Die skuririle Quantenwelt
Author: Silvia Arroyo
Date: 2011-07-03T14:22:22+00:00
Keywords: Bildung

Skurrile Quantenwelt
xx

Silvia Arroyo Camejo

Skurrile

Quantenwelt

ABC
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Zur Entstehung dieses Buchs

Oft wurde ich gefragt, welcher Teufel mich denn geritten hätte, im Alter
von 17 Jahren eine physikalische Abhandlung über das Thema der Quan-
tenphysik zu verfassen.

Nun, zur Beantwortung dieser Frage möchte ich als erstes erläutern, wel-
che Gründe es nicht waren, die mich zum Schreiben dieses Quantenphysik-

Buchs bewogen haben. So war es z. B. nie mein Anliegen ein Buch zu schrei-
ben, welches mir durch hohe Verkaufszahlen auf dem Buchmarkt einen
finanziellen Segen bringen sollte. Um Geld ging es mir bei der Konzep-
tion dieses Buches nie. Wäre dies der Fall gewesen, hätte ich kein Buch
geschrieben, dessen Thema den meisten Menschen nur als eines der wohl
unbeliebtesten Schulfächer in schrecklicher, leicht verblasster Erinnerung
bleibt. Immer wieder musste ich – anfangs mit Erstaunen – feststellen,
dass ich mit meinem gigantischen Interesse und dem schier unstillbaren

Wissensdrang bezüglich der erstaunlichen Vorgänge im Mikro- und Ma-
krokosmos ziemlich allein war und an allen Enden stets auf Unverständnis
und Kopfschütteln stieß.

So war es auch nicht der Drang nach Anerkennung, der mich dazu trieb
dieses Buch zu konzipieren, denn von den Mitmenschen für völlig verrückt
und durchgeknallt gehalten zu werden, ist nicht besonders motivierend.

Auch kann ich nicht behaupten, dass mein hier vorliegendes Geschrie-
benes das Resultat von Langeweile oder schulischer Unterforderung wäre.

Genau genommen war ich zur Zeit der Anfertigung dieses Buches recht
xx

VI

Zur Entstehung dieses Buchs
intensiv mit schulischen Lernaktivitäten und Klausuren ausgelastet, da ich
um einen guten Abiturdurchschnitt bemüht war. Dabei spielte für mich
das Verfassen von quantenphysikalischen Kapiteln vielmehr die Rolle einer
willkommenen, wenn auch anspruchsvollen Abwechslung.

Mein Vater meinte einmal, so ein Buch wie meines könne man wirklich
nur schreiben, wenn man noch sehr jung sei. Nur in jungen Jahren habe
man die Motivation und das Durchhaltevermögen etwas derartig zweck-
und sinnloses ohne äußeren Zwang und völlig ohne finanziellen Verdienst
zu schaffen. Nun, ich bin mir dessen nicht sicher, aber ich hoffe sehr, dass
ich auch in späteren Jahren noch die Kraft und Zeit dazu finden werde,
wieder einmal das Vergnügen erleben zu dürfen etwas derartig sinn- und
zweckloses zu fabrizieren ;-).

Was war es also, das mich dazu bewog dieses Buch zu schreiben? Ganz
einfach: Meine Liebe zur Physik und meine Begeisterung für die Vielfalt
der faszinierenden, komplexen Vorgänge, für die – im Widerspruch zu un-
serer gewohnten Alltagserfahrung und unserem sog. gesunden Menschen-
verstand – weder das Kausalitätsprinzip noch der Begriff der Objektivität
gilt. Eine Welt, in der der absolute, objektive Zufall genauso einen festen Be-
standteil der physikalischen Gesetze darstellt, wie die Tatsache, dass sich ein

Quantenobjekt an mehreren Orten gleichzeitig aufhalten kann. Eine Welt,
die so voll von Widersprüchen und Paradoxa scheint, dass man zeitweise
keinen Fuß mehr auf den Boden zu bringen vermag. Doch so komplex und
wenig anschaulich die Phänomene und Gesetzmäßigkeiten des Mikrokos-
mos auch anmuten, so wundervoll und faszinierend sind doch die Erkennt-
nisse, die man durch die Studien an den physikalischen Verhaltensweisen
von Quantenobjekten über die Natur des Mikrokosmos erhält.

Ich will die Struktur, nach der die Natur funktioniert, erkennen. Ich
will wissen, wie diese wundervolle Welt, in der wir leben, funktioniert. Aus
diesem Grund, angetrieben von einem unstillbaren Wissensdurst, gewann
ich mit ca. 15 Jahren durch die Lektüre populärwissenschaftlicher Litera-
tur erste Erkenntnisse über die Mechanismen der Quantenphysik. Immer
weiter wuchs mein Interesse für dieses schrecklich interessante, mich völ-
lig einnehmende Thema. Immer weitere Fragen drängten sich mir auf, die
beantwortet werden wollten, doch gab es niemanden, der sie mir hätte
beantworten können.

Nach einiger Zeit stieß ich an eine Grenze, die ich durch das Lesen weite-
rer populärwissenschaftlicher Quantenphysikbücher nicht zu überschrei-
ten vermochte. Doch der Sprung zur Studienliteratur, die hauptsächlich
für Physikstudenten nach dem Grundstudium verfasst wird, und in der die
xx

Zur Entstehung dieses Buchs

VII

Verwendung der höheren Mathematik zum guten Ton gehört, war durchaus
gravierend und scheinbar nur sehr schwer bzw. (aus meiner Position der

10. Klasse am Gymnasium) gar nicht zu schaffen.

Dieser literarische Spagat zwischen der allgemeinverständlichen, popu-
lärwissenschaftlichen Literatur, welche stets jede mathematische Formel zu
meiden pflegt, und der Studienliteratur, bei der auf nahezu jeder Seite meh-
rere Integrale und Differentialgleichungen zu finden sind, war zunächst
ein Problem für mich. Schließlich gelang es mir über diverse Bibliotheken,

Antiquariate und das Internet mit meinen quantenmechanischen Studien
fortzufahren und mich langsam auch an den quantitativen Kontext der

Quantenphysik heranzutasten. Dabei stellte ich fest, dass viele Aspekte und

Eigenheiten der Quantenphysik unter Zuhilfenahme des mathematischen

Formalismus sehr viel verständlicher und übersichtlicher wurden. Ich er-
kannte, dass eine wirklich verständliche, nicht nur oberflächliche Darstel-
lung quantenmechanischer Effekte nur über die Diskussion anschaulicher,
gut erläuterter Texte mit dem dazugehörigen mathematischen Formalis-
mus möglich ist.

Nachdem mir dies klar geworden war und ich nach meinen nun schon
über zweijährigen quantenphysikalischen Studien einen Drang verspürte,
die bis zu diesem Zeitpunkt gesammelten Erkenntnisse zu ordnen, kam
mir die Idee ein paar zentrale Themen bzw. einige der in der Quanten-
physik auftretenden Effekte nach meinem eigenen Verständnis schriftlich
festzuhalten. Daran hatte ich so viel Freude, dass ich begann mir Gedanken
zu machen über einen konzeptionell ganz neuen, didaktisch wertvollen

Aufbau quantenmechanischer Themen – und zwar in Form eines selbst ge-
schriebenen Buchs, um damit die bestehende literarische Lücke zwischen
den populärwissenschaftlichen Veröffentlichungen und der Studienlitera-
tur endlich zu schließen.

Was daraus schließlich entstanden ist, halten Sie, sehr geehrter Leser,
in diesem Augenblick in Ihren Händen. Dieses Buch ist, zusammenfassend
gesagt, der pure Ausdruck meiner Freude daran, eine didaktisch möglichst
wertvolle und verständliche, aber dennoch tiefschürfende und umfassende

Darstellung der so wundervollen und faszinierenden Themen zu geben,
welche die Quantenphysik behandelt, und meines persönlichen Wunsches,
das alles eines schönen Tages vielleicht selbst einmal begreifen zu können.

Und dies einfach nur deshalb, weil es mir solchen Spaß macht.

Berlin, Dezember 2005

Silvia Arroyo Camejo
xx

Inhaltsverzeichnis

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1

Licht und Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Was ist eigentlich Licht? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Aber was schwingt da wie? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Was sind Frequenz und Wellenlänge des Lichts? . . . . . . . . . . . . . . .

11

Was ist eigentlich Materie? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Woraus besteht ruhemassebehaftete Materie? . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Sind Elementarteilchen wirklich Teilchen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2

Die Herkunft des Planckschen Wirkungsquantums . . . . . . . . . . . .

17

Woher kommt die Quantenhypothese? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Wie konnte die Ultraviolettkatastrophe gelöst werden? . . . . . . . . .

19

Wovon ist der Energiebetrag eines Lichtquants abhängig? . . . . . . .

20

3

Der photoelektrische Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Was ist der photoelektrische Effekt? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Was ist das Nichtklassische am Photoeffekt? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Wie löste Einstein diese Widersprüche? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Wie lässt sich hierdurch ein Wert für h bestimmen? . . . . . . . . . . . .

30
xx

X

Zur Entstehung dieses Buchs

4

Das Doppelspaltexperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Was ist das Doppelspaltexperiment? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Was passiert beim Doppelspaltversuch mit Licht? . . . . . . . . . . . . . .

35

Wie lässt sich das Streifenmuster erklären? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Ist Licht also doch eine Welle? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

5

Das Doppelspaltexperiment mit Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Kann das Doppelspaltexperiment auch mit Elektronen
durchgeführt werden? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Was passiert beim Doppelspaltexperiment mit Elektronen? . . . . .

44

Könnte man sich das Streifenmuster nicht auch anders erklären?

47

Muss das Elektron nun doch als Welle angesehen werden? . . . . . .

48

Welche Schlüsse muss man aus dem Ausgang
des Experiments ziehen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

6

Der Compton-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Was versteht man unter dem Compton-Effekt? . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Wie lässt sich die Wellenlängenänderung berechnen? . . . . . . . . . . .

53

Warum tritt der Compton-Effekt nicht bei sichtbarem Licht auf? .

58

Ist der Compton-Effekt nur mit einem Teilchenmodell
beschreibbar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

7

Die Heisenbergsche Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

Was besagt die Heisenbergsche Unschärferelation? . . . . . . . . . . . . .

62

Wie kann man sich die Unschärferelation praktisch vorstellen? . .

64

Ließe sich das Interferenzmuster ebenfalls durch die

Unschärferelation erklären? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

Was lässt sich aus dem Ausgang der Experimente schließen? . . . .

67

Ist das Doppelspaltexperiment auch mit anderen Teilchen
durchführbar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

Was ist das Elektron jetzt eigentlich wirklich:

Welle oder Teilchen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

8

Der Kollaps der Wellenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

Wo liegt überhaupt der Widerspruch zwischen
dem Wellen- und dem Teilchenmodell? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

Was genau bedeutet der Begriff Welle-Teilchen-Dualismus? . . . . .

76

Wie wird aus der Elektronen-Welle ein Teilchen
auf dem Projektionsschirm? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

Was geschieht mit dem Rest der Elektronen-Welle? . . . . . . . . . . . . .

78
xx

Zur Entstehung dieses Buchs

XI

Wie steht es um Gleichzeitigkeit und instantane

Informationsübertragung? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

Wodurch wird der Kollaps der Wellenfunktion ausgelöst? . . . . . . .

82

9

Die Bohr-Einstein-Debatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

Wie kam es zur Bohr-Einstein-Debatte? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

Was ist denn „Zufall“ physikalisch gesehen überhaupt? . . . . . . . . .

90

Wie lautete Einsteins Kritik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

Welche Experimente diskutierten Bohr und Einstein? . . . . . . . . . .

94

Welche experimentellen Fakten lagen den Diskussionen
zu Grunde? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

Wie lautete Bohrs Entgegnung? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

Welche Schlussfolgerungen kann man aus der

Bohr-Einstein-Debatte ziehen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

10 Das Bohrsche Atommodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Welche Atommodelle gab es? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Welche Makel besitzt das Planetenmodell Rutherfords? . . . . . . . . . 106

Wie löst das Bohrsche Atommodell diese Diskrepanzen? . . . . . . . . 107

Was ist der Bohrsche Radius? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Welche Werte besitzen die Energieniveaus in der Atomhülle? . . . . 112

Wie geschieht die Absorption bzw. Emission von Photonen? . . . . . 113

Ist das Bohrsche Atommodell als „richtig“ anzusehen? . . . . . . . . . 115

11 Die Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Was ist der Unterschied zwischen der Matrizen- und der

Wellenmechanik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Welche Bedeutung kommt der Wellenfunktion zu? . . . . . . . . . . . . . 120

Wie leitet sich die Schrödinger-Gleichung her? . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Was berechnet man mit der Schrödinger-Gleichung? . . . . . . . . . . . 126

Welche Auswirkung hatte die Schrödinger-Gleichung
auf das Atommodell? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

12 Schrödingers Katze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Worum handelt es sich bei Schrödingers Katze? . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Wie ist das Gedankenexperiment
um Schrödingers Katze aufgebaut? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Wo liegt die Paradoxie beim Gedankenexperiment
um Schrödingers Katze? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
xx

XII

Zur Entstehung dieses Buchs

Wie stellt man den überlagerten Zustand eines Teilchens
quantenmechanisch dar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

In welchem Zustand befindet sich die Katze? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

13 Die Interpretation des quantenmechanischen Formalismus . . . . . 141

Wie lautet die Lösung des Schrödingerschen Katzenparadoxons? . 142

Was besagt die Kopenhagener Deutung? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Was besagt die Viele-Welten-Interpretation? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Was besagt die Theorie der Dekohärenz? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Welche Interpretation entspricht der „Realität“? . . . . . . . . . . . . . . . 157

14 Das EPR-Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Was ist das EPR-Paradoxon und woher kommt es? . . . . . . . . . . . . . 160

Wie sieht der gedankliche Versuchsaufbau
des EPR-Experiments aus? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Ist also doch kein Paradigmenwechsel durch die

Quantenmechanik nötig? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Ist die Quantenmechanik tatsächlich unvollständig? . . . . . . . . . . . . 166

Quantenmechanik oder Theorien verborgener Variabler? . . . . . . . 167

Schließt die Quantenmechanik verborgene Variable
prinzipiell aus? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Wie gestaltet sich die Bohmsche Mechanik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

15 Die Bellsche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Ist eine experimentelle Entscheidung über
verborgene Variablen möglich? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Was ist der Spin eines Teilchens? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Spinmessung nach Theorien verborgener Variabler
oder Quantenmechanik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Wie gestaltet sich der Aufbau des Bohmschen EPR-Experiments? 180

Wie lauten die Voraussagen der Theorien verborgener Variabler? 182

Wie geschieht die experimentelle Überprüfung der Voraussagen? 186

16 Die modernen Anwendungen der Quantenphysik . . . . . . . . . . . . . . 189

Wie wird die Quantenphysik praktisch angewendet? . . . . . . . . . . . 190

Was ist Quanteninformation? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Was ist Quanten-Teleportation? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Was sind Quanten-Computer? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Was ist Quanten-Kryptographie? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
xx

Zur Entstehung dieses Buchs

XIII

17 Quantengravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Wozu brauchen wir eine Quantengravitation? . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Gibt es eine Lösung für den Theorien-Konflikt? . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Was besagt die Stringtheorie? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Was besagt die Loop-Quantengravitation? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

Bestehen zwischen den Quantengravitationstheorien
auch Gemeinsamkeiten? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Ist Quantengravitation noch Physik oder schon Philosophie? . . . . 219

Nachwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

Glossar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Weiterführende Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Sach- und Namenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
xx

Einleitung
xx

2

Einleitung

Was ist Quantenphysik?

Wahrscheinlich haben Sie, lieber Leser, sich auch schon einmal zumindest
eine der folgenden Fragen gestellt:

Was sind Quanten?

Welchen Zusammenhang hat Quantenphysik mit der wirklichen

Welt?

Wie ist die Materie aufgebaut?

Was ist die Heisenbergsche Unschärferelation?

Was hat es mit Schrödingers Katze auf sich?

Wird das Weltgeschehen durch verborgene Parameter determiniert?

Wo liegt die Grenze zwischen Mikro- und Makrokosmos?

...etc.

Dies sind Fragen, welche von ganz grundlegender, fundamentaler Be-
deutung sind, und zwar nicht nur für die moderne Physik allein, sondern
auch in erheblichem Maße für unser allgemeines Bild von der Welt und
dem Wesen der Natur, für unser beständiges Vertrauen in den gesun-
den Menschenverstand und die Erkenntnisfähigkeit des Menschen an sich.

Epistemologische Paradigma, also erkenntnistheoretische Grundansichten
und Weltbilder, wurden in vergangenen Tagen maßgeblich durch rein phi-
losophische Beweggründe und Denkansätze geprägt und bestimmt. Dass
dies eine nur allzu verständliche und natürliche Herangehensweise an die
grundlegendsten Fragen der Existenz und der Realität der Welt ist, scheint
sehr einsichtig. Doch in demselben Maße wie in der Vergangenheit mehr
und mehr die Wissenschaften mystische und religiöse Scheinerklärungen
durch rationale Erklärungen zu verdrängen vermochten, so muss auch in
der heutigen Zeit wieder ein epistemologischer Paradigmenwechsel statt-
finden. Auch wenn es uns nicht allzeit bewusst ist, so ist uns – ungeachtet
aller modernen und fundamentalen paradigmatischen Erkenntnisse durch
die moderne Physik – immer noch ein Weltbild zu Eigen, das dem aus

Newtonschen Zeiten um 1700 ähnelt. Wir hegen eine mechanistische, de-
terministische Weltensicht, bestimmt und bestätigt durch uns umgebende

Geschehnisse des Alltags.

Ein Billardtisch beispielsweise vereinigt all unsere weltanschaulichen

Vorurteile: In einem trivialen Zusammenspiel von Stoßkräften laufen un-
ter der Einhaltung von Energie- und Impulserhaltungssätzen einfach bere-
chenbare schräge Stöße ab, die eventuell noch von Rotationsbewegungen
begleitet werden. Die klassische, mechanisch-deterministische Welt so wie
xx

Einleitung

3
wir sie kennen. Doch ist dieses mechanistische Naturbild wirklich zutref-
fend? Verhalten sich alle Naturobjekte so simpel und vorhersagbar wie

Billardkugeln?

Mit diesen Grundfragen im Hinterkopf, soll es im vorliegenden Buch
darum gehen einen kleinen Einblick in die geheimnisvolle, wunderbare und
faszinierende Welt der Quanten zu erhalten, und auf der ewig währenden

Suche nach dem Innersten der Dinge dem letztendlichen Grundprinzip der

Natur ein klein wenig näher zu kommen.

Was sind Quantenobjekte?

Doch um ganz vorne zu beginnen: Was ist nun eigentlich Quantenphysik?

Nun, die Quantenphysik ist das Gebiet der Physik, welches sich mit den

Verhaltensweisen von Quantenobjekten beschäftigt. Soweit so gut. Doch
was ist denn ein Quantenobjekt überhaupt?

Unter dem Begriff Quantenobjekt versteht man für gewöhnlich atomare
oder subatomare Objekte, also beispielsweise Elementarteilchen, wie die
bekannten Atombausteine Elektron, Proton und Neutron. In einer allge-
meineren Formulierung lässt sich festhalten, dass sowohl Materie als auch

Licht im kleinen Maßstab als Quantenobjekte zu bezeichnen sind. Aller-
dings können sich auch wesentlich größere Ansammlungen von mehreren

Dutzend Atomen noch wie Quantenobjekte verhalten. Genaueres werden
wir sicherlich in den folgenden Kapiteln erfahren.

Wozu betreibt man Forschung im Bereich des Mikrokosmos?

Nachdem jetzt einigermaßen geklärt wäre, worum es sich bei der Quanten-
physik handelt, sollte vielleicht interessant sein, aus welchem Grund man
sich überhaupt mit den Verhaltensweisen von Mikroobjekten beschäftigt
und im Bereich der kleinsten Teilchen Forschung betreibt. Es ist wohl kaum
zu leugnen, dass ein Grundlagenforscher auf dem Gebiet der Quanten-,

Teilchen- oder Hochenergiephysik nicht primär durch den Hintergedanken
der praktischen Anwendbarkeit seiner Forschungsergebnisse vorangetrie-
ben wird, als vielmehr durch die unerschöpfliche Neugierde und das innige

Verlangen nach Erkenntnis und Verständnis der spannenden und ergrei-
fenden Welt um ihn herum. So sieht sich ein die physikalischen Grundlagen
erforschender Quantenphysiker auch permanent auf dem engen Grad zwi-
schen zweckfreier und sinnfreier Forschung balancieren. Für den wahren,
xx

4

Einleitung
leibhaftigen Naturwissenschaftler sollte dies jedoch kein Hindernis sei-
ner Tätigkeit darstellen. Die begehrten Erkenntnisse nämlich, nach denen
strebend geforscht wird, erschließen ihm letztlich nichts weniger als das
bezaubernde Wesen der Natur selbst. Tatsachen wie jene, dass ein Quan-
tenobjekt „auf zwei Hochzeiten gleichzeitig tanzen“ kann, oder dass Ob-
jektivität im Mikrokosmos nicht zu existieren scheint, sowie die Einsicht,
dass die Existenz der von Einstein vehement abgestrittenen „spukhaften

Fernwirkungen“ unabwendbar Teil der physikalischen Realität ist, machen
die quantenphysikalischen Forschungen um einen unermesslichen Faktor
spannender, als jeder noch so gute, jedoch komplett fiktive Krimi. Ist es
doch gerade das Faszinierende an der Quantenphysik, dass es sich dabei
nicht um utopische Science Fiction, sondern um die Wirklichkeit höchst
persönlich handelt. In der Mikrowelt gehört schließlich so einiges zum

„Quanten-Alltag“, was aus unserer Sicht der Dinge sogar für Star-Trek-

Abenteuer zu obskur und albern wirkt. Oder um es mit den präzisen und
markanten Worten des Quantenphysikers

1

Daniel Greenberger
auszu-
drücken:

„Einstein sagte, die Welt kann nicht so verrückt sein. Heute wissen
wir, die Welt ist so verrückt.“

Ist die Physik ein abgeschlossenes Gedankengebäude?

In der Schule wird, wie Sie vielleicht schon selbst erfahren mussten, nur
allzu oft der Eindruck vermittelt, die Physik sei ein vollendetes und abge-
schlossenes Gedankengebäude, bestehend aus einer Unzahl von Gleichun-
gen, welche irgendwelche idealisierten Experimente beschreiben mögen.

Die Herausforderung an den Physiker, so scheint es, besteht nur darin, für
den jeweils vorliegenden physikalischen Fall die passende Formel aus der

Formelsammlung heraus zu kramen, um dann den Computer mit eben
jener Formel und gewissen Versuchsdaten zu füttern, so dass letztendlich
der Rechner die korrekt ermittelten Ergebnisse wieder ausspuckt. Dem ist
jedoch – um es ausdrücklich zu betonen – wahrlich nicht so!

Max Planck (1858–1947), den man wohl vollkommen zu Recht als
den Vater der Quantentheorie bezeichnen kann, zweifelte einst als jun-
ger Mann daran, ob es denn überhaupt vielversprechend sei Physik zu
studieren, obgleich er ein starkes Interesse für diese fundamentalste aller

1 A. Zeilinger: Einsteins Schleier (C. H. Beck) 2003; S. 7
xx

Einleitung

5

Naturwissenschaften empfand. Gutmütig riet ihm daraufhin ein bekann-
ter Physikprofessor davon ab, indem er betonte, in der Physik wäre schon
alles Wesentliche erforscht und entdeckt worden. Es ginge nun noch um
ein paar unwesentliche Details, die noch geklärt werden müssten. Planck
tat jedoch wahrhaftig gut daran diesen freundlich gemeinten Ratschlag zu
ignorieren, denn seine späteren Arbeiten sollten eine grundlegend neue

Ära im Kanon der Physik einläuten, ja eine physikalische Revolution aus-
lösen. Im Jahre 1900 schließlich entdeckte Planck eine zuvor ungeahnte

Facette der Natur: die Quantisierung im Mikrokosmos.

Was geschieht in der Welt des Mikrokosmos?

Es ist genau diese Frage, die Frage nach dem Innersten der Dinge, nach
den grundlegenden Naturprinzipien, nach dem Wesen des physikalischen

Aufbaus und Verhaltens des Kosmos an sich, um die das Hauptthema dieser

Exkursion in die Welt des Mikrokosmos kreist und die sich wie ein roter

Faden durch jedes einzelne Kapitel hindurch zieht.

Auf unserer sich nun unmittelbar anschließenden Reise durch die Quan-
tenphysik, die faszinierende Welt des Mikrokosmos, werden wir mit Sicher-
heit – insofern möchte ich Sie schon an dieser frühen Stelle vorwarnen –
an so manche Verständnis- und Erkenntnisgrenze stoßen. Doch liegt dies
weder an Ihnen noch an der zur Betrachtung verwendeten physikalischen

Theorie, als vielmehr an der Natur des Betrachtungsgegenstandes selbst.

Die Welt des Mikrokosmos spielt ein subtiles und zumal verwirrendes Spiel.

Quantenobjekte sind und bleiben auch nach den Jahrzehnten intensiver
und erfolgreicher Forschung unabwendbar ein ewiges Rätsel, der Inbegriff
des Widersprüchlichen, Undurchschaubaren und Geheimnisvollen. So vol-
ler ungeahnter Paradoxa und Überraschungen ist die Quantenphysik, dass
man bisweilen die Zuversicht in die eigene Erkenntnisfähikeit diskreditiert
sehen muss.

Doch meiner Meinung nach macht gerade diese (scheinbare) epistemo-
logische Unnahbarkeit und letztendliche Rätselhaftigkeit der Quantenwelt
ihren fesselnden, alles in ihren Bann ziehenden Reiz aus.

xx

1

Licht und Materie
xx

8

1 Licht und Materie

Was ist eigentlich Licht?

Die interessante Frage nach der Natur des Lichts stellten sich schon einst
die alten Griechen. Doch so simpel diese kurze Frage auf den ersten Blick
auch anmuten mag, so unermesslich schwierig ist hingegen ihre eindeutige

Beantwortung. Im Laufe der Jahrhunderte zeigte sich, dass die Antwort auf
jene Frage während der historischen Entwicklung der Physik immer wieder
einem stetigen Wechsel unterzogen war. Sie mögen sich nach dem Warum
fragen. Dies liegt wohl daran, dass das Licht eine verflixt schizophrene

Sache ist. Doch Näheres hierzu werden wir im weiteren Verlaufe des Bu-
ches erfahren. Wollen wir uns erst einmal der herkömmlichen, klassischen

Definition des Lichts widmen.

Doch bevor wir damit beginnen, sollte noch schnell geklärt sein, was
sich in der Physik hinter dem Adjektiv „klassisch“ überhaupt verbirgt. Sie
werden sehen, dass wir im weiteren Verlauf des Öfteren physikalische Sach-
verhalte aus der klassischen Sichtweise betrachten werden, oder dass wir die

Voraussagen der klassischen Theorie analysieren werden usw. Dabei drückt
die Verwendung des Wörtchens „klassisch“ immer aus, dass es sich um
die Sichtweise des im jeweiligen Fall vorliegenden Sachverhalts im Sinne
der klassischen Physik handelt, wobei durch den Begriff der klassischen

Physik alle Teilgebiete der Physik (d. h. die klassische Mechanik Newtons,
die Elektrodynamik Maxwells etc. bis zur Relativitätstheorie Einsteins)

ausschließlich der Quantenphysik gemeint werden. Exklusive der Quanten-
physik deshalb, da letztere einen zur klassischen Physik gravierend diffe-
rierenden Charakter trägt. Mehr dazu jedoch ebenfalls später. Dies sollte
vorerst nur klären, dass alle nicht quantenmechanischen Theorien, die wir
besprechen werden, durch das Adjektiv „klassisch“ gekennzeichnet wer-
den, so dass wir die älteren, nicht quantenmechanischen (also klassischen)

von den quantenmechanischen (also nicht klassischen) Theorien auch be-
grifflich unterscheiden können.

Beginnen wir nun mit der klassischen Theorie des Lichts. Würden wir
hierzu ein Physiklexikon befragen, so fänden wir wahrscheinlich eine der
folgenden Definition ähnliche Aussage:

Als Licht wird der Teil des elektromagnetischen Strahlungsspektrums
bezeichnet, der eine Wellenlänge von 360 · 10−9 m bis 780 · 10−9 m
aufweist.

Nun ja, was können wir damit anfangen? Ich werde versuchen es et-
was anschaulicher darzustellen. Der Raum (und zwar jeglicher Raum, so-
xx

1 Licht und Materie

9
wohl das Vakuum selbst als auch der mit Erdreich oder Luft angefüllte) ist
durchzogen von dem elektromagnetischen Feld. Dieses Feld könnte man
sich etwas verbildlicht so vorstellen wie eine unermessliche Anzahl von

Seilen, die in alle Richtungen durch den Raum gespannt sind. Schlägt man
nun an einem Raumpunkt die Seile an, so breitet sich die Störung in Form
einer dreidimensionalen Kugelwelle an den Seilen durch den Raum aus.

Die Seile sind somit das Trägermedium für die Welle, so wie die Luft das

Trägermedium der Schallwellen ist.

Mit dem Licht verhält es sich ganz ähnlich: Durch eine periodische

Schwingung eines geladenen Teilchens werden die es umgebenden elektri-
schen und magnetischen Felder ebenfalls in Schwingungen versetzt. Diese

Schwingungen des elektromagnetischen Feldes nennen wir elektromagne-
tische Wellen. Dabei ist die elektromagnetische Welle an sich einfach als
eine Schwingung des elektromagnetischen Feldes zu verstehen. Die Schwin-
gungsenergie der Welle breitet sich als eine Störung des elektromagneti-
schen Felds aus.

Die Existenz der elektromagnetischen Wellen wurde erstmalig durch
die von James Maxwell (1831–1879) aufgestellten, für die klassische

Elektrodynamik fundamentalen Gleichungen vorausgesagt, welche nach
ihrem Entdecker auch als Maxwellsche Gleichungen bezeichnet werden. Sie
beschreiben auf mathematischer, theoretischer Ebene die Dynamik elektri-
scher und magnetischer Felder. Experimentell nachgewiesen werden konn-
ten die elektromagnetischen Wellen erst ca. 27 Jahre nach Maxwells theo-
retischer Entdeckung. Heinrich Hertz (1857–1894) war es, der sie 1887
in Versuchen eigenständig erzeugen und nachweisen konnte.

Aber was schwingt da wie?

Man könnte sich dennoch fragen, wie man sich diese schwingenden magne-
tischen und elektrischen Felder genau vorzustellen hat. Zu diesem Zweck
wird in Abb. 1.1 eine anschauliche Darstellung der elektromagnetischen

Welle angeführt. Hieran soll der schematische Aufbau einer solchen Welle
verdeutlicht werden.

Wie sich gut erkennen lässt, hat die elektromagnetische Welle zwei

Schwingungsrichtungen. Der elektrische und der magnetische Feldvektor
der elektromagnetischen Strahlung stehen nämlich immer senkrecht auf-
einander. Des Weiteren schwingen die beiden Felder in Phase, d. h. sie neh-
men stets zu gleichen Zeiten die maximale Elongation (= Auslenkung von
der Ruhelage) ein und durchqueren gleichzeitig die Ruhelage. So schwin-
xx

10

1 Licht und Materie
elektrisches Feld
magnetisches Feld

Abb. 1.1. Darstellung der senkrecht aufeinander stehenden Schwingungsebenen
einer elektromagnetischen Welle
gen elektrisches und magnetisches Feld der Welle in einem Winkel von 90ůnd stehen dabei gleichfalls senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle.

Die elektromagnetischen Wellen gehören deshalb (ebenso wie Seilwel-
len oder Wasserwellen) zu den Transversalwellen, deren Schwingungsrich-
tung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle steht, im Gegensatz
zu den Longitudinalwellen (wie z. B. dem Schall), deren Schwingungsrich-
tung in Ausbreitungsrichtung liegt. Ein besonderes Charakteristikum der

Transversalwellen ist, dass sie eine Eigenschaft besitzen, die sich Polarisa-
tion nennt. Schwingt der elektrische Feldvektor der elektromagnetischen

Welle zudem in einer Ebene, so spricht man von einer linear polarisierten

Welle. Das Licht der Sonne beispielsweise ist zwar nicht polarisiert, doch
schickt man das Sonnenlicht durch einen Polarisationsfilter, so lässt sich
daraus linear polarisiertes Licht einer bestimmten Schwingungsrichtung
erhalten.

Eine weitere grundlegende Eigenschaft der elektromagnetischen Welle
sind ihre Wellenlänge λ und ihre Frequenz ν. Die Wellenlänge ist einfach
der Abstand zweier identischer Punkte der Welle, also z. B. die Strecke,
von einem Wellenberg zum nächsten (siehe Abb. 1.2). Ferner gibt die Fre-
quenz der Strahlung die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde an. Die

Wellenlänge und Frequenz einer Welle verhalten sich umgekehrt propor-
tional zueinander. Interessanterweise ergibt sich, wenn man Frequenz ν
und Wellenlänge λ einer Welle multipliziert, als Produkt die Ausbreitungs-
geschwindigkeit c der Welle:

c = νλ .

(1.1)

xx

1 Licht und Materie

11
y
x

Wellenlänge

Abb. 1.2. Die Definition der Wellenlänge

Bei der elektromagnetischen Strahlung ist dies bekanntlich die Licht-
geschwindigkeit, für die sich gemeinhin das Symbol c eingebürgert hat.

Wenn demzufolge im weiteren Verlauf des Buchs in Formeln der Buchstabe
c auftauchen sollte, so handelt es sich dabei stets um die konstante Vakuum-
lichtgeschwindigkeit, deren Wert bei etwa c = 3 , 0 · 108 m liegt. Sollte dies s
einmal nicht der Fall sein, so wird ausdrücklich darauf hingewiesen.

Was sind Frequenz und Wellenlänge des Lichts?

Theoretisch gesehen gibt es unendlich viele mögliche Frequenzen bzw.

Wellenlängen der elektromagnetischen Strahlung. Das kontinuierliche

Spektrum der elektromagnetischen Strahlung enthält alle Frequenzen bzw.

Wellenlängen der elektromagnetischen Strahlung. Wie in der logarithmisch
aufgetragenen Wellenlängen- und Frequenzskala aus Abb. 1.3 zu erkennen
ist, reicht das Strahlungsspektrum von der kurzwelligen harten Gamma-
strahlung bis zum langwelligen Radiowellenbereich. Im Zwischenbereich
dieser zwei Grenzwellenlängen befindet sich der Reihenfolge nach die harte
und weiche Röntgenstrahlung, die ultraviolette Strahlung, worauf der win-
zige, für uns Menschen sichtbare Spektralbereich des Lichts folgt, dann die
infrarote Strahlung, die Wärmestrahlung und schließlich die Mikrowel-
lenstrahlung. Es ist recht erstaunlich, dass all jene Strahlungsarten gewis-
sermaßen wesentlich dasselbe sind wie das für uns sichtbare Licht, denn
sie unterscheiden sich ausschließlich in ihrer Wellenlänge bzw. Frequenz.

Schließlich liegt es ja nur an der besonderen Beschaffenheit unserer Augen,
nur für diesen bestimmten, sichtbaren Spektralbereich empfindlich zu sein,
so dass wir ihn sehen können.

Jetzt könnte man die Frage stellen, wie es zu diesen unterschiedlichen

Frequenzen der elektromagnetischen Wellen kommt. Nun, der wesentliche
xx

12

1 Licht und Materie

Frequenz (in Hz)

103

106

109

1012

1015

1018

1021

1024

Radiowellen

Infrarotstrahlung

UV-Strahlung

-Strahlung

Mikrowellen

Röntgenstrahlung

103

1

10-3

10-6

10-9

10-12

10-15

Wellenlänge (in m)

sichtbares Licht

Abb. 1.3. Das Spektrum der elektromagnetischen Strahlung, aufgetragen über der

Frequenz ν und der Wellenlänge λ

Unterschied liegt in der Art des Entstehungsprozesses der Strahlung. So ist
die Quelle der harten Gammastrahlung ein angeregter, radioaktiver Atom-
kern, der durch die Emission von Gammaquanten einen energetisch günsti-
geren Zustand erlangen kann. Radiowellen hingegen entstehen durch einen
schwingenden elektrischen Dipol, einen Leiter mit offenem Ende, in den
eine elektrische Wechselspannung eingespeist wird. Alles in allem sind

– abgesehen von der sich unterscheidenden Wellenlänge – jedoch alle in

Abb. 1.3 abgebildeten Strahlungsarten physikalisch wesensgleich, d. h. sie
folgen den identischen optischen Gesetzen, wie es auch unser sichtbares

Licht tut.

Was ist eigentlich Materie?

Zunächst könnte man etwas dem Folgenden Ähnliches meinen: „ Ist doch
klar, Materie ist halt materiell oder substanziell, etwas, das man anfassen
kann. Im Gegensatz dazu stehen Mikrowellen und Wärmestrahlung, oder
auch Licht. Ein Stein ist offensichtlich materiell: Er lässt sich hoch werfen
und plumpst auf den Boden. Das geht mit Licht nicht . . . “

Aber wie verhält es sich dann z. B. mit einem Elektron? Lässt sich das an-
fassen? Oder ein Alphastrahl, der aus Heliumkernen besteht. Ist der gleich
immateriell, nur weil er sich nicht so gut betasten und direkt ansehen lässt?

Wie wir sehen, ist diese Frage ein wenig verzwickter und um ehrlich zu
sein, gibt es auch gar keine präzise physikalische Definition für den Be-
griff Materie. Natürlich könnte man auch sagen, Materie ist alles, was eine

Masse besitzt, doch wissen wir seit Einsteins Entdeckung der Energie-

Masse-Äquivalenz, dass

E = mc 2 ,

(1.2)

xx

1 Licht und Materie

13
d. h. jeder Energie E eine Masse m äquivalent ist, wobei der Faktor Lichtgeschwindigkeit zum Quadrat nur einen etwas „speziellen Umrechnungs-
faktor“ darstellt. Jeder Energie kann also eine Masse und jeder Masse eine

Energie zugeordnet werden. Wie soll man da noch zwischen massebehaftet
und nicht-massebehaftet unterscheiden?

Und dennoch gibt es trotz dieser enormen Definitionsschwierigkeiten
eine Möglichkeit diesen Begriff festzulegen: Mit Materie lassen sich all die

Elementarteilchen bezeichnen, welche Ruhemasse besitzen. Aber was ist

Ruhemasse? Als Ruhemasse bezeichnet man die Masse eines Teilchens,
wenn dieses sich nicht bewegt, da jedes bewegte Teilchen nach der spe-
ziellen Relativitätstheorie einen Massenzuwachs erfährt, so dass seine so genannte dynamische Masse über der Ruhemasse liegt. Licht oder, allgemeiner gesprochen, elektromagnetische Strahlung besitzt hingegen keine

Ruhemasse, sondern nur eine dynamische Masse. Somit kann man bei-
spielsweise zwischen ruhemassebehafteter Materie und nicht ruhemasse-
behafteter Strahlung unterscheiden.

Woraus besteht ruhemassebehaftete Materie?

Wie freilich heutzutage allgemein bekannt ist, besteht jegliche uns umge-
bende Materie aus winzigen Teilchen: den Atomen. Schon im alten Grie-
chenland formulierten die Philosophen Leukipp und Demokrit (beide
ca. 500 v. Chr.) ihre Atomhypothese, nach der alles letzten Endes aus den
unteilbaren Partikeln aufgebaut sein sollte.

Auch wenn diese frühen, philosophischen Vermutungen aus heutiger

Sicht noch ziemlich unbegründet scheinen mögen, konnten jene Annah-
men wesentlich später u. a. durch den britischen Chemiker John Dalton

(1766–1844) bestätigt werden.

Daraufhin schloss sich eine stetige Reihe verschiedener, verbesserter

Atommodelle an: Das frühe, vom englischen Joseph Thomson (1856–1940)

entwickelte so genannte Rosinenkuchenmodell besagt, das Atom bestehe
aus einem positiv geladenen Materieteig, in den die negativen (übrigens
ebenfalls von ihm entdeckten) Elektronen eingebettet seien.

Doch wenig später fand der Neuseeländer Ernest Rutherford (1871–

1937) bei seinen Streuexperimenten an Goldfolien heraus, dass das Atom
zum größten Teil leer sein musste und es einen extrem kleinen und kompak-
ten, positiv geladenen Kern besaß. Die negativ geladenen Elektronen sollten
hingegen in der Atomhülle in unterschiedlichen Abständen um den Kern
kreisen, ähnlich einem Miniatur-Sonnensystem, bei dem der Atomkern die
xx

14

1 Licht und Materie

Sonne und die Elektronen die Planeten ersetzten. Es wurde demnach offen-
kundig, dass jenes fälschlicherweise „atomos“ benannte Partikelchen sehr
wohl teilbar war. Das Atom konnte daher nicht mehr länger als elementar,
da schließlich teilbar, angesehen werden.

So formiert sich gezwungenermaßen erneut die Frage, ob diese Atom-

„Bruchstücke“ denn ihrerseits elementarer Natur seien. Doch, wie sich her-
ausstellte, sind sie dies keineswegs, denn der Atomkern besteht aus zwei
weiteren Sorten von Teilchen: den positiv geladenen Protonen und den un-
geladenen, also neutralen Neutronen. Und auch diese Partikel sind noch
nicht elementar, denn sie bestehen ihrerseits aus Teilchen namens Quarks,
eine Bezeichnung die auf den amerikanischen Teilchenphysiker Murray

Gell-Mann (geb. 1926) zurückgeht. Nach dem heutigen Standardmodell
der Elementarteilchenphysik bestehen demgemäß Protonen p ( uud) aus zwei up-Quarks und einem down-Quark und Neutronen n ( udd) aus zwei
down-Quarks und einem up-Quark. Genauer gesagt bilden die elementaren

Quarks besagter Nukleonen zusammen mit den Austauschteilchen (Wech-
selwirkungsbosonen) der starken Kernkraft vielmehr ein kompliziertes,
konfuses Gemenge aus Quarks, Antiquarks und verschiedenen Gluonen,
ein so genanntes Quark-Gluonen-Plasma, doch dürfte dies nichts Wesent-
liches an der Kernaussage ändern.

Soweit wir bis jetzt Bescheid wissen, sind diese Quarks jedoch wahrhaf-
tig elementar, in dem Sinne, dass sie nicht aus anderen Teilchen aufgebaut
sind. Und es gibt auch gute Gründe, warum dies der Fall sein sollte. Aktuell
sind daher als Atombausteine nur up- und down-Quarks und Elektronen
als wirklich elementare Teilchen zu bezeichnen. Dennoch werden – schein-
bar paradoxerweise – sowohl Protonen als auch Neutronen als Elementar-
teilchen bezeichnet, obwohl sie, wie wir erfahren haben, eigentlich nicht
wirklich als elementar gelten können.

Jedoch muss man nachhaltig betonen, dass „aus anderen Teilchen aufge-
baut sein“ nicht gleich „teilbar sein“ bedeutet. Wie soll man das verstehen?

Nun, die Tatsache, dass z. B. ein Proton nicht weiter teilbar ist, obwohl es
aus den sehr viel kleineren Quarks besteht, basiert auf einer Eigenschaft
der Kraft, welche das Proton bzw. das Neutron zusammenhält. Jene Kraft,
die starke Wechselwirkung (eine der vier fundamentalen Wechselwirkungen
der Natur) genannt wird, sorgt dafür, dass sich die Quarks niemals isoliert
aufhalten können. Demzufolge tauchen sie nur in Zweierverbänden, den

Mesonen, oder in Dreierverbänden, den Baryonen, auf.

Das Phänomen, nach dem beispielsweise ein Zusammenschluss von drei

Quarks zu einem Proton nicht trennbar ist, wird als Quarkeinschluss oder
xx

1 Licht und Materie

15
quark confinement bezeichnet. Diese interessante und exotische Eigen-
schaft der starken Wechselwirkung stellt, nebenbei gesagt, noch immer
ein aktuelles Rätsel in der Grundlagenforschung dar.

Neuere Experimente an den größten Teilchenbeschleunigern der Welt
suchen seit zwei Jahren sogar intensiv nach einer weiteren Teilchenklasse,
den Pentaquarks, die allerdings überaus instabil sein sollen. Dies sind Teil-
chen, die aus vier Quarks und einem Antiquark bestehen. Beispiele hierfür
sind etwa das + ( uudd¯ s), das 0 ( uudd¯ c) oder das −− ( ddss ¯ u). Ihr c
stichhaltiger Nachweis gestaltet sich jedoch, wie die aktuellen Experimente
zeigen, hinreichend schwierig. Bislang sprechen zehn Experimente für ihre

Existenz, aber leider sprechen ebenso viele Versuche dagegen bzw. kön-
nen nur Nullergebnisse vorweisen. Aus dieser prekären experimentellen

Lage resultieren schließlich nachhaltige Zweifel, ob die bisherig angestell-
ten Experimente überhaupt stichhaltig waren. Eine fundierte Bestätigung
der fragwürdigen Existenz der Pentaquarks wird sich in zukünftigen Ex-
perimenten erst noch zeigen müssen.2 Unstrittig ist hingegen, dass diese

Erforschung der Pentaquarks neue, tiefere Erkenntnisse über die Natur
der starken Wechselwirkung ermöglichen wird. Auch hinsichtlich des rät-
selhaften quark confinements sind die Polyquarks natürlich von außeror-
dentlichem Interesse.

Sind Elementarteilchen wirklich Teilchen?

Infolgedessen haben wir verstanden, dass Elementarteilchen nicht unbe-
dingt elementar sein müssen, aber – um sich jetzt dem anderen Teil des

Begriffes zu widmen – Teilchen sind sie doch mit Sicherheit, oder?

Nun ja, dies ist relativ! In der Elementarteilchenphysik versteht man
unter dem Wort „Teilchen“ gewöhnlich etwas anderes, als wir es aus unse-
rer natürlichen Alltagsumgebung der Größenordnung von 10−1 m gewohnt
sind. Wenn wir uns ein „Teilchen“ vorstellen, haben wir dabei für gewöhn-
lich etwas Kleines, Kompaktes im Sinn, vergleichbar mit einem winzigen

Metallkügelchen. Doch dieses Bild eines klassischen Teilchens verliert, wäh-
rend man auf der Größenskala abwärts wandert, an Verwendbarkeit. Stellen
wir uns für einen Augenblick vor, wir wären Objekte des Mikrokosmos, die
auf atomarer Skala der Größenordnung von 10−10 m zu Hause seien. Dann

2 Eine schöne Darstellung der aktuellen schwankenden Nachweislage findet sich
in K. Hicks: Experimental Search for Pentaquarks. Prog. Part. Nucl. Phys. 55

(2005); http://arxiv.org/abs/hep-ex/0504027 (2005).

xx

16

1 Licht und Materie
müssten wir zwangsläufig erkennen, dass unsere makroskopische Vorstel-
lung eines Teilchens, im Sinne eines winzigen, kompakten Kügelchens,
schlicht und ergreifend nicht haltbar ist und aus quantenmechanischer

Sicht offenkundig Unsinn darstellt.

Ein so genanntes „Teilchen“, welches im Mikrokosmos haust, hat einfach
eine recht differierende Lebensweise: Es führt sozusagen eine Art Doppel-
leben. Ja, es ist tatsächlich nur zur Hälfte seines Teilchenlebens wirklich

Teilchen, nebenbei verhält es sich nämlich auch manchmal wie eine Welle.

Irgendwie wird man partiell dazu gezwungen anzunehmen, dass Quanten-
objekte sowohl Teilchen als auch Wellen zugleich sind, aber andererseits
kann man sie nicht wirklich einem von beidem zuordnen, denn sie sind we-
der klassische Wellen noch klassische Teilchen. Sie verhalten sich irgendwie
ganz anders, als alles, was wir aus unserer „normalen, klassischen Welt“ ge-
wohnt sind. Ihre Regeln unterscheiden sich derartig extrem von den unsri-
gen, dass wir uns regelmäßig mit chronischen Schwierigkeiten konfrontiert
sehen müssen, wenn wir versuchen ihren abstrakten Feldzügen zu folgen.

Sie sind ganz anders als alles, was wir uns mit unserem beschränkten, klas-
sischen Horizont vorzustellen vermögen. Sie sind weder makroskopische

Teilchen noch makroskopische Wellen – sie sind Quantenobjekte. Und mit

Hilfe dieses Buchs wollen wir versuchen, ihren seltsamen Verhaltensweisen
auf die Spur zu kommen und ein klein wenig über ihren wundervollen und
geheimnisvoll faszinierenden Charakter zu erfahren.

xx

2

Die Herkunft

des Planckschen Wirkungsquantums
xx

18

2 Die Herkunft des Planckschen Wirkungsquantums

Woher kommt die Quantenhypothese?

Vor 1900 gab es in der klassischen Physik ein kleines, unwichtig scheinen-
des, aber doch nicht vernachlässigbares Problem in der Thermodynamik:

Man stelle sich hierzu einen idealen schwarzen Körper vor, welcher keiner-
lei elektromagnetische Strahlung reflektiert, sondern eben gerade jegliche

Strahlung absorbiert, die auf ihn trifft. Ein solcher Körper wird ein Spek-
trum elektromagnetischer Strahlung emittieren, welches nur von seiner

Temperatur und nicht von dem Material, aus dem er besteht, oder sonsti-
gen anderen Einflüssen abhängt. Diese Strahlung nennt man Schwarzkör-
perstrahlung oder auch Hohlkörperstrahlung.

Eine Möglichkeit, einen schwarzen Körper praktisch nachzustellen, ist,
einen Hohlkörper zu nehmen (z. B. eine hohle Metallkugel) und durch ein
kleines Loch elektromagnetische Strahlung hineinzuführen. Die Strahlung
wird nun von den Innenwänden so lange reflektiert, bis sie vom Körper
absorbiert wird und zu einer Temperaturerhöhung desselben führt. Nun
kann man die Spektralverteilung eines schwarzen Körpers, d. h. die spezi-
fische Leistung der elektromagnetischen Strahlung einer bestimmten Wel-
lenlänge, die pro Fläche abgestrahlt wird, sowohl theoretisch berechnen als
auch experimentell (z. B. über Messungen an einer oben erwähnten Metall-
kugel) ermitteln.

Das in Abb. 2.1 dargestellte Diagramm stellt beispielhaft einige verschie-
dene Spektralverteilungsfunktionen von schwarzen Körpern unterschied-
licher Temperatur dar. Eingetragen sind hier die Werte der pro Wellenlänge
abgestrahlten Leistung P pro Fläche (spezifische Ausstrahlung) der elek-

W
λ
m

Abb. 2.1. Spektralverteilungsfunktionen schwarzer Körper unterschiedlicher Tem-
peraturen
xx

2 Die Herkunft des Planckschen Wirkungsquantums

19
tromagnetischen Strahlung über deren Wellenlänge λ. Diese Werte können
experimentell ermittelt werden.

Als man jedoch Experiment und Theorie dieser Hohlraumstrahlung
verglich, fiel auf, dass sie sich widersprachen. Die frühere Theorie besagt
nämlich, dass die Leistung P der Strahlung umgekehrt proportional zur
vierten Potenz der Wellenlänge λ sei, da die zu Grunde liegende Gleichung,
das Rayleigh-Jeans-Gesetz,

P(λ; T) = 8 πk B T ,
λ

(2.1)

4
lautet, wobei k B die Bolzmannkonstante ist, deren Wert ca. 1 , 38·10−23 J be-K
trägt, und T die Temperatur des schwarzen Körpers in Kelvin darstellt. Das
bedeutet, die Spektralverteilung müsste derartig aussehen, dass mit sin-
kender Wellenlänge die Leistung der elektromagnetischen Strahlung stetig
ansteigt und mit λ → 0 die abgestrahlte Leistung P gegen unendlich gehen
müsste.

Im Klartext heißt dies allerdings, jeder Köper, welcher eine Temperatur
oberhalb des absoluten Nullpunkts von 0 K (≈ −273 °C) besitzt, müsste
unendlich viel Energie in Form von elektromagnetischer Strahlung emit-
tieren. Das war natürlich ein extremer Widerspruch zu der experimentell
ermittelten Spektralverteilung, bei der im Bereich λ → 0 die Leistung P
ebenfalls gegen null geht (siehe Abb. 2.1). Das Phänomen der offensicht-
lich falschen theoretischen Voraussage wird als Ultraviolettkatastrophe be-
zeichnet.

Wie konnte die Ultraviolettkatastrophe gelöst werden?

Kurz vor Anbruch des neuen Jahrhunderts sollte Max Planck auf der
in der Historie der Quantentheorie wohl bedeutendsten Konferenz am

14. Dezember 1900 die Geburtsstunde der Quantenphysik einläuten, um
sich damit zum Vater der Quantentheorie zu machen. Er konnte das Pro-
blem jener prekären Ultraviolettkatastrophe der Spektralverteilung der

Schwarzkörperstrahlung lösen, indem er genialerweise eine völlig neue

Strahlungsformel aufstellte.

Nebenbei sei kurz bemerkt, dass Planck selbst interessanterweise seine

Formel nur als einen „Kunstgriff “ bezeichnete, als eine künstliche Mo-
difikation der klassischen Strahlungsformel, um die theoretische Spek-
tralverteilungsfunktion der experimentell ermittelten anzupassen. Er be-
tonte diesbezüglich oft, er habe diese Lösung erst gefunden, nachdem
xx

20

2 Die Herkunft des Planckschen Wirkungsquantums
er sich zu einem „ Akt der Verzweiflung“ gezwungen sah. Umso famoser,
dass Plancks Strahlungsformel tatsächlich durch ihre neuartige Quanten-
hypothese die experimentellen Ergebnisse innerhalb der (überaus winzi-
gen) Messungenauigkeiten exakt zu beschreiben vermag.

Dieses revolutionäre Gesetz, welches ihm zu Ehren schließlich Planck-
sches Strahlungsgesetz genannt wurde, lautet nun
hν

P(ν; T) = 8 πν 2

.

(2.2)

c 3

(e hν/k B T − 1 )

Doch momentan wollen wir uns nicht mit der langen und mühseligen

Herleitung und dem genaueren Aufbau dieser Strahlungsformel auseinan-
der setzen, geht es uns doch aktuell vor allem um Plancks fundamentale

Neuerung – die revolutionäre Quantenhypothese per se.

Das Bahnbrechende an dieser von ihm erdachten Gleichung (2.2) war
nämlich, dass sie im Gegensatz zur klassischen Herangehensweise eine
quantenhafte Emission und Absorption der elektromagnetischen Strahlung
im Inneren des Schwarzkörpers annahm. Demnach sollte die Wärmeener-
gie des Hohlraums von den Wänden immer in kleinsten Portionen, den
so genannten Quanten, die so etwas wie kleine „Energiepakete“ darstel-
len, von den Wänden des Hohlraums aufgenommen und abgegeben wer-
den. Die Energie eines jeden solchen Quants musste Plancks Hypothese
entsprechend von der Frequenz ν und einer Konstanten, dem später als

Planckschem Wirkungsquantum bezeichneten Faktor h = 6 , 626 · 10−34 Js, abhängig sein. So ergibt sich die Energie eines Quants der elektromagnetischen Strahlung Plancks Quantenhypothese entsprechend als

E = h · ν .

(2.3)

Planck selbst konnte seinerzeit schon einen bemerkenswert genauen

Wert für h angeben. Dazu assimilierte er sein neu gefundenes Plancksches

Strahlungsgesetz (2.2) über eine passende Größenwahl der Konstanten h
den durch Versuche erhaltenen experimentellen Messdaten. Später konnte
dann der Wert des Planckschen Wirkungsquantums z. B. über den Ver-
suchsaufbau zum photoelektrischen Effekt mit h = E/ν noch wesentlich
präziser ermittelt werden, wie wir noch in Kap. 3 sehen werden.

Wovon ist der Energiebetrag eines Lichtquants abhängig?

Wenn wir also im Folgenden von Quanten oder Lichtquanten sprechen, so
handelt es sich dabei nach Gleichung (2.2) stets um „Energiepäckchen“ der

Größe hν, so wie es die exakte Strahlungsformel Plancks fordert.

xx

2 Die Herkunft des Planckschen Wirkungsquantums

21

Nun ist uns aus Kap. 1 die für Wellen allgemein gültige Beziehung
c = νλ

(2.4)

bekannt, nach der die Ausbreitungsgeschwindigkeit c einer Welle gleich
dem Produkt aus deren Frequenz ν und ihrer Wellenlänge λ ist. Da die

Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Strahlung c inner-
halb eines bestimmten Mediums konstant ist, nämlich im Vakuum den
bekannten Wert von ca. 300 000 km / s besitzt, kann man die Plancksche

Quantenhypothese (2.2) über Relation (2.4) in

E = h c

(2.5)

λ
umformen, wobei c die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist. An diesen For-
meln (2.2) und (2.5) kann man jetzt wunderbar erkennen, dass die Energie
eines Lichtquants proportional zu seiner Frequenz und umgekehrt propor-
tional zu seiner Wellenlänge ist.

Es gibt des Weiteren noch eine andere interessante Beziehung für die

Energie eines Quants. In der Quantenphysik hat sich für die kleinste Ein-
heit des quantenphysikalischen Spins, einer Art Drehimpuls von Quanten-
objekten, die Abkürzung (gesprochen: „h quer“) für h

2 π eingebürgert. Das
bedeutet

= h ≈ 1 , 055 · 10−34 Js .

(2.6)

2 π

Setzen wir dieses in die Gleichung der Quantenhypothese ein, so er-
halten wir die Relation

E = · 2 πν .

(2.7)

Aus der Analyse der gleichförmigen Kreisbewegung (die wir hier nicht
weiter ausweiten wollen) kommt die Definition der Winkelgeschwindigkeit
ω mit
ω = 2 π ,

(2.8)

T
was bedeutet, dass die Winkelgeschwindigkeit ω die Anzahl der Umdrehun-
gen (im Bogenmaß sind das Vielfache von 2 π) pro Zeit T ist, die für eine

Umdrehung benötigt wird. Da die Umlaufzeit T der Kehrwert der Frequenz
ist, mit der die Kreisbewegung stattfindet, also
ν = 1

(2.9)

T
folgt aus (2.8) und (2.9)

xx

22

2 Die Herkunft des Planckschen Wirkungsquantums
ω = 2 πν ,

(2.10)

und somit über die Einsetzung von (2.10) in (2.7)

E = ω .

(2.11)

Für die Energie eines Quants kennen wir demnach bis jetzt schon die

Beziehungen

E = hν

= hc

(2.12)

λ

= ω.

Diese Gleichungen sollten wir gut im Gedächtnis behalten, denn sie sind
in der Quantenphysik, ja der sprichwörtlich quantisierten Physik, schließ-
lich von absolut elementarer, grundlegender Bedeutung und werden uns
bei unserer Reise durch den Mikrokosmos an nahezu jeder Ecke wieder
über den Weg laufen.

Als interessante Anekdote soll abschließend erwähnt sein, dass Planck
seinerseits diese Energiequantisierung im Mikrobereich (durch die Einfüh-
rung des Faktors h) nur als eine mathematische Hilfskonstruktion ansah,
um die experimentell gefundene Spektralverteilung der Schwarzkörper-
strahlung auch theoretisch berechnen zu können.

Erst 1905 sollte Albert Einstein bei seinen Studien des photoelektri-
schen Effekts erkennen, dass die Energiequantisierung nicht nur die Rolle
einer mathematischen Hilfskonstruktion spielt, sondern eine grundlegende

Eigenschaft der elektromagnetischen Strahlung an sich darstellt.

xx

3

Der photoelektrische Effekt
xx

24

3 Der photoelektrische Effekt

Was ist der photoelektrische Effekt?

Schon vor Albert Einstein (1879–1955) war bekannt, dass aus einer Me-
tallplatte, die mit Licht bestrahlt wird, unter Umständen Elektronen aus
dem Metallgitter „geschlagen“ werden können. Dieser Effekt, der 1887 von

Heinrich Hertz entdeckt wurde, wird photoelektrischer Effekt oder auch
kurz Photoeffekt genannt. Im Jahr 1905 schließlich wandte sich Einstein
jenem Phänomen zu, um es wenig später in seiner weltberühmten Arbeit

„Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichts betreffenden heu-
ristischen Gesichtspunkt“ 3 physikalisch zu erklären, war es doch bislang
eine missliche Tatsache, dass zwischen den experimentellen Tatsachen und
den theoretischen Voraussagen der klassischen Wellentheorie der elektro-
magnetischen Strahlung extreme Differenzen klafften.

Der Versuchsaufbau zur experimentellen Messung des Photoeffekts, wie
er schematisch in Abb. 3.1 dargestellt wird, ist dabei prinzipiell relativ
einfach:

Zunächst benötigt man einen Metallring, welcher als Ringanode be-
zeichnet wird, und eine Metallplatte, aus der im Rahmen des Photoeffekts
die Elektronen herausgelöst werden sollen, die daher auch den Namen

Photokathode trägt. Durch die Ringanode wird die elektromagnetische

Strahlung auf die Photokathode gerichtet, so dass die Strahlung eventu-
ell Elektronen herauslösen kann. Hierzu muss jedoch die Energie, welche
benötigt wird, um ein Elektron aus dem Metallverband zu lösen, von der
elektromagnetischen Strahlung aufgewendet werden. Diese Energie wird

Austrittsarbeit W Aus genannt und ist vom Kathodenmaterial abhängig.

Werden nun Elektronen herausgelöst, fliegen diese in Richtung Ringan-
ode, so dass ein Ladungstransport und folglich ein Stromfluss stattfindet.

(Idealerweise sollten sich Photokathode und Ringanode in einem evaku-
ierten Gefäß befinden. Hierfür verwendet man in der Praxis häufig so
genannte Photozellen, luftleere oder -arme Glaskolben, in welche Photo-
kathode und Anodenring eingearbeitet sind.) Dieser elektrische Strom
kann registriert werden, indem Ringanode und Photokathode über ein
zwischengeschaltetes Amperemeter verbunden werden (siehe Abb. 3.1).

Die am Amperemeter gemessene Stromstärke I ist somit ein Maß für die
durch die Strahlung herausgelösten Elektronen. Zur Erinnerung sei noch
schnell wiederholt, dass die Stromstärke I als pro Zeit t fließende Ladung

Q definiert ist, also

Q

I =

.

(3.1)

t

3 publiziert in Annalen der Physik 17 (1905), S. 132–148
xx

3 Der photoelektrische Effekt

25
elektro-
magnetische

Ringanode

Photokathode

Strahlung

A

Amperemeter

Gleichspannungsquelle

Abb. 3.1. Der Versuchsaufbau des 1. Experiments zum Photoeffekt

Die in Abb. 3.1 eingezeichnete Gleichspannungsquelle ist dabei zur

Messung des Photoeffekts nicht zwingend erforderlich, jedoch kann durch
deren Einsatz ein wesentlich größerer Anteil der durch die elektromagne-
tische Strahlung heraus gelösten Elektronen vom Amperemeter registriert
werden, die ansonsten in eine beliebige andere Richtung unbemerkt ent-
kommen würden. Zur rein qualitativen Messung des Photoeffekts ist diese

Spannungsquelle jedoch eigentlich nicht erforderlich.

Was ist das Nichtklassische am Photoeffekt?

1. Experiment:

Nach der klassischen Wellentheorie der elektromagnetischen Strahlung
kann sich die vom Elektron zum Austritt aus dem Metallgitter benötigte

Energie ansammeln bis das Elektron eine ausreichende Energie besitzt,
um zu entkommen. Je nach dem wie stark nun die Intensität der Strahlung
wäre, würde das Elektron nur (entweder länger oder kürzer) auf diese Ener-
giemenge warten müssen. Jedoch sollte eine Herauslösung von Elektronen
aus dem Metallgitter an sich – eine genügend lange Bestrahlungszeitspanne
vorausgesetzt – in jedem Falle möglich sein.

Versuch: Die bei diesem Versuch verwendete Quelle elektromagne-
tischer Strahlung sollte möglichst monochromatisches Licht aus-
senden, was nichts anderes bedeutet, als dass die Strahlung nur aus
elektromagnetischen Wellen (nahezu) einer Frequenz bzw. Wellen-
xx

26

3 Der photoelektrische Effekt
länge bestehen sollte. (Warum dies wichtig ist werden wir an spä-
terer Stelle noch erkennen.)

Nun wird in obigem Versuchsaufbau der Abb. 3.1 die Intensi-
tät der elektromagnetischen Strahlung variiert und dabei die Än-
derung der Stromstärke beobachtet. Diesen Versuch führen wir
mit mehreren verschiedenen Frequenzen der elektromagnetischen

Strahlung nacheinander durch.

Beobachtung: Hierbei müssen wir feststellen, dass überraschen-
derweise erst unterhalb einer bestimmten Grenzfrequenz der elek-
tromagnetischen Strahlung das Amperemeter keinen Stromfluss
anzeigt. Dies bedeutet, es werden keine Elektronen aus der Ka-
thode herausgeschlagen. Erst oberhalb jener Grenzfrequenz wird
eine Stromstärke I angezeigt, die größer als null ist, das bedeutet
erst jetzt können Elektronen herausgelöst werden.

Ferner steigt mit ansteigender Intensität der Strahlung auch die

Stromstärke bzw. die Anzahl der herausgelösten Elektronen. Bei
geringer Intensität der Strahlung dauert das Herauslösen der Elek-
tronen jedoch nicht länger, sondern es geschieht sofort und ohne
jeglichen Zeitverzug.

Auswertung: Das Experiment zeigt uns also, dass die Elektro-
nen erst oberhalb einer bestimmten Grenzfrequenz aus dem Me-
tallgitter herausgelöst werden können, und dies unabhängig von
der Intensität der Strahlung. Ein kontinuierliches Ansammeln von

Energie an den Elektronen ist demnach in der Praxis nicht möglich.

Außerdem geschieht das Herausschlagen der Elektronen ohne

Zeitverzug, welcher hingegen von der klassischen Theorie voraus-
gesetzt wird („Energie ansammeln benötigt Zeit“).

2. Experiment:

Des Weiteren besagt die klassische Theorie, die kinetische Energie der

Elektronen, welche bekanntlich

E kin = 1 mv 2

(3.2)

2
ist, sei von der Intensität der elektromagnetischen Strahlung abhängig: Je
größer die Intensität der Strahlung, desto größer die kinetische Energie der

Elektronen.

Versuch: Um die obige Voraussage der klassischen Wellentheorie
des Lichts experimentell überprüfen zu können, werden wir uns
xx

3 Der photoelektrische Effekt

27
elektro-
magnetische

Ringanode

Photokathode

Strahlung

Amperemeter

Voltmeter

A

V
regulierbare Spannungsquelle

Abb. 3.2. Der Versuchsaufbau des 2. Experiments zum Photoeffekt
eines etwas modifizierten Versuchsaufbaus bedienen (siehe Abb.

3.2). Dazu ersetzen wir die konstante Gleichspannungsquelle aus
dem 1. Experiment durch eine regulierbare Gleichspannungsquelle,
welche wir jedoch mit umgekehrter Polung wieder in den Ver-
suchsaufbau einsetzen. Als nächstes schalten wir ein Voltmeter par-
allel zur Spannungsquelle ein, um die zwischen Ringanode und

Photokathode anliegende Spannungsdifferenz zu ermitteln.

Da die Ringanode nun an den negativen Pol der Spannungs-
quelle angeschlossen ist, werden die anfliegenden, ebenfalls nega-
tiven Elektronen abgebremst. Das durch die angelegte Gegen-
spannung U verursachte, die Elektronen negativ beschleunigende

Potenzial bremst die sich zur Ringanode fliegenden Elektronen um
die Energie

E Brems = e · U

(3.3)

ab. Das bedeutet, die Bremsenergie E Brems ist gleich dem Produkt aus
der Elementarladung e, welche der Ladung des Elektrons entspricht,
und der Spannungsdifferenz U , die zwischen der jetzt positiven (!)

Photokathode und der negativen (!) Ringanode besteht.

Zur Ermittlung der kinetischen Energie der Elektronen soll nun
bei variierender Intensität der Strahlung die Spannung U derart ge-
wählt werden, dass die herausgeschlagenen Elektronen vom elek-
trischen Feld so stark abgebremst werden, dass sie die Ringanode

(knapp) nicht mehr erreichen, dass also das Amperemeter keinen

Stromfluss mehr registriert. Es gilt folglich

0 = E kin − E Brems .

(3.4)

xx

28

3 Der photoelektrische Effekt

Die dafür benötigte Gegenspannung U ∗ ist daher ein Maß für
die kinetische Energie der herausgeschlagenen Elektronen. Diesen

Versuch führen wir mit mehreren verschiedenen Frequenzen der

Strahlung nacheinander durch.

Beobachtung: Die zur vollständigen Abbremsung der Elektro-
nen benötigte Gegenspannung U ∗ verändert sich wider Erwarten
nicht während der Variation der Intensität der Strahlung, ist also
von ihr unabhängig. Jedoch steigt U ∗ bei einer Erhöhung der Fre-
quenz der Strahlung an.

Auswertung: Es zeigt sich also, dass die kinetische Energie der

Elektronen unabhängig von der Intensität der Strahlung sein muss.

Sie hängt von der Frequenz der Strahlung ab: Je größer die Frequenz
der Strahlung, desto größer die benötigte Gegenspannung U ∗, und
desto größer ist somit auch die kinetische Energie der Elektronen.

Folglich sind die Versuchsergebnisse aus dem 1. und 2. Experiment
nicht klassisch erklärbar, da sie den Voraussagen der klassischen Theorie
widersprechen.

Wie löste Einstein diese Widersprüche?

Einsteins bedeutende Leistung bestand nun darin zu bemerken, dass sich
die Versuchsergebnisse der Experimente um den Photoeffekt durch die

Einbeziehung der Quantenhypothese Plancks erklären ließen. Denn wenn
man die elektromagnetische Strahlung als einen Fluss von Lichtquanten,
also einzelnen Energieportionen, annahm, konnte man sich die Ergebnisse
wie folgt erklären.

Zum 1. Experiment:

Zunächst sei geklärt, dass die Intensität I der elektromagnetischen Strah-
lung im Allgemeinen als die Energiemenge E, welche pro Zeiteinheit t
die Fläche A passiert, definiert ist. Es gilt demgemäß

E

I =

,

(3.5)

t · A
wobei in der klassischen Elektrodynamik für ein und dieselbe Frequenz
der Strahlung beliebige, kontinuierlich einteilbare Werte für E denkbar
sind.

xx

3 Der photoelektrische Effekt

29

Ferner geschehen Plancks Quantenhypothese (siehe 2. Lektion) ent-
sprechend Emission und Absorption von elektromagnetischer Strahlung
stets nur in Quanten der Größe

E = hν

(3.6)

oder wie wir gesehen haben über Umformung mittels der Relation c = νλ
auch

E = hc .

(3.7)

λ

Indem nun Einstein den revolutionären Gedanken fasste, elektro-
magnetische Strahlung besäße allzeitig und nicht nur hinsichtlich der

Emissions- und Absorptionsvorgänge eine quantenhafte Natur, läge also
immer in Lichtquanten E vor, konnte er die seltsamen experimentellen

Ergebnisse erklären. Die seiner Theorie nach stets nur in quantisierter

Form existierende Energie der elektromagnetischen Strahlung besteht so-
mit aus einem Strom von Lichtquanten, die Photonen genannt werden.

Weil jedes dieser jeweils unteilbaren Photonen seine Energie immer nur
an ein einziges Elektron in der Photokathode abgeben kann, werden bei
einer höheren Intensität der Strahlung, d. h. mehr Photonen pro Fläche
und Zeit (siehe Formel (3.5)), auch mehr Elektronen herausgeschlagen.

Der Energiebetrag jedes einzelnen Photons ist jedoch natürlich absolut un-
abhängig von der Anzahl der Photonen, die pro Fläche und Zeit auf die

Photokathode prasseln, steht also in keinerlei Zusammenhang mit der ge-
wählten Intensität der elektromagnetischen Strahlung. Der Energiebetrag
eines jeden Photons hängt schließlich einzig und allein von seiner Frequenz

(siehe Formel (3.6)) bzw. seiner Wellenlänge (siehe Formel (3.7)) ab und
von nichts anderem sonst.

Reicht nun diese Energie der ankommenden, einzelnen Photonen auf

Grund ihrer zu geringen Frequenz nicht aus, um die Austrittsarbeit an
den Elektronen zu leisten, können keine Elektronen herausgelöst werden,
gleichgültig wie viele Photonen es auch sind, die pro Fläche und Zeit auf
die Kathode auftreffen, d. h. unabhängig von der Intensität der Strahlung.

Es muss folglich eine bestimmte Grenzfrequenz ν min geben, die durch
ν min = W Aus

(3.8)

h
festgelegt wird, denn damit Elektronen austreten können, muss die Energie
der Photonen mindestens gleich der Austrittsarbeit der Elektronen sein.

Nur oberhalb dieser Grenzfrequenz ist ein Herauslösen der Elektronen und
xx

30

3 Der photoelektrische Effekt
somit ein Messen einer merklichen Stromstärke durch das Amperemeter
überhaupt möglich.

Zum 2. Experiment:

Gehen wir erneut von der Einsteinschen Erweiterung der Planckschen

Quantenhypothese elektromagnetischer Strahlung aus: Trifft ein Photon
der Energie E Photon auf ein Elektron und liegt E Photon betragsmäßig über W Aus, so kann das Elektron aus dem Metallverband herausgeschlagen werden. Was passiert aber mit der Energiedifferenz E Photon − W Aus? Ganz einfach! Die überschüssige Energie des ankommenden Photons wird natürlich
in die resultierende kinetische Energie des Elektrons umgewandelt.

Einstein drückte dies in folgender Gleichung aus, die nach ihm auch

Einsteinsche Gleichung genannt wird:

E kin = hν − W Aus .

(3.9)

Aus ihr geht nun deutlich hervor, dass die kinetische Energie des Elek-
trons nur von der Frequenz, nicht aber von der Intensität der elektroma-
gnetischen Strahlung abhängt. Wird folglich die Frequenz der Photonen im

Experiment erhöht, steigt auch die kinetische Energie der Elektronen. Eine

Erhöhung der Intensität der Strahlung führt hingegen nur zu einer höheren

Anzahl an Photonen pro Fläche und Zeit, nicht aber zu einer Erhöhung der
kinetischen Energie der herausgelösten Elektronen.

Die theoretische Erklärung des photoelektrischen Effekts über die

Quantisierung der elektromagnetischen Strahlung ist somit vollkommen
im Einklang mit den obigen Versuchsbeobachtungen.

Wie lässt sich hierdurch ein Wert für h bestimmen?

Ein weiterer vorteilhafter bzw. dienlicher Nebeneffekt der Experimente
um den photoelektrischen Effekt ist, dass über sie eine Bestimmung des

Planckschen Wirkungsquantums h möglich ist. Denn schaut man sich die

Einsteinsche Gleichung (3.9) noch einmal genau an, entdeckt man ganz
offensichtlich den Aufbau einer Geradengleichung:

E kin = hν − W Aus

(3.10)

y = mx + b .

(3.11)

Trägt man dementsprechend in ein Koordinatensystem mit der Fre-
quenz der elektromagnetischen Strahlung auf der x-Achse und mit der
xx

3 Der photoelektrische Effekt

31
kinetischen Energie der herausgeschlagenen Elektronen auf der y-Achse
die experimentell gefundenen Werte ein, so erhält man eine Gerade. Diese

Gerade besitzt, wie wir durch den Vergleich mit der Geradengleichung

(3.11) erkennen können, die Steigung h und den y-Achsenabschnitt − W Aus.

Ein solches Diagramm, welches aus experimentell ermittelten Werten er-
stellt wurde, ist in Abb. 3.3 dargestellt. Da der y-Achsenabschnitt bei ca.

−3 , 36 · 10−19 J liegt, besitzt demzufolge das bei diesem Versuch ver-
wendete Kathodenmaterial eine charakteristische Austrittsarbeit von ca.

3 , 36 · 10−19 J. Durch ein Wechseln des Kathodenmaterials im Experiment,
woraus in Gleichung (3.10) ein anderes W Aus resultiert, ergibt sich im Dia-
gramm ein anderer y-Achsenschnittpunkt der Geraden, also eine Parallel-
verschiebung des Graphen.

E (10-19 J)

kin

(1014

Hz)

Abb. 3.3. Auswertendes Diagramm zum 2. Experiment

Da die von Einstein zur Erklärung der beim Photoeffekt auftreten-
den Phänomene angewandte Plancksche Quantenhypothese sich auf die

Energie der an der Photokathode auftreffenden Photonen bezieht, dürfte
durch die Umstellung der Quantenhypothese nach h und die im Experiment
gefundenen Versuchsdaten eine Bestimmung der Planckschen Konstante
möglich sein:

h = E Photon .

(3.12)

ν Photon

Zur Berechnung des h-Wertes ist nun nur noch das Wissen über die

Energie der Photonen nötig. Diese ist nun logischerweise gleich der kine-
xx

32

3 Der photoelektrische Effekt
tischen Energie der herausgeschlagenen Elektronen plus der spezifischen

Austrittsarbeit des verwendeten Kathodenmaterials, also

E Photon = E kin + W Aus

(3.13)

und über (3.3) somit

E Photon = e · U∗ + W Aus .

(3.14)

Der experimentell ermittelte Wert für h lässt sich nach (3.12) und (3.14)

folglich über
h = e · U∗ + W Aus
ν

(3.15)

Photon
berechnen. Der auf diese Weise in großen Forschungsinstituten mit teurer

Technik ermittelte Wert des Planckschen Wirkungsquantums liegt unge-
fähr bei 6 , 626 · 10−34 Js.

Durch diese Einsteinsche Erklärung des Photoeffekts über die Auswei-
tung der Quantenhypothese Plancks wurde schlussendlich unausweich-
lich einsichtig, dass das Plancksche Wirkungsquantum und Plancks neue

Quantenhypothese, welche von ihm selbst ja zuerst nur als ein „Kunstgriff “
bezeichnet wurde, eine fundamentalere, elementarere Bedeutung hatte, als
ihr bedauerlicherweise zuvor zugemessen wurde.

xx

4

Das Doppelspaltexperiment
xx

34

4 Das Doppelspaltexperiment

Was ist das Doppelspaltexperiment?

Die verzwickte Frage, ob das Licht aus Teilchen oder Wellen besteht, be-
deutete seit jeher, sowohl für die antike Philosophie als auch die frühen

Naturwissenschaften, ein unlösbares Rätsel. Tatsächlich konnte sie, wie
wir im Detail später noch sehen werden, nicht einmal bis zum heutigen

Tag explizit entschieden werden. Sie war schon immer Gegenstand hefti-
ger Diskussionen und Auslöser leidenschaftlicher Theorienschlachten. Ein
historischer Rückblick auf die zur jeweiligen Zeit vorherrschenden physi-
kalischen Ansichten der Naturwissenschaftler gleicht dabei beinahe einer

Art Tennisspiel der Theorien.

Der 1801 vom englischen Universaltalent Thomas Young (1773–1829)

entworfene Doppelspaltversuch jedoch sollte eine eindeutige Entscheidung
zu Gunsten der Wellentheorie des Lichts bringen. Einer amüsanten Anek-
dote nach, soll Young mehr unbedarft durch Naturbeobachtungen zu der

Idee gekommen sein sich mit der Interferenzfähigkeit des Lichts zu befas-
sen. Als er schwimmende Enten in einem Teich beobachtete, bemerkte er
die sich ungestört überlagernden, durch die sich bewegenden Entenkör-
per verursachten Wasserwellen. Durch eben diese Entdeckung inspiriert,
konzipierte er schließlich sein Doppelspaltexperiment mit Licht.

Vor diesem bedeutenden Experiment war das physikalische Weltbild
maßgeblich durch die erfolgreichen Theorien des Engländers Isaac

Newton (1643–1727) bestimmt, welcher seinerseits durch die Formu-
lierung der klassischen Mechanik einen, wenn nicht den bedeutendsten

Grundstein der klassischen Physik legte und somit in den Kanon der Phy-
sik einging. Er war es auch, der in seinen Abhandlungen über die Optik
die Korpuskulartheorie des Lichts geprägt hatte, mit Hilfe derer er die opti-
schen Gesetze der Brechung und Reflexion erklären konnte. Seiner Theorie
nach sollte das weiße Licht aus verschiedenfarbigen Teilchen, genannt Kor-
puskeln, bestehen. Ein weißer Lichtstrahl stellte folglich einen Fluss von

Korpuskeln dar, der aus Lichtteilchen verschiedenster Farbe besteht.

Zwar existierte zu jener Zeit auch schon eine Wellentheorie des Lichts,
die, wie der niederländische Physiker Christian Huygens (1629–1695)

zeigte, die Brechung und Beugung des Lichts zu erklären vermochte, doch
ließ die außerordentliche Autorität des erfolgreichen (und jähzornigen)

Newton anderen Theorien als seiner eigenen keine Chance in der Fach-
welt, pflegte er sich doch stets bei Fachkollegen gegen andere Meinungen
besserwisserisch durchzusetzen oder, im anderen Extremfall, bei überein-
stimmender Meinung zänkisch erbost den Anspruch zu erheben als erster
xx

4 Das Doppelspaltexperiment

35

Projektionsschirm

Lichtquelle

Doppelspalt

Abb. 4.1. Das Doppelspaltexperiment mit Licht aus der Seitenansicht
die Theorie erdacht zu haben. So kam es, dass Newtons Korpuskulartheo-
rie ca. 100 Jahre nahezu unangefochten Bestand genoss.

Jedoch sollte nun Youngs Doppelspaltexperiment zur neuen Wellen-
theorie des Lichts führen. Jenes überaus wichtige Experiment ist, wie in

Abb. 4.1 dargestellt, folgendermaßen aufgebaut:

Eine Lichtquelle strahlt möglichst monochromatisches, kohärentes Licht
auf einen Doppelspalt. Der Doppelspalt besteht aus einer das Licht abschir-
menden Platte, die zwei schmale Spalte besitzt. Hinter diesem Doppelspalt
befindet sich eine Projektionswand, die zur Versuchsanalyse den Teil des

Lichts auffängt, welcher den Doppelspalt passieren konnte.

Was passiert beim Doppelspaltversuch mit Licht?

Stellen wir uns zunächst vor, bei der Quelle handle es sich erst einmal
nicht um etwas derart Unanschauliches wie Licht, sondern um uns wesent-
lich besser vertraute, handfeste Dinge wie beispielsweise einen möglichst
schlechten Fußballspieler, der Fußbälle (idealerweise) willkürlich und ziel-
los auf einen Doppelspalt schießt, welcher wiederum eine Mauer mit zwei
länglichen Durchbrechungen bzw. Schlitzen sei.

Unter diesen Bedingungen kann man recht leicht sagen, wie die An-
kunftswahrscheinlichkeitsverteilung der Fußbälle aussehen wird: Hinter je-
dem Loch wird sich ein Haufen mit Fußbällen bilden, egal ob nur das
jeweils andere Loch existiert oder nicht. Formeller ausgedrückt gilt für den

Doppelspaltversuch mit Fußbällen demgemäß:

P 1+2 = P 1 + P 2 ,

(4.1)

xx

36

4 Das Doppelspaltexperiment
d. h. die Ankunftswahrscheinlichkeitsverteilung P 1+2 der Fußbälle bei der

Öffnung beider Spalte 1 und 2 ist gleich der Summe der einzelnen An-
kunftswahrscheinlichkeitsverteilungen P 1 bzw. P 2 bei der Öffnung jeweils nur einer der Spalte 1 oder 2.

Natürlich erwarten wir intuitiv nach einer in der Physik üblichen Verall-
gemeinerung die Gültigkeit eben dieser Relation (4.1), auch für Tennisbälle,

Pingpong-Bälle, Murmeln etc., denn schließlich handelt es sich physikalisch
gesehen bei all diesen unterschiedlichen Objektgruppen um prinzipiell
wenig unterschiedliche Dinge.

Einzelspalt:

Handelt es sich bei unserer Quelle nun um Licht, und gehen wir von einer

Teilchenvorstellung des Lichts aus, so erwarten wir, dass auf der Projek-
tionswand eine ähnliche Ankunftswahrscheinlichkeitsverteilung der Pho-
tonen wie bei den Fußbällen besteht.

Der Querschnitt des Doppelspaltexperimentes mit Licht wird hier für
die zwei folgenden möglichen Fälle eines Einzelspalts schematisch darge-
stellt. Die Graphik in Abb. 4.2 zeigt dabei das Doppelspaltexperiment mit
der ausschließlichen Öffnung von Spalt 1, die in Abb. 4.3 zeigt daraufhin
das mit der exklusiven Öffnung von Spalt 2. In beiden Fällen befinden
sich links die Strahlungsquelle, in der Mitte der Doppelspalt und rechts
der Projektionsschirm mit einer üblichen Darstellungsweise der Ankunfts-
wahrscheinlichkeitsverteilung der Photonen.

Spalt 1

P 1

Spalt 2

Abb. 4.2. Die Ankunftswahrscheinlichkeitsverteilung der Photonen bei der aus-
schließlichen Öffnung von Spalt 1
xx

4 Das Doppelspaltexperiment

37

Führen wir also das Doppelspaltexperiment zunächst nur mit geöffne-
tem Spalt 1 durch, wie in Abb. 4.2 zu sehen, müssten wir auf der Projek-
tionswand hinter dem Spalt theoretisch einen hellen Streifen von etwa der

Breite des Spalts beobachten.

Die Durchführung jenes Experiments zeigt uns genau diese erwartete

Ankunftswahrscheinlichkeit P 1 der Photonen, also eine klassische Lichtin-
tensitätsverteilung auf der Photoplatte. Allerdings ist der Streifen auf Grund
eines Beugungseffektes, welcher im Übrigen von Huygens Wellentheorie
des Lichts vorausgesagt wird, augenscheinlich ein wenig nach den Seiten
hin verwaschen bzw. verbreitert. Diese Beugung am Spalt tritt immer dann
auf, wenn die Spaltbreite in der Größenordnung der Wellenlänge der elek-
tromagnetischen Strahlung liegt. Es ergibt sich resultierend für die An-
kunftswahrscheinlichkeitsverteilung der Photonen eine ideale Gaußsche

Glockenkurve.

Hierbei ist natürlich selbsterklärend, dass die Durchführung des Expe-
riments, wenn nur Spalt 2 geöffnet ist, zu demselben Ergebnis hinter Spalt

2 führt. Bei der alleinigen Öffnung von Spalt 2 folgt ebenfalls eine Intensi-
tätsverteilung des Lichts entsprechend einer Gaußschen Glockenkurve, so
wie sie in Abb. 4.3 abgebildet ist.

Spalt 2

Spalt 1

P 2

Spalt 2

Abb. 4.3. Die Ankunftswahrscheinlichkeitsverteilung der Photonen bei der aus-
schließlichen Öffnung von Spalt 2

Doppelspalt:

Unseren Überlegungen bezüglich des Doppelspaltexperiments mit Fußbäl-
len und anderen „päckchenhaften“ Objekten zu Folge dürften wir an dieser

Stelle vermuten, dass die Ankunftswahrscheinlichkeitsverteilung der Pho-
tonen im Doppelspaltexperiment mit Licht bei der Öffnung beider Spalte
xx

38

4 Das Doppelspaltexperiment

1 und 2 gleich der Summe der einzelnen Ankunftswahrscheinlichkeitsver-
teilungen bei der Öffnung jeweils nur einer der Spalte 1 oder 2 ist. Würde
dies doch unzweifelhaft mit der Alltagserfahrung aus den Experimenten
mit Fußbällen und Murmeln etc. übereinstimmen.

Doch die Durchführung des realen Experiments zeigt uns: Dem ist nicht
so!

Projektionsschirm

Lichtquelle

Doppelspalt

Abb. 4.4. Das beim realen Experiment entstehende Interferenzmuster

Die praktische Durchführung des Doppelspaltexperiments mit Licht
zeigt uns eine völlig andere Intensitätsverteilung des Lichts, nämlich eine
solche wie sie in Abb. 4.4 zu sehen ist. Die experimentell ermittelte In-
tensitätsverteilung, welche sich auf dem Projektionsschirm abzeichnet, ist
ein auf den ersten Blick unerklärliches Streifenmuster: Es lässt sich eine
regelmäßige Abfolge von hellen und dunklen Streifen ausmachen. Es muss
demzufolge für den Doppelspaltversuch mit Licht offenkundig

P 1+2 = P 1 + P 2

(4.2)

gelten. Die Photonen, welche durch Spalt 1 gelangen, und jene, welche

Spalt 2 passieren, können nicht einfach auf die Weise addiert werden, wie
dies mit Fußbällen etc. der Fall ist. Der tatsächliche Mechanismus ist offen-
sichtlich subtiler.

Wie lässt sich das Streifenmuster erklären?

Genau genommen ist das Phänomen, dass unter Umständen „ Etwas +

Etwas = Nichts“ sein kann, keineswegs absolut undenkbar. Lässt man z. B.

xx

4 Das Doppelspaltexperiment

39
konstruktive

destruktive

Interferenz:

Interferenz:

+

+

=

=

Abb. 4.5. Das Prinzip der Interferenz: Die Addition der Einzelelongationen führt
zur resultierenden Elongation der Welle
nebeneinander zwei Steine ins Wasser fallen, bilden sich um jeden Stein
konzentrische Oberflächenwellen aus, die sich gegenseitig durchdringen

( interferieren). An den Stellen, an denen nun Wellental und Wellental bzw.

Wellenberg und Wellenberg aufeinander treffen (siehe Abb. 4.5 links), ver-
stärken sich die Auslenkungen von der Nulllinie des Wasserspiegels in ru-
hendem Wasser. Dies nennt man konstruktive Interferenz. Treffen jedoch

Wellenberg und Wellental aufeinander (siehe 4.5 rechts), so löschen sich die

Auslenkungen des Wassers gegenseitig aus, d. h. es wird an jenen Stellen
überhaupt keine Welle registriert. Dies nennt man destruktive Interferenz.

Das Phänomen der Interferenz lässt sich für Wasserwellen demnach
sehr leicht nachvollziehen. Durch weitere Experimente lässt sich nachwei-
sen, dass jede Art von Wellen diese Eigenschaft der Interferenzfähigkeit
besitzt. So interferieren auch die longitudinalen Schallwellen, Wellen auf
einem Seil, Wellen in einem Federwurm usw.

Teilchenobjekte hingegen wie Fußbälle, Pingpong-Bälle, Murmeln und

Ähnliches können nicht interferieren, wie wir oben festgestellt haben. Dem-
nach lässt sich schlussfolgern, dass Interferenzfähigkeit eine Eigenschaft
ist, die ausschließlich Wellen zuzuschreiben ist.

Stellen wir uns also das Licht als Welle vor, können wir sein Verhalten
am Doppelspalt mit Hilfe der Interferenz erklären, die allgemein bei der

Überlagerung von Wellen auftritt:

An den Stellen, an denen Wellental und Wellental bzw. Wellenberg und

Wellenberg aufeinander treffen, tritt konstruktive Interferenz auf, so dass
sich auf dem Projektionsschirm helle Streifen ergeben. An den Stellen,
xx

40

4 Das Doppelspaltexperiment
wo Wellental auf Wellenberg trifft, tritt destruktive Interferenz auf, welche
dunkle Streifen auf dem Projektionsschirm zur Folge haben.

Will man nun die resultierende Elongation y 1+2 (t), also die Auslenkung
von der Ruhelage zur Zeit t, der interferierenden Wellen an einem konkre-
ten Ort x bestimmen, so werden, wie oben schon erwähnt, die Einzelelon-
gationen y 1 (t) bzw. y 2 (t) der Wellen am Ort x unter Berücksichtigung des Vorzeichens addiert (siehe dazu Abb. 4.5). Die resultierende Elongation am

Ort x zur Zeit t ist somit
y 1+2 (x; t) = y 1 (x; t) + y 2 (x; t) .

(4.3)

Für die resultierende Amplitude (= maximale Elongation) am Ort x
ergibt sich somit
y

(x) = y (x) + y (x) .

(4.4)

1+2

1

2

Da die Intensität einer Welle am Ort x als das Amplitudenquadrat

I 1 (x) = y 2 (x)

bzw .

I

(x)

(4.5)

1

2 (x) = y 22
definiert ist, folgt für die Intensität der resultierenden Welle am Ort x aus
den Gleichungen (4.4) und (4.5)

I 1+2 (x) = (y (x) + y (x)) 2 .

(4.6)

1

2

Hieran erkennen wir nun den definitiven Unterschied zwischen der

Wahrscheinlichkeitsverteilung von Teilchenobjekten beim Doppelspaltex-
periment entsprechend (4.1) und der Intensitätsverteilung von Wellen beim

Doppelspaltexperiment nach (4.6), denn für letztere gilt ja, wie wir gerade
gesehen haben, dass die resultierende Intensitätsverteilung I 1+2 der Welle
eben nicht der Summe der einzelnen Intensitätsverteilungen I 1 und I 2 entspricht, also

I 1+2 (x) = I 1 + I 2 = y 2 (x) + y 2 (x) .

(4.7)

1

2

Die Intensitätsverteilung der elektromagnetischen Strahlung ist quan-
tentheoretisch gesehen jedoch nichts anderes als die Ankunftswahrschein-
lichkeitsverteilung P der Photonen. Da Photonen aber (Licht-) Teilchen sind, müsste für sie eigentlich Gleichung (4.1) gelten. Das Experiment zeigt uns
nun, dass wir bei der theoretischen Erklärung dieses Doppelspaltexperi-
mentes ein Wellenmodell des Lichts annehmen müssen, um die gefundene

Intensitätsverteilung berechnen zu können.

xx

4 Das Doppelspaltexperiment

41

Ist Licht also doch eine Welle?

Eine solche Aussage ist problematisch, denn was ein derart unanschauliches
physikalisches Objekt wie die elektromagnetische Strahlung ist, lässt sich
nicht ohne weiteres festlegen. Eindeutig lässt sich jedoch sagen, dass elek-
tromagnetische Strahlung etwas ist, das sich nicht mit unserem klassischen,
makroskopischen „Welle- oder-Teilchen-Modell“ Verständnis beschreiben
lässt.

Es ist nun mal so, dass elektromagnetische Strahlung in bestimmten Ex-
perimenten (z. B. im Doppelspaltexperiment) einen Wellencharakter und
in gewissen anderen Experimenten (z. B. beim photoelektrischen Effekt)

einen Teilchencharakter zeigt. Jedoch sind unsere klassischen Bilder einer

Welle oder eines Teilchens hier nur formale Modelle, sprich Arbeitsmodelle, um etwas zu beschreiben, das sich unserer Alltagserfahrung und Vorstellungskraft derartig entzieht, wie es die Objekte der Mikrowelt nun einmal
tun. Das Licht war schon immer etwas Faszinierendes und wird es nicht zu-
letzt wegen seiner „quantenmechanischen Zwiegespaltenheit“ auch immer
bleiben.

xx

5

Das Doppelspaltexperiment

mit Elektronen
xx

44

5 Das Doppelspaltexperiment mit Elektronen

Kann das Doppelspaltexperiment auch mit Elektronen
durchgeführt werden?

Nachdem wir nun wissen, dass die elektromagnetische Strahlung beim

Doppelspaltexperiment einen Wellencharakter aufzeigt, können wir einmal
untersuchen, was passiert, wenn man anstatt elektromagnetischer Strah-
lung einen Elektronenstrahl, also einen Fluss von „echten Teilchen“ (was
auch immer das sein möge) als Quelle nimmt. Im Grunde muss man hier-
für nur den Versuchsaufbau aus Youngs Doppelspaltexperiment derartig
modifizieren, so dass er auf Elektronen anwendbar ist.

Es stellt sich jedoch heraus, dass dieses Vorhaben in der Praxis unheim-
lich schwierig zu realisieren ist. Und die physikalische Fachwelt war sich
bis Mitte des letzten Jahrhunderts schon fast einig, es werde niemals expe-
rimentell möglich sein. Doch überraschenderweise brachte dies 1957 der
damalige Doktorand Claus Jönsson fertig. Für seine Versuche stellte er

Metallfolien her, welche eine Spaltbreite von ca. 0 , 5 μm (= 0 , 5 · 10−6 m) aufwiesen. Ferner konnte er das Problem lösen, wie sich die sehr schwachen

Detektionsmuster der Elektronen auf dem Projektionsschirm vergrößern
ließen, so dass sie registrierbar wurden.

Was passiert beim Doppelspaltexperiment mit Elektronen?

Der grundsätzliche Aufbau und die Durchführung des Doppelspaltexpe-
rimentes mit Elektronen sind, wie man sich denken kann, in den grund-
sätzlichen Punkten äquivalent zu dem mit elektromagnetischer Strahlung.

Der einzige größere Unterschied beim jetzigen Doppelspaltexperiment mit

Elektronen soll sein, dass der Projektionsschirm aus dem Doppelspaltver-
such mit Licht durch eine Photoplatte ersetzt wird, die durch das Auftau-
chen einer eventuellen partiellen Schwärzung das Auftreffen von einzelnen

Elektronen nachweist:

Einzelspalt:

Eine Elektronenquelle sendet einen Strahl Elektronen auf den Doppelspalt.

Die den Spalt passierenden Elektronen werden auf der Photoplatte detek-
tiert (siehe Abb. 5.1). Die Durchführung des Experiments bei der Öffnung
des Spalts 1 zeigt eine Ankunftswahrscheinlichkeitsverteilung, die, wie er-
wartet, direkt hinter dem Spalt sehr hoch ist und zu den Seiten hin gerin-
ger wird. Öffnet man wiederum nur Spalt 2, erhalten wir erneut dieselbe
xx

5 Das Doppelspaltexperiment mit Elektronen

45

Spalt 1

P 1

Spalt 2

Abb. 5.1. Die Ankunftswahrscheinlichkeit der Elektronen bei der ausschließlichen

Öffnung von Spalt 1

Ankunftswahrscheinlichkeitsverteilung auf der Photoplatte, aber diesmal
logischerweise hinter Spalt 2.

Dabei fällt natürlich sofort auf, dass die Ankunftswahrscheinlichkeits-
verteilung der Elektronen auf der Photoplatte der von elektromagnetischer

Strahlung qualitativ sehr ähnlich ist. Dies sollte jedoch noch keinen Grund
zur Besorgnis darstellen, denn wie wir in Kap. 7 bei unserer Diskussion
der Heisenbergschen Unschärferelation noch sehen werden, lässt sich die-
ses Phänomen der Beugung am Spalt auch quantenmechanisch mit dem

Teilchenmodell erklären.

Doppelspalt:

Geht man nun einen Schritt weiter und öffnet beide Spalten, erwarten
wir eine Ankunftswahrscheinlichkeitsverteilung der Elektronen, die der

Summe der einzelnen Ankunftswahrscheinlichkeitsverteilung P 1 bzw. P 2
entspricht, also

P 1+2 = P 1 + P 2 ,

(5.1)

denn, wie in Kap. 4 schon behandelt, muss man bei Teilchenobjekten, wie

Elektronen, davon ausgehen, dass sich hinter dem Spalt zwei „Haufen“
aus Teilchen bilden, welche aus der Summe der beiden „Einzelhaufen“
bestehen.

Leider zeigt uns das Experiment wieder einmal: Dem ist nicht so! Anstatt
der erwarteten Ankunftswahrscheinlichkeitsverteilung der Elektronen, wie
sie in Abb. 5.2 dargestellt ist, erhalten wir wieder ein Interferenzmuster, so
xx

46

5 Das Doppelspaltexperiment mit Elektronen

Spalt 1

Spalt 2

P 1+2

Abb. 5.2. Die erwartete Ankunftswahrscheinlichkeit der Elektronen bei der Öff-
nung beider Spalte
wie es beim Doppelspaltexperiment mit elektromagnetischer Strahlung der

Fall war. Daher gilt auch für den Doppelspaltversuch mit Elektronen:

P 1+2 = P 1 + P 2 .

(5.2)

Folglich ist es gewiss unmöglich, das beim Doppelspaltexperiment
mit Elektronen erhaltene Interferenzmuster mit einem Teilchenmodell des

Elektrons zu erklären, da das Teilchenmodell eine vollkommen differie-
rende Aussage über die resultierende Ankunftswahrscheinlichkeitsvertei-
lung der Elektronen auf der Photoplatte vorgibt, als es experimentell der

Fall ist. So muss man sich wohl oder übel mit dem Gedanken anfreun-
den, dass das Elektron unter bestimmten Bedingungen auch durch ein

Wellenmodell beschrieben werden kann bzw. werden muss, denn eine an-
dere Erklärungsmöglichkeit, die das Teilchenmodell des Elektrons aufrecht
erhalten könnte, gibt es offenkundig nicht. Eine Deutung des Versuchser-
gebnisses im Rahmen eines Wellenmodells des Elektrons hingegen kann
das beobachtete Interferenzmuster wie folgt erklären: Das Streifenmuster,
welches auf der Photoplatte zu sehen ist, entsteht durch die konstruktive
bzw. destruktive Interferenz der Elektronen-Wellen.

xx

5 Das Doppelspaltexperiment mit Elektronen

47

Könnte man sich das Streifenmuster nicht auch anders erklären?

Nun könnte man aber beispielsweise Folgendes einzuwenden haben: Elek-
tronen-Welle hin oder her. Im Grunde genommen könnte man sich doch
auch vorstellen, dass die Elektronen (weiterhin aus dem Teilchenmodell
betrachtet) untereinander hinter dem Doppelspalt irgendwie wechselwir-
ken, so dass sie nur an bestimmten Orten, nämlich den später dunklen

Streifen der Photoplatte, auftreffen, d. h. wenn ein Elektron durch Spalt 1
fliegt und ein anderes Elektron bemerkt, welches aus Spalt 2 kommt, so
könnten sie sich doch irgendwie absprechen (z. B. durch Wechselwirkung
über irgendwelche Austauschteilchen) nur an besagten Orten detektiert zu
werden. Wäre eine solche Deutung nicht auch möglich?

Rein theoretisch gesehen könnte man so wahrhaftig das Interferenz-
muster erklären und gleichzeitig das Teilchenmodell des Elektrons auf-
rechterhalten. Deshalb werden wir im Folgenden überprüfen, ob sich diese

Hypothese mit experimentell ermittelten Daten verifizieren lässt. Es ist
nämlich experimentell möglich die Intensität der Elektronenquelle derart
zu minimieren, dass sich zu jedem beliebigen Zeitpunkt t jeweils nur ein
einziges Elektron innerhalb der gesamten Versuchsanlage befindet, das be-
deutet jedwede Interaktion zwischen Elektronen, die aus Spalt 1 kommen,
und denen, die durch Spalt 2 fliegen, ist somit unterbunden. Ein Elektron,
welches durch Spalt 1 fliegt, kann also nicht wissen, dass der andere Spalt 2
auch offen ist (oder überhaupt existiert) und muss somit entsprechend der

Ankunftswahrscheinlichkeitsverteilung, welche beim Einzelspalt auftritt,
auf der Photoplatte auftreffen.

Lassen wir also ein solches Experiment eine ganze Weile laufen und
betrachten danach den Projektionsschirm, müssten wir eine Ankunfts-
wahrscheinlichkeitsverteilung entdecken, welche nun exakt der Summe
der einzelnen Ankunftswahrscheinlichkeitsverteilung aus den ca. 50 % der

Elektronen, die durch Spalt 1 flogen, bzw. aus den anderen ca. 50 %, die

Spalt 2 passierten, entspricht. Oder anders ausgedrückt:

P 1+2 = P 1 + P 2 ,

(5.3)

denn jedes einzelne Elektronen-Teilchen kann jeweils nur durch einen Spalt
fliegen, und ist somit außer Stande von der Existenz des anderen Spaltes
zu „wissen“. So „denkt“ jedes einzelne Elektron, es flöge durch einen Ein-
zelspalt, und muss deshalb auch die für den Einzelspalt charakteristische

Ankunftswahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Projektionsschirm hinter-
lassen. Wir gehen demnach davon aus, die Ankunftswahrscheinlichkeits-
xx

48

5 Das Doppelspaltexperiment mit Elektronen
verteilung P 1+2 (siehe Formel (5.3)), wie sie durchgestrichen in Abb. 5.2 zu
sehen ist, auf dem Projektionsschirm zu erblicken.

Aber wie zu erwarten war, liegen wir mit unserer Hypothese wieder
einmal völlig falsch: Die experimentelle Durchführung des Doppelspaltex-
periments zeigt uns sogar bei der Anwendung von einzelnen Elektronen
ein Interferenzmuster.4 Hieraus ergeben sich diverse Fragen: Wie kann das
nur sein? Die einzelnen Elektronen müssen sich doch für einen der beiden

Spalte entscheiden. Doch wenn sie nur durch einen Spalt fliegen, wie kann
dann dabei ein Interferenzmuster entstehen? Da müssten sie sich ja irgend-
wie entzweiteilen und durch beide Spalte gleichzeitig gehen, um dahinter
mit sich selbst zu interferieren, oder?

Das Problem dabei ist jedoch, dass Elektronen unteilbar sind. Würde
man sich in einem weiterführenden Gedankenexperiment eine höhere An-
zahl von Doppelspalten vorstellen, die hintereinander angeordnet sind,
so müsste man mit der obigen „Elektronenteilungs-Hypothese“, wenn
man den Projektionsschirm geschickt platziert, auch Viertel-, Achtel- oder

Sechzehntel-Elektronen-Teilchen detektieren können. So etwas hat bis jetzt
aber noch kein experimenteller Physiker beobachten können. Elektronen
sind einfach unteilbare Quanten.

Muss das Elektron nun doch als Welle angesehen werden?

Bei der theoretischen Erklärung des Doppelspaltexperiments mit Elektro-
nen bleibt uns also keine andere Wahl, als der Tatsache ins Auge zu blicken,
dass das Elektron als Welle beschrieben werden muss. In Kap. 4 haben wir
bereits überlegt, wie die Intensitätsverteilung beim Doppelspaltversuch mit
elektromagnetischer Strahlung zu berechnen ist. Wir wissen also, dass die
resultierende Intensität an einem beliebigen Ort x gleich dem Quadrat der

Summe der Amplituden der Einzelwellen ist, also

I 1+2 (x) = (y (x) + y (x)) 2 .

(5.4)

1

2

Um nun die Interferenz der Elektronen am Doppelspalt mathematisch
zu beschreiben, müssen wir analog vorgehen. Der einzige, sich hierbei er-
gebende, qualitative Unterschied ist, dass wir keine Intensitäten von realen

Wellenbewegungen (wie z. B. bei Wasserwellen) berechnen, sondern die

4 Wer jetzt schon nahe der Verzweiflung ist, der gedulde sich noch ein wenig, in

Kap. 7 kommt es nämlich noch besser ;-)

xx

5 Das Doppelspaltexperiment mit Elektronen

49
rein theoretische, mathematische Ankunftswahrscheinlichkeit der Elektro-
nen.

Was soll man allerdings unter der Amplitude einer Elektronen-Welle
verstehen? Nun, die Amplituden y (x) bzw. y (x) der realen Wellen aus

1

2

Gleichung (5.4) werden in der Quantenmechanik einfach als Wahrschein-
lichkeitsamplitude bezeichnet, eine Bezeichnung, die auf den Quanten-
mechaniker Max Born (1882–1970) zurückgeht. Wir werden dafür ein-
fach das Symbol a (für Amplitude) verwenden. So erhalten wir für die

Wahrscheinlichkeitsverteilung der Elektronen auf dem Projektionsschirm
in Analogie zu Gleichung (5.4)

P 1+2 (x) = (a 1 (x) + a 2 (x)) 2 .

(5.5)

Mit Hilfe dieses Wellenmodells des Elektrons wird es sogar möglich, das
genaue Aussehen des Interferenzmusters, d. h. die Breite und Position der

Streifen auf der Photoplatte zu berechnen.

Interessanterweise entdeckte schon 1923 der französische Physiker

Louis de Broglie: Die bei seinen Beugungsexperimenten mit Elektro-
nen an Kristallgittern beobachteten Beugungsmuster ließen sich mit einem

Wellenmodell des Elektrons erklären. Über die Auswertung der Beugungs-
experimente und seiner Formel, der so genannten de-Broglie-Wellenlänge
λ = h = h ,

(5.6)

p
mv
nach der die Wellenlänge eines Teilchens gleich dem Planckschen Wir-
kungsquantum geteilt durch dessen Impuls ist, konnte er einen ersten Wert
für die Wellenlänge des Elektrons errechnen.

Und nicht gerade zufällig stimmt die über die wellentheoretische

Auswertung des Doppelspaltexperiments mit Elektronen gefundene Wel-
lenlänge des Elektrons mit derjenigen aus de Broglies Berechnungen
überein. Wohlgemerkt werden diese den Elektronen zugeordneten Wahr-
scheinlichkeitsamplituden und Wellenlängen jedoch nach der Wahrschein-
lichkeitsinterpretation der Quantenmechanik durch Max Born nicht als
reale Eigenschaften von Elektronen angesehen, so wie dies bei der Beschrei-
bung der klassischen Wasserwellen der Fall ist. Sie sind eben nur Teil der
formalen Modelle, welche wir verwenden müssen, um die Ergebnisse der

Experimente theoretisch vorausberechnen zu können.

xx

50

5 Das Doppelspaltexperiment mit Elektronen

Welche Schlüsse muss man aus dem Ausgang
des Experiments ziehen?

Auf Grund dieser Tatsachen müssen wir unseren vorläufigen Begriff des

Welle-Teilchen-Dualismus der elektromagnetischen Strahlung zumindest
auch auf das Elektron erweitern. Denn ebenso wie das Photon muss das

Elektron, wie wir nun wissen, in bestimmten Experimenten (z. B. den Ver-
suchen Joseph Thomsons) mit dem Teilchenmodell und in gewissen an-
deren Experimenten (z. B. dem Doppelspaltversuch oder in gewissen Beu-
gungsversuchen) mit dem Wellenmodell beschrieben werden.

Genau genommen ist der Begriff des Welle-Teilchen-Dualismus jedoch
noch etwas prekärer. Das eigentliche Problem ist nämlich, dass die Elektro-
nen beim Doppelspaltexperiment, also innerhalb ein und desselben Ver-
suchs, sowohl Teilchen- als auch Wellencharakter aufzeigen. So muss die

Interferenzfähigkeit der Elektronen am Doppelspalt mit dem Wellenmo-
dell beschrieben werden, die Tatsache aber, dass immer nur einzelne, ganze

Elektronen detektiert werden, lässt auf einen Teilchencharakter schließen.

Mit diesem Problem, welches übrigens einen ergiebigen Gesprächsstoff für
zahlreiche Diskussionen zwischen Bohr und Einstein lieferte, werden wir
uns in Kap. 8 und 9 eingehender beschäftigen.

xx

6

Der Compton-Effekt
xx

52

6 Der Compton-Effekt

Was versteht man unter dem Compton-Effekt?

Nachdem Einstein 1905 das Teilchenmodell des Lichts wieder zum Leben
erweckt hatte, fand die Theorie, dass die elektromagnetische Strahlung aus

Photonen besteht, durch die Entdeckung des Compton-Effekts eine erneute
experimentelle Bestätigung.

Im Jahre 1923 führte der Amerikaner Arthur Compton (1892–1962)

Streuversuche mit Röntgenstrahlung an Graphit durch (siehe Abb. 6.1).

Dabei richtete er kohärente Röntgenstrahlung auf einen Graphitblock und
untersuchte die Wellenlänge der daran gestreuten Röntgenstrahlung. Bei
seinen Versuchsbeobachtungen stellte Compton jedoch überraschender-
weise fest, dass sich die Wellenlänge der gestreuten Röntgenstrahlung in

Abhängigkeit vom Streuwinkel ϕ änderte:

Zählrohr
primäre
gestreuter

Röntgenstrahlung

Röntgenstrahl

Graphit

Abb. 6.1. Schematischer Aufbau der Streuversuche Comptons

Der Anteil der Strahlung, welcher hinter dem Streuobjekt ohne Ablen-
kung geradlinig, exakt in Richtung des eingehenden Röntgenstrahls weiter
verlief, änderte seine Wellenlänge nicht.

Bei den Strahlungsanteilen allerdings, die in einem wesentlichen Winkel
am Graphitblock gestreut wurden, änderte sich die Wellenlänge in der Hin-
sicht, dass die gemessene Wellenlänge λ der gestreuten Strahlung wesent-
lich größer als die Wellenlänge λ der eingehenden Röntgenstrahlung war.

Es stellte sich nun die Frage, wie diese Verringerung der Frequenz des

Röntgenlichts zu Stande kam. Compton erkannte, dass sich dieses Phäno-
men mit einem Teilchenmodell der elektromagnetischen Strahlung leicht
als einen elastischen Stoß von Röntgenphotonen mit locker gebundenen

Elektronen aus dem Graphitblock erklären ließ. Da die Photonen hierbei
nach den Gesetzen für den elastischen Stoß einen Teil ihrer Energie auf die

Elektronen übertragen und folglich nach dem Stoß eine geringere Ener-
gie aufweisen, müssen die Photonen nach dem Stoß, im Einklang mit der
xx

6 Der Compton-Effekt

53

Quantenhypothese Plancks und der Photonen-Theorie Einsteins, eine
verminderte Frequenz bzw. eine vergrößerte Wellenlänge aufweisen.

Da die Bindungsenergie von Elektronen an Atome in der Regel nur ei-
nige eV beträgt, kann diese zum Herauslösen der Elektronen benötigte Io-
nisationsenergie beim Beschuss mit den sehr energiereichen Röntgenpho-
tonen vernachlässigt werden (bei einer Wellenlänge von λ = 7 , 11 · 10−11 m besitzen Röntgenphotonen eine Energie von E = 17 , 4 · 103 eV). Die Elektronen im Graphitblock können also als nahezu frei angesehen werden. Das
bedeutet, praktisch der gesamte Energieübertrag des Photons auf das Elek-
tron wird in dessen resultierende kinetische Energie umgewandelt. Hierbei
gelten natürlich der Impuls- und der Energieerhaltungssatz:

−

→
p Photon + −

→
p Elektron = −

→
p

+ −

→
p

(6.1)

Photon

Elektron
bzw.

E Photon + E Elektron = E

+ E

.

(6.2)

Photon

Elektron

Die Geschwindigkeit der leicht gebundenen Elektronen vor dem Stoß ist
im Vergleich mit der extrem hohen Lichtgeschwindigkeit der Photonen
vernachlässigbar gering. Deshalb können im Folgenden die Elektronen vor
dem Streuprozess als nahezu ruhend angenommen werden.

Wie lässt sich die Wellenlängenänderung berechnen?

Es wäre nun interessant zu wissen, wie sich die Wellenlänge der eingehen-
den Röntgenstrahlung nach der Streuung an den quasifreien Elektronen
des Streukörpers in Abhängigkeit vom Streuwinkel ϕ ändert.

Gesucht ist zunächst einmal der Impuls eines jeden Photons. Die Gleich-
setzung der uns aus Kap. 2 bekannten Quantenhypothese Plancks

E = hν ,

(6.3)

welche die Energie eines Photons in Abhängigkeit von seiner Frequenz
angibt, mit der Relation der Energie-Masse-Äquivalenz Einsteins

E = mc 2

(6.4)

aus seiner speziellen Relativitätstheorie, liefert durch die Auflösung nach
m die dynamische Masse des Photons:

m Photon = hν .

(6.5)

c 2
xx

54

6 Der Compton-Effekt

Um den Impuls ( p = mv) eines Photons zu erhalten, multiplizieren wir
nun diese Photonenmasse mit dessen Ausbreitungsgeschwindigkeit c:

p Photon = m Photon · c = hν

(6.6)

c
und über die Relation c = νλ folgt somit aus (6.6)

p Photon = hν = h .

(6.7)

c
λ

Schauen wir uns Abb. 6.2 noch einmal genau an, so sehen wir, dass
die vektorielle Addition des Photonenimpulses nach dem Stoß mit dem
resultierenden Elektronenimpuls gleich dem Impuls des ankommenden
primären Photons ist. Dies ist eine einleuchtende Folge des Impulserhal-
tungssatzes. Um nun den Impuls des Elektrons nach dem Stoß zu erhalten,
wenden wir den Kosinussatz ( a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc · cos α) auf das obere Dreieck des Impulsparallelogramms in Abb. 6.2 an. Demnach folgt für den
resultierenden Impuls des Elektrons nach dem Stoß
p2

= p 2

+ p2

− 2 p

· cos ϕ .

(6.8)

Elektron

Photon

Photon

Photon pPhoton

Durch das Einsetzen der Photonenimpulse aus Gleichung (6.7), wobei
die Wellenlänge der gestreuten Photonen nur noch λ ist, erhalten wir
h h
p2

= h 2 + h 2 − 2

· cos ϕ .

(6.9)

Elektron
λ 2
λ2
λ λ
rp p
rp e
rpp

rpp

rp e

Abb. 6.2. Impulsbetrachtung bei der Compton-Streuung eines Röntgenphotons an
einem freien Elektron
xx

6 Der Compton-Effekt

55

Kommen wir nun auf die Diskussion des Energieerhaltungssatzes (6.2)

zurück. Durch Auflösen der Gleichung (6.2) nach E bekommen wir
e

E = E

.

(6.10)

e
p + E e − Ep

Die Energie des Photons ist bekanntermaßen durch die Plancksche

Quantenhypothese (6.3) gegeben, wobei die Frequenz nach dem Stoß nur
noch ν ist. Die Energie des ruhenden Elektrons wird durch die Gleichung
der Energie-Masse-Äquivalenz (6.4) beschrieben. Die Energie E e des Elek-
trons nach dem Stoß ist uns jedoch unbekannt. Folglich erhalten wir für
die Energie des Elektrons nach dem Stoß die Formel

E = hν + m
e
e c 2 − hν .

(6.11)

Eine Beziehung zwischen dem Impuls und der Energie eines beliebi-
gen Teilchens ist nach der speziellen Relativitätstheorie durch die Energie-

Impuls-Beziehung

E =
p 2 c 2 + m 2 c 4

(6.12)

gegeben.

Für die Energie-Impuls-Beziehung des Elektrons gilt nach der Auflö-
sung der Gleichung (6.12) nach m 2 c 4 demnach

E2 − p2 c 2 = m 2 c 4 .

(6.13)

e
e
e

Setzen wir nun in Relation (6.13) unsere Gleichungen (6.10) für E und
e

(6.8) für p ein, so folgt
e

(E p+ E e− E ) 2− (p 2

+ p2

−2 p

·cos ϕ)c 2 = m 2 c 4 , (6.14)

p

Photon

Photon

Photon pPhoton
e
und über (6.11) und (6.9) somit

(
h 2
h h
hν + m e c 2 − hν ) 2 −

+ h 2 −

·
c 2 = m 2 c 4 .

λ

2
cos ϕ

(6.15)

2
λ2
λ λ
e

N.R.: Es folgt eine Nebenrechnung für den quadratischen Term in (6.15):

(hν + mec 2 − hν ) 2

= h 2 ν 2 + hνmec 2 − h 2 νν + hνmec 2 + m 2 c 4 − m e
ec 2 hν

− h 2 νν − mec 2 hν + h 2 ν2

= h 2 ν 2 + 2 hνmec 2 − 2 h 2 νν + m 2 c 4 − 2 m e
ec 2 hν + h 2 ν2
xx

56

6 Der Compton-Effekt

Nach dem Ausmultiplizieren der linken Gleichungsseite von (6.15) folgt
m 2 c 4 = h 2 ν 2 + 2 hνm
c 4 − 2 m
e
e c 2 − 2 h 2 νν + m 2e
e c 2 hν + h 2 ν2

(6.16)

− h 2 c 2 + h 2 c 2 − h 2 c 2 ·
λ

2
cos ϕ

2
λ2
λλ
und nach der Subtraktion von m 2 c 4 auf beiden Gleichungsseiten und dem
e

Auflösen der Klammer

0 = h 2 ν 2 + 2 hνm e c 2 − 2 h 2 νν − 2 m e c 2 hν + h 2 ν2

(6.17)

− h 2 c 2 − h 2 c 2 + h 2 c 2 ·
λ

2
cos ϕ .

2
λ2
λλ

Aus der Relation für die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen
c = λν

⇔
ν = c

(6.18)

λ
ergeben sich
h 2 c 2 = h 2 ν 2

(6.19)

λ 2
und
h 2 c 2 = h 2 νν .

λλ

(6.20)

Durch das Einsetzen von (6.19) und (6.20) in (6.17) erhalten wir

0 = h 2 ν 2 + 2 hνm e c 2 − 2 h 2 νν − 2 m e c 2 hν + h 2 ν2

(6.21)

− h 2 ν 2 − h 2 ν2 + 2 h 2 νν · cos ϕ
und schließlich

0 = 2 hνm e c 2 − 2 h 2 νν − 2 m e c 2 hν + 2 h 2 νν · cos ϕ .

(6.22)

Die Division der Gleichung (6.22) durch 2 h ergibt

0 = νm e c 2 − hνν − m e c 2 ν + hνν · cos ϕ , (6.23)

durch Ausklammern von m e c 2 bzw. − hνν erhalten wir

0 = m e c 2 (ν − ν ) − hνν ( 1 − cos ϕ) (6.24)

und über Äquivalenzumformung folgt
m e c 2 (ν − ν ) = hνν ( 1 − cos ϕ) .

(6.25)

xx

6 Der Compton-Effekt

57

Die Division von (6.25) durch m e c 2 und νν liefert

(ν − ν ) = h( 1 − cos ϕ).

(6.26)

νν
mec 2

Schreiben wir nun einmal die linke Gleichungsseite in zwei Brüchen, so
erhalten wir
ν
ν

−

= h ( 1 − cos ϕ)

(6.27)

νν
νν
m e c 2
und nach dem Kürzen auf der linken Gleichungsseite von (6.27) folglich

1 − 1 = h (
ν

1 − cos ϕ) .

(6.28)

ν
m e c 2

Die nachfolgende Multiplikation von (6.28) mit c liefert
c − c = h ( 1 − cos ϕ) .

(6.29)

ν
ν
m e c

Da nun bekanntlich cν = λ ist (siehe Formel (6.18)), können wir (6.29)

auch als
λ − λ = h ( 1 − cos ϕ)

(6.30)

m e c
schreiben. Diese Differenz der Wellenlängen λ = λ − λ aus Gleichung (6.30) ist nun nichts anderes als die Wellenlängenänderung, welche durch
die Streuung der Röntgenphotonen an den Elektronen stattfindet. Sie wird

Compton-Verschiebung genannt. Wie man leicht sieht, ist die Änderung der

Wellenlänge der elektromagnetischen Strahlung allein von deren Streuwin-
kel ϕ abhängig, da alle anderen Werte in der Gleichung Konstanten sind.

An Gleichung (6.30) lässt sich des Weiteren gut erkennen, dass bei
einem kleinen Streuwinkel ϕ, bei dem 1 − cos ϕ ≈ 0 ist, die Änderung
der Wellenlänge der Röntgenphotonen nur gering sein kann, bei einem
großen ϕ jedoch, wobei 1 − cos ϕ 0 ist, wird auch die Wellenlängen-
änderung groß. Ein maximales λ würde sich für einen Streuwinkel von
ϕ = 180° ergeben:

λ − λ =
h

2

.

(6.31)

m e c

Diese theoretischen Voraussagen decken sich vollkommen mit den ex-
perimentellen Beobachtungen Comptons.

Die sich speziell bei einem Streuwinkel von ϕ = 90° ergebende Wellen-
längenänderung für die Compton-Streuung an Elektronen bezeichnet man
als die Compton-Wellenlänge λ C:

λ C = h =

6 , 626 · 10−34 Js

= 2 , 424 · 10−12 m . (6.32)

m e c

9 , 11 · 10−31 kg · 3 , 0 · 108 m / s
xx

58

6 Der Compton-Effekt

Warum tritt der Compton-Effekt nicht bei sichtbarem Licht auf?

Man könnte sich an dieser Stelle fragen, warum denn diese Frequenzän-
derung der elektromagnetischen Strahlung bei der Streuung an (quasi-)

freien Elektronen nicht auch im sichtbaren Spektralbereich zu beobach-
ten ist. Schließlich könnte man sich ja auch vorstellen, dass grünes Licht,
welches man auf gewisse Objekte richtet, nach der Streuung z. B. eine rötli-
chere Farbe aufweist, also eine größere Wellenlänge hat. Jedoch können wir
diesen Effekt bei sichtbarem Licht nicht beobachten. Das ist zugegebener-
maßen zunächst ein wenig verwunderlich.

Nun, die Tatsache, dass bei sichtbarem Licht keine merkliche Compton-

Verschiebung auftritt, liegt daran, dass das Massenverhältnis von Elektron
zu Photon in diesem Fall überaus ungünstig ist. Schließlich wissen wir aus
der Betrachtung des idealen elastischen Stoßes, dass der dabei stattfindende

Impulsübertrag auf den Stoßpartner genau dann am größten ist, wenn das

Massenverhältnis exakt 1:1 ist.

So bedarf es der Berücksichtigung, dass die Energie eines Photons des
sichtbaren Lichts ungefähr 2 , 5 eV (bei λ = 5 · 10−7 m) entspricht. Diejenige eines Elektrons hingegen, welche es nach der Energie-Masse-Äquivalenz

(Gleichung (6.4)) besitzt, beträgt den um ganze drei Zehnerpotenzen höhe-
ren Wert von ca. 511 · 103 eV. Daraus ergibt sich ein Massenverhältnis

Photon/Elektron von
m Photon = 1 .

(6.33)

m Elektron

200 000

Als makroskopischen Vergleich dazu könnte man sich ein kleines Stahl-
kügelchen vorstellen, welches gegen eine massive Stahlwand stößt: Es
würde mit nahezu unverändertem Impulsbetrag in die entgegengesetzte

Richtung zurückfliegen, wobei der Impulsübertrag auf die sehr viel schwe-

−

→
rere Stahlwand (−2 p Kugel) angesichts der enormen Masse der Wand wohl
unbedeutend winzig und somit vernachlässigbar klein sein dürfte. Die

Energie des Kügelchens hätte sich dabei so gut wie gar nicht verändert.

Das heißt, um einen nachweisbaren Energieübertrag und somit eine ver-
änderte Wellenlänge der gestreuten Photonen beobachten zu können, darf
das Massenverhältnis Photon/Elektron nicht allzu viele Größenordungen
von 1 entfernt liegen. Und da die von Compton verwendeten Röntgenpho-
tonen eine ähnliche Energie wie ruhende Elektronen besitzen, kann hier
ein messbarer Energieübertrag von Photon zu Elektron stattfinden, was im

Falle des Streuversuchs mit Licht jedoch nicht gegeben ist.

xx

6 Der Compton-Effekt

59

Ist der Compton-Effekt nur mit
einem Teilchenmodell beschreibbar?

Wir haben soeben gesehen, dass sich der Compton-Effekt brillant über ein

Teilchenmodell des Lichts erklären lässt und auf diese Weise eine Berech-
nung der Wellenlängenverschiebung möglich wird. Dass diese Beschrei-
bung des Compton-Effekts über ein Teilchenmodell jedoch die einzige Mög-
lichkeit sei jenen Effekt zu erklären, ist ein weit verbreiteter Irrtum, der sich
von der populärwissenschaftlichen Literatur über zahlreiche Schulbücher
bis hin zur Studienliteratur zieht.

Dabei erkannte schon Compton selbst, dass sich neben der Deutung
des Effekts über das Teilchenmodell des Lichts die auftretende Wellen-
längenverschiebung ebenso gut mit einem reinen Wellenmodell erklären
lässt. In dieser Betrachtungsweise kommt die beobachtete Wellenlängen-
verschiebung über den Doppler-Effekt zu Stande, einem für Wellen charak-
teristischen Phänomen, bei dem durch Relativbewegung von Sender und

Empfänger ein und dieselbe Welle je nach Wahl des Bezugssystems unter-
schiedliche Frequenzen zu haben scheint. Jener Theorie nach resultiert die
beim Compton-Effekt auftretende Wellenlängenänderung λ wie folgt:

Das ruhende Elektron wird von einer auf es auftreffenden elektroma-
gnetischen Welle der Wellenlänge λ auf die Geschwindigkeit v beschleunigt.

Da die Geschwindigkeit des Elektrons gegenüber dem anfänglichen Ruhe-
system nun v ist, es also ein neues Bezugssystem angenommen hat, wird
es, wenn es die elektromagnetische Welle, welche auf es traf, wieder mit
der Wellenlänge λ emittiert, vom Bezugssystem des anfänglich ruhenden

Elekrons aus gesehen entsprechend dem Doppler-Effekt eine Welle der Wel-
lenlänge λ aussenden, wobei λ > λ gilt. Die Wellenlänge der gestreuten Welle ist folglich um einen gewissen Wert λ größer als die der primär
ankommenden Welle.

Mittels dieser wellentheoretischen Beschreibung des Effekts lassen sich
ebenfalls quantitative Aussagen über die Compton-Verschiebung treffen,
die mit den Aussagen der Beschreibungsweise durch das Teilchenmodell
übereinstimmen. Jene wellentheoretische Beschreibung steht daher voll-
kommen gleichberechtigt neben der oben ausführlich dargestellten Be-
schreibung mit Hilfe des Teilchenmodells. Es sei also nochmals ausdrück-
lich darauf hingewiesen, dass sich der Compton-Effekt, entgegen der fälsch-
lichen Darstellung vieler Physikbücher, nicht nur ausschließlich über ein

Teilchenmodell des Lichts verstehen und berechnen lässt, sondern auch
über das vortreffliche, völlig äquivalent verwendbare Wellenmodell.

xx

7

Die Heisenbergsche Unschärferelation
xx

62

7 Die Heisenbergsche Unschärferelation

Was besagt die Heisenbergsche Unschärferelation?

Das Prinzip der Heisenbergschen Unschärferelation stellt wohl eines der
zentralsten und vor allem fundamentalsten Elemente der Quantenmecha-
nik dar. Sie ist für den Quantenphysiker so elementar wie fundierte Anato-
miekenntnisse für den Mediziner. Deshalb wollen wir uns in diesem Kapitel
mit jener überaus wichtigen Ungleichung befassen.

Man stelle sich hierzu ein beliebiges Quantenobjekt, wie beispielsweise
unser bereits lieb gewonnenes Elektron, vor. Wüsste man nun den exakten

Aufenthaltsort x und den genauen Impuls p (also das Produkt aus der Masse m und Geschwindigkeit v) dieses Teilchens, könnte man aus den klassischen Gesetzen der Newtonschen Mechanik die exakte Position dieses Teilchens
zu jedem beliebigen Zeitpunkt ermitteln.

Auf dieser Tatsache basiert eine grundlegende Überlegung des franzö-
sischen Mathematikers und Physikers Pierre Simon de Laplace (1749–

1827), dessen Konzept unter dem Namen Laplacescher Dämon bekannt
wurde: Eine fiktive übermenschliche Intelligenz – nämlich besagter

Dämon –, welche zu nur einem einzigen, beliebigen Zeitpunkt das Wissen
über den genauen Aufenthaltsort und Impuls jedes Teilchens im Universum
hätte, könnte mittels der Newtonschen Gesetze das gesamte Weltgeschehen
in Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft berechnen. Nach diesem deter-
ministischen Weltbild wäre also der Kosmos seit dem Punkt seiner Ent-
stehung vollständig festgelegt. Eigentlich eine an sich simple und logisch
leicht nachvollziehbare Offensichtlichkeit, möchte man meinen.

Da scheint es umso amüsanter, dass der geniale Quantenphysiker

Werner

Heisenberg (1901–1976) diesem klassischen Determinismus
einen Strich durch die Rechnung machte, indem er im Alter von nur 26 Jah-
ren (!) seine überaus revolutionäre Heisenbergsche Unschärferelation auf-
stellte, die einen einschränkenden Bezug zwischen der Ortsunschärfe x
und der Impulsunschärfe p herstellt. Diese revolutionäre, ja beinahe ket-
zerische Gleichung lautet dabei ganz einfach

x · p ≥ .

(7.1)

2

Das Symbol ist dabei wieder nichts anderes, als die schon in Kap. 2 an-
gesprochene Abkürzung für den in quantenmechanischen Formeln häufig
auftretenden Faktor h/( 2 π) der Größe

= h ≈ 1 , 055 · 10−34 Js .

(7.2)

2 π
xx

7 Die Heisenbergsche Unschärferelation

63

Doch im Moment wollen wir uns nicht weiter mit diesem gewissen

Faktor an sich auseinander setzen, sondern uns mehr auf die ungemein
bedeutende Kernaussage dieser Ungleichung konzentrieren: Auf der rech-
ten Seite der Ungleichung (7.1) finden wir einen konstanten Wert vor, der
sich nicht ändern und vor allem niemals null sein kann. Des Weiteren gilt,
dass das Produkt auf der linken Seite der Relation entweder größer oder
gleich diesem bestimmten konstanten Wert sein muss. Dabei bezeichnet
x die Ungenauigkeit (= Unschärfe) des Ortes eines beliebigen Teilchens
und p die Ungenauigkeit seines Impulses, womit gemeint ist, dass sich
das Teilchen irgendwo innerhalb von x aufhält und einen Impuls besitzt,
der innerhalb des Bereichs p liegt.

Wollten wir nun im Sinne des Laplaceschen Dämons die Bahn eines

Teilchens genau berechnen, müssten wir natürlich versuchen, die Werte
x und p möglichst klein werden oder am besten gleich gegen null ge-
hen zu lassen. Dies ist jedoch laut der Heisenbergschen Unschärferelation

(7.1) unmöglich, denn ein kleineres x führt automatisch zu einem grö-
ßeren p, weil das Produkt aus beiden ja unausweichlich mindestens den
konstanten Wert / 2 haben muss. Bei der Minimierung von p ergibt
sich dasselbe Problem wegen des steigenden Wertes für x. Es liegt also
zwischen x und p eine komplementäre Beziehung vor. Die Heisenbergsche Unschärferelation schränkt somit unser Wissen über die Bahnen von

Quantenobjekten grundlegend ein.

Dabei ist von besonderer Wichtigkeit, dass diese Wissensgrenze, laut

Heisenberg et al., nicht auf Grund von technisch begründeten Messun-
genauigkeiten oder unpräzisen Messinstrumenten entsteht, sondern eine
definitive Eigenschaft der Materie im Mikrokosmos selbst darstellt. Ein

Quantenobjekt hat an sich nun einmal keinen bestimmten Aufenthaltsort
bzw. keinen bestimmten Impuls.

Ich bin mir sicher, dass Sie – falls Sie lobenswerterweise eine etwas
kritischere Natur sind – diese Aussage nicht einfach so hinnehmen werden
können. Doch für den Augenblick sehe ich mich leider dazu gezwungen

Ihnen dies einfach mitzuteilen. Momentan müssen Sie es einfach schlucken.

Warum sich moderne Quantenphysiker dieser Tatsache so sicher sind, dass
die Heisenbergsche Unschärferelation eben keine auf Messungenauigkeiten
basierende Fehlerabschätzung ist, sondern eine Eigenschaft der Materie
an sich aufzeigt, und weshalb dies in der Tat eine sehr berechtigte, wohl
reflektierte und experimentell verifizierte Aussage ist, damit werden wir
uns, so verspreche ich, an späterer Stelle, in Kap. 15, noch einmal äußerst
intensiv auseinander setzen.

xx

64

7 Die Heisenbergsche Unschärferelation

Wie kann man sich die Unschärferelation praktisch vorstellen?

In Kap. 5 konnten wir das beim Doppelspaltversuch mit Elektronen auf-
tretende Interferenzmuster und das Beugungsverhalten am Spalt mit dem

Wellencharakter des Elektrons, welcher durch die de-Broglie-Wellenlänge
beschrieben wird, erklären. Doch wie dort schon angedeutet, ist für das

Beugungsverhalten am Spalt die Beschreibung durch das Wellenmodell gar
nicht zwingend notwendig. Es zeigt sich nämlich, dass die Heisenbergsche

Unschärferelation ebenfalls dazu in der Lage ist Beugungseffekte am Spalt
zu erklären, und dies ohne die Verwendung des Wellenmodells!

Stellt man sich ein Elektron vor, das irgendwo im Raum frei herumflie-
gen kann, so wird es mit seinem (mehr oder weniger) bestimmten Impuls
einen Geschwindigkeitsvektor besitzen, der recht konstant ist. Engen wir
die Bahn des Elektrons jedoch ein, indem wir es z. B. durch einen schmalen

Spalt fliegen lassen, wird sein Aufenthaltsort bestimmter, da es sich jetzt
nämlich nur noch innerhalb des Spaltes aufhalten kann. Somit wird aber
sein Impuls unbestimmter und es wird hinter dem Spalt in eine nicht vor-
hersagbare Richtung davonfliegen. Je enger wir den Spalt wählen, d. h. je
kleiner x wird, desto ungewisser sind die Richtung und Geschwindigkeit
mit der das Elektron hinter dem Spalt davoneilt, d. h. desto ungenauer ist
p. Wir sehen also, für die Beschreibung der Beugung am Spalt muss das

Teilchenmodell des Elektrons gar nicht aufgegeben werden, es bedarf nur
einer Erweiterung durch die Unschärferelation.

Ließe sich das Interferenzmuster ebenfalls durch
die Unschärferelation erklären?

Da wir gerade gesehen haben, dass es möglich ist, die Beugungsphäno-
mene von Elektronen am Spalt über die Unschärferelation auch weiterhin
mit einem Teilchenmodell zu erklären, könnte man sich fragen, ob die
beim Doppelspaltexperiment auftretenden Interferenzstreifen ebenfalls in
einem durch die Unschärferelation erweiterten Teilchenmodell ihre Erklä-
rung finden. Dazu müsste man erst einmal feststellen, welchen Weg die
einzelnen Elektronen zwischen Elektronenquelle und Projektionsschirm
nehmen, sprich welchen Spalt sie passieren.

Doch wie lässt sich die Bahn eines Elektrons überhaupt bestimmen?

Nun, ganz einfach: Man schaut hin, oder, um es etwas professioneller zu
formulieren, man richtet elektromagnetische Strahlung auf die möglichen

Aufenthaltsorte (hier also die beiden Spalte) und stellt Detektoren auf, die
xx

7 Die Heisenbergsche Unschärferelation

65
registrieren, in welchem Winkel sie eventuell von den Elektronen abgelenkt
bzw. reflektiert wurde.

Nun ist es aber so, dass man, um ein aussagekräftiges Ergebnis zu erhal-
ten, hierfür elektromagnetische Strahlung mit einer recht geringen Wellen-
länge verwenden muss, denn die Auflösung der „Bilder“, welche wir durch
den Beschuss der durch die Spalte tretenden Elektronen mit elektromagne-
tischer Strahlung erhalten, wird desto deutlicher, je kleinere Wellenlängen,
und somit je höhere Frequenzen die verwendete elektromagnetische Strah-
lung besitzt. Da die Doppelspalte in unserem Experiment sehr nah beiein-
ander liegen, sind wir, wenn wir repräsentative Daten erhalten möchten,
dazu gezwungen kurzwellige Röntgenstrahlung zu verwenden.

1. Experiment:

Führen wir jetzt das uns aus Kap. 5 bekannte Doppelspaltexperiment mit

Elektronen bei einer geringen Intensität der Elektronenquelle durch und
führen eine Liste über den Weg bzw. den Spalt, den das einzelne Elek-
tron jeweils genommen hat. Man spricht hierbei von einer Welcher-Weg-

Information, die wir über die einzelnen Elektronen erfahren. Da wir an
der Versuchsanordnung im Vergleich zu unserem Experiment im weiter
vorne liegenden Kapitel sonst nichts geändert haben, müssen wir natürlich
wieder davon ausgehen auf dem Projektionsschirm ein Interferenzmuster
zu erhalten, so wie es bis jetzt bei unseren Doppelspaltexperimenten mit

Elektronen immer der Fall war.

Die experimentelle Durchführung zeigt uns aber leider: Dem ist nicht
so! Versuchen wir beim Doppelspaltexperiment mit Elektronen durch Rönt-
genstrahlung Informationen über den von den Elektronen gewählten Spalt
zu bekommen, verschwindet das Interferenzmuster auf dem Projektions-
schirm und als resultierende Ankunftswahrscheinlichkeitsverteilung er-
gibt sich die Summe der Einzelwahrscheinlichkeitsverteilungen der Ein-
zelspalte, gleich dem, wie es bei makroskopischen Objekten der Fall ist.

Na, wenn das nicht verwirrend ist! Da drängen sich doch sofort folgende

Fragen auf: Wie konnte das Interferenzmuster auf einmal verschwinden,
wobei doch nichts anderes gemacht wurde als es mit Licht zu bescheinen?

Und allein durch angucken kann man doch nicht so viel kaputt machen,
oder?

Zur Erklärung dieser überraschenden Beobachtung sollten wir uns noch
einmal an den Compton-Effekt aus Kap. 6 erinnern. Hier haben wir erfah-
ren, dass Photonen auf Grund ihrer dynamischen Masse ebenfalls einen,
bei der Wechselwirkung mit anderen massearmen Quantenobjekten nicht
xx

66

7 Die Heisenbergsche Unschärferelation
vernachlässigbaren Impuls besitzen. Dabei sollte uns nun klar sein, dass
die energiereichen Röntgenphotonen, welche wir zur Ortsbestimmung der

Elektronen verwandten, bei der Wechselwirkung mit den Elektronen, den
von Compton beschriebenen „elastischen Stoß“ durchführen werden, was
eine erhebliche Impulsänderung der Elektronen zur Folge hat.

Besonders ungünstig an unserem Versuchsaufbau war es also, eine der-
art hochfrequente elektromagnetische Strahlung wie die Röntgenstrahlung
zur Ortsbestimmung der Elektronen verwendet zu haben, denn bei einer
hohen Frequenz der elektromagnetischen Strahlung haben die Photonen
nach
pPhoton = hν ,

(7.3)

c
wie man leicht sieht, einen besonders hohen Impuls. Das bedeutet aller-
dings auch, dass der Impulsübertrag p auf das Elektron und somit dessen

Störung groß wird. Nach dieser Erkenntnis müssten wir deshalb versuchen
die Störung durch die Photonen, d. h. deren Impuls so weit wie nur mög-
lich zu minimieren, die Frequenz der elektromagnetischen Strahlung also
möglichst gering zu wählen.

Spalt
l 1

P

Röntgen-

1+2
strahlung

Abb. 7.1. Bei der Bestrahlung mit Röntgenstrahlung verschwindet das Interferenz-
muster

2. Experiment:

Führen wir nun das Experiment mit niedrigerer Strahlungsfrequenz noch
einmal durch und beobachten, welche Versuchsergebnisse sich dieses Mal
abzeichnen.

Jetzt müssen wir leider – obwohl das Interferenzmuster nun glückli-
cherweise nicht mehr verschwindet – feststellen, dass eine Zuordnung der
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7 Die Heisenbergsche Unschärferelation

67

Elektronen nur noch unzureichend bis gar nicht gewährleistet ist. Die Bahn
eines jeden Elektrons ist in dieser Versuchsvariante einfach nicht mehr
nachweisbar. Jedoch können wir auf dem Projektionsschirm wieder ein

Interferenzmuster registrieren. Ist das nicht zum Verrücktwerden?

Um es schließlich nochmals zusammenzufassen, zeigt uns die experi-
mentelle Durchführung also: Beim Doppelspaltexperiment mit Elektronen
bleibt durch den zur Ortsbestimmung der Elektronen verwendeten Einsatz
niederfrequenter elektromagnetischer Strahlung das Interferenzmuster er-
halten, eine eindeutige Zuordnung der Elektronen zu einem Spalt ist aber
nicht mehr möglich.

Eine Erklärung hierfür lautet, dass durch die Wahl von niederfrequen-
ter elektromagnetischer Strahlung der störende Impulsübertrag auf die

Elektronen zwar so weit gemildert werden konnte, dass sie ihr normales

Interferenzmuster wieder bilden konnten, jedoch ist auf Grund der größe-
ren Wellenlänge die Auflösung des Bildes von den Elektronen in Spalt 1
bzw. 2 so stark gesunken, dass eine Welcher-Weg-Information nicht mehr
gewonnen werden kann und somit die Bahnbestimmung der Elektronen
letztendlich unmöglich wird.

Auf die Unschärferelation bezogen bedeutet das: Dank des niedrigen
p wissen wir nun zwar, wohin die Elektronen auf dem Projektionsschirm
fliegen, nämlich nur auf die hellen Streifen, deren Positionen sich ja voraus-
berechnen lassen, dafür wissen wir aber nicht mehr, durch welchen Spalt
sie gingen, x ist demgemäß sehr groß. Die Komplementarität zwischen
der Ungenauigkeit des Aufenthaltsortes und der Ungenauigkeit des Impul-
ses kommt bei diesem Experiment erneut klar zum Vorschein. Es ist somit
eine weitere experimentelle Bestätigung der Heisenbergschen Unschärfe-
relation.

Was lässt sich aus dem Ausgang der Experimente schließen?

Sehr wichtig ist, dass wir, wie man deutlich erkennen konnte, die Ent-
stehung des Interferenzmusters eben doch nicht allein mit dem Teilchen-
modell erklären können. Wir benötigen auf jeden Fall weiterhin das Wel-
lenmodell zur Beschreibung der auftretenden Interferenz der Elektronen.

Interessant ist jedoch, dass die Elektronen-Welle an sich nicht direkt nach-
weisbar ist. Wir können im 2. Experiment nur indirekt auf den Wellencha-
rakter der Elektronen schließen, da sich das Interferenzmuster nun mal
anders nicht erklären lässt. Versuchen wir jedoch, wie wir es im 1. Expe-
riment taten, mit hochfrequenter elektromagnetischer Strahlung den von
xx

68

7 Die Heisenbergsche Unschärferelation
den Elektronen gewählten Spalt zu bestimmen, so messen wir keine Wel-
len, sondern nur Teilchen, die sich, wie man an der Ankunftswahrschein-
lichkeitsverteilung der Elektronen auf dem Projektionsschirm in Abb. 7.1
deutlich erkennen kann, nach dem Messprozess auch weiterhin wie Teil-
chenobjekte verhalten.

Man könnte dies salopp und überspitzt folgendermaßen formulieren: Es
wirkt scheinbar so, als würden sich Elektronen für ihren Wellencharakter
schämen: Schaut man gerade nicht hin, verhalten sie sich wie Wellen, aber
wenn man sie direkt beobachten will, zeigen sie sich nur als Teilchen. Das
ist natürlich überzogen ausgedrückt, aber es spiegelt, wenn auch in leicht
ironisierter Form, den experimentellen Befund wider.

In einer etwas seriöseren Formulierung müssen wir jedoch festhalten:

Ist der Weg, den ein jedes Elektron nimmt, ungewiss, so erhalten wir ein In-
terferenzmuster; erhalten wir eine Welcher-Weg-Information, so wird das

Interferenzmuster zerstört. Zwischen der Welcher-Weg-Information und
dem Auftreten des Interferenzmusters besteht eine fundamentale Komple-
mentarität.

Der Vollständigkeit halber soll hier jedoch nicht vorenthalten bleiben,
dass der fundamentale Charakter der Heisenbergschen Unschärferelation
in neuerer Zeit stark in Frage gestellt wurde. Das beim Doppelspaltexpe-
riment mit dem Gewinnen einer Welcher-Weg-Information stets einher-
gehende Verschwinden des Interferenzmusters durch die Heisenbergsche

Unschärferelation zu begründen, begann nämlich kurz vor Anbruch des

21. Jahrhunderts sehr zweifelhaft zu erscheinen.

Stichhaltige Experimente, vor allem durch die Arbeitsgruppe um Ger-
hard Rempe, haben schließlich gezeigt, dass der Verlust der Interferenzfä-
higkeit am Doppelspalt viel mehr Rückschlüsse auf eine quantenmechani-
sche Korrelation zwischen Welcher-Weg-Detektor und Quantenobjekt er-
lauben lässt.5 Daraus lässt sich letztendlich schließen, dass der quanten-
mechanische Welle-Teilchen-Dualismus tatsächlich von fundamentalerer

Natur sein muss als die noch vor kurzem standardmäßig zu Erklärung
herangezogene Heisenbergsche Unschärferelation. Dies ist eine ganz au-
ßerordentlich bedeutende, junge Entdeckung!

5 Näheres in S. Dürr, T. Nonn, G. Rempe: Origin of quantum-mechanical com-
plementarity probed by a 'which-way' experiment in an atom interferometer.

Nature 395 (1998), sowie S. Dürr, G. Rempe: Can wave-particle duality be based
on the uncertainity relation? Am. J. Phys. 68, 11 (2000)

xx

7 Die Heisenbergsche Unschärferelation

69

Ist das Doppelspaltexperiment auch mit anderen

Teilchen durchführbar?

Wie man sich denken kann, wurde natürlich auch versucht das Doppel-
spaltexperiment mit anderen Elementarteilchen als dem Elektron durch-
zuführen, obwohl sich die Versuchsaufbauten bei massereicheren Teilchen
immer mehr erschweren. Doch konnte man mit größerem experimentel-
lem Aufwand bei vielen anderen Elementarteilchen wie z. B. den Neutronen
ebenfalls Interferenzmuster nachweisen. Das bedeutet für uns, auch sie un-
terliegen dem Welle-Teilchen-Dualismus, und ihnen kann somit ebenfalls
eine de-Broglie-Wellenlänge zugeordnet werden.

Aus neueren Experimenten weiß man, dass sogar bei Doppelspaltversu-
chen mit großen Molekülen namens Fullerenen (legerer auch Fußballmole-
küle genannt, weil sie kugelförmig, ähnlich einem Fußball angeordnet sind

(siehe Abb. 7.2)), die immerhin aus 60, 70 oder mehr Kohlenstoffatomen be-
stehen können, Interferenzmuster entstehen können. Das ist natürlich sehr
interessant, denn die Grenze zwischen Mikro- und Makrokosmos schiebt
sich somit immer mehr in Richtung unserer Größenordnung, ja sie „delo-
kalisiert“ im wahrsten Sinne des Wortes.

Abb. 7.2. Modellartige Darstellung eines Fullerenmoleküls, das aus 60 C-Atomen
besteht

Natürlich stellt sich dabei die Frage, wo denn die Interferenzfähigkeit
der Teilchen auf der Größenskala nach oben auf einmal verloren geht
und wo genau sich diese Mikro-/Makrokosmos-Grenze überhaupt befin-
den mag. An dieser Stelle wollen wir uns jedoch noch nicht eingehender
mit diesem Thema befassen. Bei der späteren Diskussion um Schrödingers

Katze in Kap. 12 werden wir auf diese Probleme zurückkommen und fest-
stellen, dass diese auch heute noch zentrale Fragen in der Quantenphysik
darstellen.

xx

70

7 Die Heisenbergsche Unschärferelation

Was ist das Elektron jetzt eigentlich wirklich: Welle oder Teilchen?

Angesichts all dieser Verwirrungen durch die vorangegangenen, sich stän-
dig widersprechenden Versuchsergebnisse muss man sich aus klassischer

Sicht einfach die alles entscheidende Frage stellen, was zum Himmel das

Elektron jetzt eigentlich wirklich ist: Ist es eine Welle oder ein Teilchen?

Oder ist es beides zugleich? Aber das ginge doch gar nicht, oder?

Antworten möchte ich auf diese außerordentlich schwierige und ver-
zwickte Frage über die Wiedergabe eines Zitats des genialen und überaus
populären, amerikanischen Quantenphysikers Richard Feynman (1918–

1988), der für jeden noch so ungewöhnlichen Charakterzug der Quan-
tenmechanik stets den passenden Spruch auf den Lippen hatte. In seiner
üblichen, schlagfertigen Art drückte er sich bezüglich des skurrilen, zwie-
spältigen Verhaltens des Elektrons präzise und zugleich geistvoll folgen-
dermaßen aus:

„Es ist keins von beiden.“ 6

Treffender kann man es nicht formulieren. Denn wie man immer wieder
betonen muss, sind die Teilchen- bzw. Wellenmodelle, welche wir im Mi-
krokosmos zur Beschreibung der Verhaltensweisen von Quantenobjekten
verwenden, eben nur klassische Arbeitsmodelle aus dem Makrokosmos,

Beschreibungsmethoden, die aus Hilflosigkeit der klassischen Physik ent-
liehen werden, die aber niemals einzeln dazu in der Lage sein werden Quan-
tenobjekte angemessen zu beschreiben.

Elektromagnetische Strahlung, Elektronen, Protonen, die über 200 Ele-
mentarteilchen und sogar ganze Moleküle wie die Fullerene sind nun ein-
mal nicht einfach nur Teilchen oder nur Wellen. Sie sind keines von beidem!

Sie sind irgendetwas Seltsames dazwischen, wofür es im Makrokosmos, un-
serer gewohnten Umgebung in der Größenordnung von 10−1 m, nun mal
einfach keinen Vergleich gibt.

Wären wir hingegen Objekte des Mikrokosmos, die in einer Größenord-
nung von 10−10 m, also ungefähr dem Durchmesser eines Atoms, hausten,
so würden uns diese verwunderlichen, fremdartigen Quantenphänomene
nicht derartig seltsam vorkommen, sondern wären purer Alltag. Kommen
uns doch die Skurrilität und Paradoxie der Quantenobjekte nur deshalb
als solche vor, da wir sie aus unserer makroskopischen Welt einfach nicht

6 R. Feynman, R. Leighton, M. Sands: Feynman Vorlesungen über Physik III

(Oldenbourg, 1999); S. 17
xx

7 Die Heisenbergsche Unschärferelation

71
gewohnt sind. (Tja, ein Proton müsste man sein: Dann würde man die

Quantenphysik verstehen, wäre immer positiv drauf und hätte eine nahezu
unendliche Lebenszeit :-)

Das Elektron ist schlussendlich weder eine Welle noch ist es ein Teilchen,
es ist schlicht und ergreifend – ein Quantenobjekt!

xx

8

Der Kollaps der Wellenfunktion
xx

74

8 Der Kollaps der Wellenfunktion

Wo liegt überhaupt der Widerspruch zwischen dem Wellen-
und dem Teilchenmodell?

Wir haben in den letzten Kapiteln erkannt, dass es sowohl in der klas-
sischen Physik als auch im Speziellen in der Quantenphysik bestimmte

Effekte und Phänomene gibt, die entweder nur über das Wellen- oder nur
über das Teilchenmodell erklärt und beschrieben werden können. Welches

Modell in einem jeweilig vorliegenden Fall zur Beschreibung angewandt
werden muss, wird dabei zum einen durch den Versuchsgegenstand (d. h.

ob es sich beispielsweise um elektromagnetische Strahlung, Elektronen,

Fußbälle oder andere Gegenstände handelt) und zum anderen durch den
genauen Versuchsaufbau (d. h. auf welche Art und Weise man dem Ver-
suchsgegenstand welche Informationen entlocken möchte) bestimmt.

Das Spezifikum der Quantenphysik macht nun allerdings aus, dass
durchaus – und zwar nicht gerade selten – für ein und dasselbe (Ver-
suchs-)Objekt je nach Art des Versuchsaufbaus sowohl das eine als auch
das andere Erklärungsmodell Verwendung findet bzw. angewandt werden
muss. In der klassischen Physik ist eine derartig diskrepante Beschrei-
bungsweise schlechthin undenkbar, denn eine klassische Welle ist und
bleibt eine Welle und ein klassisches Teilchen bleibt ein Teilchen, zwei-
felsfrei und ausnahmslos.

Doch was genau, so könnte man sich an dieser Stelle fragen, macht den
großen Unterschied, ja die Unvereinbarkeit von klassischer Welle und klas-
sischem Teilchen aus? Warum müssen sich Wellen- und Teilchenmodell
überhaupt widersprechen? Schließlich könnte man sich z. B. 1) das Elek-
tron auch als ein Teilchen vorstellen, welches sich auf einer wellenförmigen

Bahn ausbreitet, und außerdem sind 2) z. B. Wasserwellen ja auch Wellen,
die gleichzeitig aus Teilchen (nämlich hauptsächlich aus Wassermolekü-
len) bestehen. So lauten jedenfalls die zwei am häufigsten angebrachten

Vereinbarungsvorschläge diesbezüglich.

Dass der Sachverhalt allerdings nicht ganz so simpel ist, werden wir
sehen, wenn wir die beiden eben genannten Möglichkeiten exemplarisch
detailliert durchdenken:

1) Wenn man davon ausgeht, Elektronen würden sich auf einer wellen-
förmigen Bahn ausbreiten, so stellt sich als erstes die Frage, wie sie
die ständige Impulsumkehrung entgegen dem Impulserhaltungssatz aus
sich selbst heraus bewerkstelligen, denn sie müssten laufend ihre Aus-
breitungsrichtung, also ihren Impulsvektor ändern. Wie sollte man sich
dies erklären?

xx

8 Der Kollaps der Wellenfunktion

75

Des Weiteren haben beschleunigte Ladungen (das Elektron besitzt
bekanntlich eine Ladung von − e = −1 , 602 · 10−19 C) die Eigenschaft

Energie in Form von elektromagnetischer Strahlung auszusenden. So
müssten bewegte Elektronen ständig elektromagnetische Strahlung
emittieren, was sie jedoch, wie wir wissen, nicht tun. Eine derartige

Vorstellung einer Vereinbarung des Teilchen- und Wellenbildes ist also
recht problematisch.

2) Die Betrachtung der Wasserwelle (als Vorzeigebeispiel einer Welle) hat
uns zwar beim Doppelspaltexperiment bei der Erklärung der Interferenz-
erscheinungen hervorragend geholfen, doch gibt es einen definitiven

Unterschied zum Photon bzw. Elektron:

Die Wassermoleküle sind bei der Wasserwelle nur das Ausbreitungs-
medium der Welle. Sie werden nicht transportiert, sondern über sie
breitet sich die Schwingungsenergie der Welle aus. Die Wassermoleküle
sind nur die Oszillatoren, also die schwingungsfähigen Körper, welche
die Ausbreitung der Welle, oder präziser die Ausbreitung der Schwin-
gungsenergie der Welle ermöglichen. Die übertragene Welle stellt hier-
bei jedoch einen kontinuierlichen Energiefluss dar. Die Wasserwelle an
sich, ihre Intensität, ist demnach keineswegs gequantelt.

Wir sehen also, dass sich Wellen- und Teilchenmodell tatsächlich nicht
so leicht vereinbaren lassen. Es besteht nun einmal ein fundamentaler Un-
terschied zwischen einer sich kontinuierlich im Raum ausbreitenden, nicht
exakt lokalisierten Welle und einem kompakten Teilchen, welches sich auf
einer bestimmten Flugbahn bewegt.

Umso seltsamer ist es daher, dass wir zur Beschreibung von Quanten-
objekten wie Photonen, Elementarteilchen usw. jeweils für ein und das-
selbe Objekt, je nach Versuchsanordnung, stets Wellen- und Teilchen-
modell parallel verwenden müssen, und das obwohl sich diese Modelle
klassisch, makroskopisch gesehen eigentlich gegenseitig ausschließen. In
diesem Zusammenhang spricht man deshalb oft von einer gewissen Duali-
tät des Wellen- und des Teilchen-Bildes, dem so genannten Welle-Teilchen-

Dualismus. Zwar widersprechen sich das Wellen- und Teilchenmodell
makroskopisch gesehen, doch zur Beschreibung eines Quantenobjekts er-
gänzen sich die beiden Modelle gegenseitig. Sie verhalten sich komplemen-
tär zueinander.

Freilich ist diese Einsicht nicht gerade befriedigend, aber es scheint uns
zunächst keine andere Wahl übrig zu bleiben als diese Zwiespältigkeit der

Quantenobjekte hinzunehmen. Denn wie wir schon zum Ende des vori-
gen Kapitels einsehen mussten verhalten sich Quantenobjekte nun einmal
xx

76

8 Der Kollaps der Wellenfunktion
ganz anders als wir es aus unserer alltäglichen Umgebung der makrosko-
pischen klassischen Physik gewohnt sind. Sie gehorchen den Gesetzen der

Quantenphysik!

Was genau bedeutet der Begriff Welle-Teilchen-Dualismus?

Im Allgemeinen versteht man unter dem Begriff Welle-Teilchen-Dualismus
die Tatsache, dass je nach Art des Versuchs ein Quantenobjekt in einem
bestimmten Experiment nur mit dem Teilchenmodell und in einem gewis-
sen anderen Experiment nur mit dem Wellenmodell effizient und korrekt
beschrieben werden kann. Wie ich weiter oben jedoch schon erwähnte, ist
der tatsächliche Sachverhalt noch etwas prekärer.

Gehen wir noch einmal zurück zum Doppelspaltversuch mit Elektronen

(ohne Spaltbestimmung durch Röntgenstrahlung) und nehmen wir das

Interferenzmuster auf dem Projektionsschirm genauer unter die Lupe:

Der Projektionsschirm besteht bei unserem Versuch aus einer Photo-
platte, welche sich schwärzt, wenn Elektronen auf sie treffen. Betrachten
wir nach der Versuchsdurchführung den Projektionsschirm von vorne, so
sehen wir das typische Streifenmuster, wobei die schwarzen Streifen Orte
mit hoher Ankunftswahrscheinlichkeit der Elektronen darstellen und die
hellen Streifen dementsprechend Orte mit geringer Ankunftswahrschein-
lichkeit sind. Wie wir aus den Überlegungen des vorangegangenen Kapitels
wissen, lässt sich dieses auf der Photoplatte befindliche Interferenzmuster
ausschließlich durch das Wellenmodell des Elektrons erklären und keines-
falls durch das Teilchenmodell. Behalten wir dies bitte stets im Hinterkopf.

Sehen wir uns diese mit Elektronen beschossene Photoplatte jetzt jedoch
einmal etwas genauer an, so müssen wir verblüffenderweise feststellen, dass
die Interferenzstreifen der Photoplatte, welche wir beobachten, nicht kon-
tinuierlich und gleichmäßig sind, wie man dies von einer kontinuierlichen

Elektronen-Welle erwarten würde, sondern, dass sie eine gar körnige Struk-
tur aufweisen. Auf der Photoplatte lassen sich ganz genau einzelne Punkte
identifizieren, die durch das Auftreffen von einzelnen Elektronen-Teilchen
verursacht wurden. Die Elektronen treffen also nicht kontinuierlich wie
eine anschwappende Wasserwelle auf dem Projektionsschirm auf, sondern
werden immer als Teilchen, und zwar nur als ganze, einzelne Teilchen auf
dem Projektionsschirm detektiert.

Das bedeutet jedoch, dass unsere vorläufige Definition des Begriffs

Welle-Teilchen-Dualismus vom Anfang des Abschnitts, wie er oft nur in je-
ner Hinsicht in der populärwissenschaftlichen Literatur aufgegriffen wird,
xx

8 Der Kollaps der Wellenfunktion

77
einer wesentlichen Erweiterung bedarf. Es ist nämlich nicht nur so, dass
wir für die Beschreibung eines Experiments das Wellenmodell und für die

Beschreibung eines anderen Experiments das Teilchenmodell anwenden
müssen, sondern wir sind bisweilen selbst in ein und demselben Experi-
ment darauf angewiesen beide Modelle gleichzeitig zu benutzen. Denn wie
wir gesehen haben, lässt sich beim Doppelspaltexperiment mit Elektronen
die hinter dem Spalt auftretende Interferenz nur über das Wellenmodell
erklären. Die Tatsache jedoch, dass immer nur einzelne, ganze Elektronen
auf dem Projektionsschirm detektiert werden, lässt auf einen Teilchencha-
rakter des Elektrons schließen.

Wir müssen sogar innerhalb ein und desselben Experiments sowohl

Wellen- als auch Teilchenmodell parallel verwenden, um die auftretenden

Beobachtungen erklären zu können, obwohl sich diese Modelle im Sinne
der klassischen, makroskopischen Physik widersprechen.

Wie wird aus der Elektronen-Welle ein Teilchen
auf dem Projektionsschirm?

Nachdem wir erfahren mussten, dass der Welle-Teilchen-Dualismus eines

Quantenobjekts selbst innerhalb eines einzigen Experiments auftreten
kann, stellt sich natürlich die folgende Frage, wie ein Quantenobjekt (z. B.

ein Elektron), welches im Doppelspalt von einer Wahrscheinlichkeitswelle
beschrieben werden muss, auf dem Projektionsschirm dahinter als ein klei-
ner Fleck registriert werden kann. Oder anders gefragt: Wie kann von der

Wahrscheinlichkeitswelle des Quantenobjektes, die ja bekanntlich hinter
dem Spalt keine bevorzugte Ausbreitungsrichtung hat, ein und nur ein

Teilchen auf einem konkreten Punkt des Projektionsschirms registriert
werden? Das Problem ist also der Übergang der Beschreibung des Quanten-
objekts durch ein Wellenmodell zu der durch ein Teilchenmodell.

Für die weitere Diskussion des Sachverhaltes werden wir der Einfachheit
halber die einzelnen Spalten als jeweils kreisrunde Löcher annehmen und
als Quantenobjekt unser allseits beliebtes Elektron verwenden.

Die Beschreibung des Elektrons durch das Wellenmodell besagt nun,
dass jenes sich nach dem Passieren eines Spalts in Form einer dreidimen-
sionalen Kugelwelle in alle Richtungen gleichförmig ausbreitet. Da diese

Elektronen-Kugelwelle keine bevorzugte Ausbreitungsrichtung im Raum
einnimmt, sagt man auch sie breite sich isotrop aus. Das bei der Durch-
führung des Experiments auftretende Interferenzmuster ergibt sich dabei
wunderbar aus der Überlagerung der zwei Kugelwellen, die sich hinter je-
xx

78

8 Der Kollaps der Wellenfunktion
dem der beiden Spalte ausbreiten. (Dazu sei gesagt, dass jenes Interferenz-
muster, das bei kreisförmigen „Spalten“ entsteht, zwar zugegebenermaßen
etwas komplizierter aussieht als unser gewohntes Steifenmuster, doch be-
rechenbar ist es ebenfalls. Und momentan kommt es uns ja auch nur darauf
an, dass es ausschließlich mit einem Wellenmodell der Elektronen erklär-
und berechenbar ist.)

Tatsache ist nun brenzligerweise, dass diese Elektronen-Wellen, wie wir
oben erkennen mussten, nicht als kontinuierliche Welle detektiert, son-
dern vom Projektionsschirm in quantisierter Form registriert werden, so
dass wir wohl oder übel dazu gezwungen werden, ein Teilchenmodell des

Elektrons anzunehmen.

Aber wie wird aus der Kugelwelle ein Teilchen? Das Problem ist ja, dass
das Elektron, wird es durch eine Welle beschrieben, nicht exakt lokali-
siert ist. Es befindet sich mit einer bestimmten mehr oder weniger großen

Wahrscheinlichkeit hier und mit einer anderen dort. Aber wo es jetzt nun
eigentlich ist, darüber wird keine Aussage gemacht und darüber kann auch
gar keine Aussage gemacht werden, denn wäre es eindeutig lokalisiert, dann
hätten wir es wieder mit einem Teilchen zu tun, das nicht die Fähigkeit zur

Interferenz besitzen und daher auch kein Interferenzmuster bilden könnte,
womit auch die oben formulierte Frage nicht auftauchen würde.

Da wir aber eben doch ein Interferenzmuster beobachten, kann das

Elektron nicht lokalisiert sein, sondern muss durch eine Wellenfunktion
delokalisiert beschrieben werden.

Stellen wir uns also diese zwei kugelförmigen, interferierenden Elektro-
nen-Wellen vor, wie sie hinter dem Doppelspalt entstehen und sich auf den

Projektionsschirm zubewegen, so müssen wir wiederum zugestehen, dass
jene Welle in dem Moment, in dem sie auf den Schirm auftrifft, räumlich
delokalisiert ist. Das Elektron ist zu diesem Zeitpunkt schließlich immer
noch auf die gesamte, räumlich ausgedehnte Elektronen-Welle verteilt, ja
es selbst macht diese Welle aus. Was geschieht also in dem Augenblick, in
dem das Elektron an einem Ort x des Projektionsschirms detektiert wird,
mit der restlichen, räumlich ausgedehnten Welle?

Was geschieht mit dem Rest der Elektronen-Welle?

Wir erinnern uns, dass wir diesen Versuch mit einzelnen Elektronen durch-
geführt haben, in dem Sinne, dass zu jedem Zeitpunkt nachweislich nur ein
einziges Elektron in der gesamten Versuchsapparatur zwischen Elektro-
nenquelle und Photoplatte unterwegs war. Es ist daher eine logische Konse-
xx

8 Der Kollaps der Wellenfunktion

79
quenz, dass die gesamte, hier betrachtete Elektronen-Welle nur ein einziges

Elektron darstellt, und da wir wissen, dass auf dem Projektionsschirm im-
mer nur ganze Elektronen detektiert werden, müssen wir schlussfolgern,
dass diese räumlich ausgedehnte Elektronen-Welle im Moment der De-
tektion auf den Detektionsort x des Projektionsschirms zusammenstürzt.

Dieses urplötzliche Zusammenstürzen der Elektronen-Welle wird auch Kol-
laps der Wellenfunktion genannt. Dieser Kollaps der Wellenfunktion stellt
somit den Übergang der Beschreibung des Quantenobjekts durch ein Wel-
lenbild zu der durch ein Teilchenbild dar. Der Rest der Elektronen-Welle,
welcher sich auf Grund der räumlichen Ausdehnung der Welle zum Detek-
tionszeitpunkt nicht am Ort x befindet, verschwindet ihm zu Folge einfach
im Augenblick der Detektion, und im selben Moment taucht ein schwarzer

Detektionspunkt am Ort x des Schirms auf, der das Auftreffen des Elektrons
indiziert.

Wie steht es um Gleichzeitigkeit und instantane

Informationsübertragung?

Nun könnte man sich doch denken, schön und gut, dass die Welle am einen

Ende einfach verschwindet und am Ort x das Elektron auftaucht, aber wie
genau verschwindet die restliche Elektronen-Welle denn nun eigentlich,
schließlich handelt es sich hierbei ja um Materie? In Anbetracht dessen,
dass es sich bei der Elektronen-Welle im Doppelspaltexperiment um sich
einer mathematischen Wellenfunktion entsprechend ausbreitende Materie
handelt, stellt sich natürlich die Frage, wie diese Materiewelle auf einmal
zu einem Punkt zusammenstürzen kann. Denn schließlich kann schon im

Moment der Detektion die Wellenfunktion nicht mehr existieren, der Über-
gang müsste also instantan, d. h. ohne Zeitverzug vor sich gehen. Angesichts
dieses Quantengehopses fühlt man sich schon fast zu dem Gedanken an
eine Art „subtile Quantenzauberei“ des Mikrokosmos genötigt. Was soll
der Unfug?

Besonders Albert Einstein sah in dieser Theorie eine prinzipielle

Schwierigkeit. Aus früheren theoretischen Überlegungen, die ihn unter
anderem dazu veranlassten seine spezielle Relativitätstheorie zu formu-
lieren, erkannte er, dass eine Informationsübertragung, welche mit einer

Geschwindigkeit oberhalb der Vakuumlichtgeschwindigkeit vor sich geht,
zu Paradoxien und Akausalität führen würde. Daraus schloss er, dass sich

Information höchstens mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten könne.

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80

8 Der Kollaps der Wellenfunktion

Das bedeutet aber auf unser Problem bezogen, wenn ein Ereignis (hier:

die Detektion des Elektrons) an einem Ort x eintritt, kann sich die Infor-
mation über das Geschehen des Ereignisses nur höchstens mit Lichtge-
schwindigkeit zu einem beliebigen anderen Ort (hier: den anderen Orten
ungleich x, an denen sich die Elektronen-Welle ebenfalls zum Detektions-
zeitpunkt befindet) ausbreiten. Wir stellen also fest, da die Wellenfunktion
im Augenblick der Detektion instantan an allen anderen Orten ungleich x
sofort zusammenbrechen muss, wäre eine instantane und somit zwingend
überlichtschnelle Informationsübertragung der Information „Elektron ist
am Ort x detektiert worden“ vom Detektionsort zu allen anderen Orten der

Elektronen-Wellen notwendig.

Diese überlichtschnelle Informationsübertragung steht aber im Wider-
spruch zum oben aufgeführten Fundament der Relativitätstheorie, wes-
halb Einstein die Vorstellung des instantanen Zusammenbrechens der

Elektronen-Welle erhebliches Kopfzerbrechen bereitete. Abwertend be-
zeichnete er daher jenen delokalen Charakter quantenmechanischer Ob-
jekte auch als „ spukhafte Fernwirkung“. Diese Abneigung gegenüber der
seiner Meinung nach offenkundig falschen Beschreibung der Quanten-
mechanik veranlasste ihn später zur Formulierung eines berühmten

Gedankenexperiments, welches er zusammen mit zwei Kollegen erdachte.

(Diesem EPR-Paradoxon genannten Gedankenexperiment werden wir uns
in Kap. 13 widmen.)

Um die Problematik jenes Sachverhalts noch ein wenig exakter erfassen
zu können, werden wir uns diesen Kollaps der Wellenfunktion jetzt noch
einmal in einem anderen, wesentlich einfacheren Experiment isolierter an-
schauen:

Stellen wir uns dazu eine möglichst kleine, nahezu punktförmige Quelle
vor, die in alle Richtungen gleichmäßig, also isotrop, Licht aussendet. Die
elektromagnetische Strahlung wird sich dabei – natürlich mit Lichtge-
schwindigkeit – gleichmäßig in radialer Richtung von der Quelle entfer-
nen. Kurbeln wir nun die Intensität der Lichtquelle soweit herunter, dass
sie in größeren zeitlichen Abständen nur noch einzelne Photonen emittiert,
so wird der Zustand eines jeden einzelnen Photons von einer zur Quelle
konzentrischen Wellenfunktion beschrieben (siehe gepunktete Kreise in

Abb. 8.1), denn die Photonen besitzen keine bevorzugte Ausbreitungsrich-
tung. Diese konzentrischen Photonen-Kugelwellen breiten sich, wie es sich
für Wellen gehört, isotrop im Raum aus.

Stellen wir nun einen Detektor (z. B. einen Photomultiplier) auf, der
eventuell auftreffende Photonen registriert, so erhalten wir dasselbe Pro-
xx

8 Der Kollaps der Wellenfunktion

81
konzentrische Kugelwellen

Photomultiplier

Abb. 8.1. Eine kleine Lichtquelle emittiert einzelne Photonen, die sich in der Form konzentrischer Kugelwellen ausbreiten
blem wie es beim obigen Doppelspaltexperiment auftauchte. Wenn ein Pho-
ton vom Photomultiplier detektiert wird, kommt erneut die Frage auf, wie
die das Photon beschreibende Kugelwelle auf den Detektor kollabiert. So-
lange wir nämlich den Abstrahlwinkel eines jeweiligen, einzelnen Photons
nicht messen, liegt dieses den Aussagen der Quantenmechanik entspre-
chend fortwährend in einem Zustand der Superposition aus allen Aufent-
haltsorten vor, die sich im radialen Abstand r von
r = c · t

(8.1)

konzentrisch um die Photonenquelle befinden, wobei natürlich c die Licht-
geschwindigkeit und t die seit der Emission desjenigen Photons aus der

Quelle verstrichene Zeit ist. Bevor wir das Photon messen, befindet es sich
demgemäß an all jenen Orten r simultan, aber auch gleichfalls nirgendwo.

Wie kann es dementsprechend vom einen zum anderen Augenblick ur-
plötzlich aus der sprichwörtlichen „Allgegenwärtigkeit“ auf einen Punkt
lokalisieren?

Überraschenderweise scheint die Standardlösung dieses prekären Pro-
blems jedoch verblüffend einfach zu sein. Besinnen wir uns dazu noch ein-
mal auf die Bornsche Deutung der Wellenfunktion: Nach Max Born war
die Wellenfunktion eines Quantenobjekts ja nichts anderes als ein Maß für
die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des durch die Wellenfunktion beschrie-
benen Quantenobjekts an einem bestimmten Ort. Wie wir uns aus unse-
rer Betrachtung der Auftreffwahrscheinlichkeit von Elektronen auf dem

Projektionsschirm aus Kap. 5 über den Doppelspaltversuch mit Elektro-
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82

8 Der Kollaps der Wellenfunktion
nen noch erinnern können, wird die Wellenfunktion eines Quantenobjekts
nach der Bornschen Deutung jedoch nicht als eine reale Welle angesehen,
die sich durch Raum und Zeit ausbreitet, so wie es z. B. Wasser- und Schall-
wellen tun, sondern sie stellt lediglich eine mathematische Konstruktion
dar, mit Hilfe derer eine Berechnung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit
des Quantenobjekts möglich ist.

Wenn wir uns bei der Betrachtung der Elektronen-/Photonenwelle nun
klar machen, dass es sich dabei eben nur um eine Wahrscheinlichkeitswelle
handelt und nicht um eine wirkliche, sich durch Raum und Zeit ausbrei-
tende, materielle Welle, so löst sich unser Problem von selbst: Es ist ja
einleuchtend, wenn die Wellenfunktion des jeweiligen Quantenobjekts nur
dessen Aufenthaltswahrscheinlichkeit angibt und wir durch die Detektion
des Objekts am Ort x nun wissen, wo es sich tatsächlich aufhält, dass wir
dann gleichzeitig auch wissen, dass sich jenes Quantenobjekt an keinem
der anderen Orte aufhalten kann. Mathematisch gesehen heißt das, da die

Wahrscheinlichkeitsfunktion an dem bestimmten Ort x den Wert 1 an-
nimmt (also eine 100%-ige Aufenthaltswahrscheinlichkeit widerspiegelt),
müssen folglich die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion an allen ande-
ren Orten ungleich x zwingend 0 sein.

Daher ist gar keine instantane Informationsübertragung vom Detek-
tionsort zu den andern Orten der Welle notwendig. Die Wellenfunktion
ist nämlich, laut Born, Bohr, Heisenberg usw., keine reale, sich durch

Raum und Zeit ausbreitende Welle, sondern nur eine mathematische Kon-
struktion, eine sich im abstrakten, mathematischen, so genannten Konfigu-
rationsraum ausbreitende Wellenfunktion, die zur Berechnung der Detek-
tionswahrscheinlichkeit eines Quantenobjekts an einem bestimmten Ort
dient. Sie gilt als reine Mathematik und hat keinen tieferen physikalischen

Hintergrund im Sinne der theoretischen Beschreibung eines physikalischen

Vorgangs der Newtonschen Mechanik.

Wodurch wird der Kollaps der Wellenfunktion ausgelöst?

Nun wissen wir, dass die Wellenfunktion kollabieren muss, um den Ein-
schlag einzelner Elektronen zu erklären. Was aber eigentlich genau zum

Kollaps der Wellenfunktion führt, sprich die Ursache für diesen Kollaps ist,
haben wir jedoch zugegebenermaßen immer noch nicht klären können.

Wie kommt diese Zustandsreduktion des Elektrons eigentlich zustande?

Und warum messen wir keine Superposition verschiedener Zustände?

xx

8 Der Kollaps der Wellenfunktion

83

Dies ist eine sehr interessante Frage, doch eine dazugehörige, eindeutige

Antwort gibt es leider auch heute noch nicht. In der physikalischen Fachwelt
bestand speziell zur Zeit Bohrs und Einsteins und besteht auch in unserer
heutigen, modernen Zeit unter den Quantenphysikern keinesfalls Einigkeit
in dieser vertrackten Frage. So konnten sich im Laufe der Zeit vielmehr
einige verschiedene Lösungsansätze herauskristallisieren, aus denen sich
schließlich eine gewisse Palette möglicher Theorien entwickelte. Bemer-
kenswerterweise liegen jedoch die Meinungen der modernen Quantenphy-
siker (immer) noch – speziell in den wesentlichen und auch fundamentalen

Grundfragen – erstaunlich weit auseinander.

Auf Grund der mehr oder minder großen Anzahl und Vielfalt dieser
existierenden Theorien sollten wir zum jetzigen Zeitpunkt der besseren

Übersicht halber nur eine, und zwar die erste und somit älteste Theorie er-
wähnen. (Die wichtigsten diesbezüglichen Theorien werden wir nach der

Diskussion der Schrödingerschen Katze, einem überaus populären Gedan-
kenexperiment, noch schwerpunktmäßig in Kap. 13 sehr viel ausführlicher
diskutieren.)

Die erste und älteste Theorie zur gegenwärtigen Problematik basiert
auf den Ideen des dänischen Physikers Niels Bohr (1885–1962), der
nicht zuletzt durch seine Entwicklung des nach ihm benannten semi-
klassischen Bohrschen Atommodells (siehe Kap. 10) zu einem der Väter
der Quantentheorie wurde. Um 1927 entwickelte Bohr zusammen mit sei-
nem Schüler Werner Heisenberg eine erste, physikalische Interpretation
des der Quantenmechanik eigenen abstrakten mathematischen Formalis-
mus. Diese Interpretation bezeichnet man nach dem Ort ihrer Entstehung
im dänischen Kopenhagen als Kopenhagener Deutung oder Kopenhagener

Interpretation.

Nach jener physikalischen Deutung kommt der beim Doppelspalt-
experiment auftretende Kollaps der Wellenfunktion durch den Messpro-
zess zustande. Durch die Wechselwirkung von Quantenobjekt (z. B. einem

Elektron) und makroskopischem Objekt (z. B. dem Projektionsschirm) geht
folglich die Überlagerung/Superposition der verschiedenen Zustände des

Quantenobjekts (in diesem Beispiel der Aufenthalt des Elektrons an den un-
endlich vielen Orten der Elektronen-Welle) verloren. Die Wechselwirkung
des Quantenobjekts mit dem makroskopischen Objekt bringt die Welle
zum Einstürzen. Der Kollaps der Wellenfunktion ist also ein Resultat des

Messprozesses.

xx

84

8 Der Kollaps der Wellenfunktion

Heisenberg erläuterte in einem seiner Bücher den Zusammenhang
des Kollapses der mathematischen Wahrscheinlichkeitsfunktion mit dem
physikalischen Prozess an sich folgendermaßen:

„Die Wahrscheinlichkeitsfunktion beschreibt, anders als das mathe-
matische Schema der Newtonschen Mechanik, nicht einen bestimm-
ten Vorgang, sondern, wenigstens hinsichtlich des Beobachtungspro-
zesses, eine Gesamtheit von möglichen Vorgängen. Die Beobachtung
selbst ändert die Wahrscheinlichkeitsfunktion unstetig. Sie wählt von
allen möglichen Vorgängen den aus, der tatsächlich stattgefunden
hat. [...] Der Übergang ist nicht verknüpft mit der Registrierung des

Beobachtungsergebnisses im Geiste des Beobachters. Die unstetige

Änderung der Wahrscheinlichkeit findet allerdings statt durch den

Akt der Registrierung; denn hier handelt es sich um die unstetige

Änderung unserer Kenntnis im Moment der Registrierung, die durch
die unstetige Änderung der Wahrscheinlichkeitsfunktion abgebildet
wird.“ 7

Besonders im ersten Teil des zitierten Abschnitts und in Heisenbergs
letztem Satz erkennen wir den Inhalt der Bornschen Wahrscheinlichkeits-
deutung der Wellenfunktion wieder. Wichtig ist dabei, dass laut der Kopen-
hagener Deutung der Messprozess „von allen möglichen Vorgängen“, d. h.

allen Einzelzuständen der Superposition des Quantenobjekts, den einen
auswählt, der letztendlich beobachtet wird. So wie schon bei der Erläute-
rung der Bornschen Deutung betont wurde, beschreibt die Wahrschein-
lichkeitswelle nicht den Zustand des Quantenobjekts an sich, sondern gibt nur eine Wahrscheinlichkeit an, mit der man im Falle einer Messung das
besagte Quantenobjekt in einem bestimmten Zustand antrifft.

Um an dieser Stelle auf ein bereits bekanntes, veranschaulichendes

Beispiel zurückzugreifen, sollten wir uns nochmals an die Diskussion des

Doppelspaltversuchs mit Elektronen inklusive Spaltbestimmung mittels

Röntgenstrahlung erinnern. Dort bemerkten wir, dass durch eine Ortsbe-
stimmung der Elektronen bezüglich des tatsächlich von ihnen durchquer-
ten Spalts, also durch den Erhalt einer Welcher-Weg-Information, zwangs-
läufig die Interferenzfähigkeit der Elektronen verschwand. Über eine Deu-
tung im Sinne der Kopenhagener Interpretation würde dieser Verlust der

Elektronen ihrer Interferenzfähigkeit – und das ist gleichbedeutend mit
dem Verlust der Welleneigenschaft – durch die Orts messung eine Zustands-
reduktion des Elektrons stattfinden. Der Akt der Messung des Spaltes bzw.

7 W. Heisenberg: Physik und Philosophie (Hirzel, 2000); S. 80/81
xx

8 Der Kollaps der Wellenfunktion

85
des Aufenthaltsorts des Elektrons bringt die Superposition der verschiede-
nen Zustände des Elektrons zum Einsturz. Ab dem Moment der Messung
besitzt das Elektron fortan nur noch einen bestimmten, lokalisierten, also
teilchenartigen Zustand, den es im Nachfolgenden auch beibehält, und so-
mit ebenfalls bei der anschließenden Detektion auf dem Projektionsschirm
als klassisches Teilchen interagiert. Es kann sich demzufolge kein für Wel-
len charakteristisches Interferenzmuster ausbilden.

Man könnte demnach in Übereinstimmung mit der Kopenhagener Deu-
tung sagen, durch die Messung des Ortes findet eine Zustandsreduktion des

Elektrons statt. Die Reduktion des Wellenpaketes ist eine Folge des Mess-
prozesses.

xx

9

Die Bohr-Einstein-Debatte
xx

88

9 Die Bohr-Einstein-Debatte

Wie kam es zur Bohr-Einstein-Debatte?

Niels Bohr (1885–1962), der Urheber des nach ihm benannten Bohr-
schen Atommodells, hielt 1927 auf der berühmten fünften Solvay-Konferenz

(siehe Abb. 9.1), auf denen sich stets nur die hervorragendsten Physiker
der damaligen Zeit auszutauschen pflegten, einen Vortrag zum Thema des
diesmaligen Kongresses: „Photonen und Elektronen“. Hier ergriff er die

Gelegenheit die neue, maßgeblich von ihm und seinem Schüler Werner

Heisenberg entwickelte Quantenmechanik als eine allgemeine und voll-
ständige Theorie zur Beschreibung der Objekte des Mikrokosmos vorzu-
stellen und allen anderen weit voraus eine erste physikalische Interpretation
des mathematischen Formalismus zu geben, die man ihrem Hauptentste-
hungsort entsprechend als Kopenhagener Deutung bezeichnet.

Zu diesem günstigen Anlass fühlte sich der ebenfalls an der Konferenz
teilnehmende Albert Einstein sogleich dazu gereizt seine Kritik an der
neuen, von Bohr und Heisenberg formulierten Quantenmechanik öffent-
lich kund zu tun. Die bei diesem Kongress beginnenden, überaus intensiven

Diskussionen zwischen Bohr und Einstein setzten sich auch im privaten

Rahmen weiter fort und sind unter dem Namen Bohr-Einstein-Debatte be-
kannt.

Die aus der Quantenmechanik zwangsläufig folgende Vorstellung, dass
ein Quantenobjekt, wie z. B. ein Elektron, entweder keinen bestimmten Ort
oder keinen bestimmten Impuls haben kann, missfiel Einstein sehr. Der
unvermeidliche Zufall, welcher aus der Heisenbergschen Unschärferelation
resultieren muss und der in der Quantenmechanik eine zentrale Rolle bei
der Beschreibung der Verhaltensweisen von Quantenobjekten einnimmt,
war mit Einsteins deterministisch geprägtem Weltbild absolut nicht ver-
einbar.

Diese eklatante Ablehnung des quantenmechanischen Indeterminismus
äußerte er nur all zu häufig in seiner nicht ganz unironisch gemeinten Be-
merkung, er könne nicht glauben, dass Gott mit dem Universum Würfel
spiel. (Einer viel zitierten Anekdote zufolge soll Bohr daraufhin einmal
verschmitzt erwidert haben, Einstein solle doch Gott nicht vorschreiben,
was er zu tun habe.) Einstein zweifelte nachhaltig an dem allgemeinen An-
spruch der Quantenmechaniker auf Vollständigkeit ihrer Theorie. Hierzu
sei kurz erwähnt, dass man in diesem Zusammenhang dann von der Voll-
ständigkeit einer physikalischen Theorie spricht, wenn jedem Element der
physikalischen Realität genau ein Gegenstück in eben jener Theorie zuge-
ordnet werden kann.

xx

9 Die Bohr-Einstein-Debatte

89

Abb. 9.1. Die Teilnehmer der Solvay-Konferenz in Brüssel 1927:

obere Reihe:

Piccard, Henriot, Ehrenfest, Herzen, de Donder,

Schrödinger, Verschaffelt, Pauli, Heisenberg, Fowler,

Brillouin
mittlere Reihe: Debye, Knudsen, Bragg, Kramers, Dirac, Compton,
de Broglie, Born, Bohr
untere Reihe: Langmuir, Planck, Curie, Lorentz, Einstein, Langevin,

Guye, Wilson, Richardson

Einstein machte es sich demnach zur Aufgabe offenkundig darzulegen,
eine Beschreibung der Vorgänge im Mikrokosmos könne mit Hilfe der

Quantenmechanik entgegen der Meinung Bohrs nicht als vollständig an-
gesehen werden. Seiner Überzeugung nach stellte die „Unschärfe“ nur eine
scheinbare Barriere dar, die es durch einen möglichst geschickt gewählten
experimentellen Versuchsaufbau zu umgehen galt. Später wurden diese von
der Quantenmechanik möglicherweise nicht erfassten physikalischen Grö-
ßen als verborgene Variable oder auch verborgene Parameter bezeichnet.

Würden diese verborgenen Parameter in der Realität wahrhaftig existie-
ren, so wäre Einsteins Einspruch durchaus berechtigt, denn die Quanten-
mechanik böte keine vollständige Beschreibung der Vorgänge im Mikro-
kosmos. Ihre Aussagekraft würde sich auf statistische Vorhersagen be-
schränken, weil die Quantenmechanik die tatsächlichen, untergeordneten

Vorgänge nicht zu erfassen vermöge. Um also diese, Einsteins Meinung
nach offenbar falsche Vollständigkeitsannahme Bohrs zu widerlegen, er-
sann er im Verlauf der Bohr-Einstein-Debatte immer neue, subtile Gedan-
kenexperimente, mit Hilfe derer er die Inkonsistenz der Heisenbergschen

Unschärferelation zu offenbaren versuchte.

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9 Die Bohr-Einstein-Debatte

Was ist denn „Zufall“ physikalisch gesehen überhaupt?

Um jedoch Einsteins durchaus spitzfindige und grundlegende Einwände
richtig erfassen zu können, müssen wir zuerst klären, was es mit dem

Begriff des Zufalls in der Physik eigentlich auf sich hat. Nun, nach der

Definition Heisenbergs unterscheidet man zwei Arten von Zufällen, den
subjektiven und den objektiven Zufall.

Unter dem subjektiven Zufall versteht man die scheinbare Zufälligkeit,
welche auf Grund von Informationsmangel über die exakten Anfangsbedin-
gungen, unter denen ein physikalischer Prozess stattfindet, entsteht. Da die

Kenntnis dieser Daten für die korrekte Vorausberechnung des Ausgangs
eines Vorgangs aber unbedingt notwendig ist (wir erinnern uns an den

Laplaceschen Dämon aus Kap. 7), scheinen Prozesse, bei denen eine win-
zige Änderung in den Ausgangsbedingungen extreme Differenzen in den

Endzuständen verursachen, zufällig.

Als bekanntes Beispiel sei hier der klassische subjektive Zufall beim

Würfel- oder Lottospiel genannt. Auf diesen subjektiven Zufall sich be-
ziehende Wahrscheinlichkeitsberechnungen (die Chance mit einem Wür-
fel eine 6 zu würfeln beträgt beispielsweise bekanntlich ein Sechstel) sind
daher nur nötig, weil die genauen Ausgangswerte jenes wohlgemerkt voll-
kommen deterministischen Vorgangs nicht bekannt sind. Es wird hierbei
jedoch immer von der uneingeschränkten Gültigkeit der Kausalität, des
zwingenden Zusammenhangs von Wirkung und Ursache, ausgegangen.

So gibt es beispielsweise nur Statistiken über die Häufigkeit von Flug-
zeugunfällen an bestimmten Orten, zu gewissen Zeiten, unter bestimmten

Wetterbedingungen usw., aber der genaue Ort und Zeitpunkt eines sol-
chen Unfalls kann eben nur auf Grund des bestehenden Datenmangels
nicht vorausberechnet werden, und nicht deshalb, weil es keine tiefer lie-
genden Ursachen für einen jeden solchen Vorfall geben würde. Folglich
wird beim Auftreten eines Absturzes (um bei diesem Bild zu bleiben) –
sich auf die Gültigkeit des Prinzips der Kausalität berufend – in jedem

Fall so lange Nachforschung betrieben, bis die Ursache, welche ein Flug-
zeugunglück verursacht hat, gefunden ist. Und dies deshalb, weil man sich
stets uneingeschränkt sicher ist, dass es (mindestens) eine Ursache gegeben
haben muss (seien es nun technische Probleme, menschliches Versagen des

Piloten oder fehlerhafte Angaben des Fluglotsen oder irgendetwas anderes
gewesen), welche die Wirkung (das Abstürzen des Flugzeugs) hervorriefen.

Der subjektive Zufall basiert also nur auf der Unkenntnis der genaueren

Bedingungen unter denen ein komplexer Prozess geschieht, aber trotzdem
xx

9 Die Bohr-Einstein-Debatte

91
wird dabei sehr wohl davon ausgegangen, dass die physikalischen Vorgänge
an sich determiniert, also dem Gesetz der Kausalität unterworfen sind.

Als objektiver Zufall wird – im extremen Gegensatz zum gerade Darge-
legten – ein wirklich absolut zufälliges Geschehen bezeichnet, das keinen,
nicht einmal einen durch unser Unwissen verborgenen Grund hat. Diese

Zufälligkeit ist daher, ungleich dem subjektiven Zufall, nicht ein Resultat
eines Mangels an Informationen über die genauen Umgebungsbedingun-
gen des Prozesses, sondern er ist real zufällig, das bedeutet, hier gibt
es wahrhaftig keinen zwingenden Zusammenhang zwischen Ursache und

Wirkung mehr. Der objektive Zufall steht daher im direkten Widerspruch
zum Prinzip der Kausalität, denn Ursache und Wirkung sind nicht mehr
zwingend kausal verknüpft. Dieser Punkt ist es, der den qualitativen Un-
terschied zwischen dem objektiven und dem subjekiven Zufall ausmacht.

Wie wir wissen, kann es aus der Sicht der klassischen Physik keinen
objektiven Zufall geben, denn jegliches Geschehen gehorcht den Gesetzen
der Newtonschen Mechanik, so dass das Universum im Grunde genom-
men den gleichen deterministischen Gesetzen unterliegt wie das präzise

Getriebe einer Schweizer Taschenuhr.

Wie lautete Einsteins Kritik?

Da Einstein verständlicherweise der Meinung war, das Prinzip der Kau-
salität werde vom gesunden Menschenverstand als gültig vorausgesetzt,
konnte er sich ersichtlicherweise nicht mit der Vorstellung der Existenz
eines wahrhaftig objektiven Zufalls anfreunden. Zumal doch die Gültigkeit
der Kausalität bislang als Grundvoraussetzung für jede Naturwissenschaft
galt.

Tatsächlich ist jedoch in der Quantenmechanik eben dieser objektive

Zufall ein elementarer Bestandteil der Theorie. Denn die Heisenbergsche

Unschärferelation schränkt nicht nur – wie man fälschlicherweise zunächst
behaupten könnte – das Wissen, welches man über die Eigenschaften
eines Quantenobjekts (wie z. B. Aufenthaltsort oder Impuls) erlangen kann,
fundamental ein, sondern sie besagt sogar, dass jenes Quantenobjekt an
sich eben teilweise gar keine bestimmten Eigenschaften besitzt. Ist der Im-
puls eines Quantenobjekts sehr genau festgelegt, so kann sein Aufenthalts-
ort nicht nur nicht genau festgestellt werden, sondern es besitzt an sich
gar keinen bestimmten Aufenthaltsort. Man könnte dies auch provokant
ausdrücken: Wenn ein Elektron dazu gezwungen wird in eine bestimmte

Richtung zu fliegen, weiß es nicht einmal selbst, wo es sich aufhält.

xx

92

9 Die Bohr-Einstein-Debatte

Ein weiterer Aspekt, der Einsteins Zweifel an dem Vollständigkeits-
anspruch der Quantenmechanik begründete, war die Tatsache, dass die

Beschreibung eines Elektrons durch die Quantenmechanik beispielsweise
keine Information über den tatsächlichen Auftreffort des Elektrons auf
dem Projektionsschirm geben kann. Die Schrödinger-Gleichung, welche
die den Zustand eines Quantenobjekts beschreibende Wellenfunktion ent-
hält, ist eine der Matrizenmechanik Heisenbergs äquivalente mathema-
tische Schreibweise. Sie kann keine definitive, eindeutige Auskunft über
den Auftreffort eines Elektrons auf dem Projektionsschirm geben, sondern
macht nur eine Aussage über die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Elektron
an einem bestimmten Ort des Projektionsschirms auftrifft.

Nach der Quantenmechanik Bohrs und Heisenbergs muss daher der
letztendliche Auftreffort eines Elektrons absolut zufällig sein, da die Infor-
mation über den Auftreffort nicht in der das Elektron beschreibenden Wel-
lenfunktion enthalten ist. Diese objektive Ungewissheit hat aber zur Folge,
dass die Bahn eines Quantenobjekts nicht mehr genau festgelegt ist. Der
mathematische Formalismus der Quantenmechanik ermöglicht uns zwar
eine Voraussage über die Wahrscheinlichkeit ein Quantenobjekt im Falle
einer Messung an einem bestimmten Ort anzutreffen. Doch die Frage nach
dem wirklichen Aufenthaltsort des Quantenobjekts, während wir es nicht
beobachten, d. h. messen, ist an sich schon sinnlos bzw. absurd, denn das

Quantenobjekt befindet sich nun einmal in einer Superposition des Aufent-
halts an unendlich vielen Orten. Solange wir es nicht durch eine Messung
dazu zwingen, besitzt es gar keine festgelegten (klassischen) Eigenschaften.

Daraus folgt jedoch zwangsläufig, dass der finale Detektionsort eben-
falls objektiv zufällig sein muss. Denn stellen wir uns einen räumlichen Be-
reich vor, innerhalb dessen sich das Quantenobjekt an jedem Ort mit einer
exakt gleichen Wahrscheinlichkeit aufhält, so kann es, angesichts der Tat-
sache, dass es keine festgelegten Eigenschaften besitzt, keine andere Mög-
lichkeit geben, als dass der letztendliche Ort der Detektion objektiv zufällig
ist. Die Schrödinger-Gleichung vermag uns keine Information darüber ge-
ben, wo die Wellenfunktion letztlich im Moment der Messung kollabieren
wird.

Sehen wir also die Beschreibung durch den quantenmechanischen For-
malismus als vollständig an, so kann der Ort des Kollapses nur zufällig
gewählt sein. Für die finale Wirkung gibt es laut der Quantenmechanik
tatsächlich keine Ursache.

Diesen fundamentalen Indeterminismus, der den Charakter der Quan-
tenmechanik maßgeblich bestimmt, konnte Einstein aber keinesfalls hin-
xx

9 Die Bohr-Einstein-Debatte

93
nehmen. Er war der festen Überzeugung, es müsse eine Ursache für jegliche

Wirkungen geben – gleichgültig, ob es sich nun um Prozesse des Makrokos-
mos (wie z. B. beim Billardspiel oder bei Planetenbewegungen etc.) oder
um Vorgänge im Mikrokosmos (wie z. B. bei Prozessen in der Atomhülle
etc.) handle. Auch für die Geschehnisse auf der Quantenebene müsse es
übergeordnete Ursachen geben, meinte er. Und dies nicht deshalb, weil
er an dem Prinzip der strengen Kausalität festhielt, oder weil die klassi-
sche Physik dieses „Quantengehopse“ nicht erlaubte, sondern schlicht und
ergreifend aus dem Grunde, dass er sich keine indeterministische Welt vor-
stellen konnte. Die Annahme eines den Indeterminismus implizierenden

Kosmos widersprach einfach grundlegend seinem Naturverständnis.

Auch die der Kopenhagener Deutung unumgänglich inhärente Nicht-

Objektivierbarkeit der Quantenmechanik erfüllte Einstein mit tiefstem

Unbehagen. Er konnte sich nicht vorstellen, ein Elektron habe, solange wir
es nicht messen, keinen bestimmten Aufenthaltsort, so wie es die Kopen-
hagener Deutung schließlich behauptete. Wie es sich eigentlich für jeden
überzeugten, um Objektivität bemühten Physiker gehören musste, erschien
auch ihm als essentielle Bedingung für das Betreiben von Naturwissen-
schaft, dass das zu beschreibende Objekt von dem Beobachtungsprozess
bzw. -system unabhängig gedacht werden kann. In seinen späteren Jahren
fragte er aus dieser Überzeugung heraus einmal in dem für ihn typisch
ironischen Ton seinen guten Freund und Kollegen Abraham Pais :

„Glaubst du denn wirklich, der Mond existierte nur, wenn du auf ihn
blickst?“ 8

Einem anderen Einsteinschen Zitat aus einem Brief an Max Born aus dem

Jahre 1926, in dem er sich kritisch über die noch sehr junge Quantentheorie
äußert, kann man die folgenden Worte entnehmen:

„Die Theorie leistet viel, aber dem Geheimnis des Alten bringt sie uns
kaum näher. Jedenfalls bin ich überzeugt, dass der nicht würfelt.“ 9

In diesen abfälligen Äußerungen Einsteins wird dessen geringschätzige

Haltung gegenüber der von Bohr vertretenen Kopenhagener Deutung
überdeutlich. Dass Einstein durch und durch davon überzeugt war, die

Quantenmechanik sei offensichtlich nicht in der Lage die Natur vollständig
zu beschreiben, kommt hierin zweifelsfrei zum Ausdruck. Er honorierte

8 Biographie: Einstein (Spektrum, 2002); S. 91

9 C. Held: Die Bohr-Einstein-Debatte (Schöningh, 1998); S. 73
xx

94

9 Die Bohr-Einstein-Debatte
zwar ihre (ihm nach rein statistisch zu interpretierende) Vorhersagekraft,
doch ihren Anspruch eine vollständige Theorie zur Beschreibung der Ge-
schehnisse im Mikrokosmos zu liefern, wies er vollständig zurück.

Bei der ersten oberflächlichen Betrachtung mögen die hier wiederge-
gebenen Ansichten Einsteins eventuell recht willkürlich und subjektiv
gefärbt erscheinen, doch sollten sie seine wissenschaftlichen Leistungen
weder abwerten noch verteidigen. Seine Ablehnung gegenüber der Quan-
tenmechanik ist aus menschlich-logischen Gründen relativ leicht nachvoll-
ziehbar. Eine akausale Welt steht notwendigerweise im Konflikt mit jeder
rationalitätsbehafteten, menschlichen Denkweise. Naturgemäß können wir
gar nicht anders, als nach Kausalitäten zu suchen und ihnen entsprechend
zu handeln. Dies nicht zu tun, wäre sowohl offensichtlich töricht als auch
wenig alltagsdienlich.

Umso beeindruckender ist es demzufolge, dass Einstein schon zu so
früher Zeit, noch mitten in der frühen Entwicklungsphase der Quanten-
mechanik, mit seinen spitzfindigen Äußerungen genau das tatsächliche

Kernproblem der Quantenmechanik traf.

Welche Experimente diskutierten Bohr und Einstein?

Im Folgenden wollen wir versuchen eines der bekanntesten, von Einstein
zum Zweck einer augenfälligen Verdeutlichung seiner Kritik formulierten

Gedankenexperimente zu diskutieren. Der Versuchsaufbau dieses Experi-
ments gleicht im Grunde genommen dem uns mittlerweile sehr gut be-
kannten Doppelspaltexperiment. Der einzige, wenn auch wesentliche, Un-
terschied ist, dass der Doppelspalt in diesem Fall beweglich ist, es sich also
um ein Doppelspaltexperiment mit beweglichem Doppelspalt handelt.

Aus unseren früheren Betrachtungen des Doppelspaltexperiments wis-
sen wir, dass die Elektronen zum größten Teil am Spalt gebeugt werden, also
ihre vorherige Bewegungsrichtung ändern, so dass sie auf dem Projektions-
schirm nicht nur direkt hinter dem Spalt auftreffen, sondern ein seitlich ver-
breitertes Detektionsmuster hinterlassen. Was wir bisher jedoch nicht be-
achteten, ist, dass auf Grund der Impulserhaltung die Impulsänderung des

Elektrons am Spalt eine dazu entgegengesetzt gerichtete Impulsänderung
auf den Doppelspalt verursacht. Der Doppelspalt erfährt durch den Aufprall
des Elektrons sozusagen eine Art Rückstoß. Mit anderen Worten, wenn
das Elektron durch den Spalt geht und an ihm gebeugt wird, überträgt es
auf den Doppelspalt einen Impuls, der genau so groß wie die Impuls-
änderung des Elektrons und der Richtung der Ablenkung entgegengesetzt
xx

9 Die Bohr-Einstein-Debatte

95
ist. Diese Impulsänderung des Doppelspaltes konnten wir bislang wegen
der enormen Größe und Masse des Doppelspaltes im Vergleich zu dem
winzigen Quantenobjekt guten Gewissens vernachlässigen.

Nach der Theorie der Quantenmechanik kann jedoch, wenn auf dem

Projektionsschirm ein Interferenzmuster auftreten soll, das Elektron nach

Passieren des Doppelspaltes keine bevorzugte Ausbreitungsrichtung an-
nehmen, denn um Interferenzfähigkeit zu besitzen, muss es als dreidimen-
sionale (Elektronen-)Welle beschrieben werden, und Wellen besitzen hinter
dem Spalt keine bevorzugte Ausbreitungsrichtung.

Oder um es aus Sicht der Komplementarität von Impuls- und Aufent-
haltsungenauigkeit zu betrachten: Wollen wir den finalen Auftreffort der

Elektronen auf dem Projektionsschirm sehr genau vorausbestimmen kön-
nen, indem wir die dunklen Streifen des Interferenzmusters berechnen,
müssen wir uns leider damit abfinden, dass zwangsläufig als Folge der Un-
schärferelation die Impulskomponente des Elektrons, und das heißt die

Beugungsrichtung hinter dem Spalt, nicht genau bestimmt sein kann.

Es ist also laut Quantenmechanik unmöglich die Impulsänderung des

Elektrons (und somit die des Doppelspaltes) zu messen und gleichzeitig das

Interferenzmuster zu erhalten, denn das Auftreten des Interferenzmusters
und die Festlegung der Impulsänderung sind quantenmechanisch gesehen
komplementäre Angelegenheiten. Und wenn wir uns nochmals an unsere

Versuche aus Kap. 5 erinnern, in denen wir versuchten mit Hilfe von Rönt-
genstrahlung den Weg der Elektronen durch den Doppelspalt festzustellen,
so wissen wir, dass jeder Versuch einer Konkretisierung des Weges eines

Elektrons durch den Doppelspalt zum Verlust seiner Interferenzfähigkeit
führt.

Die Quantenmechanik besagt dementsprechend für den Fall der kon-
kreteren Festlegung der Impulsablenkung des Elektrons, dass das Inter-
ferenzmuster verschwinden muss, so dass der Auftreffort auf dem Pro-
jektionsschirm ungenau wird. Wir müssten also festhalten, dass die

Quantenmechanik es nicht erlaubt gleichzeitig sowohl eine differenzierte

Information über die Beugungsrichtung des Elektrons zu erlangen als auch
das Auftreten des Interferenzmusters aufrecht zu erhalten.

Aus diesen Unschärfeprinzipien folgt aber der quantenmechanische,
von Einstein so überaus verhasste objektive Zufall des nicht determinis-
tisch festgelegten wirklichen Auftrefforts der Elektronen auf den Projek-
tionsschirm, denn die Quantenmechanik macht prinzipiell keine Aussage
über die Bewegungsbahn eines Elektrons, sondern gibt nur die Wahrschein-
xx

96

9 Die Bohr-Einstein-Debatte
lichkeiten an, mit denen ein Elektron am Ort x auf dem Projektionsschirm auftrifft.

Daher musste Einstein es sich zur Aufgabe machen, die „Subebene“
hinter den Quantenprozessen zu finden. So heckte er entgegen der obigen,
quantenmechanischen Argumentation unter anderem folgende Idee aus:

Einstein argumentierte, man könne sich vorstellen, dass durch eine ge-
eignete, sehr empfindliche Messanordnung an einem beweglich gelagerten

Doppelspalt dessen durch die Beugung eines Elektrons auftretende Impuls-
änderung gemessen werden könnte. Er selbst stellte sich dazu einen theo-
retischen Aufbau vor, dessen Doppelspalt (z. B. durch feine Metallfedern)

beweglich gelagert ist und eine an einer äußeren Halterung fixierte Bewe-
gungsanzeige besitzt (in Abb. 9.2 unten an der Aufhängung angedeutet),
welche die Auslenkung des Doppelspaltes nach oben bzw. unten indiziert.

Dabei wäre noch nicht einmal die Kenntnis des genauen Betrages der

Impulsänderung notwendig. Schon allein die Information, ob das Elektron
nach rechts oder nach links gebeugt wurde, gäbe mehr Information über
den Zustand des Elektrons preis, als die Quantenmechanik in der Lage ist
anzugeben.

Würde sich bei einem solchen Experiment tatsächlich eine Ablenkungs-
richtung der Elektronen eindeutig feststellen lassen, ohne dass dabei das

Interferenzmuster zerstört wird, so wäre hiermit ein Beleg dafür gefunden,
dass die Quantenmechanik keine vollständige Beschreibung des Mikro-
kosmos bieten kann. Auf diese Weise hätte Einsteins Unbehagen gegen-
über der Heisenbergschen Unschärferelation eine fundierte, experimen-

Projektionsschirm

Lichtquelle
gefederter Doppelspalt

Abb. 9.2.

Der schematische Versuchsaufbau eines der Gedankenexperimente

Einsteins.

xx

9 Die Bohr-Einstein-Debatte

97
telle Grundlage bekommen. Bevor wir uns jedoch Bohrs Entgegnung dies-
bezüglich widmen werden, möchte ich kurz auf die Bedeutung des physi-
kalischen Gedankenexperiments an sich zu sprechen kommen.

Welche experimentellen Fakten lagen den Diskussionen zu

Grunde?

Der Ordnung halber sollte nicht unerwähnt bleiben, dass die Experimente
über die Interferenz von Photonen, Elektronen etc. zu jener Zeit Bohrs
und Einsteins, in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts, wohlgemerkt nur
reine Gedankenexperimente, d. h. keine wirklichen, praktisch durchgeführ-
ten Experimente waren. Des Weiteren bestanden auch gravierende Zweifel,
ob derartige Experimente wie z. B. das Doppelspaltexperiment mit Elek-
tronen und andere Gedankenexperimente, die während der Bohr-Einstein-

Debatte entstanden, jemals praktisch durchführbar sein würden. Dies muss
man sich bewusst machen, denn es ist schließlich überaus beeindruckend,
wie allen voran Einstein und Bohr den Mikrokosmos allein durch Nach-
denken, also nicht durch praktische Experimente, sondern nur durch Ge-
dankenexperimente erforschten.

Ich möchte das Erwähnte mit einer amüsanten Anekdote verdeutlichen:

Als Einstein bereits berühmt war, wurde er einmal von einem Journalisten
nach dem Sitz seines Laboratoriums gefragt, in welchem er die Erkenntnisse
für die Aufstellung seiner revolutionären Theorien erlangt hatte. Einstein
griff daraufhin in seine Jackentasche, holte seinen Füllfederhalter heraus
und meinte auf diesen hindeutend, jener sei sein Laboratorium.

Tja, dies zeigt recht deutlich Einsteins Einstellung auf: Er war schlicht
und ergreifend theoretischer Physiker. Das Experimentieren überließ er
gern anderen. Sein Spezialgebiet war die theoretische Physik, das „Grübeln
und Rechnen“. Allein mit Papier und Stift entwickelte er seine spezielle und
allgemeine Relativitätstheorie zur Beschreibung des Makrokosmos, alleine
mit Papier und Stift versuchte er die Theorien Bohrs und Heisenbergs
zur Beschreibung des Mikrokosmos zu widerlegen. Letzteres sollte dem

Universalgenie jedoch nicht gelingen.

Wie lautete Bohrs Entgegnung?

Dem soeben Erwähnten nach ließen sich Einsteins Gedanken nicht un-
mittelbar und direkt an einem experimentellen Aufbau überprüfen. In-
sofern musste, nachdem Einstein seinem Widersacher Bohr die obigen
xx

98

9 Die Bohr-Einstein-Debatte
kritischen Überlegungen mitgeteilt hatte, letzterer versuchen einen theo-
retischen Haken, eine gedankliche Unachtsamkeit in Einsteins Gedanken-
gang zu finden, so dass sich die Vorstellung der Vollständigkeit der Quan-
tenmechanik aufrechterhalten ließ. Denn nur durch das Aufzeigen einer

Inkonsistenz in der Beschreibung bzw. „Durchführung“ eines Gedanken-
experiments lässt sich selbiges ohne die Durchführung eines wirklichen

Experiments falsifizieren.

Glücklicherweise (oder leider, je nach dem wie man es nimmt) konnte

Bohr schließlich nach einer intensiven Analyse des Einsteinschen Ge-
dankenexperiments diesen „Haken“ finden: Der logische Fehlschluss lag
an einer Fehleinschätzung der Federung des Doppelspalts.

Jetzt mag man sich wahrscheinlich fragen, warum denn der bewegliche

Doppelspalt der Übeltäter ist. Nun, die Argumentation ist ein wenig ver-
zwickter, obwohl der Sachverhalt an sich eigentlich nicht wirklich komplex
ist. Konzentrieren wir uns im Folgenden erst einmal auf den Mechanis-
mus, mit dem die Impulsänderung des Elektrons gemessen werden soll.

Zunächst dürfte klar sein, dass wir einen möglichst niedrig dimensionier-
ten, leichten Doppelspalt benötigen, der so agil gelagert ist, dass er sich von
einem einzelnen Elektron aus der Ruhelage auslenken lässt. Es sollte offen-
kundig sein, dass es überaus schwierig ist solch einen Doppelspalt praktisch
zu realisieren, doch davon wollen wir uns hier nicht abschrecken lassen,
denn schließlich handelt es sich dabei ja um ein Gedanken experiment.

Schwierigkeiten ausschließlich technischer Natur sind bei solchen per de-
finitionem schon rein prinzipiell zu vernachlässigen.

Worauf man allerdings bei der Analyse eines Gedankenexperiments
stets äußerst penibel achten muss, ist, dass keine grundsätzlichen physi-
kalischen Gesetzmäßigkeiten vernachlässigt, verfälscht oder sogar einfach
außer Acht gelassen werden dürfen. So muss man sich, abgesehen von
den technischen Schwierigkeiten, die ein soeben dargelegter beweglicher

Doppelspalt bereitet, mit einer gravierenden, fundamentalen Tatsache aus-
einander setzen: Wenn man einen Doppelspalt konstruieren will, der auf

Grund seiner äußerst minimierten Masse dazu in der Lage ist, den Impuls
eines einzelnen Elektrons zu erfassen, so kann jenes labile Objekt selbst
nicht mehr als makroskopisch angesehen werden. Dieses überaus spezi-
elle Gebilde muss unabwendbar ebenfalls als ein Quantenobjekt behandelt
werden, welches folglich jedoch den gleichen quantenmechanischen Re-
geln unterworfen ist wie das Elektron selbst. Infolgedessen kann sich der

Doppelspalt ebenso wenig wie alle anderen Quantenobjekte auch gegen die
grundlegenden Prinzipien der Heisenbergschen Unschärferelation wehren:

xx

9 Die Bohr-Einstein-Debatte

99

Abb. 9.3. Zwei intensiv diskutierende Kollegen und gute Freunde: Bohr und

Einstein

Entweder kann sein Aufenthaltsort oder sein Impuls genau bestimmt sein,
aber niemals beide gleichzeitig beliebig genau.

Wenn wir nun versuchen wollten Einsteins Gedankenexperiment zu
realisieren, müsste der bewegliche Doppelspalt erst einmal mittig zur Ruhe
gebracht werden, so dass seine Auslenkung von der Ruhelage, die durch
das daran gebeugte Elektron verursacht wird, gemessen werden kann. Lei-
der wissen wir aber bereits, dass dies gar nicht möglich ist, denn ist der

Aufenthaltsort des Doppelspaltes genau bestimmt, so muss seine Impuls-
komponente zwangsläufig sehr ungewiss sein. Je mehr wir uns bemühen,
den Doppelspalt zur Ruhe zu bringen, um mit unserem Experiment starten
zu können, desto mehr zappelt er wie verrückt herum, da seine Impuls-
komponente unbeherrschbar wird.

Insofern müssen wir mehr oder weniger resigniert feststellen, dass

Einsteins so ausgeklügeltes Experiment leider doch nicht seinen eigent-
lichen Zweck erfüllen kann die Heisenbergsche Unschärfe experimentell
zu umgehen, sondern eben an jener scheitern muss. Wir haben uns somit
während unserer verzweifelten Bemühungen einmal um 360° gedreht und
stehen nun wieder am Anfang.

xx

100

9 Die Bohr-Einstein-Debatte

Welche Schlussfolgerungen kann man aus der

Bohr-Einstein-Debatte ziehen?

Zumindest können wir mit bestem Gewissen stehen lassen, dass sich die
oft zitierte Unschärfe wahrhaftig nicht so leicht umgehen lässt. Und ob
sie überhaupt vermeidbar ist, steht immer noch ungebrochen zur Diskus-
sion. Es soll nur gesagt sein, dass Einstein es mit seiner bemerkenswerten

Ideenvielfalt und den zahlreichen Gedankenexperimenten zwar des Öfteren
bewerkstelligen konnte Bohr in ernsthafte Verlegenheit zu bringen. Letz-
ten Endes konnte jedoch kein einziger dieser qualifizierten Einsteinschen

Angriffe zu Ungunsten der Bohrschen Theorie entschieden werden.

Oder um es anders zu formulieren: So unangenehm die Quanten-
mechanik auch schmecken mag, es lässt sich einfach nicht der Hebel finden
mit dem man das blöde Ding aus den Angeln heben könnte. Was soll man
machen?

Um zum Abschluss dieser Darstellung der Bohr-Einstein-Debatte noch
einmal ein wenig Kritik zu äußern, sei gesagt, dass, auch wenn die dabei
stattfindenden tiefgründigen Diskussionen für die weitere Entwicklung der

Quantenmechanik sehr bedeutungsvoll waren, wir dennoch aus unserer
heutigen (wenn auch nur scheinbar ;-) objektiven Sicht eingestehen müs-
sen, dass Einstein und Bohr bei ihren Debatten in nicht unwesentlichem

Maße aneinander vorbeigeredet haben:

Einstein nahm bei all seinen Argumentationen stets eine vom Beob-
achter unabhängige Weltsicht an, wohingegen Bohr immer davon über-
zeugt war, dass eben diese in der Welt des Mikrokosmos indiskutabel, da
unmöglich einzunehmen sei. Nach Bohr muss auf Grund der Komplemen-
taritäten der physikalischen Eigenschaften eines Quantenobjekts, welche
unter anderem in der Unschärferelation zum Ausdruck kommt, der Mess-
apparat mit in die physikalische Betrachtung einbezogen werden. Messen
wir eine Eigenschaft wie den Aufenthaltsort eines Quantenobjekts, so führt
eben jene Messung zur Zerstörung der Superposition des Aufenthalts an
unendlich vielen Orten zum Aufenthalt an einem konkreten Ort – sie ver-
ursacht den Kollaps der Wellenfunktion. Dies führt allerdings zwangsläu-
fig zu einem Verzicht auf Objektivierbarkeit, wobei doch Einstein aber
vehement die physikalische Welt objektiv beschreiben wollte, eine objek-
tive, von der Messung (und dem Menschen) unabhängige Physik verlangte.

Eben dies ist jedoch laut Bohr quantenmechanisch nicht möglich. Daher
mussten die beiden Genies unabwendbar stetig aneinander vorbeireden,
vielleicht sogar ohne diese verschiedenen Weltsichten überhaupt bewusst
wahrzunehmen.

xx

9 Die Bohr-Einstein-Debatte

101

Aber natürlich hat sich Einstein nicht so schnell durch kleine Misser-
folge einschüchtern lassen, geschweige denn gar aufgegeben. Er war wei-
terhin, sogar bis an sein Lebensende, der Überzeugung, es müsse so etwas
wie verborgene Variablen geben, es müsse eine deterministische Ebene un-
terhalb der Quantenebene geben, so dass sich die objektive Zufälligkeit

Heisenbergs als nur scheinbar, weil auf einer unvollständigen Theorie
basierend, herausstellen sollte. Schließlich setzte er wenige Jahre nachdem
er 1933 in die USA emigrierte nochmals zu einem in einer anderen Bezie-
hung für das spätere, tiefere Verständnis der Quantenphysik sehr wichtigen

Schlag an, einem völlig neuartigen Gedankenexperiment, welches sowohl
in physikalisch-interpretativer als auch in anwendungsbezüglicher Hinsicht
besonders in unseren heutigen Tagen unumstritten von immenser Bedeu-
tung ist: dem EPR-Experiment, mit dem wir uns zu einem etwas späteren

Zeitpunkt ab Kap. 13 auseinander setzen wollen.

xx

10

Das Bohrsche Atommodell
xx

104

10 Das Bohrsche Atommodell

Welche Atommodelle gab es?

Schon zu Beginn dieses Buches stellte sich uns die grundlegende Frage
nach dem Aufbau der Materie. Die in Kap. 1 nur kurz angeschnittenen,
historisch gesehen frühen Modelle des Atoms wollen wir nun noch einmal
aufarbeiten, um nachvollziehen zu können, warum die Formulierung eines
neuen, realitätsnäheren Atommodells nötig war.

Dass Materie aus unteilbaren, kleinsten Teilchen aufgebaut ist, wurde
bekanntlich schon vor sehr langer Zeit im alten Griechenland vermutet,
als derartige Hypothesen noch eher auf philosophischen Denkweisen ba-
sierten, denn auf ordnungsgemäßer Wissenschaft im Sinne der Physik

Galileis oder Newtons. So gingen schon im 5. Jahrhundert v. Chr. die

Philosophen Leukipp und Demokrit von der Existenz kleinster Partikel,
genannt Atome (von griech. átomos = unteilbar), aus.

Sehr viel später griff schließlich der britische Chemiker John Dalton

(1766–1844) auf Grund bestimmter Gesetzmäßigkeiten, die man bei chemi-
schen Versuchen beobachten konnte, diese antike Atomhypothese wieder
auf und ergänzte sie. Dalton erkannte, dass sich das Gesetz der konstanten
und multiplen Proportionen (nach dem sich Elemente nur unter bestimm-
ten Massenverhältnissen oder in ganzzahligen Vielfachen dieser Massen
zu chemischen Verbindungen zusammenschließen) über die Annahme der

Existenz von Atomen erklären ließ. Dabei sollte jedes Atom eines bestimm-
ten chemischen Elements stets dieselbe Masse und Größe haben und zu-
mindest chemisch nicht weiter teilbar sein. Doch dieses frühe Atommodell
vermochte natürlich noch nicht alle beobachteten Phänomene zu erklären.

So entdeckte der Brite Joseph Thomson (1856–1940) bei seinen Ver-
suchen an Kathodenstrahlröhren, dass es negativ geladene Partikel geben
musste – die Elektronen. Über seine Experimente war er sogar dazu in der

Lage den Quotienten q/m, also die Ladung pro Masse eines solchen Elek-
trons zu bestimmen. Des Weiteren nahm er zur Erklärung seiner Versuche
die Existenz von positiv geladenen Teilchen (den positiv geladenen Io-
nen) an. Das aus diesen neuen Erkenntnissen gebildete Atommodell Thom-
sons wird als Rosinenkuchenmodell bezeichnet. Hiernach stellt man sich
das Atom als einen kompakten Klumpen vor, in dessen positiver Materie-
kugel die negativen Elektronen regelmäßig verteilt, wie Rosinen in einem

Kuchenteig, eingebettet sind.

So war schon Mitte des 19. Jahrhunderts ersichtlich, dass das so ge-
nannte Atom gar nicht wirklich unteilbar sein konnte, wie ursprünglich
angenommen, bzw. dass das eigentliche Atom – wenn dies denn existierte

– noch nicht gefunden war.

xx

10 Das Bohrsche Atommodell

105

Als jedoch 1903 Philipp Lenard (1862–1947) begann über den Be-
schuss von Aluminiumfolien durch beschleunigte Elektronen genaueren

Aufschluss über den Aufbau der Atome zu erlangen, konnte das Atom-
modell Thomsons den experimentellen Befunden nicht mehr Stand halten.

Lenard erkannte, dass das Atom weitgehend leer sein musste und nicht
wie bei Thomson als ausgedehntes Gebilde betrachtet werden konnte.

Genaueres fand wenig später Ernest Rutherford (1871–1937) her-
aus, der durch verfeinerte Experimente zu einem neuen, verbesserten

Atommodell gelangen konnte. Er beschoss dünne Goldfolien mit Alpha-

Strahlung, welche aus Alpha-Teilchen, also Heliumkernen, besteht, die von
radioaktiven Kernen emittiert werden. Dabei untersuchte er die Winkel ϑ,
unter denen die Alpha-Teilchen an der nur ca. 100 Atomschichten breiten

Goldfolie gestreut wurden und musste bemerken, dass die Alpha-Teilchen
nur äußerst geringfügig durch die Folie abgelenkt wurden. Einige we-
nige Teilchen jedoch wurden nahezu in einem 180° Winkel von der Folie
zurückgeworfen. Rutherford konnte daraufhin zeigen, dass das beob-
achtete Streuverhalten der Alpha-Teilchen nicht mit dem von Thomson
vorgeschlagenen Atommodell, in dem die positive Ladung des Atoms
gleichmäßig über das gesamte Atom verteilt gedacht wird, erklärt werden
kann.

Aus jenen aufschlussreichen Experimenten konnte Rutherford fol-
gende Schlüsse ziehen, die ihn zu seinem neuen Atommodell führten:

– Atome sind größtenteils leer.

– Das Atom besitzt einen sehr kleinen und äußerst kompakten, positiv
geladenen Kern der Größenordnung 10−15 m.

– Elektronen umkreisen in der Atomhülle in beliebigen Abständen den

Atomkern. Hierbei muss die durch die Bahngeschwindigkeit eines Elek-
trons verursachte Zentrifugalkraft der ihr entgegengesetzten elektri-
schen Anziehungskraft des Kerns betragsgleich sein.

Dieses Atommodell ähnelt unverkennbar dem Aufbau unseres Planeten-
systems. Aus diesem Grund wird das Rutherfordsche Atommodell auch als

Planetenmodell bezeichnet. Die Gleichgewichtsbedingung, nach der die
elektrische Anziehungskraft der Zentrifugalkraft betragsgleich sein muss,
also

F elektrisch = − F zentrifugal ,

(10.1)

kennen wir ebenfalls schon aus der Newtonschen Mechanik.

xx

106

10 Das Bohrsche Atommodell

Die elektrische Kraft, die auch Coulombkraft heißt, wird über

Q

F

1 Q 2
el =

1

(10.2)

4 π 0 r 2
berechnet, wobei Q 1 und Q 2 die beiden Ladungen sind, die sich aus dem

Abstand r anziehen. Der konstante Faktor 0 nennt sich elektrische Feldkonstante und besitzt den ungefähren Wert 0 = 8 , 854 · 10−12 As / Vm.

Die Zentrifugalkraft ist durch

F Z = mv 2

(10.3)

r
gegeben. Demnach folgt für die dem Rutherfordschen Atommodell zu

Grunde liegende Gleichgewichtsbedingung (10.1),

1

Q 1 Q 2 = − mv 2 .

(10.4)

4 π 0 r 2
r

Welche Makel besitzt das Planetenmodell Rutherfords?

Allerdings haften auch diesem wesentlich verbesserten Atommodell ge-
wisse Nachteile an. So vermag es zwei grundlegende Tatsachen nicht zu
berücksichtigen:

a) Diskontinuität von Absorptions- und Emittionsspektren:

Es ist eine experimentelle Tatsache, dass Atome elektromagnetische

Strahlung stets nur in ganz bestimmten, für das jeweilige Element
charakteristischen Frequenzen absorbieren und emittieren können.

Untersucht man z. B. das Licht, welches von angeregten Hg-Atomen

(Quecksilberdampf) ausgesendet wird, spektroskopisch, so muss man
feststellen, dass kein kontinuierliches Spektrum elektromagnetischer

Strahlung emittiert wird, sondern nur bestimmte Frequenzen als so ge-
nannte Spektrallinien zu erkennen sind (siehe Abb. 10.1). Aber weshalb
werden nur bestimmte Frequenzen absorbiert und emittiert?

b) Stabilität der Atome:

Nach der klassischen Elektrodynamik strahlen beschleunigte Ladun-
gen Energie in Form elektromagnetischer Strahlung ab. Da die Elektro-
nen nun im Rutherfordschen Atommodell in der Atomhülle den Atom-
kern umkreisen, erfahren sie eine Radialbeschleunigung. Diese müsste
aber dazu führen, dass die Elektronen durch die ständige Beschleuni-
gung Energie abstrahlen, so dass sie an kinetischer Energie verlören
xx

10 Das Bohrsche Atommodell

107

Abb. 10.1. Faktische Diskontinuität der Spektrallinien in der Spektroskopie:

oben: Absorptionslinien von Hg-Atomen
unten: Emissionslinien von Hg-Atomen
und als letztendlichem Resultat in den Kern stürzen müssten. Folg-
lich wären Atome nicht stabil, sondern würden sofort kollabieren. Dass
dies jedoch in Wirklichkeit nicht der Fall ist, dürfte offenkundig sein.

Atome sind augenscheinlich stabil10. Wie lässt sich also die Stabilität
von Atomen erklären?

Diese nach allen theoretischen Bemühungen immer noch offenen Fragen
zwangen zu der Annahme, dass das Rutherfordsche Atommodell zumindest
nicht vollständig sein kann. Die Suche nach einer besseren, wirklichkeits-
näheren Theorie galt somit erneut als eröffnet.

Wie löst das Bohrsche Atommodell diese Diskrepanzen?

Angesichts der Stabilität der Atome und der Diskontinuität von Absorptions-
und Emittionsspektren bemühte sich schließlich der uns nun schon wohl
bekannte dänische Physiker Niels Bohr (1885–1962) diese Widersprüche
zwischen der Rutherfordschen Atomtheorie und der Realität zu klären. Da-
bei erweiterte er das Rutherfordsche Atommodell um die Plancksche Quan-
tenhypothese. 1913 gelang es ihm, auf Grund dieses neuen, quantisierten

Bohrschen Atommodell s das Linienspektrum des Wasserstoffs vorauszu-
sagen bzw. zu erklären. Sein neues semi-klassisches Atommodell beruht
faktisch auf drei fundamentalen Postulaten, die Bohr zu Ehren als Bohr-
sche Postulate bezeichnet werden:

10 Eine Ausnahme hiervon bilden natürlich alle radioaktiven Kerne, doch das Phä-
nomen der Radioaktivität basiert nachweislich auf völlig anderen Ursachen und
lässt sich keinesfalls durch ein solches „Abstürzen von Elektronen“ erklären.

xx

108

10 Das Bohrsche Atommodell

1. Bohrsches Postulat:

Ein Elektron, welches im Atom den positiv geladenen Kern um-
kreist, kann sich nur in ganz bestimmten, diskreten Kreisbahnen
der Energie En (mit n = 1 , 2 , 3 ... usw.) aufhalten. Diese Bahnen werden stationäre Zustände genannt.

2. Bohrsches Postulat:

In der Atomhülle bewegen sich die Elektronen auf den stabilen

Bahnen, den stationären Zuständen, strahlungsfrei.

Bei einem Übergang eines Elektrons von einem Energieniveau
n auf ein niedrigeres m wird Energie in Form eines Photons der

Größe

E = Em − En = h · ν

(10.5)

emittiert ( Emission). Um ein Elektron von einem Energieniveau auf
ein höheres zu heben, wird eben jenes Photon des Betrags E aus

Gleichung (10.5) absorbiert ( Absorption).

Das Atom muss also nicht auf Grund der in ihm radial beschleu-
nigten Elektronen stetig Energie abstrahlen, sondern Energie wird
nur im Falle des Springens eines Elektrons auf ein niedrigeres Ener-
gieniveau frei.

3. Bohrsches Postulat:

Der Drehimpuls eines Elektrons, welcher L = mv · r ist, also nichts Weiteres als der Impuls mv multipliziert mit dem Radius r, kann in
der Atomhülle nur diskrete Werte annehmen. Er ist quantisiert. Der

Drehimpuls eines Elektrons kann nur ganzzahlige Vielfache von
annehmen, also

L = mv · r = n ,

(10.6)

wobei n = 1 , 2 , 3 ... usw. ist.

Anbei möchte ich eine weitere Erläuterung anfügen, die zwar nicht von

Bohr selbst, sondern von Louis de Broglie stammt, aber dennoch einen
hohen Anschaulichkeitswert besitzt, wie ich meine. Sie basiert auf dem
von de Broglie geprägten Prinzip der Materiewelle, welches – mathema-
tisch durch die de-Broglie-Wellenlänge ausgedrückt – bedeutet, dass jeder
bewegten Materie eine Wellenlänge zugeordnet werden kann.

xx

10 Das Bohrsche Atommodell

109

Wellenlänge

Abb. 10.2. Elektronen-Welle, die mit sich selbst konstruktiv interferiert

Man stelle sich nun ein Elektron vor, wie es auf seinem Energieniveau
um den Atomkern kreist (siehe Abb. 10.2). Der Kreisumfang der Umlauf-
bahn des Elektrons ist bekanntlich

U = 2 πr .

(10.7)

Angesichts der Tatsache, dass Wellen die Eigenschaft der Interferenzfä-
higkeit besitzen, muss man dabei erkennen, dass eine Elektronen-Welle,
welche sich auf der Kreisbahn ausbreitet, genau dann konstruktiv mit sich
selbst interferieren würde, wenn der Kreisumfang ein ganzzahliges Viel-
faches der Wellenlänge des Elektrons und somit

2 πr = nλ

(10.8)

wäre. Setzen wir nun die de-Broglie-Wellenlänge ( λ = h/p) in (10.8) ein, so erhalten wir die Bedingung
h

2 πr = n

,

(10.9)

p
die erfüllt sein muss, damit sich ein Elektron auf seiner Umlaufbahn um
den Atomkern nicht selbständig durch destruktive Interferenz auslöscht,
sondern konstruktiv mit sich selbst interferiert.

Wenn wir jetzt in (10.9) genau hinsehen, erkennen wir, dass durch
leichte Umformung (jeweils p bzw. 2 π auf die entgegengesetzten Glei-
chungsseiten bringen) das oben erwähnte 3. Bohrsche Postulat wieder zu
erkennen ist (vgl. (10.6)), nämlich
h
pr = n

,

(10.10)

2 π
und da h/( 2 π) = und p = mv ist, können wir sogar die „Originalversion“
wieder erblicken:

mv · r = n .

(10.11)

xx

110

10 Das Bohrsche Atommodell

Diese informelle Herleitung des 3. Bohrschen Postulats sollte eine Art Be-
gründung oder Rechtfertigung für die Aufstellung der Postulate geben,
denn wie wir wissen, handelt es sich bei Postulaten im Grunde genommen
nur um, wenn auch reflektierte und einleuchtende, Annahmen, also um

Hypothesen. Deshalb ist diese kleine Erklärung mittels de Brogliescher

Materiewellen notwendig.

Was ist der Bohrsche Radius?

Nun wollen wir uns das auf diesen drei zentralen Bohrschen Postulaten be-
ruhende Bohrsche Atommodell etwas näher ansehen. Zusammenfassend
ausgedrückt wissen wir jetzt, dass die Elektronen nur auf bestimmten Bah-
nen mit einem gewissen Drehimpuls um den Kern kreisen können. Sowohl
der Radius der Umlaufbahn als auch der Drehimpuls des Elektrons sind
quantisiert.

Versuchen wir nun dieses Bohrsche Atommodell auf das einfachste

Atom aller Elemente anzuwenden: das Wasserstoffatom. Bekanntlich be-
steht das Wasserstoffatom aus einem einzelnen Proton und einem Elek-
tron, welches das Proton, den Atomkern, umkreist. Jedes dieser beiden

Elementarteilchen trägt die Elementarladung e, welche den ungefähren

Wert
e = 1 , 602 · 10−19 C

(10.12)

besitzt, wobei die Ladung des Protons + e und die des Elektrons − e ist.

Dieses Elektron in der Atomhülle muss zunächst einmal die schon im

Rutherfordschen Atommodell aufgestellte Gleichgewichtsbedingung (10.4)

erfüllen, also muss

Q 1 Q 2 = − mv 2

(10.13)

4 π 0 r 2
r
gelten, wobei Q 1 = e und Q 2 = − e sind. Die Masse m ist hierbei natürlich die des Elektrons, welche den Wert
m e = 9 , 109 · 10−31 kg

(10.14)

trägt. Durch die Multiplikation von Gleichung (10.13) mit r 2 erhält man
e 2

= m e v 2 r ,

(10.15)

4 π 0
was dem Produkt aus Drehimpuls und Bahngeschwindigkeit, also Lv ent-
spricht. Setzen wir nun auf der rechten Gleichungsseite für den Term mv r
xx

10 Das Bohrsche Atommodell

111
das 3. Bohrsche Postulat ein, so folgt
e 2

= Lv = n v .

(10.16)

4 π 0

Das Auflösen von (10.16) nach der Bahngeschwindigkeit v liefert
v =
e 2

,

(10.17)

4 π 0 n
und über = h/( 2 π) folgt
v =
e 2

.

(10.18)

2 0 nh

Setzt man diese Bahngeschwindigkeit v in Gleichung (10.15) ein, so resul-
tiert schließlich eine Relation
e 2

2

=
e 2
m
m
e e 4
e
r = r

,

(10.19)

4 π 0

2 0 nh

4 2 n 2 h 2

0
in der neben den vielen Konstanten nur noch eine „echte“ Variable auf-
taucht, nämlich der Bahnradius r. Durch Kürzen von e 2 /( 4 π 0 ) erhalten wir die vereinfachte Form
m e e 2 π

1 = r

,

(10.20)

0 n 2 h 2
und durch das Isolieren von r ergibt sich

r = 0 n 2 h 2 .

(10.21)

m e e 2 π

An dieser Formel für den Bahnradius r ist ersichtlich, dass der Abstand
eines Elektrons vom Kern nur von der quantisierten Variablen n = 1 , 2 , 3

... usw. abhängig ist, da alle anderen physikalischen Größen in (10.21) kon-
stante Werte besitzen. So können wir eine übersichtlichere Schreibweise für
r(n) mit

r(n) = n 2

0 h 2

(10.22)

m e e 2 π
angeben.

xx

112

10 Das Bohrsche Atommodell

Setzen wir nun z. B. für n 1 = 1 in (10.22) ein, erhalten wir für den
geringst möglichen Abstand des Elektrons vom Atomkern den Wert
r 1 = 8 , 854 · 10−12 As / Vm · ( 6 , 626 · 10−34 Js ) 2 ≈ 5 , 297 · 10−11 m . (10.23) 9 , 109 · 10−31 kg · ( 1 , 602 · 10−19 C ) 2 π

Dieser kleinstmögliche Abstand des Elektrons vom Wasserstoffkern wird
als Bohrscher Radius bezeichnet. Durch einen Vergleich der ungefäh-
ren Größenordnung des Bohrschen Radius mit den Versuchsergebnissen

Ernest Rutherfords, nach denen der Atomdurchmesser in einer Grö-
ßenordnung von 10−10 m liegen sollte, erkennen wir, dass sich der theo-
retisch ermittelte Wert für den Bohrschen Radius im Einklang mit den
experimentellen Daten befindet.

Welche Werte besitzen die Energieniveaus in der Atomhülle?

Schon an früherer Stelle verwendeten wir die Begriffe Elektronen- oder

Umlaufsbahn und Energieniveau synonym. Damit werden im Bohrschen

Atommodell die stationären Zustände, sozusagen die Elektronenbahnen,
auf denen Elektronen sich strahlungsfrei bewegen können, bezeichnet (vgl.

2. Bohrsches Postulat). Auch die Werte der Energieniveaus sind quantisiert,
hängen also von einer Variablen n = 1 , 2 , 3 ... usw. ab. Wie sich diese Energieniveaus berechnen lassen, wollen wir uns im Folgenden ansehen.

Selbsterklärend ist, dass sich die Gesamtenergie eines Elektrons auf ei-
nem Energieniveau aus seiner potenziellen und seiner kinetischen Energie
zusammensetzt und folglich

E ges = E pot + E kin

(10.24)

ist. Die potentielle Energie eines Elektrons im Wasserstoffatom ist (da

E = F · r)

E pot = − e 2

,

(10.25)

4 π 0 r
wobei man durch Substitution von r durch den Term in (10.21)

E pot = −
e 2

,

(10.26)

0 n 2 h 2

4 π 0 m e e 2 π
und über Kürzung und Vereinfachung
xx

10 Das Bohrsche Atommodell

113

E pot = − m e e 4

(10.27)

4 2 n 2 h 2

0
erhält. Die kinetische Energie des Elektrons wiederum ist durch

E kin = 1 m e v 2 ,

(10.28)

2
und somit über (10.18) mit
e 4

E kin = 1 m e

= m e e 4

(10.29)

2

4 2 n 2 h 2

8 2 n 2 h 2

0

0
gegeben. Durch Einsetzen von (10.27) und (10.29) in (10.24) erhalten wir

E ges = − m e e 4

+ m e e 4 = − m e e 4 .

(10.30)

4 2 n 2 h 2

8 2 n 2 h 2

8 2 n 2 h 2

0

0

0

Erneut in einer übersichtlicheren Schreibweise formuliert ergibt sich
m

E
e e 4
ges (n) = − 1

,

(10.31)

n 2 8 2 h 2

0
woran wunderbar anschaulich wird, dass auch der Wert eines Energienive-
aus abhängig von der diskreten Variablen n = 1 , 2 , 3 . . . usw. ist. So lässt sich über (10.31) die Energie eines jeden möglichen Energieniveaus des

Bohrschen Atommodells berechnen.

Wie geschieht die Absorption bzw. Emission von Photonen?

Konzentrieren wir uns nochmals auf das 2. Bohrsche Postulat, demzufolge
ein Elektron unter Aufnahme oder Abgabe eines Energiequants von einem
auf ein anderes Energieniveau „springen“ kann. Das „Springen“ muss man
hierbei wahrhaftig in Anführungsstriche setzen, denn nach Bohr dürfen
sich die Elektronen ja gar nicht zwischen den Energieniveaus aufhalten. Sie
können nicht vom einen zum anderen Energieniveau wandern, sondern
müssen praktisch auf dem einen Niveau einfach verschwinden und im sel-
ben Augenblick auf dem anderen wieder auftauchen, und dies, ohne dass
sie sich jemals irgendwo dazwischen aufgehalten hätten.

Wenn Ihnen dies komisch vorkommt, glauben Sie mir, damit sind Sie
nicht allein auf der Welt. Das Problem ist nur, dieses „geisterhafte Elekro-
nengehopse“, wie ich es salopp bezeichnen möchte, ist die einzige Mög-
lichkeit, jegliche experimentell gesammelten Daten in einer konsistenten
xx

114

10 Das Bohrsche Atommodell

Theorie zu vereinen, die dazu in der Lage ist korrekte Voraussagen zu lie-
fern. Und dass wir im Mikrokosmos nicht gerade selten an Grenzen der

Vorstellbarkeit geraten, dies dürfte uns nicht ganz so unbekannt vorkom-
men.

Infolgedessen müssen wir, solange wir keine bessere Erklärungsmög-
lichkeit haben oder eine Inkonsistenz der Theorie entdecken, den Vorgang
des Springens eines Elektrons von einem Energieniveau auf ein anderes auf
eine schlichte Dokumentation des Anfangs- und Endzustandes reduzieren.

Da es sich hierbei ja faktisch nur um eine Betrachtung von Potentialdif-
ferenzen handelt, welche ohnehin wegunabhängig sind, dürften wir mit
einer solchen reduzierten Betrachtungsweise keine sonderlichen Schwie-
rigkeiten haben.

Der Vorgang der Absorption und Emission eines Lichtquants basiert auf
dem Springen eines Elektrons in der Atomhülle, denn die Energiedifferenz
zwischen Anfangs- und Endernergieniveau wird als Energiequant aufge-
nommen bzw. abgegeben. Wenn beispielsweise ein Elektron vom 4. Ener-
gieniveau mit n = 4 auf das 2. mit n = 2 springt, wird die Energiedifferenz m

m

E
e e 4
e e 4

Photon = E 4 − E 2 = − 1

− − 1

(10.32)

42 8 2 h 2

22 8 2 h 2

0

0
in der Form eines emittierten Photons frei. Würde hingegen ein sich auf
dem 2. Energieniveau befindliches Elektron ein ankommendes Energie-
quant der Größe E Photon aus (10.32) absorbieren, so würde es von Energie-
niveau n = 2 auf n = 4 springen.

In einer allgemeinen Formel ausgedrückt, kann die Energiedifferenz
zwischen zwei beliebigen Energieniveaus m und n über

m
m

E = E
e e 4
e e 4
m − En = − 1

− − 1

(10.33)

m 2 8 2 h 2
n 2 8 2 h 2

0

0

= m e e 4 − 1 + 1

8 2 h 2
m 2
n 2

0
berechnet werden.

So war das fundamental Neue an Bohrs Atommodell letztendlich die

Tatsache, dass im Atom eine Quantisierung besteht: Der Abstand der Elek-
tronen vom Kern, ihr Drehimpuls, die Energieniveaus, auf denen sie sich
bewegen – alles diskrete, quantisierte Größen, die jeweils immer nur in ge-
radzahligen Vielfachen der kleinsten Einheit, dem (Elementar-)Quant der
jeweiligen physikalischen Größe, auftauchen.

xx

10 Das Bohrsche Atommodell

115

Ist das Bohrsche Atommodell als „richtig“ anzusehen?

Neben den großartigen Leistungen, die das Bohrsche Atommodell zu bieten
hat, soll natürlich nicht unerwähnt bleiben, dass auch mit diesem Atom-
modell noch längst nicht das letzte Wort gesprochen war. Auch wenn es als
erstes Atommodell nicht nur die Stabilität der Atome und die Diskontinui-
tät von Absorptions- und Emissionsspektren erklären, sondern auch noch
den Durchmesser des Atoms voraussagen und korrekte Angaben über die

Ionisationsenergie des Wasserstoffatoms geben konnte, so lässt es dennoch
einige Fragen offen.

So können beispielsweise mittels des Bohrschen Atommodells eigent-
lich nur das Wasserstoffatom und einige wenige wasserstoffähnliche Atome
zufrieden stellend beschrieben werden. Dies ist schlicht und ergreifend eine

Tatsache, eine Unzulänglichkeit speziell dieses Atommodells, die sich nicht
leugnen lässt.

Ebenso ist aus unserer jetzigen Position offenkundig, dass die von Bohr
postulierten, immerhin noch semi-klassischen, diskreten Bahnen quanten-
mechanisch gesehen nicht haltbar sind, denn einem Quantenobjekt, wie es
das Elektron nun einmal ist, kann keine genau bestimmte Bahn zugeschrie-
ben werden. Die Heisenbergsche Unschärferelation verbietet es explizit
gleichzeitig von einem genau bestimmten Bahnradius r und einer konkre-
ten Bahngeschwindigkeit v sprechen zu können, doch dies setzt, wie wir
gesehen haben, das Bohrsche Atommodell voraus.

Und letztendlich muss man zugeben, dass, auch wenn das Bohrsche

Atommodell bzw. dessen Voraussagen für das Wasserstoffatom sehr prä-
zise sind, die Bohrschen Postulate, wie z. B. die Aussage, es gäbe halt ein-
fach stationäre Zustände, auf denen sich Elektronen strahlungsfrei bewegen
könnten, keine wirkliche Begründung finden. Es sind und bleiben Postu-
late, und diese wiederum sind per definitionem frei aufgestellte und (mehr
oder weniger willkürlich) festgesetzte Hypothesen.

Heute wissen wir, dass das Bohrsche Atommodell nur als eine semi-
klassische, nicht allzu gute Näherung an die physikalischen Tatsachen an-
gesehen werden kann. Aus der gegenwärtigen Perspektive betrachtet ist es
als ein weiterer Repäsentant der vielen, unzulänglichen Atommodelle zu
deuten, die auf dem langen Weg zum aktuellen Wissensstand die hügelige

Landschaft ebneten.

Das besondere, bemerkenswerte Charakteristikum dieses Bohrschen

Atomodells ist allerdings, dass es das erste war, welches ein Art „quanti-
sierte Zustände“ der Elektronen postulierte.

xx

11

Die Schrödinger-Gleichung
xx

118

11 Die Schrödinger-Gleichung

Was ist der Unterschied zwischen der Matrizen-
und der Wellenmechanik?

Die 1925 von Werner Heisenberg entwickelte Matrizenmechanik, mit
welcher erstmalig eine mathematische Theorie der Verhaltensweisen von

Quantenobjekten existierte, basiert mathematisch gesehen, wie schon un-
schwer an ihrem Namen zu erkennen ist, auf der Anwendung der Matri-
zenrechnung. Mittels dieser konnten zum ersten Mal konkretere Berech-
nungen bezüglich quantenphysikalischer Vorgänge durchgeführt werden.

Dabei pflegte Heisenberg stets die Besonderheit seiner Theorie zu beto-
nen, dass jene ausschließlich beobachtbare und vor allem messbare Größen,
die man Observablen nennt, enthielt. Dieses Faktum war für ihn von äu-
ßerster Wichtigkeit, da nach der Bohrschen und Heisenbergschen Inter-
pretation in der Quantenmechanik nur messbaren Größen ein Realitätswert
zugesprochen werden kann.

Beinahe zur selben Zeit formulierte im Jahr 1926 der österreichische

Physiker Erwin Schrödinger (1887–1961) unabhängig von Heisenberg
eine ganz eigene mathematische Beschreibung der Vorgänge im Mikrokos-
mos, die im Gegensatz zu jenem nicht auf Matrizen, sondern auf einem
quantenmechanischen Äquivalent zur Wellengleichung aus der Schwin-
gungslehre beruht, die so genannte Wellenmechanik. Dazu knüpfte er teil-
weise an das semi-klassische Bohrsche Atommodell an, indem er die Elek-
tronen der Atomhülle als sich auf stationären Bahnen bewegend dachte.

Diese stationären Zustände der Elektronen wiederum sollten dadurch
zu Stande kommmen, dass die als de-Broglie-Wellen angesehenen Elek-
tronen sich in bestimmten Schwingungszuständen befänden. Auch diese

Schrödingersche Betrachtungsweise erwies sich als überaus viel verspre-
chend und nützlich.

Zunächst existierten diese beiden nahezu gleichzeitig entstandenen

Theorien völlig getrennt voneinander und lieferten jeweils hervorragende

Voraussagen. Doch noch im selben Jahr 1926 konnte Schrödinger
den Beweis liefern, dass diese beiden konkurrierenden Theorien, der

Heisenbergschen Matrizenmechanik und der Schrödingerschen Wel-
lenmechanik, mathematisch vollkommen äquivalent sind; und dies ob-
wohl sie aus rein theoretischer, weltanschaulischer Sicht vollkommen
unterschiedliche Ansatzpunkte voraussetzen.

Heisenberg sah seine auf Observablen aufbauende Matrizenmechanik
von Grund auf als reine Mathematik zur Berechnung von Wahrschein-
lichkeiten an, nahm also einen grundlegend positivistischen Standpunkt
xx

11 Die Schrödinger-Gleichung

119
ein, da er nicht gemessenen (und auch a priori nicht messbaren) quanten-
mechanischen Größen keinerlei Realitätswert zumaß.

Schrödingers Sichtweise hingegen war eher realistischer Natur. Er
ging von der wahrhaftigen Realität seiner mathematischen Wellen und

Schwingungen der Elektronen in den Atomen aus. Seine mathematischen

Konzepte sollten die objektive Realität des Mikrokosmos wiedergeben
und nicht, wie es Heisenberg ansah, reiner Formalismus bleiben. (Dass
diese zunächst vielleicht angenehmere Sichtweise jedoch leicht zu Para-
doxa führt, werden wir in sich anschließenden Kapiteln noch erfahren
müssen.)

Umso überraschender ist es denn, dass diese beiden grundlegend
unterschiedlichen mathematischen Konzepte letzten Endes als absolut
äquivalent anzusehen sind. Sie beschreiben beide die zeitliche Entwick-
lung des Zustands eines unbeobachteten Quantensystems.11 Nur von der
äußeren Form her unterscheiden sie sich drastisch. So ist es scheinbar
grotesk, dass in der Regel quantenmechanische Berechnungen mittels

Wellenmechanik denen über die Matrizenmechanik Heisenbergs vorge-
zogen werden. Der Grund hierfür liegt in der überaus angenehmen Ein-
fachheit der Schrödingerschen Theorie im Vergleich zur Matrizenme-
chanik Heisenbergs, weshalb wir uns hier auch ausschließlich mit der

Schrödinger-Gleichung und nicht mit der Heisenbergschen Berechnungs-
weise befassen werden.

Nachdem wir nun schon einen recht guten ersten Einblick in die selt-
same Welt der Quantenobjekte bekommen haben, wird es also Zeit sich
auch einmal etwas quantitativer mit der Beschreibung der massebehafte-
ten Teilchen auseinander zu setzen. Daher soll die uns bis jetzt schon des

Öfteren über den Weg gelaufene Wellenfunktion bzw. deren Auftauchen
in der schon erwähnten Schrödinger-Gleichung nun unser Thema sein.

Zweifellos wird dieses Kapitel wohl eines der anstrengendsten sein, wel-
che wir in diesem Buch behandeln werden, schließlich geht es um nichts Ge-
ringeres als die berühmte Schrödinger-Gleichung höchstpersönlich. Trotz
der Tatsache, dass es sich dabei um eine partielle Differenzialgleichung
handelt, und dass daher die Kenntnis des partiellen Ableitens Vorausset-

11 Unbeobachtet deshalb, weil, wie wir schon wissen, der Kopenhagener Deutung
entsprechend durch den Vorgang der Messung die Wellenfunktion unstetig ab-
geändert wird: Es kommt zum Kollaps der Wellenfunktion (vgl. Kap. 8).

xx

120

11 Die Schrödinger-Gleichung
zung für ihre nähere Diskussion ist, möchte ich nicht davon abhalten dieser
überaus wichtigen Gleichung wenigstens ein Kapitel zu widmen.12

Welche Bedeutung kommt der Wellenfunktion zu?

Doch bevor es mathematisch wird, sollten wir noch ein wenig auf die Be-
standteile dieser so überaus bedeutenden und zentralen Gleichung zu spre-
chen kommen.

Wie schon erwähnt, enthält die Schrödinger-Gleichung, welche eine Dif-
ferenzialgleichung ist, die Wellenfunktion als Lösung. Ursprünglich geht
diese Wellenfunktion auf die Theorie de Broglies zurück, nach der
auch bewegter Materie eine Wellenlänge zugeordnet werden kann, die
de-Broglie-Wellenlänge. Die von ihm zur Beschreibung der Materiewelle
postulierte Wellenfunktion ist als Lösung der Schrödinger-Gleichung an-
zusehen.

Wenn auch momentan vielleicht noch eher unbewusst, so haben wir
doch schon mit dieser Wellenfunktion gearbeitet, denn die Wellenfunktion
ist in unserem quantenphysikalischen Zusammenhang ein Synonym für
den Begriff der Wahrscheinlichkeitsamplitude.

Sicherlich können Sie sich noch an Kap. 5 über den Doppelspaltver-
such mit Elektronen erinnern und an unsere dortige Berechnung der An-
kunftswahrscheinlichkeitsverteilung der Elektronen auf der Photoplatte,
in der wir eine Wahrscheinlichkeitsamplitude a des Elektrons definier-
ten, um das beim Versuch erhaltene Interferenzmuster zu erklären. Diese

Wahrscheinlichkeitsamplitude trägt nur normalerweise nicht das Symbol
a, sondern den griechischen Buchstaben und ist genau jene Wellen-
funktion, von der wir die ganze Zeit sprechen. Der Begriff der quanten-
mechanischen Amplitude bzw. der Wahrscheinlichkeitsamplitude ist also
ein äquivalenter Begriff für die Wellenfunktion. Auch bezeichnet man die

Wellenfunktion oft als Zustandsfunktion des Quantenobjekts, welches
sie beschreibt.

Des Weiteren werden wir uns erinnern, dass nach der Wahrscheinlich-
keitsinterpretation durch Max Born das Absolutquadrat der Wellenfunk-
tion | (x; t)|2 eines Teilchens dessen Aufenthaltswahrscheinlichkeit am

Ort x zur Zeit t angibt (vgl. Formel (5.5)). Doch um diese Aufenthaltswahrscheinlichkeit berechnen zu können, benötigt man erst einmal die Wel-

12 Falls Sie, lieber Leser, jedoch nicht die mathematischen Voraussetzungen der

Differentiation mitbringen können, so lässt sich der Herleitungsteil dieses Ka-
pitels auch ohne weiteres einfach überspringen.

xx

11 Die Schrödinger-Gleichung

121
lenfunktion (x; t), und dazu muss man in der Regel wohl oder übel die

Schrödinger-Gleichung lösen, denn die Lösungsfunktion der Schrödinger-

Gleichung ist ja die Wellenfunktion (x; t). Dieses Vorhaben, das Lösen
der Differenzialgleichung, wollen wir uns hier noch nicht zumuten. Jedoch
wollen wir an dieser Stelle versuchen ihren Aufbau ein wenig zu erfassen,
um uns mit dieser ungemein bedeutsamen Gleichung anzufreunden.

Es sei schließlich nochmals betont, dass der Bornschen Theorie ent-
sprechend die quantenmechanische Wellenfunktion (x; t), auch wenn
sie diesen Namen trägt, nicht wirklich als reale, mechanische Wellenfunk-
tion aufzufassen ist, wie man diese aus der Schwingungslehre kennt. Der

Begriff Wellenfunktion wurde hier nur um ihrer formalen Ähnlichkeit ge-
genüber der mechanischen Wellenfunktion halber gewählt. So ist gleich-
falls die Schrödinger-Gleichung entgegen ihrer häufigen Bezeichnung als
solche keine Wellengleichung, wie sie aus der Schwingungslehre bekannt
ist, sondern kann nur als eine Art quantenmechanisches Analogon einer
klassischen, mechanischen Wellengleichung angesehen werden.

Allerdings sollte ebenfalls nicht verschwiegen bleiben, dass sich diese
althergebrachte Deutung der quantenmechanischen Wellenfunktion bei
einem bedeutenden Teil der heutigen, etablierten Quantenphysiker kei-
ner großen Beliebtheit mehr erfreut. Tatsächlich stellt sich vielmehr die
diskrepante Frage, ob tatsächlich nur in einem rein epistemologischen,
pragmatischen Sinn ausschließlich die Kenntnis über den Zustand eines

Quantenobjekts darstellt, oder ob vielleicht doch eine realistische Deutung
der Wellenfunktion widerspruchsfrei möglich ist.

Bezüglich dieses prekären Streitpunkts der heutigen Deutungsweise der

Wellenfunktion möchte ich auf ein interessantes Zitat des Quantenphy-
sikers Erich Joos und des Quantengravitationsphysikers Claus Kiefer
verweisen:

„Whether there is a real dynamical “collapse” of the total state into
one definite component or not [. . . ] is at present an undecided ques-
tion. Since this may not experimentally be decided in the near future,
it has been declared a “matter of taste”.“ 13

Experimentell wird in absehbarer Zeit demgemäß keine Entscheidung
über die entweder „reale“ oder „rein mathematische“ Natur der Wellen-
funktion getroffen werden können. So wird sich die positivistische Sicht-

13 C. Kiefer, E. Joos: Decoherence: Concepts and Examples. In: P. Blanchard, Arka-
diusz Jadczyk Quantum Future: From Como to the Present and Beyond(Springer

Berlin Heidelberg New York 1999)

xx

122

11 Die Schrödinger-Gleichung
weise der Wellenfunktion Heisenbergs und Bohrs weder verifizieren
noch falsifizieren lassen.

Doch angesichts diverser gravierender Inkonsistenzen, welche die alte

Kopenhagener Deutungsweise unumgänglich mit sich schleppt, scheint an-
dererseits ein Festhalten an den offensichtlich obsoleten Ansichten ziemlich
haltlos zu sein. 14

Wie leitet sich die Schrödinger-Gleichung her?

Zunächst sei vielleicht zu Ihrer Enttäuschung erwähnt, dass sich die
wundervolle Schrödinger-Gleichung im eigentlichen Sinne gar nicht phy-
sikalisch herleiten lässt. Der wortgewandte Quantenphysiker Richard

Feynman (1918–1988) sagte diesbezüglich einmal:

„Woher haben wir diese Gleichung? Nirgendwoher.

Es ist unmöglich, sie aus irgendetwas Bekanntem herzuleiten. Sie ist

Schrödingers Kopf entsprungen.“ 15

Nun gut. Dennoch wollen wir uns jetzt daran versuchen sie, wenn auch
nur rein mathematisch, herzuleiten. Es soll jedoch eindeutig betont sein,
dass es sich bei der jetzigen „Herleitung“ nicht um ein Standardrezept han-
delt, nach dem man die Schrödinger-Gleichung als Endprodukt erhält. Ist
es doch ein unumstößliches Faktum, dass sich die Schrödinger-Gleichung –
genauso wenig wie die elementaren Gleichungen der klassischen Newton-
schen Mechanik – nicht aus irgendetwas dahinter Liegendem physikalisch
herleiten lässt, denn diese selbst ist ja die fundamentale Grundgleichung
der Quantenmechanik.

Der nachfolgende Herleitungsteil sollte also mehr als eine Art Plausi-
bilitätsbetrachtung angesehen werden, und auch wenn diese erste Analyse
der Schrödingerschen Gleichung an mancher Stelle etwas kompliziert zu
sein anmutet, so kommt es uns an dieser Stelle doch nur darauf an den
großen Gesamtzusammenhang ein wenig zu erfassen. Im Folgenden wer-
den wir die nichtrelativistische Schrödinger-Gleichung herleiten, da diese
besonders einfach ist, auch wenn sie sich deshalb nur bei geringen Ge-
schwindigkeiten v des Teilchens anwenden lässt.

14 Näheres hierzu in L. Marchildon: Why should we interpret Quantum Mecha-
nics? Found. Phys. 34, 11 (2004), sowie H.D. Zeh: The Wave Function: It or Bit?

in: J. Barrow, P. Davies et al. (Hrsg) Science and Ultimate Reality (Cambridge

University Press, 2002); arXiv: quant-ph/0204088 v2 (2002)

15 T. Hey, P. Walter: Das Quantenuniversum (Spektrum, 1998); S. 51
xx

11 Die Schrödinger-Gleichung

123

Betrachten wir zunächst ein Teilchen der Masse m und der Geschwindig-
keit v. Dieses Teilchen soll sich für eine erste Überlegung frei, ohne äußeres

Kraftfeld bewegen. Dessen Gesamtenergie E ges (ohne Berücksichtigung der
durch seine Ruhemasse m verschuldeten Ruheenergie mc 2) ergibt sich so-
mit als die kinetische Energie

E kin = 1 mv 2 ,

(11.1)

2
welche sich über p 2 = m 2 v 2 als
p 2

E ges = 1 mv 2 = 1

(11.2)

2

2 m
formulieren lässt.

Wir kennen bereits den Ausdruck p = h/λ für den Impuls eines Quan-
tenobjekts, welchen man aus der Gleichung der de-Broglie-Wellenlänge
erhält. Neu für uns ist die Formulierung des Impulses über die Wellenzahl
k, welche ihrerseits als
k = 2 π

(11.3)

λ
definiert ist und dementsprechend für den Impuls
p = kh = k

(11.4)

2 π
liefert. Folglich erhalten wir für die Energie des Teilchens, die im Übrigen
auch als ω darstellbar ist (vgl. Kap. 2),

E ges = k 22 = ω .

(11.5)

2 m

Und nun zum heikleren Teil der Herleitung, der zugegebenermaßen
zwar mathematisch leicht nachvollziehbar ist, doch physikalisch gesehen
vorerst sehr „kreativ“ bzw. willkürlich wirkt.

Es sei zunächst die Wellenfunktion
(x; t) gegeben, welche auch als
de-Broglie-Welle bezeichnet wird. Sie besitzt unter der Voraussetzung, dass
kein äußeres Potenzial vorhanden ist (also V(x; t) = 0), die Form

(x; t) = ei(kx− ωt) ,

(11.6)

√
mit dem imaginären, mathematischen Ausdruck i =

−1 . Partielles Ab-
xx

124

11 Die Schrödinger-Gleichung
leiten nach t liefert

∂
(x; t) = − iω · ei(kx− ωt)

∂

(11.7)

t
und zweifach partielles Ableiten von (11.6) nach x ergibt

∂ 2 (x; t) = i 2 k 2 · ei(kx− ωt) .

∂

(11.8)

x 2

Auf diese beiden partiellen Ableitungen werden wir gleich zurückgreifen.

Nun wollen wir aus Gründen, die wir erst später werden nachvollziehen
können, Gleichung (11.5) mit − i 2 ei(kx− ωt) multiplizieren, so dass wir

−
k 22
i 2 · ω ei(kx− ωt) = − i 2
ei(kx− ωt)

(11.9)

2 m
erhalten. Überraschenderweise ergibt nun das Umstellen der Termteile aus

(11.9), dass sich die partiellen Ableitungen aus (11.7) und (11.8) wiederfin-
den lassen:

2

−
i 2 k 2 ei(kx− ωt) = i (− i)ω ei(kx− ωt) .

(11.10)

2 m

∂ 2 (x; t)

∂
(x; t)

∂x 2

∂t

Somit können wir (11.9), durch die Wellenfunktion (x; t) und deren
partielle Ableitungen ausgedrückt, als

2 ∂ 2 (

∂
(

−
x; t) =
x; t)

i

(11.11)

2 m

∂x 2

∂t
darstellen. Und hiermit haben wir auch schon die Schrödinger-Gleichung
besagten Teilchens für einen Fall ohne äußeres Kraftfeld (also unter der

Voraussetzung V(x; t) = 0) formuliert.

Um diese sehr spezielle Schrödinger-Gleichung in eine verallgemei-
nerte Form zu bringen (nämlich mit V(x; t) = 0), addierte Schrödinger
schließlich in einem zweiten Schritt die potenzielle Energie des Teilchens,
das sich ja auch in einem (wie auch immer gearteten) Potenzial befinden
kann, zu seiner kinetischen hinzu, erweiterte folglich Gleichung (11.2) auf
p 2

E ges = 1

+ V(x; t) .

(11.12)

2 m
xx

11 Die Schrödinger-Gleichung

125

Daraufhin schlug Schrödinger in einem durch tiefer gehende Analo-
gien gelenkten Versuch die verallgemeinerte Form der Gleichung (11.11)

als

2 ∂ 2 (

∂
(

−
x; t) +
x; t)

V(x; t)
(x; t) = i

(11.13)

2 m

∂x 2

∂t
vor, wobei (x; t) jetzt die allgemeine Wellenfunktion und nicht mehr
nur die spezielle, ebene de-Broglie-Welle aus (11.6) repräsentiert. Diese

Schrödinger-Gleichung gilt nun für den allgemeinen Fall eines Teilchens
in einem beliebigen Potenzialfeld V(x; t). Da hierin die Wellenfunktion
als von der Zeit abhängig betrachtet wird, bezeichnet man (11.13) auch als
zeitabhängige Schrödinger-Gleichung.

Interessant daran ist nun, dass jene von Schrödinger konstruierte

Gleichung, die sich in den Folgejahren und sogar bis in die heutige Zeit
hinein als so unermesslich nützlich erweisen sollte, eigentlich mehr das

Produkt eines genialen „Ratevorgangs“ war denn einer konsequenten, phy-
sikalischen Herleitung.

Weil wir zur Vereinfachung der Rechnung nur eine eindimensionale,
in x-Achsenrichtung orientierte Betrachtungsweise wählten, sind in dieser
vereinfachten Schrödinger-Gleichung natürlich die
-Funktion und ihre

Ableitungen nur von x abhängig. Die eigentliche dreidimensionale Wel-
lenfunktion ist hingegen auch noch von y und z abhängig, so dass man
der schieren Vollständigkeit halber in (11.7) zweifach nach x, y und z
ableiten muss, was praktisch dem Laplace-Operator

∂ 2

∂ 2

∂ 2

∇2 =

+

+

(11.14)

∂x 2

∂y 2

∂z 2
entspricht. Wenn wir nun noch allein der Kürze halber (x; y; z; t) =

(r; t) und analog V(x; y; z; t; ) = V(r; t) definieren, so lautet die dreidimensionale, zeitabhängige Schrödinger-Gleichung schließlich

2

∂
(

−

∇
r; t)

2 (r; t) + V(r; t)
(r; t) = i

.

(11.15)

2 m

∂t

Um Missverständnissen vorzubeugen, sei in diesem Zusammenhang
nochmals betont, dass die Wellenfunktion nur in wenigen Ausnahme-
fällen tatsächlich im gewöhnlichen, dreidimensionalen Raum schwingt. Im

Allgemeinen ist sie wohlgemerkt auf dem mathematischen Konfigurations-
raum definiert, einem höherdimensionalen, abstrakten, mathematischen

Raum, der alle möglichen, klassischen Zustände eines Quantenobjekts be-
schreibt.

xx

126

11 Die Schrödinger-Gleichung

Der die Entwicklung der Wellenfunktion des Teilchens bestimmende

Ausdruck i ∂/∂t wird zudem in der Quantenphysik als Hamilton-Operator ˆ H bezeichnet. Mathematisch gesehen stellt dieser einfach eine etwas spezielle Rechenvorschrift dar, gleichwohl er quantenmechanisch von zentraler

Bedeutung ist. Demgemäß lautet die dreidimensionale, zeitunabhängige

Schrödinger-Gleichung in der kürzestmöglichen Schreibweise

E = ˆ

H
.

(11.16)

Das sieht doch gleich wieder sehr viel angenehmer aus!

Was berechnet man mit der Schrödinger-Gleichung?

Nachdem wir nun erfolgreich die Schrödinger-Gleichung aufgestellt haben,
stellen wir uns die Frage, was genau man damit nun eigentlich anstellt.

Nun, das Ziel der quantenmechanischen Berechnung mittels Schrödinger-

Gleichung, ist stets den quantenmechanischen Zustand des Quantenobjekts
zu ermitteln, d. h. die das Quantensystem beschreibende Wellenfunktion
herauszufinden. Eine der größten Leistungen, welche uns die Schrödinger-

Gleichung bietet, ist z. B. die Formulierung des so genannten wellenme-
chanischen Atommodells, welches wir im sich anschließenden Abschnitt
behandeln wollen. Es resultiert aus der Betrachtung der Zustände der Elek-
tronen um den Atomkern, welche man über die Schrödinger-Gleichung
berechnen kann.

Aber wie bekommt man über die Schrödinger-Gleichung den Zustand
eines Quantenobjekts heraus? Nun, hierzu muss die orts- und zeitabhän-
gige Wellenfunktion
(r; t) des quantenmechanischen Systems berechnet
werden, die man über das Lösen der Schrödinger-Gleichung erhält – was
freilich leichter gesagt als getan ist. Im Einklang mit der Bornschen Wahr-
scheinlichkeitsinterpretation gibt daraufhin das Absolutquadrat dieser Wel-
lenfunktion die Aufenthaltswahrscheinlichkeit P(r; t) an, mit der sich das Quantenobjekt zum Zeitpunkt t an den Orten r aufhält, oder formal ausgedückt

P(r; t) = | (r; t)|2 .

(11.17)

In statischen, d. h. in zeitlich unveränderlichen Fällen, kann man hin-
gegen von einer nur ortsabhängigen Wellenfunktion (r) ausgehen, die
weitere Berechnungen erheblich zu erleichtern vermag. Für die Wahr-
scheinlichkeitsverteilung folgt demnach

P(r) = | (r)|2 .

(11.18)

xx

11 Die Schrödinger-Gleichung

127

An dieser Stelle könnte man sich fragen, warum denn eigentlich der

Betrag der Wellenfunktion quadriert werden muss, wobei doch eventuell
negative Vorzeichen durch das Quadrieren ohnehin wegfallen. Dies aller-
dings liegt an der Besonderheit der Wellenfunktion die imaginäre Zahl

√
i =

−1 zu enthalten. Aus diesem Grund nimmt die Wellenfunktion unter
anderem komplexe Werte an, die nicht reell sind. In einer anderen Schreib-
weise kann man das Absolutquadrat der
-Funktion auch als

|
|2 =
·
∗

(11.19)

angeben, was bedeutet, dass |
|2 aus dem Produkt der originalen Wellen-
funktion und der konjugiert komplexen Wellenfunktion
∗ besteht, wel-
che man ihrerseits erhält, indem man in jedes i durch − i ersetzt. So
wird durch das Bilden des Absolutquadrats gesichert, dass als letztendliche

Wahrscheinlichkeit nur reelle Werte auftreten.

Da jedoch die
-Funktion in keiner Weise begrenzt wird, könnte | (r)|2
im Grunde beliebige Werte annehmen, die nicht zwingend der Bedingung

0 ≤ | (r)|2 ≤ 1 genügen müssen, obwohl Wahrscheinlichkeitsangaben
immer zwischen 0 und 1 liegen müssen. Demgemäß könnten wir bis jetzt
unbewusst einen gewissen Normierungsfaktor N unterschlagen haben (der
nicht zwingend schon in der Wellenfunktion enthalten sein muss), für den

Fall, dass der Maximalwert von | (r)|2 nicht schon 1 ist. Dieser benötigte

Normierungsfaktor lässt sich über die Normierungsbedingung

+∞

N 2

| (r)|2 dr = 1

(11.20)

−∞
mit

N =

1

(11.21)

+∞

−∞ | (r)|2 dr
ermitteln. Aus diesem Grunde ergibt sich die korrekte Wahrscheinlich-
keitsverteilung mittels normierter Wellenfunktion (r)

2

N , wegen (r)N

=

N 2 | (r)|2, als

P(r) = | (r)N |2 .

(11.22)

xx

128

11 Die Schrödinger-Gleichung

Welche Auswirkung hatte die Schrödinger-Gleichung
auf das Atommodell?

Eine der hervorragendsten Leistungen der Schrödinger-Gleichung sind
ihre Aussagen über das Modell des Atoms. Mit ihrer Hilfe konnte ein neues,
verbessertes Atommodell entwickelt werden, das man demgemäß als das
wellenmechanische Atommodell bezeichnet, und das sich uns folgender-
maßen präsentiert:

Die Lösungen der Schrödinger-Gleichung für die Elektronen in der

Atomhülle ergeben sich als stehende Wellen. Dabei repräsentiert jede

Lösungsgleichung
, welche auf Grund des im Atom statischen Falls zeit-
unabhängig ist, einen diskreten Energiezustand des Elektrons. Die physi-
kalische Interpretation dieser Wellenfunktionen läuft dann auf die Aufent-
haltsräume der Elektronen hinaus.

Der üblichen Wahrscheinlichkeitsinterpretation gemäß spricht man
im wellenmechanischen Atommodell der besseren Anschaulichkeit halber
auch von Aufenthaltswahrscheinlichkeitsräumen, den Bereichen, an denen
das Quantenobjekt (hier: das Elektron) beispielsweise mit 90%-iger Wahr-
scheinlichkeit anzutreffen ist und die in der Tat abstruse Formen annehmen
können und um ein Beträchtliches subtiler aussehen als noch die Bohrschen

Bahnen.

Einige Beispiele der graphischen Darstellung dieser Aufenthaltswahr-
scheinlichkeitsräume der Elektronen in einem einzelnen, simplen Wasser-
stoffatom werden in Abb. 11.1 dargestellt. Die Simulationen zeigen dabei
in zwei Darstellungsweisen die „Ladungswolken“, in denen sich das Elek-
tron des Wasserstoffatoms mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit aufhält. Die

Form und Struktur dieser Aufenthaltsräume werden in der oberen Reihe
anhand einer gedachten äußeren Hülle (innerhalb derer sich das Elektron
mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit befindet) dargestellt, wohingegen in der
unteren Reihe die Verteilung der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des

Elektrons in selbigen Aufenthaltsräumen in einer Art „Querschnitt“ durch
die spezielle Farbgebung angedeutet wird (rot steht für eine hohe, blau für
eine niedrige Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte).

Jene Aufenthaltswahrscheinlichkeitsräume ergeben sich aus der physi-
kalischen Interpretation der mathematischen Lösungen der Schrödinger-

Gleichung. Auf diese Weise wird über die Anwendung der Schrödinger-

Gleichung ein sehr viel verfeinerteres, authentischeres Bild des Atoms er-
sichtlich, als es das alte, nachweislich unzulängliche Bohrsche Atommodell
liefern konnte.

xx

11 Die Schrödinger-Gleichung

129

Abb. 11.1. Darstellung einiger, beispielhafter Aufenthaltsräume der Elektronen für
das Wasserstoffatom (oben dreidimensional, unten im „Querschnitt“)

Und wenn auch die ursprüngliche Schrödinger-Gleichung nur in nicht-
relativistischen Fällen verwendet werden kann, d. h. die Geschwindigkeiten
der Quantenobjekte klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit sein müssen,
und sie nur auf Teilchen ohne Spin Anwendung findet, d. h. auf Teilchen,
die keinen quantenmechanischen Drehimpuls besitzen, so ist sie doch die
wahrscheinlich wichtigste Gleichung in der gesamten Quantenphysik ge-
blieben.

xx

12

Schrödingers Katze
xx

132

12 Schrödingers Katze

Worum handelt es sich bei Schrödingers Katze?

Dass der mathematische Apparat der Quantenmechanik sowohl eine sehr
präzise als auch vielmals experimentell verifizierte Beschreibung des Mikro-
kosmos zu liefern vermag, haben wir während der Diskussion der Schrö-
dinger-Gleichung erfahren. Alle Experimente, die wir bis jetzt besprachen,
jegliche Phänomene, mit denen wir uns bis zu dieser Stelle auseinander
setzten, ließen sich durch die Theorie der Quantenmechanik vortrefflich
erklären. Fraglos ist sie all ihrer Widersacher zum Trotze die erfolgreichste

Theorie, die wir zum derzeitigen Zeitpunkt zur Beschreibung von Mikro-
objekten besitzen.

Dennoch wissen wir, dass sie im Makrokosmos, in unserer normalen

Alltagsumgebung der Größenordnung von ca. 10−1 m offensichtlich nicht
gilt. Zwar erlangen wir, makroskopische Objekte, immer exaktere Kenntnis
über die Mechanismen, nach denen sich Quantenobjekte verhalten, doch ist
es eine Tatsache, dass wir eben jene Verhaltensweisen der Quantenobjekte
nicht auf makroskopische Objekte übertragen können. Nach allem, was wir
bis jetzt erfuhren, können wir guten Gewissens behaupten, dass sich die

Mechanik eines Elektrons sehr von der eines Fußballs unterscheidet:

In der quantenmechanischen Betrachtungsweise ist es völlig gewöhn-
lich und vor allem auch notwendig sich ein Elektron unter bestimmten

Umständen als an mehreren Orten gleichzeitig aufhaltend zu denken. Aber
jetzt fragen Sie bitte beispielsweise einen Fußballspieler, wann er seinen

Fußball das letzte Mal an mehreren Orten gleichzeitig gesehen hat! Oder
fragen Sie sich selbst, wann Sie in Ihrem Leben schon einmal auf zwei

Hochzeiten gleichzeitig getanzt haben. Natürlich nie!!!

Womöglich denken Sie, dies läge daran, dass Sie ja auch kein Quan-
tenobjekt sind – offenkundig nicht. Aber wann ist ein Objekt ein Quan-
tenobjekt? Ab wann wird etwas als klassisches Objekt angesehen, welches
schließlich nicht zur Superposition verschiedener Zustände fähig ist, und
wann als Quantenobjekt? Wo befindet sich die Grenze zwischen Mikro- und

Makrokosmos?

Sie erinnern sich vielleicht, dass uns ähnliche Fragen schon einmal an
früherer Stelle begegneten, doch waren wir noch nicht fähig sie zu beant-
worten. Wie man sich eventuell denken kann, sind wir nicht die ersten,
die sich mit jener Problematik des Übergangs der physikalischen Beschrei-
bung der Vorgänge im Mikro- zu denen im Makrokosmos konfrontiert
sehen. Erwin Schrödinger war einer der zentralen Physiker, die sich mit
diesem grundlegenden Problem befassten, so dass er jene u. a. auch in
seiner berühmten Arbeit „Die gegenwärtige Situation in der Quanten-
xx

12 Schrödingers Katze

133
mechanik“ 16 aus dem Jahre 1935 diskutierte. Das von ihm erdachte Ge-
dankenexperiment des Katzenparadoxons, welches unter dem Namen

„ Schrödingers Katze“ bekannt ist, sollte diesen schwachen Punkt der Ko-
penhagener Interpretation der Quantenmechanik in Bezug auf die phy-
sikalische Realität aufzeigen. Dass Schrödinger trotz seiner großarti-
gen Leistungen bezüglich der Quantenmechanik durch die Aufstellung
der nach ihm benannten Gleichung nicht gerade viel von der anerkann-
ten Bohrschen Deutung der Quantenmechanik hielt, kommt besonders in
dem folgenden Zitat Schrödingers17 über die Quantentheorie deutlich
zum Ausdruck:

„Ich mag sie nicht, und es tut mir leid, dass ich jemals etwas mit ihr
zu tun hatte.“

Sich vorzustellen, dass makroskopische Objekte wie z. B. Fußbälle zu

Superpositionen fähig wären, oder dass sie beispielsweise an einer „Dop-
pelspaltwand“ Interferenzen zeigen könnten, hielt auch Schrödinger
für ausgesprochen absurd. Der Korrektheit halber sei klar gestellt, dass

Schrödinger selbst sich natürlich nicht gedanklich mit Fußbällen befasst
hat, aber dafür mit einem anderen Makroobjekt, nämlich der allseits be-
liebten Katze.

Doch bevor wir überhaupt anfangen über dieses „Experiment“ zu spre-
chen, soll schon von vornherein eindeutig festgestellt sein, dass es sich bei

Schrödingers Katze um ein reines Gedankenexperiment und nicht um einen
real durchgeführten Versuch handelt. Dies ist sehr wichtig, denn wir wollen
ja zu keinem Zeitpunkt den Eindruck erwecken, dass ein Quantenphysiker
jemals dazu in der Lage wäre einem Tier auch nur ein Härchen zu krüm-
men. Besonders der naturverbundene Mensch Erwin Schrödinger, wel-
cher das Wandern und Bergsteigen so sehr liebte und auf den dieses überaus
populäre Gedankenexperiment schließlich zurückgeht, mag wohl niemals
auch nur einen Moment daran gedacht haben dieses Experiment wirk-
lich einmal durchzuführen. Ich möchte daher ausdrücklich darum bitten,
dass Sie sich diesem Faktum während unserer gesamten, sich unverzüglich
anschließenden Diskussion der Schrödingerschen Katze allzeit bewusst
sind.

16 Original publiziert in Die Naturwissenschaften 23, 48 (1935); Nachdruck u. a.

in E. Schrödinger: Beiträge zur Quantentheorie in: Gesammelte Abhandlungen,

Bd. 3; S. 484 ff

17 J. Gribbin: Auf der Suche nach Schrödingers Katze (Piper, 2001); S. 5
xx

134

12 Schrödingers Katze

Wie ist das Gedankenexperiment
um Schrödingers Katze aufgebaut?

Nun also zum wohlgemerkt rein hypothetischen und durchweg makabe-
ren Versuchsaufbau (siehe Abb. 12.1): In einer luftdicht versiegelten, mög-
lichst von jeglichen Umgebungsfaktoren isolierten Kiste sei eine Katze ein-
geschlossen, zusammen mit einem radioaktiven Präparat, einem Geiger-

Müller-Zählrohr, einem Hammer und einem Fläschchen Cyankali.

All diese Einzelobjekte sind dabei über einen speziellen Mechanismus
kausal miteinander verbunden. Der Versuchsmechanismus jener Höllen-
maschine ist dabei wie folgt gedacht: Wenn das radioaktive Präparat, wel-
ches wir der Einfachheit halber als ein einziges radioaktives Atom anneh-
men wollen, zerfällt, so wird dieser Zerfall vom Geiger-Müller-Zählrohr
detektiert, wodurch ein Mechanismus ausgelöst wird, der den Hammer auf
das Fläschchen mit Cyankali fallen lässt, so dass das Gift entweicht und die

Katze tötet. In dem Fall, dass das radioaktive Atom nicht zerfällt, wird der

Mechanismus nicht eingeleitet, der Hammer verharrt in seiner Position,
das Fläschchen bleibt ganz und die Katze lebendig.

Abb. 12.1. Der gedankliche Versuchsaufbau zum Schrödingerschen Katzen-

Paradoxon
xx

12 Schrödingers Katze

135

Zusammengefasst lautet der Mechanismus also: Wenn das radioaktive

Atom zerfällt, ist die Katze tot, wenn es nicht zerfällt, lebt die Katze. Soweit
wirkt der Versuch ja eigentlich recht simpel.

Wo liegt die Paradoxie beim Gedankenexperiment
um Schrödingers Katze?

Der Knackpunkt des Problems jenes Schrödingerschen Katzenparadox-
ons ist offensichtlich nicht auf den ersten Blick zu erkennen. Er liegt, wie
es auch der Teufel so oft zu tun pflegt, im Detail. Fangen wir also zunächst
noch einmal ganz klein an:

Das radioakive Atom ist, da können wir uns ganz sicher sein, freilich ein

Quantenobjekt, woraus sich schließen lässt, dass es sich auch wie ein sol-
ches verhält. Nun sagen uns die Gleichungen der Quantenmechanik, dass
solange wir es in Ruhe lassen, jenes radioaktive Atom sich in einem gewis-
sen Zustand (r; t) befindet. Die Worte „gewisser Zustand“ mögen hierbei
vielleicht etwas irreführend sein, denn gewiss im Sinne eines klassischen,
konkret festgelegten Zustands ist dieser sicherlich nicht. Das Atom befindet
sich nämlich vielmehr in einem Zustand, der sich aus der Überlagerung
mehrerer verschiedener Zustände ergibt. Man spricht hierbei auch von
der Superposition verschiedener Einzelzustände des Quantenobjekts, wobei erst diese Einzelzustände diskret definierte Zustände (wie z. B. „tot“ oder

„lebendig“) sind, die klassisch interpretiert werden können. Jene quanten-
mechnanischen Zustände der Superposition, in denen sich Quantenobjekte
befinden, stellen meist Überlagerungen aus mehreren, oft unendlich vielen

Einzelzuständen dar, die uns in der klassischen Welt des Alltags offensicht-
lich nicht begegnen.

An dieser Stelle könnte unserem Verständnis das in Kap. 4 und 5

Erwähnte auf die Sprünge helfen, in denen wir die beim Doppelspaltversuch
erhaltenen Interferenzmuster als Überlagerung der einzelnen Detektions-
muster bei der Öffnung jeweils nur eines Spaltes erfuhren. Die einzelnen

Photonen bzw. Elektron, welche am Doppelspalt interferieren, befinden
sich während des Durchtritts durch die Spalte ebenfalls nicht in einem be-
stimmten Einzelzustand (nämlich entweder Weg durch Spalt 1 oder Spalt 2),
sondern sie liegen in einem überlagerten Zustand, einem Zustand der Su-
perposition beider möglichen Einzelzustände vor. Ein Partikel, welches den

Doppelspalt durchquert, befindet sich in einer Superposition aus „zu so-
undso viel Prozent durch Spalt 1 gegangen“ und „zu soundso viel Prozent
xx

136

12 Schrödingers Katze
durch Spalt 2 gegangen“, einer Superposition aus zwei unterschiedlichen

Einzelzuständen.

In Analogie hierzu muss man sich auch den Zustand eines radioaktiven

Atoms vorstellen. Es wird sich nicht einfach in einem konkreten Zustand
zwischen zerfallenem und unzerfallenem Atom entscheiden. Viel mehr be-
findet es sich in einem superponierten Zustand aus zerfallenem und gleich-
zeitig unzerfallenem Atom. Dennoch ist dieser „Mischzustand“ ein wohl
bestimmter, denn jener Prozentsatz, zu welchem Anteil sich das Atom in
einem zerfallenen bzw. unzerfallenen Zustand befindet, ändert sich im Ver-
laufe der Zeit nach der präzisen Vorhersage der dem Atom zugeordneten

Zustandsfunktion (r; t). Der quantenmechanische Zustand des Partikels,
bestehe jener auch aus einer Superposition verschiedener Einzelzustände,
ist also dennoch über die Schrödinger-Gleichung sehr wohl festgelegt und
berechenbar.

Wie stellt man den überlagerten Zustand eines Teilchens
quantenmechanisch dar?

Wenn wir nun zum mathematischen Hintergrund der Schrödingerschen

Katze gelangen möchten, bietet es sich an eine für uns neue, doch in der

Quantenmechanik sehr beliebte Schreibweise anzuwenden. Dabei handelt
es sich um die Diracsche Klammerschreibweise 18. Paul Dirac (1902–1984),
auf den diese Form der quantenmechanischen Notation schließlich zurück-
geht, war neben Schrödinger und Heisenberg einer der versiertesten

Quantenmechaniker seiner Zeit. Die von ihm entwickelte Klammerschreib-
weise entstand vermutlich in Anlehnung an das gemeinhin verwendete

Symbol des Pfeils für einen Vektor, der seiner Länge nach den Betrag und
von der Ausrichtung her die Richtung des Vektors angibt. Der Zustandsvek-
tor eines Quantenobjekts ist als eine den klassischen Vektorgrößen analoge
quantenmechanische Größe anzusehen.

Wie uns bekannt ist, wird der Zustand eines Quantenobjekts durch die

Wellenfunktion beschrieben. Dieser quantenmechanische Zustand eines

Quants wird in Diracscher Schreibweise als

|

(12.1)

18 Auch wenn diese zunächst sehr gewöhnungsbedürftig zu sein scheint, werfen

Sie nicht gleich die Flinte ins Korn! Es sieht nur ungewohnt aus, erfordert aber
an dieser Stelle nicht mehr Intellekt als zur Schulmathematik nötig ist.

xx

12 Schrödingers Katze

137
notiert, wobei die Klammer | als Ket bezeichnet wird. Ihr Gegenstück ist
der Bra |, den wir hier jedoch nicht weiter besprechen wollen, so dass
die Kombination der beiden Vektoren durch das Bilden des Skalarprodukts
ein so genanntes Bra-Ket | (englisch: bracket=Klammer) ergibt, womit
die eigenartige Namensgebung der einzelnen Klammern verständlich wird.

Wir halten also vorerst schon einmal fest, dass sich der quantenmechani-
sche Zustand eines Quantenobjekts als | notieren lässt.

Wollen wir die Diracsche Klammerscheibweise anwenden, um den über-
lagerten Superpositionszustand des radioaktiven Atoms darzustellen, so

erhalten wir durch die lineare Überlagerung der Einzelzustände zerfallen

und unzerfallen den Zustand

|
= a zerfallen + b unzerfallen .

(12.2)

Hierbei stellen die Faktoren a und b die uns (unter anderem von
den Doppelspaltexperimenten) bekannte Wahrscheinlichkeitsamplituden

der Einzelzustände zerfallen bzw. unzerfallen dar. Über die Bornsche

Wahrscheinlichkeitsinterpretation lässt sich daraufhin quantenmechanisch
berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit man das Atom in welchem Zu-
stand antrifft, wenn man diesen misst. Die Wahrscheinlichkeitsamplituden
a und b müssen dabei die Bedingung

| a|2 + | b|2 = 1

(12.3)

erfüllen, da die Gesamtwahrscheinlichkeit wie gewohnt 1, also 100% sein
muss.

Für den Fall, dass die beiden Eigenzustände einer Superposition, wel-

che in diesem Fall zerfallen und unzerfallen sind, gleich wahrscheinlich
sind, d. h. a = b, so ergibt sich aus der Bedingung (12.3) durch Äquivalen-zumfomung und Ausklammern
a = b = 1

√ ,

(12.4)

2
so dass man für die Superposition zweier gleich wahrscheinlicher Eigenzu-
stände, wie es im Katzenversuch nach Ablauf der Halbwertszeit von exakt
einer Stunde der Fall ist, den überlagerten Gesamtzustand

|
= 1

√ zerfallen + unzerfallen

(12.5)

2
erhält.

xx

138

12 Schrödingers Katze

Tatsächlich ändern sich jedoch selbstverständlich die Wahrscheinlich-
keiten, mit welchen sich das Atom in den beiden alternativen Einzelzu-
stände befinden kann mit der Zeit, denn die Halbwertszeit eines radio-
aktiven Isotops ist schließlich ein Maß für die Wahrscheinlichkeit des

Isotops innerhalb eines bestimmten Zeitraums zu zerfallen. Je länger der
verstrichene Zeitraum ist, desto wahrscheinlicher wird der Einzelzustand

unzerfallen . Jedoch wird das Atom, solange wir es nicht messen, mit einer
präzise voraussagbaren Wahrscheinlichkeit irgendwo zwischen 0 und 1 in

dem Zustand zerfallen bzw. unzerfallen sein.

Wenn Sie sich jetzt fragen sollten, wie ein zu 40% zerfallenes Atom aus-
sieht, dass wohlgemerkt zu 60% noch unzerfallen ist, so sage ich Ihnen
gleich: Geben Sie es auf! Niemand kann sich so etwas vorstellen. Es handelt
sich dabei um quantenmechanische Zustände, die man sich einfach nicht
vorstellen kann. Wir vermögen über diese quantenmechnanischen Prin-
zipien nur deshalb zu sprechen, weil wir erkannt haben, dass der mathe-
matische Formalismus der Quantenmechanik korrekte Versuchsergebnisse
vorauszusagen in der Lage ist. Wie man sich jedoch diese Superpositions-
zustände praktisch vorzustellen hat, darüber wird keine Aussage getroffen
und darüber kann auch a priori keine Aussage getroffen werden.

So wissen wir beispielsweise, wenn wir eine isolierte Anfangszahl von

1 000 000 radioaktiven Atomen eines bestimmten Isotops mit einer Halb-
wertszeit von 60 min eine Stunde lang sich selbst überlassen, um es danach
zu untersuchen, so werden wir entdecken, dass nur noch ca. 500 000, also
die Hälfte der Anfangszahl der Atome, vorhanden und etwa ebenso viele
bereits zerfallen sind. Nach diesem Prinzip lassen sich statistische Anga-
ben über die verschiedenen Halbwertszeiten der einzelnen radioaktiven

Isotope bestimmen.

Die Angaben der Halbwertszeiten spezifischer Isotope sind zwar in der

Tat konkrete Werte, allerdings besitzen sie nur für sehr, sehr große Anzahlen
von Atomen des jeweiligen Isotops repräsentativen Charakter, da es sich bei
den Halbwertszeiten eben um rein statistische Aussagen handelt.

Auf das einzelne radioaktive Atom angewendet hat die Halbwertszeit
hingegen nur den Wert einer Angabe über die Wahrscheinlichkeit des Zer-
falls in Abhängigkeit von der Zeit. Über den Zustand jedoch, in dem sich
ein bestimmtes Atom eines Isotops wirklich aufhält, solange wir es nicht
beobachten, können wir – so sagt es uns die Kopenhagener Deutung –
schlichtweg keinerlei Aussage treffen. Schon alleine die Frage, in welchem

Zustand es sich „wirklich“ befindet, macht quantenmechanisch gesehen
keinen Sinn. Die Gleichungen der Quantenmechanik geben uns diesbezüg-
xx

12 Schrödingers Katze

139
lich entsprechend der Bornschen Theorie nur eine Methode zur Berech-
nung der Wahrscheinlichkeit an, in welchem Zustand sich ein Atom im Falle
der Messung befinden wird, ob es also bei der Messung wahrscheinlicher
zerfallen oder unzerfallen detektiert wird.

Der ungemessene Zustand des Atoms hingegen stellt rein mathematisch

gesehen einfach die Überlagerung der beiden Einzelzustände zerfallen

bzw. unzerfallen dar, so wie es in Gleichung (12.2) ersichtlich wird. Wir
müssen uns ferner stets dessen bewusst sein, dass die Zustandsfunktion

(r; t) nur für uns unwissende Beobachter die Wahrscheinlichkeit angibt,
mit der ein radioaktives Atom nach einem beliebigen Zeitraum zerfallen ist.

Aber in welchem diffusen Quantenzustand sich ein einzelnes radioaktives

Atom nach einem gewissen Zeitraum befindet, das wissen nur die Götter

(oder nicht einmal die).

Wir können mit der Wellenfunktion nur voraussagen, mit welcher

Wahrscheinlichkeit das Atom im Falle einer Messung zerfallen ist bzw.

nicht zerfallen ist, aber solange wir es nicht messen, ist die Wellenfunktion
als reine Mathematik zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten anzusehen

(vgl. Zitat Heisenbergs aus Kap. 8). Wäre dies nicht so, verwickelte man
sich unweigerlich im Zusammenhang mit dem Vorgang des Kollapses der

Wellenfunktion in Widersprüche.

So müssen wir abschließend feststellen, dass schon allein die Frage nach
dem „Aussehen“ eines Atoms im Superpositionszustand unzulänglich ist,
da der Zustand eines Atoms vor der Messung eben nicht festgelegt ist. Bohr
betonte diesbezüglich häufig überzogen und dennoch ernst, man könne bei
einem quantenmechanischen Teilchen noch nicht einmal davon ausgehen,
dass es überhaupt existiert, wenn man gerade nicht hinsieht. In der Quan-
tenmechanik wird, salopp formuliert, Ludwig Wittgensteins Ausspruch
in transformierter Form zum Grundprinzip: Was nicht gemessen wurde,
darüber kann und darf auch nicht geredet werden.

Soweit zum überlagerten Zustand des radioaktiven Atoms.

In welchem Zustand befindet sich die Katze?

Nun gut. Kommen wir jetzt wieder zurück zum eigentlichen Katzenexpe-
riment, da das radioaktive Atom schließlich nur den Anfang des gesamten

Versuchsmechanismus um Schrödingers Katze bildet. Mit dem Zustand des
radioaktiven Atoms ist der Geiger-Müller-Zähler kausal verbunden: Zerfällt
das Atom, schlägt der Geiger-Müller-Zähler Alarm und der Hammer wird
ausgelöst, welcher das Fläschchen mit Cyankali zerschlägt, so dass die Katze
xx

140

12 Schrödingers Katze
stirbt; zerfällt das Atom nicht, bleibt alles wie es war, und die Katze lebt.

Allerdings wissen wir jetzt, dass sich der Zustand des radioaktiven Atoms
in einer quantenmechanischen Superposition befindet, da es sich bei dem

Atom ja um ein quantenmechanisches Objekt handelt.

Es ist jedoch eine nicht zu leugnende Tatsache, dass der Geiger-Müller-

Zähler seinerseits aber im Grunde genommen auch aus nichts weiterem
als einzelnen kleinen Atomen, also auch Quantenobjekten, besteht. Jedes
einzelne dieser Geiger-Müller-Zähler-Atome müsste sich folglich in einer
von dem Zustand des radioaktiven Atoms abhängigen Superposition aus
den Einzelzuständen „detektiert“ und „kein Zerfall detektiert“ befinden.

Weiter gedacht, müsste sich auch jedes einzelne Atom des Hammers in
einer Superposition aus „ausgelöst“ und „nicht ausgelöst“ befinden, ge-
nauso wie das Fläschchen Cyankali sich in einem überlagerten Zustand
von „zerschlagen“ und „unzerschlagen“ befinden muss. Daraus folgt, dass
die Katze sich in einer Superpositon aus „tot“ und „lebendig“ befinden
muss. Konsequent weiter gedacht, muss sich die Katze folglich nach Ablauf
der Halbwertszeit des radioaktiven Atoms von einer Stunde in Diracscher

Schreibweise formuliert im Zustand

|

Katze =

1

√ | tot + lebendig

(12.6)

2
befinden. Und das kann nicht sein! Eine Katze ist niemals gleichzeitig tot
und lebendig. Es geht einfach nicht. Dies ist die Paradoxie beim Gedanken-
experiment um Schrödingers Katze.

Es ist nun einmal eine unbestreitbare, nur allzu offensichtliche Tatsache,
dass makroskopische Objekte eben keine quantenmechanischen Super-
positionszustände einnehmen, sondern immer klassische, konkrete Werte
besitzen, und dies unabhängig von eventuellen Messungen. Wo aber in der

Kette des Versuchsmechanismus von Schrödingers Katze liegt der Grenz-
übergang vom Mikro- zum Makrokosmos, wo hört die Superpositions-
fähigkeit der Objekte auf, so dass wir Schrödingers Katze immer nur ent-
weder tot oder lebendig sehen? Wie geht die Superposition des überlager-
ten Zustandes des radioaktiven Atoms verloren? Dies ist ein fundamentales

Problem!

xx

13

Die Interpretation des

quantenmechanischen Formalismus
xx

142

13 Die Interpretation des quantenmechanischen Formalismus

Wie lautet die Lösung des Schrödingerschen Katzenparadoxons?

Wie problematisch der Übergang eines Systems von einem überlager-
ten Superpositionszustand zu einem konkret definierten Einzelzustand
ist, diskutierten wir schon an früherer Stelle in Zusammenhang mit
dem beim Doppelspaltexperiment auftretenden Welle-Teilchen-Dualismus.

Dort lernten wir den Interpretationsansatz der von Bohr et al. entworfe-
nen Kopenhagener Deutung kennen. Neben diesem Standardansatz haben
sich aus einem breiten Spektrum auch einige wenige andere Deutungsmög-
lichkeiten in der physikalischen Fachwelt durchsetzen können. Welche von
ihnen jedoch die geeignetste sei die Natur zu beschreiben, darüber bestand
schon immer eine ungebrochen heftige Diskordanz. Auch heute, nach mehr
als einem halben Jahrhundert, hat sich diese Uneinigkeit noch keinesfalls
gelegt.

Doch lassen sich aus dieser sehr breiten Palette physikalischer Deutun-
gen des quantenmechanischen Formalismus einige Grundrichtungen her-
ausfiltern, so dass das Interpretationsspektrum in die folgenden Gruppen
eingeteilt werden kann:

– Kopenhagener Deutung, welche schlechthin als die orthodoxe Standar-
dinterpretation der Quantenmechanik gilt (Bohr, Heisenberg et al.)

– Theorien verborgener Variabler, welche die übliche Quantenmechanik
auf verborgene, lokal-realistische Parameter zurückführen

– Bohmsche Mechanik, welche über eine Erweiterung der gewöhnlichen

Quantenmechanik durch zusätzliche Führungswellen zu einer determi-
nistischen, nicht-lokalen Dynamik gelangt, wobei die Wellenfunktion
reale Bedeutung erhält (de Broglie, Bohm et al.)

– Theorie der spontanen Lokalisation oder die expliziten, physikalischen

Kollaps-Theorien, welche einen neuen, physikalisch realen Kollapsme-
chanismus einführen, indem sie die Schrödinger-Gleichung modifizie-
ren (Pearle, Ghirardi, Rimini, Weber et al.)

– Relative-Zustände-Interpretation bzw. Viele-Welten-Interpretation, die
eine alternative Auslegung des mathematischen Formalismus darstellen

(Everett, DeWitt et al.)

– Konsistente Historien, welche (etwa ähnlich der Relative-Zustände-

Interpretation) den Messprozess als Akt eines externen Beobachters,
der in den meisten anderen Theorien als Kernelement fungiert, seines
zentralen Status entmachtet (Griffith, Omnès et al.).

xx

13 Die Interpretation des quantenmechanischen Formalismus

143

Um den Rahmen des Buches an dieser Stelle nicht zu sprengen, wollen
wir nur eine kleinere Auslese der bedeutendsten Interpretationen des quan-
tenmechanischen, mathematischen Formalismus besprechen: Es seien dies
erstens die schon besprochene Kopenhagener Deutung, welche maßgeblich
durch Bohr und Heisenberg geschaffen wurde, zweitens die ursprünglich
auf eine Idee des Quantenphysikers Hugh Everett zurückgehende Viele-

Welten-Interpretation und drittens eine Interpretationsart, die als eine Art

Präzision der Everettschen Idee denkbar ist und wesentlich auf der von

Zeh und Zurek entwickelten Theorie der Dekohärenz aufbaut, welche ih-
rerseits als Beschreibung eines fundamentalen Phänomens bereits allge-
meine Anerkennung gefunden hat. Mit diesen drei Deutungsmöglichkeiten
sowie deren Vor- und Nachteilen wollen wir uns jetzt näher auseinander
setzen.

Was besagt die Kopenhagener Deutung?

Die Kopenhagener Deutung lässt sich als die althergebrachte Standardin-
terpretation der vorliegenden Problematik bezeichnen. Diese erste, grund-
legend von Bohr und Heisenberg entwickelte Deutung des quantenme-
chanischen Formalismus haben wir bereits kennen gelernt, und ob nun
bewusst oder unbewusst nahmen wir bei unseren bisherigen Betrachtun-
gen oft jene Sichtweise der Kopenhagener Deutung ein.

Ein ihr zu Grunde liegendes zentrales Prinzip ist der Welle-Teilchen-

Dualismus. Der von Bohr eigens eingeführte Begriff der Komplementarität
von Wellen- und Teilchenbild zur Beschreibung der Vorgänge im Mikro-
kosmos spielt in der Kopenhagener Interpretation eine überaus bedeutende

Rolle. Nach Bohr ist es das große Verhängnis der Quantenmechanik, dass
sich ihr Wirkungsbereich unserem direkten Erfahrungsbereich und unse-
rer menschlichen Vorstellungskraft entzieht. Wir können stets nur in in-
tuitiven, klassischen Mechanismen und Konzepten über die Prozesse im

Mikrokosmos reflektieren. Unsere Versuchsaufbauten, unsere Messappa-
rate, unsere Arbeitsmodelle, ja unser gesamtes analytisches, physikalisches

Denken basiert naturgemäß auf klassischen Konzepten.

Da sich der Mikrokosmos jedoch völlig anders, nämlich nicht-klassisch
verhält, stellt die Tatsache, dass wir lediglich die unzulängliche Sprache
der klassischen Physik zur Beschreibung quantenmechanischer Mechanis-
men verwenden können – weil wir nun einmal keine andere besitzen – ein
eklatantes Hindernis dar, das unsere Intuition auf der Strecke bleiben lässt.

xx

144

13 Die Interpretation des quantenmechanischen Formalismus

Außerordentlich handfest tritt diese Ansicht in einem Zitat zu Tage, welches

Bohr zugeschrieben wird:

„There is no quantum world. There is only an abstract quantum
physical description. It is wrong to think that the task of physics is
to find out how nature is. Physics concerns what we can say about
nature.“ 19

Die „Quantenwelt“, wie Bohr sie hier bezeichnet, können wir an sich
nicht erkennen, dazu befinden wir uns einfach in der falschen Größen-
ordnung. Heisenberg betonte stets, dass wir auf die unpräzise Sprache
der klassischen Physik angewiesen sind, mit derem klassischen Wellen-
und Teilchenbild wir uns gedanklich der quantenmechanischen Tatsachen
anzunähern versuchen. Doch Quanten sind in der Tat weder Wellen noch

Teilchen. So muss schließlich jede quantenmechanische Betrachtungsweise
gezwungenermaßen Modellcharakter besitzen.

Des Weiteren nimmt der Kollaps der Wellenfunktion in der Kopenha-
gener Deutung einen zentralen Stellenwert ein. Wie wir wissen, besagt die

Kopenhagener Deutung, dass der Kollaps der Wellenfunktion eine Folge
des Messprozesses ist. Hiermit wird dem Messapparat bzw. dem Messpro-
zess eine gravierende, nicht vernachlässigbare Bedeutung zugemessen. Mi-
kroskopische Objekte können nicht störungsfrei gemessen werden, so dass
eine objektive Betrachtung der Vorgänge im Mikrokosmos zwangsläufig
unmöglich wird.

In diesem Zusammenhang ist auch der Schlüsselaspekt der Nicht-Objek-
tivierbarkeit in der Kopenhagener Deutung zu sehen: Die Natur kann auf
der Mikroebene nicht objektiv, d. h. vom Beobachter unabhängig, betrach-
tet werden. Auf Grund dieser fundamentalen Tatsache sehen Bohr und

Heisenberg sich gezwungen eine positivistische Sichtweise einzunehmen.

Diese Position und das Prinzip der Nicht-Objektivierbarkeit werden z. B.

im folgenden Heisenberschen Zitat hervorragend deutlich:

„Am schärfsten aber tritt uns diese neue Situation eben in der mo-
dernen Naturwissenschaft vor Augen, in der sich [...] herausstellt,
daß wir die Bausteine der Materie, die ursprünglich als die letzte
objektive Realität gedacht waren, überhaupt nicht mehr ›an sich‹
betrachten können [...] und daß wir im Grunde immer nur unsere

Kenntnis dieser Teilchen zum Gegenstand der Wissenschaft machen
können. “ 20

19 J. Baggot: Beyond Measure (Oxford University Press, 2004); S. 109

20 W. Heisenberg: Das Naturbild der heutigen Physik (Rowohlt, 1955); S. 18
xx

13 Die Interpretation des quantenmechanischen Formalismus

145

Über Eigenschaften von Quantenobjekten, die nicht gemessen wurden
bzw. prinzipiell nicht gemessen werden können, werden in der Kopenha-
gener Deutung keine Aussagen getroffen. So baute ja auch die Heisen-
bergsche Matrizenmechanik ausschließlich auf Observablen, also beob-
achtbaren, messbaren Größen auf. Etwas, das nicht beobachtet wird, erhält
in der Bohrschen Deutungsweise keinen Realitätswert.

Dabei wird besonders im letzten Teil dieses Heisenbergschen Zitats
der positivistische Charakter der Heisenbergschen Interpretationsweise
deutlich, nach der nur mehr das Wissen um den physikalischen Gegenstand,

Objekt der Wissenschaft sein kann. So stellt sich denn auch die Bornsche

Wahrscheinlichkeitsinterpretation als Kernstück der Kopenhagener Deu-
tung heraus. Entsprechend dieser wird die Wellenfunktion im Falle der

Messung eines Quantenobjekts als Maß der Wahrscheinlichkeit angesehen,
jenes in einem gewissen Zustand vorzufinden. Der Kollaps der Wellenfunk-
tion stellt demzufolge nichts anderes dar, als die instantane Wissensände-
rung um den Zustand des beobachteten Quantenobjekts, verursacht durch
den Vorgang der Beobachtung, also Messung. Erst durch diesen Akt der

Messung wird das Quantenobjekt einen konkreten Zustand annehmen und
einer der Einzelzustände des Quantenobjekts Element der Realität über-
führt.

Wenn wir nun das Schrödingersche Katzenproblem aus Sicht der Ko-
penhagener Deutung betrachten, so bedeutet dies, dass die Superposition
des radioaktiven Atoms über die gesamte Versuchskette auf die Katze über-
tragen werden muss. Solange die Katze mit der gesamten Versuchsanord-
nung zusammen in dem abgeschlossenen und isolierten System des Kastens
verborgen ist, befindet sich nach Bohrscher Deutung selbst das eigentliche

„Makroobjekt Katze“ in dem besagten Superpositionszustand aus | tot und

lebendig (siehe Gleichung (12.2)).

Dazu muss jedoch gesagt sein, dass nach Bohr weder der Superposi-
tionszustand des Atoms noch der der Katze Teile der physikalischen Rea-
lität sind. Erst durch den Vorgang der Messung des Zustands des jeweili-
gen Objekts wird einer der sich überlagernden Einzelzustände durch den

Kollaps der Wellenfunktion zufällig „ausgewählt“ (vgl. Zitat Heisenbergs
in Kap. 8) und in die physikalische Realität überführt. Die Wellenfunktion,
die Wahrscheinlichkeitsamplitude, der Superpositionszustand etc. besitzen
hier schlussendlich nur mathematisch-formale Bedeutung zur Berechnung
von Eintrittswahrscheinlichkeiten bestimmter, klassischer Zustände, ohne
dass jene Superpositionszustände selbst physikalische Realität besäßen.

xx

146

13 Die Interpretation des quantenmechanischen Formalismus

Kritik: Mit dieser anti-realistischen Deutungsweise des quantenmecha-
nischen Formalismus ist die Kopenhagener Deutung zwar in sich konsis-
tent, doch bleiben offen gestanden immer noch viele Fragen unbeantwortet.

Was kann denn praktisch überhaupt als ein geschlossenes System angese-
hen werden: Ist es das radioaktive Atom alleine, ist es der Inhalt des Kastens,
ist es das gesamte Laboratorium oder doch erst das gesamte Universum? Wo
liegen die Grenzen? Wer kann als Beobachter/Messender angesehen wer-
den: Ist erst der Wissenschaftler im Labor der Beobachter? Warum kann
nicht schon die Katze als Beobachter angesehen werden . . . etc.?

Diese Fragen und viele weitere bleiben schließlich doch unbeantwortet.

Der Akt der Definition einzelner Instanzen spielt in der Kopenhagener

Deutung eine unabstreitbar wichtige Rolle, doch bleibt er willkürlich und
kriterienlos.

Was besagt die Viele-Welten-Interpretation?

Eine von der altehrwürdigen Kopenhagener Deutung sehr verschiedene

Interpretationsweise, die auf einem damals beispiellosen Gedanken des

Quantenphysikers Hugh Everett (1930–1982) aus seiner Doktorarbeit
beruht, ist die „relative state“ Formulierung der Quantenmechanik21. Etwas
später ist sie nach einer Namensschöpfung Bryce DeWitts (1923–2004)

unter der Bezeichnung Viele-Welten-Interpretation sehr bekannt geworden.

Das Neuartige dieser Interpretation des quantenmechanischen Forma-
lismus ist, wie Everett in seinem Paper von 1957 betont, vor allem die

Annahme, die Schrödinger-Gleichung beschreibe eben nicht, wie in der

Kopenhagener Deutung angenommen, nur unser Wissen über den Zustand
eines Quantenobjekts, sondern sie liefere ausnahmslos für jedes isolierte

Quantensystem die vollständige Beschreibung.

Ferner nimmt er dabei an, jedes beobachtbare, physikalische System
könne als Teil eines größeren, isolierten Systems gedacht werden (siehe

Abb. 13.1). Die auf Grund der durch Wechselwirkung der beiden Systeme

(Teilsystem und Restsystem) bestehende Korrelation bewirkt nun, dass je-
nes Teilsystem nicht unabhängig vom Restsystem durch eine eindeutige

Zustandsfunktion beschrieben werden kann. Ein wichtiger Punkt ist, dass

21 H. Everett: “Relative state” formulation of quantum mechanics. Rev. Mod. Phys.

29, 454–62 (1957); Nachdruck u. a. in J. Wheeler, W. Zurek: Quantum Theory
and Measurement (Princeton University Press, 1983); S. 315 ff
xx

13 Die Interpretation des quantenmechanischen Formalismus

147
z. B. Licht

Restsystem

Teilsystem

Isoliertes Gesamtsystem

Abb. 13.1. Das isolierte Gesamtsystem setzt sich aus Teilsystem (= „lebendig-tote“

Katze) und Restsystem (= Beobachter) zusammen
jene Zustandsfunktion des Teilsystems dabei nur relativ zu der Zustands-
funktion des übrigen Systems Bedeutung besitzt.

Auf das in Abb. 13.1 dargestellte Beispiel übertragen, in dem das Teil-
system durch die Katze (in einer „lebendig-tot“ Superposition) und das

Restsystem durch den beobachtenden Wissenschaftler im Labor repräsen-
tiert sei, stellt sich Everetts überragende Idee folgendermaßen dar:

Die Korrelation von Katze und Beobachter verbietet eine externe Beob-
achtung des Teilsystems Katze, wie sie von der Kopenhagener Deutung aber
impliziert wird. Vielmehr muss man in diesem Fall von einer relativen Be-
obachtung sprechen. Der Wissenschaftler beobachtet die Katze eben nicht
objektiv von außen, sondern steht mit ihr unumgänglich in Verbindung, so
dass sein „Messergebniss“ über das Befinden der Katze nicht als global von
absoluter Gültigkeit angesehen werden kann. Es ist eben nur von relativer

Gültigkeit, abhängig davon, in welchem Zustand sich die Katze nun einmal
befindet.

Zwei in diesem einfachen Beispielfall korrelierte, alternative Zustände
des isoliert gedachten Gesamtsystems (bestehend aus Katze K und Beob-
achter B) kann man sich wie folgt denken:

1) Wenn das Teilsystem im Zustand lebendig
vorliegt, dann ist das Rest-

K
system im Zustand froh .

B
xx

148

13 Die Interpretation des quantenmechanischen Formalismus

2) Wenn das Teilsystem sich im Zustand | totK befindet, dann ist das Rest-

system im Zustand traurig .

B

Everett legt schließlich resümierend dar, auch wenn das Restsystem

(= der Beobachter) nicht allein durch eine eindeutige Zustandsfunktion
beschrieben werden kann, so liegt es doch in einer Superposition aus ver-

schiedenen Einzelzuständen (hier: froh
und traurig ) vor. Demgemäß

B

B
gelangt er schlussendlich zu der im ersten Augenblick verblüffenden, den-
noch völlig konsequenten Konklusion:

„Thus with each succeeding observation (or interaction), the obser-
ver state ‘branches’ into a number of different states. Each branch
represents a different outcome of the measurement and the corre-
sponding eigenstate for the object-system state. All branches exist
simultaneously in the superposition after any given sequence of ob-
servations.“ 22

Er kommt also zu dem Schluss, bei jeder Beobachtung/Wechselwirkung
des Teilsystems durch das bzw. mit dem Restsystem teilt sich der Zustand
des Restsystems in verschiedene Zweige auf, deren jeder ein real existenter
ist. Jeder mögliche der in der anfänglichen Superposition enthaltenen Ein-
zelzustände des Restsystems wird realisiert, so dass keine a priori abrupte
und rätselhafte Reduktion der Wellenfunktion stattfinden muss.

Auf diese Weise kann die Everettsche Formulierung der Quantenme-
chanik mittels relativer Zustände die Notwendigkeit des unschönen, Para-
doxa implizierenden Kollaps-Postulats umgehen, welches schließlich ein

Kernstück der Kopenhagener Deutung ausmacht.

Ebenso verwies er nachdrücklich auf die Tatsache, dass eigentlich schon
allein der (wie wir heute mehr als je zuvor wissen) über alle Maßen erfolg-
reiche mathematische Formalismus zu dem Konzept der relativen Zustände
führt. Ein unschlagbares Argument für die Everett-Interpretation ist denn
auch ihre unbestechliche Konsistenz. Typische Kopenhagener Definitions-
probleme, wie sie weiter oben als Kritik genannt wurden, werden durch die

Everettsche Deutungsweise als selbstverschuldete Scheinprobleme ent-
larvt.

Nach DeWitts Auslegung der Everettschen Idee werden diese jeweils
physikalisch getrennt voneinander existierenden Einzelzustände eines in

Superposition befindlichen (Quanten-)Systems in verschiedenen Welten

22 J. Wheeler, W. Zurek: Quantum Theory and Measurement (Princeton University

Press, 1983); S. 320
xx

13 Die Interpretation des quantenmechanischen Formalismus

149
realisiert gedacht. Die quantenmechanischen Superpositionen eines Quan-
tenobjekts werden folglich gar nicht als lokal an eben diesem gleichzeitig
vorliegend betrachtet, sondern als simultan in unendlich vielen Parallelu-
niversen existierend angesehen.

Die formalen Einzelzustände eines Quantenobjekts, die sich nach dem
mathematischen Formalismus der Quantenmechanik zu dem jeweiligen
resultierenden Zustand des Quantenobjekts überlagern, sind aus dieser

Sichtweise also alle gleichzeitig und einzeln lokal existent, jeder in einem
eigenen Universum, das sich außer in dem einen gewissen Quantenzu-
stand in keinem Punkt von seinem Mutteruniversum und den anderen

Paralleluniversen unterscheidet. Jedes Mal, wenn sich in einem Universum
die Möglichkeit verschiedener, alternativer Einzelzustände eines Quanten-
objekts stellt, spaltet sich das Universum, die jeweilige DeWittsche Welt,
auf und alle möglichen Einzelzustände werden in ihrem eigenen, von der

„Stammwelt“ abgeleiteten Universum eingenommen.

Aber auch hierfür gilt wieder einmal: Seien Sie nicht entmutigt, wenn sie
sich diese unendliche Anzahl von Parallelwelten nicht vorstellen können;

Menschen sind wahrscheinlich prinzipiell nicht dazu in der Lage. Das will
aber noch lange nichts heißen. Zweifelsohne hört sich diese alternative

Deutung der Quantenmechanik, zumindest im ersten Moment, ein wenig
kurios und seltsam an, ja erinnert vielleicht sogar an Science-Fiction-Er-
zählungen wie Star-Trek und Co., doch handelt es sich hierbei in der Tat
um eine ernst zu nehmende Möglichkeit physikalischer Realität.

Der gravierende Unterschied zur Kopenhagener Deutung liegt letztend-
lich darin, dass in der Viele-Welten-Interpretation wirklich alle möglichen

Zustände in der physikalischen Realität eingenommen werden, wenn auch
jeweils in einem eigenen Universum. Die althergebrachte Deutungsart je-
doch schließt den selektiven Kollaps der Wellenfunktion ein, wodurch et-
waige Alternativzustände einfach (auf mysteriöse Art und Weise) spurlos
verschwinden.

Auf die Schrödingersche Katzenproblematik angewandt, ergibt sich
dementsprechend, dass sich die Katze ebenso wie das radioaktive Atom zu
jedem Zeitpunkt in einem konkreten Zustand befindet. Im einen Univer-
sum ist das Atom unzerfallen und die Katze lebt, im anderen ist es zerfallen
und die Katze ist tot. Es stellt sich also gar nicht die Frage, wie der Kollaps
der Wellenfunktion verursacht wird bzw. vor sich geht, da er ja überhaupt
nicht stattfindet. Welcher der Einzelzustände in einem Universum gerade
vorliegt, hängt ganz einfach davon ab, in welchem der existierenden Paral-
xx

150

13 Die Interpretation des quantenmechanischen Formalismus
leluniversen sich der jeweilige Beobacher befindet, der den Katzenzustand
misst.

Aber superponierte Zustände sind, wenn überhaupt, nur global für ab-
solut isolierte Systeme von Bedeutung, welche jedoch naturgemäß nicht
beobachtbar sind, da sie dann ja nicht mehr als isoliert angesehen werden
können. Für alle praktisch relevanten Fälle, also diejenigen, in welchen eine

Messung oder (vielleicht sogar unkontrollierte) Wechselwirkung stattfin-
det, endet jede Superposition von Quantenzuständen in einer Aufspaltung
in entsprechende Parallelwelten.

Kritik: Der Hauptkritikpunkt der Viele-Welten-Interpretation ist wohl
auch gleichzeitig der augenscheinlichste: Die Tatsache, dass eine offen-
kundig überaus schwer vorzustellende, unendliche Anzahl von Universen/

Welten gleichzeitig existieren soll. Dies stellte denn auch das gravierendste

Hindernis dieser Theorie dar in der physikalischen Fachwelt größere An-
erkennung zu gewinnen, gleichwohl die physikalische Stichhaltigkeit jener

Kritik ebenfalls recht fragwürdig zu sein scheint. Nichtsdestotrotz fristet
daher die Viele-Welten-Interpretation in der Regel, obgleich ihrer Konsis-
tenz und nicht zu unterschätzenden wissenschaftlichen Leistung, eher ein

Nischendasein.

Eine physikalische Präzisierung der Everettschen Ausgangsidee um
den Aspekt des Dekohärenzmechanimus könnte allerdings zu einem neuen

Interpretationsweg führen, wie er im Folgenden dargelegt wird.

Was besagt die Theorie der Dekohärenz?

Die Theorie der Dekohärenz stellt heutzutage in der Fachwelt für den Groß-
teil der Quantenphysiker eine anerkannte Phänomenbeschreibung dar.

Dies nicht zuletzt deshalb, weil das Auftreten von Dekohärenz ein sehr hart-
näckiges, resistentes Hindernis bzw. ein schwer zu beseitigender Störfaktor
für viele Experimente ist. Interessanterweise bietet sie einen Ansatzpunkt
für eine der momentan vielleicht zuversichtlichsten Deutungsweisen. Da-
bei handelt es sich, im Gegensatz zur orthodoxen Kopenhagener Deutung,
weniger um eine erkenntnistheoretisch pragmatische, als vielmehr um eine
begrifflich konsistente Interpretationsart.

In dieser auf dem Dekohärenzmechanismus aufbauenden Interpreta-
tionsart geschieht das Verschwinden der Superpositionsfähigkeit verschie-
dener Zustände auf der Größenskala aufwärts durch die zwangsläufig
gleichfalls zunehmende, unvermeidbare Wechselwirkung der Objekte mit
ihrer Umgebung. So wird auch der Begriff „ Dekohärenz“ in der Publika-
xx

13 Die Interpretation des quantenmechanischen Formalismus

151
tion „What is achieved by Decoherence?“ des die Theorie der Dekohärenz
maßgeblich prägenden Quantenphysikers H. Dieter Zeh folgendermaßen
definiert:

„...by decoherence I mean the practically irreversible and practically
unavoidable [...] disappearance of certain phase relations from the
states of local systems by interaction with their environment accor-
ding to the Schrödinger equation.“ 23

Beim irreversiblen Prozess der Dekohärenz wird also der kohärente

Superpositonszustand eines physikalischen Objekts durch den nicht ver-
hinderbaren Einfluss der Umgebung zerstört. Die gewisse kohärente Pha-
senbeziehung der Komponenten der Superposition geht durch Dekohärenz
zwangsläufig verloren. Dabei gilt, je größer ein gewisses Objekt ist, desto
eher wird es mit seiner Umgebung wechselwirken und desto unwahrschein-
licher wird es in einem Zustand der Superposition erscheinen können.

Eine paar Beispiele sollen diesen Sachverhalt des Übergangs vom Quan-
tenmechanischen zum Klassischen etwas verdeutlichen:

Ein elektronisches Neutrino (Symbol: ν e) beispielsweise wechselwirkt
ausschließlich über die schwache Wechselwirkung 24, die zweitschwächste
der vier fundamentalen Wechselwirkungen im Universum.

Ein Fulleren-Molekül (vgl. Abb. 7.2), das seinerseits schon aus einer
recht großen Anzahl ganzer Kohlenstoffatome besteht (es können immer-
hin 60, 70, 80 und mehr sein), wechselwirkt hingegen schon sehr viel in-
tensiver mit seiner Umgebung. Nicht nur, dass es – im Gegensatz zum
harmlosen, strukturlosen Neutrino – über alle vier fundamentalen Wech-
selwirkungen mit seiner Umgebung interagieren kann, Fullerene sind im
wahrsten Sinne des Wortes richtige Makro moleküle. Die immerhin etwa
einen halben Nanometer großen, fußballähnlichen Strukturen müsste man
eigentlich schon als „richtige“, quasi-klassische Teilchen bezeichnen dür-
fen, ähnlich sehr feinem Kohlestaub (wenn auch in einer ganz andersartigen

Modifikation).

Umso interessanter ist es da, dass sogar bei einem seiner noch größe-
ren, mit Fluor besetzten Verwandten (siehe Abb. 13.2), dem Fluorofulleren

(C60F48), signifikante Welleneigenschaften nachgeweisen werden können,

23 arXiv: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9610014 (1996)

24 Nach dem Standardmodell der Elementarteilchenphysik besitzen Neutrinos
keine Ruhemasse. Es gilt jedoch schon fast als bewiesen, dass ihnen sehr wohl
eine, wenn auch winzig kleine, so doch endliche Ruhemasse zugeordnet werden
kann, so dass sie außerdem sehr schwach über die Gravitation wechselwirken.

Dies tut jedoch an dieser Stelle nichts Wesentliches zur Sache.

xx

152

13 Die Interpretation des quantenmechanischen Formalismus

Abb. 13.2. Schematische Darstellung eines Fluorofulleren-Moleküls (C60F48)

wie Interferenzexperimente um Markus Arndt et al. 2003 zeigten.25 Für
diese sehr kurzzeitigen Experimente lassen sich jene beträchtlich großen

Fluorofullerene also noch relativ gut gegen den natürlichen Dekohärenz-
prozess isolieren. Doch auch hier zeichnen sich schon bald engere Grenzen
für zukünftige Spaltversuche mit noch größeren Objekten, wie beispiels-
weise kleineren Organismen, ab.

Eine Katze, ein Mensch oder andere makroskopische Systeme sind hin-
gegen schon kaum mehr als isolierte Gebilde denkbar. Sie werden mit an Si-
cherheit grenzender Wahrscheinlichkeit keine Superpositionszustände aus

| tot und lebendig annehmen, jedenfalls kann unsere Lebenserfahrung
diese Hypothese nicht gerade stützen. Nach der Deutung der Dekohärenz
basiert dies auf dem einfachen Faktum, dass durch die bei makroskopi-
schen Körpern (unvermeidbare) Wechselwirkung mit der Umgebung über

Wärme- und Stoffaustausch die Kohärenz des Systems verloren geht.

In seinem Artikel „Decoherence and the Transition from Quantum to

Classical“ erläuterte Wojciech Zurek das Kernproblem des Beschrei-
bungsversuchs makroskopischer Objekte mithilfe der Quantenmechanik
mit den Worten:

„Macroscopic systems are never isolated from their environments.

Therefore [...] they should not be expected to follow Schrödinger's
equation, which is applicable only to a closed system.“ 26

25 M. Arndt, B. Brezger, L. Hackermüller, K. Hornberger, E. Reiger, A. Zeilinger:

The wave nature of biomolecules and fluorofullerenes. Phys. Rev. Lett. 91 (2003);
arXiv: quant-ph/0309016 v1 (2003)

26 publiziert in Los Alamos Science 27 (2002)

xx

13 Die Interpretation des quantenmechanischen Formalismus

153

Makroskopische Objekte können aus offensichtlichen Gründen nicht
als isoliert angesehen werden. Folglich können sie auch a priori nicht als
geschlossene Systeme betrachtet oder beschrieben werden. Die zwangs-
läufige Wechselwirkung mit der Umgebung zerstört den quantenmecha-
nischen Superpositionszustand und führt als letztendliches Resultat zu
den gewohnten, nicht superponierten Einzelzuständen der Objekte unserer

Größenordnung.

Bezüglich der Schrödingerschen Katzenparadoxie lässt sich im Sinne
der Dekohärenz-Deutung aussagen, dass die Wechselwirkung der Katze mit
ihrer Umgebung, wie z. B. der Luft, die sie umgibt (und die sie zwingend
zum Überleben benötigt), oder der Wärmestrahlung, die sie emittiert, die

Superposition aus eigentlich gleichzeitig toter und lebendiger Katze zer-
stört.

Nun könnte man zwar einwenden, dass sich letztendlich der gesamte

Inhalt des Kastens, und zwar wirklich alles, d. h. sowohl radioaktives Atom,
als auch Zählrohr, Hammer, Fläschchen und Katze inklusive Luftmolekü-
len und Wärmestrahlung, in einem alles übergreifenden Superpositions-
zustand befindet. Der Inhalt des Kastens wäre somit als perfekt isoliertes

System gegen Dekohärenz immunisiert. Doch tatsächlich stellt dies eine un-
zulängliche Idealisierung dar, weil das Makroobjekt Kasten für alle prak-
tisch relevanten Fälle eben nicht als isoliertes System angesehen werden
kann.

Der markanteste Unterschied der Theorie der Dekohärenz zur alther-
gebrachten Kopenhagener Deutung ist, dass der als abstraktes Hilfspostu-
lat fungierende unangenehme, da instantane Kollaps der Wellenfunktion
überflüssig und daher verworfen wird. An seine Stelle tritt der so genannte

Dekohärenzvorgang, ein physikalischer Prozess, welcher eine endliche Zeit
in Anspruch nimmt und somit – um es nochmals zu betonen – nicht in-
stantan verläuft. Er stellt eine unitäre Zeitentwicklung dar, wobei die De-
kohärenz (also das Verschwinden von Interferenz) die Folge einer unitären

Zeitentwicklung jenes Systems und seiner Umgebung ist.

Wie beispielsweise in neueren Experimenten durch Serge Haroche in

Paris gezeigt werden konnte, ist es durchaus schon heute möglich, die theo-
retisch prognostizierten Dekohärenzzeiten für gewisse Versuchsanordnun-
gen aussagekräftig experimentell zu verifizieren. So muss die Theorie der

Dekohärenz schließlich der veralteten Kopenhagener Deutung den Rang
ablaufen, denn die von letzterer vorhergesagten, instantanen Kollapse fin-
den offensichtlich im Experiment nicht statt. Es bestehen also nicht nur in
theoretischer Hinsicht erlesene, ja gravierende Differenzen zwischen die-
xx

154

13 Die Interpretation des quantenmechanischen Formalismus
sen beiden Deutungsweisen, sondern auch experimentell betrachtet kann
durch die bestehenden Unterschiede eine qualifizierte Entscheidung über
ihre Brauchbarkeit getroffen werden. Typische Kopenhagener Begriffe wie
die Bohrsche Komplementarität oder das Dualismus-Prinzip des Wellen-
bzw. Teilchenbildes scheinen angesichts dieser Aspekte überflüssig, wenn
nicht sogar irreführend zu sein.

Um diese offensichtlich sehr erfolgreiche Theorie der Dekohärenz ein
wenig differenzierter erfassen zu können, wollen wir nun den von ihr be-
schriebenen Dekohärenzvorgang anhand eines einfachen Beispiels etwas
genauer unter die Lupe nehmen:

Rufen Sie sich nochmals die Schrödingersche Katze zurück ins Ge-
dächtnis, die – verursacht durch das radioaktive Atom – eine Halbwertszeit
von einer Stunde besitzt, d. h. die nach einer Stunde mit 50%iger Wahr-
scheinlichkeit noch lebendig und mit einer ebenso großen tot ist. Stellen

Sie sich demgemäß vor im Fall 1) (siehe Abb. 13.3) ist die berühmte Katze

(= das superponierte System, kurz: S) im „lebendigen“ Zustand und ein
horizontal „nach links“ ankommendes Photon (= die Umgebung, kurz:

U), das senkrecht gegen ihren Rücken trifft, wird „nach rechts“ reflektiert.

Im anderen Fall 2) hingegen, in dem die Katze in den „toten“ Zustand
übergegangen ist, liegt sie leblos auf dem Boden, so dass das „nach links“
ankommende Photon nicht an ihrem Rücken reflektiert wird, sondern sich
weiterhin „nach links“ fortbewegt.

Abb. 13.3. Die zwei möglichen, alternativen Zustände: links 1) bzw. rechts 2)

xx

13 Die Interpretation des quantenmechanischen Formalismus

155

Ein wenig schematischer ausgedrückt erhalten wir also die zwei Fälle:

1) Wenn System S den Zustand lebendig einnimmt, ist System U gezwun-
genermaßen im Zustand | nach rechts vorzufinden.

2) Wenn System S in den Zustand | tot übergegangen ist, so behält System

U logischerweise den Zustand | nach links bei.

Betrachten wir jetzt den genauen Vorgang der Dekohärenz: Bevor eine

Wechselwirkung der Systeme S und U stattfindet, befindet sich zunächst das

Katzensystem S in dem uns bekannten Superpositionszustand aus „tot“ und

„lebendig“. Das Photonensystem U hingegen befindet sich vor der Wechsel-
wirkung der Systeme zweifellos in dem bestimmten Zustand „nach links“.

Für das Gesamtsystem S+U erhält man somit in Diracscher Schreibweise
bevor das Photon mit der Katze wechselwirken kann die Superposition

|
= 1

√

|

+ |

|

.

vor
lebendig
nach rechtsU
totS nach rechtsU

(13.1)

2

S

Diesen Superpositionszustand macht aus, dass er faktorisierbar, man
sagt auch Einstein separabel, ist, denn man kann ihn auch als Produkt der

Form

|
= 1

√

+ |

|
vor
lebendig
totS nach rechtsU

(13.2)

2

S
schreiben. Diese Faktorisierbarkeit ist gleichzusetzen mit der Fähigkeit des

Systems S in einer Superposition vorzuliegen. Hierbei befindet sich aus-
schließlich das Lokalsystem S in einer Superposition. Dies ist ein überaus
bedeutender Punkt, wie wir an späterer Stelle noch erkennen werden.

Wird jetzt allerdings eine Wechselwirkung zwischen System S und Sys-
tem U dadurch möglich, dass – je nach Zustand der Katze – das Photon
entweder reflektiert wird oder sich ungestört weiterbewegt, so ändert sich
der Gesamtzustand des Systems S+U gravierend, denn in diesem Fall muss
er nunmehr

|

= 1

√

|

+ |

|
nach
lebendig
nach rechtsU
totS nach linksU

(13.3)

2

S
lauten. Die lokale Superposition des Katzensystems S ist durch den De-
kohärenzvorgang in eine globale Superposition aus Katze und Umgebung
übergegangen. Jener superponierte Gesamtzustand aus Gleichung (13.3)

allerdings ist aus ersichtlichen Gründen nicht mehr faktorisierbar. Genau
dieser prinzipielle Unterschied zwischen | vor und | nach ist es, der die

Superpositionsfähigkeit des Systems S verschwinden lässt.

Es handelt sich bei (13.3) demgemäß nicht mehr um einen Superposi-
tionszustand der Katze allein, sondern um einen bestimmten, verschränk-
xx

156

13 Die Interpretation des quantenmechanischen Formalismus
ten Zustand, den wir entweder als „lebendig und nach rechts“ oder als

„tot und nach links“ bezeichnen würden. Und dies sind in der Tat die Zu-
stände, die wir aus unserer Größenordnung gewohnt sind. Die irreversible

Dekohärenz geschieht durch die Wechselwirkung von System S mit U.

Es ist dies sicherlich eine überraschend einfache Erkenntnis, denn jene
elegante Lösung des Katzenparadoxons erlangten wir in vollkommenem

Einklang mit dem mathematischen Formalismus der Quantenmechanik,
aber wohlgemerkt ohne den unschönen, Paradoxa implizierenden Kollaps
der Wellenfunktion. So muss kein instantaner Zusammenbruch von Wel-
len postuliert werden – der Dekohärenzprozess benötigt tatsächlich einen

(durchaus auch berechenbaren) Zeitraum –, sondern die Quantenmecha-
nik alleine liefert eine konsistente, allumfassende physikalische Theorie,
insbesondere auch für den Zwischenbereich des Mikro-Makro-Übergangs.

Ein weiterer, dem realistischen Naturwissenschaftler sicherlich ange-
nehmer Punkt ist, dass Superpositionszustände nicht zwingend als rein
mathematische Konstruktionen angesehen werden müssen. Der Bohrsche

Positivismus weicht hier einem wissenschaftlichen Realismus, wodurch ein
gewisses Maß an Objektivität bzw. Objektivierbarkeit zurückerlangt wird.

Kritik: Auch wenn die Dekohärenz-Theorie schließlich den berechtigten

Anspruch erhebt eine allumfassende und konsistente physikalische Theorie
zu sein, die auch den Übergangsbereich zwischen Mikro- und Makroebene
ohne fragwürdige, instantane Kollapse vollständig zu beschreiben vermag,
so bleiben doch auch in dieser Interpretation der Dekohärenz ein paar

Fragen offen.

Beispielhaft sei hier ein Zitat der Quantenphysiker Markus Arndt,

Klaus Hornberger und Anton Zeilinger aus ihrem Artikel „Probing
the limits of quantum world“ angeführt:

„Decoherence cannot therefore solve the philosophical problem of un-
derstanding the human preception of a particular reality. However,
it can explain the emergence of classicality, that is how and when an
object loses its quantum features and becomes indistiguishable from
a classical description.“ 27

Hier wird dem Faktum Ausdruck verliehen, dass die Dekohärenz-

Theorie mittels quantenmechanischer Beschreibung zwar die Nicht-Separa-
bilität zu beschreiben vermag, doch die Frage weshalb diese zum Ver-
schwinden der Superpositionsfähigkeit des Systems führt, wird als immer

27 publiziert in Physics World 18, 3 (2005)

xx

13 Die Interpretation des quantenmechanischen Formalismus

157
noch unangetastetes philosophisches Problem herausgestellt (mögliche

Lösungsansätze dieses Problems werden weiter unten aufgeführt).

Abschließend sei nochmals ausdrücklich betont, dass diese drei Inter-
pretationsansätze lediglich eine kleine Auswahl der bedeutendsten existie-
renden Deutungsmöglichkeiten darstellen.

Welche Interpretation entspricht der „Realität“?

Es sei schon hier erwähnt, dass wir zu einem späteren, passenderen Zeit-
punkt noch eine weitere der am Anfang dieses Kapitels erwähnten Aus-
legungen der Quantenmechanik kennen lernen werden, die auf den ge-
nialen Physiker, Philosophen und Querdenker David Bohm (1917–1992)

zurückgeht und daher auch als Bohmsche Mechanik bezeichnet wird. Eine

Diskussion eben dieser Mechanik wäre jetzt allerdings noch hoffnungslos
verfrüht. Doch werden wir dies im Zusammenhang mit der Betrachtung
des EPR-Paradoxons nachholen.

Neben den hier behandelten Grundinterpretationsarten bestehen au-
ßerdem zahlreiche, durch Abwandlungen und Erweiterungen modifizierte,
ähnliche Interpretationstheorien. Allerdings kann keine von ihnen als

„richtig“, „wahr“ oder gar als „der Realität entsprechend“ bezeichnet wer-
den. Es handelt sich schlechthin um besonders weit entwickelte Deutungs-
weisen, aber es sind und bleiben Interpretationen. Über ihre Korrektheit
bzw. Inkorrektheit lässt sich nur sehr schwer urteilen. Schließlich können
erst stichhaltige, experimentelle Verifikationen bzw. Falsifikationen, deren

Durchführung aktuell im Zusammenhang mit Dekohärenzprozessen ange-
strebt wird, wirklich befriedigende Argumente für die eine und gegen eine
andere Theorie liefern und somit akzeptabel für eine begründete Beurtei-
lung einer gewissen Deutung sein.

Die Theorie der Dekohärenz ist allerdings heute, wie wir erfahren haben,
durch ihre vielfältigen, beeindruckenden experimentellen Verifikationen
mit Berechtigung schon allgemein anerkannt. Die ursprüngliche Fassung
der Kopenhagener Deutung ist angesichts dieser modernen Erkenntnisse
vielleicht nicht mehr als nur die althergebrachte Interpretation der Quan-
tenmechanik anzusehen, doch eventuell vielmehr als die antiquierte.

Doch auch in der jetzigen Zeit bildet eine gewisse „Lücke“ der reinen

Dekohärenztheorie einen Keim für Diskrepanzen in der quantenphysikali-
schen Fachwelt dar. Das Problem ist nämlich, dass die Dekohärenz-Theorie
zwar auf bemerkenswerte Art und Weise das Verschwinden der Interfe-
renzfähigkeit zu erklären vermag, doch die Frage, wie und warum nun von
xx

158

13 Die Interpretation des quantenmechanischen Formalismus
allen möglichen, ausschließlich genau ein einziger der (bisweilen unend-
lich) vielen reinen Einzelzustände eines Quantenobjekts ausgewählt wird,
bleibt von der Dekohärenz völlig unangetastet. So muss man nachdrücklich
betonen, dass die Dekohärenz-Theorie doch nicht ganz ohne entweder
a) ein kollapsähnliches Auswahlpostulat zur Reduktion auf einen einzigen

Einzelzustand des (Quanten-)Objekts oder
b) eine Deutung in Richtung der Everett-Interpretation durch die simple

Realisierung aller möglichen Einzelzustände in jeweilig parallelen Wel-
ten
auskommt, weil die zur Beschreibung verwendete so genannte Dichte-
matrix nach dem Dekohärenzvorgang zwar keine Interferenzterme mehr
enthält, wohl aber alle alternativen Einzelzustände zulässt. Bezüglich der

Frage danach, welche dieser beiden Möglichkeiten a) bzw. b) wohl der
physikalischen Realität entsprechen, sei hier nochmalig auf das Zitat von

Erich Joos und Claus Kiefer aus Abschnitt 11.2 verwiesen, demnach
eine Entscheidung für oder gegen den einen oder anderen Lösungsansatz
auf Grund der Schwierigkeit einer aussagekräftigen, experimentellen Veri-
fikation bzw. Falsifikation vorerst Geschmackssache bleibt.

Die momentane Frage – etwas provokant formuliert – lautet dann: Eine

Theorie, die unendlich viele parallele Welten vorhersagt oder eine andere,
die von Grund auf inkonsistent und mit unbegründeten Postulaten behaftet
ist?

Der Ehrlichkeit halber muss ich letztlich eingestehen, dass ich mich
nicht befähigt fühle mir über eben diese gordische Frage ein Urteil zu er-
lauben, denn es handelt sich hierbei, wenn man es genau nimmt, um höchst
komplexe und umfangreiche Theoriengebäude. Dieses Vorhaben wäre aus
meiner Perspektive definitiv vermessen.

Da ist es aus einer relativ unvoreingenommenen, neutralen Position wie
der unsrigen schon recht amüsant, dass die Verfechter der einzelnen Inter-
pretationstheorien in Publikationen und Interviews jeweils stets pflegen,
den mit ihrer eigenen Interpretationsart konkurrierenden Theorien den

Rang abzuerkennen eine akzeptable Lösung für die Nichtexistenz makro-
skopischer Superpositionen zu liefern. Angesichts dessen drängt sich even-
tuell der spontane Eindruck auf, dass auch eine (zumindest geringfügige)

Portion Subjektivität, Intuition und Glaube an die eigene Erkenntnisfähig-
keit in diese Debatte der Deutungstheorien mit hinein fließt.

Es bleibt schließlich die Hoffnung, dass künftige Experimente stich-
haltige Daten liefern mögen, um die verschiedenen Interpretationsansätze
aussagekräftig bewerten zu können.

xx

14

Das EPR-Paradoxon
xx

160

14 Das EPR-Paradoxon

Was ist das EPR-Paradoxon und woher kommt es?

Die eklatante Abneigung Einsteins gegenüber der Unschärferelation

Heisenbergs ist uns bereits wohl bekannt. Auch wenn Bohr, wie wir in

Kap. 9 erfuhren, stets dazu in der Lage war Einsteins Kritik an seiner Theo-
rie durch gekonnte Gegenargumentation abzuwehren, so hielt Einsteins

Widerwille gegenüber der Behauptung, die Quantenmechanik böte eine
vollständige Beschreibung der physikalischen Prozesse des Mikrokosmos,
doch ungebrochen an.

Im Jahr 1935 formulierten daher Albert Einstein und seine zwei jün-
geren Kollegen Boris Podolsky und Nathan Rosen in ihrer berühmten
gemeinsamen Publikation „Can quantum-mechanical description of phy-
sical reality be considered complete?“ 28 ein sehr interessantes und bedeu-
tendes Gedankenexperiment, welches nach seinen Urhebern als Einstein-

Podolsky-Rosen-Paradoxon oder kurz EPR-Paradoxon bezeichnet wird. Da-
bei handelt es sich um den Vorschlag die Einsteins Meinung nach nur
scheinbar unvermeidbare Unschärfe der Quantenobjekte, welche bekannt-
lich in der Heisenbergschen Unschärferelation zu Tage tritt, experimen-
tell durch einen überaus geschickt gewählten Versuchsaufbau umgehen zu
können. Zu diesem Zweck legten die drei Autoren die folgenden Überle-
gungen dar, mit Hilfe derer sie jene Unschärferelation bezüglich Impuls
und Aufenthaltsort auf elegante Weise zu umschiffen versuchten, so dass
die ihrer Meinung nach zweifelsfreie Unvollständigkeit der quantenmecha-
nischen Sichtweise offenkundig werden musste. Auf Grund der ungemein
wichtigen Stellung dieser zentralen Arbeit wollen wir uns nun ein wenig
detailierter mit ihr auseinander setzen.

Zu Beginn ihrer Abhandlung legten Einstein, Podolsky und Rosen
zwei zentrale Definitionen dar, die wir an gegebener Stelle schon wäh-
rend der Diskussion der Bohr-Einstein-Debatte erwähnten. Wegen ihres
beträchtlichen Gewichts in der Argumentation seien sie hier nochmals zu-
sammengestellt:

Die Vollständigkeit: Von der Vollständigkeit einer Theorie spricht
man dann, wenn jedem Element in der Realität genau eines in der
physikalischen Theorie entspricht.

28 Original publiziert in Phys. Rev. 47, 777-80 (1935); Nachdruck u. a. in J. Whee-
ler, W. Zurek: Quantum Theory and Measurement (Princeton University Press,

1983); S. 137 ff
xx

14 Das EPR-Paradoxon

161

Das Realitätskriterium: Eine physikalische Größe ist dann ein Ele-
ment der Realität, wenn es mit Sicherheit vorausgesagt werden
kann, ohne das System zu stören.

Diese Definitionen sind von grundlegender Wichtigkeit, denn sie liefern
die Basis zum Verständnis der Einsteinschen Sichtweise.

Ihm und seinen zwei Assistenten war ebenso wie uns bekannt, dass
nach der Quantenmechanik der Zustand eines Teilchens, wie z. B. der eines

Elektrons, durch die quantenmechanische Wellenfunktion beschrieben
wird, deren zeitliche Entwicklung sich mit der Schrödinger-Gleichung be-
stimmen lässt. Des Weiteren ist es uns bereits vertraut, dass nach dem

Prinzip der Heisenbergschen Unschärferelation quantenmechanisch gese-
hen Aufenthaltsort und Impuls nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt
werden können. Nun ist es quantenmechanisch eine fraglose Tatsache, dass,
misst man den Impuls eines Elektrons, sein Aufenthaltsort nicht gleichzei-
tig genau bestimmbar ist. Durch den Vorgang der Impulsmessung wird der
superponierte Quantenzustand des Elektrons zerstört, die Reduktion des

Wellenpakets tritt ein – der Kollaps der Wellenfunktion wird ausgelöst.

Diese Erkenntnis allerdings, dass immer nur entweder Impuls oder Auf-
enthaltsort genau bestimmt sein können, führte die drei erklärten „Nicht-

Quantenmechaniker“ zu der Feststellung, dass es freilich nur zwei Mög-
lichkeiten in Hinblick auf die physikalische Realität geben kann:

a) Die Beschreibung durch die Quantenmechanik ist unvollständig.

b) Die beiden physikalischen Größen (hier: x und p) besitzen nicht gleichzeitig Realität.

Offensichtlich musste mindestens einer dieser beiden Sätze wahr sein.

Würden wir im Falle des eben angesprochenen Elektrons dennoch ver-
suchen durch eine präzise Ortsmessung eine Information über den konkre-
ten Aufenthaltsort des Elektrons zu gewinnen, würden wir seinen Impuls
gezwungenermaßen erheblich stören. Im Einklang mit dem Einsteinschen

Realitätskriterium muss also, wenn die Quantenmechanik entgegen Satz a)

als vollständige Theorie angesehen werden soll, geschlussfolgert werden,
dass Impuls und Aufenthaltsort eines Quantenobjekts entsprechend Satz b)

nicht gleichzeitig Realität zugesprochen werden kann. Denn es können nie-
mals gleichzeitig beide Größen präzise gemessen werden, weil die Messung
der einen die andere gewichtig stört. Zu jedem Zeitpunkt besitzt demge-
mäß nur höchstens eine der Größen Impuls bzw. Aufenthaltsort Realität.

Niemals jedoch beide gleichzeitig.

xx

162

14 Das EPR-Paradoxon

Obwohl sich diese Lösung der schlichten Aufgabe des klassischen Rea-
litätsbegriffs (von Impuls und Aufenthaltsort) zwar zunächst ganz ver-
nünftig anhört, läge man, so Einstein, mit dieser „quantenmechanik-
freundlichen“ Behauptung leider falsch, da bei diesem Schnellschuss ganz
wesentliche Argumente außer Acht blieben und folglich eine inkorrekte

Konklusion resultiere.

So setzte Einstein nun zum gekonnten Schlag an, mit dem er die

Unvollständigkeit der Quantenmechanik offenbaren wollte, indem er die

Ungültigkeit des Satzes b) darlegte. Hierzu formulierte er zusammen mit

Podolsky und Rosen das später unter dem Namen EPR-Paradoxon be-
kannt gewordene Gedankenexperiment.

Wie sieht der gedankliche Versuchsaufbau
des EPR-Experiments aus?

Man stelle sich eine besondere Teilchenquelle vor, die – wie in Abb. 14.1
zu sehen – stets zwei Teilchen in entgegengesetzte Richtung entsendet, die
wir fortan mit A und B bezeichnen wollen. Die beiden Teilchen A und B
sollen während der nun folgenden Versuchsdauer t keine Möglichkeit
der Interaktion, also Wechselwirkung haben. Dies ist recht leicht einzu-
richten, denn Wechselwirkungen können im Einklang mit der speziellen

Relativitätstheorie prinzipiell nicht schneller als mit Lichtgeschwindigkeit
vor sich gehen, da diese die höchstmögliche Geschwindigkeit für jegliche

Art der Informationsübertragung darstellt. Indem man nun die Entfernung
s zwischen A und B so wählt, dass sie stets größer ist als der Weg, den das

Licht in der Zeit t zurücklegen kann, lässt sich ganz leicht die Unmöglich-

Abb. 14.1. Die EPR-Quelle sendet immer zwei Teilchen A und B in entgegengesetzte

Richtung aus
xx

14 Das EPR-Paradoxon

163
keit einer Interaktion von A und B während des Zeitraums t sicherstellen.

Die Mindestentfernung s der Teilchen für den Versuchszeitraum t muss
also lediglich der Gleichung
s = c · t

(14.1)

gehorchen, wobei c der Lichtgeschwindigkeit entspricht.

Da folglich unter dieser Voraussetzung (14.1) selbst die Lichtgeschwin-
digkeit als schnellste aller möglichen Geschwindigkeiten von Wechselwir-
kungen zu langsam ist, um irgendeine Form von Information von A nach B
zu übermitteln, spricht man von der Lokalität der beiden Teilchen A und B.

Sie sind lokal voneinander getrennt, woraus resultiert, dass ein beliebiges

Ereignis bei Teilchen A keine Möglichkeit der Beeinflussung des Teilchens

B haben kann. Das wäre jedenfalls ein zwingender Schluss, wenn man

Einsteins spezieller Relativitätstheorie uneingeschränkt Glauben schen-
ken will, wogegen zunächst eigentlich nichts sprechen sollte.

Des Weiteren soll der Gesamtzustand
AB des Gesamtsystems (beste-
hend aus Partikel A und B) bekannt sein, so dass die zeitliche Entwicklung
über die Schrödinger-Gleichung offen liegt. Die Einzelzustände der beiden

Teilchen sind dabei jedoch vollkommen unbestimmt. Nur das Gesamtsys-
tem ist quantenmechanisch berechenbar, nicht aber die Einzelzustände der
isolierten Teilchen.

Versuchten wir trotzdem die Einzelzustände von A und B zu erfahren,
so würden wir zwangsläufig den quantenmechanischen Gesamtzustand

AB zerstören und die Wellenfunktion erführe eine unstetige Änderung.

Es würde also schließlich zum allseits gefürchteten Kollaps der Wellen-
funktion kommen. Die Wellenfunktion
AB gibt somit den höchsten Grad
an Information wieder, den man quantenmechanisch gesehen über das Sys-
tem A+B erlangen kann bzw. der an diesem System überhaupt vorliegt. Sie
bildet die vollständige Beschreibung des Quantensystems A+B.

Auf dieser quantenmechanischen Basis stellten Einstein und Co. die
sich nun anschließende Überlegung dar: Nähme man dementsprechend
z. B. eine Ortsmessung an A vor, so ist zunächst einmal quantenmecha-
nisch bekannt, dass dessen Impuls nicht gleichzeitig beliebig gewiss be-
stimmt werden kann. Jedoch – und dies ist der zentrale Punkt – darf
diese an Teilchen A durchgeführte Messung, zumindest während des weiter
oben besprochenen Zeitraums t, keinen Einfluss auf Teilchen B haben,
denn eine Wechselwirkung zwischen A und B ist durch die Einhaltung der
in Gleichung (14.1) angeführten Lokalitätsbedingung vollkommen ausge-
schlossen. Die Lokalität der beiden Teilchen verbietet ein kausales Zusam-
xx

164

14 Das EPR-Paradoxon
menhängen von A und B. Teilchen B kann zumindest bis zum Ablauf des

Zeitraums t, der freilich mit dem Zeitpunkt der Messung an A beginnt,
gar nichts von unserer heimlichen Impulsmessung an Teilchen A „wissen“,
denn jegliche Information, welche von A nach B übertragen werden könnte,
käme erst nach Ablauf von t bei B an.

Gleichfalls ist in Analogie ersichtlich, dass während des Zeitraums t
von B unbemerkt an Teilchen A genauso gut eine beliebig präzise Ortsmes-
sung vorgenommen werden könnte, ohne B zu beeinflussen.

Wichtig hieran ist nun, dass B im vornherein ja gar nichts davon wissen
kann, wie wir Messenden uns entscheiden werden, ob wir nun den Impuls
oder den Aufenthaltsort von A (und somit indirekt auch von B) messen
werden, da wir dies schließlich im letzten Moment vor der Messung spon-
tan und willkürlich zu einem solchen Zeitpunkt entscheiden können, dass
eine (maximal lichtschnelle) Information nicht mehr rechtzeitig bei B an-
kommen kann (siehe B Lokalitätsbedingung (14.1)). Doch offenkundig ist,
dass wir – auf Grund der Korrelation zwischen A und B – über die Ergeb-
nisse der Impuls- bzw. Ortsmessung an A auch die jeweiligen Werte für B
kennen werden, ohne B in irgendeiner Weise zu stören.

Dies bedeutet aber entsprechend des Realitätskriteriums, dass sowohl

Impuls als auch Aufenthaltsort von B Elemente der Realität sind und dies
gleichzeitig, weil diese konkreten Eigenschaften Impuls und Aufenthaltsort
schon vor der eigentlichen Messung irgendwie am System B bestanden
haben müssen, da beide gleichermaßen spontan „abrufbar“ sind und dies,
ohne dass eine Wechselwirkung mit A nötig bzw. überhaupt möglich wäre.

Einstein stellte also eigentlich zur Debatte, woher denn bitte – nähme
man die Vollständigkeit der quantenmechanischen Theorie an – Teilchen B
wissen sollte, ob der Impulsbetrag von A gemessen, oder der Aufenthaltsort
von A bestimmt, oder ob überhaupt eine Messung an A vorgenommen
wurde, wenn doch eine Interaktion der beiden Teilchen untereinander auf

Grund der relativistisch kausalen Trennung offensichtlich unmöglich ist.

Wollte man dennoch weiterhin auf der Annahme beharren, die Quan-
tenmechanik böte eine vollständige Beschreibung der Vorgänge im Mikro-
kosmos, so müsste man von dem Vorhandensein eines sehr speziellen Fern-
wirkungsmechanismus ausgehen, den Einstein des Öfteren abfällig als

„spukhafte Fernwirkung“ bezeichnete. Dieser müsste über beliebig große

Strecken instantan Information von A nach B übertragen können, so dass A
und B im Einklang mit den Prinzipien der Quantenmechanik spontan, im

Augenblick der Messung an A, objektiv zufällige, aber zusammenpassende

Werte für Impuls bzw. Aufenthaltsort der Teilchen annehmen könnten. Ein
xx

14 Das EPR-Paradoxon

165
solcher Fernwirkungsmechanismus würde dabei nicht nur ein vollkommen
neues und in der bisherigen Physik nicht auftauchendes Phänomen sein,
sondern es widerspräche auch noch schlicht und ergreifend sowohl der na-
türlichen Alltagserfahrung als auch der gesamten menschlichen Intuition
in Hinsicht auf das grundsätzliche Verständnis der Natur.

So lautet Einsteins Konklusion schließlich: Wenn an System B sowohl

Impuls einerseits als auch Aufenthaltsort andererseits ohne Störung des-
selbigen beliebig genau bestimmt werden können, kann nach dem Reali-
tätskriterium gleichzeitig jeder dieser beiden physikalischen Größen glei-
chermaßen Realität zugesprochen werden, so dass Satz b) negiert werden
muss und Satz a) folglich als zutreffend zu betrachten ist:

Die quantenmechanische Betrachtungsweise muss als unvollständig
angesehen werden. Sie ist nicht in der Lage alle in der Realität auf-
tauchenden physikalischen Größen theoretisch zu erfassen.

Ist also doch kein Paradigmenwechsel
durch die Quantenmechanik nötig?

Man könnte folglich meinen, der Fall sei eigentlich recht klar: Die Quan-
tenmechanik sei, so sehr es Heisenberg, Bohr usw. auch schmerzen mag,
schlichtweg unvollständig und es läge nur noch daran eine bessere, voll-
ständige Theorie zu finden, die auch die kleineren, bisher verborgenen oder
besser gesagt noch nicht berücksichtigten, aber dennoch vorhandenen phy-
sikalischen Größen enthält. Das klassische Weltbild hätte über das sprung-
hafte, wahrscheinlichkeitsabhängige Wesen der unanschaulichen Quanten-
mechanik gesiegt. Und wir sollten uns endlich auf die Suche nach jener
präziseren und umfassenderen Theorie verborgener Variabler machen. Der
durch die Formulierung der Kopenhagener Quantenmechanik heraufbe-
schworene Paradigmenwechsel des Aufgebens der Objektivierbarkeit, des

Aufgebens der Lokalität, des Aufgebens der gleichzeitigen Existenz so ge-
nannter komplementärer Größen an einem Quantenobjekt, ja des Aufge-
bens des grundliegenden Vertrauens in den gesunden Menschenverstand
sei vollkommen unnötig, da eine klassische Theorie über eine Ergänzung
durch verborgene Variable die Realität im Gegensatz zur Quantenmecha-
nik vollständig zu beschreiben in der Lage ist. Wir sollten also am ange-
nehmeren klassischen Weltbild festhalten und die besagten verborgenen

Parameter finden.

Wenn diese gegen die Quantenmechanik gerichtete Meinung auch zu-
nächst überzeugen mag, so sei doch zu Vorsicht ermahnt, denn dass der
xx

166

14 Das EPR-Paradoxon
hier vorliegende Sachverhalt in Wirklichkeit leider nicht so einfach ist, wie
es vorerst scheinen mag, wird sich im Folgenden noch zeigen. Es sei des-
halb Vorsicht geboten nicht vorschnelle Schlüsse zu ziehen, nur weil die
eigene momentane Perspektive – zugegebenermaßen durch das klassische

Weltbild bestimmt – die ein oder andere Theorie als angenehmer und des-
halb wahrer nahelegt. Natürlich ist es schwer ein lange Zeit akzeptiertes

Weltbild im Sinne eines epistemologischen, also erkenntnistheoretischen

Paradigmas zu verwerfen und ein anderes anzunehmen, doch dies wäre
schließlich auch nicht das erste Mal, dass ein Paradigmenwechsel, eine wis-
senschaftliche Revolution geschieht.

Schon der italienische Galileo Galilei (1564–1642) löste als zentraler

Begründer der modernen Naturwissenschaft durch seine bahnbrechend
neuen Methoden und Erkenntnisse einen solchen Paradigmenwechsel aus,
indem er mit seiner neuen, erkenntnistheoretischen Theorie der Natur-
beschreibung durch die Sprache der Mathematik die aristotelische Onto-
logie ablöste.

Ein ebenfalls völlig neues Weltbild und wissenschaftliches Paradigma
wurde durch den Engländer Isaac Newton (1643–1727), den man mit

Recht als den Begründer der klassischen Physik bezeichnen kann, einge-
leitet, indem sich das neue mechanistische Weltbild nicht zuletzt durch
die Formulierung seines sowohl im Himmel als auch auf Erden allgemein
gültigen Gravitationsgesetzes durchsetzte.

Und ironischerweise war es der sich so heftig gegen das quantenme-
chanische Weltbild auflehnende Albert Einstein selbst, der durch seine

Aufstellung der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie unser zeit-
genössisches Verständnis von Raum, Zeit und absoluten Bezugssystemen
revolutionierte und dadurch das althergebrachte, wohl akzeptierte mecha-
nistische Zeitalter ablöste. Welch Ironie, dass er angesichts seiner eigenen

Revolution des physikalischen Weltbildes jenes der Quantenmechanik nicht
akzeptieren konnte.

Ist die Quantenmechanik tatsächlich unvollständig?

Es sollte sich deshalb zunächst der folgende Fragenkomplex stellen: Ist

Heisenbergs Ungleichung wirklich nur als eine der Historie angehörige
technische Schwierigkeit einzuordnen? Sind jene Quantenunschärfen le-
diglich Ergebnisse unserer auf technischen Schwierigkeiten basierenden

Unkenntnis über die wirklichen Eigenschaften von Quantenobjekten? Gibt
es also doch verborgene Parameter?

xx

14 Das EPR-Paradoxon

167

Dies sind vielleicht die grundlegendsten und bedeutsamsten Fragestel-
lungen, die sich in der Quantenphysik auftun und die den für unsere All-
tagserfahrung und den gesunden Menschenverstand nur überaus schwer
zu verdauenden Charakter der Quantenmechanik aufzeigen. Um die Ant-
wort kurz und schmerzlos zu gestalten: Ich muss Ihnen leider mitteilen,
dass die Welt, in der wir leben, tatsächlich so verrückt ist, dass Teilchen

B es sehr wohl (wie auch immer) mitkriegt, wenn wir an A eine Messung
vornehmen. In der Quantenwelt besteht tatsächlich eine solche objektive

Unschärfe, die sich nicht umgehen lässt – auch nicht mit einem noch so
geschickten Versuchsaufbau.

„ Einen Augenblick mal! “, mögen Sie jetzt vielleicht sagen, „ Aber weshalb
sollte ich mir trotz alledem, was (einschließlich der Aufgabe des klassischen

Weltbildes) dagegen spricht, dessen so sicher sein, dass Quantenobjekte tat-
sächlich an sich teilweise unbestimmte Eigenschaften besitzen? “ Dies ist ein wohl berechtigter und durchaus lobenswerter Einwurf, weshalb es sich
dringend lohnt diese schwierige Frage über die eventuelle Existenz verbor-
gener Parameter genauer zu untersuchen.

Quantenmechanik oder Theorien verborgener Variabler?

Wenn wir zwischen der Gültigkeit einer Theorie mit verborgenen Varia-
blen und der Quantenmechanik unterscheiden wollen, so liegt es auf der

Hand, dass man einen speziellen experimentellen Versuch benötigt, in dem
die Voraussagen der beiden unterschiedlichen Theorien differieren, so dass
man über die tatsächlich gefundenen Versuchsbeobachtungen die Voraus-
sage der einen bzw. der anderen Theorie verifizieren kann. Dementspre-
chend werden wir im Folgenden versuchen eine mögliche Voraussage einer

Theorie des Mikrokosmos, die auf einer Beschreibung mittels verborgener

Variabler basiert, mit der Voraussage der ohne verborgene Variable aus-
kommenden Quantenmechanik zu vergleichen. Klar ist, dass, würde man
solche verborgenen Parameter direkt messen können, eine Entscheidung
für bzw. gegen eine dieser beiden unterschiedlichen Theorien nicht schwer
fallen sollte.

Nun ist es aber gerade so, dass verborgene Variable mit dem Adjektiv

„ verborgen“ versehen wurden, da sie per definitionem diejenigen eventu-
ell vorhandenen physikalischen Größen sind, die man eben nicht direkt
messen kann. Wir müssen uns also wohl oder übel mit dem unbequeme-
ren Fall abfinden, dass ein direktes Erkennen und Messen der verborge-
nen Variablen niemals möglich sein wird. Deshalb werden wir uns darauf
xx

168

14 Das EPR-Paradoxon
beschränken müssen, wie schon eben angeschnitten wurde, einen physi-
kalischen Fall zu finden, in dem eine experimentell messbare Differenz in
den Voraussagen zwischen der Theorie mit und ohne verborgene Variable
besteht.

Einer ersten Vermutung nach könnte man berechtigterweise vorab der

Überzeugung sein, es würde wohl kaum einen Fall geben, in dem es einen
experimentellen Unterschied zwischen einer Theorie, in der es verborgene

Variable sehr wohl gibt, die man jedoch nicht messen kann, und einer

Theorie wie der Quantenmechanik, die die Existenz verborgener Variabler
prinzipiell ausschließt, überhaupt geben kann. Denn wie soll man bloß
über die Brauchbarkeit zweier Theorien entscheiden, wobei die eine von
der Existenz nicht messbarer verborgenen Variablen ausgeht und eine an-
dere namens Quantenmechanik die Existenz von verborgener Variablen
prinzipiell ausschließt?29 Was soll da für eine nachweisbare Auswirkung
sein, ob sie wirklich nicht existieren, oder ob wir nur nicht messen können,
obwohl sie eben doch existieren?

Das wäre doch anschaulich gesprochen so ähnlich, als ob man eine
verschlossene Kiste vorgelegt bekäme und Sie hätten zwischen zwei vorlie-
genden Möglichkeiten zu wählen:

a) Sie lässt sich nicht öffnen, weil es keinen Schlüssel für ihr Schloss gibt,
oder
b) sie lässt sich ebenfalls nicht öffnen, aber nicht nur, weil es den Schlüssel
nicht gibt, sondern auch, weil sie einfach generell nicht die Fähigkeit
besitzt geöffnet zu werden.

Und jetzt entscheiden Sie sich mal für a) oder b)! Schließlich ist das einzige,
was Sie wissen können, dass Sie die Kiste nicht aufkriegen können. Punkt!

Aber ob man sie vielleicht mit Schlüssel doch aufbekommen könnte, steht
noch absolut offen. (Machen sie sich jedoch bitte bewusst, dass dies nur eine
sehr beschränkte Analogie zum quantenmechanischen Sachverhalt ist. Sie
soll den komplexen Sachverhalt nur ansatzweise veranschaulichen.)

In Analogie dazu wissen wir bezüglich unserer Frage nach der Existenz
verborgener Variabler nur, dass wir sie nicht direkt messen können, aber
ob es sie nicht vielleicht doch geben kann, bleibt unabhängig davon noch
undiskutiert.

29 Dieses „prinzipiell“ bedarf jedoch einer sich im folgenden Abschnitt anschlie-
ßenden Relativierung.

xx

14 Das EPR-Paradoxon

169

Die uns quälende Frage muss also folgendermaßen lauten: Wie beweist
man die Existenz bzw. Nicht-Existenz eines Elements der physikalischen

Realität wie den verborgenen Parametern, in Anbetracht der Tatsache, dass
eben diese schon rein prinzipiell und a priori nicht gemessen werden kön-
nen?

Schließt die Quantenmechanik verborgene Variable prinzipiell aus?

In Anbetracht der Tatsache, dass wir in der vorangehenden Diskussion ver-
suchten, und im nächsten Kapitel weiter versuchen werden, (experimentell
überprüfbare) Differenzen zwischen der Quantenmechanik und Theorien
verborgener Variabler ausfindig zu machen, kann und will ich ein bestimm-
tes Faktum nicht unausgesprochen unter den Teppich kehren:

Die Quantenmechanik schließt die Existenz verborgener Variabler
gar nicht prinzipiell aus!

Aber wie soll man denn das nun wieder verstehen, wo wir doch die ganze

Zeit Quantenmechanik und Theorien verborgener Variabler als konkurrie-
rende, sich gegenseitig ausschließende Theorien ansahen? Nun ja, wie wir
sehen, ist es mit der Quantenwelt wirklich nicht so leicht, wie man zunächst
denken könnte. Daher wollen wir am besten ganz von vorne beginnen:

Schon Louis de Broglie empfand zur Zeit der Geburtsstunde der

Kopenhagener Deutung auf der berühmten Solvay-Konferenz 1927 eine
eklatante Abneigung gegenüber der Bohr- und Heisenbergschen Sicht-
weise der Quantenmechanik. Die nicht lokal-realistische Quantenmechanik
bereitete ihm derartiges Unbehagen, dass er mit einer eigens modifizier-
ten, nicht lokalen, aber realistischen Quantenmechanik, der so genannten

»theorie de l'onde pilote«, eine deterministische Theorie erdachte. Da diese
jedoch im damaligen Fachkreis nicht gerade auf großen Anklang stieß,
verwarf er sie relativ bald darauf wieder unvollendet.

Mit der Publikation eines aufwendigen Beweises über die prinzipielle

Unvereinbarkeit von Quantenmechanik und verborgenen Variablen durch
den Mathematiker John von Neumann (1903–1957) trat im Jahr 1932 ein
einschneidendes Ereignis ein. Diese umfangreiche, aber in negativer Hin-
sicht folgenschwere Arbeit von Neumanns zerschlug ungeahnt die große

Hoffnung vieler, mit der herkömmlichen Quantenmechanik unzufriede-
ner Quantenphysiker nach einer möglichen Vervollständigung der Quan-
tenmechanik durch die Einführung verborgener Parameter. Im Folgenden
wurden die Theorien verborgener Variabler mit wesentlich vermindertem
xx

170

14 Das EPR-Paradoxon

Enthusiasmus verfolgt und ein Großteil der Quantenphysiker gab jene al-
ternative Möglichkeit vollständig auf.

Ungefähr 25 Jahre nach de Broglies Arbeiten und völlig unbeeindruckt
von den Arbeiten von Neumanns machte sich ein Einzelgänger an den

Versuch eine realistische, nicht lokale Quantenmechanik mit verborgenen

Variablen zu konstruieren: Dies war David Bohm (1917–1992). Er kon-
struierte eine konsistente und präzise Theorie, welche exakt die gleichen

Vorhersagen zu liefern vermochte wie die althergebrachte Quantenmecha-
nik, nur dass diese neue Bohmsche Mechanik eine deterministische und
realistische Dynamik darstellte.

Anfangs wurde die Bohmsche Menchanik von etablierten Physikern
eher müde belächelt und als künstliches Aufwärmen der de Broglieschen

»theorie de l'onde pilote« gedeutet, denn als ernsthafte eigenständige Theo-
rie akzeptiert. Vor allem von Einstein, Heisenberg und anderen zen-
tralen Physikern jener Zeit hagelte es aus verschiedensten Gründen rege

Kritik. Jener zum Trotz entwickelte sich allerdings aus der Bohmschen Idee
einer Quantenmechanik verborgener Variabler eine konsistente, ernst zu
nehmende alternative physikalische Theorie.

Angesichts dieser prinzipiellen Möglichkeit einer durch verborgene

Variable erweiterten Quantenmechanik im Rahmen einer nicht-lokalen,
realistischen Theorie jedoch, muss (um einen Definitionskonflikt zu ver-
hindern) mit äußerstem Nachdruck betont werden, dass, wenn im weite-
ren Verlauf dieses Buches von Theorien verborgener Variabler die Rede ist,
stets lokal-realistische Theorien verborgener Variabler gemeint sein werden,
welche schließlich mit der nicht-lokalen, nicht-realistischen (= nicht-lokal-
realistisch) Quantenmechanik in der Tat unvereinbar sind. Die sich von ers-
ter fundamental unterscheidende, modifizierte Quantenmechanik Bohms

– eine nicht-lokale, realistische Theorie verborgener Variabler – werden wir
per definitionem fortan ausschließlich mit dem Begriff der Bohmschen Me-
chanik belegen.

Wie gestaltet sich die Bohmsche Mechanik?

Auf den Punkt gebracht erweitert die Mechanik Bohms die sich hervor-
ragend etablierte quantenmechanische Schrödinger-Gleichung um Bewe-
gungsgleichungen bezüglich der Ortskoordinaten eines jeweiligen Quanten-
objekts. Diese Bewegungsgleichungen sind wie klassische Bewegungsglei-
chungen zu verstehen, die es erlauben einem Objekt zu jedem beliebigen

Zeitpunkt einen konkreten Aufenthaltsort zuzuordnen. Es handelt sich bei
xx

14 Das EPR-Paradoxon

171

Bohms Theorie also um eine deterministische Beschreibung der Mikrowelt,
denn die Unschärfe Heisenbergs wird schließlich durch die Einführung
verborgener Variabler mittels Bewegungsgleichung elegant umschifft. Die
genaueren mathematischen Details wollen wir hier der Übersichtlichkeit
halber nicht weiter auswalzen. Es sei nur erwähnt, dass die genannte Be-
wegungsgleichung auch als guiding equation, zu deutsch als Pilot- oder
geläufiger als Führungswelle bezeichnet wird.

Eine Konsequenz dieses geradlinigen Determinismus ist die Tatsache,
dass in der Bohmschen Mechanik der Messprozess seine – in der Kopen-
hagener Sichtweise so zentrale – Bedeutung verliert. Er stellt ja nun keine

Zustandsreduktion mehr dar, sondern erlangt den Status einer normalen,
objektiven klassischen Messung ohne instantane Kollapse. Man könnte die

Bohmsche Mechanik schlussendlich als eine Art vervollständigte Quanten-
mechanik ansehen, die völlig ohne das typisch quantenmechanische, vom
klassischen Standpunkt aus „unästhetische Unschärfe-Zufall-Gepäck“ des
objektiven Zufalls, der Heisenbergschen Unschärferelation, des Kollapses
der Wellenfunktion, des Prinzips der Komplementarität etc. auskommt.

Doch auch wenn diese Befreiung von dem schweren Ballast der orthodo-
xen Quantenmechanik für aktive Nicht-Quantenmechaniker wie Einstein
und Co. einen neuen Hoffnungsschimmer bedeuten sollten, so war die

Begeisterung seitens der physikalischen Fachwelt, wie schon oben ange-
schnitten, eher zurückhaltend.

Auch heute erfreut sich die Bohmsche Mechanik in der physikalischen

Fachwelt nicht gerade grandioser Beliebtheit. Ebenso konnte sie bislang im
quantenphysikalischen Kanon der universitären Lehrpläne keinen Stamm-
platz finden. John Bell kritisierte dieses Faktum einmal mit den treffenden

Worten:

„This theory is equivalent experimentally to ordinary nonrelativistic
quantum mechanics – and it is rational, it is clear, and it is exact and
it agrees with experiment, and I think it is a scandal that students
are not told about it. Why are they not told about it? I have to guess
here there are mainly historical reasons, but one of the reasons is
surely that this theory takes almost all the romance out of quantum
mechanics.“ 30.

30 O. Passon: Bohmsche Mechanik (Harri Deutsch, 2004); S. 14; ursprüngliche

Publikation in: A. Petersen: Niels Bohr: a centenary volume (Harvard University

Press, 1985); S. 305
xx

172

14 Das EPR-Paradoxon

Diese Begründung ist wohl nicht ganz so sehr aus der Luft gegriffen,
wie man sich das für die Physik als rationale Wissenschaft eigentlich wün-
schen würde, denn Romantik ist zugegebenermaßen nicht wirklich ein sehr
stichhaltiges Kriterium zur Bewertung physikalischer Theorien. Doch ließe
sich im Falle der Korrektheit der Bohmschen Mechanik eine gewisse Ent-
mystifizierung der Quantenwelt durch die Existenz verborgener Variabler
nicht leugnen. Wäre die Mikrowelt nun insgeheim, da verborgen, doch rein
deterministisch und gäbe es den absoluten Zufall folglich nicht, so wäre
der kuriose, faszinierende und durch und durch wundersame Charakter
der Quantenmechanik als durch Unvollständigkeit verursacht entlarvt.

Diese alternative Möglichkeit muss wohl zwangsläufig jeden Quanten-
physiker, der die Quantenmechanik ihrer subtilen und abstrakten Extrava-
ganz halber lieb gewann, so sehr abschrecken, dass die Bohmsche Mechanik

– trotz ihrer bemerkenswerten Konsistenz und Leistungsfähigkeit – keiner
weiteren Beachtung gewürdigt, sondern in der Regel als eine Art „wenig
wahrscheinliche und unbedeutende Extremalternative“ abgetan wird.31

31 Dennoch könnte man als berechtigte, objektive Kritik gegen die Bohmsche Me-
chanik gelten lassen, dass sich eine Verallgemeinerung der Bohmschen Theorie
über die pure Quantenmechanik hinaus in Richtung Quantenfeldtheorie (siehe

Kap. 17) als außerordentlich schwierig erweist.

xx

15

Die Bellsche Ungleichung
xx

174

15 Die Bellsche Ungleichung

Ist eine experimentelle Entscheidung
über verborgene Variablen möglich?

Zweifelsohne ist die Verehrung, die man angesichts der großartigen Leis-
tungen Bohrs und Einsteins nicht zuletzt über ihre herausragenden, sub-
tilen Debatten einfach empfinden muss, nicht gerade klein. Und dennoch
ist es gerade für den kritischen Wissenschaftler eine unbefriedigende Tat-
sache, dass diese fundamental wichtigen Diskussionen letzten Endes rein
theoretischer und philosophischer Natur blieben. Es waren reine Gedan-
kenexperimente über die Bohr und Einstein debattierten, von der Ein-
steinschen Version des Doppelspaltexperiments bis zum EPR-Experiment.

Seien sie auch noch so durchdacht und gedanklich ausgetüftelt, es bleiben
trotzdem rein gedankliche Konstruktionen.

Doch wie schon Einstein selbst oft betonte, ist der Prüfstein einer je-
den Theorie stets das wahrhaftig durchgeführte Experiment. Denn wenn es
sich wie im Falle Einsteins und Bohrs um zwei an sich völlig konsistente,
alternative Theorien handelt, kann nur durch die wirkliche Durchführung
eines Experiments über die Brauchbarkeit einer dieser beiden physikali-
schen Theorie geurteilt werden. Dass sich dieses Vorhaben in Bezug auf die

Frage nach der Existenz bzw. Nicht-Existenz verborgener Variabler aller-
dings durchaus diffizil, wenn nicht sogar unmöglich gestaltet, mussten wir
bereits erkennen.

In Anbetracht dieser Tatsache ist es freilich erstaunlich, wenn nicht ge-
radezu umwerfend, dass der überaus geschickte und ideenreiche irische

Quantenphysiker John Bell (1928–1990) genau diese scheinbare Unmög-
lichkeit zu Stande brachte: Er vermochte einen speziellen Fall auszuma-
chen, in dem sich ein quantitativer Unterschied zwischen den Voraussagen
der Theorien verborgener Variabler und der Quantenmechanik ergeben
würde. Die von ihm hierzu aufgestellte mathematische Relation wird nach
ihm Bellsche Ungleichung genannt. Unser Ziel soll im Folgenden sein, die-
sen experimentell überprüfbaren Unterschied der beiden konkurrierenden

Theorien zu erkennen. Dabei werden wir feststellen, dass sich dieses Unter-
fangen eigentlich gar nicht so schwierig gestaltet, gleichwohl es wahrhaftig
an grenzenlose Genialität grenzt als Erster zu einer solchen Formel zu ge-
langen.

Das von Bell zur Untersuchung herangezogene EPR-Experiment, wel-
ches wesentlich auf einem Vorschlag David Bohms aufbaut, ist zwar mit
dem ursprünglichen Gedanken Einsteins vom zu Grunde liegenden Prin-
zip her vollkommen äquivalent, jedoch stellt es genau genommen eine

Art Variation der Einsteinschen EPR-Originalversion dar. Es bezieht sich
xx

15 Die Bellsche Ungleichung

175
nämlich nicht, wie es der primäre Gedanke von Einstein, Podolsky und

Rosen war, auf die gleichzeitige Bestimmung bzw. Existenz von Impuls und

Aufenthaltsort eines Quantenobjekts, sondern auf eine andere Quantenei-
genschaft, die sich Spin nennt.

Was ist der Spin eines Teilchens?

Als veranschaulichendes Analogon wird der Spin oft mit dem makrosko-
pischen Eigendrehimpuls verglichen: So wie die Erde sich permanent um
ihre eigene Achse dreht, besitzen auch atomare und subatomare Partikel
diese vergleichbare Quanteneigenschaft. Dies ist bitte allerdings nur ein
verzweifelter Versuch einen Vergleich zu Phänomenen unserer Größenord-
nung aufzustellen. Es handelt sich hierbei nur um eine unfeine, wenn auch
für den Anfang hilfreiche Veranschaulichung des quantenmechanischen

Sachverhalts.

Der Spin eines Teilchens wird stets in ganz- oder halbzahligen Vielfa-
chen von , also Vielfachen des Planckschen Wirkungsquantums geteilt
durch 2 π, angegeben und ist folglich (wie so einiges andere in der Quan-
tenphysik auch) quantisiert, wodurch sogleich der beschränkte Analogie-
charakter zum klassischen Drehimpuls augenscheinlich wird.

Ein Elektron beispielsweise besitzt allgemein einen Spin von s = + 12
bzw. s = − 1 . Das Vorzeichen von s zeigt dabei an, in welche Richtung

2
der Spin des Partikels zeigt, denn er ist ebenso wie der Drehimpuls ein

Vektor mit Betrag und Richtung. Misst man z. B. die Spinkomponente
eines Elektrons in x-Achsenrichtung, so bedeutet die Messung des Spin-
werts s x = + 1 , dass der Spin des Elektrons in positive x-Achsenrichtung

2
zeigt und im anderen Fall der Messung von s x = − 1 , dass er in negative

2
x-Achsenrichtung gerichtet ist. Es lässt sich schließlich wahlweise für jede
der drei Raumachsen (oder jede beliebige andere Achse) ein Vorzeichen
der Spinkomponente eines jeden beliebigen Teilchens bestimmen.

Zur experimentellen Durchführung der Messung des Spins eines Teil-
chens verwendet man dabei für gewöhnlich das Stern-Gerlach-Experiment.

Dieses vermag, kurz gefasst, durch die Ablenkung spinbehafteter Teilchen
beim Durchgang durch ein inhomogenes Magnetfeld eine Information über
die Richtung des Spins in einer Raumachse zu ermitteln. Wird bei der in

Abb. 15.1 dargestellten Versuchsanordnung ein Teilchen beim Durchgang
durch das Magnetfeld z. B. nach oben abgelenkt, so weiß man, dass des-
sen Spinkomponente in z-Achsenrichtung positiv war (Fall 1: Spin nach
xx

176

15 Die Bellsche Ungleichung

Abb. 15.1. Das Stern-Gerlach-Experiment zur Messung der Spinrichtung
oben), wird es im umgekehrten Fall nach unten abgelenkt, muss sein Spin
in negative z-Achsenrichtung gezeigt haben (Fall 2: Spin nach unten).

Freilich kann man selbst mit primitiven Kenntnissen des Magnetismus
erkennen, dass es wohl niemals möglich sein kann gleichzeitig die Spin-
komponente eines Teilchens in mehr als einer Achsenrichtung gleichzeitig
zu messen. Man kann niemals gleichzeitig beispielsweise die y-Achsen-

Spinkomponente und die z-Achsen-Spinkomponente messen, da die dafür
benötigten Versuchsaufbauten einander ausschließen. Die beiden dazu be-
nötigten magnetischen Felder würden sich vektoriell überlagern und zu
einem resultierenden Magnetfeld führen, so dass (im besten Falle) wieder
nur noch eine Spinkomponente entlang der resultierenden Achse gemessen
werden kann. Es kann demgemäß schon aus rein experimentellen, techni-
schen Gründen zu jedem Zeitpunkt niemals mehr als eine Spinkomponente
entlang einer Achse gemessen werden.

Dieses Prinzip sollte uns nur allzu vertraut vorkommen, denn die Äqui-
valenz zum Grundsatz der Heisenbergschen Unschärferelation ist nahezu
unverkennbar. Beide Male ist es experimentell unmöglich gleichzeitig ei-
nerseits Impuls- und Aufenthaltsort bzw. andererseits die Spinorientierung
in mehreren Achsenrichtungen zu bestimmen, da die jeweiligen Versuchs-
anordnungen sich gegenseitig ausschließen. Sowohl bei der vorliegenden

Frage der gleichzeitigen Existenz der Spinkomponente in mehr als einer

Messachse als auch bei der Frage nach der gleichzeitigen Existenz von

Impuls und Aufenthaltsort eines Teilchens geht es prinzipiell um ein und
denselben Sachverhalt.

xx

15 Die Bellsche Ungleichung

177

Daher lässt sich feststellen, dass sich die EPR-Diskussion bezüglich Im-
puls und Aufenthaltsort durch jene bezüglich der Messung der Spinkom-
ponenten verschiedener Achsenrichtungen ersetzen lässt, denn schlussend-
lich ist die im EPR-Aufsatz formulierte Frage gleichwertig ersetzbar durch
das Prinzip der Spinmessung. Die zur ursprünglichen EPR-Problematik
äquivalente Frage lautet folglich: Sind Spinkomponenten verschiedener Ach-
senrichtungen gleichzeitig Elemente der Realität?

Spinmessung nach Theorien verborgener Variabler
oder Quantenmechanik?

Da wir jetzt wissen, dass sich die gesamte EPR-Problematik auch bezüglich
der Spinmessung in mehreren Achsenrichtungen und nicht nur hinsichtlich

Impuls- und Aufenthaltsortmessung diskutieren lässt, müssen wir uns ein
wenig exakter mit dem Messprozess des Spins an sich auseinander setzen.

Um eine experimentell überprüfbare Differenz zwischen Theorien verbor-
gener Variabler und der Quantenmechanik zu finden, müssen wir zunächst
die grundsätzlichen Unterschiede dieser beiden Theorien hinsichtlich des

Prozesses der Spinmessungen an einem Quantenobjekt verstehen.

Aus den vorangegangenen Kapiteln über die Bohr-Einstein-Debatte
und das EPR-Paradoxon ist uns bereits der allgemeinene, gravierende

Unterschied zwischen Theorien verborgener Variabler und der Quanten-
mechanik bekannt: In den Theorien verborgener Variabler existiert nur
der subjektive Zufall, der durch die Unkenntnis der unbekannten, jedoch
real existierenden physikalischen Größen verursacht ist, wohingegen die

Quantenmechanik über den Mechanismus des spontanen Kollapses der

Wellenfunktion und die Nichtexistenz verborgener Variabler den objekti-
ven Zufall postuliert und somit die Gültigkeit des Kausalitätsprinzips außer

Kraft setzt.

Nun gut, soweit ist vorerst alles klar. Aber welcher theoretische Unter-
schied sollte sich bei der Messung einer beliebigen Spinkomponente zwi-
schen der Voraussage der Theorien verborgener Variabler und der Quan-
tenmechanik ergeben? Um diese Frage zu beantworten, stellen wir uns ein-
fach nochmals ein Quantenobjekt vor, das senkrecht zu den magnetischen

Feldlinien eines inhomogenen Magnetfeldes fliegt, wie es in Abb. 15.1 dar-
gestellt ist, d. h. wir führen einfach das Stern-Gerlach-Experiment durch.

Wie lauten nun die unterschiedlichen Voraussagen der beiden alternativen

Theorien?

xx

178

15 Die Bellsche Ungleichung

Voraussage der Quantenmechanik:

Nach der Theorie der Quantenmechanik besitzt das Teilchen, so-
lange es nicht gemessen wird, überhaupt keine konkrete Spinrich-
tung. Es befindet sich anfangs (je nach Präparation) in einer Super-
position aus mehreren, wenn nicht sogar unendlich vielen, mögli-
chen Spinorientierungen. In Diracscher Notation schreibt sich der
quantenmechanische Zustand des Teilchens daher im Superposi-
tionszustand als

|
= a |↑ + b |↓ ,

(15.1)

wobei der symbolische Pfeil nach oben für den Einzelzustand des
nach oben orientierten Spins und der nach unten zeigende Pfeil für
den des nach unten orientierten Spins steht, und die Faktoren a und
b zwei für uns vorerst vernachlässigbare (in der Regel komplexe)

Zahlen sind. Der superponierte Gesamtzustand des Teilchens ergibt
sich also aus der Summe der Einzelzustände (vgl. Kap. 12).

Erst im Augenblick seiner Messung nimmt der Spin des Teilchens
einen festen Wert an, nämlich entweder nach oben oder nach un-
ten zeigend. Wie der Spin sich beim Messprozess jedoch orientieren
wird, ist quantenmechanisch gesehen objektiv zufällig, denn es gibt
keine übergeordneten, kleineren physikalischen Größen oder Ei-
genschaften des Teilchens, die darüber bestimmen könnten. Eine

Information über eine bestimmte Spinkomponente liegt im ur-
sprünglichen Superpositionszustand einfach nicht am Teilchen vor.

Die im Falle der Messung spontan angenommene Spinorientierung
ist nur durch die aus der Wellenfunktion des Partikels resultierende

Wahrscheinlichkeit |
|2 (hier: | a|2 bzw. | b|2) vorauszusagen. Ihr
konkreter Wert hingegen ist objektiv indeterminiert.

Voraussage der Theorien verborgener Variabler:

Im Gegensatz zur Quantenmechanik besagen die Theorien verbor-
gener Variabler, dass die im Falle einer Messung ermittelte Spinori-
entierung schon im vornherein determiniert war, da sie von ihrer

Präparation an am Quantenobjekt als reale objektive Eigenschaft
vorliegt. Ein Teilchen besitzt sehr wohl schon, bevor es gemessen
wird, eine bestimmte Information darüber, in welche Richtung sein

Spin orientiert ist, falls es gemessen wird. Der Spin wird hiernach
durch die zwar nicht direkt messbaren, jedoch die Spinorientierung
bestimmenden verborgenen Variablen festgelegt.

xx

15 Die Bellsche Ungleichung

179

Der quantenmechanische Kollaps der Wellenfunktion ist somit aus

Sicht der Theorien verborgener Variabler nur ein scheinbares Phä-
nomen, das durch die Unkenntnis der versteckten Werte verbor-
gener Variabler verursacht wird. Die Wahrscheinlichkeit |
|2 der

Quantenmechanik wird demnach nur als ein rein statistischer Wert
gedeutet, da die Spinkomponente eines Teilchens eben nicht objek-
tiv zufällig beim Akt der Messung festgelegt wird, sondern schon
lange vor diesem einen bestimmten Wert besitzt.

Dies sind auf den Punkt gebracht die differierenden Aussagen der bei-
den Theorien. Auf die obige Frage, wo der Unterschied der Versuchsvor-
aussagen der beiden Theorien bezüglich dem Beispiel in Abb. 15.1 liegt,
müssen wir leider eingestehen, dass es keine Unterschiede gibt. Beide Theo-
rien sagen eine Wahrscheinlichkeit der Ablenkung des Partikels nach oben
bzw. nach unten von jeweils 50% voraus, also

P oben = 1
und

P unten = 1 .

2

2

In diesem extrem einfachen Beispiel ist das eigentlich zur Voraussage
notwendige Lösen der Schrödinger-Gleichung ersichtlicherweise überflüs-
sig, denn es gibt schließlich nur die zwei gleichberechtigten Alternativen

„Spin nach oben“ und „Spin nach unten“, womit beiden Fällen eine Wahr-
scheinlichkeit von 1 zukommt. Der mathematische Hintergrund jedoch ist

2
genau genommen in beiden Fällen der selbe: Es ist die Wellenfunktion aus
der Schrödinger-Gleichung, deren Absolutquadrat die Wahrscheinlichkeit
für eine Ablenkung nach oben bzw. unten angibt.

Bei der alleinigen Messung einer Spinkomponente besteht schlussend-
lich, ebenso wie bei der alleinigen Messung von Impuls bzw. Aufenthaltsort
eines Teilchen kein experimenteller Unterschied zwischen den Theorien
verborgener Variabler und der Quantenmechanik.

Dementsprechend scheint es überaus fraglich, wie sich da überhaupt ein

Unterschied in den Voraussagen ergeben kann, denn bis jetzt hat sich kein
experimentell überprüfbarer Unterschied finden lassen – der Unterschied
ist mehr oder weniger eher philosophischer Natur. Aus diesem Grund,
der offenkundigen Genialität Bells einen Unterschied zu finden, wo zu-
gegebenermaßen absolut keiner ersichtlich ist, wollen wir uns nun dem

Bohmschen EPR-Experiment widmen, um auf Bells Spuren die nach ihm
benannte Ungleichung herzuleiten.

xx

180

15 Die Bellsche Ungleichung

Wie gestaltet sich der Aufbau des Bohmschen EPR-Experiments?

Das Grundprinzip der Bohmschen Version des EPR-Experiments ist der
ursprünglichen Version Einsteins prinzipiell äquivalent:

Im Zentrum des Versuchs befindet sich erneut die EPR-Quelle, welche
in diesem Fall allerdings (Ursprungs-)Teilchen mit einem Spin von s = 0
beherbergt. Diese können in zwei kleinere, spinbehaftete Teilchen A und

B mit s = 1 zerfallen. Der Gesamtspin der beiden Teilchen A und B muss

2
dabei natürlich dem des Ursprungsteilchens entsprechen, also in diesem

Falle null sein.

Quantenmechanisch betrachtet lässt sich der Zustand eines so erzeug-
ten Teilchenpaares bestehend aus A und B wie folgt betrachten: Der Zustand
eines beliebigen, zusammengesetzten Systems verschiedener Quantenob-
jekte, bestehend aus System 1 und 2 des Zustandes |
1 und |
2, ergibt sich
als Produkt ihrer Einzelzustände, so dass der zusammengesetzte Zustand
der Diracschen Schreibweise entsprechend

|
= |
1 · |
2

(15.2)

lautet.

Der bei unserem aktuellen EPR-Teilchenpaar A und B vorliegende Fall
ist jedoch spezieller, denn die beiden Teilchen sind quantenmechanisch
gesehen gar nicht als Einzelsysteme zu betrachten, da ihre Zustände quan-
tenmechanisch korreliert sind. Eine Messung der Spinorientiertung von

Teilchen A lässt unverzüglich auf den Spinzustand von B schließen, denn
der Gesamtspin muss gezwungenermaßen gleich null sein. Wenn wir mes-
sen würden, dass der Spin von A nach oben ausgerichtet ist, wissen wir
instantan, dass der Spin von B nach unten zeigen muss.

Jenes Gesamtsystem, bestehend aus Teilchen A und B, befindet sich
folglich in einer Superposition aus den beiden Einzelzuständen „Teilchen

A besitzt einen Spin nach oben und Teilchen B nach unten“ und „Teilchen

A besitzt einen Spin nach unten und Teilchen B nach oben“. In kürzerer

Form kann man die beiden möglichen Einzelzustände des Gesamtsystems
gemäß (15.2) auch als |↑ |↓

|↑

A

B und |↓ A

B schreiben (hieran kann man
schön sehen, wie angenehm und komfortabel die Diracsche Notation ist!).

Die Zustände von A und B sind so miteinander verknüpft, dass sich ihre

Zustände nicht voneinander trennen lassen und sich ein so genannter ver-
schränkter Zustand der Form

|
= 1

√ |↑ |↓ − |↓ |↑

A

B

A

B

(15.3)

2
xx

15 Die Bellsche Ungleichung

181

√
ergibt, wobei uns der Faktor 1 / 2 schon aus dem Kapitel über das Schrö-
dingersche Katzenparadoxon als Spezialfall mit den Wahrscheinlichkeit-
samplituden a = b bekannt ist. Für gewöhnlich werden die Indizes rechts
unten neben den Kets jedoch weggelassen, so dass die übersichtlichere

Form

|
= 1

√ |↑ |↓ − |↓ |↑

(15.4)

2
entsteht.

Der Begriff der Verschränkung tauchte übrigens in der zentralen Arbeit

Schrödingers „Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik“ 32 (in
der auch die berühmte Diskussion des Katzenparadoxons stattfand) zum
ersten Mal auf. Dieser besondere quantenmechanische Zustand bedeutet
konkret gefasst, dass Teilchen B im selben Augenblick, in dem man an A
eine Spinmessung durchführt, instantan den entsprechend entgegengesetz-
ten Spinwert annimmt, und dies, ohne dass Information von A nach B oder
von B nach A laufen könnte (vgl. Lokalitätsbedingung (14.1)), und ohne dass
die Teilchen vor der Messung einen festgelegten Spinwert gehabt hätten.

Dass dieses Prinzip nicht gerade vor Anschaulichkeit und Nachvollzieh-
barkeit strotzt, ist offenkundig ersichtlich. Es ist doch kurios, dass jene
plötzliche Annahme B's einer konkreten Quanteneigenschaft, wie in die-
sem Fall der Spinorientierung (und zwar der exakt entgegengesetzten wie

A), erstens instantan, also unverzüglich während der Messung an A, und
zweitens über eine beliebig große Distanz zwischen A und B stattfindet. Für
dieses schier unfassbare Phänomen der quantenmechanischen Verschrän-
kung gibt es in der unsrigen makroskopischen Welt kein Analogon. Dies ist
einfach ein rein quantenmechanischer Effekt, der auf unserer Größenskala
nicht direkt zu erfassen ist.

Es ist daher kein Wunder, dass selbst kompetenteste und genialste Phy-
siker wie Einstein, die von sich behaupten „auf Intuition zu vertrauen“,
sich nicht mit den Prinzipien der Quantenmechanik anfreunden konnten.

Sollte man diese Paradoxien, diese Widersprüche zwischen quantenmecha-
nischer Theorie und dem gesunden Menschenverstand einfach so hinneh-
men? Lassen Sie uns auf Grund dieser Fraglichkeit die konkreten Voraussa-
gen der Theorien verborgener Variabler hinsichtlich des Bohmschen EPR-

Experiments formulieren, so dass wir sie in einem experimentell durchge-
führten EPR-Versuch prüfen können.

32 Original publiziert in Die Naturwissenschaften 23, 48 (1935); Nachdruck u. a.

in E. Schrödinger: Beiträge zur Quantentheorie in: Gesammelte Abhandlungen,

Bd. 3; S. 484 ff
xx

182

15 Die Bellsche Ungleichung

Wie lauten die Voraussagen der Theorien verborgener Variabler?

Gemäß einer Theorie mit verborgenen Variablen ist die abstrakte, quan-
tenmechanische Theorie der Verschränkung nur ein Scheinphänomen. A
und B nehmen ihre Werte nicht spontan und zufällig im Augenblick der

Messung an, sondern besitzen schon seit ihrer Trennung in der EPR-Quelle
ihre Spinwerte und somit entgegengesetzte Spinorientierungen. Daher stellt
sich auch gar nicht die Frage, wie B über jenen geheimnisvollen, quanten-
mechanischen Weg die Information über die zufällig angenommene Pola-
risationsrichtung A's unabhängig von dessen Entfernung erfährt, und dies
wohlgemerkt ohne Zeitverzug. Nach den klassischen Theorien verborgener

Variabler ist also im Gegensatz zur quantenmechanischen Theorie die Spin-
komponente eines Teilchens entlang jeder Raumachse zu jedem beliebigen

Zeitpunkt sehr wohl eindeutig festgelegt.

So werden des Weiteren Theorien mit verborgenen Variablen im Fach-
jargon auch als lokal-realistische Theorien bezeichnet, da sie einerseits von
der Annahme der Gültigkeit der Lokalität ausgehen, also davon, dass eine

Beeinflussung A's keine Auswirkung auf den davon lokal getrennten Zu-
stand von Photon B nehmen kann, und andererseits, weil sie die Kor-
rektheit des Realitätskriteriums annehmen, nach dem jede physikalische

Größe genau dann ein Element der physikalischen Realität ist, wenn sie
objektiv von einer Beobachtung existiert und ohne Störung derselbigen
gemessen werden kann. Wie wir wissen, gelten diese beiden Prinzipien
nicht für die Theorie der Quantenmechanik, weshalb diese auch als nicht
lokal-realistische Theorie bezeichnet wird. Das für unser menschliches Ver-
ständnis so unangenehme Phänomen der Verschränkung wäre hiermit aus
lokal-realistischer Sicht als Fehlannahme deklariert.

Es sei in diesem Zusammenhang zur Abgrenzung nochmalig die sich
von diesen beiden Standardtheorien unterscheidende Bohmsche Mechanik
erwähnt, welche schließlich eine nicht-lokale, aber realistische Theorie ist.

Da diese jedoch trotz ihrer Annahme verborgener Variabler einerseits und
physikalischem Realismus andererseits stets exakt die selben Voraussagen
liefert wie die nicht lokal-realistische Quantenmechanik, tangiert sie die
laufende Diskussion des Vergleichs lokal-realistischer Theorien verborge-
ner Variabler mit der Quantenmechanik keineswegs. Aus diesem Grunde
werden wir sie in der weiteren Diskussion wissentlich ausklammern, um
sie erst ganz am Ende nochmals zu bedenken.

Bell formulierte zur Veranschaulichung in diesem Zusammenhang das

Paradoxon von Bertlmanns Socken: Man stelle sich einen Professor namens
xx

15 Die Bellsche Ungleichung

183

Abb. 15.2. Der um die Ecke kommende Prof. Bertlmann mit unterschiedlichen

Socken

Dr.

33

Bertlmann
vor, der stets zwei verschiedenfarbige Socken zu tragen
pflegt. Niemals trägt er zwei Socken die von gleicher Farbe sind. Unter
dieser Bedingung, einer rein klassische Korrelation, ist es zweifellos un-
problematisch, dass gesetzt den Fall man sähe Bertlmann um die Ecke
kommen (siehe Abb. 15.2) und würde eine rosa Socke an seinem rechten

Fuß entdecken, man wüsste instantan, dass sich an seinem linken Fuß eine
nicht rosafarbene Socke befinden muss.

Dies ist deshalb unproblematisch, da diese klassische Korrelation ohne

Informationsübertragung von Fuß zu Fuß geschieht, da die Farbe der So-
cken von vornherein festgelegt war. Sie wurde durch Bertlmann am Mor-
gen, als er sie anzog (≈ EPR-Quelle), festgelegt und muss daher nicht im

Augenblick des Erblickens (≈ Messung) spontan festgelegt werden.

Analog lässt sich hinsichtlich des auf den Spin bezogenen EPR-Experi-
ments aus lokal-realistischer Sicht aussagen, dass die Spinrichtung der bei-
den Teilchen schon seit ihrem Austritt aus der EPR-Quelle über verborgene

Variable festgelegt ist. Wir können also davon ausgehen, wenn wir an A eine

Spinmessung durchführen, werden wir stets ein schon vorher festgelegtes

Ergebnis erhalten.

Da wir bereits erkannt haben, dass man den Spin eines Teilchens nie-
mals in mehr als einer Achsenrichtung gleichzeitig messen kann, weil die
dazu benötigten Versuchsaufbauten sich gegenseitig ausschließen, ist es

33 Nebenbei sollte erwähnt sein, dass Reinhold Bertlmann tatsächlich existiert,

Professor für Quantenphysik ist und ein guter Freund Bells war.

xx

184

15 Die Bellsche Ungleichung
eine experimentelle Einschränkung, dass der Spin immer nur in einer Ach-
senrichtung gemessen werden kann. Diese Tatsache sollte uns freilich den-
noch nicht davon abhalten die weiteren Voraussagen der Theorien ver-
borgener Parameter auszuformulieren. Deshalb können wir, auch wenn es
experimentell nicht direkt möglich ist diese zu überprüfen, lokal-realistisch
konsistent trotzdem von der gleichzeitigen Existenz dieser Spinkomponen-
ten verschiedener Achsenrichtungen ausgehen.

Definieren wir also drei Raumachsen x, y und z und platzieren wir die EPR-Quelle so, dass sie die beiden Teilchen A und B entlang der y-Achse
entsendet (siehe Abb. 15.3). Stellen wir uns zunächst vor, wir messen den

Spin von A in z-Achsenrichtung. Wird das Teilchen nach oben abgelenkt,
wissen wir, seine Spinkomponente zeigte in positive z-Achsenrichtung und
die von B in negative z-Achsenrichtung. Notieren können wir dieses Ergeb-
nis als (z+; z− ). Im entsprechend entgegengesetzten Fall wäre das Ergebnis (z−; z+ ). Es gibt also bei der Messung des Spins in einer Achsenrichtung, wie wir schon an sehr viel früherer Stelle bemerkten, nur zwei Möglichkeiten der Spinorientierung.

Gehen wir jetzt einen Schritt weiter und stellen uns – entgegen der tech-
nischen Schwierigkeiten, die dieses Vorhaben experimentell bereitet – vor,
welche Möglichkeiten der Orientierung der Spinkomponenten es im Falle
von zwei Messachsen, die beispielsweise z- und x-Achse sein können, gäbe.

In der Theorie verborgener Variabler ist diese Vorstellung problemlos, denn
hier besitzen die Teilchen ja objektiv und unabhängig von einer Messung
ihre Eigenschaften wie z. B. die des Spins. Bei zwei Bezugsachsen ergeben

Abb. 15.3. Bellsches EPR-Experiment nach Theorien verborgener Variabler
xx

15 Die Bellsche Ungleichung

185

Tabelle 15.1. Mögliche Spinorientierungen nach lokal-realistischen Theorien

Anzahl

Teilchen A

Teilchen B

N 1
x + z+
x − z−

N 2
x + z−
x − z+

N 3
x − z+
x + z−

N 4
x − z−
x + z+
sich 22, also 4 Möglichkeiten der Orientierung der Spinkomponenten des

Teilchens, so wie sie in Tabelle 15.1 aufgelistet sind.

Die Anzahlen N 1 bis N 4 stellen dabei die Anzahlen der bei einem

Experiment mit sehr, sehr vielen Wiederholungen (nämlich insgesamt

N gesamt = N 1 + N 2 + N 3 + N 4) wirklich eingetretenen Fälle dar, welche die rechts daneben stehenden Bedingungen erfüllen. Dies bedeutet die Anzahl N 3 von der Gesamtteilchenpaarzahl N gesamt repräsentiert die Zahl der Teilchenpaare, bei denen der Spin von Teilchen A in negative x- und positive z-Achsenrichtung orientiert war und entsprechend der Spin von B in
postitive x- und negative z-Aschsenrichtung zeigte.

Einen Schritt weiter gedacht, können wir uns eine ähnliche Tabelle für
die Möglichkeiten der Orientierung der Spinkomponenten hinsichtlich drei

Bezugsachsen erstellen. Dazu können wir drei beliebige Bezugsachsen mit
den Winkeln α, β und γ gegenüber der z-Achse wählen, entlang deren die Orientierung der Spinkomponente bestimmt wird. Hierbei ergeben sich

23 = 8 Möglichkeiten, welche in Tabelle 15.2 katalogisiert sind.

Tabelle 15.2. Mögliche Spinorientierungen nach lokal-realistischen Theorien

Anzahl

Teilchen A

Teilchen B

N 1
α + β + γ +
α − β − γ −

N 2
α + β + γ −
α − β − γ +

N 3
α + β − γ +
α − β + γ −

N 4
α − β + γ +
α + β − γ −

N 5
α + β − γ −
α − β + γ +

N 6
α − β + γ −
α + β − γ +

N 7
α − β − γ +
α + β + γ −

N 8
α − β − γ −
α + β + γ +
xx

186

15 Die Bellsche Ungleichung

Wie geschieht die experimentelle Überprüfung der Voraussagen?

Auch wenn diese beiden Tabellen recht interessant sind, so stellt sich doch
die Frage, wie man denn damit bloß eine Überprüfung der Gültigkeit von

Theorien verborgener Variabler anstellen soll, schließlich kann man nun
einmal in der Tat nicht mehr als eine Spinkomponente messen. Es waren
rein theoretische Überlegungen aus Sicht der Theorien verborgener Varia-
bler, die uns zu diesen Ergebnissen führten und wir ließen dabei bewusst
außer Acht, dass sie niemals direkt überprüfbar sein würden. Schon aus
rein technischen Gründen nicht.

Nun, dies ist wohl wahr, doch haben wir ja zwei Teilchen, an welchen
wir jeweils eine Spinkomponente messen können. Und da die Spinkompo-
nenten von A und B korreliert sind, kennen wir nach der Messung des Spins
eines der Teilchen in einer Achsenrichtung auch die des anderen Teilchens
in jener, ohne sie an letzterem direkt zu messen.

Es ist also prinzipiell im Rahmen der Theorien verborgener Variabler
möglich ein EPR-Experiment zu konstruieren, in dem an Teilchen A eine

Spinmessung in der Achsenrichtung α durchgeführt wird und an B eine in

Achsenrichtung β, so dass man gleichzeitig die jeweiligen Orientierungen
des Spins des anderen Teilchens in der Achsenrichtung kennt, die man nicht
direkt ermittelt hat. In Abb. 15.4 ist dazu ein beispielhaftes Experiment mit
den willkürlich festgelegten, möglichen Winkeln α = 0°, β = 15ůnd
γ = 35° dargestellt.

Abb. 15.4. Bellsches EPR-Experiment nach der Theorie verborgener Variabler (hier
beispielhaft mit Messungswinkel γ bei A und Winkel β bei B
xx

15 Die Bellsche Ungleichung

187

Stellen wir uns dementsprechend vor, wir würden durch eine Messung
des Spins von A in Achsenrichtung α und von B in Achsenrichtung β
das Ergebnis (α+; β+ ) erhalten, so besteht bei einer großen Anzahl von N gesamt Versuchswiederholungen die Anzahl der Fälle, in denen (α+; β+ ) gilt (wenn wir in Tabelle 15.2 nachsehen) aus den beiden einzelnen Teilan-zahlen N 3 und N 5, nämlich

N(α+; β+ ) = N 3 + N 5 .

(15.5)

Des Weiteren ist es zweifelsohne eine Tatsache, dass

N 3 + N 5 ≤ N 2 + N 5 + N 3 + N 7

(15.6)

gelten muss.

Ferner hängt die Wahrscheinlichkeit, dass Fall (α+; β+ ) eintritt natürlich von der Eintrittswahrscheinlichkeit der Fälle 3 und 5 ab. Dabei ist die
relative Häufigkeit eines Falls i durch

Ni

(15.7)

N gesamt
gegeben, woraus sich die Wahrscheinlichkeit des Eintritts des Falls i ergibt, indem man N gesamt gegen unendlich laufen lässt, d. h. eine extrem hohe

Anzahl von Versuchswiederholungen anstellt.

Die Wahrscheinlichkeit des Falls (α+; β+ ) errechnet sich demzufolge über

P(α+; β+ ) = N 3 + N 5 .

(15.8)

N gesamt

Wenn wir nun noch den dritten Winkel γ mit ins Spiel bringen, indem
wir die Wahrscheinlichkeit P(α+; β+ ) entsprechend (15.6) in Abhängigkeit von den Teilwahrscheinlichkeiten

P(α+; γ + ) = N 2 + N 5

(15.9)

N gesamt
und

P(γ +; β+ ) = N 3 + N 7

(15.10)

N gesamt
schreiben, erhalten wir als logische Schlussfolgerung die Ungleichung

P(α+; β+ ) ≤ P(α+; γ + ) + P(γ +; β+ ) .

(15.11)

xx

188

15 Die Bellsche Ungleichung

Diese in (15.11) gezeigte Ungleichung ist eine Bellsche Ungleichung.

Sie basiert auf der Annahme lokal-realistischer Theorien und stellt somit
eine Voraussage der Theorien verborgener Variabler dar. Auf Grund der

Tatsache, dass es sich hierbei um eine quantitative Aussage handelt, ist es
wahrhaftig möglich sie experimentell zu überprüfen, indem man mit den
relativen Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Fälle arbeitet und überprüft,
ob die relative Anzahl der eingetretenen Fälle (α+; β+ ) wirklich kleiner oder gleich der Summe aus den anderen Fällen (α+; γ + ) und (γ +; β+ ) ist.

Der erfolgreiche, experimentelle Quantenphysiker Alain Aspect (geb.

1952) machte sich diese Überprüfung zur Aufgabe. Durch seine erfolgrei-
chen Experimente und den Vergleich mit den Voraussagen der Theorien
verborgener Variabler mittels Bellscher Ungleichung, konnte er das Resul-
tat erbringen, dass – entgegen allen Einsteinschen Bestrebungen – die

Natur keine lokal-realistischen verborgenen Parameter enthalten kann, da
die Bellsche Ungleichung durch die Versuchsergebnisse verletzt wurde. Die-
ses Phänomen, die Verletzung der Bellschen Ungleichung durch die expe-
rimentell ermittelten Befunde, wird Bellsches Theorem genannt. Aspects

Versuchsergebnisse standen darüber hinaus in vollkommenem Einklang
mit den Voraussagen der Quantenmechanik, deren Gültigkeit auf diese

Weise eindrucksvoll bestätigt und die ihrer Widersacher widerlegt werden
konnte.

Nicht widerlegt werden konnte hingegen die nicht-lokal, realistische

Bohmsche Mechanik, welche äquivalent der Quantenmechanik mit den ex-
perimentellen Befunden vollkommen übereinstimmt. Aus Gründen, die wir
hier jedoch bedauerlicherweise nicht ad nauseam abhandeln können, wird
diese nicht-lokal, realistische Theorie, wie schon in Kap. 14 erwähnt, als
wenig wahrscheinlich verworfen und von den meisten Quantenphysikern
ignoriert.

Nach dieser experimentellen Erkenntnis und allgemeinen Falsifikation
lokal-realistischer Theorien kann es schlussendlich lokal-realistische ver-
borgene Variablen genauso wenig geben, wie der objektive Zufall eben
doch ein nicht zu leugnender, unumgehbarer Bestandteil unserer Welt ist.

In jener Hinsicht sollte Bohr gegenüber Einstein nach deren beider Tod
letztendlich also doch Recht behalten. Oder um es anders auszudrücken:

Und ER würfelt doch...

xx

16

Die modernen Anwendungen

der Quantenphysik
xx

190

16 Die modernen Anwendungen der Quantenphysik

Wie wird die Quantenphysik praktisch angewendet?

In diesem letzten Kapitel über die „pure“ Quantenphysik wollen wir uns

– über die bereits abgehandelten, großartigen, historischen Entdeckungen
der brillanten Köpfe vergangener Tage hinweg – endlich in die Entdeckun-
gen der heutigen Zeit begeben. Nachdem sich die Physiker-Generationen
der ersten zwei Drittel des verstrichenen Jahrhunderts hauptsächlich mit
der Seltsamkeit und Unanschaulichkeit der Quantenmechanik befassten
und verzweifelt versuchten die logischen Turbulenzen zu laminieren, wer-
den in unseren Tagen mit Anbruch des 21. Jahrhunderts mehr denn je diese

Paradoxien, ja geradezu Abartigkeiten der Quanten kommentarlos als gege-
bene Tatsachen hingenommen, um in einem beinahe schon pragmatischen

Sinn das Beste daraus zu machen. Tatsächlich bietet uns die Abnormalität
der außergewöhnlichen Quantenmechanismen völlig neue prinzipielle und
technische Möglichkeiten, derer uns die klassische Physik bei Weitem nicht
von träumen ließ. Ein neues, optimistischeres und vor allem Praxis orien-
tierteres Zeitalter ist angebrochen. Es wird Zeit die Skurrilität der Quanten
zu nutzen!

Schauen Sie sich in Ihrem Zuhause einmal um! Ihre elektronischen

Haushaltsgeräte, Ihr Radio, Ihr CD- oder mp3-Player, ja Ihre gesamte Un-
terhaltungselektronik und nicht zuletzt Ihr Computer, außerdem die über-
all Anwendung findenden LASER, moderne, medizinische Geräte, die kom-
plette Halbleiterelektronik, die moderne, zukunftsträchtige Nanotechnolo-
gie, Mikroelektronik und vieles, vieles mehr stellen die Produkte der schon
längst begonnenen Phase der Anwendung jener physikalischen Prinzipien
der Quantenwelt dar. Ohne unsere modernen Kenntnisse über diese au-
ßergewöhnlichen Mechanismen der Quantenobjekte wäre unsere heutige

Welt gravierend anders als wir es gewohnt sind, auch wenn uns die Quan-
tenphysik an sich noch immer als die Ungewöhnlichkeit, wenn nicht sogar

Weltfremdheit an sich erscheinen mag.

Doch diese uns schon längst geläufigen Anwendungen der quantenphy-
sikalischen Mechanismen sind noch lange nicht alles, was uns die Natur des

Mikrokosmos an faszinierenden Möglichkeiten bereitstellt. Besonders in-
nerhalb der letzten Jahre haben sich in extrem unterschiedlichen Bereichen
völlig neue Konzepte und Entwicklungen etablieren können.

Was ist Quanteninformation?

Die Basis für all die wundervollen, zukunftsträchtigen Techniken und
neuen Anwendungen der quantenphysikalischen Erkenntnisse bildet die
xx

16 Die modernen Anwendungen der Quantenphysik

191

Information, die ein Quantenobjekt trägt. Das Interessante an dieser „In-
formation der Quantenobjekte“ ist, dass sie sich auf fundamentale Art und

Weise von der Information, die wir aus der Alltagswelt gewohnt sind, un-
terscheidet.

Doch zunächst wäre es wichtig zu klären, was denn „Information“ ei-
gentlich genau ist. In der Enzyklopädie des Brockhaus findet sich für den
allgemeinen Begriff „Information“ unter Punkt 2) die Definition:

„Mitteilung, Nachricht, Auskunft über etwas oder über jemanden“.34

Wir wissen natürlich, dieses „etwas oder jemand“ kann beispielsweise
ein „wichtiger“ Politiker sein, über den Informationen in der Presse stehen,
oder ein Wirbelsturm, vor dessen Auftreten durch die Medien gewarnt wird,
oder aber auch ein Elektron, dessen Spin wir durch ein Stern-Gerlach-

Experiment messen können. All dies sind (physikalische) Informationen,
wie sie an Objekten selbst vorliegen können.

Dies ist an und für sich nichts Besonderes, sollte man meinen, doch es
zeigt sich, dass die Information, welche Objekte des Mikrokosmos tragen,
in vielerlei Hinsicht überaus interessant und nützlich sein können, da sie
sich gravierend von der gewöhnlichen, klassischen Information, wie sie
tagtäglich in Form von digitalen Bit durch unsere Computer rasen, unter-
scheiden.

So hat sich für diese besonders geartete Information, welche ein Quan-
tenobjekt trägt, auch eine spezielle Bezeichnung eingebürgert, die auf den

Vorschlag des amerikanischen Physikers Benjamin Schumacher zurück-
geht: Das Qubit (gesprochen: „kjubit“).

Die Tatsache, dass Quantenobjekte ihre Information anders tragen als
makroskopische Systeme, eröffnet ganz neue Möglichkeiten für die Infor-
mationswissenschaften. Deshalb spricht man von einem in der Tat völlig
neuen Gebiet, das sich durch unser modernes Wissen um die Quantenphy-
sik erst eröffnet: die Quanteninformationswissenschaften oder kurz Quan-
teninformatik. Die sich hierin momentan etablierenden, neuen Techno-
logien sind vor allem die Quanten-Teleportation, Quanten-Computer und

Quanten-Kryptographie. Was es mit diesen unglaublichen und bedeuten-
den, auf quantenphysikalischen Prinzipien basierenden Innovationen auf
sich hat, damit wollen wir uns nun ein wenig befassen.

34 Brockhaus Enzyklopädie in 24 Bänden, 10. Band, S. 524 (F.H. Brockhaus, 1997)

xx

192

16 Die modernen Anwendungen der Quantenphysik

Was ist Quanten-Teleportation?

Unter dem Begriff Teleportation stellt man sich wohl zunächst eine der uto-
pischen Szenen aus Science-Fiction-Abenteuern wie Star Trek oder Ähnli-
chem vor, in welchen Menschen per Knopfdruck von A nach B „gebeamt“
werden. Hochgradig absurder, physikalischer Schwachsinn? Vielleicht doch
nicht ganz, wie uns einige Experimente der neuesten Zeit glauben machen
wollen! So erstaunlich es sich anhören mag, aber schon 1997 berichtete die

Experimentalgruppe um Harald Weinfurter und Anton Zeilinger
von der Universität Innsbruck die erste so genannte Quanten-Teleportation
erfolgreich realisiert zu haben. 35

Unter jener „Quanten-Teleportation“ versteht man dabei im physikali-
schen Sinne „das instantane Übersenden der in einem unbekannten Quan-
tenzustand enthaltenen Information an einen beliebig weit entfernten Emp-
fänger unter Ausnutzung von Verschränkung“36. Was genau es mit dieser
geisterhaften Quanten-Teleportation auf sich haben soll, wollen wir nun in
kompakter Weise behandeln. Als Teleportationsgegenstand werden wir uns
jedoch nicht gleich einen ganzen Menschen zumuten (was recht utopisch
wäre und wohl mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit niemals
realisiert wird), sondern es doch erst einmal mit einem Quantenobjekt
versuchen.

Die Ausgangssituation sei folgende: Es soll ein Photon T (von engl. tele-
portee) vom Ort A zum beliebig weit entfernten Ort B – oder wie es auch
gerne aus einer Konvention der Kryptographie übernommen wird: von

Alice zu Bob – teleportiert werden, d. h. es soll bei Alice verschwinden und bei Bob wieder auftauchen. Dabei sollte das Photon natürlich möglichst
nicht seinen ursprünglichen Zustand ändern, denn dann wäre es ja auch
nicht mehr dasjenige Photon, welches teleportiert werden sollte. Stattdes-
sen soll es genau so wie es bei Alice war „unbeschadet“ bei Bob wieder
auftauchen. Oder um es hinsichtlich der Information auszudrücken, wel-
che das Photon durch seinen Quantenzustand trägt: Das Qubit des Photons
muss original von Alice zu Bob teleportiert werden ohne eine Störung oder

Abänderung zu erfahren. Doch wie lässt sich dieses unbescheidene Vorha-
ben tatsächlich realisieren?

Das Problem, welches sich diesem Unterfangen nun gezwungenerma-
ßen in den Weg stellen muss, ist die unüberwindbare Tatsache, dass der

35 D. Bouwmeester, J.-W. Pan, K. Mattle, M. Eibl, H. Weinfurter, A. Zeilinger:

Experimental quantum teleportation. Nature 390 (1997)

36 D. Bruß: Quanteninformation (Fischer, 2003); S. 123
xx

16 Die modernen Anwendungen der Quantenphysik

193

Zustand eines Quantenobjekts bzw. die gesamte an eben jenem vorliegende

Information schon rein grundsätzlich nicht vollständig ausgelesen werden
kann, da jede Messung unweigerlich die Reduktion der Wellenfunktion
zur Folge hat. Dementsprechend sollte es eigentlich ziemlich unmöglich
sein den offenkundig unbestimmten und unbestimmbaren Zustand eines

Quants zu teleportieren, denn wie soll man etwas übermitteln, dass noch
nicht einmal komplett ausgelesen werden kann, geschweige denn über-
haupt schon konkret festliegt?

So unglaublich es klingt, aber in demselben Maße, wie die skurrielen

Prinzipien der Quantenmechanik das vollständige Erfassen des Zustands
eines Quantenobjekts verbieten, genau so schaffen die Gesetzmäßigkeiten
der Quantenphysik dank ihrer Seltsamkeit der Teleportation einen geheim-
nisvollen Schleichweg jene scheinbare Unmöglichkeit elegant zu umgehen.

Dieses Hintertürchen besteht im Wesentlichen aus dem uns aus den voran-
gegangenen Diskussionen bekannten Prinzip der Verschränkung.

In ihrem bedeutenden Artikel „Teleporting an unknown quantum state
via dual classical and EPR channels“ 37 von 1993 stellten die Quantenphysi-
ker Charles Bennett, William Wootters et al. das neuartige, theoreti-
sche Konzept der Quanten-Teleportation vor, nachdem ein Quantenobjekt
über eine Art zweischienigen Weg teleportiert werden kann: Zum Telepor-
tieren eines Quantenzustandes von A nach B, also von Alice zu Bob, wird
erstens ein quantenphysikalischer Kanal in Form eines Paars verschränkter

Teilchen und zweitens ein klassischer Informationskanal benötigt.

Der Anschaulichkeit halber wollen wir uns sogleich die experimentelle

Verwirklichung jener schon erwähnten Quanten-Teleportation anschauen,
wie sie, nach eigenen Aussagen, von der Arbeitsgruppe um Anton Zeilin-
ger erstmalig 1997 durchgeführt werden konnte:

Zu der Teleportation eines Photons, welches seine Quanteninforma-
tion in Form seiner Polarisationsrichtung (vgl. Kap. 1) trägt, wird, wie
schon eben angeschnitten, ein zusätzliches Paar verschränkter Photonen
verwandt, die als eine Art Übertragungskanal dienen sollen. Um ein sol-
ches verschränktes Photonenpaar zu erhalten, bedarf es ersichtlicherweise
einer speziellen Art der EPR-Quelle. In diesem Zusammenhang sei betont,
dass die Korrelation durch Verschränkung, wie wir sie aus der Diskus-
sion des EPR-Papers von 1935 bzw. der Bohmschen, spinbezüglichen EPR-

Experimentvariante kennen gelernt haben, sich gleichwertig auch auf Pola-
risationsrichtung von Photonen anstelle des Teilchenspins beziehen kann.

Die Tatsache, dass sich die Verschränkung der Teilchen in diesem Fall auf

37 publiziert in Phys. Rev. Lett. 70, 13 (1993)

xx

194

16 Die modernen Anwendungen der Quantenphysik
die Polarisation der beiden Photonen (und nicht wie in vorigen Kapiteln
betrachtet auf den Spin der Teilchen) bezieht, macht also rein prinzipiell
absolut keinen Unterschied, da das zu Grunde liegende Prinzip dasselbe
ist.

Zunächst muss demgemäß ein verschränktes Paar Photonen erzeugt
werden. Dies kann z. B. durch ein Verfahren geschehen, dass sich parame-
tric down conversion nennt. Dabei wird ein Photonenstrahl durch einen
besonderen, nichtlinearen Kristall, der z. B. aus β-Bariumborat (BBO) be-
stehen kann, geleitet, in dem sich die ankommenden UV-Photonen entzwei
teilen können, so dass zwei Photonen mit doppelter Wellenlänge entstehen.

Das Besondere an diesen jeweiligen Photonenpaaren ist dabei, dass mit
einer bestimmten, wenn auch sehr niedrigen Wahrscheinlichkeit, bei ei-
nem gewissen Austrittswinkel A und B über ihre Polarisationsrichtung ver-
schränkt sind. Würden wir nun mittels einer Blende ausschließlich genau
diese verschränkten Photonenpaare herausfiltern, so müssten wir im Falle
einer Messung mit Polarisationsfiltern jedes Mal feststellen, dass etwaige

Photonenpaare A und B stets senkrecht und niemals parallel zueinander
polarisiert sind, und dies gleichwohl wir aus der überraschenden Lösung
der EPR-Problematik (siehe Kap. 15) wissen, dass die beiden Photonen auf

Grund der Unmöglichkeit lokal-realistischer verborgener Parameter vor
dem Zeitpunkt der Messung an einem der Photonen gar keine konkret fest-
gelegte Polarisationsrichtung besessen haben können. Diese wird nämlich
erst im Falle der Messung selbst spontan und objektiv zufällig festgelegt.

Eine kuriose, aber wichtige Tatsache!

BBO-Kristall
verschränktes

Photonenpaar

A

B

T

Alice

Bob

T
klassischer Informations-
kanal (z. B. Telefon)

Abb. 16.1. Schematischer Aufbau der experimentellen Quanten-Teleportation
xx

16 Die modernen Anwendungen der Quantenphysik

195

Der verschränkte Zustand eines derartig erzeugten Photonenpaars A
und B lautet schließlich zunächst

|
= 1

√ |↔ | − | |↔ ,

A

B

A

B

(16.1)

2
wobei |↔ den Zustandsvektor des Eigenzustands der horizontalen Pola-
risation und | den der vertikalen Polarisation eines jeweiligen Photons
widerspiegelt. Ein solches, in Polarisation verschränktes Paar Photonen
wird zum Zweck der Teleportation so gehandhabt, dass Photon A zu Alice
und Photon B zu Bob geleitet werden. Dies kann beispielsweise auf dem

Luftweg oder durch Glasfaserkabel geschehen.

Um nun den Zustand des Photons T an Bob zu teleportieren, muss Alice
ihr Photon mit Photon A in eine besondere Beziehung bringen, oder präzi-
ser ausgedrückt: sie muss T und A verschränken. Dies stellt sie an, indem
sie eine so genannte gemeinsame Bell-Messung an T und A vornimmt. Auch
wenn sich dieser zweifelsfrei überaus wichtige Teilschritt der Teleportation
in theoretischer Hinsicht recht simpel anhört, so vermochte er dennoch
im wirklichen Experiment lange Zeit ein echtes Hindernis darzustellen.

Durch großen Aufwand und sehr geschickte und ausgefeilte Techniken ge-
lang es dennoch besagte Bell-Messungen mittels halbdurchlässiger Spiegel
erfolgreich durchzuführen.

Anhand dieser korrelierend wirkenden Bell-Messung kann Alice nun
einen der vier folgenden, möglichen Bell-Zustände erzeugen:

+ = 1

√ |↔ | + | |↔

T

A

T

A

(16.2)

2

− = 1

√ |↔ | − | |↔

T

A

T

A

(16.3)

2

+ = 1

√ |↔ |↔ + | |

T

A

T

A

(16.4)

2

− = 1

√ |↔ |↔ − | |

T

A

T

A

(16.5)

2

Der bei dieser Messung hergestellte Bell-Zustand ist wiederum, wie man
deutlich sehen kann, ein verschränkter Zustand zwischen Photon T und A.

Augenblicklich muss wohlgemerkt Teilchen B seine ursprünglichen Eigen-
schaften verlieren, denn es wurde (in Abhängigkeit des Ursprungszustands
von Photon T und dem Ergebnis der Bell-Messung) in einen anderen, un-
bestimmten Zustand versetzt.

xx

196

16 Die modernen Anwendungen der Quantenphysik

Alices Messresultat, d. h. welchen der obigen Zustände (16.2) bis (16.5)

sie durch die Bell-Messung erhält, muss jetzt über einen klassischen In-
formationskanal (wie z. B. das Telefon, Fax oder Internet) zu Bob gesandt
werden. Mit Hilfe dieses Messresultats kann Bob dann über die Durchfüh-
rung einer durch Alices Messresultat festgelegten Manipulation an Photon

B, auch unitäre Transformation genannt, den ursprünglichen Zustand des

Aliceschen Photons T erhalten. Durch diese von Bob durchgeführte Trans-
formation an Photon B nimmt also sein Photon die Quanteneigenschaften
von T, nämlich den ursprünglichen Zustand der Polarisationsrichtung, an.

Gleichzeitig hat das ürsprüngliche T hingegen seinen Polarisationszustand
unwiederruflich verloren, da es ja nun mit A verschränkt ist. Zusammen-
gefasst hat sich also durch Alices und Bobs Zutun der anfängliche, quan-
tenphysikalische Zustand von T auf B übertragen, oder anders: B ist zu

T geworden!38 Hiermit ist die Teleportation erfolgreich und sinngemäß
vollendet.

Es sollte aufgefallen sein, dass bei dieser Teleportation des Photons T
kein Materietransport im eigentlichen Sinne stattfindet. Vielmehr wird die
gesamte Information des zu teleportierenden Photons T auf Teilchen B
übertragen, ohne dass jenes selbst auf geisterhaftem Weg zu Bob transpor-
tiert würde. Das finale Resultat ist jedoch erstaunlicherweise dasselbe, wie
wenn letzteres geschehen wäre.

Gleichfalls geschieht bei der Quanten-Teleportation keine instantane In-
formationsübertragung, da der Ursprungszustand des Aliceschen Photons

T erst nach der Mitteilung von Alices Messresultat der Bell-Messung an Bob
erfolgen kann. Da diese Information über Alices Messresultat zwangsläu-
fig auf einem klassischen Kanal erfolgen muss und somit höchstens mit

Lichtgeschwindigkeit ablaufen kann, findet auch die Rekonstruktion des

Zustandes von T durch Bob erst frühestens nach der Zeit
t min = s

(16.6)

c
statt, wobei s der Abstand zwischen Alice und Bob ist. Es entsteht folg-
lich kein Widerspruch zum Prinzip der speziellen Relativitätstheorie, weil
demnach bei der Quanten-Teleportation Information nicht instantan über-
tragen werden kann.

Nun könnte man meinen, Quanten-Teleportation sei an sich nichts wirk-
lich besonderes, da es sich ja nur um einen faulen Trick handle. Es würde

38 Dies gilt natürlich nur für den Fall, dass zu Beginn die Wellenlänge von T gleich
der von A und B war.

xx

16 Die modernen Anwendungen der Quantenphysik

197
gar nicht das Photon T bei Alice verschwinden und bei Bob wieder auf-
tauchen, sondern nur bei Bob eine „billige“ Kopie angefertigt werden. Die

Experimentatoren betonen aber, dass dem nicht so ist!

Tatsächlich ist es eine interessante Konsequenz, dass durch die Bell-

Messung an T eben dieses seine ursprünglichen Eigenschaften verliert, also
gar nicht mehr als T anzusehen ist, da es nun einen völlig anderen Zustand
besitzt. Durch die unitäre Transformation Bobs wird jedoch T in seinem
ursprünglichen Zustand in einer perfekten Kopie wieder rekonstruiert. Ein
interessantes Zitat Zeilingers bezüglich der Deutung seiner Experimente
lautet demgemäß:

„Ein Skeptiker mag einwenden, dass hier nur der Polarisationszu-
stand des Photons übertragen wurde, oder allgemeiner, sein Quan-
tenzustand, aber nicht das Photon „selbst“. Doch da ein Photon voll-
ständig durch seinen Quantenzustand charakterisiert wird, ist die

Teleportation seines Zustands völlig äquivalent zur Teleportation
des Teilchens.“ 39

Es handelt sich dieser Meinung nach beim Teilchen T, welches Bob er-
hält, eben nicht um eine Art Kopie im üblichen, makroskopisch-klassischen

Sinn, sondern es ist eine hundertprozentige Reproduktion des Ausgangs-
teilches T und keine fehlerbehaftete Kopie, wie sie beispielsweise ein klassi-
scher Faxausdruck darstellt. Das von Bob erzeugte Photon T ist das Original
selbst!

Des Weiteren muss beachtet werden, dass nach der Bell-Messung bei

Alice gar kein „Original“ mehr vorhanden ist, da es durch jene unwieder-
ruflich zerstört wurde. Das Faktum, dass unbekannte quantenphyskalische

Zustände nicht perfekt vervielfältigt werden können, nennt sich auch das

No-Cloning-Theorem. Die Quanten-Teleportation mag hierfür ein anschau-
liches Beispiel geben.

Trotz alledem wird die Auslegung der Quanten-Teleportation als Zu-
stands- oder Informationsübertragung auch stark angezweifelt. Denn ge-
nau genommen befindet sich das später als teleportiertes Teilchen ange-
sehene Objekt ja schon vor dem eigentlichen Teleportationsakt am Ort B.

Ebenfalls liegt der quantenmechanische Zustand schon im Vorhinein po-
tenziell am Objekt B vor. Dieser besondere, quantenmechanische Zustand
muss schließlich schon vor dem tatsächlichen Experiment als Teil des globa-
len, verschränkten Zustands akkurat präpariert werden. Daher kann man,
so die Kritik einiger namenhafter Quantenphyiker, im Fall der Quanten-

39 A. Zeilinger: Quanten-Teleportation. Spektrum der Wissenschaft 6 (2000); S. 25
xx

198

16 Die modernen Anwendungen der Quantenphysik

Teleportation, wohl kaum von einer wirklichen „Portation“ eines Zustands
oder einer Information im eigentlichen Sinne sprechen, denn vielmehr von
einer Vortäuschung falscher Tatsachen.

Wie in den meisten Fällen der Meinungsverschiedenheit dürfte man
wahrscheinlich auch in diesem Fall davon ausgehen, dass weitere Unter-
suchungen diesen Konflikt zu Gunsten der Erkenntnis klären werden. Ein
vollkommen offensichtliches, begründetes Ärgernis jenes Themas dürfte
allerdings die Begrifflichkeit sein, mit der dieser Vorgang zumindest sehr
irreführend, wenn nicht sogar falsch bezeichnet wird.

Was sind Quanten-Computer?

Basierend auf dieser eben vorgestellten neuen Technologie, dem Konzept
der Quanten-Teleportation, lassen sich unter anderem auch komplett neu-
artige Computer konstruieren. Dabei ist mit „neuartig“ allerdings nicht
nur einfach eine erheblich höhere Taktfrequenz oder gar eine voluminösere

Speicherkapazität gemeint, so wie eine Verbesserung in der Computerin-
dustrie normalerweise charakterisiert ist. Nein, es handelt sich wahrhaftig
um die prinzipielle Innovation eines grundliegend und konzeptiv neuen

Computers, da dieser auf zuweilen ungeahnten und vor allem bisher un-
genutzten, physikalischen Gesetzen basiert: der Möglichkeit des Vorliegens
von Information in Form einer Superposition und des parallelen Rechnens
durch mehrfach verknüpfte Verschränkung bzw. den Austausch von ver-
schränkten EPR-Teilchen in einer Art Netzwerk, auch entanglement swap-
ping genannt.

Dabei gilt, genauso wie sich ein Elektron dank seiner quantenphysika-
lischen Superpositionsfähigkeit in der Hülle eines Atoms gleichzeitig an
verschiedenen Orten aufhalten kann, können gleichermaßen in der an-
gewandten Quantenphysik Rechenprozesse auf mehreren verschiedenen

Ebenen superponiert ablaufen.

Ein quantenphysikalisches Qubit kann, anders als es in einem klassi-
schen, digitalen Computer der Fall ist, nicht nur in den zwei Zuständen

„ein“ und „aus“ oder üblicher 0 und 1 vorliegen, sondern auch in einer be-
liebigen Superposition aus diesen beiden Eigenzuständen. Ein Qubit kann
gleichzeitig die Werte 0 und 1 annehmen und dies mit unendlich vielen

Anteilsabstufungen, so wie es mit den Einzelzuständen |0 und |1 gemäß
der üblichen Superposition

|
= a |0 + b |1

(16.7)

xx

16 Die modernen Anwendungen der Quantenphysik

199
mit | a|2 + | b|2 = 1 möglich ist. Hierdurch kann ein aus einem Qubit be-
stehender Quanten-Computer faktisch doppelt so schnell rechnen wie ein
konventioneller, klassischer Computer, da er mit den Werten 0 und 1 paral-
lel rechnen kann. Die hieraus resultierende Möglichkeit parallel arbeiten-
der Algorithmen wird auch als Quantenparallelismus bezeichnet. Er bietet
gegenüber dem klassischen Computer augenfällige Vorteile.

Doch damit nicht genug. Je mehr solcher Qubits man verknüpft und zu-
sammen rechnen lässt, desto mehr Werte können gleichzeitig angenommen
und desto mehr Rechenwege können parallel bearbeitet werden. Genau ge-
nommen steigt die mögliche Anzahl der parallel bearbeitbaren Rechenwege

W sogar exponentiell mit der Anzahl der verwendeten Qubits n an, also

W = 2 n .

(16.8)

Mit zwei herkömmlichen, klassischen Bits müssten nacheinander vier

Rechenoperationen durchgeführt werden, wofür zwei quantenphysikali-
sche Qubits nur einen einzigen Rechendurchlauf benötigen. Auf Grundlage
von drei Qubits können ferner acht Rechenwerte zugleich repräsentiert wer-
den. Nach einer in der Literatur immer wieder auftauchenden Behauptung
hätte man mit ca. 270 Qubits schon mehr Werte als es Teilchen im gesam-
ten Universum gibt, wobei die auf ca. 1080 geschätzte Teilchenanzahl im

Universum ersichtlich kleiner als 2270 ≈ 1 , 9 · 1081 ist.

Besonders in überaus aufwendigen und zeitintensiven Rechenprozes-
sen, wie z. B. dem Zerlegen großer Zahlen in ihre Primzahlfaktoren, bietet
deshalb ein auf Qubits basierender, futuristischer Quanten-Computer dem
konventionellen, klassischen Computer gegenüber entscheidende Vorteile.

Bei konventionellen Computern steigt der zur Primzahlfaktorzerlegung be-
nötigte Zeitraum exponentiell mit der Stellenlänge der zu faktorisierenden

Zahl an. Dem Quanten-Computer hingegen ist es durch seine Möglichkeit
parallel arbeitender Algorithmen (dem Quantenparallelismus) möglich die
hierfür benötigte Berechnungszeit „qualitativ“ um ein Unermessliches zu
verkürzen. Nach dem Shor-Algorithmus, einem 1994 durch den Mathema-
tiker Peter Shor entwickelten Algorithmus zu Primzahlfaktorzerlegung,
steigt nämlich für einen Quanten-Computer der Zeitaufwand zur Primzahl-
faktorzerlegung nicht mehr exponentiell, sondern nur noch mit der dritten

Potenz der Ziffernlänge der zu faktorisierenden Zahl an. Dies ist tatsächlich
ein gravierender Unterschied, welcher die Zerlegung großer Zahlen in ihre

Primzahlfaktoren aus dem Reich der Fiktion in den Bereich des wirklich

Möglichen überführt.

xx

200

16 Die modernen Anwendungen der Quantenphysik

Nicht unterschlagen werden sollte jedoch, dass es wohl oder übel noch
gewisse Probleme mit der praktischen Verwirklichung von Computern auf

„Qubit-Basis“ gibt. Eine der elementareren, noch mehr theoretischen Frage
stellt das Auslesen der letztendlichen Rechenergebnisse dar. Das Problem,
welches an diesem Punkt entsteht, ist das uns recht gut bekannte Mess-
problem: Durch den Akt der Messung tritt zwangsläufig die Zustandsre-
duktion auf, die als fundamentaler Bestandteil der Quantenphysik niemals
umgangen werden kann, soviel ist sicher. Es kann folglich, so fantastisch
viele Rechenwege auch parallel berechnet werden mögen, immer nur ein
einziges mögliches, dem objektiven Zufall unterliegendes Ergebnis ausge-
lesen werden. Superpositionswerte können a priori nicht gelesen werden.

Daher liegt es mehr oder minder an der Ausgefeiltheit der verwendeten

Algorithmen, oder besser gesagt an der Genialität der Quanteninformati-
ker, den Quanten-Computern ihren Vorteil auch real nutzbar zu entlocken.

Teilweise sind schon Erfolg versprechende Ansätze in dieser Richtung ge-
schehen, und mittlerweile scheint es zumal so, als sei das Ausleseproblem
fast schon wieder obsolet.

Ein noch gravierenderes, praktisches Problem, das sich der Realisie-
rung von Quanten-Computern vehement in den Weg stellt, ist das Phä-
nomen der Dekohärenz, das Wechselwirken der Qubits mit ihrer Umge-
bung, welches wir schon in Kap. 13 behandelt haben. Ja, nicht nur Katzen
unterliegen der Dekohärenz, auch die Qubits eines Quanten-Computers
sind diesem allgemeinen Prozess des Verlusts ihrer Kohärenz unterworfen.

Gestört werden können die kohärenten, reinen Zustände der Qubits z. B.

durch magnetische Felder oder LASER-Strahlen, die eigentlich zur geziel-
ten Manipulation benachbarter Qubits gedacht sind, doch lässt sich diese

Art der Mitbeeinflussung nur sehr schwer bzw. gar nicht verhindern. Er-
schwerend kommt hinzu, dass nicht nur die Zustände einzelner Qubits
durch Umgebungsfaktoren mit der Zeit dekohärieren, sondern auch noch
die für einen Quanten-Computer so bedeutungsvollen Verschränkungen
der Qubits untereinander vermindert oder aufgehoben werden. So ergibt
sich die Aufgabe, die Manipulation einzelner Qubits aufs Äußerste zu präzi-
sieren, um die typischen Dekohärenzzeiten so maximal wie nur möglich zu
halten. Ganz abgesehen von dieser „selbstverschuldeten“ Störung besteht
ferner der Zwang die thermischen Einflüsse der Umgebung zu kompensie-
ren. Vermutlich werden zukünftige Quanten-Computer überhaupt nur bei
irrwitzig niedrigen Temperaturen funktionieren können.

Zwar wird es – nicht zuletzt aus den oben genannten Gründen – in
absehbarer Zeit sicherlich noch keine marktfähigen Rechner mit „Qubit-
xx

16 Die modernen Anwendungen der Quantenphysik

201

Technologie“ für zu Hause geben, doch in nicht allzu ferner Zukunft werden

Quanten-Computer sicherlich einen hohen Stellenwert in den Branchen um
die Informationstechnologie einnehmen. Dies allerdings stellt in der Rea-
lität nicht nur eine glückbringende Revolution in den Computerwissen-
schaften dar, sondern ganz im Gegenteil ergibt sich durch diese plötzliche

Ermöglichung der Primfaktorzerlegung großer Zahlen mit vertretbarem

Zeitaufwand gleichfalls ein fundamentales Sicherheitsproblem, denn die

Verschlüsselung wichtiger und/oder geheimer Daten und Nachrichten ge-
schieht heutzutage fast ausschließlich auf dem Wege der Verschlüsselung
über die Schwierigkeit bzw. praktische Undurchführbarkeit der Zerlegung
großer Zahlen in ihre Primzahlfaktoren auf Grund der dafür nötigen, selbst
für Großrechner immensen Rechenzeit klassischer Computer.

Futuristische Computer jedoch, welche die Gesetzmäßigkeiten der

Quantenphysik (wie den Quantenparallelismus) zum Knacken verschlüs-
selter Nachrichten auszunutzen verständen, stellen eine reale Bedrohung
für die zukünftige Kryptographie dar.

Welch Ironie des Schicksals, möchte man angesichts dessen meinen,
dass es dieselben bizarren Gesetze der Quantenwelt sind, welche einerseits
die klassische Kryptographie zu untergraben in der Lage sind und ande-
rerseits eine elegante und um ein Vielfaches sicherere Lösung für die Ver-
schlüsselung von Botschaften ermöglichen: die Quanten-Kryptographie.

Was ist Quanten-Kryptographie?

Unter Kryptographie versteht man im Allgemeinen die Verschlüsselung
wichtiger und/oder heikler Daten und Nachrichten zum Zweck der ge-
heimen Übermittlung. Diese Kunst des verdeckten Datentransfers besitzt
unzweifelhaft eine sehr lange Geschichte, die schon weit vor der Zeit der

Griechen und Römer begann. Seit jeher bestand das Bedürfnis oder teil-
weise auch vielmehr die Notwendigkeit bestimmte Nachrichten so zu ver-
schlüsseln, dass sie ausschließlich von ihrem erwünschten, legitimierten

Empfänger gelesen werden können.

Es scheint mir nahezu redundant zu bemerken, dass im Zuge des

Aufkommens der Verschlüsselung von Nachrichten in ungleich größerem

Maße ebenfalls ein inniges Bedürfnis Dritter provoziert wurde, eben jene

Nachrichten heimlich abzuhören und zu dechiffrieren. Dass besonders in
letzter Zeit dieses Anliegen der heimlichen Lauscher und Spione, speziell
hinsichtlich finanztechnischer Datentransfers oder militärischer Botschaf-
ten, eine prekäre und heikle Angelegenheit darstellt, ist offenkundig. So
xx

202

16 Die modernen Anwendungen der Quantenphysik
liegt es denn an der Geschicklichkeit der Verschlüsseler ihre Chiffre mög-
lichst so zu wählen, dass eine Entschlüsselung durch Dritte entweder schon
rein prinzipiell nicht möglich ist, oder zumindest einen so enorm großen

Zeitraum in Anspruch nehmen würde, dass sie in absehbarer Zeit einfach
nicht durchgeführt werden kann. Natürlich wäre die letztere Variante nicht
wirklich von dauerhafter Sicherheit, doch ist sie (auch heutzutage noch)

für eine Großzahl praktischer Anwendung völlig ausreichend.

Einleitend sei erwähnt, dass uns die aus der Quanten-Teleportation be-
kannten Kommunikationsparteien Alice und Bob in der Kryptographie er-
sichtlicherweise um die gemeine Lauscherin Eve (von engl. eavesdropping

= Lauschen, Abhören) erweitert werden. Die in der Kryptologie generell
als Klartext bezeichnete, geheim zu haltende Nachricht muss dabei in mög-
lichst geschickt verschlüsselter Form von Alice zu Bob gelangen, so dass Eve
ohne Kenntnis des Schlüssels, den schließlich nur Alice und Bob besitzen
sollten, den so genannten Geheimtext nicht dechiffrieren kann.

Die Qualität eines jeweiligen kryptographischen Verfahrens liegt dem-
zufolge offensichtlich an der Art und Weise, wie der Klartext in einen Ge-
heimtext umgewandelt wird und andersherum. In diesem Punkt lassen
sich die vielschichtigen kryptographischen Verfahren einer groben Eintei-
lung nach in symmetrische und asymmetrische Verschlüsselungsverfahren
ordnen. Wir wollen hier aus Platzgründen nicht die gesamte historische

Entwicklung der Kryptographie in extenso abhandeln, sondern werden
uns auf die im Rahmen des Prinzips und der Bedeutung der Quanten-

Kryptographie wichtigsten Punkte beschränken.

Eines der ersten bekannteren Verschlüsselungsverfahren – die nach ih-
rem Initiator und römischen Kaiser benannte Caesar-Chiffre – verläuft über
das sehr simple Substitutionsverfahren, das buchstabenweise Ersetzen des

Klartexts mittels Schlüssel: Jeder einzelne Buchstabe des Klartexts wird hier
einfach durch denjenigen anderen Buchstaben ersetzt, der von ersterem um
n Stellen im Alphabet verschoben liegen.

Der Schlüssel dieses Krypoverfahrens ist also das um n Stellen verscho-
bene Alphabet selbst. Aus dem fiktiven Klartext

„sancta simplicitas“
wird beispielsweise mit n = 2 der Geheimtext

„ucpevc ukornkekvcu“.

Wie man sieht, macht diese Chiffre nicht nur das Chiffrieren überaus
leicht zu bewerkstelligen, sondern gestaltet auf der anderen Seite dummer-
xx

16 Die modernen Anwendungen der Quantenphysik

203
weise gleichfalls die Dechiffrierung des Geheimtextes durch Dritte (wie

Eve) nicht gerade schwierig. Freilich kann schon durch schlimmstenfalls

25-maliges Ausprobieren der Schlüssel, d. h. n gefunden werden, um den

Geheimtext zu entschlüsseln. Daher ist dieses frühe Verfahren zumal für
heutige Belange mehr als unzureichend sicher, wirkt es doch gemessen an
modernen Chiffrierverfahren geradezu lächerlich.

Durch verschiedene Variationen und Erweiterungen des Substitutions-
verfahrens konnte die böswillige Entschlüsselung durch Eve jedoch immer
weiter verkompliziert werden, so dass man nach einiger Zeit sogar „nahe-
zu“ perfekt verschlüsseln konnte, doch blieb das strategische Herausfinden
des Schlüssels für Eve letzten Endes stets nur eine Frage der dafür benötig-
ten Zeit. Über eine Häufigkeitsanalyse des Auftretens bestimmter Zeichen
oder Zeichenkombinationen im Geheimtext, wie beispielsweise dem im

Deutschen häufig vorkommenden Buchtstaben „e“ oder der Wortendung

„-en“, konnte man relativ leicht die Substitution rückgängig machen und
den Klartext rekonstruieren.

Im Jahr 1918 jedoch ereignete sich in der Kryptologie eine Revolution:

Gilbert Vernam erdachte ein perfektes, zu 100% knacksicheres Krypto-
verfahren, die so genannte Vernam-Chiffre. Selbst mit futuristisch schnellen

Computern und perfektester Kryptoanalysetechnik ist es hierbei aus Eves

Position vollkommen unmöglich aus dem Abhören des Geheimtextes den

Schlüssel, geschweige denn den Klartext auf systematische Weise auszuma-
chen. Die unbedingt sichere Vernam-Chiffre erfordert dazu einzig einen
aus Zufallszeichen bestehenden Schlüssel, welcher der Länge des Klartexts
entspricht. Das kryptographische Prinzip funktioniert dann wie folgt:

1. Es wird ein binärer Zufallsschlüssel (ebenfalls aus Nullen und Einsen)

erstellt, den nur Alice und Bob kennen.

2. Der Klartext wird von Alice in einen digitalen Binärcode (bestehend aus

Nullen und Einsen) umgeschrieben.

3. Alice addiert den binären Klartext und Zufallsschlüssel modulo 2: Es
gelten also 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1 und 1 + 1 = 0, wobei der

Übertrag wegfällt. Das Ergebnis der Addition ist der Geheimtext.

4. Der Geheimtext wird von Alice zu Bob übermittelt. Der hierfür verwen-
dete Informationskanal muss dabei nicht geheim sein, sondern es kann
ein unsicherer, öffentlicher Nachrichtenweg (z. B. Telephon, Fax, Inter-
net etc.) genutzt werden, da der binäre Geheimtext ohne Kenntnis des
binären Schlüssels für Dritte eine reine Zufallsfolge ohne den geringsten

Informationsgehalt darstellt.

xx

204

16 Die modernen Anwendungen der Quantenphysik

5. Bob addiert den Zufallsschlüssel ein zweites Mal modulo 2 zum Geheim-
text, wandelt die erhaltene Ziffernfolge in Buchstaben um und erhält
damit als Ergebnis den primären Klartext von Alice.

Wird dieses Vernamsche Verfahren exakt ausgeführt, dann existiert für

Eve keinerlei Möglichkeit – sei Eve auch noch so intelligent und besäße sie
schnellstmögliche Quanten-Computer – aus dem abgehörten Geheimtext
auf den Klartext zu schließen. Dies ganz einfach deshalb, weil es durch
den keiner – nicht einmal einer extrem komplizierten – Gesetzmäßigkeit
folgenden Zufallsschlüssel unmöglich ist, in dem Geheimtext mehr als
eine weitere Zufallsfolge von Nullen und Einsen zu sehen. Ein Knacken
des Codes ist aus Eves Position mit absoluter, mathematisch bewiesener

Sicherheit ausgeschlossen!

Doch so perfekt dieses Kryptoverfahren in der Theorie auch sei, so pro-
blembehaftet ist bedauernswerterweise seine Durchführung in der Wirk-
lichkeit. Das Kernproblem bildet hier der 1. Schritt, denn die Bedingung,
dass der benötigte, geheime Schlüssel dieselbe Länge haben muss wie die

Nachricht an sich, stellt praktisch ein immenses logistisches Problem dar.

Des Weitern kann ein jeder Schlüssel nur einmalig verwendet werden, da
es sich andernfalls nicht um eine wirkliche Zufallsfolge handeln würde. Aus
diesem Grund, der Tatsache, dass der Schlüssel nach einmaliger Verwen-
dung unbrauchbar wird und vernichtet werden muss, wird die Vernam-

Chiffre auch als one-time-pad (etwa „Einmalblock“) bezeichnet. Dieses
für lange Nachrichten hinsichtlich der realen Anwendung auftauchende

Schlüsselverteilungsproblem führte dazu, dass sich in der Praxis schließlich
unsichere Verschlüsselungverfahren mit wesentlich kürzeren Schlüssellän-
gen durchsetzten.

Ist es doch ein allgemeiner Nachteil symmetrischer Verschlüsselungs-
verfahren, dass Chiffrierung und Dechiffriererung denselben Komplexi-
tätsgrad besitzen, so wurde indes durch die Entwicklung der ein asymme-
trisches Verschlüsselungsverfahren darstellenden public-key-cryptography
in den 70-er Jahren ein erneuter kryptograpischer Durchbruch initiiert.

In diesem Fall, der Kryptographie mittels öffentlicher Schlüssel, fällt das
unangenehme Schlüsselverteilungsproblem vollständig weg, so dass selbst

Kommunikationspartner, die niemals zuvor Kontakt hatten, um einen ge-
heimen Schlüssel zu verabreden, verschlüsselte Botschaften austauschen
können.

Die Asymmetrie dieses Kryptoverfahrens basiert auf dem Faktum der
nicht gegebenen Symmetrie der Komplexität bestimmter mathematischer

Operationen. So ist, wie schon weiter oben erwähnt, die Multiplikation
xx

16 Die modernen Anwendungen der Quantenphysik

205
großer Primzahlen relativ unkompliziert zu bewerkstelligen, doch die

Rückoperation, das Zerlegen einer sehr großen Zahl in ihre Primzahlfakto-
ren, ist überaus rechen- und somit zeitaufwendig. Im Fall der Primzahlfak-
torzerlegung steigt die Komplexität der Rechenoperation sogar exponenti-
ell mit der Ziffernlänge der Zahl an.

Dadurch ist die public-key-cryptography bei der Verwendung hinrei-
chend komplexer, asymmetrischer Verschlüsselungsoperationen in der Tat

(relativ) sicher, doch sieht sich jene Sicherheit durch die stetig stattfin-
denden Verbesserungen in der Computerindustrie massiv gefährdet, und
dies nicht zuletzt durch die, wenn auch momentan noch relativ weit ent-
fernte Möglichkeit der Verwirklichung von kryptologisch gesehen doch arg
beunruhigenden Quanten-Computern.

Genau in dieser eklatanten, zwickmühlenartigen Problemsituation bie-
tet nun die neuartige Quanten-Kryptographie glücklicherweise eine wun-
dervolle Lösung: Sie beseitigt auf elegante Art und Weise das Schlüsselver-
teilungsproblem der Vernam-Chiffre. Es sei daher, um Missverständnisse
zu vermeiden, gleich betont, dass die Quanten-Kryptographie eigentlich
kein wirklich neues kryptographisches Verfahren ist, sondern sich viel-
mehr darauf beschränkt, die ohnehin schon perfekte Vernam-Chiffre prak-
tisch überhaupt durchführbar zu machen. Sie ermöglicht es nämlich den
im Rahmen der unknackbar perfekten Vernam-Chiffre nötigen, geheimen

Schlüssel vollkommen abhörsicher zu verteilen.

Dabei lassen sich die quantenkryptographischen Verfahren zur Schlüs-
selverteilung grob in zwei Arten einteilen. Die erste verwendet Einteilchen-
systeme wie z. B. einzelne Photonen, die zweite und historisch gesehen
jüngere nutzt Zweiteilchensysteme, die sich in einer nicht-lokalen EPR-

Korrelation befinden, wie sie z. B. bei in Polarisation verschränkten Photo-
nenpaaren vorliegt. Der Einfachheit halber wollen wir uns hier ausschließ-
lich mit der ersteren Variante auseinander setzen.

ImJahre1984veröffentlichtenCharles Bennett und Gilles Brassard
von IBM in dem nach den beiden Autoren und dem Entstehungsjahr BB84-

Protokoll genannten Paper ein innovatives Konzept, nach dem die unge-
wöhnlichen Prinzipien der Quantenphysik auf geniale Weise in Form ei-
ner absolut sicheren Schlüsselverteilungstechnik Anwendung finden. Dazu
wird ironischerweise gerade jenes typisch quantenphysikalisches Phäno-
men genutzt, welches doch einst den undankbaren Namen Mess- „Problem“
erhielt: Die objektiv zufällige Zustandsreduktion, verursacht durch den

Prozess der Messung. Dabei ist in diesem Fall unter dem quantenphysi-
kalischen Zustand wieder die Polarisationsrichtung einzelner Photonen zu
xx

206

16 Die modernen Anwendungen der Quantenphysik
verstehen, gleichwohl auch andere Quantenzustände wie Aufenthaltsort,

Impuls oder Spinkomponente wesentlich von äquivalenter Stellungen sind.

Ihrer experimentellen Vorzüge wegen hat sich jedoch in der modernen

Quantenkommunikation vornehmlich die Messung der Polarisationsrich-
tung von Photonen durchgesetzt.

Zum Zweck der quantenkryptographischen Schlüsselübermittlung ist
es verständlicherweise notwendig bestimmten, ausgezeichneten Polarisa-
tionsrichtungen Bitwerte zuzuweisen. In unserem Falle sollen Alice und

Bob beschlossen haben, den in 0°- und 45°-Richtung polarisierten Photo-
nen per definitionem den Wert 0 zuzuordnen, so dass ferner die in 90°- und

135°-Richtung polarisierten Photonen den Wert 1 repräsentieren.

Das revolutionäre Verfahren der perfekten, quantengestützten Schlüs-
selverteilung läuft nun wie folgt ab. Ein beispielhafter Ausschnitt eines sol-
chen BB84-Protokolls ist der besseren Nachvollziehbarkeit wegen in Abb.

16.2 dargestellt:

1. Zunächst verschickt Alice einzelne Photonen an Bob, deren Polarisati-
onsrichtung völlig zufällig und in ungeordneter Reihenfolge 0°, 45°, 90°
oder 135° zu einer zuvor vereinbarten Bezugsrichtung (im Beispiel aus

Abb. 16.2) ist dies die vertikale Ausrichtung) beträgt.

2. Bob misst daraufhin in einer jeweilig ebenfalls absolut zufälligen,
von Alice unabhängigen Richtung, d. h. entweder der 0°/90°- oder der

45°/135°-Basis, ob die ankommenden Photonen seinen Polarisations-
filter passieren oder nicht.

1. Alices Photonen:

...

2. Bobs Messbasis:

...

3. Bobs Messergebnis:

...

Messbasis:

richtig falsch richtig falsch richtig richtig ...

gemeinsamer

0
verworfen

1
verworfen

1

0

...

Schlüssel:

Abb. 16.2. Beispielhafter Auszug des Verlaufs einer quantenkryptographischen

Schlüsselverteilung
xx

16 Die modernen Anwendungen der Quantenphysik

207

3. Im Anschluss seiner Messung teilt Bob Alice über einen offenen Kanal
mit, welche der zwei Messrichtungen (0°/90° oder 45°/135°) er für jedes

Photon verwendet hat, jedoch ohne sein dabei erhaltenes Messergeb-
nis („vom Polarisationsfilter durchgelassen oder nicht“) preiszugeben.

Alice wiederum gibt an, in welchen Fällen ihre versandten Photonen in
derselben Basis polarisiert waren, wie Bobs messender Polarisations-
filter. Alle anderen Fälle, in denen Bob in einer anderen Basis gemessen
hat als die von Alice gesendeten Photonen polarisiert waren (was in
ungefähr 50% der Gesamtfälle aufgetreten sein sollte), werden sofort
verworfen.

Nach erfolgreichem Abschluss dieser Prozedur besitzen Alice und Bob
einen identischen, binären Zufallsschlüssel, bestehend aus einer absolut
und objektiv zufälligen Zufallsfolge aus Nullen und Einsen. Doch woher
sollten die beiden sicher sein, dass sie nicht die einzigen sind, die von dem
wunderbaren Schlüssel wissen? Gibt es eine Möglichkeit die Anwesenheit
einer lauschenden Eve mit Sicherheit zu bestätigen oder auszuschließen?

Die Quantenphysik sagt: Ja!

Um zu überprüfen, ob ihr Quantenkanal von etwaigen Eves zu dem

Zweck, den Schlüssel oder auch nur Teile davon abzufangen belauscht
wurde, können Alice und Bob nach Belieben Teile des durch die vorherigen

Schritte erzeugten Zufallsschlüssels vergleichen. Denn wenn Eve sich in den

Quantenkanal eingeklinkt haben sollte, um Polarisationsmessungen an den
von Alice versandten Photonen anzustellen, zerstört sie zwangsläufig den
ursprünglichen Polarisationszustand des belauschten Photons irreparabel,
da sie durch die Messung eine Zustandsreduktion an ihm durchführt. Sie
kann nun nur noch mit einer 50%-igen Wahrscheinlichkeit ein identisches

Photon wie das, dessen Zustand sie reduzierte, an Bob weiterschicken. In
der anderen Hälfte der Fälle wird sie allerdings die falsche Polarisations-
richtung des Photons wählen und an Bob weiterschicken.

Es existiert durch das Wesen der quantenphysikalischen Naturgesetzte
für Eve schließlich keine Möglichkeit, den unbekannten Quantenzustand
des von Alice versandten Photons zu kopieren. Hier zeigt sich erneut die

Gültigkeit des freilich so zentralen No-Cloning-Theorems. Als Resultat folgt,
dass gezwungenermaßen ein Viertel der von Eve losgesandten Photonen
eine falsche Polarisationsrichtung besitzen werden. Fatal für Eve bzw. bril-
lant für Alice und Bob ist nun, dass durch ein weiter oben schon angespro-
chenes, stichprobenartiges Vergleichen von beliebigen Teilen des erstellten

Zufallsschlüssels derjenige Anteil Photonen, welcher von Eve mit falscher

Polarisationsrichtung an Bob weitergeschickt wurde, als fehlerhaft identi-
xx

208

16 Die modernen Anwendungen der Quantenphysik
fiziert werden kann. Somit ist Eves Lauschangriff aufgeflogen, und Alice
und Bob wissen, dass sie ihre Nachricht nicht sicher mit dem Schlüssel
verschicken können.

In dem anderen Fall, dass keine (oder nur sehr, sehr wenige) fehlerhafte

Folgenelemente gefunden werden, können sich Alice und Bob absolut si-
cher sein einen wirklich völlig geheimen Zufallsschlüssel erzeugt zu ha-
ben. Dabei ist natürlich selbstverständlich, dass die über den unsicheren,
öffentlichen Informationskanal verglichenen Schlüsselelemente aus dem

Schlüssel gestrichen werden und nur der übrige, geheime Rest als Schlüssel
genutzt werden kann.

Auf diese Weise ermöglicht die Quanten-Kryptographie das Maximum,
was man von einer perfekten Chiffre nur erwarten kann: Die prakti-
sche Durchführung einer perfekt unknackbaren Verschlüsselung durch die

Vernam-Chiffre und eine kompromisslos sichere Kontrolle auf eventuelle

Spione.

Bemerkenswerterweise ist die Quanten-Kryptographie darüber hinaus
in der Tat die am weitesten fortgeschrittene Technologie in der Quanten-
information überhaupt. So konnte im Jahr 2002 von der frisch gegründe-
ten schweizer Firma id Quantique der erste kommerziell nutzbare Apparat
zur angewandten Quanten-Kryptographie präsentiert werden. Auch eine

US-amerikanische Firma namens MagiQ hat mittlerweile sehr hübsche,
marktreife Serienmodelle zur quantenkryptographischen Schlüsselvertei-
lung entwickelt. Das Zeitalter der wahrhaftigen Nutzung jener bizarren

Skurrilität quantenphysikalischer Objekte hat also – wenn auch noch viel-
fach unbemerkt – doch schon längst begonnen.

xx

17

Quantengravitation
xx

210

17 Quantengravitation

Wozu brauchen wir eine Quantengravitation?

Angesichts dieser durchaus positiv ausfallenden Bilanz über die sowohl
theoretisch extrem erfolgreiche als auch hinsichtlich der praktischen An-
wendung zukunftsträchtigen Quantenphysik kann man doch mit Recht
behaupten, man wäre der Natur letztem Geheimnis durch die Erkenntnisse
der Quantenphysik schon sehr nahe gekommen. Vielfache Bestätigung
durch ausgeklügelte und überaus subtile Experimente haben bis zum heu-
tigen Tag stets nur für die bravouröse Quantenphysik gesprochen, niemals
konnte sie auch nur teilweise durch Versuche ernsthaft angezweifelt oder
widerlegt werden. Und wer weiß, welch wundervolle Innovationen noch
auf Grundlage der Quantenphysik in Anschluss an Quanten-Teleportation,

Quanten-Computer und Quanten-Kryptographie darauf warten entdeckt
zu werden. Die Zukunft mag noch so einige Möglichkeiten bereithalten.

Doch so sehr es dem leibhaftigen Quantenphysiker auch schmerzen
mag, aber die Quantenphysik kann nicht der Natur letzte Wahrheit sein!

Warum fragen Sie sich? Bei allen noch so unglaublich faszinierenden und
fantastisch anwendbaren Erkenntnissen, die uns die Quantenphysik bis
jetzt erbringen konnte und uns in naher und fernerer Zukunft noch er-
bringen wird, und trotz ihrer vielfachen Bestätigung durch ausgeklügelte,
experimentelle Prüfungen sollte doch zuletzt nicht unerwähnt bleiben, dass
auch die wundervolle Quantenphysik schon jetzt ihre Grenzen abzeichnet.

So elegant ihre Formulierung auch wirken und so perfekt sie im Mikro-
kosmos auch funktionieren mag, so offenkundig ist doch ihr Scheitern in

Bereichen des „wirklichen Makrokosmos“. Dazu muss gesagt sein, dass
die jetzige künstliche Einführung des Begriffs „wirklicher Makrokosmos“
zwar bedauerlich ist, denn eigentlich gibt es ja die Einteilung des Kosmos
in Mikro-, Meso- und Makrokosmos, doch war und ist es im quantenphy-
sikalischen Sprachgebrauch Sitte ausschließlich von Mikro- und Makro-
kosmos zu sprechen, so dass der Mesokosmos, also unsere gewöhnliche

Größenordnung, zu kurz kommen muss. Es gilt also eigentlich: Das, was
quantenphysikalisch als Makrokosmos bezeichnet wird, ist im allgemeinen

Sprachgebrauch der Mesokosmos.

Im Makrokosmos, der Größenordnung von Sternen, Planetensystemen
und Galaxien, gelten die Gesetze der allgemeinen Relativitätstheorie. Quan-
teneffekte spielen hier in der Regel keine Rolle, denn im großen Maßstab
ist die herrschende Kraft die Gravitation, derer die allgemeine Relativitäts-
theorie eine überaus präzise und erfolgreiche Beschreibung liefert. Das

Verhalten von Himmelskörpern, die durch den Gravitationslinseneffekt
hervorgerufenen optischen Verzerrungen, die Abhängigkeit der Zeit und
xx

17 Quantengravitation

211
des Raums vom jeweiligen Inertialsystem sowie viele andere relativistische

Effekte werden durch die Relativitätstheorie perfekt vorhergesagt. Astro-
nomische Beobachtungen und irdische bzw. erdnahe Experimente wurden
bislang ausnahmslos mit beeindruckender Genauigkeit durch die brillante
allgemeine Relativitätstheorie vorausgesagt. Und nur als eine der vielen

Anwendungen dieser Theorie sei das Global Positioning System (GPS) ge-
nannt, welches seine Präzision maßgeblich erst durch unsere Kenntnis und

Einbeziehung der allgemeinen Relativitätstheorie besitzt.

Solange man noch, wie im einen Fall der Berechnung von Atomorbita-
len und im anderen Fall der Bestimmung der Bahnen von gewöhnlichen

Himmelskörpern, eine augenfällige Einteilung in Mikro- und Makrokos-
mos vornehmen kann, um die jeweilig geltenden Naturgesetze zu berück-
sichtigen, sollte man mit dieser entzweigeteilten Physik in keine größeren

Beschreibungskonflikte geraten.

Doch in bestimmten Punkten oder besser gesagt gewissen Bereichen der

Natur müssen wir feststellen, dass eine Einteilung in den Bereich der Gültig-
keit der Quantenphysik und den der allgemeinen Relativitätstheorie einfach
nicht mehr vorgenommen werden kann. Ein berühmtes Beispiel für solch
problematische Objekte sind jene Gebilde, welche auf Grund ihrer so uner-
messlich gewaltigen Gravitationswirkung, der nicht einmal das Licht zu ent-
kommen vermag, schwarze Löcher genannt werden. Ein weiteres noch um
einiges subtilere Beispiel wäre der alles erschaffende, so geheimnisvolle Ur-
knall höchstpersönlich. Hier kann eine Entscheidung für eine physikalische

Beschreibung durch entweder allgemeine Relativitätstheorie oder Quan-
tenphysik nicht mehr vorgenommen werden, denn die Anwesenheit von
schier unermesslichen Massen zwingt zu einer allgemein-relativistischen

Betrachtungsweise, doch deren extreme Konzentration auf kleinste Raum-
bereiche verlangt die Einbeziehung quantenphysikalischer Effekte, also die

Beschreibung durch die Quantenphysik. Im Falle der schwarzen Löcher bei-
spielsweise wird durch die allgemeine Relativitätstheorie die Existenz von

Singularitäten, Orten unendlicher Raum-Zeit-Krümmung, vorausgesagt,
was aber aus quantenphysikalischer Sicht vollkommen unmöglich ist.

In solchen physikalischen Extremfällen, wie schwarzen Löchern oder
dem Urknall, in denen sich gigantische Massen auf mikroskopischen Grö-
ßenskalen konzentrieren, müssen zwangsläufig quantenphysikalische und
allgemein-relativistische Effekte zusammenspielen. Doch in dem Augen-
blick der Vereinigung dieser beiden unterschiedlichen Teilbeschreibungen
der Natur zu einer einzigen allumfassenden brechen die beiden Theorien-
gebäude haltlos in sich zusammen, indem sie sich in Inkonsistenzen verwi-
xx

212

17 Quantengravitation
ckeln. Durch das einfache Kombinieren der Theorien entsteht zwangsläufig
ein inkonsistentes Theoriengebäude, das durch seine absurden und offen-
kundig falschen Voraussagen die eigene Brauchbarkeit untergräbt. So stellt
sich denn die unvermeidliche Frage, ob überhaupt eine Universaltheorie
existiert bzw. existieren kann.

Gibt es eine Lösung für den Theorien-Konflikt?

Eine Lösung für dieses eklatante Problem der Physik, das Fehlen der letzt-
endlichen Universaltheorie, zu finden, ist nun schon seit mehr als 100 Jah-
ren Gegenstand der berühmtesten, fähigsten Physiker und Mathematiker.

Doch bis jetzt haben wir sie nicht ergründen können, die Theorie für Al-
les, TOE (von engl. theory of everything) oder Weltformel, wie sie auch oft genannt wird.

Allerdings gibt es durchaus schon einige, teilweise sogar recht viel ver-
sprechende Ansätze eine solche zu erdenken. Diese als Quantengravita-
tion bezeichneten Theorien haben eine Vereinigung von Quantenfeldtheo-
rie und allgemeiner Relativitätstheorie zum Ziel. Dabei versteht man unter der Quantenfeldtheorie eine Art moderne, speziell-relativistische Quantenphysik, eine Theorie also, welche die klassischen Feldtheorien um die

Quantisierung der Felder erweitert.

Die Quantenfeldtheorie beinhaltet indessen drei verschiedene Quan-
tenfeldtheorien, derer jede jeweils eine fundamentale Wechselwirkung be-
schreibt: Die Quantenchromodynamik (QCD) ist die Theorie der starken

Wechlsewirkung, welche zwischen den Quarks herrscht (vgl. Kap. 1). Die

Quantenelektrodynamik (QED) beschreibt ferner die elektromagnetische

Wechselwirkung, und in ihrer um die dritte, nämlich die schwache Wech-
selwirkung erweiterten Formulierung, der Quantenflavourdynamik (QFD),
die der elektroschwachen Wechselwirkung. Die Quantenfeldtheorie besteht
demgemäß aus dem Zusammenschluss von Quantenchromodynamik und

Quantenflavourdynamik.

Die vierte fundamentale Wechselwirkung hingegen, die Gravitation,
wird bekanntlich beschrieben durch die klassische, allgemeine Relativi-
tätstheorie, eine Feldtheorie, deren Quantisierung bislang noch nicht er-
folgreich war.

So stellt sich die Aufgabe der Quantengravitationsphysiker darin eine
quantisierte Feldtheorie der Gravitation mit den Quantenfeldtheorien in

Einklang zu bringen. Dass dieses Vorhaben bisweilen nicht selten in Sack-
gassen endete, wurde bereits erwähnt, doch wollen wir uns nun mit den
xx

17 Quantengravitation

213
viel versprechenderen der existierenden Ansätzen verschiedener Quanten-
gravitationen auseinandersetzen.

Die zwei „Hauptverdächtigen“ und anhängerreichsten Physikergrup-
pierungen Erfolg versprechender Quantengravitationen sind einerseits die

Stringtheorie und andererseits die Loop-Quantengravitation. Neben diesen
beiden Theoriengruppen öffnet sich ein weites und überaus inhomogenes

Feld von großenteils (noch) abschreckender und obskurer wirkenden An-
sätzen, die meist von einzelnen Individualisten entwickelt werden. Doch
können sich solche „Ein-Mann-Theorien“ recht selten in höheren Fach-
kreisen behaupten und erlangen daher kaum größeren Bekanntheitsgrad.

Eine Unterscheidung dieser beiden Haupttheorien der Quantengravita-
tion basiert primär auf ihren voneinander differierenden Ausgangspunk-
ten:

Die Stringtheorie wurde auf der Basis der Quantenfeldtheorien mit dem

Vorsatz konzipiert die entscheidenden Prinzipien der allgemeine Relativi-
tätstheorie mit hineinzuweben, d. h. die Wechselwirkung der Gravitation in
die Quantenfeldtheorie zu integrieren. Man begann im Fall der Stringtheo-
rie also im kleinen Maßstab und arbeitete sich dann konzeptionell vom

Kleinen zum Großen vor.

Der Ausgangspunkt der Loop-Quantengravitation hingegen war das
exakte Gegenteil, nämlich nicht der Mikro-, sondern der Makrokosmos.

Die allgemeine Relativitätstheorie, welche im großen Maßstab vorherrscht,
sollte durch Quantisierung zu einer Quantenfeldtheorie der Gravitation
überführt werden, um gemeinsam mit der Quantenchromodynamik und

Quantenflavourdynamik die Theorie für Alles zu bilden.

Auch wenn sich diese Einteilung bzw. Differenzierung in der Hinsicht
ein wenig an den Haaren herbeigezogen anhört, als dass die beiden Theo-
rien – sich nur in der Reihenfolge von Start- und Endpunkt unterscheidend

– in ein und derselben Quantengravitationstheorie münden müssten. Ganz
so einfach ist dies aber wahrlich nicht! Vielmehr bestehen zwischen diesen
beiden Theorien in physikalischer, konzeptioneller Hinsicht gravierende

Unterschiede.

Was besagt die Stringtheorie?

Die Basis der Stringtheorie geht von der Annahme aus, die Materie bestehe
aus fundamentalen, eindimensionalen Fäden aus Energie, die Strings (von
engl. string = Saite) genannt werden. Diese entweder in offener oder ge-
schlossener Form vorliegenden Strings, welche der Theorie entsprechend
xx

214

17 Quantengravitation
nur äußerst winzige Ausmaße besitzen, können wie die Saiten einer Geige
oder Harfe in verschiedenen Moden schwingen. Jedes einzelne der existie-
renden Elementarteilchen (wie z. B. up-Quark, down-Quark, Elektron etc.)

wird durch einen sich in einem bestimmten Schwingungsmuster befindli-
chen String repräsentiert.

Das Besondere und Hoffnungbringende dieser Theorie ist nun, dass sie
die nulldimensionalen Punktteilchen des Standardmodells der Elementar-
teilchenphysik durch die zwar winzigen, doch ein endliches Volumen ein-
nehmenden, eindimensionalen Strings ersetzt. Eine wenn auch zunächst
etwas abstrakte, doch in diesem Rahmen notwendige Voraussetzung der

Stringtheorie ist, dass der Raum ihr zufolge nicht nur die uns bekannten,
üblichen drei Dimensionen, sondern bis zu 26 räumliche Dimensionen auf-
weisen muss, in denen die Strings schwingen. So seltsam und obskur sich
dies anhören mag, so wird doch beeindruckenderweise durch jene Annah-
men der Stringtheorie eine Vereinigung von allgemeiner Relativitätstheorie
und Quantenfeldtheorie urplötzlich möglich.

Trotz dieses ersten, zweifelsfrei grandiosen Erfolgs der Stringtheorie
besitzt eben diese durch einige ihrer weiteren, doch leider unhaltbaren

Voraussagen noch kleine Schönheitsfehler, die es im Folgenden zu behe-
ben gilt. In ihrer um das Prinzip der Supersymmetrie (SUSY) erweiterten

Form können, so stellte sich um die 80er Jahre heraus, diese Ungereimt-
heiten indes bereinigt werden. Dies geschieht durch die Betrachtung einer

Symmetrie zwischen den Fermionen (Teilchen mit halbzahligem Spin) und

Bosonen (Teilchen mit ganzzahligem Spin) der Elementarteilchen, wobei
die Theorie der Supersymmetrie neben den bekannten Teilchen neue, su-
persymmetrische Partnerteilchen, die SUSY-Partner (z. B. den Quarks die

Squarks und dem Elektron das Selektron), voraussagt. Die aus dieser Modi-
fikation resultierende Superstringtheorie, die erfreulicherweise nur noch 9
statt den ursprünglich 26 Raumdimensionen voraussetzt, bildet eine erste,
ernsthaft auf die Realität anwendbare physikalische Theorie.

Es zeigt sich des Weiteren, dass es sogar ganze 5 unterschiedliche Typen
von Superstringtheorien gibt, die – so vermutet man zumindest aus der

Analyse komplexerer Zusammenhänge heraus – Teil einer übergeordneten

M-Theorie sind. Die Formulierung dieser M-Theorie allerdings blieb bis
jetzt noch ein großes Rätsel und stellt eine der größten Herausforderungen
der gegenwärtigen Superstringtheoretiker dar.

Je nach dem persönlichen „Optimismusgrad“ eines jeweiligen Super-
stringtheoretikers werden diesbezüglich die Erfolgswahrscheinlichkeiten,
in absehbarer Zeit eine M-Theorie zu entdecken, sehr hoch oder sehr nied-
xx

17 Quantengravitation

215
rig bemessen. Das bislang größte Problem der sonst so erfolgreichen Su-
perstringtheorie scheint ihre Eigenschaft hintergrundabhängig, d. h. nicht
unabhängig vom Raumzeithintergrund zu sein. Doch dieser eine Schwach-
punkt wird von ihrer Konkurrenz-Theorie, der Loop-Quantengravitation,
in eleganter Art und Weise beseitigt.

Was besagt die Loop-Quantengravitation?

Der Loop-Quantengravitation, welche die jüngere der beiden hier betrach-
teten Quantengravitationen ist, liegen zwei Hauptprinzipien der allgemei-
nen Relativitätstheorie zu Grunde, die Hintergrund-Unabhängigkeit und
die hiermit eng zusammenhängenden Diffeomorphismus-Invarianz.

Unter der Hintergrund-Unabhängigkeit einer physikalischen Theorie
versteht man ihre Eigenschaft Raum und Zeit dynamisch zu beinhalten,
anstatt sie als statischen Hintergrund der vor ihr ablaufenden physikali-
schen Vorgänge „künstlich“ einzuführen. Demnach ist die Geometrie der

Raumzeit auf mikroskopischer Größenskala nicht statisch festgelegt, son-
dern dynamisch. Dies wird jedoch von der hintergrundabhängigen Super-
stringtheorie nicht berücksichtigt.

Die Diffeomorphismus-Invarianz besagt ferner, dass jedes beliebige Ko-
ordinatensystem zur Beschreibung der Raumzeit gleich gut geeignet ist. Es
gibt keine übergeordneten oder bevorzugten Koordinatensysteme, um die

Raumzeit zu beschreiben.

Aus diesen beiden Grundprinzipien lässt sich über hochkomplexe Be-
rechnungen die Struktur der Raumzeit herleiten, welche der Theorie zu-
folge quantisiert, in diskreten Einheiten vorliegt. Der Name dieser Theorie,

Loop-Quantengravitation (engl. loop = Schleife), oder zu Deutsch auch

Schleifenquantengravitation genannt, begründet sich übrigens mit ihrer

Annahme der Existenz kleinster Schleifen der Raumzeit.

In der Loop-Quantengravitation werden die Quantenzustände des

Raumes durch ein als Spin-Netzwerk bezeichnetes Gebilde beschrieben, das aus Knoten und Linien zusammengesetzt ist. Die elementaren Volumina,
aus denen diese Spin-Netzwerke gebildet werden, sind stets festgelegt durch
die Größe eines bestimmten minimalen Längenwertes, der Planck-Länge

(siehe (17.8)). Die Anzahl der möglichen, elementaren Volumina wird folg-
lich durch die Größe der Planck-Länge bestimmt und somit eingeschränkt,
wobei das kleinstmögliche Volumen durch eine Kubik-Planck-Länge gege-
ben ist.

xx

216

17 Quantengravitation

Doch nicht nur der Raum ist laut Loop-Quantengravitation körnig, auch
die Zeit besteht aus minimalsten, diskreten Abschnitten, die analog der

Planck-Länge als Planck-Zeit (siehe (17.9)) bezeichnet wird. Eine Planck-

Zeit stellt somit den kleinsten, physikalisch sinnvollen Zeitraum dar.

Die zeitliche Entwicklung der räumlichen Geometrie wird nun durch
die Quantenzustände der Raumzeit bestimmt. Indem die eben besproche-
nen Quantenzustände des Raums durch die Dimension der Zeit erweitert
werden, ergibt sich aus dem Spin-Netzwerk ein so genannter Spin-Schaum.

Hierbei werden aus den Linien und Knoten des Spin-Netzwerks Flächen
und Linien des Spin-Schaums.

Die großartigen Leistungen dieser Quantengravitationstheorie sind –
neben der obligatorischen Vereinigung von allgemeiner Relativitätstheo-
rie und Quantenfeldtheorie – vor allem ihre Hintergrundunabhängigkeit
und die Tatsache, dass diese Theorie wiederum im Gegensatz zur Su-
perstringtheorie völlig ohne die Annahme zusätzlicher Raumdimensionen
auskommt.

Eine kleine, doch unbestreitbar bedeutende Nebenaussage der Loop-

Quantengravitation ist weiter, dass sie die Kernaussage der speziellen Re-
lativitätstheorie modifizierend, die absolute Konstanz der Vakuumlichtge-
schwindigkeit aufgibt und stattdessen für extrem hochenergetische Photo-
nen eine geringfügig höhere Lichtgeschwindigkeit postuliert. Eine kühne

Hypothese möchte man meinen.

Bestehen zwischen den Quantengravitationstheorien
auch Gemeinsamkeiten?

Obgleich sich die beiden soeben besprochenen Theorien in konzeptioneller

Hinsicht gewaltig unterscheiden, so lässt sich dennoch feststellen, dass sie
in manchen Kernpunkten erfreulicherweise auch übereinstimmen. Bemer-
kenswert ist zunächst einmal, dass sie trotz ihrer unterschiedlichen Start-
punkte und physikalischen Beschreibung auf die meisten Fragestellungen
identische Antworten geben.

Zudem verwenden beide Theorien Schleifen, auch wenn diese detail-
lierter betrachtet sehr unterschiedlicher Art auffälligerweise, nämlich im
einen Fall schwingende „Energie-Fäden“ und im anderen Fall höchst un-
anschauliche, mathematisch komplizierte Raumschleifen.

Des Weiteren wird die Prognose einer gewissen Größenordnung, in der
quantengravitative Effekte die Oberhand gewinnen, von Superstringtheo-
rie und Loop-Quantengravitation gleichermaßen gestützt. Überraschen-
xx

17 Quantengravitation

217
derweise lässt sich die Idee einer solchen, bestimmten Größenordnung auf

Überlegungen Max Plancks aus dem Jahre 1899 (!) zurückführen, weshalb
sie auch als die so genannte Planck-Skala bezeichnet wird. Wie wir sehen
werden, grenzt diese Leistung fast an ein Wunder, denn das relativ leicht zu
ihrer Herleitung führende Plancksche Wirkunsgsquantum war zu diesem

Zeitpunkt weder in den Kanon der Physik aufgenommen noch konnte sein

Wert genau bestimmt gewesen sein. Umso beeindruckender ist die hohe

Genauigkeit, mit der Planck noch vor der eigentlichen Geburtsstunde der

Quantentheorie die Größenordnung der Planck-Skala voraussagen konnte.

Die hier auftretenden fundamentalen Planck-Einheiten spiegeln Resul-
tate aus dem Zusammenspiel von Quanteneffekten und relativistischen Ef-
fekten wider. Die bereits erwähnte Planck-Einheit der Planck-Länge stellt
dabei diejenige kleinste Längengröße dar, welcher physikalische Relevanz
zugesprochen werden kann. Sie ergibt sich aus der fundamentalen Über-
legung, wie klein ein schwarzes Loch (das ja aus streng relativistischer

Sicht eine Singularität der Ausdehnung null ist) sein kann, ohne dass die

Gewissheit bzw. Konkretheit seines Aufenthaltsorts der Heisenbergschen

Unschärferelation widerspricht. Derjenige Grenzradius, den ein Objekt der

Masse m erreichen muss, damit an seiner Oberfläche die nötige Entweich-
geschwindigkeit gleich der Lichtgeschwindigkeit ist, es also ein schwarzes

Loch wird, wurde durch Karl Schwarzschild (1873–1916) mit
r = 2 γ m

(17.1)

c 2
bestimmt, wobei γ die Gravitationskonstante γ = 6 . 673 · 10−11 m3 /( kg s2 ) ist. Sie wird ihrem Entdecker zu Ehren als Schwarzschildradius bezeichnet.

Die zur Planck-Länge führenden Frage lautet jetzt welche Größe ein

Objekt der Masse m minimal einnehmen kann, so dass sein Schwarzschild-

Radius r nicht größer als seine Ortsunschärfe ist, denn dies würde der

Heisenbergschen Unschärferelation widersprechen. Denken wir uns hierzu
die Unschärferelation bis an die Grenzen ausgereizt: Stellen wir uns ein
winziges, physikalisches Objekt vor, welches (nahezu) ruhen bzw. eine ver-
nachlässigbar geringe Geschwindigkeit v besitzen soll und das gleichzeitig
so lokalisiert wie möglich sei, so ergibt sich sein Impuls p mit der minima-
len Ortsunschärfe x min als

p min =

.

(17.2)

2 x min
xx

218

17 Quantengravitation

Die Ruhemasse dieses Teilchens ist nach der relativistischen Energie-

Masse-Äquivalenz

E = mc 2 = p · c .

(17.3)

Durch Einsetzen von (17.2) in (17.3) erhalten wir

mc 2 =

· c

(17.4)

2 x min
und durch Auflösen nach m folgt

m =

.

(17.5)

2 x min c

Über das Einsetzen von (17.5) in die Formel des Schwarzschild-Radius

(17.1) resultiert

γ
r = 2 γ

=

(17.6)

c 2 2 x min c
x min c 3
und mit xmin = r erhalten wir schließlich für die kleinstmögliche Ausdeh-
nung eines physikalischen Objekts die Relation
γ ·
x 2

=

.

(17.7)

min
c 3

Als Planck-Länge erhalten wir demgemäß
γ ·
l Planck =

≈ 1 , 616 · 10−35 m ,

(17.8)

c 3
eine Länge, die zugegebenermaßen so unvorstellbar klein ist, dass jegli-
che menschliche Vorstellungskraft versagt. Doch laut Quantengravitation
versagt hier nicht die Vorstellungskraft, sondern die Natur selbst, indem
sie keine physikalischen Strukturen zulässt, die kleiner sind als eben diese

Planck-Länge.

Doch wie schon erwähnt, ist der Quantengravitation zufolge nicht nur
der Raum körnig, sondern auch die Zeit. Aus der Dauer nämlich, die das

Licht benötigt, um die Strecke einer Planck-Länge zu durchqueren, lässt
sich eine kleinstmögliche Zeit, die Planck-Zeit
γ ·
t Planck =

≈ 5 , 392 · 10−44 s

(17.9)

c 5
herleiten.

xx

17 Quantengravitation

219

Ist Quantengravitation noch Physik oder schon Philosophie?

Zugegeben, die recht kreativen Annahmen der Superstringtheorie, Loop-

Quantengravitation und Co. hören sich nicht gerade sehr realitätsnah,
der menschlichen Intuition entsprechend oder auch nur im Entferntesten
mit dem gesunden Menschenverstand nachvollziebar an. Soll die Mate-
rie tatsächlich aus „Energie-Fäden“ bestehen, die in einer 10 dimensiona-
len Raumzeit schwingen? Oder ist das Universum etwa wirklich aus Spin-

Schäumen, die aus winzigen Raumschleifen bestehen, aufgebaut? Selbst als

Stoff für Science Fiction Sagen könnten diese Theorien als reichlich über-
trieben wirken. Welch kühne, naive und törichte Annahme, meinen Sie?

Das Problem, welches diese Theorien in ein etwas zwiespältiges und
fragwürdiges Licht rückt, ist ganz einfach die Tatsache, dass es sich um

Theorien handelt, die Annahmen und Voraussagen machen, die sich zu-
mindest im Moment noch keinesfalls direkt überprüfen lassen. Aussagen
über die Körnigkeit der Raumzeit in einer Größenordnung wie 10−35 m
bringen dem kritischen Experimentalphysiker wenig, denn wie soll er der-
artige Winzigkeiten jemals überprüfen können, wo doch die ohnehin schon
kaum mehr auflösbaren Größenordnungen der Atome um den sagenhaften

Faktor 1020 (!) weiter oben auf der Größenskala liegen als die „mythische“

Planck-Länge. Schätzungen zufolge könnte man Voraussagen der Super-
stringtheorie erst mittels Teilchenbeschleunigern der Größe unseres Son-
nensystems oder gar der Milchstraße überprüfen. Diese Möglichkeit der

Prüfung wird uns wohl in absehbarer Zeit eher nicht zur Verfügung stehen.

Nicht verwunderlich, dass ein sehr großer Teil der physikalischen Fach-
schaft aus diesen und ähnlichen Gründen den Quantengravitationstheorien
nicht unwesentlich abgeneigt ist und sie für ausgemachten Blödsinn hält,
mehr für Metaphysik oder Philosophie denn echte Naturwissenschaft.

Natürlich ist diese harte Kritik aus ersichtlichen Gründen nicht völ-
lig unberechtigt, doch möchte ich an dieser Stelle ganz deutlich auf eine

Analogie hinsichtlich der ehemaligen Frage nach der Existenz bzw. Nicht-

Existenz ebenfalls nicht direkt messbarer, verborgener Variabler hinweisen.

Wenn uns die verblüffende Geschichte um den eindeutigen Nachweis der

Unmöglichkeit der Existenz lokal-realistischer verborgener Variabler eines
gelehrt hat, so war es doch, dass man im vornherein einfach nicht wis-
sen kann, was der Empirie zugänglich ist und was nicht. Lokal-realistische
verborgene Variable entziehen sich schon rein prinzipiell jeder direkten

Nachweisbarkeit, dies ist ein unumstößliches Faktum, doch bedeutet das
nicht, dass sie der empirischen Wissenschaft nicht zugänglich wären, d. h.

ihre Existenz nicht experimentell verifiziert oder falsifiziert werden könnte.

xx

220

17 Quantengravitation

Äquivalent, so meine ich, sind die Aussagen der Quantengravitations-
theorien zu betrachten, denn man kann keine Aussage darüber treffen, was
empirisch erfassbar ist, solange man es nicht gemessen hat. Da der Empi-
rie nicht zugängliche Sachverhalte nicht erfasst werden können, kann man
ergo die Grenze der Empirie selbst freilich ebenfalls niemals erkennen.

Umso erfreulicher ist es da, dass zumindest die Loop-Quantengravitation
doch einige, eventuell sogar in näherer Zukunft überprüfbare Voraussagen
macht. Ihre Annahme nämlich, der entsprechend sich auf Grund der Dis-
kontinuität der Raumzeit sehr energiereiche Gammaquanten schneller im

Spin-Netzwerk ausbreiten als niedriger energetische, könnte schon bald
mit hinreichender Präzision durch Messungen von Erdsatelliten überprüft
werden. Das GLAST (Gamma-ray Large Area Space Telescope) wird ab 2006
diesbezügliche Messungen vornehmen und vielleicht entweder eine Bestä-
tigung oder eine Widerlegung der Loop-Quantengravitation liefern kön-
nen. Denn ob es sich bei all diesen noch so viel versprechenden und elegan-
ten physikalischen Theorien nun um eine präzise Beschreibung der Natur
oder um reine Phantasie ihrer Erdenker handelt, darüber kann schließlich
einzig und allein das Experiment als Prüfstein entscheiden.

Angesichts dieses großen physikalischen Ziels, den „heiligen Gral der

Physik“, die Theorie für alles zu finden, und den sich bei seiner Verfolgung
immer wieder auftuenden Sackgassen möchte ich mit einem Zitat Albert

Einsteins, das einem Brief an seinen Kollegen David Bohm entspringt,
schließen:

„Falls Gott die Welt geschaffen hat, war seine Hauptsorge sicherlich
nicht, sie so zu machen, dass wir sie verstehen können.“ 40

Dies scheint mir eine Feststellung zu sein, die wohl jeder leibhaftige

Physiker dann und wann empfinden mag. So wundervoll und vielschichtig
unser modernes Wissen über die Natur des Kosmos bis zum heutigen Tag
auch sei, umso mehr ist uns dennoch vielleicht gerade deshalb mehr denn
je bewusst, dass wir noch nicht am letztendlichen Ziel angelangt sind. Das
größte Rätsel steht noch unentdeckt vor uns und wartet darauf erforscht
zu werden. Die Theorie für alles liegt noch tief im Verborgenen, versteckt
durch das faszinierende, subtile und erhabene Wesen der Natur selbst.

Es gibt wahrscheinlich nur eines, das man wohl mit unzweifelhafter

Sicherheit sagen kann: Die Zukunft der Quantengravitation ist relativ un-
scharf !

40 A. Calaprice: Einstein sagt – Zitate, Einfälle, Gedanken (Piper, 2004); S. 184
xx

Nachwort

Nachdem ich Sie nun während unserer kleinen Reise durch Mikro- und

Makrokosmos ein wenig in die Welt der Quanten einführen durfte, möchte
ich zum Abschluss noch zwei Punkte ansprechen.

Zunächst wäre da die Form und Methodik dieses Buches: Wie Sie er-
kannt haben, werden die einzelnen Abschnitte der Kapitel dieses Buches
stets mit speziellen Fragestellungen eingeleitet. Auch wenn ich mit dieser

Methode zunächst einmal das unvermeidliche Risiko einging in Überein-
stimmung mit der altbekannten Schulweisheit den Eindruck zu erwecken,

„es gäbe in der Welt nur eine endliche Anzahl von Fragen, auf deren jede
es genau eine richtige Antwort gibt – und die könne man alle lernen“.

Trotz dieser Gefahr hoffe ich inständig, es war zu erkennen, dass ge-
nau dies eben nicht der Fall ist, besonders nicht in der Quantenphysik!

Natürlich ist es ein unbestreitbares Faktum, dass zum heutigen Datum

– in einer Zeit, in der ein Großteil des Bruttoinlandprodukts der moder-
nen Industriestaaten auf unserem weit fortgeschrittenen Wissen im Bereich
des Mikrokosmos beruht (Halbleiterelektronik, Mikroprozessoren, LASER,

Nanotechnologie etc.) – schon ein erhebliches Pensum an gesichertem Wis-
sen bezüglich der Quantenmechanismen besteht.

Und dennoch existiert, vielleicht gerade deshalb, unter den moder-
nen Quantenphysikern eine ungeahnte Diskordanz im Hinblick auf die
physikalische Interpretation des in der Regel unumstrittenen mathema-
tischen quantenphysikalischen Formalismus. Eben diese Uneinigkeit und
xx

222

Nachwort

Vielschichtigkeit der reflektierten fachlichen Meinungen und die Tatsache,
dass wir bis heute, wenn auch die Anwendung jener abstrakten quantenphy-
sikalischen Phänomene momentan besonders groß im Kommen ist, immer
noch keine einheitlichen Antworten auf die Interpretation des zu Grunde
liegenden mathematischen Quantenformalismus besitzen, stellt gerade den

Kern des liebreizenden, alle Zeiten währenden Paradoxons der Quanten-
physik dar.

Des Weiteren möchte ich erwähnt haben, dass ich meinerseits vielleicht
auch nicht als die geeignete Persönlichkeit angesehen werden kann, um
die aktuellen Rätsel der Quantenphysik zu lösen. Selbst deren Darstellung
ist aus meiner zugegebenermaßen bescheidenen Position im Alter von 17–

19 Jahren, kurz vor dem Abitur stehend und noch ohne Physikstudium,
recht herausfordernd. Schließlich erlangte ich meine Kenntnisse über die

Quantenwelt ausschließlich auf autodidaktische Art und Weise.

Danken möchte ich deshalb auch allen Autoren, die mir durch das Ver-
fassen ihrer Bücher und Artikel ermöglichten in das wundervolle Gebiet
der Quantenphysik eintauchen zu können, das mir sonst wohl verschlossen
geblieben wäre. Diverse Herleitungen und Erklärungsstukturen entspran-
gen meinen eigenen, wenn auch im Vorfeld teilweise in Sackgassen auflau-
fenden, Ideen. Jedoch empfand ich diese Herausforderung immer wieder
als faszinierende und ergreifende Tätigkeit, und ich hoffe ein wenig von
dieser Faszination mit auf Papier gebracht zu haben. Daher bitte ich aber
auch gleichfalls um Nachsicht, wenn an der ein oder anderen Stelle eine

Missverständlichkeit auftaucht.

So möchte ich an dieser Stelle meinen herzlichsten Dank denjenigen
wenigen Personen aussprechen, die befähigt und willens waren mir nach
knapp zwei Jahren Schreibens in der Endphase unterstützend zur Seite zu
stehen als das Skript an sich schon fertig war. Dies waren von physikalisch-
fachlicher Seite der erfahrene und überwältigend kenntnisreiche Quan-
tenphysiker Prof. Aris Chatzidimitriou-Dreismann (Technische Universi-
tät Berlin) sowie der herausragende und überaus versierte Quantenphysi-
ker Dr. Erich Joos, der durch zahlreiche, sehr wertvolle Kommentare der

Endform des Skripts den letzten Schliff verlieh.

Auch möchte ich meinem Gymnasiallehrer, dem allzeit hilfsbereiten

Dr. Herbert Voß (Canisius-Kolleg) für seine Unterstützung bezüglich des
professionellen Textsatzprogramms LATEX 2 danken, die ich besonders
zu Beginn in der „LATEXnischen Eingewöhnungsphase“ sehr zu schätzen
wusste.

xx

Nachwort

223

Aber vor allem gilt mein Dank natürlich meiner lieben und mich immer
in jeglicher Hinsicht unterstützenden Familie – meiner Mutter, meinem

Vater, meiner Schwester und meinem Hund – die mich immer (wenn auch
manchmal mit leicht verlegenem Kopfschütteln) durch ihre Liebe unter-
stützt hat und mir zudem die finanziellen Mittel nie versagte, welche nötig
waren, um die Berge von Büchern zu beschaffen, deren Inhalt ich fortwäh-
rend gierig verschlang.

Und nicht zuletzt möchte ich mich hiermit bei Ihnen, sehr geehrter

Leser, dafür bedanken, dass Sie durchgehalten haben und bis zum Schluss
vorgedrungen sind. Ich hoffe, dies war eine halbwegs gelungene Lektüre
zur Einführung in das spannende Thema der Quantenphysik, die ihr Ziel –
sowohl unterhaltsam als auch anspruchsvoll und lehrreich zugleich zu sein

– nicht all zu weit verfehlt hat.

Darüber hinaus hoffe ich ganz persönlich, die Lektüre hat den Leser ein
wenig von jener Faszination und Begeisterung spüren lassen, die ich seit
meinem ersten Kontakt mit dieser schier unbeschreiblich geheimnisvol-
len und den gesunden Menschenverstand immer wieder an den Abgrund
führenden Quantenphysik empfinde. Herzlichen Dank!

xx

Glossar

Dekohärenz: Das irreversible Verschwinden der Superpostitionen quan-
tenphysikalischer Quantenzustände durch die unvermeidbare Wech-
selwirkung mit ihrer Umgebung.

Determinismus: Klassisches Weltbild, nachdem die Vergangenheit und zu-
künftige Entwicklung eines abgeschlossenen physikalischen Systems
und sogar des gesamten Kosmos eindeutig festgelegt sind („Laplace-
scher Dämon“).

Doppler-Effekt: Aus der Wellen- und Schwingungslehre bekanntes Phäno-
men, dass bei der Annäherung von Wellensender und Empfänger die

Frequenz der Welle größer und bei deren Entfernung kleiner wird.

Intertialsystem: Ein Bezugssystem, in dem sich jeder Körper, auf welchen
keine Kräfte wirken, seine gleichförmig geradlinige Bewegung beibe-
hält (= beschleunigtes Bezugssystem).

Inkonsistenz: Eine Theorie ist dann inkonsistent, wenn sie in sich wider-
sprüchlich ist.

instantan: sofort, ohne Zeitverzögerung
isotrop: in alle Richtungen gleich(förmig)

Kausalität: Nach dem Prinzip der Kausalität besteht ein zwingendes Zu-
sammenhängen von Ursache und Wirkung.

klassische Physik: Die auf den Gesetzen der klassischen Mechanik, des

Elektromagnetismus, der Thermodynamik, der Optik usw. basierende
xx

226

Glossar

Physik, die sich bis Anfang des 19. Jahrhunderts behaupten konnte

(= moderne Physik).

kohärente Wellen: Wellen mit fester Phasenbeziehung

Konfigurationsraum: Der Raum aller möglichen (klassisch interpretierba-
ren) Eigenzustände eines Quantenobjekts, wobei die Dimension durch
die Anzahl der Freiheitsgrade bestimmt wird. Die quantenmechani-
sche Wellenfunktion ist auf dem Konfigurationsraum definiert, nur in
wichtigen Ausnahmefällen (einzelner Massenpunkt) ist dieser mit dem
alltäglichen, dreidimensionalen Raum identisch.

Konsistenz: Eine physikalische Theorie ist konsistent, wenn sie keinerlei
innere Widersprüche enthält.

Lichtquant (= Photon): Die kleinsten Einheiten des Lichts, d.h. des sichtba-
ren Bereichs des elektromagnetischen Strahlungsspektrums (wird oft
auch verallgemeinernd für alle Frequenzen verwendet).

Lokalität: Von der Lokalität zweier Teilchen A und B spricht man dann,
wenn ein beliebiges Ereignis bei Teilchen A keine Möglichkeit der Be-
einflussung des Teilchens B haben kann. A und B sind dann lokal von-
einander getrennt.

makroskopisch: In Sprachgebrauch der Quantenphysik das Gegenteil zu
mikroskopisch, d.h. sich auf Größenordnungen beziehend, in denen

Quanteneffekte vernachlässigbar sind. Im allgemeinen Sprachgebrauch
sich auf Größenordnungen beziehend, in welchen relativistische Effekte
ausschlaggebend werden.

mikroskopisch: Sich auf Größenordnungen beziehend, in denen Quanten-
effekte von Belang sind.

moderne Physik: Die Anfang des 20. Jahrhunderts entwickelte, um die Er-
kenntnisse der Quantentheorie und Relativitätstheorie erweiterte Phy-
sik.

monochromatische Strahlung: „einfarbiges Licht“; Strahlung, die nur eine
einzige Frequenz, also auch nur eine Wellenlänge enthält.

No-Cloning-Theorem: Ein unbekannter Quantenzustand kann nicht per-
fekt, also fehlerfrei vervielfältigt werden.

Plancksches Wirkungsquantum: Die fundamentale Konstante der Quan-
tenmechanik, deren Wert bei ca. h = 6 , 626 · 10−34 Js liegt. Auch die
hiervon abgeleitete Größe = h/( 2 π) ≈ 1 , 055 · 10−34 Js wird als Plancksches Wirkungsquantum bezeichnet.

Photomultiplier: Ein verstärkender Detektor zur präzisen Registrierung
von elektromagnetischer Strahlung (besonders bei sehr geringen In-
tensitäten).

xx

Glossar

227

Quant: Ein Quant ist die kleinste Einheit einer physikalischen Größe. Die
kleinste Einheit der elektromagnetischen Strahlung ist beispielsweise
ein Photon oder Lichtquant.

Quantenfeldtheorie: Die quantisierte Form der Feldtheorien, welche aus

Quantenchromodynamik (QCD), Quantenelektrodynamik (QED) und
der Theorie der schwachen Wechselwirkung besteht.

Quantengravitation: Theorien, welche Quantenfeldtheorie und allgemeine

Relativitätstheorie vereinigen. Die zwei bedeutendsten Ansätze ei-
ner solchen Theorie liefern die Superstringtheorie und die Loop-

Quantengravitation.

Quantenobjekt: Als Quantenobjekt bezeichnet man ein Objekt, welches mit

Hilfe der Quantenphysik beschrieben werden muss, da es sich weder
nur als Welle, noch nur als Teilchen beschreiben lässt.

Qubit: Ein quantenphysikalischs System, welches zwei senkrecht zueinan-
der stehende Quantenzustände einnehmen kann (z.B. den Spin eines

Teilchens oder die Polarisation eines Photons).

Realitätskriterium: Jede physikalische Größe ist genau dann ein Element
der physikalischen Realität, wenn sie objektiv von einer Beobachtung
existiert und ohne Störung derselbigen gemessen werden kann (Defi-
nition Einsteins).

Relativitätstheorie, allgemeine: Die um die Gravitation und beschleunigte

Bewegungen erweiterte Form der speziellen Relativitätstheorie, wel-
che die Gravitationskräfte auf die Krümmung der vierdimensionalen

Raum-Zeit zurückführt.

Relativitätstheorie, spezielle: Die auf der Konstanz der Lichtgeschwindig-
keit basierende Theorie von Raum und Zeit, welche die Widersprüche
zwischen klassischer Mechanik und dem Elektromagnetismus besei-
tigt.

schwarzer Körper: Ein idealisiertes Objekt, welches jedwede elektroma-
gnetische Strahlung absorbiert, die auf ihn trifft. Praktisch werden
schwarze Körper durch Hohlkörper mit einem kleinen Loch an ge-
nähert, so dass reflektierte Strahlung nicht austreten kann, sondern im
inneren Hohlraum „absorbiert“ wird.

Schrödinger-Gleichung: Die Grundgleichung der nichtrelativistischen

Quantenmechanik, welche die zeitliche Entwicklung des durch die

Wellenfunktion repräsentierten Zustands eines Quantensystems be-
schreibt.

Spin: Eine Art quantenphysikalisches Analogon zum klassisch-makrosko-
pischen Drehimpuls, das stets in Vielfachen von auftitt. Teilchen mit
xx

228

Glossar
halbzahligem Spin nennen sich Fermionen und verhalten sich nach
anderen charakteristischen Gesetzmäßigkeiten als Teilchen mit ganz-
zahligem Spin, die als Bosonen bezeichnet werden.

Standardmodell der Elementarteilchenphysik: Die etablierte Theorie der

Elementarteilchenphysik, welche drei der fundamentalen Wechselwir-
kungen bzw. Kräfte vereint (alle außer der Gravitation), und somit
die Vereinigung von Quantenchromodynamik und elektroschwacher

Theorie darstellt.

Superpositionsprinzip: In der Quantenphysik ist es das Prinzip, demnach
auch jede beliebige Linearkombination zweier möglicher Zustände
1
und
2 einen neuen möglichen Zustand ergibt:
= a 1 + b 2

(Grund: Linearität der Schrödinger-Gleichung).

theory of everything (TOE): Theorie, welche die vier fundametalen Wech-
selwirkungen in einer Theorie umfassen und demgemäß Quantenfeld-
theorie und allgemeine Relativitätstheorie in einer Theorie vereinen.

Unschärferelation: Ein quantenphysikalisches Grundprinzip, nach dem
niemals sowohl der Aufenthaltsort, als auch der Impuls eines Quan-
tenobjekts gleichzeitig beliebig genau bestimmt werden können bzw.

überhaupt konkret festliegen.

verborgene Parameter/Variable: Diejenigen hypothetischen, physikali-
schen Parameter bzw. Variablen, denen zwar physikalische Realität zu-
gesprochen wird, die allerdings aus prinzipiellen Gründen nicht mess-
bar sind. Auf der Annahme ihrer Existenz basieren deterministische

Theorien. Die Existenz lokal-realistischer verborgener Variabler wurde
jedoch experimentell widerlegt.

Verschränkung: Ein rein quantenphysikalischer Zustand, in welchem sich
zwei oder mehr Quantenobejkte miteinander in Korrelation befinden.

Mit EPR-Quellen beispielsweise können verschränkte Quantensysteme
erzeugt werden.

Vollständigkeit: Eine physikalischen Theorie gilt dann als vollständig,
wenn jedem Element der physikalischen Realität genau ein Gegenstück
in jener Theorie zugeordnet werden kann.

Wechselwirkungen, fundamentale: Die vier fundamentalen Wechselwir-
kungen bzw. Kräfte sind die starke, die schwache und die elektroma-
gnetische Wechselwirkung, sowie die Gravitation. Die ersten drei wer-
den durch das Standardmodell der Elementarteichenphysik erfasst, die

Einbeziehung der vierten steht noch aus.

Wellenfunktion: Die quantenmechanische Wellenfunktion hat die Form
einer (aus der klassischen Schwingungslehre bekannten) Wellenfunk-
xx

Glossar

229
tion, die sich als Lösungsfunktion der Schrödinger-Gleichung ergibt
und welche den Zustand einer Materiewelle in Abhängigkeit von Ort
und Zeit angibt. Sie ist auf dem Konfigurationsraum definiert.

Welle-Teilchen-Dualismus: Ein Grundprinzip der Quantenphysik, nach
dem Quantenobjekten je nach Art des experimentellen Aufbaus sowohl

Wellen- als auch Teilchencharakter nachgewiesen werden können.

Weltformel: siehe theory of everything

Zufall, objektiver: Quantenmechanischer Zufall, der durch die Nichtexis-
tenz verborgener Parameter/Variabler zu Stande kommt.

Zufall, subjektiver: Zufall, der nur auf Grund von Informationsmangel zu-
fällig wirkt (Beispiel: Würfel, Lotto etc.).

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Absorption, 20, 108

Bell Zustände, 195

Absorptionsspektrum, 106

BELL, John, 174

Alice, 202

Bell-Messung, 195

Alpha-Strahlung, 105

Bellsche Ungleichung, 174

Alpha-Teilchen, 105

Bellsches Theorem, 188

Amplitude, 40

BENNETT, Charles, 193, 205

Ankunftswahrscheinlichkeit, 37

Beobachtung

Ankunftswahrscheinlich-

- externe, 147
keitsverteilung, 35, 120

- relative, 147

ARNDT, Markus, 152, 156

Bertlmanns Socken, 182

ASPECT, Alain, 188

Beugung am Spalt

Atom, 13, 104

- mit Elektronen, 45, 64

Atommodelle, 13, 104, 128

- mit Licht, 37

Aufenthaltsort, 62, 92

Bewegungsgleichungen, 170

Aufenthaltsräume, 128

Bits, 191

Aufenthaltswahrscheinlichkeit, 81, 120

Bob, 202

Aufenthaltswahrscheinlichkeitsraum,

BOHM, David, 157, 170, 174

128

Auflösung, 65

Bohmsche Mechanik, 157, 170, 188

Austrittsarbeit, 24

BOHR, Niels, 83, 88, 107

Bohr-Einstein-Debatte, 88

Baryonen, 14

Bohrsche Atommodell, 118

BB84-Protokoll, 205

Bohrsche Postulate, 107, 113

BBO ( β-Bariumborat), 194

Bohrscher Radius, 112

Beamen, 192

Bohrsches Atommodell, 107
xx

242

Sach- und Namenverzeichnis

Bolzmannkonstante, 19

Einsteinsche Gleichung, 30

BORN, Max, 81, 120

Einzelzustand, 135

Bornsche Wahrscheinlichkeitsinter-
elektrische Feldkonstante, 106
pretation, 128, 137, 145
elektrische Kraft, 106

Bornschen Deutung, 82
elektromagnetische Strahlung, 52

Bosonen, 214, 228
elektromagnetisches Feld, 9

Bra, 137

Elektron, 13, 52, 104, 110

Bra-Ket, 137

Elementarladung, 110

BRASSARD, Gilles, 205

Elementarquant, 114

Elementarteilchen, 214

Caesar-Chiffre, 202

Elementarteilchen(-physik), 14, 214,

COMPTON, Arthur, 52

228

Compton-Effekt, 52, 65

Elongation, 40

Compton-Verschiebung, 57

Emission, 20, 108

Compton-Wellenlänge, 57

Emissionsspektrum, 106

Coulombkraft, 106

Empirie, 219

Energie-Impuls-Beziehung, 55

DALTON, John, 13, 104

Energie-Masse-Äquivalenz, 12, 53, 218

DE BROGLIE, Louis, 49, 108, 120, 169

Energieerhaltungssatz, 53, 55

DE WITT, Bryce, 146

Energieniveau, 108, 112, 113
de-Broglie-Welle, 118, 123
entanglement swapping, 198
de-Broglie-Wellenlänge, 49, 64, 108,

EPR-Paradoxon, 160

109, 120, 123

Eve, 202

Dekohärenz, 157, 200, 225

EVERETT, Hugh, 143, 146

Dekohärenzvorgang, 153, 155

Dekohärenzzeit, 153, 200

Führungswelle, 171

DEMOKRIT, 13, 104

Fermionen, 214, 228

Determinismus, 62, 88, 225

Fernwirkung, 164

Deutung, physikalische, 142

Fernwirkungsmechanismus, 165

Dichtematrix, 158

FEYNMAN, Richard, 70, 122

Diffeomorphismus-Invarianz, 215

Frequenz, 10, 25, 53

Dimensionen, 214

Fullerene, 69, 151

Diracsche Klammerschreibweise, 136

Doppelspaltexperiment

GALILEI, Galileo, 104, 166

- mit beweglichem Doppelspalt, 94, 135

Gedankenexperiment, 97, 133

- mit Elektronen, 44, 64, 65, 76, 84, 135

Gegenspannung, 28

- mit Licht, 34, 135

Geheimtext, 202

Doppler-Effekt, 59, 225

GELL-MANN, Murray, 14

Drehimpuls, 21, 108

GLAST (Gamma-ray Large Area Space
dynamische Masse, 53

Telescope), 220

Gleichzeitigkeit, 73, 79

Einstein separabel, 155

Global Positioning System (GPS), 211

EINSTEIN, Albert, 24, 79, 88, 160, 166

Gravitation, 212

Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon,

Gravitationskonstante des Werts, 217

160

GREENBERGER, Daniel, 4
xx

Sach- und Namenverzeichnis

243

Grenzfrequenz, 26, 29
klassisches Weltbild, 165
guiding equation, 171
kohärente Wellen, 226

Kollaps der Wellenfunktion, 79, 100,

Häufigkeitsanalyse, 203

139, 144, 148, 171, 200

Halbwertszeit, 138

Komplementarität, 63, 67, 68, 95, 100,

Hamilton-Operator, 126

143, 154, 171

HAROCHE, Serge, 153

Konfigurationsraum, 82, 125, 226

HEISENBERG, Werner, 62, 83, 88, 90,

Konsistenz, 226

118

Kopenhagener Deutung, 83, 88, 93, 138,

Heisenbergsche Unschärferelation, 62,

145

67, 88, 115, 160, 171, 217

Kopenhagener Interpretation, 83, 133,

HERTZ, Heinrich, 9, 24

138

Hintergrund-Unabhängigkeit, 215

Korpuskeln, 34

Hohlraumstrahlung, 18

Korpuskulartheorie, 34

HORNBERGER, Klaus, 156

Korrelation, 68

HUYGENS, Christian, 34

- klassische, 183

- quantenmechanische, 164, 205
id Quantique, 208

Kryptographie, 201

Impuls, 49, 53, 54, 62, 66, 94, 123

Impulserhaltung, 94

LAPLACE, Pierre Simon de, 62

Impulserhaltungssatz, 53, 54, 74

Laplace-Operator, 125

Impulsunschärfe, 62

Laplacescher Dämon, 62, 90

Indeterminismus, 88, 92

LENARD, Philipp, 105

Inertialsystem, 225

LEUKIPP, 13, 104

Inkonsistenz, 89, 98, 225

Licht, 8, 34
instantan, 79, 225

Lichtgeschwindigkeit, 11, 79, 216

Intensität, 26, 28, 40

Lichtquant, 20, 22, 28, 226

Interferenz , 39, 45, 64, 76, 109, 135
linear polarisiert, 10

- destruktive, 39, 109

Linienspektrum, 107

- konstruktive, 39, 109
lokal-realistische Theorien, 169, 170,

Interferenzfähigkeit, 39, 45, 64, 69, 84,

182, 219, 228

95, 109

Lokalität, 163, 182, 226

Interpretation, physikalische, 142

Lokalitätsbedingung, 163
isotrop, 225

Longitudinalwelle, 10

Loop-Quantengravitation, 213

JÖNSSON, Claus, 44

JOOS, Erich, 121, 158

M-Theorie, 214

MagiQ, 208

Kausalität, 79, 90, 225

Makrokosmos, 70, 132, 140, 210

Ket, 137
makroskopisch, 226

KIEFER, Claus, 121, 158

Massenzuwachs, 13

Klartext, 202

Materie, 12, 104
klassische Physik, 8, 70, 74, 93, 225

Materiewelle, 108, 120
klassische Theorie, 8

Matrizenmechanik, 92
klassischer Informationskanal, 196

Matrizenrechnung, 118
xx

244

Sach- und Namenverzeichnis

MAXWELL, James, 9

Plancksches Wirkungsquantum, 20, 31,

Maxwellsche Gleichungen, 9

175, 217, 226

Mesonen, 14

PODOLSKY, Boris, 160

Messprozess, 83, 84, 144, 171

Polarisation, 10, 193, 206

Messung, 100

Polarisationsfilter, 194

Mikrokosmos, 70, 114, 132, 140, 210

Polarisationsrichtung, 193
mikroskopisch, 226

Positivismus, 118, 144
moderne Physik, 226

Primzahlfaktoren, 199
monochromatisch, 25

Primzahlfaktorzerlegung, 199, 205
monochromatische Strahlung, 226

Proton, 14, 110
public-key-cryptography, 204

Neutron, 14

Punktteilchen, 214

NEWTON, Isaac, 34, 104, 166
nicht-lokal, 170, 205

Quant, 3, 20, 29, 108, 114, 227
nicht-lokale, realistische Theorien, 170,

Quanten, 20

182

Quanten-Computer, 198, 205

Nicht-Objektivierbarkeit, 93, 144

Quanten-Kryptographie, 201, 205
nicht-realistisch, 170

Quanten-Teleportation, 192

No-Cloning-Theorem, 197, 207, 226

Quantenchromodynamik (QCD), 212,

Normierungsbedingung, 127

227

Normierungsfaktor, 127

Quantenelektrodynamik (QED), 212,

227

Observablen, 118, 145

Quantenfeldtheorie, 212, 213, 227
one-time-pad, 204

Quantenflavourdynamik (QFD), 212

Ortsunschärfe, 62

Quantengravitation, 212, 215, 227

Oszillator, 75

Quantenhypothese, 20, 29

Quanteninformatik, 191

Paradigmenwechsel, 165

Quanteninformation, 189, 190

Paralleluniversen, 149

Quanteninformationswissenschaften,
parametric down conversion, 194

191

Pentaquarks, 15

Quantenmechanik, 88, 92, 94

Photoeffekt, 24

Quantenobjekt, 3, 16, 71, 75, 132, 227
photoelektrischer Effekt, 24

Quantenparallelismus, 199

Photokathode, 24

Quantenphysik, 3

Photomultiplier, 226

Quantenzustände der Raumzeit, 216

Photon, 22, 29, 52, 108, 114

Quantenzustände des Raumes, 215

Photoplatte, 76
quark confinement, 15

Photozelle, 24

Quark-Gluonen-Plasma, 14

Pilotwelle, 171

Quarkeinschluss, 14

PLANCK, Max, 4, 19

Quarks, 14

Planck-Einheiten, 217

Qubit, 191, 227

Planck-Länge, 215, 218

Planck-Skala, 217

Raumzeit, 215

Planck-Zeit, 216, 218

Raumzeitschleifen (loops), 215

Plancksche Strahlungsgesetz, 20

Rayleigh-Jeans-Gesetz, 19
xx

Sach- und Namenverzeichnis

245

Realismus, 119

Standardmodell, 14, 214, 228
realistische Theorien, 182
starke Wechselwirkung, 14

Realität, physikalische, 88, 118, 133,
stationäre Zustände, 108

145, 228

Stern-Gerlach-Experiment, 175, 191

Realitätskriterium, 182, 227

Strahlungsspektrum, 11
relative Häufigkeit, 187

Streuung, 53

Relativitätstheorie

String, 213

- allgemeine, 166, 210, 212, 213, 215,

Stringtheorie, 213

227

Stromstärke, 24

- spezielle, 13, 53, 55, 79, 129, 166, 196,

Substitutionsverfahren, 202

212, 216, 227

Superposition, 85, 92, 100, 135, 155,

REMPE, Gerhard, 68

178, 228

Ringanode, 24

Superpositionsfähigkeit, 132, 140, 155

ROSEN, Nathan, 160

Superpositionsprinzip, 228

Rosinenkuchenmodell, 104

Superpositionszustand, 178

Ruhemasse, 13, 123

Superstringtheorie, 214

RUTHERFORD, Ernest, 13, 105

Supersymmetrie (SUSY), 214

Rutherfordsche Atommodell, 105

SUSY-Partner, 214

Schlüsselverteilung, 206

Teilchen, 34, 44

Schlüsselverteilungsproblem, 204, 205

Teilchenmodell

Schleifenquantengravitation, 215

- des Lichts, 34

SCHRÖDINGER, Erwin, 118, 132

Teilchenmodell , 50, 74, 79

Schrödinger-Gleichung, 92, 119, 136,

- des Elektrons, 46, 64, 70, 76

146, 170, 227, 228

- des Lichts, 34, 52, 59, 70

Schrödingers Katze, 133
theorie de l'onde pilote, 169

Schumacher, Benjamin, 191

Theorie für Alles, 212
schwache Wechselwirkung, 151
theory of everything (TOE), 212, 228
schwarze Löcher, 211

THOMSON, Joseph, 13, 104
schwarzer Körper, 18, 227

Transversalwelle, 10

Schwarzkörperstrahlung, 18

SCHWARZSCHILD, Karl, 217

Ultraviolettkatastrophe, 19

Schwarzschild-Radius, 217, 218
unitäre Transformation, 196

SHOR, Peter, 199

Unschärferelation, 228

Shor-Algorithmus, 199

Urknall, 211

Singularität, 211

Solvay-Konferenz, 88, 169

Vakuumlichtgeschwindigkeit, 11

Spektrallinien, 106
verborgene Parameter/Variable, 89,

Spektralverteilungsfunktionen, 18

101, 165, 167, 169, 171, 219, 228

Spektrum, 11

Verletzung der Bellschen Ungleichung,

Spin, 21, 129, 175, 194

188

Spin-Netzwerk, 215, 220

VERNAM, Gibert, 203

Spin-Schaum, 216

Vernam-Chiffre, 203, 205
spukhafte Fernwirkung, 80

Verschlüsselung, 201

Stabilität der Atome, 106

Verschlüsselungsverfahren
xx

246

Sach- und Namenverzeichnis

- asymmetrische, 202, 204
wellenmechanisches Atommodell, 126,

- symmetrische, 202

128

Verschränkung, 180, 181, 193, 205, 228

Wellenmodell , 50, 74, 79

Vollständigkeit, 88, 96, 228

- des Elektrons, 46, 49, 64, 70, 76

VON NEUMANN, John, 169

- des Lichts, 34, 59, 70

Wellentheorie des Lichts, 34

Wahrscheinlichkeit, 92, 96, 120, 139,

Wellenzahl, 123

187

Weltformel, 212, 229

Wahrscheinlichkeitsamplitude, 49, 120,

WITTGENSTEIN, Ludwig, 139

137, 181

WOOTTERS, William, 193

Wahrscheinlichkeitsinterpretation,

120, 126

YOUNG, Thomas, 34

Wahrscheinlichkeitsverteilung, 49

Wechselwirkungen, fundamentale, 14,

ZEH, H. Dieter, 122, 151

151, 228

ZEILINGER, Anton, 156, 193

Welcher-Weg-Information, 65, 67, 68,
zeitabhängige Schrödinger-Gleichung,

84

125

Welle

Zentrifugalkraft, 106

- Ausbreitungsgeschwindigkeit, 10

Zufall , 88

Welle-Teilchen-Dualismus, 50, 69, 75,

- objektiver, 91, 92, 95, 171, 177, 200,

76, 143, 154, 229

229

Wellen, 34

- subjektiver, 90, 177, 229

Wellenfunktion, 81, 92, 119, 123, 126,

ZUREK, Wojciech, 152

139, 228

Zustand

Wellenfunktion

- quantenmechanischer, 135, 136

- Bedeutung der, 121

- verschränkter, 156, 180

Wellengleichung, 121

- zusammengesetzter, 180

Wellenlänge, 10, 26, 49, 53

Zustandsfunktion, 120, 136

Wellenlängenänderung, 52, 57, 194

Zustandsreduktion, 171, 200
xx