Elektrotechnik für Ingenieure 2: Wechselstromtechnik, Ortskurven, Transformator, Mehrphasensysteme. Ein Lehr- Und Arbeitsbuch Fr Das Grundstudium
Author: Wilfried Weigerber; Wilfried Weißgerber
Date: 2013-01-11T23:00:00+00:00
Keywords: General; Technology & Engineering; Electrical; Power Resources
Description: Bei der Darstellung der Wechselstromtechnik, Ortskurven, Transformatoren und Mehrphasensystemen sind die physikalischen Zusammenhänge aus der Sicht des Ingenieurs dargestellt, der die Elektrotechnik anwendet. Herleitungen und Übungsbeispiele sind ausführlich behandelt. Ein umfangreicher Anhang enthält die ausführlichen Lösungen der Übungsaufgaben. Damit ist das Buch auch besonders für das Selbststudium geeignet. Ein Verzeichnis der verwendeten Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten erleichtert das Arbeiten mit dem Buch. Die 8. Auflage ...
Publisher: Springer-Verlag

Wilfried Weißgerber

Elektrotechnik für Ingenieure 2

Aus dem Programm

Elektrotechnik

Weitere Lehrbücher vom Autor:

Elektrotechnik für Ingenieure 1 und 3
von W. Weißgerber

Elektrotechnik für Ingenieure – Formelsammlung
von W. Weißgerber

Elektrotechnik für Ingenieure – Klausurenrechnen
von W. Weißgerber

Handbuch Elektrotechnik
herausgegeben von W. Plaßmann und D. Schulz

Grundzusammenhänge der Elektrotechnik
von H. Kindler und K.-D. Haim

Elektrotechnik
von D. Zastrow

Aufgabensammlung Elektrotechnik 1 und 2
von M. Vömel und D. Zastrow
www.viewegteubner.de

Wilfried Weißgerber

Elektrotechnik
für Ingenieure 2

Wechselstromtechnik, Ortskurven, Transformator,

Mehrphasensysteme

Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium

7., überarbeitete Auflage

Mit 420 Abbildungen, zahlreichen Beispielen
g
und 68 Übungsaufgaben mit Lösungen

STUDIUM

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der

Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über

<http://dnb.d-nb.de> abrufbar.

1. Auflage 1991

2., überarbeitete Auflage 1993

3., korrigierte Auflage 1996

4., verbesserte Auflage 1999

5., verbesserte Auflage 2006

6., überarbeitete Auflage 2007

7., korrigierte Auflage 2009

Alle Rechte vorbehalten

© Vieweg +Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009

Lektorat: Reinhard Dapper | Andrea Broßler

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Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg

Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin

Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.

Printed in Germany

ISBN 978-3-8348-0474-7

V

Vorwort

Das dreibändige Buch „Elektrotechnik für Ingenieure“ ist für Studenten des Grundstudi-
ums der Ingenieurwissenschaften, insbesondere der Elektrotechnik, geschrieben. Bei der

Darstellung der physikalischen Zusammenhänge, also der Elektrotechnik als Teil der

Physik – sind die wesentlichen Erscheinungsformen dargestellt und erklärt und zwar aus
der Sicht des die Elektrotechnik anwendenden Ingenieurs. Für ein vertiefendes Studium
der Elektrizitätslehre dienen Lehrbücher der theoretischen Elektrotechnik und theoreti-
schen Physik.

Die Herleitungen und Übungsbeispiele sind so ausführlich behandelt, dass es keine ma-
thematischen Schwierigkeiten geben dürfte, diese zu verstehen. Teilgebiete aus der Ma-
thematik werden dargestellt, sofern sie in den üblichen Mathematikvorlesungen des

Grundstudiums ausgespart bleiben.

Die Wechselstromtechnik des Kapitels 4 setzt Kenntnisse über die Gleichstromtechnik
und das Elektromagnetische Feld voraus, die im Band 1 behandelt sind. Durch die Abbil-
dung der sinusförmigen Größen in komplexe Zeitfunktionen können die Netzberech-
nungsverfahren entsprechend angewendet werden, weil Differentialgleichungen durch die

Abbildung algebraische Gleichungen werden. Die Zusammenhänge zwischen Sinusgrö-
ßen, komplexen Zeitfunktionen, komplexe Amplituden, komplexe Effektivwerte, rotie-
rende Zeiger und ruhende Zeiger werden ausführlich erklärt. Damit können die verschie-
denen Lösungsmethoden der Wechselstromtechnik gegenübergestellt und durch Beispiele
erläutert werden. Bei der Behandlung von gemischten Schaltungen wird das Kreisdia-
gramm mit Zahlenbeispielen vorgestellt, die leicht rechnerisch nachvollzogen werden
können. Resonanzerscheinungen in Reihen- und Parallelschwingkreisen und zahlreiche

Wechselstromschaltungen werden ausführlich beschrieben. In der Wechselstromtechnik
werden fünf verschiedene Leistungen unterschieden, deren Zusammenhänge mathema-
tisch, in Diagrammen und durch Beispiele erläutert werden.

Bei den Ortskurven im Kapitel 5 steht die Konstruktion des „Kreises durch den Null-
punkt“ im Mittelpunkt.

Um den Transformator im Kapitel 6 verstehen zu können, sind die Ausführungen im

Band 1 zu studieren. Dort sind die Differentialgleichungen im Zeitbereich entwickelt, die dann hier in den Bildbereich überführt werden. Besonderes Augenmerk gilt den verschiedenen Ersatzschaltbildern von Transformatoren.

Im Kapitel 7 werden sowohl symmetrische als auch unsymmetrische Dreiphasensysteme
behandelt und durch Rechenbeispiele erläutert. Ergänzt wird die Messung der Leistungen
des Dreiphasensystems bei symmetrischer und unsymmetrischer Belastung.

Die 5. Auflage wurde um ein Verzeichnis der verwendeten Formelzeichen und Einheiten
ergänzt. Die 6. Auflage wurde vollständig überarbeitet; dabei wurden Erläuterungen und
in den Berechnungen Zwischenschritte ergänzt. In der 7. Auflage sind einige Korrekturen
und Verbesserungen vorgenommen worden.

Für die mühevolle Durchsicht des Manuskripts und die vielen helfenden Anregungen in

Diskussionen bedanke ich mich herzlich bei meinen Kollegen. Ebenso danken möchte ich
den Mitarbeitern des Verlags für die gute Zusammenarbeit.

Wedemark, im Oktober 2008

Wilfried Weißgerber

VI

Inhaltsverzeichnis

4

Wechselstromtechnik ....................................................................................................... 1

4.1

Wechselgrößen und sinusförmige Wechselgrößen................................................. 1

4.1.1

Wechselgrößen ............................................................................................ 1

4.1.2

Sinusförmige Wechselgrößen..................................................................... 3

4.2

Berechnung von sinusförmigen Wechselgrößen mit Hilfe der komplexen

Rechnung................................................................................................................... 5

4.2.1

Notwendigkeit der Berechnung im Komplexen ........................................ 5

4.2.2

Die Darstellung sinusförmiger Wechselgrößen durch komplexe

Zeitfunktionen, Lösung der Gleichung im Komplexen und Rück-
führung in die gesuchte Zeitfunktion (rechnerisches Verfahren)............. 8

4.2.3

Die Darstellung sinusförmiger Wechselgrößen durch Zeiger und
die Ermittlung der gesuchten Zeitfunktion mit Hilfe des Zeigerbil-
des (grafisches Verfahren) ........................................................................ 13

4.2.4

Das Rechnen mit komplexen Effektivwerten in Schaltungen mit
komplexen Operatoren bzw. komplexen Widerständen und kom-
plexen Leitwerten (Symbolische Methode)............................................. 19

4.2.5

Lösungsmethoden für die Berechnung von Wechselstromnetzen ......... 23

4.3

Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte ....................................... 28

4.4

Praktische Berechnung von Wechselstromnetzen ................................................ 64

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 4.1 bis 4.4............................................................ 89

4.5

Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von ohmschen

Widerständen, Induktivitäten und Kapazitäten ..................................................... 94

4.5.1

Die Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen –
die Reihen oder Spannungsresonanz........................................................ 94

4.5.2

Die Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen –
die Parallel oder Stromresonanz .............................................................107

Übungsaufgaben zum Abschnitt 4.5..............................................................................121

4.6

Spezielle Schaltungen der Wechselstromtechnik ...............................................123

4.6.1

Schaltungen für eine Phasenverschiebung von 90°
zwischen Strom und Spannung ..............................................................123

4.6.2

Schaltungen zur automatischen Konstanthaltung des

Wechselstroms – die Boucherot-Schaltung ...........................................126

4.6.3

Wechselstrom-Messbrückenschaltungen ...............................................128

Übungsaufgaben zum Abschnitt 4.6..............................................................................136

4.7

Die Leistung im Wechselstromkreis....................................................................138

4.7.1

Augenblicksleistung, Wirkleistung, Blindleistung,

Scheinleistung und komplexe Leistung .................................................138

4.7.2

Die Messung der Wechselstromleistung................................................161

4.7.3

Verbesserung des Leistungsfaktors –

Blindleistungskompensation...................................................................167

4.7.4

Wirkungsgrad und Anpassung ...............................................................174

Übungsaufgaben zum Abschnitt 4.7..............................................................................184

Inhaltsverzeichnis VII

5 Ortskurven ...............................................................................................................186

5.1 Begriff der Ortskurve .......................................................................................186

5.2

Ortskurve

„Gerade“..........................................................................................188

5.3 Ortskurve „Kreis durch den Nullpunkt“ ..........................................................193

5.4 Ortskurve „Kreis in allgemeiner Lage“............................................................207

5.5 Ortskurven höherer Ordnung ...........................................................................210

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 5.1 bis 5.5.......................................................215

6 Der

Transformator ..................................................................................................218

6.1 Übersicht über Transformatoren ......................................................................218

6.2 Transformatorgleichungen und Zeigerbild.......................................................220

6.3 Ersatzschaltbilder mit galvanischer Kopplung.................................................230

6.4 Messung der Ersatzschaltbildgrößen des Transformators................................237

6.5 Frequenzabhängigkeit der Spannungsübersetzung eines

Transformators .................................................................................................242

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 6.1 bis 6.5.......................................................247

7 Mehrphasensysteme ................................................................................................249

7.1

Die
m-Phasensysteme ......................................................................................249

7.2 Symmetrische verkettete Dreiphasensysteme ..................................................256

7.3 Unsymmetrische verkettete Dreiphasensysteme ..............................................267

7.4 Messung der Leistungen des Dreiphasensystems ............................................279

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 7.1 bis 7.4.......................................................283

Anhang

Lösungen der Übungsaufgaben ....................................................................................284

4 Wechselstromtechnik.................................................................................................284

5 Ortskurven .................................................................................................................331

6 Transformator ............................................................................................................347

7 Mehrphasensysteme...................................................................................................357

Verwendete und weiterführende Literatur .................................................................369

Sachwortverzeichnis ......................................................................................................370

VIII

Inhaltsübersicht

Band 1

1 Physikalische

Grundbegriffe
der Elektrotechnik

2 Gleichstromtechnik

3

Das elektromagnetische Feld

Anhang mit Lösungen der Übungsaufgaben

Band 3

8

Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

9 Fourieranalyse

10 Vierpoltheorie

Anhang mit Lösungen der Übungsaufgaben

Formelsammlung

Kompakte Darstellung der zehn Kapitel der Bände 1 bis 3

Klausurenrechnen

40 Aufgabenblätter mit je vier Aufgaben, ausführlichen Lösungen und Bewertungen

IX

Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten

Schreibweise physikalischer Größen und ihrer Abbildungen
u, i

Augenblicks- oder Momentanwert zeitabhängiger Größen:

kleine lateinische Buchstaben

U, I

Gleichgrößen, Effektivwerte: große lateinische Buchstaben

ˆ
û, i Maximalwert
u, i
komplexe Zeitfunktion, dargestellt durch rotierende Zeiger

ˆ
û, i komplexe

Amplitude

U, I
komplexer Effektivwert, dargestellt durch ruhende Zeiger

Z, Y, z komplexe

Größen

Z*, Y*, z*
konjugiert komplexe Größen

G G G

E, D, r vektorielle

Größen

Schreibweise von Zehnerpotenzen

10–12 = p = Piko

10–2 = c = Zenti

103 = k = Kilo

10–9 = n = Nano

10–1 = d = Dezi

106 = M = Mega

10–6 = = Mikro

101 = da = Deka

109 = G = Giga

10–3 = m = Milli

102 = h = Hekto

1012 = T = Tera

Die in diesem Band verwendeten Formelzeichen physikalischer Größen
a

Operator des m-Phasensystems
i
zeitlich veränderlicher Strom

A Fläche,

Querschnittsfläche

(Augenblicks- oder Momentanwert)

A komplexe

Größe
laufender Index

B Blindleitwert

(Suszeptanz)

î Amplitude, Maximalwert des
magnetische Induktion
sinusförmigen Stroms

B komplexe

Größe
i
komplexe Zeitfunktion des Stroms

C elektrische

Kapazität

ˆ

Konstante
i komplexe Amplitude des Stroms

C komplexe

Größe

I

Stromstärke (Gleichstrom, Effektiv-
d Verlustfaktor
wert)

e
zeitlich veränderliche EMK

I
komplexer Effektivwert des Stroms

E komplexe

Größe
j imaginäre

Einheit:

1
f Frequenz
imaginäre Achse

Formfaktor
k Knotenzahl
f(t) Zeitfunktion

Kopplungsfaktor

F komplexe

Größe
laufender Index
g Gütefaktor

K Konstante

G elektrischer

Leitwert

K Ortskurve

Kreis

Wirkleitwert (Konduktanz)

l Länge

G Ortskurve

Gerade

Anzahl

H
magnetische Feldstärke oder magneti-

L Induktivität
sche Erregung

L komplexe

Größe

X

Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten
m Anzahl
v
allgemeine zeitlich veränderliche

M Gegeninduktivität

Größe

Drehmoment

Imaginärteil einer komplexen Zahl
n Anzahl

V

Effektivwert einer allgemeinen

N komplexe

Größe

Größe
v

O allgemeine

Ortskurvengleichung
normierte Verstimmung
p Augenblicksleistung
w Windungszahl

Verhältniszahl
zeitlich veränderliche Energie

Parameter
w komplexe

Zahl

P Leistung

W Arbeit,

Energie

(Gleichleistung, Wirkleistung)

x Verhältniszahl

P Ortskurve

Parabel
laufende Ordinate auf der
q
zeitlich veränderliche Ladung

Abzissenachse

Q Ladung,

Elektrizitätsmenge

Realteil einer komplexen Zahl

Blindleistung

X Blindwiderstand

(Reaktanz)

Kreisgüte, Gütefaktor, Resonanz-
y
laufende Ordinate auf der Ordinaten-
schärfe
achse
r

Betrag einer komplexen Zahl

Imaginärteil einer komplexen Zahl
reelle

Achse

Y Scheinleitwert

(Admittanz)

Widerstandsverhältnis

Y
komplexer Leitwert bzw. komplexer

R elektrischer

Widerstand

Leitwertoperator

Wirkwiderstand (Resistanz)

z Zweigzahl

R komplexe

Größe
laufende Ordinate

S Scheinleistung
z komplexe

Zahl

S komplexe

Leistung

Z Scheinwiderstand

(Impedanz)

komplexe Größe

Z
komplexer Widerstand bzw. komple-
t Zeit
xer Widerstandsoperator

T Periodendauer

Winkel

(Dauer einer Schwingung)

Winkel
u
zeitlich veränderliche elektrische

Winkel

Spannung (Augenblicks- oder

Verlustwinkel

Momentanwert)

Differenz,

Abweichung

Realteil einer komplexen Zahl
f Bandbreite
û Amplitude, Maximalwert der

Fehlwinkel
sinusförmigen Spannung

Wirkungsgrad
u
komplexe Zeitfunktion der elektri-

Phasenverschiebung
schen Spannung

Argument einer komplexen Zahl
û komplexe Amplitude der elektrischen
i Anfangsphasenwinkel des Stroms

Spannung
u Anfangsphasenwinkel
der

U elektrische

Spannung

Spannung

(Gleichspannung, Effektivwert)

magnetischer

Fluss

U
komplexer Effektivwert der elektri-
relative

Verstimmung
schen Spannung

Streufaktor
ü Übersetzungsverhältnis

Kreisfrequenz

Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten

XI

Einheiten des SI-Systems (Système International d’Unités)

Basiseinheit
der Länge l
das Meter, m
der Masse m
das Kilogramm, kg
der Zeit t
die Sekunde, s
der elektrischen Stromstärke I
das Ampere, A
der absoluten Temperatur T
das Kelvin, K
der Lichtstärke I
die Candela, cd
der Stoffmenge n
das Mol, mol

von den Basiseinheiten abgeleitete Einheit
der Kraft F

Newton,

1N = 1kg · m · s–2 = 1V · A · s · m–1
der Energie W

Joule,

1J = 1kg · m2 · s–2 = 1V · A · s
der Leistung P

Watt,

1W = 1kg · m2 · s–3 = 1V · A
der Ladung Q gleich

Coulomb, 1C = 1A · s
des Verschiebungsflusses

der elektrischen Spannung U

Volt,

1V = 1kg · m2 · s–3 · A–1 = 1W · A–1
des elektrischen Widerstandes R

Ohm,

1 = 1kg · m2 · s–3 · A–2 = 1V · A–1
des elektrischen Leitwertes G

Siemens,

1S = 1kg–1 · m–2 · s3 · A2 = 1V–1 · A
der Kapazität C

Farad,

1F = 1kg–1 · m–2 · s4 · A2 = 1C · V–1
des magnetischen Flusses

Weber,

1Wb = 1kg · m2 · s–2 · A–1 = 1Vs
der Induktivität L

Henry,

1H = 1kg · m2 · s–2 · A–2 = 1Wb · A–1
der magnetischen Induktion B

Tesla,

1T = 1kg · s–2 · A–1 = 1Wb · m–2
der Frequenz f

Hertz,

1Hz = s–1

Die komplette Liste der verwendeten Formelzeichen und Schreibweisen befindet sich in
der Formelsammlung vom selben Autor unter dem Titel „Elektrotechnik für Ingenieure –

Formelsammlung“.

1

4 Wechselstromtechnik

4.1 Wechselgrößen und sinusförmige Wechselgrößen

4.1.1 Wechselgrößen

Gleich- und Wechselgrößen

Kennzeichnend für die Gleichstromtechnik und das elektrische Strömungsfeld sind zeit-
lich konstante Größen: Strom, Spannung, Stromdichte und elektrische Feldstärke. Auch
das mit dem elektrischen Feld verbundene magnetische Feld mit den entsprechenden
magnetischen Größen ist zeitlich konstant.

Sind die Größen, die die elektromagnetischen Erscheinungen beschreiben, zeitlich verän-
derlich, dann handelt es sich um Wechselvorgänge. In der Wechselstromtechnik können
sich Ströme, Spannungen, magnetische Flüsse, magnetische Induktionen, Verschiebungs-
flüsse, elektrische und magnetische Feldstärken, u.a. zeitlich ändern. Ströme und Span-
nungen werden im Gegensatz zu den Gleichgrößen mit kleinen Buchstaben i und u be-
schrieben, bei magnetischen Flüssen und magnetischen Induktionen verwendet man

Großbuchstaben mit einem t in der Klammer: (t), B(t).

Bei allgemeiner Betrachtungsweise werden zeitlich veränderliche Größen mit v bezeich-
net. Sie haben in jedem Zeitpunkt t einen Augenblicks- oder Momentanwert v(t).

Periodische Wechselgrößen

Nimmt eine Wechselgröße in bestimmten aufeinanderfolgenden Zeitabschnitten wieder
denselben Augenblickswert an, dann nennt man sie periodische Wechselgröße. Prinzipiell hat das zeitliche Diagramm einer periodischen Wechselgröße das im Bild 4.1 dargestellte

Aussehen.

Bild 4.1

Periodische

Wechselgröße

Dabei bedeuten

T:

Periodendauer oder kurz Periode des Wechselvorgangs, das ist die kürzeste

Zeit zwischen zwei Wiederholungen des Vorgangs mit [T] = 1s
f = 1/T:

Frequenz des Wechselvorgangs, das ist die Anzahl der Wiederholungen pro

Zeit, also der Kehrwert der Periodendauer mit [f] = 1s–1 = 1Hz (Hertz)

t0:

Nullzeit, das ist die Zeit vom Nullpunkt des Koordinatensystems zum
ersten Nulldurchgang der Wechselgröße

ˆv = Vm: Maximal- oder Größtwert, das ist der höchste Wert, den die Wechselgröße
v(t) annehmen kann.

2

4 Wechselstromtechnik

Periodische Wechselgrößen genügen also der Bedingung:

v(t) = v(t + k · T) mit k = 0, ± 1, ± 2, …

(4.1)

In der Elektrotechnik wird der Begriff „Wechselgröße“ enger gefasst als in der Physik,
indem unter einer Wechselgröße eine physikalische Größe verstanden wird, die perio-
disch ist und deren arithmetischer Mittelwert Null ist:

T

1
v(t) dt 0

. (4.2)

T

0

Eindeutiger jedoch ist es, wenn die Wechselgröße näher bezeichnet wird, z.B. sinusför-
mige Wechselgröße oder nichtsinusförmige periodische Wechselgröße:

Bild 4.2 Sinusförmige und nichtsinusförmige periodische Wechselgröße

Mittelwerte

Zur Bedeutung des zahlenmäßigen Gesamtverhaltens einer Wechselgröße werden
zeitliche Mittelwerte definiert:

Arithmetischer Mittelwert während einer Halbperiode und Gleichrichtwert:

T / 2

T

2

1

Va =
v(t) dt

. (4.3)

v

| v(t) | dt

. (4.4)

T

T

0

0

Ist die Wechselgröße ein Strom, so entspricht der arithmetische Mittelwert der Halb-
periode bzw. der Gleichrichtwert einem Gleichstrom, der dieselbe elektrolytische

Wirkung hat wie der gleichgerichtete Wechselstrom.

Der Gleichrichtwert (elektrolytischer Mittelwert) ist der arithmetische Mittelwert
der absoluten, also gleichgerichteten Augenblickswerte der Wechselgröße.

Quadratischer Mittelwert oder Effektivwert:

T

1

V =

[v(t)]2

dt. (4.5)

T

0

Der Effektivwert eines Wechselstroms entspricht zahlenmäßig einem Gleichstrom,
der dieselbe Wärmeenergie entwickelt und dieselbe Kraftwirkung auf andere strom-
durchflossene Leiter zeigt wie der betreffendeWechselstrom.

4.1 Wechselgrößen und sinusförmige Wechselgrößen

3

Für die Beschreibung der Kurvenform periodischer Wechselgrößen werden definiert:

Effektivwert

Formfaktor =

Scheitelfaktor = Maximalwert

Gleichrichtwert

Effektivwert

4.1.2 Sinusförmige Wechselgrößen

Wechselgrößen, die sich zeitlich sinusförmig ändern, haben in der Elektrotechnik große

Bedeutung. Von den vielfältigen Anwendungsbeispielen sollen zwei herausgegriffen
werden:

Bei der Übertragung elektrischer Energie werden sinusförmige Ströme und Spannungen
einer Frequenz verwendet, so dass der geringste gerätetechnische Aufwand erforderlich
wird (siehe Kapitel 7: Mehrphasensysteme).

Jede beschränkte nichtsinusförmige periodische Wechselgröße lässt sich in eine bestimm-
te unendliche Reihe mit sinusförmigen Summengliedern überführen (siehe Band 3, Kapi-
tel 9: Fourieranalyse).

Darstellung sinusförmiger Wechselgrößen:

Bei der Behandlung des Induktionsgesetzes wurden bereits sinusförmige Spannungen
dargestellt: Durch das Drehen einer rechteckigen Spule mit einer konstanten Winkelge-
schwindigkeit in einem homogenen zeitlich konstanten Magnetfeld entsteht in der Spule
eine sinusförmige Spannung (Band 1, Abschnitt 3.4.6.1, Gl. (3.300)):

uq = – w · A · · B · sin t.

Grundsätzlich wird eine sinusförmige Wechselgröße
v (t) = ˆv · sin (t + v)

(4.6)

durch drei Größen bestimmt:

durch den Maximalwert oder die Amplitude ˆ
v ,
die Kreisfrequenz = 2f = 2/T
und den Anfangsphasenwinkel v, der von dem willkürlichen Beginn der

Zeitzählung bei t = 0 abhängt.

Eine sinusförmige Wechselgröße lässt sich sowohl in Abhängigkeit von der Zeit t als auch vom Winkel = t darstellen:

Bild 4.3 Sinusförmige Wechselgröße in Abhängigkeit von t und t

4

4 Wechselstromtechnik

Bei der Darstellung der Sinusgröße in Abhängigkeit von t lautet die Bedingungsglei-
chung für die Periodizität entsprechend:

v(t) = v(t + k · 2) mit k = 0, ± 1, ± 2, …

(4.7)

Mittelwerte sinusförmiger Wechselgrößen

Mit den Definitionsgleichungen für Mittelwerte (Gl. (4.3) bis (4.5)) lassen sich die Mittelwerte für sinusförmige Wechselgrößen v(t) = ˆv · sin t errechnen:

T / 2

2

2

ˆv

Va =
v(t) dt
v(t) d(t)

sin t d(t)

T

2

0

0

0

ˆv

ˆv

Va = cos t
cos cos0

0

2

Va =

ˆv 0, 637 ˆv (4.8)

T

2

1

1

1
v

| v(t) | d
t

| v(t) | d

(t) 2
v(t) d( t

)

T

2

2

0

0

0
v Va (4.9)

T

2

1

2

2

V =
v(t)

! dt 1 v(t)

! d(t)

T

2

0

0

2

2

1

1

V =

2

2

2

ˆv sin t d(t) ˆv
sin t d(t)

2

2

0

0

1
mit sin 2t =

(1 – cos 2t)

2

2

2

1

1

"

t

sin 2 t

#

V = ˆv

(1 cos 2 t

) d(t) ˆv

$

%

2 2

& 2 2 2 2 2 ' 0

0

ˆv

V =

0,707 ˆv (4.10)

2

Für sinusförmige Wechselgrößen haben Form- und

Scheitelfaktor folgende Werte:

ˆv

V

2

Formfaktor =

1,11

V

2
a

2 2

ˆv

ˆv

Scheitelfaktor =

2 1,414.

Bild 4.4 Darstellung der Mittelwerte

V

4.2 Berechnung von sinusförmigen Wechselgrößen

5

4.2 Berechnung von sinusförmigen Wechselgrößen mit Hilfe der
komplexen Rechnung

4.2.1 Notwendigkeit der Berechnung im Komplexen

Problemstellung

Wechselstromnetze sind Netzwerke, in denen sinusförmige Quellspannungen oder Quell-
ströme gleicher Frequenz auf ohmsche, induktive und kapazitive Widerstände wirken. Die
sinusförmigen Ströme und Spannungen sind Zeitfunktionen, die verschiedene Richtungen
annehmen können. Positive Richtungen werden für Ströme und Spannungen für Kapazitä-
ten (Band 1: Abschnitt 3.3.4, Gl. (3.97) und (3.98)) und Induktivitäten (Band 1: Abschnitt 3.4.7, Gl. (3.327)) festgelegt und durch entsprechende Pfeile gekennzeichnet. Die Beschreibung der Vorgänge in Wechselstromnetzen ergeben Differentialgleichungen für
unbekannte Ströme oder Spannungen, die gelöst werden müssen.

Beispiel: Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Induktivität

Bild 4.5

Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes
und einer Induktivität

Nach Gl. (3.328) (Band 1) lautet die Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten: u = uR + uL
di
û ( sin( t

+ )u) = R ( i + L .

dt

Die Berechnung von Strömen ist durch die Lösung der Differentialgleichung mit Hilfe des

Lösungsansatzes i = î ( sin(t + )i ) möglich, aber wegen trigonometrischer Umformun-
gen sehr aufwendig, wie im Abschnitt 4.2.5 an einem Beispiel gezeigt wird.

Sind die Quellspannungen und Quellströme sinusförmig, dann sind alle Ströme und Span-
nungen an den passiven Schaltelementen (ohmscher Widerstand, Kapazität, Induktivität)

sinusförmig. Die gleiche Frequenz der Quellspannungen und Quellströme bestimmen
auch die gleiche Frequenz sämtlicher Ströme und Spannungen im Netzwerk. Die Zusam-
menhänge zwischen den Strömen und Spannungen in einem Zeitdiagramm zu entwickeln,
ist ebenfalls aufwendig und ungenau, weil die Sinusverläufe punktweise durch Überlage-
rung der Augenblickswerte ermittelt werden müssen. Bei umfangreicheren Netzen ist die

Darstellung der Ströme und Spannungen in einem Diagramm nicht mehr möglich, weil
die Sinuskurven nicht mehr auseinander gehalten werden können.

6

4 Wechselstromtechnik

Zum Beispiel: Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Induktivität

Bild 4.6

Sinusförmige Verläufe von Strom und

Spannungen der Reihenschaltung von

R und L

Die sinusförmigen Verläufe im Bild 4.6 werden in folgender Reihenfolge entwickelt:

1.

i = î · sin (t + i)

2.

uR = R · i = R · î · sin (t + i)

di

3.

uL = L

= · L · î · cos (t + i)

dt

4.

u = uR + uL.

Die rechnerische und grafische Behandlung von Wechselstromnetzen ist im Zeitbereich
wohl möglich, aber wegen des großen Aufwandes praktisch nicht durchführbar.

Lösung des Problems: Prinzip des Berechnungsverfahrens

Werden sämtliche sinusförmigen Ströme und Spannungen eineindeutig (umkehrbar ein-
deutig) in entsprechende komplexe Zeitfunktionen abgebildet, dann können Wechsel-
stromnetze im komplexen Bereich sowohl einfach berechnet als auch einfach grafisch
behandelt werden. Beide Verfahren und die sich daraus ergebende „Symbolische Metho-
de“ werden im folgenden ausführlich dargestellt.

Die eineindeutige Abbildung ist möglich, weil bei vorgegebener Frequenz f oder Kreis-
frequenz sowohl die Sinusgröße als auch die komplexe Größe nur noch durch zwei

Größen bestimmt sind:

die Sinusgröße durch Amplitude und Anfangsphasenwinkel,
die komplexe Größe durch Betrag und Argument (Winkel).

4.2 Berechnung von sinusförmigen Wechselgrößen

7

Mathematische Voraussetzungen

Für die rechnerische und grafische Behandlung der abgebildeten Sinusgrößen ist es not-
wendig, die wichtigsten Zusammenhänge der „komplexen Rechnung“ zu kennen, die hier
nur zusammengefasst werden.

Darstellungsform einer komplexen Zahl:

Algebraische oder kartesische Form:

z = x + j y
mit x, y als reelle Zahl

mit j =

1
als imaginäre Einheit

Trigonometrische oder goniometrische Form:

z = r · (cos + j · sin )

mit r = | z | = x2 y2
und x = r · cos Bild 4.7

Darstellung der komplexen Zahl
und arcz arctan (y/x)

und y = r · sin

Exponentialform:

z = r · ej mit ej = cos + j · sin (Eulersche Formel)

konjugiert komplexe Zahl zur komplexen Zahl z:

z* = x – j y = r · (cos – j · sin ) = r · e–j

Komplexe Zahlen werden in der Gaußschen Zahlenebene durch Punkte P(x, y) oder Zei-
ger, das sind Pfeile vom Koordinatenursprung zu den Punkten P, dargestellt (Bild 4.7).

Operationen mit komplexen Zahlen z1 = x1 + j y1 = r1· ej1 und z2 = x2 + j y2 = r2· ej2: Addition und Subtraktion:

z1 ± z2 = (x1 ± x2) + j · (y1 ± y2)

Multiplikation:

z1 · z2 = r1 · r2 · ej(1+*) = r1 · r2 · [cos (1 + 2) + j · sin (1 + 2)]

z1 · z2 = (x1x2 – y1y2) + j (x1y2 + x2y1)

Division:

z1 r1 ej(12) r1 cos(

!

z
r
r

1

2 ) j sin (1

2 )

2

2

2
z

1 x1 jy1 x2 jy2 x1x2 y1y2 x
x
j 2y1

1y2
z
x j y
x j y
x 2 y 2
x 2 y 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Potenzieren:

zn = rn · e j n = rn · [cos (n) + j · sin (n)]

Radizieren:

k360D
j

"

k 360D
k 360D #
x
n
n
k =
r e
n
r cos

$
j sin

%
n
n

&

'

mit k = 0, 1, 2, … , n – 1.

8

4 Wechselstromtechnik

4.2.2 Die Darstellung sinusförmiger Wechselgrößen durch komplexe Zeit-
funktionen, Lösung der Gleichung im Komplexen und Rückführung in
die gesuchte Zeitfunktion (rechnerisches Verfahren)

Transformation ins Komplexe

Jede sinusförmige Wechselgröße v(t) wird in eine entsprechende komplexe Zeitfunktion
v(t) eineindeutig abgebildet:

Zeitbereich (Originalbereich)

komplexer Bereich (Bildbereich)

v(t) = ˆv · sin (t + v)

v(t) = ˆv · cos (t + v)

mit ˆv :

Amplitude

+ j · ˆv · sin (t + v)

und v:

Anfangsphasenwinkel
v(t) = ˆv · ej(t + v)

(4.11)

v(t) = ˆv · ejv · ejt
v(t) = 2 ( V ( e j)v ( e jt
v(t) = ˆv e jt = 2 V e jt
mit ˆv = ˆv e j)v
als komplexe Amplitude

( ˆv : Amplitude,
v: Anfangsphasenwinkel)

und

V = V · ejv als komplexer

Effektivwert

(V: Effektivwert,
v : Anfangsphasenwinkel)

Bei der Abbildung der sinusförmigen Zeitfunktion v(t) in die komplexe Zeitfunktion v(t)

wird also die Sinusfunktion mit der imaginären Einheit j multipliziert und die Kosinus-
funktion mit dem gleichen Argument dazuaddiert. Wie im Folgenden zu sehen ist, bietet
diese Abbildung viele Vorteile bei der Behandlung von Wechselstromnetzen. Die sinus-
förmige Wechselgröße v(t) des Zeitbereiches ist also gleich dem Imaginärteil der komple-
xen Zeitfunktion v(t).

Selbstverständlich kann auch die Kosinusfunktion v = ˆv · cos (t + v) in die komplexe

Zeitfunktion v abgebildet werden, indem die imaginäre Sinusfunktion mit gleichem Ar-
gument dazuaddiert wird. Da diese Abbildung keine Vorteile gegenüber der hier darge-
stellten Abbildung bietet und um Verwechslungen zu vermeiden, wird diese Art der Ab-
bildung nicht beschrieben.

4.2 Berechnung von sinusförmigen Wechselgrößen

9

Der komplexe Effektivwert V wird in vielen Literaturstellen in Frakturbuchstaben ange-
geben: V . Der Vorteil dieser Schreibweise ist, dass im Zeichen selbst sofort erkennbar
ist, dass nicht nur der Betrag der komplexen Größe, sondern Betrag (Effektivwert V) und

Argument (Anfangsphasenwinkel v) der komplexen Größe erfasst sind. Entsprechendes
gilt für komplexe Zeitfunktionen v(t) . Der Nachteil der Frakturbuchstaben besteht im

Erlernen neuer Zeichen:

v(t) = v(t)

komplexe Zeitfunktion bei allgemeiner Be-
trachtung
i(t) = i(t)

und
u(t) = u(t)

komplexe

Zeitfunktion
von

Strom
und

Spannung

V = V
komplexer

Effektivwert
bei
allgemeiner

Betrachtung

I = I
und

U = U
komplexer Effektivwert von Strom und

Spannung

Die Schreibweise mit unterstrichenen lateinischen Buchstaben hat sich in der neueren

Literatur durchgesetzt, weil sie leichter erlernbar ist. Der Nachteil ist, dass der Strich unter dem Buchstaben häufig vergessen wird, wodurch gravierende Fehler entstehen.

In Induktivitäten und Kapazitäten hängen Strom und Spannung differentiell bzw. über

Integrale zusammen:

di
du
u = L

, i = 1 u dt

und i = C

, u = 1 i dt

dt

L
dt

C
d. h. die Zeitfunktionen und die komplexen Zeitfunktionen müssen differenziert und inte-
griert werden:

Zeitbereich (Originalbereich)

komplexer Bereich (Bildbereich)

d v(t)

d [ ˆv ( sin (t + )

=
v )]

dv(t) = d[ˆv ( ej(t+)v)]

dt
dt
dt
dt
d v(t) = (
dv(t)

ˆv ( cos (t + )

= j( ( ˆv ( ej(t+)v )

dt
v )

dt
dv(t) = j v(t)

(4.12)

dt
d2v(t) = 2 ˆv sin(t +

= 2 (
v )

d2v(t)

v(t)

(4.13)

dt2
dt2
v(t)

, dt = 1 ˆv cos(t +

v )

v

(t)(dt = ˆv

(ej(t+)v) (dt
v(t)

dt = 1 v(t)

(4.14)

j

Die Differentiation der komplexen Zeitfunktion bedeutet eine Multiplikation mit
j, die Integration eine Division durch j.

10

4 Wechselstromtechnik

Transformation der Differentialgleichung ins Komplexe

Dadurch lassen sich die mit Hilfe des Maschensatzes und der Knotenpunktregel aufge-
stellten Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen überführen.

Zum Beispiel: Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Induktivität

Zeitbereich: Differentialgleichung
d i(t)

û ( sin (t + )u ) = R ( i(t) + L dt

Transformationen:

u(t) = û ( sin (t + )

j( t

)

u )

u
u(t)

û e +)

= (
î(t) = i ( sin (t +

ˆ
j( t

)

i

) )

i
i (t)

i e +)

= (
di(t)

d i (t) = j i (t)

dt
dt
komplexer Bereich: algebraische Gleichung
û ( e j(t+)u ) = R ( i (t) + jL ( i (t)

Lösung der algebraischen Gleichung

Die algebraischen Gleichungen können nun einfach nach der transformierten gesuchten

Größe aufgelöst werden.

Zum Beispiel: Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Induktivität
j(t+)u )

û ( e

= i (t) ( (R + j L

)

j(t+)u )

û ( e
i (t) =

R + jL

Rücktransformation in den Zeitbereich

Um die Lösung im Zeitbereich, also die gesuchte sinusförmige Zeitfunktion, zu erhalten,
muss die Abbildung entsprechend rückgängig gemacht werden, d. h. die Lösung der alge-
braischen Gleichung muss rücktransformiert werden. Bei der Rücktransformation der
komplexen Zeitfunktion v(t) in die Zeitfunktion v(t) muss der Kosinusanteil verschwinden und der Sinusanteil reell werden. Die Rücktransformation bedeutet also das Errechnen des Imaginärteils der komplexen Zeitfunktion:

v(t) = Im{v(t)}

(4.15)

4.2 Berechnung von sinusförmigen Wechselgrößen

11

Die Rücktransformation ist allerdings erst dann möglich, wenn die Lösung der algebrai-
schen Gleichung so umgeformt wurde, dass der Imaginärteil abgespalten werden kann.

Diese Umformung erfolgt im allgemeinen nach folgenden Schritten:

1. Der komplexe Nenner in algebraischer Form wird in die Exponentialform umgeformt:

x + jy = r · ej mit

2

2
r x y
y
und

= arc tan
x

2. Der ej-Anteil des Nenners wird mit e–j in den Zähler gebracht und mit dem e-Anteil
der abgebildeten Sinusgröße im Zähler zusammengefasst.

3. Der gesamte e-Anteil des Zählers wird nach der Eulerschen Formel
ej = cos + j · sin
in die trigonometrische Form überführt.

4. Die Rücktransformation der komplexen Zeitfunktion in die gesuchte sinusförmige

Zeitfunktion kann nun vorgenommen werden, indem nur der Imaginärteil berücksich-
tigt wird.

Anschließend lassen sich mit der Lösung im Zeitbereich die restlichen unbekannten Strö-
me und Spannungen ermitteln.

zum Beispiel: Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Induktivität
j( t

ˆ
u )

u e

Zu 1. i (t)

2

2
j a
rctan( L

/ R)

R (L) e
û

Zu 2.

j(tu arc tan L / R)

i (t)

e

2

2

R (L)

û

"

L #

Zu 3 i (t)

cos t

$
u arc tan

%

2

2

&

R

R

( L)

'

û

"

L #

+ j
sin t

$
u arc tan

%

2

2

&

R

R

( L)

'

û

"

L #

Zu 4. i(t) Im{i (t)}

sin t

$
u arc tan

%

2

2

&

R

R

( L)

'

mit
î(t) i sin (t i

)

û

ergeben sich die Stromamplitude: î

2

2

R (L)

L

und der Anfangswinkel des Stroms i
u arctan

R

12

4 Wechselstromtechnik

Die beiden Spannungen uR und uL können nun mit dem Strom i(t) berechnet werden:

R û

L
uR(t) = R i(t) =
sin t +

-
u arc tan

2

2

+

.

R

R

( L)

/
di(t)

L û

L
uL(t) = L

=
cos t +

-
u arc tan

dt

2

2

+

.

R

R

( L)

/

L û

L
uL(t) =
sin t + u arctan

+

2

2

+

R

2

R

( L)

Zusammenfassung

Prinzipiell erfolgt die Berechnung eines Wechselstrom-Netzwerkes mit Hilfe der komple-
xen Rechnung nach folgendem Schema:

4.2 Berechnung von sinusförmigen Wechselgrößen

13

4.2.3 Die Darstellung sinusförmiger Wechselgrößen durch Zeiger und
die Ermittlung der gesuchten Zeitfunktion mit Hilfe des Zeigerbildes

(grafisches Verfahren)

Transformation in Zeiger

Die im vorigen Abschnitt rechnerisch behandelte Abbildung der sinusförmigen Wechsel-
größe in die komplexe Zeitfunktion bedeutet grafisch eine Abbildung der Sinusfunktion
in einen um den Koordinatenursprung der Gaußschen Zahlenebene rotierenden Zeiger,
der sich im mathematisch positiven Sinn mit der Winkelgeschwindigkeit dreht:

Bild 4.8 Transformation einer sinusförmigen Zeitfunktion in einen rotierenden Zeiger Zeitbereich (Originalbereich)

komplexer Bereich (Bildbereich)

v(t) = ˆv · sin(t + v)

0 v(t) = ˆv · ej(t + v)

dargestellt: v(t)

v(t) = ˆv · ejt = 2 V e jt
mit
j

ˆv ˆv e v als komplexe Amplitude
und V = V · ejv als komplexer Effektivwert

Die Projektion des rotierenden Zeigers v(t) auf die imaginäre Achse ist der Augenblicks-
wert v(t) der sinusförmigen Wechselgröße. Zwischen dem rotierenden Zeiger und der

Sinusgröße besteht somit eine eineindeutige Beziehung – genauso wie zwischen der kom-
plexen Zeitfunktion und der Sinusfunktion.

Die Zeitfunktion v im Zeitbereich ist nicht in Abhängigkeit von t, sondern in Abhängig-
keit von t dargestellt, damit die zugeordneten Winkel besser ersichtlich sind:

der Anfangswinkel v, der beliebig gewählte „Drehwinkel“ t von t = 0 bis zur beliebi-
gen Zeit t und der Gesamtwinkel t + v und T = 2.

In dieser Weise können beliebig viele sinusförmige Wechselgrößen gleicher Frequenz in
der komplexen Ebene durch Zeiger dargestellt werden.

14

4 Wechselstromtechnik

Überlagerung zweier sinusförmiger Wechselgrößen bzw. zweier Zeiger

Wie bereits eingangs ausgeführt, sind sämtliche in einem Wechselstromnetz vorhandenen

Ströme und Spannungen sinusförmig, d. h. auch die Summe zweier sinusförmiger Wech-
selgrößen mit unterschiedlicher Amplitude und mit unterschiedlichen Anfangsphasenwin-
keln muss eine sinusförmige Wechselgröße ergeben, die eine resultierende Amplitude und
einen resultierenden Anfangsphasenwinkel besitzt. Dieses Ergebnis muss sich auch im
komplexen Bereich bestätigen, indem zwei Zeiger addiert einen resultierenden Zeiger
ergeben.

Trigonometrische Addition im Zeitbereich:

vr = v1 + v2
mit v = ˆ (
r
vr sin (t + )vr )

v = ˆ (

= ˆ (

1
v1 sin (t + )v1) und v2
v2 sin (t + )v2 )

vr = ˆv (

(

(
r
sin (t + )vr ) = ˆv1 sin (t + )v1) + ˆv2 sin (t + )v2 )

(4.16)

mit sin ( + ) = sin ( cos + cos ( sin
vr = ˆv (

+ ˆ (
r
sin t ( cos )vr
vr cos t ( sin )vr
vr = ˆv (

+ ˆ (

1 sin t ( cos )v1
v1 cos t ( sin )v1

+ ˆv (

+ ˆ (

2 sin t ( cos )v2
v2 cos t ( sin )v2
oder
vr = ˆv (

(

(

(
r
cos )vr sin t + ˆvr sin )vr cos t
vr = ( ˆv (

+ ˆ (

(

+ ˆ (

1 cos )v1
v2 cos )v2 ) ( sin t + ( ˆv1 sin )v1 v2 sin )v2 ) ( cos t

Damit ergeben sich zwei Gleichungen

ˆv

= ˆ

+ ˆ
r
cos )vr
v1 cos )v1 v2 cos )v2

ˆv

= ˆ

+ ˆ
r
sin )vr
v1 sin )v1 v2 sin )v2
mit den zwei Unbekannten ˆvr und vr, die sich durch Quadrieren und Addieren bzw.

Dividieren errechnen lassen:

ˆv 2

+ ˆ 2

= ˆ 2
r
cos2 )vr
vr
sin2 )vr
vr

= ( ˆv

+ ˆ

+ ˆ

1 cos )v1
v2 cos )v2 )2 + ( ˆv1 sin )v1 v2 sin )v2 )2

= ˆv 2

+ ˆ 2

+

ˆ

1
cos2 )v1 v2 cos2 )v2 2 ˆv1 v2 cos )v1 cos )v2

+ ˆv 2

+ ˆ 2

+

ˆ

1
sin2 )v1 v2 sin2 )v2 2 ˆv1 v2 sin )v1 sin )v2
mit
sin2 )

+

=

+

=
v1
cos2 )v1 1, sin2 )v2 cos2 )v2

1
und
cos

(

+

(

=

v2 cos v1
sin v2 sin v1 cos (v2
v1)

ergibt sich schließlich

ˆv 2 = ˆ 2 + ˆ 2 +

( ˆ (

r
v1
v2

2 ( ˆv1 v2 cos (v2
v1)

4.2 Berechnung von sinusförmigen Wechselgrößen

15
und damit die Formel für die Amplitude der resultierenden Wechselgröße:

ˆv =

ˆ 2 + ˆ 2 +

ˆ
r
v1
v2

2 ˆv1 v2 cos )v

(4.17)

mit v = v2 – v1.

Mit

ˆv

ˆ

+ ˆ
r
sin )vr
v
sin )

v
sin )

= tan ) = 1
v1

2
v2

ˆv
vr

ˆ

+ ˆ
r
cos )vr
v1 cos )v1 v2 cos )v2
lässt sich der Anfangsphasenwinkel der resultierenden Wechselgröße angeben:

ˆv sin )

+ ˆv sin )

) =

1
v1

2
v2
vr
arc tan

(4.18)

ˆv

+ ˆ

1 cos )v1
v2 cos )v2

Bild 4.9 Überlagerung von zwei Sinusgrößen im Zeitbereich und von zwei abgebildeten Sinusgrößen im komplexen Bereich

Geometrische Addition im komplexen Bereich:

Das Zeigerbild im komplexen Bereich (im

Bild 4.9 rechts) wird im Bild 4.10 dreifach
vergrößert, damit die geometrischen Zusam-
menhänge besser abgelesen werden können.

Mit Hilfe des Kosinussatzes
a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos
lässt sich im Dreieck 0 – C – E die Länge des
resultierenden Zeigers ˆvr aus den Längen
der gegebenen Zeiger ˆ1
v und ˆv2 errechnen:

Bild 4.10 Überlagerung von Zeigern

ˆv 2 = ˆ 2 + ˆ 2

( ˆ (

r
v1
v2

2 ( ˆv1 v2 cos 180° (v2
v1)

16

4 Wechselstromtechnik

Mit
cos (180° – ) = – cos
ergibt sich dasselbe Ergebnis wie bei der trigonometrischen Überlagerung im Zeitbe-
reich:

ˆv =

ˆ 2 + ˆ 2 +

( ˆ (

r
v1
v2

2 ( ˆv1 v2 cos (v2
v1) .

Das Argument des resultierenden Zeigers ˆvr lässt sich aus den folgenden Strecken-
verhältnissen berechnen:

ˆv sin )

+ ˆv sin )

tan )

= EB = CA + ED = 1
v1

2
v2
vr

OB

OA + CD

ˆv

+ ˆ

1 cos )v1
v2 cos )v2

ˆv sin )

+ ˆv sin )

) =

1
v1

2
v2
vr
arc tan

.

ˆv

+ ˆ

1 cos )v1
v2 cos )v2

Sowohl die trigonometrische Addition im Zeitbereich als auch die geometrische Addition
im komplexen Bereich führen zum selben Ergebnis:

Die Summe von zwei sinusförmigen Wechselgrößen gleicher Frequenz ist eine resul-
tierende sinusförmige Wechselgröße derselben Frequenz.

Überlagerung von n sinusförmigen Wechselgrößen

Die Überlagerung von mehr als zwei sinusförmigen Wechselgrößen lässt sich auf die

Überlagerung von zwei sinusförmigen Wechselgrößen zurückführen und ergibt selbstver-
ständlich eine resultierende sinusförmige Wechselgröße derselben Frequenz, deren Am-
plitude und Anfangsphasenwinkel nach folgenden Formeln berechnet werden können:

n

ˆv (

(
r
sin (t + )vr ) =

ˆvi sin (t + )vi)

(4.19)

i=1
n
mit ˆv =

ˆ

( ˆ (

r
v j vk cos (vj
vk )

(4.20)

j=1
k =1
n

ˆv
isin )vi
und )

=
i=1

(4.21)

vr
arc tan n

ˆv
icos)vi
i=1
z. B. für n = 2

ˆv =

ˆ ( ˆ + ˆ ( ˆ (

( ˆ (

( ˆ
r
v1 v1 v1 v2 cos (v1
v2 ) + ˆ
v2 v1 cos (v2
v1) + ˆ
v2 v2
mit cos () = cos ist cos (

v1
v2 ) = cos (v2
v1)

ˆv =

ˆ 2 + ˆ 2 +

( ˆ (

r
v1
v2

2 ( ˆv1 v2 cos (v2
v1)

4.2 Berechnung von sinusförmigen Wechselgrößen

17
z. B. für n = 3:

ˆv 2 = ˆ ( ˆ (

( ˆ (

( ˆ (

r
v1 v1 cos(v1
v1) + ˆ
v1 v2 cos(v1
v2 ) + ˆ
v1 v3 cos(v1
v3 )

+ ˆv ( ˆ (

( ˆ (

( ˆ (

2 v1 cos(v2
v1) + ˆ
v2 v2 cos(v2
v2 ) + ˆ
v2 v3 cos(v2
v3 )

+ ˆv ( ˆ (

( ˆ (

( ˆ (

3 v1 cos(v3
v1) + ˆ
v3 v2 cos(v3
v2 ) + ˆ
v3 v3 cos(v3
v3 )

ˆv =

ˆ 2 + ˆ 2 + ˆ 2 +

ˆ

ˆ

ˆ

r
v1
v2
v3

2 ˆv1v2 cos(v2
v1) + 2 ˆ
v1v3cos(v3
v1) + 2 ˆ
v2v3 cos(v3
v2 )

(4.22)

Vereinfachte Zeigerbilder

In der Praxis werden die abgebildeten Sinusgrößen grundsätzlich zum Zeitpunkt
t = 0, also als „ruhende Zeiger“ gezeichnet.

Weil Effektivwerte in weiteren Berechnungen, z.B. Leistungsberechnungen, benötigt
werden, berücksichtigt man in Zeigerbildern nicht die komplexen Amplituden, sondern
die komplexen Effektivwerte. Das bedeutet gegenüber den komplexen Amplituden eine

Maßstabsänderung mit 2 .

Die reellen und imaginären Achsen werden bei vereinfachten Zeigerbildern weggelassen,
weil für die Beurteilung der sinusförmigen Wechselgrößen einer Schaltung nur die Effek-
tivwerte und die gegenseitige Phasenverschiebung wichtig sind. Die Anfangsphasenwin-
kel hängen von der willkürlichen Festlegung des Zeitpunktes t = 0 ab, d. h. auch die Lage des Achsenkreuzes der komplexen Ebene zu den Zeigern bedeutet die Festlegung des
gleichen Zeitpunktes t = 0.

Ein Zeigerbild wird grundsätzlich von innen nach außen entwickelt, so dass immer nur die Zeiger von einem oder zwei Schaltelementen, also von einfachen Zweipolen, gezeichnet
werden. Sind ein Strom oder eine Spannung in einem Zweig innerhalb der Schaltung nicht
gegeben, sondern die Gesamtspannung oder der Gesamtstrom, dann wird trotzdem von
diesen Größen ausgegangen, indem ein Zahlenwert vorgegeben wird; nachträglich lässt
sich dieser dann proportional korrigieren. Die weiteren Zeiger ergeben sich dann durch

Multiplikation oder Division mit einfachen Operatoren. Resultierende Zeiger werden dann
durch geometrische Addition ermittelt, so dass sich schließlich die Gesamtspannung und
der Gesamtstrom der Schaltung ergeben.

Im vereinfachten Zeigerbild können also mit einfachen geometrischen Beziehungen die

Effektivwerte und Phasenverschiebungen ermittelt und ablesen werden, so dass sie bei der Behandlung der verschiedensten Wechselstromschaltungen unverzichtbar sind.

Um qualitative und quantitative Zeigerbilder bei vorgegebenen Schaltungen entwickeln zu
können, ist es allerdings notwendig, die Operatoren und komplexen Widerstände und
komplexen Leitwerte kennen zu lernen, die im folgenden behandelt werden.

Sollen umgekehrt die Zeitfunktionen aus den vereinfachten Zeigerbildern ermittelt wer-
den, so müssen zunächst die Effektivwertlängen auf Amplitudenlängen übertragen und
dann eine Zeitlinie für t = 0 festgelegt werden, die der positiven imaginären Achse ent-
spricht und im mathematisch negativen Sinn mit der Winkelgeschwindigkeit rotiert. Die

Projektion der Zeiger auf diese Achse ergibt die jeweiligen Augenblickswerte.

18

4 Wechselstromtechnik

Wie man an praktischen Beispielen sieht, ist es nicht notwendig, die Augenblickswerte
auf diese Weise zu bestimmen. Aus dem Zeigerbild können die Effektivwerte der interes-
sierenden Ströme und Spannungen und die Phasenverschiebungen abgelesen werden und
die Sinusverläufe in einem Zeitdiagramm dargestellt werden. Nachträglich lässt sich der

Zeitpunkt t = 0 durch Eintragen der Ordinate festlegen und die Augenblickswerte für
beliebige Zeitpunkte ablesen.

zum Beispiel: Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Induktivität.

Bild 4.11 Beispiel für den Übergang von Sinusgrößen zum Zeigerbild

Mit Hilfe des vereinfachten Zeigerbildes kann der Effektivwert I bzw. die Amplitude î des sinusförmigen Stroms berechnet werden:

Für das „Spannungsdreieck“ gilt

U2 = U 2 + U 2
mit U

R

L

R = R · I und UL = L · I

U2 = R2 · I2 + 2 · L2 · I2

U2 = (R2 + 2 · L2) · I2,
woraus sich der Strom errechnen lässt:

U
û

I =

ˆ
bzw. i =

.

2

2 2

2

2 2

R + L

R + L

Die Phasenverschiebung zwischen Strom i und Spannung u kann ebenfalls aus dem „Span-
nungsdreieck“ ermittelt werden:

U

L I

L
tan =

L =

=

UR

R I

R

L

= arc tan

.

R

Mit der Definition für die Phasenverschiebung

= u – i
bestätigt sich das Ergebnis, das durch die Lösung der algebraischen Gleichung erhalten wurde:

L
i = u = u arc tan

.

R

Damit sind die beiden Größen î und i des sinusförmigen Stroms i(t) bei vorgegebener Frequenz ermittelt:

û

L
i(t) =
sin t + arc tan
u

R2 + (L)2

.-

R / .

4.2 Berechnung von sinusförmigen Wechselgrößen

19

4.2.4 Das Rechnen mit komplexen Effektivwerten in Schaltungen mit
komplexen Operatoren bzw. komplexen Widerständen und komplexen

Leitwerten (Symbolische Methode)

Komplexe Operatoren

Werden die sinusförmigen Wechselgrößen in den drei Arten von Wechselstromwiderstän-
den (ohmsche, induktive und kapazitive Widerstände) in entsprechende komplexe Zeit-
funktionen abgebildet, dann entstehen reelle und imaginäre Operatoren, mit deren Hilfe
komplexe Zeitfunktionen (rotierende Zeiger), komplexe Amplituden und komplexe Effek-
tivwerte (ruhende Zeiger bei t = 0) ineinander überführt werden können:

ohmscher
induktiver
kapazitiver

Widerstand

Widerstand

Widerstand
di

1
u = R · i
u = L
u =
i dt

dt

C
di
u = M

Zeitbereich
dt

(Originalbereich)

u
du
i =

= G u

1
i =
u dt
i = C

R

L
dt

1
i =
u dt

M
i
u = R · i
u = jL · i
u = jC
u = jM · i
komplexe
u
u
i =

= G u
i =
i = jC · u

Zeitfunktionen

R
jL
u
i = jM

ˆ
î
û = R i

ˆ
û = jL i
û = jC

ˆ
û = jM i
komplexer
komplexe

Bereich
û
û

ˆ

(Bildbereich)

Amplituden
î =

= G û
î =
i = jC û

R
jL
û
î = jM

I

U = R · I

U = jL · I

U = jC

U = jM · I
komplexe

U

U

I = jC · U

Effektivwerte

I =

= G U

I =

R
jL

U

I = jM

20

4 Wechselstromtechnik

Von den komplexen Zeitfunktionen kommt man auf komplexe Amplituden, indem beide

Seiten der Gleichungen durch ejt dividiert werden. Diese Gleichungen durch

2 divi-
diert, ergeben die Gleichungen für die komplexen Effektivwerte.

Für ohmsche Widerstände sind die Operatoren reell:

Widerstand R

Leitwert G
für induktive Widerstände sind die Operatoren positiv und negativ imaginär:

1

1

1

1

Widerstand jL bzw. jM

Leitwert

= j
bzw.

= j
jL

L
jM

M
für kapazitive Widerstände sind die Operatoren negativ und positiv imaginär:

1

1

Widerstand

= j

Leitwert jC
jC

C

Maschensatz und Knotenpunktsatz der Wechselstromtechnik

Mit den Beziehungen zwischen den Strömen und Spannungen im Zeitbereich entstehen

Differentialgleichungen aufgrund des Maschensatzes und des Knotenpunktsatzes für zeit-
lich veränderliche Spannungen und Ströme:

Die Summe der Augenblickswerte der

Die Summe der Augenblickswerte der

Spannungen

(Quellspannungen
und

EMK einer Masche ist gleich der Summe

Spannungsabfälle an den Wechselstrom-
der Augenblickswerte der Spannungsab-
widerständen) in einer Masche ist Null.

fälle an den Wechselstromwiderständen.

Wird mit Quellspannungen gerechnet,

Wird mit EMK gerechnet, dann muss je-
wird jede Masche nur einmal durchlau-
de Masche zweimal durchlaufen werden
fen:

(für ei und für ui):

l
n
m
u

(4.23)

i (t) = 0
e

=

(4.24)

i (t)

ui(t)

i=1
i=1
i=1

In einem Knotenpunkt eines verzweigten

Die Summe der Augenblickswerte der

Wechselstromkreises ist die Summe aller
zum Knotenpunkt hinfließenden Ströme
vorzeichenbehafteten

Augenblickswerte
ist gleich der Summe der Augenblicks-
der Ströme gleich Null:

werte der vom Knotenpunkt wegfließen-
den Ströme:

l
n
m
i

=

=

(4.26)

i (t)

0

(4.25)

ii(t)

ii(t)

i=1
i=1
i=1

4.2 Berechnung von sinusförmigen Wechselgrößen

21

Werden sämtliche sinusförmigen Spannungen und Ströme auf die beschriebene Weise in
komplexe Zeitfunktionen abgebildet, ergeben sich aus den Differentialgleichungen alge-
braische Gleichungen; das sind die Maschengleichungen und Knotenpunktgleichungen in
komplexer Form:

l
l
l
l
u

=

=

i (t)

0
ui(t) 0 (4.27)

und
ii(t) = 0
ii(t) = 0

(4.28)

i=1
i=1
i=1
i=1
und i

( ej(t+)ii)

Mit u
i(t) = îi
i(t) = û (
i e j(t +)ui )

u
i

( ej)ii ( ejt
i(t) =

2 ( U (
i e j)ui ( e jt
i(t) =

2 ( Ii
ui(t) = 2 U
i e jt
ii(t) = 2 I
i e jt
lauten die Maschen- und Knotenpunktgleichungen in komplexen Effektivwerten:

l
l

U

=

=

(4.30)

i

0

(4.29)

Ii

0
i=1
i=1

Symbolische Methode

Weil zwischen den komplexen Effektivwerten der Ströme und Spannungen in Wechsel-
stromwiderständen lineare Beziehungen über reelle und imaginäre Operatoren bestehen
und weil die Maschen- und Knotenpunktgleichungen in komplexen Effektivwerten gelten,
kann ein Wechselstrom-Netzwerk mit den gleichen Verfahren behandelt werden, wie sie
für die Berechnung von Gleichstrom-Netzwerken angewendet wurden. Dazu muss das

Wechselstrom-Schaltbild entsprechend umgeformt werden:

Alle sinusförmigen Zeitfunktionen werden in entsprechende komplexe Effektivwerte
überführt.

Ohmsche Widerstände R bleiben im Schaltbild unverändert, da der Operator zwischen
den komplexen Effektivwerten von Strom und Spannung R ist.

Induktivitäten L und Gegeninduktivitäten M werden wie induktive Widerstände mit den
imaginären Operatoren jL und jM behandelt. Die Operatoren ersetzen im Schaltbild

L und M.

Kapazitäten C werden als kapazitive Widerstände mit dem Operator 1/jC berücksich-
tigt, weil der komplexe Effektivwert des Stroms durch Multiplikation mit dem Operator

1/jC in den komplexen Effektivwert der Spannung überführt wird. Anstelle von C
wird im Schaltbild 1/jC geschrieben.

Nachdem die Operatoren im Schaltbild eingetragen sind, werden die Netzberechnungs-
hilfen (Spannungs- und Stromteilerregel im Band 1, Gl. 2.34 und Gl. 2.35 bzw. Gl. 2.58
und Gl. 2.59 und im Band 2, S. 37 und S. 45) und die Netzberechnungsverfahren im

Band 1, Abschnitt 2.3 angewendet, wodurch sich die algebraischen Gleichungen in
komplexen Effektivwerten ergeben, die dann gelöst werden.

Die Lösungen in komplexen Effektivwerten müssen in Lösungen in komplexen Zeit-
funktionen überführt werden, indem sie mit

2 · ejt multipliziert werden. Die Rück-
transformation der komplexen Zeitfunktion in die sinusförmige Zeitfunktion ist bereits
im Abschnitt 4.2.2 beschrieben worden.

22

4 Wechselstromtechnik
zum Beispiel: Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Induktivität

Bild 4.12 Beispiel für den Übergang einer Wechselstromschaltung in eine Schaltung mit komplexen Effektivwerten und komplexen Operatoren

Maschensatz in komplexen Effektivwerten:

U = UR + UL = R · I + jL · I
algebraische Gleichung:

U = (R + jL) · I

Lösung der algebraischen Gleichung in komplexen Effektivwerten:

U

I = R + jL

Lösung der algebraischen Gleichung in komplexen Zeitfunktionen:

u
i(t) =

= û ( ej(t+)u )

R + jL

R + jL

Rücktransformation siehe Abschnitt 4.2.2.

4.2 Berechnung von sinusförmigen Wechselgrößen

23

4.2.5 Lösungsmethoden für die Berechnung von Wechselstromnetzen

Übersicht

Wie in den vorhergehenden Abschnitten beschrieben, gibt es vier Lösungsverfahren für
die Berechnung von Wechselstrom-Netzwerken:

Verfahren 1:

Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich

(im Abschnitt 4.2.1 erwähnt)

Verfahren 2:

Lösung der Differentialgleichung mit Hilfe von komplexen Zeitfunk-
tionen

(dargestellt im Abschnitt 4.2.2)

Verfahren 3:

Lösungsmethode mit Operatoren - Symbolische Methode

(dargestellt im Abschnitt 4.2.4)

Verfahren 4:

Grafische Lösung mit Hilfe von Zeigerbildern

(dargestellt im Abschnitt 4.2.3)

Die folgende Übersicht zeigt, wie die Verfahren ineinander greifen:

Im Abschnitt 4.4 werden die vier Verfahren hinsichtlich ihrer praktischen Anwendbarkeit
untersucht und Beispiele von Netzwerken durchgerechnet.

24

4 Wechselstromtechnik

Beispiel:

Anhand eines Schaltungsbeispiels sollen die vier Berechnungsverfahren für Wechselstrom-

Netzwerke erläutert werden, um die Vor- und Nachteile beurteilen und die Zusammenhänge
zwischen den Verfahren besser verstehen zu können.

Schaltung
mit sinusförmiger Energiequelle
und linearen Schaltelementen
gegeben: Ri, R, C und
uq(t) = ûq ( sin( t

+ )u)

gesucht: uC(t), iC(t)

iR(t) und i(t)

Bild 4.13 Beispiel eines Wechselstromnetzes

Verfahren 1 und 2

Differentialgleichung
uRi + uC = uq (Maschensatz für Augenblickswerte)

im Zeitbereich

Ri · i + uC = uq
i = iR + iC (Knotenpunktsatz für Augenblickswerte)

u
du
i = C

C

+ C

R
dt
u
du

R

C

C
i

+ C

+ u

C = uq

R
dt

Ri
duC
uC + Ri C

+ uC = uq

R
dt
duC

Ri

Ri ( C (

+

+ 1 ( uC = ûq ( sin(t + )

u )

dt

R

Verfahren 1

Lösung der

Differentialgleichung
im Zeitbereich

Die Kondensatorspannung uC kann nur einen sinusförmigen Verlauf haben, weil die Quell-
spannung uq sinusförmig ist. Der Lösungsansatz lautet deshalb
uC = ûC ( sin (t + )uc)

Nachdem der Ansatz differenziert ist
du

C = û cos(t + ) ) = û sin t + + )

dt

C
uc

C

.-

2
uc / ,
wird er und die Ableitung in die Differentialgleichung eingesetzt:

Ri

Ri C ûC sin t +

+ )uc +

+ 1 ûC sin ( t

+ )uc) = ûq sin ( t

+ )

-

-

u )

.

2

/ . R

/

Ri

ûC R

iC sin t +

+ )uc +

+ 1 sin (t + )uc) = û

2
q sin (t + )

-

1 -

1
u )

.

2

3 . R

3

ûC ( [ˆ1
v ( sin ( t

+ )v1) + ˆv2 ( sin(t + )v2)] = ûq ( sin(t + )u)

4.2 Berechnung von sinusförmigen Wechselgrößen

25

Der Klammerausdruck der linken Seite ist eine Überlagerung von zwei sinusförmigen Wech-
selgrößen v1 und v2 mit unterschiedlichen Amplituden und unterschiedlichen Anfangspha-
senwinkeln, die nach den Gl. (4.16), (4.17) und (4.18) zu einer resultierenden sinusförmigen Wechselgröße vr zusammengefasst werden:

ûC ( [ˆ1
v ( sin (t + )v1) + ˆv2 ( sin (t + )v2)] = ûC ( ˆvr ( sin (t + )vr )

mit

2

R

R

2
i
i

ˆvr = (RiC) +

+ 1 + 2 (RiC)

+ 1 cos(uc

uc )

R

R

2

2

R

2
i

ˆvr = (RiC) +

+ 1

mit cos (– /2) = 0

R

und

Ri

RiC sin- + )uc + -

+ 1 sin)uc

. 2

/ . R

/

)vr = arctan

Ri

RiC cos- + )uc + -

+ 1 cos)uc

. 2

/ . R

/

mit sin uc +

= cosuc und cos uc +

= sin

uc

2

2

Ri

RiC cosuc + -

+ 1 sinuc

. R

/
vr = arctan

Ri

RiC sin uc + -

+ 1 cosuc

. R

/

1
mit
erweitert

Ri

+ 1 cos)uc

R

RiC + tanuc

Ri +1

R
vr = arctan RiC

tan uc + 1

Ri +1

R
x + y
mit arc tan

= arctan x + arctan y
xy + 1

RiC

RiC

)vr = arctan

+ arctan (tan )uc) = arctan

+ )uc

Ri

Ri

+ 1

+ 1

R

R

2

R

R C

2
i
i
ûC ( (RiC) +

+ 1 ( sin

t + )uc + arctan

= ûq ( sin (t + )u )

R

R

i

+ 1

R

d. h.

ûq

RiC
ûC =
und uc = u arc tan

2

Ri

+

2

Ri

1

(RiC) +

+ 1

R

R

26

4 Wechselstromtechnik

û

-

q

RiC
uC(t) =
sin-t + u arctan

2

Ri

--

+

2

Ri

1

(RiC) + -

+ 1

.

R

/

. R

/
du
u
i

= C C ,
i

= C , i = i + i

C
dt

R

R

C

R

Verfahren 2
algebraische Gleichung in

Ri

Ri

jR C u +

+ 1 u =

+ 1 + jR C u = u
komplexen Zeitfunktionen
i

C

C

i

C
q

R

R

u
û ( e j(t+)u )

q
q

Lösung der
u

=

=

C
algebraischen Gleichung in

R

2
i + 1

C

R

komplexen Zeitfunktionen

i

R

+ jRi

+ 1 + (R C)2 ( ej)

R

i

R C
mit =
i
arc tan Ri +1

R
ûq
j(t+u )

uC =
e

2

Ri

2

-

+ 1 + (RiC)

. R

/
ûq

Lösung der
uC =
sin (t + u )

Differentialgleichung

2

Ri

2
im Zeitbereich

-

+ 1 + (RiC)

. R

/

R C
mit =
i
arc tan Ri +1

R

Verfahren 3 und 4

Schaltung
mit komplexen Effektivwerten
und komplexen Operatoren

Bild 4.14 Beispiel für die symbolische Methode

4.2 Berechnung von sinusförmigen Wechselgrößen

27
algebraische Gleichung in

Mit der Spannungsteilerregel ist
komplexen Effektivwerten

R 1
jC

R + 1

R 1

UC =
jC

=
jC

U

q

R 1

R

R + 1
jC
i
jC + R 1
jC

R +
i

R + 1
jC

UC =

R

=

1

U
jCR R + R + R

q
i
i

Ri + 1

C

R

+ jRi

Diese Gleichung kann mit

2 ejt zur algebraischen Gleichung
in komplexen Zeitfunktionen erweitert werden, die dann gelöst
und auf die beschriebene Weise rücktransformiert werden kann.

Lösung der

Uq

UC =
algebraischen Gleichung in

Ri

+ 1 + jR C
komplexen Effektivwerten
i

R

Lösung der
uq
u

=
algebraischen Gleichung in

C

Ri

komplexen Zeitfunktionen

+ 1 + jRiC

R

Die Umformung und Rücktransformation geschieht auf die
beschriebene Weise.

Verfahren 4

Reihenfolge der Darstellung:

Zeigerbild mit

U
komplexen Effektivwerten

C

U

IR =

C

R

IC = jC · UC

I = IR + IC

UR = R
i
i · I

Bild 4.15 Beispiel für die

Uq = UC + UR

Zeigerdarstellung
i

Das Zeigerbild stellt den Maschensatz und den Knotenpunktsatz in komplexen Effektivwerten dar, also die algebraischen Gleichungen in komplexen Effektivwerten.

Zunächst wird UC mit der Länge UC angenommen. Dann werden die Längen IR = UC/R und

I

2

2

C = C · UC errechnet. I kann aus dem Zeigerbild abgelesen oder mit I2 = I

+ I errech-

R

C
net werden. Mit Ri lässt sich UR = R
i
i · I ermitteln, und Uq ergibt sich durch geometrische

Addition der Zeiger. Der Effektivwert Uq wird dem gegebenen Spannungswert angepasst,
wodurch sich für alle Ströme und Spannungen, auch für UC, die Werte korrigieren lassen.

28

4 Wechselstromtechnik

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

Bei der Behandlung der Symbolischen Methode im Abschnitt 4.2.4 sind die Begriffe „ohm-
scher Widerstand“, „induktiver Widerstand“ und „kapazitiver Widerstand“ vorgekommen,
ohne dass geklärt wurde, ob es bei Wechselvorgängen Widerstände in der Art von Gleich-
stromwiderständen gibt. In diesem Abschnitt sollen Strom- und Spannungsverläufe bei
ohmschen Widerständen, Induktivitäten und Kapazitäten untersucht werden und die Frage
beantwortet werden, ob der Quotient aus Spannung und Strom einen entsprechenden Wider-
stand ergibt. Die Untersuchungen werden im Zeitbereich und im komplexen Bereich vorge-
nommen.

Ohmscher Widerstand im Zeitbereich

Fließt ein sinusförmiger Wechselstrom i(t) durch einen ohmschen Widerstand R, dann
besteht in jedem Augenblick zwischen dem Augenblickswert des Stroms i(t) und dem

Augenblickswert der Spannung u(t) am ohmschen Widerstand Proportionalität:

i(t) = î · sin (t + i)

u(t) = R · i(t)

u(t) = R · î · sin (t + i)

u(t) = û · sin (t + u)

d. h. û = R · î bzw. U = R · I
und u = i

Bild 4.16 Verläufe von Spannung und Strom
des ohmschen Widerstandes

Der ohmsche Widerstand R ist gleich dem Quotienten aus den Amplituden- und Effektiv-
werten von Spannung und Strom, und zwischen Strom und Spannung besteht keine Pha-
senverschiebung, denn Strom und Spannung haben den gleichen Anfangsphasenwinkel:

û

R =

= U

(4.31)

=
û – i = 0

(4.32)

i

I

Ohmscher Widerstand im komplexen Bereich

Werden die sinusförmigen Zeitfunktionen in komplexe Zeitfunktionen abgebildet, erge-
ben sich dieselben Zusammenhänge wie im Zeitbereich:

i(t) = î · ej(t + i)

u(t) = R · i(t) = R · î · ej(t + i) =
j( t
u )

û e +)

(
d. h.

ˆ
û = R i bzw. U = R · I und u = i

Der Operator zwischen den komplexen Amplituden und komplexen Effektivwerten von

Strom und Spannung ist gleich dem ohmschen Widerstand R, ist also reell. Im Zeigerbild
liegen Stromzeiger I und Spannungszeiger U in gleicher Richtung:

î = î ej)i

I = I e j)i
û = û e j)u

U = U e j)u

Bild 4.17 Zeigerbild des ohmschen
û = R î

U = R I

Widerstandes

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

29

Induktiver Widerstand im Zeitbereich

Fließt ein sinusförmiger Wechselstrom i(t) durch eine Induktivität, so wird in ihr eine
sinusförmige Spannung u(t) induziert:

i (t) = î sin (t + )i )

u(t) = L di(t)

dt
u(t) = L î cos (t + )i )

u(t) = L î sin t + ) +
i

.-

2 /
u(t) = û sin (t + )u )

d.h. û = L î bzw. U = L I

Bild 4.18 Verläufe von Spannung und

Strom des induktiven Widerstandes
und ) = ) +
u
i

2

Der induktive Widerstand XL als Quotient der Amplituden- und Effektivwerte von Span-
nung und Strom ist gleich dem Produkt L, also frequenzabhängig, und die Spannung an
der Induktivität L eilt dem Strom um /2, also um eine Viertelperiode, voraus:

X

=

= U

=

L

L = û

(4.33)

=

(4.34)

û
i
i

I

2

Induktiver Widerstand im komplexen Bereich

Für die komplexen Zeitfunktionen ergeben sich dieselben Beziehungen zwischen den

Amplituden- und Effektivwerten und Anfangsphasenwinkeln wie für die sinusförmigen

Zeitfunktionen:

i (t) = î ( e j(t+)i )

u(t) = L d i (t) = jL î e j(t+)i ) mit j = e j/2
dt
u(t) = L î e j(t+)i +/2) = û e j(t+)u )

d.h. û = L î bzw. U = L I und ) = ) +
u
i

2

Der Operator zwischen den komplexen Amplituden und komplexen Effektivwerten von

Strom und Spannung ist jL, also imaginär.

Im Zeigerbild eilt der Spannungszeiger U dem Stromzeiger I um 90° voraus:

î = î ( ej)i

I = I ( e j)i
û = û ( e j)u

U = U ( e j)u

Bild 4.19
û = jL ( î

U = jL ( I

Zeigerbild des
induktiven

Widerstandes

30

4 Wechselstromtechnik

Kapazitiver Widerstand im Zeitbereich

Der sinusförmige Strom i(t) durch die Zuleitungen zu einem Kondensator mit der Kapazi-
tät C ist gleich dem Verschiebungsstrom und hängt von der zeitlichen Änderung der am

Kondensator anliegenden Spannung u(t) ab:

u(t) = û sin (t + )u )

i (t) = C du(t)

dt
i (t) = C û cos (t + )u )

i (t) = C û sin t + ) +
u

.-

2 /
i (t) = î sin (t + )i )

d.h. î = C û bzw. I = C U

Bild 4.20 Verläufe von Spannung und

Strom des kapazitiven Widerstandes
und ) = ) +
i
u

2

Der kapazitive Widerstand –XC als Quotient der Amplituden- und Effektivwerte von

Spannung und Strom ist gleich dem Kehrwert des Produkts C, also frequenzabhängig,
und der Strom durch die Kapazität C eilt der Spannung um /2, also um eine Viertelperio-
de, voraus:

– X

= 1 = û = U

=

C

(4.35)

=

(4.36)

C
û
i
i

I

2

Kapazitiver Widerstand im komplexen Bereich

Für die komplexen Zeitfunktionen ergeben sich dieselben Beziehungen zwischen den

Amplituden- und Effektivwerten und den Anfangsphasenwinkeln wie für die sinusförmi-
gen Zeitfunktionen:

u(t) = û ( e j(t+)u )

i (t) = C d u(t) = jC û e j(t+)u ) mit j = e j/2
dt
i (t) = C û e j(t+)u +/2) = î e j(t+)i )

d.h. î = C û bzw. I = C U und ) = ) +
i
u

2

Der Operator zwischen den komplexen Amplituden und komplexen Effektivwerten von

Spannung und Strom ist jC, also imaginär.

Im Zeigerbild eilt der Stromzeiger I dem Spannungszeiger U um 90° voraus.

û = û ( e j)u

U = U ( e j)u
î = î ( ej)i

I = I ( e j)i

Bild 4.21
î = jC ( û

I = jC ( U

Zeigerbild des
kapazitiven

Widerstandes

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

31

Ohmsches Gesetz der Wechselstromtechnik – der komplexe Widerstand

Wird also an einen ohmschen Widerstand, eine Induktivität oder eine Kapazität eine si-
nusförmige Spannung angelegt, dann hat der sich ergebende sinusförmige Strom die glei-
che Frequenz wie die Spannung, eine andere Amplitude î und eine Phasenverschie-
bung gegenüber der Spannung. Der Zusammenhang zwischen der sinusförmigen Span-
nung und dem sinusförmigen Strom in einem ohmschen, induktiven oder kapazitiven

Widerstand wird also durch zwei Größen eindeutig bestimmt:

1. Quotient der Amplituden- oder Effektivwerte von Spannung und Strom, der Scheinwi-
derstand oder die Impedanz (impedance):

û

Z =

= U

(4.37)

î

I

2. Phasenverschiebung zwischen der Spannung und dem Strom:

= u – i.

(4.38)

Anzustreben ist, diese beiden Größen in einem Wechselstromwiderstand zusammenzufas-
sen. Der Quotient der Zeitfunktionen
u
û ( sin (t + )

=
u )

i
î ( sin (t + )i)

bedeutet aber keine sinnvolle Definition eines Wechselstromwiderstandes, weil die Zeit t enthalten bleibt, der Wechselstromwiderstand aber nicht zeitabhängig ist. Im komplexen

Bereich allerdings ergibt die Division der komplexen Zeitfunktion der Spannung u durch
die komplexe Zeitfunktion des Stroms i eine Größe, die sowohl den Scheinwiderstand Z
als auch die Phasenverschiebung enthält: Der Betrag des komplexen Widerstandes ist gleich dem Scheinwiderstand, das Argument des komplexen Widerstandes ist gleich der

Phasenverschiebung:

u(t)

Z =

= û ( ej(t+)u ) = û ( ej)u ( ejt
i (t)

î ( ej(t+)i)

î ( ej)i ( ejt
u(t)

Z =

= û = U

(4.39)

i (t)

î

I
û

Z =
e j(u i ) = U e j(u i ) = Z ( e j

(4.40)

î

I
mit Z = Z = û = U und =
û
i
i

I

Die Gleichung U = Z · I wird „Ohmsches Gesetz in komplexer Form“ oder „Ohmsches

Gesetz der Wechselstromtechnik“ genannt, weil es dem Ohmschen Gesetz der Gleich-
stromtechnik ähnelt. Während der Gleichstromwiderstand R der tatsächlich wirkende

Widerstand im Gleichstromfeld ist, stellt der komplexe Widerstand Z lediglich die Proportionalitätsgröße zwischen den abgebildeten Zeitfunktionen von Spannung und Strom dar,
nicht aber den wirksamen Widerstand zwischen den sinusförmigen Zeitfunktionen selbst.

32

4 Wechselstromtechnik

Die Exponentialform des komplexen Widerstandes Z lässt sich nach der Eulerschen For-
mel in die trigonometrische und algebraische Form überführen:

Z = Z · ej

Z = Z · cos + j · Z · sin

(4.41)

Z = R + j · X,

(4.42)

wobei der Realteil Wirkwiderstand oder Resistanz (resistance) und der Imaginärteil Blindwiderstand oder Reaktanz (reactance) genannt wird.

R = Re{Z} = Z · cos

(4.43)

mit Z =

R2 + X2

(4.44)

X

X = Im{Z} = Z · sin

(4.45)

und = arc tan

(4.46)

R

Komplexer Widerstand des ohmschen, induktiven und kapazitiven Widerstandes

Mit

U

Z =

= U ej(u i) = Z ( ej

I

I
ergibt sich für den
für den
für den
ohmschen Widerstand:

induktiven Widerstand:

kapazitiven Widerstand:

U

U

U

Z =

= R

) = 0

Z =

= L

) =

Z =

= 1

=

I

I

2

I

C

2

1

Z = R · ej0 = R

Z = L · ej/2 = jL

Z =
e j / 2 = 1

C
jC

1

Z = R

Z =jL = jXL

Z = j

= jX

C

C

Komplexer Widerstand der Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen

Sind mR ohmsche Widerstände, mL Induktivitäten und mC Kapazitäten in Reihe geschal-
tet, dann ist der sinusförmige Strom i(t) an jeder Stelle gleich, und die sinusförmige Gesamtspannung u(t) ist in jedem Augenblick gleich der Summe von m sinusförmigen Teil-
spannungen:

m
mR
mL
mC
u(t) =
u

=

+

+
i (t)

uRi(t)

uLi(t)

uCi(t)

i=1
i=1
i=1
i=1
mit mR + mL + mC = m

Bild 4.22 Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

33

Mit
di(t)

uRi(t) = Ri · i(t)

u
u
i(t)

Li (t) = Li
dt
dt

Ci (t) = 1

Ci
ergibt sich für die Gesamtspannung
m
m
m

R

L
di(t)

C
u(t) =

R

+

1

i
i(t) +

Li
i(t) dt.

dt

Ci
i=1
i=1
i=1

Damit lassen sich die mR ohmschen Widerstände, mL Induktivitäten und mC Kapazitäten
der Reihenschaltung zu Ersatzgrößen Rr, Lr und Cr zusammenfassen:

u(t) = R
di(t) + 1
r
i(t) + Lr
i dt

dt

Cr
mit
mR
mL
mC

Rr =

R

=

1 =

1

i

Lr

Li

C

C
i=1
i=1
r
i
i=1

Der Index r bedeutet, dass eine Reihenschaltung vorliegt.

Bild 4.23

Ersatzgrößen der Reihenschal-
tung von Wechselstromwider-
ständen

Im komplexen Bereich können die komplexen Widerstände der ohmschen Widerstände,

Induktivitäten und Kapazitäten zu komplexen Ersatzwiderständen und zu einem komple-
xen Widerstand der gesamten Reihenschaltung Zr zusammengefasst werden, wie aus dem

Maschensatz für komplexe Zeitfunktionen und komplexe Effektivwerte herzuleiten ist:

Nach Gl. (4.27) ist
m
mR
mL
mC
u(t) =
u

=

+

i (t)

uRi(t)

uLi(t) +
uCi(t).

i=1
i=1
i=1
i=1

Mit

1
uRi(t) = Ri · i(t)

uLi(t) = jLi · i(t)

uCi(t) =
i (t)

jCi
ergibt sich
m
m
m

R

L

C
u(t) =

R

i
i (t) +
jLi i (t) +

1
i (t)

jCi
i=1
i=1
i=1
m

R
mL
mC

u(t) =

R +

+

1

i
jLi
i (t)

jC

i=1
i=1
i
i=1

u(t) = R +

+ 1

r
jLr
i (t)

jCr i (t) = Zr

34

4 Wechselstromtechnik

Wird die Reihenschaltung der Wechselstromwiderstände in die Schaltung mit komplexen

Effektivwerten und komplexen Operatoren überführt, ergibt sich die Spannungsgleichung
in komplexen Effektivwerten.

Bild 4.24 Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen im Bildbereich und ihre Überführung in die Ersatzschaltung

Nach Gl. (4.29) ist
m
mR
mL
mC

U =

U

= + +
i

URi

ULi

UCi.

i=1
i=1
i=1
i=1

Mit

U

=

=

= 1

Ri

Ri I

ULi
jL I

UCi

I
jCi
ergibt sich für den komplexen Effektivwert der Gesamtspannung
mR
mL
mC

U =

R

+

+

1

i

I
jLi I

I
jC
i=1
i=1
i
i=1
m

R
mL
mC

U =

R +

+

1

i
jLi

I .

jC

i=1
i=1
i
i=1

Damit lassen sich die mR ohmschen Widerstände, mL Induktivitäten und mC Kapazitäten
der Reihenschaltung genauso wie im Zeitbereich zu Ersatzgrößen Rr, Lr und Cr zusam-
menfassen:

mR
mL
mC

R =

=

1

=

1

r

Ri
jLr
jLi
jC
jC
i=1
i=1
r
i
i=1
mL
m

1

C
bzw. L =
bzw.

=

1

(4.47)

r

Li

C

C
i=1
r
i
i=1

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

35

Die Spannungsgleichung in komplexen Effektivwerten lautet dann:

U = R +

+ 1

+

1

(
r
jLr
j ( L

I

jC
r

r

( I = Rr

C

r

U =[Rr + j · (XL + XC)] · I = [Rr + j · Xr] · I = Zr · I

mit Zr = R +

=

+

+

+

1
r
j ( Xr

Rr
j( (XL

XC ) = Rr
j ( Lr

Cr

(4.48)

und Xr = XL + XC

XL = Lr

X

= 1

C

(4.49)

Cr

Die ohmschen Anteile eines komplexen Widerstandes Zr finden sich also grundsätzlich im

Realteil, die induktiven Anteile im positiven Imaginärteil und die kapazitiven Anteile im negativen Imaginärteil.

Der komplexe Effektivwert der Gesamtspannung U teilt sich also in drei Teilspannungen
auf:

1

U = UR + UL + UC = Rr · I + jLr · I +

I,
jCr
wobei die reelle Spannung UR auch „Wirkspannung“ Uw genannt wird. Die beiden imagi-
nären Spannungen UL und UC, die wegen der entgegengesetzten Vorzeichen gegeneinan-
der gerichtet sind, werden zur Spannung UX bzw. „Blindspannung“ Ub zusammengefasst:

U = UR + UX

(4.50)

mit UR = Rr · I
und

UX = UL + UC = j (XL + XC) · I = jXr · I

Wird in

Z
j)

j)

r = Z e
r
r

= Zr e

Zr = Zr · cos r + j · Zr · sin r = Zr · cos + j · Zr · sin

(vgl. Gl. 4.41)

Zr = U/I berücksichtigt

U

Zr =
cos) + j U sin ) = U cos) + j U sin )

I
r

I
r

I

I
und mit I multipliziert, dann ergibt sich die Spannungsgleichung

Zr · I = U = U · cos r + j · U · sin r = U · cos + j · U · sin ,
die dem Zeigerbild im Bild 4.25 mit i = 0 entspricht. Mit Gl. (4.50) verglichen, ist

UR = U · cos

(4.51)

UX = U · sin

(4.52)

mit U =

U 2 +

2

R

UX .

(4.53)

Der Ersatzwiderstand der Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen hängt von der

Größe des ohmschen Widerstandes Rr, der Induktivität Lr, der Kapazität Cr und der Kreis-
frequenz ab. Fließt durch die Reihenschaltung ein sinusförmiger Strom i, dann ist die

Gesamtspannung u bezogen auf den Strom i entweder bis /2 voreilend, in Phase oder bis

– /2 nacheilend.

36

4 Wechselstromtechnik

Der komplexe Widerstand Zr ist also entweder ein induktiver, ohmscher oder kapazitiver

Widerstand, und die Ersatzschaltung besteht entweder aus der Reihenschaltung eines
ohmschen Widerstandes Rr und einer Induktivität Lr, nur aus einem ohmschen Widerstand

Rr oder aus der Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes Rr und einer Kapazität Cr:

Induktiver komplexer Widerstand:

Zr = Rr + jXr
mit Xr > 0

1. Die Reihenschaltung besteht nur aus ohmschen Widerständen Ri und Induktivitäten Li,
die zu den Ersatzgrößen Rr und Lr zusammengefasst werden.

2. Die Reihenschaltung enthält ohmsche Widerstände Ri, Induktivitäten Li, und Kapazi-
täten Ci, die zu den Ersatzgrößen Rr, Lr und Cr zusammengefasst werden.

Sie verhält sich wie ein induktiver Wechselstromwiderstand, wenn Xr > 0 ist,
d. h. wenn Lr > 1/Cr.

Ohmscher komplexer Widerstand:

Zr = Rr
mit Xr = 0

1. Die Reihenschaltung besteht nur aus ohmschen Widerständen Ri, die zu der Ersatz-
größe Rr zusammengefasst werden.

2. Die Reihenschaltung enthält ohmsche Widerstände Ri, Induktivitäten Li, und Kapazi-
täten Ci, die zu den Ersatzgrößen Rr, Lr und Cr zusammengefasst werden.

Sie verhält sich wie ein ohmscher Widerstand, wenn Xr = 0 ist,
d. h. wenn Lr = 1/Cr.

Kapazitiver komplexer Widerstand:

Zr = Rr + jXr
mit Xr < 0

1. Die Reihenschaltung besteht nur aus ohmschen Widerständen Ri und Kapazitäten Ci,
die zu den Ersatzgrößen Rr und Cr zusammengefasst werden.

2. Die Reihenschaltung enthält ohmsche Widerstände Ri, Induktivitäten Li, und Kapazi-
täten Ci, die zu den Ersatzgrößen Rr, Lr und Cr zusammengefasst werden.

Sie verhält sich wie ein kapazitiver Wechselstromwiderstand, wenn Xr < 0 ist,
d. h. wenn Lr < 1/Cr.

Im Zeigerbild bilden die komplexen Effektivwerte der Spannungen ein „Spannungsdrei-
eck“ und die entsprechenden komplexen Widerstände ein „Widerstandsdreieck“, wenn der

Imaginärteil Xr positiv oder negativ ist:

Bild 4.25 Zeigerbilder der Ströme und Spannungen und komplexen Widerstände von Wechselstromwiderständen

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

37

Spannungsteilerregel

Für zwei in Reihe geschaltete Wechselstromwiderstände gilt die Spannungsteilerregel
analog wie in der Gleichstromtechnik nur im komplexen Bereich:

Die komplexen Zeitfunktionen oder die komplexen Effektivwerte der Spannungen
über zwei vom gleichen sinusförmigen Strom durchflossenen Widerstände verhalten
sich wie die zugehörigen komplexen Widerstände.

U

Z

1 = 1

U

Z

2

2

U

Z

U

Z

1 =

1

2 =

2

U

Z + Z

U

Z + Z

1

2

1

2

Im Zeitbereich kann eine entsprechende Regel nicht gelten, weil Ströme und Spannungen
bei Induktivitäten und Kapazitäten differentiell zusammenhängen.

Beispiel 1:

Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Induktivität

Zeitbereich:

komplexer Bereich:

Bild 4.26 Spannungsteilerregel für die Reihenschaltung
eines ohmschen Widerstandes und einer Induktivität
di

Lr
u

L
dt

=
uL

UL
j Lr

=

=
u
di
u

U

R + j L

R
r
r
r i + Lr dt

Beispiel 2:

Für die skizzierte RC-Schaltung ist das Span-
nungsverhältnis U2/U1 in Abhängigkeit von R, C
und zu ermitteln. Die Hilfsspannung Uh soll die

Lösung erleichtern.

Lösung:

U2

R

=

U

1
h

R + jC

Bild 4.27 RC-Schaltung als Beispiel
für die Spannungsteilerregel

38

4 Wechselstromtechnik

1

R

+

R
j

C

1

1

R +

+ R

R

+

R

U

h
j C
j C

=

=

U

1

1

1

2R

R

+

R

+

1
j C
j

C

1

R

+

+

R +

1
j C

j C
j C

R +

+ R
j C

U

U

U

2 = 2 ( h =

R2

=

1

U

U

U

1
h

1

3

R2 + R + 2R

1

1

1
jC
jC

2C2

2R2C2 jRC

Beispiel 3:

Für die skizzierte Schaltung mit komplexen

Operatoren und komplexen Effektivwerten
soll das Spannungsverhältnis UC/U in Ab-
hängigkeit von , R, RLr, Lr, und Cr (mit

RCr = 0) ermittelt werden.

Bild 4.28 Beispiel für die Spannungsteiler-

Lösung:

regel

(R

+ jL ) 1

Lr
r
jCr

R

+ jL + 1

U

Lr
r
jC

C =
r

=

1

U

(R

+ jL ) 1

R

+ jL + 1

Lr
r
jC

Lr
r
jC

R +
r

R
r

+ 1

R

+ jL + 1

(R

+ jL ) 1

Lr
r
jC

Lr
r
jC
r
r

UC =

1

U

R

1

R(R

+ jL )

jC

Lr
r

+
r

+ 1

(R

+ jL ) 1

(R

+ jL ) 1

Lr
r
jC

Lr
r
jC
r
r

UC =

1

=

1

U

R
jL
jRC +

R

+ 1

Lr
r
r
jRC +

R

(

+ 1

R

+ jL
r

Lr
r

R

+ jL

R
jL

Lr
r

Lr
r

UC =

1

U

R ( R

R ( L

1

+

Lr

+ j ( RC

r

r

R 2 + 2L 2

R 2 + 2L 2

Lr
r

Lr
r

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

39

Der komplexe Leitwert

Wird also an einen Wechselstromwiderstand eine sinusförmige Spannung u angelegt,
dann fließt ein sinusförmiger Strom i mit der gleichen Frequenz .

Das Amplituden-
oder

Effektivwertverhältnis wird
durch
den

Scheinwiderstand

Z =

ˆ
û / i = U/I und die Differenz der Anfangsphasenwinkel durch die Phasenverschiebung

= u – i erfasst.

Selbstverständlich kann auch die Amplitude oder Effektivwert des Stroms auf die Ampli-
tude oder den Effektivwert der Spannung bezogen werden, d. h. der Kehrwert des Schein-
widerstandes erfasst das Amplituden- oder Effektivwertverhältnis:

Der Quotient der Amplituden- oder Effektivwerte von Strom und Spannung, der

Scheinleitwert oder die Admittanz (admittance) wird mit Y bezeichnet:

î

Y =

= I

(4.54)

û

U

Beide Größen – der Scheinleitwert und die Phasenverschiebung – sollen in einem Wech-
selstromleitwert zusammengefasst werden.

Im Zeitbereich ist es nicht möglich, einen sinnvollen Wechselstromleitwert zu definieren, weil im Quotient i/u die Zeit t erhalten bleibt.

Im komplexen Bereich allerdings ergibt die Division der komplexen Zeitfunktion des

Stroms i durch die komplexe Zeitfunktion der Spannung u eine Größe, die sowohl den

Scheinleitwert Y als auch die Phasenverschiebung enthält. Der Betrag des komplexen Leitwerts ist gleich dem Scheinleitwert, das Argument des komplexen Leitwerts ist gleich der negativen Phasenverschiebung. Der komplexe Leitwert ist also der Kehrwert des
komplexen Widerstands:

î ( ej(t+)i)

î ( ej)i ( ejt

Y = 1 = i (t) =

=

Z
u(t)

û ( e j(t+)u )

û ( e j)u ( e jt
î

Y = 1 = i (t) =

= I

(4.55)

Z
u(t)

û

U
î

Y =

( e j(u i) = I e j(u i)

(4.56)

û

U

Y = Y ( e j =

1

= 1

(4.57)

Z ( e j

Z
î
mit Y = Y =

= I = 1 = 1
und = u – i
û

U

Z

Z

Die Gleichung I = Y · U ist wegen Y = 1/Z nur eine andere Schreibweise des Ohmschen

Gesetzes in komplexer Form. Der komplexe Leitwert ist entsprechend der Proportionali-
tätsfaktor zwischen den abgebildeten Zeitfunktionen von Strom und Spannung, nicht aber
zwischen den Zeitfunktionen selbst.

40

4 Wechselstromtechnik

Die Exponentialform des komplexen Leitwerts lässt sich analog in die trigonometrische
und algebraische Form umwandeln:

Y =Y · e–j

Y = Y · cos – j · Y · sin

(4.58)

Y = G + j · B,

(4.59)

wobei der Realteil Wirkleitwert oder Konduktanz (conductance) und der Imaginärteil Blindleitwert oder Suszeptanz (susceptance) genannt wird:

G = Re{Y}

= Y · cos

(4.60)

B = Im{Y}

= – Y · sin

(4.61)

B
mit

Y = G 2 + B2 und = – arc tan

.

G

Komplexer Leitwert des ohmschen, kapazitiven und induktiven Widerstandes

Mit

Y = I = I ( e j(u i ) = Y ( e j

U

U
ergibt sich für den
für den
für den
ohmschen Widerstand:

kapazitiven Widerstand:

induktiven Widerstand:

I

I

I

Y =

= G = 1

= 0

Y =

= C

=

Y =

= 1

) =

U

R

U

2

U

L

2

1

Y = G · ej0 = G

Y = C · e–j(–/2) = jC

Y =
e j/2 = 1

L
jL

1

Y = G

Y = jC = j BC

Y = j

= jB

L

L

Komplexer Leitwert der Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen

Sind mR Widerstände, mC Kapazitäten und mL Induktivitäten parallel geschaltet, dann ist
die anliegende sinusförmige Spannung u(t) überall gleich, und der sinusförmige Gesamt-
strom i(t) ist in jedem Augenblick gleich der Summe von m sinusförmigen Teilströmen:

m
mR
mC
mL
i(t) =
i

=

+

+
i (t)

iRi(t)

iCi(t)

iLi(t)

i=1
i=1
i=1
i=1
mit mR + mC + mL = m

Bild 4.29 Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

41

Mit
u(t)

du(t)

1
iRi(t) =
iCi(t) = C
iLi(t) =
u(t)

dt

R
i
i
dt

Li
ergibt sich für den Gesamtstrom
mR
m
m
u(t)

C
du(t)

L
i(t) =

+

C

+

1
u(t)

dt

R
i
i
dt

L
i=1
i=1
i
i=1

Damit lassen sich die mR ohmschen Widerstände, mC Kapazitäten und mL Induktivitäten
der Parallelschaltung zu Ersatzgrößen Rp, Cp und Lp zusammenfassen:

u(t)

i(t) =

+ C du(t) + 1 u(t)

dt

R
p
p
dt

Lp
m
m
m

1

R

C

L
mit

=

1

C =

C

1 =

1

R
p
i
p

Ri

L

L
i=1
i=1
p
i
i=1

Der Index p bedeutet, dass eine Parallelschaltung vorliegt.

Bild 4.30

Ersatzgrößen der Parallelschaltung von

Wechselstromwiderständen

Im komplexen Bereich können die komplexen Leitwerte der ohmschen Widerstände,

Kapazitäten und Induktivitäten zu komplexen Ersatzleitwerten und zu einem komplexen

Leitwert der gesamten Parallelschaltung
p

Y zusammengefasst werden, wie aus der Kno-
tenpunktregel für komplexe Zeitfunktionen und komplexe Effektivwerte herzuleiten ist:

Nach Gl. (4.28) ist
m
mR
mC
mL
i (t) =
i

=

+

+
i(t)

iRi(t)

iCi(t)

iLi(t)

i=1
i=1
i=1
i=1

Mit
i

Ri(t) = 1 u(t)

i
u(t)

i
u(t)

R

Ci(t) = jCi

Li(t) =

1
i
jL
ergibt sich
mR
mC
mL
i (t) =

1
u(t) + jC

+

1
u(t)

R
iu(t)

i
jL
i=1
i=1
i
i=1
m
m

R

C
mL

i (t) =

1

+
jC

+

1

u(t)

R
i

i
jL
i=1
i=1
i
i=1

i (t) =

1

+ jC + 1 u(t) = Y u(t)

R
p

p
p
jLp

42

4 Wechselstromtechnik

Wird die Parallelschaltung der Wechselstromwiderstände in die Schaltung mit komplexen

Effektivwerten und komplexen Operatoren überführt, ergibt sich die Stromgleichung in
komplexen Effektivwerten.

Bild 4.31 Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen im Bildbereich und ihre Überführung in die Ersatzschaltung

Nach Gl. 4.30 ist
m
mR
mC
mL

I =

I

= + +
i

IRi

ICi

ILi.

i=1
i=1
i=1
i=1

Mit

I

= 1

=

= 1

Ri

U

I
jC U

I

U

R

Ci
i

Li
i
jLi
ergibt sich für den komplexen Effektivwert des Gesamtstroms
mR
m
m

C

L

I =

1

U + jC

U

R
iU +

1
i
jL
i=1
i
i=1
i=1
m
m

R

C
mL

I =

1

+
jC

+

1

U.

R
i

i
jL
i=1
i=1
i
i=1

Damit lassen sich die mR ohmschen Widerstände, mC Kapazitäten und mL Induktivitäten
der Parallelschaltung genauso wie im Zeitbereich zu Ersatzgrößen Rp, Cp und Lp zusam-
menfassen:

m
m
m

1

R

C

L

=

1

jC =
jC

1

=

1

R
p
i
p

Ri
jL
jL
i=1
i=1
p
i
i=1
mC
m

1

L
bzw. Cp =

C

=

1
i
bzw.

(4.62)

L

L
i=1
p
i
i=1

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

43

Die Stromgleichung in komplexen Effektivwerten lautet dann:

" 1

1

#

1

"

1 #

I $
j C
p

% U :

j $Cp

%; U

$

R

%

$

&

'

:

%
p
j Lp

Rp

Lp

&

';!

I

1

:

j (B B ; U [G j B

U

R

C

L )

:

p
p ] U Yp
p

;

!

1

1

1

"

1 #
mit p

Y
j Bp
j ( C

B BL )

j $Cp

% (4.63)

R

$

%
p

Rp

Rp

Lp

&

'

1
und Bp = BC + BL

BC = Cp

BL = 1

G

. (4.64)

p =

Lp

R p

Die ohmschen Anteile eines komplexen Leitwertes p

Y finden sich also grundsätzlich im

Realteil, die kapazitiven Anteile im positiven Imaginärteil und die induktiven Anteile im negativen Imaginärteil.

Der komplexe Effektivwert des Gesamtstroms I teilt sich also in drei Teilströme auf:

I I

1

R

IC

IL

U jC

U

1

U,

R
p
jL

p
p
wobei der reelle Strom IR auch „Wirkstrom“ Iw genannt wird. Die beiden imaginären Strö-
me IC und IL, die wegen der entgegengesetzten Vorzeichen gegeneinander gerichtet sind,
werden zum Strom IB bzw. „Blindstrom“ Ib zusammengefasst:

I I I

R

B (4.65)

mit I

1

R

U G

U und I

I

I
j(B

B

U

R
p

B

C

L

C

L ) U jBp

p

Wird in

Y Y e jp Y e j
p
p
p

Y Y cos j Y sin Y cos j Y sin (vgl.

Gl.4.58)

p
p
p
p
p
p
p

Yp = I/U eingesetzt

Y I

I

p
cos p
j I sin p
cos j I sin

U

U

U

U
und mit U multipliziert, dann ergibt sich die Stromgleichung
p

Y · U = I = I · cos p + j · I · sin p = I · cos + j · I · sin(– ),
die dem Zeigerbild im Bild 4.32 mit u = 0 entspricht. Mit Gl. (4.65) verglichen, ist

IR = I · cos

(4.66)

und IB = I · sin(– ) = – I · sin (4.67)

mit I I 2 I 2 . (4.68)

R

B

Der Ersatzleitwert der Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen hängt von der Grö-
ße des ohmschen Widerstandes Rp , der Kapazität Cp , der Induktivität Lp und der Kreisfrequenz ab. Liegt an der Parallelschaltung eine sinusförmige Spannung u, dann ist der Gesamtstrom i bezogen auf die Spannung u entweder bis /2 voreilend, in Phase oder bis

– /2 nacheilend.

44

4 Wechselstromtechnik

Der komplexe Leitwert Yp ist also entweder ein kapazitiver, ohmscher oder induktiver

Leitwert, und die Ersatzschaltung besteht entweder aus der Parallelschaltung eines ohm-
schen Widerstandes Rp und einer Kapazität Cp, nur aus einem ohmschen Widerstand Rp
oder aus der Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes Rp und einer Induktivität Lp: Kapazitiver komplexer Leitwert:

Yp = 1/Rp + j Bp = Gp + j Bp mit Bp > 0

1. Die Parallelschaltung besteht nur aus ohmschen Widerständen Ri und Kapazitäten Ci,
die zu den Ersatzgrößen Rp und Cp zusammengefasst werden.

2. Die Parallelschaltung enthält ohmsche Widerstände Ri, Kapazitäten Ci und Induktivitä-
ten Li, die zu den Ersatzgrößen Rp, Cp und Lp zusammengefasst werden.

Sie verhält sich wie ein kapazitiver Wechselstromleitwert, wenn Bp > 0 ist,
d. h. wenn Cp > 1/Lp.

Ohmscher komplexer Leitwert:

Yp = 1/Rp = Gp mit Bp = 0

1. Die Parallelschaltung besteht nur aus ohmschen Widerständen Ri, die zu der Ersatz-
größe Rp zusammengefasst werden.

2. Die Parallelschaltung enthält ohmsche Widerstände Ri, Kapazitäten Ci und Induktivi-
täten Li, die zu den Ersatzgrößen Rp, Cp und Lp zusammengefasst werden.

Sie verhält sich wie ein ohmscher Leitwert, wenn Bp = 0 ist,
d. h. wenn Cp = 1/Lp.

Induktiver komplexer Leitwert:

Yp = 1/Rp + j Bp = Gp + j Bp mit Bp < 0

1. Die Parallelschaltung besteht nur aus ohmschen Widerständen Ri und Induktivitäten

Li, die zu den Ersatzgrößen Rp und Lp zusammengefasst werden.

2. Die Parallelschaltung enthält ohmsche Widerstände Ri, Kapazitäten Ci und Induktivi-
täten Li, die zu den Ersatzgrößen Rp, Cp und Lp zusammengefasst werden.

Sie verhält sich wie ein induktiver Wechselstromleitwert, wenn Bp < 0 ist,
d. h. wenn Cp < 1/Lp.

Im Zeigerbild bilden die komplexen Effektivwerte der Ströme ein „Stromdreieck“ und die
entsprechenden komplexen Leitwerte ein „Leitwertdreieck“, wenn der Imaginärteil Bp
positiv oder negativ ist:

Bild 4.32 Zeigerbilder der Spannungen und Ströme und komplexen Leitwerte von Wechselstrom-leitwerten

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

45

Stromteilerregel

Für zwei parallel geschaltete Wechselstromwiderstände gilt die Stromteilerregel analog
wie in der Gleichstromtechnik nur im komplexen Bereich:

Die komplexen Zeitfunktionen oder die komplexen Effektivwerte der Ströme durch
zwei parallel geschaltete Wechselstromwiderstände, an denen die gleiche sinusför-
mige Spannung anliegt, verhalten sich wie die zugehörigen komplexen Leitwerte
und sind umgekehrt proportional zu den komplexen Widerständen.

Die komplexe Zeitfunktion oder der komplexe Effektivwert des Teilstroms verhält
sich zur komplexen Zeitfunktion oder zum komplexen Effektivwert des Gesamt-
stroms wie der komplexe Widerstand, der nicht vom Teilstrom durchflossen ist, zum
komplexen Ringwiderstand.

I1

1

Y

Z2

I 2

2

Y

1

Z

I1

Z

I 2

Z

2

1

I

1

Z

Z2

I

1

Z

Z2

Beispiel 1:

Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Kapazität

Zeitbereich:

komplexer

Bereich:

Bild 4.33 Stromteilerregel für die Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Kapazität
du

Cp
i
i

I

R
jC

C
dt

C

C
p
p

i
u
du

i

I

R 1/ jC

1/ R jC

C
p
p
p
p
p

Rp
dt

Beispiel 2:

Für die skizzierte Schaltung ist der Strom IL in

Abhängigkeit von U, , RLp, Lp und R zu ermit-
teln.

Lösung:

I

R

L

Lp

I

RLp jLp

Bild 4.34 Beispiel für die Stromteiler-

U
mit I

regel

RLp jLp

R R

Lp jLp

46

4 Wechselstromtechnik

U RLp

U

IL

R(RLp jLp ) RLp jLp

" R

#

R jLp $

1%

$ R

%

Lp

&

'

Beispiel 3:

1. Für die skizzierte Schaltung ist der

Strom IC in Abhängigkeit von U, ,

RLr, Lr, RCp und Cp zu ermitteln.

2 Anschließend sollen der Strom IR und
die Spannung UC bestimmt werden.

Lösung:

Zu 1.

I C

RCp

I

1

Bild 4.35 Beispiel für die Stromteilerregel

RCp jCp

R

U

Cp
mit I

U

"

#

R

1

1

Cp

$

1

jC

R
jL ) R

Cp

% (RLr
r

Cp
p
jC
jC

R
jL

&
p '

p

Lr
r

R

1

Cp
jC

p

I

U

C

R
jL

R

1

Lr jL
r

1

Lr
jC R
r
jC R
jC

p

Cp
p

Cp
p

U

IC

"

1

L #

"

#
r

1

R Lr

$ RLr

% j :Lr

$

1%;

$

R

%

&

'

:

$

%

Cp Cp

Cp RCp

&

';!

Zu 2.

I

1 / R

R

Cp

I
jC

C
p

I

1

U

R
jR C

R

L

Cp
p

R

1

Lr jL
r

1

Lr
jC R
r

C R
jC

p

Cp
p

Cp
p

U

IR

2
jRCpRLrCp RLr RCpLrCp jLr RCp

U

IR

2

(RLr RCp RCpLrCp) j (L
r RCpRLrCp)

U

UC RCp IR

" R

#

"

#

Lr

2

Lr

$

1 LrCp % j$

RLrCp %

$ R

%

$

%

Cp

RCp

&

'

&

'

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

47

Komplexer Widerstand und komplexer Leitwert von gemischten Schaltungen

Gemischte Schaltungen enthalten Reihen- und Parallelschaltungen von Wechselstromwi-
derständen. Wie beschrieben, werden zunächst für die Reihenschaltungen die komplexen

Widerstände und für die Parallelschaltungen die komplexen Leitwerte addiert.

Parallel geschaltete Reihenschaltungen – äquivalente Schaltungen

Sind Reihenschaltungen parallel geschaltet, dann müssen die komplexen Widerstände der

Reihenschaltungen in komplexe Leitwerte überführt werden, d. h. die Reihenschaltungen
gehen in äquivalente Parallelschaltungen über. Anschließend lassen sich die komplexen

Leitwerte addieren.

Um die ohmschen Widerstände der Reihen- und Parallelschaltungen mit Induktivitäten
und Kapazitäten unterscheiden zu können, werden Doppelindizierungen vorgenommen.

Beispiel: Parallelschaltung von zwei Reihenschaltungen (Parallel-Resonanzkreise)

Bild 4.36 Parallelschaltung von zwei Reihenschaltungen

1

ZCr = RCr j Cr

1

RCr + j

1

1

Cr

Cp

Y

=

=

(

Z

1

1

Cr

RCr j

RCr + j

Cr

Cr

1

R

C

Y

=

Cr

+ j
r

= 1 + jC

(4.69)

Cp

R
p

R

2 +

1

R

2 +

1

Cp

Cr

2

Cr

C 2

2C 2
r
r

R

2 +

1

Cr

2C 2
mit R

=
r

Cp

RCr

1

2C
und C =
r
p

R 2 +

1

Cr

2C 2
r

48

4 Wechselstromtechnik

ZLr = RLr + jLr

1

1

RLr jLr

Lp

Y

=

=

(

ZLr

RLr + jLr RLr jLr

R

L

Y

=

Lr
j (
r

= 1 j ( 1

(4.70)

Lp

R 2 + 2L 2

R 2 + 2L 2

R

L

Lr
r

Lr
r

Lp
p

R 2 + 2L 2
mit R

Lr
r

Lp =

R Lr

R 2 + 2L 2
und L

Lr
r
p =

2Lr

1

1

1
p

Y = C

Y p + L

Y p =

+

+ j ( Cp

R

Cp

RLp

Lp

1

R

R

C

L

Y =

Cr

+

Lr

+ j(
r

r

(4.71)

p

R 2 + 2L 2

R 2 + 2L 2

R 2

+

1

Lr
r

R 2

+

1

Lr
r

Cr

2

Cr

C 2

2C 2
r

r

Der komplexe Leitwert einer Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen wird also
durch den Kehrwert des komplexen Widerstandes und durch konjugiert komplexes Erwei-
tern ermittelt:

jX

X

Y = 1 =

+

=

1

Rr
r =

Rr

+
r
p

G
jB
j

(4.72)

Z
p
p

+

2

2

2

2
r

Rr
jXr Rr
jXr

R

+

+
r

Xr

Rr

Xr
mit G

=

Rr

= Rr =

2
p

Rr Yr

R 2 +

2

2
r

Xr

Zr
und B =

Xr

= Xr =

2
p

Xr Yr

R 2 +

2

2
r

Xr

Zr

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

49

Beispiel:

Überführung der Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes Rr, einer Induktivität Lr und einer Kapazität Cr in eine äquivalente Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes

Rp, einer Induktivität Lp und einer Kapazität Cp:

Bild 4.37 Überführung einer RLC-Reihenschaltung
in eine äquivalente RCL-Parallelschaltung

Da die Schaltelemente der Parallelschaltung Rp, Lp und Cp gesucht sind, muss vom komple-
xen Leitwert ausgegangen werden:

"

1 #

R r j

L

$ r

%

1

1

C

&
r '

p

Y

Zr

"

1 #

"

1 #

Rr j $Lr

R

%
r j $ Lr

%

C

&
r

C

'

&
r '

1

Lr

R r

C
r
p

Y
j

2

2

"

#

"

#

2

1

2

1

Rr

L

$ r

R

%
r

$Lr

%

C

&
r

C

'

&
r '

1

"

1 #
p

Y
j $Cp

%

R

$

%
p

Lp

&

'

2

"

#

2

1

R r $Lr

%

C

&

'

mit
r

R p

, (4.73)

R r

1

2

C

r

Cp

(4.74)

2

"

#

2

1

Rr $Lr

%

&

Cr '

2

"

#

2

1

R r $Lr

%

&

C '

r

Lp

(4.75)

2

Lr

50

4 Wechselstromtechnik

In Reihe geschaltete Parallelschaltungen – äquivalente Schaltungen

Sind Parallelschaltungen in Reihe geschaltet, dann müssen umgekehrt die komplexen

Leitwerte der Parallelschaltungen in komplexe Widerstände überführt werden, d. h. die

Parallelschaltungen gehen in äquivalente Reihenschaltungen über. Anschließend lassen
sich die komplexen Widerstände addieren.

Um die ohmschen Widerstände der Parallel- und Reihenschaltungen mit Induktivitäten
und Kapazitäten unterscheiden zu können, werden Doppelindizierungen vorgenommen.

Beispiel: Reihenschaltung von zwei Parallelschaltungen

Bild 4.38 Reihenschaltung von zwei Parallelschaltungen

1

1

Lp

Y

=
j

RLp

Lp

1

+ 1

R

L

Lp
p

Z

= 1 =

1

(

Lr

Y

1

1

1

1

Lp
j

+ j

R

L

R

L

Lp
p

Lp
p

1

1

R

L

Lp
p

Z

=

+ j

= R + jL

(4.76)

Lr

1

Lr
r

+

1

1

+

1

R

2

2L 2

R

2

2L 2

Lp
p

Lp
p

1

R Lp
mit R

=

Lr

1

+

1

R

2

2L 2

Lp
p

1

2Lp
und L =
r

1

+

1

R

2

2L 2

Lp
p

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

51

1

Cp

Y

=

+ jCp

RCp

1
jCp

1

1

RCp

ZCr =

=

(

Y

1

1

Cp

+ jCp
jCp

RCp

RCp

1

R

C

Cp
p

1

Z

=
j (

= R j

(4.77)

Cr

1

Cr

+

1

C

2C 2

+ 2C 2
r
p
p

R

2

R

2

Cp

Cp

1

RCp
mit R

=

Cr

1

+ 2C 2
p

R

2

Cp

1

+ 2C 2
p

R

2

Cp
und C =
r

2Cp

1

Zr = ZLr + ZCr = (RLr + RCr ) + j ( Lr

Cr

1

1

1

R

R

L

C

Lp

Cp

p
p

Z =

+

+ j (

(4.78)

r

1

+

1

1

+

1

1

2C 2

+

1

+ 2C 2
p

p

R

2

2L 2

R

2

R 2

2L 2

R

2

Lp
p

Cp

Lp
p

Cp

Der komplexe Widerstand einer Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen wird
also durch den Kehrwert des komplexen Leitwerts und durch konjugiert komplexes Er-
weitern ermittelt:

G
p
jBp

G p

Bp

Z = 1 =

+

=

1

=

(4.79)

r

R
jX
j

Y
r
r

+

2

2

2

2
p

G p jBp G p jBp G

+

+
p

Bp

G p

Bp

G p

G p
mit

R =

=

=

2
r

G p Zp

G 2 +

2

2
p

Bp

Yp

B

p

Bp
und

X =

=

=

2
r

Bp Zp

G 2 +

2

2
p

Bp

Yp

52

4 Wechselstromtechnik

Beispiel:

Überführung der Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes Rp, einer Kapazität Cp und einer Induktivität Lp in eine äquivalente Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes Rr, einer Induktivität Lr und einer Kapazität Cr:

Bild 4.39 Überführung einer RCL-Parallelschaltung
in eine äquivalente RLC-Reihenschaltung

1

"

1 #
j $Cp

%

R

$

%
p

L

1

1
p

&

'

Zr

p

Y

1

"

1 #

1

"

1 #
j $Cp

%
j $Cp

%

R

$

%

$

%
p

Lp

Rp

Lp

&

'

&

'

1

1

Cp

R p

Lp

Zr
j

2

2

1

"

1 #

1

"

1 #

$Cp

%

$Cp

%

2

2

R

$

%

$

%
p

Lp

Rp

Lp

&

'

&

'

"

1 #

Zr Rr j $Lr

%

&

Cr '

1

R p
mit R r

(4.80)

2

1

"

1 #

$Cp

%

2

R

$

%
p

Lp

&

'

1

2

Lp

Lr

(4.81)

2

1

"

1 #

$Cp

%

2

R

$

%
p

Lp

&

'

2

1

"

1 #

$Cp

%

2

R

$

%
p

Lp

&

'

Cr

(4.82)

2

Cp

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

53

Beispiel einer gemischten Schaltung:

Bild 4.40 Transformation einer gemischten Schaltung in eine Reihenschaltung

Die Berechnung des komplexen Widerstands der im Bild 4.40 dargestellten Schaltung
erfordert vier Transformationen einer Reihenschaltung in die äquivalente Parallelschal-
tung oder umgekehrt, bei der jeweils konjugiert komplex erweitert werden muss. Deshalb
ist die Berechnung des komplexen Widerstands sehr aufwändig.

Eine einfachere Behandlung gemischter Wechselstromschaltungen ist mit Hilfe des

Kreisdiagramms möglich, das im folgenden behandelt werden soll.

Komplexe Widerstände und Leitwerte im Kreisdiagramm

Wegen des stets positiven Realteils werden komplexe Widerstände und komplexe Leit-
werte nur in der rechten Hälfte der Gaußschen Zahlenebene dargestellt.

Die Widerstände Z und Leitwerte Y werden auf einen ohmschen Widerstand R0 bzw.

Leitwert G0 bezogen, so dass dann komplexe Zahlen z in der rechten Hälfte der
z-Ebene den Widerständen und Leitwerten entsprechen:

Mit

Z = R + jX
bzw.

Y = G + jB
sind

X

Z' = Z = R + j

(4.83)

R0

R0

R0
bzw.

B

Y' = Y = G + j

(4.84)

G 0

G 0

G 0
komplexe Zahlen z = x + jy.

54

4 Wechselstromtechnik

Mit Hilfe der analytischen Funktion
w = u + jv = f (z) = z 1

(4.85)

z + 1
werden die komplexen Zahlen z = x + jy in komplexe Zahlen w = u + jv abgebildet.

Zur Darstellung dieser Funktion sind zwei Gaußsche Zahlenebenen notwendig, in
denen

Punktmengen

P(x,y)

in
der
z-Ebene
auf

Punktmengen

Q(u,v)

in
der
w-Ebene abgebildet werden.

Bild 4.41 Abbildung von Punkten der
z-Ebene auf Punkte der w-Ebene

Eine Funktion w = f(z) heißt analytisch, wenn sie in allen ihren Punkten differenzierbar ist, d. h. wenn die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt sind:

u = v
u
und

= v ;
x
y
y
x
die Abbildung ist dann maßstabs- und winkeltreu. Deshalb heißt die Abbildung von kom-
plexen

Zahlen
z
auf
komplexe

Zahlen
w
mit
analytischen

Funktionen
w = f(z) konforme Abbildung.

Zunächst soll die Frage beantwortet werden, weshalb die Behandlung von Wechselstrom-
schaltungen im abgebildeten Bereich einfacher wird. Wie beschrieben, ist bei gemischten

Schaltungen die Kehrwertbildung von komplexen Widerständen und komplexen Leitwer-
ten notwendig.

In der z-Ebene, in der die bezogenen komplexen Widerstände und bezogenen komplexen

Leitwerte durch Punkte oder Zeiger dargestellt werden, bedeutet die Kehrwertbildung die

Inversion von Zeigern:

z = r ( e j
z = 1 = 1 (
i
e j .

z
r

Wenn Real- und Imaginärteil des Kehrwerts gesucht sind, erfordert die Berechnung des

Kehrwerts das konjugiert komplexe Erweitern:

z = 1 =

1

=

1
x jy =
x

+
i
j
y .

z
x + jy
x + jy x jy
x2 + y2
x2 + y2

In der w-Ebene bedeutet die Inversion einer komplexen Zahl z lediglich eine Negation der abgebildeten komplexen Zahl w:

z
w = f (z) = z 1
z + 1

1

1

1
z
z = 1

=

=

= 1 z = z 1 =
i
w
f (z
w.

(4.86)

z
i
i ) = zi
z +

1
i

1

+

1 + z
z + 1

1
z

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

55

Wird also mit dieser Funktion f eine komplexe Zahl z in eine komplexe Zahl w abgebil-
det, dann
ergibt
sich
das

Bild
wi des in der z-Ebene invertierten Zeigers
zi = 1/z, indem der Zeiger w einfach um 180° gedreht wird, ohne dass sich seine Länge
ändert. Der Übergang von einem komplexen Widerstand zu einem komplexen Leitwert
oder umgekehrt ist deshalb in der w-Ebene viel einfacher möglich als in der z-Ebene.

Wie im folgenden beschrieben, werden mit Hilfe dieser analytischen Funktion die Punkte

P(x,y) der rechten z-Ebene, die bei komplexen Widerständen und komplexen Leitwerten
nur vorkommen, auf Punkte Q(u, v) einer Kreisfläche abgebildet.

Dafür werden zunächst die Funktionen u(x, y) und v(x, y) hergeleitet:

Mit
w = z 1
ist
z + 1
u + jv = (x + j y) 1 = (x 1) + j y (x + 1) j y

(x + j y) + 1

(x + 1) + j y (x + 1) j y
u + jv = (x2 1 + y2 ) + j y [(x + 1) (x 1)]

(x + 1)2 + y2
ergibt sich
u = x2 + y2 1

(4.87)

(x + 1)2 + y2
und
v =

2y

(4.88)

(x + 1)2 + y2

Mit Hilfe der Quotientenregel der Differentialrechnung lässt sich damit nachweisen, dass die Abbildungsfunktion analytisch und die Abbildung konform ist:

u = 2x[(x+1)2 + y2](2x+2)(x2 + y2 1) = v = 2[(x+1)2 + y2]2y(2y
x

[(x + 1)2 + y2]2
y

[(x + 1)2 + y2]2

2x3 + 4x2 + 2x + 2xy2 2x3 2xy2 + 2x 2x2 2y2 + 2 = 2x2 + 4x + 2 + 2y2 4y2
u = 2y[(x+1)2 + y2]2y(x2 + y2 1) = v = 0(2x+2)(2y
y

[(x +1)2 + y2]2
x

[(x +1)2 + y2]2

2xy2 + 4yx + 2y + 2y3 – 2yx2 – 2y3 + 2y = 4xy + 4y

Wird zu einem komplexen Widerstand ein ohmscher Widerstand in Reihe bzw. zu einem
komplexen Leitwert ein ohmscher Widerstand parallel geschaltet, dann vergrößert sich
der Realteil x des bezogenen komplexen Widerstandes bzw. des bezogenen komplexen

Leitwerts.

Wird zu einem komplexen Widerstand ein induktiver (kapazitiver) Widerstand in Reihe
bzw. zu einem komplexen Leitwert ein kapazitiver (induktiver) Widerstand parallel ge-
schaltet, dann vergrößert (verkleinert) sich der Imaginärteil y des bezogenen komplexen

Widerstandes bzw. des bezogenen komplexen Leitwerts.

56

4 Wechselstromtechnik

Deshalb ist es notwendig zu wissen, wie die abgebildeten x- und y-Achse und ihre Paral-
lelen in der w-Ebene aussehen.

Abbildung der positiven x-Achse:

Mit y = 0 ist

Beispiele:

x2 1
z-Ebene
w-Ebene
u =

= x 1

(4.89)

P3 (0,0)

Q3 (– 1,0)

(x +1)2
x +1

P4 (1,0)

Q4 (0,0)

und v = 0.

P
(
, 0)

Q
(1,0)

(siehe Bild 4.42)

Abbildung der y-Achse:

Mit x = 0 ist
y2 1
u =
und
v = 2y

(4.90)

Beispiele:

y2 +1
y2 +1
z-Ebene
w-Ebene
und

P1 (0,1)

Q1 (0,1)

y4 2y2 +1+ 4y2
u2 + v2 =

= y4 + 2y2 +1 = (y2 +1)2

P5 (0,– 1)

Q5 (0,– 1)

(y2 +1)2

(y2 +1)2

(y2 +1)2

(siehe Bild 4.42)

u2 + v2 = 1,

Das ist ein Kreis mit dem Radius r = 1 und mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung
der w-Ebene, also im Punkt Q4 (0,0).

Bild 4.42 Konforme Abbildung der rechten z-Halbebene in die w-Ebene

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

57

Abbildung der Parallelen der positiven x-Achse:

y = cy: Um y konstant setzen zu können, muss y in Abhängigkeit von u und v ermittelt
werden:

w = u + jv = z 1
z +1

(u + jv) · z + u + jv = z – 1

(u + jv) · z – z = – (u + jv) – 1
z = (u +1) + jv

(u 1) + jv
z = (u +1) + jv (u 1) jv

(u 1) + jv (u 1) jv
z = u2 1+ v2 + j v [(u 1) (u +1)]

(u 1)2 + v2
z = x + jy = u2 + v2 1 + j

2v

(u 1)2 + v2

(u 1)2 + v2
d. h.

y =

2v

= cy und (u 1)2 + v2 = 2v .

(4.91)

(u 1)2 + v2
cy

Mit der quadratischen Ergänzung 1/ c 2
y
folgt

(u 1)2 + v2 2v + 1 = 1 ,
c

2

2
y
cy
cy
und es ergibt sich die Gleichung von Kreisen in allgemeiner Lage mit den Radien 1/cy
und der Mittelpunktsverschiebung (1, 1/cy):

(u 1)2 + (v 1/ c

2
y )2 = 1/ cy .

(4.92)

Der reelle Anteil der Mittelpunktsverschiebung ist für alle Kreise gleich 1, der imaginäre Anteil der Mittelpunktverschiebung ist genauso groß wie der Radius der jeweiligen Kreise v0 = 1/cy. Allen Kreisen ist der Punkt Q
(1,0) gemeinsam (siehe Bild 4.42)

Beispiele:

y = cy

Kreisgleichung

± 1/2

(u – 1)2 + (v 㲘 2)2 = 22

± 1

(u – 1)2 + (v 㲘 1)2 = 12

± 3/2

(u – 1)2 + (v 㲘 2/3)2 = (2/3)2

58

4 Wechselstromtechnik

Abbildung der Parallelen zur y-Achse:

x = cx: Um x konstant setzen zu können, muss x in Abhängigkeit von u und v ermittelt
werden. Das Ergebnis für x ist bei der Abbildung der Parallelen zur positiven x-Achse
errechnet:

x = u2 + v2 1 = cx

(u 1)2 + v2

– u2 – v2 +1 = cx · u2 – cx · 2u + cx + cx · v2
u2(cx + 1) – 2ucx + v2(cx +1) + cx – 1 = 0
c

1
u2 – 2u
x

+ v2 + cx

= 0.

c +

+
x

1
cx 1

Mit der quadratischen Ergänzung [cx/(cx + 1)]2 ergibt sich ebenfalls die Gleichung von

Kreisen, deren Mitttelpunkte auf der reellen Achse um u0 verschoben liegen:

2

2
c

1

u2 2u
x

+
cx

+ v2 = cx

+
cx
c +

+

+

+
x

1
cx 1
cx 1
cx 1

2

(c 1)(c +1) + c 2 c 2 +1+ c 2
u cx

+ v2 =
x
x
x

=
x
x

c +
x

1

(c +

+
x

1)2

(cx 1)2

2
u cx

+ v2 =

1

= r 2

(4.93)

c +

0
x

1

(c +
x

1)2

Die Addition von u0 und r0 ergibt 1:

cx + 1 =1,

(4.94)

c +

+
x

1
cx 1
d. h. jeder Kreis geht durch den Punkt Q
(1,0) (siehe Bild 4.42).

Beispiele:

x = cx

Kreisgleichung

1/2

2

2
u 1/2

+ v2 =

1

1/2 + 1

1/2 + 1

(u 1/3)2 + v2 = (2/3)2

1

(u – 1/2)2 + v2 = (1/2)2

3/2

2

2
u

3/2

+ v2 =

1

3/2 + 1

3/2 + 1

(u – 3/5)2 + v2 = (2/5)2

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

59

Um das Arbeiten im Kreisdiagramm zu erleichtern, werden die Koordinatenachsen u und
jv weggelassen und an die abgebildeten Achsen die z-Koordinaten eingetragen, wie im

Bild 4.43 zu sehen ist. Denn aus der w-Ebene sollen der Realteil und der Imaginärteil der z-Größe abgelesen werden können.

Auf dem reellen u-Achsenabschnitt von u = – 1 bis u = + 1, der die Abbildung der positi-
ven x-Achse mit y = 0 ist, werden folgende x-Werte eingetragen:

x

O 0,1 0,2 0,3 0,5 0,7 1,0 1,5 2 3 ?

P3

P4

P?

u

– 1

– 0,82 – 2/3 – 0,54

– 1/3 – 0,176

0

0,2

2/3

0,5

1

Q3

Q4

Q?

Weitere u-Werte lassen sich mit der Formel Gl. (4.89) berechnen:

u x 1

x 1

Auf dem Kreisumfang des Einskreises, der die Abbildung der imaginären
y-Achse mit x = 0 ist, werden folgende y-Werte eingetragen:

y 0

± 0,2 ± 0,3 ± 0,4 ± 0,5 ± 0,6 ± 0,7

± 0,8 ± 0,9 ± 1

± 1,2 ± 1,5

± 2

± 3 ?

P3

P1

P5
u – 1 – 0,92 – 0,83 – 0,72 – 0,6 – 0,47 – 0,34 – 0,22 – 0,10 0

0,18

0,38

0,6

0,8

1

Q3

Q1

Q5

v 0

± 0,38 ± 0,55 ± 0,69 ± 0,8 ± 0,88 ± 0,94 ± 0,98 ± 0,99 ± 1 ± 0,98 ± 0,92 ± 0,8 ± 0,6 0

Weitere u- und v-Werte lassen sich mit den Formeln Gl. (4.90) berechnen:

y2 1
u =
und v

2y

y2 1
y2 1

Auf dem u-Abschnitt werden also reelle bezogene Widerstände und Leitwerte

Z' = R/R0 bzw. Y' = G/G0 durch Punkte eingetragen.

Die imaginären bezogenen Widerstände und Leitwerte Z' = jX/R0 bzw. Y' = jB/G0 werden
auf dem Einskreis berücksichtigt.

60

4 Wechselstromtechnik

Bezogene komplexe Widerstände und Leitwerte

X

B

Z ' = Z = R + j
und Y ' = Y = G + j

R0

R0

R0

G 0

G 0

G 0
entsprechen im Kreisdiagramm den Kreuzungspunkten des Realteils und Imaginärteils.

Wie in der z-Ebene sind im Kreisdiagramm der w-Ebene die komplexen Zahlen w mit
positivem Imaginärteilen oberhalb der reellen Achse und die mit negativem Imaginärteil
unterhalb der reellen Achse zu finden.

Punkte von komplexen Zahlen, deren Realteil und Imaginärteil größer als 3 sind, können
nur noch ungenau im Kreisdiagramm eingezeichnet werden. Deshalb müssen der Be-
zugswiderstand R0 bzw. der Bezugsleitwert G0 so gewählt werden, dass sich die bezoge-
nen komplexen Widerstände und Leitwerte in der Mitte des Kreisdiagramms befinden.

Werden mehrere komplexe Widerstände und Leitwerte einer gemischten Schaltung in
einem Kreisdiagramm berücksichtigt, dann kann nur ein Bezugswiderstand R0 = 1/G0
gewählt werden.

Soll aus dem abgelesenen bezogenen Widerstand Z' der zugehörige komplexe Widerstand

Z oder aus dem bezogenen Leitwert Y' der komplexe Leitwert Y ermittelt werden, dann
ist der bezogene komplexe Zahlenwert mit R0 bzw. G0 zu multiplizieren:

Z = R

R +

X

0

Z' = R0
j R

(4.95)

R

0

0

R0
oder

Y = G

G +

B

0

Y' = G0
j G

(4.96)

G

0

0

G 0

Bild 4.43 Behandlung einer gemischten Schaltung im Kreisdiagramm

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

61

Beispiel:

Das im Bild 4.40 gezeichnete Schaltbild soll mit Hilfe des Kreisdiagramms in eine äquivalente Reihenschaltung überführt werden. Gegeben sind:

RLr = 20

C1 = 31,8nF

R = 100

Lr = 191μH

C2 = 12,7nF
f = 50kHz

Lösung: (siehe Bild 4.43)

1. Ermittlung von Z1 und Eintragung in das Kreisdiagramm:

Z1 = RLr + jXL = RLr + jLr

Z1 = 20 + j · 2 · 50 · 103s–1 · 191 · 10–6H

Z1 = 20 + j 60
mit R0 = 100 gewählt, ergibt sich

R

X

Z' =

Lr + j L = 0,2 + j 0,6

1

R

R

0

0
der bezogene Widerstand

'1

Z wird in der obe-

Bild 4.44 Transformation der
ren Hälfte des Kreisdiagramms eingetragen

Reihenschaltung RLr/Lr in die

(Bild 4.43).

äquivalente Parallelschaltung

2. Ermittlung von

'1

Y durch Inversion:

Die Länge von Z' wird wegen w

1
i = – w über den Punkt 1 hinaus abgetragen und ergibt
den bezogenen Leitwert

'1

Y der äquivalenten Parallelschaltung (Bild 4.43):

'1

Y = 0,5 j 1,5

Kontrollrechnung:

Y' =

1

0,2 j 0,6 =

0,2
j

0,6

= 0,5 j 1,5.

1

0,2 + j 0,6 0,2 j 0,6

0,22 + 0,62

0,22 + 0,62

3. Ermittlung von

'2

Y durch Berücksichtigung der Parallelschaltung von C1:

Die Parallelschaltung des Kondensators C1 bedeutet eine Erhöhung des Imaginärteils
des komplexen Leitwerts Y1 und des bezogenen komplexen Leitwerts

'1

Y um
j C1

B
j 1

C

=

= j 1

C R0 = j · 2 · 50 · 103s– 1 · 31,8 · 10–9F · 100 = j · 1

G0

G0

'

'

2

Y = 1

Y + j 1 = 0,5 + j ( 1

,5 + 1) = 0,5 j 0.5.

Im Kreisdiagramm bedeutet die Vergrößerung des Imaginärteils ein Verschieben des

Punktes

'1

Y in

'2

Y auf dem Kreis mit konstantem Realteil 0,5, weil die Abbildung der Pa-
rallelen zur y-Achse auf der u-Achse verschobene Kreise sind.

4. Ermittlung von

'

Z2 durch Inversion:

Da zu der Parallelschaltung der Widerstand R in Reihe
geschaltet ist, muss der Widerstand der Parallelschal-
tung durch Inversion ermittelt werden (Bild 4.45).

Das Kreisdiagramm (Bild 4.43) ergibt

'

Z2 = 1 + j · 1.

Kontrollrechnung:

Z' =

1

0,5 + j 0,5

2

0,5 j 0,5 0,5 + j 0,5

Bild 4.45 Transformation der

RLC-Parallelschaltung in die

Z' =

0,5

+ j

0,5

= 1 + j 1
äquivalente Reihenschaltung

2

0,52 + 0,52

0,52 + 0,52

62

4 Wechselstromtechnik

5. Ermittlung
von '

Z3 durch Berücksichtigung der Reihenschaltung von R:

Die Reihenschaltung des ohmschen Widerstandes R bedeutet eine Erhöhung des Realteils
des komplexen Widerstandes Z2 und des bezogenen komplexen Widerstandes '

Z2 um

R/R0 = 100/100 = 1,

'

'

3

Z Z2 + 1 = (1 + 1) + j · 1 = 2 + j · 1.

Im Kreisdiagramm (Bild 4.43) bedeutet die Vergrößerung des Realteils ein Verschieben des Punktes '

Z2 in den Punkt '3

Z auf dem Kreis mit konstantem Imaginärteil 1,0, weil die Ab-
bildung der Parallelen zur positiven x-Achse Kreise sind, die in u- und v-Richtung verschoben sind.

6. Ermittlung
von '3

Y durch Inversion:

Bild 4.46

Transformation der RLC-Reihenschaltung
in die äquivalente Parallelschaltung

Da zu der Reihenschaltung die Kapazität C2 parallel geschaltet ist, muss der Leitwert der Reihenschaltung durch Inversion ermittelt werden. Das Kreisdiagramm (Bild 4.43) ergibt

'3

Y = 0,4 – j · 0,2.

Kontrollrechnung:

Y'

1

2 j 1 2 j 1 0,4 j 0,2.

3

2 j 1 2 j 1

5

5

7. Ermittlung
von '4

Y durch Berücksichtigung der Parallelschaltung von C2:

Die Parallelschaltung des Kondensators C2 bedeutet eine Erhöhung des Imaginärteils des
komplexen Leitwerts Y und des bezogenen komplexen Leitwers

'

3

3

Y um

C2
jB
j C

2

3

1

9

j C

2R0 j 2 50 10 s 12,7 10 F 100 j 0,4

G0

G0

'

'

4

Y 3

Y + j · 0,4 = 0,4 + j · (– 0,2 + 0,4) = 0,4 + j · 0,2.

Im Kreisdiagramm (Bild 4.43) bedeutet die Vergrößerung des Imaginärteils ein Verschie-
ben des Punktes

'3

Y in den Punkt

'4

Y auf dem Kreis mit konstantem Realteil 0,4; die Pa-
rallelschaltung einer Induktivität würde eine Verminderung des Imaginärteils bewirken.

8. Ermittlung
von '

Z4 durch Inversion:

Für die gegebene Schaltung im Bild 4.40 ist die äquivalente Reihenschaltung gesucht.

Deshalb ist der komplexe Widerstand durch Inversion zu ermitteln. Das Kreisdiagramm

(Bild 4.43) ergibt '

Z4 = 2 – j · 1.

Kontrollrechnung:

Z'

1

0,4 j 0,2

0,4
j

0,2

2 j 1.

4

0,4 j 0,2 0,4 j 0,2

0,42 0,22

0,42 0,22

9. Berechnung der Ersatzschaltung:

Da der Imaginärteil des bezogenen komplexen Widerstandes '

Z4 negativ ist, besteht die

Ersatzschaltung für die gegebenen Größen aus der Reihenschaltung eines ohmschen Wi-
derstandes Rers und einer Kapazität Cers. Mit dem Bezugswiderstand R0 = 100 werden
die Ersatzelemente berechnet:

Z = R

Z = 100 · (2 – j) = 200 – j · 100 = R

4

0 ·

'4
ers – j (1/Cers)

d. h. Rers = 200 und Cers = 1/( · 100) = 31,8nF.

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

63

Duale Schaltungen

Zwischen zwei Wechselstromwiderständen oder zwei Wechselstromschaltungen besteht Dua-
lität, wenn der komplexe Widerstand Z1 des einen Wechselstromwiderstandes oder der Wech-
selstromschaltung proportional dem komplexen Leitwert Y2 des anderen Wechselstromwider-
standes oder der anderen Wechselstromschaltung ist:

Z =

2

= 1

1

R0

Y2
oder

Y2

Z1.

(4.97)

R 2

0

Mit

Y = 1

=

2

2
ist Z

Z

R

.

(4.98)

Z

1

2

0

2

Die Proportionalitätsgröße R 2

0
heißt Dualitätsinvariante und hat die Dimension des Quadrats
eines Widerstandes. Duale Schaltungen haben gleiche Zeigerbilder, wie für die bereits behan-delten dualen Schaltungen in den Bildern 4.25 und 4.32 zu sehen ist.

Beispiele:

Bild 4.47 Duale Wechselstromwiderstände

Bild 4.48 Duale Wechselstromschaltungen

64

4 Wechselstromtechnik

4.4 Praktische Berechnung von Wechselstromnetzen

Anwendung der Rechenmethoden für Wechselstromnetze

Nachdem im Abschnitt 4.2 vier Verfahren für die Berechnung von Wechselstromnetz-
werken behandelt wurden und im Abschnitt 4.3 die damit zusammenhängenden Begriffe

„Wechselstromwiderstände“ und „Wechselstromleitwerte“ von Netzwerkteilen erklärt
wurden, soll nun die Frage beantwortet werden, welches der Verfahren unter welchen

Voraussetzungen angewendet wird. Wie in der Übersicht anfangs des Abschnitts 4.2.5
dargestellt und durch ein Beispiel erläutert, stehen die vier Berechnungsverfahren im
engen Zusammenhang zueinander.

Das Verfahren 1, die Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich, ist wohl prinzipiell einfach, aber rechnerisch zu aufwändig und findet deshalb in der Praxis keine Anwendung.

Die Lösung der Differentialgleichung mit Hilfe von komplexen Zeitfunktionen, also das

Verfahren 2, wird dann bevorzugt, wenn die Differentialgleichung aus anderen Gründen
aufgestellt werden muss; z. B. bei der Behandlung von Ausgleichsvorgängen mit Wech-
selspannungserregung, bei der die Lösung der zugehörigen homogenen Differentialglei-
chung zum flüchtigen Anteil des Ausgleichsvorgangs führt (siehe Band 3, Abschnitt

8.2.3).

Die meist gewählten Verfahren für die Behandlung von Wechselstromnetzen sind das

Verfahren 3 „die Lösungsmethode mit Widerstandsoperatoren“ und das Verfahren 4 „die
grafische Lösung mit Hilfe von Zeigerbildern“. Beide Verfahren gehen von der Schaltung
mit komplexen Operatoren und komplexen Effektivwerten aus. Die Rechenhilfen (Span-
nungsteilerregel und Stromteilerregel) und die fünf Netzberechnungsverfahren der

Gleichstromtechnik (siehe Band 1, Abschnitt 2.3) führen ohne Differentialgleichungen zu

Lösungen im Bildbereich, die dann auf die beschriebene Weise rücktransformiert werden
können (siehe Abschnitte 4.2.4 und 4.2.2). Die Zeigerdarstellung ist die grafische Be-
schreibung des Rechenverfahrens.

Im folgenden sollen einige praktische Beispiele von Wechselstromnetzen behandelt wer-
den, die nicht nur die Netzberechnungsverfahren, sondern auch äquivalente Schaltungen, Stern- Dreieck- Transformationen und das Kreisdiagramm betreffen.

Beispiel 1:

Ein Zweistrahl-Oszilloskop zeichnet den Strom- und Spannungsverlauf eines passiven Zwei-
pols auf, der im Bild 4.49 dargestellt ist.

1. Zunächst sind die Effektivwerte von Strom
und Spannung, die Frequenz und die Pha-
senverschiebung aus dem Oszillogramm
abzulesen.

2. Dann ist der passive Zweipol durch zwei

Ersatzschaltbilder darzustellen, deren Er-
satzschaltelemente mit Hilfe der komple-
xen Rechnung zu ermitteln sind.

3. Schließlich ist das Ergebnis mit Hilfe der

Formeln für Widerstandstransformationen

Bild 4.49 Oszillogramm zum Beispiel 1
zu kontrollieren.

4.4 Praktische Berechnung von Wechselstromnetzen

65

Lösung:

Zu 1.

Amplitude und Effektivwert hängen über

2 = 1,414 zusammen, d. h. die Effektivwerte
betragen mit den gegebenen Maßstäben: U = 200V und I = 2A. Wenn 3cm der Zeit von 10μs
entsprechen, beträgt die Periodendauer mit 6cm T = 20μs. Die Frequenz errechnet sich aus dem Kehrwert:

f = 1/T = l/20μs = 50kHz.

Die Spannung u eilt dem Strom i um einen halben Zentimeter vor. Die Länge von 6cm ent-
spricht T = 2, und 0,5cm entsprechen /6, d. s. + 30°. Der passive Zweipol wirkt wie ein induktiver Wechselstromwiderstand.

Zu 2.

Die Ersatzschaltungen für den passiven Zweipol sind die Reihenschaltung eines ohmschen

Widerstandes Rr und einer Induktivität Lr und die Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes Rp und einer Induktivität Lp.

Die Ersatzschaltelemente der Reihenschaltung werden mit Hilfe des komplexen Widerstandes ermittelt:

Mit Gl. (4.41) und (4.42)

Z = Z · cos + j · Z · sin = Rr + jLr

U
und Z = I
ergeben sich

U

200 V

Rr =
cos =
cos 30º = 86,6

I

2 A

U

200 V
und aus Lr =
sin =
sin 30º = 50

I

2 A

50

50 V / A

Lr =

=

= 159 H
μ .

3

1

2 f

2 50 10 s

Die Ersatzschaltelemente der Parallelschaltung werden entsprechend mit dem komplexen

Leitwert ermittelt:

Mit Gl. (4.58) und (4.59)

1

1

Y = Y cos j Y sin =
j

Rp

Lp

1

I
und mit Y =

=

Z

U
ergeben sich aus

1

I

=
cos)

Rp

U

U

200 V

Rp =

=

= 115,5

I ( cos

2 A ( cos30º
und aus

1

I

=

( sin )

Lp

U

U

200 V

Lp =

=

= 637 H
μ

3

1

I sin

2 50 10 s 2A sin 30º

66

4 Wechselstromtechnik

Zu 3.

Nach Gl. (4.70) lassen sich die Ergebnisse kontrollieren:

R 2 + 2L 2

R

= r
r

= (86,6)2 + (2 50 103s1 159 106 H)2 = 115,5
p

R

86,6
r

R 2 + 2L 2

L =
r
r

= (86,6)2 + (2 50 103s1 159 106 H)2 = 637μH
p

2L

(2 50 103s1)2 159 106 H
r

Beispiel 2:

An der gezeichneten Schaltung liegt die si-
nusförmige Spannung
u1 = ˆ1
u · sin (t + u1)

an. Die Ausgangsspannung u2 ist zu berech-
nen, indem die Verfahren 2 und 3 (siehe Ab-
schnitt 4.2.5) angewendet werden.

Bild 4.50 Schaltbild zum Beispiel 2

1. Zunächst ist die Differentialgleichung für die Kondensatorspannung uC(t) zu entwickeln.

2. Dann ist die Differentialgleichung in die Bildgleichung (algebraische Gleichung) zu transformieren und diese zu lösen.

3. Anschließend ist die Lösung der Bildgleichung (algebraische Gleichung) mit Hilfe der

Schaltung mit komplexen Operatoren und komplexen Effektivwerten zu kontrollieren.

4. Die Zeitfunktion uC(t) ist dann durch Rücktransformation der Lösung der Bildgleichung zu ermitteln.

5. Schließlich ist die Ausgangsspannung u2(t) zu berechnen.

Lösung:

du

Zu 1. u

C

1 = u

+ i (R + R ) mit i = C

C

1

2
dt
du
u

C

1 = u

+ (R + R ) C

(Differentialgleichung)

C

1

2
dt

Zu 2. u1 = uC + (R1 + R2) · C · j · uC

(Bildgleichung in komplexen Zeitfunktionen)

u
uC =

1

(Lösung der Bildgleichung in komplexen Zeitfunktionen)

1 + j(R1 + R2)C

Zu 3.

Nach der Spannungsteilerregel in komplexen

Effektivwerten ist

1

UC
jC

=

U

1

1

R1 + R2 + jC
und

Bild 4.51 Schaltung im Bildbereich zum

Beispiel 2

1

U

UC = 1+ j(R1 + R2)C

(Lösung der Bildgleichung in komplexen Effektivwerten)

4.4 Praktische Berechnung von Wechselstromnetzen

67
û ( e j(t+)u1)

Zu 4.

u (t) =

1

C

1 + 2 (R + R )2 C2 ( e j( arc tan (R +

1

R2 ) C

1

2

ˆ1
u
j[t+u1arc tan (

1

R +R2 )C]

uC(t) =
e

2

2

2

1 + (R1 + R2) C

Rücktransformation:

ˆ1
u
uC(t) =
sin[t + u1 arctan(R1 + R2)C]

2

2

2

1 + (R1 + R2) C
du
du

Zu 5.

u (t) = R i(t) = R C

C
mit i(t) = C

C

2

2

2
dt
dt

R2 C ˆ1
u
u2(t) =
cos[t + u1 arctan (

R1 + R2)C]

2

2

2

1 + (R1 + R2) C
û
u (t) =

1
sin t + arc tan(R + R )C + /2

2

u1

1

2

1

2(R + R )2C2

+

1

2

2R 2C2

2R 2C2

2

2
û
u (t) =

1
sin t + arc tan(R + R )C + /2

2

u1

1

2

2

R

1 +

1

+

1

.-

R

2

2

2R C2

2

Beispiel 3:

1. Für die gezeichnete Schaltung ist die Differentialgleichung für uC aufzustellen.

2. Die Differentialgleichung ist ins Komplexe abzubilden, und die Bildgleichung ist zu lö-
sen.

3. Die Bildgleichung ist mit Hilfe der Symbolischen Methode zu kontrollieren.

4. Durch Rücktransformation der Bildgleichung ist die Zeitfunktion uC zu ermitteln.

Bild 4.52

Schaltung zum Beispiel 3
u = û ( sin (t + )u )

Lösung:

Zu 1.

u = R
i + L di + u

Lr
r
dt

C
du
u
mit i = i + i

= C

C + C

C

R
p
dt

RCp
di
d2u
du
und

= C

C + 1

C
dt
p
dt2

R
dt

Cp

68

4 Wechselstromtechnik
ergibt sich
du

R
d2u

L
du
u = R C

C + Lr u + L C

C +
r

C + u

Lr
p
dt

R

C
r
p

R
dt

C

Cp
dt2

Cp
d2u

L du

R

L C

C + R C

+
r

C +

Lr

+ 1

= u
r
p

Lr
p

uC
dt2

R

dt

R

Cp

Cp

Zu 2.

d2u

L du

R

L C

C + R C

+
r

C +

Lr

+ 1

= u
r
p

Lr
p

uC
dt2

R

dt

R

Cp

Cp

L

R

2L C ( u + R C

+
r

+

Lr

+ 1

= u
r
p

C

Lr
p

( j ( u

( u

R

C

R

C

Cp

Cp

u

=
u

C

R

L

Lr

+ 1 2L C + j ( R C

+
r

R
r
p

Lr
p

R

Cp

Cp

Zu 3.

Nach der Spannungsteilerregel in komplexen Effektivwerten ergibt sich

1

RCp jCp

1

RCp +

U
jC

C
p

=

U

1

RCp jCp

RLr + jLr +

1

RCp + jCp

R

1

Cp
jCp

U

=

U

C

(R

+ jL ) R

+ 1

1

Lr
r

Cp

+ R
jC

Cp
jC
p
p

U

=

1

U

C

(R

+ jL ) j

C + 1

Lr
r
p

+ 1

R

Cp

1

UC =

( U

2

RLr

Lr

RLr jCp LrCp +

+ j

+ 1

RCp

RCp

U

=

U

C

R

L

Lr

+ 1 2L C + j ( R C

+
r

R
r
p

Lr
p

R

Cp

Cp

(vgl. Beispiel 3 Stromteilerregel)

4.4 Praktische Berechnung von Wechselstromnetzen

69

Zu 4.

u

=
û e j(t+u )

C

2

2

R

L

Lr

-

+ 1 2L C + 2 R C

-

+
r ej

R
r
p

.

Lr
p

R

Cp

/

.

Cp /

L

( R C

+
r

Lr
p

R

Cp
mit

= arc tan RLr +1 2L C

R
r
p

Cp
û sin(t + )

u

=
u

C

2

2

R

L

Lr

-

+ 1 2L C + 2 R C

-

+
r

R
r
p

.

Lr
p

R

Cp

/

.

Cp /

Beispiel 4:

Für den gezeichneten symmetrischen Vierpol soll das

Übertragungsverhalten für sinusförmige Wechselgrö-
ßen beschrieben werden.

1. Zunächst ist das Spannungsübersetzungsverhältnis

U2

1

U

Bild 4.53 Schaltbild für Beispiel 4
bei Leerlauf am Ausgang in Form eines algebraischen Operators zu ermitteln.

2. Dann ist das Stromübersetzungsverhältnis

I2

1

I
bei Kurzschluss am Ausgang zu ermitteln, ebenfalls in Form eines komplexen Operators.

3. Anschließend ist die Kreisfrequenz zu berechnen, bei der der Betrag von U2/U1 und
der Betrag von I2/I1 gleich 1/ 2 = 0,707 betragen.

Lösung:

Zu 1.

Bei Leerlauf am Ausgang ist der Ausgangsstrom
i2 Null, so dass R und C in Reihe liegen. Im

Bildbereich ergibt sich aus der Spannungsteiler-
regel für komplexe Effektivwerte:

1

U

Bild 4.54 Leerlauf am Ausgang in der

2
jC

1

=

=

Schaltung des Beispiels 4

U

1

1

1 + jRC

R + jC

70

4 Wechselstromtechnik

Zu 2.

Bei Kurzschluss am Ausgang kann im Bildbe-
reich die Stromteilerregel angewendet werden,
weil R und C parallel geschaltet sind:

1

I2
jC

1

=

=

I

1

1

1 + jRC

R + j

Bild 4.55 Kurzschluss am Ausgang in

C
der Schaltung des Beispiels 4

Die Operatoren zwischen den komplexen Effektivwerten der Spannungen und der Ströme
sind gleich.

U

I

1

1

Zu 3.

2

2

=

=

=

U

I

2

1

1

1 + (RC)

2

1
d. h. 1 + (RC)2 = 2,

RC = 1
und

=

.

RC

Beispiel 5:

Mit der gezeichneten RC-Schaltung nach Wien lassen sich beliebige Phasenverschiebungen
zwischen den sinusförmigen Spannungen u2 und u1 erzielen.

Bild 4.56

Schaltung zum Beispiel 5 im Zeitbereich
und Bildbereich

1. Mit Hilfe der Schaltung mit komplexen Operatoren und komplexen Effektivwerten ist das Spannungsverhältnis U2/U1 in Abhängigkeit von Rr, Rp Cr und Cp in Form eines komplexen Operators in algebraischer Form zu entwickeln.

Das Spannungsverhältnis ist anschließend in Betrag und Phase anzugeben.

2. Bei welcher Kreisfrequenz ist der Betrag maximal und welche Phasenverschiebung
tritt dann zwischen den beiden Spannungen auf?

3. Auf welchen Wert sinkt bei dieser Frequenz die Amplitude der Ausgangsspannung bezo-
gen auf die Amplitude der Eingangsspannung, wenn die ohmschen Widerstände und die

Kapazitäten gleich sind?

4.4 Praktische Berechnung von Wechselstromnetzen

71

Lösung:

Zu 1.

1

1 + jCp

U

R

2
p

=

U

1

1

1

+ Rr +

1
jCr

+ jCp

Rp

U2 =

1

U

1

1 + R +

1

+ jC
r

jC
p
r

1

R
p

U

U

2 =

1

=

2 ej

U

U

1

R

Cp

1

1

- + r +

+ j -R C

1

R

C

.

r
p

R C
p
r /

.

p
r /
mit dem Betrag

U2

1

=

U

2

2

1

R

C

r
p

1

1 +

+

+ RrCp

R

p

Cr

RpCr

und mit dem Phasenwinkel

1

RrCp RpCr

= arctan

.

R

C
r
p

1 +

+

R p

Cr

Zu 2.

Der Betrag ist maximal, wenn der Nenner des Betrags am kleinsten ist. Da im Imaginärteil eine Differenz auftritt, kann dieser Anteil bei einer bestimmten Kreisfrequenz 0 Null werden: 1

0

RrCp

= 0

0

RpCr

1

0

=

.

RrRpCrCp

Die Phasenverschiebung ist dann Null, weil der Operator zwischen U2 und U1 reel ist, wie auch die Formel für bestätigt: der Zähler ist Null und der Nenner ist ungleich Null.

Zu 3.

Mit Rr = Rp und Cp = Cr wird bei = 0 der Betrag

U2

1

= .

1

U

3

Die Amplitude bzw. der Effektivwert der Ausgangsspannung u2(t) beträgt dann nur ein Drittel der Amplitude bzw. des Effektivwertes der Eingangsspannung u1(t).

72

4 Wechselstromtechnik

Beispiel 6:

Für das Beispiel der Netzberechnung mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze mit gekoppelten Induktivitäten (siehe Band 1, Abschnitt 3.4.7.2, Bild 3.204) und einer sinusförmigen Quellspannung uq(t) soll das geordnete Gleichungssystem mit komplexen Operatoren und komplexen

Effektivwerten aufgestellt werden.

Bild 4.57

Schaltung mit komplexen Operatoren
und komplexen Effektivwerten einer

Netzberechnung mit gekoppelten Spu-
len des Beispiels 6

Lösung:

k – 1 = 1 Knotenpunktgleichung:

k1:

I1 = I2 + I3

Masche I:

U

= (R + jL ) ( I jM ( I +

1

+ jL
jM ( I + jM ( I
q

1

1

1

31

3
jC

3 ( I3

13

1

23

2

Masche II:

1

0 = (R2 + jL2) ( I2 jM32 ( I3

+ jL3 ( I3 j M

23 ( I2 + j 1

M 3 ( 1

I
j

C

geordnetes Gleichungssystem:

0 =

( 1

) I1

+ I2

+ I3

1

Uq = (R1 + j 1

L j 1

M 3)( I1

+ jM23 ( I2 + j

L3 jM31 +

( I3
j

C

1

0=
j 13

M

( 1

I + (R2 + jL2 jM23) ( I2 + j

M32 jL3

( I3
j

C
geordnetes Gleichungssystem in Matrizenschreibweise:

0

1

1

1

I1

U

=

R + j(L M )

jM
j ( (L M ) 1

(
q

1

1

13

23

3

31

I

2

C

0
jM

R + j (L M )

j ( (M

L )+ 1 I

13

2

2

23

32

3

3

C

4.4 Praktische Berechnung von Wechselstromnetzen

73

Beispiel 7:

1. Für die Reihenschaltung einer verlustbe-
hafteten Spule und eines verlustbehafte-
ten Kondensators (Beispiel 3) ist der

Strom IR durch den Widerstand RCp mit

Hilfe der Zweipoltheorie zu ermitteln.

Die Schaltung mit komplexen Operato-
ren und komplexen Effektivwerten ist
dabei sowohl in die Spannungsquellen-

Bild 4.58 Schaltung im Bildbereich einer

Ersatzschaltung als auch in die Strom-

Netzberechnung mit Hilfe der Zweipoltheo-
quellen-Ersatzschaltung zu überfuhren.

rie des Beispiels 7

Die Richtigkeit des Ergebnisses ist mit

Hilfe des Beispiels 3 zu kontrollieren.

2. Bei welcher Kreisfrequenz haben die

Spannung u und der Strom iR eine Pha-
senverschiebung von 90°?

Lösung:

Zu 1.

Der Lösungsweg der Zweipoltheorie (Band 1,

Abschnitt 2.3.3) lautet:

1. Aufteilung des Netzwerkes in einen akti-
ven und einen passiven Zweipol: der ge-
suchte Strom IR wird zum Klemmen-
strom des entstehenden Grundstromkrei-

Bild 4.59 Aufteilung der Schaltung im
ses (siehe Bild 4.59).

Bildbereich des Beispiels 7 in einen aktiven
und einen passiven Zweipol

2. Berechnung der Ersatzschaltung des aktiven Zweipols:

Grundstromkreis
mit Ersatzspannungsquelle
mit Ersatzstromquelle

Uqers = U l:

Iqers = Ik:

Bild 4.60 Ermittlung von U l

Bild 4.61 Ermittlung von Ik

1

U
jC
l
p

=

U

1

RLr + jLr + jCp

U

U

U l =

I =

2
k

(1 LrCp) + j R

LrCp

RLr + jLr

1

RLr + jLr
ie

Z rs =

=

2

1

(1 LrCp) + jRLrCp
jCp + RLr + jLr

74

4 Wechselstromtechnik

3. Berechnung der Ersatzschaltung des passiven Zweipols Zaers:

Zaers = RCp

4. Ermittlung des gesuchten Stroms oder der gesuchten Spannung mit Hilfe der Ersatzschaltung (Grundstromkreis)

Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle:

Uqers

IR =
i

Z ers + Zaers

I

=

U

R

R

+ jL

[(1 2L C ) + jR C ] (

Lr
r

+ R
r
p

Lr
p

Cp

(1 2L C ) + jR C

r
p

Lr
p

I

=

U

R

(R

+ jL ) + R (1 2L C ) + jR R C

Lr
r

Cp
r
p

Lr

Cp
p

I

=

U

R

R + R (1 2L C )

+ R R C )

Lr

Cp
r
p

+ j ( (Lr

Lr

Cp
p

Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle:

i

Z ers Iqers

IR =
i

Z ers + Zaers

U

(RLr + jLr ) ( RLr + jLr

IR =

+

2

RLr
j Lr

[(1 LrCp) + j R

LrCp] (

+ RCp

2

(1

LrCp) + j R

LrCp

U

IR =

2

(RLr + jLr ) + RCp(1 LrCp) + j R

LrRCpCp

I

=

U

R

R + R (1 2L C )

+ R R C )

Lr

Cp
r
p

+ j ( (Lr

Lr

Cp
p

Kontrolle (Beispiel 3):

I

U

= R

( I =

R

=

U

C

Cp

R

1

R

L

Lr

+

+
r

R

1 2L C

C
r
p + j (

R Lr p

Cp

R

R

Cp

Cp

Zu 2.

Zwischen der Spannung u und dem Strom iR besteht eine Phasenverschiebung von 90°, wenn
der Operator zwischen den entsprechenden komplexen Effektivwerten U und IR imaginär ist, d. h. wenn der Realteil Null wird. Da der Realteil eine Differenz ist, kann bei einer Kreisfrequenz 0 die Phasenverschiebung von 90° erreicht werden:

R

+ R (1 2L C ) = 0

Lr

Cp

0
r
p

R

+ R

= 2L C R

Lr

Cp

0
r
p

Cp

RLr + RCp

1

RLr

0

=

=

1 +

LrCpRCp

LrCp

RCp

4.4 Praktische Berechnung von Wechselstromnetzen

75

Beispiel 8:

Mit Hilfe der Ersatzschaltung einer Eisenkernspule mit Berücksichtigung der Streuung und Wirbelstromverlusten sollen die Zusammenhänge zwischen den Strömen und Spannungen beschrieben werden.

Bild 4.62

Schaltung des Beispiels 8

1. Zunächst ist qualitativ das Zeigerbild für sämtliche Ströme und Spannungen zu ent-
wickeln, wobei die Reihenfolge der Zeigerdarstellung mit entsprechenden Gleichungen
anzugeben ist, damit das Zeigerbild nachvollziehbar ist.

2. Dann sind durch ein quantitatives Zeigerbild die Effektivwerte des Gesamtstroms I und der Gesamtspannung U und die Phasenverschiebung zwischen i und u mit folgenden

Größen zu ermitteln:

Iw = 0,08A

Rw = 1250

Rv = 2440

RCu = 156
f = 500Hz

Lw = 0,278H

LFe = 0,144H

L
= 0,029H

Empfohlener Maßstab für das Zeigerbild: 100mA 1cm, 100V 2,5cm.

3. Schließlich ist aus den ermittelten Ergebnissen der Ersatzzweipol in Reihenschaltung zu berechnen, der der Gesamtschaltung entspricht.

Lösung:

Zul.

Qualitatives Zeigerbild:

Reihenfolge der Darstellung:

I w

URw = Rw ( Iw

ULw = jLw ( Iw

UM = URw + ULw

UM

I v = Rv

UM

I μ = jLFe

Bild 4.63 Qualitatives Zeigerbild

I = Iw + Iv + I μ
einer Eisenkernspule mit Streuung

U

= R ( I
und Wirbelstromverlusten

RCu

Cu

U

= jL ( I

U = UM + URCu + U

76

4 Wechselstromtechnik

Zu 2.

Berechnung der Effektivwerte:

Iw = 0,080A 0,8cm,

URw = Rw · Iw = 1250 · 0,080A = 100V 2,5cm,

ULw = Lw Iw = 2 · 500s–1 · 0,278H · 0,08A = 70V 1,75cm,

U

2

2

M =

U

+ U

= 122V 3,05cm,

Rw

Lw

Iv = UM/Rv = 122V/2440 = 0,050A 0,5cm,

Iμ = UM/LFe = 122V/(2 · 500s–1 · 0,144H) = 0,270A 2,7cm,
die grafische Addition von Iw, Iv und Iμ ergibt I = 0,340A 3,4cm,

URCu = RCu · I = 156 · 0,340A = 53V 1,33cm,

U
= L
· I = 2 · 500s–1 · 0,029H · 0,340A = 31V 0,78cm,
die grafische Addition von UM, URCu und U ergibt U = 172V 4,3cm,
der Winkel zwischen I und U beträgt = 57,5°.

Bild 4.64

Quantitatives Zeigerbild einer Eisenspule mit

Streuung und Wirbelstromverlusten

Zu 3.

Der Gesamtschaltung kann ein induktiver komplexer Widerstand zugeordnet werden, weil die Spannung u dem Strom i um 57,5° voreilt. Deshalb besteht die Ersatzschaltung als Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einer Induktivität:

U = UR + Ux = Rr I + jLr I
und UR = U · cos = Rr · I

U cos)

172 V cos 57,5º
und Rr =

=

I

0,340 A
und Rr = 272,
mit Ux = U · sin = Lr · I

U sin
und Lr =

=

172 V sin 57,5º

I

2 500s1 0,340A
und Lr = 0,136H

Anmerkung zu 3:

Die Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Induktivität könnte ebenfalls als Ersatzschaltung angegeben werden, denn die Parallelschaltung ist einer Reihenschaltung äquivalent, wenn der komplexe Widerstand und der komplexe Leitwert beider Schaltungen
gleich sind.

4.4 Praktische Berechnung von Wechselstromnetzen

77

Beispiel 9:

Jeder ohmsche Widerstand Rr enthält einen störenden Induktivitätsanteil Lr, der durch einen parallel geschalteten Kondensator Cp zum Teil kompensiert werden kann. Rp wird dann nahezu frequenzunabhängig, wenn der Blindanteil des komplexen Leitwerts Null wird.

Bild 4.65

Äquivalente Schaltungen des Beispiels 9

1. Zunächst ist die Formel für den Wirkanteil Rp anzugeben, wenn Rr und Lr gegeben sind und variabel ist.

2. Dann ist die Kreisfrequenz zu ermitteln, bei der der Wirkanteil Rp nur um 1 % größer ist als der Nennwiderstand Rr.

3. Ein ohmscher Widerstand Rr = 1k enthält einen Induktivitätsanteil Lr = 40H. Zu be-
rechnen ist die Kreisfrequenz , bei der ebenfalls eine Widerstandsabweichung von 1 %
besteht.

4. Schließlich ist die Kapazität Cp für den ohmschen Widerstand Rr = 1k mit Lr = 40H
und der berechneten Frequenz zu bestimmen, die den Blindanteil des Leitwerts Null
werden lässt.

Lösung:

R 2 2 L 2

Zu 1. Nach Gl. (4.70) ist R
r
r
p =

Rr

Zu 2. Rp = Rr · 1,01 = Rr · [1 + 0,01]

2

2

2

L

" L

#

R
r
r

:

;
p = R r

Rr 1 $

%

Rr

:

R

& r ' ;

!

2

2

" L #

L
d. h.

r

2
r

$

%

0,01

2

R

& r

R

'

r

R

R
und
r
r

0,01

0,1

Lr

Lr

1000

Zu 3.

6

1

0,1

2,5 10 s

6

40 10 Vs / A

Zu 4.

2

2

2

"

1 #

1

R

L

Mit j
r
r

$Cp

% 0 ist C
p

, so dass sich Cp mit Gl. (4.70) Lp

2

$

L %
p

Lp

Lr

&

'

berechnen lässt:

L

L

L

C

1

r

r

r

40H

39,6pF
p

2L

R 2 2L 2

R 2 0,01 R 2

1,01 R 2

1,01 (1k)2

p
r
r
r
r
r
mit 2L 2 0,01 R 2

r
r

78

4 Wechselstromtechnik

Beispiel 10:

Mit Hilfe der Illiovici-Wechselstrombrücke, die im Abschnitt 4.6.3 behandelt wird, lassen sich Spulen (verlustbehaftete Induktivitäten) messtechnisch erfassen.

Wird die Wechselstrombrücke in eine Schaltung mit komplexen Operatoren und komplexen

Effektivwerten transformiert, dann kann die Brücke durch eine Dreieck-Stern-Transformation oder eine Stern-Dreieck-Transformation in eine Brücke mit den komplexen Widerständen

Z1, Z2, Z3 und Z4 überführt werden.

Bild 4.66 Transformation der Illiovici-Brücke im Beispiel 10

Für diese Wechselstrombrücke gilt die analoge Abgleichbedingung wie bei der Wheatstone-

Gleichstrombrücke für Gleichstromwiderstände (siehe Band 1, Abschnitt 2.2.7, Gl. 2.108)

entsprechend für komplexe Widerstände, wie im Abschnitt 4.6.3 erläutert wird:

R1

R3

1

Z

3

Z

=

=

(4.99)

R2

R4

Z2

Z4

1. Zunächst sind in Analogie zur Gleichstromtechnik, die Transformationsgleichungen für
die Dreieck-Stern-Umwandlung und die Stern-Dreieck-Umwandlung anzugeben.

2. Dann ist die Illiovici-Brücke in die Brücke mit Z1 bis Z4 durch Dreieck-Stern-Transformation und durch Stern-Dreieck-Transformation zu überführen.

3. Schließlich sind die Gleichungen für den ohmschen Anteil R r1 und den induktiven Anteil Lr1 der Spule zu bestimmen.

Lösung:

Zu 1.

Die Umwandlung einer Dreieckschaltung in eine Sternschaltung und umgekehrt für die

Gleichstromtechnik (siehe Band 1, Abschnitt 2.2.10) setzt voraus, dass die Spannungen zwischen zwei Eckpunkten der Sternschaltung und der Dreieckschaltung jeweils gleich sein sollen. Der Gleichstromwiderstand zwischen zwei Punkten der Sternschaltung muss dann gleich dem Gleichstromwiderstand zwischen zwei entsprechenden Punkten der Dreieckschaltung
sein.

Für die Wechselstromtechnik gilt entsprechendes für komplexe Widerstände, also nur für

Schaltungen mit komplexen Operatoren und komplexen Effektivwerten.

4.4 Praktische Berechnung von Wechselstromnetzen

79

Dreieck-Stcrn-Transformation:

Bild 4.67 Transformation einer Dreieckschaltung in eine Sternschaltung

In Analogie zu den Gleichungen (2.147) bis (2.149) ergibt sich für die komplexen Widerstän-de der Sternschaltung:

Z Z

'

2

3

1

Z =

(4.100)

1

Z + Z2 + 3

Z

Z Z

'

3

1

Z2 =

(4.101)

1

Z + Z2 + 3

Z

Z Z

'

1

2

3

Z =

(4.102)

1

Z + Z2 + 3

Z

Merkregel:

Produkt der beiden Dreieckwiderstände

Sternwiderstand =

Summe aller Dreieckwiderstände

Stern-Dreieck-Transformation:

Bild 4.68 Transformation einer Sternschaltung in eine Dreieckschaltung

In Analogie zu den Gleichungen (2.153) bis (2.155) ergibt sich für die komplexen Widerstän-de der Dreieckschaltung:

'

'

'

'

'

'

'

'

Z

'

Z

Z Z + Z Z + Z Z

'

2

3

1

2

2

3

1

3

1

Z = Z2 + 3

Z +

=

(4.103)

'

'

1

Z

1

Z

'

'

'

'

'

'

'

'

Z Z

Z Z + Z Z + Z Z

'

'

1

3

1

2

2

3

1

3

Z2 = 1

Z + 3

Z +

=

(4.104)

'

'

Z2

Z2

'

'

'

'

'

'

'

'

Z Z

Z Z + Z Z + Z Z

'

'

1

2

1

2

2

3

1

3

3

Z = 1

Z + Z2 +

=

(4.105)

'

'

3

Z

3

Z

80

4 Wechselstromtechnik

Zu 2.

Dreicck-Stcrn-Transformation in der Illiovici-Brücke:

Bild 4.69 Umwandlung der Illiovici-Brücke durch Dreieck-Stern-Transformation

1

R5

Z Z

'

2

3
j C

'

1

Z =

=
ergibt

3

Z = R3 + 1

Z

Z + Z + Z

1

1

2

3

R 4 + R5 + jC

1 R4

Z Z

'

3

1
j C

'

Z2 =

=
ergibt Z4 = Z2

Z + Z + Z

1

1

2

3

R4 + R5 + jC

Z Z

R R

'

1

2

4

5

3

Z =

=

Z + Z + Z

1

1

2

3

R4 + R5 + jC

'3

Z liegt im Diagonalzweig der Brücke, der bei Abgleich der Brücke stromlos ist.

Stern-Dreicck-Transformation in der Illiovici-Brücke:

Bild 4.70 Umwandlung der Illiovici-Brücke durch Stern-Dreieck-Transformation

1 R5

'

'

Z Z

1

''

'

'

2

3
j C

''

1

Z = Z2 + 3

Z +

=

+ R5 +
ergibt Z4 = R4 || 1

Z

'

1

Z
j C

R3

'

'

Z Z

R R

''

'

'

1

3

3

5

''

Z2 = 1

Z + 3

Z +

= R3 + R5 +
er gibt

3

Z = Z2

'

Z

1

2
jC

1

R3

'

'

Z Z

1

''

'

'

1

2
j C

3

Z = 1

Z + Z2 +

= R3 +

+

'

3

Z
j C

R5

''3

Z beeinflusst die Brücke nicht, denn

''3

Z ist parallel zur Brücke geschaltet

4.4 Praktische Berechnung von Wechselstromnetzen

81

Zu 3.

Die Abgleichbedingung für die transformierte Brücke wird nach Z1 aufgelöst, weil Rr1 und Lr1 gesucht sind und getrennt im Realteil und Imaginärteil von Z1 zu finden sind:

3

Z

1

Z = Rr1 + jLr1 = Z2 Z4

Dreieck-Stern-Transformation:

Mit

'

'

3

Z = R3 + 1

Z und Z4 = Z2

1

R5 jC

R3 +

1

R4 + R5 + jC
ist Rr1 + jLr1 = R2

1 R4
jC

1

R 4 + R5 + j C

1

1

R3 R

4 + R5 +

+ R5
j

C
j

C

Rr1 + jLr1 = R2

1 R4
jC

R2

Rr1 + jLr1 =

[(R3 + R5) + jCR3(R4 + R5)]

R4

R

R
d. h.

2

5

Rr1 =

(R3 + R5) und Lr1 = CR2R3 1

+

R4

R

4

Stern-Dreieck-Transformation:

1

1

1

Mit

''

3

Z = Z2 und

=

+ ''

Z4

R4

1

Z

''

1

1

R

Z
ist

''

2

''

2

Rr1 + jLr1 = R2 Z2

+

=

Z2 + R2

''

''

R

4

1

Z

R

4

1

Z

R

R + R + jCR R

R

+ jL = 2 (R + R + jCR R ) + R

3

5

3

5
r1
r1

R

3

5

3

5

2

1

4

R

1

5

+
jC

R +
jC

5

R3

R

R + R + jCR R

R

+ jL = 2 (R + R + jCR R ) + R

3

5

3

5
r1
r1

R

3

5

3

5

2

R

4

1

+ R + 1 5
jC

5
jC R3

R

R + R + jCR R

R

+ jL = 2 (R + R + jCR R ) + jCR R

3

5

3

5
r1
r1

R

3

5

3

5

2

3 R + R + jCR R

4

3

5

3

5

R

2

R2

Rr1 + jLr1 =

(R3 + R5) + jC

R

3R5 + R 2R3

R5

R

4

R

R
d. h.

2

5

Rr1 =

(R3 + R5) und Lr1 = CR2R3 1

+

R4

R

4

82

4 Wechselstromtechnik

Beispiel 11:

Bei einer Frequenz f = 200MHz ist die Ersatzschaltung einer Antenne die Reihenschaltung
des ohmschen Widerstandes R1 = 120 und der Kapazität C1 = 2,21pF. Der damit gegebene
komplexe Widerstand Z1 soll durch Parallelschalten einer Induktivität Lp und Reihenschalten einer Kapazität Cr in einen reellen Widerstand Z3 = R3 = 240 transformiert werden. Mit dieser Widerstandstransformation wird die Antenne an den ohmschen Wellenwiderstand der Lei-
tung angepasst.

Bild 4.71 Widerstandstransformation einer Antenne im Beispiel 11

1. Mit Hilfe des Kreisdiagramms sind die Induktivität Lp und die Kapazität Cr zu ermitteln, wobei ein Bezugswiderstand R0 = 1/G0 = 600 zu wählen ist.

Das Ergebnis ist anschließend durch die Widerstandsberechnung der Schaltung zu kon-
trollieren.

2. Auf dieselbe Weise soll nun versucht werden, die Reihenschaltung des ohmschen Wider-
standes R1 = 240 und der Kapazität C1 = 6,62pF bei f = 200MHz in den ohmschen Wi-
derstand Z3 = 360 durch Zuschaltung von Lp und Cr zu transformieren. Falls das nicht
möglich ist, soll die Zuschaltung vertauscht werden: zuerst wird eine Induktivität Lr in Reihe und dann eine Kapazität Cp parallel geschaltet.

Das Ergebnis ist anschließend durch die Widerstandsberechnung der Schaltung zu kon-
trollieren.

Lösung:

Zu 1.

1

Z = R j

= 120 j

1

1

1

C1

2 200 106 s1 2,21 1012 F

1

Z = 120 j ( 360
und mit

R0 = 600
ist der im Kreisdiagramm darstellbare bezogene komplexe Widerstand

Z

120

360

'

1

1

Z =

=
j (

R0

600

600

'

'

'

1

Z = R1 + j 1

X = 0,2 j 0,6
und der angestrebte bezogene komplexe Widerstand

Z

240

'

3

3

Z =

=

R0

600

'

'

'

'

3

Z = R3 + j X3 = 0,4 mit X3 = 0

4.4 Praktische Berechnung von Wechselstromnetzen

83

Der bezogene komplexe Widerstand '1

Z soll durch Parallelschalten einer Induktivät Lp in den
bezogenen komplexen Widerstand '

Z2 so transformiert werden, dass der Realteil von '

Z2 mit
dem reellen bezogenen Widerstand '3

Z übereinstimmt.

Wie behandelt, erfordert die Parallelschaltung zunächst eine Inversion von '1

Z in den bezo-
genen komplexen Leitwert

'

'

'

1

Y 1

G j 1

B 0,5 j 1,5
und dann ein Zusammenfassen der Blindleitwerte. Die Parallelschaltung der unbekannten In-duktivtät Lp bedeutet, dass der Realteil von '1

Y konstant bleibt und der bezogene komplexe

Leitwert

'2

Y auf dem Kreis liegen muss, der durch 0,5 geht.

Werden Punkte dieses Kreises invertiert, dann entsteht ein Kreis, der durch '1

Z und den Punkt

0 verläuft. Werden zu einem komplexen Widerstand Induktivitäten parallel geschaltet, dann wird dieser Kreis im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen; werden Kapazitäten parallel geschaltet, dann wird er im Uhrzeigersinn durchlaufen.

Auf diesem Kreis muss der bezogene komplexe Widerstand '

Z2 liegen, für den der Realteil
noch festgelegt werden kann. Dieser ergibt sich im Schnittpunkt dieses Kreises durch '1

Z und

0 und dem Kreis mit dem geforderten Realteil von '

'

3

Z R3 , im Beispiel durch '3

Z = 0,4 fest-
gelegt:

'

'

'

Z2 R2 j X2 0,4 j 0,8

Bild 4.72 Ermittlung von Lp und Cr für die Transformation eines komplexen Widerstandes in einen reellen Widerstand

84

4 Wechselstromtechnik

Der bezogene komplexe Widerstand

'

Z2 ist dann in

'2

Y zu invertieren

'

'

'

2

Y = G2 + j B2 = 0,5 j 1,0
damit die Induktivität Lp berechnet werden kann:

'

'

'

Bp = B2 1

B = 1

,0 1,5 = 2

,5

'

Bp

1

'

Bp = G0 ( Bp =

=

R0

Lp

1

R0

600

Lp =

=

=

= 191 nH

'

6

1

B

p

Bp

2 200 10 s

2,5

Schließlich ist aus

'

Z2 und '3

Z die in Reihe zu schaltende Kapazität Cr zu berechnen:

X' = X' X' = 0,8 mit X' = 0
r

3

2

3

1

'

Xr = R0 ( Xr = Cr

1

1

1

Cr =

=

=

= 1,66pF

'

6

1

X

r

R0 Xr

2 200 10 s

600 0,8

Auf die gleiche Weise ließen sich zu einem induktiven komplexen Widerstand

'1

Z eine Kapa-
zität Cp parallel und eine Induktivität Lr in Reihe schalten, um einen reellen Widerstand zu erhalten.

Kontrollrechnung:

1

Z = R1 + j ( 1

X = 120 j ( 360

1

1

Y =

Bild 4.73 Transformierte Schaltung

1

Z
im Beispiel 11, Teil 1

Y =

1

( 120 + j ( 360

1

120 j ( 360 120 + j ( 360

1

Y = 0,833mS + j · 2,5mS

2

Y = 1

Y + j · Bp = G1 + j · (B1 + Bp)

2

Y = 0,833mS + j · (2,5 – 4,17)mS = 0,833mS – j · 1,67mS = G2 + j · B2

Z = 1 =

1

0,833mS + j 1,67mS

2

Y

0,833mS j 1,67 mS 0,833mS + j 1,67 mS

2

Z2 = R2 + j X2 = 240 + j 479,4

3

Z = Z2 + j ( Xr = R2 + j ( (X2 + Xr ) = 240 + j ( (479,4 479,4)

3

Z = 240

4.4 Praktische Berechnung von Wechselstromnetzen

85

Zu 2.

1

Z = R j

= 240 j

1

1

1

C1

2 200 106 s1 6,62 1012 F

Z = 240 j ( 120

1
und mit R0 = 600 ist der im Kreisdiagramm darstellbare bezogene komplexe Widerstand

Z

240

120

'

1

1

Z =

=
j (

R0

600

600

'

'

'

1

Z = R1 + j 1

X = 0,4 j 0,2
und der angestrebte bezogene komplexe Widerstand

Z

360

'

3

3

Z =

=

R0

600

'

'

'

'

3

Z = R3 + j X3 = 0,6 mit X3 = 0

Der Kreis durch

'1

Z und 0 und der Kreis mit dem Realteil 0,6 haben keinen Schnittpunkt für

'

Z2 . Mit parallel geschalteter Induktivität und in Reihe geschalteter Kapazität in dieser Zuschaltung ist der angestrebte Widerstand nicht zu erreichen.

Wird aber die Zuschaltung von Blindwiderständen umgekehrt, also zuerst eine Induktivität Lr in Reihe und dann eine Kapazität Cp parallel geschaltet, dann ist die Transformation in den reellen Widerstand möglich, wie im folgenden gezeigt wird.

Bild 4.74 Geänderte Widerstandstransformation im Beispiel 11, Teil 2

Sollte also eine Widerstandstransformation nicht durchführbar sein, weil sich kein Schnittpunkt der beiden Kreise ergibt, dann muss die Zuschaltung in umgekehrter Reihenfolge ge-
schehen. Welche der beiden in Frage kommenden Schaltungen zum Ergebnis führt, muss aus-
probiert werden.

86

4 Wechselstromtechnik

Der bezogene komplexe Widerstand '1

Z soll durch Reihenschalten einer Induktivität Lr in den
bezogenen komplexen Widerstand '

Z2 so transformiert werden, dass der Realteil von '

Z2 mit dem
reellen bezogenen Widerstand '3

Z übereinstimmt.

Wie behandelt, bedeutet die Reihenschaltung einer Induktivität Lr eine Erhöhung des Blindanteils, d. h. der bezogene komplexe Widerstand '

Z2 muss auf dem Kreis liegen, der durch

0,4 geht.

Werden die Punkte dieses Kreises invertiert, dann entsteht ein Kreis, der durch

'1

Y und den

Punkt 0 verläuft. Um den Kreis zeichnen zu können, muss '1

Z in

'1

Y invertiert werden:

'

'

'

1

Y 1

G j 1

B 2 j 1

Werden zu einem komplexen Widerstand Induktivitäten in Reihe geschaltet, dann wird dieser Kreis im Uhrzeigersinn durchlaufen; werden Kapazitäten in Reihe geschaltet, dann wird er im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen.

Auf diesem Kreis muss der bezogene Leitwert

'2

Y liegen, für den der Realteil noch festgelegt
werden kann. Dieser ergibt sich im Schnittpunkt dieses Kreises durch 1

Y ' und 0 und dem

Kreis mit dem geforderten Realteil von

'3

Y =1/ '3

Z =1/

'

'

R3 G3 , im Beispiel durch

Y' =1/ '

3

3

Z = 1/0,6 = 1,67 festgelegt:

'

'

'

2

Y G2 j B2 1,67 j 1,2

Bild 4.75 Ermittlung von Lr und Cp für die Transformation eines komplexen Widerstandes in einen reellen Widerstand

4.4 Praktische Berechnung von Wechselstromnetzen

87

Der bezogene komplexe Leitwert

'2

Y ist dann in

'

Z2 zu invertieren

'

'

'

Z2 = R2 + j X2 = 0,4 + j 0,28
damit die Induktivität Lr berechnet werden kann:

'

'

'

Xr = X2 1

X = 0,28 + 0,2 = 0,48

'

Xr = R0 Xr = Lr

'

R0 Xr

600 0,48

Lr =

=

= 229nH

6

1

2 200 10 s

Schließlich ist aus

'2

Y und

'3

Y die parallel zu schaltende Kapazität Cp zu berechnen:

'

'

'

'

Bp = 3

B B2 = 1,2 mit

3

B = 0

'

Bp

'

Bp = G0 Bp =

= Cp

R0

'

Bp

1, 2

Cp =

=

= 1,59 pF

6

1

R

0

2 200 10 s

600

Auf die gleiche Weise ließen sich zu einem induktiven komplexen Widerstand

'1

Z eine Kapa-
zität Cr in Reihe und eine Induktivität Lp parallel schalten, um einen reellen Widerstand zu erhalten.

Bild 4.76

Transformierte Schaltung im Beispiel 11, Teil 2

Kontrollrechnung:

1

Z = R1 + j · X1 = 240 – j · 120

Z2 = Z1 + j · Xr = R1 + j · (X1 + Xr)

Z2 = 240 + j · (– 120 + 288)

Z2 = 240 + j · 168

2

Y = 1/ Z2

Y =

1

( 240 j ( 168

2

240 + j ( 168 240 j ( 168

2

Y = 2,8mS j 2,0 mS = G2 + j B2

3

Y = 2

Y + j Bp = G2 + j (B2 + Bp) = 2,8mS + j ( 2,

0 + 2,

+ 0)mS

Y = 2,8 mS

3
und

3

Z = 1/ 3

Y = 1/ 2,8 mS = 360

88

4 Wechselstromtechnik

Zusammenfassung der Widerstandstransformation:

Mit der Zuschaltung von zwei Blindwiderständen lässt sich jeder komplexe Widerstand Z1
in einen anderen komplexen Widerstand Z3 überführen. Bei Anpassungsproblemen ist der
gewünschte Widerstand Z3 meist reell. Dabei wird zuerst ein Blindwiderstand parallel und dann ein Blindwiderstand in Reihe geschaltet oder umgekehrt zuerst ein Blindwiderstand in Reihe und dann ein Blindwiderstand parallel geschaltet. Welche der beiden möglichen

Schaltungen zum gewünschten komplexen Widerstand Z3 führt, muss im Kreisdiagramm
ausprobiert werden.

Z1 || jXp = Z2 und Z2 + jXr = Z3
oder

Z1 + jXr = Z2 und Z2 || jXp = Z3

1. Berechnung von Z '

'

'

'

1 und Z3 mit R0:

1. Berechnung von Z1 und Z3 mit R0:

X

X

X

X

Z' = R1 +

1

' = R3 +

3

' = R1 +

1

' = R3 +

3

1
j

Z
j

Z
j

Z
j

R

3

1

3

0

R0

R0

R0

R0

R0

R0

R0
und Eintragen in das Kreisdiagramm.

Eintragen in das Kreisdiagramm und

Inversion von Z'

'

'

'

1 in Y1 und Z3 in Y3

2

Transformation von Z'

'

'

'

1 in

Z2 durch

2. Transformation von Y1 in Y2 durch
das Parallelschalten eines Blindwider-
das Reihenschalten eines Blindleitwer-
standes Xp zu Z1 (Kapazität Cp oder
tes Br zu Y1 (Induktivität Lr oder Ka-

Induktivität Lp), wodurch die Forde-
pazität Cr), wodurch die Forderung
rung nach dem Wirkanteil R3 von Z3
nach dem Wirkanteil G3 von Y3 erfüllt
erfüllt wird:

wird:

Zeichnen des Kreises, der durch Z'

'

1

Zeichnen des Kreises, der durch Y1
und 0 geht.

und 0 geht.

Ermittlung von Z'

'

2 im Schnittpunkt des

Ermittlung von Y2 im Schnittpunkt
gezeichneten Kreises und des Kreises
des gezeichneten Kreises und des Krei-
mit dem geforderten Wirkwiderstand
ses mit dem geforderten Wirkleitwert

R'

'

3 .

G 3 .

3. Transformation von Z'

'

'

'

2 in

Z3 durch

3. Transformation von Y2 in Y3 durch
das Reihenschalten eines Blindwider-
das Parallelschalten eines Blindleitwer-
standes Xr zu Z2 (Induktivität Lr oder
tes Bp zu Y2 (Kapazität Cp oder Induk-

Kapazität Cr), wodurch die Forderung
tivität Lp), wodurch die Forderung nach
nach dem Blindanteil X3 von Z3 erfüllt
dem Blindanteil B3 von Y3 erfüllt
wird.

wird.

4. Ermittlung von B

'

'

'

'

p aus

Z1 und Z2 :

4. Ermittlung von Xr aus Z1 und Z2 :

Inversion von Z'

'

'

'

'

'

1 in Y1 und Z2 in Y2

Inversion von Y2 in Z2

Ablesen von B'

'

'

'

2 und B1 und

Ablesen von X2 und X1 und

Ermitteln von B

'

'

p = G0 ( B2 – B1 )

Ermitteln von X

'

'

r = R0 ( X2 – X1 )

Berechnen von Cp oder Lp:

Berechnen von Lr oder Cr:

Cp = Bp/
oder Lp = – 1/Bp

Lr = Xr/
oder

Cr = – 1/Xr

5. Ermittlung von X

'

'

'

'

r aus Z

5. Ermittlung von B
und Y :

2 und Z3 :

p aus

Y2

3

Ablesen von X'

'

Ablesen von

'3

B und B ' 2 und

3 und X2 und

'

'

Ermitteln von X

'

'

Ermitteln von B

– B )

r = R0 ( X3 – X2 )

p und G0 ( B3

2

Berechnen von L

Berechnen von C
r oder Cr:

p, oder Lp:

L

C
r = Xr/
oder

Cr = – 1/Xr
p = Bp/
oder

Lp = – 1/Bp

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 4.1 bis 4.4

89

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 4.1 bis 4.4

4.1

Eine Spule mit einer Windungszahl w = 1000 und einer Querschnittfläche von 100cm2 befin-
det sich in einem homogenen Magnetfeld, das sich sinusförmig mit der Frequenz f = 50Hz
verändert. Der Maximalwert der magnetischen Induktion beträgt ˆ

B = 5 · 10–9Vs/cm2.

1. Leiten Sie die Formel für die in der Spule induzierte Spannung her und berechnen Sie die Spannungsamplitude.

2. Auf welchen Wert verändert sich die Spannungsamplitude, wenn die Frequenz von 50Hz
auf 5kHz vergrößert wird?

4.2

Mit einem Einweg-Gleichrichter wird mit einem Drehspulspannungsmesser eine Spannung
von 40V gemessen. Berechnen Sie die Amplitude der gleichgerichteten Sinusspannung.

4.3

Zwei Spannungsquellen liefern sinusförmige Spannungen mit den Effektivwerten Uq1 = 100V
und Uq2 = 120V, die eine Phasenverschiebung von 60° zueinander haben. Die Spannung uq1
hat den Anfangsphasenwinkel 0°.

1. Berechnen Sie den Effektivwert und den Anfangsphasenwinkel der resultierenden Span-
nung, wenn die beiden Spannungsquellen in Reihe geschaltet sind.

2. Auf welchen Wert ändert sich der Spannungseffektivwert, wenn die zweite Spannungs-
quelle umgedreht wird, also mit der ersten Quelle eine Gegenreihenschaltung darstellt?

3. Kontrollieren Sie das Ergebnis mit Hilfe von Zeigerbildern.

4.4

Nacheinander werden an verschiedene Spulen, für die die ohmschen Verluste vernachlässigt werden sollen, sinusförmige Wechselspannungen mit dem Effektivwert 1000V und den Frequenzen f = 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 und 100Hz angelegt.

1. Berechnen Sie die Induktivitäten der einzelnen Spulen, wenn der Strom durch die Spulen konstant 2A gehalten wird.

2. Stellen Sie die Abhängigkeit der Induktivitäten L von den Frequenzen f dar.

4.5

Eine Wechselstromleitung der Länge von 1km besteht aus zwei parallel liegenden Drähten
mit gleichem Durchmesser von 2r = 2mm und einem Abstand a = 0,1m.

1. Berechnen Sie die Kapazität der Doppelleitung.

2. Wird an die Leitung eine sinusförmige Spannung U = 1000V, f = 50Hz bei offenem Lei-
tungsende angelegt, dann fließt ein sinusförmiger Strom. Berechnen Sie den kapazitiven

Widerstand –XC und den Effektivwert des Stroms I.

4.6 Ein

Zweistrahl-Oszilloskop
zeichnet
den

Strom- und Spannungsverlauf eines passiven

Zweipols auf, der im Bild 4.77 dargestellt ist.

1.

Lesen Sie aus dem Oszillogramm die Ef-
fektivwerte von Strom und Spannung,
die Frequenz und die Phasenverschie-
bung ab.

2.

Stellen Sie den passiven Zweipol durch

Ersatzschaltbilder dar und zwar durch
zwei in Reihe und zwei parallel geschal-

Bild 4.77 Übungsaufgabe 4.6
tete Schaltelemente.

3. Berechnen Sie die Ersatzschaltelemente mit Hilfe der komplexen Rechnung.

4. Kontrollieren Sie das Ergebnis mit Hilfe der Formeln für Widerstandstransformationen.

4.7

An einer verlustbehafteten Kapazität (Reihenschaltung von Rr und Cr) liegt eine sinusförmige Wechselspannung an: u = û · sin (t + u).

1. Stellen Sie für diesen Vorgang die Differentialgleichung für uC auf und lösen Sie diese mit dem Ansatz uC = ûC · sin (t + uc) (Verfahren 1).

2. Kontrollieren Sie das Ergebnis durch Transformation der Differentialgleichung und Rücktransformation (Verfahren 2).

90

4 Wechselstromtechnik

4.8

An der gezeichneten Schaltung liegt eine sinusförmige Wechselspannung an:

u = û · sin (t + u).

Bild 4.78

Übungsaufgabe 4.8

1. Stellen Sie die Differentialgleichung für iL auf.

2. Bilden Sie die Differentialgleichung ins Komplexe ab und lösen Sie die Bildgleichung.

3. Kontrollieren Sie die Lösung der Bildgleichung mit Hilfe der Schaltung mit komplexen

Effektivwerten und komplexen Operatoren.

4. Ermitteln Sie die Zeitfunktion iL(t) durch Rücktransformation der Lösung der Bildgleichung.

5. Berechnen Sie schließlich uL(t).

4.9

Berechnen Sie den sinusförmig veränderlichen Wechselstrom durch den ohmschen Wider-
stand RCp mit Hilfe der Spannungs- und Stromteilerregel und durch Anwendung der Kirch-
hoffschen Sätze, nachdem Sie die Schaltung mit Zeitfunktionen in die Schaltung mit komplexen Effektivwerten und komplexen Operatoren transformiert haben. Vergleichen Sie das Er-
gebnis mit dem 3. Beispiel der Stromteilerregel (Bild 4.35).

Bild 4.79

Übungsaufgabe 4.9

4.10 1. Für die Schaltung im Bild 4.80 ist der Strom IL in Abhängigkeit von U1, , RLp, Lp, RCr und Cr zu ermitteln.

2. Berechnen Sie anschließend den Strom IR und die Spannung U2.

Bild 4.80

Übungsaufgaben 4.10 und 4.11

4.11 1. Für die Schaltung im Bild 4.80 ist das Spannungsverhältnis

U2
uf

V

=

1

U
in Form eines komplexen Operators in algebraischer Form zu ermitteln, wodurch das

Ergebnis der Aufgabe 4.10 kontrolliert wird.

2. Geben Sie den Betrag | Vuf | an. Bei welcher Kreisfrequenz ist der Betrag maximal?

3. Ermitteln Sie Vuf und | Vuf |, wenn der Kondensator ideal angenommen wird. Bei welcher Kreisfrequenz ist dann | Vuf | maximal und wie lautet dann die Formel für Vuf?

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 4.1 bis 4.4

91

4.12 Durch die gezeichnete Phasendrehbrücke kann die Phasenverschiebung zwischen der anliegenden Spannung
u1 = ˆ1
u sin t
und der Brückenspannung
u2 = û2 ( sin (t + ))

durch R1 und C geändert werden.

Bild 4.81

Übungsaufgabe 4.12

1. Leiten Sie mit Hilfe der komplexen Rechnung die Beziehung für die Phasenverschiebung
in Abhängigkeit von R1, C und her, indem Sie zunächst das Spannungsverhältnis

U2/U1 entwickeln und dann angeben. Verwenden Sie dabei die Beziehung

1
j z
j2 arc

+
tan z
e

= 1 jz

2. Geben Sie das Amplitudenverhältnis der beiden Spannungen an.

3. Ermitteln Sie die Phasenverschiebung , wenn 1/C = R1 ist. Bestätigen Sie das Ergebnis mit Hilfe eines Zeigerbildes.

4.13 In der im Bild 4.82 dargestellten Schaltung sind die Quellspannungen um 90° phasenverschoben: uq1 = ûq sin t
uq2 = ûq cost

Bild 4.82

Übungsaufgabe 4.13

1. Transformieren Sie die Schaltung in den Bildbereich und berechnen Sie mit Hilfe des

Überlagerungssatzes in komplexer Form den Strom IC und dann den sinusförmigen Strom
iC durch die Kapazität C.

2. Bestätigen Sie das Ergebnis, indem Sie das Maschenstromverfahren anwenden.

3. Wie ist der Strom iC zu berechnen, wenn die Amplitude und die Anfangsphasenwinkel
der Quellspannungen unterschiedlich sind?

92

4 Wechselstromtechnik

4.14 1. Mit Hilfe der Zweipoltheorie ist der Strom I3 durch den Diagonalzweig der Brückenschaltung zu berechnen, die im Bild 4.83 dargestellt ist.

2. Kontrollieren Sie das Ergebnis durch Anwendung der Zweigstromanalyse (Netzberech-
nungsverfahren mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze).

3. Geben Sie die Bedingung für die Schaltelemente an, damit der Strom i3 gegenüber der
anliegenden Spannung u um 90° phasenverschoben ist.

Bild 4.83

Übungsaufgabe 4.14

4.15 Entwickeln Sie qualitativ das Zeigerbild der im Bild 4.84 dargestellten Schaltung. Geben Sie die Reihenfolge der gezeichneten Zeiger und die Gleichungen an, aus denen sich die weiteren Zeiger ergeben. Die anliegende Spannung ist
u = û ( sin(t + )u )

Bild 4.84

Übungsaufgabe 4.15

4.16 1. Entwickeln Sie qualitativ das Zeigerbild einer Eisenspule mit Eisenkern, deren Ersatzschaltung im Bild 4.85 dargestellt ist. Der Strom Iμ ist gegeben. Die Ersatzschaltelemente erfassen die Kupferverluste durch RCu, die Eisenverluste durch RFe und die Streuung
durch die Streuinduktivität L
. Geben Sie die Reihenfolge der gezeichneten Zeiger an.

2. Mit RCu = 120, L
= 0,5H, RFe = 708 und L = 1,5H ist anschließend ein quantitatives

Zeigerbild zu entwickeln, wenn der Strom Iμ = 300mA bei f = 50Hz beträgt. Empfohlener

Maßstab: 100 V ˆ

= 2,5 cm, 0,1 A ˆ= 1 cm.

Bild 4.85

Übungsaufgabe 4.16

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 4.1 bis 4.4

93

4.17 Reaktanz-Vierpole sind Wechselstromschaltungen, die zwei Eingangsklemmen und zwei

Ausgangsklemmen besitzen und nur Reaktanzen (Blindwiderstände) enthalten. Vierpole wer-
den im Band 3, Kapitel 10 behandelt. Die beiden im Bild 4.86 gezeichneten Vierpole, die als Symmetrierglieder für Kabelverbindungen verwendet werden können, sollen äquivalent sein.

Aus dem gegebenen -Vierpol (Collins-Filter), der der Dreieckschaltung entspricht, sollen die Bauelemente L1, L2 und C des T-Vierpols, der eine Sternschaltung darstellt, errechnet werden.

Bild 4.86 Übungsaufgabe 4.17

4.18 Mit der im Bild 4.87 gezeichneten Anderson-Wechselstrombrücke lassen sich genauso wie mit der Illiovici-Brücke (Bild 4.66) Spulen (verlustbehaftete Induktivitäten) messtechnisch ermitteln.

1. Wandeln Sie zunächst die Anderson-Brücke in die Brücke mit Z1 bis Z4 durch Dreieck-

Stern-Transformation und durch Stern-Dreieck-Transformation um.

2. Dann sind die Gleichungen für den ohmschen Anteil Rr1 und den induktiven Anteil Lr1
der Spule zu bestimmen.

Bild 4.87 Übungsaufgabe 4.18

4.19 Für das Beispiel 11 (S. 82 ff, Bild 4.71) lässt sich die Widerstandstransformation von Z1 = 120 – j · 360 in Z3 = 240 auch durch zwei Induktivitäten Lp und Lr erreichen.

1. Ermitteln Sie mit Hilfe des Kreisdiagramms im Bild 4.72 die Induktivitäten.

2. Bestätigen Sie das Ergebnis durch eine Kontrollrechnung.

94

4 Wechselstromtechnik

4.5

Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von ohm-
schen Widerständen, Induktivitäten und Kapazitäten

Die Ausführungen über Wechselstromwiderstände und deren Reihen- und Parallelschal-
tungen im Abschnitt 4.3 sollen erweitert werden.

4.5.1 Die Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen –
die Reihen- oder Spannungsresonanz

Berechnung des Stromverlaufs bei gegebener anliegender Sinusspannung

Für das im Bild 4.88 gezeichnete Schaltbild eines Reihenschwingkreises gilt die Differentialgleichung
u = u

+

+

R
uL uC mit u = û ( sin (t + )u )

u = R
di + 1
r
i + Lr
i dt,

(4.106)

dt

Cr
die in die algebraische Gleichung abgebildet
u = u +

+

R
uL
uC
u = R

r
i + jLr i + 1
i

(4.107)

Bild 4.88 Reihenschwingkreis
jCr
und gelöst werden kann:

i =
u

=
û e j(t+u )

2

R +

1

r
j Lr

.-

C

R 2 + L 1
ejarctan(Lr 1/Cr )/Rr
r /

r
r

.-

Cr /
i = û e j(t+
u
r )

(4.108)

Zr
mit

L 1
r

2

=

Cr

=

2 +

1
r
arc tan
und Z

R

L

R
r
r
r

r

Cr

Die Rücktransformation von i führt zur Lösung im Zeitbereich:

i = û sin (t +

Z
u
r )

r

L 1
r

-

C
i =
û
sin - t +
r
u
arc tan

-

(4.109)

2

.

Rr

/

R 2 +

1
r

Lr

.-

Cr /

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von R, L und C

95

Aus der Stromgleichung lassen sich die Spannungen berechnen:

Rr û
uR Rr i
sin t u r (4.110)

Zr
di

Lr û

Lr û

"

#
uL Lr

cos(t u r )

sin t u r

$

% (4.111)

dt

Zr

Zr

&

2 '

1
û
û

"

#
uC
i dt
cos(t u r )

sin t u r

$

%

Cr

Cr Zr

C
r Zr

&

2 '

(4.112)

Der Strom i kann gegenüber der Spannung u nacheilend, voreilend und mit der Spannung
u in Phase sein, wie durch entsprechende Zeigerbilder veranschaulicht werden kann. Aus
der Schaltung im Bildbereich, das ist die Schaltung mit komplexen Operatoren und kom-
plexen Effektivwerten (Bild 4.89) lassen sich die algebraischen Gleichungen für die Zei-
gerbilder ablesen:

U U U U U U

R

L

C

R

X

U R

r

I jLr I 1

I
jC

r

"

1

#

U R

$ r jLr

% I
j

&

Cr '

"

1 #

U R

: r j

L

$ r

%; I

Bild 4.89 Schaltbild des

C

&
r '!

Reihenschwingkreises im Bildbereich

U

U

U

U

U

I

j

"

1 # R j(X X ) R j X

Z
r
r

L

C
r
r
r

Zr e

Rr j

L

$ r

%

C

&
r '

mit

Z Z R 2 X 2 R 2 (X X
r
r
r
r
r

L

C )2

2

"

1 #

2

Zr Rr $Lr

%

C

&
r '

X

X

X
und

r

L

C
r = arc Z

r
arc tan
arc tan

Rr

Rr

L 1
r

C

r
r = arc tan

Rr

96

4 Wechselstromtechnik

Ist Xr = XL + XC > 0, dann ist der komplexe

Ist Xr = XL + XC < 0, dann ist der kom-

Widerstand Zr induktiv und die induktive
plexe Widerstand Zr kapazitiv und die

Spannung UL ist größer als die kapazitive
kapazitive Spannung UC ist größer als die

Spannung UC.

induktive Spannung UL.

Bild 4.90 Zeigerbild des Reihenschwingkreises

Bild 4.91 Zeigerbild des Reihenschwingkreises
mit Xr > 0
mit Xr < 0

Für das Spannungsdreieck, das aus den Spannungen UR, UX und U gebildet wird, gelten folgende Beziehungen:

2

U2 = U 2 +

2 =

2 +

2 (

1

(

R

UX

UR

(UL

UC )2 = Rr

I2 + Lr

I2

Cr

U

I =

2

R 2 +

1
r

Lr

Cr

L 1

1
r

Lr

U

U

U

C ( I

C
tan

X

L

C
r
r
r =

=

=

=

U

(

R

UR

Rr I

Rr

L 1
r

C

r
r = u – i = arc tan
und =

R
i
u
r
r

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von R, L und C

97

Reihenresonanz, Spannungsresonanz

Ist der Blindanteil Xr = XL + XC = 0, dann ist der komplexe Widerstand gleich dem ohm-
schen Widerstand:

Zr = Zr = Rr
mit X =

+

= 1 =
r

XL

XC

Lr

0

Cr

Eingangsspannung u und Eingangsstrom i sind dann in Resonanz, d. h. sie haben keine Phasenverschiebung:

L 1

X
r

C

r
r
r = arc tan

= arc tan

= 0.

Rr

Rr

Die Resonanzbedingung lautet also

L = 1
r

.

(4.113)

Cr

Sind induktiver Widerstand XL = Lr und kapazitiver Widerstand –XC = 1/Cr im Reso-
nanzfall gleich, dann kompensieren sich auch die Blindspannungen, wie aus dem Zeiger-
bild ersichtlich ist:

Bild 4.92 Zeigerbild des Reihenschwingkreises bei Xr = 0

Resonanzfrequenz

Bei entsprechender Wahl von Lr, Cr und kann der Zustand der Resonanz in der Reihen-
schaltung laut Resonanzbedingung erfüllt werden.

Sind Lr und Cr gegeben, dann tritt die Resonanz nur bei einer Resonanzkreisfrequenz 0
auf:

1

0 =

(4.114)

LrCr

98

4 Wechselstromtechnik

Induktiver und kapazitiver Widerstand bei Resonanz

Im Resonanzfall sind also induktiver Widerstand und kapazitiver Widerstand gleich und
ergeben bei vorgegebener Induktivität Lr und Kapazität Cr:

2

X

=

=

Lr

=

Lr

= Lr

L

0

Lr

L

L

C
rCr
rCr
r

L

= X =

1

=
rCr = LrCr = Lr

C

2

0Cr

Cr

C

C
r
r

Der induktive Widerstand, der bei Resonanz gleich dem kapazitiven Widerstand ist, wird

Kennwiderstand des Resonanzkreises genannt und hat die Dimension eines Widerstandes: X

=

=

= Lr

L

XC

Xkr
mit

[X

C
kr ] = 1 .

(4.115)

r

Der Zustand der Resonanz bedeutet für einen passiven Zweipol mit Induktivität, Kapazität und kleinem ohmschen Widerstand, dass sich trotz der Blindwiderstände hohe Ströme und
an den Blindwiderständen hohe Spannungen einstellen können, die ein Mehrfaches der
anliegenden Spannung betragen. Da sich die Spannungen an den Blindwiderständen kom-
pensieren, wird der Strom nur noch durch den ohmschen Widerstand begrenzt, und die
anliegende Sinusspannung ist gleich der Spannung am ohmschen Widerstand.

Frequenzabhängigkeit der Blindwiderstände

Sind Induktivität Lr und Kapazität Cr eines Resonanzkreises konstant und wird die Kreis-
frequenz verändert, dann überwiegt bei niedrigeren Frequenzen als die Resonanzfre-
quenz 0 der kapazitive Widerstand und bei höheren Frequenzen als 0 der induktive

Widerstand. Für die Darstellung der Frequenzabhängigkeit der Blindwiderstände XL, XC
und Xr = XL + XC wird die Kreisfrequenz auf die Resonanzkreisfrequenz 0 bezogen:

= x · 0 mit 0 x <
.

In Abhängigkeit von x = /0 hat der induktive Widerstand einen linearen und der kapazi-
tive Widerstand einen hyperbolischen Verlauf:

XL = Lr = x · 0 · Lr = Xkr · x

XC = 1 =

1

= X ( 1

C

(
kr
r
x ( 0 Cr
x

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von R, L und C

99

Die Frequenzabhängigkeit des Blindwiderstandes Xr lässt sich durch punktweises Überla-
gern der XL-Kurve mit der XC-Kurve darstellen.

Bild 4.93 Frequenzabhängigkeit der Blindwiderstände

Analytisch kann Xr in Abhängigkeit von der relativen Verstimmung r beschrieben
werden:

X

1

0 1
r

XL

XC

Lr

C

0Lr

r

0

0Cr

"

0

#

" f
f0 #

Xr Xkr $

% Xkr $

%

& 0

f

'

& 0
f '

"

1 #

Xr Xkr x

Xkr

$

%
r (4.116)

&
x '

mit

0
r = x 1
f f0
x

0
f0
f

Ist A 0 bzw. f A f0,

Ist B 0 bzw. f < f0,
dann ist r A 0,
dann ist r B 0,

1
z. B. 2

1

1

0

r 1 1,50
z. B.

1

1,50

2

0
r

2

2

2

3

1

2

0

r 2 2,67

2

2,67

3

0
r

3

3

3

4

1

3

0

r 3 3,75

3

3,75

4

0
r

4

4

4

5

1

4

0

r 4 4,80

4

4,80

5

0
r

5

5

100

4 Wechselstromtechnik

Wird der komplexe Widerstand Zr auf den Widerstand Zr = Rr bei Resonanzfrequenz

= 0 bezogen, dann können die Kreisgüte und die normierte Verstimmung des Reihenresonanzkreises definiert werden:

Z

+
r = Rr
j Xr = 1+ j Xr = 1+ j Xkr

R
r
r

Rr

Rr

Rr

Zr = 1+ j Q = 1+ j V

R
r
r
r

(4.117)

r

Lr

C
mit Q = Xkr =
r
als Kreisgüte, Gütefaktor oder Resonanz-
r

R

(4.118)

r

Rr
schärfe des Kreises

als normierte
und V =

( =

(

( f f0
r

Qr
r

Qr
x 1

(4.119)

x = Qr f

Verstimmung

0
f

Bandbreite

Wird bei einem Resonanzkreis mit gegebenen Rr, Lr und Cr, also bei bekannter Güte Qr,
für die anliegende Spannung u = û · sin (2 · f · t + u)

einmal die Frequenz f von f0 ausgehend auf fg2 erhöht, so dass der Blindwiderstand Xr
genauso groß ist wie der ohmsche Widerstand Rr und die normierte Verstimmung +1
ist:

Xr = Rr und Vr2 = + 1
und wird
zum anderen die Frequenz f von f0 ausgehend auf fg1 erniedrigt, so dass der negative

Blindwiderstand –Xr genauso groß ist wie der ohmsche Widerstand Rr und die nor-
mierte Verstimmung –1 ist:

– Xr = Rr und Vr1 = – 1,
dann handelt es sich um die so genannte 45°-Verstimmung, mit der die Bandbreite definiert wird.

Die Bandbreite eines Reihen-Resonanzkreises ist gleich der Differenz der Grenzfre-
quenzen fg2 und fg1:

f = fg2 – fg1.

(4.120)

Soll die Frequenzabhängigkeit des bezogenen komplexen Widerstandes in der Gaußschen

Zahlenebene durch Zeiger dargestellt werden, dann müsste eine dichte Schar von Zeigern
gezeichnet werden, deren Spitzen auf der Parallelen zur imaginären Achse liegen; durch

Variation der Kreisfrequenz ändert sich nur der Imaginärteil. Die Spur der Zeigerspitzen heißt Ortskurve, die im Kapitel 5 behandelt wird.

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von R, L und C

101

Im Bild 4.94 sind drei spezielle Zeiger für den bezogenen komplexen Widerstand einge-
zeichnet: für die Resonanzfrequenz f0 und für die beiden Grenzfrequenzen fg1 und fg2. Der Begriff „45°-Verstimmung“ ist damit erklärt: die Frequenz f der anliegenden Spannung ist, ausgehend von der Resonanzfrequenz f0, so lange erhöht bzw. erniedrigt worden, bis die
beiden Zeiger mit der reellen Achse jeweils einen Winkel von 45° bilden.

Mit

Vr2 = Qr · g2 = + 1
und

Vr1 = Qr · g1 = – 1
ergibt sich für die beiden bezogenen komplexen

Widerstände

Zr2 1 j Q
1 j1

R
r
g2

r

Zr1 1 j Q
1 j1

R
r
g1

r

Bild 4.94 Bezogener komplexer

Zr1

Zr2

Widerstand bei 45°-Verstimmung
mit

2 ,

R

R

r
r
d. h. Vr2 = – Vr1, Qr · g2 = – Qr · g1
und g2 = – g1 (4.121)

fg2
f

" fg1
f #
fg1

0

0
f0

$

%

f

$

%

0
fg2
f0
fg1
f0
fg1

&

'

f

"

#
g1
fg2
f0
f0

1

1

f0 $

%
f

$

%

0
f0
fg2
fg1
fg2
fg1

&

'

f

g1
fg2
f
f

g1
g2
f

f

0
f
f

0
g1
g2

1

1
bzw. f 2

(4.122)

0
fg1 fg2
f 2
f
f

0
g1
g2
f
fg2
f
fg1
oder 0
und

0

(4.123)

f
f
f
f
g1

0
g2

0

Damit lassen sich die relativen Verstimmungen r1 und r2 durch die Kreisgüte Qr an-
geben:

f
f
f
f
g1 0 g1 g2 f 1
g1
f0
fg1
f0
f0
f0

Qr
f
f
f
f

g2 0 g2 g1 f 1
g2
f
f
f
f
f

Q

0
g2

0

0

0
r

102

4 Wechselstromtechnik

Die Kreisgüte Qr und die Bandbreite f sind also umgekehrt proportional:

1

Q

0
r =

= f0 =

(4.124)

f

rg

Je größer die Kreisgüte Qr ist, umso kleiner ist die Bandbreite f.

Da die Kreisgüte Qr wesentlich die Abhängigkeit des Stroms von der Frequenz beeinflusst, wird bei den Strom- Resonanzkurven der Zusammenhang zwischen der Güte und der Bandbreite deutlich.

Frequenzabhängigkeit des Stroms und der Spannungen

Bei Resonanz ist die anliegende Spannung u gleich dem Spannungsabfall über dem ohm-
schen Widerstand Rr, und die Effektivwerte sind gleich:

U = UR = Rr · I .

Außerdem sind bei Resonanz die Effektivwerte der Spannungen über der Induktivität und
der Kapazität gleich:

1

UL = 0Lr · I = Xkr · I

UC =

I = X I

kr

0Cr

Damit ist

U

U

L = C = Xkr = Q

U

U

R
r

(4.125)

r

Für eine beliebige Kreisfrequenz = x · 0 wird der Strom I durch den komplexen Wider-
stand Zr begrenzt, d. h. der Effektivwert des Stroms I wird durch die Impedanz Zr be-
stimmt:

U

I =

=

U

=

U

Zr

R 2 +

2

2
r

Xr

R 2 +

1
r

Lr

Cr

U

I =

=

U

2

2

R 2 +

1

R 2 + X 2 ( x 1
r
x ( 0Lr

r
kr
x (

x

0Cr

U

I =

=

U

R 2 +

2 2
r

Xkr
r

X

1 + 2
kr
r

Q 2
r

U

I =

=

U

(4.126)

2

R (

2 ( 2
r

1 + Qr
r

R (

2 (
r

1 + Qr
x 1

x

U

Der Strom hat sein Maximum bei Resonanz, also bei x = 1 und beträgt Imax =

.

Rr

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von R, L und C

103

Der Effektivwert der Spannung an der Induktivät beträgt

UL = Lr · I = x · 0Lr · I = x · Xkr · I
x ( U

UL =

=
x ( U

(4.127)

2

1

1

2

+

+
x 1
r

Q 2

Q 2

x
r
r
und der Effektivwert der Spannung am Kondensator

1

I

UC =

I =

I

= Xkr

Cr
x 0Cr
x

U

UC =

=

U

(4.128)

2
x (

1 + 2
x (

1 + x 1
r

Q 2

Q 2

x
r
r

Die Maxima der induktiven und der kapazitiven Spannung liegen symmetrisch zu x = 1
und lassen sich durch Differentiation und Nullsetzen der 1. Ableitung errechnen:

U

UL =

U

=

U

C

2

1

x2

+ 1 1

+ (x2 1)2

2
x2Q 2

Qr
r
x2

1

1

2

2

2

U

U

C = x2

+

L =

1

+

(x2 1)2

1 1

U

Q 2

U
x2Q 2

/
r

r
x2

U

2x

C

U

d

+ 2 (x2 1) 2x
d

L

2 + 2 1 1

U

Q 2

U

2

+ 2

=
r

= 0

= x3Qr
x2
x3 =0
dx

3/ 2
dx

3/ 2

2

2 x2

+ (x2 1)2

2

2

1

+ 1 1

Q

r

x2Q 2

r
x2

1 + 2x2 2 = 0

1

2

Q

2 + 2 = 0
r

Q 2
r
x2

U
x = x

=

L max =

1

>

L

1

= UCmax =

<

0
x = x

1

1

1

1

1

C

2

0

2Q

2Q 2
r
r

(4.130)

(4.129)

wobei xL · xC = 1 ist.

104

4 Wechselstromtechnik

Der Maximalwert der induktiven Spannung ist gleich dem Maximalwert der kapazitiven

Spannung, wie durch Einsetzen von xL und xC nachgewiesen werden kann:

ULmax

U

= Cmax =

1

=

1

U

U

1

1

1

1 + 1

2Q 2

2

4

4
r

+ 1

Qr

2Qr

4Qr

Q 2

4
r

4Qr

ULmax

U

= Cmax =

1

=

Qr

U

U

1

1

1

1

1

2

Q 2

2

4Q
r

4Qr
r

Frequenzabhängigkeit der Phasenverschiebung

L 1

1
r
x

0Lr

=

Cr =
x 0Cr
r
arc tan
arc tan

Rr

Rr

=

Xkr
r
arc tan
x 1

R

= arc tan Qr x 1

(4.131)

r
x
x

Bei x = 1 ist r = 0,
bei x = 0 ist r = arc tan (–
) = – /2 und
bei x = ist r = arc tan (
) = /2.

Für eine Güte Qr = 2 haben die Resonanzkurven I(x), UL(x), UC(x) und r(x) die im Bild

4.95 gezeichneten Verläufe.

Bild 4.95 Resonanzkurven für Qr = 2 mit linearem Maßstab

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von R, L und C

105

Wird für den Bereich 0 x 1 ein linearer Maßstab und für 1 x ein reziproker Maß-
stab gewählt, dann entstehen symmetrische Resonanzkurven, die im Bild 4.96 für die gleiche Güte Qr = 2 dargestellt sind.

Bild 4.96

Symmetrische Resonanzkurven mit

Qr = 2

Mit größer werdendem Gütefaktor Qr rücken die Maxima näher aneinander und nehmen
höhere Werte an.

Mit der Stromkurve in Abhängigkeit von x = /0 nach Gl. (4.126)

I

=

1

=

1

=

1

(4.132)

U / Rr

2

1 + Q 2 ( 2

2
r
r

1 + Vr

1 + Q 2 (
r
x 1

x
wird die Abhängigkeit der Bandbreite f von der Güte Qr deutlich: Bei 45°-Verstimmung
ist Vr = ± 1 und

I

= 1 = 0,707.

U / Rr

2

Dieser Wert wird mit den messtechnisch ermittelten Stromkurven zum Schnitt gebracht,
wodurch sich jeweils die x-Werte ablesen lassen:

g2
g1
g2
g1
x = =

=

= x x

g2
g1

0

0

0

0
mit = 2 · f .

Die Güte kann dann nach Gl. (4.124) berechnet werden:

Q = f0 =

0 = 1
r

.

f

x

106

4 Wechselstromtechnik

Beispiel:

In einer Versuchsschaltung (Schaltung im Bild 4.97) lässt sich mittels eines RC-Generators die Frequenz f im Bereich von 30Hz bis 300kHz einer sinusförmigen Spannung variieren, die einen Reihenschwingkreis mit zwei Festwiderständen (1k, 10k), einer Induktivitätsdekade

(0,1H … 1H) und einer Kapazitätsdekade (1nF … 1μF) einspeist. Für die Strom- und Span-
nungsmessung wird ein Zweistrahloszilloskop verwendet. Die in der Tabelle angegebenen

Werte ergeben die im Bild 4.98 gezeichneten Stromkurven, die mit Hilfe der Versuchsschaltung bestätigt werden können.

Rr

Lr

Cr
f0

Qr
k

H
nF
kHz

1

10

0,1

1

15,9

1

1

0,1

10

5,0

3,16

1

0,1

1

15,9

10

1

1

1

5,0

31,6

Bild 4.97 Schaltbild eines

Reihenschwingkreises

Bild 4.98 Stromkurven eines Reihenschwingkreises

Die Bandbreite f ist also ein Maß für die Fähigkeit eines Reihenschwingkreises, die Re-
sonanzkurve von den Resonanzkurven anderer Resonanzkreise mit naheliegenden Reso-
nanzfrequenzen zu trennen, das ist die Selektionseigenschaft eines Kreises.

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von R, L und C

107

4.5.2 Die Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen –
die Parallel- oder Stromresonanz

Parallelschaltung von idealen Induktivitäten, Kapazitäten und ohmschen Widerständen Da es zu jeder Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen im Bildbereich eine äquivalente Parallelschaltung gibt, können die ohmschen Spulenverluste und die ohmschen

Verluste eines Kondensators durch Reihenschaltung oder Parallelschaltung erfasst werden.

Sind Spule und Kondensator in Reihe geschaltet, wie im vorigen Abschnitt behandelt,
dann wird als Ersatzschaltung die Reihenschaltung von idealer Induktivität und ohmschen

Widerstand und idealer Kapazität und ohmschen Widerstand verwendet, und die ohmschen

Anteile können im Widerstand Rr berücksichtigt werden.

Für die Parallelschaltung von Spule und Kondensator muss die Parallelschaltung von idea-
ler Induktivität und ohmschen Widerstand und die Parallelschaltung von idealer Kapazität und ohmschen Widerstand gewählt werden, um die Parallelschaltung von idealen Bauelementen zu erhalten. Die ohmschen Anteile werden im parallel geschalteten Widerstand Rp
zusammengefasst.

Zunächst wird also die Parallelschaltung von idealer Induktivität, idealer Kapazität und idealem ohmschen Widerstand behandelt, die der Reihenschaltung von entsprechenden

Schaltelementen äquivalent ist (siehe Bilder 4.37 und 4.39).

Dann werden die Ersatzschaltungen einer Spule und eines Kondensators als Reihenschal-
tungen parallel geschaltet, in äquivalente Parallelschaltungen überführt und wie die Parallelschaltung idealer Bauelemente behandelt.

Schließlich wird der Praktische Parallelresonanzkreis behandelt, bei dem die ohmschen Verluste des Kondensators vernachlässigt sind.

Für das im Bild 4.99 gezeichnete Schaltbild eines Parallelschwingkreises gilt die Differentialgleichung
i = i +

+

R
iC iL mit i = î(sin (t + )i )

(4.133)

i = 1 u + C du + 1 u dt

,

(4.134)

R
p
p
dt

Lp
die in die algebraische Gleichung abgebildet

Bild 4.99 Parallelschwingkreis
i = i +

+

= 1

R
iC iL
u + jC
u +

1
u

R
p
p
jLp
und gelöst werden kann:

î ej(t+i)

u =
i

=

1

2

+ j-C 1

1

jarc tan R (C 1/L

R
p

+ -C 1 e
p
p
p )

p

L

.

p /
p

R 2

L
p

.

p /

(4.135)

108

4 Wechselstromtechnik

Die Rücktransformation von u führt zur Lösung im Zeitbereich:

î

"

1 #
u =
sin :t i
arc tan Rp $Cp

%; (4.136)

2

$

:

L %
p

"

#

&

';

1

1

!

$Cp

%

2

R

$

%
p

Lp

&

'

Die Spannung u kann gegenüber dem Strom i nacheilend, voreilend und mit dem Strom i
in Phase sein, wie durch entsprechende Zeigerbilder veranschaulicht werden kann.

Mit der Schaltung im Bildbereich (Bild 4.100) entstehen die Gleichungen für die Zeiger-
bilder:

I I I I I I

R

C

L

R

B

I 1 U jC U

1

U

R
p
jL

p
p

" 1

1

#

I $
jCp

% U

$

R

%

Bild 4.100 Schaltbild des Parallel-
p
j Lp

&

'

schwingkreises im Bildbereich

1

"

1 #

I :

j $Cp

%; U

R

$

:

%
p

Lp

&

';!

"

1 #

I :Gp j $ C
p

%; U

$

L

:

%
p

&

';!

I

I

I

I

I

U

j

"

# G j(B B ) G jB

Y
p

1
p

C

L
p
p
p
p

Y e

Gp j$ C
p

%

$

L %
p

&

'

mit

Y Y G 2 B 2 G 2 (B B
p
p
p
p
p

C

L )2

2

"

1 #

2
p

Y Gp $ Cp

%

$

L %
p

&

'

Bp

B B
und

C

L
p = arc Y

p
arc tan
arc tan

G

G

p
p

C 1
p

Lp

p = arc tan

G

p

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von R, L und C

109

Ist Bp = BC + BL > 0, dann ist der komplexe

Ist Bp = BC + BL < 0, dann ist der kom-

Leitwert Yp kapazitiv und der kapazitive
plexe Leitwert Yp induktiv und der

Strom IC ist größer als der induktive Strom IL.

induktive Strom IL ist größer als der
kapazitive Strom IC.

Bild 4.101 Zeigerbild des Parallelschwingkreises

Bild 4.102 Zeigerbild des Parallelschwing-
mit Bp > 0
kreises mit Bp < 0

Für das Stromdreieck, das aus den Strömen IR, IB und I gebildet wird, gelten folgende

Beziehungen:

2

I2 = I 2 +

2 =

2 +

2 (

1

(

R

IB

IR

(IC IL )2 = G p U2 + Cp

U2

L

p

I

U =

2

G 2 +

1
p

Cp

L

p

C 1

1
p

(U

Cp

I

I I

L

p

L

p
tan

B

C

L
p =

=

=

=

(4.137)

I

(

R

IR

G p U

G p

C 1
p

L

p
p =

=
i
u
arc tan

G p
und

= =

= = +
r
u
i
p ,
u
i
p
i
r .

110

4 Wechselstromtechnik

Parallelresonanz, Stromresonanz

Ist der Blindanteil Bp = BC + BL = 0, dann ist der komplexe Leitwert gleich dem ohmschen Leitwert:

Y =

=

= 1

=

+

=

1 =
p

Yp G p
mit B

B

B

C

0 .

R
p

C

L
p

p

Lp

Eingangsstrom i und Eingangsspannung u sind dann in Resonanz, d. h. sie haben keine

Phasenverschiebung:

C 1

B
p

L

=
p =
p =
p
arc tan
arc tan

0 .

G p

G p

Die Resonanzbedingung lautet also

C = 1
p

.

(4.138)

Lp

Sind kapazitiver Leitwert BC = Cp und induktiver Leitwert – BL = 1/Lp im Resonanz-
fall gleich, dann kompensieren sich auch die Blindströme, wie aus dem Zeigerbild ersichtlich ist:

Bild 4.103 Zeigerbild des Parallelschwingkreises bei Bp = 0

Resonanzfrequenz

Bei entsprechender Wahl von Cp, Lp und kann der Zustand der Resonanz in der Parallel-
schaltung laut Resonanzbedingung erfüllt werden.

Sind Cp und Lp gegeben, dann tritt die Resonanz nur bei einer Resonanzkreisfrequenz 0
auf:

=

1

0

.

CpLp

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von R, L und C

111

Kapazitiver und induktiver Leitwert bei Resonanz

Im Resonanzfall sind also kapazitiver Leitwert und induktiver Leitwert gleich und ergeben bei vorgegebener Kapazität Cp und Induktivität Lp:

C

2
p

Cp

Cp

B

=

=

=

=

C

0

Cp

C

C

L
pLp
pLp
p

C

C

C

=
pLp
pLp
p

B

=

1

=

=

=

L

.

(

2

0

Lp

Lp

L

L
p
p

Der kapazitive Leitwert, der bei Resonanz gleich dem induktiven Leitwert ist, wird Kennleitwert des Resonanzkreises genannt und hat die Dimension eines Leitwertes:

Cp

B

=

=

=
mit

[B

C

BL

Bkp
kp] = 1–1 = 1S.

(4.139)

Lp

Der Zustand der Resonanz im Parallel-Resonanzkreis bedeutet, dass der Gesamtstrom
gleich dem Strom durch den ohmschen Widerstand Rp ist; die Blindströme kompensieren
sich und können ein Mehrfaches des Gesamtstroms betragen. Bei konstanter Spannung u
ist der Strom i bei Resonanz minimal, weil der Leitwert außerhalb der Resonanz größer
wird und damit der Strom größer ist. Wird die Einströmung konstant gehalten, entstehen
bei Resonanz in Abhängigkeit von der Güte Qp die höchsten Spannungswerte U.

Frequenzabhängigkeit der Blindleitwerte

Sind Kapazität Cp und Induktivität Lp eines Resonanzkreises konstant und wird die Kreis-
frequenz verändert, dann überwiegt bei niedrigeren Frequenzen als die Resonanzfre-
quenz 0 der induktive Leitwert und bei höheren Frequenzen als 0 der kapazitive Leit-
wert. Für die Darstellung der Frequenzabhängigkeit der Blindleitwerte BC, BL und

B =

+
p

BC

BL wird die Kreisfrequenz auf die Resonanzkreisfrequenz 0 bezogen:

= x · 0
mit

0 x <
.

In Abhängigkeit von x = /0 hat der kapazitive Leitwert einen linearen und der induktive Leitwert einen hyperbolischen Verlauf:

BC = Cp = x · 0 · Cp = Bkp · x

BL = 1 =

1

= B ( 1

L

(
kp
p
x ( 0 Lp
x

112

4 Wechselstromtechnik

Die Frequenzabhängigkeit des Blindleitwertes Bp lässt sich durch punktweises Überlagern
der BC-Kurve mit der BL-Kurve darstellen.

Bild 4.104 Frequenzabhängigkeit der Blindleitwerte

Analytisch kann Bp in Abhängigkeit von der relativen Verstimmung p beschrieben
werden:

B

0
p = B

1

1

C

BL

Cp

L

0Cp

p

0

0Lp

"

#

" f
f #

Bp =

0

0

Bkp $

% Bkp $

%

& 0

f

'

& 0
f '

"

1 #

Bp = Bkp x

Bkp

$

%
p (4.140)

&
x '

mit

C
p = x 1
f f0
x

0
f0
f

Ist A 0 bzw. f A f0,

Ist B 0 bzw. f B f0,
dann ist p A 0,
dann ist p B 0,

1
z. B. 2

1

1

0

p 1 1,50
z. B.

1

1,50

2

0
p

2

2

2

3

1

2

0

p 2 2,67

2

2,67

3

0
p

3

3

3

4

1

3

0

p 3 3,75

3

3,75

4

0
p

4

4

4

5

1

4

0

p 4 4,80

4

4,80

5

0
p

5

5

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von R, L und C

113

Wird der komplexe Leitwert Yp auf den Leitwert Yp = Gp = 1/Rp bei Resonanzfrequenz

= 0 bezogen, dann können entsprechend die Kreisgüte und die normierte Verstimmung des Parallelresonanzkreises definiert werden:

Y

+
p

G
j B

B

B

= p
p =
p
kp

1 + j

= 1 + j

G
p
p

G p

G p

G p

Yp = 1+ jQ = 1+ j V

(4.141)

G
p
p
p
p

Cp

B

L
kp
p
mit Q =

=
p

G
als Kreisgüte, Gütefaktor oder

(4.142)

p

G p

Resonanzschärfe des Kreises

und V =

( =

(

( f f0
p

Qp
p

Qp
x 1

(4.143)

x = Qp f0
f
als normierte

Verstimmung

Bandbreite

Genauso wie beim Reihenschwingkreis wird die Bandbreite durch die 45°-Verstimmung
definiert:

Wird bei einem Parallelschwingkreis mit gegebenen Rp, Cp und Lp, also bei bekannter

Güte Qp, für die anliegende Spannung u = û · sin (2 · f · t + u)

einmal die Frequenz f von f0 ausgehend auf fg2 erhöht, so dass der Blindleitwert Bp
genauso groß ist wie der ohmsche Leitwert Gp und die normierte Verstimmung +1 ist:

Bp = Gp und Vp2 = + 1,
und wird
zum anderen die Frequenz f von f0 ausgehend auf fg1 erniedrigt, so dass der negative

Blindleitwert –Bp genauso groß ist wie der ohmsche Leitwert Gp und die normierte

Verstimmung –1 ist:

– Bp = Gp und Vp1 = – 1,
dann handelt es sich um die so genannte 45°-Verstimmung, mit der die Bandbreite entsprechend definiert wird.

Die Bandbreite eines Parallel-Resonanzkreises ist gleich der Differenz der Grenzfre-
quenzen fg2 und fg1:

f = fg2 – fg1.

(4.144)

Die Frequenzabhängigkeit des bezogenen komplexen Leitwerts in der Gaußschen Zahlen-
ebene dargestellt, ergibt genauso wie beim Reihenschwingkreis eine Ortskurve, die parallel zur imaginären Achse im Abstand 1 vom Nullpunkt verläuft.

114

4 Wechselstromtechnik

Im Bild 4.105 sind drei spezielle Zeiger für den bezogenen komplexen Leitwert einge-
zeichnet: für die Resonanzfrequenz f0 und für die beiden Grenzfrequenzen fg1 und fg2. Der Begriff „45°-Verstimmung“ wird damit auch hier deutlich: die Frequenz f der anliegenden

Spannung ist, ausgehend von der Resonanzfrequenz f0, so lange erhöht bzw. erniedrigt
worden, bis die beiden Zeiger mit der reellen Achse jeweils einen Winkel von 45° bilden.

Mit

Vp2 = Qp · g2 = + 1
und

Vp1 = Qp · g1 = – 1
ergibt sich für die beiden bezogenen komplexen Leitwerte

Yp2 1 jQ
1 j1

G
p
g2

p

Yp1 1 jQ
1 j1

G
p
g1

p

Bild 4.105 Bezogener komplexer

Leitwert bei 45°-Verstimmung

Yp1

Yp2
mit

2,

G

G

p
p
d. h. Vp2 = – Vp1, Qp · g2 = – Qp · g1
und g2 = – g1. (4.145)

Der Zusammenhang zwischen der Güte Qp und der Bandbreite f ist der gleiche wie beim

Reihenresonanzkreis, denn die Herleitung ist die gleiche wie von der Gl. (4.121) bis

(4.124):

1

Q

0
p =
f0

. (4.146)

f

pg

Je größer die Kreisgüte Qp ist, umso kleiner ist die Bandbreite f.

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von R, L und C

115

Frequenzabhängigkeit der Spannung und der Ströme

Wird der Strom I konstant gehalten, dann ändern sich die Spannung U und die Ströme IC
und IL. Die Formeln für den Parallelschwingkreis sind analog zu den Formeln des Reihen-
schwingkreises:

I

U =

=

I

(4.147)

2

G 2 +

2 ( 2
p

Bkp
p

G 2 +

2 (
p

Bkp
x 1

x
x ( I

IC =

=
x ( I

(4.148)

2

1

1

2

+

+
x 1
p

Q 2

Q 2

x
p
p

I

IL =

=

I

(4.149)

2
x (

1 + 2
x (

1 + x 1
p

Q 2

Q 2

x
p
p

Die Resonanzkurven für U, IC und IL des Parallelschwingkreises entsprechen den Reso-
nanzkurven für I, UL und UC des Reihenschwingkreises (Bilder 4.95, 4.96 und 4.98).

Parallelschaltung verlustbehafteter Blindwiderstände

Werden für Spulen und Kondensatoren in Parallelschwingkreisen Reihenschaltungen von
idealisierten Bauelementen Lr und RLr bzw. Cr und RCr gewählt, dann kann der Parallel-
schwingkreis in die äquivalente Parallelschaltung von idealisierten Bauelementen über-
führt werden, die gerade behandelt wurde.

Bild 4.106 Parallelschwingkreis mit parallel geschalteten Reihenschaltungen

Um die Resonanzbedingung angeben zu können, muss der Leitwertoperator zwischen dem

Strom I und der Spannung U reell sein:

I = I

+

=

+

Cr

ILr

(YCp

YLp ) U = Yp U
mit Y

=

+

= 1 +

Cp

G Cp
j BCp
jC

R
p

Cp

1
und Y

=

+

= 1

Lp

G Lp
j ( BLp
j

R

Lp

Lp

116

4 Wechselstromtechnik

I = [(G

+

+

Cp

G Lp ) + j (BCp

BLp )] U

I =

1

+ 1 + j( C 1 ( U

R

p

Cp

R Lp

L

p

I = I

+

+

+

RC

IRL

IC

IL
mit Gl. (4.71)

1

R

C

L

I =

Cr

+

R Lr

+ j(
r

r

( U

R 2 + 2L 2

R 2 + 2L 2

R 2 +

1

Lr
r

2 +

1

Lr
r

Cr

R

2

Cr

C 2

2 2

r

Cr

(4.150)

I = I

+

+

+

=

+

+

RC

IRL

IC

IL

IR

IC

IL
mit

I

=

+

R

IRC

IRL

Die Parallelresonanz oder Stromresonanz ist erfüllt, wenn sich die Blindkomponenten der Zweigleitwerte YCp und YLp und die Blindströme IC und IL kompensieren:

Bp = BCp + BLp = 0
oder – BLp = BCp

1

L

r

=

Cr

.

(4.151)

R 2 + 2 2

Lr

Lr

R

2 +

1

Cr

2C 2
r

Sind RCr, Cr, RLr und Lr gegeben, dann ist der Parallelkreis nur dann in Resonanz, wenn
die Kreisfrequenz = 0 reell ist:

2

2

+

1

2 + 2 2

0 LrCr

RCr

= R

L

2 2

Lr

0
r

0 Cr

2

2 + Lr =

2 + 2 2

0 LrCr RCr

R

L

C

Lr

0
r
r

2

(

2 Lr

2 Lr

0 LrCr

RCr

Cr = RLr

Cr

R 2 Lr

Lr

=

1

(

Cr

0

(4.152)

LrCr

R

2 Lr

Cr

Cr

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von R, L und C

117

Interpretation der Bedingungsgleichung für die Resonanz-Kreisfrequenz:

1. RLr RCr:

Resonanz ist möglich,
wenn R

2 >

2 >

Lr

Lr/Cr und RCr

Lr/Cr
oder R

2 <

2 <

Lr

Lr/Cr und RCr

Lr/Cr.

Ein negativer Wert unter der Wurzel ergibt keine reelle Resonanzkreisfrequenz 0,
d. h. eine Resonanz zwischen Strom i und Spannung u ist nur möglich, wenn jeweils
beide Bedingungen erfüllt sind.

2. RLr = RCr Lr / Cr :

Der Parallel-Resonanzkreis befindet sich bei der Resonanzkreisfrequenz 0 in Reso-
nanz, die der Resonanzfrequenz des Reihenschwingkreises entspricht:

1

0 =

(4.153)

LrCr

R 2 L
wegen

Lr
r / Cr = 1.

R

2

Cr

Lr / Cr

3. RLr =RCr = Lr / Cr = R :

Mit dieser Bedingung ergibt die Formel für 0 einen unbestimmten Ausdruck 0/0. Die

Resonanzbedingung Gl. (4.151)

1

L

r

=

Cr

R 2 + 2 2

Lr

Lr

R

2 +

1

Cr

2C 2
r
bzw. 2L

=

2
rCr R 2 + Lr

R2 + 2L

C
r
r
ist mit R2 = Lr/Cr für alle Frequenzen erfüllt, weil für keine Einschränkung erfolgen
muss:

2L

Lr + Lr =

2
rCr

R2 + 2L .

C
r
r

Cr

Diesen Zustand des Parallel-Resonanzkreises nennt man ewige Resonanz, weil für jede Frequenz der Strom i und die Spannung u in Resonanz sind; die Parallelschaltung verhält sich wie der ohmsche Widerstand R:

1

(R + jL

+

1
r ) (

R j

R2 + Lr
j ( R ( Lr

Z

( Z

C

C

C

Z =

Lr

Cr =
r

=
r
r

Z

+

Lr

ZCr

2R + j ( L 1

1
r

2R + j ( L

C
r

r

Cr

L
mit
r = R2 ist

Cr

118

4 Wechselstromtechnik

2R2 + j ( R ( L 1

R ( 2R + j (

1
r

Lr

C

C

r

Z =
r

=

= R = Lr .(4.154)

C

2R + j ( L 1

1
r
r

2R + j ( L

C
r

r

Cr

Das Zeigerbild für die Ströme und die anliegende Spannung bei ewiger Resonanz er-
gibt sich mit folgenden Gleichungen:

I = I

+

= U

Cr

ILr

R
mit

I

=

+

Cr

YCp U = (GCp
jBCp ) U
und

I

=

+

Lr

YLp U = (G Lp
jBLp ) U

Die Winkelbeziehungen lassen sich mit Hilfe der Umrechnungsformeln für die Trans-
formation der Reihenschaltung in die Parallelschaltung Gl. (4.69) und (4.70) angeben:

1

Cr

1

1

B

2

Cp

Z

C

C
tan

Cr
r
r

C =

=

=

=

G

R

Cp

Cr

RCr

R

Z 2

Cr

Lr

B

2

Lp

Z

L

L
tan

Lr
r
r

L =

=

=

=

G

R

Lp

Lr

R Lr

R

Z 2

Lr

Bild 4.107 Zeigerbild des Parallelresonanz-
kreises bei ewiger Resonanz

1

C

r + Lr
tan tan
tan (

C

L

R

R

C – L) =

=

1 + tan

1

C
tan L

C L

1
r
r

R

R

1

+ L

C
r ( R
tan (
r

C – L) =

R2 Lr

Cr

1

+ L

C
r ( R
tan (
r

C – L) =

Lr Lr

Cr

Cr

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von R, L und C

119
tan (C – L) =

= +

C

L

C

(L ) = 2

Beispiel:

Mit dem RC-Generator, den Festwiderständen, der Induktivitäs- und der Kapazitätsdekade der Versuchsschaltung des Reihenresonanzkreises (Abschnitt 4.5.1) lässt sich der Parallel-Resonanzkreis mit RLr = RCr = 1k, Lr = 0,1H und Cr1 = 1nF (f0 = 15,9kHz) bzw.

Cr2 = 0,1μF (ewige Resonanz) aufbauen und das Resonanzverhalten untersuchen.

4. RCr = 0: (Spezialfall von 1.)

In Praktischen Parallel- Resonanzkreisen ist der Verlustwiderstand des Kondensators RCr vernachlässisgbar klein gegenüber Lr / Cr .

Die Formel für die Resonanzkreisfrequenz (siehe Gl. 4.152) kann dann umgeschrieben
werden in

R 2 Lr

Lr

2 (

=

1

(

Cr = 1 (

Cr

0

1 RLr

L

L
rCr

Lr

LrCr
r

Cr

2

=

1

RLr

(4.155)

0

LrCr

Lr

Den komplexen Leitwert des Praktischen Parallel-Resonanzkreises zu errechnen be-
deutet, die Transformation der Reihenschaltung RLr – Lr in die äquivalente Parallel-
schaltung nach Gl. (4.70) vorzunehmen und den Leitwert des Kondensators zu berück-
sichtigen:

L

Y =

R Lr

+

r

+

1
p
j ( Cr

= 1
j ( Cp

(4.156)

R

2 + 2 2

2

+ 2 2

R

L

Lr

Lr

R Lr

Lr

Lp

p

Bild 4.108

Transformation des Praktischen Parallel-

Resonanzkreises

120

4 Wechselstromtechnik

Um die Güte des Praktischen Parallel-Resonanzkreises berechnen zu können, muss eben-
falls die äquivalente Parallelschaltung idealer Bauelemente herangezogen werden:

Mit Gl. (4.142)

Bkp

Qp =

= R

G

Lp

0Cp
p

1
mit Gp =

= 1

R p

R Lp
und Bkp = 0 Cp
und

2

R 2 +

1

RLr

2

Lr

( Lr

R 2 + 2L 2

L

2
rCr

L

R

Lr

0
r
r

Lp =

=

= Lr

= Lr

R Lr

R Lr

R LrCr

R LrCp
ergibt sich für die Güte des Praktischen Parallel-Resonanzkreises:

2

L

2

2

2

Q
r
p =

1

RLr

C =

Lr 1 Lr RLr

R
p

2

2

2

LrCp

LrCr

Lr

R

L

Lr
rCr

R Lr

Lr

L

Q
r
p =

1 .

(4.157)

R

2

Lr Cr

Der komplexe Widerstand des Praktischen Parallel-Resonanzkreises kann aus der Formel
für zwei parallel geschaltete Widerstände und anschließendem Erweitern bestimmt wer-
den:

(R

+

Lr
jLr ) ( 1
jC

+ jL

Z =
r =

R Lr
r

( (1 2LrCr ) jRLrCr

(1 2L

(1 2L

R

+

+ 1
rCr ) + jR LrCr
rCr ) jR LrCr

Lr
jLr
jCr

R 2L

+ jL

2C + 2L

Z = RLr

Lr
rCr
r (1 2LrCr ) jR Lr
r
r R LrCr

(1 2LrCr )2 + (RLrCr )2

2C

Z =

R Lr

+ j ( Lr (1 2LrCr) RLr r

(4.158)

(1 2LrCr )2 + (RLrCr )2

(1 2LrCr )2 + (RLrCr )2

Übungsaufgaben zum Abschnitt 4.5

121

Übungsaufgaben zum Abschnitt 4.5

4.20 Behandeln Sie rechnerisch den skizzierten Resonanzkreis, an dem eine sinusförmige Spannung variabler Frequenz anliegt.

Bild 4.109

Übungsaufgabe 4.20

1. Berechnen Sie die Resonanzkreisfrequenz, den Kennwiderstand und die Kreisgüte.

2. Errechnen Sie für = 250, 500, 750, 900, 1000, 1111, 1333, 2000 und 4000s–1 die Resonanzkurve

I

= f (x) mit x =

U / R

0

und stellen Sie sie grafisch dar.

3. Ermitteln Sie aus der Resonanzkurve die Bandbreite f und die Grenzfrequenzen fg1
und fg2.

4.21 Für die Übertragung eines Signals mit der Bandbreite f = 5kHz und einer Güte Qr = 100 steht eine hochfrequente Trägerschwingung zur Verfügung, die durch einen Schwingkreis erzeugt
wird.

1. Bei welcher Frequenz ist die Übertragung des Signals vorgesehen?

2. Ermitteln Sie die Schaltelemente des Schwingkreises in Reihenschaltung, wenn der Kennwiderstand 500 beträgt.

4.22 Die Ersatzschaltungen einer Spule und eines Kondensators sind Reihenschaltungen mit RCr = 10, Cr = 2μF und RLr = 100, Lr = 0,1H, die parallel geschaltet sind.

1. Untersuchen Sie, ob eine Resonanz zwischen der anliegenden Spannung u und dem sinus-
förmigen Strom i möglich ist. Falls Resonanz erreicht werden kann, berechnen Sie die Re-
sonanzfrequenz f0 und die dann wirksame Impedanz Z0 des Parallelresonanzkreises.

2. Um wie viel Prozent ändert sich die Resonanzfrequenz, wenn der Verlustwiderstand RCr
des Kondensators vernachlässigt wird?

4.23 1. Für den praktischen Parallel-Resonanzkreis mit vorgeschaltetem Widerstand sind die Ströme ILr. und IC in Abhängigkeit von U, R, Lr, RLr, Cr und zu ermitteln.

2. Anschließend ist die Spannung UC zu bestimmen und das Ergebnis mit dem Beispiel 3 der Spannungsteilerregel (Abschnitt 4.3, Bild 4.28) zu vergleichen.

3. Bei welcher Kreisfrequenz sind die Spannung uC und u in Phase und bei welcher Kreisfrequenz ist der Strom iC gegenüber der Spannung u um 90° phasenverschoben?

Bild 4.110

Übungsaufgabe 4.23

122

4 Wechselstromtechnik

4.24 1. Für den praktischen Parallel-Resonanzkreis mit RLr = 100, Lr = 0,1H und Cr = 2μF sind drei quantitative Zeigerbilder bei = 1000s–1, = 2000s–1 und = 3000s–1 zu entwickeln, wobei der Strom ILr jeweils 10mA betragen soll. Geben Sie für die drei Fälle die Effektivwerte von U und I und die Phasenverschiebung an und errechnen Sie jeweils den
komplexen Leitwert.

2. Kontrollieren Sie rechnerisch die Ergebnisse für die komplexen Leitwerte.

Bild 4.111

Übungsaufgabe 4.24

4.25 Für den gleichen Parallel-Resonanzkreis mit RLr = 100, Lr = 0,1H und Cr = 2μF ist die Resonanzkurve zu ermitteln, indem der Resonanzkreis in einen Parallelresonanzkreis mit idealen Bauelementen überführt wird (Bild 4.112).

1. Berechnen Sie zunächst die Resonanzkreisfrequenz und die Ersatzgrößen RLp, Lp und Cp
und die Güte Qp.

2. Leiten Sie die Formel für die frequenzabhängige Spannung bezogen auf die Maximalspan-
nung I/Gp

U

= f (x) mit x =

I / Gp

0

in Analogie zum Reihen-Resonanzkreis her.

3. Berechnen Sie für = 500s–1, 1000s–1, 1500s–1, 2000s–1, 2666s–1, 4000s–1 und 8000s–1 die Resonanzkurven und stellen Sie sie dar.

Bild 4.112

Übungsaufgabe 4.25

4.6 Spezielle Schaltungen der Wechselstromtechnik

123

4.6 Spezielle Schaltungen der Wechselstromtechnik

4.6.1 Schaltungen für eine Phasenverschiebung von 90° zwischen Strom und

Spannung

Hummelschaltung

In einer stromdurchflossenen Spule ist die Phasenverschiebung zwischen dem Strom und
der anliegenden sinusförmigen Spannung wegen der ohmschen Verluste kleiner als 90°.

Wird als Ersatzschaltung der Spule die Reihenschaltung des ohmschen und induktiven

Widerstandes gewählt, dann teilt sich die sinusförmige Spannung u1 in die ohmsche

Spannung uR1 und die induktive Spannung uL1 auf.

Wird die Schaltung in den Bildbereich transformiert, dann beschreiben die entsprechen-
den komplexen Effektivwerte im Zeigerbild die Zusammenhänge zwischen Strom und

Spannungen (Bild 4.113):

U U

U

1

R1

L1

U R I jL I

1
r1

1
r1

1

U (R jL

1
r1
r1) I1

Bild 4.113

Schaltung und Zeigerbild einer

Spule

Zur Messung der Blindleistung, die im Abschnitt 4.7 behandelt wird, ist es allerdings notwendig, dass zwischen dem Strom und der Spannung eine Phasenverschiebung von
exakt 90° besteht. Mit der Hummelschaltung (Bild 4.114) kann diese Bedingung erfüllt
werden, wie im folgenden nachgewiesen werden soll.

Bild 4.114

Hummelschaltung

An die Spule wird ein bestimmter ohmscher Widerstand Rp parallel und eine Spule mit
bekanntem Rr2 und Lr2 in Reihe geschaltet. Die Phasenverschiebung von 90° soll zwi-
schen der Spannung u und dem Spulenstrom i1 eingestellt werden können. Für die kom-
plexen Effektivwerte U und I1 ist damit der Operator herzuleiten, mit dem diese ineinan-
der überführt werden können. Anschließend ist dessen Realteil Null zu setzen, denn wenn
der Operator imaginär ist, sind auch die Zeitfunktionen um 90° phasenverschoben:

124

4 Wechselstromtechnik

Mit Hilfe der Stromteilerregel ergibt sich

I

R

1
p
mit

I

U

I

2

R
jL

2

R p

Rr1
jLr1
p (R r1
r1) R jL

R R jL
r2
r2

p
r1
r1

R
p

U

I

1

R
jL

R jL
jL

p (R r1
r1) (R p
r1
r1)(R r2
r2 )

U

1

I

2

"

R

#

"

#
r1 R r2

Lr1Lr2

Lr2 Rr1 Lr1Rr2

$ Rr1 Rr2

% j $ Lr1 Lr2

%

$

R

%

$

%
p

Rp

Rp

Rp

&

'

&

'

R

2 L

R

Rr1
r2
r1Lr2
r1

Rr2

0 (4.159)

R

R

p
p

R (R

R ) R R 2 L L 0
p
r1
r2
r1
r2
r1
r2

Sind die ohmschen Widerstände und die Induktivitäten der beiden Spulen und die Kreis-
frequenz der sinusförmigen Spannung bekannt, dann ergibt sich der parallel geschaltete

Widerstand aus folgender Gleichung:

2 L L R R

R
r1
r2
r1
r2
p

(4.160)

R

R

r1
r2

Beispiel:

1. Für die Hummelschaltung ist der erforderliche Widerstand Rp zu errechnen, der eine Phasenverschiebung von 90° zwischen dem Strom i1 und der Spannung u ermöglicht, wenn

Rr1 = 200, Lr1 = 400mH, Rr2 = 100, Lr2 = 200mH und die Frequenz der anliegenden

Spannung f = 200Hz betragen.

2. Das Ergebnis soll durch ein quantitatives Zeigerbild kontrolliert werden, indem für den Spulenstrom I1 = 20mA angenommen wird.

Lösung:

Zu 1.

1 2

(2 200s ) 0, 4H 0, 2H 200 100

R p

200 100

R p 354,4

Zu 2. Reihenfolge der Zeigerdarstellung:

I1

I1 = 20mA

UR1 = Rr1 · I1

UR1 = 4V

UL1 = jLr1 · I1

UL1 = 10,05V

U1 = UR1 + UL1

U1 = 10,82V

U

Ip = 1

I

R
p = 30,53mA
p

I2 = I1 + Ip

I2 = 42mA

UR2 = Rr2 · I2

UR2 = 4,2V

UL2 = jLr2 · I2

UL2 = 10,56V

Bild 4.115 Quantitatives Zei-

U2 = UR2 + UL2

U2 = 11,4V
gerbild der Hummelschaltung

U = U1 + U2

U = 20,7V

Im quantitativen Zeigerbild der Hummelschaltung im Bild 4.115 schließen der Zeiger des

Spulenstroms I1 und der Zeiger der Gesamtspannung U einen Winkel von 90° ein.

4.6 Spezielle Schaltungen der Wechselstromtechnik

125

Polekschaltung

Wird in der Hummelschaltung der ohmsche Parallelwiderstand Rp durch einen Kondensa-
tor mit vernachlässigbaren Verlusten ersetzt, dann kann zwischen dem Spulenstrom i1 und
der anliegenden Spannung u ebenso eine Phasenverschiebung von 90° erreicht werden.

Die erforderliche Kapazität lässt sich mit folgender Formel berechnen:

R

R

C
r1
r2
p =

2(L R L R

r1
r2
r2
r1)

(4.161)

Bild 4.116 Polekschaltung

Brückenschaltung für eine 90°- Phasenverschiebung

Um eine Phasenverschiebung von exakt 90° zwischen einem sinusförmigen Strom und
einer sinusförmigen Spannung zu erhalten, werden zwei gleiche Spulen und zwei gleiche
ohmsche Widerstände in einer Brücke mit ohmschem Diagonalzweig zusammengeschal-
tet, die in Reihe mit einer anderen Spule liegt. Für die Spulen sollen jeweils Reihenschaltungen verwendet werden.

Bild 4.117

Brückenschaltung für eine

90°-Phasenverschiebung

Zwischen dem Spulenstrom i1 und der anliegenden Spannung u soll die geforderte Pha-
senverschiebung bestehen. Deshalb ist der Operator zwischen I1 und U zu errechnen und
dessen Realteil Null zu setzen. Aus Symmetriegründen der Schaltung können die jeweils
gleichen Ströme I1 und I2 zweimal eingetragen werden, so dass das Gleichungssystem
nach dem Kirchhoffschen Netzberechnungsverfahren reduziert werden kann:

Knotenpunktgleichungen:

k1: I1 = I2 + I3
oder I3 = I1 – I2
k2: I = I1 + I2

Maschengleichung für die Masche I:

U = R2 · I2 + Z1 · I1 + Z · I

U = R2 · I2 + Z1 · I1 + Z · (I1 + I2)

U = (Z1 + Z) · I1 + (R2 + Z) · I2

126

4 Wechselstromtechnik

Maschengleichung für die Masche II:

Z1 · I1 · R3 · I3 – R2 · I2 = 0

Z1 · I1 + R3 · (I1 – I2) – R2 · I2 = 0

(Z1 + R3) · I1 – (R2 + R3) · I2 = 0

Z R

I

1

3

2 =

I1

R R

2

3

Die Gleichung für I2 in die Maschengleichung für die Masche I eingesetzt, ergibt den

Widerstandsoperator zwischen I1 und U:

R

Z) (Z R

U (Z Z) I (R Z) Z1

3 I Z

:

Z (R2

1

3 )

1

1

2

; I

R R

1

1

R R

1

2

3

2

3

!

und mit Z1 = Rr1 + jLr1 und Z = Rr + jLr ist

R jL
jL R

U R

:

jL R jL (R2
r
r ) (R r1
r1

3 )

r1
r1
r
r

; I

R R

1

2

3

!

(4.162)

Zwischen i1 und u besteht die Phasenverschiebung von 90°, wenn der Realteil des Wider-
standsoperators Null ist:

(R R

R

R

2
r ) (R r1

3 ) 2Lr Lr1
r1 + Rr +

0 (4.163)

R

2

R3

4.6.2 Schaltung zur automatischen Konstanthaltung des Wechselstroms –
die Boucherot-Schaltung

Prinzip

In der im Bild 4.118 gezeichneten Spannungsteilerschaltung kann der Zweigstrom i3
unabhängig vom Belastungs-Wechselstromwiderstand werden, wenn die beiden Wechsel-
stromwiderstände des Spannungsteilers eine verlustlose Spule und ein verlustloser Kon-
densator sind, die sich in Resonanz befinden. Da es verlustlose Spulen und Kondensato-
ren nicht gibt, kann die Boucherot-Schaltung nur angenähert einen von der Belastung
unabhängigen Strom garantieren. Bei Anwendung der Schaltung ist deshalb ein Vergleich
des erreichbaren und des geforderten Toleranzbereiches notwendig.

Bild 4.118

Prinzip der Boucherotschaltung

4.6 Spezielle Schaltungen der Wechselstromtechnik

127

Nachweis mit Hilfe der Schaltung im Bildbereich Mit Hilfe der Stromteilerregel lässt sich der Belastungsstrom I3 durch den Belastungswiderstand Z3 ermitteln.

I3 Z2
mit I

U

I

1

1

Z2

Z3

Z Z2Z3

1

Z Z

2

3

I

Z2

U

3

Z

Bild 4.119 Boucherotschaltung

2

Z3 Z Z2Z3

1
im Bildbereich

Z Z

2

3

U

U

I

Z2

Z2

3

. (4.164)

Z

Z

Z

Z

Z (Z Z

1Z2

1Z3

2Z3

1Z2

3

1

2 )

Soll I3 unabhängig vom komplexen Widerstand Z3 sein, dann muss Z3 · (Z1 + Z2) Null
sein, d. h. Z1 + Z2 = 0. Werden die Spule und der Kondensator als Reihenschaltungen mit

Z1 = R1 + jX1 und Z2 = R2 + jX2 aufgefasst, dann kann die Bedingung nur erfüllt wer-
den, wenn die Summe der ohmschen Widerstände Null sind und die Blindwiderstände
sich aufheben:

!

!

R1 + R2 0 und X1 + X2 0 (4.165)

Die Bedingung für die ohmschen Widerstände lässt sich natürlich nicht erfüllen, weil sich vor allem die Spulenverluste nicht vernachlässigen lassen. Der Strom i3 lässt sich deshalb nur in gewissen Grenzen konstant halten.

Für die Boucherot-Schaltung gibt es also zwei Möglichkeiten der Realisierung: entweder
ist Z1 ein kapazitiver Widerstand und Z2 ein induktiver Widerstand oder umgekehrt Z1 ist ein induktiver Widerstand und Z2 ein kapazitiver Widerstand, die in Resonanz sind:

Z

1

1

Z2
jL
bzw. Z1

Z2
jL 1

jC
jC

"

1

#

"

1 #

1

Z Z2 j

L 0

$

%

Z Z j L

0

&

1

2

$

%

C

'

&

C '

1
mit

L
mit L 1

C

C

Der Belastungsstrom i3 ist dann der anliegenden Spannung u um 90° voreilend bzw. um

90° nacheilend, weil der Operator zwischen I3 und U positiv imaginär bzw. negativ ima-
ginär ist:

U

U

I

Z2

Z2

U

3

Y

U

Z

Z (Z Z

Z

Z

1

1Z2

3

1

2 )

1Z2

1

I

1

3
jC U j C

U bzw. I3

U j LC U
jL

L

LC

I

3
j C U

I3
j C U

L

L

128

4 Wechselstromtechnik

4.6.3 Wechselstrom-Messbrückenschaltungen

Anwendung von Wechselstrom- Messbrücken

Wechselstrom-Messbrücken werden zur Bestimmung von unbekannten Scheinwiderstän-
den, Induktivitäten und Gegeninduktivitäten, Kapazitäten, Verlustwinkeln von Spulen
und Kondensatoren und Spannungs- und Stromfrequenzen verwendet.

Grundsätzlicher Aufbau und Abgleichbedingung

Die Wechselstrombrücke, dargestellt im Bildbereich mit komplexen Effektivwerten und
komplexen Operatoren, heißt „abgeglichen“, wenn der Diagonalzweig CD stromlos ist,
d. h. wenn iA = 0 bzw. IA = 0 und die Spannung uCD = 0 bzw. UCD = 0 sind.

Bild 4.120

Grundsätzlicher Aufbau der Wechsel-
strombrücke im Bildbereich

Da die Punkte C und D dann gleiches Potential haben, sind auch die Spannungen über
den Widerständen Z1 und Z3 bzw. Z2 und Z4 gleich:

U

U

U

U

CA

DA

BC

BD

Z I Z I

I Z I

1

1

3

3

Z2

2

4

4

Werden beide Gleichungen dividiert

Z I

I

1

1 Z3 3

Z I

Z I

2

2

4

4
und berücksichtigt, dass I1 = I2 und I3 = I4, dann vereinfacht sich der Quotient beider Gleichungen:

Z1 Z3 . (4.166)

Z

Z

2

4

Ist die Wechselstrombrücke abgeglichen, dann stehen die komplexen Widerstände in
einem bestimmten Verhältnis zueinander. Sind drei komplexe Widerstände bekannt, dann
lässt sich ein vierter unbekannter komplexer Widerstand bestimmen.

Die Abgleichbedingung der Wechselstrombrücke erinnert an die Abgleichbedingung der

Gleichstrombrücke nach Wheatstone (siehe Band 1, Abschnitt 2.2.7, Gl.2.108):

R1 R3 .

R

R

2

4

4.6 Spezielle Schaltungen der Wechselstromtechnik

129

Werden die komplexen Widerstände in Betrag und Phase dargestellt, dann sind die Quo-
tienten der entsprechenden Scheinwiderstände und die Differenzen der Phasenwinkel
gleich:

Z

1 e j1 Z3 ej3

Z
oder

1 e j(

1

2 ) Z3 e j(3

4 )

Z e j2

Z e j4

Z

Z

2

4

2

4
oder

Z1 Z3 und

Z

Z

1

2

3

4 . (4.167)

2

4

Die Wechselstrombrücke muss „nach Betrag und Phase abgeglichen“ werden.

Vergleich von Wechselstromwiderständen gleicher Art

Soll ein unbekannter Kondensator mit einem bekannten Normalkondensator oder eine
unbekannte Spule mit einer bekannten Normalspule verglichen werden, dann sind diese in
der Wechselstrombrücke jeweils nebeneinander anzuordnen. Die beiden restlichen neben-
einander liegenden Wechselstromwiderstände sind ohmsche Widerstände:

Bild 4.121

Vergleich von Wechselstromwiderständen
gleicher Art

Die Abgleichbedingung lautet dann allgemein

R1 Z3 und (4.168)

R

Z

3

4

2

4
mit 0 und 0

1

2

Beispiel 1: Vergleich zweier idealer Kondensatoren: „Kapazitäts-Messbrücke“

Mit

1

Z 1

R

Z2 R2

1

1

3

Z

Z4
jC3
jC4

lautet die Abgleichbedingung:

Bild 4.122 Kapazitäts-Messbrücke

R
jC

C

1

4 4 (4.169)

R
jC

C

2

3

3

130

4 Wechselstromtechnik

Ist die Kapazität C3 = Cx unbekannt und die ohmschen Widerstände R1 und R2 und die Kapa-
zität C4 sind bekannt, dann wird nach Erreichen des Abgleichs mit einem Strommesser
oder einem Oszilloskop Cx berechnet:

R

Cx =

2

3

C C4

(4.170)

R1

Beispiel 2: Vergleich zweier verlustbehafteter Kondensatoren:

Wird für verlustbehaftete Kondensatoren jeweils die Reihenschaltung als Ersatzschaltung
gewählt, dann betragen die komplexen Widerstände der Messbrücke:

1

Z 1

R

Z2 R2

1

1

Z3 Rr3

Z4 Rr4
jCr3
jCr4

Die Abgleichbedingung lautet dann

1

R r3

R1
jCr3

(4.171)

Bild 4.123 Wechselstrombrücke mit

R

1

2

R
verlustbehafteten Kondensatoren
r4 jCr4

Ist der verlustbehaftete Kondensator Z3 unbekannt und sind die übrigen Elemente der

Brückenschaltung durch den Abgleich ermittelt, dann empfiehlt es sich, die Abgleichbedingung nach Z3 aufzulösen, weil die gesuchten Größen Rr3 und Cr3 im Real- und Imaginärteil getrennt auftreten:

R

R

R

1

Z

1 Z 1 R 1

R

1

3

R

4

R
r4

R
jC
r3
jC

2

2

2
r4
r3

R

R
d.h. R

R 1 R
und C

C 2 C (4.172)

r3
rx

R
r4
r3
rx

R
r4

2

1

Sind die ohmschen Widerstände R1 und R2 gleich, dann ist Rr3 = Rr4 und Cr3 = Cr4.

Beispiel 3: Vergleich zweier Spulen

Die Ersatzschaltungen zweier Spulen, deren ohmschen Verluste nicht zu vernachlässigen
sind, sollen Reihenschaltungen sein. Die komplexen Widerstände betragen dann:

1

Z 1

R

Z2 R2

Z3 Rr3 jLr3

Z4 Rr4 jLr4

Die Abgleichbedingung lautet dann

R1

Rr3 j L
r3

R2

Rr4 j L
r4

Bild 4.124 Vergleich zweier Spulen

oder R1Rr4 + jR1Lr4 = R2Rr3 + jR2Lr3

(4.173)

Durch Vergleich des Realanteils und des Imaginäranteils beider Seiten der Gleichung ergibt sich

R1Rr4 = R2Rr3 und R1Lr4 = R2Lr3

R

R

R

L
oder

1
r3

1
r3

und

. (4.174)

R 2

R r4

R 2

Lr4

In der Messtechnik werden Spulen nicht mit Spulen, sondern mit Kondensatoren verglichen, weil Normalkapazitäten genauer als Normalinduktivitäten herstellbar sind.

4.6 Spezielle Schaltungen der Wechselstromtechnik

131

Vergleich von Wechselstromwiderständen verschiedener Art Soll eine unbekannte Spule mit einem bekannten Normalkondensator oder ein unbekannter Kondensator mit einer bekannten Normalspule verglichen werden, dann sind diese in
der Wechselstrombrücke jeweils gegenüber anzuordnen. Die beiden restlichen gegenüber
liegenden Wechselstromwiderstände sind ohmsche Widerstände:

Bild 4.125

Vergleich von Wechselstromwiderständen
verschiedener Art

Die Abgleichbedingung lautet dann allgemein

R1 Z3 und

–

2 = 3 (4.175)

Z

R

2

4
mit 1 = 0
und

4 = 0

Beispiel: Vergleich eines verlustbehafteten Kondensators mit einer Spule: „Maxwell-Wien-Brücke“

Für den verlustbehafteten Kondensator wird die Parallelschaltung und für die Spule die Reihenschaltung verwendet. Die komplexen Widerstände betragen dann:

1

1

Z 1

R

Z2 1 jCp2

R p2

Z3 Rr3 jLr3

Z4 R4

Die Abgleichbedingung lautet dann mit

1

1

R1

3

Z

Z2

R4

" 1

#

1

Bild 4.126 Maxwell-Wien-Brücke

R1 $
jCp2 %

(Rr3 jLr3)

$

R

%
p2

R4

&

'

R

R

L

1 jR C r3 j r3 (4.176)

R

1 p2

R

R
p2

4

4

Durch Vergleich des Realanteils und des Imaginäranteils beider Seiten der Gleichung ergibt sich:

R1

Rr3

Lr3

und

1

R Cp2

. (4.177)

R p2

R4

R 4

Wie erwähnt, werden Spulen mit Kondensatoren verglichen, weil Normalkapazitäten genauer
herstellbar sind: die Maxwell-Wien-Brücke ermöglicht die messtechnische Ermittlung von

Spulendaten Rr3 und Lr3 mit Hilfe der restlichen Brückenelemente:

Der Abgleich der Brücke erfolgt zunächst mit Gleichstrom, bis die Gleichstrom-

Abgleichbedingung erfüllt ist. Für Gleichstrom bedeutet die Induktivität Lr3 kurzgeschlossen und der Kondensator Cp2 eine Unterbrechung.

132

4 Wechselstromtechnik

Der anschließende Wechselstrom-Abgleich bei beliebiger Frequenz wird mit einem Oszil-
loskop kontrolliert: die Widerstände Rp2 und R4 müssen gleichzeitig variiert werden, damit die Gleichstrom-Abgleichbedingung erfüllt bleibt. Für die veränderliche Kapazität Cp2 stehen Normkondensatoren mit geringen Verlusten zur Verfügung.

Schließlich werden die unbekannten Spulen-Ersatzelemente mit den ermittelten Brückenele-
menten errechnet:

R1

3

Z Rr3 jLr3

R4 jR1R4Cp2

R p2

R
d. h. R

R

1 R
und L

L R R C (4.178)

r3
rx

R

4
r3
rx

1

4
p2
p2

Zahlenbeispiel:

Eine Spule mit unbekannten Daten ist mit veränderlichen ohmschen Widerständen R1, R4,

Rp2 und der veränderlichen Kapazität Cp2 zur Maxwell-Wien-Brücke zusammengeschaltet
und ergibt bei Abgleich mit Gleich- und Wechselspannung

R1 = 144

R4 = 50

Rp2 = 600

Cp2 = 5,6F.

Die Spulendaten betragen dann

144

R

r3 =

6

R rx

50 12

Lr3 Lrx 144 50 5,6 10 F 40mH

600

Andersonbrücke und Illiovicibrücke

Die Daten von Spulen lassen sich nicht nur mit Hilfe der Maxwell-Wien-Brücke, sondern
auch mit der Illiovicibrücke und der Andersonbrücke messtechnisch erfassen. Wegen der

Kapazität C in der Illiovicibrücke und wegen des ohmschen Widerstands R4 in der An-
dersonbrücke kann die allgemeine Abgleichbedingung für Wechselstrombrücken nicht
einfach verwandt werden.

Deshalb wurden im Abschnitt 4.4 im Beispiel 10 für die Illiovicibrücke und in der

Übungsaufgabe 4.18 für die Andersonbrücke (Lösung im Anhang) Dreieck-Stern-

Transformationen und Stern-Dreieck-Transformationen vorgenommen, damit die allge-
meine Abgleichbedingung verwendet werden kann.

Bild 4.127 Illiovicibrücke

Bild 4.128 Andersonbrücke

Die Abgleichbedingungen für die beiden Brücken können aber auch mit Hilfe der Strom-
teilerregel hergeleitet werden, indem von der Gleichheit von Spannungen bei Abgleich
ausgegangen wird, genauso wie bei der Herleitung der allgemeinen Abgleichbedingung
zu Beginn dieses Abschnitts. Die Herleitung soll hier nur für die Andersonbrücke erfol-
gen:

4.6 Spezielle Schaltungen der Wechselstromtechnik

133

Da die Punkte C und D gleiches Potential haben, sind auch die entsprechenden Spannun-
gen gleich:

UCA UDA

UBC UBD

1

U U3

U2 U4

1

(Rr1 jLr1) I1 R3 I 3 R5 I 5

R2 I 2

I 4
jC

Werden beide Gleichungen dividiert

(Rr1 jLr1) I1

R3 I 3 R5 I 5

(4.179)

R I

1

2

2

I 4
j C

und berücksichtigt, dass I1 = I2 und I4 = I5, dann vereinfacht sich der Quotient beider

Gleichungen:

R
jL

I 3
r1
r1 jR3 C
jR5C.

R2

I 5

Mit der Stromteilerregel ergibt sich für das Verhältnis der Ströme

I 5

R 4

,

I

1

3

R 4 R5 jC
eingesetzt in die obige Gleichung:

R R 1

R

4

5
r1
jLr1
jC
jR C
jR C

R

3

R

5

2

4

Rr1

Lr1

"

R5

1

#
j
jR3C 1

$

% jR5 C

R2

R2

R

&

4
j R

4C '

Rr1 j Lr1 jR

R3 jR

R

R

3C jR3C R5

R

R

5C

2

2

4

4

Durch Vergleich des Realanteils und des Imaginäranteils beider Seiten der Gleichung
folgt die Abgleichbedingung der Andersonbrücke:

Rr1

R3

Lr1

"

R3R5

#

und

C R

$ 3

R5 % (4.180)

R2

R4

R2

R

&

4

'

Die Gleichungen für die Spulendaten lauten

R2

"

R5

R5 #

Rr1

R3
und

Lr1 CR2R3 1

$

.

% (4.181)

R4

R

&

4

R3 '

Für die Illiovicibrücke lassen sich die Gleichungen für die Spulendaten völlig analog
herleiten und ergeben:

R2

"

R5 #

Rr1

(R3 R5 )

und

Lr1 CR2R3 1

$

% (4.182)

R4

R

&

4 '

134

4 Wechselstromtechnik

Schering- Messbrücke

Um Verluste von Hochspannungskabeln in Abhängigkeit von der Spannung erfassen zu
können, werden Kabelproben hergestellt (Ersatzschaltung: Reihenschaltung von Rr2 und

Cr2) und in der Schering-Messbrücke mit einem Normalkondensator (mit Pressgas gefüll-
ter Zylinderkondensator, C4) und mit variierbaren Normwiderständen (R1 und Rp3) und
mit variierbaren Normkondensatoren (Cp3) verglichen.

Mit

Z

1

1

R1

Z2

Rr2
jCr2

Z

1

1

3

Z

1

4

jC
jC

4

R
p3

p3

Bild 4.129 Schering-Messbrücke

ergibt sich für den unbekannten Wechselstromwiderstand

1

"

#

1

R

1

1

Z2 1

Z Z4

$
jCp3 % Rr2

$

%

3

Z
j C4

Rp3
jCr2

&

'

Cp3

R

1

1 R1

r2

R
jC
jC

R

1

C

r2

4
p3

4
und damit

Cp3

R p3

R

r2

R1
und

C

C

. (4.183)

C
r2

4

R

4

1

Der Verlustwinkel r ist der Ergänzungswinkel des Phasenverschiebungswinkel r zu

90ůnd damit ein Maß für die Verluste (Isolationsfähigkeit) von Hochspannungskabeln.

In Zeigerbildern lässt sich der Zusammenhang zwischen Verlustwinkel, Verschiebungs-
winkel und Widerständen ablesen:

Für den Tangens des Verlustwinkels ergibt sich
tan Rr2

r

R

C

1
r2
r2 (4.184)

C

r2
und mit der Abgleichbedingung

"

Cp3 # "

Rp3 #
tan r $ 1

R

% C

$ 4

%

C

&

4 ' &

1

R '

tan R

C

r
p3
p3 (4.185)

Bild 4.130 Zeigerbilder der Schering-

Messbrücke

4.6 Spezielle Schaltungen der Wechselstromtechnik

135

Die Ersatzschaltung der Kabelprobe kann auch als äquivalente Parallelschaltung ange-
nommen werden. Bei Abgleich der Brücke ist der tan p = Rp3Cp3 gleich, wenn die
gleiche Kabelprobe untersucht wird.

Frequenz- Messbrücken

Um Spannungs- oder Stromfrequenzen mittels Messbrücken ermitteln zu können, muss
die Abgleichbedingung frequenzabhängig sein. Sie kann aus der allgemeinen Abgleich-
bedingung (Gl. 4.166) hergeleitet werden. Für die im Bild 4.131 dargestellte Frequenz-

Messbrücke nach Wien betragen die komplexen Widerstände:

Z

1

R1

Z2

R2

Z

1

1

3

Rr3

Z

jC

4

1
r3
jC

R
p4

p4

Die Abgleichbedingung lautet dann

Z1 Z3

Z

Z

2

4

"

# "

#

Bild 4.131 Frequenz-Messbrücke

1

R

1

1

R

$
nach Wien
r3

% $
j C
p4 %

R

&

$

%

2
j Cr3

R

'

p4

&

'

R

C

1 Rr3 p4 jR

1

R

R

C
r3Cp4
jR

2
p4
r3
p4Cr3

R

Cp4
d. h.

1 Rr3
und R

1

R

R

C
r3Cp4

R

2
p4
r3
p4Cr3
bzw.

1

(4.186)

R C R

C
r3 r3
p4
p4

Die Wien-Brücke lässt sich mit

R1 = 2 · R2, Cr3 = Cp4 = C
und

Rr3 = Rp4 = R
in die Wien- Robinson- Brücke überführen. Dadurch wird die Gleichung für die zu mes-sende Kreisfrequenz einfacher:

1 . (4.187)

R C

Der Messbereich der Frequenz-Messbrücken umfasst Frequenzen f von 30Hz bis 100kHz.

136

4 Wechselstromtechnik

Übungsaufgaben zum Abschnitt 4.6

4.26 1. Entwickeln Sie für die Polekschaltung (Bild 4.116) den Widerstandsoperator zwischen den komplexen Effektivwerten I1 und U.

2. Bestätigen Sie die Formel für die parallel geschaltete Kapazität Cp (Gl. 4.161), bei der zwischen dem Strom i1 und der Spannung u eine Phasenverschiebung von 90° besteht.

3. Bei welcher Kreisfrequenz sind der Strom i1 und die Spannung u in Phase und bei welcher Kreisfrequenz sind sie um 180° phasenverschoben? Ermitteln Sie für beide Fälle die Ersatzwiderstände der Schaltung.

4.27 1. Für die Polekschaltung (Bild 4.116) ist die erforderliche Kapazität Cp zu errechnen, die eine Phasenverschiebung von 90° zwischen dem Strom i1 und der Spannung u ermöglicht, wenn

Rr1 = 200, Lr1 = 400mH, Rr2 = 100, Lr2 = 200mH
und die Frequenz der anliegenden Spannung f = 200Hz betragen.

2. Das Ergebnis soll durch ein quantitatives Zeigerbild kontrolliert werden, indem für den Strom I1 = 20mA angenommen werden.

3. Für die berechnete Parallelkapazität Cp können aber auch Phasenverschiebungen von

0ůnd 180° zwischen dem Strom i1 und der Spannung u bei verschiedenen Kreisfrequen-
zen auftreten. Ermitteln Sie die Kreisfrequenzen und die Ersatzwiderstände.

Kontrollieren Sie das Ergebnis für die Phasenverschiebung von 180° mit Hilfe eines quantitativen Zeigerbildes, indem Sie wieder von I1 = 20mA ausgehen.

4.28 Mit Hilfe der dargestellten Wechselstrom-Messbrücke können ohmsche Widerstände und

Induktivitäten von verlustbehafteten Spulen messtechnisch ermittelt werden.

1. Entwickeln Sie aus der allgemeinen Abgleichbedingung für Wechselstrombrücken die

Formeln für Rr3 und Lr3. Ist der Abgleich frequenzabhängig?

2. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem der Maxwell-Wien-Brücke.

3. Vereinfachen Sie die Formeln für Rr3 und Lr3 mit · Rr2 · Cr2 = 1.

Ist dann der Abgleich frequenzabhängig?

Bild 4.132

Übungsaufgabe 4.28

4.29 Drei Wechselstrombrücken mit ohmschen Widerständen und Kapazitäten sollen verglichen werden.

Bild 4.133 Übungsaufgabe 4.29

Leiten Sie die Abgleichbedingungen der drei Brücken her. Sind die Abgleichbedingungen frequenzabhängig oder nicht? Wozu werden die drei Wechselstrombrücken gebraucht?

Übungsaufgaben zum Abschnitt 4.6

137

4.30 Mit Hilfe der Illiovici-Brücke (siehe Bild 4.127) können verlustbehaftete Spulen messtechnisch erfasst werden.

1. Leiten Sie die Abgleichbedingung mit Hilfe der Stromteilerregel her und entwickeln Sie daraus die Formeln für Rr1 und Lr1, wenn die restlichen Brückenelemente gegeben sind.

2. Ist der Abgleich frequenzabhängig?

4.31 Mit Hilfe der im Bild 4.134 dargestellten Wechselstrombrücke können Gegeninduktivitäten M messtechnisch ermittelt werden.

Bild 4.134

Übungsaufgabe 4.31

1. Leiten Sie die Abgleichbedingung für die Brücke her.

2. Die Abgleichbedingung bedeutet eine Transformation der Brücke in eine Wechsel-
strombrücke mit den vier komplexen Widerständen, die anzugeben sind.

4.32 Das Ersatzschaltbild des unbekannten verlustbehafteten Kondensators in der Schering-Messbrücke soll eine Parallelschaltung von Rp2 und Cp2 sein.

Bild 4.135

Übungsaufgabe 4.32

1. Ermitteln Sie aus der allgemeinen Abgleichbedingung für Wechselstrombrücken die

Formeln für Rp2 und Cp2.

2. Für den Verlustwinkel p = /2 – p ist dann der tan p in Abhängigkeit von den be-
kannten Brückenelementen zu bestimmen. Nehmen Sie das Zeigerbild des verlustbehaf-
teten Kondensators (Parallelschaltung) und das Leitwertdreieck zu Hilfe.

3. Kontrollieren Sie das Ergebnis für tan p, indem Sie die Parallelschaltung in die äquivalente Reihenschaltung umwandeln und die Formel für tan r verwenden.

138

4 Wechselstromtechnik

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

4.7.1 Augenblicksleistung, Wirkleistung, Blindleistung, Scheinleistung und
komplexe Leistung

Gleichstromleistung – Wechselstromleistung

In einem Gleichstromkreis ist die Leistung zeitlich konstant, weil die Spannung und der

Strom zeitlich konstant sind:

P = U · I.

In Wechselstromkreisen sind die Spannung und der Strom sinusförmig veränderliche

Größen, so dass auch das Produkt – die Augenblicksleistung – zeitlich veränderlich sein
muss:

p = u · i.

(4.188)

Um die Wechselstromleistung mit der Gleichstromleistung vergleichen zu können, wird
der arithmetische Mittelwert der Augenblicksleistung gebildet:

T

2

1

P =
p(t)

dt 1 p(t)

d(t) . (4.189)

T

2

0

0

Im Folgenden soll beschrieben werden, wie die Wechselstromleistung im ohmschen,
induktiven und kapazitiven Widerstand und schließlich im beliebigen Wechselstromwi-
derstand erfasst werden kann.

Leistung im ohmschen Widerstand

Spannung u und Strom i sind im ohmschen Widerstand R in Phase, die Phasenverschie-
bung ist Null:

= u – i = 0

Werden die Anfangsphasenwinkel u = i = 0 gewählt, dann ergibt sich
mit u = û · sin t und i = î · sin t
für die Augenblicksleistung

ˆ
û i
p =

ˆ

2
u i û i sin t

(1 cos 2t)

2
weil

1
sin2t = (1 cos 2t).

2

Mit

ˆ
û
i

U und

I

2

2
ergibt sich für die Augenblicksleistung im ohmschen Widerstand R
p = u · i = U · I · (1 – cos2t). (4.190)

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

139

Da die Kosinusfunktion die Werte zwischen – 1 und + 1 annehmen kann, schwankt der

Augenblickswert der Leistung im ohmschen Widerstand mit der doppelten Kreisfrequenz

2 zwischen den Werten 0 und 2·U·I (siehe Bild 4.136).

Der arithmetische Mittelwert lässt sich durch Integration der Augenblicksleistung über die Periode berechnen:

2

1

P =
p(t)

( d(t)

2 0

2

U I

P =

(1 cos 2t)

,
d(t)

2

0

2

2

U I

P =
d(t)

cos 2t

d(t)

2

0

0

U I

2

2

P =
t
sin 2t

2

0

2

0

U I

P =

2

2

P = U · I

(4.191)

Mit

U

U = R · I
und

I = R
ist der Mittelwert der Augenblicksleistung auch

P = R I2 = U2 .

(4.192)

R

Der arithmetische Mittelwert P wird Wirkleistung genannt, weil er hinsichtlich der Joule-schen Wärme im Widerstand der gleichen Wirkung entspricht wie die Gleichstromleis-
tung P. Deshalb wird die Wirkleistung mit dem gleichen Buchstaben P gekennzeichnet.

Bild 4.136 Spannung, Strom und Augenblicksleistung im ohmschen Widerstand

140

4 Wechselstromtechnik

Leistung und magnetische Energie im induktiven Widerstand

Im induktiven Wechselstromwiderstand eilt die Spannung u dem Strom i um /2 voraus.

Wird der Anfangsphasenwinkel des Stroms Null gewählt, dann ergibt sich mit
i = î · sin t
und
u = û · sin (t + /2)

mit i = 0
mit u = 2
für die Augenblicksleistung
p = u · i =

ˆ
û i · sin t · sin (t + /2)

mit

1
sin (t + /2) = cos t
und
sin t · cos t = sin 2t

2
û î
p =
sin 2t

2
und mit
û

ˆ

=
i

U
und

= I

2

2
p = U · I · sin 2t.

(4.193)

Der Augenblickswert der Leistung im induktiven Wechselstromwiderstand ändert sich
sinusförmig mit der doppelten Kreisfrequenz 2 zwischen den Werten – U · I und + U · I

(siehe Bild 4.137).

Da

U = L · I,
ist
p = L · I2 · sin 2t.

(4.194)

Der arithmetische Mittelwert der Augenblicksleistung in der Induktivität L über die Periode ist Null:

2

1

P =

( p(t)

( d(t)

2 0

2

U ( I

P =

( sin 2t

( d(t)

2

0

2

U I

P =
cos 2t

= U I cos 4 + 1

= U I 1 + 1

2

2

2

2

2

2

2

2

0

P = 0

(4.195)

Der arithmetische Mittelwert der Augenblicksleistung in einem induktiven Wechsel-
stromwiderstand ohne ohmsche Anteile ist Null. In einer von einem sinusförmigen Strom
durchflossenen Induktivität entsteht keine Joulesche Wärme, weil die Energie nur aufge-
nommen und abgegeben wird, nicht aber in Wärme umgesetzt wird. Die Wirkleistung P
ist deshalb Null.

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

141

Der Augenblickswert der magnetischen Energie ist dem Quadrat des Stroms i proportional

(siehe Band 1: Abschnitt 3.4.8.1, Gl. 3.383):

L i2
wm =

2

L
wm =
î2 sin2 t

2
und mit

1
sin2 t =

( (1 cos 2t)

2

L ( î2
wm =

( 1 ( (1 cos 2t)

2

2
und
î

ˆ

=
i2

I bzw.

= I2

2

2
ergibt sich

L ( I2
wm =

( (1 cos 2t).

(4.196)

2

Die magnetische Energie ändert sich mit der doppelten Kreisfrequenz 2 zwischen den

Werten 0 und L · I2, weil die Kosinusfunktion zwischen – 1 und + 1 pendelt.

Bei gleicher Richtung von Strom i und Spannung u wächst die gespeicherte magnetische

Energie in der Induktivität, bei entgegengesetzter Richtung von Strom i und Spannung u
wird die gespeicherte magnetische Energie kleiner, d. h. sie wird der Wechselstromquelle zurückgeführt (siehe Bild 4.137).

Die Leistung p und die magnetische Energie wm hängen differentiell voneinander ab:

d w
p =
m = L ( I2 ( d (1 cos 2t)

dt

2
dt
p = L · I2 · sin2t

(vgl.Gl. 4.194)

Bild 4.137 Strom, Spannung, Augenblicksleistung und magnetische Energie im induktiven Wechselstromwiderstand ohne ohmschen Anteil

142

4 Wechselstromtechnik

Leistung und elektrische Energie im kapazitiven Widerstand

Im kapazitiven Wechselstromwiderstand eilt der Strom i der Spannung u um /2 voraus.

Wird der Anfangsphasenwinkel der Spannung Null gewählt, dann ergibt sich mit
u = û · sin t
und
i = î · sin(t + /2)

mit u = 0
mit i = /2
für die Augenblicksleistung
p = u · i =

ˆ
û i · sin t · sin (t + /2)

mit

1
sin (t + /2) = cos t
und
sin t · cos t = sin 2t

2
û î
p =
sin 2t

2
und mit
û

ˆ

=
i

U und

= I

2

2
p = U · I · sin 2t.

(4.197)

Der Augenblickswert der Leistung im kapazitiven Wechselstromwiderstand ändert sich
sinusförmig mit der doppelten Kreisfrequenz 2 zwischen den Werten – U · I und + U · I

(siehe Bild 4.138).

Da

I = C · U,
ist
p = C · U2 · sin 2t.

(4.198)

Der arithmetische Mittelwert der Augenblicksleistung in der Kapazität C über die Periode ist genauso wie in der Induktivität Null:

2

1

P =

( p(t)

( d(t)

2 0

2

U ( I

P =

( sin 2t

( d(t)

2

0

P = 0

(4.199)

Der arithmetische Mittelwert der Augenblicksleistung in einem kapazitiven Wechsel-
stromwiderstand ohne ohmsche Anteile ist Null. In einer von einem sinusförmigen Strom
durchflossenen Kapazität entsteht keine Joulesche Wärme, weil die Energie nur aufge-
nommen und abgegeben wird, nicht aber in Wärme umgesetzt wird. Die Wirkleistung P
ist deshalb Null.

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

143

Der Augenblickswert der elektrischen Energie ist dem Quadrat der Spannung u proportio-
nal (siehe Band 1: Abschnitt 3.3.5, Gl. 3.109):

C u2
we =

2

C
we =
û2 sin2 t

2
und mit

1
sin2t =

( (1 cos2 t)

2

C ( û2
we =

( 1 ( (1 cos 2t)

2

2
und
û =
û2

U
bzw.

= U2

2

2
ergibt sich

C ( U2
we =

( (1 cos 2t).

(4.200)

2

Die elektrische Energie ändert sich mit der doppelten Kreisfrequenz 2 zwischen den

Werten 0 und C · U2, weil die Kosinusfunktion zwischen – 1 und + 1 pendelt. Bei gleicher Richtung von Strom i und Spannung u wächst die gespeicherte elektrische Energie in der

Kapazität, bei entgegengesetzter Richtung von Strom i und Spannung u wird die gespei-
cherte elektrische Energie kleiner, d. h. sie wird der Wechselstromquelle zurückgeführt

(siehe Bild 4.138).

Die Leistung p und die elektrische Energie we hängen differentiell voneinander ab:

d w
p =
e = C ( U2 ( d (1 cos 2t)

dt

2
dt
p = C · U2 · sin2t

(vgl. Gl.4.198)

Bild 4.138 Strom, Spannung, Augenblicksleistung und elektrische Energie im kapazitiven Wechselstromwiderstand ohne ohmschen Anteil

144

4 Wechselstromtechnik

Augenblicksleistung eines beliebigen Wechselstromwiderstandes

Wirkleistung, Blindleistung, Scheinleistung

Bei einem beliebigen Wechselstromwiderstand besteht zwischen dem Strom i und der

Spannung u eine Phasenverschiebung mit – /2 < < /2. Wird der Anfangsphasen-
winkel der Spannung Null gewählt, dann ergibt sich mit
u = û · sin t
und
i = î · sin(t – )

mit u = 0
mit i = u – = –
für die Augenblicksleistung
p = u · i =

ˆ
û i · sin t · sin (t – )

mit sin sin = 1 [cos( ) cos( + )]

2
und = t
und

= t –
û î
p =

[cos(t t + ) cos(t + t )]

2
û
î
und mit

= U
und

= I

2

2
p = U · I · cos – U · I · cos(2t – )

(4.201)

Die Wirkleistung P ist gleich dem arithmetischen Mittelwert der Augenblicksleistung:

2

1

P =

( p(t)

( d(t)

2 0

2

2

1

P =

U I cos d(t)

1 U I cos(2t )

d(t)

2

2

0

0

2

U I

2

P =
cos t

U I sin (2t )

2

0

2

2

0

U I

P =
cos 2 U I sin(4 ) sin()

2

2

2

mit sin (4 – ) = – sin
und
sin (– ) = – sin

P = U · I · cos

(4.202)

Die Augenblicksleistung p im beliebigen Wechselstromwiderstand schwankt um den

Mittelwert P = U · I · cos mit der doppelten Kreisfrequenz 2 mit der Amplitude U · I

(siehe Bilder 4.139 und 4.140).

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

145

Im Bild 4.139 sind in einem Diagramm die Verläufe des Stroms, der Spannung und der

Augenblicksleistung für einen verlustbehafteten induktiven Wechselstromwiderstand
dargestellt, wobei der Anfangsphasenwinkel der Spannung Null und die Phasenverschie-
bung = /3 bzw. 60° sind:

Bild 4.139 Strom, Spannung und Augenblicksleistung im verlustbehafteten induktiven Wechselstromwiderstand

Für einen verlustbehafteten kapazitiven Wechselstromwiderstand ist die Phasenverschie-
bung negativ. Im Bild 4.140 sind die Verläufe des Stroms, der Spannung und der Au-
genblicksleistung für eine Phasenverschiebung = – /3 bzw. – 60° dargestellt. Der

Anfangsphasenwinkel der Spannung ist unverändert Null:

Bild 4.140 Strom, Spannung und Augenblicksleistung im verlustbehafteten kapazitiven Wechselstromwiderstand

Die Augenblicksleistung p pendelt also mit der doppelten Kreisfrequenz 2 mit der Amp-
litude U · I um den Mittelwert P = U · I · cos .

Bei verlustlosen induktiven und kapazitiven Wechselstromwiderständen pendelt sie mit

= /2 bzw. = – /2 und P = 0 um die t-Achse (siehe Bilder 4.137 und 4.138).

Mit steigenden ohmschen Anteilen wird die Wirkleistung P größer, um den die Augen-
blicksleistung p pendelt (siehe Bilder 4.139 und 4.140).

Bei ohmschen Wechselstromwiderständen erreicht die Wirkleistung P mit = 0 das

Maximum, und die Augenblicksleistung p pendelt auf der t-Achse um P = U · I (siehe

Bild 4.136).

Der Maximalwert der Wirkleistung bei = 0 und cos = 1, also bei ohmschenWechsel-
stromwiderständen, wird Scheinleistung S genannt:

S = U · I

(4.203)

146

4 Wechselstromtechnik

Die Abweichung der Wirkleistung P bei beliebigen Wechselstromwiderständen von der

Scheinleistung S bei ohmschen Widerständen wird durch den Leistungsfaktor cos ) erfasst:

cos ) = P .

(4.204)

S

Die Augenblicksleistung p kann auch als Überlagerung von zwei sinusförmigen Anteilen
aufgefasst werden, wodurch durch die Einführung einer Blindleistung ein Maß für die gespeicherte Leistung gefunden wird. Dabei wird die Gl. (4.201) folgendermaßen umgeschrieben:

p = U · I · cos – U · I · cos (2t – )

p = P – S · cos (2t – )

mit
cos ( – ) = cos · cos + sin · sin
und = 2t und =
ergibt sich
p = P – S · cos 2t · cos – S · sin 2t · sin
p = P – S · cos · cos 2t – S · sin · sin 2t
p = P – P · cos 2t – Q · sin 2t
p = P · (1 – cos 2t) – Q · sin 2t

(4.205)

wobei Q = S · sin

(4.206)

Blindleistung genannt wird. Für induktive Wechselstromwiderstände ist sie wegen der
positiven Phasenverschiebung ( > 0) positiv, für kapazitive Wechselstromwiderstände ist sie wegen der negativen Phasenverschiebung ( < 0) negativ. Nach Gl. (4.205) besteht
damit die Augenblicksleistung p aus zwei sinusförmigen Anteilen (Bild 4.141):

P · (1 – cos 2t)

ist die Augenblicksleistung für ohmsche Widerstände (Gl.4.190) mit

P = U · I
und
cos ) = 1 und entspricht damit bei beliebigen Wechselstromwiderständen der Leistung,
die im ohmschen Anteil in Wärme umgesetzt wird.

– Q · sin 2t
ist die zwischen Wechselstromquelle und induktiven bzw. kapazitiven Widerstand pen-
delnde Leistung. Der Mittelwert der zeitlichen Blindleistung – Q · sin 2t ist Null. Deshalb ist die Blindleistung Q im Sinne der Wirkleistung P kein Mittelwert, sondern eine
angenommene Leistung. Sie belastet die Energiequelle im Mittel nicht, weil keine Ener-
gieumformung vor sich geht. Eine strommäßige Belastung von der Wechselstromquelle
zum Speicherelement ist allerdings vorhanden, die auf den Leitungen ohmsche Leistungs-
verluste mitsichbringt.

Leistungseinheiten

Zur Unterscheidung der drei Leistungsarten werden die Einheiten nach DIN 40110 festge-
legt:

Scheinleistung

S
in

VA

(Voltampere)

Wirkleistung

P
in

W

(Watt)

Blindleistung

Q
in

Var

(Voltampere reaktiv, d. h. über die Leitungen
zur Energiequelle „rückwirkend“)

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

147

Beispiel:

Für einen verlustbehafteten induktiven Wechselstromwiderstand soll die Augenblicksleistung p nach Gl. (4.205) als Überlagerung des Wirkanteils P · (1 – cos2t) und des Blindanteils (– Q · sin 2t) dargestellt werden, wenn die Scheinleistung S = U · I = 2kVA und die Phasenverschiebung = /3 bzw. 60° betragen.

Lösung:

Im Bild 4.139 ist der Verlauf der Augenblicksleistung p eines verlustbehafteten induktiven Wechselstromwiderstands mit S = U · I = 2kVA und = /3 dargestellt. Nach Gl. (4.202) ist die Wirkleistung

P = U · I · cos = S · cos = 2kVA · cos(/3) = 2kVA · 0,5 = 1kW
und nach Gl. (4.206) die Blindleistung

1

Q = U · I · sin = S · sin = 2kVA · sin (/3) = 2kVA ·

3 = 1,73kVar.

2

Nach Gl. (4.205) ergibt sich dann für die Augenblicksleistung p
p = P · (1 – cos 2t) – Q · sin 2t = 1kVA · (1 – cos 2t) – 1,73kVA · sin 2t
in Abhängigkeit von cot von 0 bis :

t

1

0

/6

/3

/2

2/3

5/6

P (1 – cos 2t)

kVA

0

0,5

1,5

2,0

1,5

0,5

0

– Q · sin 2t
kVA

0

– 1,5

– 1,5

0

1,5

1,5

0
p
kVA

0

– 1,0

0

2,0

3,0

2,0

0

Bild 4.141 Zerlegung der Augenblicksleistung in einen Wirkanteil und einen Blindanteil

148

4 Wechselstromtechnik

Sollen für einen beliebigen Wechselstromwiderstand die Wirkleistung P, die Blindleistung Q und die Scheinleistung S berechnet werden, dann ist zunächst zu unterscheiden, welche
der äquivalenten Ersatzschaltungen – Reihenschaltung oder Parallelschaltung – für den
beliebigen Wechselstromwiderstand gewählt ist:

Reihenschaltung

Parallelschaltung

Bild 4.142 Ersatzschaltung

Bild 4.143 Ersatzschaltung
eines Wechselstromwiderstandes
eines Wechselstromwiderstandes
als Reihenschaltung
als Parallelschaltung

Die Wirkleistung als Maß für die im ohmschen Widerstand umgesetzte Leistung ist
bei Reihenschaltung gleich dem Produkt
bei Parallelschaltung gleich dem Produkt
aus dem Strom I und der mit diesem in
aus der Spannung U und der mit dieser in

Phase liegenden Spannungskomponente

Phase liegenden Stromkomponente IR:

UR:

P = I · (U · cos )

P = U · (I · cos )

mit U · cos = UR
mit I · cos = IR

(siehe Gl. 4.51)

(siehe Gl. 4.66)

P = I · UR

P = U · IR
und mit U

U = U

R = Rr · I
und mit IR = G p

R p

P = I2 · R

= U2 .

(4.208)

r .

(4.207)

P = U2 G p

R p

Die Wirkleistung ist für die Reihen- und Parallelschaltung gleich, wenn die Schaltungen
äquivalent sind. Wird in der Formel für P der Strom I durch die Spannung U und den

Scheinwiderstand Zr ersetzt

U

I =

=

U
bzw. I2 = U2 =

U2

Z

2

2

2
r

R 2 +

2

Z

R

+ X
r

Xr
r
r
r

P = I2 R = U2 Rr

=
r

U2 G p,

R 2 +

2
r

Xr
dann bestätigt sich die Aussage durch die Transformationsgleichung (vgl. Gl. 4.72)

R

G
r
p =

= Rr .

R 2 +

2

2
r

Xr

Zr

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

149

Die Blindleistung Q als Maß für die gespeicherte Leistung ist
bei Reihenschaltung gleich dem Produkt
bei Parallelschaltung gleich dem Produkt
aus dem Strom I und der Spannungs-
aus der Spannung U und der Stromkom-
komponente Ux, die um /2 phasenver-
ponente –IB, die um /2 phasenverscho-
schoben ist:

ben ist:

Q = I · (U · sin )

Q = U · (I · sin )

mit U · sin = UX
mit I · sin = – IB

(siehe Gl. 4.52)

(siehe Gl. 4.67)

Q = I · UX

Q = U · (– IB)

und mit UX = Xr · I
und mit IB = Bp · U

Q = I2 · Xr .

(4.209)

Q = – U2 · Bp .

(4.210)

Für einen induktiven Wechselstromwiderstand ist die Blindleistung mit > 0 positiv:

1

Q = I2 · L

(4.212)

r

(4.211)

Q = U2 · Lp
mit X

.

r = Lr .

mit Bp = 1

Lp

Für einen kapazitiven Wechselstromwiderstand ist die Blindleistung mit < 0 negativ: 1

Q = – I2 ·

(4.213)

Q = – U2 · C

C
p

(4.214)

r
mit Xr = 1 .

mit B

p = Cp.

Cr

Die Blindleistung ist für die Reihen- und Parallelschaltung gleich, wenn die Schaltungen äquivalent sind. Wird in der Formel für Q der Strom I durch die Spannung U und den

Scheinwiderstand Zr ersetzt

U

I =

=

U
bzw. I2 = U2 =

U2

Z

2

2

2
r

R 2 +

2

Z

R

+ X
r

Xr
r
r
r

Q = I2 X = U2 Xr

=
r

U2 Bp,

R 2 +

2
r

Xr
dann bestätigt sich die Aussage entsprechend durch die Transformationsgleichung

(Gl. 4.72):

Bp =

Xr

= Xr .

R 2 +

2

2
r

Xr

Zr

150

4 Wechselstromtechnik

Die Scheinleistung S als Maß für die gesamte Leistung, d. h. die im ohmschen Widerstand
umgesetzte und die in den induktiven und kapazitiven Widerständen gespeicherte Leis-
tung, ist gleich dem Produkt aus der Spannung U und dem Strom I:

S = U · I

Bei Reihenschaltung ist

Bei Parallelschaltung ist

U = Z

2

2

2

2
r · I =

R

+

U = G + B U
r

Xr

I

I = Yp
p
p
und damit
und damit

S = I2 · Zr

S = U2 · Yp

S = I2 R 2 +

2

2

2
r

Xr

(4.215)

S = U2 G

+
p

Bp

(4.216)

Für einen induktiven Wechselstromwiderstand ist die Scheinleistung

S = I2 R 2 + 2

2

+

1

(4.218)

r

Lr

(4.217)

S = U2

1

R 2

2 2
p

Lp
und für einen kapazitiven Wechselstromwiderstand

S = I2 R 2 +

1

(4.219)

S = U2

1

+ 2C 2

(4.220)

r

2
p

C 2

R 2
r
p

Die Scheinleistung ist für die Reihen- und Parallelschaltung gleich, wenn die Schaltungen äquivalent sind. Wird in der Formel für S der Strom I durch die Spannung U und den

Scheinwiderstand Zr ersetzt

U

I =
bzw. I2 = U2

Z

2
r

Zr

S = I2 Z = U2

= U2 =
r

Zr

U2 Yp,

Z 2

Z
r
r
dann bestätigt sich die Aussage, denn für äquivalente Reihen- und Parallelschaltungen ist der Scheinleitwert Yp der Parallelschaltung gleich dem Kehrwert des Scheinwiderstandes

Zr der Reihenschaltung:

1

Yp =

.

Zr

Beispiel:

An einen passiven Zweipol wird eine sinusförmige Wechselspannung mit dem Effektivwert

U = 220V und der Frequenz f = 50Hz angelegt, wodurch sich ein sinusförmiger Strom mit
einem Effektivwert I = 9,1A mit einer Phasenverschiebung = – 60° einstellt.

1. Die Ersatzschaltbilder mit den Ersatzschaltelementen sind zu ermitteln.

2. Wirkleistung, Blindleistung und Scheinleistung für die beiden Ersatzschaltbilder sind zu errechnen.

Anmerkung: Die Verläufe von u, i und p sind im Bild 4.140 dargestellt.

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

151

Lösung:

Zu 1. Die Ersatzschaltungen sind wegen < 0 die Reihenschaltung von Rr und Cr und die Parallelschaltung von Rp und Cp:

1

Z = R j 1 = Z e j
j

Y
j C

Y
e

=

+

=

r
r

p
p
p

C
r

R
r
p

Z = U cos) + j U sin)

Y = I cos j sin
r

I

I
p

U

U

U

220 V

U

220 V

Rr =
cos =

( cos( 60

º)

R =

=

I

9,1 A
p

I ( cos

9,1 A ( cos( 60

º)

Rr = 12,1

Rp = 48,4

I

C

I
r =

C =
sin

U sin
p

U

9,1 A

9,1 A ( sin ( 6

0º)

Cr =

C =

1
p

2 ( 50s ( 220 V ( sin ( 6

0º)

1

2 ( 50s ( 220 V

C

=
μ
r = 152

F
μ

Cp

114 F

Zu2.

P = U · I · cos = 220V · 9,1A · cos (– 60° ) = 1kW

2

U

P = I2 · R

P =
r

Rp

2

(220 V)

P = (9,1A)2 · 12,1 = 1kW

P =

= 1kW

48, 4

Q = U · I · sin = 220V · 9,1A · sin (– 60° ) = – 1,73kVar

1

Q = 2

2

I ( Xr = I (

Q = – U2 · B

p = – U2 · Cp

Cr

1

Q =

2

(9,1 A) (

Q = – (220V)2 · 2 · 50s–1 · 114μF

1

2

( 50s (152 F
μ

Q = – 1,73kVar

Q = – 1,73kVar

S = U · I = 220V · 9,1A = 2kVA

S = I2 R 2 +

1

S = U2

1
r

2C 2

R 2 + 2C 2
r
p
p

1
mit

=

1
mit 2C 2 = (2 50s1 114 μF)2

2C 2

(2 50s1 152μF)2
p
r

1

= 438,5 2

2C 2 = 1,283 ( 103S2

2C 2
p
r

1

S = (9,1 A)2 · (12,1 )2 + 438,5 2

S = (220 V)2 ·

+ 1,283 ( 103S2

(48,4 )2

S = 2kVA

S = 2kVA

152

4 Wechselstromtechnik

Leistungsdreieck, Phasenverschiebung, Verlustfaktor

Sind zwei der drei Leistungen – Wirkleistung P, Blindleistung Q und Scheinleistung S –
bekannt, dann lässt sich mit

P2 + Q2 = S2

(4.221)

die dritte Leistung berechnen. Der Zusammenhang zwischen den drei Leistungen wird mit

P = S · cos und Q = S · sin nachgewiesen:

S2 · cos2 + S2 · sin2 = S2 · (cos2 + sin2) = S2
mit cos2 + sin2 = 1.

Zwischen der Phasenverschiebung , der Wirkleis-
tung P und der Blindleistung Q besteht der Zusam-
menhang

Q
tan =

(4.222)

P

Bild 4.144 Leistungsdreieck

S sin )

weil tan =

.

S cos )

Die Zusammenhänge zwischen den drei Leistungen und der Phasenverschiebung lassen
sich im Leistungsdreieck veranschaulichen (Bild 4.144), das mit der Definition der komplexen Leistung in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt wird (siehe Gl. 4.239 bis

Gl. 4.241).

Für Spulen und Kondensatoren ist der Phasenverschiebungswinkel wegen der ohmschen

Verluste P kleiner als ein rechter Winkel:

| | < /2.

Je kleiner die Verluste sind, umso größer ist der Phasenverschiebungswinkel und der
tan , der Gütefaktor (auch Güte der Spule bzw. Güte des Kondensators) genannt wird: Q
g = tan ) =

.

(4.223)

P

Entsprechend ist der Ergänzungswinkel des Phasenverschiebungswinkels zu 90° bzw.

–90° ein Maß für die Verluste einer Spule bzw. eines Kondensators. Je größer die Verluste P sind, umso größer ist der Verlustwinkel :

= /2 – | |.

(4.224)

Der Verlustfaktor

P
d = tan =

(4.225)

Q
ist also der Kehrwert des Gütefaktors:

1
d =

.

(4.226)

g

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

153

Ist die Ersatzschaltung der Spule oder

Ist die Ersatzschaltung der Spule oder
des Kondensators die
des Kondensators die

Reihenschaltung,

Parallelschaltung,
dann ergibt sich mit den Gl. (4.207) und
dann ergibt sich mit den Gl. (4.208) und

Gl. (4.209) für den Gütefaktor:

Gl. (4.210) für den Gütefaktor:

Q

I2 X

U2 B
r

Q
p
g = tan =

=
g = tan =

=

P

I2 R

P
r

U2 G p

Xr

B
g = tan =

(4.227)

p
g = tan =

(4.228)

Rr

G p
und für den Verlustfaktor:

und für den Verlustfaktor:

R

G
d = tan =
r .

(4.229)

p
d = tan =

.

(4.230)

Xr

Bp

Für Spulen lauten die Gleichungen für den Güte- und Verlustfaktor:

bei Reihenschaltung:

bei Parallelschaltung:

L

R Lp
g
r

L = tan L =

(4.231)

gL = tan L =

(4.232)

R

L

Lr
p

R

L
d

Lr
p

L = tan L =

(4.233)

d

(4.234)

L

L = tan L =
r

R Lp

Bei Spulen ohne Eisenkern bestehen die Verluste P nur aus den Wicklungs- oder Kupfer-
verlusten, während bei Spulen mit Eisenkernen noch Wirbelstrom- und Hystereseverluste
hinzukommen. In der Ersatzschaltung von Spulen mit Eisenkern können die Wicklungs-
verluste durch RCu und die Kern- oder Eisenverluste durch RKr erfasst werden, wobei RKr
aus Rw (Wirbelstromverluste) und Rh (Hystereseverluste) besteht.

RLr = RCu (für Spule ohne Kern)

RLr = RCu + RKr = RCu + Rw + Rh (für Spule mit Kern)

Bei Spulen mit Eisenkern kann für bestimmte Frequenzen die Reihenschaltung von Lr und

RKr in eine äquivalente Parallelschaltung mit Lp und RKp überführt werden, wobei der Pa-
rallelwiderstand RKp auch Eisenverlustwiderstand Rv genannt wird.

Für Kondensatoren lauten die Gleichungen für den Güte- und Verlustfaktor
bei Reihenschaltung:

bei Parallelschaltung:

1
g
g

C = tan C =

(4.235)

C = tan C = RCpCp

(4.236)

RCrCr

1
dC = tan C = R
d

.

(4.238)

CrCr .

(4.237)

C = tan C = RCpCp

Der Verlustfaktor für Kondensatoren ist frequenzabhängig und liegt in der Größenord-
nung von 10–1 (Keramik) bis 10–4 (Kunststoffen). Außerdem hängt er von der Größe der

Spannung und von der Temperatur ab.

154

4 Wechselstromtechnik

Komplexe Leistung

Da in der Wechselstromtechnik mit komplexen Zeitfunktionen und komplexen Effektiv-
werten gerechnet wird, ist die Frage naheliegend, ob eine komplexe Leistung sinnvoll
definiert werden kann. Eine Definition einer komplexen Leistung darf nicht im Wider-
spruch zu den bisherigen Leistungsdefinitionen im Zeitbereich stehen.

Wie im Zeitbereich für die Augenblicksleistung p = u · i möchte man entsprechend eine
komplexe Augenblicksleistung p als Produkt der komplexen Zeitfunktionen von Span-
nung und Strom definieren:

j(t
u ( i = û ( e

+)u ) ˆ
j(t

( i ( e
i

+) )

ˆ
j2 t

j(

= û ( i ( e

( e )u + i

) )

Genauso wie bei der Augenblicksleistung kommt wohl die doppelte Kreisfrequenz 2
vor, aber die Summe der Anfangsphasenwinkel ließe sich nicht für die komplexe Leistung
verwenden, weil sowohl in der Wirkleistung als auch in der Blindleistung mit der Diffe-
renz der Anfangsphasenwinkel gerechnet werden muss.

Um die Differenz der Anfangsphasenwinkel in der komplexen Leistung zu erhalten, könn-
te die komplexe Zeitfunktion des Stroms konjugiert komplex verwendet werden:

u i * = û e j(t+u ) î e j(t+i ) = 2 U I e j(u i ) ,
aber das ergäbe auch keine sinnvolle Definition einer komplexen Augenblicksleistung
ohne die Zeit t in der Formel.

Wird aber das Produkt aus dem komplexen Effektivwert der Spannung U und dem konju-
giert komplexen Effektivwert des Stroms

*

I
gebildet, dann wird in der komplexen Leis-
tung S die Differenz der Anfangsphasenwinkel – die Phasenverschiebung – berücksichtigt, und Wirk- und Blindleistung können gleichzeitig erfasst werden:

S = U I*

(4.239)

mit U = U ( e ju
und

I * = I ( e ji

S = U ( I ( e j(
u
i ) = S ( e j
mit S = U · I und = u – i

S = S · cos + j · S · sin = P + j · Q

(4.240)

mit P = S · cos und Q = S · sin .

Der Realteil der komplexen Leistung S ist damit gleich der Wirkleistung P und der Imagi-
närteil ist gleich der Blindleistung Q:

P = Re{S}

und

Q = Im{S)

Die Scheinleistung S ist gleich dem Betrag der komplexen Leistung S:

S = | S | =

P2 + Q2

(4.241)

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

155

Mit der Formel für die komplexe Leistung

S = U I*
ist es möglich, durch nur eine Berechnung die drei Leistungen zu ermitteln, wenn die

Spannung U und der Strom I bekannt sind.

Ist der Strom I oder die Spannung U gegeben, dann können die Leistungen mit dem kom-
plexen Widerstand Z oder dem komplexen Leitwert Y der Schaltung berechnet werden:

Mit

U = Z I ,

U* = Z* I*
und I * = U*

Z*
ist

S = Z I I*
bzw.

S = U U*

Z*
und mit

I ( I* = I ( e ji ( I ( e ji = I2

U ( U* = U ( e ju ( U ( e ju = U2
ist

S = Z I2 = I2

(4.242)

Y
und

S = U2 = Y* U2

(4.243)

Z*

Weitere Beispiele:

Beispiel 1:

Zwei Spulen (Ersatzschaltung: Reihenschaltung)

mit Rr1 = 10, Lr1 = 50mH und Rr2 = 15, Lr2 = 65mH
sind in Reihe geschaltet und werden von einem sinusförmigen Wechselstrom mit dem Effek-
tivwert I = 5A und der Frequenz f = 50Hz durchflossen.

1. Zu berechnen sind die Wirkleistungen, Blindleistungen und Scheinleistungen der beiden Spulen und der Reihenschaltung.

2. Das Ergebnis für die Einzelspulen ist mit dem für die Reihenschaltung zu überprüfen.

3. Schließlich sind die Leistungsfaktoren der Spulen und der Reihenschaltung zu berechnen.

Lösung:

Zu 1. Die komplexe Leistung wird für Reihenschaltungen nach Gl. (4.242) berechnet:

Für Spule 1:

S1 = Z1 · I2

Z1 = Rr1 + jLr1 = 10 + j · 2 · 50s–1 · 50mH

Z1 = (10 + j · 15,7)

S1 = (10 + j · 15,7) · (5A)2

156

4 Wechselstromtechnik

S1 = (250 + j · 392)VA mit P1 = 250W und Q1 = 392Var

S

2

2

1 =

P

+ Q = 2502 + 3922 VA = 465VA

1

1

Für Spule 2:

S2 = Z2 · I2

Z2 = Rr2 + jLr2 = 15 + j · 2 · 50s–1 · 65mH

Z2 = (15 + j · 20,4)

S2 = (15 + j · 20,4) · (5A)2

S2 = (375 + j · 511)VA mit P2 = 375W und Q2 = 511Var

S

2

2

2 =

P

+ Q

= 3752 + 5112 VA = 633 VA

2

2

Für die Reihenschaltung beider Spulen:

S = Z · I2

Z = Z1 + Z2 = (Rr1 + Rr2) + j(Lr1 + Lr2)

Z = (10 + 15) + j · 2 · 50s–1 (50 + 65)mH

Z = (25 + j · 36,1)

S = (25 + j · 36,1) · (5A)2

S = (625 + j · 903)VA mit P = 625W und Q = 903Var

S =

2

2

2

2

P + Q = 625 + 903 VA = 1098VA

Zu 2. Kontrolle: Die Gesamtleistung ist gleich der Summe der Einzelleistungen.

P = P1 + P2

Q = Q1 + Q2
aber S = | S1 + S2 |

625W = (250 + 375)W

903Var = (392 + 511)Var

S =

2

2

1

(P + 2

P ) + ( 1

Q + Q2)

Zu 3. Die Leistungsfaktoren werden nach Gl. (4.204) errechnet:

P

250 VA
cos 1 = 1 =

= 0,54

1

S

465VA

P

625VA
cos =

=

= 0,57

P

375VA

S

1098VA
cos 2 = 2 =

= 0,59

2

S

633VA

Beispiel 2:

Zwei Kondensatoren sind in Reihe geschaltet und von einem sinusförmigen Strom mit

I = 0,5A, f = 50Hz durchflossen. Der eine Kondensator hat eine Kapazität Cr1 = 10μF und
eine Verlustleistung P1 = 1W, der andere eine Kapazität Cr2 = 5μF und eine Verlustleistung P2 = 0,5W.

1. Die Verlustfaktoren dC1 und dC2 der beiden Kondensatoren sind zu berechnen.

2. Dann soll die Formel für den Verlustfaktor dC der Reihenschaltung in Abhängigkeit von den beiden Kapazitäten und den Verlustfaktoren entwickelt und der Verlustfaktor mit den
angegebenen Zahlenwerten berechnet werden.

3. Schließlich soll das Ergebnis für dC über die Leistungen kontrolliert werden.

Lösung:

Zu 1. Nach Gl. (4.225) und Gl. (4.213) sind

P

1 VA
d

C1 =

1

3
tan C1 =

=

= 12,6 (10

1

Q

80 VA

1

1
mit Q1 =

2

2

I

= (0,5A)

= 8

0Var

1

6

C

r1

2 50s

10 10 F

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

157
und

P

0,5 VA
d

C2 =

2

3
tan C2 =

=

= 3,14 (10

Q2

159 VA

1

1
mit Q2 =

2

2

I

= (0,5A)

= 159

Var

1

6

C

r2

2 50s

5 10 F

Zu 2. Nach Gl. (4.237) ist
dC = · RCr · Cr
und
dC1 = · RCr1 · Cr1 und dC2 = · RCr2 · Cr2

Mit

RCr = RCr1 + RCr2
ergibt sich
dC
dC1
dC2

=

+

Cr

Cr1 Cr2
d
d

C C
d

C + d C
dC =

C1

C2
r1
r2

C1
r2

C2
r1

Cr

+

=

Cr1 Cr2

C

r1 + Cr2

Cr1 Cr2

C C
mit Cr =
r1
r2

Cr1 + Cr2
d

C + d C
dC = C1
r2

C2
r1

Cr1 + Cr2

3

6

3

6

12,6 10

5 10 F + 3,14 10 10 10 F
d

3

C =

= 6,3 10

6

(10 + 5) 10 F

P

P + P

(1 + 0,5) VA

Zu 3. d

C =

1

2

3
tan C =

=

=

= 6,3 (10

Q

1

Q + Q2

(80 + 159) VA

Beispiel 3:

Eine verlustbehaftete Spule (RLr = 20, Lr = 0,1H) und ein verlustbehafteter Kondensator (RCr = 4, Cr = 200μF) bilden einen Reihenschwingkreis, der an einer sinusförmigen Spannung mit U = 110V und f = 50Hz angeschlossen ist.

1. Zu berechnen sind die Wirkleistung, Blindleistung und Scheinleistung des Reihen-
schwingkreises.

2. Das Ergebnis soll mit Hilfe des Stroms I kontrolliert werden.

3. Bei welcher Kreisfrequenz besteht Resonanz und wie groß sind dann die induktive und kapazitive Blindleistung?

Lösung:

Zu 1.

Nach Gl. (4.243) ist

2

U

S =

*

Z
und mit

Z = Z + Z = (R

+ R ) + j ( L 1

L

C

Lr

Cr
r

Cr

Z* = (R

+ R ) j ( L 1

Lr

Cr
r

Cr ist

158

4 Wechselstromtechnik

(R

+ R ) + j ( L 1

Lr

Cr
r

U2

C

S =

(
r

(R

+ R ) j ( L 1

(R

+ R ) + j ( L 1

Lr

Cr
r

C

Lr

Cr
r

C
r

r

(R

+ R ) + j ( L 1

Lr

Cr
r

Cr

S =

( U2 = P + j ( Q

2

(R

+ R )2 + L 1

Lr

Cr
r

Cr

2

(R

+ R ) ( U

P =

Lr

Cr

2

2

1

(RLr + RCr ) + Lr

Cr

(20 + 4) (110 V)2

P =

2

(20 + 4)2 2 + 2 50s1 0,1H

1

.-

2 50s1 200 106 F/

P = 356W

1

Lr C

Q =
r

2

( U

2

2

1

(R Lr + RCr ) + Lr

C

r

2 50s1 0,1H

1

.-

2 50s1 200 106 F/ (110 V)2

Q =

2

(20 + 4)2 2 + 2 50s1 0,1H

1

.-

2 50s1 200 106 F/

Q = 230 Var

S =

2

2

2

2

P + Q = 356 + 230 VA = 423,5VA

U

Zu 2.

I =

= 110V ( e j(32,9º = 3,85A ( e j(32,9º

Z

28,6
mit U =110V · e j0º
und Z = (24 + j · 15,5) = 28,6 · e j32,9º

S = U I* = 110 V 3,85A e j32,9º = 423,5VA e j32,9º

S = 423,5VA cos32,9º + j 423,5VA sin 32,9º = 356 W + j 230 Var

Zu 3. Nach Gl. (4.114) besteht Resonanz für den Reihenschwingkreis bei

1

1

U

110 V

0 =

1

=

= 224s , wobei I =

=

= 4,58 A

L

(
μ

+

rCr

0,1H 200 F

R Lr

RCr

24

Mit Gl. (4.211) beträgt die induktive Blindleistung bei Resonanz

QL = I2 · 0Lr = (4,58 A)2 · 224s–1 · 0,1 H = 470 Var
und mit Gl. (4.213) beträgt die kapazitive Blindleistung bei Resonanz

1

1

QC =

2

2

I (

= (4,58A) (

= 470

Var

1

6

0

Cr

224s

( 200 (10 F

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

159

Beispiel 4:

In der im Bild 4.145 gezeichneten Schaltung sind die Wirk-
und Blindleistung über die komplexe Leistung zu berechnen.

Gegeben sind der Strom I = 400mA (Frequenz f = 100Hz),

Lr = 20mH, RLr = 30 und R = 100.

1. Zu berechnen sind die Leistungen, nachdem die Reihen-
schaltung in eine äquivalente Parallelschaltung transfor-
miert wurde.

2. Das Ergebnis ist mit dem komplexen Leitwert der Schal-
tung zu kontrollieren.

Bild 4.145 Beispiel 4 der

Leistungsberechnung

Lösung:

Zu 1.

Bild 4.146 Beispiel 4 der

Leistungsberechnung -

Schaltungstransformation

Nach Gl. (4.70) sind

1

R

=

Lr

=

30

= 28,36 mS ,

R

2

2

Lp

R

+ 2L

(30)2 + (2 100s1 0,02 H)2

Lr
r
die Parallelschaltung der beiden ohmschen Widerstände ergibt dann

1 + 1 = 1 + 28,36mS = 10mS + 28,36mS = 38,36mS,

R

R

100

Lp
und die Induktivität

1

L

=
r

=

2 100s1 0,02 H

= 11,88mS

L

2

2
p

R

+ 2L

(30)2 + (2 100s1 0,02 H)2

Lr
r

1

1

Lp =

=

= 134 mH .

1

11,88mS

2 100s 11,88mS

Nach Gl. (4.242) ist

2

I

2

S = Z I = Y

1

1

1
mit Y =

+
j

= 38,36mS j (11,88mS

R R

Lp

Lp

2

(0, 4 A)

(38,36 + j 11,88) mS

S =

(38,36 j 11,88) mS (38,36 + j 11,88) mS

2

(0, 4 A) (38,36 + j 11,88) mS

S =

= 3,81W + j 1,18Var

2

2

(38,36 mS) + (11,88mS)

S = P + j · Q d. h. P = 3,81W und Q = 1,18Var

160

4 Wechselstromtechnik

Zu 2. Nach Gl. (4.242) ist

2

I

S = Y

G

+ 1 + j G Lr

1

G

mit

Lr

Y = G +

=

1

1

+ j L
r

+ j L
r

GLr

GLr

(G + GLr ) + j G GLr Lr

Y =

1 + j GLr Lr
und

1 + j G

L

2

Lr
r

S = I (G + GLr) + jG GLr Lr

G ( GLr

1 j (

Lr

2

I

1 + j ( GLr ( Lr

G + GLr

S =

(

(

G + G

G ( GLr

G ( GLr

Lr

1 + j (

Lr 1 j (

Lr

G + GLr

G + GLr

G ( G

Lr

(1 + j ( GLr ( Lr ) 1
j (

Lr

2

I

G

+ GLr

S =

(

2

G + GLr

G ( G

Lr

1 +

( Lr

G

+ GLr

G ( G

G ( G

1 + 2 ( G

(

Lr ( L 2

G

Lr

Lr

G + G
r + jLr

Lr

G + G

S =

I2

(

Lr

Lr

G + G

2

Lr

G ( G

1 +

Lr ( L

G + G
r

Lr

S = P + j Q

1

1

G G

R R

10 mS 33,3mS
mit

Lr

Lr

=

=

= 7,69mS

G + G

1

1

Lr

10 mS + 33,3mS

+

R

RLr
und = 2 · f = 2 · 100s–1 = 628,3 s–1
ergibt sich für die Wirkleistung

2

2

2

2

2

(0, 4 A)

1 + 628,3 s

33,3mS 7,69mS 0,02 H

P =

= 3,81W

1

2

43,3mS

1 + (628,3s

7,69mS 0,02H)

und für die Blindleistung

(0,4 A)2

Q =

628,3s1 0,02H (33,3mS 7,69mS) = 1,18Var

43,3mS

1 + (628,3s1 7,69 mS 0,02 H)2

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

161

4.7.2 Die Messung der Wechselstromleistung

Messung der Scheinleistung

Die Scheinleistung S = U · I wird durch eine Strom-Spannungs-Messung in Effektivwer-
ten ermittelt. Dabei wird wie bei der Widerstandsmessung und Leistungsmessung mit

Gleichstrom (siehe Band 1, Abschnitt 2.2.7, Bilder 2.40 und 2.41 und Abschnitt 2.4.3.2,

Bilder 2.119 bis 2.122) eine stromrichtige und eine spannungsrichtige Messung unter-
schieden:

Bild 4.147 Spannungsrichtige Messung

Bild 4.148 Stromrichtige Messung
der Scheinleistung
der Scheinleistung

Die Messinstrumente sind Drehspulinstrumente, die Brücken-Gleichrichterschaltungen
enthalten, so dass Gleichrichtwerte gemessen und Effektivwerte angezeigt werden. Aus
den Effektivwerten von Spannung und Strom wird die Scheinleistung durch Multiplikati-
on errechnet.

Messung der Wirk- und Blindleistung mit elektrodynamischem Leistungsmesser Auch bei der Messung der Wirk- und Blindleistung mit einem elektrodynamischen

Leistungs-Messgerät kann spannungsrichtig und stromrichtig gemessen werden. Bei der

Wirkleistungsmessung ist im Spannungspfad ein ohmscher Widerstand R und bei der

Blindleistungsmessung die Hummel- oder Polekschaltung (siehe Abschnitt 4.6.1) zu ver-
wenden (Bilder 4.149, 4.150 und 4.152, 4.153):

Bild 4.149 Spannungsrichtige Messschaltung

Bild 4.150 Stromrichtige Messschaltung mit
mit einem elektrodynamischen Messwerk für
einem elektrodynamischen Messwerk für die
die Wirkleistungsmessung

Wirkleistungsmessung

Ströme, Spannungen und Leistungen können mit Hilfe von Drehspulinstrumenten gemes-
sen werden. Der Wirkungsmechanismus der Drehspulinstrumente beruht auf der Kraft-
wirkung, die sich bei bewegten Ladungen (elektrischer Strom) im magnetischen Feld
einstellt (siehe Band 1, Abschnitt 3.4.8.2).

162

4 Wechselstromtechnik

Bei der Messung von Gleichströmen oder gleichgerichteten Wechselströmen wird das

Magnetfeld durch einen Dauermagneten erzeugt, in dem sich die stromdurchflossene
drehbare Spule bewegt.

Das elektrodynamische Messwerk, das für die Leistungsmessung angewendet wird, ist
ebenfalls ein Drehspulmesswerk, aber mit elektromagnetischer Erregung: das magnetische

Feld wird nicht durch einen Dauermagneten, sondern durch einen Strom hervorgerufen.

Prinzipiell werden zwei Bauarten unterschieden: das eisengeschlossene Messwerk (siehe

Band 1, Bild 2.118) und das eisenlose Messwerk. Beim Messwerk mit Eisenkreis entsteht
durch ein rundes Eisenstück ein radial-homogenes Feld im Luftspalt (siehe Band 1, Bild

3.244), wobei die Luftspaltinduktion BL nahezu konstant ist. Messwerke ohne Eisenkreis
können mit „kurzer“ Feldspule und mit „langer“ Feldspule ausgeführt sein. Bei der kurzen Feldspule mit wenig Windungen und dickem Draht kann auch ein angenähert radial-homogenes magnetisches Feld erreicht werden.

Bild 4.151 Elektrodynamische Leistungsmesser mit eisengeschlossenen und eisenlosen Messwerken mit kurzer und langer Feldspule

Die Luftspaltinduktion BL wird durch den Strom i1 in der feststehenden Feldspule mit
der Windungszahl w1 verursacht. Die Feldspule wird in den Strompfad des Leistungs-
messers geschaltet, so dass der Messstrom i der Erregerstrom ist. In der eisenlosen An-
ordnung ist bei Vernachlässigung des magnetischen Widerstandes des Eisens und in der
eisenlosen Anordnung nach dem Durchflutungssatz

=

= BL

1

HL lL
bzw.

i1 w1
l
μ

L .

0

Die Luftspaltinduktion BL ist proportional dem Messstrom i1:

w

B

= μ i1

1

L

0

.

lL

Die drehbare Spule mit der Windungszahl w2, die sich in dem radial-homogenen magneti-
schen Feld bewegen kann, erfährt ein Drehmoment M, wenn durch sie der Strom i2 fließt,
der durch die Messspannung u entsteht. Das Drehmoment M ist proportional der Luft-
spaltinduktion BL, der Spulenfläche A = a · b, der Windungszahl der Spule w2 und dem

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

163

Strom i2, wobei sin = 1 ist, denn die Vektoren v und BL stehen senkrecht aufeinander

(siehe Band 1, Abschnitt 3.4.8.2):

M = BL · A · i2 · w2

(4.244)

w

M = μ i1

1

=

0

A i
w

K i i
l

2

2

1

2 .

(4.245)

L

Nur bei einer eisenlosen Anordnung mit „langer“ Feldspule geht der Neigungswinkel
der drehbaren Spule zur Feldrichtung ein (siehe Band 1, Abschnitt 3.4.8.2, Bild 3.233,

Beispiel 2):

w

M = μ i1

1

0

A i
w
sin .

(4.246)

l

2

2

L

Sind in der Messanordnung mit radial-homogenem Feld die Ströme i1 und i2 sinusförmig,
dann ist ein Mittelwert des Drehmoments wirksam:

Mit
i1 = î (

= ˆ (

1 sin t
und
i2
i2 sin(t + ))

ist

ˆ

T
i ( î

M = K ( 1 2 ( sin t

( sin (t + )) ( dt

T

0

1
und mit
sin · sin =

[cos( ) cos( + )]

2

ˆ

T

T

i î

M = K 1 2 cos

(t t ) dt cos

(2t + )dt

2 T

0

0

î
î
mit

1 = I

2 =

1
und

I2

2

2

I

T

T

M = K I1

2 cos() t sin (2t + )

T

2

0

0

M = K · I1 · I2 · cos .

(4.247)

Der Strom durch die bewegliche Spule I1 ist gleich dem Messstrom I und der Strom durch
die Feldspule I2 wird durch die ohmschen Widerstände der Feldspule Rv und den in Reihe
geschalteten Widerstand R (siehe Bilder 4.149, 4.150) begrenzt.

Mit

U

I1 = I und I2 = R +
v

R
ergibt sich für den Mittelwert des Drehmoments, der proportional der Wirkleistung ist:

K

M =

U I cos) = K* P .

(4.248)

R +
v

R

164

4 Wechselstromtechnik

Bei der Messung der Blindleistung Q mit Hilfe von dynamometrischen Messwerken ist
die Drehung der Stromphase im Spannungspfad um genau 90° erforderlich. Deshalb wird
in den Spannungspfad die Hummel- oder Polekschaltung (Bilder 4.114 und 4.116) einge-
fügt.

Bild 4.152 Blindleistungsmessung

Bild 4.153 Blindleistungsmessung
mit der Hummelschaltung
mit der Polekschaltung

Messung der Wirk- und Blindleistung mit der Drei- Voltmeter- Methode Die in einem beliebigen Wechselstromwiderstand auftretende Wirkleistung und Blindleistung können mit Hilfe von drei Spannungsmessern ermittelt werden. Dem beliebigen

Wechselstromwiderstand, der im Bild 4.154 dem komplexen Widerstand Z entspricht,
wird ein ohmscher Vorwiderstand Rv in Reihe geschaltet, so dass die drei Spannungsmes-
ser die Gesamtspannung U1 und die Teilspannungen U2 und U3 anzeigen. Die Innenwi-
derstände der Spannungsmesser müssen so hochohmig sein, dass die durch sie fließenden

Ströme vernachlässigbar klein gegenüber den Strömen durch die Widerstände sind. Unter
dieser Voraussetzung sind die Ströme durch den Vorwiderstand Rv und dem beliebigen

Widerstand Z gleich, und die Spannungen teilen sich wie bei in Reihe geschalteten Wider-
ständen auf, wie im Zeigerbild veranschaulicht werden kann (Bild 4.155).

Bild 4.154

Drei-Voltmeter-Methode

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

165

Die Wirkleistung

P = I · U3 cos = I · UR3
und die Blindleistung

Q = I · U3 · sin = I · UX3
werden durch die Spannungen U1, U2 und U3 gemessen und anschließend errechnet.

Gleichzeitig kann auch der Leistungsfaktor cos bestimmt werden.

Bild 4.155

Zeigerbild für die Drei-Voltmeter-Methode

Für das Dreieck mit den Seiten U1, U2 und U3 im Zeigerbild gilt der Kosinussatz:

U 2 =

2 +

2

(

(

1

U2

U3

2 ( U2 U3 cos (180º )

mit cos (180° – ) = – cos

U 2 =

2 +

2 +

1

U2

U3

2 U2 U3 cos ) .

(4.249)

Wird als Ersatzschaltung des komplexen Widerstandes Z die Reihenschaltung angenom-
men, d. h. Z = Rr + j · Xr, dann teilt sich die Spannung U3 in eine Wirkspannung UR3 und eine Blindspannung UX3 auf. Die Wirkspannung ist nach Gl. (4.52) und mit Gl. (4.249)

2 (U 2 + U 2 )

U

2

3

R3 = U (

3 cos = U1

,

(4.250)

2 ( U2
so dass sich für die Wirkleistung P ergibt:

2 (U 2 + U 2 )

P = I U

=

2

3

R3

I U1

(4.251)

2 U2

U 2 (U 2 + U 2 )

P =

1

2

3
mit I = U2 .

(4.252)

2 Rv

R v

Die Gleichung (4.249) kann auch nach dem Leistungsfaktor aufgelöst werden:

U 2 (U 2 + U 2 )

cos = 1

2

3

.

(4.253)

2 U

2

U3

Für die Blindleistung Q muss die Blindspannung UX3 errechnet werden:

Mit

U

2

2

X3 =

U

3

UR3

166

4 Wechselstromtechnik
und mit Gl. (4.250)

2

2

(U 2 + U 2)

U

2

2

3

X3 =

U

U1

3

2

U2

und mit

U

I =

2

R v

2

2

(U 2 + U 2)

Q = I U

= U2

2 U1

2

3

(4.254)

X3

U

R

3
v

2

U2

Messung der Wirk- und Blindleistung mit der Drei- Amperemeter- Methode Die in einem beliebigen Wechselstromwiderstand auftretende Wirkleistung und Blindleistung können aber auch mit Hilfe von drei Strommessern ermittelt werden. Dem beliebigen

Wechselstromwiderstand, der im Bild 4.156 dem komplexen Widerstand Z entspricht,
wird ein ohmscher Widerstand Rp parallel geschaltet, so dass die drei Strommesser den

Gesamtstrom I1 und die Teilströme I2 und I3 anzeigen. Die Innenwiderstände der Strom-
messer müssen so niederohmig sein, dass die an ihnen abfallenden Spannungen vernach-
lässigbar klein gegenüber den Spannungen an den Widerständen sind. Unter dieser Vor-
aussetzung sind die Spannungen an dem Parallelwiderstand Rp und an dem beliebigen

Widerstand Z gleich, und die Ströme teilen sich wie bei parallel geschalteten Widerstän-
den auf.

Bild 4.156

Drei-Amperemeter-Methode

Die Herleitung der Formeln für die Wirkleistung P, der Blindleistung Q und den Leis-
tungsfaktor cos ) in Abhängigkeit von den drei Strömen ist analog wie bei der Drei-

Voltmeter-Methode. Dabei muss für die Ersatzschaltung des beliebigen Widerstandes Z
die Parallelschaltung angenommen werden. Die Formeln lauten:

2 (I 2 + I 2 )

P = R I1

2

3

(4.255)

p

2

I 2 (I 2 + I 2 )

cos = 1

2

3

(4.256)

2 I

2

I3

2

2

(I 2 + I 2)

Q = I

2 I1

2

3

(4.257)

2

R p

I3

2

I2

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

167

4.7.3 Verbesserung des Leistungsfaktors – Blindleistungskompensation

Notwendigkeit der Verbesserung des Leistungsfaktors

In Wechselspannungsnetzen wird elektrische Energie von Wechselspannungsquellen über

Zuleitungen an beliebige Wechselstromwiderstände übertragen. In den Widerständen
werden Wirkleistungen P = U · I · cos umgesetzt.

Wird in einem Wechselstromwiderstand eine bestimmte Wirkleistung bei vorgegebener

Spannung U benötigt, dann ist der Strom I umso größer, je kleiner der Leistungsfaktor
cos ) ist:

P

I =

1 .

U cos )

Der größere Strom bei kleinerem Leistungsfaktor bedeutet in den Zuleitungen eine Zu-
nahme der Verlustleistung Pv, die vor allem vom Querschnitt A der Leitungen abhängig
ist:

Pv = I2 R =

L

I2 2 l ,

(4.258)

A
wobei RL der ohmsche Widerstand der Doppelleitung ist:

2 l

RL =

.

A

Mit obiger Stromgleichung ergibt sich für die Verlustleistung

P2

Pv =

( 2 ( l (

1

.

(4.259)

U2 ( A cos2 )

Nach der Fläche A der Zuleitung aufgelöst,

P2

A =

( 2 ( l (

1

(4.260)

Pv ( U2 cos2 )

wird deutlich, warum der Leistungsfaktor verbessert werden muss:

Bei der Übertragung einer Wirkleistung P bei gegebener Spannung U und bei einer
festgelegten zulässigen Verlustleistung Pv der Leitung beeinflusst der Leistungsfaktor
cos den Leitungsquerschnitt A quadratisch.

Beispiel:

Weicht der Leistungsfaktor vom angestrebten Wert 1 auf 0,707 ab, dann ist der doppelte

Querschnitt der Leitungen notwendig, um eine konstante Verlustleistung beizubehalten:

K

2

2

A2
cos )

)

2
cos

1

1

1

=

=

=

=

= 2.

2

2

A

K

1
cos )2

0,707

0,5

2
cos

1

)

Da eine Leistungsübertragung bei einem niedrigeren Leistungsfaktor unwirtschaftlich ist, darf ein Mindestleistungsfaktor von 0,8 … 0,9 nicht unterschritten werden.

Der Leistungsfaktor cos ) kann erhöht werden, wenn die Blindleistung Q möglichst klein
ist:

P
cos =

=

P

.

(4.261)

S

P2 + Q2

168

4 Wechselstromtechnik

Blindleistungskompensation

In den meisten Anwendungsfällen ist der Verbraucherwiderstand induktiv, z. B. durch

Asynchronmotoren, Spulen und Transformatoren. Deshalb muss zum induktiven Wech-
selstromwiderstand ein Kondensator zugeschaltet werden, wenn die Blindleistung kom-
pensiert werden soll. Prinzipiell kann zum passiven Zweipol ein Kondensator Cr in Reihe
oder ein Kondensator Cp parallel geschaltet werden.

Bei der Reihen-Kompensation wird ein

Die Parallel-Kompensation bedeutet die

Kondensator Cr in Reihe zum induktiven

Zuschaltung eines Kondensators Cp paral-

Zweipol geschaltet. Um die Ergebnisse
lel zum induktiven Zweipol. Entsprechend
des Reihenschwingkreises (Abschnitt
lassen sich die Ergebnisse des Parallel-

4.5.1) verwenden zu können, ist als Er-
schwingkreises (Abschnitt 4.5.2) über-
satzschaltung für den induktiven Zweipol
nehmen, wenn für den induktiven Zweipol
die R/L-Reihenschaltung zu verwenden.

als Ersatzschaltung die R/L-Parallelschal-
tung berücksichtigt wird.

Bild 4.157 Reihen-Kompensation

Bild 4.158 Parallel-Kompensation

Durch die stromdurchflossene Kapazität

Infolge der anliegenden Spannung U

Cr entsteht eine Spannung UC, die die
fließt durch die parallelgeschaltete Kapa-

Spannung UL teilweise oder ganz kom-
zität Cp ein Strom IC, der den Strom IL
pensiert. Nach der Kompensation stellt
teilweise oder ganz kompensiert. Nach
sich eine verminderte Spannung UKr.

der Kompensation stellt sich ein vermin-
und eine verminderte Phasenverschie-
derter Strom IKp und eine verminderte
bung K ein, wie im Zeigerbild deutlich

Phasenverschiebung K ein, wie im Zei-
wird.

gerbild veranschaulicht wird (siehe auch

Abschnitt 7.2, Beispiel 3).

Bild 4.159 Zeigerbild der teilweisen

Bild 4.160 Zeigerbild der teilweisen

Reihen-Kompensation

Parallel-Kompensation

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

169

Anzustreben ist eine Kompensation, bei

Die Kompensation, bei der sich die
der sich die Blindspannungen UL und UC

Blindströme IL und IC aufheben und die
aufheben und die Phasenverschiebung

Phasenverschiebung K zwischen IKp

K zwischen UKr und IKr = 1 Null ist.

und UKp = U Null ist, soll erreicht wer-
den.

Bild 4.161 Zeigerbild der vollständigen

Bild 4.162 Zeigerbild der vollständigen

Reihen-Kompensation

Parallel-Kompensation

Der für die vollständige Kompensation

Der für die vollständige Kompensation
notwendige Kondensator mit der Kapazi-
notwendige Kondensator mit der Kapazi-
tät Cr lässt sich dann berechnen, weil die
tät Cp kann berechnet werden, weil die

Summe der kapazitiven und induktiven

Summe der kapazitiven und induktiven

Blindleistungen Null sein muss:

Blindleistungen Null sein muss:

QC + QL = 0

QC + QL = 0

– QC = QL

– QC = QL
mit
mit

Q

2

C = U

(

C

Cr

QC = U2 ( Cp
und
und

QL = P · tan

QL = P · tan
ist
ist

U 2 (

=

C

Cr

P ( tan )

U2 ( C =
p

P ( tan )

P ( tan )

P ( tan )

Cr =

(4.262)

C

(4.263)

(
p =

U 2

C

( U2

Da
oder

UC = UL und UL = UKr · tan

P ( tan )

ist

Cp =

(4.265)

( U 2

P

Kp

Cr =

(4.264)

( U 2 (

Kr
tan )

mit
mit

UKp = U

UKr = UR

170

4 Wechselstromtechnik

Durch die Zuschaltung von Cr in Reihe

Durch die Zuschaltung von Cp parallel zu
zu Rr und Lr wird wohl die induktive

Rp und Lp wird wohl die induktive

Blindleistung QL kompensiert, aber auch

Blindleistung QL kompensiert, aber auch
die Spannung U auf
der Strom I auf

UKr = UR = U · cos

IKp = IR = U/Rp
vermindert.

verringert.

Bei der Blindleistungskompensation mit Parallelkondensator ist die anliegende Netzspan-
nung U vor und nach der Kompensation gleich, denn die Schaltelemente sind parallel
geschaltet. Die Wirkleistung und die zu kompensierende Blindleistung bleiben somit
unverändert.

Wird aber bei der Reihenkompensation die Netzspannung U, die vor der Kompensation
am induktiven Verbraucher gelegen hat, an den Reihenschwingkreis angelegt, wie es in
der Praxis üblich ist, dann fällt diese Spannung U wegen Resonanz nur am ohmschen

Widerstand ab. Die Spannung Ukr = UR wird auf den Spannungswert U erhöht, wodurch
sich der Strom von I

'

Kr = UR/Rr auf

IKr = U/Rr vergrößert. Damit erhöht sich auch die

Wirkleistung auf

P' = I ' 2

= U2

Kr

Rr

(4.266)

Rr
und die zu kompensierende Blindleistung auf

' 2

Q' = I ' 2

= UL

Kr

Lr

.

(4.267)

Lr

Aus dem Zeigerbild ist ersichtlich, dass für die Spannungen UKr und U der Zusammen-
hang

U

UKr = U · cos bzw.

= 1

UKr
cos )

besteht. Die Wirkleistung erhöht sich also mit dem Quadrat der Spannung:

U2

P' = Rr = U2 = 1

(4.268)

P

U

2

2

Kr

UKr
cos2 )

Rr
bzw.

U

2

P =

Kr

P' = P' cos2 ) .

U2

Die Formel für die notwendige Kapazität lautet dann in Abhängigkeit von der Netzspan-
nung U

P'

Cr =
mit P' =

P

(4.269)

( U2 ( tan )

cos2 )

und bei Berücksichtigung der ursprünglichen Wirkleistung P

P

Cr =

=

P

(4.270)

( U2 ( tan ) ( cos2 )

( U2 ( sin ) ( cos)

Die Kapazität ändert ihren Wert gegenüber dem ursprünglichen Wert nicht, weil die

Wirkleistung und die Spannung gleichzeitig geändert wurden.

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

171

Ein Vergleich der Kapazitätswerte C

'

r und Cp bei gleicher Gesamtspannung U Kr = U und

UKp = U ist damit möglich:

Cp = P ( tan) ( ( U2 (sin) (cos) = sin) (sin) (cos)

Cr

( U2

P
cos )

Cp = sin2 ) < 1.

(4.271)

Cr

Liegen an den beiden Kompensationsschaltungen – der Reihenschwingkreis und der Pa-
rallelschwingkreis – die gleiche Spannung U, dann ist die Reihenkapazität Cr größer als
die Parallelkapazität Cp, wobei die Wirkleistung des Reihenschwingkreises größer ist als die Wirkleistung des Parallelschwingkreises.

Die erhöhte Spannung an der Reihenkapazität U'C ist allerdings kleiner als die Spannung
an der Parallelkapazität U, wenn der tan < 1 ist:

U'C = U · tan .

(4.272)

Allerdings ist zu beachten, dass bei der Reihenkompensation die an dem induktiven

Verbraucher anliegende Spannung durch die Kompensation vergrößert wird.

Beispiel:

Für einen zu kompensierenden induktiven Wechselstromwiderstand sind gegeben: U = 220V
bei f = 50Hz, P = lkW und cos = 0,8.

1. Zu ermitteln sind die Elemente der Ersatzschaltungen, die Wirkleistung, die Blindleistung, die Scheinleistung, sämtliche Ströme und Spannungen und das Zeigerbild.

2. Dann sollen die Kompensationskapazitäten Cr und Cp berechnet werden, wenn die an der

Gesamtschaltung anliegende Spannung 220V beträgt. Die Zusammenhänge sollen anhand
von quantitativen Zeigerbildern erläutert werden.

Lösung:

Zu 1.Die Ersatzschaltungen sind die Reihenschaltung von Rr und Lr und die Parallelschaltung von Rp und Lp, die äquivalent sind.

Reihenschaltung:

Parallelschaltung:

Mit

Mit

U 2

2

U

P =

R

= 1 kW

P =

= 1 kW

R

R
r
p
und
ergibt sich

UR = U · cos = 220V · 0,8 = 176V

2

2

U

(220 V)

R

=

= 48,4
ergibt sich
p = P

1000 VA

U 2
und mit

R

R
r =

= (176 V)2 = 31

P

1000 VA

1
und mit

Lp

Rp
tan =

=

L

1

L
tan =
r
p

R

R
r
p
ist
ist

R tan

31 0,75

Rp

48, 4

L

=

=
r =
r

=

= 74mH

L

205 mH

1

p =

2 50s

1
tan

2 50s 0,75

172

4 Wechselstromtechnik

Die induktive Blindleistung ist für die Reihen- und Parallelschaltung gleich:

Q = P · tan = 1000 VA · 0,75 = 750Var,
ebenso ist die Scheinleistung gleich

S =

2

2

2

2

P + Q = (1000 VA) + (750 VA) = 1250 VA

Für das Zeigerbild der Reihen-

Für das Zeigerbild der Parallel-
schaltung betragen
schaltung betragen

U

U

220 V

R = 176V

IR =

=

= 4,55 A

U

R

48, 4

L = U · sin = 220V · 0,6 = 132V
p

IL =IR tan = 4,55 A · 0,75 = 3,41 A

S

1250 VA
und I =

=

= 5,68 A

U

220 V

Bild 4.163 Reihen-Ersatzschaltung

Bild 4.164 Parallel-Ersatzschaltung des in-
des induktiven Wechselstromwiderstandes
duktiven Wechselstromwiderstandes

Bild 4.165 Zeigerbild des Reihen-

Bild 4.166 Zeigerbild des Parallel-

Ersatzschaltbildes

Ersatzschaltbildes

Zu 2.

Reihen-Kompensation:

Parallel-Kompensation

Bild 4.167 Reihenkompensation

Bild 4.168 Parallelkompensation

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

173

Berechnung der Reihenkapazität:

Berechnung der Parallelkapazität:

Nach Gl. (4.262) oder Gl. (4.264) ist

Nach Gl. (4.263) ist

P ( tan )

P ( tan )

C

C
r =

=

P
p =

(

2

U 2

( U 2 ( tan)

( U

C

Kr
mit

UC = UL = 132 V

1000 VA ( 0,75

1000 VA ( 0,75

=

C

Cp =

49,3 μF
r =

= 137 F
μ

1

2

2 ( 50s

( (132 V)

2 ( 50s1 ( (220 V)2
oder

1000 VA

Cr =

= 137 μF

2 ( 50s1 ( (176 V)2 ( 0,75
mit

UKr = UR = U · cos = 220 V · 0,8 = 176V

Bild 4.170 Zeigerbild für die

Parallel-Kompensation

Bild 4.169 Zeigerbild für die

Reihen-Kompensation

Liegt die Spannung U = 220V an dem Rei-
henschwingkreis in Resonanz, dann ist die

Wirkleistung auf P' erhöht. Die Reihenkapa-
zität Cr kann dann nach der Gl. (4.269) be-
rechnet werden:

'

P

Cr =

2

( U ( tan )

3

1,56 (10 VA

Cr =

1

2

2 ( 50s

( (220 V) ( 0,75

Cr = 137μF
mit

2

2

U

(220 V)

P' =

=

= 1,56 kW

Rr

31

P

1000 W

Bild 4.171 Zeigerbild für die
oder P' =

=

= 1,56 kW

2

2

Reihenkompensation bei 220 V
cos )

(0,8)

174

4 Wechselstromtechnik

Dabei betragen der vergrößerte Strom

I '

= U = 220V = 7,1A

Kr

R

31
r
und die erhöhte Blindleistung

Q' = P' · tan = 1,56kW · 0,75 = 1,17kVar
oder

U 2

Q' = I 2 ( L =

L

= 1,17kVar

Kr
r

Lr
mit

U ' = L ( I '

= 165V
und

U ' = U ' = U ( tan) = 165V .

L
r

Kr

L

C

Mit Gl. (4.271) wird das Ergebnis für die Kompensationskondensatoren kontrolliert:

Cp = 49,3μF = 0,36 = sin2 ) .

C

137μF
r

4.7.4 Wirkungsgrad und Anpassung

Wirkungsgrad

Die elektrische Energieübertragung von einer Quelle zu einem Verbraucher ist mit Ver-
lusten verbunden.

Im Gleichstromkreis wird die genutzte Energie bzw. Nutzleistung (umgewandelte, d. h.

abgegebene Energie) ins Verhältnis gesetzt zur aufgewendeten Gesamtenergie bzw. auf-
gewendeten oder zugeführten Gesamtleistung und Wirkungsgrad genannt (siehe Band 1,

Abschnitt 2.4.4).

Im Wechselstromkreis wird analog das Verhältnis der genutzten Wirkenergie bzw. ge-
nutzten Wirkleistung zur aufgewendeten Wirkenergie bzw. aufgewendeten oder zugeführ-
ten Wirkleistung mit Wirkungsgrad bezeichnet. Die in Blindwiderständen vorkommen-
den Blindleistungen können weder genutzt werden, noch führen sie direkt zu Verlusten.

Sie ergeben aber Wirkleistungsverluste in den Zuleitungen, die durch die Blindleistungs-
kompensation vermieden werden (Abschnitt 4.7.3). Die Gleichung für den Wirkungsgrad
ist formal identisch mit der Wirkungsgrad-Gleichung im Gleichstromkreis (vgl. Bd. 1,

Gl. 2.206):

P

P

= N =

N

(4.273)

P

+
ges

PN

PV
mit

PN:

genutzte Wirkleistung

Pges:

zugeführte gesamte Wirkleistung

Pv:

Wirkleistungsverluste

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

175

Wirkungsgrad im Grundstromkreis

Wie behandelt, kann jedes Wechselstromnetz in einen Grundstromkreis überführt werden,
so dass die Ermittlung des Wirkungsgrades eines Grundstromkreises von Bedeutung ist.

Die Energiequelle – als Ersatzspannungsquelle oder Ersatzstromquelle betrachtet – liefert die gesamte Wirkleistung (erzeugte Wirkleistung PE), im Außenwiderstand kann die

Wirkleistung (äußere Wirkleistung Pa) genutzt werden und im Innenwiderstand muss eine

Verlust-Wirkleistung (innere Wirkleistung Pi) in Kauf genommen werden.

Der Wechselstrom-Grundstromkreis kann entweder mit Ersatzspannungsquelle oder mit

Ersatzstromquelle dargestellt werden. Bei Anwendung der Symbolischen Methode wer-
den alle sinusförmigen Ströme und Spannungen komplexe Effektivwerte, und der Innen-
widerstand der Spannungsquelle und der Außenwiderstand des Verbrauchers sind kom-
plex:

Z =

+

=

+
i

Ri
jXi

Za

Ra
jXa

Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle:

Die in der Spannungsquelle aufgewendete

Wirkleistung ist

PE = Pi + Pa = I2 · (Ri + Ra)

und die im Verbraucher genutzte Wirkleistung

Pa = I2 · Ra.

Bild 4.172 Grundstromkreis
mit Ersatzspannungsquelle
für sinusförmige Größen im

Bildbereich

Damit ergibt sich für den Wirkungsgrad des Grundstromkreises mit Ersatzspannungsquelle
für sinusförmige Wechselgrößen dieselbe Formel wie im Gleichstromkreis (vgl. Band 1,

Gl. 2.207):

P

P

= a =
a

=

1

=

1

P

+

E

Pa

Pi

1 + Pi

1 + I2 Ri

Pa

I2 Ra

=

1

.

(4.274)

1 + Ri

Ra

Der Wirkungsgrad ist maximal, wenn Ri/Ra gegen Null geht, d. h. wenn Ri gegen Null
geht, denn Ra gegen Unendlich bedeutet Leerlauf; fließt kein Strom, kann eine Energie-
umwandlung nicht erfolgen.

Um den Wirkungsgrad der Umwandlung von der in der Spannungsquelle erzeugten elek-
trischen Wirkenergie in äußere Wirkenergie im Grundstromkreis mit Ersatzspannungs-
quelle am größten zu bekommen, muss der Innenwiderstand der Spannungsquelle mini-
mal sein.

Bei der starkstromtechnischen Energieübertragung wird aus Gründen der Wirtschaftlich-
keit ein hoher Wirkungsgrad angestrebt.

176

4 Wechselstromtechnik

Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle:

Die in der Stromquelle aufgewendete Wirkleistung ist

PE = P +

=

+ 1
i

Pa

U2

1

Ri

Ra
und die im Verbraucher genutzte Wirkleistung

Bild 4.173 Grundstromkreis
mit Ersatzstromquelle für sinus-

U2

P
förmige Größen im Bildbereich
a =

.

Ra

Damit ergibt sich für den Wirkungsgrad für den Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle
für sinusförmige Wechselgrößen dieselbe Formel wie im Gleichstromkreis (vgl. Band 1,

Gl. 2.208):

P

P

= a =
a

=

1

=

1

R

+

E

Pa

Pi

1 + Pi

1 + U2 / Ri

Pa

U2 / Ra

=

1

.

(4.275)

R

1 +
a

Ri

Der Wirkungsgrad ist maximal, wenn Ra/Ri gegen Null geht, d. h. wenn Ri gegen Unend-
lich oder der Innenleitwert Gi gegen Null strebt.

Die Abhängigkeit des Wirkungsgrades von Ra/Ri ist also durch unterschiedliche For-
meln und Verläufe beschrieben. Die im Band 1 im Bild 2.125 dargestellten Verläufe ha-
ben also auch für die Wechselstromtechnik Gültigkeit.

Anpassung

In der Nachrichtentechnik soll der Verbraucher die maximale Wirkleistung aus dem Ge-
neratorzweipol aufnehmen. Dieser Fall wird genauso wie in der Gleichstromtechnik (siehe

Band 1, Abschnitt 2.4.5) Anpassung genannt, denn der Widerstand des passiven Zweipols
wird an den Widerstand des aktiven Zweipols angepasst.

Die Berechnungen für die Widerstandsanpassung lassen sich auf den Grundstromkreis
beschränken, weil jedes Wechselstrom-Netzwerk in einen Grundstromkreis mit aktiven
und passiven Zweipol überführt werden kann.

Die Grundstromkreise mit Ersatzspannungsquelle und mit Ersatzstromquelle werden im

Bildbereich mit komplexen Effektivwerten und komplexen Operatoren behandelt. Der
komplexe Widerstand bzw. komplexe Leitwert des aktiven und passiven Zweipols sind
dann

Z =

+

=

(

=

+

=

(
i

Ri
j ( Xi

Zi eji

Za

Ra
j ( Xa

Za eja

Y =

+

=

(

=

+

=

(
i

G i
j ( Bi

Yi e ji

Ya

G a
j ( Ba

Ya e ja

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

177

Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle:

Die vom passiven Zweipol (Verbraucher) aufgenommene Wirkleistung Pa soll maximal
sein:

Pa = I2 · Ra

Uq

Uq
mit

I =

=

Z +

+

+
i

Za

(Ri Ra ) + j (Xi Xa )

Uq
und

I =

(R +

+
i

Ra )2 + (Xi

Xa )2

U 2
q

Ra

Pa =

= f(Ra ,Xa ) .

(4.276)

(R +

+
i

Ra )2 + (Xi

Xa )2

Die Wirkleistung Pa ist eine Funktion der beiden Variablen Ra und Xa. Werden die ersten
partiellen Ableitungen Null gesetzt, dann kann die Wirkleistung maximal sein (notwendi-
ge Bedingung):

P

(

+
a

R

2(X

X

= U 2 (
a
i
a )

= 0

X
q
a

[(R +

+
i

Ra )2 + (Xi Xa )2]2
d. h. Xi + Xa = 0
oder Xa = – Xi.

(4.277)

P

+

+

+
a

(R

R

X

R

= U 2 (
i
a )2 + (Xi
a )2 2(R i
a ) ( Ra = 0

R
q
a

[(R +

+
i

Ra )2 + (Xi

Xa )2]2
d. h.

R 2 +

+

2 +

+

2 =
i

2RiRa

Ra

(Xi

Xa )2 2RiRa

2Ra

0
oder R 2 =

2 +

+
a

Ri

(Xi

Xa )2 .

(4.278)

Wird das erste Ergebnis (Gl. 4.277) im zweiten Ergebnis (Gl. 4.278) berücksichtigt, dann ist

Ra = Ri,

(4.279)

das ist dieselbe Anpassungsbedingung wie für den Gleichstromkreis.

Die hinreichende Bedingung für ein Maximum

2P

2

2
a

P

P

a >
a

R 2 2

R X
a

Xa
a
a
mit

2P

2
a

P

< 0
und
a < 0

R 2

2
a

Xa
soll nicht überprüft werden. Wie die folgende Interpretation der Lösungen zeigt, existiert ein Maximum für die Wirkleistung.

178

4 Wechselstromtechnik

Die beiden Anpassungsbedingungen lassen sich zusammenfassen:

Z = *
a

Zi

(4.280)

mit Ra + j·Xa = Ri – j·Xi oder

Z (

(
a
e ja = Zi e ji .

Die Anpassung im Wechselstromkreis wird wegen dieser Bedingung auch komplexe An-
passung genannt:

Der komplexe Widerstand des passiven Zweipols muss gleich dem konjugiert kom-
plexen Widerstand des aktiven Zweipols sein.

Bei Anpassung beträgt dann die im passiven Zweipol (Verbraucher) genutzte Wirkleis-
tung:

U 2

2

2
q

Ri

Uq

Ri

Uq

Pa max =

=

=

(4.281)

(2 R

2

4 R
i )2

4 Ri
i
und die im aktiven Zweipol (Generator) erzeugte Leistung

PE = Pa + Pi = I2 · (Ra + Ri)

U 2
q

PE =

(R +
a

Ri )

(R +
a

Ri )2

U 2

2
q

Uq

PE =

=

.

(4.282)

R +
a

Ri

2 Ri

Nur die Hälfte der vom aktiven Zweipol (Generator) abgegebenen Wirkleistung wird bei

Anpassung im passiven Zweipol (Verbraucher) genutzt. Der Wirkungsgrad beträgt also
nur 50 %. In der Nachrichtentechnik wird also ein schlechter Wirkungsgrad in Kauf ge-
nommen, um eine maximale Verbraucherleistung zur Verfügung zu haben.

Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle:

Die vom passiven Zweipol (Verbraucher) aufgenommene Wirkleistung Pa soll maximal
sein:

U2

Pa =

= U2 G

R
a
a

Iq

Iq
mit U =

=

Y +

+

+
i

Ya

(G i Ga ) + j (Bi Ba )

Iq
und U =

(G +

+
i

G a )2 + (Bi

Ba )2

I 2
q

G a

Pa =

= f (Ga ,Ba ) .

(4.283)

(G +

+
i

G a )2 + (Bi

Ba )2

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

179

Die partiellen Ableitungen

P

a

P
und
a

B

a

G a
lassen sich analog berechnen, Null setzen und ergeben:

Die Wirkleistung Pa ist maximal, wenn sich die Blindanteile der beiden komplexen Leit-
werte kompensieren

Ba = – Bi

(4.284)

und wenn die Realanteile der komplexen Leitwerte gleich sind:

Ga = Gi .

(4.285)

Die beiden Anpassungsbedingungen lassen sich wieder zusammenfassen:

Y =

*
a

Yi

(4.286)

mit Ga + j·Ba = Gi – j·Bi
bzw.

Ya · eja = Yi · e–ji.

Die komplexe Anpassung bedeutet, dass der komplexe Leitwert des passiven Zweipols
gleich dem konjugiert komplexen Leitwert des aktiven Zweipols ist. Bei Anpassung be-
trägt dann die im passiven Zweipol (Verbraucher) genutzte Wirkleistung:

I 2

2

2
q

G i

Iq

G i

Iq

Pa max =

=

=

,

(4.287)

(2 G

2

4 G
i )2

4 G i
i

Iq
die mit Iq · Ri =

= U

G
q
i
genauso groß ist wie die genutzte Wirkleistung im Grundstromkreis mit Ersatzstromquel-
le, wenn die aktiven und passiven Zweipole äquivalent sind. Damit ist auch die im aktiven Zweipol (Generator) erzeugte Wirkleistung PE gleich:

PE = Pa + Pi = U2 · (Ga + Gi)

I 2
q

PE =

(G +
a

G i )

(G +
a

G i )2

I 2

2

2
q

Iq

Uq

PE =

=

Gi =

.

(4.288)

(G +
a

G i )

2G i Gi

2Ri

Auch für den Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle bestätigt sich, dass bei Anpassung
nur die Hälfte der vom aktiven Zweipol (Generator) abgegebenen Wirkleistung im passi-
ven Zweipol (Verbraucher) genutzt wird. Der Wirkungsgrad beträgt nur 50%.

Bei der Überführung eines Wechselstromnetzwerkes in einen der beiden Grundstromkrei-
se werden nach der Zweipoltheorie die Ersatzelemente Uqers, Iqers, Ziers, Zaers ermittelt.

Die Anpassungsbedingungen lauten dann

Z

*

*
aers = Ziers
bzw.

Y

=
aers

Yiers

(4.289)

180

4 Wechselstromtechnik

Darstellung der Wirkleistungsfunktion:

Da die Wirkleistung Pa und die maximale Wirkleistung Pa max für den Grundstromkreis
mit Ersatzspannungsquelle und für den Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle gleich
sind, genügt es, wenn die Funktion Pa = f(Ra, Xa) interpretiert wird, denn die Funktion

Pa = f (Ga, Ba) ergibt die gleichen Ergebnisse.

Eine Funktion z = f (x, y) mit zwei unabhängigen Variablen stellt im kartesischen Koordinatensystem eine Fläche im Raum dar. Die Variablen x, y und z sind reelle Zahlen, also
bezogene Größen:

Mit den Gl. (4.276) und (4.281) ist

U 2
q

Ra

P

+

+

a

(R

R

X

4 R

R

=
i
a )2 + (Xi
a )2 =
i
a

P

2
a max

U

+

+
q

(Ri

Ra )2 + (Xi

Xa )2

4Ri

R

4 a

Pa

=

Ri

(4.290)

P

2

2
a max

R

X + X

1 +
a

+
i
a

Ri

Ri

z =

4 x

(4.291)

(1 + x)2 + y2

P

R

X + X
mit z =
a

, x =
a
und
y =
i
a .

Pa max

Ri

Ri

Die Fläche im Raum, die diese Funktion z = f (x, y) darstellt, ähnelt einem Berg mit einem abgeplatteten Gipfel über dem Punkt (1, 0), einem steil abfallenden Hang zur y-Achse zu
und einem flachen Hang in Richtung x-Achse (siehe Bild 4.174).

Bild 4.174 Räumliche Darstellung der Wirkleistungsfunktion

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

181

Die räumliche Darstellung gibt nur ein verzerrtes Bild und lässt keine quantitativen Aus-sagen zu. Deshalb werden Schnittflächen mit z = z0, x = x0 und y = y0 festgelegt und
die dort sich befindlichen Schnittkurven untersucht.

Wird z nacheinander gleich einer konstanten Zahl zwischen 0 und 1 gesetzt, dann entste-
hen Kurven, in deren Punkten die Wirkleistung konstant ist. Diese Kurven heißen Höhen-
linien, weil sie im räumlichen Bild der Funktion Punkte gleicher Höhe enthalten. Für
z = Pa/Pa max = konstant sind die Höhenlinien Kreise mit unterschiedlichen Radien und
auf der x-Achse verschobenen Mittelpunkten:

4x

(1 + x)2 + y2 = z

4x
y2 + 1 + 2x –

+ x2 = 0
z

2

2
y2 + x2 2x 2 1

1 = 2 1 1
z

+ 2
z

z

2
y2 + x

2 1

= 4 4 + 1 1

z

/

z2
z

2

y2 + x

2 1

= 4 1 1

z

z z

(4.292)

y2 + (x – xM)2 = r2

2
mit xM =

1
z

und r = 2 1 1 1
z z

.

P

Für z =
a

= 1 … 0,5 ergeben sich dann folgende kreisförmige Höhenlinien (siehe

Pa max

Bild 4.175):

z

1

0,95

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5
xM

1

1,11

1,22

1,5

1,86

2,33

3,0
r

0

0,47

0,70

1,12

1,56

2,11

2,82

Parallel zu der z, y-Ebene und der z, x-Ebene sind die Ebenen für die Anpassungsbedin-
gung Ra = Ri und Xa = – Xi interessant. Die Gleichungen der Schnittkurven (siehe Bild

4.175) ergeben sich nach Gl. (4.291)

R
mit x = x =
a =

0

1 :

z = f (1, y) =

4

(4.293)

Ri

4 + y2
y

0

± 0,25

± 0,5

± 0,75

± 1,0

± 1,5

± 2,0
z

1

0,985

0,941

0,877

0,8

0,64

0,5

182

4 Wechselstromtechnik
und mit

X + X
y = y =
i
a =

0

0 :

z = f (x,0) =

4 x

(4.294)

Ri

(1 + x)2
x

0

0,25

0,5

0,75

1,0

1,25

1,5

2,0

3,0
z

0

0,64

0,89

0,98

1,0

0,99

0,96

0,89

0,75

Wie in den Bildern 4.174 und 4.175 zu
ersehen, ist der Maxima-Gipfel der Funk-
tion z = f(x, y) nicht spitz, sondern abge-
plattet. Deshalb darf die Widerstandsan-
passung relativ ungenau sein, ohne dass
eine große Abweichung vom Maximalwert
hingenommen werden muss, wie folgendes

Beispiel zeigt.

Bild 4.175 Schnittkurven der

Wirkleistungsfunktion

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

183

Beispiel:

In einem Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle sind gegeben:

Uq = 20V

Za = Ra + j · Xa = 10 + j · 10

Zi = Ri + j · Xi = 10 – j ·10.

Mit Gl. (4.280) ist die Anpassungsbedingung erfüllt, so dass die Wirkleistung am passiven Zweipol maximal ist:

U 2
q

Pa max =

= (20 V)2 = 10W.

4 R

4 10
i

Weicht der ohmsche Anteil des Außenwiderstandes Ra um –10% vom ursprünglichen Wert
von 10 ab, dann beträgt die Abweichung der Wirkleistung vom Maximalwert nur 0,28%,
wie folgende Rechnung zeigt:

R

9

4 x

4 0,9
x =
a =

= 0,9
y = 0
z =

=

= 0,9972 .

2

2

Ri

10

(1 + x)

(1 + 0,9)

Die Wirkleistung beträgt dann Pa = z · Pamax = 0,9972 · 10W = 9,972W.

Bei einer Abweichung von +10% ist mit x = 11/10 = 1,1 die Wirkleistung gleich 9,977W.

Weicht der Blindanteil des Außenwiderstandes Xa um –10% vom ursprünglichen Wert von

10 ab, dann beträgt die Abweichung der Wirkleistung vom Maximalwert nur 0,25%, wie
berechnet werden kann:

X + X

( 1

0 + 9)

4

4
x = 1
i
a
y =

=

= 0

,1
z =

=

= 0,9975

Ri

10

2

2

4 + y

4 + ( 0

,1)

Die Wirkleistung beträgt dann Pa = z · Pamax = 0,9975 · 10W = 9,975W.

Bei einer Abweichung von +10% ist mit y = (– 10 + 11)/10 = + 0,1 die Wirkleistung gleich.

Weichen ohmscher Anteil und Blindanteil jeweils um –10% von den gleichen ursprünglichen

Werten ab, dann beträgt die Abweichung der Leistung 0,55%:

4 x

4 0,9
x = 0,9
y = – 0,1
z =

=

= 0,9945 .

2

2

2

2

(1 + x) + y

(1 + 0,9) + ( 0

,1)

Die Wirkleistung beträgt dann Pa = z · Pa max = 0,9945 · 10W = 9,945W.

Bei einer Abweichung um jeweils +10% ist die Wirkleistung gleich 9,945W.

Diese Ergebnisse können im Schnittlinienbild der Funktion z = f (x, y) kontrolliert werden (siehe Bild 4.175).

184

4 Wechselstromtechnik

Übungsaufgaben zum Abschnitt 4.7

4.33 Für einen verlustbehafteten kapazitiven Wechselstromwiderstand soll die Augenblicksleistung p nach Gl. (4.205) als Überlagerung des Wirkanteils P · (1 – cos2t) und des Blindanteils – Q · sin2t dargestellt werden, wenn die Scheinleistung S = U · I = 2kVA und die

Phasenverschiebung = – /3 bzw. – 60° betragen.

4.34 An einen passiven Zweipol wird eine sinusförmige Wechselspannung mit dem Effektivwert U = 220V und der Frequenz f = 50Hz angelegt, wodurch sich ein sinusförmiger Strom mit
dem Effektivwert I = 9,1A mit einer Phasenverschiebung = 60° einstellt.

1. Ermitteln Sie die Ersatzschaltbilder mit den Ersatzelementen.

2. Errechnen Sie die Wirkleistung, die Blindleistung und die Scheinleistung für die beiden Ersatzschaltbilder.

4.35 Durch eine Magnetspule fließt bei einer Spannung U = 110V mit der Frequenz f = 50Hz ein Strom von 5,2A bei einem Leistungsfaktor cos = 0,25.

1. Berechnen Sie die Scheinleistung, die Wirkleistung und die Blindleistung.

2. Für die Parallelschaltung (Ersatzschaltung) ermitteln Sie dann die Wirkkomponente und die Blindkomponente des Stroms.

3. Berechnen Sie schließlich für die Reihenschaltung (Ersatzschaltung) den Scheinwider-
stand, den ohmschen Widerstand, den induktiven Widerstand und die Induktivität.

4.36 Zwei Kondensatoren sind parallel geschaltet und liegen an einer Spannung von 220V, 50Hz.

Der eine Kondensator hat eine Kapazität Cp1 = 12μF und eine Verlustleistung P1 = 1,2W, der andere eine Kapazität Cp2 = 4μF und eine Verlustleistung P2 = 0,8W.

1. Berechnen Sie die Verlustfaktoren dC1 und dC2 der beiden Kondensatoren.

2. Entwickeln Sie die Formel für den Verlustfaktor dC der Parallelschaltung in Abhängigkeit von den beiden Kapazitäten Cp1 und Cp2 und berechnen Sie den Verlustfaktor mit den angegebenen Zahlenwerten.

3. Kontrollieren Sie das Ergebnis für dC über die Leistungen.

4.37 Für den Praktischen Parallel-Resonanzkreis (Bild 4.108) sind die Leistungen zu berechnen, wenn die anliegende Spannung gegeben ist.

1. Entwickeln Sie die Formeln für die Wirk- und Blindleistung über die komplexe Leistung.

2. Kontrollieren Sie die Formeln mit Hilfe der Transformationsgleichungen.

3. Berechnen Sie die Wirk- und Blindleistung mit

RLr = 100

Lr = 0,1H

Cr = 2μF

U = 20V mit = 1000s–1.

4.38 In der dargestellten Schaltung sind die Spannung u, die Kapazität Cp und die ohmschen Widerstände RCp und R gegeben:

U = 220V,
f = 50Hz

R = 20

RCp = 100

Cp = 60μF.

Bild 4.176 Übungsaufgabe 4.38

1. Berechnen Sie die Wirk- und Blindleistung, nachdem Sie die Parallelschaltung in die
äquivalente Reihenschaltung transformiert haben.

2. Kontrollieren Sie das Ergebnis mit dem komplexen Widerstand der Schaltung.

4.39 Für die Drei-Amperemeter-Methode sind das Zeigerbild und die Formeln für die Wirkleistung P, den Leistungsfaktor cos und die Blindleistung Q zu entwickeln.

Übungsaufgaben zum Abschnitt 4.7

185

4.40 Mit Hilfe der Drei-Voltmeter-Methode lassen sich nicht nur die Wirk- und Blindleistung eines Wechseltromwiderstandes bestimmen, sondern auch die Ersatzelemente einer verlustbehafteten Spule Rr und Lr. Bei einem Vorwiderstand Rv = 200 wurden bei f = 50Hz folgende Ef-
fektivwerte gemessen:

U1 = 220V

U2 = 90V

U3 = 160V

1. Zeichnen Sie ein quantitatives Zeigerbild für sämtli-
che Spannungen und den Strom und lesen Sie UR3
und UL3 ab.

2. Berechnen Sie aus den Ergebnissen des Zeigerbildes

Rr und Lr.

3. Kontrollieren Sie die Ergebnisse rechnerisch, indem

Sie zunächst den Leistungsfaktor ermitteln.

Bild 4.177 Übungsaufgabe 4.40

4.41 Für einen Einphasenmotor für U = 220V, f = 50Hz mit der Wirkleistung von 5kW und einem Leistungsfaktor cos = 0,85 soll mit einem parallel geschalteten Kondensator der Leistungsfaktor auf 1 angehoben werden.

1. Berechnen Sie die Blindleistung und die notwendige Kapazität.

2. Berechnen Sie die Stromaufnahme vor und nach der Kompensation.

3. Kontrollieren Sie das Ergebnis durch ein Zeigerbild.

4. Wie groß wäre die notwendige Kapazität eines Kondensators bei welcher Spannung, wenn
bei 220V Netzspannung eine Reihenkompensation vorgenommen werden würde? Kontrol-
lieren Sie das Ergebnis mit dem Kapazitätsverhältnis.

4.42 Ein Transformator ist bei U = 220V, f = 50Hz maximal mit 200kVA belastbar und durch einen angeschlossenen Motor mit P1 = 150kW, cos 1 = 0,6 überlastet. Dennoch soll noch ein zweiter Motor mit P2 = 40kW, cos 2 = 0,8 an den Transformator angeschlossen werden.

1. Weisen Sie nach, dass der Transformator durch den ersten Motor überlastet ist.

2. Untersuchen Sie, ob beide Motoren angeschlossen werden können, wenn eine Blindleis-
tungskompensation erfolgt. Berechnen Sie die Blindleistungen und die notwendigen Kapa-
zitäten für die Parallel- und Reihenkompensation.

4.43 Der aktive Zweipol in der gezeichneten

Schaltung soll an den passiven Zweipol,
dessen Bauelemente gegeben sind, ange-
passt werden.

1. Entwickeln Sie aus der Anpassbedin-
gung die Formeln für Ri und Li, indem

Sie den komplexen Widerstand des pas-
siven Zweipols ermitteln.

2. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem

Sie die Parallelschaltung des Kondensa-
tors in die äquivalente Reihenschaltung
überführen.

Bild 4.178 Übungsaufgabe 4.43

4.44 1. Für die gezeichnete Schaltung ist der

Außenwiderstand Za gesucht, der an den
aktiven Zweipol angepasst werden kann.

2. Entwickeln Sie die Formel für die ma-
ximale Leistung, die der passive Zwei-
pol aus dem aktiven Zweipol aufnimmt.

3. Berechnen Sie Za und Pa max für

Uq = 9V
bei
f = 3000Hz

Ri = 4

RLr = 6

Lr = 424μH

RCp = 500

Cp = 10,6μF

Bild 4.179 Übungsaufgabe 4.44

186

5 Ortskurven

5.1 Begriff der Ortskurve

Zeigerbild und Ortskurve

Durch ein Zeigerbild wird ein bestimmter Betriebszustand eines Wechselstromnetzes bei
konstanten Parametern (Amplituden und Frequenz der einspeisenden sinusförmigen

Quellspannungen und Quellströme, Netzparameter R, L, M und C) durch komplexe Effek-
tivwerte von Strömen und Spannungen beschrieben.

Komplexe Widerstände und komplexe Leitwerte von Wechselstromschaltungen lassen
sich ebenfalls durch Zeiger in der Gaußschen Zahlenebene darstellen, wenn die Frequenz
und die Netzparameter konstant sind.

Mit variablen Parametern ändern sich die Zeigerbilder mit komplexen Effektivwerten und
entsprechend die Zeigerbilder für komplexe Widerstände und komplexe Leitwerte. Wird
nur die Änderung einer bestimmten Größe des Wechselstromnetzes infolge der Änderung
eines Parameters untersucht, dann entsteht für diese Größe eine Menge von Zeigern. Die

Zeigerspitzen werden verbunden, die Kurve der Zeigerspitzen wird Ortskurve genannt.

Jede Ortskurve wird mit reellen Parametern p versehen. Im Ortskurvenpunkt für p = 1
endet der Zeiger, der dem Ausgangszustand der untersuchten Größe entspricht. Zu den

Ortskurvenpunkten für p 1 gehören die Zeiger, die den geänderten Anteil der untersuch-
ten Größe bezogen auf den Ausgangszustand berücksichtigen.

Durch Ortskurven lassen sich also verschiedene Betriebszustände eines Wechselstromnet-
zes, d. h. bei geänderten Parametern, in einem Bild erfassen.

Beispiele:

1. Ortskurve des komplexen Widerstandes der Reihenschaltung eines variablen ohmschen Widerstandes Rr = p · Rr0 mit dem Parameter 0 p < und einer konstanten Induktivität Lr bei konstanter Kreisfrequenz
:

Die Ortskurvengleichung lautet

Z = j
Lr + p · Rr0

Bild 5.1

Ortskurve des komplexen

Widerstandes der R/L-

Reihenschaltung bei variab-
lem ohmschen Widerstand

5.1 Begriff der Ortskurve

187

2. Ortskurve des bezogenen komplexen Widerstan-
des des Reihenschwingkreises mit

Zr = 1 + j Q

R
r
r
r
und des bezogenen komplexen Leitwerts des Pa-
rallelschwingkreises mit

Yp = 1+ j Q

G
p
p
p
bei veränderlicher Frequenz f.

Bild 5.2 Ortskurve des bezogenen

Bei der Behandlung der Bandbreite bei 45°-Ver-
komplexen Widerstandes und des
stimmung wurden jeweils drei Ortskurvenpunkte
bezogenen Leitwerts eines
berechnet (siehe Abschnitt 4.5, Bilder 4.94 und

Schwingkreises

4.105).

Die zu untersuchende Größe, für die die Ortskurve entwickelt werden soll, kann der kom-
plexe Effektivwert eines Stroms oder einer Spannung, ein komplexer Widerstand oder ein
komplexer Leitwert, ein Spannungsverhältnis oder ein Stromverhältnis, ein Frequenzgang
und ähnliches sein.

Allgemeine Ortskurvengleichung

Die allgemeine Form der Ortskurvengleichung lautet

O = A + p B + p2 C + p3 D + ... ,

(5.1)

A+ p

B + p2 C + p3 D + ...

wobei p ein reeller Parameter und A, A , B,

B , C, C , D, D , … komplexe Größen
sind.

(Anmerkung:

Die mit einem Strich versehenen komplexen Größen sollen selbstverständlich keine
differenzierten Größen sein. Um Missverständnisse zu vermeiden, werden bei den
folgenden Ortskurvengleichungen keine Striche mehr verwendet).

Beispiel:

Für das angegebene Beispiel 1 ist

O = Z = j
Lr + p · Rr0
mit

A = j
Lr

B = Rr0

C = D = … = 0

A' = 1 und

B' = C' = D' = … = 0

Ermittlung der Ortskurve

Jeder Punkt der Ortskurve könnte für ein gewähltes p errechnet und in der Gaußschen Zah-
lenebene eingetragen werden. Die Punkte verbunden ergeben die Ortskurve. Bei Ortskurven
höherer Ordnung bleibt auch nichts anderes übrig, als die Ortskurve auf diese Weise zu
ermitteln, weil sie nicht konstruiert werden kann.

Sind die Ortskurven einfach wie Geraden, Kreise und Parabeln oder handelt es sich um
überlagerte einfache Ortskurven, dann sollten die Ortskurven nach Konstruktionsanleitun-
gen konstruiert werden. Beispielsweise wäre die punktweise Ermittlung eines Kreises als

188

5 Ortskurven

Ortskurve zu aufwendig und ungenau. Einfacher und genauer lässt sich ein Kreis durch

Bestimmung der Mittelpunktslage und des Radius zeichnen.

Bei der Überlagerung von einfachen Ortskurven werden zunächst die einfachen Ortskur-
ven konstruiert und anschließend die Zeiger für gleiche Parameter p überlagert. Bei der

Ermittlung einer Ortskurve sollte nach folgenden Schritten vorgegangen werden:

1. Ermittlung der Gleichung für die Größe, für die die Ortskurve ermittelt werden soll.

2. Einführung des Parameters p in den variablen Teil der Größe, wodurch sich die

Ortskurvengleichung ergibt.

3. Konstruktion der Ortskurve, falls es sich um eine einfache Ortskurve oder um überla-
gerte einfache Ortskurven handelt.

Gerade:

G = A + p · B

1

Kreis durch den Nullpunkt:

K =

=

1

G

A + p B

A + p B

Kreis in allgemeiner Lage:

K =

= L +

1

C + p D

E + p F

Parabel:

P = A + p B + p2 C

A + p B + p2 C
zirkulare Kubik:

O =

= R + p S +

1

D + p E

D + p E

F

F

(das ist die Überlagerung eines Kreises mit einer Geraden)

oder

Berechnung der einzelnen Ortskurvenpunkte bei Variation des reellen Parameters p. Hier-
bei genügen meist einige Ortskurvenpunkte für ganze p, um den Verlauf der Ortskurve zu
erkennen. Zwischenwerte der Ortskurve für gebrochene p-Werte lassen sich nachträglich
errechnen und in das Ortskurvenbild eintragen.

5.2 Ortskurve „Gerade“

Gleichung in allgemeiner Form und

Darstellung

G = A + p · B

(5.2)

mit

– < p <
speziell:

G = A + p 1

p · B

(5.3)

mit

0 < p <

Die Ortskurve geht durch die Spitze des

Zeigers A mit p = 0 (speziell: p = 1) und

Bild 5.3 Ortskurve „Gerade“ G = A + p · B
verläuft parallel zum Zeiger B.

5.2 Ortskurve „Gerade“

189

Konstruktionsanleitung

Zuerst werden die Zeiger A und B gezeichnet, dann wird parallel zum Zeiger B eine Ge-
rade gezeichnet und schließlich werden mit der Länge des Zeigers B die Parameter
p = 0, ± 1, ± 2, ± 3, … eingetragen.

Kann der Parameter p nur Null und positive Zahlen annehmen, dann besteht die Ortskur-
ve aus einer entsprechenden Teilgeraden. Bevor die Ortskurve gezeichnet wird, sollte
überprüft werden, ob der Parameter auch negativ werden kann.

Beispiel 1:

Ortskurve des komplexen Widerstandes der Reihen-
schaltung zweier Spulen, bei der die eine Spule verän-
derlich ist:

Rr1 = 500 Rr2 = 200 … 2000

Lr1 = 1mH Lr2 = 2 … 20mH bei f = 50kHz

Z = Rr1 + jLr1 + Rr2 + jLr2
mit Rr2 = p · Rr0

Rr0 = 200

Lr2 = p · Lr0

Lr0 = 2mH
p = 1 … 10

Z = Rr1 + jLr1 + p · (Rr0 + jLr0)

wobei A = Rr1 + jLr1 und

B = Rr0 + jLr0

Z = 500 + j · 2 · 50 · 103s–1 · 1 · 10–3H +

+ p · (200 + j · 2 · 50 · 103s–1 · 2 · 10–3H)

Z = (500 + j · 314) + p · (200 + j · 628)

Bild 5.4 Schaltbild und Ortskurve
der Reihenschaltung einer konstan-
mit p = 1, …,10
ten und einer veränderlichen Spule

Beispiel 2:

Ortskurve der Spannung über der Reihenschaltung eines
konstanten ohmschen Widerstandes und einer variablen

Kapazität bei konstantem Strom:

"

1 #

U = (Rr + j · Xr) · I = R

$ r j

% · I

&

Cr '

Die Spannung nimmt mit größer werdender Kapazität
ab bzw. mit größer werdendem Blindanteil des komple-
xen Widerstandes zu:

1

U = Rr · I – j ·

· I
p C

r0
mit

Cr = p · Cr0

Um auf die allgemeine Form der Geradengleichung zu
kommen, muss ein Parameter p* eingeführt werden, der
reziprok zu p ist:

"

j I #

U = Rr · I + p* · j · Xr0 · I = Rr · I + p* · $

%

& C

r0 '

Bild 5.5 Ortskurve der

1

1
mit p* =
und X

Spannung am Kondensator
r = p* · Xr0 = p* ·

p

Cr0
bei variabler Kapazität

190

5 Ortskurven

Die Ortskurve für die Spannung am Kondensator beginnt auf der reellen Achse bei der ohm-
schen Spannung UR = Rr · I und verläuft parallel zur negativen imaginären Achse. Als Parameter können sowohl p als auch p* verwendet werden, die nur positive Zahlen annehmen,
weil negative Kapazitäten ausgeschlossen sind.

Die Ortskurve für die Spannung an der Reihenschaltung eines konstanten ohmschen Wider-
standes und einer variablen Induktivität beginnt auf der reelen Achse bei UR und verläuft parallel zur positiven imaginären Achse.

Entsprechendes gilt für die Ströme durch die Blindwiderstände von Parallelschaltungen von Rp und variablen Lp bzw. Cp, wenn die anliegende Spannung konstant ist.

Beispiel 3: Ortskurven
des komplexen Widerstandes der Reihenschaltung eines variablen ohmschen Widerstandes,
einer konstanten Induktivität, einer konstanten Kapazität bei konstanter Frequenz und des komplexen Leitwerts der Parallelschaltung eines variablen ohmschen Widerstandes, einer
konstanten Induktivität, einer konstanten Kapazität bei konstanter Frequenz:

Reihenschaltung

Parallelschaltung:

Z r = Rr + j · Xr

1

Y

+ j · B

p =
p

R

Z
p
r = p · Rr0 + j ( L

1
r

Cr

1

Y p =

+ j ( C 1
p·R
p

L
p0

p

Bild 5.6 Ortskurven von Schwingkreisen mit variablem ohmschen Widerstand

5.2 Ortskurve „Gerade“

191

Beispiel 4:

Ortskurven des komplexen Widerstandes der Reihenschaltung und des komplexen Leitwerts der Parallelschaltung eines konstanten ohmschen Widerstandes und einer variablen Induktivität oder einer variablen Kapazität bei konstanter Frequenz:

Reihenschaltung

Parallelschaltung:

Z r = Rr + j · Xr = Rr + p · j · Xr0

Y p = Gp + j · Bp = Gp + p · j · Bp0
mit Xr = p · Xr0
und

0 p <
mit Bp = p · Bp0
und

0 p <

Bild 5.7 Ortskurven des komplexen Widerstandes der Reihenschaltung und des komplexen Leitwerts der Parallelschaltung von ohmschen Widerständen und veränderlichen Blindwiderständen Beispiel 5:

Ortskurven des komplexen Widerstandes der Reihenschaltung und des komplexen Leitwerts der Parallelschaltung eines konstanten ohmschen Widerstandes und einer konstanten Induktivität oder Kapazität bei variabler Frequenz
= p ·
0 mit 0 p < :

Reihenschaltung

Parallelschaltung:

Z r = Rr + j · Xr

Y p = Gp + j · Bp

Z r = Rr + j
Lr

Z r = Rr – j 1

Y

p = Gp + j
Cp

Y p = Gp – j 1

C

L
r
p

Z r = Rr + jp
0Lr

Z r = Rr – j

1

Y
p C
p = Gp + jp
0Cp

Y p = Gp – j

1

0
r
p L

0
p

Bild 5.8 Ortskurven des komplexen Widerstands der Reihenschaltung und des komplexen Leitwerts der Parallelschaltung von ohmschen Widerständen und konstanten Induktivitäten oder Kapazitäten bei veränderlicher Frequenz

192

5 Ortskurven

Beispiel 6:

Ortskurven des komplexen Widerstandes der Reihenschaltung und des komplexen Leitwerts der Parallelschaltung eines konstanten ohmschen Widerstandes, einer konstanten Induktivität und einer konstanten Kapazität bei variabler Frequenz
= p ·
0 mit 0 < p < :

Die Kreisfrequenz muss auf die Resonanzkreisfrequenz
0 des Reihen- bzw. Parallelschwingkrei-
ses bezogen werden, damit der variable Imaginärteil Null werden kann.

Reihenschaltung

Parallelschaltung:

Z r = Rr + j · Xr

Y p = Gp + j · Bp

Z r = Rr + j · L 1
r

Y

1

C
p = Gp + j ·

Cp
r

L

p

Z r = Rr + j · p L

1

0
r

Y

C

1

p C
p = Gp + j ·
p0 p

0
r

p L

0
p

1

1
mit

0 =
mit

0 =

L C
r
r

C L
p
p

Z r = Rr + j · Xkr p 1

Y

p = Gp + j · Bkp p 1
p

p
mit dem Kennwiderstand
mit dem Kennleitwert:

1

L

1

C

X
r
p
kr =
0Lr =

=

B

=

C

C
kp =
0Cp =

0
r
r

L

L

0
p
p

(vgl. Abschnitt 4.5.1, Gl. 4.115)

(vgl. Abschnitt 4.5.2, Gl. 4.139)

Der Parameter p entspricht also dem Parameter x in den Gleichungen 4.116 und 4.140:

Xr = Xkr · p 1

p = Xkr · r

Bp = Bkp · p 1

p = Bkp · p

Bei Resonanzkreisfrequenz
0 ist der komplexe Widerstand Zr gleich dem ohmschen Widerstand Rr
und der komplexe Leitwert Yp gleich dem ohmschen Leitwert Gp. Bei höheren Frequenzen als
0
sind die Imaginärteile positiv, bei niedrigeren Frequenzen als
0 sind die Imaginärteile negativ:

Bild 5.9 Ortskurven des komplexen Widerstandes des Reihenschschwingkreises und des komplexen Leitwerts des Parallelschschwingkreises bei veränderlicher Frequenz

5.3 Ortskurve „Kreis durch den Nullpunkt“

193

5.3 Ortskurve „Kreis durch den Nullpunkt“

Gerade und Kreis durch den Nullpunkt

Die Ortskurve des veränderlichen komplexen Widerstandes Zr einer Reihenschaltung von

Wechselstromwiderständen und des veränderlichen komplexen Leitwerts Yp einer Paral-
lelschaltung von Wechselstromwiderständen sind Geraden mit der Ortskurvengleichung

G = A + p · B
bzw.

G = A + p 1

p · B .

Der veränderliche komplexe Leitwert Yr der Reihenschaltung und der veränderliche kom-
plexe Widerstand Zp der Parallelschaltung bedeutet mit

1

1

Yr =
und

Zp =

Zr

Yp
eine Inversion der Geraden, der so genannten Nennergeraden (G steht im Nenner):

1

K =

=

1
mit

– < p <

(5.4)

G

A + p B
und speziell

1

K =

=

1
mit

0 < p < .

(5.5)

G

A + p 1

p B

Die Ortskurve, die durch die Kehrwertbildung (Inversion) der Geradenzeiger entsteht, ist ein Kreis durch den Nullpunkt, wie im folgenden nachgewiesen werden soll.

Nachweis für die Ortskurve „ Kreis durch den Nullpunkt“

Die Ortskurvengleichung

1

K = A + p B
besteht aus den Zeigern A = A · ej, B = B · ej und K = K · ej.

K ist der Kreiszeiger, der im Koordinatenursprung beginnt und mit dem variablen Para-
meter p in den entsprechenden Kreispunkten endet.

Werden Zähler und Nenner durch A dividiert, dann ergibt sich

1

A

K =

=

K0

1 + p C

1 + p B

A

B
mit

C =

= B ej() = C ej mit = –

A

A

1
und K0 =

=

1

= 1 ( e j = K ( ej( ) .

A

0

A ( e j

A

194

5 Ortskurven

K0 ist der Kreiszeiger für p = 0, wie aus der Kreisgleichung zu ersehen ist. Er liegt auf dem Strahl vom Koordinatenursprung mit dem Winkel – und hat den Betrag 1/A. Wird
der Nenner 1 + pC auf die linke Seite gebracht, dann ergibt sich eine Gleichung von drei Zeigern:

K + pC · K = K0
oder

K + D = K0
mit

D = p · C · K = D · ej = D · ej(+2)

D
und
pC =

= D ej()

K

K
pC = pC · ej = pC · ej( – )

wobei

= –
bzw.

+ = = + 2

Bild 5.10

Kreis durch den Nullpunkt:

Ortskurvengleichung und Darstel-
lung

Die drei Zeiger K , D und K0 bilden ein geschlossenes Dreieck. Wird der Parameter p
variiert, dann ändern sich die beiden Zeiger K und D , der Zeiger K0 bleibt unverändert.

Der Winkel , der zwischen den Zeigern D und K liegt, bleibt bei Variation des Parame-
ters p ebenfalls unverändert, weil er durch und feststeht.

Sind von einem Dreieck eine Seite K0 = 1/A und der gegenüberliegende Winkel – bei

Variation der beiden übrigen Seiten K und D konstant, dann liegt das Dreieck in einem

Kreis, denn über einer Sehne K0 eines Kreises bleibt der gegenüberliegende Peripherie-
winkel – konstant.

5.3 Ortskurve „Kreis durch den Nullpunkt“

195

Herleitung der Konstruktionsvorschrift

Ein Kreis, der durch den Koordinatenursprung verläuft, ist allein durch die Lage des Mittelpunktes M bestimmt, denn der Radius ist dann durch die Strecke M0 festgelegt. Aus
den gegebenen Zeigern A und B der Ortskurvengleichung muss also die Lage des Kreis-
mittelpunktes eindeutig ermittelt werden können:

Der Mittelpunkt M ergibt sich aus dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten auf dem

Kreiszeiger K0 = 1/A und des Lotes auf der Kreistangenten im Koordinatenursprung, die
mit der Richtung des konjugiert komplexen Zeigers B* und des negativen konjugiert
komplexen Zeigers –B* übereinstimmt.

Bild 5.11

Herleitung der Konstruktionsvor-
schrift der Ortskurve „Kreis durch den

Nullpunkt“

Aus dem Zeiger A lässt sich der konjugiert komplexe Zeiger A* durch Spiegelung an der
reellen Achse ermitteln. Damit liegt die Gerade fest, auf der der Kreiszeiger K0 liegt, denn die Zeiger A* und K0 = 1/A. haben die gleiche Richtung. Auf dieser Geraden wird im

Abstand 0,5/A = 1/(2A) die Senkrechte, die Mittelsenkrechte auf K0, gezeichnet.

Aus dem Zeiger B kann ebenfalls durch Spiegelung an der reellen Achse der konjugiert
komplexe Zeiger B* bestimmt werden. Dieser liegt auf der Tangente, auf der im Koordi-
natenursprung die Senkrechte zu bilden ist.

Dass die Zeiger B* bzw. –B* auf der Kreistangenten im Koordinatenursprung liegen,
muss noch nachgewiesen werden:

Bei einem Kreis ist der Peripheriewinkel – gleich dem Sehnen-Tangenten-Winkel,
der zwischen der Sehne K0 und der Tangente liegt. Zwischen der Tangente und der reellen

Achse tritt damit der Winkel ( – ) – auf, der gleich dem Argument des negativen
konjugiert komplexen Zeigers –B* ist:

( – ) – = – ( + )

mit

= –
bzw.

= +

( – ) – = –

– B* = – B · e– j = B · e j( – ) mit
ej = – 1.

196

5 Ortskurven

Die konjugiert komplexen Zeiger A* und B*, die das Zeichnen des Kreises ermöglichen,
bilden die gespiegelte Nennergerade

G* = A* + p · B*.

(5.6)

Diese verläuft parallel zum Zeiger B*, so dass auch auf der gespiegelten Nennergeraden
die Senkrechte gezeichnet werden kann, um den Mittelpunkt zu erhalten.

Die gespiegelte Nennergerade muss gezeichnet werden, weil mit ihrer Hilfe die Parame-
ter p auf dem Kreis gefunden und eingetragen werden können. Für einen bestimmten

Parameter p haben der Zeiger an den Kreis K und der Zeiger an die gespiegelte Nenner-
gerade G* die gleiche Richtung, wie folgende Gleichung zeigt:

1

*

K = K · ej =

=

1

= G ( ej = 1 ( G .

(5.7)

G

G ( e j

G 2

G 2

Die beiden Zeiger K und G* für einen gleichen Parameter p unterscheiden sich nur durch
ihren Betrag, also durch ihre Länge. Punkte des Kreises K und der konjugiert komplexen

Nennergeraden G* mit gleichen p-Werten liegen deshalb jeweils auf einer Geraden, die
durch den Koordinatenursprung geht. Die p-Werte auf dem Kreis werden also mit Hilfe
eines Lineals ermittelt, das an den Koordinatenursprung 0 und an die Punkte der Geraden

G* angelegt wird. Die Parameterwerte der Geraden G* werden dann jeweils auf den Kreis
übertragen.

Bild 5.12

Ermittlung der Parameterwerte auf der

Ortskurve „Kreis durch den Null-
punkt“ mit Hilfe der konjugiert kom-
plexen Nennergeraden

Die Geraden durch den Koordinatenursprung 0 zur Bestimmung der p-Werte des Kreises
sind im Bild 5.12 nur zum besseren Verständnis der Zusammenhänge eingetragen. Sie
werden selbstverständlich bei den Ortskurvenkonstruktionen weggelassen, damit das

Ortskurvenbild übersichtlich bleibt. Die auf den Kreis zu übertragenden p-Werte werden
auf dem Kreis nur markiert.

5.3 Ortskurve „Kreis durch den Nullpunkt“

197

Konstruktionsanleitung für die Ortskurve „ Kreis durch den Nullpunkt“

Bei der Konstruktion der Ortskurve eines Kreises, der durch den Koordinatenursprung
verläuft, sollte nach Erkennen der Ortskurvengleichung

1

1

K =

= 1
bzw.

K =

= 1

A + p B

G

G

A + p 1

p B
nach folgenden Schritten vorgegangen werden (siehe Bild 5.13):

Nachdem auf der reellen und imaginären Achse gleiche Maßstäbe gewählt sind, kann mit
der Konstruktion begonnen werden.

1. Zeichnen der Nennergeraden G = A + p · B.

2. Spiegelung der Nennergeraden an der reellen Achse ergibt G* = A* + p · B*.

3. Zeichnen der Senkrechten auf der gespiegelten Nennergeraden G*, die durch den

Nullpunkt verläuft.

4. Berechnen von 1/(2A), Festlegen des Maßstabs für 1/(2A) und Zeichnen der Senkrech-
ten auf A* im Abstand 1/(2A). Die Festlegung der Länge von 1/(2A) bestimmt die

Größe des Kreises.

5. Schnittpunkt der beiden Senkrechten ergibt den Mittelpunkt M des Kreises.

Zeichnen des Kreises mit dem Radius M0 .

6. Bezifferung des Kreises mit den Parameterwerten p entsprechend der gespiegelten

Nennergeraden G*.

Bild 5.13

Konstruktion der Ortskurve

„Kreis durch den Nullpunkt“

198

5 Ortskurven

Beispiel 1:

Ortskurve des komplexen Leitwerts der Reihenschaltung zweier Spulen, bei der die eine Spu-le veränderlich ist:

Rr1 = 23

Rr2 = 0 … 36
mit

Rr0 = 12

Xr1 = 10

Xr2 = 0 … 66

Xr0 = 22
d. h. p = 0 … 3

Die Gleichung der Nennergeraden lautet:

Z = Rr1 + jXr1 + p · (Rr0 + jXr0) = (23 + j · 10) + p · (12 + j · 22)

Die Inversion der Nennergerade ergibt die Kreisgleichung:

1

Y =

=

1

=

1

Z

R

+ j X + p (R + j X )

(23 + j 10) + p (12+ j 22)

r1
r1
r0
r0

Dabei ist

A = (23 + j · 10)

A =

232 + 102 = 25
und 1/(2A) = 20mS 2cm.

Bild 5.14

Schaltung und Ortskurven der

Reihenschaltung einer konstanten
und einer veränderlichen Spule

Sowohl die Ortskurve des komplexen Widerstands als auch die des komplexen Leitwerts ist
nur für positive Parameter sinnvoll.

Die Ortskurvenpunkte des komplexen Leitwerts lassen sich rechnerisch kontrollieren:

p = 0

Z0 = (23 + j · 10)

1

Y0 =

( (23 j·10) = (23 j·10) = (36,6 j ( 15,9)mS

(23 + j·10) (23 j·10)

629 2

5.3 Ortskurve „Kreis durch den Nullpunkt“

199
p = 1

Z 1 = (23 + j · 10) + 1 · (12 + j · 22) = (35 + j · 32)

1

Y1 =

( (35 j· 32) = (35 j· 32) = (15,6 j ( 14,2)mS

(35 + j· 32) (35 j· 32)

2249 2
p = 2

Z 2 = (23 + j · 10) + 2 · (12 + j · 22) = (47 + j · 54)

1

Y2 =

( (47 j· 54) = (47 j· 54) = (9,2 j ( 10,5)mS

(47 + j· 54) (47 j· 54)

5125 2
p = 3

Z 3 = (23 + j · 10) + 3 · (12 + j · 22) = (59 + j · 76)

1

Y3 =

( (59 j· 76) = (59 j· 76) = (6,4 j ( 8,2)mS

(59 + j· 76) (59 j· 76)

9257 2

Beispiel 2:

Ortskurve des Stroms durch die Reihenschaltung eines konstanten ohmschen Widerstandes
und einer variablen Kapazität bei konstanter Spannung:

U

I = R + j X
r
r

U

I =

R j ( 1
r

Cr

U

I =

R j (

1
r
p Cr0

1

I = Rr j( 1

U
p ( C U
r0
oder

1

I = Rr j(p*( 1

U

C U
r0

1
mit Cr = p · Cr0 =

C
p*
r0

Dabei sind

R

1

A =
r , B = – j ·

U

C U
r0

Bild 5.15 Ortskurve des
und

Stroms durch den Kondensa-
tor bei variabler Kapazität

1

U

=

2A

2Rr

Bei p = 0 ist der kapazitive Widerstand unendlich groß, so dass der Strom Null ist. Wird die Kapazität sehr groß, dann ist der kapazitive Widerstand vernachlässigbar klein; bei p = ist der Strom nur noch durch den ohmschen Widerstand Rr begrenzt.

(vgl. mit Beispiel 2 der Ortskurve „Gerade“)

200

5 Ortskurven

Beispiel 3:

Ortskurven
des komplexen Leitwerts der Reihenschaltung eines variablen ohmschen Widerstandes, einer konstanten Induktivität, einer konstanten Kapazität bei konstanter Frequenz und des komplexen Widerstandes der Parallelschaltung eines variablen ohmschen Widerstandes, einer kon-
stanten Induktivität, einer konstanten Kapazität bei konstanter Frequenz:

(vgl. mit Beispiel 3 der Ortskurve „Gerade“)

Reihenschaltung

Parallelschaltung:

1

1

Yr =

=

1

Zp =

=

1

Z

+
r

R
j X

Y

1
r
r
p

+ j B

R
p
p

1

Yr =

1
p ( R

+ j ( L 1

Z
r0
r

p =

C

r

1

+ j ( C 1
p ( R
p

L

1

1
p0
p
mit A = j · Xr und

=

2A

2Xr

1

1
mit A = j · Bp und

=

2A

2Bp

Bild 5.16 Ortskurven von Schwingkreisen mit variablem ohmschen Widerstand

5.3 Ortskurve „Kreis durch den Nullpunkt“

201

Beispiel 4:

Ortskurven des komplexen Leitwerts der Reihenschaltung und des komplexen Widerstandes der Parallelschaltung eines konstanten ohmschen Widerstandes und einer variablen Induktivität oder einer variablen Kapazität bei konstanter Frequenz:

(vgl. mit Beispiel 4 der Ortskurve „Gerade“)

Reihenschaltung

Parallelschaltung:

1

1

1

1

1

1

Yr =

=

=

Zp =

=

=

Z

+

+

+

+
r

R
j X

R
p j X

Y

G
j B

G
p j B
r
r
r
r0
p
p
p
p
p0
mit Xr = p · Xr0 und 0 p <
mit Bp = p · Bp0 und 0 p <

1

1

R
und A = R

1

1
p
r
und

=

=

2A

2R
und A = Gp und

=
r

2A

2G

2
p

Bild 5.17 Ortskurven des komplexen Leitwerts der Reihenschaltung und des komplexen Widerstandes der Parallelschaltung von ohmschen Widerständen und veränderlichen Blindwiderständen

202

5 Ortskurven

Beispiel 5:

Ortskurven des komplexen Leitwerts der Reihenschaltung und des komplexen Widerstandes der Parallelschaltung eines konstanten ohmschen Widerstandes und einer konstanten Induktivität oder Kapazität bei variabler Frequenz
= p ·
0 mit 0 < p < :

(vgl. mit Beispiel 5 der Ortskurve „Gerade“)

Reihenschaltung

Parallelschaltung:

1

1

Yr =

=

1

Zp =

=

1

Z

+

+
r

R
j X

Y

G
j B
r
r
p
p
p

1

1

Y

1

1
r =

Yr =

Z

Z

R + jL
p =
p =
r
r

R j ( 1

G + jC

1
p
p
r

G j

C
p
r

Lp

1

1

Y

1

1
r =

Yr =

R + jp L

1

Zp =

Zp =
r

0
r

R j

G + jp C

1
r
p

0
p
p C

G j
p

0
r
p L

0
p

1

1
mit A = Rr und

=

1

1

R p

2A

2R
mit A = G

=

=
r
p und

2A

2G

2
p

Bild 5.18 Ortskurven des komplexen Leitwerts der Reihenschaltung und des komplexen Widerstandes der Parallelschaltung von ohmschen Widerständen und konstanten Induktivitäten oder Kapazitä-
ten bei veränderlicher Frequenz

5.3 Ortskurve „Kreis durch den Nullpunkt“

203

Beispiel 6:

Ortskurven des komplexen Leitwerts der Reihenschaltung und des komplexen Widerstandes
der Parallelschaltung eines konstanten ohmschen Widerstandes, einer konstanten Induktivität und einer konstanten Kapazität bei variabler Frequenz
= p ·
0 mit 0 < p < :

(vgl. mit Beispiel 6 der Ortskurve „Gerade“)

Die Kreisfrequenz muss auf die Resonanzkreisfrequenz
0 des Reihen- bzw. Parallel-
schwingkreises bezogen werden, damit der variable Imaginärteil Null werden kann.

Reihenschaltung

Parallelschaltung:

1

1

Yr =

=

1

Zp =

=

1

Z

+

+
r

R
j X

Y

G
j B
r
r
p
p
p

1

1

Y

Z
r =

p =

R + j ( L 1

+

1
r
r

G
j ( C

C
p
p

r

L

p

1

1

Yr =

Z

p =

R + j ( p L

1
r

0
r

+

1

G
j ( p C

p C
p

0
p

0
r

p L

0
p
mit

=

1
mit

=

1

0

0

L C

C L
r
r
p
p

1

Yr =

Z =

1

p

R + j X
p 1

G

+ j B p 1
r
kr

p
p
kp

p
mit dem Kennwiderstand
mit dem Kennleitwert

1

L

C

X
r

1
p
kr =
0Lr =

=

B

=

C

C
kp =
0Cp =

0
r
r

L

L

0
p
p

(vgl. Abschnitt 4.5.1, Gl. 4.115)

(vgl. Abschnitt 4.5.2, Gl. 4.139)

Bild 5.19 Ortskurven des komplexen Leitwerts des Reihenschschwingkreises und des komplexen Widerstandes des Parallelschschwingkreises bei variabler Frequenz

204

5 Ortskurven

Der Parameter p entspricht also dem Parameter x in den Gleichungen 4.116 und 4.140:

Xr = Xkr · p 1

p = Xkr · r

Bp = Bkp · p 1

p = Bkp · p

Bei Resonanzkreisfrequenz
0 ist der komplexe Leitwert Yr = 1/Zr = 1/Rr und der komplexe

Widerstand Zp = 1/Yp = 1/Gp = Rp .

Für die Konstruktion der Kreise sind jeweils die Abschnitte 1/(2A) zu ermitteln:

1

1

R

A = R

1

1
p
r und

=

=

=

2A

2R

A = Gp und
r

2A

2G

2
p

Beispiel 7:

Ortskurve des Spannungsverhältnisses U2/U1 in Abhängigkeit von der Frequenz für die ge-
zeichnete RC-Schaltung:

1

1

+ jCp

U

R

2 =

Cp

U

1

1

+ R

1

+

Bild 5.20 RC-Schaltung des Beispiels 7
jC

R
p

Cp

U2 =

1

U

1

1 + R

1

+ jC

R
p

Cp

U2 =

1

=

1
mit
= p ·
0

U

1

1 + R + jRC

R
p

1

+ R + jp RC

0
p

Cp

R

Cp

Wird die Bezugsfrequenz
0 = 1/(RCp) gewählt und das Verhältnis der Widerstände r = R/RCp
variiert, dann lautet die Gleichung für die Ortskurve:

U2 =

1

U

(1 + r) + jp

1
mit A = 1 + r

1

1
und

=

2A

2(1+ r)

Die Ortskurven sind Halbkreise, deren

Mittelpunkt auf der reellen Achse ver-
schoben sind. Im Bild 5.21 sind die beiden

Ortskurven
für
r = 1
d. h.

R = RCp
und
r = 0
d. h.

RCp
dargestellt.

Bild 5.21 Ortskurve einer RC-Schaltung
im Beispiel 7

5.3 Ortskurve „Kreis durch den Nullpunkt“

205

Beispiel 8:

Ortskurve des Spannungsverhältnisses U2/U1 in Abhängigkeit von der Frequenz für die ge-
zeichnete RC-Schaltung nach Wien:

(vgl. mit Beispiel 5 des Abschnitts 4.4)

Gegeben sind:

Rr = 5k

Cr = 2nF

Rp = 10k

Cp = 1nF

1

1 + jCp

U

R

Bild 5.22 RC-Schaltung des Beispiels 8

2 =
p

U

1

1

1

+R +

1
r

+
jC
jC
r

R
p
p

U2

1

1

=

=

U

1

1

R

Cp

1+ R +

1

+ jC

1

+ r +

C

1
r

+ j ( R

jC

R
p

R

C
r
p

R C
r
p

p
r

p
r

U2

1

=
mit
= p ·
0

U

1

R

Cp

1

+ r +

+ j ( p

R C

1

R

C

0
r
p
p R C
p
r

0
p
r

Die Ortskurvengleichung ist vom gleichen Typ wie die Gleichungen für den Reihen- und Pa-
rallelschwingkreis (siehe Beispiel 6). Die Bezugsfrequenz
0 wird errechnet, indem der Ima-
ginärteil der Nennergeraden mit p = 1 Null gesetzt wird:

R C =

1

0
r
p

R C

0
p
r
oder

=

1

=

1

= 100 103s1.

0

R C R C
r
r
p
p

5 103 2 109 F 10 103 1 109 F

Mit

R C = 100 103s1 5 103 1 109 F = 0,5

0
r
p
und

1

=

1

= 0,5

R C

0
p
r

100 103s1 10 103 2 109 F
lautet dann die Ortskurvengleichung mit Zahlenwerten

U2

1

=

=

1

U

1

1 + 1 + 1

2 + j 0,5 p 1

2

2 + j p 0,5 0,5

p

p

206

5 Ortskurven

Für den Mittelpunkt des Kreises ist A = A = 2 und 1/(2A) = 1/4.

Bild 5.23 Ortskurve der RC-Schaltung nach Wien

Die konstruierten Ortskurvenpunkte können rechnerisch kontrolliert werden, z.B. für p = 1/2: U2 =

1

=

1

2 + j 0,75 = 0,44 + j 0,16

U

2 j 0,75 2 + j 0,75

1

2 + j 0,5 1 2

2

Sind wie im Beispiel 5 (3. Teil) des Abschnitts 4.4 die ohmschen Widerstände und die Kapazitäten gleich (Rr = Rp, Cr = Cp), dann stellt U2/U1 ein Kreis mit dem Durchmesser 1/A = 1/3
dar, der im Bild 5.23 gestrichelt eingetragen ist. Bei
=
0 ist der Betrag |U2/U1| = 1/3.

Da die Kreise sehr klein sind und sich deshalb die Zahlenwerte nur ungenau ablesen lassen, sollten die Kreise vergrößert werden, indem für 1/(2A) eine größere Länge gewählt wird. Dieser Maßstab gilt dann nur für die Kreise.

5.4 Ortskurve „Kreis in allgemeiner Lage“

207

5.4 Ortskurve „Kreis in allgemeiner Lage“

Ortskurvengleichung und Herleitung der Konstruktionsvorschrift

Die Konstruktion der Ortskurve eines Kreises, der nicht durch den Koordinatenursprung
verläuft und der Ortskurvengleichung

K = A + p B = L +

1

(5.8)

C + p D

E + p F
genügt, wird mit Hilfe der Konstruktion der Ortskurve „Kreis durch den Nullpunkt“ (siehe Abschnitt 5.3) vorgenommen.

Zunächst wird die Ortskurvengleichung durch Division in eine Gleichung 1/(E + pF) über-
führt, wobei noch ein Verschiebezeiger L entsteht:

K = (pB + A) : (pD + C) = B + A B C

D

D

1

C + pD

pB + B C

D

Rest:

A B C

D

K = L +

N

= L +

1

= L +

1

.

(5.9)

C + pD

C + D

E + pF
p

N

N

Um die Konstruktionsvorschrift für die Ortskurve „Kreis durch den Nullpunkt“ anwenden
zu können, muss zunächst der Zeiger

B C

N = A –

= N ej

(5.10)

D
errechnet werden, der die Ortskurvengleichung 1/(E + pF) mitbestimmt. Dann kann die

Ortskurve „Kreis durch den Nullpunkt“ mit der Parametrierung konstruiert werden.

Schließlich müsste nach obiger Gleichung jeder Zeiger an den Kreis mit L addiert werden, d. h. der Kreis müsste insgesamt verschoben werden. Praktischer ist es, wenn der Kreis
durch den Nullpunkt unverändert bleibt und der Koordinatenursprung um –L verschoben
wird.

Konstruktionsanleitung für die Ortskurve „Kreis in allgemeiner Lage“

Nach Erkennen der Ortskurvengleichung

A + p B

K =

= L +

1

C + p D

E + p F
sollte bei der Konstruktion der Ortskurve nach folgenden Schritten vorgegangen werden:

B C

1. Errechnen des Zeigers N = A –

= N ej

D

C

2. Errechnen und Zeichnen der Nennergeraden G =

+ p D = E + p F

N

N

3. Spiegelung der Nennergeraden an der reellen Achse ergibt G* = E* + p · F*

208

5 Ortskurven

4. Zeichnen der Senkrechten auf der gespiegelten Nennergeraden G*, die durch den

Nullpunkt verläuft.

5. Berechnen von 1/(2E) = N/(2C), Festlegen des Maßstabs für 1/(2E) und Zeichnen der

Senkrechten auf E* im Abstand 1/(2E). Die Festlegung der Länge von 1/(2E) bestimmt
die Größe des Kreises.

6. Schnittpunkt der beiden Senkrechten ergibt den Mittelpunkt M des Kreises. Zeichnen
des Kreises mit dem Radius M0 .

7. Bezifferung des Kreises mit den Parameterwerten p entsprechend der gespiegelten

Nennergeraden G*.

B

8. Errechnen des Zeigers –L = –
und Verschieben des Koordinatenursprungs um –L.

D

Beispiel 1:

Ortskurve des komplexen Widerstandes der Reihenschaltung einer verlustbehafteten Spule

(Ersatzschaltung Parallelschaltung) und eines ohmschen Widerstandes bei variabler Frequenz Z = R +

1
mit
= p ·
0

1

+ 1

R
jL

Lp
p

Z = R +

1

1

Beispiel 5.24 RL-Schaltung des Beispiels 1
j (

1

R
p ( ( L

Lp

0
p

Z = R +

1

= L +

1
mit
p* = 1

1

1

E + p* ( F
p
j ( p*

R

( L

Lp

0
p

Der Vergleich mit der allgemeinen Form der Ortskurvengleichung ergibt:

L = R, E = 1/RLp und F = – j/
0Lp,
so dass das Errechnen des Zeigers N entfallen kann.

Zu den einzelnen Schritten der Konstruktion:

Zu 1. entfällt

1

1

Zu 2. G =
j ( p*

R

( L

Lp

0
p

1

1

Zu 3. G* =

+ j p*

R

L

Lp

0
p

Zu 4. siehe Bild 5.25

1

R Lp

Zu 5.

=

1

=

2E

2

2 1

R Lp

Zu 6. und 7. siehe Bild 5.25

Zu 8. – L = – R

Bild 5.25 Ortskurve der RL-Schaltung des Beispiels 1

5.4 Ortskurve „Kreis in allgemeiner Lage“

209

Beispiel 2:

Ortskurve des Spannungsverhältnisses U2/U1 in Abhängigkeit von der Frequenz für die ge-
zeichnete symmetrische X-Schaltung (Allpassglied)

Mit

U1 = UC + UR

U2 = UC – UR
ergibt sich

1

R

U

U

U
jC

( I

2 = C

R =

U

U

+ U

1

C

R

1

+ R
jC

( I

U

1 j ( p RC

2 = 1 jRC =

0

U

1 + jRC

1 + j ( p RC

1

0

U2 = 1 p j = A + p B

U

1 + p j

C + p D

1

1
mit
= p ·
0 und
0 = R C

Bild 5.26 Symmetrische X-Schaltung des

Beispiels 2

Die Ortskurve wird nach folgenden Schritten konstruiert:

B C

Zu 1. N = A – D
j 1

N = 1 –

= 2
j

C

D

Zu 2.

G =

+ p

= E + pF

N

N

1
j

G =

+ p

2

2

1
j

Zu 3. G*=
p

2

2

Zu 4. siehe Bild 5.27

N

Zu 5.

= 1 = 1

2C

2E

Zu 6. und 7. siehe Bild 5.27

Bild 5.27 Ortskurve der symmetrischen

B

Zu 8. –L = –

= j = 1

X-Schaltung des Beispiels 2

D
j

Zwei Ortskurvenpunkte können einfach kontrolliert werden:

Für p = 0 (
= 0) haben die beiden Kondensatoren einen unendlichen Widerstand, so dass die

Eingangsspannung gleich der Ausgangsspannung ist, d. h. U2/U1 = 1.

Für p = (
= ) sind die beiden Kondensatoren kurzgeschlossen. Dadurch entsteht ein Um-
poler, d. h. die Ausgangsspannung ist umgekehrt gerichtet wie die Eingangsspannung:

U2/U1 = –1.

210

5 Ortskurven

5.5 Ortskurven höherer Ordnung

Ortskurve „Parabel“

Die Ortskurvengleichung für die Parabel lautet

P = A + p · B + p2 · C .

(5.11)

Sie kann entweder aus der Geraden A + p · B und dem Anteil p2 · C oder aus der Gera-
den A + p2 · C und dem Anteil p · B durch Überlagerung der Zeiger zusammengesetzt
werden, wie im Bild 5.28 erläutert ist.

Bild 5.28

Konstruktion der Ortskurve „Parabel“

Beispiel:

Ortskurve für das Spannungsverhältnis UC/U des an einer Spannungsquelle angeschlossenen

Reihenschwingkreises bei variabler Frequenz

R jL

1
r
r

U
jC

r

U

1

C
jC

r

U jC R 2L C 1

U
r
r
r
r

C

mit = p ·

Bild 5.29 Schaltung für das Beispiel

0
einer Parabel-Ortskurve

U

1 p j C R p2 2L C .

U

0
r
r

0
r
r

C

1

1

X

Mit
kr

0 =
und

=

Q (vgl. Gl. 4.118)

r

L C

C R

R

0
r
r
r

r
r

ist

U 1 p j 1 p2.

U

Q

C
r

Durch Vergleich mit der allgemeinen Ortskurvengleichung ergibt sich:

j

A = 1, B =
und C = –1.

Q
r

5.5 Ortskurven höherer Ordnung

211

Wird die Güte des Resonanzkreises wie im

Beispiel des Abschnitts 4.5.1 (siehe Bild

4.95)

Qr = 2
gewählt, dann lautet die

Ortskurvengleichung

U = 1 + p j p2= 1 p2 + j p,

U

2

2

C
deren Ortskurve im Bild 5.30 dargestellt ist.

Bild 5.30 Beispiel einer Parabel-Ortskurve

Bei Resonanz des Reihenschwingkreises ist

= , also p = 1, und das Spannungsverhältnis ist imaginär:

0

U

U

=

U
j 1 = j mit

= 1 bzw.

C = Q

(vgl. Gl. 4.125).

U

Q

2

U

Q

U
r

C
r

C
r

Wie im Abschnitt 4.5.1 im Bild 4.96 (siehe S.105) zu sehen ist, wird in den Resonanzkurven das Spannungsverhältnis UC/U dargestellt. Die zugehörige Ortskurvengleichung

UC =

1

=

1

U

1 + p j p2

1 + p j p2

Q

2
r
gehört nicht zu den „einfachen“ Ortskurven und müsste Punkt für Punkt ermittelt werden, indem verschiedene p-Werte in die Ortskurvengleichung eingesetzt werden, die komplexen

Größen jeweils berechnet und in die Gaußsche Zahlenebene gezeichnet werden.

Wie im Bild 5.31 gezeigt, kann die Ortskurve aber auch durch Inversion der Parabel ermittelt werden, indem die Zeiger für bestimmte Parameter invertiert werden. Dabei werden die Längen der Parabelzeiger abgegriffen und der Kehrwert der Beträge jeweils auf dem Strahl mit umgekehrten Winkel angetragen.

Die dadurch entstehende Ortskurve ent-
hält nicht nur die Beträge des Span-
nungsverhältnisses wie die Resonanz-
kurve im Bild 4.96, sondern auch die

Phasenlage der beiden Spannungszeiger
zueinander.

Um
die

Beträge
der

Ortskurve mit den Resonanzkurven im

Bild 4.96 vergleichen zu können, muss
die Identität p = x beachtet werden.

Mit der Gl. (4.130) lässt sich auch der

Parameterwert errechnen, bei der die

Kondensatorspannung
ihr

Maximum
hat:

Bild 5.31 Inversion der Parabel
p = x = xc =

1

1

= 1 1 = 0,935 .

2Q 2

8
r

Der Ortskurvenpunkt kann dann mit der Ortskurvengleichung berechnet werden:

UC =

1

U

1 p2 + j p/2

UC = =

1

= 0,533 – j · 1,996 = 2,066 · e– j 75Ů

1 0,9352 + j 0,468

212

5 Ortskurven

Ortskurve „ Zirkulare Kubik“

Die allgemeine Ortskurvengleichung der zirkulären Kubik

A p B p2 C

O =

(5.12)

D p E
kann durch Division in die Summe einer Geradengleichung und einer Kreisgleichung
überführt werden:

C D

B

C

E

D "

C D #

1

(p2C + pB + A): (pE + D) = p

A

:

B

$

%;

E

E

E

E

D

&

'

pE

!

"

C D #

2
p C p

$

%

E

&

'

"

C D #
p B

A

$

%

E

&

'

"

C D #

D "

C D #
p B

:

B

$

%

$

%;

E

E

E

&

'

&

'!

D "

C D #

Re st : A

B

$

%

E

E

&

'

F

O = R + p · S +

R p S

1

. (5.13)

D p E

D p E

F

F

Wird also die Ortskurvengleichung in der allgemeinen Form (Gl. 5.12) erkannt, dann
muss diese zuerst in die Summenform der beiden Ortskurvengleichungen (Gl. 5.13) über-
führt werden, ehe die Konstruktion erfolgen kann.

Dann werden der Kreis durch den Nullpunkt nach der Anleitung im Abschnitt 5.3 und die

Gerade (siehe Abschnitt 5.2) getrennt konstruiert.

Anschließend werden für gleiche Parameterwerte die jeweiligen beiden Zeiger durch

Addition der Realteile und Imaginärteile überlagert.

Beispiel:

Ortskurven für den komplexen Leitwert und den komplexen Widerstand des Praktischen Pa-
rallel-Resonanzkreises in Abhängigkeit von der Frequenz (Schaltbild siehe Bild 5.32 oder Bild 4.108, S. 119).

1

1+jR C 2L C

Y = jC

Lr
r
r
r
r +

R
jL

R
jL

Lr
r

Lr
r

1

1 p j R C p2 2L C

Y = p · jCC

0

Lr
r

0
r
r
r +

mit p .

R
p j L

R
p j L

0

Lr

0
r

Lr

0
r

Die rechte Seite obiger Gleichung entspricht der allgemeinen Form der Ortskurvengleichung der zirkulären Kubik (Gl. 5.12). Die Division kann entfallen, weil die Summe der Geradengleichung und einer Kreisgleichung sofort aus der Schaltung (Bild 5.32) abgelesen werden kann (linke Seite obiger Gleichung).

5.5 Ortskurven höherer Ordnung

213

Als Bezugsfrequenz C sollte die Resonanzfrequenz gewählt werden, die nach der Gl. (4.155) berechnet werden kann:

2

2

1

" R #

"

#

Lr

1

100

1

0

$

%

$

% 2000s .

6

LrCr

L

& r

0,05H

'

2,5 10 F

0,05 H

&

'

Die Ortskurvengleichung in Zahlenwerten lautet dann

As

1

Y = p · j · 2 · 103s–1 · 2,5 · 10–6

+

V

100 p j 2 103s1 0,05Vs/A

1

Y = p · j · 5 mS +

.

100 p j 100

Die Gerade ist identisch mit der positiven imaginären Achse, und der Kreis durch den Nullpunkt hat den Mittelpunkt bei 1/(2A) = 1/(200 = 5mS. Die Ortskurve für den komplexen

Leitwert ergibt sich durch Überlagerung der Zeiger mit jeweils gleichem Parameterwert (siehe Bild 5.32).

Aus der Ortskurve für den komplexen Leitwert Y = Y · e–j lassen sich Betrag und Argu-
ment für die p-Werte ablesen und die entsprechenden komplexen Widerstände Z = Z · ej
berechnen und in die Gaußsche Zahlenebene einzeichnen:

p 1

0

0,6

0,8

1,0

1,2

1,5

2,0

?

Y
mS

10

7,5

6,1

5,0

4,2

4,1

6,4

?

–

Grad

0

– 11

– 8

0

+ 15

+ 42

+ 71

+ 90

Z = 1/Y

100

133

164

200

238

244

156

0

Grad

0

+ 11

+ 8

0

– 15

– 42

– 71

– 90

Bild 5.32

Ortskurven des komplexen

Leitwerts und komplexen

Widerstands des Praktischen

Parallel-Resonanzkreises

214

5 Ortskurven

Die Ortskurve für den frequenzabhängigen komplexen Widerstand Z kann natürlich nicht ge-
nau sein, weil sie über abgelesene Y-Werte ermittelt wurde. Deshalb soll die „nicht einfache“

Ortskurve punktweise mit der Ortskurvengleichung errechnet werden. Nach Gl. 4.158 lautet die Formel für den komplexen Widerstand des Praktischen Parallel-Resonanzkreises mit

= p · 0:

R
jL

R
p j L

Z

Lr
r

Lr

0
r

1 jR C 2L C

1 p j R C p2 2L C

Lr
r
r
r

0

Lr
r

0
r
r
und mit Zahlenwerten

Z

100 p j 100

.

(1 p2 0,5) p j 0,5

Für p = 0,6 ergibt sich beispielsweise

Z

100 j 60 116,6 ej31F 133,6 ej10,9F .

0,6

0,82 j 0,3

0,873 e j20,1F

Die auf diese Weise berechneten Widerstandswerte sind in folgender Tabelle zusammenge-
stellt:

p 1 0 0,6 0,8

1,0

1,2

1,5

2,0

Z

100 133,6 162,3 200

235,9

237,1

158,1

Grad

0

10,9

8,2

0

– 14,8

– 43,2

– 71,6

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 5.1 bis 5.5

215

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 5.1 bis 5.5

5.1

Für die Reihenschaltung eines ohmschen Widerstands Rr = 200 und einer variablen Induk-
tivität Lr = 100 … 300mH sind

1. die Ortskurve für die Spannung bei konstantem Strom I = 10mA bei f = 200Hz und

2. die Ortskurve für den Strom bei konstanter Spannung U = 10V bei f = 200Hz zu ermitteln.

3. Kontrollieren Sie rechnerisch die Ortskurvenpunkte des Stroms für die Induktivitäten

Lr = 100, 200 und 300mH.

5.2

Mit Hilfe von Ortskurven soll die Frequenzabhängigkeit der komplexen Widerstände und

Leitwerte der Reihenschaltung und Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes und
einer Kapazität untersucht werden.

1. Entwickeln Sie die Ortskurven des komplexen Widerstandes und komplexen Leitwerts
der Reihenschaltung von Rr = 17,3 und Cr = 318μF.

2. Ermitteln Sie anschließend die Ortskurven des komplexen Leitwerts und des komplexen

Widerstandes der Parallelschaltung von Rp = 23,1 und Cp = 79,6μF.

Die Bezugsfrequenz f0 soll so gewählt werden, dass für p = 1 die Reihenschaltung und
die Parallelschaltung äquivalent sind. Es ist also zu untersuchen, ob die Bedingungsgleichung für Äquivalenz bei einer bestimmten Frequenz erfüllbar ist.

3. Kontrollieren Sie anhand der Ortskurve, ob die Scheinwiderstände und Scheinleitwerte
für p = 1 gleich sind.

5.3

1. Für den Reihen- und Parallelschwingkreis sollen die Ortskurven für den komplexen

Widerstand und den komplexen Leitwert bei Variation der Frequenz ermittelt werden.

Die ohmschen Widerstände, die Induktivitäten und Kapazitäten der Reihen- und Paral-
lelschaltung sollen gleich sein:

Rr = Rp = 200

Lr = Lp = 0,04H

Cr = Cp = 1μF

2. Lesen Sie aus der Ortskurve für den komplexen Leitwert des Reihenschwingkreises die

Strom-Resonanzkurve ab.

5.4

Für die Reihen- und Parallelschaltungen von Induktivität/ohmscher Widerstand und Kapazi-
tät/ohmscher Widerstand sind die Ortskurven für die Verhältnisse der Teilspannungen zur

Gesamtspannung bzw. Teilströme zum Gesamtstrom in Abhängigkeit von der Frequenz zu
entwickeln, wobei die Bezugsfrequenz jeweils festgelegt ist:

0 = Rr/Lr, Rp/Lp, 1/RpCp, 1/RrCr.

5.5

An den Eingang des gezeichneten Vierpols wird eine sinusförmige Spannung mit veränder-
licher Frequenz angelegt.

Bild 5.33

Übungsaufgabe 5.5

1. Stellen Sie die Gleichung für das Spannungsverhältnis U 2/U1 in Abhängigkeit von RLr, Lr , R und auf.

2. Konstruieren Sie die Ortskurve des Spannungsverhältnis in Abhängigkeit von
= p ·
0,
nachdem Sie die Gleichung mit R = RLr und
0 = R/Lr vereinfacht haben. Geben Sie
mindestens fünf Ortskurvenpunkte mit den entsprechenden p-Werten an.

3. Ergänzen Sie die Ortskurve durch entsprechende Ortskurven für

RLr/R = 0, 1/2 und 2.

4. Ermitteln Sie aus der Ortskurvenschar für p = 1 die Funktion

U2

RLr

= f

U

R

1

und stellen Sie sie dar.

216

5 Ortskurven

5.6

Die Ortskurve des Spannungsverhältnis UR/U des Reihenschwingkreises bei variabler Fre-
quenz
= p ·
0 ist zu ermitteln.

Deuten Sie die Ortskurvenpunkte für p = 0, 1 und .

Bild 5.34

Übungsaufgabe 5.6

5.7

Für die gezeichnete Schaltung ist die Ortskurve für U2/U1 in Abhängigkeit von der Frequenz zu konstruieren.

1. Leiten Sie zunächst die Ortskurvengleichung allgemein und dann mit den Zahlenwerten her.

2. Konstruieren Sie die Ortskurve mit den Ortskurvenpunkten p = 0, 1/3, 1/2, 1, 2, 3 und .

3. Erklären Sie den Ortskurvenpunkt für p = 1.

Bild 5.35

Übungsaufgabe 5.7

5.8

1. Entwickeln Sie die Ortskurve für den komplexen Leitwert Y der skizzierten Schaltung
im Frequenzbereich

= 100s–1 … 1000s–1
in Schritten von 100s–1.

Bild 5.36

Übungsaufgabe 5.8

2. Kontrollieren Sie rechnerisch die Ortskurvenpunkte für
= 0,
= 500s–1 und
= .

3. Ermitteln Sie aus der Ortskurve den Graphen der Funktion Y = f (
) und stellen Sie ihn
dar.

Tragen Sie den Wert ein, den die Kurve für hohe Kreisfrequenzen anstrebt (Asymptote).

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 5.1 bis 5.5

217

5.9

1. Für einen Reihenschwingkreis mit der Güte Qr = 2, angeschlossen an eine Wechsel-
spannungsquelle, ist die Ortskurve des Spannungsverhältnisses U/UL in Abhängigkeit
von der Frequenz zu entwickeln.

Bild 5.37

Übungsaufgabe 5.9

2. Anschließend ist durch Inversion der Zeiger die Ortskurve des Spannungsverhältnisses

UL/U zu ermitteln.

Die Ortskurvenpunkte für p = 0, 1/2, 2/3, 1, 2 und sind rechnerisch zu kontrollieren.

3. Schließlich sind die Beträge UL/U für die unter 2. angegebenen Parameterwerte mit Hil-fe der Formeln des Abschnitts 4.5.1 zu kontrollieren. Das Maximum des Spannungsver-
hältnisses ist zu berechnen. Die Ergebnisse sind mit der Resonanzkurve (Bild 4.95) zu
vergleichen.

5.10

1. Konstruieren Sie die Ortskurve des komplexen Leitwerts der skizzierten Schaltung in
einem Frequenzbereich
= 10000s–1 … 100000s–1 im Abstand von 10000s–1, indem

Sie einfache Ortskurven überlagern.

Bild 5.38

Übungsaufgabe 5.10

2. Lesen Sie aus der Ortskurve die Frequenz ab, bei der der komplexe Leitwert reell ist.

Weisen Sie die abgelesene Frequenz und den reellen Leitwert rechnerisch nach.

5.11

1. Bei welchen Kreisfrequenzen ist der komplexe Widerstand der Schaltung reell?

Bild 5.39

Übungsaufgabe 5.11

2. Entwickeln Sie die Ortskurve des komplexen Widerstandes durch Überlagerung einfa-
cher Ortskurven, indem Sie eine der Kreisfrequenzen unter 1. als Bezugsfrequenz wäh-
len. Die Ortskurve ist für p = 0, 1/2, 1, 1,5 und 2 zu konstruieren.

3. Kontrollieren Sie rechnerisch die Ortskurvenpunkte für p = 0 und p = 1.

218

6 Der Transformator

6.1 Übersicht über Transformatoren

Umspanner, Übertrager und Hochfrequenz- Transformatoren

Werden Stromkreise magnetisch gekoppelt, dann wird diese Anordnung „Transformator“
genannt. Die Ausführungen von Transformatoren sind sehr vielfältig, weil die Anforde-
rungen an Transformatoren sehr unterschiedlich sind. Grundsätzlich werden je nach Ver-
wendungszweck unterschieden:

1. Transformatoren der Starkstrom- oder Energietechnik – die „Umspanner“

2. Niederfrequenz-Transformatoren (NF-Transformatoren) – die „Übertrager“ der Fern-
melde- und Verstärkertechnik

3. Hochfrequenz-Transformatoren (HF-Transformatoren) für Anpassungszwecke.

Transformatoren der Starkstromtechnik dienen der Transformation (Umwandlung)

von Wechselspannungen, um elektrische Energie über Strecken wirtschaftlich übertragen
zu können. Bei hohen Spannungen sind die Verluste auf den Leitungen geringer als bei
niedrigen Spannungen (siehe Formel für die Verlustleistung Pv, Gl. 4.259). Die für Leis-
tungstransformatoren verwendeten Bauformen sind im Bild 6.1 dargestellt. Für Einpha-
sensysteme werden Kerntransformatoren (a) und Manteltransformatoren (b) hergestellt. In

Dreiphasensystemen (Abschnitt 7) werden Dreiphasen-Leistungstransformatoren als Drei-
schenkelanordnungen (c), Fünfschenkelanordnungen (d), Dreimanteltransformatoren (e)

und als Tempeltyp (f) ausgeführt, oder es werden drei Einphasentransformatoren (g) ver-
wandt. Im Bild 6.1 bedeutet „1“ der Platz für die Primärwicklung und „2“ der Platz für die Sekundärwicklung.

Bild 6.1 Bauformen von Transformatoren der Starkstromtechnik

Für Prüfzwecke gibt es in der Hochspannungstechnik Einphasentransformatoren und für die Einspeisung von Hochspannungskaskaden für die Erzeugung von Stoßspannungswel-len spezielle Transformatoren. Der Kern dieser Transformatoren besteht aus dünnen Ble-
chen, die durch Papier, Lack oder Öl voneinander isoliert sind.

6.1 Übersicht über Transformatoren

219

NF-Transformatoren sind Übertrager der Fernmelde- und Verstärkertechnik für einen breiten Frequenzbereich. Sie dienen neben der Übersetzung von Spannungen und Strömen
der Anpassung von Widerständen, der galvanischen Trennung von Stromkreisen und zur

Phasenumkehr. Die Kerne bestehen aus dünnen Eisenblechen hoher Permeabilität oder
aus Eisenpulverkernen.

Außerdem können Netz-Kleintransformatoren zur Versorgung von Geräten und Geräte-
gruppen dieser Gruppe zugeordnet werden, die aus genormten Kernen und Spulenkörpern
bestehen.

HF-Transformatoren haben die Aufgabe, unterschiedliche Widerstände reflexionsfrei aneinander anzupassen. Übliche Transformationsarten (siehe Bild 6.2) sind der Wicklungstransformator mit getrennten Wicklungen (a) oder in Sparschaltung (b), der durch

Resonanztransformatoren als -Glied (c) oder als T-Glied (d) ersetzt werden kann:

Bild 6.2 Hochfrequenz-Transformationsarten

Die Wicklungstransformatoren besitzen Kerne aus Spezialeisenpulver oder werden ohne

Kerne betrieben. Sie werden bei Frequenzen bis etwa 100MHz verwendet.

Weitere Transformationsarten sind die /4-Leitung, die inhomogene Leitung und die auf
einem Ferritkern aufgewickelte Doppelleitung.

In den folgenden Ausführungen wird nur der Einphasen-Wicklungstransformator mit zwei

Wicklungen und in Sparschaltung und mit einem magnetischen Kreis mit konstanter Ge-
geninduktivität M behandelt. Dabei wird auf die grundsätzliche Behandlung des Trans-
formators im Band 1, Abschnitte 3.4.7.2 und 3.4.7.3 Bezug genommen.

Der Einphasen-Transformator stellt das Bindeglied zwischen zwei Spannungsebenen
eines Einphasensystems dar. Er besteht aus einem magnetischen Kreis mit geblechtem

Kern, Ferritkern oder Luft, durch den zwei Spulen magnetisch gekoppelt sind. An die

Primärspule 1 wird eine Spannung angelegt, wodurch sich in der Sekundärspule 2 auf-
grund der Kopplung eine Spannung anderer Größe ergibt. Die Energieflussrichtung geht
also von der Primärspule zur Sekundärspule.

Bei allen Arten von Wicklungstransformatoren der Starkstromtechnik, der NF-und HF-

Technik gelten die grundsätzlichen Gesetzmäßigkeiten, die sich aus dem Durchflutungs-
satz, dem Induktionsgesetz und den Kirchhoffschen Sätzen (siehe Band 1) ergeben.

220

6 Der Transformator

6.2 Transformatorgleichungen und Zeigerbild

Bei der Behandlung der Gegeninduktion im Band 1, Abschnitt 3.4.7.2 ist auch der Trans-
formator mit zwei Wicklungen für zeitlich veränderliche Ströme und Spannungen be-
schrieben worden. In den meisten Anwendungsfällen sind die Ströme und Spannungen im

Transformator sinusförmig, so dass die allgemeinen Ausführungen im Band 1 auf sinus-
förmige Vorgänge übertragen werden müssen. Die folgenden Herleitungen setzen die

Kenntnis der Gegeninduktionsvorgänge im Transformator voraus.

Die Vorteile der Berechnung sinusförmiger Vorgänge im Komplexen (Abschnitt 4.2)

werden selbstverständlich auch bei der Behandlung des Transformators genutzt. Aus den

Gl. (3.353) bis (3.356) entstehen dann algebraische Gleichungen, die „Transformatoren-
gleichungen“, die in der Gaußschen Zahlenebene Zeigerbildern entsprechen.

Transformator mit gleichsinnigem Wickelsinn und Belastung mit einem beliebigen Wech-
selstromwiderstand, speziell bei induktiver Belastung

Bild 6.3 Transformator mit gleichsinnigem Wickelsinn (vgl. Bild 3.205 im Band 1, S.333) Die Maschengleichungen für den Primärkreis und Sekundärkreis und die Gleichung für
die Belastung des Transformators (siehe Gl. (3.353) und (3.354) im Band 1), hier für in-
duktive Belastung,
di
di
u =

+

=

+

1

2

1
uR1 uL1 uM1

R1 i1 L1

M
dt

21 dt
di
di
u =

+

=

2 +

1

2
uR2 uL2 uM2

R2 i2

L2

M
dt

12 dt
di
u =

+

2

2

R i2

L dt
gehen dann in die folgenden algebraischen Gleichungen mit komplexen Effektivwerten
und komplexen Operatoren über, die dem Ersatzschaltbild (siehe Bild 6.4) entsprechen:

U =

+

1

UR1 UL1 UM1

(6.1)

U =

+

2

UR2

UL2

UM2

(6.2)

U =

=

2

(R + jL) I

Z I

(6.3)

2

2

6.2 Transformatorgleichungen und Zeigerbild

221
oder

U =

( +

(

1

R1 I
jL

I
jM ( I

(6.4)

1

1

1

2

U =

(

(

+

2

R2 I
jL

I
jM ( I

(6.5)

2

2

2

1

U =

=

2

(R + jL) I

Z I

(6.6)

2

2
mit M12 = M21 = M
wegen μ konstant
und

Z = R + jL = Z ( e j)

mit

Z = R2 + (L)2
und

Bild 6.4 Ersatzschaltbild des Transformators mit

) = arctan (L / R)

gleichsinnigem Wickelsinn und Belastung mit einem

.

beliebigen Wechselstromwiderstand (vgl. Bild 3.206)

Das Zeigerbild des Transformators wird grundsätzlich beim passiven Zweipol der Belas-
tung begonnen, weil sämtliche Ströme und Spannungen von den Größen der Belastung
abhängen. Dann werden die Spannungen des Sekundärkreises und schließlich der Strom
und die Spannungen des Primärkreises berechnet und gezeichnet.

Im gezeichneten Beispiel (Bild 6.5) ist der Belastungswiderstand Z induktiv.

Reihenfolge der Darstellung:

passiver Zweipol:

I2 (ist gegeben oder wird gewählt)

U2 = Z · I2 = Z · ej · I2

Maschengleichung des Sekundärkreises:

U

=

R 2

R2 I2

U

=

L2
jL2 I2

U

=

+

+

M2

U2

R2 I
jL

I

2

2

2

U

=

M2
jM I1

Primärstrom:

Bild 6.5 Zeigerbild des Transformators mit
gleichsinnigem Wickelsinn und induktiver

I = UM2

1

Belastung
jM

Maschengleichung des Primärkreises:

U

=

M1
jM ( I2

U

=

R1

R1 I1

U

=

L1
jL1 I1

U =

+

( +

(

1
jM ( I

R

I
jL

I

2

1

1

1

1

Ist der Belastungswiderstand Z kapazitiv, dann eilt der Strom I2 der Spannung U2 voraus, bei einer ohmschen Belastung sind sie in Phase. Besteht die Belastung aus ohmschen,
induktiven und kapazitiven Anteilen, hängt die Art der Belastung von der Frequenz ab.

222

6 Der Transformator

Transformator mit gegensinnigem Wickelsinn und Belastung mit einem beliebigen Wech-
selstromwiderstand, speziell bei induktiver Belastung

Bild 6.6 Transformator mit gegensinnigem Wickelsinn (vgl. Bild 3.207 im Band 1, S.334) Die Maschengleichungen für den Primärkreis und Sekundärkreis und die Gleichung für
die Belastung des Transformators (siehe Gl. (3.355) und (3.356) im Band 1), hier eben-
falls für induktive Belastung, sind die gleichen wie bei gleichsinnigem Wickelsinn, wenn die Sekundärspule gegensinnig zur Primärspule gewickelt wird. Die Richtungen sämtlicher Spannungen und des Stroms im Sekundärkreis ändern sich im Vergleich zur gleich-
sinnigen Wicklungsanordnung.

Deshalb sind auch die algebraischen Gleichungen mit komplexen Effektivwerten und
komplexen Operatoren gleich:

U =

+

1

UR1 UL1 UM1

(6.7)

U =

+

2

UR2

UL2

UM2

(6.8)

U =

=

2

(R + jL) I

Z I

(6.9)

2

2
oder

U =

( +

(

1

R1 I
jL

I
jM ( I

(6.10)

1

1

1

2

U =

(

(

+

2

R2 I
jL

I
jM ( I

(6.11)

2

2

2

1

U =

=

2

(R + jL) I

Z I

(6.12)

2

2
mit M12 = M21 = M
wegen μ konstant
und

Z = R + jL = Z ( e j)

mit

Z = R2 + (L)2
und

Bild 6.7 Ersatzschaltbild des Transformators mit

) = arctan(L / R).

gegensinnigem Wickelsinn und Belastung mit einem
beliebigen Wechselstromwiderstand (vgl. Bild 3.208)

Sie entsprechen dem Ersatzschaltbild für den belasteten Transformator mit gegensinnigem

Wickelsinn, der durch die beiden Punkte gekennzeichnet ist (siehe Bild 6.7).

6.2 Transformatorgleichungen und Zeigerbild

223

Um im Zeigerbild des Transformators mit gegensinnigem Wickelsinn den Unterschied
zum Zeigerbild des Transformators mit gleichsinnigem Wickelsinn zu verdeutlichen,
werden im Ersatzschaltbild der Sekundärstrom I2 und die Sekundärspannung U2 mit um-
gekehrten Vorzeichen in die gleiche Richtung gelegt wie im Ersatzschaltbild mit gleich-
sinnigem Wickelsinn. Diese Änderung im Ersatzschaltbild (siehe Bild 6.8) bedeutet in den Spannungsgleichungen negative Sekundärgrößen:

U =

+

=

( +

( +

1

UR1 UL1 UM1

R1 I
jL

I
jM ( ( I )

(6.13)

1

1

1

2

(U

+

=

(

(

2 ) = U R 2

UL2

UM2

R2 ( I ) jL ( I ) jM ( I

(6.14)

2

2

2

1

(U2 ) = (R + jL) ( ( I ) = Z ( ( I )

(6.15)

2

2

Bild 6.8

Ersatzschaltbild des Transformators
mit gegensinnigem Wickelsinn und
umgedrehten Sekundärgrößen

Das Zeigerbild wird wieder beim passiven Zweipol der Belastung begonnen und hat im
gezeichneten Beispiel (Bild 6.9) einen induktiven Belastungswiderstand Z:

Reihenfolge der Darstellung:

passiver Zweipol:

(–I2) (ist gegeben oder wird gewählt)

(–U2) = Z · (–I2) = Z · ej · (–I2)

Maschengleichung des Sekundärkreises:

–UR2 = R2 · (– I2)

–UL2 = jL2 · (– I2)

–UM2 = (–U2) + R2 · (– I2) + jL2 · (– I2)

–UM2 = – j M · I1

Primärstrom:

U

I =

M2

1
jM

Maschengleichung des Primärkreises:

Bild 6.9 Zeigerbild des Transforma-
tors mit gegensinnigem Wickelsinn

–UM1 = jM · (– I2)

und induktiver Belastung

UR1 = R1 · I1

UL1 = jL1 · I1

U1 = jM · (– I2) + R1 · I1 + j L1 · I1

Im Vergleich zum Zeigerbild des Transformators mit gleichsinnigem Wickelsinn ist das

Polygon der Maschengleichung des Sekundärkreises um 180° gedreht.

224

6 Der Transformator

Leerlauf eines Transformators

Bei Leerlauf am Ausgang eines Transformators ist der Ausgangsstrom I2 gleich Null.

Damit vereinfachen sich die Spannungsgleichungen des Transformators für gleichsinnigen
und gegensinnigen Wickelsinn (Gl. (6.4) bis (6.6) bzw. (6.10) bis (6.12)):

Mit I2 = 0 ist

U =

+

=

+

1

R1 I
jL

I

(R
jL

(6.16)

1

1

1

1

1) I1

U =

2
jM I

(6.17)

1

Bild 6.10

Ersatzschaltbild eines Transformators
bei Leerlauf am Ausgang

Entsprechend vereinfacht sich das Zeigerbild, das in Anlehnung an die Bilder 6.5 und 6.9
im Bild 6.11 gezeichnet ist. Aus dem „Spannungsdreieck“ lässt sich dann das „Wider-
standsdreieck“ herleiten, das im Bild 6.11 neben das Zeigerbild gesetzt ist.

Bild 6.11

Zeigerbild und Widerstandsdreieck des

Transformators bei Leerlauf am Ausgang

Damit kann auch der Eingangwiderstand bei Leerlauf als Quotient der Eingangsspannung
zum Eingangsstrom angegeben werden (Index „in“ von input = Eingang):

(Z

=

= U1 =

+
in ) I

Zin l

R1
jL1 .

(6.18)

2=0

I 1

Die Ersatzschaltung eines Transformators bei Leerlauf ist also die Reihenschaltung des
ohmschen Widerstands und der Induktivität der Primärspule.

Aus den Spannungsgleichungen lässt sich dann das Übersetzungsverhältnis der Spannungen als komplexer Operator angeben:

U

+

1 = R1 jL1

U2
jM

2

2

U

1 = L1 j( R1 =

L1

+ R1

( ej( arctan(R1/L1)

(6.19)

U

2

M

M

M

M

6.2 Transformatorgleichungen und Zeigerbild

225

Der Betrag des Übersetzungsverhältnisses wird mit ü bezeichnet:

2

2

2

U

ü =

1 =

L1

+ R1

= L1 1 + R1

,

(6.20)

U

2

M

M

M

L1
wobei
tan = R1

(6.21)

L1

Fehlwinkel genannt wird. Er kann aus dem Widerstandsdreieck im Bild 6.11 abgelesen werden.

Werden die primären ohmschen Verluste R1 vernachlässigt, dann ist das Übersetzungs-
verhältnis reell:

U1 = L1 .

(6.22)

U2

M

Wird zusätzlich angenommen, dass der Transformator keine Streuung besitzt, also der

Kopplungsfaktor k = 1 beträgt, dann ist mit Gl. (3.370) (siehe Band 1, S.339)

M =

L

1 L2
das Übersetzungsverhältnis gleich dem Verhältnis der Windungszahlen der beiden Spu-
len:

U1 = L1 = L1

(6.23)

U2

L

L

1 L2

2
und mit Gl. (3.309) (siehe Band 1, S.305)

2

2

L = w1

= w2

1
und

L

R

2
m

Rm
ist

U1 = w1
w

, d. h.

ü =

1

(6.24)

U2
w2
w2

Ein Transformator, für den die Effektivwerte der Spannungen (U1 Speisespannung,

U2 geforderte Spannung) vorgegeben sind, kann also nur sehr ungenau mit Hilfe der

Gl. (6.24) dimensioniert werden, weil sich die Spannungen nur dann wie die Windungs-
zahlen verhalten, wenn der Transformator bei Leerlauf betrieben wird, wenn die ohm-
schen Verluste der Primärspule vernachlässigt werden und wenn der Transformator
mit k = 1 fest gekoppelt ist.

226

6 Der Transformator

Spannungsverhältnis und Eingangswiderstand des Transformators

Das Spannungsverhältnis der Ausgangsspannung zur Eingangsspannung hängt nicht nur
von den Ersatzschaltbildgrößen R1, L1, M, R2 und L2 ab, sondern auch von der Art und

Größe der Belastung, wie durch Zeigerbilder und Berechnungen deutlich wird.

Entsprechendes gilt selbstverständlich für den Primärstrom bei gegebener Primärspan-
nung, also für den Eingangswiderstand des belasteten Transformators.

Beispiel 1:

Für einen Transformator mit zwei gleichsinnig gewickelten Wicklungen, der mit einem ohm-
schen Widerstand R belastet ist, soll die Formel für das Spannungsverhältnis U2/U1 hergeleitet werden.

Lösung:

Aus Gl. (6.6) ergibt sich mit Z = R

U

U

I =

2 = 2

2

Z

R
eingesetzt in Gl. (6.5)

U

U

= (R + jL ) ( 2 + jM ( I ,

2

2

2

R

1
nach I1 aufgelöst

R + jL

I

2

2

1 =

1

1 +
jM

R

U2
und mit I2 = U2/R in Gl. (6.4) eingesetzt

R + jL

R + jL

U

U =

1

1 ( 1 + 2

2
jM ( 2

1
jM

R

( U2

R
ergibt sich für das Spannungsverhältnis

U2 =

1

U

+

+

1

R
jL

R
jL

1

1 ( 1 + 2

2
jM

R
jM

R

U2 =

1

U

R + jL

(R + jL ) ( (R + jL )

1

1

1 +

1

1

2

2
jM
jM
jM ( R

R

U2 =

1

U

1

L

R ( L + R ( L

R

R ( R 2L L

1 + 1

2

2

1

1

+ 1

2

1 2 + M

M

M ( R
j ( M

M ( R

R

U2 =

1

U

1

R ( L + R ( L + R ( L

2L L R ( R R ( R 2M2

1

1

2

2

1

1 2

1

1

2

M ( R

+ j (

M ( R

U2 =

1

(6.25)

U

1

(R + R ) ( L + R ( L

2(L L M2 ) (R + R ) ( R

2

1

1

2

1 2

2

1

M ( R

+ j (

M ( R

6.2 Transformatorgleichungen und Zeigerbild

227

Beispiel 2:

Für einen Transformator mit zwei Wicklungen mit gleichsinnigem Wickelsinn soll rechne-
risch untersucht werden, bei welchem der folgenden Belastungsfälle

1. ohmsche Belastung Z = R = 200,

2. Kurzschluss am Ausgang Z = R = 0 oder

3. Leerlauf am Ausgang Z = R =
der Primärstrom I1 bei gegebener Eingangsspannung U1 = 100V, = 10000s–1 am größten
ist. Gegeben sind die Ersatzschaltbildgrößen des Transformators:

R1 = 6, L1 = 20mH, M = 15mH, R2 = 10 und L2 = 45mH.

Lösung:

Zu 1:

Der Primärstrom ist gleich dem Quotient von Eingangsspannung und Eingangswiderstand Zin, der mit den Gl. (6.4) bis (6.6) berechnet werden kann:

U

I =

1 .

1

Zin
mit Gl. (6.4), dividiert durch I1:

U

I

Z

= 1 = R + jL jM ( 2
in

I

1

1

I

1

1
mit Gl. (6.5) und (6.6) und Z = R

U = (R + jL ) ( I + jM ( I = R ( I

2

2

2

2

1

2

I
ist

2 =
jM

I

R + R + jL

1

2

2
und

(R + R ) jL

Z

= R + jL +

2M2

(

2

2
in

1

1

(R + R ) + jL

(R + R ) jL

2

2

2

2

U

I =

1

(6.26)

1

2M2(R + R )

2M2L

R +

2

+ j ( L

2

1

1

(R + R )2 + (L )2

(R + R )2 + (L )2

2

2

2

2

und mit Zahlenwerten ist

2 M2 = 100002s–2 · (15mH)2 = 22,5 · 103 2

(R + R2)2 + (L2)2 = (200 + 10)2 + (10000s–1 · 45mH)2 = 246,6 · 1032

I =

100 V

1

6

+ 22,5 ( 1032 ( 210 + j ( 10 000 s1 ( 20 mH

22,5 ( 1032 ( 45 mH

246,6

(1032

246,6

( 1032

I =

100 V

1

25,16 + j 158,9
und mit

Zin =

(25,16 )2 + (158,9 )2 = 160,92 ist

U

I =

1 = 100 V = 0,62 A

1

Z

160,92
in

228

6 Der Transformator

Zu 2.

Mit Z = R = 0 vereinfacht sich obige Gleichung für I1:

U

U

I

=

1

=

1

(6.27)

1k

Z

in k

2M2R

2M2L

R +

2

+ j ( L

2

1

1

R 2 + (L )2

R 2 + (L )2

2

2

2

2

und mit R 2 + (L )2 = (10 )2 + (10 000 s1 45 mH)2 = 202,6 1032

2

2

I

=

100 V

1k

6

+ 22,5 ( 1032 ( 10 + j ( 10 000 s1 ( 20 mH

22,5 ( 1032 ( 45 mH

202,6

(1032

202,6

( 1032

I

=

100 V

1k

7,11 + j 150,02
und mit Zin k =

(7,11 )2 + (150,02 )2 = 150,19 ist

U

I =

1

= 100 V = 0,67 A

Z

150,19
in k

Zu 3.

Mit Z = R = ergibt sich nach Gl. (6.18)

U

U

I

=

1

=

1

(6.28)

1 l

Z

R + jL
in l

1

1

I

=

100 V

=

100 V

1 l

6 + j ( 10 000 s1 ( 20 mH

6 + j ( 200
und mit Zin l =

(6 )2 + (200 )2 = 200,1 ist

1

U

100 V

I l =

=

= 0,50 A

1
in

Z

200,1
l

Bei sekundärem Kurzschluss ist der Primärstrom am größten.

Spartransformator

Ein Spartransformator besteht aus einer Spule mit einem Abgriff; die zweite Spule wird
also eingespart. Zwei Schaltungen mit jeweils gleichsinnigem Wickelsinn werden unter-
schieden, die auf die gleiche Weise beschrieben werden können wie ein Transformator
mit zwei Wicklungen (siehe Band 1, Abschnitt 3.4.7.2).

Die anliegende Spannung u1 verursacht einen Strom i1 der mit einem magnetischen Fluss

12 verbunden ist. Dadurch wird in der Spule neben der Selbstinduktionsspannung auch
eine Gegeninduktionsspannung verursacht, die durch den belastenden Wechselstromwi-
derstand einen Strom i2 bewirkt. Mit diesem Strom ist ein entgegengesetzt gerichteter
magnetischer Fluss 21 verbunden, der wiederum neben einer Selbstinduktionsspannung
eine Gegeninduktionsspannung verursacht.

6.2 Transformatorgleichungen und Zeigerbild

229

Die Spannungsgleichungen für beide Schaltungen lassen sich nach der Regel für zwei

Spulen, die mit zwei Punkten und einem Doppelpfeil gekennzeichnet sind, aufstellen

(siehe Band 1: S.328, Bild 3.197 und zugehöriger Text).

Angewendet werden die Spartransformator-Schaltungen bei Anpassung von Resonanz-
kreisen an Transistoren, Röhren und Antennen und zur Symmetrierung von unsymmetri-
schen Leitungen.

Spartransformator mit anliegender Spannung an der Gesamtspule

Bild 6.12 Spartransformator mit anliegender Spannung an der Gesamtspule und Belastung der Teilspule mit einem beliebigen Wechselstromwiderstand, dazu Ersatzschaltung des belasteten Spartransformators im Bildbereich

Die Spannungsgleichungen für das Ersatzschaltbild im Bild 6.12 lauten:

U =

+

+

1

(R1
jL1) ( I
jM ( ( I

I ) + U

1

1

2

2

U =

+

2

(R2
jL2 ) ( ( I

I ) + jM ( I

1

2

1
und zusammengefasst zu den drei Transformatorgleichungen:

U =

+

+

+

+

+

+

1

R

1

R2
j (L1 L2 2M) ( I

R
j(L

M)

(6.29)

1

2

2

( I2

U =

+

+

+

2

R

2
j(L2

M) ( I

(R
jL

(6.30)

1

2

2 ) ( I 2

U =

2

Z I

(6.31)

2

Spartransformator mit anliegender Spannung an der Teilspule

Bild 6.13 Spartransformator mit anliegender Spannung an der Teilspule und Belastung der Gesamtspule mit einem beliebigen Wechselstromwiderstand, dazu Ersatzschaltbild des belasteten Spartransformators im Bildbereich

230

6 Der Transformator

Aus dem Ersatzschaltbild im Bild 6.13 lassen sich die Spannungsgleichungen ablesen:

U (R jL
jM ( I I ) U

2

2

2 ) I 2

1

2

1

U (R jL

I ) jM I

1

1

1) ( I1

2

2
und zusammengefasst in den drei Transformatorgleichungen:

U

(R jL

R j (L M)

(6.32)

1

1

1) I 1

1

1

! I 2

U R j (L M)

R R j(L L 2M)

(6.33)

2

1

1

! I1

1

2

1

2

! I2

U Z I (6.34)

2

2

6.3 Ersatzschaltbilder mit galvanischer Kopplung

Für eine einfachere rechnerische Handhabung gekoppelter Kreise können Ersatzschaltbil-
der mit galvanischer Kopplung aus den drei Spannungsgleichungen (Gl. 6.4 bis 6.6 bzw.

6.10 bis 6.12) entwickelt werden. Die Ersatzschaltungen sind im allgemeinen nicht mehr
physikalisch anschaulich oder technisch realisierbar; sie genügen formal den umgewan-
delten Spannungsgleichungen und sind im allgemeinen nicht dazu geeignet, die Wir-
kungsweise der Kopplung, d. h. des Transformators, zu erklären.

Ersatzschaltbild mit L 1 – M und L 2 – M: Aus den Spannungsgleichungen des belasteten Transformators mit gleichsinnigem oder
gegensinnigem Wickelsinn mit konstanter Permeabilität (M12 = M21 = M)

U R I jL I jM I (6.35)

1

1

1

1

1

2

U R I jL I jM I (6.36)

2

2

2

2

2

1

U Z I (6.37)

2

2
entstehen durch Erweitern mit ± jM · I1 und ± jM · I2:

U R I j(L M) I jM ( I I ) (6.38)

1

1

1

1

1

1

2

U R I j(L M) I jM ( I I ) (6.39)

2

2

2

2

2

1

2

U Z I (6.40)

2

2

Diese Gleichungen entsprechen dem Ersatzschaltbild mit den Induktivitäten L1 – M
und L2 – M im Bild 6.14 und können als Zeigerbilder dargestellt werden, wobei der

Zeiger jM · (I1 – I2) für beide Polygone gleich ist.

Bild 6.14

Ersatzschaltbild mit den Induktivi-
täten M, L1 – M und L2 – M

6.3 Ersatzschaltbilder mit galvanischer Kopplung

231

Ersatzschaltbild mit L 1 – M G und L G

M

2 –

G bzw. mit Streuinduktivitäten

Die Längsinduktivitäten L1 – M und L2 – M der Ersatzschaltung im Bild 6.14 können
durch Streuinduktivitäten L1s und L2s ersetzt werden, indem Größen der Sekundärseite
und die Gegeninduktivität mit dem Übersetzungsverhältnis reduziert werden, das in vie-
len Fällen ü = w1/w2 (siehe Gl. 6.24) gewählt wird:

Zunächst werden die Spannungsgleichungen (Gl. 6.35 bis 6.37) mit ü verändert:

" I #

2

1

U

1

R I

1
j

1

L

I1
j (ü M) $

% (6.41)

ü

& '

" I #

" I #

2

2

2

2

(ü U2 ) (ü R2 ) $ % j (ü L2) $ % j (ü M) I (6.42)

1
ü
ü

& '

& '

" I #

2

2

(ü U2 ) (ü Z) $ % (6.43)

ü

& '

oder übersichtlich geschrieben:

'

'

1

U 1

R 1

I j 1

L

1

I
j M

I (6.44)

2

'

'

'

'

'

'

U2 R2 I jL I jM I (6.45)

2

2

2

1

U' Z' I ' . (6.46)

2

2

Die reduzierten Größen sind also:

'

U2 ü U2

'

2

R2 ü R2

1

'

I

I

'

2

L ü L

2

2

2

2
ü

'

M = ü M

'

2

Z = ü Z

Die Spannungsgleichungen werden entsprechend mit ± jM' · I

'

1 und ± jM' · I erwei-

2
tert:

U R I j(L M' ) I jM' ( I I ') (6.47)

1

1

1

1

1

1

2

U' R' I ' j(L' M' ) I ' jM' ( I I ') (6.48)

2

2

2

2

2

1

2

U' Z' I ' . (6.49)

2

2

Das Ersatzschaltbild im Bild 6.15, das den Spannungsgleichungen mit reduzierten Größen
entspricht, hat das gleiche Aussehen wie das Ersatzschaltbild ohne Reduzierung; es geht
mit ü = 1 in das Ersatzschaltbild im Bild 6.14 über:

Bild 6.15

Ersatzschaltbild mit den

Induktivitäten M', L1 – M'

und L' – M'

2

232

6 Der Transformator

Mit dem Ersatzschaltbild mit reduzierten Größen lassen sich nur dann die Längsinduktivi-
täten durch Streuinduktivitäten ersetzen, die im Band 1, Abschnitt 3.4.7.3, S.337 und

S.340 definiert wurden (vgl. Gl. 3.366 und 3.367 mit M12 = M21 = M und Gl. 3.373 und

3.374), wenn ü = w1/w2 festgelegt wird:

L

L =

+

=

= 1s

1

M w1

L

M ' + L
w

1s

1s

2

1
oder

L

=

(

1s

L1 M' = 1 L1

(6.50)

und

L

L =

+

= 2s

2

M w2

L
w

2s

1

2

2

2

2
w

L

1

L = w1 M + w1

L = w1

2s
w

2

2s

2

w2
w2
w2

2

L'

L' =

'

= 2s

2

M' + L2s

2
oder

L'

= '

( '

2s

L2

M' = 2 L2,

(6.51)

wobei 1 und 2 die Streufaktoren sind.

Mit den reduzierten Größen

2

U' =

= w1

R' = ü2 R = w1

R

2
ü U2

U
w

2

2

2
w

2

2

2

2

I ' = 1 I = w2 I

L' = ü2 L = w1

L

2
ü

2
w

2

2

2
w

2

1

2

2

2

M' = ü M = w1 M

L'

= ü2 L = w1

L

Z
w

2s

2s
w

2s

Z' = ü2 Z = w1
w

2

2

2

lauten dann die Spannungsgleichungen mit Gl. (6.47) bis (6.49)

U =

( +

( +

'

1

R1 I
jL

I
jM' ( ( I

I )

(6.52)

1

1s

1

1

2

U' = ' ( '

'

( ' +

'

2

R

I
jL

I
jM' ( ( I

I )

(6.53)

2

2

2s

2

1

2

U' =

'

2

Z' I .

(6.54)

2
wobei der Strom I '

'

μ = I I

Magnetisierungsstrom genannt wird:

1

2

U =

+

+

'

1

R1 I
jL

I
jM' I

(6.55)

1

1s

1
μ

U' = ' ( '

'

( ' +

'

2

R

I
jL

I
jM' ( I

(6.56)

2

2

2s

2
μ

U' =

'

2

Z' I .

(6.57)

2

6.3 Ersatzschaltbilder mit galvanischer Kopplung

233

Diese Spannungsgleichungen entsprechen dem Ersatzschaltbild im Bild 6.16:

Bild 6.16

Ersatzschaltbild mit

Streuinduktivitäten

Grafisch bedeuten die Spannungsgleichungen Zeigerbilder, die für einen induktiven und
einen kapazitiven Belastungswiderstand folgendes Aussehen haben:

Reihenfolge der Darstellung
beider Zeigerbilder:

I ' 2

U ' = Z ' I '

2

2
mit Z ' = Z ' e j)

() > 0 bzw. ) < 0)

R ' '

2

I 2

Bild 6.17 Zeigerbild des Transformators
mit Streuinduktivitäten und induktiver
jL '

'

Belastung

2s

I 2
jM ' I '

'

'

'

'

'

μ = U +

+

2

R2 I
jL

I

2

2s

2
jM ' I ' μ

I ' μ = jM '

I = I ' + I '

1
μ

2
jL

1s

I 1

R

1

I 1

U =

' +

+

1
jM ' Iμ jL1s I

R

I

1

1

1

Bild 6.18 Zeigerbild des Transformators
mit Streuinduktivitäten und kapazitiver

Belastung

234

6 Der Transformator

Ersatzschaltbilder mit anderen Reduktionen ü

Die Spannungsgleichungen mit M', L

'

1 – M' und L2 – M' (Gl. 6.44 bis 6.46) sind nur
durch Erweitern mit ü entstanden, ohne dass ü einer besonderen Bedingung unterliegt

(siehe Gl. 6.41 bis 6.43). Die Zahl ü kann also beliebig gewählt werden, so dass sich beliebige Ersatzschaltbilder entwickeln lassen.

Beispiel:

Ersatzschaltbild ohne Längsinduktivität L'

– M':

2

Mit

L' – M' = ü2 L

2

2 – ü · M = 0
ist

M
ü =

.

(6.58)

L2

Damit ergibt sich für die beiden restlichen Induktivitäten des Ersatzschaltbildes:

k2 L L

M' = ü M = M2 =

1

2

L

L

2

2

M' = k2 ( L = (1 ) ( L

(6.59)

1

1
und
k2 L L

L M' = L ü M = L M2 = L

1

2

1

1

1

L

1

L

2

2

L M' = L ( (1 k2 ) = ( L

(6.60)

1

1

1
wobei

M = k L L

(Gl. 3.369, Band 1, S.338)

1

2
und
k2 = 1 –

(Gl. 3.377, Band 1, S.340).

Das Ersatzschaltbild hat dann folgendes Aussehen :

Bild 6.19

Ersatzschaltbild des Trans-
formators mit nur einer

Längsinduktivität

6.3 Ersatzschaltbilder mit galvanischer Kopplung

235

Beispiel:

Von einem Transformator sind folgende Größen bekannt:

w1 = 5000
w2 = 500

R1 = 500

R2 = 15

L1 = 5H

L2 = 0,1H
k = 0,6.

Mit Hilfe des Ersatzschaltbildes mit bezogenen Größen und einem Zeigerbild sollen die Eingangsspannung und der Eingangsstrom ermittelt werden, wenn der Transformator sekundär-
seitig mit der verlustbehafteten Kapazität (Ersatzschaltung: Reihenschaltung) Cr = 100μF, Rr = 20 belastet wird und wenn die sekundäre Spannung U2 = 1kV, f = 50Hz betragen soll.

1. Zunächst soll das Ersatzschaltbild des belasteten Transformators gezeichnet und die Ersatzbildgrößen berechnet werden.

2. Dann ist das Zeigerbild quantitativ zu entwickeln, wobei die einzelnen Schritte und die Berechnungen anzugeben sind.

3. Aus den abgelesenen Größen Eingangsspannung U1, Eingangsstrom I1 und die Phasenver-
schiebung 1 zwischen U1 und I1 ist der Ersatz-Zweipol in Reihenschaltung zu ermitteln.

Lösung:

Zu 1:

Ersatzschaltbild siehe Bild 6.20 (nach Bild 6.16).

Bild 6.20 Ersatzschaltbild des Transformators mit

Streuinduktivitäten für das Beispiel

Ersatzbildgrößen:

Mit
ü = w1/w2 = 5000/500 = 10
sind

R = 500

1

M ' = ü M = 10 0,424 H = 4,24 H
mit

M = k L L

1 2

M = 0,6 5 0,1 H = 0,424 H

L

= L M' = 5 H 4,24 H = 0,76 H

1s

1

L'

= L' M' = ü2 L M' = 100 0,1 H 4,24 H = 5,76 H

2s

2

2

R' = ü2 R = 100 15 = 1500

2

2

U' = ü U = 10 1kV = 10kV

2

2

R' = ü2 R = 100 20 = 2000
r
r

C' = C / ü2 = 100 μF / 100 = 1 μF
r
r

236

6 Der Transformator

Zu 2:

Zeigerbild siehe Bild 6.21.

U' = 10 kV

2

U'

I' =

2 = 10 kV = 2,66 A

2

Z'

3760

2

2
mit

Z' =

R' 2 +

1

= (2000 )2 +

1

= 3760
r

C '

2 50 s1 1μF
r

1

1
und = arctan

= arctan

= 57,8°

R' C'

2 50 s1 2000 1 μF
r
r

R ' I' = 1500 2,66 A = 3,99 kV

2

2

L' I' = 2 50 s1 5,76 H 2,66 A = 4,81 kV

2s

2
abgelesen:

M' I'μ = 10,2 kV

M' I'μ

I'μ =

=

10,2 kV

= 7,66 A

M'

2 50 s1 4,24 H
abgelesen:

I = 7,2 A

1

L I = 2 50 s1 0,76 H 7,2 A = 1,72 kV

1s

1

R I = 500 7,2 A = 3,6 kV

1

1
abgelesen:

U = 13 kV und ) = 57

1

1

Bild 6.21

Zeigerbild für das

Transformator-Beispiel

Zu 3:

Z = R + jL = Z ( cos ) + j ( Z ( sin )

r
r
r
r

1
r

1

U
mit R = Z ( cos =

1 ( cos = 13 kV ( cos 57 = 983
r
r

1

I

1

7,2 A

1

U
und L = Z ( sin ) =

1 ( sin )

r
r

1

I

1

1

U

L =

1
sin =

13 kV

= 4,82H
r

I

1

1

2 50 s1 7,2 A

6.4 Messung der Ersatzschaltbildgrößen des Transformators

237

6.4 Messung der Ersatzschaltbildgrößen des Transformators

Für einen Transformator mit gleichsinnigem und gegensinnigem Wickelsinn werden die

Größen R1, R2, L1, L2 und M12 = M21 = M des Ersatzschaltbildes (Bild 6.22) durch

Gleichstrom- und Wechselstrommessungen ermittelt.

Bild 6.22

Größen des Ersatzschaltbildes eines

Transformators

Messung der ohmschen Spulenwiderstände R 1 und R 2 mittels Gleichspannung: Der ohmsche Widerstand R1 der PrimärDer ohmsche Widerstand R2 der Se-
spule wird bestimmt, indem bei sekundä-
kundärspule wird ermittelt, indem die
rem Leerlauf eine Gleichspannung U1 an

Primärspule offen bleibt und an die Se-
die Primärspule angelegt und der Gleich-
kundärspule eine Gleichspannung U2 an-
strom I1 durch die Primärspule gemessen
gelegt
wird.

Mit
dem
gemessenen
wird (Bild 6.23). Der ohmsche Wider-

Gleichstrom I2 (Bild 6.24) kann der ohm-
stand kann dann aus
sche Widerstand nach

R = U1

= U2

1

(6.61)

R

(6.62)

I

2

1

I2
errechnet werden.

berechnet werden.

Bild 6.23 Messung des ohmschen

Bild 6.24 Messung des ohmschen

Widerstandes der Primärspule

Widerstandes der Sekundärspule

Für die Ermittlung der Gleichstromwiderstände ist es gleichgültig, ob die beiden Spulen
gleichsinnig oder gegensinnig gewickelt sind.

238

6 Der Transformator

Messung des primären Leerlaufwiderstandes Z 1 l ( Leerlauf- Eingangswiderstand Z in l und des sekundären Leerlaufwiderstandes Z 2 l ( Leerlauf- Ausgangswiderstand Z out l) und damit der ohmschen Widerstände R 1 und R 2
und der Selbstinduktivitäten L 1 und L 2 mittels Wechselspannung: Bei sekundärem Leerlauf wird an die

Bei primärem Leerlauf wird an die Se-

Primärspule eine sinusförmige Wechsel-
kundärspule eine sinusförmige Wechsel-
spannung
spannung
u1 = û1 · sin (t + u1) angelegt,
u2 = û2 · sin (t + u2) angelegt,
und der sinusförmige Strom
und der sinusförmige Strom
i1 = î1 · sin (t + ) und
i

) und
i1

2 = î2 · sin (t + i2
die Phasenverschiebung
die Phasenverschiebung

= – werden gemessen.

= – werden gemessen.

1
u1
i1

2
u2
i2

Bild 6.25 Leerlauf-Eingangswiderstand für die

Bild 6.26 Leerlauf-Ausgangswiderstand für

Ermittlung von R1 und L1
die Ermittlung von R2 und L2

Im Bildbereich (Bild 6.25) kann der

Im Bildbereich (Bild 6.26) kann der se-
primäre Leerlaufwiderstand oder Leer-
kundäre Leerlaufwiderstand oder Leer-
lauf-Eingangswiderstand als Quotient der
lauf-Ausgangswiderstand
als

Quotient
beiden komplexen Zeitfunktionen Span-
der beiden komplexen Zeitfunktionen
nung u1 und Strom i1 bzw. als Quotient

Spannung u2 und Strom i2 bzw. als Quo-
der beiden komplexen Effektivwerte U1
tient der beiden komplexen Effektivwerte
und I1 gebildet werden:

U2 und I2 gebildet werden:

u

U

U

Z

=

= u1 = U1 = U1

=

2

2

2

1 l

Zin l
e j)1

Z

Z

=

=
e j)2
i

I

I

2 l
out l = i

I

I

1

1

1

2

2

2

Z

=

=

+

=

=

+

1 l

Zin l

R1
jL1

(6.63)

Z2 l

Zout l

R2
jL2

(6.64)

d. h. R = U1

1
cos )

d. h. R = U2 cos )

I

1

2

2

1

I2

L = U1 (

1
sin )

= U2 (

L
sin )

I

1

2

2

1

I2

Die Gleichstrommessung für die ohmschen Widerstände R1 und R2 wird also durch die

Wechselstrommessung bestätigt.

Ob die beiden Spulen gleichsinnig oder gegensinnig gewickelt sind, spielt für die Ermittlung des Leerlauf-Eingangswiderstandes und Leerlauf-Ausgangswiderstandes keine Rolle.

6.4 Messung der Ersatzschaltbildgrößen des Transformators

239

Messung der Gegeninduktivität M bei konstanter Permeabilität μ mittels Wechselspannung:

Die Gegeninduktivität M kann auf verschiedene Weise messtechnisch ermittelt werden:

1. Messung der sekundären Leerlauf Spannung und des Primärstroms

Bei sekundärem Leerlauf wird an die

Primärspule eine Wechselspannung
u1 = û1 · sin (t + u1) angelegt,
und der sinusförmige Primärstrom
i1 = î1 · sin (t + )

i1

Bild 6.27 Messung der Gegenin-
und die sinusförmige sekundäre Leerlaufspannung
duktivität bei sekundärem Leerlauf
u
des Transformators

2 l = û2 l · sin (t + u2) werden gemessen.

Im Bildbereich (Bild 6.27) ergibt sich mit der Spannungsgleichung für den Sekundär-
kreis nach Gl. (6.5) bzw. (6.11) für ausgangsseitigem Leerlauf mit I2 = 0:

U

=

2 l
jM I .

(6.65)

1

Damit lässt sich die Gegeninduktivität ermitteln:

M = j U2 l = U2 l e j(
u 2
i1

/ 2)

mit

– j = ej(–/2)

(6.66)

I

I

1

1

2. Ermittlung der Gegeninduktivität M durch Messung des Widerstandes der Reihen-
schaltung und Gegenreihenschaltung der beiden Spulen des Transformators

Bei der Behandlung der Zusammenschaltung gekoppelter Spulen im Abschnitt 3.4.7.2

(siehe Band 1, S.329, Bilder 3.199 und 3.200) wurden die Reihenschaltung und die

Gegen-Reihenschaltung bei gleichsinnigem Wickelsinn beider Spulen unterschieden.

Wird an die Reihenschaltung der beiden Spulen mit gleichsinnigem Wickelsinn eine
sinusförmige Spannung u = û · sin (t + u) angelegt, dann stellt sich ein sinusförmi-
ger Strom i = î · sin(t + i) ein.

Bild 6.28

Reihenschaltung
der beiden Spulen
des Transformators

Im Bildbereich (Bild 6.28) lässt sich der komplexe Reihenwiderstand aus den komple-
xen Effektivwerten von Spannung U und Strom I angeben und durch einen Ersatz-
zweipol mit R und jLr1 darstellen:

Z

= U = U
i ) =

=
r1
e j(u

R + j X

R + jL

I

I
r1
r1

Z

=

+

+

+

+
r1

R1 R2
j (L1 L2 2M)

(6.67)

mit R = R1 + R2 und Lr1 = L1 + L2 + 2 M

(vgl. Gl. 3.347, Band 1)

240

6 Der Transformator

Wird an die Gegen-Reihenschaltung der beiden Spulen mit gleichsinnigem Wickelsinn
eine sinusförmige Spannung u = û · sin (t + u) angelegt, dann stellt sich ein sinus-
förmiger Strom i = î · sin (t + i) ein, der sich vom Strom der Reihenschaltung un-
terscheidet.

Bild 6.29

Gegen-Reihenschaltung
der beiden Spulen des

Transformators

Im Bildbereich (Bild 6.29) lässt sich entsprechend ein komplexer Widerstand aus den
komplexen Effektivwerten von Spannung U und Strom I angeben und durch einen Er-
satz-Zweipol mit R und jLr2 darstellen:

Z

= U = U
i ) =

=
r2
e j(u

R + j X

R + jL

I

I
r2
r2

Z

=

+

+

+

r2

R1 R2
j (L1 L2 2M)

(6.68)

mit R = R1 + R2 und Lr2 = L1 + L2 – 2 M

(vgl. Gl. 3.348, Band 1)

Wird von den ermittelten komplexen Widerständen die Differenz Zr1 – Zr2 gebildet,
dann heben sich die ohmschen Anteile R1 + R2 und induktiven Anteile j(L1 + L2)

auf, und die Gegeninduktivität lässt sich mit der Formel

M = j ( (Z Z

( (X X

4
r1
r2 ) =

1

4
r1
r2 )

(6.69)

berechnen.

Bei einem Tranformator mit gegensinnigem Wickelsinn der Spulen handelt es sich um
die Reihenschaltung, wenn der Strom jeweils in die mit einem Punkt gekennzeichne-
ten Klemmen fließt; beide unteren Klemmen müssen dann wie im Bild 6.29 zusam-
mengeschlossen werden. Die Gegen-Reihenschaltung entsteht, wenn die beiden Spu-
len mit gegensinnigem Wickelsinn wie im Bild 6.28 in Reihe geschaltet sind; der

Strom fließt einmal in die gekennzeichnete Klemme und dann in die nicht gekenn-
zeichnete Klemme. Die Formeln für die komplexen Widerstände Zr1 und Zr2 sind die
gleichen wie für einen Transformator mit gleichsinnigem Wickelsinn.

3. Ermittlung der Gegeninduktivität mit Hilfe einer Wechselstrom-Brückenschaltung

In der Übungsaufgabe 4.31 im Abschnitt 4.6 ist eine Wechselstrombrücke dargestellt

(Bild 4.134), die die messtechnische Ermittlung der Gegeninduktivität ermöglicht.

6.4 Messung der Ersatzschaltbildgrößen des Transformators

241

Beispiel:

Um für einen Übertrager die Ersatzschaltbildgrößen ermitteln zu können, wurde nacheinander die sinusförmige Spannung u mit U = 200V und f = 100kHz an den Transformator angelegt, und zwar
an die Primärspule bei sekundärem Leerlauf (Ergebnis: I1 l = 314mA, 1 l = 85,5°), an die Reihenschaltung beider Spulen (Ergebnis: Ir1 = 14,6mA, r1 = 87,7°) und
an die Gegen-Reihenschaltung beider Spulen (Ergebnis: Ir2 = 32,3mA, r2 = 84,9°).

1. Zunächst sind die komplexen Widerstände Z1 l, Zr1 und Zr2 in algebraischer Form zu berechnen.

2. Dann sind aus den komplexen Widerständen die Ersatzschaltbildgrößen zu bestimmen.

Lösung:

Zu 1.

Z

= U =

200 V

( ej(85,5 = 50 + j ( 635

1 l

I 1 l

314 ( 103A

Z

= U =

200 V

( ej(87,7 = 550 + j (13688
r1

I r1

14,6 ( 103A

Z

= U =

200 V

( ej(84,9 = 550 + j ( 6167
r2

I r2

32,3 ( 103A

Zu 2.

Aus

Z

= R + j X = R + jL

(nach Gl. 6.63) ergeben sich

1 l

1

1 l

1

1

R1 = 50
und

X

L =

1 l =

635

= 1 mH,

1

2 100 103 s1
aus

Z

= R + j X = R + R + j (L + L + 2 M)

(nach Gl. 6.67)

r1
r1

1

2

1

2
ergibt sich

R2 = R – R1 = 550 – 50 = 500 ,
und

X

X

M =
r1
r2 = 13688 6167 = 3 mH ,

(nach Gl. 6.69)

4

4 2 100 103s1
aus

X

= (L + L + 2M)

r1

1

2
ergibt sich

X

L =
r1 L 2M =

13688

1 mH 2 3 mH = 14,8 mH

2

1

2 100 103s1
oder aus

Z

= R + j ( X = R + R + j(L + L 2M)

(nach Gl. 6.68)

r2
r2

1

2

1

2
ergibt sich

X

L =
r2 L + 2M =

6167

1 mH + 2 3 mH = 14,8 mH

2

1

2 100 103s1

242

6 Der Transformator

6.5 Frequenzabhängigkeit der Spannungsübersetzung
eines Transformators

Ortskurve des Spannungsverhältnisses eines Transformators Unter den Voraussetzungen, dass
der sekundäre Verlustwiderstand R2 vernachlässigt wird und
der Belastungswiderstand Z ein ohmscher Widerstand ist,
kann das Spannungsverhältnis des Transformators als „einfache Ortskurve“ im Sinne des

Abschnitts 5.1 dargestellt werden. Für die Ermittlung der Ortskurve eignet sich das Er-
satzschaltbild des Transformators mit dem Reduktionsfaktor ü = M/L2, also mit nur einer

Längsinduktivität (siehe Bild 6.19 im Abschnitt 6.3), das mit obigen Voraussetzungen

R2 = 0 und Z = R im Bild 6.30 gezeichnet ist.

Bild 6.30

Vereinfachtes Ersatzschaltbild
des Transformators mit einer

Längsinduktivität

Die Herleitung der Ortskurvengleichung für U'2 / U1 und die Konstruktion der Ortskurve erfolgt analog wie im Beispiel 8 im Abschnitt 5.3, S. 205–206, denn anstelle von Kapazitäten (siehe Bild 5.22) sind im Ersatzschaltbild Induktivitäten zu berücksichtigen:

1

1 1

U'2

R'

jk2L1

U

1

1

R jL

1

1

1

1

R'

jk2L

1

'

U2

1

1

U

" 1

1

#

1 ( 1

R j 1

L ) $

%

'

2

R
j

&
k 1

L '

'

U2

1

1

U

"

#

"

#

1

R

1

L

1

L

1

R

1

$

% j $

%

'

2

'

2

R
k

&

1

L

R

'

&
k 1

L '

'

U2

1

mit

= p · 0 (6.70)

1

U

"

#

"

#

1

R

1

L

1

L

1

R

1

$

% j p

$ 0

%

'

2

'

2

R
k

&

1

L

R
p

'

&

0
k 1

L '

Die Ortskurve U'2 /U1 ist ein Kreis durch den Nullpunkt mit dem Mittelpunkt auf der
reellen Achse.

6.5 Frequenzabhängigkeit der Spannungsübersetzung eines Transformators

243

Die Bezugsfrequenz 0 wird errechnet, indem der Imaginärteil der Nennergeraden mit
p = 1 Null gesetzt wird:

L1 = R1 =

0

QT

(6.71)

R'

0k2L1

=

R' ( R1

= 1 ( R' ( R1

0

L (

L

(

1 k2L1

1
k2
bzw. f =

1

( R' ( R1

0

(6.72)

2 ( L1

( k2
und mit

2

R ' = ü2 R = M

R

L2
ist

=

M2 ( R ( R1

0

L 2 (

2 ( (

1

L2
k2
und mit

M2

= k2
aus

M = k L

L

1L2

1 L2
ist

=

R ( R1

0

( L (

1 L2
bzw. f = 1 (

R ( R1

0

.

(6.73)

2

( L (

1 L2

Bei der Konstruktion des „Kreises durch den Nullpunkt“ wird mit der Darstellung der

Nennergeraden

U

1 =

L

1

+ R1 +

1 + j( Q (

T
p 1

U'

p = A + j ( B ( p 1

p ,

2

R'

k2L1
begonnen, die eine Parallele zur imaginären Achse ist. Der Ortskurvenpunkt mit p = 1
liegt auf der reellen Achse, die Parameterwerte für p > 1 liegen oberhalb und die für p < 1
unterhalb der reellen Achse.

Um die Bandbreite f = fg2 – fg1 des Spannungsverhältnisses (siehe Abschnitt 4.5.1,

Gl. 4.120) bei 45°-Verstimmung bestimmen zu können, werden die Zeiger bei + 45ůnd bei – 45° an die Gerade gezeichnet. Der positive Imaginärteil und der negative Imaginärteil sind dann jeweils gleich dem Realteil der beiden Zeiger:

L

L

Q

+

1

+

1

T
p 1
bzw.

Q

p = 1 + R1

T
p 1

R'

k2L

p = 1 + R1

1

R'

k2L1

Damit lassen sich der p-Wert für die obere Grenzfrequenz fg2, der p-Wert für die untere

Grenzfrequenz fg1 und die Bandbreite f errechnen.

244

6 Der Transformator

Bei praktischen Berechnungen können für tiefe und hohe Frequenzen bestimmte Anteile
in

L

L

Q

=

1 R1

=

+

1

T
p 1

1 + R1
p

R'

k2L1

R'

k2L1
vernachlässigt und damit für die Grenzfrequenzen Formeln angegeben werden:

Bei tiefen Frequenzen werden die Streuglieder L1/R' und L1/k2L1 vernachlässigt, so dass sich für die untere Grenzfrequenz errechnen lässt:

Aus

R1

= 1 + R1

g1 k2 L1

R'

ergibt sich

=

1

R1
g1
k2 L1 1 + R1

R'

=

1

1
g1
k2 L

1

1

+ 1

R1

R'

bzw.

f

=

1

1
g1

(6.74)

2k2L

1

1

+ 1

R1

R'

und mit

2

R' = ü2 R = M

R

L2

=

1

1

=

1

=

1
g1
k2 L

2

2

2

1

1 + L2
k2 L1 + k2 L1 L2
k2 L1 + L1 L2

R

1

M2 R

R1

M2 R

R1

L1 L2 R
mit
k2 = 1
aus

M = k L1L2

M2

L

1 L2

=

1
g1
k2 L1 + L2

R1

R
bzw.

f

= 1

1
g1

(6.75)

2 k2 L1 + L2

R1

R

6.5 Frequenzabhängigkeit der Spannungsübersetzung eines Transformators

245

Bei hohen Frequenzen kann zunächst R1/(k2L1) vernachlässigt werden:

Aus

( L1 =

+ L1
g2

1 + R1

R'

R'

k2L1
ergibt sich

= 1 ( R'

+ R1 + R' (
g2

,

L

1

L1
k2 ( L1
dann kann R' · /(k2 · L1) entfallen:

= R' + R1
g2

( L1
bzw.

f

= 1 ( R' + R1
g2

(6.76)

2

( L1
und mit

2

M2

R' = ü2 R = M

R
und

= k2

L

2

L1 L2

= 1 ( M2 ( R

+ R1
g2

L ( 2

L

1 L2

1

= 1 ( k2 ( R + R1
g2

L

2

L1
bzw.

f

=

1

( k2 ( R + R1
g2

2 (

L

2

L1 .

(6.77)

Bei Übertragern mit geringer Streuung, genannt „fest gekoppelte Transformatoren“, kann
die obere Grenzfrequenz einige Hundert mal so groß sein wie die untere Grenzfrequenz.

Um den Durchlassbereich beurteilen zu können, wird das Verhältnis der oberen zur unteren Grenzfrequenz berechnet:

g2 = 1 ( k2R + R1

+ L2

g1

L

2

L1 ( k2L1

R

1

R
g2

(

(

= 1 ( (k2L1 R + R1 L2)2

(6.78)

(

(

(
g1

L1 L2 R1 R

246

6 Der Transformator

Der Mittelpunkt des Kreises durch den Nullpunkt für U'2 /U1 liegt auf der reellen Achse
im Abstand 1/(2A):

1

=

1

=

1

2 A

L

R

L

2 1

+ R1 +

1 2 1

+ L2

1

+

1

R'

k2L

1
k2 L1 R
k2L1

R

2 R

2 R

R
mit

1 = R1 = L2

1 =

L2

1

= L2

1

R'

ü2 R

M2 R
k2 L

1 L2

R
k2 L1 R

Bild 6.31 Ortskurven der frequenzabhängigen

Bild 6.32 Betrag des frequenzabhängigen

Spannungsverhältnisse von Transformatoren

Spannungsverhältnisses eines Transformators

(Übertragern) zur Ermittlung der Bandbreite

(Übertragers)

Aus der Ortskurve können dann die Beträge U'2 / U1 in Abhängigkeit von den Parame-
tern p, also von der Frequenz bzw. f, abgelesen und in einer Durchlasskurve dargestellt werden (Bild 6.32).

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 6.1 bis 6.5

247

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 6.1 bis 6.5

6.1

1. Ermitteln Sie mittels quantitativem Zeigerbild die Effektivwerte der Eingangsspannung U1 und des Eingangsstroms I1 für einen Transformator mit

R1 = 6

L1 = 20mH

R2 = 10

M = 15mH
k = 0,5
bei gegebener Ausgangsspannung U2 = 40V, = 10000s–1 und ohmscher Belastung

R = 200.

2. Bestätigen Sie die Ergebnisse rechnerisch.

3. Auf welchen Wert verändert sich die Ausgangsspannung U2, wenn die Eingangsspannung

U1 = 220V beträgt?

4. Auf welchen Wert vermindert sich die Spannung U1 bei geforderter Ausgangsspannung

U2 = 40V, wenn die Streuung des Transformators vernachlässigt werden kann („feste

Kopplung“)?

6.2

1. Entwickeln Sie aus den Transformatorgleichungen eines verlustlosen Umkehrübertragers

(gegensinnige Wicklungsanordnung) die Formel für den Kurzschluss-Eingangswiderstand
in Abhängigkeit von , und L1.

2. Bestätigen Sie das Ergebnis mit Hilfe eines Ersatzschaltbildes mit galvanischer Kopplung.

3. Berechnen Sie die Ersatzinduktivität Lers des Übertragers, wenn L1 = 20mH, L2 = 45mH
und M = 15mH betragen.

6.3

Für Widerstandstransformationen eignet sich der gezeichnete Spartransformator mit kapazitiver Belastung, bei dem die Verluste vernachlässigt sind.

Bild 6.33

Übungsaufgabe 6.3

1. Geben Sie die drei Spannungsgleichungen für den belasteten Spartransformator an.

2. Ermitteln Sie aus den Gleichungen den Eingangswiderstand Zin in Abhängigkeit von L1,

L2, M, , Rr und Cr.

3. Wie groß ist der Eingangswiderstand Zin , wenn die Ersatzinduktivität L = L1 + L2 + 2M
mit der Kapazität Cr in Resonanz ist?

4. Sind L1 = 200mH

L2 = 200mH
k = 0,6

Rr = 25

Cr = 62,5nF und L und Cr in

Resonanz, dann ist der Eingangswiderstand induktiv. Berechnen Sie die Resonanzfre-
quenz und den induktiven Eingangswiderstand.

6.4

Die Ersatzschaltbildgrößen eines Transformators betragen R1 = 60, R2 = 100, L1 = 20mH, L2 = 45mH und k = 0,5. Bei einer Kreisfrequenz = 10000s–1 soll der Transformator mit
einer Spule belastet werden, deren Ersatzschaltung einer Reihenschaltung von Rr = 50 und Lr = 8,67mH entspricht, wobei die Spannung an der Spule U2 = 40V betragen soll.

Mit Hilfe des Ersatzschaltbildes mit Streuinduktivitäten sollen das Zeigerbild und damit die Eingangsgrößen U1 und I1 ermittelt werden.

1. Zeichnen Sie das Ersatzschaltbild mit Streuinduktivitäten für den speziellen Belastungs-fall und ermitteln Sie die Ersatzschaltbildgrößen mit ü = 1,2.

2. Entwickeln Sie das Zeigerbild mit den gegebenen und berechneten Größen, wobei Sie die Reihenfolge der Darstellung angeben. Wie groß sind I1 und U1?

3. Wie ändern sich I1, I2 und U2, wenn die Eingangsspannung U1 = 500V beträgt?

248

6 Der Transformator

6.5

Für einen Transformator mit Eisenverlusten soll das Zeigerbild entwickelt werden. Die Eisenverluste werden durch den ohmschen Widerstand Re erfasst.

Bild 6.34

Übungsaufgabe 6.5

Die Belastung des Transformators ist induktiv:

Rr = 20 und Lr = 95,5mH.

Gegeben sind:

U2 = 600V, f = 50Hz
w1 = 2500

R1 = 400

L1s = 0,8H

M = 1,2H
w2 = 500

R2 = 40

L2s = 0,12H

Re = 5k

1. Berechnen Sie die Ersatzschaltbildgrößen mit ü = w1/w2.

2. Entwickeln Sie das quantitative Zeigerbild und geben Sie U1, I1 und 1 an.

6.6

1. Bei einer Kreisfrequenz = 10000s–1 wurden an einem Übertrager folgende Wechsel-
stromwiderstände gemessen:

Z1 l = 6 + j · 80

Zr1 = 42 + j · 830

Zr2 = 42 + j · 230

Ermitteln Sie die Ersatzschaltbildgrößen des Transformators.

2. Geben Sie das Ersatzschaltbild mit nur einer Längsinduktivität (ü = M/L2) an und errechnen Sie mit den unter 1. ermittelten Werten die Ersatzschaltbildgrößen. Die Belastung be-trägt R = 180.

3. Entwickeln Sie für das Ersatzschaltbild ein quantitatives Zeigerbild, wenn der sekundäre Strom I2 = 0,1A beträgt. Lesen Sie aus dem Zeigerbild U1 und ) ab.

1

4. Berechnen Sie den Eingangswiderstand des Übertragers aus den Ergebnissen des Zeiger-
bildes. Kontrollieren Sie das Ergebnis mit der Ersatzschaltung.

6.7

Für einen Übertrager mit R1 = 50, L1 = 0,8mH, L2 = 16mH, k = 0,995, R2 = 0 (vernachläs-
sigt) und einer ohmschen Belastung R = 1k soll das Spannungsverhältnis

'

U2 / 1

U
in Ab-
hängigkeit von der Frequenz berechnet werden.

1. Ermitteln Sie für die Ersatzschaltung mit nur einer Längsinduktivität die Ersatzschaltbildgrössen.

2. Für das Spannungsverhältnis

'

U2 / 1

U
ist die Ortskurvengleichung zu berechnen und die

Ortskurve zu zeichnen.

3. Tragen Sie in die Ortskurve für

'

1

U / U2 den 45°-Zeiger und den –45°-Zeiger ein und le-
sen Sie die beiden p-Werte für die Grenzfrequenzen ab. Weisen Sie die p-Werte rechne-
risch nach. Geben Sie die obere und die untere Grenzfrequenz und die Bandbreite an.

4. Kontrollieren Sie mit Hilfe der Näherungsformeln die Ergebnisse für die Grenzfrequen-
zen.

5. Um wie viel mal höher liegt die obere Grenzfrequenz gegenüber der unteren Grenzfre-
quenz?

6. Berechnen Sie die Funktionswerte der Funktion |

'

U2 / 1

U | = f(p) und stellen Sie die Funk-
tion in Abhängigkeit von der Frequenz f dar.

Kontrollieren Sie die p-Werte mit Hilfe der Ortskurve.

249

7 Mehrphasensysteme

7.1 Die m-Phasensysteme

Einphasensystem

Durch Rotieren einer Spule in einem homogenen Magnetfeld wird in der Spule eine

Wechselspannung induziert, so dass sich beim Anschließen eines Verbrauchers an die

Spulenklemmen ein Wechselstrom einstellen kann (siehe Band 1, S. 298–299, Abschnitt

3.4.6.1, Beispiel 2). Einphasensysteme sind Wechselstromsysteme mit je einer Strombahn
für Hin- und Rückleitung, in und entlang denen die elektrischen und magnetischen Grö-
ßen verlaufen (zitiert aus DIN 40 108). Sie wurden in den Kapiteln 4, 5 und 6 behandelt.

Mehrphasensysteme

Werden mehrere selbständige gleich gestaltete Spulen (Anzahl m) um den gleichen Win-
kel = 2/m versetzt angeordnet im homogenen, zeitlich konstanten Magnetfeld mit der

Winkelgeschwindigkeit gedreht, dann werden in jeder Wicklung sinusförmige Wech-
selspannungen uq1, uq2, uq3, … , uqm mit gleicher Frequenz und gleicher Amplitude indu-
ziert, die um den Phasenwinkel = 2/m zueinander phasenverschoben sind (vgl. Bild

3.154 im Band 1, S. 298).

Im Bild 7.1 sind drei Spulen gezeichnet, die um den Winkel = 2/3 versetzt angeord-
net sind. Die in den drei Spulen induzierten Spannungen sind dann um = 2/3 phasen-
verschoben, wie im Zeitbereich und im Zeigerbild ersichtlich ist.

Bild 7.1 Spannungen von drei in einem Magnetfeld drehenden selbständigen Spulen

250

7 Mehrphasensysteme

Praktisch angewendete Wechselstromgeneratoren besitzen keine drehenden Spulen, son-
dern längs der Peripherie des Stators mehrere selbständige Wicklungen mit einem drehenden Rotor, der als Dauermagnet oder mit einer Erregerwicklung ausgeführt ist.

Im Bild 7.2 sind drei Spulen an der Peripherie angeordnet, die sich relativ zu dem sich
drehenden Rotor „bewegen“. Diese Relativbewegung führt zu den gleichen induzierten

Quellspannungen wie im Bild 7.1.

Bild 7.2

Dreiphasengenerator

Werden die Generatorspulen durch Wechselstromwiderstände belastet, dann liegen auf-
grund der Wechselstrom-Innenwiderstände an den Spulen nur die sinusförmigen Klem-
menspannungen u1, u2, u3, … , um an.

Die in Mehrphasengeneratoren induzierten, um den Winkel versetzten sinusförmigen Quellspannungen und die Klemmenspannungen gleicher Frequenz und gleicher Amplitude können im Zeitbereich und durch Zeiger im Bildbereich dargestellt werden.

Symmetrisches Strom- und Spannungssystem

Die komplexen Effektivwerte der abgebildeten sinusförmigen Spannungen an den Spulen
eines Mehrphasengenerators U1, U2, … , Um bilden einen symmetrischen Stern, weil die

Zeiger benachbarter Spannungen durch Drehung um den Winkel = 2/m ineinander
überführt werden können:

u1 = û · sin t

U1
u

U

2 = û · sin (t – )

2 = U1 · e–j·
u

U

3 = û · sin (t – 2)

3 = U1 · e–j·2
u

U

4 = û · sin (t – 3)

4 = U1 · e–j·3

.

.

.

.

.

.

um = û · sin [t – (m – 1) · ]

Um = U1 · e–j· (m – 1)

7.1 Mehrphasensysteme

251

Auch die abgebildeten komplexen Effektivwerte der Ströme I1, I2, . . . ,Im, die sich durch Anschluss gleicher Wechselstromwiderstände Z = R + j · X = Z · ej an die Spulenklemmen ergeben, bilden einen symmetrischen Stern, weil sie ebenfalls gleiche Effektiv-
werte und den gleichen Phasenwinkel haben:

I = U1 =

U1 =

1

I ( e j

Z

Z ( e j
e j

I = U2 = U1

=

2

I e j(+)

Z

Z e j
e j2

I = U3 = U1

=

3

I e j(2+)

Z

Z e j
e j3

I = U4 = U1

=

4

I e j(3+)

Bild 7.3 Zeigerbild für das sym-

Z

Z e j
metrische Strom- und Spannungs-

.

system eines Sechsphasensystems

.

(m = 6)

.

e j(m1)

I

= Um = U1

=
m

I e j[(m1)+] .

Z

Z e j

Sind die Wechselstromwiderstände bzw. komplexen Widerstände für alle Phasen gleich,
dann wird das Mehrphasensystem symmetrisch genannt. Für gleiche induktive Wechselstromwiderstände in den einzelnen Stromkreisen ergibt sich dann das im Bild 7.3 darge-
stellte Zeigerbild für das symmetrische Strom- und Spannungssystem, hier für ein Sechs-
phasensystem mit m = 6.

Operator des m- Phasensystems

Mit dem Drehzeiger
a = e– j = e– j·2/m,

(7.1)

dem Operator des m- Phasensystems, lassen sich benachbarte Spannungszeiger und Stromzeiger entsprechend der Nummerierung ineinander überführen.

Für ein Dreiphasensystem ist der Operator
a = e–j·2/3 = e– j · 120°
a = cos 120° – j · sin 120° = – 1/2 – j · 1/2 ·

3 .

Mehrphasensysteme oder m- Phasensysteme

Mehrphasensysteme sind also die Mehrphasengeneratoren, die belastenden Widerstände und
die sie verbindenden Leitungen, also die Gesamtheit der Stromkreise.

Hinsichtlich der Anzahl der Phasen (Stränge) werden Mehrphasensysteme in Zweiphasen-
systeme, Dreiphasensysteme und Sechsphasensysteme unterschieden.

252

7 Mehrphasensysteme

Ein Mehrphasensystem ist also ein Wechselstromsystem mit mehr als zwei Strombah-
nen, in und entlang denen die elektrischen und magnetischen Größen mit gleicher Fre-
quenz, mit gleichen oder angenähert gleichen Amplituden, in vorgegebener Phasen-
folge mit gleichen oder angenähert gleichen Phasenverschiebungswinkeln verlaufen

(zitiert aus DIN 40108).

Balancierte Mehrphasensysteme

Ist die Augenblicksleistung p eines Mehrphasensystems zeitlich konstant, obwohl die

Leistungen der einzelnen Phasen veränderlich sind, dann wird das Mehrphasensystem
abgeglichen oder balanciert genannt.

Ein m-Phasensystem kann für m 3 balanciert sein, wenn die Belastung symmetrisch
ist. Die Augenblicksleistung ist dann gleich der Wirkleistung:

p = m · U · I · cos = P.

Nichtverkettete Mehrphasensysteme

Werden die Enden der einzelnen Phasenwicklungen des Generators getrennt herausge-
führt und mittels selbständiger Leitungen an die einzelnen Verbraucher angeschlossen,
dann ist das Mehrphasensystem nicht verkettet.

Verkettete Mehrphasensysteme

Bei verketteten Mehrphasensystemen sind die Phasenwicklungen des Generators mitein-
ander verbunden und zwar in Sternschaltung oder in Ringschaltung (Polygonschaltung).

Die Wechselstromwiderstände (Verbraucher) können ebenfalls in Sternschaltung und in

Ringschaltung (Polygonschaltung) geschaltet sein.

Nach DIN 40 108 ist der Begriff „Phase“ durch den Begriff „Strang“ ersetzt worden und
bedeutet die Strombahn, in der der Strom einer Phase fließt.

Um eine Sternschaltung eines Mehrphasensystems handelt es sich, wenn sämtliche Strän-
ge (Phasenwicklungen) an einem ihrer Enden in einem Sternpunkt N zusammengeschlos-
sen sind. Die an den Spulenklemmen anliegenden Spannungen u1, u2, … , um heißen

Strangspannungen uSt, die im einzelnen mit u1N, u2N, …, umN bezeichnet werden.

Eine Ring- oder Polygonschaltung eines Mehrphasensystems liegt vor, wenn sämtliche

Stränge (Phasenwicklungen) hintereinander geschaltet einen geschlossenen Ring ergeben.

Die an den Generatorspulen anliegenden Spannungen u1, u2, … , um sind dann gleich
den Außenleiterspannungen uLt, die im einzelnen mit u12, u23, u34, … , um–1,m, um,1
bezeichnet werden. Für ein Dreiphasensystem heißt die Ring- oder Polygonschaltung

Dreieckschaltung.

Die Verbindungsleiter der Außenpunkte des Generators und der Außenpunkte des

Verbrauchers heißen Außenleiter, die mit L1, L2, … , Lm bezeichnet werden.

Zwischen einem Mehrphasengenerator in Sternschaltung und einem Mehrphasenverbrau-
cher in Sternschaltung heißt der Verbindungsleiter zwischen den Sternpunkten Stern-
punktleiter oder Neutralleiter, der mit dem Buchstaben N gekennzeichnet wird.

7.1 Mehrphasensysteme

253

Spannungen und Ströme des Mehrphasensystems

Strangspannungen (ehemals Phasenspannungen) uSt bzw. USt sind die Spannungen an
den Klemmen der Phasenwicklungen,

Strangströme (ehemals Phasenströme) iSt bzw. ISt sind die Ströme, die durch die Phasenwicklungen fließen.

Außenleiterspannungen (ehemals Leiterspannungen) uLt bzw ULt sind die Spannungen, die zwischen zwei Außenleiter des verketteten Mehrphasensystems bestehen und

Außenleiterströme (ehemals Leiterströme) iLt bzw. ILt sind die Ströme, die durch die Außenleiter fließen.

Verkettete Mehrphasensysteme ersparen vor allem Leitermaterial hinsichtlich der Rück-
leiter. Bei symmetrischen Stern-Stern-Schaltungen (Generator und Verbraucher in Stern-
schaltung) kann der Sternpunktleiter (Neutralleiter) sogar ganz entfallen, weil der Strom durch den Sternpunktleiter Null ist.

Ströme und Spannungen der Stern- Stern- Schaltung

Bei einer Stern-Stern-Schaltung (Generator in Sternschaltung und Verbraucher in Stern-
schaltung) sind die Außenleiterströme gleich den Strangströmen:

ILt= ISt
mit

ILt = ISt,

(7.2)

d. h. durch die Phasenwicklungen und die komplexen Widerstände treten die Ströme

I1, I2, …, Im auf.

Der Strom durch den Sternpunktleiter IN ist gleich der Summe der Ströme:

m

I

=

=

+ … +

N

I
i I1 I2 Im.

(7.3)

i=1

Die Außenleiterspannungen zwischen zwei Außenleiter hingegen sind jeweils gleich der

Differenz der Strangspannungen:

Uij = UiN – UjN,

(7.4)

d. h.

U12 = U1N – U2N,

U23 = U2N – U3N , …

… , Um–1,m = Um–1,N – UmN,

Um1 = UmN – U1N.

Sie lassen sich durch Dreieckbeziehungen berechnen:

Aus

ULt

sin

= sin

= 2

2
m

Ust
ergibt sich

Bild 7.4 Zusammenhang

ULt = 2 · USt · sin

.

(7.5)

m
zwischen Außenleiter-
und Strangspannung

254

7 Mehrphasensysteme

Beispiel: 6-Phasensystem in Stern-Stern-Schaltung

Bild 7.5 6-Phasensystem in Stern-Stern-Schaltung

Durch die sechs Phasenwicklungen des Generators und durch die komplexen Widerstände

Z1, Z2, … , Z6 sind die Ströme jeweils gleich: I1, I2 …, I6 .

Die Außenleiterspannungen U12, U23, … , U56, U61 sind gleich der Differenz der Strangspannungen U1N, U2N, … , U6N:

U12 = U1N – U2N, U23 = U2N – U3N, … , U56 = U5N – U6N, U61 = U6N – U1N.

Die Effektivwerte der Außenleiterspannungen des 6-Phasensystems sind genauso groß wie
die Effektivwerte der Strangspannungen:

ULt = 2 · USt · sin

= 2 · USt · 0,5 = USt
z.B. U12 = U1N.

6

Ströme und Spannungen der Polygon- Polygon- Schaltung

Bei einer Polygon-Polygon-Schaltung (Generator in Polygonschaltung und Verbraucher in

Polygonschaltung) sind die Außenleiterspannungen gleich den Strangspannungen:

ULt = USt
mit

ULt = USt,

(7.6)

d. h. die an den Phasenwicklungen und an den komplexen Widerständen anliegenden

Spannungen sind jeweils gleich:

U12, U23, … , Um–1,m, Um,1.

Die Außenleiterströme verzweigen sich jeweils in Strangströme, sind also gleich der Dif-
ferenz von Strangströmen:

I1 = Iik – Iji,

(7.7)

d. h.

I1 = I12 – Im1,

I2 = I23 – I12, … , Im = Im1 – Im–1,m.

7.1 Mehrphasensysteme

255

Durch Addition des Gleichungssystems ergibt sich, dass die Summe der Außenleiterströ-
me Null ist:

m

I

=
i

0.

(7.8)

i=1

Aus dem Effektivwert der Strangströme lässt sich der Effektivwert der Außenleiterströme
berechnen:

Aus

ILt

sin

= sin

= 2

2
m

ISt
ergibt sich

Bild 7.6 Zusammenhang

I

=

Lt

2 ISt sin

.

(7.9)

m
zwischen Außenleiter-
strom und Strangstrom

Beispiel: 6-Phasensystem in Polygon-Polygon-Schaltung

Bild 7.7 6-Phasensystem in Polygon-Polygon-Schaltung

An den sechs komplexen Verbraucherwiderständen liegen die gleichen Spannungen an wie
an den Phasenwicklungen des Generators: U12, U23, … ,U56 , U61.

Die Außenleiterströme I1, I2 … , I6 sind gleich der Differenz der Strangströme I12, I23,

… , I56, I61:

I1 = I12 – I61,

I2 = I23 – I12, … , I5 = I56 – I45,

I6 = I61 – I56.

Die Effektivwerte der Außenleiterströme des 6-Phasensystems sind genauso groß wie die Effektivwerte der Strangströme:

ILt = 2 · ISt · sin

= 2 · ISt · 0,5 = ISt
z.B.

I2 = I23.

6

256

7 Mehrphasensysteme

Wirkleistung des symmetrischen m- Phasensystems

Die Wirkleistung des m-Phasensystems ist gleich der Summe der einzelnen Phasen-

Wirkleistungen.

Für ein symmetrisches m-Phasensystem ist die Wirkleistung jeder Phase gleich, so dass
die gesamte Wirkleistung des m-Phasensystems gleich dem m-fachen einer Phasen-

Wirkleistung ist:

P = m · USt · ISt · cos.

(7.10)

Für die Sternschaltung und die Polygonschaltung ist die Wirkleistung gleich:

m

P =

( U ( I ( cos) ,

(7.11)

Lt

Lt

2 ( sin m
denn es gilt für die Sternschaltung:

und für die Polygonschaltung:

U

I

I

Lt

Lt

St = ILt

USt =

U

St = ULt

ISt =

2 sin

2 sin
m
m

Beispiel: Wirkleistung des symmetrischen 6-Phasensystems

6

P =

U I cos ) = 6 U I cos ) .

Lt

Lt

Lt

Lt

2 sin 6

7.2 Symmetrische verkettete Dreiphasensysteme

Dreiphasensysteme

In der Energieversorgung werden am häufigsten Dreiphasensysteme verwendet, weil bei
geringstem Leitungsaufwand ein balanciertes Mehrphasensystem verwirklicht werden
kann. Verkettete Dreiphasensysteme in Stern- und Dreieckschaltung heißen auch Dreh-
stromsysteme, weil mit dem Mehrphasensystem ein räumlich rotierendes Magnetfeld –
das Drehfeld – verbunden ist.

Die Außenleiter werden mit L1, L2, L3 und der Sternpunktleiter oder Neutralleiter mit N

(ehemals Mp oder 0) bezeichnet. Nach DIN 40 108 sind die Bezeichnungen 1, 2, 3 und

R, S, T (für Betriebsmittel U, V, W) auch zulässig. Oft werden auch die Farben gelb, grün und violett für die Kennzeichnung der Phasen verwendet.

Entsprechend werden die Effektivwerte der

Strangspannungen USt der Sternschaltung (Sternspannungen) mit U1N, U2N, U3N
sonst U1, U2, U3 (wenn Verwechslungen ausgeschlossen sind)

(für Erweiterungen URN, USN, UTN bzw. UR, US, UT)

Strangströme ISt der Dreieckschaltung (Dreieckströme) mit I12, I23, I31

(für Erweiterungen auch IRS, IST, ITR)

für Generatoren, Motoren, Transformatoren IUV, IVW, IWU

Außenleiterspannungen ULt (Dreieckspannungen) mit U12, U23, U31

(für Erweiterungen auch URS, UST, UTR)

Außenleiterströme ILt (Sternströme) mit I1, I2, I3

(für Erweiterungen auch IR, IS, IT)

für Generatoren, Motoren, Transformatoren IU, IV, IW
und der Sternpunktleiterstrom IN benannt.

7.2 Symmetrische verkettete Dreiphasensysteme

257

Sternschaltung

Werden die Enden der drei Generatorspulen mit den Bezeichnungen U2, V2, W2 (ehe-
mals X, Y, Z) auf dem Klemmbrett des Generators zum Sternpunkt N zusammengeschlos-
sen, dann handelt es sich um die Sternschaltung des Generators. Der Verbraucher ist ebenfalls in Sternschaltung zusammengeschaltet und über die Außenleiter L1, L2, L3 an die

Klemmen U1, V1, W1 (ehemals U, V, W) des Generators angeschlossen. Die beiden

Sternpunkte N und Nśind über dem Sternpunktleiter (Neutralleiter) miteinander verbun-
den:

Bild 7.8 Stern-Stern-Schaltung eines Dreiphasensystems mit Klemmbrett des Dreiphasengenerators Da der Dreiphasengenerator drei gleiche, um den Winkel = 2/3 versetzte Wicklungen
besitzt, sind auch die sinusförmigen Strangspannungen bei gleichem Effektivwert USt um

= 2/3 ˆ= 120° phasenverschoben:

u1N =

2 · USt · sin t
u2N =

2 · USt · sin (t – 2/3)

u3N =

2 · Ust · sin (t – 4 /3).

Im komplexen Bereich werden die komplexen Effektivwerte der benachbarten Strang-
spannungen mit dem Drehzeiger für ein Dreiphasensystem a = e–j·2/3 = e–j·120° ineinan-
der überführt. Dabei wird der komplexe Effektivwert U1N reell angenommen, also im

Zeigerbild auf die positive reelle Achse gelegt:

U1N = USt · ej·0° = USt

U2N = USt · a = USt · e–j·2/3 = USt · e–j·120° = USt · 1/2 j 1/2 3

(

)

U3N = USt · a2 = USt · e–j·4/3 = USt · ej·120° = USt · 1/2 + j 1/2 3

(

)

Bild 7.9

Zeigerbild der Strangspannungen

258

7 Mehrphasensysteme

Die Außenleiterströme ILt sind gleich den Strangströmen ISt (vgl. Gl. 7.2):

ILt = ISt mit ILt = ISt (7.12)

das sind I1, I2 und I3.

Die Außenleiterspannungen ULt sind um das 3 -fache ( 3 = 1,73) größer als die

Strangspannungen USt (nach Gl. 7.5):

ULt = 2 · USt · sin

3 USt (7.13)

3
das sind U12, U23 und U31.

Eine oft gebräuchliche Schreibweise für die Gleichung zwischen Außenleiterspannung
und Strangspannung ist mit ULt = U und USt =

(Sternspannung)

U = 3 · .

(7.14)

Die Summe der Leiterströme ist gleich dem Strom im Sternpunktleiter, wie sich nach dem

Kirchhoffschen Satz für komplexe Effektivwerte im Sternpunkt N ergibt:

IN = I1 + I2 + I3. (7.15)

Sind die Strangwiderstände Z1, Z2, Z3 des Verbrauchers gleich groß, dann sind die Effek-
tivwerte der Außenleiterströme gleich

ILt = I1 = I2 = I3 = I

(7.16)

und der Strom im Sternpunktleiter IN ist Null:

IN = I1 + I2 + I3 = 0.

(7.17)

Genauso wie das System der Leiterströme ist dann das System der Außenleiterspannun-
gen über den Strangwiderständen symmetrisch, wie im Zeitdiagramm und durch ein Zei-
gerbild dargestellt werden kann (Bild 7.10). Die Außenleiterspannungen sind 3 -mal so
groß wie die Strangspannungen und gegen diese um /6 30° phasenverschoben.

Bild 7.10 Zeitdiagramm und Zeigerbild der Außenleiterspannungen und Strangspannungen in einem symmetrischen Dreiphasensystem

7.2 Symmetrische verkettete Dreiphasensysteme

259

Wird für ein Drehstromsystem eine Spannung angegeben, so handelt es sich stets um die

Außenleiterspannung ULt = U. Eine 110kV-Leitung bedeutet zum Beispiel, dass der Ef-
fektivwert der Spannung zwischen zwei Außenleitern 110kV beträgt.

Nur in Ausnahmefällen wird zusätzlich zur Außenleiterspannung auch noch die Strang-
spannung genannt, zum Beispiel 220/380V-Netz.

Bei einem in Stern geschalteten Drehstromgenerator können also zwei Dreiphasensysteme
abgegriffen werden:

das symmetrische System der Außenleiterspannungen und
das symmetrische System der Strangspannungen.

Dreieckschaltung

Werden die Generatorspulen in einen Ring geschaltet und zwar die Spulenanfänge mit den

Spulenenden U1 – W2, V1 – U2, W1 – V2 (ehemals U – Z, V – X, W – Y) verbunden,
dann handelt es sich um die Dreieckschaltung des Generators. Der Verbraucher ist eben-
falls in Dreieckschaltung geschaltet und über die Außenleiter L1, L2, L3 an die Klemmen

U1, V1, W1 (ehemals U, V, W) des Generators angeschlossen:

Bild 7.11 Dreieck-Dreieck-Schaltung eines Dreiphasensystems mit Klemmbrett des Dreiphasengenerators

Da der Dreiphasengenerator drei gleiche, um den Winkel = 2/3 versetzte Wicklun-
gen besitzt, sind auch die drei Außenleiterspannungen bei gleichem Effektivwert ULt um

= 2/3 120° phasenverschoben, wie durch ein Zeigerbild erläutert werden kann

(Bild 7.12). Genauso wie die benachbarten Zeiger der Strangspannungen bei der Stern-
schaltung können benachbarte Zeiger der Außenleiterspannungen mit Hilfe des Drehzei-
gers a = e–j·2/3 ineinander überführt werden.

Bild 7.12

Zeigerbild der Außenleiterspannungen

260

7 Mehrphasensysteme

Die Außenleiterspannungen ULt sind gleich den Strangspannungen USt (vgl. Gl. 7.6):

ULt = USt
mit

ULt = USt

(7.18)

das sind U12, U23 und U31.

In der Praxis wird die Außenleiterspannung auch Dreieckspannung U genannt:

U = U.

(7.19)

Die Außenleiterströme ILt sind um das

3 -fache

3 = 1,73

(

) größer als die Strangströ-
me ISt (nach Gl. 7.9):

ILt = 2 · ISt · sin

= 3 · ISt

(7.20)

3
das sind I1, I2 und I3.

Eine oft gebräuchliche Schreibweise für die Gleichung zwischen Außenleiterstrom und

Strangstrom ist mit ILt = I und ISt = I

I =

3 · I.

(7.21)

Sind die Strangwiderstände Z12, Z23 und Z31 des Verbrauchers gleich groß, dann bilden
die Außenleiterströme und die Strangströme ebenfalls symmetrische Systeme, und die

Effektivwerte der Außenleiterströme sind gleich:

ILt = I1 = I2 = I3 = I.

Nach dem Kirchhoffschen Gesetz für komplexe Effektivwerte der Ströme ergibt sich für
die Knotenpunkte 1, 2 und 3:

I1 = I12 – I31

I2 = I23 – I12

I3 = I31 – I23.

(7.22)

Diese Gleichungen im Zeitbereich und im Zeigerbild dargestellt bestätigen, dass die

Außenleiterströme in einem symmetrischen Drehstromsystem in Dreieckschaltung um den

Faktor

3 größer sind als die Strangströme und dass diese Außenleiterströme um den

Winkel /6 30° gegen die entsprechenden Strangströme phasenverschoben sind (siehe

Bild 7.13).

Bild 7.13 Zeitdiagramm und Zeigerbild der Außenleiterströme und Strangströme
in einem symmetrischen Dreiphasensystem

Bei einer Dreieckschaltung kann nur ein Dreiphasensystem der Spannungen – das der

Außenleiterspannungen – abgegriffen werden.

7.2 Symmetrische verkettete Dreiphasensysteme

261

Mehrphasengeneratoren werden meist in Sternschaltung verwendet, weil bei den Polygon-
schaltungen – speziell Dreieckschaltung – höherfrequente Schwingungen auftreten, die
nicht erwünscht sind.

Wirkleistung, Blindleistung und Scheinleistung der symmetrischen Dreiphasensysteme Ist das symmetrische Dreiphasensystem des Generators in Stern- oder Dreieckschaltung
an einen symmetrischen Verbraucher mit gleichen Strangwiderständen in Stern- bzw.

Dreieckschaltung angeschlossen, dann sind die Wirkleistung P, die Blindleistung Q und
die Scheinleistung S jeweils gleich dem Dreifachen der entsprechenden Phasenleistung.

Sie sind für die Sternschaltung und die Dreieckschaltung jeweils gleich:

P = 3 · USt · ISt · cos =

3 · ULt · ILt · cos

(7.23)

Q = 3 · USt · ISt · sin =

3 · ULt · ILt · sin

(7.24)

S = 3 · USt · ISt =

3 · ULt · ILt

(7.25)

denn es gilt für die Sternschaltung:

und für die Dreieckschaltung:

U

I

I

Lt

Lt

St = ILt

USt =

USt = ULt

ISt =

3

3

Beispiel 1:

Die drei Wicklungen eines Drehstromgenerators sind einmal in Sternschaltung und zum anderen in Dreieckschaltung zusammengeschaltet und symmetrisch belastet. An den Klemmen der

Phasenwicklungen liegt jeweils eine Spannung von 220V, und durch die Wicklungen fließt
jeweils ein Strom von 9A mit einer Phasenverschiebung = 20° gegenüber der Spannung.

1. Anzugeben bzw. zu berechnen sind die Strangspannung und die Außenleiterspannung, der

Strangstrom und der Außenleiterstrom und die am Verbraucher abgegebene Wirkleistung
des Drehstromsystems in Sternschaltung.

2. Anzugeben bzw. zu berechnen sind die Strangspannung und die Außenleiterspannung, der

Strangstrom und der Außenleiterstrom und die am Verbraucher abgegebene Wirkleistung
des Drehstromsystems in Dreieckschaltung.

3. Die Spannungen, Ströme und Wirkleistungen der beiden Schaltungen sollen verglichen
werden.

Lösung:

Zu 1. Sternschaltung (siehe Bild 7.8):

Strangspannungen U1N, U2N, U3N

Außenleiterspannungen U12, U23, U31

USt = 220V

ULt =

3 · USt

(nach Gl. 7.13)

ULt =

3 · 220V = 381V

Strangströme I1, I2, I3

Außenleiterströme I1, I2, I3

ISt = 9A

ILt = ISt = 9A

(nach Gl. 7.12)

Wirkleistung nach Gl. (7.23):

P = 3 · USt · ISt · cos = 3 · 220V · 9A · cos 20° = 5582W oder

P = 3 · ULt · ILt · cos = 3 · 381V · 9A · cos 20° = 5581W

262

7 Mehrphasensysteme

Zu 2. Dreieckschaltung (siehe Bild 7.11):

Strangspannungen U12, U23, U31

Außenleiterspannungen U12, U23, U31

USt = 220V

ULt = USt = 220V

(nach Gl. 7.18)

Strangströme I12, I23, I31

Außenleiterströme I1, I2, I3

ISt = 9A

ILt = 3 · ISt

(nach Gl. 7.20)

ILt = 3 · 9 A = 15,6A

Wirkleistung nach Gl. (7.23):

P = 3 · USt · ISt · cos = 3 · 220V · 9A · cos 20° = 5582W oder

P = 3 · ULt · ILt · cos = 3 · 220V · 15,6A · cos 20° = 5586W

Zu 3.

Bei der Sternschaltung ist die Spannung zwischen den Außenleitern hoch und der Strom in
den Außenleitern niedrig,
bei der Dreieckschaltung ist die Spannung zwischen den Außenleitern niedrig und der Strom in den Außenleitern hoch.

Die Wirkleistung der Sternschaltung unterscheidet sich nicht von der Wirkleistung der Dreieckschaltung.

Beispiel 2:

Auf dem Leistungsschild eines alten Drehstrommotors ist zu lesen:

12PS

= 86,7%

220V

30A
cos = 0,89

2870U/min

1. Die Angaben auf dem Leistungsschild sind zu erläutern.

Dabei ist anzugeben, an welchem Dreiphasensystem in Sternschaltung und an welchem

Dreiphasensystem in Dreieckschaltung der Motor betrieben werden kann.

2. Zu berechnen sind die Außenleiterströme bei Nennbetrieb für die Sternschaltung und für die Dreieckschaltung.

3. Mit welchem Dreiphasensystem ist für den Motor eine Stern-Dreieck-Schaltung möglich?

4. Zu berechnen sind das Nennmoment und die Blind- und Scheinleistung, die das Dreipha-
sensystem dem Motor zuführt.

Lösung:

Zu 1.

Auf dem Leistungsschild von Motoren werden Daten bei Nennbetrieb angegeben. Nennbe-
trieb bedeutet Betrieb des Motors bei Volllast.

12PS

Die angegebene Leistung ist die an der Welle maximal mögliche Wirkleistung,
die für eine Antriebsmaschine zur Verfugung steht. Die Nennleistung wird in
kW angegeben, PS-Angaben sind nicht mehr zulässig. Für alte Motoren muss al-
so die Umrechnung 1PS = 735,5W bekannt sein. Die abgegebene Wirkleistung
beträgt für den speziellen Fall:

Pmech = 12PS = 12 · 735,5W = 8,826kW.

= 86,7 % Der Wirkungsgrad besagt, dass die vom Dreiphasennetz gelieferte Wirkleis-
tung Pel auf Grund der Leistungsverluste im Motor höher ist als die maximal
mögliche Wirkleistung Pmech:

Pel = Pmech/ = 8,826kW/0,867 = 10,18kW

7.2 Symmetrische verkettete Dreiphasensysteme

263

220V

Der Motor wird ordnungsgemäß betrieben, wenn an jeder Wicklung (Strang) die

Wicklungsnennspannung anliegt. Da die drei Motorwicklungen in Sternschal-
tung und in Dreieckschaltung geschaltet werden können, müssen die Span-
nungsangaben auf dem Leistungsschild besonders beachtet werden, weil höhere

Spannungen zu einer Überlastung der Wicklungen führen. Bei doppelter Span-
nungsangabe ist der kleinere Wert die Wicklungsnennspannung,

z. B. 380/220V

Wicklungsnennspannung: 220V.

Bei einfacher Spannungsangabe (wie hier im Beispiel) ist die Nennspannung pro

Strang angegeben, das ist die Spannung, die jeweils an die Wicklungen des Mo-
tors angelegt werden darf,

z. B. 220V

Wicklungsnennspannung: 220V.

In Sternschaltung des Motors ist also die Strangspannung USt = 220V; der Mo-
tor kann an ein 380/220V-Drehstromnetz angeschlossen werden (siehe Bild

7.14, links).

Werden die Wicklungen des Motors in Dreieckschaltung geschaltet, dann darf
der Motor nur an ein 220/127V-Drehstromsystem angeschlossen werden, weil
die Strangspannung (Wicklungsnennspannung) gleich der Außenleiterspannung

ULt = 220V ist (siehe Bild 7.14, rechts).

Bild 7.14 Motor in Stern- und Dreieckschaltung

cos = 0,89 Der Leistungsfaktor cos gibt die Abweichung der Wirkleistung von der

Scheinleistung an:

P
cos = el

S

30 A

Die Stromangabe ist der in den Zuleitungen zum Motor fließende Nennstrom,
also der Außenleiterstrom bei Dreieckschaltung des Motors, der aus der angege-
benen Nennleistung errechnet werden kann.

Sind zwei Ströme genannt, z. B. 30/17A, dann sind die Angaben die Außenlei-
terströme bei Dreieck- und bei Sternschaltung.

2870U/min Die Drehzahl in Umdrehungen pro Minute ergibt mit der zur Verfügung stehen-
den Wirkleistung bei Nennbetrieb das Nennmoment des Motors:

P

M = mech .

264

7 Mehrphasensysteme

Zu 2.

Aus Pel =

3 · ULt · ILt · cos = 10,18kW ergibt sich

P

I

=
el

Lt

3 U
cos)

Lt

Sternschaltung: ULt = 380V

Dreieckschaltung: ULt = 220V

10,18kW

10,18kW

I

=

= 17,4A

I

=

= 30A

Lt

Lt

3 380V 0,89

3 220V 0,89

Zu 3.

Beim Einschalten von Drehstrommotoren treten Anlaufströme auf, die das sechs- bis achtfache des Nennstroms betragen können und zu Spannungsschwankungen im Netz führen. Die

Anlaufzeit kann bei größeren Motoren so hohe Werte erreichen, dass die Wicklungen durch
den nur relativ langsam abklingenden Anlaufstrom gefährdet sind.

Der Anlaufstrom wird jedoch vermindert, wenn jeder Motorwicklung während des Anlauf-
vorgangs eine verminderte Spannung zugeführt wird.

Ein Drehstrommotor sollte deshalb in der Anlaufphase in Sternschaltung betrieben werden, weil dann an den Wicklungen jeweils eine um

3 verminderte Spannung anliegt, wenn die

Motorwicklungen nach dem Hochlauf in Dreieckschaltung geschaltet sind. Im Dauerbetrieb
liegen die Wicklungen an der höheren Spannung.

Während der Anlaufphase in Sternschaltung vermindern sich der Anlaufstrom und damit das

Anlaufmoment.

In diesem Beispiel darf an den Motorwicklungen höchstens die Wicklungsnennspannung von

220V anliegen. Deshalb ist die Stern-Dreieck-Einschaltung für diesen Motor nur mit einem 220/127V-Drehstromsystem möglich.

Die Stern-Dreieck-Schalter sind Walzenschalter, für die die Kontaktbelegung und die An-
schlüsse an das Drehstromsystem und an den Motor im Bild 7.15 gezeichnet sind. Die Klem-
menbezeichnungen sind vorgeschrieben und stimmen mit den Bezeichnungen in den Bildern

7.8 und 7.11 überein.

Bild 7.15 Kontaktbelegung eines Stern-Dreieck-Schalters

7.2 Symmetrische verkettete Dreiphasensysteme

265

Zu 4.

Das Nennmoment ergibt sich aus der an der Antriebswelle des Motors abgegebenen Leistung

Pmech und den Umdrehungen pro Minute:

P

M = mech

(7.26)

8,826 kW

M =

= 29,4Nm .

2 2870 (1/60s)

Die Blind- und Scheinleistung werden aus der elektrischen Wirkleistung Pel mit dem Leis-
tungsfaktor cos ) = 0,89 berechnet:

Q = Pel · tan = 10,18kVA · tan 27,127° = 5,22kVar

P

S =
el

= 10,18kVA = 11,44kVA
cos)

0,89

Beispiel 3:

Ein Drehstrommotor mit einer Nennleistung von 8kW, einem Wirkungsgrad = 85% und
einem Leistungsfaktor cos = 0,9 wird an einem 380/220V-Drehstromnetz in Sternschaltung betrieben. Der Leistungsfaktor soll durch Kondensatoren in Sternschaltung erhöht werden, d. h. es handelt sich um eine Blindleistungskompensation mit Parallelkapazitäten.

1. Zu berechnen sind die vom Netz gelieferte Wirkleistung und der Effektivwert der Außenleiterströme.

2. Die notwendigen Kapazitäten in Sternschaltung, die also parallel zu den Motorwicklun-
gen geschaltet werden und damit den Leistungsfaktor auf 1 erhöhen, sollen berechnet
werden.

3. In vielen Fällen ist die Kompensation nur teilweise erwünscht, weil Schaltvorgänge mit induktiven Wechselstromwiderständen leichter beherrschbar sind als mit kapazitiven

Wechselstromwiderständen. Bei vollständiger Kompensation wirkt der Motor mit den

Kompensationskapazitäten wie ein ohmscher Verbraucher, der mit den im Netz verteilten

Kapazitäten eine kapazitive Belastung bedeutet.

Der Leistungsfaktor des Motors soll durch Parallelkompensation von 0,9 auf 0,97 erhöht
werden. Die Parallelkapazitäten in Sternschaltung sollen ermittelt werden.

Lösung:

P

Zu 1. P

= mech = 8kW = 9,41kW
el

0,85

P

I

=
el

=

9,41kW

= 15,9A .

Lt

3 U cos)

3 380V 0,9

Lt

Zu 2.

Bei Parallelkompensation müssen die induktiven komplexen Widerstände der drei Motorspu-
len durch äquivalente Parallelschaltungen mit Rp und jLp erfasst werden. Da der Motor ein symmetrischer Verbraucher ist, braucht die Kompensation nur einphasig betrachtet zu werden. Die einphasige Parallelkompensation ist im Abschnitt 4.7.3 behandelt worden. Im Bild 4.158 ist das einphasige Schaltbild gezeichnet und in den Bildern 4.160 und 4.162 sind die Zeigerbilder für die teilweise und vollständige Kompensation dargestellt.

Für die vollständige Parallelkompensation, also für die Anhebung des Leistungsfaktors auf 1, können die drei gleichen Kapazitäten nach der Gl. (4.265)berechnet werden:

C = P ( tan)

p

( U2

266

7 Mehrphasensysteme

Die in die Formel für Cp eingehende Wirkleistung P ist ein Drittel der Wirkleistung Pel, denn im symmetrischen Dreiphasensystem ist die Gesamtleistung gleich dem Dreifachen der

Phasenleistung:

P

P = el = 9,41kW = 3,14kW .

3

3

Die Parallelschaltungen liegen an der Strangspannung U = USt = 220V, d. h. mit cos = 0,9 ist C = 3,14kW ( tan 25,84º = 100 μF .

p

2 ( 50s1 ( (220V)2

Zu 3.

Um die Kapazitäten der teilweisen Kompensation angeben zu können, ist der kapazitive

Blindstrom IC mittels trigonometrischer Zusammenhänge im Zeigerbild (siehe Bild 4.160) zu berechnen.

An den Kapazitäten liegt jeweils die Strangspannung U = USt = 220V an:

Aus

U =

1

I

C

C
p
ergibt sich

I

C =

C

.

p

U

Gegeben sind cos k = 0,97 und k = 14,07°, aus dem Zeigerbild lässt sich ablesen:

I

I
tan = L

C ,
k

IR
wodurch sich für IC ergibt:

IC = IL – IR · tank ,
eingesetzt in die Formel für Cp ergibt sich

I

C =

C

= 1 (I I tan ),
p

U

U

L

R
k
mit IR = I · cos = ILt · cos
und

IL = I · sin = ILt · sin
ist

I

C =

Lt

(sin cos tan )

(7.27)

p

U
k
und mit Zahlenwerten

C =

15,9A

(sin25,84º 0,9 tan 14,07º) = 48,4μF.

p

2 50s1 220V

Mit dieser Formel lässt sich das Ergebnis der vollständigen Kompensation bestätigen:

C =

15,9A

(sin25,84º 0,9 tan 0º) = 100μF.

p

2 50s1 220V

7.3 Unsymmetrische verkettete Dreiphasensysteme

267

7.3 Unsymmetrische verkettete Dreiphasensysteme

Übersicht über Dreiphasensysteme

Nach DIN 40 108 werden Dreiphasen-Stromsysteme unterschieden in

Drehstrom-Dreileitersysteme (mit drei Außenleitern),

Drehstrom-Vierleitersysteme (mit drei Außenleitern und einem Sternpunktleiter, der
auch Null-Leiter sein kann) und

Drehstrom-Fünfleitersysteme (mit drei Außenleitern, einem Sternpunktleiter und
einem Schutzleiter).

Schutzleiter ist ein Leiter, der bei Schutzmaßnahmen gegen gefährliche Berührungsspan-
nungen verwendet wird, und ein Null-Leiter ist ein unmittelbar geerdeter Leiter, der die Funktionen des Schutzleiters übernehmen kann. Das Fünfleitersystem unterscheidet sich
also elektrotechnisch nicht vom Dreileiter- und Vierleitersystem, weil es nur zusätzliche Schutzaufgaben übernimmt.

Bei der Behandlung unsymmetrischer Dreiphasensysteme sind das Vierleiternetz mit dem

Generator in Sternschaltung und dem Verbraucher in Sternschaltung und das Dreileiter-
netz mit dem Generator in Stern- oder Dreieckschaltung und dem Verbraucher in Stern-
oder Dreieckschaltung zu unterscheiden.

Sind Generator und Verbraucher in Sternschaltung geschaltet, kann der Sternpunktleiter
vorhanden sein oder nicht. Diese Stern-Stern-Dreiphasensysteme können also als Vierlei-
ternetz oder als Dreileiternetz ausgeführt sein. Sind der Generator oder der Verbraucher in Dreieckschaltung geschaltet, dann ist nur ein Dreileiternetz möglich, weil der Sternpunkt entweder im Generator oder im Verbraucher nicht vorhanden ist. Für Messzwecke ist es
allerdings notwendig, mit Hilfe zusätzlicher symmetrischer Verbraucher einen künstlichen Sternpunkt zu schaffen.

Unsymmetrische Dreiphasensysteme enthalten einen Generator mit symmetrischem

Spannungssystem und einen Verbraucher mit verschiedenen Wechselstromwiderständen.

Dadurch sind die Systeme der Außenleiterspannungen und Außenleiterströme unsym-
metrisch.

268

7 Mehrphasensysteme

Vierleiternetz mit Generator in Sternschaltung und Verbraucher in Sternschaltung

Bild 7.16 Vierleiternetz mit Generator in Stern und Verbraucher in Stern

Nach dem Kirchhoffschen Satz für komplexe Effektivwerte ist die Summe der Außenlei-
terströme gleich dem Sternpunktleiterstrom:

I1 + I2 + I3 = IN.

(7.28)

Die Strangspannungen über den Generatorwicklungen unterscheiden sich von den Strang-
spannungen über den Verbraucherwiderständen durch die Spannung UN des Sternpunkt-
leiters zwischen den beiden Sternpunkten N und N :

U

= ' +

1N

U1N

UN

U

= ' +

2N

U2N

UN

U

= ' +

3N

U3N

UN
oder

U'

=

1N

U1N

UN

(7.29)

U'

=

2N

U2N

UN

(7.30)

U'

=

3N

U3N

UN

(7.31)

Bild 7.17 Zeigerbild der Strangspannungen
im Vierleitersystem

Diese Spannungsgleichungen lassen sich durch das Zeigerbild im Bild 7.17 darstellen.

7.3 Unsymmetrische verkettete Dreiphasensysteme

269

Die Außenleiterströme, die bei der Sternschaltung gleich den Strangströmen sind, können
mit Hilfe der Spannung UN berechnet werden:

U'

U

U

I =

1N = 1N N

1

(7.32)

Z1

Z1

Z1

U'

U

U

I =

2N = 2N N

2

(7.33)

Z2

Z2

Z2

U'

U

U

I =

3N = 3N N

3

(7.34)

Z3

Z3

Z3
und

U

I

= N

N

(7.35)

ZN
eingesetzt in die Knotenpunktgleichung (Gl. 7.28) ergibt die Formel für die Spannung
über dem Widerstand des Sternpunktleiters UN:

U

1N

U

U

U

U

U

U

N

2N N

3N N

N

Z1

Z1 + Z2

Z2 + Z3

Z3 = ZN

U

1N

U

U

+ 2N + 3N = U 1 + 1 + 1 + 1

Z

N

1

Z2

Z3

ZN

Z1

Z2

Z3

U1N

U

U

+ 2N + 3N

Z

Z

Z

U

=

1

2

3

N

(7.36)

1 + 1 + 1 + 1

ZN

Z1

Z2

Z3

Bei der Berechnung des Vierleiternetzes wird folgendermaßen vorgegangen:

Gegeben:

Strangspannungen des Generators U1N, U2N, U3N
komplexe Verbraucherwiderstände Z1, Z2, Z3
komplexer Widerstand des Sternpunktleiters ZN

Gesucht:

Außenleiterströme I1, I2, I3 und Sternpunktleiterstrom IN

Rechenschritte:

1. Berechnung der Spannung UN über dem Sternpunktleiter nach Gl. (7.36).

2. Ermittlung der Strangspannungen U'

'

'

1N , U2N , U3N über den Verbraucherwiderstän-
den Z1, Z2, Z3 nach den Gln. (7.29) bis (7.31).

3. Ermittlung der Außenleiterströme I1, I2, I3 nach den Gln. (7.32) bis (7.34) und des

Sternpunktleiterstroms IN nach der Gl. (7.35) oder (7.28).

4. Kontrolle der Rechenergebnisse mittels Zeigerbild.

270

7 Mehrphasensysteme

Beispiel 1:

Die Widerstände

Z1 = R1 = 200,

Z2 = 1/jC2
mit

C2 = 15,9μF und

Z3 = jL3
mit

L3 = 318,5mH
sind in Sternschaltung an ein 380/220V-Drehstromnetz mit einem Sternpunktleiter mit

ZN = RN = 100 angeschlossen. Die Spannungen über den Widerständen und die Ströme
durch die Widerstände Z1, Z2, Z3 und ZN sind zu errechnen. Mit Hilfe eines Zeigerbildes sind die Ergebnisse zu kontrollieren.

Lösung:

Zunächst wird mit Gl. (7.36) die Spannung über dem Sternpunktleiter berechnet:

Mit

Z1 = R1 = 200

1 = Y = 5 mS

Z

1

1

1

Z2 =

=

1

= – j · 200

1 = Y = j 5 mS
jC

Z

2

2
j 2 50s1 15,9μF

2

Z3 = jL3 = j · 2 · 50 s–1 · 318,5 mH = j · 100

1 = Y = j10 mS

Z

3

3

ZN = RN = 100

1 = Y = 10 mS

Z

N

N
und nach Abschnitt 7.2 (Sternschaltung)

U1N = 220V · ej · 0° = 220V

U2N = 220V · a = 220V · e – j · 120°= 220V · (– 0,5 – j · 0,866) = (– 110 – j · 190,5)V

U3N = 220V · a2 = 220V · e j · 120°= 220V · (– 0,5 + j · 0,866) = (– 110 + j · 190,5)V
ist

U

U

U

1N + 2N + 3N

Z

Z

Z

Y U

+ Y U

+ Y U

U =

1

2

3

= 1

1N

2

2N

3

3N

N

1

1

1

1

Y

+ Y + Y + Y

+

+

+

N

1

2

3

ZN Z1 Z2 Z3

U

= 5mS 220V + j 5mS (110 j 190,5)V j 10mS ( 110 + j 190,5)V

N

10mS + 5mS + j 5mS j 10mS

U

= 1100 j 550 + 952,5 + j 1100 + 1905 V = 3957,5 + j 550 15 + j 5 V

N

15 j 5

15 j 5

15 + j 5

U

= (226,45 + j 112,15)V = 252,7 V e j26,35º.

N

7.3 Unsymmetrische verkettete Dreiphasensysteme

271

Dann werden die Spannungen über den Widerständen nach Gl. (7.29) bis (7.31) berechnet:

U'

= U

U = 220V (226,45 + j 112,15)V

1N

1N

N

U'

= (6,45 j 112,15)V = 112,3V e j 93,3º

1N

U'

= U

U = (110 j 190,5)V (226,45 + j 112,15)V

2N

2N

N

U'

= (336,45 j 302,65)V = 452,5V ej 222º

2N

U'

= U

U = (110 + j 190,5)V (226,45 + j 112,15)V

3N

3N

N

U'

= (336,45 + j 78,35)V = 345,5V ej 167º

3N

Damit lassen sich die Ströme nach den Gln. (7.32) bis (7.35) berechnen:

U'

I =

1N = 112,3V ( e j(93,3º =

1

0,56 A ( e j( 93,3

Z1

200
oder I = (6,45 j ( 112,15)V =

1

(0,03 j ( 0,56) A

200

U'

I =

2N = 452,5V ( ej(222º =

2

2,26A ( e j( 312º = 2,26A ( e j( 48º

Z2

200 ( e j( 90º
oder I = (336,45 j ( 302,65)V =

2

(1,51 j ( 1,68) A
j ( 200

U'

I =

3N = 345,5V ej167º =

3

3,45A e j 77º

Z3

100 e j 90º
oder I = (336,45 + j ( 78,35)V =

3

(0,78 + j ( 3,36) A
j ( 100
und

U

I

= N = 252,7 V ej 26,35º =

N

2,53 A e j 26,35º

ZN

100
oder I

= (226,45 + j 112,15)V =

N

(2,26 + j 1,12) A

100

Schließlich lassen sich die Ergebnisse mit Hilfe eines Zeigerbildes kontrollieren (siehe Bild 7.18).

Bild 7.18

Zeigerbild eines Vierleiternetzes

(Beispiel 1)

272

7 Mehrphasensysteme

Beispiel 2:

Der gleiche Verbraucher in Sternschaltung wie im Beispiel 1 wird an ein gleiches 380/220V-Drehstromnetz angeschlossen, bei dem aber der Widerstand des Sternpunktleiters vernachlässigt wird.

Lösung:

Mit

ZN = 0
ist auch die Spannung zwischen den beiden Sternpunkten N und N gleich Null:

UN = 0.

Damit sind die Strangspannungen des Generators und die Strangspannungen des Verbrau-
chers gleich:

U'

= U

= 220V

1N

1N

U'

= U

= 220V e j120º = (110 j 190,5)V

2N

2N

U'

= U

= 220V ej120º = (110 + j 190,5)V

3N

3N

Die Ströme betragen dann:

I = 220V =

1

1,1A

200

I = 220V ( e j(120º =

2

1,1A ( e j( 30º

200 ( e j( 90º
oder

I = (110 j(190,5)V =

2

(0,95 j( 0,55)A
j( 200

I = 220V e j120º =

3

2,2A e j 30º

100 e j 90º
oder

I = (110 + j(190,5)V =

3

(1,91 + j(1,1) A
j (100
und mit Gl. (7.28) ist

I

=

+

+

=

N

I1

I2

I3

(1,1 + 0,95 + 1,91) + j (0,55 + 1,1)

A

I

=

N

(3,96 + j 0,55) A = 4,04 A e j7,9º .

Im Bild 7.19 ist das Zeigerbild dargestellt, das die berechneten Ergebnisse bestätigt.

Bild 7.19

Zeigerbild eines Vierleiternetzes (Beispiel 2)

7.3 Unsymmetrische verkettete Dreiphasensysteme

273

Dreileiternetz mit Generator in Sternschaltung und Verbraucher in Sternschaltung

Bild 7.20 Dreileiternetz mit Generator in Stern und Verbraucher in Stern

Die Formeln für die Berechnung der Spannungen und Ströme des Dreileiternetzes mit

Generator und Verbraucher in Sternschaltung können aus den entsprechenden Formeln
des Vierleiternetzes hergeleitet werden, weil dieses Dreileiternetz ein Spezialfall des Vierleiternetzes mit ZN = und IN = 0 ist. Deshalb sind die Rechenschritte die gleichen wie beim Vierleiternetz:

1. Berechnung der Spannung UN zwischen den Sternpunkten N und N' nach der Glei-
chung (7.36) mit 1/ZN = 0

U1N

U

U

+ 2N + 3N

Z

Z

Z

U

=

1

2

3

N

(7.37)

1 + 1 + 1

Z1

Z2

Z3

2. Ermittlung der Strangspannungen U'

'

'

1N , U2N und U3N
über den Verbraucherwider-
ständen Z1, Z2 und Z3 nach den Gl. (7.29) bis (7.31).

3. Ermittlung der Außenleiterströme I1, I2 und I3 nach den Gl. (7.32) bis (7.34) und Kontrolle der Außenleiterströme mit

I1 + I2 + I3 = 0.

4. Kontrolle der Rechenergebnisse mittels Zeigerbild.

274

7 Mehrphasensysteme

Beispiel:

Der gleiche Verbraucher in Sternschaltung wie im Beispiel 1 und 2 des Vierleiternetzes wird an ein 380/220V-Drehstromnetz angeschlossen, das aber keine Verbindung zwischen den

Sternpunkten N und N' besitzt und damit ein Dreileiternetz ist. Da der Mittelpunktleiter fehlt, ist auch der Mittelpunktleiterstrom IN = 0.

Die Spannungen über den Widerständen und die Ströme durch die Widerstände Z1, Z2 und Z3
sind zu errechnen und die Ergebnisse mittels eines Zeigerbildes zu kontrollieren.

Lösung:

Mit

ZN =
ist

1/ZN = YN = 0
und

U

U

U

1N + 2N + 3N

Z

Z

Z

Y U

+ Y U

+ Y U

U =

1

2

3

= 1

1N

2

2N

3

3N

N

1

1

1

Y + Y + Y

+

+

1

2

3

Z1 Z2 Z3

Der Zähler ist genauso groß wie der Zähler für UN im Beispiel 1, nur der Nenner unterscheidet sich:

U

= 3957,5 mS V + j 550 mS V = 3957,5 + j 550 5 + j 5 V

N

5 mS + j 5 mS j 10 mS

5 j 5

5 + j 5

U

= (340,75 + j · 450,75)V = 565,06V · ej · 52,9°.

N

Dann werden die Spannungen über den Widerständen nach Gl. (7.29) bis (7.31) berechnet:

U'

= U

U = 220V (340,75 + j 450,75)V

1N

1N

N

U'

= (120,75 j 450,75)V = 466,6V ej 255º

1N

U'

= U

U = (110 j 190,5)V (340,75 + j 450,75)V

2N

2N

N

U'

= (450,75 j 641,25)V = 783,8V ej 235º

2N

U'

= U

U = (110 j 190,5)V (340,75 + j 450,75)V

3N

3N

N

U'

= ( 450,75 j 260,25)V = 520,5V ej 210º

3N

Damit lassen sich die Ströme nach Gl. (7.32) bis (7.35) berechnen:

U'

I =

1N = 466,6V ej255º

1

Z1

200

I =

1

2,33A e j 255º
oder I = (120,75 j ( 450,75)V =

1

(0,60 j ( 2,25)A

200

U'

I =

2N = 783,8V ( ej(235º

2

Z2

200 ( e j( 90º

I =

2

3,92A e j 325º

7.3 Unsymmetrische verkettete Dreiphasensysteme

275
oder

I = (450,75 j ( 641,25)V =

2

(3,20 j ( 2,25)A
j ( 200

U'

I =

3N = 520,5V ej210º

3

Z3

100 e j 90º

I =

3

5,2A e j120º
oder I = (450,75 j ( 260,25)V =

3

(2,60 + j ( 4,5)A
j ( 100

Die Summe aller Ströme ist Null:

I1 + I2 + I3 = 0.

Schließlich lassen sich die Ergebnisse mit Hilfe eines Zeigerbildes kontrollieren (siehe Bild 7.21).

Bild 7.21 Zeigerbild eines Stern-Stern-Dreileiternetzes

276

7 Mehrphasensysteme

Dreileiternetz mit Generator in Dreieckschaltung und Verbraucher in Sternschaltung

Bild 7.22 Dreileiternetz mit Generator in Dreieck und Verbraucher in Stern

Nach dem Kirchhoffschen Satz für die komplexen Effektivwerte der Ströme ist im Stern-
punkt N' die Summe der Außenleiterströme Null:

I1 + I2 + I3 = 0

(7.38)

und in Strangspannungen über den Widerständen ausgedrückt

U'

'

'

1N

U

U

+ 2N + 3N = 0.

(7.39)

Z1

Z2

Z3

Die Außenleiterspannungen sind gleich der jeweiligen Differenz der Strangspannungen

U

= ' '

12

U1N

U2N

(7.40)

U

= ' '

23

U2N

U3N

(7.41)

U

= ' '

31

U3N

U1N .

(7.42)

Gegeben sind die Außenleiterspannungen, berechnet werden sollen die Strangspannungen
über den bekannten Widerständen. Um die Formeln für die Strangspannungen entwickeln
zu können, werden in der Stromgleichung Gl. 7.39) jeweils zwei Strangspannungen mit

Hilfe der Spannungsgleichungen (Gl. 7.40 bis 7.42) ersetzt.

Die Gleichung für die Strangspannungen U'1N ergibt sich aus Gl. (7.40) und (7.42):

U'

= '

2N

U1N

U12

U'

= ' +

3N

U1N

U31
eingesetzt in die Gleichung (7.39) und nach U'1N aufgelöst

U'

'

'

+

1N

U

U

U

U

+ 1N

12 + 1N

31 = 0

Z1

Z2

Z3

7.3 Unsymmetrische verkettete Dreiphasensysteme

277

U'

1 + 1 + 1

U31

1N

Z1 Z2

Z3 U12

Z2

Z3 = 0

U12 U31

Z

Z

U'

=

2

3

.

(7.43)

1N

1 + 1 + 1

Z1

Z2

Z3

Die Gleichung für die Strangspannung U'2N entsteht, wenn die Gl. (7.40) und (7.41) in

Gl. (7.39) berücksichtigt werden:

U23 U12

Z

Z

U'

=

3

1

.

(7.44)

2N

1 + 1 + 1

Z1

Z2

Z3

Entsprechend lässt sich die Gleichung für U'3N entwickeln, wenn die Gl. (7.41) und (7.42) in die Gl. (7.39) eingesetzt werden:

U31 U23

Z

Z

U'

=

1

2

.

(7.45)

3N

1 + 1 + 1

Z1

Z2

Z3

Das Zeigerbild der Spannungen bei unsymmetrischer Belastung zeigt, dass der „Mittel-
punkt“ des gleichseitigen Dreiecks im Vergleich zur symmetrischen Belastung verscho-
ben ist (Bild 7.23).

Bild 7.23 Zeigerbild des Dreileitersystems Dreieck/Stern

Mit den berechneten Strangspannungen können dann die Außenleiterströme ermittelt
werden:

U'

U'

U'

I =

1N

= 2N

= 3N

1

I

I

.

(7.46)

Z

2

3

1

Z2

Z3

Da in einem Dreileiternetz mit Generator in Sternschaltung und Verbraucher in Stern-
schaltung die Außenleiterspannungen bekannt sind, können die Formeln (7.43) bis (7.46)

auch für die Berechnung dieses Dreileitersystems verwendet werden.

278

7 Mehrphasensysteme

Dreileiternetz mit Generator in Stern- oder Dreieckschaltung
und Verbraucher in Dreieckschaltung

Bild 7.24 Dreileiternetz mit Generator in Stern und Verbraucher in Dreieck

Bild 7.25 Dreileiternetz mit Generator in Dreieck und Verbraucher in Dreieck

Von dem Generator in Sternschaltung oder in Dreieckschaltung sind die Außenleiterspan-
nungen bekannt, so dass sich die Strangströme des Verbrauchers in Dreieckschaltung
errechnen lassen:

I

= U12

= U23

= U31

12

I

I

.

(7.47)

Z

23

31

12

Z23

Z31

Die Außenleiterströme ergeben sich dann nach der Knotenpunktregel in komplexen Effek-
tivwerten:

I1 + I31 = I12
oder

I1 = I12 – I31

(7.48)

I2 + I12 = I23

I2 = I23 – I12

(7.49)

I3 + I23 = I31

I3 = I31 – I23

(7.50)

Indem die Gleichungen (7.47) in die Gleichungen (7.48) bis (7.50) eingesetzt werden,
entstehen die Formeln für die Außenleiterströme:

I = U12 U31

= U23 U12

= U31 U23

1

(7.51)

I

(7.52)

I

(7.53)

Z

2

3

12

Z31

Z23

Z12

Z31

Z23

7.4 Messung der Leistungen des Dreiphasensystems

279

7.4 Messung der Leistungen des Dreiphasensystems

Leistungen des symmetrischen Dreiphasensystems

Die gesamte Leistung eines Dreiphasensystems ist gleich der Summe der Leistungen der
drei Einphasen-Wechselstromsysteme, die zu dem Dreiphasensystem zusammengeschaltet
sind. Die Scheinleistung je Strang ist gleich dem Produkt der Strangspannung und des

Strangstroms.

Bei Belastung des Generators mit einem symmetrischen Verbraucher ist deshalb die

Scheinleistung

S = 3 · USt · ISt,

(7.54)

die Wirkleistung

P = 3 · USt · ISt · cos )

(7.55)

und die Blindleistung

Q = 3 · USt · ISt · sin ) .

(7.56)

Diese Formeln gelten sowohl für die Sternschaltung als auch für die Dreieckschaltung.

Allerdings lässt sich bei einer Dreieckschaltung wegen Fehlens des Sternpunktes die

Spannung zwischen einem Außenleiter und dem Sternpunkt nicht messen. Deshalb wer-
den die Leistungen für die Außenleiterspannungen und Außenleiterströme angegeben,
weil diese für die Dreieck- und Sternschaltung gemessen werden können:

Mit Gl. (7.12) und (7.13) für die Sternschaltung

ILt = ISt und ULt =

3 USt
oder Gl. (7.18) und (7.20) für die Dreieckschaltung

ULt = USt und ILt =

3 ISt
lauten dann die Formeln für die Scheinleistung:

U

I

S = 3

Lt I =

Lt

Lt

3 ULt

3

3

S = 3 U

Lt

ILt ,

(7.57)

für die Wirkleistung:

P = 3 U

Lt

ILt cos )

(7.58)

und für die Blindleistung:

Q = 3 U

Lt

ILt sin ) .

(7.59)

Wie bei der Behandlung des m-Phasensystems und der symmetrischen Dreiphasensyste-
me (siehe Gl. 7.23 bis 7.25) bereits ausgeführt, sind die Leistungen für die Sternschaltung und die Dreieckschaltung gleich, wenn die Außenleiterströme und die Außenleiterspannungen gleich sind.

280

7 Mehrphasensysteme

Messung der Leistungen im Dreiphasensystem

Bei symmetrischen Dreiphasensystemen, d. h. bei Dreiphasensystemen mit symmetri-
schen Verbrauchern, braucht nur eine Phasenleistung gemessen und diese mit 3 multipli-
ziert zu werden, weil die Gesamtleistung gleich dem Dreifachen einer Phasenleistung ist

(siehe Bild 7.26).

Bild 7.26 Messung der Phasenleistung bei symmetrischer Belastung

Falls der Sternpunkt nicht zugänglich ist oder in der Dreieckschaltung nicht zugeschaltet werden darf, wird ein künstlicher Sternpunkt mit drei gleichen Widerständen nachgebildet (siehe Bild 7.27).

Bild 7.27 Messung der Leistung mit künstlichem Sternpunkt

7.4 Messung der Leistungen des Dreiphasensystems

281

Bei unsymmetrischer Belastung kann die Gesamtleistung mit drei Leistungsmessern ge-
messen werden. Die Phasenleistungen ergeben sich durch die Außenleiterströme und die

Strangspannungen, d. h. aus den Spannungen zwischen den Außenleitern und dem Stern-
punkt bzw. dem künstlichen Sternpunkt.

Anstelle von drei Leistungsmessern werden in der Aronschaltung nur zwei Leistungsmesser benötigt. Der Nachweis, dass mit nur zwei Leistungsmessern die Wirkleistung des
unsymmetrischen Dreiphasensystems gemessen werden kann, wird über die komplexe

Leistung S = U · I* geführt (siehe Abschnitt 4.7.1, Gl. 4.239).

Sternschaltung mit Aronschaltung:

Bild 7.28 Aronschaltung in der unsymmetrischen Sternschaltung

Werden die Wirkleistungsmesser in die Außenleiter L1 und L2 geschaltet, dann werden
sie von den Außenleiterströmen I1 und I2 durchflossen. An die Spannungspfade der bei-
den Leistungsmesser werden dann die Außenleiterspannungen U13 und U23 angelegt. Die
komplexe Leistung des Dreiphasensystems ist dann

*

*

*

S = U'

+ '

+ '

1N

I1

U2N I2

U3N I3

*

*

*
mit I =

+

3

(I1

I2 )

*

*

*

*

S = U'

+ '

'

+

1N

I1

U2N I2

U3N (I1

I2 )

*

*

S = (U'

'

+

'

'

1N

U3N ) I1 (U2N

U3N ) I2
mit U'

' =

'

' =

1N

U3N

U13 und U2N

U3N

U23

*

*

S = U

+

=

+

13 I1

U23 I2

S1 S2 .

(7.60)

Die beiden Wirkleistungsmesser zeigen dann die Wirkleistungen P1 und P2 an, deren

Summe der Wirkleistung des Dreiphasensystems entspricht.

282

7 Mehrphasensysteme

Dreieckschaltung mit Aronschaltung:

Bild 7.29 Aronschaltung in der unsymmetrischen Dreieckschaltung

Werden die Wirkleistungsmesser genauso wie in der Sternschaltung in die Außenleiter L1
und L2 geschaltet, so werden sie von den Strömen I1 und I2 durchflossen. An die Span-
nungspfade müssen dann die Außenleiterspannungen U13 und U23 angelegt werden. Für
die komplexe Leistung des Dreiphasensystems ergibt sich dann:

*

*

*

S = U

+

+

12

I12

U23 I23 U31 I31

*

*

*

*

*

*
mit I

=

+

=

23

I12

I2 und I31

I12

I1

*

*

*

*

*

S = U

+

+

12

I12

U23 (I12

I2 ) + U31 (I12

I1 )

*

*

*

S = U

+ (

+

+

)

23 I2

U31 I1

U12

U23 U31 I12
mit U

=

+

+

=

31

U13 und U12

U23 U31

0

*

*

S = U

+

=

+

13 I1

U23 I2

S1 S2

(7.61)

Die beiden Wirkleistungsmesser zeigen dann die Wirkleistungen P1 und P2 an, deren

Summe gleich der Wirkleistung des Dreiphasensystems ist.

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 7.1 bis 7.4

283

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 7.1 bis 7.4

7.1 Ein ohmscher Verbraucher, der aus drei gleichen ohmschen Widerständen R besteht, kann in Sternschaltung und in Dreieckschaltung geschaltet werden.

1. Leiten Sie die Formel für die Wirkleistung P für die Stern- und Dreieckschaltung her, wenn die Außenleiterspannungen gegeben sind.

2. An ein 380/220V-Drehstromnetz (f = 50Hz) kann ein Heizofen mit 3 mal 40 in Sternschaltung und in Dreieckschaltung angeschlossen werden, für die Sie die Außenleiterströme und die Wirkleistungen berechnen sollen.

7.2 Folgende Daten enthält das Leistungsschild eines Drehstrommotors:

1,2kW

220/380V
cos = 0,81

4,8/2,8A

1510U/min

1. Geben Sie an, welches Drehstromnetz für den Betrieb dieses Motors notwendig ist.

2. Berechnen Sie den Wirkungsgrad des Motors.

3. Die Blindleistung und die Scheinleistung, die die Drehstromnetze dem Motor liefern, sind anschließend zu berechnen.

Die Blindleistung soll durch jeweils drei Kompensationskondensatoren vollständig kompensiert werden und zwar

4. die Sternschaltung des Motors mit der Sternschaltung von Kondensatoren,

5. die Dreieckschaltung des Motors mit der Sternschaltung von Kondensatoren,

6. die Sternschaltung des Motors mit der Dreieckschaltung von Kondensatoren,

7. die Dreieckschaltung des Motors mit der Dreieckschaltung der Kondensatoren.

Zeichnen Sie die vier Motorschaltungen mit den Kondensatoren, berechnen Sie jeweils sämtliche Ströme und die notwendigen Kapazitäten, kontrollieren Sie die Ergebnisse für die Kapazitä-
ten mit entwickelten Formeln und die Ergebnisse für die Ströme mit Zeigerbildern.

8. Kontrollieren Sie die Ergebnisse für die Kapazitäten mit den Umrechnungsformeln für Dreieck- und Sternwiderstände.

Vergleichen Sie die Kapazitäten der vier Schaltungen, wobei Sie die Spannungen für die

Kondensatoren berücksichtigen.

7.3 Ein unsymmetrischer Verbraucher mit den Widerständen R1 = 100, R2 = 71 und R3 = 220
ist in Sternschaltung an ein 380/220V-Drehstromnetz angeschlossen. Ermitteln Sie die Spannungen über den Widerständen, die Außenleiterströme und die Spannung und den Strom im

Sternpunktleiter, wenn

1. der Sternpunktleiter einen Widerstand von RN = 50 hat,

2. die beiden Sternpunkte N und N' kurzgeschlossen sind und

3. wenn der Sternpunktleiter fehlt.

Kontrollieren Sie die Ergebnisse rechnerisch und mit Hilfe von Zeigerbildern.

7.4 An ein 380/220V-Vierleiternetz ist ein symmetrischer Verbraucher mit gleichen ohmschen Widerständen von 1k in Sternschaltung angeschlossen. Der Sternpunktleiterwiderstand beträgt 100.

1. Berechnen Sie die Spannungen an den Widerständen und die Außenleiterströme.

2. Auf welche Werte verändern sich die Spannungen an den Widerständen und die Außenlei-
terströme, wenn der Widerstand Z2 durch einen verlustlosen Kondensator mit der Kapazität C2 = 3,18μF ersetzt wird und die anderen Widerstände unverändert 1k betragen.

Bestätigen Sie die Ergebnisse durch Zeigerbilder.

7.5 Der gleiche Verbraucher wie in der Aufgabe 7.4 Teil 2 mit Z1 = Z3 = 1k und Z2 =1/jC2
mit C2 = 3,18 μF in Sternschaltung soll an ein 380/220V-Dreileiternetz angeschlossen werden.

1. Berechnen Sie die Strangspannungen an den Verbraucherwiderständen über die Spannung
am Sternpunktleiter.

2. Berechnen Sie dann die Strangspannungen an den Verbraucherwiderständen mittels Außen-
leiterspannungen.

3. Ermitteln Sie schließlich die Außenleiterströme.

7.6 An einem 380/220V-Dreileiternetz ist ein Verbraucher in Dreieckschaltung mit Z12 = R12 = 40, Z23 = R23 = 100, und Z31 = R31 = 80 angeschlossen.

1. Berechnen Sie die Strangströme I12, I23 und I31.

2. Berechnen Sie dann die Außenleiterströme.

3. Bestätigen Sie die Ergebnisse durch ein Zeigerbild.

284

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

4 Wechselstromtechnik

4.1 bis 4.4 Wechselgrößen, Berechnung von sinusförmigen Wechselgrößen mit Hilfe der komplexen Rechnung, Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte, praktische Berechnung von Wechselstromnetzen

Zu 1.

Nach Abschnitt 3.4.6.2 (Band 1) Gl. (3.303) ist
d
uq = w

.

dt

Mit

= B A und B = ˆB sint
ist

ˆ
dB
d(B sin t)

ûq = w A

= w A

= w A B cos t
dt
dt
mit

ˆ
ûq = w A B
û = 1000 ( 2 ( 50s1 (100cm2( 5 ( 109 Vs / cm2
q
û = 157mV
q

Zu 2.

û = 1000 ( 2 ( 5 ( 103s1 (100cm2( 5 ( 109 Vs / cm2
q
û = 15,7V
q

4.2

Nach Gl. (4.8) und (4.9) ist

2
a

V = v =

ˆv
arithmetischer Mittelwert der Zweiweggleichrichtung

1 2

ˆv

*
a

V =

ˆv =
arithmetischer Mittelwert der Einweggleichrichtung

2

ˆv = V* = 40V = 126V
a

4 Wechselstromtechnik

285

4.3

Zu 1.

uq1 = ûq1 ( sin (t + )u1) = 2 ( Uq1 ( sin t
u

q2 = ûq2 ( sin (t + )u2) = 2 ( Uq2 ( sin ( t

+ 60 )

Nach Gl. (4.17) ˆv =

ˆv 2 + ˆv 2 + 2 ( ˆv ( ˆv ( cos
mit =

r

1

2

1

2
v
v
v2
v1
ist
û

= û 2 + û 2 + 2 û û cos )

qr
q1
q2
q1
q2

2

2
ûqr
ûq1
ûq2
ûq1 ûq2
und

Uqr =

=

+

+ 2

cos )

2

2

2

2

2

U

= U 2 + U 2 + 2 U U cos )

qr
q1
q2
q1
q2

U

= (100V)2 + (120V)2 + 2 100V 120V cos 60
qr

Uqr = 191V

Nach Gl. (4.18) ist

ˆ1
v sin )v1 + ˆv2 sin )v2

)vr = arctan ˆ1v cos )v1 + ˆv2 cos )v2
und
ûq1 sin )u1 + ûq2 sin )u2

)r = arctan ûq1 cos ûu1 + ûq2 cos )u2

Uq1 sin )u1 + Uq2 sin )u2

)r = arctan Uq1 cos )u1 + Uq2 cos )u2

) =

100V sin 0 + 120V sin 60
arctan

= 33
r

100V cos 0 + 120V cos 60

Zu 2.

uq1 = ûq1 ( sin(t + )u1) = ûq1 ( sin t

*

*
u

q2 = ûq2 ( sin (t + )u2) = ûq2 ( sin ( t

+ 60 + 180 )

U* =

U 2 + U 2 + 2 U

U cos () + 180°)

qr
q1
q2
q1
q2

U* = (100V)2 + (120V)2 + 2 100V 120V cos (60 + 180 )

qr
mit cos (60° + 180° ) = – cos 60Ů* = (100V)2 + (120V)2 2 100V 120V cos 60
qr

U* = 111V
qr

U
sin ) + U sin)*

)* =
q1
u1
q2
u2
arctan
r

U
cos ) + U cos )*
q1
u1
q2
u2
mit

u2 = u2 + 180 = 60 + 180

286

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben
und

*
sin

u2 = sin (60 + 180 ) = sin 60

*
cos

u2 = cos (60 + 180 ) = cos 60

100V ( sin 0 120V ( sin 60

* = arctan

= 69
r

100V ( cos 0 120V ( cos 60

Zu 3.

Bild A-61 Übungsaufgabe 4.3

4.4

Zu 1.

Aus Gl. (4.33)

U = XL = L = 2 ( f ( L

I
ergibt sich die Induktivität

U

1

U

1

L =

=

I

2 f

2A 2 f

Zu 2.

f

L

Hz

H

20

3,98

30

2,65

40

1,99

50

1,59

60

1,33

70

1,14

Bild A-62 Übungsaufgabe 4.4

80

0,99

90

0,88

100

0,80

4.5

Zu 1.

Siehe Abschnitt 3.3.3 Beispiel 2 im Band 1: Kapazität einer Doppelleitung nach Gl. (3.89) As

1

C = h

1

= 8,8542 1012

103m

= 6,05nF

0
a R

Vm

100 1
ln
ln

R

1

Zu 2.

X = 1 =

1

=

1

= 526k

C

C

2 f C

2 50 s1 6,05 109 As/V

I = C U = 2 f C U = 2 50 s1 6,05 109 As/V 1000V = 1,9mA

4 Wechselstromtechnik

287

4.6

Zu 1.

U = 100V

I = 5A

10ms 3cm,
d. h. f = 50Hz
und = – 30°

Der Wechselstromwiderstand des passiven Zweipols ist also kapazitiv, weil der Strom i der Spannung u voreilt.

Zu 2.

u = û sin t
abgebildet in
jt
jt
u = û e

= 2 U e
und
î = i sin (t + 30)

abgebildet in

Bild A-63 Übungsaufgabe 4.6
i = î e j(t+30 )= 2 I e j(t+30 )

Zu 3.

Reihenschaltung:

jt
u
û ( e

U
j( 30

)

Z =

=

=

( e
i

ˆ
jt
j30
i ( e

( e

I

U

U

1

Z =

( cos 30 j ( ( sin 30 = Rr + j ( XC = Rr j (

I

I

Cr

Z = 100V ( 3 j ( 100V ( 1 = 17,3 j ( 10

5A

2

5A

2

R = 17,3 C =

1

=

1

= 318μF
r
r

10

2 50s1 10

Parallelschaltung:

ˆ
jt
j30
i
i e
e

I
j30

Y =

=

=
e
jt
u
û e

U

I

I

1

Y =
cos 30 + j
sin 30 = Gp + j Bp =

+ j Cp

U

U

Rp

Y = 5A 3 + j 5A 1 = 0,0433 S + j 0,025 S

100V

2

100V 2

R

= 23,1 C = 0,025 S = 0,025 S = 79,6μF
p
p

2 50 s1

Zu 4.

Nach Gl. (4.69) lassen sich die Ergebnisse kontrollieren:

R 2 +

1
r

(17,3 )2 +

1

2C 2

(2 50 s1)2 (318 106 F)2

R

=
r

=

= 23,1
p

R

17,3
r

1

1

2C

(2 50 s1)2 318 106 F

C =
r

=

= 79,6 μF
p

R 2 +

1

(17,3 )2 +

1
r

2C 2

(2 50 s1)2 (318 106 F)2
r

288

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

4.7
du

Zu 1.

C
u = uR + uC = Rr i + uC,
i = Cr dt
duC
u = RrCr

+ uC

(Differentialgleichung)

dt

Lösung nach Verfahren 1 (Abschnitt 4.2.5):

Bild A-64 Übungsaufgabe 4.7

Ansatz:

uC = ûC · sin (t + uc),
du
differenziert:

C = ( ûC ( cos ( t

+ )uc)

dt
in Dgl. eingesetzt:

û ( sin (t + )u ) = RrCr ( ûC ( cos (t + )uc) + ûC ( sin (t + )uc)

mit cos = sin( + /2)

û sin (t + ) ) = û R C sin (t + /2 + ) ) + sin (t + ) )

u

C

r
r
uc
uc
mit

Rr Cr · sin (t + /2 + ) ) + sin (t + ) ) = ˆV sin (t + ) )

uc
uc
r
vr
nach. Gl. (4.17)

ˆ

V = (R C )2 + 1 + 2 R C 1 cos (/2 +

)

r
r
r
r
r
uc
uc

ˆ

2
r

V = (RrCr ) + 1
mit cos / 2 = 0
nach. Gl. (4.18)

RrCr sin (/ 2 + )uc) + sin )uc

)vr = arctan RrCr cos (/2 + )uc) + cos )uc

RrCr cos uc + sin uc
vr = arctan RrCr sin uc + cos uc

R C + tan

= arctan
r
r
uc

= arctan R C +
vr

R C tan + 1
r
r
uc
r
r
uc
d. h.

2
û ( sin (t + )u ) = ûC ( (RrCr ) + 1 ( sin (t + arctan RrCr + )uc)

û
ûC =
uc = u arctan R
rCr

2

(RrCr ) + 1
du

Zu 2.

C
u = RrCr

+ uC

(Differentialgleichung)

dt
abgebildet in
u = jRrCr uC + uC

(algebraische Gleichung)

4 Wechselstromtechnik

289
gelöst und umgeformt:

u

=
u

=
û ( e j(t+)u )

C
jR C + 1
r
r

(R C )2 + 1 ( e jarctan RrCr
r
r
j (t+u arctan RrCr )

û e
uC =

2

(RrCr ) + 1
rücktransformiert:

û
uC =
sin (t + u arctan RrCr)

2

(RrCr ) + 1

4.8

Zu 1.

u = R · i + uL
diL
uL = Lp dt
uL

1
diL
i = iR + iL =

+ iL =

Lp

+ iL

RLp

RLp
dt

R
diL
diL
u =

Lp

+ R iL + Lp

RLp
dt
dt

R
di
u = L

+ 1

L + R i
p

R

dt

L

Lp

R

Zu 2.

u = jLp

+ 1 i + R i

L

L

R

Lp

R

u = jLp

+ 1
+ R i L

R

Lp

u
i =

L

R

R + jLp

+ 1

R

Lp

Zu 3.

Stromteilerregel mit Bild A-65:

I

RLp

U

L =

,

I =

I

R

+ jL

R
jL

Lp
p

Lp
p

R + RLp + jLp

RLp U

I =

L

RLp R + jLpR + jLpRLp

U

Bild A-65 Übungsaufgabe 4.8

I =

L

R

R + jLp

+ 1

R

Lp

290

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben
mit
j t

2 e

erweitert:

u
i =

L

R

R + jLp

+ 1

R

Lp

Zu 4.

i =
û ( e j(t+)u )

L

L R

2
p
j arctan

+1

R

R R

R2 + 2L 2

+ 1 e

Lp

p

R

Lp

L

p

R
i

=
û
sin t + arctan

-

+ 1 2

L
u

1

2

R

R

. Lp

3 2

R

R2 + 2L 2 -

+ 1
p

1

R

. Lp

3
di

Zu 5.

L
uL = Lp dt

L û

L

p
p

R
u

=
cos t + arctan

-

+ 1 2

L
u

1

2

R

R

. Lp

3 2

R

R2 + 2L 2 -

+ 1
p

1

R

. Lp

3

4.9

Lösung mit Hilfe der Spannungsteilerregel

U

I

=

C

R

RCp

1

1

+ jCp

U

R

C =

Cp

U

1

Bild A-66 Übungsaufgabe 4.9

+ R + jL

Schaltung im Bildbereich

1

Lr
r

+ jC

R
p

Cp

UC =

1

U

R

L

1

+ Lr 2L C + j
r

+ R C

R
r
p

R

Lr
p

Cp

Cp

UC

U

I =

=

R

2

RCp

(RLr + RCp LrRCpCp ) + j (Lr + RLrRCpCp )

Lösung mit Hilfe der Stromteilerregel:

1

I
jCp

U

R =

,

I =

I

1

1

R

Cp +

R
j

Cp

Cp
jCp

RLr + jLr +

1

RCp + jCp

4 Wechselstromtechnik

291

U

I =

R

1

1

jCp RCp +

(RLr + jLr) + RCp

j

C
p
jCp

U

I =

R

2

(RLr + RCp LrRCpCp) + j (Lr + RLrRCpCp)

Lösung mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze:

1

I = I + I

U = (R

+ jL ) I + R I

U

=

I = R

I

R

C

Lr
r

Cp

R

C

C

Cp

R
jCp

U = (R

+ jL ) I + R

I = (R + jL ) ( I + I ) + R

I

Lr
r

Cp

R

Lr
r

R

C

Cp

R

U = (RLr + RCp + jLr ) I + (R

+ jL ) I

R

Lr
r

C
mit I = jC R

I

C
p

Cp

R

U = R

+ R

+ jL + (R + jL ) jC R

Lr

Cp
r

Lr
r
p

Cp

I R

U

I =

R

2

(RLr + RCp LrRCpCp) + j (Lr + RLrRCpCp)

Rücktransformation:

(L + R R C )

r

Lr

Cp
p
û sin - t + arctan

u

-

R

+ R

2L R C

.

Lr

Cp
r

Cp
p /
i

=

R

(R

+ R

2L R C )2 + 2(L + R R C )2

Lr

Cp
r

Cp
p
r

Lr

Cp
p

4.10

I

RLp

U

Zu 1.

L

1

=

,

I =

I

R

+ jL

1

R
jL

Lp
p

Lp
p

RCr +

+
jCr

RLp + jLp

R

U

Lp

1

I =

L

(R

+ jL ) R + 1
jL

Lp
p

Cr

jC
p
r

+ RLp

1

U

I =

L

L

p

1

1 + j

R

Cr +

+ jLp

R

Lp
j

Cr

U

I =

1

L

L

p

R

R

+

1

+ Cr

Cr

+ j ( L

1

R

( C

p

R

C

Lp
r

Lp
r

292

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

I
jLp

U

Zu 2.

R

1

=

,

I =

I

R

+ jL

1

R
jL

Lp
p

Lp
p

RCr +

+
jCr

R Lp + jLp
jLp 1

U

I =

R

1

(RLp + jLp) R

Cr +

+ RLp jLp
j

Cr

1

U

I =

R

R

Lp

1

+ 1 R

Cr +

+ RLp
jL

p
j

Cr

1

U

I =

R

R

Lp

RLpRCr

1

RLp + RCr
j (

+

2

L

pCr

Lp

Cr

I

U

R

1

U2 = RLp ( I =

=

R

1

R

Cr

1

1 RCr

1

1 +

j

R

+

2

Lp

R

Lp

LpCr

Lp

R LpCr

4.11

1

1

1

+

U

R
jL

2

Lp
p

Zu 1.

uf

V

=

=

U

1

1

1

+ RCr +

1

1
jCr

+

RLp
jLp

1
uf

V

=

1

1

1

1 +

+

R

Cr +

R

Lp
j Lp
j

Cr

1
uf

V

= R

Cr

1

1

1

RCr

1 +

j

+

2

R

Lp

LpCr

RLpCr

Lp

Zu 2.

V

=

1
uf

2

2

R

R

1

1 +

Cr

1

+ 1

+ Cr

R

R

C

L

Lp

2L C

2
p
r

Lp r
p
uf

V
ist maximal, wenn der Nenner am kleinsten ist. Da der Realteil aus einer Differenz besteht, kann dieser bei einer Kreisfrequenz Null werden:

RCr

1

1

R

1 +

= 0

Cr

= 1 +

2

R

2

Lp

LpCr

LpCr

RLp

1

=

R

Cr

LpCr 1 +

R

Lp

4 Wechselstromtechnik

293

Zu 3.

Ein idealer Kondensator bedeutet bei Reihenschaltung von RCr und Cr, dass RCr = 0, d. h.

1
uf

V

=

V

=

1

uf

1

1

2

1
j

2

L

pCr

RLpCr

1

1

+

1

2L C

2R 2C 2
p
r

Lp
r

1

1

1
uf

V
bei

1

= 0

= 1

=
max

2

2

LpCr

LpCr

LpCr

1

C 2

R Lp

V

=

1

= jR C = j

R

C = j ( R
r

= j (
uf

Lp
r

Lp
r

Lp

1

L C
j

L C

L
p
r
p
r
p

R C

Lp
r

Cr

4.12

Zu 1.

U2 = UR1 UR

UR1

R1

=

UR

R

1

=

=

U

1

1

U

2 R

2

R

1

1 + jC

1

2 R1 R1

R

1

1
j

C

U

=

(

2

1

U

= 1

U (

1

2

1

R1 +

2 R

1 +

j C

j

C

R 1

1 + j (

1

U

1

R C

2 = 1 (
jC = 1 (

1

= 1 ( ej(2(arctan (1/R1C)

U

2

2

2

1

R + 1

1 j (

1

1
jC

R C

1

1

) = 2 ( arctan R1C

U
û

1

Zu 2.

2

2

=

=

1

U

ˆ1
u

2

)

1

Zu 3.

tan

=

2

R1C

1
mit

= R1

C

)

ist tan

= 1

2

Bild A-67 Übungsaufgabe 4.12

)

und

= 45

2
und ) = 90

294

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

4.13

Zu 1.

Die transformierte Schaltung im Bildbereich mit komplexen Effektivwerten und komplexen

Operatoren ist im Bild A-68 dargestellt.

Bild A-68 Übungsaufgabe 4.13

Zuerst wird der Zweigstrom I

U

CU
berechnet, der von
verursacht wird (Bild A-69):

q1
q1

I CUq1

R2

=

I

1

Uq1

R2 + jC

Uq1

I

=

Uq1

1

R2 jC

R1 + jL +

1

R2 + jC

R2 Uq1

I

=

CUq1

1

R

Bild A-69 Übungsaufgabe 4.13

2

R

2 +

(R

1 + jL) +
j

C
j

C

Dann wird der Zweigstrom I CU
berechnet, der von U
hervorgerufen wird (Bild A-70):

q2
q2

I CUq2

R1 + jL

=

I

1

Uq2

R1 + jL + jC

Uq2

I

=

Uq2

1

(R1 + jL) jC

R2 +

1

R1 + jL + jC

(R1 + jL) Uq2

I

=

CUq2

1

1

R

Bild A-70 Übungsaufgabe 4.13

1 + jL +

R

2 + (R1 + j L

)

j C

j C

4 Wechselstromtechnik

295

Die Überlagerung beider Teilströme ergibt den gesamten Zweigstrom

R2 ( Uq1 + (R1 + jL) ( Uq2

I = I

+ I

=

C

CUq1

CUq2

L

R1 + R2

R

1R2 + + j ( L R2

C

C

Für die Rücktransformation ist die komplexe Zeitfunktion nötig, die durch Erweitern mit
j t

2 e

entsteht:

R2 ( uq1 + (R1 + jL) ( uq2
i =

C

L

R1 + R2

R

1R2 + + j ( L R2

C

C

Mit
j t
uq1
ûq e

=

wegen u

= û sin t
q1
q
und
u

= û ej(t+/2)

wegen u

= û cos t
q2
q
q2
q
j t
uq2
j ûq e

=

u

= û sin (t + /2)

q2
q
ist
jt
jt

R2 ( ûq ( e

+ (R1 + jL) ( j ( ûq ( e
i =

C

L

R1 + R2

R

1R2 + + j ( LR2

C

C

(R L) + j ( R
i =

2

1

( û ( ejt

C

q

R + R

R R + L

1

2

1

2

C + j ( LR2

C

(R L)2 + R 2 e jz
i =

2

1
û ejt

C
q

2

2

R + R

R R + L

+ LR 1

2
ejn

1

2

.-

C /

2

.-

C /

(R L)2 + R 2
i =

2

1
û ej(t+
z
n )

C
q

2

2

R + R

R R + L

+ LR 1

2

1

2

.-

C /

2

.-

C /

(R L)2 + R 2
i

=

2

1
û sin (t + )

C
q
z
n

2

2

R + R

R R + L

+ LR 1

2

1

2

.-

C /

2

.-

C /

R1 + R2

LR

R

2
mit

1

C
z = arctan
und
n = arctan

R

L

2 L

R1R2 + C

296

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

Zu 2.

Maschenstromverfahren:

Nach den im Bild A-71 festgelegten Maschenumläufen (begonnen wird mit dem Zweigstrom

IC = II) werden folgende Maschengleichungen aufgestellt:

Masche I:

1

Uq2 = I (

+

(

I

R2

I II R2
j

C

Masche II:

Uq1 Uq2 = I ( R + I ( (R + R + jL)

I

2

II

1

2

Bild A-71 Übungsaufgabe 4.13

II ist gesucht, deshalb wird III eliminiert:

1

Uq2(R1 + R2 + jL) = I ( R

+

(R

+ R + jL) I ( R ( (R + R + jL)

I

2

1

2

II

2

1

2
j

C

(U

U ) ( R

= I ( R 2

+ I ( R ( (R + R + jL)

q1
q2

2

I

2

II

2

1

2

U

( (R + R + jL) + (U U ) ( R
q2

1

2
q1
q2

2

I =

I

R + 1

+ R + jL) R 2

2

jC (R1

2

2

R2 ( Uq1 + (R1 + jL) ( Uq2

I =

=

I

I C

L

R1 + R2

R

1R2 + + j ( LR2

C

C

Zu 3.

Haben die sinusförmigen Quellspannungen uq1 und uq2 verschiedene Amplituden und ver-
schiedene Anfangsphasenwinkel u1 und u2, dann sollten die Teilströme iC1 und iC2 durch Rücktransformation von iC1 und iC2 ermittelt und nach den Formeln 4.17 und 4.18 zum Gesamtstrom iC überlagert werden.

4.14

Zu l.

Da der Strom I3 gesucht ist, wird der Widerstand Z3 zum Außenwiderstand Za ers. Die Auf-
trennung der Schaltung in aktiven und passiven Zweipol ist im Bild A-72 zu sehen.

Bild A-72 Übungsaufgabe 4.14

4 Wechselstromtechnik

297

Bestimmung von Uq ers = U l (Bild A-73):

U l = 1

U U2

1
jC
jL

U =

U

U =

U

1

2

1

1

+ jL

+ jL
jC
jC

1
jL
jC

U =

( U
l

1

+ jL

Bild A-73 Übungsaufgabe 4.14
jC

Ermittlung von Zi ers (Bild A-74):

1
jL
jC

Z

= 2
i ers

1

+ jL
jC

Außenwiderstand:

Za ers = 3

Z = R3 + j X3

Bild A-74 Übungsaufgabe 4.14

Berechnung des Stroms I3 im Grundstromkreis:

1
j L

j C

( U

1

1

+ jL

jL ( U

Uq ers
jC
j

C

I =

=

=

3

Z

+ Z
jL
i ers
a ers
jL

1

2 (

2 (

+ 3

Z
j

L +
j C

jC
j

+

C

3

Z

1

+ jL
jC

I =

(1 + 2LC) ( U

=

(1 + 2LC) ( U

3

2 ( jL + (R + jX ) (1 2LC)

R (1 2LC) + j (2L + X 2LCX )

3

3

3

3

3

U

I =

3

2

2

1 LC

2

L + X3 LCX3

R3

+ j (

2

2

1 + LC

1 + LC

Zu 2.

Netzberechnung nach den Kirchhoffschen Sätzen (Bild A-75):

k – 1 = 1 (Knotenpunktgleichung)

I = I + I

2

3

1

Masche I:

1

( I jL ( I Z ( I = 0
jC

1

2

3

3

Bild A-75

Übungsaufgabe 4.14

298

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben
die Maschengleichung I mit der Knotenpunktgleichung ergibt

1

jL + 3

Z

jL ( I1= (jL + 3

Z ) ( I 3

I1 =

( I 3
j

C

1

jL
jC

Masche II:

U + 1 ( I + jL ( I = 0
bzw.

U = jL I + 1 I
jC

1

2

2
jC

1

U = jL ( I + I ) + 1 I = jL I + jL + 1

3

1
jC

1

3

jC I 1

I1 eingesetzt in die Maschengleichung II

1

j

L +

( j

L + 3

Z )

j

C

U
j L

= +

( I3

1

jL

jC

I =

U

3

1

jL
jL

)

jC

+ jL + 1

jC ( jL + Z3

1
jL
jC

I =

U

3
jL (1 + 2LC) + (1 2LC) ( jL + R + jX )

3

3

1 + 2LC

I =

U

3

1 2LC

2L + X 2LCX

R

+ j (

3

3

3 1 + 2LC

1 + 2 LC

Zu 3.

Wenn der Strom im Diagonalzweig i
gegenüber der Spannung u um 90° phasenver-

3
schoben sein soll, dann muss der Operator zwischen den komplexen Effektivwerten I3 und

U imaginär sein, d. h. der Realteil des Operators muss Null sein:

1 2LC

R

= 0
d. h.

1 2LC = 0
und

L = 1 .

3 1 + 2LC

C

Der induktive Widerstand XL = L muss gleich dem kapazitiven Widerstand – XC = 1/C
sein. Sind L und C gegeben, dann wird die Bedingung bei einer Kreisfrequenz

=1/ LC erreicht.

4.15

Bild A-76 Übungsaufgabe 4.15

Bild A-77 Übungsaufgabe 4.15

4 Wechselstromtechnik

299

Reihenfolge der Darstellung (qualitatives Zeigerbild A-77).

IL

IC2 = jC2 · UC

U = UC + UR

UR = R

L

Lr · IL

IR = IL + IC2

IC1 = jC1 · U

UL = jL · IL

UR = R · IR

I = IR + IC1

UC = UR + U

L

L

4.16

Zu 1.

Schaltbild im Bildbereich:

Bild A-78 Übungsaufgabe 4.16

Reihenfolge der Darstellung:

I μ

U = jL I
μ
μ

Uμ

I a = RFe

I 0 = I + I
μ
a

UCu = RCu I 0

U

= jL ( I

0

U = U + UCu + U
μ

Bild A-79 Übungsaufgabe 4.16

(qualitatives Zeigerbild)

Zu 2.

Berechnung der Effektivwerte:

Iμ = 0,3A 3cm

Uμ = L Iμ

Uμ = 2 ( 50s1 ( 1,5H ( 0,3A

Uμ = 141V 3,5cm

Uμ

I =

= 141V
a

R

708

Fe

I = 0,2A 2 cm
a

Bild A-80 Übungsaufgabe 4.16

I =

I 2 + I 2

0
μ
a

(quantitatives Zeigerbild)

I = (0,3A)2 + (0,2A)2

0

I = 0,36A 3,6cm

0

300

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

U

= R

I

Cu

Cu

0

U

= 120 0,36A

Cu

U

= 43,2V 1,1cm

Cu

U = L ( I = 56,5V 1,4cm

0
abgelesen aus dem Zeigerbild:

U = 216V 5,4cm

4.17

Die Umwandlung der -Schaltung in die äquivalente T-Schaltung entspricht einer Dreieck-Stern-Transformation nach Bild 4.67.

Bild A-81

Übungsaufgabe

4.17

Nach den Gleichungen (4.100) bis (4.102) ist

1
jL

Z Z
jC
jL

'

2

3

1

1

Z =

=

=

Z + Z + Z

1

1

1

2

3

1

+

1

C

C2

+ jL +
j 1

C
j

L +
j C

2
j 1

C
j

1

C C2

L

L ( C

'

2

1

Z = j (

= j (

= j 1

L

2

1

C + C2

2

1

C + C2 L 1

C C2

1

LC

C2

1

( 1

Z ( Z
jC
jC

Z' =

3

1

=

1

2

=

1

2

Z + Z + Z

1

1

2

3

+
jL(2C C ) + j(C + C )

jL +

1

1 2

1

2
jC
jC

2

1

Z' =

1

= 1

2
j(C + C 2LC C )

jC

1

2

1 2

4 Wechselstromtechnik

301

1
jL

Z Z
jC
jL

'

1

2

2

3

Z =

=

=

Z + Z + Z

1

1

1

2

3

1

+

1

C

C2

+ jL +
jC2 j

L +
j C

2
j 1

C
j

1

C C2

L

L ( C

'

1

3

Z = j (

= j (

= jL2

2

1

C + C2

2

1

C + C2 L 1

C C2

LC2

1

C

Die Bauelemente der T-Schaltung betragen:

L ( C2

L ( 1

C

1

L =

,

L =

2

2

2

1

C + C2 L 1

C C2

1

C + C2 L 1

C C2
und

2

C = 1

C + C2 L 1

C C2.

4.18

Zu 1.

Dreieck-Stern-Transformation in der Anderson-Brücke:

Bild A-82 Übungsaufgabe 4.18

Z Z

R R

Z' =

2

3

=

5

4
ergibt

Z = R + Z'

1

Z + Z + Z

1

3

3

1

1

2

3

+ R + R
jC

5

4

1

R4

Z Z

'

3

1
j C

'

Z2 =

=
ergibt

Z4 = Z2

Z + Z + Z

1

1

2

3

+ R5 + R4
jC

1 R5

Z Z

'

1

2
j C

'

3

Z =

=

3

Z liegt im Diagonalzweig (ist bei Abgleich stromlos)

Z + Z + Z

1

1

2

3

+ R5 + R4
jC

302

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

Stern-Dreieck-Transformation in der Anderson-Brücke:

Bild A-83 Übungsaufgabe 4.18

'

'

Z Z

R R

1

''

'

'

2

3

4

5

''

1

Z = Z2 + 3

Z +

= R4 + R5 +
ergibt Z4 =

|| 1

Z

'

1

Z

R3
j C

'

'

Z Z

R R

''

'

'

1

3

3

5

''

Z2 = 1

Z + 3

Z +

= R3 + R5 +
ergibt

3

Z = Z2

'

Z2

R4

'

'

Z Z

R R

''

'

'

1

2

3

4

''

3

Z = 1

Z + Z2 +

= R3 + R4 +

3

Z
liegt parallel zur Brücke

'3

Z

R5

Z

Zu 2.

3

1

Z = Rr1 + jLr1 = Z2 Z4

Dreieck-Stern-Transformation:

'

'

3

Z = R3 + 1

Z
und

Z4 = Z2

R5 R4

R3 + 1 + R5 + R4
jC

Rr1 + jLr1 = R2

1

R4 jC

1

+ R5 + R4
j C

1

R3

+ R5 + R4 + R5 R4
j

C

Rr1 + jLr1 = R2

1

R4 jC

R

2

R5R4

Rr1 + jLr1 =

R

3 + jC R3 R

5 + R4 +

R4

R

3

R

2R3

R5

R5

Rr1 + jLr1 =

+ jC R2R3 1

+

+

R4

R

4

R3

R

R

R
d. h.

2

5

5

Rr1 =

R3
und

Lr1 = CR2R3 1

+

+

R4

R

4

R3

4 Wechselstromtechnik

303

Stern-Dreieck-Transformation:

1

1

''

3

Z = Z2
und

= jC + ''

Z4

1

Z

''

1

Z

''

''

2

Rr1 + jLr1 = R2 Z2 j

C +

= jR2C Z2 + R2

''

''

1

Z

1

Z

R R

+

+ 3 5

R

R

R R

3

5

R

R

+ jL = jR C R + R + 3 5

4
r1
r1

2

3

5

R

R R

4

+ R2 R + R + 4 5

4

5

R3

R R

+

+ 3 5

R

R

R R

R

3

5

R

R

+ jL = jR C R + R + 3 5

3

4
r1
r1

2

3

5

R

R

R

R

R R

R

4

+ R2

4

R

3 + R

3 + 4 5 3

4 R

5 R

R

R

4

4

3

4

R R

+

+ 3 5

R

R

R R

R R

3

5

R

R

+ jL = jR C R + R + 3 5

2

3

4
r1
r1

2

3

5

R

R

R R

4

+

4

R + R +

3

5

3

5

R4

R R

R

R

R

+ jL = 2 3 + jCR R 1 + 5 + 5
r1
r1

R

2

3

R

R

4

4

3

R

R

R
d. h.

2

5

5

Rr1 =

R3
und

Lr1 = CR2R3 1

+

+

R4

R

4

R3

4.19

Zu 1.

'

'

1

Z = 0,2 j 0,6

1

Y = 0,5 + j 1,5

Z' = 0,4 j 0,8

Y' = 0,5 + j 1,0

2

2

'3

Z = 0,4

B = G (B' B' ) = 1,0 1,5 = 0,83mS
p

0

2

1

600

L = 1

=

1

= 955nH
p

Bp

2 200 106 s1 0,83 103S

X = R (X' X' ) = 600 (0 + 0,8) = 480
r

0

3

2

X

L =
r =

480

= 382nH
r

2 200 106 s1

304

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

Zu 2.

Kontrollrechnung:

Z = 120 j ( 360

Y = 0,833mS + j ( 2,5mS

1

1

Y = G + j (B + B ) = 0,833mS + j (2,5 0,833)mS = 0,833mS + j 1,67mS

2

1

1
p

Z = 240 j ( 479,4

Z = 240

2

3

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von ohmschen Widerständen,

Induktivitäten und Kapazitäten

4.20

Zu 1.

=

1

=

1

= 1000s1

0

L C
r
r

0,2H ( 5 ( 106 F
nach Gl. (4.115)

L

X

=
r =

0,2H

= 200
kr

Cr

5 ( 106 F
nach Gl. (4.118)

X

Q =
kr = 200 = 10
r

R

20
r

Zu 2.

Nach Gl. (4.132)

I

=

1

=

1

U/Rr

1 + Q 2 2

1 + (10 )2
r
r
r

1

I

x =

= x

0

r
x

U / Rr
s–1

1

1

1

250

1/4

– 3,75

0,0267

500

1/2

– 1,50

0,0665

750

3/4

– 0,583

0,169

900

9/10

– 0,211

0,428

1000

1

0

1

1111

10/9

+ 0,211

0,428

1333

4/3

+ 0,583

0,169

2000

2

+ 1,50

0,0665

4000

4

+ 3,75

0,0267

4 Wechselstromtechnik

305

Bild A-84

Übungsaufgabe 4.20

Zu 3.

Bandbreite:

Grenzfrequenzen:

rechnerisch:

x

= 0,125

1
x

= 1/ Q = 0,1
g1

950 s

=
r

= 0

( x

1
f

= 151Hz
g1
vg2,1=xg2,1

= ± 0,1

1
x

1000 s

=

0,125
g2,1

1
g2

1075 s

=

2

1

=

125 s

=
x

0,1 x

1

0
g2,1
g2,1
f

= 171Hz

g2
x
xg2 = 1,051
xg1 = 0,951
f = 0

= 20Hz

2

1

1

g2

= 1051s
g

1 = 951s

4.21

Zu 1.

Nach Gl. (4.124)

f

Q = 0 ist f = Q f = 100 5kHz = 500kHz
r
f

0
r

Zu 2.

Nach Gl. (4.115)

X

= ( L =

1

= 500
kr

0
r

( C

0
r

X

X

L =
kr =
kr

=

500

= 160μH
r

2 f

0

0

2 500 103s1

C =

1

=

1

=

1

= 637pF
r

X

2 f 500

0
kr

0

2 500 103s1 500
nach Gl. (4.118)

X

X

Q =
kr
ist

R =
kr = 500 = 5
r

R
r

Q

100
r
r

306

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

4.22

Zu 1.

RLr RCr

L

R 2 = 10 ( 1032 <
r = 0,1H

= 50 ( 1032

Lr

Cr

2 ( 106 F

L

R 2 = 1002

< r = 50 1032

Cr

Cr
nach Gl. (4.152)

1

R 2 L /C

f = 1

Lr
r
r = 0

0

2 L C

2

2
r
r

R

L /C

Cr
r
r

1
f = 1

10 1032 50 1032 = 2,002 103s1 = 319Hz

0

2 0,1H 2 106 F

1002 50 1032

2

1
nach Gl. (4.150) und Cp = Lp

R

R

Y =

1

+ 1 =

Cr

+

Lr

0

R

R

2

2

2

Cp

Lp

R

+ L

R

2 +

1

Lr

0
r

Cr

2C 2

0
r

Y =

10

+

100

0

10 ( 1032 + (2,002 ( 103s1 ( 0,1H)2

1002 +

1

(2,002 ( 103s1 ( 2 ( 106 F)2

Y = 2,157 ( 103S

Z = 464

0

0

Zu 2.

Nach Gl. (4.155)

2

2

R

* =

1

Lr

=

1

100

= 2,000 103s1

0

L C

.- L

.- 0,1H /
r
r
r /

0,1 H 2 106 F

= 2,002 ( 103s1 100%

0

* = 2,000 ( 103s1 99,9% , das ist eine um 0,1% niedrigere Kreisfrequenz.

0

4.23

1

I
jC

Zu 1.

Lr =
r

,

I =

U

I

R

+ jL + 1

(R

+ jL ) 1

Lr
r
jC

Lr
r
jC
r

R +
r

R

+ jL + 1

Lr
r
jCr

4 Wechselstromtechnik

307

1

U
jC

I

=
r

Lr

R R

+ jL + 1

+ jL ) 1

Lr
r

jC
r
jC
r

+ (RLr
r

I

=

U

Lr

(R + R

2R L C ) + j (L + R R C )

Lr
r
r
r

Lr
r

I C
jCr

=

= jCr (RLr + j L
r)

I

1

Lr

RLr + j L
r

1

U jCr (RLr + jLr)

jCr

I C =

1

1

R R

Lr + jLr +

+ (RLr + j L
r)

j C

r
j

Cr

U

I C =

R

1

1

R +

+

RLr + jLr j C
r
j C
r

I =

U

C

R +

1

+

R
jCr

2L C + jR C
r
r

Lr
r

I =

U

C

2L C + jR C

R +

1

R

(
r
r

Lr
r
jCr

2L C jR C 2L C + jR C
r
r

Lr
r
r
r

Lr
r

I =

U

C

2L C

R R C

R ( 1

r
r
j (

1

+

Lr
r

4L 2C 2 + 2R 2C 2

C

4L 2C 2 + 2R 2C 2
r
r

Lr
r
r
r
r

Lr
r

1

1

+ jCr

U

R

+ jL

1

Zu 2.

C

Lr
r

=

=

U

1

1

R +

+ jCr R +1

1

R

+

Lr + jL
j C
r

r

RLr + jLr

UC =

1

=

1

U

R

+

R(R
jL )

jRC + 1

Lr
r

+ jRC + 1

R

+ jL
r

2

2
r

Lr
r

R

+ 2L

Lr
r

U

=

U

C

R ( R

L R

1

+

Lr

+ j ( RC

r

r

R 2 + 2L 2

R 2 + 2L 2

Lr
r

Lr
r

308

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

Zu 3. uC und u sind in Phase, wenn der
iC und u sind um 90° phasenverschoben, wenn

Operator zwischen UC und U reell ist, d. h.

der Operator imaginär ist, d. h. wenn der Real-
wenn der Imaginärteil des Operators Null ist:

teil des Operators Null ist:

L R

2L C

R C
r

0
r
r
r

1

0

R 2 2L 2

4L 2C 2 2R 2C 2

Lr
r
r
r

Lr
r

L

2

2

2

2

C
r

4L C 2R

C

2L C 0
r
r
r

Lr
r
r
r

R 2 2L 2

Lr
r

L

R 2 2L 2
r

2

2

2

2

Lr
r

2L C L C R

C

C
r
r
r
r

Lr
r

r

2

2

1

" L

#

R

C

2
r

2

Lr
r

$

R

2 1

Lr %

2

L

L C

L 2C 2
r

C

& r

'

r
r
r
r

2

1

" R #

2

Lr

$

%

"

#

1

R Lr

L

$

%
rCr

L

& r '

LrCr

L

& r '

Bei der gleichen Kreisfrequenz , das ist die Resonanzkreisfrequenz 0 des Praktischen Parallel-Resonanzkreises (Gl. 4.155), sind die genannten Bedingungen erfüllt.

Wenn uC und u in Phase sind, muss auch uR mit u in Phase sein, und da uR = R · i ist, muss der Strom i mit u in Phase sein.

Wenn uC und u in Phase sind, dann muss auch iC gegenüber u um 90° phasenverschoben sein.

4.24

Zu 1. Reihenfolge der

Zeigerbild für = 1000s–1: (Bild A-85)

Zeigerdarstellung

ILr

ILr = 10mA

UR = RLr · ILr

UR = RLr · ILr = 100 · 10 · 10–3A = 1V

UL = jLr · ILr

UL = L I

1000s1 0,1H 10 103A 1V
r

Lr

U = U

2

2

C = UR + UL

U = U

U

U

2 V 1,414V

C

R

L

IC = jCr · U

IC = Cr · U = 1000s–1· 2 · 10–6F · 2 V = 2,83mA

I = ILr + IC

I = 8,2mA 1 = 31°

I

Yp1 = Gp1 + j Bp1 =
cos j I sin

U

1

U

1

Yp1 = 4,97mS – j 2,99mS

(induktiver komplexer Leitwert)

4 Wechselstromtechnik

309

Zeigerbild für = 2000 s–1: Zeigerbild
für

= 3000 s–1:

[

ILr = 10mA

ILr = 10mA

UR = 1V

UL = 2V

UR = 1V

UL = 3V

U = UC = 5 V = 2,24V

U = UC = 10 V = 3,16V

IC = 2000 s–1 · 2 · 10–6 F · 5 V

IC = 3000 s–1 · 2 · 10–6 F · 10 V

IC = 8,94mA

IC = 18,97mA

I = 4,3mA

2 = 0°

I = 10mA

3 = – 71°

I

4,3 mA

Y

Y
p2 = Gp2 + j Bp2 =

=

p3 = Gp3 + j Bp3

U

2, 24 V

I

I

Y
cos j
sin

Y
p3 =

3

3
p2 = Gp2 = 1,92mS mit Bp2 = 0

U

U

(ohmscher komplexer Leitwert)

Yp3 = 1,03mS + j 2,99mS

(kapazitiver komplexer Leitwert)

Bild A-85 Übungsaufgabe 4.24

310

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

Zu 2.

Nach Gl. (4.156)

R

L

Y =

Lr

+ j ( C
r
p
r

R 2 + 2L 2

R 2 + 2L 2

Lr
r

Lr
r

= 1000s1 : R 2 + 2L 2 = (100)2 + (1000s1 0,1H)2 = 20 1032

Lr
r

Y

=

100

+ j ( 1000s1 ( 2 ( 106 F 1000s1 ( 0,1H
p1

20 ( 1032

20 ( 1032

Y

= 5mS + j (2mS 5mS) = 5mS j 3mS
p1

= 2000s1 : R 2 + 2L 2 = (100)2 + (2000s1 0,1H)2 = 50 1032

Lr
r

Y

= 2mS + j (4mS 4mS) = 2mS
p2

= 3000s1 : R 2 + 2L 2 = (100)2 + (3000s1 0,1H)2 = 50 1032

Lr
r

Y

= 1mS + j (6mS 3mS) = 1mS + j 3mS
p3

4.25

2

2

R

Zu 1.

=

1

Lr

=

1

100

= 2000s1

0

L C

.- L

.- 0,1H /
r
r
r /

0,1H 2 106 F

L

R

=
r

=

0,1H

= 500

C = C = 2μF

Lp

R

( C
p
r

Lr
r

100 ( 2 ( 106 F

R 2 + 2L 2

L =

Lr

0
r

= (100)2 + (2000s1 0,1H)2 = 125mH
p

2L

(2000s1)2 0,1H

0
r

L

Q =
r

1 =

0,1H

1 = 2
s. Gl. (4.157)

p

R 2C

(100)2 ( 2 ( 106 F

Lr
r

Zu 2.

I =

U

U =

I

2

2

R 2 + X 2 x 1

G 2 + B 2 x 1
r
kr

x
p
kp

x

I =

U

U =

I

2

2

R

1 + Q 2 x 1

G

1 + Q 2 x 1
r
r

x
p
p

x

X

Bkp
mit
kr

Qr =
mit Qp =

Rr

Gp

I

=

1

U

=

1

U / R

I / G
r

2
p

2

1 + Q 2 x 1

1 + Q 2 x 1
r

x
p

x

4 Wechselstromtechnik

311

U

1

Zu 2.

=
mit x =

= 2000s1

I / G

0

2

p

1

0

1 + 4 x

x

in s– 1

500

1000

1500

2000

2666

4000

8000
x
in 1

1/4

1/2

3/4

1

4/3

2

4

U
in 1

0,132

0,316

0,651

1

0,651

0,316

0,132

I / Gp

Bild A-86 Übungsaufgabe 4.25

4.6 Spezielle Schaltungen der Wechselstromtechnik

4.26

1

I
jCp

U

Zu 1.

1 =
mit

I 2 =

I

1

1

2

+ Rr1 + jLr1

(Rr1 + jLr1)

jCp
jCp

+ Rr2 + jLr2

1

+ Rr1 + jLr1
jCp

1

U
jCp

I =

1

1

1

(Rr1 + jLr1) +

+ Rr1 + j L
r1(Rr2 + jLr2)

jC

p
j Cp

312

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

U

I

1

2

Rr1 jLr1 (1 jCpRr1 CpLr1) (Rr2 jLr2)

U

I

1

2

2

2

(R r1+ Rr2 CpLr1Rr2 CpLr2Rr1) + j (Lr1+ Lr2 + CpRr1Rr2 CpLr1Lr2)

I

U

1

[R

R 2C (L R L R )] j [L L C R R 2C L L ]

r1
r2
p
r1
r2
r2
r1
r1
r2
p
r1
r2
p
r1 r2

Zu 2. Die Phasenverschiebung zwischen i1 und u beträgt 90° , wenn der Realteil des Widerstandsoperators gleich Null ist:

2

R r1 Rr2 Cp(Lr1Rr2 Lr2Rr1) 0,
nach Cp aufgelöst;

R r1 R2

Cp

2

(Lr1Rr2 Lr2Rr1)

Zu 3. Strom i1 und Spannung u sind in Phase bzw. um 180° phasenverschoben, wenn der Widerstandsoperator reell ist, d. h. wenn der Imaginärteil Null gesetzt wird:

[L L C R R 2C L L ] 0

r1
r2
p
r1
r2
p
r1 r2

1. bei = 0 (Gleichspannung)

U

1

I

, Z Rr1 Rr2

R r1 Rr2

2. mit L

L C R R 2C L L 0
r1
r2
p
r1
r2
p
r1 r2

Lr1 Lr2 CpRr1Rr2

1 " 1

1 #

R R
bei
r1
r2

$

%

CpLr1Lr2

Cp L

& r1 Lr2

L

'

r1Lr2

U

I

1

1 " 1

1 #

R

r1R r2

Rr1 Rr2 :

$

%

; Cp(Lr1Rr2 Lr2Rr1)

C

: p L

& r1 Lr2

L

'

r1Lr2 ;!

U

I

1

" 1

1 #

" 1

1 #

CpRr1Rr2

Rr1+Rr2

+

L

:$

% r1Rr2+$

L

%; r2Rr1+

(Lr1Rr2 +Lr2Rr1)

L

& r1 Lr2

L

'

& r1 Lr2

L

'

r1Lr2

!

U

I

1

L

"

#
r1

Lr2

R r2

R r1

Rr1 Rr2 R

: r2

R r2

Rr1 Rr1 CpRr1Rr2 $

%;

Lr2

Lr1

L

& r2

Lr1 '!

U

I

1

L

"

#
r1

Lr2

Rr2

Rr1

R

:

r2

R r1 CpRr1Rr2 $

%;

Lr2

Lr1

L

& r2

Lr1 '!

L

L

" R

R

#
mit
r1
r2
r2
r1

Z

R

:

r2

R r1 CpRr1Rr2 $

%;

Lr2

Lr1

L

& r2

Lr1 '!

4 Wechselstromtechnik

313

4.27

R

+ R

Zu 1.

C
r1
r2
p =

=

200 + 100

2(L R + L R )

(2 200s1)2 (0,4H 100 + 0,2H 200)

r1
r2
r2
r1

C = 2,375μF 2,4μF
p

Zu 2.

Reihenfolge der Zeigerdarstellung:

I1

I1 = 20mA

UR1 = Rr1 · I1

UR1 = 4V

UL1 = jLr1 · I1

UL1 = 10,05V

U

U

1 = UR1 + UL1

1 = 10,82V

I

I
p = jCp · U1
p = 32,3mA

I

I

2 = I1 + Ip

2 = 15mA

U

U

R2 = Rr2 · I2

R2 = 1,5V

Bild A-87 Übungsaufgabe 4.27

U

UL2 = 3,77V

L2 = jLr2 · I2

U

U

2 = 4,2V

2 = UR2 + UL2

U = 8,8V

U = U1 + U2

Zu 3.

nach Aufgabe 4.26:

1. bei

= 0 (Gleichspannung): Z = R + R = 200 + 100 = 300
r1
r2

1

1

1

200 100

2. bei

=

+

= 1,837 103s1 mit 2 =3,375 106s2

2,4 106 F .- 0,4H 0,2H / + 0,4H 0,2H

Z = R

+ R 2C (L R + L R )

r1
r2
p
r1
r2
r2
r1

Z = 200+100 3,375 ( 106 s2 ( 2,4 ( 106 F ( (0,4H ( 100+0,2H ( 200) = 348

Effektivwerte für das Zeigerbild:

I1 = 20 mA

UR1 = 4V

UL1 = 14,7V

U1 = 15,2V

Ip = 67mA

I2 = 48mA

UR2 = 4,8V

UL2 = 17,6V

U2 = 18,3V

U = 7V

Bild A-88 Übungsaufgabe 4.27

314

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

4.28

Z

Z

Zu 1.

1

3

=

Z2

Z4

1

Z Z4

3

Z =

Z2

R1 R4

Rr3 + jLr3 =

1

Rr2 + jCr2

1

R

Bild A-89 Übungsaufgabe 4.28
r2 + j

R1 ( R4

Cr2

Rr3 + jLr3 =

(

1

1

Rr2 j

Rr2 + j

C
r2

C
r2

R R R

+ j 1 R R

1

4
r2

C

1

4

R

+ jL =
r2
r3
r3

R 2 +

1
r2

2C 2
r2

2 C 2 R R R + j C R R

R

+ jL =
r2

1

4
r2
r2

1

4
r3
r3

2 R 2 C 2 + 1
r2
r2

2 C 2 R R R

C

R R
d. h.

R

=
r2

1

4
r2
und

L

=
r2

1

4

.

r3

2
r3

R 2 C 2 + 1

2 R 2 C 2 + 1
r2
r2
r2
r2

Der Abgleich der Brücke ist frequenzabhängig, weil in der Abgleich-Bedingung vorkommt.

Zu 2.

nach Gl. (4.178)

R

2 C 2 R R R

R

=

1 R =
r2

1

4
r2
r3

R

4

2

2
p2

2 R

C

+ 1
r2
r2
daraus folgt

R 2 +

1

2
r2

R 2 C2 + 1

2C 2

R

=
r2
r2

=
r2

(vgl. Gl. (4.69), äquivalente Schaltungen)

p2

2 C 2 R

R
r2
r2
r2
und aus

C

R R

L

= R R C =
r2

1

4
r3

1

4
p2

2 R 2 C 2 + 1
r2
r2
folgt

1

C

2C

C

=
r2

=
r2

(vgl. Gl. (4.69), äquivalente Schaltungen)

p2

2 R 2 C 2 + 1
r2
r2

R 2 +

1
r2

2C 2
r2

4 Wechselstromtechnik

315

Zu 3. Mit R

C 1 bzw. 2 R 2 C 2 1

r2
r2
r2
r2
ergeben sich für

R1 R4

C

R R

R r3
und
r2

1

4

Lr3

.

2 Rr2

2

Der Abgleich der Brücke ist dann frequenzunabhängig.

4.29

1

Z

3

Z

bzw. 1

Z Z4 Z2 3

Z

Z2

Z4

Zu 1. siehe Bild A-90

"

1

#

"

1

#

R

$ r1

% R4 R

$ r2

% R3
j

&

Cr1
j

'

&

Cr2 '

R4

R3

R r1R4

Rr2R3

jCr1
jCr2

d. h.

Bild A-90 Übungsaufgabe 4.29 (1)

Rr1

R3

R r1R4 Rr2R3 bzw.

Rr2

R 4

R

R

C

R
und

4

3
r2

3

bzw.

Cr1

Cr2

Cr1

R 4

Die Brücke ist frequenzunabhängig.

Anwendung: Messung von verlustbehafteten Kondensatoren (vgl. Bild 4.123 und Gl. 4.172).

Zu 2. siehe Bild A-19

1

1

R4

R3

1

1
jCp1
jCp2

R p1

R p2

1

1
jCp1
jCp2

R p1

R p2

R 4

R3

Bild A-91 Übungsaufgabe 4.29 (2)

1

C

C

p1
p2
j

1
j

R R

R

R

R

R
p1 4

4
p2

3

3

Rp1

R
d. h.

3

R p1R4 Rp2R3 bzw.

Rp2

R 4
und

Cp1

Cp2

Cp2

R3

bzw.

R4

R3

Cp1

R4

Die Brücke ist frequenzunabhängig.

Anwendung: Messung von verlustbehafteten Kondensatoren.

316

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

Zu 3.

siehe Bild A-92

1

1

R4 = R
r2 +

R3

1
j

+

Cr2
j C

p1

Rp1

1

1

R4 = R
r2 +

+ jCp1 R3
j

C

r2

R

p1

R

R

1

C

4
r2
p1

=

+

+ jRr2Cp1 +

Bild A-92 Übungsaufgabe 4.29 (3)

R3

R p1
jCr2Rp1

Cr2
d. h.

R

R

C

4 = r2 + p1

R

R

C

3
p1
r2
und

1

1

0 = j

+ jR C
bzw.

= R C

C R
r2
p1

C R
r2
p1
r2
p1
r2
p1
bzw.

1

= Rp1Cp1Rr2Cr2

Die Brücke ist frequenzabhängig.

Anwendung: Frequenzmessung (vgl. Bild 4.131 und Gl. (4.186))

4.30

Zu 1.

Bei Abgleich sind

1

U = U3

(Rr1 + jLr1) I =

+

1

R3 I3 R5 I 5
und

U = U

2

4

R2 I = R I

2

4

4

Beide Gleichungen dividiert, ergibt

(Rr1 + jLr1) I

+

1

R3 I3 R5 I5

=

R2 I

2

R4 I4

Bild A-93 Übungsaufgabe 4.29 (2)

und mit I = I und I = I

1

2

4

5

Rr1 + jLr1

R3 I3 R5

=

+

R2

R4 I5 R4
mit der Stromteilerregel

1

I5
jC

=

I

1

3

R4 + R5 + jC

4 Wechselstromtechnik

317

1

R4 + R5 +

Rr1

Lr1

R3
jC

R5

R3

R3

R5

+ j

=

+

=

(R4 + R5) jC +

+

R

R

R

1

2

2

4

R4

R4

R4

R4
jC
d. h.

R

2

R5

Rr1 =

(R3 + R5)

und Lr1 = CR2R3 1

+

(vgl. Gl. 4.182)

R4

R

4

Zu 2.

Der Abgleich der Brücke ist nicht frequenzabhängig, weil in der Abgleichsbedingung die

Frequenz nicht vorkommt.

4.31

Zu 1.

Bild A-94 Übungsaufgabe 4.31

(R1 + j 1

L ) ( I

( =

(

= +

1
j M I

R3 I
mit

I

I

I

3

1

3

(R1 + j 1

L ) ( I

( ( =

(

1
j M I1 j M I

R

I

3

3

3

(R + jL jM) ( I = (R + jM) ( I

1

1

1

3

3
und

1

R
r2 +

I = R I

2

4

4
j

Cr2
und mit I = I und I = I

1

2

3

4

R1 + j( 1

L M)

R3 + jM

=

1

R4

Rr2 + jCr2

R

R R + j(L M) R = R R + M + j ( M R

3

1

4

1

4
r2

3

C
r2

C
r2
r2

M

R1R4 = Rr2R3 +
bzw.

M = Cr2(R1R4 Rr2R3)

Cr2

318

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

R3

( 1

L M) R4 1

L R 4 MR4 MRr2

Cr2
bzw.

R

L R

3

1

4

C

2L C R R

M
r2

1 r2

4

3 .

R R

2C (R R )

r2

4
r2
r2

4

Aus beiden Gleichungen lässt sich M nach dem Abgleich der Brücke berechnen. Der Abgleich der Brücke ist frequenzabhängig, weil in der Abgleichbedingung die Frequenz enthalten ist.

Zu 2. Aus (R1 j 1

L jM) I (R jM) I

1

3

3

"

1

#

R

$ r2

% I R I

2

4

4
j

&

Cr2 '

ergeben sich

1

Z R1 j( 1

L M)

3

Z R3 jM

1

Z2 Rr2

Z4 R4

(siehe Bild A-94)

jCr2

4.32

Z

Z

Zu 1.

1

2

Z3

Z4

1

Z2 1

Z Z4

3

Z
mit

1

1

Z R1

Z2

1
jCp2

R p2

1

1

Z3

Z4

1

Bild A-95 Übungsaufgabe 4.32
jC4
jCp3

Rp3
ergibt sich

1

"

#

1

R

1

$
jCp3 %

1
jC

$

%

4

Rp3
jC

&

'

p2

R p2

1 jCp3

1
j C

R

4
p3
jCp2

R

1
p2

" 1

#
jCp3

R1$
jCp3 % R

$

%
p3

R p3

&

'

4 Wechselstromtechnik

319

1

1

C C
jC
jC

+ 2 4 p3

4
p3
jC4

1

R

R R

R

+
p3

1
p3

1
jC

=

=

R
p2

1
p2

1

+ 2C 2

R

+ 2C 2
p3

1
p3

R 2

R 2

p3
p3

d. h.

1

+ 2

1

C 2
p3

C

R 2

4 R R
p3

1
p3

R

=
und

C

=
p2

C C
p2

1

2 4 p3

+ 2C 2
p3

R

R 2

1
p3

Zu 2.

Im Zeigerbild für Leitwerte ist der Tangens des Verlustwinkels abzulesen:

1

Rp2
tan p = Cp2

1
tan p = Rp2Cp2

Bild A-96

Übungsaufgabe 4.32
tan =

1

= R C
p

1
p3 p3

+ 2

1

C 2
p3

C

R 2

4 R R

( p3

(

1
p3

C C

1

2 4 p3

+ 2C 2
p3

R

R 2

1
p3

Zu 3.

Ist die Parallelschaltung der Reihenschaltung äquivalent, dann sind die Phasenverschie-
bungswinkel und die Verlustwinkel gleich:

)r = )p = ) und r = p = .

Mit Gl. (4.184)

tan = Rr2Cr2
und mit Gl. (4.77) der Transformation der Parallelschaltung in die äquivalente Reihenschaltung 1

1

+ 2C 2
p2

R

R

2
p2
p2

R

=
und

C =
r2

1
r2

+

C

2C 2
p2
p2

R

2
p2
ist

1

1

+ 2C 2
p2

R

R

2
p2
p2
tan =

(

=

1

= R C

1
r2
r2

+

C

R C

2C 2
p2
p2
p2
p2

R

2
p2

320

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

4.33

Zu 1.

Nach Gl. (4.202) ist die Wirkleistung

P = U I cos = 2kVA cos(/3) = 2kVA 0,5 = 1kW
und nach Gl. (4.206) die Blindleistung

Q = U I sin = S sin = 2kVA sin(/3) = 2kVA 0,5 3 = 1,73kVar

Nach Gl. (4.205) ergibt sich dann für die Augenblicksleistung
p = P (1 cos 2 t) Q ( sin 2 t = 1kVA ( (1 cos 2 t) + 1,73kVA ( sin 2 t
t

1

0

/6

/3

/2

2/3

5/6

P (1 cos 2t)

kVA

0

0,5

1,5

2,0

1,5

0,5

0

+Q sin 2t
kVA

0

1,5

1,5

0

– 1,5

– 1,5

0
p
kVA

0

2,0

3,0

2,0

0

– 1,0

0

Die Verläufe der Leistungen sind im Bild A-97 dargestellt.

Bild A-97 Übungsaufgabe 4.33

4 Wechselstromtechnik

321

4.34

Zu 1.

Die Ersatzschaltungen sind wegen > 0 die Reihenschaltung von Rr und Lr und die Parallelschaltung von Rp und Lp:

1

1
j
j

Z

Y =
j

= Y e
r

Rr
j Lr

Zr e )

=

+

=

(
p
p

Rp

Lp

Z = U cos ) + j U sin )

Y = I ( cos j ( I ( sin
r

I

I
p

U

U

R = U cos ) = 220V cos 60

R

=

U

=

220V
r
p

I

9,1A

I cos )

9,1A cos 60

R = 12,1

R

= 48,4
r
p

U

L = U ( sin )

=
r

L

I
p

I ( sin )

L = 220V ( sin 60
r

L =

220V

2 ( 50 s1 ( 9,1A
p

2 ( 50 s1 ( 9,1A ( sin 60

L = 66,6mH

L = 88,9mH
r
p

Zu 2.

P = U I cos ) = 220V 9,1A cos 60 = 1kW

2

2

U

P = I Rr

P = Rp

P = (9,1A)2 12,1 = 1kW

P = (220V)2 = 1kW

48,4

Q = U I sin ) = 220V 9,1A sin 60 = 1,73kVar

2

2

Q = I X

1
r = I Lr

2

2

Q = U ( Bp = U (

L
p

Q = (9,1A)2 ( 2 ( 50s1 ( 66,6mH

Q =

(220V)2

2 ( 50s1 ( 88,9mH

Q = 1,73kVar

Q = 1,73kVar

S = U I = 220V 9,1A = 2kVA

S = I2 R 2 + 2L 2
r
r

S = U2

1

+

1

R 2

2L 2
p
p
mit
mit

2 L 2 = (2 50s1 66,6mH)2

1
r

=

1

2 L 2

(2 50 s1 88,9 mH)2
p

2 (

1

L 2 = 4382

=
r

1,282 ( 103S2

2 ( L 2
p

S = (9,1A)2 (12,1)2 + 4382

S = (220V)2 (

1

+ 1,282 ( 103S2

(48,4)2

S = 2 kVA

S = 2 kVA

322

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

4.35

Zu 1

S = U · I = 110 V · 5,2A = 572VA

P = U · I · cos = 110 V · 5,2A · 0,25 = 143W

Q =

S2 P2 = (572VA)2 (143VA)2 = 554Var

Zu 2.

Nach Gl (4.66) ist

I

= I cos ) = 5,2A 0,25 = 1,3A

R
und nach Gl. (4.67)

I

= I ( sin = 5,2A ( 0,97 = 5,0A

B

Zu 3.

Z = U = 110V = 21,2

R = Z ( cos = 21,2 ( 0,25 = 5,3
r

I

5,2A
r
r

X =

Z 2 R 2 = (21,2 )2 (5,3 )2 = 20,5
r
r
r

X

L =
r = 20,5 = 65,3mH
r

2 50s1

4.36

Zu 1.

Nach Gl (4.225) und Gl. (4.214) sind

P
d

= tan = 1 = 1,2VA = 6,6 ( 103

C1

C1

Q

182VA

1
mit

Q = U2 C

= (220V)2 2 50s1 12μF = 182Var

1
p1
und

P
d

= tan

= 2 = 0,8VA = 13,15 ( 103

C2

C2

Q

61VA

2
mit

Q = U2 C

= (220V)2 2 50s1 4μF = 61Var

2
p2

Zu 2.

Nach Gl. (4.238) ist

1
dC = RCpCp
und

1

1
dC1 =
und
d

=

.

C2

RCp1Cp1

RCp2Cp2

Mit

1

1

1

=

+

RCp

RCp1

RCp2
ergibt sich

Cp dC = Cp1 dC1 + Cp2 dC2

4 Wechselstromtechnik

323

Cp1 dC1 + Cp2 dC2
dC =
mit

Cp = Cp1 + Cp2

Cp1 + Cp2
d

= 12 106 F 6,6 103 + 4 106 F 13,15 103 = 8,24 103

C

(12 + 4) 106 F

P

P + P

(1, 2 + 0,8)VA

Zu 3.

1

2

3
d

C = tan C =

=

=

= 8,23 (10

Q

1

Q + Q2

(182 + 61)VA

4.37

Zu 1.

Nach Gl. (4.243) ist

S = Y* · U2

2

1

(1 LrCr ) + jRLrCr

Y = jCr +

=

RLr + jLr

RLr + jLr

(1 2L C ) jR C

R

+ jL

Y* =
r
r

Lr
r ( Lr
r

R
jL

R

+ jL

Lr
r

Lr
r

R

2(R L C R L C ) + j(L 2L 2C R 2C )

S =

Lr

Lr
r
r

Lr
r
r
r
r
r

Lr
r

( U2

R 2 + 2L 2

Lr
r

R

L 2L 2C R 2C

S =

Lr

+ j ( r
r
r

Lr
r ( U2

R 2 + 2L 2

R 2 + 2L 2

Lr
r

Lr
r

R

L

2L 2 + R 2

S =

Lr

+ j (
r

C (
r

Lr

( U2
r

R 2 + 2L 2

R 2 + 2L 2

2L 2 + R 2

Lr
r

Lr
r
r

Lr

S = P + j Q

R

U2

L

mit P =

Lr
und

Q =
r

Cr ( U2

R 2 + 2L 2

R 2 + 2L 2

Lr
r

Lr
r

Zu 2.

Mit Gl. (4.70) sind

R

L

Lr

= 1
und
r

= 1

R 2 + 2L 2

R

R 2 + 2L 2

L

Lr
r

Lp

Lr
r
p
und

2

U

1

P =
und

2

2

Q = Cr

( U = Bp ( U

R

Lp

Lp

Zu 3.

P =

100 ( (20V)2

= 2W

(100)2 + (1000s1 ( 0,1H)2

Q =

1000s1 ( 0,1H

1000s1 ( 2 ( 106 F

( (20V)2 = 1,2Var

(100)2 + (1000s1 ( 0,1H)2

324

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

4.38

Zu 1.

Die Parallelschaltung wird nach GI. (4.77) in die äquivalente Reihenschaltung transformiert: 1

1

RCp

R

=

=

100

= 22

Cr

1

+

1

2C 2

+ (2 50s1 60 106 F)2
p

R

2

(100)2

Cp
die Reihenschaltung der beiden ohmschen Widerstände ergibt dann

R + R

= 20 + 22 = 42

Cr
und

1

C

=
p

=

2 50s1 60 106 F

C

1

1
r

+ 2C 2

+ 2 50s1 60 106 F

(

)2
p

R

2

(100)2

Cp

1

= 41,4

C =

1

=

1

= 77μF .

C
r

41,4
r

2 50s1 41,4

Nach Gl. (4.243) ist

2

U

1

S =
mit

Z = (R + RCr ) j

*

Z

Cr

1

*

Z = (R + RCr ) + j

= (42 + j ( 41,4)

Cr

S =

(220V)2

( (42 j ( 41,4)

(42 + j ( 41,4) (42 j ( 41,4)

S = (220V)2 ( (42 j ( 41,4) = 584W j ( 577Var

(42)2 + (41,4)2

S = P + j Q
d. h.

P = 584W
und

Q = 577Var

Zu 2.

Nach Gl. (4.243) ist

2

U

S =

*

Z

R

+ 1 + j R

Cp

R

1

Cp

mit

Z = R +

=

1

1

+ j C
p

+ j C
p

RCp

RCp

(R + R

) + j ( R ( R

( C

(R + R

) j ( R ( R

( C

Cp

Cp
p

Cp

Cp
p

Z =
bzw.

Z* =

1 + j ( R

( C

1 j ( R

( C

Cp
p

Cp
p

1 j ( R

( C

Cp
p

S = U2 ( (R + R ) j ( R ( R ( C

Cp

Cp
p

4 Wechselstromtechnik

325

R ( RCp

1 + j (

Cp

2

U

1 jRCp ( Cp

R + RCp

S =

(

(

R + R

R ( RCp

R ( RCp

Cp

1 j (

Cp 1 + j (

Cp

R + RCp

R + RCp

R ( R

Cp

(1 jR

( C ) 1

+ j (

C

Cp
p

R + R
p

Cp

S =

U2

(

R + R

2

Cp

R ( R

Cp

1 + (

C

R + R
p

Cp

R ( R

R ( R

Cp

Cp

1

+ 2 ( R

(

C 2

R

Cp
jC

R + R
p

p

Cp

R + R

Cp

Cp

S =

U2

(

R + R

2

Cp

R ( R

Cp

1 + (

C

R + R
p

Cp

S = P + j Q
mit

R RCp

20 100

=

= 16,6

R + RCp

20 + 100
und

1

1

2

50

314,16 s

=

=
ergibt sich für die Wirkleistung

2

2

2

6

2

(220 V)

1 + 314,16 s

(100 (16,6 ( (60 (10 F)

P =

(

= 584 W

1

6

2

120

1 + (314,16 s

(16,6 ( 60 (10 F)

und für die Blindleistung

2

1

6

(220 V)

314,16 s

( 60 (10 F ( (100 16,6 )

Q =

(

= 577

Var

1

6

2

120

1 + (314,16 s

(16,6 ( 60 (10 F)

4.39

Wirkleistung für den komplexen Widerstand Z:

P = U I3 cos )

mit

I 2 = I 2 + I 2 2 ( I ( I ( cos (180 )

1

2

3

2

3
und
cos (180 )

= cos
und

Bild A-98 Übungsaufgabe 4.39

I 2 I 2 + I 2

(

)

1

2

3

I ( cos =

3

2 ( I2

326

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben
und

U = Rp I2

I 2 I 2 + I 2

(

)

1

2

3

P = R I
p

2

2 I2

I 2 I 2 + I 2

(

)

1

2

3

P = R
p

2

Leistungsfaktor:

I 2 I 2 + I 2

(

)

1

2

3
cos =

2 ( I ( I

2

3

Blindleistung:

2

I 2 I 2 + I 2

(

)

1

2

3

Q = U ( I ( sin = R ( I ( I ( 1

3
p

2

3

2 ( I ( I

2

3

mit

2
sin = 1 cos
und

U = Rp ( I2

4.40

Zu 1.

U

= 81V

U

= 138V

R3

L3

U

I =

2 = 90V = 0,45A

R

200
v

U

Zu 2.

R =

R3 = 81V = 180
r

I

0,45A

U

U

L = L3

L =

L3
r

I
r

I

L =

138V

= 0,98H
r

2 ( 50s1 ( 0,45A

Bild A-99 Übungsaufgabe 4.40

U 2 U 2 + U 2

(

)

1

2

3

220V

(

)2 90V

( )2 160V

(

)2

Zu 3.

cos =

=

= 0,51

2 ( U ( U

2 ( 90V ( 160V

2

3

U ( cos

= 59,3

R =

3

= 160V ( cos 59,3 = 181
r

I

0,45A

U sin

L =

3

= 160V sin 59,3 = 0,97H
r

I

2 50s1 0,45A

4 Wechselstromtechnik

327

4.41

Zu 1.

Q = P · tan = 5000VA · 0,62 = 3100Var

Nach Gl. (4.263) ist

C = P tan =

5000V 0,62

= 204μF
p

U2

2 50s1 (220V)2

Zu 2.

vor der Kompensation: cos = 0,85
aus

P = U · I · cos

I =

P

= 5000VA = 26,7A

U cos )

220V 0,85
nach der Kompensation: cos = 1

I

= P = 5000VA = 22,7A

Kp

U

220V

Bild A-100 Übungsaufgabe 4.41

Zu 3.

Bild A-100.

Zu 4.

Nach Gl. (4.270) ist

C =

P

=

5000VA

= 734μF .

r

U2 sin cos

2 50s1 (220V)2 0,527 0,85

Nach Gl. (4.272) ist

U' = U tan ) = 220V 0,620 = 136V.

C

Kontrolle mit Gl. (4.271):

C = C sin2 ) = 734μF 0,2775 = 204μF.

p
r

4.42

P

Zu 1.

S =

1

= 150 103VA = 250kVA > 200kVA,

1
cos )

0,6

1
der Transformator ist überlastet.

Zu 2.

Die Summe der Blindleistungen beider Motoren müssen kompensiert werden, denn dann ist
die gesamte Wirkleistung P = 190kW < 200kVA. Der Leistungsfaktor cos ) der beiden
kompensierten Motoren ist dann gleich 1.

Motor 1:

Q1 = P1 · tan 1 = 150kVA · 1,33 = 200kVar
mit

1 = arc cos 0,6 = 53,13°

Motor 2:

Q2 = P2 · tan 2 = 40kVA · 0,75 = 30kVar
mit

2 = arc cos 0,8 = 36,87° .

Mit der gesamten Blindleistung Q = 230kVar und mit der gesamten Wirkleistung P = 190kW ergibt sich der Leistungsfaktor beider Motoren:

tan ) = Q = 230kVA = 1,21

) = 50,44
und
cos ) = 0,64.

P

190kVA

Die notwendige Parallelkapazität kann über die zu kompensierende Blindleistung oder nach Gl. (4.263) berechnet werden:

328

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

Aus

Q

= U2 ( C = Q

C
p
ergibt sich

C =

Q

=

230kVA

= 15mF .

p

U2

2 50s1 (220V)2

Die Reihenkapazität beträgt nach Gl. (4.271)

Cp

C =

= 15mF = 25,2mF .

r
sin2 )

0,771

(

)2

4.43

Zu 1.

*

Za = i

Z
oder

*
i

Z = Za
i

Z = Ri + jLi

1
jCp

1

RCp

Za = RLr + jLr +

(

1

1

+ jCp
jCp

RCp

RCp

1

R

C

Cp
p

Z = R

+
j (

L
a

Lr

1
r

+

1

2C 2

+ 2C 2

p
p

R

2

R 2

Cp

Cp

1

R

C

Cp
p

Z* = R

+

+ j (

L
a

Lr

1
r

+

1

2C 2

+ 2C 2

p
p

R

2

R 2

Cp

Cp

1

R

C

Cp
p

R = R

+

L =

L
i

Lr

1
i
r

+

1

2C 2

+ 2C 2
p
p

R

2

R

2

Cp

Cp

Zu 2.

Nach Gl. (4.77) ist

1

1

+ 2C 2
p

R

R

2

Cp

Cp

R

=
und

C =

Cr

1
r

+ 2

2C

C 2
p
p

R

2

Cp

1

Za = RLr + RCr + j ( Lr

C

r

1

R

C

Cp
p

Z = R

+

+ j ( L
a

Lr

1
r

+

1

2C 2

+ 2C 2
p
p

R

2

R

2

Cp

Cp

4 Wechselstromtechnik

329

4.44

Zu 1.

*

Za = i

Z ers

(R + R

+ jL )

1
i

Lr
r

1

+ jC

R
p

Cp

Z

=
iers

R + R

+ jL +

1
i

Lr
r

1

+ jC

R
p

Cp

R + R

+ jL

Z

=
i

Lr
r
iers

(R + R

+ jL )

1

+ jC
i

Lr
r

+ 1

R
p

Cp

Ri + RLr + jLr
ie

Z rs = R +

i

RLr

2

Lr

1 +

LrCp + j ( (Ri + RLr)Cp +

R

Cp

R

Cp

R + R
jL

Z = R + j ( X = Z*

=
i

Lr
r
a
a
a
iers

R + R

L

1

+ i

Lr 2L C j ( (R + R )C + r

R
r
p

i

Lr
p

R

Cp

Cp

R + R

L

1

+ i

Lr 2L C

+ R )C +
r

r
p
+ j (R i

Lr
p

R + R
jL

R

R

=
i

Lr
r

Cp

Cp

R + R

L

R + R

L

1

+ i

Lr 2L C j (R + R )C + r
1

+ i

Lr 2L C
+ j (R + R )C + r

R
r
p

i

Lr
p

R

R
r
p
i

Lr
p

R

Cp

Cp

Cp

Cp

R +

i

RLr

2

2

Lr

(Ri + RLr ) 1 +

LrCp
+ Lr (Ri + RLr)Cp +

R

Cp

R

Cp

Ra =

2

2

R +

i

RLr

2

2

Lr

1 +

LrCp
+ (Ri + RLr)Cp +

R

Cp

R

Cp

R + R

2L 2

(R + R ) 1

+ i

Lr
r
i

Lr

+

R

R

Cp

Cp

R =
a

2

2

R + R

L

1

+ i

Lr 2L C
+ 2 (R + R ) C + r

R
r
p

i

Lr
p

R

Cp

Cp

330

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

L

R + R

( (R + R ) C +
r (R + R ) L 1

+ i

Lr 2L C
i

Lr
p

R

i

Lr
r

R
r
p

Cp

Cp

X =
a

2

2

R + R

L

1

+ i

Lr 2L C + 2 (R + R ) C + r

R
r
p

i

Lr
p

R

Cp

Cp

2

2

(Ri + RLr) Cp Lr(1 LrCp)

Xa =

2

2

R +

i

RLr

2

2

Lr

1 +

LrCp
+ (Ri + RLr) Cp +

R

Cp

R

Cp

U2qers

Zu 2.

P

=
nach Gl. (4.281)

a max

4 Riers

Uq

1

Uq ers = U l =

1

1

Ri + RLr + jLr +

+ jCp

1

RCp

+ jCp

RCp

Uq

U

=
q ers

R

( + R + jL ) 1

+ jC
i

Lr
r

+ 1

R
p

Cp

Uq

U

=
q ers

R + R

L

1

+ i

Lr 2L C + j ( R

( + R )C + r

R
r
p

i

Lr
p

R

Cp

Cp

Uq

U

=
q ers

2

2

R + R

L

1

+ i

Lr 2L C
+ 2 (R + R ) C + r

R
r
p

i

Lr
p

R

Cp

Cp

U 2
q

P

=
mit

R = R (siehe unter 1.)

a max

i
a

R + R

2L 2

4 (R + R ) 1

+ i

Lr
r
i

Lr

+

R

R

Cp

Cp

1

Zu 3.

Ri = 4

RLr = 6

L
r = 8

= 5

RCp = 500

Cp

2

10 ( (1 + 10 / 500 ) + 64 / 500

Ra =

= 2,35

2

2

(1 + 10 / 500 8 / 5 ) + (10 / 5 + 8 / 500 )

2

100 / 5 8 ( (1 8 / 5 )

Xa =

= 5,64

2

2

(1 + 10 / 500 8 / 5 ) + (10 / 5 + 8 / 500 )

2

81 V
a

P max =

= 1,96 W

2

4 [10 (1 + 10 / 500 ) + 64 / 500 ]

5 Ortskurven

331

5 Ortskurven

5.1

Zu 1.

U = (R + j X ) I
r
r

U = (R + jL ) I
r
r

U = R I + j p L

I
r
r0
mit L = p L

= p 100mH
r
r0
und
p = 1... 3

U = 200 0,01A +
j ( 2 ( 200s1 ( p ( 0,1H ( 0,01A

U = 2V + p j 1,257V

U

U

Zu 2.

I =

=

R + j X

R + jL
r
r
r
r

U

I =

=

1

R + jpL

L
r
r0

Rr + jp r0

U

U

1

I = 200 + j(p( 2(200s1 (0,1H

10V

10V

1

I =

1

(20
p j 12,57)A

+
mit

Lr = p · Lr0 = p · 100mH
und
p = 1 … 3
und

A = 20A–1

B = j · 12,57A–1

1/(2A) = 0,025A = 25mA

Bild A-101 Übungsaufgabe 5.1

Zu 3.

Kontrolle:

1
p = 1:

I

20 j 12,57

1 =

A = (35,8 j 22,5) mA

20 + j 12,57 20 j 12,57

1
p = 2:

I

20 j 25,1

2 =

A = (19,3 j 24,4) mA

20 + j 25,1 20 j 25,1

1
p = 3:

I

20 j 37,7

3 =

A = (11,0 j 20,7) mA

20 + j 37,7 20 j 37,7

332

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

5.2

Zu 1.

Zu 2.

Bild A-102 Reihenschaltung

Übungsaufgabe 5.2

Bild A-103 Parallelschaltung

Übungsaufgabe 5.2

Z =

Y = 1 + j p C
r

R
j (

1
r
p ( ( C
p

R

0
p

0
r
p

Z =
r

17,3 j

1

Y =

1

+ j ( p ( ( 79,6μF
p 318μF
p

0

0

23,1

Die Bedingungsgleichung für die Äquivalenz der Reihen- und Parallelschaltung bei p = 1 lautet: 1

Z

=
r1

Yp1

R j (

1

=

1
r

( C

1/R + j ( ( C

0
r
p

0
p

R

C

r + p + j ( R C

1

= 1

R

C

0
r
p

R C
p
r

0
p
r
d. h.

und

R

C

1
r + p =

R C =

1

0
r
p

R C

R

C

0
p
r
p
r

1

17,3

=

+ 79,6μF = 1

0

R C R C

23,1

318μF
r
r
p
p

0,7489 + 0, 2503 = 1

=

1

0

17,3 ( 318μF ( 23,1 ( 79,6μF

= 314s1
und
f

0

0 = 50Hz

Bei f0 = 50 Hz sind die beiden Schaltungen äquivalent (vgl. Aufgabe 4.6).

Die Ortskurvengleichungen lauten dann

=

Z =

Yp

43,3mS + j p 314s1 79,6μF
r

17,3 j (

1
p ( 314s1 ( 318μF

Z =

(

Y

= 43,3mS + p j 25mS
r

17,3 1 j ( 10
p
p

Y = 1 =

1
r

Z = 1 =

1

Z
p
r

17,3 1 ( j( 10

Yp

43,3mS + p j 25mS
p
mit A = 17,3 und 1/(2A) = 28,9mS
mit A = 43,3mS und 1/(2A) = 11,5

5 Ortskurven

333

Bild A-104 Ortskurven der Reihen- und Parallelschaltung der Übungsaufgabe 5.2

Zu 3

2

2

Zr1 = (17,3) + (10) = 20

Y

= (43,3mS)2 + (25mS)2 = 50mS
p1
d. h.

1

1

Zr1 =

=

= Zp1
r1

Y
p

Y 1

5.3

Zu 1.

Reihenschaltung

Parallelschaltung

1

1

Zr = Rr + j · p

0

Lr

Y
p C

p

p = Gp + j ·

0 p

0

Cr
p 0Lp

1

1

1

1
mit 0 =

=
mit 0 =

=

Lr Cr

0,04 H 1 F
μ

Cp Lp

1 F
μ 0,04H

0 = 5000 s– 1

0 = 5000 s– 1

1

1

Zr = Rr + j · Xkr · p

Yp = Gp + j · Bkp · p

p

p

L

Cp
mit X
r = 0,04H =
mit B

=

1μF

= 5mS
kr =

200
kp =

C

1μF

L

0,04 H
r
p

334

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

1

1

Z = 200 + j ( 200 ( p

Y = 5mS + j 5mS p

r

p

p

p

Y = 1 =

1

= 1 =

1
r

Z

Z

p

r

Y

200 + j ( 200 ( p 1
p

5mS + j 5mS p 1

p

p
mit A = 200 und 1/(2A) = 2,5mS
mit A = 5mS und 1/(2A) = 100

Werden für 2,5mS und 100 gleiche Längen gewählt, sind die Ortskurven für Zr und Yp, Yr und Zp identisch.

Bild A-105 Ortskurve der Reihen- und Parallelschaltung der Übungsaufgabe 5.3

5 Ortskurven

335

Zu 2.

Aus der Leitwert-Ortskurve des Reihenschwingkreises lassen sich die Zeigerlängen Yr in

Abhängigkeit von p ablesen:

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0
p

1

1

0,91

0,83

0,77

0,71

0,67

0,63

0,59

0,56

0,53

0,5

Yr
mS

5

4,9

4,7

4,4

4,1

3,9

3,6

3,4

3,2

3,0

2,7

Werden die abgelesenen Yr -Werte mit Rr multipliziert,

I

I

Yr · Rr =

Rr =

,

U

U / Rr
dann ergeben sich die bezogenen Stromwerte der Gleichung 4.132, die mit

X

Q
kr
r =

= 200 = 1

R

200
r
im Bild 4.98 der obersten Kurve entsprechen. Die abgelesenen Yr -Werte können also mit der Gleichung (4.132) mit x = p rechnerisch kontrolliert werden:

I

Yr =

=

1

=

1

U

2

2

R ( 1 + Q 2 ( p 1

200 ( 1 + p 1
r
r

p

p

5.4

Bild A-106 RL-Schaltungen im Bildbereich der Übungsaufgabe 5.4

U

R

R =
r

=

1

I

R

L =
p

=

1

U

R + jL

L
r
r

I

R + jL

L

1 + j r
p
p
p

R

1 + j
r

R p

Rr

R

0

=
p

L

=
r

0

Lp

UR = IL =

1

=

1
mit = p

U

I

1 + j p

0

1 + j

0

336

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

U
jL

L =
r

=

1

I
jL

R =
p

=

1

U

R + jL

R
r
r

I

R + jL

R

1 +
r
p
p
p
jL

1 +
r
jLp

UL =

1

IR =

1

U

R

I

R

1 + j 1
r
p

1 j ( 1 (

Lr

Lp

Rr

R

0

=
p

L

=
r

0

Lp

UL = IR =

1

=

1

=

1
mit

= p (
p* = 1

U

I

1 j ( p*

0
p

1 j ( 0

1 j ( 1

p

Bild A-107 RC-Schaltungen im Bildbereich der Übungsaufgabe 5.4

1

1

I
jC

U
jC

1
p

R

1

=

=

C
r

=

=

I

1

1 + jR

U

1

1 + jR C
pCp

R
r
r

R +
p +
r
jC
jC
p
r

1

1

0

=

0

= R

RrCr
pCp

I

U

R = C =

1

=

1
mit

= p

I

U

1 + j p

0

1 + j

0

I

R

U

R

C =
p

=

1

R =
r

=

1

I

U

R +

1

1 +

1

R +

1

1 +

1
p
r
jC
jR C
jC
jR C
p
p
p
r
r
r

I

U

C =

1

R =

1

I

U

1 j ( 1 (

1

1 j ( 1 (

1

R C

R C
p
p
r
r

5 Ortskurven

337

1

1

0

=

0

=

RpCp

RrCr

IC

U

= R =

1

=

1

=

1
mit

= p (
und p* = 1

I

U

1 j( p*

0
p

1 j ( 0

1 j ( 1

p

Wie aus den Ortskurvengleichungen ersichtlich, sind die Ortskurven von jeweils vier Strom- und Spannungsverhältnissen identisch; die Größen Rr, Lr, Cr, Rp, Lp und Cp , gehen nur in die jeweiligen Bezugsfrequenzen 0 ein.

Bild A-108

Ortskurven der

Übungsaufgabe 5.4

5.5

U

R

1

Zu 1.

2 =

=

U

R + R

+ jL

R

L

1

Lr
r

Lr
r

1

+

+ j

R

R

Zu 2.

Mit = p · 0 und 0 = R/Lr und RLr = R

U2 =

1

=

1

U

2 + j p

1

R

L

1 +

Lr
r

R + j p 0 R

1

1

Die Ortskurve ist ein Kreis durch den Nullpunkt mit

= .

2A

4

Zu 3.

RLr/R

0

1/2

1

2

U2/U1

1/(1 + jp)

1/(1,5 + jp)

1/(2 + jp)

1/(3 + jp)

1/(2A)

1/2

1/3

1/4

1/6

338

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

Bild A-109

Ortskurven und Betragsfunk-
tion der Übungsaufgabe 5.5

Zu 4.

Die Beträge von U2/U1 lassen sich sowohl aus der Ortskurvenschar ablesen als auch rechnerisch ermitteln durch

U2

1

=

(Darstellung siehe Bild A-109)

U

2

1

RLr

1

+

+ 1

R

5.6

U

R

R =
r

U

R + j ( L 1
r
r

Cr

UR =

1

U

L

Bild A-110 Schaltung im Bildbereich

1 + j (
r

1

der Übungsaufgabe 5.6

R

R C
r
r
r

Mit = p · 0

UR =

1

=

1

=

1

U

L

1 + j ( p
r

1

1 + j( Q ( p 1

1 + j ( p 1

0

r

R
p R C

p

p
r

0
r
r

mit

1

0 =

=

1

= 2500s1

L C
r
r

0,08H 2 106 F

5 Ortskurven

339
und

X

L

1

1

L

1

0,08 H

Q =
kr

0 r
r

=

=

=

=

= 1

(vgl. Gl. 4.118)

6

R

r

Rr

Rr 0

Cr

R r Cr

200 2 10 F

Die Ortskurve ist ein Kreis durch den Nullpunkt mit 1/(2A) = 1/2.

Bei p = 1, also bei Resonanzfrequenz ist UR = U, denn die induktive und kapazitive Spannung kompensieren sich: UL + UC = 0.

Bei p = 0, d. h. bei Gleichspannung, fließt kein Strom, weil der Kondensator einen unendlichen Widerstand bedeutet. Die Spannung UR ist also Null.

Bei p = , d. h. bei unendlich hoher Frequenz, ist der Wechselstrom ebenfalls Null, weil der induktive Widerstand unendlich groß ist. Die Spannung UR ist also ebenfalls Null.

Bild A-111

Ortskurve der Übungsaufgabe 5.6

5.7

1

1

1

1

+

+ j C
p +

U

Rp

R2
jLp

Zu 1.

2 =

U

1

1

R1 + 1

1

1

+

+ jCp +

Rp

R2
jLp

Bild A-112 Schaltung im Bildbereich

U
der Übungsaufgabe 5.7

2

1

=

U

1

1

1

1

R1

+

+ jCp +

+ 1

R

p

R2
j Lp

340

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

U2 =

1
mit = p (

U

0

1

R

R

R

1

+ 1 + 1 + j ( R C 1

R

R

1 p

L
p

2

p

1

1

1

0

=

=

= 10000 s

9

3

C

pLp

100 (10 F (100 (10 H

U2 =

1

U

1

1

+ 1 + 1

2 2

+ j ( p ( 10000s1 ( 500 ( 100 ( 109 F

500

p ( 10000 s1 ( 100 ( 103 H

U2 =

1

,

U

1

2 + j 0,5 p 1

p
das ist die Gleichung eines Kreises durch den Nullpunkt mit dem Mittelpunkt auf der reellen Achse mit 1/(2A) = 1/4.

Zu 2.

Bild A-113 Ortskurve der Übungsaufgabe 5.7

Zu 3.

Bei p = 1 herrscht Resonanz zwischen Cp und Lp, d. h. der Leitwert der Parallelschaltung von Cp und Lp ist Null und der Widerstand ist entsprechend unendlich groß. Dadurch bleiben von der Schaltung nur zwei in Reihe geschaltete, gleich große ohmsche Widerstände
von je 500 übrig, so dass die Spannung U1 halbiert wird.

5 Ortskurven

341

5.8

1

1

1

1

1

Zu 1.

Y =

+

=

+

= L +

R

RLr + jLr

R

RLr + p j 0

Lr

E + p F

0 = 100s– 1, p = 1, 2, ..., 10

1

Y =

+

1

= 0,01S +

1

100

50 + p ( j ( 100s1 ( 0,1H

50 + p ( j ( 10
das ist ein verschobener Kreis durch den Nullpunkt mit 1/(2A) = 1/(2 · 50) = 0,01S

Bild A-114 Ortskurve der Übungsaufgabe 5.8

Zu 2.

p = 0 und

= 0 :

Y =

1

+ 1 =

3

= 0,03S

100

50

100

1
p = und = :

Y =

= 0,01S

100

1
p = 5 und =500s1: Y =

+

1

= 1 + 1 j 1 = (0,02 j0,01)S

100 50 + j50 100 100

100

Zu 3.

siehe Bild A-114 mit Asymptote Y = 0,01S.

342

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

5.9

R jL

1
r
r

U
jC

R

Zu 1.

r j r 1

1

U
jL

L

2L C

L
r
r
r
r

U

Rr

1

Rr

1

2
j 1

1 j
p

*
p*

2

2

2

U
p L
p L C

L

L C

L

0 r

0
r
r

0 r

0
r
r

1

1
mit = p · 0 =
und = p* .

p* 0

p

Mit

1

L

X

0 =
und

0 r
kr

Qr 2 (vgl. Gl. 4.118)

LrCr

R r

R r
ist

U

1
j
p*

2

2

2

1 j p*

p* 1 p* p* 1 p* j .

U

Q

2

2

L
r

Bei Resonanz des Reihenschwingkreises ist = 0, also p* = 1/p = 1, und das Spannungsverhältnis ist imaginär:

U
j
j

U

1

1

UL

mit

bzw.

Qr 2 (vgl. Gl. 4.125).

U

Q

2

U

Q

2

U

L
r

L
r

Die Ortskurve ist eine Parabel, die spiegelsymmetrisch zu der Ortskurve von U/UC (Bild 5.30) an der reellen Achse ist. Das Vorzeichen des Imaginärteils ist umgekehrt, und bei den Parameterwerten steht anstelle von p der Kehrwert 1/p.

Bild A-115

Ortskurve der

Übungsaufgabe 5.9

Zu 2. Inversion:

U

1

1

1

U

1

2
j

2

2
p*

L

1 j p*

p*

1 p* p*

1 p* j

Qr

2

2

5 Ortskurven

343

U
p = 0, p* =

L = 0

U

U
p = 1 , p* = 2

L = 1 = 0,3+ j0,1= 0,316ej 161,6º

2

U

3 j

U
p = 2 , p* = 1,5

L =

1

= 0,59 + j0,35= 0,686ej 149,3º

3

U

1,25 j0,75

U
p = 1, p* = 1:

L =

1

= j2 = 2ej 90º

U

1 1 j/2

1

U
p = 2, p* =

:

L =

1

=1,2 + j0,4 =1,26ej 18,4º

2

U

0,75 j0,25

U
p = , p* = 0:

L = 1

U

Zu 3.

Mit Hilfe der Gl. (4.127) mit x = p und Qr = 2 lassen sich für p = 0, ..., 2 obige Ergebnisse bestätigen:

UL =
p

.

U

2

1

+ p 1

4

p

Für p = ist

UL =

1
lim

=1 .

U
x

2

1

+ 1 1

4 p2

p2

1

Nach Gl. (4.129) ist das Maximum bei xL = pL =

=1,07

11/ 8
und beträgt

ULmax

2

=

= 2,066.

U

11/16

5.10

1

Zu 1.

Y =

+ jC +

1

= 1 + p j C +

1

R
p

R

+ jL

R

0
p

R

+ p j L

Cp

Lr
r

Cp

Lr

0
r
mit = p · 0 und 0 = 10 · 103s– 1 und den gegebenen Größen ist

1

Y =

+ p( j(10(103s1 (0,2(109 F+

1

100 (103

50 (103 + p ( j(10 (103s1 (1H

Y = 10μS + p j 2μS +

1

.

50 k + p j 10k

Die Ortskurve kann durch Überlagerung einer Geraden und eines Kreises durch den Nullpunkt mit 1/(2A) = 1/(2 ·50k) = 10μS ermittelt werden (siehe Bild A-116).

344

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

Bild A-116 Ortskurve der Übungsaufgabe 5.10

Der parametrierte Kreis müsste wegen des Realteils der Geraden nach rechts um 10μS verschoben werden. Einfacher ist jedoch eine Verschiebung des Koordinatenursprungs um –10μS, also nach links; der Kreis bleibt dann unverändert. Selbstverständlich müssen dann die μS-Werte der reellen Achse um 10μS verändert werden. Anschließend lassen sich die Imaginärteile des Kreises mit denen der Geraden überlagern.

Zu 2.

Bei p = 5, also bei = 50000s–1 ist der komplexe Leitwert reell: Y5 = 20μS.

Nachweis für :

Nach der Abhandlung über „Parallelschaltung verlustbehafteter Blindwiderstände“ im Abschnitt 4.5.2 ist nach Gl. (4.150)

R

L

I =

1

+

Lr

+ j(C
r

( U .

R

2

2

p

2

2

Cp

R

+ 2L

R

+ 2L

Lr
r

Lr
r

Bei Resonanz ist der Imaginärteil des Leitwertoperators Null:

L

L

C =
r
bzw.

R 2 + 2L 2 = r
p

Lr
r

R 2 + 2L 2

C

Lr
r
p

5 Ortskurven

345

Die Formel für die Resonanzfrequenz lautet dann und ergibt

R 2

=

1

Lr =

1

(50103)2 = 50103s1

L C

2
r
p

L

1H 0,2 109 F
r

1 H

( )2

Nachweis für den reellen Leitwert mit Hilfe der Ortskurvengleichung mit p = 5:

Y =

=

1

5

10μS + 5 j 2μS +

1

10μS + j10μS +

1

50 k + j510k

50 k 1+ j

Y =

5

10μS + j10 μS + 20 μS 1 (1 j) = 20μS

2

5.11

1

Zu 1.

Z = RLr + jLr +

1

+ jC

R
p

Cp

1. = 0 mit Z = RLr + RCp

1
jCp

1

RCp

2. Z = RLr + jLr +

(

1

+

1
jC
jC

R
p

R
p

Cp

Cp

1

R

C

Cp

p

Z = R

+

+ j ( L

.

Lr

1
r

+

1

2C 2

+ 2C 2
p

p

R

2

R

2

Cp

Cp

Der komplexe Widerstand ist reell, wenn der Imaginärteil Null gesetzt wird:

C

C
p

1
p

L

2

2
r =
bzw.

+ C =

1

2

0
p

+

L

2

R

C 2

Cp
r

0
p

R

2

Cp

=

1

1

=

1

1

= 5000 s1

0

L C

2

2
r
p

R

C

120 103 H 0,12 106 F

(1,25103 0,12 106 F)2

Cp
p

1

Zu 2.

Z = RLr + p · j 0 Lr +
mit = p · 0.

1

+ p j C

R

0
p

Cp

Mit 0 = 5000s–1 (0 = 0 scheidet als Bezugsfrequenz aus) und den gegebenen Größen ist

1

Z = 1k + p · j 5000s– 1 · 120 · 10– 3H +

1

+ p( j(5000 s1 (0,12(106 F

1,25 k

346

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

Z = 1k + p j 0,6k +

1

.

0,8mS + p j 0,6mS

Die Ortskurve ist eine Überlagerung einer Geraden und eines Kreises durch den Nullpunkt mit 1/(2A) = 1/(2 · 0,8 mS) = 625 = 0,625k (siehe Bild A-117).

Bild A-117 Ortskurve der Übungsaufgabe 5.11

Zu 3.

p = 0: Z = RLr + RCp = 1k + 1,25k = 2,25k

1

RCp
p = 1:

Z = R

+

= R +

1

Lr

1

Lr

+

1

2C 2

+ R C

( )2

0
p

Cp

0
p

R

2

R

Cp

Cp

1

Z = 1 k +

1

+1,25 k((5000 s1 (0,12(106 F)2

1,25 k

Z = 1,8k.

6 Transformator

347

6 Transformator

6.1

Zu 1.

Quantitatives Zeigerbild

Bild A-118

Übungsaufgabe 6.1

Reihenfolge der Darstellung und Berechnung der Effektivwerte:

U2

U2 = 40V

I2 = U2/R

I2 = U2/R

I2 = 40V/200 = 0,2A

R2 · I2

R2 · I2 = 10 · 0,2A = 2V
j L2 · I2

L2 · I2 = 104s– 1 · 45mH · 0,2A

L2 · I2 = 90V

M2
mit L2 =

= (15mH)2 = 45mH
k2L

0,52 20mH

1

M
aus k =

(Gl. 3.369, Band 1)

1

L L2
jM · I1
jM · I1 = 100V (abgelesen)

M ( I

I

1

1

I1 =

=

100V

= 0,67A

M

104 s1 (15mH

– jM · I2

M · I2 = 104s– 1 · 15mH · 0,2A = 30V

R1 · I1

R1 · I1 = 6 · 0,67A = 4,02V
jL1 · I1

L1 · I1 = 104s– 1 · 20mH · 0,67A = 133,3V

U1

U1 = 107V mit 1 = 80° (abgelesen)

Zu 2.

Nach Gl. (6.25)

U2 =

1

U

1

R

( + R )(L + R (L

2 L L M2

(

)(R+R )(R

2

1

1

2

+

1 2

2

1

j(

M ( R

M ( R

U2 =

1

U

1

210 ( 20mH + 6 ( 45mH

100002 s2 20mH ( 45mH (15mH)2

+

210(6
j(

15mH ( 200

10000s1 (15mH ( 200

U2 =

1
mit U2 = 40V ist U1 = (1,49 + j ·2,208) · 40V = (59,6 + j ·88,32)V

U

1,49 + j 2,208

1
und

U1 =

1,492 + 2,2082 40V = 2,66 40V = 106,5V

348

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

U

Zu 3.

U

1

2 =

= 220V = 82,7V

2,66

2,66

M2

Zu 4.

Mit L2 =

= (15mH)2 =11,25mH

(Gl. 3.370, Band 1)

L

20mH

1

U2 =

1

U

1

210 ( 20mH + 6 (11,25mH

100002 s2 20mH (11,25mH (15mH)2

+

210(6
j(

15mH ( 200

10000s1 (15mH ( 200

U

U

2 =

1
mit

2 =

1

= 1
und U1 = 1,423 · 40V = 56,9V

U

1,4225 j 0,042

U

1,423

1

1

2,025

6.2

Zu 1.

Die Gleichungen (6.10) bis (6.12) vereinfachen sich mit R1 = 0, R2 = 0, Z = 0 in

U1 = jL1 · I1 – jM · I2

U2 = – jL2 · I2 + jM · I1 = 0

Damit ist

M

2

M

I2 =

I

I

1 und U1 = jL1 · I1 – j

L

1

2

L2
und

U

Z

1
ink =

= j ( L M2

(vgl. Gl. 6.27 mit R1 = 0 und R2 = 0)

I

1

1

L

2
und mit

M2 = k2 · L1 · L2

k2L L

Z

1 2
ink = j L

1

= jL1 · (1 – k2) = j · L1

(Gl. 3.377, Band 1)

L

2

Zu 2.

Im Bild 6.19 (Ersatzschaltbild des Transformators mit nur einer Längsinduktivität) werden R1 = 0, R2 = 0 und U2 = 0 gesetzt, wodurch sich das Ergebnis bestätigt.

Zu 3.

Zink = j ( L M2

1

= jL

L

ers

2

15 mH

(

)2

Z

ink = j ( 20mH

=

j (15mH, d. h. Lers = 15mH

45 mH

6.3

1

Zu 1.

Mit den Gleichungen (6.32) bis (6.34) und R1 = 0, R2 = 0 und Z = Rr +
ist
jCr

U1 = jL1 · I1 – j(L1 + M) · I2

U2 = j(L1 + M) · I1 – j(L1 + L2 + 2M) · I2

1

U2 = R
r +

· I2
j

Cr

6 Transformator

349

U

I

Zu 2.

Zin =

1

2

= j 1

L j (

1

L + M) (

I

I

1

1

1

mit U2 = j (L1 + M) · I1 – j (L1 + L2 + 2M) · I2 = R
r +

I2
j

Cr

I
j (L + M)

und

2 =

1

I1
j (L + L + 2M) + R +

1

1

2
r
jCr
ist

2(L + M)2

Z

1
in = jL1 +

R + j( (L

+ L + 2M) 1
r

1

2

C

r

2

2

(L + M )

1

Zu 3.

Z

1
in =

+ j 1

L
wegen (L1 + L2 + 2 M) =

Rr

Cr

1

Zu 4.

= (

,

1

L + L2 + 2M)Cr
mit M = k

1

L L2 = 0,6 · 200mH = 120mH

1

=

= 5000 s1

200mH + 200mH + 2 120mH

(

)62,5nF

1

2

[5000s

((200mH +120mH)]

Z

1

in =

+ j(5000s (200mH

25

Zin = 102 400 + j · 1000

6.4

Zu 1.

Nach Bild 6.16 ist mit ü = 1,2

M' = ü · M = 1,2 · 15mH = 18mH
mit

M = k L L

1 2

M = 0,5 ·

20 45mH = 15mH

R1 = 60

Bild A-119 Übungsaufgabe 6.4

L1s= L1 – M'= 20 mH – 18mH = 2mH

'

'

'

2

'

L2s = L2 M = ü L2 M

'

2

L2s =1,2 45mH 18mH = 46,8mH

'

2

2

R2 = ü R2 =1,2 100 =144

'

U = ü U =1,2 40V = 48V

2

2

'

2

2

Rr = ü Rr =1,2 50 = 72

'

2

2

L

Bild A-120 Übungsaufgabe 6.4
r = ü Lr = 1, 2 8, 67 mH = 12, 5 mH

350

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

Zu 2.

Reihenfolge der Zeigerbilddarstellung und Berechnung der Effektivwerte:

'

U

'

U = 48V

2

2

'

'

'

U2

U

I =

'

2

2

I =

'

2

Z

Z'

'

'

U2

I =

' 2

'

2
mit Z' =

R

+ (L )2

'

j

Z e )

r
r

Z' =

2

1

2

(72) + (10000s (12,5mH) =144
und = arc tan

'

'

(Lr / Rr ) = arc tan (125/72 ) = 60°

48V

'

I2 =

= 0,33A

144

'

'

R

'

'

R I = 144 · 0,33A = 48V

2 I2

2

2

'

'

jL

L' I' = 10000 s–1 · 46,8mH · 0,33A = 156V

2s I2

2s

2

'

'

'

'

jM ( I = jM ((I I )

μ

'

'

1

2

M I = 206V
μ

'

'

jM ( I

'

'

μ

'

M' ( I

I =

= I I
μ
μ

'

1

2

'

I =

=

206 V

=1,14A
jM
μ

M'

10000s1 (18mH

'

'

I = I + I

1
μ

2

1

I =1, 46 A
j

1

1s

L I1

1s

L ( 1

I =10000s ( 2mH (1,46A = 29,2V

R1 I1

R1 1

I = 60 1, 46 A = 87,6 V

U1

U1 = 256V

*

U

500 V

Zu 3.

Maßstabsänderung des Zeigerbildes:

1 =

=1,953

1

U

256 V

Damit ändern sich:

*

1

I =1,9531,46A = 2,85A

*

I2 =1,9531,20,33A = 0,761A

U* = 1,953 40 V = 78,1V

2

6 Transformator

351

6.5

Zu 1.

Ersatzschaltbildgrößen mit ü = w1/w2 = 2500/500 = 5

R1 = 400

L1s = 0,8H

Re = 5k

R'2 = ü2 · R2 = 52 · 40 = 1k

L'2s = ü2 · L2s = 52 · 0,12H = 3H

M' = ü · M = 5 · 1,2H = 6H

U'2 = ü · U2 = 5 · 600V = 3kV

R'r = ü2 · Rr = 52 · 20 = 500

L'r = ü2 · Lr = 52 · 95,5mH = 2,39H

Bild A-121 Übungsaufgabe 6.5

Zu 2.

Reihenfolge der Zeigerdarstellung und Berechnung der Effektivwerte:

'

U

'

U = 3kV

2

2

'

'

'

U2

U

I =

'

2

=

2

I

'

2

Z

'

Z

'

'

U

' 2

'

2

+

I =
mit Z' = R

(L )2
r
r

2

'

j

Z e )

Z' = (500)2 + (2 50s1 2,39H)2 = 901,4
und = arc tan

'

'

(Lr / Rr ) = arc tan (750/500)

= 56,3°

I' = 3kV = 3,33A

2

901,4

'

'

jL

'

'

2s I2

L I = 2 50s1 3H 3,33A = 3,14kV

2s

2

'

'

R

'

'

2 I2

R I = 1k 3,33A = 3,33kV

2

2

'

'

'

U

'

'

μ = U + jL I + R I

U

7,5kV

2

2s

2

2

2
μ =

U

U

'

μ
μ

I

'

μ =

I =

=

7,5kV

= 3,98A

'

μ
jM

M' 2 50s1 6H

Uμ

Uμ

I =
v

I =

= 7,5kV =1,5A

R
v
e

R

5k
e

'

'

I = I + I + I

I = 7,5A

1
μ
v

2

1

'

'

weil Iμ + I =
v

I1 I2
j

1

1s

L I1

1s

L 1

I = 250 s 0,8 H 7,5 A =1,88 kV

R1 I1

R1 1

I = 400 7,5 A = 3 kV

U = U

1
μ + R1 · I1 + jL1s · I1

1

U =10,8 kV und

1

) = 52º

352

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

6.6

Zu 1.

Z1 l = R1 + jL1 = 6 + j 80

X

L

R

1 l

1

1 = 6

L1 =

=

=

80

= 8mH

10 000s1

Zr1 = R + j · Xr1 = R1 + R2 + j (L1 + L2 + 2 M) = 42 + j · 830

R = R1 + R2 = 42

R2 = R – R1 = 42 – 6 = 36

X

L
r1

1 + L2 + 2M =

= 830 = 83mH

10000s1

Zr2 = R + j · Xr2 = R1 + R2 + j (L1 + L2 – 2 M) = 42 + j 230

X

L
r2

1 + L2 – 2 M =

= 230 = 23mH

10000s1

Durch Addition und Subtraktion von Xr1/ und Xr2/

(L1 + L2 + 2M) + (L1 + L2 – 2M) = 83mH + 23mH = 106mH = 2 (L1 + L2)

(L1 + L2 + 2 M) – (L1 + L2 – 2 M) = 83mH – 23mH = 60mH = 4 M
ergeben sich L2 und M:

2(L + L )

L2 =

1

2

– L1

2

106mH

L2 =

8mH = 45mH

2

60mH

M =

= 15mH

4

Zu 2.

Mit

Bild A-122 Übungsaufgabe 6.6

M
ü =

= 15mH = 1

L

45mH

3

2
ergeben sich die Ersatzschaltbildgrößen nach Bild 6.19:

R1 = 6

1

2

M' = ü · M =

· 15mH = 5mH
oder

M' = k2 · L1 = 0,79 · 8mH = 5mH

3
mit

M
k =

= 15mH

= 0,79 und k2 = 0,625

L L

8 45 mH

1 2

L1 – M' = 8mH – 5mH = 3mH
oder L1 – M' = · L1 = 0,375 · 8mH = 3mH
mit

= 1 – k2 = 1 – 0,792 = 0,375

1

R'2 = ü2 · R2 =

· 36 = 4

9

1

R' = ü2 · R =

· 180 = 20

9

6 Transformator

353

Zu 3.

Reihenfolge der Zeigerbilddarstellung und Berechnung der Effektivwerte:

I

I'2

I'2 = 2 = 0,1A · 3 = 0,3A
ü

U'

U'

2 = R' · I'2

2 = R' · I'2 = 20 · 0,3A = 6V

U'

R'

R2 = R'2 · I'2

2 · I'2 = 4 · 0,3A = 1,2V

U'

U'

2 + U'R2 = 6V + 1,2V = 7,2V

2 + U'R2

'

'

U' + U'

'

U + U

I' =

2

R 2

I

2

R 2
μ =
μ

M'

jM'

'

'

'

I

I

I

I =

7,2V

= 0,144A
μ =

μ

1

2

10 000s1 5mH

'

'

I = I + I

I = 0,33A

1

2
μ

1

U

= R I

R I = 6 0,33A = 2V

R1

1

1

1

1

U

= j(L ( I

L ( I =10000s1 (3mH (0,33A =10V

L1s

1

1

1s

1

'

'

U = U + U

+ U + U

U = 15,4V
und

1

2

R 2

R1

L1s

1

1 = 57Ů

U

Zu 4.

Z

1

1
j)

in =

1

=
e

I

I

1

1

15,4V

Zin =
ej 57º

0,33A

Zin = 46,7 · e j 57º

Kontrolle mit Hilfe des Schaltbildes:

R' + R'

(

)(jk2L

2

1

Zin = R + j ( L +

1

1

R' + R' + jk2L

2

1

Bild A-123 Übungsaufgabe 6.6

1

3

24 ( j(10000s (5(10 H

Zin = 6 + j · 10 000s– 1 · 3 · 10– 3H +

1

3

24 + j(10000s (5(10 H

( (

(

Zin = 6 + j · 30 + 24
j 50

24
j 50

(

24 + j(50 24 j(50

Zin = 6 + j · 30 + 19,51 + j · 9,36 = 25,51 + j · 39,36 = 46,9 e j 57°

354

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

6.7

Zu 1.

Ersatzschaltbild siehe Bild 6.30

R1 = 50

· L1 = (1 – k2) · L1 = (1 – 0,9952) · 0,8mH = 0,01 · 0,8mH = 8μH
mit k2 = 0,9952 = 0,990 und = 1 – k2 = 1 – 0,9952 = 0,01

(1 – ) · L1 = k2 · L1 = 0,9952 · 0,8mH = 0,990 · 0,8mH = 792μH 800μH

2

2

M

3,56mH

R' =

R =

1k = 49,5

L

2

16mH
mit M = k

1

L L2 = 0,995 0,816 mH = 3,56mH

Zu 2.

Ortskurvengleichung nach Gl. (6.70) mit Gl. (6.71):

'

U 2 =

1

=

1

U

1

R

L

1

+ 1 +

1 + j(Q ( p 1

2,02 + j(0,1( p 1

T

R'

k2L

p

p

1
mit

1

L

R1

QT = 0

=

'

2

R

0
k 1

L
und

R' R

=

1

= 49,550 = 625103s1

0

L k2L

8μH 792μH

1

1
und

f = 0 = 625103s1 = 99,47kHz 100kHz

0

2

2
d. h.

Q = 625(103s1 ( 8μH =

50

= 0,1

T

49,5 625(103s1 (800μH
und

R

L

1+ 1 +

1 =1+ 50 + 8μH = 2,02= A

R'

k2L

49,5 800μH

1
und

1/(2 A) = 1/(2 · 2,02) = 0,2475
0,25.

6 Transformator

355

Bild A-124 Ortskurven der

Bild A-125 Durchlasskurve der

Übungsaufgabe 6.7

Übungsaufgabe 6.7

Zu 3.

Obere Grenzfrequenz:

Untere Grenzfrequenz:

aus der Ortskurve abgelesen: p = 20
aus der Ortskurve abgelesen: p = 1 = 0,05

20
berechnet:

berechnet:

R

L

R

L

Q

1

1

1

1

T
p 1

+

– Q

+

p = 1+ R '

T
p 1
k2L

p = 1+ R '

1
k2L1

1

1

0,1 p

= 2,02

– 0,1 p

= 2,02
p

p

0,1

0,1 p

2,02 = 0

– 0,1 p + 0,1 2,02 = 0
p
p
p2 – 20,2 p – 1 = 0
p2 + 20,2 p – 1 = 0

2

1,
p 2 =10,1± 10,1 +1
p

= 10,1± 10,12 +1

1,2
p = p1 = 20,25
p2 = – 0,05 entfällt
p = p1 = 0,05
p2 = – 20,25 entfällt
fg2 = p · f0 = 20,25 · 99,47 kHz
fg1 = p · f0 = 0,05 · 99,47 kHz
fg2 = 2014kHz
2MHz
fg1 = 4,97kHz
5kHz
nach (Gl. 4.120) ist die Bandbreite: f = fg2 – fg1 = 2MHz – 5kHz

356

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

Zu 4.

Nach (Gl. 6.76) errechnet sich die obere Grenzfrequenz

R' + R
f

= 1

1 = 1 49,5 + 50 =1,98MHz 2MHz
g2

2

L

2

8μH

1
und nach Gl. (6.74) beträgt die untere Grenzfrequenz
f

=

1

1

=

1

1

= 4,95kHz 5kHz
g1

2k2L

1

2 800μH

1

1

+ 1

+ 1

R'

R

50

49,5

1

Zu 5.

Nach Gl. (6.78) ist
g2

(k2L R + R L )2

= 1

1

1

2

= 1 (800μH 1k + 5016mH)2 = 400

L L R R

0,01

0,8mH 16mH 50 1k
g1

1 2

1

'

U

Zu 6.

2 =

1

(siehe Bild A-125)

U

2

1

2,022 + 0,12 p 1

p

2

5

8

10

12

15

18

20

22

25
p

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

5

8

10

12

15

18

20

22

25

'

U2

0,495

0,494

0,482

0,461

0,445

0,426

0,398

0,370

0,352

0,335

0,311

U1

Für die Bestimmung der Grenzfrequenzen ist der Maximalwert durch

2 zu dividieren:

0, 495 = 0,35 (vgl. Bild 4.98)

2

7 Mehrphasensysteme

357

7 Mehrphasensysteme

7.1

Zu 1. Nach Gl. (7.23) ist

P = 3 · USt · ISt · cos

P

=

3 ULt · ILt · cos
und mit cos = 1

P = 3 ULt · ILt

U

U
bei Sternschaltung ist

I

St Lt 1

Lt

R

3

R

U

U 2
und damit

P = 3 U Lt 1

Lt

Lt

3

R

R

U
bei Dreieckschaltung ist

ILt =

Lt

3 St

I

3

R

U

U 2
und damit

P = 3 U 3 Lt 3 Lt

Lt

R

R

Zu 2. Sternschaltung:

U

I

St

Lt = ISt =

220V 5,5A

R

40

P = 3 ULt ILt cos 3 380V 5,5A 1 3,6kW

U 2
oder P

=

Lt

(380V)2 3,6kW

R

40

Dreieckschaltung:

U

I

Lt

Lt =

3 · ISt = 3

3 380V 16,5A

R

40

P = 3 · ULt · ILt · cos = 3 · 380V · 16,5A · 1 = 10,8kW

U 2
oder P = 3 Lt = 3 (380V)2 = 10,8kW

R

40

7.2

Zu 1. Wicklungsnennspannung: 220V

Sternschaltung des Motors an ein 380/220V-Drehstrom-Netz

Dreieckschaltung des Motors an ein 220/127V-Drehstrom-Netz

P

Zu 2.
= mech 1,2kW 0,8 das sind 80 %

P

1,5kW

el
mit Pel = 3 · ULt · ILt · cos

Sternschaltung des Motors:

Pel = 3 · 380V · 2,8A · 0,81 = 1,493kW J 1,5kW

Dreieckschaltung des Motors:

Pel = 3 · 220V · 4,8A · 0,81 = 1,482kW J 1,5kW

P

Zu 3. S =
el

1,5 kVA 1,85 kVA
cos

0,81

Q = Pel · tan = 1,5kVA · tan 35,9° = 1,08kVar

358

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

Zu 4.

Sternschaltung des Motors mit Sternschaltung der Kondensatoren:

Bild A-126 Schaltbild (Stern/Stern)

Bild A-127 Zeigerbild (Stern/Stern)

ULt = 380V und USt = 220V
vor der Kompensation:

I1 = I2 = I3 = 2,8A

I1R = I2R = I3R = 2,8A · 0,81 = 2,27A

I1L = I2L = I3L = 2,8A · sin = 2,8A · sin 35,9° = 2,8 · 0,59 = 1,64A
nach der Kompensation:

I1k = I1R, I2k = I2R, I3k = I3R mit I1C = – I1L, I2C = – I2L I3C = – I3L

Sternwiderstände:

220V

220V

R1 = R2 = R3 =

= 97

X1L = X2L = X3L =

= 134

2,27A

1,64A

1

X1C = X2C = X3C = XC = – 134
d. h. C = –

=

1

= 23,7μF.

XC 2 50s1 134

Die kapazitiven Ströme IC und die Parallelkapazitäten Cp sollten mit Hilfe von Formeln berechnet werden können, in die die angegebenen Daten des Leistungsschildes eingesetzt werden:

Nach Gl. (7.24) Q = 3 · USt · ISt · sin = 3 · USt · IC mit IC = ISt · sin ist

P tan)

I =

Q

= el

= 1,5kVA tan35,9º = 1,08kVA =1,64A .

C

3 U

3 U

3 220V

3 220V

St

St

Mit IC = Cp · USt ist

I

C

C
p =

=

1,64A

= 23,7μF

USt 2 50s1 220V
oder IC eingesetzt ist

P tan

C
el
p =

= 1,5 kVA tan35,9º = 23,7μF

3 U 2

3 2 50s1 (220V)2

St

(vgl. Gl. 4.265 mit P = Pel/3).

7 Mehrphasensysteme

359

Zu 5.

Dreieckschaltung des Motors mit Sternschaltung der Kondensatoren:

Bild A-128 Schaltbild Dreieck/Stern

Bild A-129 Zeigerbild Dreieck/Stern

ULt = 220V und USt = 127V
vor der Kompensation:

I1 = I2 = I3 = 4,8A

I12R = I23R = I31R = 2,8A · 0,81 = 2,27A

4,8A

I12 = I23 = I31 =

= 2,8A

I12L = I23L = I31L = 2,8A · sin 35,9° = 1,64A

3
nach der Kompensation:

I1C = I31L – I12L

I2C = I12L – I23L

I3C = I23L – I31L
mit I1C = I2C = I3C =

3 · 1,64A = 2,8A

I1k = Il2R – I31R

I2k = I23R – I12R

I3k = I31R – I23R
mit I1k = I2k = I3k =

3 · 2,27A = 3,9A = 4,8A · 0,81

Dreieckwiderstände:

Sternkapazitäten:

220V

127V

R12 = R23 = R31 =

= 97

X1C = X2C = X3C = XC =

= 45

2,27A

2,8A

220V

1

X12L = X23L = X31L =

= 134

Cp =

=

1

= 71μF

1,64A

XC 2 50s1 45

Die Formeln für die kapazitiven Ströme IC und die Parallelkapazitäten Cp sind die gleichen wie unter 4.:

P tan)

I =

Q

= el

= 1,5kVA tan35,9º = 2,8A

C

3 U

3 U

3127V

St

St

I

C =

C

=

2,8A

= 71μF
p

USt 2 50s1 127V
oder

P tan

C = el

= 1,5kVA tan 35,9º = 71μF
p

3 U 2

3 2 50s1 (127V)2

St

360

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

Zu 6.

Sternschaltung des Motors mit Dreieckschaltung der Kondensatoren

Bild A-130 Schaltbild Stern/Dreieck

Bild A-131 Zeigerbild Stern/Dreieck

ULt = 380V
und

USt = 220V
vor der Kompensation:

I1 = I2 = I3 = 2,8A

I1R = I2R = I3R = 2,8A · 0,81 = 2,27A

I1L = I2L = I3L = 2,8A · sin = 2,8A · sin 35,9° = 2,8A · 0,59 = 1,64A
nach der Kompensation:

I1k = I1R,

I2k = I2R,

I3k = I3R

I1L = I31C – I12C,

I2L = I12C – I23C,

I3L = I23C – I31C

1,64A
mit I12C = I23C = I31C =

= 0,95

3

Sternwiderstände:

Dreieckkapazitäten:

220V

380V

R1 = R2 = R3 =

= 97

X12C = X23C = X31C = XC =

= 401

2,27A

0,95A

220V

1

X1L = X2L = X3L =

= 134

Cp =

=

1

= 7,9μF

1,64A

XC 2 50s1 401

Die kapazitiven Ströme der Dreieckkompensation sind um das 1/ 3 -fache kleiner als die kapazitiven Ströme der Sternkompensation unter 4.:

1

P tan)

P tan)

I
el
el

C =

Q =

=

= 1,5kVA tan35,9º = 0,95A

3 3 U

3 U

3380V

St

3 3 USt

Lt

I

Mit IC = Cp · ULt ist Cp =

C

= 7,9 μF oder I

1

C eingesetzt ist

2(50s (380V

P tan

C =
el

= 1,5kVA tan35,9º = 7,9μF
p

3 U 2

3 2 50s1 (380V)2

Lt

7 Mehrphasensysteme

361

Zu 7.

Dreieckschaltung des Motors mit Dreieckschaltung der Kondensatoren

Bild A-132 Schaltbild Dreieck/Dreieck

Bild A-133 Zeigerbild Dreieck/Dreieck

U

= 220V
und

U

= 127V

Lt

St
vor der Kompensation:

I = I = I = 4,8A

I

= I

= I

= 2,8A 0,81 = 2,27A

1

2

3

12R

23R

31R

I

= I = I = 4,8A = 2,8A

I

= I

= I

= 2,8A sin 35,9 = 1,64A

12

23

31

12L

23L

31L

3
nach der Kompensation:

I

= I

,

I

= I

,

I

= I

12C

12L

23C

23L

31C

31L
mit I

= I

= I

= 1,64A

12C

23C

31C

I

= I

I

,

I

= I

I

,

I

= I

I

,

1k

12R

31R

2k

23R

12R

3k

31R

23R
mit I

= I

= I = 3 2,27A = 3,9A = 4,8A 0,81

1k

2k

3k

Dreieckwiderstände:

R

= R = R = 220V = 97

X

= X

= X

= 220V = 134

12

23

31

2,27A

1L

2L

3L

1,64A

X

= X

= X

= X = 134 d. h. C =

1

=

1

= 23,7μF.

12C

23C

31C

C
p

XC

2 50 s1 134

Die kapazitiven Ströme der Dreieckkompensation sind um das 1/ 3 -fache kleiner als die kapazitiven Ströme der Sternkompensation unter 5.:

P tan )

P tan )

I

= 1 Q

= el

= el

= 1,5kVA tan 35,9 = 1,64A

C

3 3 U

3 U

3 220V

St

3 3 USt

Lt

I

Mit

I

= C U
ist C =

C

= 23,7μF oder I eingesetzt ist

C
p

Lt
p

C

2 50 s1 220V

P tan

C =
el

=

1,5kVA tan 35,9

= 23,7μF
p

3 U 2

3 2 50s1 (220V)2

Lt

362

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

Zu 8.

Mit Hilfe der Umrechnungsformeln für die Umwandlung einer Sternschaltung in eine äqui-
valente Dreieckschaltung lassen sich die Ergebnisse für die Kompensationskondensatoren
kontrollieren:

Y' ( Y'

( C' 2
p

Y =

2

3

=

1

Y' + Y' + Y'

3 ( jC'

1

2

3
p

'

'

Cp

Cp
jCp = j
oder

Cp =

3

3
d. h. 7,9μF = 23,7μF bzw. 23,7μF = 71μF

3

3

(analog zu den Gln. (4.100) bis (4.102) oder Gln. (2.157) bis (2.159) im Abschnitt (2.2.10) im Band 1).

Kompensationskondensatoren in

Sternschaltung

Dreieckschaltung

Motor

Sternschaltung 380/220V

23,7μF/220V

7,9μF/380V
in

Dreieckschaltung 220/127V

71μF/127V

23,7μF/220V

Die Kondensatoren müssen für den Maximalwert der anliegenden Spannung

2 · U ausgelegt sein,
d. h. für

2 ·380V = 538V,

2 ·220V = 311V und

2 ·127V = 180V. Bei der Kompensation in

Sternschaltung sind hohe Kapazitäten bei niedrigen Spannungen und bei der Kompensation in Dreieckschaltung niedrige Kapazitäten bei hohen Spannungen erforderlich.

7.3

Zu 1.

Z

= R = 50

N

N

R = 100

R

= 71

R = 220

R

= 50

1

2

3

N

G =1/R =10mS

G =1/R =14,1mS

G =1/R =4,546mS

G =1/R =20mS

1

1

2

2

3

3

N

N
nach Gl. (7.36) ist

1N

U

U2N

U3N

+

+

R

+

+

1

R2

R3

1

G

1

U N

G2 U2N

G3 U3N

UN =

=

1

1

1

1

GN + 1

G + G2 + G3

+

+

+

R N

R1

R 2

R3

U

= 10mS 220V + 14,1mS (110 j 190,5)V + 4,546mS (110 + j 190,5)V

N

20mS + 10mS + 14,1mS + 4,546mS

U

= 2200 1549 j 2683 500 + j 866 V = 151 j 1817 V

N

48,63

48,63
j 85,24

UN

(3,11
j 37, 4)V

37,5 V e

=

=

U'

= U

U = 220V (3,11 j 37,4)V

1N

1N

N

U'

= (217 + j 37)V = 220V ej9,7

1N

U'

= U

U = (110 j 190,5)V (3,11 j 37,4)V

2 N

2 N

N

7 Mehrphasensysteme

363

U'

= (113 j 153)V = 190V ej 233,5

2 N

'

U3N = U3N UN = ( 110

+ j 190,5)V (3,11 j 37,4)V

U'

= (113 + j 228)V = 254V ej116,4

3 N

U'

I =

1N = 220V ej9,7

1

R

100

1

I = 2,2A e j 9,7 = (2,17 + j 0,37)A

1

U'

I =

2N = 190V ej 233,5

2

R

71

2

I = 2,7A e j 233,5 = (1,6 j 2,15)A

2

U'

I =

3 N = 254V ej116,4

3

R

220

3

Bild A-134 Zeigerbild

Übungsaufgabe 7.3/1

I = 1,15A e j116,4 = ( 0,5 + j 1,04)A

3

U

I

= N = 37,5V ( e j(85,24 = 0,75A ( e j(85,24 = (0,06 j ( 0,75)A

N

R

50

N

Kontrolle:

I + I + I = I

1

2

3

N

[(2,17 1,6 0,5) + j (0,37 2,15 + 1,04)] = (0,06 j 0,75)A

Zu 2.

Z

= R = 0, d. h. U = 0

N

N

N

U'

= U

= 220V

1N

1N

U'

= U

= 220V e j120

2 N

2 N

U'

= U

= 220V ej120

3 N

3 N

U

I =

1N = 220V = 2,2A

1

R

100

1

U

I =

2 N = 220V ( e j(120

Bild A-135 Zeigerbild

2

R

71

Übungsaufgabe 7.3/2

2

I = 3,1A e j120 = (1,55 j 2,68)A

2

U

I =

3 N = 220V ( ej(120 = 1,0A ( ej(120 = ( 0,5 + j ( 0,87)A

3

R

220

3

I

= I + I + I = [(2,2 1,55 0,5) + j (2,68 + 0,87)]A

N

1

2

3

I

= (0,15 j 1,81)A = 1,8A e j85

N

364

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

Zu 3.

ZN = nach Gl. (7.37) ist

U

U

U

1N + 2 N + 3N

R

R

R

U

=

1

2

3

= 151 j 1817 V

N

1 + 1 + 1

28,63

R

R

R

1

2

3

U

= (5,27 j 63,5)V = 63,7V e j85,24

N

U'

= U

U = 220V (5,27 j 63,5)V

1N

1N

N

Bild A-136 Zeigerbild

U'

= (214,7 + j 63,5)V = 224V ej16,5

1N

Übungsaufgabe 7.3/3

U'

= U

U = (110 j 190,5)V (5,27 j 63,5)V

2N

2 N

N

U'

= (115,3 j 127)V = 171,5V ej 227,8

2 N

U'

= U

U = (110 + j 190,5)V (5,27 j 63,5)V

3 N

3 N

N

U'

= (115,27 + j 254)V = 279V ej114,4

3 N

U'

I =

1N = 224V ej16,5 = 2,24A ej16,5

1

R

100

2

U'

I =

2 N = 171,5V ej 227,8 = 2,42A ej 227,8

2

R

71

2

U'

I =

3N = 279V ej114,4 = 1,27A ej114,4

3

R

220

3

7.4

Zu 1.

Z1 = R1 = 1k, Z2 = R2 = 1k, Z3 = R3 = 1k, da symmetrische Belastung sind IN = 0
und UN = 0

U'

= U

= 220V

1N

1N

U'

= U

= 220V e j120

2N

2 N

U'

= U

= 220V ej120

3 N

3 N

U'

I =

1N = 220V = 220mA

1

R

1k

1

U'

I =

2N = 220V ( e j(120 = 220mA ( e j(120

2

Bild A-137 Zeigerbild

R

1k

2

Übungsaufgabe 7.4/1

U'

I =

3N = 220V ej120 = 220mA ej120

3

R

1k

3

7 Mehrphasensysteme

365

Zu 2.

Z1 = R1 = 1k,

G1 = 1/R1 = 1mS

Z =

1

=

1

= j 1k

Y

2

2 = 1/Z2 = j · 1mS
jC2
j 2 50s1 3,18μF

Z3 = R3 = 1k,

G3 = 1/R3 = 1mS

ZN = RN = 100,

GN = 1/RN = 10mS
nach Gl. (7.36) ist

1N

U

U2N

U3N

+

+

+

+

1

Z

Z2

3

Z

1

G

1

U N
j C2 U2N

G3 U3N

UN =

=

1

1

1

1

GN + 1

G + jC2 + G3

+

+

+

ZN

1

Z

Z2

3

Z

U

= 1mS 220V + j 1mS (110 j 190,5)V + 1mS (110 + j 190,5)V

N

10mS + 1mS + j 1mS + 1mS

U

= 220 j 110 + 190,5 110 + j 190,5 V = 300,5 + j 80,5 12 j V

N

12 + j

12 + j

12 j

U

= 3686,5 + j 665,5 V = (25,4 + j 4,6)V = 25,8V ej10,2

N

145

U'

= U

U = 220V (25,4 + j 4,6)V

1N

1N

N

U'

= (194,6 j 4,6)V = 194,7V e j1,4

1N

U'

= U

U = (110 j 190,5)V (25,4 + j 4,6)V

2 N

2 N

N

U'

= (135,4 j 195,1)V = 237,5V ej 235,2

2 N

U'

= U

U = (110 + j 190,5)V (25,4 + j 4,6)V

3 N

3 N

N

U'

= (135,4 + j 185,9)V = 230V ej126

3 N

U'

I =

1N = 194,7V ( e j(1,4 = 195mA ( e j(1,4

1

R

1k

1

I = jC U'

= 237,5V ej 235,2

2

2

2 N

1k e j 90

I = 238mA e j 34,8

2

U'

I =

3N = 230V ej126

3

R

1k

3

I = 230mA e j126

3

Bild A-138 Zeigerbild

U

Übungsaufgabe 7.4/2

I

= N = 25,8V ej10,2 = 258mA ej10,2

N

R

100

N

366

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

7.5

Zu 1.

Nach Gl. (7.37) ist

U

U

U

1N + 2 N + 3N

Z

Z

Z

G U

+ jC U

+ G U

U

=

1

2

3

= 1

1N

2

2 N

3

3 N

N

1 + 1 + 1

G + jC + G

1

2

3

Z

Z

Z

1

2

3
mit den Ergebnissen von Aufgabe 7.4 ist

300,5 + j 80,5 2 j

681,5 j 139,5

UN =

V =

V

2 + j

2 j

5

U

= (136,3 j 27,9)V = 139,1V e j11,6

N

U'

= U

U = 220V (136,3 j 27,9)V

1N

1N

N

U'

= (83,7 + j 27,9)V = 88,2V ej18,4

1N

U'

= U

U = (110 j 190,5)V (136,3 j 27,9)V

2 N

2 N

N

U'

= (246,3 j 162,6)V = 295,1V ej 213,4

2 N

U'

= U

U = (110 + j 190,5)V (136,3 j 27,9)V

3N

3 N

N

U'

= (246,3 + j 218,4)V = 329,2V ej138,4

3 N

Zu 2.

Wird die Strangspannung U1N in die reelle Achse der Gaußschen Zahlenebene gelegt, dann
hat die Außenleiterspannung U12 den Anfangsphasenwinkel von 30° (siehe Bild 7.10). Die

Außenleiterspannungen betragen dann

U

= 380V ej30 = (329 + j 190)V

12

U

= 380V e j90 = (0 j 380)V

23

U

= 380V ej150 = (329 + j 190)V .

31

Nach Gl. (7.43) bis (7.45) ergeben sich dann die Strangspannungen

12

U

U31

Z

Z
jC ( U

G ( U

'

2

3

2

12

3

31

1N

U

=

=

1

1

1

1

G + j C

2 + G3

+

+

1

Z

Z2

3

Z

U'

= j 1mS (329 + j 190)V 1mS (329 + j 190)V

1N

1mS + j 1mS + 1mS

(329 190) + j (329 190)

139 + j 139 2 j

'1N

U

=

V =

V = (83,4 + j 27,8)V

2 + j

2 + j

2 j

7 Mehrphasensysteme

367

U23

12

U

Z

Z

G ( U

G ( U

'

3

1

3

23

1

12

U2N =

=

1

1

1

1

G + jC2 + G3

+

+

1

Z

Z2

3

Z

U '

= 1mS ( j 380V) 1mS (329 + j 190)V

2 N

1mS + j 1mS + 1mS

U'

= 329 + j (380 190) V = 329 j 570 2 j V = (245,6 j 162,2)V

2N

2 + j

2 + j

2 j

U

U

31 23

Z

Z

G ( U
jC ( U

U'

=

1

2

= 1

31

2

23

3N

1 + 1 + 1

G + jC + G

1

2

3

Z

Z

Z

1

2

3

U'

= 1mS (329 + j 190)V j 1mS ( j 380)V

3N

1mS + j 1mS + 1mS

U'

= (329 380) + j 190 V = 709 + j 190 2 j V = (245,6 + j 217,8)V

3N

2 + j

2 + j

2 j

U'

Zu 3.

I =

1N = (83,5 + j 27,9)V = (83,5 + j 27,8)mA = 88mA ej18,4

1

Z

1k

1

U'

I =

2N = (246,0 j ( 162,4)V = (162,4 j ( 246,0)mA = 295mA ( e j(56,6

2

Z
j ( 1k

2

U'

I =

3N = (246,0 j ( 218,1)V = (246,0 + j ( 218,1)mA = 329mA ( ej(138,4

3

Z

1k

3

7.6

Zu 1.

Nach Gl. (7.47) sind

12

U

U

U

I

=

23

I

=

31

I

=

.

12

23

31

12

Z

Z23

31

Z

Mit

U

= 380V ej30

U

= 380V e j90

U

= 380V ej150

12

23

31

U

= (329 + j 190)V

U

= (0 j 380)V

U

= (329 + j 190)V

12

23

31
ergibt sich

I

= (329 + j 190)V = (8,225 + j 4,75)A

12

40

I

= j ( 380V = j ( 3,8A

23

100

I

= (329 + j ( 190)V = ( 4,11 + j ( 2,375)A

31

80

368

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

Zu 2.

Nach Gl. (7.48) bis (7.50) betragen die Außenleiterströme:

I1 = I12 – I31

I1 = (8,225 + j · 4,75)A – (– 4,11 + j · 2,375)A

I1 = (12,335 + j · 2,375)A = 12,6A · ej · 11°

I2 = I23 – I12 = – j · 3,8A – (8,225 + j · 4,75)A

I2 = (– 8,225 – j · 8,55)A = 11,9A · ej · 226°

I3 = I31 – I23 = (– 4,11 + j · 2,375)A + j · 3,8A

I3 = (– 4,11 + j · 6,175)A = 7,4A · ej · 124°

Bild A-139 Zeigerbilder

Übungsaufgabe 7.6/3

369

Verwendete und weiterführende Literatur

[1] Lunze, K.: Theorie der Wechselstromschaltungen, VEB Verlag Technik 1981

[2] Lunze, K.: Berechnung elektrischer Stromkreise, Arbeitsbuch VEB Verlag Technik, Berlin 1970

[3] Philippow, E.: Grundlagen der Elektrotechnik, Akademische Verlagsgesellschaft, Geest & Portig K.G., Leipzig, 1967

[4] Philippow, E.: Nichtlineare Elektrotechnik, Akademische Verlagsgesellschaft, Geest & Portig K.G., Leipzig, 1963

[5] Führer, Heidemann, Nerreter: Grundgebiete der Elektrotechnik, 2 Bände, Hanser Verlag Mün-chen, Wien, 1984

[6] Frohne, H.: Einführung in die Elektrotechnik, 3 Bände, Teubner Verlag Stuttgart, 1971 bis 1974, Neuauflage 1987

[7] Ameling, Walter: Grundlagen der Elektrotechnik, 2 Bände, Vieweg-Verlag Braunschweig, 1985

[8] von Weiss, A., Krause, M.: Allgemeine Elektrotechnik, Vieweg Verlag, Braunschweig, 1984

[9] Parnemann, W.: Aufgaben aus der Elektrotechnik, 5 Bände, Schroedel-Verlag, Hannover 1962

[10] Krutzsch, J.: Elektrotechnik für Ingenieure, Schroedel Verlag Hannover, 2 Bände, 1966

[11] Janning, W.: Elektrotechnik-Aufgaben, Schroedel Verlag Hannover, 1965

[12] Lindner, H.: Elektro-Aufgaben, VEB Fachbuchverlag Leipzig, 3 Bände, 1968 bis 1977, Neuauflage im Vieweg-Verlag Braunschweig, Wiesbaden 1989

[13] Nicolai, K.: Das Kreis-(Smith-)Diagramm und seine Anwendungen, Funktechnik 1970, Nr. 5

370

Sachwortverzeichnis

A

Eisenverluste eines Transformators 248

Abgleichbedingung von
elektrische Energie im

Wechselstrombrücken

128

kapazitiven Widerstand 143

Admittanz 39
elektrodynamische Messwerke 161 ff.

allgemeine Ortskurvengleichung 187

Ersatzschaltbilder von Transformatoren 230 ff.

Andersonbrücke 93, 132 ff.

– mit anderen Reduktionen 234

Anfangsphasenwinkel 3

– mit Streuinduktivitäten 231

Anpassung 176 ff.

Eulersche Formel 7

Amplitude 3
ewige Resonanz 117 ff.

äquivalente Schaltungen 47 ff., 77

Aronschaltung 281 ff.

F

Augenblickswert 1

Fehlwinkel 225

Augenblicksleistung 138 ff.

Frequenz 1

Außenleiter 252

Frequenzabhängigkeit der Transformator-

Außenleiterspannungen 253, 256

Spannungsübersetzung 242 ff.

Außenleiterströme 253, 256

Frequenz-Messbrücken 135

Formfaktor 3, 4

B

Balancierte Mehrphasensysteme 252

G

Bandbreite 100, 113

Gegeninduktivität 239

Berechnung von

Gegen-Reihenschaltung 240

Wechselstromnetzen 23 ff., 64 ff.

Gleichrichtwert 2, 4

Blindleistung 123, 146 ff.

gemischte Schaltungen 47 ff., 53 ff.

– des Dreiphasensystems 261 ff.

Güte der Spule und des Kondensators 153

– der Parallelschaltung 149

Gütefaktor 100, 113, 152

– der Reihenschaltung 149

Grenzfrequenzen 100, 113, 244 ff.

Blindleistungskompensation 167 ff., 283

Blindspannung 35

H

Blindstrom 43

Hertz 1

Blindwiderstand 32

Hummelschaltung 123 ff.

Boucherotschaltung 126 ff.

Hochfrequenz-Transformatoren 218 ff.

Brückenschaltung für

90°Phasenverschiebung

125

I

Illiovici-Brücke 78 ff., 132 ff.

D

Impedanz 31

Drei-Amperemeter-Methode 166
induktiver Widerstand 29

Dreieckschaltung 252, 259 ff.

induktiver komplexer Leitwert 44

Dreieck-Stern-Transformation 79 ff.

induktiver komplexer Widerstand 36

Dreileiternetze 273 ff.

Dreiphasengenerator 250

K

Dreiphasensysteme
kapazitiver Widerstand 30

–, symmetrische 256 ff.

kapazitiver komplexer Leitwert 44

–, unsymmetrische 267 ff.

kapazitiver komplexer Widerstand 36

Drei-Voltmeter-Methode 164 ff.

Kennleitwert 111

Drehstrommotor 262 ff.

Kennwiderstand 98

Drehstromsysteme 267

Knotenpunktsatz 20 ff.

Drehzeiger des Dreihphasensystems 257
komplexe Anpassung 178 ff.

Duale Schaltungen 63
komplexe Amplitude 8, 19

Durchlassbereich eines Transformators 245
komplexe Leistung 154 ff.

komplexe Operatoren 19 ff.

E
komplexe Zahlen 7

Effektivwert 2, 4
komplexe Zeitfunktionen 8 ff.

Eingangswiderstand des Transformators 226 ff.

komplexer Effektivwert 8, 19

Sachwortverzeichnis 371
komplexer Leitwert 39 ff.

Ohmsches Gesetz der Wechselstrom-
komplexer Widerstand 31 ff.

technik 31, 39

Konduktanz 40 ff.

Operator
konforme Abbildung 54

–, komplexer 19 ff.

Kreisdiagramm 53 ff., 82 ff.

– des m-Phasensystems 251

Kreisgüte 100, 113

Ortskurven 186 ff.

Kreiszeiger 193

– Gerade 188 ff.

– höherer Ordnung 210 ff.

L

– Kreis durch den Nullpunkt 193 ff.

Leitwertdreieck 44

– Kreis in allgemeiner Lage 207 ff.

Leistung

– Parabel 210 ff.

– eines beliebigen Widerstandes 144 ff.

– Zirkulare Kubik 212 ff.

– im induktiven Widerstand 140 ff.

– im kapazitiven Widerstand 142 ff.

P

– im ohmschen Widerstand 138 ff.

Parabel 210 ff.

Leistungsdreieck 152

Parallel-Kompensation 168 ff., 265 ff .

Leistungseinheiten 146

Parallel-Resonanz 110

Leistungsfaktor 146

Parallel-Resonanzkreise 47 ff.

Leistungsschild eines Motors 262 ff.

Parallelschaltung

– von Wechselstromwiderständen 40 ff.,

M

107 ff.

magnetische Energie im

– verlustbehafteter Blindwiderstände 115

induktiven Widerstand 141

Parallelschwingkreise 110 ff.

Maschensatz 20 ff.

Periode 1

Maschenstromverfahren 91

Periodendauer 1

Maximalwert 1, 3
periodische Wechselgrößen 1 ff.

Maxwell-Wien-Brücke 131

Phase des Mehrphasensystems 252

Mehrphasensysteme 249 ff.

Phasendrehbrücke 91

Messbrückenschaltungen 128 ff.

6-Phasensystem 254 ff.

Messung

Phasenverschiebung 31, 39, 152

– der Blindleistung 161 ff.

Polekschaltung 125

– der

Ersatzschaltbildgrößen

Polygonschaltung 252
des Transformators 237 ff.

Polygon-Polygon-Schaltung 254 ff.

– der Gegeninduktivität 239 ff.

Praktischer Parallel-Resonanzkreis 119 ff.,

– der Leistungen des Dreiphasen-

212
ff.

systems 279 ff.

– der Scheinleistung 161

Q

– der Wirkleistung 161 ff.

quadratischer Mittelwert 2, 4

Mittelwerte 2, 4

Momentanwert 1

R

Reaktanz 32

N

Reaktanz-Vierpole 93

Nennergerade 193

Reihen-Kompensation 168 ff.

Nennmoment eines Motors 265

Reihenresonanz 97

Netzberechnung nach den

Reihenresonanzbedingung 97

Kirchhoffschen Sätzen 72

Reihenschaltung

Neutralleiter 252

– des Transformators 239
nichtverkettete Mehrphasensysteme 252

– von Wechselstromwiderständen 32 ff.,

Niederfrequenz-Transformator 218 ff.

94 ff.

normierte Verstimmung 100

Reihenschwingkreise 94 ff.

Nullzeit 1
relative Verstimmung 99, 112

Resistanz 32

O

Resonanzfrequenz 97, 110
ohmscher Widerstand 28

Resonanzschärfe 100, 113
ohmscher komplexer Leitwert 44

Ringschaltung 252
ohmscher komplexer Widerstand 36

Rücktransformation komplexer

Zeitfunktionen 10 ff.

372 Sachwortverzeichnis

S

U

Scheinleistung 145

Überlagerung

– der Parallelschaltung 150

– von sinusförmigen Wechselgrößen 14 ff.

– der Reihenschaltung 150

– von Zeigern 15 ff.

– des symmetrischen Dreiphasen-

Übersetzungsverhältnis 224 ff.

systems 261 ff.

Übertrager 218 ff.

Scheinleitwert 39

Umspanner 218

Scheinwiderstand 31

Scheitelfaktor 3, 4

V

Schering-Messbrücke 134
vereinfachte Zeigerbilder 17 ff.

Schnittkurven der Wirkleistungsfunktion 182
verkettete Mehrphasensysteme 252
sinusförmige Wechselgrößen 3

Verlustfaktor der Spule und

Spannungsdreieck 36, 96

des Kondensators 152 ff.

Spannungsresonanz 97

Verlustwinkel 134 ff., 152

Spannungsteilerregel 37

Verschiebungswinkel 134 ff.

Spannungsverhältnis des Transformators

45°-Verstimmung 101, 114

226
ff.

Vierleiternetz 268 ff.

Spartransformator 228 ff.

vollständige Reihen- und Parallel-

Stern-Dreieck-Transformation 79
kompensation 169 ff.

Sternpunktleiter 252

Voltampere 146

Sternschaltung 257 ff.

Voltampere reaktiv 146

Stern-Stern-Schaltung 253 ff.

Strang des Mehrphasensystems 252

W

Strangspannungen 253, 256

Walzenschalter 264

Strangströme 253, 256

Watt 146

Stromdreieck 44, 109

Wechselgrößen 1 ff.

Stromresonanz 110, 116

Wechselstrombrücken 128 ff.

Strom-Resonanzkurven 102, 106

Wechselstromleistung 138 ff.

Stromteilerregel 45

Wechselstromleitwerte 39 ff.

Suszeptanz 40

Wechselstromwiderstände 28 ff.

Symbolische Methode 21 ff.

Wickelsinn des Transformators
symmetrische Resonanzkurven 105

– gegensinnig 222 ff.

symmetrisches Strom- und Spannungs-

– gleichsinnig 220 ff.

system 250 ff.

Wicklungsnennspannung eines Motors 263

Widerstandsdreieck 36

T

Widerstandstransformation 88
teilweise Reihen- und Parallelkompensation

Wien-Robinson-Brücke 135

168

Wirkleistung 139, 144 ff.

Transformation

– der Parallelschaltung 148

– in Zeiger 13

– der Reihenschaltung 148

– von Differentialgleichungen 10

– des symmetrischen Dreiphasen-

– von Sinusfunktionen 8

systems 261 ff.

Transformator 218 ff.

Wirkleistungsfunktion 180 ff.

– Eingangswiderstand 227 ff.

Wirkleitwert 40

– Ersatzschaltbilder 230 ff.

Wirkspannung 35

– Eisenverluste

248

Wirkstrom 43

– im Leerlauf 224 ff.

Wirkungsgrad 174 ff.

– Spannungsübersetzung 242 ff.

– im Grundstromkreis 175 ff.

– Spannungsverhältnis

226

Wirkwiderstand 32

– Übersetzungsverhältnis

224

Transformatorgleichungen 220 ff.

Z

Zeiger 13 ff.

Zeigerbilder 13 ff., 36, 44, 75, 221 ff.

Zirkulare Kubik 212

Zweipoltheorie 73