahlen, sondern eine beliebige gerichtete Menge verwendet wird. Dies
mündete ein in die Theorie der halbgeordneten linearen Räume, die Leonid

Vital’evič Kantorovič ab 1935 mit seinen Schülern aufbaute und die ein an-
erkanntes Teilgebiet der Funktionalanalysis wurde. In dem Vorwort zu der
ersten systematischen Darstellung dieser Theorie hob Kantorovič 1950 die

Zusammenhänge mit der allgemeinen Entwicklung in Richtung auf eine ab-
strakte Mathematik hervor und ließ auch die Bourbakische Strukturtheorie
anklingen. Ähnlich den Bourbakischen Grundstrukturen unterschied er drei
grundlegende Eigenschaften der Menge der reellen Zahlen: die algebraischen

Operationen, die Limesbeziehungen und die Anordnung. Diese Eigenschaften
blieben bei den abstrakten Begriffsbildungen erhalten und fanden ihren Nie-
derschlag zum einen in den Begriffen Gruppe, Ring, Körper usw., zum zweiten
den Begriffen des topologischen und des metrischen Raumes und zum dritten
in dem der geordneten Menge. Außerdem verwies er auf die topologischen

Gruppen und linearen Räume als eine Vereinigung der ersten beiden Eigen-
schaften. Die Verallgemeinerung des Begriffs der Anordnung sei im Vergleich
mit den beiden anderen Eigenschaften völlig unzureichend und dies sollte mit
dem vorgelegten Werk korrigiert werden [Kantorovič 1950, S. 12f.]. Es muß
jedoch vermerkt werden, daß bereits Kantorovič kaum auf verbandstheoreti-
sche Aspekte reflektierte und diese in der weiteren Entwicklung der Theorie
halbgeordneter Räume kaum noch eine Rolle spielten.

Wichtige Anwendungen der Verbandstheorie in der Funktionalanalysis brach-
ten auch die Arbeiten von Marshall Harvey Stone in den 30er Jahren, wobei
wiederum verbandstheoretische Aspekte im Hintergrund blieben. Angeregt
durch die von Neumannschen Arbeiten zur Theorie der Hilberträume und
der Operatoren auf ihnen kam er zur systematischen Analyse der Struktur

Boolescher Algebren. Dies beinhaltete die Charakterisierung der Booleschen

Algebren als spezielle Ringe, deren Darstellung als Mengenalgebra, den Auf-
bau einer Idealtheorie in den sog. Booleschen Ringen bis hin zur Klassifizie-
rung dieser Ringe mit Hilfe dieser Idealtheorie und die Topologisierung der

Booleschen Ringe. Bei der Aufklärung der Beziehungen zwischen topologi-
schen Räumen und den mit einer Topologie versehenen Booleschen Ringen
stellte Stone u. a. das Verfahren zur Einbettung eines vollständig regulären

Raumes in einen kompakten auf, das heute als Stone- Čech-Kompaktifizierung
bekannt ist. Die Darstellung einer Booleschen Algebra als Mengensystem fan-
den Stone und Birkhoff unabhängig 1933. Bemerkenswert ist noch die Ver-
bindung von Stones Topologisierungsverfahren mit Anwendungen der Boo-
leschen Algebren in der Logik, die später neue Impulse in der Modelltheorie
hervorbrachte.

592

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert

Lev Semenovič Pontrjagin

Leonid Vitaljevič Kantorovič

Die von Kantorovič als Kombination zweier struktureller Grundeigenschaf-
ten erwähnten topologischen Gruppen erfuhren ebenfalls eine intensive Er-
forschung ihrer Theorie. Das Bild von der Kombination zweier Strukturen
wird der Definition der topologischen Gruppe durchaus gerecht, denn man
fordert neben den Gruppeneigenschaften, daß in der Gruppe eine Topologie
erklärt ist, mit der die Gruppe ein topologischer Raum wird, und daß die

Gruppenoperationen in dieser Topologie stetig sind. In diesem Sinne stehen
sie stellvertretend für den allgemeinen Trend, diese beiden Grundstrukturen
zu vereinen. Dieser Trend brachte durch die Übertragung auf Ringe bzw.

Körper das riesige Gebiet der topologischen Algebren mit den Banach-, C*-,
von Neumann-, W*-Algebren usw. als Spezialfällen hervor.

Der abstrakte Begriff der topologischen Gruppe wurde 1925 von Otto Schreier
definiert. Ein wichtiges Beispiel für die topologischen Gruppen bildeten Lies
kontinuierliche Gruppen. In Form der kontinuierlichen Transformationsgrup-
pen (vgl. Abschn. 8.3.2) hatten die topologischen Gruppen immer das Interes-
se der Mathematiker gefunden. Dieses wurde noch durch Hilbert verstärkt, als
er 1900 in seinem 5. Problem die Frage stellte inwieweit der Liesche Begriff

”

der kontinuierlichen Transformationsgruppe auch ohne Annahme der Diffe-
renzierbarkeit der Funktionen unserer Untersuchung zug¨
anglich ist.“ [Hilbert

1971, S. 44] Mit der Entwicklung der Theorie der topologischen Gruppen er-
fuhr diese Formulierung eine gewisse Modifikation, und 1952 konnten Andrew

Gleason und Deane Montgomery diese veränderte Aufgabe positiv entschei-
den. Vorausgegangen waren mehrere Jahrzehnte intensiver Forschungen mit
vielen neuen Einsichten über topologische Gruppen. Weyl hatte eine Idee von

Hurwitz zur Integration über Gruppen aufgegriffen, systematisch entwickelt
und mit diesen neuen Mitteln 1927 die Cartansche Theorie der halbeinfachen

Lie-Gruppen und ihrer Darstellungen vollendet. Die Definition der topolo-

10.4 Computeralgebra

593
gischen Begriffe für topologische Gruppen bot zunächst keine prinzipiellen

Schwierigkeiten, entscheidend war, ob und wie diese Begriffe für die Lösung
der einzelnen Probleme genutzt werden konnten. Von grundlegender Bedeu-
tung war die von Alfred Haar 1933 nachgewiesene Existenz eines invarianten

Maßes auf einer lokal kompakten Gruppe. Weitere Beiträge in den folgen-
den Jahren lieferten von Neumann und Lev Semenovič Pontrjagin, die mit

Hilfe der Integration nach einem invarianten Maß wichtige Aussagen über
die Struktur und die Darstellungen dieser Gruppen ableiten konnten und
insbesondere bis 1935 das Hilbertsche Problem für die kompakten und die
kommutativen lokal kompakten Gruppen lösten. Zur endgültigen Lösung des

Problems mußten dann aber neue Wege beschritten werden, da die benutzten
darstellungstheoretischen Resultate nicht anwendbar waren.

Die Betrachtung einiger Beziehungen der algebraischen Forschungen zur Ent-
wicklung in anderen Teilen der Mathematik kann nicht beendet werden, ohne
auf die starken Veränderungen hinzuweisen, die sich infolge des Aufschwungs
der Computertechnik in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts vollzogen.

Dies führte u. a. zu einer Renaissance der numerischen Verfahren bei ei-
ner stärkeren Betonung des algorithmischen Aspekts, zu einer eigenständi-
gen Automatentheorie unter Einschluß wichtiger logischer Aspekte sowie zu

Forschungen über die Komplexität und Optimierung der verschiedenen Re-
chenverfahren. Da diese Untersuchungen letztlich zu einem neuen Bild der

Mathematik und der Algebra im besonderen führten, soll die Entwicklung im
folgenden Abschnitt separat dargestellt werden.

10.4 Computeralgebra

10.4.1 Vorbemerkungen

Versteht man unter Computeralgebra zunächst grob die Nutzung des Compu-
ters bei der Verarbeitung mathematischer Sachverhalte in symbolischer Form
etwa mittels Formeln, Funktionen o. ä., so ordnet sich eine solche zeitlich ein
in die Entstehung zahlreicher anderer Anwendungen des Computers, die un-
ser Leben in den letzten Jahren des 20. Jahrhunderts zunehmend beeinflußt
haben und an die wohl auch Pioniere wie Charles Babbage oder Konrad Zuse
in ihren kühnsten Träumen nicht zu denken gewagt hätten. Einleitend seien
zunächst dazu ein paar Bemerkungen angefügt.

Die Vorläufer unserer heutigen Computer waren Maschinen zum möglichst
schnellen und möglichst sicheren Rechnen. Die ersten davon wurden bereits
im 17. Jahrhundert konstruiert. Sie beherrschten im wesentlichen die vier

Grundrechenarten.

Die zunächst rein mechanisch realisierten derartigen Maschinen lieferten ma-
thematisch nichts Neues, verarbeiteten und speicherten keine Informationen

594

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert

Abb. 10.4.2. John von Neumann mit seinem Rechner
in unserem heutigen Sinne. Dies wurde erst möglich, nachdem elektromecha-
nische bzw. elektronische Bauelemente in die Fertigung einbezogen wurden.

Die Idee von programmierbaren Maschinen war dagegen schon länger da,
ebenso diejenige, Maschinen zu algebraischen Umformungen ganz allgemeiner

Art einsetzen zu können (Charles Babbage); darüber wird noch zu berichten
sein.

Zwischen der Formulierung dieser Gedanken und ihrer Realisierung lag ein
langer Zeitraum. Gründe dafür sind sicher in der technischen Entwicklung
ebenso zu suchen wie im fehlenden großzügigen Engagement der Industrie und
dem nur vereinzeltem Drängen von Naturwissenschaftlern und Technikern.

Ideen wie der konsequente Einsatz des Dualsystems mußten erst geboren
werden. Der interessierte Leser findet zahlreiche ausführliche Informationen

(und ein weiterführendes Literaturverzeichnis) zum Beispiel in [Naumann

2001] oder [Petzold 1992].

Mittels Analogrechentechnik stellten sich bereits in den 30-er Jahren erste

Erfolge z. B. bei der Lösung von Differentialgleichungen oder beim Lösen
linearer Gleichungssysteme ein.

Aber erst der Übergang zur Digitaltechnik ermöglichte die weiterreichende

Nutzung des Computers. Aus maschinenorientierten wurden problemorien-
tierte Programmiersprachen.

Die technischen Entwicklungen wie etwa das Finden und Herstellen von Da-
tenspeichern mit ungeahnter Kapazität oder die Miniaturisierung des Com-
puters beeinflußten die damit zu bewältigenden Aufgabenstellungen, die sich
teilweise erst durch diese technischen Gegebenheiten definierten. Beispielhaft,
ohne Anspruch auf Vollständigkeit, seien hier stichpunktartig Anwendungen
der Rechentechnik erwähnt, in deren zeitliche Entstehung auch diejenige der

Computeralgebra fällt:

10.4 Computeralgebra

595

- Textverarbeitung

- Büroautomatisierung

- Übersetzungen von Fremdsprachen auf hohem Niveau

- Datenbanken mit Möglichkeiten der Wissenspräsentation

- Statistische Anwendungen

- Robotik

- Bild- und Mustererkennung und Möglichkeiten der Korrektur

- Automatische Programmentwicklung

- Internet.

Diese Anwendungen beherrschen mittlerweile, wenn auch nicht alle gleicher-
maßen, einen nicht unbedeutenden Teil unseres täglichen Lebens; Computer
sind in der Mehrzahl aller Haushalte präsent, die Nutzung in den Schulen
greift immer mehr um sich.

Es ist sicher kein Wunder, daß die Computertechnik auch keinen Bogen um

Teile der Mathematik machte. Waren etliche der numerisch arbeitenden Ma-
thematiker von vornherein prädestiniert, den Computer für sich zu entdecken,
so gab es viele Zweifel und viele Zweifler an der Nutzung bei mathematischen

Sachverhalten in symbolischer Form. Diese lag, wie viele andere Anwendun-
gen, auch nicht von vornherein offen auf der Hand. Insbesondere Forderungen
von Physikern und Technikern beeinflußten diese Entwicklung nachhaltig.

Die Computeralgebra hat sicher ihre Grenzen und ersetzt nicht mathemati-
sches Studium oder Forschen, aber sie eröffnet Möglichkeiten, über die im
folgenden etwas genauer berichtet werden wird.

10.4.2 Charakterisierung der Computeralgebra

Um innerhalb einer Geschichte der Algebra über die Entwicklung der Compu-
teralgebra zu schreiben, erscheint es nötig, nach den einleitenden Bemerkun-
gen eine etwas genauere Charakterisierung dieses sehr jungen Wissenschafts-
gebietes vorzunehmen.

Das Wort Algebra im Titel läßt vielleicht zuerst vermuten, daß mit Hilfe von

Computern algebraische Umformungen oder Rechnungen in algebraischen

Strukturen durchgeführt werden. Aber: Computeralgebra ist nicht nur einfach
die Nutzung des Computers in der Algebra, wobei der Computer vielleicht
längere, mit Hand kaum durchführbare Rechnungen übernimmt als ein in die-
ser Beziehung dem Menschen weit überlegenes Instrument, als wissenschaft-
liches Hilfsmittel. Andere, inzwischen nicht mehr übliche Bezeichnungen wie

Formelmanipulation“ oder Symbolisches Rechnen“ lassen besser erkennen,

”

”

daß Computeralgebra ein viel größeres Gebiet umfaßt und zu einer Quer-
schnittsdisziplin geworden ist: Große Teile der algorithmischen Mathematik
werden mit Methoden und praktischen Möglichkeiten der Informatik verbun-
den. Die Bearbeitung von Symbolen, von Formeln, von exakt dargestellten,
nicht gerundeten rationalen Zahlen steht dabei im Mittelpunkt.

596

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert

Typische Aufgaben, die im Rahmen der Computeralgebra vom Rechner er-
ledigt werden, sind: exakte Lösung von Systemen algebraischer Gleichungen,

Zerlegung von (großen) natürlichen Zahlen in Primfaktoren bzw. von Poly-
nomen in ein Produkt irreduzibler Polynome; Berechnung von Charakteren
endlicher Gruppen; Bestimmung von Grenzwerten; Berechnung von Ableitun-
gen, Stammfunktionen sowie Lösen von Differentialgleichungen in geschlos-
sener Form.

Beispielhaft seien eine Reihe leicht verständlicher Befehle (Computeralgebra-
system MAPLE) und die vom Computer errechneten Resultate, ausgegeben
in üblicher mathematischer Notation, hier angegeben:

> ifactor(285984040963051431);

(3)10(7)(11)(13)3(31)5

> factor( x ∧ 10 − 2 ∗ x ∧ 6 + x ∧ 5 − x ∧ 3 − x ∧ 2 + 2); ( x − 1)( x + 1)( x 8 + x 6 − x 4 + x 3 − x 2 − 2)

> for i to 3 do diff( ln( x ∧ 5) ∗ sin( x) , x$ i) od;

5 sin( x) + ln( x 5) cos( x)

x

− 5 sin( x)

− ln( x 5) sin( x)

x 2

+ 10 cos( x)

x

10 sin( x)

− ln( x 5) cos( x)

x 3

− 15 cos( x)

x 2

− 15 sin( x)

x

> dsolve(diff(y(x),x)-3 ∗ y(x)-sin(x));
y( x) = − 1 cos( x) − 3 sin( x) + e(3 x) C 1

10

10

( C 1 bezeichnet eine beliebige Konstante).

Diese Aufzählung, die bei weitem nicht alles erfaßt, was man einem Compu-
ter abfragen kann, zeigt, daß die Aufgabenstellungen zu vielen Gebieten der

Mathematik gerechnet werden können. Bei der Bearbeitung im Computer ist
allerdings eine gewisse Algebraisierung unerläßlich, so daß der mittlerweile
etablierte Titel Computeralgebra“ doch gerechtfertigt erscheint. Die Alge-

”

bra tritt als Sprache der Mathematik, verbunden mit den Möglichkeiten, die
ein Computer bietet, in Erscheinung. Ein Vergleich zu den von Condillac
formulierten Thesen (vgl. Abschn. 6.3) scheint angebracht.

Nach [Buchberger 1986] befaßt sich Computeralgebra mit algorithmischen

Verfahren für die Behandlung von Problemen, deren Eingaben (Inputs) und
deren Ausgaben (Outputs) algebraische Objekte sind, die in verschiedenen
algebraischen Bereichen liegen können. Beispiele solcher Bereiche sind: die
ganzen Zahlen, ein Polynomring, ein Körper von Funktionen, ein Differenti-
alkörper, eine Gruppe, eine Lie-Algebra, . . .

Der Computer bearbeitet diese Eingaben ähnlich zum Vorgehen eines Mathe-
matikers nach wohldefinierten Regeln; die bearbeiteten Objekte sind meistens
exakt dargestellt oder symbolisch gegeben; intern sind die Objekte zwar durch

(lineare) Zeichenreihen repräsentiert, das Operieren mit diesen Zeichenreihen
entspricht aber einer algebraischen Bearbeitung. Auf dem Bildschirm erschei-
nen diese in üblicher mathematischer Notation.

10.4 Computeralgebra

597

Eine Umwandlung von z. B. auf dem Bildschirm unübersichtlich groß erschei-
nenden Bruchdarstellungen rationaler Zahlen in Dezimalbrüche mit praktisch
beliebig vielen Stellen ist allerdings möglich. Auch die Verflechtung mit nume-
risch arbeitenden Programmen bzw. die Einbindung numerisch arbeitender

Algorithmen in die Systeme ist weit fortgeschritten, ebenso die Visualisierung
geometrischer Objekte. Diese Aspekte der Entwicklung werden im folgenden
jedoch keine weitere Erwähnung finden.

Computeralgebra ist in gewissem Sinne die Ausprägung algorithmischer Ma-
thematik, wobei effiziente Algorithmen für die verschiedensten Bereiche im

Mittelpunkt stehen. Von diesem Standpunkt aus könnte man Wurzeln der

Computeralgebra bereits in gewissen Algorithmen aus der Antike (wie dem

Euklidischen Algorithmus) suchen. Dies erscheint jedoch etwas weit herge-
holt. Es ist eher angebracht, das 19. und die erste Hälfte des 20. Jahrhun-
derts in die Betrachtung einzubeziehen. In diesem Zeitraum entstanden viele

Ideen, die später zur rechentechnischen Lösung zahlreicher mathematischer

Aufgaben beitrugen und heute in Computeralgebrasystemen realisiert sind.

Als Beispiel sei hier die Berechnung von Stammfunktionen (unbestimmten

Integralen) von elementaren Funktionen in geschlossener Form erwähnt (sie-
he auch unten). Es gibt mittlerweile Algorithmen, die entscheiden, ob eine
elementare Funktion eine ebensolche Stammfunktion besitzt. Sie sind in den
gängigen Computeralgebrasystemen implementiert. Grundlagen für derartige

Algorithmen wurden bereits durch Arbeiten von Liouville um 1835 geschaf-
fen. Diese Algorithmen arbeiten im Rahmen eines algebraisch formulierbaren

Kalküls.

Zunächst würde man dazu tendieren, z. B. von Computeranalysis“ o. ä. zu

”

sprechen; aber hier ist, wie auch bei anderen Problemstellungen, der algebra-
ische Hintergrund und Zugang entscheidend und notwendig.

Neben der Entwicklung der Algorithmen muß die Entwicklung der Rechen-
technik verfolgt werden, um die Wurzeln einer anderen Komponente der

Computeralgebra zu erkennen. Die wahrscheinlich allerersten ernstzunehmen-
den Versuche und Gedanken zur automatisierten Berechnung algebraischer

Größen sind bereits Mitte des 19. Jahrhunderts bei Charles Babbage und

Lady Ada Augusta, Countess of Lovelace, zu finden. So schreibt Babbage in

[Babbage 1836]:

“This day I had for the first time a general but very indistinct conception
of the possibility of making an engine work out algebraic developments – I
mean without any reference to the value of the letters.“

Wenige Jahre später läßt A. A. Lovelace in [Lovelace 1843] erkennen, daß auch
sie die Möglichkeiten algebraischer Berechnungen der analytischen Maschine
von Babbage sieht:

“The machine is not only capable of executing those numerical calculations
which depend on a given algebraic formula, but it is also fitted for analytical
calculations in which there are one or several variables to be considered.“

598

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert

Sehr interessant ist ihr Resümee am Ende des genannten Artikels:

“To recapitulate: it (die Maschine) will afford the following advantages:

First, rigid accuracy. . . .

Secondly, economy of time: . . .

Thirdly: economy of intelligence: . . . “

Larcombe beschreibt in einem Artikel in [Wester 1999] ausführlich die Visio-
nen von Charles Babbage und Lady Ada Augusta, bis zu deren befriedigen-
der Realisierung noch mehr als 100 Jahre vergehen sollten. Es scheint so zu
sein, daß in diesem Zeitraum von rund 100 Jahren kaum jemand echt an die

Möglichkeit glaubte oder dachte, existierende oder neu entwickelte Algorith-
men zur Berechnung algebraischer (nichtnumerischer) Objekte mittels einer

Maschine umzusetzen. Die technischen Möglichkeiten waren, wie einleitend
geschildert, noch im Entstehen.

Von Anfängen einer echten Wissenschaftsdisziplin Computeralgebra läßt sich
erst in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts sprechen. Zwei wesentliche

Triebkräfte für die Entstehung der Computeralgebra waren die Entwick-
lung der elektronischen Datenverarbeitung einerseits, andererseits der stei-
gende Bedarf von insbesondere Physikern und Mathematikern, umfangreiche

Rechnungen formelmäßig durchführen zu müssen, die mit Hand praktisch
unmöglich oder nur sehr aufwendig zu realisieren waren. Neben der Erar-
beitung von effizienten Algorithmen sowie der nötigen Hard- und Software
kommt gerade dem Anwendungsaspekt eine Rolle bei der Entwicklung des

Wissenschaftsgebietes Computeralgebra zu.

So sollten diese drei genannten Komponenten, die sich in ihrer Entwicklung
ständig gegenseitig beeinflußten und im Laufe der Jahre befruchtend aufein-
ander eingewirkt haben, unbedingt zur Computeralgebra gerechnet werden:

– Die Entwicklung von (schnellen) Algorithmen und ihre mathematischen

Grundlagen

– Die Entwicklung von Computeralgebrasystemen

– Die Anwendungen (im folgenden nur hin und wieder erwähnt).

Weitere Triebkräfte der Entwicklung der Computeralgebra bis zum heutigen

Stand waren Forderungen nach Nutzerfreundlichkeit der Systeme und einem
möglichst breitem Anwendungsfeld. Datenstrukturen, Normalformen, Ver-
einfachungen von Termen mußten neu bedacht werden, Komplexitätsfragen
spielten ebenfalls eine große Rolle.

Sehr gut kommt dies in folgender Charakterisierung der Computeralgebra
durch H. B. Matzat in [Computeralgebra in Deutschland 1993] zum Aus-
druck, die abschließend in diesem Abschnitt zitiert sei:

Die Computeralgebra ist ein Wissenschaftsgebiet, das sich mit Methoden

”

zum L¨
osen mathematisch formulierter Probleme durch symbolische Algorith-
men und deren Umsetzung in Soft- und Hardware besch¨
aftigt. Sie beruht

10.4 Computeralgebra

599
auf der exakten endlichen Darstellung endlicher oder unendlicher mathema-
tischer Objekte und Strukturen und erm¨
oglicht deren symbolische und for-
melm¨
aßige Behandlung durch eine Maschine. Strukturelles mathematisches

Wissen wird dabei sowohl beim Entwurf als auch bei der Verifikation und Auf-
wandsanalyse der betreffenden Algorithmen verwendet. Die Computeralgebra
kann damit wirkungsvoll eingesetzt werden bei der L¨
osung von mathematisch
modellierten Fragestellungen in zum Teil sehr verschiedenen Gebieten der

Informatik und Mathematik sowie in den Natur- und Ingenieurwissenschaf-
ten.“

10.4.3 Die Entwicklung von Algorithmen

Die innerhalb der Computeralgebra verwendeten Algorithmen haben in der

Regel als Input und als Output gewisse algebraische Objekte. Zahlreiche Ar-
beiten, die man heute der Computeralgebra zurechnet, beschäftigen sich mit
der Entwicklung von derartigen Algorithmen bzw. zielen auf die Verbesserung
schon vorhandener solcher Algorithmen.

Denkt man beispielsweise an den Euklidischen Algorithmus zur Berechnung
des größten gemeinsamen Teilers zweier Polynome mit rationalen Koeffizi-
enten in einer Unbekannten, so zeigten Rechnungen mit den ersten Compu-
teralgebrasystemen folgendes Phänomen:

Während der Abarbeitung des Euklidischen Algorithmus treten bei den Zwi-
schenresultaten Koeffizienten auf, die viel größer sind als die Inputs bzw.

Outputs (“intermediate expression swell“). Der auf dem Papier scheinbar
funktionierende einfache Algorithmus hat eine ziemlich große, wenn auch po-
lynomiale Komplexität. Auch wenn die Rechentechnik noch in den Kinder-
schuhen steckte, traten hier prinzipielle Schwierigkeiten zutage. Varianten des

Euklidischen Algorithmus mit geringerer polynomialer Komplexität wurden
daraufhin entwickelt.

Dieses Beispiel ist nicht untypisch: Der Umgang mit der Rechentechnik er-
forderte Varianten bestehender Algorithmen, neue theoretische Einsichten,
teilweise völlig neue Ideen. Dabei ist sehr häufig äußerst anspruchsvolle ma-
thematische Theorie zu entwickeln, die nicht mit Existenzsätzen oder prinzi-
piellen Lösungen endet, sondern außerdem effiziente Algorithmen liefert.

Eine derartige Idee, die bei gewissen Berechnungen in den Mittelpunkt rück-
te, war die folgende: Das Rechnen mit ganzen Zahlen wird zeitweise ersetzt
durch das Rechnen in einem (oder mehreren) Restklassenring(en) modulo
einer (bzw. mehrerer) Primzahl(en). Gelingt eine Lösung des untersuchten

Problems in diesem meist einfacherem (dem modularem) Fall durch modula-
re Algorithmen, so gelangt man durch Rücktransformation zu einer Lösung
des ursprünglichen Problems. Die Rücktransformation verlangt zusätzliche
theoretische Hilfsmittel. Die oben erwähnte Berechnung des größten gemein-
samen Teilers zweier Polynome wird beispielsweise meistens so durchgeführt.

600

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert

Als eine der Wurzeln für diese Idee könnte man die Entwicklung des Be-
griffs eines endlichen Körpers erwähnen (vgl. Abschnitte 9.3, 9.4). Hier gilt
jedoch sicher die Einschränkung, daß die Entstehung und Entwicklung der

Körpertheorie aus anderen Gründen erfolgte als zur Umsetzung der oben
genannten Idee. Denn die Nutzung von endlichen Körpern in der Compu-
teralgebra hat vor allen zwei Gründe: Die Arithmetik ist relativ einfach (be-
schränkte Länge der Zahlen) und die Körperstruktur ist meist reichhaltiger
als diejenige des Bereichs, den sie ersetzt. Beispielsweise ist ein Polynomring
über einem Körper ein Euklidischer Ring.

Eine zentrale Rolle bei der Bewältigung von Aufgaben, die man der Com-
puteralgebra zurechnet, spielen immer wieder (multivariate) Polynome mit
ganzzahligen oder rationalen Koeffizienten oder Koeffizienten aus algebra-
ischen Zahlkörpern. Dies spiegelt sich wider in der Auswahl dreier Aufgaben-
stellungen, die jetzt etwas ausführlicher dargestellt werden sollen und deren
teilweise oder vollständige theoretische und algorithmische Bewältigung in
den Jahren 1960 – 2000 gelang, beeinflußt durch Entwicklung immer lei-
stungsfähigerer Computer:

a) Faktorisierung von Polynomen
b) Gröbnerbasen und Buchberger-Algorithmus
c) Unbestimmte Integration

Weitere derartige Aufgabenstellungen, die hier wenigstens Erwähnung finden
sollen, sind beispielsweise:

- Realisierung einer Arithmetik von ganzen bzw. rationalen Zahlen und Poly-
nomen über verschiedenen Zahlbereichen: Unverzichtbarer Bestandteil jedes

Computeralgebrasystems; u. a. ist das Rechnen mit praktisch unbegrenzter

Genauigkeit zu realisieren.

- Bearbeitung von Primzahlproblemen, Faktorisierung ganzer Zahlen: Prim-
zahltests, Faktorisierungsalgorithmen stellen aktuelle Forschungsgegenstände
dar; Anwendungen kennt man etwa in der Kryptologie oder in der Codie-
rungstheorie.

- Lösen von Differentialgleichungen: Das gegenwärtig vielleicht am stärksten
bearbeitete Gebiet, in dem man mittels computeralgebraischer Methoden

Lösungen sucht; u. a. wurden hier viele Ideen realisiert, die bereits auf Sophus

Lie zurückgehen. Daneben gibt es zahlreiche neue Ansätze und Resultate.

- Berechnung gruppentheoretischer Größen bei endlichen Gruppen: Einige
spezielle Systeme wurden zum genannten Zweck entwickelt. Es entstand z. B.

ein abrufbarer Atlas (der sogenannte Cambridge-Atlas) der Charaktere end-
licher Gruppen; Mehrfachberechnungen sind i. a. nicht mehr notwendig.

- Berechnungen von Größen aus der Theorie der Lie-Gruppen und Lie-

Algebren: Insbesondere bei den halbeinfachen Strukturen lassen sich Weyl-
gruppe, Wurzeln, Gewichte berechnen.

10.4 Computeralgebra

601
a) Faktorisierung von Polynomen

Die Idee, modulare Betrachtungen zur Lösung von Problemen über dem Be-
reich Z der ganzen Zahlen zu nutzen, wird besonders wirksam bei der Fak-
torisierung von Polynomen aus Z[ x] (in zunächst einer Unbekannten x) in
irreduzible Bestandteile. Das klassische Verfahren von Kronecker (vergleiche

[Mignotte 1991]) scheitert an zu großem Rechenaufwand und auch an der
nicht effektiv gelösten Faktorisierung ganzer Zahlen. Polynomfaktorisierung
dagegen ist weitestgehend, d. h. im Rahmen von üblicherweise auftretenden

Anforderungen, durchführbar. Hier wieder einige wenige Beispiele, berechnet
in MAPLE (der Befehl expand bewirkt, daß die vorgegebene Produktdarstel-
lung vom Rechner nicht gespeichert wird!):

> a:=expand(( x ∧ 2 − 2 ∗ x + 1) ∗ ( x ∧ 2 + 2 ∗ x − 1) ∗ ( x ∧ 3 + 3 ∗ x ∧ 2 +

3 ∗ x + 1) ∗ ( x ∧ 8 + x ∧ 6 − x ∧ 4 + x ∧ 3 − x ∧ 2 − 2));
b:=expand(( x ∗ y ∧ 4 − 3 ∗ x ∧ 2 ∗ y ∧ 2 + 2) ∗ ( x ∧ 2 ∗ y − x ∗ y + 1) ∧ 2) ; a := 2 − 2 x − 9 x 2 + 7 x 5 + 11 x 4 − 4 x 10 + 3 x 9 + 7 x 8 − 6 x 6 − 6 x 7 − 3 x 11

+ x 15 − 3 x 14 − 4 x 12
b := x 5 y 6 − 2 x 4 y 6 + 2 x 3 y 5 + x 3 y 6 − 2 x 2 y 5 + xy 4 − 3 x 6 y 4 + 6 x 5 y 4 − 6 x 4 y 3

− 3 x 4 y 4 + 6 x 3 y 3 − x 2 y 2 + 2 x 4 y 2 − 4 xy + 2

> factor(a);

( x 2 + 2 x − 1)( x 8 + x 6 − x 4 + x 3 − x 2 − 2)( x − 1)2( x + 1)3

> factor(b);

−( −xy 4 + 3 x 2 y 2 − 2)( x 2 y − xy + 1)2.

Welche Algorithmen laufen nun tatsächlich ab? Sei f ein primitives Polynom
aus Z[ x] (d. h. der größte gemeinsame Teiler der Koeffizienten ist 1). q = pk,
k > 0 bezeichne die k-te Potenz einer (meist ungeraden) Primzahl p, so daß

Z q = Z /( q) ein Körper ist.

Der Übergang von f ∈ Z[ x] zu f = f (mod q) bereitet keine Schwierigkeiten.

Die Zerlegung von f in über Z q irreduzible Faktoren gelingt dann, je nach

Verfahren, in einem oder mehreren Schritten:

1. Herstellen der quadratfreien Zerlegung: mehrfach auftretende Faktoren
werden hier bereits berechnet:

2. Zerlegung nach verschiedenen Graden: Zerlegung eines quadratfreien Poly-
noms in ein Produkt, wobei der i-te Faktor nur aus irreduziblen Faktoren
i-ten Grades zusammengesetzt ist; sind keine irreduziblen Faktoren etwa
vom Grade k vorhanden, so wird dies erkannt. Hat der i-te Faktor Grad i,
so ist er bereits irreduzibel.

3. Zerlegung nach gleichen Graden: Zerlegung der Faktoren von 2. in über Z q
irreduzible Faktoren.

602

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert

In einem nachfolgenden Schritt 4 sind aus den Faktoren von f , berechnet nach

2. und 3., diejenigen von f zu gewinnen. Zu bedenken ist hier, daß irreduzible

Faktoren von f zwar in Faktoren von f übergehen, diese aber über Z q nicht
mehr irreduzibel sein müssen. Die Zerlegung über Z q ist also feiner.

Ist q selbst Primzahl, hinreichend groß, so stimmen die Zerlegungen von f und
f überein. Dies ist neben der Nutzung modularer Methoden ein wesentlicher

Punkt. Eine Strategie A besteht darin, solche q zu bestimmen. Man erhält
sie durch gewisse Abschätzungen, das Rechnen in Z q gestaltet sich durch das
große q jedoch nachteilig.

Strategie B geht von einer kleinen Primzahl p aus. Auf der Grundlage von

Hensels Lemma gelingt dann das sogenannte “ Hensel lifting“:

Zu f = f 1 ∗ f 2

∈ Z p [ x] wird f = f 1 ∗ f 2 ∈ Z p 2 [ x]

konstruiert. Hat man das “Hensel lifting“ mehrfach durchgeführt, so werden
die Faktoren von f , wenn vorhanden, tatsächlich gefunden.

Varianten bestehen zum Beispiel in folgendem Vorgehen:

f wird bereits in Z[ x] quadratfrei gemacht. q wird danach, eventuell im Rah-
men eines probabilistisch arbeitendem Verfahrens, so gewählt, daß auch f
quadratfrei bleibt. So kann man dann gleich mit Schritt 2 fortfahren.

Schritte im Hensel lifting werden ersetzt durch den sogenannten LLL-Algorith-
mus [Lenstra, Lenstra, Lovacs 1982].

Die Ausdehnung obiger Verfahren auf Polynome mit Koeffizienten aus algebra-
ischen Zahlbereichen ist ebenso wie die Ausdehnung auf den multivariaten

Fall befriedigend gelungen.

Grundlegende Ideen bzw. das Aufstellen der Algorithmen für die geschilder-
ten Schritte stammen von Berlekamp, Zassenhaus und Cantor – Zassenhaus
und zwar [Berlekamp 1967] bzw. [Berlekamp 1970] für Schritt 2 und Schritt 3
zusammengefaßt, [Zassenhaus 1969] für Schritt 2, [Cantor – Zassenhaus 1981]

für Schritt 3.

Für den 4. Schritt sind Hensel [Hensel 1918] mit seinen grundlegenden Arbei-
ten und Zassenhaus [Zassenhaus 1970] als Pioniere zu erwähnen. Letzterer
hat als erster das Hensel lifting“ zur Faktorisierung von Polynomen einge-

”

setzt.

Die Wurzeln der Algorithmen liegen zum Teil aber schon bei Gauß, Legendre,

Galois u. a. Einen sehr guten Überblick vermittelt [v. z. Gathen, Gerhard

1999]; der erstgenannte Autor ist selbst neben zahlreichen weiteren, z. B.

Erich Kaltofen, mit mehreren Arbeiten an der Entwicklung und Verbesserung
von Verfahren zur Faktorisierung von Polynomen beteiligt.

b) Gr¨
obner-Basen, der Buchberger-Algorithmus

Zahlreiche Aufgabenstellungen lassen sich auf die Beantwortung einer der
beiden folgenden Fragen reduzieren:

10.4 Computeralgebra

603

Gegeben ist ein Polynomring K[ x 1 , . . . , xn] in n Unbekannten über einem

Körper K und I sei das von f 1 , . . . , fk ∈ K[ x 1 , . . . , xn] erzeugte Ideal, {f 1,

. . . , fk } sei also eine Idealbasis von I.

a) Für f ∈ K[ x 1, . . . , xn ] ist zu entscheiden, ob f ∈ I (die Frage nach der
sogenannten Idealmitgliedseigenschaft).

b) Welches sind diejenigen Elemente y = ( y 1, . . . , yn) ∈ Kn, für die gilt:

f1( y) = . . . = f k( y) = 0 (die Frage nach der Lösungsmenge eines polynomialen

Gleichungssystems bzw. der Varietät zu I)?

Als grundlegend bei der Lösung dieser Probleme erwies sich der Begriff der

Gröbner-Basis für ein Polynomideal I, der durch [Buchberger 1965/1970] ge-
prägt wurde. Er benannte sie nach seinem Lehrer Wolfgang Gröbner. Eine sol-
che Gröbner-Basis gestattet es, obige Fragen relativ leicht“ zu beantworten.

”

Vorausgegangen war die Definition und der nichtkonstruktive Beweis der Exi-
stenz von sogenannten Standardbasen für Potenzreihenringe mit ähnlichen

Eigenschaften durch [Hironata 1964].

Noch viel früher bewies Hilbert in [Hilbert 1890] seinen berühmten Basissatz

(Existenz einer endlichen Basis für Polynomideale) und den Teilerkettensatz.

Die ursprünglichen Beweise dazu waren nicht konstruktiv, wurden aber später
durch konstruktive ergänzt (vgl. S. 453).

Buchberger entwickelte gleichzeitig mit dem Begriff der Gröbner-Basis einen
heute nach ihm benannten Algorithmus, der gestattet, eine solche Basis zu
berechnen. Die Terminierung des Algorithmus wird durch das Lemma von

Dickson geliefert. Der Umfang der nötigen Rechnungen ist hier gewöhnlich
so groß, daß ein Computeralgebrasystem dafür unbedingt notwendig ist.

Dieser Algorithmus fand mittlerweile zahlreiche Verbesserungen und Erwei-
terungen. Er ist gewiß einer der am meisten benutzten, fundamentalen Algo-
rithmen in der Computeralgebra. Er verallgemeinert sowohl den Gaußschen

Algorithmus für lineare Polynome als auch den Euklidischen Algorithmus für
univariate Polynome.

Eine exakte Definition einer Gröbner-Basis sowie Beschreibungen des Buch-
berger-Algorithmus findet man in fast allen Büchern über Computeralgebra

(z. B. [Geddes, Csapor, Labahn 1992] oder [v. z. Gathen, Gerhard 1999]).

In letzterem ist auch die Frage nach der Komplexität des Buchberger-

Algorithmus beleuchtet, ein nicht vollständig gelöstes Problem: Sie kann dop-
pelt exponentiell in der Anzahl der Variablen sein, so daß Schwierigkeiten bei

Rechnungen mit vielen Variablen zu erwarten sind.

Buchberger selbst hat einen großen Einfluß auf die Entwicklung der Compu-
teralgebra ausgeübt. Er war der Begründer des Journals of Symbolic Com-
putation und zehn Jahre dessen Haupteditor; in Linz gründete er 1970 das

RISC (Research Institut for Symbolic Computation).

Hier eine kleine Auswahl der Anwendungen der Gröbner-Basen und damit
des Buchberger-Algorithmus:

604

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert

Lösen von Polynomgleichungen

Entscheidung von Idealmitgliedseigenschaft, Gleichheit bzw. Inklusion von

Idealen

Größter gemeinsamer Teiler multivariater Polynome und multivariate Fakto-
risierung

Symbolische Integration

Geometrisches Theoremproving.

c) Integration in geschlossener Form

Das zu lösende Problem besteht darin, zu einer gegebenen Funktion f eine

Funktion F zu finden, so daß die Ableitung F mit f übereinstimmt. F heißt
dann eine Stammfunktion oder ein unbestimmtes Integral zu f , manchmal
auch Antiableitung (antiderivative). Die Addition einer beliebigen Konstan-
ten zu einer Stammfunktion liefert bekanntlich alle Stammfunktionen.

In der Schule bzw. in einführenden Studentenkursen wird das Problem, wenn
überhaupt, meistens durch eine Reihe von Heuristiken wie partielle Integrati-
on, Integration durch Substitution oder Nachschlagen in Integraltafeln gelöst.

Für gewisse Funktionenklassen existieren aber auch algorithmische Herange-
hensweisen.

Für rationale Funktionen gelingt bekanntermaßen über die Partialbruchzer-
legung die Bestimmung von Stammfunktionen, ein Verfahren, was bereits
auf Johann Bernoulli zurückgeht. Hierbei werden jedoch die reellen Nullstel-
len des Nennerpolynoms benötigt (allgemeiner: gewisse algebraische Zahlen),
diese sind meist nur näherungsweise und nicht exakt gegeben.

Algorithmen, die die unbestimmte Integration rationaler Funktionen voran-
trieben und die die Nutzung algebraischer Zahlen vermeiden, entstanden be-
reits im 19. Jahrhundert: Ostrogradski, Hermite und Horowitz leisteten hier,
wohl unabhängig voneinander, Pionierarbeit. Bei von ihnen entwickelten Ver-
fahren wird das Problem der Bestimmung einer Stammfunktion für f /g, f ,
g ∈ K[ x], K Körper der Charakteristik 0, teilweise durchgeführt bis auf ein
oder mehrere Summanden speziellerer Gestalt, nämlich p/q mit p, q ∈ K[ x]

"

, deg( p) < deg( q) und q quadratfrei.

p heißt der logarithmische Teil der
q
gesuchten Stammfunktion.

Verschiedene algorithmische Lösungen des letzten Problems entstanden unter
dem Einfluß der neuen Möglichkeiten, die ein Computer bietet. Der bekannte-
ste ist der Rothstein-Trager-Algorithmus, der die Nullstellen einer bestimm-
ten Resultante berechnet, so daß algebraische Zahlen nun in die Rechnung
eingehen, allerdings in minimalem, nicht reduzierbarem Umfang. Modifika-
tionen wurden z. B. geliefert in Form des Lazard-Rioboo-Trager-Algorithmus,
der Subresultanten benutzt und des Czichowski-Algorithmus, der Gröbner-

Basen einbezieht.

Spätestens seit Liouville (etwa 1835) ist jedoch bekannt, daß es Funktionen
gibt, die sich in geschlossener Form“ darstellen lassen, für die jedoch keine

”

Stammfunktion in einer solchen Form existiert. Beispiel dafür ist etwa die

10.4 Computeralgebra

605

Funktion f ( x) =exp( x) /x. Es sei ausdrücklich vermerkt, daß eine prinzipiell
existierende Lösung nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrech-
x

"

nung in der Form
f ( t) dt hier nicht zur Diskussion steht. Auch spezielle
a

Funktionen wie der Integralsinus oder das Fehlerintegral finden zunächst kei-
ne Berücksichtigung.

In die Zeit des Beginns der Computeralgebra fällt die Entwicklung einer Ent-
scheidungsprozedur durch Risch [Risch 1969 und 1970], die in algorithmischer

Weise eine Stammfunktion zu f, gegeben in geschlossener Form, in ebensol-
cher Form berechnet oder die Unmöglichkeit einer solchen Darstellung do-
kumentiert. Grundlage dafür sind erstens die Präzisierung des Begriffs der
elementaren Funktion durch Ritt in den 40-er Jahren durch die Einführung
der sogenannten Differentialkörper und zweitens die Ideen von [Liouville 1833
und 1835], die ihreseits auch Ritt beeinflußt haben dürften.

Ein Differentialkörper K ist ein Körper mit einer Differentiation“ (ähnlich

”

dem Körper der rationalen Funktionen) in dem die Ableitung eines jeden

Elementes ist wieder Element von K ist. Etwas präziser:

Ein Differentialkörper K ist ein Körper der Charakteristik 0 mit einer Ab-
bildung D: K → K; D( f + g) = D( f ) + D( g) und D( f g) = D( f ) g + f D( g) gelten uneingeschränkt.

K 0 = { c ∈ K; D( c) = 0 } heißt der (Teil-)Körper der Konstanten, D heißt

Differentiation.

Ist L ein Erweiterungskörper von K mit einer Erweiterungsdifferentiation,
die ebenfalls mit D bezeichnet sei, so läßt sich die Frage nach einer Stamm-
funktion folgendermaßen formulieren: Gegeben f ∈ K; gesucht F ∈ L mit

D( F ) = f .

Wenn man von algebraischen Erweiterungen zunächst absieht, reicht es für
die Lösung des Problems, nur endlich viele (nicht schwer zu definierende)

transzendente logarithmische bzw. exponentielle Erweiterungen zuzulassen.

Denn die Liouvilleschen Ideen lassen sich in moderner Sprechweise etwa so
formulieren:

f ∈ K besitze in einer endlichen elementaren Erweiterung eine Stammfunk-

tion. Dann läßt sich f darstellen als D( a 0) +
ciD( ai) /ai mit ci, ai ∈ K.

Die transzendenten Elemente log( ai) sind nun zu K zu adjungieren und

F = a 0 +
cilog( ai) ist die gesuchte Stammfunktion.

Der Algorithmus von Risch entscheidet, ob sich F in der obigen Form dar-
stellen läßt. Falls dies nicht der Fall ist, so ist keine Stammfunktion der be-
schriebenen Art vorhanden.

Läßt man neben logarithmischen bzw. exponentiellen Erweiterungen noch
endlich viele algebraische Erweiterungen zu, so gelangt man zu einer Präzisie-
rung der Begriffe elementare Funktion bzw. elementare (= geschlossen dar-
stellbare) Stammfunktion als Elemente eines Differentialkörpers und eines
entsprechenden Erweiterungskörpers.

606

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert

Einen umfassenden Überblick zu dieser Thematik findet man in [Bronstein

1997]. Bronstein selbst hat in den 80er und 90er Jahren neben weiteren Au-
toren zahlreiche bedeutende Beiträge zur Umsetzung und Erweiterung des

Algorithmus von Risch geleistet.

Ausdrücklich sei noch einmal erwähnt: Die Elemente von L sind Polynome
in gewissen transzendenten Erweiterungen von K, so daß eine Verarbeitung
mittels Computer in den Bereich Polynomalgebra fällt. Der Grenzwertbegriff
spielt keine Rolle mehr.

Einige Beispiele seien zur Illustration wieder mittels MAPLE berechnet (im
dritten Beispiel wird keine elementare Stammfunktion gefunden):

> int( x ∧ 2 /( x − 1) , x);

1 x 2 + x + ln( x − 1)

2

> int( sin( x) ∧ 5 ∗ cos( x) ∧ 2 , x);

− 1 sin( x)4 cos( x)3 − 4 sin( x)2 cos( x)3 − 8 cos( x)3

7

35

105

> int( exp( x ∧ 5) ∗ sin( x) , x);

" e( x 5) sin( x) dx

10.4.4 Die Entwicklung von Computeralgebrasystemen

Die Entwicklung von Computeralgebrasystemen als Softwarepakete ist ein
wichtiger Teil des Entstehens der Wissenschaftsdisziplin Computeralgebra.

Darum seien hier einige Bemerkungen angefügt.

Die Entwicklung von Computeralgebrasystemen ist aus der Sicht des begin-
nenden 21. Jahrhunderts zeitlich in die letzten 40–50 Jahre des 20. Jahr-
hunderts (bis heute) einzuordnen. Die erste Jahreszahl, die in diesem Zusam-
menhang zu erwähnen ist, ist höchstwahrscheinlich 1953. In diesem Jahr wur-
den Programme von H. G. Kahrimanian bzw. J. Nolan geschrieben, die sich
beide mit der analytischen (nichtnumerischen, symbolischen) Differentiation
von Funktionen mittels eines digital arbeitenden Computers beschäftigten

[Bronstein 1997, S. VI]. Doch größere Erfolge bei der automatisierten Be-
arbeitung mathematischer Formeln oder Funktionen blieben zunächst aus,
da die Entwicklung von Rechentechnik einerseits von der Hardwareseite aus
noch in den Kinderschuhen steckte, andererseits auch prinzipielle Program-
miergrundlagen erst geschaffen werden mußten. Zahlreiche Entwicklungen der
damaligen Zeit waren auch allein auf numerische Computerrechnungen ausge-
richtet. Im Gegensatz etwa zu ALGOL oder FORTRAN war LISP ein Listen-
verarbeitungssystem, entstanden 1960/61, welches symbolische Rechnungen
unterstützte. Auf der Grundlage von LISP entstanden einige der ersten wir-
kungsvollen Computeralgebrasysteme.

Viele Systeme waren zunächst auf die Realisierung spezieller Aufgaben aus-
gerichtet, etwa auf das automatisierte Rechnen mit Polynomen oder die au-

10.4 Computeralgebra

607
tomatisierte Berechnung anderer spezieller algebraischer Größen. Auch ge-
genwärtig existieren etliche derartige Programmpakete.

Das erste System, welches universellere Aufgaben bewältigte, war das 1968
durch Anthony Hearn an der Stanford-Universität entwickelte, interaktive

System REDUCE auf der Grundlage von LISP. Wenige Jahre danach ent-
standen weitere derartige Mehrzwecksysteme (general purpose systems) wie

REDUCE 2, SCRATCHPAD oder MACSYMA. Zentren dieser Entwicklung
lagen vornehmlich in den USA (Stanford, M.I.T., IBM Research).

Der immer größer werdende Umfang der Programmpakete verlangte nach
neuen prinzipiellen Lösungen für gewisse Aufgaben; erstmals bei REDUCE
entstanden verschiedene Plattformen, die nicht immer gleichzeitig alle aktiv
sein mußten; auch Teile von LISP wurden ausgelagert bzw. Varianten von

LISP von geringerem Umfang wurden entwickelt und verwendet.

Ende der 70-er entstand ein kleineres System (muMATH), welches erstmalig
auf den damaligen PC’s einsetzbar war. Natürlicherweise waren die Möglich-
keiten für mathematische Berechnungen geringer als bei den großen Geschwi-
stern, aber zur Verbreitung der Computeralgebra trug dieses System gewaltig
bei.

Die Mehrzwecksysteme MAPLE und MATEMATICA, heute vielleicht die am
weitesten verbreiteten Systeme, sind Entwicklungen der 80-er Jahre, ebenso
der muMATH-Nachfolger DERIVE, bedeutsam zum Beispiel als System zum

Einsatz in der Schule. Mittlerweile sind hier mehrere, ständig verbesserte Ver-
sionen entstanden, die sich durch immer modernere, sehr nutzerfreundliche

Oberflächengestaltung auszeichnen; die Entwicklung der Grafikfähigkeit ist
ein weiteres Merkmal der Entwicklung der letzten Jahre. Durch Hardwareent-
wicklungen, insbesondere die Speicherkapazität betreffend, sind alle Systeme
auch auf normalen PC’s lauffähig.

Es gibt eine Reihe weiterer etablierter Mehrzwecksysteme (z. B. AXIOM,
hervorgegangen aus SCRATCHPAD, MATLAB mit MAPLE-Kern, MUPAD,
ein jüngeres System, entwickelt in Paderborn), daneben zahlreiche Systeme

(weltweit sicher mehr als 50) ausgerichtet auf spezielle Aufgaben. Beispiele
dafür sind:

GAP (berechnende Gruppentheorie)

LiE (Berechnungen im Zusammenhang mit Lie-Gruppen)

SINGULAR (algebraische Geometrie, Singularitätentheorie)

FELIX (bietet u. a. Möglichkeiten nichtkommutativen Rechnens).

Die Namen der Systeme sind häufig die Anfangsbuchstaben englischer Wörter,
die auf Aufgabenstellungen hinweisen (GAP – Groups, Algorithms and Pro-
gramming) oder sie deuten die Herkunft an (MAPLE – Ahorn, in Waterloo,

Kanada entwickelt).

Viele von diesen Systemen entstanden im Gegensatz zu früher jetzt auch au-
ßerhalb der USA, insbesondere in Deutschland. Einen guten Überblick ver-
mittelt hier die Broschüre [Computeralgebra in Deutschland 1993]. Große

608

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert

Übersichten findet man in [Geddes, Csapor, Labahn 1992] und in [Wester

1999]. Ganz aktuell kann man sich im Internet informieren.

Ein Ende der Entwicklung ist nicht abzusehen, es hat sich auch bis jetzt
kein
bestes“ Computeralgebrasystem herausgeschält. Mittlerweile gibt es

”

Bemühungen, die Fähigkeiten mehrerer Systeme bei der Lösung von Aufga-
ben zu nutzen, ohne daß man diese Systeme sämtlich beherrschen oder be-
sitzen muß. Dazu wurden in den neunziger Jahren Standards vorgeschlagen
und teilweise entwickelt, die mathematische Objekte plattformunabhängig
beschreiben und so gestatten, sie in mehreren Computeralgebrasystemen zu
bearbeiten, somit also die Vorzüge mehrerer Systeme gleichzeitig zu nutzen.

Das Projekt ist unter dem Namen OPENMATH zusammengefaßt. Genaueres
ist z. B. bei [Wester 1999] nachzulesen.

10.4.5 Anwendungen der Computeralgebra, mathematische

Bildung, Pr¨
asentation in der Gesellschaft

Wenn auch nicht immer vordergründig sichtbar, ist die Entwicklung von

Computeralgebrasystemen ein Prozeß, der die Entwicklung von Bereichen
der menschlichen Gesellschaft durchaus beeinflussen kann und wird. Beein-
druckend und auch charakteristisch ist die folgende, in [Pavelle, Rothstein,

Fitch 1992] geschilderte Begebenheit: 1867 veröffentlichte der französische

Astronom Delaunay in zwei Bänden Ergebnisse, die die Bahn des Mondes
in Abhängigkeit von der Zeit (unter dem Einfluß der Sonne und der Erde)

beschreiben; zur Herleitung seiner Resultate benötigte Delaunay 20 Jahre
seines Lebens.

Fast genau 100 Jahre später wurden seine Berechnungen mittels eines Compu-
teralgebrasystems im Zusammenhang mit Satellitenbahnberechnungen über-
prüft. Der Computer benötigte für die gleiche Arbeit 20 Stunden: Dies ist ein
überzeugender riesiger Sprung in den Möglichkeiten, wissenschaftliche oder
technische Berechnungen durchführen zu können, geradezu die Erschließung
einer neuen Dimension!

Heute ist die Nutzung von Computeralgebrasystemen in allen ingenieurwis-
senschaftlichen Richtungen, in Physik, Chemie und Biologie, auch in der

Ökonomie beinahe selbstverständlich. Formelmäßige Lösungen von Proble-
men gestatten meistens sowohl qualitative als auch quantitative Einsichten
und sind einer rein numerischen Lösung überlegen.

Anwendungen in der Mathematik wurden schon in den vorigen Abschnitten
erwähnt. Oft bestehen diese auch darin, umfangreiche Beispiele durchzurech-
nen, daraus Vermutungen abzuleiten und diese dann in klassischer Art zu
beweisen. Damit wird die Mathematik in gewissen Grenzen auch zu einer
experimentellen Wissenschaft.

Die prinzipielle Verfügbarkeit von Computeralgebrasystemen in sehr vielen

Lebensbereichen macht auch nicht Halt vor dem Gebiet des Lernens von

Mathematik.

10.4 Computeralgebra

609

Die Einführung des elektronischen Taschenrechners machte es möglich, daß
dem Schüler per Knopfdruck alles (und noch mehr) handhabbar gemacht
wird, was er üblicherweise im

Rechenunterricht“ der ersten acht Klassen

”

lernt.

Die Entwicklung der Computeralgebra brachte es mit sich, daß im Prinzip die
gesamte Schulmathematik, darüberhinaus sehr viele mathematische Werk-
zeuge der Hochschulausbildung, insbesondere für die Ingenieurwissenschaf-
ten, im Computer, im PC, selbst in besseren Taschenrechnern zur Verfügung
stehen. Grenzen der Nutzbarkeit, gegeben etwa durch ein sehr kleines Dis-
play, werden vielleicht schon bald durch aufklappbare Bildschirme o. ä. weiter
hinausgeschoben werden.

Ist damit die Schulmathematik am Ende? Völlig klar sollte sein, daß sich
diese in manchem Punkt ändern wird, daß formales Rechnen beispielswei-
se mit Funktionen oder die Umformung algebraischer Ausdrücke vielleicht
bald vernachlässigt werden kann zugunsten inhaltlicher Betrachtungen. Ana-
loges trifft zu auf die Mathematikausbildung an den Hochschulen, sowohl in
zahlreichen angewandten Wissenschaften als auch der Mathematik selbst. Es
wäre sicher töricht, den technischen Fortschritt zu ignorieren und alles beim
alten zu lassen.

Eingehend beschäftigt sich [Buchberger 2000] mit diesen Fragen. Ferner findet
man in [Koepf 2000] und in [Wester 1999] Überblicke über den Stand der

Einführung von Computeralgebra in der Schulausbildung.

Seinen Niederschlag findet diese Entwicklung ferner in der Gründung eines ei-
genen Journals zu diesen Fragen (International Journal of Computer Algebra
in Mathematical Education, seit 1997).

Zur Sammlung und konzentrierten Darstellung von Ideen und Algorithmen
der Computeralgebra wurde bereits 1967 das SIGSAM – Bulletin (SIGSAM -

Special Interest Group on Symbolic & Algebraic Manipulation) und 1985 das

Journal of Symbolic Computation gegründet. Seit 1996 erscheint The SAC

Newsletter (SAC - Symbolic & Algebraic Manipulation). Daneben existie-
ren weitere Zeitschriften, ausgerichtet auf spezielle Computeralgebrasysteme.

Viele zur Computeralgebra gehörende Arbeiten sind auch in Zeitschriften er-
schienen, die in ihrem Titel das Wort Computation o. ä. enthalten.

Die vielleicht bedeutendste internationale Konferenz zu Fragen der Com-
puteralgebra findet seit 1981 jährlich, seit 1988 unter dem Namen ISSAC

(Internationales Symposium on Symbolic and Algebraic Manipulation) statt.

Begonnen wurde diese Tagungsreihe bereits im Jahre 1966. Ausführliche In-
formationen dazu, zu anderen Konferenzen zur Computeralgebra, auch zur

Presentation im Internet findet man bei [Wester1999]. Zwei Internetadressen
sind am Ende des Literaturverzeichnisses erwähnt.

In Deutschland ist die Computeralgebra im Rahmen der Deutschen Mathe-
matiker-Vereinigung durch eine eigene Untergruppe repräsentiert.

610

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert

Wichtige Ereignisse der Algebraentwicklung seit 1921

1921

E. Noether entwickelt eine abstrakte Idealtheorie in Ringbereichen
und leitet die Begründung der abstrakten Algebra ein.

1923

L. E. Dickson faßt in der Monographie Algebras and their arithme-

”

tics“ wichtige Ergebnisse zur Algebra und Zahlentheorie zusammen.

1926

E. Noether begründet die abstrakte Theorie der Dedekind-Ringe.

1926

H. Brandt führt den Gruppoidbegriff ein.

1927

E. Artin und O. Schreier definieren den Begriff des formal-reellen

Körpers und studieren diese Körper.

1927

E. Artin überträgt die Wedderburnschen Struktursätze auf Ringe
mit Kettenbedingung.

1928

E. Noether beginnt mit der Anwendung nichtkommutativer Me-
thoden zur Erforschung kommutativer Strukturen.

1928

W. Krull entwickelt eine Galois-Theorie für unendliche Körperer-
weiterungen.

1928

O. Schreier verallgemeinert den Satz von Jordan-Hölder auf un-
endliche Gruppen.

1930

B.

L.

van
der

Waerden veröffentlicht das Lehrbuch

Moderne

”

Algebra“. Dieses gibt eine einheitliche axiomatische Darstellung der

Algebra und wird für Jahrzehnte zum Standardlehrbuch.

1933

C. Chevalley gibt einen systematischen Aufbau der lokalen Klas-
senkörpertheorie ohne Rückgriff auf die globale Theorie und führt die

Begriffe des Idel und Adel ein.

1933

B. L. van der Waerden entwickelt in 18 Arbeiten bis 1958 eine

Neubegründung der algebraischen Geometrie auf der Basis der ab-
strakten Algebra.

1934

G. Birkhoff stellt allgemeine Überlegungen zu algebraischen Struk-
turuntersuchungen vor.

1934

Mehrere
junge
französische

Mathematiker
schließen
sich
zur

Bourbaki-Gruppe zusammen.

1934

M. H. Stone zeigt die Isomorphie eines Booleschen Verbandes mit
einem Teilmengenverband sowie die Zuordnung zwischen Booleschem

Verband und Booleschem Ring.

1934

H. Seifert und W. Threlfall wenden im

Lehrbuch der Topolo-

”

gie“ erstmals Elemente der abstrakten Algebra in der Topologie an.

1935

O. Ore stellt Untersuchungen zu einem zum Verband äquivalenten

Begriff vor.

1935

Mit dem Ergebnisberichten Idealtheorie“ bzw. Algebren“ geben W.

”

”

Krull bzw. M. Deuring einen Überblick über die kommutative Ide-
altheorie bzw. die Algebrentheorie, vier Jahre später folgt die Über-
sicht über die allgemeine Ring- und Idealtheorie.

1935

R. Brauer beginnt die Theorie der modularen Darstellungen aus-
zuarbeiten.

1938

E. Artin gibt eine Neubegründung der Galois-Theorie, ohne den

Satz vom primitiven Element zu benutzen.

1939

Mit der Veröffentlichung des ersten Buchs der Bourbaki-Gruppe be-
ginnt diese mit der Umsetzung ihres Programms zur systematischen

Darstellung der Mathematik auf der Basis des Strukturkonzepts.

1939

I. M. Gelfand begründet die Theorie der Banach-Algebren.

10.4 Computeralgebra

611

1940

G. Birkhoff publiziert die erste Monographie zur Verbandstheorie.

1940

D. Barbillian erforscht die Verbindung zwischen Ringen und ge-
wissen projektiven Geometrien, sog. Ringgeometrien.

1941

Mit seiner Methode der lokalen Theoreme erzielt A. I. Malzev wich-
tige Einsichten über Gruppen und algebraische Systeme, die später
u. a. in der Modelltheorie bedeutsam sind.

1942

S. Eilenberg und S. MacLane führen die Begriffe Kategorie und

Funktor ein und entwickeln in den folgenden Jahren erste Grundlagen
der Kategorientheorie.

1942

R. Brauer vollendet den Neuaufbau der Theorie der Gruppencha-
raktere mit Hilfe der modularen Darstellungen.

1943

N. Jacobsen gibt eine abstrakte Definition des Radikalbegriffs für

Ringe.

1943

S. Eilenberg und S. MacLane gelingt eine abstrakte Definition der

Homologie- und Kohomologietheorie. Dies wird der Ausgangspunkt
der homologischen Algebra.

1944

O. Zariski definiert eine nichtseparierte Topologie auf einer algebra-
ischen Mannigfaltigkeit.

1946

A.

Weil
publiziert einen systematischen Aufbau der abstrakten
algebraischen Geometrie.

1948

R. Godement beweist wichtige Resultate über unitäre Darstellun-
gen lokalkompakter Gruppen.

1951

A. I. Malzev beweist den Satz von Malzev-Kolchin über auflösbare
lineare Gruppen.

1952

In dem Buch Foundations of Algebraic Topology“ verdeutlichen S.

”

Eilenberg und N. Steenrod an Hand der algebraischen Topologie
die vereinheitlichende Wirkung der Kategorientheorie.

1952

A.

Gleason, D. Montgomery und L. Zippin lösen das fünfte

Hilbertsche Problem für lokalkompakte Gruppen.

1953

H. G. Kahrimanian und J. Nolan schreiben Programme zur nicht-
numerischen Differentiation von Funktionen mittels eines digital ar-
beitenden Computers.

1954

R. Brauer stellt neue Einsichten zur Klassifikation der endlichen
einfachen Gruppen vor.

1957

A. Grothendieck legt in mehreren Vorträgen und Publikationen
bis 1961 eine weitgehende (geniale) Verallgemeinerung der algebra-
ischen Geometrie vor, wobei die Theorie der Schemata und Garben
die Grundlage bildet.

1958

D. Kan führt eine Dualitätsbeziehung in die Menge der Funktoren
ein und definiert den adjungierten Funktor.

1962

In seinen Studien zur Zerlegung einfacher Gruppen führt J. Tits die
sog. Tits-Systeme ein.

1963

W. Feit und J. G. Thompson beweisen unter Rückgriff auf vielfälti-
ge gruppentheoretische Methoden, daß jede endliche Gruppe ungera-
der Ordnung auflösbar ist.

1965

B. Buchberger prägt den Begriff der Gröbner-Basis und gibt einen

Algorithmus zur Berechnung einer solchen an.

1966

Z. Janko entdeckt eine weitere isolierte einfache Gruppe, eine sog.

sporadische Gruppe, und regt die Suche nach derartigen Gruppen
neu an.

612

10 Die Algebra im 20. Jahrhundert

1967

E.

R.

Berlekamp
stellt grundlegende Einsichten zur algorith-
mischen Faktorisierung von Polynomen unter Benutzung endlicher

Körper vor.

1969

Die Entscheidung, ob eine geschlossen dargestellte Funktion eine
ebensolche Stammfunktion besitzt sowie deren Berechnung wird
durch den Algorithmus von R. H. Risch möglich.

1973

B. Fischer und R. L. Griess jr. entdecken in Forschungen zur Klas-
sifikation endlicher einfacher Gruppen die größte sporadische Gruppe,
die sog. Monster-Gruppe.

1977

M.

Atiyah
und W. Schmid weisen die Existenz einer Darstel-
lung kompakter Lie-Gruppen ohne Benutzung der Gruppencharak-
tere nach.

1980

L. Scott vollendet die Aufklärung der Struktur der endlichen alter-
nierenden Gruppen.

1981

Unter Verwendung zahlreicher Ergebnisse anderer Mathematiker gibt

D. Gorenstein eine vollständige Klassifikation der endlichen einfa-
chen Gruppen.

10.5 Aufgaben zu Kapitel 10

Aufgabe 10.2.1: Restklassenringe

In der Menge der ganzen Zahlen bilde man die Restklassen nach der ganzen

Zahl m und zeige, daß die Menge der Restklassen [ a] mod m einen kommu-
tativen Ring von m Elementen bilden. [Lugowski, Bd. II, S. 14]

Aufgabe 10.2.2: Kommutative Ringe

√

Beweise, daß die Gesamtheit aller Zahlen a + b k mit beliebigen ganzen

Zahlen a und b für jede feste ganze Zahl k einen kommutativen Ring bilden.

[Lugowski, Bd. II, S. 15]

Aufgabe 10.2.3: Ringe quadratischer Matrizen

Man betrachte die Menge der quadratischen Matrizen A = ( aik) mit i, k =

1 , 2 , . . . , n mit reellen Zahlen aik und zeige, daß diese Menge mit den üblichen

Matrizenoperationen einen Ring, den vollen Matrizenring, bildet.

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Personenregister mit Lebensdaten

Bei den Lebensdaten bedeutet ca.“ grob geschätzt, um 370“ 370 +(-) klei-

”

”

ner Fehler, 370?“ wahrscheinlich 370, aber es ist nicht ganz sicher.

”

Abbati, Pietro, Conte Marescotti

Anaxagoras (ca. 500–um 425 v. Chr.)

(1768–1842)

325

46

Ab¯
u Bakr (632–634)

149, 211

Anaximander (um 610–546 v. Chr.)

Ab¯
u K¯
amil, Suˇ
g¯
a ibn Aslam al Mis.r¯ı

51

(ca. 850–930)

158, 165, 166, 169,

Anaximenes (um 585–um 525 v. Chr.)

168–172, 174, 196, 205, 210, 251

46

Ab¯
u l- ˘

G¯
ud (um 1000)

251

Annibale della Nave

253

Ab¯
u l-Waf¯
a’, Muh.ammad (940–998)

Antiphon (um 480–411 v. Chr.)

90

185, 251

Apollonios von Perge (ca. 260–190 v.

Abel, Niels Henrik (1802–1829)

316,

Chr.)

6, 46, 57, 61, 156, 201, 542

328–330, 350–355, 357, 358, 396,

Aquinas

231

434–438, 444, 490, 500

Arbogast (1786–1853)

314

Abraham ibn Ezra (um 1090–1167)

Archimedes von Syracus (287?–212 v.

205

Chr.)

6, 46, 54, 56, 57, 60, 61, 74–81,

Ahmes (ägypt. Schreiber)

11

83–85, 95, 102, 156, 201, 255
al-c ¯

Amil¯ı, Bah¯
a c ad-D¯ın (1547–1622)

Archytas von Tarent (428?–365 v. Chr.)

169, 191

54, 87–89, 102

Argand, Jean Robert (1768–1822)

al-Hayy¯
am, cUmar (1048?–1131?)

79,

˘

307, 308

160, 168, 175–183, 185, 187, 189–192,

Aristarch von Samos (ca. 310–ca. 230

209, 251
v. Chr.)

46
al-Hw¯
arizm¯ı, Muh.ammad ibn M¯
us¯
a

˘

Aristoteles (384–322 v. Chr.)

46, 52,

(780?–850?)

42, 121, 158, 162,

54, 55, 87, 200, 201

165–169, 171, 195, 203, 204, 208, 211,

Aronhold, Siegfried Heinrich (1819–

215, 227, 230, 235, 239, 240, 251, 253,

1884)

451

256, 258

Artin, Emil (1898–1962)

563, 564,
al-B¯ır¯
un¯ı, Ab¯
u al-Raih.¯an Muh.ammad

566, 568, 570, 612

(973–1048)

185

¯

Aryabhat
al-Faz¯
ar¯ı, Muh

.a I (geb. 476)

120, 133, 135,

. ammad (?–777)

156

139–142, 144, 633
al-K¯
a˘
s¯ı, ˇ

Gams¯ıd ibn Masc¯
ud (um
as-Samaw c al (?–1240)

174, 175, 196

1380–1429)

125, 190, 191
at.-T.¯us¯ı, Šaraf ad-D¯ın (um 1135–1213)

al-Kara˘
g¯ı, Muh.ammad (gest. um 1029)

180, 189

158, 168, 171, 173–175, 188, 196,
at.-T.¯us¯ı, Nas.¯ır ad-D¯ın (1201–1274)

209–211, 251

115, 160, 185–188, 196
al-Qalas.¯ad¯ı (?–1486)

121, 156, 163

Albert, Adrian Abraham (1905–1972)

Bézout, Étienne (1730–1783)

317,

564

319–321, 336, 337, 542, 584

Aleksandroff, Pavel Sergeevič (1896–

Bôcher, Maxime (1867–1918)

409

1982)

588, 589

Babbage, Charles (1792–1871)

368,

Alexander, Andreas (auch Allexander)

369, 597

231, 237

Bacon, Roger (1214–1294)

200

Amann, Fridericus (gest. 1464/65)

Banach, Stefan (1892–1945)

557, 558,

230

592

636

Personenregister mit Lebensdaten

Barrow, Isaac

243, 281

Brandt, Heinrich Karl Theodor

Bartolo, Giovanni di

218

(1886–1954)

572

Bellavitis, Giusto (1803–1880)

412

Brauer, Richard Dagobert (1901–1977)

Benedetto von Florenz

215, 216

556, 564, 587

Bennett, Albert Arnold (1888–1971)

Brill, Alexander Wilhelm von

575

(1842–1935)

542

Berlekamp, Elwyn R. (geb. 1940)

602

Brioschi, Francesco (1824–1897)

445,

451

Berlet, Bruno (1825–1892)

227, 233

Bronstein, Manuel

605

Bernays, Paul Isaac (1888–1977)

556

Brunelleschi, Filippo (1377–1446)

Bernoulli, Daniel (1700–1782)

287

217, 218

Bernoulli, Johann I (1667–1748)

Buchberger, Bruno (geb. 1942)

285–287, 336, 604

Buée, Adrien Quentin (1748–1826)

Bernoulli, Nikolaus

287

307, 412

Betti, Enrico (1823–1892)

435, 439,

Bürgi, Jost (1552–1632)

240

440, 442

Bunsen, Robert Wilhelm (1811–1899)

Bh¯
askara II (1114–1185?)

134, 137,

481

143, 144

Burnside, William (1852–1927)

460,

Biagio (?– um 1340)

216, 218

502, 523, 539, 540

Bingen, Hildegard von

200

Birkhoff, Garrett (1911–1996)

568,

Canacci, Raffaello

215

571, 572, 576, 580, 582, 587, 590, 591,

Cantor, Georg (1845–1918)

473, 478,

612

479, 481, 546, 602

Boetius (Boethius), Anitius Manilius

Cantor, Moritz Benedikt (1829–1920)

Torquatus Severinus (480?–524)

467

237

Cardano, Girolamo (1501–1576)

60,

Boglione
siehe Bond

169, 180, 215, 218–220, 224, 225, 233,

Bohetius Campanus
siehe Boetius

235, 239, 253, 255–266, 273, 280, 283,

290, 292–294

Bolza, Oskar (1857–1942)

540

Carnot, Lazare Nicolas Marguerite

Bolzano, Bernard (1781–1848)

288,

(1753–1823)

303

305, 306, 412

Cartan, Élie Joseph (1869–1951)

Bombelli, Rafaelo (1526–1572)

180,

532–536, 539, 587

215, 224, 260, 263–266, 273, 290, 293,

Cartan, Henri Paul (geb. 1904)

578,

294

584, 585

Boncompagni, Baldassarre (1821–1894)

Castelnuovo, Guido (1865–1952)

543,

215

582

Bond, Jean

264

Cauchy, Augustin-Louis (1789–1857)

Boole, George (1815–1864)

314,

301, 308, 310, 314, 328, 330, 338, 339,

375–377, 382, 390, 405, 447, 448, 468,

345, 346, 354, 355, 358, 362–366, 375,

479, 480, 483, 485

381, 390, 399–404, 406, 408, 412, 419,

Borchardt, Carl Wilhelm (1817–1880)

423, 434, 438, 440, 442, 466

403

Cayley, Arthur (1821–1895)

365,

Bourbaki, Nicolas

574

386–388, 390, 391, 402, 404, 406–408,

Bradwardine, Thomas (1290?–1349)

423, 445, 447–452, 454, 455, 465, 472,

200

473, 489, 490, 495, 500, 538, 544, 546

Brahmagupta (598–nach 665)

133,

Čebyšev, Pafnuti Lvovič (1821–1894)

134, 137, 139, 140, 142–144, 161, 167,

512, 513

168

Chasles, Michel (1793–1880)

449

Personenregister mit Lebensdaten

637

Chern, Shiing-shen (geb. 1911)

585
del Ferro, Scipione (1465?-1525)

180,

Chevalier, Auguste (1806–1868)

356,

215, 218, 220, 224, 230, 245, 253, 255,

359, 361

256, 273, 290, 292, 293, 318

Chevalley, Claude (1906–1984)

563,
dell’Abbaco, Paolo

216

577, 585

Delsarte, Jean Frédéric Auguste

Chuquet, Nicolas (1445?–1488?)

220,

(1903–1968)

578

221, 229, 245

Descartes, René (1596–1650)

125,

Clairaut, Alexis-Claude (1713–1765)

184, 241, 244, 258, 266, 274–284, 293,

311, 313

295, 302, 400, 402, 410, 542

Clavius, Christoph (1537–1612)

225,

Deuring, Max Friedrich (1907–1984)

241

564, 565, 569

Clebsch, Alfred (1833–1872)

406, 445,

Dickson, Leonard Eugene (1874–1954)

451, 452, 454, 543, 544

503, 524, 535–537, 540, 564, 568

Clifford, William Kingdon (1845–1879)

Dieudonné, Jean-Alexandre (1906–

587

1992)

555, 578

Coleridge, Samuel Taylor (1715–1780)

Diokles (1./2. Jh. n. Chr.)

91

378

Dionysios (um 250 n. Chr.)

57, 97

Condillac, Étienne Bonnot de

Diophant(os) (vermutlich um 250)

6,

(1715–1780)

311–313, 368, 376

18, 30, 36, 42, 46, 57–59, 61, 94–99,

Condorcet, Marie Jean Antoine Nicolas

101, 102, 142, 156, 167, 168, 173, 210,

Caritat, Marquis de (1743–1794)

224, 264, 266, 273

376

Dirac, Paul Adrien Maurice (1902–

Copernicus, Nicolaus (1473–1543)

258

1984)

587

Cossali, Pietro (1768–1815)

215

Dirichlet, Peter Gustav Lejeune

Coulomb, Jean

577

(1805–1859)

396–399, 403, 412, 466,

Courant, Richard (1888–1972)

556

493, 494, 503, 505

Cramer, Gabriel (1704–1752)

336, 541

Dove, Heinrich Wilhelm (1803–1879)

Crelle, August Leopold (1780–1855)

396, 577

336, 354, 396, 399, 432

Dubreil, Paul (1904–1994)

578

Cremona, Luigi (1830–1903)

418, 455,

Dyck, Walter von (1856–1934)

543

494–496, 502

Curtze, Maximilian

227

Czwalina, Arthur

97

Edwards, Herold M.

508

Ehresmann, Charles (1905–1979)

578

D’ Alembert, Jean-Baptist le Rond

Eilenberg, Samuel (1913–1998)

578,

(1717–1783)

286, 313

581, 589

Darboux, Jean Gaston (1842–1917)

Eisenstein, Ferdinand Gotthold Max

461

(1823–1852)

381, 382, 395–397,

Dardi von Pisa (14. Jh.)

216

404–407, 451
de Morgan, Augustus (1806–1871)

Elliott, Edwin Balley (1851–1937)

449

371–373, 375, 377, 381, 382, 468

Empedokles von Akragas (ca. 500–430

Dedekind, Richard (1831–1916)

395,
v. Chr.)

46

400, 466, 478, 479, 481, 482, 487, 488,

Engel, Friedrich (1861–1941)

461,

494, 502–508, 510, 513, 514, 517, 520,

531, 533

527, 528, 530, 533, 538, 539, 544, 545,

Enriques, Frederigo (1871–1946)

543

565, 572–576, 583

Eratosthenes von Kyrene (276?–194? v.

Deinostratos (4. Jh. v. Chr.)

91, 92,

Chr.)

6, 57

102

Eudemos von Rhodos (4. Jh. v. Chr.)

Delaunay, Charles Eugène (1814–1872)

87, 88

638

Personenregister mit Lebensdaten

Eudoxos von Knidos (ca. 408–347 v.

Frobenius, Georg Ferdinant (1849–

Chr.)

54, 61, 62, 87, 242

1917)

407–409, 460, 472, 490, 491,

Euklid (360?–290? v. Chr.)

6, 46,

499, 500, 503, 533, 537–541

54–56, 59–63, 65, 67–70, 72, 73, 75, 94,

Fuchs, Lazarus (1833–1902)

409, 460

102, 150, 156, 157, 167–170, 174, 192,

201, 203, 205, 209, 210, 231, 240, 241,

Galilei, Galileo (1564–1642)

250, 274,

251, 255, 258, 260, 303, 485, 486

275, 410

Euler, Leonhard (1707–1783)

82, 166,

Galois, Evariste (1811–1832)

328,

206, 241, 244, 250, 283, 286–290, 292,

354–361, 390, 434–438, 441, 443–445,

293, 295, 302, 303, 311, 313, 317–321,

506, 602

326, 332, 336, 337, 340, 344, 356, 375,

Gauß, Carl Friedrich (1777 - 1855)

82,

384, 396, 400, 401, 423, 490, 542

280, 286, 308–310, 316, 317, 325–328,

Euripides (um 480–407 v. Chr.)

46

331–334, 337, 338, 340, 342–345, 348,

Eutokios von Askalon (ca. 480–? n.

351, 352, 354–356, 361, 384, 391–397,

Chr.)

76, 77, 86–88, 102

404, 406–408, 411, 412, 424, 434, 435,

447, 490, 528, 538, 548, 602

Fagnano, Giulio Carlo (1682–1766)

Gerardi, Paolo

215, 218

352

Gergonne, Joseph-Diaz (1771–1859)

Faulhaber, Johannes (1580–1635)

308, 345, 432

276, 285

Gerhard von Cremona (1114?–1187)

Fermat, Pierre de (1607/08–1665)

162, 204

102, 246, 276, 284, 285, 404, 412, 429,

Gibbs, Josiah Willard (1839–1903)

543

421

Ferrari, Ludovico (1522–1565)

60,

220, 224, 256, 258, 261, 265, 292, 293

Girard, Albert (1595–1632)

244, 280,

Ferro, Scipione del (1465?–1526)

180,

284–286

215, 218, 220, 224, 230, 245, 253, 255,

Gleason, Andrew Mattei (geb. 1921)

256, 273, 281, 290, 292, 293, 318

592

Fiore, Antonio Maria

253, 255, 256

Gmunden, Johannes von (ca. 1380/84–

Fischer, Ernst (1875–1954)

558

1442)

227

Föppl, August (1854–1924)

421

Gödel, Kurt (1906–1978)

556

Fontana
siehe Tartaglia

Goldbach, Christian (1690–1764)

383

Fourier, Jean-Baptiste Joseph de

Gordan, Paul (1837–1912)

452, 453,

(1768–1830)

314, 409

458, 544, 558

Fraenkel, Abraham (1891–1965)

558

Grammateus
siehe Schreyber

Français, Jacques Frédéric (1775–1833)

Graßmann, Hermann Günther (1809–

308

1877)

373, 4113, 413–415, 417–420,

Francesca, Piero della (um 1420–1492)

465, 481

218

Graßmann, Justus Günther (1779–

Franci, Raffaela

208, 215, 216,

1852)

218–220

Graßmann, Robert (1815–1901)

483,

Frege, Gottlob (1848–1925)

483, 484,

485

487, 488

Graves, John Thomas (1806–1870)

Frend, William (1757–1841)

303

381, 386–388

Frenet, Jean Frédéric (1816–1900)

439

Gregory, Duncan Farquharson

Fricke, Robert Karl Emanuel (1861–

(1813–1844)

371, 373–376, 390, 490

1930)

460, 568

Gregory, James (1638–1675)

Fridericus Gerhart
siehe Amann

Grell, Heinrich (1903–1974)

575

Frink, Orrin (1901–1988)

575

Gröbner, Wolfgang (1899–1980)

602

Personenregister mit Lebensdaten

639

Grothendieck, Alexander (geb. 1928)

Hindenburg, Carl Friedrich (1741–1808)

578, 585

481

Hippasos von Metapont (um 450 v.

Haar, Alfred (1885–1933)

592

Chr.)

51, 52

Hall, Philip (1904–1982)

569

Hippias von Elis (um 420 v. Chr.)

91,

Hamburger, Meyer (1838–1903)

409

102

Hamilton, William Rowan (1805–1865)

Hippokrates von Chios (um 450–um

310, 372, 373, 375, 377–382, 384–387,

400 v. Chr.)

46, 86, 87, 102

407, 419, 421, 463, 470, 471

Hirzebruch, Friedrich (geb. 1927)

585

Hankel, Hermann (1839–1873)

310,

Hispalensis, Johannes (um 1150)

205

466, 467, 481, 482, 526

Hölder, Ludwig Otto (1859–1937)

Harriot, Thomas (um 1560–1621)

445, 500–502, 528

125, 281, 284, 293

Holmboe, Bernt Michael (1795–1850)

Hasse, Helmut (1898–1979)

512, 522,

354

563, 564, 568

Hopf, Heinz (1894–1971)

588, 589

Haupt, Otto (1887–1988)

566, 568

Horner, William George (1786–1837)

Hawkes, Herbert Edwin (1872–1943)

119, 125, 335

535

Hudde, Jan (1628–1704)

317, 318

Hearn, Anthony

607

Humboldt, Alexander von (1769–1859)

Heath, Thomas Little (1861–1940)

96

396, 397

Heaviside, Oliver (1850–1925)

421

Humboldt, Wilhelm von (1767–1835)

Hekataios von Milet (ca. 558–480 v.

300, 303

Chr.)

46

Huntington, Edward Vermilye

Helmholtz, Hermann von (1821–1894)

(1874–1952)

523, 535, 558, 575

455, 457

Hurwitz, Adolf (1859–1919)

388, 508,

Hensel, Kurt (1861–1941)

512, 513,

533, 592

520–522, 558, 601

Hypsikles (2. Jh. v. Chr.)

156

Hentzelt, Kurt ( –1914?)

561

Høyrup, Jens

215

Heraklit (um 550–480 v. Chr.)

46

Herbrand, Jacques (1908–1931)

563

Iamblichos (ca. 250–ca. 330 n. Chr.)

Herder, Johann Gottfried (1744–1803)

51, 94

312

Ide, Johann Joseph Anton (1775–1806)

Hermes, Hans (geb. 1912)

576

304

Hermite, Charles (1822–1901)

406,

Ish.¯aq ibn H.unayn (830- 910)

156

407, 438, 439, 441, 442, 445, 451, 460,

478, 604

Jacobi, Carl Gustav Jacob (1804–1851)

Herodot (484–425)

8–10

350, 361, 394–397, 403, 435, 449, 451

Heron von Alexandria (wahrsch. um

Jacobson, Nathan (1910–1999)

563

100 n. Chr.)

6, 42, 95, 156, 210

Jevons, William Stanley (1835–1882)

Herschel, Johann Frederick William

480

(1792–1871)

368, 369

Joachimsthal, Ferdinand (1818–1861)

Hesse, Ludwig Otto (1811–1874)

445,

397

451

Johannes de Muris (Jean de Murs) (um

Hessel, Johann Friedrich (1796–1872)

1290/95 - nach 1345)

210, 212, 213,

413

237, 245

Hilbert, David (1862–1943)

453, 454,

Johannes von Palermo

209

457, 494, 518–520, 524, 528, 555, 559,

Jordan, Camille (1838–1922)

365,

592, 603

409, 441–446, 455, 457, 458, 460, 461,

Hill, George William (1838–1914)

409

492, 500

640

Personenregister mit Lebensdaten

Jordan, Ernst Pascual (1902–1980)

Lagrange, Joseph Louis (1736–1813)

586

289, 311, 313, 318–323, 326, 328, 330,

Jung, Franz (1872–1957)

421

332, 337, 340, 342, 345, 354, 355, 362,

Juschkewitsch, Adolf Pawlowitsch

375, 384, 396, 401, 403, 434, 444, 447,

(1906–1993)

120, 164, 194, 210, 251

490

Laguerre, Edmond Nicolas (1834–1886)

Kästner, Abraham Gotthelf (1719–

407, 408

1800)

303

Lamé, Gabriel (1795–1870)

399

Kahrimanian, H. G.

606

Landau, Edmund (1877–1938)

559

Kant, Immanuel (1724–1804)

298, 303

Landsberg, Georg (1865–1912)

521

Kantorovič, Leonid Vital‘evič (1912–

Laplace, Pierre Simon (1749–1827)

1986)

590, 591

289, 332, 337, 375, 402, 403

Karsten, Wenceslaus Johann Gustav

Lasker, Emanuel (1868–1941)

544,

(1732–1787)

304

545, 571

Kaunzner, Wolgang

204, 227,

Lavoisier, Antoine Laurent de

229–231, 235

(1743–1794)

298, 313

Killing, Wilhelm (1847–1923)

531–533

Kirchhoff, Gustav Robert (1824–1887)

Legendre, Adrien-Marie (1752–1833)

481

316, 340, 354, 384, 602

Kirkman, Thomas Penyngton (1806–

Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646–1716)

1895)

388

244, 274, 285, 286, 313, 317, 335, 410,

Klein, Felix (1849–1925)

395, 454–

480

461, 473, 495, 500, 531, 533, 534, 541,

Leonardo von Pisa (Fibonacci) (1170–

576

1240)

5, 30, 120, 121, 139, 162, 166,

Klein, Fritz (1892–1961)

575

169, 204–206, 208–212, 214, 215, 218,

Klügel, Georg Simon (1739–1812)

362

245, 251, 264

Kodaira, Kunihiko (1915–1997)

585

Leray, Jean (1906–1998)

577, 584

König, Gyula (Julius) (1849–1913)

Li Ye (1178–1265)

115, 124–126

509

Libri, Guglielmo (1803–1869)

215

Köthe, Gottfried (1905–1989)

564,

Lie, Marius Sophus (1842–1899)

577

454–458, 460–464, 497, 499, 501, 528,

Kolmogorov, Andrej Nikolaevič

529, 533

(1837–1908)

591

Lindemann, Carl Louis Fedinand von

Korkin, Alexandr Nikolaevič (1837–

(1852–1939)

90

1908)

513

Liouville, Joseph (1809–1882)

356,

Kronecker, Leopold (1823–1891)

334,

361–363, 399, 400, 423, 438, 439, 442,

335, 397, 398, 408, 409, 436–439, 445,

478, 597, 604

467, 473, 481, 490–493, 500, 504, 505,

Lipschitz, Rudolf (1832–1903)

588

508–511, 514–516, 520, 521, 538, 539,

Liu Hui (3. Jh. n. Chr.)

113

544–546

Liu Zhuo (544–610)

114

Krull, Wolfgang (1899–1971)

562,

565, 566, 569, 575, 583

Ljusternik, Lasar Aronovič (1899–1981)

K

581
ürschák, Josef Andreas (1864–1933)

521, 566

Lloyd, Humphrey (1800–1881)

384

Kummer, Ernst Eduard (1810–1893)

Lobačevskij, Nikolaj Ivanovič (1792–

397–400, 445, 490, 505, 508

1856)

348, 434, 512

Locke, John (1632–1704)

311, 312,

Lacroix, Sylvestre François (1765–1843)

368

370

Lodovico
siehe Ferrari

Personenregister mit Lebensdaten

641

Lovelace, Ada Augusta Countess of (19.

Müller, Karl Eugen (1865–1932)

480

Jh.)

597

Müller, Johannes (1436–1476)

227,

245

Macaulay, Louis Floyd (geb. 1924)

Murphy, Robert (1806–1843)

375

545, 571

Muth, Peter (1860–1909)

410

MacLane, Saunders (geb. 1909)

570,

572, 580–582, 589, 612

Nemorarius, Jordanus (13. Jh.)

MacMahon, Percy Alexander (1854–

210–213, 229, 245

1929)

449

Neper, John (1550–1617)

240

Magnus, Albertus (um 1193–1280)

Netto, Eugen (1846–1919)

491, 492

200

Neugebauer, Otto (1899–1990)

27, 35,

Mah¯
av¯ıra (um 850)

137, 140, 141, 143

556

Malfatti, Gian Francessco (1731–1807)

Neumann, Franz Ernst (1798–1895)

323, 325

396, 508

Mandelbrojt, Szolem (1899–1983)

577

Neumann, John von (1903–1957)

556,

Markov, Andrej Andreevič (1856–1922)

586, 587, 590, 593, 594

513

Newcomb, Simon (1835–1909)

471

Maschke, Heinrich (1853–1908)

541

Newton, Isaac (1643–1727)

244, 250,

Mathieu, Émile Léonard (1835–1890)

274, 281–283, 293, 302, 311, 313, 367,

473, 503

410, 542

Maxwell, James Clerk (1831–1879)

Nikomachos von Gerasa (um 130 n.

421, 430

Chr.)

201

Mayer, Walther (1887–1948)

589

Noether, Emmy (1882–1935)

452,

Mazzinghi, Antonio de

216, 218

556, 558–565, 568–571, 574, 575, 583,

Menaichmos (um 360 v. Chr.)

87, 91,

587, 589, 612

102, 177

Noether, Max (1844–1921)

544, 583

Menelaos von Alexandria (um 100 n.

Nolan, James Francis

606

Chr.)

156, 201

Nunes, Pedro (lat. Nonius) (1502–1578)

Menger, Karl (1902–1985)

575, 590

224, 225

Mersenne, Marin (1588–1648)

274

Mertens, Franz (1840–1927)

493

Ohm, Georg Simon (1789–1854)

304,

Metzler, William Henry (1863–1943)

348

410

Ohm, Martin (1792–1872)

304, 305,

Meyer, Franz (1856–1934)

534

345, 381, 481

Mill, John Stuart (1806–1873)

375

Ore, Øystein (1899–1968)

253, 571,

Miller, George Abram (1863–1951)

572, 612

503

Oresme, Nicolaus (um 1323–1382)

Minkowski, Hermann (1864–1909)

200

394, 494, 518, 519

Oronce
siehe Fine

Möbius, August Ferdinand (1790–1868)

Ostrogradskij, Mihail Vassilevič

411–413, 418, 449

(1801–1862)

512, 604

Moivre, Abraham de (1667–1754)

Ostrovski, Alexander Markovič

267, 321

(1893–1986)

546, 566

Molien, Theodor (1861 – 1941)

460,

533–536, 538, 539, 565

Pr.th¯udakasv¯am¯ı (9. Jh.)

143

Montgomery, Deane (1909–1992)

592,

Pacioli, Luca (um 1445–1517)

210,

612

218–220, 224, 241, 245, 264

Moore, Eliakim Hastings (1862–1932)

Pappos von Alexandria (um 320 n.

503, 524, 535, 536, 541

Chr.)

59, 61, 80, 201, 279

642

Personenregister mit Lebensdaten

Parmenides von Elea (ca. 515–445 v.

Radon, Johann Karl August (1887–

Chr.)

46

1956)

562

Pasch, Moritz (1843–1930)

457,

Ramus, Petrus (Pierre de la Ramée,

485–487

1515–1572)

267

Peacock, George (1791–1859)

305,

Recorde, Robert (1510?–1558)

222–

308, 368–372, 374, 377, 379, 423, 471

224, 227, 247, 248, 268, 269, 274,

Peano, Giuseppe (1858–1932)

482,

279

484, 485, 487, 488, 524

Regiomontanus, Johannes (eigtl.

Peirce, Benjamin (1809–1880)

Müller, 1436–1476)

205, 211, 213,

467–472, 480, 485, 527, 529

227, 229, 230, 245

Peirce, Charles Sanders (1839–1880)

Remak, Robert Erich (1888–1942)

468, 471, 472, 480, 483, 487, 535–537

576

Perron, Oskar (1880–1975)

346, 426,

Riemann, Bernhard (1826–1866)

430,

428, 474, 547, 568

457, 467, 513, 542, 543

Petersen, Julius Peter Christian

Ries, Abraham (1533?–1604)

238,

(1839–1910)

528

239, 245, 248

Petreius (um 1560)

233

Ries, Adam (1492–1559)

204, 212,

Peuerbach, Georg (1423–1461)

227

231, 233–239, 245–248, 250

Pfaff, Johann Friedrich (1765–1825)

Ries, Adam d. J.

239

331, 411

Ries, Isaac

239

Phidias (5. Jh. v. Chr.)

46, 56

Ries, Jacob (gest. 1604)

234, 239

Picard, Émile (1856–1941)

464

Ries, Paul

238

Pieri, Mario (1860–1913)

488

Riesz, Frédéric (1880–1956)

590

Pinl, Maximilian (1897–1978)

556

Rigatelli, Laura Toti

208, 215, 216,

Plato von Tivoli (um 1150)

205

218–220

Platon (427 – 347 v. Chr.)

46, 52, 54,

Risch, R. H.

605

200, 201

Ritt, Joesph Fels

604

Plücker, Julius (1801–1868)

430, 449,

Robert von Chester (um 1150)

162,

542, 543

204

Poincaré, Jules Henri (1854–1912)

Rodrigues, Olinde (1794–1851)

457

441, 457, 460, 528, 588, 589

Roth, Peter (1580?–1617)

283, 284

Poisson, Siméon Denis (1781–1840)

Rudolff, Christoff (1500?–1549?)

233,

356, 358

237, 239, 241

Poncelet, Jean Victor (1788–1867)

Ruffini, Paolo (1765–1822)

119, 125,

449

316, 323–325, 328, 330, 345, 362–364

Pontrjagin, Lev Semenovič (1908–1988)

Russell, Bertrand (1872–1970)

484,

592, 593

487–489

Possel, René de (1905–1974)

577

Proklos Diadochos (410–485)

59, 88

Ptolemaios

6, 42, 59, 128, 150, 156,

Saint Venant, Adhémar-Jean-Claude

200, 201

Barré de (1797–1886)

419

Puiseux, Victor (1820–1883)

438, 445

Salmon, George (1819–1904)

449

Purkert, Walter

508

Samuel, Pierre (geb. 1921)

577

Pythagoras (ca. 580–ca. 500 v.Chr.)

Savasorda (Abraham bar Hiyya)

30, 46, 51, 59, 86, 111, 237

(1070?–1136)

205, 210, 211

Scheffers, Georg Wilhelm (1866–1945)

Qin Jiushao (ca.1200–ca.1261)

115,

528–530, 533, 535

124, 125

Schellbach, Karl Heinrich (1804–1892)

Qust.¯a ibn L¯uq¯a 121

396

Personenregister mit Lebensdaten

643

Schering, Ernst Christian Julius

Starkweather, George Pratt (1873–

(1833–1897)

490, 493, 538

1901)

535

Scheubel, J. (oder Scheybl) (1494–1580)

Steiner, Jakob (1796–1863)

449

221

Steinitz, Ernst (1871–1928)

518,

Schmeidler, Werner (1890–1969)

559,

522–526, 549, 557, 558

560

Stevin, Simon (1548–1620)

220, 223,

Schmidt, Friedrich Karl (1901–1977)

224, 241, 244, 246, 266, 274, 284, 293,

566, 583, 585

410

Schnirelmann, Lev Genrichoviè

Stickelberger, Ludwig (1850–1936)

(1905–1938)

581

490, 491, 546

Schönemann, Theodor (1812–1868)

Stifel (auch Stieffel), Michael (1487?-

435

1567)

221, 233, 237, 239–243, 245,

Schreier, Otto (1901–1929)

500, 566,

264

592, 612

Stolz, Otto (1842–1905)

454, 455, 528

Schreyber, Heinrich (Grammateus, ca.

Stone, Marshall Harvey (1903–1989)

1494–1525)

233, 239

591, 612

Schröder, Ernst (1841–1902)

473,

Study, Eduard (1862–1930)

528–530,

480–483, 485, 546, 572–576

533–535, 538

Schur, Friedrich (1856–1932)

533

Sturm, Jacques Charles François

Schur, Issai (1875–1941)

460, 540, 587

(1803–1855)

402

Schwarz, Hermann Amandus (1843–

Sunzi (3./4. Jh. n. Chr.)

113

1921)

470, 527

Sylow, Peter Ludwig Mejdell (1814–

1897)

473, 499

Scipio Ferreus
siehe Ferro

Sylvester, James Joseph (1814–1897)

Scribelio
siehe Schreyber

387, 404, 407, 448–452, 471, 472, 533

Seifert, Herbert (geb. 1907)

589, 612

Seki, Takakazu (Seki K¯
owa) (1642?–

Taber, Henry (1860–1936)

408

1708)

124, 335

Tait, Peter Guthrie (1831–1901)

421

Serre, Jean-Pierre (geb. 1926)

577,

Takagi, Teiji (1875–1960)

438

585

Tartaglia, Niccolò (1506?-1559)

60,

Serret, Joseph Alfred (1819–1885)

180, 215, 220, 224, 253, 255–258, 260,

365, 423, 434, 435, 438–441, 455, 473,

265, 273, 293, 318

492

Thales (624 – 548 v. Chr.)

42, 46,

Servois, François-Joseph (1767–1847)

49–51, 102

308, 316, 345, 375

Theaetet (gest. 369 v. Chr.)

54, 61

Severi, Francesco (1879–1961)

544,

Theon von Alexandria (ca. 330–ca. 400)

583

271

Shaw, James Byrnie (1866–1948)

535

Threlfall, William Richard (1888–1949)

Sima Qian (145–73 v. Chr.)

107

589, 612

Smith, Henry John Stephen (1826–

Thymaridas von Paros (ca. 250–ca. 330

1883)

404
n. Chr.)

94, 400

Sohncke, Ludwig Adolph (1807–1853)

Tschirnhaus, Ehrenfried Walter von

396

(1651–1708)

250, 317, 319

Sokrates (469–399 v.Chr. )

46, 52

Turnbull, Herbert Westren (1885–1961)

Sophokles (um 496–406 v. Chr.)

46

449

Speiser, Andreas (1885–1970)

564,

568

Vandermonde, Alexandre Théophile

Śridhara (9./10. Jh.)

137, 140

(1735–1796)

318, 321–323, 337, 338,

Śripati (11. Jh.)

195

345, 362

644

Personenregister mit Lebensdaten

Varignon, Pierre (1654–1722)

410

Weierstraß, Karl Theordor Wilhelm

Veblen, Oswald (1880–1960)

524, 536

(1815–1897)

397, 399, 403, 404, 408,

Venn, John (1834–1923)

480

409, 467, 470, 473, 490, 508, 513, 521,

Vessiot, Ernest Paulin Joseph

527–531, 533, 544

(1865–1952)

464

Weil, André (1906–1998)

512, 577,

Viète, François (Vieta, Franciscus)

584

(1540 – 1603)

34, 125, 204, 223, 258,

Wessel, Caspar Geodät (1745–1818)

261, 266, 267, 270, 272–274, 279, 280,

306, 307, 345, 410, 412

282, 293–295, 302, 400

Weyl, Hermann (1885–1955)

512, 519,

Viète, François (Vieta, Franciscus)

532, 554, 557, 558, 569, 585, 587, 592

(1540 – 1603)

191, 224, 266–269

Weyr, Eduard (18521903)

528

Vietoris, Leopold Franz (1891–2002)

Whewell, William (1794–1866)

372

589

Whitehead, Alfred North (1861–1947)

Vogel, Kurt (1888–1985)

14, 15, 17,

488, 489, 546, 569

120, 223, 227, 229, 230

Widmann, Johannes (ca. 1460 - nach

Voronoj, Georgij Feodosjevič (1868–

1500)

229–232, 240, 245

1908)

513

Wiener, Norbert (1894–1964)

557,

Waerden, Bartel Leendert van der

558, 586

(1903–1996)

17, 30, 34, 333, 334,

Woodhouse, Robert (1773–1827)

367,

426, 512, 517, 548, 549, 562, 563,

368

566–570, 576, 580, 582–584, 612

Wußing, Hans (geb. 1927)

227, 235,

Wagner, Ulrich (gest. 1489/90)

229,

238, 326

245

Wallis, John (1616–1703)

306

Yang Hui (13. Jh.)

127

Wantzel, Pierre Laurent (1814–1848?)

Young, Alfred (1873–1940)

541

83, 399

Wappler, H. E.

227

Waring, Edward (1734?–1798)

318,

Zarathustra (um 600 v. Chr.)

51

321–323

Zariski, Oscar (1899–1986)

584, 585,

Warren, John (1796–1852)

308, 380

612

Weber, Heinrich (1842–1913)

437,

Zassenhaus (1912–1991)

602

493, 494, 497, 501, 502, 509, 514,

Zenon (um 490–430 v. Chr.)

52

516–518, 522, 524, 534, 538, 544–546,

Zhu Shijie (Ende des 13.Jhs.5)

115,

583

125–127

Wedderburn, Joseph Henry Maclagan

Zolotarev, Egor Ivanovič(1847–1878)

(1882–1948)

532, 536, 537, 557, 563,

512, 513, 546

564, 612

Zuse, Konrad (1910–1995)

552, 593

Index

Abakus

113, 117, 118

– normale zyklische

565

Abbacus

206, 214–216, 218

ALGOL

606

Abgeschlossenheit

444, 462

Algorithmus

36, 138, 158, 597, 598,
absolut äquivalent

511

601, 603

Abzählbarkeit

478

– schneller

598

Addition

5

– von Risch

605

Adjungieren

358

Analogrechentechnik

594

Adjunktion

359, 360, 437, 500, 510,

Analysis

271, 301, 311, 313, 349, 367,

515

369, 378, 388, 394, 439, 440, 512, 557

– von Größen

358

– kombinatorische

481

Akademie

54

Ansatz
al-˘
gabr

158, 163, 166, 203, 239, 251

– doppelter falscher

120, 127, 193, 205
al-muq¯
abala

163, 239

– einfacher falscher

15, 17, 19, 29, 30,

Algebra

205, 470

43, 120, 131

– absolute

480–482

Antithesis

272

– abstrakte

500, 526, 564, 570, 571,

Apotome

260

577

Approximation

175, 191

– assoziative

537

Arithmetik

57, 62, 302, 303, 370, 372,

– babylonische

94

378, 379, 393, 486

– endliche kommutative

527

– Modell der

373

– formale

94, 482

– universelle

302, 369

– Fundamentalsatz der

244
artefici-Wissenschaft

253, 256

– geometrische

60–62, 102
assoziativ

343, 382, 466, 469

– kommutative

528

Assoziativgesetz

304, 307, 370, 376,

– lineare

469, 542

417, 500

– lineare assoziative

535

Assoziativität

343, 375, 384, 385, 388,

– n-dimensionale

373

390

– nichtassoziative distributive

586

Astronomie

266, 287, 301

– rhetorische

95

Aufgaben

– symbolische

266, 277, 370, 374, 376,

479

– unbestimmte

279

– synkopierte

95, 102

Aufklärung

300, 312, 366

– universelle

576, 582

Auflösbarkeit

316, 320, 323, 325, 327,

Algebra der Logik

376, 377, 479–481,

328, 330, 350–352, 354, 358, 360, 436,

574

437, 442, 445, 446, 518
algebraisch auflösbar

351

Auflösung

317

Algebraisierung

596

Auflösungsproblem

436

Algebren

373, 375, 388, 406, 407, 420,

Auflösungstheorie

353, 355, 361, 362,

421, 463, 469, 470

366, 438–440, 446, 456

– abstrakte

471

Auswahlaxiom

526

– assoziative

470, 471, 532–534

Automatentheorie

593

– Darstellung

472

Automorphismengruppe

503, 517, 547

– einfache

537

Axiom

62, 487

– halbeinfache

536, 537

Axiomensystem

575

– Klassifikation

527

– für die Geometrie

485

– nichtassoziative

537

– für die natürlichen Zahlen

485

646

Index

Babylonische Mathematik

24

Czichowski-Algorithmus

604

Bakhsh¯
al¯ı-Handschrift

141

Ballistik

287

Darstellungstheorie

407, 408, 460, 503,
baryzentrischer Kalkül

411

537–541

Basissatz

Definition

52, 277

– für abelsche Gruppen

491

Delisches Problem

86

– für endliche abelsche Gruppen

494

DERIVE

607

– für endliche Gruppen

492

Determinante

335–340, 402, 404, 410,

Begründung

441, 451

– der Geometrie

486

Determinantentheorie

338, 339, 447,

– der natürlichen Zahlen

479, 487

451, 542

Bewertungen

566

Dezimalbruch

224

Bewertungstheorie

515, 521

Dezimalbruchrechung

224

Bilinearformen

400, 403, 404, 534

Dezimalsystem

4

Binomium

260

Dezimalzahlen

224

Biquaternionen

386

Diagonalisierung

400

Boolesche Algebren

576, 591

Differentialgleichung

287

– Darstellung

591

Differentialkörper

605

Boolesche Ringe

591

Differentialrechnung

287

Bourbaki-Gruppe

556, 577, 578, 580

Digitaltechnik

594

Br¯
ahm¯ı-Zahlen

135

Dimensionstreue

64, 75, 171, 279

Br¯
ahm¯ı-Zahlzeichen

145

Diorismos

69, 70

Br¯
ahm¯ı-Ziffern

135, 136

Diskriminante

332, 340, 447

Bruchstrich

272
distributiv

316, 387, 466, 469

Buchberger-Algorithmus

600, 603

Distributivgesetz

304, 306, 370, 382,

Buchstaben

417, 420, 573

– Verwendung

271

Divisionsalgebra

373, 471, 535, 537,

Buchstabenrechnen

310

564

Buchstabenrechnung

267, 302, 304,

Divisionsverfahren

14, 18

370

Divisor

511

Divisorentheorie

509, 510

Cardanische Lösungsformel

261

Dualgruppe

573, 574

Cartesische Zeichenregel

280, 284

Dualsystem

594
casus irreducibilis

267, 284

Cayley-Zahlen
siehe Oktonionen

École Normale

300

Charakteristik Null

541, 604

École Normale Supérieure

532

Clifford-Algebren

587, 588

École Polytechnique

299, 300, 402,

Computeralgebra

593–598, 605, 609

406, 438, 441

Computeralgebrasystem

598, 603,

Eigenvektor

401

606, 608

Eigenwert

401, 402, 406

Computeranalysis

597

Einheiten

244, 307, 309, 380, 381, 392,

Copernicanisches Weltsystem

267

419, 420, 436, 466, 470
cosa

258

Einheitswurzel

319, 322, 340, 365, 391,

Coß

164, 204, 212, 220, 221, 229, 231,

395, 397–399

233–235, 237–239, 241, 283

– primitive

327, 397

Cossisten

164, 204, 229, 233

Einschiebung

80, 84

Cramersche Regel

336, 400

– nach Archimedes

81

Cremona-Transformation

543

– nach Pappos

80

Cubus

258

Einselement

344, 445

Index

647

Element

– binäre

452

– idempotentes

470

– binäre quadratische

447

– nilpotentes

470

– Hermitesche

406

Elementarteiler

403, 404, 522

– kubische

396

Elementarteilertheorie

408, 409, 453,

– quadratische

338, 340, 342, 401, 403,

532

404, 406, 449, 450

Elemente

55, 60, 62, 63, 231

– ternäre

451

Eléments de mathématiques

578

Formenlehre

417

Eliminationstheorie

336, 337, 542,

FORTRAN

606

561, 562

Frobenius-Gruppen

540
elliptisch

66

Fundamentalfolgen

478

Endlichkeitsbedingung

561

Fundamentalsatz der Algebra

280,

Enthymem

271

283–286, 316, 331, 332, 334

Erbteilungsaufgaben

165

Fundamentalsystem

452, 453

Ergänzung

Fundierung der reellen Zahlen

478

– quadratische

171, 236

Funktion

Erlanger Programm

458

– algebraische

514

Erweiterung

– elementarsymmetrische

332, 333

– algebraische

525, 526

– lineare

388

– einfache

525

– symmetrische

282

– transzendente

510, 515, 525, 526,

– transzendente

445

606

– trigonometrische

267

– unendliche algebraische

526

Funktionalanalysis

410

Erweiterungskörper

436, 525, 605

Funktionaldeterminante

451

– endlicher

526

Funktionenkörper

436, 513, 561

Euklidischer Algorithmus

394, 399,

– algebraischer

508

599

Funktor

580, 581, 589

Euklidischer Ring

600

Exegetike

271

Galois-Feld

356, 357, 435

Exponent

240, 266

Galois-Gruppe

359, 438, 442, 445, 520

Galois-Körper

520, 536

Faktoren

Galois-Theorie

320, 361, 434–436, 439,

– irreduzible

399

441, 442, 444, 446, 465, 500, 501, 508,

Faktorgruppe

446, 500, 589

510, 516–518, 520, 522, 526, 535, 566

Fangcheng-Methode

122–124, 193

GAP

607

Fastkörper

540

Garben

584

FELIX

607

Garbentheorie

585

Fläche

Gaußsche Perioden

327

– algebraische

542, 544

Gaußscher Algorithmus

122, 123, 127

Flächenanlegung

62, 66, 88

Geodäsie

287, 301

– elliptische

67

Geometrie

266, 349

– hyperbolische

67

– algebraische

336, 388, 454, 543–545,

Fluxionen

367

583

Fluxionsrechnung

281

– analytische

274, 276

Formel

– Begründung

486

– binomische

36, 42, 118

– nichteuklidische

455

– Heronische

41, 44

Geschlecht

543

Formelmanipulation

595

Gesetz

Formen

– distributives

574

648

Index

– modulare

574

Gruppe

357–359, 361, 390, 391, 417,

Gleichheitszeichen

221, 272, 277

435, 438, 442, 444, 445, 458, 516

Gleichung einer Kurve

277

– abelsche

492, 494, 503

Gleichungen

– affine

456

– algebraische

337, 596

– auflösbare

446

– biquadratische

59, 74, 84, 85, 253

– Automorphismen

503

– Diophantische

144

– Definition

490, 491

– einfache

503

– dritten Grades

189, 190, 216, 220,

– endliche

460, 465, 499, 502, 503, 539,

318, 323

541

– dritten und vierten Grades

317

– endliche abelsche

344

– fünften Grades

317, 319, 323, 328,

– endliche lineare

503

330

– endliche orthogonale

413

– kubische

24, 38, 42, 59, 60, 74–76,

– endliche zyklische

327

80, 83, 160, 175, 180, 181, 191, 215,

– freie

495

218, 224, 230, 251, 253, 255, 260–262,

– halbeinfache

587

273, 274, 284, 292

– kontinuierliche

463, 464, 539

– lineare

15, 19, 30, 43, 59, 67, 121,

– lineare

587

131, 139, 140, 165, 205, 206, 211, 213,

– lokal kompakte

593

230, 251

– mit Operatoren

500

– m-ten Grades

332

– nichtabelsche

538

– n-ten Grades

316, 320, 322, 327, 328

– sporadische einfache

503

– quadratische

34, 43, 59, 62, 72, 131,

– Sylowsche

500

133, 134, 140–142, 144, 145, 166, 169,

– symmetrische

325, 443

170, 203, 205, 206, 210, 211, 213, 216,

– topologische

591–593

230, 238, 240, 251, 273, 280, 282

– transitive

443, 444

– rein quadratische

69

– unendliche

491, 499–502

– transzendente

60

– Zerlegungen

490

– unbestimmte

94, 100, 127, 144, 206

– zyklische

324, 327, 441

– unbestimmte lineare

165

Gruppen infinitesimaler Transformatio-

– unbestimmte quadratische

210
nen

531

– vierten Grades

183, 216, 220, 224,

Gruppenalgebra

465, 541

261, 262, 319

Gruppenbegriff

455, 458, 460, 465, 491

Gleichungssystem

97, 218

– abstrakter

489, 490, 493, 494, 497,

– lineares

94, 122, 335, 336, 339, 400

502

– nichtlineares

37, 42, 125

– abstrakter axiomatischer

495, 499

Gnomone

174

– Definition

501

Goldene Proportion

51

Gruppencharaktere

538–540

Gruppendarstellung

587

Graphentheorie

571

Gruppendefinition

Gregorianische Kalenderreform

267

– axiomatische

501

Gröbner-Basis

600, 603, 604

Gruppendeterminante

538, 539

Größe

Gruppentheorie

455, 456, 459

– arithmetische

302

Gruppoid

572

– extensive

419, 420

– geometrische

302

Halbgruppe

572

– imaginäre

265, 288, 307, 309

Hau-Rechnung

15, 19

Größensystem

382

Hauptachsentransformation

401, 402

Grundkörper

351, 438, 583

Hauptideal

507

Index

649

Hauptidealring

547
intermediate expression swell

599

Hauptsatz der symmetrischen Funktio-

Interpretation

373
nen

332

Intervallschachtelung

40

Hensel lifting

602

Invariante

447–454

Hieroglyphen

8

Invariantentheorie

405, 447–449, 451,

Hieroglyphenziffern

116

453, 454, 518

Hilbert-Raum

586

Inverses

392

Hilbertscher Basissatz

453
irrational

244

Himmelskörper

275

Irrationalität

54, 62, 251, 395

Höhensatz

278

– Euklidische

251

Homöomorphie

590

Irrationalzahl

Homogenität

64, 67, 75, 272

– algebraische

90

Homologie

588, 590
irreduzibel

351, 352, 452, 510

Homologiegruppe

589

Irreduzibilität

326, 437, 442

Homologietheorie

589
isomorph

515, 571

Homomorphie

459

Isomorphie

458, 459, 500, 524

Homomorphiebegriff

374

Isomorphiebegriff

374

Homomorphiesatz

549

Isomorphismus

446, 492

Homomorphismus

446, 589

Iteration

191

Homotopiegruppe

590

Iterationsalgorithmus

206

Homotopietheorie

589

Iterationsmethode

190

Hopf-Algebren

589

Horner-Schema

119, 120, 186, 192

Jordan-Algebren

586

Horner-Verfahren

124, 185

Jordansche Normalform

404, 445

Hyperbel

77–79, 179, 181, 184
hyperbolisch

66
hyperkomplexe Systeme
siehe

Kai fang-Methode

118, 193

Algebren

Kartographie

287

Hypobibasmus

272

Kategorie

580, 581, 585, 589

Kategorientheorie

581, 582, 589

Ideale

511, 512, 560, 573, 574, 583

Kegelschnitt

180, 251, 274, 280, 282,

– in Ringen

547

336, 542

– Zerlegung

545

Keilschrift

22, 24, 27, 40

Idealtheorie

478, 504, 507, 562, 565,

Keilschrifttexte

34

575, 583, 591

Kharos.t.h¯ı-Zahlen 134, 145

Idealtypus

574

Kisso¨ıde

91
imaginär

244

Klassenkörpertheorie

563

Indexgesetz

376
kleiner Fermatscher Satz

340

Individualzeichen

116, 134

Körper

329, 335, 356, 361, 373, 378,

Induktion

52

397, 438, 470, 505, 506, 596

Industrielle Revolution

299, 431

– algebraisch abgeschlossener

526

Infinitesimalmathematik

266, 281, 285

– bewerteter

566

Infinitesimalrechnung

75

– Charakteristik

525
inkommensurabel

61, 65, 244

– endlicher

356, 516, 517

Integral

286

– formal-reeller

566

Integralrechnung

287

– konjugierter

506, 516

Integration

285, 286

– Platonischer

54

– unbestimmte

600

Körperbegriff

501, 502, 509, 510, 515,

Integritätsbereich

520

516

650

Index

Körpererweiterung

327, 506, 516, 518,

Lie-Algebren

463, 530, 531, 533, 539,

520, 524

587, 600

– algebraische

515, 517

– einfache

531

– endliche

549

– halbeinfache

533

– separable

526

Lie-Gruppen

463, 502, 503, 530–532,

– unendliche

566

539, 587, 588, 600

Körperstruktur

600

– Darstellung

587, 592

Körpertheorie

520, 522, 540

– halbeinfache

592

Kohomologiegruppe

589

Linearfaktor

288, 334
kommutativ

316, 343, 469

Linksnebenklassen

360

Kommutativgesetz

307, 370, 381, 382,

LISP

606

417, 500

LLL-Algorithmus

602

Kommutativität

304, 306, 343, 365,

Locus ad quattuor lineas

279

382, 517

Lösung

Kommutatorrelation

586

– imaginäre

284

Kompositionsreihe

442, 445, 446, 500

– komplexe

284

Koncho¨ıde

91

– negative

206, 236, 280

Kongruenz

340, 342, 356, 392, 404,

– numerische

190

435, 516

Lösungsformel

167, 255

Konjugierte

395

– Cardanische

261

Kontinuitätsprinzip

288

Logik

371, 572, 575

Koordinaten

– mathematische

489

– homogene

403

– symbolische

376, 480

Koordinatenachsen

283

Logikkalkül

573

Kovariante

450, 452

Logistica numerosa

271

Logistica speciosa

271

Kreisteilung

350

Logizismus

483, 484, 489, 579

Kreisteilungsgleichung

321, 325–328,

Lückenzeichen

28, 42

351, 352, 395, 437

Kreisteilungskörper

398, 399, 436,

MACSYMA

607

437, 516, 519

Maestri d’abbaco

214, 230

Kreisteilungstheorie

351

Mannigfaltigkeit

Kreiszahl

90

– algebraische

583, 584

Krull-Ringe

562

– komplexe

584

Kubikwurzel

86, 118, 120, 124, 127,

MAPLE

607

133, 139, 185, 210, 265, 266

MATEMATICA

607
kubische Gleichung

MATLAB

607

– Normalform

261

Matrix

335, 337, 400–404, 406, 407,

Kubus

231

445, 453, 472, 522

Kugelsegment

75, 79

– Rang

408

Kurve

– unendliche

410

– algebraische

283, 542–544

Matrizenalgebra

528, 537

– dritten Grades

282

Matrizenring

534

Maximumproblem

103

Lazard-Rioboo-Trager-Algorithmus

Mechanik

301

604

Meister des Abbacus

203

Lederrolle

8, 12

Mengenkörper

576

Leerstelle

28

Mengenlehre

477–479, 481, 487, 489,

LiE

607

504, 526, 535, 554, 557, 558, 576, 579

Index

651

Methode

Oktonionen

387, 388

– analytische

311–313

OPENMATH

608

– axiomatische

477, 483, 485, 486,

Operationen

390

488, 489, 493, 518, 524, 535, 555, 561,

– algebraische

591

570, 577

Operatoren

374, 377

– synthetische

311

– lineare

591

Minimalpolynom

408, 529, 530, 534

Operatorenalgebren

586, 590

Modell

370

Operatorenkalkül

479

Modell der Arithmetik

373

Operatorenrechnung

314, 316, 374,

Moderne Algebra

517, 563, 567, 569,

375, 381, 448

576

Optik

287, 301

Modul

340, 422, 506, 512, 573, 574

Ordinalzahlen

Modulbegriff

506, 560, 565

– transfinite

478

Modultypus

574

Ort

Morphismus

580, 581

– geometrischer

279, 280

Multiplikation

278

Multiplikation von Strecken

278

Papyrus Moskau

8, 12, 17

Multiplikationstafeln

42

Papyrus Rhind

8–10, 13–17, 43

Multiplikationsverfahren

13, 16

Parabel

66, 77, 79

MUPAD

607

Parabelquadratur

57

Museion

56, 57

Parabolismus

272

Mutterstrukturen

556, 579

Parallelogrammregel

410

Partialbruchzerlegung

286, 287

Näherungen

189

Perioden

327

Näherungslösung

52

Permanenzprinzip

305, 369, 370, 379

Näherungsverfahren

138, 187

Permutation

323, 324, 352, 356,

Näherungswert

39, 42, 190

358–360, 362–364, 390, 435, 438–440,

Navigation

287

444, 446
von Neumann-Algebren

590

– gerade

338
nichtkommutativ

414, 417, 457

– ungerade

338

Nichtkommutativität

390, 405, 406

– Zyklendarstellung

364
nilpotent

534, 537

Permutationsgruppe

324, 325, 330,

Noethersche Ringe

562

352, 362, 365, 366, 390, 391, 435,

Normalform

272

439–441, 444, 445, 455, 459, 490–492,

– kubische Gleichung

261

496, 499, 503, 547

Normalisator

540

Permutationstheorie

338, 435

Normalkörper

516

Pluquaternionen

388

Normalteiler

360, 439, 442, 443, 445,

Polyedergruppen

496

500

Polygon

66

Normgleichung

382, 387, 388

– reguläres

62

Null

135–137, 145, 162, 167

Polygonalzahlen

102

Null-Zeichen

136

Polynom

283, 285, 286, 288

Nullteiler

377, 382, 386, 407, 470, 517,

– irreduzibles

517

528

Polynome
nullteilerfrei

466

– Division der

173, 175

Nullteilerfreiheit

525

Polynomfaktorisierung

600–602

Numerus

230, 231

Polynomideal

545, 560, 603

Polynomring

517, 596, 600

Oktaven

387

Poristike

271

652

Index

Positionssystem

20, 22, 28, 42, 116,

Radikalausdruck

352

136

Radix

230, 231

– dezimales

136

Rang

Postulate

51, 62

– Matrix

408

Potenzen

221

Rationalitätsbereich

509, 510

Potenzgesetz

173, 175

Raum

Potenzschreibweise

277, 284

– endlichdimensionaler

586

Primdivisor

511

– halbgeordneter linearer

591

Primelement

512

– normierter linearer

558

Primelementzerlegung

398, 400

Rechenbrett

116–118, 121, 124–127

Primfaktorzerlegung

398, 547, 548

Rechenmeister

214, 233

Primideal

507

Rechentechniken

Primidealzerlegung

514

– indisch-arabische

227

Primkörper

525, 558

Rechnen

Primzahl

393, 397, 599

– kaufmännisches

204

Primzahlcharakteristik

549

– logarithmisches

240

Primzahlzerlegung

393, 398

– symbolisches

595

Produkt

Rechtsnebenklassen

360

– äußeres

418
rectangle

282

– alternierendes

418

REDUCE

607

Programmiersprache
reduzibel

358

– maschinenorientierte

594

Regula falsi

234

– problemorientierte

594

Reihe

Projektionsoperatoren

590

– arithmetische

145

Proportionale

– unendliche geometrische

267

– mittlere

69, 87–89, 273

Rekursionsformel

44, 138

– vierte

68

Relativitätstheorie

489

– zwei mittlere

87

Repräsentant

343

Proportionen

54, 211
res

258

Proportionenlehre

61, 62, 206

Resolvente

318, 319

Propositionen

55, 62

– Galoissche

516

Pythagoreer

88, 102

– Huddesche

318
quadratisches Reziprozitätsgesetz

340

– kubische

262

Quadratrix

90–93

– Lagrangesche

320

Quadratur des Kreises

52, 60, 90

Reste

Quadratwurzel

64, 118, 120, 124, 127,

– biquadratische

308, 392

133, 137, 138, 141, 145, 167, 193, 229,

– kubische

392

237, 266, 278

Restklassen

356, 365, 515

– aus negativen Zahlen

260, 265

Restklassenkörper

356, 516, 517

Quadratwurzelzeichen

277

Restklassenring

525, 599

Quantenmechanik

586

Reziprokentafeln

28, 42

Quasigruppe

571, 572

Reziprozitätsgesetz

Quaternionen

310, 373, 380, 382,

– biquadratisches

393, 395, 397

384–387, 391, 407, 420, 421, 466, 468,

– kubische

392, 393

471, 530, 534, 537

– kubisches

395–397

Quotientenkörper

335

– quadratisches

391, 392, 394

Rhetike

271

Radikal

358, 360, 442, 527, 537

Riemann-Rochscher Satz

585

Index

653

Riemannsche Fläche

514, 542

Substitution

337, 338, 342, 358, 359,

Ring

417, 506

363, 440

– der ganzen algebraischen Funktionen

Subtraktion

28

514

Summe

– der ganzen Zahlen

513

– direkte

470, 530

– enklidischer

547

Syllogismus

271

– kommutativer

562

Symbole

272

– nichtkommutativer

565

– cossische

235

– separabler

558

– Interpretation der

372

Ringbegriff

520, 558

Symbolik

265, 277

Ringtheorie

558, 560, 561, 583

– algebraische

229

Rothstein-Trager-Algorithmus

604

Symbolkalkül

375

Royal Society

281
symmetrisch

402

Synthesis

271

System

Satz vom primitiven Element

510

– hyperkomplexes

408, 418, 465–469,

Satz von Viète

34

528, 530, 533

Schemata

585

– irreduzibles

530

Schnittvielfachheit

583, 584

– nichtkommutatives hyperkomplexes

Schnurregeln

130, 138, 139, 141

407

SCRATCHPAD

607

– nichtlineares

34

Sexagesimalsystem

5, 20, 22, 27, 38,

System hyperkomplexer Größen
siehe

136

Algebren

Sieb des Eratosthenes

57

Siebeneck

60, 80

Taschenrechner, elektronischer

609

– regelmäßiges

80, 82, 83, 104, 267

Teilalgebren

576

SINGULAR

607

Teilbarkeit

52, 507, 513, 558

Singularitäten

542

Teilbarkeitslehre

510, 512, 573

Skalar

386

Teilerkettensatz

560, 561, 603

Spinor

587

Teilkörper

525

Spinoralgebra

587

Theoretische Mechanik

287

Stammbruch

13, 14, 17, 19

Theorie

Stammbruchtabelle

14

– der Charaktere

494

Stammbruchzerlegung

12, 18

– der Ringe

512

Stetigkeit

334

– der Strukturen

579

Strahlensatz

68, 93

– halbgeordneter Räume

591

Strecken

Topologie

557

– gerichtete

413, 414

Topologisierung

591

– inkommensurable

51

Transformation

462

Struktur

316, 555

– lineare

404

– algebraische

361, 524, 573

– orthogonale

401

– nichtkommutative

559

Transformationsgruppe

455–458,

Strukturbegriff

556

460–462, 464, 465, 496, 497, 499, 529,

Strukturbetrachtung

309, 310, 361

530, 532, 534, 539

– algebraische

307

– Klassifikation

497

Strukturkonzept

571, 579

– kontinuierliche

456, 460, 463, 528,

Strukturmathematik

520, 577

531–534, 592

Strukturtheorie

535, 538, 580, 591

– unendliche

497

Suanpan

117

– unendliche kontinuierliche

499

654

Index

Transitivität

324

Wohlordnungssatz

526

Transponierte

406

Würfelverdopplung

52, 60, 86, 89, 91,

Transzendenzbeweis

522

210

Trigonometrie

Wurzel

– ebene

267

– affirmative

282

– sphärische

267

– komplexe

292

Typentheorie

489

– negative

282

Wurzelsatz von Vieta

273

Übersetzungen

204

Wurzelziehen

Unbekannte

258

– Babylonisches

41, 44

Universitätswissenschaft

253, 256

– Heronisches

41

Untergruppe

357, 443, 446

Unterkörper

506

Zahl

109

Zahlbuchstaben

95

Variable

274

Zahlen

2, 4, 28

Variablentransformation

261

– algebraische

399, 478, 510, 512–514,

Variationsrechnung

287

518, 520, 545, 564

Vektor

386, 413, 415, 419, 466

– assoziierte

392

Vektoranalysis

421

– ganze

394

Vektorbegriff

410

– ganze algebraische

505, 506, 522,

Vektorbündel

584

561

Vektorraum

410, 415, 417, 419

– ganze Gaußsche

392

– dreidimensionaler

413

– ganze komplexe

309, 394, 395

– endlichdimensionaler

526

– gebrochene

243

– reeller

487

– hyperkomplexe

380–382, 385, 391,

Vektorraumbegriff

557

527–529, 539

Vektorrechnung

371, 410, 412, 421,

– ideale

398–400, 436, 504, 508, 509

422

– ideale komplexe

507

Venedig

255

– imaginäre

284, 290, 302, 303, 306,

Verband

483, 573, 575

308, 317, 381, 466

– distributiver

576

– irrationale

61, 64, 171, 220, 224, 242,

– modularer

576

243, 478, 504

Verbandsbegriff

572, 576

– komplexe

284–286, 304, 306–308,

Verbandstheorie

575, 577, 590, 591

310, 317, 334, 373, 379, 380, 393, 412,

Verfahren

466, 469, 471

– algorithmisches

596

– natürliche

482, 486

Verknüpfungsoperationen

482

– negative

5, 133, 143, 167, 224, 240,

Verknüpfungsregeln

372–376, 382,

262, 302–304, 306, 415

388, 407, 482

– p-adische

513, 520, 521, 550, 558,

Verschmelzungsgesetz

574

564, 566

Verzweigungstheorie

515

– rationale

167

Vogelaufgaben

165

– reelle

307, 308, 317, 334, 378, 379,
von Neumann-Algebren

590

419

– transzendente

478, 522
wa-l-muq¯
abala

251

– unendliche

243

Wahrscheinlichkeitsrechnung

258, 512

Zählen

2, 4

Winkel

50

Zahlengerade

244

Winkeldreiteilung

52, 60, 83, 84, 91

Zahlensystem

482

Wissenschaftliche Revolution

274

– Aufbau

305, 466

Index

655

– dezimales

109

Zensus

230, 231

– hyperkomplexes

465, 481

Zerfällungskörper

322, 333, 335, 515

Zahlentheorie

490, 512

Zetesis

271

– algebraische

545, 563, 574

Zetetike

271

Zahlkörper

506, 513

Ziffer

28

– abelscher

516

Ziffern

– algebraischer

466, 505, 508, 518,

– arabische

40, 162

535, 545, 560, 561

– indische

161, 162

– imaginär-quadratischer

438, 515

Zinseszins

230

– quadratischer

394, 507, 519

Zinsrechnung

208

Zahlschriften

4, 5

Zinstabellen

223

Zahlsystem

4, 5, 12, 27

Zirkel und Lineal

83, 90, 92, 93, 104,

– indisch-arabisches

214

326, 327, 361

Zahlwörter

4, 5

ZPI-Ringe

561

Zahlzeichen

4, 22, 27

Zwischenwertsatz

288

Zeichen + , −

272, 277

Zyklen

440