6000 Jahre Mathematik: Eine kulturgeschichtliche Zeitreise (Vom Zählstein zum Computer)
Author: Hans Wußing; Heinz-Wilhelm Alten; Heiko Wesemüller-Kock
Date: 2009-09-02T00:00:00+00:00
Keywords: Algebra
Description: Die Ursprünge mathematischen Denkens, d.h. die Bildung abstrakter Begriffe und die Herstellung von Beziehungen zwischen ihnen, liegen nach heutigem Wissen in den Hochkulturen Mesopotamiens und Ägyptens im 4. Jahrtausend v. Chr. Hier beginnt der Autor seine Zeitreise durch die Mathematik und verfolgt ihre Geschichte bis in ausgehende 20. Jahrhundert. Mathematische Ideen, Methoden und Ergebnisse sowie die sie tragenden Menschen werden ebenso prägnant und lebendig geschildert, wie die Kulturen und das Umfeld, in denen Mathematik entstand und sich in Wechselwirkung mit der Gesellschaft entwickelte
Publisher: Springer

Vom Zählstein zum Computer

Herausgegeben von

H.-W. Alten · A. Djafari Naini · H. Wesemüller-Kock

Institut für Mathematik und Angewandte Informatik

Zentrum für Fernstudium und Weiterbildung

Universität Hildesheim

In der Reihe „Vom Zählstein zum Computer“
sind bisher erschienen:

 Jahre Algebra

Alten, Djafari Naini, Folkerts, Schlosser, Schlote, Wußing

ISBN ----

 Jahre Geometrie

Scriba, Schreiber

ISBN ----

Überblick und Biographien,

Hans Wußing et al. ISBN ----

Vom Zählstein zum Computer – Altertum (Videofilm),

H. Wesemüller-Kock und A. Gottwald ISBN ----

Vom Zählstein zum Computer – Mittelalter (Videofilm),

H. Wesemüller-Kock und A. Gottwald

Hans Wußing

 Jahre

Mathematik

Eine kulturgeschichtliche Zeitreise –

. Von den Anfängen bis Leibniz
und Newton

Unter Mitwirkung von Heinz-Wilhelm Alten
und Heiko Wesemüller-Kock

Mit  Abbildungen, davon  in Farbe

123

Professor Dr. Hans Wußing

Sächsische Akademie der Wissenschaften zu Leipzig

Karl-Tauchnitz-Str. 

 Leipzig

ISBN ----
e-ISBN ----

DOI ./----

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

Mathematics Subject Classification (): -, A

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und daher von jedermann benutzt werden dürften.

Einbandgestaltung: deblik, Berlin

Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig

Satz: Sylvia Voß und Mark Kaldewey, Hildesheim;

LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig

Gedruckt auf säurefreiem Papier

        
springer.com

Für meine liebe Frau Gerlinde
mit herzlichem Dank für Rat und Tat

Vorwort des Herausgebers

Als der Springer Verlag an mich vor 6 Jahren mit dem Vorschlag herantrat,
in der Reihe „Vom Zählstein zum Computer“ neben Bänden zur Geschichte
der Mathematik in Teilgebieten wie „5000 Jahre Geometrie“ und „4000 Jah-
re Algebra“ auch eine stark kulturhistorisch unterlegte Gesamtgeschichte der

Mathematik herauszubringen – da war mein erster Gedanke: Hans Wußing!

Der international bekannte Mathematikhistoriker in Leipzig musste für diese

Aufgabe gewonnen werden, hatte er doch in unserem ersten Band „Überblick
und Biographien“ bereits eine kurzgefasste Übersicht gegeben und bewiesen,
dass er als Angehöriger der älteren Generation einen Überblick und umfas-
sende Kenntnis über die Entwicklung der Mathematik seit ihren Anfängen
hat wie kaum ein jüngerer und zur Karriere auf Spezialisierung angewiesener

Kollege.

Nach einigem Zögern hat Prof. Wußing die Aufgabe mit dem Hinweis
übernommen: „Dieses Buch soll einem breiten Leserkreis einen Überblick über
die Entwicklung der Mathematik von ihren Anfängen bis zum heutigen Stand
vor dem Hintergrund der kulturgeschichtlichen Entwicklung der Menschheit
geben.“

Diesem Anspruch ist Hans Wußing in besonderem Maße gerecht geworden.

Er hat die Entstehung und Entwicklung mathematischer Begriffe, Symbole
und Methoden in lebendiger Schilderung verflochten mit den historischen Er-
eignissen, mit den persönlichen Schicksalen der Gelehrten und den kulturellen

Entwicklungen in Musik, Architektur, Bildender Kunst, Religion, Medizin,

Naturwissenschaften und anderen Bereichen. Eindrucksvoll beschreibt er die

Anstöße und Hintergründe für die Einführung neuer Begriffe, für die Ent-
deckung von Zusammenhängen und die Entstehung neuer Theorien, deren

Anwendung in anderen Disziplinen und Wechselwirkungen mit ihnen. Das
alles in den verschiedenen Epochen, Regionen und Kulturkreisen der Ge-
schichte und weit über das in mathemathematikhistorischen Darstellungen
übliche Maß hinaus – kurzum: eine Kulturgeschichte der Mathematik.

Natürlich können in einer auf einen Band angelegten Darstellung der Ma-
thematikgeschichte nicht alle Schritte und Einzelheiten der Entwicklung in
gleicher Ausführlichkeit behandelt werden – das würde angesichts der Fül-
le des Materials eine ganze Enzyklopädie erfordern. Der Autor musste den

„Mut zur Lücke“ haben. Er hat ihn gehabt und eine Auswahl getroffen, die
zwangsläufig subjektiv ist.

Dennoch: Als wir die vorgesehenen Abbildungen in den Text einfügten,
stellte sich heraus, dass der Umfang eines Bandes gesprengt würde. So haben
wir das Werk in zwei Teile zerlegt, von denen hiermit der erste Band vorgelegt
wird. In ihm wird die Kulturgeschichte der Mathematik von den Anfängen
bis ins 17. Jahrhundert dargestellt. Apropos: Anfänge!

Wann und womit hat eigentlich Mathematik begonnen? Mit Zählen und
mit Zahlen als Kerben auf Knochen und Steinen oder mit Ornamenten

VIII

Vorwort des Herausgebers
auf Tonscherben aus grauer Vorzeit? Oder erst mit elementarem Rechnen
vor etwa 10 000 Jahren, als Jäger und Sammler von Nomaden zu Acker-
bauern wurden, feste Siedlungen entstanden, Handel und Warenaustausch
einfache Rechnungen erforderten? Oder soll (kann) man von Mathematik
erst sprechen seit sich ihr markanter Wesenszug ausprägte – die Bildung
abstrakter mathematischer Begriffe und die Herstellung von Beziehungen
zwischen ihnen? Das geschah vor ca. 6000 Jahren, als sich mathematisches

Denken in diesem Sinne im 4. Jahrtausend v. Chr. in den Hochkulturen
der großen Stromtäler, Chinas, Indiens, Mesopotamiens und Ägyptens ent-
wickelte. So haben wir „6000 Jahre Mathematik“ als Titel des Werkes ge-
wählt.

In einem spannungsreichen Bogen führt die kulturgeschichtliche Zeitreise
von den Anfängen mit Zählen, Zahlen und Figuren durch die Jahrtausen-
de ihrer Entwicklung bis zu der im zweiten Band beschriebenen globalen

Ausbreitung der Mathematik im 20. Jahrhundert und der kaum noch über-
schaubaren Fülle der Ergebnisse unserer Tage.

Auch die verschiedenen Aspekte der relativ jungen und in rascher Ent-
wicklung betroffenen Ethnomathematik haben Eingang in das Werk gefun-
den. Dabei zeigt sich, dass die übliche chronologische Darstellung wegen der
zeitlich versetzten Entwicklung in den verschiedenen Kulturkreisen oft nur
schwer oder gar nicht möglich ist. Deshalb folgt zunächst ein Abschnitt über
die in langen Zeiträumen unabhängig von anderen Kulturkreisen entstandene

Mathematik in den präkolumbianischen Kulturen Mittel- und Südamerikas
mit der überraschenden Feststellung, dass die Maya bereits vor vielen Jahr-
hunderten einen Kalender benutzten, der genauer als der noch heute bei uns
gültige Gregorianische ist.

Im zweiten Kapitel wird die Entwicklung der Mathematik in China und

Indien bis zum 16. Jahrhundert, in Japan bis zu seiner „Öffnung“ im 19. Jahr-
hundert dargestellt. Erst dann wird die große Entwicklungslinie aufgegriffen,
die von der Frühzeit der Mathematik in Mesopotamien und Ägypten über
ihre Etablierung als Wissenschaft bei den Griechen, die Weiterentwicklung
und den Transfer des antiken Erbes durch die Perser und Araber ins mittel-
alterliche Europa und die beginnende Renaissance führt. Im letzten Kapitel
dieses Bandes wird der Aufbruch zu neuen Ufern während der Wissenschaft-
lichen Revolution vom ausgehenden 16. bis zum Beginn des 18. Jahrhunderts
beschrieben: der Wandel der Algebra zur selbständigen Disziplin, die Anfän-
ge der analytischen Geometrie bei Descartes, die Probleme der Zahlentheorie
bei Fermat, der Bau der ersten Rechenmaschinen, die Frühgeschichte der In-
finitesimalmathematik und ihre Ausprägung durch die beiden großen Geister
des 17. Jahrhunderts – in der Fluxionsrechnung des genialen Newton und
dem Calculus des Universalgelehrten Leibniz.

Jedem Kapitel ist eine Tabelle vorangestellt, die einen Überblick über
wichtige politische und kulturelle Ereignisse der jeweils behandelten Epoche
bzw. Kultur vermittelt. Im ersten Abschnitt jedes Kapitels werden diese ta-

Vorwort des Herausgebers

IX
bellarischen Angaben, ihre Zusammenhänge und die Auswirkungen auf die

Entwicklung von Kunst und Wissenschaft näher beschrieben. Diese Darstel-
lung bildet den Rahmen für die in den folgenden Abschnitten behandelte

Entwicklung der Mathematik, ihrer Inhalte, Methoden und Ergebnisse, einge-
bettet in die Verhältnisse und Lebensumstände der schöpferischen Menschen,
denen all dies zu danken ist. In einer Tabelle am Schluss des Kapitels sind
die wesentlichen Inhalte und Ergebnisse der darin entwickelten Mathematik
zusammengefasst.

Die lebendige Darstellung wird durch viele Abbildungen unterstützt:

Farbige Fotos illustrieren den kulturellen und historischen Hintergrund, Brief-
marken aus aller Welt spiegeln die Wertschätzung der Gelehrten und ihrer

Werke in den verschiedenen Ländern und Regionen, schwarz-weiß gezeichnete

Figuren erläutern mathematische Zusammenhänge.

Für einige Abbildungen in diesem Buch ist es uns nicht gelungen, die

Rechtsinhaber zu ermitteln bzw. unsere Anfragen blieben unbeantwortet. Be-
troffene und Personen, die zur Klärung in einzelnen Fällen beitragen können,
werden gebeten, sich beim Verlag zu melden.

Die Bildseiten mit den Porträts herausragender Mathematiker der jeweili-
gen Periode und die Karten entwarf und gestaltete der Medienwissenschaftler
und Mitherausgeber Heiko Wesemüller-Kock. Von ihm stammen auch einige

Beiträge und Anregungen zum Text sowie die graphische Gestaltung – das

Layout sagt man heute – des gesamten Bandes. Dafür sage ich ihm herzlichen

Dank.

In äußerst mühevoller und sorgfältiger Arbeit hat Herr Wesemüller-Kock –
unterstützt von Frau Anne Gottwald – die als Vorlagen gelieferten Fotos,

Dias, Skizzen und Strichzeichnungen, Seiten und Titelblätter alter Werke
mit dem Computer zu druckfertigen Vorlagen bearbeitet, insbesondere auch
die vom Autor Hans Wußing aus seiner umfangreichen Sammlung gelieferten

Briefmarken. Dafür sei beiden besonders herzlich gedankt.

Für die Umsetzung der Manuskripte in druckfertige Vorlagen auf dem

Computer danke ich den Mitarbeiterinnen im Institut für Mathematik und

Angewandte Informatik Bettina David, Martina Rosemeyer und Tanja Seifert
sowie den Studentinnen Daniela Baehr und Sylvia Voß und dem wissenschaft-
lichen Mitarbeiter Mark Kaldewey.

Mein besonderer Dank gilt den Kollegen Folkerts, Kahle, Purkert, Ullrich
und Sonar für die kritische Durchsicht der Texte und ihre Anregungen zu

Ergänzungen und Modifikationen, den Kollegen Djafari-Naini und Kunitzsch
für Anmerkungen und Korrekturen zum Kap. Mathematik in den Ländern
des Islam.

Sehr herzlich danke ich vor allem dem Autor Hans Wußing für seinen
intensiven Einsatz, für sein Eingehen auf meine Anregungen und die Akzep-
tanz meiner Vorschläge und Beiträge zur Ergänzung der Texte und Abbil-
dungen.

X

Vorwort des Herausgebers

Für die finanzielle Unterstützung des Projekts danke ich dem Direktor
des Instituts für Mathematik und Angewandte Informatik, Prof. Dr. Förster
und dem Leiter des Zentrums für Fernstudien und Weiterbildung, Prof. Dr.

Wagner.

Dem Springer-Verlag Heidelberg und dem hierfür verantwortlichen Re-
dakteur, Herrn C. Heine, danke ich für das Eingehen auf meine Wünsche
und die hervorragende Ausstattung dieses Buches, Frau Köhler für die Un-
terstützung bei der Umsetzung in die TEX-Version.

Möge dieser Band einen breiten Leserkreis erreichen und dazu beitragen,
möglichst vielen Schülern und Studenten die Scheu oder gar Angst vor der

Mathematik zu nehmen, darüber hinaus vielen Menschen Einblick in die enge

Verflechtung der oft als trocken und schwer verständlich geltenden Mathema-
tik mit anderen Wissenschaften, mit menschlichen Schicksalen und mit der

Entwicklung der Kultur in sechs Jahrtausenden auf unserer Erde geben.

Hildesheim, im Januar 2008

Im Namen der Herausgeber

Heinz-Wilhelm Alten

Hinweise für den Leser

Runde Klammern enthalten ergänzende Einschübe oder Hinweise auf Abbil-
dungen, in Zitaten markieren sie Auslassungen.

Eckige Klammern enthalten

–
im laufenden Text Hinweise auf Literatur

–
unter Abbildungen Quellenangaben.

Abbildungen sind nach Teilkapiteln nummeriert, z. B. bedeutet Abb. 4.1.4
die vierte Abbildung in Abschnitt 4.1 von Kapitel 4.

Die Transskriptionen chinesischer bzw. indischer Namen und Begriffe er-
folgten entsprechend [Martzloff 1997] bzw. [Tropfke 1980]. Die Schreibweise
von Namen und Werken islamischer Gelehrter entspricht der wissenschaft-
lichen Transskription aus dem Arabischen. Eine der deutschen Aussprache
entsprechende Transskription ist oft in Klammern angefügt.

Die Originaltitel von Büchern und Zeitschriften sind kursiv wiedergege-
ben, wörtliche Zitate kursiv mit Anführungszeichen. In einigen Fällen folgen
für den interessierten Leser Hinweise auf weiterführende Literatur bzw. auf

Erläuterungen eines nur verknappt dargestellten Sachverhaltes mit Verweisen
wie (vgl. ausführlich in. . . ).

Inhaltsverzeichnis

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1

Mathematik am Anfang und Ethnomathematik . . . . . . . . . . .

5

1.1

Zählen, Zahlen, Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.0

Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1

Zahlen und Zahlwörter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2

Anfänge der Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2

Ethnomathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.1

Aspekte der Ethnomathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.2.2

Beispiel aus Afrika: Sona Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.3

Kenntnisse und Leistungen der Azteken, Maya und Inka . . . . .

23

1.3.0

Zur Geschichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.3.1

Die Azteken: Kalenderrechnung und ummantelte

Pyramiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.3.2

Die Maya: Tempel, Pyramiden und geheimnisvolle

Glyphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.3.3

Rätsel der Nazca-Kultur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1.3.4

Die Inka: Polygonale Festungsmauern und

Sonnenheiligtümer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2

Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen . . . . .

41

2.1

Mathematik im alten China . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.1.0

Das historische Umfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.1.1

Zahlendarstellung, Rechenbrett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.1.2

Einige Höhepunkte altchinesischer Mathematik . . . . . . .

55

2.1.3

Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

2.2

Entwicklung der Mathematik in Japan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

2.2.0

Historischer Hintergrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

2.2.1

Mathematik im alten Japan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

2.2.2

Die Renaissance der japanischen Mathematik . . . . . . . .

72

2.3

Mathematik im alten Indien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

2.3.0

Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

2.3.1

Historischer Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

2.3.2

Wichtige Quellen altindischer Mathematik . . . . . . . . . . .

93

2.3.3

Geometrie in Indien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

2.3.4

Indische Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

2.3.5

Die Herausbildung des dezimalen Positionssystems . . . .

97

2.3.6

Arithmetik und Algebra in der indischen Mathematik . 100

XII

Inhaltsverzeichnis

3

Frühzeit der Mathematik im Vorderen Orient . . . . . . . . . . . . 103

3.1

Mathematik im alten Ägypten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.1.0

Einführung: Geschichte und Schrift des alten Ägypten 104

3.1.1

Mathematische Papyri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.1.2

Zahlensystem, Rechentechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.1.3

„Hau“-Aufgaben, Pśw-Rechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.1.4

Algebraische Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.1.5

Geometrische Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.2

Mesopotamische (Babylonische) Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.2.0

Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.2.1

Entwicklung der Keilschrift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.2.2

Zahlenschreibweise, Zahlentafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.2.3

Geometrie in Mesopotamien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.2.4

Algebra in Mesopotamien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

3.2.5

Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4

Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und

Spätantike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.0

Historische Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.1

Zählen, Zahlensysteme, Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

4.2

Ionische Periode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

4.3

Mathematik in der ionischen Periode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

4.4

Mathematik in der athenischen Periode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

4.5

Mathematik in der hellenistischen Periode . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

4.6

Mathematik bei den Römern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

4.7

Die Mathematik am Ausgang der Antike . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

4.8

Nachwirkungen in byzantinischer Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

5

Mathematik in den Ländern des Islam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

5.0

Historischer Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

5.1

Islamische Universalgelehrte des Mittelalters . . . . . . . . . . . . . . . 232

5.2

Al-H

<w¯arizm¯ı (al-Choresmi) und seine „Algebra“ . . . . . . . . . . . . 237

5.3

Spitzenleistungen in der Algebra der Muslime . . . . . . . . . . . . . . 244

5.4

Zum Zahlbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

5.5

Beiträge der Muslime zur Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

5.6

Neue Quellen für mathematikhistorische Forschung . . . . . . . . . 260

6

Mathematik im Europäischen Mittelalter . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

6.0

Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

6.1

Frühes Mittelalter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

6.2

Hochmittelalter, Spätmittelalter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

6.3

Scholastik, Gründung und Anerkennung von Universitäten . . . 281

6.4

Schlussbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

Inhaltsverzeichnis

XIII

7

Mathematik während der Renaissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

7.0

Historische Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

7.1

Neue Forderungen an die Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

7.2

Rechenmeister und frühe Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

7.3

Fortschritte in Italien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

7.4

Entwicklungen in Westeuropa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

7.5

Frühe Algebra im deutschsprachigen Raum . . . . . . . . . . . . . . . . 328

7.6

Die sog. Deutsche Coß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

7.7

Geometrie und Perspektive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

7.8

Astronomie und Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

8

Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution . 377

8.0

Allgemeine Charakterisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

8.1

Gründung von Akademien und wissenschaftlichen

Gesellschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

8.2

Algebra wird zur selbstständigen mathematischen Disziplin . . 386

8.3

Analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

8.4

Anfänge der projektiven Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

8.5

Rechenmethoden, Rechenhilfsmittel, erste Rechenmaschinen . 416

8.6

Zur Frühgeschichte der Infinitesimalmathematik . . . . . . . . . . . . 427

8.7

Durchbildung der infinitesimalen Methoden:

Newton und Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

Abbildungsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

Personenverzeichnis mit Lebensdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

Einleitung

I

Mathematikgeschichte – ein hochinteressanter Teil unserer Kulturgeschichte –
ist spannend, lehrreich, allgemeinbildend und sie erleichtert das Erlernen der

Mathematik.

Es gibt eine reichhaltige Auswahl an Darstellungen der Entwicklung
der Mathematik und ihrer Teilgebiete, zu allen Regionen und Perioden der

Menschheitsentwicklung, ebenso wie Darstellungen der gesamten Mathema-
tik. Deren Historiographie ist äußerst umfangreich und kaum noch zu über-
blicken. Es gibt eine international arbeitende Kommission für die Historio-
graphie der Mathematik, deren Mitglieder über die Ländergrenzen hinweg,
auf allen Kontinenten eng zusammenarbeiten. Diese Spezialrichtung der Wis-
senschaftsgeschichte ist weltweit in raschem Aufschwung befindlich.

Ein Mathematikhistoriker sieht sich – je nach seiner wissenschaftlichen

Zielstellung und seiner Neigung – einer Reihe von Themengruppen gegenüber,
unter anderem:

–

Problemgeschichte, Begriffsgeschichte, innermathematische Zusammen-
hänge. Beispiele: Auflösung von Gleichungen, Zahlbegriff, Axiomatisie-
rung, Abstraktion

–

Mathematik und Naturwissenschaften. Beispiel: Die Physik Newtons und
die Entstehungsgeschichte der Infinitesimalrechnung

–

Biographisches. Beispiele: Leben und Werk von C. F. Gauß. Was heißt

Kreativität?

–

Institutionen, Organisationsformen. Beispiele: Akademien, Universitäten,
mathematische Schulen

–

Mathematik als Bestandteil der Kultur. Beispiele: Mathematik und Kunst,

Literatur, Musik

–

Gesellschaftliches Umfeld der Mathematik. Beispiele: Wechselbeziehungen
zur Technik, Wechselbeziehungen zu Philosophie und Religion, Zusam-
menhang mit politischen Ereignissen wie etwa der Französischen Revolu-
tion

–

Mathematik als Teil der Allgemeinbildung. Beispiele: Mathematik im

Schulunterricht, Ingenieurausbildung

–

Historisch-kritische Analyse von Quellentexten. Beispiele und Schwierig-
keiten: Quellen finden und erschließen, Sprachschwierigkeiten, Gefahr der

Überinterpretation

–

Mathematik als dynamischer Entwicklungsprozess. Beispiele: Wirkungs-
geschichte von Grundideen, Triebkräfte, Denken auf Vorrat

–

Anwendungen der Mathematik. Beispiele: Analysis in den Natur- und

Ingenieurwissenschaften, Boolesche Algebra in der Computertechnik, Zah-
lentheorie in der Kryptographie, Statistik und Optimierung in den Wirt-
schaftswissenschaften

2

Einleitung

Selbstverständlich ist diese Aufzählung nicht vollständig und bedeutet keine

Rangordnung. Hier, in dieser Liste, verbirgt sich die begriffliche Unterschei-
dung zwischen Geschichte der Mathematik und Historiographie: Die Histo-
riographie hat die Aufgabe, Entwicklung und Entfaltung der Mathematik als
historischen Prozess zu erfassen. Historiographie ist also eine historische Wis-
senschaft; ihr Gegenstand, die Geschichte der Mathematik, ist die Entwick-
lung der Mathematik in Raum und Zeit, in allen geographischen Regionen
und allen Kulturen, von den Anfängen bis in unsere Gegenwart, mit all ihren

Bezügen zur Geschichte der Menschheit.

Historiographie der Mathematik ist zu einem autonomen Gebiet der Ge-
schichtswissenschaft und zugleich ein Teilgebiet der Mathematik selbst ge-
worden. Sie ist überdies abhängig vom Standpunkt des Forschers und vom

Umfeld, in dem sich der Forscher bewegt. Man hat gelegentlich geäußert, dass
jede Generation ihre eigene Geschichte neu schreiben muss.

II

Die im Springer-Verlag herausgebrachten Monographien 5000 Jahre Geome-
trie (2005) und 4000 Jahre Algebra (2005) erfuhren große Anerkennung. Sie
sind hervorragend geschrieben und illustriert und vermitteln tiefe historische

Einblicke in Geist und Substanz jener zwei mathematischen Hauptgebiete.

In diesem Zusammenhang entstand beim Springer-Verlag die Idee, eine
die Fächer übergreifende Historiographie der Mathematik ins Auge zu fassen,
leicht lesbar, mit wenigen Formeln, dafür aber mit reichlich kulturellen, phi-
losophischen und historischen Bezügen, alle Zeiten und Kulturen berührend.

Nach jahrzehntelanger Vorlesungstätigkeit war mir klar, dass dieses Pro-
jekt in hohem Maße zugleich verlockend und verführend ist. Erst nach reif-
licher Überlegung habe ich damals, vor fünf/sechs Jahren, zugesagt, wohl
wissend, dass die Inangriffnahme dieser Aufgabe einer (speziellen) Art von

Hybris entspricht.

Die positive Hinwendung zu diesem Projekt wurde mir durch Zureden
von Kollegen, vor allem aber durch einen Rückgriff auf die Intentionen von

Herodot, dem „Vater der Geschichtsschreibung“, erleichtert. Er hatte von 460
bis 430 das Perserreich, Ägypten, Sizilien und Unteritalien bereist und die

Verdienste der dort wohnenden Völker gewürdigt, damit „nicht durch die

Zeit verblasse, was von Menschen geschah, noch die großen Taten und Wun-
derwerke (. . . ) in Ruhmlosigkeit versänken.“ Vor allem aber rühmte er die

Leistungen der Griechen und beschrieb die damaligen Ereignisse, insbeson-
dere während der Perserkriege.

Er nannte sein Hauptwerk (in lateinischer Umschrift) histories apodexis,
also etwa Darlegung von Forschungsergebnissen, von Erkundungen. Das Sub-
stantiv ist hergeleitet von historeín, das bedeutet: durch eigene Anschauung
oder Nachfrage erkunden, erfragen, in Erfahrung bringen. Von dorther leitet
sich das Wort „Historik“ (Geschichtswissenschaft) ab.

In diesem Sinne, als „Erkundungen“ soll dieses Buch verstanden werden.

Die Erkundungen sollen hinführen zu wesentlichen Wandlungen und Ereig-

Einleitung

3
nissen im Entwicklungsprozess der Mathematik, ohne immer bis ins fachwis-
senschaftliche Detail vorzustoßen. Es kann und soll sich im Sinne von „Er-
kundungen“ nicht um eine vollständige Geschichte der Mathematik handeln;
das ist für einen einzelnen Autor ohnehin und schon aus Platzgründen un-
möglich. Die Auswahl der „Erkundungen“ ist natürlicherweise subjektiv. Der

Leser wird – wie der Autor auch – nicht wenige Lücken schmerzlich empfin-
den. Der Autor musste den „Mut zur Lücke“ aufbringen. Als Ausgleich wird
eine umfangreiche Reihe vertiefender und weiterführender Literatur angege-
ben.

Die vergleichsweise oft längeren wörtlichen Zitate (in deutscher Sprache)

sollen Stil und Denkweise der Mathematiker hervortreten lassen.

III

Der Leser wird bemerken, dass die Chronologie der Informationen nicht an
erster Stelle steht, sondern oftmals durchbrochen wird. Dies war Absicht.

Der Autor hat sich bemüht, die inneren Zusammenhänge durch gelegentliche

Rückgriffe auf die Vor- und Frühgeschichte zu verdeutlichen, selbst auf die

Gefahr von kurzen Wiederholungen hin. Im Idealfall sollten die Abschnit-
te für sich selbst gelesen werden können; das Gesamtmanuskript ist nicht
durchgängig linear aufgebaut.

Das Buch wendet sich nicht in erster Linie an professionelle Mathematik-
historiker, wenn auch in der Hoffnung, dass diese „Erkundungen“ auch dort

Interesse finden.

Auch handelt es sich nicht um ein Lehrbuch der Mathematik: Die Be-
kanntschaft mit Begriffen und Methoden der Mathematik wird im Allge-
meinen vorausgesetzt, ebenso auch die Bekanntschaft mit Anspielungen auf
politische und philosophische Bezüge.

IV

Ein dankbares Gedenken gilt meinen verstorbenen akademischen Lehrern:

W. Schnee (Leipzig), H. Beckert (Leipzig), P. Günther (Leipzig), H. Sa-
lié (Leipzig), W. Ilberg (Leipzig), W. Menzel (Leipzig), G. Harig (Leipzig),

A. P. Juschkewitsch (Moskau), D. J. Struik (Belmont, USA), J. E. Hofmann

(Ichenhausen).

Diese „Erkundungen“ hätten nie veröffentlicht werden können, wenn nicht

Freunde und Kollegen mir mit kritischer Durchsicht und guten Ratschlägen zu

Hilfe gekommen wären: E. Blumenthal, J. Høyrup, P. Kunitzsch, J. Dauben,

M. Folkerts, E. Knobloch, H. Breger, St. Deschauer, E. Fellmann, G. Howson,

W. Purkert, R. Tobies, W. Morgenroth, R. Siegmund-Schultze, P. Schreiber,

K. H. Schlote, D. Rowe, K. Chemla, I. Grattan Guinness, A. Vogt, H. J. Il-
gauds, E. Klementz und andere.

Ein weiteres Dankeschön gilt einer Gruppe von Ärzten – Dr. Friedrich,

Dr. Kamann, Dr. Bredow, Dr. Kuchta, Dr. Schmidt, Dr. Löbe, Dr. Peschel –
die mir in mancher gesundheitlicher Bedrängnis zu Hilfe gekommen sind und
ohne deren Eingreifen das Manuskript nicht hätte vollendet werden können.

4

Einleitung

Was wäre ein Autor ohne selbstlose Herausgeber? Hier gilt ein großes

Dankeschön für unermüdliche Hilfe bei kritischer Durchsicht, für konstruktive

Vorschläge und bei der Gestaltung des Manuskripts und der Abbildungen den

Herren W. Alten und H. Wesemüller-Kock in Hildesheim.

Die „Erkundungen“ wurden getragen von Primär- und Sekundärquellen
und damit von der Hilfsbereitschaft und Sachkenntnis der Bibliothekarinnen:

I. Letzel, B. Römer, C. Meschtschanowa an der Fakultät für Mathematik
und Informatik an der Universität Leipzig, Frau Geithner am Karl-Sudhoff-

Institut der Universität Leipzig, Frau V. Franke und Frau R. Schmidt am

Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach.

Überhaupt Oberwolfach: Zu wiederholten Malen bot das „Mathematische

Paradies“ unter den Direktoren M. Barner, M. Kreck und G. M. Greuel die-
sem Projekt Heimstatt und ideale Arbeitsmöglichkeiten.

Es wäre für mich eine große Freude, wenn dieses Buch viele Menschen
erreichen und ihnen die Mathematik näher bringen würde. Mögen sie die
vielen Façetten einer Jahrtausende alten und doch ewig jungen Wissenschaft
mit Freude erleben.

Hans Wußing

1 Mathematik am Anfang
und Ethnomathematik

6

1 Mathematik am Anfang und Ethnomathematik

1.1 Zählen, Zahlen, Figuren

1.1.0 Einführung

Heute dürfte Einigkeit darüber bestehen, dass die Wiege der Menschheit in

Zentralafrika gestanden hat.

Als Vorstufe des Zählens, Rechnens und geometrischer Figuren finden sich

Kerben und Ritzungen auf Knochen und Steinen, Ornamente auf Tongefäßen
aus grauer Vorzeit vor 20 000, 30 000 und viel mehr Jahren.

Erst der Übergang zur Sesshaftigkeit führte zum eigentlichen Vorgang
des Zählens und dann auch des Rechnens. Dieser Wandel vom ungebunde-
nen Leben als Jäger und Sammler zum Leben in festen Siedlungen erfolgte
in mehreren Stufen über das Leben als Halbnomaden und in einem längeren

Zeitraum. Er war verbunden mit Ackerbau und Viehzucht und fand zuerst
in den warmen und fruchtbaren Zonen unserer Erde statt, führte zur Bil-
dung früher Kulturen in den Tälern großer Ströme. Er vollzog sich in der

Übergangszeit von der Alt- zur Jungsteinzeit, wird auch als neolithische oder
agrarische Revolution bezeichnet und ins 8. Jahrtausend vor Christus da-
tiert, liegt also – grob gesprochen – 10 000 Jahre zurück. Dieser grundsätz-
liche Wandel gesellschaftlichen Lebens in den so entstandenen Frühkulturen
führte zu Handel und Warenaustausch zwischen Siedlungen und Völkerschaf-
ten und zog die Notwendigkeit des Zählens und der Bildung von Zahlwörtern
nach sich. Deshalb kann dieser Zeitraum im weitesten Sinn als Anfang der

Mathematik angesehen werden.

Die Ursprünge eigentlich mathematischen Denkens – die Bildung abstrak-
ter mathematischer Begriffe und die Herstellung von Beziehungen zwischen
ihnen – reichen jedoch auch bei großzügiger Beurteilung nur ca. 6000 Jahre
zurück. Sie finden sich in den Hochkulturen, die im 4. Jahrtausend v. Chr.

in den Stromtälern des Hoangho, des Indus, des Nils und im Land zwischen

Euphrat und Tigris, also in Mesopotamien, entstanden.

Abb. 1.1.1

Ursprünge der Menschheit (Kenia 1982); Werkzeuge der Steinzeit:

Faustkeil, geschäftete Äxte (Venda 1993)

1.1 Zählen, Zahlen, Figuren

7

1.1.1 Zahlen und Zahlwörter

Zählen können gehört zu den Fähigkeiten, die nur den Menschen eigen sind.

Von Tieren weiß man allerdings aus Beobachtungen, dass einige Tiergattun-
gen – Vögel, einige Säugetiere – kleinere Anzahlen bei Nachkommen oder

Futtermengen unterscheiden können; fehlt ein Jungtier, so tritt bei den El-
tern kurzfristig Unruhe auf.

Es gibt viele ungelöste Fragen zum Problem, wie sich die menschliche Fä-
higkeit zum Zählen herausgebildet hat. Einige Aufschlüsse hat man mittels
archäologischer, anthropologischer, ethnologischer und sprachwissenschaftli-
cher Studien erhalten.

Am Beginn dürfte die Fähigkeit gestanden haben, Anzahlen konkreter Ge-
genstände als gleich oder als unterschiedlich zu erfassen. Kleinkinder im Alter
von 4 Jahren können erkennen, ob zu einer (kleineren) Anzahl gleichartiger

Gegenstände einige Exemplare hinzugekommen oder davon weggenommen
worden sind.

Ethnografen berichteten zu Anfang des 20. Jahrhunderts von Expeditio-
nen zu Völkerstämmen, die sich noch auf der Stufe der Steinzeitkultur be-
fanden, in Zentralafrika, Ozeanien, Zentralamerika. Man zählte dort „eins“,

„zwei“, „einige“ „viel“. Da, wo Zahlworte für größere Anzahlen zur Verfü-
gung standen, gab es Fälle, wo die Zahlworte abhängig waren von der Art
der Gegenstände. So hieß es bei den Ureinwohnern der Fidschi-Inseln „bo-
le“, wenn 10 Boote, und „karo“, wenn 10 Kokosnüsse gezählt wurden. Reste
dieser Bindung der Zahlworte an die Art der gezählten Gegenstände haben
sich auch im deutschsprachigen Raum erhalten: Wir sprechen von Zwillingen,
einem Duett, einem Paar Schuhe; eine (kleine) Mandel enthält 15, ein Schock

60 Eier.

Umgekehrt kann man aus Zahlwörtern für kleinere Anzahlen auf Zusam-
menhänge zwischen Sprachfamilien und damit auf die Frühgeschichte von

Völkern schließen. Beispielsweise hat man innerhalb der indoeuropäischen

Sprachfamilie für deutsch „zwei“, griechisch „ δ ´
υ o“, lateinisch „duo“, sanskrit

„dvi“, ostgotisch „twa“, englisch „two“, dänisch „to“, schwedisch „två“, irisch

„da“, russisch „dva“, keltisch „da“, französisch „deux“, italienisch „due“. Hin-
gegen gehören z. B. finnisch, ungarisch und baskisch nicht zur indoeuropäi-
schen Sprachfamilie, weil in diesen Sprachen für „zwei“ ganz andere Worte
stehen, z. B. kaksi im Finnischen.

Es gibt ausgedehnte, hoch spezialisierte sprachwissenschaftlich-mathema-
tikhistorische Studien über den Aufbau der Zahlenreihe aus elementaren

Zahlwörtern, also über die sog. Reihung der Zahlwörter. So entsteht durch

Reihung das Schema 1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 2 + 2 = 4 mit der Zählschwel-
le 2, die auf eine Paarung als niedrigste Form der Bündelung zurückzufüh-
ren ist und sich sprachlich früher im Dual (neben dem Plural) und zwei als
beugbarem Eigenschaftswort ausgeprägt hat (z. B. „zween Herren“ und „zwo

Mägde“ in alten Bibeltexten, „Der Diener zweier Herren“ in der Komödie von

Goldoni). Das Schema 1, 1 + 1 = 2, 1 + 1 + 1 = 3, 1 + 1 + 1 + 1 = 4, 5 = 4 + 1,

8

1 Mathematik am Anfang und Ethnomathematik
verweist auf die uralte Zählschwelle 4, für die es mehrere Gründe gibt. So
können maximal 4 Objekte ohne zu zählen mit einem Blick erfasst werden,
die „Handbreite“ (über den Knöchel der 4 Finger ohne den Daumen einer

Hand gemessen) ist ein uraltes Maß; im Lateinischen folgt auf bimus (von
bi-himus = zweiwintrig), trimus, quadrimus plötzlich quinquennis (fünfjäh-
rig von quinque anni), auf semel, bis, ter, quater für einmal bis viermal folgt
quinquies, und auf die Eigennamen Martius, Aprilis, Maius und Junius für
die ersten 4 Monate des alten römischen Mondjahres folgten Quintilis (später

Julius zu Ehren Cäsars), Sextilis (später Augustus) bis December!

Beim weiteren Aufbau der Zählreihe werden Bündel aus 5, 10 oder 20

Einheiten (entsprechend den Fingern einer Hand, beider Hände oder aller

Finger und Zehen eines Menschen) gebildet, aber auch solche von 12 (Dut-
zend von frz. douzaine) oder 60 Einheiten (60 Sekunden = 1 Minute). Nach
erneuter Reihung zwischen den Bündeln entstanden dann „Bündel höherer

Ordnung“ (Hunderter, Tausender, . . . , aber auch Gros für 12 ∗ 12 = 144).

Dies hat sich sowohl in der Reihe der Zahlwörter wie auch in der Zahlschrift
ausgeprägt (für weitere Einzelheiten siehe [Menninger 1958], für Zahlschriften
im alten China, Ägypten, Mesopotamien, Griechenland und in der römischen

Zahlschrift vgl. Kap. 2, 3 und 4).

Werfen wir einen Blick auf die Basis der Zahlensysteme: Der höchst „hand-
greifliche“ Ursprung des Zählens wird dort besonders deutlich, wo die Basis 10
verwendet wird. Als Grund dafür nennt Aristoteles (4. Jh. v. Chr.) den Um-
stand, dass alle Menschen 10 Finger haben, die sie zum Zählen benutzen. Die

Thraker allerdings, so Aristoteles, hätten ein schlechtes Gedächtnis, benutz-
ten keine großen Zahlen und zählten nur bis 4 [The History of Mathematics

–A Reader– 1990, S. 1f.].

Relativ häufig trifft man auch auf eine 20er Basis (Finger und Zehen), ge-
legentlich auch auf eine 5er Basis (Finger einer Hand). Selten dagegen ist die

Basis 12 (zweimal 6 Hauptknöchel einer geballten Faust). Neben dem Zahl-
system der Maya und der Azteken war auch das der Kelten vigesimal, d. h.

auf der Basis 20 aufgebaut. Daran erinnert noch ein Relikt im französischen

Zahlsystem. Die Zehner sind zwar dezimal aufgebaut: 30 ist 3 mal 10, 40 ist

4 mal 10, aber 80 ist nicht 8 mal 10, sondern 4 mal 20 (quatre-vingt). Und
ein altes Pariser Pflegehaus für 300 blinde Kriegsveteranen hat den Namen

„Hôpital des Quinze-Vingts“ (Hospital der fünfzehn Zwanziger). Wie wir noch
sehen werden, beruhte das Zahlsystem in Mesopotamien auf der Basis 60.

Erstaunliche Antworten erhält man auf die Frage, wie weit man in frühen

Zeiten hat zählen können. Auch hier liegen ethnografische Beobachtungen
zugrunde. So fand man, dass eine Einzelperson zwar nur bis zehn zählen
konnte, eine Gruppe von drei solchen Menschen aber bis 1000 zählen konnte,
etwa dann, wenn eine Viehherde aus einer Einzäunung heraus getrieben wur-
de: Drei Menschen stehen nebeneinander. Wenn ein Tier passiert, hebt der

Erste einen Finger. Nach 10 Tieren sind beide Hände „voll“; dann hebt der

1.1 Zählen, Zahlen, Figuren

9

Abb. 1.1.2

Zählen einer Viehherde mit den Fingern von drei Helfern: 627 Tiere
haben die Umzäunung passiert; nach [Ifrah 1987, S. 57]

Zweite einen ersten Finger, usw. Wenn dessen beide Hände voll sind, haben

100 Tiere passiert. Dann hebt der Dritte einen Finger, usw., usw.

Als erste schriftliche Zeugnisse des Zählens kann man Einkerbungen auf

Knochen interpretieren, die aus der älteren oder mittleren Steinzeit stam-
men, also 30 000 bis 20 000 Jahre alt sind. Man hat solche „Dokumente“ in
verschiedenen Gegenden der Erde gefunden.

10

1 Mathematik am Anfang und Ethnomathematik

Abb. 1.1.3

Knochen mit Einkerbungen aus dem Spätpaläolithikum: A–D aus
dem Aurignacien, E Wolfsknochen aus dem Magdalénien; nach [Ifrah 1987, S. 111]

Der aus Mähren stammende und 1937 aufgefundene Wolfsknochen (rechts in

Abb. 1.1.3) weist 55 Einkerbungen auf, fünf Gruppen mit je 5 kurzen und
sechs mit je 5 langen Kerben. Die Fünferbündelung ist offensichtlich. Aber
natürlich wissen wir nicht, ob die Einkerbungen aus einem realen Vorgang des

Zählens entstanden sind, und erst recht nicht, welche Gegenstände eventuell
gezählt wurden.

Ganz besondere Aufmerksamkeit erregte der sog. Ishango-Knochen, be-
nannt nach dem Fundort Ishango, einem kleinen Fischerdorf in Zentralafri-
ka (früher Zaire, jetzt Demokratische Republik Kongo, an der Grenze zu

Uganda). Er wurde 1960 bei systematischen Grabungen von dem belgischen

Archäologen Jean de Heinzelin de Braucourt (1920–1998) entdeckt, in einer
durch einen Vulkanausbruch verschütteten Gegend, ähnlich wie in Pompeji

(vgl. [Heinzelin 1962], [Huylebrouck 2006]). Das sehr wertvolle Artefakt wird
jetzt im Königlichen Museum der Naturkunde in Brüssel aufbewahrt.

Der versteinerte Knochen hat mannigfache Studien und Spekulationen
ausgelöst. Er ist knapp 10 Zentimeter lang und an einem Ende mit einem

Quarz verziert. Die Datierung mittels der C 14-Methode wird auf die Zeit
zwischen 20 000 und 25 000 v. Chr. angesetzt; wieder andere Angaben datie-
ren auf 6500 bis 9000. Die Einritzungen sind deutlich in drei Spalten und in

Gruppen angeordnet und besitzen eine mathematische Struktur. Eine innere

1.1 Zählen, Zahlen, Figuren

11

Abb. 1.1.4

Der Knochen von Ishango; Skizze der Einkerbungen auf dem Ishango-

Knochen; nach [Spektrum der Wissenschaft 2/2006, S. 13]

mathematische Logik? Mathematische Spielerei mit „Zahlen“? Astronomie?

Konkretes Zählen? Menstruationskalender? Bis hin zu der Vision, Frauen
seien die ersten Mathematiker gewesen? Auch die Interpretation als Mondka-
lender findet sich, dürfte aber zu weit führen; vgl. dazu [Huylebrouck 2006].

Eine genauere Betrachtung zeigt Folgendes: Die Kerben sind in Spalten
angeordnet. Die linke und die rechte Spalte haben die Summe 60, die mittlere
hat die Summe 48. die linke Spalte enthält die Primzahlen 11, 13, 17, 19. Die
rechte Spalte zählt 10+1, 20+1, 20 − 1, 10 − 1. Kann man daraus verbindliche

Schlüsse ziehen?

Abb. 1.1.5

Internationales Jahr der Mathematik (Belgien 2000)

12

1 Mathematik am Anfang und Ethnomathematik

Abb. 1.1.6

Ritzungen auf einem Elefantenknochen (Landesmuseum für

Vorgeschichte Halle, Sachsen-Anhalt) [Foto Wesemüller-Kock]

Im Jahre 2000 wurde das internationale Jahr der Mathematik begangen.

Die aus diesem Anlass herausgegebene belgische Briefmarke zeigt am unteren

Rande die drei bzw. sechs Kerben aus der mittleren Spalte des Ishango-

Knochens.

Der Knochen aus Mähren ist zwar älter, ist aber nicht so diffizil struktu-
riert und wird daher nicht als von mathematischer Art betrachtet. So kann der

Ishango-Knochen als das bisher älteste bekannte mathematische Dokument
betrachtet werden. Die Diskussion hält an, zumal kürzlich bei Ausgrabungen
in Sachsen-Anhalt Elefantenknochen mit Ritzungen gefunden wurden, die
nach Aussagen von Archäologen vom homo erectus vor ca. 370 000 Jahren
stammen, deren Deutung jedoch noch offen ist.

1.1.2 Anfänge der Geometrie

Die Menschen der Frühzeit kamen mit Problemen in Berührung, die „geo-
metrische“ Grundvorstellungen erforderten. Die bei der Nahrungssuche er-
forderlichen Wanderungen zwangen zur Orientierung in Raum und Zeit. Ke-
ramische Erzeugnisse hängen mit Formgestaltung zusammen, der Bau von

Behausungen, Gräben und Dämmen – ohne dass abstrakte Begriffe nötig
gewesen wären – mit den Vorstellungen von Körpern. Die Beobachtung des

Sternenhimmels schuf irgendeine Form räumlichen Denkens.

Sehr schöne Zeugnisse von der Kenntnis geometrischer Figuren bilden die

Ornamente auf Keramikerzeugnissen: Dreiecke, Parallelogramme, Kreise und
andere Figuren. Die Art der Verzierung gestattet sogar die Unterscheidung
verschiedener Stämme und Kulturen, z. B. die sog. Schnurkeramik und die

Bandkeramik (vgl. dazu auch [Gerdes 2003]).

1.1 Zählen, Zahlen, Figuren

13

Abb. 1.1.7

Tongefäße mit Ornamenten aus Mitteleuropa, ca. 3.500 v. Chr.; Vase
und Lendenschurz mit Ornamenten (DDR 1976, Brasilien 1975 und 1981)

Kreisgrabenanlage von Goseck (Sachsen-Anhalt)

Zu den ersten Zeugnissen astronomischer Beobachtung in Mitteleuropa gehö-
ren Kreisgrabenanlagen aus der Zeit ab etwa 5000 v. Chr. Eine Rekonstrukti-
on der besonders gut erhaltenen Anlage bei Goseck gibt Aufschluss über das

Wissen der ersten Bauernkulturen.

Abb. 1.1.8

Blick in den zweifachen Palisadenring der rekonstruierten

Kreisgrabenanlage von Goseck, Sachsen-Anhalt [Foto Wesemüller-Kock]

14

1 Mathematik am Anfang und Ethnomathematik

Abb. 1.1.9

Kalendersteine bei Erdeven in der Bretagne [Foto Wesemüller-Kock]

Die Kultur der Bandkeramik wird so nach den Funden von Tongefäßen
und Scherben mit entsprechenden Mustern bezeichnet und befand sich auf
den fruchtbaren Lössböden. Die ersten Bauern der Linienbandkeramik siedel-
ten in Mitteleuropa bereits vor 7500 Jahren. Zur Zeit der Stichbandkeramik

(ca. 4800 v. Chr.) wurde die Kreisgrabenanlage von Goseck gebaut.

Diese Kreisgrabenanlage erlaubte den Bauern eine exakte Bestimmung
der Jahreszeiten anhand des Sonnenstandes. Das war wichtig für die Be-
stimmung des Zeitpunktes von Aussaat und Ernte. Drei Tore sind in ei-
nem doppelten Kreis von Palisaden eingelassen. Zwei Tore markieren ex-
akt den Sonnenaufgang und den Sonnenuntergang zur Wintersonnenwende
am 21. Dezember. Ein dritter Ausgang weist nach Norden. Im Bereich des

Sonnenauf- und -untergangs zur Zeit der Sommersonnenwende am 21. Juni
sind die Abstände zwischen den Pfählen größer gesetzt. Das „Observatorium“
diente sicher auch kultischen Zwecken und wurde um 4800 v. Chr. gebaut, also

2000 Jahre früher als Stonehenge.

Großbauten der Steinzeit

Auch die Errichtung der megalithischen Großbauten – in Portugal, auf den

Orkney-Inseln, in Südengland, Nordfrankreich, Irland, Malta und andern-
orts – erforderte neben beachtlichen technologischen Fähigkeiten geometri-
sche und astronomische Kenntnisse (zu Stonehenge vgl. [Scriba/Schreiber,

2. Aufl. 2005, S. 8f.]).

1.1 Zählen, Zahlen, Figuren

15

Abb. 1.1.10

Taulas (Pilzaltäre) aus dem Megalithikum in Hagar Qim auf Malta

[Foto Alten]

Diese Steinsetzungen sind in jüngerer Zeit genauestens analysiert worden

([A. Thom 1967], [A. Thom/A.S. Thom 1978], [A. Seidenberg 1962], [van der

Waerden 1983] und andere). Dabei hat sich die enge Verbindung von astro-
nomischen Kenntnissen mit religiösen Ritualen erwiesen; viele Einzelheiten
sind noch unerforscht, manche Interpretationen umstritten. Einige Autoren
gingen sogar so weit, aus der Vermessung solcher Zeugnisse der Megalithkul-
tur zu schließen, dass weit vor der Entwicklung im klassischen Griechenland
die Erbauer über die Kenntnis von Ellipse und pythagoreischen Tripeln ver-
fügten sowie über ein verbindliches Längenmaß [The History of Mathematics

–A Reader– 1990, S. 8/9]. Diese Interpretationen haben indessen einer inter-
nationalen Diskussion nicht standgehalten [Knorr 1985].

Himmelsscheibe von Nebra

Der Fund der bronzenen Himmelsscheibe von Nebra im Jahr 1999 auf dem

Mittelberg nahe Halle in Sachsen-Anhalt war eine Sensation, weil auf ihr
erstmals der Himmel abgebildet ist, mit Sonne, Mond und den Plejaden, ei-
nem für die Bauern wichtigen Sternbild. Die anderen Sterne ließen sich nicht
zuordnen. Das Material für das Gestirn besteht aus Goldblechauflage. Etwa

1600 bis 1500 v. Chr. wurde die Scheibe mit Beigaben in den Boden gelegt.

Die Differenz des Sonnenauf- und -untergangs zur Zeit der Wintersonnenwen-
de bis zur Zeit der Sommersonnenwende beträgt an diesem geographischen

16

1 Mathematik am Anfang und Ethnomathematik

Abb. 1.1.11

Himmelsscheibe von Nebra, die Beschädigungen an der Scheibe
wurden durch Raubgräber verursacht (Landesmuseum für Vorgeschichte, Halle,

Sachsen-Anhalt)[Foto Wesemüller-Kock]

Ort 82 Grad in der Realität wie auch auf der Scheibe. Dadurch war sie als

Kalendarium einsetzbar.

Die Barke unten auf der Scheibe kann die zur Bronzezeit angenomme-
ne Vorstellung über die Rückführung der Sonnenscheibe nachts durch die

Unterwelt in die Ausgangsposition für den nächsten Tag darstellen, eine Ver-
mutung, die auch mit dem aus derselben Zeit stammenden, in Dänemark ge-
fundenen Sonnenwagen von Trundholm in Verbindung gebracht wird [Resch

2006, S. 13]. Die Auswertung der Himmelsscheibe ist noch nicht abgeschlos-
sen.

1.2 Ethnomathematik

Ethnomathematik ist eine noch junge, jedoch in rascher Entwicklung befindli-
che wissenschaftliche Disziplin. Das Spektrum der Wissenschaft hat dem The-
ma „Ethnomathematik“ ein ganzes Heft gewidmet [Ethnomathematik 2006].

Die Beiträge beziehen sich auf allgemeine Aspekte der Ethnomathematik, be-
handeln aber auch einige spezielle Aspekte wie die Funde und Entwicklungen
in Afrika, China und Indien, bei den Eskimos und den Indianern Nordame-
rikas, in den Kulturen der Maya, Azteken und Inka, aber auch Gedichte der

Araber und magische Quadrate in der Welt des Islam.

1.2 Ethnomathematik

17

Gegenwärtig ist es noch schwer, eine endgültige Definition der Ethnoma-
thematik, ihrer Ziele und Methoden zu geben, zumal sie in enger Beziehung
zu Archäologie, Anthropologie und – worauf es hier ankommt – zur Histo-
riographie der Mathematik steht. Darum kann und darf die moderne Histo-
riographie der Mathematik nicht an der Ethnomathematik vorbeigehen (ei-
ne ausführliche Darstellung der Entstehungsgeschichte der Ethnomathematik
findet man bei [Gerdes 1997]).

Statt einer Definition wird eine Schilderung einiger ihrer Aspekte weiter-
helfen, ihr Anliegen richtig einzuordnen.

1.2.1 Aspekte der Ethnomathematik

Man kann drei Aspekte der Ethnomathematik auseinanderhalten, wiewohl
sie miteinander in Wechselwirkung stehen.

Der mathematikhistorische Aspekt

Die heutige, die moderne globale Mathematik ist verhältnismäßig jungen Da-
tums im Vergleich zu den vielen Tausenden von Jahren, in denen Menschen
sich der Mathematik bedienten. Die moderne Mathematik im europäischen
und nordamerikanischen Raum bildete sich im Zeitraum von der Renaissance
bis etwa 1900 heraus und assimilierte dabei mathematisches Wissen aus vielen

Kulturen Asiens, Afrikas und Europas: Reiche Schätze an Begriffen, Metho-
den und Zielen wurden in die mathematische Kultur Europas „eingeschmol-
zen“. Die Rückbesinnung auf die nichteuropäischen Quellen ist interessant
und eine bedeutende Arbeitsrichtung der Historiographie der Mathematik,
die, zwar schon seit dem 19. Jahrhundert gepflegt, heute auch als eine Frage
historischer Gerechtigkeit betrachtet wird. Dazu gehört die Entwicklung der

Mathematik in Ägypten, Mesopotamien, China samt Japan, Indien und in
der islamischen Welt (verwiesen sei etwa auf [Joseph 1991], [Selin 2000]).

In der vorliegenden Darstellung werden jenen Entwicklungen eigenstän-
dige Abschnitte gewidmet. Allerdings kann – schon aus Platzgründen – ein
nur winziger Ausschnitt aus den internationalen Forschungsarbeiten geboten
werden, die zu beeindruckenden Ergebnissen gelangt sind.

Die Aufgabe der Historiographie der Mathematik erstreckt sich auch auf
jene mathematischen Kulturen, die entweder untergegangen sind – z. B. Ma-
ya, Inka, Azteken – oder auf mathematisches Denken von Völkern, Stämmen,
das (noch) in Gebrauch ist. Dies wirkt auf uns oft fremdartig, stammt häufig
von anderen Strukturen mathematischen Denkens. Es ist keineswegs primi-
tiv, sondern beruht teilweise auf komplizierten mathematischen Denkformen,
die erst mühsam entschlüsselt werden müssen. Der Erforschung jener von

Völkern, Volksgruppen oder ethnisch bestimmten Gruppen getragenen Ma-
thematiken wendet sich die Ethnomathematik zu, beispielsweise derjenigen
der Kelten, von afrikanischen Völkern, von nord- und südamerikanischen In-
dianern und von anderen.

18

1 Mathematik am Anfang und Ethnomathematik

Als ein Standardwerk der Ethnomathematik für den amerikanischen Be-
reich gilt [Cross 1997]. Beispielsweise wird berichtet über die Namensgebung
für Zahlen bei den Indianern des Amazonasgebietes, bei den Inuit-Jägern

(Eskimos) im hohen nördlichen Amerika, von der Suche nach mittelameri-
kanischer Geometrie, vom Kalender- und Zahlensystem der Nootka (British

Columbia) und von vielem anderen. Auch finden sich viele Details über die

Mathematik bei den Azteken, Maya, Inka, über die hier in eigenen Abschnit-
ten berichtet wird.

Diese Studien von einem runden Dutzend Autoren vermitteln auch Ein-
sichten in die Lebensformen, aus denen die überlebensnotwendigen spezifi-
schen Formen der Mathematik entsprungen sind, und über die teilweise ka-
tastrophalen Folgen der Eroberung jener Wohngebiete durch die Europäer.

Beigegebene Literaturangaben verdeutlichen auch, dass diese Auffassungen
und Zielstellungen von einer beachtlichen Anzahl engagierter Forscher ver-
treten werden. Es erübrigt sich fast zu betonen, dass die anfängliche Außen-
seiterstellung der Ethnomathematik überwunden ist.

Der pädagogische Aspekt

Der Unterricht in Mathematik nach europäischen, global verbreiteten Mus-
tern und Vorgaben stieß und stößt bei Schülern in den Ländern der sog.

Dritten Welt bei allem guten Willen und guter Absicht auf grundsätzliche

Schwierigkeiten. Sie beruhen auf dem Unterschied zwischen mathematischem

Denken und mathematischem Lernen.

Die Kinder aus den Entwicklungsländern sind vielfach in einer kulturellen

Umgebung aufgewachsen, die sich von der „verbindlich“ gewordenen, aufge-
prägten globalen Welt unterscheidet. Daher sieht sich der Unterricht von

Mathematik in der verbindlich gewordenen internationalen Form (noch da-
zu in einer Fremdsprache) mit Schwierigkeiten konfrontiert, weil deren Be-
griffe und Rechenmethoden nicht im Erfahrungsschatz der Kinder liegen: Bil-
dung großer Zahlen, Begriffe für Flächen und Körper, schriftliches Rechnen
usw. (vgl. dazu ausführlich etwa [Philp 1973], [Development of Mathematical

Education 1973], [Perspectives on Mathematics Education 1986]), [Ferreira

2004]).

Einen Ausweg, mindestens im Übergang zur internationalen Mathematik
und damit zum Anschluss an die internationale Wissenschaft, bietet die Eth-
nomathematik, d. h. der Rückgriff auf die in den verschiedenen ethnischen

Gruppen wurzelnden Gewohnheiten. Diese Einsicht wurde in den 60er und

70er Jahren deutlich herausgearbeitet, programmatisch formuliert und expe-
rimentell mit Erfolg umgesetzt.

Einer der aktivsten Vertreter der Ethnomathematik, der Brasilianer Ubi-
ratan D’Ambrosio (geb. 1932), der mit dem nur selten vergebenen Kenneth

O. May Prize für seine Verdienste um die Historiographie der Mathematik
ausgezeichnet wurde, hat die Forderung nach Berücksichtigung der Ethnoma-
thematik im Unterricht des öfteren deutlich formuliert, 2006 mit den Worten:

1.2 Ethnomathematik

19

„Die unbestreitbare kulturelle Dominanz des Westens wird durch die

Geschichte belegt, besonders durch diejenige der Wissenschaften und
der Technik. (. . . )

Die traditionelle Mathematikgeschichtsschreibung weigert sich anzu-
erkennen, dass eine neue Ethnomathematik das Frühstadium ist, das
neue Theorien und Praktiken durchlaufen, bevor sie in die Instituti-
on Wissenschaft Eingang finden. Deshalb beziehen die Ethnomathe-
matiken die Anthropologie und die mündlich überlieferte Geschichte
mit ein. Auf diesem Niveau müssen sie sich auch in die Lehrpläne
einbringen. Die Studenten sollen sich mit den Ethnomathematiken
auseinandersetzen, um ihre Fähigkeiten zur Kommunikation und zur

Analyse zu bereichern, die sie später im Berufsleben brauchen. Ähn-
liches gilt für die Ausbildungsprogramme für zukünftige Lehrer.

Die Kinder kommen mit ihrer eigenen Geschichte in die Schule. In
ihrer eigenen Erfahrung haben sie Mittel der Kommunikation und der

Analyse angewandt, die sie sich selbst zugelegt oder aus ihrer kulturel-
len Umgebung übernommen haben. Anders gesagt, die Kinder bringen
in die Schule ihre eigene Ethnomathematik mit.

Unterrichten wir die Mathematiken anderer Kulturen, etwa die der

Chinesen (. . . ), so verfolgen wir damit zwei Ziele: Zum einen geht es
darum, eine Form des Wissens – die Mathematik – zu entmystifizie-
ren, indem ihr die Aura des ewigen und absoluten Wissens genommen
wird; zum anderen darum, die intellektuellen Erfolge fremder Zivili-
sationen, Kulturen, Völker, Berufe und Geschlechter anzuerkennen.“

[D’Ambrosio 2006, S. 8f.]

Der politische Aspekt

Ersichtlich hängen die beiden genannten Aspekte auch mit politischen In-
tentionen der Ethnomathematik zusammen, insbesondere mit der „neuen

Ethnomathematik“ nach dem Zweiten Weltkrieg. Der Zusammenbruch des

Kolonialsystems ermöglichte und förderte die Bestimmung des kulturellen

Standortes und der frühen Geschichte der ehemals kolonialen Gebiete. Die

Ethnomathematik hilft auch, die historischen Wurzeln ehemals unterdrück-
ter Völker wieder zu entdecken. Hier liegen wohl – sofern Überspitzungen
vermieden werden können – Aufgaben der Zukunft wie sie z. B. vom National-
museum in Mexico-City erfüllt werden: Dort werden die präkolumbianischen

Wurzeln des mexikanischen Volkes in überzeugender Weise demonstriert.

Kritisch bezüglich der Historiographie bemerkt daher D’Ambrosio:

„Nach traditioneller europäischer Auffassung ist die Geschichte der

Mathematik eine geradlinige Entwicklung von einem primitiven Urzu-
stand bis zur gegenwärtigen Hochblüte. Demnach wäre alles, was sich
fern von diesem Hauptstrom abgespielt hat, eine verfehlte Bemühung,

20

1 Mathematik am Anfang und Ethnomathematik
ein nettes Kuriosum oder bestenfalls „richtige“ Mathematik in exoti-
schem Gewand. Es ist an der Zeit, diese einseitige kolonialistische

Sicht abzulegen.“ [D’Ambrosio, S. 8]

1.2.2 Beispiel aus Afrika: Sona Geometrie

Im Jahre 1997 brachte Paulus Gerdes ein Buch zur Ethnomathematik her-
aus, in dem u. a. am Beispiel der Sona-Geometrie komplizierte geometrische

Muster, die Sona, analysiert werden.

Die Sona sind Sandzeichnungen einer bisher weitgehend unbekannt ge-
bliebenen Geometrie der Bantu-Völker aus dem Süden Zentralafrikas (heute:

Teile von Angola, Sambia, Kongo) [Gerdes 1997].

Paulus Gerdes (geb. 1952) stammt aus den Niederlanden und erreichte im
südafrikanischen Mosambik einflussreiche Stellungen im dortigen Bildungs-
wesen, u. a. an der Pädagogischen Universität Maputo. Er gilt als einer der
führenden Vertreter der Ethnomathematik, insbesondere in pädagogischer

Absicht:

Abb. 1.2.1

Siedlungsgebiete der Bantu-Völker

1.2 Ethnomathematik

21

„Eine der Zielstellungen der ethnomathematischen Forschung liegt in
der Suche nach Möglichkeiten, den Mathematikunterricht besser in
den kulturellen Kontext der Studenten und Lehrkräfte einzubetten. Es
wird eine Mathematikausbildung angestrebt, die eine Wertschätzung
der den afrikanischen Kulturen inhärenten wissenschaftlichen Wur-
zeln ermöglicht und dies als Grundlage nutzt, besser und schneller
das wissenschaftliche Erbe der gesamten Menschheit zu erreichen.“

[Gerdes 1997, S. 21]

Der zweite Teil des Werkes von Gerdes ist konkreten Beispielen der Umset-
zung dieser didaktischen Aufgaben gewidmet.

Wie der Autor berichtet, stieß er 1986 in der Bibliothek der Eduardo Mond-
lane Universität in Maputo auf eine anthropologische Studie [Fontinha 1983],
die sich mit Sandzeichnungen (Sprechweise: lusona im Singular, sona im Plu-
ral) der Tschokwe (eines Volksstammes hauptsächlich in Angola) beschäftigte.

Dies löste die Arbeit von Gerdes aus.

„Die meisten dieser Zeichnungen gehören einer alten Tradition an.

Sie beziehen sich auf Sprichwörter, Fabeln, Spiele, Rätsel, Tiere usw.

und sind wichtig bei der Übertragung von Kenntnissen und Weisheiten
der einen Generation auf die nächste.“

[Fontinha 1983, S. 37], [Gerdes 1997, S. 32]

Eine erste Angabe: Sona sind Muster aus Linien, die geometrischen Algorith-
men folgen und die Punkte eines Bezugsgitters umfassen. Bevorzugt werden

Symmetrien und Monolinearität, d. h. die Linien entstehen aus einer einzigen,
zusammenhängenden Linie.

Das Prinzip: Ein Sandboden wird mit einer Hand geglättet. Die Finger-
spitzen des Zeige- und Mittelfingers der rechten Hand markieren im festen

Abstand in senkrechten und waagerechten Linien Punkte (Vertiefungen) im

Abb. 1.2.2
a) Entstehung einer Lusona; b) Lusona „Rat der Tänzer“

[Gerdes 1997, S. 33]

22

1 Mathematik am Anfang und Ethnomathematik

Abb. 1.2.3

„Zehn Vögel“ [Gerdes 1997, S. 235]

Sand. Die Spitze des rechten Zeigefingers zeichnet dann die Linie. Der Zeich-
ner (bzw. der Schreiber) hat für die geplante Linie das Punkteschema (eine

Art Koordinatensystem) entworfen, verfolgt also eine Absicht. Dahinter ste-
hen Flechtmuster, geometrische „Algorithmen“, Denkspiele nach Art „Finde
das fehlende Muster“, Mitteilungen an andere Menschen, Warnungen, Suche
nach Symmetrieachsen und vieles andere mehr (vgl. dazu ausführlich [Gerdes

1997]).

Zu dem hinter der Zeichnung liegenden geometrischen Algorithmus sei
auf das Werk von Gerdes und die dort aufgeführte, reichhaltige Literatur
verwiesen.

Bei den Linien gibt es Übereinstimmungen mit Funden aus Mesopotamien
und Ägypten (z. B. mit Mustern auf Skarabäen, ca. 1500 v. Chr.), aber auch
direkte Beziehungen zu Indien und den Tamilen in Südindien, wo eine ähnli-
che Fülle von Linien, dort kolam genannt, existiert. Die weiblichen Bewohner
der Häuser malen, manchmal in farbig wunderbarer Schönheit, komplizierte

Muster vor der Haustür (vgl. ausführlich [Hoeppe 2006]).

1.3 Kenntnisse und Leistungen der Azteken, Maya und Inka

23

1.3 Kenntnisse und Leistungen der Azteken,

Maya und Inka

Einige Autoren rechnen die Mathematik im präkolumbianischen Amerika zur

Ethnomathematik. Deshalb werden die in den Indiokulturen Mittel- und Süd-
amerikas entwickelten mathematischen Fähigkeiten auch an dieser Stelle be-
handelt. Zu den Konzepten und Darstellungen geometrischer Objekte bei den

Inuit und den Indianern Nordamerikas sei verwiesen auf [Scriba/Schreiber,

2. Aufl. 2005]. Über die mathematischen Denk- und Zählweisen sowie über
geometrische Muster bei Stickereien unterrichten u. a. [Barta/Shockey 2006],

[Barkley 2006]. Über die Zählfertigkeit der Indianer im Amazonas Gebiet
berichtet [Harris 2006].

Diese Ergebnisse sind relativ neuen Datums, während Architektur, Kultur
und auch die Mathematik der Azteken, der Maya und der Inka schon im

19. Jahrhundert wissenschaftliches Interesse erweckt haben.

1.3.0 Zur Geschichte

Es ist eine gedankenlose Sprechweise, im Jahre 1492 sei Amerika durch Ko-
lumbus entdeckt worden – allenfalls wäre zu sagen, durch Europäer entdeckt

(dies berücksichtigt noch nicht einmal die – wenn auch vorübergehende – An-
siedlung der Wikinger unter Leif Ericson um 1001 in Nordamerika).

Abb. 1.3.1

Kulturen der Indios in Mittelamerika

24

1 Mathematik am Anfang und Ethnomathematik

Jedenfalls ist der amerikanische Kontinent zwischen 18 000 und 13 000 vor
unserer Zeit von Ostasien her besiedelt worden, und zwar über die damals
noch vorhandene Landverbindung zwischen Nordostasien und Nordwestame-
rika. Heute trennt dort die Beringstraße beide Kontinente. Sesshaft geworde-
ne Stämme bzw. Völker schufen bedeutende Hochkulturen; am bekanntesten
sind die der Azteken und Maya in Mittelamerika und der Inka in Südamerika.

Vor etwa 7000 Jahren gelang die Züchtung von Nutzpflanzen (Bohne) und
vor allem des Maises, viel später der Kartoffel. Im jetzigen Peru entstanden
schon um 1800 v. Chr. lokal begrenzte Kulturen mit Kunstbauten (Dämme,

Terrassen, Rückhaltebecken) zur Nutzung der spärlichen Niederschläge, die
nur mit „Ingenieurwissen“ haben vollbracht werden können. An der Westseite
der Anden bildete sich ca. 1400 v. Chr. die Chavinkultur. Um 1200 v. Chr.

errangen die Olmeken an der südmexikanischen Golfküste die Vorherrschaft.

Bei raschem Anstieg der landwirtschaftlichen Produktion (in Südamerika Ma-
niok, Süßkartoffel, Erdnuss) und gestützt auf einen ausgedehnten Fernhandel
entstanden die hochorganisierten Staatsgebilde der Maya und der Azteken
und anderer Stämme in Mittelamerika. Das Reich der Inka erstreckte sich im
westlichen Südamerika und besaß eine beträchtliche Ausdehnung, von Ecua-
dor bis Chile.

Abb. 1.3.2

Tempelbezirk in Teotihuacán ( Ort der Götter ): Blick von der

Mondpyramide über die Prozessionsstraße zur Sonnenpyramide

[Foto Jackhynes/Wikimedia Commons]

1.3 Kenntnisse und Leistungen der Azteken, Maya und Inka

25

Abb. 1.3.3

Stadtplan von Tenochtitlán, nach einem 1576 entstandenen
europäischen Druck [ÖNB Bildarchiv, Wien: E12.422-C/D]

Relikte von Gebrauchsgegenständen aus der Frühzeit besitzen wunder-
schöne geometrische Muster und Figuren einer bemerkenswerten künstleri-
schen Gestaltungskraft.

Die Großbauten der mittelamerikanischen Völker haben zu Recht unsere

Bewunderung, vor allem, wenn man bedenkt, dass das Rad nicht in Gebrauch
war und keine Zugtiere zur Verfügung standen. Alles musste mit menschli-
cher Körperkraft geleistet werden (vgl. ausführlich [Scriba/Schreiber, 2. Aufl.

2005, S. 182–239], [Welt- und Kulturgeschichte. Bd. 8, 2006, S. 415–512],

[Große Zivilisationen von den Anfängen bis zur Gegenwart 2004]).

Protoklassik

Die Archäologen unterscheiden bei der Entstehung der Hochkulturen auf
amerikanischem Boden – nach einer formativen Entwicklung – zwei Peri-
oden: die Protoklassik (ca. 500 v. Chr. bis 200 n. Chr.) und die klassische

Periode (ca. 200 bis 900 n. Chr.); hier erfolgte der Ausbau gesellschaftlicher

Strukturen mit hoher Kunstentfaltung. In Mittelamerika fällt in die Periode
der Klassik u. a. die Machtentfaltung Teotihuacáns, einer Stadt, die um 450
n. Chr. ca. 120 000 Einwohner besaß und ca. 25 Quadratkilometer bedeckte.

In der Zeit der Teotihuacán-Kultur entstanden die großartigen Sonnen- und

Mondpyramiden (Höhen 63 bzw. 42 m).

Die Bauten wurden unter Verwendung einfacher Hilfsmittel errichtet:

Senkblei, Richtscheit, Keil, Maurerkelle, wohl auch Zirkel. Merkwürdigerweise
scheint keine ausgebildete Schrift existiert zu haben.

26

1 Mathematik am Anfang und Ethnomathematik

Nach 550 trat eine Periode des Verfalls ein; eine Brandkatastrophe um

650 leitete den Untergang ein.

Die Teotihuacán-Periode hat mit ihren Errungenschaften als Leitkultur
für spätere Herrschaftssysteme anderer Stämme und Völker (z. B. Zapoteken,

Tolteken, Totonaken, Olmeken) gedient.

1.3.1 Die Azteken: Kalenderrechnung und ummantelte Pyramiden

In der klassischen Periode gründeten die Azteken nach langen Wanderungen

1325 ihre Hauptstadt Tenochtitlán auf einigen Inseln in einem Seengebiet,
im Gebiet der heutigen Ciudad de México. Von dort aus unterwarfen die

Azteken ihre Umgebung; von ihren Vorgängern wurden Pyramidenbau, Stein-
und Metallbearbeitung und anderes mehr übernommen. Zusammen mit ihren

Verbündeten schufen die Azteken ein ausgedehntes Reich mit etwa 6 Millionen

Einwohnern. Tenochtitlán, von Wasserwegen durchzogen und durch Dämme
mit dem Festland verbunden, dürfte 250 000 Einwohner besessen haben. Der

Staat war straff organisiert: König, Priester, Adlige, Soldaten, Sklaven. Es
gab Menschenopfer, begründet und motiviert mit religiösen Kulten.

Während eine strenge Auswahl aus niederen Schichten eine militärische

Ausbildung erfuhr, erhielten die Söhne der Adligen in wohlorganisierten höhe-
ren Schulen eine Ausbildung in Militärstrategie, Naturwissenschaften, Kalen-
derrechnung, Rhetorik und Dichtkunst, um sie für eine Laufbahn als Offizier,

Priester oder höherer Beamter vorzubereiten.

Die Azteken rechneten (wie die Maya) mit einem Positionssystem zur Ba-
sis 20. Nach ihrer Kalenderrechnung – wichtig für die Landwirtschaft – wurde
das Sonnenjahr in 18 Monate zu je 20 Tagen eingeteilt; dazu gab es 5 „leere

Tage“. Die Tage eines Monats erhielten Namen. Deren Bezeichnungen befin-

Abb. 1.3.4

Ausbildung in Astronomie/Astrologie zu Schulbeginn (nach
altmexikanischem Kodex in Florenz) (Mexiko 1982)

1.3 Kenntnisse und Leistungen der Azteken, Maya und Inka

27

Abb. 1.3.5

Aztekischer Kalenderstein (im Museo Nacional de Antropología,

Mexico-City) [Foto Alten]

den sich als Glyphen auf einem Kreisband des berühmten Kalendersteines in

Mexico-City. Im Zentrum dieses Steines steht die Sonne, umrahmt von den
vier vorher abgelaufenen Weltzeitaltern.

Namen der Monate:

Namen der Tage:

1 Wasserbedarf

1 Alligator

2 Menschenhäutung

2 Wind

3 Kurzes Fasten

3 Wohnung

4 Langes Fasten

4 Leguan

5 Trockenheit

5 Schlange

6 Bohnenbrei

6 Menschenschädel

7 Kurzes Fasten der Herrscher

7 Hirsch

8 Großes Fasten der Herrscher

8 Kaninchen

9 Geburt der Blüten

9 Wasser

10 Obstfall

10 Hund

11 Monat der Besen

11 Affe

12 Rückkehr der Götter

12 Gras

13 Bergfest

13 Schilf

14 Vogel

14 Jaguar

15 Bannerfest

15 Adler

16 Regen

16 Geier

17 Schlechtes Wetter

17 Bewegung

18 Wiedergeburt

18 Messer

(es existieren abweichende

19 Regen

Übersetzungen)

20 Blüte

28

1 Mathematik am Anfang und Ethnomathematik

Zur Bezeichnung der Tage eines Sonnenjahres wurde die Nummer des Mo-
nats mit dem Namen kombiniert. Außerdem rechneten die Azteken wie zuvor
schon die Maya nach einem „rituellen“ Kalender mit 13 Perioden zu je 20 Ta-
gen, d. h. das Jahr zu 260 Tagen. Da das kleinste gemeinsame Vielfache von

365 und 260 die Zahl 18 980 ergibt, wiederholt sich die gleiche Konstellati-
on beider Kennzeichnungen eines Tages jeweils nach 52 Sonnenjahren – ein

Zeitraum, nach dem jedes Mal die Pyramiden einen neuen Mantel erhielten

[Scriba/Schreiber, 2. Aufl. 2005, S. 192f.].

Mit Feuerwaffen und viel Glück eroberten die Spanier unter dem Konquis-
tador Hernán Cortés (1485–1547) von 1519 bis 1521 die aztekische Haupt-
stadt Tenochtitlán und zerstörten sie vollständig. Aus den Steinen der az-
tekischen Bauten errichtete man christliche Kirchen und Verwaltungsgebäu-
de. Man ging barbarisch gegen die Indianer vor; der letzte aztekische König
wurde 1525 hingerichtet. Als Vorwand der Unterdrückung dienten die azteki-
schen Menschenopfer, zur gleichen Zeit, als gerade in Spanien die Inquisition
wütete.

1.3.2 Die Maya: Tempel, Pyramiden und geheimnisvolle Glyphen

Die Gruppe der indianischen Völker mit der Maya-Sprache (ungefähr 2 Millio-
nen Menschen) hat in präkolumbianischer Zeit die höchste Stufe ihrer Kultur
erreicht. Sie entwickelte sich seit etwa 2000 v. Chr. im Süden Mexikos (Halb-
insel Yucatán, Chiapas, Honduras, Guatemala). Die höchste Entfaltung wird
auf etwa 500 n. Chr. datiert. Als die Spanier eintrafen, war der Höhepunkt
bereits überschritten. Es gab zahlreiche Städte, Tempelanlagen und Pyra-
miden mit hervorragenden bildlichen Darstellungen. Viel davon musste aus
dem wuchernden Urwald befreit werden. Manche der grandiosen Bauwerke
wurden erst im 19. Jahrhundert überhaupt entdeckt, einige sogar erst im

20. Jahrhundert. Anders als im zentralisierten Staat der Azteken war das

Reich der Maya eher ein Konglomerat von ungefähr 150 Stadtstaaten, mehr
oder weniger groß, rings umgeben von ländlicher Bevölkerung. Der Verbund
der Stadtstaaten war allerdings brüchig, es gab Auseinandersetzungen, auch
militärischer Art.

Viele der Städte erweisen sich als planmäßig angelegt, Paläste, Pyramiden,
öffentliche Plätze, unter Verwendung geometrischer Grundkenntnisse (aus-
führlich in [Scriba/Schreiber, 2. Aufl. 2005, S. 193–200]).

Der Name des Häuptlings (des Herrschers) „Kukulcan“ ist die Überset-
zung seines Namens „Quetzalcoatl“ in seiner Stammessprache in die Maya-

Sprache und bedeutet soviel wie „Gefiederte Schlange“. Vieles aus der Ge-
schichte der Maya-Völker ist noch ungeklärt oder unter den Archäologen
umstritten.

Die Hierarchie der zahlreichen Götter ist (noch) nicht aufgeklärt; mehr
als zweihundert wurden verehrt. Menschenopfer waren üblich. Als oberster
der Götter galt wohl Hunab Ku (Weltschöpfer). Sein Sohn Itzauná (Herr des

Firmaments) war Schutzgott für Tag und Nacht; er galt auch als Schutzherr

1.3 Kenntnisse und Leistungen der Azteken, Maya und Inka

29

Abb. 1.3.6

Pyramide des Kukulcan, genannt El Castillo, in Chichén Itzá (Yu-
catán, Mexiko), 10. Jahrhundert [Foto Alten]

der Wissenschaften und der Maya-Schrift. Daneben gab es einen Regengott,
einen Maisgott; Mais war neben Bohnen und Jagdwild das Hauptnahrungs-
mittel.

Besonders große Rätsel gibt uns die Tatsache auf, dass die Maya aus dem
bergigen Guatemala und Honduras nach Yucatán auswanderten. Als Grund
dafür kommen die Beschädigung fruchtbaren Bodens durch Vulkanausbrüche
und Erdbeben, vielleicht auch kriegerische Verwicklungen in Betracht. Im

Gebiet der in den Bergen wohnenden Maya gab es 250 n. Chr. eine gewaltige

Naturkatastrophe. Der Vulkan Ilopango brach aus und bedeckte im Umkreis
von 75 Kilometern das Land mit Asche und Bimsstein. Jedenfalls entstand
seit der Mitte des ersten Jahrtausends im Flachland von Nord-Yucatán eine
große Anzahl von Maya-Städten; unter ihnen die schon 495 gegründete Stadt

Chichén Itzá (soviel wie „Am Brunnen des Itzá-Stammes“).

Gegen Ende des 10. Jahrhunderts wanderten Teile der aus ihren ursprüng-
lichen Wohnsitzen vertriebenen Tolteken in die Maya-Gebiete ein. Die Kunst
der Ausgestaltung der Gebäude wurde reichhaltiger, aber die Religionszere-
monien wurden grausamer. Ein immerhin 200 Jahre anhaltender Friede ließ

Kunst und Kultur zu neuen Höhepunkten gelangen; Historiker sprechen di-
rekt von einer „Renaissance“ oder „Zeit der Maya-Tolteken-Kultur“.

Die Maya-Tolteken-Kultur besaß eine ausgereifte, wenn auch komplizierte

Schrift, die bis heute trotz des Einsatzes von Computern noch nicht endgül-
tig entschlüsselt werden konnte. Bezüglich Astronomie und Kalenderrechnung

30

1 Mathematik am Anfang und Ethnomathematik

Abb. 1.3.7

Tempel der 1000 Säulen mit dem Götterboten Chac-Mool im

Weltkulturerbe Chichén Itzá (Yucatán, Mexiko) [Foto Alten]

waren die Maya von einer Art Leidenschaft und geradezu Besessenheit (aus-
führlich bei [Lounsbury 1978]). Allerdings muss man bedauernd feststellen,
dass der allergrößte Teil der schriftlichen Zeugnisse durch den fanatischen

Bekehrungseifer der Spanier vernichtet worden ist; nur drei, allerhöchstens
vier Maya-Handschriften sind erhalten geblieben.

Das Zahlensystem war ein (unreines) Positionssystem zur Basis 20 mit
einer „Null“ (wie bei den Azteken und in Europa bei den Kelten). Etwas
stilisiert wurden die Zahlen 1 bis 19 durch eine Kombination von Punkten
und waagerechten Strichen mit einem Punkt für eine Einheit und einem Strich
für fünf Einheiten bezeichnet, also z. B.

Die Zeichen können auch senkrecht stehen, mit den Punkten auf der lin-
ken Seite. Die Interpretation des Null-Symbols ist unterschiedlich. Neben der

Muschel traten weitere Glyphen als Symbol für die Null auf.

Daneben waren – insbesondere auf Keramiken und Skulpturen – die Zif-
fern in Form von Götterköpfen in Gebrauch. Die Ziffer 5 z. B. wurde durch
den Kopf des Maisgottes, die 10 durch den Kopf des Totengottes dargestellt.

Die „höheren“ Zahlen, die eigene Namen besaßen, wurden in „unrei-
nen“ zwanziger Schritten gebildet: So bedeutet „zehn-neun nach zwanzig“
die Zahl 39. Das Positionssystem ist jedoch nicht streng vigesimal, denn die

1.3 Kenntnisse und Leistungen der Azteken, Maya und Inka

31

Abb. 1.3.8

Die kegelförmige „Pyramide des Zauberers“ in Uxmal (Yucatán)

[Foto Alten]

weiteren Stellen entsprechen nicht den Potenzen von 20, sondern – vermutlich
in Anlehnung an das Sonnenjahr mit 18 Monaten à 20 Tagen – den mit 18
multiplizierten Potenzen 18 ∗ 20, 18 ∗ 202, . . .

Zahlen über 20 wurden in diesem System in senkrechten Spalten mit so
vielen Zeilen aufgeführt, wie es Ordnungen gab, beginnend mit den Einheiten
erster Ordnung in der untersten Zeile, z. B.

Der Dresdener Kodex einer Maya-Handschrift (in der Sächsischen Landes-
und Staatsbibliothek Dresden) ist die vielleicht schönste der erhaltenen Hand-
schriften. Ebenso kostbar sind der Madrider Kodex und der Pariser Kodex.

Der Sachverhalt mit der Null ist komplizierter als man denken sollte (vgl.

dazu [Cauty/Hoppan 2006]). Man unterscheidet zwischen „kardinaler“ Null,

32

1 Mathematik am Anfang und Ethnomathematik

Abb. 1.3.9

Ornamente am sog. Haus der Nonnen in Uxmal [Foto Alten]

z. B. zwanzig Tage und „ordinaler“ Null, z. B. am zwanzigsten Tag. Dies ist un-
sere Sprechweise, gemeint ist der Unterschied zwischen einer Zeitspanne und
einem fixen Datum. Um die Kompliziertheit noch zu steigern: Die Glyphen

(gr. Vertiefungen; hier in der Bedeutung Bildzeichen) wechselten während des

Ablaufs der Geschichte der Maya; die ordinale Null ist älter. Auch wurden in

Schriftstücken und auf Bauwerken verschiedene Glyphen verwendet. Zudem
unterschieden die Maya – wie später die Azteken – zwischen einem 260 Tage
langen, religiös bestimmten Jahr und einem Sonnenjahr von 365 Tagen. Die-
se Verwicklungen wurden erst zu Beginn des 20ten Jahrhunderts durch den
nordamerikanischen Archäologen Sylvanus Morley ergründet.

Das Zahlensystem der Maya stand im engsten Zusammenhang mit dem

Kalender; die Himmelsbeobachtungen erfolgten mit verblüffender Präzision
und waren weitaus genauer als etwa die im Europa der Renaissance, und das,
obwohl die Maya nicht über Glas und damit über keine optischen Instrumente
und auch nicht über Sand- oder Wasseruhren verfügten, geschweige denn über
mechanische Uhren. Die Darlegung der komplizierten Einzelheiten würde hier
zu weit führen; verwiesen sei auf [Lounsbury 1978].

1.3 Kenntnisse und Leistungen der Azteken, Maya und Inka

33

Abb.

1.3.10

Maya-Handschrift im Codex Dresdensis, Tafeln 55 und 56;

Berechnung der Mond- und Sonnenfinsternisse (Codexteil B r; auf Rinde

20,8 × 9,1 cm, 12. Jh.) [SLUB Dresden/Abt. Deutsche Fotothek, Mscr. Dresd. R 310]

Jedenfalls: Die Bestimmung der Jahreslänge zu 365,242 Tagen ist genau-
er als die unseres gregorianischen Kalenders mit 365,2425 Tagen; ein Son-
nenjahr hat jedoch exakt 365,242198 Tage; der Wert der Maya weicht also
nur um 1 , 98 / 10 000 davon ab, der des gregorianischen Kalenders jedoch um

3 , 02 / 10 000! Große Aufmerksamkeit verwandten die Maya auf die Beobach-
tung der Venus; sie fanden für deren durchschnittliche synodische Umlaufzeit

584 Tage statt des wirklichen Wertes von 583,95 Tagen. Manches deutet so-
gar darauf hin, dass die Maya auch Mars, Jupiter und Merkur beobachteten

34

1 Mathematik am Anfang und Ethnomathematik

Abb. 1.3.11

Kulturen der Indios in Südamerika

[Ifrah 1987, S. 446]. Wie aus dem Dresdener Kodex hervorgeht, dürfte sogar
die Vorausberechnung von Sonnenfinsternissen möglich gewesen sein.

Es sollte nicht unerwähnt bleiben, dass sich einige Bestandteile der Maya-

Kultur erhalten haben. Es gibt in Mexiko zahlreiche Maya sprechende Dorf-
gemeinschaften; ihre Religion ist eine Art Verschmelzung von christlichem

Denken mit Maya-Denkweisen.

1.3.3 Rätsel der Nazca-Kultur

Seit den 40er Jahren des 20. Jahrhunderts zog die Nazca-Kultur in Peru die

Aufmerksamkeit der Archäologen auf sich; insbesondere die sog. Scharrbilder

(Geoglyphen) in der Wüste südlich von Nazca warfen Fragen auf und stellten
die Forscher vor Rätsel. Scharrbilder entstehen, indem man die herumliegen-

1.3 Kenntnisse und Leistungen der Azteken, Maya und Inka

35

Abb. 1.3.12

Maria Reiche mit einigen Figuren der Scharrbilder (Peru 1986)

den Steine beiseite legt; so entsteht eine ca. 2 Fuß breite Spur, deren hellere

Färbung sich von der Umgebung abhebt.

Kilometerlange gerade Linien, aber auch riesige Tierfiguren (Vögel, Ei-
dechsen, Klammeraffen, Spinnen) und geometrische Gebilde bedecken eine

Fläche von ca. 500 Quadratkilometern. Sie stammen aus der vorgeschichtli-
chen Nazca-Kultur, etwa 3.–2. Jh. v. Chr. bis ca. 7. Jh. n. Chr. (die Datierun-
gen schwanken).

Das Rätsel besteht darin, dass man die Form der Figuren wegen ihrer ganz
außerordentlichen Dimensionen nur von oben erkennen kann. Mehr noch: Wie
wurden die Figuren und geometrischen Gebilde mit ihren riesigen Ausmaßen
hergestellt, da doch deren Schöpfer die Zeichnungen niemals in Gänze haben
erblicken können? Und: Welchem Zweck haben sie gedient?

Anhaltspunkte für eine Nutzung zu astronomischen oder kalendarischen

Zwecken konnten nicht verifiziert werden. Da die Gegend zu jener Zeit teil-
weise begrünt und nachgewiesenermaßen bewohnt war (Gräber und Wohn-
anlagen wurden gefunden), sind Vermutungen zu einem gewissen Grade be-
stätigt worden, es handele sich um Wege zu inzwischen trocken gefallenen

Wasserstellen. Auch die Annahme, dass diese Wege zeremoniellen Zwecken
gedient haben, hat einiges für sich, ist aber nicht erwiesen. Ganz absurd ist die
tollkühne Unterstellung, die Linien seien eine Art Hinweis oder Zeichen für

Landeplätze für Außerirdische gewesen. Jedenfalls: das Rätsel ist geblieben.

Inzwischen sind die Linien zur Touristen-Attraktion geworden.

36

1 Mathematik am Anfang und Ethnomathematik

Zu den Pionieren bei der Erforschung der Nazca-Linien gehört in allerers-
ter Linie die in Dresden geborene Mathematikerin Maria Reiche (1903–1998),
die hohe Auszeichnungen durch die peruanische Regierung erhielt. Unter äu-
ßerst schwierigen Bedingungen hat sie die Figuren vermessen, Schritt für

Schritt die Linien abschreitend, auf Leitern stehend. Um einen Blick von
oben zu erhalten und die Linien zu fotografieren, ließ sie sich sogar außen an
einem Hubschrauber festbinden! Sie erhielt die Auszeichnung als „Weiser des

Inkareiches“ und den „Sonnenorden“ [Wußing 2003].

1.3.4 Die Inka: Polygonale Festungsmauern und

Sonnenheiligtümer

Die Ursprünge der Inka liegen im Dunkeln; sie dürften im 12. Jahrhundert
n. Chr. südlich des Titicaca-Sees als Bauern und Nomaden gelebt haben.

Durch einen vom Mythos gestützten göttlichen „Befehl“ gründeten sie später
die Hauptstadt Cuzco, Ausgangspunkt räuberischer Übergriffe auf die Nach-
barn. Im 15. Jahrhundert begann man mit der Errichtung eines Großreiches,
das sich vom heutigen Nordchile bis nach Kolumbien erstreckte.

Eigentlich sollte mit „Inka“ nicht ein Volk bezeichnet werden. Genau ge-
nommen ist „Inka“ ein Adelstitel, der allen männlichen Nachkommen einer
kleinen Gruppe des Volkes zukam.

Abb. 1.3.13

Polygonale Festungsmauern in Sacsayhuaman bei Cuzco

[Foto Alten]

1.3 Kenntnisse und Leistungen der Azteken, Maya und Inka

37

Der Inkastaat wurde mit Gewalt und Zwangsarbeit zusammengehalten.

Erstaunlich sind Pracht- und Festungsbauten: die Steine wurden präzise be-
hauen und ohne Mörtel, stattdessen mit Zapfen zusammengefügt.

Bewundernswert ist ein „Straßennetz“, welches das ganze Territorium ver-
band: Läufer überbrachten als Boten Nachrichten oder Befehle. Reittiere wa-
ren unbekannt, ebenso Rad und Wagen. Die Gesamtlänge des „Straßensys-
tems“, betrug ca. 18 000 km. Allein 5200 km maß die Königsstraße über hohe

Gebirgspässe vom Äquator bei Quito bis (zum heutigen) Valparaiso – bis zum

19. Jahrhundert die längste Verkehrsstraße in der Geschichte der Menschheit.

Es gab scharfe soziale Grenzen. An der Spitze stand der als Gott verehrte

Sap¯
a Inka, der sich als direkter Abkomme der Sonne verstand. Es folgten
die „gewöhnlichen“ Inka, niedere Edelleute, Priester, Offiziere, Baumeister,

Bauern und schließlich Kriegsgefangene.

Das Inkareich kannte keine Schrift in unserem Sinne. Informationen wur-
den mit Knotenschnüren (Quipu) fixiert. An einer Hauptschnur waren un-
terschiedlich lange und eingefärbte Schnüre befestigt; in welche Knoten in

Gruppen zur Darstellung von Zahlen geknüpft wurden, während die Farben

Gegenstände oder abstrakte Begriffe kennzeichneten: So konnten Ernteerträ-
ge, Tribute, Anzahlen von Menschen oder Tieren und anderes mehr festge-
halten werden. Der Bringende musste dem Empfangenden der Nachricht die

Botschaft erläutern. Die Knotenschnüre ermöglichten mathematische Opera-
tionen, u. a. Addition und Subtraktion, z. B. die Addition durch Bündelung
benachbarter Schnüre (ausführlich in [Ascher/Ascher 1981]).

Abb. 1.3.14

Läufer; Quipu (Knotenschnüre für Zahlangaben) (Peru 1972)

38

1 Mathematik am Anfang und Ethnomathematik

Abb. 1.3.15
a) Darstellung der Zahl 3/643 als Knotenschnur b) Interpre-
tation eines Quipu: Das Bündel der Schnüre stellt die Addition der auf den

„Nebenschnüren“ A, B, C, D dargestellten Zahlen zur Summe E auf der

„Hauptschnur“ dar, Zeichnung nach [American Museum of Natural History, New York,

B 8713] (vgl. Leland Locke 1923, Ifrah 1986)

Im Jahre 1527 brach unter dem Kommando des spanischen Glücksritters

Francisco Pizarro (1475–1541) eine Expedition von der Westküste Panamas
nach Süden ins Land der Inka auf, das sie nach strapaziösen Märschen durch

Urwald und hohe Gebirge erreichte. Da sich der Inkastaat gerade in einer
schweren inneren Krise befand, gelang den 167 Soldaten der Angriff. Am 16.

November 1532 geriet der (letzte) Herrscher Atahualpa in Gefangenschaft.

Die Spanier forderten ein ungeheures Lösegeld; ein ganzer Raum wurde mit

Gegenständen aus Gold gefüllt. Dessen ungeachtet wurde Atahualpa neun

Monate später grausam umgebracht. Aber auch Pizarro wurde später von
seinen Kumpanen getötet.

Nur vorübergehend leisteten einige Gruppen des Inkareiches Widerstand;
andere verbündeten sich sogar mit den Spaniern. Ende 1536 war das Inka-

Reich zerstört. Eine letzte Gruppe der Inka-Leute zog sich ins Gebirge zurück,
in die ca. 2500 m hoch gelegene Stadtfestung Machu Picchu. Die Ruinen der

Stadt wurden erst 1911 vom amerikanischen Archäologen Hiram Bingham
entdeckt und sind heute eine Touristenattraktion ersten Ranges. Inmitten
einer grandiosen Gebirgswelt steht dort auf schmalem Sattel zwischen steilen

Felswänden im Zentrum des heiligen Bezirks der Sonnentempel Intihuatana

(Rastplatz der Sonne). Nach dem Stand des Schattens wurde dort die Zeit
der Sonnenwende bestimmt.

1.3 Kenntnisse und Leistungen der Azteken, Maya und Inka

39

Abb. 1.3.16

Sonnenobservatorium der Inka in Machu Picchu [Foto Alten]

Abb. 1.3.17

Die Inka-Festung und der Sonnentempel von Machu Picchu

[Foto Alten]

40

1 Mathematik am Anfang und Ethnomathematik

Abb. 1.3.18

Textilkunst der Inka: Geometrische Muster einer Tunika (um 1550).

Die Textilien aus dem voreuropäischen Peru zählen nach P. Kann „zu den kompli-
ziertesten und in ihren Darstellungen Vielseitigsten.“ Hinter diesen sog. Tocapu-

Mustern der Textilien wird eine Symbolik vermutet, die bis heute nicht entschlüs-
selt werden konnte. Erhalten geblieben sind diese Stoffe durch einen intensiven

Totenkult und durch das in der Küstenregion Perus vorherrschende trockene Wüs-
tenklima. [Dumbarton Oaks Research Library], [Wikimedia Commons]

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen

Kulturen

42

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen

2.1 Mathematik im alten China

Allgemeine Geschichte

Kulturgeschichte

3000 bis 1500

Siedlungen am

Stromtalkulturen

Gelben Fluss und am

Janktsekiang
ca. 2205 bis 1766

Xia-Dynastie
ca. 1500 bis 1030

Shang (Yin)-Dynastie

Bronzezeit

11. Jh. bis 481

Zhou (Chou)-Dynastie

Konfuzius (551 bis 479).

Laotse (6./5. Jh. v. Chr.)

475 bis 256

Zeit der Streitenden Reiche

221 bis 207

China geeinigt unter dem

Bau der chinesischen Mauer
ersten Kaiser Shi-Huang-ti

206 v. Chr.

Han-Dynastien

Blüte von Mathematik, Astro-
bis 220 n. Chr.

nomie, Philosophie und Kunst;

Theokratischer Beamtenstaat

141 bis 87 v. Chr. Kaiser Wudi: Chinas

Weltreich von Korea bis

Turkmenistan

25 n. Chr.

Späte Han-Dynastie

Buddhismus, von Indien
bis 220
herkommend

221 bis 280

Zeit der drei Reiche.

280 bis ??

Zerfall des Reiches

618 bis 906

Tang-Dynastie

Blüte von Wirtschaft und

Kultur; Vorherrschaft
des Buddhismus

960 bis 1127

Nördliche Sung-Dynastie

Erster Druck mit
beweglichen Lettern;
chinesischer Beamtenstaat
mit zentralen Examen;

1127 bis 1278

Südliche Sung-Dynastie

Konfuzianismus
verpflichtende Norm

1215

Einnahme Pekings durch
die Mongolen. Bis 1280
ganz China von den

Mongolen erobert

1278 bis 1368

Yuan-Dynastie

Zweite Blüte der Mathematik;

(Mongolenherrschaft).

Marco Polo (1254 – 1324)

Kublai-Khan (1260 – 1294)

erreicht 1275 Peking.

1368 bis 1644

Ming-Dynastie

Erneuerung und Ausbau

Hauptstadt Nanjing
der chinesischen Mauer;
portugiesische Kaufleute;

Jesuitische Missionen

1644 bis 1911

Qing-Dynastie

Vorherrschaft des

Konfuzianismus;

Kolonialer Einfluss

1911

Ausrufung der Republik

1949

Gründung der Volksrepublik

Bemerkung: Es gibt sehr verschiedene, vom Obigen abweichende Datierungen.

2.1 Mathematik im alten China

43

Abb. 2.1.1

China im Altertum und im Mittelalter

Vorbemerkungen

Es ist nicht einfach, auf beschränktem Raum ein einigermaßen zutreffen-
des Bild von der altchinesischen Mathematik zu entwerfen. Daher sei auf
ausführliche Darstellungen verwiesen, die zudem auf neuere Forschungen
zurückgreifen, jeweils mit ausführlichen Literaturangaben: [Mikami 1913],

[Needham 1959], [Juschkewitsch 1964], [Martzloff 1997], [Li/Dù 1987], [Scri-
ba/Schreiber, 2. Aufl. 2005], [Alten et al. 2003]. Bezüglich der Transkription
von Eigennamen schließen wir uns Martzloff an.

2.1.0 Das historische Umfeld

Die wechselvolle politische Geschichte Chinas – Kampf regionaler Herrscher
um Vormachtstellung, Aufstieg zur beherrschenden Großmacht Ostasiens,

Emporkommen und Untergang verschiedener Dynastien, Eroberung durch

44

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen

Abb. 2.1.2

Die Chinesische Mauer [Foto Alten]

die Mongolen, halbkoloniale Zeit, Eindringen der Europäer, Übergang zur
bürgerlichen Republik und zur Volksrepublik – umfasst reichlich 4000 Jahre.

Die Historiker datieren den Übergang zur Klassenstruktur in China auf die
zweite Hälfte des zweiten Jahrtausends v. Chr. Der endgültige Übergang zum

Feudalismus geschah im 3. Jahrhundert n. Chr. und währte bis zum Eindrin-
gen der Europäer in der Mitte des 19. Jahrhunderts.

Die Völker, die auf dem Gebiet des heutigen Chinas wohnten bzw. woh-
nen, gehören zu den ältesten und bedeutendsten Kulturvölkern, mit heraus-
ragenden Traditionen in Mathematik, Astronomie, technischen Erfindungen,

Kunst und Literatur. Dabei lassen laufende oder noch ausstehende historische
und archäologische Studien interessante neue Ergebnisse erwarten.

Einige Informationen über frühe mathematische, insbesondere arithmeti-
sche Kenntnisse besitzen wir aus der Mitte des 2. Jahrtausends v. Chr.; sie
stehen mit einer schon hoch entwickelten Astronomie im Zusammenhang.

Bemerkenswert ist der hohe Stand der Verarbeitung von Bronze zu Ge-
brauchsgütern des täglichen Lebens, zu Gefäßen, Münzen, Waffen – und das
schon während der Yin-Dynastie.

Kometenbeobachtungen sind aus der Zeit der Zhou-Dynastie, z. B. aus
dem Jahre 613 v. Chr. überliefert. Die verschiedenartigen Gestalten der Ko-
meten wurden sogar in antiker Seide abgebildet [Xi 1984]. Sogar die Periodi-
zität des heute nach Halley benannten Kometen wurde erkannt. Richtig ist
auch die allgemein formulierte Beobachtung, dass der Kometenschweif immer

2.1 Mathematik im alten China

45

Abb. 2.1.3

Obere Reihe: Bronzegegenstände aus der Zeit der Yin-Dynastie:

Weingefäße, rechts vierfüßiges Kochgefäß (China 1964). Untere Reihe: Antike
chinesische Münzen aus der Zeit vor der Einigung Chinas im Jahre 221 v. Chr.:

Münze muschelförmig, messerförmig, mit Loch (China 1981)

von der Sonne abgewandt ist. Die Kometenbeobachtungen wurden auch in
den folgenden Jahrhunderten kontinuierlich fortgesetzt. Um 1910 befanden
sich etwa 500 Berichte über Kometen in den Archiven, die teilweise europäi-
schen und amerikanischen Gelehrten als Unterlage zu Rückvergleichen mit
eigenen Beobachtungen dienten.

Die Kalenderbestimmung – unentbehrlich für die Landwirtschaft, aber
auch für die Organisation des Staates – gehörte ebenfalls zu den wesentli-
chen Aufgaben der chinesischen Astronomen. Von 635 bis 522 v. Chr. sind

Bestimmungen der Wintersonnenwende überliefert. Im 5. Jahrhundert wur-
de (vorübergehend) ein Sonnenkalender mit 365,25 Tagen eingeführt, weit
vor dem Julianischen Kalender der römischen Antike. Weitere Entdeckungen
folgten, u. a. die der Präzession, d. h. des Fortschreitens des Frühlingspunktes.

46

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen

Abb. 2.1.4

Laotse und Konfuzius [Wikimedia Commons]

In die Zeit der Zhou-Dynastie gehört das Auftreten zweier bedeutender

Religionsstifter bzw. Philosophen, Konfuzius (551–479 v. Chr.) und Laotse

(6./5. Jh. v. Chr.).

Bereits zur Zeit der Han-Dynastie legte man großen Wert auf die Ausbil-
dung in Mathematik. Es gab ein System der Ausbildung von sechs- bis acht-
jährigen Knaben, natürlich aus privilegierten Familien stammend. Beamte
hatten sich in der Tang-Zeit an der kaiserlichen Akademie einer strengen,
siebenjährigen Ausbildung in Mathematik mit einer Prüfung zu unterwerfen.

Vor kurzer Zeit wurde bei Ausgrabungen ein auf Bambusstreifen geschrie-
benes mathematisches Manuskript entdeckt, Suan shu shu (etwa: Neun Ka-
pitel über mathematische Verfahren) [Cullen 1996], [Cullen 2004], [Dauben

2004]. Auch der astronomische Text Zhoubi suanjing enthält Einiges an Ma-
thematik und bietet den ersten „Beweis“ des Satzes von Pythagoras.

Wenig jünger ist das Werk Jiuzhang Suanshu, in anderer Transkription

Chiu Chang Suan Shu (Neun Bücher arithmetischer Technik), das auf frü-
here Schriften zurückgeht. Dieses einflussreiche Werk, das die Mathematik
innerhalb und außerhalb Chinas mitgeprägt hat, wurde im dritten Jahrhun-
dert n. Chr. von Liu Hui kommentiert; in dieser Fassung aus dem Jahre 263
wurden die „Neun Bücher arithmetischer Technik“ überliefert [Vogel 1968],

[Chemla/Guo 2004].

In der Tang-Zeit wurde das Werk des öfteren abgeschrieben bzw. kom-
mentiert und schließlich einem Sammelwerk unter dem Titel Suanjing shi
shu (Zehn beispielhafte Abhandlungen über Mathematik) eingegliedert. Dies
wurde im Jahre 656 als hauptsächliches Lehrbuch eingeführt; die erste Druck-
ausgabe (Xylographie) stammt aus dem Jahre 1084, ist aber verschollen; ein

Teil des Neudruckes von 1213 ist erhalten [Juschkewitsch 1964].

2.1 Mathematik im alten China

47

Abb.

2.1.5

Erfindungen
der
chinesischen

Antike:

Trommel-Messwagen

(300 v. Chr.), Seismograph (Han-Dynastie), Kompass (Südzeiger, ca. 300 v. Chr.);

(Ausschnitte aus Briefmarken, China 1953)

Um 300 v. Chr. wurde ein Messwagen für Entfernungsmessungen kon-
struiert. Mit der Papierherstellung dürfte im 1. oder 2. Jahrhundert v. Chr.

begonnen worden sein. Im 7. Jahrhundert n. Chr. (Tang-Dynastie) wurde mit
dem Bau eines großen Kanals begonnen, der den Norden mit dem Süden ver-
binden sollte. Er war im 13. Jahrhundert vollendet und besaß eine Länge von

1700 Kilometern.

Überhaupt war die Tang-Zeit eine Periode der Blüte der Wissenschaf-
ten und der Künste, verbunden mit der Organisation des Staatswesens. Ne-
ben der Mathematik erzielte insbesondere die Astronomie weitere Fortschrit-
te. Die Berichterstattung über Sonnenflecken ( „eine in der Mitte der Sonne
hockende Krähe“) geht auf das Jahr 140 n. Chr. zurück. Die Beobachtung
von Sonnenflecken wurde systematisch fortgesetzt; bis zum 17. Jahrhundert
wurden mehr als 100 Beobachtungen festgehalten.

Das Auftreten von Novae ( „Gast-Sterne“) hat bedeutende Aufmerksam-
keit erregt und wurde genauestens protokolliert. Der älteste detaillierte Be-
richt bezog sich auf die Nova von 134 v. Chr.; sie wurde übrigens auch in
anderen Ländern „beobachtet“. Insgesamt sind in chinesischen Dokumenten
bis 1700 n. Chr. etwa 90 Novae erfasst worden.

Auch die Anfertigung und Vervollkommnung der Sternkataloge gehörte
zu den Aufgaben der chinesischen Astronomen. Der älteste, freilich nur in

Teilen erhaltene Katalog aus dem 4. Jahrhundert v. Chr. soll die Koordinaten
und Namen von 115 Sternen enthalten haben. Die Sonnenuhr wurde statt
der Wasseruhr verwendet. Der hervorragende Astronom Zhang Heng (78–

139) lehrte die Kugelgestalt der Erde, konstruierte eine Art Planetarium und
einen sinnreich ausgedachten Seismographen, der immerhin die Richtung des

Bebenherdes anzeigte.

Bei hochentwickelter Schiffbautechnik und bei Orientierung an den Ster-
nen erreichten die Chinesen schon im 3. Jahrhundert v. Chr. die Küsten des

Indischen Ozeans und die Inseln in Südostasien. Um 300 v. Chr. wurde die

„Kraft“ des Magneteisensteins benutzt; ein löffelförmiger Magnet zeigt die

Richtung Süden.

Seit dem 1. Jahrhundert n. Chr. drang aus Indien der Buddhismus in

China ein; indische Gelehrte wirkten in China. Während der Tang-Zeit reich-

48

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen

Abb.

2.1.6

Bedeutsame chinesische Erfindungen: Buchdruck mit bewegli-
chen Lettern (11. Jh. n. Chr.), Papierherstellung (2. Jh. v. Chr.), Schießpulver

(13. Jh. n. Chr.); (Haiti 1999)

ten die Handels- und Kulturbeziehungen Chinas über Mittelasien hinaus bis
nach Indien und Europa. Unter kaiserlicher Aufsicht wurden wissenschaftliche

Einrichtungen gegründet, u. a. ein astronomisches Büro und die kaiserliche

Akademie. Nur strenge Prüfungen – auch in Mathematik – eröffneten die be-
gehrte Beamtenlaufbahn. So gab es zur Zeit des Kaiser T’ai-tsung (627–649)

angeblich 3200 staatlich geprüfte Mathematiker.

Zu den großen wissenschaftlichen Unternehmungen der Tang-Zeit gehört
eine Meridian-Messung. Daran war u. a. auch Yixing (7. Jahrhundert) betei-
ligt, der Interpolationsformeln für astronomische Berechnungen entwickelte.

Während der Sung-Dynastie, als der Konfuzianismus wiederum dominierte,
kam es zu erheblichen Fortschritten: Überseehandel, Schießpulver, Kartogra-

Abb. 2.1.7

Wanderlehrer in China (China 1989)

2.1 Mathematik im alten China

49

Abb. 2.1.8

Marco Polos Rückreise von China nach Europa; zum 700. Jahrestag
der Rückkehr. Die Reiseroute ist eingezeichnet (Markenblock Vatikan 2000)

phie, Druck, vorwiegend Xylographie, aber auch mit beweglichen Lettern.

Besonders die Algebra erreichte einen hohen Stand mit den Abhandlungen
von Qiu Jiushao (13. Jahrhundert), Li Zhi (ursprünglich Li Yeh bzw. Ye),

(1192–1279), Yang Hui (13. Jahrhundert) und Zhu Shijie (13. Jahrhundert)

[Alten et al. 2003, S. 124f.].

Auch während der Mongolenherrschaft fand die Mathematik eine Heim-
statt bei Hofe. Die wissenschaftlichen Beziehungen reichten bis hin zu den
islamischen Gelehrten; chinesische Erkenntnisse dürften im Westen verbrei-
tet worden sein, wie Quellenvergleiche ergeben haben.

Die Reise des Venezianers Marco Polo nach China hat seinerzeit großes

Aufsehen erregt und beschäftigt noch heute Historiker. Bei seiner Rückkehr
nach Europa wurde er von den Genuesen gefangen gesetzt und als großer

Lügner und Aufschneider wegen seiner Erzählungen über China und andere
fremde Länder beschimpft.

Der Bau von astronomischen Messgeräten – insbesondere der von Ar-
millarsphären – hat in China eine lange Tradition; sie wurden schrittweise
verbessert und vervollkommnet. In Nanjing haben sich vorzügliche Instru-
mente – Armillarsphäre und Äquatorial-Torquetum – erhalten, gebaut wäh-
rend der Ming-Dynastie zwischen 1437 und 1442. Über den Einfluss isla-
mischer Astronomie auf China unterrichtet [K. Yabuuchi 1954]. Unter den

50

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen

Abb. 2.1.9

Torquetum, konstruiert von Guo Shoujing; Porträt von Guo Shoujing

(China 1962)

chinesischen Astronomen tritt besonders Guo Shoujing (1231–1316) mit in-
teressanten Konstruktionen und Berechnungen hervor. Von ihm stammen der
berühmte Kalender Shoushi li, die sog. Chinesische sphärische Trigonometrie
mit den auf Längen von Bögen, Sehnen und „Pfeilen“ beruhenden Nähe-
rungsformeln, aber auch das als Wasserschraube dienende „torquetum“ – ein

Ergebnis seiner Beschäftigung mit dem Bau von Kanälen zur Drainage. Lei-
der gingen die Original-Schriften von Guo Shoujing verloren und man ist
daher auf spätere Quellen angewiesen, in denen seine Leistungen beschrieben
werden [Martzloff 1997, S. 329].

Insgesamt aber schwächte sich der aus eigenständiger Entwicklung stam-
mende Impuls während des 15./16. Jahrhunderts ab. Dagegen gelangten Teile
der westlichen Mathematik nach China, in Zusammenhang mit dem Versuch,

China zum Christentum zu bekehren. Einige Übersetzungen ins Chinesische
wurden während einer ersten Periode (1600 bis 1753) durch Jesuiten vor-
genommen, während einer zweiten Periode (1840–1911) durch protestanti-
sche Missionare. Die protestantischen Missionare stützten sich u. a. auf bri-
tische Werke, so zum Beispiel auf die Elements of Algebra von de Morgan

(1806–1871). Sogar die Infinitesimalrechnung (Calculus) erreichte so China

[Xu 2003].

Da sich die Christianisierung als schwierig erwies, sollten wissenschaftliche

Erkenntnisse, die denen der Chinesen überlegen waren, auch die Überlegen-
heit der christlichen Religion indirekt erweisen [Martzloff 1997, S. 99–103].

Aus Einsicht in die relative Unterlegenheit ihrer heimischen chinesischen

Astronomie nahm man um 1600 die von den Jesuiten angebotene Hilfe an,
solche Texte und Hilfsmittel zu übernehmen, die wichtig mit Bezug auf die

Astronomie und für militärische Zwecke sein könnten: Nepersche Stäbchen,

Galileis Proportionalzirkel, Geometrie, ebene und sphärische Trigonometrie,

2.1 Mathematik im alten China

51

Abb. 2.1.10

Matteo Ricci

(Porträt von Yu Wen-hui um 1610) [Wikimedia Commons]

Logarithmen. Selbstverständlich lehrten die Jesuiten nicht das Copernica-
nische Weltsystem, sondern vertraten das geozentrische System von Brahe.

Der italienische Jesuit Matteo Ricci (1552–1610) und der hochgestellte Xu

Guangqi übertrugen gemeinsam die Elemente von Euklid und publizierten

Jihe Yuanben (Elemente der Geometrie), gestützt auf die Kommentare von

Chr. Clavius (1537–1612) zu den ersten sechs Büchern der Elemente.

Allerdings – eine Folge der aufs Praktische gerichteten Denkweise – hielt
man in China nicht viel von Euklids Elementen mit ihrem strengen Aufbau,
mit Postulaten, Axiomen und Definitionen.

Nach der Mitte des 19. Jahrhunderts setzten sich die internationalen Be-
zeichnungen und Symbole neben den Ergebnissen der westlichen Mathematik
auch in China durch. Dieser ganz entscheidende Prozess ist ausführlich stu-
diert und dargestellt worden, auch in Verbindung mit der Wiederentdeckung,

Pflege und Weiterführung der heimischen antiken und mittelalterlichen Tra-
dition. Alles dies trug nicht unerheblich zur Stärkung des chinesischen Natio-
nalbewusstseins bei. Als Schlüsselfigur hat dabei Li Shanlan (1811–1882) eine
große Rolle gespielt, der in einer eigenen „Schule“ die westliche Mathematik
gezielt in China bekannt machte [Horng 1991], [Martzloff 1992].

In der bürgerlichen Republik, nach 1911, wurden führende westliche Ma-
thematiker als Gastprofessoren nach China eingeladen, unter ihnen Konrad

Knopp, Bertrand Russel, George Birkhoff, Jaques Hadamard, Norbert Wie-

52

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen
ner. Andererseits studierten erstmals chinesische Studenten im Ausland, in

Europa und den USA, teilweise als Folge des Boxeraufstandes, der die Grün-
dung der Qinghua University in Peking inspirierte. Nach deren Rückkehr
nach China leisteten die im Ausland ausgebildeten Studenten einen entschei-
denden Beitrag zur Entwicklung der heimischen modernen Mathematik in

China. Heute verfügt die Volksrepublik China über hervorragende Mathema-
tiker, die im Inland und Ausland tätig sind (zu Einzelheiten vgl. [Dauben

2002] und Kapitel 10).

2.1.1 Zahlendarstellung, Rechenbrett

Schreibweise und Repräsentation der Zahlen haben verständlicherweise in der
jahrtausendelangen Geschichte Chinas ihrerseits eine lange Geschichte. Für
die Frühzeit gibt es zahlreiche Hinweise, dass Quipus (Knotenschnüre) und

Kerbhölzer in Gebrauch gewesen sind. Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts
wurden archäologische Funde gemacht, die das Bild vom alten China voll-
ständig verändert haben: Tausende von Knochen und Schildkrötenpanzern
mit eingeritzten Zeichen wurden gefunden bzw. durch systematische Aus-
grabungen zutage gefördert. Man hält sie im Wesentlichen für Mittel zur

Wahrsage. Einige dieser Relikte benutzten Zahlzeichen mit unterschiedlichen

Schreibweisen, um Anzahlen von Menschen, Tieren, Tagen, Monaten, Op-
fern, kriegerischen Unternehmungen u. a. m. zu fixieren. Große Mühe wur-
de in jüngster Zeit auf die Deutung dieser frühen Zahlzeichen verwandt. So
dürfte das Zeichen für „unzählig groß“ einen Skorpion darstellen, wegen der

Fruchtbarkeit dieser Tiere [Martzloff 1997, S. 179 ff.].

Mindestens seit dem 4. Jahrhundert v. Chr. (seit der Zeit der streitenden

Reiche) kamen einfache Zahlzeichen auf, aus denen die späteren Stäbchen-
zahlen hervorgegangen sind. Mit ihnen rechnete man auf einem Brett mit

Feldern, in die die Stäbchen gelegt wurden. Die Stäbchen bestanden aus

Holz, Bambus oder Eisen; für reiche Leute wurden sie aus Elfenbein oder
sogar aus Jade gefertigt.

Das chinesische Stäbchensystem ist dezimal aufgebaut, aber kein völlig
durchgebildetes Positionssystem. Zwei Reihen von Ziffern gestatten es, alle

Zahlen zu bezeichnen:

Die vertikal gelegten Stäbchen
für die Ziffern 1 bis 9 wurden auf dem Zahlenschachbrett auch für entspre-
chend viele Hunderter, Zehntausender, . . . verwendet. Horizontal gelegt, also
gemäß

2.1 Mathematik im alten China

53
bezeichneten diese Stabziffern Zehner, Tausender, . . . , also entsprechend viele

Einheiten ungerader Zehnerpotenzen. Wie im indisch-arabischen Zahlensys-
tem „schrieb“ man die Zahlen von links nach rechts. Zur Vermeidung von

Irrtümern wurden dabei die Einer in die Spalte am rechten Rand des Brettes
gelegt, für eine Null wurde das entsprechende Feld leer gelassen. Mit dieser

Methode konnten auf dem Brett bequem Addition und Subtraktion durch Zu-
sammenlegen oder Wegnahme von Stäbchen, aber auch Multiplikation und

Division ausgeführt werden. Als Beispiel für die Addition diene

Für die Multiplikation wurde der Multiplikand unten, der Multiplika-
tor oben im Schachbrett ausgelegt, die Teilprodukte wurden dann in den
mittleren Zeilen dargestellt und addiert. Auch Systeme linearer Gleichungen
wurden auf dem Zahlenschachbrett dargestellt und gelöst (vgl. auch [Ifrah,

S. 149f.] und [Alten et al. 2003, S. 116f.]).

Im 8. Jahrhundert kam aus Indien die Idee, einen Punkt für Leerstellen

(Null) zu verwenden; diese Idee setzte sich jedoch zunächst nicht durch. Erst
im 13./14. Jahrhundert, möglicherweise wiederum aus Indien, kam die Null
in dauerhaften Gebrauch, geschrieben und gedruckt als kleiner Kreis.

Altchinesische Zahlzeichen in Hieroglyphen oder Stäbchenform blieben
teilweise noch bis in die Han-Zeit und Yuan-Zeit in Gebrauch und werden
sogar noch heute neben den indisch-arabischen Ziffern verwendet. Auch in

Japan haben sich chinesische Zahlzeichen noch lange gehalten.

An dieser Stelle soll (wie im Kapitel Indien) auf eine andere Meinung ver-
wiesen werden, dass nämlich die Null chinesischen Ursprunges sei. Dies ist von
ernstzunehmenden Mathematikhistorikerinnen dargelegt worden [Lam/Ang

2004]. Sie haben ein wichtiges frühes chinesisches klassisches Werk übersetzt:

Sunzi Suanjing (Mathematisches Handbuch des Meisters Sunzi), enthaltend
das dezimale Positionssystem, einschließlich der Rechenmethoden für Multi-
plikation, Division und das Ziehen von Quadrat- und Kubikwurzeln. Nach
ihrer Darstellung gelangte all dies von China über Indien und die arabischen

Wissenschaftszentren in den Westen.

Neben dem Rechnen mit Rechenstäbchen auf dem Zahlenschachbrett kam
noch eine andere Form instrumentellen Rechnens in Gebrauch, nämlich das

Rechnen mit dem suanpan, dem Kugelrechenbrett, einem Abakus. Es ist nicht

54

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen

Abb. 2.1.11

Chinesischer Meister und zwei Schüler am Rechenbrett [Illustration
des Suan Fa Thung Tsung 1593] (vgl. Needham 1959, S. 70; Ifrah 1986, S. 149)

genau bekannt, wann der suanpan erfunden wurde; in allgemeinen Gebrauch
kam er wohl erst im 16. Jahrhundert.

Ein suanpan enthält eine Anzahl (11, 13, 17 oder mehr) parallele Stäbchen
oder Drähte. Die vertikal angeordneten Stäbe, markieren dezimale Größen-
ordnungen. Die Position der Kugeln markiert die Zahl. Über das Rechnen
mit dem suanpan siehe [Martzloff 1997], [Juschkewitsch 1964].

Abb. 2.1.12

Suanpan, eingegeben ist die Zahl 123 456 789. Die beiden letzten

Spalten sind für die Einstellung von Zehnteln und Hundertsteln reserviert

[Foto Wesemüller-Kock]

2.1 Mathematik im alten China

55

Der suanpan ist noch heute in Gebrauch, ähnlich wie die schtschoti in

Russland, die aber einen ganz anderen historischen Ursprung haben. Im

16. Jahrhundert vermutlich gelangte der suanpan nach Japan, dort unter
dem Namen soroban.

Die Rechenfertigkeit war hochentwickelt, erstreckte sich auf gemeine Brü-
che und auf Dezimalbrüche – eine Folge der Verwendung dezimal unterteilter

Maßsysteme. Man konnte beliebige Quadrat- und Kubikwurzeln ziehen.

2.1.2 Einige Höhepunkte altchinesischer Mathematik

Aus dem 14. Jahrhundert v. Chr. sind Wahrsageknochen erhalten geblieben,
aus denen hervorgeht, dass man bereits im Besitz eines Dezimalsystems war.

Während der Periode der streitenden Reiche (Ende des 5. Jahrhunderts
bis zur Reichseinigung 221 v. Chr.) wirkte in China die Gruppe der Mo-
histen, die großen Einfluss besaß. Damals entstand eine besondere Art von

Mathematik, die auf strengen Definitionen beruhte, eingebettet freilich in
das philosophische System der Mohisten (Näheres dazu bei [Gericke 1984,

S. 171f.]).

Es ist eine für die historische Einschätzung und Beurteilung der chinesi-
schen Mathematik grundlegende Problemstellung, wie weit Abstraktion und
strenge Herleitungen und zwingende Beweise zum Bild jener Mathematik ge-
hören. Dieser Fragestellung ist K. Chemla in einigen Arbeiten nachgegangen
und kam zu einem bejahenden, in diesem Sinne positiven Urteil [Chemla

1996], [Chemla 1997], [Chemla 2003], [Chemla 2005]. Beispielsweise spricht

Liu Hui in seinem Kommentar zum Jiuzhang suanshu von abstrakten Proze-
duren und Problemen, die deutlich von theoretischem und nicht von prakti-
schem Interesse sind.

Etwa um 100 n. Chr. erschien das anonyme Werk Zhoubi suanjing (klas-
sische Mathematik des Zhou Gnomon, „bi“ bedeutet „gnomon“). Bei „Zhou“
weiß man nicht, ob ein Ort oder eine Zeitperiode gemeint ist. Hier findet
sich eine Herleitung des Satzes von Pythagoras, zwar an einem Beispiel, aber
durchaus verallgemeinerungsfähig, und wohl auch so gemeint.

In einem Gitternetz (im Beispiel von 5 mal 5 Feldern) ist dem großen

Quadrat ein kleines Quadrat mit der Seitenlänge c (im Beispiel ist c = 5
als Hypotenuse der Dreiecke mit den Seitenlängen 3 und 4) einbeschrieben.

Durch Zerlegung des inneren Quadrats entstehen 4 rechtwinklige Dreiecke
mit den Seiten c, a und b (im Beispiel a = 4, b = 3) und ein inneres kleines

Quadrat mit der Seitenlänge a −b. Dann setzt sich das Quadrat c 2 zusammen
gemäß c 2 = 4 ∗ ab/ 2 + ( a − b)2 = a 2 + b 2.

Wie schon erwähnt, erzielte die Mathematik in der Periode der Han-

Dynastie bedeutende Fortschritte. Durch Zusammenfügen von älteren Manu-
skripten entstand zwischen 200 v. Chr. und 300 n. Chr. ein Werk, das in der
chinesischen Mathematik als klassisches Werk eine große Wirkung entfal-
tet hat, das Jiuzhang suanshu (in anderer Transkription Chiu Chang Suan

56

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen

Abb. 2.1.13

Figur zum Satz des Pythagoras

Shu). Martzloff übersetzt es mit „Computational Prescriptions in Nine Chap-
ters“; bei anderen Autoren [Vogel 1968] heißt es einfach „Neun Kapitel“ oder

„Neun Bücher über arithmetische Technik“. Diese Kompilation ist mehrfach
kommentiert worden. Schließlich, unter der Tang-Dynastie, wurden Zhoubi
suanjing und Jiuzhang suanshu mit 10 weiteren Texten aus der späten Han-

Zeit zusammengefasst unter dem Titel Suanjing shishu (The Ten Canons of

Mathematical Computations). Auf diesen Text – von dem sich nur zufäl-
lig Reste erhalten haben – stützte sich die mathematische Ausbildung der

Beamten an der kaiserlichen Akademie guozixue (Schule für die Söhne des

Staates).

Gehen wir auf den Inhalt der „Neun Kapitel“ ( Jiuzhang suanshu) genauer
ein: Es handelt sich um eine anonyme Sammlung von 246 Aufgaben und zwar
als Instruktionsmaterial für Praktiker. Die Aufgaben sind nach Sachverhal-
ten und weitgehend nicht nach dem mathematischen Problemkreis geordnet.

Das Lösungsverfahren wird in einer allgemeinen Regel angegeben, enthält
aber keine abstrakten Beweise. Dieser aufs unmittelbar Praktische gerichtete

Duktus wurde – wie viele Historiker meinen – durch die Philosophie jener

Zeit geprägt, insbesondere durch den Konfuzianismus [Martzloff 1994, S. 95].

Buch 1: Ausmessen von Feldern, also Berechnung der Flächeninhalte von

Rechtecken, Dreiecken, Trapezen, Kreisen, Kreissegmenten und

Kreisringen; π wird mit 3 angenähert. Rechnen mit Brüchen.

Buch 2: Tausch von Feldfrüchten durch Umrechnung von Getreide- und

Feldfrüchten in 50 Einheiten Hirse. Dreisatz.

Buch 3: Ausgleich von Steuereinheiten – in Geld oder Arbeitskraft – zwi-
schen verschiedenen Regionen.

2.1 Mathematik im alten China

57

Buch 4: Geometrische Probleme, z. B. Seite eines Quadrates bzw. eines Wür-
fels. Gebrauch irrationaler Zahlen.

Buch 5: Beurteilung von Arbeitsleistungen. Hier tritt – ähnlich wie in Meso-
potamien – im Zusammenhang mit Arbeitsleistungen eine Vielzahl
von Volumenberechnungen auf: Quader mit quadratischer Grund-
fläche, gerade Pyramiden mit trapezförmigem und dreieckigem

Grundriss sowie Pyramiden mit quadratischen und rechteckigen

Grundflächen. Aber auch wesentlich kompliziertere Körper werden
behandelt, wie aus den Kommentaren von Liu Hui hervorgeht: Man
zerlegte den Körper in bekannte Volumina. Von Körpern mit ge-
krümmten Oberflächen (bei der Annahme π = 3) gab es richtige

Berechnungsvorschriften für die Volumina von Zylinder, Kegel und

Kegelstumpf, indirekt auch für Kugeln [Juschkewitsch 1964, S. 59–

62].

Buch 6: Steuerberechnungen.

Buch 7: Überschuss und Fehlbetrag. Dieses Buch vermittelt u. a. eine Me-
thode zur Lösung linearer Gleichungen, die wir heute als Methode
des doppelten falschen Ansatzes bezeichnen: Zwei angenommene

Lösungen x 1 und x 2 für die Gleichung ax + b = 0 ergeben statt

Null den zu großen Wert c 1 > 0 und den zu kleinen Wert c 2 < 0.

Das führt auf die Lösung
c 1 x 2 − c 2 x 1
x =

= − b .

c 1 − c 2
a

In diesem Buch findet sich eine berühmt gewordene Aufgabe in
realitätsferner Einkleidung, aber mit ernst gemeintem Sachverhalt,
lineare Interpolation, die auch sonst oft benötigt wird:

„Jetzt hat man eine Wand, 5 Fuß dick. Zwei Ratten graben sich
gegeneinander durch die Wand; dabei macht die große Ratte am
ersten Tag 1 Fuß; die kleine Ratte macht ebenfalls am ersten Tag

1 Fuß. Die große Ratte macht jetzt an jedem Tag das Doppelte, die
kleine Ratte an jedem Tag die Hälfte der Leistung vom Vortag. Fra-
ge: In wieviel Tagen treffen sie sich und wieviel hat jede gegraben?

Die Antwort sagt: Es sind 2 2

17 Tage. Die große Ratte gräbt 3 Fuß

412

17 Zoll. Die kleine Ratte gräbt 1 Fuß 5 5

17 Zoll.“

(Zitiert nach [Vogel (Ed.), Chiu Chang Suan Shu, 1968, S. 75]; dort
wird auch der Lösungsweg angegeben.)

Buch 8: Rechteckige Tabelle. Es handelt sich um eine Art Matrizenrechnung
zur Lösung von Systemen linearer Gleichungen nach einem – auch
in diesem Falle – allgemeingültigen Verfahren ( fang-cheng). Dabei
können auch negative Zahlen auftreten. Ein Beispiel:

„Jetzt hat man folgendes Problem: Aus 3 Garben einer guten Ernte,

2 Garben einer mittelmäßigen Ernte und 1 Garbe einer schlechten

Ernte erhält man den Ertrag von 39 Tou. Aus 2 Garben einer gu-
ten Ernte, 3 Garben einer mittelmäßigen Ernte und 1 Garbe einer

58

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen

Abb. 2.1.14

Figur zur Baumstammaufgabe
schlechten Ernte erhält man den Ertrag von 34 Tou. Aus 1 Garbe
guter Ernte, 2 Garben mittelmäßiger Ernte und 3 Garben schlechter

Ernte erhält man den Ertrag von 26 Tou. Frage: Wieviel ist jedes-
mal aus 1 Garbe der Ertrag der guten, mittelmäßigen und schlech-
ten Ernte? Die Antwort sagt: Von der guten Ernte bringt 1 Garbe

9 14 Tou. Von der mittelmäßigen Ernte bringt 1 Garbe 4 14 Tou. Von
der schlechten Ernte bringt 1 Garbe 2 34 Tou.“

(Zitiert nach [Vogel (Ed.), Chiu Chang Suan Shu, 1968, S. 80]. Es
folgt die Angabe des Lösungsweges (vgl. dazu auch [Alten et al.

2003, S. 123]).

Buch 9: Das rechtwinklige Dreieck. Die Aufgaben benutzen den Satz des Py-
thagoras, der freilich nicht bewiesen wird. Manche Aufgaben könn-
ten an die mesopotamische Mathematik erinnern, insbesondere an
den seleukidischen Text BM 34568 (BM steht für den Aufbewah-
rungsort British Museum). Doch muss betont werden, dass es weder
das Konzept noch den Begriff „Winkel“ (wie in der griechischen Ma-
thematik) gibt [Raphals 2002].

Ein Beispiel aus Buch 9: Es soll aus einem Baumstamm (Quer-
schnitt kreisförmig angenommen, Durchmesser vorgegeben) ein Bal-
ken vorgegebener Breite herausgesägt werden. Die Lösung setzt vor-
aus, dass der Umfangswinkel über dem Durchmesser ein rechter ist

[Vogel 1983].

Hochinteressant ist die näherungsweise Berechnung von π durch Liu Hui im

Kommentar zum 1. Buch von Jiuzhang suanshu.

Die Berechnung von π hatte in China, möglicherweise durch indische Ge-
lehrte beeinflusst, eine lange Tradition. Der Astronom und Philosoph Zhang

Heng (78–139) hatte (wie?) konstatiert, dass sich das Quadrat des Kreis-

2.1 Mathematik im alten China

59

Abb. 2.1.15

Altchinesische Wissenschaftler: Zhang Heng (78–139) Astronom
und Philosoph; Zu Chongzhi (429–500) Mathematiker, Astronom und Ingenieur;

Seng Yixing (683–727) Astronom; Li Shizhen (1518–1539) Arzt und Pharmakologe

(Ausschnitte aus Briefmarken, China 1956)

umfanges zum Umfang des dem Kreis umbeschriebenen Quadrates wie 5:8

√
verhält. Das läuft auf die Näherung π ≈

10 ≈ 3,162 hinaus. Der Fehler liegt
unter 1%. Ein gewisser Wang Fan (gest. 267), ein Heerführer, gelangte (eben-
falls: unbekannt wie?) zu dem besseren Näherungswert π ≈ 142 / 45 = 3 , 1¯5.

Der Kommentar von Liu Hui benutzte die Annäherung an die Kreisfläche
durch eine Folge einbeschriebener k · 2 n-Ecke, beginnend mit dem Sechseck.

(Dies erinnert an die zeitlich frühere Exhaustionsrechnung von Archimedes in
dessen Kreisrechnung.) Liu Hui erhielt π ≈ 3,14150. Und Liu Hui erläutert:

„Je feiner man teilt, um so geringer ist der Fehlbetrag. Teilt man
immer weiter und weiter, so lange, bis die Teilung unmöglich wird,
so erhält man eine Übereinstimmung mit der Kreisfläche, und ein

Fehlbetrag tritt nicht mehr auf.“

(Zitiert nach [Juschkewitsch 1964, S. 58])

Noch bessere Näherungen für π fand der Astronom, Mathematiker und In-
genieur Zu Chongzhi (429–500) mit der Abschätzung

3,1415926 < π < 3,1415927 bzw. dem Näherungswert 355 / 113.

Jiuzhan suanshu (Neun Kapitel bzw. Neun Bücher) ist als Standard-

Lehrbuch noch lange, bis ins 13. Jahrhundert hinein, kommentiert und ana-
lysiert worden.

Liu Hui (ca. 263 n. Chr.) hat den „Neun Kapiteln“ einen eigenen Text an-
gefügt, bestehend aus neun Vermessungsaufgaben, unter dem Titel Haidao
suanjing (Sea Island Computational Canon, etwa: Mathematisches Hand-
buch von der Insel im Meer). Es geht u. a. darum, Höhe oder Breite nicht
zugänglicher Orte zu bestimmen, etwa die Höhe einer Bergspitze auf einer

Insel, einen Turm auf einem Hügel, die Tiefe eines Tales.

60

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen

Abb. 2.1.16

Liu Hui und sein „Exhaustionsverfahren“ zur Berechnung des

Kreisinhaltes (Ausschnitte aus einer Briefmarke China 2002 und einem Text von Tsai

Chen aus [Joseph Needham: Science and Civilization in China, vol. 3, Cambridge

University Press 1959], [Scriba/Schreiber 2005])

Die Vermessung beruht auf der Verwendung von zwei in einer Linie zum

Objekt und auf gleicher Höhe senkrecht errichteten gleichlangen Messstäben,
deren Abstand voneinander bekannt ist. Gefragt wird nach der Höhe der

Bergspitze und nach der Entfernung zu der vorderen Stange. Da eine Strecke
mit den beiden anliegenden Winkeln bekannt ist, ist das Dreieck konstruier-
bar sowie dessen Höhe.

In den „Neun Büchern“ werden Systeme linearer Gleichungen mit ein-
deutigen Lösungen behandelt. In der Folge wurden auch allgemeinere lineare

Aufgaben gestellt: unbestimmte oder diophantische Gleichungen.

Berühmt wurde die „Aufgabe der 100 Vögel“. Ihr Ursprung mag ins

5. Jahrhundert zurückreichen; sie findet sich um 475 n. Chr. in einem arithme-
tischen Handbuch und um 566 in einem Kommentar (die Datierungen gehen
auseinander: Martzloff/Juschkewitsch, Chemla). Die Aufgabe lautet:

„Wie viel Hähne, Hühner und Kücken kann man für 100 Münzen
kaufen, wenn man insgesamt 100 Vögel kauft und wenn ein Hahn

5 Münzen, eine Henne 4 Münzen und 4 Kücken eine Münze kosten?“

[Juschkewitsch 1964, S. 74f.]

Die Aufgabe ist nicht eindeutig lösbar; es gibt mehrere Lösungen, z. B.

15 Hähne, 1 Huhn und 84 Küken oder: kein Hahn, 20 Hennen und 80 Küken.

Dieser Aufgabentyp (mit diesen oder anderen Tieren) ist weit verbreitet. Er
tritt in Indien bei Bh¯
askara im 12. Jahrhundert auf, bei den Muslimen Ab¯
u

K¯
amil und al-K¯
aš¯ı, in Europa bei Alcuin und während der Renaissance. Die
allgemeine Lösung derartiger Probleme stammt von Leonhard Euler (1707–

1783).

2.1 Mathematik im alten China

61

Abb. 2.1.17

Illustration der Methode der doppelten Messungen (Blockdruck aus
der Enzyklopädie Tu Shu Yi Chen, 1726 [Frank G. Swets: The Sea Island Mathematical

Manual: Surveying and Mathematics in Ancient China, page 10, Fig 3, 1992, University

Park, PA: The Pennsylvania State University Press])

62

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen

Noch eine andere, sogar noch kompliziertere zahlentheoretische Proble-
matik tritt im alten China auf: das sog. chinesische Restproblem aus einem

Mathematischen Handbuch des Meisters Sunzi, entstanden zwischen 280 und

473. Modern gesprochen: Ein Gleichungssystem muss nach verschiedenen Mo-
duln gelöst werden.

„Es gibt Dinge, ihre Zahl ist unbekannt. Zählt man sie zu je drei ab,
ist der Rest 2, zählt man sie zu je fünf ab, so ist der Rest 3, zählt man
sie zu je sieben ab, so ist der Rest 2. Es ist gefragt, wieviel Dinge es
sind.“

[Juschkewitsch 1964, S. 76]

Gesucht ist – in moderner Schreibweise – eine Zahl N mit N ≡ 2 (mod 3),

N ≡ 3 (mod 5), N ≡ 2 (mod 7). Eine Lösung ist N = 233; die kleinste Lösung
ist 23. (Der originale Lösungsweg ist wiedergegeben bei [Juschkewitsch 1964,

S. 76].)

Wie aus späteren Berichten hervorzugehen scheint, sind derartige Aufga-
ben im astronomischen Zusammenhang entstanden. Ein Autor gab im Jahre

1247 ein Beispiel an: Die Wintersonnenwende tritt alle 365 14 Tage ein. Der

Mondmonat hat 29 499

940 Tage und der Zyklus ki sha-tsu umfasst 60 Tage. Nach
wie vielen Jahren oder Monaten oder Tagen wird eine vorgegebene Ausgangs-
position erreicht?

Das chinesische Restproblem wurde von Euler behandelt und endgültig
von Gauß in seinen berühmten Disquisitiones arithmeticae (1801) gelöst.

Das 13. Jahrhundert (späte Sung-Zeit und Yuan-Zeit (Mongolenherr-
schaft)) brachte einen bedeutenden Aufschwung der chinesischen Mathema-
tik. Es wird daher oft als „Goldenes Zeitalter“ bezeichnet. Die Gründe des
plötzlichen Aufschwunges werden gegenwärtig noch diskutiert; eine endgülti-
ge Antwort ist noch nicht gefunden. Aber es dürften Einflüsse von außerhalb,
von Indien und dem islamischen Bereich, wirksam gewesen sein. Beispiels-
weise traf im Jahre 1267 in Peking ein Mitarbeiter des Observatoriums von

Maragha (Iran) ein, der eine Reihe astronomischer Geräte mitbrachte [Jusch-
kewitsch 1964, S. 86]. Umgekehrt waren im 13. Jahrhundert chinesische Astro-
nomen in Maragha tätig. Auch ist unstrittig, dass die mongolischen Herrscher

Astronomie und Mathematik gefördert haben. Im Inhaltlichen erreichte die
eigenständige chinesische Mathematik ein Niveau, das das Westeuropas im

Mittelalter bei weitem übertraf. Im Einzelnen seien hervorgehoben:

–

Das „Pascalsche“ Dreieck als Muster zur Berechnung von Binominalkoef-
fizienten

–

Interpolationsformeln, analog zu den (späteren) sog. Newton-Stirling-

Formeln

–

Summationsformeln

–

Fang-cheng-Methode zur Lösung von Systemen linearer Gleichungen (ent-
spricht dem Gaußschen Algorithmus)

2.1 Mathematik im alten China

63

Abb. 2.1.18

„Pascalsches Dreieck“ (aus Siyuan yujian xicao und Yongle dadien)

[Martzloff 1997, S. 231]

–

Das sog. Chinesische Restproblem, d. h. Systeme von linearen Kongruen-
zen, sogar für nicht teilerfremde Moduln

–

Eine spezifische Form sphärischer Trigonometrie

–

Magische Quadrate

–

Kreis- und Kugelpackungen

–

Unendliche Reihen.

Der Höhepunkt der chinesischen Algebra ist die sog. Tianyuan-Methode. Da-
zu einige Erläuterungen: In unserem Sinn gibt es den Begriff „Gleichung“
nicht. Im Chinesischen handelt es sich um Polynome mit numerischen Ko-
effizienten. Tianyuan führt auf verschiedene Fragestellungen, unter anderem
auf die Bestimmung einer Lösung (Wurzel) der „Gleichung“. Der Grad des

Polynoms spielt keine Rolle; die Methode ist allgemein anwendbar. Die in der
europäischen Mathematik seit der Renaissance vorherrschende Aufgabenstel-
lung, die Lösungen in Radikalen anzugeben, wurde nicht weiter verfolgt.

Tianyuan ist eine Art Weiterentwicklung der fang-cheng-Methode. Bei-
de Methoden beruhen auf einem Zahlenalgorithmus; die Zahlen werden mit

Zahlstäbchen auf spezifische Positionen im Rechenbrett ausgelegt. Die Zif-
fern der „Lösung“ werden als ganzzahliger Anteil durch Probieren gefunden.

Dies führt auf Hilfsgleichungen, für die die nächste Dezimale gesucht wird.

(Für Einzelheiten vgl. [Juschkewitsch 1964], [Martzloff 1997] und [Alten et al.

2003, S. 124f.].)

64

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen

Diese Methode, die weit zurückreicht, erhielt bei Li Zhi (1192–1279) die

Benennung tianyuan shu (Methode des Himmelselementes). Tianyuan ist die

Bezeichnung für die Unbekannte, tia bedeutet „freies Glied“, yuan „Himmel“,
shu „Methode“.

Diese und andere Errungenschaften der chinesischen Mathematik sind von
einer ganzen Reihe von Mathematikern gefunden und schriftlich niedergelegt
worden. Einige der Texte haben sich erhalten und sind in teilweise kom-
mentierten Ausgaben wieder zugänglich (vgl. auch in [Martzloff 1997] den

Anhang „Books and Articles in Western Languages“, sowie Abhandlungen in

Chinesisch und Japanisch).

Hier sollen einige herausragende Vertreter und deren Schriften kurz vor-
gestellt werden.

Li Zhi (1192–1279) stammt aus der Nähe des heutigen Beijing (Peking).

Sein ursprünglicher Name war Li Yeh, den er aber wegen Namensgleichheit
mit einem ungeliebten Herrscher ablegte. Er lebte zeitweise als Einsiedler,
umgeben von Freunden, wurde aber schließlich gezwungen, der 1264 vom

Mongolenkaiser Kublai Khan (1260–1294) gegründeten Akademie beizutre-
ten, wirkte dort aber nur einige Zeit.

Neben zahlreichen anderen Werken stellte Li Zhi 1248 sein bedeutendstes

Werk Ceyuan haijing (oft unter der deutschen Bezeichnung „Der Seespiegel
der Kreismessung“) fertig. Es geht nicht – was man denken könnte – um die

Berechnung von π, sondern in der Hauptsache einerseits um die Zurückfüh-
rung geometrischer Aufgaben auf algebraische Gleichungen und andererseits
um Aufgaben über Kreise, die Dreiecken einbeschrieben sind. Negative Ko-
effizienten sind durch Querstriche gekennzeichnet.

Qiu Jiushao (ca. 1202–1261) war zeitweise hoher Beamter im südchinesi-
schen Staat Sun, der in Feindschaft stand zu dem von den Mongolen eroberten

Norden Chinas. So darf man annehmen, dass er zu seinem Zeitgenossen Li

Zhi keinen Kontakt hatte und keine seiner Schriften gekannt hat.

Im Jahre 1247 war das Werk Shushu jiuzhang (Neun Bücher über Mathe-
matik) fertiggestellt. Es ist, trotz annähernd gleichen Titels, anspruchsvoller
als das antike Buch. Nach einem zahlentheoretischen Teil enthält der Haupt-
teil eine ausführliche Darlegung des Verfahrens zur Auflösung von Gleichun-
gen höheren Grades, das wir heute nach Ruffini-Horner benennen.

Yang Hui (13. Jahrhundert) lebte im Süden Chinas. Er hat zahlreiche

Werke geschrieben, die sich insbesondere mit Arithmetik beschäftigten. Drei
seiner Werke sind 1275 in Yang hui suanfa (Yang Huis Methoden der Be-
rechnung) eingegangen, das auf Umwegen die Entwicklung der Mathematik
in Korea und Japan stark beeinflusst hat.

Zhu Shijie (Ende 13. Jahrhundert) ist der letzte der bedeutenden Mathe-
matiker jener glanzvollen Periode. Man weiß sehr wenig über ihn; jedenfalls
hat er Jahrzehnte als Wanderlehrer gewirkt. Die Originaltitel seiner Abhand-
lungen sind verloren gegangen. Der Titel seiner rekonstruierten Abhandlung

Siyuan yugan von 1303 wurde in der Vergangenheit oft mit „Jaspisspiegel der

2.1 Mathematik im alten China

65
vier Elemente“ übersetzt. In Anbetracht des Umstandes, dass der Titel mit
vier Charakteren si yuan yu jian geschrieben wurde, wurde auch die Übertra-
gung „Mirror trustworthy as jade relative to the four origins“ vorgeschlagen,
wo angespielt wird auf die Durchsichtigkeit und Klarheit des kostbaren Mi-
nerals Jade [Jock Hoe 1977]. Teile dieser Abhandlung sind anspruchsvoll. So
findet man eine Form der Bezeichnung für Gleichungen höheren Grades mit
vier Unbekannten, Aufgaben, die auf derartige Gleichungen führen, ferner die

Beschreibung der sog. Hornerschen Methode und die Verwendung der später
nach Newton benannten Näherungsformel.

Über die schwierigen Fragen der Übertragung chinesischer Titel von Ar-
beiten und Büchern, vor allem aber zu den altchinesischen Quellen vgl. J. W.

Dauben, Chinese Mathematics in [Katz (Ed.) 2007, S. 187-384].

66

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen

2.1.3 Zusammenfassung

Wesentliche Inhalte der chinesischen Mathematik

Ca. 1400 v. Chr.

Orakelknochen mit Zahlzeichen

Zhou-Dynastie

Zhoubi suanjing ( Chou Pei Suan Ching; Klassische Arithme-
tik des Chou Gnomon): Satz des Pythagoras, astronomische

Beobachtungen und Berechnungen, Kreis- und Dreickslehre

2. Jh. v. Chr.

Rechenbrett mit Stäbchen

Jiuzhang suanshu ( Chiu Chang Suan Shu; Neun Bücher
arithmetischer Technik): Berechnung einfacher ebener Figu-
ren; Näherungen für π, Kreisfläche, Kreisringe und -segmente,

Inhalte von Pyramide, Kreiskegel und Kegelstumpf; Anwen-
bis
dungen des Satzes von Pythagoras; Berechnung von Quadrat-
und Kubikwurzeln (mit einer Art Hornerschema); doppelter
falscher Ansatz für die Lösung linearer Gleichungen, fang-
cheng-Methode (analog dem Gaußschen Algorithmus) zur Lö-
sung von Systemen linearer Gleichungen; quadratische Glei-
chungen, unbestimmte Gleichungen

3. Jh. n. Chr.

LIU HUI: Haidao suanjing ( Hai Tao Suan Ching; Handbuch
zur Berechnung von Inseln): Berechnung von Daten nicht zu-
gänglicher Orte aus Messergebnissen. Kommentar zu „Neun

Bücher arithmetischer Technik“: Berechnung der Kreisfläche
durch Exhaustion

4./5. Jh.

Sunzi Suanjing: Dezimalsystem, Arithmetik, sog. chinesi-
sches Restproblem

5. Jh.

Zhang Qiujian Suanjing ( Chang Chui-chin; Arithmetisches

Handbuch): Aufgaben zum kleinsten gemeinsamen Vielfa-
chen, zu arithmetischen Reihen und Aufgabe der 100 Vögel

Ende 5. Jh.

Erste Kontakte mit indischen Gelehrten: Frühform der Tri-
gonometrie, Kalenderrechnungen

7./8. Jh.

Übernahme der indischen Ziffern

13. Jh.

„Goldenes Zeitalter“ der chinesischen Mathematik

LI ZHI (LI YEH): Ceayuan Haijing (Seespiegel der Kreismes-
sung): Algebraische Formulierung geometrischer Aufgaben

QIN JIUSHAO: Shushu jiuzhang (Neun Bücher über Mathe-
matik): Tianyuan-Methode zur numerischen Lösung algebrai-
scher Gleichungen (analog dem Horner-Schema)

YANG HUI: Kommentar zu den „Neun Büchern“

ZHU SHIJE: Siyuan yu jian (Kostbarer Spiegel der vier Ele-
mente): Darstellung und Lösung von Systemen nichtlinearer

Gleichungen, „Horner“-Schema und Näherungsformeln wie
die später nach Newton benannte

13.–15. Jh.

Austausch mathematischer Kenntnisse mit persischen und
zentralasiatischen Astronomen

16. Jh.

Übermittlung mathematischer und astronomischer Kenntnis-
se aus Europa durch Jesuiten in China

2.2 Entwicklung der Mathematik in Japan

67

2.2 Entwicklung der Mathematik in Japan

600 v. Chr.

Gründung Japans als Kaiserreich

400 n. Chr.

Übernahme der chinesischen Schrift
ab 7. Jh.

Aufstieg des Hofadels, Beamtenstaat
ab 13. Jh.

Die Schogun (Feldherren) sind die eigentlichen Machthaber
mit Samurai als Lehnsleuten

1542 oder 1543

Portugiesische Seefahrer entdecken die japanischen Inseln

1637

Das Schogunat schließt Japan von der Außenwelt ab

17./18. Jh.

Entfaltung einer reichen eigenständigen Kultur, Wasan-

Mathematik

1853/54

Der amerikanische Kommodore Perry „öffnet“ Japan für die

USA

1867/68

Meiji-Reformation, Ablösung des Schogunats durch absolute

Monarchie, Öffnung Japans für Handel, Übernahme westli-
cher Wissenschaft

1894

Chinesisch-japanischer Krieg

1904

Russisch-japanischer Krieg

7. 12. 1941

Angriff auf die USA in Pearl Harbour

1945

Atombomben auf Hiroshima und Nagasaki
ab 1950

Aufstieg zur modernen Wirtschaftsmacht

2.2.0 Historischer Hintergrund

Japan verdankt viele seiner kulturellen Güter dem Kontakt mit Korea und
insbesondere mit China, vor allem in seiner Frühphase. Daher ist es nahelie-
gend, die Entwicklung in Japan an die Darstellung der chinesischen Mathe-
matik anzuschließen.

Im 4./3. Jahrhundert v. Chr. wanderten vom Festland Stämme auf den

Inseln ein, die die Ureinwohner (Ainu) nach Norden abdrängten. Man hatte

Metallgeräte in Gebrauch und betrieb Nassfeldanbau.

Nach unsicheren Datierungen, wonach es bereits um 600 v. Chr. zur Grün-
dung eines japanischen Kaiserreiches gekommen sei, ist die Existenz eines
japanischen Staates um 350 n. Chr. gesichert. Nach dem kriegerischen Einfall

Japans in Korea im Jahre 380 kam man um 405/06 in Berührung mit der
chinesischen Schrift; auch heutige japanische Schriftzeichen sind zum gerin-
gen Teil mit chinesischen identisch, haben aber im Allgemeinen eine andere

Bedeutung. Um die Mitte des 6. Jahrhunderts drang der Buddhismus über

Korea nach Japan vor, mit wechselnder Bedeutung für Japan. In der sog.

Nara-Periode (710–784) – Nara war Hauptstadt – begann ein großer kultu-
reller Aufschwung, bei erstarkendem Feudalismus. 794 wurde die Hauptstadt
nach Heinau, dem heutigen Kyoto verlegt, später nach Edo, dem heutigen To-
kyo. Ende des 12. Jahrhunderts bildete sich die Regierungsform des „Bakufu“

(Zeltregierung) heraus; an der Spitze stand ein „Shogun“ (Oberbefehlshaber
zur Bekämpfung der Barbaren). Der Kaiser hatte kaum Regierungsgewalt.

68

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen

Abb. 2.2.1

Niederländisch-japanische Beziehungen, Begegnung zweier Kulturen

(Japan 2000)

In den Jahren 1274 und 1281 konnten Eroberungsversuche durch die Mon-
golen abgewehrt werden. Portugiesen tauchten 1543 als erste Europäer auf
und brachten Feuerwaffen nach Japan. Francisco Xavier kam 1549 als ers-
ter christlicher Missionar nach Japan. 1609 folgten die Holländer, 1613 die

Engländer. Allerdings schloss sich Japan 1636/39 rigoros gegen Einflüsse von
außen ab; nur die Holländer durften auf einer vorgelagerten Insel eine kleine

Handelsmission unterhalten. Einige wenige Bruchteile der westlichen Wissen-
schaft – z. B. Newtons Fernrohr – gelangten so nach Japan.

Unter Führung des US-Commodore Perry erfolgte 1853 gewaltsam die

„Öffnung Japans“ für den Handel mit den USA. Die Japaner hatten noch nie

Dampfschiffe gesehen; sie nannten die Furcht einflößenden Schiffe „Schwarze

Schiffe“. Durch Demonstration von Kanonenschüssen und westlicher Technik

(Eisenbahn, Telegraph) wurden die Japaner zum Einlenken bewegt.

Nach der sog. Meiji-Reformation von 1867/68, dem Übergang vom Feu-
dalismus zum Kaiserreich als zunächst absolute, dann konstitutionelle Mon-
archie, nahm Japan eine enorme Entwicklung und hatte schon um die Jahr-
hundertwende in einem Sturmlauf den Anschluss an die Weltwissenschaft
hergestellt. Die erste Eisenbahn fuhr bereits 1872! Westliche Gastprofesso-
ren wirkten in Japan, japanische Studenten wurden nach Europa und den

USA entsandt, um – wie es in der (damaligen) japanischen Verfassung hieß

– „Wissen auf der ganzen Erde zu suchen, auf dass die Grundlagen des Kai-
serreiches sicher errichtet werden.“

Im 20. Jahrhundert nahm Japan aktiv an der Entwicklung der Weltwis-
senschaft teil. Es verfügte über hervorragende Gelehrte, die teils im Lande,
teils im Ausland wirkten.

2.2 Entwicklung der Mathematik in Japan

69

2.2.1 Mathematik im alten Japan

Merkwürdigerweise – und darauf weist Martzloff [Martzloff 1997, S. 108]

hin – gibt es keine umfassende Geschichte der Mathematik in Japan in einer
westlichen Sprache. So sei verwiesen auf die altbewährten Darstellungen von

Y. Mikami The Development of Mathematics in China and Japan [Mikami

1913] und von D. E. Smith/Y. Mikami A History of Japanese Mathema-
tics [Smith/Mikami 1914]. Einen Überblick über die traditionelle japanische

Mathematik vermittelt [Martzloff 1993]. Empfehlenswert ist der Artikel von

Shigeru Nakayama: Japanese Scientific Thought im Vol. XV des Dictionary
of Scientific Biography, S. 728–758, in dem die Unterschiede der naturphiloso-
phischen Grundlagen zwischen Ost und West herausgearbeitet werden. Zur

Entwicklung der Geometrie in Japan vgl. [Scriba/Schreiber, 2. Aufl. 2005,

S. 129–141]. Daneben gibt es Einzelartikel biographischer Art über japani-
sche Mathematiker.

Aus der Frühzeit Japans gibt es keinerlei verlässliche Informationen. Unter
dem Kaiser ¯

Ojin (284 v. Chr.) drangen chinesische Schriftzeichen in Japan ein
und Angehörige des Adels lernten lesen und schreiben. Mit Sicherheit gab es
wie überall mystische Vorstellungen über Himmel und Sterne, auch bezüglich
der Zahlen. Wir wissen von einer verschollenen Rückbesinnung auf vergan-
gene Zeiten, Jindai monji (etwa: Buchstaben aus dem Zeitalter der Götter),
einer Art Kabbala. Einigermaßen sichere Informationen aus der Frühzeit be-
sitzen wir dagegen vom Zahlensystem, dezimal aufgebaut und in der Lage,
hohe Potenzen von 10 in Worten auszudrücken. Es gab Maßsysteme und Ka-
lender, aber wir wissen nicht, wie man rechnete – mit Fingern oder Symbolen?

Die Einführung des Buddhismus in Japan wird häufig auf das Jahr 552
n. Chr. datiert, als eine Buddha-Statue bei Hofe aufgestellt wurde. Koreani-
sche Priester brachten überdies die chinesische Zeitrechnung, Astrologie und

Kalender. Im Jahre 604, in der Regierungszeit der Kaiserin Suiko, wurden
erstmals Almanache in Japan verwendet, und in dieser Zeit erwies sich Prinz

Abb. 2.2.2

Commodore Perry „öffnet“ Japan (Markenmotiv USA 1953)

70

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen

Sh¯
otoku Taishi als Förderer des Buddhismus und des Lernens, sodass man
ihn als Vater der japanischen Arithmetik und sogar (irrtümlicherweise) als

Erfinder des Abakus verehrte. Bald darauf wurde das chinesische Maßsystem
übernommen. Man erfand die Wasseruhr, teilte den Tag in 100 Stunden und
errichtete ein Observatorium.

Im Jahre 701 errichtete man eine Art Universitätssystem, das auch Ma-
thematik umfasste und später auf neun chinesische Lehrbücher zurückgriff,
möglicherweise auf Liu Hui und auf den chinesischen Klassiker Neun Bücher
arithmetischer Technik.

Es scheint, dass wesentliche Bestandteile der chinesischen Mathematik
bewusst übernommen worden sind, wenn auch in der Kaste der Samurai

Mathematik nur hinsichtlich ihres intellektuellen Gehaltes anerkannt wurde,
die Bindung an kaufmännisches Rechnen jedoch verpönt war [Smith/Mikami

1914, S. 7–17]. Diese Verachtung galt auch dem Gebrauch des soroban, der
japanischen Variante des chinesischen suanpan.

Der japanische soroban ist eine relativ späte Erfindung; man weiß nicht
genau, wann er aus China nach Japan gekommen ist. Zu Beginn des 17. Jahr-
hunderts war er jedoch in häufigem Gebrauch. Gelegentlich wird dies mit Mei

Wenting (1633–1721) in Verbindung gebracht [Smith/Mikami 1914, S. 19].

Abb. 2.2.3

Gebrauch des Soroban. Aus einem Werk von 1825

[Smith/Mikami 1914, S. 43]

2.2 Entwicklung der Mathematik in Japan

71

Noch 1945 erwies sich der soroban den damals gebräuchlichen elektrischen

Rechenmaschinen als überlegen: Am 12. Nov. 1945 schlug Kiyoshi Matsuzaki,
der Champion des soroban im japanischen Postministerium, den „als besten

Bediener elektrischer Rechenmaschinen in Japan“ qualifizierten Amerikaner

Thomas Nathan Woods in einem Wettkampf mit fünf Aufgaben zu den vier

Grundrechenarten 4:1! [Ifrah 1986, S. 154].

Nebenher – und schon früher – waren die aus China übernommenen

Rechenstäbchen in Gebrauch, genannt sanchi oder sangi. Sie wurden auf
vorbereiteten Tafeln mit quadratischen Feldern ausgelegt, entsprechend dem
sehr alten chinesischen Zahlensystem; rote Stäbchen repräsentieren positive,
schwarze negative Zahlen. Das Verfahren diente zum Lösen von Gleichungen,
unter Bezug z. B. auf den Chinesen Li Zhi (Li Yeh, 13. Jh. n. Chr.).

Beispielsweise bedeutet (in der Schreibweise von Li Zhi, 1248)

die Gleichung 1 x 3 + 15 x 2 + 66 x − 360 = 0.

ist das Zeichen für Monade

(Einheit);
bewirkt Subtraktion;
bedeutet die Null. In späterer Handha-
bung ist der Term 11 520 − 432 x − 236 x 2 + 4 x 3 + x 4 auf dem Brett ausgelegt,
von oben nach unten:

Dazu existierte ein sinnvoller Algorithmus, um wenigstens eine Lösung der

Gleichung zu finden, ähnlich dem Hornerschen Schema. Für Einzelheiten sei
verwiesen auf [Smith/Mikami 1914, S. 47–58].

72

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen

Abb. 2.2.4

Mathematiker arbeitet mit Stäbchen auf dem Rechenbrett

(aus Miyake Kenrys 1795 in [Smith/Mikami 1914, S. 29])

2.2.2 Die Renaissance der japanischen Mathematik

Eine glanzvolle Periode der japanischen Mathematik wird auf die Zeit vom

Ende des 16. Jahrhunderts bis etwa 1675 datiert. Gestützt auf chinesische

Quellen erreichte die japanische Mathematik ein hohes Niveau, durchaus ver-
gleichbar mit der Entwicklung in Westeuropa in der Zeit von Leibniz und

Newton, bis hin zur Infinitesimalrechnung. Freilich war der naturphilosophi-
sche Hintergrund anders: In Europa ging es, philosophisch gesehen, um die

Enthüllung des göttlichen Schöpfungsplanes; in der japanischen Mathematik

(genannt wasan) eher um Schulung des Geistes, um Scharfsinn, um Kunstfer-
tigkeit. Deren Heimstatt waren die Tempel. Auf geschmückten Holztafeln –
genannt sangaku – wurden die mathematischen „Denksportaufgaben“ ange-
schlagen und die Teilnehmer als Dank an die Gottheit zur Lösung aufgefor-
dert.

Abb. 2.2.5
a) Tor zum Toshogus-Schrein in Nikko, erbaut 1636 (Japan 1978)

b) Burg Matsumoto, erbaut von Fürst Koei Ishikawa 1597 (Japan 1977)

2.2 Entwicklung der Mathematik in Japan

73

Abb. 2.2.6

Aus der Trigonometrie (1656) von Yamada Jusei. Das Messdreieck
in der Hand weist auf die Verwendung von ähnlichen Dreiecken hin. [Smith/Mikami

1914, S. 64]

Diese Periode fällt in ihrem zeitlichen Beginn fast genau zusammen mit
der Edo-Periode der politischen Geschichte (1603 bis 1867/68), als Japan
sich von fremden Einflüssen fast völlig abschloss. Edo war der Name („Ost-
hauptstadt“) für die neugewählte Hauptstadt. Edo ist das heutige Tokyo. Zu

Anfang des 18. Jahrhunderts hatte Edo bereits mehr als eine Million Ein-
wohner und war damit eine der größten Städte der Erde.

Die Edo-Periode, zumindest in ihrer ersten Phase, war eine Zeit der kul-
turellen Hochblüte: Baukunst, Städtegründungen, Theater, Literatur (groß-
artige Romane und Lyrik) und eben auch Mathematik. Aus einer stattlichen

Reihe von Mathematikern jener Periode vom Ende des 16. Jahrhunderts bis
etwa 1675 sind uns viele namentlich bekannt, und sogar ein Teil der Werke hat
sich erhalten; allerdings sind manche Lebensdaten unbekannt oder unsicher.

Beginnen wir mit Yoshida Koyu (1598–1672). Er stammt aus einer Ge-
lehrtenfamilie und löste ein breites öffentliches Interesse an Mathematik aus,
nachdem er chinesisch gelernt hatte. Er war Schüler des Mathematikers M¯
ori

Kambei (Beginn 17. Jahrhunderts), der in Kyoto lehrte und viel zur Ver-
breitung des soroban beitrug. Yoshida schrieb 1627 das Werk Jinkoki und
dies erfuhr weite Verbreitung, auch nach dem Tode des völlig erblindeten

Autors. Der Titel benutzt chinesische Ideogramme und bedeutet soviel wie

„Abhandlung über Zahlen von der größten bis zur kleinsten“. Gelehrt wird das

Rechnen auf dem soroban, einschließlich der Berechnung von Quadrat- und

Kubikwurzeln. Für π wird der Wert 3,16 angegeben. Von den ursprünglich

18 Büchern sind nur 3 erhalten; sie wurden als erste mathematische Bücher

Japans auch gedruckt.

74

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen

Abb. 2.2.7

Aus dem Ketsugi-shô von Isomura (2. Aufl. 1684)

[Smith/Mikami 1914, S. 66]

Jinkoki erreichte eine solche Popularität, dass der Buchtitel zum Synonym
des Rechenverfahrens wurde, ähnlich wie es in Europa mit „Algorismus“ ge-
schah. [Smith/Mikami 1914, S. 61].

Ein weiterer Schüler von M¯
ori war Imamura Chish¯
o, der, anders als Yos-
hida, noch in klassischem Chinesisch schrieb. Ein 1639 erschienenes Werk

( Jugai-roku) beschäftigte sich mit den Berechnungen von Flächen und Vo-
lumina bei Kreis, Kugel, Kegel. Für π verwendete er den Wert 3,162. Bald
darauf publizierte Imamura ein Buch über den soroban, und zwar in Versen,
damit man sich den Inhalt besser merken könne. Ähnlich war man in Indien
verfahren.

Abb. 2.2.8

Zwei einfache Beispiele magischer Kreise. In den verschiedenen

Durchmessern und in den Kreisen sind die Summen der dort stehenden Zahlen
jeweils gleich. [Smith/Mikami 1914, S. 71]

2.2 Entwicklung der Mathematik in Japan

75

Abb. 2.2.9

Frühe Schritte hin zum Calculus (aus Sawaguchi Kazuyiki: Kokon

Sampô-ki 1670) [Smith/Mikami 1914, S. 87]

Die Quellen würdigen eine Dreiheit von Schülern des M¯
ori; der dritte war

Takahara Kisshu, der kaum publizierte, aber als hervorragender Lehrer hohes

Ansehen genoss.

Die unmittelbar folgende Zeit (die 50er und 60er Jahre), geprägt von
ausgedehntem Interesse an Mathematik, sah eine Vielzahl von Autoren und

Publikationen, vgl. [Smith/Mikami 1914, S. 64ff.]. Gegenstand ihrer Abhand-
lungen waren kaufmännisches Rechnen, Vermessung, Approximationen von π,
reguläre Polygone, magische Quadrate und magische Kreise. So publizierte

Yamada Jusei 1656 eine Einführung in die Trigonometrie.

Ein anderer Mathematiker, Isomura Kittoku, ein „Enkelschüler“ von M¯
ori,
hat ein reichhaltiges und weitreichendes Werk hinterlassen; fünf Bücher er-
schienen 1660 und erneut 1684. Darin werden zahlreiche Aufgaben gestellt,
teilweise im Rückgriff auf Yoshida.

Ein Beispiel aus den von Yoshida übernommenen Aufgaben: „Man soll die

Länge der kleinen Achse einer Ellipse finden, deren Fläche 748,940625 und
deren große Achse 38 Maßeinheiten ist.“ (Nach [Smith/Mikami 1914, S. 69])

76

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen

Die Reichweite seiner Methoden umfasst Vorstufen der Integralrechnung
und, nach Art der chinesischen Vorbilder, lineare Gleichungssysteme. Eine

Besonderheit sind seine magischen Quadrate und magischen Kreise.

Wir übergehen viele weitere interessante Mathematiker Japans mit inter-
essanten Ergebnissen und erwähnen nur noch Sawaguchi Kazuyuki, anfangs

Schüler von Takahara Kisshu, später dann von Seki, über den noch ausführ-
lich zu berichten sein wird. Sawaguchi schrieb das Werk Kokon Samp¯
o-ki

(etwa: „Alte und neue Methoden der Mathematik“), das aus sieben Büchern
besteht.

Seine Näherungen an den in Europa entwickelten Calculus (die Infinitesi-
malrechnung) erinnern von fern an Cavalieri. Gleichungen 1. Grades heißen

„Divisionsausdrücke“, Gleichungen höheren Grades heißen „Wurzelausziehen-

Ausdrücke“. Eine Suche nach weiteren Wurzeln, wenn eine gefunden ist, wird
nicht systematisch betrieben.

Eine Probe:

„Da ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse 6, und die Sum-
me der Fläche und der Quadratwurzel einer Seite ist 7,2384. Gesucht
sind die Längen beider Seiten.“

[Smith/Mikami 1914, S. 88, englisch, dt. Übers. Wg]

Und eine andere Probe:

„Man hat ein rechteckiges Stück Land, 300 Maßeinheiten lang und

132 Maßeinheiten breit. Die Fläche soll unter 4 Männern zu gleichen

Teilen in der folgenden Weise so geteilt werden, dass drei Teile qua-
dratisch sind.“

[Smith/Mikami 1914, S. 89, dt. Übers. Wg]

Bei Trennung der 4 Positionen durch gleichbreite Straßen gibt es folgende

Lösungen (ME = Maßeinheit):

1. 3 Quadrate à 90 ME Seitenlänge, 4. Position 27 ME breit, Straßen 15

ME breit,

2. 3 Quadrate à 60 ME Seitenlänge, 4. Position 12 ME breit, Straßen 60 ME
breit.

1. Lösung: Jeder erhält 8100 (ME)2,

3 ∗ 902 + 27 ∗ 300 = 4 ∗ 8100 = 32 400 (Für Straßen bleiben 7200

Einheiten.)

2. Lösung: Jeder erhält 3600 (ME)2,

3 ∗ 602 + 12 ∗ 300 = 4 ∗ 3600 = 14 400 (Für Straßen bleiben 25 200 Ein-
heiten.)

Der Höhepunkt der japanischen Mathematik während der Edo-Periode
verbindet sich mit dem Namen von Seki Takakazu (auch Seki Kôwa, 1642?–

1708), der gelegentlich – zu Recht – mit Newton verglichen wird. Die „Ähn-
lichkeit“ geht sogar so weit, dass Seki zufällig im selben Jahre (bei entspre-

2.2 Entwicklung der Mathematik in Japan

77

Abb. 2.2.10

Figur zur Aufteilung einer Fläche
chender Kalenderzählung) geboren wurde, als Galilei starb und Newton ge-
boren wurde. Allerdings muss bedacht werden [Sato 2003], dass sich kein Text
mit der Handschrift von Seki erhalten hat und dass sogar einige Arbeiten,
die in seine Gesammelten Abhandlungen (1974) aufgenommen wurden, wohl
teilweise auf seine Schüler zurückgehen. Wir schließen uns hier an den Artikel
von Akira Kobori im [DSB, Vol. XII, S. 290–292] an.

Die gesicherten biographischen Daten sind kümmerlich. Seki war zweiter

Sohn eines Samurai und wandte sich dennoch den Wissenschaften zu. Er stu-
dierte bei einem Schüler von M¯
ori, der 1622 das erste in Japanisch geschrie-
bene Mathematikbuch Warizansyo (ein Buch über Division) verfasst hatte.

Von besonderem Einfluss auf Seki war eine Sammlung von Problemen, die
mit der chinesischen Methode des „Himmelselementes“ gelöst werden konn-
ten. Sie gestattete, solch ein Problem in eine Gleichung mit einer Variablen
zu überführen. Daraus ging in mehreren Schritten 1670 ein Werk hervor, von
dem der Autor behauptete, die dortigen 15 Probleme ließen sich nicht mit
der Methode des Himmelselementes lösen.

78

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen

Hier setzte Seki ein. Seine Lösungen aus dem Jahre 1674 wurden von
seinem Schüler Katahiro Takebe (Hikojirô Kenkô Takebe (1664–1739)) 1685
publiziert und damit bekannt gemacht, obwohl der Hauptinhalt der Methode
noch einige Zeit geheimgehalten wurde. Erst eine weitere postume Darstel-
lung eröffnete den Zugang zu Sekis Methode.

Es handelt sich um allgemeine Theorien für algebraische Gleichungen,
anwendbar auf Gleichungen jeden Grades. Sie bezwecken die Suche nach Nä-
herungslösungen (aus Mangel an eigentlichen algebraischen Denkweisen), ge-
stützt auf das (viel später in Europa) nach dem englischen Mathematiker

William George Horner (1786–1837) benannte Schema. Obwohl er weder ei-
ne Vorstellung noch einen Begriff von einer Ableitung hatte, bildete Seki
für einen algebraischen Ausdruck f ( x) (modern geschrieben) den Ausdruck
f ( x) und konnte so Doppelwurzeln von f ( x) = 0 finden. Um lineare Glei-
chungssysteme zu behandeln, bildete er das, was wir Determinante nennen.

Im Fall von drei Gleichungen mit drei Unbekannten formulierte er für die

Bezeichnung der Determinante eine Vorschrift, welche der Regel von Sarrus
entspricht. Eine andere Methode ist der Bildung von Differenzen ähnlich.

Seki suchte die Summe der n ersten p-ten Potenzen zu finden, also sp =

1 p+2 p+ · · ·+ np für p = 1 , 2 , 3 , . . . und stieß dabei auf die heute nach Bernoulli benannten Zahlen.

Mit der Methode Enri (etwa: Prinzip vom Kreis) leistete er die Rektifika-
tion des Kreisumfanges, eines Kreisbogenstückes und die Kubatur der Kugel.

Die Methode besteht beispielsweise darin, den Einheitskreis durch ein- bzw.

umbeschriebene reguläre Polygone mit der Eckenzahl 2 n bis n = 17 zu ap-
proximieren. Für n = 17 erhielt er für π den Wert 3,141 592 653 288 902 775 5.

Analog verfuhr er beim Kreisbogen. Auch erhielt er Sätze, die den Guldin-
schen Regeln entsprechen.

Anders als in China gab es in Japan keine staatlich geförderten Aus-
bildungsstätten für Mathematik. Der Unterricht spielte sich statt dessen in
privaten Schulen ab, die sich im Umfeld von bedeutenden Mathematikern und

Abb. 2.2.11

Ausschnitte aus einem Bild von Seki Takakazu, aus [Masahito Fuji-
wara], [Wikimedia Commons] (Japan 1992)

2.2 Entwicklung der Mathematik in Japan

79
deren Schülern bildeten. Da Methoden und Ergebnisse geheim gehalten wur-
den, gab es, Folge oder Ursache, teils erbitterte Fehden und Beschuldigungen.

Einige Namen von Mathematikern der Edo-Periode seien wenigstens ge-
nannt: Aida Ammei (1747–1817), Ajima Chokuyen (1739–1783), Waden Nei

(1787–1840), Hasegawa Ken (ca. 1783–1838), Arima Raido (1714–1783), Ko-
ide Shuki (1797–1865), Omura Isshu (1824–1871).

Da Mathematik kaum als Wissenschaft, etwa in Verbindung mit Naturfor-
schung, betrachtet wurde, sondern als eine Kunst, wurden z. B. die aus China
vorgelegten Logarithmentafeln und einige aus den Niederlanden einfließende
naturwissenschaftlich-mathematische Ergebnisse kaum beachtet. Einige Er-
gebnisse der westlichen Mathematik gelangten dennoch nach Japan, teils über
vom Westen beeinflusste chinesische Abhandlungen, teils auch durch in Ja-
pan tätige christliche Missionare, die unter schwierigsten Lebensumständen
arbeiten mussten.

Doch erzielten die zahlreichen japanischen Mathematiker während der

Edo-Periode mit Scharfsinn und Phantasie hervorragende Ergebnisse, aber
wir müssen darauf verzichten – schon aus Platzgründen – die einzelnen Ergeb-
nisse den Personen zuzuordnen. Dazu sei auf die „Chronologie der japanischen

Mathematik“ in [Mikami 1913, S. 178–191] verwiesen. Es seien immerhin die

Reichweite und Hauptarbeitsfelder jener im wesentlichen eigenständigen ja-
panischen Mathematik während der Edo-Periode genannt: Oberfläche und

Volumen der Kugel, Bogenlänge, Reihenentwicklungen für π, Kettenbrüche,
einbeschriebene Kreise z. B. in Dreiecke oder einen größeren Kreis, Oberfläche
eines Ellipsoides, Gleichungen höheren Grades mit der Suche nach Wurzeln
mittels Approximationen, magische Quadrate, Rollkurven, Kettenlinie, ebene
und sphärische Trigonometrie (ausführlich in [Mikami 1913], [Smith/Mikami

1914], siehe auch [Scriba/Schreiber, 2. Aufl. 2005, S. 134ff.]).

Dem gewaltsamen Sturz des Feudalsystems in der sog. Meiji-Restauration

1867–68 und der Errichtung der konstitutionellen Monarchie in Japan folgte

Abb. 2.2.12

100 Jahre Eisenbahn 1872–1972; Internationaler Kongress der Ma-
thematiker in Kyoto 1990 (Japan 1972, 1990)

80

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen
ein vollkommener Bruch mit den Traditionen, auch in Technik und Wissen-
schaft. Die Aneignung der von Europa und den USA geprägtem Wissenschaft
wurde offizielles Ziel; selbst die Kenntnis der Schrift in den alten Texten ging
verloren. Die japanische Mathematik ist schon am Ausgang des 19. Jahrhun-
derts, nehmend und auch bald gebend, Teil der Weltwissenschaft und der
mathematischen Welt geworden. Als Anerkennung der von japanischen Ge-
lehrten im Inland und im Ausland vollbrachten Leistungen in Mathematik
und theoretischer Physik fand der Internationale Mathematikerkongress 1990
in Kyoto statt.

Wesentliche Inhalte der Mathematik in Japan

Frühzeit

Einflüsse aus China: Chinesische Schrift- und Zahlzeichen, de-

(bis 552 n. Chr.)

zimal aufgebautes Zahlensystem

Mittelalter

Eindringen der chinesischen Wissenschaft: Zeitrechnung und

(552–1603)

Kalender, Maßsystem, Rechenstäbchen, Rückgriff auf chinesi-
sche Lehrbücher

17. Jh.

Renaissance der japanischen Mathematik nach Berührung mit

Portugiesen und Niederländern, erster Begegnung mit euro-
päischer Wissenschaft und unter erneutem Einströmen chine-
sischer Wissenschaft: Berechnung von Quadrat- und Kubik-
wurzeln mit Hilfe von Rechenstäbchen, Näherungswerte für π,

Rechnen mit dem soroban.

Ab 1639 Isolation Japans und Entstehung der eigenständigen

Mathematikkultur wasan als intellektueller Zeitvertreib

1627

YOSHIDA K ¯

OY ¯

U: Jinko-ki : Sammlung von Aufgaben aus An-
wendungen und Unterhaltungsmathematik

1639

IMAMURA CHISHÔ: Jugai-soku: Kreisfläche, Volumina von

Kugel und Kegel; Studium von Kreispackungen und regelmä-
ßigen Vielecken

1684

ISOMURA KITTOKU: Ketsugi-sho: Lineare Gleichungssyste-
me, magische Quadrate und Kreise

Um 1700

SEKI TAKAKAZU und TAKEBE KATAHIRO: Behand-
lung linearer Gleichungssysteme mit Determinanten und

Differenzen-Methoden; Näherungslösungen algebraischer Glei-
chungen mit dem später nach Horner benannten Schema; Be-
rechnung von Kreisbögen und Kugelvolumen nach dem Enri -

Pronzip (spezielle iterative Verfahren, die auf unendliche Rei-
hen führen)

18. Jh.

Verallgemeinerung von Kreispackungen auf Kugelpackungen

2.3 Mathematik im alten Indien

81

2.3 Mathematik im alten Indien

Allgemeine Geschichte

Kulturgeschichte
ca. 2650

Städtische Hochkulturen

Schrift (noch nicht gültig
bis 1700
im Industal: Harappa,
entziffert)

Mohenjo-Daro
nach 1500

Einwanderung indoarischer
v. Chr.

Stämme aus Nordwesten

1200–500

Vedische Zeit

1028 Preislieder auf Götter,

1200–900

Rigveda
ältestes Literaturdenkmal

(erst 1000 Jahre später
schriftlich fixiert)

900–600

Erste Staatsgründungen,

Brahmanismus im Gangestal:

Indoarier im Raum Delhi

Feueropfer für Götter,

Vier Stände mit strenger

Opfertexte in vedischer Sprache

Hierarchie
mit Reihen großer Zahlen
um 600

Sanskrit entsteht als brahmani-
v. Chr.

sche Gelehrtensprache.

Regeln für Vermessung der

Opferplätze,

Beginn der Geometrie

Mitte des

Neues Ziel der Religion:

Drei Wege zur Erlösung

1. Jahr-

Erlösung, Glaube an
aus dem Kreislauf der
tausends

Seelenwanderung und

Geburten:

Tatvergeltung

560–480 ?

Siddharta Gautama Buddha

Buddhismus:

Moralischer Lebenswandel,

Meditation

540–478 ?

Vardham¯
ana Nathaputta

Jainismus:

Mahav¯ıra

Moralisches Leben und
harte Askese
ab 500

Wandlung des Brahmanismus

Hinduismus:

Seelenwanderung gemäß dem

Karma
ab 400

Heldenepen Mah¯
abh¯
arata
und R¯
am¯
ayana

518–468

Persische Satrapie Gandhara

Aramäische Sprache und

Schrift

327–325

Alexander d. Große am Indus

322–184

Großreich der Maurya-Dynastie Tempel und Steinplastiken

272–236

Kaiser Ashoka Maurya

Fels- und Säuleninschriften
in Kh¯
aros.t.¯ı- und Br¯ahm¯ı-Schrift
mit Zahlzeichen

184 v. Chr.

Verschiedene Staaten

Hellenistischer Einfluss
bis
herrschen von außerhalb
auf Astronomie und Mathematik:

320 n. Chr.

im NW Indiens

Trigonometrie

82

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen

Allgemeine Geschichte

Kulturgeschichte

320–544

Großreich der Gupta-

Goldenes Zeitalter von Kunst

Dynastie mit Zentrum
und Wissenschaft
im NO Indiens

5. Jh. bis

Viele Dynastien in

Hochblüte der Mathematik

12. Jh.

Kleinstaaten

788–820

Vedantha-Lehre des Sankara

Orthodoxer Hinduismus
entsteht:

Hinduklöster

700–1200

Vordringen des Islam

Bericht von ¯
al-B¯ır¯
un¯ı
über Indien

1001–1026

Raubzüge des Mahmud von

Zerstörung

Ghazna
buddhistischer Klöster

1206–1508

Sultanat von Delhi in

Nordindien

1498

Vasco da Gama landet in

Christliche Gemeinde

Calicut
im portug. Goa

1206–1858

Großreich der Mogul-Dynastie, Prachtbauten der Moguln
ab 1700 immer mehr zerfallend in Agra, Delhi, Lahore,

Fatehp¯
ur Sikri

1600

Gründung der

Einfluss westeuropäischer

East Indian Company

Kultur

1858

Indien wird britische Kolonie

Englisch Verwaltungs- und

Bildungssprache

1947

Unabhängigkeit und Teilung
in Indien und Pakistan

Loblied auf die Mathematik (Mahav¯ıra)

„Das Rechnen ist bei allen Arbeiten nützlich, die mit weltlichen, kul-
tischen oder anderen ähnlichen religiösen Dingen zusammenhängen.

Die Wissenschaft des Rechnens wird hoch geachtet in der Lehre der

Liebe, in der Lehre vom Reichtum, in der Musik und im Drama, in der

Kochkunst, in der Medizin, in der Architektur, bei der Silbenmessung,
in der Dichtkunst und Poesie, in der Logik und Grammatik sowie in
anderen Dingen. Sie wird verwendet im Zusammenhang mit der Be-
wegung der Sonne und anderer Himmelskörper, im Zusammenhang
mit den Finsternissen und den Konjunktionen der Planeten sowie
im Zusammenhang mit der Richtung, der Lage und der Zeit und mit
dem Lauf des Mondes. Die Anzahl, die Durchmesser und Umfänge
der Inseln, Ozeane und Berge, die Ausmaße der Ansiedlungen und
der Gebäude der Weltbewohner, der Räume zwischen den Welten, der

Welt des Lichtes, der Welt der Götter und der Bewohner der Hölle
und andere mannigfache Vermessungen, all das wird mit Hilfe der

Mathematik bewerkstelligt.“ (Deutsch zitiert in [Juschkewitsch 1964,

S. 92])

2.3 Mathematik im alten Indien

83

Abb. 2.3.1

Kulturen und Staaten Indiens im Altertum und im Mittelalter

84

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen

Abb. 2.3.2

Sarasvati, Göttin der Wissenschaft und Lehre. An allen Schulen und

Universitäten wird ihr Bild verehrt [Relief aus dem 12. Jh., Vorderseite einer Medaille
aus Anlass der 4. Welt-Sanskrit-Konferenz 1979 in Weimar]

2.3.0 Vorbemerkung

Es ist außerordentlich schwierig, die aus Indien stammenden mathematischen

Werke in die indische Kulturgeschichte einzufügen. Die Inder haben große

Phantasie, aber keinen Sinn für Geschichte gehabt. Um seinem Werk An-
erkennung zu sichern, nennt ein indischer Autor (in früherer Zeit!) anstelle
seines Namens lieber den eines Menschen der Vorzeit oder – noch besser –
den eines Gottes (z. B. S¯
urya-siddh¯
anta „Astronomisches Lehrbuch des Son-
nengottes“). Eigene Erkenntnisse werden oft in einem Kommentar zu einem
älteren Werk verpackt, in dem das alles angeblich schon versteckt enthalten
war.

Über Art und Zeit der Autoren wird, da es auf sie wenig ankommt, oft
nur ungenau oder mangelhaft unterrichtet. So ist ein außerordentlich wichti-
ges Werk in seiner Datierung so umstritten, dass die einen das 4./5. Jh., die
anderen das 12. Jh. n. Chr. als Entstehungszeit annehmen. Wie kann man
ein solches Werk historisch richtig würdigen? Und der Mann, der am Be-
ginn der uns bekannten Geschichte der indischen Mathematik steht (5. Jh.

n. Chr.), hat wahrscheinlich im Nordosten Indiens, in der Hauptstadt des

Guptareiches gelebt, vielleicht aber auch in Südindien, mehrere Tausend Ki-
lometer entfernt. Südindien scheint in der Mathematikgeschichte eine be-
sonders große Rolle zu spielen. Festzustehen scheint, dass die indische Ma-
thematik in dem sehr komplexen kulturellen Erbe Indiens dem brahmanisch-
hinduistischen Strang zuzuordnen ist. Darauf deuten die Namen der Verfasser

2.3 Mathematik im alten Indien

85

Abb. 2.3.3

Mohenjo-Daro (Pakistan 1976)

und der Werke hin, sowie die Sprache, in der sie verfasst sind (Sanskrit). Die
türkisch-mongolischen Muslime haben als Herrscher über Jahrhunderte wohl
kaum dazu beigetragen, aber die Architektur Nordindiens stark geprägt und
von da aus vielleicht Anstöße zu Hindu-Bauten, wie der Sternwarte des Jai

Singh gegeben.

2.3.1 Historischer Überblick

Im dritten Jahrtausend entwickelte sich im Nordwesten des indischen Sub-
kontinents, im Bereich des Flusses Indus (heute Pakistan) eine Hochkultur,
die mit der mesopotamischen und ägyptischen durchaus verglichen werden
kann. Sie hatte ihren Vorläufer in der bäuerlichen Amri-Kultur am Unterlauf
des Indus in der Region Sindh (4. Jtd. v. Chr.). Ausgrabungen seit den 20er

Jahren des vorigen Jahrhunderts brachten eine Stadtkultur zutage, die von
etwa 2650 bis 1700 bestand. Handel und Handwerk blühten. Handelsbezie-
hungen reichten nach Mesopotamien, Bahrain, Persien, Afghanistan, Arabien
und Zentralasien.

Mohenjo-Daro, rechts vom Indus gelegen, war wohl die bedeutendste

Stadt. Sie besaß rechtwinklig zueinander angelegte breite Straßen. Die Zi-
tadelle war aus gebrannten Ziegeln errichtet. Die Häuser der Mittelschicht
verfügten über Bäder, und die gesamte Stadt besaß eine wohldurchdachte

Kanalisation. Es wurden zahlreiche Terrakotta-Figuren gefunden, auch die
berühmte Bronzefigur einer Tänzerin.

Harappa – in der Blütezeit mit vielleicht 40 000 Einwohnern – lag am lin-
ken Ufer eines nun trocken gefallenen Flusses. Auch hier fanden sich Überreste
einer Zitadelle sowie Reste eines Schmelzofens. In Gebrauch waren genormte

Ziegel (Seitenverhältnisse 1:2:4) und vereinheitlichte Gewichte.

86

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen

Abb. 2.3.4

Frühe Induskultur, Siegel mit Einhorn (Pakistan 1984)

Es gab eine Schrift, die noch nicht gültig entziffert werden konnte. Doch
kann man aus archäologischen Funden einige Informationen über die in den

Induskulturen bekannten mathematischen Kenntnisse beziehen.

Einige Kenntnis besitzt man über die frühen Zahlenschreibweisen. Die

Ziffern 1 bis 4 wurden durch eine Gruppe vertikaler Kerben dargestellt, die

Ziffern 5, 6, und 7 als zwei entweder horizontal oder vertikal gekerbte Gruppen
und die Ziffer 9 durch drei vertikal gekerbte Gruppen. Eine Repräsentation
der 8 wurde nicht gefunden. Einige dieser Zeichengruppen finden sich auch in
den späteren Kh¯
aros.t.¯ı- und Br¯ahm¯ı-Zahlensystemen wieder. Zur Ausführung
arithmetischer Operationen wurde möglicherweise ein Rechenbrett benutzt;

Reste eines Abakus sind in Mohenjo-Daro gefunden worden.

An geometrischen Figuren waren Dreieck, Quadrat, Rechteck, Kreis, Ke-
gel, Zylinder, Würfel und andere bekannt. Aus Verzierungen an Vasen, Reliefs
u. ä. kann man entnehmen, dass die Menschen der Induszivilisation Strecken
halbieren und äquidistant teilen konnten, Kreise zu halbieren und zu vierteln
vermochten, Kreissegmente und -sektoren, konzentrische Kreise und parallele

Linien konstruieren konnten. Jedoch ist nicht bekannt, ob und wie Flächen-
und Rauminhalte angegeben worden sind.

Im frühen 2. Jahrtausend gingen die Städte im Indusgebiet zugrunde. In
der zweiten Hälfte des 2. Jahrtausends etwa drangen in mehreren Wellen aus
dem Nordwesten indoarische Stämme nach Indien ein. Sie kamen aus den
südrussischen Steppen zwischen Kaspisee und Ural, wo sie im 4./3. Jahr-
tausend mit den Vorfahren der Perser, Griechen, Römer, Kelten, Germanen,

Balten und Slawen eine Dialektgemeinschaft gebildet hatten, deren Sprache
wir indogermanische (indoeuropäische) Grundsprache nennen.

Wie die Vorfahren der Perser und Afghanen, die Iraner, nannten sich auch
die nach Indien ziehenden Stämme „Arier“, d. h. Edle (à rya heißt eigentlich
der Gastfreundliche, der zum ari Fremdling, Gast Gehörige). Um sie von den

2.3 Mathematik im alten Indien

87

Abb. 2.3.5

Rigvedapriester: Er kann den ganzen Rigveda auswendig und auf

Wunsch sofort jede beliebige Strophe der 1028 Hymnen in drei Rezitationsweisen
vortragen ohne irgendwo nachzuschauen – eine enorme mnemotechnische Leistung.

[Foto Morgenroth]

Iranern zu unterscheiden, nennen wir sie heute Indoarier. Sie brachten den

Rigveda mit, eine Sammlung von 1028 Preisliedern auf verschiedene Götter,
um irdischen Wohlstand zu erlangen. Es ist das älteste Literaturdenkmal In-
diens, das erst mehr als 1000 Jahre später aufgeschrieben wurde und bis auf
den heutigen Tag in bestimmten Priesterfamilien von Generation zu Genera-
tion mündlich weitergegeben wird.

Zwischen 900 und 600 v. Chr. wurden die Indo-Arier in dem Zweistrom-
land um Ganges und Yamuna (Raum Delhi) sesshaft. Dort bildeten sich vier

Stände heraus: Brahmanen (Priester), Krieger, Händler/Bauern, Handwer-
ker/niedere Dienstleister. Der vierte Stand umfasste die dunkelhäutigen Vor-
bewohner, die von den Ariern unterworfen worden waren. Nur die Angehöri-
gen der ersten drei Stände durften die inzwischen entstandenen heiligen Texte
studieren.

88

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen

Schon in dieser frühen Zeit wird deutlich, dass die phantasiebegabten

Inder eine Vorliebe für große Zahlen hatten. Bereits im Rigveda gibt es die

Zahl 10 000, und in der Zeit des Brahmanismus (900 bis 600 v. Chr.) sind

Zahlzeichen bis zur Billion, ja sogar bis 10 Billionen überliefert.

Gegen Ende dieser Zeit bildete sich im Nordwesten Indiens auf der Grund-
lage eines altindischen Dialektes das Sanskrit 1 (das Zusammengefasste, das

Geschmückte) als brahmanische Gelehrtensprache heraus. Es ist Träger der
hinduistischen Kultur bis heute. Die im Folgenden behandelten mathemati-
schen Schriften sind alle in Sanskrit verfasst.

Die Regeln für das Vermessen der Opferplätze und Feueraltäre wurden
mündlich weitergegeben. Zur Unterstützung des Gedächtnisses wurden sie in
stark elliptischen (überkurzen, unvollständigen) Sanskritsätzen festgehalten
und in den śulvas¯
utras gesammelt – das war der Beginn der Geometrie in

Indien.

Um die Mitte des letzten Jahrtausends v. Chr. gab es in der Religion
einen großen Wandel. Drei Erlösungsreligionen bildeten sich heraus, um dem
immer mit Leid verbundenen Kreislauf von Geburt und Wiedergeburt zu
entkommen: Buddhismus, Jainismus, Hinduismus.

Die Lebensdaten von Buddha sind umstritten. Die Buddhisten Sri Lankas
setzen sie auf 623 bis 543, die europäischen Wissenschaftler mehrheitlich auf

560 bis 480, manche auch erst auf das 4. Jahrhundert an. Siddharta („der
ein Ziel erreicht hat“) Gautama war Spross einer Adelsfamilie im indisch-
nepalesischen Grenzgebiet nördlich Benares. Er verließ mit 30 Jahren seine

Familie, lebte als Asket und fand nach mehrjährigem Suchen die Erleuchtung;
er wurde „Buddha“, der „Erleuchtete“.

Buddha spricht von vier edlen Wahrheiten und dem achtteiligen Pfad aller

Erlösung. Große Zahlen und Spekulationen über die Weltgeschichte lehnt er
ab.

Eine weit später entstandene Legende erzählt jedoch, dass Buddha schon
als Heranwachsender einen Wettkampf im Lesen, Schreiben, im Ringkampf,

Wettlauf und Schwimmen glänzend gewonnen habe. Bei der Brautwerbung
habe sich Buddha einer mathematischen Prüfung unterwerfen müssen und da-
bei die Aufgabe gelöst, die Zahl der „Atome in einer Meile“ anzugeben. Dabei
gelang es ihm, eine Methode der Fortsetzung der Zahlenreihe zu entwickeln.

Die gesuchte Riesenzahl gab er (nach unserer Schreibweise) mit 384 000 mal 7
an. Und er fügte hinzu, dass man sogar die Anzahl der „Atome“ auf der Erde
und sogar die auf dreitausend Erden zählen könne. Dies erinnert an die spä-
tere „Sandrechnung“ des Archimedes [Menninger, Bd. I, S. 149].

Über Buddha und seine Umgebung heißt es in späteren Legenden:

„An 32 Haupt- und 80 Nebenzeichen wird Buddha, an 32 seine Mut-
ter, an 8 das Haus, in dem er geboren werden soll, erkannt werden.

Von 10 Millionen Frauen wird seine Mutter, die Königin Maya-Devi,
bedient. Hunderttausende von Heiligen und hunderttausend Millionen
von Erleuchteten werden Buddha huldigen. Sein Thron ist zusammen-

2.3 Mathematik im alten Indien

89

Abb. 2.3.6

Der Religionsstifter Mah¯
av¯ıra und die Göttin Durga auf indischen

Miniaturen (DDR 1979)

gesetzt aus den guten Werken während hunderttausend Millionen von
kalpas (d.i. von mythischen 4320 Millionen Jahren). Der große Lotos
aber, der in der Nacht der Empfängnis des Buddha aufblüht, öffnet
seine Blume in einer Weite von 68 Millionen Meilen.“ [Menninger

1958, Bd. I, S. 147]

Auch die Lebensdaten von Vardham¯
ana Nathaputta mit dem Ehrennamen

Mahav¯ıra (großer Held) oder Jina (Sieger) sind strittig. Seine Anhänger, die

Jainas, setzen sie auf 599 bis 527 fest, die europäische Forschung eher auf

540 bis 478. Sein Erlösungsweg besteht aus moralischem Verhalten und ex-
tremer Einhaltung des Gebotes der Nichtverletzung von Lebewesen (auch

Ameisen, Mücken, Käfer) und ebenso extremer Askese, wie sie nur Wander-
mönche üben können. Auch Mahav¯ıra vermied das brahmanische Sanskrit.

Seine Lehre wurde erst 800 Jahre nach seinem Tod in einer mittelindischen

Sprache erstmals aufgezeichnet. Auch die Jainas lieben große Zahlen.

Buddhismus und Jainismus spielten in Indien bis gegen 800 n. Chr. eine
bedeutende Rolle. Zeitweilig waren sie in kleinen, mittleren oder gar Großrei-
chen vorherrschende Religionen. Das gilt besonders für den Buddhismus, der
im Reich des Ashoka Maurya im 3. Jahrhundert v. Chr. Staatsreligion war.

Nachdem dieser Kaiser durch einen unsagbar grausamen Krieg sein an sich
schon großes Reich noch um die Region Kalinga vergrößert hatte, wurde er

Buddhist und ließ in Fels- und Säuleninschriften Buddhas Lehre, vor allem
das Verbot des Tötens von Opfertieren, in mittelindischen Dialekten überall
in seinem Reich verkünden.

90

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen

Abb. 2.3.7

Löwenkapitell einer Ashoka-Säule im Museum von Sarnath. Das „Rad
der Lehre“ und in die vier Himmelsrichtungen blickende Löwen symbolisieren die

Ausbreitung der Lehre. Das Löwenkapitell ist heute Staatswappen der Republik

Indien mit der Sanskrit-Unterschrift satyam eva jayate (Die Wahrheit siegt immer).

[Foto Alten]

Diese Inschriften in Kh¯
aros.t.¯ı-Schrift (nur im äußersten Nordwesten) und

Br¯
ahm¯ı-Schrift (überall sonst im Lande) sind die ältesten Schriftdenkmäler

Indiens und sie enthalten auch Ziffern, d. h. Zahlzeichen, die keine Buchstaben
sind.

Der Hinduismus ging ohne scharfe Grenze aus dem Brahmanismus her-
vor. Es ist die brahmanische Erlösungslehre, ein Produkt der Mischung der

Lehren der Indoarier und der Vorbewohner. Ihre ältesten Zeugnisse sind die
beiden Volksepen Mah¯
abh¯
arata (400 v. Chr. bis 400 n. Chr.) und R¯
am¯
ayana

(ca. 200 v. Chr.). In der Endfassung sind beide Werke bis auf den heutigen

Tag für jeden Hindu die maßgebliche Anleitung zu religiösem Verhalten. Im

Gegensatz zu Buddhismus und Jainismus, wo die Götter keine Rolle mehr
spielen, sind sie im Hinduismus erhalten geblieben, nur treten jetzt andere

Götter deutlich hervor.

Es gibt keine Feueropfer mehr, sondern Bilderverehrung in Tempeln. Der

Hinduismus bietet den in einer Vielzahl von endogamen Kasten lebenden

Gläubigen verschiedene Wege zur Erlösung an (Endogamie bezeichnet eine

Heiratsordnung, nach der nur innerhalb eines bestimmten sozialen Verbandes
geheiratet werden darf, in Indien ist dies die „Geburtskaste“ jati). Nach der

2.3 Mathematik im alten Indien

91

Abb. 2.3.8

Skulptur einer schreibenden Frau (11. Jahrhundert n. Chr.);

Buddhistisches Manuskript auf Birkenrinde; Welthindi-Konferenz (mit

Skulptur aus dem 12. Jahrhundert), (Indien 1966, 1979, 1975)

Zeitenwende gibt es in seinen Weltgeschichten, den Puranas (Alte Erzählun-
gen), eine wahre Inflation hoher Zahlen wie in den gleichzeitigen buddhisti-
schen und jainistischen Schriften.

In den Jahrhunderten um die Zeitenwende lag der Nordwesten Indiens
unter starkem hellenistischem Einfluss. Das hatte Auswirkungen z. B. auf die

Entwicklung der indischen Astronomie und damit auf die Entwicklung der

Mathematik.

In den ersten Jahrhunderten unserer Zeitrechnung blühte die städtische

Kultur auf und führte zu einer reichhaltigen Literatur auf vielen Gebieten:

Rechtswissenschaft, Staatslehre, Liebeskunst (Kamasutra), Dichtung, Philo-
sophie. Der Höhepunkt dieser Entwicklung war die Zeit des Gupta-Reiches

(320 bis 544), die als Goldenes Zeitalter Indiens gilt. In dieser Zeit beginnt
die mathematische Literatur mit dem ¯

Aryabhat.¯ıya 498/9, einem vierteiligen

Lehrgedicht des ¯

Aryabhat.a (geb. 476), der vermutlich in der Hauptstadt des

Gupta-Reiches gelebt hat.

Während des Bestehens des Gupta-Reiches erfuhren Kunst und Wissen-
schaft in Nord- und Mittelindien eine eindrucksvolle Blüte. Es gab wissen-
schaftliche Zentren, ähnlich denen mittelalterlicher europäischer Universitä-
ten. Am berühmtesten war das buddhistische Kloster von N¯
alanda, wo Philo-
sophie und Theologie, aber auch naturwissenschaftliche Disziplinen und deren

Anwendungen gelehrt wurden und wo sich Studenten aus ganz Indien, aus

China, Tibet, der Mongolei, aus Buchara (im heutigen Usbekistan), Japan
und Korea einfanden. In jener Zeit war indischen Astronomen die Kugelge-
stalt der Erde bekannt. Das Sonnenjahr wurde in 12 Monate zu 30 Tagen
eingeteilt und man benutzte ein Schaltjahr.

92

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen

Ab 700 drängte vom Süden Indiens aus die brahmanische Gegenreforma-
tion den im Norden starken Buddhismus zurück, und der Brahmane Sankara
schuf mit seiner Form der Vedantalehre den auch in Klöstern organisierten
orthodoxen Hinduismus. Als Gegenreaktion legten andere Brahmanen die
philosophischen Grundlagen für die hinduistischen Sekten.

In die Zeit zwischen 850 und 1200 fallen mehrere mathematische Werke,
vorrangig aus Südindien, darunter „Die Krone aller anderen Lehrbücher“ des

Bh¯
askara II (1114–1185?). Die Muslime hatten schon im 8. Jh. versucht, In-
dien zu unterwerfen, waren aber nur bis zum Sindh im Westen gekommen.

Sie verlegten sich danach auf weit nach Indien vordringende Raubzüge. Am
bekanntesten sind die Raubzüge des Türken Mahmud von Ghazna (Ostaf-
ghanistan), in dessen Begleitung sich der arabische Gelehrte al-Bir¯
un¯ı (973–

1048) (ein Astronom, Mathematiker und Geograph) befand. 1206 entstand
mit dem Sultanat von Delhi der erste islamische Staat auf indischem Boden.

Im 16. Jahrhundert wurde es vom Großreich der Mogulkaiser abgelöst, die in

Agra oder Delhi residierten. Sie ließen in Nordindien viele bedeutende Bauten
errichten, haben aber ansonsten zur indischen Kultur wenig beigetragen.

Die indische Mathematik lebte vor allem im Süden weiter. Aus dem 16. Jh.

sind mehrere Werke bekannt. Darin stieß man im astronomischen Zusammen-
hang bis zu den Anfängen der Infinitesimalrechnung und zur Verwendung
unendlicher Reihen vor. Mit der Kolonisierung Indiens seit dem 17. Jahr-
hundert wurde die eigenständige Entwicklung der Mathematik zunächst un-

Abb. 2.3.9

Observatorium des Jai Singh in Jaipur [Foto Alten]

2.3 Mathematik im alten Indien

93
terbrochen. Dagegen wurden die astronomischen Beobachtungen mit großer

Intensität weitergeführt. Daran erinnern die unter dem Maharadscha Jai

Singh zwischen 1718 und 1734 in ganz Indien errichteten Observatorien. Am
berühmtesten und größten ist der in seiner Residenz Jaipur errichtete Kom-
plex.

2.3.2 Wichtige Quellen altindischer Mathematik

Die ältesten Zeugnisse zur Mathematik sind drei Werke mit stark verkürz-
ten Merksätzen, die ohne Kommentar schwer zu verstehen sind. Sie heißen

Śulbas¯
utras oder Śulvas¯
utras, was übersetzt Schnur-Leitfaden, Schnur-Regeln
bedeutet. Die Texte waren zum Auswendiglernen bestimmt. Sie wurden vom

Lehrer mündlich kommentiert. Erst viel später wurden sie aufgeschrieben.

Gelehrt wurden Regeln zur Konstruktion von Altären mit Hilfe von Schnü-
ren und Bambusstäben, daher der Name.

Vorschriften an die vedischen Priester regelten, wie Altäre mit quadra-
tischem, rechteckigem, kreis- bzw. halbkreisförmigem oder trapezförmigem

Grundriss zu konstruieren sind. Dabei wurden die Form der Ziegel und die

Anzahl der Schichten festgelegt. In besonderen Fällen gab es Altäre in Fal-
kenform oder radförmig.

Im Jahre 1881 wurde nahe dem Dorf Bakhshálí (Nordwestindien) ein auf

Baumrinde geschriebener Text zur Arithmetik und Algebra gefunden. Es gibt
verschiedene Datierungen (3./4. Jh. oder 12. Jh. n. Chr.). Diese Handschrift
enthält immerhin den einfachen falschen Ansatz, lineare Gleichungen, Glei-
chungssysteme, quadratische Gleichungen sogar mit negativen Koeffizienten,

Zinsrechnung. Die Rechnungen wurden dezimal ausgeführt [Alten et al. 2003,

S. 139–144].

Abb. 2.3.10

Falkenförmiger Altar (eingezeichnet sind die Formen der zu
verwendenden Ziegelsteine)

94

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen

Ein weiteres, ebenfalls anonymes Werk stammt aus dem 4. oder 5. Jahr-
hundert. Der Titel lautet S¯
urya-Siddh¯
anta (Lehre von der Sonne). Dieses
astronomische Werk befasst sich nicht eigentlich mit der Sonne, sondern da-
mit, wie die Sonne einen Dämon unterrichtet. Es gibt vier weitere analoge

„Siddh¯
antas“ (Unterweisungen) mit Ergebnissen aus der frühen indischen Tri-
gonometrie. Auch der Einfluss babylonischer Astronomie und solcher aus der

Seleukidenzeit ist nachweisbar. Zwar sind die Originale verloren gegangen,
aber wir erfahren vom Inhalt durch einen späteren Autor (5./6. Jahrhun-
dert) und durch einen Bericht des muslimischen Gelehrten al-B¯ır¯
un¯ı (973 bis

1048).

Mit ¯

Aryabhat.a I (geb. 476) tritt uns der erste namentlich bekannte in-
dische Mathematiker und Astronom entgegen. Im Alter von 23 Jahren ver-
fasste er die in Versform geschriebene Abhandlung ¯

Aryabhat.¯ıya, gestützt auf
die oben erwähnten astronomischen Siddh¯
antas. Im astronomischen Teil las-
sen sich griechische Einflüsse verifizieren, z. B. die Epizykeltheorie von Eu-
doxos. Andererseits wurde das ¯

Aryabhat.¯ıya bereits um 800 ins Arabische
übersetzt. Was die Mathematik betrifft, so werden unbestimmte Gleichungen
ersten Grades mit zwei Unbekannten in ganzen Zahlen, Dreisatz, Berechnun-
gen von Kreisumfang und Fläche mit einem recht guten Näherungswert für
π (62 832 / 20 000 ist ca. 3,1416), sowie ein (falscher?) Wert für das Kugelvo-
lumen behandelt; vgl. [Elfering 1975].

¯

Aryabhat.a I hatte als Schüler Bh¯askara I (um 522), der darauf hinwies,
dass über die Darstellung seines Lehrers hinaus noch weitere mathematische

Kenntnisse vorhanden seien.

Etwa 628 wurde von Brahmagupta (598–nach 665), wiederum in Vers-
form, ein umfangreiches Werk Br¯
ahmasphut.asiddh¯anta (Vervollkommnung
der Lehre Brahmas) verfasst; es geht über das ¯

Aryabhat.¯ıya hinaus. Zwei von
zwanzig Büchern sind der Mathematik gewidmet. Arithmetik, Geometrie und

Gleichungen ersten und zweiten Grades und andere algebraische Probleme
werden darin behandelt. Die mathematischen Abhandlungen von Mah¯
av¯ıra

(9. Jahrhundert) und von Úrihara (9./10. Jahrhundert) seien hier erwähnt.

Der Höhepunkt der indischen Mathematik wurde mit dem „Kranz der

Wissenschaften“ ( Siddh¯
anta-śiroman

. i ) erreicht, niedergeschrieben um 1150
durch den Mathematiker und Astronomen Bh¯
askara II (1114–1185?). Das

Sammelwerk besteht aus vier Teilen (Arithmetik, Geometrie, Algebra und

Astronomie) und verfügt über einen klaren methodischen Aufbau, wobei sich
abstrakte Darstellung und praktische Aufgabenstellung geschickt ergänzen.

Unter anderem werden quadratische Gleichungen mit negativen Lösungen
und die sog. Pellsche Gleichung behandelt.

Jahrhunderte lang galt der „Kranz der Wissenschaften“ als Grundlage der
mathematischen Studien in Indien. Weitere Fortschritte wurden in gewissem

Sinne als bloße Fortsetzung verstanden. Dazu gehören ausführliche Kommen-
tare durch Ganeśa (geb. 1507) und Kr.s.n.a (Krischna) im 16. Jahrhundert
sowie das Tantrasam

. graha (Wissenschaftliches Sammelwerk) von N¯ılakant.ha

2.3 Mathematik im alten Indien

95

Somasutvan zu Anfang des 16. Jahrhunderts, in dem Potenzreihenentwick-
lungen, z. B. von arctan x und gut konvergente Reihenentwicklungen für π/ 4
auftreten. Allerdings konnten diese und andere Ansätze, die einer Frühge-
schichte der Infinitesimalmathematik zuzurechnen sind, in der eigenständigen
indischen Mathematik unter den Bedingungen der Herrschaft der Moguldy-
nastie und der Kolonialisierung nicht ausreifen.

2.3.3 Geometrie in Indien

Die „Schnurregeln“ weisen aus, dass schon in jenen frühen Zeiten beträchtli-
che geometrische Kenntnisse praktiziert wurden: Man befasste sich mit der

Inhaltsbestimmung geradlinig begrenzter Flächen, mit dem Satz des Pytha-

√
goras, mit Näherungsrechnungen für Diagonalen (z. B.

2), heronischen Flä-
chenformeln für Sehnenvierecke und anderen Fragen. In der räumlichen Geo-
metrie waren Berechnungen für den Pyramidenstumpf und Näherungen für

Volumen und Oberfläche der Kugel in Gebrauch. Dabei wurden verschiedene

Näherungswerte für π verwendet, u. a. 27/8, 243/80 und 19/6.

Im Übrigen ist es hochinteressant festzustellen, dass sich solche Berech-
nungen auch in der indischen Mathematik mit infinitesimalen, sozusagen ato-
mistischen Überlegungen verbanden, ähnlich denen, die später in Europa
beispielsweise bei Johannes Kepler auftreten werden. Zum Beispiel erklärt
ein Kommentar zu Bh¯
askara, dass man eine Kugel als eine Gesamtheit na-
delförmiger Pyramiden auffassen könne, deren Spitzen im Kugelmittelpunkt
zusammenlaufen (vgl. [Scriba/Schreiber, 2. Aufl. 2005]).

2.3.4 Indische Trigonometrie

In den nachchristlichen astronomischen Texten ist der Rückgriff auf die
griechisch-hellenistische Sehnengeometrie deutlich. Der von den Indern voll-
zogene Fortschritt bestand in der Umgestaltung der Sehnentrigonometrie zur

Sinustrigonometrie. Der Zusammenhang beider Trigonometrien wird durch
sin α = ch(2 α) / 2 vermittelt. Darin bedeutet ch die Abkürzung für Sehne

(lat. chorda, auch crd. für corda ist üblich).

Der Unterschied scheint auf den ersten Blick nicht von großer Bedeu-
tung zu sein. Und doch können die grundlegenden Zusammenhänge zwischen

Seiten und Winkeln am Dreieck besonders einfach mit den Funktionen der

Sinusgeometrie formuliert werden. So wurde Indien zum Ausgangspunkt der
modernen Trigonometrie.

Nach Berggren [Berggren 1986, S. 32] wurde bereits in einem Manuskript
aus dem 4. (oder 5.) Jahrhundert der Sinus verwendet. Im ¯

Aryabhat.iy¯a tre-
ten – modern ausgedrückt – die trigonometrischen Verhältnisse Sinus, Ko-
sinus und Sinus versus (Differenz zwischen Radius und Kosinus) auf. Um

500 n. Chr. wurden trigonometrische Formeln verwendet. Am Beginn des

10. Jahrhunderts wurden die Funktionen Sinus, Kosinus und Sinus versus
in allen 4 Quadranten betrachtet.

96

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen

Abb. 2.3.11

Figur zur Sehnengeometrie: AC = chorda 2 α, AB = sin α

Indessen kam es in der indischen Trigonometrie noch nicht zur Ausbildung
eines geschlossenen Systems. Man blieb bei der Behandlung von Einzelproble-
men, bei Methoden von Fall zu Fall. Immerhin aber führte dies in impliziter

Form zu Ergebnissen, die wir heute als zentrale Sätze verstehen, z. B. zum

Sinussatz und sogar zum Kosinussatz der sphärischen Trigonometrie (aus-
führlich in [Juschkewitsch 1964, S. 163 bis 167]).

Noch ein paar Bemerkungen zur Terminologie: Der Terminus für die Si-
nusstrecke war im Sanskrit bhuja jy¯
a (Bogensehne) oder verkürzt jy¯
a ji¯
a. Bei
den Arabern wurde daraus zunächst das Wort ˘
giba, welches in ˘
gaib Busen,

Kleiderausschnitt, Erhabenheit umgedeutet wurde. Dieser Terminus ist be-
reits in der ersten Hälfte des 9. Jahrhunderts belegt. Bei der Übersetzung des
arabischen Werkes durch Robert von Chester 1154 wurde daraus lat. sinus,
was Krümmung, Bucht bedeutet, aber auch Busen, Schoß des Weibes etc.

Ganz natürlich und unverzichtbar gehören Tafeln zum Handwerkszeug
der Trigonometrie. Auch von den indischen Mathematikern wurden Tafel-
werke erarbeitet. Die frühesten Tafeln für den Sinus und den Sinus versus
sind bereits in S¯
urya-Siddh¯
anta und im ¯

Aryabhat.¯ıya enthalten. Für beide

Funktionen sind je 24 Werte angegeben. In der „Krone der Wissenschaften“
findet sich eine von Grad zu Grad fortschreitende Sinustabelle.

Die Bedürfnisse der Astronomie hatten die Trigonometrie hervorgebracht,
außerdem die prachtvollen riesigen Bauwerke, die als astronomische Instru-
mente hohe Messgenauigkeit ermöglichen sollten. Trotzdem scheinen die ei-
gentlichen Ergebnisse der beobachtenden indischen Astronomie im Grundsatz
nicht über die der griechisch-hellenistischen Antike hinausgegangen zu sein.

Immerhin aber war die Bestimmung des Sonnenapogäums (Erdferne der Son-
ne) genauer als die des Ptolemaios, und die Bestimmung des Sonnenjahres
war mit 365 Tagen 6 St. 12 36 genauer als die der Griechen mit 365 Tagen,

5 St. 55 12 .

2.3 Mathematik im alten Indien

97

Dagegen führten numerische Probleme der Astronomie gegen Ende der

Periode der eigenständigen indischen Mathematik zu Beginn des 16. Jahrhun-
derts noch zu bemerkenswerten Ergebnissen, die in Europa erst im 17./18.

Jahrhundert erzielt werden konnten [Juschkewitsch 1964, S. 167 bis 174].

Beispielsweise gelang dem südindischen Mathematiker N¯ılakant.ha Somasut-
van (1444 – nach 1501) die Herleitung der unendlichen Potenzreihe für den

Arcustangens. Dazu verwendete er eine Art infinitesimales Dreieck (später
bei B. Pascal). Ferner finden sich bei ihm die Entwicklung einer gebrochen
rationalen Funktion in eine unendliche Potenzreihe und gliedweise Integra-
tion. In diesem Zusammenhang ergab sich auch eine bemerkenswert gute

Näherung für π, die mit 104 380/33 215 angegeben wurde und bis auf neun

Dezimalen genau ist. Auch war sich N¯ılakant.ha darüber im klaren, dass π –
also das Verhältnis des Kreisumfanges zum Kreisdurchmesser – irrational

(inkommensurabel zur Einheit) ist. Er schrieb:

„Ist der Durchmesser, der mit Hilfe irgendeiner Maßeinheit gemessen
wird, mit dieser Einheit kommensurabel, so läßt sich der Kreisumfang
nicht genau mit Hilfe der gleichen Maßeinheit messen; ist jedoch in

Bezug auf irgendeine Maßeinheit der Kreisumfang meßbar, so läßt
sich der Durchmesser nicht mit Hilfe dieser Einheit messen.“

(Zitiert bei [Juschkewitsch 1964, S. 167])

2.3.5 Die Herausbildung des dezimalen Positionssystems

Von K. Menninger stammt der kulturhistorisch höchst aufschlussreiche Aus-
spruch:

„Wir sprechen deutsch, wir schreiben römisch und wir rechnen in-
disch.“

[Menninger 1958, S. 287]

Das ist ein bemerkenswerter Sachverhalt, der die Weltkultur als von ver-
schiedenen Völkern geschaffen ausweist und jede rassistisch, nationalistisch
oder religiös-fundamentalistisch geprägte Geschichtsauffassung ad absurdum
führt.

Die indischen Gelehrten und Mathematiker haben mit der Herausbildung
des dezimalen Positionssystems und der Ziffernschreibweise eine wissenschaft-
liche und kulturelle Leistung von größter historischer Wirkung vollbracht

(vgl. dazu [Alten et al. 2003, S. 134 bis 136]; [Juschkewitsch 1964, S. 102 bis

109]).

Die indische Zählweise war vom Ursprung her im Wesentlichen dezimal
angelegt: nur Reste eines Vierersystems haben sich erhalten. Im Sanskrit gab
es von Anfang an festgeschriebene Worte für die „Ziffern“ 1 bis 9 und die Zeh-
nerpotenzen. Die Zahlenreihe wurde im religiösen Zusammenhang erstaunlich
weit fortgeführt. So wird Buddha in der späteren Legende die Bezeichnung

98

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen
einer Zehnerpotenz zugeschrieben, die wir als 10421 schreiben würden. Über-
haupt waren große Zahlen weit verbreitet. Schon im Rigveda (1000 v. Chr.)

behaupteten die Inder, dass es 3339 Götter gebe. Nach Meinung der Hin-
dus besteht die Welt 311,04 Trillionen Jahre, dann ebenso lange nicht, dann
wieder, und so fort.

Die ursprünglichen Ziffern- und Zahlensysteme weisen auf zu vermutende

Einflüsse aus den benachbarten kulturellen Zentren hin; hier hat die mathe-
matikhistorische Forschung noch ein weites Betätigungsfeld.

Kh¯
aros.t.¯ı-Ziffern

In der Kh¯
aros.t.¯ı-Schrift, die im 3. Jahrhundert v. Chr. in Ost-Afghanistan und

Nordwestindien aufkam und bis ins 2. Jahrhundert n. Chr. in Gebrauch war,
besaßen die Ziffern spezielle Symbole; ein Vierersystem überkreuzt sich mit
einem Zehnersystem.

Br¯
ahm¯ı-Ziffern

Seit dem 3. Jahrhundert v. Chr. sind die Br¯
ahm¯ı-Ziffern in weitem Gebrauch.

Man schrieb die Zahlen von links nach rechts.

Beiden Zahlsystemen ist gemeinsam, dass es spezifische Zeichen für die Zif-
fern 1 bis 9 gab. Aber es waren keine Positionssysteme. Immerhin aber war
die Verzifferung von 1 bis 9 eine Art von innerer Voraussetzung für die Her-
ausbildung des Dezimalsystems.

Die Quellen berichten außerdem von „ merkwürdigen“ weiteren Zahlsys-
temen, merkwürdig, wenn auch in sich logisch und einsichtig. So wurde die

„Eins“ durch ein Wort beschrieben, das nur im Singular existierende Dinge
bezeichnet, z. B. „Mond“, „Erde“, „Br¯
ahma“. Für „Zwei“ wurden Worte ver-
wendet, die nur paarweise Auftretendes bezeichnen, z. B. „Augen“, „Hände“.

Für „Fünf“ trat die Bezeichnung „Fünf Sinne“ ein. Wieder anders verfuhr

2.3 Mathematik im alten Indien

99

Abb. 2.3.12

Gwalior-Inschrift mit dem Nullzeichen. Gegen Ende der vierten

Zeile steht die Zahl 270 mit dem Zeichen o für Null

¯

Aryabhat.a I: Zahlen wurden durch spezifische Silben bezeichnet [Juschke-
witsch 1964, S. 104f.].

Damit ein Positionssystem funktionieren kann, muss es eine „Null“ ge-
ben. Es dürfte als sicher gelten, dass die indischen Mathematiker mit dem in

Mesopotamien verwendeten inneren Lückenzeichen in Berührung gekommen
sind, das dort seit der Mitte des 1. Jahrtausends v. Chr. in Gebrauch war.

Doch war im Sexagesimalsystem eine „Null“ nur relativ selten vonnöten. Im-
merhin übernahmen die alexandrinischen Astronomen die mesopotamische

Idee; auch von hier dürften Anregungen an die indischen Gelehrten ergangen
sein.

Die Kombination günstiger Voraussetzungen – dezimale Denkhaltung, Zif-
fernschreibweise für 1 bis 9, Anregungen von außerhalb – führte schließlich zur

Etablierung des dezimalen Positionssystems. Es war spätestens im 7. Jahr-
hundert n. Chr. weit verbreitet. Ein Nullzeichen in Form eines Kreises ist zu-
erst nachgewiesen in der sog. Gwalior-Inschrift aus dem Jahre 870, eingeritzt
in die Wand eines kleinen Tempels in der Nähe von Gwalior (Mittelindien).

Die Inder haben die Null und das Zeichen für Null im Sanskrit sunya ge-
nannt, was soviel bedeutet wie Leere, Einöde, Abwesenheit von allem, Nichts.

Die Araber übersetzten den Terminus mit s.¯ıfr, als sie die indischen Zahlen –
wohl im 8. Jahrhundert – übernahmen. Die Bedeutung blieb gleich. Als die

Europäer die indisch-arabischen Ziffern übernahmen, übernahmen sie auch
das arabische Wort s.¯ıfr, mittellateinisch cifra.

In den europäischen Nationalsprachen entstanden daraus z. B. im Italie-
nischen die Wortbildungen zefiro, zefro, zevero, zero für Null, im Englischen
zero, im Französischen zéro. Noch im 15./16. Jahrhundert trugen die neun

Ziffern – wegen ihrer von den Buchstaben abweichenden, künstlich anmuten-
den Schreibweise – die Bezeichnung „figura“. Auch bahnte sich schon früh,
im 14. Jahrhundert, eine Begriffserweiterung für „Ziffer“ als Zahlzeichen all-
gemein an, im Englischen „cipher“ und im Französischen „chiffre“, das dort
zusätzlich die Nebenbedeutung „Geheimzeichen“ erhielt. Wir sagen ja noch
heute, ein Text werde chiffriert, in einer Geheimschrift geschrieben. Im Deut-
schen wurde aus „nulla figura“ (keine Figur) das Wort „Null“ für die Null.

100

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen

Das voll ausgebildete dezimale Positionssystem mit den indischen Ziffern
drang längs der Handelswege rasch nach Osten und Westen vor. Bereits im

Jahre 662 verwies der syrische Bischof Sebocht auf

„. . . sinnvolle Entdeckungen (der Inder) in der astronomischen Wissen-
schaft, auf Entdeckungen, die scharfsinniger sind als die der Griechen
und Babylonier und sagt, dass ihre Zahlenschreibweise, die mit Hilfe
von neun Zeichen vorgenommen wird, über jedes Lob erhaben ist.“

(Zitiert bei [Juschkewitsch 1964, S. 107])

Am Ende des 8. Jahrhunderts erreichte die indische Zahlenschreibweise Bag-
dad. Die muslimischen Gelehrten erfassten rasch die Bedeutung dieser Er-
findung und wurden zu Schrittmachern bei der Verbreitung des indischen
dezimalen Positionssystems (vgl. dazu die Kapitel über die Mathematik in
den islamischen Ländern und im europäischen Mittelalter).

Es darf nicht verschwiegen werden, dass ernstzunehmende Gelehrte die

Erfindung des dezimalen Positionssystems und der Null mit der chinesischen

Kultur in Verbindung bringen. In dem nicht unumstrittenen Buch Fleeting

Footsteps [Lam/Ang 2004] schwächen die Autorinnen Lam Lay Yong und

Ang Tian Se die Argumente zugunsten des indischen Ursprunges der Null
als „nicht zwingend“ ab und führen Gründe für den chinesischen Ursprung
des dezimalen Positionssystems und der Null an (übrigens ist Frau Lam Lay

Yong, die in Singapur lebt, 2002 in Peking mit dem Kenneth O. May Prize
for History of Mathematics ausgezeichnet worden). In dem Zusammenhang
heißt es:

„It follows that the Hindu-Arabic numerical sytem could only have
originated from the rod (chinesischen, Wg) numerical system, which
was developed centuries earlier. Transmission from China to India
would not have been difficult, given the extensive use of rods in an-
cient China, and the considerable interaction between the Chinese and

Indian civilizations, which was fostered by trade and other contacts.

Like printing, gunpowder and the magnet (. . . ), the concept of our
numeral system should rank as one of China’s most significant con-
tributions to human science and civilisation.“

[Lam/Ang 2004, S. 185]

2.3.6 Arithmetik und Algebra in der indischen Mathematik

Arithmetik, Algebra und Zahlentheorie erreichten einen sehr hohen Stand.

Es gibt darüber ausführliche, bis ins Detail gehende Untersuchungen [Jusch-
kewitsch 1964], vgl. auch [Alten et al. 2003].

Die Kenntnis der arithmetischen Eigenschaften der Zahl Null war fes-
ter Bestandteil der indischen Mathematik, ebenso wie sichere algorithmische

Verfahren zur Beherrschung der Bruchrechnung, des Umganges mit negati-
ven Zahlen, des Wurzelziehens und beispielsweise der Dreisatzrechnung, der

Neunerprobe und anderer Verfahren.

2.3 Mathematik im alten Indien

101

Es verdient hervorgehoben zu werden, dass die indischen Mathematiker
die Algebra als das der Arithmetik Übergeordnete aufgefasst haben. Die Al-
gebra (nach unserer Klassifikation würden wir auch einige Ergebnisse der

Zahlentheorie hinzurechnen) stand daher in hohem Ansehen. So erklärte z. B.

Bh¯
askara II:

„Die Lehre vom Rechnen mit Unbekannten ist die Quelle für die Lehre
vom Rechnen mit bekannten Größen. Und: Die Mathematiker erklä-
ren, daß die Algebra eine Rechnungsform ist, die von einem Beweis
begleitet wird: andernfalls gäbe es keinen Unterschied zwischen Arith-
metik und Algebra.“

(Zitiert in [Juschkewitsch 1964, S. 122f.])

Die Hochachtung vor der Algebra, die die allgemeine Grundlage der gesamten

Mathematik verkörpert, durchzieht die indische Mathematik. Bei Brahma-
gupta und Bh¯
askara II finden sich geradezu Loblieder auf die Algebra. Und

N¯
ar¯
ayana (14 Jh.) schrieb:

„Wie diese gesamte sichtbare und unendliche Welt aus Brahma ent-
springt ist, so folgt aus der Algebra die gesamte Arithmetik mit ihrer
unendlichen Vielfalt.“

(Zitiert in [Juschkewitsch 1964, S. 123])

Es ist bei dieser Grundhaltung verständlich, dass die indische Algebra auf
einem hohen Niveau stand. Es gab u. a. eine feste Symbolik, die sich an den

Anfangsbuchstaben der entsprechenden Worte orientierte. Die unbekannte

Größe (d. h. die Variable) hieß y¯
avat-t¯
avat, das ist „soviel-wieviel“, d. h. be-
liebige Menge.

Zum Spektrum der Algebra gehörten der Umgang mit Irrationalitäten,

Klammern und Polynomen. Lineare und quadratische Gleichungen wurden
mit verschiedenen Verfahren behandelt; auch negative Zahlen wurden – an-
ders als in der hellenistischen Mathematik – als Lösungen von Gleichungen
anerkannt. Auch war bekannt, dass eine quadratische Gleichung im Allge-
meinen zwei Lösungen besitzt. Gleichungen höheren Grades wurden indes
nicht betrachtet. Auch lineare Gleichungssysteme traten recht häufig auf. Im
astronomischen Zusammenhang, bei der Bestimmung von periodischen Be-
wegungen von Himmelskörpern, wurden für verschiedene Typen unbestimm-
ter Gleichungen ganzzahlige Lösungen gesucht. Dabei wurden unter anderem
auch Kettenbruchentwicklungen verwendet.

102

2 Entwicklung der Mathematik in asiatischen Kulturen

Wesentliche Elemente der indischen Mathematik

3.–2. Jt. v. Chr.

Frühe Zahlzeichen und geometrische Konstruktionen (recht-
winkliges Straßensystem, Kanäle) in Harappa und Mohenjo-

Daro am Unterlauf des Indus
um 1000 v. Chr.

Große Zahlen in Sprache und Schrift des Rigveda

7.–5. Jh. v. Chr.

śulbas¯
utras (Schnurregeln): Regeln zur Konstruktion von

Dreiecken und Quadraten mittels Schnüren und Stäben an

Altären. Satz des Pythagoras, Inhalte von Vielecken, Nähe-
rungen für die Länge von Diagonalen

4.–3. Jh. v. Chr.

Kh¯
aros.t.h¯ı-Ziffern: Mischung eines Vierer- und Zehnersystems

3. Jh. v. Chr.

Br¯
ahm¯ı-Ziffern: Vorstufen für die indisch-arabischen Ziffern
für 1 bis 9

5. Jh. v. Chr.

¯

ARYABHAT

. A I: ¯

Aryabhat.iya: Mathematische Merkverse für

Elementargeometrie, sphärische Geometrie, Tafeln für sinus
und sinus versus, quadratische Gleichungen, arithmetische

Reihen, Näherungsverfahren für Quadrat- und Kubikwurzeln
sowie zur griechisch beeinflussten Epizykeltheorie

S¯
urya-Siddh¯
ant.as: Einführung der trigonometrischen Funk-
tionen Sinus und Cosinus

6. Jh. n. Chr.

Baksh¯
al¯ı-Handschrift: Iterationsalgorithmus zur Berechnung
von Quadratwurzeln,

Einführung des Dezimalsystems für Zahldarstellungen

7. Jh.

BRAHMAGUPTA: Br¯
ahmasphut.asiddh¯anta: Erster Hinweis
auf negative Zahlen; Regeln für Addition, Subtraktion, Mul-
tiplikation und Quadrieren ganzer Zahlen; Verwendung alge-
braischer Ausdrucksweise; Verallgemeinerung der Heronschen

Dreiecksformel auf Sehnenvierecke, Satz des Ptolemaios für

Sehnenvierecke

7.–8. Jh.

Verbreitung der indischen Ziffern in Syrien und Mesopotami-
en

9. Jh.

Gwalior-Inschrift: Erster bisher bekannter Nachweis des

Nullzeichens 0

10. Jh.

SR¯IDHARA, ¯

ARYABHAT

. A II: Eigenschaften der Null in

Worten formuliert

12. Jh.

BH ¯

ASKARA II: Siddh¯
anta-śiroman.i (Kranz der Wissen-
schaften) Höhepunkt der indischen Mathematik: zyklische

Methoden in der Zahlentheorie; Berechnung der Kugel-
oberfläche durch Zerlegung in Ringe bzw. in sphärische Tra-
peze und Dreiecke; quadratische Gleichungen mit negativen

Lösungen, unbestimmte Gleichungen

1200–1600

Kommentare zu den Werken von Bh¯
askara II

3 Frühzeit der Mathematik im Vorderen Orient

104

3 Frühzeit der Mathematik im Vorderen Orient

3.1 Mathematik im alten Ägypten

Allgemeine Geschichte

Kulturgeschichte

3000–2700

Reichseinigung aus vor-

Erfindung der Hieroglyphen
dynastischen Kulturen

2700–2170

Altes Reich

Bau der Pyramiden

2170–2040

Erste Zwischenzeit

Nekropole von Sakkara

2040–1794

Mittleres Reich

Mathematische Papyrî

1794–1550

Zweite Zwischenzeit

Streitwagen der Hyksos

1550–1070

Neues Reich

Tempel der Hatschepsut

Amuntempel in Karnak

Sonnenkult des Echnaton

1279–1213

Ramses II.

Tempel von Abu Simbel

1070–664

Dritte Zwischenzeit

664–332

Spätzeit

Demotische Papyri

525

Eroberung durch die Perser

332

Eroberung durch Alexander

Leuchtfeuer Pharos in
d. Gr.

Alexandria

332–30

Herrschaft der Ptolemäer

Alexandria wird Zentrum
griechisch-hellenistischer

Kultur: Euklid, Apollonios,

Eratothenes

47

Brand der Bibliothek von

Hathor-Tempel in Dendera

Alexandria

Tempel des Chnum in Esna

30 v. bis

Römische Herrschaft

Philae-Tempel in Assuan

395 n. Chr.

391

Zerstörung des Museions von

Christl. Klöster des Paulus, des

Alexandria

Antonius und im Wadi Natrun

395

Ägypten wird Teil
des Oströmischen Reiches

Bemerkung: Es gibt davon abweichende Chronologien

3.1.0 Einführung: Geschichte und Schrift des alten Ägypten

Die altägyptische Kultur übt noch heute ihren Zauber aus. Es sind nicht
nur die Pyramiden und Tempel, sondern auch die Prachtentfaltung der Herr-
schenden, wie sie uns durch Ausgrabungen zugänglich gemacht wurde, der
hohe Stand der Handwerkskunst und des Ackerbaues, die Faszination der
religiösen Ansichten. Nofretete und Tut-ench-Amun sind zu personifizierten

Symbolen einer geheimnisumwitterten großartigen Kultur geworden.

Der Beginn dieser einzigartigen Hochkultur liegt rund 5000 Jahre zurück.

Der sagenhafte König Menes soll die damals schon bestehenden Königreiche

Oberägypten und Unterägypten vereinigt und die erste Hauptstadt Memphis
gegründet haben. Das ist jedoch historische Legende und beschreibt einen

Prozess, der in den ersten Jahrhunderten des 3. Jahrtausends v. Chr. mit der

Domestizierung von Vieh und dem Anbau von Getreide an den Ufern und im

Delta des Nils begann.

3.1 Mathematik im alten Ägypten

105

Er führte zunächst zur Bildung von Dör-
fern, deren Zusammenschluss zu größeren

Gemeinschaften und zur Gründung von

Königreichen in Ober- und Unterägypten,
die schließlich in jahrzehntelangen Macht-
kämpfen um 2800 vereinigt wurden. So
entstand das Alte Reich, das etwa von

2700 bis 2170 währte (die Datierungen
sind umstritten) und den Beginn der ei-
gentlichen Geschichte des alten Ägypten
und seiner 30 Dynastien markiert.

In diesem Alten Reich entstanden die be-
festigte Hauptstadt Memphis mit Paläs-
ten und Tempeln, das Totenfeld von Sak-
kara mit den prachtvoll ausgemalten Grä-
bern der Granden des Reiches, die Masta-
bas und die Stufenpyramide des Pharao

Djoser und die berühmten großen Pyra-
miden des Cheops, Chefren und des My-
kerinos in Giza. Die Bilderschrift der Hie-
roglyphen wurde weiter entwickelt, doch
sind aus der Zeit des Alten Reiches keine
mathematischen Texte überliefert.

Uneingeschränkt regierten die Pharaonen
als Stellvertreter der Götter auf Erden bis

Machtgewinn der Provinzfürsten den Zer-
fall des Alten Reiches herbeiführte.

Nach der sog. Ersten Zwischenzeit ge-
lang dem thebanischen Herrscher Mentu-
hotep der II. Dynastie um 2040 die Wie-
dervereinigung Ägyptens. In dem bis etwa

1790 währenden Mittleren Reich bescher-
ten Stabilität und wirtschaftliches Wachs-
tum Ägypten sein rund 200 Jahre währen-
des Goldenes Zeitalter unter der 12. Dy-
nastie. Bis nach Nubien und Kusch im Sü-
den, nach Libyen, Palästina und Syrien im

Abb. 3.1.1

Ägypten im Alter-

Norden, sogar bis Kreta und zum griechi-
tum
schen Festland reichte der kulturelle Ein-
fluss Ägyptens.

In dieser Zeit entstanden die berühmten Papyri, von denen später die Rede
sein wird: der Papyrus Rhind, der Papyrus Moskau, der Papyrus Kahun, der

Papyrus Theben und die sog. Londoner Lederrolle. Die Glaubenswelt wurde
vom Osiriskult mit dem Zentrum Abydos beherrscht.

106

3 Frühzeit der Mathematik im Vorderen Orient

Abb. 3.1.2

Tut-ench-Amun (Goldmaske im Ägyptischen Museum, Kairo)

[Foto Wesemüller-Kock]

Schwache Herrscher der 13. Dynastie führten erneut zum Zerfall des Rei-
ches und zur Fremdherrschaft der Hyksos in der Zweiten Zwischenzeit (ca.

1790 bis 1550). Dann vermochten einheimische Herrscher der 17. Dynastie
das Reich wieder zu einen.

Das Neue Reich (ca. 1550–1070) brachte die Epoche größter militärischer

Ausdehnung und höchster Pracht- und Machtentfaltung. Von Nubien bis zum

Euphrat reichte die Macht der Pharaonen unter den Herrschern der 18. Dy-
nastie: Der Amun-Tempel von Karnak und der Luxor-Tempel auf dem Ost-
ufer, der Tempel der Hatschepsut – der ersten und bis Kleopatra einzigen

Frau auf Ägyptens Königsthron, – die Memnons-Kolosse und die prunkvol-
len Gräber im Tal der Könige im Westen der damaligen Hauptstadt Theben
künden vom Luxus und Pomp jener Epoche, die Tempel und Paläste in Tell
el-Amarna vom Versuch Amenophis‘ II. und seiner schönen Gemahlin Nofre-
tete, die alten Götter durch den einzigen Sonnengott Aton zu ersetzen, das
spektakuläre Grab des jung gestorbenen Tut-ench-Amun von der Rückkehr
zu den alten Göttern in Theben.

Die Zeit der 19. Dynastie ist geprägt von Kämpfen mit den Stadtstaaten

Palästinas und Syriens und gegen die in Anatolien entstandene Großmacht
der Hethiter. Sie veranlassten Ramses II. zur Verlegung seiner Residenz nach

3.1 Mathematik im alten Ägypten

107

Abb. 3.1.3

Stufenpyramide des Pharao Djoser in Sakkara (um 2600 v. Chr.)

[Foto Alten]

Quantir im Nildelta. Dessen ungeachtet entstanden in seiner 66 Jahre wäh-
renden Regierungzeit im ganzen Lande gewaltige Tempel und Obelisken mit
den Bildern und Hieroglyphen – Inschriften zum Ruhme des Pharao. Am be-
rühmtesten sind wohl die beiden wegen des Assuan-Staudammes nach mehr
als 3000 Jahren umgesetzten Felsentempel von Abu Simbel.

Und wieder folgt auf die Glanzzeit unter Ramses II. und seinen Nachfol-
gern der 19. und 20. Dynastie eine Zeit des Niedergangs. Die Aufspaltung

Ägyptens in ein „weltliches“ Königreich mit Sitz in Tanis im östlichen Delta
und den „Gottesstaat des Amun“ mit Sitz in Theben besiegeln das Ende des

Neuen Reiches.

Es folgen Jahrhunderte unter fremder Herrschaft in der Dritten Zwischen-
zeit. In der anschließenden Spätzeit (ab 664) erlebt Ägypten eine neue Blü-
te: Anknüpfung an die Vorbilder in der Kunst des Alten Reiches führt zu
einer „Renaissance“. Die Eroberung durch die Perser im Jahre 525 v. Chr.

beendet die Selbstständigkeit Ägyptens, die nur unter der 28.–30. Dynastie

(404 bis 343) noch einmal auflebt. Die Zeit der Königsdynastien endet 332
v. Chr. mit der Eroberung Ägyptens durch Alexander d. Gr. Die von ihm an
der Mittelmeerküste gegründete und nach ihm benannte Hafenstadt Alexan-
dria sollte zur Handelsmetropole und zum geistigen Zentrum der griechisch-
hellenistischen Welt aufsteigen. Davon und von der Herrschaft der Ptolemäer
und anschließend der Römer bis zur Zerstörung des berühmten Museions von

Alexandria wird im folgenden Kapitel berichtet.

108

3 Frühzeit der Mathematik im Vorderen Orient

Abb. 3.1.4

Hieroglyphen am Tempel von Medinet Habu in Theben

(um 1170 v. Chr.) [Foto Alten]

Die Griechen waren tief beeindruckt von der ägyptischen Kultur; die Py-
ramiden galten als eines der sieben Weltwunder. Die Kenntnis der altägyp-
tischen Schrift – in all ihren Varianten – war verloren gegangen und so hiel-
ten sie die Inschriften an Tempeln für religiöse Zeichen, für heilige Zeichen,
für Hieroglyphen. Sprach- und Schriftgeschichte Ägyptens sind kompliziert
und können hier nicht dargestellt werden. Obwohl wir verallgemeinernd von

Hieroglyphen sprechen, ging die ursprüngliche hieroglyphische Schrift in die
hieratische (eine schneller, einfacher zu schreibende Schreibschrift) und diese
später in die demotische Schrift über. Die Hieroglyphen sind sehr alt, gehen
bis vor 3000 v. Chr. zurück und wurden, nach einigen Regulierungen, länger
als 3000 Jahre benutzt. Die demotische Schrift kam ungefähr 660 v. Chr. in

Gebrauch.

Da man die Hieroglyphen für Zeichen bzw. Symbole hielt und deren pho-
netischen Charakter nicht erkannte, blieb ein Entzifferungsversuch u. a. des
deutschen Gelehrten Athanasius Kircher (1602–1680) ergebnislos.

Eine Wendung trat erst zu Anfang des 19. Jahrhunderts ein. Napole-
on hatte 1799 den Versuch unternommen, Ägypten zu erobern. In seinem

Gefolge befanden sich hochrangige Gelehrte, unter ihnen die Mathematiker

G. Monge und J. B. J. Fourier. In Kairo wurde eine französisch geprägte

Akademie gegründet. Ein riesiges Forschungsmaterial zu Geographie, Fauna,

3.1 Mathematik im alten Ägypten

109

Abb. 3.1.5

Stein von Rosetta (Kopie im Römer- und Pelizaeus-Museum Hildes-
heim), eingefügt Briefmarke mit Champollion (Ägypten 1972), [Foto Wesemüller-Kock]

Flora und Geschichte jener Region wurde zusammengetragen und nach Paris
gebracht. Die Niederlage der französischen Flotte bei Abukir gegen die Eng-
länder schnitt das Expeditionskorps von Frankreich ab; das Unternehmen
wurde abgebrochen. Napoleon floh heimlich auf einem kleinen Schiff.

1799 wurde nahe der Stadt ar-Rashid (englisch Rosetta) im nordwestli-
chen Nildelta zufällig ein sensationeller Fund gemacht. Der sog. Stein von Ro-
setta (heute im Britischen Museum) enthält Inschriften in hieroglyphischer,
demotischer und griechischer Schrift; der letztere Teil war lesbar. Durch Ver-
gleich mit einem Schlüsselwort (ein Eigenname) wurde deutlich, dass es sich
bei allen Teilen um denselben Inhalt handelte. Der britische Physiker und

Philologe Th. Joung (1773–1829) erzielte erste Erfolge bei der Entzifferung.

Der große Wurf einer wirklichen Dechiffrierung gelang indes erst dem fran-
zösischen Sprachwissenschaftler Jean-François Champollion (1790–1832) im

Jahre 1822. Durch ihn wurden die Hieroglyphen lesbar; sie stellen eine Mi-
schung dreier Grundbestandteile dar: alphabetische, Silben bedeutende und
symbolische/ideographische Zeichen. Mit der Entzifferung der Hieroglyphen
konnte eine Jahrtausende währende aufregende und glanzvolle Kultur er-
schlossen werden. Namen von Herrschern, Priestern und politische Ereignisse
traten aus dem historischen Dunkel hervor.

110

3 Frühzeit der Mathematik im Vorderen Orient

Abb. 3.1.6

Medizinische Geräte am Tempel von Kom Ombo (Oberägypten)

[Foto Mainzer]

Wissenschaft und Kultur erreichten im alten Ägypten ein beachtliches

Niveau: Hoher Stand der Metallverarbeitung, Glasherstellung, Bautechnik,
bildenden Kunst, Wandmalereien, aber auch in der Medizin. Die Medizin war
sehr weit entwickelt: Es gab Augenärzte, Chirurgen und andere Spezialisten.

Der Papyrus Ebers (UB Leipzig), weitere Papyri und Reliefs (vgl. Abb. 3.1.6)

geben Auskunft über die Leistungen der Medizin im Alten Ägypten.

Nicht für jeden bedeutete die Hochkultur auch ein bequemes Leben. Die

Lage der Bauern war schwer. So heißt es in einem Papyrus aus dem Neuen

Reich:

„Erinnerst du dich nicht an das Wesen des Feldarbeiters beim Regis-
trieren der Ernte? Die Schlange hat die eine Hälfte der Ernte weg-
genommen. Die Nilpferde haben das andere vertilgt. Die Mäuse sind
zahlreich im Feld. Die Heuschrecke <fällt ein >, das Kleinvieh frißt
und die Vögel bringen Mangel für den Feldarbeiter. Das Restliche, das
auf der Tenne ist, ist zu Ende wegen der Diebe, während der Wert des
geliehenen Viehs verloren ist, weil das Gespann durch Dreschen und

Pflügen verreckt ist. Und dann landet der Schreiber auf dem Ufer. Er
wird die Ernte registrieren, wobei die Wächter Stöcke und die Nubi-
er Palmzweige tragen. Sie (sagen): ‚Gib das Korn her‘. Wenn keines
da ist, so verprügeln sie ihn furchtbar und er wird in ein Wasserloch
geworfen.“

(Zitiert bei [Imhausen 2003, S. 158])

3.1 Mathematik im alten Ägypten

111

Abb. 3.1.7

Ägyptischer Kalender mit 12 Monaten zu je 30 Tagen und fünf „un-
heilschwangeren“ Tagen. Die Zeitpunkte für Beginn der Überschwemmung, Aus-
saat und Ernte sind abzulesen. (Ausschnitt aus einem Relief am Tempel von

Kom Ombo) [Foto Wesemüller-Kock]

Besondere Bewunderung verdienen die astronomischen Kenntnisse, die bis
in die Frühzeit zurückreichen. Die Beobachtung des sehr regelmäßig einset-
zenden Nilhochwassers – lebenswichtig für die erneuerte Fruchtbarkeit des

Ackerlandes – führte die Ägypter zu Beginn des dritten Jahrtausends auf
die Festsetzung einer Jahreslänge von 365 Tagen, eingeteilt in drei Jahreszei-
ten mit je vier Monaten à 30 Tagen und fünf zusätzlichen Tagen (von den

Griechen Epagomenen, d. h. die Aufgeschlagenen genannt).

Die Jahreszeiten entsprachen der Nilüberschwemmung, Aussaat/Wachs-
tum und der Ernte. Die fünf Zusatztage störten die Harmonie dieses Ka-
lenders und galten deshalb als gefährlich. Sie wurden als Vorzeichen für das
nächste Jahr gedeutet und waren mächtigen Gottheiten gewidmet: Osiris,

Horus, Seth, Isis, Nephtys.

In der von Göttern geschaffenen Welt und ihrer kosmischen Ordnung war
auch jeder einzelne Tag des altägyptischen Kalenders einem bestimmten Gott
zugeordnet, der aus der Sicht der Gläubigen die Herrschaft darüber ausüb-
te und zugleich Schutz zu gewähren vermochte. Als Wächter und Schutz-
herr des gesamten Kalenders gilt der Mondgott Toth, der viele Aspekte und

Funktionen in seiner Gestalt bündelte: Er war Gott der Weisheit, der Ge-

112

3 Frühzeit der Mathematik im Vorderen Orient

Abb. 3.1.8

Thot, der ibisköpfige Gott des Mondes, der Wissenschaften und des

Schrifttums, Herr der Zeit und Rechner der Jahre (Römer- und Pelizaeus-Museum,

Hildesheim) [Foto Wesemüller-Kock]

setze und heiligen Bücher, als „Schöpfer“ der Hieroglyphen darüber hinaus

Gott des Schrifttums, der Wissenschaften und Künste. Er war der Schutz-
herr der Schreiber und der Bibliotheken und protokollierte als Götterbote
und -sekretär das jeweilige Ergebnis des Totengerichts. In seiner Eigenschaft
als Mondgott beherrschte er die Zeit- und Kalenderrechnung. Toth wurde als

Gott der Mathematik auch mit Landvermessung und Tempelbau in Verbin-
dung gebracht. Verehrt und dargestellt wurde er als Pavian, als Ibis (Vogel)

und als ibisköpfiger Mensch.

Später erkannte man, dass das „Niljahr“ alle vier Jahre um einen Tag
hinter dem erneuten Sichtbarwerden des Fixsternes Sothis (lat. Sirius, der

Hundsstern) zurückblieb. So kam man auf eine Jahreslänge von 365 14 Tagen
und korrigierte den Kalender im Jahre 238 v. Chr. (im Dekret von Kanopus)

durch Einfügung eines Schalttages alle vier Jahre.

Dieser ägyptische Kalender war so vorzüglich, dass er unter Gaius Juli-
us Caesar von den Römern (mit Schaltjahr) übernommen wurde. Der nach
ihm benannte Julianische Kalender blieb bis zur Kalenderreform unter Papst

Gregor XIII. im Jahre 1582 in katholischen Ländern in Gebrauch, in evange-
lischen Ländern bis ins 18. Jh., in Osteuropa sogar noch bis ins 20. Jahrhun-
dert, weshalb die Revolution vom November 1917 als „Oktoberrevolution“ in
die Geschichte eingegangen ist.

3.1 Mathematik im alten Ägypten

113

3.1.1 Mathematische Papyri

Einige wenige Papyri mathematischen Inhaltes sind erhalten geblieben; ins-
gesamt sind etwas mehr als zehn derartige Dokumente bekannt. Einen aus-
führlichen Überblick über die mathematischen Papyri, über deren Inhalt,

Entstehungszeit und jetzigen Aufbewahrungsort findet man im [DSB, Bd.

XV, S. 704/05], ferner in [Gillings 1972].

Die bedeutendsten mathematischen Papyri stammen aus der Zeit des

Mittleren Reiches. Das bedeutet, dass wir von der ägyptischen Mathema-
tik quasi nur eine Momentaufnahme besitzen: Wir wissen nichts über die

Vorgeschichte und kaum etwas über die Nachfolgegeschichte. Der Stand der

Mathematik im Zeitraum des 18./17. Jahrhunderts v. Chr. ist erstaunlich
hoch.

Zwei Papyri insbesondere verdanken wir die hauptsächlichen Kenntnis-
se. Der sog. Moskauer Papyrus (ca. 1850 v. Chr.) [Struve 1930] – er wird
im Moskauer Museum der schönen Künste aufbewahrt – ist älter als der
sog. Papyrus Rhind. Dieser wurde 1858 von dem schottischen Archäologen

A.H. Rhind gekauft und gehört nun zu den Schätzen des Britischen Muse-
ums in London. Gelegentlich wird diese Papyrusrolle auch nach dem Schreiber

Abb. 3.1.9

Ägyptischer Schreiber (Skulptur im Ägyptischen Museum, Kairo)

[Foto Wesemüller-Kock]

114

3 Frühzeit der Mathematik im Vorderen Orient

Ahmes benannt, der, wie er schreibt, seinen Text (um 1650) nach einer ca.

200 Jahre älteren (verlorenen) Vorlage kopierte [Eisenlohr 1891], [Peet 1923],

[Chace/Archibald 1927–29].

Die weit fortgeschrittene Arbeitsteilung in Ägypten hatte den Stand der

Schreiber hervorgebracht. Sie waren die ausführenden Organe der Verwaltung
des Staates und je nach ihrem Rang mit mehr oder weniger Machtbefugnis-
sen ausgestattet. Sie trieben die Steuern ein, dirigierten riesige Arbeitsheere,
übten Gerichtsbarkeit aus.

Die mathematischen Texte kann man als eine Art Nachschlagewerk oder

Handwerkszeug der Schreiber verstehen: Probleme der Feldvermessung (er-
forderlich nach den jährlich wiederkehrenden Nilüberschwemmungen), Be-
rechnung von Steuern und Abgaben, Berechnung der Verpflegung für die

Heere, Berechnung der Größe von Vorratsbehältern, Projektierung von Bau-
werken – dazu sollte ein erfahrener Schreiber imstande sein.

Es hat sich ein fiktiver Brief eines Schreibers aus dem Neuen Reich an
einen anderen erhalten, in dem er bemängelt, dass jener nicht imstande sei,
übertragene Aufgaben zu lösen und er nun eingreifen müsse:

„Es fällt auf meinen Nacken (. . . ) (Ein ironischer Unterton ist un-
verkennbar) Siehe, Du kommst und füllst mich mit Deinem Amt an.

(Da will) ich Dir darlegen, was Dein Wesen ist, wenn Du sagst: ‚Ich
bin der Befehlsschreiber des Heeres‘.

Man gibt Dir einen See auf, den Du graben sollst. Da kommst Du zu
mir, um Dich nach dem Proviant für die Soldaten zu erkundigen und
sagst: ‚Rechne ihn mir aus‘. Du läßt Dein Amt im Stich und es fällt
auf meinen Nacken, daß ich dir seine Ausübung lehren muß. (. . . )

Denn sieh, Du bist ja der erfahrene Schreiber, der an der Spitze des

Heeres steht. Es soll (also) eine Rampe gemacht werden, 730 Ellen
lang und 55 Ellen breit, die 120 Kästen enthält und mit Rohr und Bal-
ken gefüllt ist, oben 60 Ellen hoch, (. . . ) Man erkundigt sich nun bei
den Generälen nach dem Bedarf an Ziegeln für sie, und die Schreiber
sind allesamt versammelt, ohne daß einer unter ihnen etwas weiß. Sie
vertrauen alle auf Dich und sagen: Du bist ein erfahrener Schreiber,
mein Freund; so entscheide das schnell für uns. Sieh, Du hast einen
berühmten Namen; möge man einen in dieser Stätte finden, der die
übrigen dreißig groß mache. Laß es nicht geschehen, daß man von

Dir sage: ‚Es gibt (auch) Dinge, die Du nicht weißt.‘“

(Zitiert nach [Neugebauer 1969, S. 120], vgl. auch [Fischer-Elfert

1986])

3.1.2 Zahlensystem, Rechentechnik

Das altägyptische Zahlensystem war dezimal aufgebaut aber kein Positions-
system. Das bedeutet, dass jede Zehnerpotenz ein eigenes Schriftzeichen be-
saß, für 100 = 1, 101, 102 usw. bis 106. In hieroglyphischer Schrift sahen sie
ungefähr so aus wie auf der folgenden Seite dargestellt.

3.1 Mathematik im alten Ägypten

115

Abb. 3.1.10

Zahlzeichen für Angaben von Mengen in Rezepturen (Relief im

Laborraum des Horus-Tempels von Edfu) [Foto Wesemüller-Kock]

Die Zahlen wurden durch Reihung gebildet. Das Zeichen für 100 stellt eine

Messleine dar, das für 1000 eine Lotosblume, das für 10 000 einen Schilfkolben

(oder Finger), das für 100 000 eine Kaulquappe. Das Zeichen für 106 stellt

(vermutlich) den ägyptischen Gott des Luftraumes dar.

Ursprünglich wurden die Zahlen durch Reihung der Individualzeichen ge-
bildet, z. B.

116

3 Frühzeit der Mathematik im Vorderen Orient

Die Zahlzeichen erinnern, wie bereits erwähnt, noch an ihre ursprüngliche

Bedeutung. Ähnliches gilt für die Rechenoperationen.

Das Schriftsymbol für „zerbrechen“ ist synonym mit Subtraktion. Der

Bruch wurde durch ein über die Zahl gesetztes Zeichen

(für ro = Mund
die Hieroglyphe für r) bezeichnet, ursprünglich das Zeichen für ein kleines

Hohlmaß, 1/320 eines Scheffels. Später wurde das Zeichen zu einem Punkt
verkürzt. Dann bedeutet ˙ n soviel wie 1 /n. Statt ˙ n wird heutzutage die

Schreibweise ¯
n für 1 /n verwendet. Auch gab es noch ein Zeichen für den

Bruch 2/3. Gelegentlich wurde für Subtraktion das Zeichen für „Haus“
kombiniert mit

(„ein Paar Beine gehen hinaus“) verwendet.

Die ägyptische Rechentechnik beruht auf fortgesetztem Verdoppeln und

Halbieren. Nehmen wir zwei Beispiele: Multiplikation 13 × 12 und Division

21 : 8. Der Schreiber rechnet im Beispiel der Multiplikation:

/ 1

12

2

24

/ 4

48

/ 8

96

Die angestrichenen Positionen 1, 4, 8 sind die entscheidenden: ihre Addi-
tion ergibt den Multiplikanden 13, die Summe der zugehörigen Produkte das

Ergebnis 12 + 48 + 96 = 156.

Im Beispiel der Division wird der Dividend durch Verdoppeln bzw. fort-
gesetzte Halbierung des Divisors 8 aufgebaut

1

8

/ 2

16

/ ¯

2

4

¯

4

2

/ ¯

8

1

Die entscheidenden Positionen 2, ¯

2, ¯

8 (für Verdoppeln bzw. wiederholtes

Halbieren) werden angestrichen. Ihre Addition ergibt den Quotienten 2 +

¯

2 + ¯

8 = 2 + 1/2 + 1/8 = 21/8, die Addition der zugehörigen Positionen den

Dividenden: 16 + 4 + 1 = 21.

Dies verweist auf die altägyptische Bruchrechnung, die mit Stammbrüchen

¯
n = 1 /n vollzogen wurde. So ist 2/5 etwa kein Zahlenergebnis, sondern eine

Aufgabe mit der Lösung: 2 / 5 = 3 + 15 = 1 / 3 + 1 / 15.

Der Papyrus Rhind beginnt mit der hochtrabenden Ankündigung, was
man alles durch ihn lernen könne, nämlich „Regeln zum Eindringen in die

Natur und zum Erkennen alles dessen, was existiert, (jedes) Mysteriums,

(. . . ), jedes Geheimnisses“ (zitiert nach [Peet 197e, englisch], dt. Übers. Wg).

Dann folgt eine Tabelle von Zerlegungen der Brüche 2 /n in Stammbrüche,
bis 2/101. Beispielsweise

2 / 7 = 4 + 28 , . . ., 2 / 99 = 46 + 198 ,

2 / 101 = 101 + 202 + 303 + 606 .

3.1 Mathematik im alten Ägypten

117

Bekanntlich ist die Zerlegung in Stammbrüche nicht eindeutig. Aber es
wird stets die triviale Zerlegung 2 /n = ¯
n + ¯
n vermieden. Es lässt sich zeigen,
dass der Schreiber eine in seinem Sinne „kanonische“ Zerlegung vorgenommen
hat (vgl. dazu [Neugebauer 1969, S. 137–166]).

Die Aufgaben in den Papyri sind großenteils Verwaltungsaufgaben. Den-
noch kann man verschiedene Typen klassifizieren, darunter sogar solche ziem-
lich abstrakten Charakters.

3.1.3 „ Hau“ -Aufgaben, Pśw-Rechnungen

Der Papyrus Rhind enthält in den Aufgaben 24 bis 34 sog. Hau-Rechnungen.

Der in der mathematikhistorischen Literatur vorwiegend verwendete Aus-
druck „hau“ ist in gewissem Sinne ahistorisch: In der ägyptischen Schrift
wurden die Vokale nicht geschrieben; das Wort „hau“ für „Haufen“, „Menge“
könnte also auch – wie es verschiedene Autoren tun – mit ‚aha‘ oder einfach
mit ‚h‘ umschrieben werden.

Der Ausdruck hau im Sinne von Haufen, Menge übernimmt in gewissem

Sinne die Rolle der gesuchten Größe; wir formulieren Hau-Rechnungen heu-
te mit linearen Gleichungen. Ein besonders schönes, d. h. klar formuliertes

Beispiel einer Hau-Aufgabe findet sich im Moskauer Papyrus.

„Form der Berechnung eines Haufens, gerechnet 1 12 mal zusammen
mit 4.

Er ist gekommen bis 10. Der Haufe nun nennt sich?

Berechne du die Größe dieser 10 über dieser 4. Es entsteht 6.

Rechne du mit 1 12 , um zu finden 1. Es entsteht 2/3.

Berechne du 2/3 von diesen 6. Es entsteht 4. Siehe: 4 nennt sich.

Du hast richtig gefunden.“

[Struve 1930, S. 114]

Es soll also – modern gesprochen – die Gleichung 32 x + 4 = 10 gelöst werden.

Eine andere Methode ist die sog. pśw- oder pesu-Rechnung. Das Wort
zeigt die Güte von Bier bzw. Brot – den Hauptnahrungsmitteln – in Abhän-
gigkeit von der verwendeten Getreidemenge an, wobei noch Umrechnungsver-
hältnisse verschiedener Getreidearten ineinander zu berücksichtigen waren.

Das Verhältnis q = b/a der verwendeten Getreidemenge b zu der Anzahl a
der Brote bzw. gefüllten Bierkrüge ist dann ein Maß für die Güte von Brot
bzw. Bier. Berechnet werden soll die eine Größe aus den beiden anderen.

Es finden sich auch (endliche) arithmetische und geometrische Reihen.

Hier das Beispiel einer arithmetischen Reihe. Gesucht ist das Endglied (Auf-
gabe Nr. 64 im Papyrus Rhind):

„Wenn Du aufgefordert wirst, 10 hekat (ein Getreidemaß, 4,785 l)

Gerste unter 10 Männer aufzuteilen, wobei der Unterschied jedes

Mannes gegenüber seinem Nachbarn 1/8 hekat Gerste ist. Der mittle-
re Anteil (d. h. der Anteil, der sich ergeben würde, wenn jeder gleich

118

3 Frühzeit der Mathematik im Vorderen Orient
viel erhielte, Wg) beträgt 1 hekat. (Im Original steht 12 hekat. Es muss
heißen 1 hekat, Wg) Nimm 1 von 10 weg, der Rest ist 9. Die Hälf-
te der gemeinsamen Differenz wird genommen, nämlich 1/16 hekat.

Multipliziere sie 9 mal, das Ergebnis ist 1/2 + 1/16. Füge den mitt-
leren Anteil dazu. Nun musst Du (vom höchsten Anteil, der soeben
berechnet worden war, Wg) für jeden Mann 1/8 hekat bis zum letzten

Mann abziehen.“

(Nach Papyrus Rhind [Peet 1923, engl. S. 107f.])

Der Text ist ganz durchsichtig: Eine arithmetische Reihe mit n = 10 Gliedern,
der Differenz d = 1 / 8, der Summe s = 10 ist gegeben. Der mittlere Anteil m =
s/n wird berechnet, und für das letzte Glied der Reihe erhält der Rechner
den richtigen Ausdruck m + d( n − 1) / 2.

Im Papyrus Rhind findet sich eine humorvolle Rechnung zum „Inven-
tar eines Haushaltes: 7 Häuser, 49 Katzen, 343 Mäuse, 2401 Getreideähren,

16807 hekat, zusammen 19607.“ (Nach Papyrus Rhind, [Peet 1923, S. 121])

Abgesehen davon, dass sich in dieser Aufgabe auch die große Verehrung
der Ägypter für Katzen ausdrückt, ist gemeint, dass in jedem Haus 7 Katzen
leben, von denen jede 7 Mäuse frisst, die jede 7 Ähren vertilgt hätte, und aus
denen wären 7 hekat als Ernte hervorgegangen.

3.1.4 Algebraische Probleme

Es ist öfter unterstellt worden, dass die Harpenodapten (ein griechischer Aus-
druck für Seilspanner), die Knotenschnüre mit 3, 4, 5 Knoten verwandten und
mit dem Seil einen rechten Winkel aufspannen konnten, im Besitz des Satzes
von Pythagoras gewesen seien. Es gibt jedoch kein Dokument aus alter Zeit,
das diese Vermutung dokumentiert. Anders dagegen steht es mit einem Pa-
pyrus (dem sog. Papyrus Kairo), der aus viel späterer Zeit (ca. 300 v. Chr.)

stammt, 1938 gefunden und 1962 von R. A. Parker analysiert wurde [Parker

1972].

Der Papyrus Kairo enthält 40 Probleme mathematischen Inhalts. Neun
davon beschäftigen sich mit dem Satz des Pythagoras. Darunter ist die klassi-
sche Aufgabe von einer Leiter, die ein Stück von der Wand absteht. Wie hoch
reicht sie? Auch weiß der Schreiber, dass neben dem Tripel (3, 4, 5) auch mit
den Tripeln (5, 12, 13) und (20, 21, 29) rechtwinklige Dreiecke entstehen.

Im Papyrus Kairo werden auch Fortschritte deutlich, die beispielswei-
se gegenüber dem Papyrus Rhind erzielt wurden. Aus einem geometrischen

Problem entspringt – modern geschrieben – das Gleichungssystem xy = 60,
x 2 + y 2 = 169 mit den Lösungen y = 5, x = 12. Außerdem gibt es Nähe-
rungsformeln, die gewöhnlich Archimedes bzw. Heron zugeschrieben werden,

√
abstrakt
a 2 + b ≈ a + b/ 2 a. Schließlich beschäftigen sich zwei Probleme mit
dem Flächeninhalt des Kreises [Gillings 1976, S. 690f.].

3.1 Mathematik im alten Ägypten

119

3.1.5 Geometrische Probleme

In reichlichem Maße finden sich in den Papyri der pharaonischen Zeiten auch
geometrische Probleme: Berechnung des Inhaltes von Dreiecken und recht-
winklig begrenzten Flächenstücken mittels Zerlegung; Kreisfläche, Volumina.

Wir erkennen an der Musteraufgabe 50 aus dem Papyrus Rhind, dass die

Ägypter auch einen erstaunlich genauen Wert von π besaßen. Die entspre-
chende Aufgabe lautet:

„Beispiel der Berechnung eines runden Feldes vom (Durchmesser)

9 ht (ein Längenmaß). Was ist der Betrag seiner Fläche? Nimm 1/9
von ihm (dem Durchmesser) weg. Der Rest ist 8. Multipliziere 8 mal

8. Es wird 64.“

(Zitiert nach [Gericke 1984, S. 55])

Man subtrahiert also d/ 9 vom Durchmesser d und quadriert. Die Fläche ist
dann ( d−d/ 9)2 und dies läuft auf den Wert von π ≈ 56 / 81 = 3,16 . . . hinaus.

Interessant ist die Feststellung, dass ausgerechnet ein Neuntel abgezogen
wird. Warum nicht 1/8 oder 1/10? Beide Werte liefern schlechtere Näherun-
gen. Für die Wahl von 1/9 gibt es verschiedene Interpretationen [Gericke

1984, S. 55–58].

Die Glanzleistung der altägyptischen Geometrie ist die korrekte Berech-
nung des Volumens eines Pyramidenstumpfes. Sie findet sich als Aufgabe 14
im Moskauer Papyrus. Gegeben ist ein Pyramidenstumpf (schief oder gerade,
das bleibt offen) mit 4 Ellen (1 Elle = 20,6 Zoll) Seitenlänge an der quadrati-
schen Basis, 2 Ellen am Deckquadrat und 6 Ellen Höhe. Der Schreiber rechnet

(frei übersetzt nach Struve):

„Wenn man dir sagt, ein Pyramidenstumpf von 6 Ellen Höhe,

Von 4 Ellen an der Basis und 2 Ellen an der Spitze,

Abb. 3.1.11

Pyramidenstumpf-Aufgabe im Moskauer Papyrus (der Moskauer

Papyrus ist in hieratischer Schrift geschrieben) [Neugebauer 1969, S. 127]

120

3 Frühzeit der Mathematik im Vorderen Orient

Rechne du mit 4, das Quadrat ist 16.

Multipliziere diese 4 mit 2. Ergebnis 8.

Rechne du mit dieser 2, sein Quadrat ist 4.

Addiere zusammen diese 16, mit diesen 8 und mit diesen 4. Ergeb-
nis 28.

Rechne du 1/3 von 6. Ergebnis 2.

Rechne du zweimal mit 28. Resultat 56.

Siehe. Es ist 56! Du hast es richtig gefunden.“

(Vgl. auch [DSB Supplement 1978, S. 697])

Die Rechnung läuft auf die Rechenanweisung h( a 2 + ab + b 2) / 3 hinaus. Wir
wissen freilich nicht, auf Grund welcher theoretischen Überlegungen, viel-
leicht auch experimenteller Mittel (Ausmessung mit Sand?) diese „Formel“
gefunden werden konnte.

Abb. 3.1.12

Figuren zur Deutung von Aufgabe 10 Papyrus Moskau; nach

[Neugebauer 1969, S. 136f.]

3.1 Mathematik im alten Ägypten

121

Besonders beschäftigt hat die Mathematikhistoriker die Aufgabe 10 im

Moskauer Papyrus. Sie handelt von der Berechnung der Oberfläche eines

„Korbes“. Wegen der Lücken im Text des Papyrus und der Möglichkeit ver-
schiedener Bedeutungen des Symbols für „Korb“ gibt es unterschiedliche In-
terpretationen der Bezeichnungen im Text. Danach könnte es sich um die

Oberfläche einer Halbkugel (Interpretation von Struve), die eines Halbzylin-
ders (Peet) oder eines korbähnlichen Vorratsbehälters (Neugebauer) handeln.

Fassen wir zusammen: Die altägyptische Kultur war hoch entwickelt. Die

Mathematik hat in den Händen der Schreiber eine Höhe erreicht, die den
praktischen Problemen gerecht werden konnte und in Einzelfällen zu weite-
ren Fragestellungen führte. Im Allgemeinen handelt es sich um Rechenan-
weisungen; die „Probe“ wird mit dem Ergebnis gemacht. Aber es gibt keine

Begründung dafür, dass eine Vorschrift im Allgemeinen immer zum richtigen

Ergebnis führt.

Merkmale und Inhalte der Mathematik im alten Ägypten

Mathematische Methoden entstehen aus praktischen Bedürfnissen: Landvermes-
sung, Bau von Pyramiden, Tempeln, Speichern, Bewässerungsanlagen, Abrech-
nungen von Lohn, Material, Abgaben. Die Methoden wurden als Handlungsan-
weisungen anhand konkreter Beispiele mit Proben von staatlichen Schreibern
ohne Begründung oder Beweis beschrieben.

Quellen sind im Wesentlichen: Papyrus Rhind, Papyrus Moskau, Papyrus Kairo,

Londoner Lederrolle – gegen Ende des Mittleren Reiches in hieratischer Schrift
niedergeschrieben.

Zahlen: Natürliche Zahlen werden durch Zeichen für Zehnerpotenzen additiv im

Dezimalsystem dargestellt, Brüche als Stammbrüche durch den Nenner (Son-
derzeichen für 1/2, 1/4, 1/3, 2/3) bzw. als Summe von Stammbrüchen. Dazu
diente eine Tabelle mit Darstellung der Brüche 2 /n mit ungeradem Nenner n für

5 ≤ n ≤ 101 als Summe von Stammbrüchen.

Arithmetik: Einfache Addition und Subtraktion, Multiplikation durch sukzessi-
ve Verdopplung des Multiplikanden, Division durch Verdopplung des Divisors;
arithmetische und (endliche) geometrische Reihen.

Algebra: Lineare Gleichungen mit einfachem falschen Ansatz bzw. sog. Hau-

Rechnung; rein quadratische Gleichungen; Näherungen für Quadratwurzeln.

Geometrie: Flächeninhalte von Rechteck, Dreieck und Trapez, Näherung für die

Kreisfläche gemäß F = (8 / 9 ∗ d)2 mit Durchmesser d; Volumina von Würfel,

Quader und Zylinder, „Formel“ für Volumen von Getreidespeichern, korrekte

Formel für den Inhalt eines Pyramidenstumpfes.

122

3 Frühzeit der Mathematik im Vorderen Orient

3.2 Mesopotamische (Babylonische) Mathematik

Allgemeine Geschichte

Kulturgeschichte
ca. 3000 bis

Sumerische Stadtstaaten

Entstehung der Keilschrift

2700
auf Tontafeln
ca. 2700 bis

Einwanderung und

2000

Herrschaft der Akkader
ca. 2000 bis

Neusumerisches Reich

Einführung des Positions-

1900
systems
ca. 1900 bis

Altbabylonisches Reich

Hochblüte der Algebra und

1600

Gesetzestafeln des Hammurapi
der Geometrie
ca. 1600 bis

Hethiter und Kassiten

Astronomische Berechnungen

1250
in Mesopotamien
und Beobachtungen
ca. 1200

Aufstieg Assyriens beginnt

Mathematische Keilschrift-
texte, Zikkurate

883–612

Neuassyrisches Reich

Residenzen in Nimrud
und Ninive

612

Zerstörung von Ninive

625–539

Neubabylonisches Reich

Blüte von Astronomie
und Astrologie

597

Zusammenbruch des Staates

Babylonische Gefangen-

Juda
schaft der Juden

539

Kyros d. Gr. erobert

Höhepunkt der Astronomie

Babylon,
persische Herrschaft

330

Alexander d. Gr. erobert

Babylon

323–139

Herrschaft der Seleukiden

Hellenismus

139 v. Chr.

Herrschaft der Parther
bis 226 n. Chr.

3.2.0 Einführung

Die Griechen nannten das Land „zwischen den Strömen“ Euphrat und Tigris

„Mesopotamien“, es liegt auf dem Gebiet des heutigen Irak. Übrigens verei-
nigten sich im Altertum Euphrat und Tigris noch nicht, sondern mündeten
getrennt in den Persischen Golf.

Im verallgemeinerten Sinne wird die Bezeichnung „Mesopotamien“ in der

Archäologie auch für das erweiterte Gebiet von den beiden Strömen bis zu

3.2 Mesopotamische (Babylonische) Mathematik

123

Abb. 3.2.1

Mesopotamien in der Antike
den Bergen im Iran nach Osten hin, im Norden bis in die Südtürkei und nach

Westen hin bis zur syrisch-arabischen Wüste verstanden.

Die politische Geschichte ist kompliziert; viele Städte und Völkerschaften
erlangten politischen Einfluss. Die Städte Ninive, Nippur und Babylon, die

Völker der Sumerer, Akkader und Assyrer, die Herrscher Hammurapi und

Nebukadnezar II. sind uns noch heute ein Begriff. Auch wurzeln Teile des

Alten Testamentes in der Geschichte Mesopotamiens, beispielsweise die Be-
richte von der babylonischen Gefangenschaft des jüdischen Volkes oder die

Geschichte von der Sintflut, die sich in einer Urform in mesopotamischen

Texten vorfindet.

124

3 Frühzeit der Mathematik im Vorderen Orient

Abb. 3.2.2

Schreitende Löwen an der Straße zum Ischtar-Tor in Babylon

(Rekonstruktion mit originalen, farbig glasierten Ziegelreliefs im Vorderasiatischen

Museum Berlin) [Foto Alten]

Frühe neolithische Siedlungen aus dem 9./8. Jahrtausend sind im Osten

Mesopotamiens gefunden worden. Im 5./4. Jahrtausend wurde durch Be- und

Entwässerung der südliche Teil des Schwemmlandes erschlossen. Fruchtbares

Land warf hohe Erträge ab. Im späten 2. Jahrtausend gewann Assyrien eine
beherrschende Stellung, nicht zuletzt deswegen, weil dort der Metallhandel
aus dem erzreichen Norden in den Süden Profit abwarf. In der zweiten Hälfte
des 2. Jahrtausends wurde Babylon ein weiteres politisches Zentrum. Das

Neuassyrische Reich dominierte einige Zeit; es folgte das Neubabylonische

Zentralreich. Im Jahre 539 v. Chr. eroberten die Perser Babylon; schließlich
verleibte Alexander der Große Mesopotamien seinem Reich ein.

In Anbetracht der wechselvollen Geschichte Mesopotamiens, von der nur
ein Teil die Geschichte Babyloniens ist, soll hier von mesopotamischer Ma-
thematik gesprochen werden, anstelle der auch weit verbreiteten Bezeichnung
babylonische Mathematik.

3.2.1 Entwicklung der Keilschrift

Über die politische und ökonomische Geschichte, über Technik und Wissen-
schaft mit Einschluss der Mathematik sind wir relativ gut informiert, da auf

Tontafeln geschriebene Texte, getrocknet oder sogar gebrannt, in großer Zahl
bei Ausgrabungen gefunden worden sind. Ganze „Bibliotheken“ wurden ent-

3.2 Mesopotamische (Babylonische) Mathematik

125

Abb. 3.2.3

Elamische Keilschrift an der Zikkurat von Tschogah Sambil

(um 1250 v. Chr.) [Foto Alten]

deckt, darunter auch „schöngeistige“ Werke wie das Gilgamesch-Epos, ein

Heldenepos. In der Hauptsache aber handelt es sich um Verwaltungstexte.

Als Schrift auf den Tontafeln wurden die sog. Keilschriftzeichen in vie-
len Versionen auf unterschiedliche Weise verwendet. Es stellte sich nach und
nach heraus, dass die Keilschrift eine lange und verwickelte Geschichte hat,
denn sie war von etwa 3000 bis in die letzten vorchristlichen Jahrhunder-
te die in Vorderasien vorherrschende Schrift, die von verschiedenen Völkern
unterschiedlicher Sprachtypen übernommen wurde.

Es waren die Sumerer, die durch Keil- und Winkelhaken stilistische Ideo-
gramme entwickelten. Diese Ideogramme wurden in der sog. akkadischen Keil-
schrift auch als Silbenzeichen verwendet, in der späteren babylonischen Keil-
schrift sogar für mehrere von einander unabhängige und grundverschiedene

Silbenwerte; das ist die von Sir Henry Creswicke Rawlinson (1810–1895) an
persischen Inschriften entdeckte Polyphonie der babylonischen Keilschrift.

Die ersten Keilschrifttexte wurden von Pietro de la Valle im Jahre 1626
aus Persepolis nach Europa gebracht. Die Bezeichnung Keilschrift wird dem
deutschen Arzt und Forschungsreisenden Engelbert Kämpfer (1651–1716)

zugeschrieben, der in seinen 1712 in Lemgo/Westfalen erschienenen Amoe-
nitates Exoticae von „litterae cuneatae“ berichtet: jedoch spricht der briti-
sche Orientalist Thomas Hyde in seiner Historia religionis veterum Persa-
rum bereits 1700 von „dactuli pyramidales seu cuneiformes“. Die Entzif-
ferungsversuche der untergegangenen Schrift haben eine lange Geschichte.

Ein entscheidender Durchbruch gelang 1793 dem Göttinger Lehrer Georg

126

3 Frühzeit der Mathematik im Vorderen Orient

Abb. 3.2.4

Bildursprung und Entwicklung der Keilschriftzeichen

[Wußing 1965, S. 31]

Friedrich Grotefend (1775–1863) mit viel Glück und Kombinationsvermögen
auf Grund einer Wette mit Trinkkumpanen. Grotefend beschrieb 1793 in
seinem erst 1893 wieder aufgefundenen Originalaufsatz Praevia de cunea-
tis quas vocant inscriptionibus Persepolitanis legendis et explicandis relatio
seine Entzifferung der (auf dem Wege vom Bild zum Buchstaben) schon al-
phabetischen altpersischen Keilschrift. Seine Ergebnisse wurden 1805 erst-
mals veröffentlicht und lösten die Entzifferung der älteren elamischen und
akkadischen Keilschriften aus, in denen die großspurigen Aussprüche der
achämenidischen Perserkönige als zweite und dritte Version neben der altper-
sischen in den Felswänden bei Persepolis, Nagsh-e Rustam und Behistun auf-
treten.

Mit der Erfindung der Buchstabenschrift durch die Phönizier hat sich die

Keilschrift überlebt. Aus dem phönizischen gingen schließlich das griechische,
das lateinische und das frühslawische Alphabet hervor.

Die Entwicklung der Keilschrift hatte auch Auswirkungen auf die Schreib-
weise mathematischer Texte. So musste sich der Übergang von der aggluti-
nierenden und vorwiegend einsilbigen Sprache der Sumerer zur flektierenden,
mehrsilbigen semitischen Sprache der siegreichen Akkader auswirken. An-
dererseits aber sahen die Akkader keine Veranlassung, die hoch entwickelte

Keilschrift, die sich durch Linearisierung von Ideogrammen herausgebildet
hat, zu verwerfen und ebenso lebte bei den akkadischen und anderen semi-
tischen Eroberern die sumerische Sprache als Fachsprache fort. Diese Situa-
tion hat eine gewisse Ähnlichkeit mit der Rolle der lateinischen Sprache im

Mittelalter. Auf diese Weise wurde ein einsilbiges, sumerisch gelesenes Keil-
schriftzeichen zur Silbe eines akkadischen Wortes; es repräsentierte auf der

3.2 Mesopotamische (Babylonische) Mathematik

127

Abb. 3.2.5

Vergleichende historische Entwicklungen

[Neugebauer, 2. Aufl. 1969, S. 41]

anderen Seite nach wie vor den sumerischen Begriff. Diese Doppelstellung
der Schriftzeichen, ihre sowohl ideographische als auch syllabische Funktion,
besitzt eine Art Verwandtschaft mit dem Grundprinzip der Bezeichnungs-
weisen innerhalb der Buchstabenalgebra (ausführlich in [Neugebauer 1969,

S. 40–72]).

Besonders wertvolle und aussagefähige mathematische Keilschrifttexte
hat man in Susa gefunden, der Hauptstadt des damaligen Elam (jetzt im

Iran). Dort sind großräumige Ausgrabungen vorgenommen worden, anfangs
vom britischen Archäologen W. K. Loftus zur Mitte des 19. Jahrhunderts,
hauptsächlich aber seit dem Ende des 19. Jahrhunderts und zu Anfang des

20. Jahrhunderts durch französische Archäologen. Spektakulär war die Ent-
deckung der Gesetzestafel des babylonischen Königs Hammurapi (ca. 1750

128

3 Frühzeit der Mathematik im Vorderen Orient
v. Chr.). Der Stein, eine Säule, eine Stele aus schwarzem Basalt, war als

Zeugnis des Sieges über Babylon nach Susa gebracht worden. Auf der 2,25 m
hohen Stele sind 285 Gesetze festgehalten, die teils recht modern anmuten,
aber auch barbarische Strafen androhen [Burton 1985, S. 82].

Aus dem Codex Hammurapi:

„Als Marduk mich beauftragte, die Menschen zu lenken und dem Lan-
de Sitte angedeihen zu lassen, legte ich Recht und Gerechtigkeit in den

Mund des Landes und trug Sorge für das Wohlergehen der Menschen.

Ich, der König, der unter den Königen hervorragt – meine Worte
sind erlesen, meine Tüchtigkeit hat nicht ihresgleichen. Auf Befehl
des Sonnengottes, des großen Richters des Himmels und der Erde,
möge meine Gerechtigkeit im Lande sichtbar werden, auf das Wort
meines Herrn Marduk mögen meine Aufzeichnungen keinen finden,
der sie beseitigt(. . . )

Damals (gab ich folgende Gesetze):

Wenn ein Bürger einen (anderen) Bürger bezichtigt und ihm Mord
vorwirft, ihn jedoch nicht überführt, so wird derjenige, der ihn be-
zichtigt hat, getötet (. . . )

Wenn ein Bürger vor Gericht zu falschem Zeugnis auftritt und seine

Aussage nicht beweist, so wird, wenn dieses Gericht ein Halsgericht
ist, dieser Bürger getötet.“ [Borger 1982, S. 44 ff.]

3.2.2 Zahlenschreibweise, Zahlentafeln

Auch die Zahlen wurden in Keilschrift geschrieben; die Zahlenschreibweise
hat ihrerseits eine Entwicklung durchlaufen. Im ausgereiften Zustand wur-
den zwei Keilschriftzeichen verwendet, der Keil (für 1) und der Winkelhaken

(für 10). Mit ihnen wurden die Zahlen im Positionssystem mit der Basis 60

(Sexagesimalsystem) dargestellt, jedoch mit dezimaler Komponente in Ge-
stalt des Winkelhakens. Dabei wurde der Keil
für 1, 60, 602, . . . , aber auch
für 60 − 1, 60 − 2, . . . benutzt und so oft gesetzt, wie die betreffende Potenz
auftrat, der Winkelhaken entsprechend für 10, 10 · 60, 10 · 602, . . . . Eine un-
besetzte Stelle im Positionssystem (wo wir die Null verwenden) wurde durch
deutlichen Abstand kenntlich gemacht. Erst ab etwa 600 v. Chr., also zur

Perserzeit, wurde dazu ein inneres Lückenzeichen verwendet. Die Zahlen von

1 bis 59 wurden nicht (wie im Dezimalsystem 1 bis 9) durch verschiedene

Ziffern dargestellt, sondern durch entsprechend viele Keile und Winkelhaken,
z. B.

43 = 4 · 10 + 3 =

In den folgenden Beispielen trennen wir die Potenzen von 60 durch Kommata
und benutzen das Semikolon als „Sexagesimalkomma“. So bedeutet 2,1; 24
die Zahl 2 · 601+1 · 600+24 · 60 − 1 und wird in Keilschrift als
dargestellt,
wobei verkürzt
für
geschrieben wird.

3.2 Mesopotamische (Babylonische) Mathematik

129

Abb. 3.2.6

Stele mit der Gesetzestafel des Königs Hammurapi (Original im

Louvre, Kopie im Archäologischen Museum Teheran) [Foto Alten]

130

3 Frühzeit der Mathematik im Vorderen Orient

Die Größenordnung einer Zahl kann aus dem Zusammenhang erschlossen
werden oder sie ist vorher bekannt. So kann z. B.

die Zahl 1 · 603 + 54 · 602 + 1 · 60 + 22 = 1,54,1,22 bedeuten, aber auch

1 · 602 + 54 · 601 + 1 · 600 + 22 · 60 − 1 = 1,54,1;22.

Dabei hat das Sexagesimalsystem einen Nachteil und einen bedeutenden

Vorteil. Der Nachteil besteht darin, dass das kleine Einmaleins bis 60 mal 60
reicht; ohne Hilfszahlentafeln war deshalb das Rechnen nicht möglich. In der

Tat hat man eine große Anzahl solcher Rechenhilfsmittel gefunden.

Dieser Nachteil wird aber ausgeglichen durch den Umstand, dass die

Bruchrechnung sozusagen größtenteils im ganzzahligen Bereich ausgeführt
werden kann: Das schon verwendete Beispiel
kann gelesen werden als 0; 0 , 1 , 54 , 1 , 22 = 1 · 60 − 2+54 · 60 − 3+1 · 60 − 4+22 · 60 − 5, aber auch als 1 , 54 , 1 , 22 = 603 + 54 · 602 + 60 + 22.

Das sexagesimale Positionssystem war außerordentlich leistungsfähig und
allen späteren Zahlensystemen der Antike überlegen. Daher wurde es u.a.

von den griechisch-hellenistischen Mathematikern dort verwendet, wo vie-
le und ausgiebige Rechnungen durchgeführt werden mussten, insbesondere
in der Astronomie. Mit dem hellenistischen Mathematiker und Astronomen

Ptolemaios (2. Jh. n. Chr.) hat sich das sexagesimale Zahlensystem in der

Astronomie durchgesetzt. Er schrieb:

„Im allgemeinen werden wir . . . die Ansätze der Zahlen nach dem

Sexagesimalsystem machen, weil die Anwendung der Brüche (d. h.

der gewöhnlichen, im griechischen Zahlensystem bezeichneten Brü-
che, Wg) unpraktisch ist.“

[Ptolemaios 1912, Bd. I, S. 25]

Mit der Übernahme durch die griechisch-hellenistische Astronomie gelangte
das Sexagesimalsystem auch nach Europa und damit auch die Einteilung des

Vollwinkels in 360 ◦, des Grades in 60 Minuten von je 60 Sekunden. Und die

Stunde wird heute noch eingeteilt in 60 Minuten zu 60 Sekunden.

Das Sexagesimalsystem erfordert umfangreiche Zahlentafeln. Die ältes-
ten reichen noch in die sumerische Zeit zurück; die jüngsten stammen aus
hellenistischer Zeit. Als Beispiel seien die 1854/55 gefundenen sog. „Täfel-
chen von Senkereh“ genannt; sie enthalten Quadratwurzeln, Quadratzahlen,

Längenmaße, Kubikwurzeln. An ihnen wurde zuerst das sexagesimale Posi-
tionssystem erkannt (dazu [Neugebauer 1935, Teil I, S. 71, Anmerkung 2]).

Wieder andere Tafeln stellen Reziprokentafeln und auch anderes dar, z. B.

n 2 + n 3 und „ n 2 hat n als Quadratwurzel“.

3.2 Mesopotamische (Babylonische) Mathematik

131

Abb. 3.2.7

Graphische Darstellung einer spätbabylonischen Zahlentafel zur Be-
schreibung periodischer astronomischer Vorgänge [Wußing 1965, S. 53]

Die Berechnung von nicht aufgehenden – also irrationalen – Quadratwur-
zeln wurde auch bewältigt und zwar mit Hilfe der Näherungsformel

√

b
n =
a 2 + b ≈ a +

,

2 a
wenn a 2 die größte noch unterhalb n liegende Quadratzahl ist.

In den Tabellentexten findet sich gelegentlich als Überrest eine subtrakti-
ve Schreibweise der Zahlzeichen. Mit einem besonderen Subtraktionszeichen,
gelesen lal, bedeutet dann 20 lal 1 soviel wie 19. In astronomischen Tex-
ten der Spätzeit spielt lal zusammen mit dem entsprechenden Zeichen tab
für hinzufügen die Rolle von Vorzeichen. Wenn man eine derartige astrono-
mische Tabelle [Neugebauer 1969, S. 18] funktional interpretiert und in ein

Koordinatensystem überträgt (das ist natürlich ahistorisch), so erhält man
ein Diagramm wie in Abb. 3.2.7. Solche „Zahlentafeln“ wurden bei der Be-
schreibung periodischer astronomischer Vorgänge verwendet.

Übrigens standen Astronomie und Astrologie in Mesopotamien auf hohem

Niveau und in hohem Ansehen. Die Astrologie dürfte vermutlich aus altbaby-
lonischer Zeit stammen. Dagegen ist die mathematische Astronomie späteren

Datums, sicher erst ab ca. 700 nachgewiesen und war um 400 voll entwickelt.

Schon seit etwa 3000 v. Chr. wurden die Planeten mit Göttern identifiziert.

Von hier führt ein direkter Weg zu den griechischen und den späteren rö-
mischen Göttern: Nebo wird Merkur, Ischtar wird Venus, Nergal wird Mars,

Marduk wird Jupiter, Nibib wird Saturn. Auch gab es Bezeichnungen für

Tierkreiszeichen [Resnikoff 1983, S. 75].

3.2.3 Geometrie in Mesopotamien

Die mesopotamische Mathematik ist nach Entstehungsgeschichte und Aus-
übung eng mit praktischen Problemen verbunden, wie auch die Lösungen
an Beispielen im Allgemeinen durch Rechenschemata ohne Begründung ge-
geben werden. Die Betrachtung derartiger praktischer Aufgaben wirft auch

132

3 Frühzeit der Mathematik im Vorderen Orient

Abb. 3.2.8

Illustration zur Berechnung der Breite der Grabensohle bzw. Damm-
krone bei ringförmigem Wall (Ausschnitt aus dem Keilschrifttext BM 85 194)

Licht auf die gesellschaftlichen Bedürfnisse, als deren Frucht eine leistungs-
fähige, rechnende Geometrie entstanden ist, die zudem anfing, ihren eigenen
inneren, problemgeschichtlichen Fragestellungen nachzugehen, jenseits prak-
tischer Probleme (dazu ausführlich [Høyrup 2002]). Greifen wir den vermut-
lich aus dem 7. Jahrhundert stammenden und sehr aussagekräftigen und gut
erhaltenen Keilschrifttext BM 85 194 heraus (BM steht für den Aufbewah-
rungsort British Museum). Er enthält vielerlei mit dem Bauwesen zusam-
menhängende praktische Probleme, die übrigens auch andernorts behandelt
wurden: Berechnungen von Dämmen, die meist trapezförmigen Querschnitt
besaßen, wo nach der Neigung der Böschung, der Breite der Dammkrone und
der Zahl der benötigten Arbeiter bei einer mittleren Arbeitsleistung gefragt
wird; Berechnung von ringförmigen Wallbauten, von Tempelfundamenten,
von Befestigungsgräben, von Kanälen, von Brunnenziegeln. Ferner geht es
um die Fläche von Feldern, kombiniert mit Rechnungen: Die Gesamterträ-
ge der Ländereien erscheinen abhängig auch vom „spezifischen“ Ertrag, als

Funktion der Güte des Bodens.

Der Text BM 85 194 enthält Sehnenrechnungen und Aufgaben zur „Bela-
gerungsrechnung“: Es wird gelehrt, wie eine „dem Marduk feindliche Stadt“
durch Aufschütten eines Dammes auf die Höhe der Mauer der belagerten

Stadt einzunehmen sei (Marduk war ursprünglich der Schutzgott der Stadt

Babylon und wurde mit der Ausdehnung des altbabylonischen Reiches die
oberste Gottheit des Großreiches).

Zitieren wir einige Beispiele, zuerst den Text zu dem oben gezeigten Aus-
schnitt aus dem Keilschrifttext BM 85 194:

3.2 Mesopotamische (Babylonische) Mathematik

133

„Ein Ringbau (?) sechzig als Umfang hab ich gekrümmt.

(Um) je 5 ist er hinausgegangen.

Eine Grabung habe ich gebaut, 6 die Tiefe;

1, 7, 30 (als) Erdmassen ist entfernt.

Je 5 über die Grabung (hinaus)

einen Damm habe ich gebaut. Selbiger Damm (hat)

1 Elle Böschungswert.

Basis, Kopf und Höhe ist was und der Umfang des Dammes ist was?

Du: Wenn sechzig der Umfang (ist), was ist der Durchmesser? Der

3-te Teil von sechzig, dem Umfang, ist entfernt.

20 siehst Du. 20 (ist) der Durchmesser. 5 die Erweiterung(?),
verdopple; 10 siehst Du.

10 zu 20, dem Durchmesser, addiere; 30 siehst Du.

Den Durchmesser verdreifache;

1, 30 siehst Du; 1, 30 (ist) der Umfang der Grabung.“

[Neugebauer 1935, Teil I, S. 153]

Aus dem Text VAT 7528 (Vorderasiatische Abteilung der Staatlichen Museen

Berlin) ein Beispiel zu einem Kanalbau (giš ist ein Längenmaß, SAR hier in
der Bedeutung von Raummaß [Høyrup 2002, S. 17]):

„Ein kleiner Kanal. 6 giš seine Länge,

2 Ellen obere Weite, 1 Elle untere Weite,

1½ Ellen seine Tiefe,

1/3 SAR Erde die Leistung,

18 Leute. Die Tage (sind) was ? . . .

11 Tage (und) ein 4-tel (sind) die Tage.“ [Neugebauer 1935, Teil I,

S. 512]

Aus der Analyse der Rechengänge und der aus den Rechengängen erschließ-
baren Terminologie geht hervor, dass die Ausnutzung von Proportionalitäten

Abb. 3.2.9
a) und b): Querschnitte von Befestigungen und Wassergräben,
c) Ziegelform für Brunnen, d) Zur Berechnung von Belagerungen (Zeichnung nach

[Wußing])

134

3 Frühzeit der Mathematik im Vorderen Orient
am Dreieck und ein „Böschungswert“ bekannt waren, der auf den trigonome-
trischen Kotangens hinausläuft. Dies geht über die altägyptischen elementar-
geometrischen Kenntnisse hinaus.

Für π wurde im Allgemeinen der Wert 3 verwendet, eine schlechtere Nä-
herung als in der ägyptischen Mathematik, aber auch 3 18 wurde als Nähe-
rungswert benutzt. Der Rauminhalt von Prismen und Zylindern wurde rich-
tig angegeben, dagegen beruhen die Rechenmethoden zur Bestimmung der

Volumina von Kegel- und Pyramidenstümpfen auf falschen „Formeln“. Die

Volumenberechnung von Tetraedern ist nicht nachgewiesen.

Der Keilschrifttext YBC 7289 (Yale Babylonian Collection, New Haven)

hat spezielle Aufmerksamkeit auf sich gezogen, weil dort eine recht genaue

√

Näherung für

2 auftritt.

Auf der Keilschrifttafel findet sich die Zeichnung eines auf der Spitze ste-
henden Quadrates mit der Seitenlänge 30; vermutlich ist 0; 30, also ½ gemeint

(die Inschrift ist schlecht erhalten). Oberhalb der waagerechten Diagonale
liest man (sexagesimal) die Zahl 1; 24, 51, 10, unterhalb 42, 25, 35. Der obere

Wert entspricht

24

51

10

1 +

+

≈ 1 + 0,4 + 0,014 166 6 + 0,000 046 3 = 1,414 212 9 .

60

602 + 603

√

Das ist eine vorzügliche Annäherung an

2; bei 7 Dezimalen ist dies um

0,000 000 7 zu klein.

Da die Seitenlänge 0; 30 also ½ ist, folgt aus dem Satz des Pythagoras die

Länge der Diagonale zu sexagesimal 0; 42, 25, 35.

Über das Zustandekommen des oberen Diagonalwertes verweist Høyrup
auf den Text YBC 7243 oder auch auf die Möglichkeit fortgesetzter Wieder-
holung der oben angegebenen Näherungsformel für irrationale Wurzeln (vgl.

[Høyrup 2002, S. 261], auch [Alten et al. 2003, S. 39–41] und [Resnikoff 1983,

S. 66/67]). Jedenfalls handelt es sich in YBC 7289 um die Anwendung des

Satzes von Pythagoras.

Satz des Pythagoras

Im Jahre 1936 wurde in Susa ein altbabylonischer Keilschrift-Text aufgefun-
den, der die Kenntnis des Satzes von Pythagoras sicher beweist. (Im Folgen-
den wird die heutige Bezeichnungsweise verwendet, vgl. dazu auch [Dame-
row 2001].) Einem gleichschenkligen Dreieck ABC mit der Basis 60 und den

Schenkeln 50 wird ein Kreis mit dem Radius r umschrieben. Die Anwendung
des Satzes von Pythagoras auf das Dreieck BDA liefert zunächst AD = 40.

Dann ist ED = 40 − r. Nochmalige Anwendung des Satzes von Pythagoras
auf das Dreieck BDE ergibt r 2 = 302 + (40 − r)2 und man erhält für den
gesuchten Radius

2500
r =
bzw. sexagesimal
r = 31; 15 .

80

3.2 Mesopotamische (Babylonische) Mathematik

135

√

Abb. 3.2.10

Zur Berechnung von

2; a) Keilschrifttext YBC 7289 aus der Baby-
lonischen Sammlung Yale, b) Reproduktion des Textes YBC 7289 nach Resnikoff,
c) Schreibung dieses Textes mit indisch-arabischen Ziffern im Sexagesimalsystem

Berühmt ist die – auch in späteren Kulturen (ägyptisch-demotisch, chi-
nesisch, europäische Renaissance) – sinngemäß wiederkehrende Aufgabe vom

Balken, der an einer senkrechten Wand lehnt und dessen oberes Ende um ein

Stück heruntergerutscht ist, Wie weit hat sich das untere Ende von der Wand
entfernt? Im altbabylonischen Text BM 85 196 heißt es:

„Ein Balken (?) von der Länge 0; 30 (der gegen eine Mauer oder
ähnliches steht) ist um 0;6 mit der Spitze herabgerutscht. Wie weit
hat sich das untere Ende von der Wand entfernt?“

[Neugebauer 1935, Teil II, S. 47]

Die Lösung erfolgt mit Hilfe des Satzes von Pythagoras. Auch die andere

Variante tritt in der seleukidischen Zeit auf: Gegeben sind die Rutschhöhe
und die Entfernung von der Wand. Gesucht ist die Balkenlänge.

Interessant ist in diesem Zusammenhang der 1945 von O. Neugebauer und

A. Sachs publizierte altbabylonische Text, der als „Plimpton 322“ in die

136

3 Frühzeit der Mathematik im Vorderen Orient

Abb. 3.2.11

Figur zum Satz des Pythagoras

Fachliteratur eingegangen ist. Darin sind in drei Spalten jeweils 15 Sexagesi-
malzahlen (in Keilschrift) notiert. Die Zahlen der horizontal gelesenen Tripel
sind durch eine quadratische Beziehung miteinander verknüpft und werden
als „pythagoreische Zahlentripel“ gedeutet.

Die zweite und die dritte Spalte tragen die Überschriften „Quadratbreite
der Breite“ und „Quadratbreite der Diagonale“ – ein Hinweis auf den Zu-
sammenhang mit rechtwinkligen Dreiecken, der jedoch umstritten ist. Zum

Beispiel steht in der zweiten Zeile die Zahl b = (56 , 7) s = 3367 in der zweiten

Spalte und die Zahl d = (1 , 20 , 25) s = 4825 in der dritten Spalte, und in der

Tat ist d 2 − b 2 = (4825)2 − (3367)2 = 23 280 625 − 11 336 689 = 11 943 936 =

(3456)2, d. h. mit h = (57 , 36) s = 3456 ist ( b, h, d) = (3367 , 3456 , 4825) ein
pythagoreisches Zahlentripel, und zwar mit erstaunlich großen Zahlen, so-
dass man sich wirklich fragen muss, wie und ob überhaupt die Babylonier

Abb. 3.2.12

Plimpton 322, altmesopotamischer Keilschrifttext (Plimpton Library,

Columbia University, New York [v.d. Waerden 1966, S. 125])

3.2 Mesopotamische (Babylonische) Mathematik

137

Abb. 3.2.13

Vorder- und Rückseite des Keilschrifttextes BM 15 285 [Neugebauer

1935/37, Teil II]

darauf gekommen sind (vgl. dazu auch [v.d. Waerden 1966, S. 125–128], [Scri-
ba/Schreiber, 2. Aufl. 2005, S. 20–22] aber auch [Buck/Creighton „Sherlock

Holmes in Babylon“, 1980 in Am. Math. Monthly 87, S. 335–345], [Robson:

Neither Sherlock Holmes nor Babylon. A Reassessment of Plimpton 322. In:

Hist. Math. 28 (2001), S. 167–206]).

138

3 Frühzeit der Mathematik im Vorderen Orient

Abb. 3.2.14

Strichzeichnung einer Figur auf der Rückseite des Keilschrifttextes

BM 15 285 zur Quadratur einer krummlinig begrenzten Fläche („Möndchen des

Hippokrates“)

Wie Vorder- und Rückseite des Textes BM 15 285 zeigen, waren schon
komplizierte und – worauf es hier ankommt – krummlinig begrenzte Figuren
in den Problemkreis der Flächenberechnungen einbezogen worden.

Der Keilschrifttext erinnert ein wenig an die „Möndchen“ des Hippokrates –
vielleicht ein weiterer Hinweis auf mesopotamische Wurzeln der griechisch-
hellenistischen Mathematik. Übrigens: ein gelegentlich durch Näherungskon-
struktionen erreichter besserer Näherungswert 3 18 für π findet sich wieder
bei dem hellenistischen Ingenieur und Mathematiker Heron von Alexandria

(um 62 n. Chr.).

Im schon erwähnten Text BM 85 194 und in anderen Texten wird die

Tatsache benutzt, dass der Winkel am Kreis über einem Durchmesser ein
rechter ist, d. h., der Inhalt des Satzes über den Thaleskreis war weit vor

Abb. 3.2.15

Figur zur Berechnung des „Pfeiles“ p aus dem Durchmesser d und
der Sehne s

3.2 Mesopotamische (Babylonische) Mathematik

139

Thales bekannt. In Verbindung mit dem pythagoreischen Lehrsatz diente der

Thalessatz dazu, entweder aus Durchmesser d und Sehne s die als „Pfeil“ be-
zeichnete Strecke p oder aus „Pfeil“ und Durchmesser die Sehne zu berechnen
gemäß

1

p =
d −
d 2 − s 2
bzw.

s =
d 2 − ( d − 2 p)2 .

2

Bei dieser Aufgabe wird, wie auch sonst gelegentlich, die eine Rechnung
als Probe auf die andere aufgefasst. Sie ist eine Vorstufe der später von Hip-
parch entwickelten Sehnengeometrie, die Ptolemaios an den Anfang seines
astronomischen Lehrbuches Almagest stellte. Das sind Erscheinungen, die die
kommende Entwicklung beweisender Rechenverfahren und die Entstehung
des methodologisch entscheidenden Gedankens eines allgemeinen Beweises
vorweg nehmen. Ganz schwach deutete sich dies auch in der ägyptischen Ma-
thematik an: In der 2 /n-Tabelle des Papyrus Rhind folgt jeder Zerlegung von

2 /n in Stammbrüche ein „Richtigkeitsbeweis“.

3.2.4 Algebra in Mesopotamien

In der Einleitung zu seinem Werk Length, widths, surfaces. A Portrait of Old

Babylonian Algebra and its Kin von 2002 wirft J. Høyrup einen Blick auf die

Geschichte der Entdeckung, dass die mesopotamische Mathematik in beacht-
lichen Teilen einen echt algebraischen Charakter hat: Im späten 19. Jahrhun-
dert wurde das Sexagesimalsystem verifiziert. Am Ende der 20er Jahre des

20. Jahrhunderts konnte konstatiert werden, dass die mesopotamische Ma-
thematik mindestens mit der altägyptischen Mathematik vergleichbar war.

„Nichtsdestoweniger trat dies als eine fabelhafte Überraschung in den
späten 20er Jahren zutage, als babylonische Lösungen für Gleichun-
gen zweiten Grades in Neugebauers Seminar in Göttingen entdeckt
wurden.“ [Høyrup 2002, S. 1, englisch]

Dies hatte man bis dahin dem hellenistischen Mathematiker Diophant bzw.

der indischen und der arabischen Mathematik zugeordnet. Die ersten Pu-
blikationen des Entdeckten erfolgten in dem neu (1930) gegründeten Journal

Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik

(1919–31).

Schon in den 30er Jahren des vorigen Jahrhunderts hat O. Neugebauer
die babylonische Algebra eingehend untersucht und alle damals bekannten
einschlägigen Tabellentexte ediert und gedeutet.

Der in Teilen echt algebraische Charakter der mesopotamischen Mathe-
matik verdient besondere Würdigung (siehe dazu [Wußing 1962, S. 44 ff.],

[Alten et al. 2003, S. 29–39]).

Es folgen zwei einfache Beispiele. Dabei nehmen die Worte „Länge“, „Breite“,

„Fläche“ bzw. deren Produkte und „Quadrat“ die Rolle der „Variablen“ ein.

Erstes Beispiel aus BM 13 901 [Høyrup 2002, S. 50, englisch]:

140

3 Frühzeit der Mathematik im Vorderen Orient

„The surfa(ce) and my confrontation I have accu[mulated]: 45’ is it.“

Übersetzt heißt das etwa

„Den Flächeninhalt und meine Gegenüberstellung (d. h. Seite) habe
ich angehäuft und so entsteht 0; 45.“

Das läuft auf die modern geschriebene Gleichung x 2 + x = 45 / 60 hinaus.

Beispiel 2 aus BM 13 901 [Høyrup 2002, S. 73–75, englisch] lautet in freier

Übersetzung etwa:

„Die Flächen meiner beiden Seiten habe ich addiert zu 0; 25, 25. Die

(eine) Seite beträgt 2/3 der (anderen) Seite und (= plus) 0; 5.“

Das führt – modern gesprochen – auf das Gleichungssystem

61

2

1
x 2 + y 2 =

,
y =
x +

144

3

12
mit der positiven Lösung x = 12, y = 512.

(Über die Lösungen durch geometrische Interpretation siehe Høyrup an den
angegebenen Stellen.)

Dies waren einfache Beispiele. Andere Texte enthalten höchst komplizierte

Aufgaben, z. B. ein Stück des Textes YBC 4709, das auf 4 Systeme von je
zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten hinausläuft. Sie erfordern die Lösung
biquadratischer Gleichungen mit zugehörigen Relationen der Gestalt x·y = α

[Neugebauer 1969, S. 71]. Auch kubische Gleichungen treten auf [Alten et al.

2003, S. 38f.].

Der Höhe der abstrakt-algebraischen Denkweise entsprechen auch die
in der mesopotamischen Mathematik bewältigten Probleme: Im altbabylo-
nischen Reich treten arithmetische, in der Seleukidenzeit (endliche) geo-
metrische Reihen auf. Lineare, quadratische, kubische und biquadratische

Gleichungen werden in verschiedenartigsten Formen behandelt. Schon in alt-
babylonischer Zeit findet sich das Bemühen, für quadratische Gleichungen das

Problem auf Normalformen zurückzuführen. Einmal tritt sogar der Fall einer

Gleichung vierten Grades auf, die sämtliche Glieder und vier reelle positive

Lösungen besitzt. Gleichungssysteme werden gelöst, bis zu 10 Gleichungen
mit 10 Unbekannten. Außerdem war man in der seleukidischen Zeit imstan-
de, die Summe der 10 ersten Quadrate anzugeben. Es existieren ferner Texte,
die transzendente Fragestellungen und Methoden enthalten; diese treten auf
bei Zins- und Zinseszinsaufgaben und entsprechenden Umkehrungen, die – in
unserer Sprechweise – Logarithmieren und Lösen von Exponentialgleichungen
erfordern.

Als Widerspiegelung gesellschaftlicher Verhältnisse sind sog. „Verteilungs-
aufgaben“ recht häufig: Verteilung der Abgaben bei Feldern mit unterschied-
lichem spezifischem Ertrag, Berechnung der Entlohnung der anzuliefernden

Ziegel entsprechend der beim Transport zurückgelegten Entfernung, und ähn-
liche Probleme. Die Verteilung eines Erbes – in Geld oder Feldflächen – an

3.2 Mesopotamische (Babylonische) Mathematik

141

Brüder führt auf arithmetische Reihen; der Erbteil wurde nach der Reihenfol-
ge der Geburt gleichmäßig gestaffelt. Typisch ist etwa die folgende Aufgabe,
welche die Bestimmung des Anfangsgliedes und der Differenz einer arithme-
tischen Reihe erfordert:

„10 Brüder; 1 2/3 Minen Silber.

Bruder über Bruder hat sich erhoben (hinsichtlich seines Anteils).

Was er sich erhoben hat, weiß ich nicht.

Der Anteil des 8-ten (ist) 6 Schekel. Bruder über Bruder

Um wie viel hat er sich erhoben.“

Die Lösung wird im babylonischen Text richtig zu 0; 1, 36 Minen Silbers
angegeben [Neugebauer 1935, Bd. I, S. 240f.].

3.2.5 Zusammenfassung

Høyrup versucht in seiner schon erwähnten Studie [Høyrup 2002, S. 8f.] ein

Gesamtbild, eine im gewissen Sinne neue Charakteristik zu geben, in einem
mit „The Texts, the Genre, and the Problems“ überschriebenen Teil eines
einleitenden Kapitels. Er betont, dass die mathematischen Texte Schultexte
sind. Sie enthalten keine Theoreme und keine theoretischen Untersuchungen.

Zugleich aber wird – wenig später – festgehalten, dass einige Probleme aus
praktischen Fragestellungen abgeleitet sind. Es scheint indes auch, dass über
die Ausbildung der „Schreibermathematiker“ in Schreibschulen hinaus ma-
thematische Probleme eine aus innerer Problematik erwachsende Eigendyna-
mik entfaltet haben. Jedenfalls hat die mesopotamische Mathematik ein solch
hohes Niveau erreicht, dass sich Einflüsse bis in die griechisch-hellenistische

Antike nachweisen lassen. Mehr noch: man kann feststellen, dass die me-
sopotamische Mathematik erst nach der hellenistischen Periode übertroffen
werden konnte.

142

3 Frühzeit der Mathematik im Vorderen Orient

Wesentliche Merkmale und Inhalte der mesopotamischen

Mathematik

Mathematische Fragen, Überlegungen und Methoden entstehen im Zusammen-
hang mit Bauwesen, Handel, Wirtschaft und astronomischen Beobachtungen,
dienen der Praxis und sind in Keilschrift auf Tontafeln geschrieben.

Quellen sind Tontafeln mit Zahlen, Tabellentexten und Aufgabensammlungen,
in sumerischer, akkadischer, elamischer und persischer Keilschrift, vornehmlich
aufbewahrt im British Museum, London (BM), in den Antiquités Orientales im

Louvre, Paris (AO), in der Yale Babylonian Collection der Yale University, New

Haven (YBC), der Vorderasiatischen Abteilung der Staatlichen Museen, Berlin

(VAT) und der Bibliothéque Nationale et Universitaire, Straßburg (SKT).

Zahlen: Sexagesimalsystem in additiver Schreibweise mit dem Keil für Poten-
zen von 60 und dem Winkelhaken für 10, 10 ∗ 60, 10 ∗ 602, . . . , aber auch für

10/60, . . . Solange ein Zeichen für Leerstellen (Null) fehlt, kann dieselbe Zei-
chenfolge verschiedene Werte repräsentieren; der jeweilige Wert muss aus dem

Begleittext erschlossen werden. Erst in persischer Zeit wird durch Einführung
eines Lückenzeichens Eindeutigkeit erreicht.

Arithmetik: Tabellen zur Umrechnung von Flächeneinheiten, Reziproken- und

Multiplikationstabellen, später auch Tabellen für Quadrate, Quadratwurzeln,

Kubikwurzeln, binomische Formeln.

Algebra: Lineare Gleichungen mit einfachem falschen Ansatz, quadratische Glei-
chungen der Form x 2 + ax = b, x 2 − ax = b, kubische Gleichungen, Systeme
linearer und nichtlinearer Gleichungen, Berechnung pythagoreischer Zahlentri-
pel, Näherungswerte für Quadratwurzeln (sog. babylonisches Wurzelziehen).

Geometrie: Flächeninhalte elementarer ebener Figuren (Rechteck, Trapez, Drei-
eck), Kreisumfang und Kreisfläche mit Näherung 3 für π, Volumina von Prismen
und Zylindern (korrekt mit π ≈ 3), falsche „Formeln“ für Kegel- und Pyra-
midenstümpfe, Verwendung des „Satzes von Pythagoras“ zur Berechnung von

Böschungsmaßen der Dämme, vom Inhalt von „Möndchen“ und (zusammen mit
dem „Satz des Thales“) in der Sehnengeometrie.

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit
und Spätantike

144

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

3. Jahrtausend

Entstehung der kretisch-mykenischen Hochkultur; Niedergang
im 12. Jahrhundert

1194–1184

Trojanischer Krieg (traditionelles Datum)

1100–1000

Einwanderung dorischer Stämme zur Westküste Kleinasiens
und auf die Ägäischen Inseln
ca. 900

Griechen übernehmen das phönizische Alphabet und passen
es ihrer Sprache an.

8.–6. Jh.

Gründung griechischer „Pflanzstädte“ in Sizilien, Unteritalien,

Libyen und am Schwarzen Meer

776

Erste Wettkämpfe in Olympia
ca. 600

Gründung Roms durch die Etrusker

490

Schlacht bei Marathon: Sieg der Griechen über die Perser

480

Seeschlacht bei Salamis: Vernichtung der persischen durch die
griechisch-athenische Flotte

471

Erster attischer Seebund. Vorherrschaft Athens

431 bis 404

Peloponnesischer Krieg zwischen Athen und Sparta

388/87

Gründung der Akademie in Athen durch Platon
seit 338

Griechenland unter makedonischer Herrschaft

335

Gründung des Lyzeums durch Aristoteles

336 bis 323

Alexander der Große König von Mazedonien

334 bis 323

Kriegszüge nach Persien, Ägypten, Indien

311

Teilung des Alexanderreiches

264–146

Punische Kriege

47

Brand der Bibliothek von Alexandria

30

Ägypten wird römische Provinz

27 v. Chr.

Griechenland wird römische Provinz

9 n. Chr.

Schlacht im Teutoburger Wald: Römer werden geschlagen

79

Ausbruch des Vesuvs; Untergang der Städte Pompeji, Hercu-
laneum und Stabiae

250

Erste Christenverfolgungen im gesamten römischen Reich

313

Toleranzedikt von Mailand: Christentum wird im Römischen

Reich als gleichberechtigte Religion geduldet

325

Konzil von Nicäa: Entscheidung gegen die arianische Lehre

395

Endgültige Teilung des Römischen Reiches in ein Weströmi-
sches und ein Oströmisches Reich

476

Absetzung des letzten weströmischen Kaisers Romulus Augu-
stulus durch den Germanenkönig Odoaker

525

Einführung der christlichen Zeitrechnung

527 bis 565

Justinian I. byzantinischer Kaiser

529

Justinian schließt die Akademie in Athen

1054

Trennung der Ost- von der Westkirche

1096 bis 1099

Erster Kreuzzug

1453

Eroberung Konstantinopels durch die Türken; Ende des by-
zantinischen Kaiserreiches

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

145

146

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

4.0 Historische Einführung

Mit dem Begriff „Antike“ verbinden wir eine Fülle von Assoziationen über
eine großartige Entwicklung in der Menschheitsgeschichte: Kunst und Philo-
sophie, Dichtkunst und Geschichtsschreibung, Demokratie und Staatskunst,

Naturwissenschaften, Mathematik und Technik, Theater, Baukunst und bil-
dende Kunst, Kriegskunst, Kodifizierung der Rechtssprechung, Münzwesen
und gesellschaftliche Differenzierung, eine Götterwelt mit menschlichen Zü-
gen – kurz: Assoziationen zu allen Bereichen gesellschaftlichen Lebens.

Viele Gestalten jener Zeit stehen exemplarisch für die Welt der Antike;
ihre Namen sagen uns noch immer viel über die Geschichte der Antike mit
ihren Höhen und Tiefen: Der altgriechische Epiker Homer mit seinen Werken

Ilias und Odyssee; der athenische Reformer des Rechtswesens, Solon; die grie-
chische Lyrikerin Sappho; Pythagoras, der Schöpfer eines religiösen Kultus
mit mathematischer Orientierung; der athenische Staatsmann Perikles; der
griechische Historiker Herodot; der athenische Bildhauer Phidias, wesentlich
beteiligt am Bau der Akropolis; der Bildhauer Praxiteles; der Komödiendich-
ter Aristophanes; die Tragödiendichter Aischylos, Euripides und Sophokles,
deren Werke noch heute aufgeführt werden; die Philosophen Sokrates, Pla-
ton und Aristoteles; der makedonische Feldherr und Welteroberer Alexander
der Große; der römische Feldherr und Diktator Caesar; die letzte ägyptische

Königin Kleopatra; der römische Kaiser Trajan; der römische Kaiser Kon-
stantin, unter dem das Christentum als gleichberechtigte Religion anerkannt
wurde.

Zu dem Kreis der herausragenden Persönlichkeiten gehören selbstver-
ständlich auch Mathematiker, unter ihnen Thales, Demokrit, Hippokrates
von Chios, Pythagoras, Theodoros von Kyrene, Eudoxos, Euklid, Archime-
des, Eratosthenes, Apollonios, Ptolemaios, Heron von Alexandria, Diophan-
tos, Pappos von Alexandria, Hypatia.

Abb. 4.0.2

Herakles im Kampf mit dem Zentauer Nessos (nach einer atheni-
schen Vase Ende 7. Jh. v. Chr.); Sappho, um 600 v. Chr., Dichterin auf der Insel

Lesbos; Homer, etwa 8. Jh. v. Chr., gilt als Schöpfer der „Ilias“ und der „Odyssee“

(Griechenland 1996, 1970, 1983)

4.0 Historische Einführung

147

Abb. 4.0.3

Odysseus bei den Sirenen. Um der Verführung durch deren Gesang zu
entgehen, hat sich Odysseus am Mast festgebunden. (Römisches Mosaik im Bardo

Museum, Tunis) [Foto Alten]

Die im alten Ägypten, in Mesopotamien und im alten Indien gewonne-
nen und praktizierten mathematischen Kenntnisse erwecken unsere Bewun-
derung. In einigen Fällen finden sich sogar Beweise und theoretische Überle-
gungen.

Und doch: Im Vergleich dazu hat die griechische Mathematik einen grund-
sätzlich, einen prinzipiell neuen Stand erreicht. Eine historische Wende wurde
vollzogen, hin zum Typ der modernen Mathematik.

Im 8. und 7. Jahrhundert v. Chr. bildete sich zunächst in den ionisch-
griechischen Stadtstaaten Kleinasiens – in Berührung mit mesopotamischen

Traditionen und der persischen Ideologie – eine geistige Atmosphäre heraus,
die der Entstehung wissenschaftlichen Denkens günstig war. Und so voll-
brachten die Griechen unter neuen ökonomisch-politischen Bedingungen und
begünstigt durch geographische und klimatische Umstände die große Leis-
tung, aus einer nahezu empirisch entstandenen und oft nach Art von Rezep-
ten betriebenen Mathematik eine systematische, logisch-deduktiv dargelegte,
eigenständige Wissenschaft Mathematik mit spezifischen Zielsetzungen und

Methoden gemacht zu haben. Das von ihnen geschaffene System der Geo-
metrie wurde für zwei Jahrtausende das große Vorbild für den deduktiven

Aufbau einer wissenschaftlichen Disziplin schlechthin und sollte sogar in der

Neuzeit die Entwicklung der Mathematik nach Stil und Methode prägen.

148

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Abb. 4.0.4

Entwicklung der Buchstabenschrift: Das phönizische Alphabet wurde
zur Grundlage für die alphabetisierte Schreibweise der griechischen, lateinischen und
anderer Sprachen, nach [Menninger 1958, Bd. 2, S. 70]

In der Zeit von der Mitte des 2. Jahrtausends bis zum 8./7. Jahrhun-
dert v. Chr. vollzogen sich im Osten des Mittelmeerraumes – in Kleinasien
und im Vorderen Orient, im heutigen Griechenland und in Ägypten – weit-
reichende ökonomische, politische und soziale Veränderungen. Die politische

Geschichte in jener Zeit und in jenem geographischen Raum verlief stürmisch.

Um die Jahrtausendwende blieb Ägypten in der Entwicklung zurück und ver-
lor seine dominierende Machtstellung. Hethiter und Assyrer hatten mächtige

Reiche errichtet, doch im 6. Jahrhundert eroberten schließlich die Perser den
ganzen Vorderen Orient und bedrohten Griechenland.

Seit Anfang/Mitte des 2. Jahrtausends waren aus dem Norden griechische

Stämme – vor allem Dorer und Ionier – auf das griechische Festland, auf die

Inseln der Ägäis sowie in die Küstenregionen eingewandert und hatten die
dort ansässigen Bewohner verdrängt oder unterjocht. Die Phönizier, Erfin-
der der Alphabetisierung von Sprache und Schrift, die etwa auf dem Gebiet
des heutigen Libanon ansässig waren, kolonisierten Teile der afrikanischen

Nordküste. Das im 9. Jahrhundert gegründete Karthago (nahe dem heutigen

Tunis), wurde so mächtig, dass es im 3. und 2. Jahrhundert v. Chr. während
der drei Punischen Kriege mit den Römern einen Kampf um die Vorherrschaft
im Mittelmeerraum führen konnte.

Seit dem 12./11. Jahrhundert nahm der Gebrauch von Eisen rasch zu.

Gegenüber der Bronze bot Eisen bedeutende Vorteile bei Herstellung und Ge-
brauch von Waffen und Werkzeugen. Die einfachen Werkzeuge wie Hammer,

Säge, Schere und Zange erreichten bereits damals ihre heutige Standardform.

4.0 Historische Einführung

149

Schiffbau, Bergbau, Töpferei, Weberei, Metallverarbeitung und andere Be-
reiche der materiellen Produktion konnten bedeutende Fortschritte erzielen.

Auch in Griechenland wurde eine höhere Produktivität erreicht, die an
einigen Stellen über den unmittelbaren Bedarf der Umgebung hinausging.

Waren wurden zum Handelsobjekt im Großmaßstab. Die rege Handelstätig-
keit begünstigte die ökonomische Entwicklung der küstennahen Regionen und
führte dort zur Etablierung einer einflussreichen Schicht von Händlern und

Kaufleuten.

Das politische Geschehen in und um die griechischen Stadtstaaten, wech-
selnde Bündnisse, militärische Auseinandersetzungen innerhalb der helleni-
schen Welt und mit der persischen Bedrohung, Wechsel zwischen Demokra-
tie, Tyrannis und Oligarchie, der Anstieg der Sklaverei – das alles bietet ein
hochinteressantes und gelegentlich auch verwirrendes Bild (ausführlich z. B.

in [Lexikon der Antike 1984]). Beispielsweise war der athenische Feldherr
und Staatsmann Themistokles (524–459), Führer der Demokraten, maßgeb-
lich verantwortlich für den Sieg der athenischen über die persische Flotte, weil
er den Bau einer starken athenischen Flotte gegen Widerstand durchgesetzt
hatte. Dessen ungeachtet wurde Themistokles 471 aus Athen verbannt und
fand Zuflucht ausgerechnet bei den Persern. Um diese Zeit gab es in Athen bei
schätzungsweise 320 000 Einwohnern nur 170 000 juristisch Freie; von ihnen
war indes nur etwa ein Drittel im Besitz der athenischen Bürgerrechte und
durfte aktiv am politischen Leben Athens teilnehmen. Sklaven wurden nach
einem Ausdruck von Aristoteles als „sprechende Werkzeuge“ bezeichnet.

Über die Gründe der herausragenden Leistungen der Griechen in Kul-
tur und Wissenschaft gibt es mancherlei Theorien und Meinungen. Es dürfte
sich nicht um die eine oder andere alleinige Ursache gehandelt haben, sondern
um das Zusammenwirken verschiedener Faktoren. So hat wohl die Staatsform
der Polis – die in verschiedenartigen spezifischen Formen die Mitwirkung der
freien Bürger am politischen Geschehen in ihrer Stadt ermöglichte – eine we-
sentliche Rolle gespielt. Aber auch der Umstand, dass die gesellschaftliche

Differenzierung eine Gruppe von Privilegierten hervorgebracht hat, die die

Möglichkeit hatte, sich aus dem unmittelbaren Produktionsprozess heraus-
zulösen und sich mit Kunst, Kultur, Philosophie und Wissenschaft zu be-
schäftigen, gehört in das Spektrum der Voraussetzungen für das griechische

„Wunder“.

Perioden der Entwicklung

Die Entwicklung der griechisch-hellenistischen Mathematik umfasst einen
langen Zeitraum, etwa vom 7./6. Jahrhundert v. Chr. bis etwa zum 5. Jahr-
hundert n. Chr., also mehr als ein Jahrtausend.

Bei der griechisch-hellenistischen Mathematik kann man nach Methode,

Inhalt und Umfang vier ziemlich deutlich sich gegeneinander abhebende Pe-
rioden unterscheiden. Es gibt allerdings Diskussionen um die Periodisierung

(vgl. [Brentjes 1986]).

150

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Eine erste, eine Früh- bzw. Vorbereitungsperiode – in der Kunstgeschich-
te archaische Periode genannt – wird wegen ihres engen Zusammenhanges
mit der ionischen Naturphilosophie als ionische Periode bezeichnet und ist
auf die Zeit vom Ende des 7. Jahrhunderts bis zur Mitte des 5. Jahrhun-
derts zu datieren. In dieser Periode erfolgte schließlich die Herausbildung der
selbstständigen Wissenschaft Mathematik.

Eine zweite Periode, die in der Kunstgeschichte als klassische Epoche gilt
und auf die Zeit von etwa 450 bis etwa 320/300 anzusetzen ist, wird als athe-
nische Periode benannt. Das Zentrum mathematischer Aktivitäten befand
sich in Athen, dem damals ökonomisch, politisch und kulturell einflussreichs-
ten griechischen Stadtstaat. In dieser Periode erhielt die antike Mathematik
eine ganz eigentümliche innere Struktur, einen besonderen Charakter, der oft
als „geometrische Algebra“ bezeichnet wird (vgl. [Alten et al. 2003, Kap. 2]).

In der dritten Periode, der hellenistischen, die ungefähr viereinhalb Jahr-
hunderte bis zur Mitte des 2. Jahrhunderts n. Chr. dauerte, erreichte die Ma-
thematik der Antike ihren Höhepunkt, und da ganz besonders in der Zeit bis

150 v. Chr. Gelegentlich spricht man auch von der alexandrinischen Periode,
da in dieser Zeit Alexandria den unbestrittenen Mittelpunkt des kulturellen
und wissenschaftlichen, insbesondere auch des mathematischen Lebens in der
antiken Welt darstellte.

In der Spätantike wurde auch die Mathematik vom allgemeinen Nieder-
gang der Wissenschaften während der Auflösung und schließlich des Zusam-
menbruchs der antiken Welt betroffen. Trotz einzelner Spitzenleistungen ging

Wissen verloren. Dennoch konnten bedeutende Teile der antiken Mathematik
von den Gelehrten des Orients in der muslimischen Welt bewahrt werden.

4.1 Zählen, Zahlensysteme, Rechnen

Vorausgreifend soll zunächst im Zusammenhang über das Rechnen in der
griechisch-hellenistischen Antike und deren Zahlensysteme berichtet werden.

Für unsere Fragestellung ist die Unterscheidung zwischen der Logistik,
womit die Griechen das praktische Rechnen bezeichneten, und der Arith-
metik, der wissenschaftlichen Form des Rechnens, wesentlich, das alles auf
dem Hintergrund der philosophischen und mathematischen Reflexion über
die Begriffe „Größe“ und „Zahl“.

Wenden wir uns zunächst der Logistik zu – auf die inzwischen erfolgte

Begriffsverschiebung des Wortes sei hier nicht eingegangen. Die ursprüng-
lichen mathematischen Kenntnisse der griechischen Stämme umfassten na-
türlich Zählen und Rechnen. Die Helden der „Odyssee“ zählen, gelegentlich
rechnen sie sogar. Recht umständlich noch und unter ausschließlicher Ver-
wendung von Zahlworten berechnet der griechische Historiker Herodot (gest.

ca. 424 v. Chr.) die Stärke des persischen Heeres unter Xerxes (reg. 486 bis

465) und die benötigte Menge an Verpflegung. Und wenn auch die von ihm

4.1 Zählen, Zahlensysteme, Rechnen

151

Abb. 4.1.1

Antiker Rechentisch (Abakus). Der persische Schatzmeister zählt
die eingeschriebenen Abgaben zusammen. (Ausschnitt aus der sog. Dariusvase im

Nationalmuseum in Neapel) [Wußing 1965, Abb. 37]

angegebene Zahl von 5 Millionen Menschen – Fußvolk, Ruderer, Reiter, Die-
nerschaft, Köchinnen, Dirnen, Eunuchen – auf jeden Fall weitaus zu hoch
gegriffen ist, so erhalten wir doch eine Vorstellung von den Größenordnun-
gen, die im frühen Griechenland bewältigt werden konnten. Möglicherweise
hat dabei auch das Fingerrechnen eine gewisse Rolle gespielt. So wird in den

„Wespen“ des Komödiendichters Aristophanes (422 v. Chr. uraufgeführt) ge-
fordert, nicht umständlich mit Rechensteinen – offensichtlich also auf dem

Abakus –, sondern gleich mit den Fingern die Zahl der Eunuchen des athe-
nischen Staates zu berechnen und mit den für die Bezahlung der Richter
aufzuwendenden Summen zu vergleichen.

Jedoch sind schon in der ionischen Periode Zahlensysteme für den schrift-
lichen Gebrauch aufgekommen, wohl als Folge sich ausweitender Handelstä-
tigkeit. Es handelt sich im Prinzip um zwei verschiedene Zahlnotierungen,
um ein älteres, das attische oder herodianische Zahlensystem und um das
jüngere, milesische System. Das milesische System wurde vorwiegend in der
klassischen Zeit verwendet und ist im byzantinischen Kulturbereich erst im

Laufe des 14. Jahrhunderts durch das indisch-arabische verdrängt worden.

Die beiden Zahlensysteme unterschieden sich auch darin, in welchen Be-
reichen sie hauptsächlich Verwendung fanden: Das attische diente vorwiegend
im kaufmännischen Leben zur Fixierung von Geld- und Warenangaben sowie
zur Bezeichnung des Spalten auf dem Abakus. Zum schriftlichen Rechnen
war das attische Zahlsystem denkbar ungeeignet.

Es handelt sich um ein durch ein Fünfersystem überlagertes Dezimal-
system. Die dezimalen Stufen 10, 100, 1000 und 10 000 wurden durch die

Anfangsbuchstaben der griechischen Zahlwörter bezeichnet. Also bedeutete

152

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Abb. 4.1.2

Die sog. Salaminische Rechentafel, 1846 auf der Insel Salamis ge-
funden. Marmor 159 mal 75 cm, mit Eintragungen von attischen Zahlzeichen und
speziellen Münzeinheiten [Numismatische Zeitschrift, Bd. 31, Wien 1899]

Δ = 10 ,
von griechisch

ΔEKA

H = 100 ,
von griechisch

HEKAT ON

X = 1000 ,
von griechisch

XIΛIOI

M = 10 000 ,
von griechisch

M Y P IOI

Die Einer wurden durch Striche bezeichnet. Die Bündelung zu fünf wurde
mit dem Anfangsbuchstaben von griechisch ΠEN T E, fünf, vorgenommen,
allerdings mit der altertümlichen Schreibweise Γ für Π. Also hat man

Δ als 50, H als 500, X als 5000, M als 50 000 zu lesen.

Demgegenüber bot das milesische Zahlensystem immerhin einige Möglich-
keiten der kalkülmäßigen Durcharbeitung. Es drang daher in die wissenschaft-
liche Mathematik vor. Beispielsweise rechneten Archimedes und Diophantos
milesisch. Im astronomischen Kontext verwendete man ohnedies das bequeme

Sexagesimalsystem mesopotamischen Ursprunges.

4.1 Zählen, Zahlensysteme, Rechnen

153

Zur Bezeichnung der Zahlen im milesischen System verlieh man den Buch-
staben des Alphabets einen Zahlenwert, und zwar zunächst für die 27 Zahlen

1 , 2 , . . ., 9

10 , 20 , . . ., 90

100 , 200 , . . ., 900

Da aber die 24 Buchstaben des griechischen Alphabets nicht ausreichten, wur-
den noch drei semitische Buchstaben (Vau, Koppa, Sampi für 6, 90 und 900)

herangezogen. Dann besaßen die 27 Buchstaben die folgenden Zahlenwerte:

Abb. 4.1.3

Milesisches Zahlensystem; nach [Menninger 1958, Bd. 2, S. 76]

Übrigens wurden neben den kleinen auch große Buchstaben in derselben

Weise verwendet.

Für die Tausender wurden wieder die Buchstaben der Einer verwendet; sie
erhielten zur Unterscheidung einen Strich links unten. Zur Bezeichnung der

Zehntausender waren zwei verschiedene Schreibweisen in Gebrauch. Entweder
benutzte man das M , den Anfangsbuchstaben von M Y P IOI und schrieb die
λβ

Anzahl der Zehntausender über das M , also z. B. M = 32 mal 104 = 320 000.

Oder aber – so verfuhr man vor allem in der späteren Zeit – man machte
eine Zahlenangabe als Angabe in Myriaden dadurch deutlich, dass man zwei

Punkte über die Buchstaben setzte. Also sind z. B. gleichwertig
λβ

M = ¨
λ ¨
β = 320 000 .

Die Bezeichnungsweise noch höherer Zehnerpotenzen – dazu war Archimedes
in der „Sandrechnung“ genötigt – war nicht einheitlich. Jeder Autor benutzte
seine eigene Notierung.

154

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Da nun Buchstaben zur Bezeichnung der Zahlen verwendet wurden, be-
stand die Gefahr der Verwechslung. Um dem zu begegnen, wurde entweder
am Schluss der Zahl oben ein Strich angebracht oder die ganze Zahl über-
strichen, also z. B.

α ρ μ ε = α ρ μ ε = 1145 .

Elemente einer wirklichen Bruchrechnung treten in hellenistischer Zeit – trotz
der Widerstände der theoretischen Arithmetik gegen die Teilung der Eins,
über die noch zu sprechen sein wird – auch in der offiziellen Mathematik auf;
in der kaufmännischen Mathematik sah man natürlicherweise kaum Anlass,
mit Teilen von Ganzen zu rechnen. Aus hellenistischen Papyri ersehen wir,
dass trotz des starken ägyptischen Einflusses nicht ausschließlich mit Stamm-
brüchen gerechnet wurde. Bei Eratosthenes von Kyrene (276?–194? v. Chr.)

tritt der Bruch 11/83 für die Neigung der Ekliptik auf. Zur Bezeichnung der

Brüche schrieb man seit dem 3. Jahrhundert v. Chr. den Nenner über dem

Zähler. Erst seit dem 1. Jahrhundert n. Chr. tritt die „indische“ Schreibweise
auf, Zähler über Nenner, aus der unsere heutige Bruchschreibweise hervor-
gegangen ist. Das alles war Zählen und Rechnen im praktischen Bereich. Im

Theoretischen ging dies zeitlich und räumlich einher mit einer philosophisch-
erkenntnistheoretischen Diskussion über Zahl- und Größenbegriff, wie sie
sich schließlich in den „Elementen“ des Euklid in hellenistischer Zeit nieder-
schlug. Bekanntlich sind die Nachrichten über Pythagoras (ca. 580–ca. 500
v. Chr.) und die pythagoreische Schule unsicher und auch schwer zu datie-
ren. Aber es dürfte feststehen, dass pythagoreische Auffassungen schon rela-
tiv früh, noch in ionischer Zeit, fixiert und schließlich modifiziert in Euklids

„Elemente“ eingegangen sind.

Kernstück der Arithmetik ist der Zahlbegriff. In den Definitionen 1 und 2
von Buch VII der „Elemente“ heißt es: 1. „Einheit ist das, wonach jedes Ding
eines genannt wird.“ 2. „Zahl ist die aus Einheiten zusammengesetzte Men-
ge.“ Die Eins ist danach selbst keine Zahl. Brüche werden nicht unter die

Zahlen gerechnet, sie sind Verhältnisse von ganzen Zahlen. Die historischen

Wurzeln dieser Definitionen liegen in der Frühzeit der griechischen Mathe-
matik, möglicherweise wohl großenteils in der pythagoreischen Schule. Den

Pythagoreern galt die Eins als aller Dinge Anfang und die Zahl als Schlüs-
sel zum Verständnis der Welt. Der Neupythagoreer Iamblichos (ca. 250–330
n. Chr.) berichtet aus dem beträchtlichen zeitlichen Abstand von 8 Jahrhun-
derten über jene Frühzeit – man kann über den Grad der Zuverlässigkeit
schwer urteilen:

„Das Wieviel, das ist die Zahl, definierte Thales als Zusammenfas-
sung von Einheiten (nach der ägyptischen Weise, da er ja dort ge-
lernt hatte); die arithmetische Eins im eigentlichen Sinne wird nun
nicht unter diese Definition fallen, weder die Einheit noch das Ei-
ne. Pythagoras aber <definierte die Zahl> als die Entfaltung und

Verwirklichung der in der Einheit liegenden erzeugenden Prinzipien;
oder in anderer Weise als das vor allen Dingen im göttlichen Geist

4.1 Zählen, Zahlensysteme, Rechnen

155

Abb. 4.1.4

Denkmal des Pythagoras auf der Insel Samos [Foto Tobies]

156

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Vorhandene, aus dem, <d. h. aus der Zahl>, alles zusammengefügt
wird und dann durchgezählt in einer unauflöslichen Ordnung beste-
hen bleibt. Andere wieder <definieren die Zahl> als fortschreitende

Reihe von der Einheit aus bis zu ihr hin. Der Pythagoreer Eudoxos
sagt: Zahl ist begrenzte Vielheit indem er Gattung und Art angibt,
wie in den obigen Ausführungen die Größe (. . . ) gekennzeichnet war.

Die Akusmatiker (die traditionellen Pythagoreer, Wg) aus dem Kreis
um Hippasos sagten, sie sei das erste Vorbild der Weltschöpfung und
wiederum das Unterscheidungswerkzeug des göttlichen Weltschöpfers.

Philolaos sagt: Die Zahl ist das herrschende und unerschaffene Band
des Beharrens der innerweltlichen Dinge.“

(Zitiert nach [Gericke 1970, S. 28f.])

Auch Platon (427–347 v. Chr.) und Aristoteles (384–322 v. Chr.), die bedeu-
tendsten Philosophen des Altertums, haben sich zu Zahl und Größe geäußert.

Der eine stand inhaltlich der Mathematik näher, der andere trug nicht uner-
heblich zum methodologischen Ausbau der Wissenschaft bei.

Platon hatte Mathematik bei seinem Aufenthalt in Süditalien kennen ge-
lernt. Seitdem betrachtete er die Mathematik als Prototyp einer Wissen-
schaft, die ihre Ergebnisse durch bloßes Denken finden könne. Die Folgen
seiner erkenntnistheoretischen Grundposition bestanden sowohl in einer Ver-
stärkung der methodologischen Grundlagen der Mathematik als auch in einer
abweisenden Haltung gegenüber der Mathematik der Praxis. Darüber finden
sich zahlreiche Zeugnisse in seinem Werk „Staat“. Im „Staat“ hat sich Pla-
ton auch geäußert, was die Teilbarkeit der Eins und damit das Verständnis
von Brüchen betrifft: „Die Meister dieser Kunst würden einen auslachen und
fortweisen, wenn einer das Eins in Gedanken zerschneiden wollte.“ (Zitiert
nach [Gericke 1970, S. 33].)

Eine andere Sache sind natürlich Teilmengen von gegenständlich vorhan-
denen Einheiten: Einen Kuchen kann man teilen, aber eben nicht das Eins.

Aristoteles hat um eine definitorische Bestimmung von Größe und Zahl
gerungen. So heißt es in der „Metaphysik“: „Größe heißt, was so in Teile
geteilt werden kann, daß jeder Teil ein Eines und Dieses ist.“ (Zitiert nach

[Gericke 1970, S. 24])

Aristoteles gelangt ausdrücklich zu der Meinung, dass die Eins keine Zahl
sei. Zahl ist die aus Einheiten zusammengesetzte Menge. Aber er scheint
nicht erkannt zu haben, dass eine nur aus einem Element bestehende Menge
begrifflich nicht identisch ist mit der Eins. Auch Euklid behandelt die Eins
nicht als Zahl.

Im Verständnis der Arithmetik sind Zahlen natürliche Zahlen ohne die

Eins, also 2, 3, 4, . . . Und obgleich natürlich mit Brüchen (und sogar mit
irrationalen Zahlen) gerechnet wurde, wurden Brüche nicht als Zahlen, son-
dern als Verhältnisse von Zahlen (also von natürlichen Zahlen) verstanden
und so behandelt. An die Stelle der Bruchrechnung tritt bei Euklid die Lehre
von den Zahlenverhältnissen.

4.1 Zählen, Zahlensysteme, Rechnen

157

Schließlich seien noch ein paar Worte zu den römischen Zahlzeichen (kurz:

römische Zahlen) angefügt. Wenn wir auch nicht mehr mit römischen Zahlen
rechnen – wie dies in Mitteleuropa noch bis ins 16. Jahrhundert üblich war –,
so verwenden wir römische Zahlen noch zur Gliederung von Schriftsätzen und
vermögen, wenn es gut geht, beispielsweise das Erscheinungsjahr eines älteren

Buches oder kirchliche Inschriften zu entziffern. Die römischen Zahlzeichen
sind Buchstaben:

I

V

X

L

C

D

M

1

5

10

50

100

500

1000

Es handelt sich also um eine gegenseitige Durchdringung eines Fünfer- und
eines Dezimalsystems. Im Allgemeinen wurden in der alten Zeit additive und
erst später auch subtraktive Zahlbildungen benutzt, also XVIII als 18, aber

XIX als 19. Doch es gab Ausnahmen. Eine noch im 20. Jh. gebräuchliche

Ausnahme ist IIII statt IV für die 4 auf den Zifferblättern alter Uhren.

Hinsichtlich der Entstehung der römischen Zahlzeichen gibt es noch im-
mer viele ungelöste Fragen. Einige Sicherheit besteht darüber, dass etruski-
sche Einflüsse mitgewirkt haben. Die Zahlzeichen I, V und X dürften noch
vor der Ausbildung des römischen Alphabets in Gebrauch gewesen sein; sie
sind also sehr alt. Dagegen reichen Belege für die Verwendung der Zeichen L,

D und M nur bis ins 1. Jahrhundert v. Chr. zurück; sie sind aus älteren Zahl-
zeichen hervorgegangen. Für interessante, auch kulturhistorisch bedeutsame

Einzelheiten muss auf die umfangreiche Spezialliteratur verwiesen werden.

Zum schriftlichen Rechnen eignen sich diese Ziffern kaum; nur die Ergeb-
nisse können eindeutig fixiert werden. Das Rechnen geschah auf dem Abakus.

Erhalten gebliebene Exemplare geben gute Eindrücke vom Alltag kaufmän-
nischen Rechnens im Römischen Weltreich.

Abb. 4.1.5

Römischer Handabakus; nach [Menninger 1958, Bd. 2, S. 113]

158

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

4.2 Ionische Periode

Die Mathematik dieser Periode ist aufs Engste mit der Entstehung der io-
nischen Naturphilosophie verbunden, ja, sie war integrierender Teil dieser

Entwicklung von weltgeschichtlicher Bedeutung.

Dem waren gänzlich andere, vorwissenschaftliche geistige Strömungen
voran gegangen. Einige Blicke darauf werden die mit der ionischen Natur-
philosophie entstandenen Wendungen deutlicher hervortreten lassen.

Da ist das einzigartige literarische Dokument Theogonia (Götterabstam-
mung) des Hesiod (um 700 v. Chr.). Er lebte in bescheidenen Verhältnissen
als Bauer und Hirte und ist der früheste, historisch nachweisbare griechische

Dichter. Homer (8. Jahrhundert v. Chr.) ist als historische Figur umstritten.

Nach Hesiod ist die Welt aus dem Chaos entstanden. Über die Genealogie
der Götter wird wüst spekuliert. So habe die Erdmutter Gaia ihren eigenen

Mann, den Himmelsgott Uranus, durch seinen Sohn Kronos entmannen las-
sen. Kronos, aus Angst, von einem seiner Sprösslinge entthront zu werden,
habe alle seine Kinder verschlungen. Auch ergeht sich Hesiod in Phantasien
über Fabelwesen, z. B. hundertarmige Riesen, Drachen, die Hydra [Capelle

1940, S. 27].

Und da ist ferner die Orphik (Lehre des Orpheus), die an den mystischen,
aus Thrakien stammenden griechischen Sänger Orpheus anknüpfte. Die Sage
um Orpheus wurde vielfach in Dichtung und Musiktheater aufgegriffen. Sein
herrlicher Gesang bewegte den Herrn der Unterwelt so sehr, dass Orpheus’

Frau Eurydike auf die Erde zurückkehren durfte. Doch Orpheus wandte sich
gegen ausdrückliches Verbot nach Eurydike um; nun musste sie endgültig im

Totenreich verbleiben.

Die einflussreiche Gruppe der Orphiker hielt die Seele als von göttlicher

Natur im Leib wie in einem Gefängnis eingeschlossen. Im Rückgriff auf den

Dionysoskult haben sich Vorstellungen von Askese ausgebreitet, ebenso wie

Vorstellungen von Sünde, Seelenwanderung, Vorschriften über Nahrung und
vieles andere. Manches davon ist in die spätere Lehre der Pythagoreer einge-
flossen.

Die Gesamtsituation in der Vorgeschichte der griechischen Philosophie
bezüglich der Naturbetrachtung hat W. Capelle, Herausgeber der Schriften
der Vorsokratiker, folgendermaßen eingeschätzt:

„Inhalt und Form des Denkens dieser Vorboten der griechischen Phi-
losophie läßt sich etwa folgendermaßen charakterisieren. Die Natur
und ihre Erscheinungen, wie Tag und Nacht, der Sternenhimmel, die

Erde, das Meer, die Berge, Flüsse und Winde werden durchgehend
noch als persönliche, göttliche Wesen teils männlichen, teils weibli-
chen Geschlechtes gedacht, die durch Zeugung von anderen göttlichen

Personen und durch diese schließlich von allen gemeinsamen Ureltern
abstammen. Manche der im Bereich der griechischen Welt wirksamen

Naturkräfte, wie der gewaltige Ätna mit seinen vulkanischen Erschei-

4.2 Ionische Periode

159
nungen, werden auf fabelhafte Ungetüme, wie den Riesen Typhoeus,
oder auf Giganten und hundertarmige Unholde zurückgeführt, da man
sich auch die gewaltigsten Naturvorgänge, wie Gewitter und Erdbeben,
nur von persönlichen, übermächtigen Wesen, d. h. von Göttern, ver-
ursacht zu denken vermag. So überwiegt in diesen naiven Vorstellun-
gen – trotz mancher latenten rationalen Keime – das ‚Dämonische‘in
phantastischer, ja oft geradezu grotesker Gestalt noch so sehr, daß
man sich mehr als einmal, mit gutem Grunde, an altorientalische

Mythen und Naturerscheinungen erinnert fühlt.“

[Capelle 1940, S. 25f.]

So gesehen, könnte man bis zu einem gewissen Grade die Theogonie des He-
siod, in der Abstammung und Systematisierung der Götterwelt beschrieben
werden, als eine frühe Vorstufe naturwissenschaftlichen Denkens auffassen.

Übrigens entwickelte Hesiod auch die Vorstellung von der runden scheiben-
förmigen Erde, die vom Okeanos umflossen wird, und anderes mehr.

Und doch: Ein ganz anderes Bild zeigt sich ein bis zwei Jahrhunderte
später mit dem Auftreten der sog. Vorsokratiker, also einer Gruppe von Phi-
losophen, insbesondere von Naturphilosophen aus der Zeit vor Sokrates (470–

399). Zu ihnen rechnet man unter anderen Thales von Milet (ca. 624–546),
die ionischen Naturphilosophen Anaximander (ca. 611–546), Anaximenes (ca.

585–525), Anaxagoras (ca. 500–428), Demokrit (460–371), die Eleaten, Par-
menides (ca. 515–445) und seinen Schüler Zenon (ca. 490–430), Heraklit (ca.

544–ca. 483), Empedokles (ca. 495–435) und bis zu einem gewissen Grade
auch die Pythagoreer.

Gemeinsam war den Vorsokratikern die Suche nach einem Urprinzip und
die Suche nach den Ursachen des Geschehens in der Natur, über die Beschrei-
bung und über Mythen hinaus.

Ionische Naturphilosophie

Für den mathematikhistorischen Zusammenhang sind die ionischen Natur-
philosophen und die Gruppe der Pythagoreer von besonderem Interesse. Doch
ist zu beachten: Die Originalschriften der Vorsokratiker sind bis auf Ausnah-
men verloren gegangen. So sind wir angewiesen auf Aussprüche und Senten-
zen aus der nachfolgenden Zeit.

Die Stadt Milet an der ionischen Küste Kleinasiens (heute Türkei) war ei-
ne der bedeutendsten Handelsstädte jener Zeit. Ihre Tochterkolonien erstreck-
ten sich weit in den Schwarzmeerraum. Milet entwickelte sich zum Zentrum
der ionischen Naturphilosphie. Hier wirkten Thales, sein Schüler Anaximan-
der, dessen Schüler Anaximenes und eine Schar Gleichgesinnter. Milet wurde

494 von den Persern zerstört. Nach späterer Überlieferung (Aristoteles) soll
der Kaufmann Thales aus Milet der erste aus einer Reihe griechischer Philo-
sophen gewesen sein. Doch dürften in die Bewertung von Thales viele falsche
oder erfundene Details eingegangen sein. Vieldeutig, also nicht schlüssig, ist

160

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Abb. 4.2.1

Theater von Milet [Foto Alten]

die Überlieferung, dass nach seiner Meinung Wasser der Urstoff aller Dinge
sei. So schreibt Aristoteles:

„Von denen, die zuerst philosophiert haben, haben die meisten ge-
glaubt, daß es nur stoffliche Urgründe der Dinge gebe. Denn woraus
alle Dinge bestehen, und woraus sie als Erstem <d. h. ursprünglich>
entstehen und worein sie als Letztes <d. h. schließlich> vergehen, in-
dem die Substanz zwar bestehen bleibt, aber in ihren Zuständen wech-
selt, das erklären sie für das Element und den Urgrund (. . . ) der Din-
ge (. . . ) Über die Anzahl und die Art eines solchen Urgrundes haben
freilich nicht alle dieselbe Meinung, sondern Thales, der Begründer
von solcher Art Philosophie, erklärt als den Urgrund das Wasser (da-
her glaubt er auch, daß die Erde auf dem Wasser ruhe) . . . “

[Capelle 1940, S. 70f.]

Dagegen schreibt Seneca (später als Aristoteles):

„Thales behauptet, die Erde werde vom Wasser getragen. Sie wer-
de wie ein Schiff bewegt, und infolge der Beweglichkeit des Wassers
schwanke sie dann, wenn die Leute sagen, sie erbebe.“

[Capelle 1940, S. 70]

Immerhin darf als sicher gelten, dass Thales als Bewohner einer am Meer
gelegenen Stadt vom Wasser beeindruckt war, zumal er in Wüstengegenden
die belebende Kraft des Wassers kennen gelernt hatte.

4.2 Ionische Periode

161

Nach weiteren Überlieferungen trug Thales als Mathematiker, Astronom
und Politiker den Ruhm seiner Vaterstadt in alle Welt. In Ägypten soll er
eine Erklärung für die regelmäßigen jährlichen Überschwemmungen geliefert
und auf „erstaunliche Weise“, nämlich mit Hilfe eines Schattenstabes und
unter Verwendung der Verhältnisse bei ähnlichen Dreiecken, die Höhe der

Pyramiden gemessen haben. Auch habe er die Sonnenfinsternis vom 22. Mai

585 vorausgesagt; dies führte zum Abbruch einer Schlacht. Als Politiker soll

Thales den Vorschlag gemacht haben, ein Bündnis der ionischen Städte gegen
sich formierende Feinde zu schmieden, freilich vergeblich.

„Von Thales’ Bedeutung als Begründer der Philosophie wie der Wis-
senschaft überhaupt ist (. . . ) seine Stellung gegenüber allen Früheren
klargestellt. Für die Denker der Folgezeit aber – abgesehen davon, daß
er das erste Problem der griechischen Wissenschaft, die Frage nach
dem Urgrunde der Dinge, aufwirft und unter Ausschaltung jeder über-
natürlichen Macht beantwortet – ist seine Bedeutung vor allem diese:

Thales, der Begründer einer rein rationalen Wissenschaft, hat als Ge-
genstand seines Denkens die Natur und findet den Urgrund der Dinge
in einem empirisch gegebenen Stoff (wobei jedoch zu beachten ist, daß

Thales wie seine nächsten Nachfolger den Begriff des „toten“ Stoffes
noch gar nicht kennt, sondern für ihn und die nächste Denkergenera-
tionen sind Stoff und Kraft noch völlig ungeschieden, ein natürliches

Ganzes). Diese beiden Tatsachen sind für die erste Entwicklungspha-
se der griechischen Philosophie entscheidend.“

[Capelle, 1940, S. 68]

Während die Person des Thales mehr oder weniger legendenumwoben ist, wis-
sen wir über seinen Freund und Schüler Anaximander schon Genaueres. Er
schrieb als erster griechische Prosa, damit über den Gebrauch der Versform
bei Homer und Hesiod hinausgehend. Ausgezeichnet als Geograph – ein erster

Himmelsglobus und eine erste Erdkarte werden ihm nachgesagt – und inter-
essiert an mathematischen Fragestellungen, nahm er als Urstoff ein apeiron

(das Unbegrenzte) an: „Als Materie ist das Unendliche die Ursache“ berichtet

Aristoteles [Capelle 1940, S. 82]. Durch Entfaltung des apeiron entstehen die

Gegensätze „warm“ und „kalt“, „trocken“ und „feucht“ und hieraus die Um-
wandlung des apeiron in die beobachtbaren Dinge der Welt. Capelle kommt
zu dem Urteil:

„Anaximandros entwirft als erster unter allen Menschen eine rein
physikalische Kosmogonie, d. h. eine ausschließlich auf Beobachtung
und rationales Denken gegründete Entstehungsgeschichte unseres Kos-
mos, wie er denn auch als erster erkennt, daß unsere Welt ein „Kos-
mos“, d. h. ein planvoll geordnetes Ganzes ist.“

[Capelle 1940, S. 74]

Ähnliche Grunderkenntnisse dialektisch-philosophischen Denkens finden sich
bei seinem Schüler Anaximenes. Als Ursubstanz sah er die Luft an: Durch

Ausdehnung und Verdünnung entstehe Feuer, durch Verdichtung Winde,

162

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Abb. 4.2.2

Demokrit, Thales, Heraklit [Deutsche Fotothek, SLUB Dresden]

Wolken, Wasser, Erde und Steine. Der Himmel sei ein halbkugelförmiges

Kristallgewölbe, an dem sie Sterne befestigt sind. So bildete sich der Begriff

„Fixstern“.

Anaxagoras aus Klazomenai brachte die ionische Naturphilosophie nach

Athen. Er war sogar mit Perikles befreundet. Als er behauptete, es gäbe
keine Götter und die Sonne sei eine glühende Gesteinsmasse, wurde er der

Gotteslästerung bezichtigt und musste 434/33 in die Verbannung gehen. Nur

Perikles hatte ihn vor dem Todesurteil retten können.

Gegen Ende des 5. Jahrhunderts wirkte in Ephesos (Kleinasien) der Phi-
losoph Heraklit, aus vornehmem Priestergeschlecht stammend, ein bemer-
kenswerter Denker, der ein „Urfeuer“ als Verkörperung des Wandels aller

Dinge ansah, getrieben vom Kampf der Gegensätze: „Kampf ist der Vater
von allem; der König von allem, die einen macht er zu Göttern, die andern
zu Menschen, die einen zu Sklaven, die andern zu Freien.“ [Capelle 1940,

S. 135]

Auch werden Heraklit Sprüche zugeschrieben wie „Alles fließt“ und „Wir
steigen nicht zweimal in den denselben Fluss“. Vieles an seiner Philosophie
bleibt unklar und ist schwer einzuordnen in die Entwicklungsgeschichte der

Philosophie. Schon im Altertum erhielt Heraklit den Beinamen „Der Dunkle“.

Die verschiedenartigen Spekulationen innerhalb der Naturphilosophie bei
der Suche nach dem Grundprinzip, nach der Grundursache mündeten bei dem
außerordentlich vielseitigen Empedokles (ca. 495–435) in eine systematische

Lehre: der Begriff „Element“ tritt in die Geschichte der Wissenschaften ein.

Nach Meinung des Empedokles liegen vier Elemente – Feuer, Wasser, Luft
und Erde – als „Anfängliches“ zugrunde. Sie sind unzerstörbar, ewig und
können nicht ineinander übergehen. Verbindung und Trennung der Teilchen
machen das Wesen des Naturgeschehens aus: Liebe und Hass, Anziehung und

Abstoßung sind die Triebkräfte der Veränderung und Entwicklung. Auch bei
der Interpretation anderen Naturgeschehens hat Empedokles keinen Raum

4.2 Ionische Periode

163

Abb. 4.2.3

Bibliothek in Ephesos [Foto Wußing]

für das Wirken von Göttern gelassen, weder bei den Phänomenen der Sonnen-
und Mondfinsternisse, des Wechsels von Tag und Nacht noch beim Zustande-
kommen der Jahreszeiten. Einer Legende zufolge soll Empedokles freiwillig in
den Krater des Ätna gesprungen sein, um seine Gottähnlichkeit zu beweisen.

Das Spektrum der Anschauungen bei den Vorsokratikern ist außerordent-
lich breit. Ganz extrem und schon in der Antike umstritten ist die um 540
gegründete Schule der Eleaten, benannt nach der Stadt Elea in Unteritalien.

Hervorragende Vertreter waren Parmenides (ca. 540–ca. 480) und Zenon von

Elea (ca. 490–430). Sie leugneten die reale Existenz von Bewegung, Verän-
derung, Raum und Vielfalt. Berühmt wurden die scharfsinnig vorgebrachten

Paradoxien des Zenon, z. B. der „Beweis“, dass beim Wettlauf des schnellen

Achilles mit der langsamen Schildkröte, die einen Vorsprung hat, Achilles
niemals die Schildkröte einholen kann: Achilles kann immer nur dorthin ge-
langen, wo die Schildkröte schon war. Auch „bewies“ Zenon, dass der fliegende

Pfeil ruht. Immerhin aber haben diese Paradoxien zur Entwicklung der Logik
beigetragen, Diskussionen zum Grenzwertbegriff und zur Konvergenz unend-
licher Reihen in der Analysis ausgelöst und die Problematik des Kontinuums
in der Mengenlehre aufgeworfen.

Später berichtete Aristoteles u. a. über den Wettlauf zwischen Schildkröte
und Achilles:

164

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Abb. 4.2.4

Hadrianstempel in Ephesos [Foto Alten]

„Der zweite Beweis (gegen die Wirklichkeit der Bewegung, Wg) ist
der sogenannte ‚Achilles‘. Er gipfelt darin, daß das langsamste We-
sen (gemeint ist die Schildkröte, Wg) in seinem Lauf niemals von dem
schnellsten <Achilles> eingeholt wird. Denn der Verfolger muß im-
mer erst zu dem Punkt gelangen, von dem das fliehende Wesen <die

Schildkröte> schon aufgebrochen ist, so daß das langsamere immer
einen gewissen Vorsprung haben muß.“

[Capelle 1940, S. 178]

Zwei weitere Gruppen von Vorsokratikern haben die Mathematik der ioni-
schen Periode und weit darüber hinaus, bis in moderne Zeiten, ganz direkt
beeinflusst, die der Atomisten und die der Pythagoreer.

Da ist Leukipp aus Milet (oder Abdera, um 460), Schüler des Zenon, Grün-
der (oder war es Demokrit?) einer Philosophenschule um 450 in Abdera. Die

Auseinandersetzung mit den Anschauungen von Zenon führte ihn zur Ato-
mistik: Es muss feste, nicht weiter teilbare Urteilchen der Dinge geben – als

Folge der Widerlegung von Zenon. Diese Atome (von griech. atomos, unteil-
bar) unterscheiden sich durch Gestalt, Lage und Anordnung. Die Schriften
von Leukipp sind vermutlich unter der Dominanz seines Schülers Demokrit
von Abdera (ca. 460–370) völlig verdrängt worden.

Demokrit war ein Mann von umfassender Bildung und Gelehrsamkeit.

Seine Schriften – etwa 300 Arbeiten sind dem Titel nach bekannt – sind frei-
lich bis auf einige Teilstücke untergegangen, aber von nachfolgenden Autoren

4.2 Ionische Periode

165

Abb. 4.2.5

Die vier Elemente des Empedokles (Liechtenstein 1994)

vielfältig zitiert worden. Demokrit schrieb zur Atomistik, zur Kosmogonie,
über die Seele des Menschen, zum Denken, zur Erkenntnistheorie, zur Erzie-
hung, zur Ethik. Er hat weite Reisen unternommen, angeblich nach Ägypten,

Babylon und Persien.

Demokrit hat die Atomlehre des Leukipp in einigen Punkten verfeinert
und sogar auf Sinnesphysiologie angewandt. Letzte kleinste, unteilbare Teil-
chen einer qualitativ einheitlichen Materie sollten die Bausteine aller Körper
darstellen. In unablässiger Folge begegnen sie sich, treten zu strukturell ver-
schiedenen Körpern zusammen oder die Körper zerfallen wieder in Atome. So
erklären sich die Naturvorgänge, die nach Gesetzen ablaufen. Daher bemerkt

Aristoteles tadelnd, im Sinne seiner Philosophie: „Demokrit, der es ablehnt,
von einer Zweckursache zu sprechen, führt alles <Geschehen>, dessen sich
die Natur bedient, auf die Notwendigkeit zurück.“ [Capelle 1940, S. 417]

Eines der ganz wenigen wörtlichen Demokritfragmente lautet: „Nur der Mei-
nung nach gibt es süß, nur der Meinung nach bitter, warm, kalt, nur der

Meinung nach Farbe, in Wahrheit gibt es nur Atome und leeren Raum.“

[Stückelberger 1988, S. 16]

Ersichtlich berührte die Atomvorstellung die Grundlagen der Mathema-
tik und der Naturwissenschaften. Zweifellos war Demokrit ein bedeutender

Denker und noch sein schärfster Gegner während der Antike, Platon (der am
liebsten alle Schriften von Demokrit hätte verbrennen lassen), konnte nicht

166

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike
an dessen Leistung vorbeigehen. Über die antiken Philosophen Epikur (341–

271 v. Chr.) und Lukrez (97–55 v. Chr.) reichte die fruchtbare Traditionslinie
der demokritischen Atomistik bis hin in die islamische Atomistik, bis hin
in die europäischen Naturwissenschaften, zu Gassendi (1592–1655), Galilei

(1564–1642), Newton (1643–1727) und Dalton (1766–1844).

Die Nachrichten über den Bund der Pythagoreer stammen aus jahrhun-
dertelangem Abstand und sind entsprechend unsicher. Selbst die biographi-
schen Angaben über den Begründer des Bundes, über Pythagoras von Samos

(ca. 540–500), Sohn eines Gemmenschneiders, sind spärlich. Er sei vor der

Tyrannis des Polykrates auf Samos – vgl. das Gedicht von Schiller – ausgewi-
chen, habe Reisen nach Ägypten und Mesopotamien unternommen und sich
um 525 v. Chr. in Kroton, in Unteritalien, niedergelassen und dort einen Ge-
heimorden begründet, der einige Zeit beträchtlichen Einfluss ausgeübt hat.

Nach dem Sieg der demokratischen Partei über die Aristokratie wurde der

Bund verfolgt und erlosch zunächst Anfang des 4. Jahrhunderts v. Chr. Doch
gab es eine Neubelebung im 1. Jahrhundert v. Chr.: aus der Zeit der sog.

Neupythagoreer stammen die meisten Informationen und Legenden über den
ursprünglichen Bund der Pythagoreer.

Den Bund der Pythagoreer kennzeichnen typische Merkmale einer religi-
ösen Sekte: Konspiration, strenge Vorschriften über Kost, Kleidung, Bestat-
tungszeremonien, Probezeit für Neulinge, Lehre von der Seelenwanderung.

So wird über Pythagoras berichtet:

„Und – so erzählt man – einst sei er gerade vorbeigegangen, als ein

Hund geschlagen wurde; da habe er Mitleid empfunden und das Wort
gesprochen: ‚Hör’ auf und schlag’ <das Tier> nicht! Es ist ja die

Seele eines befreundeten Mannes, die ich wiedererkannte, als ich das

Winseln hörte.‘ “

[Capelle 1940, S. 100f.]

Abb. 4.2.6

Münze mit Bild des Pythagoras; Satz des Pythagoras

(Griechenland 1955)

4.2 Ionische Periode

167

Abb. 4.2.7

Statue vor dem Zeughaus in Berlin. Ein Schüler zeigt die Tafel mit
der Figur zum Beweis des Satzes von Pythagoras [Foto Hollewood Media]

Was aber den Bund der Pythagoreer aus vielen ähnlichen Mysterienkulten,
teilweise orientalischen Ursprungs, heraushob und für die Geschichte der Wis-
senschaften und der Mathematik relevant macht, ist der Umstand, dass bei

168

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike
den Pythagoreern die Vereinigung mit dem Göttlichen über die Versenkung
in die wunderbaren Gesetze der Zahlenwelt erreichbar sein sollte. Das Wesen
der Welt bestand für sie in der Harmonie der Zahlen. Von hierher rührt die

Hinwendung zu Mathematik, Astronomie und Musiklehre freilich sozusagen
als rationales Nebenprodukt des eigentlichen, des religiösen Hauptinteresses.

4.3 Mathematik in der ionischen Periode

In einer Atmosphäre der Besinnung auf das Wesen der Natur und die Art des

Zusammenhanges, des Überganges vom Sammeln und Beschreiben von Fak-
ten zum Verstehenwollen hat sich auch der Umschlag von einer rezeptartig
betriebenen zu einer allgemeine Sätze aufstellenden Mathematik vollzogen,
bei Klärung der Voraussetzungen, mit Definitionen und Beweisen. Wie in die

Ergebnisse einer empirischen Naturwissenschaft wurde auch in den mathema-
tischen Erfahrungsschatz – teilweise aus Mesopotamien überkommen – eine
logische Struktur eingebracht.

Thales von Milet

Thales von Milet, einem der sieben Weltweisen, wurden auf mathematischem

Gebiet folgende Leistungen schon in der Antike zugeschrieben (ausführlich in

[Scriba/Schreiber, 2. Aufl. 2005, S. 31 ff.]): Er habe zuerst ausgesprochen, dass
in jedem gleichschenkligen Dreieck die Basiswinkel und bei zwei sich schnei-
denden Geraden die Scheitelwinkel gleich sind sowie dass der Durchmesser
die Kreisfläche halbiert. Auch stamme der eine Kongruenzsatz (Kongruenz
bei Übereinstimmung in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln)

von ihm, wie aus der Art der von Thales vorgenommenen Bestimmung der

Entfernung zweier Schiffe auf hoher See bzw. der Bestimmung der Entfernung
eines sich dem Hafen nähernden Schiffes von Land aus hervorgehe. Weitaus
später hat Proklos Diadochos (410–485) im Euklid-Kommentar so geurteilt:

„Heil dem alten Thales, dem Entdecker vieler anderer und besonders
dieses Theorems! Denn man sagt, er habe als erster erkannt und aus-
gesprochen, daß in jedem gleichschenkligen Dreieck die Basiswinkel
gleich sind, habe aber in altertümlicher Weise für ,gleich‘ die Be-
zeichnung ,ähnlich‘ gebraucht.“

[Proklus Diadochus 1945, S. 341f.]

An weiteren Sätzen schreibt man Thales den Satz zu, dass die Diagonalen
eines Rechtecks sich gegenseitig halbieren und den – auch heute noch nach

Thales benannten – Satz, dass der Peripheriewinkel im Halbkreis ein rech-
ter ist. Die Legende berichtet, Thales habe aus Freude über die Entdeckung
dieses doch schon ziemlich tief liegenden Satzes den Göttern einen Ochsen
geopfert. Es scheint, dass die Kenntnis des Satzes über die Winkelsumme im

4.3 Mathematik in der ionischen Periode

169

Abb. 4.3.1

Tempel des Apollon in Didyma. Eine heilige Straße führt von Milet zu
der berühmten Orakelstätte, wo Zeus die göttlichen Zwillinge (gr. didymoi) Apollon
und Artemis mit Leto gezeugt haben soll. [Foto Alten]

170

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Dreieck schon in die Zeit um Thales oder bald danach fällt. Die eine Schwie-
rigkeit hat darin bestanden, Winkel als einen der Addition unterwerfbaren

Begriff zu erkennen. Nach einem Bericht des Geminus von Rhodos (wahr-
scheinlich um 75 v. Chr.), einem Philosophen der stoischen Richtung, der
sich selbst eingehend mit dem Winkelbegriff beschäftigt hat und dabei auf
dessen Geschichte eingegangen ist, hätten die alten, d. h. die frühen ionischen

Mathematiker den Satz schrittweise bewiesen, erst für das gleichseitige, dann
für das gleichschenklige, dann für das rechtwinklige und dann erst für das
allgemeine Dreieck.

Demokrit von Abdera

Zwar hat Aristoteles den Demokrit mehrfach lobend erwähnt, aber der große

Einfluss von Platon hat doch das Bild des vielseitigen Gelehrten Demokrit
wesentlich getrübt. Leider sind uns von vielen seiner zahlreichen Schriften –
darunter vom wissenschaftlichen Hauptwerk „Große Weltordnung“ – bis auf
wenige Fragmente zur Atomistik nur noch die Titel bekannt. Sie umfassen

Natur, Musik, Ethik, bildende Künste, Architektur, Astronomie.

Auf Mathematik beziehen sich die Abhandlungen „Über die Berührung
von Kreis und Kugel“, „Über Geometrie“ , „Über Zahlen“, „Über irrationale

Strecken“, „Über Ausbreitungen“ (d. h. Abbildung der Kugeloberfläche auf
die Ebene). Weiter schreibt man Demokrit die Erfindung des Gewölbebaues
zu, ferner Untersuchungen über die in der Bühnenmalerei zu berücksichtigen-
den Gesetze der Perspektive. Es ist sicher, dass Demokrit die Volumina von

Pyramide und Kegel richtig angegeben hat, wenn auch ohne einen Beweis,
der den schon damals hohen Ansprüchen genügt hätte. Erst Eudoxos (408?–

355?) und Archimedes (287?–212) haben Beweise geliefert, der letztere unter
ausdrücklicher Anerkennung der Verdienste von Demokrit.

Ein erhalten gebliebenes Fragment von Demokrit enthält die Anregung,
einen Kegel durch Schnitte parallel zur Basis in unendlich dünne Schei-
ben, sog. Indivisiblen, zu zerlegen. Es sind dies Überlegungen, die Keime
des Integrationsverfahrens enthalten; hier hat Archimedes direkt angeknüpft.

Offensichtlich stehen die Überlegungen von Demokrit im engsten Zusammen-
hang zur atomistischen Denkweise. Das demokritische Fragment hat folgen-
den Wortlaut:

„Wenn ein Kegel parallel zur Grundfläche durch Ebenen geschnitten
wird, wie soll man sich die entstehenden Schnittflächen vorstellen,
gleich oder ungleich? Sind sie ungleich, dann werden sie den Kegel un-
gleichmäßig machen, da er treppenartige Einschnitte und Vorsprün-
ge erhält; sind sie dagegen gleich, so werden auch die Schnitte gleich
sein, und der Kegel wird die Erscheinung eines Zylinders darbieten,
insofern er aus gleichen, nicht aus ungleichen Kreisen bestehen wird,
was doch sehr ungereimt ist.“

[Diels 1906, S. 412f.]

4.3 Mathematik in der ionischen Periode

171

Abb. 4.3.2

Geometrie in der Architektur der griechischen Antike: Kannellierte Säulen
mit ionischen Kapitellen am Athena-Tempel in Priene; Kassetten, Friese und korinthische

Kapitelle um Markttor von Milet (Pergamon Museum, Berlin); Wasserverteiler in Priene
für das System sich rechtwinklig kreuzender Straßen, entworfen von Hippodamos von Milet

[Foto Alten]

172

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Hippokrates von Chios

Hippokrates von Chios (um 440 v. Chr.) – nicht zu verwechseln mit Hippokra-
tes von Kos (ca. 460–370 v. Chr.), einem Arzt, auf den der sog. Hippokratische

Eid der Ärzte zurückgeht – ist in vielerlei Hinsicht eine bemerkenswerte Ge-
stalt der griechischen Wissenschaftsgeschichte. Er soll – durch Piraten oder
betrügerische Zöllner – sein Vermögen eingebüßt und dann, im Besitz des in

Athen erworbenen Wissens, als Weisheitslehrer, als Sophist, seinen Lebens-
unterhalt bestritten haben. Diese Erzählung, ob wahr oder erfunden, spiegelt
jedenfalls die neue Stellung der Wissenschaft wider: Das gesellschaftliche In-
teresse an Wissenschaft und Redekunst war immerhin so gestiegen, dass die

Vermittlung des Wissens entlohnt wurde.

Hippokrates war der berühmteste Geometer des 5. Jahrhunderts. Er hat
das damalige geometrische Wissen in einem Lehrbuch zusammengefasst; der

Text ist aber vollständig verdrängt worden durch die späteren, umfangrei-
cheren „Elemente“ des Euklid. Hippokrates führte die Bezeichnung der Eck-
punkte einer Strecke durch Buchstaben ein. Er kannte den Zusammenhang
zwischen Peripheriewinkel und Bogen. Er konnte das regelmäßige Sechseck,
den Umkreis zu einem Dreieck und das gleichschenklige Trapez konstruieren.

Er wusste, dass sich die Flächen ähnlicher Figuren wie die Quadrate über
den entsprechenden Seiten verhalten. Er kannte die Verallgemeinerungen des
pythagoreischen Lehrsatzes auf stumpfwinklige und spitzwinklige Dreiecke.

Er konnte jedes Polygon in ein flächengleiches Quadrat verwandeln.

Schon in der Antike verbanden sich mit dem Namen Hippokrates vor allem
die Untersuchungen, die er mit den sog. „Möndchen“, im Zusammenhang mit
dem Problem der Quadratur des Kreises angestellt hat. (Zur Präzisierung: Es
soll eine Kreisfläche in ein flächengleiches Quadrat verwandelt werden, unter
ausschließlicher Verwendung der Konstruktionshilfsmittel Zirkel und Lineal
in endlich vielen Schritten. Dass dies unmöglich ist, wurde definitiv erst im

19. Jahrhundert bewiesen!)

Das Problem der Kreisquadratur war so populär, dass Aristophanes in der

Komödie „Die Vögel“ darauf eingehen konnte, ohne seine Zuschauer zu lang-
weilen. Es wird berichtet, dass sich bereits Anaxagoras im Gefängnis mit der

Kreisquadratur beschäftigt habe. Zum Unterschied von Zeitgenossen hatte
er die Tiefe des Problems erkannt und hielt das Problem nicht, wie Anti-
phon (um 430 v. Chr.), durch die Konstruktion einbeschriebener Polygone

„sehr hoher“ Eckenzahl für erledigt. Der von Antiphon und anderen begange-
ne Fehlschluss besteht darin, dass zwar jedes einbeschriebene Polygon in ein
flächengleiches Quadrat verwandelt werden kann, nicht aber die Grenzfigur.

Hieran dokumentiert sich sehr deutlich, wie schwierig die begriffliche Bewäl-
tigung von Grenzübergängen zu vollziehen war (vgl. dazu die Darlegung der

Entstehung der Infinitesimalrechnung im 16.,17. und 18. Jahrhundert). Die-
ser Fehlschluss wird natürlich auch dadurch nicht vermieden, wenn man, wie
es der Sophist Bryson von Herakleia (um 410 v. Chr.) getan hat, einem Kreis

4.3 Mathematik in der ionischen Periode

173
gleichzeitig Polygone um- und einbeschreibt und auf eine Art Stetigkeitsvor-
stellung zurückgreift. In der Sprechweise aus dem 5. Jahrhundert n. Chr. wird

Brysons „Quadratur“ so beschrieben:

„Proklos sagte nun, Bryson habe den Kreis auf folgende Weise qua-
driert: Der Kreis, sagt Bryson, ist größer als jedes einbeschriebene

Polygon und kleiner als jedes umbeschriebene Polygon. Im Vergleich
wozu aber Größeres und Kleineres existiert, dazu existiert auch Glei-
ches. Es existieren aber größere und kleinere Polygone als der Kreis,
also existiert auch ein ihm gleiches.“

[Becker 1954, S. 46]

Noch populärer als das Problem der Kreisquadratur war das Problem der

Verdoppelung eines Würfels, zumal dieses an einen Orakelspruch gebunden
war: Die von einer Seuche betroffenen Einwohner der Insel Delos erhielten
die Auskunft des Orakels von Delphi, die Seuche werde erlöschen, wenn man
den würfelförmigen Altar dem Rauminhalte nach verdoppele, unter Beibe-
haltung der würfelförmigen Gestalt. (In moderner Form bedeutet dies die
konstruktive Lösung der Gleichung x 3 = 2 a 3 mit Zirkel und Lineal. Dies ist,
wie wir heute wissen, jedoch unmöglich.) Hippokrates konnte das Problem
der Würfelverdoppelung wenigstens zurückführen auf das leichtere Problem,
zwei mittlere Proportionale x und y gemäß a : x = x : y = y : 2 a zu finden.

Spätere griechisch-hellenistische Autoren griffen auf Konstruktionen mit hö-
heren Kurven und auf Vorstellungen der Bewegungsgeometrie zurück (vgl.

[Alten et al. 2003, S. 87–90]).

Den höchsten Ruhm erntete Hippokrates mit der Konstruktion der sog.

„Möndchen“, also der Entdeckung, dass sich gewisse krummlinig begrenzte

Flächen quadrieren lassen, während der Kreis, die scheinbar einfachere Figur,

Widerstand leistete. Hippokrates hat verschiedene Typen von Möndchen an-
gegeben; der eine Typ hat die Gestalt: Halbkreis über AB, Mittelsenkrechte

DC über Durchmesser AB, Halbkreise über AC und CB. Dann ist die Sum-
me der beiden Möndchen M 1 und M 2 gleich dem Flächeninhalt des Dreieckes

ABC. Die Möndchen sind also quadrierbar. Es gibt 5 Typen von quadrierba-
ren Möndchen, wie sich erst 1947 erwiesen hat [Scriba 1988].

Abb. 4.3.3

Ein Typ von Möndchen des Hippokrates

174

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Die Pythagoreer

Ähnlich wie die atomistische Grundvorstellung hat auch die Grundidee der
pythagoreischen Schule eine herausragende Rolle in der Antike gespielt und
zugleich weit in die Zukunft gewirkt. Nach dieser Grundidee besteht das

Wesen der Welt in der Harmonie der Zahlen.

Über die Person des Pythagoras ist wenig Sicheres bekannt; so sind wir auf
spätere Zeugnisse angewiesen. Übrigens sprach Aristoteles mit dem Blick auf
die schon zu seiner Zeit unsichere Quellenlage nicht von Pythagoras, sondern
nur von den Pythagoreern.

Nach Meinung der Pythagoreer erteilen die Zahlen den Menschen, die
sich mit ihnen beschäftigen, auf mystische Weise höhere, Erkenntnis erst er-
möglichende Kräfte. Der Pythagoreer Philolaos (gest. um 390 v. Chr.) sagt
dazu:

„Denn die Natur der Zahl ist kenntnisspendend, führend und lehrend
für jeglichen in jeglichem Dinge, das ihm zweifelhaft oder unbekannt
ist.“ [Diels 1906, S. 243] Oder: „Und in der Tat hat ja alles, was man
erkennen kann, eine Zahl. Denn ohne sie läßt sich nichts erfassen
oder erkennen.“ [Diels 1906, S. 240]

Und Aristoteles meint:

„Da sie (die Pythagoreer) weiter sahen, daß die Eigenschaften und

Proportionen der Harmonien durch Zahlen bestimmt sind, und da es
ihnen schien, daß auch alles andere seiner ganzen Natur nach den

Zahlen nachgebildet sei und die Zahlen das erste der ganzen Natur
seien, nahmen sie an, die Elemente der Zahlen (. . . ) seien die Ele-
mente aller Dinge, und der ganze Himmel sei Harmonie und Zahl.“

(Zitiert bei [Stückelberger 1988, S. 12])

Es kam innerhalb der Pythagoreer fast zwangsläufig zu Zahlenspekulatio-
nen. Zahlen wurden spezielle Eigenschaften wie Hass und Liebe, weiblich
und männlich – meist polar geordnet – zugelegt. Dieser Tendenz entstammt
beispielsweise der Begriff der „vollkommenen Zahl“: Eine Zahl heißt vollkom-
men, wenn sie gleich der Summe ihrer echten Teiler ist, die 1 inbegriffen. Der

Neupythagoreer Nikomachos von Gerasa (um 100 n. Chr.) gab 6, 28, 496 und

8128 als Beispiele an. Die Pythagoreer stießen bis zu dem schon ziemlich tief
liegenden Satz vor, dass die Zahl n = 2 m− 1(2 m − 1) vollkommen ist, wenn

2 m − 1 eine Primzahl ist. Diese Einsicht entsprang einer von den Pythago-
reern entwickelten Lehre von Gerade und Ungerade, die in das Buch IX der

„Elemente“ von Euklid eingegangen ist. Gegenwärtig sind mindestens 44 voll-
kommene Zahlen bekannt. Sie sind alle gerade; die größte bekannte hat mehr
als 18 Millionen Stellen. Es ist unbekannt, ob es auch ungerade vollkommene

Zahlen gibt.

Schenkt man Nikomachos Glauben, so hätten sich schon die frühesten Py-
thagoreer mit den sog. figurierten Zahlen beschäftigt, einem Gegenstand, der

4.3 Mathematik in der ionischen Periode

175

Abb. 4.3.4

Figurierte Zahlen: Dreieck-, Quadrat-, Rechteck- und Fünfeckzahlen
gekennzeichnet ist als Mischung von Geometrie, Spielerei, Zahlenmystik und

Algebra. Man unterschied Dreieckszahlen, Quadratzahlen, Rechteckzahlen,
fünfeckige Zahlen, usw.

Mit Hilfe der Veranschaulichung durch Figurenlegen konnte man, beinahe
experimentell, einfache Reihen summieren, beispielsweise
n

n

1

ν =

( n + 1) n
oder

(2 ν − 1) = n 2 .

2
ν=1
ν=1

Insgesamt ist das innerhalb der Schule der Pythagoreer gefundene mathema-
tische Wissen bedeutend, wenn es auch eingebettet war in ein ideologisch-
religiöses System. Es ist in vielfacher Weise eingegangen in die „Elemente“
des Euklid.

Beispiele dafür sind:

1. Beweis für die Winkelsumme im Dreieck (behauptet Proklos in seinem

Euklid-Kommentar)

2. Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks mit Hilfe des Goldenen Schnittes.

Dem Pentagramm, im Mittelalter auch als Drudenfuß bezeichnet, wird
von Goethe im „Faust“ eine mystische Bedeutung zuerkannt. Mephisto
konnte nur deswegen ins Studierzimmer von Faust gelangen, weil der

Drudenfuß an einer Stelle nicht genau genug gezeichnet war. Und nur
dank einer Ratte, die eine ins Innere gerichtete Spitze angenagt hatte,
konnte Mephisto den Raum wieder verlassen.

3. Der sog. Satz des Pythagoras, wonach am rechtwinkligen Dreieck die

Summe der Flächen der Kathetenquadrate gleich der Fläche des Hypote-
nusenquadrates ist. Dieser Satz ist inhaltlich schon früher in Mesopotami-
en bekannt gewesen. Die Zuordnung des Satzes zur Person des Pythagoras
dürfte auf den Kommentar des Proklos zurückgehen.

176

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Abb. 4.3.5

Beweis für die Winkelsumme im Dreieck; Pentagramm, das Ordens-
zeichen der Pythagoreer

4. Die Pythagoreer der Frühzeit kannten die regulären Polyeder Würfel,

Oktaeder und Dodekaeder, möglicherweise weitere. Im „Timaios“-Dialog

Platons treten alle fünf regulären Polyeder auf, also auch Tetraeder und

Isokaeder. Daher werden sie als Platonische Körper bezeichnet. Platon
hatte sie den Grundbestandteilen der Welt zugeordnet, den Würfel der

Erde, das Oktaeder der Luft, das Tetraeder dem Feuer, das Ikosaeder dem

Wasser; der Weltschöpfer habe die ganze Welt in Form eines Dodekaeders
angelegt.

Abb. 4.3.6

Die fünf platonischen Körper: Tetraeder, Hexaeder (Würfel), Okta-
eder, Dodekaeder, Ikosaeder

4.4 Mathematik in der athenischen Periode

177

Dem Ausgang der ionischen Periode gehört der den Pythagoreern nahe
stehende Archytas (ca. 428–365 v. Chr.) an, Herrscher des süditalienischen

Tarent, bei dem Platon in die Mathematik eingeführt worden ist. Mit ihm
wird durch seine Musiktheorie die im ruhigen Bewusstsein von der Rationali-
tät der Zahlen und der Welt verstandene „arithmetica universalis“ vollendet.

So schien sich die pythagoreische Weltsicht aufs schönste zu bestätigen.

Und doch: Sogar innerhalb der pythagoreischen Schule wurde die nie-
derschmetternde Entdeckung gemacht, dass es auch Größen gibt, die sich
nicht rational ausdrücken lassen. Diese Entdeckung wird im Allgemeinen
in Verbindung gebracht mit dem Pythagoreer Hippasos von Metapont (um

450 v. Chr.): Es gibt sich gegenseitig nicht messende (inkommensurable) Stre-
cken. Strecken messen sich nicht, sind zueinander inkommensurabel, wenn
die Länge der Strecken nicht ganzzahlige Vielfache der Länge einer als Ein-
heitsstrecke aufgefassten dritten Strecke sind. Modern ausgedrückt: es gibt

Strecken, deren Verhältnis ihrer Längen eine irrationale Zahl ist.

Die Entdeckung von Hippasos zerstörte die Grundauffassung von der

„arithmetica universalis“ und damit die Grundlagen der pythagoreischen

Weltsicht. Dazu passt die Legende, dass Hippasos diese katastrophale Entde-
ckung bekannt gemacht und damit die Geheimhaltungspflicht verletzt habe.

Und als nun gar Hippasos bei einem Schiffbruch ums Leben kam, da war
dies – wie es der Neupythagoreer Iamblichos empfand – eine notwendige und
gerechte Strafe und hatte seine metaphysischen Gründe darin, . . . „daß alles

Unausgesprochene und Unsichtbare sich zu verbergen liebt. Wenn aber eine

Seele einer solchen Gestalt des Lebens begegnet und sie zugänglich und of-
fenbar macht, so wird sie in das Meer des Werdens versetzt und von den
unstäten Fluten umhergespült.“ (Zitiert nach [Becker/Hofmann 1951, S. 57])

Die Entdeckung der Inkommensurabilität dürfte, nach neueren For-
schungsergebnissen, durch „Wechselwegnahme“ am Pentagramm gemacht
worden sein und nicht am Quadrat, bei dem die Diagonale inkommensu-
rabel zur Quadratseite ist (Näheres dazu in [Scriba/Schreiber, 2. Aufl. 2005,

S. 35–37]).

Wir werden sehen, welche Konsequenzen der Zusammenbruch der „arith-
metica universalis“ für die Entwicklung der griechischen Mathematik während
der athenischen Periode hatte.

4.4 Mathematik in der athenischen Periode

Während des 5. und 4. Jahrhunderts hatte sich Athen die führende Stellung
im Ensemble der griechischen Stadtstaaten erobert, politisch, ökonomisch,
militärisch und als Zentrum der Wissenschaft. Unter Perikles (495?–429?) er-
lebte Athen Jahrzehnte der kulturellen Hochblüte. Der Peloponnesische Krieg

(431–404) in der Auseinandersetzung Athens mit dem aristokratisch regier-
ten Sparta schwächte Griechenland so sehr, dass es 338 unter makedonischen

Einfluss geriet.

178

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Abb. 4.4.1

Die Akropolis von Athen [Foto Alten]

Abb. 4.4.2

Der Parthenon – das berühmteste Beispiel griechischen Tempelbaus

[Foto Alten]

4.4 Mathematik in der athenischen Periode

179

Die Mathematik jener Periode wurde in erkenntnistheoretischer Hinsicht
durch den Philosophen Platon (427–347 v. Chr.) geprägt. Platonische Grund-
auffassungen durchziehen die gesamte weitere Entwicklungsgeschichte der

Mathematik, bis in unsere Gegenwart. Innermathematisch gesehen ging es um
den Neuaufbau der Mathematik nach dem Zusammenbruch der „arithmetica
universalis“, der von einigen Autoren geradezu als „Krise“ der griechischen

Mathematik bezeichnet worden ist.

Die griechische Mathematik nahm eine spezifische Form an, die – nach ei-
ner Wortprägung des dänischen Mathematikhistorikers H.G. Zeuthen (1839–

1920) – als „geometrische Algebra“ bezeichnet wird (dieser Begriff wird gele-
gentlich modifiziert). √

Da beispielsweise

2 als Diagonale eines Quadrates geometrisch darstell-
bar, aber nicht als Zahl nach damaligem Zahlbegriff (weder als ganze Zahl
noch als Verhältnis ganzer Zahlen) darstellbar ist, wurde die Behandlung des

Irrationalen und algebraischer Probleme ins Geometrische verlagert.

Platon und die Mathematik

In Platons Philosophie spielt die Mathematik eine herausragende Rolle. Er
hat Mathematik während seines Aufenthaltes bei Archytas von Tarent ken-
nen gelernt. Mathematik galt ihm als Beispiel einer Wissenschaft, die ihre

Ergebnisse durch bloßes Denken finden kann. In seinem System existieren

„Stuhl“ oder „Dreieck“ objektiv als „Idee“. Bei der „Idee“ Dreieck gilt der

Satz von der Winkelsumme im Dreieck wirklich und genau, während jedes
aufgezeichnete Dreieck nur ein mehr oder weniger genauer „Abklatsch“ der

Idee ist.

Abb. 4.4.3

Sophokles, Aristoteles, Platon (Griechenland 1998, 1978, 1998)

180

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Bei allem Unverständnis des Abstraktionsvorganges, der zum Begriff
führt, hat Platons Erkenntnistheorie dennoch und gerade deswegen die me-
thodischen Grundlagen der Mathematik gestärkt, die, auf Definitionen und

Voraussetzungen aufbauend, deduktiv die Beweise führt.

Platon legt im Dialog „Staat“ seinem ehemaligen Lehrer Sokrates die fol-
genden Worte in den Mund:

„Ich glaube nämlich, du (gemeint ist der Gesprächspartner von So-
krates) weißt, wie es diejenigen machen, die es mit Geometrie und

Arithmetik und den verwandten Wissenschaften zu tun haben. Sie
setzen das Ungerade und Gerade und die Figuren und die dreierlei

Arten der Winkel und was damit verwandt ist, bei ihrem jeweiligen

Beweisverfahren voraus und machen, als wären sie vollständig dar-
über im klaren, es einfach zur Grundlage ihrer Beweise, ohne sich
irgend verpflichtet zu fühlen, sich selbst oder anderen noch Rechen-
schaft darüber zu geben, da es ja für jeden von selbst einleuchtend sei;
vielmehr schreiten sie von diesem Ausgangspunkt alsbald zu der wei-
teren Ausführung fort und erreichen schließlich folgerecht denjenigen

Punkt, auf dessen Klarstellung sie es abgesehen hatten. (. . . )

Und also wohl auch, daß sie sich der sichtbaren Gestalten bedienen
und immer von diesen reden, während den eigentlichen Gegenstand
ihres Denkens nicht diese bilden, sondern jene, deren bloße Abbil-
der diese sind. Denn das Quadrat an sich ist es und die Diagonale
an sich, um derentwillen sie ihre Erörterungen anstellen, nicht eben
dasjenige, welches sie durch Zeichnung entwerfen, und so auch in den
weiteren Fällen; eben die Figuren selbst, die sie bildend oder zeich-
nend herstellen, von denen es auch wieder Schatten und Bilder im

Wasser gibt, dienen ihnen als Bilder, mit deren Hilfe sie eben das zu
erkennen suchen, was niemand auf andere Weise erkennen kann als
durch den denkenden Verstand.“

(Zitiert nach [Becker 1954, S. 95f.])

Und wozu dient Mathematik? Darüber sagt Platon im „Staat“ im Dialog
zwischen Sokrates und Glaukon:

„Die Rechen- und Zahlenlehre hat es zur Gänze mit den Zahlen zu
tun?“

„Gewiß!“

„Die Fächer führen also zur Wahrheit?“

„In reichstem Maße“

„Also gehören sie zu den Wissenschaften, die wir suchen. Der Kriegs-
mann muß sie wegen der Truppenabteilungen lernen, der Philosoph,
weil er aus der Welt des Werdens heraustauchen und die Welt des

Seins erfassen muß – andernfalls er niemals ein wirklicher Rechner
wird. (. . . )

4.4 Mathematik in der athenischen Periode

181

Dann muß man, mein Glaukon, das Fach gesetzlich verankern und
die zukünftigen Träger der höchsten Staatsgewalt dazu bringen, Ma-
thematik zu studieren, aber nicht nur nach Art eines Praktikers, son-
dern solange, bis sie durch reines Denken zur Schau des Wesens der

Zahlen vordringen, nicht wegen eines Verkaufes oder Kaufes, wie es

Händler und Kaufleute machen, sondern wegen des Krieges und we-
gen der Seele, damit sie sich leicht vom Werden zu Wahrheit und

Wesen wende. (. . . )

Hast du nun auch dies bedacht: Die mathematisch Begabten sind auch
in allen anderen Wissenschaften geradezu scharfsinnig, ja selbst die

Schwerfälligen haben, wenn schon sonst keinen Nutzen, so doch den

Vorteil, eine schnellere Auffassung zu erlangen als bisher, wenn sie
im Rechnen unterrichtet und geübt werden. (. . . )

Soweit sie (die Geometrie) sich auf das Kriegswesen bezieht, ist sie
klarerweise brauchbar; denn für das Aufschlagen des Lagers, die Be-
setzung von Plätzen, das Sammeln und Entfalten des Heere und für
alle anderen Bewegungen des Heeres im Kampf und Marsch bedeutet
es viel, ob man von Geometrie etwas versteht oder nicht. (. . . )

Also ist die Geometrie brauchbar, wenn sie zur Schau des Seins
zwingt, andernfalls nicht.“

[Platon, Staat, 2000, S. 341–344]

Desinteresse und Verachtung bezüglich der Leistungen der Mathematik für
praktische Zwecke entsprechen Platons Verbundenheit mit der Aristokratie.

Es ist daher in Platons Denkweise nur folgerichtig, wenn aus der Mathe-
matik mechanische Hilfsvorstellungen und Geräte verbannt werden. In der
platonischen Schule – und in großen Teilen der griechisch-hellenistischen Ma-
thematik – waren nur Zirkel und Lineal als Konstruktionsmittel zugelassen.

Zwar sind diese auch mechanischer Art, aber sie liefern die Vorstellung der
beiden vollkommenen „göttlichen“ Kurven, des Kreises und der Geraden.

In diesem Zusammenhang ist ein Bericht des römischen Historikers Plut-
arch (geb. ca. 46, gest. nach 119 n. Chr.) zur Ansicht Platons über mechani-
sche mathematische Hilfsmittel von Interesse:

„Platon selbst tadelte die Leute um Eudoxos und Archytas und Me-
naichmos, weil sie es unternommen hatten, die Würfelverdoppelung
auf mechanische Einrichtungen zurückzuführen, wie wenn es nicht
möglich wäre, für den, der es überhaupt versucht, rein theoretisch
zwei mittlere Proportionalen zu finden. Dadurch wird nämlich das

Gute an der Geometrie zugrunde gerichtet und zerstört, indem die-
se sich wieder zum Sinnlichen zurückwendet, statt sich nach oben zu
erheben und die ewigen, unkörperlichen Bilder zu erfassen, bei denen
verweilend Gott ewig Gott ist.“

(Zitiert in [v. d. Waerden 1966, S. 267f.])

182

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Die dogmatische Einschränkung auf Zirkel und Lineal hatte auch gravierende

Folgen für die griechische Astronomie. Aus der göttlichen Vollkommenheit
der Planetenbahnen – Erde im Mittelpunkt, Sonne ebenfalls Planet – hat

Platon die Forderung abgeleitet, ein Weltsystem zu ersinnen, das nur Kreis-
bahnen enthält, dies natürlich in möglichst guter Übereinstimmung mit den

Beobachtungen. Allenfalls mögliche Abweichungen könnten eintreten, seien
doch die existierenden Planeten nur mehr oder weniger schlechte Kopien der
vollkommenen Bewegungen in der Welt der Ideen.

Diese Aufgabe ist von dem auch als Mathematiker herausragenden Eudo-
xos (408?–355?) in seiner mathematisch höchst genialen „Theorie der homo-
zentrischen Sphären“ weitgehend gelöst worden. Später hat sich der überra-
gende hellenistische Astronom Ptolemaios (85?–165? n. Chr.) der Forderung
nach Präzisierung mit Erfolg angenommen. Das Dogma von den kreisför-
migen Planetenbahnen blieb noch eineinhalb Jahrtausende bestehen. Selbst

Copernicus und Galilei hielten an der Kreisbahn fest; erst Kepler fand heraus,
dass die Planetenbahnen ellipsenförmig sind.

Theorie der Irrationalitäten

Das andere Zentralproblem während der athenischen Periode bestand in der

Suche nach einem Ausweg aus dem Zusammenbruch der „arithmetica univer-
salis“ bzw. nach der Entdeckung des Inkommensurablen. Platon berichtet im

Dialog Theaitetos, der Mathematiker Theodoros von Kyrene (gest. um 390
v. Chr.) habe für die Irrationalität der Quadratwurzeln aus 3, 5, 6, 7, 8, 10,

. . . , 17 Beweise angegeben. Die Szene im Theaitetos spielt vor dem Jahre 399
in Athen. Theodoros tritt dort als hoch betagter Gelehrter auf.

„Theodoros hier zeichnete uns etwas aus der Lehre von den Quadra-
ten und bewies für die Quadrate von drei und fünf Fuß Inhalt, daß
die der Seitenlänge nach dem Quadrate von einem Fuß Inhalt nicht
kommensurabel seien, und so zog er jedes einzelne heran bis zum sieb-
zehnfüßigen Quadrat. Bei diesem hielt er ganz zufällig inne.“

[Platon. Theaitetos 1910, S. 117]

√ √

√

Theodoros bewies also, dass, modern ausgedrückt,

3,

5, . . .

17 irrational

√
sind. Es fällt auf, dass die Irrationalität von

2 gar nicht erwähnt wird und

√
dass er bei

17 „zufällig“ innehielt. Es gibt verschiedene Erklärungsversuche

√
für seine Methode und warum er bei

17 innehielt [Anderhub 1941].

Nachdem der ältere Theodoros seinen Bericht gegeben hat, lässt Platon
den jüngeren Theaitetos von Athen (415–368) seine Grundidee vortragen. Die

Lesart der Stelle ist allerdings umstritten.

„Nun fiel es uns (Theaitetos und einem anderen athenischen Jüng-
ling, Wg) bei, da ja die Quadrate in ihrer Menge unendlich schienen,
zu versuchen, sie in einem gemeinsamen Begriffe zusammenzufassen,
um mit ihm all diese Quadrate bezeichnen zu können (. . . )

4.4 Mathematik in der athenischen Periode

183

Alle Zahlen schieden wir in zwei Klassen: in solche, die dem Produkt
aus gleichen Zahlen entsprechen; sie verglichen wir nach ihrer Gestalt
mit dem Quadrat und nannten sie quadratisch und gleichseitig (. . . )

Die Zahlen dazwischen aber, zu denen die Drei und die Fünf und jede
gehört, die dem Produkt aus gleichen Zahlen nicht entsprechen kann,
sondern dem Vielfachen einer größeren Zahl und einer kleineren oder
einer kleineren und einer größeren, so daß in ihrer Darstellung im-
mer eine größere und eine kleinere sie umschließt, verglichen wir mit
der länglichen Gestalt des Rechtecks und nannten sie oblonge Zahlen

(. . . ) Alle Linien, die ein nach Seiten und Flächen kommensurables

Quadrat bilden, bestimmten wir als Längen; die aber ein ungleich-
seitiges Vieleck bilden, als solche Quadrate, die an Länge mit jenen
nicht kommensurabel, jedoch der Fläche nach, deren Quadrat sie bil-
den. Und mit den Kubikzahlen ist es auch ähnlich.“

[Platon. Theaitetos 1910, S. 117f.]

Hier kündigt sich ein Programm zum Studium und zur Klassifizierung der

(quadratischen) Irrationalitäten an, das z. B. auch Wurzelschachtelungen wie

√
a ±
a 2 − b 2
enthält, natürlich in geometrischer Form mit den Methoden der geometri-
schen Algebra. Diese höchst diffizilen Ergebnisse von Theaitetos sind ein-
gegangen in das Buch X der „Elemente“; es erfordert gerade auch für den
heutigen Leser wegen der ungewohnten Form große Anstrengungen bei der

Lektüre. Im Buch XIII werden Ergebnisse über spezielle Klassen quadrati-
scher Irrationalitäten auf das Studium regulärer Polyeder angewandt. Das

Buch XIII endet mit dem Nachweis, dass es genau fünf reguläre Polyeder
gibt: Würfel, Tetraeder, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder. Das mathe-
matische Hauptwerk der Antike endet also gewissermaßen mit einem Satz,
der das Weltbild von Platon stützt.

Wie ist mit dem Widerspruch zu verfahren, dass es Strecken mit Längen
gibt, die keine Repräsentation durch Zahlen (im Sinne des griechischen Zahl-
begriffes) haben? Der Ausweg bestand darin, algebraische Operationen (nach
unserem Empfinden) in Form geometrischer Konstruktionen durchzuführen;
deren Existenz ist gesichert. Ein einfaches Beispiel:

Die binomische Formel ( a + b)2 = a 2 + 2 ab + b 2 (unsere Schreibweise)

erscheint in der Form: „Teilt man eine Strecke, wie es gerade trifft, so ist
das Quadrat über der ganzen Strecke den Quadraten über den Abschnitten
und zweimal dem Rechteck aus den Abschnitten zusammen gleich.“ [Euklid,

Buch II, Prop. 3]

Das Kernstück der geometrischen Algebra ist die Methode der Flächen-
anlegung (ausführlich in [Alten et al. 2003], [Wußing 1965]). Sie gestattet die
geometrische Lösung von linearen und quadratischen Gleichungen. Der ein-
fachste Fall ist der Fall der sog. parabolischen Flächenanlegung zur Lösung
linearer Gleichungen vom Typ ab = cx (vgl. Abb. 4.4.4b):

184

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Abb. 4.4.4

Veranschaulichung der binomischen Formel (li), Figur zur paraboli-
schen Flächenlegung (re)

Konstruiere das Rechteck ABCD mit den Seiten der Länge a und b. Lege
an CD das Rechteck CDEF mit den Seiten der Längen b und c an. Dann
schneidet die Verlängerung der Diagonalen CE die Verlängerung von AB
in G. Die Ergänzung zum Rechteck liefert dann das Rechteck CFIH mit den

Seiten der Längen c und x und dem Inhalt cx.

Im Buch VI der „Elemente“ treten Flächenanlegungen auf, bei denen die
zu konstruierende Fläche einen Flächeninhalt besitzt, der um eine gegebene

Fläche F kleiner oder größer ist als eine vorgegebene Fläche: Flächenanlegung
mit Defekt, Mangel (griech. élleipsis) und Flächenanlegung mit Exzess, Über-
schuss (griech. hyperbolé). Die Flächenanlegungen mit Defekt bzw. Über-
schuss entsprechen jeweils der Auflösung der Gleichungssysteme vom Typ
x · y = F , x + y = 2 a bzw. x · y = F , x − y = 2 a. Demnach liegen die parabolischen Flächenanlegungen zwischen den elliptischen und den hyperbolischen

Flächenanlegungen. – Hieraus sind später bei Apollonios von Perge (262?–

190 v. Chr.) in seiner Kegelschnittlehre die Bezeichnungen Ellipse, Parabel
und Hyperbel entstanden.

Mit Hilfe der Flächenanlegungen können die quadratischen Gleichungen
x 2 = a( a − x) ,
x 2 = ab ,
x(2 a − x) = F
und
x( x − 2 a) = F
gelöst werden. Die Interpretation dieser Art von Konstruktionen als geome-
trische Algebra ist allerdings in neuerer Zeit umstritten [Knorr 1989].

Eudoxos

Schließlich soll noch die Leistung von Eudoxos (408?–355?) bei der begrifflich-
arithmetischen Bewältigung des Problems des Irrationalen hervorgehoben
werden. Eudoxos von Knidos kann mit einer gewissen Berechtigung als der
bedeutendste Mathematiker seiner Zeit bezeichnet werden. Darüber hinaus

4.4 Mathematik in der athenischen Periode

185
hat er Bedeutendes als Astronom, als Arzt, als Rhetor und als Geograph ge-
leistet. In Kleinasien, in Cyzicus, begründete er eine eigene wissenschaftliche

Schule. Im Scherz nannten ihn seine Freunde Endoxos, den Berühmten.

Eudoxos schuf eine Größenlehre, die auch irrationale Größen einbezog,
ohne allerdings bis zum Begriff der Irrationalzahl vordringen zu können. War
bisher der Begriff der Proportion an die Voraussetzung gebunden, dass die im

Verhältnis stehenden Zahlen ein gemeinsames Maß besitzen, also kommen-
surabel sind, so befreite Eudoxos sich in einem kühnen, gedanklich äußerst
scharfsinnigen Schritt von dieser Einschränkung. Eine entsprechende, weit-
reichende Formulierung ist in Euklids „Elementen“ im Buch V zur Grundlage
der Proportionenlehre auch für inkommensurable Größen geworden.

„Man sagt, daß Größen in demselben Verhältnis stehen, die erste zur
zweiten wie die dritte zur vierten, wenn bei beliebiger Vervielfältigung
die Gleichvielfachen der ersten und dritten den Gleichvielfachen der
zweiten und vierten gegenüber, paarweise entsprechend genommen,
entweder zugleich größer oder zugleich gleich oder zugleich kleiner
sind . . . die dasselbe Verhältnis habenden Größen sollen in Proportion
stehend heißen.“

[Euklid, Elemente Buch V, Def. 5]

Diese Definition der Proportion benötigt ersichtlich keinerlei Voraussetzun-
gen über die Kommensurabilität der Größen. Zugleich ist sie geeignet, alle
bekannten Sätze über Proportionen beweisen zu können, eine Leistung, die es
gestattet, die Verbindung zwischen der geometrischen Algebra, der Propor-
tionenlehre, der Ähnlichkeitslehre einerseits und einer das Inkommensurable,

Irrationale umfassenden Größenlehre andererseits in mathematisch korrekter

Weise herzustellen. Doch war es noch ein weiter Weg bis zum Begriff der

Irrationalzahl.

In unmittelbarem Zusammenhang damit hat Eudoxos bei der Grundle-
gung einer Art Vorstufe der späteren Integralrechnung Pionierarbeit geleistet.

Seine Methode erhielt im 17. Jahrhundert, während der Suche nach übergrei-
fenden, weitreichenden infinitesimalen Methoden die vielleicht etwas unglück-
liche Bezeichnung „Exhaustionsverfahren“ (von lat. exhaurire, ausschöpfen).

Ihr liegt die Vorstellung zugrunde, den Flächeninhalt krummlinig begrenz-
ter Flächen mit ein- bzw. umbeschriebenen Polygonen mit beliebig guter

Annäherung „ausschöpfen“ zu können. (Die Annäherung durch umbeschrie-
bene Polygone wird auch als „Kompressionsmethode“ bezeichnet.) Eudoxos
stützte sich auf einen Satz, der die „beliebig gute Annäherung“ (Vorstufe des

Konvergenzbegriffes) an eine zu messende Größe fixiert:

„Nimmt man bei Vorliegen zweier ungleicher (gleichartiger) Größen
von der größeren ein Stück größer als die Hälfte weg und vom Rest
ein Stück größer als die Hälfte und wiederholt dies immer, dann muß
einmal eine Größe übrig bleiben, die kleiner als die kleinere Ausgangs-
größe ist.“

[Euklid. Elemente Buch X, Prop. 1]

186

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Diesem Satz und der Eudoxischen Größenlehre liegt ein Axiom oder Postulat
zugrunde, dem später Archimedes unter Berufung auf Eudoxos die folgende

Fassung gab:

„Die größere von zwei gegebenen Größen, sei es Linie, Fläche oder

Körper, überragt die kleinere um eine Differenz, die, genügend oft
vervielfacht, jede der beiden gegebenen Größen übertrifft.“

[Archimedes 1922, S. 9]

Mit diesen Ansätzen zur Behandlung von geometrisch existierenden Grenz-
werten, die auf einem exakten, indirekten Beweis durch „Ausschöpfung“ be-
ruhen, schuf Eudoxos gedankliche Möglichkeiten, die bereits in der darauf
folgenden, der hellenistischen Periode, insbesondere bei Archimedes, ihre

Fruchtbarkeit offenbarten und noch bis weit in die Mathematik der Neuzeit
hinaufreichen sollten.

4.5 Mathematik in der hellenistischen Periode

Nach der Ermordung (336) seines Vaters, des makedonischen Königs Philipp

II., übernahm Alexander III. (der Große, 356–323) die Regierungsgewalt.

Auf seinen Eroberungszügen brachte er ein riesiges Territorium unter sei-
ne Kontrolle; es umfasste das makedonische Stammland, Griechenland, Teile
des Balkans bis zur Donau, Kleinasien, Ägypten, Mesopotamien, große Teile

Mittelasiens, Teile des westlichen Indien. Doch war dieses riesige Reich poli-
tisch und ökonomisch instabil; nach dem unerwarteten Tod durch fieberhafte

Erkrankung Alexanders (323) zerfiel es in Nachfolge-(Diadochen)-Staaten.

Aristoteles war Erzieher Alexanders gewesen; daher rührt dessen Neigung
zur griechischen Kultur. Folgerichtig wurden griechische Kultur und Lebens-
weise in Alexanders Riesenreich in den herrschenden Kreisen Mode und ver-
schmolzen teilweise mit den östlichen Kulturen. Man spricht von hellenisti-
scher Kultur und Wissenschaft. Alexander selbst hatte der Vision von einer
zu schaffenden einheitlichen Kultur symbolischen Ausdruck verliehen, indem
er 327 die baktrische Fürstentochter Roxane geheiratet hatte.

Es gibt viele Legenden um Alexander, z. B. die Erzählung vom gordischen

Knoten. Auch soll er sich in einer Art Taucherglocke unter Wasser aufgehal-
ten haben. An günstiger Stelle, westlich vom Nildelta, wurde 332/331 Alex-
andria als eine der zahlreichen „Alexanderstädte“ gegründet. Das ägyptische

Alexandria wurde zur glanzvollen Hauptstadt des ägyptischen Ptolemäerrei-
ches, einem der Nachfolgestaaten von Alexanders Weltreich. Nach dem Sieg,

30 v. Chr., des römischen Feldherrn Octavianus über seinen Konkurrenten

Antonius und über Kleopatra, die letzte Herrscherin Ägyptens, wurde Ägyp-
ten römische Provinz.

Alexandria wurde planmäßig mit rechtwinklig sich kreuzenden Straßen
angelegt. Zu Beginn unserer Zeitrechnung dürften dort laut Schätzungen et-
wa eine Million Menschen gewohnt haben. Alexandria war nach Rom die
zweitgrößte Stadt des Römischen Weltreiches.

4.5 Mathematik in der hellenistischen Periode

187

Abb. 4.5.1

Der Pharos von Alexandria – eine Rekonstruktion [H. Thiersch: Antike,

Islam und Okzident, Leipzig 1909]

Auf einer Alexandria vorgelagerten Insel wurde von 299 bis 279 v. Chr.

ein Leuchtturm von ca. 110 m Höhe erbaut; der Turm wurde nach seinem

Standort selbst „Pharos“ genannt. Dieses Wahrzeichen Alexandrias galt schon
in der Antike als eines der Weltwunder. Der Pharos wurde im 14. Jahrhundert
durch Erdbeben zerstört.

Alexandria wurde das wissenschaftlich-kulturelle Zentrum der hellenisti-
schen Welt. In Athen gab es die Platonische Akademie und die Aristotelische

Schule der Peripatetiker, später die Schule der Stoa und den Garten Epikurs –
aber Alexandria hatte das Museion (Sitz der Musen). Von den Ptolemäern als
wahrscheinlich erstes staatlich gegründetes Forschungs- und Lehrinstitut ins

Leben gerufen besaß es Hörsäle, Arbeits- und Speiseräume, eine Sternwarte,
botanische und zoologische Gärten und eine systematisch zusammengetrage-
ne, ganz außerordentliche Bibliothek von ca. 400 000 Papyrusrollen. Kopisten
waren angestellt, um Kunst und Wissen der Zeit zu bewahren. Auch Teile
der Bibliothek von Aristoteles wurden vom Museion übernommen. Unglück-
licherweise wurde die Bibliothek in den kriegerischen Auseinandersetzungen
mit den Römern (47 v. Chr.) vernichtet – ein unersetzlicher Verlust für die

188

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Abb. 4.5.2

Die Pompejus-Säule im Serapeum von Alexandria [Foto Alten]

Kulturgeschichte der Menschheit. Von rund 300 v. Chr. bis rund 150 n. Chr.,
also nahezu ein halbes Jahrtausend, haben die bedeutendsten damaligen Ma-
thematiker mit dem Museion und Alexandria in Verbindung gestanden. Viele
wirkten dort oder haben dort studiert, z. B. Euklid, Eratosthenes, Archime-
des, Apollonios, Heron, Ptolemaios, Diophant. Der alexandrinische Astronom
und Mathematiker Sosigenes wurde vom Imperator G. Iulius Caesar nach

Rom berufen, um eine Kalenderreform nach dem Vorbild des ägyptischen

Kalenders durchzuführen.

Dem Kreis der alexandrinischen Mathematiker gehörten neben Eratosthe-
nes von Kyrene vermutlich Nikomedes (um 250 v. Chr.) und Diokles (um 200
v. Chr.) an, die Kurven zur zeichnerischen Lösung des Problems der Würfel-
verdoppelung angaben. Dionysodoros (2. Jh. v. Chr.) beschäftigte sich mit

Kugelteilungsaufgaben. Hypsikles (2. Jh. v. Chr.) studierte Oberflächen und

Volumina halbregulärer Körper und schrieb das Ergänzungsbuch XIV zu den

„Elementen“. Zenodoros (um 180 v. Chr.) bewies, dass von je zwei regelmä-
ßigen Polygonen das mit den meisten Winkeln den größeren Flächeninhalt
besitzt. In diesen Zusammenhang gehören noch weitere Sätze, z. B.: Haben
ein Kreis und ein reguläres Polygon den gleichen Umfang, so ist der Kreis
grösser. Aus diesen und anderen vorbereitenden Sätze (vgl. ausführlich z. B.

[v. d. Waerden 1966, S. 444f.]) schließt Zenodoros, dass von allen Figuren
mit gleichem Umfang der Kreis die größte Fläche hat. Analog kommt er zu
dem Schluss, dass von allen Körpern gleicher Oberfläche die Kugel das größte

4.5 Mathematik in der hellenistischen Periode

189

Abb. 4.5.3

Zum Gerät von Antikythera: Großes Bruchstück aus korrodierter

Bronze (Nationales Archäologisches Museum, Athen, n0 15987) [Wikimedia Com-
mons, GNU FDL]; Rekonstruktion (Astronomisch Physikalisches Kabinett, Kassel)

[Foto Wesemüller-Kock]

Volumen hat. Der Satz über die Flächen gilt nur, wenn unter „Figuren“ nur

Kreise und Polygone verstanden werden. Hier wurden schon isoperimetrische

Probleme aufgegriffen, die erst viel später mit den Methoden der Variations-
rechnung bearbeitet und gelöst werden konnten (vgl. Kap. 9.3).

Technik und Astronomie – Antikythera

Im Jahr 1900 bargen Taucher eine Ansammlung von korrodierter Bronze in
einem verrotteten Holzkasten von der Größe eines Schuhkartons. Er stammte
aus einem 80 v. Chr. vor der griechischen Insel Antikythera gesunkenen Schiff
und landete im Nationalmuseum von Athen. 1902 wurden Reste von Zahn-
rädern in dem Fund festgestellt. Erst weitere Untersuchungen (Price, Yale

University) seit 1958 und Röntgenaufnahmen 1971 gaben die Funktion des

Gerätes mit vielen bronzenen Zahnrädern preis. Röntgen-Schichtaufnahmen
im Rahmen des Antikythera Mechanism Research Projects 1 im Jahr 2005 lie-

1 Das Antikythera Mechanism Research Project konstituierte sich im Jahr 2005.

Es besteht aus zwei Teams, dem Team von Hewlett-Packard und dem sog. Core-

Team. Ein 7,5 Tonnen schwerer Computer-Tomograph wurde dafür in das Athe-
ner Nationalmuseum gebracht und für die Untersuchungen eingesetzt. Die Zeit-
schrift „Nature“ veröffentlichte Ergebnisse im November 2006.

190

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike
ßen die restlichen auffindbaren Inschriften auf den Zahnrädern und Platten
sichtbar werden. Es handelt sich um ein astronomisches Gerät, das Planeten-
bahnen nachvollzog. Die Inschriften sind zu 95% entziffert, und die Untersu-
chungsergebnisse wurden im Rahmen eines Symposions im Jahr 2006 vorge-
stellt. 30 Zahnräder (dazu sieben, die als fehlend vermutet werden) zum Teil
mit 60 Grad ineinander greifend, eine Art Differentialgetriebe (wie es erst
im 19. Jahrhundert n. Chr. als Patent angemeldet wurde) ließ bis auf 14 Mi-
nuten genau Sonnen- und Mondfinsternisse vorhersagen, auch die Auf- und

Untergänge der damals bekannten Planeten Merkur, Venus, Mars, Jupiter
und Saturn. Es vereinigte verschiedene Kalendarien und ist als eine Sensa-
tion bezüglich der Kenntnisse und technischen Fertigkeiten der griechischen

Antike anzusehen. Nachbauten beweisen die Funktionsfähigkeit des Gerätes.

Euklid als Mathematiker

Viele Unklarheiten gibt es um Euklid und seine „Elemente“ (griech. stoich-
eia). Schon die Lebensdaten sind umstritten. Möglicherweise hat er etwa von

340 bis 270 v. Chr. gelebt und wurde dann um 300 von Athen an das Museion
in Alexandria berufen. Eine andere Version nimmt an, dass er gegen Ende

Abb. 4.5.4

Euklid als Lehrmeister nach [Bildarchiv der Universität Leipzig]

4.5 Mathematik in der hellenistischen Periode

191
des 3. Jahrhunderts in Alexandria gelebt und gewirkt hat. Es gibt sogar die –
überraschende – Meinung, dass „Euklid“ nur die Bezeichnung für eine Gruppe
von anonym gebliebenen Mathematikern verkörpert, die die „Elemente“ auf

Grund von Vorarbeiten zusammengestellt hat. Heute wird weitgehend ange-
nommen, dass Euklid um 300 v. Chr. gelebt hat (ausführlich in [Schreiber

1987], [Schönbeck 2003], [Steck 1981]).

Nichtsdestoweniger existieren einige Anekdoten um und über Euklid. Eine
berühmte lautet: Sein König habe sich erkundigt, wie man auf einem kürzeren

Weg zum Verständnis der Geometrie gelangen könne, ohne die damit verbun-
dene Mühsal. Euklid soll geantwortet haben, dass es keinen Königsweg zur

Geometrie gebe.

Wer auch immer die „Elemente“ niedergeschrieben hat, es ist ein Meis-
terwerk didaktischer Art und beruht auf Arbeiten von Vorgängern. Auch
ist die geistige Verwandtschaft mit Platon unverkennbar, da kaum auf An-
wendungen Bezug genommen wird. Die streng logische Gliederung und die

Gründung des Werkes auf Axiome und Postulate dürfte von Aristoteles und
seinen Abhandlungen zur Logik beeinflusst worden sein.

Die „Elemente“ bestehen aus 13 „Büchern“ (dies entspricht Kapitelein-
teilungen). In späterer Zeit sind noch zwei weitere Bücher hinzugekommen:

Buch XIV von Hypsikles (2. Jahrhundert v. Chr.) und Buch XV von Damas-
kios (6. Jahrhundert n. Chr.).

Die folgende Tabelle soll einen Überblick über die „Elemente“ vermitteln
sowie über den Inhalt der Bücher, soweit dieser einigermaßen sicher ist.

Die Elemente des Euklid

Buch Stoff

Inhalt

Ursprung

I
planimetrische

Vom Punkt zum pythagoreischen
ionische

Bücher

Lehrsatz

Periode

II

Geometrische Algebra, Flächenlehre

III

Kreislehre

IV
ein- und umbeschriebene Regel-
insbesondere
mäßige Vielecke

Pythagoreer

V

Ausdehnung der Größenlehre

Eudoxos
auf Irrationalitäten

VI

Ähnlichkeitslehre

Eudoxos

VII
zahlentheoretische

Teilbarkeitslehre, Primzahlen

Pythagoreer

Bücher

VIII

Quadrat- und Kubikzahlen,
geometrische Reihen

IX

Lehre von gerade und ungerade

X
quadratische Irrationalitäten

Theaitetos

XI
stereometrische
elementare Stereometrie
ionische

Bücher

Periode

XII

Exhaustionsmethode

Eudoxos

XIII

Reguläre Polyeder

Theaitetos

192

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Abb. 4.5.5

Figur zur ursprünglichen Fassung des sog. Parallelenpostulates

Euklid baut sein Werk auf Definitionen, Postulaten und Axiomen auf; es
folgen Lehrsätze mit Beweisen, Problemstellungen und Hilfssätzen. Die Defi-
nitionen der Grundelemente der Geometrie – Punkt, Linie, Strecke, Fläche –
sind anschaulicher Art. So heißt es: „Ein Punkt ist, was keine Teile hat. Eine

Linie (ist) breitenlose Länge.“ [Euklid. Elemente Buch I, Def. 1–2]

Dies sind nicht eigentlich Definitionen, sondern Beschreibungen. Wer z.B.

noch nicht den Begriff des Punktes aus der Anschauung mittels Abstrak-
tion gewonnen hat, kann ihn aus dieser Definition auch nicht erwerben. Die
weitaus größere Zahl der Definitionen aber ist durchaus streng; Eigenschaften
werden maßgebend für die Definition. Beispielsweise:

„Von den vierseitigen (geradlinigen) Figuren ist ein Quadrat jene,
die gleichseitig und rechtwinklig ist. Parallel sind gerade Linien, die
in derselben Ebene liegen und dabei, wenn man sie nach beiden Seiten
ins unendliche verlängert, auf keiner einander treffen.“

[Euklid. Elemente Buch I, Def. 22–23]

Dann folgen fünf Postulate (heutzutage werden Postulat und Axiom als weit-
gehend synonym verstanden). Es handelt sich um geometrische Festlegungen.

In den ersten drei wird postuliert, dass man jeden Punkt mit jedem durch
eine Strecke verbinden, jede begrenzte Linie geradlinig zusammenhängend
verlängern und Kreise mit beliebigem Radius und Mittelpunkt schlagen darf.

Das vierte Postulat legt fest, dass alle rechten Winkel gleich sind. Das fünfte
postuliert

„. . . daß, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien
bewirkt, daß innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen
kleiner als zwei Rechte werden, dann die zwei geraden Linien bei Ver-
längerung ins unendliche sich treffen auf der Seite, auf der die Winkel
liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind.“

[Euklid. Elemente Buch I, Post. 5]

Mit diesem Postulat ist die Existenz höchstens einer Parallelen (immer zu ei-
ner vorgegebenen Geraden durch einen nicht auf ihr liegenden Punkt) fixiert;
die Existenz wenigstens einer Parallelen wird von Euklid bewiesen. Damit ist
die Existenz genau einer Parallelen gesichert.

Das fünfte Postulat erhielt wegen dieses Zusammenhanges später die Be-
zeichnung „Parallelenpostulat“ (oder sogar Parallelenaxiom). Es wurde be-
reits in der Antike und in der muslimischen Welt viel diskutiert, weil es nicht

4.5 Mathematik in der hellenistischen Periode

193
dasselbe Maß an Selbstverständlichkeit und Anschaulichkeit besitzt wie die
anderen vier. Man hat daher seit der Antike versucht, dieses Postulat als

Theorem zu beweisen. Man weiß seit der Entdeckung nichteuklidischer Geo-
metrien im 19. Jahrhundert, dass dies nicht möglich ist; umso mehr ist der

Weitblick von Euklid zu bewundern (vgl. [Engel/Stäckel 1895]).

Übrigens gibt es bei Euklid noch keine Axiome oder Postulate der An-
ordnung; sie werden implizit anschaulich benutzt. Hier schuf erst M. Pasch

(1843–1930) begriffliche Klarheit.

Den fünf geometrischen Postulaten folgen bei Euklid logische Axiome. Sie
stehen deutlich unter dem Eindruck der etwa zur gleichen Zeit durch Aristo-
teles vollzogenen Durchbildung der formalen Logik. In späteren Texteditionen
treten neun Axiome auf; von Euklid selbst stammen die folgenden:

„Was demselben gleich ist, ist auch unter einander gleich. Wenn Glei-
chem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich. . . . Was ein-
ander deckt, ist einander gleich.“(Dieses Axiom ist Grundlage der

Kongruenzgeometrie) „Das Ganze ist größer als der Teil.“

[Euklid, Elemente Buch I, Ax. 1, 2, 7, 8]

Der berühmte Satz, dass es mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von

Primzahlen, also dass es unendlich viele Primzahlen gibt, wird in Buch IX,

Prop. 20 bewiesen.

Die „Elemente“ stellen das vielleicht einflussreichste Werk der gesamten
mathematischen Literatur dar. Bis in die nahe Vergangenheit wurden sie im-
mer wieder studiert und sogar im Elementarunterricht an allgemeinbildenden

Schulen benutzt.

Die „Elemente“ haben in ihrer Bedeutung und inneren Schönheit und ihrer
meisterhaften Darlegung des Stoffes immer wieder Bewunderung hervorgeru-
fen. Beispielsweise sei eine Äußerung von Goethe wiedergegeben, dem nun
gerade nicht ein inniges Verhältnis zur Mathematik nachgesagt werden kann:

„Die Elemente des Euklid stehen noch immer als ein unübertroffenes

Muster eines guten Lehrvortrages da; sie zeigen uns in der größten

Einfachheit und notwendigen Abstufung ihrer Probleme, wie Eingang
und Zutritt zu allen Wissenschaften beschaffen sein sollten.“

(Zitiert bei [Schönbeck 2003, S. 16])

Man würde einem großen Irrtum unterliegen, wenn man Euklid lediglich
als Kompilator und herausragenden Didaktiker einordnen würde. Ganz im

Gegenteil: Euklid hat weitreichende eigene Forschungsergebnisse hervorge-
bracht, in Mathematik und Physik. Große Teile sind freilich verloren ge-
gangen oder nur in arabischer Übersetzung überliefert [Schönbeck 2003]. Es
seien wenigstens einige Titel genannt: Über die Zerlegung von Figuren, Po-
rismen (d. h. Sätze, mit denen man etwas finden kann), Pseudaria (über

Trugschlüsse). Die Dedomena (Gegebenheiten) untersuchen, welche Teile ei-
ner Figur und deren Beziehungen zueinander – Größe, Lage, usw. – bestimmt

194

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike
sind, wenn andere Teile nach Größe, Lage, usw. vorgegeben sind. Eine Ke-
gelschnittlehre Euklids ist verloren gegangen, da sie durch die spätere, aus-
führlichere des Apollonios verdrängt wurde. Ferner gibt bzw. gab es Schriften

Euklids zur mathematischen Physik: Optika (Perspektive), Katoptrik (Spie-
gelbilder), Sectio canonis (Musiktheorie), Phainomena (Theoretische Astro-
nomie, Sphärik).

Archimedes als Mathematiker

Mit Archimedes (287?–212) erreichte die Mathematik der Antike ihren Höhe-
punkt. Sein Gedankenreichtum auf allen Gebieten der Mathematik, in Astro-
nomie, Hydrostatik, Mechanik und Technik verlieh ihm schon in der Antike
hohes Ansehen und legendenumwobenen Ruhm, noch gesteigert durch die Er-
findung äußerst wirkungsvoller Verteidigungswaffen, mit deren Hilfe die mit

Karthago verbündete Stadt Syrakus auf Sizilien den römischen Belagerern
zwei Jahre lang Widerstand leisten konnte. Die Stadt fiel durch eine Kriegs-
list. Bei den sich üblicherweise anschließenden Plünderungen und Gewalttä-
tigkeiten kam Archimedes ums Leben. Hieran ranken sich mehrere Versionen
um seinen Tod. Die bekannteste ist jene, wonach Archimedes geometrische

Figuren in den Sand gezeichnet habe, als ein römischer Soldat hinzutrat. Ar-
chimedes soll den Soldaten angeherrscht haben „Störe meine Kreise nicht“

(Noli turbare circulos meos). Daraufhin habe der Soldat ihn erschlagen.

Um Archimedes ist ein wahrer Legendenkreis entstanden. Viele, wenn
auch möglicherweise nicht wahre, so doch gut erfundene Legenden kursier-
ten: Wie er im Bade das Archimedische Prinzip des Auftriebes entdeckt, so-
gleich die Nutzanwendung zum Prüfen eines Kranzes auf dessen Goldgehalt
begriffen habe und dann „Heureka“, „Heureka“ (Ich hab’s, ich hab’s) rufend
splitternackt vom Bad über die Straßen nach Hause gelaufen sei und dass er
andererseits, weil er so mit seiner geliebten Geometrie beschäftigt gewesen,

Kleidung und Körperpflege vernachlässigt habe, und dass er, wenn man ihn
mit List oder Gewalt doch ins Bad gebracht habe, in die seinen Körper bede-
ckenden Salben und Öle auch noch geometrische Figuren gezeichnet habe –
und was dergleichen Geschichten mehr sind.

Die gesicherten biographischen Einzelheiten fallen dagegen recht dürftig
aus. Als Sohn des Astronomen Pheidias geboren und mit König Hieron II. von

Syrakus und dessen Sohn Gelon sowohl verwandt als auch in engem Kontakt
stehend, gehörte er der Oberschicht seiner Vaterstadt an. Seine Ausbildung
hatte er bei einem längeren Aufenthalt in Alexandria erhalten und soll dort
die nach ihm benannte Wasserschraube erfunden haben. Von Syrakus aus
stand er im Briefwechsel mit vielen Gelehrten, z. B. mit dem Astronomen

Konon von Samos (gest. um 240 v. Chr.) und dem vielseitigen Eratosthenes
von Kyrene (276?–194? v. Chr.), der seit 235 Vorsteher des Museion war und
auf den eine geistreiche, ziemlich genaue Bestimmung des Erdumfanges zu-
rückgeht. Dieser fand auch das sog. „Sieb des Eratosthenes“, eine Methode,

4.5 Mathematik in der hellenistischen Periode

195

Abb. 4.5.6

Druckausgabe der „Elemente“, Anfang des Buches I, Venedig 1509

[UB Leipzig]

durch systematisches Streichen von zusammengesetzten Zahlen die Primzah-
len herauszufiltern. Bei Messungen von Ebbe und Flut an der Straße von

Messina gelang Archimedes die richtige Erklärung des in der Antike ausführ-
lich diskutierten Phänomens.

196

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Abb. 4.5.7

Tod des Archimedes (Mosaik Städt. Galerie Frankfurt), nach

[www.math_inf.uni-greifswald.de]

Die zahlreichen Abhandlungen von Archimedes weisen ihn als einen tief-
gründigen originellen Denker im Bereich der Mathematik aus und zugleich als

Begründer einer mathematischen Physik. Er gilt als Entdecker der Gesetze
für Hebel und schiefe Ebene, auch des Flaschenzuges.

In der Quadratur der Parabel gelang Archimedes die exakte Flächenbe-
rechnung eines Parabelsegmentes, indem er eine unendliche geometrische Rei-
he summierte (!). Nach Ergebnis und Methode rechnen wir diese Quadratur
zu den Vorstufen der Integralrechnung. Über Kugel und Zylinder, über Konoi-
de und Sphäroide beschäftigen sich u. a. mit der Bestimmung von Bogenlän-
gen, von Oberflächen und Volumina der Kugel und ihrer Segmente und Sek-
toren, mit Rotationsellipsoiden und Rotationshyperboloiden sowie mit den

Schwerpunkten solcher Flächen und Körper. In seiner Abhandlung Über Spi-
ralen erörtert Archimedes Flächenverhältnisse an der nach ihm benannten

Spirale.

In dieser Abhandlung hat sich Archimedes einen hintergründigen Scherz
erlaubt, indem er absichtlich falsche Aussagen den richtigen beifügte, damit
sich die Schein-Mathematiker selber bloßstellen, wenn sie behaupten, Nicht-
lösbares gelöst zu haben.

4.5 Mathematik in der hellenistischen Periode

197

Abb. 4.5.8

Flächenstücke an der Archimedischen Spirale: Ein vom Mittelpunkt
ausgehender Strahl, auf dem sich ein Punkt gleichmäßig nach außen bewegt, dreht
sich gleichmäßig um den Mittelpunkt. Der Punkt beschreibt dabei die Archimedi-
sche Spirale

„Denn wieviele Probleme der Geometrie, die zuerst der Behandlung
unzugänglich erschienen, sind schließlich doch gelöst worden! Konon
starb, bevor er genügend Zeit gefunden hatte, über die Lösung der

Probleme nachzudenken; sonst hätte er, indem er dies alles gefun-
den und noch vieles andere entdeckt hätte, die Geometrie noch mehr
gefördert; wir wissen nämlich, daß er eine ungewöhnliche Kenntnis
der Mathematik und einen überragenden Schaffensdrang besaß. Wir
wüßten jedoch nicht, daß, obwohl Konons Tod viele Jahre zurückliegt,
auch nur irgend eines dieser Probleme in Angriff genommen wäre. Ich
will aber jedes von ihnen einzeln vorbringen; es trifft sich auch, daß
zwei Lehrsätze, die falsch sind, am Schluß beigefügt sind, damit die,
die immer behaupten, sie fänden die Lösungen, aber keinen Beweis
zu Ende führen, des Geständnisses überführt werden, daß sie Unmög-
liches gefunden haben.“

[Archimedes, Über Spiralen, 1922, S. 5]

Berühmt-berüchtigt ist das Archimedes zugeschriebene Rinderproblem. Es
führt auf eine sog. Pellsche Gleichung
x 2 − 4 729 494 y 2 = 1
in der y ein Vielfaches von 9304 ist. Schon die kleinste Lösung dieser Glei-
chung ist gewaltig: Die Anzahl der Rinder ist eine Zahl, die mehr als 206 500

Ziffern besitzt! (Zum Text siehe [v. d. Waerden 1966, S. 345], [Wußing 1965,

S. 225f.], siehe auch [Archibald 1918: The Cattle Problem in Amer. Math.

Monthly 25, S. 411])

198

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Andere Schriften, u. a. Das Buch der Lemmata, Die Konstruktion des re-
gulären Siebenecks und Über halbregelmäßige Körper sind teilweise oder ganz
verloren gegangen oder nur in arabischer Übersetzung erhalten geblieben.

Bedeutsam ist Die Sandzahl (oder die Sandrechnung), in der alle ganzen

Zahlen bis A · 108 mit

108

A = 108
eine Benennung erhalten und die unbegrenzte Fortsetzbarkeit der Zahlenreihe
ausgesprochen wird. In der nur teilweise erhaltenen „Kreisrechnung“ fand

Archimedes die Abschätzung

10

10

3

< π < 3

.

71

70

Weiter stammen von ihm eine Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks und
die Dreiteilung eines beliebigen Winkels mit Hilfe einer neusis (Einschiebung;
ausführlich in [Alten et al. 2003, S. 80–83]).

Im engeren Sinne physikalischen Inhaltes sind die Abhandlungen Über das

Gleichgewicht ebener Flächen oder über den Schwerpunkt ebener Flächen,

Über schwimmende Körper , Über den Brennspiegel (verloren).

Man hat sich lange gefragt, wie es Archimedes möglich war, eine sol-
che Fülle komplizierter Probleme zu lösen. Ein erst im Jahre 1906 von dem
verdienstvollen dänischen Historiker J.L. Heiberg aufgefundenes Manuskript

„Methodenlehre“ (Methode der mechanisch herleitbaren Sätze) gibt Aus-
kunft: Archimedes hat einen Teil der Sätze durch mechanisch-physikalische

Überlegungen und Analogien gefunden und dann erst den exakten mathema-
tischen Beweis ausgearbeitet.

Archimedes schrieb:

„Ich bin (. . . ) überzeugt, daß die Methode nicht weniger nützlich ist
zum Beweis der Theoreme selbst. Denn Einiges von dem, was mir
auf ‚mechanische‘ Weise klar wurde, wurde später auf geometrische

Art bewiesen, weil die Betrachtungsweise dieser (‚mechanischen‘) Art
der (strengen) Beweiskraft entbehrt. Denn es ist leichter, den Beweis
zustande zu bringen, wenn man schon vorgreifend durch die ‚mecha-
nische‘ Weise einen Begriff von der Sache gewonnen hat, als ohne
derartige Vorkenntnis.

Deshalb wird man einen nicht geringen Verdienstanteil an der Entde-
ckung jener Theoreme, für die Eudoxos zuerst den Beweis fand – über

Kegel und Pyramide, daß der Kegel der 3. Teil des Zylinders und die

Pyramide der 3. Teil des Prismas mit derselben Basis und Höhe ist –,
dem Demokritos zubilligen müssen, der die Sätze über diese Figuren
aussprach, wenn auch ohne Beweis.“

(Zitiert bei [Becker 1954, S. 56])

In der „Methodenlehre“ findet Archimedes auf Grund mechanischer Überle-
gungen den Flächeninhalt eines Parabelsegmentes, indem er es als mit Masse

4.5 Mathematik in der hellenistischen Periode

199

Abb. 4.5.9

Manuskript aus dem Archimedes-Palimpsest

[Auktionskatalog der Fa. Christies, New York 1998]

200

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Abb. 4.5.10

Figur zur Parabelquadratur des Archimedes
behaftet gedanklich am Waagebalken aufhängt und auswiegt. Der strenge

Beweis ist in der „Quadratur der Parabel“ enthalten. Dazu benötigt er die

Summation einer unendlichen geometrischen Reihe. Der Konvergenzbeweis
ist korrekt; die Grenzwertbestimmung erfolgt mit Partialsummen und zwei-
maliger Anwendung der reductio ad absurdum (Beweis durch Widerspruch).

Dem Parabelsegment über AC wird das Dreieck ABC einbeschrieben,

H halbiert AC. Dann werden die Dreiecke ABD und BEC einbeschrieben
und so fort – das Segment wird „ausgeschöpft“. Gezeigt wird so, dass der

Inhalt p des Parabelsegmentes um ein Drittel größer ist als der Inhalt d des

Dreiecks ABC, das mit ihm gleiche Grundlinie und „Höhe“ hat, indem sowohl
die Annahme p > 43 d als auch die Annahme p < 43 d auf einen Widerspruch
geführt werden (vgl. Videofilm „Vom Zählstein zum Computer-Altertum“

1998, ISBN 3-88120-236-6).

Es handelt sich um ein Ergebnis voller Herausforderungen an die Zukunft:

Wiederum ist eine krummlinig begrenzte Fläche als quadrierbar nachgewie-
sen. Welche Flächen sind es noch? So kam es, dass Archimedes einer der

Vorläufer der späteren Integralrechnung werden sollte.

Archimedes ist uns auch Zeuge, dass während der Antike sogar die Vor-
stellung eines heliozentrischen Sonnensystems diskutiert worden ist; freilich
konnte sie sich nicht durchsetzen. Hauptvertreter der heliozentrischen Auf-
fassung war Aristarch von Samos (ca. 310–230 v. Chr.). Archimedes schrieb
in der Sandzahl :

„Du weißt, daß die meisten Astronomen die Welt als eine Kugel be-
zeichnen, deren Mittelpunkt im Zentrum der Erde liegt und deren

Radius der Größe des Sonnenabstandes entspricht. Aristarch von Sa-
mos dagegen hat in seinen Schriften die Lehre aufgestellt, daß das

Weltall viel größer ist als eben behauptet wurde. Er geht von der An-

4.5 Mathematik in der hellenistischen Periode

201

Abb. 4.5.11

Figur zu Aristarchs Berechnung der Abstände zu Sonne und Mond

[Heath 1913], [v. d. Waerden 1966, S. 337f.]

nahme aus, daß die Fixsterne und die Sonne unbeweglich bleiben, die

Erde sich aber auf einer Kreisbahn um die Sonne bewegt, die sich im

Mittelpunkt befindet. Die Fixsternsphäre, die denselben Mittelpunkt
umwölbt, ist so groß, daß die Erdbahn zur Fixsternsphäre dasselbe

Verhältnis hat wie der Mittelpunkt einer Kugel zu deren Oberfläche.“

(Zitiert bei [Stückelberger 1988, S. 200])

Die Meinung von Aristarch entstammte keineswegs bloßer Spekulation. Viel-
mehr hat er einen geistvollen Versuch unternommen, die Entfernung der Erde
zu Sonne und Mond zu bestimmen: Bei Halbmond bildet die Konstellation

Sonne-Mond-Erde ein rechtwinkliges Dreieck. Doch fielen Aristarchs Mess-
werte wesentlich zu klein aus, da er noch nicht über hinreichend zuverlässige

Instrumente verfügte. Aristarch hat den Winkel Mond-Erde-Sonne zu 87 ◦
bestimmt. In Wirklichkeit beträgt er 89 ◦ 50 . Zur Berechnung benutzt Ari-
starch Ungleichungen, die auf Hypothesen wie „Die Entfernung Erde–Sonne
ist größer als 18-mal, aber kleiner als 20-mal die Entfernung Erde–Mond“ be-
ruhen und – in moderner Formulierung – auf trigonometrische Verhältnisse
hinauslaufen (siehe dazu [Heath, 1913], [v. d. Waerden 1966, S. 337f.]).

Aristarch wurde der Ungläubigkeit und Gottlosigkeit beschuldigt. Noch

Plutarch warnte vor den gottlosen Ansichten von Aristarch. Dennoch sind die

Vorstellungen von Aristarch nicht völlig in Vergessenheit geraten. Copernicus,
der definitive Begründer der heliozentrischen Astronomie hat von Aristarch
gewusst und sich auf ihn bezogen.

Apollonios von Perge: Lehre von den Kegelschnitten

Nur wenig jünger als Archimedes war Apollonios von Perge (ca. 262–ca. 190).

Er hat ebenfalls in Alexandria studiert und sich lange in Pergamon, der

Hauptstadt eines anderen Diadochenstaates, aufgehalten. Als Mathematiker

202

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Abb. 4.5.12
a) Archimedes und seine Wasserschraube, b) Archimedes und das

Gesetz vom Auftrieb, c) Aristarchs Überlegungen zum heliozentrischen System (Ita-
lien 1983, Griechenland 1983, 1980)

und Astronom gehört er zu den bedeutendsten Gelehrten der Antike, hat je-
doch Archimedes an Tiefe und Originalität des Denkens nicht ganz erreicht.

Übrigens: Beim Handelskrieg zwischen Alexandria und Pergamon war der Ex-
port von ägyptischem Papyrus verboten; daraufhin erfand man in Pergamon
ein neues Schreibmaterial, das aus Tierhäuten hergestellte Pergament.

Von Apollonios stammt u. a. eine achtbändige Kegelschnittlehre, die den

Titel „Konika“ (von griech. konos, Pinienzapfen, Kegel) trug. Die ersten vier

Bücher sind in griechischer Sprache erhalten, die nächsten drei in arabischer

Sprache überliefert, Buch VIII ist verschollen, eine Rekonstruktion wurde
versucht.

Kegelschnitte waren schon vor Apollonios untersucht worden. So hatte

Menaichmos (um 350 v. Chr.) Hyperbeln und Parabeln zur Lösung des De-
lischen Problems verwendet und Aristaios (um 330 v. Chr.) hatte Kegel-
schnitte als Schnittfiguren von Kegeln mit Ebenen studiert: Daher der Name

Kegelschnitte. Aber erst Apollonios schuf eine einheitliche Herleitung aller

Kegelschnitte – Ellipse, Parabel, Hyperbel – durch ebene Schnitte an ein und
demselben Kegel [Apollonios: Konika 1926], [Scriba/Schreiber, 2. Aufl. 2005].

Die Apollonische Kegelschnittlehre, die ein erstaunliches Niveau besitzt,
musste ohne Koordinatengeometrie und ohne Formelschreibweise auskom-
men und ist daher, gemessen an unseren Gewohnheiten, verhältnismäßig um-
ständlich und schwer verständlich. Umso höher ist natürlich der Scharfsinn
von Apollonios einzuschätzen, der in den Büchern VI bis VIII hauptsächlich
eigene Forschungsergebnisse dargestellt hat.

Nach heutiger Terminologie behandelt Apollonios die folgenden Themen-
kreise:

4.5 Mathematik in der hellenistischen Periode

203

Buch I:

Erzeugung der Kegelschnitte durch Schnitte eines Kreiskegels,

Mittelpunkt, Durchmesser und konjugierte Durchmesser der Ke-
gelschnitte

Buch II:

Achsen und Asymptoten der Hyperbel

Buch III:

Brennpunkte, Theorie von Pol und Polare, projektive Erzeugung
der Kegelschnitte

Buch IV:

Anzahl der Schnittpunkte zweier Kegelschnitte (Beweis, dass es
höchstens vier Schnittpunkte gibt)

Buch V:

Normalen und Subnormalen, Krümmungsmittelpunkte

Buch VI:

Ähnliche Kegelschnitte

Buch VII:

Spezielle Eigenschaften der konjugierten Durchmesser

Buch VIII: (Rekonstruktion) Determination von speziellen Konstruktions-
aufgaben.

Apollonios hat noch auf einem anderen Gebiet eine weit nachwirkende Leis-
tung vollbracht, dem der theoretischen Astronomie. Gemäß der Doktrin von

Platon mussten sich die Bewegungen der Planeten auf Kreisen vollziehen.

Durch eine höchst scharfsinnige Kombination von exzentrischen Kreisen und

Epizyklen gelang es Apollonios, die komplizierten Planetenbewegungen ge-
mäß der Forderung von Platon zu beschreiben.

Ptolemaios als Mathematiker

Die hellenistische Astronomie beruhte auf dem Dogma von ausschließlich
kreisförmigen Bewegungen am Himmel. Ihre endgültige, trotz falscher Grund-
voraussetzung dennoch glanzvolle Durchbildung erhielt sie durch Klaudios

Abb. 4.5.13

Epizyklische Bewegung von Planeten. Der Planet P bewegt sich auf
einem Kreis, dessen Mittelpunkt M sich seinerseits auf einem Kreis um die Erde E
bewegt

204

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Ptolemaios (geb. nach 83, gest. nach 161 n. Chr.), der ein gewaltiges em-
pirisches Material geistig verarbeitet hat, zusammengefügt unter dem Ti-
tel Almagest (eine arabische Version des griechischen Titels, der „Die große

Zusammenfassung“ bedeutet). Innerhalb der damaligen Beobachtungsgenau-
igkeit deckte sich die mathematische Theorie mit dem Ablauf der Plane-
tenbewegungen. Dies auch macht verständlich, warum das ptolemäische, das
geozentrische System eineinhalb Jahrtausende lang unangefochtene Anerken-
nung, ja Bewunderung erfuhr, nicht nur aus ideologischen Gründen.

Der „Almagest“ enthielt außerdem eine recht gut durchgebildete ebene
und sphärische Trigonometrie; sie beruht auf Vorarbeiten von Menelaos von

Alexandria (um 100 n. Chr.). Doch ist die hellenistische Trigonometrie auf

Sehnenrechnung aufgebaut; erst die indischen Astronomen führten sie in eine

Sinustrigonometrie über.

Abb. 4.5.14

Ptolemaios. Aus einem Satz von 8 Zusammendrucken aus Anlass
des 500. Geburtstages von Copernicus (Burundi 1973)

4.5 Mathematik in der hellenistischen Periode

205

In anderen Werken benutzte Ptolemaios die stereographische Projektion
der Kugel auf die Ebene, versuchte das Euklidische Parallelenpostulat zu be-
weisen, beschäftigte sich mit Optik, Mechanik und Harmonielehre. Darüber
hinaus ist er berühmt geworden als Geograph, der die gesamte den Grie-
chen damals bekannte Welt beschrieb sowie als Verfasser eines immer wieder
benutzten astrologischen Werkes.

Schon ans Ende der hellenistischen Periode gehören zwei Mathematiker,
deren Leistungen bis zu einem gewissen Grade atypisch für die griechisch-
hellenistische sind: Heron von Alexandria (um 60 n. Chr.) und Diophantos
von Alexandria (vermutlich um 250 n. Chr.)

Heron von Alexandria

Man kann das von Heron hinterlassene Werk als eine Art Gegenstück zu den

„Elementen“ von Euklid betrachten. Euklid, Platon gedanklich nahe stehend,
hatte dort fast völlig auf die Darlegung praktischer Mathematik verzichtet.

Heron dagegen vertrat eine Mathematik, die der Befriedigung praktischer Be-
dürfnisse diente. Dies ist auch insofern bemerkenswert, als die in der damali-
gen Gesellschaft verachtete körperliche Tätigkeit im allgemeinen nicht Gegen-
stand schriftlicher Aufzeichnungen wurde. Heron gehört zu den Ausnahmen
wie etwa auch die zehn Bücher über Architektur von Vitruv (1. Jh. v. Chr.).

Herons Beruf würden wir heute etwa als den eines Ingenieurs bezeichnen.

Er hat viele Schriften verfasst. Zumindest erschienen unter seinem Namen

Werke wie Dioptrica (Vermessungskunde), Belopoiika (Geschützkunde), Me-
chanica (Mechanik, d. h. Beschreibung und mathematische Theorie der ein-
fachen Maschinen Hebel, schiefe Ebene, Keil, Winde, Flaschenzug), Schriften

Abb. 4.5.15

Rekonstruktion der Dioptra des Heron (li.: Zeichung [Teubner, Leip-
zig 1903], [Wikimedia Commons]; re.: Modell im Technischen Museum Thessaloniki, nach

[Antike Griechische Technologie, Ausgabe zur Expo 2000, S. 40])

206

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Abb. 4.5.16

„Vogelgezwitscher“ [Wußing 1965, S. 174]

über Wasseruhren, Gewölbe, Automaten sowie die berühmten Pneumatica

(Druckwerke), in denen allerhand sinnreich konstruierte, wenn auch für die

Wirtschaft belanglose Apparate beschrieben werden, die durch Dampfdruck
oder Luftdruckunterschiede in Bewegung gesetzt werden: Trompeten schmet-
tern, Tempeltüren öffnen sich, Vögel zwitschern.

Von den eigentlich mathematisch orientierten Schriften seien die Metri-
ca (drei Bücher über Vermessungslehre), Geometrica (Flächenberechnungen)

und Stereometrica (Volumenberechnungen) erwähnt.

Herons Schriften haben durch ihren Gegenstand und durch ihre praxisna-
he Darstellung weite Verbreitung gefunden. Bei dauernder Benutzung immer
wieder ergänzt, verändert und neu redigiert bleibt unklar, welche Texttei-
le von Heron selbst stammen. Herons Schriften wurden in der Folgezeit zum

Standardwerk der praktischen Mathematik. So beruhen auf Heronischen Vor-
bildern etwa die Feldmeßmethoden der römischen Agrimensoren, die im Tross
der römischen Heere mitzogen und eine Weltkarte des römischen Weltreiches
mit überraschend genauen Entfernungsangaben anfertigten (ausführlich in

[Scriba/Schreiber, 2. Aufl. 2005, S. 86–92]).

Einige der mathematischen Schriften Herons sind durchaus mathematisch
streng aufgebaut nach dem Schema Definitionen, Voraussetzungen, Sätze und

Beweise. Einige Ergebnisse gehen über Euklid hinaus, beispielsweise die He-
ronische bzw. Archimedische Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks

F =
s( s − a)( s − b)( s − c) ,

4.5 Mathematik in der hellenistischen Periode

207
wo s die halbe Summe der Dreiecksseiten a, b, c bedeutet. Bei Heron tritt am

Beispiel der Kaliberberechnung eines Geschützes die rechnerische Behandlung
von dritten Wurzeln auf.

Heron berechnet den Durchmesser x der Öffnung einer Steinschleuder,
durch welche der kugelförmige Stein vom Gewicht a das Geschütz verlässt,
nach der Formel (modern gesprochen)

√

1 √
x = 3 100 a +

3 100 a .

10

Sehr ausführlich werden auch neue Methoden zur genäherten Berechnung
von Wurzeln entwickelt. Auch bei Heron findet sich die Näherungsformel

√

√
zum Quadratwurzelziehen
b =
a 2 ± r ≈ a ± r

2 a , wo a 2 das nächst an b
liegende Quadrat bedeutet (vgl. dazu [Alten et al. 2003, S. 41]).

Heron zeichnet sich auch aus durch eine klare Einsicht in den Prozess der

Entstehung mathematischen Denkens durch Abstraktion.

„Wo die Grundlagen der Philosophie herstammen, läßt sich durch
die Philosophie zeigen. Damit wir nicht gegen die Regeln verstoßen,
ist es schicklich, die Definition der Geometrie anzugeben. Die Geo-
metrie ist also die Wissenschaft von Figuren und Größen und ihren

Veränderungen, und ihr Zweck, hiervon zu handeln; die Methode aber
ihrer Darstellung ist synthetisch; sie fängt nämlich mit dem Punkte
an, der ohne Ausdehnung ist, und erreicht über Linie und Fläche
den Körper. Ihr Nutzen dient geradezu der Philosophie; das ist ja
auch die Meinung des göttlichen Platon, wo er sagt: ob diese Lehren
schwer oder leicht sind, durch sie geht der Weg (. . . ) Die Geometrie
hat ihre Darstellung durch Abstraktion aufgebaut; sie nimmt nämlich
den physischen Körper, der drei Dimensionen hat und Stofflichkeit,
und durch Entfernung seiner Stofflichkeit hat sie den mathematischen

Körper gebildet, der solide ist, und durch Abstraktion hat sie dann
den Punkt erreicht, (. . . ) Wie der alte Bericht uns lehrt, haben die
meisten Menschen sich mit Vermessung und Verteilung von Land ab-
gegeben, woraus der Name Geometrie (Landmessung) entstanden ist.

Die Erfindung aber der Vermessung ist von den Ägyptern gemacht;
denn wegen des Steigens des Nils wurden viele Grundstücke, die deut-
lich zu erkennen, unkenntlich durch das Steigen, viele auch noch nach
dem Fallen, und es war dem einzelnen nicht mehr möglich, sein Ei-
gentum zu unterscheiden; daher haben die Ägypter diese Vermessung
erfunden, bald mit dem sog. Messband, bald mit der Rute, bald auch
mit anderen Maßen. Da nun die Vermessung notwendig war, verbrei-
tete sich der Gebrauch zu allen lernbegierigen Menschen.“

(Deutsch zitiert bei [Wußing 1989, S. 75])

208

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Diophant von Alexandria

Auch bei Diophant ist die Lebenszeit nicht genau feststellbar. Man nimmt
heute an, dass er um 250 n. Chr. gelebt hat, da er sich in einer seiner Schrif-
ten möglicherweise an den sehr verehrten Dionysios wendet, der 247 n. Chr.

Bischof von Alexandria wurde.

Diophant hat wenigstens zwei mathematische Abhandlungen verfasst; die
wichtigste ist eine aus wahrscheinlich 13 Büchern (Teilen) bestehende Arith-
metica. Von den 13 Büchern sind sechs (I, II, III und vermutlich VIII, IX, X)

griechisch überliefert. In jüngster Zeit sind weitere Teile in arabischer Sprache
entdeckt worden; sie werden als Bücher IV bis VII eingeordnet. Die restlichen
drei Bücher wurden bisher nicht aufgefunden. Die Nummerierung der Bücher
stammt nicht von Diophant. Bevor man die Teile in arabischer Sprache fand,
wurden die griechischen Texte mit I, II, III und XI, XII, XIII nummeriert,
die anderen mit IV bis IX [Rashed 1994], [Sesiano 1982].

Es handelt sich um eine vom Einfachen zum Schwierigen fortschreitende

Sammlung algebraischer Aufgaben. Die Lösungen – zugelassen sind (nur)

positive rationale Zahlen – werden an Beispielen angegeben, ohne allerdings
eine allgemeine Theorie darzubieten.

Lediglich im ersten Buch erläutert Diophant ein wenig Sinn und Methode:

„Da ich weiß, mein sehr verehrter Dionysios, daß Du voller Eifer
bist, die Lösung arithmetischer Probleme kennenzulernen, so habe ich
versucht, Dir die Wissenschaft der Arithmetik, mit den Elementen
beginnend, zu erklären. Vielleicht erscheint der Stoff etwas schwierig,
da er Dir noch nicht vertraut ist und da es dem Anfänger manchmal
an Selbstvertrauen fehlt.“

[Diophant 1890, S. 5]

Später beschreibt Diophant, wie man Gleichungen löst:

„Wenn nun bei irgend einer Aufgabe dieselben allgemeinen Ausdrücke
auf beiden Seiten der Gleichung, aber mit ungleichen Koeffizienten
stehen, so muß man Gleiches von Gleichem subtrahieren, bis zuletzt
ein eingliedriger Ausdruck einem andern gleichgesetzt ist. Sollten ir-
gend welche allgemeinen Ausdrücke auf einer Seite oder auf beiden

Seiten als abzuziehende Zahlen stehen, so muß man dieselben auf bei-
den Seiten addieren, so daß auf jeder Seite nur hinzuzufügende Zahlen
sich befinden. Darauf hat man wieder Gleiches von Gleichem zu sub-
trahieren, bis auf jeder Seite nur ein Ausdruck übrig ist. In dieser

Weise wird so lange mit dem Ansatze der Aufgaben verfahren, bis
womöglich auf jeder Seite nur ein Glied sich befindet. Später werde
ich (. . . ) auch noch zeigen, wie die Aufgabe gelöst wird, wenn zuletzt
ein zweigliedriger Ausdruck einem eingliedrigen gleich ist.“

[Diophant 1890, S. 7f.]

4.6 Mathematik bei den Römern

209

Diophant verwendete feststehende Abkürzungen für die Variable und deren

Potenzen von x 6 bis x− 6, für die Gleichheit und für die Subtraktion. In rech-
nerischer Form wurden an Beispielen behandelt: alle Typen quadratischer

Gleichungen, unbestimmte Gleichungen (d. h. unterbestimmte Gleichungen
in mehreren Variablen (oder Systeme solcher Gleichungen) mit der Forderung
nach Lösungen in rationalen bzw. ganzen oder natürlichen Zahlen – später
diophantische Gleichungen genannt), kubische und biquadratische Gleichun-
gen. So führt die im Beispiel 24 aus Buch VIII behandelte Aufgabe: Ei-
ne gegebene Zahl ist als Summe zweier Zahlen darzustellen. Dabei soll das

Produkt der Summanden einem um seine Wurzel verminderten Kubus gleich
sein (in moderner Sprache) auf das Problem: Bestimme x, y ∈ Q+, sodass
y 3 −y = ax−x 2 (vgl. [Alten et al. 2003, S. 100f.]). Der algebraische Charakter
der „Arithmetica“ schließt auch hervorragende Umformungstechniken ein, so
zum Beispiel die Substitution von Hilfsvariablen.

Die reichen mathematischen Traditionen der alexandrinischen Schule
wirkten sogar noch fort in die Zeit des Verfalls und des schließlichen Un-
terganges des Römischen Weltreiches. Die Diskussion um Diophant hält an;
insbesondere zur Frage, ob es bei ihm Hinweise auf negative Zahlen gegeben
hat [Barner 2007].

Es verdient hervorgehoben zu werden, dass aus dem Werk von Diophant
noch im 16. und 17. Jahrhundert wesentliche Impulse an die Begründung der
modernen Algebra ergangen sind (ausführlich in [Alten et al. 2003], [Basch-
makova 1972], [Reich 2003]).

Pappos von Alexandria

Der letzte herausragende Mathematiker der Antike, Pappos von Alexandria

(um 320 n. Chr.), hat sich auch als Geograph und Astronom ausgezeich-
net. Von ihm stammen Kommentare zum „Almagest“ und zum Buch X der

„Elemente“. Das Hauptwerk von Pappos stellt das groß angelegte, allerdings
leider teilweise verlorene Werk Collectio (Sammlung) dar, in dem sehr viele
mathematische Werke referierend behandelt werden, deren Originale verloren
gegangen sind. Darüber hinaus enthält die Collectio auch eigene Forschungs-
ergebnisse, etwa den „Satz des Pappos“, der heute der projektiven Geome-
trie zugerechnet wird. In der Collectio finden sich auch die später nach dem

Schweizer Jesuiten und Mathematiker P. Guldin (1577–1643) benannten Re-
geln über die Schwerpunkte von Rotationskörpern.

4.6 Mathematik bei den Römern

Die Sprache der Wissenschaft blieb auch dann im römischen Reich griechisch,
als die Hellenen und andere Völker von den Römern besiegt und unterwor-
fen worden waren. Die bekannteste Hinterlassenschaft der Römer auf dem

Gebiet der Mathematik sind die römischen Zahlen; besser gesagt, die bereits
erwähnten römischen Zahlzeichen.

210

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Abb. 4.6.1

Pantheon, Kuppel mit Opaion [Foto Wesemüller-Kock]

Wenn auch die Römer – vielleicht auch wegen ihres Zahlensystems – keine
besonderen Leistungen in der Mathematik hervorbrachten, so waren sie auf
anderen Gebieten führend. Im Militärwesen, im Rechtswesen, in der Kunst
und Literatur sowie in der Architektur zum Beispiel haben sie Außerordent-
liches geleistet. In der Architektur sind uns Begriffe wie Viertel einer Stadt –
auch wenn es mehr als vier davon gibt – aus der römischen Zeit geläufig. Sie
entspringen der klaren Gliederung in quadratische und rechtwinklige Stadt-
teile. Des Weiteren sind uns Theater und Aquädukte – die römischen Was-
serleitungen – als noch existierende Bauwerke ein Begriff. Eines der heraus-
ragenden Bauwerke ist das Pantheon in Rom. Es wurde als Heiligtum aller

Götter errichtet und ist in der Zeit zwischen etwa 114 bis 125 n. Chr. ent-
standen. Inschriften wurden unter Kaiser Hadrian angebracht. Eine Kuppel
mit 43 Metern Durchmesser überspannt den großen runden Innenraum. Die

Kuppel wurde aus Leichtbetonelementen errichtet, die in die dafür jeweils
passenden Formen gegossen wurden. Das Opaion, ein Loch von neun Metern

Durchmesser in der Mitte der Kuppel, ist Lüftung und einzige Lichtquelle
zugleich. Durch diese Öffnung war der Kontakt zum Himmel – und damit
zu den Göttern – hergestellt. Diese Kuppelkonstruktion bedurfte der sorgfäl-
tigen Planung und Berechnung; eine vergleichbare Konstruktion hat es weit
über 1000 Jahre danach nicht mehr gegeben – und das Pantheon steht noch
heute, fast 1900 Jahre nach seiner Errichtung.

4.7 Die Mathematik am Ausgang der Antike

211

4.7 Die Mathematik am Ausgang der Antike

Um sich greifende Stagnation, Zersetzung der gesellschaftlichen Struktur im

Römischen Weltreich und militärische Angriffe von außen konnten nur vor-
übergehend durch Reformen aufgehalten werden. Der allgemeine Niedergang
berührte und beeinflusste auch die Wissenschaften, auch die Mathematik. Ne-
ben einer Neubelebung der mystischen Ansichten der pythagoreischen Schule
und dem Aufkommen des Neoplatonismus erkennt man eine durchgehende

Tendenz: Wissen ging zwar erst gegen Ende der Periode verloren, aber es fiel
den Wissenschaftlern sichtlich immer schwerer, den Spitzenleistungen frü-
herer Perioden inhaltlich zu folgen. Folgerichtig entstanden enzyklopädische

Darstellungen, versehen mit ausführlichen Kommentaren – zu Euklid, Archi-
medes, Apollonios. Sie hatten die Aufgabe, Definitionen zu erläutern, knappe

Beweise ausführlich darzustellen, den gegenseitigen Zusammenhang der Sät-
ze zu verdeutlichen. Einige solcher Kommentare stellen ernstzunehmende,
teilweise hervorragende Leistungen dar, die sogar neu gefundene Ergebnisse
enthalten. Überdies wurden auf diese Weise durch Kommentierung Schrif-
ten inhaltlich überliefert, deren Inhalt sonst verschollen wäre. Trotz widriger

Umstände konnte sich die wissenschaftliche Tradition noch einige Zeit be-
haupten.

An der Platonischen Akademie in Athen schrieb Domninos von Larissa

(um 450) eine Arithmetik. Unter Proklos Diadochos (410–485) gelangte die

Akademie sogar noch einmal zu einiger Bedeutung. Ein umfangreicher Kom-
mentar zu Buch I von Euklids „Elementen“ enthält den in Teilen auf Eu-
demos (um 300 v. Chr.) zurückgehenden berühmten „Geometerkatalog“, eine
historische Bestandsaufnahme griechisch-hellenistischer Mathematiker, unter

Betonung der dem Platonismus nahe stehenden Mathematiker. Inzwischen
aber war das Christentum nach dem Mailänder Edikt von 313 als Religion
neben anderen geduldet und unter Kaiser Theodosius d. Gr. im Jahre 380
zur Staatsreligion im Römischen Weltreich geworden. Damit geriet die Pfle-
ge „heidnischer“ Ideen immer mehr in Widerspruch zum Totalitätsanspruch
der christlichen Lehre. 529 wurde die Akademie auf Befehl des christlichen

Kaisers Justinian als „Stätte heidnischer und verderbter Lehren“ gewaltsam
geschlossen. Schon vorher war die heidnische alexandrinische Schule unter-
gegangen; daneben existierte seit dem 2. Jahrhundert auch eine christliche

Katechetenschule, an der u. a. die Kirchenlehrer Clemens (bis 203) und Ori-
genes (203–231) sowie der Mathematiker Proklos Diadochos wirkten.

Nach Pappos waren an der eigentlichen alexandrinischen Schule noch zwei

Mathematiker hervorgetreten: Theon von Alexandria (um 370) und seine

Tochter Hypatia (geb. um 370–415). Sie schrieben Kommentare zum Alma-
gest und zu Euklid bzw. zu Apollonios und Diophant. Leider sind ihre Schrif-
ten verschollen, allenfalls zum Teil in arabischer Übersetzung erhalten; doch
das ist sehr umstritten. Hypatia, die erste namentlich bekannte Mathematike-
rin, wurde Opfer eines Mordanschlages christlicher Fanatiker. Mit ihr erlosch
die alexandrinische mathematische Schule.

212

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Abb. 4.7.1

Kaiser Justinian (Mosaik in San Vitali in Ravenna) [Foto Alten]

4.8 Nachwirkungen in byzantinischer Zeit

Die griechisch-hellenistische Kultur hielt sich noch einige Zeit im byzanti-
nischen bzw. oströmischen Reich. Freilich sind durch die politischen Ereig-
nisse – Bildersturm (726–843), Eroberung Konstantinopels durch die Kreuz-
ritter 1204, Erstürmung und Plünderung Konstantinopels durch die Türken

1453 – nur relativ wenige Dokumente erhalten geblieben; das betrifft auch die

Mathematik. Andererseits sind einige wenige Bestandteile der antiken Kultur
und der Mathematik sogar bis nach Armenien und Grusinien gelangt.

In einer ersten Phase der byzantinischen Zeit wurde die Mathematik in

Athen und Alexandria betrieben; diese Städte gehörten zum oströmischen

Reich. Proklos Diadochos (410–485), der berühmte und herausragende Kom-
mentator griechischer Klassiker, stammte aus Byzanz und leitete die athe-
nische Akademie bis zu seinem Tode. Sein Schüler Ammonios (ca. 445 bis
ca. 515) war einige Zeit Leiter der christlichen alexandrinischen Schule, die
bis zur Eroberung Alexandrias durch die Araber, 641/42, bestand. Simplikos

(gest. 549) war Schüler von Ammonios, wirkte in Athen an der Akademie
und ging nach deren Schließung im Jahre 529 einige Zeit nach Persien. Er
schrieb Kommentare zu Aristoteles und Euklid; durch seinen Bericht sind

4.8 Nachwirkungen in byzantinischer Zeit

213

Abb. 4.8.1

Kuppel der Hagia Sophia [Foto Alten]

die Möndchen des Hippokrates überliefert worden. Ein anderer Schüler von

Ammonios war Eutokios von Askalon (Palästina, geb. ca. 480), er schrieb

Kommentare zu Werken von Archimedes und Apollonios sowie Studien zur

Würfelverdopplung. Er war in Alexandria, als Ammonios dort wirkte und
ging dann nach Byzanz.

Noch heute ist die Hagia Sophia (Heilige Weisheit; 532–537) in Konstan-
tinopel – ursprünglich eine christliche Kirche, dann eine Moschee, heute ein

Museum – ein Zeugnis höchster Baukunst und Kultur.

Einer der Baumeister, Anthemios von Tralleis (gest. 534), war zugleich
ein hervorragender Mathematiker. Er kannte sich aus mit Kegelschnitten
und schrieb über Brennspiegel. Die Fadenkonstruktion der Ellipse dürfte auf
ihn zurückgehen. Auch ein Mitarbeiter von Anthemios, Isidor von Miletos

(um 520), war Mathematiker und könnte im Zusammenhang mit dem sog.

Buch XV der „Elemente“ gestanden haben.

Nach einigen Jahrhunderten, als sich Mathematik nur sehr geringer Auf-
merksamkeit erfreut hatte, setzte unter dem Einfluss des Islam im 9. Jahr-
hundert ein erneuter Aufschwung der Mathematik ein.

Der Philosoph und Mathematiker Leon (geb. um 800, gest. um 869) lebte
in Byzanz. Als sein Ruhm als herausragender Gelehrter bis zum Kalifen von

Bagdad gedrungen war, wurde er durch den byzantinischen Kaiser als Leiter
einer Art Universität in Konstantinopel berufen. Neben einigen eigenen Bei-
trägen zur Mathematik (u. a. Euklid-Kommentare) ließ Leon systematisch

214

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike

Abb. 4.8.2

Ausschnitt aus einem byzantinischen Manuskript aus dem Jahre

1436. Es handelt sich um eine Beschreibung der Lösungen quadratischer Gleichun-
gen der Typen ax = bx 2, ax 2 = b, ax 2 + bx = c. (Cod. phil. gr. 65, kap. 138, fol. 76) Im Text heißt es für den Gleichungstyp ax 2 + bx = c: „Wenn die tzénsa und die
prágmatica gleich sind dem arithmós. . . “ [Foto Deschauer]

die Werke der klassischen Mathematik – Euklid, Archimedes, Apollonios,

Diophant, Ptolemaios – sammeln und kopieren. „Auf diesen Handschriften
beruht fast die ganze Überlieferung in griechischer Sprache.“ [Gericke 1990,

S. 56].

Im 11. Jahrhundert wirkte Michael Psellos (1018 bis nach 1078), der im-
merhin ein Werk über das Quadrivium geschrieben hat, sich aber doch als
ein relativ schwacher Mathematiker erwies: Bei der Berechnung des Flächen-
inhaltes eines Kreises verwendete er für π den Wert 2,828!

Ein Mönch namens Maximos Planudes (etwa 1260 bis etwa 1310) war

1297 Gesandter in Venedig und schrieb Kommentare zu Diophant. In einer
anderen seiner Schriften erläuterte er die aus Indien stammenden Ziffern so-
wie ein Zeichen für das Nichts. Doch insgesamt gesehen verbreitete sich das

Positionssystem im byzantinischen Bereich nur sehr langsam.

Manuel Moschopulos (um 1300) war Schüler und Freund von Planudes.

Möglicherweise durch Vertreter der islamischen Mathematik angeregt schrieb
er über magische Quadrate. Er gab Konstruktionsregeln für solche Quadrate
mit den Seitenlängen n = 2 m + 1 und n = 4 m. Wir wissen nicht, ob er
die angekündigten Regeln für n = 4 m + 2 wirklich gefunden hat. (Näheres
zur byzantinischen Mathematik findet man bei [Juschkewitsch 1964, S. 329–

3359], [Hofmann 1963, S. 56–58] und [Gericke 1990, S. 54–56].)

Wegen der drohenden Türkengefahr verließen zahlreiche byzantinische

Gelehrte ihre Heimat noch vor dem Fall von Konstantinopel 1453. Sie brach-
ten auch erhebliche Teile der klassischen antiken Mathematik nach Europa,
insbesondere nach Italien, und dies in einer Zeit, in der durch die gesellschaft-
liche Entwicklung eine große Aufnahmebereitschaft für diese kulturellen Er-
rungenschaften herrschte. So gelangten etwa Teile der Schriften Diophants
nach Italien, der dort bis dahin unbekannt gewesen war.

4.8 Nachwirkungen in byzantinischer Zeit

215

Die wissenschaftlichen Erben der antiken Mathematik

Die antike Mathematik ist nicht spurlos untergegangen, sondern erlangte im

Gegenteil auf unterschiedlichen historischen Wegen eine bis in die Neuzeit
reichende Wirkung.

Geringfügige mathematische Kenntnisse wurden über den Neoplatonis-
mus zum Bestandteil christlicher Bildung und gingen in das Quadrivium ein,
den zweiten Lehrabschnitt an mittelalterlichen Universitäten.

Einiges über das Elementare Hinausgehende wurde von den oströmischen,
byzantinischen Gelehrten bewahrt. Als schließlich, nach der Eroberung Kon-
stantinopels 1453 durch türkische Völker, byzantinische Gelehrte auch ma-
thematische Werke der Antike im Urtext nach Italien brachten, fanden diese
enthusiastische Aufnahme, da dort die enorme wirtschaftliche Entwicklung
eine hohe Aufnahmebereitschaft für mathematische und naturwissenschaftli-
che Kenntnisse geschaffen hatte.

Das Hauptverdienst bei der Bewahrung der antiken mathematischen

Kenntnisse kommt jedoch den Gelehrten des Islam zu. Diesem Umweg ver-
danken wir es vor allem, dass eine Vielzahl von mathematischen Ergebnissen
der Antike vor dem Verlust gerettet werden konnte.

Inhalte und Ergebnisse der griechischen Mathematik
um 585 v. Chr.

Thales

Durchmesser halbiert den Kreis; Dreieck
im Halbkreis ist rechtwinklig
um 550

Pythagoras

„Satz des Pythagoras“?

Regelm. Fünfeck im Kreis

Pythagoreer

Zahlenlehre: gerade und ungerade

Zahlen, Theorie der Zahlenverhältnisse
als Grundlage der Harmonielehre,
vollkommene Zahlen
um 500

Eleaten

Anfänge der Logik
um 450

Hippasos

Dodekaeder;

Entdeckung des Irrationalen
um 440

Hippokrates

Quadratur von Kreismöndchen;

Lösung des delischen Problems

(Würfelverdopplung) mit Hilfe
von zwei mittleren Proportionalen
um 430

Anaxagoras

Versuch zur Quadratur des Kreises
um 430

Antiphon

Kreisquadratur mit einbeschriebenen

Vielecken (3 ∗ 2 n oder 4 ∗ 2 n Ecken)

um 420

Hippias

Dreiteilung (und Teilung in
n gleiche Teile) eines Winkels
mit Hilfe der Kurve Quadratrix

216

4 Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike
um 410

Bryson

Kreisquadratur mittels
ein- und umbeschriebener Vielecke,

„Zwischenwertsatz“
um 390

Archytas

Lösung des delischen Problems
durch die Bestimmung des

Schnittpunktes dreier Flächen
um 380

Theaitetos

Fünf platonische Körper
mit umbeschriebenen Kugeln
um 370

Eudoxos

Proportionen und Theorie des

Irrationalen, Exhaustionsmethode
zur Inhaltsbestimmung krummlinig
begrenzter Flächen und Volumina
um 350

Menaichmos,

Kreisquadratur mit der

Brüder Deinostratos

Quadratrix des Hippias,

Lösung des delischen Problems
mit zwei Kegelschnitten
um 330

Euklid

Elemente: Axiomatischer Aufbau
der ebenen Geometrie, Parallelen-
postulat, geometrische Größen,

Kreislehre, Konstruktion ein- und
umbeschriebener regelmäßiger

Vielecke, Theorie der Proportionen
und inkommensurabler Größen,

Sätze über natürliche Zahlen,

Geometrie des Raumes, Konstruktion
der fünf regelmäßigen Polyeder

(= platonische Körper),

Theorie ausführbarer Konstruktionen
mit Zirkel und Lineal;

Lösung linearer und quadratischer

Gleichungen mit Flächenanlegung und
formal-geometrischen Beweisen
um 300

Aristarch

Größen und Entfernungen von Sonne
und Mond

287–212

Archimedes

Kreisquadratur, Quadratur der

Parabel mit Exhaustionsmethode,

Winkeldreiteilung, Konstruktion des
regelmäßigen Siebenecks, Kugel-
volumen, Spiralen, Neusis

(Einschiebung)

um 240

Eratosthenes

Sieb des Eratosthenes,

Berechnung des Erdumfangs,

Entwurf einer Erdkarte
um 210

Apollonios

Lehre von den Kegelschnitten,
platonische Körper

4.8 Nachwirkungen in byzantinischer Zeit

217
um 130

Hipparch

Bewegungen von Sonne und Mond
nach der Exzentertheorie,

Kreisteilung in 360 ◦, Sehnentafel
um 180

Diokles

Würfelverdopplung mit Hilfe der

Kissoïde
um 180

Nikomedes

Konstruktion der Konchoïde

(Muschelkurve) zur Winkeldreitei-
lung und Würfelverdopplung
um 75 n. Chr.

Heron

Heronische Dreiecksformel,

Näherungsformeln für Quadrat- und Ku-
bikwurzeln,

Flächen- und Volumenberechnungen
um 110

Marinos

Gradnetzkarte mit Hilfe der

Zylinderprojektion
um 140

Ptolemaios

Sehnengeometrie im „Almagest“,

Sehnentafel;

Planeten- und Fixsternastrologie im „Te-
trabiblos“;

Kegelprojektion zur Kartographie
um 320

Pappos

Satz des Pappos; „Collectio“ mit
historischen Berichten
um 250

Diophantos

Bestimmte und unbestimmte

Gleichungen bis sechsten Grades und

Systeme solcher Gleichungen
um 370

Theon

Euklid-Bearbeitung
um 400

Hypatia

Kommentare zu den Werken von Dio-
phantos, Ptolemaios und Apollonios
um 400

Proklos

Kommentar zu Buch I der Elemente des

Euklid
um 510

Eutokios

Kommentare zu Werken von

Archimedes und den „Conica“
des Apollonios

5 Mathematik in den Ländern des Islam

220

5 Mathematik in den Ländern des Islam

622

Auswanderung Muh.ammads von Mekka nach Medina (Hiğra),

Beginn der islamischen Zeitrechnung

632

Tod Muh.ammads

635

Eroberung von Damaskus und Mesopotamien

642

Eroberung von Ägypten

635/51

Eroberung von Persien, Ende des Sassanidenreiches

711

Übergang nach Spanien bei Gibraltar unter dem Berberfeldherrn T

. ¯
ariq

(Gibraltar = ˇ

Gabal T

. ¯
ariq)

712

Eroberung von Choresmien, Vorstoß bis zum Indus

731

Karl Martell schlägt in der Schlacht bei Tours und Poitiers in Frankreich
die Araber zurück

9. Jh.

Araber auf Kreta und Sizilien

West

Ost

634–644

Kalif cUmar (Bücher-
verbrennung)

661–750

Umayyaden-Dynastie, Sitz

Damaskus

717–720

Kalif cUmar II.

718

Umsiedlung der Gelehrten
vom Museion in Alexandria
nach Antiochia

750–1517

Abbasiden, Sitz 763–1258

Bagdad

756–1031 Umayyaden, Sitz Córdoba,

754–775

Kalif al-Mans.¯ur, Gründer
seit 929 eigenständiges Kalifat
von Bagdad (ab 762)

912–961

Emir, ab 929 Kalif cAbd

768–809

Kalif H¯
ar¯
un ar-Raš¯ıd,
ar-Rah.m¯an

Märchen aus 1001 Nacht

961–976

Kalif al-H

. akam II.,

813–833

Kalif al-Ma c m¯
un, erbaut

Bibliothek in Córdoba

Haus der Weisheit

(Bayt al-H

. ikma)

969–1171 Berber-Dynastie der

1206–1227 Čingiz-H

<¯an (Dschingis-Khan)

Fatimiden in Ägypten,

1258

Einbruch der Mongolen

969 Gründung von Kairo

Bagdad wird erobert

Begründung einer Art

Ende der Abassiden-Herrschaft

Akademie, D¯
ar al-H

. ikma

(Wohnsitz der Wissenschaften)

1031

Zerfall des Kalifats von

1409–1449 Ulu ˙g Beg in Samarkand

Córdoba

(Usbekistan)

1492

Untergang Granadas, des

1517

Kairo von den Türken erobert
letzten maurischen König-

1523–1527 B¯
abur erobert Nordindien
reiches auf spanischem Boden,
und wird zum Gründer des

Ende der Reconquista

Reiches und der Dynastie

(Rückeroberung des maurischen
der Großmoguln

Spanien durch die Christen)

5 Mathematik in den Ländern des Islam

221

222

5 Mathematik in den Ländern des Islam

Vorbemerkung

Die Länder des Nahen und Mittleren Ostens, Nordafrika und Spanien erlebten
im Mittelalter vom 7. bis zum 15. Jahrhundert – im engen Zusammenhang
mit der Ausbreitung des Islam – eine beispiellose Entfaltung von Kultur
und Wissenschaft, von Astronomie und Geographie, von Philosophie und

Medizin, von Baukunst, Gartentechnik und handwerklichen Fertigkeiten. Das

Niveau Europas in dieser Zeit wurde weit übertroffen. Auch und gerade die

Entwicklung der Mathematik gehört zu den vorzüglichen Errungenschaften
jener islamischen Kultur des Mittelalters [Brentjes 2003].

Es gibt keine allgemein verbindliche Bezeichnung für die Mathematik je-
ner Periode. Die Benennung „arabische Mathematik“ erfasst zwar den Um-
stand, dass die arabische Sprache vorwiegend die Sprache der Wissenschaft
war, ähnlich dem Lateinischen im europäischen Mittelalter. Doch geht diese

Bezeichnung an der Tatsache vorbei, dass nicht nur Araber, sondern auch

Perser, Usbeken, Tadschiken, Turkmenen, Juden und andere Völker Träger
dieser Entwicklung waren. Die Bezeichnung „Mathematik in den Ländern des

Nahen und Mittleren Ostens“ ist geographisch ungenau und zudem reichlich
umständlich. So wird hier die Bezeichnung „Mathematik in den Ländern des

Islam“ von anderen Autoren übernommen, u. a. von [Juschkewitsch 1964],

[Gericke 1990].

5.0 Historischer Überblick

Im 7. Jahrhundert entstand auf der arabischen Halbinsel eine weitere mono-
theistische Religion, der Islam. Deren Begründer ist Muh.ammad ibn cAbdall¯ah

(um 570–632), der aus Mekka stammte und anfangs als Hirte und Kaufmann
tätig war. Durch Reisen und Handelstätigkeit kam er mit verschiedensten
geistigen Strömungen in Berührung, auch mit dem Christentum und der jüdi-
schen Religion. Seit seinem 40. Lebensjahr empfing er „Offenbarungen“ durch
den Erzengel Gabriel, trat für All¯
ah als alleinigen Gott ein und verstand
sich selbst als Nachfolger von Moses und Jesus, die auch heute im Islam als

Propheten geachtet werden. Die Offenbarungen Muh.ammads wurden unter
cUtm¯an (Kalif von 644–656; Kalif bedeutet soviel wie Stellvertreter) gesam-
melt und als „Koran“ zusammengestellt.

Muh.ammad stieß mit seinen Anschauungen in Mekka auf Widerstand
und musste am 16.7.622 (nach christlicher Zeitrechnung) nach Medina emi-
grieren. Diese Auswanderung (Hiğra oder Hedschra) wurde zum Beginn der
islamischen Zeitrechnung. In Medina scharte Muh.ammad eine große Anzahl
von Anhängern aus der ganzen arabischen Halbinsel um sich. Im Jahre 630
besuchte er Mekka, das schon eine längere Tradition als religiöses Zentrum
vorweisen konnte. Nun wurde die Kacba (Kaaba) – ein würfelförmiger Bau
mit einem eingemauerten schwarzen Meteoriten – zum geistigen Mittelpunkt
des Islam. Schon 632 verstarb Muh.ammad in Medina.

5.0 Historischer Überblick

223

Abb. 5.0.2
a) Die Kaaba in Mekka, b) Ibn al-Haytam. An seine optische Theorie
knüpften noch Descartes und Kepler an (Saudi-Arabien 1977/79, Pakistan 1963)

Der Schwiegervater von Muh.ammad, Ab¯u Bakr, der erste Kalif (von 632–

634), vermochte die arabischen Stämme zu einigen und eine kampfkräftige

Armee aufzustellen. Unter seinen Nachfolgern wurden Syrien, Mesopotami-
en, Persien und Ägypten erobert. Der vierte Kalif cAl¯ı ibn Ab¯
u T

. ¯
alib (ca.

600–661), Schwiegersohn Muh.ammads, wurde 661 ermordet. Daher rührt die

Spaltung des Islam in die schiitische (Anhänger cAl¯ıs) und die sunnitische

Richtung. Es begann das Kalifat der Umayyaden. Sie verlegten die Haupt-
stadt von Medina nach Damaskus.

Unter den Umayyaden setzte sich der Siegeszug der Araber fort. Von

Ägypten drangen arabische Heerscharen wie ein Sturmwind durch Nordafri-
ka vor, setzten 711 unter T

. ¯
ariq bei dem nach ihm benannten Ğabal T

. ¯
ariq

(Gibraltar) nach Europa über und durchquerten die Iberische Halbinsel. Erst
auf französischem Boden konnte der arabische Vormarsch im Jahre 732 bei

Tours und Poitiers gestoppt werden. Auch Turkestan, der Pandschab und
der größte Teil der arabischen Halbinsel wurden dem arabischen Großreich
einverleibt.

Zur Mitte des 8. Jahrhunderts begann die Herrschaft der Abbasiden. Bag-
dad wurde Hauptstadt; bei der Gründung der Stadt wurden Astrologen hin-
zugezogen. Dank der Förderung durch al-Mans.¯ur (Kalif von 754–775), seinen
dritten Nachfolger H¯
ar¯
un ar-Raš¯ıd (Kalif von 786–809) und dessen Sohn al-

Ma c m¯
un (Kalif von 813–833) wurde Bagdad zur Pflegestätte von Kunst und

Wissenschaft. Noch heute erfreuen wir uns an den „Märchen aus 1001 Nacht“.

Der Sohn von ar-Raš¯ıd, der bereits eine Bibliothek zur Sammlung von

Übersetzungen griechischer und indischer Werke ins Arabische begründet
hatte, ließ zu Beginn des 9. Jahrhunderts das „Haus der Weisheit“ ( Bayt
al-H

. ikma) einrichten. Viele bedeutende Gelehrte, auch und gerade Mathe-
matiker, haben dort gearbeitet und geforscht. Eine glanzvolle Periode für die

Entwicklung der Wissenschaften war eröffnet.

Die Abbasiden vermochten es nicht, das riesige Reich zusammenzuhalten.

Die Iberische Halbinsel machte sich selbstständig. Unter dem Umayyaden
cAbd ar-Rah.m¯an entstand das Emirat Andal¯us mit der Hauptstadt Córdoba.

224

5 Mathematik in den Ländern des Islam

Abb. 5.0.3

Umayyaden-Moschee in Damaskus, der Hauptstadt des Riesenreiches
der Umayyaden und Sitz der Kalifen von 661–775. Mit dem geometrischen Schmuck
ihrer Arkaden, Minarette, Wandfriese und Gitterfenster galt die Moschee als „Welt-
wunder“ islamischer Baukunst. Sie birgt in einem Grabmal das Haupt Johannes
des Täufers. [Foto Alten]

5.0 Historischer Überblick

225

Auch Ägypten verselbstständigte sich. Unter der Berberdynastie der Fatimi-
den (969–1171) wurde der Sitz der Hauptstadt nach Kairo verlegt; Kairo (d. i.

die Siegreiche) war 969 gegründet worden. Auch dort entstand an einer Art

Akademie D¯
ar al - H

. ikma (Wohnsitz der Weisheit) im 10. und 11. Jahrhundert
ein bedeutendes wissenschaftliches Zentrum. Dort wirkte unter anderen der

Astronom und Mathematiker Ibn al-Haytam (ca. 965–1039), der eine Theorie
des Sehens schuf.

Die Mongolen bereiteten der Abbasidenherrschaft in Bagdad ein gewalt-
sames Ende. Im ehemaligen arabischen Herrschaftsbereich entstanden östlich
gelegene neue Wissenschaftszentren, so Isfahan, Maragha, Buchara und Sa-
markand. Hier ließ der Herrscher Ulu ˙g Beg (1409–1449), der sich selbst mit

Astronomie beschäftigte, ein hervorragendes Observatorium erbauen.

In den westarabischen Ländern entwickelte sich Córdoba zu einem „zwei-
ten“ Bagdad hinsichtlich der Förderung und Entwicklung der Wissenschaften.

Die umfangreiche Bibliothek enthielt etwa 400 000 Bände. An vielen Orten
im christlichen Teil Spaniens wurden Werke islamischer Gelehrter ins Latei-
nische übertragen, auch unter Vermittlung der hebräischen oder der kasti-
lischen Sprache. Besonders bekannt wurde dafür Toledo, wo u. a. Gerhard
von Cremona rund 80 Werke aus dem Arabischen ins Lateinische übertrug.

Asturien war frei geblieben von arabischer Besetzung. Von dort begann
bereits im 8. Jahrhundert die Periode der Reconquista (Rückeroberung) der
maurischen Gebiete durch die christlichen spanischen Staaten. Córdoba fiel

1236, Sevilla 1248, Cádiz 1262. Die letzte maurische Bastion, das Emirat

Granada, wurde 1492 erobert.

Die spanischen Königreiche von Kastilien und Aragón waren durch Heirat

(1469) von Isabella (1451–1504) und Ferdinand (1452–1516) vereinigt worden,
im Bunde mit der katholischen Kirche. Beide erhielten den Beinamen die/der

Katholische. Im Triumphzug der Spanier durch das besiegte Granada befand
sich auch Kolumbus. Er hatte lange umsonst warten müssen. Nun endlich
erhielt er eine kleine Flotte von drei Schiffen, um den Seeweg nach Indien
zu erkunden. Im selben Jahr noch, 1492, begann die (erneute) Entdeckung
und die Eroberung Amerikas durch die Europäer, aber gleichzeitig auch die

Vertreibung der Juden aus Spanien.

Aus praktisch-politisch-ideologischen Gründen war das arabische Groß-
reich in einen ostarabischen und einen westarabischen Teil zerfallen. Der
westarabische Teil erstreckte sich von Ägypten bis Spanien. Die Trennung
wird auch am Beispiel der Entwicklung der Mathematik deutlich: Die ostara-
bische Mathematik ist erheblich weiter vorangekommen als die westarabische.

Einige Ergebnisse sind nicht nach Westen vorgedrungen, beispielsweise Teile
der Trigonometrie. Auch haben sich die von den Indern übernommenen Zif-
fern in zwei unterschiedlichen Schreibweisen weitergebildet, als sogenannte
ostarabische bzw. westarabische oder ˙

Gub¯
ar-Ziffern. Dennoch ist das über
die westarabische Kultur einströmende Wissen von größtem Einfluss auf die

Mathematik im christlichen Europa geworden.

226

5 Mathematik in den Ländern des Islam

Abb. 5.0.4

Denkmal des Ulu ˙g Beg in Dorpat/Tartu, Estland [Foto Kästner]

5.0 Historischer Überblick

227

Abb. 5.0.5

Ornamente in der Außenmauer der Großen Moschee (Mezquita) in

Córdoba [Foto Alten]

228

5 Mathematik in den Ländern des Islam

Abb. 5.0.6

Die Alkantara-Brücke und der Alkazar von Toledo. Toledo war das

Zentrum der Übersetzungen ins Lateinische. Am Ausgang des Mittelalters wurde

Toledo Hauptstadt der vereinigten Königreiche Aragón und Kastilien. [Foto Alten]

5.0 Historischer Überblick

229

Abb. 5.0.7

Märchenhaft schmücken geometrische Ornamente die Wände im Lö-
wenhof der Alhambra in Granada [Foto Alten]

230

5 Mathematik in den Ländern des Islam

Abb. 5.0.8
cAbd ar-Rah.m¯an (792–852), Emir von Córdoba; König Alfons VII.

(1105–1157), Förderer der Übersetzerschule von Toledo (Spanien 1986)

Ohne Übertreibung kann man sagen, dass die Befolgung religiöser Vor-
schriften eine der Haupttriebkräfte der islamischen Mathematik während des

Mittelalters darstellt.

In seiner Studie Astronomie und Mathematik als Gottesdienst. Das Bei-
spiel Islam schreibt King:

„Jahrhundertelang hat der Islam – häufiger als jede andere Religion
der Menschheitsgeschichte – wissenschaftliche Verfahren auf die ver-
schiedensten Aspekte der Religionsausübung verwendet. Ich verweise
auf

–
den Mondkalender

–
die Gebetszeiten von fünf Tagesgebeten, die sich an den Sonnen-
ständen orientieren und

–
die religiöse Ausrichtung auf ein bestimmtes Gebäude.

Vom 7. bis zum 19. Jahrhundert wurden diese drei Aspekte von mus-
limischen Wissenschaftlern und Rechtsgelehrten behandelt, allerdings
auf ganz unterschiedliche Weise. Die Wissenschaftler konzentrier-
ten sich auf mathematische Verfahren, die Rechtsgelehrten hielten
an volkstümlichen Methoden fest. Das sind die einzigen Bereiche der
traditionellen islamischen Wissenschaft, mit denen sich die Moslems
heute noch beschäftigen. Sie haben eine Geschichte, die fast 1400 Jah-
re zurückreicht.“

[King 2005, S. 92]

Perioden der Entwicklung

In einer ersten Phase wurden große Teile der verfügbaren Schriften des kul-
turellen Erbes aus der griechisch-hellenistischen Antike, aus Persien, aus By-
zanz, aus Indien und Ägypten zusammengetragen, darunter auch die ma-
thematischen, astronomischen und philosophischen Schriften. Boten waren
ausgesandt worden, deren Auftrag es war, systematisch Texte aufzuspüren
und aufzukaufen. Allerdings hat es unter dem Kalifen cUmar auch eine kurze

Zeit der Vernichtung nicht-islamischer Schriften gegeben.

5.0 Historischer Überblick

231

Parallel zur Sammlung antiker Schriften ging eine ausgedehnte Überset-
zungstätigkeit jener Quellen ins Arabische. Im „Haus der Weisheit“ in Bagdad
sorgte man für Abschriften durch gezielte Kopiertätigkeit, und es schlossen
sich erste eigene Forschungen in Astronomie und Geographie an.

Bereits um 730 wurden astronomische Texte indischen und persischen

Ursprunges ins Arabische übertragen. Den Anfang hatte die Übersetzung
der Siddh¯
antas gemacht. Bis zum 10. Jahrhundert lagen aus der griechisch-
hellenistischen Mathematik Werke von Ptolemaios, Euklid, Hypsikles, Apol-
lonios, Archimedes, Menelaos, Diophant und Heron in arabischer Sprache
vor. Neben dem Inhaltlichen war es vor allem das methodische Vorbild des

Beweisens der Sätze, das von den Muslimen übernommen wurde.

Man knüpfte überdies an das übernommene Erbe auf Gebieten an, die aus
moderner Sicht der Physik, Chemie, Medizin, Pharmakologie, Biologie, Mine-
ralogie und besonders der Philosophie zuzuordnen sind. In einigen Wissens-
zweigen konnte dabei das antike Niveau durch neue Fragestellungen, Unter-
suchungsergebnisse und Methoden nicht nur bereichert und vertieft, sondern
auch qualitativ verändert werden.

Während einer zweiten Etappe, deren Beginn etwa auf die Mitte des

9. Jahrhunderts zu datieren ist, bildete sich auf der Grundlage ausgedehnter

Kommentare zu den erschlossenen Quellen eine eigenständige mathematische

Kultur heraus. Sie umfasste Arithmetik, Zahlentheorie, Algebra, Geometrie,

Trigonometrie, Näherungsrechnung und sogar Anfänge der Analysis. Her-
vorragende Vertreter waren unter anderem al-H

<w¯arizm¯ı, al-Kind¯ı und T¯abit

¯
ibn Qurra. Im 10., 11. und 12. Jahrhundert schließlich nahmen astronomi-
sche Berechnungen und Näherungsmethoden in Algebra und Astronomie im-
mer größeren Umfang an. Diese Zeit wird – um nur einige Gelehrte zu nen-
nen – geprägt von Ab¯
u K¯
amil (?850–930), al-Batt¯
an¯ı (?850–929), Ab¯
u l-Waf¯
a c

(940–998), Ibn al-Haytam (?965–1039), al-Karaˇ
g¯ı (gest. um 1029), al-B¯ır¯
un¯ı

¯

(973–1048) und al-H

<ayy¯am (?1048–?1131). Im 13., 14. und 15. Jahrhundert
widmete man sich verstärkt astronomischen und numerischen Problemen,
möglicherweise unter dem Einfluss intensiver Kontakte zu China. Hier seien
genannt Nas.¯ır ad-D¯ın at.-T.¯us¯ı (1201–1274) und al-K¯aš¯ı (gest. etwa 1429).

Auch die westarabischen Länder haben hervorragende Gelehrte hervorge-
bracht: Erwähnt seien hier Ibn Rušd (lat. Averroës; 1126–1198) und Moshe
ben Maimon (lat. Maimonides; 1135–1204) aus Córdoba und al-Qalas.¯ad¯ı

(1400?–1486), der kurz vor dem Untergang des Emirates von Granada nach

Tunis ging.

Unter dem Einfluss griechischer Quellen zeichnen sich viele Werke ara-
bischer Gelehrter durch das Bemühen aus, die behandelten Probleme syste-
matisch und vollständig darzulegen und gemäß dem Vorbild hellenistischer

Mathematik die Sätze zu beweisen. Der Einfluss der indischen und der chi-
nesischen Mathematik spiegelt sich in den arabischen Texten unter anderem
durch die zahlreichen und umfangreichen praktischen Beispiele, Aufgaben
und Methoden wider (vgl. [The Enterprise 2003]).

232

5 Mathematik in den Ländern des Islam

5.1 Islamische Universalgelehrte des Mittelalters

Neben der stattlichen Reihe von Mathematikern und anderen Fachgelehrten
hat der Islam des Mittelalters zahlreiche Universalgelehrte hervorgebracht,
die sich auch mit Mathematik beschäftigt haben. Überhaupt gehörte eine
breite, umfassende Kenntnis des gesamten Wissensschatzes zum Bildungs-
ideal des Islam.

Al-Kind¯ı

Den Reigen eröffnete al-Kind¯ı, geboren um 800, gestorben um 870. Er
stammte aus einer einflussreichen Familie. In der Umgebung der aufgeklär-
ten Abbasiden-Kalifen al-Ma c m¯
un und al-Muctas.im in Bagdad und von ihnen
gefördert konnte sich al-Kind¯ı eingehend mit antiken Schriften, insbesondere
mit Aristoteles beschäftigen, geriet aber danach vorübergehend in Konflikt
mit orthodoxen Auffassungen. Er soll sogar eingekerkert gewesen sein.

Al-Kind¯ı betonte die Notwendigkeit, sich mit Naturwissenschaften und

Mathematik zu befassen, und hinterließ Abhandlungen zu Medizin, Astrolo-
gie, Astronomie, Physik, Geographie, Musiktheorie und Pharmakologie. Seine
zahlreichen philosophischen Schriften – einige davon als Lehrstücke für den

Sohn von al-Muctas.im gedacht – erbrachten ihm den Ehrennamen „Erster

Philosoph“ der arabischen Welt.

Von seinen 38 mathematischen Schriften haben sich nur 7 erhalten. Sie
betreffen indische Rechenverfahren, ebene und sphärische Geometrie und an-
dere Gebiete. Er kommentierte die „Elemente“, schrieb eine Einführung in die

Zahlentheorie, befasste sich mit der Konstruktion von Sonnenuhren und der

5 Platonischen Körper. Übersetzungen seiner Schriften ins Hebräische und

Lateinische haben weit ins christlich-lateinische Europa hineingewirkt.

Al-F¯
ar¯
ab¯ı

Auch al-F¯
ar¯
ab¯ı (geb. ca. 870 im Farabi Distrikt, Chorasan, Persien; gest.

ca. 950 in Aleppo) gehört zu den einflussreichen Gelehrten der islamischen

Welt mit umfassender Bildung, der zudem eigene Beiträge zur Mathematik
geleistet hat. Er studierte – trotz anfänglicher Schwierigkeiten aus Unkenntnis
der arabischen Sprache – auch in Bagdad, wurde durch einen christlichen

Lehrer mit der hellenistischen Kultur vertraut und widmete sich vor allem der

Interpretation von Aristoteles, der ihm als „Erster Lehrer“ in der Philosophie
galt. Al-F¯
ar¯
ab¯ı erhielt den Ehrentitel „Zweiter Lehrer“.

In Anlehnung an Aristoteles schrieb al-F¯
ar¯
ab¯ı im Kommentar zu den

Schwierigkeiten in den Einführungen zu den Büchern I und V des Euklid
über den Abstraktionsprozess in der Mathematik (der Text ist in althebräi-
scher Übersetzung erhalten geblieben):

5.1 Islamische Universalgelehrte des Mittelalters

233

Abb. 5.1.1
a) Al-F¯
ar¯
ab¯ı mit Musikinstrument; b) Al-Kind¯ı; c) Al-B¯ır¯
un¯ı (Ägyp-
ten 1975, Syrien 1994, Iran 1973)

„Das Lernen ist mit einem greifbaren Körper zu beginnen, und dann
ist mit der Betrachtung eines Körpers zu beginnen, der von den mit
ihm verbundenen Sinneswahrnehmungen losgelöst ist; dann gehe man
zur Fläche, dann zur Linie und schließlich zum Punkt über.“

(Zitiert bei [Juschkewitsch 1964, S. 248f.])

In diesem Sinne gehören Ibn S¯ın¯
a, Ibn Rušd und Maimonides zu den Schü-
lern von al-F¯
ar¯
ab¯ı. Aber auch Platos Schriften Staat und Gesetze waren für
ihn von Interesse. Übersetzungen ins Lateinische und Hebräische haben das
mittelalterliche Europa stark beeinflusst.

Al-F¯
ar¯
ab¯ı war Musiktheoretiker und Autor eines großen Buches über Mu-
sik. Eine Legende berichtet, al-F¯
ar¯
ab¯ı habe einmal mit seinem Lautenspiel
eine ganze Hofgesellschaft in Schlaf versetzt [Strohmaier 1979, S. 68].

Die Mathematik fasste er – wie auch Astronomie, Physik, Musiktheorie,

Logik und Ethik – als Teil der Philosophie auf. Drei mathematische Schriften
sind verloren; sie befassten sich mit Grundlagenfragen zur Geometrie und mit
dem Größenbegriff [DSB, Bd. IV, S. 523–526].

Al-B¯ır¯
un¯ı

Merkwürdigerweise ist einer der bedeutendsten muslimischen Denker, der

Astronom, Mathematiker, Geograph und Historiker al-B¯ır¯
un¯ı, erst spät im

Abendland bekannt geworden, eigentlich erst im 19. Jahrhundert wirklich
erschlossen worden.

234

5 Mathematik in den Ländern des Islam

Al-B¯ır¯
un¯ı wurde am 4. September 973 in der Stadt Kath, der Hauptstadt
des damaligen Choresmien (südlich des Aralsees) geboren. Er starb vermut-
lich am 9. Dezember 1048 im heutigen Ghazni (Afghanistan).

Im Dienste von mehr oder weniger bedeutenden Fürsten, hoch geehrt,
entlassen, verfolgt, auf der Flucht, hat er ein überaus unruhiges Leben ge-
führt [DSB, Bd. II, S. 147–158]. Mehr oder weniger freiwillig führte ihn eine
längere Reise während kriegerischer Invasionen seines Herrschers nach Indien.

Al-B¯ır¯
un¯ı erlernte Sanskrit. Er schrieb ein ausführliches Werk über Indien,
über die dortige Religion und Philosophie, über das Kastenwesen, über Hoch-
zeitsbräuche, die heiligen Kühe, Metrologie, geographische und geodätische

Einzelheiten, astronomische Beobachtungen und mathematische Ergebnisse.

Aus dem Sanskrit übersetzte er Abhandlungen medizinischen, mathemati-
schen und astronomisch-astrologischen Inhaltes ins Arabische. Umgekehrt
übertrug er Ptolemaios und Euklid aus dem Arabischen in Sanskrit und dies
in Versen, um den Gewohnheiten der indischen Gelehrten entgegenzukom-
men.

Es ist unmöglich, hier alle von ihm verfassten Werke aufzuführen. Von
ca. 146 Abhandlungen, darunter 14 umfangreichen Büchern, haben sich 22
erhalten, diejenigen über Astronomie, Astrologie, Chronologie, Geographie,

Pharmakologie, Indien [DSB, B. II, S. 152].

Bezüglich der Mathematik gehen auf ihn zurück die Zylinderprojektion

(in Europa viel später von N. Mercator entwickelt) und die Definition der
trigonometrischen Relationen am Einheitskreis. Er löste mit geometrischen

Methoden kubische Gleichungen, entwickelte Näherungsverfahren und Vor-
stufen des Funktionsbegriffes. Auch schrieb er eine spezielle Abhandlung über
das Astrolab. Er ließ einen großen Mauerquadranten errichten, beobachtete

Sonnenfinsternisse, korrespondierte mit Ibn S¯ın¯
a, den er auch persönlich traf.

Ibn S¯ın¯
a (Avicenna)

Mit Ibn S¯ın¯
a (geb. 980 in Afschana, nahe Buchara, heute Usbekistan, gest.

1037 in Hamadan, heute Iran) erschien ein Stern erster Größe am Himmel
der Wissenschaften. Sein Ruhm strahlte weit über die islamische Welt hin-
aus, unter dem latinisierten Namen Avicenna bis in unsere Zeit. Sein „Kanon
der Heilkunst“ ( Al-Q¯
an¯
un) erfasste die damaligen medizinischen Kenntnis-
se der Griechen, Perser, Inder und Araber. Ins Lateinische übersetzt, diente
der „Kanon“ in Europa noch bis ins 17. Jahrhundert als Standardlehrbuch.

Philosophisch stand Avicenna in der arabischen Aristoteles-Tradition. Seine
philosophischen Abhandlungen haben im 13. Jahrhundert in Europa erheb-
lich zur Wiederbelebung aristotelischer Denkweisen beigetragen. Avicenna
hat mehr als 270 Abhandlungen verfasst. Auch war er in mehreren hohen
politischen Ämtern tätig. Zudem ist eine Autobiographie durch einen seiner

Schüler überliefert worden.

Auch mit Mathematik war Avicenna wohl vertraut. Angeblich hat er bei
einem Gemüsehändler in Buchara auf dem Basar die neue, die indische Arith-

5.1 Islamische Universalgelehrte des Mittelalters

235

Abb. 5.1.2

Ibn Rušd (Averroës), Moshe ben Maimon (Maimonides) (Spanien

1967); Ibn S¯ın¯
a (Avicenna) (Iran 1954)

metik kennen gelernt. Auf sich gestellt hat er die „Elemente“ des Euklid stu-
diert. Seine mathematischen Betrachtungen betreffen den Kontingenzwinkel,

Zusammenfassungen der „Elemente“ und des „Almagest“ sowie zahlentheore-
tische, trigonometrische und andere Probleme. Interessant ist seine Beschrei-
bung eines Gerätes zur genaueren Positionsbestimmung von Gestirnen; vgl.

dazu [Djafari Naini 1991] und den Videofilm Vom Zählstein zum Computer –

Mittelalter [Wesemüller-Kock 2004].

Ibn Rušd (Averroës)

In die erste Reihe der Wissenschaftler-Philosophen gehört auch Ibn Rušd

(1126–1198), der unter dem latinisierten Namen Averroës im lateinisch-
christlichen Bereich bekannt geworden ist. Averroës stammt aus Córdoba, aus
einer einflussreichen Familie. Vater und Großvater bekleideten hohe Funktio-
nen als Richter in Sevilla und Córdoba.

Averroës hat Theologie, Rechtswissenschaft und Medizin studiert und ge-
langte beim Kalifen Ab¯
u Y¯
usuf als dessen Leibarzt zu hohem Ansehen. Aver-
roës wurde von dem wissenschaftsfreundlichen Herrscher mit der Bearbeitung
der Schriften des Aristoteles beauftragt; die ausführlichen Erläuterungen und

Kommentare haben einen bedeutenden Einfluß auf die Scholastik im christ-
lichen Europa ausgeübt. Averroës galt und gilt als der Kommentator von

Aristoteles schlechthin. In diesem Zusammenhang zeigt er sich auch bestens
vertraut mit der antiken Astronomie, so etwa mit Eudoxos, Ptolemaios und
sogar mit Hipparchos.

Im Jahre 1195 geriet Averroës in Konflikt mit der orthodoxen islamischen

Geistlichkeit. Unter der Anklage, seine Philosophie gefährde die islamische

Religion, wurde er verbannt und seine Schriften wurden verbrannt. Erst kurz

236

5 Mathematik in den Ländern des Islam
vor seinem Tode am 12. 12. 1198 durfte er an den Hof zurückkehren, nun in

Marokko.

Die Assimilation der im 11. Jahrhundert im Abendland bekannt werden-
den Schriften von Aristoteles und seiner islamischen und jüdischen Kommen-
tatoren stieß wegen ihrer empirischen Aspekte auf Schwierigkeiten. In Paris
wurde 1209 das Studium von Aristoteles verboten. Thomas von Aquino wur-
de nach Paris berufen, um den Averroismus zu bekämpfen. Siger von Brabant

(ca. 1240 bis ca. 1284), ein Averroist, wurde umgebracht. Der Averroismus
wurde verboten.

Rabbi Moshe ben Maimon (Maimonides)

Ebenfalls aus Córdoba stammt der jüdische Religionsphilosoph Rabbi Moshe
ben Maimon, latinisiert Maimonides. Er wurde 1135 geboren und stammt
aus einer berühmten Familie, die ihren Ursprung bis zu König David zurück
verfolgen konnte. Durch seinen Vater erhielt Maimonides eine gründliche Aus-
bildung, die auch Mathematik und Astronomie einschloss.

Die Sekte der Almohaden (d. i. Bekenner der Einheit All¯
ahs) eroberte Cór-
doba, als Maimonides 13 Jahre alt war. Diese aggressive muslimische Gruppe
wollte alle Juden mit Gewalt zum Übertritt zum Islam zwingen. Daher wich
die Familie nach Marokko aus, später, wegen erneuter Anfeindungen und Re-
ligionsstreitigkeiten, nach Israel und Ägypten, in die Nähe von Kairo. Um
seinen Lebensunterhalt zu bestreiten, praktizierte er als Arzt und schrieb
medizinische Kompendien. Er starb 1204.

Maimonides fühlte sich dem umfassenden Bildungsideal des Islam ver-
pflichtet; dementsprechend finden sich unter seinen Schriften auch solche zur

Mathematik und Astronomie, und er berichtete über atomistische Lehren und
über das astronomische System des Ptolemaios.

Mit zahlreichen Schriften, teils hebräisch, teils arabisch, konnte Maimo-
nides ein geschlossenes System des jüdischen Glaubens schaffen; es hat auch
in die christliche Welt hineingewirkt. Einflüsse von Maimonides lassen sich
noch bei Spinoza und Leibniz nachweisen.

Ibn H

<ald¯un (Ibn Chaldun)

Obgleich Ibn H

<ald¯un keine wesentlichen Beiträge zur Mathematik geleistet
hat, zeigt seine Biographie einiges über die Lebensumstände der islamischen

Gelehrten und über die Beziehungen zwischen Islam und Christentum im

13./14. Jahrhundert.

Ibn H

<ald¯un wurde 1332 in Tunis geboren. Die Familie hatte ihren Wohn-
sitz in Sevilla kurz vor der Eroberung der Stadt (1248) durch die Christen
aufgegeben. In Tunis wurden seine Eltern von der Pest dahingerafft. Er diente
bei verschiedenen Herrschern, fiel in Ungnade, wurde wieder rehabilitiert –
ein sehr wechselvolles Leben, nicht frei von Opportunismus. Für kurze Zeit

5.2 Al-H

<w¯arizm¯ı (al-Choresmi) und seine „Algebra“

237

Abb. 5.1.3

Ibn H

<ald¯un; Al-H

<w¯arizm¯ı (Tunesien 1980, Sowjetunion 1983)

durfte er sogar nach Granada und Sevilla zurückkehren. Er unternahm die
obligatorische Pilgerfahrt nach Mekka und ließ sich schließlich in Kairo nie-
der, reiste nach Syrien und Palästina und erhielt in Kairo eine – damals nicht
ungefährliche – Position als Richter, wurde fünfmal entlassen und fünfmal
wieder eingestellt.

Sein Hauptwerk „Buch der Beispiele“ – niedergeschrieben in einer Bergfes-
tung nahe Tunis – enthält historische und gesellschaftliche Studien über die

Araber, die Berber und andere Völkerschaften. Sie beruhen auf dem soziolo-
gischen Grundbegriff der Eigenschaften von Gruppen von Menschen hinsicht-
lich der Religion, der Gesetze, des Gefühles der Zusammengehörigkeit, Stand
der Wissenschaften, Anerkennung der Gelehrten. Dies sind, freilich noch im

Gewand mittelalterlichen Gelehrtentums, moderne Grundideen, die in der

Philosophie und der Soziologie des 19. und 20. Jahrhuunderts aufgegriffen
wurden. Ibn H

<ald¯un starb am 17. März 1406 in Kairo.

5.2 Al-H

<w¯arizm¯ı (al-Choresmi) und seine „Algebra“

Zu Beginn des 9. Jahrhunderts war in Bagdad das „Haus der Weisheit“ ins

Leben gerufen worden. Zu den Ersten der dort Tätigen gehört Muh.ammad
ibn M¯
us¯
a al-H

<w¯arizm¯ı (al-Choresmi) (780?–850?), der von großem Einfluss
auf die weitere, auch auf die europäische Entwicklung geworden ist.

Aus dem Namen al-H

<w¯arizm¯ı (al-Choresmi) hat man geschlossen, dass
er im damaligen Choresmien (in der heutigen Stadt Chiwa, Usbekistan) ge-
boren wurde. Jedenfalls hat die Usbekische Akademie der Wissenschaften
zu seinem 1200. Geburtstag 1980 ein sehr schönes und eindrucksvolles, wis-
senschaftliches, internationales Kolloquium mit einem rauschenden Fest in

Chiwa veranstaltet.

238

5 Mathematik in den Ländern des Islam

Abb. 5.2.1

Kalta Minar (Minarett) in Chiwa, Usbekistan [Foto Alten]

Al-H

<w¯arizm¯ı könnte in seiner Jugend Anhänger der Religion des Zara-
thustra gewesen sein. Später, in den Vorreden seiner Schriften, preist er

All¯
ah, nach muslimischer Sitte. Al-H

<w¯arizm¯ı ist hervorgetreten als Autor sei-
nes maßgebenden Buches „Algebra“ und eines astronomischen Werkes, beide
unter dem Kalifen al-Ma c m¯
un verfasst. Späteren Datums sind Arbeiten über
die indischen Ziffern, über den jüdischen Kalender und eine Geographie. Mög-
licherweise war er auch Verfasser (verloren gegangener) Abhandlungen über

Sonnenuhr und Astrolab.

Al-H

<w¯arizm¯ı hatte seine Algebra auf Wunsch des Kalifen al-Ma c m¯un nie-
dergeschrieben, damit die Bevölkerung mit den Problemen des täglichen Le-
bens zurechtkommen sollte, u. a. mit dem komplizierten islamischen Erbrecht.

Er wolle, so al-H

<w¯arizm¯ı, ein kurzgefasstes Buch schreiben

„. . . von dem Rechenverfahren der Ergänzung und Ausgleichung mit

Beschränkung auf das Anmutige und Hochgeschätzte des Rechenver-
fahrens für das, was die Leute fortwährend notwendig brauchen bei
ihren Erbschaften und Vermächtnissen und bei ihren Teilungen und
ihren Prozeßbescheiden und ihren Handelsgeschäften und bei allem,
womit sie sich gegenseitig befassen, von der Ausmessung der Lände-
reien und der Herstellung der Kanäle und der Geometrie und ande-

5.2 Al-H

<w¯arizm¯ı (al-Choresmi) und seine „Algebra“

239
rem dergleichen nach seinen Gesichtspunkten und Arten.“

(Zitiert bei [Tropfke 1933, Bd. II, S. 65])

Merkwürdigerweise stellt der praktische Teil den zweiten Teil seiner „Algebra“
dar. Es ist dies aber insofern konsequent, als die dort behandelten Aufgaben
eben durch (verbal formulierte!) Gleichungen beschrieben werden. Der erste

Teil ist relativ abstrakt; es handelt sich um die Klassifikation der quadrati-
schen Gleichungen.

Die in arabischer Sprache geschriebene Abhandlung von al-H

<w¯arizm¯ı hat
den Titel al-Kit¯
ab al-muh

< tas.ar f¯ı hisab al-ğabr wa-l-muq¯abala (in Deutsch
etwa: Ein kurz gefasstes Buch über die Rechenverfahren durch Ergänzen und

Ausgleichen). Ein Beispiel erläutert die Bedeutung von „Ergänzung“ oder

„Auffüllung“ bzw. „Ausgleich“ oder „Gegenüberstellung“.

Nehmen wir als Beispiel (in heutiger Formelschreibweise) die quadratische

Gleichung

2 x 2 + 100 − 20 x = 58 .

Der erste Schritt zur Lösung der Gleichung hat das Ziel, negative Terme zu
beseitigen. Also werden 20 x „ergänzt“ oder „aufgefüllt“. Man erhält

2 x 2 + 100 − 20 x + 20 x = 58 + 20 x.

Noch einmal wird „aufgefüllt“:

2 x 2 + 100 − 58 = 58 − 58 + 20 x.

Dann wird „gegenübergestellt“:

2 x 2 + 42 = 20 x.

Das führt auf die Normalform
x 2 + 21 = 10 x.

Al-H

<w¯arizm¯ı stellt (verbal formuliert) sechs Typen von quadratischen Glei-
chungen auf:

(1) ax 2 = bx

(2) ax 2 = c

(3) bx = c

(4) ax 2 + bx = c (5) ax 2 + c = bx (6) bx + c = ax 2 ,
jeweils mit positiven Koeffizienten. Beim Typ (1) wird die Lösung Null nicht
berücksichtigt. Nur positive Lösungen werden zugelassen. Anders als bei den

Indern kann der Gleichungstyp ax 2 + bx + c = 0 nicht behandelt werden, weil
diese Gleichung keine positiven Wurzeln hat, wenn die Koeffizienten positiv
sind.

Für alle Gleichungstypen – aber eben nur für spezielle Zahlenbeispie-
le – gibt al-H

<w¯arizm¯ı geometrische Lösungsverfahren an, die stets zum Ziele
führen.

240

5 Mathematik in den Ländern des Islam

Für den Gleichungstyp (4) in der reduzierten Form x 2 + px = q gibt er

(in heutiger Formelschreibweise) die Lösung

2

−p
p

+

+ q

2

2
an; vgl. [Alten at al. 2003, S. 167f.].

Nehmen wir für Typ (5) das Zahlenbeispiel x 2 +21 = 10 x, natürlich verbal
formuliert. Dazu gibt al-H

<w¯arizm¯ı folgende Rechenvorschrift, die geometrisch
bewiesen wird:

„Halbiere die Wurzeln; das ergibt fünf; multipliziere dies mit sich
selbst, und du erhältst fünfundzwanzig; ziehe davon die einundzwan-
zig ab, die dem Quadrat hinzugefügt sind; es verbleiben vier; ziehe
hieraus die Wurzel – das ergibt zwei, und ziehe dies von der Hälfte
der Wurzel ab, d.h. von fünf, es verbleiben drei; dies ist die Wurzel
des Quadrats, das du suchst, und das Quadrat ist neun.“

(Zitiert bei [Juschkewitsch 1964, S. 207])

Zwei wesentliche Punkte müssen festgehalten werden: Die Gleichungen wer-
den verbal, nicht in Formelschreibweise angegeben. Dabei wird für das Qua-
drat der Ausdruck „Vermögen“, für die Unbekannte „Wurzel“ verwendet. So
würde der Typ (4) heißen:

Was das Vermögen und die Wurzel anlangt, ist gleich einer Zahl.

Und ferner: al-H

<w¯arizm¯ı hat möglicherweise auf mesopotamische Quellen zu-
rückgegriffen und vermutlich auch auf Schriften von Diophant, insbesondere
von den Griechen die Forderung nach Beweisen übernommen. Diese werden
jedoch, wie gesagt, geometrisch, nicht rechnerisch geführt.

Es gab auch in der muslimischen Mathematik im 15. Jahrhundert Ansät-
ze zur Verwendung von Symbolen, so etwa bei al-Qalas.¯ad¯ı (ca. 1400–1486).

Er stammt aus Spanien und starb in Tunesien. Sein Werk „Entschleierung
der Wissenschaft der Arithmetik“ beispielsweise enthält die „Symbolik“: Zur

Bezeichnung der Quadratwurzel setzte er den Anfangsbuchstaben von ğ i d r

(Wurzel) über die Zahl. Analog setzte er bei quadratischen Gliedern die An-
fangsbuchstaben von š ay c (Ding) bzw. m¯
al (Vermögen) über die Koeffizien-
ten.

Erst im Europa der Renaissance, das sich explizit auf al-H

<w¯arizm¯ı be-
zieht, wird die Formulierung der Gleichungen und der Lösungswege endgültig
durchgehend algebraisch unter Verwendung von Symbolen vorgenommen.

Eine arabische Handschrift von al-H

<w¯arizm¯ıs „Algebra“ befindet sich in
der Bodleian Library in Oxford. Der Text wurde zusammen mit einer Über-
setzung ins Englische 1831 herausgegeben. Es gibt auch lateinische Versionen,
die vom Engländer Robert von Chester oder vom Italiener Gerhard von Cre-
mona (ca. 1114–1187) stammen. Sie wurden in Toledo niedergeschrieben.

5.2 Al-H

<w¯arizm¯ı (al-Choresmi) und seine „Algebra“

241

Und schließlich eine Bemerkung zur Sprachgeschichte: Aus dem Wort
al-ğabr im Titel der „Algebra“ von al-H

<w¯arizm¯ı wurde schließlich die Be-
zeichnung Algebra: das Herzstück einer Methode wurde zur Bezeichnung der

Methode schlechthin. Und der Name des Autors al-H

<w¯arizm¯ı wurde – auf
verwickelten historischen Wegen – zum mathematischen Fachwort Algorith-
mus.

Al-H

<w¯arizm¯ı und das indische Zahlensystem

Die Muslime besaßen eigene Zahlensysteme. Auf den Marktplätzen war das

Fingerrechnen weit verbreitet. Schriftliches Rechnen vollzog sich ähnlich wie
bei den Griechen, wo Buchstaben für Ziffern verwendet wurden. Diese Me-
thode war noch im 10. Jahrhundert in Gebrauch.

Das indische Dezimalsystem war längs der Handelswege nach Westen vor-
gedrungen. Mitte des 7. Jahrhunderts wurde es vom syrischen Bischof Severus

Sebocht lobend erwähnt.

Ein indischer Gelehrter brachte 773 eine indische Schrift astronomischen

Inhaltes nach Bagdad an den Hof des Kalifen al-Mans.¯ur; es enthielt Hinweise
auf das indische dezimale Positionssystem.

Al-H

<w¯arizm¯ı schrieb die früheste muslimische Arithmetik, in der die indi-
sche Zählweise behandelt wird. Das arabische Original ist verloren gegangen.

Es könnte den Titel getragen haben „Buch über die Addition und Subtraktion
nach der Methode der Inder“.

Man muss ein wenig aufpassen: Die ältesten Texte zum indischen Rech-
nen, die in arabischer Sprache erhalten sind, sind mehr als 100 Jahre später
als die Schrift von al-H

<w¯arizm¯ı. Al-Uql¯ıdis¯ı – Lebensdaten sind unbekannt –
verfasste 952/953 in Damaskus eine Schrift über das indische Rechnen. Dazu
kommt, dass er das schriftliche Rechnen mit Feder und Papier statt des üb-
lichen Rechnens auf dem Staubbrett [Alten et al. 2003, S. 185f.] empfahl.

Ähnliche Arbeiten zum indischen Rechnen stammen beispielsweise auch von

Ibn Labb¯
an (2. Hälfte 10. Jahrhundert) und von al-Ba ˙gd¯
ad¯ı (gest. 1037).

(Ausführlich bei [Folkerts 1997, S. 4f.])

Bis vor kurzem war nur eine, allerdings lückenhafte lateinische Version der

Schrift von al-H

<w¯arizm¯ı bekannt, mit erheblichen Fehlern. Vor allem fehlen
dort die indischen Ziffern; die Stellen, wo sie hingehören, sind freigelassen

(ausführlich bei [Juschkewitsch 1964, S. 186–203]).

Es war nun eine mathematikhistorische Sensation, als es M. Folkerts ge-
lang, in New York eine vollständige lateinische Fassung der Arbeit von al-

H

<w¯arizm¯ı zu entdecken. Diese Bearbeitung enthält auch die indischen Ziffern
und stammt möglicherweise aus dem 12. Jahrhundert.

Die New Yorker Fassung beginnt mit den Worten:

„Dixit Alchoarizmi (Al-H

<w¯arizm¯ı hat gesagt) Wir wollen Gott, un-
serm Herrn und Beistand, das ihm zukommende Lob aussprechen,

242

5 Mathematik in den Ländern des Islam

Abb. 5.2.2

Erste Seite der ältesten lateinischen Übersetzung einer Arbeit von
al-H

<w¯arizm¯ı über das indische Rechnen [Folkerts 1997, Tafel I]

das ihm das geschuldete abstattet und durch Vermehren sein Lob ver-
vielfältigt. Und wir wollen ihn bitten, dass er uns auf den Pfad der

Geradlinigkeit und auf den Pfad der Wahrheit führt und dass er uns
hilft bei unserer guten Absicht dessen, was wir beschlossen haben dar-
zulegen und zu erörtern über die Rechenweise der Inder mit Hilfe von

9 Symbolen, mit denen sie jede einzelne Zahl um der Leichtigkeit und
abgekürzten Form willen darstellen, damit nämlich dieses Verfahren
leichter wird für denjenigen, der sich um die Arithmetik bemüht, d.h.

sowohl um eine sehr große als auch eine sehr kleine Zahl und um all
das, was mit ihr geschieht an Multiplikation und Division, Addition
und Zerlegung, und um die übrigen Dinge.“

(Zitiert nach [Folkerts 1997, S. 29])

In seiner „Arithmetik“ lehrt al-H

<w¯arizm¯ı die Zahlendarstellung nach indi-
scher Weise im dezimalen Positionssystem und die Grundrechenarten in die-
ser Zahlenschreibweise. Behandelt werden das Rechnen mit ganzen Zahlen:

Addition, Subtraktion, Halbierung, Verdoppelung, Multiplikation, Neuner-
probe; sodann die Division: Sexagesimalbrüche und gewöhnliche Brüche und

5.2 Al-H

<w¯arizm¯ı (al-Choresmi) und seine „Algebra“

243

Grundrechenarten mit ihnen; schließlich die Bestimmung der Quadratwurzel
aus ganzen Zahlen und Brüchen.

Im weiteren Verlauf hat sich die arabische Ziffernschreibweise differen-
ziert. Aus den indischen Ziffern entwickelten sich die ostarabischen und die
westarabischen oder ˙

Gub¯
ar-Ziffern. Während heutzutage die ostarabischen

Ziffern bei den die arabische Schrift benutzenden Völkern bis hin zum äu-
ßersten Westen der arabisch-islamischen Welt in Marokko verwendet und dort
indische Ziffern genannt werden, haben sich aus den dort gebildeten (indisch)-
westarabischen Ziffern im 15. und 16. Jahrhundert die bei uns gebräuchlichen

„arabischen“ Ziffern entwickelt (vgl. dazu auch [Kunitzsch 2003]).

Das Rechnen mit dem indischen dezimalen Positionssystem hat sich nur
langsam durchgesetzt. Ab¯
u l-Waf¯
a c hat noch zwischen 961 und 976 eine Arith-
metik auf Grundlage der verbalen Zahlenbeschreibung verfasst. Eine an der

Grenze vom 10. zum 11. Jahrhundert verfasste Arithmetik von al-Karaˇ
g¯ı

(gest. zwischen 1019 und 1029) beruht auf derselben Konzeption.

Abb. 5.2.3

Stammtafel unserer Zahlzeichen, nach [Menninger 1958]

244

5 Mathematik in den Ländern des Islam

Weit verbreitet – und das sogar noch für lange Zeit – war zudem der

Gebrauch des Sexagesimalsystems, wenn auch in einer gegenüber dem meso-
potamischen Vorbild verbesserten Form.

Dezimalbrüche waren bekanntlich schon in China verwendet worden. Mög-
licherweise hat der aus dem Iran stammende al-K¯
aš¯ı (gest. 1429) davon

Kenntnis erhalten. Jedenfalls behandelt er in einer großen zusammenfassen-
den Schrift in Buch 1 das Rechnen mit natürlichen Zahlen und die indische

Ziffernschreibweise, im 2. Buch systematisch die Bruchrechnung für gewöhn-
liche Brüche und Dezimalbrüche. Im Buch 3 wird das Rechnen im Sexagesi-
malsystem vorgetragen. In Buch 4 folgen geometrische Probleme, in Buch 5
u. a. die regula falsi, Rechnen mit Irrationalitäten, einiges aus Buch X der

„Elemente“, zahlentheoretische Probleme, u. a. über vollkommene und be-
freundete Zahlen.

Das umfangreiche wissenschaftliche Werk von al-K¯
aš¯ı umfasst zahlreiche
mathematische, vor allem aber astronomische Abhandlungen. Viele weite-
re Werke islamischer Mathematiker zur Arithmetik sind zum Teil verloren
gegangen und (bisher) nur dem Namen nach bekannt, z. B. von al-B¯ır¯
un¯ı

(973–1048) über das Berechnen dritter und vierter Wurzeln und auch eine

Abhandlung von al-H

<ayy¯am (1048–1131). Allgemeine Verfahren zum Wurzel-
ziehen wurden von al-K¯
aš¯ı in seinem „Schlüssel zur Arithmetik“ behandelt;
dieses Werk ist sogar erhalten geblieben [Alten et al. 2003, S. 190f.].

Nach al-K¯
aš¯ı verbreiteten sich die Dezimalbrüche in der 2. Hälfte des

15. Jahrhunderts und im 16. Jahrhundert in der Türkei. Man verwandelte
gemeine Brüche in Dezimalbrüche. Dies wird dargelegt in einer anonymen
byzantinischen Handschrift; sie befindet sich jetzt in der Österreichischen

Nationalbibliothek in Wien [Juschkewitsch 1964, S. 241f.].

5.3 Spitzenleistungen in der Algebra der Muslime

Im historisch-kritischen Rückblick erscheint al-H

<w¯arizm¯ı nicht eigentlich als

Forscher, sondern als „Zusammenfasser“, als pädagogisch geschickter Kompi-
lator in einer einmaligen wissenschaftshistorischen Situation. Sein erheblicher

Einfluss erstreckt sich auf die nachfolgenden Generationen muslimischer For-
scher auf dem Gebiet der Algebra und – wie man sehen wird – bis weit hinein
in die nachfolgende Entwicklung in Europa.

Hier können nur fast stichwortartige Einblicke in die algebraischen Fähig-
keiten der Muslime gegeben werden.

Die „Algebra“ von al-H

<w¯arizm¯ı wirkte anregend u. a. auf Ab¯u K¯amil (ca.

850–ca. 930), al-Karaˇ
g¯ı(gest. um 1029), as-Samaw c al (gest. 1175), al-H

<ayy¯am

(ca. 1048–ca. 1131), Šaraf ad-D¯ın at.-T.¯us¯ı (ca. 1135–ca. 1213) , Nas.¯ır ad-D¯ın
at.-T.¯us¯ı (1201–1274), al- K¯aš¯ı (ca. 1380–ca. 1429) und andere Gelehrte [Alten
et al. 2003], [Peiffer/Dahan-Dalmedico 1994].

5.3 Spitzenleistungen in der Algebra der Muslime

245

Ab¯
u K¯
amil

Ab¯
u K¯
amil knüpfte direkt an die „Algebra“ von al-H

<w¯arizm¯ı an. Der Titel
eines seiner Werke Kit¯
ab fi l-ğabr wa-l-muq¯
abala (Buch über Algebra) ist fast

¯
gleich lautend mit der „Algebra“ des al-H

<w¯arizm¯ı. Weitere, erhalten geblie-
bene und teilweise in moderne Sprachen übersetzte Abhandlungen betreffen
die Werke Buch von seltenen Dingen in der Rechenkunst, Über Pentagon und

Dekagon, ferner Abhandlungen über Wurzeln, Vermessung und anderes.

Was die Algebra betrifft, so übertrifft Ab¯
u K¯
amil al-H

<w¯arizm¯ı: Er behan-
delt unbestimmte Gleichungen, beispielsweise die Gleichung x 2 − 8 x− 20 = y 2,
die natürlich verbal formuliert wird. Als erster muslimischer Mathematiker
betrachtete er Potenzen bis x 6 (Quadrat Quadrat Quadrat). Er behandelte

Gleichungen vierten Grades, überdies auch biquadratische Gleichungen mit
irrationalen Koeffizienten.

Wie historische Studien ergeben haben, konnte Ab¯
u K¯
amil auf Heron so-
wie auf mesopotamische und ägyptische Quellen zurückgreifen. Andererseits
lässt sich direkter Einfluss auf al-Karaˇ
g¯ı und Fibonacci nachweisen.

Über Ab¯
u Kam¯ıl ist nichts Authentisches zur Biographie bekannt. Er
erhielt jedoch schon damals den Ehrennamen „Der Rechner“.

Al-Karaˇ
g¯ı

Al-Karaˇ
g¯ı steht in der direkten Nachfolge von Ab¯
u K¯
amil, al-H

<w¯arizm¯ı und
auch von Diophant. Er wirkte vorwiegend in Bagdad.

Al-Karaˇ
g¯ı nimmt eine zentrale Stellung in der Geschichte der Algebra
ein, die sich durch ihn zu einer weitgehend selbstständigen mathematischen

Disziplin auszuformen begann.

„Der persische Mathematiker al-Karaˇ
g¯ı hat auf der Grundlage der
algebraischen Werke von al-H

< w¯arizm¯ı und Ab¯u K¯amil und in Anleh-
nung an die ‚Arithmetika‘ von Diophant die Algebra als eine eigen-
ständige Disziplin entwickelt, indem er sich nach und nach von der
geometrischen Beweisführung seiner Vorgänger abwandte und als ers-
ter das Ziel der Algebra als die Bestimmung der unbekannten Größen
durch die bekannten definierte. Diese Definition blieb bis zum Anfang
des 19. Jhs. gültig und wird als die Arithmetisierung der Algebra be-
zeichnet.“

(Zitiert bei [Brentjes 1990, S. 240f.]

In der Formulierung „Arithmetisierung der Algebra“, die wohl auf R. Ras-
hed zurückgeht, tritt der Kern von al-Karaˇ
g¯ıs Leistung zutage: Der Versuch,

Gleichungen und Gleichungssysteme (nach Möglichkeit) mit algebraischen

Methoden zu lösen. Sein Werk ist umfangreich; ausführlich [DSB, Bd. VII,

S. 240–246]).

Al-Karaˇ
g¯ı schrieb ein arithmetisches Buch Genügendes über das Rechnen,
das bei praktischen Problemen Staatsbeamten und Kaufleuten Hilfe geben

246

5 Mathematik in den Ländern des Islam
sollte. Das algebraische Werk Wunderbares über die Arithmetik behandelt
unbestimmte Gleichungen. Das zweiteilige Werk über Algebra, al-Fah

< r¯ı, hat
er dem Wesir von Bagdad gewidmet. Unter anderem wird das Potenzge-
setz formuliert: xmxn = xm+ n; m, n ganz, beide positiv oder beide negativ.

Polynome, die Summation endlicher arithmetischer Reihen und algebraische

Umformungen von Irrationalitäten werden behandelt, vor allem aber unbe-
stimmte Gleichungen höheren Grades, beispielsweise zwei Gleichungen in drei

Unbekannten ( u, v bedeuten Konstante):

x 2 + z = u 2 ;
y 2 + z = v 2
und viele andere Fälle.

As-Samaw c al berichtete später, al-Karaˇ
g¯ı habe die Binomialkoeffizienten
bis zum Exponenten 12 angegeben.

Al-Karaˇ
g¯ı hat noch etwa 18 weitere Abhandlungen verfasst; etwa die Hälf-
te von ihnen ist verschollen. Dazu gehören eine Einführung in die Astronomie,
eine in die indische Rechenweise und eine weitere über Gewölbe und Gebäude.

As-Samaw c al

Im gewissen Sinne kann as-Samaw c al als Schüler von al-Karaˇ
g¯ı verstanden
werden, insbesondere mit seinen algebraischen Ambitionen [Peiffer, S. 87–89],

[DSB, Bd. XII, S. 91–95].

As-Samaw c al wurde in Bagdad geboren, als Sohn eines jüdischen Lehrers
für Religion und Literatur. Die Mutter war hoch gebildet und stammte aus

Basra. Der Junge erwies sich als eine Art Wunderkind, studierte Hebräisch
und Medizin und wurde mit dem indischen Zahlensystem und Vermessungs-
techniken bekannt. Inzwischen war das wissenschaftliche Niveau in Bagdad
derart abgesunken, dass er keine Lehrer in Mathematik finden konnte und
gezwungen war, autodidaktisch Euklids „Elemente“, die „Algebra“ von Ab¯
u

K¯
amil, Werke von al-Karaˇ
g¯ı und andere fundamentale mathematische Werke
zu lesen. Damals war er 18 Jahre alt. Er war ein sehr erfolgreicher Arzt und
trat mit medizinischen Schriften hervor. Auch wandte er sich gegen die Pro-
phezeiungen der Astrologen. Seine Autobiographie enthält den Bericht von
einem Traum, der ihn am 8. November 1163 bestimmte, zum Islam überzu-
treten.

Was die Mathematik betrifft, so schrieb er mit 19 Jahren ein vierteili-
ges Buch zur Algebra: Das glänzend schöne Buch über das Rechnen. Unter
anderem tritt dort erstmals in der muslimischen Algebra eine systematische

Behandlung der negativen Zahlen auf. Mit der Definition x 0 = 1 dehnte er die
allgemeinen Rechenregeln für Potenzen aus, ohne Einschränkung der Expo-
nenten. Behandelt werden bei einer wenn auch noch unausgereiften Symbo-
lik: Rechnen mit Polynomen, Klassifikation der quadratischen Gleichungen,

Klassifikation der Irrationalitäten im Anschluss an Buch X der „Elemente“.

Der Einfluss von as-Samaw c al ist schwer abzuschätzen. Er ist nachweisbar
auf al-K¯
aš¯ı, nicht aber für Europa.

5.3 Spitzenleistungen in der Algebra der Muslime

247
cUmar H

<ayy¯am (Omar Khayyam)

cUmar H

<ayy¯am (ca. 1048–ca. 1131) war ein überaus produktiver Mathema-
tiker, Astronom und Philosoph. In Europa ist er zuerst bekannt geworden
als Dichter, als Verfasser von ungefähr 1000 Vierzeilern, niedergeschrieben in
persischer Sprache. Auf dem Hintergrund tiefer Melancholie in Anbetracht
des unvermeidbaren Todes werden Lebens- und Liebeslust gepriesen und so-
gar der Genuss von Wein – eine Sünde im orthodoxen Islam.

Als Beispiel seien hier einige dieser Sinnsprüche wiedergegeben.

Merk dir, von der Seele wirst du einst getrennt,

Der Weg ins Nichts dich hinter geheime Schleier lenkt.

Trink Wein, denn du weißt nicht, woher du kommst,

Sei fröhlich, du weißt nicht, wohin es dich lenkt.

Abb. 5.3.1

Text eines Vierzeilers von cUmar H

<ayy¯am in persischer Sprache

[Wikimedia Commons, GNU-FDL]

In freier Übersetzung lautet dieser Vierzeiler:

Man sagt, das Paradies mit Jungfraun sei entzückend,
ich find allein den Rebensaft berückend!

Nimm dies alsbald, und den versprochnen Schatz lass fahren,
denn Krieges Trommelklang ist nur von fern beglückend.

[Nach Wikipedia aus dem Dateiarchiv Wikimedia Commons]

Der Perser cUmar H

<ayy¯am stammt aus Nischapur (Chorasan, im heutigen

Iran). Schwierige und gefährliche politische Zustände zwangen ihn, seine Wir-
kungsstätten zu wechseln. Nach einem Aufenthalt in Samarkand fand er in

Isfahan 18 Jahre Ruhe zur wissenschaftlichen Arbeit und leitete dort das

Observatorium.

248

5 Mathematik in den Ländern des Islam

Abb. 5.3.2

Omar Khayyam (Albanien 1997)

Als cUmar H

<ayy¯am seine fürstlichen Beschützer in Isfahan verlor, wurde
er wegen Gottlosigkeit verfolgt und vertrieben und unternahm eine Pilgerreise
nach Mekka. Er starb in Nischapur.

cUmar H

<ayy¯am hat einen äußerst scharfsinnigen kritischen Beitrag zur

Diskussion um das Parallelenpostulat von Euklid geleistet; er kann gedeutet
werden als erster Beitrag zur nichteuklidischen Geometrie [DSB, Bd. VII,

S. 329f.], [Scriba/Schreiber, 2. Aufl. 2005, S. 173]. Weitere mathematische

Leistungen betreffen die Euklidische Proportionenlehre, Zahlentheorie, Radi-
zieren, astronomische Tafeln.

Seine Hauptleistung aber betrifft die Algebra. Noch in Samarkand schrieb
er eine umfassende Abhandlung über kubische Gleichungen. Durch ihn wurde
die Unterscheidung zwischen Arithmetik und Algebra betont und der Algebra
eine klare Definition gegeben, die in Europa erst wieder im 17. Jahrhundert
erreicht wurde.

Algebra ist für ihn die Kunst von al-ğabr und al-muq¯
abala, bei der unbe-
kannte Größen aus mit ihnen in Gleichungen zusammenhängenden bekannten

Größen berechnet werden sollen. Der Begriff „Größe“ ist weit gefasst, er um-
schließt Zahlen, Strecken, Körper und sogar die Zeit.

cUmar H

<ayy¯am gab eine Klassifikation auch der Gleichungstypen dritten

Grades, natürlich verbal, ohne Symbole, vgl. [Alten et al. 2003, S. 177]. Er
musste zugeben, dass es ihm nicht gelungen ist, eine Gleichung dritten Gra-
des in Wurzelausdrücken zu lösen, hoffte aber darauf, dass Nachfolgende die

Lösung finden werden. Aber er gibt für die verschiedenen Typen kubischer

Gleichungen geometrische Lösungen mit Hilfe von Kegelschnitten an.

Beispielsweise behandelt er die Gleichung (modern geschrieben)

x 3 + αx = β ;
α, β > 0 ,

5.3 Spitzenleistungen in der Algebra der Muslime

249

Abb. 5.3.3

Figur zur geometrischen Lösung der kubischen Gleichung
x 3 + a 2 x = a 2 b
schreibt aber wegen des Homogenitätsprinzipes
x 3 + a 2 x = a 2 b ;
a, b > 0 .

Er betrachtet den Kreis x 2 + y 2 = bx und die Parabel x 2 = ay. Die x-

Koordinate des Schnittpunktes P von Kreis und Parabel ist die positive

Wurzel der kubischen Gleichung. (Natürlich findet sich bei al-H

<ayy¯am kein

Hinweis auf die Existenz zweier komplexer Wurzeln).

In Europa wurde der Theorie geometrischer Lösungen im 17. Jahrhundert
zur Wiedergeburt verholfen, insbesondere durch Descartes.

Al-H

<ayy¯am begegnete bei seinen Studien schwierigen Fragen, z. B. ob und
wie viele positive Wurzeln eine kubische Gleichung haben kann. Diese und
ähnliche Fragen, die sich aus dem Schnittverhalten von Kegelschnitten erge-
ben, wurden von Šaraf ad-D¯ın at.-T.¯us¯ı weitergeführt.

Šaraf ad-D¯ın at.-T.¯
us¯ı

Šaraf ad-D¯ın at.-T.¯us¯ı (um 1135–1213) wurde in Tus (im heutigen Iran) ge-
boren und wirkte in Damaskus, Aleppo, Mossul, Bagdad und Hamadan. Es
gelang ihm, recht gute Ergebnisse zur Existenz positiver Wurzeln von Glei-
chungen dritten Grades zu erzielen. Auch studierte er Kurven an Hand der

Gleichungen: Die wechselseitige Betrachtung von Gleichungen und Kurven
gehört bereits in den Bereich der analytischen Geometrie. Er soll sogar nume-
rische Näherungslösungen für kubische Gleichungen gefunden haben [Rashed

1994].

250

5 Mathematik in den Ländern des Islam

Abb. 5.3.4

Nas.¯ır ad-D¯ın at.-T.¯us¯ı; Al-K¯aš¯ı (Iran 1993, 1979)

Nas.¯ır ad-D¯ın at.-T.¯
us¯ı

Auf dem Gebiet der numerischen Lösung von Gleichungen und der Berech-
nung von Wurzeln hat auch Nas.¯ır ad-D¯ın at.-T.¯us¯ı (1201–1274) Bedeutendes
geleistet. Er stammt aus dem heutigen Iran und starb während einer Reise
nach Bagdad. Im Alter von 50 Jahren wurde er Hofastrologe in Maragha unter
dem Mongolenfürsten H¯
ul¯
ag¯
u H

<¯an. Maraghas Observatorium wurde zu einem

Zentrum mathematisch-astronomischer Forschung; dort arbeiteten Gelehrte
aus Damaskus, Mossul und sogar aus China. An dieser Forschungsstätte ver-
fasste at.-T.¯us¯ı im Jahre 1260 das erste selbstständige Werk zur Trigonometrie,
die Abhandlung über das vollständige Vierseit. Erstmals wird hier die Leh-
re von der Berechnung der Dreiecke zum eigenständigen Wissenschaftszweig
erhoben. Dieses umfassende Werk, beginnend mit den Grundbegriffen und

Grundbeziehungen bis zum Algoritmus für die Lösung aller typischen Aufga-
ben, übte einen bedeutenden Einfluss auf die Entwicklung der Trigonometrie

Europas aus.

At.-T.¯us¯ı gab komplizierte Beispiele für die Berechnung von Wurzeln an,

√
etwa

244 140 626 [Alten et al. 2003, S. 185–188]. Er könnte Anregungen zu
dieser Arbeitsrichtung aus einem (verlorenen) Werk von cUmar H

<ayy¯am oder
aber von in Maragha wirkenden chinesischen Gelehrten empfangen haben.

√

Andere Problemkreise betreffen Wurzeln der Art k ak + r.

Al-K¯
aš¯ı

Einer der letzten bedeutenden muslimischen Mathematiker war al-K¯
aš¯ı (um

1380–1429), mit dem Beinamen „ ˙

Giy¯
at ad-D¯ın“, was „Hilfe des Glaubens“
bedeutet. Er wurde vermutlich in Kaschan (Iran) geboren und starb in Sa-
markand. Nach einer schweren, von Armut geprägten Jugendzeit gelangte er

5.3 Spitzenleistungen in der Algebra der Muslime

251
nach Samarkand, wo die durch Ulu ˙g Beg geförderte wissenschaftliche Schule
und ein Observatorium existierten. Hier wurde al-K¯
aš¯ı zum Leiter des Obser-
vatoriums. Er entwickelte ein originelles Iterationsverfahren, das in seiner Ab-
handlung über die Sehne und den Sinus abgefasst war. Zwar ist diese Nieder-
schrift verloren gegangen, wird aber am Anfang seines Hauptwerkes Schlüssel
der Arithmetik erwähnt. Dieses Verfahren wurde von al-K¯
aš¯ı zur Erstellung
von astronomischen Tafeln herangezogen, wobei er sin 1 ◦ mit großer Genau-
igkeit berechnete. Dafür verwendete er die „Winkeldreiteilungsgleichung“
sin 3 α = 3 sin α − 4 sin3 α,
da sich sin 3 ◦ beliebig genau (z. B. durch Konstruktion mit Zirkel und Lineal
aus der Differenz von 36 ◦ am Fünfeck und 30 ◦ am Sechseck) bestimmen lässt.

Mit x = sin 1 ◦, p = 34, q = 14 sin 3 ◦ geht die Gleichung über in
x 3 + q = px
bzw.

x = ( q + x 3) /p.

Da sin 1 ◦ sehr klein ist, ist ( q + x 3) /p ≈ q/p und x 1 = q/p ein guter erster

Näherungswert für sin 1 ◦. Das Iterationsverfahren xn+1 = q + x 3 n/p liefert mit
jedem Schritt eine weitere Sexagesimalstelle. Auf diese Weise erhielt al-K¯
aš¯ı
für sin 1 ◦ – umgerechnet ins Dezimalsystem – auf 18 Stellen genau
sin 1 ◦ = 0,017 452 406 437 283 571

(vgl. [Scriba/Schreiber, 2. Aufl. 2005, S. 179]).

Aus seiner Feder stammt eine enzyklopädische Zusammenfassung vorhan-
denen mathematischen Wissens, der Schlüssel zur Arithmetik. Zwar ist der
erste Teil, Abhandlung über die Sehne und den Sinus, verloren gegangen, aber
wir sind durch spätere Beschreibungen über dessen Inhalt informiert.

Der Schlüssel zur Arithmetik wurde für spätere Generationen zum Stan-
dardwerk: Gelehrt werden u. a. die binomischen Formeln, Berechnung der
n-ten Wurzeln, numerische Auflösung von Gleichungen durch Iterationsver-
fahren, vgl. [Alten et al. 2003, S. 185ff.].

Im Schlüssel zur Arithmetik behandelt al-K¯
aš¯ı auch die Konstruktion der
die islamische Baukunst bestimmenden Kuppeln (qubba). Es gab verschie-
dene, mathematisch ziemlich komplizierte Konstruktionen; vgl. dazu [Dold-

Samplonius 1992], [Dold Samplonius 2003].

Eine spezielle Abhandlung ist Ulu ˙g Beg gewidmet und behandelt das

Rechnen mit natürlichen Zahlen, die indische Zahlenschreibweise, das später
nach Newton benannte Iterationsverfahren, gewöhnliche Brüche, Dezimalbrü-
che, Rechnen im Sexagesimalsystem. Es folgen geometrische Grundbegriffe,
die regula falsi, das Rechnen mit Irrationalitäten, Summation endlicher Zah-
lenreihen und Anderes.

Aufschlussreich ist seine Definition des gewöhnlichen Bruches. Er definiert
den Bruch als

252

5 Mathematik in den Ländern des Islam

Abb. 5.3.5

Kuppel des Grabmals Gur Emir in Samarkand (Anfang 15. Jh.)

[Foto Dold]

5.4 Zum Zahlbegriff

253

Abb. 5.3.6

Konstruktion einer Qubba, aus [Dold-Samplonius 1992, S. 176]

„. . . das auf das Ganze als Einheit bezogene Quantum. . . . Jedes Ver-
hältnis des Zählers eines Bruches zu seinem Nenner lässt sich unend-
lich vielfältig in Zahlen ausdrücken, doch das Beste hiervon für die

Anwendung ist das Kleinste aus zwei ganzen Zahlen mit demselben

Verhältnis; alle anderen Ausdrücke sind schlechter.“

[Juschkewitsch 1964, S. 199]

Weitere Schriften – 10 davon sind erhalten geblieben – berühren geome-
trische Probleme wie: Kreisumfang, iterative Bestimmung von sin 1 ◦ [Scri-
ba/Schreiber, 2. Aufl. 2005, S. 179].

5.4 Zum Zahlbegriff

Die Art und Weise der Definition von „Zahl“ bzw. die Verwendung des Zahl-
begriffes ist Kernstück von Arithmetik und Algebra. Hier sei die zusammen-
fassende Einschätzung von A.P. Juschkewitsch zitiert:

„Die Chinesen und Inder haben die negativen Zahlen eingeführt, die

Mathematiker der Länder des Nahen und Mittleren Orients gelangten
zum Begriff der reellen Zahl, der sowohl die rationalen als auch die
irrationalen positiven Zahlen umfaßt. Diese hervorragende theoreti-
sche Errungenschaft wurde in Europa an der Grenze vom 16. zum

17. Jahrhundert bekannt, und zwar durch die Herausgabe einer Fas-
sung der „Darlegung des Eukleides“ des Nas.¯ır ad-D¯ın at.-T

. ¯
us¯ı in Rom

. . . (im Jahre 1594).

254

5 Mathematik in den Ländern des Islam

Im 17. Jahrhundert entwickelte Gregorius a Sancto Vincentio eine

Theorie der quantitativen „Benennungen der Verhältnisse“, die den

„Abmessungen der Verhältnisse“ seiner Vorgänger entsprachen.

Andreas Tacquet kritisierte und „korrigierte“ den Eukleides von ei-
nem Standpunkt, der dem des al-H

< ayy¯am nahe steht. René Descartes
verknüpfte die antike allgemeine Verhältnislehre mit der Arithmetik,
und Isaac Newton definierte schließlich die Zahl nicht als Zusammen-
fassung von Einheiten, sondern als abstraktes Verhältnis irgendeiner

Größe zu einer anderen Größe derselben Art, die als Einheit gewählt
wurde.

Selbstverständlich stützte sich die Entwicklung des Zahlbegriffes in

Europa vor allem auf die stürmische Entwicklung der numerischen

Mathematik und ging hier eigene Wege.

Bereits am Ende des 16. Jahrhunderts trat Simon Stevin entschie-
den dafür ein, die Irrationalitäten als Zahlen anzuerkennen; er lehn-
te es ab, sie als irrational oder unausdrückbar zu bezeichnen, da sie
in Wirklichkeit nur inkommensurabel wären. Es wäre interessant, zu
klären, ob zwischen der Verhältnislehre im 17. Jahrhundert und den

Gedanken der arabischen mathematischen Literatur direkte Zusam-
menhänge bestanden haben.

Für die Erweiterung des Zahlbegriffes zur reellen Zahl war die Aner-
kennung der negativen Zahlen von großer Bedeutung. Die Mathema-
tiker der Länder des Nahen und Mittleren Orients übernahmen diese

Zahlenform von den Indern nicht; erst kürzlich wurde ein Einzelfall
der Verwendung negativer Zahlen (. . . ) im Buch des Abu-l-Wafa für
die Schreiber entdeckt.“

[Juschkewitsch 1964, S. 255f.]

5.5 Beiträge der Muslime zur Geometrie

Ein wenig zugespitzt kann man feststellen, dass die Leistungen der Musli-
me auf dem Gebiet der Algebra die auf dem Gebiet der Geometrie deut-
lich übertreffen. Dies schließt natürlich einzelne hervorragende geometrische

Leistungen nicht aus, vor allem in der Trigonometrie im Zusammenhang mit

Astronomie. Dies wiederum stand in enger Beziehung zu religiösen Bräuchen:

Festlegungen des Mondkalenders, Festsetzung der fünf täglichen Gebetszeiten
nach dem Sonnenstand, die Orientierung nach Mekka in Abhängigkeit vom
geographischen Standort.

So ist es nicht verwunderlich, dass sich geometrische und trigonometrische

Studien auch bei Mathematikern finden, die sich als Algebraiker hervorgetan
haben, und umgekehrt.

Am Anfang stand die Aneignung der „Elemente“ des Euklid; sie wurden
übersetzt und kommentiert und dienten in der Folgezeit als Anregung zu
weiterer Forschung (vgl. dazu ausführlich [Scriba/ Schreiber, 2. Aufl. 2005]).

5.5 Beiträge der Muslime zur Geometrie

255

In einem Abschnitt seiner schrittmachenden „Algebra“ behandelt al-

H

<w¯arizm¯ı geometrische Themen. Inhaltlich greift er zurück auf die ersten
beiden Bücher der „Elemente“ und auf Heron. Auch findet sich ein anschauli-
cher Beweis des Satzes von Pythagoras für das gleichschenklig-rechtwinklige

Dreieck, möglicherweise nach indischen Anregungen.

In der zweiten Hälfte des 9. Jahrhunderts haben die drei Brüder Ban¯
u

M¯
us¯
a (Muh.ammad, gest. 872, Ah.mad und H.asan) eine weit ausgreifende

Tätigkeit entwickelt. Sie reisten beispielsweise nach Byzanz, um griechische

Handschriften zu erwerben. Neben Arbeiten zur Mechanik, Astronomie und
zum Instrumentenbau widmeten sie sich insbesondere der Geometrie. So wur-
den die sieben ins Arabische übersetzten Bücher der „Konika“ von Apollonios
kommentiert, ebenso wie die Berechnungen von Flächen und Körpern. Durch

Gerhard von Cremona ins Lateinische übersetzt haben diese Darlegungen –
z. B. über Kreis- und Kugelberechnungen – eine große Rolle im lateinischen

Mittelalter gespielt. Auch beschrieben die Brüder Ban¯
u M¯
us¯
a die antike Ex-
haustionsmethode.

Die muslimischen Geometer beschäftigten sich ausführlich und umfassend
mit der Konstruktion von regulären Polygonen. Als mit Zirkel und Lineal kon-
struierbar waren damals bekannt Dreieck, Quadrat, Fünfeck, Fünfzehneck
und durch Seitenverdoppelung daraus ableitbare Polygone. Reguläres Sie-
beneck und reguläres Neuneck boten sich als Herausforderung an, zumal das

Neuneckproblem mit dem Problem der Winkeldreiteilung verquickt ist. Der

Ausweg bestand in der Suche nach Lösungen mittels Kegelschnitten.

Ab¯
u l-Waf¯
a c , im 10. Jahrhundert lebend und in Bagdad wirkend, schrieb
eine Abhandlung Über jene Teile der Geometrie, die die Handwerker benö-
tigen. Dort finden sich Konstruktionen regulärer Polygone bis zum 10-Eck
sowie Konstruktionen mit fester Zirkelöffnung.

Die wunderbaren geometrischen und floralen muslimischen Ornamente –

Darstellungen von Lebewesen sind im Islam untersagt – bieten ein weites Be-
tätigungsfeld für mathematikhistorische Studien. Auch die Kreisberechnung
gehörte bei den Muslimen – wie in allen Kulturkreisen – zu einem zentralen
mathematischen Problemkreis. Al-H

<w¯arizm¯ıgab den archimedischen und den
indischen Wert für π bzw. den Kreisumfang an. Al-K¯
aš¯ı trieb die Berechnung
von π am Polygon mit 3 · 228 Seiten so weit, dass der von ihm erhaltene Wert
für π im Dezimalsystem auf 17 Stellen genau ist.

Das Parallelenpostulat war schon in der Antike Gegenstand kritischer Be-
trachtung gewesen. Eine ganze Reihe muslimischer Gelehrter – u. a. T¯
abit ibn

Qurra (836–901), an-Nayr¯ız¯ı (gest. um 922), al-H

<ayy¯am– suchten das Postu-
lat zu beweisen, verwickelten sich aber – wie auch die Gelehrten in Europa
noch bis ins 18. Jahrhundert – in Zirkelschlüsse (ausführlich bei [Juschke-
witsch 1964, S. 277–288]).

Nicht alle der von den ostarabischen Mathematikern erzielten Fortschrit-
te erreichten Europa. Immerhin aber beschäftigte sich der einflussreiche je-
suitische Mathematiker Christoph Clavius (1537–1612) mit der Arbeit von

256

5 Mathematik in den Ländern des Islam

Abb. 5.5.1

Geometrisches Ornament mit floralen Motiven am Mausoleum Usta

Ali in Shah-i-Sinda, Samarkand [Foto Alten]

5.5 Beiträge der Muslime zur Geometrie

257

Abb. 5.5.2

Florales und geometrisches Motiv im Kachelschmuck der Freitags-
moschee in Yazd, Iran [Foto Alten]

258

5 Mathematik in den Ländern des Islam
an-Nayr¯ız¯ı zum Parallelenproblem, und John Wallis (1616–1703) führte um

1650 die Arbeiten von Nas.¯ır ad-D¯ın at.-T.¯us¯ı weiter [Scriba/Schreiber, 2. Aufl.

2005, S. 174].

Auch die im engeren Sinne praktische Geometrie ist vertreten, sogar schon
bei al-H

<w¯arizm¯ı. Seine geometrischen Ausführungen in der „Algebra“ weisen

Ähnlichkeiten mit einer althebräischen Schrift auf.

Trigonometrie gehörte – im Hinblick auf die Astronomie und die daraus
abgeleiteten religiösen Pflichten – zu den bevorzugten Forschungsgebieten.

Hier wurden bedeutende Fortschritte erzielt.

Bereits um 800 waren in Bagdad alexandrinische und indische astrono-
mische Werke bekannt geworden; diese beruhten auf einer Sinustrigeometrie
statt auf der antiken Sehnengeometrie; vgl. dazu [Scriba/Schreiber, 2. Aufl.

2005, S. 175ff.].

Auch hier machte al-H

<w¯arizm¯ı den Anfang mit der Aneignung der neu-
en Methode. Er verfasste eine Sinustafel. Die Sehnentrigonometrie wurde
schließlich durch die Sinusgeometrie ersetzt. Die Muslime fügten den indi-
schen trigonometrischen Grundfunktionen Sinus und Kosinus noch Tangens
und Kotangens, Sekans und Kosekans hinzu. Dazu mussten umfangreiche

Tafeln erarbeitet werden; man behielt nach antiker Tradition das Sexagesi-
malsystem bei. Auch wurde die Trigonometrie auf den räumlichen Fall aus-
gedehnt, d.h. die sphärische Trigonometrie wurde entwickelt.

Einer der zentralen Repräsentanten der muslimischen Trigonometrie war

Nas.¯ır ad-D¯ın at.-T.¯us¯ı (1201–1274). Der Mongolenfürst H¯ul¯ag¯u H

<¯an ließ für ihn
in Maragha (Persien) im 13. Jahrhundert eine Sternwarte errichten. At.-T.¯us¯ı
studierte den Sinussatz der ebenen und sphärischen Geometrie und verfasste
eine speziell der Trigonometrie gewidmete Abhandlung Abhandlung über das
vollständige Vierseit.

Abb. 5.5.3

Ulu ˙g Beg und Sextant (Sowjetunion 1987)

5.5 Beiträge der Muslime zur Geometrie

259

Abb. 5.5.4

Medresse des Ulu ˙g Beg am Registan in Samarkand, Usbekistan

[Foto Alten]

Der Timuriden-Fürst Ulu ˙g Beg (das bedeutet Großprinz) (1394–1449, er-
mordet), Enkel des mongolischen Eroberers T¯ım¯
ur, gründete in seiner Haupt-
stadt Samarkand (heute in Usbekistan) eine Hochschule und um 1425 ein

Observatorium.

Der Sextant im Observatorium des Ulu ˙g Beg in Samarkand sollte mög-
lichst erdbebensicher sein. Dazu wurde aus dem gewachsenen Fels eine Ver-
tiefung in Gestalt eines Zylindersegments gehauen und in der mit Ziegel-
steinen ausgemauerten kreisförmigen Rinne vom Radius 40,1 m das Segment
eines Sextanten (sechster Teil eines Kreises) mit Unterteilung in Winkelgrade
und Minuten markiert. Ein im Mittelpunkt des Kreises befindliches Loch er-
möglicht die Bestimmung der jeweiligen Sonnenhöhe und die Anpeilung und

Positionsbestimmung von Gestirnen.

Hervorragende Gelehrte wurden berufen und das Observatorium mit vor-
züglichen Geräten (Armillarsphären, Astrolabien) ausgestattet. Ulu ˙g Beg
war selbst ein ausgezeichneter Astronom und Mathematiker. Im Jahre 1437
vollendete er Neue astronomische Tafeln; dort sind Sinus und Tangens für
jede Minute des Bogens tabelliert. Er berechnete dort u. a. den Wert von
sin 1 ◦. In Samarkand wurden Mond-, Sonnen- und Planetenbeobachtungen
systematisch vorgenommen. Der auf den Beobachtungen basierende Sternat-
las Z¯ığ-i Gurg¯
an¯ı des Ulu ˙g Beg ist erstaunlich genau. Er umfasst 1018 Sterne,
zum Teil unter Rückgriff auf den „Almagest“ des Ptolemaios.

260

5 Mathematik in den Ländern des Islam

5.6 Neue Quellen für mathematikhistorische Forschung

Verschiedene Autoren haben auch in jüngster Zeit darauf hingewiesen, dass in
arabischen und persischen Depots eine Fülle noch unbekannter, noch nicht er-
schlossener mathematikhistorischer Quellen liegt. Überzeugende Beweise für
diese These sind die in den 1970er Jahren entdeckten Bücher IV, V, VI, VII
von Diophant in arabischer Sprache [Sesiano 1982] und die neuerdings auf-
gefundenen und edierten Schriften zur Infinitesimalrechnung [Rashed 1993,

2000, 2002], so auch Schriften der Ban¯
u M¯
us¯
a (Berechnung der Kugel und
des Zylinders), von T¯
abit ibn Qurra, von Ibn al-Haytam (Quadratur der

¯

¯

Möndchen und des Kreises, Volumen des Paraboloids und der Kugel und Ex-
haustionsmethode) – dies in gewisser Weise in archimedischen Traditionen
stehend. In der Rezension von Chirakara Sasaki (Tokyo) heißt es dazu:

„. . . wir erfahren, dass die mathematische Leistung der Araber kei-
neswegs nur eine Vermittlerrolle des hellenistischen mathematischen

Erbes in die lateinisch-christliche Zivilisation gespielt hat. Diese Leis-
tung war auf eine Vereinfachung des Verfahrens von Archimedes bei
infinitesimalen Bestimmungen und die Verbindung der beiden höchst
fundamentalen mathematischen Disziplinen, Arithmetik und Geome-
trie, gerichtet und – höchst bedeutend dies zu betonen – auf den prakti-
schen und heuristischen Aspekt der Mathematik durch Herausbildung
einer spezifischen ars inveniendi (Erfindungskunst). Mit einem Wort,
es eröffnete sich ein neuer Horizont für die mathematischen Wissen-
schaften.“

[Historia scientiarum, Vol. 13, Second series, Nr. 1, Juli 2003, S. 59–

63. englisch; deutsche Übers. Wg]

Die Untersuchung der Mathematik in den Ländern des Islam ist seit dem

19. Jahrhundert eine international betriebene Aufgabe der Mathematikhis-
toriker und dürfte wohl in der Zukunft zu einem Schwerpunkt der Forschung
werden.

Es gibt schon jetzt eine äußerst umfangreiche einschlägige Literatur in
arabischer Sprache, aber auch in französischer, russischer, englischer und
deutscher Sprache. Diese Publikationen wurden von Spezialisten mit umfas-
senden Sprachkenntnissen und detektivischem Scharfsinn zum Auffinden von

Manuskripten geschaffen (hier konnte nur eine sehr schmale Auswahl gebo-
ten werden, oft nur andeutungsweise). Sie erschließen eine spezifische, höchst
innovative Mathematik aus einem Kulturkreis, dessen Spuren weit hinaus-
reichen in die damals erst noch bevorstehende Entwicklung der Mathematik
während des europäischen Mittelalters und der Renaissance.

In der heutigen Zeit, wo aus politischen Gründen so viel vom „Kampf der

Kulturen“ geredet und geschrieben wird, sollten wir die Leistungen der isla-
mischen Wissenschaft des Mittelalters dankbar würdigen. Sie sind in dieser
oder jener Form, direkt oder indirekt, in unsere Weltkultur und Wissenschaft
eingegangen.

5.6 Neue Quellen für mathematikhistorische Forschung

261

Abb. 5.6.1

Geometrische Muster und florale Ornamente des Kachelschmucks
zeugen von dem Einfluss perisischer Mathematiker bei der Architektur von Mo-
scheen in Isfahan: Eingang und Kuppel der Lutfullah-Moschee; Minarette der

Imam-Moschee; Mihrab (Gebetsnische) in der Lutfullah-Moschee [Foto Alten]

262

5 Mathematik in den Ländern des Islam

Wesentliche Inhalte der Mathematik in den islamischen Ländern

8. Jh

Übernahme der indischen Ziffern

8.–10. Jh.

Übersetzungen griechischer, persischer und indischer Werke

AL-H

<W ¯ARIZM¯I (AL-CHORESMI): Rechnen mit indischen Zif-
fern; ein kurzgefasstes Buch über die Rechenverfahren durch Er-
gänzen und Ausgleichen: Lösung von quadratischen Gleichungen
mit geometrischen Beweisen; Sinustafel
ab 9. Jh.

Geometrische Lösungen kubischer Gleichungen; Abhandlungen
zum Parallelenproblem, Trigonometrie im Anschluss an Griechen
und Inder

2. Hälfte 9. Jh. BAN ¯

U M ¯

US ¯

A: Kreisberechnung, Oberflächen und Inhalte von

Körpern, Winkeldreiteilung, Fadenkonstruktion der Ellipse, Buch
über Kegelschnitte

AB ¯

U L-WAF ¯

A c : Geometrische Konstruktionen für Handwerker,

Konstruktion des regulären Siebenecks durch „Einschiebung“

9./10. Jh.

AL-F ¯

AR ¯

AB¯I: Kommentare zu Euklid, Musiktheorie

AB ¯

U K ¯

AMIL: Quadratische Gleichungen mit rationalen oder ir-
rationalen Koeffizienten, Vogelaufgaben

10./11. Jh.

AL-B¯IR ¯

UN¯I: Übersetzungen aus dem Sanskrit ins Arabische und
umgekehrt; Zylinderprojektion, Definition trigonometrischer Re-
lationen am Einheitskreis, kubische Gleichungen mit geometri-
schen Methoden

IBN S¯IN ¯

A (AVICENNA): Positionsbestimmung von Gestirnen,

Abhandlungen zu Zahlentheorie und Trigonometrie

AL-KARA ˇ

G¯I: Algebra als eigenständige Disziplin

11. Jh.

IBN AL-HAYTAM: Geometrische Optik, Kommentar zu Euklid

¯

11./12. Jh.

cUMAR H

<AYY ¯AM: Geometrische Lösung aller Typen kubischer

Gleichungen mit Hilfe von Kegelschnitten; Beiträge zum Paralle-
lenpostulat, zur Propostionenlehre Euklids und zur Zahlentheorie;
astronomische Tafeln

12./13. Jh.

ŠARAF AD-D¯IN AT

¯

. -T

. US¯I: Geometrische und numerische Lö-
sungen allgemeiner kubischer Gleichungen

13. Jh.

NAS¯

¯

. IR AD-D¯IN AT

. -T

. US¯I: Buch über ebene und sphärische Tri-
gonometrie; Radizieren mit Hilfe des binomischen Satzes und des

Horner-Schemas; „Beweis“ des Parallelenpostulats

15. Jh.

AL-K ¯

AŠ¯I: Lösung einer kubischen Gleichung durch ein originelles

Iterationsverfahren; Berechnung von π auf 17 Dezimalstellen mit

Hilfe eines regelmäßigen Polygons von 3*228 = 805 306 368 Seiten

6 Mathematik im Europäischen Mittelalter

264

6 Mathematik im Europäischen Mittelalter

375

Vorstoß der Hunnen nach Europa

451

Sieg über die Hunnen unter Attila

375–568

Völkerwanderung germanischer Stämme

375

Teilung des römischen Reiches in ein weströmisches und ein oströmi-
sches Reich
um 430

Christianisierung Irlands durch den legendären Mönch Patrick
um 430

Beginn des fränkischen Reiches der Merowinger, Chlodwig tritt zum

Christentum über

466

Zusammenbruch der römischen Herrschaft in Gallien

476

Untergang des weströmischen Reiches
um 500

Angeln, Sachsen und Juten wandern nach England ein

596

Beginn der Christianisierung der Angelsachsen

714

Karl Martell begründet die Dynastie der Karolinger

732

Araber werden bei Tours und Poitiers zurückgeschlagen

754

Pippinsche Schenkung, Stärkung des Kirchenstaates

800

Karl der Große wird in Rom zum Kaiser gekrönt

843

Karolingerreich wird in drei Teile geteilt

955

Schlacht auf dem Lechfeld: Ungarn werden zurückgeschlagen

962

Otto I. wird vom Papst zum Kaiser des Heiligen Römischen Reiches
gekrönt
um 1000

Leif Erikson entdeckt die Ostküste Amerikas

1066

Schlacht bei Hastings; Normannen erobern England

1096–1270

Kreuzzüge

11./12. Jh.

Romanische Baukunst

12./13. Jh.

Städtische Kultur in Oberitalien (Pisa, Venedig, Genua, Mailand)

13./14. Jh.

Hochgotische Kathedralen in West- und Mitteleuropa

1337–1453

Hundertjähriger Krieg zwischen England und Frankreich

1453

Untergang des oströmischen Reiches

15. Jh.

Spätgotik in West- und Mitteleuropa

1480

Großfürst Iwan III. begründet das Zarentum in Moskau

6.0 Vorbemerkung

Historische Perioden pflegen nicht mit Tag und Stunde zu enden; selbst Jah-
resangaben unterliegen der Diskussion der Spezialisten. Beginn und Ende des

Mittelalters gehören zu den weithin umstrittenen Datierungen.

Wir bringen hier den Beginn des europäischen Mittelalters mit der durch
den Vorstoß der Hunnen (375) ausgelösten Völkerwanderung und dem Unter-
gang des weströmischen Reiches (476) in Verbindung. Noch umstrittener ist
das Ende des Mittelalters. Im Extremfall wird es sogar ins 17. Jahrhundert
verlegt.

Wir betrachten, gerade in mathematikhistorischer Sicht, den Beginn der

Renaissance (um 1450) als tief greifende Zäsur und damit als Ende des Mit-
telalters. Freilich differieren diese Angaben nicht unerheblich hinsichtlich geo-
graphischer Regionen (ausführlich bei [Folkerts 2006]).

6.1 Frühes Mittelalter

265

6.1 Frühes Mittelalter

Während des Mittelalters herrschte ein starkes Kulturgefälle von Ost nach

West. Trotz aller kriegerischen Auseinandersetzungen – in Spanien, in Sizili-
en und während der Kreuzzüge im Nahen Osten – gelangten Errungenschaf-
ten der islamischen Welt ins christliche Europa: Papierherstellung, Kenntnis-
se über Heilkräuter, Zierpflanzen und Obstgehölze, Architektur, vermutlich
auch Kompass und Kenntnisse zur Pulverherstellung.

Die Muslime waren Meister des Webens (Damast), der Stahlherstellung

(Damaszener Stahlklingen) und der Züchtung von Pferden („Araber“). Die
muslimischen Ärzte galten mit Recht als die besten ihrer Zeit. Und ähnlich
ist es mit der Übernahme islamischer Mathematik vor sich gegangen.

Das römische Weltreich war an inneren Widersprüchen und unter dem

Ansturm äußerer Feinde zerbrochen. Die politische Auflösung ging einher
mit dem Verfall der Wirtschaft. Fernhandel und städtisches Handwerk ver-
fielen; Städte und Straßen zerfielen. Zum Zentrum der Wirtschaft wurde das

Dorf. Vom 5. bis zum 11. Jahrhundert bildete sich der europäische Feuda-
lismus heraus, der durch Naturalwirtschaft, die Bindung der Bauern an den

Boden (Leibeigenschaft), außerökonomischen Zwang, Lehnsverhältnisse und
ein vergleichsweise niedriges Niveau der Technik gekennzeichnet ist.

Dazu kam in den ersten Jahrhunderten die abweisende Haltung der
sog. Kirchenväter gegen die „heidnische“ Wissenschaft. Tertullian (ca. 160–
nach 220) sah in der hellenistischen Wissenschaft die Quelle der Ketzerei und
betonte den unüberbrückbaren Unterschied zwischen Glauben und Wissen:

„Wissbegier ist uns nicht nötig, seit Jesus Christus; auch nicht Forschung,
seit dem Evangelium.“

Augustinus

Von den Autoren der Patristik hat Augustinus (354–430), Bischof von Hippo

Regius in Nordafrika, am nachhaltigsten die Haltung der Kirche zu Natur-
wissenschaft und Mathematik geprägt. Anfangs stand er in den Traditionen
der hellenistischen Kultur und Lebensweise, ehe er unter dem Einfluss sei-
ner christlich orientierten Mutter zum Christentum übertrat. Zwar betonte
er auch die Überflüssigkeit und die möglichen Gefahren des Studiums der
heidnischen Wissenschaft. Eine andere Sache aber sei die Aneignung nützli-
cher Kenntnisse und Fertigkeiten, da man keine genauen Angaben über den

Zeitpunkt der Errichtung des Gottesstaates machen könne und man sich da-
her auf die Eroberung der bestehenden Welt für das Wort Gottes einstellen
müsse. Der Erwerb wissenschaftlicher Güter durch die Heiden beweise nur
die Unrechtmäßigkeit ihres Besitzes. Erst die Christen können – nach Augus-
tinus – davon den richtigen Gebrauch machen, nämlich den, die Offenbarung

Gottes in der Natur zu erweisen. Und es bleibe die Hauptbedingung jeder Be-
schäftigung mit der Wissenschaft, dass jede Wissenschaft der Heiligen Schrift

266

6 Mathematik im Europäischen Mittelalter

Abb. 6.1.1

Römisches Amphitheater in Karthago. Hier lehrte Augustinus Rhe-
torik, geißelte Karthago als „die Pfanne, in der das Öl der Hurerei schäumt“ und
klagte über die Studenten, die nur noch in die Vorlesungen kämen, um Lärm zu
machen, und mehr Zeit auf Vergnügungen, denn zum Studium verwendeten.

[Foto Alten]

unterworfen sei, da diese alle Fähigkeiten des menschlichen Geistes übertref-
fe. Seitdem war im christlichen Herrschaftsbereich für eine sehr lange Zeit
das Primat des Glaubens vor dem Wissen fixiert.

Augustinus hat Mathematik auch direkt mit der christlichen Lehre in

Verbindung gebracht: Gott habe die Welt in 6 Tagen geschaffen, weil 6 eine
vollkommene Zahl ist (6 ist Summe ihrer echten Teiler). Und, in seiner Schrift

De doctrina christiana (Über die christliche Lehre) liest man:

„Auch die Unkenntnis der Zahlen ist schuld, daß gar manche über-
tragene und geheimnisvolle Ausdrücke in der Heiligen Schrift nicht
verstanden werden.“

(Zitiert bei [Gericke 1990, S. 57])

Dabei darf nicht übersehen werden, dass bei fortschreitender Christianisie-
rung die entstehenden Klöster nicht nur ökonomische Zentren wurden, son-
dern zugleich Heimstätten für überkommene und neu zu erwerbende Kultur-
güter:

„Die Wissenschaft folgt im mittleren und nordwestlichen Europa der

Christianisierung. Als deren Folge entstanden viele Klöster als Stütz-
punkte des religiösen Lebens, aber auch der Kultur allgemein. In

Frankreich hat der hl. Martin (um 315–387, seit 370/71 Bischof von

6.1 Frühes Mittelalter

267

Abb. 6.1.2

Augustinus (Vatikan 1954); PAX ET CONCORDIA SIT CONVI-

VIO NOSTRO (Unser Zusammenleben sei Friede und Eintracht) (Algerien 2001)

Tours) die ersten Klöster gegründet, Liguge bei Poitiers und Mar-
moutier an der Loire. Gegen Ende des 6. Jh. baute Bischof Gregor
von Tours eine Abtei bei der Kirche des hl. Martin, die später durch

Alkuin berühmt wurde.“

[Gericke 1990, S. 59]

Irland hatte nie zum römischen Weltreich gehört und war von den Stürmen
der Völkerwanderung verschont geblieben. Die dortigen Klöster konnten sehr
früh ihre kulturell-geistige Funktion und die Missionierung in England und
auf dem Kontinent übernehmen.

In diese Gruppe der Missionare gehört auch Beda Venerabilis (d. h. der

Ehrwürdige); (ca. 672/73–735), ein englischer Mönch, der sich auf weiten Rei-
sen eine breite Bildung aneignete. Unter anderem schrieb er eine Geschichte
der Christianisierung Englands und eine Abhandlung zur Berechnung des

Osterdatums. Dort stellte er auch die Fingerrechnung dar. Eine Schrift De
arithmeticis propositionibus behandelt sogar die Rechenregeln mit negativen

Zahlen, wird aber wohl fälschlicherweise Beda zugeschrieben.

Der Übergang von der Spätantike in die Frühzeit des europäischen Mittel-
alters hat schwierige Bedingungen für die Breitenwirkung der Wissenschaften
geschaffen. Doch haben neuere Publikationen mit Nachdruck und an konkre-
ten Ergebnissen nachgewiesen, dass das Frühmittelalter keine tote Zeit für
die Mathematik war, sondern in Europa eigenständige mathematische Leis-
tungen hervorgebracht wurden, noch vor dem Einströmen mathematischer

Spitzenergebnisse aus dem islamischen Bereich und unabhängig davon.

„Contrary to what is sometimes asserted the sciences were by no
means dead in the western Middle Ages before the translations from

Arabic in the twelfth century.“

[Folkerts 2003, S. IX]

268

6 Mathematik im Europäischen Mittelalter

Boethius

Die Ostgoten hatten im 5. Jahrhundert Norditalien erobert. Ein römischer

Philosoph, Anitius Manlius Torquatus Severinus Boethius (475/480–524),
war Konsul in Rom, hielt eine Lobrede auf den König Theoderich in Raven-
na, wurde indes wegen angeblichen Hochverrates hingerichtet. Im Gefängnis
verfasste er eine Schrift Vom Trost der Philosophie.

Wohlvertraut mit griechisch-hellenistischer Wissenschaft hatte er sich vor-
genommen, diese durch Übersetzungen ins Lateinische seiner Latein spre-
chenden Umgebung zugänglich zu machen. Er übertrug die Arithmetik des

Nikomachos von Gerasa; danach sind Zahlen behilflich zum Verständnis der

Werke Gottes. In einer anderen Schrift hat er die Grundlagen der griechischen

Musiktheorie in lateinischer Sprache dargelegt.

Aus zeitgenössischen Zeugnissen ergibt sich, dass Boethius auch die

„Elemente“ des Euklid ins Lateinische übertragen hat. Nur Teile davon sind
erhalten, und zwar in späteren Kompilationen, die heute als „Boethius Geo-
metrie I“ (8. Jahrhundert) bzw. als „Boethius Geometrie II“ (11. Jahrhundert)

bezeichnet werden.

Der Einfluss von Boethius hat auch die Struktur mittelalterlicher höherer

Bildung – sogar noch bei den erst später gegründeten Universitäten – ge-
prägt. Er verwendete die Bezeichnung Trivium (Dreiweg) für die Lehre von

Grammatik, Logik und Dialektik und die Bezeichnung Quadrivium (Vierweg)

für die Lehre der vier mathematischen Wissenschaften Arithmetik, Geome-
trie, Astronomie und Musik (als Harmonielehre). Trivium und Quadrivium
wurden zusammengefasst als artes liberales (freie Künste). Im Rahmen des

Quadriviums erfolgte bis weit in die Renaissance hinein die mathematische

Ausbildung.

Aufschwung in Frankreich

Unter dem fränkischen König Pippin III. (der Kurze; er regierte von 751 bis

768) begannen kirchliche Reformen, die von Karl dem Großen weitergeführt
wurden. Geistiges und Kulturelles nahmen im Frankenreich einen so deutli-
chen Aufschwung, dass diese Zeit von einigen Historikern als Karolingische

Frührenaissance bezeichnet wird.

Die Festigung der feudalen Gesellschaftsordnung beruhte auch auf gestei-
gerter Produktivität in der Landwirtschaft, dem damaligen Hauptwirtschafts-
zweig: Bessere Ausnutzung der tierischen Energie durch Kummet (Pferde-
geschirr) und Hufeisen und verbesserte Pflugscharen erhöhten den Ertrag.

Wind- und Wassermühlen milderten den chronischen Energiemangel im frü-
hen Mittelalter.

Unter der Herrschaft der Karolinger entwickelte sich das Frankenreich
zum mächtigen europäischen Großreich. Handelsbeziehungen und Austausch
von diplomatischen Gesandtschaften erstreckten sich bis nach Konstantinopel
und Bagdad. Es ging so weit, dass Karl der Große die Idee der byzantinischen

6.1 Frühes Mittelalter

269

Kaiserin Irene wohlwollend in Erwägung zog, ihren Sohn Konstantin VI. mit
seiner Tochter Rotrud zu verheiraten. Der Plan zerschlug sich jedoch. Im-
merhin blieb der griechische Gelehrte, der der byzantinischen Gesandtschaft
angehört hatte, als Lehrer von Rotrud am Hofe Karls, wo Karl nach antikem

Vorbild eine „Akademie“ von irischen, englischen und italienischen Gelehr-
ten um sich sammelte. Übrigens hat später der deutsche Kaiser Otto II. eine
byzantinische Prinzessin geheiratet.

Auch die Mathematik nahm am Aufschwung des wissenschaftlichen und
kulturellen Lebens teil. Ein großer Teil der astronomisch-mathematischen

Anstrengungen galt dem Computus, das ist die Berechnung der beweglichen
kirchlichen Feiertage, insbesondere des Osterfestes, das ja ein zentrales Fest
der Christenheit darstellt [Butzer 1993].

Karl der Große, der trotz aller Bemühungen niemals flüssig Lesen und

Schreiben erlernen konnte, hatte erkannt, dass das Bildungsniveau des Klerus
und seiner Beamten im Interesse der Stärkung des Staatswesens gehoben
werden musste. Auf einer Reise nach Rom traf der englische Mönch Alcuin
von York im Jahre 781 Karl in Padua; dieser berief Alcuin an seinen Hof.

Alcuin von York

Alcuin (ca. 732–804); (eigentlich Alh-win, d. h. Freund des Tempels) war seit

778 Leiter der Kathedralschule in York gewesen und hatte sich bereits einen
guten Ruf als Kenner der artes liberales erworben. Er wirkte an der sehr er-
folgreichen Palastschule in Aachen und stand im mündlichen und schriftlichen

Kontakt mit Karl über theologische, astronomische und kalendarische Fragen
sowie zu Fragen der Politik. Im Jahre 796 wurde Alcuin Abt des Klosters St.

Martin in Tours; dort starb er am 19. Mai 804. Inzwischen, am 25. Dezem-
ber 800, war Karl vom Papst zum römischen Kaiser gekrönt worden. Nach
diplomatischen Schritten wurde Karl vom „Ostkaiser“ in Konstantinopel als

„Westkaiser“ akzeptiert.

Unter Alcuin wurde Tours zu einem herausragenden Bildungszentrum,
wie nachfolgend auch die Schulen von Ferrières und Corbie in Frankreich,

Reichenau im Bodensee, St. Gallen in der Schweiz und Fulda in Deutschland.

Letztere wurde durch Hrabanus Maurus (ca. 780–856) reformiert, der eine

Zeitlang Schüler von Alcuin in Tours gewesen war.

Alcuin hat eine Vielzahl von Schriften hinterlassen, u. a. über Grammatik,

Orthographie, Rhetorik, über Dialektik, über das Trivium, über Astronomie.

Sein Name wird in der Literatur oft in Verbindung gebracht mit einem ma-
thematischen Text, mit der Aufgabensammlung Propositiones ad acuendos
iuvenes (Aufgaben zur Schärfung des Geistes der Jünglinge). Doch ist keines-
wegs erwiesen, dass dieser Text wirklich von Alcuin stammt. Sicher ist nur,
dass diese Schrift, die älteste mathematische Aufgabensammlung in lateini-
scher Sprache, aus dem Umfeld des fränkischen Hofes stammt und auf das

9. Jahrhundert zu datieren ist [Folkerts/Gericke, 1993].

270

6 Mathematik im Europäischen Mittelalter

Abb. 6.1.3

Karl der Große mit Schülern; Karolingische Minuskel – um 800 im

Karolingerreich als eine neue Schreibschrift entwickelt; Kirchenslawische Schrift

Glagoliza – wurde von den Slawenaposteln Kyrillos (826/27–869) und Methodios

(ca. 815–885) in Osteuropa eingeführt, als in Westeuropa eine neue Schriftform auf-
kam. Eine Weiterentwicklung wird nach ihnen als kyrillisches Alphabet bezeichnet

(Wandmalerei im Trojan-Kloster); (Frankreich 1966, Andorra 1987, Bulgarien 1969)

Die Arbeit von M. Folkerts und H. Gericke verweist auf die historischen

Quellen des karolingischen Textes, auf die Herkunft der Aufgaben oder der ty-
pengleichen Aufgaben aus der altägyptischen, der mesopotamischen, der grie-
chischen und der chinesischen Mathematik. Es handelt sich fast ausschließ-
lich – bis auf einige Aufgaben aus der Geometrie und der Feldmessung – um

Aufgaben aus der sog. Unterhaltungsmathematik, ohne praktische Bedeu-
tung, eben zur „Schärfung des Geistes“.

Wie die Autoren erwähnen, ist im alten Rom unter dem Eindruck der
hochentwickelten, abstrakten hellenistischen Mathematik die These aufge-
kommen, dass Mathematik wenigstens zur Schärfung des Geistes nützlich
sei. So schrieb Quintilian (ca. 35 – ca. 96), ein römischer Lehrer der Rheto-
rik: „von der Mathematik komme Beweglichkeit des Geistes, Schärfe des Ver-
standes und schnelle Auffassungsgabe.“ (Zitiert nach [Folkerts/Gericke 1993,

S. 285])

Die Sammlung Propositiones enthält 53 Aufgaben mit Lösung, fast im-
mer ohne Lösungsweg. Der Inhalt ist breit gefächert: Aufgaben vom Typ der
altägyptischen Hau-Aufgaben (lineare Gleichungen), die berühmte Brunnen-
aufgabe, Erbschaft bei Zwillingsgeburten, „Hundert Vögel“ (altchinesischer

Typ), Mischungsaufgaben, Verfolgungsaufgaben, Weinkeller, Zahlen errech-
nen und vieles andere mehr. Am Beginn der Propositiones steht die Aufgabe
über eine Schnecke:

6.1 Frühes Mittelalter

271

Abb. 6.1.4

Karl der Große mit Alcuin und Schülern in der Palastschule [Deutsche

Geschichte 1862]

„Eine Schnecke wird von einer Schwalbe zum Essen eingeladen, der

Weg ist eine Meile (leuva) weit. Die Schnecke kann nicht mehr als
eine Unze (=1/12) eines Fußes am Tag zurücklegen. Sage, wer mag,
in wieviel Tagen die Schnecke zu dem Essen wandert.“

[Folkerts/Gericke 1993, S. 297]

Die Lösung errechnet sich nach den Maßangaben 1 leuva = 1500 Doppel-
schritte = 7500 Fuß = 90 000 Unzen zu 246 Jahren und 210 Tagen.

Ein zweites Beispiel (vgl. Fibonaccis Aufgabe über den Geldbeutel) handelt

„Von einem Geldbeutel, den ein Mann gefunden hat.

Ein Mann fand auf der Straße einen Geldbeutel mit 2 Talenten. Dies
sahen andere und sagten: Bruder, gib uns einen Teil von deinem

Fund. Er lehnte ab und wollte ihnen nichts geben. Da überfielen sie
ihn, entrissen ihm den Beutel, und jeder nahm sich 50 Solidi. Als er
sah, daß er keinen Widerstand leisten konnte, griff er selbst auch zu
und nahm sich 50 Solidi. Sage, wer will, wie viele Männer es waren.

Lösung

Mancherorts hat ein Talent 75 Pfund und 1 Pfund 72 Goldsolidi. 75
mal 72 sind 5400. Das Doppelte >2 Talente< sind 10 800. In 10 800

<Solidi> sind 50 <Solidi> 216 mal enthalten. So viele Männer waren
es.“ [Folkerts/Gericke 1993, S. 352]

272

6 Mathematik im Europäischen Mittelalter

Abb. 6.1.5

Hrabanus Maurus (li.) überreicht mit seinem Lehrer Alcuin dem

Mainzer Erzbischof Otgar (re.) eine Schrift (Darstellung in einem Manuskript, Fulda
um 830/840) [Wikimedia Commons]

Hrabanus Maurus

Hrabanus Maurus (ca. 780–856) wurde in Mainz geboren, erhielt seine Er-
ziehung im Kloster Fulda, war einige Zeit zur Weiterbildung bei Alcuin in

Tours, ging zurück nach Fulda und war von 822 bis 842 Abt in Fulda und
von 847 bis zu seinem Tode 856 Erzbischof von Mainz [Gericke 1990, S. 67f.].

Mit seinen Schriften hat Hrabanus Maurus einen großen Einfluss auf das

Bildungswesen und auf den Fortgang der Missionierung in Deutschland öst-
lich des Rheins ausgeübt. Später erhielt er den Ehrennamen „Praeceptor Ger-
maniae“ (Lehrer Deutschlands). In 22 Büchern hat er über De universo ge-
schrieben, von der Dreifaltigkeit Gottes bis zur unbelebten Welt.

Die von Karl dem Großen begonnene Politik der systematischen Ausbil-
dung der Kleriker wurde von Hrabanus Maurus zielbewusst mit der Schrift

De clericorum institutione (ca. 819, Über die Unterweisung der Geistlichen)

weitergeführt, in der die artes liberales behandelt werden.

In der Arithmetik griff er auf die Formel zurück, dass Gott alles nach Maß,

Zahl und Gewicht geordnet habe. In der Geometrie wird unter Bezug auf

Varro (116–27 v. Chr.) begründet, dass durch Vermessung und Grenzfestle-
gungen der Nutzen der Mathematik für den Erhalt des Friedens verdeutlicht
werde. Auch astronomische Probleme – Entfernung von Sonne und Mond,

Berechnung des Osterdatums – werden behandelt.

6.1 Frühes Mittelalter

273

Abb. 6.1.6

Gerbert von Aurillac, dargestellt als Papst Silvester II. auf einem

Denkmal in Aurillac [Foto Alten], (Frankreich 1984)

Gerbert von Aurillac

Mit Gerbert von Aurillac (ca. 945–1003) begegnen wir einem hohen Geist-
lichen, der sogar persönlich islamische Mathematik kennen gelernt hat. Er
hatte im Benediktinerkonvent von Aurillac seine Grundausbildung erhalten
und studierte unter dem Bischof Hatto von Vich. Vich lag in Katalonien, al-
so im Grenzbereich zu den von Arabern besetzten spanischen Gebieten. Dort
traf er auf die muslimische Wissenschaft.

In seinem weiteren Leben wurde Gerbert in politische Machtkämpfe ver-
wickelt, kam mit dem deutschen Kaiser Otto I. in Rom in Berührung, wurde
kurzfristig Bischof von Reims, auf Veranlassung von Otto III. Bischof von

Ravenna und 999 Papst unter dem Namen Silvester II. Er starb am 12. Mai

1003 in Rom.

274

6 Mathematik im Europäischen Mittelalter

Seine hohe Stellung in der kirchlichen Hierarchie trug dazu bei, dass seine
mathematischen Schriften weite Verbreitung fanden und daher einigen Ein-
fluss ausüben konnten. Er hinterließ eine Einführung in die Geometrie und
möglicherweise ein Buch über das Astrolab. Über die arithmetischen Studien
von Gerbert unterrichtet Lindgren [Lindgren 1976]. Am folgenreichsten wurde
eine von Gerbert benutzte Form des Abakus. Allerdings benutzte er – eigent-
lich sinnwidrig – Rechensteine, die oben mit Zahlzeichen versehen waren und
so den Wert des Steines bezeichneten. Diese bezifferten Rechensteine nann-
te man apices, von lat. apex (Gipfel, Kuppel). Auf dem „normalen“ Abakus
sind die Rechensteine nicht gekennzeichnet, ihre Lage macht ihren Wert aus.

Durch Gerbert wurden so die indischen Ziffern (in der westarabischen Versi-
on) vorgestellt, – auch ein Zeichen, das der Null ähnelt, für eine nicht durch

Ziffern ausgefüllte „Stelle“ im Dezimalsystem. Doch erst im 12. Jahrhundert,
nach der Übersetzung der Schrift von al-H

<w¯arizm¯ı, konnten sie sich in Europa
durchsetzen, wenn auch nur Schritt für Schritt [Folkerts 1997].

6.2 Hochmittelalter, Spätmittelalter

Das neue Jahrtausend bedeutet den Anfang einer neuen Periode des Mittel-
alters. Im 11. Jh. beginnt das Hochmittelalter mit einer Fülle bedeutender

Ereignisse, welche die politische Landschaft und die Machtverhältnisse in Eu-
ropa verändern, vor allem aber die kulturelle Entwicklung und das religiöse

Leben tiefergehend prägen.

Das 11. Jh. bedeutet den Beginn der Romanik in der Baukunst und die
erste Blüte deutscher Städte, den Aufstieg der Salier als deutsche Könige
und Kaiser des Heiligen Römischen Reiches, die Zeit des Investiturstreites
zwischen Kaiser und Papst, die Trennung von Ost- und Westkirche im Schis-
ma von 1054, das Klosternetz von Cluny und die Kirchenreform, den Beginn
der Kreuzzüge, die Gründung der Königreiche Aragón und Kastilien im Zuge
der Reconquista und die Eroberung Englands unter dem Normannenherzog

Wilhelm, den man deshalb später Wilhelm den Eroberer nannte.

Die Tapisserie de la reine Mathilde nennen die Franzosen den berühmten

Teppich von Bayeux, auf dem die Vorgeschichte der normannischen Invasion,
die Vorbereitungen zur Überquerung des Ärmelkanals und die Schlacht von

Hastings im Jahr 1066 in mehr als 70 bewegten Szenen geschildert werden.

Der „Teppich von Bayeux“ ist jedoch weder ein Teppich noch stammt er
von der Königin Mathilde. Vielmehr handelt es sich um eine ca. 70 m lange
und ca. 50 cm breite Leinwandrolle, auf die die dramatische Geschichte mit
farbigen Wollfäden gestickt ist. In mehreren Szenen erscheint wie 1000 Jahre
zuvor bei Christi Geburt der Halleysche Komet und kündigt umwälzende

Veränderungen an.

Der Weihnachten 1066 zum König von England gekrönte Eroberer erklärte
alles Land als Eigentum der Krone und belehnte und belohnte damit seine
normannischen Gefolgsleute mit der Verpflichtung zum Beistand im Kriege.

6.2 Hochmittelalter, Spätmittelalter

275

276

6 Mathematik im Europäischen Mittelalter

Abb. 6.2.1

Aufbruch zur Schlacht von Hastings 1066; Ausschnitt aus dem

Teppich von Bayeux: HIC WILLELM DUX ALLOQUITUR SUIS MILITIBUS

UT PREPARENT SE VIRILITER ET SAPIENTER AD PROELIUM CONTRA

ANGLORUM EXERCITUM – Hier ermahnt Herzog Wilhelm seine Soldaten, dass
sie sich männlich und weise auf den Kampf gegen das Heer der Engländer vorbe-
reiten [Foto Alten]

Die neuen Herren brachten die von ihnen in den hundert Jahren zuvor in der

Normandie übernommene französische Sprache und Lebensart nach England
und überlagerten so mit romanischen Elementen die zuvor von Angelsachsen
und Dänen geprägte germanische Lebensweise und Sprache.

So ist es kein Wunder, dass sich schon bald der um 1070/1080 in Bath
geborene Adelard mit seinen Schriften Regule abaci, De eodem et diverso und

Quaestiones naturales und mit den Übersetzungen astronomischer Werke des
al-H

<w¯arizm¯ıund der „Elemente“ Euklids ins Lateinische einen Namen machte
und auch Robert von Chester in der ersten Hälfte des 12. Jhs. die „Algebra“
des al-H

<w¯arizm¯ı ins Lateinische übersetzte.

Bei aller Anerkennung der eigenständigen Leistungen in der Mathematik
des Frühmittelalters bleibt doch die historische Tatsache, dass der eigentli-
che Aufschwung der europäischen Mathematik kausal an die Bekanntschaft
mit der islamischen Mathematik gebunden war, die grundlegende Werke der
griechisch-hellenistischen Mathematik und die Errungenschaften der islami-
schen Mathematik in Übersetzungen zugänglich machte.

Die Geschichte dieser Tradierung ist von Spezialisten der Mathematikge-
schichte, die über hervorragende Sprachkenntnisse (Arabisch, Latein, Grie-
chisch, Hebräisch) verfügen mussten, erforscht und dargestellt worden, ebenso

6.2 Hochmittelalter, Spätmittelalter

277

Abb. 6.2.2

Domesday Book 1086; 20 Jahre nach der Eroberung Englands durch
die Normannen ließ William I., der Eroberer, eine Bestandsaufnahme vornehmen:

Ländereien und deren Besitzer, Städte, Mühlen, . . . Die vier Briefmarken zeigen

Landwirtschaft, Städtebau, Armee und Geistlichkeit (England 1986)

wie die weitreichenden positiven Folgen für die Entwicklung der Mathematik
während der Renaissance. Die Wirkung reicht sogar bis weit in die Neuzeit,
zum Beispiel beim Aufkommen der Infinitesimalrechnung im 17. Jahrhundert.

„Für die mittelalterliche westliche Mathematik bedeutet das 12. Jahr-
hundert einen Wendepunkt, jenes Jahrhundert, in dem durch Überset-
zungen aus dem Arabischen fast schlagartig eine riesige Menge neuen

Wissens zur Verfügung gestellt wurde.“

[Busard 1997, S. 211]

Im Jahre 1085 war Toledo von den Christen rückerobert worden. Als größter

Schatz fiel ihnen die hervorragend ausgestattete Bibliothek in die Hände. Der

Zugriff auf Schätze der Wissenschaft war offen. Mehr als 84 Schriften sind
allein durch Gerhard von Cremona und seine Helfer in Toledo ins Lateinische
übersetzt worden.

Die Tradierung durch Übersetzung wurde in verschiedenen Regionen Eu-
ropas von Männern geleistet, die in vielen Fällen über die bloße Überset-
zung hinausgingen und eigene Adaptionen schufen. Vieles davon wurde Lehr-
stoff an den Universitäten. Einige Personen seien herausgehoben (ausführ-
lich in [Juschkewitsch 1964], [Gericke 1990], [Busard 1997], [Peiffer/Daham-

Dalmedico 1994]):

278

6 Mathematik im Europäischen Mittelalter

Adelard von Bath (ca. 1070/1080–nach 1146), Hermann von Kärnten

(12. Jahrhundert), Robert von Chester (um 1150), Gerhard von Cremona

(ca. 1114–1187), Johannes de Sacrobosco (1207–1256?), Campanus von No-
vara (?–1296), Wilhelm von Moerbeke (ca. 1215–1286).

Es sei erwähnt, dass Wilhelm von Moerbeke ein Vertrauter des sehr ein-
flussreichen Kirchenmannes und Gelehrten Thomas von Aquin gewesen und
zweimal auf der Suche nach griechischen Quellen nach Griechenland gereist
ist. Unter anderem hat er alle Schriften von Archimedes übersetzt.

Den Stand der Tradierung der antiken Mathematik am Ende des 13. Jahr-
hunderts hat Gericke so beschrieben:

„Am Ende des 13. Jh. war ein großer Teil der klassischen mathema-
tischen und naturwissenschaftlichen Literatur in lateinischer Sprache
zugänglich. In der Mathematik fehlten noch die folgenden Werke:

Der Sandrechner wurde 1450 von Jakob Cremona übersetzt, im Rah-
men einer neuen Archimedes-Übersetzung.

Die Methodenlehre wurde erst 1906 von Heiberg wiedergefunden.

Von den Kegelschnitten des Apollonios existierte nur das in 2.2.5
genannte Fragment. Die griechisch erhaltenen Bücher I–IV wurden
durch die Übersetzung von Commandino 1566 bekannt; vorausgegan-
gen waren Übersetzungen von Memmo 1537 und Maurolico 1548. Ei-
ne lateinische Übersetzung der nur arabisch erhaltenen Bücher V–VII
und eine Rekonstruktion des verlorenen Buches VIII gab Halley 1710.

Eine Handschrift der Arithmetik von Diophant entdeckte Regiomon-
tan 1463 in Venedig.

Die „Sammlung“ des Pappos übersetzte Commandino (gedruckt 1588).

Der Kommentar des Proklos zum I. Buch der Elemente Euklids wur-
de griechisch gedruckt in der Euklid-Ausgabe des Grynaeus 1533, in
lateinischer Übersetzung von Barocius 1560.“

[Gericke 1990, S. 121 f.]

Parallel mit der Erschließung des antiken mathematischen Erbes wurden Er-
gebnisse der islamischen Mathematik durch Übersetzungen ins Lateinische
dem Abendland bekannt gemacht [Alten et al. 2003, S. 204f.].

Die Schrift von al-H

<w¯arizm¯ı zur Algebra wurde 1145 durch Robert von

Chester ins Lateinische übersetzt und noch einmal etwas später durch Ger-
hard von Cremona. So lernte man die Klassifizierung der quadratischen Glei-
chungen und die geometrischen Beweismethoden kennen.

Plato von Tivoli (um 1150) übersetzte 1145 das „Buch der Messungen“

( Liber embadorum) ins Lateinische. Der Autor war der jüdische Gelehrte

Abraham bar Hiyya, der in der ersten Hälfte des 12. Jahrhunderts in Bar-
celona lebte. In der lateinischen Welt wurde er unter dem Namen Savasorda
bekannt. Seine Schrift zeichnet sich dadurch aus, dass nicht nur geometrische

Lösungen für quadratische Gleichungen gegeben werden, sondern dass sich
auch Einsichten in die Struktur solcher Gleichungen finden. Auf diese Arbeit
hat Leonardo von Pisa später zurückgegriffen.

6.2 Hochmittelalter, Spätmittelalter

279

Abb. 6.2.3

Kirche und Kloster auf dem Mont-St.-Michel (Frankreich)

[Foto Alten]

Auch die algebraische Schrift von Ab¯
u Kam¯ıl wurde ins Lateinische (und
ins Hebräische) übersetzt, ebenso das „Buch über Vergrößerung und Verrin-
gerung“. Diese und andere Schriften haben auf die nachfolgende Entwicklung
einen nachhaltigen Einfluss ausgeübt. Auf diese Weise wurde man bekannt
mit der Methode des doppelten falschen Ansatzes bei linearen Gleichungen
und bei linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten und mit Metho-
den, algebraische Probleme zu lösen.

Die großartigen architektonischen Leistungen des Hoch- und Spätmittel-
alters waren nur möglich auf der Basis der angewandten Geometrie. Sie durf-
ten freilich, gebunden an das Zunftgeheimnis, im Allgemeinen nur mündlich
weitergegeben werden. Eine Ausnahme bildet das Skizzenbuch des Villard
d’Honnecourt (13. Jahrhundert), in dem Entwürfe zu herausragenden Bau-
werken festgehalten sind.

Einer anderen Gattung gehören die vier sog. „Bauhüttenbüchlein“ an;
sie enthalten Anweisungen für die Steinmetze. Drei davon stammen von der

Familie Roriczer, die maßgeblich am Bau des Regensburger Domes beteiligt
war. Sie wurden Ende des 15. Jahrhunderts gedruckt und gehören damit zu
den kostbarsten Inkunabeln (ausführlich in [Scriba/Schreiber, 2. Aufl. 2005,

S. 232–239]).

Dem Zeitverlauf folgend könnten Leben und Leistung des Leonardo von

Pisa (oder Leonardo Fibonacci, ca. 1170–ca. 1240) auch an dieser Stelle be-
handelt werden. Die Beziehungen zur islamischen Mathematik treten bei ihm

280

6 Mathematik im Europäischen Mittelalter

Abb. 6.2.4

Maßwerk der flamboyanten Gotik an der Kathedrale von Rouen,

Frankreich [Foto Alten]

6.3 Scholastik, Gründung und Anerkennung von Universitäten

281
deutlich hervor. Auch die praktische Mathematik wird von ihm behandelt,
zumindest in der Geometrie. Wir verschieben dies jedoch auf das Kapitel
über die Mathematik während der Renaissance, weil Leonardo dem Inhalt
seiner Schriften nach als „erster moderner Mathematiker“ Europas aufgefasst
werden kann.

6.3 Scholastik, Gründung und Anerkennung
von Universitäten

Im 11./12. Jahrhundert setzte sich in der Kirche die Erkenntnis durch, dass
im Interesse der eigenen politischen und ökonomischen Macht des Klerus
die Geistlichen Lesen, Schreiben und Rechnen erlernen und wissenschaftliche

Bildung erwerben und über die Klöster hinaus ins öffentlichen Leben tragen
sollten. Ebenso wurden in rasch aufblühenden Städten die Bürger gedrängt,
sich Kenntnisse und Bildung anzueignen.

So bildete sich in der im Aufschwung befindlichen europäischen Ge-
sellschaft eine immer deutlicher hervortretende Aufnahmebereitschaft für

Wissenschaft und Bildung heraus. Drei geistige Ströme – das griechisch-
hellenistische Erbe, bedeutende Teile der islamischen Mathematik und christ-
liche Denkweisen – trafen zusammen, berührten und durchdrangen sich im

Laufe des 12./13. Jahrhunderts. Die europäische Gesellschaft ging in den ent-
wickelten Regionen ihrem Höhepunkt entgegen, wobei der Aufschwung der

Produktion in der Landwirtschaft und bei Fortentwicklung des Handwerks in
den Klöstern vor allem an die aufblühenden Städte gebunden war. Das städ-
tische Handwerk spezialisierte sich und man bildete Zünfte. Quantitative und
qualitative Fortschritte im Mühlenwesen, im Wasserbau, im Bergbau, bei der

Eisenverarbeitung, in der Braukunst, im Salinenwesen, bei der Tuchmacherei,
in der Gerberei und vielen anderen Gebieten traten zutage.

Mathematik und Naturwissenschaften fanden im europäischen Mittelalter
schließlich ihre Heimstatt an den Universitäten. Dort entstand eine spezielle

Form des Wissenschaftsbetriebes, die wir als Scholastik bezeichnen. Scho-
lastik bedeutet im ursprünglichen Sinne des Wortes „Schullehre“, d. h. die
systematische Vermittlung von Wissen durch Vorlesungen und Disputatio-
nen.

Logisches Denken stand hoch im Kurs. Freilich wurde die Rabulistik sehr
weit getrieben und führte zu Fragen wie etwa der, wenn eine Kugel nicht durch
ein Loch passt, ob dann die Kugel zu groß oder das Loch zu klein ist. Ein
anderes Paradoxon rührte an den theologischen Kern, nämlich das Problem,
ob der allmächtige Gott einen Stein schaffen könne, den er selbst nicht zu
bewegen vermag. Eine eher böswillige Unterstellung des Humanismus ist die
für das Mittelalter nicht belegte Frage, wie viele Engel auf einer Nadelspitze

Platz haben. Mag so etwas uns heute als töricht oder absurd erscheinen,
so sind dies doch Ergebnisse des bis zum Äußersten getriebenen logischen

Schließens (auch die Mengenlehre wird am Ausgang des 19. Jahrhunderts ihre

282

6 Mathematik im Europäischen Mittelalter
logischen Tücken offenbaren). Übrigens waren das Gründe, warum während
der Renaissance und während der Periode der Aufklärung „Scholastik“ eine
abschätzige Bewertung erfuhr, als dogmatisch, unbelehrbar, rückständig und
engstirnig galt.

Anfangs hatten Domschulen das gestiegene Bildungsbedürfnis des Klerus
erfüllen können. Einige von ihnen wie Chartres und Reims erreichten früh ein
bemerkenswertes Niveau. An anderen Orten formierten sich zunftartige Ver-
bindungen von Studierenden und Lehrenden (lat. universitas magistrorum
et scholarium) mit dem Ziel, sich die Gesamtheit aller Wissenschaften (lat.

universitas literarum) anzueignen. Zwar wird als älteste Universität Europas
meist Bologna genannt, doch als erste und berühmteste dieser „Universitäten“
wurde die von Paris um das Jahr 1160 von der Kirche offiziell als Lehranstalt
anerkannt, also nicht gegründet. Erst später rief die Kirche organisierte Zen-
tren christlicher Gelehrsamkeit ins Leben, so etwa Oxford und Cambridge in

England nach Pariser Vorbild. (Der Legende nach wurde Oxford schon 872
von Alfred dem Großen gegründet.) Wieder andere Universitäten wurden
durch weltliche Herrscher gegründet. Hierbei könnten auch Vorbilder aus der

Welt des Islam mitgewirkt haben; dort hatten die Wissenschaften staatliche

Förderung erhalten. Beispielsweise entstand die Universität Neapel auf Be-
fehl des Hohenstaufenkaisers Friedrich II. und die von Salamanca im Auftrag

König Ferdinands II. von Kastilien. Ein dritter Universitätstyp – aber auch
dieser bedurfte der Anerkennung durch den Papst – bildete sich in relativ
enger Bindung an die sich entwickelnden Städte heraus. An den berühmten
norditalienischen Universitäten Bologna und Padua etwa herrschte eine „bür-
gerliche“ Verfassung. Ein von den Studenten gewählter Rektor – es konnte
durchaus auch ein Student sein – übte eine nahezu exterritoriale Gerichts-
barkeit aus.

Abb. 6.3.1

Gedenkfeier zur Gründung der Universität Bologna; Abaelard (Italien

1986, Frankreich 1979)

6.3 Scholastik, Gründung und Anerkennung von Universitäten

283

Abb. 6.3.2

Universitätsgründungen im europäischen Mittelalter

Die Reihenfolge der Universitätsgründungen im europäischen Mittelalter
und ihre Verteilung in den Ländern und Regionen Europas ist interessant

(vgl. Abb. 6.3.2):

Paris um 1160, Bologna 1160, Oxford vor 1167, Montpellier 1181, Cambridge

1209, Padua 1222, Neapel 1224, Toulouse 1229, Salerno vor 1231, Salamanca
vor 1243, Lissabon 1290, Rom 1303, Coïmbra 1308, Pisa 1343, Prag 1348,

Florenz 1349, Pavia 1361, Krakau 1364, Wien 1365, Heidelberg 1386, Köln

1388, Erfurt 1388, Leipzig 1409, St. Andrews 1411, Rostock 1419, Greifswald

1456, Freiburg i. Bsg. 1457, Basel 1460, Ingolstadt 1472, Trier 1473, Mainz

1476, Tübingen 1477, Uppsala 1477, Wittenberg 1502, Frankfurt an der Oder

1506.

Nach dem Besuch einer Lateinschule wurde der Student im Allgemeinen
im Alter von 14 oder 15 Jahren an einer Universität immatrikuliert, d. h.

in die Matrikel (Aufnahmeverzeichnis) eingetragen. Am Anfang stand das

Studium der drei grundlegenden sprachlichen Fächer Grammatik, Rhetorik
und Dialektik (Trivium); hieraus leitet sich das Wort „trivial“ im Sinne von
einfach, grundlegend, elementar ab.

284

6 Mathematik im Europäischen Mittelalter

Es schlossen sich die vier Fächer des Quadriviums an: Arithmetik, Geo-
metrie, Astronomie und Musik. Diese sieben Fächer zusammen bildeten die
artes liberales (freie Künste); unter den Bedingungen der damaligen Gesell-
schaft – wie schon in der römischen Antike – sind dies die Künste der Freien.

Die artes liberales wurden an der sog. Artistenfakultät gelehrt. Das Niveau
war meist bescheiden. Gelehrt wurden die vier Grundrechenarten mit ganzen

Zahlen; aber schon die Division bot oft genug unüberwindliche Schwierig-
keiten. Auch die vermittelten geometrischen Kenntnisse blieben elementar.

Auf geozentrischer Basis lehrte man Einiges über die Bewegung von Sonne,

Mond und den Planeten. Die arithmetischen und astronomischen Kenntnisse
reichten aus für den Computus, die Berechnung der beweglichen kirchlichen

Feiertage. Die Lehre von der Musik – Musik spielt in der christlichen Liturgie
eine wichtige Rolle – stützte sich auf eine elementare, mathematisch begrün-
dete Harmonielehre und knüpfte an pythagoreische Vorstellungen an: Oktave,

Quarte, Quinte usw. entstehen, wenn die Saitenlängen in ganzzahligen Ver-
hältnissen zueinander stehen. Dies lief auf das Rechnen mit Proportionen
hinaus.

Das Studium an der Artistenfakultät schloss mit dem Titel eines Bac-
calaureus und, darauf aufbauend, eines Magisters ab. Wer weiter studieren
wollte oder konnte, besuchte die medizinische, die juristische oder – als rang-
höchste – die theologische Fakultät und konnte den Doktorgrad verliehen
bekommen. In der Ausbildung von Geistlichen bestand das eigentliche Ziel
der Hohen Schulen, denn Lehrer und Schüler waren Kleriker, lebten gemein-
sam in Kollegien und bildeten die „universitas magistrorum et scholarium“.

Die Universitätsvorlesungen bestanden aus dem Verlesen (Vorlesen) von

Schriften der Kirchenväter, antiker und mittelalterlicher Autoren. Danach
wurden die Texte ausgelegt, kommentiert und interpretiert.

Da beim Vergleich der Texte Unstimmigkeiten oder gar Widersprüche
auftraten, übernahm man die von Petrus Abaelard (1079–1142) ausgebilde-
te Methode des sic et non (sinngemäß etwa: So oder anders). Aussprüche
berühmter Autoren wurden gegenübergestellt. So wurden zweifellos Gelehr-
samkeit und Scharfsinn vermittelt.

Der Fortschritt in den Naturwissenschaften aber ist natürlich an den

Rückvergleich mit der Natur gebunden; doch galt das Primat der göttlichen

Offenbarung vor der menschlichen Neugier. Hier half eine Art erkenntnistheo-
retischer Kunstgriff weiter, der von einigen mittelalterlichen Gelehrten – Duns

Scotus (um 1265–1303), Wilhelm von Ockham (ca. 1300–1349/50) – vertrete-
ne Satz von der doppelten Wahrheit: Im theologischen Zusammenhang könne
etwas als wahr gelten, das sich in der Wissenschaft von der Natur als falsch
erwiesen habe, und umgekehrt.

Und noch ein weiteres zentrales Problem prägte die Scholastik während
des 12. und 13. Jahrhunderts, der sog. Universalienstreit, ein Streit, der mit
großer Erbitterung geführt wurde. Es ging um die Frage, ob die allgemeinen

Begriffe (universalia) reale, objektive Existenz besitzen oder durch Abstrak-

6.3 Scholastik, Gründung und Anerkennung von Universitäten

285

Abb. 6.3.3

Collegium Maius, ältester erhaltener Teil der Jagiellonen-Universität

Krakau, gegründet 1364 [Bildarchiv Preußischer Kulturbesitz, Berlin] (Fotograf unbe-
kannt, Krakau um 1980)

tion gebildete Namen (nomina) darstellen. Gibt es etwa „das Pferd“ oder nur

Pferde? Der offizielle Katholizismus stellte sich meist auf die philosophisch-
idealistische Seite.

Bedeutende Schwierigkeiten ergaben sich für die Kirche bei der Eingliede-
rung des Lehrwerkes von Aristoteles in die christliche Ideenwelt, umso stär-
ker, je deutlicher seine durch Übersetzungen und Kommentare erschlossene

Leistung hervortrat. Gegen den Pariser Averroismus wurden energische Maß-
nahmen ergriffen, vom Verbot der Lehre bis zur Tötung der Vertreter.

Die Lehre des Averroismus, um 1250 in Paris entstanden, schließt sich an

Averroës (Ibn Rušd) und seine Verehrung von Aristoteles an und vertritt die

Ewigkeit der Welt und der einen, allen Menschen gemeinsamen Vernunft.

Die Einpassung von Aristoteles in die katholische Theologie erfolgte vor
allem durch Albertus Magnus (ca. 1208–1280) und seinen Schüler Thomas
von Aquin (1225/26–1274).

286

6 Mathematik im Europäischen Mittelalter

Abb. 6.3.4

Hierarchie der mittelalterlichen Wissenschaften. Sinnbildliche Dar-
stellung aus der Margarita Philosophica [Gregor Reisch, Freiburg 1505]

6.3 Scholastik, Gründung und Anerkennung von Universitäten

287

Abb. 6.3.5

Albertus Magnus, Wandmalerei im bischhöflichen Seminar von Tre-
viso, von Tommaso de Modena, 1352 [Bildarchiv Preußischer Kulturbesitz, Berlin]

Albertus Magnus

Albertus Magnus (Albert der Große, eigentlich Graf von Bollstädt), der „doc-
tor universalis“, stammte aus Süddeutschland und lehrte u. a. an den Univer-
sitäten von Paris und Köln. Er versuchte, das von Aristoteles und Avicenna
überlieferte Wissen zu systematisieren und zugleich die aufkommende Natur-
beobachtung – bei der er sich selbst ausgezeichnet hatte – mit der christlichen

Theologie in Übereinstimmung zu bringen. Mit der Grundthese, dass theolo-

288

6 Mathematik im Europäischen Mittelalter

Abb. 6.3.6

Thomas von Aquin (Vatikan 1974)

gisches Wissen auf göttlicher Offenbarung, philosophisches Denken aber auf
von Gott gesetzter Vernunft beruhe, schuf Albertus Magnus immerhin die

Möglichkeit einer von der Theologie relativ unabhängigen Philosophie. Tho-
mas von Aquin vertiefte den katholisch-orthodoxen Dogmatismus und passte
ihn den Bedürfnissen seiner Zeit an.

Das europäisch-lateinische Mittelalter hat bedeutende Gelehrte hervor-
gebracht, darunter auch umfassend gebildete Männer mit eigenständigen
mathematisch-naturwissenschaftlichen Leistungen. Freilich waren selbst die
herausragenden Denker in erster Linie ihrem theologischen Anliegen verpflich-
tet, wonach das Ziel aller Wissenschaft darin bestehe, die Offenbarung Gottes
hervorzuheben und am Beispiel der Natur sein Wirken zu belegen.

Beim Bildungsmonopol des Klerus waren fast nur Geistliche imstande, den

Zugang zur Wissenschaft zu finden: Gerbert von Aurillac wurde 999 Papst
unter dem Namen Silvester II., Robert Grosseteste (ca. 1168–1253) – im mo-
dernen Sinne des Wortes „Experiment“ mit Licht experimentierend – wurde
vermutlich Kanzler der streng orthodoxen Universität Oxford und schließlich

1235 Bischof von Lincoln. Nicole Oresme (ca. 1320/1325–1382), der herausra-
gende Mathematiker des Mittelalters, starb als Bischof von Lisieux. Nikolaus
von Kues (1401–1464), der vielleicht kühnste mittelalterliche Denker, wurde

1448 Kardinal und 1450 Bischof von Brixen. Albertus Magnus war Ordens-
general der Dominikaner für Deutschland.

Speziell für die Geschichte der Mathematik sind von Interesse Robert

Grosseteste, sein Schüler Thomas Bradwardine (ca. 1290–1349), Roger Bacon

(ca. 1214–1294), Nicole Oresme (um 1323–1382), Nikolaus von Kues (1401–

1464), Levi ben Gerson (1288–1344).

6.3 Scholastik, Gründung und Anerkennung von Universitäten

289

Robert Grosseteste

Grosseteste (der Großköpfige) war überaus vielseitig. Neben Schriften zu Op-
tik, Kalenderreform und Astronomie verwandte er sich für unvoreingenomme-
ne Betrachtung der Natur, und dies mit Hilfe der Mathematik: „Alle Ursachen
der Naturwirkungen müssen mit Hilfe von Linien, Winkeln und Figuren ge-
geben sein.“ [Juschkewitsch 1964, S. 394]. Dies erinnert an die spätere Wert-
schätzung der Mathematik bei Leonardo da Vinci und Galilei. Grosseteste
warf sogar die Frage der Vergleichbarkeit verschiedener Unendlichkeitsstufen
auf. „Es gibt verschieden große Unendlich. Denn die Menge der ganzen Zah-
len ist unendlich und größer als die ebenfalls unendliche Menge der geraden

Zahlen.“ (Deutsch zitiert bei [Gericke 1990, S. 140])

Roger Bacon

Grossetestes Schüler, der Franziskaner Roger Bacon, ging den Weg seines Leh-
rers weiter, aber noch entschiedener. Bacon lehrte einige Zeit in Paris, dann
bis 1257 in Oxford. Er studierte Mathematik, Mechanik, Astronomie und Al-
chemie nach griechischen, arabischen und hebräischen Texten in lateinischer

Übersetzung und erhielt den Ehrentitel „doctor mirabilis“ (bewundernswerter

Doktor).

Bis zu einem gewissen Grade kann man Roger Bacon als Begründer der
experimentellen Naturwissenschaften verstehen, wobei der Mathematik eine
entscheidende Rolle zugedacht ist. Er formulierte eine Mischungsregel für
den Fall, dass zwei Mengen gleicher Substanz, aber verschiedener Intensität
gemischt werden. Er wandte die Theorie der Kegelschnitte auf die Optik an,
wobei er sich auf Ibn al-Haytam stützte. Der Gelehrte Witelo lernte dies
um 1250 in Paris kennen, und Kepler erweiterte im 17. Jahrhundert Witelos

Arbeit.

In einem dreibändigen Werk Compendium studii philosophiae (Anleitung
zum Studium der Philosophie) bemühte er sich um eine zusammenfassende

Darstellung der weltlichen Wissenschaften, verbunden mit heftigen Angrif-
fen auf den Sittenverfall innerhalb der Kirche und auf die religiösen Orden
und den Dogmatismus. Dies führte zur Klosterhaft, dort ist er wohl auch
gestorben.

In seinem Opus maius (Großes Werk) treten Bacons naturwissenschaftli-
che Ansichten am klarsten zutage. Er verwarf die scholastische Methode des

Beweisens durch Berufung auf Autoritäten. Die Autorität der Bibel wagte er
jedoch nicht anzutasten. Dagegen wurde das „Experiment“, worunter er da-
mals nichts anderes verstehen konnte als „Erfahrung“, als Hauptmethode der

Naturergründung deklariert. Dies weist schon auf die spätere Entwicklung
während der Renaissance hin.

Auch mit praktischen Dingen hat sich Bacon befasst, zum Beispiel mit
der Herstellung effektiveren Schießpulvers und mit der Herstellung von Brillen
auf Grund von Experimenten mit Linsen und Spiegeln.

290

6 Mathematik im Europäischen Mittelalter

Abb. 6.3.7

Triforium und Obergaden der Kathedrale von Lincoln, England

[Foto Alten]

Vieles blieb Vision: Fliegen mit einem Ballon aus dünner Kupferfolie und
gefüllt mit „flüssigem Feuer“. Es werde geben

„Instrumente von wunderbar ausgezeichneter Nützlichkeit, wie Ma-
schinen zum Fliegen, oder zum Herumfahren in Fahrzeugen ohne

Zugtiere und doch mit unvergleichlicher Geschwindigkeit, oder zur

Seefahrt, ohne Rudermänner, schneller als durch Menschenhand für
möglich gehalten wird.“

(Deutsch zitiert in [Geschichte der Naturwissenschaften 1983, S. 164],
ausführlich in [Clegg 2003])

Levi ben Gerson

Das Leben von Levi ben Gerson (1288–1344) ist weitgehend unbekannt. Sein

Bruder war Arzt von Papst Klemens VI. (um 1292–1352) in Avignon.

Levi ben Gerson war außerordentlich produktiv, doch hat er kaum ei-
ne nachhaltige Wirkung auf die Folgegeschichte ausgeübt. Seine Kenntnisse
dürfte er aus hebräischen Übersetzungen antiker und arabischer Schriften
geschöpft haben. Er schrieb einen Kommentar zu den „Elementen“ von Eu-
klid, suchte das Parallelenpostulat zu beweisen, fand den Sinussatz für ebene

Dreiecke und schuf ein vom ptolemäischen abweichendes Mondmodell. Auch

6.3 Scholastik, Gründung und Anerkennung von Universitäten

291

Abb. 6.3.8

Gebrauch des Jakobstabes zur Vermessung: Durch Verschieben des
senkrecht auf einem Stab angebrachten Querstabes konnte man die Winkeldiffe-
renz ablesen (zeitgen. Holzschnitt), aus [Apianus, Introductio geographica 1532], [Wiki-
books.org]

beschrieb er die camera obscura. Er erfand ein bequem handhabbares In-
strument zur Messung von Winkeldifferenzen, den sog. Jakobstab, der im
europäischen Mittelalter weite Verbreitung fand.

Thomas Bradwardine

Ein Zentralproblem hat die Diskussionen in der Scholastik geprägt, nämlich
die im Anschluss an Aristoteles aufgeworfene Frage, ob es die Möglichkeit
unbegrenzter Teilbarkeit gebe oder ob atomare (griech. atomos, unteilbar)

Teilchen existieren, kurz, wie die Struktur des Kontinuums beschaffen sei.

In diesem Problemfeld hat sich Thomas Bradwardine hervorgetan und
eine große Rolle gespielt, auch für die spätere Entwicklung der Mathema-
tik, insbesondere für die Frühgeschichte der Analysis. Auch hier bleibt zu
beachten, dass sein Anliegen philosophischer und nicht mathematischer Art
war.

Bradwardine studierte am Merton-College, dem ältesten Teil der Oxforder

Universität, ging nach London, wurde Beichtvater von König Edward III. und
schließlich 1349 Erzbischof von Canterbury. Bald darauf starb er an der Pest.

Bradwardine war Verfasser einer Abhandlung über Gnade und freien Wil-
len. Er schrieb den Tractatus proportionum . . . (Über Proportionen), wo er

292

6 Mathematik im Europäischen Mittelalter

Abb. 6.3.9

Merton-College in Oxford, 1264 gegründet [Foto Gottwald]

zwar den Aristotelischen Geschwindigkeitsansatz (Geschwindigkeit dem Ver-
hältnis der bewegenden Kraft zum Widerstand proportional) kritisierte, aber
seinerseits trotz erheblichen Scharfsinns ein ebenfalls falsches Bewegungsge-
setz angab. Er hat weitere mathematische Abhandlungen verfasst, so eine

Geometria speculativa. Auch findet sich bei ihm die Erweiterung der Propor-
tionenlehre auf gebrochene Exponenten (ausführlich bei [Juschkewitsch 1965,

S. 395f.]).

Von größter Wirkung auf die nachfolgende Entwicklung wurde die Ab-
handlung Tractatus de continuo (Abhandlung über das Kontinuum), ent-
standen zwischen 1328 und 1335. Im Anschluss an antike und muslimische

Traditionen stellt Bradwardine mögliche Aussagen über das Kontinuum vor;
für das griechische atomos benutzt er das lateinische indivisibilis (ebenfalls:

unteilbar), einen Begriff, der in der Frühgeschichte der Analysis eine große

Rolle spielen wird, so etwa bei Cavalieri 1635.

Bradwardine:

„Die einen wie Aristoteles, Averroës und die meisten Zeitgenossen
behaupten, das Kontinuum bestehe nicht aus Atomen, sondern aus

Teilen, die sich ohne Ende teilen ließen. Andere hingegen sagen, es
bestehe aus Indivisibeln, und zwar auf zweierlei Art, denn Demokrit
nimmt an, das Kontinuum bestehe aus unteilbaren Körpern. Ande-

6.3 Scholastik, Gründung und Anerkennung von Universitäten

293

Abb. 6.3.10

Inschrift über einem Portal der Universität Oxford [Foto Gottwald]

re nehmen an, es bestehe aus Punkten. Auch die letzte Auffassung
zerfällt in zwei, denn Pythagoras, das Haupt dieser Richtung, Platon
und unser Zeitgenosse Walter (Walter Cotton, gest. 1352) nehmen
an, das Kontinuum bestehe aus einer endlichen Anzahl von Indivisi-
beln, die anderen, es bestehe aus einer unendlichen Anzahl solcher.

Auch diese (zuletzt genannten) zerfallen in zwei Gruppen, denn die
einen, wie unser Zeitgenosse Heinrich (Henry Harclay, gest. 1317)

behaupten, das Kontinuum besteht aus unendlich vielen Indivisibeln,
die unmittelbar miteinander verbunden wären, während die anderen,
wie (Robert) von Lincoln (d.i. Robert Grosseteste) glauben, es beste-
he aus einer unendlichen Anzahl solcher, die mittelbar miteinander
verbunden wären.“

(Deutsch zitiert bei [Juschkewitsch 1964, S. 397])

Bradwardine schloss sich der Meinung von Aristoteles an. Aus scharfsinnigen

Überlegungen folgert er:

„Die Behauptung, derzufolge das Kontinuum aus endlich vielen in-
divisiblen Teilen besteht, ist allen Wissenschaften feindlich, bekämpft
sie alle und wird daher von ihnen allen einmütig abgelehnt.“

(Deutsch zitiert bei [Juschkewitsch 1964, S.398])

Nicole Oresme

Auch Frankreich hat im Mittelalter einen herausragenden und vielseitigen

Gelehrten hervorgebracht. Oresme (ca. 1330–1382) stammt aus der Norman-
die. Er lehrte von 1348 bis 1361 am Collège de Navarra in Paris, war in
kirchlichen Funktionen in Rouen tätig, wurde schließlich 1377 Bischof von

Lisieux.

Auf Geheiß des Königs Karl V. übersetzte Oresme Werke von Aristoteles –
auch die pseudo-aristotelische Schrift über Ökonomie – ins Französische. Er
publizierte Schriften zur Ökonomie, wie er überhaupt zur Herausbildung der

294

6 Mathematik im Europäischen Mittelalter

Abb. 6.3.11

Nicole Oresme, Miniatur aus dem Traité de l’espère (Bibliothéque

Nationale, Paris, fonds français 565, fol. 15) [Wikimedia Commons]

französischen Fachsprache beigetragen hat. Er setzte sich im Livre du ciel et
du monde (1377, Buch über den Himmel und die Welt) mit der Auffassung
des Aristoteles von einer ruhenden Erde und einer rotierenden Fixsternsphäre
auseinander und wandte sich gegen die Astrologie.

Was die Mathematik betrifft, so ist zunächst sein Werk Algorismus pro-
portionum (Algorismus der Proportionen) zu nennen. Dort dehnte auch er
die Lehre von den Potenzen auf Potenzen mit gebrochenen Exponenten aus.

Wir würden zum Beispiel schreiben
n

1

1

1

1
a m = ( an) m ;
a m · b n = ( an · bm) m·n .

Bis zu einem gewissen Grade bereitet sich hier die spätere Theorie der Loga-
rithmen vor.

6.3 Scholastik, Gründung und Anerkennung von Universitäten

295

Abb. 6.3.12

Figur zur Theorie der Formlatituden

Vielleicht von noch größerer Wirkung auf die spätere Entwicklung und
zwar insbesondere auf die Frühgeschichte der analytischen Geometrie wurde
die sog. Theorie der Formlatituden. Im Anschluss an den englischen Scholas-
tiker Richard Swineshead (14. Jh.), schuf Oresme eine graphische und damit
anschauliche Darstellung des Zusammenhanges von Quantitäten und Qua-
litäten, besonders mit der Darstellung sich zeitlich ändernder Intensitäten
solcher Größen wie Wärme und Kälte, Feuchtigkeit und Trockenheit, Bewe-
gung.

Oresme zeichnete eine Strecke (Basis oder extensio oder longitudo ge-
nannt). Senkrecht dazu wurde durch Strecken die Stärke (latitudo oder inten-
sio) der untersuchten Größe aufgetragen. Änderungen der Intensität wurden
dargestellt durch Änderungen der Streckenlängen. Auf diese Weise erhielt
man Flächen (figurae oder formae). Sind die latitudines konstant, so erhält
man ein Rechteck, also das Bild einer gleichförmigen Bewegung, d. h. einer

Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit. Im Falle gleichmäßiger Zunahme
oder Abnahme (der Bewegung) erhält man ein Trapez oder ein Dreieck.

Bei der Suche nach einer wissenschaftlichen Dynamik hat die Theorie
der Formlatituden eine bedeutende Rolle gespielt. Aber das ist noch nicht
analytische Geometrie; es fehlt die Verbindung von Geometrie und Algebra.

Auch vom Funktionsbegriff kann man noch nicht reden.

Nikolaus von Kues

Der Kusaner nimmt eine Zwischenstellung zwischen Mittelalter und Re-
naissance ein. Einerseits gehört er mit seinen feinsinnigen erkenntnistheore-
tisch-theologischen Studien [Böhlandt 2002] eher noch dem Mittelalter an,
dagegen reichen seine freilich spekulativen, kosmologischen Meinungen schon
ins Vorfeld von Nicolaus Copernicus und Giordano Bruno.

Der Kusaner (eigentlich Nikolaus Chryppfs oder Krebs, 1401–1464)

stammt aus Kues an der Mosel und war Sohn eines Moselschiffers. Er studier-
te an der relativ orthodoxen Universität Heidelberg, wechselte dann an die
liberale Universität Padua. Dort promovierte er 1423 zum Doktor der Rechte.

296

6 Mathematik im Europäischen Mittelalter

1430 wurde er zum Priester geweiht und schlug eine kirchliche Karriere ein:

Dechant in Koblenz, Teilnahme am Konzil in Basel, dann im diplomatischen

Dienst der Kirche. 1448 wurde er Kardinal und 1450 Bischof von Brixen,
später Generalvikar in Rom.

In diplomatischer Mission schickte ihn der Papst 1438 nach Konstanti-
nopel. Möglicherweise hat er dort Kenntnis von Teilen der byzantinischen

Mathematik erhalten. Während der Rückkehr nach Italien sind ihm, wie er
berichtet, Grundgedanken seines theologischen Hauptwerkes, der coinciden-
tia oppositorum (etwa: Zusammenfallen der Gegensätze) gekommen: Die im

Endlichen sich ausschließenden Gegensätze fallen im Unendlichen, also bei

Gott, zusammen.

Die mathematischen Betrachtungen des Kusaners kreisten in mehreren

Traktaten um das schon seit der Antike aktuelle Problem der Kreisquadratur.

Unserem Verständnis am nächsten kommt sein Rückgriff auf eine Grundidee
von Archimedes, der durch Einbeschreiben eines regelmäßigen 96-Ecks einen
guten Näherungswert für das Verhältnis von Kreisumfang zum Durchmesser
gefunden hatte. Cusanus behandelte das Problem, indem er zu umfangsglei-
chen regelmäßigen Vielecken mit wachsender Eckenzahl die Folgen von deren

„Inkreisradien“ und „Umkreisradien“ bildete. Diese beiden Folgen sind kon-
vergent und haben als gemeinsamen Grenzwert den Radius des zu den Viel-
ecken umfangsgleichen Kreises. Daraus folgert Böhlandt, dass der Kusaner
eine exakte Kreisquadratur (Konstruktion mit Zirkel und Lineal) nicht für
möglich hielt [Böhlandt 2002, S. 78].

6.4 Schlussbetrachtung

Die Völkerwanderung, der Zusammenbruch des weströmischen Reiches und

Machtkämpfe in Europa behinderten die Entwicklung der Wissenschaften in
den Jahrhunderten des frühen („finsteren“) Mittelalters. Das Erbe der klas-
sischen Antike war weitgehend verschüttet, lebte allenfalls fort in den Dom-
und Klosterschulen des sich ausbreitenden Christentums. Dennoch war das

Frühmittelalter keine tote Zeit für die Mathematik, haben doch die von Boe-
thius im 6. Jh. ins Lateinische übersetzten „Elemente“ des Euklid eine große

Rolle in der Geometrie gespielt. Seine Einteilung der freien Künste in das Tri-
vium und das anschließende Quadrivium haben die Struktur des Studiums
in den Universitäten des hohen Mittelalters geprägt. Besondere Bemühungen
galten dem Computus, also der Berechnung der beweglichen christlichen Fest-
tage. Aber erst mit der Tradierung der philosophischen und mathematischen

Texte der griechisch-hellenistischen Antike – von den Arabern zunächst in
ihre Sprache übersetzt, weiterentwickelt und auf die iberische Halbinsel ge-
tragen und dort ins Lateinische übersetzt – begann auch in Europa ein neuer

Aufschwung der Wissenschaften, begünstigt durch die Entstehung der Städte
und das Aufblühen des Handels. Langsam drang das dezimale Positionssys-
tem der Inder vor, die Philosophie und Logik des Aristoteles erlebte neuen

6.4 Schlussbetrachtung

297

Glanz in der Scholastik. Die Geometrie der Antike und ihre Weiterentwick-
lung in der islamischen Welt bildeten die Basis für die Bauten der Romanik
und Gotik im hohen und späten Mittelalter.

Trotz vieler Fehden und Kriege, trotz Pest und mancher Behinderung
durch eine dogmatisch vertretene christliche Lehre (Inquisition) erlebten die

Wissenschaften allgemein und die Mathematik insbesondere neue Impulse,
konzentriert in den neuen Universitäten. Zum Entwicklungsstand der Mathe-
matik im ausgehenden Mittelalter hat sich Juschkewitsch wie folgt geäußert:

„Durch die Auswirkungen des ‚Hundertjährigen‘ englisch-französi-
schen Krieges (1338 bis 1453), der Bauernaufstände, des Kampfes
zwischen England und Schottland und anderer Ereignisse erlitt die

Wissenschaft in England und Frankreich einen gewissen Rückschlag,
so daß sich das Zentrum der wissenschaftlichen Forschung wieder
nach Mittel- und Südeuropa zu verschieben begann. Über den mathe-
matischen Unterricht an den Universitäten in Paris, Wien, Heidel-
berg u. a. in der zweiten Hälfte des 14. Jahrhunderts sind uns Doku-
mente überliefert. Dort wurde z. B. ein halbjähriger Vorlesungszyklus
über die ersten Bücher der ‚Elemente‘ des Euklides abgehalten, wo-
für der Student als Hörergebühr 8 Groschen zu entrichten hatte (der

Prager Groschen, der unter Wenzel II geprägt worden war, war eine
große silberne Münze mit einem Gewicht von etwa 3,5 g). Darüber
hinaus waren der ‚Algorithmus der ganzen Zahlen‘, der ‚Algorithmus
der Brüche‘, die ‚Proportionen des Bradwardine‘, die ‚Längen der

Vorgänge‘, der ‚Almagest‘ usw. Gegenstand der Lehre. Die Unter-
richtsmethode bestand im Lesen von Büchern, die sowohl dem Leh-
renden als auch den Hörern zur Verfügung standen, wobei die Lek-
türe durch mündliche Erläuterungen des Lehrers ergänzt wurde. An
den Universitäten wurden mitunter mathematische Dispute organi-
siert, durch die den Studenten Gelegenheit geboten wurde, gleichsam
ihre Fortschritte zu zeigen. (. . . )

In Böhmen, an der Universität Prag, entfaltete der Astronom und

Mathematiker Jan Šindel aus Hradec Králové (Königgrätz) (1375–

1453) seine Tätigkeit, der auch unter dem Namen Johannes Pragen-
sis bekannt geworden ist. Ein anderer Prager Mathematiker Křišt’an
aus Prachatitz (etwa 1366 bis 1439) verfaßte etwa 1400 den ‚Pro-
saischen Algorithmus‘ (Algorismus prosaycus). Etwas später wirkte

Martin aus Lenezice bei Warschau (etwa 1405 bis 1463) an der Uni-
versität Prag als Professor der mathematischen Wissenschaften. Der
hervorragendste Mathematiker Böhmens jener Zeit war jedoch Johan-
nes Widmann . . .

An der Universität Krakau wirkte in der Mitte des 15. Jahrhunderts

Martin Krol aus Przemysl, der Verfasser eines Werkes über prak-
tische Geometrie. Albert Blar Brudziewski (1455–1597) war Zögling
und später Lehrer an der Universität Krakau, an der er Vorlesungen
über Arithmetik, Perspektive und Astronomie hielt und sich insbeson-
dere mit begabten Studenten beschäftigte. In den neunziger Jahren gab

298

6 Mathematik im Europäischen Mittelalter
es hier 16 Hochschullehrer für Mathematik. In den Jahren 1491 bis

1494 studierte an dieser Universität Kopernikus, der später sein Stu-
dium in Italien abgeschlossen hat.

In Österreich hat sich Georg Peuerbach (1423–1461) hervorgetan, der
als Nachfolger von Johannes aus Gmunden an der Universität Wien

Astronomie, Mathematik und auch römische Literatur lehrte.“

[Juschkewitsch 1964, S. 413–415]

Wesentliche Inhalte der Mathematik im europäischen Mittelalter

6. Jh.

BOETHIUS: Übersetzung der „Elemente“ ins Lateinische, Bezeichnung

Quadrivium für die Lehre der vier mathematischen Wissenschaften:

Arithmetik, Geometrie, Astronomie und Musik
um 800

ALCUIN VON YORK: Aufgabensammlung Propositiones
um 1000

GERBERT VON AURILLAC: Einführung des Abakus mit indisch-
arabischen Ziffern

11. Jh.

„Boethius“ Geometrie II: Kompendium mit auf Boethius fußenden

Euklid-Exzerpten und Agrimensorenhandschriften

ADELARD VON BATH

Euklid-Übersetzung aus dem Arabischen ins Lateinische

13. Jh.

LEONARDO VON PISA (FIBONACCI): Liber abbaci, Practica geo-
metriae, Liber quadratorum: Arithmetik, lineare und quadratische Glei-
chungen, unbestimmte Gleichungen, Näherungswerte für Quadrat- und

Kubikwurzeln durch Iteration, Fibonacci-Zahlen

JOARDANUS NEMORARIUS: Elementa arithmetica, De numeris da-
tis: Proportionen, Systeme linearer Gleichungen, Typen quadratischer

Gleichungen

ROBERT GROSSETESTE: Schriften zur Astronomie und Kalenderre-
form, Betrachtungen zum Unendlichen

VILLARD D’HONNECOURT: Architekturskizzenbuch

JOHANNES DE SACROBOSCO: Elementare sphärische Geometrie zur

Erklärung der Bewegung der Gestirne

ALBERTUS MAGNUS: Kommentar zu Euklids „Elementen“

ROGER BACON: Mathematik in experimentellen Naturwissenschaften:

Mischungsregel, Kegelschnitte in der Optik

14. Jh.

THOMAS BRADWARDINE: „spekulative“ Geometrie

LEVI BEN GERSON: Sinussatz für ebene Dreiecke, Messung von Win-
keldifferenzen mit dem Jakobstab

JOHANNES DES MURIS: Quadripartitum numerorum: Musiktheorie,

Mechanik, lineare und quadratische Gleichungen

NICOLE ORESME: Algorismus proportionum, Theorie der Formlatitu-
den

15. Jh.

NIKOLAUS VON KUES: „Kreisquadratur“ mit ein- und umbeschriebe-
nen Vielecken

MATTHÄUS RORICZER, HANS SCHMUTTERMAYER: Bauhütten-
bücher

7 Mathematik während der Renaissance

300

7 Mathematik während der Renaissance

Allgemeine Geschichte

1410

Niederlage des Deutschen Ordens bei Tannenberg

1415

Hinrichtung des böhmischen Reformators Jan Hus
seit 1434

Florenz unter der Herrschaft der Medici
um 1450

Erfindung des Buchdruckes mit beweglichen Lettern durch

J. Gutenberg

1488

Portugiesen umsegeln das Kap der Guten Hoffnung und erreichen

1498 Indien

1489

Venedig erobert Zypern

1492

Spanier entdecken den neuen Kontinent Amerika

1517

Luthers Thesen in Wittenberg, Beginn der Reformation

1524/25

Bauernkriege in Deutschland

1509/47

Herrschaft Heinrichs VIII. in England

1559

Erstmals päpstlicher Index der verbotenen Bücher

1562/98

Hugenottenkriege in Frankreich

1558/1603

Elisabeth I. Königin von England

1588

Untergang der spanischen Armada

1581

Gründung der Republik der Vereinigten Niederlande

1588–1590

Bau der Kuppel der Peterskirche in Rom

1593

Heinrich IV., König von Frankreich, tritt zum Katholizismus über

1618–1648

Dreißigjähriger Krieg

7.0 Historische Einführung

In allen Zweigen der Historiographie wird der Renaissance eine gesonderte,
eine hervorgehobene Stellung in der Weltgeschichte zugewiesen: als Über-
gangsperiode zwischen Mittelalter und Neuzeit. Dies gilt für die politische

Geschichte, für die Kulturgeschichte, für die Religionsgeschichte und auch
für die Wissenschaftsgeschichte.

Freilich wird die Datierung keineswegs einheitlich gehandhabt; sie weicht
zwischen den verschiedenen Zweigen der Historiographie voneinander ab und
zwar sogar erheblich. Dazu kommen deutliche regionale Unterschiede; Italien
gilt in vieler Hinsicht als Schrittmacher, als Heimatland der Frührenaissance.

Von dort breitet sich die Renaissance nach West- und Mitteleuropa aus mit
ihren politischen Merkmalen der Stadtkulturen und Nationenbildung, mit
neuen Zügen in bildender und darstellender Kunst, mit einem radikalen Um-
sturz im Gefüge der Kirche durch die Reformation und in der Wissenschafts-
geschichte nach Inhalt und Methode, in Verbindung mit dem Renaissance-

Humanismus.

Obgleich die Grenzen zwischen historischen Perioden fließend sind, soll
hier der Zeitraum von der Mitte des 15. Jahrhunderts bis zum Anfang des

17. Jahrhunderts den zeitlichen Rahmen für die Mathematik in der Periode
der Renaissance abgeben. Diese Chronologie schließt sich einer verbreiteten

Chronologie an, wiewohl auch andere Periodisierungen vernünftig und in Ge-
brauch sind.

7.0 Historische Einführung

301

Das meisterhafte Werk (1860) von Jacob Burkhardt Die Kultur der Re-
naissance in Italien hat die Renaissance als entscheidende Umgestaltung des
europäischen Geisteslebens beim Übergang vom Mittelalter zur Neuzeit ins

Bewusstsein des Bildungsbürgertums gehoben. Burkhardt hielt sich bewusst
zurück, was detaillierte Aussagen über die Umstände in Mathematik und

Naturwissenschaften betraf. Und doch:

„Tyrannen sowohl als freie Staaten zeigten bisweilen im 14. Jahr-
hundert der ganzen Klerisei eine solche Verachtung, daß noch ganz
andere Dinge als bloße Naturforschung ungeahndet durchgingen. Als
aber mit dem 15. Jahrhundert das Altertum mächtig in den Vorder-
grund trat, war die ins alte System gelegte Bresche eine gemeinsa-
me zugunsten jeder Art profanen Forschens, nur daß allerdings der

Humanismus die besten Kräfte an sich zog und auch wohl der em-
pirischen Naturkunde Eintrag tat. Hier und da erwacht dazwischen
immer wieder die Inquisition und straft oder verbrennt Ärzte als Läs-
terer und Nekromanten, wobei nie sicher zu ermitteln ist, welches
das wahre, tiefste Motiv der Verurteilung gewesen. Bei alledem stand

Italien zu Ende des 15. Jahrhunderts mit Paolo Toscanelli, Luca Pac-
cioli und Lionardo da Vinci in Mathematik und Naturwissenschaften
ohne allen Vergleich als das erste Volk Europas da und die Gelehrten
aller Länder bekannten sich als seine Schüler, auch Regiomontanus
und Kopernikus. Dieser Ruhm überlebte sogar die Gegenreformation,

. . . “

[Burkhardt 1928, S. 286f.]

Freilich sind dies Ansichten des 19. Jahrhunderts, noch dazu aus italieni-
schem Blickwinkel, mit der Betonung der neu entstandenen städtischen Kul-
tur. Und doch ist der Kern der Renaissance angesprochen: Unter bewusster

Anknüpfung an die Antike – deren materielle Zeugen massenhaft vor Augen
standen – und bei offener Gegnerschaft zum Mittelalter, in dessen Traditi-
on man unvermeidbar dennoch stand, bahnte sich im 15./16. Jahrhundert
eine gänzliche Neuorientierung und Umgestaltung der Mathematik und der

Naturwissenschaften an, die schließlich im 17./18. Jahrhundert in die Wis-
senschaftliche Revolution einmünden sollten.

Eine vergleichbare Entwicklung hat es bemerkenswerterweise in China
trotz eines außerordentlich hohen Niveaus der mittelalterlichen Technologie
und Wissenschaften nicht gegeben, mit der Folge, dass keine Konsequenzen
für die Ausbildung der modernen Naturwissenschaft gezogen wurden. Über
die Gründe wurde und wird fleißig diskutiert, doch besteht Einigung darüber,
die Ursachen im sozio-ökonomischen Bereich zu suchen.

Die Periode der Renaissance war eine höchst unruhige Zeit, mit tiefen
sozialen Widersprüchen, mit Erhebungen der Stadtbewohner und der Bau-
ern gegen die Feudalherren, mit zahllosen kriegerischen Auseinandersetzun-
gen, mit der Herausbildung von Nationen und Nationalstaaten, mit gärenden
geistigen und kulturellen Bewegungen, geprägt durch den Übergang von der

302

7 Mathematik während der Renaissance

Natural- zur Geldwirtschaft und – nicht zuletzt – durch eine glanzvolle Ent-
faltung von Kunst und Wissenschaft.

Zunächst richtete sich ein breites gesellschaftliches Interesse auf die aus
der Antike überlieferten Kenntnisse und Wissenschaften. Viele Kulturdenk-
mäler zeugten vom Glanz einer Zeit, die Rom im Mittelpunkt der Welt gese-
hen hatte. Staunend stand man vor neuen, in Mitteleuropa bisher unbekannt
gebliebenen antiken Manuskripten, die byzantinische Gelehrte, vor den Tür-
ken ausweichend, nach Italien gebracht hatten. 1453 war Konstantinopel ge-
fallen, ein Jahr nach der Geburt von Leonardo da Vinci.

Im Streben nach Aneignung und Nutzung von Kultur und Wissen-
schaft der Antike und nach Wiederbelebung der als „Goldenes Zeitalter“ der

Menschheit empfundenen antiken Welt und im Bemühen um eine „Wieder-
geburt“ (franz.: Renaissance) der Antike spiegelte sich das Selbstbewusstsein
der höfischen Kulturgesellschaft und des neu entstandenen Städtebürgertums
wider. Die Träger dieser neuen Ideologie – Dichter, Gelehrte, Publizisten,

Ärzte, Philosophen, Bildhauer, Handwerker, Ingenieure, Architekten, Han-
delsherren, Teile des Klerus und des Regionaladels – bezeichneten sich nach
dem Vorbild von Petrarca als Humanisten und verstanden sich als Sendboten
einer auf den Menschen und das irdische Dasein auszurichtenden Denk- und

Handlungsweise.

Am Ende des 15. Jahrhunderts weitete sich die Renaissance-Forderung

„ad fontes“ (zu den Quellen) aus: Rückgriff auf die griechischen Originale,
wenn möglich, verbunden mit Textkritik (Befreiung von nachträglichen Strei-
chungen und Einschiebungen). Dazu kam die Erfindung des Buchdruckes, der
den Schriften eine weitere Verbreitung ermöglichte und damit den Zugang zu
den Quellen nicht nur für den einen oder anderen gelehrten Mönch, sondern
auch für eine inzwischen zahlenmäßig stark angewachsene Gelehrtenschicht
an Universitäten und städtischen Bildungseinrichtungen.

So bietet sich folgendes Bild bezüglich der griechisch-hellenistischen Ma-
thematik:

Apollonios

Konika, Buch I–IV, lateinisch 1537

Archimedes

Gesamtausgabe griechisch 1544, lateinisch 1558

(Auswahl bereits 1270)

Aristoteles
nach früheren Auswahlen mehrere Gesamtausgaben, z. B. latei-
nisch 1472, 1495/98, 1533

Diophant
lateinisch 1575

Euklid
lateinisch 1505, griechisch 1533

Heron

Auswahl griechisch-lateinisch 1571, 1589, 1616

Menelaos
lateinisch 1558

Nikomachos griechisch 1538, 1554

Pappos
lateinisch 1588

Platon

Gesamtausgabe lateinisch 1483/84, griechisch 1513, 1578

Ptolemaios

„Almagest“ griechisch 1538, „ Tetrabiblos“ lateinisch 1484, grie-
chisch 1535

7.0 Historische Einführung

303

Abb. 7.0.1

Leonardo da Vinci; er pflegte in Spiegelschrift zu schreiben (Monaco

2002). Entwurf einer Tragluftschraube von Leonardo da Vinci. Leonardo konnte
das große und schwere Modell seines Entwurfes nicht zum Fliegen bringen: es gab
zu seiner Zeit kein geeignetes leichtes Material. Seine Flugspirale ist der Vorläufer
des Antriebes unserer Hubschrauber. Rund 450 Jahre brauchte Leonardos Idee zur
funktionsfähigen Realisierung. (Albanien 1969)

Doch Humanismus und bloße Wiedererweckung der Antike genügten den
wachsenden Bedürfnissen des Bürgertums schon seit dem Ausgang des

15. Jahrhunderts nicht mehr. Eine Fülle neuer Einsichten war erzielt worden,
im Bereich der Produktion, bei der geographischen Erschließung der Erde,
in Wissenschaft und Kunst. Es wurde offensichtlich, dass die Antike über-
troffen werden konnte und übertroffen worden war. Tiere, Pflanzen, Erdteile
waren entdeckt worden, von denen sich bei den Alten keine Spur einer An-
deutung fand. Es gab Brillen, mechanische Uhren, Feuerwaffen, Spinnräder,

Papiermühlen, aber noch kein Fernrohr. Es gab bedeutende Fortschritte im

Bergbau, im Schiffbau, in der Metallurgie. Das Gefühl der Bewunderung der

Antike verband sich mit einem rasch fortschreitenden Selbstbewusstsein, dass
nämlich tätiges Wirken ein neues, ein besseres Zeitalter heraufgeführt habe.

Charakter und Inhalt der Renaissance gehen somit weit über die bloße „Wie-
dergeburt“ der Antike hinaus. Das gilt auch und gerade für die Mathematik.

Mechanische Künste und Erfindertätigkeit hatten sich auf den Weg zur
wissenschaftlichen Mechanik begeben. Nehmen wir als Beispiel Leonardo da

Vinci: Sein Leben, sein Werk als Künstler, Baumeister, Ingenieur und Erfin-
der mit einem ganz unglaublichen Ideenschatz – Wasserräder, Fallschirm,

Luftschraube, Flugmaschinen, Unterseeboot, Gewölbe, Drehbank, Schiffs-
antriebe, Schleifmaschinen u. v. a. m. – darf als Symbol geistiger Schöpferkraft
der Renaissance gelten. Leonardo vermochte vorauseilend Fragen wenigstens
zu fixieren, die erst zwei bis drei Generationen später von Galilei, Kepler und

Newton geklärt wurden und die Grundprobleme der Wissenschaftlichen Re-
volution ausmachen: Gravitation, Fall, Beschleunigung. Leonardo sah auch
im Methodischen das Neue, die Verbindung nämlich von Theorie und Expe-
riment, noch vor Galilei. Auch Leonardo erkannte, dass die Naturforschung

304

7 Mathematik während der Renaissance
auf die Entdeckung von Naturgesetzen abzielen muss, die ihrerseits nur in
mathematischer Sprache zu fassen sind [Wußing 2002, S. 7ff.].

Leonardo hatte sich unter Anspielung auf die noch umstrittene Rolle der

Mathematik so ausgedrückt:

„Der Mann, der die höchste Gewissheit der Mathematik tadelt, nährt
die Verwirrung und kann nie die Widersprüche der sophistischen

Wissenschaft zum Schweigen bringen, die zu unendlichen Konflik-
ten führen. Es gibt keine Sicherheit in der Wissenschaft, wo nicht die

Mathematik angewandt werden kann.“

(Zitiert nach [Clark 1969, S. 63])

Werfen wir noch einen Blick auf die sozialen Strukturen, die während der

Renaissance den wissenschaftlichen Fortschritt getragen haben. Die Neuori-
entierung der Wissenschaften ging nicht von den mittelalterlichen Univer-
sitäten aus, an denen gegen Ende des 14. Jahrhunderts deutliche Züge der

Stagnation des wissenschaftlichen Lebens erkennbar wurden.

Die Erneuerung und Fortentwicklung der Wissenschaften ging vielmehr
von einer mit der Entwicklung des Frühkapitalismus eng verbundenen Gruppe
von Kaufleuten, Handwerkern, darstellenden und bildenden Künstlern, Pries-
tern, Geschützmeistern, Rechenmeistern, Architekten und Ärzten aus, für die
es die Sammelbezeichnung virtuosi oder artifici gab. Heute spricht man häu-
fig auch von Künstleringenieuren, weil dieser gesellschaftlichen Schicht auch

Leonardo da Vinci und Albrecht Dürer zuzurechnen sind.

Eine neue Qualität ergab sich daraus, dass die artifici sich der Darstel-
lung der neuen Erkenntnisse in Wissenschaft und Produktion in den jewei-
ligen Nationalsprachen zuzuwenden begannen und damit ihre Interessenten
in der Praxis besser erreichen konnten. Man spricht daher geradezu von der

„wissenschaftlich-literarischen Entdeckung der Produktion“. Dieser Ausdruck
dürfte auf G. Harig zurückgehen [Harig 1958].

Die neue Auffassung vom Sinn und Nutzen der Wissenschaft vermoch-
te sich mit dem Erstarken des Frühkapitalismus durchzusetzen und ergriff
in zunehmendem Maße auch die Vertreter der Universitätswissenschaft. Der
durch die Praktiker erworbene Schatz naturwissenschaftlicher und mathe-
matischer Kenntnisse wurde von den Vertretern der offiziellen Wissenschaft,
die traditionsgemäß auf die Systematisierung des Wissens orientiert waren,
theoretisch durchdrungen. Es kam zu einer Art Begegnung von Theorie und

Praxis, zu einem stufenweisen Zusammenwachsen mit revolutionären Folgen:

Am Beginn des 17. Jahrhunderts wurden bereits Grundlagen der klassischen

Naturwissenschaft gelegt.

Hand in Hand damit ging auch ein Erstarken der naturphilosophischen

Betrachtungsweise. Man fing an, die Rolle des Experimentes zu erkennen
und war bereit, Sinneswahrnehmung und Beobachtung über die Berufung
auf die Autoritäten der Scholastik zu stellen und sich von der Vorherrschaft
aristotelisch geprägter mittelalterlicher Wissenschaft zu lösen.

7.0 Historische Einführung

305

Abb. 7.0.2

Blick in eine Rechenstube (Klatovskys Rechenbuch, Prag), aus

[Acta historiae, New Series, Vol. 1 1997, S. 168–195]

306

7 Mathematik während der Renaissance

Abb. 7.0.3

Titelblatt von De revolutionibus und Anfang der Vorrede von Osian-
der. Dieses Exemplar war im Besitz von Kepler. Er durchschaute die Zusätze und

Änderungen durch Osiander. Deswegen hat Kepler im Titelblatt den von Osiander
stammenden Zusatz „orbium coelestium“ durchgestrichen und die Vorrede als von

Osiander herrührend gekennzeichnet [UB Leipzig]

7.1 Neue Forderungen an die Mathematik

307

7.1 Neue Forderungen an die Mathematik

Mit dem durchgehenden Übergang von der Natural- zur Geldwirtschaft und
der sprunghaften Erhöhung des Geldumlaufs wurde eine Vielzahl von Proble-
men aufgeworfen: Buchhaltung, Zahlenschreibweise, Umrechnung verschie-
denartigster Währungs-, Gewichts- und Maßeinheiten ineinander, Zins- und

Zinseszinsrechnung, Erweiterung des Zahlenbereiches, Ausbildung von zweck-
mäßigen Rechenverfahren. Es entstand der Beruf des Rechenmeisters; auch
innerhalb dieser Zunft bildeten sich Ansätze algebraischen Denkens und al-
gebraischer Symbolik.

Im 15. und 16. Jahrhundert nahm die Astronomie einen raschen Auf-
schwung, der in der Publikation des weltbewegenden Werkes De revolutio-
nibus (1543) durch Nicolaus Copernicus (1473–1543) und der Ablösung des
geozentrischen durch das heliozentrische Weltbild gipfelte. Die Grundannah-
me der Astrologie vom Einfluss der Gestirne auf das irdische Leben, auch auf
das individuelle Schicksal, war während der Renaissance unbestritten, wie
überhaupt diese Zeit besonders abergläubisch war.

Da man beim Versagen eines Horoskops nicht auf Fehler im astrologischen

System, sondern auf noch nicht zureichende Genauigkeit der Sternbeobach-
tungen schloss, erhielt die beobachtende Astronomie echte Impulse. Trotz

Abb. 7.1.1

Windrose in Sagres, Portugal. Der portugiesische Prinz Heinrich,
genannt der Seefahrer, zog in Sagres eine Gruppe von Mathematikern, Astronomen,

Geographen und Navigatoren zusammen, um die Seefahrt längs der Küste Afrikas
nach Süden (nach Indien) systematisch vorzubereiten [Foto Wußing]

308

7 Mathematik während der Renaissance

Abb. 7.1.2

Flugbahn eines Geschosses [Die new Buchsenmeisterey 1547]

ihrer Unwissenschaftlichkeit wirkte die Astrologie objektiv wie ein starkes
gesellschaftliches Bedürfnis.

Die Schifffahrt, die sich von den Küsten löste und auf die hohe See hin-
auswagte, erforderte neue Kenntnisse und Fertigkeiten bei Navigation und
im Schiffbau; hier ergaben sich Forderungen an die Trigonometrie und die

Bewältigung hydrostatischer, mathematisch-physikalischer Probleme.

Das aufkommende und sich rasch entwickelnde Geschützwesen stellte die

Geschützmeister vor eine Reihe von ballistisch-geometrischen Fragen: Die

Flugbahn der Geschosse wurde – ein erster bedeutender Fortschritt – aus

Geradenstücken und Kreisbogenteilen zusammengesetzt gedacht. Erst im

17. Jahrhundert sollte nach langen Bemühungen von Galilei und Cavalieri
die Flugbahn als parabolisch erkannt werden.

7.1 Neue Forderungen an die Mathematik

309

Abb. 7.1.3

Kuppel der Peterskirche in Rom, mit einem Durchmesser von ca.

42 m zwischen 1588 und 1590 errichtet [Foto Alten]

Im Bauwesen waren schwierige Fragen zu lösen. Die Baukunst der Re-
naissance hat unter anderem kühne Kuppelkonstruktionen hervorgebracht,
z. B. in der Peterskirche von Rom und die Kuppel des Domes von Florenz.

Die Anlage von Festungen erforderte bei zunehmender Durchschlagskraft
der Geschosse auch den Bau in die Tiefe und förderte damit Ansatzpunkte
zur späteren darstellenden Geometrie, d. h. die Kunst, Dreidimensionales in
einer Zeichenebene darzustellen.

Nicht zuletzt enthielt die bildende Kunst der Renaissance zahlreiche ma-
thematische Momente. Repräsentative Gebäude, Bildwerke, Statuen und Ge-
mälde mussten, sollten sie dem wiederbelebten antiken Schönheitsideal genü-
gen, nach kanonischen Regeln komponiert sein: Ihre Teile hatten in bestimm-
ten Größenverhältnissen zu stehen. Dabei spielte der sog. Goldene Schnitt ei-
ne hervorragende Rolle. Die Berücksichtigung der Perspektive auf Gemälden,
die neben dem Streben um realistische Darstellung zu den Errungenschaften
der Renaissance-Kunst gehört, führte zum Gebrauch einiger Elemente der
späteren darstellenden Geometrie wie Fluchtpunkt und Fluchtgerade.

Im Ganzen erreichte die Mathematik im unmittelbaren Zusammenhang
mit der Herausbildung der Geldwirtschaft im 15. und 16. Jahrhundert eine
prinzipiell neue gesellschaftliche Stellung: Mathematik war nicht länger blo-
ßes Bildungselement im System kirchlich-scholastischer Gelehrsamkeit, einge-
gliedert in das Studium der sieben freien Künste. Nun, in der Renaissance

310

7 Mathematik während der Renaissance

Abb. 7.1.4

Größenverhältnisse am Kopf (Beschriftung in Spiegelschrift, Hand-
zeichnung von Leonardo da Vinci 1488/89) [www.drawingsofleonardo.org]

griff die Mathematik ins tägliche Leben ein, ihre Produktionspotenz wurde
deutlich.

Aufs Ganze gesehen und ein wenig grob betrachtet, schritt die Mathema-
tik während der Renaissance in drei Hauptrichtungen vorwärts:

–

Rechenmeister und frühe Algebra

–

Geometrie und Perspektive

–

Astronomie und Trigonometrie

7.2 Rechenmeister und frühe Algebra

Natürlich kannte die Antike Geld in Münzform. Der Handel vollzog sich
über große Entfernungen und hat eine bedeutende Rolle gespielt. Dies be-
weisen z. B. Münzfunde mit dem Porträt römischer Kaiser auch außerhalb
der Grenzen des Römischen Weltreiches. (Die Bezeichnung „Münze“ wurde
hergeleitet vom Tempel der römischen Göttin Juno Moneta, weil dort die
römische Münzprägungsstätte lag.) Doch dominierte insbesondere nach dem

Zusammenbruch des weströmischen Reiches die Naturalwirtschaft bis weit
ins Mittelalter hinein.

7.2 Rechenmeister und frühe Algebra

311

In den städtischen Kulturen Italiens am Beginn der Renaissance, im

13./14. Jahrhundert, begann sich die Geldwirtschaft durchzusetzen. Der Aus-
tausch der Güter erfolgte über das Äquivalent von Edelmetall. Parallel dazu
erreichte das kaufmännische Rechnen eine hohe gesellschaftliche Wertschät-
zung. Als Rechenhilfsmittel diente der aus der Antike übernommene Abakus.

Schon früh in der Renaissance lässt sich für Italien eine beachtliche Anzahl
von maestri d’abbaco (soviel wie Meister im Rechnen) nachweisen, die teil-
weise eigene Rechenschulen unterhielten. Dort wurde gegen Bezahlung ge-
lehrt: das Rechnen mit Zahlen, deren Schreibweisen, die Grundrechenarten,
die Bruchrechnung, viele Anwendungen aus dem täglichen Leben bei Kauf,

Tausch, Geldgeschäften, ferner Umrechnung verschiedener Währungen und

Abb. 7.2.1

Sieg des Ziffernrechnens über das Abakusrechnen (Zeitgenössische

Darstellung von 1504) [Reisch: Margarita philosophica]

312

7 Mathematik während der Renaissance

Abb. 7.2.2

Dut is de garen mathe (Dies ist das Garnmaß); Inschrift am Rathaus
von Hildesheim (Länge des Stabes: 2 Ellen = 108 cm)

[Foto Wesemüller-Kock]

unterschiedlichster Maßeinheiten (Länge, Entfernung, Rauminhalt), Dreisatz,

Zins- und Zinseszinsrechnung, doppelte Buchführung und anderes mehr.

Gerade die Umrechnung der Systeme infolge der Zersplitterung der

Währungs- und Maßsysteme musste unter den Forderungen der Praxis zu
einem Hauptgegenstand der Unterrichtung an den Rechenschulen und dann
auch in den gedruckten „Rechenbüchlein“ werden. Dies führte unmittelbar
zur Bruchrechnung.

In der Arbeit [Deschauer 2002] wird dieser Frage für den Zeitraum von

1460 bis 1530 in frühen deutschen Rechenbüchern detailliert nachgegangen.

Der Verfasser führt von dem gebräuchlichen Längenmaß „Elle“ an: Die Elle
nach Wien, Linz, Nürnberg, Ofen (heute Stadtteil von Budapest), Frankfurt,

Brabanter Elle, Venezianische Elle, Krakauer Elle, Elle in Flandern, Prag,

Augsburg, Leipzig, Breslau und andere mehr. Beispielsweise ergibt eine Um-
rechnung nach [Rudolff 1526]: 1 Wiener Elle gleich 600:421 Frankfurter Ellen.

Übrigens ist eine Wiener Elle für alle Bürger nachprüfbar – wie es sich ge-
hört – am Stephansdom in Wien angebracht; sie hat die Länge von 77,8 cm.

Analoges gibt es in anderen Städten.

Ähnlich zersplittert waren auch die Entfernungsmaße. Selbst heute rech-
net man noch neben Metern in Meilen und Seemeilen – trotz der internatio-
nalen Meter-Konvention von 1875.

7.3 Fortschritte in Italien

313

Nach und nach paarte sich auch in anderen Ländern das praktische Anlie-
gen mit dem Interesse an theoretischen Fragen, insbesondere, nachdem man
gelernt hatte, Aufgaben in Gleichungsform zu „übersetzen“ und Gleichungen
aufzulösen. So wurde die alte, bewährte Methode der regula falsi (Methode
des falschen Ansatzes) verdrängt und durch „cossische“ Methoden ersetzt.

Diese Wendung in den Lösungsmethoden rechnen wir heute zur Geschichte
der frühen Algebra (in der Person von Adam Ries ist dies besonders schön
erkennbar, vgl. [Ries 1581], in [Wußing 1992, S. 76–78]).

Geographisch gesehen war das kaufmännische Rechnen ebenso wie die

Wendung ins Abstrakte von Oberitalien ausgegangen, war dann durch nieder-
ländische, englische, französische und deutsche Rechenmeister weitergeführt
worden (ausführlich in [Alten et al. 2003]).

7.3 Fortschritte in Italien

Bereits im 19. Jahrhundert haben italienische Mathematikhistoriker Studien
zur Frühgeschichte der italienischen Algebra unternommen, gestützt vorwie-
gend auf handschriftliche Dokumente. Genannt seien Pietro Cossali (1768–

1815), Guglielmo Libri (1803–1869) und Baldassarre Boncampagni (1821–

1894). In jüngster Zeit (1985) ist eine zusammenhängende Übersicht von den

Autorinnen Raffaela Franci ( ∗ 1940) und Laura Toti Rigatelli ( ∗ 1941) vorge-
legt worden: Towards a History of Algebra from Leonardo of Pisa to Luca

Pacioli [Franci/Rigatelli 1985].

Die beiden Autorinnen haben während einer Tagung am Mathematischen

Forschungsinstitut Oberwolfach (Schwarzwald) deutlich gemacht, dass – in

Anbetracht der Quellenlage – der Höhepunkt der frühen italienischen Alge-
bra in die Zeit des 13./14. und des frühen 15. Jahrhunderts fällt und nicht
erst mit den Namen del Ferro, Tartaglia, Cardano, Bombelli verbunden ist.

Die Verschiebung des historischen Bildes erklärt sich daraus, dass die frühe-
ren Arbeiten ungedruckt bleiben mussten und daher fast völlig unbekannt
blieben, während die gedruckten Schriften der späteren Zeit eine weite Ver-
breitung fanden.

In der Studie [Høyrup 2007] wird, anknüpfend an die Vorgeschichte, die

„Abacus-Kultur“ während der frühen italienischen Algebra am Beispiel des

Jacopo da Firenze (14. Jh.) dargestellt.

Leonardo von Pisa (Fibonacci)

Leonardo von Pisa oder auch Leonardo Fibonacci (ca. 1170 bis nach 1240) ist
vielfach als „erster moderner Mathematiker“ des christlichen Europa bezeich-
net worden, erfuhr daher in der Literatur eine besonders deutliche Aufmerk-
samkeit (vgl. z. B. den Artikel von K. Vogel in [DSB, Vol. IV 1971] und das

Buch von H. Lüneburg [Lüneburg 1992]). Er wird deshalb erst hier behandelt,
obwohl seine Schriften schon im 13. Jahrhundert entstanden.

Leonardo stammt aus einer Familie Bonacci, die sich bis ins 11. Jahrhun-
dert in Pisa nachweisen lässt. Die „Übersetzung“ seines Namens als Sohn des

314

7 Mathematik während der Renaissance

Bonacci, wie man gelegentlich liest, ist irrtümlich; Fibonacci bedeutet Mit-
glied der Familie Bonacci. Leonardo berichtet im Vorwort zu seinem Haupt-
werk Liber abbaci (1202) über Einzelheiten aus seinem Leben. Der Vater
vertrat etwa seit 1192 die Handelsinteressen von Pisa in Bugia (heute Bou-
gie, Algerien). Der ihm bald nachfolgende Sohn sollte das Rechnungswesen
kennenlernen, da er zum Kaufmann bestimmt war. Darüberhinaus kam er
mit der Mathematik des Orients in Berührung: Er lernte die neuen indischen

Ziffern kennen; Reisen führten ihn nach Ägypten, Byzanz, Syrien, Sizilien.

Überall dürfte er an Disputationen teilgenommen haben. Auch berichtet er,
er habe algorismus und die Bögen des Pythagoras kennen gelernt; mit letzte-
rem dürfte der Abakus in der Tradition von Gerbert von Aurillac (940?–1003)

gemeint gewesen sein.

An der Wende zum neuen Jahrhundert kehrte Leonardo nach Pisa zurück
und widmete sich in den nächsten 25 Jahren der Niederschrift der gewonnenen

Erkenntnisse in wissenschaftlichen Werken für Menschen, die an schwierige-
ren, abstrakten Fragen interessiert waren.

Als der Hohenstaufenkaiser Friedrich II., ein Kenner und Bewunderer des

Orients, 1225 in Pisa Hof hielt, wurde Leonardo, der sich schon Ruhm als
bedeutender Gelehrter erworben hatte, dem Kaiser vorgestellt. Friedrich II.

hatte einen Gelehrtenkreis um sich versammelt, dem auch der aus Schottland
stammende Michael Scotus (ca. 1175 bis ca. 1236) angehörte, der als Überset-
zer aus dem Arabischen ins Lateinische hervorgetreten und als Hofastrologe
tätig war. Nach 1228 liegen von Leonardos Leben kaum noch Nachrichten
vor, außer dass die Republik Pisa ihm eine jährliche finanzielle Zuwendung
gewährte.

Fünf Schriften von Leonardo haben sich erhalten:

1. Liber abbaci. Eine erste Fassung von 1202, eine zweite von 1228. Diese ist

Michael Scotus gewidmet.

2. Practica geometriae. Niedergeschrieben 1220/21

3. Flos, 1225

4. Ein Brief an den Kaiserlichen Philosophen Theodoros, undatiert

5. Liber quadratorum, 1225

Die Schriften von Leonardo zeigen, teilweise bis ins Detail, die Bekanntschaft
mit antiken griechischen, mit muslimischen und mit Quellen aus dem Mittel-
meerraum (vgl. [Alten et al. 2003, S. 206–210]).

Weitere Schriften sind nur dem Titel nach bekannt, darunter ein Buch
über Mathematik im Kaufmannswesen.

Der Titel Liber abbaci könnte in die Irre führen. Es handelt sich nicht
um ein Buch über den Abakus (das (Sand-)Rechenbrett), sondern über das

Rechnen ganz allgemein. Behandelt werden die römischen Zahlen, die Fin-
gerzahlen, die indisch-arabischen Ziffern, die Brüche, die Grundrechenarten,
angereichert mit zahlreichen Beispielen. Ein weiterer Themenkomplex um-
fasst kaufmännisches Rechnen (Preise, Zinsen, Legierungen, Umrechnung von

7.3 Fortschritte in Italien

315

Währungen u. a. m.). Dort wird auch, wie früher in der chinesischen Mathe-
matik und in der karolingischen Zeit, das Problem der 100 Vögel behandelt:

Mit einer festen Geldsumme soll man 100 Vögel kaufen, jede Vogelart mit
unterschiedlichem Preis.

Weitere Kapitel enthalten Aufgaben unterschiedlichen Typs, die zur Un-
terhaltungsmathematik gerechnet werden können. Genannt seien das Zister-
nenproblem (wie lange braucht eine Spinne, bei vorgegebener Tiefe der Zis-
terne und der Tagesleistung der Spinne, um wieder an die Oberfläche zu
gelangen); das Problem der gefundenen Geldbörse; der Pferdekauf (einer al-
lein kann ein wertvolles Ding z. B. ein Pferd nicht kaufen und muss sich mit
anderen zusammentun); das chinesische Restproblem; das berühmte Kanin-
chenproblem.

Kaninchen sind bekanntlich sehr fruchtbar. Es wird unterstellt, ein Ka-
ninchenpaar bringt ein weiteres Kaninchenpaar zur Welt, das ab dem zweiten

Monat mit weiteren Geburten aufwartet. Kein Kaninchen stirbt. Und so fort.

Gefragt ist nach der Zahl der Nachkommenpaare nach einem Jahr (oder all-
gemeiner nach n Monaten).

Die Lösung verläuft so: Beim n-ten Vermehrungsvorgang ist die Zahl der

Nachkommenpaare jeweils die Summe der beiden vorhergehenden. In For-
meln, als rekursive Beziehung:

Nn+1 = Nn + Nn− 1

(Jede Zahl ist die Summe der beiden vorhergehenden.) Mit den Anfangsglie-
dern 1 und 1 erhält man die sog. Fibonaccischen Zahlen

1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .

Erstaunlicherweise stößt man auf die Fibonaccischen Zahlen bei verschie-
denen Wachstumsvorgängen, z. B. bei der Anordnung der Sonnenblumenker-
ne, bei der Blattstellung einiger Pflanzen, aber auch beim Goldenen Schnitt
und den Abständen der Planeten von der Sonne (siehe dazu den Videofilm

Vom Zählstein zum Computer – Mittelalter von H. Wesemüller-Kock und

A. Gottwald). Einige der oben genannten Probleme laufen auf Gleichungen
und unbestimmte Gleichungssysteme hinaus. Mit Übernahme des arabischen

Wortes šay’ (Ding) nennt Fibonacci die gesuchte Größe res. Obwohl er keine

Symbole verwendet, erweist er sich als Meister von Methoden, die wir heu-
te der Algebra zurechnen. So schließt sich Leonardo an al-H

<w¯arizm¯ı an und
übernimmt dessen Klassifizierung der quadratischen Gleichungen. Die Poten-
zen der Unbekannten (Variablen) werden von Leonardo mit radix oder res
für x, quadratus und census (arabisch m¯
al) für x 2, cubus für x 3, census de
censu für x 4, cubus cubi für x 6 bezeichnet. Eine konstante Größe wird mit
numerus, denarius oder dragma benannt.

Weitere Darlegungen gelten Approximationen, gestützt auf geometrische

Repräsentationen, unter Rückgriff auf Euklid. Ähnlich meisterhaft erweist
sich Leonardo auch in seinen anderen Abhandlungen. In Flos (Blume) wer-

316

7 Mathematik während der Renaissance

Abb. 7.3.1

Die „Fibonacci-Zahlen“ im Liber abbaci [Biblioteca Nazionale de Fi-
renze, Codice Magliabechiano c.s. c.1.2616, fol. 124r], [Wikimedia Commons]

7.3 Fortschritte in Italien

317
den algebraische Probleme behandelt. In seiner Practica geometriae (Vermes-
sungskunst) und im Liber quadratorum (zahlentheoretischer Inhalt) zeigt er
sich ebenfalls auf der Höhe der zu seiner Zeit direkt oder indirekt überlieferten
griechisch-antiken und orientalischen Quellen.

Es verdient hervorgehoben zu werden, dass bei Leonardo wohl zum ersten

Mal in Europa negative Zahlen als Lösung akzeptiert werden, freilich in vor-
sichtiger Form als Schulden interpretiert. Es geschieht dies beispielsweise in
der berühmten Aufgabe im Liber abbaci von der gefundenen Geldbörse mit
unbekanntem Inhalt b.

Im Falle von vier Findern, die im Besitz der jeweiligen Geldmengen x 1,
x 2, x 3, x 4 sind, laufen Leonardos Textvorgaben auf das Gleichungssystem
x 1 + b = 2( x 2 + x 3)

x 2 + b = 3( x 3 + x 4)

x 3 + b = 4( x 4 + x 1)

x 4 + b = 5( x 1 + x 2)

hinaus. Und Leonardo erklärt: „Ich werde zeigen, daß dieses Problem unlösbar
ist, wenn nicht zugelassen wird, daß der erste Partner Schulden hat.“ [Tropfke

1980, S. 146/147], [Gericke 1996, S. 291]

Das Problem ist unbestimmt. Als eine Lösung findet Leonardo
x 1 = − 1 ,
x 2 = 4 ,
x 3 = 1 ,
x 4 = 4 ,
b = 11 .

Insbesondere der Liber abbaci hat nachhaltig auf die weitere Entwicklung ein-
gewirkt, zunächst auf die in Italien. Später sind seine Aufgaben und Metho-
den auch in deutsche, französische und englische Bücher eingegangen. Noch
bei Eulers Algebra (1768) finden sich Bezüge auf Leonardo.

Die „ maestri d’abbaco“

Während des 12. Jahrhunderts war algebraisches Wissen aus dem muslimi-
schen Bereich in die christliche Welt gelangt. Leonardo von Pisa ist dafür ein
herausragendes Beispiel. Das 15. Kapitel über Algebra in seinem Liber abba-
ci, das sich auf al-H

<w¯arizm¯ı bezieht, hat insbesondere auf die Rechenschulen

(Abakus-Schulen) einigen Einfluss ausgeübt, insbesondere durch Übersetzun-
gen und italienische Bearbeitungen, eine für die des Lateinischen Unkundigen
notwendige Voraussetzung für das Verständnis.

Die Autorinnen Toti Rigatelli und Franci berichten über eine stattliche

Reihe solcher volkssprachlichen Fassungen, die sog. Abakus-Manuskripte. Die
vermutlich früheste stammt aus dem Jahre 1390, eine andere ungefähr aus
dem Jahre 1400. Noch viele weitere derartige Manuskripte stammen aus dem

15. Jahrhundert, von denen die des Meisters Benedetto aus Florenz eine
besonders hohe Bedeutung erlangten [Franci/Rigatelli 1985]. Kürzlich hat

J. Høyrup die gegenseitigen Abhängigkeiten zwischen Fibonacci und den ita-
lienischen Abbacisten untersucht [Høyrup 2004].

318

7 Mathematik während der Renaissance

Eine frühe italienische Abhandlung zum Abakus, die in Teilen auf Al-
gebra eingeht, trägt den Titel Libro di Ragioni und stammt von dem Flo-
rentiner Paolo Gerardi und wurde 1328 in Montpellier niedergeschrieben. Er
behandelt die 6 Gleichungstypen des Liber abbaci von Leonardo und weite-
re 9 Gleichungstypen, in denen dritte Potenzen auftreten. Beispielsweise ist
ax 3 = bx 2 + cx reduzierbar auf einen quadratischen Typ. Dagegen sind
ax 3 = bx + c ,
ax 3 = bx 2 + c ,
ax 3 = bx 2 + cx + a
echt kubische Gleichungen. Die angegebenen „Lösungen“ sind freilich falsch.

Das früheste, vollständig auf Algebra orientierte Abakus-Manuskript trägt
den Titel Aliabraa – Argibra. Es stammt vom Meister Dardi von Pisa und
wurde 1344 verfasst. Drei Kopien und eine hebräische Übersetzung haben
sich erhalten, ein Hinweis auf den großen, von dort auf die Abakus-Schulen
ausgehenden Einfluss. Auch Dardi von Pisa hat sich mit Gleichungen dritten
und vierten Grades befasst. Für eine Gleichung vom Typ x 3 + ax 2 + bx = c
gibt er eine Lösung an, die allerdings – wie er weiß – nur richtig ist, wenn
a 2 = 3 b ist [Scholz 1990, S. 147f.].

Die Autorinnen Franci und Toti Rigatelli widmen einen längeren Ab-
schnitt dem Meister Antonio de Mazzinghi, der aus Florenz stammt und sei-
nerzeit als der geschickteste Algebraiker galt. Leider haben sich nur längere

Auszüge aus seinen Schriften erhalten.

Bemerkenswerterweise führte er Bezeichnungen und Rechenregeln für Po-
tenzen von x 6 , . . . , x 0 , . . . , x− 6 ein. Auch behandelte er Gleichungssysteme in
zwei oder mehr Variablen, z. B. n · v = 6, n 2 + v 2 = 13.

Zwei anonyme Florentiner Manuskripte vom Ende des 14. Jahrhunderts
zeigen Fortschritte, die in die Zukunft weisen. Durch die Transformation x =
y − p 3 geht die Gleichung x 3 + px 2 = q in eine Gleichung y 3 = py + q ohne quadratisches Glied über. Auch wird von den italienischen Algebraikern ein

Verfahren geboten, eine kubische Gleichung mit einer vorgegebenen Zahl als

Wurzel anzugeben [Scholz 1990, S. 148f.], [Franci/Rigatelli 1985, S. 48]. Es
lässt sich jedoch von hier aus keine Verbindung zu den späteren Leistungen
von Scipione del Ferro bzw. Girolamo Cardano nachweisen.

Es ist hier unmöglich, auf die Fülle der italienischen Manuskripte zu Aba-
kus und Algebra einzugehen (vgl. [Franci/Rigatelli 1985]). Die Autoren waren
u.a. Vertreter der reichen Kaufmannschaft. Ein gewisser Giovanni di Bartolo
arbeitete mit Filippo Brunelleschi (1377–1446) beim Bau der großen Kuppel
des Florentiner Doms zusammen. Der Maler Piero della Francesca (1410–

1492) war zugleich an Algebra interessiert.

Luca Pacioli

Mit Luca Pacioli (ca. 1445–1517) begegnen wir einer Schlüsselfigur in der Ent-
wicklung der Mathematik während der Renaissance in Italien. Seine Wirkung
auf die Nachfolgenden beruht auf dem Umstand, dass sein mathematisches

7.3 Fortschritte in Italien

319

Abb. 7.3.2

Luca Pacioli mit seinem Schüler Guidobaldo, Herzog von Urbino

(Jacopo de Barbari 1495) [Museo Nazionale di Capodimonte, Neapel],

[Wikimedia Commons]

Hauptwerk – im Unterschied zu seinen Vorgängern – gedruckt wurde. Hin-
sichtlich seiner mathematischen Stärke kommen die Autorinnen Franci und

Toti Rigatelli [Franci/Rigatelli 1985, S. 61, englisch] allerdings zu dem et-
was ernüchternden Urteil, Pacioli sei zwar der einflussreichste Abbacist des

15. Jahrhunderts gewesen, aber keineswegs der geschickteste in mathemati-
scher Hinsicht. Trotz der Vorbehalte war jedoch sein Hauptwerk Summa de
arithmetica, geometria, proportioni e proportionalità (Venedig 1494, 2. Auf-
lage 1523) ein wegweisendes Buch, zumal es nicht in Latein geschrieben war.

Der Lebenslauf von Pacioli lässt interessante Einblicke in die gesellschaft-
lichen Zustände jener Zeit zu; etwa wird die unsichere Lage der Gelehrten
jener Zeit deutlich (vgl. [DSB, Vol. X., 1974]). Pacioli stammt aus einer Klein-
stadt im Tal des Flusses Tiber. Man weiß wenig Genaues aus seiner Kindheit;
möglicherweise erhielt er Unterricht bei dem Maler und Mathematiker Piero
della Francesca, einem Pionier der Lehre von der Perspektive. Pacioli trat in
die Dienste eines venezianischen Kaufmannes und konnte sich dort in Ma-
thematik weiterbilden. Einige Zeit hielt er sich in Rom bei dem Architekten

Leon Batista Alberti (1404–1472) auf.

320

7 Mathematik während der Renaissance

Zwischen 1470 und 1477 trat er in Erfüllung eines Gelübdes in den

Franziskaner-Orden ein. Nach seiner theologischen Ausbildung begann er

1477 bis 1480 ein Leben als Wanderlehrer der Mathematik, an der Universität

Perugia, in Zara (heute Zadar, auf dem Balkan damals unter venezianischer

Herrschaft), in Neapel und in Rom 1487–1489. Im Jahre 1494 war sein Haupt-
werk „Summa“ vollendet; er überwachte den Druck in Venedig. 1497 wurde
er an den Hof des Herzogs von Mailand berufen, um Mathematik zu lehren.

Hier traf er den bereits dort lebenden Leonardo da Vinci (1452–1519), der von

Pacioli Ratschläge zur Mathematik erhielt; Leonardo seinerseits schuf Zeich-
nungen für Paciolis Divina proportione (Die göttliche Proportion, 1496/1497,
publiziert 1509).

Mit der Invasion französischer Truppen 1499 wurden sie aus Mailand ver-
trieben und hielten sich einige Zeit in Florenz auf. Im Jahre 1500 wurde Pa-
cioli an die Universität von Pisa berufen, um Mathematik zu lehren, später
auch in Bologna (1501–1502). Dort lehrte Scipione del Ferro, der sich mög-
licherweise auf Anregung von Pacioli der Auflösung der Gleichung dritten

Grades zuwandte.

Pacioli bereitete eine lateinische (publiziert 1509) und eine italienische

Übersetzung der „Elemente“ des Euklid vor. Die erste gedruckte Edition der

„Elemente“ war 1482 in Venedig erschienen, nach einer Bearbeitung mehrerer
lateinischer Fassungen kurz nach 1250 durch Campanus von Novara. Mehr-
fach geriet Pacioli so in Konflikt mit seinem Orden, erhielt sogar einige Zeit

Lehrverbot. Möglicherweise hat ein Privileg des Papstes auch den Neid seiner

Mitbrüder hervorgerufen.

Ein Teil der „Summa“ ist, wie gesagt, auch der Algebra gewidmet, unter

Benutzung von Quellen aus der islamischen Welt. Davon profitierten Scipione
del Ferro, Cardano, Tartaglia, Ferrari und andere.

Pacioli führte Bezeichnungen gradi del caratteri für die Potenzexponenten
ein und verwendete zur Bezeichnung ein R mit kleinem Querstrich: . Also
bedeuten

1: eine Zahl, 2: cosa, die Unbekannte x, 3: censo, d. i. x 2, und so
fort bis 10, d. i. x 9.

Dann folgen die Regeln für die Multiplikation der Charaktere. Die Gleichun-
gen werden typisiert, beispielsweise (mit Angabe moderner Bezeichnungen,
ohne Koeffizienten):

1. Censo di censo equale a numero ( x 4 = a)

2. Censo di censo equale a cosa ( x 4 = x)

3. Censo di censo e cosa equale a censo ( x 4 + x = x 2)

Besondere Aufmerksamkeit verdienen, so Pacioli, Gleichungen der Typen
ax 3 + bx + c = 0 ;
ax 3 + bx 2 + c = 0 ; ax 4 + bx 2 + c = 0 .

Es handelt sich um kubische und biquadratische Gleichungen. Pacioli be-
hauptet nicht, dass die Gleichungen nicht lösbar seien. (Später hat Cardano

7.4 Entwicklungen in Westeuropa

321
behauptet, Pacioli habe die Unlösbarkeit festgestellt.) Pacioli stellte ledig-
lich fest, dass bisher noch keine allgemeinen Regeln gefunden worden seien;
lediglich einige Spezialfälle seien durch Probieren gelöst worden.

In weiten Teilen der „Summa“ behandelt Pacioli sozusagen theoreti-
sche Fragen vom Typ „errate eine Zahl“; „teile eine gegebene Zahl in zwei,
drei, . . . Teile so, dass . . . “. Ferner werden Probleme des Geschäftslebens, z. B.

Tausch, Geldwechsel, Zinsen und Geschäftsreisen behandelt. In der „Summa“
ist zum ersten Mal im Druck ein Abschnitt über die Buchhaltung enthalten,
die Methode von Venedig, d. i. die doppelte Buchführung. Das Problem der
rechnerischen Auflösung von Gleichungen dritten und vierten Grades war
jedenfalls im Bewusstsein der italienischen Mathematiker bzw. Abbacisten
des 15. Jahrhunderts weithin verbreitet. Die späteren Autoren – Scipione del

Ferro, Cardano, Tartaglia, Ferrari und andere – haben nicht nur von der Lek-
türe der „Summa“ profitiert, sondern auch von jenen zahlreichen, Manuskript
gebliebenen Abhandlungen früherer Zeit.

7.4 Entwicklungen in Westeuropa

Auch außerhalb Italiens gab es zu jener Zeit Algebraiker von Format, ins-
besondere in der „Deutschen Coß“, auf die gesondert eingegangen werden
soll. Wir berichten hier zunächst über Chuquet für Frankreich, Recorde für

England, Stevin für die Niederlande und Nunes für Portugal.

Nicolas Chuquet

Über Chuquet liegen nur sehr spärliche Nachrichten vor; eigentlich ist er nur
bekannt geworden durch sein Werk „Triparty“ [DSB, Vol. III., 1971].

Chuquet wurde vermutlich 1445 in Paris geboren, studierte dort wohl

Medizin und wirkte als Arzt in Lyon. Er starb um 1488.

Das Manuskript Triparty hat als Ganzes überlebt. Doch nur ein Teil da-
von wurde erst 1880 gedruckt. Daraus geht hervor, dass Chuquet beachtliche
mathematische Kenntnisse besessen hat. Er zitiert Boethius, Euklid, Cam-
panus von Novara und Stellen von Archimedes, Ptolemaios und anderen.

Die Abhandlung Le triparty en la science des nombres (Drei Teile über
die Wissenschaft von den Zahlen) wurde 1484 niedergeschrieben, hat aber
einen großen Einfluss ausgeübt, obwohl sie damals ungedruckt blieb. Gelehrt
wird in drei Teilen – daher der Name – das Rechnen mit rationalen Zahlen,
das Rechnen mit irrationalen Zahlen und die Theorie der Gleichungen.

Die Bezeichnungen für die Potenzen der Variablen deuten schon auf die
moderne Entwicklung hin. So steht 120 für 12, 121 für 12 x, 122 für 12 x 2,
usw. Auch treten negative Potenzexponenten auf: 121 ˜
m ist wegen 1 ˜
m = − 1
zu verstehen als 12 − 1 also 12 x− 1 = 12
x [Shrinks 1969, S. 60f.]. Dann folgen
die Regeln für die Multiplikation von Potenzen. Bei der Behandlung quadra-
tischer Gleichungen folgt Chuquet den bekannten Regeln; negative Wurzeln

322

7 Mathematik während der Renaissance
werden nicht anerkannt. Übrigens stammen von ihm die Wortbildungen Billi-
on, Trillion, Quadrillion für 1012, 1018, 1024 (ausführlich in [Chuquet 1985]).

Immerhin soll nicht unterschlagen werden, dass – auf dem Hintergrund der

Bildung einer französischen Nation – dargelegt wird, wie einige französische

Gelehrte des 16. Jahrhunderts die Ursprünge der Algebra historiographisch
studiert und deren Anfänge den alten Galliern zugeschrieben haben. Von dort
seien algebraische Kenntnisse zu den Chaldäern (Mesopotamien) gelangt und
von dort zu den Griechen und den Arabern, aus denen die moderne Algebra
des 16. Jahrhunderts erwachsen sei [Cifoletti 1996].

Robert Recorde

Auch der englische Arzt und Autor mathematischer Bücher Robert Recorde

(ca. 1512–1558) gehört in die Reihe der Persönlichkeiten, die zur Entwicklung
algebraischen Denkens beitrugen. Als Arzt war er bei König Edward VI. und

Königin Mary tätig.

Das Anliegen seiner Bücher war wohl hauptsächlich pädagogischer Art.

Die Bücher sind vorwiegend in Form von Dialogen zwischen Lehrer und Schü-
ler geschrieben. Es scheint, dass Recorde sein Leben im Gefängnis beenden
musste, möglicherweise, weil er sich in Schuldhaft befand.

Sehr erfolgreich war Recordes The Ground of Arts (1543; etwa: Grundla-
gen der Künste), das jahrhundertelang nachgedruckt wurde und die Grund-
elemente der Arithmetik behandelte. Der Pathway to Knowledge (1551; Der

Weg zum Wissen) ist der Geometrie gewidmet, The Castle of Knowledge

(1556; Die Burg des Wissens) der Astronomie.

Am nachhaltigsten im Hinblick auf die Entwicklung der Algebra war sein

The Whetstone of Witte (1557), zu übersetzen etwa mit „Wetzstein des Ver-
standes“. Dort führte Recorde das moderne Gleichheitszeichen = ein, mit der

Begründung, dass nichts gleicher sei als ein Paar Linien gleicher Länge. „To
avoid the tedious repetion of these words – is equal to – I will set as I do often
in work use, a pair of parallels, or gemov (twin) lines of one length, thus = ,
because no 2 things can be more equal.“ (Modernisierte englische Sprache,
zitiert nach [Katz 1993, S. 327])

Bei den von Recorde verwendeten Symbolen für die Potenzen der Unbe-
kannten erkennt man deutlich, dass er noch der Periode der Coss zugehört,
insbesondere der Deutschen Coss. Zum ersten Mal in England erschienen die

Zeichen + und − im Druck, im Anschluss an Michael Stifel (1487–1567).

Auch Beispiele entnahm Recorde von dem deutschen Cossisten J. Scheubel

(oder Scheybl, 1494–1580). Recorde modifizierte und erweiterte die cossischen

Symbole für Census, Cubus und die aufsteigende Folge der „Sursolide“. Das
sind sehr spezielle Zeichen, die sich nicht durchgesetzt haben (vgl. [Katz 1993,

S. 327]).

Jedenfalls gehört Recorde zu den Wegbereitern der Mathematik in Eng-
land; er stand am Beginn einer Reihe englischer Autoren (vgl. dazu [Howson

1982]).

7.4 Entwicklungen in Westeuropa

323

Abb. 7.4.1

Titelblatt des „Whetstone of Witte“ von Robert Recorde 1557

324

7 Mathematik während der Renaissance

Simon Stevin

Simon Stevin (1548–1620), vielseitig als Naturforscher, Zivil- und Militärin-
genieur tätig und engagiert im Befreiungskampf der Niederlande gegen die

Habsburger, gehört in die Reihe der Pioniere der Algebra als selbstständiger

Disziplin, unmittelbar in die Zeit vor der Entstehung der Arbeiten von Vieta.

Der Bereich seiner Arbeiten umfasst unter anderem Rabatt- und Zinstabel-
len, Berechnung rechtwinkliger sphärischer Dreiecke, reguläre und halbregu-
läre Körper, Astronomie, Geographie, Musiktheorie, Hydraulik, hydrostati-
sches Paradoxon. Mit seiner Schrift De Beghinselen des Waterwichts (1586)

wurde er ein Schrittmacher für die wissenschaftliche Mechanik [Struik 1981],

[Wußing 2002].

Als Folge des Vorstoßes der Türken bis nach Wien gelangten einige An-
deutungen über die in östlichen Ländern verwendeten Dezimalbrüche, die

„türkischen Zahlen“, nach Mitteleuropa, wo sich unabhängig davon ebenfalls
ähnliche Grundideen herausgebildet hatten, u. a. in der Wiener astronomi-
schen Schule. Die endgültige Einführung der Dezimalbrüche in Europa ver-
dankt man Stevin. In seinem 1585 veröffentlichten Büchlein De Thiende (Der

Zehnte) erklärte er:

„Thiende ist eine Art der Rechenkunst, durch welche man alle unter
den Menschen als notwendig anfallenden Rechnungen mittels ganzer

Zahlen ohne Brüche erledigt; sie wird gefunden aus der Zehnerreihe,
bestehend in den Ziffern, durch die irgendeine Zahl geschrieben wird.“

[Stevin 1965, S. 13]

Die von Stevin gewählte Symbolik der Dezimalzahlen ist durchsichtig: Für
den Dezimalbruch 6,3759 schrieb er

6 0

○ 3 1

○ 7 2

○ 5 3

○ 9 4

○.

Die eingeringelten Zahlen bedeuten den ganzen, den zehnten, hundertsten,

. . . Teil der jeweiligen Zahl davor. In weiteren Teilen von De Thiende werden
die Grundrechenarten gelehrt und die Anwendung der Dezimalbruchrechnung
auf Landmessung, Tuchmessung, Weinmessung und Astronomie; ferner gibt
es allgemein gehaltene Anweisungen für Münzmeister und Kaufleute.

Bei Stevin hängt die Schreibweise für Dezimalbrüche eng mit seiner Auf-
fassung von „Gleichung“ zusammen; sie findet sich in einer anderen Schrift, in

L’ Arithmétique (1585). Besonders hier zeigt sich Stevin unter dem Einfluss
der antiken, nun zugänglich gewordenen Abhandlung von Diophant sowie der

Entdeckungen bei der Auflösung höherer, insbesondere kubischer Gleichun-
gen. Man könnte sogar behaupten, dass L’ Arithmétique eine Art Überblick
über den Stand der Algebra am Ausgang des 16. Jahrhunderts gibt, noch vor

Vieta.

Stevin bezeichnet, wiederum mit Kreisen, sozusagen die Potenzen der
gesuchten Größe. So entspricht

1 2

○ gleich 2 1

○ + 8 der Gleichung 1 x 2 = 2 x + 8 mit der Lösung x = 4.

7.4 Entwicklungen in Westeuropa

325

Abb. 7.4.2

Titelblatt von S. Stevin: „De Beghinselen des Waterwichts“, Leyden

1586. Über der Darstellung des Kugelkettenexperiments steht der Ausruf: „Wonder
en is gheen wonder“ (Das Wunder ist kein Wunder). (Siehe Hypomnemata mathema-
tica, S. Stevin um 1600)

326

7 Mathematik während der Renaissance

Abb. 7.4.3

Simon Stevin, Pedro Nunes (Belgien 1942, Portugal 1978)

Für kubische Gleichungen, „von einigen weiteren unbekannten Autoren“ er-
funden, schreibt Stevin (natürlich ohne Gleichheitszeichen)

3

○ gleich 1

○ 0

○ (entspricht x 3 = ax + b)

3

○ gleich 2

○ 0

○ (entspricht x 3 = ax 2 + b) .

Die Gleichung vierten Grades wird mit Ferrari in Verbindung gebracht und
erscheint als

4

○ gleich 3

○ 2

○ 1

○ 0

○

Jedoch fehlen Stevin Kenntnisse über historische Einzelheiten. Immerhin ver-
weist er auf die Antike, auf Luca Pacioli, Cardano, del Ferro, Tartaglia, Fior,

Ferrari, Bombelli sowie auf die Ars magna, die jüngst erschienen sei.

Bemerkenswert ist auch der Umstand, dass sich bei Stevin eine Erweite-
rung des Zahlbegriffes über den der natürlichen Zahl hinaus expressis verbis
findet. Im Gegensatz zu fast allen Mathematikern seiner Zeit hielt er Quadrat-
zahlen, Quadratwurzeln, negative und irrationale Zahlen für mathematische

Objekte von derselben Natur, also für gleichberechtigt. Das folgt einigerma-
ßen zwingend sowohl aus den Tendenzen der Entwicklung der Algebra als
auch aus seiner Theorie der Dezimalzahlen.

Pedro Nunes

Bis hin nach Portugal reichte der Einfluss von Pacioli, wie man an Pedro

Nunes (lat. Nonius) (1502–1578) erkennen kann. Das zeigt sich besonders
deutlich an den von ihm verwendeten Schreibweisen. In Anlehnung an das

Italienische verwendet er co für cosa ( x), ce für censo ( x 2), cu für cubo ( x 3)

und ¯
p bzw. ¯
m für Plus und Minus [Katz 1993, S. 327]. Die Entwicklung in

Deutschland aber scheint ihn nicht berührt zu haben.

7.4 Entwicklungen in Westeuropa

327

Das Leben von Nunes ist in Teilen bekannt [DSB, Vol. X.]. Er dürfte aus
einer jüdischen Familie stammen, war aber mit der Tochter eines spanischen

Christen verheiratet. Nunes wurde in Alcácer do Sol im Jahre 1502 geboren,
studierte 1521 und 1522 an der Universität Salamanca, 1524 oder 1525 in

Lissabon, wo er den Grad eines Bakkalaureus der Medizin erwarb, der gemäß
damaliger Studiengänge auch den Abschluss der Artistenfakultät mit einigen
mathematischen Kenntnissen einschloss.

Er bekleidete einige akademische Ämter – darunter eine Professur für

Mathematik in Lissabon –, begab sich 1537 nach Coïmbra und wurde dort
ebenfalls Professor der Mathematik; 1562 wurde er „emeritiert“.

Im Herbst 1572 wurde Nunes an den Hof in Lissabon berufen, war Ratge-
ber für Probleme der Maße und Gewichte und hatte die Aufgabe, Seefahrer in

Navigation und Kartographie zu unterrichten. Nach der verkündeten Reform
der Maße und Gewichte kehrte Nunes nach Coïmbra zurück und verblieb dort
bis zu seinem Tode. Zu seinen Schülern zählen unter anderem der später be-
rühmt gewordene Jesuit und Mathematiker Christopher Clavius (1537–1612)

sowie João de Castro, einer der bedeutendsten portugiesischen Navigatoren
und Vizekönig von Indien.

Nunes war ein erstklassiger Geograph, Arzt, Instrumentenmacher, Astro-
nom, Geometer und Algebraiker. So geht auf ihn die aus Erfahrungen der

Seefahrer gewonnene mathematische „Entdeckung“ der Loxodrome zurück,
jene für die Navigation besonders bequeme Route, bei der man unter stets
gleichbleibendem Winkel zu den Längengeraden Kurs hält. Portugal war im

16. Jahrhundert eine führende Seefahrernation und im Besitz eines riesigen

Kolonialreiches.

Abb. 7.4.4

Rua da matemática in Coïmbra, Portugal [Foto Alten]

328

7 Mathematik während der Renaissance

1532 schrieb Nunes ein Buch über Algebra, Arithmetik und Geometrie.

Dort behandelt er quadratische und spezielle kubische Gleichungen. Natürlich
kann er den allgemeinen Fall der kubischen Gleichung noch nicht behandeln,
da die Ars magna von Cardano erst 1545 erscheinen wird.

Ein Beispiel [Katz 1993, S. 327f.]: Nunes behandelt ein klassisches Pro-
blem: Es sollen zwei Zahlen x und y gefunden werden, wobei deren Produkt
und die Summe ihrer Quadrate bekannt sind. Dies führt auf eine quadratische

Gleichung in x 2. Nunes trifft Fallunterscheidungen bezüglich der Größenver-
hältnisse der beiden Variablen.

Der Text seines Buches über Algebra, Arithmetik und Geometrie, ur-
sprünglich portugiesisch geschrieben, blieb zunächst ungedruckt. Nunes ver-
sprach sich mehr von einer spanischen Version. Er übersetzte den Text, der
erst 1567 als Libro de álgebra en arithmética y geometria in Antwerpen er-
schien. Nunes stellte mit Bedauern fest, dass nun sein Werk durch bessere

Bücher (Cardano!) überholt sei. Im Übrigen wünsche er sich, mit dem Blick
auf ältere Autoren, insbesondere die der Antike, dass die Wege, auf denen die

Ergebnisse gefunden wurden, nicht verdeckt oder verwischt würden, sondern
ebenfalls dargelegt sein sollten.

7.5 Frühe Algebra im deutschsprachigen Raum

Ein wenig zeitversetzt gegenüber Italien entwickelte sich auch im deutsch-
sprachigen Raum mathematisches Denken, auch auf dem Gebiet der Alge-
bra, gestützt teilweise auf die wissenschaftlichen Traditionen der Klöster und

Universitäten, teilweise begünstigt durch den besonders in Süddeutschland
rasch aufblühenden Frühkapitalismus und den sich herausbildenden Berufs-
stand der Rechenmeister. Dieser spannende Prozess ist seit dem Ende des

19. Jahrhunderts, vor allem aber nach dem Ende des 2. Weltkrieges gründlich
erforscht worden, u. a. durch Arbeiten von H. E. Wappler, B. Berlet, M. Curt-
ze, W. Roch, F. Deubner, K. Vogel, E. Schröder, W. Kaunzner, M. Folkerts,

H. Wußing und R. Gebhardt. Diese Arbeitsrichtung ist auch heutzutage noch
ausgesprochen lebendig und ergebnisreich [R. Gebhardt 2002].

Vogel und Kaunzner haben auf die Bedeutung des süddeutschen Raumes
als Wiege der seit dem 13. Jahrhundert deutlich zutage tretenden Wieder-
belebung der Mathematik verwiesen, auf Wien, die reichen Handelsstädte

Augsburg, Nürnberg und deren Umfeld [Vogel 1973].

Man weiß etwa von einer schon im 10. Jahrhundert erwähnten Biblio-
thek in Regensburg und später im Kloster St. Emmeram bei Regensburg, die
aber 1250 geplündert worden sein soll. Nach 1347 gab es dort auch einige
mathematische Texte.

Seit dem 14./15. Jahrhundert belebte sich auch die Entwicklung der Ma-
thematik, neben der der Astronomie. Zunächst wurden aus Italien, Frank-
reich, Spanien und England stammende Texte kopiert, die im Algebraischen
letztlich auf al-H

<w¯arizm¯ı zurückgingen. Auch entstanden Anleitungen zum

7.5 Frühe Algebra im deutschsprachigen Raum

329

Rechnen mit Brüchen, Potenzen und Wurzeln. Dazu kamen Möglichkeiten,
den Unterricht an den Artistenfakultäten in mathematisch/astronomischer

Hinsicht zu bereichern. Hier wurde die Wiener Universität führend.

Aus der Frühgeschichte der Algebra/Mathematik in Deutschland sind
reichlich Details bekannt. Es sei verwiesen auf die Überblicksdarstellungen

[Kaunzner 1992] und [E. Schröder 1988].

In Bamberg „begann der Druck der ersten deutschen kaufmännischen Re-
chenbücher“ [Kaunzner 1992, S. 158]. Ein sog. Blockbuch – jede Seite wurde
aus je einer Holztafel herausgeschnitten – entstand zwischen 1470 und 1480

[Vogel 1980]. Es folgten 1482 und 1483 zwei weitere Bamberger Rechenbü-
cher, die vermutlich von dem Nürnberger Rechenmeister Ulrich Wagner (gest.

1489/90) stammen [Schröder 1988]. Ihre Inhalte sind kaufmännischer Art,
mit Einschluss des Dreisatzes und von Tabellen zu Relationen von Gold- und

Silberwährungen.

Abb. 7.5.1

Seite 13 aus dem Bamberger Rechenbuch von 1483

330

7 Mathematik während der Renaissance

Abb. 7.5.2

Rechen- und Zahltisch im Basler Rathaus [Historisches Museum Basel]

In moderner deutscher Sprache ist dort zu lesen:

„In dem Buch der Weisheit schreibt Salomon: ‚Gott hat alle Dinge
geschaffen nach Gewicht, nach Zahl und nach Maß.‘ Sintemal in allen

Dingen die Zahl notwendig zu wissen ist, so will ich hier lehren von
der Kunst der Zahlen. Dazu ist zum ersten notwendig zu wissen, wie

7.6 Die sog. Deutsche Coß

331
man jegliche Zahl schreiben muß zum Unterschied von den anderen.

Es sind neun bedeutliche Ziffern, 1 2 3 4 5 6 7 8 9, und die zehnte ist

0 und bedeutet allein nichts. Wenn sie aber zu den anderen Ziffern
geschrieben wird, so macht sie die anderen größer, und mit den zehn

Ziffern schreibt man jede Zahl.

Nun merke, daß jede unter den neun Ziffern, wenn sie zuerst steht,
bedeutet sich selbst, an der zweiten zehn mal sich selbst, an der dritten
hundert mal sich selbst, . . . und so für jegliche, wenn sie fürbaß gesetzt
wird gegen die linke Hand, bedeutet alle mal zehnfach mehr, als die
nächste, die vor ihr steht . . . “

[Schröder 1988, S. 165]

7.6 Die sog. Deutsche Coß

Schon kurz vor dieser Zeit begann ein spezifischer Abschnitt der Algebra-

Entwicklung, die sog. Deutsche Coß.

„Den Zeitraum zwischen 1460 und 1550 nennt man in der Geschichte
der Mathematik ‚deutsche Coß‘, weil es den damals hier lebenden
und wirkenden Fachleuten gelang, den österreichischen, den süd- und
mitteldeutschen Sprachraum zum Mittelpunkt einer Entwicklung zu
machen, die sich zum Ziel setzte, die mathematische Terminologie
vom geschriebenen Wort zu lösen. Diese Vorstellungen konnten in
großem Maße verwirklicht werden.“

[Kaunzner 1992, S. 159f.]

Die Wörter Coß und Cossist gehen auf die italienische Bezeichnung „cosa“

(Ding/Sache) für die Unbekannte zurück. Coß ist dann sowohl das Symbol
für die Unbekannte als auch für die von den Cossisten ausgeübte Kunst,

Gleichungen in Symbolen zu lösen.

In Italien und Frankreich hatte man seit Ende des 14. Jahrhunderts be-
gonnen, Fachausdrücke abzukürzen. Erinnert sei an Chuquet, Pacioli und Re-
giomontanus im 15. Jahrhundert. Nach unserem gegenwärtigen Wissen war

Regiomontanus der Erste, der in der Algebra diejenigen Abkürzungen be-
nutzte, die später als die Symbole der Cossisten große Verbreitung erlangten

[Folkerts 1996a], [Alten et al. 2003, S. 229f.].

Um die Mitte des 15. Jahrhunderts beschäftigte sich Fridericus Amann

(früher als Friedericus Gerhart benannt, gest. 1464/65) aus dem Benedikti-
nerkloster St. Emmeram bei Regensburg mit Algebra.

Eine Sammelhandschrift, der Codex München (Clm 14908), enthält u.a.

die erste uns bekannte deutsch geschriebene Algebra, die in Worten die Auf-
lösung der sechs auf al-H

<w¯arizm¯ı zurückgehenden Typen linearer und qua-
dratischer Gleichungen beschreibt. Die von Fridericus verwendeten Symbole
erinnern an die von Regiomontanus verwendeten. Seine deutsche Algebra be-
ginnt mit den Worten: „Machmet in dem puech algebra und almalcobula hat

332

7 Mathematik während der Renaissance
gespruchet diese Wort: Census, radix, numerus.“ Damit unterstellt Frideri-
cus, al-H

<w¯arizm¯ı habe diese Termini eingeführt [Kaunzner 1992, S. 168].

Gegen Ende des 15. Jahrhunderts spielte Leipzig vorübergehend eine her-
ausragende Rolle: Im Jahre 1481 wurde hier eine erste zusammenhängende
große Algebraschrift verfasst [Vogel 1981]. Der aus Eger in Böhmen stam-
mende Johannes Widmann (ca. 1460 bis nach 1500) hielt 1486 in Leipzig
die erste Algebra-Vorlesung in Deutschland. Der Text dieser Vorlesung fin-
det sich ebenfalls in der berühmten Sammelhandschrift C 80 (heute in der

Sächsischen Staats- und Landesbibliothek Dresden). Dort wurden auch für

Addition und Subtraktion die Zeichen + und − benutzt, ebenso wie auch
in seinem in Leipzig gedruckten Rechenbuch aus dem Jahre 1489 Behennde
vnnd hubsche Rechnug auff allen Kauffmanschafften. Von dort setzten sich

+ und − und allgemein durch Widmann benutzte spezielle cossische Symbole
für die Potenzen der Variablen durch. (Umfassend zu Widmann vgl. [Kaunz-
ner 1996], sprachgeschichtlich auch [Gärtner 2000]) In dieser Zeit ist auch das

Wurzelzeichen aufgekommen.

Die Handschrift C 80 nimmt eine zentrale Stellung in der Algebra in

Deutschland während der zweiten Hälfte des 15. Jahrhunderts ein. Von dort
führt auch eine Verbindung zu Adam Ries (1492–1559), dem bekannten deut-
schen Rechenmeister. Während seines Aufenthaltes in Erfurt (1517–1522) hat

Ries die C 80 benutzt und, wie Widmann, Randbemerkungen angebracht.

Viele der Rechenaufgaben aus C 80 sind in die „Coß“ von Ries eingegangen.

Auch Andreas Alexander wirkte um 1500 auf dem Gebiet der Algebra. Er
stammte aus Regensburg, wurde 1485 in Köln immatrikuliert und studierte
von 1493 an in Leipzig. Zwischen 1502 und 1504 hielt er Vorlesungen über

Mathematik, Perspektive und zu den ersten drei Büchern der „Elemente“.

Aus dem Anfang des 16. Jahrhunderts stammen zwei Darstellungen der

Coß in deutscher Sprache. 1521 erschien von dem aus Erfurt stammenden

Heinrich Schreyber (geb. vor 1496, gest. Winter 1525/26), genannt Gramma-
teus, das Buch

„Ayn new kunstlich Buech welches gar gewiß und behend lernet nach
der gemainen regel Detre, welschen practic, regeln falsi und etlichen
regeln Cosse mancherley schöne und zuwissen notdürffig rechnung
auff kauffmannschafft. . . “

Vier Jahre später, 1525, wurde in Straßburg eine „Coß“ von Christoph Rudolff

(1500?–1545?) gedruckt: Behend und Hubsch Rechnung durch die kunstrei-
chen regeln Algebre, so gemeinicklich die Coss genennt werden (. . . ) Zusam-
men bracht durch Christoffen Rudolff vom Jauer. Rudolff stammt aus Jauer
in Schlesien und hat in Wien bei Schreyber studiert.

Das Buch von Rudolff hat einen erheblichen Einfluss auf die weitere Ent-
wicklung ausgeübt, insbesondere, nachdem Michael Stifel (1487–1567) im

Jahre 1553 eine erweiterte und verbesserte Ausgabe der Rudolffschen Coß
herausgebracht hatte. Stifel hatte schon vorher, 1544, ein sehr bedeutsames

7.6 Die sog. Deutsche Coß

333

Abb. 7.6.1

Titelblatt der 4. Auflage des zuerst 1489 in Leipzig gedruckten Re-
chenbuches von Widmann

334

7 Mathematik während der Renaissance

Buch im Druck erscheinen lassen, die Arithmetica integra (Gesamte Arith-
metik), übrigens bei demselben Drucker Petreius (1497?–1550), der im Jahr
zuvor, 1543, De r evolutionibus von N. Copernicus (1473–1543) und ein Jahr
später, 1545, Ars magna von Cardano zum Druck gebracht hatte.

Stifel hat ein überaus bewegtes Leben geführt. Als protestantischer Pfar-
rer, der an der Seite Luthers auch als Schöpfer von Kirchenliedern hervor-
trat, geriet er dennoch wegen einer Weltuntergangsvorhersage in nachhaltigen

Gegensatz zu Luther. Nachdem er wegen der kriegerischen Auseinanderset-
zungen mehrfach zum Wohnsitzwechsel gezwungen worden war, hielt er im
fortgeschrittenen Alter in Jena mathematische Vorlesungen.

Adam Ries, Abraham Ries und Jacob Ries als Cossisten

Der deutsche Rechenmeister Adam Ries (1492–1559), der als Verfasser dreier,
immer wieder aufgelegter Rechenbücher einen geradezu legendären Ruhm im
deutschsprachigen Raum erreichte, hat sich auch als Cossist betätigt. Diese

Leistung war schon Ende des 19. Jahrhunderts von B. Berlet erkannt worden,
wurde aber erst aus Anlass des 500. Geburtstages von Adam Ries deutlich
und in der Öffentlichkeit bekannt, nach der Druckausgabe seiner „Coß“, deren
erster Teil auf das Jahr 1524 datiert ist [Ries, Adam 1992].

Adam Ries stammt aus Staffelstein in Franken. Über seine Ausbildung ist
nichts bekannt, aber er verstand Latein. Ries ließ sich einige Zeit später in

Erfurt nieder und unterhielt dort eine Rechenschule, ging aber 1522/1523 in
die nach Silberfunden rasch aufblühende Stadt Annaberg im Erzgebirge, ar-
beitete dort als „Bergbeamter“ in Vertrauensstellungen des Erzbergbaus und
unterhielt eine sehr erfolgreiche Rechenschule. Zwei seiner Söhne, Abraham

(1533–1604) und Jacob (?–1604) waren ebenfalls als Cossisten tätig. Abra-
ham folgte seinem Vater als Leiter der Rechenschule und wurde, wie der Va-
ter, Sächsischer „Hofarithmeticus“ [Wußing 1992]. Adam Ries publizierte sein
erstes Rechenbuch Rechenung auff der linihen schon 1518 in Erfurt. Gelehrt
wurde nur das Rechnen auf dem Abakus, auf den Linien, wie man sagte. Das
zweite Rechenbuch, Rechenung auff der linihen vnnd federn. . . erschien erst-
mals 1522, ebenfalls in Erfurt. Es lehrt sowohl das Rechnen auf dem Abakus,
als auch das mit „Federn“ betriebene schriftliche Rechnen mit den indisch-
arabischen Ziffern. Das Buch war überaus erfolgreich und erlebte mindestens

120 Auflagen, bis weit ins 17. Jahrhundert hinein. Das dritte Rechenbuch,
das umfangreichste, Rechnung nach der lenge (ausführlich, Wg.) auff den Li-
nihen und Feder . . . (kurz Practica) wurde 1550 in Leipzig gedruckt, erlebte
aber wegen der Druckkosten nur 1611 eine weitere Auflage [Wußing 1992].

Die Rechenbücher sind frei von cossischen Symbolen und algebraischen

Denkweisen im engeren Sinne, etwa der Verwendung von Gleichungen. Viel-
mehr beruht die Lösung der Aufgaben auf der Anwendung der regula falsi.

Doch es ist sicher, dass sich Ries als Cossist betrachtet hat; expressis verbis
hat er sich in diesem Sinne in der Practica geäußert. Er spricht dort von einer

7.6 Die sog. Deutsche Coß

335

Abb. 7.6.2

Adam Ries (BRD 1992)

Coß, „ welche ich ob Gott wil/mit der Zeit auch klerlich (d. h. klar geschrieben,

Wg.) am tag geben will.“ [A. Ries 1611, Blatt 167, Rs.]

Zum Zeitpunkt der Erstauflage der Practica (1550) hatte Ries eine Hand-
schrift zur Coß längst fertiggestellt, aber nicht zum Druck bringen können.

Unter dem Titel „Coß“ sind 1664 von einem Dresdener Mathematiker 534

Seiten Handschriftliches von Adam Ries zusammengebunden und so vor dem

Verlust gerettet worden. Auf historisch verschlungenen Wegen hat sich das
kostbare Manuskript erhalten; es befindet sich jetzt in Annaberg-Buchholz.

Die Analyse der „Coß“ hat ergeben [Ries, Adam 1992], [Luderer 2004],
dass es sich um zwei cossische Schriften handelt. Die erste ist, wie gesagt,
auf das Jahr 1524 datiert. Die zweite stammt vom altgewordenen Ries und
ist undatiert, muss aber, da Ries z. B. Cardano benennt, nach 1544 niederge-
schrieben worden sein.

Es sind echte cossische Schriften. Es werden cossische Symbole φ,

,

, C

bis zur neunten Potenz eingeführt. Im Anschluß an al-H

<w¯arizm¯ı behandelt

Adam Ries die acht Typen von Gleichungen ersten und zweiten Grades, wenn
auch in anderer Reihenfolge: „Volgenn hernach die Acht equaciones Algebre
gezogenn auß seynem ersten buch genant gebra und almuchabala.“ [Kaunz-
ner/Wußing 1992, S. 111]

Da Ries, alter Tradition gemäß, nur positive Koeffizienten zuließ, musste
er Fallunterscheidungen treffen. Es fehlt – modern geschrieben – der Glei-
chungstyp
x 2 + ax + b = 0 ,
a, b > 0 .

Diese Gleichungen besitzen keine positiven Lösungen, sondern nur negative
oder gar komplexe.

Auf dieser theoretischen Basis bietet Ries eine Fülle von Aufgaben; die
auf lineare Gleichungen führen und teilweise ziemlich schwierig sind. Freilich

336

7 Mathematik während der Renaissance

Abb. 7.6.3

Rechnung auff der linihen; erstes Rechenbuch von Adam Ries, 2.

Auflage 1525
wissen wir nicht, ob Ries auch quadratische Gleichungen behandelt hat; diese

Teile der „Coß“ könnten verloren gegangen sein.

Der erste Teil der „Coß“ schließt mit einer Aufgabe über eine durch den

Wind umgeknickte Stange (analoge Aufgaben sind uralt). Ihre Gesamtlänge
ist gegeben sowie die Entfernung vom Fußpunkt der Stange, in der die um-
gebrochene Spitze den Boden berührt. Gesucht ist die Höhe der Knickstelle
über dem Boden. Diese Aufgabe erfordert die Anwendung des Satzes des

Pythagoras und das Ziehen der Quadratwurzel.

7.6 Die sog. Deutsche Coß

337

Abb. 7.6.4

Titelblatt des zweiten Rechenbuches Rechnung auff der Linien vnnd

Federn von Adam Ries 1522 in der Ausgabe Frankfurt 1525. Im Anhang: Visieren,
d.h. Ausmessen des Volumens von Fässern

Beim zweiten Teil der „Coß“ handelt es sich in einigen Teilen um Entwürfe.

Die Schrift ist erheblich größer, weil der alt gewordene Ries sich wohl keine

Brille leisten konnte. Ries hat dieses Manuskript seinen Söhnen als eine Art

Vermächtnis hinterlassen; auch erwähnt er inzwischen erzielte Fortschritte in
der Algebra.

„Meynen lieben Sonen Adam Abraham Jacob Isaac Vnd Paulo die

Riesen genannt Zuhanden (. . . ) Diveil ich dan nun mit alter beladen

338

7 Mathematik während der Renaissance

Abb. 7.6.5

Denkmal von Adam Ries in Annaberg-Buchholz [Foto Wußing]

euch als meinen lieben sohnen nichts besseres geben und lassen mag

Dan underricht gemelter Rechnung durch erforschung der Vnitet“

[Kaunzner Wußing 1992, S. 329f.]

( „erforschung der Vnitet“ bedeutet soviel wie das Aufsuchen einer maßgeb-
lichen Lösung im jeweiligen Beispiel). Mit anderen Worten: Adam Ries hat

Hervorragendes auch im Felde der Coß geleistet. Nur, leider, sind seine Schrif-
ten damals nicht zum Druck gelangt. Im Vergleich der beiden Fassungen der

„Coß“, der von 1524 und der späteren, zeigt sich die frühe Fassung als eigen-
ständige Leistung. Die spätere wäre, wenn sie gedruckt worden wäre, sozu-
sagen zu spät gekommen. Sie enthält jedoch einen in pädagogischer Hinsicht
interessanten Zugang zum Rechnen mit den cossischen Symbolen.

Vier der fünf Söhne von Adam Ries waren auf mathematischem Gebiet
tätig; dabei ragt – wie oben schon angedeutet – Abraham besonders hervor.

Er hinterließ eine auf das Jahr 1578 datierte cossische Schrift, den in der Säch-
sischen Staats- und Landesbibliothek aufbewahrten Kodex C 411, der 1999
herausgegeben wurde [Ries, Abraham 1999]. Es handelt sich keineswegs, wie
man vermuten könnte, um eine Kopie oder Variation der cossischen Schriften
seines Vaters, sondern vielmehr um eine eigenständige „Coß“, die weit über
die „Coß“ seines Vaters hinausgeht.

7.6 Die sog. Deutsche Coß

339

Abb. 7.6.6

Einführung der cossischen Symbole. Besonders hübsch ist die Er-
läuterung für die Variable Radix oder Coß: „Die Wurtzel oder das Dingk genannt
welches geschwengert itzliche Zal zu tragen.“ (zweite Zeile der Tabelle)

[Ries, Coß, S. 109]

340

7 Mathematik während der Renaissance

Abb. 7.6.7

Titelblatt der Coß von Abraham Ries

Auch Abraham behandelt – wenn man Reduktionen vornimmt – dieselben

Typen quadratischer Gleichungen. Er fasst alle reinen Gleichungen zu einem

Typ zusammen und dehnt die Symbolik der cossischen Zeichen weiter aus.

Vor allem aber stellt er, anders als der Vater, eine Fülle von Aufgaben, die
wirklich auf quadratische Gleichungen führen.

Die „ Coß “ von Abraham Ries trägt den Titel

Kurtze vnd Grundliche vnder
richtung Subtiler vnd Kunst,
reicher Rechnung In Gemein

Coß genandt. So durch Examini-
rung monadis verrichtet wurdt

Treulich Beschrieben Vnd verferti-
get durch Abraham Riesen.

Von S, Annabergk. Anno 1578.

Das Manuskript umfasst 117 Blätter.

Weiterhin befindet sich in der Dresdener Staats- und Landesbibliothek
eine kurze, aber kunstvoll auf Pergament geschriebene „Coß“ aus der Feder
von Jacob Ries, Signatur C 496. Man darf unterstellen, dass Jacob durch
seinen Bruder Abraham mit der Coß vertraut gemacht worden ist, da die
anderen Brüder Adam d. J., Isaac und Paul nicht als Cossisten hervorgetreten
sind. Am Beginn der C 496 schrieb Jacob:

„Kurtze erclerung vber Mahomets Coß, welcher ehr, Artem Restau-
rationis und oppositionis Numeri genandt. Durch Jacob Riesen tzu-
sammen getzogen. Anno 1562.“

[Ries, Jacob 1562, C 496, 1.2 Vs.]

7.6 Die sog. Deutsche Coß

341

Abb. 7.6.8

Titelblatt der von Stifel herausgebrachten „Coß“ Christoph Rudolffs

(1553)

„Wie ich von meinem Bruder bericht entpfangen Als hatt Mahomet
in seinen buch, welches ehr Artem Restaurationis et Oppositionis Nu-
meri genendt, Volgende gestalt von der Coß geschrieben.“

[Ries, Jacob 1562, C 496, Bl. 3, Vs.]

Christoph Rudolff und Michael Stifel

Zu Beginn der zweiten „Coß“ hatte Adam Ries u. a. auf Rudolff, Stifel und

Cardano verwiesen, die neuerdings Beiträge zur Algebra geleistet hätten. Zur

Erinnerung: 1525 hatte Christoph Rudolff eine Coß unter dem Titel „Behend
unnd Hubsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre so gemeinick-
lich die Coss genennt werden“ herausgebracht. Stifel verfasste 1553 (1554
erschienen) in Königsberg in Ostpreußen eine Neubearbeitung der „Coß“ von

Rudolff betitelt „Die Coß Christoffs Rudolffs. Die schönen Exempeln der Coß

Durch Michael Stifel Gebessert und sehr gemehrt.“

Stifel hatte schon vorher Mathematisches publiziert. Neben einer toll-
kühnen Buchstabenrechnung über den bevorstehenden Weltuntergang Ein

Rechen Büchlin Vom End Christ (Wittenberg 1532), die zu heftigen Wi-
dersprüchen führte, war 1544 die Arithmetica integra erschienen, mit einem

342

7 Mathematik während der Renaissance

Vorwort von Ph. Melanchthon (1497–1560). Diese – zum Unterschied vom

„Rechen Büchlin“ – wissenschaftliche Schrift war wohl vor der Ars magna

(1545) von Cardano die beste Zusammenfassung damaliger Arithmetik und

Algebra. Bei der Behandlung der Multiplikation von Potenzen verweist Stifel

(modern gesprochen) darauf, dass dies mit der Addition der Exponenten kor-
respondiert. Es folgen Bezeichnungen für die Potenzen der Unbekannten, die

√

Zeichen + und − werden übernommen, ebenso das Quadratwurzelzeichen

.

Die Gleichheit wird häufig mit dem Wort „gleich“ bezeichnet, gelegentlich
auch mit einem Punkt. 1

∼ 2 entspricht der Gleichung x = 2.

Die „Coß“ von Rudolff enthält das Positionssystem und die Rechenregeln.

Die zweite Hälfte seiner „Coß“ bietet die Auflösung algebraischer Glei-
chungen. Anders als al-H

<w¯arizm¯ı unterscheidet Rudolff acht Typen quadrati-
scher Gleichungen; die Lösungswege werden in Worten beschrieben. Beispiele
erläutern das Verfahren. Auch Gleichungen höheren Grades treten auf, z. B.

(modern gesprochen)

axn + bxn− 1 = cxn− 2 .

Schließlich folgen mehrere hundert Beispiele; sie werden nach den an-
gegebenen Verfahren gelöst. Am Ende des Textes präsentiert Rudolff drei
irreduzible kubische Gleichungen. Er gibt zwar die Lösungen an, aber ohne

Lösungsmethode. Andere, so meint Rudolff, werden die Kunst finden, wie in
solchen Fällen zu verfahren sei [Katz 1993].

Die Arithmetica integra von Stifel weist bedeutende Fortschritte auf

[Jentsch 1986]. Stifel rechnet mit negativen Zahlen, obwohl er sie „absurde

Zahlen“ (numeri absurdi) nennt. Er behandelt sie in der Arithmetik gleich-
berechtigt mit den positiven Zahlen. Damit kann er Fallunterscheidungen für
quadratische Gleichungen vermeiden.

In der überarbeiteten „Coß“ von Rudolff drückt sich Stifel voller Stolz so
aus:

„Denn wie er (Rudolff) verwirfft die menge der 24 Regeln und setzet
da für 8 Regeln der Coß/Also setze ich fürr die selbige 8 Regeln/eine
einzige Regel/mit der ich alles ausricht/das er mit seynen 8 Regeln
hat außgericht . . . “

[Stifel 1553, Blatt 147, Vs.]

Freilich bleibt er inkonsequent; negative Lösungen von Gleichungen erkennt
er nicht als Wurzeln an.

Die Zuordnung von Potenzen zu den Potenzexponenten – auch negative

Potenzexponenten werden behandelt – wird ausführlich dargestellt, mit einer
starken Annäherung an die Prinzipien des späteren logarithmischen Rech-
nens. Auch die Wortbildung „Exponent“ stammt von Stifel. Es darf als sicher
gelten, dass John Neper (1550–1617) in Schottland und Jost Bürgi (1552–

1632) in Prag, denen die Aufstellung von ersten Logarithmentafeln (1614
bzw. 1620) zu danken ist, von Stifel beeinflusst worden sind.

7.6 Die sog. Deutsche Coß

343

Was das Studium der Irrationalitäten betrifft, so trifft Jentsch folgende Ein-
schätzung:

„Wohl als erster Mathematiker nach der Antike durchschaut Stifel das
schwierige 10. Buch der Elemente des Euklid über Irrationalitäten
wieder vollständig. Durch Herausschälen des arithmetischen Kerns
aus der geometrischen Hülle sowie durch Einführung cossischer Sym-
bole, zu denen er selbst wertvolle Beiträge geliefert hat, macht er das

Ganze durchsichtiger. Durch die Untersuchung von Beziehungen der

Form

√

3 a + b = u + v ,
die auf die Beschäftigung mit der ‘Kubikcoß’ hinzielen, und allgemei-
nerer Wurzelausdrücke geht er über Euklid und Pacioli hinaus.“

[Jentsch 1986, S. 23]

Es scheint, dass Stifel dem Drängen seiner Freunde gern gefolgt ist, die „Coß“
von Rudolff neu herauszugeben. Stifel fügte den jeweiligen Kapiteln Ergän-
zungen an, darunter verdichtete Ausführungen aus der Arithmetica integra
mit zahlreichen Beispielen. Stifel behandelte auch, nach der Publikation der

Ars magna, die Lösungsformel für die kubische Gleichung.

Stifel hat die künftige Entwicklung in erstaunlichem Maße beeinflusst, so
bei Simon Stevin, bei Christoph Clavius und damit bei Descartes, der die

Algebra (1609) studiert hatte. Sogar der junge Euler (1707–1783) hat noch
die Neubearbeitung der Rudolffschen „Coß“ als Lehrbuch benutzt.

Wir können nicht an Stifels Beitrag zum Zahlbegriff vorbeigehen. Die Ver-
wendung natürlicher Zahlen und der Brüche geht bis in die Antike zurück.

Trotz der Leistung von Eudoxos hatte die Antike zwar zum Studium der geo-
metrischen Irrationaltitäten, nicht aber zur Anerkennung des Irrationalen als

Zahl vorstoßen können. Die bewusste Verwendung negativer Zahlen erfolgte
bereits innerhalb der chinesischen, der indischen und gelegentlich auch in der
islamischen Mathematik. In Europa erlangten negative ganze und gebrochene

Zahlen erst in der Renaissance unter Kaufleuten und Rechenmeistern volle

Anerkennung. Lange hingegen war die Frage umstritten, ob etwa Zahlen-
werte, die sich durch Radizieren oder bei geometrischen Konstruktionen als

Längen ergeben, wirkliche Zahlen sind. Beispielsweise findet man bei Stifel in
der Arithmetica integra im Jahre 1544 die folgende scharfsinnige Überlegung:

„Mit Recht wird bei den irrationalen Zahlen darüber disputiert, ob sie
wahre Zahlen sind oder nur fingierte (. . . ). Denn bei Beweisen an geo-
metrischen Figuren haben die irrationalen Zahlen noch Erfolg, wo uns
die rationalen im Stich lassen, und sie beweisen genau das, was die
rationalen Zahlen nicht beweisen konnten, jedenfalls mit den Beweis-
mitteln, die sie uns bieten. Wir werden also veranlaßt, ja gezwungen,
zuzugeben, daß sie in Wahrheit existieren, nämlich auf Grund ihrer

Wirkungen, die wir als wirklich, gewiß und feststehend empfinden.

344

7 Mathematik während der Renaissance

Aber andere Gründe veranlassen uns zu der entgegengesetzten Be-
hauptung, daß wir nämlich bestreiten müssen, daß die irrationalen

Zahlen Zahlen sind. Nämlich wenn wir versuchen, sie der Zählung
zu unterwerfen und sie mit rationalen Zahlen in ein Verhältnis zu
setzen, dann finden wir, daß sie uns fortwährend entweichen, so daß
keine von ihnen sich genau erfassen läßt (. . . ).

Es kann aber nicht etwas eine wahre Zahl genannt werden, bei dem
es keine Genauigkeit gibt und was zu wahren Zahlen kein bekanntes

Verhältnis hat. So wie eine unendliche Zahl keine Zahl ist, so ist ei-
ne irrationale Zahl keine wahre Zahl, weil sie sozusagen unter einem

Nebel der Unendlichkeit verborgen ist.“

(Deutsch zitiert bei [Gericke 1970, S. 68f.])

Gleichzeitig hat Stifel eine tiefe Einsicht gewonnen; sie deutet auch darauf
hin, dass er die irrationalen Zahlen als Zahlen akzeptiert. Er hat eine wichtige

Eigenschaft der irrationalen Zahlen erfasst:

„Nun fallen. . . unendlich viele gebrochene Zahlen zwischen je zwei
aufeinanderfolgende <ganze> Zahlen, und ebenso fallen auch un-
endlich viele irrationale Zahlen zwischen je zwei aufeinanderfolgende
ganze Zahlen.“

(Deutsch zitiert bei [Gericke 1970, S. 69])

Eine vollständige Anerkennung der irrationalen Zahlen als Zahlen findet sich
in Europa bei Stevin; vom Standpunkt seines dezimalen Positionssystems
für alle Zahlen muss dies sogar einigermaßen zwingend erscheinen. Jedoch
schuf erst die Herausbildung der Methoden der analytischen Geometrie durch

Fermat und Descartes die Voraussetzung zur allgemeinen Anerkennung der
irrationalen Zahlen: Jedem Punkt der Zahlengeraden entspricht eine Zahl.

Beispiele für Aufgaben der Cossisten

Um die Rechenkunst und die Rechenfähigkeiten der damaligen Cossisten an-
schaulich zu machen, sollen einige Beispiele angeführt werden: Zwei Beispiele
von Adam Ries, eines von Abraham Ries und drei Beispiele von Stifel.

Zwei Aufgaben von Adam Ries aus dessen Rechenbuch von 1581:

„Item, einer spricht: Gott grüß euch Gesellen alle dreyssig. Antwortet
einer/wann vnser noch so viel vnd halb so viel weren/so weren vnser
dreyssig. Die frag/wie vil jhr gewesen?“

[A. Ries 1581, Blatt 58, Vs.]

Wir würden heute den Ansatz als Gleichung x + x + x/ 2 = 30 machen und
daraus die Lösung 12 erhalten. Adam Ries aber muss, weil er auf cossische

Methoden verzichten will, die Methode des doppelten falschen Ansatzes ver-
wenden; er beschreibt den entsprechenden Rechengang in allen Einzelheiten.

7.6 Die sog. Deutsche Coß

345

„ Vihekauff

ITem/einer hat 100 fl. (Gulden, Wg) dafür will er 100 haupt Vihes
kauffen/Ochsen/Schwein/Kälber vnd Geyssen/kost ein Ochs 4 fl. ein

Schwein anderthalben fl. ein Kalb einen halben fl. vnd ein Geyß ein
ort (Viertel, Wg.) von einem fl. wie viel sol er jeglicher haben für die

100 fl.? “

[Adam Ries 1581, Blatt 71 Vs.]

Diese Aufgabe findet sich vom Typ bereits in der chinesischen Mathematik;
es handelt sich um unbestimmte Aufgaben mit ganzzahligen Lösungen. Ries
rechnet in allen Einzelheiten vor und gibt als Lösung 12 Ochsen, 20 Schweine,

20 Kälber, 48 Ziegen. – Von fremder Hand ist in der Druckausgabe von 1581
eine weitere Lösung angegeben: 14 Ochsen, 12 Schweine, 30 Kälber, 44 Zie-
gen. – Insgesamt gibt es 222 Lösungen.

Eine Aufgabe aus der Coß von Abraham Ries, die auf eine quadratische Glei-
chung führt:

„Es seindt etliche gesellen, haben 10 fl in gemein zuuorn. Nuhn legtt
ein Jder so uil fl darzu als der gesellen sein theilen als dan den hal-
ben theill wieder Vnder sich be kommbtt einer 5½ fl wieuiel sein der
gesellen geweßenn.“

Quadratisches Problem; Lösung: 10 Gesellen. [Ries, Abraham 1999,

S. 131.]

Drei Aufgaben von Michael Stifel:

„Etliche sitzen in einer zech haben verzeret 75 pfennig. Gibt yeder so
vil pfenning als der dritte teyl der gesellen sind. Wie vil sind yhr?“

[Stifel 1533, Blatt 357, Rs.]

Lösung: 15 Gesellen.

„Eyn Kauffmann legt an all seyn barschafft/kaufft weynber ye für 1 fl
so vil pfund als der fl gehabt hat. Verkaufft die weynber wider ye 345

3/5 pfund/für so vil fl als er für die Weinber hat außgeben/löset 40 fl.

Die frag wie vil seyner barschafft gewesen sey.“

[Stifel 1533, Blatt 367 Vs.]

Lösung: 24 fl.

„Etliche Haubtleute liegen zu feld. Hat yeder vndersich gleych so vil
fenlun als der Hauptleut sind. Sind vnder yedem fenlin 30 mal so vil
knecht als fenlum im feld sind. Man gibt yedem Haubtman zu Monat
sold 150 fl. Vnd yedem Knecht gibt zu Monat sold/gleych so vil flo-
ren/als der hauptleuth sind. Befindt sich’s das die knecht zu Monat
sold entpfahen 125 mal so vil als die Hauptleuth. Wie vil sind der

Hauptleuth?“

[Stifel 1533, Blatt 390, Vs.]

Lösung: 25 Hauptleute, 625 Fähnlein, 18 750 Knechte.

346

7 Mathematik während der Renaissance

7.7 Geometrie und Perspektive

Natürlicherweise spielt die in den „Elementen“ von Euklid niedergelegte Geo-
metrie weiterhin eine wesentliche Rolle bei der Unterweisung in Geometrie,
sowohl als Teil der artes liberales an den Universitäten als auch an den vorwie-
gend aus der Reformation hervorgegangenen Gymnasien (ausführlich in [Scri-
ba/Schreiber, 2. Aufl. 2005, S. 247ff.] mit vielen Einzeltexten, auch zur Aus-
bildung der geometrischen Terminologie, vgl. ferner [Tropfke 4. Bd. 1923]).

Die massenhafte Verbreitung, auch der geometrischen mathematischen

Kenntnisse, wurde ermöglicht durch den Buchdruck mit seinen nachhaltigen

Folgen für das Bildungswesen und die Technologie jener Zeit.

Die 1543 gegründete Gesellschaft Jesu, die sich mit Nachdruck und Ge-
walt der Rekatholisierung verschrieben hatte, erkannte in qualifizierter Bil-
dung ein Mittel zur Steigerung ihrer Wirksamkeit und ihres Ansehens. In den

Jesuitenkollegs spielte die Geometrie eine herausragende Rolle. Es entstanden
vorzügliche Euklidausgaben, etwa die Ausgabe durch den deutschen Jesuiten

Christoph Clavius (1537 bis 1612). Sie erschien erstmals 1574 in Rom und
erreichte bis 1738 über 20 Auflagen. Inhaltlich ging Clavius sogar weit über
den euklidischen Text hinaus. Er nahm außer den spätantiken Büchern XIV
und XV noch weitere Texte auf, die neue, in den 1900 Jahren nach Euklid
entstandene Ergebnisse behandelten. Übrigens übertrug Matteo Ricci (1552–

1610), ein Schüler von Clavius und erster jesuitischer Missionar in China, die
ersten 6 Bücher der „Elemente“ von Clavius ins Chinesische. Das Ansehen
der europäischen Wissenschaft wurde so am chinesischen Kaiserhof erheblich
gestärkt.

Clavius wirkte hauptsächlich als Lehrer der Mathematik am Collegium

Romanum in Rom. Unter dem Ehrennamen „Euklid des 16. Jahrhunderts“ –
machte sich Clavius um die Mathematik verdient – nicht nur um Euklid.

Er schuf eine Sinus-Tabelle und schrieb eine „Algebra“ (Rom 1608). Dort er-
scheinen zum ersten Mal in Italien die aus Deutschland stammenden Zeichen

+ und −. Clavius verwendete ein spezielles Symbol für die Unbekannte und
erkannte, dass quadratische Gleichungen zwei Lösungen haben können. Ei-
ne Abhandlung über sphärische Dreiecke enthält fast alle damals bekannten

Ergebnisse der Trigonometrie.

Auch auf astronomischem Gebiet hat sich Clavius ausgezeichnet, insbe-
sondere bei der Verbesserung des Julianischen Kalenders. Seinem Vorschlag
folgend, der auf den „Preußischen Tafeln“ von Erasmus Reinhold (1511–1553)

beruhte, wurde die Kalenderreform durchgeführt: auf den 4. Oktober des Jah-
res 1582 folgte unmittelbar der 15. Oktober. Die Kalenderreform stieß auf

Widerstand, etwa bei Vieta, insbesondere aber bei den Protestanten, die sich

„nicht vom Papst in die Kirche läuten lassen“ wollten.

Allerdings war Clavius ein entschiedener Gegner des copernicanischen

Systems, trotz enger Beziehungen zu Galilei [DSB, Bd. III, S. 311f.].

Clavius war ein herausragender Repräsentant der Pflege und Kommentie-
rung von Euklids Geometrie, neben vielen anderen. Aus dem Kreis der Jesui-

7.7 Geometrie und Perspektive

347

Abb. 7.7.1

Titelblatt der ersten Druckausgabe Euklid, Venedig 1482 (von Erhard

Ratdolt, 25.V. 1482) [Stadtbibliothek Nürnberg, Sign.: 4° Auct. Gr. IV, 3743]

ten stammen weitere Euklidausgaben, so 1557 von Stefan Gracilis (16. Jh.),

1617 von Johannes Lanz (1564–1638) und 1620 von Charles Malapertius

(1581–1630). Erwähnt sei ferner eine frühe, auf einem griechischen Manu-
skript beruhende Übersetzung (1505) von Bartolomeo Zamberti (geb. ca.

1473). Hier wurden die Schwierigkeiten einer Übersetzung aus dem Altgriechi-

348

7 Mathematik während der Renaissance

Abb. 7.7.2

Titelblatt der Euklidausgabe in der Übersetzung durch Clavius

[UB Leipzig]

7.7 Geometrie und Perspektive

349
schen deutlich. 1533 erschien in Basel die erste griechische Druckausgabe der

„Elemente“ herausgegeben von dem Gräzisten Simon Grynaeus (1493–1541).

Bis gegen Ende des 16. Jahrhunderts waren die „Elemente“ auch in volks-
tümlichen Ausgaben – d. h. in den Nationalsprachen – gedruckt zugänglich:

1543 italienisch, 1551 und 1570 englisch, 1555 und 1562 deutsch, 1564 und

1616 französisch, 1576 spanisch, 1606 niederländisch. Zahlreiche weitere Aus-
gaben folgten.

Praktische Geometrie

Die Beschäftigung mit Geometrie ging über die Aneignung und Kommen-
tierung der „Elemente“ hinaus. An theoretischen Fragestellungen standen

Kreisquadratur, der sog. Kontingenzwinkel und der sog. Makel des Euklid
im Vordergrund des Interesses. Joseph Justus Scaliger (1540–1609) in Leiden
war fest überzeugt, das Problem der Kreisquadratur gelöst zu haben, musste
sich aber vielfältiger, berechtigter Kritik stellen.

Bei Universitätsprofessoren – wie beispielsweise Michael Maestlin (1550–

1631), Lehrer von Kepler, Professor für Hebräisch in Tübingen – war es üblich,
praktische Anwendungen der Geometrie schriftlich darzustellen und in Kar-
tographie, Navigation, Feldmesskunst, Markscheidekunst zu verfolgen. Im-
merhin ist zu erkennen, dass Universitätsmathematik und die der artifici sich
gegenseitig zu befruchten begannen.

Die großen Entdeckungsreisen und die Erschließung der eroberten Lände-
reien lenkten das Interesse auf Geodäsie und Kartographie. Willebrord van

Royen Snellius (1580–1626), der bekannt wurde als Entdecker des Brechungs-
gesetzes, hat zwischen 1615 und 1617 die erste Gradmessung mit der Methode
der Triangulation für eine Strecke von rund 130 km mit bemerkenswerter Ge-
nauigkeit durchgeführt [Scriba/Schreiber, 2. Aufl. 2005, S. 258].

Schon vorher war 1525 durch Jean Fernel (1497–1558), Leibarzt des fran-
zösischen Königs Heinrich II., eine Gradmessung zwischen Paris und Amiens
ausgeführt worden: Die Strecke wurde mit einer Kutsche abgefahren und die

Radumdrehungen wurden gezählt [Bialas 1982].

„Das 17. Jahrhundert wird dann das Jahrhundert der ersten großan-
gelegten Landesvermessungen, an denen Mathematiker wie J. Kepler,

W. Schickard, G.D. Cassini und M. Ricci beteiligt sind. Der Tübinger

Mathematikprofessor W. Schickard hat dabei anscheinend unabhän-
gig von Snellius und zur gleichen Zeit wie dieser die Triangulation
und das Rückwärtseinschneiden praktisch betrieben.“

[Scriba/Schreiber, 2. Aufl. 2005, S. 261]

Die Abbildung der Kugeloberfläche in die Ebene ist ein geometrisches Pro-
blem. Notwendigerweise muss es zu Verzerrungen kommen bei den Größen-
verhältnissen oder/und hinsichtlich der Winkeltreue.

350

7 Mathematik während der Renaissance

Die Kartographie ist ein kulturhistorisch und wissenschaftshistorisch äu-
ßerst interessantes Gebiet [Kupcik] und reicht bis in die Antike zurück. Ana-
ximandros von Milet soll eine erste Weltkarte angefertigt haben. Eratosthenes

(273–195 v. Chr.) hat eine Weltkarte verfertigt, die, obwohl verschollen, nach
seinen Beschreibungen rekonstruiert werden konnte.

Klaudios Ptolemaios (ca. 87–150) schuf eine „Welt“ karte der in der alten

Welt bekannten Teile der Erdkugel. Die Rekonstruktion der handschriftlich
nicht erhaltenen Karte ergab, dass er eine Kegelprojektion benutzt hat [Scri-
ba/Schreiber, 2. Aufl. 2005, S. 250ff.].

Alles in allem war dies eine hervorragende Leistung. Freilich nahm er für
den Erdumfang am Äquator den zu kleinen Wert 32 000 km an, ein folgenrei-
cher Irrtum, da der Weg nach Indien in westlicher Richtung weitaus zu kurz
angenommen wurde, z. B. von Kolumbus.

In der Renaissance griff man auf die Karten des Ptolemaios zurück, vor
allem, als dessen „Geographie“ 1475 im Druck erschienen war und 1477 auch
seine Karten beigefügt wurden. Die großen geographischen Entdeckungen des

16. Jahrhunderts unterstützten die Forderung nach Karten für die Seewege
und für die Erschließung der eroberten Ländereien.

Abb. 7.7.3

Zur Erinnerung an Pedro Nunes und Heinrich den Seefahrer

(Briefmarken-Block, Portugal 2002)

7.7 Geometrie und Perspektive

351

Abb. 7.7.4

Projektionen der Erdkugel auf ebene Karten. Zylinderprojektion des

Marinos (2. Jh. n. Chr.) zur Wiedergabe von Längen und Breitenkreisen als or-
thogonales Netz für Karten nach dem sog. Mercator-Entwurf; Kegelprojektion des

Ptolemaios (berührt der Kegel einen Breitenkreis, so wird ein Streifen um diesen

Breitenkreis kaum verzerrt); Beschreibung der Länder des Nordens, Mercators Kar-
te der Arktis in [Septentrionalium Terrarum descriptio, Duisburg 1623]

352

7 Mathematik während der Renaissance

Abb. 7.7.5

Titelkupfer zum dreibändigen Kartenwerk Mercators, in dem erst-
malig die Bezeichnung „Atlas“ auftaucht [Wikimedia Commons]

7.7 Geometrie und Perspektive

353

Abb. 7.7.6

Gerhard Mercator; Abraham Ortelius

[Wikimedia Commons; en. wikipedia]

Neue Projektionen wurden verwendet; sogar eine herzförmige Weltkarte
wurde 1530 gedruckt.

Eine weite Verbreitung fanden Karten nach dem sog. Mercator-Entwurf.

Er ist benannt nach dem flämischen Geographen und Kartographen Ger-
hard Mercator (eigentlich Kremer, 1512–1594). In seinem Netzentwurf wer-
den Meridiane und Breitenkreise senkrecht zueinander angeordnet, mit der

Folge, dass die Flächenverzerrungen gegen die Pole hin sehr groß werden.

Die Polgegenden wurden damals ohnedies wegen der schwierigen Bedingun-
gen von den Seeleuten gemieden. Ein beträchtlicher Vorteil für die Seefahrer
bestand jedoch darin, dass die Loxodromen als Geraden erscheinen. Die Ent-
deckung der die Schifffahrt erleichternden Loxodromen – der Navigator hat
nur einen festen Winkel zu den Längenkreisen einzuhalten – geht auf Pedro

Nunes (1492–1578) zurück, der auch als Algebraiker hervorgetreten ist. Eine

Loxodrome ist allerdings keineswegs die kürzeste Verbindungslinie.

Mercator gehörte einer niederländischen Schule von Kartographen an. Auf
einem von ihm 1541 angefertigten Globus sind bereits Loxodromen eingetra-
gen ebenso wie in der 1568 fertiggestellten ersten Weltkarte. Seinen noch bis
heute anhaltenden Ruhm verdankt er jedoch dem erst posthum, 1595, von
seinem Sohn herausgegebenen und gedruckten Weltatlas. Auf dem Titelblatt
des Kartenwerks trägt der Riese Atlas die Erdkugel. So entstand der geo-
graphische Begriff „Atlas“ (ausführlich in [Scriba/Schreiber, 2. Aufl. 2005,

S. 263–265]).

Neben der niederländischen Schule der Kartenzeichner, der auch Abraham

Ortelius (1527–1598) angehörte, bildeten sich kartographische Schulen in der

Schweiz, in Österreich, Deutschland, in Osteuropa und England heraus. Im

354

7 Mathematik während der Renaissance

17./18. Jahrhundert dominierte die französische Kartographie mit genauen

Karten (ausführlich in [Kupcik 1980]).

Der lange Zeit in portugiesischen Diensten die Küsten Westafrikas befah-
rende Deutsche Martin Behaim (1459–1507) schuf 1492 in Nürnberg einen

„Erdapfel“ – einen Globus. Doch konnte er die im selben Jahr von Kolumbus
gemachte große Entdeckung eines neuen Kontinents noch nicht berücksichti-
gen. Der Behaimsche Globus ist der älteste erhaltene Erd-Globus. Der heute
in Krakau aufbewahrte sog. Jagiellonische Weltglobus (1510) berücksichtigte
zum erstenmal den neuen Erdteil Amerika. Die Herstellung von Globen, von
kugelförmigen Wiedergaben der Erdkugel, wurde im 16./17. Jahrhundert zu
einer Hauptaufgabe der Geographen. Für Begüterte wurde es Mode, einen

Globus zu besitzen.

Albrecht Dürer

Albrecht Dürer (1471–1528) lebte und wirkte in kulturellen und wirtschaft-
lichen Zentren im Europa der Renaissance. Sein Großvater schon war Gold-
schmied gewesen und hatte seine Kunst an den Sohn in Nürnberg weitergege-
ben. Unser Albrecht Dürer war das dritte von 18 Kindern. Vater Dürer und
sein Nachbar Koberger – ein Goldschmied (ca. 1445–1513) – gehörten zu den
angesehensten Handwerksmeistern Nürnbergs. Aus der Drucker-Werkstatt
von Koberger ging u.a. der Druck der bedeutenden „Weltchronik“ von Hart-
mann Schedel hervor. Albrecht Dürer wandte sich mit väterlicher Erlaubnis
dem Zeichnen und Malen zu und lernte bei dem bedeutenden Maler Wolge-
mut (um 1445–1513), einem Pionier des Holzschnittes und des Kupferstiches.

Abb. 7.7.7

Stadtansicht von Nürnberg aus Schedels Weltchronik [UB Leipzig]

7.7 Geometrie und Perspektive

355

Abb. 7.7.8

Albrecht Dürer, Selbstportrait 1498

[Museo Nacional del Prado, Madrid], [Wikimedia Commons]

Es folgten Wanderjahre – Colmar, Straßburg, Basel, vielleicht erstmals

Italien – ehe Dürer in Nürnberg die Tochter eines einflussreichen Kunsthand-
werkers heiratete. Doch verlief die Ehe glück- und kinderlos. Nach Reisen –
wohl auch wegen der in Nürnberg wütenden Pest – kehrte er erst 1496 nach

Nürnberg zurück, jetzt voller Pläne für Lehrwerke für Künstler auf der Ba-
sis theoretischer Grundelemente. So entstand 1525 die Underweysung der

Messung mit dem Zirckel und richtscheyt (schon 1532 lateinisch in Paris ge-
druckt). Die Drucklegung (1528) seiner Vier Bücher von menschlicher Pro-
portion hat er nicht mehr erlebt. Dürer lebte als Gebender und Nehmender
in einem Kreis ausgezeichneter Verleger, Wissenschaftler, Künstler, Drucker
und einflussreicher Patrizier: Er war befreundet mit dem Humanisten und

Nürnberger Ratsmitglied Willibald Pirckheimer (1470–1530) und zeichnete
u. a. eine Armillarsphäre für eine von ihm herausgegebene, ins Lateinische
übersetzte Ausgabe des Ptolemaios. Dürer verkehrte u. a. mit den Nürnber-
ger Mathematikern und Astronomen Bernhard Walther (ca. 1430–1504) und

Johannes Werner (1468–1522), mit dem Wiener Hofkartographen Johannes

356

7 Mathematik während der Renaissance

Stöberer (lat. Stabius, ca. 1450–1522; an einer Karte der halben Erdkugel
von Stabius wirkte Dürer mit) und mit dem Mathematiker Nikolaus Kratzer

(1486/87–1550), dem Hofastronomen des englischen Königs Heinrich VIII.

Auch hat Dürer auf die vorzüglichen Bibliotheken von Pirckheimer, Walt-
her und Werner zurückgreifen und so, als Autodidakt, den Zugang zur Wis-
senschaft der Antike und der seiner Zeit finden können.

1512 trat Dürer in die Dienste von Kaiser Maximilian. Für ihn über-
nahm Dürer neben anderen angesehenen Künstlern Randzeichnungen für des-
sen Gebetbuch und monumentale Holzschnitte wie die „Ehrenpforte Kaiser

Maximilians“ (1515). Anläßlich des Augsburger Reichstages schuf Dürer ein

Holzschnittbildnis (1518) des Kaisers.

„Über Albrecht Dürer, den Künstler, gibt es überreichlich Literatur,
und es ist nicht zu erwarten, dass diese Flut in der Zukunft versie-
gen wird. Über Albrecht Dürer, den Geometer, d. h. vor allem über
seine beiden großen theoretischen Schriften ‚Underweysung der mes-
sung‘ (1525, erweiterte posthume Ausgabe 1538) und ‚Vier Bücher
von menschlicher Proportion‘ (1528) gibt es ebenfalls erstaunlich viel

Literatur, relativ neue, aber auch einiges aus dem 19. Jahrhundert,
und wenn man kurze Erwähnungen mitzählen will, reicht sie sogar bis
in das 16. Jahrhundert zurück. Dennoch gibt es hier ein großes De-
fizit. Gerade in unseren Tagen zeigt sich aber, dass vieles was Dürer
gedacht und versucht hat, erst aus einem sehr aktuellen Mathematik-
verständnis heraus als Mathematik oder zumindest als mathematikre-
levant gelten kann.“

[Dürer 2004], [Peiffer 1995]

Schreiber analysiert dort die einschlägige Literatur und hebt in dieser Arbeit
einige Aspekte hervor, die Dürer als Geometer kennzeichnen. So erweist sich

Dürer z. B. als Meister des Zweitafel-Verfahrens: Grund- und Aufriss seien
gegeben; daraus wird das Zweitafelbild konstruiert. In gewissem Sinne kann
man Dürer als Vorläufer von Gaspard Monge (1746–1818) und der Etablie-
rung der darstellenden Geometrie am Ende des 18. Jahrhunderts verstehen.

Und J. Sellenriek formuliert als ein anderer Kronzeuge:

„In aller Deutlichkeit und Klarheit erscheint im Nürnberg des Jah-
res 1525 erstmals das fertig ausgereifte Grund-Aufriß-Verfahren, wie
es noch heute nach seiner Verwissenschaftlichung in der Darstellen-
den Geometrie angewendet wird. Kein Geringerer als der universelle

Künstler-Forscher Albrecht Dürer stellt es in seinem gedruckten Buch
in beispielhafter Weise und unübertroffener Klarheit vor.“

(J. Sellenriek, zitiert bei [Dürer 2004])

Hervorzuheben sind Dürers Beiträge zur exakten und näherungsweisen Be-
wältigung geometrischer Konstruktionsaufgaben, wobei er begrifflich klar und
deutlich unterscheidet zwischen exakter und näherungsweiser Konstruktion.

Dürer hat sich um eine deutsche Fachsprache bemüht, freilich haben sich

7.7 Geometrie und Perspektive

357

Abb. 7.7.9

Mechanische Erleichterung perspektivischen Zeichnens: Verwendung
eines verstellbaren Stabes zur Fixierung des Augpunktes. Vorschläge Dürers in der

2. Auflage der [Underweysung 1525]

Wortschöpfungen wie Richtscheit (für Lineal), Eilinie (für Ellipse) nicht ein-
gebürgert. Dies steht im Zusammenhang damit, dass er ganz spezielle Kurven
und Körper „erfunden“ hat, die mittels spezieller Mechanismen oder punkt-
weise konstruiert werden. Dürer dürfte intuitiv den mathematischen Begriff
der Abbildung oder sogar den der Funktion vor Augen gehabt haben. Er gab

Beiträge zur Ornamentik und zur Parkettierung. Und schließlich ging er über
seine Zeitgenossen hinaus, indem er jedes mögliche Objekt in der Ebene und
im Raum wie Lebewesen, Gebäude u. a. (die als Ganzes keinem einheitlichen
geometrischen Gesetz genügen) zum Gegenstand der Geometrie machte – ein

Bruch mit der traditionellen Meinung, dass der Gegenstand der Geometrie
nur Punkte, Strecken, Dreiecke, Kreise, Kegelschnitte und platonische Körper
umfasse.

Und schließlich behandelte Dürer – neben anderen Zeitgenossen – die

Kunst perspektivischen Zeichnens und gab mechanische Vorrichtungen an,
perspektivische Bilder zu gewinnen [Scriba/Schreiber, 2. Aufl. 2005, S. 284].

358

7 Mathematik während der Renaissance

Abb. 7.7.10

Parabolischer und hyperbolischer Schnitt eines Drehkegels [Under-
weysung 1525]

Ein Vergleich zwischen Dürer und Leonardo liegt nahe:

„Dürer vollendet drei theoretische Schriften, die – bis heute mehrfach
aufgelegt und gedruckt – leicht zugänglich sind. Leonardo bringt nichts
zu Ende. Seine schriftliche Hinterlassenschaft wird nach seinem Tode
in alle Winde zerstreut und erst in unserem Jahrhundert allmählich
wieder zusammengefügt, wobei neben überraschenden Neuentdeckun-
gen von Blättern Leonardos auch Fälschungen und Irrtümer ans Licht
kommen (. . . ) Dürer neigt zu theoretischem, deduktivem, systemati-
schem Vorgehen. Leonardo ist sprunghaft, trennt selten Mathematik
von Natur, Deduktion von Induktion, irrt sich häufig. Seine Stärken
liegen viel mehr in der Vorwegnahme technischer Prinzipien und Er-
findungen und in der subtilen Beobachtung der Natur.“

[Scriba/Schreiber, 2. Aufl. 2005, S. 274]

Das Bemühen um Realismus in darstellender und bildender Kunst ist die
historische Wurzel der Zentralperspektive (ausführlich in [Anderssen 1992]).

Vermutlich hat Filippo Brunelleschi (1377–1446), der die Domkuppel in Flo-
renz konstruierte, bereits um 1400 ein Verfahren erfunden, aus dem Grund-
und Aufriss eine korrekte perspektivische Ansicht eines Gebäudes zu konstru-
ieren [Scriba/Schreiber, 2. Aufl. 2005, S. 275].

Bei G. Papay: Zur Raumauffassung der Renaissance in Wissenschaft und

Kunst heißt es dazu:

7.8 Astronomie und Trigonometrie

359

„Mit der Festlegung des Ausgangspunktes bzw. des Fluchtpunktes
erfolgte zugleich eine gesteigerte anthropometrische Auffassung des

Bildraumes. Auf diese Weise erhielt die zentralperspektivische Kon-
struktion auch einen symbolischen Charakter. Durch die Wiedergabe
der göttlichen Ordnung im Raum und ihre anthropometrische Ausle-
gung konnte sogar eine neue Beziehung zwischen Gott und Mensch
angedeutet werden, die z.B. durch Michelangelo (Die Erschaffung

Adams auf der Decke der Sixtinischen Kapelle) eindrucksvoll the-
matisiert wurde. Das erste überlieferte Bild mit der zentralen Ein-
punktperspektive ist das Fresco Trinität von Masaccio, das um 1425
entstand.“

[Papay 1998, S. 171]

Man sollte nicht übersehen, dass die Künstler die Perspektive als eine Art

Zunftgeheimnis hüteten und in ihrer Werkstatt die Kunst nur an Auserwähl-
te weitergaben. Beispielsweise war auch Dürer nach Italien gereist, um die

Perspektive kennen zu lernen. Auf der anderen Seite erschienen in der Mitte
des Jahrhunderts schriftliche Darlegungen der Perspektive, so Della pittura
libri tre (Drei Bücher über die Malerei) (1436) des wissenschaftlich gebildeten

Leone Battista Alberti (1404–1472), Trattato della architectura (Abhandlung
über die Architektur (um 1460) von Antonio Averlino Filarete (ca. 1400–1469)

und De prospectiva pingendi (Über die Perspektive beim Malen) (um 1475)

von Piero della Francesca (ca. 1420–1492).

Um 1600 schrieb Guidobaldo del Monte (1545–1607) ein zwar umständli-
ches, aber auf Beweise gegründetes Lehrbuch der Perspektive. Seitdem brei-
tete sich die Kunst der Perspektive über das nördlich der Alpen gelegene

Europa aus, nach Frankreich, Deutschland (Dürer), den Niederlanden (Ste-
vin) und auch nach England.

„Vor allem geriet sie (die Perspektive, Wg.) gegen Ende des 16. Jahr-
hunderts in die Hände der Jesuiten, die sie zur Perfektion entwickel-
ten, für die sie aber ein Instrument ihrer Strategie war, die Menschen
durch überwältigende Sinneseindrücke für den Katholizismus zurück-
zugewinnen.“

[Scriba/Schreiber, 2. Aufl. 2005, S. 276 u. 280]

7.8 Astronomie und Trigonometrie

Von altersher gab es enge Beziehungen zwischen Astronomie und Trigono-
metrie als dem mathematischen Werkzeug der theoretischen, der rechnenden

Astronomie.

Die Entwicklung von Astronomie und Trigonometrie im Europa der Re-
naissance knüpfte natürlich an die Antike und an Kenntnisse aus dem isla-
mischen Kulturgebiet an. Im 13. Jahrhundert galt die Aufmerksamkeit vor
allem der Verbesserung der Tafeln. Die bis dahin bestimmenden Tafeln, die

360

7 Mathematik während der Renaissance

1260/1266 auf Befehl des Königs Alfons X. von Kastilien und Leon (1226–

1284) berechneten sog. Alfonsinischen Tafeln, erwiesen sich als nicht genügend
genau und umfangreich [Knobloch 1996].

Auf diesem wissenschaftlichen Hintergrund entstand während des 14./15.

Jahrhunderts in Wien eine herausragende astronomisch-mathematische Schu-
le, mit Johannes von Gmunden (ca. 1380 bis ), seinem Nachfolger Georg von

Peuerbach (oder Peurbach) (1423–1461) sowie dessen Schüler und Freund

Regiomontanus (1436–1476), der als der bedeutendste europäische Mathe-
matiker des 15. Jahrhunderts gilt.

Johannes von Gmunden

Verschiedene Städte mit dem Namen Gmunden stritten sich um den Ruhm,

Geburtsstadt des Johannes von Gmunden zu sein; heute steht Gmunden am

Traunsee als Geburtsort fest. 1402 wurde Johannes an der Universität Wien
immatrikuliert und promovierte 1406. Anfangs (seit 1406) hielt er Vorlesun-
gen über nichtmathematische Gegenstände, wandte sich 1412 mathemati-
schen Themen zu und seit 1416 bis 1425 auch der Astronomie. Er wurde an
der Wiener Universität der erste speziell für Mathematik und Astronomie
berufene Professor.

An der Wiener Universität übte er trotz Erkrankung mehrere verantwor-
tungsvolle Ämter aus. Seine Grabstätte ist unbekannt. Seine mathematischen

Vorlesungen lehrten das Übliche und gingen über den traditionellen Stoff der

Scholastik nicht hinaus. Immerhin wird an den Ausarbeitungen seiner Vorle-
sungen klar, dass die muslimische Sinusgeometrie in Wien bekannt war.

Auf zwei Gebieten wies Johannes von Gmunden neue Wege: bei der Er-
arbeitung von Tafeln und bei der Verbesserung bekannter Tafelwerke sowie
bei der Konstruktion neuartiger astronomischer Instrumente. Die Tafeln re-
gistrieren die Bewegungen von Sonne, Mond und den Planeten und anderes

Abb. 7.8.1

Siegel der Universität Wien, gegründet 1365; 600. Geburtstag des

Johannes von Gmunden (Österreich 1965; 1984)

7.8 Astronomie und Trigonometrie

361
mehr. Die Beschreibung der Konstruktion und der Funktionsweise der Instru-
mente betreffen Astrolab, Quadrant, das Torquetum und eine zylindrische

Sonnenuhr.

Zweifellos hat Johannes von Gmunden an frühere Gelehrte aus Frankreich,

England und anderswo angeknüpft, aber ebenso ist unbestreitbar, dass er
durch seine Lehrtätigkeit und seine zahlreichen Schriften einen umfassenden

Einfluss ausgeübt hat, vorzüglich in Mitteleuropa [K. Vogel, DSB, Bd. VII,

S. 117–122].

Georg von Peuerbach

Georg von Peuerbach (1423–1461) wurde ebenfalls nachhaltig durch Johannes
von Gmunden beeinflusst; ihm standen aller Vermutung nach dessen Bücher
und Instrumente zur Verfügung. Da Johannes 1442 gestorben war und sich

Georg erst 1446 an der Universität Wien immatrikulierte, kann es wohl keinen
persönlichen Kontakt, z. B. durch Teilnahme an Vorlesungen, gegeben haben.

Georg stammt aus Peuerbach in Oberösterreich, ca. 40 km westlich von

Linz. Er wurde 1448 an der Universität Wien Bakkalaureus und 1453 in
die Artistenfakultät aufgenommen. Zwischen 1448 und 1453 unternahm er
ausgedehnte Reisen durch Deutschland, Frankreich und Italien; seit 1448 hat
er sich mehrfach mit Nikolaus von Kues getroffen. Er hatte sich schon damals
hohe Reputation als Astronom erworben.

Wieder in Wien war er als Hofastrologe des ungarischen Königs tätig. An
der Universität hielt er zunächst Vorlesungen zur Poesie und Rhetorik.

Im Alter von 13 Jahren (1450) hatte Regiomontanus, vom Ruhm Georgs
angezogen, Leipzig verlassen und sich in Wien immatrikuliert. Gemeinsame

Arbeiten betrafen u. a. die Präzisierung der Alfonsinischen Tafeln, Kometen-
beobachtungen und Sonnenfinsternisse. Später hat Regiomontanus Georg als
seinen Lehrer bezeichnet.

1460 kam Kardinal Bessarion (ca. 1403–1472) von Rom aus in diplomati-
scher Mission nach Wien, um Hilfe für einen Kreuzzug gegen die Türken zur

Rückeroberung von Konstantinopel einzufordern. Bessarion traf Georg von

Peuerbach und Regiomontanus und ermunterte sie, eine abgekürzte Version
von Ptolemaios’ Almagest zu verfassen. Es gab auch Pläne zur weiteren Zu-
sammenarbeit mit Bessarion unter Benutzung griechischer Manuskripte, die
sich in dessen Besitz befanden. Bessarion sprach griechisch als Muttersprache,
da er aus Trapezunt stammte.

Dies ist die auf dem Zusammenwirken hochmotivierter Gelehrter beru-
hende Entstehungsgeschichte des Werkes Epitoma in Almagestum Ptolemaei

(Auszug aus dem Almagest von Ptolemaios), das zum bedeutendsten und
modernsten Lehrbuch der geozentrischen Astronomie aufstieg. Gerade in der

Verdichtung und klaren Darlegung des Ptolemäischen Textes lag das Geheim-
nis des Erfolges.

Georg von Peuerbach konnte nur die ersten sechs Teile vollenden; er starb
jung mit nur 38 Jahren. Auf dem Totenbett soll er Regiomontanus beschworen

362

7 Mathematik während der Renaissance

Abb. 7.8.2

Titelblatt der „Epitoma“ [Johannes Regiomontanus Epitoma, in: Alma-
gestum Ptolemaei 1496]

7.8 Astronomie und Trigonometrie

363
haben, das Buch zu vollenden. Dieser erfüllte die dringende Bitte in Italien
während der nachfolgenden zwei Jahre. Vermutlich 1463 (10 Jahre nach dem

Fall von Konstantinopel) war der Text vollendet, versehen mit einer Widmung
von Regiomontanus an Bessarion. Der Druck erfolgte allerdings erst 1496,

20 Jahre nach dem Tod von Regiomontanus. Weitere Auflagen folgten 1543
und 1550.

In der nur sehr kurzen Schaffenszeit hat Georg von Peuerbach weitere
bedeutende Werke zur Astronomie verfasst, darunter die Theoriae novae pla-
netarum (Neue Theorien über die Planeten) und die äußerst umfangreiche

Sinustafel. Sie schreitet fort von 10 zu 10 ; frühere waren nur von halbem

Grad zu halbem Grad fortgeschritten.

Das erste Werk bezog muslimische Arbeiten ein. Eine ebenfalls als Lehr-
werk gedachte Einführung in die Arithmetik – praktisches Rechnen mit gan-
zen Zahlen und Brüchen – wurde mehrfach nachgedruckt, bis ins 16. Jahr-
hundert [C. Doris Hellmann/Noel M. Swerdlow. DSB, XV Supplementband,

S. 473–479].

Unglücklicherweise starb auch Regiomontanus (1436–1476) sehr jung in

Rom, an einer grassierenden Seuche. Dies und der frühe Tod von Peuerbach
bremsten die verheißungsvolle Entwicklung von Astronomie und Mathematik
bis in die Zeit von Brahe.

Johannes Regiomontanus

Regiomontanus (eigentlich Johannes Müller) wurde 1436 in dem fränkischen

Städtchen Königsberg geboren; der Sitte der Zeit gemäß nannte er sich lati-
nisiert Regiomontanus (d. h. Königsberger).

Abb. 7.8.3

Der ungarische König Matthias I Corvinus (Regierungszeit 1443–

1490), ein begeisterter Vertreter des Renaissance-Humanismus. Hier mit einem Lor-
beerkranz als Zeichen seiner Erfolge als Poet. Auf ihn geht die Gründung der welt-
berühmten Bibliothek „Corvina“ zurück. Bibliothek Corvina (Ungarn 1970, 1973)

364

7 Mathematik während der Renaissance

Nach kurzzeitigem Studium in Leipzig wandte sich Regiomontanus nach

Wien und wurde bald Schüler und Mitarbeiter von Georg von Peuerbach.

Nach dessen frühem Tod vollendete er 1463 in Rom das Manuskript des
wegweisenden Werkes Epitoma in Almagestum Ptolemaei (Auszug aus dem

Almagest des Ptolemaios). In enger Beziehung zu Bessarion erlernte Regio-
montanus die griechische Sprache. In einem Brief aus dem Jahre 1464 an

Giovanni Bianchini, den Hofastronomen des Herzogs von Ferrara, berichtet

Regiomontanus:

„Hier sage ich (. . . ), dass ich jetzt in Venedig Diophantos, einen grie-
chischen Mathematiker, gefunden habe, der noch nicht ins Lateini-
sche übersetzt ist. Es wurden nämlich nur sechs Bücher gefunden,
die nun bei uns sind. Im Vorwort verspricht er aber, dass er dreizehn
schreiben werde. Wenn dieses Buch, das wahrhaftig wunderschön und
höchst schwierig ist, sich als vollständig erweisen sollte, dann möchte
ich es ins Lateinische übersetzen, denn dafür würden meine Grie-
chischkenntnisse ausreichen, die ich im Hauses meines hochverehr-
ten Herrn (Bessarion, Wg.) mir angeeignet habe, (. . . ) auf dass das
lateinische Schrifttum dieses neue und höchst wertvolle Buch nicht
entbehren muss.“

(Deutsch zitiert in [Mett 1996, S. 76f.])

Immerhin begann durch Regiomontanus die Rezeption von Diophantos.

Im Frühjahr 1464 hielt Regiomontanus in Padua Vorlesungen über den
muslimischen Wissenschaftler al-Far ˙gh¯
an¯ı. Unter Bezug auf al-Batt¯
an¯ı könn-
te Regiomontanus eine Vorform des fundamentalen Kosinussatzes der sphäri-
schen Trigonometrie gefunden haben; er findet sich ausformuliert im Buch II
seiner Abhandlung De triangulis omnimodis (Über alle Arten von Dreiecken).

Während der Zusammenarbeit mit Georg von Peuerbach war Regiomon-
tanus sich der Notwendigkeit bewusst geworden, eine zusammenhängende

Theorie der Trigonometrie zu erarbeiten.

Regiomontanus hat mehrfach die Unzulänglichkeit der Alfonsinischen Ta-
feln kritisiert. Im Jahre 1465 schreibt er an Jakob von Speyer, den Hofastro-
logen des Fürsten von Urbino:

„Wir lesen die bedeutendsten Bücher in dieser Wissenschaft nicht,
noch erkundigen wir irgendwann, ob der Himmel unserer Berechnung
entspricht. Ja, wir kleben ganz nach Art gutgläubiger Weiber an jenen

Alfonsinischen Tafeln und ihren Abkömmlingen, gleichsam als ob sie
von Gott gesandt seien und nie einen Fehler erlitten hätten.“

[Mett 1996, S. 81]

Seit 1467 hielt sich Regiomontanus in Buda auf, seit 1468 Hauptstadt des Kö-
nigreichs Ungarn. Dort schuf er trigonometrische Tafeln, u. a. eine Sinustafel
in hexagesimaler Unterteilung – die Werte sind auf 5 Stellen genau – auch
eine Tangenstafel und vermutlich noch weitere genaue Tafeln. Später hat Re-

7.8 Astronomie und Trigonometrie

365

Abb. 7.8.4

Liste der von Regiomontanus geplanten Druckausgaben (Ausschnitt)

giomontanus noch eine dezimal aufgebaute Tafel berechnet mit Schritten von

Minute zu Minute. Doch wurden diese Tafeln erst 1541 in Nürnberg gedruckt.

Noch in Italien hatte Regiomontanus die Ausarbeitung einer „Tafel der
ersten Sphäre“ begonnen; dort werden die täglichen Bewegungen des Him-
melsgewölbes beschrieben. In Buda wurde das Werk vollendet. Er widmete
es seinem Freund, dem ungarischen König Matthias I. Corvinus.

1471 verließ Regiomontanus Ungarn und ging nach Nürnberg, einer füh-
renden Handelsstadt mit weitreichenden wissenschaftlichen und kulturel-
len Verbindungen. Der wohlhabende Instrumentenbauer Bernhard Walther

(1430–1504), ebenfalls ein begeisterter Anhänger der Astronomie, stellte Re-
giomontanus astronomische Instrumente zur Verfügung und richtete ihm eine
eigene Druckerei ein. Das erklärte Ziel bestand darin, der Gemeinschaft der

Wissenschaftler die klassischen Schriften in Druckausgaben und sogar text-
kritisch gereinigt zur Verfügung zu stellen. Regiomontanus publizierte so-
gar eine Liste seiner Druckvorhaben. Vorgesehen zum Druck waren u. a. die

Hauptwerke des Ptolemaios, die „Elemente“ Euklids, Werke von Archimedes,
die Kegelschnitte des Apollonios, Werke Herons, die Optik von Witelo, die

Schriften von Aristoteles zur Mechanik, und natürlich seine eigenen Abhand-
lungen.

Als Erstes erschien zur Würdigung seines Freundes Georg von Peuer-
bach die Neue Planetentheorie. 1474 folgten die Ephemeriden, die ersten
derartigen Tafeln, die gedruckt wurden. Aufgelistet wurden die Positionen
aller Himmelskörper von 1475 bis 1506. Übrigens führte Kolumbus – nach
einer Mitteilung von Humboldt – bei seiner vierten Amerikareise die Ephe-
meriden des Regiomontanus mit sich und benutzte sie zur Vorhersage der

Mondfinsternis auf Jamaika vom 29. Februar 1504, um feindliche Indianer zu

366

7 Mathematik während der Renaissance
beeindrucken. Amerigo Vespucci benutzte die Ephemeriden zur Vermessung
der südamerikanischen Küste, insbesondere zur Bestimmung der Lage der

Orinoco-Mündung.

Das großangelegte Publikationsvorhaben brach zusammen, noch ehe es
voll zur Entfaltung gekommen war. Regiomontanus wurde vom Papst nach

Rom gerufen, um mitzuberaten über die notwendig gewordene Kalenderre-
form. Im Sommer 1475 begab sich Regiomontanus nach Rom, starb dort
aber an einer Seuche. Es gab und gibt Gerüchte, Regiomontanus sei vergiftet
worden.

Das Hauptwerk von Regiomontanus sind die fünf Bücher De triangulis
omnimodis (Über alle Arten von Dreiecken). Hier löst sich die Trigonome-
trie ab von ihrem astronomischen Hintergrund und wird zur selbstständigen
mathematischen Disziplin.

Die Notwendigkeit einer geschlossenen Darlegung der ebenen und sphä-
rischen Trigonometrie war Regiomontanus und Georg von Peuerbach bereits
bei der Arbeit an der Epitoma klar geworden. Im Schlusswort der Epitoma
kündigt Regiomontanus an, er wolle eine Abhandlung über Trigonometrie
schreiben.

Noch in Rom nahm er dieses Werk in Angriff, zunächst für die sphärischen

Dreiecke. Er benutzt den Sinussatz und erhält Aussagen über die Seiten und
die Winkel (Inhalt der Bücher 3 und 4 von „De triangulis“). Dann erst folgt
die ebene Trigonometrie, eingegangen in die Bücher 1 und 2 – wiederum
gestützt auf den Sinussatz. Hier knüpft er nachgewiesenermaßen an muslimi-
sche Gelehrte an. Erst in Buch fünf geht er wieder auf das sphärische Dreieck
ein, unter Verwendung des Kosinussatzes. Das Manuskript aus den Jahren

1462/64 blieb aus verschiedenen Gründen unvollendet. Sein Freund Walther
hütete eifersüchtig den Schatz, so kam es, dass „De triangulis“ erst 1533 von

Johannes Schöner (1477–1547) in Nürnberg herausgegeben werden konnte.

Um 1505 hatte der Nürnberger Kleriker Johannes Werner (1468–1528)

Einblick in die Schriften von Regiomontanus erhalten und verfasste seiner-
seits 1514 eine „Sphärische Trigonometrie“. Dort benutzte er die sogenannte
prosthaphairetische Formel 2 sin α sin β = sin(90 ◦ − α + β) − sin(90 ◦ − α − β),
die es gestattet, die mühsame Multiplikation von mehrstelligen trigonome-
trischen Werten auf eine Subtraktion zurückzuführen. Entsprechendes wird
später auch die Verwendung der Logarithmen leisten.

In einer Notiz bemerkt Regiomontanus, man müsse wegen der Bewegung
der Erde die Bewegung der Sterne ein wenig ändern [Zinner 1988, S. 135].

Ziemlich spekulativ hat man daraus Regiomontanus zum Vordenker der helio-
zentrischen Astronomie gemacht; überdies sei seine Bemerkung zu Domenico

Maria di Novara (1454–1504) in Bologna gelangt; Novara war definitiv der

Lehrer von Copernicus.

Über den Universalgelehrten Regiomontanus wäre noch viel zu berichten,
über seine Studien zur Kreisquadratur, über vollkommene Zahlen, über seine

Kalender für den Hausgebrauch, über die Konstruktion von Sonnenuhren

7.8 Astronomie und Trigonometrie

367
und Kompass und vieles andere mehr. Verwiesen sei dazu auf [Zinner 1988],

[E. Rosen, DSB, XI, S. 348–352], [Folkerts 2006].

Es sei aber ausdrücklich hervorgehoben, dass Regiomontanus auch neue

Wege in der Algebra beschritten hat. In einem eigenhändigen Manuskript aus
dem Jahre 1456 benutzt er eine spezielle Symbolik und behandelt zahlreiche
arithmetische und algebraische Probleme (New York, Columbia Universität,

Plimpton 188). Und in der Handschrift seiner „De triangulis“ verwendet er
hochgestellte Zeichen für die Unbekannte x und ihr Quadrat x 2, einen langge-
zogenen Strich für das Gleichheitszeichen, ein Zeichen für die Quadratwurzel
und eine Abkürzung für „minus“. Diese Symbolik ist älter als die der später
entwickelten sog. Deutschen Coß. Die Verbindung zu den Algebrastudien von

Johannes Widmann wird offensichtlich durch einen Quellenvergleich.

Nach Folkerts kann man urteilen:

„Somit ist die Sammlung des Regiomontanus ein Bindeglied zwischen
den italienischen ,maestri d’abbaco’ und den deutschen Autoren alge-
braischer Schriften. Bei zwei Aufgaben treten schon im Gleichungs-
ansatz negative Zahlen auf, die als Schulden interpretiert werden.

Regiomontanus bemüht sich, bei Aufgaben der unbestimmten Ana-
lytik allgemeine Lösungsverfahren zu finden, er kennt die chinesische
tayen-Methode zum Lösen des Resteproblems und beschäftigt sich mit
dem näherungsweisen Ausziehen der Quadratwurzel. Bei einem Zin-
zeszinsproblem, das auf eine kubische Gleichung führt und das man in
ähnlicher Form schon bei den italienischen maestri d’abbaco findet,
weist Regiomontanus auf den körperlichen Gnomon hin; die beige-
fügte Figur lässt an die Lösung der allgemeinen kubischen Gleichung
denken, die Scipione del Ferro etwa 50 Jahre später fand (. . . ) Aus
seinem Briefwechsel wissen wir, daß Regiomontanus ahnte, wie man
vorgehen müsse, um die allgemeine kubische Gleichung zu lösen, wenn
er auch noch nicht dazu in der Lage war. Eine Dreiecksaufgabe in
seinem Briefwechsel führt ebenfalls auf eine kubische Gleichung. Re-
giomontanus erkennt den Zusammenhang mit der Aufgabe, die Sehne
zum Bogen 1◦ zu bestimmen, wenn die Sehne zum Bogen 3◦ bekannt
ist; er wusste also, dass die Winkeldreiteilung mit der Lösung der all-
gemeinen kubischen Gleichung zu tun hat.“

(Zitiert in [Alten et al. 2003, S. 230], weitere interessante Detailstu-
dien zu Regiomontanus in [Folkerts 2006])

Und noch eine Bemerkung: Regiomontanus war kritisch gegenüber seiner

Arbeit. Mit einem Schuss Selbstironie schrieb er 1464 in einem Brief:

„Aber ich weiß nicht, wohin die Feder entweichen wird; sie wird das
ganze Papier verbrauchen, wenn ich sie nicht zurückhalte. Eine Frage
nach der andern fällt mir ein und so viele schöne Fragen kommen mir
in den Sinn, so dass ich ungewiss bin, welche ich vorbringen soll.“

(Zitiert bei [Zinner 1990, S. 117f.])

368

7 Mathematik während der Renaissance

Abb. 7.8.5

Johann Regiomontanus; Nicolaus Copernicus

(Porträt aus Thorn 16. Jh.), [Wikimedia Commons]

Nicolaus Copernicus

Eine spezielle Passage in der „Epitoma“ (Buch V, Satz 22) erregte die Auf-
merksamkeit von Copernicus während seines Aufenthaltes in Bologna, auch
dies war ein Anstoß für die Umwälzung der Astronomie durch Copernicus.

Niklas Koppernigk (1473–1543), der seinem Namen den Sitten jener Zeit
entsprechend zu Nicolaus Copernicus (häufig auch Coppernicus) latinisiert
hatte und unter diesem Namen publizierte, wurde am 19. Februar 1473 in der

1213 vom Deutschen Orden gegründeten Handelsstadt Thorn (heute Toruñ)

geboren, die im 14. Jahrhundert Mitglied der Hanse geworden war und seit
dem Zweiten Thorner Frieden 1466 als selbstständiger Stadtstaat unter pol-

Abb. 7.8.6

Nicolaus Copernicus (BRD 1973). Die Marke ist fehlerhaft: Auf der

Kreisbahn der Erde laufen zwei Planeten

7.8 Astronomie und Trigonometrie

369

Abb. 7.8.7

Stadtansicht Krakau; kolorierter Holzschnitt 1493 [Schedelsche Welt-
chronik 1492], [Wikimedia Commons]

nischer Oberhoheit stand. Niklas war das jüngste von vier Kindern eines aus

Krakau zugewanderten Kaufmanns, der in die hoch angesehene Familie Wat-
zenrode eingeheiratet hatte. Als Nicolaus 10 Jahre alt war, starb der Vater.

Ein Onkel mütterlicherseits, Lucas Watzenrode, nahm sich der beiden Neffen

Andreas und Nicolaus an.

Watzenrode stieg als hervorragender Vertreter des Humanismus im Dienst
der Kirche bis zum Bischof des Ermlandes (heute Warmia) auf und nahm ent-
schlossen am Kampf gegen Ritter des Deutschen Ordens teil. Im Jahre 1491
sandte der Onkel Nicolaus zum Studium nach Krakau, damals Hauptstadt

Polens und Sitz einer der ältesten und berühmtesten Universitäten nördlich
der Alpen. Nicolaus wurde von der dortigen hervorragenden mathematisch-
astronomischen Tradition maßgeblich geprägt.

Nach einer Zwischenphase – 1495 bis 1496 – als Domherr in Frauenburg

(heute Frombork), Bistum Ermland, ging Copernicus 1496 auf Wunsch des

Onkels nach Italien und setzte dort seine Studien fort, in Bologna und Padua.

1503 promovierte er in Ferrara zum Doktor der Rechte. 1510 kehrte er nach

Frauenburg zurück und führte seine astronomischen Studien weiter, zeitwei-
se unterbrochen durch sein organisatorisches Engagement im Kampf gegen
die Ritter des Deutschen Ordens. Seit Mitte 1542 schwanden seine körperli-
chen Kräfte. Er starb am 24. Mai 1543 und wurde im Dom von Frauenburg
beigesetzt.

Den Widerspruch zwischen ptolemäischer Theorie und den Beobachtun-
gen hatte Copernicus wohl schon in Krakau erkannt, vor allem aber in Bolo-
gna im Kontakt mit dem Regiomontanus-Schüler Domenicus Maria di Novara

(1454–1504). Möglicherweise hat Copernicus schon in Italien von dem Episode

370

7 Mathematik während der Renaissance
gebliebenen heliozentrischen Ansatz bei dem antiken Astronomen Aristarchos
erfahren; Archimedes hatte in der „Sandrechnung“ darüber berichtet.

Als Copernicus aus Italien zurückkehrte, dürfte er im Besitz der Idee einer
heliozentrischen Astronomie gewesen sein. Die Grundideen hat er spätestens

1514 niedergelegt. Unter der Bezeichnung Commentariolus de hypothesibus
motuum coelestium (Entwurf über die Hypothesen der himmlischen Bewe-
gungen) ist es in die Geschichte der Wissenschaften eingegangen. Der „Com-
mentariolus“ war nicht zum Druck bestimmt, sondern nur zur Diskussion
mit Freunden und Bekannten. (Drei Abschriften konnten bisher aufgefunden
werden.) Im Ganzen handelte es sich um etwas mehr als dreitausend Worte,
also ca. 7 Seiten. Copernicus bezog sich auf die Planetentheorien u. a. von

Eudoxos und Ptolemaios und stellte fest, dass diese bei aller Großartigkeit
nicht befriedigen können. Insbesondere sei das ptolemäische System weitaus
zu kompliziert. Er, Copernicus, sei beim Nachdenken auf eine weit einfachere

Lösung gestoßen:

„Da ich die Aufgabe anpackte, die recht schwierig und kaum lösbar
schien, zeigte sich schließlich, wie es mit weit weniger und viel ge-
eigneteren Mitteln möglich ist, als man vorher ahnte. Man muß nur
einige Grundsätze, auch Axiome genannt, zugestehen.“

(Zitiert nach [Zinner, 1951, S. 61])

Unter anderem hält Copernicus in seinem berühmten Werk De revolutionibus
fest, dass der Erdmittelpunkt nicht der Mittelpunkt der Welt, sondern der

Schwere und der Mondbahn ist, dass alle Planetenbahnen die Sonne umgeben,
als stünde sie in der Mitte, und dass alles, was uns bei der Sonne an Bewegung
sichtbar ist, nicht durch sie selbst entsteht, sondern durch die Erde und durch
die Erdbahn, auf der wir uns um die Sonne bewegen wie jeder andere Planet

[Zinner 1951, S. 61].

Die Kunde von einer neuartigen Astronomie drang auch bis Wittenberg,
ins Herz der Reformation. Der junge Wittenberger Mathematikprofessor Joa-
chim Rheticus (Georg Joachim von Lauchen, 1514–1576) reiste 1539 nach

Frauenburg, um Näheres an der Quelle zu erfahren. Er beschrieb die Er-
gebnisse des Copernicus in seiner Narratio prima (Erster Bericht), die 1540
in Danzig gedruckt wurde. Rheticus stellte die Methode von Copernicus als

Wechselspiel von Beobachtung und mathematischer Durchdringung heraus.

Copernicus seinerseits bemühte sich um die Bereitstellung angemessener ma-
thematischer Hilfsmittel. In Wittenberg erschien 1542, vermittelt durch sei-
nen Freund und Verehrer Rheticus, eine trigonometrische Schrift De lateribus
et angulis triangulorum (Über die Seiten und Winkel der Dreiecke). Sie wur-
de 1551 durch Rheticus weitergeführt: 7-stellige Tafeln der trigonometrischen

Funktionen in Schritten von 10 zu 10 .

Im Jahre 1536 nahm Rheticus seine Vorlesungstätigkeit zur Mathematik,
speziell zur Arithmetik in Wittenberg auf. Philipp Melanchthon (1497–1565)

schickte der Vorlesung von Rheticus eine „Rede über den Nutzen der Arith-
metik“ oder „Vorrede zur Arithmetik des Georg Joachim Rheticus“ voraus.

7.8 Astronomie und Trigonometrie

371

Abb. 7.8.8

Collegium maius in Krakau (Polen 1971)

(Es soll nicht verschwiegen werden, dass Stefan Deschauer, Dresden, diese

Vorrede dem Rheticus selbst zuschreibt [Deschauer 2003].) In der Überset-
zung von Gerhard Weng heißt es an einer Stelle in der langen Vorrede, in der
die Studenten zum Studium der Arithmetik mit dem Blick auf den prakti-
schen Nutzen und die philosophische Bedeutung quasi überredet werden:

„Ich komme also wieder zur Arithmetik zurück, weil ich mir vorge-
nommen hatte, besonders über sie zu sprechen. Nachdem ich ihre

Nutzanwendungen dargestellt habe, die jedenfalls keineswegs unver-
ständlich sind, glaubte ich, kurz noch etwas über ihre leichte Erlern-
barkeit anfügen zu müssen. Ich weiß, daß sich die jungen Leute durch
das Vorurteil ihrer Schwierigkeit von diesen Wissenschaften abschre-
cken lassen. Aber hinsichtlich der Elemente der Arithmetik, die man
normalerweise an den Schulen lehrt und die für die tägliche Praxis
herangezogen werden, irren sie sich sehr, wenn sie meinen, sie sei-
en ungemein schwer. Die Rechenkunst leitet sich unmittelbar aus der

Beschaffenheit des menschlichen Geistes ab und besitzt Beweise mit
dem höchsten Gewißheitsgrad. Daher können ihre Grundlagen weder
unverständlich noch schwierig sein, die ersten Regeln sind im Ge-
genteil so klar, daß auch Kinder sie begreifen können, weil dieses
ganze Wissensgebiet aus der Beschaffenheit des menschlichen Geis-
tes hervorgeht. Zweitens erfordern die Regeln der Multiplikation und
der Division zwar etwas mehr Genauigkeit, aber ihre Gründe können
dennoch von aufmerksamen Schülern schnell begriffen werden. Diese

Wissenschaft verlangt genauso praktische Übung wie alle anderen.“

[Corpus Reformatorum XI, Sp. 284–292]

Melanchthon hat mehrfach auch anderen mathematischen Werken aus dem

Umkreis der Reformation Vorreden vorangestellt. Im Vorwort (1543) zu Mi-
chael Stifels Arithmetica integra heißt es – wieder, nachdem er den vielfältigen

Nutzen der Arithmetik hervorgehoben hat:

372

7 Mathematik während der Renaissance

„. . . müssen alle tüchtigen Gelehrten sich mit aller Macht darum be-
mühen, diese Wissenschaft in die Schulen wieder aufzunehmen (. . . ).

In diesem Sinne glaube ich Michael Stifels Abhandlung über die Arith-
metik jungen Studierenden empfehlen zu müssen, weil sie nicht nur
zur Übung nützlich sein wird, sondern auch viel Licht in die wissen-
schaftliche Untersuchung der Lehrinhalte bringen wird.“

(Mitteilung von U. Reich, Bretten)

Vermutlich zwischen Ende 1529 und Mitte 1532 hat Copernicus sein groß an-
gelegtes Werk De revolutionibus (Über die Umläufe) niedergeschrieben. Das
eigenhändige Manuskript ist erhalten geblieben. Eine Zeitlang befand es sich
im Besitz des hervorragenden böhmischen Pädagogen und Philosophen Jan

Amos Comenius (1592–1670); und wird seit einigen Jahrzehnten in Krakau
aufbewahrt. Es besteht aus 420 Seiten und ist sehr schön geschrieben, teil-
weise mit roter Tinte.

Copernicus hat lange dem Drängen seiner Freunde widerstanden, De revo-
lutionibus zum Druck zu geben. Erst 1543, durch Vermittlung von Rheticus,
kam es in Nürnberg zur Drucklegung, anfangs überwacht durch Rheticus,
dann durch den protestantischen Nürnberger Theologen Andreas Osiander

(1498–1552).

Die Nürnberger Erstausgabe besteht aus 400 Seiten. Das Werk beginnt
mit einem Vorwort an den Leser, das aus der Feder von Osiander stammt.

Da es aber nicht signiert war, hielt man es anfangs für die Meinung von

Copernicus. Das ist gravierend, weil dort das heliozentrische System – ge-
gen die klare Auffassung von Copernicus – lediglich als eine mathematische

Hypothese unter möglichen anderen hingestellt wurde. Dieser groben inhalt-
lichen Veränderung, die den Zorn von Rheticus, später auch von Kepler und

Alexander von Humboldt auslöste, fügte Osiander noch eine weitere hinzu,
indem er dem Titel „De revolutionibus“ noch „orbium coelestium“ (etwa der

Himmelskreise oder der Himmelsphären) hinzufügte und damit beim Leser
die Meinung nahe legte, auch Copernicus sei von der realen Existenz der

Himmelsphären überzeugt.

Das Buch I behandelt das Prinzipielle des heliozentrischen Systems: Welt
und Erde haben Kugelgestalt. Die Bewegungen der Himmelskörper sind ste-
tig, kreisförmig oder aus Kreisstücken zusammengesetzt. Dann werden die

Eigenbewegungen der Erde beschrieben. Im Kapitel 10 des ersten Buches fin-
det sich die berühmte eigenhändige Zeichnung des heliozentrischen Systems:

Auf konzentrischen Kreisen laufen die Planeten um die Sonne als Mittel-
punkt. (Für die inneren Planeten musste Copernicus doch wieder Exzenter
benutzen. Erst Kepler konnte darauf verzichten.)

Einige Zeilen sollen auch demonstrieren, wie sprachgewaltig sich Copernicus
ausdrücken konnte:

„In der Mitte von allen (Planeten) aber steht die Sonne. Wer aber
möchte in diesem schönsten Tempel diese Leuchte an einen anderen,
besseren Ort setzen als an diesen, von dem aus sie alles zu erleuchten

7.8 Astronomie und Trigonometrie

373

Abb. 7.8.9

Handzeichnung von Copernicus zum heliozentrischen System. In der

Mitte die Sonne (sol) [Wikimedia Commons]

374

7 Mathematik während der Renaissance
vermag?(. . . ) So lenkt denn die Sonne gleichsam vom königlichen

Thron aus die sie umkreisende Familie der Gestirne. Auch wird die

Erde nicht im mindesten des Dienstes des Mondes beraubt, sondern
der Mond steht in innigster Beziehung zur Erde, wie Aristoteles in
seinem Buch über die Tiere sagt. Indessen empfängt die Erde von der

Sonne und wird schwanger mit jährlicher Geburt. Wir finden also
in dieser Ordnung ein bewunderungswürdiges Gleichmaß und einen
bestimmten harmonischen Zusammenhang der Bewegung und Größe
der Bahnen, wie er anderweitig nicht gefunden werden könnte.“

(Deutsch zitiert in [Zinner 1951, S. 100])

Die Legende will wissen, dass ein reitender Bote aus Nürnberg ein Exemplar
der eben gedruckten De revolutionibus nach Frauenburg gebracht habe. Man
habe dem sterbenden Copernicus das Buch in die Hände gelegt, er habe aber
sein Meisterwerk nicht mehr erkannt.

Die ersten Tafeln – ein Tabellenwerk der Planetenbewegungen – auf he-
liozentrischer Basis wurden 1551 von Erasmus Reinhold (1511–1553) heraus-
gegeben; sie verdrängten die veralteten Alfonsinischen Tafeln, obwohl – trotz
aller Fortschritte – noch immer Abweichungen von den wirklichen Planeten-
bewegungen auftraten. Überhaupt konnte sich das Copernicanische System
nur langsam und schwer durchsetzen, teils wegen weiter bestehender Un-
stimmigkeiten, teils wegen der von der katholischen Kirche ausgehenden Un-
terdrückungen. Aus historischer Sicht hat Copernicus eine Revolution des

Denkens in der Astronomie ausgelöst. Sie wurde zum Symbol der zu Anfang
des 17. Jahrhunderts einsetzenden Wissenschaftlichen Revolution.

7.8 Astronomie und Trigonometrie

375

Inhalte der Mathematik während der Renaissance

15. Jh.

FILIPPO BRUNELLESCHI

Erfinder der „Durchschnittsmethode“ für perspektivische Darstellun-
gen

LEONE BATTISTA ALBERTI

Bücher über Baukunst und Malerei

PIERO DELLA FRANCESCA

De prospectiva pingendi (Perspektive in der Malerei)

LEONARDO DA VINCI

Zeichnungen der regelmäßigen Körper, Entwürfe von Maschinen, Ge-
wölben und Geräten

LUCA PACIOLI

De Divina Proportione: Goldener Schnitt, reguläre und halbreguläre

Polyeder; Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni e Propor-
tionalità: Lehrstoff der Abbacus-Schulen, Lösung von Gleichungen

(bis vierten Grades) durch Probieren

MAESTRI D’ABBACO

Lösung praktischer Probleme im indisch-arabischen Zahlensystem
um 1420

JOHANNES VON GMUNDEN

Tractatus de sinibus, chordis et arcubus: Tafelwerke, Konstruktion
neuartiger astronomischer Geräte
um 1460

GEORG VON PEUERBACH

Theoriae novae planetarum, Epitoma in Almagestum Ptolemaei

(vollendet von Regiomontanus): astronomische Daten, Sinustafel

1464–1476 JOHANNES REGIOMONTANUS

Opera collectanea (darin: „Epitoma . . . “, De triangulis omnimodis li-
bri quinque, De quadratura circuli dialogus, Ephemerides Anni 1475 );
erste algebraische Symbolik

1484

NICOLAS CHUQUET

Le triparty en la science des nombres: Rechnen mit rationalen und
irrationalen Zahlen, Gleichungstheorie; La Géométrie

1489

JOHANNES WIDMANN

Behennde vnnd hubsche Rechnug auff allen Kauffmanschafften; erste

Algebravorlesung in Deutschland
um 1500

SCIPIONE DEL FERRO

Lösungsformel für Gleichungen vom Typ x 3 + bc = c
um 1514

NICOLAUS COPERNICUS

Commentariolus de hypothesibus motuum coelestium: Grundideen der
heliozentrischen Astronomie (nicht gedruckt, Entwurf zur Diskussion
im Freundeskreis)

1518

ADAM RIES

Rechenung auf der linihen, Rechenung auff der linihen vnnd federn

(1522), Rechnung nach der lenge auff den Linihen und Feder (1550):

Lehre vom Rechnen auf dem Abakus und mit den indisch-arabischen

Ziffern; Coß (1550, hrsg. 1664): Verwendung der cossischen Symbole,

Lösung reiner Gleichungen ersten bis vierten Grades und der drei

Typen gemischt-quadratischer Gleichungen

376

7 Mathematik während der Renaissance

1521

HEINRICH SCHREYBER (GRAMMATEUS)

Behend und khünstlich Rechnung nach der Regel und wellisch practic

1525

CHRISTOFF RUDOLFF

Behend und Hubsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebrae,
so gemeinicklich die Coss genennt werden

1525

ALBRECHT DÜRER

Underweysung, Proportionenlehre (1528): Praktische Geometrie, ins-
bes. Perspektive, Mehrtafelverfahren, Kurven, Parkettierung, regel-
mäßige Polyeder

1532

PEDRO NUNES

Libro de Algebra en Arithmetica y geometria; Kurven konstanten

Kurses (Loxodromen) in der Seefahrt

1533

GEMMA FRISIUS

Triangulation zur Landesvermessung; Arithmeticae practicae metho-
dus (1536/1542)

1539

MICHAEL STIFEL

Arithmetica integra; Die Coß Christoffs Rudolffs. Die schönen Ex-
empeln der Coß Durch Michael Stifel Gebessert und sehr gemehrt

(1553)

1542

GEORG JOACHIM RHETICUS

Definition der trigonometrischen Funktionen am rechtwinkligen Drei-
eck

1543

NICOLAUS COPERNICUS

De revolutionibus: heliozentrisches Weltsystem

1557

ROBERT RECORDE

The Whetstone of Witte: Einführung des Gleichheitszeichens und an-
derer Symbole

1569

GERARDUS MERCATOR (GERHARD KREMER)

Erste Weltkarte in „Mercator-Projektion“

1578

ABRAHAM RIES

Dresdener Kodex C 411 (hrsg. 1999), weitere Cossische Zeichen, Auf-
gaben zu quadratischen Gleichungen

1585

SIMON STEVIN

De Thiende, Practique d‘Arithmétique: Einführung der Dezimalbrü-
che in Europa

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen

Revolution

378

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

1558–1603

Herrschaft der englischen Königin Elisabeth I.

1564–1642

Lebenszeit von Galilei

1582

Gregorianische Kalenderreform (zunächst in katholischen

Ländern)

1589–1610

Heinrich IV. von Navarra König von Frankreich

1600

G. Bruno auf dem Scheiterhaufen in Rom hingerichtet

1607

Beginn der Kolonisierung Virginias in Nordamerika

1611–1632

Gustav II. Adolf König von Schweden

1618–1648

Dreißigjähriger Krieg

1632–1654

Christine Königin von Schweden

1633

Galilei widerruft sein Bekenntnis zum Copernicanischen

System

1643–1715

Ludwig XIV. („Sonnenkönig“) regiert Frankreich als
absoluter Monarch

1643

4. Januar 1643 – Isaac Newton wird in Woolsthorpe bei

Grantham (Lincolnshire) geboren (Gregorianische Datierung)

1646

1. Juli 1646 – Gottfried Wilhelm Leibniz in Leipzig geboren

1649

Hinrichtung König Karls I., Einführung des Commonwealth
durch Cromwell

1660

Restauration der Monarchie in England

1662

In London wird die „Royal Society“ gegründet

1665–1667

Die Universität Cambridge wegen der Pest geschlossen

1666

Gründung der französischen Akademie der Wissenschaften
in Paris

1666

Großer Brand von London

1675

Der Große Kurfürst besiegt die Schweden bei Fehrbellin

1681

Ludwig XIV. besetzt Elsaß und Lothringen.

William Penn gründet die Kolonie Pennsylvania

1682–1725

Peter I., der Große, Zar von Russland

1685

Jakob II., überzeugter Katholik, wird neuer englischer König

1688

Die sog. „glorious revolution“; Jakob II. wird durch Wilhelm
von Oranien vertrieben, England wird konstitutionelle

Monarchie

1700

Julianischer Kalender in Russland eingeführt

1703

Gründung von St. Petersburg

1707

„Union“ zwischen England und Schottland

1707–1783

Lebenszeit von Leonhard Euler

1714

Der Kurfürst von Hannover wird als Georg I. König
von England

1716

14. November – Leibniz stirbt in Hannover

1725

Eröffnung der Akademie der Wissenschaften in St. Petersburg

1727

31. März – Newton stirbt in Kensington, nahe London

8.0 Allgemeine Charakterisierung

379

8.0 Allgemeine Charakterisierung

Der Begriff „Wissenschaftliche Revolution“ hat sich in jüngerer Zeit als Struk-
turbegriff in der Wissenschaftsgeschichte eingebürgert und zwar für die Zeit
vom ausgehenden 16. Jahrhundert bis zum Beginn des 18. Jahrhunderts, mit
dem Blick auf die gänzliche Umgestaltung der Naturwissenschaften nach In-
halt, Methode, Kommunikationsformen und gesellschaftlicher Relevanz und
auf Wechselbeziehungen zu Religion und Philosophie. Bis zu einem gewissen

Grade kann man sogar behaupten, dass der Typ der neuzeitlichen Mathema-
tik und Naturwissenschaft in dieser Periode erst geschaffen wurde [Wußing

1992], [Huff 1993], [Wußing 2002], [Breger 2004].

Indessen ist bei aller Akzeptanz dieses Begriffes, der eine besonders auf-
regende und interessante Periode der Wissenschaftsentwicklung herausheben
soll, doch unübersehbar, dass man bei näherem Zusehen auf eine Fülle sich
dahinter verbergender unterschiedlicher Begriffsinhalte trifft. Hier soll indes
darauf verzichtet werden, das ganze Spektrum der Auffassungen zu wissen-
schaftlichen Revolutionen im Allgemeinen und zur Wissenschaftlichen Revo-
lution im Besonderen darzulegen (vgl. etwa [Bialas 1978], [Shea 1988], [Kuhn

1967]). Insbesondere sollen hier die starken Verflechtungen dieses Gegenstan-
des mit wissenschaftstheoretischen Grundpositionen übergangen werden, so
interessant und lehrreich sie auch sein mögen.

Mit dem Begriff einer wissenschaftlichen Revolution soll hier – ohne wei-
tere Reflexionen – die Tatsache ausgedrückt werden, dass die Entwicklung
der Wissenschaften nicht gleichförmig in der Zeit verläuft, sondern Perioden
rascheren oder langsameren Wachstums (und sogar Perioden des Verfalls)

aufweist. Außerdem soll mit dem Eigennamen „Wissenschaftliche Revoluti-
on“ unter zahlreichen wissenschaftlichen Revolutionen – z. B. die Relativitäts-
theorie, der Quantenphysik oder der Darwinschen Evolutionstheorie – jene
herausgehoben werden, deren historische Bedeutung die aller anderen „Teil-
revolutionen“ in speziellen Bereichen der Wissenschaft im welthistorischen

Zusammenhang übertrifft. Eben dies ist bei der „Wissenschaftlichen Revolu-
tion“ der Fall.

Noch in einem weiteren Punkt bedarf es der Erläuterung. Abgesehen von
der semantischen Frage, wie viele Jahre eine Revolution allenfalls umfassen
darf, schließen wir uns hier der von vielen Wissenschaftshistorikern vertrete-
nen Auffassung an, dass die Wurzeln der Wissenschaftlichen Revolution bis in
die Renaissance hinabreichen und ihre Wirkungen bis in die Frühaufklärung
hinaufreichen.

Vier Generationen von Männern haben diese durchgreifende Wandlung
vollzogen, Männer wie Copernicus, Galilei, Brahe, Kepler, Fr. Bacon, Des-
cartes, Fermat, Guericke, Pascal, Gilbert, Huygens, Linné, Harvey, Hooke,

Newton, Leibniz, Cook. Ihre Leistungen und die ihrer Mitstreiter bewirk-
ten eine gänzliche Umgestaltung der Mathematik, der Astronomie und der

Mechanik, insbesondere der Dynamik, die recht eigentlich erst als wissen-
schaftliche Disziplin begründet wurde. Mit der Fortentwicklung von Algebra

380

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution
und Geometrie entstanden eine Mathematik der Variablen und die Infinitesi-
malmathematik, und damit wurde den Naturforschern ein Instrumentarium
höchster Leistungsfähigkeit in die Hand gegeben. Anatomie und Physiologie
schufen der Medizin eine in einigen Teilen naturwissenschaftliche Basis. Che-
mie, Zoologie und Botanik, Geographie und Geologie begannen, nach neuen

Ufern zu streben.

Interessant ist auch ein Blick auf den Umschwung in der sozialen Stel-
lung der Naturforscher. Als Isaac Newton 1727 starb und in einem feierli-
chen Staatsakt in der Westminster Abbey in London beigesetzt wurde, war
die Wendung im Grundsätzlichen bereits vollzogen: in nur vier Generatio-
nen hatte sich die Naturforschung gesellschaftliche Anerkennung erworben.

Giordano Bruno war im Jahre 1600 unter anderem wegen des Eintretens für
die heliozentrische Astronomie öffentlich hingerichtet worden. Galileo Gali-
lei wurde noch deswegen vor Gericht gestellt und starb 1642 im Gewahrsam
der Inquisition. René Descartes hielt noch brisante Teile seines Hauptwerkes
zurück und ging 1628/29 in die Emigration nach Schweden. Newton aber
konnte 1687 das wohl bedeutendste Werk der Naturwissenschaft in ihrer Ge-
schichte publizieren, die Philosophiae naturalis principia mathematica (etwa:

Mathematische Prinzipien der Naturwissenschaft). Wegen seiner Verdienste
um die Wissenschaft und um die britische Münzreform wurde er geadelt und
erhielt ein pompöses Staatsbegräbnis.

Die Entwicklung dieser drei Zweige wird in der Historiographie der Ma-
thematik als Inhalt der Wissenschaftlichen Revolution in der Mathematik
bezeichnet.

8.1 Gründung von Akademien und wissenschaftlichen Gesellschaften

381

8.1 Gründung von Akademien und wissenschaftlichen

Gesellschaften

Bereits während der Renaissance waren in Italien Akademien gegründet wor-
den, nach dem Vorbild der Platonischen Akademie der Antike. In Neapel
beispielsweise entstand 1560 eine „Academia Secretorum Naturae“ (Akade-
mie der Geheimnisse der Natur). Größere Bedeutung erlangte die um 1601 in

Rom ins Leben gerufene „Accademia dei Lincei“, der u. a. Galilei angehörte.

Mit der Anspielung auf Luchse (lince = Luchs), die besonders scharfsichtig
sind, sollte der hohe Anspruch auf Wahrheitssuche ausgedrückt werden. Aus-
drücklich waren Priester von der Mitgliedschaft ausgeschlossen. Galilei wurde
auch Wegbereiter bei der Gründung der „Accademia del Cimento“ (Akade-
mie des Experimentes) 1657 in Florenz, die jedoch durch Intervention der

Katholischen Kirche bald aufgelöst wurde.

Eine glanzvolle Entwicklung – wohl unabhängig von Italien – bahnte sich
um die Mitte des 17. Jahrhunderts in England an; sie führte schließlich 1662
zur Gründung der „Royal Society“ in London, die für lange Jahrhunderte und
noch heute ein führendes wissenschaftliches Zentrum darstellt. Newton war
fast drei Jahrzehnte lang ihr Präsident.

Die Gründungsgeschichte der „Royal Society“ hat zwei historische Wur-
zeln. Nach dem Tod von Francis Bacon (1561–1626), der sich für die Er-
neuerung der Wissenschaften eingesetzt hatte, erschien postum 1627 die klei-
ne, aber folgenreiche Schrift Nova Atlantis (Neues Atlantis), in der er einen
utopischen Inselstaat „jenseits der alten und der neuen Welt“ schildert, wo
organisierte wissenschaftliche Arbeit entscheidend zur Verbesserung der Le-
bensverhältnisse beiträgt. Der damalige englische König James I. nahm kein

Interesse an diesen Ideen, wohl aber eine Gruppe von Privatleuten. Man for-
derte u. a. 1648 die Errichtung eines „College of Trade“ (Handelskolleg), um
neue Erfindungen und neue Methoden bei der Verbesserung von Kleidung
und Haushaltseinrichtung nutzbar zu machen.

Begeisterte Anhänger Bacons und der neuen Wissenschaft trafen sich seit

1644/45 ziemlich regelmäßig in London, unter anderem im sog. Gresham-

College, das der vermögende Manufakturwarenhändler Thomas Gresham

(1519–1579) eingerichtet hatte, um Kaufleute und Seefahrer auszubilden.

Folgerichtig standen die Naturwissenschaften, Arithmetik, Geometrie, Na-
vigation und Astronomie im Mittelpunkt der Lehrtätigkeit. Dort fanden die
englischen Freunde der Experimentalwissenschaft eine feste Heimstatt.

Zum aktiven Kern der Gruppe gehörten der Mathematiker John Wal-
lis (1616–1703), der Mathematiker und Architekt Christopher Wren (1632–

1723), der die berühmte St. Pauls-Kathedrale in London schuf, der äußerst
vielseitige Naturforscher Robert Boyle (1627–1691), der Physiker und ein-
fallsreiche Experimentator Robert Hooke (1635–1702) sowie der Mathemati-
ker Viscount Brouncker (1620?–1684).

Im Jahre 1660 gab sich die Gruppe unter der Bezeichnung „Invisible College“

(Unsichtbares Kolleg) eine Art Statut. Nach dem Ende des Bürgerkrieges

382

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Abb. 8.1.1

Accademia dei Lincei; Francis Bacon (Ausschnitt aus Brfm. Italien

2003), [Wikimedia Commons]

und der Restauration der Monarchie erhielt die Vereinigung ein Privileg von

König Charles II. als „Royal Society for the Improvement of Natural Know-
ledge“ (Königliche Gesellschaft für die Vervollkommnung des Wissens von der

Natur). Freilich erhielt die „Königliche Gesellschaft“ keinerlei Unterstützung
von der Krone, sie blieb – bis heute – eine private Gesellschaft, die sich mit

Beiträgen ihrer Mitglieder finanziert.

Die Gesellschaft beschränkte sich absichtlich auf rein naturwissenschaftli-
che und gewerbefördende Tätigkeiten; sie schloss Beschäftigung mit Theolo-
gie, Metaphysik, Moral, Politik, Grammatik, Rhetorik und Logik ausdrück-
lich aus, wie der folgende Text von Robert Hooke belegt:

„Aufgabe und Ziel der Royal Society ist es:

Das Wissen von natürlichen Dingen und von allen nützlichen Gewer-
ben, Manufakturen, mechanischen Praktiken, Maschinen und Erfin-
dungen durch Experimente zu vermehren – (nicht, sich mit Theologie,

Metaphysik, Moral, Politik, Grammatik, Rhetorik oder Logik abzuge-
ben).

Diese erlaubten Künste und Erfindungen, soweit sie verlorengegangen
sind, versuchen wiederzufinden.

Alle Systeme, Theorien, Prinzipien, Hypothesen, Elemente, Geschich-
ten und Experimente über natürliche, mathematische und mechani-
sche Dinge, erfunden, berichtet oder praktiziert von jedem nennens-
werten Autor der Antike oder Moderne zu prüfen. Ein vollständiges

System einer soliden Philosophie zusammenzustellen, die alle Phäno-

8.1 Gründung von Akademien und wissenschaftlichen Gesellschaften

383
mene erklärt, hervorgerufen von der Natur oder der Kunst, und einen
vernunftgemäßen Einklang im Hinblick auf die Ursachen der Dinge
festzuhalten.

Alles zur Förderung der Ehre Gottes, zum Ruhme des Königs, des kö-
niglichen Gründers der Gesellschaft, zum Nutzen seines Königreichs
und zum allgemeinen Wohl der Menschheit.“

(Zitiert nach [Hall 1965, S. 160f.])

Wie weit und international die Beziehungen der Royal Society reichten, soll
wenigstens an einem Beispiel verdeutlicht werden.

Der Iatromathematiker (Iatrik = Heilkunst) Giovanni Alfonso Borelli

(1608–1679) wurde von der Royal Society aufgefordert, einen Bericht über den

Vulkanausbruch des Ätna 1669 zu verfassen. Das Resultat ist einer der ers-
ten Beiträge zum Entstehen einer Vulkanologie [Nuncius, XXII, 2002, Bd. 2,

S. 741f.].

Auch in Deutschland trat – wiederum inspiriert von Bacon – eine Gruppe
von Privatleuten, insbesondere von Ärzten, kurz nach dem Ende des Dreißig-
jährigen Krieges in Schweinfurt zusammen, ursprünglich unter dem Namen

„Academia Naturae Curiosorum“. Sie erhielt 1672 ein Privileg des damaligen
deutschen Kaisers Leopold. Der Sitz der Akademie wechselte zum Wohnsitz
der jeweiligen Präsidenten, bis die „Leopoldina“ im 19. Jahrhundert ihren
endgültigen Standort in Halle/Saale einnahm. Sie besteht noch heute und
arbeitet erfolgreich.

Unter ganz anderen Begleitumständen kam es 1666 in Paris zur Grün-
dung einer königlichen Akademie der Wissenschaften („Académie Royale des

Sciences“). Zwar gab es auch in Frankreich allerlei Gruppen von Anhängern
der neuen Wissenschaft, denen u. a. die Mathematiker Blaise Pascal (1623–

1662), Pierre de Fermat (1607–1665) und Girard Desargues (1591–1661) an-
gehörten. Schließlich aber, mit einiger Verzögerung, inaugurierte der französi-
sche absolutistische Staat selbst die Gründung einer Wissenschaftsakademie;
der mächtige Finanzminister Colbert setzte die Akademie in einem feierlichen

Staatsakt in ihre Rechte und Pflichten ein. Die Mitglieder wurden vom Staat
ernannt und besoldet; es gab erhebliche finanzielle und materielle Zuwendun-
gen an die Akademie.

Das wissenschaftliche Leben in Paris und allgemein in Frankreich erlitt
erhebliche Rückschläge, als der „Sonnenkönig“ Louis XIV. im Jahre 1685 das

Edikt von Nantes (1598) aufhob, das Religionsfreiheit gewährt hatte. Viele

Hugenotten wichen dem Druck und gingen ins Ausland, unter den Mathema-
tikern Abraham de Moivre (1667–1754) und Christiaan Huygens (1629–1695).

Das Vorbild einer vom absolutistischen Staat gegründeten Akademie
machte Schule. So wurde beispielsweise unter aktiver Beteiligung von Leibniz

1700 in Berlin eine „Societas Regia Scientiarum“ (Königliche Gesellschaft der

Wissenschaften) begründet.

In der Denkschrift zur Akademiegründung, 1700, formulierte Leibniz: Der

Zweck der Sozietät bestehe darin,

384

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

„. . . theoriam cum praxi zu vereinigen, und nicht allein die Künste
und Wissenschaften, sondern auch Land und Leute, Feldbau, Manu-
facturen und Commercien, und mit einem Wort die Nahrungsmit-
tel zu verbessern, überdies auch solche Entdeckungen zu thun, da-
durch die überschwengliche Ehre Gottes mehr ausgebreitet, und des-
sen Wunder besser als bisher erkannt (. . . ) würden.“

(Zitiert nach [Finster/Heuvel 1990, S. 121])

Im Jahre 1724 hatte der russische Zar Peter I. (1672–1725), dessen Lebens-
werk mit der Modernisierung Russlands verbunden ist, den endgültigen Be-
schluss gefasst, in dem 1703 gegründeten, 1712 zur Hauptstadt erhobenen St.

Petersburg eine Akademie zu gründen. Dabei wurde er von Leibniz beraten,
den der Zar nach persönlichen Kontakten zum russischen Staatsrat erhoben
hatte.

Die definitive Gründung der Petersburger Akademie erfolgte im Jahre

1725. Die Arbeitsbedingungen waren von Anfang an vorzüglich. Mit der Be-
rufung von ausländischen Gelehrten – Daniel Bernoulli (1700–1782), Jakob

Hermann (1678–1733), Leonard Euler (1707–1783), Georg Bernhard Bülfin-
ger (1693–1750), Georg Wolfgang Krafft (1701–1754), Georg Wilhelm Rich-
mann (1711–1755) und anderen – nach Petersburg erreichte die Akademie
gleich anfangs eine hervorragende Stellung im europäischen Wissenschaftsbe-
trieb.

Die angeworbene Gelehrtenschaft machte rasche Fortschritte; heimische

Gelehrte traten an die Öffentlichkeit. 1742 wurde Michael Wasiljewich Lo-
monossow (1711–1765) Mitglied der Akademie.

London, Paris, Berlin und St. Petersburg mit ihren Akademien waren wäh-
rend des 17./18. Jahrhunderts die Zentren mathematisch-naturwissenschaft-
licher Forschung. Die absolutistischen Staaten stellten den Akademikern die-
jenigen Aufgaben, die in ihrem militärischen oder ökonomischen Interesse
lagen. Zugleich erfüllten die Akademien ein starkes Repräsentationsbedürfnis
der Herrscher. Es galt geradezu als Maß der Stärke eines Staates, wie viel
berühmte Gelehrte bei Hofe aufgeboten werden konnten. Andererseits schuf
das Interesse der Herrscher am Glanz ihrer Akademien den Gelehrten jenen

Freiraum, den sie brauchten, um ihren eigenen wissenschaftlichen Interes-
sen nachgehen und das Bündnis mit der Aufklärungsphilosophie festigen zu
können [Grau 1988].

Die Gründung der Akademien stellt einen erheblichen Fortschritt bei der

Institutionalisierung der Wissenschaften dar, bot sie doch den Gelehrten und

Naturforschern Heimstätten und Gedankenaustausch. Dazu trat – als Folge
einer zunehmenden Flut neuer Erkenntnisse und Ergebnisse im ganzen brei-
ten Spektrum der Wissenschaften – die Gründung wissenschaftlicher Zeit-
schriften, die nun einen Austausch der Ergebnisse über größere Entfernun-
gen ermöglichten und eine Art „Gelehrtenrepublik“ begründeten. Seit Januar

1665 erschien in Paris das Journal des Sçavans; zwei Monate später erschie-
nen in London die Philosophical Transactions . Seit 1682 wurden in Leipzig

8.1 Gründung von Akademien und wissenschaftlichen Gesellschaften

385

Abb. 8.1.2

Handschrift von Leibniz [Niedersächsische Landesbibliothek Hannover,

Handschrift LH XXXV, VIII, 18 Bl. 2 r ]

386

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Abb. 8.1.3

Akademie der Wissenschaften in St. Petersburg [Foto Alten]

die Acta Eruditorum (Abhandlungen der Gelehrten) herausgegeben, in denen
gleich anfangs Leibniz grundlegende Arbeiten zum Infinitesimalkalkül veröf-
fentlichte. Im Jahre 1728 begannen die Commentarii Academiae Scientiarum

Imperialis Petropolitanae zu erscheinen. Eine Zählung der neu gegründeten
wissenschaftlichen Zeitschriften zwischen 1725 und der Jahrhundertwende hat

74 Titel ergeben; dazu trat noch eine Vielzahl von medizinischen Zeitschrif-
ten.

8.2 Algebra wird zur selbstständigen mathematischen

Disziplin

Probleme und Methoden, die wir heute der Algebra zurechnen, hatten in
der mesopotamischen Mathematik, in Indien, in China, in der Antike und
besonders in der Renaissance eine bedeutende Rolle gespielt. Erinnert sei
nur an al-H

<w¯arizm¯ı, Ab¯u-l-Waf¯a c , Ab¯u K¯amil und al-Karaˇg¯ı, an Leonardo

Fibonacci, Stevin, Recorde, Nunes, Chuquet, die Cossisten (vgl. Kapitel 5
und 7). Die Beweise für die Lösungen algebraischer Gleichungen waren freilich
im Allgemeinen geometrisch erfolgt.

Die entscheidende Wendung der Dinge, die den Übergang zur selbststän-
digen Disziplin Algebra nach sich zog, war der Schritt von der geometrischen

Lösung von Gleichungen dritten und vierten Grades zur rechnerischen Auf-
lösung in Formelgestalt. Dieser wesentliche Fortschritt über die antike und
muslimische Mathematik hinaus verbindet sich mit den Namen Scipione del

8.2 Algebra wird zur selbstständigen mathematischen Disziplin

387

Ferro (1463?–1526), Niccolò Tartaglia (1506–1559), Girolamo Cardano (1501–

1576) und Rafael Bombelli (1526–1572), (ausführlich in [Alten et al. 2003]).

Übrigens gewähren die Auseinandersetzungen um die algebraische Lösung
der kubischen Gleichung auch Einblicke in die soziologisch bedingten Span-
nungen zwischen der Universitätswissenschaft und dem artifici-Wissen jener

Zeit.

Scipione del Ferro

Um 1516 dürfte Scipione del Ferro, der als Mathematikprofessor in Bologna
tätig war, die algebraische Lösung der Gleichung dritten Grades vom Typ
x 3 + ax = b gefunden haben [Ore 1935], [Stillwell 1989]. Von dort gelangte
das Verfahren an seinen Schwiegersohn und Nachfolger Annibale della Nave.

Ein Schüler von del Ferro, Antonio Maria Fior, auch Mathematiker, ging nach

Venedig und forderte, den Gewohnheiten der Zeit entsprechend, den dort wir-
kenden Rechenmeister, Büchsenmeister und Mathematiker Niccolò Tartaglia
im Jahre 1535 zu einem öffentlichen Wettbewerb heraus. Er legte Tartaglia
dreißig Aufgaben vor; der Text ist erhalten geblieben. Einige Beispiele:

„ Dies sind die dreißig Probleme, die ich, Antonio Maria Fior, Dir,

Meister Niccolò Tartaglia gestellt habe.

1. Finde mir eine Zahl derart, dass, wenn ihr Kubus addiert wird,
das Resultat sechs ist, d. h. 6. (Führt auf x 3 + x = 6)

2. Finde mir zwei Zahlen in doppelter Proportion derart, wenn das

Quadrat der größeren Zahl multipliziert wird mit der kleineren,
und wenn dieses Produkt zu den zwei ursprünglichen Zahlen ad-
diert wird, das Ergebnis vierzig sein wird, d. h. 40. (Führt auf

4 x 3 + 3 x = 40) ( . . . )

3. Ein Mann verkauft einen Saphir für 500 Dukaten und macht
einen Gewinn in der dritten Potenz seines Kapitals. Wie groß
ist dieser Profit? “(Führt auf x 3 + x = 500)

[The History of Mathematics 1990, S. 254 (englisch), dt. Übersetzung

Wg]

Erst in allerletzter Minute, in der Nacht vom 12. zum 13. Februar, fand

Tartaglia die Lösung und gewann so den Wettbewerb.

Niccolò Tartaglia

Eigentlich dürfte er Fontana geheißen haben. Der Name „Tartaglia“ (der Stot-
terer) entstand dadurch, dass der Junge während der Plünderung von Bres-
cia, seinem Geburtsort, durch französische Truppen so verletzt wurde, dass
er stottern musste und die Behinderung lebenslang behielt. Übrigens hatte

388

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution
er, der zu einem der bedeutenden Gelehrten heranwuchs, eine schwere Ju-
gend. Als er 16 Jahre alt war, sollte er mit dem Alphabet vertraut gemacht
werden, jedoch reichte das Schulgeld nur bis zum Buchstaben K. Er stahl ein

Lehrbuch, bildete sich autodidaktisch weiter und lernte sogar Latein.

Tartaglia wandte sich nach Venedig, hielt öffentliche Vorlesungen über

Mathematik in einer Kirche und publizierte als weitreichende Neuerung wis-
senschaftliche Arbeiten in italienischer Sprache – u. a. über Euklid und die

Abhandlung von Archimedes über schwimmende Körper. Bei einem Probe-
schießen fand er heraus, dass das Geschoss bei einem Erhebungswinkel von

45 ◦ für das Geschützrohr am weitesten fliegt.

Der in Mailand wirkende Professor der Medizin, Cardano, selbst ein mit

Mathematik Wohlvertrauter, hatte trotz aller Bemühungen die rechnerische

Auflösung der kubischen Gleichung nicht finden können. Als er von Tartaglias

Erfolg hörte, bedrängte er ihn, er solle ihm die Lösung verraten. Schließlich
traf man sich in Mailand, und Tartaglia gab Cardano die Lösungsformel für
spezielle Fälle kubischer Gleichungen, allerdings ohne Beweise und verlang-
te das hoch und heilige Versprechen von Cardano, er werde das Verfahren
niemals an andere weitergeben.

Doch Cardano brach sein Versprechen und veröffentlichte Tartaglias Er-
gebnisse in seinem bedeutenden Buch Artis magnae, sive de regulis algebrai-
cis(Die große Kunst oder über die Regeln der Algebra). Cardano stellte die

Affäre in Kapitel I der „ Ars magna“ folgendermaßen dar:

„ In unseren Tagen hat Scipione del Ferro aus Bologna den Fall ge-
löst, dass der Kubus und die erste Potenz (der Unbekannten, Alten)

gleich einer Konstanten sind – eine sehr elegante und bewundernswer-
te Lösung (. . . ) Um nicht übertroffen zu werden, löste mein Freund

Niccolò Tartaglia im Wetteifer mit ihm denselben Fall, als er sich im

Wettkampf mit seinem [Scipionis] Schüler Antonio Maria Fior be-
fand, und gab es (die Lösung, A.) mir auf viele Bitten hin. Denn ich
war durch die Worte Luca Pacciolis getäuscht worden, der bestritt,
dass irgendeine allgemeinere Regel als seine eigene entdeckt werden
könne. Ungeachtet der vielen Dinge, die ich schon entdeckt hatte, wie
wohl bekannt ist, hatte ich aufgegeben und mich nicht bemüht, noch
weiter zu suchen. Dann jedoch, als ich Tartaglias Lösung erhalten
hatte und nach einem Beweis suchte, erkannte ich, dass es noch sehr
viele andere Dinge gab, die man finden könnte. Als ich diesen Gedan-
ken mit wachsender Zuversicht verfolgte, entdeckte ich diese anderen

Dinge, zum Teil selbst, zum Teil durch Lodovico Ferrari, meinen frü-
heren Schüler (. . . ). Die Beweise, außer den dreien von Mohammed

(Muh.ammad ibn Musa al-H

<w¯arizm¯ı, A.) und den beiden von Lodovi-
co, sind alle von mir. “

[Cardano, Ars magna, fol. 3, dt. Übersetzung Alten] (vgl. ferner [Kat-
scher 2001])

8.2 Algebra wird zur selbstständigen mathematischen Disziplin

389

Abb. 8.2.1

Girolamo Cardano, Niccolò Tartaglia [Wikimedia Commons]

Historiker führen als Entschuldigung für Cardano an, er habe möglicherweise,
in Kenntnis von Scipione del Ferros Leistung Tartaglia als Plagiator empfun-
den. Wie dem auch sei: Tartaglia war wütend über den Vertrauensbruch.

Es stand Universitätswissenschaft gegen das Wissen der Artifici; der Streit
beschäftigte ganz Italien.

Auch Tartaglia ist auf den Streit eingegangen. Schon 1539 hat er von
seinem Treffen mit Cardano berichtet. Schließlich gab Tartaglia in seinen
teilweise autobiographisch gehaltenen Quesiti et inventioni diverse (Verschie-
dene Fragen und Erfindungen) von 1546 den Schwur von Cardano wieder, das

Geheimnis zu bewahren. Dort heißt es unter anderem:

Cardano: „Zweifelt nicht, dass ich mein Versprechen halten werde. . . “

Tartaglia: „Nun bitte, vergesst es nicht.“

[Tartaglia, Quesiti et inventioni diverse 1546, S. 120–122; dt. Übers. A.]

Tartaglia hatte, wie gesagt, Cardano ohne Beweise die rechnerischen Wege
zur Auflösung der kubischen Gleichungstypen x 3 + ax = b bzw. x 3 = ax + b
überlassen, übrigens in Gedichtform [Gericke 1992, S. 227]. Die Grundidee
besteht darin, zwei Hilfsgrößen u und v mit den Beziehungen u − v = b und

√

√
uv = ( a 3)3 einzuführen. Die Lösung besitzt dann die Form x = 3 u − 3 v.

Mit Rücksicht auf den historischen Befund sollte man nicht von der Car-
danoschen Lösungsformel sprechen. Cardano war zu 23 Fallunterscheidungen
gezwungen, weil er nur positive Koeffizienten verwenden konnte. Er vermoch-
te jedoch, alle kubischen Gleichungen auf zwei Typen zu reduzieren. Da wir
heute auf diese Beschränkung verzichten können, ergibt sich die sog. Carda-
nosche Lösungsformel.

390

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Girolamo Cardano

Die Lebensgeschichte von Cardano (1501–1576) liest sich hochinteressant

[Stillwell 1989, S. 61/62]. Er stammt aus Padua und starb in Rom. Der Vater
war Rechtsanwalt und Arzt. Der Sohn begann 1520 das Medizinstudium in

Pavia und promovierte 1526 in Padua. Da er von unehelicher Geburt war,
hatte er anfangs Schwierigkeiten, wurde aber schließlich ein hochgeschätzter

Arzt in Mailand. Spektakulär war die Heilung des Erzbischofs John Hamilton
von Schottland, der schwer unter Asthma litt. Cardano fand durch Beobach-
tung heraus, dass Bettfedern an allergischen Reaktionen die Schuld trugen;
anderes Bettzeug aus Seide und Leinen führte zur sofortigen Besserung [Katz

1993]. Die Interessen des hoch angesehenen Arztes erstreckten sich auch auf

Mathematik und Probleme des Glücksspieles. Im Privaten traf es ihn mehr-
fach hart: Ein Onkel wurde vergiftet; dagegen scheiterten Versuche, Cardano
und seinen Vater zu vergiften. Seine Frau starb 1546. Sein ältester Sohn wur-
de enthauptet, da er seine Frau vergiftet hatte. Cardano ging nach Bologna,
aber dort wurde sein Schüler Ferrari von dessen Schwester vergiftet. Es war
die Zeit der berühmtesten Giftmischerin Lucrezia Borgia.

Ein Jahr vor seinem Tode gab Cardano eine Art Autobiographie heraus,

De vita propria liber (Das Buch des eigentlichen Lebens). Auf Tartaglia geht
er nur mit der kümmerlichen Bemerkung ein, er habe von ihm nur „einige
wenige Anregungen“ erhalten. Die Ars magna war trotz des Beigeschmackes
von Vertrauensbruch ein wegweisendens Buch, eine Art Standardwerk bis in
die Zeit der Schriften von Vieta und Descartes. Die erste Auflage erschien

1545 bei Johann Petreius in Nürnberg, sogar mit einer Widmung von An-
dreas Osiander, der zwei Jahre zuvor das das Weltbild verändernde Werk De
revolutionibus von Nicolaus Copernicus ebenfalls in Nürnberg herausgebracht
hatte. Weitere Auflagen der Ars magna erschienen 1570 und 1663.

Über die von Cardano verwendete Terminologie unterrichtet [Struik 1969];
hier nur soviel: für die Unbekannte schreibt er res (lateinisch) und cosa (ita-
lienisch). In Kapitel 11 der Ars magna behandelt Cardano die Gleichung vom

Typ x 3 + ax = b und beschreibt den Rechengang folgendermaßen:

„ Bilde die dritte Potenz von einem Drittel des Koeffizienten der Un-
bekannten; addiere dazu das Quadrat der Hälfte des konstanten Glie-
des der Gleichung; und nimm die Wurzel aus dem Ganzen, d. h. die

Quadratwurzel. Bilde sie zweimal. Zur einen addiere die Hälfte der

Zahl, die du schon mit sich multipliziert hast; von der anderen sub-
trahiere dieselbe Hälfte. Du hast dann ein Binom (Summe zweier

Ausdrücke, A.) und seine Apotome (deren Differenz, A.). Dann sub-
trahiere die Kubikwurzel aus der Apotome von der Kubikwurzel aus
dem Binom. Der dabei übrig bleibende Rest ist der Wert der Sache

(der Unbekannten, A.).“ [Cardano 1545, fol. 30, dt. Übers. A.]

Der Lösungsweg von Cardano wird nachgezeichnet in [Alten et al. 2003,

S. 258ff.].

8.2 Algebra wird zur selbstständigen mathematischen Disziplin

391

Abb. 8.2.2

Titelblatt der Ars magna, sive de regulis algebraicis

[Girolamo Cardano, Nürnberg 1545]

392

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Auflösung von Gleichungen vierten Grades

War die im Druck vermittelte rechnerische Auflösung der kubischen Glei-
chung schon eine große Neuheit, so erregte die Auflösung der Gleichung
vierten Grades, wie sie in der Ars magna angeboten wurde, erst recht die

Aufmerksamkeit der Mathematiker. Sie stammt von Lodovico Ferrari (1522–

1565). Darauf geht Cardano in Kapitel 29 ein und redet von einer

„ Regel, besser als die vorangehende. Es ist die von Lodovico Ferrari,
der sie mir auf meine Bitte gab. Durch sie haben wir all die Lösungen
für Gleichungen mit der vierten Potenz, dem Quadrat, der ersten

Potenz (der Unbekannten, A.) und der Zahl (dem Konstanten Glied,

A.) oder aus der vierten Potenz, dem Kubus, dem Quadrat und der

Zahl (. . . )“

[Cardano 1545, fol. 73, dt. Übers. A.], ausführlich in [Alten et al. 2003,

S. 261ff.]

Wie bei der kubischen Gleichung wird durch Transformation der Variablen
das zweithöchste Glied beseitigt. Der Grundgedanke besteht darin, eine Be-
ziehung zwischen zwei Quadraten herzustellen, zusammen mit einer kubi-
schen Hilfsgleichung in einer neu eingeführten Unbestimmten. Die Lösung
besteht in einer Quadratwurzel aus einer Summe von dritten Wurzeln.

Bemerkenswerterweise lässt Cardano auch negative Zahlen als Lösungen
zu. Dabei musste er auf das Problem einer Quadratwurzel aus negativen

Zahlen stoßen. Es findet sich dort eine geheimnisvolle, unklare Bemerkung:

„So schreitet Arithmetik scharfsinnig voran. Das Ende davon ist, wie gesagt,
so raffiniert, wie es unnütz ist.“ [Cardano 1545, fol. 66, dt. Übers. A.]

Rafael Bombelli

Als hätte Cardano die kommende Entwicklung schon im Auge gehabt, wurde
die Fragestellung nach Quadratwurzeln aus negativen Zahlen – wir sprechen
von imaginären bzw. komplexen Zahlen – alsbald aufgegriffen und korrekt
und konkret behandelt.

Der Ingenieur Rafael Bombelli (1526–1572), der sich große Verdienste um
die Entwässerung von Sümpfen erworben hatte, fand, dass die Mathematiker
nicht tief genug in diese Problematik eingedrungen seien, insbesondere habe

Cardano den Stoff schlecht dargestellt. So kam er zu dem Entschluss, seiner-
seits seine neuen Erkenntnisse niederzuschreiben. Das geschah zwischen 1557
und 1560. Sein Werk L’Algebra erschien in drei Büchern 1572 in Bologna.

Zwei weitere Bücher wurden erst 1929 aus dem Nachlass herausgegeben.

Bombelli hatte Gelegenheit gehabt, ein Manuskript von Diophant einzu-
sehen. Dies geht aus einem auch sonst lesenswerten, historisch gehaltenem

Vorwort hervor: „. . . , aber nur bei ihm (Diophant) begegnet man einer per-
fekten Arbeitsweise, im Unterschied zu anderen Autoren“ (vgl. ausführlich

[Alten et al. 2003, S. 264f.]).

8.2 Algebra wird zur selbstständigen mathematischen Disziplin

393

Abb. 8.2.3

Titelblatt von L’Algebra [Rafael Bombelli, Zweite Auflage 1579]

394

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Bombelli gebrauchte eine neuartige Bezeichnungsweise: Für Wurzeln aus
negativen Zahlen, die weder positiv (er schreibt piu di oder p.d.) noch ne-

√
gativ (meno di oder kurz m.d.) sind, schreibt er p.d.m.11 für + − 121, und

√
m.d.m.11 bedeutet − − 121. In moderner Schreibweise gibt Bombelli folgen-
de Rechenregeln:

(+1)( i) = + i ,

( − 1)( i) = −i , (+1)( −i) = −i ,

( − 1)( −i) = + i ,

(+ i)(+ i) = − 1 , ( −i)(+ i) = +1 , (+ i)( −i) = +1 ,

( −i)( −i) = − 1 .

Bombelli führte auch Bezeichnungen für Quadrat- und Kubikwurzeln und
eine Art von Kubikwurzeln ein, die sich von früheren unterscheiden. Diese
haben ihre eigenen Rechenregeln und einen neuen Namen, wenn sie weder
positiv noch negativ sind [Katz 1993, S. 235]. Auch fand Bombelli, dass sich
die imaginären Bestandteile bei Anwendung der Cardanoschen Formel weg-
heben, wenn die Kubikwurzeln „ausziehbar“ sind [Hofmann I, 2. Aufl. 1963,

S. 135]. Es wäre hier der Ort, auf die hochinteressante und spannende Ge-
schichte der mathematischen Bezeichnungen einzugehen, für die hier aller-
dings kein Platz ist. Dazu sei verwiesen auf [Cajori 1928/29], [Katz 1993],

[Kaunzner 1996].

Mit Bombelli bricht die Kette innovativer Mathematiker aus Italien (zu-
nächst) ab, wohl im Zusammenhang mit der Gegenreformation und der Be-
schneidung der Gedankenfreiheit. So verlagerte sich das Schwergewicht der

Fortentwicklung der Mathematik nach West- und Mitteleuropa.

François Viète (Franciscus Vieta)

Noch bis zum Ende des 16. Jahrhunderts bot sich die Algebra dar als eine

Ansammlung höchst geistvoller Regeln bei der Behandlung spezieller Proble-
me. Nun aber treten allgemeine Regeln und Symbole in den Vordergrund;

Algebra wird länderübergreifend zu einer weiteren mathematischen Disziplin
neben der Geometrie, die bis dahin weitgehend mit Mathematik gleichgesetzt
worden war.

Diese Wendung der Dinge wurde wesentlich durch François Viète (latini-
siert Vieta; 1540–1603) vorbereitet und damit der Weg für René Descartes

(1596–1650) geebnet. Wir werden sehen, dass durch ihn die Geometrie im
gewissen Sinne algebraisiert wird.

Vieta wurde 1540 in Fontenay-le-Comte als Sohn eines Juristen geboren.

Er studierte ebenfalls Jura (in Poitiers) und eröffnete in Fontenay eine erfolg-
reiche Anwaltspraxis. Sein Leben erfuhr eine durchgreifende Änderung, als er
sich in die Dienste von Antoinette und Jean Partenay begab. Deren wissbe-
gierige, damals elfjährige Tochter Catherine „verführte“ Vieta zu Astronomie
und Mathematik.

Im Jahre 1566 siedelte Vieta nach La Rochelle über und kam, obwohl
selbst Katholik, in Berührung mit kalvinistischen Kreisen und das zu einer

Zeit, als sich Frankreich in erbitterten Glaubensauseinandersetzungen be-
fand. Er machte die Bekanntschaft mit Heinrich von Navarra, der nach dem

8.2 Algebra wird zur selbstständigen mathematischen Disziplin

395

Übertritt zum Katholizismus – „ Paris ist eine Messe wert “ – als Heinrich IV.

König von Frankreich wurde. 1571 ging Vieta als „avocat au parlement“ nach

Paris und machte sich dort mit einigen Mathematikern bekannt, u. a. mit Pe-
trus Ramus (1515–1572). In Paris wurde Vieta Zeuge der Bartholomäusnacht,
als Katholiken ein Massaker unter den Protestanten anrichteten. Auch Pe-
trus Ramus wurde getötet. Vieta war mehrfach zu Ortswechseln gezwungen;
einige Zeit war ihm sogar der Aufenthalt bei Hofe verboten.

Als König Heinrich II. seinen Hof nach Tours verlegt hatte, war Vieta
herangezogen worden, um gegnerische Korrespondenz zu dechiffrieren. Nach
der Ermordung von Heinrich III. (1589) trat Vieta in die Dienste von Heinrich

IV. und lebte in Paris. Aus gesundheitlichen Gründen schied Vieta aus dem

Staatsdienst aus und starb 1603 in Paris.

Das mathematische Opus von Vieta ist umfangreich und breit gefächert;
manches blieb Manuskript oder konnte erst postum erscheinen. Von Vieta
stammt ein „ Canon mathematicus . . . “ (seit 1571), der u. a. Tabellen al-
ler sechs trigonometrischen Funktionen nebst einer Darlegung der ebenen
und sphärischen Trigonometrie enthält. Weitere spezielle Untersuchungen be-
treffen u. a. Näherungskonstruktionen für das reguläre Siebeneck, unendliche

Reihen, Widerlegungen angeblicher Kreisquadraturen und die geometrische

Behandlung des casus irreducibilis bei der Gleichung dritten Grades. Man
nimmt an, dass er mit dem später nach Moivre benannten Satz vertraut
war. Allerdings war Vieta Gegner des Weltsystems von Copernicus und der

Gregorianischen Kalenderreform.

Was die Algebra betrifft, so sollen folgende Werke genannt werden (vgl.

die Auflistung in [Reich/Gericke 1973, S. 12–20]):

1. In artem analyticem Isagoge (1591)

2. Zeteticorum libri quinque (1593)

3. De aequationum recognitione et emendatione Tractatus duo

(postum 1615)

4. Ad logisticam speciosam notae priores (postum 1631)

Die Titel dieser Arbeiten sind schwer zu übersetzen und zwar deshalb, weil
sich seit Vieta der Sprachgebrauch einiger Schlüsselworte verändert hat, bei-
spielsweise das Wort bzw. die Bedeutung von „Analysis“. Wörtlich genommen
heißt 1. etwa „Einführung in die analytische Kunst“. Da es sich aber inhalt-
lich um eine Einführung und um Begründung des algebraischen Rechnens,
der Buchstabenrechnung handelt, wählten K. Reich und H. Gericke den Titel

„Einführung in die Algebra“. Analog wird 4. zu „Formeln für das algebraische

Rechnen“. Bei den „Zeteticorum. . . “ – es leitet sich ab von dem griechischen
z¯
ete¯
o, suchen – handelt es sich um 5 Bücher mit Aufgaben, die mit Hilfe
der Buchstabenrechnung gelöst werden. In 3. findet sich der sog. Vietasche

Wurzelsatz für Gleichungen der Grade zwei bis fünf.

Die Isagoge beginnt mit einer überschwänglichen Widmung an Catherine.

Einige Passagen lauten:

396

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

„ Unermesslich sind die Wohltaten, die Ihr mir in Zeiten größten Un-
glücks erwiesen habt. (. . . ) Überhaupt verdanke ich Euch mein ganzes

Leben, (. . . ) insbesondere aber verdanke ich Euch (. . . ) das Studium
der Mathematik, zu dem mich Eure Liebe zu diesem Gegenstand und
die großen Kenntnisse, die Ihr in diesem Fach besitzt, angeregt haben

. . . “

[Reich/Gericke 1973, S. 34]

Er sei kein Scharlatan, aber die von ihm vorgetragene Kunst erlaube es, die

Lösungen aller mathematischen Probleme mit größter Sicherheit zu finden.

Vieta behielt mit seiner Skepsis Recht, dass sich seine Leser an der Vielzahl
von fremdartigen Fachwörtern und Kunstworten stoßen und diese ihnen die

Adaption seiner Methode erschweren würden.

Immerhin wird der Unterschied zwischen der alten und der neuen Auf-
fassung von Algebra deutlich ausgesprochen; es ist der Unterschied zwischen

Logistica numerosa und Logistica speciosa:

„ Die Logistica numerosa ist die, die durch Zahlen, die Logistica spe-
ciosa die, die durch die species oder formae rerum ausgeführt wird,
z. B. mit Hilfe der Elemente des Alphabets. “

[Reich/Gericke 1973, S. 44]

Eine zweite, entscheidende Stelle hat zum Inhalt die durchgängige

Verwendung von Buchstaben:

„ Damit diese Arbeit durch ein schematisch anzuwendendes Verfah-
ren unterstützt wird, mögen die gegebenen Größen von den gesuchten
unbekannten unterschieden werden durch eine feste und immer gleich
bleibende und einprägsame Bezeichnungsweise, wie etwa dadurch, daß
man die gesuchten Größen mit dem Buchstaben A oder einem ande-
ren Vokal E, I, O, U, Y, die gegebenen mit den Buchstaben B, G, D
oder anderen Konsonanten bezeichnet. “

[Reich/Gericke 1973, S. 52]

Nun sind allgemeingültige Formeln möglich. Die Symbole können Zahlen
bedeuten, aber auch andere Größen, z. B. Strecken oder Winkel. Vieta be-
nutzt die Zeichen + und −, aber noch nicht das Gleichheitszeichen = von

Recorde. Stattdessen drückt er die Gleichheit mit den Worten aequabitur
oder aequale aus. Zwar verwendet er Bruchstriche und geschweifte Klam-
mern, die Multiplikation aber wird nach alter Gewohnheit mit in bezeichnet.

Dazu tritt eine hoch entwickelte Umformtechnik, verbunden mit der Einsicht,
dass Ausdrücke äquivalent sind, die lediglich umgeformt sind.

Vieta führt eine Reihe von Umformungen von Gleichungen an und be-
weist, dass – modern gesprochen – diese Umformungen äquivalente Glei-
chungen liefern. Nach diesen und anderen theoretischen Überlegungen Vie-
tas in der „Isagoge“ publizierte er 1593 (zwei Jahre nach der „Isagoge“) die

8.2 Algebra wird zur selbstständigen mathematischen Disziplin

397

Abb.

8.2.4

Titelblatt des Buches „de aeqvationvm recognitione et
emendatione tractatus dvo“ von F. Vieta, Paris 1615

[Bayerische Staatsbibliothek München]

Aufgabensammlung „Zeteticorum. . . “. Viele der Aufgaben schließen an Dio-
phant an: Vieta kann aber mit seiner Bezeichnungsweise die Überlegenheit
demonstrieren. (Vgl. die zusammenfassende Gegenüberstellung der Aufgaben
bei Vieta, Diophant und Bombelli [Reich/Gericke 1973, S. 93ff.]. Dabei hat
sich gezeigt, dass Vieta einen Zugang zu Diophant über Bombelli und über
einen weiteren Text gehabt haben muss.)

Der Vietasche Wurzelsatz hat die Form (man beachte die Bezeichnun-
gen!): Eine quadratische Gleichung in A: ( B + D) A−A 2 = BD hat die beiden

Lösungen B und D. Für Gleichungen dritten Grades ergibt sich: Wenn B, D
und G Lösungen sind, so gilt die Gleichung

A 3 − ( B + D + G) A 2 + ( BD + BG + DG) A = BDG .

398

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Isaac Newton als Algebraiker

Newton (1642–1727) gehört als Begründer der Fluxionsrechnung hauptsäch-
lich in die Geschichte der Infinitesimalmathematik und ganz besonders in
die Geschichte der Physik: Im Jahre 1687 war eines der bedeutendsten Wer-
ke der Menschheitsgeschichte erschienen, die Philosophiae naturalis principia
mathematica (etwa: Mathematische Prinzipien der Naturwissenschaft).

Aber Newton hat auch einen festen Platz in der Historiographie der Al-
gebra. Newton hat zwischen 1673 und 1683 wiederholt Vorlesungen zur Al-
gebra gehalten. Es ergab sich daraus 1707 eine Arithmetica universalis, eine
englischsprachige Fassung erschien 1720. Dort finden sich Methoden zum Lö-
sen von Gleichungen, Verfahren, um Teiler von Polynomen zu finden sowie

Untersuchungen über Wurzeln von Gleichungen. Von besonderem Interesse
sind seine Aussagen über die (elementar)symmetrischen Funktionen der Glei-
chungswurzeln im Anschluss an Vieta, aber nun in voller Allgemeinheit (vgl.

die Anthologie von [Struik 1969]).

Auch Newtons Klassifikation der Kurven dritter Ordnung sollte wenigs-
tens erwähnt werden; für Einzelheiten vgl. [Scriba/Schreiber 2. Aufl. 2005,

S. 333f.].

8.3 Analytische Geometrie

Die Bereitstellung algebraischer Methoden gehört zu den innermathemati-
schen historischen Voraussetzungen für die Herausbildung der analytischen

Geometrie. Eine ihrer historischen Wurzeln liegt also in der Entwicklung von
der Coß bis zu Vieta. Eine weitere historische Wurzel hat man in der Über-
nahme der antiken Kegelschnittlehre und deren Einordnung in neue Zusam-
menhänge zu erblicken.

Mit dem Anfang des 17. Jahrhunderts trat in der Lehre von den Kegel-
schnitten eine entscheidende Wende ein: Kegelschnitte waren in der Antike
eine gründlich studierte, aber eben eine bloß mathematische Angelegenheit
gewesen, ein bloßes gedankliches System, frei – abgesehen vom Kreis – von
astronomisch-physikalischen Bezügen. Nun aber erhielten die Kegelschnitte
mit der Entwicklung der Naturwissenschaften eine objektive Existenz: Ellip-
sen und Parabeln waren Bahnkurven wirklicher Bewegung von Himmelskör-
pern bzw. Geschossen. Alte Untersuchungsergebnisse wurden in ganz neue,
erweiterte wissenschaftliche Zusammenhänge hineingestellt. Die Folge war –
und man mag dies geradezu als historische Gesetzmäßigkeit betrachten – ein
erneuter bedeutender Aufschwung einer traditionellen wissenschaftlichen Dis-
ziplin.

Zu den Fortschritten der Kegelschnittlehre kann man auch die Bemühun-
gen von Fermat rechnen, die Bücher V bis VII der Conica von Apollonios
zu rekonstruieren. Gregorius a Sancto Vincentio (1584–1667), ein Jesuit, be-
schäftigte sich mit einer zusammenfassenden Darstellung der Ergebnisse von

8.3 Analytische Geometrie

399

Apollonios und der neu erzielten Einsichten zur Kegelschnittlehre. Sein in den
zwanziger Jahren entstandenes Manuskript konnte wegen der Kriegswirren
des 30-jährigen Krieges erst 1647 zum Druck gelangen. Zu diesem Zeitpunkt
war sein Opus geometricum bereits überholt.

Die entscheidenden Schriften zur analytischen Geometrie waren schon ge-
schrieben bzw. sogar gedruckt. Sie stammten von Fermat und Descartes und
zeichneten sich durch die historisch notwendig gewordene Verschmelzung von

Algebra und Geometrie aus. Beide befassten sich um etwa dieselbe Zeit mit
ähnlichen Problemen. Heute steht fest, dass Descartes seine Ergebnisse frü-
her zum Druck bringen konnte (1637), dass aber Fermats erst 1679 aus dem

Nachlass veröffentlichte einschlägige Schrift schon vor 1637 niedergeschrieben
wurde. Außerdem bestanden wesentliche Unterschiede im Anliegen und in
den Methoden der beiden hauptsächlichen Begründer der analytischen Geo-
metrie. Descartes löste sich von den teilweise ungeschickten Bezeichnungen
der Vietaschen Algebra. Doch behielt er das der alten Geometrie verhaftete

Ziel noch bei, mittels geometrischer Methoden Gleichungen aufzulösen. Dem-
gemäß ist die neue Methode der analytischen Geometrie bei Descartes nur
sozusagen implizit vorhanden; man muss sie aus den von ihm durchgeführten

Beispielen herauslesen.

Fermat dagegen zielte auf eine gänzlich neue Behandlungsweise der Ke-
gelschnittlehre und darüber hinaus der Lehre von den geometrischen Örtern.

Dabei strebte er eine systematische, explizite Darlegung der neuen Methoden
an. Dagegen blieb er bei den Bezeichnungsweisen von Vieta stehen.

René Descartes (Cartesius)

Descartes wurde 1596 in La Haye (Touraine) geboren. Er war 32 Jahre jün-
ger als Galilei und 46 bzw. 50 Jahre älter als Newton bzw. Leibniz. Descartes
gehört also zu der mittleren Generation zwischen den Initiatoren und den

Vollendern der Wissenschaftlichen Revolution [Wußing 2002], in deren Ge-
folge sich die moderne Naturwissenschaft und die neuzeitliche Mathematik
der Variablen herausbildeten. Descartes nahm in diesem Prozess eine zentrale

Stellung ein, als Mathematiker, als Naturforscher mit seinen Beiträgen zur

Optik und zur Mechanik und als Schöpfer eines universellen Weltbildes, das
getragen war von einer auf Vernunft gegründeten Philosophie. Seine Zeitge-
nossen waren fasziniert von seinem Entwurf eines umfassenden Weltbildes. Es
bleibt hervorzuheben, dass Descartes – vermutlich als erster – den Begriff des

Gesetzes aus dem Rechtswesen und dem religiösen Bereich auf den der Natur
ausgedehnt hat, also den naturwissenschaftlichen Gesetzesbegriff geschaffen
hat. Die Natur läuft nach Gesetzen ab. Diese zunächst noch vorsichtig tas-
tende Wendung zum umfassenden Gesetzesbegriff lässt sich im Discours de
la méthode (Abhandlung von der Methode) nachlesen; schließlich spricht er
von „bestimmten Gesetzes, die Gott in der Natur fest begründet hat“ und vom

„Zusammenhang dieser Gesetze in der Natur.“ [Descartes 1980, S. 37]

Descartes stammte aus dem französischen Berufsadel. Der junge Descartes
wurde in dem auf hohem wissenschaftlichem Niveau stehenden Jesuitenkolleg

400

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

La Flèche erzogen, an dem auch Naturwissenschaften und Mathematik eine
große Rolle spielten. Trotz eines Studiums der Rechtswissenschaften schlug
er eine juristische Laufbahn aus und nahm – von 1617 bis 1621 – als eine

Art Beobachter an einigen Feldzügen während des Dreißigjährigen Krieges
teil. Dabei benutzte er sich bietende Gelegenheiten, um mit bedeutenden

Gelehrten in Verbindung zu kommen, u. a. mit I. Beeckman (1588–1637),
mit Stevin (1548–1620) und möglicherweise mit dem deutschen Mathematiker

Johannes Faulhaber (1580–1635). Im Winter 1619/20 erfuhr Descartes eine

„Erleuchtung“ bei der Suche nach einer wahrhaftigen Philosophie; zum Dank
führte ihn eine Wallfahrt nach Rom.

Descartes war zeitlebens scheu und zurückhaltend und pflegte zurückgezo-
gen zu leben. Einer seiner Wahlsprüche lautete: „ Bene vixit, qui bene latuit.“

(Gut hat gelebt, wer sich gut verborgen gehalten hat). Dieser Ausspruch geht
auf den römischen Dichter Ovid zurück. Nach einem Aufenthalt in Paris, der
ihn immerhin in Berührung zu einem sich um Marin Mersenne (1588–1648)

formierenden Kreis französischer Naturforscher gebracht hatte, nahm Descar-
tes schließlich 1628/29 Aufenthalt in den republikanischen Niederlanden, in
der Hoffnung, dort größere Gedankenfreiheit zu finden als im royalistischen,
von Glaubenskämpfen zerrissenen Frankreich. Ihm schwebte eine umfassende

Beschreibung des Universums unter dem Titel Le Monde (Die Welt) vor, die
die Bildung der Himmelskörper und der Erde, die Entstehung des tierischen
und menschlichen Körpers und schließlich sogar das Wechselspiel zwischen

Körper und Denken erklären sollte.

Abb. 8.3.1

René Descartes, Gemälde von Frans Hals 1648, Musée du Louvre,

Paris [Wikimedia Commons]

8.3 Analytische Geometrie

401

Abb. 8.3.2

Königliche Embleme am Tor zum schwedischen Königshof [Foto Alten]

Anfang der dreißiger Jahre wurde auch in den Niederlanden die Verur-
teilung (1633) von Galilei bekannt; an der Universität Lüttich wurde die

Erörterung der copernicanischen Lehre untersagt. Daraufhin hielt Descartes
die Veröffentlichung von Le Monde zurück. Er entschloss sich lediglich zur –
anonymen – Publikation eines relativ ungefährlichen Teiles, einer Methoden-
lehre, unter dem Titel Discours de la méthode (Abhandlung von der Methode;

1637). Aber selbst der „Discours“ brachte Descartes in ernsthafte Schwierig-
keiten. Ein Professorenkolloquium in Utrecht verwarf 1642 seine Philosophie
als im Widerspruch zur offiziellen Theologie stehend. Die Schriften von Des-
cartes wurden 1663 sogar auf den päpstlichen Index der verbotenen Schriften
gesetzt.

Schließlich folgte Descartes einer Einladung der schwedischen Königin

Christine an den Hof nach Stockholm, um die hochgebildete Herrscherin in

Philosophie zu unterweisen und in Stockholm eine Akademie zu gründen.

Im Oktober 1649 traf Descartes in Stockholm ein. Seine Pflichten waren be-
schwerlich: Um fünf Uhr morgens hatte er sich zum Unterricht bei der Königin
einzufinden und das im strengen skandinavischen Winter. Descartes zog sich
eine schwere Erkältung zu und verstarb am 11. Februar 1650.

402

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Abb. 8.3.3

Titelblatt des Buches Discours de la méthode [René Descartes 1637]

8.3 Analytische Geometrie

403

Der „Discours “gehört zu den Marksteinen in der Herausbildung der mo-
dernen Naturwissenschaft und Mathematik, sowohl im Allgemeinen als auch
im Speziellen.

Der „Discours“ enthält drei Anhänge, gedacht als Probe auf seine philoso-
phische Methode, einen über Meteore und Himmelserscheinungen, einen über

Dioptrik und einen über Geometrie. Dieser dritte Teil ist für die Geschichte
der Mathematik von außerordentlicher Bedeutung und zwar für die Entste-
hung der analytischen Geometrie. Scriba/Schreiber verweisen darauf, dass
entsprechende Grundgedanken in klarer Form bereits 1628 in den Regulae ad
directionem ingenii (Regeln zur Leitung des Verstandes) von Descartes for-
muliert wurden, allerdings erst postum gedruckt [Scriba/Schreiber, 2. Aufl.

2005, S. 329].

Auch die mathematische Leistung von Descartes entsprang seiner ratio-
nalistischen Philosophie. Es ging um klare Begriffe, um scharfe Definitionen
und um einprägsame Bezeichnungen. So ist es verständlich, dass er sich des
neuen Werkzeuges der symbolischen Algebra bediente, das größere Klarheit
und mehr Sicherheit beim Gebrauch von Begriffen und bei Rechnungen er-
möglichte. So wurde Descartes seinerseits zum Wegbereiter mathematischer

Symbolik. Auf ihn geht die Gepflogenheit zurück, die Variablen mit den letz-
ten Buchstaben des Alphabetes x, y, z zu bezeichnen. Er verwendete durchge-
hend die Zeichen + und −, die heutige Potenzschreibweise und das Quadrat-
wurzelzeichen, allerdings ohne den Querstrich. Auch fehlt bei ihm noch das
heutige, auf Recorde zurückgehende Gleichheitszeichen =. Stattdessen ver-
wendete er eine Abkürzung des Wortes aequatur – eine Zusammenziehung
der Buchstaben a und e.

Die Grundvorstellung der analytischen Geometrie ist noch relativ einfach.

Eine Schar paralleler, nicht notwendig äquidistanter Geraden, schneidet auf
einer Geraden, die nicht parallel zu denen der Schar liegt, Strecken ab, die
von einem Anfangspunkt A an gemessen werden. Auf jeder der Parallelen

Abb. 8.3.4

Zur Grundvorstellung der analytischen Geometrie bei Descartes

404

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution
der Schar liegt eine Strecke; ein Endpunkt befindet sich auf der ausgezeich-
neten Geraden. Wenn nun eine von Scharparallele zu Scharparallele sich nicht
ändernde Beziehung zwischen den von A aus gemessenen Strecken und den

Strecken auf den Parallelen besteht, dann hat man in dieser Beziehung eine

Gleichung einer Kurve. Die Wortverbindung „Gleichung einer Kurve“ tritt
bei Descartes allerdings nur einmal auf. Descartes verfolgte das Ziel, eine
geometrische Basis für die Lösung algebraischer Probleme zu schaffen. Er
schrieb:

„ Alle Probleme der Geometrie können leicht auf einen solchen Aus-
druck gebracht werden, dass es nachher nur der Kenntniss der Länge
gewisser gerader Linien bedarf, um dieselben zu construiren.

Und gleichwie sich die gesammte Arithmetik nur aus vier oder fünf

Operationen zusammensetzt, nämlich aus den Operationen der Addi-
tion, der Subtraction, der Multiplication, der Division und des Aus-
ziehens von Wurzeln, welches ja auch als eine Art von Division
angesehen werden kann: so hat man auch in der Geometrie, um
die gesuchten Linien so umzuformen, dass sie auf Bekanntes führen,
nichts Anderes zu thun, als andere Linien ihnen hinzuzufügen oder
von ihnen abzuziehen; oder aber, wenn eine solche gegeben ist, die ich,
um sie mit den Zahlen in nähere Beziehung zu bringen, die Einheit
nennen werde, und die gewöhnlich ganz nach Belieben angenommen
werden kann, und man hat noch zwei andere, eine vierte Linie zu
finden, welche sich zu einer dieser beiden verhält, wie die andere zur

Einheit, was dasselbe ist, wie die Multiplication; oder aber eine vierte

Linie zu finden, welche sich zu einer der beiden verhält, wie die Ein-
heit zur anderen, was dasselbe ist wie die Division; oder endlich eine
oder zwei oder mehrere mittlere Proportionalen zu finden zwischen
der Einheit und irgend welchen anderen Linien, was dasselbe ist wie
das Ausziehen der Quadrat- oder Cubikwurzel u.s.w. – Und ich werde
mich nicht scheuen, diese der Arithmetik entnommenen Ausdrücke
in die Geometrie einzuführen, um mich dadurch verständlicher zu
machen. “

[Descartes 1894, S. 1f.]

Nehmen wir das Beispiel der Multiplikation:

„ Es sei zum Beispiel AB die Einheit und es wäre BD mit BC zu multi-
plicieren, so habe ich nur die Punkte A und C zu verbinden, dann DE
parallel mit CA zu ziehen und BE ist das Product der Multiplication“.

[Descartes 1894, S. 2]

Diese Passage klingt harmlos, enthält aber doch einen wesentlichen Fort-
schritt: Unter den mit Buchstaben bezeichneten Strecken AB, BD, usw. wer-
den nicht nur die geometrischen Strecken, sondern zugleich die den Strecken

(unter Zugrundelegung einer Einheit) entsprechenden Zahlenwerte verstan-
den).

8.3 Analytische Geometrie

405

Abb. 8.3.5

Multiplikation von Strecken nach Descartes

In diesem Sinne ist die geometrische Konstruktion von Strecken gleichwer-
tig mit dem Produkt zweier Zahlenwerte. Mehr noch: Ausdrücke wie a 2 , a 3
usw. stellen eine Zahl dar und bedeuten nicht nur Flächen- bzw. Raumin-
halte. Somit befreite sich Descartes – ähnlich wie zuvor Vieta – vom hem-
menden Prinzip der Dimensionstreue. Nach klassischer Auffassung wäre z.B.

√
der Ausdruck 3 a − bc 5 ganz sinnleer: Dritte Wurzeln kann man nur (als Be-
stimmung der Kantenlänge eines Würfels) aus Ausdrücken der Dimension 3
ziehen. Jetzt handelt es sich jedoch um das Wurzelziehen aus einer Zahl, die
nicht notwendig eine geometrische Bedeutung haben muss [Bos 2001].

Auf dieser theoretischen Basis traf Descartes die Unterscheidung zwischen
zwei wesentlichen Typen von Aufgaben:

1. „Bestimmte Aufgaben“. In unserer Sprechweise bedeutet das die Auflö-
sung von algebraischen Gleichungen durch geometrische Konstruktion.

2. „Unbestimmte Aufgaben“. Wir würden heute von der Konstruktion geo-
metrischer Örter bzw. von der Abhängigkeit von Variablen sprechen.

Der erste Fall tritt ein, wenn man „genau soviel Gleichungen aufstellen“ kann
wie man „gesuchte Linien“ hat; hat man weniger Gleichungen als gesuchte

Linien, so handelt es sich um eine unbestimmte Aufgabe.

La Géométrie mündet in einen dritten Teil, in dem Descartes sozusa-
gen die algebraischen Früchte seiner geometrisch-analytischen Untersuchun-
gen erntet. Er unterschied bei Gleichungswurzeln zwischen „wahren“ (d. h.

positiven) und „falschen“ (d. h. negativen) Lösungen. Er sprach davon, dass
es Gleichungen n-ten Grades mit n Lösungen gibt, aber er bezog keine kla-
re Haltung zu dem 1629 von Albert Girard (1595–1632) formulierten, wenn
auch nicht bewiesenen Fundamentalsatz der Algebra.

„ Wisset also, dass für eine Gleichung so viele verschiedene Wurzeln,
d. h. Werthe der unbekannten Größe existiren können als diese unbe-
kannte Grösse Dimensionen hat; . . . “ [Descartes 1894, S. 69]

406

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Descartes wusste, dass jede ganzzahlige Lösung einer algebraischen Glei-
chung mit ganzzahligen Koeffizienten das absolute Glied teilt. Ferner formu-
lierte er die folgenden Regeln (eine schwache Form der sog. Cartesischen Zei-
chenregeln): Die Anzahl der positiven Wurzeln einer algebraischen Gleichung
ist höchstens gleich der Anzahl der Vorzeichenwechsel der Koeffizienten. Die

Anzahl der negativen Wurzeln ist höchstens gleich der der Zeichenfolgen der

Koeffizienten.

„ Ferner lässt sich . . . feststellen, wie viele wahre und wie viele falsche

Wurzeln eine Gleichung haben kann; es können nämlich so viele wahre

Wurzeln vorhanden sein als die Anzahl der Wechsel der Vorzeichen

+ und − beträgt, und so viele falsche, wie oft zwei Zeichen + oder
zwei Zeichen − aufeinander folgen. “

[Descartes 1894, S. 70]

Diese Regeln sind richtig; ein Beweis aber stammt erst von C.F. Gauß aus
dem Jahre 1826.

Fassen wir zusammen: Von einer entwickelten analytischen Geometrie
kann bei Descartes noch keine Rede sein. Es gibt z. B. kein explizit gehand-
habtes Koordinatensystem. Dennoch hat Descartes mit La Géométrie einen
bedeutenden, in die Zukunft weisenden Beitrag für die Mathematik geleistet.

Die Bezeichnung „Kartesische Koordinaten“ geht auf Leibniz und die Brüder

Jacob (I) und Johann (I) Bernoulli zurück.

Descartes erwähnt Cardano und „Scipio Ferreus“. Jedoch bleibt – wie u. a.

auch D. J. Struik in seiner Anthologie hervorhebt – das Verhältnis zu Vieta
unklar. Dies gilt auch für die Beziehung von Descartes zu dem englischen

Mathematiker und Astronomen Thomas Harriot (1560–1621). Dieser hatte,
vermutlich um 1610, die einflussreiche Artis analyticae praxis (gedruckt Lon-
don 1631) geschrieben. Sie nimmt in einigen Punkten die Gleichungslehre
von Descartes vorweg. Harriot verwendete das Gleichheitszeichen = und die

Zeichen < und > in unserer heutigen Bedeutung.

Mit der „Géométrie“ von Descartes wird ein grundlegendes Problem der

Mathematik, das „Konstruktionsproblem“, akzentuiert. Darauf kann hier
nicht eingegangen werden; verwiesen sei auf das tiefgründig angelegte Werk
von H. Bos: Redefining Geometrical Exactness [Bos 2001].

Wie man am Beispiel von Stevin erkennen kann, ist der ungewöhnlich
rasche Aufschwung der Mathematik in den Niederlanden – neben der Ent-
faltung einer blühenden Kultur – mit der engen Bindung an praktische Pro-
bleme (Handel, Bautätigkeit) während des Frühkapitalismus und des Befrei-
ungskampfes gegen die Habsburger verbunden [Struik 1981], [Maanen 1984].

In dieser aufnahmebereiten Situation erfolgten Adaption und Weiterführung
der damals neuesten Mathematik, insbesondere der „Géométrie“ von Descar-
tes. Eine Zentralfigur der damaligen niederländischen Mathematik war Frans
van Schooten (ca. 1615–1660). Er war mit Descartes befreundet, kannte die

Schriften von Vieta und Fermat, unterrichtete an der Leidener Ingenieurschu-

8.3 Analytische Geometrie

407
le und privat die Brüder Constantijn und Christiaan Huygens (1629–1695)

in Mathematik.

Van Schooten entwarf Figuren zum Discours de la méthode, veranstaltete
eine Vieta-Ausgabe und veröffentlichte – höchst folgenreich – 1649 eine kom-
mentierte lateinische Ausgabe der „Géométrie“. Descartes hatte französisch
publiziert; nun wurde das Werk erst richtig der Gelehrtenwelt zugänglich. Es
folgten 1659 und 1661 die „Géométrie“ in zwei Bänden, erweitert um neue
in den Niederlanden erzielte Forschungsergebnisse (vgl. ausführlich [Maanen

1984]).

Pierre de Fermat

Fermat ist eine der Zentralfiguren der Mathematik des 17. Jahrhunderts,
ja, er war vielleicht einer der bedeutendsten Mathematiker überhaupt. Er
gehört zu den Schrittmachern der Infinitesimalrechnung, leistete Beiträge zur

Wahrscheinlichkeitsrechnung und zur analytischen Geometrie.

Am berühmtesten wurden seine Beiträge zur Zahlentheorie. Erinnert sei
an den kleinen Fermatschen Satz, vor allem aber an den sog. großen Fermat-
schen Satz, dass die Gleichung xn + yn = zn für alle n ≥ 3 nicht in ganzen

Zahlen lösbar ist. Darüber, über die spektakulären Versuche zum Beweis die-
ses Satzes und den erst 1995 durch Andrew Wiles vollendeten Beweis, wird
in Bd. II berichtet werden.

Noch in anderer Weise hat Fermat die Zahlentheorie angeregt, freilich mit
einer falschen Behauptung. Er war der Meinung, dass jede Zahl

Z = 22 k + 1
für alle ganzen
k ≥ 0
eine Primzahl ist. Diese Aussage ist von Bedeutung für die Gaußsche Theorie
der Kreisteilung und für die Aussage, welche regulären Polygone mit Zirkel

Abb. 8.3.6

Der Große Fermatsche Satz (Frankreich 2001, Tschechien 2000). Das

Geburtsjahr ist falsch angegeben. Fermat wurde nach neueren Forschungen 1607
geboren

408

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution
und Lineal konstruierbar sind. Doch schon Euler bewies, dass 641 die Zahl

232 + 1 teilt, dass die Aussage also für k = 5 falsch ist. Mit Hilfe eines gewal-
tigen Aufwandes an Computern ist die Zahl 229 + 1 vollständig in Faktoren
zerlegt worden; sie hat 155 Stellen.

Soweit die Zwischenbemerkung über die spektakulären Beiträge Fermats
zur Zahlentheorie.

Nun zu „Fermat und die analytische Geometrie“. Man darf sich keine
übertriebenen Vorstellungen vom Reifezustand der analytischen Geometrie
bei Fermat machen. Fermat hat zur analytischen Geometrie eine kurze Ab-
handlung hinterlassen: Ad locos planos et solidos isagoge (Einführung in die
ebenen und körperlichen (geometrischen) Örter). Der Titel ist nach heutiger

Terminologie missverständlich. Bei den „körperlichen Örtern“ handelt es sich
nicht um analytische Geometrie des Raumes. Vielmehr übernimmt Fermat
die aus der Antike stammende Einteilung der geometrischen Örter in der Ebe-
ne: „ebene Örter“, d. h. Gerade und Kreis; „körperliche Örter“, d. h. Parabel,

Hyperbel, Ellipse; „lineare Örter“, d. h. alle anderen Kurven. Die linearen

Örter behandelt Fermat nicht. Er unterschätzte bei weitem die Schwierigkei-
ten, die sich dem Studium höherer Kurven entgegenstellen; er glaubte, dass
deren Studium auf das der Kegelschnitte reduziert werden könne. Erst viel
später, 1643 und 1650, hat Fermat diesen Irrtum korrigiert und ist außerdem
zu einigen gedanklichen Ansätzen einer analytischen Geometrie des Raumes
vorgestoßen.

Die Isagoge beginnt mit folgenden Worten:

„ Es ist kein Zweifel, daß die Alten sehr viel über Örter geschrieben
haben. Zeuge dessen ist Pappos, der zu Anfang des 7. Buches ver-
sichert, daß Apollonios über ebene, Aristaios über körperliche Örter
geschrieben habe. Aber wenn wir uns nicht täuschen, fiel ihnen die

Untersuchung der Örter nicht gerade leicht. Das schließen wir dar-
aus, daß sie zahlreiche Örter nicht allgemein genug ausdrückten, wie
man weiter unten sehen wird.

Wir unterwerfen daher diesen Wissenszweig einer besonderen und
ihm eigens angepaßten Analyse, damit in Zukunft ein allgemeiner

Zugang zu den Örtern offen steht. “

[Fermat 1923, S. 7]

Dann kommt ohne weiteren Übergang die entscheidende Stelle, in der das

Prinzip der analytischen Geometrie erstmals ausgesprochen wird:

„ Sobald in einer Schlußgleichung zwei unbekannte Größen auftreten,
hat man einen Ort, und der Endpunkt der einen Größe beschreibt
eine gerade oder krumme Linie (. . . ). Die Gleichungen kann man
aber bequem versinnlichen, wenn man die beiden unbekannten Grö-
ßen in einem gegebenen Winkel (den wir meist gleich einem Rechten
nehmen) aneinandersetzt und von der einen die Lage und den einen

Endpunkt gibt.“ [Fermat 1923, S. 7]

8.3 Analytische Geometrie

409

Beispielsweise wird die Gleichung der Geraden folgendermaßen behandelt

(zur Erinnerung: Fermat benutzt die Bezeichnungen von Vieta: Vokale be-
deuten Veränderliche, Konsonanten Konstante):

„ NZM sei eine der Lage nach gegebene Gerade, N eine fester Punkt
auf ihr. NZ sei die eine unbekannte Größe A, und die an sie unter
dem gegebenen Winkel NZI angesetzte Strecke ZI sei gleich der ande-
ren unbekannten Größe E. Wenn dann DA = BE, so beschreibt der

Punkt I eine der Lage nach gegebene Gerade. “

Dann kommt der Beweis:

„ Es ist nämlich B : D = A : E. Daher ist das Verhältnis von A zu E
fest, und da außerdem der Winkel bei Z gegeben ist, kennt man die

Form des Dreiecks NIZ und damit den Winkel INZ. Der Punkt N ist
aber gegeben und die Gerade NZ der Lage nach bekannt. Also ist die

Lage von NI gegeben. . . . “

[Fermat 1923, S. 7f.]

Noch eine Bemerkung zur Schreibweise: Statt der modernen Form DA = BE
schrieb Fermat

D in A aequatur B in E .

Analog bewies Fermat, dass eine Gleichung der Art AE = Z planum (das

Dimensionsproblem im Original von Fermat umgeht Tannery in seiner „mo-
dernen“ Ausgabe im 19. Jh. durch eine hochgesetzte II am Z) eine Hyperbel,

E 2 = DA eine Parabel, B 2 − A 2 = E 2 einen Kreis, A 2 + B 2 = E 2 eine Hyperbel darstellt. Insgesamt lieferte Fermat so einen im Wesentlichen vollständigen Beweis des folgenden Satzes:

„ Wenn (. . . ) keine der unbekannten Größen die zweite Potenz über-
schreitet, wird der Ort eben oder körperlich (. . . ) “

[Fermat 1923, S. 7]

Modern ausgedrückt: Kurven zweiter Ordnung stellen stets Kegelschnitte dar;
freilich kannte Fermat noch nicht die ausgearteten Fälle als solche.

Fermats Zielstellung läuft also darauf hinaus, die Identität eines durch
eine algebraische Gleichung definierten geometrischen Ortes mit schon be-
kannten Kurven nachzuweisen. Seine Methode besteht aber noch nicht darin,
aus der Gleichung der Kurve deren Eigenschaften herzuleiten.

Durchbildung der Methoden der analytischen Geometrie

Die Anerkennung der Methoden und der Denkweisen der analytischen Geo-
metrie vollzog sich in Etappen, teils wegen der Neuartigkeit der Ideen, teils
wegen der konsequenten Verwendung von Symbolen (ausführlich in [Scri-
ba/Schreiber, 2. Aufl. 2005, S. 331ff.]).

410

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Abb. 8.3.7

Johann van Waveren Hudde, Johan de Witt [Wikimedia Commons],

[Wikipedia.org]

Der „Discours“ von Descartes war anonym erschienen und in französischer

Sprache geschrieben, also der damaligen Gelehrtengesellschaft kaum zugäng-
lich. Abhilfe schuf eine Übersetzung 1649 ins Lateinische durch Frans van

Schooten (um 1615–1660); damit wurde der „Discours“ Studiengegenstand in
der holländischen Mathematikergruppe, bei Johan de Witt (1625–1672) und

Jan Hudde (1628–1704). Sie fügten zahlreiche Ergänzungen ein; erweiterte

Ausgaben des „Discours“ in zwei Bänden erschienen 1659/61, 1683 und 1695.

Fermats Arbeit hatte anfangs nur in Abschriften zirkuliert und wurde erst

1679 gedruckt.

Die durchgängige Verwendung von Koordinaten setzte sich allgemein
durch, wohl zuerst in der englischen Schule, etwa bei John Wallis. Er be-
handelte 1655 nach analytischer Methode die Lehre von den Kegelschnitten
und verwendete sogar negative Koordinaten.

Newton hat einen hervorragenden Beitrag zur Koordinatengeometrie ge-
leistet [Scriba/Schreiber, 2. Aufl. 2005, S. 332–335]. Er verwendete ebene und
räumliche Koordinaten in allen vier Quadranten. Die Benutzung von Polarko-
ordinaten eröffnete den Weg zur Verallgemeinerung des Koordinatenbegriffes,
auch hin zur Beschreibung von Kurven durch Parameterdarstellungen. New-
ton lieferte eine Klassifikation der Kurven dritten Grades in der Ebene und
gab 72 Typen an (sechs Newton bekannte, aber übergangene Typen wur-
den erst im 18. Jahrhundert wieder entdeckt). Diese Klassifikation wurde
erst 1704 als Anhang zu den Opticks von Newton publiziert. Geradezu aufre-
gend interessant sind die bildlichen Darstellungen der Kurven dritten Grades

(Ovale, Glockenkurven, Neilsche Parabel; vgl. [Newton: Mathematical Works,

Vol. IIa]).

8.4 Anfänge der projektiven Geometrie

411

Newtons Beispiel wirkte anregend. Man kann bei James Stirling (1692–

1770) und Colin Maclaurin (1698–1746) schon von algebraischer Geometrie
im Sinne der algebraischen Geometrie des 19. Jahrhunderts sprechen. Stirling
stellte z.B. 1717 fest, dass eine Kurve n-ten Grades im Allgemeinen durch
n( n + 3) / 2 Punkte fixiert ist. Maclaurin hält 1720 fest, dass eine Kurve n-ter

Ordnung und eine Kurve m-ter Ordnung im Allgemeinen m · n gemeinsame

Punkte haben.

Den nächsten großen Schritt auch in dieser Disziplin verdankt man Leon-
hard Euler (1707–1783), dem äußerst produktiven Schweizer Mathematiker
im zweiten Band der Introductio in analysin infinitorum (Einführung in die

Analysis der unendlich kleinen Größen) von 1748. Ihm gelang – nach einer

Formulierung in [Scriba/Schreiber, 2. Aufl. 2005, S. 335] – „ die Synthese al-
les Fruchtbaren aus beiden Schulen“, der französischen und der britischen.

Dort finden sich u. a. der allgemeine Begriff der Gleichung einer Kurve, die

Klassifikation der Kegelschnitte, die Kurven dritter und vierter Ordnung, die
algebraische Behandlung (ohne Differentialrechnung) der Tangenten, Norma-
len, Krümmung, Wendepunkte u. a. m. Im Anhang findet sich eine allgemeine

Theorie der Körper und ihrer Oberflächen und der Raumkurven (ausführlich
in [Scriba/Schreiber, 2. Aufl. 2005, S. 335f.]).

Der fachspezifische Ausdruck „analytische Geometrie“ stammt wohl erst
von Sylvestre François Lacroix (1765–1843), der ihn 1796/99 in seinem Lehr-
buch Cours de mathématiques verwendete. Die „Aufrüstung“ der analytischen

Geometrie mit weit reichenden algebraischen Hilfsmitteln – Determinanten,

Matrizen, Gruppen, Vektoren – erfolgte erst im 19. Jahrhundert.

8.4 Anfänge der projektiven Geometrie

Mit dem nach Pappos benannten Satz hatte die Antike einen Satz hervorge-
bracht, den wir heute der projektiven Geometrie zurechnen und gelegentlich
auch als Satz von Pappos-Pascal bezeichnen.

Eine kontinuierliche historische Entwicklung hin zu einer zusammenhän-
genden Disziplin „projektive Geometrie“ begann keimhaft während der Re-
naissance innerhalb der perspektivischen Methoden der Künstler. 1511 warf

Leon Battista Alberti (1404–1472) in seinem erst postum in Nürnberg ge-
druckten Trattato della pittura die Frage nach den gemeinsamen geome-
trischen Eigenschaften auf, die zwei in Perspektive zueinander stehende

Figuren haben (ausführlich in [Scriba/Schreiber, 2. Aufl. 2005, S. 346ff.],

[Peiffer/Dahan-Dalmedico 1994, S. 129ff.], [Loeffel 1987]).

Die eigentliche Fortführung dieser Ideen verdankt man dem französischen

Ingenieur und Architekten – aber im Mathematischen Autodidakt – Girard

Desargues (1591–1661). Er verband einerseits die Kegelschnittlehre mit den

Regeln der praktizierenden Künstler und suchte deren Techniken durch ma-
thematische Durchdringung zu verbessern. Sein Hauptwerk „Brouillon project

412

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Abb. 8.4.1

Titelbild des Werkes von Samuel Marolois (1628), auf dem die Haupt-
tätigkeiten der „Perspektiver“ dargestellt sind: Astronomie, Feldmesser, Architek-
tur, Militärwesen

8.4 Anfänge der projektiven Geometrie

413

Abb. 8.4.2

Figur zum Satz von Pappos: Liegen die Ecken eines Sechsecks ab-
wechselnd auf zwei Geraden, so schneiden sich die Gegenseiten in Punkten einer

Geraden

. . . “ (frei übersetzt: Erster Entwurf der Beschreibung der Ereignisse beim Zu-
sammentreffen eines Kegels mit einer Ebene) erschien 1639, aber nur in einer

Auflage von 50 Stück. Desargues verteilte die Exemplare an Mathematiker;
die Resonanz war – u. a. wegen der ungewöhnlichen Terminologie – gering.

Das Werk war lange verschollen; erst 1950 wurde ein Originalexemplar wieder
entdeckt.

Auf Desargues gehen direkt oder indirekt die Begriffsbildungen „un-
endlich ferner Punkt“, „harmonische Teilung“ und „Doppelverhältnis“ zu-
rück; der letzte Begriff wurde erst im 19. Jahrhundert durch A.F. Möbi-
us in moderner Formulierung in die Mathematik eingeführt. Auf Desar-
gues geht auch die Theorie der Polaren eines Punktes zurück (vgl. ausführ-
lich [Dhombres/Sakarovitch 1994], [Peiffer/Dahan-Dalmedico 1994, S. 131ff.],

[Field/Gray 1987]).

Blaise Pascal

Der am 19. Juni 1623 in Clermont geborene Blaise Pascal (1623–1662) führte
diese Ideen weiter. Sein Vater Etienne Pascal war ein hoher königlicher Fi-
nanzbeamter und stark an Mathematik interessiert. Er unterrichtete seinen

Sohn selbst und führte ihn nach der Umsiedlung nach Paris in den dort von

Mersenne gegründeten Kreis der sog. „Freien Akademie“ ein, einer losen, aber
effektiven Vereinigung von Gelehrten.

Schon früh trat die hohe Begabung des jungen Blaise für Mathematik zu

Tage. Als Zwölfjähriger hatte er sich bereits den Inhalt der „Elemente“ des

414

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Abb. 8.4.3

Pascalsches Sehnensechseck: a) allgemeiner Fall; b), c), d) Spezialfälle

Euklid angeeignet, studierte dann Apollonius und fand in Paris Zugang zu
den Ideen von Desargues zur projektiven Geometrie. Als Siebzehnjähriger trat
er 1640 mit seiner Erstaunen erregenden Abhandlung Essay pour les coniques
hervor, die bereits eine projektive Behandlungsweise der Kegelschnitte und
eigene Forschungsergebnisse enthält. Dort findet sich der berühmt gewordene

Pascalsche Kegelschnittsatz.

In moderner Sprechweise lautet der Satz von Pascal (vgl. Abb. 8.4.3):

Sind 1, . . . , 6 beliebige Punkte eines Kegelschnittes und bezeichnen 12, 23
usw. die entsprechenden Verbindungsgeraden, 12/45, 23/56 usw. die entspre-
chenden (eventuell uneigentlichen) Schnittpunkte dieser Geraden, so liegen

12/45, 23/56 und 34/61 auf einer (eventuell uneigentlichen) Geraden. Im
letztgenannten Fall sind die drei Geradenpaare paarweise parallel (wie in

Abb. 8.4.3d). (Ausführlich in [Scriba/Schreiber, 2. Aufl. 2005, S. 348f.])

Pascal hat nachfolgend ausführliche Studien zur Theorie der Kegelschnit-
te unternommen; Leibniz hat das Manuskript Traité des Coniques gesehen,
einiges vom Inhalt exzerpiert und dringend die Drucklegung empfohlen. Der

Sekretär der Royal Society, Henry Oldenburg (1618?–1677), hatte 1673 Leib-
niz auf Pascals Manuskript aufmerksam gemacht. Doch ist das Manuskript
von Pascal verloren.

Über die sehr interessante Biographie von Pascal, die auch psychologisch
von hohem Interesse ist, sowie über seine Beiträge zur Infinitesimalrechnung,

8.4 Anfänge der projektiven Geometrie

415

Abb. 8.4.4

Blaise Pascal (Frankreich 1962): Die Marke drückt zwei Seiten von

Pascal aus: das Leben zwischen Mathematik (Kegelschnitte) und leidenschaftlicher

Religiosität. Er schloss sich, wie seine Schwester, der reformkatholischen Partei der

Jansenisten an, die in Frankreich 1713 endgültig gewaltsam unterdrückt wurde.

über die Konstruktion einer Rechenmaschine, seinen Beitrag zur Frühge-
schichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung, den experimentellen Beweis des

Luftdrucks durch Bergbesteigung und anderes mehr wird an anderer Stelle
berichtet werden. Hier sei nur erwähnt, dass auf ihn die Anregung zu ei-
nem öffentlichen Verkehrssystem in Paris zurückgeht, das 1662 in die Praxis
umgesetzt wurde. Es ist interessant, dass Pascal mit den „Omnibuslinien“
finanziell-soziale Interessen verfolgt hat: Die Erträge sollten den Armen zu-
fließen.

Schließlich konnte Philippe de la Hire (1640–1718) bis zu einem gewis-
sen Grade einen Abschluss der Kegelschnittlehre auf projektiver Grundlage
in seinem Buch Sectiones conicae (1685) erreichen. Unter dem Eindruck der

Erfolge der analytischen Geometrie und insbesondere der Infinitesimalma-
thematik geriet die projektive Geometrie zunächst in den Hintergrund. Erst
durch Jean-Victor Poncelet (1788–1867) erlebte die projektive Geometrie ei-
ne glänzende Wiedergeburt. Er publizierte 1822 den Traité des propriétés
projectives des figures (Abhandlung über die projektiven Eigenschaften der

Figuren), dessen Grundideen er als Offizier der napoleonischen Armee in rus-
sischer Gefangenschaft konzipiert hatte.

Mathematik bei den Jesuiten

Die Jesuiten haben aus politisch-religiösen Gründen der Bildung große Auf-
merksamkeit gewidmet und vor allem auf dem Gebiet der Geometrie teilweise
hervorragende Ergebnisse erzielt und auch erheblich zur Anhebung des Bil-
dungsniveaus beigetragen.

Der Jesuitenorden war 1534 durch Ignatius von Loyola (1491–1556) ge-
gründet worden, erreichte teilweise einen bedeutenden politischen Einfluss –
auch außerhalb Europas – wurde aber im Zeitalter der Aufklärung zurück-

416

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution
gedrängt und 1773 verboten. Im Jahre 1814 wurde er wiederhergestellt. Die

Gesellschaft Jesu begann mit 10 Mitgliedern und umfasste zurzeit ihrer Auf-
lösung 1773 mehr als 23 000 Mitglieder.

J. MacDonnell, selbst Mitglied der Gesellschaft, hat 1989 eine Kollek-
tion von 56 Kurz-Biographien (mit Angaben über ihre Hauptleistungen)

von Geometern, aus den ersten zwei Jahrhunderten des Bestehens der Ge-
sellschaft vorgelegt [MacDonnell 1989]: Darunter befinden sich Athanasius

Kircher (1602–1680), Roger Boskovitsch (1711–1787), Christopher Clavius,

Gregorius a S. Vincentio (1584–1667), André Tacquet (1612–1660), Chri-
stopher Scheiner (1575–1650), Johann Schall von Bell (1591–1666), Matteo

Ricci (1552–1610), Paul Guldin, Vincenzo Riccati (1707–1775, Sohn von Ja-
copo Riccati), Girolamo Saccheri (1667–1733), Caspar Schott (1608–1666),

Henoré Fabri (1607–1688), Francesco Grimaldi (1613–1663) und manche an-
dere. Über Clavius ist schon berichtet worden.

Eine andere herausragende Persönlichkeit der dem Jesuitenorden ange-
hörenden Mathematiker war Paul Guldin (1577–1643). Er fand, unabhängig
von Pappos, die Guldinschen Regeln über die Volumina und Schwerpunk-
te rotierender Körper ( Centrobaryca, 1635–1641). Er war 1597 dem Orden
beigetreten, lehrte in Rom und Graz und verteidigte die gregorianische Ka-
lenderreform. (Zur Entwicklung der Jesuiten in Prag vgl. [Schuppener/Macák

2002].)

8.5 Rechenmethoden, Rechenhilfsmittel, erste

Rechenmaschinen

Die Erleichterung der Rechenarbeit war schon im Zusammenhang mit Astro-
nomie und Navigation als dringendes Bedürfnis empfunden und behandelt
worden. Die noch umständliche Methode der Prosthaphairesis (ein vor der

Erfindung der Logarithmen benutztes Verfahren, Multiplikation und Divisi-
on auf Addition und Subtraktion zurück zu führen, insbesondere bei den in
der Astronomie häufig auftretenden Produkten trigonometrischer Terme z. B.

sin a ∗ sin b = 1 / 2 { sin(90 ◦ − a + b) − sin(90 ◦ − a − b) }; von griech. prostithenai

= addieren und apharein = subtrahieren) wurde bald durch die Verwendung
der Logarithmen abgelöst. Stifel hatte die arithmetische Reihe mit der geo-
metrischen Reihe verglichen und war dicht an die Prinzipien logarithmischen

Rechnens herangekommen.

Logarithmisches Rechnen

In seiner berühmten Artithmetica integra schrieb Stifel:

„Man könnte ein ganz neues Buch über die wunderbaren Eigenschaf-
ten dieser Zahlen schreiben, aber ich muß mich an dieser Stelle be-
scheiden und mit geschlossenen Augen daran vorübergehen.“

8.5 Rechenmethoden, Rechenhilfsmittel, erste Rechenmaschinen

417

Abb. 8.4.5

Paul Guldin; Übers. des lat. Textes: P(ater) PAULUS GULDIN wur-
de aus einem Andersgläubigen ein Ordensmann, aus einem Goldschmied ein Ma-
thematiker, aus einem Laienbruder ein Priester, berühmt durch seinen Arbeitseifer,
durch den wiederholten Einsatz für Seuchenopfer, als Verteidiger des Clavius, durch
seine umfangreichen Centrobarica und durch die gezähmte Mur von Graz. Ebenda
gelangte er zum seligen Ende aller seiner Studien, seiner körperlichen Beschwerden
und Krankheiten im Jahre 1643 im 67. Lebensjahr, im 42. Jahr seiner Zugehörigkeit
zur Gesellschaft Jesu. Er hinterließ sehr viele Bücher und Instrumente. (Jahreszahl

1650 nicht genau lesbar, könnte auch, was unwahrscheinlich ist, 1630 sein)

[Universität Graz; Fotograf unbekannt]

418

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Und weiter heißt es sogar:

„ Addition in der arithmetischen Reihe entspricht der Multiplikation
in der geometrischen, ebenso Subtraktion in jener der Division in die-
ser. Die einfache Multiplikation bei den arithmetischen Reihen wird
zur Multiplikation in sich (Potenzierung) bei der geometrischen Rei-
he. Die Division in der arithmetischen Reihe ist dem Wurzelauszie-
hen in der geometrischen Reihe zugeordnet, wie die Halbierung dem

Quadratwurzelausziehen. “

(Zitiert bei [Tropfke Bd. 2 1933, S. 209])

Offensichtlich hat Stifel in der Tat das Wesen des logarithmischen Rechnens
erfasst. Eine andere Frage aber ist es, die beiden Folgen mit genügend nahe
beieinander stehenden Gliedern zu berechnen, so dass wirklich brauchbares

Handwerkszeug entstehen konnte. Hier leistete der Schweizer Uhrmacher und

Feinmechaniker Jost Bürgi (1552–1632), der in Kassel und Prag tätig war,

Pionierarbeit. Umfangreiche Rechnungen im Zusammenhang mit dem Bau
astronomischer Geräte ließen ihn nach Verbesserungen der Prosthaphairesis
suchen. Er stieß auf Stifels Äußerungen. Zu Anfang des 17. Jahrhunderts leis-
tete er, im Kontakt mit Kepler stehend, die Berechnung umfangreicher Tafeln;
eine von 2 zu 2 fortschreitende Sinustafel ging verloren. Eine ausführliche

Tafel des Vergleiches arithmetischer und geometrischer Folgen erschien 1620
unter dem Titel Arithmetische und geometrische Progreß-Tabulen. Natürlich
fehlen bei Bürgi unsere heutigen Fachausdrücke wie Logarithmus, Basis, Ex-
ponent, Numerus. Er nennt die Glieder xn der arithmetischen Folge „rote

Zahlen“, die Glieder yn der geometrischen Folge „schwarze Zahlen“, weil die-
se Zahlen im Buch rot bzw. schwarz gedruckt wurden. Die roten Zahlen sind
also die Logarithmen, die schwarzen die Numeri. Eigentlich ist es eine Tafel
der Antilogarithmen. Wenn man die Bürgischen Zahlen nachrechnet, so er-
kennt man, dass Bürgi – sozusagen instinktiv – als Basis seines Logarithmen-
systems eine Zahl verwendet hat, die nahe bei e liegt. Trotz des dringlichen

Zuredens von Kepler – der Erfinder (also Bürgi) habe in zu großer Bedäch-
tigkeit und Zurückhaltung das Kind seines Geistes im Stich gelassen, statt
es für die Öffentlichkeit zu erziehen – konnte sich Bürgi erst spät zur Pu-
blikation entschließen, zu spät. Als die „Progreß-Tabulen“ schließlich 1620 in

Prag erschienen, wurde infolge des Dreißigjährigen Krieges fast die gesamte

Auflage zerstört.

Darüber hinaus war ihm ein anderer mit der Veröffentlichung von Loga-
rithmentafeln zuvorgekommen, der schottische Edelmann John Napier (oder

Neper, 1550–1617). Ausgehend von einem speziellen mechanischen Problem
gelangte auch er zur Aufstellung von Logarithmentafeln. Neper veröffent-
lichte seine Tafeln von 1614 an in Edinburgh unter dem Titel Mirifici loga-
rithmorum canonis descriptio. Hier tritt zum ersten Mal das aus dem Grie-
chischen abgeleitete Fachwort „Logarithmus“ auf, das etwa „Verhältniszahl“,

„Rechnungszahl“ bedeutet. Das Buch heißt also etwa „Beschreibung einer

Tafel wunderbarer Rechnungszahlen“. Diese Tafel zielte direkt auf eine Ver-

8.5 Rechenmethoden, Rechenhilfsmittel, erste Rechenmaschinen

419

Abb. 8.5.1

Zeitgenössisches Portrait von J. Bürgi; Globusuhr von Bürgi [Aus-
schnitt aus dem Titelkupfer zu Benjamin Bramers Bericht über Bürgis Triangularinstru-
ment, Kassel 1648], (DDR 1972)

einfachung der trigonometrischen Rechnungen und enthält die siebenstelligen

Logarithmen der Winkelfunktionen Sinus und Kosinus sowie deren Differen-
zen, also den Logarithmus des Tangens, von Winkeln, die von Minute zu

Minute fortschreiten.

Die Neperschen Logarithmen erregten große Bewunderung. verbreiteten
sich rasch als Rechenhilfsmittel. Kepler hatte Nepers Logarithmentafeln etwa

1617 kennengelernt. Es dauerte einige Zeit, ehe er den Nutzen erkannt hatte
und sich selbst an die Ausarbeitung logarithmischer Tafeln machte. Deren

Basis unterschied sich von den von Briggs und Neper verwendeten (vgl. aus-
führlich [Hofmann 1963, S. 167ff.]). Keplers Logarithmentafeln wurden in den

Chilias logarithmorum publiziert. Kepler handelte sich aber den Tadel seines
alten Lehrers Maestlin (1550–1631) ein, ein Mathematiker dürfe von solchen

Rechenhilfsmitteln keinen Gebrauch machen.

Der Übergang zu den dekadischen Logarithmen schließlich wurde durch
den Engländer Henry Briggs (1561–1630) vollzogen, den Inhaber eines na-
turwissenschaftlichen Lehrstuhls an dem den praktischen Bedürfnissen der

420

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Navigation verpflichteten Gresham-College in London. In gemeinsamen Dis-
kussionen einigten sich Neper und Briggs auf die Annahme log 10 = 1. Briggs
machte sich mit Feuereifer an die Berechnung der Tafeln; von 1617 an erschie-
nen in Teilen 14-stellige Logarithmen, die nach und nach von anderen Auto-
ren ergänzt, verbessert und praktischer gestaltet wurden. Um die Mitte des

17. Jahrhunderts hatten die Logarithmen die prosthaphairetische Methode
verdrängt.

Die Berechnungsverfahren von Neper, Briggs und anderen waren äußerst
mühsam und beruhten auf komplizierten, geschickt gehandhabten Interpo-
lationen. Eine neue, bequemere Methode der Berechung von Logarithmen
beruhte auf der späteren Verwendung unendlicher Reihen. Die Definition des

Logarithmus als Potenzexponent kam erst im 18. Jahrhundert auf. Die Auffas-
sung, dass das Logarithmieren neben dem Radizieren eine zweite Umkehrung
des Potenzierens darstellt, wurde schließlich erst von Euler herausgearbeitet.

Erste mechanische Rechenhilfsmittel

Auf Neper geht auch die Erfindung der ersten mechanischen Rechenhilfsmittel
zurück: die der nach ihm benannten Rechenstäbchen. Er hat sie 1617 vorge-
stellt; es handelte sich um einen Satz von 10 ebenen Stäb-
chen, auf denen das kleine Einmaleins fixiert ist. Mit ihnen
lassen sich Multiplikationen sehr leicht ausführen. Die Zif-
fern in benachbarten Diagonalfeldern werden addiert und
liefern die Ziffern der Ergebnisse der Multiplikation. Bei-
spiel: 316*6 ergibt sich aus den Ziffern der 6. Zeile der zu
den Ziffern 3.1.6 gehörenden Stäbchen, also 1 / 8+0 / 6+3 / 6,
d. h. 1896. Später wurden von anderen Erfindern gegen-
einander drehbare Zylinder benutzt. Den entscheidenden

Schritt zur Idee und möglicherweise sogar zur definitiven

Konstruktion einer wirklichen Rechenmaschine, die selbst-
ständig Überträge von einer (Dezimal-)Stelle zur ande-
ren vornimmt, hat um 1623/24 bereits Wilhelm Schickard

(1592–1635) in Tübingen vollzogen.

Er war vielseitig tätig als Astronom, Mathematiker,

Geodät, Kupferstecher und Maler, aktiv beteiligt an der
ersten Landvermessung Württembergs. Groß war sein In-
teresse an der Konstruktion astronomischer und geodäti-

Abb. 8.5.2
scher Instrumente.

Prinzipskizze

Anknüpfend an das Prinzip der Neperschen Rechenstä-
zum Gebrauch
be entwarf er eine Rechenmaschine, eine „Rechenuhr“. Er
der Neperschen
war eng befreundet mit Kepler, der zu dieser Zeit in Prag

Rechenstäbe
als „Kaiserlicher Mathematiker“ an aufwändigen Rechen-

[Wußing 1989,
arbeiten zur Auswertung der Beobachtungen von Tycho

S. 149]

Brahe beschäftigt war.

8.5 Rechenmethoden, Rechenhilfsmittel, erste Rechenmaschinen

421

Abb. 8.5.3

Skizze von Schickard zu einer Maschine (sog. Stuttgarter Skizze,

Siemens-Museum München) [Schickard 1978, S. 289]

In einem Brief vom 20. September 1623, dem auch eine Skizze seiner

Maschine beigegeben war, schreibt Schickard an Kepler:

„ Dasselbe, was du auf rechnerischem Wege gemacht hast, habe ich
kürzlich mechanisch versucht und eine aus elf vollständigen und sechs
verstümmelten Rädchen bestehende Maschine gebaut, welche gegebene

Zahlen im Augenblick automatisch zusammenrechnet: addiert, subtra-
hiert, multipliziert und dividiert. Du würdest hell auflachen, wenn du
da wärest und miterlebtest, wie sie, so oft es über einen Zehner oder

Hunderter weg geht, die Stellen zur Linken ganz von selbst erhöht
oder ihnen beim Subtrahieren etwas wegnimmt. “

(Zitiert nach B. von Freytag Löringhoff in [Seck 1978, S. 289])

422

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Abb. 8.5.4

Rekonstruierte Schickardsche Rechenmaschine (BRD 1973)

Lange hatte man geglaubt, dass Blaise Pascal als erster eine Rechenmaschi-
ne konstruiert habe. Der kaum Zwanzigjährige entwickelte um 1640/42 eine

Additions- und Subtraktionsmaschine, um seinem Vater, einem hohen fran-
zösischen Finanzbeamten, die Rechenarbeiten zu erleichtern. Pascal wurde

1649 vom Kanzler Pierre Séguir mit einem königlichen Privileg zur Herstel-
lung und zum Verkauf seiner Maschinen ausgestattet. Acht Exemplare der

„Pascaline“ haben sich erhalten; der Dresdener Mathematisch-Physikalische

Salon verfügt über eine solche Kostbarkeit.

Die Leistung von Schickard war lange in Vergessenheit geraten. Erst in
jüngerer Zeit (1957/58) ist seine Maschine bekannt geworden und sogar nach-
gebaut worden [Schickard 1978]. Von der Originalmaschine Schickards hat
sich nichts erhalten.

Pascal schrieb 1645 eine Abhandlung Notwendiger Hinweis für diejenigen,
die Neugierde empfinden werden, die Rechenmaschine kennenzulernen und
sich ihrer näher zu bedienen. Dort heißt es:

„ . . . ich hatte die Ausführung meines Vorhabens mit einer Maschi-
ne begonnen, die nach Baumaterial und Form von dieser sehr ver-
schieden war und die (wiewohl sie schon einigen Beifall fand) mich
dennoch nicht völlig befriedigte; so daß ich, indem ich sie allmählich
verbesserte, aus ihr unmerklich eine zweite machte und aus dieser,
um immer noch auftretenden Mängeln, die ich nicht dulden konnte,

Abhilfe zu verschaffen, eine dritte, die mit Federkraft arbeitet und
in ihrer Konstruktion sehr einfach ist.(. . . ) Nichts destoweniger fand
ich, sie fortgesetzt verbessernd, immer neue Gründe, sie zu verän-
dern; und indem ich überall irgendeinen Fehler erkannte, hier ein

Arbeitshemmnis, dort eine Holprigkeit des Triebwerkes oder die Nei-
gung, allzu leicht durch Witterungseinflüsse oder beim Transport zu

Schaden zu kommen, brachte ich schließlich die Geduld auf, mehr
als fünfzig verschiedene Modelle zu bauen, einige aus Holz, andere
aus Elfenbein und Ebenholz, wieder andere aus Kupfer, bevor ich zur

Fertigstellung jener Maschine gelangte, die ich jetzt der Öffentlichkeit
übergebe. “

(Zitiert nach [Béguin 1959, S. 101])

8.5 Rechenmethoden, Rechenhilfsmittel, erste Rechenmaschinen

423

Abb. 8.5.5

Rechenmaschine „Pascaline“ (Mathematisch-Physikalischer Salon

Dresden)

Nach Pascals Tode hat seine Schwester diese Leistung überschwänglich ge-
würdigt:

„ So erfand er damals, mit neunzehn Jahren, seine Rechenmaschine,
durch die man alle Rechenungsarten ohne Feder oder Zählmarken, ja
sogar ohne irgendeine rechnerische Regel zu kennen, mit unfehlbarer

Sicherheit ausführen kann. Es galt als etwas vollkommen Neues in
der Natur, eine Wissenschaft, die ganz und gar im Verstand begrün-
det ist, auf eine Maschinenfunktion reduziert und ein Mittel erfunden
zu haben, um alle Rechnungsarten mit absoluter Sicherheit ohne Zu-
hilfenahme der Vernunft auszuführen. Diese Arbeit strengte ihn sehr
an, nicht wegen der Idee und ihrer Verwirklichung, die er mühelos
fand, sondern wegen der Schwierigkeit, den Arbeitern das alles ver-
ständlich zu machen. Und so dauerte es zwei Jahre, um sie zu ihrer
jetzigen Vollkommenheit zu entwickeln. “

[Pascal 1957, S. 42]

424

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Tatsache freilich ist, dass Pascal – wie auch seine Schwester andeutet – immer
mit technischen Schwierigkeiten zu kämpfen hatte; die Feinmechanik war um
diese Zeit noch nicht genügend entwickelt. Auch Leibniz hat vor ähnlichen

Problemen gestanden, obgleich er einen erstklassigen Mechaniker in Paris
hatte finden können.

Ähnliche Konstruktionen – mehr oder weniger angelehnt an Pascal – ka-
men zur Verwendung in der Addiermaschine des Engländers Samuel Morland

(ca. 1625–1695) und bei dem französischen Uhrmacher René Grillet de Roven

(17. Jh.). Doch scheinen sie keine ernsthafte Bedeutung erlangt zu haben.

Leibniz und seine Rechenmaschinen

Es ist allgemein bekannt, dass sich Leibniz mit dem Bau von Rechenma-
schinen beschäftigt hat. Im Allgemeinen wird die Leibnizsche Rechenmaschi-
ne mit der Zeit seines Aufenthaltes in Paris, insbesondere mit den Jahren

1672/73 in Verbindung gebracht, als er mit dem Bau eines ersten Modells
beschäftigt war. Kenner der Geschichte der Leibnizschen Rechenmaschine
wie von Mackensen (Kassel) verweisen jedoch auf eine frühere Zeit. Leib-
niz dürfte keine Kenntnis von Schickard und Pascal gehabt haben. Das erste
erhalten gebliebene Dokument von Leibniz zur Rechenmaschine ( „Instrumen-
tum Arithmeticum“) stammt aus der Zeit um 1670; es handelt sich um sieben

Seiten mit einer kleinen und zudem sehr undeutlichen Skizze. Auf der Suche
nach einer Ausstellung und einem Gönner pries sich Leibniz in einem Brief
aus dem Jahre 1671 an Herzog Johann Friedrich in Hannover selbst an:

„ In Mathematicis und Mechanicis habe ich vermittelst artis combi-
natoriae einige dinge gefunden die in praxi vitae von nicht geringer
importanz zu achten, und erstlich in Arithmeticis eine Maschine, so
ich eine Lebendige Rechenbank nenne, dieweil dadurch zu wege ge-
bracht wird, daß alle zahlen sich selbst rechnen, addiren subtrahiren
multipliciren dividiren, ja gar radicem Quadratam und Cubicam ex-
trahiren ohne einige Mühe des Gemüths, wenn man nur die numeros
datos in machina zeichnet, welches so geschwind gethan als sonst ge-
schrieben, so komt die summa motu machinae selbst heraus. Und ist
der nuzen noch dazu dabey, daß solange die machina nicht bricht, kein
fehler in rechnen begangen werden kan; welches was für einen Nuzen
in Cammern, Contorn, re militari, Feldmeßen, Tabula sinuum und

Astronomi habe, und wie großer mühe es die Menschen überheben
könne, leicht zu erachten. “

[Leibniz: Sämtliche Schriften, 2. Reihe, 1. Bd. 1926, S. 160]

Leibniz hat zeitlebens – mit Unterbrechungen – am Projekt „Rechenmaschi-
ne“ gearbeitet bzw. arbeiten lassen und einige Prototypen verfertigen lassen.

(Für Einzelheiten siehe [Naumann 2001], [Mackensen 1974]; dort gibt es De-
tails zur technischen Ausführung, insbesondere zur nicht mehr datierbaren

Einführung des entscheidenden Bauteils, der sog. Staffelwalze.)

8.5 Rechenmethoden, Rechenhilfsmittel, erste Rechenmaschinen

425

Abb. 8.5.6

Zeichnung einer Rechenmaschine mit je drei Schalt- und Resultat-
werken, ca. 1673. [Niedersächsische Landesbibliothek Hannover, LH XL II, 5, Bl. 23 r]

Die sog. fünfte, die letzte Maschine wurde von einem Mechaniker in Zeitz
gebaut. Zur Mitte des 19. Jahrhunderts gelangte sie über Hannover nach

Göttingen zur Reparatur und schließlich wieder nach Hannover. Heute befin-
det sie sich in der Niedersächsischen Landesbibliothek Hannover. Sie hat ein
feststehendes Resultatwerk und ein bewegliches Schalt- und Einstellwerk.

Auch diese letzte Maschine war nicht voll funktionsfähig; sie lieferte bei
bestimmten sekundären Zehnerübertragungen falsche Ergebnisse. H. J. Leh-
mann (1921–1998), dem Dresdner Professor, einem Pionier der modernen
elektronischen Rechentechnik, gelang 1990 ein Nachbau dieser Leibnizschen

Maschine. Es zeigte sich, dass sie, nach Behebung einer relativ belanglosen

Kleinigkeit, voll funktionsfähig ist.

Neuerdings hat Franz Otto Kopp im Rahmen eines Forschungsprojektes
nach Konzepten von K. Popp und E. Stein an der Universität Hannover (seit

2006 Leibniz-Universität) einen Nachbau der dezimalen Rechenmaschine von

426

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Abb. 8.5.7

Die Rechenmaschine von Leibniz [Niedersächsische Landesbibliothek

Hannover]

Leibniz konstruiert, der in der Leibniz-Ausstellung im Juni 2006 erstmals der

Öffentlichkeit gezeigt wurde (vgl. dazu [Kopp/Stein 2006, S. 56ff.]).

Leibniz hat – und auch darin ein Pionier der „Computer“-Technik und
der Informatik – das Dualsystem propagiert und sogar die Skizze einer auf
dem binären System beruhenden (mechanischen) Rechenmaschine hinterlas-
sen [Wußing 1999]. Ein Modell dieser „Maschina Arithmeticae Dyadicae“ wur-
de nach der Übersetzung des lateinischen Textes und dem Entwurf von L. von

Mackensen 1971 vom Deutschen Museum konstruiert. Im Jahre 2004 bauten

E. Stein und G. Weber in Hannover ein verbessertes Modell dieser binären

Rechenmaschine, das im gesamten verfügbaren Zahlenraum richtig addiert
und multipliziert [Stein/Kopp 2006, S. 60ff.]. Die von Leibniz beschriebene

Binär-Maschine kann als Vorläufer der jetzigen binär rechnenden Computer
angesehen werden, deren erste mechanische Ausführung 1936 von K. Zuse
gebaut und als Z 1 patentiert wurde.

Es kam allerdings erst im 18. Jahrhundert zur wirklichen praktischen

Verwendung von mechanischen Rechenmaschinen und zwar mit Konstruktio-
nen, die von dem Italiener Giovanni Poleni (1683–1761), dem Wiener Anton

Braun (um 1726), dem deutschen Mechaniker Jacob Leupold (1674–1727)

und dem deutschen Pfarrer Philipp Matthäus Hahn (1739–1790) stammten,
der am Ende des 18. Jahrhunderts Vier-Spezies-Maschinen serienmäßig her-
stellte. Hahn war auch an Naturwissenschaften interessiert, führte Experi-
mente durch und suchte mit einer „Weltmaschine“ Gottes Schöpfungsplan zu
enthüllen.

8.6 Zur Frühgeschichte der Infinitesimalmathematik

427

8.6 Zur Frühgeschichte der Infinitesimalmathematik

Die Etablierung der Algebra als eigenständige mathematische Disziplin stellt
einerseits einen Teil der Wissenschaftlichen Revolution dar, muss aber zu-
gleich hoch eingeschätzt werden in ihrer Bedeutung für die Entstehung der

Infinitesimalrechnung: Die Bereitstellung algebraischer Methoden, die Aus-
bildung einer Symbolik, die Durchbildung kalkülhaften Denkens gehören zu
den unabdingbaren historischen Voraussetzungen für die Ausbildung infini-
tesimaler Methoden, sowohl im Formalen als auch im Methodischen.

Eine entsprechende Vorbedingung für das Entstehen der Infinitesimalma-
thematik erfüllt auch die Geometrie während des 16./17. Jahrhunderts. Hier
stehen vielleicht sogar noch deutlicher als bei der Algebra die Rezeption und
der Ausbau der aus der Antike übernommenen Methoden im Vordergrund.

Ebene und räumliche Geometrie verloren im 15./16. Jahrhundert – bei der

Navigation, im Bauwesen, beim Kanalbau und im Militärwesen – in den Hän-
den der Praktiker ihren esoterischen Charakter. Zudem wurden neue Aspekte
in der Geometrie – neben dem Aufkommen der analytischen Geometrie – un-
verkennbar: Durchbildung der antiken Kegelschnittlehre, Studium der Kur-
ven höheren Grades, Ansätze der späteren projektiven Geometrie, Weiter-
führung der Ansätze der darstellenden Geometrie.

Noch ein weiterer historischer Tatbestand sei hervorgehoben. Es ist falsch
und ahistorisch, die Sache so hinzustellen, als hätten Leibniz und Newton,
quasi aus dem Nichts heraus, die Differential- und Integralrechnung einfach
so erfunden. Ganz im Gegenteil: es gab eine lange Reihe von Vorbereitern
und Wegbereitern ebenso wie eine Fülle von tastenden Versuchen, die beim

Umgang mit Variablen und Grenzwerten auftretenden Probleme zu bewälti-
gen und in eine handhabbare, kalkülmäßige Form zu bringen. Vorstufen und

Vorläufer der Infinitesimalmathematik finden sich schon in der griechisch-
hellenistischen Antike. Erinnert sei hier an die Entdeckung der Irrationali-
tät durch Hippasos von Metapont, an die Größenlehre des Eudoxos, an das

Paradoxon „Achilles und die Schildkröte“ von Zeno, an die Versuche zur Vo-
lumenbestimmung eines Kegels mit Hilfe „indivisibler“ Scheiben durch De-
mokrit, zur Kreisquadratur mittels Exhaustion durch einbeschriebene regel-
mäßige Polygone und an die Parabelquadratur des Archimedes (vgl. Kap. 4).

Selbst am Ende des 18. Jahrhunderts waren die logischen Schwierigkeiten
beim Umgang mit dem unendlich Kleinen und dem unendlich Großen noch
nicht ausgeräumt.

Aus der großen Zahl einfallsreicher Mathematiker, die da und dort, im

Prinzipiellen wie in besonders bemerkenswerten Spezialfällen, Wesentliches
zur Herausbildung der Infinitesimalmathematik geleistet haben, seien einige

Hauptvertreter hervorgehoben: die Italiener Commandino, Valerio, Galilei
und seine Schüler Cavalieri und Torricelli, der Deutsche Kepler, der Schweizer

Guldin, der Niederländer Huygens, die Franzosen Roberval und Fermat, die

Engländer Wallis, Barrow und Newton, der Deutsch-Däne Nicolaus Mercator,
die Schotten Gregory und Maclaurin und nicht zuletzt Leibniz.

428

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Abb. 8.6.1

Zur Frühgeschichte der Analysis: Hauptlinien der ideengeschichtli-
chen Entwicklung

Die Geschichte der Infinitesimalmathematik, insbesondere deren Frühge-
schichte, ist in der Vergangenheit von erstklassigen Mathematikhistorikern
gründlich und in vielen Einzelheiten erforscht und dargestellt worden (vgl.

z. B. [Jahnke 1999] mit ausführlichem Literaturverzeichnis). Zudem muss auf
den philosophischen Hintergrund des Verständnisses von „Geometrie“ ver-
wiesen werden (vgl. z. B. [Risi 2007] zu Leibniz). Es gibt eine kaum über-
schaubare Fülle von einschlägigen Abhandlungen; nur auf einen sehr geringen

Teil kann hier eingegangen werden. Doch soll versucht werden, die Hauptli-
nien der Entwicklung herauszuarbeiten, auch auf die Gefahr einer möglichen

Vergröberung hin. Bei den Methoden, mit denen die neuen Fragestellun-
gen noch mit traditionellen Verfahren in den Entwicklungsstufen der Infi-
nitesimalmathematik angegriffen wurden, kann man zwischen geometrischen
und arithmetisch-algebraischen Methoden unterscheiden. Die heutige Eintei-
lung – Differentialrechnung, Integralrechnung, Theorie der unendlichen Rei-
hen, Theorie der Differentialgleichungen, usw. – konnte erst auf der Basis
einer weiter entwickelten Analysis getroffen werden. In der Herausbildungs-
phase der Infinitesimalmathematik gruppierten sich dagegen die infinitesima-
len Aufgabenstellungen – deren infinitesimal-mathematische Struktur noch
weitgehend unbekannt war – stärker um Sachprobleme.

Da sind zunächst mechanisch-physikalische Probleme, wie sie u. a. beim
freien Fall, beim Wurf und bei der Planetenbewegung und überhaupt bei
der Behandlung von Bewegungsvorgängen mit beschleunigten Bewegungen

8.6 Zur Frühgeschichte der Infinitesimalmathematik

429
auftreten. Diese Problemgruppe hängt direkt mit dem Fortschritt der Natur-
wissenschaften und zugleich mit der raschen Entwicklung der mechanischen

Produktionsinstrumente zusammen.

Dazu kamen mechanisch-geometrische Probleme, wie etwa solche der Flä-
chen- und Volumenberechnung und der Bestimmung der Schwerpunkte von

Flächen und Körpern.

Und schließlich gab es eine Gruppe von geometrischen Problemen, die
abstrakt, ohne direkten Bezug zur physikalischen Welt aufgeworfen waren,

Studien von Kurven, Flächen und Körpern. In dieser Problemgruppe domi-
nierte das Tangentenproblem als Aufgabe, bei einer beliebigen Kurve in einem
beliebigen Punkt die Tangente zu bestimmen.

Tangentenproblem und Inhaltsbestimmung sollten sich als Zentralproble-
me des differentiellen bzw. integralen Denkens erweisen. Aber es musste erst
erkannt werden, dass Tangentenproblem und Flächeninhaltsproblem inhalt-
lich zueinander inverse Probleme sind: Der Fundamentalsatz der Differential-
und Integralrechnung musste erst entdeckt werden.

Galileo Galilei: Das Fallgesetz als geometrischer Grenzübergang

Wie die Geschichte der Physik lehrt, erwies sich das Fallproblem als Schlüs-
selproblem für die Herausbildung der Dynamik und damit der klassischen

Mechanik. Das Gesetz, wonach sich beim Fall die zurückgelegten Wege wie
die Quadrate der Zeiten verhalten, stand im direkten Gegensatz zur Aristo-
telischen Physik. Galilei konnte das richtige Gesetz durch eine Kombination
scharfsinniger Deduktion und geschickter experimenteller Nachprüfung fin-
den und bestätigen. Es war dieser fruchtbare Wechsel von Deduktion und

Induktion – demonstriert in Galileis Schriften Dialogo (1632) und Discorsi

(1638) –, der Galilei sowohl zu einem der Wegbereiter der klassischen Natur-
wissenschaft als auch der neueren Mathematik werden ließ. Auch die natur-
philosophische Haltung von Galilei, wo er die Bedeutung der Mathematik für
die Naturforschung hervorhebt, hat programmatisch gewirkt:

„ Die Philosophie (bedeutet hier soviel wie Naturwissenschaft, Wg.)

steht geschrieben in dem großen Buch, das uns fortwährend offen vor

Augen liegt, dem Universum, aber man kann sie nicht begreifen, wenn
man nicht die Sprache verstehen und die Buchstaben kennen lernt,
worin es geschrieben ist. Es ist geschrieben in mathematischer Spra-
che, und die Buchstaben sind Dreiecke, Kreise und andere geome-
trische Figuren; ohne diese Mittel ist es dem Menschen unmöglich,
ein Wort davon zu verstehen; es ist nur ein sinnloses Herumirren in
einem finsteren Labyrinth. “

(Deutsch zitiert nach [Dijksterhuis 1956, S. 403])

Das Fallgesetz wurde auch in der erfolgreichen mathematisch-mechanischen

Schule in den Niederlanden diskutiert. Hier sei Isaac Beeckman (1588–1637)

herausgehoben, der um 1618 im Kontakt mit Descartes das Fallgesetz mit

430

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Hilfe eines geometrisch geführten Grenzübergangs fand, und das zeitlich noch
vor Galilei [Wußing 1989, S. 153–155].

In einem Diagramm von Geschwindigkeit und Zeit t (vgl. Abb. 8.6.2) wer-
den Geschwindigkeitsanteile γ und Zeitabschnitte τ aufgetragen. Die jewei-
ligen Produkte ergeben Rechtecke; sie symbolisieren Wegstrecken. Nach der

Wahl verschiedener Vielfacher des Zeitabschnittes τ entsteht ein Treppenzug.

Geht der Zeitabschnitt τ gegen Null – das bedeutet eine kontinuierliche, also
die reale Bewegung –, dann glättet sich der Treppenzug. Bei zwei verschiede-
nen Strecken zu zwei verschiedenen Zeitabschnitten t 1 = n 1 τ und t 2 = n 2 τ
entstehen zwei Dreiecke. Und da sich deren Flächeninhalte wie die Quadrate
gleichliegender Seiten verhalten, verhalten sich die Strecken wie die Quadrate
gleichliegender Seiten. Das ist das Fallgesetz.

Zur Mitte des 17. Jahrhunderts ist die Vorstellung variabler Größen durch

Descartes, danach der Begriff der fließenden Größen durch Newton ins Spiel
um die Infinitesimalmathematik gekommen. Diese Feststellung führt uns zu
der Frage nach den historischen Ursachen jenes durchgreifenden Überganges
von der Mathematik konstanter Größen zur Mathematik der Variablen.

Auf der theoretisch-mathematischen Seite steht der historische Beobach-
ter der Tatsache gegenüber, dass die uns heute so vertraute Form der Infini-
tesimalmathematik keineswegs im ersten Anlauf entstanden ist. Es brauchte
dazu drei bis vier Generationen; die historische Feinanalyse zeigt viele sich
überkreuzende Ideenverbindungen.

Andererseits ist das Auftreten einer Mathematik veränderlicher Größen

(wenn auch in verschiedensten Ausprägungen) in nur wenigen Generationen
nicht verständlich als das Resultat einer evolutionären, kontinuierlichen Ent-
wicklung. Es bedurfte – diese historische These sei gewagt – eines fokussieren-
den, sich auf eine zentrale Fragestellung richtenden Problembewusstseins mit
entsprechender Denkweise. Der Autor erblickt sie im Bewegungsproblem, al-
so in der Forderung, eine Mathematik bereitzustellen, die die mathematische

Abb. 8.6.2

Graphische Herleitung des Fallgesetzes [Wußing 1989, S. 155]

8.6 Zur Frühgeschichte der Infinitesimalmathematik

431

Bewältigung des Bewegungsproblems ermöglichte: Die Mathematik variabler

Größen sozusagen als mathematische Widerspiegelung eines Grundproblems
damaliger Wissenschaft, des Bewegungsproblems.

Das Wort „Bewegung“ umfasst sehr viel, sowohl zentrale naturwissen-
schaftliche Fragestellungen als auch Bewegungsprobleme der praktischen Me-
chanik und Maschinenkunde jener Zeit. Aus beiden Sphären ergingen wesent-
liche Impulse an die Entwicklung einer Mathematik variabler Größen. Damit
soll die Rolle rein mathematischer Triebkräfte und Antriebe keineswegs ne-
giert oder abgeschwächt werden.

Auf den physikalisch-naturwissenschaftlichen Sachverhalt wird hier nicht
näher eingegangen. Die Stichworte Planetenbewegung, Stoß, Wurf, Fall, Be-
wegungsgröße, Kraftbegriff, wahres Kraftmaß, Ballistik, Balkenbiegung, Pen-
del, Schleppkurve, Kettenlinie und viele andere werden uns bei der Schilde-
rung der Leistungen der Mathematiker begegnen.

Zu den praktischen Problemen sei hier noch Folgendes angemerkt. Es gab
in den ökonomisch fortgeschrittenen Ländern Europas eine auch zahlenmäßig
recht starke Gruppe von „Mechanici“, von Wasserbau- und Festungsbaumeis-
tern, von Schiffsbauern, Bergwerk- und Bauingenieuren. Deutlich ist auch das

Hervortreten theoretischer Interessen und Kenntnisse. Die „Mechanici“ wuss-
ten oder ahnten, dass in ihrem Wirkungskreis Probleme bestanden, die einer
mathematisch-naturwissenschaftlichen Behandlung bedurften. Ganz typisch
ist die Untersuchung der Kraftverhältnisse an beweglichen Teilen von Ma-
schinen, z. B. von Wasserrädern. Deren Dimension muss der zur Verfügung
stehenden Wassermenge angeglichen werden; sonst dreht sich das Rad zu
schnell oder zu langsam.

Nehmen wir als Beispiel den unternommenen Versuch ca. 1700 der Be-
rechnung der Kraft eines oberschlächtigen Wasserrades durch den Leipziger

Mechaniker Jacob Leupold (1674–1727). Das Volumen der Kammern wird
in kleinere Volumina unterteilt; von den darin befindlichen Wassermengen
kann das Drehmoment bestimmt werden. Die Summation aller (differentiell
bestimmten) Drehmomente gibt Rückschlüsse auf die Kraft des Wasserrades.

Wir Heutigen stehen bewundernd vor der geistigen Leistung, die zur Infi-
nitesimalmathematik geführt hat. Das würde noch deutlicher werden, wenn
man versuchen müsste, Probleme mit den Mitteln der damaligen Mathematik
zu lösen.

Keine Herabsetzung dieser historischen Leistung bedeutet jedoch die Fest-
stellung, dass oft naive Erwartungen an die Leistungsfähigkeit der Infinitesi-
malmathematik geknüpft und gelegentlich auch enttäuscht wurden. Als klas-
sisches Beispiel wird hierfür gern ein Ausruf Friedrichs des Großen beim Ver-
sagen der nach Eulers Berechnungen angelegten Wasserspiele von Sanssouci
angeführt. Zu Voltaire gewandt kommentierte der König dieses Ereignis mit
den Worten „Oh, Eitelkeit der Eitelkeiten. Eitelkeit der Mathematik!“ und
wies damit die Schuld am Versagen der Mathematik zu, kaschierte so jedoch

432

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Abb. 8.6.3

Figur zur Berechnung der Antriebskraft eines oberschlächtigen Was-
serrades (nach Jacob Leupold)

nur das eigene Versäumnis, die erforderlichen Mittel für die nach Eulers Be-
rechnungen erforderlichen Maschinen zur Verfügung zu stellen.

Die Kluft zwischen empirisch gewachsener, bewunderungswürdiger und
leistungsfähiger Ingenieur- und Wasserbaukunst einerseits und der rationa-
len Mechanik, die sich infinitesimaler Methoden bediente, andererseits konnte
erst langsam im 18./19. Jahrhundert geschlossen werden. Der französische In-
genieur Bernard Forest de Bélidor (1697–1761) mit seinem Buch La science
des ingenieurs von 1729 dürfte der Erste gewesen sein, der sich der Infinitesi-
malmathematik bedient hat. Der Durchbruch allerdings erfolgte erst während
der Industriellen Revolution mit Männern wie Navier, Poncelet, Coriolis und
anderen.

Fortentwicklung des antiken Erbes

Unter den Mathematikhistorikern besteht weitgehend Einigkeit darüber, dass
bei Eudoxos und Archimedes Frühformen infinitesimalen Denkens vorlagen.

Mit der Wiedergeburt der Antike wird Archimedes zum Bezugspunkt und
zum Anknüpfungspunkt der neuzeitlichen Infinitesimalmathematik. So lassen
sich direkte Einflüsse von Archimedes nachweisen u. a. bei Kepler, Galilei,

Torricelli und Cavalieri, die den Reichtum der archimedischen Denkweisen
und deren Tragweite demonstrieren konnten.

Commandino und Valerio

Der Italiener Federico Commandino, im Dienste verschiedener geistlicher und
weltlicher Fürsten, hat sich ausgezeichnet als Übersetzer wesentlicher Schrif-
ten von Archimedes (1558), von Ptolemaios und von Pappos (1588). Die

8.6 Zur Frühgeschichte der Infinitesimalmathematik

433

Arbeit von Archimedes über Schwimmende Körper regte Commandino an,
seinerseits Gravitationszentren von Körpern zu bestimmen; eine entsprechen-
de Abhandlung wurde 1565 in Bologna publiziert.

Commandinos Schüler Luca Valerio (1552–1618) hatte auch bei Clavius
in Rom studiert, war eine Zeitlang Lehrer des Papstes Clemens VIII., war

Mitglied der Accademia dei Lincei und stand in Beziehung zu Galilei, der ihn
als „größten Mathematiker, als neuen Archimedes unserer Zeit“ lobte.

Valerio bewegte sich im Themenkreis von Commandino. Sein dreibändi-
ges Werk De centro gravitatis solidorum (Über das Gravitationszentrum von

Körpern) erschien 1604. Er fand das Volumen der (Halb-)Kugel, indem er den

Kugelinhalt mit eingeschriebenen Kegeln und Zylindern bestimmte. Ähnlich
konnte er auch Volumen und Schwerpunkt des Rotationsellipsoides und des
zweischaligen Rotationshyperboloides berechnen.

Methodisch lehnten sich Commandino und Valerio und andere Mathe-
matiker eng an die sog. „Exhaustionsrechnung“ an (von lat. exhaurire, aus-
schöpfen; die etwas unglückliche Bezeichnung stammt allerdings erst 1647
von Gregorius a San Vincentio und wird inzwischen durch die Bezeichnung

„Kompressionsmethode“ für die Näherung durch umbeschriebene Vielecke er-
gänzt), indem sie z. B. Flächen mit gekrümmter Begrenzung durch um- und
einbeschriebene Rechtecke (Treppenfiguren) ersetzten und so für den wahren

Flächeninhalt obere bzw. untere Schranken angaben. Die Vermehrung der

Rechteckstreifen lieferte bessere Schranken.

Dies alles erinnert an die heutige Integralrechnung. Man könnte erwar-
ten, dass der Ausbau der Methode der Exhaustion auf direktem Wege zur

Integralrechnung hätte führen können oder sogar müssen. Das war jedoch
nicht der Fall. Der Gang der Geschichte war auch hier nicht glatt, nicht ohne

Umwege. Die Exhaustionsrechnung stellte wohl eine erste, methodisch sogar
in sich geschlossene Form eines Teiles der Infinitesimalmathematik dar. His-
torisch aber ist ihr Inhalt erst über weitere Zwischenetappen indirekt in die
moderne Integralrechnung eingegangen.

Johannes Kepler: Mathematiker und Astronom

Kepler hat ein überaus unruhiges Leben führen müssen. In den Zeiten aufge-
regter und unduldsamer religiöser Auseinandersetzungen musste er mehrfach
seinen Aufenthalt wechseln. Seine soziale Lage war in den Wirren des Dreißig-
jährigen Krieges unsicher; aus finanziellen Gründen hat er nicht wenige Horo-
skope verfasst. Nur mit Hilfe seiner Autorität als Kaiserlicher Mathematiker
konnte er seine als Hexe angeklagte Mutter vor Folter und Scheiterhaufen
retten.

Kepler wurde am 27. Dezember 1571 in Weil der Stadt geboren. Nach
dem Besuch einer Lateinschule und von Klosterschulen studierte er seit 1589
evangelische Theologie an der Universität Tübingen und hatte das Glück, von
dem hervorragenden Mathematiker, Astronomen und Altphilologen Michael

Maestlin (1550–1631) in Astronomie unterwiesen zu werden. Durch ihn wurde

434

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Abb. 8.6.4

Bildliche Darstellung der Abstandsverhältnisse von der Sonne und
fünf Planeten mit den ineinander geschachtelten Platonischen Körpern [Mysterium

Cosmographicum, Tübingen 1596, Tafel III], [Wikimedia Commons]

Kepler mit der copernicanischen, heliozentrischen Lehre bekannt. Seit 1594
arbeitete Kepler als Mathematiker und Astronom im reformierten Graz. Dort
publizierte er das Mysterium Cosmographicum (Weltgeheimnis), ein großer

Wurf. Er ordnete – spekulativ zwar, aber höchst genial und visionär – die

Sonne und die damals bekannten fünf Planeten nach deren ungefähren Ent-
fernungen derart an, dass sie sich jeweils auf den Sphären zwischen den fünf
ineinander geschachtelten platonischen Körpern einpassten und begründete
dies so:

„Wenn nun, so dachte ich mir, Gott bei den Bahnen die Bewegungen
den Entfernungen angepaßt hat, so muß er sicher auch die Entfer-
nungen irgendeinem anderen Ding angepaßt haben.“

(Zitiert nach [Zinner 1951, S. 106].)

Von der Gegenreformation aus Graz vertrieben wandte sich Kepler nach Prag
und wurde zunächst eine Art Assistent von Brahe, nach dessen Tod als Kaiser-
licher Mathematiker bestätigt. Als Nachfolger Brahes konnte er über dessen
unermesslich reiches Beobachtungsmaterial verfügen.

Zunächst wandte sich Kepler glücklicherweise den Daten des Mars zu –
dessen Laufbahn die größte Exzentrizität besitzt – und konnte nach mühse-
ligen Rechnungen ( „Mars wehrt sich ständig“) herausfinden, dass die Mars-
bahn elliptisch ist. Kepler verallgemeinerte sein Ergebnis auf alle Planeten
und publizierte 1609 mit finanzieller Unterstützung des Kaisers Rudolph II.

8.6 Zur Frühgeschichte der Infinitesimalmathematik

435

Abb. 8.6.5

Denkmal Brahe/Kepler in Prag [Foto Schreiber]

die Astronomia nova de motibus stellae Martis (Die neue Astronomie über
die Bewegungen des Sternes Mars). Dort werden die beiden ersten Kepler-
schen Gesetze der Planetenbewegung formuliert. Das dritte Gesetz wird 1619
in seinem Werk Harmonice mundi (Weltharmonik) ausgesprochen.

Das Jahr 1611 war für Kepler voller persönlicher Tragödien. Seine Frau
wurde schwer krank. Drei seiner Kinder erkrankten an den Blattern; der

Lieblingssohn starb. Und in Prag wurde sein Gönner, Kaiser Rudolph II.,
zum Rücktritt gezwungen.

Wegen mancherlei Schwierigkeiten verließ Kepler Prag 1612 und ging nach

Linz, wurde wieder vertrieben, ging 1626 nach Ulm, um den Druck der Rudol-
phinischen Tafeln (1627 vollendet) zu überwachen. Da er nicht zum Katholi-
zismus übertreten wollte, verlor er seine Stellung am Kaiserlichen Hofe. Auch
sein dringlicher Wunsch, in Tübingen eine Professur zu erhalten, schlug fehl
wegen theologischer Differenzen zu den lutherischen Orthodoxen. Schließlich
trat Kepler 1628 in die Dienste des Kaiserlichen Generals Wallenstein, haupt-
sächlich als Astrologe. Die Familie begab sich nach Sagan. Um ausstehende

436

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Abb. 8.6.6

Tycho Brahes Beobachtung mit dem Mauerquadranten [Astronomiae

Instauratae Mechanica, Wandsbek 1598], [Wikimedia Commons]

8.6 Zur Frühgeschichte der Infinitesimalmathematik

437

Abb. 8.6.7

Kepler; Keplers tastende Versuche, die Bahn des Planeten Mars aus

Kreisbogenstücken und Ovalen zusammen zu setzen. Die Sonne ist bereits nicht
mehr im Zentrum (DDR 1971, BRD 1971)

Gehälter einzufordern, reiste Kepler zu Pferde 1630 zum Reichstag nach Re-
gensburg, starb aber dort am 15. November 1630 an Erschöpfung.

Kepler war von allen Wegbereitern der Infinitesimalrechnung der vielleicht
phantasievollste. Sein Lebenswerk trägt Züge einer faszinierenden Mischung
von Phantasie und naturwissenschaftlicher Exaktheit, von Mystizismus und
rationalem Denken, von Neoplatonismus und Naturbeobachtung.

Von seinen Beiträgen zur Infinitesimalrechnung ist seine sog. „Faßrech-
nung“ besonders aufschlussreich. Mit dem ihm eigenen hintergründigen Hu-
mor berichtet er über den Anlass zur Entstehung seiner Schrift Nova stereo-
metria doliorum vinariorum (1615) (Neue Stereometrie der Weinfässer):

„ Als ich im November des letzten Jahres (1613) meine Wiederver-
mählung feierte, zu einer Zeit, da an den Donauufern bei Linz die
aus Niederösterreich herbeigeführten Weinfässer nach einer reichli-
chen Lese aufgestapelt und zu einem annehmbaren Preise zu kaufen
waren, da war es die Pflicht des neuen Gatten und sorglichen Fami-
lienvaters, für sein Haus den nötigen Trunk zu besorgen. Als einige

Fässer eingekellert waren, kam am 4. Tage der Verkäufer mit der

Meßrute, mit der er alle Fässer, ohne Rücksicht auf ihre Form, ohne
jede weitere Überlegung oder Rechnung ihrem Inhalte nach bestimmte.

Die Visierrute wurde mit ihrer metallenen Spitze durch das Spund-
loch quer bis zu den Rändern der beiden Böden eingeführt, und als
die beiden Längen gleich gefunden worden waren, ergab die Marke am

Spundloch die Zahl der Eimer im Fasse. Ich wunderte mich, daß die

Querlinie durch die Faßhälfte ein Maß für den Inhalt abgeben könne,
und bezweifelte die Richtigkeit der Methode, denn ein sehr niedriges

438

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Abb. 8.6.8

Titelblatt eines Visierbüchleins [J. Frey, Nürnberg, 15. Jh.]

Faß mit etwas breiteren Böden und daher sehr viel kleinerem Inhalt
könnte dieselbe Visierlänge besitzen. Es schien mir als Neuvermähl-
tem nicht unzweckmäßig, ein neues Prinzip mathematischer Arbeiten,
nämlich die Genauigkeit dieser bequemen und allgemein wichtigen

Bestimmung nach geometrischen Grundsätzen zu erforschen und die
etwa vorhandenen Gesetze ans Licht zu bringen. “

[Kepler 1908, S. 99f.]

8.6 Zur Frühgeschichte der Infinitesimalmathematik

439

Abb. 8.6.9

Figur zur Infinitesimalgeometrie Keplers bei der Kreisflächenbestim-
mung: Der Kreisinhalt ist dem Inhalt des Dreiecks ABC gleich.

Damit wird die Visierkunst, d. h. die Ausmessung des Inhalts von Fässern,
durch Kepler einer wissenschaftlichen Behandlung unterworfen. Er kommt zu
dem Ergebnis, dass ein aus einem Zylinder und zwei Kegelstümpfen zusam-
mengesetzter Hohlkörper hinsichtlich der Inhaltsbestimmung mittels Visier-
rute nicht wesentlich von einem Fass mit gekrümmten Dauben abweicht – und
zwar bei österreichischer Bauart, dagegen wesentlich bei Fässern rheinischer

Konstruktion, die bauchiger gebaut wurden.

Mit der Berechnung von Fassinhalten hat sich Kepler in der „Faßrech-
nung“ nicht begnügt. Kepler zeigte, dass 92 verschiedene Rotationskörper
durch Rotation von Kegelschnitten um verschiedene Achsen entstehen. Er
gab genäherte Volumenbestimmungen an und verlieh den Körpern Namen aus
dem täglichen Leben: Apfel, Zitrone, Spindel, Kürbis, Birne, Pflaume, usw.

Damit ging Kepler weit über die von Archimedes, Commandino, Valerio und
anderen behandelten Körper hinaus. Auch für die praktischen Belange wollte

Kepler Hilfe leisten, indem er der mit komplizierten Beweisen arbeitenden
lateinischen Fassung im Jahre 1616 in deutscher Sprache ein für das tägliche

Leben bestimmtes Visierbüchlein nachfolgen ließ, unter dem Titel „Auszug
aus der Uralten Messekunst Archimedes . . . “. Dort werden ohne Begründung

Vorschriften zur Inhaltsbestimmung und Anfertigung von Fässern gegeben,
ferner Angaben zum Vergleich von unterschiedlichen Gewichts-, Längen- und

Getreidemaßen.

Auch methodologisch hat Kepler einen neuen Abschnitt in der Frühge-
schichte der Infinitesimalrechnung eingeleitet. Durch ihn wurde der bis da-
hin vorwiegend im philosophischen Sinne gebrauchte Begriff des Unendlich-

Kleinen in die Mathematik/Geometrie eingebürgert; man spricht daher direkt
von Infinitesimalgeometrie. So gibt er den Flächeninhalt des Kreises folgen-
dermaßen an:

„ Der Umfang des Kreises BG hat so viele Teile als Punkte, näm-
lich unendlich viele; jedes Teilchen kann angesehen werden als Basis
eines gleichschenkligen Dreiecks mit den Schenkeln AB, so daß in
der Kreisfläche unendlich viele Dreiecke liegen, die sämtlich mit ih-

440

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution
ren Scheiteln im Mittelpunkt A zusammenstoßen. Es werde nun der

Kreisumfang zu einer Geraden BC ausgestreckt. So werden also die

Grundlinien jener unendlich vielen Dreiecke oder Sektoren sämtlich
auf der einen Geraden BC abgebildet (imginatae) und nebeneinander
angeordnet.“

[Kepler 1908, S. 101]

Auf ähnliche Weise verfuhr Kepler bei der Volumenbestimmung der Kugel:

„ Die Kugel besteht aus unendlich vielen Kegeln, deren Scheitel im

Mittelpunkte zusammentreffen, und deren auf der Oberfläche gelegene

Grundflächen durch Punkte ersetzt sind. “

[Kepler 1908, S. 101]

Keplers Methode lässt natürlich von unserem Standpunkt aus die notwendige

Strenge vermissen; auch Kepler war sich dieser Unzulänglichkeit bewusst.

Cavalieri und Torricelli: Methode der Indivisibeln

Ein Galilei-Schüler, Bonaventura Cavalieri (1598?–1647), hat vielleicht am
deutlichsten die bei Kepler noch verborgenen Möglichkeiten erkannt. Zum
anderen knüpfte Cavalieri an die antike Tradition von Demokrit an, auf die

Archimedes angespielt hatte.

Während des Mittelalters hatten, freilich in theologischer Einhüllung, Vor-
stellungen über Teilbarkeit oder Unteilbarkeit eine große Rolle gespielt. Aus
dem griechischen Wort „atomos“ (unteilbar) wurde durch Übersetzung ins

Lateinische „indivisibilis“ (nicht teilbar). In der naturphilosophischen Be-
deutung als kleinster Teil des Kontinuums dürfte das Fachwort „Indivisibel“
im 14. Jahrhundert von dem englischen Scholastiker Thomas Bradwardine

(1290?–1349) geprägt worden sein. Auch bei Kepler sind diese und ähnli-
che Vorstellungen nachweisbar. Gelegentlich spricht er davon, dass Körper
zu Körpern gewordene Flächen darstellen, indem die Flächen geflossen sind.

Die Flächen nehmen sozusagen die Rolle der Unteilbarkeit hinsichtlich des

Körpers ein.

Diese und andere Ansätze hat Cavalieri zu systematisieren versucht. Im

Jahre 1635 erschien sein Buch „ Geometria indivisibilibus continuorum. . . “

(Geometrie der kontinuierlichen Indivisibeln, nach einer gewissen neuen Me-
thode vorgebracht); 1653 folgte eine verbesserte Ausgabe. Trotzdem: Es ist
schwer, eine klare Vorstellung von Cavalieris Ansichten zu erhalten, da er
insbesondere nicht erklärt, was eine Indivisible im mathematischen Sinne
darstellt (das dürfte auch schwierig gewesen sein). Cavalieri hat daher später
wegen der ihm gemachten Vorwürfe ein Bild gebraucht: Ebene Figuren sind
aufzufassen als ein Gewebe aus parallelen Fäden. Körper sind als Bücher auf-
zufassen, welche aus zueinander parallelen Blättern bestehen. Doch besteht

8.6 Zur Frühgeschichte der Infinitesimalmathematik

441

Abb. 8.6.10

Grundvorstellung zum Cavalierischen Prinzip [Wußing 1989, S. 169]

ein Unterschied. Die Fäden bzw. Blätter sind nur in endlicher Anzahl vor-
handen und sie besitzen, zum Unterschied von den Indivisibeln, eine endliche

Dicke.

Man könnte Cavalieris verschwommene Idee so interpretieren: Die Indi-
visibeln sind unendlich dünne Gebilde, die eine um Eins kleinere Dimension
besitzen als das von ihnen in ihrer Gesamtheit gebildete stetige Ganze.

Das Cavalierische Prinzip spielt im heutigen Schulunterricht eine wichtige

Rolle. Hier folgt nun das Cavalierische Prinzip in der Originalform:

Cavalieri unterstellt, dass sich bei jeder geschlossenen ebenen Figur eine

Gerade A als Berührungslinie (bezeichnet als „regula“, d. i. Latte, Leiste, Li-
neal) finden lässt, welche nur einen Punkt („vertex“, d. i. Scheitel) mit der

Berandung gemeinsam hat. Zur „regula“ gibt es unendlich viele parallele Ge-
raden und schließlich wieder eine, die „tangens opposita“ B (die gegenüber-
liegende Berührende), die die Figur abschließend berührt. Nun denkt sich

Cavalieri durch A eine Ebene A und durch B eine weitere, zu A parallele Ebe-
ne B gelegt. A bewegt sich parallel zu sich selbst, bis A in B übergeht. Diese

Bewegung bezeichnet Cavalieri als „Fließen“ – die Grundvorstellung „fließen-
der Größen“ wird in der weiteren Geschichte der Infinitesimalmathematik
eine wesentliche Rolle spielen, insbesondere bei Barrow und bei Newton. Die

Durchschnittsmengen der fließenden Ebenen mit der ebenen Figur bilden in
den Worten von Cavalieri die „Gesamtheit der Geraden der Figur“ ( omnes
lineae figurae) – diese Wendung wird später von Leibniz wieder aufgegriffen
werden.

Für den Raum geht Cavalieri ähnlich vor: Die Stelle der regula nimmt eine

Ebene ein. Diese regula erzeugt beim Fließen die „Gesamtheit der Ebenen des

Körpers“ ( „omnia plana solidi“).

442

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Abb. 8.6.11

Figur zur Berechnung des Kugelvolumens

Das Cavalierische Prinzip wird in zwei Fundamentalsätzen im Original
folgendermaßen formuliert:

„1. Die Gesamtheit der Indivisibeln eines und desselben Gebildes ist
unabhängig von der Regula.

2. Ebene Figuren oder auch Körper stehen in demselben Verhältnisse
wie die Gesamtheiten ihrer Geraden bzw. Ebenen, welche nach ir-
gendeiner Regula genommen werden.“

(Deutsch zitiert nach [Cantor, M. Bd. 2, 1892, S. 761])

Cavalieri verwendete diese Festlegungen nach Art von Axiomen, war sich aber
ihres heuristischen Charakters bewusst: Die Methode ist gut und richtig, weil
sie richtige Ergebnisse liefert.

Zur Berechnung des Kugelvolumens z. B. geht Cavalieri so vor: Einer Halb-
kugel wird ein Zylinder umbeschrieben und dem Zylinder ein Kegel einbe-
schrieben. Eine Ebene, die senkrecht auf dem Radius OE steht, schneidet

2

2

2
dann Kreise aus mit den Radien AC, AD und AB, wobei CA + AO = CO

2

2

2
gilt. Wegen AO = AB und CO = DA hat man CA + AB = DA . Also
ist – indem man sich diese Gleichung mit π multipliziert denkt – die Summe
der Flächeninhalte der Schnittkreise der Kugel und des Kegels gleich dem

Flächeninhalt des Schnittkreises des Zylinders. Die Ebene war in ihrer Lage
nicht beschränkt. Was für das eine Tripel der Quadrate der Indivisibeln gilt,
so schließt Cavalieri, gilt auch für deren Gesamtheiten. Also wendet er sein

Prinzip an und erhält nacheinander

2

V Kugel + V Kegel = V Zylinder , V Zylinder = 3 V Kegel , V Kugel =

V Zylinder .

3

Damit hatte Cavalieri natürlich kein neues Ergebnis gefunden; schon Archi-
medes war ja auf diesen Satz besonders stolz gewesen. Neu war bei Cavalieri
nur die auf systematischem Gebrauch der Indivisibeln beruhende Methode.

Immerhin aber gelangte er unter Anwendung einiger Kunstgriffe zu Integra-
tionen, die wir heute schreiben würden als
a

a

1

1
x 2d x =
a 3
und
x 4d x =
a 5 .

3

5
o
o

8.6 Zur Frühgeschichte der Infinitesimalmathematik

443

Abb. 8.6.12

Cavalieri, Torricelli

Diese Integrationen von Potenzfunktionen waren freilich in der Zwischenzeit
auch andernorts geleistet worden, u. a. durch Fermat und Wallis.

Evangelista Torricelli (1608–1647) war einer der letzten direkten Schüler
von Galilei und übernahm nach dessen Erblindung die Schlussredaktion der

Discorsi. Torricelli spielte bekanntlich auch in der Geschichte der Physik eine
herausragende Rolle: bei der Widerlegung des sog. horror vacui. Torricelli
war zugleich ein ausgezeichneter Mathematiker. Er beherrschte die Exhaus-
tionsmethode und die Methode der Indivisibeln. Unter Kombination beider

Verfahren leistete er auf elf verschiedene Arten die Quadratur der Parabel
und schließlich die der Zykloide (das Wort Zykloide stammt von Galilei).

Die mechanische Interpretation der Parabel – gemäß Galilei – als wirkliche

Bewegung führte Torricelli zum Begriff der Einhüllenden einer Kurvenschar:

Er betrachtete die durch Variation des Abwurfwinkels entstehende Schar von

Wurfparabeln und fand die Sätze, dass die Einhüllende der Schar ebenfalls
eine Parabel ist und dass der geometrische Ort der Scheitelpunkte aller Para-
beln der Schar wiederum eine Parabel ist. Eine mathematische Entdeckung

Torricellis führte sogar zu schweren Zweifeln an der Richtigkeit der Mathe-
matik überhaupt. Bei der von ihm geleisteten Kubatur eines Rotationshyper-
boloides tritt zum ersten Mal ein uneigentliches Integral auf. Und schlimmer
noch: der Rauminhalt eines sich ins Unendliche erstreckenden Körpers ist
endlich! Das Resultat wirkte höchst paradox. In unserer Schreibweise inte-
grieren wir gemäß

∞

1

1
π

.

x 2 d x = π a
a

Also: Das Volumen des unendlichen Körpers ist gleich dem Rauminhalt des

Zylinders der Höhe a mit dem Radius 1 a .

444

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Abb. 8.6.13

Figur zum Volumen eines Rotationshyperboloides

Die Schwächen der Indivisibeln-Methode verhinderten die dauernde und
allgemeine Anerkennung. Sie war fragwürdig und logisch ungesichert. Außer-
dem war sie unbrauchbar für die Berechnung von Oberflächen und Bogen-
längen. Die rechnerisch-algebraische Durchbildung der Indivisibeln-Methode
bot jedoch weiteren Spielraum. Dieser Aufgabe hat sich eine große Anzahl
von Mathematikern zur Mitte des 17. Jahrhunderts gewidmet und bemer-
kenswerte Forschritte erzielt, unter ihnen Gregorius, Roberval, Fermat. So
vermochte Fermat in diesem Zusammenhang unter Verwendung archimedi-
scher Grundgedanken durch Zerlegung große Klassen von Funktionen zu in-
tegrieren, die Klassen der allgemeinen Parabeln, der allgemeinen Hyperbeln

(außer der gleichseitigen Hyperbel xy = 1) und der allgemeinen Spiralen mit
den Gleichungen

y n
x m
y n x m
r n
rϕ m

=

,

= 1 ,

=

,
b
a
b
a
a
aα
m und n sind dabei zueinander teilerfremde natürliche Zahlen und m > n.

Um eben diese Zeit, um die Mitte des 17. Jahrhunderts, erzielte der Phy-
siker und Astronom Christiaan Huygens (1629–1695) weitreichende neue Er-
gebnisse, unter bewusstem Verzicht auf die von ihm als unexakt abgelehnte

Indivisibeln-Methode und unter Rückgriff auf die strengere Archimedische

Exhaustionsmethode. Ihm gelang die Rektifikation der Parabel, die Kompla-
nation von Rotationsflächen zweiter Ordnung, und schließlich stellte er um

1673 eine Theorie der Evoluten und Evolventen auf, diese letztere im Zusam-
menhang mit der Konstruktion einer Pendeluhr mit Zykloidenpendel. Später
jedoch vermochte sich Huygens nicht der Infinitesimalrechnung anzuschlie-
ßen, weder in der Form der Fluxionsrechnung von Newton noch in der Form
des Calculus von Leibniz.

8.6 Zur Frühgeschichte der Infinitesimalmathematik

445

Abb. 8.6.14

Christiaan Huygens; Ergebnisse der Forschung von Huygens und

Newton (Niederlande 1928, 1988)

John Wallis: Arithmetisierung der Indivisibelnmethode

Ein typisches Beispiel soll die Arithmetisierung der Indivisibeln-Methode ver-
deutlichen; sie führte dicht an die rechnerische Behandlung von Grenzüber-
gängen heran. Hier kommt der Engländer John Wallis (1616–1703) zur Spra-
che, der sich nicht nur als Mathematiker, sondern auch als Arzt, Logiker,

Theologe und Philologe ausgezeichnet hat. Wallis hatte sich ursprünglich mit

Algebra befasst, dann aber lernte er die Arbeiten von Cavalieri und Torricelli
kennen und beschäftigte sich mit Quadraturen und Kubaturen. Nach einer

Reihe von Einzelarbeiten erschien 1656 die zusammenfassende Arithmetica
infinitorum (Arithmetik der unendlichen Größen). Der Titel ist gut gewählt.

Es kam ja darauf an, bei Quadraturen und Kubaturen möglichst rechnerisch
zu verfahren.

Abb. 8.6.15

Zur Volumenberechnung einer Pyramide nach der Indivisibeln-
methode

446

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Abb. 8.6.16

John Wallis (Kupferstich von W. Fairthorne 1668)

Cavalieri hatte mit seiner Methode den bekannten Satz bewiesen, dass sich
die Volumina eines Prismas zur einbeschriebenen Pyramide wie 3:1 verhalten.

In seiner Sprechweise: Die Gesamtheit der Indivisibelnquadrate eines Paral-
lelogramms verhält sich zur Gesamtheit der Indivisibelnquadrate eines durch
eine Diagonale herausgeschnittenen Dreiecks wie 3:1. In unserer Schreibweise
führt das auf

12 + 22 + . . . + n 2

1
lim

.

n→∞
n · n 2

= 3

Wallis erkannte nun den engen Zusammenhang zwischen dem von Cavalie-
ri betrachteten und in Anlehnung an die Stereometrie bestimmten Grenzwert
und dem Quadraturproblem der Parabeln. Er erkannte, modern ausgedrückt,
die Äquivalenz von

8.6 Zur Frühgeschichte der Infinitesimalmathematik

447

1

12 + 22 + . . . + n 2

1

1
lim
und
x 2d x =

.

n→∞
n · n 2

= 3

3

0

Nach kühner Induktion für die Integration der Parabeln y = xm ( m > 0,
ganz) behauptete er die Äquivalenz von

1

1 m + 2 m + . . . nm

1

1
lim
und
xm d x =

.

n→∞
n · nm

= m + 1
m + 1

0

Den Beweis für den linken Grenzwert führte Wallis rechnerisch – im Unter-
schied zu Cavalieri. Für m = 3 etwa setzte er voraus, dass 1 / 4 herauskommt.

Daher rechnete er für n = 1 , 2 , 3 . . .

1 = 1 / 4 + 3 / 4 ;

9 / 16 = 1 / 4 + 5 / 16 ;

4 / 9 = 1 / 4 + 7 / 36 ; . . .

Er bestimmte also den Grenzwert

1

1 + 2 n

1
lim

+

=

.

n→∞

4
n 2 · 22

4

Er schreibt:

„ Der Bruch, um welchen 1/4 übertroffen wird, hat zum Nenner offen-
bar stets um 4 zunehmende Zahlen und wird stetig kleiner, so dass er
endlich kleiner als jeder beliebige angebbare Wert wird, und wenn man
bis ins Unendliche die Versuche ausdehnt, geradezu verschwindet. “

Und an einer anderen Stelle gebraucht Wallis die Formulierung:

„ . . . der Unterschied (zum wahren Wert, Wg) wird kleiner als jede nur
angebbare Größe“

[Cantor, M. Bd. 2, 1892, S. 823]

Damit hat Wallis das allgemeine Resultat (in unserer (Schreibweise)

1

1
xm d x =
für
m > 0 ,
ganz .

m + 1

0

Und nun geht Wallis zu einer extrem kühnen Induktion über. Er behauptet
die Richtigkeit dieser Beziehung für alle Potenzfunktionen y = xm, also

1

1
xm d x =
für alle
m = − 1 ,
m + 1

0
also für alle positiven und negativen, ganzen und gebrochenen und sogar
irrationalen m. Nur m = − 1 muss er natürlich ausschließen.

448

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Mit dieser Induktion stand Wallis unter dem philosophischen Einfluss von

Francis Bacon (1561–1626), dem großen Verfechter der Methode des Aufstei-
gens vom Speziellen zum Allgemeinen. Bei Wallis handelte es sich also kei-
neswegs um mathematische oder vollständige Induktion; diese ist wohl erst
von Pascal als mathematische Neuerung aufgebracht worden.

Wallis dagegen hat die Induktion im Baconschen Sinne als allgemeines
wissenschaftliches Prinzip benutzt und daher auch gar nicht die Notwendig-
keit empfunden, den Satz allgemein zu beweisen. Für irrationale Exponenten
hätte er auch gar nicht die Möglichkeit dazu besessen.

Mit dem Blick auf die Vielseitigkeit und Bedeutung seien noch zwei Be-
merkungen zu Wallis angebracht. Wallis hat 1685 eine Abhandlung unter dem

Titel A Treatise of Algebra both historical and practical (Abhandlung über

Algebra, sowohl historisch als auch praktisch) veröffentlicht und würdigt dort
die Leistungen von Oughtred, Harriot, Pell, Newton und seine eigenen. Auch
diskutiert er das Auftauchen und die Bezeichnung der indisch-arabischen Zif-
fern. Er ist daher gelegentlich [Stedall 2003] als der erste moderne Mathema-
tikhistoriker bezeichnet worden.

Wallis gehörte zu jenen, die Newton bedrängten, er möge seine Ergebnisse
bekannt machen, im Interesse des internationalen Ansehens der englischen

Wissenschaft.

Pierre de Fermat: Das Tangentenproblem

Bei der Betrachtung der Methode und der Ergebnisse von Wallis könnte man
meinen, die Differential- und Integralrechnung stünde kurz vor der Geburt,
hätte nun gleich sozusagen herausspringen müssen. Das war jedoch nicht der

Fall. Es war noch eine weitere Komponente historisch notwendig, nämlich
die Diskussion um das allgemeine Tangentenproblem und die Hinwendung zu

(einfachen) Extremwertproblemen.

Dieser Problemkomplex wurde insbesondere von Fermat schon zu einem
relativ frühen Zeitpunkt sehr weit vorangebracht. Um 1628/29 fand er eine

Methode, in einfachen Fällen Extremwerte zu berechnen. Und schließlich ver-
band Fermat Extremwertbetrachtungen mit physikalischen Fragestellungen;
u. a. gelangte er zur Konstatierung des kürzesten bzw. extremen Lichtweges
bei Lichtbrechung [Wußing 1989, S. 166].

Ursprünglich hatte er sein Verfahren nur für ganzrationale Funktionen
entwickelt; aber später sprach er es in voller Allgemeinheit aus. Freilich fehlt
eine strenge Begründung; die Methode rechtfertigt sich durch den Erfolg.

Gewöhnlich ruft er daher in solchen Abhandlungen mit berechtigtem Stolz
aus:

„Eine allgemeinere und schönere Methode kann man wohl nicht an-
geben.“

8.6 Zur Frühgeschichte der Infinitesimalmathematik

449

Aus der Methode der Bestimmung der Maxima und Minima entwickelte Fer-
mat ein Verfahren, um die Kurventangenten zu konstruieren. Beispielsweise

(der Leser möge sich nicht dadurch verwirren lassen, dass im nachfolgen-
den Text Großbuchstaben sowohl für die Länge von Strecken als auch zur

Bezeichnung ihrer Endpunkte verwendet werden; dadurch wird weitgehende

Annäherung an den Originaltext erreicht) sei an eine quadratische Parabel
mit dem Scheitel D in B eine Tangente zu legen. Dann gilt wegen der Eigen-

2

2
schaften der Parabel CD : DI > BC : OI .

Aus Ähnlichkeitssätzen folgt:

2

2

2

2

2

2

BC : OI = CE : IE , also CD : DI > CE : IE .

Setzt man CD = D, CE = A und CI = E, dann ist D : ( D − E) > A 2 :

( A 2 + E 2 − 2 AE). CI = E ist entstanden durch Verschiebung von C nach I.

Das erinnert an die Bildung f( x+ h) −f( x)

h
beim Differenzenquotienten.)

Durch Ausmultiplizieren, Weglassen der gemeinsamen Glieder und Erset-
zung von > durch ≈ erhält man DE 2 − 2 DAE ≈ −A 2 E. Nach Division durch

E (das endlich ist) erhält man DE + A 2 ≈ 2 DA. Dann streicht man den mit

E behafteten Term DE. (Erinnert an den Grenzübergang vom Differenzen-
quotienten zum Differentialquotienten für h → o). Es folgt A 2 = 2 DA oder

A = 2 D. Die Tangente ist konstruierbar!

Der Zusammenhang mit dem Differenzenquotienten wird deutlich, wenn
man moderne Bezeichnungen verwendet und dazu in Abb. 8.6.17 ein Koor-
dinatensystem mit Nullpunkt in D und nach links gerichteter x-Achse legt.

√

Dann hat die Parabel die Gleichung y 2 = x bzw. y = f ( x) = ± x. Sind x
und x + h die x-Koordinaten von C und I, so ist CD = x = f 2( x) , DI =
x + h = f 2( x + h) also

CD : DI = x : ( x + h) = f 2( x) : f 2( x + h)

Abb. 8.6.17

Konstruktion einer Tangente an die quadratische Parabel nach

Fermat

450

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Abb. 8.6.18

Blaise Pascal, Pierre de Fermat

Daraus folgt
xf 2( x + h) = ( x + h) f 2( x)

x[ f 2( x + h) − f 2( x)] = hx
f( x+ h) −f( x)

h

=

1
f( x+ h)+ f( x)

und wegen der Stetigkeit von f für h → 0
f ( x + h) − f ( x)

1

1
lim

= f ( x) =

=

√ .

h→ 0
h

2 f ( x)

2 x

Fermat sagt zu seiner Methode:

„ Die Methode (der Tangentenbestimmung, Wg) versagt nie; sie kann
sogar auf eine große Anzahl sehr schöner Aufgaben ausgedehnt wer-
den; mit ihrer Hilfe finden wir die Schwerpunkte von Figuren, die
von Kurven und Geraden begrenzt sind, sowie auch von Körpern und
noch vieles andere, worüber wir vielleicht noch ein andermal berichten
werden, wenn wir dazu Muse finden. “

[Fermat, 1934, S. 4].

Leider hat Fermat für dieses weitgesteckte Programm nicht die Muße gefun-
den.

Blaise Pascal: Das charakteristische Dreieck

Es gab aufgeregte Diskussionen über die Tragweite der Fermatschen Tan-
gentenmethode; gerade die Anhänger von Descartes hatten Einwände. Aber
immerhin rückte das Tangentenproblem in den Mittelpunkt des Interesses
und beschleunigte die Herausbildung der Infinitesimalrechnung.

8.6 Zur Frühgeschichte der Infinitesimalmathematik

451

Abb. 8.6.19

Das charakteristische Dreieck bei Pascal

Noch ein weiterer französischer Gelehrter, Pascal, hat einen wesentlichen

Beitrag zur Bewältigung des Tangentenproblems geleistet, und zwar so, dass

Leibniz davon direkt profitieren konnte. Im Jahre 1659 hatte Pascal die

Schrift Traité du sinus du quart de cercle (Abhandlung über die Sinus des

Viertelkreises) veröffentlicht. Leibniz, der sich zu Anfang der 70er Jahre in

Paris aufhielt, bemerkte in dieser Abhandlung, wie er sich ausdrückte, „ein
großes Licht, das der Autor selbst nicht gesehen habe.“

Bei der Berechnung des statischen Momentes eines Viertelkreisbogens
wurde Pascal auf die folgende (modernisierte) Figur geführt: Gegeben sei
ein Kreisquadrant ABC, E der Fußpunkt des Kreisradius AE und D der

Fußpunkt des Lotes von E auf die x-Achse. Mit einem Tangentenstück GH
wird ein kleines rechtwinkliges Dreieck FGH konstruiert, dessen Katheten
parallel zu den Koordinatenachsen liegen. Wegen der Ähnlichkeit der Dreie-
cke Δ AED und Δ HGF gilt AE : ED = HG : GF . Anders ausgedrückt: Die
beiden Dreiecke mit den Seiten AE und GF bzw. HG und ED sind flächen-
gleich. Und beiläufig macht Pascal die Bemerkung: Für kleine Dreiecke kann
der Bogen der Kurve durch die Tangente ersetzt werden.

Leibniz erkannte nun, dass entsprechende Proportionen bzw. entsprechen-
de Flächengleichheiten nicht nur für den Kreisbogen, sondern für jede Kur-
ve gelten; man hat nur den Kreisradius durch die Kurvennormale zu erset-
zen: Leibniz nannte das – infinitesimal klein gedachte – Dreieck Δ F GH mit
den Seiten Δ x, Δ y und Δ s „triangulum characteristicum“ (charakteristisches

Dreieck); wir sprechen heute von Anstiegs- oder Steigungsdreieck.

452

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

8.7 Durchbildung der infinitesimalen Methoden:

Newton und Leibniz

Die Herausbildung ausgereifter infinitesimaler Methoden setzte die genaueste

Kenntnis der antiken und der von Kepler und Cavalieri stammenden geome-
trischen Ansätze ebenso voraus wie die Akzeptanz und Übernahme der al-
gebraischen Kalküle von Vieta, Descartes und Fermat. So folgten historisch
die Etappen des Ausbaues der antiken Verfahren der Exhaustionsrechnung,
die Theorie der Indivisibeln und deren Arithmetisierung aufeinander. Parallel
dazu erfolgte die Behandlung der Tangenten, der Quadratur der allgemeinen

Parabeln sowie die Hinwendung zu Extremwertaufgaben.

Dies alles gehört zu den logisch-historischen Voraussetzungen für den di-
daktischen Umschlag in die Ausbildung kalkülmäßig beherrschbarer infinite-
simaler Methoden; dieser konnte daher erst nach 1660 vollzogen werden. Mit
der Erfindung der Fluxionsrechnung durch Newton und schließlich mit der

Entwicklung des Calculus durch Leibniz wird die Infinitesimalmathematik
nach Form und Inhalt einen gewissen vorläufigen Abschluss erreichen.

Das 18. Jahrhundert sah dann den weiteren Ausbau der infinitesimalen

Methoden, die volle Herausbildung des Funktionsbegriffes und die höheren

Gefilde der Analysis, wie z. B. die Theorie der Differentialgleichungen und die

Variationsrechnung, dies alles begleitet von ideologischen und methodologi-
schen Auseinandersetzungen um das Wesen des sog. Unendlich-Kleinen.

Newton und die Fluxionsrechnung

Mit Wallis hatte die Infinitesimalmathematik auf der britischen Insel bereits
einen hervorragenden Vertreter gefunden. Ein jüngerer Landsmann, Isaac

Barrow (1630–1677), soll ebenfalls aus der großen Schar der Pioniere der In-
finitesimalmathematik hervorgehoben werden. Er war ursprünglich Theologe
und wurde 1660 Professor für Griechisch an der Universität von Cambridge,
später Professor für Mathematik am Gresham-College. 1655 ließ er eine Über-
setzung der fünfzehn Bücher von Euklid erscheinen, die sehr erfolgreich war.

Von 1662 bis 1669 war er Inhaber des einzigen naturwissenschaftlichen

Lehrstuhls in Cambridge, des sog. Lucasischen Katheders. Barrow hielt Ein-
führungsvorlesungen über Mathematik (1664–1666) sowie Vorlesungen über

Optik und Geometrie (1666/68) bzw. (1668/69).

Newton hörte Vorlesungen bei Barrow und kann durchaus als dessen Schü-
ler bezeichnet werden. In Barrows Lectiones Opticae et Geometriae (Optische
und geometrische Vorlesungen; 1668 vollendet, aber erst 1670 publiziert) wird

Newton erstmals als Wissenschaftler erwähnt:

„Unser berühmter und wissensreicher Kollege Dr. Isaacus Newtonus
hat dieses Manuskript durchgesehen, einige notwendige Korrekturen
vorgenommen und persönlich einiges hinzugefügt, was sich an meh-
reren Stellen angenehm bemerkbar macht.“

(Zitiert bei [Wußing 1990, S. 39])

8.7 Durchbildung der infinitesimalen Methoden: Newton und Leibniz

453

Im Original heißt die Passage:

„Quorum unus (. . . ) D. Isaacus Newtonus, collega noster (peregregiae
vir indolis ac insignis peritiae) exemplar revisit, aliqua corrigenda
monens, sed et de suo nonnulla penu suggerens, quae nostris alicubi
cum laude innexa cernes. . . “

[Barrow 1670, S. 6]

Jedenfalls haben Barrow und Newton einige Zeit zusammengearbeitet. Durch

Barrow wurde Newton unter anderem auch mit der Konzeption der „fließen-
den Größen“ bekannt gemacht, möglicherweise schon als Student. 1669 ver-
zichtete Barrow auf seinen Lehrstuhl zugunsten von Newton und beschäftigte
sich mit theologischen Fragen.

Eine sehr wichtige, zentrale Erkenntnis der Infinitesimalmathematik geht
auf Barrow zurück, wir bezeichnen sie heute als Hauptsatz der Differential-
und Integralrechnung. Barrow erkannte mehr oder weniger deutlich – es
gibt unterschiedliche Interpretationen –, dass Quadratur (also Flächenbe-
rechnung) und Tangentenbestimmung zueinander inverse Operationen sind

(vgl. [Maanen 1999, S. 86–88]). J. v. Maanen stellt zusammenfassend fest:

„Die Erkenntnis über die inverse Beziehung zwischen Quadratur und

Tangente ist also vorhanden. Ein Algorithmus zur Nutzung dieser

Erkenntnis und die angemessenen Symbole fehlen noch. Sie kamen
in den Arbeiten von Newton und Leibniz, und Newton hatte sie sogar
schon handschriftlich niedergelegt, als Barrow seine „Lectiones“ 1670
veröffentlichte.“

[Maanen 1999, S. 88]

Isaac Newton war einer der bedeutendsten Naturforscher, den die Mensch-
heit bisher hervorgebracht hat. Er konstruierte ein Spiegelteleskop, erkann-
te, dass weißes (Sonnen)Licht aus Spektralfarben zusammengesetzt ist, fand
das allgemeine Gravitationsgesetz, trieb chemische Studien, beschäftigte sich
mit theologischen Fragen, organisierte das britische Münzwesen, leistete als

Präsident der Royal Society wirksame Arbeit bei der Organisation der Wis-
senschaften, schuf mit seiner Fluxionsrechnung eine spezifische Form der In-
finitesimalmathematik und leistete wesentliche Beiträge zur Reihenlehre und
zur Algebra.

In einem feierlichen Staatsbegräbnis wurde Newton – wie viele bedeutende

Persönlichkeiten Britanniens – in der Westminster Abbey beigesetzt. Auf
einem pompösen Memorial wurde die folgende Grabinschrift angebracht. Sie
ist zugleich ein Zeitzeugnis:

„Hier ruht Sir Isaac Newton, welcher als Erster mit nahezu göttli-
cher Geisteskraft die Bewegungen und Gestalten der Planeten, die

Bahnen der Kometen und die Fluten des Meeres durch die von ihm
entwickelten mathematischen Methoden erklärte, die Verschiedenheit

454

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution
der Lichtstrahlen sowie die daraus hervorgehenden Eigentümlichkei-
ten der Farben, welche vor ihm niemand auch nur geahnt hatte, er-
forschte, die Natur, die Geschichte und die Heilige Schrift fleißig,
scharfsinnig und zuverlässig deutete, die Majestät des höchsten Got-
tes durch seine Philosophie darlegte und in evangelischer Einfachheit
der Sitten sein Leben vollbrachte. Es dürfen sich alle Sterblichen be-
glückwünschen, daß diese Zierde des menschlichen Geschlechts ihnen
geworden ist. Er wurde am 25. Dezember 1642 geboren und starb am

20. März 1727.“

(Zitiert bei [Wawilow 1951, S. 202])

Joseph Louis Lagrange, hauptsächlich mit dem Blick auf die Entdeckung der
allgemeinen Gravitationskraft, ruft aus: „Newton ist der Glücklichste; das

System der Welt kann man nur einmal entdecken.“

Und Albert Einstein, durch dessen Wirken Newtons Gravitationstheorie
in einen größeren allgemeineren Zusammenhang gestellt wurde, sagt:

„Newton verzeih mir; du fandest den einzigen Weg, der zu deiner Zeit
für einen Menschen von höchster Denk- und Gestaltungskraft eben
noch möglich war. Die Begriffe, die du schufst, sind auch jetzt noch
führend in unsrem physikalischen Denken, obwohl wir nun wissen,
daß sie durch andere, der unmittelbaren Entfernung ferner stehende
ersetzt werden müssen, wenn wir ein tieferes Begreifen der Zusam-
menhänge anstreben.“

(Zitiert bei [Wußing 1990, S. 121])

Das Geburtsdatum in der Grabinschrift – 25. 12. 1642 – beruht auf dem da-
mals noch in England gültigen Julianischen Kalender. So kann man den sym-
bolischen Zusammenhang herstellen, dass Newton im selben Jahr geboren
wurde, in dem sein Wegbereiter Galilei starb (nach gregorianischer, heutiger

Datierung fiel Newtons Geburt auf den 4. Januar 1643).

Newton stammt aus Woolsthorpe bei Grantham/Lincolnshire. Der Vater,
ein Landpächter, war noch vor der Geburt des Jungen gestorben. Einsichts-
volle Verwandte und Lehrer ermöglichten ihm den Besuch der Lateinschule, so
dass er 1661 am Trinity College in Cambridge immatrikuliert werden konnte,
als „subsizar“ (dienender Student) wegen seiner schlechten finanziellen La-
ge. Cambridge war damals eine noch weitgehend mittelalterlich organisierte

Universität, kaum erreicht von der Ideenflut der Wissenschaftlichen Revolu-
tion. Professoren durften im Allgemeinen nicht heiraten. Erst 1663 trat eine

Wendung ein, als ein gewisser Henry Lucas im Trinity College den ersten na-
turwissenschaftlichen Lehrstuhl begründete. Dieser wurde von Isaac Barrow
eingenommen, durch den Newton in die moderne Naturwissenschaft einge-
führt wurde, insbesondere hinsichtlich der Optik. Wegen eines verheerenden

Pestzuges verließ Newton 1665–67 seinen Studienort und ging in seine Heimat
zurück; jedermann, der konnte, flüchtete aus den Städten. In ländlicher Stille
fand Newton dort die entscheidenden Ansätze aller seiner späteren großar-
tigen Leistungen in Optik, Farbenlehre, Mathematik und Philosophie; frei-

8.7 Durchbildung der infinitesimalen Methoden: Newton und Leibniz

455

Abb. 8.7.1

Newtons Grabmal in der Westminster Abtei [Foto Wußing]

lich sind viele Ideen erst später ausgreift und in Publikationen eingemündet.

Rückblickend hat sich Newton so geäußert:

„Anfang des Jahres 1665 fand ich die Annäherungsmethode für Rei-
hen und die Methode, um jede Größe eines jeden Binoms in eine
solche Reihe zu überführen. Im gleichen Jahr fand ich im Mai die

Tangentenmethode von Gregory und Slusius und im November hat-
te ich die direkte Methode der Fluxionen und im nächsten Jahr im

Januar die Farbentheorie; und im folgenden Mai erhielt ich Zugang

456

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution
zu der umgekehrten Methode der Fluxionen. Und im gleichen Jahr
fing ich an, darüber nachzudenken, die Schwerkraft auf die Umlauf-
bahn des Mondes auszudehnen, und (nachdem ich festgestellt hatte,
wie die Kraft zu schätzen sei, mit der eine Kugel, die sich innerhalb
einer Sphäre dreht, die Oberfläche der Sphäre preßt) leitete (. . . ) aus

Keplers Regel ab, daß die Kräfte, die Planeten in ihren Umlaufbah-
nen halten, den Quadraten ihrer Entfernungen von den Mittelpunk-
ten, um die sie kreisen, umgekehrt proportional sein müssen: Dabei
verglich ich die erforderliche Kraft, um den Mond auf seiner Umlauf-
bahn zu halten, mit der Schwerkraft an der Erdoberfläche und fand,
daß sie dem ziemlich genau entsprach. All dies geschah in den bei-
den Pestjahren 1665 und 1666, denn in jenen Tagen stand ich in der

Vollkraft meiner Jahre für die Erfindung und beschäftigte mich mehr
als irgendwann seither mit Mathematik und Philosophie.“

(Zitiert nach [Hall 1965, S. 330])

Bereits 1666 verfasste Newton eine Abhandlung über Farben, 1667 wurde
er Mitglied des Lehrkörpers. 1668 verfertigte er ein erstes Exemplar seines

Spiegelteleskopes; als Anerkennung wurde er 1672 Mitglied der Royal So-
ciety. In der Zwischenzeit beschäftigte sich Newton mit Arbeiten über Rei-
hentheorie und Farbentheorie, ohne sie zunächst zu publizieren. 1676 gab es
einen Briefwechsel mit Leibniz über Infinitesimalmathematik, freilich in ver-
schlüsselter Form. 1687 erschienen die Philosophiae naturalis principia ma-
thematica (Mathematische Prinzipien der Naturwissenschaft), das vielleicht
bedeutendste Werk der Naturwissenschaft. In ihm werden die Fundamente
der Physik (Masse, Kraft, Beschleunigung) gelegt und die allgemeine Gravi-
tationstheorie formuliert. In den Jahren um 1693 litt Newton unter schweren

Depressionen. 1696 wurde er „Warden of the mint“, 1699 „Master of the mint“
und reformierte das britische Währungssystem. 1703 wurde er Präsident der

Royal Society und 1705 geadelt. Nach und nach erschienen grundlegende

Arbeiten von Newton (1704: Optik; 1704: Über die Quadratur der Kurven;

1707: Arithmetica universalis; 1711: Über die Reihenlehre; weitere Auflagen
der „Principia“und anderes mehr).

Am 28. Februar 1727 führte Newton zum letzten Mal den Vorsitz in der

Royal Society. Er starb am 31. März 1727.

Newton war in erster Linie Physiker, zugleich aber auch ein bedeutender

Mathematiker mit erheblicher Folgewirkung (über seinen Beitrag zur Algebra
wurde bereits berichtet). Von Newtons Beiträgen zur Infinitesimalrechnung
kommen im Wesentlichen drei selbstständige Abhandlungen in Betracht, dazu
einige längere Passagen aus den „Principia“.

Im britischen Bürgerkrieg wurde Cambridge 1642 von Cromwells Truppen
erobert; eine höchst unruhige Zeit brach an, mit Entlassungen und Wieder-
einstellungen durch royalistisch gesinnte Herrscher. Merkwürdigerweise waren
die Studentenzahlen davon kaum betroffen [Feingold 1990].

8.7 Durchbildung der infinitesimalen Methoden: Newton und Leibniz

457

Abb. 8.7.2

Legende vom fallenden Apfel, der Newton auf die Idee der allgemei-
nen Gravitation brachte (dieses Märchen stammt von Voltaire, der seinen Lands-
leuten Newtons Gravitationstheorie nahe bringen wollte); Veranschaulichung von

Newtons Farbentheorie; (Auswahl aus einem vierteiligen Satz zum 300. Jahrestag des

Erscheinens der „ Principia“ , Großbritannien 1987)

Abb. 8.7.3

Newtons Wohnung im Trinity College [Foto Wußing]

458

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Abb. 8.7.4

Isaac Newton [Gemälde von G. Kneller 1702, National Portrait Gallery

London], [Wikimedia Commons]

Erst in den 80er Jahren trat der Niedergang ein. Newton hatte entschei-
dende Anregungen durch die Lektüre der mathematischen Arbeiten seiner

Landsleute J. Wallis (1616–1703), W. Brouncker (ca. 1610–1684), des Schot-
ten J. Gregory (1738–1675) und des aus Norddeutschland stammenden Ni-
colaus Mercator (1620–1687). Sie gelangten u. a. zu Reihenentwicklungen für
die Logarithmusfunktion
x

2

d u
d x

= ln x
und für

= ln 2 .

u
x

1

1

Nun endlich ließ sich Newton von seinen Freunden bewegen, seine eigenen
bedeutenden Ergebnisse zur Reihenlehre niederzuschreiben. Die Abhandlung
war im Sommer 1669 fertig gestellt und wurde unter dem Titel De Analysi
per aequationes numero terminorum infinitas (Über die Rechenkunst mittels

Gleichungen mit unendlichen vielen Gliedern) bei der Royal Society hinter-
legt, galt damit als publiziert und stand allen zur Einsicht offen. Auch Leib-
niz hat sie während seines Londoner Aufenthaltes eingesehen (übrigens bezog
sich der spätere Prioritätsstreit zwischen Newton und Leibniz nicht auf die

Reihenlehre). Die Arbeit wurde allerdings erst viel später, 1711, gedruckt.

Die Fluxionsrechnung lag bereits 1671 druckfertig vor, sie enthielt seine

Infinitesimalrechnung zusammen mit einer verbesserten Darstellung der un-
endlichen Reihen. Dieses Buch trug den Titel Methodus fluxionum et serierum

8.7 Durchbildung der infinitesimalen Methoden: Newton und Leibniz

459
infinitorum (Methode der fließenden Größen und der unendlichen Reihen).

Wie bei anderen Werken von Newton auch erfolgte zunächst keine Druckle-
gung, zum Teil deshalb, weil der große Brand von London im Jahre 1666 die
ganze Stadt und darunter alle Druckereien zerstört hatte. Erst 1736 erschien
die Fluxionsrechnung in englischer Übersetzung im Druck, das heißt, nach

Newtons Tode und zu einem Zeitpunkt, als ihr Inhalt schon überholt war.

Newton – der Physiker – ging bei seinen Überlegungen zur Infinitesimal-
mathematik von mechanisch-physikalischen Grundvorstellungen aus, die er
später in den „Principia“ explizit dargelegt hat: Es gibt eine objektiv exis-
tierende, unabhängig von allen Geschehnissen verlaufende Zeit. Alle Körper
bewegen sich in einem objektiv existierenden Raum, der unabhängig ist von
allen darin befindlichen Körpern. Alle veränderlichen Größen sind physikali-
sche Größen, die von der objektiv verlaufenden Zeit abhängen. Diese Größen,
die von der Zeit abhängenden Variablen also, nennt Newton „Fluenten“. Die

Geschwindigkeiten – wir würden sagen: ihre Ableitungen nach der Zeit –
heißen „Fluxionen“ (oder Wachstumsgeschwindigkeiten). Und er erklärt und
definiert in den Abhandlungen über die Quadratur der Kurven 1704 (im An-
schluss an Cavalieri und Barrow):

„Ich betrachte hier die mathematischen Größen nicht als aus äu-
ßerst kleinen Teilen bestehend, sondern als durch stetige Bewegung
beschrieben.“ [Newton 1908, S. 3]

„ Die unbestimmten Größen betrachte ich im folgenden als in stetiger

Bewegung wachsend oder abnehmend, d. h. als fließend oder abflie-
ßend. Und ich bezeichne sie mit den Buchstaben z, y, x, v und ihre

Fluxionen oder Wachstumsgeschwindigkeiten drücke ich durch diesel-
ben Buchstaben mit Punkten versehen aus, also durch ˙ z, ˙
y, ˙ x, ˙ v. Von
diesen Fluxionen gibt es wieder Fluxionen oder mehr oder weniger
rasche Änderungen. Man kann sie die zweiten Fluxionen von z, y, x,
v nennen und so bezeichnen: ¨
z, ¨
y, ¨
x, ¨
v; . . . “

[Newton 1908, S. 7]

Die Fluxionspunkte treten frühestens 1693 auf.

Der dritte wichtige Begriff der Newtonschen Fluxionsrechnung ist das

„Moment einer Größe“. Newton beschreibt es als einen „gerade noch wahr-
nehmbaren Zuwachs einer Größe“ und bezeichnet es mit o. Demnach ist o
das Moment der Zeit, xo das Moment der Fluente x und ˙ xo das Moment der

Fluxion ˙ x; dies letztere würde etwa dem heutigen Differential entsprechen.

Auf diesen Grundbegriffen beruhte Newtons Fluxionsrechnung, die durch
ihn zu einem weitreichenden mathematischen Hilfsmittel und zugleich zu ei-
ner geschlossenen mathematischen Theorie ausgestaltet wurde. In The Me-
thod of Fluxions und Infinite Series behandelt Newton drei große Themen-
kreise:

1. Eine Beziehung zwischen Fluenten ist gegeben. Gesucht ist die Beziehung
zwischen ihren Fluxionen. Das ist das Grundproblem der Differentiation.

460

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Abb. 8.7.5

Titelblatt des Buches The Method of Fluxions and Infinite Series,

London 1736

8.7 Durchbildung der infinitesimalen Methoden: Newton und Leibniz

461

2. Eine Gleichung ist vorgegeben, in der neben Fluenten auch Fluxionen von

Größen auftreten. Gesucht sind die Beziehungen zwischen jenen Fluenten.

Dies ist das Grundproblem der Integration. Doch schließt dies ausdrück-
lich mehr ein als die Bestimmung einer Stammfunktion, nämlich auch das
der Integration von (gewöhnlichen) Differentialgleichungen.

3. Anwendungen der Fluxionsrechnung, u. a. auf die Bestimmung der Tan-
genten an Kurven, auf die Berechnung von Maxima und Minima und des

Krümmungsmaßes von Kurven, auf die Quadratur und Rektifikation von

Kurven.

Das Integrations-(Quadratur)Problem erscheint als Umkehrung der Differen-
tiation (Fluxionenbildung). Da die Bildung der Fluxionen rechnerisch ein-
fach zu vollziehen und auch auf Irrationalitäten, wie z. B. Wurzelfunktionen
auszudehnen ist, stellt Newton in Quadratura curvarum eine Tabelle von

Integrationsergebnissen auf, die er durch inverse Interpretation von Differen-
tiationsergebnissen gewonnen hat.

Diese Grundauffassung – Integrationen gewonnen als Umkehrung des Dif-
ferenzierens – hat sich noch lange gehalten. Erst im 19. Jahrhundert wurde
die Integration, verbunden mit einem erweiterten Integralbegriff, als von der

Differentiation unabhängige Operation studiert.

Die folgenden Beispiele stammen aus „The Method of Fluxions . . . “. Es
soll die Gleichung x 3 − ax 2 + axy − y 3 = 0 differenziert werden; x und y
repräsentieren Variable in Abhängigkeit von der Zeit. Bei Newton heißt es:

„ Sei nun irgendeine Gleichung x 3 − ax 2 + axy − y 3 = 0 gegeben und
ersetze x + ˙ xo für x und y + ˙
yo für y, dann ergibt sich

⎫
x 3 + 3 ˙ xox 2 + 3 ˙ x 2 oox + ˙
x 3 o 3

⎪

⎪

−

⎬
ax 2 − 2 a ˙ xox − a ˙ x 2 oo

= 0

+ axy + a ˙ xoy + a ˙
yox + a ˙
x ˙
yoo ⎪

⎪

−

⎭
y 3 − 3 ˙ yoy 2 − 3 ˙ y 2 ooy − ˙ y 3 o 3

Nun ist nach Voraussetzung x 3 − ax 2 + axy − y 3 = 0 , welche demnach
gestrichen werden. Die verbleibenden Terme werden durch o dividiert,
es bleiben

3 ˙ xx 2 + 3 ˙ x 2 ox + ˙ x 3 oo − 2 a ˙ xx − a ˙ x 2 o + a ˙ xy

+ a ˙
yx + a ˙ x ˙
yo − 3 ˙ yy 2 − 3 ˙ y 2 oy − ˙ y 3 oo = 0 .

Aber da vorausgesetzt war, dass o unendlich klein ist und dass es
die Momente der Größen repräsentieren kann, werden die Terme,
die damit multipliziert sind, nichts sein in Anbetracht des Restes.

Deswegen verschmähe ich sie und es bleibt

3 ˙ xx 2 − 2 a ˙ xx + a ˙ xy + a ˙ yx − 3 ˙ yy 2 = 0 . “

[Newton 1736, S. 24f engl.], [Newton 1969, S. 75]

462

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

Im folgenden Beispiel wird eine Gleichung integriert, die sowohl Fluenten
als auch Fluxionen enthält. Für ˙
y ˙
y = ˙ x ˙
y + ˙ x ˙
xyy gibt Newton als Lösung die

Reihenentwicklung

1

2
y = x +
x 3 − 1 x 5 + x 7 − + · · · .

3

5

7

Bei alledem war sich Newton der Schwierigkeiten bezüglich der logischen

Grundlagen seiner Infinitesimalrechnung bewusst. Er wollte sich von der an-
tiken Methode der Bestimmung von Grenzwerten mittels indirekter Beweise
ebenso lösen wie von der schwer durchschaubaren Methode der Indivisibeln.

Er bemühte sich um eine korrekte Grundlage für Grenzübergänge mit der

Methode der „ersten und letzten Verhältnisse“. Im Abschnitt I des Buches I
der „Principia“ schreibt er:

„ Grössen, wie auch Verhältnisse von Grössen, welche in einer gegebe-
nen Zeit sich beständig der Gleichheit nähern und einander vor dem

Ende jener Zeit näher kommen können als jede gegebene Grösse, wer-
den endlich einander gleich.

Wollte man dies bestreiten, so sei ihr letzter Unterschied = D. Sie
könnten sich daher der Gleichheit nicht weiter nähern, als bis auf
den gegebenen Unterschied, was gegen die Voraussetzung ist. “

[Newton 1872, S. 46]

„ Ich habe . . . (dies, Wg) vorausgeschickt, um künftig der weitläufigen

Beweisführung mittelst des Widerspruchs, nach der Weise der alten

Geometer, überhoben zu sein. Die Beweise werden nämlich kürzer
durch die Methode der untheilbaren Grössen (der Indivisibeln, Wg) .

Da aber die Methode der Untheilbaren etwas anstössig (durior) ist
und daher für weniger geometrisch gehalten wird, so zog ich es vor,
die Beweise der folgenden Sätze auf die letzten Summen und Ver-
hältnisse verschwindender und auf die ersten werdender Grössen zu
begründen, (. . . )

Jene letzten Verhältnisse, mit denen die Grössen verschwinden, sind
in der Wirklichkeit nicht die Verhältnisse der letzten Grössen, son-
dern die Grenzen, denen die Verhältnisse fortwährend abnehmender

Grössen sich beständig nähern, und denen sie näher kommen, als
jeder angebbare Unterschied beträgt, welche sie jedoch niemals über-
schreiten und nicht früher erreichen können, als bis die Grössen ins

Unendliche verkleinert sind.

[Newton 1872, S. 53f.]

„Es besteht der Einwand, daß es kein letztes Verhältnis verschwinden-
der Größen gebe, weil, bevor sie verschwunden seien, das Verhältnis
kein letztes sei, wenn sie aber verschwunden seien, kein Verhältnis
statthabe. Aber mit demselben Argument kann man behaupten, es gebe
keine letzte Geschwindigkeit eines Körpers, der an einem bestimmten

Orte ankommt, wo die Bewegung endet. . . “

(Zitiert nach [Becker/Hofmann 1951, S. 151])

8.7 Durchbildung der infinitesimalen Methoden: Newton und Leibniz

463

Abb. 8.7.6

George Berkeley, Bischof von Cloyne (1685–1753). Er war mit dem

Dichter Jonathan Swift (1667–1745), dem Verfasser von „Gullivers Reisen“, be-
freundet; Spinoza (Irland 1985, Israel 2002)

Diese Äußerungen sind aufschlussreich. Einerseits zeigen sie das wahre Be-
wusstsein Newtons für das Grenzwertproblem mit einem Versuch, eine Lösung
anzubieten, andererseits ist er sich im Klaren über logische Schwierigkeiten.

Die befürchteten Einwände wurden alsbald vorgebracht, unter anderem
von Jonathan Swift (1667–1745), dem Verfasser von Gullivers Reisen und be-
sonders massiv von dem irischen Bischof George Berkeley (1685–1753). Er be-
nutzte die bestehenden Grundlagenschwierigkeiten der Mathematik, um die
von der Mathematik und den Naturwissenschaften ausgehende Unterstüt-
zung der Frühaufklärung zurückzudrängen. (Übrigens war Newton irritiert
und entrüstet, dass aus seinen „Principia“ atheistische Folgerungen gezogen
wurden.) In der Schrift „The Analyst. . . “ (Der Analytiker oder eine Erörte-
rung, gerichtet an einen ungläubigen Mathematiker) von 1734, die sich ver-
mutlich gegen den areligiös eingestellten Astronomen Edmond Halley (1656–

1742) richtete, machte Berkeley geltend, dass Religion und Glaubenssätze
jedenfalls einen höheren Grad an Gewissheit hätten als die immer wieder als

Muster einer zuverlässigen Wissenschaft benannte Mathematik; diese besäße
genug dunkle Punkte und sogar mystische Punkte. So heißt es bei Berkeley:

„ Es ist allerdings zuzugeben, daß er (gemeint ist Newton, Wg) Flu-
xionen wie ein Baugerüst verwendete, nämlich als Dinge, die beisei-
tezulegen oder zu eliminieren sind, sobald man endliche, zu ihnen
proportionale Linien gefunden hat. Dann werden diese endlichen Re-
präsentanten aber mit Hilfe von Fluxionen gefunden! Was man auch
immer mit diesen Repräsentanten und Proportionen erhält, muß den

Fluxionen zugeschrieben werden, die deswegen vorher verstanden wer-
den müssen. Und was sind diese Fluxionen? Die Geschwindigkeiten

464

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution
verschwindender Inkremente? Und was sind eben diese verschwin-
denden Inkremente? Sie sind weder endliche Größen noch unendlich
kleine und doch auch nicht nichts. Dürfen wir sie nicht die Geister
verstorbener Größen nennen? “

[Berkeley 1969, S. 121]

Bei aller Schärfe der Angriffe gegen die Infinitesimalmathematik, die sich von
verschiedenen Autoren auch gegen den Calculus von Leibniz richtete, darf
man doch feststellen, dass die Diskussion um die Grundlagen der Infinite-
simalmathematik scharfsinnig und zugleich problemfördernd geführt wurde.

Doch erst ab Beginn des 19. Jahrhunderts wurden die Grundlagen der Ana-
lysis gelegt, mit scharfen Definitionen für Grenzwert, Konvergenz, Stetigkeit,

Differenzierbarkeit, Integrierbarkeit usw.

Leibniz und der Calculus

Leibniz nimmt nicht nur in einer Geschichte der Mathematik einen Ehren-
platz ein, sondern auch in einer Geschichte der Philosophie und in einer

Geschichte der Geschichtswissenschaften. Leibniz lieferte wesentliche Beiträ-
ge zur theoretischen und praktischen Mechanik, zur Biologie, zur theoreti-
schen Logik, zur Konstruktion von Rechenmaschinen. Er kümmerte sich um

Bergwerke, Seidenraupenzucht und vielerlei produktionswirksame technische

Verbesserungen. Leibniz war ein hervorragender Jurist und als Diplomat in
wichtigen politischen Missionen tätig. Er bemühte sich um den Ausgleich zwi-
schen der katholischen und der reformierten Kirche in Deutschland. Auf seine

Initiative ging die Gründung einer Akademie in Berlin zurück. Als einer der
ersten lenkte Leibniz das kulturhistorische Interesse Europas auf den Fernen

Osten, insbesondere auf China.

Leibniz war von einer fast unglaublichen geistigen Beweglichkeit und ra-
schen Auffassungsgabe, von einem nie erlahmenden Arbeitseifer und schier
unerschöpflichem Ideenreichtum. „Die Ruhe ist eine Stufe zur Dummheit.

Man muß stets etwas finden, was es zu tun, zu denken, zu entwerfen gilt,
wofür man sich interessiert, sei es für die Öffentlichkeit oder den einzelnen.“

(Zitiert nach [Finster/Heuvel 1990, S. 53]). Er hat viel veröffentlicht. Noch
mehr aber wurde erst nach seinem Tode herausgegeben. Bis heute ist viel Be-
deutendes noch nicht erschlossen, das sich im Nachlass befindet. Dazu kommt
ein ausgedehnter Briefwechsel.

Gottfried Wilhelm Leibniz wurde (nach dem damals noch gültigen Julia-
nischen Kalender) am 21. Juni 1646 (nach Gregorianischem Kalender am 1.

Juli 1646) in Leipzig geboren. Sein Vater war Professor der Moralphilosophie
an der Leipziger Universität. Leibniz bildete sich weitgehend selbstständig in
der hervorragenden väterlichen Bibliothek, studierte in Leipzig und Jena und
ging – angeblich wegen seiner Jugend in Leipzig an der Promotion gehindert –
nach Altdorf, wo er 1666 promovierte. Er schlug eine akademische Karriere
aus. Im diplomatischen Dienst gelangte er 1672 nach Paris mit dem freilich

8.7 Durchbildung der infinitesimalen Methoden: Newton und Leibniz

465

Abb. 8.7.7

Porträt von Leibniz [Historisches Museum Hannover]

vergeblichen Versuch, den französischen Expansionsdrang von Deutschland
weg nach Ägypten zu lenken.

In Paris wurde Leibniz mit der modernen Naturwissenschaft und Mathe-
matik bekannt. Weder in Paris noch in London vermochte er eine angemessene

Stellung zu finden, obwohl er Mitglied beider Akademien wurde. So trat er
in hannoversche Dienste und besuchte auf der Reise nach Hannover den be-
deutenden jüdischen Philosophen Baruch Spinoza (1632–1677). In Hannover
fiel er nach produktiven Jahren bei seinem an Wissenschaft uninteressierten
neuen Herrscher am Hofe in Ungnade und starb krank und verbittert am

14. November 1716 in Hannover. Es wird berichtet, dass kein Mitglied des

Hofes seinem Sarg folgte. Ein Zeitgenosse drückte es so aus, Leibniz sei wie
ein Straßenräuber begraben worden. (Über Krankheit, Tod und Grablegung
berichtet im Detail [Sonar 2007]).

Nach vierzig Jahren erfolgreichen Wirkens in Hannover fand Leibniz seine
letzte Ruhestätte in der Kirche St. Johannis in der Calenberger Neustadt. Ihm
zu Ehren trägt die Universität Hannover seit dem 1. Juli 2006 den Namen

Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover.

466

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

In Paris, anfangs unterstützt durch Huy-
gens, eignete sich Leibniz in einem Sturm-
lauf ohnegleichen die neueste Mathematik
an, studierte Pascal (stieß dort auf das

„charakteristische Dreieck“), Gregorius a

Sancto Vincentio, Descartes und andere,
drang in die Gedankenwelt der Indivisi-
beln ein und lernte die Ergebnisse der bri-
tischen Mathematiker Wallis und Gregory
kennen.

Cavalieri hatte das „Fließen“ von Größen
untersucht, die in ihrer Gesamtheit Flä-
chen bzw. Körper bilden. Newton über-
nahm die Vorstellung des „Fließens“, Leib-
niz dagegen die der „Gesamtheit“. Am

29. Oktober 1675 hat Leibniz in einer

Notiz zur Selbstverständigung seine Ide-
en aufgeschrieben. Es ist dies sozusagen
die Geburtsurkunde der Leibnizschen In-
finitesimalrechnung, des Calculus (seines
schlechten Gedächtnisses wegen hatte Leib-
niz die Gewohnheit, alle Gedankenblitze
und Ideen schriftlich festzuhalten. So sind
wir über vieles authentisch informiert).

Der Altmeister der Historiographie der

Mathematik in Deutschland, Moritz Can-
tor (1829–1920), hat die entscheidenden

Notizen von Leibniz vom 26. und 29. Ok-
tober und vom 11. November 1675 fest-

Abb. 8.7.8

Ruhestätte von Leib-
gehalten und interpretiert, gestützt auch
niz in der Kirche St. Johannis, Han-
auf [Gerhardt 1855, S. 59 bzw. 125f.]. Bei
nover [Foto Gottwald]

Cantor heißt es:

„Am 26. October treten die Cavalierischen Gesammtheiten auf. Om-
nia w, omn xw und dergleichen Ausdrücke kehren fort und fort wieder.

Am 29. October 1675 erfolgt der grosse Schritt der Erfindung des neu-

en Algorithmus. Utile erit scribi
pro omn. ut
l pro omn. l id est

summa ipsorum l, es wird nützlich sein
statt omnia zu schreiben,
um die Summe einer Gesammtheit zu bezeichnen. Hier zeige sich,
heisst es in der an demselben Tage geschriebenen Fortsetzung weiter,

eine neue Gattung des Calculs; sei dagegen
l = ya gegeben, so bie-
te sich ein entgegengesetzter Calcul mit der Bezeichnung l = ya/d,

nempe ut
augebit, ita d minuet dimensiones.

autem significat

summam, d differentiam, das heisst auf deutsch: Wie nämlich
die

Abmessungen vermehrt, so vermindert sie d.

aber bedeutet Summe,
d Differenz.

8.7 Durchbildung der infinitesimalen Methoden: Newton und Leibniz

467

Wie allmälig die Sprache sich vervollkommnete, zeigt ein handschrift-
lich erhaltener in unserem Jahrhunderte zum Druck beförderter Auf-
satz vom 11. November 1675 über inverse Tangentenaufgaben, ,Me-

thodi tangentium inversae exempla‘. Am Anfange ist das
und das
als Nenner eines Bruches auftretende d ganz so wie in den frühe-
ren Aufsätzen benutzt. Auf einmal erscheint mitten im Texte dx, und
eine Randnote Leibnizens sagt, dx sei das gleiche wie x/d, nämlich
die Differenz zweier nächstliegender x-Werte, und noch etwas später

kommt auch dy vor und
ydy = y 2 / 2 , also genau so geschrieben,
wie es später geblieben ist, während im Aufsatze selbst Zeichen wie

x,
x 2 + y 2 usw. auch nachher neben
dx,
dy usw. auftreten.“

[Cantor 1900, S. 166f.]

Leibniz hat sich lange mit der Absicht getragen, eine zusammenhängende

Darstellung der Infinitesimalmathematik zu schreiben, eine „scientia infiniti“.

Doch ließen dies die Lebensumstände nach 1676 nicht zu. Ihm blieb nur der

Weg der Publikation von – freilich äußerst bedeutsamen – Einzelergebnissen.

Es steht fest – wie sich im Nachlass fand – dass Leibniz bereits seit 1672,
gegen das Ende des Pariser Aufenthaltes, also weit vor der Publikation der

„ Nova methodus“, im Besitz weitreichender Erkenntnisse zum künftigen „Cal-
culus“ gewesen ist. Damals wurden mehrere Abhandlungen nicht publiziert,
u. a. ein Calculus Tangentium differentialis (1676), die Methodi tangentium
inversae exempla (1675), eine Méthode nouvelle des Tangentes (Ende Juli

1677) und die Elementa calculi novi (undatiert) [Heß, 1984].

Leibniz entschied sich, einzelne Arbeiten zu publizieren, möglicherweise
wohl auch dadurch motiviert, dass sein Landsmann Ehrenfried Walter von

Tschirnhaus (1651–1703) mit einer Reihe von Arbeiten im Zusammenhang
mit dem Tangentenproblem hervorgetreten war.

So begann Leibniz 1682 mit der Publikation, und zwar in den Leipziger

Acta Eruditorum. Zunächst erschien eine Abhandlung über die unendliche

Reihe für π/ 4 nebst dem Konvergenz-Kriterium für alternierende Reihen.

Im Oktober 1684 publizierte er die wegweisende Abhandlung „Nova metho-
dus . . . “ (Neue Methode der Maxima, Minima sowie der Tangenten, die sich
weder an gebrochenen, noch an irrationalen Größen stößt, und eine eigen-
tümliche darauf bezügliche Rechenart). Sie enthält eine Art Definition des

Differentials, ohne Beweis (gefunden durch die ars inveniendi) die Differen-
tiationsregeln für Summe, Produkt, Quotient und Potenz, die Kettenregel,
ferner die Bedingungen d v = 0 für die Extremwerte und dd v = 0 für die Wen-
depunkte. Zum ersten Mal tritt das Wort „Differentialgleichung“ auf. Zwei

Jahre später benutzte Leibniz das Integralzeichen zum ersten Mal im Druck.

Es folgten Arbeiten, in denen die Tragweite des neuen Kalküls an Beispielen –

(Fermatsches Prinzip), elastischer Widerstand eines Balkens, Isochrone, Maß
der Kraft, Kettenlinie u. a. m. – demonstriert wurde. Das Zeitalter der Infini-
tesimalmathematik hatte begonnen. In Anbetracht der Bedeutung der „Nova

Methodus . . . “ für die Geschichte der Infinitesimalrechnung bzw. des „Calcu-

468

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution
lus“ fand 1984 zum 300-jährigen Jubiläum des Erscheinens ein internationa-
les Symposium statt [Studia Leibnitiana, 1984]. Dort wurden viele Aspekte
seines schrittmachenden Werkes analysiert, darunter auch die Ungenauigkei-
ten und Fehler dieser Abhandlung [Heß, 1984]. An der Gesamteinschätzung

„schrittmachend“ hat sich natürlich nichts geändert.

Es verdient hervorgehoben zu werden, dass Leibniz hier nun auch öffent-
lich den gegenseitigen Zusammenhang Quadratur-Tangente ausspricht, einen

Zusammenhang, den wir heute als Fundamentalsatz der Differential- und In-
tegralrechnung bezeichnen. „Ich will nun zeigen, daß das allgemeine Problem
der Quadraturen sich auf die Auffindung einer Linie reduziert, die ein gege-
benes Neigungsgesetz hat.“ [Leibniz, 1920, S. 30]

In „Nova methodus“ erläutert Leibniz die Tragweite seines Kalküls:

„Kennt man, wenn ich so sagen soll, den obigen Algorithmus die-
ses Kalküls, den ich Differentialrechnung nenne, so lassen sich alle
andern Differentialgleichungen durch ein gemeinsames Rechnungs-
verfahren finden, es lassen sich die Maxima und Minima sowie die

Tangenten erhalten, ohne daß es dabei nötig ist, Brüche oder Irra-
tionalitäten oder andere Verwicklungen zu beseitigen, was nach den
bisher bekannt gegebenen Methoden doch geschehen mußte. Der Be-
weis alles dessen wird für einen in diesen Dingen Erfahrenen leicht
sein, wenn er nur den bisher nicht genug erwogenen Umstand be-
achtet, daß man dx, dy, dv, dw, dz als proportional zu den augen-
blicklichen Differenzen, d.h. Inkrementen oder Dekrementen, der x,
y, v, w, z (eines jeden in seiner Reihe) betrachten kann. So kommt
es, daß man zu jeder vorgelegten Gleichung ihre Differentialgleichung
aufschreiben kann (. . . ). Es ist auch klar, daß unsere Methode die
transzendenten Linien beherrscht, die sich nicht auf die algebraische

Rechnung zurückführen lassen oder von keinem bestimmten Grade
sind, und zwar gilt das allgemein, ohne besondere, nicht immer zu-
treffende Voraussetzungen. Man muß nur ein für allemal festhalten,
daß eine Tangente zu finden so viel ist wie eine Gerade zeichnen, die
zwei Kurvenpunkte mit unendlich kleiner Entfernung verbindet . . . “

Und ein wenig später:

„In allen diesen Fällen und in viel verwickelteren ist unsere Metho-
de von derselben überraschenden und geradezu beispiellosen Leichtig-
keit.Dies sind nur die Anfänge einer viel höheren Geometrie, die sich
auch zu den schwierigsten und schönsten Problemen der angewand-
ten Mathematik hinerstreckt, und nicht leicht wird jemand diese Din-
ge ohne unsere Differentialrechnung oder eine ähnliche mit gleicher

Leichtigkeit behandeln.“

[Leibniz 1920, S. 6ff.]

Seit seiner Studienzeit hatte Leibniz die Idee einer allgemeinen Begriffsschrift
vorgeschwebt, er nannte sie „charakteristica universalis“ oder auch „ars inve-

8.7 Durchbildung der infinitesimalen Methoden: Newton und Leibniz

469

Abb. 8.7.9

Reproduktion der Originalhandschrift Leibniz vom 29. Oktober 1675,
mit der Einführung des Integral- und Differentialzeichens. Man liest ungefähr in der

R

Mitte:

. autem significat summarum, d. differentiam [Niedersächsische Landesbiblio-
thek Hannover, Signatur LH XXXV, VIII, 18, Bl. 2 v]

470

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution
niendi“ (Kunst des Erfindens). Hier knüpfte Leib-
niz an Ideen des mittelalterlichen spanischen Ge-
lehrten Raimundus Lullus (ca. 1232–1316) an. Mit
ihrer Hilfe sollte es möglich sein, durch eine Art

Rechnung aus allen denkmöglichen Aussagen die
richtigen herauszufinden. Gewiss war dies eine Uto-
pie, aber es war eine großartige Idee, die auf die
spätere mathematische Logik hindeutet. Im Rah-
men dieser Denkweise hat Leibniz großen Wert auf
zweckmäßige Bezeichnungen gelegt:

„Bei den Bezeichnungen ist darauf zu achten,
daß sie für das Erfinden bequem sind. Dies ist
am meisten der Fall, so oft sie die innerste Natur
der Sache mit Wenigem ausdrücken und gleichsam
abbilden. So wird nämlich auf wunderbare Weise
die Denkarbeit vermindert.“

[Leibniz 1920, S. 74]

(Diese Äußerung stammt schon aus dem Jahre

1675.)

Getreu diesem Vorsatz hat Leibniz nach Vieta
und Descartes und zeitlich vor Euler Entscheiden-
des zur Herausbildung der mathematischen Sym-

bolik beigetragen. Das Integralzeichen
ist aus
dem großen S von „summatio“ hervorgegangen;

1686 trat das Integralzeichen zum ersten Mal im

Druck auf. Ursprünglich sprach Leibniz beim In-

Abb.

8.7.10

Ramón
tegrieren von „calculus summatorius“ oder „me-

Llull (Raimundus Lullus)

thodus tangentium inversa“ (umgekehrte Tangen-

[Foto Kästner]

tenmethode). Das Wort Integral wurde von Jacob

Bernoulli 1690 geprägt und leitet sich ab von lat.

integro, ich stelle unversehrt wieder her (den durch Differenzieren geänder-
ten Zustand). Andererseits übernahmen die Bernoullis das Integralzeichen.

Das Differentialzeichen d rührt von Differenz her. Auf Leibniz gehen ferner
zurück die Erfindung der Indizes, die Überstreichung von Buchstaben, die

Determinantenschreibweise, die Schreibweise a: b = c: d mit Doppelpunkt und

Gleichheitszeichen für eine Proportion, die Verwendung der Potenzschreib-
weise auch für variable Exponenten u. a. m. Durch Leibniz wurden weiterhin
die Begriffe Ordinate, Abszisse, Differentialgleichung und Funktion fester Be-
standteil der mathematischen Begriffssprache.

Der große Vorzug der Leibnizschen Infinitesimalrechnung besteht in ihrer
kalkülmäßigen Handhabbarkeit; darauf beruhte schließlich ihr Sieg über die

Newtonsche Fluxionsrechnung, zunächst wenigstens auf dem Kontinent.

Auch Leibniz war sich der Unbestimmtheiten und Widersprüchlichkei-
ten seines Differentialbegriffes und des Umganges mit den „unendlich kleinen

Größen“ sehr wohl bewusst. Es gibt zahlreiche unterschiedliche, ja gelegent-

8.7 Durchbildung der infinitesimalen Methoden: Newton und Leibniz

471
lich sich widersprechende Äußerungen von ihm zum Umgang mit dem Un-
endlichen. Die folgende Passage stammt aus dem Jahre 1702:

„ Um daher diese subtilen Streitfragen zu vermeiden, begnügte ich
mich, da ich meine Erwägungen allgemein verständlich machen woll-
te, das Unendliche durch das Unvergleichbare zu erklären, d.h. Grö-
ßen anzunehmen, die unvergleichlicher größer oder kleiner als die
unsrigen sind. Auf diese Weise nämlich erhält man beliebig viele Gra-
de unvergleichlicher Größen, sofern ein unvergleichlich viel kleineres

Element, wenn es sich um die Feststellung eines unvergleichlich viel
größeren handelt, bei der Rechnung außer acht bleiben kann. So ist et-
wa ein Teilchen der magnetischen Materie, die das Glas durchdringt,
einem Sandkorn, dieses wiederum der Erdkugel, die Erdkugel schließ-
lich dem Firmament nicht vergleichbar (. . . ).

Hierbei ist jedoch zu berücksichtigen, daß die unvergleichlich kleinen

Größen, selbst in ihrem populären Sinn genommen, keineswegs kon-
stant und bestimmt sind, daß sie vielmehr, da man sie so klein anneh-
men kann, als man nur will, in geometrischen (d. h. mathematischen,

Wg) Erwägungen dieselbe Rolle wie die Unendlichkleinen im strengen

Sinne spielen. Will nämlich ein Gegner unseren Sätzen die Richtig-
keit absprechen, so zeigt unser Kalkül, daß der Irrtum geringer ist,
als irgendeine angebbare Größe, da es in unserer Macht steht, das

Unvergleichbarkleine – das man ja immer so klein, als man nur will,
annehmen kann – zu diesem Zweck hinlänglich zu verringern (. . . )

und zweifellos liegt darin der strenge Beweis unserer Infinitesimal-
rechnung. “

(Zitiert nach [Becker 1954, S. 165/166])

Der Prioritätsstreit

Das Leben der alternden Gelehrten Newton und Leibniz wurde erheblich be-
lastet durch den Prioritätsstreit um die Erfindung der Infinitesimalrechnung.

Es handelt sich um einen sehr verwickelten historischen Vorgang; nur wenige

Einzelheiten können hier dargestellt werden (vgl. ausführlich [Westfall 1996]).

Nach einigem Hin und Her mit gegenseitigen Vorwürfen und Unterstel-
lungen setzte die Royal Society 1712 eine Untersuchungskommission ein, die
sich freilich parteiisch verhielt, ohne Rücksprache mit Leibniz. Newton wirk-
te aktiv mit, aber im Hintergrund. Heute steht fest, dass beide Erfinder un-
abhängig voneinander zu ihren Ergebnissen gekommen sind. Die Londoner

Kommission, so wurde fixiert, stellte Newton als Erstentdecker heraus und
fällte ein vernichtendes Urteil. Es heißt dort

„ . . . daß die Differentialmethode ein und dasselbe ist wie die Fluxi-
onsmethode, abgesehen vom Namen und der Art der Bezeichnung.

(. . . ) Und deshalb betrachten wir es als das eigentliche Problem, nicht

472

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution
wer diese oder jene Methode erfunden hat, sondern wer die Metho-
de als erster entdeckt hat. Und wir glauben, daß alle, die Leibniz für
den Ersterfinder gehalten haben, wenig oder nichts von seiner lang
zurückliegenden Korrespondenz mit Mr. Collins und Mr. Oldenburg
wußten. Noch wußten sie, daß Mr. Newton seit 15 Jahren im Besitz
der Methode war, als Leibniz sie in den Leipziger Acta Eruditorum
zu veröffentlichen begann.

Deshalb sehen wir Mr. Newton als Ersterfinder an und glauben, daß

Mr. Keill (Vorsitzender der Kommission, Wg) , als er eben dies sagte,

Mr. Leibniz keineswegs beleidigt hat. “

(Zitiert nach [Westfall 1996, S. 355])

Der Vorwurf des Plagiats stützte sich auch und wesentlich auf die Tatsache,
dass Leibniz während seines Aufenthaltes in London 1676 Zugang zu Manu-
skripten von Newton gehabt hatte, die dieser bei der Royal Society hinterlegt
hatte. Dabei war anfangs das Verhältnis Newton-Leibniz nicht gerade freund-
schaftlich, aber doch korrekt gewesen, sogar einigermaßen liebenswürdig im

Ton. Immerhin wurden einige Briefe gewechselt. Ein erster Brief von Newton
vom Frühsommer 1676 gelangte erst im August in die Hände von Leibniz. Die-
ser hob in seiner Antwort die Verdienste von Newton um die Reihenlehre (um
die es im Prioritätsstreit nie ging), um das Spiegelteleskop und die Farben-
lehre hervor und teilte ihm eigene mathematische Ergebnisse mit. Der zweite

Brief von Newton an Leibniz vom 27. Oktober 1676 ließ klar erkennen, dass

Newton nicht an der Fortsetzung der Korrespondenz interessiert war und, an-
ders als Leibniz, sich bemühte, seine Methoden geheim zu halten. In diesem

Brief ist auch eines der berühmten Anagramme enthalten, in dem Newton,
aber eben verschlüsselt, Leibniz über die Fluxionsrechnung informiert. Das

Anagramm lautet, indem es die im Satz vorkommenden Buchstaben aufzählt:

6a 2c d ae 13e 2f 7i 3l 9n 4o 4q 2r 4s 9t 12v x .

Die Lösung lautet: Data Aequatione quotcumque, fluentes quantitates invol-
vente fluxiones invenire, et vice versa (Bei gegebener Gleichung zwischen
beliebig vielen fließenden Größen deren Fluxionen zu finden und umgekehrt);

(Zählung und Text nach [More 1962, S. 190]).

Für Leibniz war dieses Buchstabenrätsel natürlich unverständlich. Man
hat gelegentlich gesagt, dass es eines viel höheren Scharfsinnes bedurft hätte,
aus diesem Anagramm Newton das Geheimnis seiner mathematischen Metho-
de zu entreißen, als selbstständig die Differential- und Integralrechnung zu
erfinden. Mit seiner Publikation von 1684 zum Calculus beging Leibniz eine
unverzeihliche Unterlassung, indem er nicht auf Newton und dessen Studien
zur Infinitesimalmathematik verwies, die ihm, wenigstens in Teilen, wohl be-
kannt waren. Die Verstimmung in London und Cambridge war verständlich.

Die Situation wurde von dritter und vierter Seite noch angeheizt.

Dessen ungeachtet ging Newton in der ersten und in der zweiten Auflage
der „Principia“ auf Leibniz ein, wenn auch mit dem Anspruch auf seine,

8.7 Durchbildung der infinitesimalen Methoden: Newton und Leibniz

473

Newtons, starke Position bei der Feststellung seiner originalen Urheberschaft.

Dort heißt es:

„ In Briefen, die ich vor etwa 10 Jahren (also 1676, Wg) mit dem
sehr gelehrten Mathematiker G.W. Leibniz wechselte, zeigte ich dem-
selben an, daß ich mich im Besitze einer Methode befände, nach der
man Maxima und Minima bestimmen, Tangenten ziehen und ähn-
liche Aufgaben lösen könne, und zwar lasse sie sich ebensogut auf
irrationale wie auf rationale Größen anwenden. Indem ich die Buch-
staben der Worte, die meine Meinung aussprachen, versetzte, verbarg
ich dieselbe. Der berühmte Mann antwortete mir darauf, er sei auf
eine Methode derselben Art verfallen, die er mir mitteilte, und die
von der meinigen kaum weiter abwich als in der Form der Worte und

Zeichen. “

(Zitiert nach Kowalewski in [Newton 1908, S. 54].)

Doch dieser Hinweis auf Leibniz fehlt in der dritten Auflage der „Principia“;

Leibniz war inzwischen verstorben.

Chronologie zum Prioritätsstreit

(nach Hall, A. R. „Philosophers at War“)

1661

Newton bezieht die Universität Cambridge, Leibniz beginnt das Stu-
dium in Leipzig.

1664–66

Newtons anni mirabiles in seiner Heimat

1666

Leibniz schreibt über Kombinatorik. Newton (Oktober) verfasst seine
zweite Abhandlung über Fluxionen.

1669

Newton übergibt Manuskript über Reihenlehre an Barrow und Collins.

1670

Leibniz beginnt Korrespondenz mit der Royal Society.

1671

Newton schreibt seine Abhandlung über Reihen und Fluxionen nieder.

Sein Teleskop wird nach London gesandt.

1672

Leibniz geht von Mainz nach Paris. Bekanntschaft mit Huygens. New-
ton publiziert seine optischen Briefe.

1673

Erster Besuch (Januar bis März) von Leibniz in London. Nach Rück-
kehr nach Paris schnelle Entfaltung seiner mathematischen Fähigkeiten

1675

Oktober. Leibniz’ erste Ideen zum Differentialkalkül

1676

Juni. Newton schreibt den Ersten Brief an Leibniz; im Oktober folgt
der Zweite Brief. Auf dem Weg nach Hannover kurzer Aufenthalt von

Leibniz in London.

1677

Juni. Leibniz empfängt den Zweiten Brief von Newton und teilt ihm
als Antwort im Umriss seine Differentialmethode mit.

1682

Leibniz publiziert zur Quadratur des Kreises.

1684

Leibniz publiziert einen Überblick über seinen Differentialkalkül.

1687

Newton beschreibt in seinen „Principia“ die Rechnung mit Hilfe von

„Momenten“ und erwähnt seinen Zweiten Brief und Leibniz’ Antwort
darauf.

1691

Newton schreibt über die Quadratur der Kurven.

474

8 Mathematik während der Wissenschaftlichen Revolution

1695–99

In Wallis’ Werken werden Newtons Briefe in erweiterter Form zur In-
finitesimalmathematik publiziert.

1697

Johann Bernoulli fordert die Gelehrten mit dem Brachystochronenpro-
blem heraus; dieses wird anonym von Newton gelöst.

1699

Fatio de Duillier (1656–1720) behauptet die Priorität und Überlegen-
heit der Fluxionsrechnung.

1704

Newton publiziert, zusammen mit den Opticks, die Quadratur der Kur-
ven und die Klassifikation der Kurven dritter Ordnung.

1705

Leibniz rezensiert die Opticks und die mathematischen Essais.

1710

In den Théodicée greift Leibniz die Gravitationstheorie von Newton
an. John Keill beschuldigt Leibniz des Plagiates.

1711

Leibniz fordert vergeblich Entschuldigung von der Royal Society.

1713

Zweite Auflage der „ Principia“ (Sommer). Leibniz pflichtet der Mei-
nung von Johann Bernoulli bei, dass Newton den Kalkül von Leibniz
plagiiert hat. Johann Bernoulli publiziert mathematische Kritik an den

Principia. Keill nimmt die systematische Verteidigung von Newton in

Angriff.

1715

Der erste kritische Brief von Leibniz zur Newtonschen Philosophie ist
gerichtet an Samuel Clarke (1675–1729).

1716

(14. November) Tod von Leibniz. Der Disput zwischen Bernoulli, Keill
und anderen hält an.

1722

Publikation harter Kritik an Leibniz

1727

(20. März) Tod von Newton

Geben wir abschließend zum Thema Prioritätsstreit ein zusammenfassendes

Urteil wieder, das R. Westfall, ein hervorragender Biograph Newtons, so ge-
fällt hat.

„In meiner Darstellung der Kontroverse geht es nicht um die Priori-
tätsfrage. Für mich persönlich liegt der Fall seit der Untersuchung der
von den beiden Kontrahenten hinterlassenen Briefe klar. Newton er-
fand seine Fluxionsmethode in den Jahren 1665 und 1666. Etwa zehn

Jahre später erfand Leibniz nach eigener, unabhängiger Forschungs-
arbeit seinen Differentialkalkül. Newton behauptete stets, in den für
ihn typischen immer wieder neuen Formulierungen, daß Zweiterfin-
der keine Rechte hätten. Er hätte kein absurderes Argument vorbrin-
gen können. Der Ersterfinder hielt seine Entdeckung unter Verschluß
und gab anderen gegenüber so gut wie nichts preis. Der Zweiterfinder
veröffentlichte seinen Kalkül und erschloß der westlichen Mathematik
dadurch eine neue Dimension. Das wurde auch Newton schließlich
klar, und mindestens die Hälfte seiner Wut traf Leibniz stellvertre-
tend für Newtons früheres Ich, das einen solchen Schatz im Boden
vergraben hatte.“

[Westfall 1996, S. 348f.]

8.7 Durchbildung der infinitesimalen Methoden: Newton und Leibniz

475

Inhalte und Ergebnisse der Mathematik während der
wissenschaftlichen Revolution

1596

Keplers Mysterium Cosmographicum

1609

Publikation der Astronomia Nova durch Kepler

1615

Kepler veröffentlicht Nova Stereometria Doliorum Vinariorum

1619

Veröffentlichung der Harmonice mundi durch Kepler, Descartes
entdeckt den „Eulerschen“ Polyedersatz

1628/29

Fermat entwickelt eine Methode zu Bestimmung von Maxima und

Minima

1637

Discours de la méthode von Descartes erscheint

1638

Die Discorsi von Galilei erscheinen

1640

Pascals erstes Werk Essay pour les coniques erscheint

1642

Pascal beginnt mit der Konstruktion von Rechenmaschinen

1657

Huygens publiziert zum Glücksspiel, von Pascal erscheinen die

Elemente der Geometrie

1664

Newton berechnet Kurvenlängen, Tangenten und Kreissektoren mit
unendlichen Reihen

1672

Leibniz beginnt in Paris mit der Konstruktion von Rechenmaschinen

1673/83

Newton schreibt die Arithmetica universalis (erst 1707 erschienen)

1675

Grundlegende Erkenntnisse von Leibniz zur Infinitesimalrechnung

1682

Newton findet das allgemeine Gravitationsgesetz

1684

Leibniz publiziert Nova methodus – eine wesentliche Arbeit zur

Differentialrechnung

1687

Newton publiziert Philosophiae naturalis principia mathematica

1704

Halley erkennt die Periodizität des Umlaufs des nach ihm benannten

Kometen.

Newton publiziert die Opticks mit dem Anhang Quadratura

Curvarum

1711

Newton publiziert seine Abhandlung über unendliche Reihen

1712

Royal Society beschuldigt Leibniz offen des Plagiats

1713

Ars conjectandi von Jakob Bernoulli erscheint

1715

Taylor veröffentlicht zur Infinitesimalrechnung

1736

Publikation von Newtons The Method of Fluxions and Infinite Series
als Übersetzung ins Englische

Literatur

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Grosse Zivilisationen: (Aus dem Englischen), Köln 2004

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Abbildungsverzeichnis

Für einige Abbildungen in diesem Buch ist es uns nicht gelungen, die

Rechtsinhaber zu ermitteln, bzw. unsere Anfragen blieben unbeantwortet.

Betroffene und Personen, die zur Klärung in einzelnen Fällen beitragen
können, werden gebeten, sich beim Verlag zu melden.

1.1.1

Ursprünge der Menschheit; Werkzeuge der Steinzeit:

Faustkeil, geschäftete Äxte (Brfm. Kenia 1982, Venda 1993) . . .

6

1.1.2

Zählen einer Viehherde mit den Fingern von drei Helfern;
nach [Ifrah 1987, S. 57] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.3

Knochen mit Einkerbungen aus dem Spätpaläolithikum;
nach [Ifrah 1987, S. 111] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.4

Der Knochen von Ishango; Skizze der Einkerbungen auf
dem Ishango-Knochen; nach [Spektrum der Wissenschaft

2/2006, S. 13] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.1.5

Internationales Jahr der Mathematik (Brfm. Belgien 2000) . . .

11

1.1.6

Ritzungen auf einem Elefantenknochen (Landesmuseum für

Vorgeschichte Halle, Sachsen-Anhalt) [Foto Wesemüller-Kock] . . . . . .

12

1.1.7

Tongefäße mit Ornamenten aus Mitteleuropa, ca. 3.500
v. Chr.; Vase und Lendenschurz mit Ornamenten

(Brfm.: DDR 1976, Brasilien 1975 und 1981) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1.8

Kreisgrabenanlage von Goseck, Sachsen-Anhalt

[Foto Wesemüller-Kock] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1.9

Kalendersteine bei Erdeven in der Bretagne

[Foto Wesemüller-Kock] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.1.10 Taulas (Pilzaltäre) aus dem Megalithikum in Hagar Qim
auf Malta [Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.1.11 Himmelsscheibe von Nebra (Landesmuseum für Vorgeschichte,

Halle, Sachsen-Anhalt), [Foto Wesemüller-Kock] . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.1

Siedlungsgebiete der Bantu-Völker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.2.2
a) Entstehung einer Lusona; b) Lusona „Rat der Tänzer“

[Gerdes 1997, S. 33] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.2.3

„Zehn Vögel“ [Gerdes 1997, S. 235] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.3.1

Kulturen der Indios in Mittelamerika (Karte) . . . . . . . . . . . .

23

1.3.2

Tempelbezirk in Teotihuacán ( Ort der Götter )

[Foto Jackhynes/Wikimedia Commons] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.3.3

Stadtplan von Tenochtitlán [ÖNB Bildarchiv,

Wien: E12.422-C/D] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.3.4

Ausbildung in Astronomie/Astrologie zu Schulbeginn

(nach altmexikanischem Kodex in Florenz)

(Brfm. Mexiko 1982) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

492

Abbildungsverzeichnis

1.3.5

Aztekischer Kalenderstein (im Museo Nacional de

Antropología, Mexico-City) [Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.3.6

Pyramide des Kukulcan in Chichén Itzá (Yucatán,

Mexiko), 10. Jahrhundert [Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.3.7

Tempel der 1000 Säulen mit dem Götterboten Chac-Mool
im Weltkulturerbe Chichén Itzá (Yucatán, Mexiko)

[Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.3.8

Die kegelförmige „Pyramide des Zauberers“ in Uxmal

(Yucatán) [Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1.3.9

Ornamente am sog. Haus der Nonnen in Uxmal [Foto Alten] .

32

1.3.10 Maya-Handschrift im Codex Dresdensis [SLUB Dresden/Abt.

Deutsche Fotothek, Mscr. Dresd. R 310] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.3.11 Kulturen der Indios in Südamerika (Karte) . . . . . . . . . . . . . .

34

1.3.12 Maria Reiche mit einigen Figuren der Scharrbilder

(Brfm.-Block Peru 1986) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

1.3.13 Polygonale Festungsmauern in Sacsayhuaman bei Cuzco

[Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

1.3.14 Läufer; Quipu (Knotenschnüre für Zahlangaben)

(Brfm. Peru 1972) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

1.3.15 a) Darstellung der Zahl 3/643 als Knotenschnur
b) Interpretation eines Quipu [American Museum of Natural

History, New York, B 8713] (vgl. Leland Locke 1923, Ifrah 1986) . . . .

38

1.3.16 Sonnenobservatorium der Inka in Machu Picchu [Foto Alten]

39

1.3.17 Die Inka-Festung und der Sonnentempel von Machu

Picchu [Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

1.3.18 Textilkunst der Inka: Geometrische Muster einer Tunika

(um 1550) [Dumbarton Oaks Research Library], [Wikimedia

Commons] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.1.1

China im Altertum und im Mittelalter (Karte) . . . . . . . . . . .

43

2.1.2

Die Chinesische Mauer [Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.1.3

Obere Reihe: Bronzegegenstände. Untere Reihe: Antike
chinesische Münzen (Brfm. China 1964, China 1981) . . . . . . . . . .

45

2.1.4

Laotse und Konfuzius [Wikimedia Commons] . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.1.5

Erfindungen der chinesischen Antike (Ausschnitte aus

Briefmarken, China 1953) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.1.6

Bedeutsame chinesische Erfindungen: Buchdruck mit
beweglichen Lettern (11. Jh. n. Chr.), Papierherstellung

(2. Jh. v. Chr.), Schießpulver (13. Jh. n. Chr.);

(Brfm. Haiti 1999) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.1.7

Wanderlehrer in China (Brfm. China 1989) . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.1.8

Marco Polos Rückreise von China nach Europa

(Markenblock Vatikan 2000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Abbildungsverzeichnis

493

2.1.9

Torquetum, konstruiert von Guo Shoujing; Porträt von

Guo Shoujing (Brfm. China 1962) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.1.10 Matteo Ricci (Porträt von Yu Wen-hui um 1610) [Wikimedia

Commons] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.1.11 Chinesischer Meister und zwei Schüler am Rechenbrett

[Illustration des Suan Fa Thung Tsung 1593] (vgl. Needham 1959,

S. 70; Ifrah 1986, S. 149)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.1.12 Suanpan, eingegeben ist die Zahl 123 456 789

[Foto Wesemüller-Kock] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.1.13 Figur zum Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2.1.14 Figur zur Baumstammaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

2.1.15 Altchinesische Wissenschaftler (Ausschnitte aus Briefmarken,

China 1956) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

2.1.16 Liu Hui und sein „Exhaustionsverfahren“ zur Berechnung
des Kreisinhaltes (Ausschnitte aus einer Briefmarke China 2002
und einem Text von Tsai Chen aus [Joseph Needham: Science and

Civilization in China, vol. 3, Cambridge University Press 1959],

[Scriba/Schreiber 2005]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

2.1.17 Illustration der Methode der doppelten Messungen

(Blockdruck aus der Enzyklopädie Tu Shu Yi Chen, 1726 [Frank G.

Swets: The Sea Island Mathematical Manual: Surveying and

Mathematics in Ancient China, page 10, Fig 3, 1992, University

Park, PA: The Pennsylvania State University Press]) . . . . . . . . . . . . .

61

2.1.18 „Pascalsches Dreieck“ (aus Siyuan yujian xicao und Yongle
dadien) [Martzloff 1997, S. 231] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

2.2.1

Niederländisch-japanische Beziehungen, Begegnung zweier

Kulturen (Brfm. Japan 2000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

2.2.2

Commodore Perry „öffnet“ Japan (Markenmotiv USA 1953) . . .

69

2.2.3

Gebrauch des Soroban, aus einem Werk von 1825

[Smith/Mikami 1914, S. 43] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

2.2.4

Mathematiker arbeitet mit Stäbchen auf dem Rechenbrett

(aus Miyake Kenrys 1795 in [Smith/Mikami 1914, S. 29]) . . . . . . . . .

72

2.2.5
a) Tor zum Toshogus-Schrein in Nikko b) Burg Matsumoto

(Brfm. Japan 1978, 1977) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

2.2.6

Aus der Trigonometrie (1656) von Yamada Jusei

[Smith/Mikami 1914, S. 64] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

2.2.7

Aus dem Ketsugi-shô von Isomura (2. Aufl. 1684)

[Smith/Mikami 1914, S. 66] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

2.2.8

Zwei einfache Beispiele magischer Kreise [Smith/Mikami

1914, S. 71] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

2.2.9

Frühe Schritte hin zum Calculus (aus Sawaguchi Kazuyiki:

Kokon Sampô-ki 1670) [Smith/Mikami 1914, S. 87] . . . . . . . . . . . . . . 75

2.2.10 Figur zur Aufteilung einer Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

494

Abbildungsverzeichnis

2.2.11 Ausschnitte aus einem Bild von Seki Takakazu, aus

[Masahito Fujiwara], [Wikimedia Commons] (Brfm. Japan 1992) . . . .

78

2.2.12 100 Jahre Eisenbahn 1872–1972; Internationaler Kongress
der Mathematiker in Kyoto 1990 (Brfm. Japan 1972, 1990) . . .

79

2.3.1

Kulturen und Staaten Indiens im Altertum und im

Mittelalter (Karte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

2.3.2

Sarasvati, Göttin der Wissenschaft und Lehre

[Relief aus dem 12. Jh., Vorderseite einer Medaille aus Anlass
der 4. Welt-Sanskrit-Konferenz 1979 in Weimar] . . . . . . . . . . . . . . . .

84

2.3.3

Mohenjo-Daro (Brfm. Pakistan 1976) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

2.3.4

Frühe Induskultur, Siegel mit Einhorn (Brfm. Pakistan 1984) .

86

2.3.5

Rigvedapriester [Foto Morgenroth] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

2.3.6

Der Religionsstifter Mah¯
av¯ıra und die Göttin Durga auf
indischen Miniaturen (Brfm. DDR 1979) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

2.3.7

Löwenkapitell einer Ashoka-Säule im Museum von

Sarnath. Das „Rad der Lehre“ und in die vier

Himmelsrichtungen blickende Löwen [Foto Alten] . . . . . . . . . .

90

2.3.8

Skulptur einer schreibenden Frau (11. Jahrhundert
n. Chr.); Buddhistisches Manuskript auf Birkenrinde;

Welthindi-Konferenz (mit Skulptur aus dem

12. Jahrhundert), (Brfm. Indien 1966, 1979, 1975) . . . . . . . . . . . .

91

2.3.9

Observatorium des Jai Singh in Jaipur [Foto Alten] . . . . . . . .

92

2.3.10 Falkenförmiger Altar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

2.3.11 Figur zur Sehnengeometrie: AC = chorda 2 α, AB = sin α . .

96

2.3.12 Gwalior-Inschrift mit dem Nullzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

3.1.1

Ägypten im Altertum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.1.2

Tut-ench-Amun (Goldmaske im Ägyptischen Museum,

Kairo) [Foto Wesemüller-Kock] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.1.3

Stufenpyramide des Pharao Djoser in Sakkara (um 2600
v. Chr.) [Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.1.4

Hieroglyphen am Tempel von Medinet Habu in Theben

(um 1170 v. Chr.) [Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.1.5

Stein von Rosetta (Kopie im Römer- und Pelizaeus-

Museum Hildesheim), eingefügt Briefmarke mit

Champollion [Foto Wesemüller-Kock], (Ägypten 1972) . . . . . . . . . . 109

3.1.6

Medizinische Geräte am Tempel von Kom Ombo

(Oberägypten) [Foto Mainzer] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.1.7

Ägyptischer Kalender [Foto Wesemüller-Kock] . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.1.8

Thot, der ibisköpfige Gott des Mondes, der Wissenschaften
und des Schrifttums, Herr der Zeit und Rechner der Jahre

(Römer- und Pelizaeus-Museum, Hildesheim)

[Foto Wesemüller-Kock] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Abbildungsverzeichnis

495

3.1.9

Ägyptischer Schreiber (Skulptur im Ägyptischen Museum,

Kairo) [Foto Wesemüller-Kock] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.1.10 Zahlzeichen für Angaben von Mengen in Rezepturen

(Relief im Laborraum des Horus-Tempels von Edfu)

[Foto Wesemüller-Kock] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.1.11 Pyramidenstumpf-Aufgabe im Moskauer Papyrus

[Neugebauer 1969, S. 127] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.1.12 Figuren zur Deutung von Aufgabe 10 Papyrus Moskau;
nach [Neugebauer 1969, S. 136f.] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.2.1

Mesopotamien in der Antike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.2.2

Schreitende Löwen an der Straße zum Ischtar-Tor in

Babylon (Rekonstruktion im Vorderasiatischen Museum

Berlin) [Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.2.3

Elamische Keilschrift an der Zikkurat von Tschogah

Sambil (um 1250 v. Chr.) [Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.2.4

Bildursprung und Entwicklung der Keilschriftzeichen

(Zeichnung nach [Wußing 1965, S. 31]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.2.5

Vergleichende historische Entwicklungen [Neugebauer,

2. Aufl. 1969, S. 41] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3.2.6

Stele mit der Gesetzestafel des Königs Hammurapi

(Original im Louvre, Kopie im Archäologischen Museum

Teheran) [Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.2.7

Graphische Darstellung einer spätbabylonischen

Zahlentafel zur Beschreibung periodischer astronomischer

Vorgänge (Zeichnung nach [Wußing 1965, S. 53]) . . . . . . . . . . . . . . 131

3.2.8

Illustration zur Berechnung der Breite der Grabensohle
bzw. Dammkrone bei ringförmigem Wall (Ausschnitt aus
dem Keilschrifttext BM 85 194) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.2.9
a) und b): Querschnitte von Befestigungen und

Wassergräben, c) Ziegelform für Brunnen, d) Zur

Berechnung von Belagerungen (Zeichnung nach [Wußing]) . . . . . 133

√

3.2.10 Zur Berechnung von

2; a) Keilschrifttext YBC 7289
aus der Babylonischen Sammlung Yale, b) Reproduktion
des Textes YBC 7289 nach Resnikoff, c) Schreibung
dieses Textes mit indisch-arabischen Ziffern
im Sexagesimalsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.2.11 Figur zum Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

3.2.12 Plimpton 322, altmesopotamischer Keilschrifttext

(Plimpton Library, Columbia University, New York

[v.d. Waerden 1966, S. 125]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

3.2.13 Vorder- und Rückseite des Keilschrifttextes BM 15 285

[Neugebauer 1935/37, Teil II] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

496

Abbildungsverzeichnis

3.2.14 Strichzeichnung einer Figur auf der Rückseite
des Keilschrifttextes BM 15 285

(„Möndchen des Hippokrates“) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.2.15 Figur zur Berechnung des „Pfeiles“ p aus dem Durchmesser
d und der Sehne s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.0.1

Griechisch-hellenistische Antike (Karte) . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.0.2

Herakles im Kampf mit dem Zentauer Nessos (nach einer
athenischen Vase Ende 7. Jh. v. Chr.); Sappho, um 600
v. Chr., Dichterin auf der Insel Lesbos; Homer, etwa 8. Jh.

v. Chr. (Brfm. Griechenland 1996, 1970, 1983) . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.0.3

Odysseus bei den Sirenen (Römisches Mosaik im Bardo

Museum, Tunis) [Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.0.4

Entwicklung der Buchstabenschrift, nach [Menninger 1958,

Bd. 2, S. 70] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4.1.1

Antiker Rechentisch (Abakus) (Ausschnitt aus der sog.

Dariusvase im Nationalmuseum in Neapel) [Wußing 1965,

Abb. 37] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.1.2

Die sog. Salaminische Rechentafel [Numismatische Zeitschrift,

Bd. 31, Wien 1899] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.1.3

Milesisches Zahlensystem; nach [Menninger 1958, Bd. 2, S. 76] . 153

4.1.4

Denkmal des Pythagoras auf der Insel Samos [Foto Tobies] . . 155

4.1.5

Römischer Handabakus; nach [Menninger 1958, Bd. 2, S. 113] . . 157

4.2.1

Theater von Milet [Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4.2.2

Demokrit, Thales, Heraklit [Deutsche Fotothek, SLUB Dresden] . 162

4.2.3

Bibliothek in Ephesos [Foto Wußing] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.2.4

Hadrianstempel in Ephesos [Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

4.2.5

Die vier Elemente des Empedokles (Brfm. Liechtenstein 1994) . 165

4.2.6

Münze mit Bild des Pythagoras; Satz des Pythagoras

(Brfm. Griechenland 1955) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4.2.7

Statue vor dem Zeughaus in Berlin. Ein Schüler zeigt die

Tafel mit der Figur zum Beweis des Satzes von Pythagoras

[Foto Hollewood Media] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

4.3.1

Tempel des Apollon in Didyma [Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . 169

4.3.2

Geometrie in der Architektur der griechischen Antike

[Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4.3.3

Ein Typ von Möndchen des Hippokrates . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4.3.4

Figurierte Zahlen: Dreieck-, Quadrat-, Rechteck- und

Fünfeckzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

4.3.5

Beweis für die Winkelsumme im Dreieck; Pentagramm,
das Ordenszeichen der Pythagoreer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

4.3.6

Die fünf platonischen Körper: Tetraeder, Hexaeder

(Würfel), Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder . . . . . . . . . . . . . . 176

4.4.1

Die Akropolis von Athen [Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Abbildungsverzeichnis

497

4.4.2

Der Parthenon – das berühmteste Beispiel griechischen

Tempelbaus [Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

4.4.3

Sophokles, Aristoteles, Platon (Brfm. Griechenland 1998, 1978,

1998) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

4.4.4

Veranschaulichung der binomischen Formel (li), Figur zur
parabolischen Flächenlegung (re) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

4.5.1

Der Pharos von Alexandria – eine Rekonstruktion

[H. Thiersch: Antike, Islam und Okzident, Leipzig 1909] . . . . . . . . . . 187

4.5.2

Die Pompejus-Säule im Serapeum von Alexandria

[Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

4.5.3

Zum Gerät von Antikythera: Großes Bruchstück
aus korrodierter Bronze (Nationales Archäologisches

Museum, Athen, n0 15987) [Wikimedia Commons, GNU FDL];

Rekonstruktion (Astronomisch Physikalisches Kabinett, Kassel)

[Foto Wesemüller-Kock] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

4.5.4

Euklid als Lehrmeister nach [Bildarchiv der Universität Leipzig] . 190

4.5.5

Figur zur ursprünglichen Fassung des sog.

Parallelenpostulates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

4.5.6

Druckausgabe der „Elemente“, Anfang des Buches I,

Venedig 1509 [UB Leipzig] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

4.5.7

Tod des Archimedes (Mosaik Städt. Galerie Frankfurt),
nach [www.math_inf.uni-greifswald.de] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

4.5.8

Flächenstücke an der Archimedischen Spirale . . . . . . . . . . . . 197

4.5.9

Manuskript aus dem Archimedes-Palimpsest

[Auktionskatalog der Fa. Christies, New York 1998] . . . . . . . . . . . . . . 199

4.5.10 Figur zur Parabelquadratur des Archimedes . . . . . . . . . . . . . 200

4.5.11 Figur zu Aristarchs Berechnung der Abstände zu Sonne
und Mond [Heath 1913], [v. d. Waerden 1966, S. 337f.] . . . . . . . . . . 201

4.5.12 a) Archimedes und seine Wasserschraube, b) Archimedes
und das Gesetz vom Auftrieb, c) Aristarchs Überlegungen
zum heliozentrischen System (Brfm.: Italien 1983, Griechenland

1983, 1980) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

4.5.13 Epizyklische Bewegung von Planeten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

4.5.14 Ptolemaios (Aus einem Satz von 8 Zusammendrucken
aus Anlass des 500. Geburtstages von Copernicus,

Brfm. Burundi 1973) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

4.5.15 Rekonstruktion der Dioptra des Heron (li.: Zeichung

[Teubner, Leipzig 1903], [Wikimedia Commons]; re.: Modell im

Technischen Museum Thessaloniki, nach [Antike Griechische

Technologie, Ausgabe zur Expo 2000, S. 40]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

4.5.16 „Vogelgezwitscher“ [Wußing 1965, S. 174] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

4.6.1

Pantheon, Kuppel mit Opaion [Foto Wesemüller-Kock] . . . . . . . 210

4.7.1

Kaiser Justinian (Mosaik in San Vitali in Ravenna)

[Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

498

Abbildungsverzeichnis

4.8.1

Kuppel der Hagia Sophia [Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

4.8.2

Ausschnitt aus einem byzantinischen Manuskript

[Foto Deschauer] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

5.0.1

Zentren der Mathematik in islamischen Ländern im

Mittelalter (Karte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

5.0.2
a) Die Kaaba in Mekka, b) Ibn al-Haytam

(Brfm.: Saudi-Arabien 1977/79, Pakistan 1963) . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

5.0.3

Umayyaden-Moschee in Damaskus [Foto Alten] . . . . . . . . . . . . 224

5.0.4

Denkmal des Ulu ˙g Beg in Dorpat/Tartu (Estland)

[Foto Kästner] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

5.0.5

Ornamente in der Außenmauer der Großen Moschee

(Mezquita) in Córdoba [Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

5.0.6

Die Alkantara-Brücke und der Alkazar von Toledo

[Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

5.0.7

Geometrische Ornamente an Wänden im Löwenhof der

Alhambra in Granada [Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

5.0.8
cAbd ar-Rah.m¯an (792–852), Emir von Córdoba; König

Alfons VII. (1105–1157), Förderer der Übersetzerschule
von Toledo (Brfm. Spanien 1986) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

5.1.1
a) Al-F¯
ar¯
ab¯ı mit Musikinstrument; b) Al-Kind¯ı;
c) Al-B¯ır¯
un¯ı (Brfm.: Ägypten 1975, Syrien 1994, Iran 1973) . . . . . . 233

5.1.2

Ibn Rušd (Averroës), Moshe ben Maimon (Maimonides);

Ibn S¯ın¯
a (Avicenna) (Brfm.: Spanien 1967, Iran 1954) . . . . . . . . . 235

5.1.3

Ibn H

<ald¯un; Al-H

<w¯arizm¯ı (Brfm.: Tunesien 1980, Sowjetunion

1983) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

5.2.1

Kalta Minar (Minarett) in Chiwa, Usbekistan [Foto Alten] . . 238

5.2.2

Erste Seite der ältesten lateinischen Übersetzung einer

Arbeit von al-H

<w¯arizm¯ı über das indische Rechnen

[Folkerts 1997, Tafel I] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

5.2.3

Stammtafel unserer Zahlzeichen, nach [Menninger 1958] . . . . . 243

5.3.1

Text eines Vierzeilers von cUmar H

<ayy¯am in persischer

Sprache [Wikimedia Commons, GNU-FDL] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

5.3.2

Omar Khayyam (Brfm. Albanien 1997) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

5.3.3

Figur zur geometrischen Lösung der kubischen Gleichung
x 3 + a 2 x = a 2 b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

5.3.4

Nas.¯ır ad-D¯ın at.-T.¯us¯ı; Al-K¯aš¯ı (Brfm.: Iran 1993, 1979) . . . . . . . 250

5.3.5

Kuppel des Grabmals Gur Emir in Samarkand (Anfang

15. Jh.) [Foto Dold] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

5.3.6

Konstruktion einer Qubba, aus [Dold-Samplonius 1992, S. 176] . 253

5.5.1

Geometrisches Ornament mit floralen Motiven
am Mausoleum Usta Ali in Shah-i-Sinda, Samarkand

[Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Abbildungsverzeichnis

499

5.5.2

Florales und geometrisches Motiv im Kachelschmuck der

Freitagsmoschee in Yazd, Iran [Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . 257

5.5.3

Ulu ˙g Beg und Sextant (Brfm. Sowjetunion 1987) . . . . . . . . . . . . . 258

5.5.4

Medresse des Ulu ˙g Beg am Registan in Samarkand,

Usbekistan [Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

5.6.1

Geometrische Muster des Kachelschmucks von Moscheen
in Isfahan [Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

6.1.1

Römisches Amphitheater in Karthago [Foto Alten] . . . . . . . . . 266

6.1.2

Augustinus; Friede und Eintracht (Brfm.: Vatikan 1954,

Algerien 2001) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

6.1.3

Karl der Große mit Schülern; Karolingische Minuskel;

Kirchenslawische Schrift Glagoliza (Brfm.: Frankreich 1966,

Andorra 1987, Bulgarien 1969) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

6.1.4

Karl der Große mit Alcuin und Schülern in der

Palastschule [Deutsche Geschichte 1862] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

6.1.5

Hrabanus Maurus (li.) überreicht mit seinem Lehrer

Alcuin dem Mainzer Erzbischof Otgar (re.) eine Schrift

(Darstellung in einem Manuskript, Fulda um 830/840) [Wikimedia

Commons] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

6.1.6

Gerbert von Aurillac, dargestellt als Papst Silvester II. auf
einem Denkmal in Aurillac [Foto Alten], (Brfm. Frankreich 1984) 273

6.1.7

Illustration eines Gerbertschen Abakus mit indisch-
arabischen Ziffern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

6.2.1

Aufbruch zur Schlacht von Hastings 1066 [Foto Alten] . . . . . . 276

6.2.2

Domesday Book 1086 (Brfm. England 1986) . . . . . . . . . . . . . . . . 277

6.2.3

Kirche und Kloster auf dem Mont-St.-Michel, Frankreich

[Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

6.2.4

Maßwerk der flamboyanten Gotik an der Kathedrale von

Rouen, Frankreich [Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

6.3.1

Gedenkfeier zur Gründung der Universität Bologna;

Abaelard (Brfm. Italien 1986, Frankreich 1979) . . . . . . . . . . . . . . . . 282

6.3.2

Universitätsgründungen im europäischen Mittelalter

(Karte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

6.3.3

Collegium Maius [Bildarchiv Preußischer Kulturbesitz, Berlin]

(Fotograf unbekannt, Krakau um 1980) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

6.3.4

Hierarchie der mittelalterlichen Wissenschaften,

(Sinnbildliche Darstellung aus der Margarita

Philosophica) [Gregor Reisch, Freiburg 1505] . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

6.3.5

Albertus Magnus, Wandmalerei im bischhöflichen Seminar
von Treviso, von Tommaso de Modena, 1352 [Bildarchiv

Preußischer Kulturbesitz, Berlin] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

6.3.6

Thomas von Aquin (Brfm. Vatikan 1974) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

500

Abbildungsverzeichnis

6.3.7

Triforium und Obergaden der Kathedrale von Lincoln,

England [Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

6.3.8

Gebrauch des Jakobstabes zur Vermessung, aus [Apianus,

Introductio geographica 1532], [Wikibooks.org] . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

6.3.9

Merton-College in Oxford [Foto Gottwald] . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

6.3.10 Inschrift über einem Portal der Universität Oxford

[Foto Gottwald] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

6.3.11 Nicole Oresme, Miniatur aus dem Traité de l’espère

(Bibliothéque Nationale, Paris, fonds français 565, fol. 15)

[Wikimedia Commons] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

6.3.12 Figur zur Theorie der Formlatituden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

7.0.1

Leonardo da Vinci (Brfm.: Monaco 2002, Albanien 1969) . . . . . . . 303

7.0.2

Blick in eine Rechenstube (Klatovskys Rechenbuch, Prag),
aus [Acta historiae, New Series, Vol. 1 1997, S. 168–195] . . . . . . . . 305

7.0.3

Titelblatt von De revolutionibus [UB Leipzig] . . . . . . . . . . . . . . 306

7.1.1

Windrose in Sagres, Portugal [Foto Wußing] . . . . . . . . . . . . . . . 307

7.1.2

Flugbahn eines Geschosses [Die new Buchsenmeisterey 1547] . . . 308

7.1.3

Kuppel der Peterskirche in Rom [Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . 309

7.1.4

Größenverhältnisse am Kopf (Beschriftung in

Spiegelschrift, Handzeichnung von Leonardo da Vinci

1488/89) [www.drawingsofleonardo.org] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

7.2.1

Sieg des Ziffernrechnens über das Abakusrechnen

(Zeitgenössische Darstellung von 1504) [Reisch: Margarita
philosophica] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

7.2.2

Dut is de garen mathe (Dies ist das Garnmaß); Inschrift
am Rathaus von Hildesheim [Foto Wesemüller-Kock] . . . . . . . . . 312

7.3.1

Die „Fibonacci-Zahlen“ im Liber abbaci [Biblioteca Nazionale
de Firenze, Codice Magliabechiano c.s. c.1.2616, fol. 124r],

[Wikimedia Commons] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

7.3.2

Luca Pacioli mit seinem Schüler Guidobaldo, Herzog
von Urbino (Jacopo de Barbari 1495) [Museo Nazionale di

Capodimonte, Neapel], [Wikimedia Commons] . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

7.4.1

Titelblatt des „Whetstone of Witte“ von Robert Recorde

1557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

7.4.2

Titelblatt von S. Stevin: „De Beghinselen des Waterwichts“

(S. Stevin um 1600) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

7.4.3

Simon Stevin, Pedro Nunes (Brfm. Belgien 1942, Portugal 1978) 326

7.4.4

Rua da matemática in Coïmbra, Portugal [Foto Alten] . . . . . . 327

7.5.1

Seite 13 aus dem Bamberger Rechenbuch von 1483 . . . . . . . 329

7.5.2

Rechen- und Zahltisch im Basler Rathaus [Historisches

Museum Basel] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

7.6.1

Titelblatt der 4. Auflage des zuerst 1489 in Leipzig
gedruckten Rechenbuches von Widmann . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

Abbildungsverzeichnis

501

7.6.2

Adam Ries (Brfm. BRD 1992) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

7.6.3

Rechnung auff der linihen; erstes Rechenbuch von Adam

Ries, 2. Auflage 1525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

7.6.4

Titelblatt des zweiten Rechenbuches Rechnung auff der

Linien vnnd Federn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

7.6.5

Denkmal von Adam Ries in Annaberg-Buchholz

[Foto Wußing] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

7.6.6

Einführung der cossischen Symbole [Ries, Coß, S. 109] . . . . . . . 339

7.6.7

Titelblatt der Coß von Abraham Ries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

7.6.8

Titelblatt der von Stifel herausgebrachten „Coß“

Christoph Rudolffs (1553) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

7.7.1

Titelblatt der ersten Druckausgabe Euklid, Venedig 1482

(von Erhard Ratdolt, 25.V. 1482) [Stadtbibliothek Nürnberg,

Sign.: 4° Auct. Gr. IV, 3743] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

7.7.2

Titelblatt der Euklidausgabe in der Übersetzung durch

Clavius [UB Leipzig] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

7.7.3

Zur Erinnerung an Pedro Nunes und Heinrich den

Seefahrer (Briefmarken-Block, Portugal 2002) . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

7.7.4

Projektionen der Erdkugel auf ebene Karten; Mercators

Karte der Arktis in [Septentrionalium Terrarum descriptio,

Duisburg 1623], [Wikimedia Commons] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

7.7.5

Titelkupfer zum dreibändigen Kartenwerk Mercators

[Wikimedia Commons] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

7.7.6

Gerhard Mercator; Abraham Ortelius [Wikimedia Commons;
en. wikipedia] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

7.7.7

Stadtansicht von Nürnberg (aus Schedels Weltchronik)

[UB Leipzig] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

7.7.8

Albrecht Dürer, Selbstportrait 1498 [Museo Nacional del

Prado, Madrid], [Wikimedia Commons] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

7.7.9

Mechanische Erleichterung perspektivischen Zeichnens

[Underweysung 1525] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

7.7.10 Parabolischer und hyperbolischer Schnitt eines Drehkegels

[Underweysung 1525] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

7.8.1

Siegel der Universität Wien, gegründet 1365;

600. Geburtstag des Johannes von Gmunden

(Brfm.: Österreich 1965; 1984) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

7.8.2

Titelblatt der „Epitoma“ [Johannes Regiomontanus Epitoma,
in: Almagestum Ptolemaei 1496] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

7.8.3

Der ungarische König Matthias I Corvinus; Bibliothek

Corvina (Brfm.: Ungarn 1970, 1973) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

7.8.4

Liste der von Regiomontanus geplanten Druckausgaben

(Ausschnitt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

7.8.5

Johann Regiomontanus; Nicolaus Copernicus (Porträt aus

Thorn 16. Jh.), [Wikimedia Commons] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

502

Abbildungsverzeichnis

7.8.6

Nicolaus Copernicus (Brfm. BRD 1973) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

7.8.7

Stadtansicht Krakau; kolorierter Holzschnitt 1493

[Schedelsche Weltchronik 1492], [Wikimedia Commons] . . . . . . . . . . . 369

7.8.8

Collegium maius in Krakau (Polen 1971) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

7.8.9

Handzeichnung von Copernicus zum heliozentrischen

System [Wikimedia Commons] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

8.1.1

Accademia dei Lincei; Francis Bacon (Ausschnitt aus Brfm.

Italien 2003), [Wikimedia Commons] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

8.1.2

Handschrift von Leibniz [Niedersächsische Landesbibliothek

Hannover, Handschrift LH XXXV, VIII, 18 Bl. 2 r ] . . . . . . . . . . . . . . 385

8.1.3

Akademie der Wissenschaften in St. Petersburg [Foto Alten] . 386

8.2.1

Girolamo Cardano, Niccolò Tartaglia [Wikimedia Commons] . . 389

8.2.2

Titelblatt der Ars magna, sive de regulis algebraicis

[Girolamo Cardano, Nürnberg 1545] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

8.2.3

Titelblatt von L’Algebra [Rafael Bombelli, Zweite Auflage 1579] . 393

8.2.4

Titelblatt des Buches „de aeqvationvm recognitione
et emendatione tractatus dvo“ von F. Vieta, Paris

1615 [Bayerische Staatsbibliothek München] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

8.3.1

René Descartes (Gemälde von Frans Hals 1648, Musée du

Louvre, Paris) [Wikimedia Commons] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

8.3.2

Königliche Embleme am Tor zum schwedischen Königshof

[Foto Alten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

8.3.3

Titelblatt des Buches Discours de la méthode

[René Descartes 1637] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

8.3.4

Zur Grundvorstellung der analytischen Geometrie
bei Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

8.3.5

Multiplikation von Strecken nach Descartes . . . . . . . . . . . . . . 405

8.3.6

Der Große Fermatsche Satz (Brfm.: Frankreich 2001, Tschechien

2000), [Barner 2001] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

8.3.7

Johann van Waveren Hudde, Johan de Witt [Wikimedia

Commons], [Wikipedia.org] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

8.4.1

Titelbild des Werkes von Samuel Marolois (1628) . . . . . . . . . 412

8.4.2

Figur zum Satz von Pappos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

8.4.3

Pascalsches Sehnensechseck: a) allgemeiner Fall;
b), c), d) Spezialfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

8.4.4

Blaise Pascal (Brfm. Frankreich 1962) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

8.4.5

Paul Guldin [Universität Graz] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

8.5.1

Zeitgenössisches Portrait von J. Bürgi; Globusuhr von

Bürgi [Ausschnitt aus dem Titelkupfer zu Benjamin Bramers

Bericht über Bürgis Triangularinstrument, Kassel 1648], (DDR 1972)

419

8.5.2

Prinzipskizze zum Gebrauch der Neperschen Rechenstäbe

[Wußing 1989, S. 149] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

Abbildungsverzeichnis

503

8.5.3

Skizze von Schickard zu einer Maschine (sog. Stuttgarter

Skizze, Siemens-Museum München) [Schickard 1978, S. 289] . . . 421

8.5.4

Rekonstruierte Schickardsche Rechenmaschine

(Brfm. BRD 1973) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

8.5.5

Rechenmaschine „Pascaline“ (Mathematisch-Physikalischer

Salon Dresden) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

8.5.6

Zeichnung einer Rechenmaschine mit je drei Schalt- und

Resultatwerken, ca. 1673. [Niedersächsische Landesbibliothek

Hannover, LH XL II, 5, Bl. 23 r ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

8.5.7

Die Rechenmaschine von Leibniz [Niedersächsische

Landesbibliothek Hannover] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

8.6.1

Zur Frühgeschichte der Analysis: Hauptlinien der
ideengeschichtlichen Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

8.6.2

Graphische Herleitung des Fallgesetzes [Wußing 1989, S. 155] . 430

8.6.3

Figur zur Berechnung der Antriebskraft
eines oberschlächtigen Wasserrades

(Eigenzeichnung nach Jacob Leupold) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

8.6.4

Bildliche Darstellung der Abstandsverhältnisse von der

Sonne und fünf Planeten mit den ineinander geschachtelten

Platonischen Körpern [Mysterium Cosmographicum, Tübingen

1596, Tafel III], [Wikimedia Commons] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

8.6.5

Denkmal Brahe/Kepler in Prag [Foto Schreiber] . . . . . . . . . . . . 435

8.6.6

Tycho Brahes Beobachtung mit dem Mauerquadranten

[Astronomiae Instauratae Mechanica, Wandsbek 1598], [Wikimedia

Commons] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

8.6.7

Kepler; Keplers tastende Versuche, die Bahn des Planeten

Mars aus Kreisbogenstücken und Ovalen zusammen zu
setzen (Brfm.: DDR 1971, BRD 1971) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

8.6.8

Titelblatt eines Visierbüchleins [J. Frey, Nürnberg, 15. Jh.] . . . . 438

8.6.9

Figur zur Infinitesimalgeometrie Keplers bei der

Kreisflächenbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

8.6.10 Grundvorstellung zum Cavalierischen Prinzip

(Eigenzeichnung nach [Wußing 1989, S. 169]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

8.6.11 Figur zur Berechnung des Kugelvolumens . . . . . . . . . . . . . . . 442

8.6.12 Cavalieri, Torricelli [Wikimedia Commons] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

8.6.13 Figur zum Volumen eines Rotationshyperboloides . . . . . . . . 444

8.6.14 Christiaan Huygens; Ergebnisse der Forschung von

Huygens und Newton (Brfm. Niederlande 1928, 1988) . . . . . . . . . 445

8.6.15 Zur Volumenberechnung einer Pyramide nach der

Indivisibelnmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

8.6.16 John Wallis (Kupferstich von W. Fairthorne 1668) . . . . . . . . . . . . . 446

8.6.17 Konstruktion einer Tangente an die quadratische Parabel
nach Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

8.6.18 Blaise Pascal, Pierre de Fermat [Wikimedia Commons] . . . . . . . 450

504

Abbildungsverzeichnis

8.6.19 Das charakteristische Dreieck bei Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

8.7.1

Newtons Grabmal in der Westminster Abtei [Foto Wußing] . . 455

8.7.2

Legende vom fallenden Apfel; Veranschaulichung von

Newtons Farbentheorie (Brfm. Großbritannien 1987) . . . . . . . . . . 457

8.7.3

Newtons Wohnung im Trinity College [Foto Wußing] . . . . . . . . 457

8.7.4

Isaac Newton [Gemälde von G. Kneller 1702, National Portrait

Gallery London], [Wikimedia Commons] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458

8.7.5

Titelblatt des Buches The Method of Fluxions and Infinite

Series, London 1736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

8.7.6

George Berkeley, Spinoza (Brfm. Irland 1985, Israel 2002) . . . . . 463

8.7.7

Porträt von Leibniz [Historisches Museum Hannover] . . . . . . . . . . 465

8.7.8

Ruhestätte von Leibniz in Hannover [Foto Gottwald] . . . . . . . . 466

8.7.9

Reproduktion Originalhandschrift Leibniz [Niedersächsische

Landesbibliothek Hannover, Signatur LH XXXV, VIII, 18, Bl. 2 v ] . . . 469

8.7.10 Ramón Llull (Raimundus Lullus) [Foto Kästner] . . . . . . . . . . . 470

Personenverzeichnis mit Lebensdaten

Bei den Lebensdaten bedeutet „ca.“ grob geschätzt, „um 370“ +( −) kleine

Fehler, „370?“ wahrscheinlich 370, aber es ist nicht ganz sicher.

Abaelard, Petrus (1079–1142), 284

Aquino, Thomas von (1225/26–1274),

Ab¯
u K¯
amil, siehe K¯
amil

236, 278, 285, 288

Ab¯
u l-Waf¯
a c , siehe Waf¯
a c

Archimedes (287?–212 v. Chr.), 59, 88,

Adelard von Bath (1080–1160), 276,

118, 146, 152, 153, 170, 186, 188,

278

194–198, 200–202, 211, 213, 214,

Aischylos, 146

216, 217, 231, 260, 278, 296, 302,
al-Ba ˙gd¯
ad¯ı, siehe Ba ˙gd¯
ad¯ı

321, 365, 370, 388, 427, 432, 433,
al-Batt¯
an¯ı, siehe Batt¯
an¯ı

439, 440, 442
al-B¯ır¯
un¯ı, siehe B¯ır¯
un¯ı

Archytas (ca. 428–365 v. Chr.), 177,
al-F¯
ar¯
ab¯ı, siehe F¯
ar¯
ab¯ı

179, 181, 216
al-Far ˙gh¯
an¯ı, siehe Far ˙gh¯
an¯ı

Aristaios (um 330 v. Chr.), 202, 408
al-Karaˇ
g¯ı, siehe Karaˇ
g¯ı

Aristarch von Samos (ca. 310–230
al-K¯
aš¯ı, siehe K¯
aš¯ı
v. Chr.), 200, 201, 216, 370
al-Qalas.¯ad¯ı, siehe Qalas.¯ad¯ı

Aristophanes, 146, 151, 172
al-Uql¯ıdis¯ı, siehe Uql¯ıdis¯ı

Aristoteles (384–322 v. Chr.), 8, 144,

Alberti, Leon Battista (1404–1472),

146, 149, 156, 159–161, 163, 165,

319, 359, 411

170, 174, 186, 187, 191, 193, 212,

Albertus Magnus, Graf von Bollstädt

232, 234–236, 285, 287, 291–294,

(ca. 1208–1280), 285, 287, 288

296, 302, 365, 374

Alcuin von York (735–804), 60, 269, 272

¯

Aryabhat.a I, 94, 99

Alexander, Andreas, 332
as-Samaw c al, siehe Samaw c al

Alexander der Große (356–323), 107,

Ashoka Maurya (3. Jh. v. Chr.), 89

124, 146, 186
at.-T.¯us¯ı, siehe T.¯us¯ı

Amann, Fridericus (gest. 1464/65), 331,

Atahualpa, 38

332

Augustinus von Hippo (354–430), 265,

Amenophis II., 106

266

Ammei, Aida (1747–1817), 79

Aurillac, Gerbert von, siehe Gerbert

Ammonios (ca. 445–ca. 515), 212, 213

Averroës, siehe Rušd, Ibn
an-Nayr¯ız¯ı, siehe Nayr¯ız¯ı

Avicenna, siehe S¯ın¯
a, Ibn

Anaxagoras (ca. 500–428), 159, 162,

172, 215

Bacon, Francis (1561–1626), 379, 381,

Anaximandros von Milet (ca. 611–546),

383, 448

159, 161, 350

Bacon, Roger (ca. 1214–1294), 288, 289

Anaximenes (ca. 585–525), 159, 161

Ba ˙gd¯
ad¯ı, Abu Mansur ibn Tahir al-

Annibale della Nave, 387

(980–1037), 241

Anthemios von Tralleis (gest. 534), 213

Ban¯
u M¯
us¯
a (Muh.ammad, gest. 872,

Antiphon (um 430 v. Chr.), 172, 215

Ah.mad und H.asan), 255, 260

Apollonios von Perge (262?–

Barocius, Franciscus (1537–1604), 278

190 v. Chr.), 104, 146, 184,

Barrow, Isaac (1630–1677), 427, 441,

188, 194, 201–203, 211, 213, 214,

452–454, 459, 473

216, 217, 231, 255, 278, 302, 365,

Bartolo, Giovanni di, 318

398, 399, 408

Batt¯
an¯ı, al- (?850–929), 231, 364

506

Personenverzeichnis mit Lebensdaten

Beeckman, Isaac (1588–1637), 400, 429

Burkhardt, Jacob, 301

Beg, Ulu ˙g (1409–1449), 225, 251, 259

Behaim, Martin (1459–1507), 354

Caesar, Gaius Julius, 112, 146, 188

Bélidor, Bernard Forest de (1697–1761),

Campanus von Novara (?–1296), 278,

432

320, 321

Benedetto von Florenz, 317

Cantor, Moritz (1829–1920), 442, 447,

Berkeley, George (1685–1753), 463, 464

466

Bernoulli, Daniel (1700–1782), 384

Cardano, Girolamo (1501–1576), 313,

Bernoulli, Jakob, 406, 470

318, 320, 321, 326, 328, 334, 335,

Bernoulli, Johann (1667–1748), 406

341, 342, 387–390, 392, 406

Bessarion (ca. 1403–1472), 361, 363, 364

Cassini, Giovanni Domenico (1625–

Bh¯
askara I (um 522), 94

1712), 349

Bh¯
askara II (1114–1185?), 60, 92, 94,

Cavalieri, Bonaventura (1598–1647),

95, 101

76, 292, 308, 427, 432, 440–442,

Bingham, Hiram , 38

445–447, 452, 459, 466

Birkhoff, George, 51

Champollion, Jean-François (1790–

B¯ır¯
un¯ı, al- (973–1048), 92, 94, 231, 233,

1832), 109

234, 244

Chefren, 105

Boethius, Anitius Manlius Torquatus

Cheops, 105

Severinus (475/480–524), 268,

Chester, siehe Robert von Chester

296, 321

Chish¯
o, Imamura, 74

Bombelli, Rafael (1526–1572), 313, 326,

Chokuyen, Ajima (1739–1783), 79

387, 392, 394, 397

Chongzhi, Zu (429/430–500/501), 59

Boncampagni, Baldassarre (1821–1894),

313

Choresmi, al-, siehe H

<w¯arizm¯ı

Borelli, Giovanni Alfonso (1608–1679),

Chryppfs, Nikolaus, siehe Nikolaus von

383

Kues

Boskovitsch, Roger (1711–1787), 416

Chuquet, Nicolas (ca. 1445– ca. 1488),

Boyle, Robert (1627–1691), 381

321, 331, 386

Bradwardine, Thomas (1290?–1349),

Clavius, Christopher (1537–1612), 51,

288, 291–293, 297, 440

255, 327, 343, 346, 416, 433

Brahe, Tycho, 51, 363, 379, 420, 434

Collins, John (1624–1683), 472

Brahmagupta (598–nach 665), 94, 101

Columbus, siehe Kolumbus

Braun, Anton, 426

Comenius, Jan Amos (1592–1670), 372

Briggs, Henry (1561–1630), 419, 420

Commandino, Federico (1509–1575),

Brouncker, William (1620?–1684), 381,

278, 427, 432, 433, 439

458

Cook, James (1728–1779), 379

Brudziewski, Albert Blar (1455–1597),

Copernicus, Nicolaus (1473–1543), 182,

297

201, 295, 298, 301, 307, 334, 366,

Brunelleschi,Filippo (1377–1446), 318,

368–370, 372, 374, 379, 390, 395

358

Coriolis, Gustave-Gaspard de (1792–

Bruno, Giordano (1548–1600), 295, 380

1843), 432

Bryson von Herakleia (um 410 v. Chr.),

Cortés, Hernán (1485–1547), 28

172, 173, 216

Cossali, Pietro (1768–1815), 313

Buddha, 88, 89, 97

Cotton, Walter (gest. 1352), 293

Bülfinger, Georg Bernhard (1693–1750),

Cremona, siehe Gerhard von Cremona

384

Cremona, Jakob, 278

Bürgi, Jost (1552–1632), 342, 418

Cusanus, siehe Nikolaus von Kues

Personenverzeichnis mit Lebensdaten

507
da Vinci, Leonardo, siehe Leonardo da

Euler, Leonhard (1707–1783), 60, 62,

Vinci

317, 343, 384, 408, 411, 420, 431,

Dalton, John (1766–1844), 166

432, 470

Damaskios (6. Jahrhundert n. Chr.),

Euripides (um 480–407), 146

191

Eutokios von Askalon (Palästina, geb.

Dardi von Pisa, 318
ca. 480), 213, 217
de Morgan, Augustus (1806–1871), 50

Deinostratos, 216

Fabri, Henoré (1607–1688), 416

Demokrit von Abdera (460–371), 146,

Fan, Wang (?-267), 59

159, 164, 165, 170, 198, 292, 427,

Far ˙gh¯
an¯ı, al-, 364

440

F¯
ar¯
ab¯ı, al- (ca. 870–ca. 950), 232, 233

Faulhaber, Johannes (1580–1635), 400

Desargues, Girard (1591–1661), 383,

Fermat, Pierre de (1607–1665), 379,

411, 413

383, 398, 399, 406–410, 427, 443,

Descartes, René (1596–1650), 343,

444, 448–450, 452, 467

344, 379, 380, 390, 394, 399–401,

Fernel, Jean (1497–1558), 349

403–407, 410, 429, 430, 450, 452,

Ferrari, Lodovico (1522–1565), 320,

466, 470

321, 326, 388, 390, 392

Diokles (um 200 v. Chr.), 188

Ferro, Scipione del (1463?–1526), 313,

Dionysodoros (2. Jh. v. Chr.), 188

318, 320, 321, 326, 367, 387–389

Diophant(os) von Alexandria (vermut-

Fibonacci, Leonardo (1170– ca. 1240),
lich um 250 n. Chr.), 139, 146,

245, 271, 278, 279, 281, 313–315,

152, 188, 205, 208, 209, 211, 214,

317, 318, 386

217, 231, 240, 245, 260, 278, 302,

Filarete, Antonio Averlino (ca.

324, 364, 392, 397

1400–1469), 359

Domninos von Larissa (um 450), 211

Fior, Antonio Maria, 387

Dürer, Albrecht (1471–1528), 304,

Fiore, Antonio Maria, 326, 387, 388

354–359

Fourier, Jean Baptiste Joseph de

(1768–1830), 108

Francesca, Piero della (1410–1492),

Einstein, Albert (1879–1955), 454

318, 319, 359

Empedokles (ca. 495–435), 159, 162,

Frans van Schooten, siehe Schooten

163

Epikur (341–271 v. Chr.), 166, 187

Galilei, Galileo (1564–1642), 77, 166,

Eratosthenes von Kyrene (276?–194?),

182, 289, 303, 308, 346, 379–381,

146, 154, 188, 194, 350

399, 401, 427, 429, 430, 432, 433,

Ericson, Leif, 23

440, 443, 454

Eudemos (um 300 v. Chr.), 211

Ganeśa (geb. 1507), 94

Eudoxos von Knidos (408?–355?), 146,

Gassendi, Pierre (1592–1655), 166

156, 170, 181, 182, 184–186, 198,

Gauß, Carl-Friedrich (1777–1855), 62,

216, 235, 343, 370, 427, 432

406

Euklid (360?–290? v. Chr.), 51, 104,

Geminus von Rhodos (um 75? v. Chr.),

146, 154, 156, 168, 172, 174, 175,

170

185, 188, 190–194, 205, 206, 211,

Gerardi, Paolo, 318

212, 214, 216, 231, 232, 234, 235,

Gerbert von Aurillac (als Silvester II.

246, 248, 254, 268, 276, 290, 296,

Papst von 999–1003), 273, 274,

297, 302, 315, 320, 321, 343, 346,

288, 314

349, 388, 452

Gerdes, Paulus (geb. 1952), 20–22

508

Personenverzeichnis mit Lebensdaten

Gerhard von Cremona (ca. 1114–1187),

Herodot (gest. ca. 424 v. Chr.), 146,

225, 240, 255, 277, 278

150

Gerhart, Friedericus, siehe Amann,

Heron von Alexandria (um 60 n. Chr.),

Fridericus

118, 138, 146, 188, 205–207, 231,

Gerson, Levi ben (1288–1344), 288, 290

245, 255, 302, 365

Gilbert, William (1544–1603), 379

Hesiod (um 700 v. Chr.), 158, 159, 161

Girard, Albert (1595–1632), 405

Hikojirô Kenkô Takebe (1664–1739), 78

Glaukon, 180, 181

Hipparch(os) (um 180–127 v. Chr.),

Goethe, Johann Wolfgang von

139, 235

(1749–1832), 175, 193

Hippasos von Metapont (um

Gracilis, Stefan (16. Jh.), 347

450 v. Chr.), 156, 177, 215, 427

Gregor XIII. (Papst von 1572–1582),

Hippias von Elis (um 420 v. Chr.), 215

112

Hippokrates von Chios (um

Gregory, J. (1738–1675), 427, 455, 458,

440 v. Chr.), 146, 172, 173,

466

213, 215

Gresham, Thomas (1519–1579), 381

Hippokrates von Kos (ca. 460–

Grimaldi, Francesco (1613–1663), 416

370 v. Chr.), 172

Grosseteste, Robert (ca. 1168–1253),

Hire, Philippe de la (1640–1718), 415

288, 289, 293

Hiyya, Abraham bar (1070–1136), 278

Grotefend, Georg Friedrich (1775–

Homer (8. Jahrhundert v. Chr.), 146,

1863), 126

158, 161

Grynaeus, Simon (1493–1541), 278, 349

Honnecourt, Villard de (13. Jahrhun-

Guericke, Otto von (1662–1686), 379
dert), 279

Guldin, Paul (1577–1643), 209, 416, 427

Hooke, Robert (1635–1702), 379, 381,

382

Horner, William George (1786–1837),

Hadamard, Jaques (1865–1963), 51

71, 78, 80

Hahn, Philipp Matthäus (1739–1790),

Hudde, Jan (1628–1704), 410

426

Hui, Liu, 59

H

<ald¯un, Ibn (1332–1406), 236, 237

Hui, Yang (13. Jahrhundert), 49, 64, 66

Halley, Edmond (1656–1742), 278, 463

Humboldt, Alexander von (1769–1859),

Hammurapi, 123, 127, 129

365, 372

Harclay, Henry (gest. 1317), 293

Huygens, Christiaan (1629–1695), 379,

Harriot, Thomas (1560–1621), 406, 448

383, 407, 427, 444, 466

Harvey, William (1811–1866), 379

H

<w¯arizm¯ı, Muh.ammad ibn Musa al-,

Hatschepsut (1479–1458/57 v. Chr.),

231, 237–242, 244, 245, 255, 258,

106

274, 276, 278, 315, 317, 328, 331,

Haytam, Ibn al- (965?–1039), 225, 231,

332, 335, 342, 386, 388

¯ 260, 289

Hypatia von Alexandria (geb. um

H

<ayy¯am, cUmar al- (1048?–1131?),

370–415), 146, 211

231, 244, 247–250, 254, 255

Hypsikles (2. Jh. v. Chr.), 188, 191, 231

Heinzelin de Braucourt, Jean de

(1920–1998), 10

Iamblichos (ca. 250–330 n. Chr.), 154,

Heng, Zhang (78–139), 58

177

Heraklit (ca. 544–ca. 483), 159, 162

Ibn Chaldun, siehe H

<ald¯un, Ibn

Hermann von Kärnten (12. Jahrhun-

Ibn H

<ald¯un, siehe H

<ald¯un, Ibn
dert), 278

Ibn Labb¯
an, siehe Labb¯
an, Ibn

Hermann, Jakob (1678–1733), 384

Ibn Rušd, siehe Rušd, Ibn

Personenverzeichnis mit Lebensdaten

509

Ibn S¯ın¯
a (Avicenna) (980–1037), 233,

Křišt’an aus Prachatitz (ca. 1366–1439),

234, 287

297

Isidor von Miletos (um 520), 213

Krol, Martin, 297

Isshu, Omura (1824–1871), 79

Kr.s.n.a, siehe Krischna

Kublai-Khan (1260–1294), 64

Jacopo da Firenze (14. Jh.), 313

Kusaner, siehe Nikolaus von Kues

Jai Singh, 85, 93

Jiushao, Qiu (ca. 1202–1261), 49, 64

Labb¯
an, Ibn (971–1029), 241

Johannes von Gmunden (ca. 1384–

Lacroix, Sylvestre François (1765–

1442), 298, 360, 361

1843), 411

Joung, Th. (1773–1829), 109

Lanz, Johannes (1564–1638), 347

Laotse (6./5. Jh. v. Chr.), 46

Kambei, M¯
ori, 73–75, 77

Lauchen, Georg Joachim von, siehe

K¯
amil, Ab¯
u(?850–930), 60, 231,

Rheticus, Joachim

244–246, 279, 386

Lehmann, H. J. (1921–1998), 425

Karaˇ
g¯ı, Muh.ammad al- (gest. um

Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646–

1029), 231, 243–246, 386

1716), 72, 236, 379, 383–386,

K¯
aš¯ı, ˇ

Gams¯ıd ibn Masc¯
ud al- (um

399, 406, 414, 424–428, 441, 444,

1380–1429), 60, 231, 244, 246, 250,

451–453, 456, 458, 464–468,

251, 255

470–473

Kazuyiki, Sawaguchi, 76

Leon (ca. 800–869), 213

Ken, Hasegawa (ca. 1783–1838), 79

Leonardo da Vinci (1452–1519), 289,

Kepler, Johannes (1571–1630), 95, 182,

301–304, 320, 358

289, 303, 349, 372, 379, 418–421,

Leonardo von Pisa, siehe Fibonacci,

427, 432–435, 437, 439, 440, 452,

Leonardo

456

Leukipp aus Milet (oder Abdera, um

Khayyam,Omar, siehe H

<ayy¯am,cUmar

460), 164, 165
al-

Leupold, Jacob (1674–1727), 426, 431

Kind¯ı, al- (800?–870?), 231, 232

Libri, Guglielmo (1803–1869), 313

Kircher, Athanasius (1602–1680), 108,

Linné, Carl von (1707–1778), 379

416

Liu Hui, 46, 55, 57, 58, 70

Kisshu, Takahara, 75, 76

Lomonossow, Michael Wasiljewich

Kittoku, Isomura, 75

(1711–1765), 384

Kleopatra (69–30 v. Chr.), 106, 186

Loyola, Ignatius von (1491–1556), 415

Knopp, Konrad (1882–1957), 51

Lucas, Henry, 454

Kolumbus, Christoph (1451–1506), 23,

Lukrez (97–55 v. Chr.), 166

225, 350, 354, 365

Lullus, Raimundus (ca. 1232–1316),

Konfuzius (551–479 v. Chr.), 46

470

Konon von Samos (gest. um 240
v. Chr.), 194, 197

MacDonnell, Joseph, 416

Kopernikus, siehe Copernicus, Nicolaus

Maclaurin, Colin (1698–1746), 411, 427

Koppernigk, Niklas, siehe Copernicus,

Maestlin, Michael (1550–1631), 349,

Nicolaus

419, 433

Koyu, Yoshida (1598–1672), 73–75

Mah¯
av¯ıra (9. Jahrhundert), 94

Krafft, Georg Wolfgang (1701–1754),

Maimon, Rabbi Moshe ben (lat.

384

Maimonides; 1135–1204), 231,

Kratzer, Nikolaus (1486/87–1550), 356

233, 236

Krischna, 94

Maimonides, siehe Maimon, Moshe ben

510

Personenverzeichnis mit Lebensdaten

Malapertius, Charles (1581–1630), 347

Nikolaus von Kues (1401–1464), 288,

Marduk (babyl. Gottheit), 128, 132

295, 296, 361

Martin aus Lenezice (ca. 1405–1463),

Nikomachos von Gerasa (um 100

297
n. Chr.), 174, 268, 302

Matsuzaki, Kiyoshi, 71

Nikomedes (um 250 v. Chr.), 188

Maurolico, Francesco (1494–1575, 278

Nofretete (um 1350 v. Chr.), 104, 106

Maurus, Hrabanus (ca. 780–856), 269,

Novara, Domenico Maria di (1454–

272

1504), 366, 369

Mazzinghi, Antonio de, 318

Nunes, Pedro (lat. Nonius) (1502–1578),

Melanchthon, Philipp (1497–1565), 342,

321, 326–328, 353, 386

370, 371

Memmo, 278

Ockham, Wilhelm von (ca. 1300–

Menaichmos (um 350 v. Chr.), 181,

1349/50), 284

¯

202, 216

Ojin, 69

Menelaos von Alexandria (um 100

Oldenburg, Henry (1618?–1677), 414,
n. Chr.), 204, 231, 302

472

Mercator, Gerhard (1512–1594), 353

Oresme, Nicole (d’) (1323–1382), 288,

Mercator, Nicolaus (1620–1687), 234,

293, 295

427, 458

Ortelius, Abraham (1527–1598), 353

Mersenne, Marin (1588–1648), 400

Osiander, Andreas (1498–1552), 372,

Michelangelo (1475–1564), 359

390

Möbius, August Ferdinand (1790–1868),

Oughtred, William (1575–1660), 448

413

Moerbeke, Wilhelm von (ca. 1215–

Pacioli, Luca (ca. 1445–1517), 301, 313,

1286), 278

318–321, 326, 331, 343, 388

Moivre, Abraham de (1667–1754), 383,

Pappos von Alexandria (um 320

395
n. Chr.), 146, 209, 211, 217, 278,

302, 408, 411, 416, 432

Monge, Gaspard (1746–1818), 108, 356

Parmenides (ca. 540–ca. 480), 159, 163

Monte, Guidobaldo del (1545–1607),

Pascal, Blaise (1623–1662), 97, 379, 383,

359

414, 415, 422–424, 448, 450, 451,

Morland, Samuel (ca. 1625–1695), 424

466

Morley, Sylvanus, 32

Pasch, Moritz (1843–1930), 193

Moschopulos, Manuel (um 1300), 214

Pell, John (1611–1685), 448

Perikles (495?–429?), 146, 162, 177

Napier, John (oder Neper, 1550–1617),

Perry, Matthew Calbraith (1794–1858),

342, 418–420

68

Navier, Claude Louis Marie Henri

Petreius, Johann, 334, 390

(1785–1836), 432

Peuerbach, Georg von (1423–1461),

Nayr¯ız¯ı, an- (875?–940?), 255, 258

298, 360, 361, 363–366

Nebukadnezar II. (605–562 v.Chr.), 123

Pheidias (5. Jh.v.Chr.), 194

Nei, Waden (1787–1840), 79

Philolaos (gest. um 390 v. Chr.), 156,

Neper, siehe Napier

174

Newton, Isaac (1642–1727), 65, 66,

Pirckheimer, Willibald (1470–1530),

68, 72, 76, 77, 166, 251, 254, 303,

355, 356

379–381, 398, 399, 410, 411, 427,

Pizarro, Francisco (1475–1541), 38

430, 441, 444, 448, 452–456, 458,

Planudes, Maximos (ca. 1260–ca. 1310),

459, 461–463, 466, 471–473

214

Personenverzeichnis mit Lebensdaten

511

Plato von Tivoli (um 1150), 233, 278

Ries, Jacob (?–1604), 334, 337, 340

Platon (427–347 v. Chr.), 146, 156, 165,

Robert von Chester (um 1150), 96, 240,

170, 176, 177, 179–183, 191, 203,

276, 278

205, 207, 293, 302

Roberval, Gilles Personne de (1620–

Poleni, Giovanni (1683–1761), 426

1675), 427, 444

Polo, Marco (1254 – 1324), 49

Roriczer, 279

Poncelet, Jean-Victor (1788–1867), 415,

Roven, René Grillet de (17. Jh.), 424

432

Rudolff, Christoph (1500?–1545?), 332,

Pragensis, Johannes, siehe Šindel, Jan

341–343

Praxiteles (4. Jh. v.Chr.), 146

Rušd, Ibn (lat. Averroës; 1126–1198),

Proklos Diadochos (410–485), 168, 173,

231, 233, 235, 285, 292

175, 211, 212, 278

Russel, Bertrand Arthur William

Psellos, Michael (1018 bis nach 1078),

(1872–1970), 51

214

Ptolemaios, Klaudios (ca. 83– ca. 161),

Saccheri, Girolamo (1667–1733), 416

96, 130, 139, 146, 182, 188, 203–

Sacrobosco,Johannes de (1207–1256?),

205, 214, 231, 234–236, 259, 302,

278

321, 350, 355, 361, 365, 432

Samaw c al, as-(1130?–1175), 244, 246

Pythagoras von Samos (ca. 569–

Sancto Vincentio, Gregorius a
ca. 475 v. Chr.), 134, 146, 154,

(1584–1667), 254, 398, 416, 433,

166, 174, 175, 293

466

Sankara, 92

Qalas.¯ad¯ı, al- (1400?–1486), 231, 240

Sappho, (um 600 v.Chr.), 146

Quintilian (ca. 35 – ca. 96), 270

Savasorda, siehe Hiyya, Abraham bar

Scaliger, Joseph Justus (1540–1609),

Raido, Arima (1714–1783), 79

349

Ramses II. (1290–1224v.Chr.), 106, 107

Schall von Bell, Johann (1591–1666),

Ramus, Petrus (1515–1572), 395

416

Recorde, Robert (ca. 1512–1558), 321,

Scheiner, Christopher (1575–1650), 416

322, 386, 396, 403

Scheubel oder Scheybl, J. (1494–1580),

Regiomontan(us) o. Johann Müller

322

(1436–1476), 278, 301, 331, 360,

Schickard, Wilhelm (1592–1635), 349,

361, 363–367

420–422, 424

Reiche, Maria (1903–1998), 36

Schöner, Johannes (1477–1547), 366

Reinhold, Erasmus (1511–1553), 346,

Schooten, Frans van (ca. 1615–1660),

374

406, 407, 410

Rheticus, Joachim (1514–1576),

Schott, Caspar (1608–1666), 416

370–372

Schreyber, Heinrich (ca. 1496–1525/26),

Rhind, Alexander Henry (1833–1863),

332

113

Scipio Ferreus, 406

Ricci, Matteo (1552–1610), 51, 346, 349,

Scotus, John Duns (1265/66–1308), 284

416

Scotus, Michael (ca. 1175–ca. 1236),

Richmann, Georg Wilhelm (1711–1755),

314

384

Se, Ang Tian, 100

Ries, Abraham (1533–1604), 334, 337,

S¯
eb¯
och

<t (Sebocht oder S¯eb¯okht,

338, 340, 344, 345

Severus), (?–666/67), 100, 241

Ries, Adam (1492–1559), 313, 332,

Seneca, Lucius Annaeus (um 0–65 n.

334–338, 340, 341, 344

Chr.), 160

512

Personenverzeichnis mit Lebensdaten

Shanlan, Li (1811–1882), 51

Theodoros von Kyrene (gest. um 390

Shijie, Zhu (13. Jahrhundert), 49, 64
v. Chr.), 146, 182

Shoujing, Guo (1231–1316), 50

Theon von Alexandria (um 330 – um

Shuki, Koide (1797–1865), 79

400), 211

Siger von Brabant (1240?–1284?), 236

Torricelli, Evangelista (1608–1647),

Silvester II., siehe Gerbert von Aurillac

427, 432, 443, 445

Simplikos (gest. 549), 212

Toscanelli, Paolo dal Pozzo (1397–

Šindel, Jan (1375–1453), 297

1482), 301

Snellius, Willebrord van Royen

T

. ¯
us¯ı, Nas.¯ır ad-D¯ın at.- (1201–1274),

(1580–1626), 349

231, 244, 250, 253, 258

Sokrates (470–399), 146, 159, 180

T

. ¯
us¯ı, Šaraf ad-D¯ın at.- (ca. 1135–

Solon (ca. 640–561 v.Chr.), 146
ca. 1213), 244, 249

Somasutvan, N¯ılakant

Tut-ench-Amun (um 1345 v. Chr.), 104,

.ha (1444 – nach

1501), 95, 97

106

Sophokles (um 496–406 v.Chr.), 146

Sosigenes (1. Jh. v. Chr.), 188

Uql¯ıdis¯ı, al- (10. Jh.), 241

Spinoza, Baruch (1632–1677), 236, 465

Úrihara (9./10. Jahrhundert), 94

Stevin, Simon (1548–1629), 254, 321,

324, 326, 343, 344, 359, 386, 400,

Valerio, Luca (1552–1618), 427, 433,

406

439

Stifel, Michael (1487–1567), 322, 332,

Vardham¯
ana Nathaputta (Ehrentitel

334, 341–345, 371, 372, 416, 418

Mahav¯ıra; (599–527) bzw.

Stirling, James (1692–1770), 411

(540–478)), 82, 89

Varro, Marcus Terentius (116–27

Stöberer, Johannes (lat. Stabius; ca.

v. Chr.), 272

1450–1522), 356

Venerabilis, Beda (ca. 672/73–735), 267

Suiko, 69

Vieta, siehe Viète

Sunzi, 53, 62

Viète, François (1540–1603), 324, 346,

Swift, Jonathan (1667–1745), 463

390, 394–399, 405–407, 409, 452,

Swineshead, Richard (14. Jh.), 295

470

Vincenzo Riccati (1707–1775), 416

T¯
abit ibn Qurra (836–901), 231, 255,

Voltaire, François-Marie (eigentl.

260

Arouet; 1694–1778), 431

Tacquet, André (1612–1660), 416

T’ai-tsung, (Kaiser von 627–649), 48

Waf¯
a c , Ab¯
u l- (940–998), 231, 243, 254,

Taishi, Sh¯
otoku, 70

255, 386

Takakazu, Seki (auch Kôwa, Seki,

Wagner, Ulrich (gest. 1489/90), 329

1642?–1708), 76–78

Wallis, John (1616–1703), 258, 381, 410,

Tannery, Jules (1848–1900), 409

427, 443, 445–448, 452, 458, 466

Tartaglia, Niccolò (1506–1559), 313,

Walther, Bernhard (ca. 1430–1504),

320, 321, 326, 387–390

355, 356, 365, 366

Tertullian (ca. 160 – ca. 220), 265

Watzenrode, Lucas, 369

Thales von Milet (um 625 – um 547

Wenting, Mei (1633–1721), 70
v.Chr.), 146, 154, 159–161, 168,

Werner, Johannes (1468–1522), 355,

170, 215

356, 366

Theaitetos von Athen (415–368), 182,

Widmann, Johannes (ca. 1460–

183, 216
nach 1500), 297, 332, 367

Themistokles (524–459), 149

Wiener, Norbert (1894–1960), 52

Personenverzeichnis mit Lebensdaten

513

Wiles, Andrew (1953), 407

Yixing, Seng (683–727), 48

Witelo, Erazmus Ciolek (nach 1220–

Yong, Lam Lay, 100
um 1230/35), 289, 365

Witt, Johan de (1625–1672), 410

Zamberti, Bartolomeo (geb. ca. 1473),

Wolgemut, Michael (um 1445–1513),

347

354

Zenodoros (um 180 v. Chr.), 188

Woods, Thomas Nathan, 71

Zenon von Elea (um 495–um 430

Wren, Christopher (1632–1723), 381
v.Chr.), 159, 163, 164, 427

Zeuthen, Hieronymus Georg (1839–

Xavier, Francisco de Jassu y (1506–

1920), 179

1552), 68

Zhi, Li (1192–1279), 49, 64, 66

Xerxes (reg. 486 bis 465), 150

Zuse, Konrad Ernst Otto (1910–1995),

Ye, Li, siehe Zhi, Li

426

Sachverzeichnis

Abacus, siehe Abakus

Einführung in die

395

Abakus, 53, 70, 86, 151, 157, 274, 311,

Fundamentalsatz der

405

314, 318, 334
geometrische

150, 179

-Kultur

313
symbolische

403

-Manuskripte

317, 318

Algebraiker, 353

-Schulen

317, 318
algebraische

Abbacist, 317, 319, 321

Gleichung(en)

64, 78

Abbasiden, 223

Kalküle

452

Abbildung, 357

Lösung der kubischen Gleichung

Abbildung der Kugeloberfläche, 349

387

Abstraktion, 207

Probleme

94, 118, 279, 317, 367

Abszisse, 470

Algebraschrift, 332

Abu Simbel, 107
algorismus, 314

Abukir, 109

Algorismus der Proportionen, 294

Académie Royale des Sciences, 383

Algorithmus, 241

Academia Naturae Curiosorum, 383

Almagest, 204, 259, 361

Academia Secretorum Naturae, 381

Alt- zur Jungsteinzeit, 6

Accademia dei Lincei, 381, 433
alternierende Reihen, 467

Accademia del Cimento, 381

Altes Reich, 105

Ackerbau und Viehzucht, 6

Altes Testament, 123

Acta Eruditorum, 386
altpersische Keilschrift, 126
ad fontes, 302

Anagramm, 472

Addiermaschine, 424

Analysis, 395, 428

Addition, 332
der unendlich kleinen Größen

411

Additions- und Subtraktionsmaschine,

Frühgeschichte der

291

422

Grundlagen der

464
aequabitur, 396

Angriffe gegen die Infinitesimalmathe-
aequale, 396
matik, 464
agrarische Revolution, 6

Antike, 328, 350, 356, 359

Agrimensoren, 206

Akademie(n), 269, 381, 384, 464
antike Astronomen, 370
in Athen

144
antike Kegelschnittlehre, 398

Platonische

187, 211

Antikythera, 189

Akkader, 123, 126

Antilogarithmen, 418
akkadische Keilschrift, 125, 126

Anwendungen der Fluxionsrechnung,

Alexandria, 107, 150, 186

461
alexandrinische Schule, 211
apices, 274

Alfonsinische Tafeln, 360, 361, 364, 374

Apollonische Kegelschnittlehre, 202

Algebra, 63, 231, 245, 320, 322, 324, 328,

Aquädukte, 210

329, 331, 332, 337, 341, 342, 346,

Architektur, 210

367, 379, 386, 394, 398, 399, 427,

Aristoteles

448, 453, 456

Kommentator von

235
babylonische

139

Tradition

234
der Muslime

244

Arithmetica, 208, 209
deutsche

331
arithmetica universalis, 177, 182

516

Sachverzeichnis

Arithmetik, 150, 231, 268, 322, 342, 370,

Axiome, 192, 193

371, 381

Azteken, 23, 24, 26

Schlüssel zur

244, 251
arithmetische

Babylon, 123, 124

Folge(n)

418
babylonische Algebra, 139

Probleme

367
babylonische Keilschrift, 125

Reihe(n)

117, 118, 140, 141, 246, 416

Baccalaureus, 284

Arithmetisierung, 452

Bagdad, 220
der Algebra

245

Balkenbiegung, 431
der Indivisibeln-Methode

445

Ballistik, 431

Armillarsphäre(n), 259, 355

Bamberger Rechenbücher, 329
ars inveniendi, 467, 470

Bandkeramik, 12, 14
artes liberales, 268, 269, 284, 346

Bartholomäusnacht, 395

Artifici, 304, 349, 389

Basis, 418

Artistenfakultäten, 284, 327, 329, 361

-winkel

168

Assyrer, 123, 148
der Zahlensysteme

8

Assyrien, 124

Bayt al-H

. ikma, 220

Astrolab, 234, 238, 259, 274, 361

Beginn des europäischen Mittelalters,

Astrologie, 131

264

Astronom, 361, 370

Begriff des Gesetzes, 399

Astronomie, 289, 310, 322, 324, 359, 360,

Behaimscher Globus, 354

363, 365, 370, 374, 381, 394, 416

Belopoiika, 205
geozentrische

361

Berechnung
heliozentrische

201, 366, 370, 380
der Verpflegung für die Heere

114
mathematische

131
des Kugelvolumens

442

Umgestaltung der

379
des Osterdatums

267
astronomische
ringförmiger Wallbauten

132

Instrumente

360, 365
von Befestigungsgräben

132

Tafeln

248, 251
von Brunnenziegeln

132

Asymptoten, 203
von Kanälen

132

Athen, 149
von Steuern und Abgaben

114

Atome, 88, 164, 165
von Tempelfundamenten

132

Atomistik, 164–166, 170
von Vorratsbehältern

114
atomos, 292, 440

Beringstraße, 24
attischer Seebund, 144

Beschleunigung, 456

Aufbau der Zahlenreihe, 7, 8
bestimmte Aufgaben, 405

Aufgaben zur Belagerungsrechnung,

Bestimmung der Maxima, 449

132

Bestimmung der Minima, 449

Aufklärungsphilosophie, 384

Bewegungsgröße, 431

Auflösung von

Bewegungsproblem, 430, 431
algebraischen Gleichungen

342

Bewegungsvorgänge mit beschleunigten

Gleichungen dritten Grades

320

Bewegungen, 428
kubischen Gleichungen

392

Beweismethoden, geometrische, 278
kubischen Gleichungstypen

389

Bildung von Zahlwörtern, 6

Aufriss, 356, 358

Bildungsmonopol des Klerus, 288

Ausbau der infinitesimalen Methoden,

Binomialkoeffizienten, 246

452
binomische Formeln, 183, 251

Averroismus, 236, 285
binäre Rechenmaschine, 426

Sachverzeichnis

517

Blockbuch, 329

Codex München (Clm 14908), 331

Bögen des Pythagoras, 314
coincidentia oppositorum, 296

Bogenlängen, 444

Collectio, 209

Brechungsgesetz, 349

Collegium Romanum, 346

Breite der Dammkrone, 132

Computer, 426

Breitenkreise, 353

Computus, 269, 284

Brennpunkte, 203
copernicanische Lehre, 401, 434
britisches Münzwesen, 453
copernicanisches System, 346, 374

Bronze, 148

Córdoba, 225

Bruch, 156, 251, 314, 343, 363
cosa, 320, 390

Bruchrechnung, 154, 311

Coß (Coss), 322, 331, 335, 338, 341, 398

Bruchschreibweise
cossische
indische

154

Methoden

313

Bruchstriche, 396

Schriften

335

Buch der Beispiele, 237

Symbole

332, 334, 335, 338

Buchara, 225

Cossisten, 331, 334, 386

Buchdruck, 302, 346

Cubus, 322

Buchhaltung, 307, 321

Cuzco, 36

Buchstabenrechnung, 341, 395

Buchstabenschrift, 126
darstellende Geometrie, 356
byzantinische

Dedomena, 193

Gelehrte

215

Definitionen, 192

Mathematik

296
dekadische Logarithmen, 419

Zeit

212

Demokratie, 149

Byzanz, 212, 213

Determinanten, 411

Determinantenschreibweise, 470

Calculus, 444, 452, 464, 466, 467, 472
deutsche Algebra, 331
calculus summatorius, 470

Deutsche Coß (Coss), 321, 322, 331
camera obscura, 291
deutsche Fachsprache, 356

Cardanosche Lösungsformel, 389
deutsche Rechenmeister, 332, 334

Cartesische Zeichenregeln, 406

Dezimalbruchrechnung
casus irreducibilis, 395
in Astronomie

324

Cavalierisches Prinzip, 441, 442
in Landmessung

324
censo, 320
in Tuchmessung

324

Census, 322
in Weinmessung

324
charakteristica universalis, 468

Dezimalbrüche, 244, 251, 324
charakteristisches Dreieck, 451, 466
dezimales Positionssystem, 344

Chavinkultur, 24

Dezimalsystem, indisches, 241

Chefren, 105

Dezimalzahlen, 324
chemische Studien, 453

Diadochen-Staaten, 186

Cheops, 105

Differential, 467

Chichén Itzá, 29

-begriff

470

China, 464

-gleichung

467, 470
chinesisches Restproblem, 315

-rechnung

427, 428, 448, 468, 472

Christenverfolgungen, 144

-zeichen

470

Christianisierung, 266

Differentiationsergebnisse, 461

Ciudad de México, 26

Differentiationsregeln, 467

Codex Hammurapi, 128

Differenzenquotient, 449

518

Sachverzeichnis

Differenzierbarkeit, 464

Epikur, Garten, 187

Dimensionstreue, 405

Epizyklen, 203

Dioptrica, 205

Erbrecht, 238

Dioptrik, 403

Erdkarte, 161

Division, 116, 416
erforschung der Vnitet, 338
doctor mirabilis, 289

Erste Wettkämpfe in Olympia, 144
doctor universalis, 287

Erster Kreuzzug, 144

Domschulen, 282

Erweiterung der Proportionenlehre auf

Doppelpunkt, 470
gebrochene Exponenten, 292
doppelte Buchführung, 312, 321

Erweiterung des Zahlenbereiches, 307

Doppelverhältnis, 413

Erzeugung der Kegelschnitte, 203

Dorer, 148

Ethnomathematik, 16, 17, 19
drei semitische Buchstaben, 153

Etrusker, 144

Dreieck(e), 357
etruskische Einflüsse, 157
charakteristisches

451, 466

Euklidausgaben, 346

Inhalt vom

119

Euphrat, 122
rechtwinkliges sphärisches

324

Euphrat und Tigris, 6
sphärische

346, 366

Evoluten, 444

Winkelsumme im

175, 179

Evolventen, 444
ähnliche

161

Exhaustion(s), 433

Dreisatz, 312, 329

-methode

260, 443, 444

Dresdener Kodex, 31, 34

-rechnung

433, 452

Dualsystem, 426

-verfahren

185

Dynamik, 429

Experiment, 288, 289, 304

Exponent, 342, 418
ebene Trigonometrie, 366

Extremwertaufgaben, 452
ebene und räumliche Koordinaten, 410

Extremwerte, 448, 467
ebene und sphärische Trigonometrie,

Extremwertprobleme, 448

204, 395

Einführung der christlichen Zeitrech-

Fadenkonstruktion der Ellipse, 213
nung, 144

Fall, 431

Einhüllende einer Kurvenschar, 443

Fallgesetz, 429

Einkerbungen auf Knochen, 9

Fallproblem, 429

Einschränkung auf Zirkel und Lineal,

Farben, 456

182

Farbenlehre, 472

Einstellwerk, 425

Farbentheorie, 456

Eisen, 148

Faßrechnung, 437
elastischer Widerstand, 467

Feldmesskunst, 349

Elea, 163

Feldvermessung, 114

Eleaten, 163

Fermatscher Satz
elementarsymmetrische Funktionen,
großer

407

398
kleiner

407

Elemente, 190, 191, 232

Fermatsches Prinzip, 467

Ellipse, 184, 398

Fibonacci-Zahlen, 315

Entfernung der Erde zu Sonne und

Fibonaccis Aufgabe, 271

Mond, 201
figurierte Zahlen, 174

Ephemeriden, 366

Fingerzahlen, 314

Ephesos, 162

Fläche von Feldern, 132

Sachverzeichnis

519

Flächen, 429

Geometerkatalog, 211

Flächenanlegung

Geometrica, 206
mit Defekt

184

Geometrie, 231, 254, 274, 310, 322, 346,
mit Exzess

184

349, 357, 380, 381, 394, 399, 403,

Flächenberechnung, 429

415, 427

Flächeninhalt
algebraische

411
des Kreises

118
analytische

344, 398, 399, 403,
eines Dreiecks

206

406–409, 411, 415, 427

Flächenverzerrung, 353
darstellende

309, 427

Fließen, 466

Frühgeschichte der analytischen
fließende Größen, 430, 453

295

Fluchtgerade, 309
projektive

411, 415, 427

Fluchtpunkt, 309
räumliche

427

Fluenten, 459, 462
geometrisch geführter Grenzübergang,

Flugbahn, 308

430

Fluxionen, 459, 461, 462
geometrische

Fluxionsrechnung, 398, 452, 453, 458,

Folge

418

459, 472

Irrationaltitäten

343

Anwendungen der

461

Konstruktionsaufgaben

356

Formeln für das algebraische Rechnen,

Reihe

117, 140, 416

395

Terminologie

346

Formlatituden, 295

Örter

399, 408, 409
fortschreitende Sinustafel, 418
geozentrische Astronomie, 361

Frankenreich, 268

Gesamtheit (bei Leibniz), 466

Frühaufklärung, 379, 463

Gesamtheit der Geraden, 441
frühe Algebra, 310, 313

Geschäftsleben, 321

Frühformen infinitesimalen Denkens,

Geschützwesen, 308

432
geschweifte Klammern, 396

Frühgeschichte der Analysis, 291

Gesellschaft Jesu, 346, 416

Frühgeschichte der analytischen

Gesetze, 233

Geometrie, 295

Gesetze der Zahlenwelt, 168

Frühkapitalismus, 304, 328, 406

Gesetzesbegriff, 399

Frühmittelalter, 267
naturwissenschaftlicher

399

Fundamentalsatz der Algebra, 405

Gilgamesch-Epos, 125

Fundamentalsatz der Differential- und

Glaubenssätze, 463

Integralrechnung, 429, 468
gleich, 342

Funktion, 357, 470

Gleichheitszeichen, 322, 367, 396, 403,

Funktionsbegriff, 295, 452

406, 470

Gleichung(en), 239, 245, 313, 315, 320,

Gaußsche Theorie der Kreisteilung, 407

324, 331, 334, 344, 398

Geldbörse, gefundene, 315, 317
biquadratische

140, 209, 245, 320

Geldwechsel, 321
der Geraden

409

Geldwirtschaft, 307, 311
diophantische

60, 209

Gelehrtenrepublik, 384
dritten Grades

248, 249, 321, 395,

Genealogie der Götter, 158

397

Geodäsie, 349
dritten und vierten Grades

318, 386

Geographie, 324
echt kubische

318

Geometer, 356
einer Kurve

404, 411

520

Sachverzeichnis
ersten Grades

76

Grundrechenarten, 311, 314, 324
ersten und zweiten Grades

94, 335

Grundriss, 356, 358
höheren Grades

64, 65, 76, 79, 101,

Gründung der Akademien, 384

246, 342

Gruppen, 411
irreduzible kubische

342

Guldinsche Regeln, 416
kubische

140, 142, 209, 234, 248,

249, 318, 320, 324, 326, 328, 367

Hagia Sophia, 213
lineare

53, 57, 60, 62, 93, 117, 140,

Halbkugel, 121

142, 183, 270, 279, 335

Halbzylinder, 121
n-ten Grades

405

Halleyscher Komet, 274
numerische Auflösung

251

Handschrift C 80, 332

Pellsche

94, 197

Harmonie der Zahlen, 174
quadratische

93, 94, 101, 140, 142,

Harmonielehre, 284

183, 184, 209, 214, 239, 278, 321,
harmonische Teilung, 413

328, 336, 340, 342, 345, 346, 397

Harpenodapten, 118
reine

340

Hau-Aufgaben, 117, 270

Theorie der

321

Hau-Rechnungen, 117

Typen linearer

331

Hauptsatz der Differential- und

Integralrechnung, 453

Typen quadratischer

331

Haus der Weisheit, 223, 231, 237

Umformungen äquivalenter

396
hebräische Übersetzungen, 290
unbestimmte

60, 101, 209, 245, 246
heliozentrische Astronomie, 201, 366,
vierten Grades

140, 245, 321, 326,

370

392
heliozentrische Basis, 374
zweiten Grades

139
heliozentrischer Ansatz, 370

Gleichungslehre von Descartes, 406
heliozentrisches System, 200, 372

Gleichungssysteme, 62, 76, 78, 93, 118,

Hethiter, 148

140, 184, 245, 317, 318

Hieroglyphen, 105, 108
unbestimmte

315

Hiğra, 220, 222

Gleichungstypen, 214, 239, 240, 318

Himmelsglobus, 161

Gleichungswurzeln, 398, 405

Himmelskörper, 365

Globus, 353, 354

Himmelsphären, 372

Goldener Schnitt, 309, 315

Hippokratischer Eid, 172

Gradmessung, 349

Hoangho, 6

Granada, 225

Hochmittelalter, 274

Gravitationsgesetz, 453

Hofastrologe, 361

Gravitationstheorie, 454, 456

Horoskop, 307

Gravitationszentren von Körpern, 433
horror vacui, 443

Grenzwert, 427, 447, 462, 464

Humanismus, 369

Grenzwertproblem, 463

Humanisten, 302

Gresham-College, 381, 420, 452

Hundert Vögel, 270, 315

Größenlehre, 427

Hydraulik, 324

Großbauten, 25
hydrostatisches Paradoxon, 324

Grundprinzip, 162

Hyperbel, 184, 202, 203, 408, 409

Grundprobleme
allgemeine

444
der Differentiation

459
der Integration

461

Iatromathematiker, 383
der Wissenschaftlichen Revolution

Ideogramme, 125

303
indirekter Beweis, 462

Sachverzeichnis

521

Indivisibel, 292, 440, 452
islamische Mathematik, 278

Indivisibeln, 440–444, 462, 466
islamische Universalgelehrte, 232

Indizes, 470

Isochrone, 467

Induktion, 448
isoperimetrische Probleme, 189

Indus, 6

Iterationsverfahren, 251

Industrielle Revolution, 432
infinitesimale Methoden, 427, 432, 452

Jagiellonischer Weltglobus, 354

Infinitesimalgeometrie, 439

Jahreslänge, 111

Infinitesimalmathematik, 380, 398, 415,

Jakobstab, 291

427, 428, 430–433, 452, 453, 456,

Jesuiten, 347, 415

459, 467, 472

Julianischer Kalender, siehe Kalender

Angriffe gegen die

464

Kaaba, 222

Grundlagen der

464

Kairo, 220, 225
neuzeitliche

432

Kalender, 366

Infinitesimalrechnung, 172, 277, 407,
altägyptischer

111, 112

414, 427, 437, 439, 444, 450, 458,
gregorianischer

33, 464

467, 471
jüdischer

238

Beiträge zur

456

Julianischer

112, 346, 454, 464

Leibnizsche

466, 470

Mond-

254
logische Grundlagen Newtons

462
ritueller

28

Inhaltsbestimmung, 429

Sonnen-

45

Inka, 23, 24, 36

Kalenderreform, 188, 289, 346, 366
inkommensurable Strecken, 177
gregorianische

395, 416

Inkunabeln, 279
kalkülhaftes Denken, 427
inneres Lückenzeichen, 128

Kaninchenproblem, 315

Integral, 470

Kanon der Heilkunst, 234

-begriff

461
kanonische Regeln, 309

-rechnung

427, 428, 433, 448, 472

Karnak, 106

-zeichen

467, 470

Karolingische Frührenaissance, 268
uneigentliches

443

Karolingische Minuskel, 270

Integration, 442

Kartesische Koordinaten, 406
als Umkehrung des Differenzierens

Karthago, 148

461

Kartographie, 349, 350, 354
der Parabeln

447

Kathedralschule in York, 269
von Differentialgleichungen

461
katholisch-orthodoxer Dogmatismus,
von Potenzfunktionen

443

288

Integrations-(Quadratur)Problem, 461
katholische Theologie, 285

Integrationsverfahren, 170

Katholizismus, 395

Integrierbarkeit, 464

Katoptrik, 194

Invisible College, 381
kaufmännisches Rechnen, 311, 314

Ionier, 148

Kegelprojektion, 350, 351

Ionische Naturphilosophie, 158, 159

Kegelschnitte, 202, 289, 357, 398, 409,

Irrationalität, 244, 246, 251, 343, 427,

410, 414

461

Erzeugung der

203

Irrationalität der Quadratwurzeln, 182
projektive Erzeugung der

203

Isfahan, 225, 247

Kegelschnittlehre, 184, 202, 398, 399,

Ishango-Knochen, 10

411, 415, 427

Islam, 222
antike

398

522

Sachverzeichnis

Apollonische

202

Koordinatensystem, 406

Keilschrift, 125

Körper, 429
akkadische

125, 126
halbreguläre

324
altpersische

126
platonische

176, 232, 357
babylonische

125
reguläre

324

Keilschrifttexte, 125, 132

Kosekans, 258

Keilschriftzeichen, 125, 128

Kosinus, 258, 419

Keplers Logarithmentafeln, 419

Kosinussatz, 364, 366

Keplersche Gesetze, 435

Kosmogonie, 165

Kerben und Ritzungen auf Knochen, 6

Kotangens, 258

Kettenlinie, 431, 467

Kraft, 456

Kirchenväter, 265, 284

Kraftbegriff, 431

Klassifikation der

Kraftmaß, 431

(quadratischen) Irrationalitäten

Kreis, 357

183

-berechnung

255

Kegelschnitte

411

-fläche

119

Kurven dritter Ordnung

398

-quadratur

172, 349, 366, 395, 427
quadratischen Gleichungen

239,

-umfang

253, 255

246, 278, 315

Kreuzzüge, 274, 361
klassische Periode, 25

Krise der griechischen Mathematik, 179

Klöster, 328

Krümmung, 411

Knotenschnüre, 37

Krümmungsmittelpunkt, 203

Kodex C 411, 338

Kubaturen, 443, 445

Kometenbeobachtungen, 361

Kubikwurzeln, 130

Kommentare, 211
kubische Hilfsgleichung, 392

Kompass, 367

Kugelinhalt, 433

Komplanation von Rotationsflächen,

Kugelvolumen, 260, 442

444

Kulturgefälle, 265

Kompressionsmethode, 185, 433

Kunst der Perspektive, 359

Kongruenzsatz, 168

Kuppelkonstruktionen, 309

Konika, 202, 255

Kurven, 429

Konstantinopel
dritten Grades

410

Eroberung

144
dritter und vierter Ordnung

411

Konstruktion, 361
höheren Grades

427
astronomischer und geodätischer
m-ter Ordnung

411

Instrumente

420
zweiter Ordnung

409
des regelmäßigen Fünfecks

175

Kurventangenten, 449
mit Zirkel und Lineal

181, 296
von Sonnenuhren

366

Landvermessung, 420

Konstruktionen

Längenkreise, 353
mit fester Zirkelöffnung

255

Längenmaße, 130

Kontingenzwinkel, 235, 349
latitudines, 295

Kontinuum, 292, 293

Lehre von den Kegelschnitten, 398

Konvergenz, 464

Lehre von Gerade und Ungerade, 174

Konvergenz-Kriterium, 467

Leibnizsche Rechenmaschine, 424, 425

Konzil von Nicäa, 144

Lichtbrechung, 467

Koordinaten, 410

Lichtweg, 448

Koordinatengeometrie, 410

Linearisierung von Ideogrammen, 126

Sachverzeichnis

523

Logarithmen, 294, 366, 416, 418
variabler Größen

431

-system

418
mathematische

-tafeln

342, 418, 419

Astronomie

131
dekadische

419

Begriffssprache

470

Nepersche

419

Logik

470
siebenstellige

419

Papyri

113

Logarithmieren, 140, 420

Prinzipien der Naturwissenschaft
logarithmisches Rechnen, 342, 416, 418

380

Logarithmus, 418, 420

Symbolik

403, 470

-funktion

458

Matrikel, 283
des Tangens

419

Matrizen, 411

Logistica numerosa, 396

Maxima, 467

Logistica speciosa, 396

Maya, 8, 17, 23, 24, 28

Logistik, 150

Maya-Handschriften, 30

Londoner Lederrolle, 105, 121

Maya-Sprache, 28

Lösungen algebraischer Gleichungen,

Mechanica, 205

386

Mechanici, 431

Lösungsformel für die kubische

Mechanik, 324, 399

Gleichung, 343
praktische

464

Lösungsformel für spezielle Fälle
theoretische

464
kubischer Gleichungen, 388
mechanische

Loxodrome, 327, 353

Rechenhilfsmittel

420

Lucasischer Katheder, 452

Rechenmaschinen

426

Luftdruck, 415
megalithische Großbauten, 14
lusona, 21

Mekka, 222

Luxor-Tempel, 106

Memphis, 105

Lösen von Exponentialgleichungen, 140

Mengenlehre, 281

Mercator-Entwurf, 353

Madrider Kodex, 31

Meridiane, 353
maestri d’abbaco, 311, 317, 367

Mesopotamien, 122
magische Quadrate, 214

Methode des sic et non, 284

Magister, 284

Makel des Euklid, 349

Methode des doppelten falschen

Maragha, 225

Ansatzes, 279, 344

Marathon, 144

Methodenlehre, 198, 401

Marduk (babyl. Gottheit), 131
methodus tangentium inversa, 470

Markscheidekunst, 349

Milet, 159

Marsbahn, 434

Minima, 467

Maschina Arithmeticae Dyadicae, 426
minus, 367

Maß der Kraft, 467

Mischungsregel, 289

Masse, 456

Mittelalter, 264

Maßeinheiten, 312
mittelamerikanische Völker, 25

Mathematik, 363, 394

Moment
der Variablen

380, 399, 430
der Fluente

459
in den Ländern des Islam

222
der Fluxion

459
in der hellenistischen Periode

186
der Zeit

459
in der ionischen Periode

168
einer Größe

459
konstanter Größen

430

Mondbeobachtungen, 259

524

Sachverzeichnis

Möndchen des Hippokrates, 138, 172,

Numeri, 418

173
numerische Lösung von Gleichungen,

Mondfinsternis auf Jamaika, 365

250

Mondkalender, 11, 254
numerische Näherungslösungen für

Moskauer Papyrus, 113, 117, 119, 121
kubische Gleichungen, 249

Multiplikation, 116, 396, 404, 416

Numerus, 418
von Potenzen

342

Museion, 187, 188, 190

Oberflächen, 444

Musiktheorie, 268, 324

Observatorium, 259

Mykerinos, 105

Odyssee, 150

Myriaden, 153

Olmeken, 24
omnes lineae figurae, 441

Optik, 289, 399

Nachbau der dezimalen Rechenmaschi-

Optika, 194
ne, 425

Orakel von Delphi, 173

Näherungsformel, 207
ordinale Null, 32

Näherungsrechnung, 231

Ordinate, 470

Naturalwirtschaft, 265, 307, 310

Ornamentik, 357

Naturphilosophie, 162

Orphik, 158
naturwissenschaftlicher Lehrstuhl, 454

Ostkaiser, 269

Navigation, 308, 349, 381, 427

Nazca-Kultur, 35

Palastschule in Aachen, 269
negative

Pantheon, 210

Koordinaten

410

Pappos-Pascal, 411

Lösungen von Gleichungen

342

Papyrus, 202

Potenzexponenten

321, 342

Kahun

105

Neigung der Böschung, 132

Kairo

118, 121
neolithische Revolution, 6

Moskau(er)

105, 113, 117, 119, 121
neolithische Siedlungen, 124

Rhind

105, 113, 117–119, 121, 139

Neoplatonismus, 211, 437

Theben

105

Nepersche Rechenstäbe, 420

Parabel(n), 184, 398

Neuassyrisches Reich, 124

-quadratur

427

Neubabylonisches Zentralreich, 124

-segment

198

Neues Reich, 106
allgemeine

444
neunte Potenz, 335

Rektifikation der

444

Neupythagoreer, 166
parabolische Flächenanlegung, 183

Newtonsche Fluxionsrechnung, 470

Paraboloids, Volumen des, 260

Nil, 6

Paradoxien des Zenon, 163

Nilhochwasser, 111

Parallelen

Niljahr, 112

-axiom

192

Ninive, 123

-postulat

192, 248, 255, 290

Nippur, 123

-problem

258

Nord-Yucatán, 29

Parameterdarstellungen, 410

Normale, 411

Pariser Kodex, 31

Normale und Subnormale, 203

Parkettierung, 357

Null, 274

Pascaline, 422
kardinale

31

Patristik, 265
ordinale

32

Peloponnesischer Krieg, 144, 177

Null-Symbol, 30

Pendel, 431

Sachverzeichnis

525

Pentagramm, 177
der Unbekannten

315, 322, 342

Pergament, 202
der Variablen

321, 332

Pergamon, 201
mit gebrochenen Exponenten

294

Periode

Potenzexponent, 342, 420
alexandrinische

150
präkolumbianisches Amerika, 23
athenische

150

Preußische Tafeln, 346
hellenistische

150

Primat des Glaubens, 266
ionische

150, 158

Primzahl, 407

Perioden der Entwicklung, 149

Prinzip des Auftriebes, 194
periodische astronomische Vorgänge,

Prioritätsstreit, 471, 473, 474

131

Projektierung von Bauwerken, 114

Peripatetiker, 187

Projektion(en), 351, 353

Peripheriewinkel im Halbkreis, 168
stereographische

205

Perser, 124, 148
projektive Erzeugung der Kegelschnitte,

Perspektive, 309, 310, 319, 332, 359

203
perspektivische Methoden, 411

Proportion, 291, 470
perspektivische Zeichnens, 357

Proportionalitäten am Dreieck, 134

Pestzug, 454

Proportionenlehre, 185, 248

Petersburger Akademie, 384

Prosthaphairesis, 416, 418

Pferdekauf, 315
prosthaphairetische

Phainomena, 194

Formel

366

Pharaonen, 105

Methode

420

Pharos von Alexandria, 187

Protoklassik, 25

Philosophical Transactions, 384

Pseudaria, 193

Phönizier, 126, 148
pśw- oder pesu-Rechnung, 117
phönizisches Alphabet, 144

Ptolemäer, 107

Plagiat, 472

Ptolemäerreich, 186

Planeten, 363
ptolemäische Theorie, 369

-bahnen

370
ptolemäisches System, 370

-beobachtungen

259

Punische Kriege, 144, 148

-bewegung

431

Punkte, 357

-theorien

370

Pythagoreer, 154, 159, 164, 166

Platon und die Mathematik, 179
pythagoreische(r)

Platonische Körper, 176, 232, 357

Lehrsatz

139

Plimpton 322, 135

Schule

154

Pneumatica, 206

Zahlentripel

136

Polarkoordinaten, 410

Polis, 149

Quadrant, 361

Porismen, 193

Quadrat, 367

Positionssystem, 26, 30, 214, 342

Quadrat- und Kubikwurzeln, 394
dezimales

242, 344

Quadratur, 445, 453
sexagesimales

130
allgemeiner Parabeln

452
vigesimales

30
der Kurven

459

Postulate, 192
der Parabel

196, 200, 443

Potenz

Quadratur-Tangente, 468

-exponent

320

Quadratwurzel, 130, 131, 336, 367

-schreibweise

403, 470

-zeichen

342, 403

Potenzen, 246, 318

-ziehen

207

526

Sachverzeichnis
aus negativen Zahlen

392

Religion, 463

Quadratzahlen, 130

Renaissance, 277, 282, 289, 300, 318,

Quadrivium, 214, 215, 268, 284

343, 350, 354, 359, 379, 381, 411
qubba, 251
res, 315, 390

Quipu, 37

Resultatwerk, 425

Reziprokentafeln, 130

Rabatttabellen, 324

Romanik, 274

Radizieren, 248, 343, 420

Rosetta, 109

Raum, 459

Rotationsellipsoid, 433

Rauminhalt von Prismen, 134

Rotationshyperboloid, 433

Rauminhalt von Zylindern, 134

Royal Society, 381–383, 453, 456, 458,

Rechenbuch, 344

471, 472

Rechenbücher, 329, 334

Rechenbüchlein, 312

Sakkara, 105

Rechenmaschine

Salamis, 144
binäre

426

Samarkand, 225

Rechenmaschine(n), 415, 420, 424, 464

Sammelhandschrift C 80, 332

Rechenmeister, 307, 310, 328, 329, 343,

Sandrechnung, 153

387

Satz des Pythagoras, 46, 55, 58, 95, 118,

Rechenregeln für ganze positive Zahlen,

134, 135, 142, 175, 255, 336

342

Satz von der doppelten Wahrheit, 284

Rechenschule, 334

Sçavans, 384

Rechensteine, 151, 274

Schaltwerk, 425

Rechenstäbchen, 420

Scharrbilder, 34

Rechnen

Schattenstab, 161
mit Brüchen

329

Schleppkurve, 431
mit Potenzen

329

Schnurkeramik, 12
mit Proportionen

284

Scholastik, 282, 284, 291, 360
mit Wurzeln

329
scholastische Methode des Beweisens,
rechnerische Auflösung der kubischen

289

Gleichung, 388

Schwerpunkt(e), 429

Rechnungszahl, 418
ebener Flächen

198

Reconquista, 220, 225
rotierender Körper

416
reductio ad absurdum, 200
schwimmender Körper

198

Reformation, 370, 371
von Figuren

450
regelmäßige Polygone, 427
von Rotationskörpern

209
regula, 441, 442
scientia infiniti, 467
regula falsi, 244, 313, 334

Sectio canonis, 194
reguläre

Sehnengeometrie, 139, 258

Körper

324

Sehnenrechnung, 132, 204

Neunecke

255

Sekans, 258

Polyeder

176
seleukidische Zeit, 135, 140

Polygone

255, 407

Sesshaftigkeit, 6

Siebenecke

395

Sexagesimalsystem, 128, 130, 139, 152,

Reich der Maya, 28

244, 251, 258

Reihenentwicklung, 458, 462

Siddh¯
antas, 231

Reihenlehre, 453, 458, 472

Sinus, 258, 259, 419

Reihentheorie, 456

Sinus-Tabelle, 346

Sachverzeichnis

527

Sinusgeometrie, 360

Symbole, 240, 394, 396, 409

Sinussatz, 258, 290, 366

Symbolik, 367

Sinustafel, 258, 363, 364

Symbolik der cossischen Zeichen, 340
fortschreitende

418
symbolische Algebra, 403

Sinustrigeometrie, 258

Syrakus, 194

Sinustrigonometrie, 204

Slawenapostel, 270

Tabellen aller sechs trigonometrischen

Societas Regia Scientiarum, 383

Funktionen, 395

Sona, 20, 21

Täfelchen von Senkereh, 130

Sona-Geometrie, 20

Tafeln, 360, 374

Sonnen

Tangens, 258, 259

-beobachtungen

259

Tangenstafel, 364

-finsternis

161, 361

Tangente(n), 411, 449, 452, 467

-jahr

26, 32

-bestimmung

453

-stand

254

-methode

450

-uhr, zylindrische

361

-problem

429, 448, 450, 451, 467

-uhren

232, 238

Tausch, 321

Spektralfarben, 453

Teilbarkeit, 440
spezielle Klassen quadratischer

Teiler von Polynomen, 398

Irrationalitäten, 183

Teilung des Römischen Reiches, 144
spezifischer Ertrag, 140

Tenochtitlán, 26, 28
sphärische Dreiecke, 346, 366

Teotihuacán, 25, 26
sphärische Trigonometrie, 258, 366

Teppich von Bayeux, 274

Spiegelteleskop, 453, 456, 472

Textkritik, 302

Spätmittelalter, 274

Thaleskreis, 138

St. Pauls-Kathedrale, 381

Theogonie, 159

St. Petersburg, 384
theologische Fragen, 453

Staat, 180, 233
theoretische Logik, 464
städtische Kultur, 301

Theorie

Staffelwalze, 424
der Differentialgleichungen

428, 452
statisches Moment, 451
der Formlatituden

295

Stein von Rosetta, 109
der homozentrischen Sphären

182

Steinzeitkultur, 7
der Irrationalitäten

182

Stereometrica, 206
der Polaren

413

Stereometrie, 446
der unendlichen Reihen

428

Sternwarte, 258
von Pol und Polare

203

Stetigkeit, 464

Tigris, 122

Stoa, 187

Toledo, 225, 277

Stonehenge, 14

Toleranzedikt, 144

Stoß, 431

Tolteken, 29

Straßensystem, 37

Tontafeln, 124

Strecken, 357

Torquetum, 361

Struktur des Kontinuums, 291

Tours, 269

Studium regulärer Polyeder, 183

Tradierung der antiken Mathematik,

Subtraktion, 116, 332

278

Sumerer, 123
transzendente Fragestellungen, 140

Sursolide, 322

Trennung der Ost- von der Westkirche,

Susa, 127, 134

144

528

Sachverzeichnis

Triangulation, 349

Verhältniszahl, 418

Trigonometrie, 231, 250, 254, 258, 308,

Verteilung eines Erbes, 140

310, 346, 359, 364, 366

Verteilungsaufgaben, 140
ebene

366
vertex, 441
ebene und sphärische

204, 395
vier Elemente, 162
sphärische

366

Viertelkreisbogen, 451
trigonometrische Tafeln, 364

Vietascher Wurzelsatz, 395, 397

Trinity College, 454
virtuosi, 304

Trivium, 268, 269, 283

Visierkunst, 439

Trojanischer Krieg, 144

Visierrute, 439
vollständige Induktion, 448

Umayyaden, 223

Volumen, 119

Umformtechnik, 396

-berechnung

429
umgekehrte Tangentenmethode, 470
der (Halb-)Kugel

433

Umgestaltung
der Kugel

440
der Astronomie

379
eines Prismas

446
der Dynamik

379
eines Pyramidenstumpfes

119
der Mathematik

379

Vorsokratiker, 158, 159, 163, 164
der Mechanik

379

Umkehrung der Differentiation

Wahrscheinlichkeitsrechnung, 407, 415

(Fluxionenbildung), 461

Währungssystem, 456

Umkehrung des Potenzierens, 420

Wechsel von Deduktion und Induktion,

Umrechnung verschiedenartigster

429

Währungs-, Gewichts- und

Wechselwegnahme, 177

Maßeinheiten, 307

Weltatlas, 353

Unbekannte, 320, 331, 346, 367, 390

Weltkarte, 350, 353
unbestimmte Aufgaben, 405

Weltsystem von Copernicus, 395
mit ganzzahligen Lösungen

345

Weltuntergang, 334, 341
unendlich ferner Punkt, 413

Wendepunkte, 411
unendlich klein, 427, 439, 452

Werkzeuge, 148
unendliche Reihe für π/ 4, 467
unendliche Reihen, 395, 420, 458

Wert von π, 119

Unendlichkeitsstufen, 289

Westkaiser, 269

Universalienstreit, 284

Wiener Universität, 360

Universität, 282, 328, 346

Winkeldreiteilung, 255

Konstantinopel

213

Winkelfunktion, 419

Wien

360, 361

Winkelsumme, 168

Universitätsgründungen, 283

Winkelsumme im Dreieck, 175, 179

Unteilbarkeit, 440

Winkeltreue, 349

Unterhaltungsmathematik, 270, 315

Wissenschaftliche Revolution, 301, 374,

Unterricht in Mathematik, 18

379, 399, 427, 454

Ursubstanz, 161
wissenschaftliche Zeitschriften, 384

Wohnsitz der Weisheit, 225

Variable, 209, 403, 427

Wolfsknochen, 10
variable Größen, 430

Wurf, 431

Variationsrechnung, 189, 452

Würfelverdoppelung, 188

Vektoren, 411

Wurzel(n)

Venus, 33
aus negativen Zahlen

394

Verdoppelung eines Würfels, 173
dritte

244

Sachverzeichnis

529
n-te

251

Fünfersystem

151
negative

321
herodianisches

151
vierte

244
milesisches

151–153

Wurzelfunktionen, 461

Sexagesimalsystem

128, 130, 139,

142, 152, 244, 251, 258

Zahlbegriff, 154, 253, 254, 343
vigesimales

8, 30

Zahlen

Zahlentafeln, 130
befreundete

244

Zahlentheorie, 231, 248, 407, 408

Fibonacci-

315

Zahlzeichen
figurierte

174
römische

157, 209

Finger-

314

Zeit, 459
ganze

363

Zentralperspektive, 358
imaginäre

392

Zerlegung von Figuren, 193
irrationale

321, 344

Ziffern, 225
komplexe

392

˙

Gub¯
ar

225, 243
natürliche

343
indisch-arabische

99, 314, 334, 448
negative

246, 254, 317, 342, 343, 392
indische

238, 274, 314
negative ganze

343
ostarabische

243
negative gebrochene

343
westarabische

243
positive

342

Zins- und Zinseszinsrechnung, 307, 312
rationale

321

Zinsen, 321
türkische

324

Zinstabellen, 324
vollkommene

174, 244, 266, 366

Zirkel und Lineal, 181

Zahlengerade, 344

Zusammenbruch der „arithmetica

Zahlenreihe
universalis“, 177, 179

Aufbau der

7, 8

Zweitafel-Verfahren, 356

Zahlenschreibweise, 307

Zweitafelbild, 356

Zahlenschreibweise, indische, 251

Zykloide, 443

Zahlensystem(e), 151

Zykloidenpendel, 444
altägyptisches

114

Zylinderprojektion, 234, 351
attisches

151
zylindrische Sonnenuhr, 361
der Maya

32

Dezimalsystem

151

Überstreichung von Buchstaben, 470