Wärmeübertragung: Grundlagen und Praxis
Author: Peter von Böckh; Thomas Wetzel
Date: 2015-09-13T22:00:00+00:00
Keywords: Thermodynamik; Mechanik; Bildung; Produktgestaltung & Design; Bauwesen; Chemometrie; Fachbücher; Physikalische Chemie; Angewandte Mathematik; Wirtschafts- & Finanzmathematik; Mathematik; Ingenieurmathematik; Produktionsmanagement; Architektur; Statistik; Physikalische Grundlagen; Entwurf; Wärmeübertragung - Grundlagen und Praxis ; Peter von Böckh ; Bildung; Springer; Ingenieurwissenschaften; Chemie; Statik & Mechanik; Planung
Description: Dieses Buch vermittelt wie kein anderes die Grundlagen der Wärmeübertragung. Es versetzt den Leser in die Lage, Wärmeübertrager auszulegen sowie Wärmeübertragungsaufgaben aller Art zu analysieren und praktische Lösungen dafür zu finden. Auf ausgedehnte theoretische Herleitungen wird verzichtet, stattdessen werden die wesentlichen Zusammenhänge anhand zahlreicher Beispiele aus dem Ingenieuralltag verdeutlicht. Nach der Einführung in die grundlegenden Begriffe wird der Leser Schritt für Schritt mit den wichtigsten Wärmeübertragungsformen vertraut gemacht. Behandelt werden stationäre und instatio
Publisher: Springer

Wärmeübertragung

Peter von Böckh • Thomas Wetzel

Wärmeübertragung

Grundlagen und Praxis

4., bearbeitete Auflage

1 C

Prof. Dr. Peter von Böckh

Prof. Dr.-Ing. Thomas Wetzel

Hedwig-Kettler-Str. 7

Karlsruher Institut für Technologie KIT

76137 Karlsruhe

Institut für Thermische Verfahrenstechnik
bupvb@web.de

76128 Karlsruhe
thomas.wetzel@kit.edu

ISSN 0937-7433

ISBN 978-3-642-15958-9 e-ISBN

978-3-642-15959-6

DOI 10.1007/978-3-642-15959-6

Springer Heidelberg Dordrecht London New York

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003, 2006, 2009, 2011

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Über-setzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenver-arbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes.

Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften.

Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg

Gedruckt auf säurefreiem Papier

Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

Vorwort zur ersten Auflage

Warum ein neues Buch über Wärmeübertragung? Meine Tätigkeit bei Asea Brown

Boveri bis 1991 war eng mit der Entwicklung von Wärmeübertragern für Dampf-
kraftwerke verbunden. Dabei mussten stets die neuesten Forschungsergebnisse auf
dem Gebiet der Wärmeübertragung berücksichtigt oder neue Berechnungsverfah-
ren für unsere Apparate entwickelt werden. Bei den jungen Ingenieuren, die nach

Abschluss ihres Studiums bei uns anfingen, stellten wir fest, dass sie auf dem Gebiet der Wärmeübertragung mit theoretischem Wissen über Grenzschichten, Ähnlich-keitstheoreme und einer Vielzahl von Berechnungsverfahren vollgestopft waren.

Sie konnten jedoch kaum einen Wärmeübertrager berechnen bzw. auslegen.

Als ich dann mit dem Unterricht an der Fachhochschule beider Basel begann,
sah ich, dass die meisten Lehrbücher nicht auf dem neuesten Stand der Technik
waren. Insbesondere die didaktisch ausgezeichneten amerikanischen Lehrbücher
weisen große Mängel bezüglich Aktualität auf. In meiner nun 12jährigen Unter-
richtstätigkeit arbeitete ich ein Skript aus, in dem ich versuchte, die neuesten Erkenntnisse zu berücksichtigen und die Studierenden so auszubilden, dass sie in
der Lage sind, Wärmeübertrager zu berechnen und auszulegen. Vom Umfang her
musste der Stoff für den Unterricht an Fachhochschulen und Universitäten für

Maschinen- und Verfahrensingenieure geeignet sein. Der VDI-Wärmeatlas ist
dem Stand der Technik am besten angepasst, für den Unterricht jedoch viel zu
umfangreich. Sowohl in meinem Skript als auch im vorliegenden Buch wurde der

VDI-Wärmeatlas, 9. Ausgabe (2002) oft als Quelle verwendet.

Das Buch setzt grundlegende Kenntnisse der Thermodynamik und Fluidmecha-
nik wie z. B. den ersten Hauptsatz und die Gesetze der Strömungswiderstände
voraus. Die Studierenden werden zunächst in die Grundlagen der Wärmeüber-
tragung eingeführt. Durch Beispiele werden die Berechnung und Auslegung von

Apparaten aufgezeigt und das theoretische Wissen vertieft. An unserer Fach-
hochschule sind die Studierenden nach 34 zweistündigen Lektionen in der Lage,
selbstständig Apparate auszulegen oder nachzurechnen. Das Buch kann später im

Beruf als Nachschlagewerk benutzt werden. Auf zu viele theoretische Herleitungen
wurde absichtlich verzichtet, da sie eher in der Forschung benötigt werden.

Die im Buch behandelten Beispiele können als Mathcad-Programme unter
www.fhbb.ch/maschinenbau oder www.springer.com/de/3-540-31432-6 aus dem

Internet heruntergeladen werden.

Professor Dr. Holger Martin, Professor Dr. Kurt Heiniger und Dr. Hartwig Wolf danke ich für die wertvollen Hinweise, die zur Verbesserung des Buches führten. Sie hatten im Auftrag des Springer-Verlags das Manuskript zu begutachten.

Insbesondere danke ich Herrn Prof. Holger Martin für den Hinweis, dass es nur zwei Arten der Wärmeübertragung gibt. In meiner Vorlesung lehrte ich mit fast
allen Lehrbüchern übereinstimmend die vier Arten der Wärmeübertragung, erwähn-
te aber, dass bei Konvektion Wärme durch Wärmeleitung transferiert wird. Mir
vi

Vorwort
war der Aufsatz von Nußelt (Kapitel 1), in dem er darauf hinweist, dass es nur zwei Arten der Wärmeübertragung gibt, nämlich Wärmeleitung und Strahlung,
nicht bekannt. Ich möchte die Leser bitten, diese Erkenntnis weiter zu verbreiten, damit mit der Zeit die irrigen vier Arten der Wärmeübertragung verschwinden.

Meiner Frau Brigitte, die viel zum Gelingen dieses Buches beigetragen hat,
danke ich sehr. Sie las mein Manuskript kritisch durch und trug bezüglich der
sprachlichen Formulierungen wesentlich zum Stil und zur Lesbarkeit des Buches
bei.

Ich möchte nicht versäumen, dem Springer-Verlag für die ausgezeichnete Zu-
sammenarbeit und Unterstützung zu danken.

Muttenz, Frühjahr 2003

Vorwort zur zweiten Auflage

In der zweiten Auflage wurden Fehler, die ich im Unterricht mit den Studenten
entdeckte, eliminiert. Zumeist waren dies Tippfehler und falsch abgeschriebene

Zahlen in den Beispielen. Bei den Studenten bedanke ich mich für die Hinweise
betreffend der Fehler.

Die Stoffwerte von Frigen R134a waren aus einer nicht ganz exakten Quelle ent-
nommen und wurden aktualisiert.

Neu im Anhang sind einfache Formeln zur Berechnung der Stoffwerte von

Wasser, Wasserdampf, Frigen R134a und für Luft angegeben. Sie können leicht
in Berechnungsprogramme implementiert werden. Diese Formeln sind im Internet
als Mathcad-Programme abrufbar.

Wiederum bedanke ich mich bei meiner Frau Brigitte, die nochmals Korrektur
las.

Muttenz, Januar 2006 Peter von Böckh

Vorwort zur dritten Auflage

Eine wesentliche Änderung bei dieser dritten Auflage ist der Koautor Prof. Dr.-Ing.

Thomas Wetzel. Da ich seit 2006 im Ruhestand bin, bat mich der Springer-Verlag,
einen Koautor, der noch doziert, beizuziehen. Ich konnte Herrn Prof. Wetzel, der

Stoff- und Wärmeübertragung an der Karlsruher Universität liest, als Koautor ge-
winnen, da er das Buch bereits in seinen Vorlesungen verwendet. Ich freue mich
sehr auf eine erfolgreiche Zusammenarbeit.

Die Mathcad-Programme sind jetzt in meiner Homepage waermeuebertragung-
online.de abrufbar.

Karlsruhe, Mai 2009

Peter von Böckh mit Thomas Wetzel
vii

Was ist neu in der vierten Auflage?

Sie wurde neu überarbeitet, was kleinere textliche Änderungen, Fehlerbehebung
und Ergänzungen beinhaltet. Neu ist:

•

Die englischen Termini in Klammern wurden weggelassen, da sie im Deutsch-

Englisch-Glossar bereits vorhanden sind

•

Wichtige Aussagen sind mit einem Rahmen versehen und grau unterlegt

•

In Kapitel 2 wurde ein neuer Absatz mit einer nummerischen Berechnungs-
methode für transiente Wärmeleitung angefügt

•

In Kapitel 3 ist die Herleitung der Kennzahlen Nu, Re und Pr beschrieben

•

Kapitel 8 behandelt neu u.a. Rohrvibrationen mit Hinweisen auf weiterführende

Literatur

•

Im Anhang ist eine Formelsammlung zusammengestellt

•

Die Mathcad-Programme sind jetzt in Mathcad 14 im Internet unter
abrufbar.

www.waermeuebertragung-online.de

Karlsruhe, Januar 2011

Peter von Böckh und Thomas Wetzel

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung und Definitionen

1

1.1

Arten der Wärmeübertragung .................................................................... 3

1.2

Definitionen ............................................................................................... 5

1.2.1 Wärmestrom und Wärmestromdichte ............................................. 5

1.2.2 Wärmeübergangszahl und Wärmedurchgangszahl ........................ 5

1.2.3 Kinetische Kopplungsgleichungen ................................................. 7

1.2.4 Mittlere Temperaturdifferenz .......................................................... 7

1.2.5 Energiebilanzgleichung .................................................................. 9

1.2.6 Wärmeleitfähigkeit ....................................................................... 11

1.3

Problemlösungsmethodik ......................................................................... 11

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

17

2.1

Stationäre Wärmeleitung .......................................................................... 17

2.1.1 Wärmeleitung in einer ebenen Wand ............................................ 18

2.1.2 Wärmeübergang durch mehrere ebene Wände ............................. 22

2.1.3 Wärmeleitung in einem Hohlzylinder .......................................... 25

2.1.4 Hohlzylinder mit mehreren Schichten .......................................... 29

2.1.5 Wärmeleitung in einer Hohlkugel ................................................ 33

2.1.6 Wärmeleitung mit seitlichem Wärmetransfer (Rippen) ............... 36

2.1.6.1 Temperaturverlauf in der Rippe ...................................... 37

2.1.6.2 Temperatur am Ende der Rippe ...................................... 39

2.1.6.3 Wärmestrom am Anfang der Rippe ................................ 39

2.1.6.4 Rippenwirkungsgrad ....................................................... 40

2.1.6.5 Anwendbarkeit für andere Geometrien ........................... 41

2.2

Instationäre Wärmeleitung ....................................................................... 45

2.2.1 Eindimensionale instationäre Wärmeleitung ................................ 45

2.2.1.1 Bestimmung der zeitlichen Temperaturänderung ........... 45

2.2.1.2 Bestimmung der transferierten Wärme ........................... 49

2.2.1.3 Spezielle Lösungen für kurze Zeiten .............................. 60

2.2.2 Gekoppelte Systeme ..................................................................... 62

2.2.3 Sonderfälle bei Bi = 0 und Bi = ∞ .............................................. 64

2.2.4 Temperaturänderung bei kleinen Biotzahlen ................................ 65

2.2.4.1 Ein kleiner Körper taucht in ein Fluid großer Masse ...... 65

2.2.4.2 Ein Körper taucht in ein Fluid mit vergleichbarer Masse68

2.2.4.3 Wärmetransfer durch einen strömenden Wärmeträger ... 70

Inaltsverzeichnis
ix

2.2.5 Nummerische Lösung der instationären Wärmeleitungsgleichung73

2.2.5.1 Diskretisierung ................................................................ 73

2.2.5.2 Nummerische Lösung ..................................................... 75

2.2.5.3 Wahl der Gitterweite und des Zeitschritts ....................... 77

3 Erzwungene Konvektion

79

3.1

Kennzahlen .............................................................................................. 81

3.1.1 Kontinuitätsgleichung ................................................................... 81

3.1.2 Bewegungsgleichung .................................................................... 82

3.1.3 Energiegleichung .......................................................................... 83

3.2

Bestimmung der Wärmeübergangszahlen ............................................... 86

3.2.1 Rohrströmung ............................................................................... 86

3.2.1.1 Turbulente Rohrströmung ............................................... 86

3.2.1.2 Laminare Rohrströmung bei konstanter Wandtemperatur88

3.2.1.3 Gleichungen für den Übergangsbereich ......................... 89

3.2.1.3 Rohre und Kanäle nicht kreisförmigen Querschnitts ...... 96

3.2.2 Ebene Wand ................................................................................ 100

3.2.3 Quer angeströmte Einzelkörper .................................................. 101

3.2.4 Quer angeströmte Rohrbündel .................................................... 105

3.2.5 Rohrbündel mit Umlenkblechen ................................................. 112

3.3

Rippenrohre ............................................................................................ 113

3.3.1 Kreisrippenrohre ......................................................................... 115

4 Freie Konvektion

121

4.1

Freie Konvektion an vertikalen, ebenen Wänden .................................. 122

4.1.1 Geneigte, ebene Flächen ............................................................. 127

4.2

Horizontale, ebene Flächen .................................................................... 129

4.3

Freie Konvektion an gekrümmten Flächen ............................................ 130

4.3.1 Horizontaler Zylinder ................................................................. 130

4.3.2 Kugel .......................................................................................... 132

4.4

Überlagerung freier und erzwungener Konvektion ............................... 132

5 Kondensation reiner Stoffe

133

5.1

Filmkondensation reiner, ruhender Dämpfe .......................................... 133

5.1.1 Laminare Filmkondensation ....................................................... 134

5.1.1.1 Kondensation gesättigten Dampfes an einer senkrechten

Wand ............................................................................. 134

5.1.1.2 Einfluss der veränderlichen Wandtemperatur ............... 137

5.1.1.3 Kondensation nassen oder überhitzten Dampfes .......... 138

5.1.1.4 Kondensation an geneigten Wänden ............................. 139

5.1.1.5 Kondensation an waagerechten Rohren ........................ 139

5.1.2 Turbulente Filmkondensation ..................................................... 139
x

Inaltsverzeichnis

5.2

Dimensionslose Darstellung .................................................................. 139

5.2.1 Lokale Wärmeübergangszahlen ................................................. 140

5.2.2 Mittlere Wärmeübergangszahlen ................................................ 141

5.2.3 Kondensation an waagerechten Rohren ..................................... 142

5.2.4 Vorgehen bei der Berechnung der Wärmeübergangszahlen ....... 142

5.2.5 Druckverlust in Rohrbündeln mit waagerechten Rohren ........... 149

5.3

Kondensation strömender, reiner Dämpfe ............................................. 154

5.3.1 Kondensation innerhalb senkrechter Rohre ............................... 155

5.3.1.1 Gleichstrom (abwärts gerichtete Dampfströmung) ....... 155

5.2.1.2 Gegenstrom (Dampfströmung nach oben) .................... 157

5.3.2 Kondensation in durchströmten, waagerechten Rohren ............. 160

6 Verdampfung

173

6.1

Behältersieden ........................................................................................ 173

6.1.1 Sieden bei freier Konvektion ...................................................... 175

6.1.2 Blasensieden ............................................................................... 175

6.2

Sieden bei erzwungener Konvektion ..................................................... 184

6.2.1 Unterkühltes Sieden .................................................................... 184

6.2.2 Konvektives Strömungssieden ................................................... 185

7 Strahlung

191

7.1

Grundgesetz der Temperaturstrahlung ................................................... 192

7.2

Bestimmung der Wärmestromdichte der Strahlung ............................... 194

7.2.1 Intensität und Richtungsverteilung der Strahlung ...................... 194

7.2.2 Emissionsverhältnisse technischer Oberflächen ......................... 195

7.2.3 Wärmetransfer zwischen Flächen ............................................... 196

7.2.3.1 Gleich große, parallele graue Platten ............................ 198

7.2.3.2 Umschlossene Körper ................................................... 200

7.3

Gasstrahlung ............................................................................... 208

7.3.1 Emissionsverhältnisse von Rauchgasen ..................................... 209

7.3.1.1 Emissionsverhältnisse des Wasserdampfes ................... 210

7.3.1.2 Emissionsverhältnisse des Kohlendioxids .................... 210

7.3.2 Wärmeaustausch zwischen Gas und Wand ................................ 210

8 Wärmeübertrager

217

8.1

Definitionen und grundlegende Gleichungen ........................................ 217

8.2

Berechnungskonzepte ............................................................................ 220

8.2.1 Zellenmethode ............................................................................ 220

8.2.2 Berechnung mit der mittleren Temperatur .................................. 225

8.3

Verschmutzungswiderstand ................................................................... 238

8.4

Rohrschwingungen ................................................................................ 242

8.4.1 Kritische Rohrschwingungen ..................................................... 242

244

8.4.2 Akustische Resonanz .................................................................. 244

Inaltsverzeichnis
xi

Anhang

247

A1: Wichtige physikalische Konstanten ....................................................... 247

A2: Stoffwerte unterkühlten Wassers bei 1 bar Druck ................................. 248

A3: Stoffwerte gesättigten Wassers und Dampfes ........................................ 250

A4: Stoffwerte des Wassers und Dampfes .................................................... 252

A5: Stoffwerte des Wassers und Dampfes (Fortsetzung) ............................. 253

A6: Stoffwerte des Frigens 134a auf der Sättigungslinie ............................. 254

A7: Stoffwerte der Luft bei 1 bar Druck ....................................................... 256

A8: Stoffwerte der Feststoffe ........................................................................ 257

A9: Stoffwerte technischer Wärmeträger auf Mineralölbasis ....................... 258

A10: Stoffwerte der Kraftstoffe bei 1,013 bar ................................................ 259

A11: Emissionskoeffizienten verschiedener Oberflächen .............................. 260

A12: Formelsammlung ................................................................................... 263

Sachverzeichnis

273

Literatur

277

Deutsch-Englisch-Glossar

281

Formelzeichen
a

Temperaturleitfähigkeit
m2/s
a = s / d
dimensionsloser Rohrabstand senkrecht zur Anströmung

-

1

A

Strömungsquerschnitt, Austauschfläche, Oberfläche
m2

Bi

Biot zahl

-

B, b

Breite
m
b = s /d
dimensionsloser Rohrabstand parallel zur Anströmung

-

2

C

Strahlungsaustauschzahl

W/(m2 K4)

12

C

Strahlungskonstante des schwarzen Körpers

5,67 W/(m2 K4)

s
c

Strömungsgeschwindigkeit
m/s
c

Anströmgeschwindigkeit
m/s

0
c
isobare spezifische Wärmekapazität

J/(kg K)

p

D, d

Durchmesser
m
d

Blasenabreißdurchmesser
m

A
d
hydraulischer Durchmesser
m
h

F

Kraft

N

E

Elastitzitätsmodul

N/m2

F

Schwerkraft

N
s

F

Schubspannungskraft

N
τ

Fo

Fourier zahl

-
f , f

Korrekturfunktionen für die Wärmeübergangszahlen

-

1

2
f

Korrekturfunktion für die Rohranordnung im Rohrbündel

-

A
f

Korrekturfunktion für die Anzahl der Rohrreihen im Rohrbündel -
n
g

Erdbeschleunigung

9,806 m/s2

Gr

Grashof zahl

-

H

Höhe des Bündels
m

H = m . h

Enthalpie

J
h

Planck’sches Wirkungsquantum

6,6260755 . 10-34 J . s
h
spezifische Enthalpie

J/kg, kJ/kg
h

Rippenhöhe
m
i

Anzahl der Rohre pro Rohrreihe

-
i
spektralspezifische Intensität der schwarzen Strahlung

W/m3
λ ,s
k

Wärmedurchgangszahl

W/(m2 K)

k

Boltzmann konstante

1,380641 . 10-23 J/K

L
charakteristische Länge
m

L' = A/ U

Überströmlänge = charaktersitische Länge
m
proj

3

2

L' = g /ν charakteristische Länge bei der Kondensation
m

Formelzeichen
xiii

Länge
m

Masse
kg

Hilfsgröße zur Charakterisierung der Rippen
m-1

Massenstrom
kg/s

Anzahl Übertragungseinheiten

-

Nußelt zahl

-

Anzahl der Rohrreihen, Anzahl der Rippen

-

Druck

Pa, bar
dimensionslose Temperatur

-

Prandtl zahl

-

Wärme

J

Wärmestrom

W

Wärmestromdichte

W/m2
individuelle Gaskonstante

J/(kg K)

arithmetischer Mittenrauwert
m

Verschmutzungswiderstand

(m2 K)/W

Radius
m

Verdampfungsenthalpie

J/kg

Verhältnis der Wärmekapazitätsströme des Fluids 1 zu Fluid 2

-

Rayleigh zahl

-

Reynolds zahl

-

Struhal Zahl

Rohrabstand senkrecht zur Anströmung
m

Rohrabstand parallel zur Anströmung
m

Rippendicke, Wandstärke
m
absolute Temperatur

K
dimensionslose Temperatur

-

Zeit
s

Abstand der Rippen
m

Volumen
m3

Wärmekapazitätsstrom

W/K

Hilfsgröße zur Charakterisierung der Rippen

-

Ortskoordinaten
m
lokale Wärmeübergangszahl

W/(m2 K)

mittlere Wärmeübergangszahl

W/(m2 K)

Absorptionsverhältnis, Absorptionskonstante

-

Wärmedehnungskoeffizient

1/T

Randwinkel

°

Dicke des Kondensatfilms
m

Temperaturgrenzschichtdicke
m

Emissionsverhältnis

-

Temperaturdifferenz

K
größere bzw. kleinere Temperaturdifferenz am Ein- bzw. Austritt K
xiv

Formelzeichen

Δϑ
mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

K
m
ϑ

Celsiustemperatur

°C
ϑ ' , ϑ ''

Ein- bzw. Austrittstemperatur

°C

Θ
dimensionslose Temperatur

-
η

Rippenwirkungsgrad

-

Ri
η
dynamische Viskosität
kg/(m s)

ν
kinematische Viskosität
m2/s
ν

Frequenz

1/s
λ

Wärmeleitfähigkeit

W/(m K)

λ

Wellenlänge
m
ρ

Dichte
kg/m3
σ

Oberflächenspannung

N/m
σ

Stefan-Boltzmann-Konstante

5,6696 . 10-8 W/(m2 K4)

τ

Schubspannung

N/m2

Ψ

Hohlraumanteil

-
ξ

Rohrreibungszahl

-

Indizes

1, 2, ..

Hinweis auf den Zustand, den Zustandspunkt oder das Fluid

12, 23, ...

zur Zustandsänderung von 1 nach 2 gehörende Prozessgröße

A

Anfangszustand bei instationärer Wärmeleitung zur Zeit t = 0

A

Auftrieb
a

Austritt, außen
e

Eintritt
f

Fluid
f 1, f 2

Fluid 1, Fluid 2
g

Gas
i
innen
l

Flüssigkeit
lam
laminar
m
mittlerer Wert
m

Mitte
max
maximal
n

Normalkomponente eines Vektors

O

Oberfläche
r

Radialkomponente eines Vektors

Ri

Rippe
s
schwarzer Körper
turb
turbulent

W

Wand
x
lokale Werte am Ort x
x, y, z
x-, y- und z-Komponente eines Vektors

1

Einleitung und Definitionen

Die Wärmeübertragung ist ein Teilgebiet der Wärmelehre. Sie beschreibt die Ge-
setzmäßigkeiten, nach denen der Transport von Wärme zwischen Systemen unter-
schiedlicher Temperatur erfolgt. In der Thermodynamik werden Wärmeströme und

Wärme, die von einem System zum anderen zu- oder abgeführt werden, als gegebe-
ne Prozessgrößen angenommen. Dabei bleibt unberücksichtigt, wie die Wärme
übertragen wird und auf Grund welcher Gesetzmäßigkeiten die Quantität der trans-
ferierten Wärme entsteht. Die Wärmeübertragung behandelt die Mechanismen, die
die Größe des Wärmestromes bzw. der übertragenen Wärme bei den vorhandenen

Temperaturdifferenzen und sonstigen physikalischen Bedingungen bestimmen. Bei
der Behandlung der Wärmeübertragung werden die in der Thermodynamik ver-
wendeten Begriffe System und Kontrollraum [1.1] benutzt. Ein System kann ein

Stoff, ein Körper oder eine Kombination mehrerer Stoffe und Körper sein, das zu
einem anderen System Wärme transferiert oder von dort Wärme erhält.

Hier stellen sich folgende Fragen:

•

Was ist Wärmeübertragung?

•

Wozu benötigt man Wärmeübertragung?

Wärmeübertragung ist der Transfer der Energieform Wärme auf Grund einer

Temperaturdifferenz.

Besteht innerhalb eines Systems oder zwischen zwei Systemen, die miteinander
in thermischem Kontakt sind, eine Temperaturdifferenz, findet Wärmeübertragung
statt.

Wozu man Wärmeübertragung benötigt, kann man am Beispiel eines Heizkörpers
erklären. Um eine bestimmte Raumtemperatur zu erreichen, werden Heizkörper
verwendet, in denen warmes Wasser strömt und sie damit einen Raum beheizen

(Bild 1.1). In der Ausschreibung für die Heizkörper gibt der Architekt die Heiz-
leistung (Wärmestrom), den Heizwassermassenstrom, die Eintrittstemperatur des
warmen Heizwassers und die gewünschte Raumtemperatur an. Auf Grund dieser

Daten werden entsprechende Heizkörper angeboten. Ist der gewählte Heizkörper zu
klein, wird die gewünschte Raumtemperatur nicht erreicht. Der Käufer ist unzufrie-
den, der Heizkörper muss ausgetauscht werden. Ist er überdimensioniert, wird der

Raum zu warm. In diesem Fall kann man zwar durch Drosseln des Heizwassers die
gewünschte Raumtemperatur eingestellen, aber der ausgewählte Heizkörper ist zu
groß und damit zu teuer. Der Konkurrent mit der passenden Heizkörpergröße bot
billiger und damit erfolgreich an. Durch Versuche könnte man zwar für jeden Raum

P. von Böckh, T. Wetzel Wärmeübertragung,

DOI 10.1007/978-3-642-15959-6_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

2

1 Einleitung und Definitionen
den richtigen Heizkörper ermitteln, dies wäre jedoch sehr aufwändig und unwirt-
schaftlich. Daher benötigt man Rechenmethoden, mit denen das optimale System
ausgelegt werden kann. Für das behandelte Beispiel ist es die Aufgabe der Wärme-
übertragung, mit den vorgegebenen Größen Wärmestrom, Raumtemperatur, Heiz-
wassertemperatur und -massenstrom die richtige Dimension des Heizkörpers zu be-
stimmen.

Heizwasser

Raumtemperatur
ϑ

Eintrittstemperatur ϑ

R

. ein

Massenstrom
m

.

Wärmestrom Q

Heizfläche A

Bild 1.1: Auslegung des Heizkörpers

Zur Auslegung von Apparaten und Anlagen, in denen Wärme transferiert wird, ist
in der Praxis neben anderen technischen Wissenschaften (Thermodynamik, Fluid-
mechanik, Mechanik, Werkstoffkunde usw.) die Wärmeübertragung notwendig.

Dabei ist man stets bestrebt, die Produkte zu optimieren und zu verbessern. Wesentlich dafür ist:

•

Die Erhöhung des Wirkungsgrades

•
der optimale Einsatz der Energieressourcen

•
das Erreichen minimaler Umweltbelastungen

•
die Optimierung der totalen Kosten.

Um diese Ziele zu erreichen, müssen die Wärmeübertragungsvorgänge möglichst
genau bekannt sein.

Um einen Wärmeübertrager oder eine komplette Anlage, in der Wärmetrans-
fer stattfindet, so auszulegen, dass bei günstigsten Gesamtkosten ein mög-
lichst hoher Wirkungsgrad erreicht wird, benötigt man genaue Kenntnisse der

Wärmeübertragung.

Tabelle 1.1 listet die Anwendungsgebiete der Wärmeübertragung auf.

1 Einleitung und Definitionen

3

Tabelle 1.1: Anwendungsgebiete der Wärmeübertragung

• Heizungs-, Lüftungs- und Klimaanlagen

• thermische Kraftwerke

• Kältemaschinen und Wärmepumpen

• Gastrennung und -verflüssigung

• Kühlung von Maschinen

• Prozesse, die Kühlung oder Heizung benötigen

• Erwärmung von Werkstücken

• Rektifikations- und Destillationsanlagen

• Wärme- und Kälteisolation

• solarthermische Systeme

• Verbrennungsanlagen

1.1

Arten der Wärmeübertragung

In den meisten Lehrbüchern wird trotz gegenteilig gesicherter Erkenntnisse von
vier Arten der Wärmeübertragung berichtet: Wärmeleitung, freie Konvektion, erzwungene Konvektion und Strahlung. In [1.2] wird auf die von Nußelt [1.3] in 1915
postulierte Tatsache, dass es nur zwei Arten der Wärmeübertragung gibt, hingewie-
sen. In dem Aufsatz von Nußelt heißt es:

“Es wird vielfach in der Literatur behauptet, die Wärmeabgabe eines Körpers habe
drei Ursachen: die Strahlung, die Wärmeleitung und die Konvektion.

Diese Teilung der Wärmeabgabe in Leitung und Konvektion erweckt den Anschein,
als hätte man es mit zwei unabhängigen Erscheinungen zu tun. Man muss daraus
schließen, dass Wärme auch durch Konvektion ohne Mitwirkung der Leitung übertra-
gen werden könnte. Dem ist aber nicht so.”

Die Wärmeübertragung kann durch Wärmeleitung und Strahlung erfolgen.

Bild 1.2 demonstriert die zwei Arten der Wärmeübertragung.

ϑ > ϑ

1

2
bewegtes Fluid
ϑ
ϑ ϑ

> 2

1
ϑ1

1

.

.

ϑ

.

ϑ

2

Q

.

2

Q

1

Q 2
ϑ

.

2

Q
ϑ1
ϑ > ϑ2

1

Wärmeleitung in einem Fest-

Wärmeleitung von einer Oberfläche

Wärmeaustausch durch Strahlung
körper oder ruhenden Fluid
zu einem bewegten Fluid (Konvektion)

zwischen zwei Oberflächen

Bild 1.2: Arten der Wärmeübertragung

4

1 Einleitung und Definitionen

1. Wärmeleitung entsteht in Stoffen, wenn in ihnen ein Temperaturgradient
vorhanden ist. Bezüglich der Berechnung wird zwischen ruhenden Stoffen

(feste Stoffe oder ruhende Fluide) und strömenden Fluiden unterschieden.

Bei der Wärmeleitung in ruhenden Stoffen ist die Wärmeübertragung nur
vom Temperaturgradienten und den Stoffeigenschaften abhängig.

Bei der Wärmeübertragung zwischen einer festen Wand und einem strömen-
den Fluid erfolgt durch Wärmeleitung ein Wärmetransport zwischen Wand
und Fluid. Außerdem transportiert das bewegte Fluid in der Strömung En-
thalpie. Bestimmend für die Wärmeübertragung sind Wärmeleitung und

Temperaturgrenzschicht des Fluids, wobei Letztere von der Strömung beein-
flusst wird. Zur Unterscheidung der Berechnung nennt man die Wärmeüber-
tragung zwischen einer Wand und einem strömenden Fluid Wärmeübertra-
gung bei Konvektion oder kurz nur Konvektion. Hier wird zwischen freier Konvektion und erzwungener Konvektion unterschieden. Bei freier Konvektion entsteht die Strömung durch Temperatur- und damit verbundene Dichte-
unterschiede im Fluid, bei erzwungener Konvektion durch einen äußeren

Druckunterschied.

2. Strahlung erfolgt ohne stoffliche Träger. Die Wärme wird durch elektromagnetische Wellen von einer Oberfläche zu einer anderen Oberfläche transfe-
riert.

Bei den in Bild 1.2 aufgeführten Beispielen ist die Temperatur ϑ größer als ϑ ,

1

2
somit fließt der Wärmestrom in Richtung der Temperatur ϑ . Bei der Strahlung

2
emittieren beide Oberflächen einen Wärmestrom, wobei jener von der Oberfläche
mit höherer Temperatur ϑ größer ist.

1

Wärmeübertragung erfolgt oft durch eine Kombination von Wärmeleitung mit
oder ohne Konvektion und Strahlung. In vielen Fällen können einzelne Mechanis-
men als vernachlässigbar von der Betrachtung ausgeschlossen werden. Im Beispiel
des Heizkörpers erfolgt die Wärmeübertragung zwischen dem warmen Wasser und
der Innenwand durch Wärmeleitung an einem bewegten Fluid, d.h. durch Konvek-
tion. Je nach Bauart des Heizkörpers kann dabei die Wärmeleitung bei freier bzw.

erzwungener Konvektion oder der Kombination beider auftreten. Wärmeübertra-
gung durch die Wand des Heizkörpers erfolgt durch Wärmeleitung. Die Wände des

Heizkörpers geben durch Wärmeleitung bei freier Konvektion und Strahlung Wär-
me an den Raum ab.

Die Übertragungsmechanismen der verschiedenen Wärmeübertragungsarten un-
terliegen unterschiedlichen physikalischen Gesetzmäßigkeiten und werden daher
getrennt behandelt.

1 Einleitung und Definitionen

5

1.2

Definitionen

Die zur Beschreibung der Wärmeübertragung notwendigen Größen werden hier
erklärt.

Bei der Temperatur wird für die Celsius-Temperatur das Symbol ϑ , für die Absoluttemperatur das Symbol T verwendet.

1.2.1

Wärmestrom und Wärmestromdichte

Die Bestimmung des Wärmestromes Q ist eine der Aufgaben der Wärmeübertragung.

Der Wärmestrom gibt an, wie viel Wärme pro Zeiteinheit übertragen wird.

Die Einheit des Wärmestromes ist Watt W.

Eine weitere wichtige Größe ist die Wärmestromdichte q = Q/ A , die angibt, welcher Wärmestrom pro Flächeneinheit übertragen wird. Ihre Einheit ist W/m2.

1.2.2

Wärmeübergangszahl und Wärmedurchgangszahl

Die Definition der Größen, die wir für die Bestimmung des Wärmestromes aus vor-
handener Temperaturdifferenz und Geometrie benötigen, wird am Beispiel eines

Wärmeübertragers (Bild 1.3) vorgenommen. Der Wärmeübertrager besteht aus ei-
nem Rohr, das von einem zweiten, konzentrisch angeordneten Rohr umhüllt ist. In
das innere Rohr strömt ein Fluid mit der Temperatur ϑ ' ein und wird dort auf die 1

Temperatur ϑ '' erwärmt. Im äußeren Ringraum strömt ein zweites wärmeres Fluid 1
mit der Temperatur ϑ ' ein und wird dort auf die Temperatur ϑ '' abgekühlt. Ohne 2

2
dass hier auf die Wärmeübertragungsmechanismen eingegangen wird, sind im Fol-
genden die Größen für die Wärmeübertragung definiert.

Bild 1.3 zeigt den Temperaturverlauf in den Fluiden und in der Wand eines Wär-
meübertragers.

Die Größe des übertragenen Wärmestromes wird durch die Wärmeübergangszahl
α, die Übertragungsfläche dA und die Temperaturdifferenz bestimmt.

Die Wärmeübergangszahl gibt an, welcher Wärmestrom pro Flächeneinheit
und pro Grad Temperaturdifferenz übertragen wird.

Die Einheit der Wärmeübergangszahl ist W/(m2 K).

6

1 Einleitung und Definitionen
ϑ ''

dx

2

.

m 1
ϑ ''

Y

1
ϑ '

ϑ

1

2
ϑ W 2

.

Systemgrenze

Q

.

m
x

2
ϑ ' 2
ϑ W 1
ϑ
ϑ
ϑ '

1

2

Y
ϑ '' 2
ϑ '' 1
ϑ ' 1
x

Bild 1.3: Temperaturverlauf in einem Wärmeübertrager

Mit der Definition der Wärmeübergangszahl ist der Wärmestrom durch ein Flä-
chenelement dA gleich:

Q
δ = α ⋅(ϑ −ϑ )⋅ dA

(1.1)

2

2

2

W 2

2
δ Q = α ⋅(ϑ −ϑ )⋅ dA

(1.2)

1

1

W 1

1

1
δ Q = α ⋅(ϑ
ϑ

(1.3)

2 −

)

1 ⋅ dA

W

W

W

W

W

Dabei ist Q
δ ein inexaktes Differential, weil die Integration je nach Art der Wär-
meübertragung unterschiedliche Werte annehmen kann.

Das Integral von Q
δ ist Q und nicht Q − Q .

12

2

1

Die Temperaturdifferenzen wurden hier so gewählt, dass der Wärmestrom stets
positiv ist. Ist der Wärmeübertrager der Umgebung gegenüber thermisch vollstän-
dig isoliert, muss der Wärmestrom, den Fluid 2 abgibt, gleich groß wie der Wärme-
strom sein, der vom Fluid 1 aufgenommen wird; er muss jedoch auch gleich wie der

Wärmestrom sein, der die Wand des Rohres passiert.

δ Q

(1.4)

1 =

Q
δ 2 = δ Q = Q
δ

W

In den meisten Fällen kennt man die Wandtemperaturen nicht. Es ist von Interes-
se, den Wärmestrom, der vom Fluid 2 auf Fluid 1 übertragen wird, zu bestimmen.

Dieses kann mit Hilfe der Wärmedurchgangszahl k erfolgen. Sie hat die gleiche Dimension wie die Wärmeübergangszahl.

1 Einleitung und Definitionen

7
δ Q = k ⋅(ϑ ϑ

(1.5)

2 −

)

1 ⋅ dA

Mit Hilfe der Gleichungen (1.1) bis (1.5) kann der Zusammenhang zwischen den

Wärmeübergangszahlen und der Wärmedurchgangszahl bestimmt werden. Dabei
muss man aber berücksichtigen, dass die Flächen bei gewölbten Wänden auf der In-
nen- und Außenseite unterschiedlich groß sein können. Die Bestimmung der Wär-
medurchgangszahlen erfolgt in den nächsten Kapiteln.

Es ist Aufgabe der Wärmeübertragung, die Wärmeübergangszahlen in Ab-
hängigkeit von Stoffeigenschaften, Temperaturen und Strömungsbedingun-
gen zu bestimmen.

1.2.3

Kinetische Kopplungsgleichungen

Die Gleichungen (1.1) bis (1.3) und (1.5) geben den Wärmestrom als eine Funktion
der Wärmeübergangszahl oder Wärmedurchgangszahl, der Austauschfläche und
der Temperaturdifferenz an. Sie werden kinetische Kopplungsgleichungen genannt.

Kinetische Kopplungsgleichungen definieren den Wärmestrom, der bei einer

Wärmeübergangs- bzw. Wärmedurchgangszahl über die Übertragungsfläche
pro Kelvin Temperaturdifferenz transferiert werden kann.

1.2.4

Mittlere Temperaturdifferenz

Sind die Wärmeübergangszahlen bekannt, kann an jeder Stelle des in Bild 1.3 ge-
zeigten Wärmeübertragers der transferierte Wärmestrom bestimmt werden. In der

Technik ist aber nicht der lokale, sondern der insgesamt im Wärmeübertrager trans-
ferierte Wärmestrom von Interesse. Um den gesamten Wärmestrom zu bestimmen,
muss über der Fläche des Wärmeübertragers integriert werden und man erhält:

A

Q = k ⋅(ϑ
ϑ

2 −

1 ⋅ dA

³

)

(1.6)

0

Die Änderung der Temperaturen über das Flächenelement dA des Wärmeübertra-
gers kann aus den Energiebilanzgleichungen (s. Kap. 1.2.5) bestimmt werden.

δ Q = m ⋅ dh = m ⋅ c ⋅ dϑ

(1.7)

1

1

1

1
p

1
δ Q = − m ⋅ dh = − m ⋅ c ⋅ dϑ

(1.8)

2

2

2
p 2

2

Die Temperaturdifferenz ϑ – ϑ wird durch Δϑ ersetzt. Die Änderung der Tem-

2

1
peraturdifferenz berechnet man aus der Änderung der Fluidtemperaturen.

8

1 Einleitung und Definitionen

§

·

¨

1

1

¸
d ϑ

Δ = dϑ dϑ

Q
δ

2 −

1 = −

⋅¨

+

¸

(1.9)

© m c
m
c

1 ⋅

1
p

2 ⋅
p 2 ¹

Gl. (1.9) in Gl. (1.5) eingesetzt, ergibt:

d

§

·
ϑ

Δ = −

1

1
k ¨

¸

⋅

+

⋅ dA

¨
ϑ

Δ
m

(1.10)

1 ⋅ c
m

1

2 ⋅ c

¸
p
p

©

2 ¹

Unter der Voraussetzung, dass die Wärmedurchgangszahl, die Flächen und die
spezifischen Wärmekapazitäten konstant sind, kann Gl. (1.10) integriert werden.

Diese Voraussetzung wird jedoch nie exakt erfüllt. In der Praxis bewährte sich, für die erwähnten Größen mittlere Werte einzusetzen. Aus der Integration erhalten wir:

§ ϑ′ ϑ

1

1

2 −

′ ·

§

·

1

¨

¸
ln

= k ⋅ A⋅

¨¨

¸¸

¨

+
ϑ ϑ

¸

© ′
m c
m
c

(1.11)

2 −

′1¹

© 1 ⋅ 1 p

2 ⋅
p 2 ¹

Für die gewählten Voraussetzungen können die Gleichungen (1.7) und (1.8)

ebenfalls integriert werden.

Q = m ⋅ c

(1.12)

p ⋅ (ϑ −

′ ϑ′)

1

1

1

1

Q = m ⋅ c

(1.13)

p

⋅(ϑ′ −ϑ )′

2

2

2

2

In Gl. (1.11) können die Massenströme und spezifischen Wärmekapazitäten
durch den Wärmestrom und die Fluidtemperaturen am Ein- und Austritt des Wär-
meübertragers ersetzt werden. Nach Umformung erhält man:

ϑ′ −ϑ′ −ϑ′ +ϑ′

2

1

2

1

Q = k ⋅ A⋅

= k ⋅ A⋅ Δϑ m
ϑ′ −ϑ′

2

1
ln

(1.14)

ϑ′′−ϑ′′

2

1

Die Temperaturdifferenz Δϑ ist für die Bestimmung des Wärmestromes in m
einem Wärmeübertrager maßgebend. Sie heißt mittlere logarithmische Tem-
peraturdifferenz oder mittlere Temperaturdifferenz und ist die integrierte
mittlere Temperaturdifferenz des Wärmeübertragers.

Die hier hergeleitete mittlere Temperaturdifferenz gilt für den in Bild 1.3 darge-
stellten Spezialfall. Für Wärmeübertrager, in denen die Fluide in gleicher oder entgegengesetzter Richtung parallel strömen, kann die mittlere Temperaturdifferenz
als allgemein gültig angegeben werden. Dazu benötigt man die Temperaturdifferen-
zen am Ein- und Austritt des Wärmeübertragers. Die größere Temperaturdifferenz
wird mit Δϑ , die kleinere mit Δϑ bezeichnet.

gr
kl

1 Einleitung und Definitionen

9
ϑ

Δ
ϑ

Δ
gr −
ϑ

Δ
ϑ

Δ
ϑ

Δ
m =
kl
für
gr −
kl ≠ 0

(1.15)

ln( ϑ

Δ

/ ϑ

Δ )

gr
kl

Sind die Temperaturdifferenzen am Ein- und Austritt gleich groß, ist Gl. (1.15)

unbestimmt. Für diesen Fall gilt:

Δϑ

Δϑ

Δϑ

Δϑ

Δϑ

(1.16)

m = (
gr +

) / 2 für
kl
gr −
kl = 0

Die mittleren Temperaturdifferenzen für Wärmeübertrager, in denen die Fluide
senkrecht zueinander strömen, werden später behandelt.

1.2.5

Energiebilanzgleichung

Bei der Wärmeübertragung gilt der erste Hauptsatz der Thermodynamik uneinge-
schränkt. In den meisten praktischen Fällen der Wärmeübertragung sind die mecha-
nische Arbeit und die Änderung der kinetischen und potentiellen Energie vernach-
lässigbar, daher werden sie bei den hier behandelten Problemen nicht berücksich-
tigt. Damit vereinfacht sich die Energiebilanzgleichung [1.1] zu:

dEKV = Q
m
h
m

h

KV + ¦
e ⋅
e − ¦
a ⋅
a

(1.17)

dt
e
a

Meist ist bei Wärmeübertragungsproblemen nur ein Massenstrom, welcher in den

Kontrollraum hinein- und herausströmt, vorhanden. Die Änderung der Enthalpie
und Energie des Kontrollraumes kann als eine Funktion der Temperatur angegeben
werden. Der Wärmestrom wird über die Systemgrenze dem Kontrollraum zu- bzw.

abgeführt oder er stammt aus einer Wärmequelle (z. B. elektrische Heizung, chemi-
sche Reaktion usw.) innerhalb des Kontrollraumes. Gl. (1.17) wird in einer für die Wärmeübertragung gebräuchlichen Form angegeben:

dϑ

V

⋅ ρ ⋅ c

= Q + Q

+ m ⋅( h − h )

KV
p

12

Quelle

2

1

(1.18)

dt

Dabei ist Q der Wärmestrom, der bei der Zustandsänderung über die System-12
grenzen dem System zu- oder abgeführt wird und Q
der Wärmestrom aus einer

Quelle

Wärmequelle. Für stationäre Vorgänge wird die linke Seite der Gleichung zu null,
und es gilt:

Q + Q

= m ⋅( h − h ) = m ⋅ c ⋅(ϑ −ϑ )

(1.19)

12

Quelle

2

1
p

2

1

Die Gleichungen (1.18) und (1.19) werden Energiebilanzgleichungen oder kurz auch Bilanzgleichungen genannt.

10

1 Einleitung und Definitionen

1 000

800

400

Silber

400

Kupfer

Gold

200

Aluminium

100

80

60
ferritische Stähle

40

20
austenitische Stähle

108

K)m

6

( /

4

Eis
t in W
gkei

2

Steine
tfähieiel

Quarzglas
mär 1

W

0,8

Wasser

0,6

0,4

Wasserstoff

0,2
or

Helium
ganische Flüssigkeiten

0,1

0,08

0,06

Wärmedämmung (Mineralfaser)

Luft

0,04

Kältedämmung

Kork, Schaumstoff

Wasserdampf bei 1 bar

0,02

0,01

-80 -60

-40

-20

20

40

60

80

200

400

600 800

-100

0

100

1 000

Temperatur in °C

Bild 1.4: Wärmeleitfähigkeit verschiedener Stoffe in Abhängigkeit der Temperatur [1.5]

1 Einleitung und Definitionen

11

1.2.6

Wärmeleitfähigkeit

Die Wärmeleitfähigkeit λ ist eine Stoffeigenschaft, die angibt, welcher Wärmestrom pro Längeneinheit des Materials in Richtung des Wärmestromes und pro Grad Temperaturdifferenz übertragen werden kann.

Sie hat die Dimension W/(m K). Die Wärmeleitfähigkeit eines Stoffes hängt von
der Temperatur und dem Druck ab.

Gute elektrische Leiter sind auch gute Wärmeleiter. Damit haben Metalle eine
sehr hohe Wärmeleitfähigkeit, Flüssigkeiten eine kleinere. Gase sind "schlechte"

Wärmeleiter, wobei der Ausdruck "schlecht" ungünstig gewählt ist, weil bei thermischen Isolationen eine möglichst niedrige Wärmeleitung erwünscht, also "gut" ist.

In Bild 1.4 sind die Wärmeleitfähigkeiten verschiedener Materialien über der

Temperatur aufgetragen.

Die Wärmeleitfähigkeit fester und flüssiger Stoffe hat bei mittleren und hohen

Temperaturen eine relativ schwache Temperaturabhängigkeit, so dass bei nicht zu
großen Temperaturänderungen mit einer konstanten mittleren Wärmeleitfähigkeit
gerechnet werden darf.

1.3

Problemlösungsmethodik

Dieses Kapitel wurde mit kleinen Änderungen [1.5] entnommen. Zur Lösung von

Problemen der Wärmeübertragung sind meist, direkt oder indirekt, folgende Grund-
gesetze erforderlich:

• Gesetz von Fourier

• Wärmeübertragungsgesetze

• Massenerhaltungssatz

• Energieerhaltungssatz, erster Hauptsatz der Thermodynamik

• Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik

• Zweites Newton’ sches Gesetz

• Impulssatz

• Ähnlichkeitsgesetze

• Reibungsgesetze

Für den Ingenieur in der Praxis geht es neben der Beherrschung der Grundlagen
auch um die Frage der Methodik, wie diese Grundlagen und insbesondere die oben genannten Grundgesetze bei konkreten Problemstellungen angewendet werden. Es
ist wichtig, dass man sich eine systematische Arbeitsweise aneignet. Diese besteht im Wesentlichen stets aus den nachfolgend angegebenen 6 Schritten, die sich in der Praxis bewährt haben und deshalb sehr empfohlen werden.

12

1 Einleitung und Definitionen

Schritt 1: Was ist gegeben?

Analysieren Sie, was über die Problemstellung bekannt ist. Legen Sie alle Grö-
ßen, die gegeben oder die für weitere Überlegungen notwendig sind, fest.

Schritt 2: Was wird gesucht?

Zusammen mit Schritt 1 überlegen Sie, welche Größen zu bestimmen und welche

Fragen zu beantworten sind.

Schritt 3: Wie ist das System definiert?

Zeichnen Sie das System in Form eines Schemas auf und entscheiden Sie, welche

Systemgrenze für die Analyse geeignet ist.

• Systemgrenze(n) klar festlegen!

Identifizieren Sie die Wechselwirkungen zwischen Systemen und Umgebung.

Stellen Sie fest, welche Zustandsänderungen oder Prozesse das System durchläuft bzw. in ihm ablaufen.

• Erstellen Sie klare Systemschemata und Zustandsdiagramme!

Schritt 4: Annahmen

Überlegen Sie, wie das System möglichst einfach modelliert werden kann; ma-
chen Sie vereinfachende Annahmen. Stellen Sie die Randbedingungen und Vor-
aussetzungen fest.

Überlegen Sie, ob Idealisierungen zulässig sind: z.B. ideales Gas statt reales Gas, vollständige Wärmeisolierung statt Wärmeverluste und reibungsfrei statt rei-bungsbehaftet.

Schritt 5: Analyse

Beschaffen Sie die erforderlichen Stoffdaten. Die Stoffwerte finden Sie im Anhang. Falls dort nicht vorhanden, muss in der Literatur gesucht werden (z.B. VDI-

Wärmeatlas [1.7]).

Unter Berücksichtigung der Idealisierungen und Vereinfachungen formulieren

Sie die Bilanz- und kinetischen Kopplungsgleichungen.

Empfehlung: Arbeiten Sie so lange wie möglich mit funktionalen Größen, bevor Sie Zahlenwerte einsetzen.

Prüfen Sie die Beziehungen und Daten auf Dimensionsrichtigkeit, bevor Sie
nummerische Berechnungen durchführen.

Prüfen Sie die Richtigkeit der Ergebnisse bzw. Größenordnung und Vorzeichen.

1 Einleitung und Definitionen

13

Schritt 6: Diskussion

Diskutieren Sie die Resultate/Schlüsselaspekte, halten Sie Hauptergebnisse und

Zusammenhänge fest.

Von besonderer Bedeutung sind die Schritte 3 und 4. Schritt 3 trägt grundlegend
zur Klarheit des Vorgehens insgesamt bei, Schritt 4 legt weitgehend die Qualität
und den Gültigkeitsbereich der Ergebnisse fest.

Die Lösung der behandelten Musterbeispiele erfolgt nach obiger Methodik. Die

Aufgabenstellungen sind jeweils derart formuliert, dass die Punkte 1 und 2 eindeu-
tig gegeben sind und daher sofort mit Punkt 3 begonnen werden kann.

BEISPIEL 1.1: Bestimmung des Wärmestromes, der Temperatur und Über-
tragungsfläche

In einem Wärmeübertrager, bestehend aus einem Rohr, das in einem zweiten Rohr
konzentrisch angeordnet ist, strömt auf beiden Seiten Wasser. Im inneren Rohr ist
der Massenstrom 1 kg/s, die Eintrittstemperatur beträgt 10 °C. In dem um das Rohr
gebildeten Ringspalt ist der Massenstrom 2 kg/s. Das dort strömende Wasser wird
von 90 °C auf 60 °C abgekühlt. Die Strömung im Ringspalt ist entgegengesetzt zur

Strömung im Rohr. Die Wärmedurchgangszahl des Wärmeübertragers wurde mit

4000 W/(m2 K) ermittelt. Die spezifische Wärmekapazität des Wassers im Rohr ist

4,182 kJ/(kg K), im Ringspalt 4,192 kJ/(kg K).

Bestimmen Sie den Wärmestrom, die Austrittstemperatur des Wassers aus dem

Rohr und die notwendige Austauschfläche.

ϑ '' = 60 °C

2

Lösung

.

m = 1

1
kg/s

Schema

Siehe Skizze
ϑ ''

ϑ

1

' = 10 °C

1

Annahmen

.

m = 2 kg/s

2
ϑ ' 2 = 90 °C

•

Der Wärmeübertrager gibt nach außen keine Wärme ab.

•

Der Vorgang ist stationär.

Analyse

Der Wärmestrom des im Ringspalt strömenden Wassers kann mit Gl. (1.19) be-
stimmt werden.

Q = m ⋅ c ⋅ (ϑ′ −ϑ′)

′ =

2
p 2

2

2

= 2⋅kg/s ⋅ 4192 J/

⋅ (kg ⋅K) ⋅(90 − 60) ⋅K = 251,52 kW

14

1 Einleitung und Definitionen

Die Austrittstemperatur des Wassers aus dem Rohr ist ebenfalls mit Gl. (1.19) zu
berechnen.

Q

251,520 kW
ϑ′′= ϑ′+

= 10 C

° +

= 70,1° C

1

1
m

⋅ c

1⋅ kg/s ⋅ 4,182 ⋅ kJ/(kg ⋅ K)

1

1
p

Die notwendige Austauschfläche kann mit den Gln. (1.14) und (1.15) ermittelt
werden. Zuerst wird mit Gl. (1.15) die mittlere Temperaturdifferenz Δϑ bestimmt.

m

Am Eintritt des Rohres beträgt die große Temperaturdifferenz 50 K, die kleine am

Austritt 19,9 K.

ϑ

Δ
ϑ

Δ
gr −
kl

(50 −19,9) ⋅ K
ǻϑ m =

=

=

K

32,6
ln( ϑ

Δ

/ ϑ

Δ )

)

ln(50/19,9
gr
kl

Nach Gl. (1.14) ist die notwendige Austauschfläche:

Q

251 520 W

A =

=

=

2

1, 93 m

2
k ⋅ Δϑ

4 000 ⋅ W/(m ⋅ K) ⋅32,6 ⋅ K
m

Diskussion

Bei bekanntem Wärmestrom kann die Berechnung der Temperaturänderung mit
der Energiebilanzgleichung erfolgen. Zur Bestimmung der Austauschfläche benö-
tigt man die kinetische Kopplung, wobei die Wärmedurchgangszahl bekannt sein
muss. Aus dem Beispiel ist ersichtlich, dass mit Wasser über eine relativ kleine Flä-
che ein sehr großer Wärmestrom übertragen werden kann.

BEISPIEL 1.2: Bestimmung der Austrittstemperaturen

Bei dem in Beispiel 1.1 behandelten Wärmeübertrager hat sich die Eintrittstempe-
ratur des Wassers im Rohr von 10 °C auf 25 °C verändert. Die Massenströme,

Stoffwerte und Wärmeübergangszahl sind unverändert.

Zu bestimmen sind die Austrittstemperaturen und der Wärmestrom.

Lösung

Annahmen

•

Im gesamten Wärmeübertrager ist die Wärmeübergangszahl konstant.

•

Der Vorgang ist stationär.

1 Einleitung und Definitionen

15

Analyse

Die Gln. (1.2) bis (1.4) liefern drei unabhängige Gleichungen, mit denen die drei
unbekannten, gesuchten Größen Q

, ϑ ′ und ϑ ′ bestimmt werden können. Die Bi-

1

2
lanzgleichungen beider Massenströme sind:

Q = m ⋅ c
und Q = m ⋅ cp ⋅ (ϑ′ −ϑ )′
p ⋅ (ϑ −

′ ϑ′)

1

1

1

1

2

2

2

2

Die kinetische Kopplung ist:

ϑ ′

(

)

2 − ϑ ′

1 − ϑ ′

2 − ϑ ′

Q = k ⋅ A⋅

1

= k ⋅ A⋅ ϑ

Δ m
ϑ ′2 −ϑ′1
ln ϑ′2 −ϑ ′1

Hier können die Temperaturdifferenzen im Zähler mit den Werten aus den Bi-
lanzgleichungen eingesetzt werden. Nach Umformung erhält man:

§

1

1

·

W §

1

1

· K
k ⋅ A ¨

⋅

−

¸

4 000 1,93
ϑ′′−ϑ′

¨

¸

⋅

⋅

⋅¨

−

¸⋅

2

1
m ⋅ c
m ⋅ c

© 1 p 1

2
p 2

K

1 4

¹

© ⋅ 182 2 ⋅4192 W

= e

= e

¹

= 2,518
ϑ′ −ϑ′

2

1

Die Temperaturϑ ′ kann mit den Bilanzgleichungen als eine Funktion der Tem-

2
peraturϑ ′ eingesetzt und die Gleichung nachϑ ′ aufgelöst werden.

1

1
m

⋅ c

1

1
ϑ ′= ϑ′ −
p

⋅(ϑ −

′ ϑ )′ =

90 C

° − ,

0 4988⋅ (ϑ −

′

25 C)

° =

2

2

1

1

1
m

⋅ c

2
p 2

=

102,47 C

° − ,

0 4988⋅ϑ ′

1

522

,

2

⋅ϑ′ ϑ

2 +

′1 −

°

102,47 C

2,522 ⋅

°

90 C +

°

25 C −

°
ϑ1′=

=

102,47 C =

73,9 C

°

0232

,

2

2,0232

Für die Temperatur ϑ ′ erhält man:

1
ϑ ′

102,47 C

,

0 4988 ϑ

2 =

° −

⋅ 1′=

65,6 C

°

Der Wärmestrom wird aus der Bilanzgleichung bestimmt.

kg

J

Q = m ⋅ c ⋅ (ϑ′′−ϑ )

′ = 1⋅

⋅ 4182⋅

⋅(73,9 − 25)⋅ K = 204,5 kW

1

1
p

1

1
s
kg ⋅ K

16

1 Einleitung und Definitionen

Diskussion

Mit den Energiebilanzgleichungen und der kinetischen Kopplung können die

Austrittstemperaturen berechnet werden. Durch den Anstieg der Eintrittstemperatur
des Wassers im Rohr steigt zwar auch die Austrittstemperatur an, der Wärmestrom
sinkt jedoch, da Aufwärmung und mittlere Temperaturdifferenz kleiner werden.

2

Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

Die Wärmeleitung ist ein Wärmetransportmechanismus, der in festen, flüssigen und gasförmigen Stoffen auftritt. Träger des Energietransports sind dabei je nach Medium Atome, Moleküle, Elektronen oder Phononen. Letztere sind Energiequanten
elastischer Wellen, die in Nichtmetallen und – neben Elektronen – auch in Metallen für den Transport thermischer Energie sorgen.

Ist in einem Stoff ein Temperaturgradient vorhanden, tritt Wärmeleitung auf.

Dieses Kapitel behandelt nur die Wärmeleitung in ruhenden Stoffen. Zur Unter-
scheidung wird sie bei bewegten Fluiden Konvektion genannt und in den Kapiteln 3
und 4 besprochen. Bei technischen Problemen kommt Wärmeleitung in ruhenden

Fluiden relativ selten vor, weil im Fluid durch die Temperaturdifferenz Dichteun-
terschiede verursacht werden und dadurch eine Strömung entsteht.

Erfolgt der Wärmetransport unter ständiger Aufrechterhaltung eines konstanten

Wärmestromes, sind, zeitlich gesehen, die Temperaturen an jedem Ort jeweils
konstant. In diesem Fall spricht man von stationärer Wärmeleitung. Erwärmt sich ein Körper oder kühlt er ab, da sich der Wärmestrom zeitlich ändert, verändern
sich mit der Zeit die lokalen Temperaturen. Hierbei handelt es sich um instationäre Wärmeleitung.

2.1

Stationäre Wärmeleitung

Die Wärmestromdichte, die bei der Wärmeleitung in einem Körper durch Tempera-
turdifferenzen entsteht, wird nach dem Gesetz von Fourier folgendermaßen definiert:

dϑ
q = −λ ⋅∇ϑ = −λ ⋅

(2.1)

dr

Die Ortskoordinate ist dabei r. Die Wärmestromdichte ist proportional zur Wärmeleitfähigkeit des Stoffes und zum Temperaturgradienten, zu dem sie stets entgegengesetzt gerichtet ist. Nach Gl. (2.1) ist der Vektor Wärmestromdichte senkrecht zur isothermen Fläche. Alternativ kann das Gesetz von Fourier daher auch in folgender Form angegeben werden:

dϑ
q = −λ ⋅
n

(2.2)

dn

P. von Böckh, T. Wetzel Wärmeübertragung,

DOI 10.1007/978-3-642-15959-6_2, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

18

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

Dabei ist q die auf die Austauschfläche senkrecht auftreffende Komponente der n

Wärmestromdichte, n die Normalkomponente des Ortsvektors.

Der Wärmestrom, der durch die Querschnittsfläche eines Körpers fließt, ist:

Q = ³ q dA
n ⋅

(2.3)

A

Da die Wärmeleitfähigkeit eine Funktion der Temperatur und die Querschnitts-
fläche A je nach Form des Körpers eine mehr oder minder komplizierte Funktion der Ortskoordinate ist, kann die Lösung des Integrals sehr kompliziert oder gar unmöglich sein. Für viele technische Anwendungen wird die Wärmeleitfähigkeit mit ei-
nem Mittelwert als konstant angenommen. In Körpern mit einfachen geometrischen

Formen kann der Wärmestrom mit Gl. (2.3) bestimmt werden.

2.1.1

Wärmeleitung in einer ebenen Wand

Bild 2.1 zeigt eine ebene Wand der Dicke s mit der Wärmeleitfähigkeit λ. An den Seiten ist sie thermisch isoliert. Da Wärme nur in die x-Richtung transportiert werden kann, handelt es sich hier um ein eindimensionales Problem. Die Querschnitts-
fläche A der Wand, durch die der Wärmestrom fließt, ist konstant, dadurch auch die Wärmestromdichte. Somit gilt:

d

ϑ

Q = −λ ⋅ A⋅

(2.4)

dx
s

A
ϑ1

.

Q
ϑ2
x
x
x

1

2

Bild 2.1: Wärmeleitung in einer ebenen Wand

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

19

Sind die Wände an den Schmalseiten infolge der idealen thermischen Isolation
adiabat, kann hier kein Wärmestrom entweichen. Ist zudem die Wärmeleitfähigkeit
von Ort und Temperatur unabhängig, fließt der Wärmestrom nur in x-Richtung.

Damit kann Gl. (2.4) integriert werden.

x
θ

2

2

³ Q⋅ dx = ³−λ ⋅ A⋅ ϑ
d

(2.5)

x
θ

1

1

λ
λ

Q =

⋅ A⋅(ϑ −ϑ ) = ⋅ A⋅(ϑ −ϑ )

1

2

1

2

(2.6)

x − x
s

2

1

In einer ebenen Wand mit konstanter Wärmeleitfähigkeit ist der Temperatur-
gradient linear. Aus der Definition der Wärmeübergangszahl folgt:

α = λ / s

(2.7)

Die Wärmeübergangszahl in einer ebenen Wand ist Wärmeleitfähigkeit ge-
teilt durch die Wanddicke.

Soll, wie in Bild 2.1 dargestellt, die Temperatur an beiden Seiten der Wand auf-
rechterhalten werden, muss aus irgendeiner Quelle der konstante Wärmestrom er-
zeugt und von einer anderen Quelle aufgenommen werden. Dieses könnte z.B. auf
der einen Seite ein wärmeres, strömendes Fluid, das den Wärmestrom liefert, auf
der anderen Seite ein kälteres, strömendes Fluid, das den Wärmestrom aufnimmt,
sein. Das ist bei einem Wärmeübertrager der Fall, in dem durch eine feste Wand von einem Fluid 1 zu einem anderen Fluid 2 Wärme transferiert wird. Bild 2.2 zeigt die Wand eines Wärmeübertragers, in dem ein Wärmestrom von einem strömenden

Fluid mit der Temperatur ϑ und Wärmeübergangszahl α zu einem anderen strö-
f 1
f 1
menden Fluid mit der Temperatur ϑ und Wärmeübergangszahl α transferiert
f 2
f 2
wird.

s
ϑf1

A
αf1 ϑ1

Fluid 2

.

Q
ϑ2

Fluid 1
αf2
ϑf2
x
x
x

1

2

Bild 2.2: Zur Bestimmung der Wärmedurchgangszahl

20

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

Wie aus der Definition der Wärmeübergangszahl bekannt ist, bestimmt sie den
bei einer Temperaturdifferenz transferierten Wärmestrom. Für die Beschreibung
der Wärmeströme (vom Fluid 1 zur Wand, durch die Wand und von der Wand zum

Fluid 2) gelten die kinetischen Kopplungsgleichungen.

Q = A⋅α ⋅(ϑ −ϑ )

f 1
f 1

1

Q = A⋅α ⋅ (ϑ −ϑ )

w

1

2

(2.8)

Q = A⋅α

⋅(ϑ −ϑ )

f 2

2
f 2

Mit der Wärmedurchgangszahl kann der Wärmestrom vom Fluid 1 zum Fluid 2
direkt bestimmt werden.

Q = A⋅ k ⋅ (ϑ −ϑ )

(2.9)

f 1
f 2

Zur Berechnung der Wärmedurchgangszahl werden die Wandtemperaturen ϑ1
und ϑ aus Gl. (2.8) bestimmt.

2

Q

Q
ϑ = ϑ −
ϑ = ϑ +

1
f 1

2
f 2

(2.10)

A ⋅α

A ⋅α
f 1
f 2

Damit erhalten wir:

§ 1

1

1 ·

Q ¨

¸

⋅

+

+

= A⋅(ϑ −ϑ )

f 1
f 2

¨ α
α
α ¸

(2.11)

f 1

W
f 2

©

¹

Der Kehrwert der Wärmedurchgangszahl ergibt sich zu:

1

1

1

1

=

+

+
k
α
α
α

(2.12)

f 1

W
f 2

Der Kehrwert der Wärmedurchgangszahl ist die Summe der Kehrwerte der

Wärmeübergangszahlen.

Die Kehrwerte der Wärmeübergangszahlen multipliziert mit der Übertragsflä-
che sind Wärmewiderstände, d.h., die Wärmewiderstände addieren sich wie in Serie geschaltete elektrische Widerstände.

Die Temperaturdifferenzen in den Fluiden und in der Wand können aus den

Gln. (2.8) und (2.9) bestimmt werden.

ϑ −ϑ
ϑ −ϑ
ϑ −ϑ
f 1

1
k
k

2
f 2
k

1

2

=

=

=
ϑ −ϑ
α
ϑ −ϑ
α
ϑ −ϑ
α

(2.13)

f 1
f 2
f 1
f 1
f 2

W
f 1
f 2
f 2

Die Temperaturdifferenzen sind umgekehrt proportional zu den Wärmeüber-
gangszahlen bzw. proportional zum Wärmewiderstand.

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

21

BEISPIEL 2.1: Bestimmung der Wärmeübergangszahl, Wärmedurchgangs-
zahl und Wandtemperaturen

Auf der Innenseite einer Wand hat die Luft eine Temperatur von 22 °C. Die Außen-
temperatur beträgt 0 °C. Die Wand hat eine Dicke von 400 mm und die Wärme-
leitfähigkeit von 1 W/(m K). Die Wärmeübergangszahl beträgt innen und außen

5 W/(m2 K). Bestimmen Sie die Wärmeübergangszahl in der Wand, die Wärme-
durchgangszahl, die Wärmestromdichte und die Wandtemperatur innen und außen.

Lösung

400

Schema

Siehe Skizze
ϑf1

A
αf1 ϑ

Annahmen

1

Fluid 2

.

Q

•

Die Wärmeleitfähigkeit in der Wand ist konstant.

ϑ2

Fluid 1

•

Aus der Wand tritt seitlich keine Wärme aus.

αf2

•

Die Temperaturen innen und außen an der Wand sind je-
ϑf2
weils konstant.

Analyse

Mit Gl. (2.7) kann die Wärmeübergangszahl in der Wand bestimmt werden.

λ 1⋅ W/(m ⋅ K)

W
α W = =

=

2,5
s

0,4 ⋅ m
m 2 ⋅ K

Die Wärmedurchgangszahl wird mit Gl. (2.12) berechnet.

§

·−1

1

1

1

1

§ 1

1

1 ·−

W

W

¨

¸
k =

+

+

=

¨

¸

¨¨ +

+ ¸¸ ⋅

=

1,25

© Į

Į

Į
f 1

W
f 2 ¹

© 5

5

,

2

5 ¹
m2 ⋅ K
m2 ⋅ K

Die Wärmestromdichte kann man mit Gl. (2.9) ermitteln.

2

2
q = Q / A = k ⋅ (ϑ
ϑ
f 1 −

)

f 2

= ,

1 25 ⋅ W/(m ⋅ K) ⋅ (22 − 0) ⋅ K =

W/m

27,5

Die Wandtemperaturen können mit Gl. (2.13) oder mit Gl. (2.8) bestimmt wer-
den. Die Wandtemperatur innen wird mit Gl. (2.13), außen mit Gl. (2.8) berechnet.

k
ϑ ϑ
ϑ
ϑ

1 =
f 1 − (
f 1 −

)

f 2

= 2 °

2 C − (22 − 0) ⋅ ⋅ 1,25

K

=

16,5 C

°
α

5
f 1
ϑ
q α
ϑ

2 =

/
f 2 +
f 2 = 27,5/5 ⋅ K +

°

0 C = 5,

5 C

°

22

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

Diskussion

Die Berechnungen zeigen, dass die kleinste Wärmeübergangszahl die Wärme-
durchgangszahl wesentlich bestimmt. Das größte Temperaturgefälle findet im Me-
dium mit der kleinsten Wärmeübergangszahl statt, hier in der Wand mit 11 K.

2.1.2

Wärmeübergang durch mehrere ebene Wände

In der Praxis hat man oft ebene Wände, die aus mehreren Schichten bestehen

(Hauswand, Isolation eines Kühlschranks etc.). In Bild 2.3 ist eine ebene Wand aus n Schichten unterschiedlicher Dicke und unterschiedlicher Wärmeleitfähigkeit dargestellt.

s
s
s
sn

1

2

3
si
ϑ f 1

A
α f 1 ϑ
ϑ

1

2

Fluid 2
ϑ

....

3

....

.

Q
ϑ
ϑ i + 1

4
ϑ i

Fluid 1
ϑ
ϑ
n
n + 1
α f 2
ϑ f 2

Bild 2.3: Wärmeleitung durch mehrere ebene Wände

Für die Wärmeübergangszahlen durch die einzelnen Wände gilt:

α = λ / s

(2.14)

i
i
i

Für die Wärmedurchgangszahl erhält man nach gleicher Umformung wie im vor-
hergehenden Kapitel:

1

1
n

1

1

1
n
s

1
i

=

+ ¦

+

=

+ ¦ +
k
α

(2.15)

= α
α
α

= λ
α
f 1
i 1

Wi
f 2
f 1
i 1
i
f 2

Für die Temperaturdifferenzen gilt:

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

23
ϑ −ϑ
ϑ −ϑ
f 1

1
k

=
ϑ −ϑ
k
k
i
i +1

=

2
f 2

=
ϑ −ϑ
α ϑ
ϑ −ϑ
α

(2.16)

1 − ϑ 2
α
f 1
f 2
f 1
f
f

Wi
f 1
f 2
f 2

BEISPIEL 2.2: Bestimmung der Isolationsschicht einer Hauswand

Die Wand eines Hauses besteht außen aus einer Ziegelmauer von 240 mm und einer

Innenmauer von 120 mm Dicke. Zwischen beiden Mauern befindet sich eine Iso-
lationsschicht aus Steinwolle. Die Wärmeleitfähigkeit der Mauern ist 1 W/(m K),
die der Isolation 0,035 W/(m K). Die Hauswand soll eine Wärmedurchgangszahl
von 0,3 W/(m2 K) haben.

Bestimmen Sie die notwendige Dicke der Isolation.

Lösung

240

?

120

Schema

Siehe Skizze

Annahmen

•

Die Wärmeleitfähigkeit ist in der Wand konstant.

•

Aus der Wand tritt seitlich keine Wärme aus.

Außenmauer

Isolation

Innenmauer

Analyse

Die Wärmedurchgangszahl kann mit Gl. (2.15) berechnet werden.

1
n
s
s
s
s
i

1

2

3

= ¦ = + +
k
i =
λ i λ
λ
λ

1

1

2

2

In diesem Beispiel ist die Wärmedurchgangszahl gegeben, die Dicke der Isola-
tionsschicht s wird gesucht. Die Gleichung löst man daher nach s auf.

2

2

§ 1 s
s ·
s =

− 1
λ

2

− 3 ⋅ 2 =

¨¨

¸¸

© k λ
λ

1

3 ¹

§ 1

,

0 24

12

,

0

· m2 ⋅

=

K

W

¨¨

−

−

¸¸⋅

⋅0,035⋅

=
m

0,104

© 3

,

0

1

1 ¹

W
m2 ⋅ K

Diskussion

Die Isolationsschicht stellt den hauptsächlichen Wärmewiderstand dar. Er be-
trägt s / l = 2,97 (m2 . K)/W und ist damit fast gleich groß wie der Kehrwert der 2

2

Wärmedurchgangszahl mit 3,33 (m2 . K)/W.

24

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

BEISPIEL 2.3: Bestimmung der Isolationsschicht und Wandtemperatur

Die Wand eines Kühlhauses besteht aus einer äußeren Mauer von 200 mm Dicke
und einer Isolationsschicht mit einer inneren Kunststoffverkleidung von 5 mm

Dicke. Die Wärmeleitfähigkeit der Mauer beträgt 1 W/(m K), die des Kunststoffes

1,5 W/(m K) und die der Isolation 0,04 W/(m K). Im Kühlhaus herrscht eine Tempe-
ratur von –22 °C. Die Wärmeübergangszahl innen ist 8 W/(m2 K). Bei einer hohen

Außentemperatur von 35 °C muss vermieden werden, dass zwischen Außenmauer
und Isolationsschicht Taubildung stattfindet. Um dieses zu gewährleisten, darf bei einer äußeren Wärmeübergangszahl von 5 W/(m2 K) die Temperatur an der Innenseite der Außenmauer den Wert von 32 °C nicht unterschreiten. Wie dick muss die

Isolation gewählt werden?

200

?

5

Lösung
ϑf1

1

2

Schema

Siehe Skizze

Annahmen

3

4 ϑf2

•

Die Wärmeleitfähigkeit in der Wand ist konstant.

•

Aus der Wand tritt seitlich keine Wärme aus.

Außenmauer

Isolation

Innenwand

Analyse

Für die Wärmedurchgangszahl k erhält man nach Umformungen aus Gl. (2.16):

ϑ f −ϑ2

(35 −

)

32 ⋅ K

W

1
k =

=

= 0,132

§

·
s

§ 1

,

0 2 · m2 ⋅ K
m2 ⋅ K

1

1

¨

¸

35

(
ϑ f −ϑ f ⋅

+

+ )

22 ⋅ K

(

)

⋅¨ +

¸ ⋅

1

2

¨

¸
α f
λ

© 5

1 ¹

W

©

1

1 ¹

Jetzt kann mit Gl. (2.15) die notwendige Dicke der Isolation bestimmt werden.

§

·

¨ 1

1
s
s

1

1

3

¸
s
λ

2 =

−

−

−

−

⋅ 2 =

¨

¸

© k α f
λ
λ
α

1

1

3
f 2 ¹

§ 1

1

,

0 2

,

0 005

1 · m2 ⋅

=

K

W

¨¨

− −

−

− ¸¸⋅

⋅0,04⋅

=
m

0,283

© 132

,

0

5

1

5

,

1

8 ¹

W
m2 ⋅ K

Diskussion

Der Hauptwärmewiderstand und damit auch das größte Temperaturgefälle befin-
den sich in der Isolierung. Durch die Wahl der Isolierschichtdicke können Wärme-
durchgangszahl und Temperatur in und an den Wänden beeinflusst werden.

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

25

2.1.3

Wärmeleitung in einem Hohlzylinder

In einer ebenen Wand ist die Querschnittsfläche A für den Wärmestrom konstant.

Bei einem Hohlzylinder (Rohrwand) verändert sich die Querschnittsfläche mit dem

Radius, so dass A eine Funktion von r ist. Bild 2.4 zeigt die Wärmeleitung in einem Hohlzylinder.

.

r
r

Q

1
r 2
ϑ f 1
ϑ
α

1
f 1
ϑ2 α f 2
ϑ f 2

Bild 2.4: Wärmeleitung in einem Hohlzylinder

Der Wärmestrom durch die Wand des Zylinders ist konstant. Da sich die Zylin-
derfläche mit dem Radius verändert, ändert sich auch die Wärmestromdichte. Setzt
man für die Fläche A die Fläche des Zylinders als eine Funktion des Radius’ ein, ergibt sich für den Wärmestrom:

d

ϑ
dϑ

Q = −λ ⋅ A( r) ⋅

= −λ ⋅π ⋅2⋅ r ⋅ l ⋅

(2.17)

dr
dr

Nach Separation der Variablen erhalten wir:

dr

2 ⋅π

= −λ

⋅ l

⋅

⋅ ϑ
d

(2.18)

r

Q

Unter der Voraussetzung, dass die Wärmeleitfähigkeit in der Wand konstant und
der Wärmestrom zur Mittelachse des Hohlzylinders punktsymmetrisch ist, kann Gl.

(2.18) integriert werden. Wir bekommen für den Wärmestrom:

2 ⋅π

= λ

⋅

⋅
l

Q

⋅(ϑ −ϑ )

(2.19)

ln( r / r )

1

2
a
i

Um die Wärmeübergangszahl zu erhalten, muss der Wärmestrom auf eine Aus-
tauschfläche bezogen werden. In Europa ist es üblich, die Wärmeübergangszahlen
auf die Außenfläche zu beziehen, sie könnten aber auch ohne Weiteres auf die In-
nenfläche bezogen werden. Gl. (2.19) wird so umgeformt, dass der Wärmestrom auf

26

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen
die Außenfläche bezogen ist. Weiterhin ersetzen wir die Radien durch die in der

Technik üblicherweise verwendeten Durchmesser.

2 ⋅ λ

2 ⋅ λ

Q =

⋅π ⋅ l ⋅ d

A
a ⋅ (ϑ − ϑ ) =

⋅ a ⋅(ϑ −ϑ ) (2.20)

d
d
d
d
d
d
a ⋅ ln(

/

)

1

2
a
i
a ⋅ ln(

/

)

1

2
a
i

Die auf die Außenfläche bezogene Wärmeübergangszahl in der Wand beträgt:

2 ⋅

=
λ
α Wa

(2.21)

d ⋅ ln( d / d )

a
a
i

Sehr wichtig ist es, immer zu beachten, auf welche Übertragungsfläche die

Wärmeübergangszahl bezogen ist.

Die unterschiedlichen Übertragungsflächen sind bei der Berechnung der Wär-
medurchgangszahl zu berücksichtigen. Für den Wärmestrom in den Fluiden und in
der Wand gilt:

Q = A ⋅α
l d

(2.22)

f

⋅(ϑ f −ϑ ) = π ⋅ ⋅ ⋅α f ⋅(ϑ f −ϑ )

1

1

1

1

1

1

1

1

Q = A ⋅α

⋅(ϑ −ϑ ) = π ⋅ l ⋅ d ⋅α ⋅(ϑ −ϑ )

(2.23)

2
f 2

2
f 2

2
f 2

2
f 2

Q = A ⋅α
l d

(2.24)

Wa ⋅ (ϑ − ϑ ) = π ⋅

⋅ ⋅α Wa ⋅(ϑ −ϑ )

2

1

2

2

1

2

Q = A ⋅ k ⋅ (ϑ −ϑ ) = π ⋅ l ⋅ d ⋅ k ⋅ (ϑ −ϑ ) (2.25)

2
f 1
f 2

2
f 1
f 2

Nach Umformungen erhält man:

ª d

1

1

1 º

2

Q ⋅ «

⋅

+

+

» = A ⋅(ϑ −ϑ )

2
f 1
f 2

(2.26)

d

«
α
α
α

1
f 1

Wa
f 2

¬

»¼

Damit ist die auf die Außenfläche bezogene Wärmedurchgangszahl:

1
d

1

1

1
d

1
d

§ d ·

1

2

2

2

2

=

⋅

+

+

=

⋅

+

⋅ln

+

¨¨

¸¸

(2.27)

k
d
α
α
α
d
α

2 ⋅λ
d

©

¹ α

1
f 1

Wa
f 2

1
f 1

1
f 2

Es ist unbedingt zu beachten, dass die Wärmedurchgangszahl auf die Außen-
fläche, d.h. auf den Durchmesser d bezogen ist. Bezieht man die Wärmeübergangs-2
zahl auf die Innenfläche, also auf den Durchmesser d , erhält man:

1

1

1
d

1
d

1

1
d

§ d · d

1

1

1

1

2

1

=

+

⋅

+

⋅

=

+

⋅ln

+

⋅

¨¨

¸¸

(2.28)

k
α
d
α
d
α
α

2 ⋅ λ
d
d

©

¹
α

1
f 1

2

Wa

2
f 2
f 1

1

2
f 2

Bei der Berechnung des Wärmestromes liefern beide Gleichungen den selben

Wert, weil der Wärmestrom mit dem Produkt aus Wärmedurchgangszahl und Aus-
tauschfläche gebildet wird. Verwendet man die falsche Bezugsfläche, können große

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

27

Differenzen entstehen. In Europa ist es gebräuchlich, die Wärmedurchgangszahlen
auf die Außenfläche zu beziehen. In den USA können beide Flächen als Bezug ver-
wendet werden.

Es ist wichtig, dass man bei der Angabe der Wärmedurchgangs- und Wärme-
übergangszahlen auch die Fläche angibt, auf die diese Größen bezogen sind.

Für die Temperaturdifferenzen erhält man:

ϑ −ϑ
ϑ −ϑ
ϑ −ϑ
f 1

1
d
k
k

2
f 2
k
a

1

2

=

⋅

=

=
ϑ −ϑ

(2.29)

d
α
ϑ −ϑ
α
ϑ −ϑ
α
f 1
f 2
i
f 1
f 1
f 2

Wa
f 1
f 2
f 2

Bei dünnwandigen Rohren oder für überschlägige Berechnungen kann die Wand
als ebene Wand behandelt werden. Für die Wärmeübergangszahl der Wand erhält
man dann näherungsweise:

2 ⋅ λ
λ

2 ⋅ λ
α =

≈ =

Wa

(2.30)

d ⋅ ln( d / d )

s
d − d
a
a
i
a
i

BEISPIEL 2.4: Bestimmung der Wärmedurchgangszahl im durchströmten

Rohr

In dem Rohr eines Hochdruckvorwärmers strömt Wasser, außen am Rohr konden-
siert Dampf. Die Wärmeübergangszahl innen im Rohr ist 15 000 W/(m2 K) und

außen 13 000 W/(m2 K). Der Außendurchmesser des Rohres beträgt 15 mm, die

Wandstärke 2,3 mm. Die Wärmeleitfähigkeit des Rohrmaterials ist 40 W/(m K).

Bestimmen Sie die Wärmeübergangszahl, bezogen auf den Außen- und Innen-
durchmesser und prüfen Sie, welchen Fehler man macht, wenn die Wärmeüber-
gangszahl der Rohrwand mit Gl. (2.30) bestimmt wird.

Lösung

Schema

Siehe Bild 2.4

Annahmen

•

Die Wärmeleitfähigkeit in der Wand ist konstant.

•

Die Temperaturen innen und außen an der Wand sind jeweils konstant.

Analyse

Die auf den Außendurchmesser bezogene Wärmedurchgangszahl kann mit Gl.

(2.27) berechnet werden.

28

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

−1

§ d

1
d

§ d ·

1 ·

2

2

2
k = ¨

⋅

+

⋅ln ¨ ¸ +

¸ =

2

¨ d

©
α

2 λ
d

©

¹ α ¸

⋅

1
f 1

1
f 2 ¹

−1

§ 15

1

0 , 015

§ 15 ·

1

·

=

W

¨

⋅

+

⋅ln ¨

¸ +

¸ = 4 137

©10 , 4 15000 2⋅ 40

©10 , 4 ¹ 13000 ¹

2
m ⋅ K

Die auf den Innendurchmesser bezogene Wärmedurchgangszahl wird mit Gl.

(2.28) bestimmt.

1

−

§ 1
d

§ d · d

1 ·

1

2

1
k = ¨

+

⋅ln¨ ¸ +

⋅

¸ =

1

¨©α 2 λ
d
d

©

¹
α ¸

⋅
f 1

1

2
f 2 ¹

1

−

§

1

0 , 0104

§ 15 · 10 , 4

1

·

=

W

¨

+

⋅ln¨

¸ +

⋅

¸ = 5 966

©15 000

2⋅ 40

©10 , 4 ¹

15

13 000 ¹

2
m ⋅ K

Die Wärmeübergangszahl in der Rohrwand ist nach Gl. (2.21):

2 λ

2 40 W/(m K)

α

⋅

⋅ ⋅

⋅

=

=

=

W

14 562

Wa
d ⋅ ln( d / d )

0,015 ⋅ m ⋅ ln(15/10,4)

2
m ⋅K
a
a
i

Der Näherungswert nach Gl. (2.30) beträgt:

λ 40 W/(m K)

α

⋅

⋅

= =

=

W

17 391

Wa
s

0,0023⋅ m

2
m ⋅K

Die mit Gl. (2.30) berechnete Wärmeübergangszahl ist 19 % zu groß. Ursache:

Die Rohrwandstärke ist im Verhältnis zum Durchmesser relativ groß.

Diskussion

Es ist äußerst wichtig, anzugeben, auf welche Fläche die Wärmeübergangs- bzw.

Wärmedurchgangszahlen bezogen sind. In diesem Beispiel ist die auf die Innenflä-
che bezogene Wärmedurchgangszahl um 44 % größer als die auf die Außenfläche
bezogene. Verwendet man bei der auf den Innendurchmesser bezogenen Wärme-
durchgangszahl die mit dem Außendurchmesser gebildete Fläche, bekommt man
einen 44 % zu großen Wärmestrom. Das ist bei der Auslegung eines Apparates eine

40 % zu kleine Fläche.

Die Berechnung der Wärmeübergangszahl mit der Näherungsgleichung liefert
zu hohe Werte. Wenn der Außendurchmesser 10 % größer als der Innendurchmes-
ser ist, beträgt der Fehler 5 %. Die Abweichung kann mit der Reihenentwicklung
von Gl. (2.21) aufgezeigt werden.

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

29

2 ⋅ λ

2 ⋅λ
α Wa =

=

=
d
d
d
d
s d
a ⋅ ln(

/

)

a
i
a ⋅

1
ln[

1

/( − 2 ⋅ /

)]

a

2 ⋅ λ

= d
s d
s d
s d
a ⋅ [2 ⋅

/ a + (2 ⋅ /

)2 / 2
a

+ (2⋅ / )3 / 3
a

+...]

In Gl. (2.30) wird die Reihe im Nenner nach dem ersten Term abgebrochen.

2.1.4

Hohlzylinder mit mehreren Schichten

In der Technik verwendet man oft Rohre (Hohlzylinder), die aus mehreren Schich-
ten bestehen. Beispiele für solche Rohre sind: Wärmeübertragerrohre mit einem
korrosionsbeständigen Innenrohr, Rohre mit einer Isolation und Schutzhülle, Rohre
mit Verschmutzungen und Oxydschichten innen und außen.

r
r

.

n

1
r
r

Q
n +1

2
r r 3

4

1 2 3 4 n n +1
ϑ f 1α ϑ
f 1

1
ϑ
α
n
f 2
ϑ f 2

Bild 2.5: Wärmeleitung in einem Hohlzylinder mit mehreren Schichten

Bild 2.5 zeigt einen Hohlzylinder, dessen Wand aus n Schichten unterschiedlicher Dicke mit unterschiedlichen Wärmeleitfähigkeiten besteht. Hier erhalten wir
für die Wärmeübergangszahlen der einzelnen Schichten, die auf die Fläche der äu-
ßersten Schicht bezogen sind:

2 ⋅ λ i
α =
i
d

⋅

(2.31)

ln( d

/ d )

n 1

+
i 1

+
i

Für die Wärmedurchgangszahl gilt:

30

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

1
d

1
i= n d

1
n 1

+
n 1

=

⋅

+

+

¦

⋅ln( d / d )

+

+
i 1
k
d
α

(2.32)

2
i

=

⋅λ
α

1
f 1
i 1
i
f 2

Bei den Temperaturdifferenzen ist jeweils die Fläche zu berücksichtigen.

ϑ −ϑ

+
ϑ −ϑ
ϑ

+

+

+ − ϑ
f 1

1
d
k
d
k
n 1
f 2
k
n 1
i
i 1
n 1

=

⋅

=

⋅

=
ϑ −ϑ

(2.33)

d
α
ϑ −ϑ
d
α
ϑ −ϑ
α
f 1
f 2

1
f 1
f 1
f 2
i

Wa
f 1
f 2
f 2

BEISPIEL 2.5: Kondensatorrohr mit Verschmutzung

In einem Kondensatorrohr aus Titan mit 24 mm Außendurchmesser und 0,7 mm

Wandstärke wird nach einer gewissen Betriebszeit innen eine Schmutzschicht von

0,05 mm Dicke festgestellt. Die Wärmeleitfähigkeit des Rohres ist 15 W/(m K), die
der Schmutzschicht 0,8 W/(m K). Im Rohr beträgt die Wärmeübergangszahl mit
und ohne Verschmutzung 18 000 W/(m2 K), außen 13 000 W/(m2 K). Berechnen Sie

die durch Verschmutzung bedingte verringerte Wärmedurchgangszahl.

Lösung

0,7

0,05

Schema

Siehe Skizze
ø24

Annahmen

•

In den Wänden ist die Wärmeleitfähigkeit konstant.

•

An den Wänden sind die Temperaturen innen und außen jeweils konstant.

Analyse

Die auf den Außendurchmesser bezogene Wärmedurchgangszahl kann mit Gl.

(2.32) bestimmt werden. Für das saubere Rohr erhalten wir:

1

−

§ d

1
d

1 ·

2

2
k = ¨

⋅

+

⋅ln( d / d ) +

¸ =

2

¨ d α

2
i
λ
α ¸

⋅

© 1
f 1
i
f 2 ¹

−1

§ 24

1

0 , 024

§ 24 ·

1

·

=

W

¨

⋅

+

⋅ln ¨

¸ +

¸ = 5 435

© 22 , 6 18 000

2 ⋅15

© 22 , 6 ¹ 13 000 ¹

2
m ⋅ K

Für das verschmutzte Rohr liefert Gl. (2.32):

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

31

1

−

§ d

1
d
d

1 ·

3

3

3
k = ¨

⋅

+

⋅ln( d / d ) +

⋅ln( d / d ) +

¸ =

V

2

1

3

2

¨ d α

2 λ

2 λ
α ¸

⋅

⋅

© 1
f 1

1

2
f 2 ¹

1

−

§ 24

1

0 , 024

§ 22 , 6 · 0 , 024

§ 24 ·

1

·

=

W

¨

⋅

+

⋅ln¨

¸ +

⋅ln ¨

¸ +

¸ = 3 987

© 22 5

,

18 000

2 ⋅0 8

,

© 22 , 5 ¹ 2⋅15

© 22 , 6 ¹ 13 000 ¹

2
m ⋅ K

Man kann hier zeigen, dass eine einfachere Berechnung fast zum selben Ergebnis
führt. Dazu addiert man den Verschmutzungswiderstand zum Kehrwert der saube-
ren Wärmedurchgangszahl und bildet aus der Summe den Kehrwert.

1

−

−1

§ 1
d

·

§ 1

0 , 024

§ 22 , 6 ··

W

3
k = ¨ +

⋅ln( d / d )¸ = ¨

+

⋅ln ¨

¸¸ = 3 992

V

2

3
k

©

2 ⋅ λ

¹

© 5 435 2⋅0 , 8

© 22 , 5 ¹¹

2
m ⋅ K

1

Der Unterschied von 0,11 % ist sehr gering.

Diskussion

Es wurde deutlich, dass auch schon eine sehr dünne Schmutzschicht die Wärme-
durchgangszahl wesentlich reduziert. Im Beispiel beträgt die Reduktion 27 %, was
durchaus auftreten kann. Auch bei sauberen Titanrohren muss man gegenüber me-
tallisch blanken Rohren mit 6 bis 8 % Reduktion rechnen, weil Titan eine korro-
sionsfeste Oxidschicht bildet, die die Wärmeübergangszahl verringert.

In der Praxis kann man die Dicke von Schmutzschichten nicht genau messen.

Daher ist die Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit schwierig, weil die Schicht tro-
cken oder nass unterschiedliche Werte haben kann. Aus Messungen der Wärme-
durchgangszahlen sammelt man Erfahrungswerte für die Verschmutzungswider-
stände R , die bei der Auslegung der Wärmedurchgangszahl k des Kondensators zu V

V
berücksichtigen sind.

Die Wärmedurchgangszahl des Kondensators ist dann: k = (1/ k

+ R )–1.

V
sauber

V

BEISPIEL 2.6: Isolierung einer Dampfleitung

In einer Dampfleitung aus Stahl mit 100 mm Innendurchmesser und 5 mm Wand-
stärke strömt Wasserdampf mit der Temperatur von 400 °C. Im Rohr beträgt die

Wärmeübergangszahl 1 000 W/(m2 K). Das Rohr muss mit einer Isolation, die

außen mit einem Aluminiumblech von 0,5 mm Wandstärke geschützt wird, ver-
sehen werden. Die Wärmeleitfähigkeit des Rohres ist 47 W/(m K), des Aluminiums

220 W/(m K) und des Isolators 0,08 W/(m K). Die Sicherheitsvorschriften ver-
langen, dass bei einer Raumtemperatur von 32 °C und einer äußeren Wärmeüber-
gangszahl von 15 W/(m2 K) die Außenwand der Aluminiumhülle nicht wärmer als

45 °C werden darf.

32

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

Berechnen Sie die notwendige Dicke der Isolation unter der Berücksichtigung,
dass die Außendurchmesser der handelsüblichen Isolierschalen in 10 mm-Abstu-
fungen erhältlich sind.

Prüfen Sie, welche Vereinfachungen gemacht werden können.

Lösung

5

0,5

Schema

Siehe Skizze

?

100

Annahmen

•

In den Wänden ist die Wärmeleitfähigkeit konstant.

•

An den Wänden innen und außen sind die Temperaturen jeweils konstant.

Analyse

Die Temperaturdifferenz zwischen der Außenwand und dem Raum kann mit Gl.

(2.32) berechnet und daraus die Wärmedurchgangszahl, die notwendig ist, um die
vorgeschriebene Außenwandtemperatur zu erreichen, ermittelt werden.

ϑ
ϑ
n

−

1
f 2

45 − 32

W

W
k =

+

⋅α f =

⋅15⋅

=

0,530

2
ϑ
ϑ
f

−

400
f

− 32
m2 ⋅ K
m2 ⋅ K

1

2

Mit Gl. (2.32) kann man den Durchmesser der Isolation berechnen.

1
d

1
d

§ d ·
d

§ d ·
d
d

1

4

4

2

4

3

4

4

=

⋅

+

⋅ln ¨

¸ +

⋅ln ¨

¸ +

⋅ln( ) +
k
d
α

2 ⋅ λ
d

2

©

¹

⋅λ
d

2

©

¹

⋅λ
d
α

1
f 1

1

1

2

2

3

2
f 2

Dabei ist d = d + 2 s . Diese Gleichung ist analytisch unlösbar. Man ermittelt den 4

3

3

Durchmesser entweder per Iteration oder mit einem Gleichungslöser. Mathcad errechnete den Wert von 294 mm. Ausgewählt wurde ein Außendurchmesser von 300
mm und damit die Wärmedurchgangszahl von 0,511 W/(m2 K) bestimmt.

Die möglichen Vereinfachungen können mit den Temperaturen an den Wänden
einzelner Hohlzylinder demonstriert werden. Die Temperaturen sind mit Gl. (2.33)

zu ermitteln:

ϑ =
d
k
ϑ
ϑ
ϑ
f

− ( f −

) 4
f

⋅

=

,

399 4 C

°

1

1

1

2
d
α

1
f 1
d
k
d
k ⋅ d

§ d ·
ϑ = ϑ − (ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
f

−

) 4
f

⋅

= − ( f −

) 4

4
f

⋅

⋅ln 2 =

3

,

399

C

°

2

1

1

2

1

1

2

¨¨

¸¸
d
α
d

2 λ

W

⋅
d

2

1

2

1

© 1 ¹
d
k ⋅ d

§ d ·
ϑ = ϑ − (ϑ
ϑ
f

−

) 4

4
f

⋅

⋅ln 3 = ,

43 25 C

°

3

2

1

2

¨¨

¸¸
d

2 ⋅ λ
d

3

2

© 2 ¹

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

33
k ⋅ d

§ d ·
ϑ = ϑ − (ϑ
ϑ
f

−

)

4
f

⋅ln 4 =

43,25 C

°

4

3

1

2

¨¨

¸¸

2 ⋅ λ
d

3

© 3 ¹

Die berechneten Temperaturen zeigen, dass innen im Rohr und in der Rohrwand
nur 1 K Temperaturgefälle, in der äußeren Aluminiumhülle praktisch keines vor-
handen ist. Damit hätte die Berechnung für eine Temperatur von 400 °C auf der

Innen- und 45 °C auf der Außenseite der Isolation durchgeführt werden können.

Diskussion

Hat eine Schicht in einer aus mehreren Schichten bestehenden Wand einen im

Vergleich zu anderen Schichten sehr großen Wärmewiderstand (sehr kleine Wär-
meübergangszahl), tritt in dieser Schicht praktisch das gesamte Temperaturgefälle
auf. Die Wärmedurchgangszahl ist fast gleich groß wie die Wärmeübergangszahl
der Schicht mit hohem Wärmewiderstand.

2.1.5

Wärmeleitung in einer Hohlkugel

Bei der Berechnung des Wärmestromes in einer Hohlkugel (Bild 2.6) wird wie beim

Hohlzylinder vorgegangen. Die Querschnittsfläche A für den Wärmestrom ändert sich mit dem Radius und wird entsprechend der Kugeloberfläche A = 4 . π . r 2
eingesetzt.

r 2

.

Q
r 1 r
ϑ f 1 ϑ1
α f 2
α
ϑ
f 1

2
ϑ f 2

Bild 2.6: Wärmeleitung in einer Hohlkugel
d

2
ϑ

Q = −λ ⋅ 4 ⋅π ⋅ r ⋅

(2.34)

dr

Wenn der Wärmestrom auf die Außenfläche der Kugel bezogen wird, lautet die

Lösung dieser Differentialgleichung:

34

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen
λ ⋅4⋅π

2 ⋅ λ

Q =

⋅(ϑ −ϑ )

2

=

⋅π ⋅ d ⋅(ϑ −ϑ )

(2.35)

1/ r −1/

1

2
r
d ⋅ ( d / d − )

1

2

1

2

1

2

2

2

1

Damit ist die Wärmeübergangszahl der Hohlkugel:

2 λ

2 λ
α

⋅

⋅

=

=

Wa

2
d ⋅ ( d / d −1)

d ⋅ (1/ d −

(2.36)

1 / d )

2

2

1

2

1

2

Die Wärmedurchgangszahl der Hohlkugel, deren Wand aus n Schichten unter-
schiedlicher Dicke und Wärmeleitfähigkeit besteht, erhält man als:

2

1
d

1
i n d

+

+ ⋅ ( d

/ d

+

− d / d )

1
n 1
n 1
n 1
i
n 1

+
i 1

=

⋅

+ ¦

=

+

+

2
k
d
α

2⋅

(2.37)

=
λ
α
f 1
i 1
i

2

1
f

Für die Temperaturdifferenzen gilt:

2

2
ϑ −ϑ

+
ϑ −ϑ
ϑ

+

+

+ −ϑ
f 1

1
d
k
d
k
n 1
f 2
k
n 1
i
i 1
n 1

=

⋅

=

⋅

=

2

2
ϑ −ϑ
d
α
ϑ −ϑ
d
α
ϑ −ϑ
α

(2.38)

f 1
f 2
f 1
f 1
f 2
i

Wa
f 1
f 2

2

1
f

Es ist bemerkenswert, dass der Wärmestrom bei der Hohlkugel mit zunehmender

Wandstärke nicht gegen null geht. Bei der ebenen Platte und beim Hohlzylinder
werden, wenn die Wandstärke gegen unendlich strebt, die Wärmeübergangszahl
und der Wärmestrom zu null. Bei der Hohlkugel sieht man in Gl. (2.35), dass der

Wärmestrom bei zunehmendem Außenradius einem Wert, der größer als null ist,
zustrebt.

2

2 ⋅

λ ⋅π ⋅ d 2

Q = lim

⋅(ϑ −ϑ ) = 2⋅λ ⋅ d ⋅π ⋅(ϑ −ϑ )

2

1

2

1

1

2

(2.39)

d →∞

2
d ⋅ (1 / d −1 / d )

2

1

2

Die Wärmeübergangszahl strebt zwar gegen null, aber die Fläche A = π . d ge-a
gen unendlich und der Wärmestrom nimmt den in Gl. (2.39) angegebenen Wert an.

Dieses bedeutet, dass von einer Kugeloberfläche an eine unendliche Umgebung
auch dann Wärme transferiert wird, wenn eine Temperaturdifferenz zur unendlich
fernen Umgebung besteht.

BEISPIEL 2.7: Isolierung eines Kugelbehälters

Ein kugelförmiger Behälter aus Stahl für flüssiges Kohlendioxid hat den Außen-
durchmesser von 1,5 m und die Wandstärke von 20 mm. Er soll mit einer Isolation
versehen werden. Die Temperatur im Behälter beträgt –15 °C. Die Isolation muss so
ausgelegt werden, dass bei einer Außentemperatur von 30 °C der Wärmestrom zum

Kohlendioxid kleiner als 300 W ist. Die Wärmeübergangszahlen im Behälter und

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

35
außen an der Isolation können vernachlässigt werden. Die Wärmeleitfähigkeit des

Isolationsmaterials beträgt 0,05 W/(m K), die des Stahls 47 W/(m K). Bestimmen

Sie die notwendige Dicke der Isolation.

Lösung

Annahmen

•

In der Behälterwand und Isolation ist die Wärmeleitfähigkeit konstant.

•

An den Wänden sind die Temperaturen innen und außen jeweils konstant.

Analyse

Damit der gegebene Wärmestrom nicht überschritten wird, muss die Wärme-
durchgangszahl entsprechend klein sein. In diesem speziellen Fall ist es sinnvoll, die Wärmeübergangszahlen und die Wärmedurchgangszahl auf die Innenfläche zu
beziehen, da die Außenfläche erst nach Bestimmung der Isolationsdicke bekannt ist.

Die auf die Innenfläche bezogene Wärmedurchgangszahl erhält man als:

Q

Q
k =

=

=
i

2

A ⋅ (ϑ

−ϑ ) π ⋅ d ⋅ (ϑ − ϑ )

i
f 2
f 1

1
f 2
f 1

300 ⋅ W

W

=

= 0,996

2

2

2
ʌ ⋅1,46 ⋅ m ⋅ (30 + 15) ⋅ K
m ⋅ K

Die Vernachlässigung der Wärmeübergangszahlen innen im Behälter und außen
an der Isolation bedeutet, dass sie in Gl. (2.36) als unendlich groß eingesetzt werden. Unter Berücksichtigung, dass die Übergangszahlen auf die Innenfläche bezo-
gen sind, ergeben sich mit Gl. (2.35) folgende Beziehungen:

2 ⋅ λ1

2

Q =

⋅π ⋅ d ⋅(ϑ −ϑ )

d ⋅ 1

( − d / d )

1

2

1

1

1

2

2

2

⋅λ
d

2 ⋅ λ

2

2

Q =

⋅π ⋅ d ⋅(ϑ −ϑ )

2

2

2

=

⋅

⋅π ⋅ d ⋅(ϑ −ϑ )

d ⋅ 1

( − d / d )

2

3

2

2
d
d ⋅ 1

( − d / d )

1

3

2

2

2

3

1

2

2

3

Beide Gleichungen nach ϑ aufgelöst und gleichgesetzt, ergeben:

2

1

§ d ⋅

−

1

( − d / d )

d ⋅ 1

( − d / d )

2
d ·

1

1

2

2

2

3

1

2

Q =

+

⋅

⋅π ⋅ d ⋅(ϑ −ϑ )

¨¨

¸¸

2

©

⋅λ

2

2

1

3

1

⋅ λ
d

1

2

2 ¹

Für die auf die Innenfläche bezogene Wärmedurchgangszahl gilt:

2

Q = k ⋅π ⋅ d ⋅ (ϑ −ϑ )

i

1

3

1

36

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

Damit ist die Wärmedurchgangszahl in der oberen Gleichung der Ausdruck in
den Klammern. Sie ist bekannt, der Klammerausdruck kann nach dem Durchmesser
d aufgelöst werden.

3
d =
d 2

3

=

§ 1 d 1

(
d / d )

2 λ d

1 ⋅

−

·

1

2

⋅ 2 ⋅

1−

−

⋅

¨¨

¸¸

2

© k

2 ⋅ λ
d

1

¹

2

1

1,5 ⋅

=
m

=
m

1,612

§ 1

1,46 ⋅(1−1,46/1,5) · 2 ⋅0,05⋅

1 − ¨

−

¸ ⋅

1,5

© 996

,

0

2 ⋅ 47

¹

2

1,46

Diskussion

Bei einigen Problemen ist es von Vorteil, die Wärmeübergangszahlen nicht auf
die Außenfläche zu beziehen. Stehen hier keine fertigen Gleichungen zur Verfü-
gung, kann mit den Kopplungsgleichungen nach dem hier gezeigten Schema vorge-
gangen werden.

2.1.6

Wärmeleitung mit seitlichem Wärmetransfer (Rippen)

In der Technik werden zur Vergrößerung der Fläche auf der Übertragungsfläche

Rippen angebracht. Ebenso wird Behältern durch Stützen, Streben und Füße Wärme zu- oder abgeführt. Eine Rippe oder eine Stütze kann ein Stab konstanten Querschnitts sein. Wären die Seitenflächen eines Stabes thermisch vollkommen isoliert, hätte man eine stationäre Wärmeleitung in einer ebenen Wand. Bei konstanter Wärmeleitfähigkeit stellte sich nach Gl. (2.5) ein linearer Temperaturgradient im Stab ein. Bei der technischen Anwendung von Rippen, Streben etc. sind die Seitenwände
nicht isoliert. Von ihnen wird Wärme von oder zur Umgebung transferiert. Der

Wärmestrom im Stab ist nicht mehr konstant. Er wird entsprechend der seitlich ab-
oder zugeführten Wärme verändert. Dieses ist ein zweidimensionales Problem.

Eine ebene Wand konstanten Querschnitts, die durch einen Wärmestrom auf der
einen Seite auf einer Temperatur von ϑ gehalten und aus der seitlich durch den

0

Wärmeübergang Wärme transferiert wird, kann als eindimensionales Problem be-
handelt werden, wenn die Temperatur am Querschnitt an jeder beliebigen Stelle x als konstant angenommen werden kann. Bild 2.7 zeigt eine viereckige Rippe konstanten Querschnitts, die an einem Körper angebracht ist und dort durch einen

Wärmestrom auf der konstanten Temperatur ϑ gehalten wird.

0

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

37
ϑ u α u

.

ϑ
h
dQ
ϑ0

.

b
dx
s
ϑ

Q 0

0
x
x + dx
ϑ u
x

0
h
x

0

Bild 2.7: Wärmeleitung in einer Rippe

Die Rippe ist außen von dem Fluid tieferer Temperatur ϑ umgeben, zu dem
u

Wärme aus der Rippe abgeführt wird. Die Wärmeübergangszahl des Fluids ist α .

u

In den folgenden Kapiteln werden die Temperatur und der Wärmestrom in der Rip-
pe berechnet.

2.1.6.1

Temperaturverlauf in der Rippe

Der in das Volumenelement b . s . dx über die Querschnittsfläche A = s . b eintretende Wärmestrom an der Stelle x ist:

d

ϑ

Q = −λ ⋅ A ⋅
x

(2.40)

dx

An Stelle x + dx tritt folgender Wärmestrom aus dem Volumenelement:

δ Q
dϑ
d 2ϑ

Q + = Q
x

+

⋅ dx = −λ ⋅ A⋅

− λ ⋅ A⋅

⋅ dx
x dx
x

(2.41)

dx
dx
dx 2

Die Änderung des Wärmestromes im Volumenelement ist:

d 2

ϑ
δ Q = Q
λ

+

− Q = − ⋅ A⋅

⋅ dx
x
x dx
x

(2.42)

dx 2

Mit umgekehrtem Vorzeichen entspricht diese Änderung aber dem Wärmestrom,
der an der äußeren Oberfläche des Volumenelementes U . dx abgeführt wird. Der abgeführte Wärmestrom wird mit der Temperaturdifferenz der äußeren Wärme-
übergangszahl bestimmt.

−δ Q = α ⋅ U ⋅(ϑ −ϑ )⋅ dx

(2.43)

x

U

U

Der Umfang der Rippe ist U. Die Gln. (2.42) und (2.43) gleichgesetzt, ergeben die Differentialgleichung:

2
d ϑ
α ⋅ U

U

=

⋅(ϑ −ϑ )

(2.44)

2

U
dx
λ ⋅ A

Eine konstante Außentemperatur ϑ , Wärmeübergangszahl α und Wärmeleitfä-
u
u
higkeit λ vorausgesetzt, kann ϑ – ϑ durch Δϑ substituiert und der erste Term auf U

38

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen
der rechten Seite der Gleichung als die Konstante m 2 eingesetzt werden. Damit erhalten wir die Differentialgleichung:

2
d
ϑ

Δ = 2
m ⋅ ϑ

Δ

(2.45)

2
dx
α ⋅ U
mit m

U

=
und Δϑ = (ϑ – ϑ ).

λ ⋅ A

U

Die Lösung der Differentialgleichung lautet:

− m⋅ x
m⋅ x
ϑ

Δ = C

(2.46)

1 ⋅ e

+ C 2 ⋅ e

Die Konstanten C und C werden mit den Randbedingungen bestimmt. Sie kön-1

2
nen an beiden Enden der Rippe ermittelt werden. Bei x = 0 ist die Temperaturdifferenz gleich Δϑ . Der Wärmestrom am Ende des Stabes wird vernachlässigt.

0

Dadurch ist bei x = h der Wärmestrom gleich null, was aber bedeutet, dass der Temperaturgradient ( dϑ/ dx) = 0 ist. Damit gilt:

ϑ

Δ = C + C

(2.47)

0

1

2

§ Δϑ ·

¨

¸

= − m ⋅ C ⋅ − m⋅ h
e

+ m ⋅ C ⋅ m⋅ h
e

= 0

1

2

©

(2.48)

dx ¹ x= h

Aus Gl. (2.48) folgt für C :

1
m⋅ h
e

C 1 = C 2 ⋅ −

(2.49)

m⋅ h
e

Gl. (2.49) in Gl. (2.47) eingesetzt, ergibt für C :

2

− m⋅ h
e

C
ϑ

Δ

2 =

0 ⋅

(2.50)

m⋅ h

− m⋅ h
e

+ e

Gl. (2.50) in Gl. (2.49) eingesetzt, ergibt für C :

1

+ m⋅ h
e

C
ϑ

Δ

1 =

0 ⋅

(2.51)

m⋅ h

− m⋅ h
e

+ e

Damit ist die Temperaturdifferenz Δϑ:

− m⋅( h− x)

m⋅( h− x
e

+ e

)

ϑ

Δ ( x) = ϑ

Δ 0 ⋅

(2.52)

m⋅ h

− m⋅ h
e

+ e

Für eine unendlich lange Rippe werden die negativen Exponentialfunktionen
gleich null und aus Gleichung (2.51) erhält man:

− m⋅ x
ϑ

Δ ( x) = ϑ

Δ

(2.53)

0 ⋅ e

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

39

Für die endlich lange Rippe können in Gl. (2.52) die Exponentialfunktionen durch Hyperbelfunktionen ersetzt werden.

ϑ

Δ ( x) cosh[ m⋅( h − x)] cosh[ m⋅ h⋅ 1

( − x / h)]

=

=
ϑ

Δ

(2.54)

cosh( m ⋅ h)

cosh( m ⋅ h)

0

Bild 2.8 zeigt den normierten Temperaturverlauf Δϑ/Δϑ über die normierte Län-

0
ge x/ h mit der für die Rippen charakteristischen Größe m . h als Parameter.

Bei großen Werten von m . h ändert sich die Temperatur stark. Dieses bedeutet, dass bei langen Rippen bzw. Rippen mit kleiner Wärmeleitfähigkeit und großen
äußeren Wärmeübergangszahlen erhebliche Temperaturänderungen vorkommen.

h m

.

= 0

1

0,5

0,9

0,7

0,8

1,0

0,7

0,6

1,5

0

0,5

2,0

Δϑ / Δϑ

0,4

0,3

3,0

0,2

5,0

0,1

10,0

00

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1
x / h

Bild 2.8: Normierter Temperaturverlauf der Rippe

2.1.6.2

Temperatur am Ende der Rippe

Die Temperatur am Stabende beträgt:

1
ϑ( h) = ϑ + ϑ

Δ ( h) = ϑ + ϑ

Δ ⋅

U

U

0

(2.55)

cosh( m ⋅ h)

2.1.6.3

Wärmestrom am Anfang der Rippe

Von Interesse ist, wie groß der Wärmestrom am Stabanfang ist, denn er ist gleich
dem Wärmestrom, der insgesamt von der Rippe abgegeben wird. Man ermittelt ihn
aus Gl. (2.40), indem dort der Temperaturgradient bei x = 0 eingesetzt wird.

40

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

§ d

ϑ ·

− sinh( m ⋅ h)

Q
λ
λ
ϑ

Δ

= = − ⋅ A ⋅ ¨

¸

= − ⋅ A⋅

⋅ m ⋅

=
x 0

0

© dx ¹
cosh( m

=

⋅ h)

x 0

(2.56)

= λ ⋅ A⋅ ϑ

Δ ⋅ m⋅ tanh( m⋅ h)

0

Da der Wärmestrom am Anfang der Rippe gleich dem Wärmestrom ist, der durch
den äußeren Wärmeübergang abgeführt wird, erhält man das gleiche Ergebnis,
wenn in Gl. (2.43) die Temperaturdifferenz aus Gl. (2.54) einsetzt und von 0 bis h integriert wird.

2.1.6.4

Rippenwirkungsgrad

Um die Austauschfläche zu vergrößern, werden bei kleinen Wärmeübergangszah-
len an den Oberflächen der Wärmeübertrager Rippen angebracht. Damit die Ober-
flächenvergrößerung möglichst effektiv ist, sollte sich die Temperatur in der Rippe nur wenig ändern. In einer idealen Rippe bliebe die Temperatur konstant, d.h., für den Wärmeaustausch wäre immer die Temperaturdifferenz Δϑ vorhanden. Das er-0
gäbe dort den Wärmestrom:

Q

U h

(2.57)

ideal =

⋅ ⋅α U ⋅ ϑ

Δ 0

Das Verhältnis vom wirklich ausgetauschten zum idealen Wärmestrom nennt
man Rippenwirkungsgrad η . Den tatsächlich übertragenen Wärmestrom erhalten Ri
wir aus Gl. (2.56). Damit ist der Rippenwirkungsgrad:

Q
λ

0

⋅ A⋅ m
tanh( m ⋅ h)

x
η =

=

=

⋅ tanh( m ⋅ h) =

Ri

(2.58)

Q

U ⋅α ⋅ h
m ⋅ h
ideal

U

Bild 2.9 zeigt den Rippenwirkungsgrad als eine Funktion der charakteristischen

Rippengröße m . h.

1,0

0,8
grad 0,6
ungs
irk

0,4
ippenwR

0,2

0

1

2

3
m h

.

Bild 2.9: Rippenwirkungsgrad als eine Funktion von m . h Wie in Bild 2.8 schon gezeigt, ändern sich die Rippentemperaturen mit zunehmendem Wert der Größe m . h stärker. Damit sinkt der Rippenwirkungsgrad.

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

41

Der Rippenwirkungsgrad nimmt mit zunehmender Rippenhöhe h, Wärme-
übergangszahl α und Umfang zum Querschnittsverhältnis U/A ab, mit zu-U
nehmender Wärmeleitfähigkeit der Rippe nimmt er zu.

Rippen sind dann wirtschaftlich, wenn die Mehrkosten für die Berippung zu ei-
ner insgesamt kostengünstigeren Lösung führen. Als Faustregel gilt: Der Rippen-
wirkungsgrad sollte größer als 0,8 sein. Deshalb wählt man Rippen mit großer Wär-
meleitfähigkeit und einem möglichst günstigen Verhältnis des Umfangs zum Quer-
schnitt. Berippte Oberflächen kommen hauptsächlich bei Gasen zur Anwendung.

2.1.6.5

Anwendbarkeit für andere Geometrien

Die hier angegebenen Beziehungen wurden für eine rechteckige Rippe hergeleitet.

Da der Umfang der Rippe U und die Querschnittsfläche A nicht aus den geometrischen Abmessungen der Rippe angegeben wurden, gelten die Beziehungen ganz
allgemein für alle Rippen, die eine konstante Querschnittsfläche A haben, wie z.B.

Rundstäbe. Die in der Praxis oft verwendeten Rippenrohre werden in Kapitel 3 be-
handelt.

BEISPIEL 2.8: Erhöhung der Austauschfläche durch Rippen

Ein Heizkessel hat als Wände ebene Stahlplatten. Um die Austauschfläche zu ver-
größern, werden zylindrische Rippen des gleichen Materials mit 8 mm Durchmesser
und 25 mm Höhe angebracht. Die Rippen sind angeschweißt und quadratisch ange-
ordnet, der Abstand zwischen ihnen beträgt 8 mm. Die Wärmeübergangszahl außen
ist 50 W/(m2 K), die Wärmeleitfähigkeit der Rippen 17 W/( m K). Die Temperatur
der Wand beträgt 100 °C, die der Umgebung 1000 °C. Zu bestimmen sind:

a) die Vergrößerung der Austauschfläche
b) die Wärmestromdichte mit und ohne Rippen
c) die Temperatur an den Rippenenden.

8
ø8

Lösung

8

52

Schema

Siehe Skizze
a

Annahmen

•

Die Wärmeleitfähigkeit ist in der Wand und in den Rippen konstant.

•

An den Enden der Rippen wird keine Wärme transferiert.

•

Die Temperatur in der Rippe ändert sich nur in axiale Richtung.

•

Die Rippen haben mit der Platte metallischen Kontakt.

42

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

Analyse
a)

Pro Rippe wird die Fläche des Quadrates, das von den Rippenmitten gebildet
wird, benötigt. Da der Abstand a der Rippenmitten 16 mm ist, wird pro Rippe eine Fläche von 256 mm2 benötigt oder pro Quadratmeter Fläche können 3 906 Rippen

angebracht werden. Die totale Austauschfläche ist die Fläche A der Platte, verringert um die Grundfläche A der Rippen und vergrößert durch die Fläche A der 0

Ri

Rippen. Die spezifische Vergrößerung der Fläche beträgt:

A

A
π
tot

− A +

2

A
d
d
h

0

Ri

Ri

Ri ⋅

=

= 1− ⋅

+π ⋅

= 3,258

2

2

A

A

4 a
a
b)

Die Wärmestromdichte der unberippten Platte ist:

W
kW
q

= α ⋅(ϑ −ϑ ) = 50⋅

⋅(1000 −100)⋅K = 45
ohne

U

U

0

2
m ⋅ K

2
m

Bei der berippten Platte reduziert sich wegen Verringerung der Plattenfläche ei-
nerseits der Wärmestrom zur Platte, andererseits wird durch die Rippen ein zusätz-
licher Wärmestrom zugeführt. Bei den Rippen kann entweder der Wärmestrom pro

Rippe mit Gl. (2.56) berechnet oder die Verringerung des Wärmestromes pro Rippe
durch die Erwärmung der Rippe mit dem Rippenwirkungsgrad berücksichtigt wer-
den. Hier folgen beide Methoden:

A − A

1

0
q

=
α ⋅(ϑ −ϑ ) +

⋅ Q

=
mit

U

U

0

2

0

A
a

2
π d
λ ⋅ A ⋅ ϑ

Δ ⋅ m

= 1

(

Ri

− ⋅

) ⋅α ⋅ (ϑ −ϑ )

QRi

0

+

⋅ tanh( m ⋅ h)

4

2

U

U

0

2
a
a

2

A − A + A
d
d
h

Ri ⋅η

§

Ri
π

Ri

Ri ⋅

·

0
q mit =

⋅α U ⋅(ϑ U −ϑ ) = 1− ⋅

+π ⋅

⋅η Ri ⋅α U ⋅(ϑ U −ϑ )

0

¨¨

¸¸

A

4

2

2

0

©
a
a

¹

Für beide Gleichungen ist zunächst die Größe m zu bestimmen.

α U
α
π d
α

U ⋅

U ⋅ 4 ⋅

⋅ Ri

U ⋅ 4

50 ⋅ 4

1
m =

=

=

=
m

38,35

−

=

2

2
λ ⋅ A
λ π d
λ d

QRi

⋅ ⋅ Ri

⋅

17

Ri

⋅0,008⋅ m

Der Rippenwirkungsgrad ist: η = tanh( m ⋅ h) / m ⋅ h = 0, 776

Ri

Aus der oberen Gleichung erhalten wir für die Wärmestromdichte:

2

2
q

= [α − 0,25⋅π ⋅ d / a ⋅(1− λ ⋅ m⋅ tanh( m⋅ h))]⋅(ϑ −ϑ ) =
mit

U

Ri

U

0
kW

2

= [50 − 3 906⋅π / 4⋅0,008 ⋅(50 −17⋅38,35⋅ tanh(38,35⋅0,025))]⋅900 = 121,8 2
m

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

43

Die untere Gleichung ergibt:

q

= − n⋅π ⋅ d ⋅ d

− h η

⋅

⋅ ⋅

=
mit

(

Ri

Ri

Ri )

kW

1

(

/ 4

45

2
m

= ( −

⋅π ⋅

⋅

−

⋅

)

kW
kW

1 3 906

0,008 (0,002 0,025 0,776 ⋅ 45⋅

= 121,8

2
m

2
m

Durch das Anbringen der Rippen beträgt die Vergrößerung der Wärmestrom-
dichte:

q

/ q
mit
ohne = 2,708
c)

Mit Gl. (2.51) kann die Temperatur am Ende der Rippe berechnet werden.

1

900 K
ϑ( h) ϑ

(ϑ
ϑ

⋅

=

+

− )⋅

= 1000 C

° −

= 398 °

C

U

0

U
cosh( m ⋅ h)

cosh(38,35 ⋅0,025)

Diskussion

Durch das Anbringen der Rippen vergrößert sich die Fläche auf das 3,258fache,
die Wärmestromdichte auf das 2,7fache. Die geringere Erhöhung der Wärmestrom-
dichte wird durch die Erwärmung der Rippen verursacht. Dadurch nimmt der Wär-
metransfer zum Rippenende hin ab. Zur Bestimmung der Wärmestromdichte wur-
den zwei verschiedene Lösungen gewählt, die jedoch das gleiche Ergebnis liefern.

Durch Umformung könnte man zeigen, dass beide Gleichungen identisch sind.

BEISPIEL 2.9: Wärmetransfer durch eine Halterung

Ein Behälter für heißen Dampf wurde zur Befestigung mit Stahlstäben von 400 mm

Länge, 20 mm Dicke und 40 mm Breite versehen. Der Behälter hat eine Isolati-
onsschicht von 100 mm Dicke, so dass sich die ersten 100 mm des Stabes in dieser

Schicht befinden. Die Isolation kann als ideal angenommen werden. Die Wärme-
übergangszahl außen am Stab ist 10 W/(m2 K). An der Behälterwand herrscht eine

Temperatur von 150 °C, außen in der Umgebung die von 20 °C. Das Material des

Stabes hat die Wärmeleitfähigkeit von 47 W/(m K). Zu berechnen sind:

a) der Temperaturverlauf im Stab
b) die Dicke der Isolation, damit die Stab-

400
temperatur außerhalb der Isolation 90 °C nicht

100
überschreitet.

ϑ0

Lösung

20
ϑ W

Schema

Siehe Skizze

44

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

Annahmen

•

Im Stab ist die Wärmeleitfähigkeit konstant.

•

An den Enden der Rippen wird keine Wärme transferiert.

•

Im Stab ändert sich die Temperatur nur entlang der Stabachse.

•

Zwischen Behälter und Stab besteht metallischer Kontakt.

Analyse
a)

Aus dem Teil des Stabes (den ersten 100 mm), der von der Isolierung umge-
ben ist, tritt seitlich keine Wärme aus. Daher kann dieser Teil als ebene Wand mit der Dicke s, der übrige Teil des Stabes als Rippe mit der Höhe h behandelt werden.

Nach Gl. (2.6) ist der Wärmestrom in einer ebenen Wand:

λ

Q =

⋅ A⋅ (ϑ W −ϑ )

0
s

Dieser Wärmestrom ist gleich jenem am Eintritt der Rippe nach Gl. (2.56).

Q = λ ⋅ A⋅ ϑ

Δ ⋅ m⋅ tanh( m⋅ h) = λ ⋅ A⋅(ϑ −ϑ )⋅ m⋅ tanh( m⋅ h) 0

0

U

Die Temperatur des Stabes am Ende der Isolation ist unbekannt. Beide Gleichun-
gen werden gleichgesetzt und nach ϑ aufgelöst.

0
ϑ
ϑ

W +

⋅ s

U

⋅ m⋅ tanh( m ⋅ h)

ϑ =

0
s ⋅ m ⋅ tanh( m ⋅ h) +1

Zunächst muss noch die Größe m bestimmt werden.

α
α

U ⋅ U

U ⋅ 2 ⋅ ( a + b)

0

1 ⋅ 2 ⋅( 02

,

0

+

)

04

,

0

1
m =

=

=
m

,649

5

−

=

2
λ ⋅ A
λ ⋅ a ⋅ b

47 ⋅0,02 ⋅0,04 ⋅ m

Für die Temperatur ϑ erhalten wir damit:

0

150 ⋅ C

° + 20⋅ C

° ⋅0,1⋅m ⋅5,649⋅m−1 ⋅ tanh(5,649 ⋅0,3)

ϑ =

=

105,07 C

°

0

0,1⋅ m ⋅5,649 ⋅ m 1

− ⋅ tanh(5,649⋅0,3) +1

In den ersten 100 mm des Stabes fällt die Temperatur linear von 150 °C auf

105,07 °C. Außerhalb der Isolation kann der Temperaturverlauf mit Gl. (2.54) be-
rechnet werden:

cosh[ m ⋅( h − x)]

ϑ( x) = ϑ + (ϑ −ϑ )⋅

U

0

U
cosh( m ⋅ h)

Für die Temperaturen wurden folgende Werte ermittelt:

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

45
x
ϑ( x)

ϑ W

140
m

°C

0,00

150,00

120

0,10

105,07
ϑ 0

0,13

92,76

100

C

0,16

82,53

°
r intu 80

0,19

74,11
ra

Isolation
ep

0,22

67,25
meT 60

0,25

61,74

0,28

57,44

40

0,31

54,22

Umgebungstemperatur
ϑ U

20

0,34

51,98

0,37

50,66

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Stablänge in m

0,40

50,23

Das Diagramm zeigt den Temperaturverlauf im Stab.

b)

Zur Berechnung der Isolationsdicke, die zum Erreichen einer Stabtempera-
tur von 90 °C notwendig ist, kann man die Gleichung, die zur Bestimmung der Tem-
peratur verwendet wurde, einsetzen. Die unbekannte Größe ist die Länge s. Für die Höhe h der Rippe wird h = l – s eingesetzt.

ϑ
ϑ

W +

⋅ s

U

⋅ m⋅ tanh[ m ⋅( l − s)]

ϑ =

0
s ⋅ m ⋅ tanh[ m ⋅ ( l − s)] +1

Diese Gleichung kann nicht nach s aufgelöst werden. Sie ist iterativ oder mit einem Gleichungslöser zu berechnen. Man erhält 0,179 m.

Diskussion

Der Wärmestrom, der außen vom nicht isolierten Stab abgegeben wird, bestimmt
die Temperaturänderung des Stabes im isolierten Teil. Außerhalb der Isolation
nimmt die Temperatur im Stab relativ langsam ab. Am Stabende beträgt sie immer
noch 55,2 °C, d.h., sie ist um 35 °C höher als die der Umgebung.

2.2

Instationäre Wärmeleitung

2.2.1

Eindimensionale instationäre Wärmeleitung

2.2.1.1

Bestimmung der zeitlichen Temperaturänderung

Bringt man einen Körper mit der Anfangstemperatur ϑ mit einem anderen Körper

A
unterschiedlicher Temperatur in Kontakt, verändert sich die Temperatur im Körper
sowohl örtlich als auch zeitlich. Im Körper findet instationäre Wärmeleitung statt.

46

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

Als Beispiel betrachten wir eine unendlich große, ebene Platte der Dicke 2 s, die die Anfangstemperatur ϑ hat und zur Zeit t = 0 mit einem Fluid tieferer Temperatur A
von ϑ in Kontakt gebracht wird (Bild 2.10). An der Oberfläche der Platte führt das

∞

Fluid Wärme ab.

2 s

§ ϑ
d ·
q x s = − ⋅¨

¸

=
λ
ϑ A
t = 0

© dx ¹ x= s

t = t
qx= s = α ⋅ ϑ

( ∞ −ϑ )

1

O

§ ϑ
d ·
ϑ

( O −ϑ )

∞

¨

¸

=

© dx ¹

/
t = t
x= s
λ α

2
t = t 3
t = t 4
x
x + dx
ϑ - ϑ

O
oo
ϑ
t = oo
oo
λ / α
ϑ
x

Bild 2.10: Temperaturverlauf in einer Platte während der Abkühlung

Bestimmend für den Wärmestrom von der Oberfläche zum Fluid sind die Wär-
meübergangszahl α des Fluids und die Temperaturdifferenz zwischen der Oberflä-
che und dem Fluid. Durch Abkühlen der Oberfläche entsteht in der Platte ein Tem-
peraturgradient und dementsprechend ein Wärmestrom. Die Temperaturverteilung
in der Platte kennen wir noch nicht. Der dargestellte Temperaturverlauf zeigt nur, dass die Temperatur von der Plattenmitte zur Oberfläche hin abnimmt, mit der Zeit
immer niedriger wird und nach unendlich langer Zeit den Wert von ϑ erreicht. Die

∞

Änderung des Wärmestromes im betrachteten Volumenelement der Platte wird nur
durch die Änderung des Temperaturgradienten bewirkt. Durch den Wärmestrom
sinkt mit der Zeit die Enthalpie (Wärmeinhalt) und damit die Temperatur des Volu-
menelementes. Die Tangenten der Temperaturgradienten an der Oberfläche der

Platte schneiden die mit der Temperatur ϑ gebildeten Achse in einer Entfernung,

∞
die dem Quotienten λ /α entspricht.

Da die seitliche Ausdehnung der Platte als unendlich angenommen wurde, er-
folgt der Wärmetransfer nur in x-Richtung. Der Wärmestrom zum Volumenelement

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

47
in x-Richtung an der Stelle x wird durch folgende partielle Differentialgleichung beschrieben:

∂ϑ

Q = −λ ⋅ A ⋅
x

∂

(2.59)

x

An Stelle x + dx ist der Wärmestrom:

Q

2

∂

∂ϑ

∂ ϑ

Q
λ
λ

+

= Q
x

+

⋅ dx = − ⋅ A⋅

− ⋅ A⋅

⋅ dx
x dx
x

(2.60)

x

∂

∂ x

∂ x 2

Die Änderung des Wärmestromes beträgt:

2

∂ ϑ

Q
d

= Q
λ

+

− Q = − ⋅ A⋅

⋅ dx
x
x dx
x

∂

(2.61)

x 2

Da seitlich keine Wärme transferiert wird, entspricht die Änderung des Wärme-
stromes der zeitlichen Änderung der Enthalpie des Materials im Volumenelement.

Den Wärmestrom aus dem Volumenelement bestimmt man folgendermaßen:

∂ϑ
δ Q = −ρ ⋅ A⋅ dx ⋅ c ⋅
x
p

(2.62)

t

∂

Aus den Gln. (2.61) und (2.62) erhalten wir die Differentialgleichung für die
zeitliche und örtliche Temperaturverteilung in der Platte.

∂ϑ

∂ ϑ

2
λ

= a ⋅
mit
a =

∂ t

∂

(2.63)

x 2
ρ ⋅ cp

Die Größe a ist die Temperaturleitfähigkeit des Materials. Sie hat die Dimension m2/s. Wie die Differentialgleichung zeigt, ist die Temperaturleitfähigkeit die einzi-ge Stoffeigenschaft, die den zeitlichen Verlauf einer Abkühlung oder Erwärmung
bestimmt. Die instationäre Wärmeleitung in einem Stoff wird nur durch Tempera-
turunterschiede und die Temperaturleitfähigkeit des Stoffes bestimmt. Metalle und

Gase haben die größten Temperaturleitfähigkeiten. Dieses bedeutet, dass der Tem-
peraturausgleich in Metallen und Gasen in etwa gleich schnell erfolgt. Flüssigkeiten und nicht metallische Stoffe haben kleinere Temperaturleitfähigkeiten, der Temperaturausgleich läuft dadurch dort langsamer ab.

Die allgemein gültige dreidimensionale Differentialgleichung für instationäre

Wärmeleitung lautet:

∂ϑ

∂ ϑ

2

= a ⋅

= a ⋅∇ ϑ

2

∂

(2.64)

t

∂ 2
r

Die Lösung für ein dreidimensionales Temperaturfeld ist bis auf einige Ausnah-
men nur nummerisch bestimmbar. Sie können für ein eindimensionales Tempera-
turfeld auch nur bei einfachen Geometrien angegeben werden, die Lösungen sind

Fourierreihen. Für die eindimensionale Platte ist eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung:

48

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

∞
ϑ( x, t) = ¦[ C cos(

)

sin(

)

1 ⋅

B ⋅ x + C 2 ⋅

B ⋅ x ] − a⋅ C 3⋅ t

⋅ e

(2.65)

n=1

Für entsprechende Randbedingungen können die Konstanten B und C bestimmt werden. Falls die Wärmeübergangszahl außen unendlich groß ist (d.h., die äußere

Wandtemperatur ist gleich der Temperatur des umgebenden Fluids), lautet die Lö-
sung bei der unendlichen Platte:

2

2

2

2
ϑ −
n ⋅π ⋅ a⋅

∞
t

∞
n ⋅π ⋅
ϑ

4

1

−

Fo

∞
n π
s

⋅ ⋅ x

−

2

4

1

4

= ⋅¦ ⋅

⋅
e

⋅sin

4

= ⋅¦ ⋅ e

⋅
ϑ ϑ
π
π

A −
n

2

∞
n=

⋅ s
n

1
n 1

=
n ⋅π ⋅

(2.66)

⋅
x
sin
mit n = ,

1 ,

3 ...

5

2 ⋅ s

Fourier reihen konvergieren zwar sehr schnell, die Berechnung der Reihen ist aber sehr zeitaufwändig. In den Bildern 2.11 bis 2.13 sind spezielle Lösungen für
eine ebene Platte, einen Kreiszylinder und eine Kugel angegeben. Mit den Diagram-
men können die Temperaturen in der Mitte und an der Oberfläche, außerdem die
mittlere (kalorische) Temperatur des Körpers bestimmt werden.

In den Diagrammen werden folgende dimensionslose Kennzahlen verwendet:

ϑ −ϑ

Dimensionslose Temperatur Θ :

∞

Θ =

(2.67)

ϑ A − ∞
ϑ

Fourierzahl Fo:

2

Fo = a ⋅ t / s

(2.68)

Biotzahl Bi:

Bi = α ⋅ s / λ

(2.69)

Die dimensionslose Temperatur gibt an, wie sich die Temperatur, bezogen auf
die Außentemperatur ϑ von der Anfangstemperatur ϑ beginnend zeitlich verän-

∞

A
dert.

Die Fourier zahl ist eine dimensionslose Zeit. Sie ist das Verhältnis des Wärmestromes zur zeitlichen Änderung des Wärmeinhaltes des Körpers.

Die Biot zahl ist eine dimensionslose Wärmeübergangszahl. Sie ist das Verhältnis der Wärmeübergangszahl außen am Körper zu derjenigen im Körper.

In den Diagrammen 2.11 bis 2.13 ist die dimensionslose Temperatur als eine

Funktion der Fourier- und Biot zahl angegeben. Der Index O steht für die Temperatur an der Oberfläche und m für die Mitte des Körpers. Die dimensionslose mittlere Temperatur Θ ist der integrierte Mittelwert der Temperatur im Körper. In
den Diagrammen steht für die halbe Plattendicke die Größe X, für den Radius die Größe R.

Die nach einer gewissen Zeit entstandene Temperaturänderung kann aus dem

Diagramm mit der Fourier- und Biot zahl bestimmt werden.

Die Zeit, in der eine bestimmte Temperaturänderung eintritt, kann man aus der

Fourier zahl berechnen, die mit der dimensionslosen Temperatur und Biot zahl aus dem Diagramm ermittelt wird.

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

49

Die Wärmeübergangszahl, bei der eine Temperaturänderung in einer bestimmten

Zeit erreicht wird, kann man aus der Biot zahl bestimmen, die mit der dimensionslosen Temperatur und Fourier zahl aus dem Diagramm ermittelt wird.

2.2.1.2

Bestimmung der transferierten Wärme

Mit der mittleren Temperatur ist die in einer bestimmten Zeit zu- oder abgeführte

Wärme berechenbar. Mit der Anfangs- und mittleren Temperatur wird die Ände-
rung der Enthalpie bestimmt. Sie ist:

Q = H − H = m ⋅ ( h − h ) = m ⋅ c ⋅ (ϑ −ϑ ) (2.70)

A
p

A

50

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

Bild 2.11: Temperaturverlauf der instationären Wärmeleitung in einer Platte [2.1]

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

51

Bild 2.12: Temperaturverlauf der instationären Wärmeleitung in einem Kreiszylinder [2.1]

52

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

Bild 2.13: Temperaturverlauf der instationären Wärmeleitung in einer Kugel [2.1]

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

53

BEISPIEL 2.10: Kühlen einer Kunststoffplatte

Aus einer Walze kommt mit 150 °C eine 1 m breite und 4 mm dicke Kunststoffplat-
te. Sie wird mit Luft angeblasen und gekühlt. Danach werden mit einer Schlagsche-
re, die 5 m von der Walze entfernt ist, Stücke von 2 m Länge abgeschnitten. Damit
beim Schneiden keine unerwünschten plastischen Verformungen auftreten, muss
die Temperatur bei der Schlagschere in der Plattenmitte niedriger als 50 °C sein. Die Temperatur der Luft ist 25 °C und die Wärmeübergangszahl 50 W/(m2 K). Die

Stoffwerte des Kunststoffes sind:

ρ = 2 400 kg/m3, λ = 0,8 W/(m K) c = 800 J/(kg K).

p
a) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Platte.

b) Bestimmen Sie, welcher Wärmestrom abgeführt wird.

Lösung

Schema

Siehe Skizze

Walze

5 m

Schlagschere
ϑ = 150 °C

A

Annahmen

•

In der Platte sind die Stoffwerte konstant.

•

Randeffekte dürfen vernachlässigt werden.

•

Die Geschwindigkeit der Platte ist konstant.

Analyse
a)

Die Geschwindigkeit der Platte kann ermittelt werden, wenn die Zeit, die für
die Abkühlung der Plattenmitte von 150 °C auf 50 °C benötigt wird, bestimmt ist.

Dazu müssen zunächst die dimensionslose Temperatur und Biot zahl berechnet werden. Die dimensionslose Temperatur ist nach Gl. (2.67):

ϑ m −ϑ

50

∞

− 25

Θ m =

=

= ,

0 2
ϑ A −ϑ

150

∞

− 25

Die Biot zahl wird mit Gl. (2.69) bestimmt:

α ⋅ s 50⋅W⋅0,002⋅m⋅m⋅K

Bi =

=

= 125

,

0
λ
m2 ⋅ K ⋅ 0,8⋅ W

54

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

Aus dem mittleren Diagramm in Bild 2.11 erhält man die Fourier zahl als Fo =

15. Um aus ihr die Zeit bestimmen zu können, muss zunächst die Temperatur-
leitfähigkeit berechnet werden.

3

2
λ

0,8 ⋅ W ⋅ m ⋅ kg ⋅ K
m

−7
a =

=

= 4,17⋅10
ρ ⋅ c
m ⋅ K ⋅ 2 400 ⋅ kg ⋅800⋅ J
s
p

Aus der Fourier zahl nach Gl. (2.68) erhalten wir für die Zeit:

2

Fo ⋅ s

15 ⋅ 0,0022 ⋅ m2 ⋅s
t =

=

=
s

144
a

4,17 ⋅10−7 ⋅ m2

Diese Zeit wird für die Abkühlung benötigt, wobei die Platte den Weg von 5 m
zurücklegt, d.h., die Geschwindigkeit beträgt 0,0347 m/s.

b)

Um den Wärmestrom zu ermitteln, ist zunächst die spezifische Wärme, die
pro kg der Platte abgeführt wird, zu bestimmen. Dieses kann mit Gl. (2.70) erfolgen.

Dazu muss zunächst aus dem unteren Diagramm in Bild 2.11 die dimensionslose
mittlere Temperatur Θ berechnet werden. Mit der Fourier zahl 15 und Biot zahl 0,125 erhalten wir: Θ = 0,17. Die mittlere Temperatur der Platte ist damit nach 5 m: ϑ =ϑ∞ + (ϑ A −ϑ )

∞ ⋅Θ =

25 C

° + (150 − 25)⋅ K ⋅0,17 = ,

46

25 C

°

Dividiert man beide Seiten der Gl. (2.70) durch die Masse, erhält man die auf ein
kg Masse bezogene spezifische Wärme q. Der Wärmestrom ist die spezifische Enthalpie, multipliziert mit dem Massenstrom. Dieser kann mit der aus der Strömungs-
lehre bekannten Kontinuitätsgleichung berechnet werden.

3
m

= c ⋅ ρ ⋅ 2⋅ s ⋅ b = 0,0347 ⋅ m/s ⋅ 2 400⋅ kg/m ⋅ 2⋅0,002⋅ m ⋅1⋅ m = 0,333 kg/s Der Wärmestrom ist damit:

Q = m ⋅ q = m ⋅ cp ⋅ (ϑ A −ϑ ) =

= 0,417⋅ kg/s ⋅800⋅ J/(kg ⋅ K)⋅(150 − 46,25)⋅ K =
kW

27,67

Diskussion

Technische Probleme können einfach mit Hilfe der Diagramme berechnet wer-
den. In der Wirklichkeit sind allerdings noch andere Effekte zu berücksichtigen.

Üblicherweise wird ein Luftstrom parallel zur Platte geführt. Damit erwärmt sich
die Luft, die Umgebungstemperatur ist nicht mehr konstant. Unter Berücksichti-
gung der Lufterwärmung ist eine schrittweise Berechnung durchzuführen. Wegen
der Vielzahl der Rechenschritte sind entsprechende Computerprogramme notwen-
dig.

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

55

BEISPIEL 2.11: Kühlen einer Bierdose

Für ein Fest sollen im Kühlschrank Bierdosen von 30 °C auf 4 °C mittlere Tempera-
tur abgekühlt werden. Die Dose hat einen Durchmesser von 65 mm. Die Tempe-
ratur im Kühlschrank beträgt 1 °C, die Wärmeübergangszahl 10 W/(m2 K). Das Ma-
terial der Dose kann vernachlässigt werden. Die Stoffwerte des Bieres sind:

ρ = 1 020 kg/m3, λ = 0,64 W/(m K) c = 4 000 J/(kg K).

p

Bestimmen Sie die Abkühlzeit.

Lösung

Annahmen

•

Die Stoffwerte des Bieres sind konstant.

•

Die Dose wird als unendlich lang angenommen.

•

Die Temperatur und Wärmeübergangszahl im Kühlschrank sind konstant.

Analyse

Zur Berechnung der Abkühlzeit ist die dimensionslose mittlere Temperatur und

Biot zahl zu ermitteln.

ϑ −ϑ

4

∞

−1
α ⋅ R 10⋅ W ⋅ m⋅ K ⋅ ,

0 0325⋅ m

Θ =

=

= 103

,

0

Bi =

=

= 51

,

0
ϑ A −ϑ

30

∞

−1
λ
m2 ⋅ K ⋅ 64

,

0

⋅ W

Für die Fourier zahl erhalten wir aus dem untersten Diagramm in Bild 2.12 Fo =

2,5. Um aus ihr die Zeit zu bestimmen, muss zunächst die Temperaturleitfähigkeit
berechnet werden.

3

2
λ

0,64 ⋅ W ⋅ m ⋅ kg ⋅ K
m

7
a =

=

= 1,57⋅10−
ρ ⋅ c
m ⋅ K ⋅1 020⋅ kg ⋅ 4 000⋅ J
s
p

Aus der Fourier zahl nach Gl. (2.68) erhalten wir für die Zeit:

2

2

2

Fo ⋅ r

2, 5 ⋅ 0,0325 ⋅ m ⋅s
t =

=

= 16 834 s = 4,7 h

7

−

2
a

1, 57 ⋅10 ⋅ m

Diskussion

Diese Berechnung erfolgte mit sehr vielen Annahmen. In Wirklichkeit ändern
sich während des Abkühlprozesses im Kühlschrank die Wärmeübergangszahl und

Temperatur. Die Annahme der unendlich langen Bierdose ist ebenfalls fraglich. Das

Material der Dose beeinflusst die Berechnung praktisch nicht. Trotz der gemachten

Annahmen stimmt die berechnete Zeit recht gut mit der Wirklichkeit überein. Ein
von mir zu Hause durchgeführter Versuch ergab eine Zeit von ca. 5 h.

56

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

BEISPIEL 2.12: Kühlen eines Drahtes im Ölbad

Ein Draht wird aus einer heißen Stahlmasse auf einen Durchmesser von 4 mm ge-
zogen und anschließend in einem Ölbad, das eine Temperatur von 30 °C hat, abge-
kühlt. Die Temperatur des Drahtes vor dem Bad ist 600 °C. Die Wärmeübergangs-
zahl im Bad beträgt 1 600 W/(m2 K). Der Draht hält sich im Bad 5 Sekunden auf.

Die Stoffwerte des Drahtes sind:

ρ = 8 000 kg/m3, λ = 40 W/(m K), c = 800 J/(kg K).

p

Berechnen Sie die Temperaturen in der Mitte und an der Oberfläche des Drahtes
beim Verlassen des Bades.

ϑ

Lösung

A

Schema

Siehe Skizze

Ölbad

Annahmen

•

Die Stoffwerte des Drahtes sind konstant.

•

Die Temperatur und Wärmeübergangszahl im Ölbad sind konstant.

Analyse

Zur Bestimmung der Temperaturen sind die Fourier- und Biot zahl zu berechnen.

Für die Fourier zahl muss zunächst die Temperaturleitfähigkeit des Drahtes ermittelt werden.

3

2
λ

40 ⋅ W ⋅ m ⋅ kg ⋅ K
m

−6
a =

=

= 6,25⋅10
ρ ⋅ c
m ⋅ K ⋅8 000 ⋅ kg ⋅800 ⋅ J
s
p

Fourier zahl:

t ⋅ a

5 ⋅s ⋅ 6,25⋅10 6

− ⋅m2

Fo =

=

= 8

,

7

2
r
s ⋅ 0 0022

,

⋅m2
α ⋅ r 1 600⋅ W ⋅0,002⋅ m ⋅ m ⋅ K

Biot zahl: Bi =

=

= 0,08

2
λ
m ⋅ K ⋅ 40 ⋅ W

Die dimensionslose Oberflächentemperatur erhalten wir aus dem oberen Dia-
gramm, die Temperatur in der Mitte aus dem mittleren Diagramm in Bild 2.11 mit

Θ = 0,26 und Θ = 0,27. Daraus errechnen sich folgende Temperaturen:

O
m
ϑ
ϑ
ϑ ϑ Θ

O =

∞ + ( A − ∞ ) ⋅

O =

°

30 C + (600 − 30) ⋅ K ⋅ 0,26 =

178,2 C

°
ϑ
ϑ
ϑ ϑ Θ
m =

∞ + ( A − ∞ ) ⋅
m =

°

30 C + (600 − 30) ⋅ K ⋅ 0,26 =

183,9 C

°

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

57

Diskussion

In diesem Bereich der Diagramme ist die Ablesegenauigkeit nicht mehr sehr gut.

Die beiden Temperaturen sind schon fast gleich groß. Das Verfahren eignet sich
jedoch für die Bestimmung der Endtemperatur auf ± 20 °C genau sehr gut.

BEISPIEL 2.13: Eier kochen

In einem Eierkocher werden Eier mit kondensierendem Dampf bei 100 °C erwärmt.

Zu Beginn der Erwärmung beträgt die Temperatur der Eier 20 °C. Die Wärme-
übergangszahl außen ist 13 000 W/(m2 K). Die Eier werden als Kugeln homogener

Zusammensetzung mit 50 mm Durchmesser behandelt. Die Stoffwerte der Eier
sind: ρ = 1 050 kg/m3, λ = 0,5 W/(m K) c = 3,20 kJ/(kg K).

p

Zu berechnen sind:

a) die Temperatur, die nach 5 Minuten in der Mitte der Eier erreicht wird
b) die Zeit, die bis zum Erreichen der gleichen Temperatur in einer Höhe von ca.

2 500 m, auf der die Kondensationstemperatur auf 80 °C sinkt, benötigt wird.

Lösung
ϑ = 100 °C
oo

Schema

Siehe Skizze
α

2

= 13 000 W / (m K)

ϑ = 20 °C

A

Kugel

Annahmen

•

Die Stoffwerte der Eier sind konstant.

•

Die Eier sind näherungsweise als Kugeln homogener Zusammensetzung zu be-
trachten.

•

Auf der Außenseite sind die Temperatur und Wärmeübergangszahl konstant.

Analyse
a)

Zur Bestimmung der Temperatur müssen die Fourier- und Biot zahl ermittelt und die Temperaturleitfähigkeit der Eier berechnet werden.

3

2
λ

0, 5 ⋅ W ⋅ m ⋅ kg ⋅ K
m

7
a =

=

= 1,49⋅10−
ρ ⋅ c
m ⋅ K ⋅1 050 ⋅ kg ⋅ 3 200⋅ J
s
p
t ⋅ a

300 ⋅ s ⋅ ,

1 49 ⋅10 7

− ⋅ m2

Fourier zahl: Fo =

=

= 071

,

0

2
r
s ⋅ 0,0252 ⋅ m2
α ⋅ r 13 000⋅ W ⋅0,025⋅m⋅m⋅K

Biot zahl: Bi =

=

= 650

2
λ
m ⋅ K ⋅ 0,5⋅ W

58

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

Für die dimensionslose Temperatur in der Mitte erhalten wir aus dem mittleren

Diagramm in Bild 2.13 mit Θ = 0,75. Daraus errechnet sich folgende Temperatur:

m
ϑ
ϑ
ϑ ϑ Θ
m =

∞ + ( A − ∞ ) ⋅
m = 1

°

00 C + (20 −100) ⋅ K ⋅ 0,75 = 4

0 C

°
b)

Zur Bestimmung der Kochzeit muss die neue dimensionslose Mittentempe-
ratur berechnet und aus dem Diagramm die Fourier zahl ermittelt werden.

ϑ m −ϑ

40

∞

−80

Θ m =

=

= 67

,

0
ϑ A −ϑ

20

∞

−80

Aus dem mittleren Diagramm in Bild 2.13 erhalten wir für die Fourier zahl

Fo = 0,115. Die Kochzeit ist proportional zur Fourier zahl und damit: t = 0 115

,

/0 071

,

⋅ mi

5
n =
mi

8,1
n

Diskussion

Obwohl sehr stark vereinfachende Annahmen wie z. B. die Kugelform und Ho-
mogenität der Eier gemacht wurden, sind die Ergebnisse recht gut. Eiweiß fängt bei 42 °C an zu gerinnen. Die Eier wären also in der Mitte noch flüssig, aber nach außen hin hart, also so, wie ein gut gekochtes Ei sein sollte!

BEISPIEL 2.14: Erwärmen einer Spanplatte

Eine Spanplatte von 20 mm Dicke soll auf einer Seite mit einem Furnier versehen
werden. Dazu muss die Seite, die furniert wird, eine Temperatur von 150 °C haben.

Die Platte wird auf einer Seite mit 200 °C heißer Luft angeblasen. Die andere Seite liegt auf einer thermisch isolierenden Auflage, die als vollkommener Isolator ange-sehen werden darf, auf. Zu Beginn des Aufwärmvorganges ist die Temperatur der

Spanplatte 20 °C. Die Wärmeübergangszahl des Luftstromes beträgt 50 W/(m2 K).

Die Stoffwerte der Spanplatte sind:

ρ = 1 500 kg/m3, λ = 1,0 W/(m K) c = 1 200 J/(kg K).

p

Zu berechnen sind:

a) die für die Aufwärmung notwendige Zeit
b) wie viel Heizenergie mehr benötigt wird beim beidseitigen Beheizen der Platte.

Lösung

Spanplatte

Schema

Siehe Skizze

Isolator

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

59

Annahmen

•

Die Stoffwerte der Spanplatte sind konstant.

•

Auf der unbeheizten Seite der Platte wird keine Wärme transferiert.

•

In der Luft sind Temperatur und Wärmeübergangszahl konstant.

Analyse
a)

Auf der thermisch isolierten Seite der Platte wird keine Wärme transferiert.

Damit muss der Temperaturgradient dort gleich null sein. Der Temperaturverlauf in
der Platte entspricht demjenigen in einer von beiden Seiten beheizten, doppelt so
dicken Platte. Zur Ermittlung der Aufwärmzeit sind die dimensionslose Oberflä-
chentemperatur und Biot zahl zu bestimmen.

Die dimensionslose Oberflächentemperatur ist:

ϑ O −ϑ

150

∞

− 200

Θ O =

=

= ,

0 28
ϑ A −ϑ

20

∞

− 200
α ⋅2⋅ s

0

5 ⋅ W ⋅ 0,02 ⋅ m ⋅ m ⋅ K

Biot zahl:

Bi =

=

= 1
λ
m2 ⋅ K ⋅1⋅ W

Die aus dem obersten Diagramm in Bild 2.11 ermittelte Fourier zahl ist Fo =

1,25. Um aus ihr die Zeit zu bestimmen, muss zunächst die Temperaturleitfähigkeit
berechnet werden.

3

2
λ

1⋅ W ⋅ m ⋅ kg ⋅ K
m

7
a =

=

= 5,56⋅10−
ρ ⋅ c
m ⋅ K ⋅1 500 ⋅ kg ⋅1 200 ⋅ J
s
p

Aus der Fourier zahl nach Gl. (2.68) erhalten wir für die Zeit:

Fo ⋅ (2 ⋅ 2
s)

1,25⋅

2

0,02 ⋅ 2
m ⋅
t =

=
s =
s

900

=
mi

15
n
a

⋅ −7

5,56 10

⋅ 2
m
b)

Die von der Platte pro Quadratmeter aufgenommene Wärme ist:

Q
m ⋅ c ⋅ (ϑ −ϑ )

p

A

=

= s ⋅ ρ ⋅ c ⋅(ϑ −ϑ )

p

A

A

A

Aus dem unteren Diagramm in Bild 2.11 beträgt die dimensionslose mittlere

Temperatur für Bi = 1 und Fo = 1,25 : Θ = ,

0 41 . Damit ist die mittlere Temperatur:

ϑ = ϑ∞ + (ϑ A −ϑ )

∞ ⋅Θ =

200 C

° + (20 − 200)⋅K ⋅0,41 =

126,2 C

°

Für die pro Quadratmeter aufgenommene Wärme erhält man:

60

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

Q / A = s ⋅ ρ ⋅ c ⋅ (ϑ −ϑ ) =
p

A

3

= 0,02⋅ m⋅1500⋅ kg/m ⋅1 200⋅ J/(kg ⋅ K)⋅(126,2 − 20)⋅ K =

2

3 823, 2 kJ / m

Beheizte man die Platte von beiden Seiten, müsste zur Bildung der Fourier- und Biot zahl die halbe Plattendicke verwendet werden. Die Biot zahl wäre damit Bi =

0,5, die Fourier zahl Fo = 2,6. Die Aufwärmzeit wird, da die Plattendicke quadratisch in die Gleichung eingeht, auf 468 s verkürzt. Die dimensionslose mittlere

Temperatur ist: Θ = 31

,

0

. Die mittlere Temperatur und die pro Quadratmeter zuge-
führte Wärme ergeben sich als: ϑ = 144,2 °C und Q/ A = 4 471,2 kJ/m2.

Diskussion

Platten, die auf einer Seite thermisch ideal isoliert sind, können bezüglich der

Temperatur als Platte mit doppelter Dicke behandelt werden.

2.2.1.3

Spezielle Lösungen für kurze Zeiten

In Bild 2.10 erkennt man, dass bei der Zeit t = t die Temperatur in der Plattenmitte 1
von der Temperaturänderung noch nicht betroffen ist. In den Diagrammen 2.11 bis

2.13 sieht man ebenfalls, dass bei Fourier zahlen, die kleiner als 0,01 sind, in der Körpermitte keine Änderung der Temperatur auftritt. Für die kurzen Zeiten gilt
folgende spezielle Lösung der Differentialgleichung (2.63):

* 2

*

*

Θ = erf ( *

2
x )

−( x )

( x + Bi )

+ e

⋅ e

⋅[1− erf ( *

*
x − Bi )]

(2.71)

Das Gauß'sche Fehlerintegral ist erf (error function), x* ein dimensionsloser Wandabstand, der auf ( a . t)0,5 bezogen ist, und Bi* die Biotz ahl, die mit diesem Wandabstand gebildet wird.

Der dimensionslose Wandabstand x* und die dimensionslose Biot zahl Bi* sind folgendermaßen definiert:

*
x

*
α ⋅ a ⋅ t
x =

Bi =

(2.72)

2 ⋅ a ⋅ t
λ

Das Gauß'sche Fehlerintegral ist definiert als:

z

2

2
erf ( z) =

⋅ ³ − x
e

⋅ dx
π

(2.73)

0

Es ist nur nummerisch lösbar. Das Ergebnis ist in Bild 2.14 dargestellt.

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

61

1,0

0,8

0,6

( ) rf ze

0,4

0,2

0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0
z

Bild 2.14: Das Gauß'sche Fehlerintegral

Bei kurzen Zeiten ist die Temperatur ϑ in der Mitte des Körpers gleich der An-
m
fangstemperatur ϑ . Die Temperatur ϑ der Oberfläche erhält man bei x = 0. Sie A

O
beträgt:

2

*

Θ = eBi ⋅ −

(2.74)

O

[1 erf( *

Bi )]

Wenn Bi* größer als 2 ist, kann Gl. (2.74) näherungsweise als

1

Θ =

O

*
π ⋅

(2.75)

Bi
angegeben werden. Die Fehler sind kleiner als 1 %.

Bei unendlich großer Bi* ist der Grenzwert der Gl. (2.71):

§
x

·

( *

Θ

)

O = erf
x

= erf ¨¨

¸¸

©

(2.76)

2 ⋅ a ⋅ t ¹

An der Oberfläche des Körpers beträgt die momentane Wärmestromdichte:

λ
λ ⋅ ρ ⋅ cp
q ( t) =

⋅(ϑ −ϑ ) =

⋅(ϑ −ϑ )

O

A

O

A

O
π

(2.77)

⋅ a ⋅ t
π ⋅ t

Die in der Zeit t durch die Oberfläche A abgeführte Wärme erhält man durch Integration von Gl. (2.77) über die Zeit von null bis t.

t

2 ⋅ A⋅ λ ⋅ t

Q ( t) = A⋅ q ( t) ⋅ dt =

⋅(

³
ϑ −ϑ )

O

O

A

O
π ⋅

(2.78)

a ⋅ t

0

62

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

Mit der Energiebilanzgleichung lässt sich die in der Zeit t abgeführte Wärme mit Gl. (2.70) bestimmen.

Q = V ⋅ ρ ⋅ c

(2.79)

p ⋅ (ϑ A − ϑ )

Für die mittlere Temperatur erhält man somit:

2 ⋅ A ⋅ λ ⋅ t

2 ⋅ A ⋅ a ⋅ t

(ϑ −ϑ ) =

⋅(ϑ −ϑ ) =

⋅(ϑ −ϑ )

A

A

O

A

O

(2.80)

V ⋅ ρ ⋅ c ⋅ π ⋅ a ⋅ t

V ⋅ π
p

Das Verhältnis der Oberfläche zum Volumen ist bei einer Platte 1 /s (wobei zu beachten ist, dass s die halbe Plattendicke ist), beim Kreiszylinder 4/ d und bei der Kugel 6/ d. Damit kann mit der aus Gl. (2.76) berechneten Oberflächentemperatur die mittlere Temperatur bestimmt werden.

Die Gleichungen (2.76) bis (2.80) gelten nur, wenn die Biot zahl sehr groß ist, d.h. wenn die Wärmeübergangszahl außen gegen unendlich geht.

2.2.2

Gekoppelte Systeme

Bringt man zwei Körper (Bild 2.15) unterschiedlicher Temperatur miteinander in

Kontakt, stellt sich nach einer beliebig kurzen Zeit an der Oberfläche beider Körper die Kontakttemperatur ϑ ein.

K

Die beiden Körper können unterschiedliche Stoffeigenschaften haben. Da sie die
gleiche Fläche für den Wärmetransfer aufweisen, muss der Wärmestrom in beiden

Körpern gleich groß sein. Aus Gl. (2.77) erhalten wir:

λ ⋅ ρ ⋅ c ⋅(ϑ −ϑ ) = λ ⋅ ρ ⋅ c ⋅(ϑ −ϑ )

(2.81)

1

1

1
p

1

A

K

2

2
p 2

K

A 2
ϑ
λ ,ρ , c

A 1

2

2
p 2
ϑ K
ρ , c
λ ,1 1 p 1
ϑ A 2

Bild 2.15: Berührung zweier Körper unterschiedlicher Temperatur

Die Kontakttemperatur ϑ ist:

K

1

−

§
λ ρ c

· §
λ ρ c ·

⋅

⋅ p

⋅

⋅

2

2

2

2

2
p 2

¨

¸ ¨

¸
ϑ
ϑ
ϑ

K =

A +

⋅ A ⋅ 1+

1

2

¨
λ ρ

(2.82)

c

¸ ¨
λ ρ c ¸

⋅ ⋅ p

⋅ ⋅

1

1

1

1

1

1

©

¹ ©
p

¹

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

63

Mit Gl. (2.82) kann man erklären, warum sich verschiedene Körper unterschied-
lich warm anfühlen. Die Kontakttemperaturen werden vom Verhältnis der Größen

(λ . ρ . c )0.5 in beiden Körpern, die als Wärmeeindringkoeffizienten bezeichnet wer-p
den, bestimmt. Eine Kupferplatte hat einen wesentlich größeren Wärmeeindring-
koeffizienten als die menschliche Hand. Deshalb fühlt man in etwa die Temperatur
der Kupferplatte. Bei einer Styroporplatte ist es umgekehrt, hier empfindet man eher die Temperatur der Hand.

Solange die Temperaturänderung keine tieferen Schichten des Körpers erreicht,
bleibt die Kontakttemperatur konstant. Werden größere Schichten erfasst, kommt
es zu einem allmählichen Temperaturausgleich, der vom Wärmeinhalt beider

Körper bestimmt wird. Dieses kann beispielsweise an einer Aluminiumfolie
demonstriert werden. Fasst man eine sehr dünne, heiße Alufolie an, entsteht im
ersten Moment eine Kontakttemperatur, die etwa der Temperatur der Alufolie
entspricht. Da die Folie sehr dünn ist und so nur wenig Masse zum Speichern der

Wärme hat, kühlt sie sehr schnell ab. Sie ist nicht in der Lage, die Haut so zu
erwärmen, dass die Temperaturerhöhung zu den Nerven, mit denen die Temperatur
registriert wird, gelangt. Die Folie fühlt sich nur mäßig warm an. Fasst man eine

Aluminiumplatte gleicher Temperatur an, verbrennt man sich die Finger.

BEISPIEL 2.15: Berechnung der Kontakttemperatur

Ein Körper aus Styropor und einer aus Kupfer haben beide die Temperatur von

0 °C. Sie werden mit der Hand berührt. Die Stoffwerte sind:

Styropor:

ρ = 15 kg/m3
λ = 0,029 W/(m K)

c = 1 250

J/(kg K)

p

Kupfer:

ρ = 8 300 kg/m3
λ = 372 W/(m K)

c =

419

J/(kg K)

p

Hand:

ρ = 1 020 kg/m3
λ = 0,5 W/(m K)

c = 2 400

J/(kg K)

p

Berechnen Sie die Kontakttemperatur.

Lösung

Analyse

Die Kontakttemperatur kann mit Gl. (2.82) bestimmt werden. Zur Vereinfachung
der Berechnung werden zuerst die Wärmeeindringkoeffizienten berechnet, die wir
mit ξ bezeichnen.

Styropor:

ξ

= ρ ⋅ c ⋅λ = 15⋅1 250⋅0,029 = 23,3

Styropor
p

Kupfer:

ξ

= ρ ⋅ c ⋅λ = 8 300⋅ 419⋅372 = 35 968

Kupfer
p

Hand:

ξ

= ρ ⋅ c ⋅λ = 1 020 ⋅2 400⋅0 , 5 = 1106

Hand
p

Die Kontakttemperatur zwischen Styropor und Hand ist:

64

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen
ϑ

+ (ξ

/ ξ

) ⋅ϑ

A, Hand

Styropor

Hand

A, Styropor

=

=

K , Styropor − Hand

1+ (ξ

/ ξ

)

Styropor

Hand

36 °C + (23 , 3 / 1106) ⋅ 0 °C

=

= 35,26 °C

1+ 23 , 3 / 1106

Die Kontakttemperatur zwischen Kupfer und Hand ist:

ϑ

+ (ξ

/ ξ

) ⋅ϑ

A, Hand

Kupfer

Hand

A, Styropor
ϑ

=

=

K , Kupfer − Hand

1 + ξ

/ ξ

Kupfer

Hand

36 C

° + (35 968 / 1106) ⋅0 C

°

=

= 1,07 °C

1 + 35 968 / 1106

Diskussion

Wegen des sehr kleinen Wärmeeindringkoeffizienten fühlt sich die Temperatur
des 0 °C kalten Styropors handwarm an, bei Kupfer ist es umgekehrt.

2.2.3

Sonderfälle bei Bi = 0 und Bi = ∞

Geht die Biot zahl gegen null, d.h., die äußere Wärmeübergangszahl ist sehr klein bzw. die Wärmeleitfähigkeit des Material sehr groß, dann ist die Temperatur im

Körper unabhängig vom Ort und daher nur noch von der Zeit abhängig.

ϑ
ϑ

A

A
ϑ A
t = 0
t = 0
t = 0
t = t
t = t
t = t

1

1

1
t = t 2
t = t 2
t = t 2
t = t
t = t

3

3
t = t 3
t = t 4
t = t
t = t

4

4
ϑ
ϑ
ϑ
t =
t =
t =
ϑ
ϑ
ϑ
x
x
x

Bi =
ϑ =

Bi = 0
ϑ =

O
ϑ =
m
ϑ

O
ϑ
ϑ = ϑ( t,x

)

Bild 2.16: Temperaturverlauf bei Extremfällen

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

65

Bei sehr großen Biot zahlen, d.h., bei sehr großen äußeren Wärmeübergangs-
zahlen oder sehr kleiner Wärmeleitfähigkeit der Körpers nähert sich die Oberflä-
chentemperatur ϑ der Außentemperatur ϑ an.

O

∞

Dieses Verhalten ist in Bild 2.16 dargestellt. Links ist der Temperaturverlauf bei Bi = ∞. Die Oberflächentemperatur ist gleich groß wie die Außentemperatur.

Rechts im Bild bei Bi = 0 ist die Temperatur im Körper vom Ort unabhängig. Das Bild in der Mitte zeigt den Temperaturverlauf bei endlichen Biot zahlen. Die Temperatur ist von Ort und Zeit abhängig.

2.2.4

Temperaturänderung bei kleinen Biotzahlen

Bei vielen technischen Prozessen interessiert während der Abkühlung oder Erwär-
mung nicht die Temperaturverteilung im Körper, sondern die mittlere Temperatur-
änderung. Wie die Diagramme in den Bildern 2.11 bis 2.13 zeigen, ist bei kleinen

Biot zahlen – d.h., die äußere Wärmeübergangszahl ist kleiner als die im Körper –
zwischen den Oberflächen, der mittleren und der Temperatur in der Körpermitte nur
ein kleiner Temperaturunterschied. Sind die Biot zahlen kleiner als 0,5, kann man mit recht guter Genauigkeit die Berechnungen so durchführen, dass die Temperatur
im ganzen Körper als mittlere Temperatur angenommen wird. Bei Biot zahlen, die kleiner als 1 sind, ist für Abschätzungen eine so durchgeführte Berechnung immer
noch zulässig.

2.2.4.1

Ein kleiner Körper taucht in ein Fluid großer Masse

Ein kleiner Körper mit der Masse m , der Wärmekapazität c und Temperatur ϑ

1
p 1

A 1
wird in ein Fluid mit der Temperatur ϑ eingetaucht (Bild 2.17).

A 2
m 1
c p 1
ϑ A 1
ϑ A 2
α

Bild 2.17: Ein Körper kleiner Masse taucht in ein Fluid großer Masse ein

Die Masse (Wärmekapazität) des Fluids wird als so groß angenommen, dass
durch das Eintauchen des Körpers keine Temperaturänderung im Fluid auftritt. An
der Oberfläche des Körpers ist die Wärmeübergangszahl α. Die Wände des Behäl-
ters sind nach außen isoliert. Der Wärmestrom, der vom Körper zum Fluid geht, ist
die zeitliche Änderung der Enthalpie des Körpers.

66

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen
d

ϑ

Q = − m ⋅ c

1

⋅

1
p 1

(2.83)

dt

Der Wärmestrom wird aber von der Wärmeübergangszahl und Temperaturdiffe-
renz zwischen dem Fluid und Körper bestimmt. Beachtet man, dass bei einer Ab-
kühlung des Körpers seine Temperaturänderung negativ und die Temperaturdif-
ferenz positiv ist, gilt:

Q = α ⋅ A⋅(ϑ −ϑ )

(2.84)

1

A 2

Beide Gleichungen gleichgesetzt, ergeben folgende Differentialgleichung:

dϑ
α ⋅ A

1 = −

⋅(ϑ −ϑ )

1

A 2
dt
m ⋅ c

(2.85)

1
p 1

Wird die Temperatur ϑ durch die Temperaturdifferenz ϑ – ϑ substituiert, er-

1

1

A 2
halten wir nach Separation der Variablen:

d (ϑ
ϑ )

α

1 −

2

⋅ A

A

= −

⋅ dt
ϑ ϑ

(2.86)

1 −
m

2

1 ⋅ c

A
p 1

Konstante Wärmeübergangszahl und konstante Stoffwerte vorausgesetzt, kann
diese Gleichung integriert werden.

α⋅ A

−

⋅ t
m ⋅ c

1

1

(ϑ −ϑ ) = (ϑ −ϑ )

p

⋅ e

(2.87)

1

A 2

1

A

A 2

Bild 2.18 zeigt den zeitlichen Verlauf der Abkühlung des Körpers. Die Tempera-
tur des Körpers nähert sich mit zunehmender Zeit der Fluidtemperatur
asymptotisch.

ϑ
ϑ A 1
ϑ1
ϑ A 2
t

Bild 2.18: Temperaturverlauf bei der Abkühlung des Körpers

Für die dimensionslose Darstellung müssen die dimensionslose Temperatur Θ
und dimensionslose Zeit τ folgendermaßen gebildet werden:

ϑ
α ⋅

A 1 − ϑ1
τ

Θ

−

=

=

A
t

1− e
ϑ
mit: t =
τ =

0

⋅

A 1 − ϑ A 2
m c
t

1
p 1

0

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

67

Die Zeit t ist die Zeit, in der der eingetauchte Körper bei 1 K Temperaturdif-0
ferenz zum umgebenden Fluid um 1 K erwärmt wird. Bild 2.19 zeigt den dimensi-
onslosen Temperaturverlauf.

1,0

Θur 0,8
perat
em 0,6
e T
los
ions 0,4
ens
dim 0,2

0 0

1

2

3

4
dimensionslose Zeit τ

Bild 2.19: Dimensionslose Darstellung des zeitlichen Temperaturverlaufs

BEISPIEL 2.16: Härten von Stahlwerkstücken

Zylinderförmige Stahlwerkstücke mit einer Masse von 1,2 kg, einer Oberfläche von

300 cm2 und einem Durchmesser von 20 mm sollen zum Härten in einem Ölbad von

800 °C auf 300 °C abgekühlt werden. Das Ölbad hat eine Temperatur von 50 °C, die

Wärmeübergangszahl beträgt 600 W/(m2 K).

Die Stoffwerte des Stahls sind: λ = 47 W/(m K), c = 550 J/(kg K).

p

Welche Zeit wird für die Abkühlung benötigt?

Lösung

Annahme

•

Die Temperatur und Wärmeübergangszahl des Ölbades sind konstant.

Analyse

Zunächst muss geprüft werden, wie groß die Biot zahl ist.

Bi = α ⋅ r / λ = 600⋅ 01

,

0

/ 47 = 128

,

0

Damit ist die Bedingung erfüllt, dass Bi < 0,5 ist. Die Auskühlzeit kann mit Gl.

(2.87) berechnet werden.

m c
ϑ
ϑ

1 ⋅

1
p

§ 1 A −

·

1,2

A 2

⋅ kg ⋅550⋅J ⋅ m2 ⋅ K

§ 800 − 50 ·
t =
ln

=

⋅ln¨

¸ =
s

40,2

¨¨

¸¸
α ⋅ A

© ϑ ϑ

1 −

A 2 ¹
kg ⋅ K ⋅ 600⋅ W ⋅ 0,03⋅ m2

© 300 − 50 ¹

68

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

Diskussion

Die Berechnung ist relativ einfach. Aus den Diagrammen in Bild 2.12 erhält man
einen Wert von 46,8 s, also beträgt der Fehler 14 %. Es wäre hier zu prüfen, ob
dieser Fehler mit dem Härteverfahren vereinbar ist.

2.2.4.2

Ein Körper taucht in ein Fluid mit vergleichbarer Masse

Bild 2.20 zeigt das Eintauchen eines Körpers in ein isoliertes, mit einem Fluid ge-fülltes Becken mit einer relativ kleinen Wärmekapazität m . c . Beim Eintauchen 2
p 2
hat der Körper die Temperatur ϑ , das Fluid ϑ .

A 1

A 2

Die Masse und die spezifische Wärmekapazität des Körpers haben den Index 1,
die des Fluids den Index 2. Da die Wärmekapazität des Fluids nicht mehr sehr groß
ist, wird durch das Eintauchen des Körpers dessen Temperatur verändert.

Der vom Körper abgegebene Wärmestrom ist die zeitliche Änderung der Enthal-
pie des Körpers.

d

ϑ

− Q = m ⋅ c

1

⋅

1
p 1

(2.88)

dt

Der vom Fluid aufgenommene Wärmestrom ist entgegengesetzt gleich groß wie
die zeitliche Änderung der Enthalpie des Fluids.

m 1
cp 1
ϑ A 1
ϑ A 2
m 2
c p 2
α

Bild 2.20: Ein Körper kleiner Masse taucht in ein Fluid vergleichbarer Masse ein d

ϑ

Q = m ⋅ c

2

⋅

2
p 2

(2.89)

dt

Der Wärmestrom wird von der Wärmeübergangszahl und Temperaturdifferenz
zwischen Fluid und Körper bestimmt.

Q = α ⋅ A⋅ (ϑ −ϑ )

(2.90)

1

2

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

69

Für die Änderung der Temperaturdifferenz zwischen Fluid und Körper erhält
man aus den Gln. (2.88) und (2.89):

ª

º

1

1
d (ϑ

)

ϑ

1 −

2

= Q

− ⋅ «

+

» ⋅ dt
m

(2.91)

1 ⋅ c
m

1

2 ⋅ c

«
p
p

¬

2 »

¼

Aus Gl. (2.90) kann der Wärmestrom in Gl. (2.91) eingesetzt werden.

d

ª

º

(ϑ
ϑ )

1

1

1 −

2

= α ⋅ A⋅ «

+

» ⋅ dt

(ϑ
ϑ )

(2.92)

1 −
m

2

1 ⋅ c
m

1

2 ⋅ c

«
p
p

¬

2 »

¼

Unter der Voraussetzung, dass die Massen, die Wärmeübergangszahl und spezi-
fischen Wärmekapazitäten konstant sind, kann Gl. (2.92) integriert werden. Die In-
tegration erfolgt von der Zeit t = 0 bis t und von den Anfangstemperaturen ϑ und A 1
ϑ bis zu den Temperaturen ϑ und ϑ .

A 2

1

2

ª

º

(ϑ
ϑ )

1

1

1 −

2
ln

= −α ⋅ A⋅ «

+

» ⋅ t

(ϑ
ϑ )

(2.93)

1 −
m

2

1 ⋅ c
m

1

2 ⋅ c

A

A

«
p
p

¬

2 »

¼

Für die Temperaturdifferenz zwischen dem Körper und Fluid erhält man:

ª

§

· º

1

1
ϑ ϑ

(ϑ
ϑ ) exp α

1 −

2 =

A 1 −

A 2

⋅

«

¨

¸

− ⋅ A ⋅

+

⋅ t»

«

¨

¸

(2.94)

© m 1 ⋅ c
m
p 1

2 ⋅ c p 2 ¹

»

¬

¼

Mit Gl. (2.94) kann die Temperaturdifferenz zwischen dem Fluid und Körper,
nicht aber die Temperatur des Körpers oder Fluids bestimmt werden. Die Tempera-
tur des Körpers und Fluids können aus den Gleichungen (2.88) und (2.89) für jede
beliebige Zeit ermittelt werden. Da in den Gleichungen die Massen und spezifi-
schen Wärmekapazitäten konstant sind, kann die in der Zeit t ab- und zugeführte Wärme berechnet werden.

Q( t) = m ⋅ c ⋅ (ϑ −ϑ )

1

1
p

1

A

1

(2.95)

Q( t) = m ⋅ c ⋅ (ϑ −ϑ )

2
p 2

2

A 2

Gl. (2.95) gilt auch für eine unendlich lange Zeit, bei der ein Temperaturaus-
gleich zwischen dem Körper und Fluid erreicht wird. Die Temperatur nach dem

Ausgleich ist:

m ⋅ c ⋅ϑ + m ⋅ c ⋅ϑ

1

1
p

1

A

2
p 2

A 2
ϑ∞ =
m ⋅ c + m ⋅ c

(2.96)

1

1
p

2
p 2

Für die Temperaturänderungen erhält man aus den Gln. (2.95) und (2.96):

70

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen
m
ϑ −ϑ
ϑ −ϑ

⋅ c

2
p 2

1

A

1

1

A

=

∞ =
ϑ −ϑ

(2.97)

∞
ϑ −ϑ
m ⋅ c

2

A 2

A 2

1

1
p

Gl. (2.97) kann nach ϑ oder ϑ aufgelöst und in Gl. (2.94) eingesetzt werden.

1

2

Damit erhält man die Temperatur des Körpers und Fluids.

ª

§

· º

1

1
ϑ ϑ

(ϑ
ϑ ) exp α

1 −

∞ =

A 1 −

∞ ⋅

«

¨

¸

− ⋅ A⋅

+

⋅ t»

«

¨

¸

(2.98)

© m 1 ⋅ c
m
p 1

2 ⋅ c p 2 ¹

»

¬

¼

ª

§

· º

1

1
ϑ ϑ

(ϑ
ϑ ) exp α

2 −

∞ =

A 2 −

∞ ⋅

«

¨

¸

− ⋅ A⋅

+

⋅ t»

«

¨

¸

(2.99)

© m 1 ⋅ c
m
p 1

2 ⋅ c p 2 ¹

»

¬

¼

Der Temperaturverlauf ist in Bild 2.21 dargestellt.

ϑ
ϑ A 1
ϑ1
o
ϑ o
ϑ2
ϑ A 2
t

Bild 2.21: Temperaturverlauf bei der Abkühlung des Körpers mit Änderung der Fluidtemperatur

2.2.4.3

Wärmetransfer durch einen strömenden Wärmeträger

Bild 2.22 zeigt einen nach außen isolierten Behälter mit einem Fluid, das durch einen strömenden Wärmeträger aufgeheizt oder abgekühlt wird.

.

m 1
c
m
p 1

2
ϑ 1

A
cp 2
ϑ2

A
k

Bild 2.22: Erwärmung oder Abkühlung eines Fluids
ϑ1
durch einen strömenden Wärmeträger

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

71

Das Fluid ist durch eine Wand vom Wärmeträger getrennt. Die Temperatur des

Fluids ist zu Beginn der Erwärmung oder Abkühlung gleich ϑ . Der Wärmeträger

A 2
hat am Eintritt die Temperatur ϑ , am Austritt ϑ . Er wird durch das Fluid gekühlt A 1

1
oder erwärmt. Die Wärmeübertragung erfolgt mit einer konstanten Wärmedurch-
gangszahl. Nach unendlich langer Zeit nimmt das Fluid die Eintrittstemperatur des

Wärmeträgers an, die Wärmeträgertemperatur verändert sich nicht mehr. Unter der

Voraussetzung, dass der Massenstrom des Wärmeträgers, die Wärmedurchgangs-
zahl, die spezifischen Wärmekapazitäten und örtlichen Fluidtemperaturen konstant
sind, können die Temperaturänderung des Fluids und die des Wärmeträgers am

Austritt berechnet werden. Ohne auf die Herleitung einzugehen, sind hier die Er-
gebnisse dargestellt.

°ª m c

§

1 ⋅

§

·

·º
p 1

− k ⋅ A

°½
ϑ
ϑ

(ϑ
ϑ ) exp
exp

1

A 1 −

2 =

A 1 −

A 2

⋅

®«

¨

¨

¸

¸

⋅

− » ⋅ t¾

°« m c

¨

¨

¸
m c

¸

(2.100)

2 ⋅
p 2

1 ⋅
p 1

»

©

©

¹

¹

°

¯¬

¼ ¿

BEISPIEL 2.17: Kühlen eines Drahtes im Wasserbad

Ein Draht mit 2 mm Durchmesser und einer Temperatur von 300 °C wird durch ein

Wasserbad geführt, um ihn dort abzukühlen. Er bewegt sich mit einer Geschwin-
digkeit von 0,5 m/s durch das Bad und befindet sich auf 5 m Länge im Wasser. Das

Wasser hat eine Masse von 5 kg und zu Beginn des Prozesses eine Temperatur von

20 °C. Stoffwerte des Drahtes: ρ = 8 000 kg/m3, λ = 47 W/(m K), c = 550 J/(kg K).

p

Die Wärmeübergangszahl im Bad ist 1 200 W/(m2 K) und die spezifische Wär-

mekapazität des Wassers beträgt c = 4 192 (J/kg K). Nach welcher Zeit muss das p 2

Wasser ausgewechselt werden, wenn die Temperatur des Drahtes nach Verlassen
des Wasserbades nicht über 100 °C sein darf?

Lösung

Annahmen

•

Die Stoffwerte sind konstant.

•

Die Eintrittstemperatur des Drahtes ist konstant.

•

Die Temperatur und Wärmeübergangszahl des Wasserbades sind konstant.

Analyse

Hier müssen wir mit Gl. (2.87) bestimmen, bei welcher Wassertemperatur die

Temperatur des Drahtes am Austritt aus dem Bad 100 °C überschreitet. Zunächst
wird die Zeit, die bis zur Erwärmung des Bades auf diese Temperatur vergeht, be-
rechnet. Der Draht wird als strömender Wärmeträger behandelt. Jetzt muss geprüft
werden, wie groß die Biot zahl ist. Bi = ρ . r/λ = 1 200 . 0,001/47 = 0,026. Damit ist die Bedingung erfüllt, dass Bi < 0,5 ist. Die Temperatur des Bades kann mit Gl.

72

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

(2.87) berechnet werden. Der Draht befindet sich 10 Sekunden lang im Bad. Aus Gl.

(2.87) ist ersichtlich, dass die Länge des Drahtes für die Abkühlung keine Rolle
spielt. Im Exponent steht der Ausdruck A/ m . Berechnet man die Oberfläche des 1

Drahtes und seine Masse, fällt die Länge weg. Dieses ist gültig, solange die Stirn-fläche keine Rolle spielt, was bei diesem Beispiel zutrifft.

α ⋅

−

A ⋅ t

§

·
m
α π

1 ⋅ c

4
p 1

¨

⋅ ⋅ ⋅ d ⋅ l

¸

(ϑ
ϑ ) (ϑ
ϑ )

(ϑ
ϑ ) exp

1 −

A 2

= A 1 − A 2 ⋅ e

= A 1 − A 2 ⋅

−

⋅ t =

¨

2

¸

© ρ ⋅π ⋅ d ⋅ l ⋅ cp 1 ¹

§

·

¨

4 ⋅α

¸

= (ϑ
ϑ ) exp

A 1 −

A 2

⋅

¨−

⋅ t ¸

© ρ ⋅ d ⋅ cp 1 ¹

Bei der gegebenen Austrittstemperatur von ϑ = 100 °C kann die Temperatur ϑ

1

A 2
bestimmt werden.

§

4 α

·

⋅

4⋅1 200
ϑ ⋅exp¨ −

⋅ t ¸ −ϑ

−

10

1

A

1

⋅

¨

¸

8 000⋅0 002

,

⋅550

© ρ ⋅ d ⋅ cp 1 ¹

300 ⋅ e

−100
ϑ =

=

⋅ C

° = 99,14 C

°

A 2

4⋅1 200

§

·

−

10

4 ⋅α

⋅

8 000⋅0 002

,

⋅550
exp ¨ −

⋅ t ¸ −1
e

−1

¨ ρ d c

¸

⋅ ⋅

©

1
p

¹

Mit Gl. (2.100) kann die Zeit berechnet werden, in der sich das Wasser von 20 °C
auf 99,14 °C erwärmt. In der Gleichung benötigt man den Massenstrom und die

Oberfläche.

2
m

= c ⋅0,25⋅π ⋅ d ⋅ ρ =

1

1

2

2

3

= 0,5⋅m/s ⋅0,25⋅ ʌ ⋅0,002 ⋅ m ⋅8 000⋅ kg/m = 0,01257 kg/s

2

A = π ⋅ d ⋅ l = ʌ ⋅ 0,002⋅ m ⋅5 ⋅ m =
m

0,0314
ϑ −ϑ

1

A

2

300 − 99 14
ln

,
ln
ϑ −ϑ

1

A

A 2

300 − 20
t =

=

= 1 012 s

§

·

§ 1

− 200⋅0 0314

,

ª
α A

·

− ⋅

¨

º

ª

º

1

− ¸

0 ,
m ⋅ c

01257

⋅550

¨

¸

¨

¸

© 0 01257

,

⋅550 ¹

1

1
p
m ⋅ c

« © 1 p 1 ¹ »

⋅ « e

−1
e

»

⋅

5

⋅

«

»

⋅4 192
m c

«¬

»¼

2
p 2

¬

¼

Diskussion

Dieses Beispiel zeigt, dass auch bewegte feste Körper einen Massenstrom haben
können. Die Kombination des bewegten Wärmeträgers und die Abkühlung des fes-
ten Körpers erlauben die Berechnung des Problems.

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

73

2.2.5

Nummerische Lösung der instationären Wärmeleitungsgleichung

In Kapitel 2.2.1.1 wurde die instationäre Wärmeleitungsgleichung (2.64) hergelei-
tet. Anschließend wurde eine Reihe von Lösungen für vergleichsweise einfache

Geometrien angegeben, für die eindimensionale Wärmeleitung angenommen wer-
den darf. Für die Bestimmung einer Temperaturverteilung in komplizierteren Geo-
metrien mit mehrdimensionaler Wärmeleitung werden nummerische Lösungsme-
thoden benutzt, die in Form von Computerprogrammen implementiert sind. Nach-
folgend sollen einige wesentliche Grundlagen der nummerischen Lösungsverfahren
anhand der Methode der finiten Differenzen beleuchtet werden.

2.2.5.1

Diskretisierung

Für die Betrachtungen nutzen wir das Beispiel eines zylindrischen Stabes mit der

Anfangstemperatur ϑ , der an der gesamten Mantelfläche und an einem Ende adia-

A
bat ist. An seinem anderen Ende wird er zum Zeitpunkt t = 0 mit einem Körper der 0

Temperatur ϑ in Kontakt gebracht. In Bild 2.23 ist der Temperaturverlauf im Stab

∞
zu verschiedenen Zeitpunkten t ≥ 0 skizziert.

ϑ∞
ϑ
ϑ∞
ϑ
t, j

∞
tj

Δ x

Δ t

…

ϑ
t1

Α
t0
x
x

0

1
x2

… xi
x, i

Bild 2.23: Zeitliche Entwicklung des Temperaturverlaufs in einem adiabten Stab Statt des kontinuierlichen Temperaturverlaufs ϑ (x,t) können auch Temperaturen ϑ (x ,t ) an einer begrenzten Anzahl von Punkten in Raum und Zeit bestimmt wer-i
j
den. Solche Punkte und die zugehörigen Temperaturwerte sind in Bild 2.23 eben-

74

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen
falls eingezeichnet. Die Ermittlung der Temperatur in solchen diskreten Punkten
ist mathematisch erheblich einfacher als die analytische Lösung der Wärmeleitungs-
gleichung, wie nachfolgend gezeigt wird.

Hierfür muss zunächst die Wärmeleitungsgleichung in eine diskretisierte Form
überführt werden. Die mathematische Basis für diese Überführung ist die Taylorreihe für eine beliebige Funktion f:

n
n

∞ ∂ f

Δξ

¦
f (ξ + Δξ )

( )

=
n

(2.101)

=
ξ

∂
n
n

!

0
ξ

Schreibt man diese Reihe bis zum vierten Reihenglied für den linken und rechten

Nachbarpunkt von ξ aus, so erhält man:

2

3

Δξ

Δξ
f (ξ + Δξ )

( )

( )

= f (ξ) + f (′ξ)Δξ + f ′

+ f ′

+...

2

6

2

3

Δξ

Δξ

(2.102)

f (ξ − Δξ )

( )

( )

= f (ξ ) − f (′ξ)Δξ + f ′

− f ′

+

2

6

Eine Addition dieser Gleichungen liefert einen Ausdruck für die zweite Ablei-
tung, der nur von den Werten der Funktion bei ξ und in den unmittelbaren Nachbar-
punkten abhängt:

ξ + Δξ −
ξ + ξ − Δξ
f ′′(ξ )

f (

) 2 f ( )

f (

)

=

(Δξ )2

(2.103)

Neben der Addition wurden die Reihen hierfür auch nach dem jeweils dritten

Glied abgebrochen. Das führt zu einer sehr einfachen Approximation für die
zweite Ableitung, bringt aber zugleich einen Fehler durch den Abbruch ein. Da
der vernachlässigte Term proportional (Δξ)² ist, wird dieser Fehler quadratisch
mit kleiner werdendem Δξ abnehmen. Man spricht daher im Hinblick auf die Ge-
nauigkeit der o.g. Approximation von einem Ansatz zweiter Ordnung.

Bricht man die erste Gleichung aus (2.102) nach nach dem zweiten Glied ab und
löst nach der ersten Ableitung von f auf, hängt der entstehdende Ausdruck wiederum nur vom Funktionswert von f in ξ und in einem Nachbarpunkt ab:

ξ + Δξ − ξ
f ′(ξ )

f (

)

f ( )

=

Δξ

(2.104)

Da hier der Abbruch nach dem zweiten Glied der Reihe erfolgt, nimmt der Fehler
proportional mit dem Abstand zwischen den Punkten ab. Man spricht daher in die-
sem Fall von einer Approximation erster Ordnung.

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

75

Bei der Überführung von Differentialen in Differenzenquotienten entsteht ein

Fehler, der Diskretisierungsfehler genannt wird. Er wird umso kleiner, je kleiner die Abstände zwischen den diskreten Punkten gewählt werden.

Da bei dem Ausdruck in Gl. (2.104) nur der in positiver ξ-Richtung gelegene

Funktionswert und der Funktionswert bei ξ selbst in die Berechnung eingehen,
spricht man auch von einem Vorwärts-Differenzenquotienten (engl. Downwind).

Ebenso kann man einen Rückwärts-Quotienten angeben (engl. Upwind). Der Aus-
druck in Gleichung (2.103) wird dagegen zentraler Differenzenquotient (engl.

Central Difference) genannt, da in ihn der Funktionswert bei ξ sowie beide Nach-
barwerte eingehen.

Nunmehr läßt sich die für den betrachteten Zylinder gültige Form der Wärmelei-
tungsgleichung nach Gl. (2.63)

2
ϑ

∂

∂ ϑ

= a 2
t

∂
x

∂
durch Einsetzen der Approximationen nach Gleichung (2.103) und (2.104) als
diskrete Differenzengleichung angeben:

ϑ ( t + t

Δ ) −ϑ ( t)

ϑ ( x + Δ x) − 2ϑ ( x) +ϑ ( x − Δ x)

= ⋅

a
t

Δ

Δ

(2.105)

x
x

( )2
t

Dazu wurde in Gl. (2.103) und (2.104) die allgemeine Koordinate ξ jeweils
durch die Raumkoordinate x und die Zeit t ersetzt. Weiterhin geht man von einem jeweils gleichen Abstand zwischen allen Raumpunkten sowie allen Zeitpunkten
aus, man spricht von einem äquidistanten Netz. Die Angabe der Indizes x auf der linken Seite der Gleichung sowie t auf der rechten Seite bedeutet, dass die zeitliche Differenzenbildung am Ort x erfolgt und die räumliche Differenzenbildung zum Zeitpunkt t.

2.2.5.2

Nummerische Lösung

Um die Differenzengleichung (2.105) für eine große Zahl an diskreten Punkten
i,j effizient anschreiben und nummerisch lösen zu können, führt man noch eine Indexschreibweise ein. Die äquidistanten Raumpunkte werden mit dem Index i
versehen, die äquidistanten Zeitpunkte mit dem Index j. Die Indexschreibweise für die räumliche Verteilung sieht dann so aus:

ϑ ( x + Δ x = ϑ x

=

′′

= ′

+
ϑ +
ϑ x
ϑ (2.106)

i

)

( i 1) i 1

( i )

Für die Zeitebene wird lediglich x durch t sowie i durch j ersetzt, ansonsten gilt das gleiche Vorgehen. Danach stellt sich (2.105) in Indexschreibweise so dar:

76

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen
ϑ

−

−

+

+
ϑ
ϑ

2

+
ϑ
ϑ
i, j 1
i, j
i 1, j
i, j
i 1

− , j

= a ⋅
t

Δ

(Δ

(2.107)

x)2

Diese Gleichung läßt sich explizit nach ϑ
auflösen:

i,j+1
ϑ

− 2

+

+
ϑ
ϑ
i 1, j
i, j
i 1,

− j
ϑ

= ⋅

+

+

Δ
ϑ

a
t
i, j 1

(Δ

(2.108)

x)2
i, j

Bei genauerem Hinsehen stellt man fest, dass auf der rechten Seite dieser Glei-
chung nur Terme stehen, die in der Zeitebene j liegen. Kennt man also die räumliche Verteilung der Temperatur in der Ebene j, so kann man daraus die Temperaturwerte in der Ebene j+1 auf einfachste Weise ermitteln. Von der bekannten An-fangsverteilung der Temperatur bei j=0 kann man so sukzessive durch "Vorwärts-bewegung" für eine Zeitebene nach der anderen die räumliche Temperaturvertei-
lung in den Ebenen j > 0 bestimmen. Da hierbei im Raum jeweils zentrale Differenzen gebildet werden, spricht man in der englischen Literatur auch vom FTCS-

Verfahren (Forward Time Center Space).

In Bild 2.24 ist eine Projektion der Darstellung aus Bild 2.23 auf die t-x- Ebene bzw. eine Draufsicht auf das dortige Diagramm dargestellt. Hier ist das Vorgehen
zur Ermittlung eines Temperaturwertes in der nächsten Zeitebene nochmals gra-
phisch veranschaulicht. Aus dieser Darstellung wird auch ersichtlich, warum von
einem "Berechnungsgitter" gesprochen wird, wenn es um die nummerische Lösung einer Differentialgleichung geht.

Durch Diskretisierung lässt sich eine Differentialgleichung in eine Differen-
zengleichung überführen, die mit vergleichsweise einfachen mathematischen

Mitteln gelöst werden kann. Die Lösung der Differenzengleichung ist dann in
einer Vielzahl von Punkten in Raum und Zeit zu ermitteln, wofür durchweg

Computerprogramme eingesetzt werden.

Die Übertragung der Methode auf mehrdimensionale Gebiete bzw. Geometrien
ist einfach möglich. Es muss auf der rechten Seite der Gleichung (2.63) lediglich die räumliche Ableitung in den zusätzlichen Dimensionen y und z addiert werden. Damit kommen in den Gleichungen (2.107) und (2.108) Terme mit den Indizes k und l hinzu, am prinzipiellen Vorgehen zur Ermittlung des Temperaturwertes in der
nächsten Zeitebene ändert sich aber nichts.

Im Gegensatz zu den analytischen Methoden zur Lösung der instationären

Wärmeleitungsgleichung lassen sich die nummerischen Methoden einfach auf
komplizierte mehrdimensionale Geometrien erweitern.

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen

77
t, j
ϑ i,j+1
tj+1
tj
ϑ i-1,j ϑ ϑ
i,j
i+1,j
tj-1

…

Δ x
t2

Δ t
t1
t0 x x x
x
x
x
x, i

0

1

2 …

i-1
i
i+1

Bild 2.24: Graphische Veranschaulichung des FTCS-Schemas

2.2.5.3

Wahl der Gitterweite und des Zeitschritts

Oben wurde dargelegt, dass durch die Diskretisierung ein Approximationsfehler in
die Wärmeleitungsgleichung und damit ihre nummerische Lösung eingebracht
wird. Durch Verkleinerung der räumlichen Gitterweite sowie des Zeitschrittes lässt sich dieser Fehler klein halten. Dabei besteht ein wichtiger Zusammenhang zwischen der Gitterweite und dem Zeitschritt, der Stabilitätsbedingung des nummerischen Verfahrens genannt wird:

(Δ x)2
t

Δ ≤

(2.109)

2 a

Überschreitet die gewählte Zeitschrittweite diesen Wert, so wird das Verfahren
nicht zu sinnvollen Ergebnissen führen, die Lösung divergiert. Somit erzwingt die

Wahl einer kleinen räumlichen Gitterweite auch einen kleinen Zeitschritt. Dieser

Zusammenhang gilt streng für das hier vorgestellte explizite Finite-Differenzen-

Verfahren. Er läßt sich aber z.B. durch Einsetzen der Rückwärtsdifferenz zur Ap-
proximation der Zeitableitung auflösen. Allerdings ergibt sich dabei eine Glei-
chung, die nur implizit, d.h. durch die Lösung eines Gleichungssystems für die
räumliche Temperaturverteilung in jeweils folgenden Zeitschritt, gelöst werden
kann.

Das ist mathematisch möglich, aber etwas aufwändiger als die oben vorgestellte

Methode. Gleichwohl ist die implizite Methode wegen ihrer besseren Stabilität und
der damit verbundenen Möglichkeit, den Zeitschritt erheblich größer zu wählen, in

78

2 Wärmeleitung in ruhenden Stoffen
kommerziellen nummerischen Programmen stets implementiert. Für große Gebiete
mit einer Vielzahl von räumlichen Gitterpunkten ist so eine effizientere nummeri-
sche Lösung möglich.

Es gibt eine Vielzahl anderer Methoden der räumlichen und zeitlichen Diskreti-
sierung sowie der Lösung der entstehenden Gleichungssysteme, z.B. die Methode
der finiten Elemente (FEM) und die Methode der finiten Volumen (FVM), auf die
hier aber nicht eingegangen werden soll. Mit diesen Verfahren lassen sich auch weitere Nachteile der hier vorgestellten Finite-Differenzen-Methode, wie das äquidis-
tante Gitter, vermeiden.

3

Erzwungene Konvektion

Bei erzwungener Konvektion wird der Wärmeübergang durch die Temperaturunterschiede und die Strömung, die durch eine äußere Druckdifferenz aufrechterhalten
wird, bestimmt. Die Druckdifferenz kann z.B. durch eine Pumpe oder einen Höhen-
unterschied erzeugt werden. Erzwungene Konvektion ist die in der Technik am häu-
figsten vorkommende Wärmeübergangsart. In Wärmeübertragern wird zwischen
zwei Fluiden, die durch eine Wand getrennt sind, Wärme übertragen. Unsere Auf-
gabe wird sein, die Wärmeübergangszahlen in Abhängigkeit von den Strömungs-
bedingungen, den Temperaturen und der Geometrie des Wärmeübertragers zu be-
stimmen.

Betrachtet man ein Fluid mit der Temperatur ϑ , das in einem Rohr, dessen

F

Wandtemperatur ϑ ist, entlangströmt, ist die Wärmestromdichte an einem beliebi-

W
gen Ort gemäß der Definition in Kapitel 1.1.2 gegeben als:

q = α ⋅ (ϑ −ϑ )

(3.1)

F

W

Bei dieser Definition wird das Fluid mit einer konstanten Temperatur im gesam-
ten Raum angenommen. Die Erfahrung zeigt, dass im Fluid in Wandnähe ein Tem-
peraturprofil, analog dem Geschwindigkeitsprofil, entsteht. Bei einer turbulenten

Strömung, auf deren Behandlung sich dieses Kapitel hier zunächst beschränkt, ist in der Wandnähe eine Temperaturgrenzschicht vorhanden [3.1], in der sich die Temperatur von der Wandtemperatur zur Fluidtemperatur ändert (Bild 3.1).

ϑ
r

F
c(r)

Temperatur-
profil
ϑ (r)

Modell-
vorstellung
ϑ w
δϑ

Bild 3.1: Temperaturverlauf in einer turbulenten Rohrströmung

P. von Böckh, T. Wetzel Wärmeübertragung,

DOI 10.1007/978-3-642-15959-6_3, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

80

3 Erzwungene Konvektion

In der Grenzschicht wird die Wärme durch Wärmeleitung übertragen. Erweitert
man (3.1), indem man eine Bilanz an der Oberfläche der Wand bildet, so kann man
schreiben:

§ ϑ

∂ ·
q = α ⋅(ϑ −ϑ

= −λ

F

W )

¨

¸

© ∂ r ¹ rW

§ ϑ

∂ ·

¨

¸

© ∂

(3.2)

r ¹ rW
α = −λ ϑ −ϑ

F

W

Die Wärmeübergangszahl hängt demnach von der Temperaturverteilung im Flu-
id sowie von der Wärmeleitfähigkeit des Fluids ab. Die Temperaturverteilung im

Fluid ist ihrerseits in komplizierter Weise mit dem Geschwindigkeitsfeld im Fluid
verknüpft. Durch Linearisierung des Temperaturverlaufs im Fluid kann man jedoch
zunächst eine Näherung für den Temperaturanstieg in der Grenzschicht und damit
eine Abschätzung für den Zusammenhang zwischen Dicke δ der Grenzschicht,
ϑ

Wärmeübergangszahl und Wärmeleitfähigkeit angeben:

§ ϑ

∂ ·
ϑ −ϑ

F

W

¨

¸ ≈

© r

∂ ¹ r
δϑ

W
λ
λ
α

(3.3)

≈
bzw. δϑ =
δ
α
ϑ

In den meisten für die Praxis relevanten Fällen kann die Temperaturgrenzschicht
wegen ihrer geringen Dicke nicht vermessen werden. Bei der Messung würde man
durch den Messfühler die Grenzschicht stören. Ähnlich wie bei der Bestimmung der

Rohrreibungszahlen turbulenter Strömung kann die Wärmeübergangszahl auch
nicht analytisch hergeleitet werden. Sie muss vielmehr aus Messungen empirisch
ermittelt werden. Da die Anzahl der unabhängigen Einflussgrößen größer ist als bei der Bestimmung der Reibung [3.2], müsste eine noch größere Zahl von Versuchen
durchgeführt werden. Um den Messaufwand in einem vernünftigen Rahmen zu hal-
ten, nutzt man Modellvorstellungen und physikalische Ähnlichkeitsprinzipien, nach denen sich Unterschiede beim Wärmeübergang für verschiedene Geometrien, Stoffe und Fluidzustände letztlich auf wenige charakteristische Kennzahlen zurückführen lassen.

Bei der laminaren Strömung entsteht ein ganz anders verlaufendes Temperatur-
profil, das für einfache Geometrien mit einigem mathematischen Aufwand analy-
tisch berechenbar ist. Wegen ihrer geringeren technischen Bedeutung werden die

Beziehungen für die laminare Rohrströmung in diesem Kapitel zwar angegeben, die

Herleitung wird jedoch nicht behandelt.

3 Erzwungene Konvektion

81

3.1

Kennzahlen

Die beim konvektiven Wärmeübergang auftretenden Transportvorgänge lassen sich
durch Differentialgleichungen beschreiben. Grundsätzlich müssen Geschwindig-
keit (mit drei Komponenten), Druck und Temperatur des Mediums bestimmt wer-
den. Hierfür werden fünf unabhängige Gleichungen benötigt, die aus Erhaltungs-
sätzen bzw. Bilanzen hergeleitet werden können:

•

Erhaltung der Masse - Massenbilanz - Kontinuitätsgleichung

•

Erhaltung des Impulses - Impulsbilanz - Bewegungsgleichung

•

Erhaltung der Energie - Energiebilanz - Energiegleichung

In den nachfolgenden Abschnitten wird vereinfacht aufgezeigt, wie aus diesen

Gleichungen die wichtigsten charakteristischen Kennzahlen und damit die Grundla-
ge für die empirische Bestimmung der Wärmeübergangszahlen abgeleitet werden
können.

3.1.1

Kontinuitätsgleichung

Wir betrachten zunächst einen ortsfesten Quader mit den Kantenlängen dx, dy, dz in einem kartesischen Koordinatensystem (s. Bild 3.2).

z
dz

∂( c
ρ )

c
ρ
c
x
x
ρ +
dx
x
x

∂
y
dy
dx
x

Bild 3.2: Zur Herleitung der Kontinuitätsgleichung

Die in den Quader über die Fläche dy·dz einfließende Masse ist
m

= ρ ⋅ c ⋅ dy ⋅ dz
x
x
und die an der gegenüberliegenden Fläche ausfließende Masse kann mit

∂(ρ ⋅ cx )

m

= ⋅ ⋅ ⋅ +

⋅ ⋅

+
ρ c dy dz
dx dy dz
x dx
x
x

∂
angegeben werden. Betrachtet man ein inkompressibles Fluid mit der Dichte r,
so ist die Differenz beider Massenströme:

c

∂ x
dm

= −
ρ ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz
x

∂ x

82

3 Erzwungene Konvektion

Führt man diese Berechnung auch für die anderen Raumrichtungen durch, so
erhält man nach Summieren, Umordnen und Teilen durch ρ · dx · dy · dz c

∂

∂ c
c

∂

0
y
x
z

=

+

+

∂ x
y

∂
z

∂

Dies ist die Kontinuitätsgleichung für ein inkompressibles Medium in kartesi-
schen Koordinaten. Aus ihr läßt sich keine charakteristische Kennzahl ermitteln, da diese Gleichung ohnehin keine spezifischen Größen eines bestimmten Fluids oder
einer bestimmten geometrischen Anordnung enthält. Die Kontinuitätsgleichung ist
aber die erste der fünf benötigten unabhängigen Gleichungen.

3.1.2

Bewegungsgleichung

Diese Gleichung folgt aus einer Kräftebilanz an einem Massenelement im strömen-
den Fluid, wobei s zunächst eine allgemeine Ortskoordinate ist:

dc
dc
x
x

¦ dF

= dm ⋅

= ρ ⋅ dV ⋅
äußere
dt
dt

Diese Bilanz besagt, daß die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit bzw. des

Impulses des Fluides durch äußere Kräfte bewirkt wird. Wenn wir hier Kraftwir-
kungen aufgrund von elektrischen, magnetischen und Gravitationsfeldern aus-
schließen, lassen sich die äußeren Kräfte auf Druck- und Zähigkeitskräfte, letztere ausgedrückt mittels der Spannung τ , reduzieren:

¦ dF

= − dp ⋅ dA + ¦ dτ ⋅ dA
äußere

Wenn wir weiterhin beachten, daß dV = dA·ds gilt und c = f( s,t), d.h. die Ge-x
schwindigkeit allgemein eine Funktion von Ort und Zeit ist, so können wir zusam-
menfassend schreiben:

dc

§ c
c
s ·
p
τ
x
x
x
ρ ⋅

= ρ ∂

∂ ∂

∂

∂

⋅¨

+

¸ = −

+ ¦
dt

© t

∂
s

∂
t

∂ ¹
s

∂

∂ s

Für die Schubspannung können wir den Newton' schen Schubspannungsansatz
τ = η . dc /ds einführen und erhalten dann für eine stationäre Strömung allgemein x

2

§ c

∂

·

∂ p

∂ c
x
x
ρ ⋅
c

¨

¸ = −

+η ⋅ ¦
x

2

© ∂ s

¹

∂ s

∂ s
bzw. speziell für die Raumrichtung x mit der Geschwindigkeit c = f( x,y) : x

2
c

∂
p

∂

∂ c
x
x
ρ ⋅
c = −

+η ⋅¦
x

2

∂ x

∂ x
y

∂

3 Erzwungene Konvektion

83

Durch geschicktes Umschreiben dieser Gleichung kann man nun versuchen,
möglichst viele der fluid-, zustands- oder geometrispezifischen Größen in der Gleichung zusammenzufassen. Der übliche Weg hierfür ist die Überführung in eine di-
mensionslose Gleichung. Diese erhalten wir, indem alle Variablen auf charakteristische Maße bezogen werden:

•

Bezugslänge L:

x = x*·L

•

Bezugsgeschwindigkeit c:

c = c * · c
x
x

•

Bezugsdruck ρ ·c²:

p = p* · ρ · c²

Die mit Stern versehenen Größen x*, c * und p* sind demnach die dimensions-x
lose Ortskoordinate, die dimensionslose Geschwindigkeitskomponente sowie der
dimensionslose Druck. Wir werden später sehen, welche Größen in praktischen

Einsatzfällen als Bezugsgrößen dienen. Einsetzen der genannten Größen in die her-
geleitete Bewegungsgleichung und Umordnen führt zu:

2
c

∂ *
p

∂ *
η

∂ c *
c *
x
x

= −

+

⋅ ¦
x

2
x

∂ *

∂ x* ρ ⋅ c ⋅ L
y

∂ *

Der Kehrwert des Faktors vor dem Differential im dritten Term wird Reynolds-
zahl genannt. Sie ist das Verhältnis der Trägheits- zu den Reibungskräften.

c ⋅ L
c ⋅ L ⋅ ρ
m

⋅ L

Re =

=

=

L
ν
η

(3.4)

A ⋅η

Die mittlere Geschwindigkeit der Strömung ist c, die charakteristische Länge L, die kinematische Viskosität des Fluids n und h die dynamische Viskosität. Es ist üblich, die Reynolds zahl mit einem Index zu versehen, der die charakteristische Länge L repräsentiert. Da in der dimensionslosen Bewegungsgleichung außer Re nur dimensionslose Lösungsvariablen und unabhängige Variablen stehen, ist die

Lösung der Gleichung für alle Strömungen mit gleicher Reynolds zahl identisch.

Umgekehrt gilt: Die Unterschiede in den Lösungen der Diffenentialgleichung für
unterschiedliche Fluide, Zustände oder Geometrien lassen sich auf die Unterschiede in der Reynoldszahl zurückführen. Mit je einer Bewegungsgleichung für jede

Raumrichtung gewinnen wir drei weitere Gleichungen für die fünf unbekannten

Variablen.

3.1.3

Energiegleichung

Die Reynolds zahl enthält die Geschwindigkeit, die Zähigkeit sowie eine charakteristische Länge. Aus den vorangegangenen Kapiteln wissen wir aber, dass für die

Wärmeübertragung auch Eigenschaften wie Wärmeleitfähigkeit oder Wärmekapa-
zität relevant sind. Wir werden daher eine Energiegleichung für das strömende Flu-
id ableiten und analog der Bewegungsgleichung entdimensionieren, um zu einer
weiteren charakteristischen Kennzahl zu kommen.

84

3 Erzwungene Konvektion
c

∂ x
dm

= −
ρ ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz
x
x

∂

Wir gehen hierfür von der Temperaturfeldgleichung in einem ruhenden Medium
aus, die bereits in Kapitel 2.2.1 aus einer Energiebilanz bestimmt wurde:

2

2

2
ϑ

∂

§ ∂ ϑ ∂ ϑ ∂ ϑ ·

= a ⋅¨

+

+

¸

2

2

2

∂ t
x

© ∂
y

∂

∂ z ¹

Für ein strömendes Fluid muß auf der linken Seite der Gleichung noch die Tem-
peraturänderung aufgrund des Enthalpietransports hinzugefügt werden. Hierzu er-
setzen wir das partielle Differential durch das totale Differential der Temperatur und beachten, dass dx/dt = c , dy/dt = c und dz/dt = c gilt. Damit ergibt sich: x
y
z
dϑ

∂ϑ
ϑ

∂ dx
ϑ

∂ dy ∂ϑ dz

=

+

+

+

=
dt
t

∂
x

∂ dt
y

∂ dt
z

∂ dt

2

2

2
ϑ

∂
ϑ

∂
ϑ

∂
ϑ

∂

§ ∂ ϑ ∂ ϑ ∂ ϑ ·

+
c +
c +
c = a ⋅ ¨

+

+

¸
x
y
z

2

2

2

∂ t

∂ x
y

∂
z

∂

© ∂ x
y

∂
z

∂ ¹

Die Variablen dieser Gleichung können analog denen der Impulsgleichung ent-
dimensioniert werden. Hier kommen aber noch folgende Größen hinzu:

•

Bezugstemperaturdifferenz (ϑ –ϑ ): ϑ = ϑ * . (ϑ –ϑ ) +ϑ

F

W

F

W

F

•

Bezugszeit L / c:

t = t*·L/c

Durch Einsetzen der dimensionslosen Variablen und Umordnen gewinnen wir
folgende dimensionslose Form der Temperaturfeldgleichung:

2

2

2
ϑ

∂ * ∂ϑ *
ϑ

∂ *
ϑ

∂ *
a

§ ∂ ϑ * ∂ ϑ * ∂ ϑ *·

+
c * +
c * +
c * =

⋅¨

+

+

¸
x
y
z

2

2

2
t

∂ * ∂ x*
y

∂ *
z

∂ *
c ⋅ L
x

© ∂ *
y

∂ *

∂ z * ¹

Den Vorfaktor vor dem rechten Term können wir etwas umschreiben:

a
ν a

1

1

=

⋅ =

⋅
c ⋅ L
c ⋅ L ν

Re Pr

Die neue, neben der Reynolds zahl auftretende Kennzahl wird Prandtlzahl Pr genannt:

ν ν ⋅ ρ ⋅ cp

Pr =

=

(3.5)

a
λ

3 Erzwungene Konvektion

85

Sie kann auch als das Verhältnis der Dicken der laminaren Strömungs- und Tem-
peraturgrenzschicht aufgefasst werden. Gase haben eine Prandtl zahl von etwa 0,7, die der Flüssigkeiten variiert in einem weiten Bereich. Sie ist temperaturabhängig.

Wir haben nun fünf Gleichungen für fünf abhängige Variable hergeleitet, ent-
dimensioniert und auf diese Weise zwei für die konvektive Wärmeübertragung we-
sentliche charakteristische Kennzahlen gewonnen. Nun wenden wir die Methodik
der Entdimensionierung abschließend auf die Gleichung (3.2) an und erhalten
α ⋅ L

§ ϑ

∂ *·

= −¨

¸

= Nu
λ

© r

∂ *

L

¹

(3.6)

r* 1

=

Die dimensionslose Wärmeübergangszahl wird Nußeltzahl genannt. Sie ist das Verhältnis der für die Strömung charakteristischen Länge d und der Dicke der Temperaturgrenzschicht δ .

ϑ

Zugleich stellen wir fest, daß diese dimensionslose Wärmeübergangszahl offen-
bar nur vom dimensionslosen Temperaturfeld abhängig ist! Dieses wiederum erhal-
ten wir aber als eine Lösung des eben hergeleiteten Gleichungssystems, die durch

Reynolds- bzw. Prandtlzahl und die durchströmte Geometrie charakterisiert ist.

Trotz der sehr vereinfachten Herleitung des o.g. Gleichungssystems findet man
diesen Zusammenhang auch empirisch bestätigt und gibt die Nußelt zahlen daher in folgender Form an:

Nu = f ( Re , Pr, Geometrie,ϑ / ϑ )

(3.7)

L

L

W

Der letzte Term berücksichtigt die Abhängigkeit der Nußelt zahl von der Richtung des Wärmestroms. Näheres dazu wird später ausgeführt. Nußelt zahlen wurden in der o.g. Form für verschiedenste Geometrien, Stoffe und Strömungen experimentell bestimmt und in Form sogenannter Korrelationen, d.h. Funktionen, die die er-
haltenen Meßwerte bestmöglich wiedergeben, von zahlreichen Autoren veröffent-
licht. Eine der umfangreichsten Darstellungen von Nußelt funktionen findet sich im VDI-Wärmeatlas [3.4].

Die Ermittlung von Wärmeübergangszahlen wird also auf die Ermittlung der
für das jeweils vorliegende Problem passenden Nußeltzahl zurückgeführt. Aus
dieser Nußeltzahl wird dann die Wärmeübergangszahl nach der o.g. Definiti-
on bestimmt.

In den nachfolgenden Kapiteln wird dies für einige technisch wichtige Fälle nä-
her erläutert.

86

3 Erzwungene Konvektion

3.2

Bestimmung der Wärmeübergangszahlen

Wie erwähnt, hängt die Wärmeübergangszahl von der Reynolds zahl, den Stoffeigenschaften, der Geometrie und Richtung des Wärmestromes ab. Die Stoffeigen-
schaften werden durch die Prandtl zahl berücksichtigt. Die Wärmeübergangszahl wird aus der Nußelt zahl bestimmt. Man gibt die Nußelt zahlen in folgender Form an: Nu = f ( Re , Pr, Geometrie,ϑ / ϑ )

(3.7)

L
d

W

3.2.1

Rohrströmung

Bei der Strömung von Fluiden in zylindrischen Rohren ist die charakteristische

Länge der Innendurchmesser d des Rohres. Zur Bestimmung der Wärmeüber-
i
gangszahlen muss zwischen der turbulenten und laminaren Strömung unterschieden
werden.

3.2.1.1

Turbulente Rohrströmung

Das Temperaturprofil einer turbulenten Rohrströmung ist in Bild 3.1 dargestellt.

Die Temperatur des Fluids ist die Temperatur in der Rohrmitte. Die Beziehung für
die Nußelt zahl, die nach heutigen Kenntnissen die Messergebnisse am besten wie-dergibt, lautet [3.3]:

(ξ / )

8 ⋅ Re ⋅ Pr
d

Nu
i

=

⋅ f ⋅ f
d , turb

1

2
i

2 / 3

(3.8)

1+

,

12 7 ⋅ ξ / 8 ⋅ ( Pr

− )

1

Die Rohrreibungszahl ist dabei ξ. Sie ist folgendermaßen gegeben:

−2
ξ = 8

,

1

[

⋅log( Re )

(3.9)

d

− ]

5

,

1
i

Die Stoffwerte werden mit der Temperatur des Fluids in der Rohrmitte bestimmt.

Die Gleichungen (3.8) und (3.9) geben die Wärmeübergangszahl mit der besten

Genauigkeit bei der Strömung durch Rohre wieder.

Gleichung (3.8) zeigt auch, dass zwischen der Reibung und dem Wärmeüber-
gang ein grundsätzlicher Zusammenhang besteht. Je größer die Reibungszahl ξ der
turbulenten Strömung im Rohr ist, desto größer ist auch die Nußelt- und damit die Wärmeübergangszahl. Dieses verlangt vom Ingenieur, Wärmeübertrager so zu optimieren, dass er bezüglich Reibung und Wärmeübertragung die günstigste Lösung
findet.

Die Funktion f gibt den Einfluss der Rohrlänge und f den der Richtung des 1

2

Wärmestromes an. Die Rohrlänge beeinflusst die Wärmeübergangszahl, weil das

Temperaturprofil am Eintritt des Rohres nicht ausgebildet und damit die Dicke der

Temperaturgrenzschicht dort gleich null ist. Die Wärmeübergangszahl ist unend-
lich. Bild 3.1 zeigt das Strömungs- und Temperaturprofil.

3 Erzwungene Konvektion

87

Die Dicke der Temperaturgrenzschicht nimmt mit steigender Lauflänge zu und
die lokale Wärmeübergangszahl wird kleiner, bis sie bei ausgebildeter Tempe-
raturgrenzschicht konstant bleibt. In der Regel ist bei der Berechnung von Wärme-
übertragern nicht die lokale Wärmeübergangszahl von Interesse, sondern deren
mittlerer Wert für die gesamte Rohrlänge. Die höheren Wärmeübergangszahlen am

Eintritt des Rohres beeinflussen die mittlere Wärmeübergangszahl. Die Funktion f 1
zur Berücksichtigung der Rohrlänge lautet:

2 / 3
f = 1+ ( d / l)

(3.10)

1
i
ϑ (x = 0)

ϑ (x)

F

F
c
δϑ
ϑ w
ϑ w
α
α x
α

0
x
l

Bild 3.2: Einfluss der Rohrlänge auf die Wärmeübergangszahl

Die Richtung des Wärmestromes beeinflusst die Wärmeübergangszahl, weil die

Reynolds- und Prandtl zahl mit den temperaturabhängigen Stoffwerten des Fluids gebildet werden und in der Temperaturgrenzschicht eine andere Temperatur
herrscht. Für die Funktion f hat man für Flüssigkeiten und Gase zwei unterschiedli-2
che Beziehungen gefunden:

f = ( Pr / Pr )0 11

,
für Flüssigkeiten

2

W

(3.11)

f = ( T / T )0,45
für Gase

2

W

Die angegebenen Gleichungen gelten für:

104 < Red < 106
i
l / di > 1

In Wärmeübertragerrohren sind die Temperatur des Fluids und die Temperatur
der Wand nicht konstant. Die Stoffwerte für das Fluid werden mit der mittleren

Temperatur ϑ = (ϑ + ϑ ) / 2 bestimmt. Zur Berechnung des Wärmestromes wird
m
ein
aus

88

3 Erzwungene Konvektion
die mittlere Temperaturdifferenz nach Gl. (1.15) verwendet. Sie wird mit den Tem-
peraturdifferenzen am Ein- und Austritt des Rohres gebildet.

Q = α ⋅ A⋅ ϑ

Δ

(3.12)

m

Strömt außen am Rohr ebenfalls ein Fluid, wird zur Bestimmung des Wärme-
stromes die Wärmedurchgangszahl eingesetzt und mit den Fluidtemperaturen die
mittlere Temperaturdifferenz gebildet. Die Wandtemperatur ist:

k ⋅ d
k
i
ϑ = ϑ +

⋅ ϑ

Δ
ϑ = ϑ −

⋅ ϑ

Δ

Wi
mi
m

Wa
ma
m
α ⋅

(3.13)

d
α
i
a
a

Für überschlägige Berechnungen kann an Stelle von Gl. (3.8) eine vereinfachte

Potenzgleichung verwendet werden, die die Wärmeübergangszahl mit etwa 5 %

Genauigkeit angibt:

0,8

0,48

Nu

= ,

0 0235 ⋅ ( Re

− 230) ⋅ Pr

⋅ f ⋅ f

(3.14)

d
d

1

2
i
i

Zur Berücksichtigung der Richtung des Wärmestromes bei Gasen sind im VDI-

Wärmeatlas [3.4] weitere Funktionen angegeben.

3.2.1.2

Laminare Rohrströmung bei konstanter Wandtemperatur

Hier wird nur die Strömung bei konstanter Wandtemperatur behandelt. In [3.4]

findet man Beziehungen für konstante Wärmestromdichte. Bei laminarer Rohr-
strömung ist in sehr langen Rohren (thermisch und hydraulisch ausgebildeter Strö-
mung) die Wärmeübergangszahl von der Reynolds- und Prandtl zahl unabhängig.

Die Nußelt zahl hat einen konstanten Wert.

Nud lam = 66

,

3

,

(3.15)

i

Bei kürzeren Rohren, in denen die Temperatur- und Strömungsgrenzschicht
nicht ausgebildet sind, ist die Nußelt zahl:

Nu

= ,

0 644 3

⋅ Pr ⋅ Re ⋅ d / l
d , lam
d
i

(3.16)

i
i

Da der Übergang asymptotisch erfolgt, gilt folgende Ausgleichsgleichung:

3

3

3

3 / 2

Nu

=

,

3 66 + ,

0 644 ⋅ Pr ⋅ ( Re ⋅ d / l)

(3.17)

d , lam
d
i
i
i

Bis zu Reynolds zahlen von 2 300 ist Gl. (3.17) gültig. Bild 3.3 zeigt die Nußelt-zahlen für Pr = 1 in Abhängigkeit von der Reynolds zahl für verschiedene Rohrlängen.

3 Erzwungene Konvektion

89

3

10

Pr = 1
u d i

2

10

N
l
d / l = 1
h
i
az lteßuN

0,1

1

10

0,01

0

10

1

2

3

4

5

6

10

10

10

10

10

10

Reynolds zahl Red i

Bild 3.3: Nußelt zahl bei Pr = 1; Sprünge beim Übergang von laminar zu turbulent

3.2.1.3

Gleichungen für den Übergangsbereich

Aus dem Diagramm ist ersichtlich, dass es beim Übergang von der laminaren zur
turbulenten Strömung sprunghafte Übergänge gibt. Gl. (3.8) ist wie angegeben nur
ab Re > 104 gültig. Für den Übergangsbereich 2 300 < Re < 104 wird folgende di

Interpolationsgleichung vorgeschlagen:

Nu

= −γ ⋅ Nu

Re =

+ γ ⋅ Nu

Re =
di

(1 )

4

(

2 300)

(

10 )

d , lam
d ,
i
i turb

Re − 2 300
mit γ =

(3.18)

7 700

Bild 3.4 zeigt die mit der Ausgleichsgleichung berechneten Nußelt zahlen.

3

10

Pr = 1

2

10
i
u dN
d / l = 1,0
i
lh
za lteßuN

0,1

1

10

0,01

0

10

1

2

3

4

5

6

10

10

10

10

10

10

Reynolds zahl

Re di

Bild 3.4: Nußelt zahl als Funktion der Reynolds zahl und d / l bei Pr = 1
i

90

3 Erzwungene Konvektion

BEISPIEL 3.1: Wärmeübergangszahl in einem Rohr

Zur Demonstration ihrer Größe werden die Wärmeübergangszahlen für verschie-
dene Stoffe in einem Rohr mit 25 mm Innendurchmesser berechnet. Die Rohrwand
hat eine Temperatur von 90 °C, das Fluid die von 50 °C. Die Geschwindigkeiten
und Stoffwerte sind:

Geschwindigkeit
kin. Viskosität Wärmeleitfähigkeit Pr

PrWi
m/s

10-6 m2/s

W/(m K)

Wasser

2

0,554

0,6410

3,570

1,96

Luft

1 bar

20

18,250

0,0279

0,711

Luft

10 bar

20

1,833

0,0283

0,712

R134a

10 bar

2

0,146

0,0751

3,130

3,13

Berechnen Sie die Wärmeübergangszahlen.

Lösung

Annahmen

•

Die Rohrwandtemperatur ist konstant.

•

Der Einfluss der Anlaufströmung bleibt unberücksichtigt.

Analyse

Wie man später sieht, ist die Reynolds zahl in allen Fällen größer als 104, so dass mit Gl. (3.8) gerechnet werden kann. Die ermittelten Werte sind:

Re
ξ
f

Nu
α
di

2
di,turb

W/(m2 K)

Wasser

90 253

0,0182

1,068

432,1

11 079,5

Luft 1 bar

27 397

0,0238

0,949

63,9

71,3

Luft 10 bar 272 777

0,0146

0,949

377,0

426,8

R134a

34 2 466

0,0140

1,000

1 166,0

3 502,6

Diskussion

Die Berechnungen zeigen, dass Flüssigkeiten wesentlich größere Wärmeüber-
gangszahlen als Gase haben, obwohl die Gasgeschwindigkeiten sehr viel höher als
die der Flüssigkeiten sind. Die kleineren Wärmeübergangszahlen werden durch
größere kinematische Viskosität und kleinere Wärmeleitfähigkeit der Gase verur-
sacht, wobei Wasser auf Grund seiner hohen Wärmeleitfähigkeit eine Sonderstel-
lung einnimmt. Bei Gasen steigen wegen Verringerung der kinematischen Viskosi-
tät mit dem Druck die Reynolds zahl und Wärmeübergangszahl an. Der Einfluss der Rohrlänge bleibt unberücksichtigt, da er in diesem Beispiel keine Rolle spielt.

3 Erzwungene Konvektion

91

BEISPIEL 3.2: Wärmeübergangszahl in einem Wärmeübertrager

In einem Wärmeübertrager mit 1 m langen Rohren, 15 mm Außendurchmesser und

1 mm Wandstärke strömt Wasser mit der Geschwindigkeit von 1 m/s. Außen an den

Rohren kondensiert Frigen R134a bei 50 °C. Die Wärmeübergangszahl des Fri-
gens ist 5 500 W/(m2 K). Wärmeleitfähigkeit des Rohrmaterials: 230 W/(m K). Am

Rohreintritt hat das Wasser eine Temperatur von 20 °C.

Stoffwerte des Wassers:

ρ
c
λ
ν

Pr
p
kg/m3

J/(kg K)

W/(m K)

m2/s

-

20 °C:

998,2

4 184

0,598

1,003 . 10-6

7,00

30 °C:

995,7

4 180

0,616

0,801 . 10-6

5,41

40 °C:

992,3

4 178

0,631

0,658 . 10-6

4,32

Berechnen Sie die Wärmeübergangszahl, die Austrittstemperatur des Wassers
und den pro Rohr transferierten Wärmestrom.

ϑ
α

2
a

Lösung
ϑ '

c
ϑ ''

1

1
ϑ
ϑ2

Schema

Siehe Skizze
ϑ ''1

Annahme
ϑ '1
x

0
l

•

Die mittlere Wärmeübergangszahl ist konstant.

Analyse

Die Austrittstemperatur des Wassers ist nicht bekannt, d.h., zur Bestimung der

Stoffwerte muss eine mittlere Temperatur angenommen und damit die Wärmeüber-
gangszahl, Wärmedurchgangszahl und der Wärmestrom bestimmt werden. Dann
können die Austrittstemperatur des Wassers und die mittlere Temperatur berechnet
werden. Zunächst wird angenommen, dass die Austrittstemperatur des Wassers

30 °C ist. Die mittlere Temperaur beträgt 25 °C. Die Stoffwerte des Wassers sind:

ρ = 997,0 kg/m3, c 4 182 J/(kg K), λ = 0,607 W/(m K), Pr = 6,21,
p
ν = 0,902 . 10-6 m2/s.

c ⋅ d

1⋅ m ⋅ 0,013⋅ m ⋅s

Die Reynolds zahl ist:

i

Re =

=

= 14 412

−6

2
ν
s ⋅ 0,902 ⋅10 ⋅ m

Widerstandszahl nach Gl. (3.9): ξ =

8

,

1

[

⋅ log( Re )

d

− ]

5

,

1

2

− = ,

0 0279
i

Die Nußelt zahl kann jetzt mit den Gln. (3.8), (3.10) und (3.11) berechnet werden.

Der Einfluss der Richtung des Wärmestromes nach Gl. (3.11) benötigt die

Prandtl zahl, gebildet mit der Wandtemperatur. Da diese erst nach Berechnung der Wärmeübergangs- und Wärmedurchgangszahl möglich ist, muss hier iteriert werden. Die Größe f wird zunächst als 1 angenommen. Die Größe f ist: 2

1

92

3 Erzwungene Konvektion
f = 1+ ( d / l)2/3
i

= 1+ ( 013

,

0

/ )

1 2/3 = 055

,

1

1

Die Nußelt zahl nach (Gl. 3.8) berechnet sich als:

(ξ / 8) ⋅ Re ⋅ Pr
di

Nu

=

⋅ f ⋅ f =
d , turb

1

2
i

2/3

1+12, 7 ⋅ ξ / 8 ⋅ ( Pr

−1)

0, 0035 ⋅14 412 ⋅ 6, 21

=

⋅1,055 =118,3

2/ 3

1 +12, 7 ⋅ 0, 0035 ⋅ (6, 21

−1)

Damit ist die Wärmeübergangszahl:

2
α = Nu ⋅λ / d = 118,3⋅0,607 ⋅ W/(m ⋅K)/(0,013⋅m) = 5524 W/(m ⋅K)

d i
i

Die Wärmedurchgangszahl ist nach Gl. (2.27):

−1

§ 1
d
d
d

·
a
k = ¨

+

⋅ ln a
a

+

¸ =

© α

2 ⋅ λ
d
d ⋅α
a

R
i
i
i ¹

−1

§ 1

0 , 015

15

15

·

W

= ¨

+

⋅ ln

+

¸ = 2529 2

© 5500 2 ⋅ 230

13

13⋅ 5524 ¹
m ⋅ K

Mit der Wärmedurchgangszahl und der mittleren Temperaturdifferenz kann die

Wandtemperatur ermittelt werden. Die mittlere Temperaturdifferenz beträgt:

ϑ ′−ϑ′

30

(

− 20)⋅ K

1

1

Δϑ m =

=

=

K

24,66

§ϑ −ϑ′ ·

§ 50 − 20 ·
ln

2

1
ln¨

¸

¨¨

¸¸
ϑ −ϑ ′

© 50 − 30 ¹

© 2

1 ¹

Die Wandtemperatur ist nach (Gl. 3.13):

k ⋅ d

2 529 ⋅13
i
ϑ = ϑ + Δϑ ⋅

= 25 C

° + 24,66⋅K ⋅

34

= ,8 C

°

W
m
m
α ⋅ d

5524 ⋅15
i
a

Die linear interpolierte Prandtl zahl bei 34,8 °C beträgt 4,89.

Nach Gl. (3.11) ist die Größe f : f = ( Pr / Pr )0 11

,

W

= ,

6

( 21/

)

89

,

4

0 11

,

= 027

,

1

2

2

Die Nußelt- und auch die Wärmeübergangszahl werden um 3,0 % größer. Für α , i k und ϑ erhält man die folgenden Werte: α = 5 671 W/(m2 K), k = 2 565 W/(m2 K), W
i
ϑ = 34,7 °C. Pr wird damit zu 4,901 und die Größe f zu 1,0263. Mit diesen W

W

2

Werten kann man α und k bestimmen:

i
α = 5 670 W/(m2 K) k = 2 564 W/(m2 K)

i

Mit der kinetischen Kopplung berechnen wir die transferierte Wärme.

3 Erzwungene Konvektion

93

Q = k ⋅ A⋅ Δϑ = k ⋅π ⋅ d ⋅ l ⋅ Δϑ =
m
a
m

2

= 2564⋅ W/(m ⋅K) ⋅ ʌ ⋅0,015⋅ m ⋅1⋅ m ⋅24,66⋅ K = 2980 W

Aus der Energiebilanzgleichung des Wassers kann die Austrittstemperatur be-
stimmt werden. Der Massenstrom im Rohr ist:

m

= c⋅ ,

0 25

2

⋅π ⋅ d ρ
i ⋅

=1⋅ m/s⋅0,25⋅ ʌ ⋅0,0132 ⋅ m2 ⋅997⋅ kg/s = 0,132 kg

/s

Q

2 980 W
ϑ = ϑ

⋅

′′

′ +

= 20 C

° +

= 25,4 C

°

1

1
m

⋅ c

0,132 ⋅ kg/s ⋅ 4182 ⋅ J/(kg ⋅ K)

p

Die mittlere Temperatur des Wassers ist nicht wie angenommen 25 °C, sondern

22,7 °C. Die Berechnung muss mit folgenden neuen Stoffwerten wiederholt wer-
den: ρ = 997,5 kg/m3, c 4 182 J/(kg K), λ = 0,607 W/(m K), ν = 0,948 . 10-6 m2/s, p

Pr = 6,53.

Die Berechnungsschritte sind nicht mehr im Detail gezeigt, sondern nur die

Ergebnisse.

Re
α
k

Δϑ
ϑ
f

Q
ϑ
di
i
m

W

2

1

W/(m2 K)

W/(m2 K)

K

°C

W

°C

13 706

5 525

2 530

27,22

33,49 1,0297

5 544

2 534

27,22

33,47 1,0298

5 543

2 534

3 251

25,87

13 778

5 559

2 538

26,96

33,60 1,0295

5 557

2 537

26,96

33,60 1,0295

5 557

2 537

3 223

25,82

Hier kann die Iteration abgebrochen werden, weil die letzten Änderungen kleiner
als 0,2 % sind.

Diskussion

Zur Berechnung der Wärmeübergangszahlen und Temperaturen in Wärmeüber-
tragern sind in der Regel Iterationen erforderlich, die stark konvergent sind. Bei diesem Beispiel hätte man bereits nach der ersten Iteration aufhören können. Der Wär-
mestrom war schon mit 1 % Genauigkeit berechnet. Will man aufwändige Berech-
nungen vermeiden, muss man Computerprogramme erstellen, in denen die Stoff-
werte und Formeln programmiert sind. Oft genügt es, nur die Stoffwerte bei zwei

Temperaturen anzugeben und zwischen diesen Stützstellen linear zu interpolieren.

Jedenfalls sollte geprüft werden, ob dann die erforderliche Genauigkeit erreicht
wird.

94

3 Erzwungene Konvektion

BEISPIEL 3.3: Auslegung eines Kraftwerkkondensators

In einem Kraftwerkkondensator soll ein Wärmestrom von 2 000 MW abgeführt
werden. Der Kondensator hat Titanrohre mit 24 mm Außendurchmesser und

0,5 mm Wandstärke. Die Kühlwassergeschwindigkeit in den Rohren beträgt 2 m/s.

Titan hat eine Wärmeleitfähigkeit von 16 W/(m K). Der Dampf kondensiert bei
einer Sättigungstemperatur von 35 °C, die Wärmeübergangszahl bei der Kondensa-
tion ist 13 500 W/(m2 K). Das Kühlwasser wird von 20 auf 30 °C erwärmt. Bei 25 °C
sind die Stoffwerte des Wassers:

ρ = 997,0 kg/m3, c = 4 182 J/(kg K), Pr = 6,2, λ = 0,607 W/(m K), p
ν = 0,902 . 10-6 m2/s.

Der Einfluss der Richtung des Wärmestromes kann vernachlässigt werden. Zu
berechnen sind:

a) die Anzahl der Rohre
b) die Rohrlänge
c) die Kondensationstemperatur, wenn sich die Wärmedurchgangszahl wegen

Verschmutzung um 10 % verringert.

ϑ
α

2
a

Lösung
ϑ '

c
ϑ ''

1

1
ϑ
ϑ

Schema

Siehe Skizze

2
ϑ ''1

Annahmen
ϑ '1
x

0
l

•

Die mittlere Wärmeübergangszahl ist konstant.

•

Der Einfluss der Richtung des Wärmestromes kann vernachlässigt werden, d. h.,
f = 1.

2

Analyse
a)

Mit der Energiebilanzgleichung kann der Massenstrom des Kühlwassers be-
stimmt werden.

6

Q

2 000 ⋅10 ⋅ W ⋅ kg ⋅ K
kg
m

=

=

= 47824
c ⋅ (ϑ′′−ϑ )

′

4182 ⋅ J ⋅ (30 − 20) ⋅ K
s
p

1

1

Mit der gegebenen Geschwindigkeit des Kühlwassers kann der Massenstrom pro

Rohr berechnet werden.

m

π
ρ

Rohr = c ⋅

,

0 25

2

⋅ ⋅ di ⋅ = 2⋅ m/s ⋅0,25⋅ ʌ ⋅0,0232 ⋅ m2 ⋅997⋅ kg/s =
kg/

0,828
s

1

Man benötigt 57 727 Rohre, um den Massenstrom von 47 824 kg/s zu erreichen.

3 Erzwungene Konvektion

95
b)

Zur Berechnung der Nußelt zahl mit Gl. (3.8) benötigt man die Funktion f .

1

Sie berücksichtigt den Einfluss der Rohrlänge, die jetzt noch unbekannt ist. Für die erste Berechnung wird daher f = 1 gesetzt.

1
c ⋅ d

2 ⋅ m ⋅ 0,023⋅ m ⋅s

Reynolds zahl:

i

Re =

=

= 50998

6

−

2
ν
s ⋅ 0,902 ⋅10 ⋅ m

Widerstandszahl nach Gl. (3.9): ξ =

8

,

1

[

⋅ log( Re )

d

− ]

5

,

1

2

− = ,

0 0206
i

(ξ / 8) ⋅ Re ⋅ Pr
d

0,00257 ⋅50 998⋅6, 2
i

Nu

=

=

= 321,3
d , turb
i

2/3

2/3

1+12,7 ⋅ ξ / 8 ⋅( Pr

−1) 1+12,7⋅ 0,00257 ⋅(6,2 −1)

Damit ist die Wärmeübergangszahl:

2
α = Nu ⋅λ / d = 321,3⋅0,607 ⋅ W/(m ⋅K)/(0,023⋅m) = 8481 W/(m ⋅K)

i
d i
i
und die Wärmedurchgangszahl nach Gl. (2.27):

−1

1

−

§ 1
d
d
d

·

§ 1

0 , 024

24

24

·
a
k = ¨

+

⋅ln a
a

+

¸ = ¨

+

⋅ln

+

¸ =

© α

2 ⋅ λ
d
d ⋅α ¹

©13500

2 ⋅16

23

23⋅8 481 ¹
a

R
i
i
i

2

= 4366 W/(m ⋅ K)

Mit der Wärmedurchgangszahl und mittleren Temperaturdifferenz kann die not-
wendige Austauschfläche ermittelt werden. Die mittlere Temperaturdifferenz ist:

ϑ ′−ϑ′

30

(

− 20)⋅ K

1

1

Δϑ m =

=

=

K

9,102

§ ϑ −ϑ′ ·

§ 35 − 20 ·
ln

2

1
ln¨

¸

¨¨

¸¸
ϑ −ϑ ′

© 35 − 30 ¹

© 2

1 ¹

Die für den Wärmestrom benötige Austauschfläche wird mit der kinetischen

Kopplungsgleichung berechnet.

6

2

Q

2 000 ⋅10 ⋅ W ⋅ m ⋅ K

2

A =

=

= 50325 m
k ⋅ Δϑ

4 366 ⋅ W ⋅ 9,102 ⋅ K
m

Daraus errechnet sich die Rohrlänge zu:

2

A

50 325 ⋅ m
l =

=

= 11,562 m
n ⋅π ⋅ d

57 727 ⋅π ⋅ 0, 024 ⋅ m
a

96

3 Erzwungene Konvektion

Mit der Rohrlänge erhält man für die Funktion f = 1,016. Damit wird die Wär-1
meübergangszahl um 1,6 % größer, die Wärmedurchgangszahl um 1,43 % größer,
die Rohrlänge entsprechend kleiner. Sie beträgt 11,460 m. Eine weitere Iteration
ergibt 11,465 m.

c)

Der Dampfzufluss bleibt durch die Verschmutzung unbeeinflusst, so dass
sich der Wärmestrom und die Erwärmung des Kühlwassers nicht verändern. Damit
der Wärmestrom entsprechend der kinetischen Kopplungsgleichung abgeführt wer-
den kann, ändert sich die mittlere Temperaturdifferenz. Da sich das Produkt aus k und A unter Berücksichtigung der Rohrlänge nicht verändert, können die zuvor berechneten Werte verwendet werden.

9

2

Q

2 10

W m

K

Δϑ

⋅

⋅ ⋅

⋅

=

=

= 10,114 K
m

2

A ⋅ k

49 901⋅ m ⋅ 4 403⋅ 0,9 ⋅ W
v

Daraus kann man mit (Gl. 1.15) die Kondensationstemperatur ermitteln.

ϑ′′ ϑ

− ′

1

1
ϑ

Δ m
ϑ′ −ϑ′⋅ e

1

1
ϑ =

= 35,93 °C

2
ϑ′′ ϑ

− ′

1

1

1
ϑ

Δ m

− e

Diskussion

Bei der Auslegung des Kondensators muss die Rohrlänge bestimmt werden, die

Funktion f ist daher nicht bekannt, eine Iteration ist notwendig. Durch Verschmut-1
zung erhöht sich die Kondensationstemperatur. Damit bei verringerter Wärme-
durchgangszahl der Wärmestrom abgeführt werden kann, muss sich die mittlere

Temperaturdifferenz erhöhen. Weil sich die Aufwärmung des Kühlwassers nicht
ändert, erhöht sich die Kondensationstemperatur, damit der Wärmestrom abgeführt
werden kann.

3.2.1.3

Rohre und Kanäle nicht kreisförmigen Querschnitts

Bei Rohren und Kanälen nicht kreisförmigen Querschnitts kann die Nußelt zahl bei der turbulenten Strömung mit den zuvor angegebenen Gleichungen berechnet werden. An Stelle des Rohrinnendurchmessers wird dafür der hydraulische Durch-
messer des Kanals eingesetzt. Mit ihm werden die Reynolds- und Nußelt zahl bestimmt.

Der hydraulische Durchmesser ist definiert als:

4 ⋅ A

4 ⋅ Austauschfläche
dh =

=

U

Umfang

(3.19)

3 Erzwungene Konvektion

97

Bei laminarer Strömung ist die Berechnung nicht kreisförmiger Querschnitte mit
dem hydraulischen Durchmesser undurchführbar.

D
d

Ringspalt

.

Q

Isolation

Bild 3.5: Ringspalt

Ringspalte (Bild 3.5) benötigen eine zusätzliche Korrektur. Hier ist das Verhältnis beider Ringspaltdurchmesser zu berücksichtigen. Bei Ringspalten, in denen die

Wärmeübertragung nur vom oder zum Innenrohr erfolgt, kann z.B. folgende Kor-
rektur durchgeführt werden [3.4, 3.5]:

0 16

,

Nu

/ Nu

= 0 86

,

⋅( D / d)

(3.20)

Ringspalt
d h

BEISPIEL 3.4: Auslegung eines Gegenstrom-Wärmeübertragers

Der Wärmeübertrager einer Fernheizung besteht aus einem Innenrohr mit 18 mm

Außendurchmesser und 1 mm Wandstärke. Das Rohr ist von einem konzentrisch
angeordneten Außenrohr mit 24 mm Innendurchmesser ummantelt. Die mittlere

Geschwindigkeit im Rohr und im Ringspalt beträgt 1 m/s. In den Ringspalt strömt
das Heizwasser mit der Temperatur von 90 °C hinein. Im Rohr fließt das Brauch-
wasser und soll von 40 °C auf 60 °C erwärmt werden. Die Wärmeleitfähigkeit des

Rohrmaterials ist 17 W/(m K). Das Außenrohr ist thermisch ideal isoliert. Zur Ver-
einfachung können die Funktionen f und f zu eins gesetzt werden. Die Stoffwerte 1

2
sind:

Dichte kin. Viskosität Wärmeleitfähigkeit Pr
cp
kg/m3

10-6 m2/s

W/(m K)

J/(kg K)

Brauchwasser

998,1

0,553

0,6437

3,55

4 179

Heizwasser

971,8

0,365

0,6701

2,22

4 195

Berechnen Sie, wie lang der Apparat werden muss.

98

3 Erzwungene Konvektion

Lösung

.

m 1
d
d

D

1

2

Schema

Siehe Skizze

.

m 2
ϑ
ϑ '2

Δϑ gr
ϑ ''2

Δϑ
ϑ ''

kl

1

Annahmen
ϑ '1
x
l

•

Nach außen erfolgt kein Wärmetransport.

•

Die senkrechte Einströmung des Wassers in den Ringraum wird vernachlässigt.

•

Der Einfluss der Rohrlänge und der der Richtung des Wärmestromes werden
vernachlässigt.

Analyse

Um die notwendige Übertragungsfläche zu bestimmen, sind die Wärmeüber-
gangszahlen innen und außen und die mittlere Temperaturdifferenz zu berechnen.

Für Letztere benötigen wir die Austrittstemperatur des Heizwassers, die mit Hilfe
der Energiebilanzgleichungen berechnet werden kann. Wir bestimmen zuerst die

Massenströme im Rohr und Ringspalt.

m

= c ⋅ ,

0 25

2

⋅π ⋅ d ⋅ ρ = 1⋅m/s⋅0,25⋅ ʌ ⋅0,0162 m2 ⋅998,1⋅ kg/m3 = 0,2007 kg

/s

1

1

1

1
m

= c ⋅ ,

0 25⋅π ⋅ ( 2

2

D − d ) ⋅ ρ = 1⋅ 0,25⋅ ʌ ⋅ ( 024

,

0

2 − 0 , 18

0

2 ) ⋅971,8 = 0,1923 kg

/s

2

2

2

1

Aus der Bilanzgleichung kann mit den gegebenen Werten der Wärmestrom zum

Brauchwasser berechnet werden.

Q = m ⋅ c ⋅ (ϑ′′−ϑ )

′ = 0,2007⋅ kg/s ⋅4179⋅J/(kg ⋅K) ⋅(60 − 40)⋅K = 16,773 kW

1

1
p

1

1

Dieser Wärmestrom wird vom Heizwasser abgegeben. Damit ist die Austritts-
temperatur des Heizwassers:

Q

16 773 W
ϑ = ϑ

⋅

′′

′ −

= 90 C

° −

= 69,21 C

°

2

2
m

⋅ c

0,1923 ⋅ kg/s ⋅ 4195⋅ J/(kg ⋅ K)

2
p 2

Mittlere Temperaturdifferenz:

ϑ

Δ
ϑ

Δ
gr −
kl

30

(

− ,

29

)

21 ⋅ K
ǻϑ m =

=

=

K

29,60
ln( ϑ

Δ

/ ϑ

Δ )

30
ln(

/

,

29

)

21
gr
kl

Die Wärmeübergangszahl im Rohr wird mit f = 1 und f = 1 berechnet.

1

2
c ⋅ d

1⋅ m/s ⋅ 0,016 ⋅ m

1

1

Re =

=

= 28 933
d 1

−6

2
v

0,553⋅10 ⋅ m /s

1

3 Erzwungene Konvektion

99

Widerstandszahl nach Gl. (3.9): ξ =

8

,

1

[

⋅ log( Re )

d

− ]

5

,

1

2

− = ,

0 0234
i

(ξ / 8) ⋅ Re ⋅ Pr
d

0 , 00293⋅ 28933⋅3 , 55
i

Nu

=

=

=157,4
d , turb
i

2/3

2 / 3

1+12,7⋅ ξ / 8 ⋅ ( Pr

−1) 1+12 , 7⋅ 0 , 00293 ⋅ ( 3 , 55 −1 )

Damit ist die Wärmeübergangszahl:

2
α = Nu ⋅λ / d = 157,4⋅0,6437 ⋅ W/(m ⋅K)/(0,016 ⋅m) = 6333 W/(m ⋅K) i
d i
i

Zur Berechnung der Wärmedurchgangszahl im Ringspalt muss zuerst mit Gl.

(3.19) der hydraulische Durchmesser ermittelt werden.

4 ⋅ A
π ⋅( 2

2

D − d )

2
d h =

=

= D − d = mm

6

U
π ⋅( D + d )

2

2

Die Wärmeübergangszahl kann mit den Gln. (3.8) und (3.20) bestimmt werden.

c ⋅ d

1⋅ m/s ⋅ 0,006 ⋅ m

2
h

Re

=

=

= 16 438
dh

−6

2
v

0,365 ⋅10 ⋅ m /s

1

Widerstandszahl nach Gl. (3.9): ξ = 8

,

1

[

⋅log( Re )

d

− ]

5

,

1

2

− = ,

0 0270
h

0,16

(ξ / 8) ⋅ Re ⋅ Pr

§

·
d

D
h

Nu

=

⋅0,86⋅¨ ¸ =
d , turb
h

2/3

1+12,7 ⋅ ξ / 8 ⋅( Pr

−1)

d

© 2 ¹

0,16

0 , 00337 16

⋅ 438⋅2 , 22

§ 24 ·

=

⋅0,86⋅¨ ¸ = 73,0

2 / 3

1+12 , 7 ⋅ 0 , 00337 ⋅(2 , 22

−1)

© 18 ¹

Damit ist die Wärmeübergangszahl im Ringspalt:

2
α = Nu ⋅λ / d = 73⋅0,6701⋅W/(m⋅K)/(0,006⋅m) = 8155 W/(m ⋅K)

a
d

2
h
h

Wärmedurchgangszahl nach Gl. (2.27):

−1

§ 1
d
d
d

·

2

2

2
k = ¨

+

⋅ln

+

¸ =

© α

2 ⋅ λ
d
d ⋅α
a

R

1

1
i ¹

−1

§ 1

0 , 018

18

18

·

W

= ¨

+

⋅ln

+

¸ = 2 758 2

© 8155

2 ⋅17

16

16 ⋅ 6 332 ¹
m ⋅ K

100

3 Erzwungene Konvektion

Die benötigte Austauschfläche beträgt:

2

Q

16 773 ⋅ W ⋅ m ⋅ K

2

A =

=

= 0,205 m
k ⋅ Δϑ

2 758 ⋅ W ⋅ 29,6 ⋅ K
m

A

Die Rohrlänge errechnet sich zu: l =

=
m

3,63
π ⋅ d 2

Diskussion

Bei der Strömung von Wasser entsteht eine sehr große Wärmeübergangszahl.

Dadurch kann ein großer Wärmestrom über eine kleine Übertragungsfläche fließen.

Ohne die gemachten Vereinfachungen wäre unter Berücksichtigung der Rohr-
länge und Richtung des Wärmestromes der Rechenaufwand etwa dreimal größer.

Der Fehler hier ist kleiner als 5 %.

3.2.2

Ebene Wand

In technischen Apparaten kommt Wärmeübertragung durch erzwungene Konvekti-
on an einer ebenen Wand selten vor. Die Berechnung der Wärmeübergangszahlen
ist einfacher als bei anderen Körpern und wird deshalb in fast allen Lehrbüchern
ausführlich behandelt, um den Zusammenhang zwischen der Wärmeübergangs-
zahl und dem Reibungskoeffizienten aufzuzeigen. Hier werden nur die entspre-
chenden Gleichungen angegeben. Die charakteristische Länge ist die Länge l der Wand in Strömungsrichtung.

Für die laminare Strömung gilt:

3

5

Nu

= 0,644⋅ Pr ⋅ Re
für Re < 10

(3.21)

l, lam
l
l

Für die turbulente Strömung gilt:

0,8

0, 037 ⋅ Re ⋅ Pr
l

5

7

Nu

=

⋅ f
für 5 ⋅10 < Re < 10
l , turb

0,

− 1

2/ 3

3

1 + 2, 443⋅ Re

⋅( Pr −

(3.22)

1)

l
l

Da die Reynolds zahl mit der Plattenlänge gebildet wird, ist für die Geometrie keine weitere Korrektur notwendig. Funktion f ist die Korrekturfunktion für die 3

Richtung des Wärmestromes. Sie ist gegeben als:

0,25

Pr PrW
f 3 = (

/

)

für Flüssigke

iten

®

(3.23)

¯1
für Gase

Der Bereich zwischen den Reynolds zahlen von 105 und 5 . 105 wird durch die beiden Gleichungen nicht abgedeckt. Der Übergang zwischen laminarer und turbu-

3 Erzwungene Konvektion

101
lenter Strömung erfolgt asymptotisch. Beide Bereiche und der Übergangsbereich
werden durch folgende Gleichung erfasst:

2

2

7

Nu = Nu

+ Nu
für 10 < Re < 10

(3.24)

l
l , lam
l , turb
l

3.2.3

Quer angeströmte Einzelkörper

Oft wird an ein vom Fluid quer angeströmten Körper Wärme übertragen. Zu den
technischen Anwendungen gehören z.B. quer angeströmte Rohre von Rohrbündeln
in Wärmeübertragern oder quer angeströmte Temperaturfühler. Rohrbündel werden
im Kapitel 3.2.4 behandelt. Ihre Berechnung basiert auf den Gesetzmäßigkeiten
quer angeströmter Einzelkörper. Wie wir in der Strömungslehre gesehen haben,
bildet sich am Staupunkt der Strömung zunächst eine laminare Grenzschicht, die je
nach Strömungsgeschwindigkeit und Geometrie des Körpers nach einer gewissen

Strömungslänge in eine turbulente Strömung übergeht, es entstehen Strömungsab-
lösungen. Strömungsvorgänge und damit auch die Wärmeübergangseffekte sind
komplex. Wie bei der Rohrströmung ist es jedoch gelungen, Beziehungen herzu-
leiten, die die Nußelt zahl als eine Funktion der Reynolds zahl, Prandtl zahl und Geometrie angeben.

Für die Bildung der Reynolds- und Nußelt zahl ist die charakteristische Länge die Überströmlänge L , die als die am Austausch beteiligte Fläche A, geteilt durch den projizierten Umfang des Körpers definiert ist.

L′ = A / U

(3.25)

proj

Der projizierte Umfang ist der Umfang U
der in Strömungsrichtung projizier-
proj
ten Fläche des Körpers. Bei quer angeströmten Zylindern oder länglichen Körpern
hat der projizierte Umfang die doppelte Länge, bei einer Platte die Breite der Platte, bei einer Kugel den Umfang der Kugel.

Bild 3.6 zeigt die Übertragungsflächen und die projizierten Umfänge einiger

Körper.

d
d

L
b

A = L b

.

U = b
proj
ebene Platte

A = d
π 2

U = d
π
proj

Kugel
d

L

L
a
b

A = d L
π

U = 2 L

A = 2 (a + b) L
proj

U = 2 L
proj

Rohr (Zylinder)

viereckiger Stab

Bild 3.6: Übertragungsflächen und projizierter Umfang angeströmter Einzelkörper

102

3 Erzwungene Konvektion

Bei einer Kugel und einem Zylinder findet selbst dann, wenn die Reynolds zahl gegen null strebt, noch eine Wärmeübertragung durch Wärmeleitung im umgebenden Fluid statt. Für eine Kugelschale mit dem Innendurchmesser d, deren Außendurchmesser gegen unendlich strebt (ruhende Umgebung), beträgt die Wärmeüber-
gangszahl nach Gl. (2.36):

λ
α

⋅

= 2

0

(3.26)

d

Damit ist die minimale Nußelt zahl einer Kugel:

Nu

Re

(3.27)

L′

= 2
für

L′ <

1

,

0

,0

Für einen Zylinder ist die Herleitung nicht mehr so einfach. Hier wird nur der

Wert angegeben.

Nu

Re

(3.28)

L′

= 3

,

0
für

L′ <

1

,

0

,0

Für eine Platte ist die Nußelt zahl Nu
gleich null.

L' ,0

Bei sehr kleinen Abmessungen von Kugeln und Zylindern ist bei Reynolds zahlen, die kleiner als 1 sind, die Grenzschichtdicke gegenüber den Körperabmessun-
gen nicht mehr vernachlässigbar und die Nußelt zahlen für Kugel und Zylinder sind dann:

Kugel :

Nu

Re

Pr

Re

L′

= ,1001 3

⋅

L′ ⋅
für

1

,

0 <

L′ < 1

,0

(3.29)

Zylinder :

Nu

Re

Pr

Re

L′

= ,

0 75 3

⋅

L′ ⋅
für

1

,

0 <

L′ < 1

,0

Bei Reynolds zahlen zwischen 1 und 1 000 gilt die gleiche Beziehung wie für eine ebene Wand oder ein Rohr.

3

Nu

= 0,664⋅ Pr ⋅ Re
für 1 < Re < 1000

(3.30)

L′, lam

L′

L′

Bei Reynolds zahlen von 105 bis 107 gilt nach [3.4]:

0,8

,

0 037 ⋅ Re

Pr

L′ ⋅

5

7

Nu
f

Re

L′ turb =

⋅
für 10 <

−

L′ < 10

,

0 1

,

2 / 3

4

(3.31)

1+ ,

2 443⋅ Re

Pr

L′

⋅(

− )

1

In diesem Bereich kann die Nußelt zahl mit etwas geringerer Genauigkeit auch durch eine vereinfachte Potenzgleichung angegeben werden.

0,8

0,48

5

7

Nu

Re

Pr
f

Re

(3.32)

L′ turb =

,

0 037 ⋅

L′ ⋅

⋅
für 10 <

L′ < 10

,

4

Der Bereich zwischen den Reynolds zahlen von 103 und 105 ist nicht abgedeckt.

Da sich die Nußelt zahl hier asymptotisch den Werten der Gln. (3.25) bis (3.29) nähert, kann folgende Ausgleichsfunktion angegeben werden:

3 Erzwungene Konvektion

103

2

2

7

Nu

Nu

Nu

Nu

Re

(3.33)

L′ =

L′

+

L′ lam +
für 10

L′ turb

< L′ <10

,0

,

,

Bild 3.7 zeigt die Nußelt zahlen für quer angeströmte Zylinder.

Der Korrekturfaktor f gibt den Einfluss der Richtung des Wärmestromes an und 4
ist:

0,25
f = ( Pr / Pr )

für Flüssigkeiten und

0 121

,
f = ( T / T )

für Gase. (3.34)

4

W

4

W

Wird ein Körper schräg angeströmt, verringern sich die Wärmeübergangszahlen.

Bild 3.8 zeigt das Verhältnis der Nußelt zahlen von schrägen zu quer angeströmten Zylindern.

4

10

3

10

Pr = 1

2

10

'

u LN
lh

Gl. (3.33)

az

1
lt

10
eß

Gl. (3.31)

uN

Gl. (3.30)

0

10

-1

10

100

101

102

103

104

105

106

107

Reynolds zahl

Re L'

Bild 3.7: Nußelt zahlen für quer angeströmte Zylinder

Bei längs angeströmten Zylindern kann die Wärmeübergangszahl wie für ebene

Wände berechnet werden. Ist jedoch die Abmessung des Zylinders wie z.B. bei
längs angeströmten dünnen Drähten gegenüber der Grenzschichtdicke klein, ist die-
ses zu berücksichtigen. Für längs angeströmte dünne Zylinder kann nachstehende

Gleichung verwendet werden.

Nu

(3.35)

,

= 1

( + 3

,

2 ⋅ ( L / d ) ⋅ Re−0,5 ) ⋅ Nu

L Zyl

L

L

L ist dabei die Länge des Zylinders und Nu die Nußelt zahl der ebenen Wand.

L

104

3 Erzwungene Konvektion

1,0

0,9
echt

, senkrL' 0,8

Nu/
äg

0,7

, schrL'

Nu

0,6

0,5

20

30

40

50

60

70

80

90

Anströmwinkel

Bild 3.8: Verhältnis der Nußelt zahlen von schrägen zu quer angeströmten Zylindern BEISPIEL 3.5: Temperaturmessung mit einem Platinwiderstand

Mit einem zylinderförmigen Platinwiderstand, der einen Außendurchmesser von

4 mm hat, wird die Temperatur von 100 °C warmer Luft gemessen. Der Widerstand
hat folgende Temperaturabhängigkeit: R (ϑ) = 100 Ω + 0,04 Ω/K . ϑ. Für die Messung fließt ein konstanter Strom von 1 mA durch den Widerstand. Dadurch wird der

Widerstand aufgeheizt und die Messung verfälscht. Die beheizte Länge des Fühlers
ist 10 mm. Die Stoffwerte der Luft sind: λ = 0,0314 W/(m K), ν = 23,06 . 10-6 m2/s, Pr = 0,701.

Berechnen Sie, welche Temperatur bei 0,01, 0,1, 1, 10 und 100 m/s Strömungs-
geschwindigkeit senkrecht zum Widerstand gemessen wird.

beheizte Länge

Lösung

10 mm
c

Schema

Siehe Skizze
oo

Annahmen

4 mm

•

Die Temperatur im Messfühler ist konstant.

•

Die Lufttemperatur ist konstant.

•

Die Effekte am Ende des Fühlers sind vernachlässigbar.

Analyse

Der durch den Widerstand fließende Strom erzeugt folgenden Wärmestrom:

2

2

Q = i ⋅ R = i ⋅
ȍ

0

10

(

+ 0,04ȍ

/K ⋅ϑ)

3 Erzwungene Konvektion

105

Die Temperatur ϑ ist jene, welche vom Messfühler wahrgenommen und hier be-
rechnet werden muss. Sie ist höher als die Lufttemperatur. Dadurch kann der zuge-
führte Wärmestrom abgeführt werden. Dieser ist:

Q = α ⋅ A⋅ (ϑ −ϑ )

∞

Da der zu- und abgeführte Wärmestrom gleich groß sind, kann die Temperatur ϑ
bestimmt werden.

2
i ⋅
ȍ

0

10

+α ⋅ A⋅ϑ
ϑ =

∞

2
α ⋅ A − i ⋅0 04

,

⋅ȍ/K

Für die verschiedenen Strömungsgeschwindigkeiten wird die Wärmeübergangs-
zahl mit Gl. (3.44) berechnet. Die zur Bestimmung der Reynolds- und Nußelt zahl benötigte charakteristische Länge ist:

A
π ⋅ d ⋅ l π ⋅

L′ =

=

=
d =
mm

6,28

U

2
proj

⋅ l

2

Die Ergebnisse folgen tabelliert:

c

Re

Nu

Nu

Nu
α
ϑ

L

L ,lam

L ,turb

L
m/s

W/(m2 K)

°C

0,01

2,66

0,962

0,068

1,265

6,320

100,131

0,10

26,60

3,044

0,431

3,374

16,860

100,050

1,00

266,00

9,624

2,719

10,301

51,480

100,016

10,00

2 662,00

30,435

17,154

35,236 176,092

100,005

100,00 26 624,00

96,244

108,233 145,136 725,311

100,001

Diskussion

Der durch den Widerstand fließende Strom heizt den Temperaturfühler auf. Der

Fehler in der Temperaturmessung ist ab Strömungsgeschwindigkeit von 0,1 m/s
kleiner als 0,05 K. Bei den heutigen genauen Messinstrumenten kann der Mess-
strom wesentlich kleiner als 1 mA gewählt werden.

Auch bei ruhender Luft mit Nu

= 0,3 ist die Wärmeübergangszahl bereits ca.

L ,0

1,5, der Fehler würde bei ungefähr 0,5 K liegen. Schon bei einer Stromstärke von

0,1 mA sinkt der Fehler um den Faktor 100.

3.2.4

Quer angeströmte Rohrbündel

In der Technik werden vielfach quer angeströmte Rohrbündel eingesetzt. Bereits bei einer einzelnen Rohrreihe, die senkrecht zur Anströmung angeordnet ist, steigt die Geschwindigkeit zwischen den Rohren an, so dass die Beziehungen für einzeln

106

3 Erzwungene Konvektion
angeströmte Körper die Wärmeübergangszahlen nicht mehr richtig beschreiben.

Sind die Rohre in Strömungsrichtung hintereinander angeordnet, wird an den Roh-
ren die Strömung abgelöst und beeinflusst die Wärmeübergangszahlen zusätzlich.

Die Berechnung ist so aufgebaut, dass von den Gesetzmäßigkeiten der quer an-
geströmten Einzelkörper ausgegangen wird und für die Rohrbündel, je nach geo-
metrischer Anordnung der Rohre, Korrekturfaktoren eingeführt werden. Bild 3.9
zeigt verschiedene Möglichkeiten der Rohranordnungen in einem Rohrbündel.

Der Abstand der Rohre senkrecht zur Strömungsrichtung ist s , der Abstand der 1

Rohrreihen s . Die Anordnung eines Rohrbündels wird durch den dimensionslosen 2

Rohrabstand a = s / d und den dimensionslosen Rohrreihenabstand b = s / d charak-1

2
terisiert.

1
s

2.

3.

4.

5.

6.

2
c 0
fluchtend
s 1

2.

4.

6.

8.

V
s >d
fest

2
c

V

0
frei
versetzt
s 1

Vfrei
c
s <d

0
versetzt

2
s 1

Vfest

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.11.12.13.

Bild 3.9: Verschiedene Anordnung der Rohre in Rohrbündeln
a = s /d

(3.36)

1
b = s /d

(3.37)

2

Die Reynolds zahl wird mit der mittleren Geschwindigkeit c im Hohlraumanteil ψ
ψ gebildet. Der Hohlraumanteil ist das Verhältnis des Volumens zwischen den Roh-
ren (Hohlraum V ) zum Gesamtvolumen V des Bündels. Der Hohlraumanteil ist frei
andererseits das Gesamtvolumen minus Volumen der Rohre ( V ). Je nachdem, ob fest
sich die Rohre zweier Rohrreihen senkrecht zur Strömungsrichtung überdecken

( b < 1), sind zwei verschiedene Definitionen für den Hohlraumanteil gegeben:

3 Erzwungene Konvektion

107

2

V
π
π
fest

⋅ d ⋅

Ψ =
l

1−

= 1−

= 1−
für b > 1

(3.38)

V

4 ⋅ s ⋅ d ⋅ l

4 ⋅ a

1

2

V
π
π
fest

⋅ d ⋅

Ψ =
l

1 −

= 1−

= 1−
für b < 1

(3.39)

V

4 ⋅ s ⋅ s ⋅ l

4 ⋅ a ⋅ b

1

2

Die Geschwindigkeit, mit der die Reynolds zahl gebildet wird, ist:

Ψ
c = c Ψ

/

(3.40)

0

Die Reynolds zahl wird damit:

⋅ ′

Ψ
c

L

Ψ

Re , ′ =

L
ν

(3.41)

Mit dieser Reynolds zahl wird die Nußelt zahl für einzeln angeströmte Rohre gebildet und für die Bündelanordnung zusätzlich noch mit zwei Geometriefaktoren
multipliziert. Der erste Faktor f berücksichtigt die Anordnung der Rohre im Bün-A
del, der zweite f die Anzahl der Rohrreihen.

n

,

0 7 ⋅ ( b / a −

)

3

,

0
f A = 1+
fluchtende Anordnung

(3.42)

,

1 5

2

Ψ ⋅( b / a + ,

0 7)

2
f = 1 +

A

3 ⋅ versetzte Anordnung

(3.43)

b

In der ersten Rohrreihe vergrößert sich die Wärmeübergangszahl durch die er-
höhte Geschwindigkeit. Sie ist zwar größer als bei einem angeströmten Einzel-
körper, jedoch kleiner als im Inneren des Bündels. Durch die Ablösung der Strö-
mung an den Rohren erhöht sich der Turbulenzgrad der Strömung und damit auch
die Wärmeübergangszahl. Diesen so genannten " first row effect" muss man zusätzlich berücksichtigen. Will man ein Rohrbündel Rohrreihe für Rohrreihe berechnen,
muss der Einfluss der Rohrreihenzahl für jede Rohrreihe lokal bekannt sein. In Bild 3.10 ist links der lokale der Korrekturfaktor f für die j-te Rohrreihe und rechts f für j
n
ein Bündel mit n Rohrreihen dargestellt. Gl. (3.44) ist die Formel zur Berechnung des Korrekturfaktors der einzelnen Rohrreihe und Gl. (3.45) die für das gesamte

Bündel mit n Rohren. Mit Gl. (3.46) kann die Nußelt zahl Nu der j-ten Rohrreihe und j
mit Gl. (3.47) die des Bündels Nu
bestimmt werden.

Bündel

108

3 Erzwungene Konvektion

1,1

1,1
f j 1,0
f n 1,0
or
or
fakt
fakt
ur
ur
rekt
rekt

Kor

Kor

0,9

0,9

0,8

0,8

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15

Nummer der Rohrreihe

Anzahl der Rohrreihen

Bild 3.10: Korrekturfaktor für den Einfluss der Rohrreihen (links lokal, rechts integral) 2

0, 6475 + 0, 2 ⋅ j − 0, 0215⋅ j
wenn j ≤ 4
f =
j

2

4

3

2

1+1/ ( j + j) + 3⋅ (2 ⋅ j −1) / ( j − 2 j + j ) wenn j ≥

(3.44)

5

2

074423 + 0,8⋅ n − 0, 006 ⋅ n
wenn n ≤ 5
f =
n

0, 018 + exp[0,0004⋅( n − 6) − ]

1
wenn n ≥

(3.45)

6

N u = α ⋅ L ′ / λ = N u ⋅ f ⋅ f

(3.46)

j

L ′

A
j

Nu

= α ⋅ L′ / λ = Nu ⋅ f ⋅ f

(3.47)

Bündel

L′

A
n

BEISPIEL 3.6: Auslegung eines Zwischenüberhitzerbündels

Für eine Nuklearanlage ist ein Zwischenüberhitzerbündel mit U-Rohren auszule-
gen. Zwischen den Rohren des Bündels strömen 300 kg/s Dampf bei 8 bar Druck,
der von 170,4 °C auf 280 °C erhitzt werden soll. In den Rohren kondensiert Heiz-
dampf bei 295 °C. Die Wärmeübergangszahl in den Rohren ist 12 000 W/(m2 K).

Die Rohre haben einen Außendurchmesser von 15 mm, eine Wandstärke von 1 mm
und die Wärmeleitfähigkeit von 26 W/(m K). Die Anströmgeschwindigkeit am

Bündeleintritt soll 6 m/s nicht überschreiten. Der Heizdampf strömt aus einer halb-kugelförmigen Dampfkammer zu den Rohren. Da der Rohrboden kreisförmig ist,
soll die Höhe des Bündels etwa gleich groß wie seine Breite sein. Die Rohrbögen
sind von der äußeren Dampfströmung abgetrennt, so dass nur die gerade Länge der

Rohre als Heizfläche zur Verfügung steht. Die Rohre sind in gleichseitigen Drei-
ecken angeordnet und haben einen Abstand von 20 mm. Die Skizze zeigt die An-
ordnung des Rohrbündels und die der Rohre. Am Bündeleintritt beträgt die Dampf-
dichte 4,161 kg/m3.

3 Erzwungene Konvektion

109

Die übrigen Dampfdaten bei der mittleren Temperatur von 225,2 °C sind:

ρ = 3,581 kg/m3, λ = 0,038 W/(m K), ν = 4,76 . 10-6 m2/s, Pr = 0,99, c = 2 206 J/(kg K).

p

Berechnen Sie die Anzahl und Länge der Rohre.

Lösung

Schema

Siehe Skizze

B

1,5 s
c

1

0
c 0
c 0

H
s 0
l
s 1
s
s 0

2

Annahmen

•

Die Effekte am Rande des Bündels können vernachlässigt werden.

•

Die Wärmeübergangszahlen sind inner- und außerhalb der Rohre des Bündels
jeweils konstant.

•

Die Temperatur in den Rohren ist konstant.

Analyse

Um Anzahl und Länge der Rohre zu bestimmen, müssen die Anzahl der Rohr-
reihen n, die der Rohre pro Reihe i und die Heizfläche A berechnet werden. Das sind drei Unbekannte, d.h., zur Bestimmung sind drei Gleichungen notwendig.

Die Bedingung, dass die Höhe des Bündels etwa gleich groß sein soll wie seine

Breite, gibt den Zusammenhang zwischen der Anzahl Rohrreihen und der Anzahl
der Rohre pro Reihe an.

B = n ⋅ s H = ( i +1,5) ⋅ s
aus B = H folgt: n ⋅ s = ( i +1,5) ⋅ s 2

1

2

1

Die vorgegebene Anströmgeschwindigkeit bestimmt den Anströmquerschnitt
des Rohrbündels.

=
m
c

=
m

0

H ⋅ l ⋅ ρ

( i +

)

5

,

1

⋅ s ⋅ l ⋅ ρ

0

1

0

110

3 Erzwungene Konvektion

Die Fläche des Bündels wird mit der kinetischen Kopplungsgleichung bestimmt.

Q

A = i ⋅ n ⋅π ⋅ d ⋅ l =
a
k ⋅ Δϑ m

Aus der Energiebilanzgleichung kann der Wärmestrom direkt berechnet werden.

Q = m ⋅ c ⋅ (ϑ′′−ϑ )

′ = 300⋅kg/s ⋅2 206⋅J/(kg ⋅K) ⋅(280 −170,4)⋅K = 72533 kW
p

1

1

Die mittlere Temperaturdifferenz berechnet sich mit den gegebenen Temperatu-
ren als:

ϑ ′−ϑ′

(280 −170,4) ⋅ K

1

1

Δϑ m =

=

=

K

51,77

§ ϑ −ϑ′ ·

§ 295 −170,4 ·
ln

2

1
ln¨

¸

¨¨

¸¸
ϑ −ϑ ′

© 295 − 280 ¹

© 2

1 ¹

Zur Berechnung der Wärmeübergangszahlen werden zuerst die geometrischen

Daten des Bündels bestimmt. Die dimensionslosen Rohrabstände a und b sind: s = 3 ⋅ s = 3 ⋅
mm

20

=
mm

34,64
a = s / da =

,

34 64 /15 = 309

,

2

1

0

1
s = s / 2 =
mm

0

1
b = s / da = 10 /15 = ,

0 67

2

0

2

Da b < 1 ist, wird mit Gl. (3.39) der Hohlraumanteil des Bündels bestimmt.

π
π
π

Ψ = 1−

= 1−

= 1−

= ,

0 490

4 ⋅ a ⋅ b

4 ⋅ a ⋅ b

4 ⋅ 309

,

2

⋅ ,

0 67

Die Anströmlänge des Rohres ist: L′ = π ⋅ d / 2
a

=
mm

23,562

Bei der Berechnung der Geschwindigkeit im Bündel muss berücksichtigt wer-
den, dass die Dichte kleiner ist als am Eintritt. So erhalten wir mit Gl. (3.40):

c ⋅ ρ

6 ⋅ 161

,

4
m
m

0

0

Ψ
c =

=

⋅

= 1

,23

4
ρ ⋅Ψ

581

,

3

⋅ ,

0 490 s
s
c ⋅ L′

14,23⋅ m ⋅ 0,02356 ⋅ m ⋅s

Ψ

Reynolds zahl nach Gl. (3.41): Re

=

=

= 70 448

L′,Ψ

6

−

2
ν

4, 76 ⋅10 ⋅ m ⋅s

Die Nußelt zahl wird mit den Gln. (3.31) bis (3.33) berechnet, wobei angenommen wird, dass die dampfseitige Wärmeübergangszahl eher klein ist und die mitt-
lere Wandtemperatur somit ca. 270 °C beträgt.

3

3

Nu

= 0,664⋅ Pr ⋅ Re = 0,664⋅ 0,99 ⋅ 70 448 = 175,7

L′, lam

L′

0,8

0 8

0, 037 ⋅ Re ⋅ Pr

0 , 037 ⋅ 70 448 , ⋅ 0 , 99

L

Nu

′

=

=

= 278,3

L′, turb

−0,1

2/ 3

−0 1 ,

2/3

1+ 2, 443⋅ Re

⋅( Pr −1) 1+ 2 , 443⋅70 448 ⋅(0,99 −1)

L′

3 Erzwungene Konvektion

111

2

2

Nu

Nu

Nu

Nu

T T

L′ =

L′

+

L′ lam +

L′ turb ⋅ (

/

)0 121

,

W

=

9

,

325

,0

,

,

Der Anordnungsfaktor f wird mit Gl. (3.43) bestimmt.

A

2

2
f = 1+

= 1+

= 2

A

3⋅ b

3⋅ 0, 67

Für den Faktor f wird angenommen, dass mehr als 15 Rohrreihen notwendig
n
werden, so dass f = 1,03 ist. Die Nußelt zahl des Bündels ist nach Gl. (3.47): n

Nu

= Nu ⋅ f ⋅ f = 325,9⋅2⋅1,03 = 671,2

Bündel

L′

A
n

Für die Wärmeübergangszahl außen am Bündel erhalten wir:

Nu
λ

671,2 0,038 W

W

Bündel
α

⋅

⋅

⋅

=

=

= 1 082,6
a

2

L′

0,02356 ⋅ m ⋅ m ⋅ K
m ⋅ K

Die Wärmedurchgangszahl ist:

1

−

§ 1
d
d
d

·

W
a
k = ¨

+

⋅ln a
a

+

¸ = 942,4 2

© α

2 ⋅ λ
d
d ⋅α
m

¹

⋅ K
a

R
i
i
i

Die Wandtemperatur kann berechnet, die gemachte Annahme geprüft werden.

ϑ = ϑ + Δϑ ⋅ k /α = 225,2 C

° + 51,77⋅ K ⋅942,4/1 082,6 = 270,3 C

°

W
m
m
a

Eine weitere Korrektur erübrigt sich, weil der Unterschied kleiner als 0,05 % ist.

Die benötigte Austauschfläche beträgt:

6

2

Q

72,533⋅10 ⋅ W ⋅ m ⋅ K

2

A = i ⋅ n ⋅π ⋅ d ⋅ l =

=

= 1486,7 m
a
k ⋅ Δϑ

942, 4 ⋅ W ⋅51,77 ⋅ K
m

Aus der Gleichung für die Anströmgeschwindigkeit erhalten wir:

m

300 ⋅ kg ⋅ s ⋅ m3

( i +

)

5

,

1

⋅ l =

=

=
m

,88

346
s ⋅ c ⋅ ρ

0,03464 ⋅ m ⋅ 6 ⋅ m ⋅ 4,161⋅ kg ⋅s

1

0

0

Aus der Bedingung für das Verhältnis der Höhe zur Länge ergibt sich folgende

Beziehung:

( i +

)

5

,

1

= n⋅ s / s

2

1

Beide Gleichungen kombiniert, ergeben:

n ⋅ l = s / s ⋅346,88 m = 34, 64 /10 ⋅346,89 m = 1 201 , 63 m 1

2

112

3 Erzwungene Konvektion

Aus der Austauschfläche kann jetzt die Anzahl der Rohre pro Rohrreihe be-
stimmt werden.

2

A

1386 , 7 m
i =

=

= 26
n ⋅ l ⋅π ⋅ d

1201 , 63 ⋅ m ⋅π ⋅ 0, 015 ⋅ m
a

Für die Anzahl Rohrreihen erhalten wir: n = ( i +1,5) ⋅ s / s = 96

1

2

Die Rohrlänge ist: l = 1201 , 67 m / n = 12, 498 m

Diskussion

Die Wärmeübergangszahl ist in den Rohrbündeln höher als bei einzelnen Roh-
ren. Dieses wird durch die größere Geschwindigkeit, die eine höhere Reynolds zahl liefert und die Turbulenzen bei Strömungsablösung, die durch die Faktoren f und f A
n
berücksichtigt werden, bewirkt.

3.2.5

Rohrbündel mit Umlenkblechen

Oft wird ein Rohrbündel weder nur senkrecht noch nur in einem bestimmten Winkel
angeströmt. Wie in Bild 3.11 dargestellt, wird die Strömung im Bündel durch Schi-
kanen (Umlenkbleche) umgelenkt, so dass ein Teil der Rohre senkrecht, andere pa-
rallel angeströmt werden. In diesem Fall werden die Wärmeübergangszahlen für die
senkrecht angeströmten Rohre wie im vorigen Kapitel, die der parallel angeström-
ten Rohre wie in Kapitel 3.2.13 beschrieben, berechnet. Dieses ist aber nur eine Nä-
herung, weil die Rohre im Bereich der Umlenkung weder genau senkrecht noch
parallel angeströmt werden. Ferner entstehen an den Umlenkblechen Bypass- und

Leckageströmungen. Diese Effekte sind durch weitere Korrekturfaktoren zu be-
rücksichtigen, deren Beschreibung jedoch den Rahmen dieses Buches sprengen
würde. Daher muss hier auf einschlägige Literatur verwiesen werden (z. B. VDI-

Wärmeatlas [3.4] und [3.6]).

Bild 3.11: Rohrbündelwärmeübertrager mit Umlenkblechen

3 Erzwungene Konvektion

113

3.3

Rippenrohre

Die Übertragungsfläche eines Wärmeübertragers kann man durch das Anbringen
von Rippen vergrößern. Dieses ist relativ kostengünstig, da für die zusätzliche

Fläche keine drucktragenden Rohre oder Kanäle notwendig sind. Rippen werden
fast immer auf der Seite der tieferen Wärmeübergangszahlen angeordnet. Die Wirk-
samkeit der Berippung ist desto besser, je kleiner die Wärmeübergangszahlen sind.

Wesentliche Voraussetzung für die nachfolgenden Berechnungen ist ein voll-
kommener Kontakt der Rippe mit der Wand der Wärmeübertragungsfläche. Die
angegebenen Berechnungsmethoden sind nur eine Näherung, da bei konkreten Bei-
spielen die Anordnung der Rohre, Rippen etc. eine zusätzliche Rolle spielt. Für
genaue Berechnungen müssen entweder Versuche durchgeführt oder auf Ergebnis-
se von Versuchen, die unter ähnlichen Bedingungen erfolgten, zurückgegriffen
werden.

Hier wird die Berechnung für Rippenrohre durchgeführt. Bei berippten ebenen

Platten, die in der Technik eine eher untergeordnete Bedeutung haben, sind die

Wärmedurchgangszahlen entsprechend den Gleichungen in Kap. 3.2.2 zu bestim-
men. Die Wärmeübergangszahlen werden auf die Fläche A des unberippten Rohres bezogen. Damit ist der an einem berippten Rohr übertragene Wärmestrom:

Q = k ⋅ A⋅ ϑ

Δ

(3.48)

m

Bild 3.12: Typische, berippte Oberflächen [3.4]

114

3 Erzwungene Konvektion

Die auf die Oberfläche des unberippten Rohres A bezogene Wärmedurchgangs-
zahl wird folgendermaßen bestimmt: Die Wärmeübergangszahl an der Oberfläche

A der Rippen und an der Oberfläche A des Rohres zwischen den Rippen ist α . Die Ri

0
a

Bezugstemperatur für die Wärmeübertragung ist die Temperatur an der Rohrober-
fläche. Die veränderten Temperaturen an den Rippen berücksichtigt der Rippenwir-
kungsgrad η . Die Fläche der Rippen ist A , wobei die Flächen an den Rippen-Ri

Ri
schneiden vernachlässigt werden. Damit ist die Wärmedurchgangszahl:

1

A

1
d
d
d

1
a
a
a

=

⋅

+

⋅ln

+

⋅

(3.49)

k

A + A ⋅

⋅

0
η α

2 λ
d
d
α

Ri

Ri
a

R
i
i
i

Der in Kap. 2.1.6.4 hergeleitete Rippenwirkungsgrad gilt nur für Rippen mit
konstantem Rippenquerschnitt. Der Querschnitt für den Wärmestrom in der Rippe
verändert sich bei Rippenrohren und der Wirkungsgrad muss entsprechend be-
stimmt werden. Für die verschiedenen Geometrien sind Korrekturfunktionen ange-
geben. Der Rippenwirkungsgrad ist:

tanh X
η =

Ri

(3.50)

X

Rechengröße X:

d

2 ⋅α

X
a
a

= ϕ ⋅

⋅

(3.51)

2
λ ⋅ s

Die Korrekturfunktion für die verschiedenen Geometrien ist dabei ϕ. Bei koni-
schen Rippen wird für die Rippendicke s der Mittelwert der Dicke am Rippenfuß s und an der Rippenschneide s eingesetzt:

s = ( s ′ + s )

′ / 2

(3.52)

Die Korrekturfunktion für häufig vorkommende Rippenformen sind nachste-
hend zusammengestellt.

Kreisrippen:

ϕ = ( D / d − )

1 ⋅ +

⋅ D d

(3.53)

a

[1 35

,

0
ln(

/

)

a ]

Rechteckrippen:

ϕ = (ϕ′ − )

1 ⋅ [1+ 35

,

0

⋅lnϕ′] mit ϕ′ = ,128⋅( b / d ) l b

(3.54)

R
a

⋅

/

R

R −

,

0 2

3 Erzwungene Konvektion

115

Zusammenhängende Rippen: Bei Rippen mit fluchtender Rohranordnung ist

Gl. (3.54) zu verwenden. Bei versetzter Anordnung weist man einer Rippe eine

Sechseckfläche zu und die Funktion ϕ wird durch nachstehende Funktion in Gl.

(3.54) eingesetzt:

ϕ′ = ,127 ⋅( b / d ) l b

(3.55)

R
a

⋅

/

R

R −

3

,

0

Gerade Rippen auf ebener Grundfläche:

ϕ = 2⋅ h / d

(3.56)

a

Bei trapezförmigen Rippen ist die Rippendicke s folgendermaßen zu bestimmen: s = 75

,

0

⋅ s ′ + ,

0 25⋅ s′

(3.57)

Nadelrippen auf ebener Grundfläche:

ϕ = 2⋅ h / d

(3.58)

a

Für die Rippendicke werden folgende Beziehungen eingesetzt:

s = d / 2

bei stumpfen, s = 125

,

1

⋅ d

bei spitzen Rippen.

(3.59)

N

N

3.3.1

Kreisrippenrohre

Nachstehend ist die Berechnung der Flächen für Kreisrippen mit konstanter Rip-
pendicke aufgeführt. Für rechteckige, zusammenhängende und Nadelrippen erfolgt
die Berechnung nach den gleichen Überlegungen. Bild 3.13 zeigt ein Rippenrohr
mit Kreisrippen.

t
s

R
d
d a

D

Bild 3.13: Kreisrippenrohr

Fläche A des unberippten Rohres:

A = π ⋅ d ⋅ l

(3.60)

a

Fläche A des Rohres zwischen den Rippen:

0

A = π ⋅ d ⋅ l ⋅ 1

( − s / t )

(3.61)

0
a

R

116

3 Erzwungene Konvektion

Fläche der Rippen A :

Ri
π
l

A = 2 ⋅

⋅( D 2 − d 2)⋅

Ri
a

(3.62)

4
tR

Damit ist das Verhältnis der Rippenfläche zur Fläche des unberippten Rohres:

A
d

⋅ h ⋅ d + h

⋅ h

Ri = [( D / d )2 − ⋅

=

=

⋅ + h d
a

]

2

(

)

2

1
a
a

1

(

/

)

(3.63)

A

2
a

⋅ t
t ⋅ d
t

R

R
a

R

Die Wärmeübergangszahlen, die für Rohrbündel mit unberippten Rohren im vor-
gehenden Kapitel angegebenen sind, zeigen gegenüber den Messungen relativ gro-
ße Abweichungen. Deshalb werden hier neue Beziehungen gegeben, die die Mes-
sungen mit einer Streubreite von 10 bis 25 % genau wiedergeben [3.6].

Nu

= C ⋅ Re 0,6 ⋅ ( A + A ) / A −0 15

,

(3.64)

0

⋅ Pr 1/3 ⋅ f 4 ⋅ f
d
d
a
a

[ Ri

]

n

Die Konstante C ist für fluchtend angeordnete Rohre C = 0,22 und für versetzt angeordnete Rohre C = 0,38. Die charakteristische Länge für die Nußelt- und Reynolds zahl ist der Außendurchmesser des Rohres.

Die Reynolds zahl wird mit der Geschwindigkeit an der engsten Stelle zwischen den Rohren und mit dem Außendurchmesser des Rohres gebildet.

Die engste Stelle hängt von der Anordnung der Rohre ab. Bild 3.14 zeigt die
engsten Stellen für verschiedene Rohranordnungen. Bei der Berechnung der Ge-
schwindigkeit am engsten Querschnitt muss auch die Versperrung durch die Rippen
berücksichtigt werden.

s2
engste
s
s
engste

2
engste

2

Stelle

Stelle

Stelle
s 1
s 1
s 1

Bild 3.14: Bestimmung der engsten Stelle

Für beide Anordnungen links im Bild 3.14 ist die Geschwindigkeit an der eng-
sten Stelle:

1

−

ª

1

2 ⋅ s ⋅ h º
c
c
e =

⋅ « 1

( − ) −

0

»

(3.65)

¬
a
s ⋅ t

1

R ¼

3 Erzwungene Konvektion

117

Bei der Anordnung rechts gilt:

1

−

ª

2

4 ⋅ s ⋅ h º

2
c
c
b a
e =

⋅ « 1+ (2⋅ / ) − −

0

»

(3.67)

¬
a
s ⋅ t

1

R ¼

Für genauere Berechnungen bei Niedrigrippenrohren kann das von Briggs und

Young [3.7] vorgeschlagene Berechnungsverfahren, das auf zahlreichen Messungen basiert, verwendet werden.

BEISPIEL 3.7: Zwischenüberhitzerbündel mit Rippenrohren

Ein Zwischenüberhitzerbündel mit Rippenrohren ist mit den gleichen thermischen

Daten und dem Verhältnis der Höhe zur Breite wie in Beispiel 3.6 auszulegen. Die

Rippen haben einen Außendurchmesser von 5/8". Die Rippenhöhe ist 1,27 mm, die Dicke 0,3 mm und der Abstand 1 mm. Die Wärmeleitfähigkeit des Rohrmaterials
beträgt 27 W/(m K), die Rohrwandstärke 1 mm, der Abstand zwischen den Rohren

13/16".

Berechnen Sie die Anzahl der Rohre und deren Länge.

13/16"

1,27 mm

1 mm

Lösung

Schema

Siehe Skizze
c 0

5/8"

5/8"

Annahmen

0,3 mm

•

Die Effekte am Rande des Bündels können vernachlässigt werden.

•

Inner- und außerhalb der Rohre des Bündels sind die Wärmeübergangszahlen
jeweils konstant.

•

In den Rohren ist die Temperatur konstant.

Analyse

Die Lösung erfolgt wie beim Bündel mit unberippten Rohren. Zunächst rechnen
wir die US-Maße in metrische Einheiten um.

D = 5 / "

8 ⋅ 25 4

, ⋅ mm =
mm

15,875
s = 13 / "

16 ⋅

,

25 4 ⋅ mm =
mm

20,6375

0

Die benötigten anderen geometrischen Größen sind:

d

D
s
d
a =

− 2⋅ =

875

,

15

(

− 2⋅ ,

1 27) ⋅ mm =
mm

13,335
i =
mm

11,335
s = s ⋅ 3 =
mm

35,7452
s = s / 2 =
mm

10,31875

1

0

2

0
a = s / d
b
s
d
a =

681

,

2

= / a = ,

0 77381

1

2

118

3 Erzwungene Konvektion

Zur Berechnung der Geschwindigkeit an der engsten Stelle mit Gl. (3.66) muss
zusätzlich die Änderung der Dichte berücksichtigt werden.

1
ρ ª

⋅ s ⋅ hº−

0

2

2

4
c
c
b a
e =

⋅

⋅ « 1+ (2⋅ / ) − −

» =

0
ρ ¬
a
s ⋅ t

1

R ¼

1

−
m

161

,

4

ª

⋅

⋅

º

2

2

4

3

,

0

,

1 27
m

= 6⋅ ⋅

⋅ 1+ (2⋅ ,

0 7738 / ,

2

)

681

«

−

−

» = 1 ,

9 0

5
s

581

,

3

¬

,

2 681

,

35 7452 ⋅1 ¼
s

Mit dieser Geschwindigkeit und dem Außendurchmesser wird die Reynolds zahl gebildet.

c ⋅ d

19, 05 ⋅ 0, 013335
e
a

Re

=

=

= 53 371
da

6
ν

4, 76 ⋅10−

Bevor die Nußelt zahl mit Gl. (3.63) berechnet werden kann, sind die Flächen und Korrekturfunktionen zu bestimmen. Für f und f verwenden wir die Werte aus Bei-4
n
spiel 3.6.

A

2 h

Ri

⋅

2 ⋅ ,

1 27

=

⋅ 1

( + h / d )

a

=

⋅ 1

( + ,

1 27 /

)

335

,

13

= ,

2 7819

A
t

1

R

A 0 =1− s / tR = ,07

A

0,6

0,

− 15

1/ 3

Nu

= 0,38⋅ Re ⋅[( A + A ) / ]

A

⋅ Pr ⋅ f ⋅ f =
d
d

Ri

0

4
a
a
n

0,6

−0,15

1/ 3

= 0,38⋅53 371 ⋅3,4819

⋅0,99 ⋅0,99⋅1,03 = 219,7

Die Wärmeübergangszahl außen am Bündel ist:

α

Nu
λ d
a =
d

⋅ / a = 626 W/(

,2
m 2 ⋅ K)

a

Zur Bestimmung der Wärmedurchgangszahl muss der Rippenwirkungsgrad mit
den Gln. (3.50), (3.51) und (3.53) berechnet werden.

D

ª

§ D ·º §15,875

· ª

§15,875 ·º
ϕ = ( −1)⋅ 1

« + 0,35⋅ln ¨

¸» = ¨

−1¸⋅ 1

« + 0,35⋅ln ¨

¸» = 0, 2021
d

«
d

¬

©

¹»¼ ©13,335

¹ ¬

©13,335 ¹¼
a
a
d

2 α
a

⋅

013335

,

0
a

⋅ m

2 ⋅

,

626 2 ⋅ W ⋅ m ⋅ K

X = ϕ ⋅

⋅

= ,

0 2021⋅

⋅

= 540

,

0

2
λ ⋅ s

2

27 ⋅ W ⋅ 0,0003⋅ m ⋅ m2 ⋅ K
tanh X
tanh 540

,

0
η Ri =

=

= 913

,

0

X

540

,

0

3 Erzwungene Konvektion

119

1

−

§

1

1

0 , 013335

13 , 335

13 , 335

1

·
k = ¨

⋅

+

⋅ln

+

⋅

¸ =

© 0 , 7 + 2 , 7819⋅0 , 913 626 , 2

2 ⋅ 27

11 , 335

11 , 335 12 000 ¹

W

= 1 580 , 7 2
m ⋅ K

Die notwendige Heizfläche ist:

6

2

Q

72,533⋅10 ⋅ W ⋅ m ⋅ K

A = i ⋅ n ⋅π ⋅ d ⋅ l =

=

= 886,37 m
a
k ⋅ Δϑ

1 580, 7 ⋅ W ⋅51,77 ⋅ K
m

Aus der Gleichung für die Anströmgeschwindigkeit erhalten wir:

3
m

300 ⋅ kg ⋅ s ⋅ m

( i +1,5) ⋅ l =

=

= 336,17 m
s ⋅ c ⋅ ρ

0,0357452 ⋅ m ⋅ 6 ⋅ m ⋅ 4,161⋅ kg ⋅s

1

0

0

Aus der Bedingung für das Verhältnis der Höhe zur Breite ergibt sich folgende

Beziehung:

( i +

)

5

,

1

= n⋅ s / s

2

1

Beide Gleichungen kombiniert, ergeben:

n ⋅ l = 336,17 m ⋅ s / s = 336,17 m ⋅35, 7452 /10,31875 = 1164 , 52 m 1

2

Aus der Übertragungsfläche kann jetzt die Anzahl der Rohre pro Rohrreihe be-
stimmt werden.

2

A

886,37 m
i =

=

= 18
n ⋅ l ⋅π ⋅ d

1164, 52 ⋅ m ⋅π ⋅ 0, 013335⋅ m
a

Für die Anzahl Rohrreihen erhalten wir: n = ( i +

)

5

,

1

⋅ s / s

1

2 = 68
l = 1164 , 52 m / n = 17,125 m

Diskussion

Es scheint so, dass mit den Rippenrohren eine um 67 % kleinere Fläche benötigt
wird, nämlich die Fläche der Rohre ohne Berippung. Die wirkliche Fläche besteht
aus den Flächen der Rohre zwischen den Rippen und der der Rippen. Sie ist um das

3,4782fache größer, also 3 080 m2. Das Wesentliche dabei ist, dass das Bündel viel kleiner wird. Es werden nur noch 612 an Stelle von 1262 U-Rohren benötigt. Breite
und Höhe des Bündels verringern sich von 1 m auf 0,7 m. Zwar werden die Rohre
wesentlich länger, nämlich 17,125 m statt 12,498 m, aber ein langes, schlankes

120

3 Erzwungene Konvektion

Bündel ist in der Herstellung preisgünstiger, weil bei der gleichen Fläche weniger Rohre benötigt werden. Damit reduziert sich die Arbeit, die zum Bohren des dicken

Rohrbodens und zum Biegen und Anschweißen der Rohre benötigt wird.

Es erscheint zunächst paradox, dass die Wärmedurchgangszahl größer als die

Wärmeübergangszahl außen am Bündel ist. Der Wärmeübergang erfolgt an der

Fläche der Rippen und an der Fläche der Rohre zwischen den Rippen. Die Wärme-
durchgangszahl ist jedoch auf die Fläche des unberippten Rohres bezogen und
daher größer.

4

Freie Konvektion

Im Gegensatz zur erzwungenen Konvektion entsteht die Strömung nicht durch eine

Druckdifferenz, sondern durch Temperaturunterschiede im Fluid. Kommt ein ru-
hendes Fluid mit einer Oberfläche (Wand) unterschiedlicher Temperatur in Kon-
takt, entstehen im Fluid Temperaturdifferenzen, die Dichteunterschiede verursa-
chen. Fluidschichten mit kleinerer Dichte steigen auf, solche mit größerer Dichte
sinken ab. Die Temperatur- und Strömungsgrenzschicht der Strömung werden
durch die Temperaturdifferenz selbst erzeugt.

Die Nußelt zahl gibt man als eine Funktion der Grashof zahl, Prandtl zahl und Geometrie an.

Nu = α ⋅ L / λ = f ( Gr, Pr, Geometrie)

L

Die Grashofzahl ist das Verhältnis der Auftriebskräfte zu den Reibungskräften. Sie beschreibt damit für die freie Konvektion die gleichen Zusammenhänge wie die Reynolds zahl für die erzwungene Konvektion. Als Funktion der Temperaturdifferenz lautet die Definition der Grashofzahl:

3
g ⋅ L ⋅ β ⋅ (ϑ −ϑ )

W

0

Gr =

(4.1)

2
ν

Bei idealen Gasen hängt der räumliche Wärmeausdehnungskoeffizient nur von der

Absoluttemperatur des Fluids ab und ist:

β = 1/ T

(4.2)

0

Für sehr kleine Werte von β(ϑ -ϑ ) <<1 kann die Grashofzahl als Funktion einer W

0

Dichtedifferenz angegeben werden:

3
g ⋅ L ⋅ (ρ − ρ )

W

0

Gr =

2
ν ⋅ ρ

(4.3)

W

Der Index W bezeichnet den Zustand an der Wand, 0 den im ruhenden Fluid.

(ρ W − ρ )

0

= β ⋅(ϑ W −ϑ )

0
ρ

(4.4)

w

Die Stoffwerte λ, ν und Pr werden bei der mittleren Temperatur (ϑ – ϑ )/2 er-W

0
mittelt.

P. von Böckh, T. Wetzel Wärmeübertragung,

DOI 10.1007/978-3-642-15959-6_4, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

122

4 Freie Konvektion

Die charakteristische Länge L in der Grashof- und Nußelt zahl ist: L = A / U

(4.5)

proj

Die Austauschfläche des umströmten Körpers ist A, U
der in Strömungsrichtung
proj
projizierte Umfang der am Wärmetransfer beteiligten Fläche. Eine weitere Kennzahl
ist die Rayleighzahl. Sie ist das Produkt aus Grashof- und Prandtl zahl.

Ra = Gr ⋅ Pr

(4.6)

Die in der Literatur [4.1] angegebenen Gleichungen für die Nußelt zahl gelten für konstante Oberflächentemperaturen. Die Abweichung zu Werten mit gemittelten

Wandtemperaturen sind vernachlässigbar.

4.1

Freie Konvektion an vertikalen, ebenen Wänden

Grenzschicht
c
ϑ W
l
c = 0
ρ
ρ0

W
ϑ0

Bild 4.1: Freie Konvektion an einer senkrechten Wand

An einer beheizten, senkrechten Wand (Bild 4.1) mit der Höhe l wird die Dichte der wandnahen Fluidschichten kleiner, sie erfahren einen Auftrieb und es entsteht eine aufwärts gerichtete Strömung. Wird die Wand gekühlt, ist die Strömung abwärts gerichtet. In stationärem Zustand sind die Auftriebskräfte im Gleichgewicht mit den

Reibungskräften. Die Strömung ist zunächst laminar und wird nach einer gewissen

Länge turbulent. In der Temperaturgrenzschicht ändern sich die Temperatur und
damit die Dichte des Fluids, so dass die Auftriebskräfte in den einzelnen Fluid-
schichten unterschiedlich groß sind. Deshalb ist es nicht einmal für die laminare

Strömung gelungen, die Wärmeübergangszahl analytisch herzuleiten.

Die charakteristische Länge der vertikalen Wand ist:

b ⋅ l

L =

= l
b

Für ebene, senkrechte Flächen fand man folgende empirische Gleichung:

4 Freie Konvektion

123

Nu = { 0,825 + 0,387⋅( Gr ⋅ Pr) ⋅ f ( Pr }2

1/ 6

)

(4.7)

l

1

−
f ( Pr) = 1+ ,

0 671

−

⋅ Pr

(4.8)

1

(

9 /16 ) 8/27

Der Gültigkeitsbereich dieser Gleichungen ist:

0,001 < Pr < ∞

0,1 < Gr . Pr < 1012

Gl. (4.7) gilt sowohl für den laminaren als auch turbulenten Bereich. Aus der Gleichung ist ersichtlich, dass die Nußelt zahl, wenn der Term 0,825 vernachlässigbar ist, proportional zur dritten Wurzel der Temperaturdifferenz ist.

BEISPIEL 4.1: Erwärmung einer Wand

Durch Sonneneinstrahlung wird einer 3 m hohen Hauswand pro Quadratmeter ein

Wärmestrom von 100 W zugeführt. Die Umgebungstemperatur beträgt 0 °C. Die

Stoffwerte der Luft sind: λ = 0,0245 W/(m K), ν = 14 . 10-6
m2/s, Pr = 0,711.

Bestimmen Sie die Temperatur der Wand.

Lösung

.

q Sonne

Schema

Siehe Skizze

3 m

Annahmen

•

Die Erwärmung der Wand von der Innenseite her wird
vernachlässigt.

•

Strahlungsbedingte Effekte bleiben unberücksichtigt.

•

Nur der stationäre Zustand, d.h., der Zustand, bei dem die Wand ihre Endtem-
peratur erreicht hat, wird behandelt.

Analyse

In stationärem Zustand ist der durch die Sonne zugeführte Wärmestrom gleich
dem, der durch freie Konvektion abgeführt wird.

q Sonne = α ⋅ (ϑ W −ϑ )

0

Die Wärmeübergangszahl wird mit der Nußelt zahl aus Gl. (4.7) berechnet.

α = Nu ⋅λ / l = {0,825+ 0,387⋅( Gr ⋅ Pr) ⋅ f ( Pr }2

1/ 6

)

⋅λ / l
l

1

124

4 Freie Konvektion

Die Rayleigh zahl wird mit der Grashof zahl aus Gl. (4.1) bestimmt, wobei für den räumlichen Wärmeausdehnungskoeffizient derjenige aus Gl. (4.2) verwendet wird.

3
g ⋅ l ⋅ (ϑ W −ϑ )

0

Gr =

2

T ν

⋅

0

Die Grashof zahl und die Wärmeübergangszahl sind von der Temperaturdifferenz abhängig. Für die Berechnung stehen zwei Möglichkeiten offen: Die eine ist, eine

Wandtemperatur anzunehmen, um die Wärmeübergangszahl und damit die Wand-
temperatur zu berechnen. Die Berechnung ist zu wiederholen, bis die gewünschte

Genauigkeit erreicht ist. Die andere Möglichkeit besteht darin, die Temperaturdifferenz als Quotient aus Wärmestromdichte und Wärmeübergangszahl in die Grashof-
zahl einzusetzen und so die Wärmeübergangszahl zu berechnen. Diese Lösung ist:

1/ 6

3

½2

°

§ g ⋅ l ⋅ q ·

1/ 6

° λ
α = ® 825

,

0

+ 387

,

0

⋅

⋅ Pr ⋅ f ( Pr)

1

2

¾ ⋅

¨¨

¸¸

°

© α ⋅ T 0 ⋅ν
l

¹

°

¯

¿

Die exakte Lösung muss mit einem Gleichungslöser ermittelt werden. Wenn im

Klammerausdruck der rechte Term sehr viel größer als 0,825 ist, kann die Wärme-
übergangszahl direkt berechnet werden. Die Funktion f ( Pr) wird mit Gl. (4.7) er-1
mittelt.

−8/ 27

8

− / 27
f ( Pr) = +

⋅ −

Pr

= +

⋅

−

=

1

(1 ,0671 9/16)

(1 ,0671 ,0711 9/16)

8384

,

0

Die Zahlenwerte eingesetzt, liefert der Gleichungslöser von Mathcad:

2

1/ 6

½

°

§

9,81⋅ 33 ⋅100

·

°

1/ 6

0,0245
α = ® 825

,

0

+ 387

,

0

⋅

⋅ ,

0 711

⋅ 8384

,

0

¾ ⋅

=

¨¨

−

¸¸

Į ⋅ 273,15⋅ K ⋅142 ⋅10 12

3

°

©

¹

°

¯

¿

2

1/ 6

°

§ W ·

−

°½

1/ 6

W

W

= ® 825

,

0

+ ,

27 259 ⋅¨

¸ ⋅α

¾ ⋅ ,

0 008167 ⋅

=

4,1

°

© m2 ⋅ K ¹

°
m2 ⋅ K
m2 ⋅ K

¯

¿

Für die Wandtemperatur erhalten wir:

ϑ

W = ϑ

+ q /

0
α =

24,4 C

°

Diskussion

Freie Konvektion bildet sich sich meist auf Grund äußerer Einflüsse, hier durch

Sonneneinstrahlung. Die Wandtemperatur ist unbekannt, sie muss iterativ ermittelt
werden. Ist die Wärmestromdichte gegeben, kann man die Temperaturdifferenz durch
die Wärmeübergangszahl ersetzen.

4 Freie Konvektion

125

BEISPIEL 4.2: Heizkörper

In einem Raum soll mit Heizkörpern von je 1,2 m Länge, 0,45 m Höhe und 0,02 m Breite eine Heizleistung von 3 kW erreicht werden. Die Wandtemperatur der Heizkörper
beträgt 48 °C, die Raumtemperatur 22 °C. Stoffwerte der Luft:

λ = 0,0268 W/(m K), ν = 16,05 . 10-6 m2/s, Pr = 0,711.

Wie viele Heizkörper sind notwendig?

1,2 m

Lösung

Schema

Siehe Skizze

0,45 m

Annahmen

0,02 m

•

Die obere und untere Seite mit je 20 mm kann man vernachlässigen.

•

Strahlungbedingte Effekte bleiben unberücksichtigt.

•

Die Wandtemperatur der Heizfläche wird als konstant angenommen.

Analyse

Die für freie Konvektion maßgebliche Übertragungsfläche ist:

2

2

A = 2⋅ ( H ⋅ L + H ⋅ B) = 2 ⋅ ( ,

0 45 ⋅ ,

1 2 + ,

0 45⋅ ,

0
m

)

02

=
m

1,098

Die Rayleigh zahl wird mit der Grashof zahl aus Gl. (4.1) bestimmt. Zur Berechnung des räumlichen Wärmeausdehnungskoeffizienten verwendet man Gl. (4.2).

3

3

3

2
g ⋅ H ⋅ (ϑ
ϑ

W −

)

9,81⋅ m ⋅ 0,45 ⋅ m ⋅ (48− 22)⋅ K ⋅s

0

8

Ra =

⋅ Pr =

⋅ 711

,

0

= 173

,

2

⋅10

2

2

12

−

4

2

T ⋅ν

295,15⋅ K ⋅16,05 ⋅10

⋅m ⋅s

0

Die Funktion f ( Pr) erhält man mit Gl. (4.8).

1

−8/ 27

8

− / 27
f ( Pr) =

+

⋅

−

Pr

= +

⋅

−

=

1

(1 ,0671 9/16)

(1 ,0671 ,0711 9/16)

8384

,

0

NuH = {

2

825

,

0

+ 387

,

0

1/ 6

⋅ Ra ⋅ f ( Pr

=

1

})

= {

2

825

,

0

+ 387

,

0

⋅( 173

,

2

⋅108)1/6 ⋅

}

8384

,

0

= 77 10

,
λ

0,0268 ⋅ W

W
α = NuL ⋅

=

10

,

77

⋅

=

4,59

H

0,45 ⋅ m ⋅ m ⋅ K
m2 ⋅ K

Der pro Heizkörper übertragene Wärmestrom ist:

Q
α A ϑ W ϑ

1 =

⋅ ⋅(

− ) = 4,59⋅ W/(m2

0

⋅K)⋅1,098⋅m2 ⋅(48− )

22 ⋅ K = 131, W

1

126

4 Freie Konvektion

Um 3 kW Wärmestrom zu liefern, sind 23 Heizkörper notwendig.

Diskussion

Bei bekannter Wandtemperatur ist die Berechnung einfach. Der errechnete Wert
ist jedoch nicht realistisch. Später wird gezeigt, dass durch Wärmestrahlung ein
etwa gleich großer Wärmestrom zusätzlich transferiert wird.

BEISPIEL 4.3: Wandtemperaturen eines Raumes

In einem Raum, dessen Wände innen und außen die gleiche Höhe von 2,8 m haben,
herrscht eine Raumtemperatur von 22 °C. Die Außentemperatur ist 0 °C. Die Wand
hat die Wärmeübergangszahl von 0,3 W/(m2 K). Die Stoffwerte der Luft sind
innen:

λ = 0,0257 W/(m K), ν = 15,11 . 10-6 m2/s, Pr = 0,713
außen:

λ = 0,0243 W/(m K), ν = 13,30 . 10-6 m2/s, Pr = 0,711.

Berechnen Sie die Temperatur an der Innen- und Außenwand.

Lösung
ϑ i

Schema

Siehe Skizze
ϑ Wi

Annahmen

•

Stahlungsbedingte Effekte bleien un berücksichtigt.

ϑ Wa ϑ

•

Die Wandtemperaturen innen und außen nimmt man
a
als konstant an.

Analyse

Bei dieser Berechnung müssen die Wandtemperaturen angenommen, die Wärme-
übergangszahlen und die Wärmedurchgangszahl berechnet und so die Wandtempe-
raturen bestimmt werden, bis die erforderliche Genauigkeit erreicht ist. Nachste-
hend sind die Berechnungen tabellarisch aufgeführt. Hier folgen die verwendeten

Gleichungen:

g ⋅ l 3 ⋅ (ϑ −ϑ )

Ra

W

=

0

⋅ Pr

T ⋅ 2
ν

0

−
f ( Pr) = 1+ ,

0 671

−

⋅ Pr

1

(

9 /16 ) 8/27
λ

Nu = { 0,825 + 0,387⋅( Gr ⋅ Pr) ⋅ f ( Pr }2

1/ 6

)

l

1
α = Nu ⋅

L

L

4 Freie Konvektion

127

§ 1

1

1 ·
k = ¨¨

+

+

¸¸
ϑ = ϑ − ϑ

(

−ϑ )⋅ k /α ϑ = ϑ + ϑ

(

−ϑ )⋅ k /α

© α
α
α

W
i
i
a
i

W
a
i
a
a
i
a
a

W
i ¹

Die Funktion f ( Pr) hat innen den Wert von 0,8386, außen den von 0,8384.

1
ϑ
ϑ

Ra

Ra
α
α
k
ϑ
ϑ

Wi

Wa
i
a
i
a

Wi

Wa

°C

°C

. 10-9

. 10-9

W/(m2 K)

°C

°C

20,00

2,00

5,880

4,909

1,960

1,750

0,227

19,46

2,85

19,46

2,85

7,467

6,995

2,113

1,956

0,232

19,59

2,60

19,59

2,60

7,085

6,381

2,078

1,901

0,230

19,56

2,67

19,56

2,67

7,173

6,553

2,086

1,917

0,231

19,57

2,65

19,57

2,65

7,144

6,504

2,084

1,912

0,231

19,57

2,65

Diskussion

Die Größe der Wärmeübergangszahlen und Wärmedurchgangszahl wird durch
die Temperaturunterschiede bestimmt. Daher können die Wandtemperaturen nicht
direkt berechnet werden, man muss sie iterativ ermitteln. Allerdings liefert in diesem Beispiel die erste Berechnung schon fast den richtigen Wert.

4.1.1

Geneigte, ebene Flächen

Bei geneigten, ebenen Flächen treten je nachdem, ob beheizt oder gekühlt wird und
ob der Wärmetransfer auf der oberen oder unteren Seite stattfindet, unterschiedliche Strömungen auf. Bei einer beheizten, geneigten Platte entsteht z. B. bei der Wärmeabgabe auf der unteren Seite der Fläche eine stabile Grenzschicht, die sich nicht ablöst. Erfolgt die Wärmeabgabe auf der oberen Seite, löst sich die Grenzschicht
nach einer bestimmten Plattenlänge ab. Folgende Fälle werden unterschieden:

1. Beheizte Fläche mit Wärmeabgabe nach unten: keine Grenzschichtablösung

2. gekühlte Fläche mit Wärmeaufnahme von oben: keine Grenzschichtablösung

3. beheizte Fläche mit Wärmeabgabe nach oben: Grenzschichtablösung möglich

4. gekühlte Fläche mit Wärmeaufnahme von unten: Grenzschichtablösung mög-
lich.

Wenn sich die Grenzschicht nicht ablöst (1. und 2.) kann Gl. 4.7 verwendet wer-
den, nur muss die Rayleigh zahl mit cosα multipliziert werden. Dabei ist α der Neigungswinkel zur Horizontalen.

α

Ra = Ra ⋅ cosα

(4.9)

128

4 Freie Konvektion

Bei dem 3. und 4. Fall entscheidet die Rayleigh zahl, ob eine Grenzschichtablösung stattfindet oder nicht. Zur Unterscheidung wird die kritische Rayleigh zahl Ra ver-c
wendet (Bild 4.2). Ist die Rayleigh zahl größer als Ra , muss die Ablösung der Grenz-c
schicht berücksichtigt werden. Für die Nußelt zahl gilt dann folgende Gleichung: 1/ 4

1/ 3

1/ 3

Nu = 0,56 ⋅ ( Ra ⋅ cosα )

+ 0,13⋅( Ra − Ra )

(4.10)

l
c
α
c

9

10

6

4

2

8

10
a c 6

R l 4
h
h

2
ig
yle

7
a 10

R zae 6
itisch

4
kr

2

6

10

6

4

2

5

10 0

15

30

45

60

75°

Neigungswinkel zur Senkrechten

Bild 4.2: Kritische Rayleigh zahl

BEISPIEL 4.4: Solarkollektor

Ein Solarkollektor, der auf einem Dach mit 45° Neigung zur Vertikalen installiert
ist, hat eine Länge von 2 m und eine Breite von 1 m. Die Temperatur des Kollektors ist 30 °C, die der Luft 10 °C. Stoffwerte der Luft:

λ = 0,0257 W/(m K), ν = 15,11 . 10-6 m2/s, Pr = 0,713.

Wie groß sind die durch Konvektion verursachten Wärmeverluste auf der oberen

Seite des Kollektors?

4 Freie Konvektion

129

Lösung

45°

Schema

Siehe Skizze

2 m

Annahmen

•

Strahlungsbedingte Effekte werden nicht berücksichtigt.

•

Die Wandtemperatur des Kollektors nimmt man als konstant an.

Analyse

Die charakteristische Länge ist die Länge l = 2 m der Platte.

3

3

3

2
g ⋅ l ⋅ (ϑ
ϑ

W −

)

9,81⋅ m ⋅ 2 ⋅ m ⋅ (30 −10) ⋅ K ⋅ s

0

10

Ra =

⋅ Pr =

⋅ 713

,

0

= ,

1 731⋅10

2

2

12

−

4

2

T ⋅ν

283,15⋅ K ⋅15,11 ⋅10

⋅ m ⋅s

0

In Bild 4.2 ist bei 45° die kritische Rayleigh zahl Ra = 1,2 . 107. Sie ist kleiner als die c

Rayleigh zahl. Damit muss die Nußelt zahl mit Gl. (4.10) berechnet werden.

Nu

Ra
α

Ra

Ra
l =

56

,

0

⋅( c ⋅cos )1/4 + 13

,

0

⋅( 1/3

1/ 3

−

)

c

=

= 56

,

0

⋅ 3

,

1

(

⋅107 ⋅ ,

0 707)1/ 4 + 13

,

0

⋅ ,

1

[( 731⋅1010 )1/3 −

3

,

1

(

⋅107)1/3] =

6

,

336

Nu λ
l ⋅

336,6 ⋅ 0,0257 ⋅ W

W

Wärmeübergangszahl: α =

=

=

4,32
l

2 ⋅ m ⋅ m ⋅ K
m2 ⋅ K

Der an der oberen Seite durch freie Konvektion abgeführte Wärmestrom beträgt:

Q = α ⋅ A⋅ (ϑ W −ϑ ) = 4,32⋅ W ⋅ −
m 2

0

⋅ −

K 1 ⋅ 2 ⋅ m2 ⋅ (30 −10)⋅ K =

W

173

Diskussion

Ohne Berücksichtigung der Strömungsablösung wäre die Wärmedurchgangszahl

3,28 W/(m2 K), also kleiner. Auch an einer vertikalen Platte gleicher Länge ist sie mit 3,45 W/(m2 K) kleiner. Die Strömungsablösung erhöht die Wärmeübergangszahlen.

4.2

Horizontale, ebene Flächen

Für beheizte horizontale, ebene Flächen, die Wärme nach oben abgeben oder ge-
kühlte Flächen, die Wärme von unten erhalten, wurden folgende Beziehungen ge-
funden:

130

4 Freie Konvektion

1/ 5

4

Nul = 766

,

0

⋅[ Ra ⋅ f ( Pr)]

für

Ra ⋅ f ( Pr) ≤ 7 ⋅10

2

2

1/ 3

4

(4.11)

Nul = 15

,

0

⋅[ Ra ⋅ f ( Pr)]

für

Ra ⋅ f ( Pr) > 7 ⋅10

2

2

−
f ( Pr ) = 1+ 536

,

0

−

⋅ Pr

(4.12)

2

(

11/ 20 ) 20/11

Die Beziehungen gelten für Flächen, die Teil einer unendlichen horizontalen Ebene
sind, d.h., die Grenzschicht wird nicht von Randeffekten gestört.

Die charakteristische Länge l wird mit Gl. (4.5) gebildet. Für eine Rechteckfläche mit den Abmessungen a und b ist sie l = a . b/2 ( a + b) und für eine Kreisfläche l = d/4.

Für Flächen, die seitliche Begrenzungen haben wie z. B. eine Fußbodenheizung,
gelten die hier angegebenen Beziehungen nicht, weil der an den Wänden verursach-
te Wärmeaustausch die Strömung wesentlich beeinflussen kann.

4.3

Freie Konvektion an gekrümmten Flächen

In diesem Abschnitt werden die Gleichungen für freie Konvektion an der Oberflä-
che waagerechter Rohre und Kugeln behandelt. Berechnungsverfahren für Würfel,
berippte Rohre und Heizkörper findet man im VDI-Wärmeatlas [4.1].

4.3.1

Horizontaler Zylinder

Die Nußelt- und Rayleigh zahl werden hier mit der Anströmlänge L' = π . d/2 des Zylinders gebildet. Für den horizontalen Zylinder gilt:

Nu

= ,

0 752 + 387

,

0

⋅ Ra ⋅ f ( Pr)

(4.13)

L'

[

1/ 6

L'

]2

3

9

− /16 −8/ 27
f ( Pr) = 1

( + 721

,

0

⋅ Pr

)

(4.14)

3

BEISPIEL 4.5: Isolierung einer Dampfleitung

In einer Stahlleitung mit 100 mm Außendurchmesser strömt Dampf bei einer Tem-
peratur von 400 °C. Die Berufsgenossenschaft verlangt, dass bei einer Außentem-
peratur von 30 °C die Temperatur auf der äußeren Oberfläche nicht höher als 40 °C
werden darf. Man kann annehmen, dass die Wandtemperatur des Stahlrohres fast
gleich wie die Dampftemperatur ist. Das Isolationsmaterial hat eine Wärmeleitfähigkeit von 0,03 W/(m K). Stoffwerte der Luft:

λ = 0,0265 W/(m K), ν = 16,5 . 10-6 m2/s, Pr = 0,711

Wie dick muss die Isolation sein?

4 Freie Konvektion

131

Lösung

?

Isolation
ϑ1

Schema

Siehe Skizze
ϑ W
ϑ

Annahmen

0

100 mm

•

Die Rohrwand- und Dampftemperatur sind gleich groß.

•

Die Außenwandtemperatur der Isolation wird als konstant angenommen.

Analyse

Die charakteristische Länge ist die Anströmlänge π . D/2. Die Außenwandtemperatur kann mit Gl. (2.29) berechnet werden.

ϑ = ϑ +

−

⋅ k

W

0
ϑ

( 1 ϑ )

/

0
α

Bei freier Konvektion wird die Wärmeübergangszahl α mit Gl. (4.14) bestimmt, die

Wärmedurchgangszahl, bezogen auf die Außenfläche, mit Gl. (2.27):

1

−

§ 1

D

D ·
k =

+

⋅ln

¨¨

¸¸
α 2

©

⋅λ
d

I

¹

2
λ

1/ 6
α = ª0,752 + 0,387 ⋅ Ra ⋅ f ( Pr)º ⋅

=

¬

L'

3

¼ L'

2

1/ 6

ª

3

3

º

§ g ⋅π ⋅ D ⋅(ϑ −ϑ ) ·

2 ⋅ λ

W

0

= «0,752 + 0,387 ⋅¨

¸ ⋅ f ( Pr)» ⋅

3

2

3

«

2

©

⋅ T ν

⋅

¹

» π ⋅ D

0

¬

¼

Beide Gleichungen in die Gleichung für die Außenwandtemperatur eingesetzt,
erhält man:

1
ϑ = ϑ + (ϑ −ϑ )⋅

W

0

1

0

D

D ⋅α

1+

⋅ln

2 ⋅ λ
d

I

Für die Funktion f ( Pr) bekommt man 0,83026. Die Gleichung kann nur mit dem 3

Gleichungslöser oder durch Iteration berechnet werden. Er liefert D = 461 mm. Die Isolation ist damit 180,5 mm dick.

Diskussion

Die Berechnung an sich ist einfach, die Lösung ist jedoch nur mit einem Glei-
chungslöser oder iterativ durchführbar.

132

4 Freie Konvektion

4.3.2

Kugel

Bei der Kugel wird die Nußelt- und Rayleigh zahl mit dem Durchmesser der Kugel gebildet. Die Nußelt zahl ist:

Nu

(4.15)

d =

56

,

0

⋅[ Pr /( 864

,

0

+ Pr)⋅ Ra]0,25 + 2

4.4

Überlagerung freier und erzwungener Konvektion

In der Technik ist die freie Konvektion oft durch erzwungene Konvektion überlagert.

In diesem Fall wird eine kombinierte Nußelt zahl mit den Nußelt zahlen der freien und erzwungenen Konvektion gebildet [4.2]. Je nachdem, ob die Strömung der erzwungenen Konvektion gegen die Strömung der freien Konvektion gerichtet ist oder pa-
rallel dazu verläuft, sind zwei Gleichungen gegeben. Für die mitgerichtete erzwun-
gene Konvektion gilt:

3

3

3

Nu = Nu

+ Nu

(4.16)

L

L, erzwungen

L, frei

Die entgegengerichtete erzwungene Konvektion liefert:

3

3

3

Nu = Nu

− Nu

(4.17)

L

L, erzwungen

L, frei

5

Kondensation reiner Stoffe

Kommt Dampf mit einer Wand, deren Temperatur kleiner als die Sättigungstempe-
ratur des Dampfes ist, in Kontakt, kondensiert er an der Wand und schlägt sich als Flüssigkeit nieder.

Kommt Dampf mit einem Körper, dessen Temperatur tiefer als die Sättigungs-
temperatur des Dampfes ist, in Kontakt, kondensiert der Dampf, unabhänig
davon, ob er gesättigt, überhitzt oder nass ist.

Der Niederschlag kann in Form eines geschlossenen Flüssigkeitsfilms oder in Form
einzelner Tröpfchen erfolgen. Man spricht daher von Film- oder Tropfenkondensation. Die Tropfenkondensation, die höhere Wärmeübergangszahlen liefert, lässt sich nur durch besondere Vorkehrungen (z.B. Entnetzungsmittel, spezielle Oberflächenbeschichtungen) über längere Zeit aufrechterhalten. Die Anwendung der

Tropfenkondensation beschränkt sich bis heute auf Demonstrationsmodelle und

Laborapparate.

Die Kondensation kann wie bei der Taubildung mit reinen, gesättigten, nassen
oder überhitzten Dämpfen bzw. mit Gasgemischen erfolgen. Hier wird nur die Kon-
densation reiner Dämpfe behandelt. Bei der Filmkondensation hängt die Wärme-
übergangszahl von der Geometrie, den Stoffwerten und der Differenz zwischen

Wand- und Kondensationstemperatur ab. Bei hohen Dampfgeschwindigkeiten wer-
den Schubspannung und Wärmeübergangszahl von der Strömung stark beeinflusst.

5.1

Filmkondensation reiner, ruhender Dämpfe

Bei der Filmkondensation reiner, gesättigter, ruhender Dämpfe entsteht an einer
kälteren Wand ein Kondensatfilm, der durch Einwirkung der Schwerkraft nach un-
ten strömt und mit zunehmender Wandlänge auf Grund zusätzlich kondensierender

Dampfmasse immer dicker wird. Zunächst ist die Strömung laminar und wird dann
ab einer bestimmten Filmdicke turbulent. Für den laminaren und turbulenten Be-
reich müssen die Wärmeübergangszahlen getrennt behandelt werden.

Bei der Kondensation ruhender Dämpfe erfolgt vom ruhenden Dampf zwar eine

Strömung zur kalten Wand, die aber die Kondensation nicht beeinflusst.

P. von Böckh, T. Wetzel Wärmeübertragung,

DOI 10.1007/978-3-642-15959-6_5, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

134

5 Kondensation

5.1.1

Laminare Filmkondensation

5.1.1.1

Kondensation gesättigten Dampfes an einer senkrechten Wand

Nußelt [5.1] leitete bereits 1916 die Wärmeübergangszahlen für laminare Filmkondensation bei konstanter Wandtemperatur her. Er berechnete die Dicke eines durch
die Schwerkraft nach unten bewegten und von der Kondensation gespeisten lamina-
ren Kondensatfilms (Wasserhauttheorie). Die lokale Wärmeübergangszahl α an
x
der Stelle x der Wand wird durch die Wärmeleitung im Film bestimmt.

λ l
α =
x
δ

(5.1)

x

Dabei ist λ die Wärmeleitfähigkeit der Flüssigkeit (Kondensat) und δ die Dicke
l
x
des Films an der Stelle x. Für die Herleitung der Wärmeübergangszahl wird zu-nächst angenommen, dass die Temperatur der Wand konstant ϑ ist. Die Tempera-
w
tur des Dampfes ist die Sättigungstemperatur ϑ . s
b
y

Dampf
δ x
ϑ s
dm
ϑ w
x
dx
y

Dampf
c (y)

x
x

Bild 5.1: Laminare Kondensation an einer senkrechten Wand

Bild 5.1 zeigt die laminare Filmkondensation an einer senkrechten Wand. In dem

Film wirken zwei Kräfte: die Schwerkraft F , die eine Strömung nach unten verurs
sacht und die Reibungskraft F , die dagegen wirkt. Die Strömung ist stationär. Die-
τ
ses bedeutet, dass sich das Geschwindigkeitsprofil des Films und der Temperatur-
verlauf im Film an der Stelle x zeitlich nicht verändern.

An der Stelle x wirkt in der Entfernung y von der Wand folgende Schwerkraft dFS
auf das Massenelement dm:

dF = g ⋅ dm = (ρ − ρ ) ⋅ b ⋅ (δ − y) ⋅ g ⋅ dx s
l
g
x

(5.2)

Die Reibungskraft dF an der Stelle y, die auf das Massenelement wirkt, ist: τ

5 Kondensation

135
dFτ = τ ⋅ A = τ ⋅ b ⋅ dx

(5.3)

Da beide Kräfte entgegengesetzt gleich groß sind, erhält man:

τ = −(ρ − ρ )⋅(δ − y) ⋅ g

(5.4)

l
g
x

In einer laminaren Strömung ist die Schubspannung τ :

dcx
τ = −η ⋅
l

(5.5)

dy

Damit erhalten wir für den Geschwindigkeitsverlauf an der Stelle x folgende Differentialgleichung:

g ⋅ (ρ − ρ )

dc
l
g

=

⋅(δ − y) ⋅ dy
x
x
η

(5.6)

l

Da an der Wand bei y = 0 die Geschwindigkeit null ist, erhält man:

g ⋅(ρ − ρ )

l
g

1
c ( y) =

⋅(

2
δ ⋅ y − y )

x
x
η

(5.7)

2
l

Man bekommt den Massenstrom an der Stelle x, wenn die Geschwindigkeit über der Querschnittsfläche des Films integriert und mit der Dichte der Flüssigkeit multipliziert wird.

y =δ x
g ⋅ (ρ − ρ )

3

⋅ b δ
l
g
x
m

= ρ ⋅ b⋅ c ⋅ dy =

⋅

³
x
l
x
ν

3

(5.8)

y = 0
l

Andererseits verändert sich der Massenstrom auf dem Strömungsweg dx um den Massenstrom des Dampfes, der auf der Fläche b . dx an der Wand kondensiert. Aus der Wärmebilanz- und kinetischen Kopplungsgleichung erhalten wir:

λ l
δ Q = α ⋅ b ⋅(ϑ −ϑ )⋅ dx =

⋅ b ⋅(ϑ −ϑ )⋅ dx = r ⋅ dm
x
s

W
s

W
x
δ

(5.9)

x

Damit ist die Änderung des Massenstromes:

λ ⋅ b⋅ ϑ

(

−ϑ )

dm
l
s

W

=

⋅ dx
x
δ ⋅

(5.10)

r
x

Durch Ableiten der Gl. (5.8) nach dδ kann ebenfalls die Änderung des Massen-x
stromes bestimmt werden.

b ⋅ g ⋅ (ρ − ρ )

l
g
dm

=
δ 2 ⋅ dδ
x
x
x
ν

(5.11)

l

136

5 Kondensation

Setzt man die Gln. (5.10) und (5.11) gleich, erhält man für die Filmdicke folgende Differentialgleichung:

λ ⋅ ϑ

(

−ϑ ) ν

⋅
l
s

W
l ⋅ dx = δ 3 ⋅ dδ
x
x
r ⋅ g ⋅ (ρ − ρ )

(5.12)

l
g

Nach Integration von 0 bis x bekommt man die Dicke δ der Grenzschicht an der x

Stelle x:

0,25

§ 4⋅λ ϑ ϑ ν
l ⋅ (
s −

)

·

¨

W

⋅ l

¸
δ x = ¨

⋅ x

(5.13)

r ⋅ g ⋅ (ρ
ρ
l −

)

¸

©
g

¹

Die lokale Wärmeübergangszahl α an der Stelle x ist damit:

x

0,25

0,25

3

3

§
λ
λ
ρ ρ
λ
ρ ρ
l ⋅ r ⋅ g ⋅ (
l −

) ·

§
g
l ⋅ r ⋅ g ⋅ (
l −

) ·
l

¨

¸
α x =

=

= ,

0 707 ¨
g

¸

⋅

¨
δ

(5.14)

4 ϑ
ϑ
ν
ϑ ϑ
ν
x

⋅( s −

)

¸

¨

W

⋅ l ⋅ x

( s −

)

¸

©

¹

©

W

⋅ l ⋅ x ¹

Die lokale Wärmeübergangszahl ist in der Regel nicht von Interesse. Die mittlere

Wärmeübergangszahl, die an einer Platte der Länge l vorherrscht, erhält man als: 0,25
x = l

3

1

§ λ
ρ ρ
l ⋅ r ⋅ g ⋅ (
l −

) ·
α = ⋅ α x ⋅ dx = 943

,

0

¨
g

¸

⋅

³

¨

(5.15)

l

(ϑ
ϑ
ν
s −

)

¸

W

⋅ l ⋅ l
x = 0

©

¹

Die Verdampfungswärme r wird bei der Sättigungstemperatur des Dampfes be-
stimmt. Die übrigen Stoffwerte sind mit der mittleren Temperatur des Kondensat-
filmes (ϑ + ϑ )/2 zu berechnen.

S

W

Die Wärmeübergangszahlen mit dem Index x sind lokale, ohne Index mittlere

Wärmeübergangszahlen.

BEISPIEL 5.1: Berechnung der Filmdicke und Wärmeübergangszahl

Berechnen Sie die Filmdicke und die Wärmeübergangszahl von Wasser und Frigen

R134a an einer vertikalen Wand bei x = 0,1 und 1,0 m. Für beide Fluide beträgt die Differenz zwischen Wand- und Sättigungstemperatur 10 K. Die Stoffwerte sind:

λ
ρ
ρ
ν
r
l
g
l

W/(m K)

kg/m3
kg/m3

106 m2/s
kJ/kg

Wasser:

0,682

958,4

0,60

0,295

2 257,9

Frigen R134a:

0,094

1 295,2

14,43

0,205

198,6

5 Kondensation

137

Lösung

Annahmen

•

Die Wandtemperatur ist konstant.

•

Im Film ist die Strömung laminar.

Analyse

Die Filmdicke wird mit Gl. (5.13), die Wärmeübergangszahl mit (Gl. 5.14) be-
rechnet.

0,25

§ 4⋅λ ϑ ϑ ν
λ
l ⋅ (
s −

)

·

¨

W

⋅ l

¸
l
δ
α =
x = ¨

⋅ x
x
r ⋅ g ⋅ (ρ
ρ
δ
l −

)

¸

©
g

¹
x

Die gegebenen Zahlenwerte eingesetzt, ergeben:

δ
α
δ
α
x = 0,1 m
x = 0,1 m
x = 1 m
x = 1 m
mm

W/(m2 K)

mm

W/(m2 K)

Wasser:

0,078

8 690

0,140

4 887

Frigen R134a:

0,075

1 261

0,133

709

Diskussion

Für beide Fluide erhalten wir sehr dünne Kondensatfilme. Die Wärmeübergangs-
zahl des Frigens ist wegen der wesentlich kleineren Wärmeleitfähigkeit viel gerin-
ger als die des Wassers.

Es ist zu beachten, dass Verdampfungswärme r in J/kg und nicht in kJ/kg eingesetzt werden muss.

5.1.1.2

Einfluss der veränderlichen Wandtemperatur

Die konstante Wandtemperatur ist eine Annahme, die praktisch nie erfüllt wird.

Meist wird die bei der Kondensation abgegebene Wärme von einem Fluid, das sich
erwärmt, aufgenommen. Ist die Temperatur des Fluids am Eintritt ϑ ' , am Austritt 1
ϑ '' und die Wärmedurchgangszahl k, gilt für den übertragenen Wärmestrom: 1
ϑ ′−ϑ′

1

1

Q = k ⋅ A⋅ ϑ

Δ
k A
m =

⋅ ⋅

(5.16)

ln[(ϑ s −ϑ′) / (ϑ s −ϑ )′

1

1 ]

Der vom kondensierenden Dampf an die Wand abgegebene Wärmestrom, ermit-
telt mit einer mittleren Wandtemperatur ϑ , ist:

W

138

5 Kondensation

Q / A = q = α ⋅ (ϑ −ϑ )

(5.17)

S

W

Aus den Gln. (5.16) und (5.17) erhält man für die mittlere Temperaturdifferenz
zwischen der Sättigungstemperatur und der mittleren Temperatur der Wand:

ϑ

(

−

=

⋅

(5.18)

S
ϑ )

W
ϑ

Δ
k /
m
α

Messungen zeigen, dass die mittleren Wärmeübergangszahlen mit den nach Gl.

(5.18) berechneten Temperaturdifferenzen sehr genau bestimmbar sind. Die Tem-
peraturdifferenzen können durch die Wärmestromdichte q aus Gl. (5.17) ersetzt werden. Durch das Ersetzen erhält man:

1/ 4

1/ 3

3

3

§ λ
ρ ρ α
λ
ρ ρ
l ⋅ r ⋅ g ⋅ (
l −

)

g

⋅ ·

§ l ⋅ r ⋅ g ⋅( l − ) ·
α = 943

,

0

¨

¸

⋅

= 925

,

0

¨
g

¸

⋅

¨

¸

¨

¸ (5.19)

©
q ⋅ν
ν
l ⋅ l

¹

©
q ⋅ l ⋅ l

¹

Bei bekannten Abmessungen des Apparates ist die Fläche A das Produkt aus Län-ge l und Breite b. Besteht die senkrechte Fläche z. B. aus n senkrechten Rohren, ist die Breite b = n . π . d .

a

1/ 4

1/3

3

3

§ λ ⋅ r⋅ g⋅(ρ − ρ )⋅ b⋅α ·

§ λ ⋅ r⋅ g⋅(ρ − ρ )⋅ n⋅π ⋅ d ·
α = 0,943 l
l
g

⋅¨

¸ = 0,925
l
l
g
a

⋅¨

¸

¨

(5.20)

Q

©
ν

¸

¨

Q

¹

©
ν

¸

⋅

⋅
l
l

¹

Ist der Wärmestrom unbekannt, wird zunächst die Wärmeübergangszahl bei der

Kondensation mit einer angenommenen Temperaturdifferenz ermittelt. Entspre-
chend der Strömungsbedingungen und Stoffeigenschaften an der Wand werden
dann die Wärmeübergangs- und Wärmedurchgangszahl berechnet und die Tempe-
raturdifferenz aus Gl. (5.17) bestimmt. Die Berechnung wird wiederholt, bis die erforderliche Genauigkeit erreicht ist.

5.1.1.3

Kondensation nassen oder überhitzten Dampfes

Bei der Kondensation ruhender Dämpfe hat der Zustand des Dampfes keinen Ein-
fluss auf die Wärmeübergangszahl. Entsprechend der Enthalpie h = h ( p,ϑ, x) des g

Dampfes verändert sich nur der Massenstrom des produzierten Kondensats. Ganz
allgemein gilt für den Kondensatmassenstrom:

m = Q

/( h − h )

(5.21)

l
g
l

Bei der Berechnung des Wärmestromes ist zu beachten, dass bei bekanntem

Dampfmassenstrom als Enthalpieänderung nicht die Verdampfungsenthalpie r,
sondern die Differenz h – h einzusetzen ist.

g
l

5 Kondensation

139

5.1.1.4

Kondensation an geneigten Wänden

Tritt die Kondensation an geneigten Wänden auf, verringert sich die Wirkung der

Schwerkraft entsprechend des Neigungswinkels ϕ gegenüber der Horizontalen.

0,25
α = α

⋅(cosϕ)

(5.22)

senkr

5.1.1.5

Kondensation an waagerechten Rohren

In Wärmeübertragern kondensiert der Dampf häufig an waagerechten Rohren. In
diesem Fall wird an Stelle der Wandlänge der Durchmesser des Rohres in Gl. (5.15)

eingesetzt. Die Wärmeübergangszahl ist dann:

0,25

3

§ λ r g ρ ρ
l ⋅

⋅ ⋅( l −

) ·
α = ,

0 728 ¨
g

¸

⋅¨

(5.23)

(ϑ
ϑ
ν d
s −

)

¸

©

W

⋅ l ⋅ a ¹

Ähnlich wie bei der senkrechten Wand kann die Temperaturdifferenz hier durch
den Wärmestrom und die Fläche A = n . π . d . l ersetzt werden.

a

1/ 3

3

§ λ r g ρ ρ n l
l ⋅

⋅ ⋅( l −

)

g

⋅ ⋅ ·
α = 959

,

0

¨

¸

⋅¨

¸

(5.24)

©

Q ⋅ν l

¹

5.1.2

Turbulente Filmkondensation

Ist eine senkrechte Wand relativ lang, wächst die Dicke des Kondensatfilms an und
die laminare Strömung geht in eine turbulente über. Die Wärmeübergangszahl kann
nicht mehr analytisch hergeleitet werden. Die Berechnung der turbulenten Konden-
sation und des Übergangsgebietes wird bei der Behandlung der Kondensation mit
dimensionslosen Kennzahlen gezeigt.

5.2

Dimensionslose Darstellung

Ähnlich wie bei der konvektiven Wärmeübertragung können die Wärmeübergangs-
zahlen bei der Kondensation auch als Nußelt zahl angegeben und als Funktion dimensionsloser Kennzahlen dargestellt werden [5.2]. Für die Bildung der Nußeltzahl wird die dimensionslose Länge L' folgendermaßen definiert:

2
ν

3

L
l

′ =

(5.25)

g
α ⋅ L′

Damit ist die Nußelt zahl: Nu ′ =

(5.26)

L
λ l

140

5 Kondensation

Die zweite dimensionslose Kennzahl ist die Reynolds zahl Re , sie ist definiert als: l

Γ

Re =
l
η

(5.27)

l

Die Größe Γ wird Berieselungsdichte genannt. Sie ist der Massenstrom des Kondensats pro Meter Ablaufbreite b.

m

m

l
l

Γ =

=

(5.28)

b
n ⋅π ⋅ d

Die Ablaufbreite b wird wie folgt bestimmt:

bei senkrechten Wänden die Breite der Wand:

b = b
bei senkrechten Rohren die Summe der Rohrumfänge:

b = n . π . d
bei waagerechten Rohren die Summe der Rohrlängen:

b = n . l

Der Massenstrom des Kondensats, multipliziert mit der Verdampfungsenthalpie,
ergibt den Wärmestrom. Damit kann die Berieselungsdichte auch als Funktion des

Wärmestromes angegeben werden.

m

Q
l

Γ =

=

(5.29)

b
r ⋅ b

Mit diesen Kennzahlen lassen sich die lokalen und mittleren Wärmeübergangs-
zahlen berechnen.

5.2.1

Lokale Wärmeübergangszahlen

Die lokalen laminaren Wärmeübergangszahlen können mit den dimensionslosen

Kennzahlen in die Gln. (5.14), (5.17) und (5.29) eingesetzt, wie folgt angegeben
werden:

α ⋅

1/ 3

L′

§1− ρ / ρ ·
g
l
x

Nu

,

0 693

',

,

=

=

⋅

⋅ f

L lam x
well

¨¨

¸¸
λ

(5.30)

Re
l

©
l

¹

Dabei ist f
ein Korrekturfaktor, der die Welligkeit der Filmströmung bei größe-
well
ren Reynolds zahlen berücksichtigt. Er ist gegeben als:

1
für

Rel < 1
f well = ®

(5.31)

¯ 0,04

Re
für

Re
l
l ≥ 1

Die lokale Nußelt zahl des turbulenten Kondensatfilms ist:

5 Kondensation

141

7 / 24

1/ 3
α L

Re

Pr
x ⋅

′

,

0 0283⋅
l

⋅

Nu L' turb x =

=
l

,

,

−3/8

1

− / 6
λ

(5.32)

1

Re

Pr
l

+ ,

9 66 ⋅
l
l

Eine Formel der lokalen Wärmeübergangszahlen, die für den gesamten Bereich
der Kondensation ruhender Dämpfe an senkrechten Wänden gültig ist, lautet:

α ⋅ L′

Nu
x

,

=

= Nu

2

2

′,

+ Nu ′,

⋅ f

L' x

L lam

L turb
η
λ

(5.33)

l

Dabei ist f der Korrekturfaktor zur Berücksichtigung der Temperaturabhängig-
η
keit der Viskosität.

0,25
f

(
η = η /η

)

(5.34)

ls
lW

5.2.2

Mittlere Wärmeübergangszahlen

Die mittleren Wärmeübergangs- bzw. Nußelt zahlen erhält man durch Integration der lokalen Werte über die Länge der Kühlfläche. Die mittlere laminare Nußelt zahl ist:

α ⋅

1/ 3

L′

§ 1

( − ρ / ρ ) ·
g
l

Nu

925

,

0

,

=

=

⋅

⋅ f

L' lam
well

¨¨

¸¸
λ

(5.35)

Re
l

©
l

¹

Mittlere Nußelt zahl des turbulenten Kondensatfilms:

7 / 24

1/ 3
α ⋅ L′

,

0 020 ⋅ Re

Pr
l

⋅

NuL' turb =

=
l

,

−3/8

1

− / 6
λ

(5.36)

1

Re

Pr
l

+

52

,

20

⋅ l
l

Pr = 1

1,0

L

Nu
ahlz t

Nußel

Gl. (5.37)

laminar
turbulent

Gl. (5.35)

Gl. (5.36)

0,1

10-1

10 0

10 1

10 2

3

10

4

10

5

10

Reynolds zahl Re l

Bild 5.2: Mittlere Nußelt zahl bei der Kondensation ruhender Dämpfe

142

5 Kondensation

Eine Formel, die für den gesamten Bereich der Kondensation ruhender Dämpfe
an senkrechten Wänden gültig ist, lautet:

α ⋅ L′

Nu

=

= ,12 Nu

,

1 2

,

1 2

′,

+ Nu ′,

⋅ f

L'

L lam

L turb
η
λ

(5.37)

l

5.2.3

Kondensation an waagerechten Rohren

Bei der Kondensation ruhender Dämpfe an waagerechten Rohren erhalten wir mit
den Kennzahlen aus Gl. (5.24) für die Nußelt zahl:

1/ 3

§1− ρ / ρ
g
l ·

NuL′ = 959

,

0

⋅¨¨

¸¸

(5.38)

©

Rel

¹

Es ist zu beachten, dass die Ablaufbreite b mit der Rohrlänge gebildet wird, d.h., b = n . l.

5.2.4

Vorgehen bei der Berechnung der Wärmeübergangszahlen

Meist bestehen die Übertragungsflächen der Apparate, in denen Kondensation statt-
findet, aus Rohren. Daher beschränkt sich dieser Abschnitt auf die Behandlung von

Apparaten, bei denen der Dampf außen an waagerechten oder senkrechten Rohren
kondensiert. Hier unterscheiden wir zwischen Auslegung und Nachrechnung.

Bei der Auslegung sind die thermischen Daten (Wärmestrom, mittlere Tempera-
turdifferenz und Wärmeübergangszahl des Fluids, auf das die Wärme transferiert
wird) gegeben. Für diese Daten muss ein Apparat ausgelegt werden, d.h., die An-
zahl und Länge der Rohre werden bestimmt. Unbekannt sind dabei Anzahl, Außen-
durchmesser und Länge der Rohre, die Differenz zwischen Wand- und Sättigungs-
temperatur und die Temperatur zur Bestimmung der Stoffwerte. Diese Größen müs-
sen zum Teil angenommen werden. Der Rohrdurchmesser ist entweder vorgegeben
oder er wird optimiert. Bei Letzterem sind Berechnungen für verschiedene Rohr-
durchmesser durchzuführen. Die Anzahl der Rohre wird von äußeren Größen wie
z.B. Strömungsgeschwindigkeit in den Rohren bestimmt, die die Kondensation
nicht beeinflussen. Deshalb werden hier die Anzahl der Rohre und der Rohrdurch-
messer als gegeben vorausgesetzt. Bei senkrechten Rohren ist damit die Ablauf-
breite b bekannt, bei waagerechten Rohren muss eine Rohrlänge angenommen werden. Zur Ermittlung der Stoffwerte rechnet man mit einer angenommenen mittleren

Temperatur. Damit können Wärmeübergangs-, Wärmedurchgangszahl und Tempe-
raturdifferenz bestimmt werden. Aus der erforderlichen Austauschfläche errechnet
sich die Rohrlänge. Nun müssen die Stoffwerte und bei waagerechten Rohren die

Ablaufbreite b neu ermittelt werden. Dieser Vorgang wird so lange wiederholt, bis die erforderliche Genauigkeit erreicht ist. Bild 5.3 zeigt das Flussdiagramm der Berechnung.

5 Kondensation

143

Die Nachrechnung erfasst Apparate, die bereits ausgelegt sind, d.h., Anzahl und

Abmessung der Rohre sind bekannt. Die Daten des Fluids im Rohr und/oder des

Dampfes ändern sich gegenüber der Auslegung. Nachstehend wird der Fall erklärt,
bei dem mit den gegebenen Größen Wärmestrom, Eintrittstemperatur und Massen-
strom des Kühlmediums in den Rohren die Kondensationstemperatur bestimmt
werden muss.

gegeben:

.

.

Q oder m
d , d ,
kond
i
a
ϑ , ϑ , ϑ , α

'

'

2

1

1
i

Δϑ m

Annahme: ϑ =

W
ϑ W 0
ja
waagerecht ?

l = l 0
b = n l

. 0
nein
b = n d

. . π

Γ , Re , Nu ,L α , α , k
l
i
a

A, l, ϑ W
nein
l - l < l

Δ

0
l = l

0
ja
nein
ϑ −

Δ

<

W
ϑ W 0
ϑ =

W 0
ϑ W
ja

Ende

Bild 5.3: Flussdiagramm der Berechnung bei einer Auslegung

Mit dem gegebenen Wärmestrom kann die Austrittstemperatur des Kühlmediums
berechnet werden. Zur Ermittlung der Stoffwerte des Kondensats nimmt man eine

Sättigungstemperatur an. Damit können die Wärmeübergangszahl innen und außen
und die Wärmedurchgangszahl berechnet werden. Mit Letzterer bestimmt man die
mittlere Temperaturdifferenz, die zur Abfuhr des Wärmestromes notwendig ist, fer-
ner die mittlere Wandtemperatur. Die Berechnung wird so lange wiederholt, bis die
erforderliche Genauigkeit erreicht ist.

144

5 Kondensation

BEISPIEL 5.2: Auslegung eines Kraftwerkkondensators

Für den im Beispiel 3.3 berechneten Kraftwerkkondensator ist die Wärmeüber-
gangszahl bei der Kondensation zu berechnen. Jetzt wird auf der Kühlwasserseite
auch der Einfluss der Richtung des Wärmestromes berücksichtigt. Wir verwenden
die im Beispiel 3.3 vorgegebenen Daten.

Zu bestimmen sind die notwendige Länge der Rohre und die durch Verschmut-
zung bedingte Änderung der Kondensationstemperatur.

ϑ
α

2
a

Lösung
ϑ '

c
ϑ ''

1

1

Schema

Siehe Skizze
ϑ
ϑ2
ϑ ''1

Annahmen
ϑ '1
x

0
l

•

Die mittlere Wärmeübergangszahl ist konstant.

•

Die Einflüsse der Dampfströmung sind vernachlässigbar.

Analyse

Die Anzahl der Rohre wird durch die vorgegebene Strömungsgeschwindigkeit
und den Wärmestrom berechnet und kann daher wie die mittlere Temperatur über-
nommen werden. Die Stoffwerte des Kondensats bestimmt man mit einer angenom-
menen mittleren Wandtemperatur, mit den im Beispiel 3.3 berechneten Werten sind
sie:

ϑ = ϑ − Δϑ ⋅ k /α = 35 C

° − 9,102⋅ K ⋅4 403 / 13 500 = 32,0 C

°

W

2
m
a

Die für die Stoffwerte maßgebliche Temperatur beträgt 33,5 °C. Aus der Dampf-
tafel erhält man folgende Werte:

ρ = 995,5 kg/m3, ρ = 0,040 kg/m3, λ = 0,616 W/(m K),
l
g
l
η = 792,2 . 10-6 kg/(m s), r = 2 417,9 kJ/kg, ν = 0,796 . 10-6 m2/s.

l

l

Die Berieselungsdichte wird mit Gl. (5.29) berechnet.

6

Q

2 000 ⋅10 ⋅ W ⋅ kg
kg

3

Γ =

=

= 1,239⋅10−
r ⋅ n ⋅ l

2 417 900 J

⋅ ⋅57 727⋅11,562⋅ m
m ⋅ s

Reynolds zahl nach Gl. (5.27): Re

Γ η
l =

/ l = ,

1 250 ⋅10 3

−

,

/792 2 ⋅10−6 = 564

,

1

Die Nußelt zahl wird mit Gl. (5.38) berechnet.

5 Kondensation

145

1/ 3

§1− ρ /

1/ 3
ρ
g
l ·

§1− ,

0 04 /

5

,

995 ·

NuL′ = 959

,

0

⋅

= 959

,

0

⋅

¨¨

¸¸

¨¨

¸¸ = 8261

,

0

©

Rel

¹

©

578

,

1

¹

Zur Bestimmung der Wärmeübergangszahl muss noch die charakteristische Län-
ge L' mit Gl. (5.25) berechnet werden.

L′ = ν /

3
g
l

= ( ,

0 796 ⋅10 6

3

2

− )2 ⋅m4 ⋅s2/(9,806⋅m⋅s2) = 0,04013⋅10 3− m

Die Wärmeübergangszahl ist:

−3

2
α = Nu ⋅λ / L′ = 0,8238⋅0,616⋅ W/(0 , 04013⋅10 ⋅m ⋅K ⋅m) =12 682 W/(m ⋅K) L'

Sie ist etwas kleiner als im Beispiel 3.3 mit 13 500 W/(m2 K) angegeben.

Die Wärmeübergangszahl im Rohr aus Beispiel 3.3 ist 8 481 W/(m2 K). Für die

Wärmedurchgangszahl erhält man:

1

−

§ 1
d
d
d

·
a
k = ¨

+

⋅ln a
a

+

¸ =

© α

2 ⋅ λ
d
d ⋅α
a

R
i
i
i ¹

1

−

§

1

0, 024

24

24

·

W

= ¨

+

⋅ln

+

¸ = 4 273 2

©12 682

2 ⋅17

23

23⋅8 481¹
m ⋅ K

Die Rohrlänge wird somit zur Verkleinerung der Wärmedurchgangszahl propor-
tional größer, d.h. 11,803 m. Mit der neuen Rohrlänge wird die Berieselungsdichte
kleiner, die Wärmeübergangszahl nimmt etwas zu. Hier ist es zweckmäßig, nicht
nur mit der geänderten Rohrlänge, sondern neu auch mit den Korrekturfunktionen
für die Wärmeübergangszahl im Rohr zu rechnen. Die Wärmedurchgangszahl er-
gibt sich damit zu:

§ 1
d
d
d

·
k = ¨¨

+
a

⋅ln a +
a

¸¸

©α

2 λ
α
a

⋅
d
d

R
i
i ⋅
i ⋅ f
f

1 ⋅

2 ¹

Die Prandtl zahl des Kühlwassers hat bei 30 °C den Wert von 5,414. Innen im Rohr beträgt die Wandtemperatur:

ϑ = ϑ + ϑ

Δ ⋅ k /α

Wi
m
m
i

Aus der Iteration erhält man nach fünf Berechnungen die Rohrlänge auf 1 mm
genau. Folgende Werte wurden ermittelt:

f = 1,016, f = 1,015, α = 12 700 W/(m2 K), k = 4 348 W/(m2 K), 1

2
a

l = 11,611 m

146

5 Kondensation

Dabei wurden auch die Änderungen der Stoffwerte des Kondensats berücksich-
tigt.

Diskussion

Die Korrekturfunktionen f und f bewirken nur eine geringfügige Änderung der 1

2

Rohrlänge von 0,5 %. Bei der Auslegung von Großkondensatoren müssen die Be-
rechnungen sehr genau sein, weil einerseits die Fläche den Preis und damit die

Konkurrenzfähigkeit bestimmt, andererseits sehr hohe Geldstrafen bei Nichter-
reichen der garantierten Werte zu bezahlen sind.

BEISPIEL 5.3: Auslegung und Nachrechnung eines Kondensators für Frigen

R134a

An den senkrechten Rohren eines Kondensators sollen 0,5 kg/s Frigen R134a bei

50 °C kondensiert werden. In den Rohren strömt Wasser mit einer Geschwindigkeit
von 1 m/s. Das Kühlwasser wird dabei von 40 auf 45 °C erwärmt. Die Rohre sind
aus Kupfer, haben den Außendurchmesser von 12 mm und eine Wandstärke von

1 mm; die Wärmeleitfähigkeit ist 372 W/(m2 K).

Stoffwerte des Kühlwassers bei 42,5 °C: ρ = 991,3 kg/m3, c = 4,178 kJ/(kg K), p
λ = 0,634 W/(m K), ν = 0,629 . 10-6 m2/s, Pr = 4,1.

Stoffwerte des Frigens: ρ = 1 102,3 kg/m3, ρ = 66,3 kg/m3, λ = 0,071 W/(m K),
l
g
η = 142,7 . 10-6 kg/(m s), r = 151,8 kJ/kg, ν = 0,132 . 10-6 m2/s, Pr = 3,14.

l
l
l

Sie können annehmen, dass der Einfluss der Rohrlänge und der der Richtung des

Wärmestromes vernachlässigbar sind. Bei Teilaufgabe b) kann die Änderung der

Stoffwerte vernachlässigt werden.

Zu berechnen sind:

a) die Anzahl und Länge der Rohre
b) der Wärmestrom und die Wärmeübergangszahl, wenn der Dampfmassenstrom
auf 0,65 kg/s ansteigt.

Lösung

Schema

Temperaturverlauf wie im Beispiel 5.2

Annahmen

•

Die mittlere Wärmeübergangszahl ist konstant.

•

Die Einflüsse der Dampfströmung sind vernachlässigbar.

5 Kondensation

147

Analyse
a)

Der Massenstrom des Kühlwassers wird aus der Kombination der Wärme-
bilanzgleichungen für Frigen und Kühlwasser berechnet.

Q = m
r

Q

m

c

R
a ⋅

= KW ⋅ p ⋅(ϑ ′−ϑ′)

134

1

1
m

⋅ r

0,5 ⋅ kg ⋅151 800 ⋅ J ⋅ kg ⋅ K
kg

134

R
a
m

=

=

= 3,633

KW
c ⋅ (ϑ′′−ϑ )

′

4 178 ⋅5 ⋅ K ⋅ J ⋅s ⋅ kg
s
p

1

1

Aus der Kontinuitätsgleichung erhalten wir aufgerundet die Anzahl der Rohre.

4 ⋅ m

4

KW

⋅ ,

3 633⋅ kg ⋅s ⋅ m3
n =

=

= 47

2
c
d

KW ⋅ ρ KW ⋅π ⋅

1
i

⋅ m ⋅991,3⋅ kg ⋅π ⋅ 01

,

0

2 ⋅ m2 ⋅s

Die Berieselungsdichte wird mit Gl. (5.29) berechnet.

m

5

,

0

R
a

⋅kg
kg

134

Γ =

=

= ,

0 2822
n ⋅π ⋅ d

47
a

⋅π ⋅ ,

0 012 ⋅ m ⋅s
m ⋅s

Reynolds zahl nach Gl. (5.27):

−6

Re = Γ /η = 0, 2822 /142, 7 ⋅10 = 1 978
l
l

Die Nußelt zahl wird mit den Gln. (5.31) bis (5.37) berechnet.

1/3

1/3

§ (1− ρ / ρ ) ·

§ −

·
g
l

(1 66,3/1102,3)

Nu

= 0,925⋅¨

¸ ⋅ f

= 0,925⋅¨

¸ ⋅1,355 = 0,0978

L' , lam
well

Re

©

¹

©

1978

¹
l

7 / 24

1/ 3

7/24

1/3

0, 020 ⋅ Re

⋅ Pr

0,020 ⋅1 978

⋅3,14
l
l

Nu

=

=

= 0,135

L' , turb

3/

− 8

1

− /6

−3/8

−1/6

1+ 20,52 ⋅ Re

Pr

1 + 20,52 ⋅1 754

3,14
l
l
α ⋅ L′

1,2

1,2

1,2

Nu =

= ( Nu

)

+ Nu

= 0, 2079

L'

L′, lam

L′, turb
λ l

Zur Bestimmung der Wärmeübergangszahl muss noch die charakteristische Län-
ge L' mit Gl. (5.25) berechnet werden.

L′ = ν /

3
g
l

=

132

,

0

(

⋅10 6

3

2

− )2 ⋅m4 ⋅s2/(9,806⋅m⋅s2) = 0,01211⋅10 3− m

Die Wärmeübergangszahl ist:

3

−

2
α = Nu ⋅λ / L′ = 0,2079⋅0,071⋅ W/(0,01211⋅10 ⋅m ⋅K ⋅ m) = 1219 W/(m ⋅ K) L'

Die Wärmeübergangszahl in den Rohren wird mit Gl. (3.8) berechnet.

148

5 Kondensation
c ⋅ d

1⋅ 0, 01

1
i

Re =

=

= 15 898
di

6
ν

0, 629 ⋅10−

1

2
ξ [1,8 log( Re ) 1,5]−

=

⋅

−

= 0,0272
di
ξ / 8⋅ Re⋅ Pr

Nu

=

= 102,8
di

2/3

1+12, 7 ⋅ ξ / 8 ⋅ ( Pr

−1)

2
α = Nu ⋅λ / d = 6 517 W/(m ⋅K)

i
d

1
i
i

Für die Wärmedurchgangszahl erhält man:

1

−

§ 1
d
d
d

·
a
k = ¨

+

⋅ln a
a

+

¸ =

© α 2⋅λ
d
d ⋅α

R
i
i
i ¹

1

−

§ 1

0, 012

12

12

·

W

= ¨

+

⋅ln

+

¸ = 992,6 2

©1 219 2⋅372

10

10 ⋅ 6 517 ¹
m ⋅ K

Die mittlere Temperaturdifferenz ist:

ϑ ′−ϑ′

(45 −

)

40 ⋅ K

1

1

Δϑ m =

=

=

K

7,213

§ ϑ −ϑ′ ·

§ 50 − 40 ·
ln

2

1
ln¨

¸

¨¨

¸¸
ϑ −ϑ ′

© 50 − 45 ¹

© 2

1 ¹

Die Rohrlänge berechnet sich als:

2

Q

75 900 ⋅ W ⋅ m ⋅ K
l =

=

= 5,983 m
k ⋅ Δϑ ⋅ n ⋅π ⋅ d

992, 6 ⋅ W ⋅7,123 K

⋅ ⋅47 ⋅ ʌ ⋅0,012⋅m
m
a
b)

Durch die Vorgabe, dass die Änderung der Stoffwerte vernachlässigt werden
kann, bleibt die Wärmeübergangszahl im Rohr gleich. Die Temperatur des Kühl-
wassers steigt um 6,5 K, d.h., die Austrittstemperatur des Kühlwassers beträgt

46,5 °C. Mit dem erhöhten Kondensatmassenstrom erhalten wir für die Wärme-
übergangs- und Wärmedurchgangszahl:

m

,

0 65

R
a

⋅ kg
kg

134

Γ =

=

= 3668

,

0
n ⋅π ⋅ d

47
a

⋅π ⋅ ,

0 012 ⋅ m ⋅s
m ⋅s

6

Re

/η

0, 3668 /142, 7 10−

= Γ

=

⋅

= 2 571
l
l

0,04
f

Re
well =
l

= 369

,

1

5 Kondensation

149

1/ 3

§ 1

( − ρ / ρ )

g
l

·

Nu
f

L' lam =

925

,

0

⋅

⋅ well = ,

0 0905

,

¨¨

¸¸

©

Rel

¹

,

0 020

7 / 24

1/ 3

⋅ Rel

⋅

NuL' turb =

Prl

= 1528

,

0

,

1 +

52

,

20

−3/8

1

− / 6

⋅ Re

Pr
l
l
α ⋅ L′ ,12

NuL' =

= ( Nu

) ,12

,

1 2

L′ lam

+ NuL′ turb = ,

0 2138

,

,
λ l

Nu
λ

L' ⋅

W

2
α =

= 1'

279,5

L'

m2 ⋅ K

1

−

§ 1
d
d
d

·
a
k = ¨

+

⋅ln a
a

+

¸ =

© α 2⋅ λ
d
d ⋅α

R
i
i
i ¹

1

−

§

1

0, 012

12

12

·

=

W

¨

+

⋅ln

+

¸ = 1 032

©1 279,5 2⋅372

10

10 ⋅ 6 517 ¹

2
m ⋅ K

Damit bei dieser Wärmedurchgangszahl der höhere Wärmestrom abgeführt wer-
den kann, steigt die mittlere Temperaturdifferenz. Sie kann mit Gl. (5.16) berech-
net werden.

2

Q

Q

98 670 W

⋅ ⋅ m ⋅ K

Δϑ =

=

=

= 9,048 K
m
k ⋅ A
k ⋅ n ⋅π ⋅ d ⋅ l

1 032 W

⋅ ⋅ 47 ⋅ ʌ ⋅0,012⋅ m ⋅5,983⋅ m
a

Aus der mittleren Temperaturdifferenz erhält man die Kondensationstemperatur:

ϑ ′1−ϑ′
ǻϑ m 1
ϑ2 −ϑ′1
ϑ′1 −Θ ⋅ϑ ′

Θ = e

= 0564

,

2

= Θ
ϑ2 =

1 =

52,65 C

°
ϑ2 −ϑ ′

1

1

−Θ

Diskussion

Die Auslegung erfolgte mit vorgegebenen Stoffwerten und benötigte daher keine

Iteration, ebenso wenig bei der vereinfachten Nachrechnung. Unter Berücksichti-
gung der Rohrlänge, Richtung des Wärmestromes und der Stoffwerte ist jedoch in
beiden Fällen eine Iteration notwendig.

5.2.5

Druckverlust in Rohrbündeln mit waagerechten Rohren

Nußelt hat für senkrecht übereinander angeordnete, waagerechte Rohre theoretisch Gleichungen für den Einfluss des Kondensats, das auf die unteren Rohre auftrifft,

150

5 Kondensation
hergeleitet. Danach vermindert sich die mittlere Wärmeübergangszahl proportional
zur vierten Wurzel aus der Anzahl der Rohre ( n–1/4). Diese Gesetzmäßigkeit über-nahm man früher auch für Rohrbündel, wobei die Anzahl der übereinander ange-
ordneten Rohre eingesetzt wurde. Messungen, vor allem an größeren Rohrbündeln,
zeigen, dass durch die Strömungsgeschwindigkeit des Dampfes die Verminderung
der Wärmeübergangszahlen kompensiert wird.

Bei sehr großen Rohrbündeln spielt der Druckverlust des Dampfes und die An-
sammlung nicht kondensierbarer Gase eine wesentliche Rolle. Dieses stellte man
bei großen Kraftwerkkondensatoren fest. In Dampfkraftwerken mit der elektrischen

Leistung von bis zu etwa 100 MW wurden Kondensatoren mit runden Rohrbündeln
verwendet. Als um 1970 die Leistung der Dampfkraftwerke auf über 1 000 MW

anstiegen, machte man die Erfahrung, dass bei Verwendung großer runder Rohr-
bündel die Wärmedurchgangszahlen nicht die erwarteten Werte erreichten. Der

Grund dafür war, dass die Oberfläche der Rohre mit dem Durchmesser des Bündels
quadratisch, der Umfang jedoch nur proportional anstieg. Damit stieg die Ge-
schwindigkeit des Dampfes, der in das Bündel strömte, zwischen den Rohren am

Umfang des Bündels an. Dort entstand ein großer Druckverlust und im Bündel
selbst waren der Druck und damit die Temperatur tiefer. Um dieses zu vermeiden,
wurden zur Vergrößerung des Umfangs Dampfgassen in das Bündel gelegt, was
jedoch bewirkte, dass Stagnationszonen entstanden, in denen sich nicht kondensier-
bare Gase ansammelten und die Fläche in dieser Zone für die Kondensation sperr-
ten.

Bei der Strömung des Dampfes in das Bündel nehmen der Massenstrom und die

Geschwindigkeit des Dampfes von Rohrreihre zu Rohrreihe ab. Am Umfang des

Bündels in der ersten Rohrreihe kann die Strömungsgeschwindigkeit sehr groß sein
und einen entsprechenden Druckverlust verursachen. Dieses bedeutet, dass die

Rohre im Bündel von einem tieferen Druck umgeben sind und somit dort eine tiefe-
re Kondensationstemperatur herrscht, was die mittlere Temperatur und damit den

Wärmestrom verringert. Um den gewünschten Druck zu erhalten, muss eine ent-
sprechend größere Fläche installiert werden. Für die genaue Berechnung dieses Ef-
fektes werden in der Literatur praktisch keine Hinweise gegeben, sie ist das Know-
how der Hersteller. Beispiel 5.4 demonstriert mit einem sehr einfachen Modell den

Einfluss des Druckverlustes.

Die Formen moderner Großkondensatoren werden in Versuchen oder mit Be-
rechnungen ermittelt. Der Umfang der Bündel ist so ausgelegt, dass der Dampf kei-
ne zu hohen Geschwindigkeiten hat und dadurch große Druckverluste verursacht.

Die Strömung in den Bündeln ist derart gestaltet, dass die Bildung von Stagnationszonen verhindert wird.

5 Kondensation

151

BEISPIEL 5.4: Einfluss des Druckverlustes auf die Wärmestromdichte

Mit einem einfachen Modell soll hier der Einfluss des Druckverlustes auf die Wär-
mestromdichte in Abhängigkeit von der Bündelgröße demonstriert werden. Das

Rohrbündel ist ein rundes Bündel mit n Rohren, die auf gleichseitigen Dreiecken angeordnet sind. Die Rohre haben einen Außendurchmesser von 24 mm und den

Abstand von 32 mm, sie sind möglichst genau in eine Kreisfläche einzupassen. Die

Wärmedurchgangszahl im Bündel wird unabhängig von der Strömung, der Tempe-
ratur und dem Druck als konstant mit 3 500 W/(m2 K) angenommen. Die Eintritts-

temperatur des Kühlwassers beträgt 20 °C, jene am Austritt 30 °C. Die Sättigungs-
temperatur außerhalb des Bündels ist 35 °C. In der Modellvorstellung wird ange-
nommen, dass an der Rohrreihe am Umfang des Bündels ein Druckverlust entsteht
und der so entstandene Druck maßgebend für die restlichen Rohre des Bündels ist.

Die Reibungszahl für den Druckverlust zwischen den Rohren der ersten Rohrreihe
ist 1,5, bezogen auf die Geschwindigkeit im engsten Querschnitt, d.h. zwischen den Rohren.

Die notwendige zusätzliche Fläche, die benötigt wird, um die 35 °C Sättigungs-
temperatur außen am Bündel zu erhalten, ist in Abhängigkeit der Rohrzahl zu be-
rechnen.

Bündelradius

Lösung

32

Schema

Siehe Skizze
mm

Annahmen
ø24mm

•

Die Wärmedurchgangszahl ist konstant.

•

Der Druckverlust entsteht nur am Umfang der Rohrreihe.

•

Die Rohre werden möglichst genau in die Kreisfläche eingepasst.

Analyse

Um die Kreisfläche, die von n Rohren beansprucht wird, zu berechnen, muss zu-nächst die Fläche, die von einem Rohr eingenommen wird, bestimmt werden. Ein

Rohr benötigt die Fläche von zwei gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge des Rohrabstandes s .

1

3

3

2

2

2

−3

2

A =

⋅ s =

⋅32 ⋅ mm = 0,887⋅10 m

1

1

2

2

Der Bündelradius mit n Rohren ist damit:

n
n

3

3

R =

⋅ A =

⋅

⋅ s = n ⋅

⋅ s = n ⋅
mm

16,801

1
π
π 2

1

2

1

⋅π

152

5 Kondensation

Der Dampf strömt am Bündelumfang zwischen den Rohren in das Bündel hinein.

Die Fläche für die Strömung zwischen den Rohren ist:

U ⋅

A =
l ⋅( s − d) = 2⋅π ⋅ R⋅ l ⋅ 1(− d / s ) = n ⋅ l ⋅
m

0,026391

0

1

1
s 1

Um den Dampfvolumenstrom, die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust
und die Sättigungstemperatur zu berechnen, benötigt man die Stoffwerte des Damp-
fes:

ϑ = 35 °C, p = 56,36 mbar, r = 2 418 kJ/kg, ρ = 0,03961 kg/m3
s
s

Der für die Auslegung maßgebende Dampfvolumenstrom wird durch die Wärme-
durchgangszahl und mittlere logarithmische Temperaturdifferenz mit 35 °C Sätti-
gungstemperatur bestimmt.

ϑ −ϑ

30 − 20

2

1

Δϑ m =

=

K =

K

9,102

§ ϑ s −ϑ ·

15
ln(

/ )

5
ln

1

¨¨

¸¸

©ϑ s −ϑ2 ¹
m

Q
k ⋅ A⋅ Δϑ
k ⋅ n ⋅ l ⋅π ⋅ d ⋅ Δϑ

D
m
m

V =

=

=

=

=

D
ρ
r ⋅ ρ
r ⋅ ρ
r ⋅ ρ

2
n ⋅ l ⋅π ⋅3,5⋅ 0,024 ⋅ 9,102 ⋅ m

2

=

= n⋅ l ⋅0,02508 m /s

2 418 ⋅ 0,03961⋅ s

Ein Teil des Volumenstromes kondensiert an der äußeren Seite der Randrohre,
der Rest strömt in das Bündel. Dieser einströmende Anteil ist:

V

= V ⋅ 1

[ − U /(2 ⋅ s ⋅ n)] = V ⋅ 1

[ − 2 ⋅π ⋅ n ⋅
mm

16,801

/(2 ⋅ s ⋅ n)] =

D ein

D

1

D

1

= n ⋅ l ⋅0,02508⋅ 1

[ − ,

1 6494 / n m

]

2 /s

Die Geschwindigkeit zwischen den Rohren beträgt:

V
n

Dein

⋅ l ⋅ 0,02508 ⋅ 1

[ − ,

1 237 / n m

]

2 /s
c =

=

= ,

0 950 ⋅[ n − ,

1 237

] m/s

A 0
n ⋅ l ⋅ 0,019794 m

Der Druckverlust ist damit:

2
ǻp = ζ ⋅ c ⋅ ρ / 2 = ,

0 75⋅ 9025

,

0

⋅[ n −

]

6494

,

1

2 ⋅

0,03961 Pa =

= 0,04769⋅[ n − ,

1

]

649 2 Pa ≈ 0,02681⋅ n Pa

5 Kondensation

153

Mit dem errechneten Druckverlust kann man Druck und Sättigungstemperatur im

Bündel bestimmen. Mit der Abnahme des Druckverlustes ändern sich im Bündel die
mittlere logarithmische Temperaturdifferenz und die Wärmestromdichte.

q( n) = k ⋅ Δϑ ( n)

m

Da der abzuführende Wärmestrom konstant bleibt, muss die Fläche im Inneren
des Bündels umgekehrt proportional zur Änderung der Wärmestromdichte erhöht
werden. Die prozentuale Änderung der Fläche ist:

§ A

·

§ q

·

§ ϑ

Δ

·

−1 ⋅100 %

0

=

−1 ⋅100 %
m 0

=

−1 ⋅100 %

¨¨

¸¸

¨¨

¸¸

¨¨

¸¸

© A
q
ϑ

Δ

0

¹

©

¹

©
m

¹

Die errechneten Werte sind in nachstehender Tabelle zusammengestellt.

n

Δ p
p
ϑ

Δϑ

Δ A/A . 100
s
s
m

-

Pa
mbar

°C

K

%

0

0,0

56,29

35,00

9,10

0,0

2 000

49,8

55,79

34,84

8,93

2,0

4 000

101,8

55,27

34,67

8,74

4,2

6 000

154,2

54,75

34,50

8,55

6,5

8 000

206,8

54,22

34,33

8,35

9,0

10 000

259,5

53,70

34,15

8,15

11,6

12 000

312,3

53,17

33,97

7,95

14,5

14 000

365,2

52,64

33,79

7,75

17,5

16 000

418,1

52,11

33,61

7,54

20,7

18 000

471,1

51,58

33,43

7,33

24,2

20 000

524,1

51,05

33,25

7,11

28,0

Bei der einfachen Modellrechnung wurde nicht berücksichtigt, dass durch die

Abnahme der Sättigungstemperatur die Aufwärmung des Kühlwassers verringert
und damit die mittlere logarithmische Temperaturdifferenz erhöht wird. Dieser Feh-
ler wird aber durch die Annahme, dass nur in der ersten Rohrreihe am Umfang ein

Druckverlust stattfindet, mehr als kompensiert.

Diskussion

Aus den Berechnungen ist zu ersehen, dass bei großen Rohrbündeln der Druck-
verlust der Dampfströmung beträchtliche Mehrflächen notwendig macht. Bei klei-
neren Bündeln kann der Druckverlust vernachlässigt werden. Da die Stoffwerte in
die Berechnung eingehen, ist von Fall zu Fall zu prüfen, ob ihre Änderung durch
den Druckverlust berücksichtigt werden muss. Hersteller großer Kondensatoren
rechnen bei der Auslegung ihrer Apparate den Druckverlust im Bündel zwiebel-
schalenartig aus.

154

5 Kondensation

5.3

Kondensation strömender, reiner Dämpfe

Je nach Strömungsrichtung, Dampfgeschwindigkeit und Lage des Rohres wird
durch die Strömung die Wärmeübergangszahl bei der Kondensation beeinflusst.

Kondensiert z.B. in einem horizontalen Rohr reiner Dampf, nimmt mit zuneh-
mender Rohrlänge die Strömungsgeschwindigkeit des eintretenden Dampfes zu,
weil sich im Rohr immer mehr Kondensat bildet. Durch die Dampfströmung wird
an der Phasentrennfläche eine zusätzliche Schubspannung auf den Kondensatfilm
ausgeübt. Bei sehr hohen Dampfgeschwindigkeiten kann der Einfluss der Schwer-
kraft im Vergleich zu den Schubspannungskräften der Dampfströmung vernachläs-
sigt werden. In senkrechten Rohren ändert sich die Beeinflussung durch die Dampf-
strömung je nachdem, ob sie nach unten oder oben verläuft. Für die Berechnung der

Wärmeübergangszahlen muss zwischen den verschiedenen Strömungsformen und
der Ausrichtung der Wärmeübertragungsflächen differenziert werden.

geringe
hohe

Geschwindigkeit

Geschwindigkeit
laminarer
laminarer
ung

Film

Film

Ring-
ström
turbulenter

Film
lminarer
welliger Film
ent
ung

Übergang
rainm
ung
laminar/
tröm
nt
turbulent
tröm
it E

Rings
m

Rings
turbulenter

Film
en-
ung
fropfP ström
unterkühltes

Kondensat
a)

b)

Bild 5.4: Kondensation bei abwärts gerichteter Strömung
a) separierte Strömung b) Entrainment und Fluten

Bei der Kondensation reinen Dampfes in senkrechten Rohren kann bei kleinen

Dampfgeschwindigkeiten über die gesamte Rohrlänge ein Kondensatfilm gebildet
werden (separierte Strömung); bei hohen Dampfgeschwindigkeiten werden Trop-
fen (Entrainment) vom Kondensatfilm abgerissen. Die Dampf/Kondensatströmung
geht ab einer gewissen Rohrlänge in reine Kondensatströmung über (Bild 5.4). Bei
aufwärts gerichteter Dampfströmung bildet sich wiederum ein reiner Kondensat-
film, der entgegengesetzt zur Dampfströmung verläuft. Mit zunehmender Rohrlän-
ge nimmt die Dampfströmung zu und führt zum Fluten des Rohres. Bei großen

Dampfgeschwindigkeiten kann die Strömungsrichtung des Kondensatfilms umge-
kehrt werden. Hier muss dann aber sichergestellt sein, dass am Austritt des Rohres

5 Kondensation

155
noch immer genügend viel Dampf vorhanden ist, um den Kondensatfilm mitzu-
schleppen. Nachfolgend werden einige der wichtigsten Formen der Kondensation
strömender Dämpfe behandelt.

5.3.1

Kondensation innerhalb senkrechter Rohre

Durch die Dampfströmung wirkt eine Schubspannung noch zusätzlich auf den Kon-
densatfilm [5.3, 5.4]. Als Folge entsteht eine Wechselwirkung zwischen Gas- und

Flüssigphase. Bei der Berechnung muss zwischen Gleich- und Gegenstrom unter-
schieden werden.

5.3.1.1

Gleichstrom (abwärts gerichtete Dampfströmung)

Der Dampf strömt oben in das senkrechte Rohr ein und erhöht somit die Geschwin-
digkeit der ebenfalls nach unten gerichteten Kondensatströmung. Die von der

Dampfströmung ausgeübte Schubspannung verändert die wandnahe Unterschicht
und an der Oberfläche des Kondensatfilms wird die Bildung von Turbulenzen
angeregt.

Bei der Kondensation mit Dampfströmung wird die lokale Nußelt zahl mit dem Exponent * angegeben.

*

*

1/ 3

2

2

Nu

= 1

( +τ )

⋅ ( C ⋅ Nu

) + ( C

Nu

)

(5.39)

L′

⋅

, x

ZP
lam

L′, lam, x
turb

L′, turb, x

In der Zweiphasenströmung ist τ ∗ die dimensionslose Schubspannung des

ZP

Dampfes. Die Korrekturfaktoren C und C
berücksichtigen den unterschiedli-
lam
turb
chen Einfluss der Schubspannung auf die laminare und turbulente Strömung. Die

Nußelt zahlen werden mit den Gln. (5.30) und (5.32) berechnet. Die dimensionslose Schubspannung τ ∗ wird mit Hilfe der Schubspannung τ ∗ der reinen Gasphase in

ZP
g
einem leeren Rohr bestimmt.

2
τ
ζ ⋅ ρ ⋅ c

*
g
τ =
mit
g
g
g
τ =
g
g

(5.40)

g ⋅ ρ ⋅ +
δ

8
l

Dabei ist τ die Schubspannung der Dampfphase im leeren Rohr, ζ die Wider-
g
g
standszahl des Dampfes, δ + die Filmdicke und c die mittlere Geschwindigkeit, die g
der Dampf im leeren Rohr hätte.

4 ⋅ m

g

4 ⋅ m ⋅ x
c =

=
g

2

2
ρ ⋅

(5.41)

n ⋅π ⋅ d
ρ ⋅ n ⋅π ⋅ d
g
i
g
i

Die Widerstandszahl wird mit der Reynolds zahl der Dampfphase berechnet.

c ⋅ d

0,2
g
ζ = 184

,

0

⋅ Re−
mit

Re =
g
g
g
ν

(5.42)

g

156

5 Kondensation

Die dimensionslose Schubspannung ist gegeben als:

*

*

*
τ =τ ⋅[1+550⋅ F ⋅(τ ) a]

(5.43)

ZP
g

ZP

Der Strömungsparameter F ist eine Funktion der Reynolds zahl des Kondensats Gl. (5.27), des Verhältnisses der Dichte und der kinematischen Viskosität.

0,5

0 9
max ª(2 ⋅ Re ) ; 0,132

,

⋅ Re º

¬

¼ η
ρ
l
l
g
l

F =

⋅

⋅

0 9

,

(5.44)

Re
η
ρ
g
g
l

Der Exponent a berücksichtigt das Verhältnis zwischen der Schubspannung und Schwerkraft.

° 30

,

0
für

*
τ g ≤1
a = ®°

(5.45)

¯ 85

,

0
für

*
τ g >1

Die Korrekturfaktoren C und C
sind definiert als:

lam
turb

C

= 1+ ( 0,56

Pr

− )

1 ⋅ tanh( *
τ )

C

= 1+ ( 0,08

Pr

− )

1 ⋅ tanh( *
τ ) (5.46)

lam
l

ZP
turb
l

ZP

Die Filmdicke δ + wird ebenfalls mit dem Strömungsparameter F berechnet.

δ +

6, 59 ⋅ F

=
d

1+1 400 ⋅

(5.47)

F

Die dimensionslose Schubspannung muss aus Gl. (5.43) iterativ ermittelt werden.

Je nachdem, ob ein Apparat bereits bekannt oder neu auszulegen ist, erfolgt die

Berechnung unterschiedlich. In beiden Fällen muss aber abschnittweise gerechnet
werden.

Beim Auslegen des Apparates müssen der Rohrdurchmesser, der zu kondensie-
rende Dampfmassenstrom und die Wärmeübergangszahl außen am Rohr bekannt
sein. Man wählt Stützstellen, an denen die lokalen Wärmeübergangszahlen und

Wärmedurchgangszahlen berechnet werden. Mit diesen beiden Werten wird eine
mittlere Wärmedurchgangszahl gebildet und die für die Kondensation notwendige

Rohrlänge berechnet. Die Stützpunkte werden als Kondensatmassenströme ge-
wählt. Zu Beginn der Kondensation ist der Kondensatmassenstrom gleich null und
damit die Wärmeübergangszahl gleich unendlich. Der erste Stützpunkt muss daher
mit einem Massenstrom, der ein wenig größer als null ist, gewählt werden, z.B. 1 %
des Kondensatmassenstromes.

Bei der Nachrechnung fertig konstruierter Apparate nimmt man zunächst einen

Kondensatmassenstrom an und rechnet damit wie bei der Auslegung. Der Massen-
strom wird geändet, bis die vorhandene Rohrlänge erreicht ist.

5 Kondensation

157

5.2.1.2

Gegenstrom (Dampfströmung nach oben)

Die Berechnung erfolgt wie beim Gleichstrom, die dimensionslose Schubspannung
wird jedoch wesentlich größer, sie berechnet sich folgendermaßen:

*

*

*
τ =τ ⋅[1+1 400⋅(τ ) a ]

(5.48)

ZP
g

ZP

Beim Gegenstrom kann das Kondensat bei zu hohen Dampfgeschwindigkeiten
aufgestaut werden, dadurch "verstopfen" die Rohre. Dieses führt zu Fluktuationen.

Um sicherzustellen, dass kein Kondensatstau erfolgt, sind die Apparate so auszule-
gen, dass die kritische Weberzahl We = 0,01 nicht überschritten wird. Die Weber-c
zahl ist definiert als:

τ ⋅δ + τ * ⋅ ρ ⋅ g ⋅ δ 2

( + )

ZP

ZP
l

We =

=
σ
σ

(5.49)

l
l

Die Größe τ ∗ wird mit Gl. (5.43), δ + mit Gl. (5.47) bestimmt, σ ist die Oberflä-

ZP
l
chenspannung.

BEISPIEL 5.5: Berechnung des Kondensators aus Beispiel 5.3 mit Kondensa-
tion in den Rohren

Ein Kondensator, in dem Dampf innen in den vertikalen Rohren kondensiert, ist mit
den im Beispiel 5.3 gegebenen Daten auszulegen. Die Anzahl der Rohre beträgt,
wie im Beispiel 5.3 berechnet, 47. Die Wärmeübergangszahl außen an den Rohren
ist 6 500 W/(m2 K). Die Stoffwerte des Kühlwassers und des Frigens werden eben-

falls aus Beispiel 5.3 übernommen. Die dynamische Viskosität der Gasphase ist
η = 14,2 . 10-6 kg/(m s).

g

Bestimmen Sie die Länge der Rohre.

Lösung

Schema

Temperaturverlauf wie im Beispiel 5.3

Annahme

•

Die mittlere Wärmeübergangszahl ist konstant.

Analyse

Mit den lokalen Werten nach Gl. (5.39) wird die Wärmeübergangszahl im Rohr
berechnet. Dazu nimmt man fünf Stützpunkte an. Sie sind anhand der Konden-
satbildung, d.h. mit dem Dampfgehalt x gewählt. Folgende Stützpunkte wurden

158

5 Kondensation
ausgewählt: x = 0,99, 0,75, 0,5, 0,25, 0,0. Die Wärmeübergangszahlen werden mit den Mittelwerten des Dampfgehaltes zwischen den Stützstellen berechnet. Die

Rechnungsgrößen sind als Funktion des Dampfgehaltes gegeben. In den nachste-
henden Formeln werden die errechneten Werte zwischen den ersten beiden Stütz-
stellen x = 1 und x = 0,99, d.h., x = 0,995, angegeben. Anschließend werden sie für 0

1
alle Stützstellen tabelliert aufgeführt.

Γ
m

R a ⋅ 1

( − x)

5

,

0 ⋅ 1

( − x)

Re ( x)

134
l

=

=

=

=

522

,

10
η
n
l

⋅π ⋅ di ⋅η

47
l

⋅π ⋅ ,

0 01⋅

,

142 7 ⋅10−6
c ⋅ d

⋅

⋅ ⋅
g
i

4 m
x d

134

Re ( x)

R
a
i

=

=

= 88 531
g

2
ν
η ⋅ n⋅π ⋅ d
g
g
i
ξ( x) = 184

,

0

⋅ Re ( x) 0−,2
g

= 019

,

0

2
ξ ⋅ ρ c
ξ

g ⋅
g

2 ⋅ ( x)

2

2

⋅ m
x

R
a ⋅
τ ( x)

134
g

=

=

=

Pa

508

,

0

8

2

2

4
n ⋅π ⋅ d
ρ
i ⋅
g
max(

0,9

2 ⋅ Re ( x); 132

,

0

Re x
η
ρ
l

⋅

( )

l

)

g
l

−4

F ( x) =

⋅

⋅

= 197

,

4

⋅10

0,9

Re ( x)

η
ρ
g
g
l

6, 59 ⋅ d ⋅ F ( x)

i

5
δ ( x) =

= 2,195⋅10− m

1 +1 400 ⋅ F ( x)

τ ( x)

*
τ ( x) =
g
g

= 140

,

2
g ⋅ ρ δ
l ⋅

( x)

Die dimensionslose Schubspannung der Zweiphasenströmung wird iterativ aus

Gl. (5.43) bestimmt.

*
τ ( x)

*
τ x

F x
τ
x

ZP

= ( )

g

⋅ 1

[ + 550 ⋅ ( ) ⋅ ( * ( )) a ]

ZP

= ,

3 612

C

( x)

τ
lam

=1+ ( 0,56

Prl

− )

1 ⋅ tanh( * ( x)

ZP

= 897

,

1

C

( x)

τ
turb

= 1+ ( 0,08

Prl

− )

1 ⋅ tanh( * ( x)

ZP

= 096

,

1

Die lokalen Nußelt zahlen des laminaren und turbulenten Kondensatfilms werden mit den Gln. (5.30) und (5.34) errechnet.

1/ 3
α L
ρ ρ
x ⋅

′

§1−

/
g
l ·

Nu
f

L' lam x =

= ,

0 693⋅

⋅ well = 340

,

0

,

,

¨¨

¸¸
λ

Re
l

©
l

¹
α L

Re

Pr
x ⋅

′

,

0 0283

7 / 24

1/ 3

⋅ l

⋅

NuL' turb x =

=
l

= ,

0 0191

,

,
λ

1

Re

Pr
l

+ 66

,

9

−3/ 8

1

− / 6

⋅ l
l

5 Kondensation

159

Der Index x bedeutet hier die Länge. Die Nußelt zahlen sind natürlich vom Dampfgehalt x abhängig. Die Nußelt zahl ist damit:

*

Nu
τ

C

Nu

C

Nu

L′ x = 1

(

*

+

)1/3

ZP

⋅ ( lam ⋅

)2

L′ lam x

+ ( turb ⋅

)2

L′ turb x

= ,

1 075

,

,

,

,

,

In diesem Abschnitt sind die Wärmeübergangs- und -durchgangszahl:

*

Nu

⋅λ

L' , x
l

W

*

2

3
α =

= Nu

⋅λ ⋅ g /ν = 6 302
x

L' , x
l

2

L′
m ⋅ K

§ 1
d

§ d ·
d

·

W
a
k = ¨

+

⋅ln a
a

¨

¸ +

¸ = 2 880 2

¨©α 2 λ
d
d

©

¹
α ¸

⋅

⋅
m

¹

⋅K
a

R
i
i
x

Im ersten Abschnitt wird von x = 1 auf x = 0,99 kondensiert, d.h., 1 % des Dampfes wird kondensiert. In diesem Abschnitt ist der Wärmestrom:

Q = m R a ⋅ ( x − x ) ⋅ r =

W

95

7

134

0

1

Die Temperatur des Kühlmediums kann als eine Funktion des Dampfgehaltes
angegeben werden.

m

(1 x)

134
ϑ ( x)

R
a

= ϑ

⋅ −

′+

1

1
m

⋅ c

KW
pKW

Damit ist die mittlere logarithmische Temperaturdifferenz in dem Abschnitt, in
dem sich der Dampfgehalt von x auf x ändert:

1

2
ϑ ( x ) −ϑ ( x )

Δϑ ( x , x )

1

1

1

2

=
m

1

2
ϑ −ϑ ( x )

ln 2

1

2
ϑ −ϑ ( x )

2

1

2

Im ersten Abschnitt ändert sich der Dampfgehalt von 1 auf 0,99. Die mittlere
logarithmische Temperaturdifferenz beträgt hier 5,025 K. Die Fläche bzw. Rohrlän-
ge, die notwendig ist, um die Wärme zu transferieren, kann aus dem Wärmestrom
mit der mittleren logarithmischen Temperaturdifferenz und der Wärmedurchgangs-
zahl bestimmt werden.

Δ (

A Δ x)

Q( x

Δ )

Δ l(Δ x) =

=

=
m

0,026
π ⋅ n⋅ d
k( x) Δϑ π n d
a

⋅
m ⋅

⋅ ⋅ a

Nachfolgend sind die berechneten Werte für die anderen Stützpunkte tabellarisch
zusammengestellt:

160

5 Kondensation
x
x

Re

Re
τ *
τ∗

Nu

Nu

Nu

Q

Δϑ
k

Δ l
l
m
l
g
g

ZP

L', lam

L', turb

L'

m

10-3

W

°C

W/m2 K m
m

1,00

0

0,995

11 88 531

2,140

3,612 0,340 0,019 1,075

759 5,025 2 880 0,026

0,99

0,026

0,870 274 77 409

0,466

1,157 0,131 0,108 0,330 18 216 5,629 1 286 1,259

0,75

1,285

0,625 789 55 610

0,126

0,688 0,096 0,175 0,282 18 975 6,856 1 133 1,223

0,50

2,508

0,375 1 315 33 366

0,031

0,302 0,083 0,219 0,271 18 975 8,109 1 095 1,070

0,25

3,578

0,125 1 841 11 122

0,002

0,041 0,075 0,252 0,268 18 975 9,361 1 085 0,935

0,00

4,513

Diskussion

Die Wärmeübergangszahl im Rohr wird durch die Strömung des Dampfes erhöht
und die notwendige Rohrlänge verkürzt. In dem hier berechneten Beispiel ist die

Verkürzung mit ca. 1,5 m recht groß. Bei noch höheren Geschwindigkeiten kann die

Wärmeübergangszahl mehr als verdoppelt werden.

5.3.2

Kondensation in durchströmten, waagerechten Rohren

In sehr kurzen waagerechten Rohren, in denen die Dampfgeschwindigkeit vernach-
lässigbar ist, kann die Nußelt zahl bei der Kondensation wie in Kapitel 5.1.1.5 mit Gl. (5.23) berechnet werden, wobei der Innendurchmesser eingesetzt wird. Bei längeren Rohren nimmt der Massenstrom des Kondensats und damit der einströmende

Massenstrom des Dampfes zu. Mit steigender Dampfgeschwindigkeit bestimmt sie
und nicht mehr die Schwerkraft die Ausbildung des Kondensatfilms. Zur Berech-
nung der Wärmeübergangszahl wird die in Gl. (5.39) gegebene Nußelt zahl modifi-ziert.

1/ 3

*

*

2

2

Nu

= τ

⋅ ( C ⋅ Nu

) + ( C

Nu

)

(5.50)

L′

⋅

, x
g
lam

L′, lam, x
turb

L′, turb, x

Die dimensionslose Schubspannung wird mit der Dampfgeschwindigkeit c , die g
man mit dem Dampfvolumenanteil ε ermittelt, bestimmt. Der Dampfvolumenanteil
ist als eine Funktion des Strömungsparameters F nach Gl. (5.44) gegeben.

ε = −

1

1

+

1

1

(5.51)

,

8 48 ⋅ F

Mit dem Dampfvolumenanteil kann die Dicke δ des Kondensatfilms berechnet
werden.

δ = ,

0 25 ⋅ 1

( − ε ) ⋅ d

(5.52)

5 Kondensation

161

Die Dampfgeschwindigkeit c wird als Geschwindigkeit des Dampfes innerhalb g
des Kondensatfilms berechnet.

4 ⋅ m ⋅ x
cg =

2
ρ
d

(5.53)

g ⋅π ⋅ (
i − 2 ⋅ δ )

Die Schubspannung berechnet sich mit den Gln. (5.40) bis (5.42):

184

,

0

⋅ Re−0,2
g
τ =

⋅ c 2 ⋅ ρ
g
g
g

(5.54)

8

Die dimensionslose Schubspannung wird mit der Filmdicke bestimmt.

τ

*
g
τ =

⋅(1+ 850⋅ F)

g

(5.55)

g ⋅ ρ ⋅δ
l

Die Berechnung der Nußelt zahlen erfolgt wie in Kapitel 5.3.1.1.

BEISPIEL 5.6: Auslegung eines Kühlschrankkondensators

Im Kondensator eines Kühlschranks soll 1,0 kW Wärmestrom abgeführt werden.

Als Kältemittel wird Frigen R134a verwendet. Die Kondensationstemperatur ist

50 °C. Die auf den Außendurchmesser bezogene mittlere äußere Wärmedurch-
gangszahl wurde unter Berücksichtigung der Rippen mit 400 W/(m2 K) bestimmt.

Die Temperatur der Außenluft beträgt 22 °C. Das Rohr des Kondensators hat einen

Außendurchmesser von 8 mm, die Wärmeleitfähigkeit 372 W/(m2 K) und die

Wandstärke von 1 mm. Nachfolgende Skizze zeigt die Anordnung des Kondensa-
tors. Die Rohrbögen können vernachlässigt werden. Stoffwerte des Frigens:

ρ = 1 102 kg/m3, ρ = 66,3 kg/m3, λ = 0,071 W/(m K), η = 142,7 . 10-6 kg/(m s), l

g
l
l
η = 13,5 . 10-6 kg/(m s), Pr = 3,14, r = 151,8 kJ/kg.

g
l

Bestimmen Sie die notwendige Länge des Kondensatorrohres.

Lösung

Schema

Siehe Skizze

Annahmen

•

Die mittlere Wärmeübergangszahl ist konstant.

•

Die Rohrbögen bleiben unberücksichtigt.

•

Die Änderung des Druckes ist vernachlässigbar.

•

Die Temperaturänderung der Luft wird vernachlässigt.

162

5 Kondensation

Analyse

Wie beim senkrechten Rohr wird hier in verschiedenen Abschnitten gerechnet.

Die Stützstellen sind x = 1, 0,75, 0,5, 0,25 und 0,0. Für die Berechnung sind die mittleren Dampfgehalte damit 0,875, 0,625, 0,375 und 0,125. Die nachfolgenden

Gleichungen zeigen die Werte zwischen den ersten beiden Stützstellen, d.h. bei
einem mittleren Dampfgehalt von x = 0,875. Die anderen Werte werden in einer Tabelle dargestellt.

Der Massenstrom des Frigens, der kondensiert wird, berechnet sich aus dem ge-
gebenen Wärmestrom.

Q
kW

1,0
m

=

=

= 6,588⋅10-3 kg/s

r
kJ

151,8

/kg

Die Berechnung der Nußelt zahlen erfolgt im Weiteren ohne Kommentare.

ī
m

⋅ 1

( − x)

588

,

6

⋅10−3 ⋅ 1

( − x)

Re ( x)

l

=

=

=

=

1

,

306

Șl
π ⋅ di ⋅η l
π ⋅ ,

0 006 ⋅

,

142 7 ⋅10−6
c ⋅ d

⋅ ⋅ ⋅
g
i

4 m x d

Re ( x)

i

=

=

= 90 607
g

2
ν
η ⋅π ⋅ d
g
g
i
ξ( x) = 184

,

0

⋅ Re ( x) 0−,2
g

= ,

0 0190
max(

0,9

2 ⋅ Re ( x); 132

,

0

Re x
η
ρ
l

⋅

( )

l

)

g
l

−3

F ( x) =

⋅

⋅

= 946

,

4

⋅10

0,9

Re ( x)

η
ρ
g
g
l

1
ε( x) =1−

= 0,9596

1+1/ [8,48⋅ F( )

x ]

5
δ ( x) 0,25 (1 ε ) d

6, 034 10−

=

⋅ − ⋅ =

⋅
m
i

4 ⋅ m ⋅ x
c ( x) =

= 3, 202 m/s
g

2
π ⋅ ρ ⋅( d − 2⋅δ )

g
i

2
ξ ⋅ ρ ⋅ c
τ ( x)

g
g

=

= 2,446 Pa
g

8
τ ( x)

*
τ ( x)

g

=

⋅ +

⋅ F x =
g

[1 850 ( )] 12,722
g ⋅ ρ ⋅δ ( x)

l

C

( x)

τ
lam

= 1+ ( 0,56

Prl

− )

1 ⋅ tanh( * ( x))]

ZP

= 898

,

1

C

( x)

τ
turb

=1+ ( 0,08

Prl

− )

1 ⋅ tanh( * ( x))]

ZP

= 096

,

1

5 Kondensation

163

Die lokalen Nußelt zahlen des laminaren und turbulenten Kondensatfilms werden mit den Gln. (5.30) und (5.34) bestimmt.

1/ 3
α L
ρ ρ
x ⋅

′

§1−

/
g
l ·

Nu
f

L' lam x =

= ,

0 693⋅

⋅ well = 127

,

0

,

,

¨¨

¸¸
λ

Re
l

©
l

¹
α L

Re

Pr
x ⋅

′

,

0 0283

7 / 24

1/ 3

⋅ l

⋅

NuL' turb x =

=
l

= 1138

,

0

,

,
λ

1

Re

Pr
l

+ 66

,

9

−3/8

1

− / 6

⋅ l
l

Der Index x bedeutet hier, dass die lokalen Nußelt zahlen für die Lauflänge x berechnet werden. Die Nußelt zahlen sind natürlich vom Dampfgehalt x abhängig:

*

*1/ 3

2

2

Nu ′ = τ

⋅ ( C ⋅ Nu

) + ( C

⋅ Nu

) = 0, 632

L , x
g
lam

L′, lam, x
turb

L′, turb, x

Die charakteristische Länge L' ist:

2

5

3

L'

ν / g 1,571 10−

=

=

⋅
m
l

Damit sind in diesem Abschnitt die Wärmeübergangs- und -durchgangszahl:

*

Nu

⋅λ

L' , x
l

W
α =

= 2443
x

2

L′
m ⋅ K

§ 1
d

§ d ·
d

·

W
a
k = ¨

+

⋅ln a
a

¨

¸ +

¸ = 328 2

¨©α 2 λ
d
d

©

¹
α ¸

⋅

⋅
m

¹

⋅ K
a

R
i
i
x

In jedem Abschnitt werden 25 % des Dampfes kondensiert, d.h., der Wärme-
strom ist in allen Abschnitten gleich groß.

Q

Δ = m⋅( x − x )⋅ r =

W

250

0

1

Damit dieser Wärmestrom abgeführt werden kann, benötigt man eine Austausch-
fläche bzw. eine bestimmte Rohrlänge, die aus der notwendigen Fläche Δ A zu berechnen ist.

Δ A

Q

Δ
l

Δ =

=

=
π ⋅ d
π ⋅ d ⋅ k ⋅(ϑ −ϑ )

a
a

F

L

2

250 ⋅ W ⋅ m ⋅ K

=

= 1,055 m
π ⋅0,008⋅m ⋅328⋅ W ⋅(50 − 22)⋅K

Die berechneten Werte der anderen Abschnitte sind tabellarisch zusammenge-
stellt.

164

5 Kondensation
x
τ
τ *
α
k

Δ L
g

ZP
i

-

Pa

-

W/(m2 K) W/(m2 K)

m

0,875

1,593

12,722

2 857

336,7

1,055

0,625

1,064

8,099

2 443

328,8

1,083

0,375

0,604

5,419

2 350

325,7

1,091

0,125

0,200

3,350

2 185

321,2

1,106

Zusammengezählt ergeben die Längen der Abschnitte 4,335 m.

Diskussion

Abgesehen vom letzten Abschnitt ist die äußere Wärmeübergangszahl in diesem

Beispiel sehr viel kleiner als die innere. Da eine mittlere äußere Wärmedurchgangszahl angegeben wurde, konnte mit einer konstanten Lufttemperatur gerechnet wer-
den. Unter Berücksichtigung der Lufterwärmung in der Strömung benötigt man

Kenntnisse des Kreuzstromwärmeübertragers. Dieser wird jedoch erst später be-
sprochen.

BEISPIEL 5.7: Kondensatorretrofit

Der Kondensator eines US-Kraftwerkbesitzers weist unzureichende Leistung auf.

Es sollen neue, moderne, modular vorgefertigte Rohrbündel in den Kondensator
eingesetzt werden. In der Ausschreibung sind folgende Daten gegeben:

Die drei Niederdruckturbinen A, B und C haben jeweils einen Kondensator, die
kühlwasserseitig in Serie geschaltet sind (s. Skizze). Der Wärmestrom zu den ein-
zelnen Kondensatoren ist jeweils 733 MW.

Daten der vorhandenen Kondensatoren:

Berohrung je Kondensator:

27 000 Rohre mit 1'' aD und 1,2 mm Wandstärke

Abstand der Rohre:

1 5/16''

Rohrlängen:

l = 35'

l = 45'

l = 55'

A

B

C

Kühlwasservolumenstrom:

381 500 GPM bei 86 ft Förderhöhe

Im Pflichtenheft wird verlangt, dass im neuen Kondensator C bei einer Kühlwas-
sereintrittstemperatur von 35 °C der Druck von 5 inHg-Säule nicht überschritten
wird. Die Rohrlängen und äußeren Abmessungen der Kondensatoren sind für die
neuen Module beizubehalten.

Für die Rohrbündel des Anbieters steht in den neuen Kondensatormodulen zur

Berohrung eine Fläche von 27,28 m2 zur Verfügung. Die Rohraußendurchmesser
werden nach US-Normen in 1/8''-Abstufungen gewählt. Das Pflichtenheft verlangt

Titanrohre mit 0,7 mm Wandstärke und 15 W/(m K) Wärmeleitfähigkeit. Der Ab-
stand zwischen den Rohren ist: Rohraußendurchmesser plus 5/16''.

5 Kondensation

165

Lager

Welle

Turbine A

Turbine B

Turbine C

Kondensatorhals

Kühlwasserleitung

2

2

13,64 m

13,64 m

Kühlwasser-

Für die Berohrung vorhandene
eintritt

Fläche von 27,28 m 2

Kühlwasseraustritt
d + 5/16"

d + 5/16"

Anordnung der Rohre

Links in der obigen Skizze sieht man die Anordnung der Kondensatoren in der

Anlage, rechts die für die Berohrung der neuen Kondensatoren vorhandene Fläche
und die Anordnung der Rohre.

Für das Kühlwasser können folgende konstante Stoffwerte verwendet werden:

c = 4,174 kJ/(kg K), ρ = 990,2 kg/m3, ν = 0,6 . 10-6 m2/s, λ = 0,6368 W/(m K), p

Pr = 3,946.

Umrechnungsfaktoren: 1 GPM (gallon per minute) = 0,063083 l/s,

1'' = 0,0254 m, 1' = 0,3048 m, 1 inHg = 3 386,39 Pa.

166

5 Kondensation

Die Änderung des Kühlwasservolumenstromes ist als eine Funktion des Druck-
verlustes entsprechend der Charakteristik der Kühlwasserpumpe zu berücksichti-
gen. Der Druckverlust in den Kondensatorrohren wird nach Blasius berechnet: Δ p = 0,3164 . Re-0,25 . l / d . ( c 2 . ρ / 2) v

Die drei Kondensatoren sind auszulegen. Bestimmen Sie den Druck in den einzel-
nen Kondensatoren.

Hinweis: Prüfen Sie zunächst die Endtemperatur des Kühlwassers.

120

System Head

100

Pump Head
ftn

80
ead i H
stem
p and Sy 60

Pum

40

0

100

200

300

400

500

Volume Flow Rate in 1 000 GPM

Kennlinie der Kühlwasserpumpe und des Systems

Lösung

Schema

Siehe Skizzen in der Aufgabenstellung

Annahmen

•

In den Zu- und Abflüssen zu den Kondensatorrohren nimmt der Druckverlust
quadratisch mit dem Volumenstrom zu.

•

Der statische Druckverlust von 34' Wassersäule ist immer vorhanden (Höhen-
differenz des Wasserniveaus in der Kühlturmtasse zu den Einspritzdüsen).

•

Der Druckverlust der Dampfströmung in das Bündel bleibt unberücksichtigt.

•

Um die Berechnung zu vereinfachen, werden die Einflüsse der Richtung des

Wärmestromes und der Rohrlänge vernachlässigt.

•

Die Wärmeübergangszahlen in den Rohren sind mit den oben angebenen Stoff-
werten zu berechnen und in allen drei Kondensatoren als konstant anzunehmen.

5 Kondensation

167

Analyse

Zunächst rechnen wir die amerikanischen Einheiten in SI-Einheiten um:

3

V = 381 500 GPM = 24,066 m /s

0
l = 35' = 10,668 m
l = 13,716 m
l = 16,764 m
d = 1" = 25, 4 mm

A

B

C
a
d = d − 2 ⋅ s = 23 mm

5 inHg = 16 932 Pa = 169,32 mbar
i
a

Mit einer ersten Berechnung kann gezeigt werden, dass der gewünschte Konden-
satordruck nicht mit dem gegebenen Kühlwasservolumenstrom erreicht werden
kann. Die Austrittstemperatur des Kühlwassers berechnet sich mit der Bilanz-
gleichung zu:

6

3

Q

3⋅ 733⋅10 ⋅ W ⋅s ⋅ m ⋅ kg ⋅ K
tot
ϑ′′= ϑ′+

= 35 C

° +

= 57,11 C

°

1

1

3

V ⋅ ρ ⋅ c

24,066 m ⋅990, 2 ⋅ kg ⋅ 4 174 ⋅ J

0

1

1
p

Nach der Dampftafel beträgt die Sättigungstemperatur bei 169,31 mbar 56,50 °C,
d.h., die Temperatur des Kühlwassers ist höher als die Sättigungstemperatur des

Dampfes, der das Kühlwasser aufheizen soll. Dieses ist unmöglich. Um den ge-
wünschten Druck von 5 inHg zu erreichen, muss das Kühlwasser 2 bis 3 K kälter als
die Dampftemperatur sein. Das kann durch Erhöhung des Kühlwassermassenstro-
mes erreicht werden. Die kostengünstigste Lösung ist, den Druckverlust des Kühl-
wassers in den Kondensatorrohren so zu senken, dass der Volumenstrom entspre-
chend der Kühlwasserpumpencharakteristik erhöht wird. Die Förderhöhe der Pum-
pe entspricht dem konstanten statischen Druck von Δ p plus dem Reibungsdruck-st
verlust Δ p in den Zu- und Ableitungen zu den Kondensatoren plus dem Reibungsva
druckverlust Δ p in den Kondensatorrohren. Letzteren können wir durch die Dimen-v
sionierung der Kondensatorrohre beeinflussen. Der Druckverlust der Zu- und Ab-
leitungen Δ p ist mit den Daten des alten Kondensators zu bestimmen. Der Druck-va
verlust in den Rohren des alten Kondensators beträgt:

2
l

−
ges
c
ρ

Δ

⋅
pv = 3164

,

0

0.25

0

1

⋅ Red

⋅

⋅

0
i
d

2
i

Die Geschwindigkeit in den Rohren berechnet sich zu:

3

4 ⋅ V

4 ⋅ 24,066 m
m

0
c =

=

= 2,143

0

2

2

2
n ⋅π ⋅ d

27 000 ⋅π ⋅ 0,023 ⋅ m ⋅s
s
i
c ⋅ d

2,145 ⋅ 0,023

0
i

Für die Reynolds zahl erhalten wir: Re =

=

= 82 239
di

-6
ν

0,6 ⋅10

1

Der Reibungsdruckverlust in den Rohren ist:

168

5 Kondensation

2

2

41,148 m 2,145
m

990, 2 kg

−

⋅

⋅

⋅

⋅

0,25

Δ p = 0,3164⋅82239

⋅

⋅

=
v 0

2

3

0, 023⋅ m

2 ⋅s ⋅ m

= 76 169 Pa = 25,735 ft H O

2

Von der Förderhöhe von 86 ft bei 381 500 GPM Volumenstrom werden für den
statischen Druck 34 ft, für den Druckverlust in den Rohren 25,74 ft Wassersäule
benötigt. Für den Druckverlust in den Zu- und Ableitungen verbleiben 26,27 ft. Die Kennlinie des Systems kann mit der neuen Kondensatorberohrung berechnet werden. Damit ändern sich Anzahl und Durchmesser der Rohre. Der Reibungsdruck-
verlust Δ p beträgt im Verhältnis zu dem im alten Kondensator Δ p : v
v 0

0

− ,25

2
p

Δ

§ Re ·
d
c
v
i 0

=

⋅

⋅

¨¨

¸¸

2
p

Δ

Re
d
c
v 0

©

0 ¹
i

0

Die Geschwindigkeit kann aus dem Volumenstrom bestimmt und in die Glei-
chung eingesetzt werden:

0

− ,25

2

,

1 75

4,75

2

2

§ n ⋅ d V d
d
n d

V
n V
d
i

⋅ ⋅ ·

§
i
i

⋅ i ⋅ ·

§ ⋅ ·

§

·

0

0

0

0

0

0
i 0
p

Δ
p

Δ
v =
v

⋅

⋅

⋅

=

74

,

25

⋅ft⋅

⋅

0

¨¨

2

¸¸

¨¨

2

¸¸

¨¨

¸¸

¨¨

¸¸

© n⋅ d V d
d
n d

V
n V
d
i ⋅

⋅ i ¹
i

© ⋅ i ⋅

¹

⋅

0

0

0

©

0 ¹

© i ¹

Die Systemkennlinie setzt sich aus dem statischen Druck und den volumenstrom-
abhängigen Reibungsdruckverlusten zusammen:

2

1,75

4,75

ª

º

§ V ·

§ n ⋅ V ·

§ d ·

0

Δ p = «34 + 26,27 ⋅¨ ¸ + 25,74
i

⋅¨

¸ ⋅¨

¸

» ⋅ft
tot

«

V
n

©

¹

© ⋅ V
d

¹

©

¹

»

0

0
i 0

¬

¼

Mit dieser Gleichung kann die Systemkennlinie mit der neuen Berohrung berech-
net und der Volumenstrom aus der Kennlinie der Pumpe bestimmt werden. Für den
neuen Kondensator sind zunächst die Anzahl der Rohre, die in die gegebene Fläche
von 27,28 m2 hineinpassen, zu berechnen. Für ein Rohr mit der Anordnung in
gleichseitigen Dreiecken wird die folgende Fläche, die vom Außendurchmesser ab-
hängt, benötigt:

3

2

A ( d ) =

⋅( d + s )

0
a
a

0

2

2

,

27 28⋅ m

Die Anzahl der Rohre ist damit: n( d )

a

=

2

3 ⋅ ( da +
m

5

007937

,

0

)

Für die Rohre mit 1'' Rohrdurchmesser erhält man 28 343, für 1 1/8'' 23 628 und
für 1 1/4'' 20 000 Rohre.

5 Kondensation

169

Die durch die Änderung der Systemkennlinie verursachte Volumenstromzunah-
me kann entweder iterativ mit der Kurve der Pumpenkennlinie oder grafisch aus
dem Diagramm bestimmt werden. Dazu wird der geänderte, berechnete Verlauf der

Systemkennlinie in das Diagramm eingetragen. Der Schnittpunkt mit der Pumpen-
kennlinie ergibt den Volumenstrom. Hier wurde mit dem Programm Origin der

Kurvenverlauf in das Diagramm eingetragen. Nachstehend ist ein Ausschnitt dieses

Diagramms mit dem uns interessierenden Bereich.

87
alt
ft

1"

1 1/8"

1 1/4"

inie 86
in
kennl
ystem
und S

85
pen-muP

84

380

390

400

410

420

430

440

450

Volumenstrom in 1 000 GPM

Für die drei untersuchten Rohrdurchmesser sind die Volumenströme:

1"

406 800 GPM

25,662 m3/s

1/8"

428 500 GPM

27,031 m3/s

1 1/4"

443 900 GPM

28,002 m3/s

Mit dem so ermittelten Volumenstrom erhalten wir für das 1"-Rohr folgende

Kühlwasseraustrittstemperatur:

6

3

Q

3⋅ 733⋅10 ⋅ W ⋅s ⋅ m ⋅ kg ⋅ K
tot
ϑ′′= ϑ′+

= 35 C

° +

= 55,73 C

°

1

1

3

V ⋅ ρ ⋅ c

25,662 m ⋅990, 2 ⋅ kg ⋅ 4 174 ⋅ J

0

1

1
p

Damit liegt die Kühlwassertemperatur 1,9 K unter der Sättigungstemperatur, was
aber noch zu wenig ist.

Die Temperatur für die Rohre mit 1 1/8'' Durchmesser beträgt 54,68 °C, für die

1 1/4"-Rohre 54,00 °C. Bei der letzten Variante ist die Kühlwasseraustrittstemperatur 2,5 K tiefer als die Sättigungstemperatur. Damit kann wahrscheinlich ein Kondensator ausgelegt werden.

Mit den Beziehungen aus Kapitel 3 wird zunächst der Wärmeübergang in den

Rohren bestimmt. In den Rohren beträgt die Geschwindigkeit:

170

5 Kondensation

3

4 ⋅ V

4 ⋅ 28, 002 ⋅ m / s
m
c =

=

= 1,935

2

2

2
n ⋅π ⋅ d

20 000 ⋅π ⋅ 0, 03035 ⋅ m
s
i

Die Reynolds zahl berechnet sich zu:

−6

Re = c ⋅ d /ν = 1,935⋅ 0, 03035 / 0, 6 ⋅10 = 97 897
d
i
i

Die für die Berechnung der Nußelt zahl notwendige Reibungszahl ist:

ξ = 8

,

1

[

⋅lg( Re )

d

− ]

5

,

1

−2 = ,

0 0180
i

Für die Nußelt zahl erhalten wir:

(ξ / 8) ⋅ Re ⋅ Pr
d

1

(0, 018 / 8) ⋅97 897 ⋅3,946
i

Nu =

=

= 454,2
di

2/ 3

2/ 3

1+12, 7 ⋅ ξ / 8 ⋅ ( Pr

−1) 1+12,7⋅ 0,018 / 8 ⋅(3,946 −1)

Die Wärmeübergangszahl ist:

2
α = Nu ⋅λ / d = 9 530,7 W / (m ⋅K)

i
d

1
i
i

Der für die Berechnung der Wärmedurchgangszahlen notwendige Wärmewider-
stand, der in den Rohren und in der Rohrwand entsteht, wird hier bestimmt.

2
d
d

§ d ·

31,75

0, 03175

§ 31,75 ·
m ⋅ K
a
a

R =

+

⋅ln a

¨

¸ =

+

⋅ln¨

¸ = 0,15749
i
d ⋅α

2⋅λ
d

30,35

©

¹

⋅9 530,7

2 15

⋅

© 30,35 ¹
kW
i
i

R
i

Bei der Kondensation erfolgt die Berechnung der Wärmeübergangszahl für die
drei Kondensatoren getrennt. Da die Sättigungstemperatur zunächst unbekannt ist,
muss sie zur Bestimmung der Stoffwerte angenommen und iterativ ermittelt wer-
den.

Kondensator A:

Für die Sättigungstemperatur wird angenommen, dass sie 4 K höher als die Tem-
peratur am Austritt des Kondensators A ist. Da für alle drei Kondensatoren der

Wärmestrom und die Stoffwerte des Kühlwassers als gleich vorgegeben wurden,
sind die Temperaturänderungen in den einzelnen Kondensatoren auch gleich

6,33 K, d.h., die Austrittstemperatur ist 41,33 °C. Die Sättigungstemperatur wird
also mit 45,33 °C angenommen. Im Kondensator A ist der Druck damit 97,60 mbar.

Die mittlere Temperatur des Kondensats beträgt schätzungsweise 43 °C. Aus den

Dampftafeln erhalten wir folgende Werte:

ρ = 991 kg/m3, ρ = 0,0666 kg/m3, η = 617,8 . 10-6 kg/(m s), ν = 0,623 . 10-6 m2/s, l
g
l
l
λ = 0,6347 W/(m K), r = 2 393,2 kJ/kg.

l

Die Berieselungsdichte kann mit Gl. (5.28) bestimmt werden.

5 Kondensation

171

Q

733000 ⋅ kW ⋅ kg
kg

3

Γ =

=

= 1,436⋅10−
r ⋅ n ⋅ l

2 393, 2 ⋅ kJ ⋅ 20 000 ⋅10, 668⋅ m
m ⋅ s

A

Reynolds zahl: Re

Γ η
l =

/ l = ,

1 436 ⋅10 3

− / 6178

,

0

⋅10 3− = 325

,

2

Damit kann die Nußelt zahl bestimmt werden:

1/ 3

§1− ρ / ρ
g
l ·

NuL = 959

,

0

⋅

= ,

0 724

¨¨

¸¸

©

Rel

¹

Die für die Nußelt zahl charakteristische Länge ist:

L = ν /

3
g
l

= ( ,

0 623⋅10−6

3

2

)2 / 806

,

9

= ,

3 408 ⋅10 5

− m

Die Wärmeübergangszahl ist damit:

5

−

2

Į = Nu ⋅λ / L = 0,724⋅0,6374 / 3, 408⋅10 = 13 483 W/(m ⋅ K) L
l

Jetzt können die Wärmedurchgangszahl, die mittlere Temperaturdifferenz und
daraus im Kondensator A die Sättigungstemperatur des Dampfes ermittelt werden.

1

1

−

−

§ 1

·

§

1

·

W

6
k = ¨ + R ¸ = ¨

+ 0,1575⋅10− ¸ = 4 317
i

2

© α

¹

13 483

©

¹
m ⋅ K

2

Q

733⋅ MW ⋅ m ⋅ K

Δϑ =

=

= 7,979 K
m
k ⋅ n ⋅π ⋅ d ⋅ l

4 317 ⋅ W ⋅ 20 000 ⋅π ⋅ 0, 03175⋅ m ⋅10, 668⋅ m
a
a
ϑ′ ϑ
ϑ
ϑ
ϑ ϑ

A −

′ A
sA −

′

§

A

′ A − ′ ·
ǻϑ

Θ
m =

=

K

7,979

= = exp

A

= ,

2 212

¨¨

¸¸

§ ϑ
ϑ
ϑ
ϑ

Δϑ
sA −

′ ·

A
sA −

′ A

©
m

¹
ln¨¨

¸¸

© ϑ
ϑ
sA −

′ A ¹
ϑ′ ϑ

A −

′ A ⋅ Ĭ

5

3

C

° − ,

2 212 ⋅ ,

41

1

4

C

°
ϑ sA =

=

=

56

,

46

C

°

1− Ĭ

1− ,

2 212

Die berechnete Sättigungstemperatur ist um 1,2 K größer als der angenommene

Wert. Mit den gerechneten Werten erhält man für die mittlere Temperatur des Kon-
densats:

ϑ m = ϑ sA − 5

,

0 ⋅ (ϑ WA −ϑ )

sA

= ϑ sA − 5

,

0 ⋅ Δϑ m ⋅ k /α =

45,28 C

°

Der Druck im Kondensator ist 103,91 mbar. Die Stoffwerte des Kondensats sind:

ρ = 990,1 kg/m3, ρ = 0,0707 kg/m3, η = 593,1 . 10-6 kg/(m s), r = 2 390,2 kJ/kg, l
g
l
ν = 0,599 . 10-6 m2/s, λ = 0,6377 W/(m K).

l
l

172

5 Kondensation

Mit diesen Stoffwerten erhält man einen Sättigungsdruck von 103,70 mbar und die Sättigungstemperatur von 46,52 °C, welche nur um 0,04 K vom zuvor berechneten Wert abweicht. Damit kann die Iteration abgeschlossen werden.

Kondensator B:

Die Berechnung läuft wie bei Kondensator A ab. Hier werden nur noch die Stoff-
werte und Ergebnisse angegeben.

ρ = 987,9 kg/m3, ρ = 0,0889 kg/m3, η = 545,0 . 10-6 kg/(m s), r = 2 378,5 kJ/kg, l
g
l
ν = 0,552 . 10-6 m2/s, λ = 0,6438 W/(m K).

l
l

Die Sättigungstemperatur beträgt jetzt 51,14 °C und der Druck 130,67 mbar.

Kondensator C:

Analog erhalten wir hier:

ρ = 985,6 kg/m3, ρ = 0,1115 kg/m3, η = 502,8 . 10-6 kg/(m s), r = 2 366,4 kJ/kg, l
g
l
ν = 0,510 . 10-6 m2/s, λ = 0,6494 W/(m K).

l
l

Die Sättigungstemperatur beträgt 56,44 °C, der Druck ist 168,80 mbar.

Der Druck von 168,8 mbar entspricht 4,985 inHg und liegt somit unterhalb der
geforderten 5 inHg.

Diskussion

Dieses Beispiel demonstriert, dass die Berechnung und Auslegung von Wärme-
übertragern nicht nur Kenntnisse der Wärmeübertragung benötigt. Hier wurden zur

Berechnung der Druckverluste und für die Interpretation der Pumpenkennlinie auch

Kenntnisse der Fluidmechanik und Verfahrenstechnik verlangt.

Gemäß Aufgabenstellung blieben in dieser Berechnung der Einfluss der Rohr-
länge und der Einfluss der Richtung des Wärmestromes unberücksichtigt. Diese
beiden Größen hätten etwa eine 3 bis 5 % höhere Wärmeübergangszahl geliefert.

Der Druckverlust des Dampfes im Bündel wurde nicht berücksichtigt, was etwa die
gleiche Verminderung bewirkt hätte. Bei solch großen Apparaten ist eine genaue

Berechnung notwendig.

Die hier behandelten Kondensatoren lieferte die Firma Brown Boveri & Cie,

Schweiz. Je die Hälfte der einzelnen Kondensatoren wurde in Modulen in einer

Fabrik vorgefertigt, auf die Baustelle transportiert, die alten Bündel innerhalb von vier Wochen entfernt und die neuen Module installiert. Die Kosten des Projektes
betrugen 18 Mio. US$. Die Garantiebedingungen lauteten, dass beim Überschreiten
des garantierten Druckes um mehr als 0,3 inHg pro 0,1 inHg 1,8 Mio. US$ Konven-
tionalstrafe gezahlt werden muss. Das bedeutet: Eine zu klein berechnete Fläche,
die einen größeren Druck verursacht, wird bestraft. Eine zu große Fläche bedeutet
größere Kosten und ist damit nicht konkurrenzfähig. Zur exakten Berechung großer

Kondensatoren besitzen die Hersteller entsprechend genaue Berechnungsunterla-
gen. Beim oben angeführten Kondensator wurden die Garantiebedingungen erfüllt.

6

Verdampfung

Für die Berechnung von Apparaten, in denen Dampf erzeugt wird, benötigt man die
in diesem Kapitel behandelten Grundlagen der Wärmeübertragung bei Verdamp-
fung. Dampferzeuger kommen in Wärmepumpen, Kälteanlagen, Dampfkesseln,

Destillier- und Rektifizierkolonnen vor. Verdampfung kann in ruhenden oder strö-
menden Fluiden auftreten.

Verdampfung tritt auf, wenn man eine Flüssigkeit auf Siedetemperatur ϑ erhitzt S
und ihr dann weiter Wärme zuführt. Wird einer Flüssigkeit, die Siedetemperatur
hat, ein kleiner Wärmestrom zugeführt, entsteht an der Oberfläche eine Dampf-
produktion, deren Massenstrom vom zugeführten Wärmestrom bestimmt wird. Er-
höht man den Wärmestrom, entstehen an der Oberfläche der Heizfläche Dampf-
blasen, man spricht vom Blasensieden.

Bei der Kondensation fängt der Dampf, egal, ob überhitzt, gesättigt oder nass,
immer dann an zu kondensieren, wenn er mit einem Stoff in Berührung kommt,
dessen Temperatur tiefer als die Sättigungstemperatur des Dampfes ist. Bei der Verdampfung stellte man fest, dass an einer Heizfläche, deren Temperatur größer als
die Sättigungstemperatur ist, zunächst keine Dampfbildung stattfindet. Bei unter-
kühlten Flüssigkeiten kann die Wärme durch Konvektion abgeführt werden. Eine

Flüssigkeit kann sogar überhitzt sein, ohne dass es zur Verdampfung kommt. In
extremen Fällen können sehr hohe Überhitzungen, auch Siedeverzug genannt, von über 100 K auftreten, wobei es dann zu einer plötzlichen, explosionsartigen Dampfproduktion kommen kann. Ursache hierfür ist die Tatsache, dass an einer Wand,
deren Temperatur höher als die Sättigungstemperatur der Flüssigkeit ist, bei der

Verdampfung Dampfblasen entstehen. Wegen der Oberflächenspannung ist der

Druck und damit die Sättigungstemperatur des Dampfes in den Blasen höher als in
der Flüssigkeit. Die Blase kondensiert wieder. Damit Blasen existieren können,
muss die Flüssigkeit überhitzt sein. Je nach Übertemperatur der Wand Δϑ = ϑ – ϑ

W

S
und Geschwindigkeit der Flüssigkeit entstehen verschiedene Formen der Wärme-
übertragung.

Flüssigkeiten können überhitzt werden, auch wenn dabei keine Verdampfung
stattfindet. Man spricht dann von einem Siedeverzug.

6.1

Behältersieden

Führt man einer ruhenden Flüssigkeit in einem Behälter (z.B. Kochtopf mit Wasser)

Wärme zu, so dass an der beheizten Fläche unter Blasenbildung in der Flüssigkeit

P. von Böckh, T. Wetzel Wärmeübertragung,

DOI 10.1007/978-3-642-15959-6_6, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

174

6 Verdampfung

Dampf produziert wird, spricht man vom Behältersieden. In Bild 6.1 sind die Wärmeübergangszahl und Wärmestromdichte beim Behältersieden von Wasser
über der Übertemperatur der Wand aufgetragen. Bei kleinen Übertemperaturen bis
zum Punkt B wird die Wärme durch freie Konvektion übertragen. An der Wand
bilden sich noch keine Blasen.

Mit zunehmender Übertemperatur setzt am Punkt B die Bildung von Blasen ein.

In diesem Bereich spricht man vom Blasensieden. An der Wand des Behälters ent-
stehen in kleinen Oberflächenvertiefungen an immer gleicher Stelle, der so genann-
ten Keimstelle, Blasen. Mit steigender Übertemperatur nimmt die Intensität der Blasenbildung zu und es entstehen immer mehr Stellen, an denen sich Blasen bilden.

Diese Blasenbildung verwirbelt die Flüssigkeit, die Konvektion wird intensiviert,
die Blasen steigen nach oben. Wie in Bild 6.1 zu sehen ist, steigen Wärmestrom-
dichte und Wärmeübergangszahl mit der Übertemperatur der Wand sehr stark an.

kritische Wärmestromdichte

6

10

C

2

2

W / m

W / (m K

. )

E
e
chtdi

B'

trom

5
es 10
mär

D

.

(Leidenfrostpunkt)

q
und W
freie
zahl

Konvektion

Filmsieden
gangs

B
α

4

10
eübermärW

B

Blasen-

A
sieden

3

10

Δϑ

Δϑ

1

B

10
krit

100

1 000 K

Δϑ = ϑ − ϑ

W

S

Bild 6.1: Wärmeübertragung bei der Verdampfung des Wassers bei 1 bar Druck

Schließlich entstehen an der Oberfläche so viel Blasen, dass sie einen zusammen-
hängenden Dampffilm bilden ( Leidenfrost-Phänomen - ab Punkt C). Man spricht hier vom Filmsieden. Die Wärmeübertragung erfolgt im Wesentlichen durch Strahlung und Wärmeleitung im Dampffilm. Technische Dampferzeuger werden durch

Verbrennung, nukleare Spaltung, elektrischen Strom etc. beheizt. Dabei ist die

Wärmestromdichte konstant. Da die Wärmeübergangszahlen im Dampffilm we-
sentlich kleiner als beim Blasensieden sind, steigt die Wandtemperatur sprunghaft
an, damit der entsprechende Wärmestrom übertragen werden kann. Vom Punkt C
erfolgt ein spontaner Sprung zum Punkt E. Diese Temperatursprünge sind sehr
groß. Am Beispiel von Wasser in Bild 6.1 beträgt die Änderung der Übertemperatur

770 K. Die Wandtemperatur erhöht sich sprunghaft von 100 °C auf 900 °C. In tech-

6 Verdampfung

175
nischen Verdampfern hat man in der Regel höhere Drücke und damit auch höhere

Sättigungstemperaturen. Die meisten Werkstoffe können eine so hohe Änderung
der Temperatur nicht aushalten, es kommt zur Zerstörung des Werkstoffes, d.h., der Übergang vom Blasen- zum Filmsieden sollte auf alle Fälle vermieden werden. Bei
der Auslegung der Apparate und der Regelung der Verdampfungsanlagen ist darauf
zu achten, dass die kritische Wärmestromdichte nicht erreicht wird.

Beim Senken der Wärmestromdichte kommt man zunächst zum Punkt D, wo eine
sprunghafte Verringerung der Wandtemperatur stattfindet und es wieder zum Bla-
sensieden am Punkt B' kommt. Die Zustände zwischen den Punkten C und D sind
praktisch nicht bzw. nur unter Laborbedingungen mit einigen speziellen Stoffen er-
reichbar.

Die Wärmeübertragung beim Filmsieden ist bei technischen Vorgängen nur sel-
ten von Bedeutung, sie wird hier nicht behandelt.

Bei der Verdampfung ist der produzierte Massenstrom des Dampfes von Wichtig-
keit. Er berechnet sich als:

m

Q

= / r

(6.1)

g

Diese Beziehung ist bei allen Verdampfungsvorgängen gültig.

6.1.1

Sieden bei freier Konvektion

Solange in ruhenden, unterkühlten Flüssigkeiten an der Heizfläche keine Blasen
entstehen, berechnet man die Wärmeübergangs- bzw. Nußelt zahlen wie in Kapitel 4
beschrieben. Zur Ermittlung der Wärmeübergangszahlen für horizontale, ebene

Heizflächen und horizontale Rohre werden etwas vereinfachte Formeln vorge-
schlagen [6.1].

Die Nußelt zahl ist:

1/ 3

Nu = 0,15 ⋅ ( Gr ⋅ Pr)

(6.2)

L

L

Die für die Grashof- bzw. Nußelt zahl charakteristische Länge L wird folgendermaßen gebildet: Rechteckfläche L = a . b/2 ( a + b), Kreisfläche L = d/4, horizontaler Zylinder L = d.

6.1.2

Blasensieden

Wie schon erwähnt, bilden sich die Blasen an besonderen Stellen (Keimstellen). Die Anzahl der Keimstellen erhöht sich mit dem zugeführten Wärmestrom. Die Blasen
wachsen aus mikroskopischen Vertiefungen (Rauigkeiten) der Oberfläche. Der

Wärmestrom geht zunächst in die Flüssigkeitsgrenzschicht und von dort in die Bla-
se. Der Druck p in den Blasen ist auf Grund der Oberflächenspannung größer als g
der Druck p in der Flüssigkeit.

l

Bild 6.2 zeigt die Entstehung einer Dampfblase.

176

6 Verdampfung
d

Flüssigkeit
pl
σ
σ
ϑ
σ
pg
s

Dampf
σ
d
β
ϑ

K
w

Bild 6.2: Entstehung einer Dampfblase

Der Überdruck in der Blase steht im Gleichgewicht mit der von der Oberflächen-
spannung σ erzeugten Kraft.

p − p = 4 ⋅σ / d

(6.3)

g
l

Damit eine Blase mit dem Durchmesser d entstehen kann, muss eine minimale

Übertemperatur vorhanden sein. Der Durchmesser der Keimstelle d ist der kleinste K

Blasendurchmesser. Nach der Laplace-Kelvin- Ableitung gilt für die minimale Übertemperatur:

p − p
ρ ⋅ r
g
l
g

=

(6.4)

T − T

T
g

S
s

Mit Gl. (6.3) erhält man für die notwendige Übertemperatur:

4 ⋅σ ⋅ Ts
ϑ −ϑ =

W

S
d ⋅ ρ ⋅ r

(6.5)

K
g

Erreicht eine Blase eine bestimmte Größe, löst sie sich von der Oberfläche und
steigt nach oben. Sie transportiert von der Heizfläche Wärme in Form von Ver-
dampfungswärme weg. Im Nachlauf der Blase erfolgt eine Driftströmung, die die
konvektive Wärmeübertragung vergrößert. Gl. (6.5) zeigt auch, dass mit zuneh-
mender Übertemperatur die mögliche Blasengröße und damit die Anzahl geeigneter

Keimstellen wachsen.

Zur Berechnung der Wärmeübergangskoeffizienten lassen sich aus der Betrach-
tung der Entstehung und Ablösung der Blasen physikalische Modelle aufstellen.

Aus den auf die Blase wirkenden Kräften kann ein Modell für den Abreißdurch-
messer d der Blase erstellt werden. Hat man eine Vielzahl von Keimstellen, ist A
gemäß Häufigkeitsverteilung der Abreißdurchmesser der Blase der wahrschein-
lichste Durchmesser. Anhand des Modells und durch Experimente hat man für den

Blasenabreißdurchmesser folgende Beziehung gefunden:

6 Verdampfung

177

⋅σ

0

2
d = ,

0 0149 ⋅ β ⋅

A
g ⋅ (ρ − ρ )

(6.6)

l
g

Dabei ist β 0 der Randwinkel der Blase. Er hat für verschiedene Stoffe unterschiedliche Werte. Nachstehend die Randwinkel einiger wichtiger Stoffe:

Wasser:

β 0 = 45°

Kältemittel:

β 0 = 35°

Benzol:

β 0 = 40°

Die Wärmeübergangszahl beim Blasensieden ist:

q
q
α =

=

B
ϑ −ϑ

Δϑ

(6.7)

W
s

Die Nußelt zahl beim Blasensieden wird mit dem Abreißdurchmesser der Blase gebildet.

α ⋅ d

B

A

Nu

=
d

(6.8)

A
λ l

Die zu berechnenden Wärmeübergangszahlen sind auf Vergleichswerte, die ent-
weder experimentell ermittelt oder mit empirischen Gleichungen berechnet werden,
bezogen.

Für die Wärmeübergangszahl beim Blasensieden wurde folgende Beziehung ge-
funden [6.2]:

0 , 25

0 ,133

0 ,9 − 0 ,3 ⋅ p*

§ λ ⋅ ρ ⋅ c

·

§ R ·

§ q ·
α = α ⋅ f ( p*)

l
l
pl
a

⋅ ¨

¸

⋅ ¨

¸

⋅ ¨

¸

B

0

¨© λ ρ c ¸

⋅

⋅

R
q

(6.9)

l 0
l 0
pl 0 ¹

© a 0 ¹

© 0 ¹

Index 0 wird für die Vergleichsgrößen verwendet, deren Stoffwerte man bei Refe-
renzdruck p* = p / p = 0,1 bestimmt. Die Druckkorrekturfunktion f( p*) ermittelt

krit
man mit Gl. (6.11) und die Wärmübergangszahl α wird mit Gl. (6.12) berechnet.

0

R ist der arithmetische Mittenrauwert nach DIN 4762/01.89, der den Einfluss der a

Oberflächenbeschaffenheit bezüglich der Anzahl der Keimstellen berücksichtigt.

Er ersetzt die früher verwendete Glättungstiefe R nach DIN 4672/08.60. Zwischen p
den beiden Werten besteht folgende Beziehung:

R = 0, 4 ⋅ R

(6.10)

a
p

Der früher verwendete Bezugswert R = 1 μm entspricht damit R = 0,4 μm.

p 0
a 0

Funktion f ( p*) gibt die Abhängigkeit vom Druck, bezogen auf p* = 0,1, an.

178

6 Verdampfung

§

0, 68 ·

0,27

2

1, 73⋅ p*

+¨6,1+

¸⋅ p*
für Wasser

©

1− p*¹
f ( *
p ) =

§

1

·

(6.11)

0,27
f ( *
p ) = 1, 2⋅ p*

+¨2,5+

¸⋅ p*
für andere reine Stoffe

©

1− p*¹

Stephan und Preußer [6.2] fanden anhand zahlreicher Messungen bei einem Druck von p = 0,03 . p , einer Wärmestromdichte von q = 20 000 W/m2 und einem krit

0
arithmetischen Mittenrauwert von R = 0,4 μm für die Vergleichs- Nußelt zahl Nu a
dA 0
folgende Beziehung (Achtung, mit Stoffwerten bei p* = 0,03 rechnen!):

0,674

0 156

,

0,371

0,35

2

2

§ q ⋅ d ·

§ ρ
ρ
g ·

§ r d
a

A

⋅

·

§

A
l ⋅

·

0
l

0 16

,

Nu

Pr
d

= 1

,

0

−

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

0

(6.12)

A

¨¨

¸¸

¨¨

¸¸

¨¨

2

¸¸

¨¨

¸¸

© λ T
ρ
a
σ d
l ⋅
s ¹

© l ¹

©
l

¹

© ⋅

¹
l

A

Dabei ist a = λ /(ρ c ) die Temperaturleitfähigkeit der Flüssigkeit.

l
l
l
pl
f (0,1)

λ

1
λ
l
l
α =

⋅ Nu ⋅

=

⋅ Nu ⋅

0
d 0
d 0

(6.13)

f (0, 03)

A
d
f (0, 03)

A
d

A

A

Für die Vergleichswärmeübergangszahl α liefert der mit den Gln. (6.12) und

0

(6.13) ermittelte Wert für Wasser bei p* = 0,1 den Wert von 6 398 W/(m2 K). Der experimentelle Wert beträgt 5 600 W/(m2 K). Bei einigen Kältemitteln ist die Über-einstimmung besser.

In Tabelle 6.1 sind die Bezugswerte für Wasser, Frigen R134a und Propan bei
p* = 0,1 angegeben. Weitere Werte findet man im VDI-Wärmeatlas [1.7].

Tabelle 6.1: Bezugswerte für bei p* = 0,1
p
λ
ρ
c
λ . ρ . c
α
α
krit
l 0
l 0
pl 0
l 0
l 0
pl 0

0

0 exp
bar

W/(m K)

kg/m3

J/(kg K) kg2/(s5 K2)

W/(m2 K)

Wasser 220,64

0,650

843,5

4594

2,519 . 106

6 398

5 600

R134a

40,60

0,088

1263,1

1368

0,154 . 106

3 635

4 500

Propan

42,40

0,108

533,5

2476

0,143 . 106

3 975

4 000

Die Übertemperatur zu Beginn des Blasensiedens in Bild 6.1 ermittelt man, indem
der Wert bestimmt wird, bei dem die Wärmeübergangszahl beim Blasensieden grö-
ßer als die bei freier Konvektion ist.

Bild 6.3 zeigt den Übergang von freier Konvektion zum Blasensieden im Wasser
beim Druck von 6,62 bar an einem waagerechten Rohr mit 15 mm Durchmesser.

Aus dem Diagramm ist ersichtlich, dass freie Konvektion bei etwa 1,5 K Über-
temperatur in Blasensieden übergeht.

6 Verdampfung

179

W
m K

2 .

8 000

Wasser 6,62 bar

4 000

Blasensieden
zahl
gangs
freie

Konvektion

2 000
eübermärW

1 000

1

2

3

K

Übertemperatur ϑ −

W ϑ s

Bild 6.3: Übergang von freier Konvektion zum Blasensieden

BEISPIEL 6.1: Wassersieden im Kochtopf

Auf einer Heizplatte mit 2,5 kW Heizleistung wird Wasser in einem Kochtopf mit
dem Durchmesser von 25 cm zum Sieden gebracht. Der Druck beträgt 0,98 bar. Die

Rauigkeit des Kochtopfes ist 0,5 μm.

Die Stoffwerte des Wassers sind bei p = 0,03 . p = 6,6192 bar: krit
ρ = 904,8 kg/m3, ρ = 3,477 kg/m3, c = 4,346 kJ/(kg K), σ = 0,046 N/m, l 0
g 0
p 0

0

Pr = 1,07, λ = 0,679 W/(m K), ν = 0,185 . 10-6 m2/s, T = 435,85 K, β ° = 45°, l 0
l 0
l 0
s
r = 2 073 kJ/kg , a = 1,727 . 10-7 m2/s.

l

Stoffwerte bei p* = 0,1:

ρ = 843,5 kg/m3, λ = 0,650 W/(m K), c = 4,594 kJ/(kg K)

l
l
p

Stoffwerte bei p* = 0,004444:

ρ = 959,0 kg/m3, λ = 0,678 W/(m K), c = 4,215 kJ/(kg K).

l
l
p

Bestimmen Sie die Wärmeübergangszahl und Übertemperatur.

Lösung

Annahme

•

Die Wandtemperatur ist konstant.

Analyse

Der Referenzwert für die Wärmeübergangszahl kann aus Tabelle 6.1 entnommen
werden. Zur Kontrolle bestimmen wir die Wärmeübergangszahl.

Bei p* = 0,03 ist der Blasenabreißdurchmesser d nach Gl. (6.6):

A 0

180

6 Verdampfung

⋅σ

0

2
d
β

A

= ,

0 0149 ⋅

⋅

=

0
g ⋅ (ρ
ρ
l −

)

g

2 ⋅ 0,046 ⋅ N/m

= ,

0 0149 ⋅ 45 ⋅

=
mm

2,163

9,806 ⋅ m/s2 ⋅ (904,8 − 3,477) ⋅ kg/m3

Die Berechnung der Nußelt zahl Nu

, die zur Bestimmung von α benötigt wird,
dA 0

0
erfolgt mit Gl. (6.12).

0,674

0,156

0,371

0,35

2

2

§ q ⋅ d ·

§ ρ ·

§ ⋅

·

§

⋅ ρ ·
g 0
r d
a

0

A 0

A 0
l 0
l 0

0,

− 16

Nu

= 0,1⋅¨

¸

⋅¨

¸

⋅¨

¸

⋅¨

¸

⋅ Pr

= 13,85
d 0
l

A

2

0

© λ ⋅ T ¹

© ρ
a

¹

©

¹

© σ ⋅ d
l 0
s 0
l 0
l 0

0

A 0 ¹

In die Gleichung wurden die Stoffwerte bei 6,6192 bar eingesetzt. Die Wärme-
stromdichte ist 20 000 W/m2.

Die Funktion für die Korrektur des Druckes erfolgt mit Gl. (6.11).

§

68

,

0

·
f ( ,

0

)

03 = ,

1 73⋅ ,

0 030,27 +

1

,

6

¨¨

+

¸¸ ⋅ ,

0 032 = ,

0 677

©

1 − ,

0 03 ¹

Für die Wärmeübergangszahl α erhalten wir:

0

Nu

⋅λ
d
l

13,85 ⋅ 0,679 ⋅ W/(m ⋅ K)

W

A 0

0
α =

=

= 6398

0

2
f (0, 03) ⋅ d

0,677 ⋅ 0,002163⋅ m
m K

A 0

Das Ergbnis stimmt mit dem Wert in Tabelle 6.1 überein. Die Wärmeübergangs-
zahl α wird mit Gl. (6.9) bestimmt. Dazu muss zunächst die Wärmestromdichte

B
berechnet werden:

Q

4 ⋅ Q

4 ⋅ 2 500 ⋅ W

W
q =

=

=

= 50 930

2

2

2

2

A
π ⋅ d
ʌ ⋅ 0,25 ⋅ m
m

Für die Stoffwerte erhalten wir: λ . ρ . c = 0,650 . 843,5 . 4 594 = 2,519 . 106
l 0
l 0
pl 0

λ . ρ . c = 0,679 . 958,6 . 4 216 = 2,744 . 106
l
l
pl

Die Druckkorrekturfunktion ist:

§

0,68

·

0,27

2
f (0, 00444) = 1,735⋅0,00444

+ 6,1

¨

+

¸⋅0,00444 = 0,402

©

1− 0,00444 ¹

Damit wird die Wärmeübergangszahl nach Gl. (6.12):

6 Verdampfung

181

0.25

0.133

0.9−0.3⋅ p*

§ λ ⋅ ρ ⋅ c ·

§ R ·

§ q ·
α = α ⋅

W
f ( *
p )

l
l
pl
a

⋅¨

¸

⋅¨

¸

⋅¨ ¸

= 6 271

B

0

¨© λ ρ c ¸

⋅

⋅

R
q

¹

©

¹

© ¹

2
m ⋅ K
l 0
l 0
pl 0
a 0

0

Die Übertemperatur kann aus der Wärmestromdichte bestimmt werden:

2
q

50 930 ⋅ W/m

Δϑ = ϑ −ϑ =

=

= 8,12 K

W
s

2
α

6 271⋅ W/(m ⋅ K)

B

Diskussion

Um die zugeführte Wärmestromdichte abführen zu können, entsteht beim Ko-
chen des Wassers eine Übertemperatur von 13,4 K. Mit den etwas kleineren, expe-
rimentell ermittelten Bezugswerten wird die Wärmeübergangszahl ca. 14 % kleiner,
die Übertemperatur erhöht sich auf etwa 10 K.

BEISPIEL 6.2: Berechnung eines elektrisch beheizten Verdampfers

Mit einer elektrischen Heizung von 6 kW Leistung soll bei 2 bar Druck Dampf
erzeugt werden. Die Heizung hat einen Stahlmantel von 12 mm Durchmesser, sie ist

1 m lang. Die Rauigkeit des Heizstabes beträgt 1,5 μm.

Die Bezugswerte bei p* = 0,03 können aus Aufgabe 6.1 entnommen werden.

Stoffwerte bei p* = 0,00906: r = 2 201,6 kJ/kg, ρ = 942,9 kg/m3,

l
λ = 0,683 W/(m K), c = 4,247 kJ/(kg K).

l
p

Bestimmen Sie den Dampfmassenstrom, die Wärmeübergangszahl und Übertem-
peratur.

Lösung

Annahmen

•

Die Wandtemperatur ist konstant.

•

Es wird angenommen, dass dem Verdampfer immer Wasser mit Siedetempera-
tur zugeliefert wird.

Analyse

Den Dampfmassenstrom bestimmen wir mit Gl. (6.1).

Q

6 ⋅ kW
m

=

=

= 0,00273 kg/s = 9,81 kg / h
r

2 201,6 ⋅ kJ/kg

Der Referenzwert für die Wärmeübergangszahl ist jener aus Aufgabe 6.1.

182

6 Verdampfung

Für die Stoffwerte erhalten wir: λ . ρ . c = 0,683 . 942,9 . 4 247 = 2,735 . 106
l
l
pl

Die Druckkorrekturfunktion ist: f ( ,

0

)

00906 = ,

0 486

Die Wärmestromdichte beträgt:

Q

6 ⋅ kW

2
q =

=

=159 155 W/m
π ⋅ d ⋅ l π ⋅0,012⋅m ⋅1⋅m

0,25

0,133

0,9−0,3⋅ p*

§ λ ⋅ ρ ⋅ c ·

§ R ·

§ q ·
α = f ( *
p )

l
l
pl
a

⋅¨

¸

⋅¨

¸

⋅¨ ¸

⋅α =

B

0

¨© λ ρ c ¸

⋅

⋅

R
q
l 0
l 0
pl 0 ¹

© a 0 ¹

© 0 ¹

0.25

0,133

0,9027

§ 2,735 ·

§ 1,5 ·

§159155 ·

W

=

W

0, 486 ⋅¨

¸

⋅¨

¸

⋅¨

¸

⋅6 398

= 24 428

2

© 2,519 ¹

© 0,4 ¹

© 20 000 ¹
m ⋅ K

2
m ⋅ K

2
q

159 155 ⋅ W/m

Δϑ = ϑ −ϑ =

=

= 6,52 K

W
s

2
α

24 428 ⋅ W/(m ⋅ K)

B

Diskussion

Durch die hohe Wärmestromdichte entsteht eine kräftige Blasenbildung mit sehr
hoher Wärmeübergangszahl, somit ist die Übertemperatur nicht sehr groß.

BEISPIEL 6.3: Auslegung eines elektrisch beheizten Verdampfers

Zum Anfahren eines Dampfkraftwerkes wird das Wasser im Speisewasserbehälter
so aufgeheizt, dass der Druck auf 10 bar ansteigt. Anschließend muss bei diesem

Druck für die Hilfsdampfschiene 1,5 kg/s Dampf produziert werden. Die Beheizung
erfolgt mit 6 elektrischen Heizstäben von je 100 mm Durchmesser. Die Rauigkeit
des Heizstabes ist 3 μm. Die Heizstablänge soll so ausgelegt werden, dass die

Dampfproduktion bei 5 K Übertemperatur erfolgt. Die Bezugswerte bei p* = 0,03
können Aufgabe 6.1 entnommen werden.

Stoffwerte bei p = 10 bar: r = 2 014,4 kJ/kg, ρ = 887,1 kg/m3, λ = 0,673 W/(m K), l
l
c = 4,405 kJ/(kg K).

p

Bestimmen Sie die notwendige Heizleistung und Länge der Heizstäbe.

Lösung

Annahmen

•

Die Wandtemperatur ist konstant.

•

Es wird angenommen, dass den Heizstäben immer Wasser mit Siedetemperatur
zugeliefert wird.

6 Verdampfung

183

Analyse

Die Heizleistung errechnet sich mit Gl. (6.1):

kg
kJ

Q = m ⋅ r = 1,5⋅

⋅ 2 014,4⋅

= 3,022 MW
s
kg

Pro Heizstab werden also 504 kW Heizleistung benötigt. Für die Stoffwerte erhal-
ten wir: λ . ρ . c = 0,673 . 887,1 . 4 405 = 2,669 . 106.

l
l
pl

Der normierte Druck p* ist 0,0452. Die Korrekturfunktion für die Dichte errechnet sich als:

§

0,68

·

0,27

2
f (0, 0453) = 1,735⋅0,0453

+ 6,1

¨

+

¸⋅0,0453 = 0,764

©

1− 0,0453 ¹

Da die Heizstablänge unbekannt ist, wird in Gl. (6.9) die Wärmestromdichte
durch die Wärmeübergangszahl ersetzt. Zunächst formen wir Gl. (6.9) um.

0,25

0,133

0,9−0,3⋅ p*

0,8864
α

§ λ ⋅ ρ ⋅ c ·

§ R ·

§ q ·

§ q ·

B = f ( *
p )

l
l
pl
a

⋅¨

¸

⋅¨

¸

⋅¨ ¸

= 1,0229⋅
α

© λ ρ

¨

¸

¨
c

¸

⋅

⋅

R
q
q

0
l 0
l 0
pl 0 ¹

© a 0 ¹

© 0 ¹

© 0 ¹

Für die Wärmestromdichte wird α . Δϑ eingesetzt. Nach Umformungen erhält B
man:

0,1−0.3⋅ p*

0,8846

7,8028

§ α ·

§ Δϑ ·
α

§ Δϑ ·

B

¨

¸

= 1,0229

B

⋅¨

¸

=1,0229⋅
α ¹

© Δϑ ¹
α

¨©Δϑ ¸

© 0

0

0

0 ¹

Mit den Vergleichswerten kann die Übertemperatur für die Wärmeübergangs-
zahl und Wärmestromdichte berechnet werden.

2

20 000 W m

K

Δϑ
q / α

⋅ ⋅

⋅

=

=

= 3,126 K

0

0

0

2

6 398 ⋅ W ⋅ m

Wärmedurchgangszahl, notwendige Heizfläche und Stablänge können jetzt be-
stimmt werden.

7 803

,

7,803

2

2

Į = ( ǻϑ / ǻϑ )

⋅ Į = (5 / 3,126)

⋅6 398⋅ W/(m ⋅ K) = 249,935 kW/(m ⋅ K)

B

0

0

2

A = Q / q = Q

/ (α ⋅ Δϑ) = 504 ⋅ kW / (249,935⋅5⋅ kW/m ) =

2

0, 403 m

B

2
l = A / (π ⋅ d) = 0, 403⋅ m /( ʌ ⋅ 0,1⋅ m) = 1, 283 m

184

6 Verdampfung

Diskussion

Durch die sehr hohe Wärmestromdichte erhöhen sich Blasenproduktion und Wär-
meübergangszahl. Die Wärmeübertragung erfolgt bei einer sehr kleinen Übertem-
peratur von 5 K. Bei einer größeren Heizfläche wird die Wärmestromdichte ver-
ringert, was die Verminderung der Wärmeübergangszahlen und die Erhöhung der

Übertemperatur bewirkt. Die Wärmeübergangszahl steigt bei diesem Druck fast mit
der 8. Potenz der Übertemperatur. Schon eine kleine Verringerung der Übertempe-
ratur hat eine wesentliche Erhöhung der Heizfläche zur Folge. In diesem Beispiel
würde man bei einer Übertemperatur von 4 K eine fast 7mal so große Heizfläche
von 6,56 m2 benötigen. Beim Blasensieden wird die Heizfläche mit abnehmender

Temperaturdifferenz extrem stark erhöht.

6.2

Sieden bei erzwungener Konvektion

Die Verdampfung kann in durchströmten Rohren oder angeströmten Körpern

(Rohrbündeln) erfolgen. Das eintretende Fluid ist dabei unterkühlte Flüssigkeit,
gesättigte Flüssigkeit oder ein Dampf/Flüssigkeitsgemisch. Im Verdampfer wird
die Flüssigkeit teilweise oder vollständig verdampft, so dass entweder ein Dampf/

Flüssigkeitsgemisch bzw. gesättigter oder überhitzter Dampf den Verdampfer ver-
lassen. Die Wärmeübertragungsvorgänge können bei einphasiger Flüssigkeits- oder

Dampfströmung oder bei zweiphasiger Dampfströmung stattfinden [6.3].

In der strömenden, unterkühlten Flüssigkeit erfolgt die Wärmeübertragung zu-
nächst wie in Kapitel 3 beschrieben. Bereits in der unterkühlten Flüssigkeit können Dampfblasen entstehen, die dann in der Flüssigkeit wieder kondensieren. Die

Dampfblasen beeinflussen die Wärmeübergangszahlen in der unterkühlten Flüssig-
keit. Im weiteren Verlauf der Strömung tritt zunächst Blasensieden auf, bis in der Zweiphasenströmung schließlich der konvektive Wärmeübergang überwiegt.

6.2.1

Unterkühltes Sieden

Für die Wärmeübergangszahlen in der unterkühlten, strömenden Flüssigkeit gilt
folgende asymptotische Näherung:

,

1 2

,

1 2

,

1 2
α = α +α

(6.14)

k

B

Dabei ist α die Wärmeübergangszahl bei erzwungener Konvektion nach Kapitel
k

3 und α die Wärmeübergangszahl beim Blasensieden nach Gl. (6.8).

B

Bild 6.4 zeigt die Wärmeübergangszahl bei der Verdampfung unterkühlter Flüs-
sigkeiten mit erzwungener Konvektion.

6 Verdampfung

185

W
m K

2 .

5
α = 16 000 W

2
k
m K

2 .

4

10
gangszahl

8 000
eübermärW 5 4 000

Blasensieden

2 000

2

1

10 K

Übertemperatur ϑ − ϑ

W
s

Bild 6.4: Wärmeübergangszahl bei der Verdampfung unterkühlter Flüssigkeiten mit erzwungener Konvektion

6.2.2

Konvektives Strömungssieden

Ist der Wärmewiderstand in der Strömung kleiner als beim Blasensieden, tritt kon-
vektives Strömungssieden auf, das auch stilles Sieden genannt wird. Durch die intensive Konvektion reicht die Übertemperatur an der Wand nicht mehr aus, um die

Keimstellen zu aktivieren und Blasen zu bilden. Die Verdampfung findet an der
freien Oberfläche der Flüssigkeit statt. Für horizontale bzw. vertikale Rohre und

Kanäle fand man unterschiedliche Beziehungen [6.1, 6.2]. Sie gelten für Dampf-
gehalte von x = 0 bis x = 1.

Die lokale, auf die Flüssigkeit bezogene Wärmeübergangszahl ist in vertikalen

Rohren:

−

0,01

−

½

1

( − x)

⋅[

,

1 5

0,6

0,35

1

( − x) + 9

,

1 ⋅ x

⋅ R

]

.

0 5

2,2 +
α x

°°

°°

−

= ®

ªα g

º

¾

0,01

0
α

(6.15)

l 0

°+ x

⋅ «

(

0,7

0,

1+ 8⋅ 1

( − x)

⋅ R

) 2

67 »

°

°

¬ α l

¼

°

¯

0

¿

Dabei ist R = ρ /ρ das Dichteverhältnis der Flüssigkeit zum Dampf. α und α
l
g
l 0
g 0
sind die Wärmeübergangszahlen der flüssigen bzw. gasförmigen Phase. Sie werden

als Wärmeübergangszahl der Phase nach Kapitel 3 berechnet. Dabei wird angenom-
men, dass die Phasen jeweils allein im Rohr strömen. Die Reynolds zahlen sind:

186

6 Verdampfung
c 0 ⋅ d
m

⋅ d
c 0 ⋅ d

⋅
g
h
m d
l
h
h
h

Re =

=

Re =

=
l
g
ν

A ⋅η
ν

A ⋅η

(6.16)

l
l
l
g

Dabei ist A der Strömungsquerschnitt des Kanals und d der hydraulische Durch-h
messer. Die Berechnung für horizontale Rohre erfolgt ähnlich:

−

0,01

−

1

( − x)

⋅[

,

1 5

0,4

0,37

1

( − x) + ,

1 2 ⋅ x

⋅ R

]

0,5

2,2

½

+
α x

°°

°°

−2

= ®

ªα g

º

¾

0,01

0
α

(6.17)

l 0

°+ x

⋅ «

(

0,7

0,67

1 + 8 ⋅ 1

( − x)

⋅ R

)»

°

°

¬α l

¼

°

¯

0

¿

Gleichung (6.17) berücksichtigt die Verteilung der Phasen im horizontalen Rohr.

Die angegebenen Beziehungen wurden anhand von Messungen in Rohren kreis-
förmigen und rechteckigen Querschnitts und in Ringspalten abgeleitet. Bild 6.5
zeigt den Verlauf der Wärmeübergangszahlen bei verschiedenen Dichteverhältnis-
sen als eine Funktion des Dampfgehaltes.

1 000
α

20
g 0 = 0,3
α l 0

300

10

100

30

5
α

10
α l 0
ρ /ρ = 3
l
g

2

1

5

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Dampfgehalt x

Bild 6.5: Lokale Wärmeübergangszahlen in vertikalen Rohren bei α /α = 0,3
g 0
l 0

Mittlere Wärmeübergangszahlen können durch Integration der Gln. (6.15) und

(6.17) angegeben werden.

x 2
α =

1

⋅ ³α( x) dx

(6.18)

x
x

2 −

1
x 1

In Bild 6.6 sind die mittleren Wärmeübergangszahlen bei vollständiger Verdamp-
fung von x = 0 bis 1 in vertikalen und in Bild 6.7 in horizontalen Rohren als eine Funktion des Dichteverhältnisses dargestellt.

6 Verdampfung

187

20

10

5
α
α g 0
α

= 1
α l 0
l 0

0,7

0,3 0,2

0,1

2

1

5

10

20

50

100

1 000

200

500

Dichteverhältnis ρ /ρ
l
g

Bild 6.6: Mittlere Wärmeübergangszahlen in vertikalen Rohren bei vollständiger Verdampfung

20

10

5
αα l 0
α g 0 = 1
α l 0

2

0,3

0,2

0,1

1

5

10

20

50

100

200

500

1 000

Dichteverhältnis ρ / ρ
l
g

Bild 6.7: Mittlere Wärmeübergangszahlen in horizontalen Rohren bei vollständiger Verdampfung

In Verdampfern von Wärmepumpen und Kälteanlagen tritt ein Zweiphasenge-
misch ein und der Flüssigkeitsanteil wird vollständig verdampft. Bei den Dampfer-
zeugern von Kraftwerken, in Naturumlaufverdampfern und in Verdampfern von

Entsalzungsanlagen wird die eintretende Flüssigkeit nicht vollständig verdampft,
um die Ablagerung der in Flüssigkeit gelösten Salze zu vermeiden. Bei solchen Ap-
paraten müssen die Gln. (6.15) und (6.17) integriert oder abschnittweise lokal be-
rechnet werden. Eine analytische Integration der Gln. (6.15) und (6.17) ist nicht
möglich. Die Berechnung kann jedoch leicht mit Programmen wie Mathcad oder Maple durchgeführt werden.

Die mit dem mittleren Dampfgehalt bestimmte mittlere Wärmeübergangszahl lie-
fert oft Ergebnisse ausreichender Genauigkeit.

188

6 Verdampfung

BEISPIEL 6.4: Auslegung eines Kühlschrankverdampfers

Das Rohr eines Kühlschrankverdampfers hat einen Innendurchmesser von 6 mm.

Das Kältemittel Frigen R134a verdampft in den Rohren bei 2 bar. Der äußere, auf
den Innendurchmesser bezogene Wärmewiderstand ist 0,9 . 10-3 (m2 K)/W. Das eintretende Kältemittel hat den Dampfgehalt von 0,4 und wird vollständig verdampft.

Der Wärmestrom, der vom Verdampfer aufgenommen wird, soll 700 W betragen.

Das Verdampferrohr verläuft horizontal. Das Frigen verdampft bei –10,07 °C, die

Temperatur außen am Rohr beträgt 4 °C. Die Verdampfungsenthalpie des Frigens
ist: r = 205,88 kJ/kg.

Stoffwerte Kondensat: ρ = 1327,7 kg/m3, λ = 0,0971 W/(m K), Pr = 4,23,
l
l
l
η = 0,3143 . 10-3 kg/(m s).

l

Stoffwerte Dampf: ρ = 10,02 kg/m3, λ = 0,0111 W/(m K), Pr = 0,609,
g
g
g
η = 0,0112 . 10-3 kg/(m s).

g
a) Bestimmen Sie die notwendige Länge des Verdampferrohres mit einem mitt-
leren Dampfgehalt von 0,7.

b) Bestimmen Sie durch Integration von Gl. (6.17) die notwendige Länge des Verdampferrohres.

Lösung

Annahmen

•

Die Wandtemperatur ist konstant.

•

Die Einflüsse der Rohrbögen werden vernachlässigt.

Analyse

Aus der gegebenen Heizleistung von 700 W kann der Massenstrom des Kältemit-
tels bestimmt werden.

Q

Q
kW

0,700

−3 kg
m

=

=

=

= ,

5 667 ⋅10
h ′ − x ⋅ r − h′

( x − )

1 ⋅ r

0,6 ⋅
kJ

205,88

/kg
s

1

1

Zunächst werden die Wärmeübergangszahlen der reinen Flüssigkeits- und Gas-
strömung berechnet.

4 ⋅ m ⋅ d

4 ⋅ m ⋅ d

Re =

= 3 826

Re =

= 107 368
l

2
g

2
π ⋅ d ⋅η
π ⋅ d ⋅η
i
l
i
g
ξ

Re
ξ

Re
l =

8

,

1

[

⋅log(

)

l

− ]

5

,

1

−2 = ,

0 0408
g =

8

,

1

[

⋅log(

)

g

− ]

5

,

1

−2 = ,

0 0175

6 Verdampfung

189
ξ /8 Re Pr
l

⋅ l ⋅

Nul =
l

=

50

,

33

1+ ,

12 7 ⋅ ξ / 8 Pr
l

⋅( 2/3
l

− )

1
ξ /8 Re Pr
g

⋅ g ⋅

Nu g =
g

=

94

,

171

1+

,

12 7 ⋅ ξ / 8 Pr
g

⋅( 2/3
g

− )

1

Nu

Nu
λ
λ
l ⋅

W
g ⋅
g

W
α
α
l =
l =

1

,

542
g =

=

1

,

318
d
m2 K

d
m2 K

i
i
α /α
g
l = 0 587

,
a)

Die Erhöhung der Wärmeübergangszahl gegenüber der Wärmeübergangs-
zahl der Flüssigkeit wird mit Gl. (6.17) berechnet. Dabei wird x = 0,7 eingesetzt.

−0,5

−2,2

0,01

1,5

0,4

0,37

½

(1− x)

⋅ ª(1− x) +1,2⋅ x ⋅ R º

+
α

°

¬

¼

°

°

°
x

2
ϕ( x)

−

=

= ®

¾

= 7,815

ªα

º

0,01
g
α l °+ x ⋅« (

0,7

0,67

1+ 8⋅ (1− x)

⋅ R )

°

¯

¬ α

»

°

¼

°
l

¿

Die mittlere Wärmeübergangszahl ist damit:

W

W
α = α ⋅ϕ(0,7) = 7,815⋅542,1

= 4 236,7
l

2

2
m K
m K

Wärmedurchgangszahl:

−

−1

1

§ 1

·

§

1

·

W

W

3
k = ¨ + R ¸ = ¨

+ 0,9⋅10− ¸ ⋅

= 880,2
a

2

2

© α

¹

4 236, 7

©

¹
m K
m K

Die für den Wärmetransfer notwendige Fläche beträgt:

2

Q

700 ⋅ W ⋅ m ⋅ K

2

A =

=

= 0,057 m
k ⋅ (ϑ −ϑ )

880,2 ⋅ W ⋅ (4 +10,07) ⋅ K
a
i

Damit berechnet sich die notwendige Länge der Verdampferrohres zu:

l = A / (π ⋅ d ) = 2, 998 m
i
b)

Das Integral in Gl. (6.16) kann zur Bestimmung der mittleren Wärme-
übergangszahl z.B. mit dem Programm Mathcad berechnet werden. Man erhält:

2
x

1

1

1
ϕ ( x) =

⋅ ³ϕ( x)⋅ dx =

⋅ ³ ϕ( x)⋅ dx = 7,486
x − x

1− 0, 4

2

1
x

0,4

1

190

6 Verdampfung

Die mittlere Wärmeübergangszahl ist 4,4 % kleiner als die mit dem mittleren x-

Wert berechnete und benötigt damit eine 0,9 % größere Länge.

Diskussion

Bei Verdampfung in der Strömung vergrößert sich im Vergleich zur Flüssigkeit
die Wärmeübergangszahl um das 2,2fache. Für einfachere Berechnungen kann bei
sehr guter Genauigkeit die mittlere Wärmeübergangszahl mit dem mittleren

Dampfgehalt bestimmt werden.

7

Strahlung

Wärmeübertragung durch Strahlung erfolgt durch elektromagnetische Wellen. Im Gegensatz zur Wärmeleitung, bei der die Wärmeübertragung an Bewegungen von

Molekülen, Atomen oder Elektronen gebunden ist, also ein Trägermedium erfor-
dert, benötigt die Wärmeübertragung bei Strahlung keine Materie, d.h. sie kann
auch im Vakuum erfolgen. Bei der Strahlung wird von einem wärmeren Körper
durch elektromagnetische Wellen Wärme an einen kälteren Körper übertragen. Der

Wärmetransfer durch Strahlung erfolgt entweder im Vakuum oder durch Stoffe

(meistens Gase), die die elektromagnetischen Wellen durchlassen. Im zweiten Fall
wird neben der Strahlung durch Wärmeleitung oder Konvektion zusätzlich Wärme
übertragen.

Strahlung erfolgt von der Oberfläche fester und flüssiger Körper und auch
von Gasen, deren Moleküle aus mehr als zwei Atomen bestehen.

Die Länge der elektromagnetischen Wellen, durch die die Wärme übertragen
wird, liegt zwischen 0,8 bis 400 μm. Dieser Wellenlängenbereich wird auch als
ultraroter Bereich bezeichnet. Zum Vergleich: Licht liegt im sichtbaren Wellenlän-
genbereich zwischen 0,35 und 0,75 μm. Bei tiefen Temperaturen ist der Anteil an
sichtbarer Strahlung so gering, dass er vom Auge nicht wahrgenommen wird. Bei
hohen Temperaturen erhöht sich der Anteil der sichtbaren Strahlen, er wird vom

Auge registriert (z. B. Glühfaden einer Glühbirne).

Mit zunehmender Temperatur steigt die Intensität der Wärmestrahlung. Auch bei
kleinen Temperaturen kann der Anteil der durch Strahlung übertragenen Wärme,
z.B. Isolationsprobleme bei sehr tiefen Temperaturen, von Bedeutung sein.

Elektromagnetische Wellen, die auf einen Körper auftreffen, werden von diesem
je nach seinen Eigenschaften teilweise reflektiert, durchgelassen oder absorbiert.

Bezeichnet man den absorbierten Anteil ( Absorptionsverhältnis) mit α, den durch-gelassenen Anteil mit τ und den reflektierten Anteil mit ρ, gilt immer:

α + ρ +τ =1

(7.1)

Feste Stoffe und Flüssigkeiten verhindern einen Durchlass bereits bei sehr klei-
nen Dicken, Metalle bei etwa 1 μm, Flüssigkeiten bei 1 mm. Bei den meisten Kör-
pern sind die Eigenschaften bezüglich Reflexion, Durchlass und Absorption zusätz-
lich von der Wellenlänge der Strahlung abhängig.

Jeder Körper, dessen Temperatur über dem absoluten Nullpunkt liegt, sendet

Strahlen aus.

P. von Böckh, T. Wetzel Wärmeübertragung,

DOI 10.1007/978-3-642-15959-6_7, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

192

7 Strahlung

Das Vermögen, Strahlen auszusenden, hängt von den Eigenschaften des Körpers
ab. Ein so genannter schwarzer Körper ist in der Lage, bei einer bestimmten Temperatur Strahlen mit maximaler Intensität auszusenden. Die Fähigkeit anderer Körper, bei der gleichen Temperatur Strahlen auszusenden, wird durch das Emissionsverhältnis ε angegeben. Das Emissionsverhältnis ist das Verhältnis der Strahlungsintensität eines Körpers bei einer bestimmten Temperatur, verglichen mit der Strahlungsintensität eines schwarzen Körpers bei gleicher Temperatur.

Das Kirchhoff'sche Gesetz sagt aus, dass das Emissionsverhältnis ε eines Körpers bei stationären Verhältnissen gleich seines Absorptionsverhältnisses α ist.

ε = α

(7.2)

Körper ordnet man nach ihrem Verhalten bezüglich Reflexion, Durchlass und

Absorption folgende Eigenschaften bzw. Benennungen zu:

schwarz:

alle auftreffenden Strahlen werden absorbiert (α = ε = 1)

weiß:

alle Strahlen werden reflektiert (ρ = 1)

grau:

alle auftreffenden Strahlen werden im gesamten Wellenlängenbe-
reich zum gleichen Anteil absorbiert (ε < 1)

farbig:

von den auftreffenden Strahlen werden bestimmte Wellenlängen

(die der entsprechenden Farbe) bevorzugt reflektiert
spiegelnd: alle auftreffenden Strahlen werden, bezogen auf die Flächennorma-
le, unter dem gleichen Winkel reflektiert
matt:

auftreffende Strahlen werden diffus in alle Richtungen gestreut.

7.1

Grundgesetz der Temperaturstrahlung

Ein schwarzer Körper lässt sich durch die Öffnung eines Hohlraums, dessen wär-
meundurchlässige (adiabate) Wände innen überall die gleiche Temperatur haben,
annähernd verwirklichen. Die Wärme wird ausschließlich per Strahlung durch die

Öffnung abgegeben, man spricht von schwarzer Strahlung.

Die spektralspezifische Intensität der schwarzen Strahlung i wird durch das λ ,s

Planck'sche Strahlungsgesetz beschrieben.

C 1
iλ s =

,

5
λ ⋅

(7.3)

( C / (λ⋅ T )

2
e

− )

1

Die Konstanten C und C haben folgende Bedeutung:

1

2

C = 2

2

⋅π ⋅ c ⋅ h = 3,7418⋅10−16 W ⋅ m2

1

(7.4)

C = c ⋅ h / k = 1,438⋅10−2 K ⋅ m

2

Die Konstanten enthalten nur physikalische Konstanten: Lichtgeschwindigkeit c, Planck' sches Wirkungsquantum h und Boltzmann konstante k, die keine empirisch ermittelten Größen sind. Die Werte dieser physikalischen Konstanten sind:

7 Strahlung

193
c = 299 792 458 m/s, h = 6,6260755 . 10-34 J . s, k = 1,380641 . 10-23 J/K.

Die Größe i ist die Strahlungsintensität eines schwarzen Strahlers (der Index s λ ,s
steht für schwarze Strahlung) geteilt durch die Wellenlänge, bei der die Strahlung stattfindet. Da die Intensität pro Meter Wellenlänge angegeben ist, ist ihre Einheit W/m3.

Bild 7.1 zeigt die Verteilung der Intensität über die Wellenlänge bei verschiede-
nen Temperaturen. Wie aus dem Diagramm zu ersehen ist, hat die Strahlung für jede

Temperatur bei einer bestimmten Wellenlänge ein Maximum. Leitet man Gl. (7.3)

nach der Wellenlänge ab und setzt die Ableitung gleich null, erhält man die Stelle des Maximums.

λ

= 2 898 ȝm ⋅ K/ T

(7.5)

i = max

Mit steigender Temperatur verschiebt sich das Maximum zu immer kleineren

Wellenlängen ( Wien'sches Verschiebungsgesetz).

Die Temperatur der Sonnenoberfläche beträgt etwa 6 000 K. Das Maximum liegt

bei einer Wellenlänge von 0,48 μm, also im sichtbaren Bereich.

T = 1 600 K
h

5

10

1 400 K
barer Bereic

1 200 K
sicht

3

/m

1 000 K

W i λ ,s

4

10
ität
tensn

800 K
che I
ifis
pez
trals

3

600 K
spek 10

2

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Wellenlänge in μ
λ
m

Bild 7.1: Intensität der schwarzen Strahlung in Abhängigkeit der Wellenlänge

194

7 Strahlung

7.2

Bestimmung der Wärmestromdichte der Strahlung

Die Intensität der Strahlung eines schwarzen Körpers pro Meter Wellenlänge kann
mit Gl. (7.3) bestimmt werden. Für die technischen Berechnungen benötigt man den

Wärmestrom, der vom schwarzen Körper ausgesandt wird. Wir erhalten ihn, wenn

Gl. (7.3) im gesamten Wellenlängenbereich, also von der Wellenlänge null bis un-
endlich, integriert wird.

λ =∞

5

4

2 ⋅π ⋅ k

4

4
q =
iλ ⋅ dλ =

⋅ T = σ ⋅ T

³
s

, s

4

2

(7.6)

15⋅ h ⋅ c
λ =0

Die Stefan-Boltzmann-Konstante ist σ, mit den physikalischen Konstanten berechnet, folgenden Wert aufweist [7.1, 7.2]:

−8

2

−

−4
σ = 6696

,

5

(

±

)

0075

,

0

⋅10 W ⋅ m ⋅ K

(7.7)

Dieses ist zur Zeit der genaueste Wert, basierend auf den Messwerten der physi-
kalischen Konstanten. In der Praxis wird der Wert 5,67 . 10-8 W . m-2 . K-4 verwendet.

Für eine leichtere Berechnung führte man folgende Vereinfachung ein:

4

§ T ·
q s = Cs ⋅¨

¸

©

(7.8)

100 ¹

Dabei ist C die Strahlungskonstante des schwarzen Körpers.

s

8

2

−

4

C

(7.9)

s = 10

⋅σ =

5,67 W ⋅ m ⋅ K−

Für Körper, die nicht schwarz sind, gilt:

4

§ T ·
q = ε ⋅ Cs ⋅¨

¸

©

(7.10)

100 ¹

Die von einem nicht schwarzen Körper abgestrahlte Wärmestromdichte ist
die eines schwarzen Körpers, multipliziert mit dem Emissionsverhältnis.

7.2.1

Intensität und Richtungsverteilung der Strahlung

Die Abstrahlung ist je nach Beschaffenheit der Oberfläche unterschiedlich. Im Fol-
genden behandeln wir die grauen Körper, da man mit ihnen technische Oberflächen
gut beschreiben kann.

Die Intensität einer punktförmigen Strahlungsquelle nimmt mit der Entfernung
quadratisch ab. Das Richtungsgesetz von Lambert besagt, dass die Intensität einer von einem Flächenelement dA ausgesandten diffusen Strahlung in jede Richtung

7 Strahlung

195
des Raumes gleich groß ist. Die Dichte der Strahlung nimmt jedoch proportional
zum Cosinus des Winkels ß zum Normalen ab.

q

β = q

(7.11)

n ⋅ cos β

Aus der Integration über einer Halbkugel erhält man die Gesamtstrahlung in den

Raum:

q = q

(7.12)

n ⋅ π

Bei einem grauen Strahler ist die in einen Halbraum abgestrahlte gesamte Wärme-
stromdichte gleich dem π-fachen der Wärmestromdichte, die senkrecht abgestrahlt
wird. Das Richtungsgesetz ist bei vielen Stoffen, da sie keine grauen Strahler sind, nur annähernd gültig. Bei Metallen nimmt das Emissionsverhältnis mit dem Winkel
β zu, bei Nichtmetallen ab.

7.2.2

Emissionsverhältnisse technischer Oberflächen

Das Emissionsverhältnis einer Oberfläche ist von der Temperatur und Beschaffen-
heit der Oberfläche abhängig. Alterung, Verschmutzung, Oxidation und Korrosion
können starke Änderungen des Emissionsverhältnisses bewirken. Der Zustand ei-
ner technischen Oberfläche kann bezüglich seines Emissionsverhältnisses nur
durch Messung der Oberflächentemperatur und Strahlungsintensität exakt bestimmt
werden. Folgerungen betreffend des Emissionsverhältnises aus optischen oder an-
deren Beurteilungen der Oberfläche können zu total falschen Ergebnissen führen.

Die Normalkomponente des Emissionsverhältnisses kann relativ einfach zwi-
schen zwei großen ebenen Platten gemessen werden. Deshalb sind in der Literatur
die Emissionsverhältnisse meistens für die Normalkomponente der Strahlung ε n
angegeben. Mit dem Diagramm in Bild 7.2 kann das Emissionsverhältnis ε der Ge-
samtstrahlung bestimmt werden.

In der Praxis können die angegebenen Emissionsverhältnisse je nach Oberflä-
chenzustand recht große Abweichungen aufweisen.

1,4

1,3
elektrische Leiter

1,2
n
ε / ε 1,1

Nichtleiter

1,0

0,9 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0.5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Emissionsverhältnis der Normalkomponente ε n

Bild 7.2: Diagramm zur Bestimmung des Emissionsverhältnisses der Gesamtstrahlung

196

7 Strahlung

Tabelle 7.1: Emissionsverhältnis technischer Oberflächen (Quelle: [ 7.2] ) Material

Zustand

Temperatur
ε
ε
n

°C

Aluminium
walzblank

170

0,039

0,049

900

0,060
stark oxidiert

90

0,020

504

0,310

Aluminiumoxid

277

0,630

830

0,260

Kupfer
poliert

20

0,030
leicht angelaufen

20

0,037
schwarz oxidiert

20

0,780

Eisen, Stahl
poliert

430

0,144

Gusshaut

100

0,800

Stahl
oxidiert

200

0,790

Wolfram

25

0,024

1 000

0,150

3 000

0,450

Glas

20

0,940

Gips

20

0,850

Ziegelstein, Mörtel

20

0,930

Holz, Eiche

20

0,900

Lack
schwarz, matt

80

0,920

Lack
weiß

100

0,940

Heizkörperlack (nach VDI-74)

100

0,925

Wasser

0

0,950

100

0,960

Eis

0

0,966

Weitere Daten sind im VDI-Wärmeatlas [7.2], bei W. Wagner: "Wärmeübertra-
gung" [7.4], bei [7.5, 7.6] oder im Anhang A11 zu finden.

7.2.3

Wärmetransfer zwischen Flächen

Bei vielen der technisch interessanten Fälle findet der Wärmeaustausch zwischen
zwei oder mehreren Flächen statt. Das Verhalten der Strahlung lässt sich am Bei-
spiel zweier Flächen gut beschreiben. Von Fläche 1 werden entsprechend der Tem-
peratur T und den Eigenschaften der Fläche Strahlen emittiert. Gemäß Richtungs-1
verteilung trifft ein Teil der emittierten Strahlen auf die zweite Fläche auf. Von dieser werden sie teilweise absorbiert, durchgelassen oder reflektiert. Diese zweite Flä-
che emittiert wiederum ihrerseits die Strahlen entsprechend der Temperatur T und 2

7 Strahlung

197

Oberflächenbeschaffenheit. Die emittierten und reflektierten Strahlen der zweiten

Fläche treffen entsprechend der Richtungsverteilung auf der ersten Fläche auf.

Zwischen den Flächen besteht eine Wechselwirkung.

dA 2

2

T
β2
β 1
s

T 1
dA 1

Bild 7.3: Strahlungsaustausch zwischen zwei Flächenelementen

Bild 7.3 veranschaulicht den Strahlungsaustausch zwischen zwei Flächenelemen-
ten dA und dA der Fläche 1 und 2. dA und dA sind beliebige, im Raum liegende 1

2

1

2

Flächenelemente zweier Körper. Die Temperatur der Fläche 1 ist T und die der 1

Fläche 2 T . Das Emissionsverhältnis der Fläche ist ε und ε . Mit der Richtungs-2

1

2
verteilung nach Lambert erhalten wir ohne Berücksichtigung der Reflexion für den zwischen den Flächen ausgetauschten Wärmestrom:

ª

4

4 º

§ T ·

§ T ·
cos

β cos β

Q
ε ε C
dA dA

12 =

1 ⋅

2 ⋅
s ⋅ «¨

1 ¸ − ¨ 2 ¸ » ³ ³

1 ⋅

⋅

2 ⋅

2

1 ⋅

«©100 ¹

©100 ¹ »

π ⋅

2

(7.13)

¬

¼
s

A A

1

2

Der rein geometrische Anteil wird zur Einstrahlungszahl (auch Sichtfaktor ge-
nannt) ϕ zusammengefasst.

12

1
cos β cos β
ϕ
dA dA

12 =

³ ³

1 ⋅

⋅

2 ⋅

2

1 ⋅

A
π s

(7.14)

1

⋅

2

A A

1

2

Wird die Richtung des Wärmeaustausches umgekehrt, gilt:

A ⋅ϕ = A ⋅ϕ

(7.15)

1

12

2

21

Damit kann der Wärmestrom in folgender Form angegeben werden:

ª

4

4 º

§ T

T

1 ·

§ 2 ·

Q
ϕ ε ε C A

12 =

12 ⋅

1 ⋅

2 ⋅
s ⋅

1 ⋅ «¨

¸ − ¨

¸ »

«©100 ¹

©100 ¹ »

(7.16)

¬

¼

198

7 Strahlung

Handelt es sich um die Flächenpaare i und k, die miteinander im Strahlungsaustausch stehen, gilt folgende Reziprozitätsbeziehung:

A ⋅ϕ = A ⋅ϕ

(7.17)

i
ik
k
ki

Bei der Betrachtung des Strahlungsaustausches der Fläche i mit den anderen Flä-
chen des i umschließenden Raumes führt der Energieerhaltungssatz zu folgender Summationsbeziehung:

¦ nϕ 1
ik =

(7.18)

k = 1

Bei der Berechnung der Wärmestrahlung zwischen Flächen liegt das Problem in
der Ermittlung der Einstrahlzahlen. Bei technischen Oberflächen, die nicht als graue Körper reagieren, sind die Probleme noch komplizierter, weil die Strahlen teilweise reflektiert oder durchgelassen werden.

Für geometrisch einfache Formen, bei denen die lineare Ausdehnung der Flächen
wesentlich größer als ihr Abstand ist, können die Einstrahlzahlen berechnet werden.

Die Angabe des Wärmestromes erfolgt in folgender Form:

ª

4

4 º

§ T

T

1

·

§ 2 ·

Q

C

A

12 =

12 ⋅

⋅ «¨

¸ − ¨

¸ »

«©100 ¹

©100 ¹ »

(7.19)

¬

¼

Dabei ist C die Strahlungsaustauschzahl.

12

7.2.3.1

Gleich große, parallele graue Platten

Bei zwei gleich großen, parallelen grauen Platten mit den Temperaturen T und T

1

2

(Bild 7.4) ist die Strahlungsaustauschzahl gegeben als:

T

T

1

2

A

A
ε
ε

1

2

Bild 7.4: Strahlung zwischen zwei gleich großen, parallelen grauen Platten

C

=

Cs

12

(7.20)

1/ ε +1/ ε −1

1

2

7 Strahlung

199

1

2
i
n

T

T

1

2

A

A

......

ε
ε
ε ε
ε i 1ε i 2

1
n

2
n
ε

11 ε

1

12

21

22
ε ε

2

Bild 7.5: Strahlung zwischen mehreren gleich großen, parallelen grauen Platten Befinden sich, wie in Bild 7.5 dargestellt, zwischen den zwei Platten noch n weitere parallele graue Platten, erhält man für die Strahlungsaustauschzahl:

Cs

C =

12
n

1 / ε +1/ ε −1+ ¦(1/ ε +1/ ε −1)

(7.21)

1

2

1
i
i 2
i = 1

Dabei ist ε das Emissionsverhältnis der i-ten Platte auf der T zugewandten und i 1

1
ε das auf der T zugewandten Seite. Haben alle n zwischenliegenden parallelen i 2

2

Platten das gleiche Emissionsverhältnis, vereinfacht sich Gl. (7.21) zu:

C

=

Cs

12

(7.22)

1/ ε +1/ ε −1+ n ⋅ (2 / ε i − )

1

1

2

Haben auch die äußeren Flächen das gleiche Emissionsverhältnis, vereinfacht
sich Gl. (7.22) weiter.

=

C

C
s

12

(7.23)

( n + )

1 ⋅ (2 / ε − )

1

Da die Größe und damit die Fläche der Platten gleich groß ist, muss in Gl. (7.19)

die Oberfläche A einer der Platten eingesetzt werden.

Durch die zusätzlichen Platten wird der Nenner immer größer, d.h. der Wärme-
strom immer kleiner. Die zusätzlichen Platten bedeuten eine Isolation der Wärme-
strahlung. Bei der Isolation sehr kalter Fluide wie z.B. bei flüssigem Helium, werden solche Isolatoren angebracht. Der Behälter ist von einem Außenmantel umge-
ben. Der Zwischenraum ist evakuiert und zwischen diesen Wänden befinden sich
polierte dünne Aluminiumfolien (Superisolation).

200

7 Strahlung

7.2.3.2

Umschlossene Körper

Für umschlossene Körper wie z. B. eine Kugel in einer Hohlkugel oder ein Zylinder
in einem Hohlzylinder (Bild 7.6) gilt:

T 2
ε2

A
ε1

2

A

1

T

1

Bid 7.6: Strahlung eines umschlossenen Körpers

C

C
s

12 =

1

A § 1

·

+ 1 ⋅¨¨ − ¸¸

1

(7.24)

ε

A
ε

1

2

© 2

¹

Hier ist zu beachten, dass in Gl. (7.24) für A immer die Oberfläche des umschlos-1
senen Körpers eingesetzt wird, d.h., A ist kleiner als A . Bei diesem Sonderfall 1

2
kann, wenn die Temperatur T des umschlossenen Körpers tiefer als die des umge-1
benden Körpers ist, der Wärmestrom nach Gl. (7.19) negativ werden. Dieses ist bei
den Berechnungen zu berücksichtigen.

Ist die Fläche A sehr viel kleiner als A , vereinfacht sich Gl. (7.24) zu: 1

2

C
ε

(7.25)

12 =

1 ⋅ Cs

Auch für relativ komplexe Körper, die von einer wesentlich größeren Fläche um-
schlossen werden, liefert Gl. (7.25) recht genaue Ergebnisse (z. B. Heizkörper in
einem Raum).

Für viele ausgesuchte Geometrien sind die Einstrahlzahlen beispielsweise im

VDI-Wärmeatlas zu finden.

BEISPIEL 7.1: Berechnung eines Wärmedämmglases

Die Glasscheiben der Fenster eines Bürohauses werden durch Wärmedämmglas er-
setzt. Die Daten des Normal- und Wärmedämmglases sind:

normal
dämmend

Absorptionsverhältnis α

0,80

0,40

Reflexionsverhältnis ρ

0,05

0,50

Durchlassverhältnis τ

0,15

0,10

Das Normalglas wird auf der Innenseite auf 35 °C, das Wärmedämmglas auf

28 °C erwärmt. Die Temperatur der Wände und der Luft im Raum beträgt 22 °C.

7 Strahlung

201

Die Wärmeübergangszahl der freien Konvektion ist 5 W/(m2 K). Die Sonnenstrah-
lung hat eine Intensität von 700 W/m2.

Bestimmen Sie die Verringerung der Wärmestromdichte, die in den Raum ge-
langt.

.

Lösung
q dir

.

.

q
q

Sonne
konv

Schema

Siehe Skizze

.qStr
ϑ

Annahmen

Gl

22 °C

•

Bei freier Konvektion ist die Wärmeübergangszahl konstant.

•

Die Temperatur des Glases ist konstant.

Analyse

Die Wärmezufuhr zum Raum kann in drei Komponente aufgeteilt werden: Der

Anteil der Sonnenstrahlung, der direkt durchgelassen wird, der konvektive Wärme-
transfer und die Strahlung von der Scheibe. Jetzt berechnet man die einzelnen

Wärmestromdichten für die normale und die wärmedämmende Scheibe.

Der Anteil der Sonnenstrahlen, der direkt durchgelassen wird, ist mit dem Durch-
lassverhältnis gegeben.

normal
gedämmt
q

= q

⋅τ

105 W/m2

70 W/m2
dir

Sonne

Die Wärmestromdichte durch freie Konvektion:

q

= α

⋅(ϑ −ϑ )

65 W/m2

30 W/m2
konv
konv

Gl

R

Durch Strahlung von der Scheibe transferierte Wärmestromdichte nach Gl. (7.25):

ª

4

4 º

§ T

T

Gl ·

§ R ·
q
ε C

Str =

⋅ s ⋅ «¨

¸ − ¨

¸ »

«©100 ¹

©100 ¹ »

65 W/m2

14 W/m2

¬

¼

Für das Normalglas erhält man 235 W/m2, für das Wärmedämmglas 114 W/m2.

Diskussion

Die wärmedämmende Glasscheibe reflektiert 50 % der einfallenden Sonnenstrah-
len; was mehr als 45 % bei normalem Glas ist. Das Absorptionsverhältnis ist damit

50 % kleiner, die Scheibe wird weniger aufgeheizt und gibt sowohl durch Kon-
vektion als auch durch Strahlung weniger Wärme an den Raum ab. Der größere Teil
des Wärmetransfers zum Raum wird durch Erwärmung der Scheibe verursacht.

202

7 Strahlung

BEISPIEL 7.2: Berechnung einer Glühbirne

Der Glühfaden einer 240 Volt-Glühbirne soll bei 3 100 °C Temperatur 100 W elek-
trische Leistung haben. Der Wolframglühfaden hat einen spezifischen elektrischen

Widerstand von ρ = 73 . 10-9 Ω m. Die Glaskörpertemperatur der Glühbirne beträgt el

90 °C.

a) Bestimmen Sie den Durchmesser und die Länge des Glühfadens.

b) Bestimmen Sie den Wirkungsgrad der Glühbirne.

Glühfaden

Lösung

3 100 °C

Glas

90 °C

Schema

Siehe Skizze

Annahmen

•

Die Fläche des Glases ist sehr viel größer als die des Glühfadens und daher ver-
nachlässigbar.

•

Der Einfluss der Halterung und der des konvektiven Wärmetransfers in der Bir-
ne können vernachlässigt werden.

•

Die Temperatur des Glühfadens ist konstant.

Analyse
a)

Der durch Strahlung transferierte Wärmestrom entspricht der elektrischen

Leistung. Zur Berechnung der Strahlung wird das Emissionsverhältnis des Wolf-
rams benötigt. Aus Tabelle 7.1 erhalten wir 0,45. Die Fläche, die für die Strah-
lungsleistung von 100 W notwendig ist, kann mit Gl. (7.19) berechnet werden. Die

Strahlungsaustauschzahl ist nach Gl. (7.25) C = ε . C . Die für die Strahlungs-12
s
leistung notwendige Fläche beträgt:

Q

-5

2

A =

=

3,028 ⋅10

m

4

4

°§ T ·

§ T · °½

1

2

C ε
s ⋅

⋅ ®¨

¸ − ¨

¸ ¾

°©100 ¹

©100 ¹ °

¯

¿

Der für 100 W elektrische Leistung benötigte elektrische Widerstand ist:

2

U

2402 ⋅ V2

R =

=

=
ȍ

576

P

100
el

⋅ W

Die Fläche A und der elektrische Widerstand R hängen von den Abmessungen des Drahtes ab. Folgende Abhängigkeiten bestehen:

7 Strahlung

203

4 ⋅ ρ ⋅ l

A = π ⋅ d ⋅ l

R
el

=

2
π ⋅ d

Nach Umformung erhalten wir für den Durchmesser d:

4 ⋅ ρ ⋅ A

4 ⋅ 73⋅

−9

10

⋅ȍ ⋅m⋅3,021⋅ −5

10 ⋅ 2
d =
m

3

= 3

=
mm

0,0116

2
π ⋅

2

R
ʌ ⋅576⋅ȍ

Die notwendige Fadenlänge ist:

A

,

3 021⋅

−5

2
l =

=

0

1
m =
m

0,832
π ⋅ d
π ⋅12⋅ −

10 6 m
b)

Der Zweck der Glühbirne ist, Licht im sichtbaren Bereich zu erzeugen, der
zwischen den Wellenlängen von 0,35 und 0,75 μm liegt. Integriert man Gl. (7.3)

zwischen diesen Wellenlängen und multipliziert das Ergebnis mit dem Emissions-
verhältnis, erhält man die Wärmestromdichte der Strahlung im sichtbaren Bereich.

λ2
ε ⋅ C 1
q

=
d

³
λ =
sichtbar

5

C / (λ ⋅ T )

2
λ ⋅( e

−1)

λ1
λ = 0,75ȝm

16

−

2

0 , 45 ⋅3 , 7418 ⋅10

⋅ W ⋅m

MW

=
d

³
λ = 0,5504

5

0,01438 ⋅ K ⋅ m / (λ ⋅ 3 373 ⋅ K)

2

⋅

−

=
λ ( e

1)

m
λ 0,35ȝm

Die gesamte, durch Strahlung abgegebene Wärmestromdichte beträgt:

P

W

100

MW
q

= el
tot

=

=

3,303

−5

2

2

A

7185

,

2

⋅10 ⋅m
m

Damit ist der Wirkungsgrad der Glühbirne:

η
q

/ q

G =
sichtbar
tot = 0,167

Diskussion

Die Temperatur des Glühfadens bestimmt die Fläche, die für die Abgabe des

100 W-Wärmestromes durch Strahlung benötigt wird, d.h., die errechnete Fläche
strahlt bei 3 100 °C Temperatur 100 W ab. Der Faden wird so gewählt, dass der Wi-

derstand 100 W elektrische Leistung bewirkt und die für die Strahlung notwendige

Fläche vorhanden ist. Die relativ lange Fadenlänge einer Glühbirne wird so reali-
siert, dass der Faden als Wendel ausgebildet und über eine oder mehrere Stützen
umgelenkt wird. Fast die gesamte elektrische Leistung einer Glühbirne wird als

Wärme an das Glas und von dort an die Umgebung abgegeben. Der errechnete Wir-
kungsgrad von 17 % ist in der Realität unerreicht. Im sichtbaren Bereich werden nur etwa 8 bis 12 % der Strahlung genutzt.

204

7 Strahlung

BEISPIEL 7.3: Berechnung eines Heizkörpers

Ein Heizkörper mit 1,2 m Länge, 0,45 m Höhe und 0,02 m Dicke hat eine Oberflä-
chentemperatur von 60 °C. Er ist mit Heizkörperlack überzogen. Die Wände des

Raumes haben eine Temperatur von 20 °C, die der Luft beträgt 22 °C.

Bestimmen Sie den durch Strahlung und freie Konvektion transferierten Wärme-
strom des Heizkörpers.

Die Stoffwerte der Luft sind: λ = 0,0245 W/(m K), ν = 14 . 10-6 m2/s, Pr = 0,711.

m

Lösung

0,02
m

Schema

Siehe Skizze

5,40

Annahmen

1,2 m

•

Da die Flächen der Wände sehr viel größer als die des Heizköpers sind, können
sie vernachlässigt werden.

•

Die Kantenflächen des Heizkörpers werden vernachlässigt.

•

Die Temperatur des Heizkörpers ist konstant.

Analyse

Der durch Strahlung bedingte Wärmestrom kann mit den Gln. (7.19) und (7.25)

bestimmt werden. Das Emissionsverhältnis des Heizköpers berechnet man mit Ta-
belle 7.1 und dem Diagramm in Bild 7.2:

İ = ε n ⋅ 96

,

0

= 925

,

0

⋅ 96

,

0

= 89

,

0

Die Fläche des Heizkörpers beträgt:

2

2

A = 2 ⋅ l ⋅ h = 2 ⋅1,2 ⋅ 0,45 m

= 1,08 m

Der Wärmestrom der Strahlung ist:

Q
ε

Str =

⋅ Cs ⋅ A⋅[

4

( T /100)

( T /100)

1

−

4

2

]=

= 0,89 ⋅5,67 ⋅

2

W/(m ⋅ 4

K ) ⋅ ,

1 08 ⋅ 2
m ⋅

4

(3,332 −

4

2,993 ) ⋅ 4

K =

W

257

Der Wärmestrom, der durch freie Konvektion abgegeben wird, kann, wie in Kapi-
tel 4 beschrieben, bestimmt werden. Die Rayleigh zahl berechnet sich mit den Gln.

(4.3) und (4.6).

3
g ⋅ h ⋅ (ϑ
ϑ

W −

)

0

Ra = Gr ⋅ Pr =

⋅ Pr =

2

T ⋅ν

0

−2

3

3

9,806 ⋅ m ⋅s ⋅ 0,45 ⋅ m ⋅ (60 − 22) ⋅ K

6

=

⋅ ,

0 711 =

,

417 4 ⋅10

2

12

−

4

−2

295,15 ⋅ K ⋅14 ⋅10

⋅m ⋅s

7 Strahlung

205

Nach den Gln. (4.7) und (4.8) ist die Nußelt zahl:

8

− / 27

8

− / 27
f ( Pr) = +

⋅ −

Pr

= +

⋅

−

=

1

(1 ,0671 9/16)

(1 ,0671 711

,

0

9 /16 )

838

,

0

Nuh = {

2

852

,

0

+ 387

,

0

1/ 6

⋅ Ra ⋅ f ( Pr

=

1

})

51

,

94

Damit ist die Wärmeübergangszahl:

94,51⋅ 0,0245⋅ W

W
α = Nu λ
h ⋅

/ h =

= 5,146

0,45 ⋅ m ⋅ m ⋅ K
m2 ⋅ K

Die durch freie Konvektion transferierte Wärme ergibt sich zu:

Q konv = A⋅α ⋅(ϑ
ϑ

1 −

) = ,0

1 8⋅ m2

0

⋅5,146 ⋅ W ⋅ −
m 2 ⋅ −

K 1 ⋅ (60 − 22)⋅ K =

W

211

Diskussion

In diesem Besipiel werden die durch Strahlung und freie Konvektion transferier-
ten Wärmströme verglichen. Der Wärmestrom durch Strahlung ist größer. Der An-
teil des Wärmetransfers durch Strahlung steigt mit zunehmender Temperatur stär-
ker an als der der freien Konvektion. Daher ist es nicht erstaunlich, dass früher, als die Heizköper bei Temperaturen von 80 °C arbeiteten, sie Radiatoren, also Strahler, genannt wurden.

Wichtig! Hier ist zu beachten, dass für die Berechnung der Strahlung die Temperatur der Wände und für freie Konvektion die der Luft zu verwenden ist.

BEISPIEL 7.4: Verfälschung der Temperaturmessung durch Strahlung

Mit einer kugelförmigen Sonde von 2 mm Durchmesser wird die Temperatur des

Autoabgases gemessen. Die ermittelten Temperaturen sind im Vergleich zu den
erwarteten Werten zu tief. Da man vermutet, dass dieses durch Strahlung verursacht wird, misst man auch die Wandtemperatur des Auspuffrohres. Bei einer gemes-senen Gastemperatur von 880 °C beträgt die Wandtemperatur des Auspuffrohres

250 °C. Das Emissionsverhältnis der Sonde ist 0,4, die Geschwindigkeit des Abga-
ses 25 m/s. Die Stoffwerte des Abgases sind:

λ = 0,076 W/(m K), ν = 162 . 10-6 m2/s, Pr = 0,74.

a) Bestimmen Sie die wirkliche Temperatur des Auspuffgases.

b) Zeigen Sie Maßnahmen auf, um die Messung zu verbessern.

206

7 Strahlung

Lösung

250 °C

25 m/s

Schema

Siehe Skizze

880 °C

Annahmen

•

Da die Fläche des Auspuffrohres sehr viel größer als die der Sonde ist, kann Gl.

(7.25) vewendet werden.

•

Die Messung wird von der Halterung der Sonde nicht beeinflusst.

Analyse
a)

Die vom Gas aufgeheizte Sonde transferiert durch Strahlung Wärme an die

Wand des Auspuffrohres und kühlt deshalb ab. Da die Temperatur der Sonde klei-
ner als die des Gases ist, wird der Sonde vom Gas ein Wärmestrom zugeführt. Den
gleichen Wärmestrom gibt die Sonde durch Strahlung an die Wand ab. Damit gilt:

Q

= Q

Str
konv

Der Wärmetransfer durch Strahlung kann mit den Gln. (7.19) und (7.25) be-
stimmt werden.

4

4

Q

= ε ⋅ A⋅ C ⋅ ª( T /100) − ( T /100) º

Str
s

¬ S

W

¼

Die Temperatur der Sonde ist T , die des Auspuffrohres T . Die WärmeüberS

W
gangszahl des angeströmten Körpers wird, wie in Kapitel 3.2.3 besprochen, be-
stimmt. Damit wir wissen, welche Gleichungen Anwendung finden, muss zunächst
die Reynolds zahl berechnet werden.

ReL' = c ⋅ d / = 25⋅ 002

,

0

/162 ⋅10 6

−
ν

= 309

Nach Gl. (3.30) ist die Nusselt zahl:

Nu

Pr

Re

L′ lam =

,

0 664 3

⋅

⋅

L′ =

,

0 664 3

⋅ ,

0 74 ⋅ 309 =

55

,

10

,

Damit erhält man bei erzwungener Konvektion für die Wärmeübergangszahl:

Nu
λ

L lam ⋅

⋅

⋅

,

10,55 0,076 W

W
α =

′

=

=

401
d

0,002 ⋅ m ⋅ m ⋅ K
m2 ⋅ K

Der durch erzwungene Konvektion transferierte Wärmestrom beträgt:

Q

= α ⋅ A⋅( T − T )

konv

0

S

Beide Wärmeströme gleichgesetzt und nach der Gastemperatur T aufgelöst,

0
ergeben:

7 Strahlung

207
ε ⋅ Cs

4

4

T =

⋅ ª( T / 100) − ( T / 100) º + T =

0

¬ S

W

¼

S
α

0,4 ⋅5,67

4

4

4

=

⋅(11,532 − 5,232 ) ⋅ K +1153,2 K = 975,8 °

C

3

401⋅ K

Die Gastemperatur ist damit um 92,8 K höher als die Sondentemperatur.

b)

Die Messung kann verbessert werden, indem außen um das Auspuffrohr
eine Isolierschicht installiert wird. Damit verhindert man, dass die Temperatur des Auspuffrohres durch den Fahrtwind abkühlt. Ist das nicht möglich, kann um die

Sonde ein Schutzschild angebracht werden. Dieser kann z.B. ein poliertes Stahl-
röhrchen mit einem Durchmesser von 10 mm, einer Länge von 20 mm und einem

Emissionsverhältnis von 0,06 sein. Der Temperaturfühler der Sonde hat dann prak-
tisch nur mit dem Schutzschild Strahlungsaustauch, der an das Auspuffrohr durch

Strahlung Wärme abgibt und durch Konvektion Wärme vom Abgas aufnimmt. Das

Röhrchen können wir in guter Näherung als ebene Platte berechnen. Die Länge des

Röhrchens ist seine charakteristische Länge. Die Reynolds zahl errechnet sich zu: 6

Re
c l /ν

25 0, 02 / 162 10−

= ⋅

=

⋅

⋅

= 3 086
l

Die Nußelt zahl wird mit Gl. (3.21) berechnet.

3

3

Nu

= 0,664⋅ Pr ⋅ Re = 0,664⋅ 0,74 ⋅ 3 086 = 33,42
l , lam
l

Bei erzwungener Konvektion ist die Wärmeübergangszahl damit:

Nu
λ

L lam ⋅

⋅

⋅

,

3 ,

3 42 0,076 W

W
α =

′

=

= 1 7

2 ,

0
d

0,02 ⋅ m ⋅ m ⋅ K
m2 ⋅ K

Da das Röhrchen durch die erzwungene Konvektion sowohl innen als auch außen

Wärme vom Gas aufnimmt, Wärme jedoch durch Strahlung nur nach außen an das

Auspuffrohr abgibt, muss für den konvektiv transferierten Wärmestrom die doppel-
te Fläche eingesetzt werden.

Q

= α ⋅ 2⋅ A⋅( T − T

)

konv

0

Rohr

Beide Wärmeströme gleichgesetzt und nach der Temperatur T
aufgelöst, erge-

Rohr
ben:

ε

⋅ C

Rohr
s

4

4

T

= T −

⋅ ª( T

/ 100) − ( T / 100) º =

Rohr

0

¬

¼

2

Rohr

W

⋅α

0,06 ⋅5,67

4

4

4

= 1 249 K −

⋅ ª( T

/ 100) − 5,232 ⋅ K º = 947,1 °

C

3

¬

¼

2 ⋅130,9 ⋅ K

Rohr

208

7 Strahlung

Die Gastemperatur ist damit um 27,6 K höher als die Temperatur des Röhrchens.

Die Abweichung der Temperatur an der Sonde kann wie zuvor wie die Temperatur
des Röhrchens berechnet werden. Für die Berechnung der Temperatur der Sonde
setzt man die Wärmeübergangszahl an der Sonde und die Wandtemperatur des

Röhrchens ein.

ε ⋅ Cs

4

4

T − T =

⋅ ª( T /100) − ( T

/100) º =

0

S

¬ S

Rohr
α

¼

0,4 ⋅5,67

4

4

4

=

⋅ ª( T /100) −12,202 ⋅ K º = 8,51 K

3

¬

¼

401⋅ K

S

Diskussion

Dieses Beispiel zeigt, dass durch Strahlung bei der Temperaturmessung von

Gasen gravierende Fehler auftreten können. Insbesondere bei hohen Temperaturen
sind die Fehler erheblich, da die Differenz 4

4

T − T schon bei kleineren Tempera-

1

2
turunterschieden groß wird. In unserem Beispiel verursacht ein Temperaturunter-
schied von 27 K bei 950 °C zwischen Sonde und Röhrchen einen Fehler von 8,51 K.

Bei Temperaturen unterhalb von 100 °C wäre dieser Fehler kleiner als 0,28 K.

Um die Fehler zu verringern, ist bei Glasthermometern zur Messung der Raum-
temperatur ein metallischer Strahlungsschild um den Temperaturfühler angebracht.

7.3

Gasstrahlung

Wie Feststoffe oder Flüssigkeiten können auch einige Gase Strahlung emittieren
und absorbieren. Die elementaren Gase wie z.B. O , N , H , zweiatomige Gase und

2

2

2

Edelgase sind diatherm, d.h. sie sind für Wärmestrahlen durchlässig. Andere Gase
und Dämpfe wie z.B. H O, CO , SO , NH und CH sind wirksame Strahler, die in-

2

2

2

3

4
nerhalb enger Wellenlängenbereiche (Banden) Strahlen emittieren und absorbieren

(Selektivstrahler, Bandenstrahler). Die Strahlungsintensität von Kohlenwasserstof-
fen nimmt mit der Zahl der Atome pro Molekül zu. Bezüglich der technischen

Belange kann die trockene Luft als diatherm betrachtet werden, da sie nur geringe

Anteile an CO enthält. Mit der Zunahme des CO -Anteils in der Luft nimmt auch

2

2
die Strahlungsfähigkeit der Luft zu. Die von der Erdoberfläche emittierten Wärme-
strahlen werden vom CO absorbiert und wieder an die Erde zurückgestrahlt,was

2
zum Treibhauseffekt führt.

Die von einem Gas durch Absorption aus einer Wärmestrahlung aufgenommene

Wärme ist vom Weg s der Strahlung durch das Gas abhängig. Die Abnahme der

Strahlungsintensität durch eine Gasschicht der Dicke s ist im gesamten Wellenlängenbereich:

a⋅ s
i = i

(7.26)

0 ⋅ e

7 Strahlung

209

Dabei ist a die Absorptionskonstante des Gases. Die vom Gas absorbierte Intensität beträgt damit:

iα = i − i = i ⋅ 1

(
a⋅ s

− e )

(7.27)

0

0

Das Absorptionsverhältnis eines Gases wird definiert als:

a s
α = 1 e ⋅

−

(7.28)

g

Die Absorptionskonstante eines Gases hängt von der Temperatur und dem Druck
des Gases ab. Der Raum, der vom Gas eingenommen wird, kann recht komplex
sein. An Stelle der Schichtdicke kann ähnlich wie beim hydraulischen Durchmesser
eine gleichwertige Schichtdicke s mit dem Volumen V und der Oberfläche A des gl
g
g

Gasraumes berechnet werden.

4 ⋅ Vg
s

= f ⋅
gl

A

(7.29)

g

Der Korrekturfaktor f berücksichtigt die Geometrie und den Druck, der den ungefähren Wert von 0,9 hat.

7.3.1

Emissionsverhältnisse von Rauchgasen

Insbesondere in Brennräumen ist die Gasstrahlung für technische Berechnungen
von Wichtigkeit. Die dabei auftretenden strahlungsfähigen Gase sind Wasserdampf
und Kohlendioxid. Das Brenngas im Brennraum besteht im Wesentlichen aus Stick-
stoff, unverbranntem Sauerstoff und je nach Zusammensetzung des Brennstoffes
aus unterschiedlich großen Anteilen von Wasserdampf und Kohlendioxid. Bei den
folgenden Berechnungen wird angenommen, dass das Brenngas eine Mischung aus
nicht strahlungsfähigen Gasen (Stickstoff und Sauerstoff), aus Wasserdampf und

Kohlendioxid ist. Hier wird nur die Strahlung staubfreier Gase bei 1 bar Druck be-
handelt. Korrekturen für höhere Drücke und der Einfluss von Feststoffpartikeln im

Gas können dem VDI-Wärmeatlas [7.1] entnommen werden.

Das Emissionsverhältnis des Gemisches ist:

ε = ε

+ ε

− (Δε )

(7.30)

g

H O

CO
g

2

2

Das Absorptionsverhältnis wird ähnlich angegeben:

α = α

+α

− (Δε)

(7.31)

g

H O

CO
g

2

2

Die Korrekturen Δε ist den Diagrammen in Bild 7.10 zu entnehmen.

210

7 Strahlung

7.3.1.1

Emissionsverhältnisse des Wasserdampfes

In Bild 7.7 und 7.8 sind die Emissionsverhältnisse des Wasserdampfes und der Kor-
rekturfaktor f in Abhängigkeit vom Partialdruck des Wasserdampfes, des Druckes und der Temperatur angegeben. Das Emissionsverhältnis bei Gasen ist nicht immer
wie bei festen Körpern gleich dem Absorptionsverhältnis. Ist die Temperatur der

Wand T nicht gleich wie die Temperatur des Gases T , gilt folgende Beziehung: W
g

0,45
α = ε ⋅( T / T )

(7.32)

gW
gW
g

W

Dabei ist α das Absorptionsverhältnis des Wasserdampfes an der Wand. Aus
gW
dem Diagramm in Bild 7.7 kann ε entnommen werden. Es ist zu berücksichtigen,
gW
dass der Partialdruck auf die Wandtemperatur umzurechnen ist.

p

= p

⋅( T / T )

(7.33)

H O, W

H O

W
g

2

2

7.3.1.2

Emissionsverhältnisse des Kohlendioxids

In Bild 7.9 sind die Emissionsverhältnisse des Kohlendioxids in Abhängigkeit vom

Partialdruck des Kohlendioxids und der Temperatur angegeben. Wie beim Wasser-
dampf muss hier der Einfluss der Wandtemperatur berücksichtigt werden.

0,65
α

= ε

= ( T / T )

(7.34)

gW
gW
g

W

Das Absorptionsverhältnis des Gases an der Wand ist α , aus dem Diagramm in
gW

Bild 7.9 entnimmt man ε . Ferner ist zu beachten, dass der Partialdruck auf die
gW

Wandtemperatur umgerechnet werden muss.

p

= p

⋅( T / T )

(7.35)

CO , W

CO

W
g

2

2

7.3.2

Wärmeaustausch zwischen Gas und Wand

Für den Wärmestrom zwischen dem Gasvolumen und der dieses Volumen um-
schließenden Wand gilt:

ª

4

4 º

ε C A

T

T

W ⋅
s ⋅

§ g ·

Q
ε
α
gW =

⋅ «

§ W ·
g ⋅

− gW ⋅¨

¸ »

1− 1

( − ε )

α

(7.36)

W

⋅ 1

( −

)

gW

«

¨¨

¸¸

©100 ¹

©100 ¹ »

¬

¼

In den meisten Fällen ist die Wandtemperatur wesentlich kleiner als die Gas-
temperatur. Der Einfluss des zweiten Temperaturterms wird relativ gering. Daher
kann in vielen Fällen mit folgender vereinfachter Gleichung gerechnet werden:

4
ε ε C A

T
g ⋅

W ⋅
s ⋅

§ g ·

Q gW ≈

⋅¨¨

¸¸

(7.37)

1− 1

( − ε )

α

W

⋅ 1

( −

)

100
gW

©

¹

7 Strahlung

211

Bild 7.7: Emissionsverhältnis des Wasserdampfes (Quelle: VDI-Wärmeatlas)

Bild 7.8: Korrekturfaktor für den Wasserdampf (Quelle: VDI-Wärmeatlas)

212

7 Strahlung

Bild 7.9: Emissionsverhältnisse des Kohlendioxids (Quelle: VDI-Wärmeatlas)

BEISPIEL 7.5: Heizleistung eines Feuerraumes

Der würfelförmige Feuerraum eines Kessels hat eine Kantenlänge von 0,5 m. Die

Wandtemperatur beträgt 600 °C, die Gastemperatur 1 400 °C. Das Emissionsver-

hältnis der Wand ist 0,9. Das Brenngas enthält 12 Vol% Wasserdampf und 10 Vol%

CO . Der Gesamtdruck beträgt 1 bar.

2

Bestimmen Sie den durch Gasstrahlung an die Wand abgegebenen Wärmestrom.

Lösung

Annahmen

•

Das Brenngas ist homogen.

•

Die Temperatur im Feuerraum ist konstant.

7 Strahlung

213

Bild 7.10: Korrektur Δε für Gasmischungen mit Kohlendioxid und Wasserdampf bei a) 130 °C, b) 540 °C, c) 920 °C und darüber (Quelle: VDI-Wärmeatlas)

Analyse

Der Wärmestrom wird mit Gl. (7.38) berechnet. Dazu müssen die Emissions- und

Absorptionsverhältnisse bestimmt werden. Die gleichwertige Schichtdicke nach Gl.

(7.29) ist:

4 ⋅ Vg

4

2

⋅
sgl = f ⋅

=
a

9

,

0 ⋅

= 6

,

0 ⋅ a =

0,3 m

A

6
g

⋅ a

Für die Bestimmung des Emissionsverhältnisses von Wasserdampf und CO muss

2
das Produkt aus Partialdruck und gleichwertiger Schichtdicke gebildet werden. Der

Partialdruck ist gleich dem Volumenanteil des Gases.

p
s
p
s

H O ⋅
gl = 0 12

,

⋅0,3 = 0,036 ba

r ⋅ m

CO

⋅ gl = 1

,

0 ⋅ 0,3 = 0,03 ba

r ⋅ m

2

2

214

7 Strahlung

Aus den Diagrammen in den Bildern 7.7 bis 7.9 erhält man für die Emissionsver-
hältnisse:

f = ,

1 06

İ
ε

H O = 0,025

CO

= ,

0 04

2

2

Die Korrektur Δε kann aus dem Diagramm 7.10 c) abgelesen werden und ist Δε =

0,002.

Das Emissionsverhältnis des Gases berechnet sich mit Gl. (7.31):

ε
ε
ε
ε

Δ
g =

H O +

CO

− ( ) g = 06

,

1

⋅ 025

,

0

+ 04

,

0

− 002

,

0

= ,

0 0645

2

2

Die Emissions- und Absorptionskoeffizienten an der Wand werden aus den Dia-
grammen in den Bildern 7.8 und 7.9 abgelesen und mit den Gln. (7.34) bis (7.37) bestimmt. Das Produkt aus der Schichtdicke und dem Partialdruck an der Wand ist:

s ⋅ p

= s ⋅ p

⋅ T / T = 873/1 673⋅0,036 bar ⋅ m = 0,019 bar ⋅ m
gl

H 2 O, W
gl

H 2 O

W
g
s
p
s
p

T

T
gl ⋅

CO W =
gl ⋅

CO

⋅

/

W
g = 0,016 ba

r ⋅ m

,

2

2

Aus den Diagrammen in den Bildern 7.7 bis 7.9 erhält man für die Emissionsver-
hältnisse an der Wand:

f = ,

1 06

İ
ε

H O W =

,

0 047

CO W =

,

0 066

,

,

2

2

Das Emissionsverhältnis des Brenngases an der Wand ist:

ε
f ε
ε

Δε
gW =

⋅ H O W + CO W − ( ) gW = ,

1 06 ⋅ 0,067 + 0,058 − 0,002 = 0 114

,

,

,

2

2

Die Absorptionsverhältnisse von Kohlendioxid und Wasserdampf an der Wand
sind:

α
ε

T

T
α
ε

T

T

H O W =

H O W ⋅ (

/

)0,45
g

W

= ,

0 063

CO W =

CO W ⋅ (

/

)0,65
g

W

= 101

,

0

,

,

,

,

2

2

2

2

Das Absorptionsverhältnis des Brenngases an der Wand ist:

α
α
α
ε

Δ
gW =

H O W +

CO

− ( ) gW = 063

,

0

+ 101

,

0

− ,

0 002 = 161

,

0

,

2

2 , W

Diese Werte in Gl. (7.36) eingesetzt, ergeben den Wärmestrom.

ª

4

4 º

ε C A

T

T

W ⋅
s ⋅

§ g ·

Q
ε
α
gW =

⋅ «

§ W ·
g ⋅

− gW ⋅¨

¸ » =

1− 1

( − ε )

α

W

⋅ 1

( −

)

gW

«

¨¨

¸¸

©100 ¹

©100 ¹ »

¬

¼

9

,

0 ⋅ 67

,

5

⋅ W ⋅6⋅

2

5

,

0

⋅ 2

=
m

⋅ ,

0 0645

73

,

16

162

,

0

73

,

8

K

2

4

[

⋅

4 −

⋅

4 ]⋅ 4 = 4

3
kW

,38

1− 1

( −

)

9

,

0

⋅ 1

( −

)

162

,

0

⋅m ⋅ K

7 Strahlung

215

Diskussion

Bei dieser Berechnung wird davon ausgegangen, dass das Brenngas eine konstan-
te Temperatur hat. In den Brennraum eines Kessels wird Luft eingeblasen und zu-
sammen mit dem Brennstoff entsteht unter Flammenbildung das Brenngas. Durch

Strahlung, aber auch durch erzwungene Konvektion wird die Temperatur des

Brenngases abgekühlt. Im Bereich der Flammen erfolgt der Wärmetransfer haupt-
sächlich durch Strahlung. Die Strahlung der im Brenngas enthaltenen, noch nicht
verbrannten Rußpartikel liefern einen zusätzlichen Anteil zur Strahlung, der hier
unberücksichtigt blieb.

8

Wärmeübertrager

Bei der Berechnung von Wärmeübertragern sind ganz unterschiedliche Aufgaben
zu behandeln:

•

Auslegung von Wärmeübertragern: Massenströme und Temperaturen der

Fluide sind vorgegeben, die Abmessungen des Wärmeübertragers müssen
berechnet werden.

•

Nachrechnung von Wärmeübertragern: Die Temperaturänderungen der Flu-
ide werden in einem Wärmeübertrager bekannter Geometrie berechnet.

•

Optimierung von Wärmeübertragern und Systemen.

•

Festigkeitsrechnungen und Konstruktion von Wärmeübertragern.

In der industriellen Praxis geht die Auslegung von Wärmeübertragern Hand in

Hand mit der Optimierung und Konstruktion der Apparate. Hier wird nur die ther-
mische Berechnung von Wärmeübertragern beschrieben.

Bei den bisher behandelten Wärmeübertragern handelte es sich um Gleich- und Gegenstromapparate oder Fälle, in denen ein Fluidstrom seine Temperatur konstant
hielt (Kondensation oder Verdampfung). Für die Berechnung von Wärmeübertra-
gern, in denen die beiden Fluide kreuzweise strömen, genügen die bisherigen

Kenntnisse nicht.

8.1

Definitionen und grundlegende Gleichungen

Bild 8.1 zeigt das Schema eines Wärmeübertragers mit den wichtigsten Bezeich-
nungen der Stoffströme [8.1].

Wärmeübertrager

.

m
ϑ '

ϑ ''

1

1

2
k A

.

ϑ

.

''

m

'

ϑ

1

2

2

Bild 8.1: Schematische Darstellung eines Wärmeübertragers

Der Stoffstrom 1 strömt in den Wärmeübertrager mit der Temperatur ϑ ' und ver-1
lässt ihn mit Temperatur ϑ '' . Der Stoffstrom 2 strömt in den Wärmeübertrager mit 1

P. von Böckh, T. Wetzel Wärmeübertragung,

DOI 10.1007/978-3-642-15959-6_8, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

218

8 Wärmeübertrager
der Temperatur ϑ ' und verlässt ihn mit Temperatur ϑ '' . Die Aufwärmung und 2

2

Abkühlung der Fluide hängt von deren Massenströmen, Eintrittstemperaturen, spe-
zifischen Wärmekapazitäten und der Wärmedurchgangszahl bzw. der Fläche des

Wärmeübertragers ab. Der im Wärmeübertrager ausgetauschte Wärmestrom ist:

Q

(8.1)

12 = k ⋅ A ⋅
ϑ

Δ m

In Gl. (8.1) wird davon ausgegangen, dass der Wärmeübertrager eine mittlere
konstante Wärmeübergangszahl hat. Dieses ist in den meisten Fällen durchaus rea-
listisch, da fast immer die mittleren Wärmedurchgangszahlen bestimmt werden.

Ändert sich in einem Apparat die Art der Wärmeübertragung wie beispielsweise
dann, wenn der Dampf bei der Kondensation in einem Rohr vollständig kondensiert
und als Flüssigkeit weiterströmt, muss abschnittweise mit lokalen Wärmedurch-
gangszahlen gerechnet werden.

Die mittlere logarithmische Temperaturdifferenz Δϑ ist:

m

1

Δϑ

(ϑ
ϑ ) dA
m =

⋅ ³ 1 − 2 ⋅

A

(8.2)

A

Die lokale Temperaturdifferenz der Fluide 1 und 2 ist ϑ – ϑ . Für den Gegen-

1

2
strom- und Gleichstrom-Wärmeübertrager und in Apparaten, in denen zumindest
ein Fluid eine konstante Temperatur hat, ist die mittlere logarithmische Temperaturdifferenz (Kapitel 1):

ϑ

Δ
ϑ

Δ
gr −
ϑ

Δ
ϑ

Δ
ϑ

Δ
m =
kl
für
gr −
kl ≠ 0
ln( ϑ

Δ

/ ϑ

Δ )

(8.3)

gr
kl

Δϑ = (Δϑ + Δϑ ) / 2
für ϑ

Δ

≈ ϑ

Δ

(8.4)

m
gr
kl
gr
kl

Die Temperaturdifferenzen zwischen den Fluidströmen am Ein- bzw. am Austritt
des Wärmeübertragers sind Δϑ und Δϑ , wobei Δϑ die größere und Δϑ die gr
kl
gr
kl
kleinere Differenz ist. Früher wurde in Gl. (8.4) der Grenzwert für Δϑ – Δϑ < 1 K
gr
kl
angegeben. Bei Wärmeübertragern mit kleinen Temperaturdifferenzen kann dieses
falsche Ergebnisse liefern. Mit den heutigen Taschenrechnern und Computern wird
bei sehr kleinen Differenzen (z. B. 0,0001 K) die mittlere logarithmische Tempera-
turdifferenz mit Gl. (8.4) richtig berechnet.

In der Energiebilanzgleichung erhält man aus der Enthalpieänderung der Fluid-
ströme den Wärmestrom.

Q = m ⋅ ( h − h )

1

11

12

(8.5)

Q = − m ⋅ ( h − h )

2

21

22

Die Enthalpie h ist die des Fluids 1 am Eintritt, h die am Austritt. Entsprechend 11

12
ist die Enthalpie h die des Fluids 2 am Eintritt und h die am Austritt. Gl. (8.5) gilt 21

22

8 Wärmeübertrager

219
allgemein, also auch bei der Strömung mit Phasenübergang. Bei Fluiden ohne Pha-
senübergang können die Enthalpien mit der Temperatur berechnet werden.

Q = m ⋅ cp ⋅ (ϑ′ −ϑ )′

1

1

1

1

(8.6)

Q = − m ⋅ cp ⋅ (ϑ′ −ϑ )

′

2

2

2

2

Bei einphasigen Fluiden wird hier der Wärmekapazitätsstrom eingeführt.

W = m ⋅ ( h − h ) / (ϑ′ −ϑ )

′ = m ⋅ c

1

1

11

12

1

1

1

1
p

(8.7)

W = m ⋅ ( h − h ) / (ϑ′ −ϑ ′ ) = m ⋅ c 2

2

21

22

2

2

2
p 2

Um allgemein gültige Beziehungen für Wärmeübertrager einfacher anzugeben,
führen wir die folgenden dimensionslosen Größen ein:

Tabelle 8.1: Dimensionslose Größen zur Berechnung von Wärmeübertragern

Dimensionslose mittlere Temperaturdifferenz:

mittlere log. Temperaturdifferenz

Δϑ m

Θ =

=

(8.8)

größte Temperaturdifferenz im System
ϑ′−ϑ′

1

2

Dimensionslose Temperaturänderungen der Fluidströme:

Änderung der Temperaturdifferenz des Fluids 1
ϑ′−ϑ′

1

1

P =

=

1
größte Temperaturdifferenz im System
ϑ′−ϑ′

1

2

Änderung der Temperaturdifferenz des Fluids 2
ϑ′′−ϑ′

(8.9)

2

2

P =

=

2
größte Temperaturdifferenz im System
ϑ′−ϑ′

1

2

Anzahl der Übertragungseinheiten NTU der Fluidströme:

Temperaturänderung des Fluids 1
ϑ′−ϑ′ k ⋅ A

1

1

NTU =

=

=

1
mittlere log.Temperaturdifferenz

Δϑ

W
m

1

Temperaturänderung des Fluids 2
ϑ′ −ϑ′ k ⋅ A

(8.10)

2

2

NTU =

=

=

2
mittlere log.Temperaturdifferenz

Δϑ

W
m

2

Wärmekapazitätsstromverhältnisse der beiden Fluidströme:

W

1

1

R =

=

1

W

(8.11)

R

2

2

220

8 Wärmeübertrager

Zwischen diesen dimensionslosen Größen ergeben sich folgende Zusammenhän-
ge:

P

NTU

1

1

1

=

=

= R 2

(8.12)

P

NTU

R

2

2

1

P

P

1

2

Θ =

=

(8.13)

NTU

NTU

1

2

8.2

Berechnungskonzepte

Es gibt eine große Reihe von Berechnungsverfahren für Wärmeübertrager, die sich
durch das Anwendungsgebiet sowie durch den Rechenaufwand und die Genauig-
keit unterscheiden. Am genauesten, aber auch am rechenaufwändigsten sind das

Differenzenverfahren und die schrittweise Berechnung. Bei diesen Methoden wird
ein Wärmeübertrager abschnittweise berechnet, wobei die Strömungsverhältnisse,
die Wärmeübergangszahlen und Temperaturen lokal berücksichtigt werden kön-
nen. Auf diese Verfahren wird hier jedoch nicht eingegangen.

8.2.1

Zellenmethode

Bei der Zellenmethode wird die Wärmeübertragerfläche in Teilbereiche unterteilt, die nacheinander in gleicher oder unterschiedlicher Reihenfolge von beiden Fluidströmen oder Anteilen der Fluidströme überströmt werden. Jede Teilfläche wird als

Fläche eines Einzelapparates mit individuellen Ein- und Austrittstemperaturen auf-
gefasst. Jedem Apparat wird eine möglichst realistische Stromführung zugeordnet.

So entsteht an Stelle eines Gesamtapparates ein System aus zusammengeschalteten

Einzelapparaten [8.2, 8.3].

Mit den für die jeweilige Stromführung gültigen Gleichungen können an Hand
der gegebenen Eintrittstemperaturen jeder Zelle die Austrittstemperaturen berech-
net werden, wenn der Wert von k . A bekannt ist. Die Berechnung von k . A erfolgt mit den entsprechenden Beziehungen für Wärmeübergangszahlen.

Beginnend mit den gegebenen Eintrittstemperaturen der Fluidströme erhält man
bei n Zellen 2 n Gleichungen mit 2 n unbekannten Austrittstemperaturen. Das Gleichungssystem liefert alle Zwischentemperaturen und die Austrittstemperaturen bei-
der Fluidströme. Die individuellen Temperaturen in den Zellen und damit die Stoff-
werte und Wärmeübergangszahlen berechnet man mit den Zwischentemperaturen.

Unterschiedliche Wärmeübergangszahlen und Flächen können für die einzelnen

Zellen eingesetzt werden. Sind die Temperaturänderungen nicht allzu groß und ist
die Stromführung nicht unterschiedlich (z.B. Strömung in den Rohren und außen

Querströmung), kann für den gesamten Apparat eine Wärmedurchgangszahl ge-
nommen werden. Vielfach sind die Wärmeübertrager so konzipiert, dass die Flä-
chen der Zellen und die mittleren Wärmedurchgangszahlen in allen Zellen gleich

8 Wärmeübertrager

221
groß sind. In einem solchen Fall kann man für alle Zellen mit dem gleichen Wert für k . A rechnen. Der NTU-Wert ist dann auch für die einzelnen Fluidströme jeweils konstant. Die Zahl der inneren Flüsse wird mit n, die der äußeren mit z bezeichnet.

Die Zahl der Flüsse ist die Anzahl der Umlenkungen plus 1.

.

W 1
ϑ '

ϑ

1

''

2
f
e
d

.

a
b
c

W
ϑ '

2

2
ϑ '' 1

Bild 8.2: Links Wärmeübertrager mit zwei inneren und drei äußeren Flüssen im Längsschnitt, rechts das Zellenmodell

Die Zellenmethode wird an einem Rohrbündelwärmeübertrager mit zwei inneren

Flüssen ( n = 2) und mit zwei äußeren Umlenkblechen, d.h. drei Flüssen ( z = 3), wie in Bild 8.2 dargestellt, veranschaulicht. Vereinfachend kann man annehmen, dass
die Werte von k . A im gesamten Apparat konstant und die Flächen in den Zellen gleich groß sind. Der Apparat hat sechs Zellen, die unterschiedlich durchströmt und mit Buchstabenindizes gekennzeichnet sind. Für den Gesamtapparat gilt:

k ⋅ A
k ⋅ A

NTU

=

NTU

=

= R ⋅ NTU

1 ges

2 ges

1

1 ges
c

⋅ m

(8.14)

c

⋅ m
p 1

1
p 2

2

Da der Wert von k . A konstant ist und die Flächen der Zellen gleich groß sind, gilt für die einzelnen Zellen:

k ⋅ A

NTU 1 ges
i

NTU =

=

1
c ⋅ m
n ⋅ z

1
p

1
k ⋅ A

NTU

(8.15)

2 ges
i

NTU =

=

= R ⋅ NTU

2

1

1
c

⋅ m
n ⋅ z
p 2

2

Die Stromführung der Zelle (z.B. reiner Kreuzstrom oder Kreuzstrom mit quer
vermischtem Mantelstrom und unvermischtem Rohrstrom etc.) bestimmt die di-
mensionslosen Temperaturen der Zelle. Für eine beliebige Zelle j werden sie folgendermaßen definiert:

ϑ j −ϑ′
ϑ j −ϑ′

1

2

2

2

T

T
j =
und
j =

1

2
ϑ′ −ϑ′
ϑ′ −ϑ′

(8.16)

1

2

1

2

Die Zelle j wird mit dem Fluidstrom 1 aus der Zelle p und mit dem Fluidstrom 2
aus der Zelle q angeströmt (Bild 8.3).

222

8 Wärmeübertrager

Zelle
p
ϑ ' = ''

1 j
ϑ 1 p
ϑ ' =

2 j
ϑ '' 2 q

Zelle

Zelle
q
j
ϑ '' 2 j
ϑ '' 1 j

Bild 8.3: Temperaturen der Zelle j

Für die Temperaturen erhalten wir folgende Beziehungen:

(1− P ) ⋅ T ′′ − T ′ + P ⋅ T ′′ = 0

1 j

1 p

1 j

1 j

2 q

(1− P ) ⋅ T ′ − T ′′ + P ⋅ T ′′ =

(8.17)

0

2 j

2 q

2 j

2 j

1 p

Bei P und P sind die Ein- beziehungsweise Austrittstemperaturen der Zelle in 1 j

2 j

Gl. (8.7) einzusetzen.

ϑ′ −ϑ′
ϑ′ −ϑ′

1 j

1 j

2 j

2 j

P =
und

P =

1 j

2 j
ϑ′ −ϑ′
ϑ′ −ϑ′

(8.18)

1 j

2 j

1 j

2 j

Ist die Zelle j die Eintrittszelle des Fluidstromes 1 oder 2, gilt:

T ′

T

T

T

(8.19)

p =

′ j = 1
und

′ q = ′ j = 0

1

1

2

2

Entsprechend gilt, wenn Zelle j die Austrittszelle des Fluidstromes 1 oder 2 ist: P

= 1− T ′′
und

P

= T ′

(8.20)

1 ges

1 j

2 ges

2 j

Für unser Beispiel erhalten wir folgende Gleichungen:

T ′ = P ⋅ T ′

T

1

(

)

1

1′ =

− P 1 ⋅ T 1′ + P 1 ⋅ T ′2 = − P

2 a

2 a

1 f
a
a
f
a
a

1 ges

T ′ = 1

( − P ) ⋅ T ′ + P ⋅ T ′

T

1

(

)

1′ =

− P 1 ⋅ T 1′ + P 1 ⋅ T ′

2 b

2 b

2 a

2 b
c

1
b
b
c
b

2 a

T ′ = 1

( − P ) ⋅ T ′ + P ⋅ T ′

T

1

(

)

1′ =

− P 1 ⋅ T 1′ + P 1 ⋅ T ′

2 c

2 c

2 b

2 c
d

1
c
c
d
c

2 b

T ′ = 1

( − P ) ⋅ T ′ + P

T

1

(

)

1′ =

− P 1 + P 1 ⋅ T ′

2 d

2 d

2 c

2 d
d
d
d

2 c

T ′ = 1

( − P ) ⋅ T ′ + P ⋅ T ′

T

1

(

)

1′ =

− P 1 ⋅ T 1′ + P 1 ⋅ T ′

2 e

2 e

2 d

2 e
b

1
e
e
b
e

2 d

T ′ = 1

( − P ) ⋅ T ′ + P ⋅ T ′ = P

T

1

(

)

1′ =

− P 1 ⋅ T 1′ + P 1 ⋅ T ′

2 f

2 f

2 e

2 f
e

1

2 ges
f
f
e
f

8 Wärmeübertrager

223

Damit haben wir 12 Gleichungen mit 12 unbekannten Temperaturen, die nach
bekannten mathematischen Methoden gelöst werden können. Solange k bzw. k . A für alle Zellen gleich angenommen werden kann und die Größen P und P jeweils 1

2
gleich groß sind, ist die Lösung relativ einfach. In realistischen Fällen ist für jede Zelle der Wert von k . A unterschiedlich und muss sogar einzeln berechnet werden.

Nachstehend sind Lösungen für einige Strömungsführungen angegeben.

1 − exp[( Ri − )

1 ⋅ NTU i ]

Pi =

R ≠

1 − Ri ⋅ex [
p ( Ri − )

1 ⋅ NTU i ] für

1

1
reiner Gegenstrom

(8.21)

P =

= NTU

P
für R = 1

1

2

1

1

+ NTU

1− ex [
p − ( R + )

1 ⋅ NTU
i
i ]

reiner Gleichstrom P =
i

(8.22)

1+ Ri

ª
m

NTU

1

º ½

° 1

« − −
e
i ⋅ ¦ ⋅ NTU ji » ⋅ °

°«

!

¬
j =
j

»¼ °

0
reiner Kreuzstrom ®

¾ i = ,

1 2

(8.23)

° ª
m

R NTU

1

º

− i ⋅
j

°

⋅ 1

° « − e
i ⋅ ¦ ⋅ NTUi »°

«

!

¬
j =
j

»

0

¯

¼¿

Kreuzstrom mit einer Rohrreihe P = 1− exp[( − R ⋅ NTU

1

1
e

− )

1 / R ]

(8.24)

1

1

Die Berechnungen nach der Zellenmethode sind in der Regel nur mit Computern
möglich. Einfacher können Wärmeübertrager mit der mittleren Temperaturdiffe-
renz berechnet werden.

BEISPIEL 8.1: Berechnung eines Wärmeübertragers mit der Zellenmethode

Die Stromführung des Wärmeübertragers besteht aus zwei inneren und zwei äuße-
ren Durchgängen mit einer mantelseitigen Umlenkung. Die für die Wärmeüber-
tragung maßgebende Größe k . A ist für alle Zellen gleich und beträgt 4 000 W/K.

Der Strom im Außenraum hat den Index 1. Um die Berechnung zu vereinfachen,
werden die beiden Wärmekapazitätsströme W und W mit 3 500 W/K gleich groß 1

2

gewählt. Die Eintrittstemperatur des Stromes 1 ist ϑ ' = 100 °C und die des Stromes 1

2 ϑ ' = 20 °C.

2

Zu bestimmen sind die Austrittstemperaturen ϑ '' und ϑ '' .

1

2

224

8 Wärmeübertrager

Lösung

Schema

Siehe Skizze

.

W
ϑ '

2

2
a

1

T b b

T

T

T' = 0

1 a

2 a

T 2 b

2

T 1
ϑ
c

'' 2
d

T 2 c
c

T = P

2 d

2 ges
ϑ ''

T

1

1 = 1

T

.

1 d = 1 -

1

P ges

W 1
ϑ ' 1

Annahme

•

Die Wärmedurchgangszahlen und die Austauschflächen der Zellen sind gleich
groß.

Analyse

Die für das Gesamtsystem benötigten dimensionslosen Größen sind:

R = R = W / W = 1

1

2

1

2

NTU

= k ⋅ A/ W = 4 000 / 3 500 =1,1429 = NTU

1 ges

1

2 ges

Für die einzelne Zellen erhalten wir:

NTU

= 0,25 ⋅ NTU ges = ,

0 2857

,

1 2

1

Da es sich um einen Wärmeübertrager mit einer Rohrreihe im Kreuzstrom han-
delt, können P und P mit Gl. (8.24) berechnet werden.

1

2

P = P = 1− exp[( − R ⋅ NTU

−

1

1
e

− )

1 / R ] = 1− exp[( 0,2857
e

− )]

1 = ,

0 220

1

2

1

Die Temperaturänderungen werden den Gln. (8.17) bis (8.20) entsprechend be-
rechnet. Wir erhalten für die acht Unbekannten acht Gleichungen. Da die Größen P 1
und P für alle Zellen gleich groß sind, vereinfachen sich die Gleichungen. Weil bei-2
de Wärmekapazitätsströme gleich groß sind, wird P
auch gleich groß wie P

1 ges

2 ges
sein. Mit Gl. (8.20) gilt ferner, dass P

+ P

= 1 ist und damit P

= P

= 0,5.

1 ges

2 ges

1 ges

2 ges

T

= P ⋅ T

T = 1

( − P ) ⋅ T

2 a

1
b

1

1 a

1
b

1

T

= 1

( − P ) ⋅ T + P ⋅ T

T = 1

( − P ) ⋅ T + P ⋅ T

2 b

2

2 a

1
c

1
b

1

1
c

1

1

2 a

T

= 1

( − P ) ⋅ T + P

T = 1

( − P ) ⋅1+ P ⋅ T

2 c

2

2 b

1
c

1

1

1

2 b

T

= P

T

= 1− P

2 d

2 ges

1 d

1 ges

8 Wärmeübertrager

225

Diese acht linearen Gleichungen können mit bekannten mathematischen Metho-
den nach den dimensionslosen Temperaturen T aufgelöst und in Celsiustempera-ix
turen umgewandelt werden. Die Ergebnisse folgen tabellarisch:

ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
j −

′
j − 20

C

°
j −

′
j − 20 °C

1

2

1

T

T
j =

=
und

2

2

2
j =

=

1
ϑ′ −ϑ′

80 K

2
ϑ′ −ϑ′

80 K

1

2

1

2

T

T

T

T

T

T

T

T

2 a

2 b

2 c

2 d

1 a

1 b

1 c

1 d

0,153

0,306

0,458

0,5

0,542

0,694

0,847

0,5
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ

2 a

2 b

2 c

2 d

1 a

1 b

1 c

1 d

32,2

44,5

56,6

60

63,4

75,5

87,8

60,0

°C

Die gesamten Temperaturänderungen P
und P
sind mit 0,5 jeweils gleich

1 ges

2 ges
groß, d.h., die Austrittstemperaturen sind ebenfalls mit je 60 °C gleich groß.

Diskussion

Die Zellenmethode ist nur mit Computerprogrammen ökonomisch berechenbar.

Das o. a. einfache Beispiel erfordert bereits einen großen Rechenaufwand.

Es zeigt, dass die Stromführung ungünstig ist, weil beide Fluidströme auf dem

Weg zur Zelle d bereits fast die gleiche Temperatur von 60 °C haben und somit in dieser Zelle nur wenig Wärme transferiert wird. Ein etwas günstigeres Ergebnis
erzielt man, wenn der Eintritt des Fluidstromes 1 in Zelle d erfolgt.

8.2.2

Berechnung mit der mittleren Temperatur

Die Berechnung des Wärmestromes mit der mittleren Temperatur ist in Gl. (8.1) ge-
geben. Die mittlere Temperatur kann nur für Gleich- und Gegenstromwärmeüber-
trager berechnet werden. Mit der Zellenmethode kann man die mittleren Tempera-
turen für komplexe Stromführungen bestimmen. In den Bildern 8.5 bis 8.12 sind die
berechneten mittleren Temperaturen für einige Stromführungen dargestellt. Aus
den Diagrammen lassen sich mit Hilfe der dimensionslosen Temperaturen P und P

1

2
die Kenngrößen NTU und NTU bestimmen. Daraus kann mit Gl. (8.13) die dimen-1

2
sionslose Temperaturdifferenz Θ ermittelt und mit Gl. (8.8) die mittlere Tempera-
turdifferenz Δϑ berechnet werden.

m

Anhand von Bild 8.4 wird die Benutzung der Diagramme erläutert. Auf den Ko-
ordinatenachsen sind die dimensionslosen Temperaturdifferenzen P und P der 1

2

Stoffströme 1 und 2 aufgetragen. Am Randmaßstab oben ist das Verhältnis des

Wärmekapazitätsstromes R eingezeichnet, rechts das Verhältnis des Wärmekapa-1
zitätsstromes R . Hier ist darauf zu achten, dass nur die kleinere der beiden Größen, 2
d.h. die, die kleiner als 1 ist, verwendet werden kann.

226

8 Wärmeübertrager

Im Diagramm sind zwei Kurvenscharen eingetragen. Die durchgezogenen Kur-
ven oberhalb der Diagonale sind für NTU = konst., die unterhalb für NTU = konst.

1

2

Die gestrichelte Kurve gilt für den Korrekturfaktor F, der definiert ist als: ϑ

Δ
ϑ

Δ ⋅( ϑ

Δ

− ϑ

Δ )

m
gr
kl

NTU
m
iG

F =

=

=
ϑ

Δ

(8.25)

ln( ϑ

Δ

/ ϑ

Δ )

NTU
mG
gr
kl
i

Der Index G steht für einen reinen Gegenstromwärmeübertrager.

R

1

1

1

1

NTU 1 = konst.

konst.

=1

P

R

N

R 2

1

TU

2 = ko

F
n

=
s

t
k

.

onst.

0

0

P

1

2

Bild 8.4: Zur Benutzung des Diagramms

8 Wärmeübertrager

227

Bild 8.5: Reiner Gleichstrom (Quelle: VDI-Wärmeatlas, 9. Aufl.)

228

8 Wärmeübertrager

Bild 8.6: Reiner Gegenstrom (Quelle: VDI-Wärmeatlas, 9. Aufl.)

8 Wärmeübertrager

229

Bild 8.7: Rohrbündelwärmeübertrager mit einem äußeren und zwei inneren Durchgängen (Quelle: VDI-Wärmeatlas, 9. Aufl.)

230

8 Wärmeübertrager

Bild 8.8: Rohrbündelwärmeübertrager mit einem äußeren und vier inneren Durchgängen (Quelle: VDI-Wärmeatlas, 9. Aufl.)

8 Wärmeübertrager

231

Bild 8.9: Reiner Kreuzstrom (Quelle: VDI-Wärmeatlas, 9. Aufl.)

232

8 Wärmeübertrager

Bild 8.10: Kreuzstrom mit einer Rohrreihe und einseitig quer vermischtem Kreuzstrom (Quelle: VDI-Wärmeatlas, 9. Aufl.)

8 Wärmeübertrager

233

Bild 8.11: Beidseitig quer vermischter Kreuzstrom (Quelle: VDI-Wärmeatlas, 9. Aufl.)

234

8 Wärmeübertrager

Bild 8.12: Kreuzstrom mit zwei Rohrreihen und zwei Durchgängen (Quelle: VDI-Wärmeatlas, 9. Aufl.)

8 Wärmeübertrager

235

BEISPIEL 8.2: Auslegung eines Autokühlers

Ein Autokühler soll bei 45 °C Außentemperatur 50 kW Wärme abführen. Dabei
wird das Kühlwasser von 94 °C auf 91 °C abgekühlt. Die Luft strömt im Kühler mit
einer Geschwindigkeit von 20 m/s. Die rechteckigen Wasserkanäle des Kühlers ha-
ben eine Wandstärke von 1 mm und äußere Kantenlängen von 50 und 6 mm. An den

Kanälen sind in 1 mm Abstand Rippen mit 0,3 mm Dicke angelötet. Die Länge der

Kühlwasserkanäle ist 550 mm. Der Abstand der Kühlkanäle beträgt 60 mm. Die

Kanalwände und Rippen haben eine Wärmeleitfähigkeit von 120 W/(m K). Die

Stoffwerte des Kühlwassers und der Luft sind:

Wasser: ρ = 963,6 kg/m3, λ = 0,676 W/( m K), ν = 0,317 . 10-6 m2/s, Pr = 1,901, c = 4,208 kJ/(kg K).

p

Luft: ρ = 1,078 kg/m3, λ = 0,028 W/( m K), ν = 18,25 . 10-6 m2/s, Pr = 0,711, c = 1,008 kJ/(kg K).

p

Bestimmen Sie, wie viele Kanäle benötigt werden.

Lösung

Schema

Siehe Skizze

C = 6
c = 4

2 h = 60

Ri

= 50

Wasser

B

Angaben in mm

3

Wasserkanal
b = 48

Wasser

0,
s = Ri
t = 1 Ri

Rippen

Luft

Annahmen

•

Im gesamten Kühler sind die Wärmedurchgangszahlen gleich groß.

•

Der Einfluss der Richtung des Wärmestromes wird nicht berücksichtigt.

Analyse

Im Folgenden hat das Kühlwasser den Index 1, die Luft den von 2. Der Massen-
strom des Kühlwassers kann mit der Energiebilanzgleichung berechnet werden:

Q

50 ⋅ kW ⋅ kg ⋅ K
m

=

=

=
kg/

961

,

3
s

1
c p ⋅(ϑ′ −ϑ )

′

4,208⋅ kJ ⋅ (94 − )

91 ⋅ K

1

1

1

236

8 Wärmeübertrager

Der Massenstrom der Luft hängt von der Anzahl der Kühlkanäle ab. Jeweils die

Hälfte der Rippe, d.h. 30 mm, gehören zu einem Kühlwasserkanal. Pro Kühlkanal
ist der Strömungsquerschnitt für die Luft:

A = 2 ⋅ hRi ⋅ ( tRi − s )

Ri

⋅ n = 2⋅ hRi ⋅( tRi − s )

Ri

⋅ H / tRi = 2⋅ hRi ⋅ 1

( − s / t )

Ri

Ri

⋅ H =

2

2

2

= 2 ⋅ 03

,

0

⋅ ,

0 7 ⋅ 55

,

0

⋅ m =
m

0,0231

Der Luftmassenstrom durch den Kühler ist damit:

2

3
m

= z ⋅ A ⋅ ρ ⋅ c = z ⋅0,0231⋅ m ⋅1,078⋅ kg/m ⋅ 20⋅ m/s = z ⋅0,498 kg/s 2

2

2

2

Mit ansteigender Zahl der Kanäle nimmt der Massenstrom der Luft zu, der Mas-
senstrom des Kühlwassers pro Kanal jedoch ab.

Jetzt sind die Wärmeübergangszahlen zu bestimmen.

Die Luftkanäle zwischen den Rippen haben den hydraulischen Durchmesser von:

d
h
t
s
t
s
h
h

= 4⋅ Ri ⋅( Ri − )/[2

Ri

⋅( Ri − Ri + )]

Ri

= 2⋅30⋅0,7⋅mm2/(30,7⋅mm)=1,368 mm

2

Die Reynolds zahl für die Luft ist:

6

Re
c
d

/ v

20 0, 001368 / (18, 25 10−

= ⋅

=

⋅

⋅

) = 1 499

2

2
h 2

2

Die Strömung ist laminar; die Nußelt zahl kann mit Gl. (3.17) und daraus wiederum die Wärmeübergangszahl berechnet werden.

3

3

3/ 2

3

Nu

= 3,66 + 0,644 ⋅ Pr ⋅( Re ⋅ d / l) =
d ,
i lam
dh 2
h 2

3

3

3/ 2

3

= 3,66 + 0,644 ⋅0,711⋅(1 499⋅1,37 / 50) = 4,698

Nu
λ
d lam ⋅

⋅

⋅

,

2

4,698 0,028 W

W
α =

=

=

96,2

2
d

0,001368
h

⋅ m ⋅ m ⋅ K
m2 ⋅ K

2

Mit der Anzahl der Kanäle ändert sich die Wärmeübergangszahl in der Luft nicht,
d.h., sie bleibt konstant.

Im Kühlwasserkanal ist der hydraulische Durchmesser:

2
d = 4⋅ b⋅ c / [2⋅( b + )

c ] = 2⋅ 48⋅ 4⋅ mm /(52⋅ mm) = 7,385 mm

1
h

Der Massenstrom des Kühlwassers teilt sich auf die Kanäle auf, damit ist seine

Geschwindigkeit umgekehrt proportional zur Anzahl der Kanäle.

3
m

m

3, 961⋅ kg ⋅ m

21,421 m

1

1
c =

=

=

=

1
z ⋅ A ⋅ ρ
z ⋅ b ⋅ c ⋅ ρ
z ⋅ 0,048 ⋅ m ⋅ 0,004 ⋅ m ⋅963,6 ⋅ kg ⋅s
z
s

1

1

1

8 Wärmeübertrager

237

Reynolds zahl:

c ⋅ d

21, 421 ⋅ 0, 00738

499 015

1

1
h

Re =

=

=

1

−6
ν
z ⋅ 0,317 ⋅10
z

1

Für brauchbare Werte von z bleibt die Strömung in den Kanälen turbulent. Wegen der besseren Übersicht verwenden wir die vereinfachte Gleichung (3.14) und vernachlässigen die Korrektur der Reynolds zahl.

0,8

0,48

2/3

0,8

Nu

0, 0235 ( Re

230) Pr

[1 ( d / l )

] 1 222, 7 z−

=

⋅

−

⋅

⋅ +

=

⋅

− 7,773
d
d

1
h

1
h 1
h 1

Die von z abhängige Wärmeübergangszahl ist:

0,

− 8
α = Nu ⋅λ / d = (111932⋅ z

− 711,5) ⋅ W / (

⋅K)

1
d

1

1
h
h 1

Um die Wärmedurchgangszahl mit Gl. (3.46) zu berechnen, müssen der Rippen-
wirkungsgrad und die Flächen A, A und A bestimmt werden. Gl. (2.58) gibt den 0

Ri

Rippenwirkungsgrad an.

tanh( m ⋅ h )

α U
α

B
s

Ri

⋅ Ri

⋅ 2 ⋅( +

)

31

,

73
η
m

Ri =

= ,

0 444 mit

2

2

=

=

Ri

=
m ⋅ h
λ A
λ B s

Ri

Ri ⋅

Ri

Ri ⋅

⋅
m

Ri

2

2

A = 2 ⋅ ( C + B) ⋅ H = 0,0616 m

A = 2⋅ B ⋅ H ⋅ 1

( − s / t )

Ri

Ri

= 0,0385m

0

2

A
h

B H t

Ri = 2 ⋅

Ri ⋅

⋅ / Ri =
m

1,65

Die Wärmedurchgangszahl beträgt:

1

A

1
s

A

1
o

=

⋅

+

+

⋅

=
k( z)

A + A ⋅η
α
λ

A α

0

Ri

Ri
a

R
i
i

A

1
s

C + B 1

§ 1

1

·

⋅
o

=

⋅

+

+

⋅

= ¨

+

¸

0,

− 8

A + A ⋅η
α
λ
c + b α

1191 111 932

©

⋅ z

− 711,5

0

Ri

Ri
a

R
i

¹

Die Austrittstemperatur der Luft und damit die dimensionslose Temperatur, das

Verhältnis des Wärmekapazitätsstromes und die mittlere Temperaturdifferenz des
reinen Gegenstromübertragers sind auch von z abhängig. Damit die mittlere Temperaturdifferenz des Kühlers bestimmt werden kann, tragen wir die Werte der erwähn-
ten Größen tabellarisch auf. Der Korrekturfaktor F kann dem Diagramm in Bild 8.9
entnommen werden.

Die Austrittstemperatur der Luft ist:

Q

75 ⋅ kW ⋅ kg ⋅ K ⋅s
ϑ ′ = ϑ′ +

=

45 C

° +

=

5

4

C

° +

K

6

,

9

9

/ z

2

2
c

⋅ m
z ⋅1,008⋅ kJ ⋅ 0,498⋅ kg
p 2

2

238

8 Wärmeübertrager

Das Verhältnis der Wärmekapazitätsströme berechnet sich zu:

m

⋅ c

⋅

⋅

2
p 2
z 0, 498 1008

R =

=

= 0,03012⋅ z

2
m

⋅ c

3, 961⋅ 4 208

1

1
p

Solange z kleiner als 37 ist, bleibt R kleiner als 1 und wir müssen unterhalb der 2

Diagonale die Werte für F ermitteln. Die dimensionslose Temperatur P können wir 2
mit Gl. (8.9) bestimmen.

ϑ ′ −ϑ′

K

99,6

033

,

2

P

2

2

=

=

=

2
ϑ′ −ϑ′
z ⋅

K

9

4
z

1

2

Mit einer angenommen Anzahl z der Kühlkanäle ermittelt man R , P , F, die 2

2
mittlere Temperaturdifferenz, die Wärmedurchgangszahl k( z) und berechnet damit die notwendige Fläche A . Daraus bestimmt man die notwendige Anzahl der Kühl-tot
kanäle z = A / A.

soll
tot

Q

Q

A

=

=
tot
k ⋅ Δϑ
k ⋅ F ⋅ Δϑ
m
mG
z
ϑ ''

R

P

F

Δϑ

Δϑ
k

A
z

2

2

2
mG
m
tot
soll

-

°C

-

-

-

K

K

W/(m2 K)

m2

-

6

61,6

0,18

0,34

0,992

38,4

38,1

1 135

1,158

19

19 50,2

0,57

0,11

0,996

44,8

44,6

1 054

1,064

17

17 50,9

0,51

0,12

0,996

44,4

44,2

1 065

1,061

17

Diskussion

Die Berechnung der mittleren Temperaturdifferenz ist mit Hilfe der Diagramme
einfach durchführbar. Wie im o.a. Beispiel könnte man bei kleinen Temperaturän-
derungen der Stoffströme auch mit der mittleren Temperaturdifferenz eines Gegen-
stromwärmeübertragers rechnen.

8.3

Verschmutzungswiderstand

Bisher haben wir bei Wärmeübertragern den Wärmewiderstand in den Trennwän-
den berücksichtigt. Die Wärmeübertragerwände bestehen aus einem Feststoff

(meistens Metall, seltener Kunststoff, Glas, Graphit etc.). Die Metalloberflächen
sind in der Regel von einer Oxidschicht, deren Wärmeleitung kleiner als die des

Metalls ist, überzogen. Weiterhin können sich durch die verwendeten Fluide und
die in ihnen enthaltenen festen Bestandteile Ablagerungen auf der Oberfläche bil-
den. Ferner ist die Bildung dicker Oxidationsschichten (Rost) möglich. Auch die

8 Wärmeübertrager

239
gewollte Bildung sogenannter Schutzschichten gegen Korrosion (Kraftwerkkon-
densatoren mit Messingrohren) stellen einen Widerstand dar.

Eine Rohrwand mit verschiedenen zusätzlichen Schichten hat einen größeren

Wärmewiderstand als solche, die wir bisher berechneten. Der durch die Schichten
verursachte zusätzliche Wärmewiderstand wird als Verschmutzungswiderstand
oder Fouling (vom engl. fouling resistance) bezeichnet. Nachfolgend ist der Einfluss des Verschmutzungswiderstandes auf die Wärmedurchgangszahl für ein Rohr
dargestellt. Für andere Geometrien wie z.B. für ebene Wände erfolgen die Berech-
nungen analog.

Unter Berücksichtigung der Schmutzschichten geht die exakte Berechnung der

Wärmedurchgangszahl davon aus, dass sowohl an der Außen- als auch Innenwand
des Rohres eine Verschmutzungsschicht entsteht. Dadurch wird der Innendurch-
messer verringert, der Außendurchmesser vergrößert. Bild 8.13 illustriert diese Modellvorstellung.

d a

Rohrwand
si
d i
innere
äußere

Schmutzschicht

Schmutzschicht
sa

Bild 8.13: Verschmutzungswiderstand einer Rohrwand

1

1
d
d

§ d + 2⋅ s ·
d

§ d ·
a
a
a
a
a
a

=

⋅

+

⋅ln

+

⋅ln

+

¨¨

¸¸

¨¨

¸¸
k
α d + 2⋅ s

2 ⋅ λ
d

2

©

¹

⋅λ
d
a
a
a
sa
a

R

© i ¹
d

§
d

·
d

1

(8.26)

a
i
a

+
ln

+

⋅

¨¨

¸¸

2 ⋅ λ
d − 2 ⋅ s
d

©

¹

− 2⋅ s α
si
i
i
i
i
i

Dabei sind s und s die Dicken und λ und λ die Wärmeleitfähigkeiten der äuße-a
i
sa
si
ren und inneren Schmutzschicht. Meistens sind weder die exakte Dicke noch die

Wärmeleitfähigkeit der Schmutzschicht bekannt. Aus Messungen kennt man die

Verringerung der Wärmeübergangszahl und rechnet mit den aus Erfahrung bekann-
ten Schmutzschichtwiderständen. In einigen Fällen sind die inneren und äußeren

Verschmutzungswiderstände R und R bekannt. Meistens kennt man jedoch nur den i
a
kumulierten Verschmutzungswiderstand R .

F

240

8 Wärmeübertrager

1

1
d
d

1

1
d
d

1
a
a
a
a

= R + R +

+

+

⋅

= R +

+

+

⋅
a
i

F

(8.27)

k
α

2 ⋅ λ
d
α
α

2 ⋅ λ
d
α
a

R
i
i
a

R
i
i

Bedingt durch Verschmutzungswiderstände können die Wärmedurchgangszah-
len wesentlich verringert sein, was verstärkt bei Wärmeübertragern mit großen

Wärmedurchgangszahlen zum Tragen kommt. Für die Auslegung von Wärmeüber-
tragern müssen die Verschmutzungswiderstände berücksichtigt und mit entspre-
chend größerer Fläche versehen werden.

Von einigen Herstellern, vor allem von solchen aus den USA, wird an Stelle des

Verschmutzungswiderstandes ein Verschmutzungsfaktor ϕ (fouling factor) angegeben, der als multiplikativer Faktor die Verringerung der Wärmedurchgangszahl be-
rücksichtigt.

§ 1
d
d

1 ·−1
k = ksauber ⋅ϕ =

+
a

+ a ⋅

⋅ϕ

¨¨

(8.28)

©α

2
d
a

⋅λ R
i
α ¸¸
i ¹

Ändern sich wegen äußerer Einflüsse die Wärmeübergangszahlen, liefert der

Verschmutzungsfaktor bei kleineren Wärmedurchgangszahlen praktisch die glei-
chen Werte wie die, welche mit dem Verschmutzungswiderstand berechnet wurden.

Bei großen Wärmedurchgangszahlen kann die Abweichung beträchtlich sein.

BEISPIEL 8.3: Berücksichtigung des Verschmutzungswiderstandes

Ein Kraftwerkkondensator hat bei 10 °C Kühlwasserein- und 20 °C Kühlwasser-
austrittstemperatur die Wärmedurchgangszahl von 3 540 W/(m2 K) und die Sätti-

gungstemperatur von 25 °C. Bei 25 °C Kühlwassereintrittstemperatur ist die Aus-
trittstemperatur 35 °C. Die berechnete Sättigungstemperatur steigt auf 39 °C an.

Der Verschmutzungswiderstand hat einen Wert von 0,0565 (m2 K)/kW.

Bestimmen Sie die zu erwartende Sättigungstemperatur, wenn an Stelle des Ver-
schmutzungswiderstandes ein Foulingfaktor von 0,80 verwendet wird.

Annahme

•

Der dem Kondensator zugeführte Wärmestrom ist unabhängig von der Kühl-
wassertemperatur.

Analyse

Die Wärmestromdichte kann mit der kinetischen Kopplungsgleichung berechnet
werden. Dazu wird zunächst die mittlere Temperaturdifferenz bei 10 °C Kühlwas-
sereintrittstemperatur bestimmt.

8 Wärmeübertrager

241
ϑ −ϑ

K

10

2

1
ϑ

Δ m =

=

=

K

9,102

§ ϑ s −ϑ · ln 15

(

/ )

5
ln

1

¨¨

¸¸

©ϑ s −ϑ2 ¹

2
q = k ⋅ Δϑ = 3540 ⋅ W/(m ⋅ K) ⋅ 9102 K = 32 222 W/m
m

Bei 25 °C Kühlwassertemperatur ist die mittlere Temperaturdifferenz:

ϑ −ϑ

K

10

2

1
ϑ

Δ m =

=

=

K

7,982

§ ϑ s −ϑ · ln 14

(

/ )

4
ln

1

¨¨

¸¸

©ϑ s −ϑ2 ¹

Das bedeutet, dass die Wärmedurchgangszahl bei der erhöhten Temperatur an-
steigt.

2

32 225 W / m

W
k = q / Δϑ =

= 4,037
m

2

7, 982 K
m K

Die mit dem Verschmutzungswiderstand gerechneten "sauberen" Wärmedurch-
gangszahlen sind:

1

−

3

−

1

−

2
k

= (1/ k − R ) = (1/ 3540 − 0,0565⋅10 ) = 4 425 W/(m K)

sauber ,10 °C
v

1

−

3

−

1

−

2
k

= (1/ k − R ) = (1/ 4037 − 0,0565⋅10 ) = 5 230 W/(m K)

sauber , 25°C
v

Rechnet man mit dem Foulingfaktor von 0,8, ist bei 10 °C Kühlwassereintritts-
temperatur die Wärmedurchgangszahl 3,540 W/(m2 K) und bei 25 °C beträgt sie

4184 W/(m2 K). Der Unterschied ist 3,51 %. Mit dieser Wärmedurchgangszahl
beträgt die mittlere Temperatur 7,702 K. Damit wird die berechnete Sättigungstem-
peratur:

ϑ −ϑ ⋅exp[(ϑ −ϑ ) / ϑ

Δ ] 25 −35⋅exp[10 / 7,702]

1

2

2

1
m
ϑ =

=

= 38,8 °C
s

1 − exp[(ϑ −ϑ ) / ϑ

Δ ]

1 − exp[10 / 7, 702]

2

1
m

Diskussion

Die mit dem Foulingfaktor berechnete Temperatur ist tiefer als die exakt berech-
nete. Sie lässt einen besseren Kondensatordruck erwarten. Physikalisch gesehen ist der Foulingfaktor nicht korrekt. Die mit dem Verschmutzungswiderstand berechneten Werte entsprechen der Wirklichkeit. Dieses bedeutet, dass der mit dem Fou-
lingfaktor ausgelegte Kondensator bei 25 °C Kühlwassertemperatur nicht die er-
wartete Sättigungstemperatur erreicht. Der Kondensator wäre mit einer um 3,5 % zu
kleinen Fläche ausgelegt.

242

8 Wärmeübertrager

8.4

Rohrschwingungen

Durch Strömungsinstabilitäten können Rohre in kritische Schwingungen versetzt
werden, so dass sie sich gegenseitg berühren oder dass hohe Schallpegel entstehen.

Erstes führt zu Rohrleckagen und Rohrbrüchen, Zweites zu unzulässigen Schall-
pegeln.

8.4.1

Kritische Rohrschwingungen

Die Rohrschwingungen werden durch Fluidinstabilitäten verursacht. Die Schwin-
gungen können sowohl durch senkrechte Anströmung verursachte Wirbelbildung,
aber auch durch Resonanzen des Fluids im Mantelraum des Wärmeübertragers oder
auch bei der Längsströmung zwischen langen, nicht abgestützten Rohren auftreten.

Die Schwingungen können so stark werden, dass sich die Rohre gegenseitig berüh-
ren, was zu deren Zerstörung führt. Die Dämpfung der Schwingungen ist durch

Stützplatten oder -gitter möglich. Die Länge eines Rohrabschnittes kann man so be-
stimmen, dass keine gefährlichen Schwingungen mehr auftreten. Diese Rohrlänge
hängt von der Strömung des Fluids, vom Trägheitsmoment des Rohres, der internen

Dämpfung (logarithmisches Dekrement) und der Befestigung der Rohre ab. Damit
keine schädlichen Schwingungen auftreten, ist immer eine genaue Analyse notwen-
dig. Die Stützplatten bzw. -gitter sind meist in gleichen Abständen angeordnet. Dies muss ebenfalls das Resultat einer genauen Untersuchung sein. Rohre, die von Fluid-strahlen getroffen werden, muss man gesondert untersuchen. Ausführliche Berech-
nungsverfahren und Literaturhinweise findet man im VDI-Wärmeatlas, Kapitel O

[8.4] und TEMA Standard Of The Tubular Heat Exhanger Manufacturers Associ-
ation, Section 6 [8.5]. Diese Literatur zu erläutern, würde den Rahmen dieses Bu-
ches sprengen, deshalb wird nur eine kurze und einfache Berechnungsmethode be-
schrieben.

Die Berechnung erfolgt mit einer empirischen Gleichung. In ihr können mit den

Rohreigenschaften und der Strömungsgeschwindigkeit die ungestützte Rohrlänge
l , bei der keine schädlichen Schwingungen mehr auftreten, bestimmt werden.

0

2

6
d

10

2

5
a
c ⋅ ρ ⋅ l ⋅

⋅

≤ 4,5

Sp

0

4

4

3

( d − d ) ⋅

(8.29)

E m
a
i

Die Spaltgeschwindigkeit c ist die Strömungsgeschwindigkeit zwischen den

Sp

Rohren, ρ die Dichte des Fluids, d der Außen- , d der Innendurchmesser und E das a
i

Elastizitätsmodul des Rohrmaterials. Der Term 106 / m3 ist eingesetzt, damit das

Ergebnis ohne Zehnerpotenzen und dimensionslos erscheint.

Gl. (8.29) liefert für die maximale ungestützte Rohrlänge l

:

0, max

4

4

3

4,5 ⋅ ( d − d ) ⋅ E m
a
i
l

= 5

⋅

0, max

2

2

6
d ⋅ c ⋅ ρ

10

(8.30)

a

Sp

8 Wärmeübertrager

243

Die Spaltgeschwindigkeit kann durch die Anzahl der angeströmten Rohre, die
ungestützte Rohrlänge durch die Anzahl der Stützplatten verändert werden. Wird
ein Wert, der größer als 4,5 ist, ermittelt, kann durch Änderung der Spaltgeschwindigkeit oder der ungestützten Rohrlänge der gewünschte Wert erreicht werden. Bei
gleichen Stützplattenabständen kann anstelle von l die Gesamtlänge des Rohres, 0
geteilt durch die Anzahl der Stützplatten plus eins l = l / ( N+1) eingesetzt werden.

0
ges

BEISPIEL 8.4: Berechnung der notwendigen Anzahl der Stützplatten

Hier soll untersucht werden, wie bei dem in Beispiel 5.3 ausgelegten Kondensator
die Rohre abzustützen sind.

d = 12 mm, d = 10 mm, m

= 0,5 kg/s, ρ = 66,3 kg/m3, l : 5,983 m, n = 47.

a
i

R 134 a
ges

Das Elastizitätsmodul des Kupfers ist 110 kN/mm2 = 1,1 . 1011 N/m2, der Rohrabstand s = 17 mm.

Lösung

Schema

Siehe Skizze

Annahme

•

Die Strömung im Bündel ist gleichmäßig.

Analyse

Zunächst ist die Anordnung der Rohre zu bestimmen.Die Skizze zeigt, dass man in
einem zylindrischen Mantel 48 statt der ausgelegten 47 Rohre anordnen kann. Mit
dem einen Rohr mehr wird die thermische Leistung erreicht und eine realistische

Rohranordnung verwirklicht. Die Einströmöffnungen (Schlitze) sind mit fetten

Linien gezeichnet. Am Umfang des Bündels sind 22 Spalte vorhanden. Der für die

Einströmung des Dampfes vorhandene Querschnitt ist:

2

A = 22 ⋅ l ⋅ s = 22 ⋅ 5,983 m ⋅ 0,005 m = 0, 658 m
in

Die Spaltgeschwindigkeit zwischen den Rohren erhalten wir zu:

3
m

0, 5 ⋅ kg ⋅ m
m
c

=

=

= 0,11

Sp

2
ρ ⋅ A
s ⋅ 0.,8 ⋅ m ⋅ 66,3 ⋅ kg
s
in

Jetzt kann das Vibrationskriterium angewendet werden.

2

6
d

10

2

5
a
c ⋅ ρ ⋅ l ⋅

⋅

≤ 4,5

Sp

0

4

4

3

( d − d ) ⋅ E m
a
i

244

8 Wärmeübertrager

Ohne eine Stützplatte erhält man 8,1, mit einer Stützplatte 0,25. Für die maximal
erlaubte Rohrlänge l
erhalten wir mit Gl. (8.30):

0, max

4

4

3

4, 5 ⋅ ( d − d ) ⋅ E m
a
i
l

= 5

⋅

= 5,313 m

0, max

2

2

6
d ⋅ c ⋅ ρ

10
a

Sp

Diskussion

In diesem Beispiel wären die Rohre laut Vibrationskriterium ohne Stützplatte vi-
brationsgefährdet. Eine ungestützte Rohrlänge von 5,313 m ist die Grenze für die

Vibrationsgefährdung. Mit einer Stützplatte wird die ungestützte Rohrlänge 3,00 m.

Die Anströmgeschwindigkeit ist hier sehr klein, weshalb die erlaubte ungestützte

Rohrlänge ungewöhnlich groß ausfällt. Bei einer größeren Anströmgeschwindig-
keit von 10 m/s müsste man eine ungestützte Rohrlänge, die kleiner als 0,5 m ist,
vorsehen.

8.4.2

Akustische Resonanz

Bei senkrechter Anströmung zylindrischer Körper entstehen bei Reynolds zahlen, die oberhalb von 50 liegen, Wirbelablösungen. Am Zylinder bilden sich Wirbel, die sich ablösen und in der Strömung erhalten bleiben. Bildung und Ablösung der

Wirbel erfolgen periodisch abwechselnd von der oberen und unteren Seite des Zy-
linders. Bild 8.14 zeigt den Wirbelbildungsvorgang. Bei der Ablösung entstehen
auf der Rückseite des Zylinders Druckänderungen, die auf den Zylinder periodisch
abwechselnde Kräfte ausüben.

c 0

Bild 8.14: Wirbelablösungen am Zylinder

Die Pfeifgeräusche von Drähten im Wind werden durch Wirbelablösungen her-
vorgerufen. Die Schwingungen der Rohre, verursacht durch diese Wirbel, wurden
bereits unter 8.4.1 besprochen. Hier wird die Entstehung großer Schallpegel besprochen.

Versuche zeigen, dass die Frequenz der Wirbelablösungen durch die Struhalzahl

S angegeben werden kann, die wiederum von der Reynolds zahl abhängt. Die Struhal zahl S ist definiert als:

8 Wärmeübertrager

245
ν ⋅ d

S =

(8.29)

c 0

Dabei ist ν die Frequenz der Wirbelablösungen, die Struhalfrequenz genannt wird, d der Durchmesser des angeströmten Rohres und c die Anströmgeschwin-0
digkeit. Bei Reynolds zahlen unterhalb von 105 hat die Struhal zahl quer angeströmter zylindrischer Einzelkörper einen Wert von ca. 0,2. Bei höheren Reynolds zahlen liegen die Werte zwischen 0,17 und 0,32. Die Geometrie, die Oberflächenbeschaffenheit und bei Rohrbündeln die Anordnung der Rohre sind weitere Einfluss-
größen. In Rohrbündeln bewirkt die Ablösung von einer Rohrreihe eine Änderung
der Ablösefrequenz nachfolgender Rohrreihen. Bei Rohrbündeln, wie dem in Bei-
spiel 3.6 behandelten Zwischenüberhitzer, hat man Struhal zahlen von 1,0 bis zu 1,6
gemessen.

Ist die Struhal frequenz, die durch die Struhal zahl gegeben ist, in der Nähe der Eigenfrequenz des angeströmten Körpers, kann dieser durch Resonanz in so starke

Schwingungen geraten, dass Schäden (Ermüdungsbruch, Kollosion) auftreten. Die

Tacuma-Narrows-Hängebrücke, eine große Brücke mit 840 m Spannweite im ame-
rikanischen Bundesstaat Washington, geriet 1940 bei Windgeschwindigkeiten von
ca. 70 km/h in so starke Schwingungen, dass sie einstürzte (YouTube dokumentiert
dieses spektakuläre Ereignis).

Zu jeder Struhal frequenz gehört auch eine akustische Wellenlänge. Sind die Strömungsbegrenzungen (z.B. Bündelhöhe) von gleicher Länge, können Resonanzen auftreten, die zwar keine Beschädigung von Bauteilen verursachen, jedoch un-
zulässige Lärmbelästigungen erzeugen können. Das Problematische dabei kann
sein, dass eine sogenannte "lock in"-Resonanz entsteht, die sogar bei einer wesentli-chen Änderung der Strömungsgeschwindigkeit bestehen bleibt. Je nach Größe des

Bündels und des Massenstromes können die Schallpegel Werte von über 120 dB
erreichen.

Bei der Konstruktion und Auslegung von Apparaten, Bauten usw., die von einem

Fluid angeströmt werden, muss der Ingenieur untersuchen, ob die Wirbelablösun-
gen nicht zu unzulässigen Resonanzen führen.

BEISPIEL 10.4: Akustische Resonanz in einem Rohrbündel

In dem von Dampf angeströmten Überhitzerbündel aus Beispiel 3.6 wurde eine

Struhal zahl von 1,04 ermittelt. Die Rohre des Rohrbündels haben den Durchmesser von 15 mm. Die Bündelhöhe von 1,4 m ist durch eine Strömungsbegrenzung in
zwei Teile mit der jeweiligen Höhe von 675 mm aufgeteilt. Die Schallgeschwindig-
keit des Dampfes beträgt 517 m/s.

Untersuchen Sie, ob die "lock in"-Resonanz entstehen kann; falls nicht, bei welcher Geschwindigkeit sie zu befürchten ist.

246

8 Wärmeübertrager

Lösung

675 mm

Schema

Siehe Skizze
c 0

1400 mm

Annahme

675 mm

•

Die Struhal zahl ist auf den Außendurch-
messer der Rohre und die Anströmge-
schwindigkeit bezogen.

Analyse

Die Wellenlänge einer akustischen Schwingung beträgt:

a
λ =
a
ν

Die Frequenz ν, die zu einer Wellenlänge von 0,675 m gehört, beträgt:

ν = a / l = (517 m/s) / 1,4 m = 765 Hz
a

Mit Gl. (8.29) ist die Struhal frequenz:

S c

1, 04 6 m

0
ν

⋅

⋅ ⋅

=

=

= 416 Hz

St
d

0,015 ⋅ m ⋅s

Sie ist viel kleiner als die zur Wellenlänge 0,675 m gehörende Frequenz. Das

Entstehen eine "lock in"-Resonanz ist nicht zu befürchten.

Die Dampfgeschwindigkeit, bei der eine "lock in"-Resonanz entstehen könnte, ermitteln wir zu:

1
ν d 765 s−

⋅

⋅

⋅0,015⋅m

St
c =

=

= 11,0 m / s

0

S

1,04

Diskussion

Die Konstruktion des Zwischenüberhitzerbündels lässt keine "lock in"-Resonanz befürchten. Erst bei einer beinahe doppelt höheren Geschwindigkeit von 11 m/s
könnte sie eintreten.

Anhang

A1:

Wichtige physikalische Konstanten

Kritische Zustandsgrößen

Stoff
chemische

Molmasse

T
p
z
krit
krit
krit

Formel
kg/kmol

K
bar

–

Acetylen

C H

26,0380

309,0

26,8

0,274

2

2

Ammoniak

NH

17,0305

406,0

112,8

0,284

3

Argon

Ar

39,9480

151,0

48,6

0,242

Butan

C H

58,1240

425,0

38,0

0,274

4

10

Ethan

C H

30,0700

305,0

48,8

0,285

2

6

Ethanol

C H OH

46,0690

516,0

63,8

0,249

2

5

Ethylen

C H

28,0540

283,0

51,2

0,270

2

4

Frigen 134a

CF CH F

102,0300

374,2

40,7

0,260

3

2

Helium

He

4,0026

5,2

2,3

0,300

Kohlendioxid

CO

44,0100

304,0

73,9

0,276

2

Kohlenmonoxid

CO

28,0100

133,0

35,0

0,294

Methan

CH

16,0430

191,0

46,4

0,290

4

Oktan

C H

114,2310

569,0

24,9

0,258

8

18

Propan

C H

44,0970

369,8

42,4

0,276

3

8

Sauerstoff

O

31,9988

154,0

50,5

0,290

2

Schwefeldioxid

SO

64,0650

431,0

78,7

0,268

2

Stickstoff

N

28,0134

126,0

33,9

0,291

2

Wasser

H O

18,0153

647,1

220,6

0,233

2

Wasserstoff

H

2,0159

33,2

13,0

0,304

2

Fundamentale Naturkonstanten

Avogadro-Konstante

N = (6,0221367 ± 0,0000036) . 1023
mol-1

A
universelle Gaskonstante

R = (8 314,41 ± 0,07)

J/(kmol . K)

m

Boltzmann-Konstante R / N
k = (1,380641 ± 0,000012) . 10-23

J/K
m

A
elektrische Elementarladung
e = (1,60217733 ± 0,00000049) . 10-19

C

Planck-Konstante
h = (6,6260755 ± 0,000004) . 10-23

J s

Lichtgeschwindigkeit
c = 299 792 458
m/s

Stefan-Boltzmann-Konstante
σ = (5,6696 ± 0,0075) . 10-8

W/(m2 . K4)

s

P. von Böckh, T. Wetzel Wärmeübertragung,

DOI 10.1007/978-3-642-15959-6, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

248

Anhang

A2:

Stoffwerte unterkühlten Wassers bei 1 bar Druck
ϑ
ρ
λ
η
ν
c

Pr
β
p

°C
kg/m3

W/(m K) 10-6 kg/(m s) 10-6 m2/s
kJ/(kg K)

-

1/K

0

999,8

0,5611

1 791,5

1,7918

4,219

13,473

–0,068

2

999,9

0,5649

1 673,4

1,6735

4,213

12,480

–0,032

4

1 000,0

0,5687

1 567,2

1,5673

4,207

11,595

0,001

6

999,9

0,5725

1 471,4

1,4715

4,203

10,802

0,032

8

999,9

0,5763

1 384,7

1,3849

4,199

10,089

0,061

10

999,7

0,5800

1 305,9

1,3063

4,195

9,445

0,088

12

999,5

0,5838

1 234,0

1,2346

4,193

8,862

0,114

14

999,2

0,5875

1 168,3

1,1692

4,190

8,332

0,139

16

998,9

0,5912

1 108,1

1,1092

4,188

7,849

0,163

18

998,6

0,5949

1 052,7

1,0541

4,186

7,408

0,185

20

998,2

0,5985

1 001,6

1,0034

4,185

7,004

0,207

22

997,8

0,6020

954,4

0,9566

4,183

6,633

0,227

24

997,3

0,6055

910,7

0,9132

4,182

6,291

0,247

26

996,8

0,6089

870,2

0,8730

4,181

5,976

0,266

28

996,2

0,6122

832,5

0,8356

4,181

5,685

0,285

30

995,7

0,6155

797,3

0,8008

4,180

5,415

0,303

32

995,0

0,6187

764,6

0,7684

4,179

5,165

0,320

34

994,4

0,6218

733,9

0,7381

4,179

4,932

0,337

36

993,7

0,6248

705,2

0,7097

4,179

4,716

0,353

38

993,0

0,6278

678,3

0,6831

4,179

4,515

0,369

40

992,2

0,6306

653,0

0,6581

4,179

4,327

0,385

42

991,4

0,6334

629,2

0,6346

4,179

4,151

0,400

44

990,6

0,6361

606,8

0,6125

4,179

3,986

0,415

46

989,8

0,6387

585,7

0,5917

4,179

3,832

0,429

48

988,9

0,6412

565,7

0,5720

4,179

3,687

0,444

50

988,0

0,6436

546,9

0,5535

4,180

3,551

0,457

52

987,1

0,6459

529,0

0,5359

4,180

3,423

0,471

54

986,2

0,6482

512,1

0,5193

4,181

3,303

0,484

56

985,2

0,6503

496,1

0,5035

4,181

3,189

0,498

58

984,2

0,6524

480,9

0,4886

4,182

3,082

0,510

60

983,2

0,6544

466,4

0,4744

4,183

2,981

0,523

62

982,2

0,6563

452,7

0,4609

4,184

2,885

0,536

64

981,1

0,6581

439,6

0,4480

4,185

2,795

0,548

66

980,0

0,6599

427,1

0,4358

4,186

2,709

0,560

68

978,9

0,6616

415,2

0,4242

4,187

2,628

0,572

70

977,8

0,6631

403,9

0,4131

4,188

2,551

0,584

72

976,6

0,6647

393,1

0,4025

4,189

2,478

0,596

74

975,5

0,6661

382,7

0,3924

4,191

2,408

0,607

76

974,3

0,6675

372,9

0,3827

4,192

2,342

0,619

78

973,0

0,6688

363,4

0,3735

4,194

2,279

0,630

80

971,8

0,6700

354,4

0,3646

4,196

2,219

0,642

82

970,5

0,6712

345,7

0,3562

4,197

2,162

0,653

84

969,3

0,6723

337,4

0,3481

4,199

2,107

0,664

86

968,0

0,6734

329,4

0,3403

4,201

2,055

0,675

88

966,7

0,6744

321,8

0,3329

4,203

2,005

0,686

90

965,3

0,6753

314,4

0,3257

4,205

1,958

0,697

92

964,0

0,6762

307,4

0,3188

4,207

1,912

0,708

94

962,6

0,6770

300,6

0,3123

4,209

1,869

0,719

96

961,2

0,6777

294,1

0,3059

4,212

1,827

0,730

98

959,8

0,6784

287,8

0,2998

4,214

1,788

0,740

Quelle [9.1]

Anhang

249

A2:

Stoffwerte unterkühlten Wassers bei 1 bar Druck (Forts.)

Näherungspolynome für den Bereich von 0 °C bis 100 °C.

6

¦ Ci ⋅ϑ i mit

R
ϑ R = ϑ /ϑ krit = ϑ /10

0 K
i = 0
ρ
λ
η
c'

Pr
β
p

C

999,8500

0,56112

1,79016

4,21895

13,460 –0,06755

0

C

5,4395

0,18825

–6,11398

–0,32990

–51,371

1,82260

1

C

–76,5850

0,03255

15,12250

1,15869

134,214 –3,11220

2

C

43,9930

–0,23117

–26,76630

–2,35378

–244,081

5,36440

3

C

–14,3860

0,15512

30,43500

2,88758

282,198 –6,22770

4

C

0

–0,00988

–19,32300

–1,84461

–181,310

4,09430

5

C

0

–0,01697

5,13960

0,47973

48,664 –1,12330

6

Ergebnis in kg/m3

W/(m K)

10-3 kg/(m s)

kJ/kg

-

1/K

Std.-Abw. % 0,225

0,003

0,004

0,084

0,006

0,130

Wichtig: Nicht für Temperaturen über 100 °C verwenden.

250

Anhang

A3:

Stoffwerte gesättigten Wassers und Dampfes

,0
r

0
kJ/kg

500,9

477,2

453,5

429,8

406,0

382,0

357,7

333,1

308,1

282,6

256,5

229,7

202,1

173,7

144,2

113,7

081,9

048,7

014,0

977,7

939,7

899,6

857,4

812,8

765,5

715,3

661,8

604,6

543,2

476,8

404,8

325,9

238,6

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Pr''

1,017

1,063

1,063

1,045

1,024

1,008

0,999

0,997

1,000

1,006

1,014

1,023

1,032

1,040

1,049

1,060

1,072

1,086

1,104

1,125

1,151

1,182

1,218

1,260

1,306

1,356

1,412

1,474

1,544

1,628

1,729

1,853

2,006

-

Pr'

9,533

7,053

5,427

4,320

3,540

2,972

2,546

2,218

1,960

1,753

1,583

1,444

1,328

1,231

1,150

1,082

1,025

0,979

0,940

0,908

0,883

0,863

0,847

0,837

0,830

0,829

0,833

0,845

0,865

0,896

0,943

1,009

13,472
ν ''

4

3

8,915

6,951

5,485

4,376

3,529

2,875

2,365

1,964

1,645

1,389

1,181

1,010

0,8678

0,7482

0,6465

0,5592

0,4838

0,4185

0,3619

0,3132

0,1340

/s

9

2

82,89

56,10

39,12

27,99

20,48

15,28

11,59

2

8

0

571,2

331,9

201,0

126,7

1 1
m-6
ν '

10

1,7914

1,3171

1,0096

0,8022

0,6570

0,5518

0,4731

0,4125

0,3648

0,3263

0,2947

0,2685

0,2465

0,2279

0,2120

0,1986

0,1871

0,1773

0,1689

0,1616

0,1553

0,1498

0,1449

0,1405

0,1366

0,1330

0,1297

0,1268

0,1242

0,1220

0,1201

0,1188

0,1177

0,1340
η ''

9,20

9,62

9,89

10,09

10,30

10,53

10,81

11,13

11,49

11,87

12,25

12,63

13,00

13,34

13,67

13,97

14,26

14,55

14,83

15,13

15,44

15,77

16,13

16,51

16,91

17,33

17,74

18,15

18,55

18,93

19,32

19,74

20,24

43,16
kg/(m s)

η ' -6 01

97,30

93,17

89,26

85,56

82,02

78,53

43,16

791,0

316,7

007,8

798,7

651,9

545,2

465,1

403,3

354,5

314,9

282,4

255,3

232,4

213,0

196,4

182,1

169,8

159,1

149,8

141,6

134,3

127,7

121,8

116,3

111,1

106,3

101,7

1 1 1
p
c''

K)

1,888

1,896

1,906

1,918

1,932

1,948

1,966

1,987

2,012

2,042

2,077

2,121

2,174

2,237

2,311

2,396

2,492

2,599

2,716

2,846

2,990

3,150

3,328

3,528

3,755

4,012

4,308

4,655

5,070

5,581

6,223

7,051

8,157

' pc kJ/(kg 4,220 4,196 4,185 4,180 4,179 4,180 4,183 4,188 4,196 4,205 4,217 4,230 4,246 4,265 4,286 4,310 4,338 4,369 4,406 4,447 4,494 4,548 4,611 4,683 4,767 4,865 4,981 5,119 5,286 5,492 5,752 6,088 6,541
λ ''

17,1

17,2

17,7

18,5

19,4

20,4

21,3

22,2

23,1

24,1

25,1

26,2

27,4

28,7

30,1

31,6

33,2

34,8

36,5

38,3

40,1

42,0

44,1

46,3

48,6

51,2

54,1

57,3

60,9

64,9

69,5

75,1

82,3

1'419,0
λ '

W/(m K)-3

10

561,0

579,5

598,0

615,2

630,6

643,7

654,7

663,5

670,4

675,7

679,6

682,2

683,7

684,3

683,9

682,8

680,8

677,9

674,3

669,7

664,3

658,0

650,7

642,4

633,0

622,5

610,8

597,7

583,0

566,9

549,1

529,8

509,3

1'419,0
ρ ''

3

0,00485

0,00941

0,01731

0,03041

0,05124

0,08314

0,1304

0,1984

0,2937

0,4239

0,5981

0,8269

1,1220

1,4968

1,9665

2,5478

3,2593

4,1217

5,1583

6,3948

7,8603

9,5875

11,614

13,984

16,748

19,965

23,710

28,072

33,163

39,128

46,162

54,529

64,616

322,000
kg/m
ρ '

999,79

999,65

998,16

995,61

992,18

988,01

983,18

977,75

971,78

965,30

958,35

950,95

943,11

934,83

926,13

917,01

907,45

897,45

887,01

876,08

864,67

852,73

840,23

827,12

813,36

798,89

783,62

767,46

750,27

731,91

712,14

690,67

667,08

322,00
p
arb 0,00612 0,01228 0,02339 0,04247 0,07384 0,1235 0,1995 0,3120 0,4741 0,7018 1,014 1,434 1,987 2,703 3,615 4,761 6,181 7,921 10,03 12,55 15,55 19,07 23,19 27,97 33,47 39,76 46,92 55,03 64,16 74,42 85,88 98,65 112,84 220,64
ϑ

°C

0,01

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

373,95

Quelle [9.1]

Anhang

251

A3:

Stoffwerte gesättigten Wassers und Dampfes (Forts.)

Näherungsformeln für den Sättigungsdruck und die Dichte des gesättigten Dampfes,
gültig im gesamten Sättigungsbereich:

2
p = exp(11, 6885 − 3 746/ T − 228 675 / T ) ⋅ bar ± 0,8 %
s

2

3
ρ′′ = exp(11,41− 4194 / T − 99183 / T )⋅kg/m ± 6 %

Näherungspolynome für den Bereich von 0 °C bis 320 °C:

9

¦ Ci ⋅ϑ i
mit

R
ϑ R = ϑ /ϑ krit = ϑ /

373,95 C

°
i =0
ρ '

λ '

λ ''

c'

c''

p
p

C

999,80

0,561

17,10

4,2196

1,888

0

C

22,92

0,671

–7,55

–1,0880

0,341

1

C

–1 161,00

1,283

455,10

10,4200

–2,500

2

C

3 507,00

–20,700

–1 917,00

–46,5700

68,200

3

C

–9 975,00

79,630

20,50

98,8400

–571,000

4

C

19 710,00

–162,110

26 173,00

55,5340

2 525,000

5

C

–25 039,00

185,110

–89 184,00

–709,9000

–6 074,000

6

C

18 158,00

–109,560

13 5700,00

1 454,5000

8 195,000

7

C

–6 014,00

22,520

–100 790,00

–1 303,6000

–5 864,000

8

C

264,90

3,020

29 757,00

451,9000

1 748,000

9

Ergebnis in
kg/m3

W/(m K)

10-3 W/(m K)

kJ/(kg K)

kJ/(kg K)

Std.-Abw. in %

0,017

0,069

0,075

0,056

0,111
η '

η ''

Pr'

Pr'

r

C

1,791

9,199

13,468

1,0173

2 500,9

0

C

–21,595

20,400

–181,250

2,9730

–893,0

1

C

170,010

–208,000

1 510,760

–58,9400

224,0

2

C

–902,200

1 499,000

–8 269,400

443,3200

–2 484,0

3

C

3 201,520

–4 926,000

29 914,800

–1 729,3000

1 1784,0

4

C

–7 522,950

8 326,800

–71 208,642

3 922,7000

–42 215,0

5

C

11 487,000

–7 286,300

109 707,190

–5 359,6000

87 847,0

6

C

–10 916,000

3 077,800 –104 892,380

4 367,8000

–108 004,0

7

C

5 849,410

–655,200

56 431,800

–1 971,3000

72 611,0

8

C

–1 347,780

173,290

–13 032,700

385,4100

–20 870,0

9

Ergebnis in 10–3 kg/(m s)

10–6 kg/(m s)

-

-
kJ/kg K

Std.-Abw. in %

0,017

0,069

0,075

0,056

0,111

Wichtig: Nicht für Temperaturen über 320 °C verwenden.

252

Anhang

A4:

Stoffwerte des Wassers und Dampfes
p
ϑ
ρ
c
η
ν
λ

Pr

P
bar

°C
kg/m3
kJ/(kg K) 10-6 kg/(m s)

m2/s

10-3 W/(m K)

-

1

0

999,844

4,219

1 791,53

1,792

561,08

13,473

50

988,047

4,180

546,85

0,553

643,61

3,551

100

0,590

2,074

12,27

20,810

25,08

1,015

150

0,516

1,986

14,18

27,469

28,86

0,976

200

0,460

1,976

16,18

35,144

33,28

0,960

250

0,416

1,989

18,22

43,841

38,17

0,949

300

0,379

2,012

20,29

53,543

43,42

0,940

350

0,348

2,040

22,37

64,226

48,97

0,932

400

0,322

2,070

24,45

75,864

54,76

0,924

2

0

999,894

4,219

1 791,28

1,791

561,13

13,468

50

988,090

4,179

546,87

0,553

643,65

3,551

100

958,400

4,216

281,77

0,294

679,15

1,749

150

1,042

2,067

14,13

13,566

29,54

0,989

200

0,925

2,014

16,15

17,446

33,68

0,965

250

0,834

2,010

18,20

21,821

38,42

0,952

300

0,760

2,025

20,28

26,691

43,59

0,942

350

0,698

2,048

22,36

32,047

49,09

0,933

400

0,645

2,076

24,45

37,877

54,85

0,925

5

0 1 000,047

4,217

1 790,53

1,790

561,30

13,454

50

988,221

4,179

546,92

0,553

643,79

3,550

100

958,541

4,216

281,85

0,294

679,32

1,749

150

917,020

4,310

182,47

0,199

682,06

1,153

200

2,353

2,145

16,05

6,822

34,93

0,986

250

2,108

2,078

18,14

8,607

39,18

0,962

300

1,913

2,066

20,24

10,579

44,09

0,948

350

1,754

2,075

22,34

12,739

49,45

0,938

400

1,620

2,095

24,44

15,086

55,14

0,929

10

0 1 000,301

4,215

1 789,28

1,789

561,57

13,430

50

988,438

4,177

547,01

0,553

644,02

3,548

100

958,775

4,215

281,99

0,294

679,59

1,749

150

917,304

4,309

182,59

0,199

682,40

1,153

200

4,854

2,429

15,89

3,274

37,21

1,037

250

4,297

2,212

18,05

4,200

40,52

0,985

300

3,876

2,141

20,19

5,207

44,96

0,961

350

3,540

2,123

22,31

6,303

50,07

0,946

400

3,262

2,128

24,42

7,488

55,62

0,935

20

100

959,242

4,212

282,25

0,294

680,14

1,748

150

917,871

4,305

182,85

0,199

683,07

1,152

200

865,007

4,491

134,43

0,155

663,72

0,910

250

8,970

2,560

17,86

1,991

43,49

1,051

300

7,968

2,320

20,08

2,519

46,82

0,995

350

7,215

2,230

22,25

3,084

51,37

0,966

400

6,613

2,200

24,40

3,689

56,62

0,948

450

6,115

2,196

26,52

4,336

62,32

0,935

500

5,692

2,207

28,60

5,025

68,34

0,924

Quelle [9.1]

Anhang

253

A5:

Stoffwerte des Wassers und Dampfes (Fortsetzung)

p
ϑ
ρ
c
η
ν
λ

Pr

P
bar

°C
kg/m3
kJ/(kg K) 10-6 kg/(m s)

m2/s

10-3 W/(m K)

-

50

200

867,27

4,474

666,329

135,181

0,156

0,908

250

800,08

4,851

622,501

106,400

0,133

0,829

300

22,05

3,171

53,848

19,799

0,898

1,166

350

19,24

2,661

22,127

1,150

55,989

1,052

400

17,29

2,459

24,369

1,410

60,062

0,998

450

15,79

2,371

26,550

1,681

65,105

0,967

500

14,58

2,333

28,681

1,967

70,743

0,946

550

13,57

2,321

30,766

2,267

76,794

0,930

600

12,71

2,324

32,810

2,582

83,135

0,917

100

300

715,29

5,682

86,461

0,121

550,675

0,892

350

44,56

4,012

22,151

0,497

68,088

1,305

400

37,82

3,096

24,487

0,647

67,881

1,117

450

33,57

2,747

26,735

0,796

70,987

1,035

500

30,48

2,583

28,911

0,949

75,607

0,988

550

28,05

2,501

31,027

1,106

81,106

0,957

600

26,06

2,460

33,089

1,270

87,139

0,934

650

24,38

2,442

35,103

1,440

93,478

0,917

700

22,94

2,438

37,071

1,616

99,978

0,904

200

300

734,71

5,317

90,050

0,123

571,259

0,838

350

600,65

8,106

69,309

0,115

463,199

1,213

400

100,51

6,360

26,034

0,259

105,458

1,570

450

78,62

4,007

27,812

0,354

91,029

1,224

500

67,60

3,284

29,849

0,442

89,846

1,091

550

60,35

2,955

31,901

0,529

92,785

1,016

600

54,99

2,781

33,923

0,617

97,553

0,967

650

50,78

2,682

35,903

0,707

103,158

0,934

700

47,32

2,625

37,841

0,800

109,109

0,910

500

300

776,46

4,782

98,477

0,127

618,323

0,762

350

693,27

5,370

83,236

0,120

541,491

0,825

400

577,74

6,778

67,983

0,118

451,173

1,021

450

402,02

9,567

50,477

0,126

315,361

1,531

500

257,11

7,309

40,499

0,158

202,982

1,458

550

195,37

5,103

38,690

0,198

163,650

1,206

600

163,70

4,097

39,121

0,239

151,983

1,055

650

143,73

3,587

40,249

0,280

149,724

0,964

700

129,57

3,288

41,648

0,321

150,918

0,907

1 000

300

823,18

4,400

109,110

0,133

675,330

0,711

350

762,34

4,605

95,741

0,126

616,955

0,715

400

692,92

4,892

84,758

0,122

548,157

0,756

450

614,19

5,258

74,911

0,122

476,087

0,827

500

528,20

5,576

66,062

0,125

394,700

0,933

550

444,48

5,549

59,116

0,133

319,247

1,028

600

374,22

5,171

54,690

0,146

272,029

1,040

650

321,08

4,628

52,429

0,163

248,026

0,978

700

282,00

4,191

51,587

0,183

236,000

0,916

Quelle [9.1]

254

Anhang

A6:

Stoffwerte des Frigens 134a auf der Sättigungslinie
r
kJ/kg

222,8

219,5

216,2

213,0

209,5

206,0

202,4

198,6

194,7

190,7

186,6

182,2

177,8

173,1

168,2

163,0

157,6

151,8

145,7

139,1

132,0

124,3

115,9

106,4

Pr''

0,835

0,830

0,822

0,820

0,819

0,821

0,823

0,827

0,832

0,839

0,846

0,856

0,867

0,879

0,894

0,911

0,932

0,957

0,987

1,030

1,070

1,140

1,230

1,370

-

Pr'

4,71

4,54

4,39

4,26

4,13

4,01

3,90

3,80

3,70

3,61

3,53

3,46

3,39

3,33

3,27

3,22

3,18

3,14

3,12

3,10

3,10

3,12

3,16

3,24
ν ''

/s

2,700

2,196

1,806

1,498

1,253

1,055

0,895

0,764

0,656

0,567

0,492

0,429

0,375

0,330

0,291

0,257

0,228

0,203

0,181

0,162

0,145

0,130

0,117

0,105

2
m-60
ν '

1

0,289

0,274

0,261

0,248

0,236

0,225

0,215

0,205

0,196

0,187

0,178

0,170

0,163

0,155

0,149

0,142

0,136

0,129

0,124

0,118

0,112

0,107

0,102

0,097
η ''

9,507

9,719

9,946

10,160

10,380

10,590

10,810

11,020

11,240

11,460

11,680

11,910

12,140

12,380

12,630

12,890

13,170

13,470

13,790

14,150

14,560

15,040

15,600

16,310
kg/(m s)

η '

-6 01

98,1

89,7

405,6

381,1

358,4

337,2

317,4

298,9

281,6

265,3

249,9

235,4

221,7

208,7

196,3

184,6

173,4

162,7

152,5

142,7

133,2

124,1

115,2

106,6
p
c''

K)

0,765

0,781

0,798

0,816

0,835

0,854

0,875

0,897

0,921

0,946

0,972

1,001

1,032

1,065

1,103

1,145

1,192

1,246

1,310

1,387

1,482

1,605

1,771

2,012

' p
kJ/(kg
c

1,264

1,273

1,283

1,293

1,304

1,316

1,328

1,341

1,355

1,370

1,387

1,405

1,425

1,446

1,471

1,498

1,530

1,566

1,609

1,660

1,723

1,804

1,911

2,065
λ ''

8,70

9,14

9,66

10,11

10,57

11,03

11,49

11,96

12,43

12,92

13,42

13,93

14,46

15,01

15,58

16,19

16,84

17,54

18,30

19,14

20,09

21,17

22,44

24,00
λ '

W/(m K)-3

10

108,9

106,8

104,6

102,4

100,2

98,06

95,87

93,67

91,46

89,25

87,02

84,78

82,53

80,27

77,98

75,69

73,37

71,05

68,71

66,36

64,02

61,69

59,39

57,15
ρ ''

3,521

4,426

5,506

6,785

8,287

3

10,041

12,077

14,428

17,131

20,226

23,758

27,780

32,350

37,535

43,416

50,085

57,657

66,272

76,104

87,379

100,400

115,570

133,490

155,080
kg/m
ρ '

403,10

388,40

373,40

358,30

342,80

327,10

311,10

294,80

278,10

243,40

225,30

206,70

187,50

167,50

146,70

125,10

102,30

078,30

052,90

025,60

996,25

964,09

928,24

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1261,00

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
p
arb

0,662

0,844

1,064

1,327

1,639

2,006

2,433

2,928

3,496

4,146

4,883

5,717

6,653

7,701

8,869

10,165

11,598

13,177

14,913

16,816

18,896

21,167

23,641

26,332
ϑ

0

5

°C

–5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

–35

–30

–25

–20

–15

–10

Quelle [9.3]

Anhang

255

A6:

Stoffwerte des Frigens 134a auf der Sättigungslinie

(Fortsetzung)

Näherungsformel für den Sättigungsdruck und die Dichte des gesättigten Dampfes.

Gültig von –35 bis +80 °C.

Näherungspolynome für den Bereich von –35 °C bis +80 °C.

6

¦ Ci ⋅ϑ i mit

R
ϑ R = ϑ /ϑ krit = ϑ /1

05

,

01

C

°
i = 0
ρ '

ρ ''

λ '

λ ''

c'

c''

p
p

C

1294,8000

14,432

93,6610

11,96200

1,3412

0,8975

0

C

–333,1800

50,335

–44,4710

9,46000

0,2586

0,4325

1

C

–74,8070

71,630

–1,3931

1,37592

0,1849

0,2574

2

C

–2,0400

5,0382

0,6391

0,95450

–123,7600

2,0974

3

C

–18,4720

14,333

–2,9691

–0,95880

–0,0769

–0,1909

4

C

76,9178

–79,744

4,3914

–7,73060

–2,5225

–4,0597

5

C

–159,0400

163,240

1,5307

16,07700

3,6497

5,9750

6

Ergebnis in
kg/m3
kg/m3

10-3 W/(m K)

10-3 W/(m K)

kJ/(kg K)

kJ/(kg K)

Std.-Abw. %

0,005

0,405

0,013

0,078

0,086

0,184
η '

η ''

Pr'

Pr'

r

10–6 kg/(m s)

10–6 kg/(m s)

-

-
kJ/kg

C

265,2700

11,0235

3,7977

0,8271

198,6140

0

C

–319,7300

4,3362

–2,0036

0,0735

–76,8680

1

C

192,6100

0,2324

1,4628

0,2551

–26,1190

2

C

–123,7600

2,0974

–0,2527

0,4615

–14,8650

3

C

77,2810

0,1718

0,7457

0,1096

0,7774

4

C

–42,575

–5,3073

–2,8296

–3,0793

–11,9400

5

C

4,5818

9,1226

3,3467

4,0928

–16,9020

6

Ergebnis in 10–6 kg/(m s)

10–6 kg/(m s)

-

-
kJ/kg

Std.-Abw. in % 0,013

0,025

0,063

0,228

0,025

Wichtig: Nicht für Temperaturen, die unter –35 °C bzw. über +80 °C liegen, verwenden.

256

Anhang

A7:

Stoffwerte der Luft bei 1 bar Druck
ϑ
ρ
λ
c
η
ν

Pr
a
p

°C
kg/m3

10-3 W/(m K)

J/(kg K) 10-6 kg/(m s) 10-6 m2 / s

-

10-9 m2/s

–8 0

1,807

17,74

1 009

12,94

7,16

0,7357

9,73

–6 0

1,636

19,41

1 007

14,07

8,60

0,7301

11,78

–4 0

1,495

21,04

1 007

15,16

10,14

0,7258

13,97

–3 0

1,433

21,84

1 007

15,70

10,95

0,7236

15,13

–2 0

1,377

22,63

1 007

16,22

11,78

0,7215

16,33

–1 0

1,324

23,41

1 006

16,74

12,64

0,7196

17,57

0

1,275

24,18

1 006

17,24

13,52

0,7179

18,83

1 0

1,230

24,94

1 007

17,74

14,42

0,7163

20,14

2 0

1,188

25,69

1 007

18,24

15,35

0,7148

21,47

3 0

1,149

26,43

1 007

18,72

16,30

0,7134

22,84

4 0

1,112

27,16

1 007

19,20

17,26

0,7122

24,24

6 0

1,045

28,60

1 009

20,14

19,27

0,7100

27,13

8 0

0,9859

30,01

1 010

21,05

21,35

0,7083

30,14

100

0,9329

31,39

1 012

21,94

23,51

0,7070

33,26

120

0,8854

32,75

1 014

22,80

25,75

0,7060

36,48

140

0,8425

34,08

1 016

23,65

28,07

0,7054

39,80

160

0,8036

35,39

1 019

24,48

30,46

0,7050

43,21

180

0,7681

36,68

1 022

25,29

32,93

0,7049

46,71

200

0,7356

37,95

1 026

26,09

35,47

0,7051

50,30

250

0,6653

41,06

1 035

28,02

42,11

0,7063

59,62

300

0,6072

44,09

1 046

29,86

49,18

0,7083

69,43

350

0,5585

47,05

1 057

31,64

56,65

0,7109

79,68

400

0,5170

49,96

1 069

33,35

64,51

0,7137

90,38

450

0,4813

52,82

1 081

35,01

72,74

0,7166

101,5 0

500

0,4502

55,64

1 093

36,62

81,35

0,7194

113,1 0

550

0,4228

58,41

1 105

38,19

90,31

0,7221

125,1 0

600

0,3986

61,14

1 116

39,17

99,63

0,7247

137,5 0

650

0,3770

63,83

1 126

41,20

109,30

0,7271

150,3 0

700

0,3576

66,46

1 137

42,66

119,30

0,7295

163,5 0

750

0,3402

69,03

1 146

44,08

129,60

0,7318

177,1 0

800

0,3243

71,54

1 155

45,48

140,20

0,7342

191,00

850

0,3099

73,98

1 163

46,85

151,20

0,7368

205,20

900

0,2967

76,33

1 171

48,19

162,40

0,7395

219,70

1 000

0,2734

80,77

1 185

50,82

185,90

0,7458

249,20

Quelle: [9,3]

Formel für die oberen Stoffwerte von –80 °C bis 1 000 °C mit ϑ = ϑ /1 000 ⋅ K

R

1

3
ȡ
p / R T

348 , 68 T −

=

⋅ =

⋅

⋅ K ⋅ kg/m ± 0,066 %

5
i

¦ C ⋅ϑ mit ϑ =ϑ /ϑ =ϑ /1000 K
i

R

R
krit
i =0
λ
c
η
ν

Pr
a
p

C

24,18

1006,3

17,23

13,53

0,718

18,84

0

C

76,34

7,4

50,33

89,11

–0,166

128,72

1

C

–48,26

525,6

–34,17

111,36

0,686

168,71

2

C

62,81

–334,5

24,22

–48,80

–0,954

–160,40

3

C

–45,68

–195,2

–4,11

28,60

0,581

155,62

4

C

11,39

175,6

–2,67

–7,91

–0,117

–62,31

5

Ergebnis in

10-3 W/(m K)

J/(kg K) 10-6 kg/(m s) 10-6 m2/s

-

10-8 m2/s

Std.-Abw. in %

0,013

0,036

0,225

0,062

0,063

0,050

Anhang

257

A8:

Stoffwerte der Feststoffe

Metalle und Legierungen
ϑ
ρ
c
λ
a
p

°C
kg/m3

J/(kg K)

W/(m K)

10-6 . m2/s

Aluminium

20

2 700

945

238

93,4

Blei

20

11 340

131

35,3

23,8

Bronze (6 Sn, 9 Zn, 84 Cu, 1 Pb)

20

8 800

377

61,7

18,6

Eisen

Gusseisen 3 % C

20

7 870

450

58

14,7

Stahl ST 37.8

20

7 830

430

57

16,9

Cr-Ni-Stahl 1.4541

20

7 900

470

15

4,1

Cr-Stahl X8 Cr7

20

7 700

460

25,1

7,1

Gold (rein)

20

19 290

128

295

119

Kupfer (rein)

20

8 960

385

394

114

Baustoffe

Ziegelmauerwerk

20

1 400

840

0,79

0,49

1 800

840

0,81

0,54

Verputz

20

1 690

800

0,79

0,25

Tanne, radial

20

600

2 700

0,14

0,09

Sperrholz

20

800

2 000

0,15

0,09

Korkplatten

30

190

1 880

0,041

0,11

Mineralwolle

50

200

920

0,064

0,25

Glaswolle

0

200

660

0,037

0,28

Steine und Gläser

Erdreich

20

2 040

1 840

0,59

0,16

Schamottsteine

100

1 700

840

0,50

0,35

Quarz

20

2 100

780

1,40

0,72

Sandstein

20

2 150

710

1,60

1,00

Marmor

20

2 500

810

2,80

1,30

Granit

20

2 750

890

2,90

1,20

Fensterglas

20

2 480

700

1,16

0,50

Pyrexglas

20

2 240

774

1,06

0,61

Quarzglas

20

2 210

730

1,40

0,87

Kunststoffe

Polyamide

20

1 130

2 300

0,280

0,12

Polytetrafluoräthylen (Teflon)

20

2 200

1 040

0,230

0,10

Gummi, weich

20

1 100

1 670

0,160

0,09

Styroporschaumstoff

20

15

1 250

0,029

0,36

Polyvinylchlorid (PVC)

20

1 380

960

0,150

0,11

Quellen [9.1, 9.3]

258

Anhang

A9:

Stoffwerte technischer Wärmeträger auf Mineralölbasis

Stoff

Hersteller Anwendungs-
ρ
c
ν
λ
p

Bereich

°C
kg/m3
kJ/(kg K)

10-6 m2/s

W/(m K)

Farolin U

Aral

–10

886

1,80

15,8

0,135

325

682

3,10

0,60

0,113

Farolin S

Aral

–25

931

1,66

1 396

0,129

305

710

2,93

0,52

0,113

Farolin T

Aral

–30

914

1,74

91,9

0,132

300

695

2,84

0,56

0,111

Thermofluid A

AVIA

–25

947

1,70

804

0,133

250

751

2,68

0,52

0,114

Thermofluid B

AVIA

0

878

1,81

300

0,136

310

688

2,94

0,59

0,113

Transcal N

BP

0

889

1,95

310

0,135

320

680

3,04

0,56

0,115

Transcal LT

BP

–20

900

1,80

300

0,136

260

732

2,77

0,49

0,118

Deacal A 12

Shell &

0

882

1,75

82,6

0,135

DEA

250

720

2,67

0,53

0,117

Deacal 32

Shell &

0

887

1,78

310

0,135

DEA

270

711

2,78

0,68

0,115

Deacal 46

Shell &

0

885

1,80

604

0,133

DEA

280

709

2,81

0,84

0,113

Thermalöl S

Esso

–10

893

1,80

47,3

0,134

240

731

2,67

0,52

0,116

Thermalöl T

Esso

0

877

1,81

285

0,135

320

670

3,01

0,6

0,112

Essotherm 650

Esso

0

909

1,77

15 803

0,130

320

702

2,92

1,34

0,108

Caloran 32

Fina

0

883

1,86

300

0,134

320

648

3,25

0,62

0,111

Mobiltherm 594

Mobil Oil

–44

914

1,64

300

0,135

250

724

2,70

0,42

0,116

Mobiltherm 603

Mobil Oil

–8

876

1,79

300

0,137

300

677

2,98

0,52

0,113

Thermia Öl A

Shell

–25

917

1,71

300

0,133

250

751

2,68

0,52

0,114

Thermia Öl B

Shell

–2

878

1,81

300

0,136

310

688

2,93

0,59

0,113

Mihatherm WU 10

SRS

–20

914

1,69

341

0,133

250

752

2,80

0,50

0,113

Mihatherm WU 46

SRS

0

883

1,81

529

0,135

320

678

2,97

0,60

0,112

Quelle [9.3]

Anhang

259

A10:

Stoffwerte der Kraftstoffe bei 1,013 bar

Benzin
ϑ
ρ
c
λ
η
a

Pr
p

°C
kg/m3 J/(kg K)

W/(m K)

10-6 kg/(m s) 10-8 m/s

–50

775

2 051

0,142

0,981

8,89

14,20

–25

755

2 093

0,141

0,686

8,89

10,20

0

735

2 135

0,140

0,510

8,89

7,80

20

720

2 198

0,140

0,402

8,83

6,30

50

690

2 260

0,143

0,294

9,17

4,65

100

650

2 286

0,136

0,196

8,75

3,45

Quelle [9.3]

Heizöl S
ϑ
ρ
c
λ
η
a

Pr
p

°C
kg/m3 J/(kg K) W/(m K)

10-3 kg/(m s)

10-8 m2/s

-

80

910

2 040

0,1190

67,34

6,41

1 155

90

904

2 080

0,1180

44,30

6,28

780

100

898

2 120

0,1170

30,53

6,15

553

110

892

2 160

0,1160

22,30

6,02

415

120

885

2 205

0,1155

16,46

5,92

314

130

879

2 250

0,1150

12,31

5,81

240

140

873

2 280

0,1143

9,34

5,74

186

150

867

2 310

0,1136

7,28

5,67

148

160

861

2 350

0,1129

5,94

5,58

124

170

855

2 390

0,1122

5,13

5,49

109

180

850

2 430

0,1115

4,68

5,40

102

Quelle [9.1]

260

Anhang

A11:

Emissionskoeffizienten verschiedener Oberflächen

1. Metalle

Temperatur
ε
ε
n

K

Aluminium, walzblank

443

0,039

0,049

773

0,050

-, hochglanzpoliert

500

0,039

850

0,057

-, oxidiert bei 872 K

472

0,110

872

0,190

-, stark oxidiert

366

0,200

777

0,310

Aluminiumoxid

550

0,630

1 100

0,260

Blei, grau oxidiert

297

0,280

Chrom, poliert

423

0,058

0,071

1 089

0,360

Gold, hochglanzpoliert

500

0,018

900

0,035

Kupfer, poliert

293

0,030

-, leicht angelaufen

293

0,037

-, schwarz oxidiert

293

0,780

-, oxidiert

403

0,760

-, geschabt

293

0,070

Inconel, gewalzt

1 089

0,690

-, sandgestrahlt

1 089

0,790

Gusseisen, poliert

473

0,210

Stahlguss, poliert

1 044

0,520

1 311

0,56

oxidierte Oberflächen:

Eisenblech

-, rot angerostet

293

0,612

-, stark verrostet

292

0,685

-, Walzhaut

294

0,657

Stahlblech, dicke raue Oxidschicht

297

0,800

Gusseisen, raue Oberfläche, stark oxidiert

311 bis 522

0,950

Magnesium, poliert

311

0,070

811

0,180

Magnesiumoxid

550

0,550

1 100

0,200

Messing, nicht oxidiert

298

0,035

373

0,035

-, oxidiert

473

0,610

873

0,590

Nickel, nicht oxidiert

298

0,045

373

0,060

-, oxidiert

473

0,370

873

0,478

Anhang

261

A11:

Emissionskoeffizienten verschiedener Oberflächen (Forts.)

Temperatur
ε
ε
n

K

Platin

422

0,022

1 089

0,123

Quecksilber, nicht oxidiert

298

0,100

373

0,120

Silber, poliert

311

0,022

644

0,031

Titan, oxidiert

644

0,540

1 089

0,590

Uranoxid (U O )

1 300

0,790

3

8

1 600

0,780

Wolfram

298

0,024

773

0,071

1 273

0,150

1 773

0,230

verzinktes Eisenblech

-, blank

301

0,228

-, grau oxidiert

297

0,276

2. Nichtmetalle

Asbest, Pappe

296

0,960

-, Papier

311

0,930

644

0,940

Beton, rau

273 bis 366

Dachpappe

294

0,910

Gips

293

0,8 bis 0,9

Glas

293

0,940

Quarzglas (7 mm dick)

555

0,930

1 111

0,470

Gummi

293

0,920

Holz, Eiche, gehobelt

273 bis 366

0,900

-, Buche

343

0,940

0,910

Keramik, feuerfest, weißes Al O

366

0,900

2

3

Kohlenstoff, nicht oxidiert

298

0,810

773

0,790

-, Fasern

533

0,950

-, graphitisch

373

0,760

773

0,710

Korund, Schmirgel, rau

353

0,850

0,840

262

Anhang

A11:

Emissionskoeffizienten verschiedener Oberflächen (Forts.)

3. Lacke, Farben

Temperatur
ε
ε
n

K

Ölfarbe, schwarz

366

0,920

-, grün

366

0,950

-, rot

366

0,970

-, weiß

366

0,940

Lack, weiß

373

0,925

-, matt, schwarz

353

0,970

Bakelitlack

353

0,935

Mennigeanstrich

373

0,930

Heizkörper (nach VDI-74)

373

0,925

Emaille, weiß auf Eisen

292

0,897

Marmor, hellgrau poliert

273 bis 366

0,900

Papier

273

0,920

366

0,940

Porzellan, weiß

295

0,924

Ton, glasiert

298

0,900

-, matt

298

0,930

Wasser

273

0,950

373

0,960

Eis, glatt mit Wasser

273

0,966

0,920

-, rauer Reifbelag

273

0,985

Ziegelstein, rot

273 bis 366

0,930

Quelle [9.3]

Anhang

263

A12:

Formelsammlung

Energiebilanzgleichungen
dϑ

V

⋅ ρ ⋅ c

= Q + Q

+ m ⋅( h − h )

KV
p

12

Quelle

2

1
transient
dt

Q + Q

= m ⋅( h − h ) = m⋅ c ⋅(ϑ −ϑ ) stationär 12

Quelle

2

1
p

2

1

Kinetische Koppelungsgleichungen
ϑ2
δ Q =α ⋅(ϑ −ϑ )⋅ dA
ϑ
α

12

2

2

W 2

2

W 2

W

.

α

Q

2

12
δ Q = α ⋅(ϑ −ϑ )⋅ dA

12

W

W 2

W 1

W
ϑ W 1 α
δ

1

Q

=α ⋅(ϑ ϑ

− )⋅ dA

12

1

1

W

1

1
ϑ1
δ Q = k ⋅(ϑ −ϑ )⋅ dA

12

2

1

1

Wärmeleitung in Festkörpern

Ebene Wände
s
α = λ / s
ϑ
i
i
i
f1

A
αf1ϑ1

Fluid 2

1

1
n

1

1

1
n
s

1
i

=

+ ¦

+

=

+ ¦ +

.

Q
k
α
ϑ

= α
α
α

= λ
α

2
f 1
i 1

Wi
f 2
f 1
i 1
i
f 2

Fluid 1
α f2
ϑ −ϑ
ϑ −ϑ
ϑf2
f 1

1
k

=
ϑ −ϑ
k
k
i
i +1

=

2
f 2

=
ϑ −ϑ
α ϑ
ϑ −ϑ
α

1 − ϑ 2
α
f 1
f 2
f 1
f
f

Wi
f 1
f 2
f 2
x
x
x

1

2

Hohlzylinder

2 ⋅ λ i
α =

.

i
r
r

Q
d

⋅ln( d / d )

1
r
n 1

+
i 1

+
i

2

1
d

1
i= n d

1
ϑ
n 1

+
n 1

=

⋅

+

+

¦

⋅ln( d / d )

f 1
ϑ

+

+

1
i 1
α
k
d
α

2
i
f 1
ϑ α

=

⋅λ
α

1
f 1
i 1
i
f 2

2
f 2
ϑ f 2
ϑ −ϑ

+
ϑ −ϑ
ϑ

+

+

+ − ϑ
f 1

1
d
k
d
k
n 1
f 2
k
n 1
i
i 1
n 1

=

⋅

=

⋅

=
ϑ −ϑ
d
α
ϑ −ϑ
d
α
ϑ −ϑ
α
f 1
f 2

1
f 1
f 1
f 2
i

Wa
f 1
f 2
f 2

264

Anhang

A12:

Formelsammlung (Fortsetzung)

Hohlkugel
r 2

.

2 ⋅ λ

Q
α
r 1 r

Wa = d ⋅( d / d − )

1

2

2

1

2

1
d

1
i n d

+

+ ⋅ ( d

/ d

+

− d / d )

1
n 1
n 1
n 1
i
n 1

+
i 1

=

⋅

+ ¦

=

+

+
ϑ

2
f 1
k
d
α

2⋅
ϑ

=
λ
α

1
α
f 1
i 1
i

2

1
f
f 2
α
ϑ
f 1

2
ϑ

2

2
ϑ −ϑ
f 2

+
ϑ −ϑ
ϑ

+

+

+ −ϑ
f 1

1
d
k
d
k
n 1
f 2
k
n 1
i
i 1
n 1

=

⋅

=

⋅

=

2

2
ϑ −ϑ
d
α
ϑ −ϑ
d
α
ϑ −ϑ
α
f 1
f 2
f 1
f 1
f 2
i

Wa
f 1
f 2

2

1
f

Instationäre Wärmeleitung
ϑ −ϑ

Dimensionslose Temperatur Θ :

∞

Θ = ϑ A −ϑ∞

Biotzahl:

Bi = α ⋅ s / λ

Fourierzahl:

2

Fo = a ⋅ t / s

Siehe Digramme S. 50 bis 52

Kontakttemperatur:

1

−

§

· §

·
λ ⋅ ρ ⋅ c
λ ρ c
p

⋅

⋅

2

2

2

2

2
p 2

¨

¸ ¨

¸
ϑ
ϑ
ϑ

K =

A +

⋅ A ⋅ 1+

1

2

¨
λ ρ c

¸ ¨
λ ρ c ¸

⋅ ⋅ p

⋅ ⋅

1

1

1

1

1

1

©

¹ ©
p

¹

Abkühlung eines kleinen Körpers in einem großen Bad
α ⋅ A

−
t

⋅

⋅

1
m c 1

(ϑ −ϑ ) = (ϑ −ϑ )

p

⋅ e

1

A 2

1

A

A 2

Anhang

265

A12:

Formelsammlung (Fortsetzung)

Erzwungene Konvektion

Kennzahlen
d = 4 ⋅ A / U
geschlossene Kanäle
h
c ⋅ L

Re =

L = l
ebene Fläche L = Strömungsweg

L
ν

L ' = A / U
angeströmter Einzelkörper
proj
α ⋅ L

Nu =

L
λ
ν η ⋅ cp

Pr =

=
a
λ

Geschlossene Kanäle

2/3

Re ⋅ Pr
ξ

ª

º

§

·

⋅

⋅
d
d
c d
m d
h

Nu

=

⋅

⋅ 1
h
h
h

« + ¨ ¸ » ⋅ f

Re =

=
d , turb

2
d
h

2/3

8 1+12,7⋅ ξ / 8 ⋅ ( Pr −1)

h

« © L ¹

¬

»

ν

A⋅η

¼

0,11

2

( Pr / Pr )

ξ

−

= 1

ª ,8⋅log( Re ) −1,5

W

º
f =
d

2

¬

¼
h

0,45

( T / T )

W

Re − 2300
d

3

3

1,5
h

3

Nu

= 3,66 + 0,664 ⋅ Pr ⋅ (Re ⋅ d / L) γ =
d , lam
d
h
h
h

7 700

Nu
wenn Re

≤ 2300
d ,
h lam
dh

Nu

= Nu
wenn Re

≥10000
d
d , turb
d
h
h
h

(1− γ ) ⋅ Nu

( Re

= 2300) + γ ⋅ Nu

( Re

= 10000) sonst
d , lam
d
d ,
h
h
h turb
dh

Ebene Wand

3

Nu

= 0,644⋅ Pr ⋅ Re
l , lam

L

0,8

0,25

0, 037 ⋅ Re ⋅ Pr

°( Pr / Pr )

für Flüssigkeiten

L

W

Nu

=

⋅ ®
l , turb

0,

− 1

2/ 3

1 + 2, 443⋅ Re

⋅( Pr −1) 1

°¯

für Gase

L

2

2

Nu = Nu

+ Nu
l
l , lam
l , turb

266

Anhang

A12:

Formelsammlung (Fortsetzung)

Quer angeströmte Einzelkörper:

2

Kugel

NuL′ =

,0

0, 3

Zylinder

3

Nu

= 0,664⋅ Pr ⋅ Re
für 1 < Re

< 1000

L′, lam

L′

L′

0,8

0,48

5

7

Nu

= 0,037⋅ Re ⋅ Pr

⋅ f
für 10 < Re < 10

L′, turb

L′

4

L′

2

2

Nu = Nu

+ Nu

+ Nu

L′

L′,0

L′, lam

L′, turb

0,25
f = ( Pr / Pr )

für Flüssigkeiten und

0 121

,
f = ( T / T )

für Gase

4

W

4

W

Quer angeströmte Rohrbündel:

a = s / d , b = s / d s Rohrteilung senkrecht zur Ströung, s parallel dazu 1
a

2
a

1

2

2

V
π ⋅ d ⋅ l
π

1
fest

−

= 1−

= 1−
für b ≥ 1

V

4 ⋅ s ⋅ d ⋅ l

4 ⋅ b

1

Ψ =

2

V
π ⋅ d ⋅ l
π

1
fest

−

= 1−

= 1−
für b < 1

Ψ
c = c Ψ

/

0

V

4 ⋅ s ⋅ s ⋅ l

4 ⋅ a ⋅ b

1

2
c ⋅ L′

Re

Ψ

=

Nu

= Nu ( Re

)

Ψ , L′

Ψ , L′

L′

Ψ , L
ν

′

0, 7 ⋅ ( b / a − 0,3)

1+
fluchtende

Anordnung

1,5

2

Ψ ⋅( b / a + 0,7)

f =

A

2

1+

versetzte Anordnung

3⋅ b

2

074423 + 0,8⋅ n − 0, 006 ⋅ n
wenn n ≤ 5
f =
n

0, 018 + exp[0,0004⋅( n − 6) − ]

1
wenn n ≥ 6

Nu

= α ⋅ L′ / λ = Nu ⋅ f ⋅ f

Nu

= α ⋅ L′ / λ = Nu ⋅ f ⋅ f

Bündel

L′

A
n

Rohrreihe

L′

A
j

Anhang

267

A12:

Formelsammlung (Fortsetzung)

t
s

R

Rippenrohr
d
d a

D

Q = k ⋅ A⋅ ϑ

Δ m

1

A

1
d
d
d

1
a
a
a

=

⋅

+

⋅ln

+

⋅
k

A + A ⋅

⋅

0
η α

2 λ
d
d
α

Ri

Ri
a

R
i
i
i
tanh X

2 ⋅α
η
d

=

X
a
a

= ϕ ⋅

⋅

Ri

X

2
λ ⋅ s

Kreisrippen
ϕ = ( D / d − )

1 ⋅ +

⋅ D d
a

[1 35

,

0
ln(

/

)

a ]

Rechteckrippen
ϕ = (ϕ′ − )

1 ⋅[1+ 35

,

0

⋅lnϕ ]′ mit ϕ′ = ,128⋅( b / d ) l b

R
a

⋅

/

R

R −

,

0 2

Zusammenhängende Rippen
ϕ = (ϕ′ −1)⋅[1+ 0,35⋅lnϕ′]

mit ϕ′ = 1, 27 ⋅ ( b / d ) ⋅ l / b − 0,3

R
a

R

R

Gerade Rippen auf ebener Grundfläche ϕ = 2 ⋅ h / da

Rohrbündel mit Kreisrippenrohren

Nu

= C ⋅ Re 0,6 ⋅ ( A + A ) / A −0 15

,

0

⋅ Pr 1/3 ⋅ f 4 ⋅ f
d
d
a
a

[ Ri

]

n

C = 0,2 fluchtend, C = 0,38 versetzt

A = π ⋅ d ⋅ l A = π ⋅ d ⋅ l ⋅ 1

( − s / t )

a

0
a

R
π
l

A = 2 ⋅

⋅( D 2 − d 2)⋅

Ri
a

4
tR

A
d

Ri

2

= ª( D / d ) −1
a

º ⋅

¬
a

¼

A

2 ⋅ tR

1

−

ª

1
s ⋅ ( D − d ) º
c ⋅ (1

« − )

a

−
wenn b

»

≥ 1

0
a
s

¬

⋅ t

1

R

¼
c ⋅ d
e
a
c =

Re =
e

1

−

ª

⋅ ⋅

−

º
ν

2

2 s ( D d )

2
c ⋅

1

« + (2⋅ b / a)

a

− −
wenn b

»

< 1

0
a
s

¬

⋅ t

1

R

¼

268

Anhang

A12:

Formelsammlung (Fortsetzung)

Freie Konvektion

Vertikale Wände:

3
g ⋅ L ⋅ β ⋅ (ϑ −ϑ )

1

W

0

Gr =
mit
β =
für ideale Gase

2
ν

T 0

L = A / U

Ra = Gr ⋅ Pr
proj

−

Nu

{

( Gr Pr) (

Pr −

=

+

⋅

⋅

⋅ +

⋅

) }2

8/ 27

1/ 6

9/16

0,825 0,387

1 0, 671
l

Geneigte Wände

Ra ⋅ cosα
wenn Ra ≥ Rac

Nu =
l

1/ 4

1/3

1/ 3

0,56 ⋅ ( Ra ⋅ cosα )

+ 0,13⋅ ª( Ra ⋅cos

¬
α) − Ra º
wenn Ra > Ra
c
c

¼
c

Horizontale Zylinder

2

1/ 6

9/16

8

− / 27

Nu = ª 0, 752 + 0,387 ⋅ Ra ⋅ (1+ 0, 721⋅ Pr−

)

º

L '

¬

L '

¼

Kondensation

Kondensation an senkrechten Flächen und waagerechten Rohren

2
ν
m

Γ
l

3

L′ =
l

Γ =

Re =
l
g
b
η l
bei senkrechten Wänden die Breite der Wand:

b = b
bei senkrechten Rohren die Summe der Rohrumfänge:

b = n . π . d
bei waagerechten Rohren die Summe der Rohrlängen:

b = n . l

Lokale Wärmeübergangszahlen

1/ 3

§1− ρ / ρ ·

7 / 24

1/3

0, 0283⋅ Re

⋅ Pr

Nu

= 0,693
g
l

⋅¨

¸ ⋅ f
l
l

Nu

=

L ', lam, x
well

L' , turb, x

Re

©

−3/8

−1/6

1 + 9, 66 ⋅ Re

Pr
l

¹
l
l

1
für

Rel < 1
f well = ®¯ 0,04

Re
für

Re
l
l ≥ 1
α ⋅ L′
x

2

2

0,25

Nu

=

= Nu

+ Nu

⋅(η /η )

L' , x

L , lam, x

L , turb, x
ls
lW
λ

′

′
l

Anhang

269

A12:

Formelsammlung (Fortsetzung)

Mittlere Wärmeübergangszahlen

1/ 3

§ (1− ρ / ρ ) ·

7 / 24

1/ 3

0, 020 ⋅ Re

⋅ Pr

Nu

= 0,925
g
l

⋅¨

¸ ⋅ f
l
l

Nu

=

L' , lam
well

L' , turb

Re

©

3/

− 8

1

− /6

1 + 20,52 ⋅ Re

Pr
l

¹
l
l
α ⋅ L′

1,2

1,2

0,25

1,2

Nu =

= Nu

+ Nu

⋅(η /η )

L'

L , lam

L , turb
ls
lW
λ

′

′
l

Kondensation bei der Strömung in Rohren

Lokale Wärmeübergangszahl bei abwärtsgerichteter Dampfströmung

*

*

1/ 3

2

2

Nu

= 1

( +τ )

⋅ ( C ⋅ Nu

) + ( C

Nu

)

L′

⋅

, x

ZP
lam

L′, lam, x
turb

L′, turb, x

2
τ
ζ ⋅ ρ ⋅ c
c ⋅ d

*
g
g
g
g
τ =
τ =

0,

− 2
ζ = 0,184
g
i

⋅ Re

Re =
g
g
g
g
g
g ⋅ ρ ⋅δ +

8
ν
l
g

° 30

,

0
für

*
τ g ≤1

*

*

*
τ = τ ⋅[1+ 550⋅ F ⋅(τ ) a ] a = ®

ZP
g

ZP

°¯ 85

,

0
für

*
τ g > 1

0,5

0 9
max ª(2 ⋅ Re ) ; 0,132

,

⋅ Re º

¬

¼ η
ρ
l
l
g
l

F =

⋅

⋅

0 9

,

Re
η
ρ
g
g
l

C

= 1+ ( 0,56

Pr

− )

1 ⋅ tanh( *
τ )

C

= 1+ ( 0,08

Pr

− )

1 ⋅ tanh( *
τ )

lam
l

ZP
turb
l

ZP
δ +

6, 59 ⋅ F

=
d

1+1 400⋅ F

Lokale Wärmeübergangszahl bei aufwärtsgerichteter Dampfströmung

*

*

*
τ =τ ⋅[1+1 400⋅(τ ) a ]

ZP
g

ZP

+

*

+ 2
τ ⋅δ
τ ⋅ ρ ⋅ g ⋅(δ )

ZP

ZP
l

We =

=
muss kleiner als 0,01 sein
σ
σ
l
l

270

Anhang

A12:

Formelsammlung (Fortsetzung)

Lokale Wärmeübergangszahl in waagerechten Rohren

1/ 3

*

*

2

2

Nu

= τ

⋅ ( C ⋅ Nu

) + ( C

Nu

)

L ,

′

⋅
x
g
lam

L′, lam, x
turb

L ,

′ turb, x

⋅ m ⋅
ε

4
x

= −

1

1
δ = 0, 25⋅ (1− ε ) ⋅ d cg =
i

2

+

1
ρ
d
g ⋅ π ⋅ (
i − 2 ⋅ δ )

1

,

8 48 ⋅ F

184

,

0

⋅ Re−0,2
τ
g
τ =

⋅

*
g
c 2 ⋅ ρ
τ =

⋅(1+ 850⋅ F)

g
g
g
g

8
g ⋅ ρ ⋅δ
l

Verdampfung

Blasenssieden

2 ⋅σ
q
q
α ⋅ d
d = ,

0 0149

0

⋅ β ⋅
α =

=

B

A

Nu

=

A

B

d
g ⋅ (ρ − ρ )

ϑ −ϑ

Δϑ

A
λ
l
g

W
s
l

Wasser:

b 0 = 45°

Kältemittel:

b 0 = 35°

Benzol:

b 0 = 40°

0 , 25

0 ,133

0 ,9 − 0 ,3 ⋅ p*

§ λ ⋅ ρ ⋅ c

·

§ R ·

§ q ·
α = α ⋅ f ( p*)

l
l
pl
a

⋅ ¨

¸

⋅ ¨

¸

⋅ ¨

¸

B

0

¨© λ ρ c ¸

⋅

⋅

R
q
l 0
l 0
pl 0 ¹

© a 0 ¹

© 0 ¹
p* = p / p R = 0,4 μm q = 20 000 W/m2 p * = 0,1
krit
a 0

0

0

§

0, 68 ·

0,27

2

1, 73⋅ p *

+¨6,1+

¸⋅ p *
für Wasser

©

1− p * ¹
f ( *
p ) =

§

1

·

0,27
f ( *
p ) = 1, 2 ⋅ p *

+¨2,5 +

¸⋅ p *
für andere reine Stoffe

©

1− p * ¹

0,674

0 156

,

0,371

0,35

2

2

§ q ⋅ d ·

§ ρ
ρ
g ·

§ r d
a

A

⋅

·

§

A
l ⋅

·

0
l

0 16

,

Nu

Pr
d

= 1

,

0

−

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

0

A

¨¨

¸¸

¨¨

¸¸

¨¨

2

¸¸

¨¨

¸¸

© λ T
ρ
a
σ d
l ⋅
s ¹

© l ¹

©
l

¹

© ⋅

¹
l

A
f (0,1)

λ

1
λ
l
l
α =

⋅ Nu ⋅

=

⋅ Nu ⋅

0
d 0
d 0
f (0, 03)

A
d
f (0, 03)

A
d

A

A

Anhang

271

A12:

Formelsammlung (Fortsetzung)

Strömungssieden
c 0 ⋅ d
m

⋅ d
c 0 ⋅ d

⋅
g
h
m d
l
h
h
h

Re =

=

Re =

=

R = ρ /ρ
l
g
ν

A⋅η
ν

A⋅η
l
g
l
l
l
g
x 2
α =

1

⋅ ³α( x) dx
x
x

2 −

1
x 1

Vertikale Rohre

−

0,01

−

1

( − x)

⋅[

,

1 5

0,6

0,35

1

( − x) + 9

,

1 ⋅ x

⋅ R

]

.

0 5

2,2

½

+
α x

°°

°°

−

= ®

ªα g

º

¾

0,01

0
α l 0 °+ x ⋅«

(

0,7

0,

1+ 8⋅ 1

( − x)

⋅ R

) 2

67 »

°

°

¬ α l

¼

°

¯

0

¿

Horizontale Rohre

−

0,01

−

1(− x) ⋅[

,

1 5

0,4

0,37

1

( − x) + ,

1 2 ⋅ x

⋅ R

]

0,5

2,2

½

+
α x

°°

°°

−

= ®

ªα g

º

¾

0,01

0
α l 0 °+ x ⋅«

(

0,7

0,

1+ 8⋅ 1

( − x)

⋅ R

) 2

67 »

°

°

¬α l

¼

°

¯

0

¿

Strahlung

ª

4

4 º

§ T ·

§ T ·

Q

C

A

12 =

12 ⋅

⋅ «¨ 1 ¸ − ¨ 2 ¸ »

«©100 ¹

©100 ¹ » C = 5,67 W . m-2 . K-4

¬

¼
s

Zwei gleich große parallele Platten

C

=

Cs

12

1/ ε +1/ ε −1

1

2

272

Anhang

Mehrere gleich große parallele Platten

1

2
i
n

T

T

1

2

Cs

C =

12
n

A

A

1 / ε +1/ ε −1+ ¦ (1/ ε +1/ ε −1)

1

2
i 1
i 2
i 1

=

......

ε
ε
ε ε
ε i 1ε i 2 1 n 2 n ε

11ε

1

12

21 22
ε ε

2

Umschlossene Körper

T 2

C
ε2

C
s

12 =

1

A § 1

·

+ 1 ⋅¨¨ − ¸¸

1

A
ε
ε

2

1

A
ε

A

T

1

1

2

© 2

¹

1

Sachverzeichnis

A
laminare

134
reiner, ruhender Dämpfe

133

Ablaufbreite

140
turbulente

139

Absorptionskonstante des Gases

209

Filmsieden

174

Absorptionsverhältnis

191
first row effect

107

Ähnlichkeitsgesetze

11

Fouling

239

Akustische Resonanz

244

Fourier

Anzahl der Übertragungseinheiten

219

Gesetz von

17

Arten der Wärmeübertragung

3

Fourierreihen

47

B

Fourierzahl

48
freie Konvektion

4, 121

Behältersieden

174
an gekrümmten Flächen

130

Berieselungsdichte

140
an geneigten, ebenen Flächen

127

Bilanzgleichung

9
an horizontalen, ebenen Flächen

129

Biotzahl

48
an vertikalen, ebenen Wänden

122

Blasenabreißdurchmesser

176

Blasensieden

173

G

D

Gasstrahlung

208

Gauß'sches Fehlerintegral

60
dimensionslose Temperatur

48

Glättungstiefe

177
dimensionslose Temperaturänderung

219
gleichwertige Schichtdicke

209
dimensionslose Wärmeübergangszahl

48

Grashofzahl

121
dimensionslose Zeit

48
dimensionsloser Rohrabstand

106

H

E

Hohlraumanteil

106
hydraulischer Durchmesser

96

Einfluss der Rohrlänge

87

Emissionsverhältnis

192, 209

I
technischer Oberflächen

195

Impulssatz

11

Energiebilanzgleichung

9

Intensität

Energieerhaltungssatz

11
spektralspezifische

192
erzwungene Konvektion

79

K

F

Kennzahlen

80

Filmkondensation

Kirchhoff'sches Gesetz

192

Kondensation

133
an geneigten Wänden

139

P. von Böckh, T. Wetzel Wärmeübertragung,

DOI 10.1007/978-3-642-15959-6, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

274

Sachverzeichnis
an senkrechten Wänden

R
lokale Wärmeübergangs-
zahlen

140

Randwinkel der Blase

177
mittlere Wärmeübergangs-

Rayleighzahl

122
zahlen

141

Rechteckrippen

114
an waagerechten Rohren

139, 142

Resonanz
dimensionslose Darstellung

139
akustische

244

Druckverlust in Rohrbündeln mit
lock in-

245
waagerechten Rohren

149

Richtung des Wärmestromes

87
nassen oder überhitzten Damp-

Ringspalte

97
fes

138

Rippen

36
strömender, reiner Dämpfe

154
gerade
in waagerechten Rohren

160
auf ebener Grundfläche

115
innerhalb senkrechter Rohre

155
zusammenhängende

115

Kontakttemperatur

62

Rippenrohre

113

Konvektion

4

Rippenwirkungsgrad

40, 114

Kreisrippen

114

Rohrbündel

105

Kreisrippenrohre

115

Anordnung der Rohre

107
kritische Wärmestromdichte

175
mit Umlenkblechen

112

Rohrreibungszahl

86

L

Rohrschwingungen

242
kritische

242

Leidenfrost-Phänomen

174

Rohrströmung

86

M
turbulente

86

Massenerhaltungssatz

11

S

Methodik

11

Schema

56

Mittenrauwert

177
schwarzer Körper

192
mittlere logarithmische Temperatur-

Sieden
differenz

8, 218
unterkühltes

184
mittlere Temperaturdifferenz

Sieden bei erzwungener Konvektion

184
dimensionslose

219

Siedeverzug

173

N

Stefan-Boltzmann-Konstante

194
stilles Sieden

185

Nadelrippen

Strahlung

191
auf ebener Grundfläche

115

Strahlungsaustauschzahl

198

NTU

219

Strahlungskonstante

Nußeltzahl

85
des schwarzen Körpers

194

P

Strömungssieden

185
konvektives

185

Planck'sches Strahlungsgesetz

192

Struhalfrequenz

245

Problemlösungsmethodik

11

Struhalzahl

244
projizierter Umfang

101

System

12

Prozess

12

T

Q

Temperatur
quer angeströmte Einzelkörper

101
dimensionslose

48

Temperaturgradient

17

Sachverzeicnis

275

Temperaturgrenzschicht

79

Durchgang

233

Temperaturleitfähigkeit

47
mit zwei Rohrreihen und zwei

Temperaturverlauf in der Rippe

37

Durchgängen

234

Tropfenkondensation

133
reiner Gegenstrom

227
reiner Gleichstrom

228

U
reiner Kreuzstrom

231

Überlagerung freier und erzwungener

Rohrbündel

Konvektion

132
mit einem äußeren und vier inneren

Überströmlänge

101

Durchgängen

230

Übertemperatur

173
mit einem äußeren und zwei inneren

Durchgängen

229

V

Wärmewiderstände

20

Verdampfung

173

Weberzahl

157

Verschmutzungsfaktor

240

Wien'sches Verschiebungsgesetz

193

Verschmutzungswiderstand

239

Wirbelablösung

244

W

Z

Wärmebilanzgleichungen

9

Zellenmethode

220

Wärmedurchgangszahl

6

Zustandsänderung

12

Wärmeeindringkoeffizient

63
zweites Newton’sches Gesetz

11

Wärmekapazitätsstrom

219

Wärmekapazitätsstromverhältnisse

219

Wärmeleitfähigkeit

11

Wärmeleitung

3
in einem Hohlzylinder

25
in einer ebenen Wand

18
in einer Hohlkugel

33
instationäre

17, 45
bei kleinen Biotzahlen

65
in einem Kreiszylinder

51
in einer Kugel

52
in einer Platte

50
stationäre

17

Wärmestrom

5

Wärmestrom am Anfang der Rippe

39

Wärmestromdichte

5

Wärmetransfer
durch strömenden Wärmeträger

70

Wärmeübergang
durch mehrere ebene Wände

22

Wärmeübergangszahl

5
in einer ebenen Wand

19

Wärmeübergangszahlen

Bezugsfläche der

25

Wärmeübertrager

217

Kreuzstrom
mit einer Rohrreihe und einseitig
quer angeströmt

232
mit zehn Rohrreihen und einem

Literatur

[1.1] Böckh P von, Cizmar J, Schlachter W (1999) Grundlagen der technischen

Thermodynamik. Aarau. Bildung Sauerländer, Aarau; Fortis-Verl. FH,

Mainz, Köln

[1.2] Schlünder E-U und Martin H (1995) Einführung in die Wärmeübertragung,

8. neu bearbeitete Aufl, Vieweg Verlag, Braunschweig, Wiesbaden

[1.3] Nußelt W (1915) Das Grundgesetz des Wärmeüberganges. Gesundh. Ing. Bd

38, S 477-482 und 490-496

[1.4] Fourier J ( 1822) Theorie analytique de la chaleur. Didot, Paris, Nachdruck: Paris: Éditions J. Gabay 1988. Siehe auch: Grattan-Guinness, Ravetz I u. JR:

Joseph Fourier, 1768–1830. Cambridge, MA (USA): MIT Pr 1972

[1.5] Wagner W (1991) Wärmeübertragung, 3. Aufl Vogel, (Kamprath-Reihe),

Würzburg

[1.6] Böckh P von (2001) Fluidmechanik. 1. Aufl Bildung Sauerländer, Aarau

[1.7] VDI-Wärmeatlas (2002), 9. Aufl, Springer, Berlin, Heidelberg, New York

[2.1] VDI-Wärmeatlas (2002), 9. Aufl, Springer, Berlin, Heidelberg, New York

[2.2] Grigull U und Sandner H. (1979) Wärmeleitung. Springer, Berlin, Heidel-
berg, New York

[2.3] Martin H und Saberian M (1992) Verbesserte asymptotische Näherungs-
gleichungen zur Lösung instationärer Wärmeleitungsprobleme auf einfachste

Art. Vortrag GVC Fachausschuss Wärme- u. Stoffübertragung Mai 1992,

Baden-Baden

[3.1] Wagner W (1991) Wärmeübertragung, 3. Aufl, Vogel, (Kamprath-Reihe),

Würzburg

[3.2] Böckh P von (2001) Fluidmechanik. 1. Aufl Bildung Sauerländer, Aarau

[3.3] Gnielinski V (1995) Forsch im Ing-Wes 61, 9, S. 240/248

[3.4] VDI-Wärmeatlas (2002), 9. Aufl, Springer, Berlin, Heidelberg, New York

[3.5] Petukhov BS, Roizen LI (1964) High Temperature 2, S 65/68

[3.6] Gnielinski V und Gaddis ES (1978) Berechnung des mittleren Wärmeüber-
gangskoeffizienten im Außenraum von Rohrbündel-Wärmetauschern mit

Umlenkblechen. Verfahrenstechnik 12, 4, S. 211/217

[3.7] Paikert P und Schmidt KG (1990) Arbeitsbericht. Fachgeb. Verfahrenstech-
nik, Universität GH Duisburg, Sept. 1990

[3.8] Briggs DE and Young EH (1963) Eng. Prog Sym Ser Vol 59 No. 41, pp 1/9

[4.1] VDI-Wärmeatlas (2002), 9. Aufl, Springer, Berlin, Heidelberg, New York

[4.2] Churchill SW (1977) A comprehensive correlating equation for laminar,
assisting, forced and free convection. AIChE Journal Vol 23, No. 1, pp 10/16

P. von Böckh, T. Wetzel Wärmeübertragung,

DOI 10.1007/978-3-642-15959-6, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

278

Literatur

[5.1] Nußelt W (1916) Die Oberflächenkondensation des Wasserdampfes. VDI-

Zeitschriften, 60, 27

[5.2] Müller J (1992) Wärmeübergang bei der Filmkondensation und seine Einord-
nung in Wärme- und Stoffübergangsvorgänge bei Filmströmungen. Fortsch.

Ber. VDI, Reihe 3, Nr 270

[5.3] Numrich R (1990) Influence of Gas Flow on Heat Transfer in Film Conden-
sation. Chem Eng Technol 13, pp 136/43

[5.4] Blanghetti F (1979) Lokale Wärmeübergangszahlen bei der Kondensation
mit überlagerter Konvektion in vertikalen Rohren. Dissertation, Universität

Karlsruhe

[5.5] Rohsenow WM, Hartnett JP, Ganic EN (1985) Handbook of Heat Transfer

Fundamentals. 2nd Edition, McGraw Hill, New York

[6.1] Stephan K and Abdelsalam M (1963) Heat-transfer Correlations for Natural

Convection Boiling. Int J Heat Mass Transfer, Vol 6 pp 73/87

[6.2] Stephan K und Preußer P (1979) Wärmeübergang und maximale Strom-
dichte beim Behältersieden binärer und ternärer Flüssigkeitsgemische.

Chem-Ing Techn MS 649/79, Synops Chem-Ing Techn 51 S. 37

[6.3] Steiner D (1982) Wärmeübergang bei Strömungssieden von Kältemitteln und
kryogenen Flüssigkeiten in waagerechten und senkrechten Rohren. DKV-

Tagungsbericht, Essen, 9. Jahrgang, S. 241/260

[6.4] Chawla JM (1967) Wärmeübergang und Druckabfall in waagerechten

Rohren bei der Strömung von verdampfenden Kältemitteln. VDI-Forsch-H

523. Düsseldorf: VDI-Verlag

[7.1] Blevin WR and Brown WJ (1971) A Precise Measurement of the Stefan-

Boltzmann Constant. Metrologica 7, S 15/29

[7.2] VDI-Wärmeatlas (2002), 9. Aufl, Springer, Berlin, Heidelberg, New York

[7.3] Siegel R, Howell JR, Lohrengel J (1988) Wärmeübertragung durch Strah-
lung. Teil 1, Springer, Berlin, Heidelberg, New York

[7.4] Wagner W (1991) Wärmeübertragung, 3. Aufl Vogel, (Kamprath-Reihe),

Würzburg

[7.5] Gubareff, Jansen, Torborg (1960) Thermal Radiation Properties. Honeywell

Research Center, Minneapolis

[7.6] Tables of Emissivity of Surfaces. (1962) Int J Heat & Mass Transfer 5, pp 67/

76

[8.1] Martin H (1988) Wärmeübertrager. Thieme, Stuttgart, New York

[8.2] Roetzel W und Spang B (1990) Verbessertes Diagramm zur Berechnung von

Wärmeübertragern. Wärme- und Stoffübertragung 25, S 259/264

[8.3] Spang B und Roetzel W (1995) Neue Näherungsgleichung zur einheitlichen

Berechnung von Wärmeübertragern. Heat Mass Transf 30, S 417/422

[8.4] Roetzel W, Heggs PJ, Butterworth D (Eds.) (1992) Design and Operation of

Heat Exchangers. Proc. Eurotherm Seminar No. 18, Hamburg, Feb 27-March

1, 1991, Springer, Berlin, Heidelberg, New York S 19/29

[8.5] VDI-Wärmeatlas (2002), 9. Aufl, Springer, Berlin, Heidelberg, New York

[8.6] TEMA Standards Of The Tubular Heat Exhangers Manufacturers

Assotiation, 9th Edition, Section 6

Literatur

279

[9.1] Wagner W (1998) Software zur Industrieformulation IAPWS-IF97 zur

Berechnung der Zustandsgrößen von Wasser und Wasserdampf, Ruhr Uni-
versität Bochum

[9.2] ICI KLEA (1988) Programm Clea Calc Windows, Version 4.0

[9.3] VDI-Wärmeatlas (2002), 9. Aufl, Springer, Berlin, Heidelberg, New York

Deutsch-Englisch-Glossar

A

Ablaufbreite
condensate film width

Absorptionskonstante
absorptivity

Ähnlichkeitsgesetze
similarity laws

Anzahl der Übertragungseinheiten
number of transfer units NTU

B

Behältersieden
pool boiling

Berieselungsdichte
mass flow per unit film width

Bilanzgleichung
energy balance equation

Biot zahl

Biot number

Blasensieden
nucleate boiling

C
charakteristische Länge
characteristic length

D

Dichte
density
dimensionslose Größen
dimensionless parameters
dimensionslose Temperatur
dimensionless temperature

Druck
pressure

E
ebene Wand
plain wall
elektromagnetische Wellen
electromagnetic waves

Emissionsverhältnis
emissivity

Energieerhaltungssatz
conservation of energy principle
erzwungene Konvektion
forced convection

F

Filmkondensation
film condensation

Filmsieden
film boiling

Fourier zahl

Fourier number
freie Konvektion
free convection

P. von Böckh, T. Wetzel Wärmeübertragung,

DOI 10.1007/978-3-642-15959-6, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

282

Deutsch-Englisch-Glossar

G

Gasstrahlung
gaseous radiation

Gauß'sches Fehlerintegral
error function

Glättungstiefe
mean surface roughness

Gegenstrom-Wärmeübertrager
counterflow heat exchanger

Gleichstrom-Wärmeübertrager
parallel-flow heat exchanger
gleichwertige Schichtdicke
equivalent gas radius

Grädigkeit

Terminal Temperature Difference TTD

Grashof zahl

Grashof number

I

Isolation
insulation

K
kinetische Kopplungsgleichung
rate equation

Kirchhoff'sches Gesetz

Kirchhoff's law

Kondensation
condensation
an senkrechten Wänden
on vertical walls
an waagerechten Rohren
on horizontal pipes
dimensionslose Gleichungen
dimensionless equations
nassen oder überhitzten Dampfes
of wet or superheated steam
strömenden Dampfes
forced convection condensation

Kondensator
condenser

Kontakttemperatur
contact temperature

Kontrollraum
control volume

Kreisrippen
annular fins

Kreuzstrom-Wärmeübertrager
cross flow heat exchanger
kritische Wärmestromdichte
critical heat flux

L

Leidenfrost-Phänomen

Leidenfrost phenomena

M

Massenerhaltungssatz
conservation of mass principle

Massenstrom
mass flow rate
mittlere Geschwindigkeit
mean velocity
mittlere logarithmische

Log Mean Temperature Difference

Temperaturdifferenz

LMTD
mittlere Temperatur
mean temperature

Modellvorstellungen
model approaches

Deutsch-Englisch-Glossar

283

N

Nußelt zahl

Nusselt's number

O

Oberflächenspannung
surface tension

P

Planck'sches Strahlungsgesetz

Planck's law of radiation

Prandtl zahl

Prandtl number
projizierter Umfang
projected circumference

R

Randbedingung
boundary condition

Rayleigh zahl

Rayleigh number

Reynolds zahl

Reynolds number

Ringspalt
concentric tube annulus

Rippen
fins

Rippenrohre
finned tubes
mit Kreisrippen
annular finned tubes

Rippenwirkungsgrad
fin efficiency

Rohrbündel
tube bundle

Anordnung der Rohre
tube arrangement
mit Umlenkblechen
with guide vanes

-wärmeübertrager
tube and shell heat exchanger

Rohrreibungszahl
tube friction factor

S

Schubspannung
shear stress
schwarzer Körper
blackbody

Sieden
boiling
gesättigter Flüssigkeiten
saturated boiling
unterkühltes
subcooled boiling
bei erzwungener Konvektion
forced convection boiling

Stefan-Boltzmann-Konstante

Stefan-Boltzmann constant

Stegbreite
pitch

Strahlung
radiation

T

Temperatur
temperature

Temperaturgrenzschicht
thermal boundary layer

284

Deutsch-Englisch-Glossar

Temperaturleitfähigkeit
thermal diffusivity

Thermodynamik
thermodynamics
erster Hauptsatz der
first law of

Trennung der Variablen
separation of variables

Tropfenkondensation
dropwise condensation
droplet condensation

U

Übertemperatur
excess temperature

Umgebung
surroundings

V

Verdampfung
evaporation

Verschmutzung
fouling

Verschmutzungsfaktor
fouling factor

Verschmutzungswiderstand
fouling resistance

Viskosität
viscosity
dynamische
dynamic
kinetische
kinematic

W

Wand aus mehreren Schichten
composite wall

Weber zahl

Weber number

Wirkungsgrad
efficiency, effectiveness

Wärmebilanzgleichungen
heat balance equations

Wärmekapazitätsstrom
heat capacity rate

Wärmedurchgangszahl
overall heat transfer coefficient

Wärmeleitfähigkeit
thermal conductivity

Wärmeleitung
conduction
in einem Hohlzylinder
in a cylinder
in einer ebenen Wand
in a plain wall
in einer Hohlkugel
in a sphere
instationäre
transient conduction
stationäre
steady state conduction

Wärmestrom
heat transfer rate

Wärmestromdichte
heat flux

Wärmeübergangszahl
heat transfer coefficient

Wärmeübertrager
heat exchanger

Wärmewiderstand
thermal resistance

Wien'sches Verschiebungsgesetz

Wien's displacement law

Z

Zellenmethode
cell method

Zustandsänderung
change of state

Zweiphasenströmung
two phase flow