Grundzüge der Strömungslehre: Grundlagen, Statik und Dynamik der Fluide
Author: Jürgen Zierep; Karl Bühler
Date: 2007-10-14T22:00:00+00:00
Keywords: Science; Solids; Technology & Engineering; Manufacturing; Mechanical; Mechanics; Bildung; Grundzüge der Strömungslehre; Jürgen Zierep; Bildung; Vieweg+Teubner Verlag; Fluids
Description: Dieses erfolgreiche, didaktisch ausgereifte Lehrbuch wurde zuletzt fachlich in der Gasdynamik, der Behandlung des Verdichtungsstoßes und bei den verlustbehafteten Strömungen ergänzt. Außerdem wurde der allgemeine Energiesatz aufgenommen. Das Buch zeichnet sich durch eine prägnant kurze, mathematisch verständliche und anwendbare Einführung in die Grundlagen aus und gibt dem Leser Gelegenheit, sein Verständnis durch Übungen zu vertiefen. Die 7. Auflage enthält einige Verbesserungen bei Abbildungen und die Berichtigung von Druckfehlern in Text- und Formelsatz. Das Literaturverzeichnis wurde ergän
Publisher: Springer-Verlag

Jürgen Zierep | Karl Bühler

Grundzüge der Strömungslehre

Jürgen Zierep | Karl Bühler

Grundzüge der

Strömungslehre

Grundlagen, Statik und Dynamik der Fluide

8., überarbeitete und erweiterte Auflage

Mit 196 Abbildungen und zahlreichen Übungen

STUDIUM

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der

Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über

<http://dnb.d-nb.de> abrufbar.

Prof. em. Dr.-Ing. Dr. techn. E.h. Dr. h.c. Jürgen Zierep hatte den Lehrstuhl für Strömungslehre an der Technischen Universität in Karlsruhe inne, ist seit 1988 Hon. Prof. an der BUAA (Beijing Univ. Aeronautics and Astronautics) und ist international ausgezeichneter und beachteter Autor zahlreicher Fachbücher.

Prof. Dr.-Ing. habil. Karl Bühler lehrt heute an der Hochschule Offenburg in der Fakultät Maschinenbau und Verfahrenstechnik. Seine Hauptarbeitsgebiete sind die Grundlagen reibungsbehafteter Strömungen, Grenzschichttheorie, rotierende Strömungen, Wirbelströmungen, Lösungseigenschaften der Navier-Stokes Gleichungen, Thermodynamik, Konvektive Wärme-
übertragung, Instabilitäten in zähen, wärmeleitenden Medien, optische Strömungsmesstechnik, numerische Strömungsmechanik.

7. Auflage 2008

8., überarbeitete und erweiterte Auflage 2010

Alle Rechte vorbehalten

© Vieweg +Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010

Lektorat: Thomas Zipsner | Ellen Klabunde

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Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg

Technische Redaktion: Stefan Kreickenbaum, Wiesbaden

Druck und buchbinderische Verarbeitung: STRAUSS GMBH, Mörlenbach

Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.

Printed in Germany

ISBN 978-3-8348-0834-9

V

Vorwort zur 8. Auflage

Die „Grundzüge der Strömungslehre“ haben sich in den vergangenen 30 Jahren durch ihre 7 Auflagen bei Lehrenden und Lernenden sehr bewährt.

Das konnten wir anhand von Vorlesungen und Diskussionen im In- und Ausland immer wieder feststellen. Die Aussagen des Vorwortes der 1. Auflage – ganz besonders was die Anwendung des wichtigen Impulssatzes angeht – gelten nach wie vor.

Die Reihenfolge: „Erstens: an Beispielen der Strömungslehre Kenntnisse zu sammeln und dann zweitens: den Kontrollraum und die Strömungsdaten auf dem Rand berücksichtigen“ sind wichtige Voraussetzungen für die erfolgreiche Anwendung des Impulssatzes.

Im Lauf der Zeit entstand der Wunsch, z. B. bei Vorlesungen an der TH-

Budapest, nach weiteren aktuellen Übungsaufgaben der Strömungsmechanik.

Bevorzugt werden hier Fragestellungen mit folgender Alternative: Ein- oder Ausströmen aus Behältern, ohne oder mit Reibung, stationär oder instationär, inkompressibel oder kompressibel. Die Umsetzung der Erhaltungssätze für Masse, Impuls und Energie anhand der Anfangs- und Randbedingungen bei konkreten Problemen ist nach wie vor oft schwierig.

Der Energiesatz steht heute für viele Strömungsprobleme im Mittelpunkt. Anhand von Beispielen wird dies im Folgenden veranschaulicht. Der Energiesatz wird in vielerlei Form hergeleitet und angewandt. Interessant und typisch sind die Werte beim Rayleigh-Stokes Problem, wo die zeitliche Änderung der kinetischen Energie, die Dissipation und die Wandschubspannungsleistung gleichzeitig auftreten. Diese Aussagen spielen heute eine immer größere Rolle, wo es um den Energiehaushalt geht. Sie sind in den Lehrbüchern der Strömungsmechanik bisher nur wenig vertreten.

Das Buch wendet sich an Studierende technischer und physikalischer Fachrich-tungen an Universitäten und Hochschulen zur Begleitung und Vertiefung der Vorlesungen über Strömungslehre sowie zum Selbststudium. Auch für die in der Praxis tätigen Ingenieure ist dieses Buch zum Einstieg und zur Vertiefung strö-
mungsmechanischer Grundlagen nützlich.

Wir haben am Schluss des Buches einige einschlägige Probleme dieser Art ausführlich behandelt. Wieder ist es so, dass der Leser des öfteren zu Papier und Bleistift greifen muss, um dem von uns vorgeschlagenen Lösungsweg folgen zu können.

Dem Vieweg+Teubner Verlag sagen wir Dank für die tatkräftige Unterstützung und für das große Vertrauen bei der Herausgabe dieses Buches und für die über-aus erfreuliche Zusammenarbeit.

Karlsruhe, Juli 2010

Jürgen Zierep und Karl Bühler

VI

Aus dem Vorwort der 1. Auflage

Das vorliegende Buch “Grundzüge der Strömungslehre“ ist aus einführenden Vorlesungen hervorgegangen, die ich seit etwa 20 Jahren an der Universität Karlsruhe (TH) halte. Es stellte sich mir hier die interessante Aufgabe, in einer vierstündigen einsemestrigen Vorlesung Studenten nach dem Vorexamen die Strömungslehre nahe zu bringen. Das Spektrum der Hörer war breit gestreut. Es reichte von Maschinenbauern und Chemieingenieuren bis zu Physikern, Meteoro-logen und Mathematikern. Diese Tatsache sowie die zur Verfügung stehende Zeit bestimmten Inhalt und Umfang des vorgetragenen Stoffes. Es ging also nicht darum, alles darzustellen (das kann man in Spezialvorlesungen tun), sondern eine möglichst interessante, für die Studenten leicht fassliche und anwendbare Darstellung zu wählen.

Einige Worte zum Aufbau. Im Unterschied zu den meisten Darstellungen der Strömungslehre wird der Impulssatz erst spät behandelt. Das hat gute Gründe.

Trotz seiner einfachen Formulierung ist und bleibt er der schwerste Satz der Strömungslehre. Die Schwierigkeit liegt in der zweckmäßigen Wahl des Kontrollraumes und der benutzten Strömungsdaten auf dem Rand. Hier gehen viele Kenntnisse ein, die man vorher bei der Beschäftigung mit Beispielen der Strö-
mungslehre sammeln muss. Diese Erfahrung haben wir immer wieder gemacht.

Ich habe mich um einen systematischen Aufbau bemüht. Dabei wird mit dem Einfachsten begonnen und bis zu den Fragen vorgedrungen, die in den zahlreichen Anwendungen auftreten und heute von großem Interesse sind. Es ist dabei z. B. wichtig, dass man von Anfang an weiß, welche und wie viele Gleichungen für die Strömungsgrößen zur Verfügung stehen. Bei einigen behandelten Fragen wird man eine gewisse Liebe zum Detail spüren. Dies scheint mir dort gerecht-fertigt, wo die Studenten aus anderen Vorlesungen wenig Information mitbrin-gen. Andrerseits ist es notwendig, dass der Anfänger die wichtigsten Hilfsmittel gründlich und ausführlich vorgeführt bekommt. Dass sich dabei Kompromisse ergeben, ist jedem Vortragenden klar.

Parallel zu den Vorlesungen werden zweistündige Übungen veranstaltet. Ohne dieses eigene Engagement der Hörer kann man den Stoff nicht bewältigen. Einige der Aufgaben sind im Text berücksichtigt. Hier wie auch beim Vorlesungs-gegenstand wird der Leser zu Papier und Bleistift greifen müssen, um den Inhalt aufzunehmen, zu verarbeiten und anschließend anwenden zu können. Diese Mü-
he lohnt sich! Ich wäre mit dem Erfolg meiner langjährigen Tätigkeit zufrieden, wenn der Leser dies bestätigen könnte.

Jürgen Zierep

VII

Inhaltsverzeichnis

Einleitung, Überblick und Grundlagen .............................................................

1

1 Eigenschaften von Fluiden ............................................................................

4

1.1 Molekularer

Aufbau

– Mikrostruktur .....................................................

4

1.2 Widerstand gegen Formänderungen (Elastizität, Viskosität) .................

5

1.3 Gaskinetische

Erklärung
der inneren Reibung ....................................... 11

1.4 Volumenänderung und Zustandsgleichung für Gase ............................. 13

1.5 Oberflächen- oder Grenzflächenspannung und Kapillarität ................... 15

2 Hydro- und Aerostatik .................................................................................. 26

2.1 Flüssigkeitsdruck p ................................................................................ 26

2.2 Flüssigkeitsdruck
in

Kraftfeldern ........................................................... 27

2.3 Druckkraft auf ebene Behälterwände ..................................................... 32

2.4 Hydrostatischer Auftrieb. Druckkraft auf gekrümmte Flächen .............. 35

3 Hydro- und Aerodynamik ............................................................................ 38

3.1 Stromfadentheorie .................................................................................. 38

3.1.1 Grundbegriffe ........................................................................... 38

3.1.2 Grundgleichungen der Stromfadentheorie ................................ 43

3.1.3 Stromfadentheorie
in

Einzelausführungen ................................ 48

3.1.3.1 Bewegung auf konzentrischen Kreisbahnen (Wirbel) 49

3.1.3.2 Wirbelquell- oder Wirbelsenkenströmung ............... 51

3.1.3.3 Drehbewegung unter Berücksichtigung der Schwere 53

3.1.3.4 Verschiedene Druckbegriffe und deren Messung ..... 54

3.1.3.5 Ausströmen aus einem Behälter ............................... 57

3.1.3.6 Gasdynamische Betrachtungen. Die Strömung in der

Laval-Düse. Der senkrechte Verdichtungsstoß ........ 60

3.2 Reibungsfreie, ebene und räumliche Strömungen .................................. 74

3.2.1 Kontinuität (= Massenerhaltung) .............................................. 74

3.2.2 Eulersche

Bewegungsgleichungen ............................................ 75

3.2.3 Ebene, stationäre, inkompressible Potentialströmung ............... 76

3.2.4 Beispiele für elementare und zusammengesetzte Potential-
strömungen ............................................................................... 82

3.2.5 Potentialströmungen
um
vorgegebene Körper .......................... 91

3.3 Strömung
mit

Reibung ........................................................................... 97

3.3.1 Impulssatz mit Anwendungen ................................................... 97

3.3.1.1 Durchströmen
eines Krümmers ................................ 99

3.3.1.2 Düse und Diffusor frei ausblasend ........................... 102

3.3.1.3 Carnotscher

Stoßdiffusor .......................................... 103

3.3.1.4 Borda-Mündung

....................................................... 105

VIII Inhaltsverzeichnis

3.3.1.5 Schub eines luftatmenden Triebwerkes .................... 106

3.3.1.6 Widerstand eines Halbkörpers im Kanal .................. 107

3.3.2 Drehimpulssatz
mit Anwendung ............................................... 108

3.3.2.1 Durchströmen
eines
radialen Laufrades .................... 109

3.3.3 Grundsätzliches zum Reibungseinfluss – Kennzahlen .............. 111

3.3.4 Laminare und turbulente Strömung ........................................... 115

3.3.5 Geschwindigkeitsverteilung und Druckabfall in Kreisrohren
bei laminarer und turbulenter Strömung .................................... 117

3.3.6 Laminare und turbulente Strömung durch raue Rohre

(Nikuradse-Diagramm) ............................................................. 123

3.3.7 Strömung in der Einlaufstrecke ................................................. 125

3.3.8 Geschwindigkeitsschwankungen und scheinbare Schub-
spannungen ............................................................................... 128

3.3.9 Prandtlscher Mischungswegansatz für die Schwankungs-
geschwindigkeiten ..................................................................... 131

3.3.10 Allgemeine Form der Navier-Stokes-Gleichungen ................... 134

3.3.11 Spezielle Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen ................ 136

3.3.12 Einführung in die Grenzschichttheorie ...................................... 141

3.3.13 Energiesatz ................................................................................. 150

3.3.14 Widerstand und Druckverlust ................................................... 152

3.3.15 Ähnlichkeitsbetrachtungen ........................................................ 157

4 Vertiefende

Übungsaufgaben

....................................................................... 161

4.1 Aufgabe: Einströmen in einen Tauchbehälter (Sinkendes Schiff) .......... 161

4.2 Aufgabe: Schwingende Flüssigkeitssäule (U-Rohrmanometer) ............. 163

4.3 Aufgabe: Zeitabhängige Ausströmung aus einem Behälter

(Anlaufströmung) ................................................................................... 164

4.4 Aufgabe:

Allgemeines

Ausflussproblem ................................................ 166

4.5 Aufgabe:

Verallgemeinertes Überströmproblem .................................... 168

4.6 Aufgabe:

Windenergieanlage ................................................................. 171

4.7 Aufgabe: Reibungswiderstand bei der Umströmung einer ebenen Platte 174

4.8 Aufgabe: Plötzlich beschleunigte Platte (Rayleigh-Stokes-Problem) .... 175

4.9 Aufgabe:

Kompressibles

Ein- und Ausströmen ..................................... 177

4.10 Aufgabe: Lavaldüsenströmung .............................................................. 180

4.11 Aufgabe: Geschwindigkeit beim freien Fall (Fallschirmspringer) ......... 182

4.12 Aufgabe: Auftriebsbeiwerte von Flugzeugen (Start und Reiseflug) ....... 183

Dimensionen und Einheiten der wichtigsten auftretenden Größen ................ 185

Ausgewählte Literatur ........................................................................................ 186

Namen- und Sachwortverzeichnis ...................................................................... 187

1

Einleitung, Überblick und Grundlagen

In der Strömungslehre werden die Bewegungsvorgänge in Flüssigkeiten und Gasen (so genannten Fluiden) behandelt. Anstelle der Bezeichnung Strömungslehre trifft man häufig auch auf die Begriffe Strömungsmechanik, Fluiddynamik, Aerodynamik u. a.

Die Strömungslehre spielt in Naturwissenschaft und Technik eine große Rolle.

Die Anwendungen lassen sich, grob gesprochen, in zwei verschiedene Gruppen einteilen.

1. Umströmung von Körpern, z. B. Kraftfahrzeugen, Flugzeugen, Gebäuden.

Hier interessiert das Stromfeld im Außenraum, d. h. Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Temperatur in Körpernähe und -ferne. Daraus resultiert z. B. die Kraftwirkung auf den umströmten Körper.

2. Durchströmen von Leitungen, Kanälen, Maschinen und ganzen Anlagen.

Jetzt interessiert die Strömung im Innenraum, z. B. von Krümmern, Diffusoren und Düsen. Von Wichtigkeit sind hier Reibungseinflüsse, die sich durch Druckverluste bemerkbar machen.

Bei aktuellen technischen Problemen können die beiden soeben behandelten Teilaufgaben natürlich auch kombiniert auftreten. Zahlreiche Anwendungen trifft man in den Gebieten Strömungsmaschinenbau, Chemieingenieurtechnik, Flugzeugbau, Kraftfahrzeugbau, Gebäudeaerodynamik, Meteorologie, Geophysik etc.

Die quantitative Beschreibung einer Strömung erfolgt in jedem Punkt (x, y, z) des betrachteten Feldes zu jeder Zeit (t) durch die Größen:

G

Geschwindigkeit w = (u, v, w), Druck p, Dichte ρ, Temperatur T.

Wir nehmen die Existenz dieser Zustandsgrößen als Funktion von (x, y, z; t) an.

Wir bewegen uns damit im Bereich der Kontinuumsmechanik. Insgesamt handelt es sich also um 6 abhängige und 4 unabhängige Variablen. Zur Bestimmung der Ersteren sind 6 Gleichungen, die physikalischen Grundgesetze der Strömungslehre, erforderlich. Sie werden in Form von Erhaltungssätzen formuliert und sind in der folgenden Tabelle skizziert.

Physikalische Aussage

Zahl der Art der Glei-

Gleichungen
chungen

Kontinuität (Massenerhaltung)

1
skalar

° Kräftegleichgewicht (Impulssatz)

3
vektoriell

Erhaltungssätze ®

° Energiesatz (z. B. 1. Hauptsatz, Fourier-

¯

1
skalar
sche Wärmeleitungsgleichung etc.)

Fluid

Zustandsgleichung (thermodynamische

1
skalar

Verknüpfung von p, ρ, T)

J. Zierep, K. Bühler, Grundzüge der Strömungslehre, DOI 10.1007/978-3-8348-9756-5_1,

© Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010

2

Einleitung, Überblick und Grundlagen

Gegenüber der Massenpunktmechanik, die mit 3 Gleichungen für 3 Geschwindigkeitskomponenten auskommt, sind hier also 6 Gleichungen erforderlich. Zu diesen Differential- oder Integralbeziehungen treten Anfangsbedingungen (t) und/oder Randbedingungen (x, y, z) hinzu, um aus der Mannigfaltigkeit der möglichen Lösungen die, gegebenenfalls eindeutig bestimmte, Lösung des gestellten Problems zu ermitteln. Für die oben angeführten Um- und Durchströmungsaufgaben kann man diese Bedingungen leicht diskutieren. Eine allgemeine Lösung der Grundgleichungen der Strömungslehre stößt auf größte Schwierigkeiten, da die zugehörigen Differentialgleichungen nichtlinear sind. Häufig beschränkt man sich daher auf so genannte Ähnlichkeitsaussagen, mit denen es möglich ist, die Strömungsdaten von einem Stromfeld auf ein anderes zu übertragen. Dies führt zu den wichtigen Modellgesetzen, die es z. B. gestatten, Windkanalversu-che auf die Großausführung umzurechnen.

Im Rahmen dieser Darstellung werden wir mit dem Einfachsten (Hydrostatik) beginnen. Durch Zunahme der Zahl der unabhängigen und der abhängigen Ver-
änderlichen werden wir bis zu den Fragestellungen vorstoßen, die in den Anwendungen von Interesse sind. Das folgende Schema erläutert von links nach rechts unsere Vorgehensweise.

Hydrostatik

Aerostatik

Hydrodynamik

Aerodynamik
p

ρ

G
w = (u, v, w)

ruhende Flüssig-
ruhende
bewegte

Beispiele
bewegtes Gas
keit im Gefäß

Atmosphäre

Flüssigkeit

Die Temperatur T kann hier fortgelassen werden, da sie durch die Zustandsgleichung aus p und ρ zu ermitteln ist.

Die historische Entwicklung der Strömungslehre zeigt bis etwa 1900 zwei unterschiedliche Arbeitsrichtungen.

1. Theoretische, vorwiegend mathematische Strömungslehre Sie ist mit den Namen Newton, Euler, Bernoulli, D'Alembert, Kirchhoff, Helmholtz, Rayleigh verknüpft. Hierbei handelt es sich vornehmlich um die theoretische Behandlung reibungsfreier Strömungen (so genannter Potentialströmungen). Damit war es z. B. nicht möglich, Verluste in Strömungen bei Umströ-
mungs- und Durchströmungsproblemen quantitativ richtig zu ermitteln.

J. B. J. Fourier, 1768 – 1830

J. D'Alembert, 1717 – 1783

I. Newton, 1643 – 1727

G. Kirchhoff, 1824 – 1887

L. Euler, 1707 – 1783

H. v. Helmholtz, 1821 – 1894

D. Bernoulli, 1700 – 1782

J. W. Rayleigh, 1842 – 1919

Einleitung, Überblick und Grundlagen

3

Bild 1.1

Strömungsgrenzschicht an der längs-
angeströmten ebenen Platte

2. Technische Strömungslehre oder Hydraulik

Maßgebende Forscher waren Hagen, Poiseuille, Reynolds. Hier ging es um Probleme der Messung und deren Darstellung bei reibungsbehafteten Strömungen, z. B. die Gesetze für Rohrströmungen.

Beide Richtungen wurden 1904 durch die Grenzschichttheorie von Prandtl zusammengeführt. Danach ist die Ursache für den Reibungswiderstand eines Körpers in der so genannten Grenzschicht zu suchen. Diese ist eine relativ dünne, wandnahe Schicht, in der der Geschwindigkeitsanstieg von null an der Wand auf den Wert der Außenströmung erfolgt. Hierbei ist die Haftbedingung an der Körperoberfläche wesentlich. Wird der Körper bewegt, so macht das strömende Medium an der Oberfläche diese Bewegung mit. Es haftet dort! In Bild 1.1 ist der besonders einfache Fall der längsangeströmten Platte – der Prototyp einer Grenzschicht – dargestellt. Dieses Prandtlsche Grenzschichtkonzept hat sich als sehr fruchtbar erwiesen. Es führt zu wesentlichen Vereinfachungen in den nichtlinearen Differentialgleichungen, so dass eine Lösung möglich ist.

Spielt neben den Reibungsverlusten auch der Wärmeübergang eine Rolle, so tritt außer der Strömungsgrenzschicht eine Temperaturgrenzschicht auf (Bild 1.2). Beide haben ihre Ursache in völlig analogen physikalischen Vorgängen: Reibung und Wärmeleitung.

Bild 1.2

Strömungs- und Temperatur-
grenzschicht an der ebenen

Platte

G. Hagen, 1797 – 1884

O. Reynolds, 1842 – 1912

J. L. Poiseuille, 1799 – 1869

L. Prandtl, 1875 – 1953

4

1 Eigenschaften von Fluiden

1.1 Molekularer Aufbau – Mikrostruktur

Für das Verständnis der später zu behandelnden Strömungsvorgänge in Fluiden ist es wichtig, die Grundtatsachen ihres molekularen Aufbaus zusammenzustel-len. Wir sprechen dabei von der Mikrostruktur.

Die Materie ist aus elementaren Bestandteilen (Molekülen bzw. Atomen) aufgebaut, deren Durchmesser die folgende Größenordnung besitzt: d ~ 10–10 m. Beim Aufbau aus diesen Elementen sind nun zwei Tatsachen von wesentlichem Einfluss.

1. Sind die einzelnen Teilchen relativ weit voneinander entfernt, d. h. ist die Dichte genügend klein, so sind sie voneinander unbeeinflusst und führen eine regellose statistische Bewegung infolge ihrer thermischen Energie aus

(Brownsche Molekularbewegung bei Gasen). Für Luft gilt unter Normalbedingungen, d. h. Atmosphärendruck und 20 °C, für diese Bewegung: mittlere freie Weglänge A ~ 10–7m, mittlere Molekülgeschwindigkeit c ~ 500 m/s.

Ergänzung: Die Thermodynamik liefert die Abhängigkeit der Molekülgeschwindigkeit von der Temperatur. Die innere Energie des Moleküls ist pro Frei-heitsgrad = 1/2 kT mit k = Boltzmann-Konstante. Mit f = 3 als Zahl der Frei-heitsgrade lautet der Energiesatz für das Molekül der Masse m:

3

1
innere Energie = kT =

2
mc = mittlere kinetische Energie der Translation.

2

2

3 ⋅ k

Also

2
c =

T, oder größenordnungsmäßig

2
c ~ c ~ T .

m

Dies ist eine charakteristische Abhängigkeit von der Temperatur, die später bei vielen typischen Geschwindigkeiten (Schallgeschwindigkeit, maximale Geschwindigkeit) wiederholt auftritt.

2. Sind die Teilchen relativ nah beieinander, d. h. ist die Dichte genügend groß, so beeinflussen sie sich gegenseitig. Es wirken intermolekulare so genannte van-der-Waals-Kräfte. Ihre Erstreckung reicht etwa über eine Distanz von 10 d ~

10–9 m. Diese Anziehungskräfte, die ihrer Natur nach Gravitationskräfte sind, können die Teilchen gegenseitig fixieren, z. B. in einem regelmäßigen Kristallgitter. In Bild 1.3 ist die Kraft, die ein im Nullpunkt liegendes Teilchen auf ein anderes im Abstand r befindliches ausübt, qualitativ dargestellt.

R. Brown, 1773 – 1858, Botaniker

J. D. van der Waals, 1837 – 1923

L. Boltzmann, 1844 – 1906

J. Zierep, K. Bühler, Grundzüge der Strömungslehre, DOI 10.1007/978-3-8348-9756-5_2,

© Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010

1.2 Widerstand gegen Formänderungen (Elastizität, Viskosität)

5

Bild 1.3

Intermolekulare Kraft, die ein im Nullpunkt liegendes

Teilchen auf ein anderes ausübt

Nähern sich die Teilchen außerordentlich, so tritt anstelle von Anziehung Absto-
ßung auf. Hierbei spielt die innere Struktur der Teilchen eine wesentliche Rolle.

Für unsere Betrachtungen ist dies jedoch nicht wichtig.

Das Zusammenspiel der zwei Tatsachen 1. und 2. führt zu den drei Aggregatzuständen. Das nachfolgende Schema erläutert dies in grober, aber für uns aus-reichender Weise. Die Dichte nimmt dabei von links nach rechts zu.

Gas

Flüssigkeit

Fester Körper

1. überwiegt 2.

1. und 2. gleich.

2. überwiegt 1.

Regellose Bewegung.

Zufallsbewegung, die nicht Intermolekulare Kräfte bin-
unbeeinflusst von den
den Teilchen an feste Stel-

Nachbarn erfolgt.

len, z. B. im Kristallgitter.

1.2 Widerstand gegen Formänderungen

(Elastizität, Viskosität)

Es besteht ein grundsätzlicher Unterschied zwischen festen, elastischen Körpern einerseits und Fluiden andererseits. Wir erläutern dies am Fall der Beanspruchung auf Scherung (Schub).

G

1. Ein fester, elastischer Körper wird beansprucht durch eine Scherkraft F . In Bild 1.4 ist dieser Fall skizziert. Der Winkel

G
γ ist ein Maß für die Deformation
und A die Fläche, an der die Kraft F angreift. Bei geringer Deformation gilt das Hookesche Gesetz, nach dem die Schubspannung der Deformation proportional ist:

R. Hooke, 1635 – 1703

6

1 Eigenschaften von Fluiden

Bild 1.4

Scherbeanspruchung eines fes-
ten, elastischen Körpers sowie
rheologisches Modell

G

| F | = τ = G ⋅ γ G = Gleit- oder Schubmodul

(1.1)

A

Bild 1.4 zeigt auch das zugehörige rheologische Modell. Es handelt sich um die G
elastische Feder, die durch die Kraft F beansprucht wird. Solche Modelle sind zum Verständnis dieser Vorgänge von großem Nutzen und werden uns oft begegnen.

2. Bei Fluiden muss das Medium geführt werden. Bild 1.5 erläutert den besonders einfachen Fall der Scher- oder Couette-Strömung zwischen zwei ebenen Platten. Die obere Platte werde mit der konstanten Geschwindigkeit U bewegt, die untere ruht. Wir verfolgen den Strömungsvorgang sowohl im Ortsplan (x, y) als auch im Geschwindigkeitsplan (u, y). Das Experiment liefert eine lineare Geschwindigkeitsverteilung
y
u = U (1.2)

h
im Plattenspalt. Die Haftbedingung bei y = 0 und y = h ist offenbar erfüllt. Der Zusammenhang zwischen Orts- und Geschwindigkeitsplan führt zu den Gleichungen
d s(t)

U =

, d s(t) = h d γ (t),
d t

Bild 1.5

Couette-Strömung.

Orts- und

Geschwindigkeits-
plan sowie rheo-
logisches Modell
für das Newtonsche

Medium

M. Couette, 1858 – 1943

1.2 Widerstand gegen Formänderungen (Elastizität, Viskosität)

7
d. h.

U = h γ (t) . (1.3)

Definieren wir ein Newtonsches Fluid durch
d u
τ = η

(1.4)

d y
so ergeben (1.2) und (1.3):

d u

U
τ = η

= η

= ηγ (t) (1.5)

d y
h

Bei Newtonschen Fluiden ist damit die Schubspannung der Deformations-
geschwindigkeit proportional. Dies ist ein grundlegender Unterschied zum elastischen Körper. Das rheologische Modell ist hier ein Dämpfungszylinder (Bild 1.5).

Der Proportionalitätsfaktor η in (1.4) und (1.5) heißt dynamische Viskosität.

ν η

= = kinematische Viskosität, ρ = Dichte des Mediums

(1.6)

ρ

In den Anwendungen liegt häufig der allgemeinere Fall vor, dass
τ = f (γ) (1.7)

ist. f wird als Fließfunktion bezeichnet. Bild 1.6 enthält einige charakteristische Fälle. Ist f eine lineare Funktion, so handelt es sich um Newtonsche Fluide (Öl, Wasser, Luft usw.). Die Steigung der Geraden ist ein direktes Maß für die dynamische Viskosität. Durch nichtlineare Fließfunktionen werden Nicht-Newtonsche Fluide beschrieben. Beispiele sind Suspensionen, Polymere, Ölfarben usw. Ein interessanter Sonderfall ist das Bingham-Medium. Es verhält sich für τ < τf wie ein fester, elastischer Körper, dagegen für τ > τf wie ein Newtonsches Fluid.

Bild 1.6

Verschiedene Fließfunktionen.

Newtonsche, Nicht-Newtonsche

Fluide, Bingham-Medium

8

1 Eigenschaften von Fluiden

Bild 1.7

Rheologisches Modell des Bingham-

Mediums

τf heißt die Fließspannung. Es ist dies ein Modell für das Viskositätsverhalten von Breien und Pasten. Das rheologische Modell (Bild 1.7) enthält einen Dämpfungszylinder und parallel hierzu einen Klotz auf rauer Unterlage; vorgeschaltet ist eine elastische Feder, deren Auslenkung begrenzt ist. Der Klotz besitzt Haft-sowie Gleitreibung. Letztere wird bei dem betrachteten Modell vernachlässigt.

Eine interessante Kombination ergibt sich, wenn ein elastischer Körper viskoses Verhalten zeigt. Man spricht dann von einem viskoelastischen Medium. Bei kurzzeitiger Belastung verhält sich dieses Medium wie ein elastischer Körper, bei längerer Belastung dagegen wie ein Newtonsches Fluid. Der “hüpfende Kitt“ ist ein Beispiel. Es handelt sich um ein knetbares, kautschukähnliches Medium. Eine Kugel wird elastisch an der festen Wand reflektiert. Sie zerfließt unter ihrem Eigengewicht beim längeren Liegen. Das rheologische Modell ist eine elastische Feder und ein Dämpfungszylinder in Reihe geschaltet (Bild 1.8).

Zur quantitativen Angabe der eingeführten physikalischen Größen sind Dimensionen und Maßeinheiten erforderlich. Wir verwenden vorrangig das internatio-nale System (SI), geben vergleichsweise aber die Daten auch im alten technischen System an.

Die dynamische Viskosität η wird gemessen in

Ns

= Pa s .

2
m

Bild 1.8

Rheologisches Modell für das viskoelastische Medium

E. C. Bingham, 1878 – 1945

1.2 Widerstand gegen Formänderungen (Elastizität, Viskosität)

9

Die kinematische Viskosität ν = η/ρ wird gemessen in m2/s.

Die folgende Tabelle enthält typische Zahlenwerte bei Normalbedingungen.

η · 106
ν · 106

N m–2 s = Pa s
m2 s–1

Luft

18,2

15,11

Wasser

1.002,0

1,004

Silikonöl Bayer M 100

130.950,0

135,0

Man erkennt hieran sofort, dass η für die durch die Viskosität übertragene Kraft charakteristisch ist und nicht etwa ν = η/ρ. (1.4) liefert für η die Aussage η
τ

=

,
du
dy
d. h. η ist ein Maß für die Kraft pro Flächeneinheit (= τ), die erforderlich ist, um den Geschwindigkeitsgradienten (= du/dy) zu erzeugen. Die kinematische Viskosität entsteht nach Division durch die Dichte, wobei die Größenordnung wesentlich geändert werden kann.

Die Viskosität ist bei Fluiden temperaturabhängig; mit wachsender Temperatur sinkt sie bei Flüssigkeiten und steigt bei Gasen (Bild 1.9). Diese Tatsache wird verständlich aus der oben dargestellten Mikrostruktur. Die Viskosität ist ein makroskopischer Effekt, der durch den molekularen, d. h. mikroskopischen Impulsaustausch der einzelnen Fluidpartikel hervorgerufen wird. Diese Auffassung führt im nächsten Abschnitt zu der gaskinetischen Erklärung der inneren Reibung. Bei Gasen steigt mit wachsender Temperatur die Molekülgeschwindigkeit und damit der beim Stoß übertragene Impuls, was zu einer Zunahme der Viskosität bei diesem Modell führt. Bei Flüssigkeiten spielen die intermolekularen Kräf-te eine entscheidende Rolle. Steigende Temperatur lockert hier die gegenseitige Bindung, die Teilchen werden leichter verschiebbar, die Viskosität sinkt.

Bild 1.9

Abhängigkeit der Viskosität von der Temperatur
bei Flüssigkeiten und Gasen

10

1 Eigenschaften von Fluiden

Einen interessanten Sonderfall bildet die Schwefelschmelze (Bild 1.10). In einem gewissen Temperaturbereich verhält sich dieser Stoff wie eine Flüssigkeit, bei Steigerung der Temperatur wie ein Gas und bei weiterer Temperaturerhöhung wieder wie eine Flüssigkeit. Dies hängt offenbar mit der Umwandlung des kris-tallinen Gefüges dieses Stoffes zusammen. Interessant ist die Analogie zwischen innerer Reibung und Wärmeleitung. Es handelt sich um molekulare Trans-portvorgänge, die ähnlich verlaufen.

Bild 1.10

Dynamische Viskosität der

Schwefelschmelze

Wir können der oben behandelten Couette-Strömung ein sehr einfaches Wärme-leitproblem zur Seite stellen (Bild 1.11). Der Wärmestrom Q , als übertragene Wärmemenge pro Zeit, kann mit dem Fourier-Ansatz wie folgt dargestellt werden: dT

Q = −λ A

(1.8)

dy
λ ist das Wärmeleitvermögen und A die übertragende Fläche. Für den spezifischen Wärmestrom q gilt somit

Q
dT

= q = −λ

. (1.9)

A
dy

Bild 1.11

Analogie von innerer

Reibung und Wärme-
leitung

1.3 Gaskinetische Erklärung der inneren Reibung

11

Damit gilt zwischen innerer Reibung und Wärmeleitung die Analogie
du
dT
τ = η

↔ q = − λ

. (1.10)

dy
dy
λ und η sind molekulare Austauschgrößen für Wärme und Impuls. Für später ist wichtig, dass man aus beiden Größen eine charakteristische Kennzahl herleiten kann. Sie wird nach Prandtl benannt:

ηc

Prandtl-Zahl = Pr =
p (1.11)

λ
cp ist die spezifische Wärme bei konstantem Druck.

1.3 Gaskinetische Erklärung der inneren Reibung

Es geht hier um zwei Aussagen. Einerseits wollen wir den Newtonschen Schubspannungsansatz (1.4) für Gase herleiten und andererseits η bzw. ν auf bekannte mikroskopische Werte zurückführen. Bei der Ableitung benutzen wir gaskinetische Betrachtungen, bei denen makroskopische und mikroskopische Überlegungen gleichzeitig eingehen. Wir untersuchen die Strömung längs einer ebenen Wand (Bild 1.12). u(y) ist das gemittelte Geschwindigkeitsprofil, wie wir es makroskopisch, z. B. mit dem bloßen Auge, registrieren. Mikroskopisch dagegen führen die Gasteilchen eine regellose Zufallsbewegung aus. Der dabei erfolgende Impulsaustausch der verschiedenen Schichten führt zu einer Verheftung, d. h.

zur inneren Reibung. Bild 1.12 veranschaulicht, wie es zu der Scherung in der Schicht y kommt. A bezeichne die mittlere freie Weglänge. Teilchen, die aus dem Niveau (y + A) stammen, beschleunigen die bei y vorhandenen Partikel. Teilchen, die von unten kommen (y – A) verzögern sie entsprechend. Dies ruft eine Scherung bzw. Schubspannung im Niveau y hervor. Diese Kraftwirkung wird jetzt berechnet.

Die Masse des stoßenden Teilchens sei m, dann ist der gemittelte Impuls eines G
von oben kommenden Teilchens |

G
o
i | = m u (y + A); analog gilt für ein Teilchen,
das von unten kommt, | ui | = m u (y – A).

Bild 1.12

Zur gaskinetischen Erklärung der
inneren Reibung. Strömung längs
der ebenen Wand

12

1 Eigenschaften von Fluiden

Zur Bestimmung des insgesamt übertragenen Impulses müssen wir abzählen, wie viel Teilchen pro Zeiteinheit durch die Flächeneinheit gehen, n sei die Teilchen-zahl pro cm3. Aufgrund der Gleichverteilung bewegen sich in 1 cm3 n/3 Teilchen in x- oder y- oder z-Richtung, mithin die Hälfte, also n/6 Teilchen, in (+ x) oder (– x), ... -Richtung. Also treten (n/6) c Teilchen pro Sekunde durch die Flächeneinheit (Bild 1.13). Hier geht entscheidend die mittlere mikroskopische Molekülgeschwindigkeit c der Teilchen ein. Bild 1.13 zeigt, dass nur diejenigen Moleküle, die sich in einem Quader mit der Höhe c · 1 s befinden, in der Zeiteinheit durch die Flächeneinheit treten können.

Bild 1.13

Ermittlung der Zahl der stoßenden Teilchen

Damit kommt für den an die Schicht y übertragenen Impuls pro Zeit- und Flä-
cheneinheit = Kraft pro Fläche = Schubspannung.

n
n
τ = c m u(y+ A) − c m u(y − A) =

6

6

(1.12)

n m ⎡
du
du

⎤

=
c u(y)

⎢

+ A

+...− u(y)+ A

+... .

6
dy
dy

⎥

⎣

⎦

Berücksichtigen wir bei der Entwicklung nur die in l linearen Terme, so wird n m c A du
ρc A du
τ =

=

, (1.13)

3
dy

3 dy
η
c A

= ν =

. (1.14)

ρ

3

Damit ist der Newtonsche Schubspannungsansatz für Gase hergeleitet und gleichzeitig ν auf die früher eingeführten mikroskopischen Bestimmungsstücke c und A zurückgeführt. Wegen c ~ T folgt weiterhin, dass bei Gasen die Viskosität ν mit der Temperatur ansteigt. Aus den Angaben für Luft: c ~ 500m/s, A

~ 10–7m folgt mit (1.14) ν~ 15 · 10–6 m2/s, was mit dem in der Tabelle Seite 9
angegebenen Wert gut übereinstimmt.

1.4 Volumenänderung und Zustandsgleichung für Gase

13

Mit einer Dimensionsbetrachtung kann man auch zur Darstellung der kinematischen Viskosität ν gelangen. Man geht davon aus, dass ν allein von den kinematischen mikroskopischen Bestimmungsstücken A und c abhängen kann, d. h.

ν = f (A, c ).

Ein Potenzansatz
ν = A m
c · An
mit A = konst liefert sofort
ν = A c A
d. h. abgesehen von dem Zahlenfaktor A kommt wiederum (1.14). Diese Zurück-führung der kinematischen Viskosität auf die mikroskopischen Größen: mittlere Molekülgeschwindigkeit und mittlere freie Weglänge stellt ein sehr einleuchtendes Ergebnis dar, das anschaulich den Mechanismus des Zustandekommens der inneren Reibung vor Augen führt. Wir kommen später auf ähnliche Betrachtungen (z. B. das Konzept des Prandtlschen Mischungsweges) wiederholt zurück.

1.4 Volumenänderung und Zustandsgleichung für Gase

Wir erinnern an zwei elementare Grundgesetze für so genannte ideale Gase.

1. Das Boyle-Mariotte-Gesetz für isotherme Prozesse besagt: p · V = p0 · V0 = konst, t = konst, t in °C.

(1.15)

2. Das Gay-Lussac-Gesetz für isobare Vorgänge lautet: 1

V = V0 (1 + βt), p = konst, β =

(1.16)

273 ºC
t bezeichnet hierin die Celsius-Temperatur. In Bild 1.14 sind verschiedene Prozesse (isochor – ρ = konst, isobar – p = konst, isotherm – t = konst, isentrop –
s = konst) in der (p, V)-Ebene eingetragen.

Eine beliebige Zustandsänderung p1, V1, t1 = 0 → p, V, t können wir stets aus den beiden oben betrachteten elementaren Prozessen zusammensetzen

(Bild 1.15). Ein isothermer Vorgang führt von p1, V1, t1 = 0 zu p, V2, t2 = 0: p1 V1 = p V2. (1.17)

Ein anschließender isobarer Prozess führt p, V2, t2 = 0 in p, V, T über mit V = V2 (1 + βt). (1.18)

Benutzen wir hier (1.17), so wird

⎛ 1

⎞
p V = p V2 (1 + βt) = p1 V1(1 + βt) = β p1 V1⎜ + t⎟= β p

⎝ β

⎠

1 V1 T,

R. Boyle, 1627 – 1691

E. Mariotte, 1620 – 1684

14

1 Eigenschaften von Fluiden

Bild 1.14

Bild 1.15

Thermodynamische Zustandsänderungen in

Zusammensetzung eines isothermen
der (p, V)-Ebene
und eines isobaren Prozesses

also in spezifischen Größen
p

R
p v = =

T = RiT (1.19)

ρ
m

Dies ist die ideale Gasgleichung. Hierin bedeuten:

2
m g

J

R = allgemeine (molare) Gaskonstante = 8,314 · 103

= 8,314

,

2
s mol K
mol K

2
m

J

Ri = spezifische oder spezielle Gaskonstante in

=

,

2
s K
kg K
g
m = Molmasse in

.

mol

Es gilt die Beziehung

R = cp − cv = Ri (1.20)

m

Die wichtigsten Repräsentanten sind

Gas

O2

N2

H2

Luft
g
m in

32

28,016

2,016

29
mol

J. L. Gay-Lussac, 1778 – 1850

J. P. Joule, 1818 – 1889

1.5 Oberflächen- oder Grenzflächenspannung und Kapillarität

15

Bei realen Gasen haben wir es im Unterschied zu den vorstehenden Betrachtungen mit allgemeineren Zustandsgleichungen zu tun. Ein Beispiel ist die so genannte van-der-Waalssche-Gleichung.

1.5 Oberflächen- oder Grenzflächenspannung und

Kapillarität

Bisher haben wir nur ein homogenes Medium betrachtet. Jetzt beschäftigen wir uns mit der unmittelbaren Umgebung der Trennfläche zweier Medien unterschiedlicher Dichte. Solche Flächen spielen in der Strömungslehre eine große Rolle. Grenzen zwei nicht mischbare Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte aneinander, so sprechen wir von einer internen Grenzfläche. Eine freie Oberfläche liegt vor, wenn eine Flüssigkeit und ein Gas aneinander grenzen. Im Innern der Flüssigkeit heben sich die intermolekularen Anziehungskräfte auf ein Teilchen im Mittel auf (Bild 1.16). Es liegt hier ein kugelsymmetrisches Kraftfeld vor. An der Oberfläche tritt eine Resultierende auf, die ins Innere gerichtet ist, da die Gaspartikel über der Oberfläche keine intermolekularen Kräfte ausüben. Die Dicke dieser Oberflächenschicht ist vergleichbar dem Wirkungsbereich der intermolekularen Kräfte (~ 10 d ~ 10–9 m). Diese Resultierende der intermolekularen Kräfte steht im Gleichgewicht mit den übrigen Kräften (Schwerkraft, Druckkraft). Im Vorgriff auf Späteres besagt dies, dass es dadurch in der Nähe der Oberfläche zu einer abgeänderten hydrostatischen Druckverteilung kommt. Gegen diese Resultierende muss Arbeit geleistet werden, wenn ein Teilchen aus dem Flüssigkeitsinnern an die Oberfläche verschoben werden soll, d. h. die Moleküle an der Oberfläche haben eine höhere Energie als Teilchen im Innern. In jeder Flüssigkeitsoberfläche steckt also Energie. Um diese zusätzliche Energie gering zu halten, verwendet die Natur möglichst wenig Teilchen zur Bildung der Oberfläche. Dies führt zur Entstehung von so genannten Minimalflächen. Das folgende Beispiel illustriert dies anschaulich (Bild 1.17). Ein rechteckiger Draht-rahmen wird mit einer Seifenhaut ausgefüllt. Ein geschlossener Garnfaden wird darauf gelegt. Wird die Seifenhaut in der Schlinge durchstochen, so springt die Schlinge zu einem Kreis auf. Der Kreis hat bekanntlich bei gegebenem Umfang die größte Fläche. Die Restfläche ist also unter den gegebenen Randbedingungen die Minimalfläche.

Bild 1.16

Intermolekulare Kräfte im Innern und
an der Oberfläche einer Flüssigkeit

16

1 Eigenschaften von Fluiden

Das Bestreben, die Oberfläche möglichst klein zu machen, führt zu einem Span-nungszustand in der Fläche. Als Oberflächenspannung σ definiert man diejenige Kraft pro Längeneinheit der Berandung, die die Oberfläche im Gleichgewicht hält (Bild 1.18). Die Größe σ hängt wesentlich von den beiden Medien ab, die an der Oberfläche aneinander grenzen. Sie nimmt im Übrigen mit wachsender Temperatur ab. Die Erklärung ist ähnlich wie bei der Viskosität. Mit zunehmender Temperatur werden die intermolekularen Bindungen geringer. Die Resultierende in Bild 1.16 nimmt ab, und damit sinkt die Oberflächenenergie.

Bild 1.17

Bild 1.18

Zur Bildung von Minimalflächen

Zur Definition der Oberflächenspannung

Medien
σ · 102 Nm–1

Wasser/Luft

7,1

(bei 20 °C)

Öl/Luft

2,5 – 3,0

Quecksilber/Luft

46

Die Messung von σ kann mit einem Drahtbügel erfolgen, an dem ein Steg verschiebbar angebracht ist (Bild 1.19). Da zwei Oberflächen gebildet werden, gilt G

| F | = 2 σ A

Anstelle der

G
angreifende Kraft F an der Berandung

Oberflächenspannung σ =

(1.21)

Länge der Berandung A

← Bild 1.19

Messung von σ mit einem

Drahtbügel

Bild 1.20 →

Zur Gleichheit von Oberflä-
chenspannung und spezifi-

scher Oberflächenenergie

1.5 Oberflächen- oder Grenzflächenspannung und Kapillarität

17
wird häufig der Begriff der

Energiezunahme E

Δ
spezifischen Oberflächenenergie ε =

(1.22)

Oberflächenzunahme A

Δ
verwendet. Es ist
ε = σ. (1.23)

Um diese Aussage zu beweisen, verschieben wir in Bild 1.20 den Steg um Δs.

Die dabei erzielte Oberflächenzunahme ist ΔA = 2 Δ s A. Mit (1.22) gilt damit für die hierzu erforderliche Energie

ΔE = 2 ε Δ s A. (1.24)

G

Gehen wir andererseits von der angreifenden Kraft | F | = 2 σ A aus, so leistet sie bei der Verschiebung um Δ s die Arbeit

ΔW = 2 σ Δ s A. (1.25)

Da beide Energien (1.24) und (1.25) gleich groß sind (Energiebilanz!), folgt ΔW = 2 σ Δ s A = 2 ε Δ s A = ΔE
d. h. es gilt (1.23).

Mit dieser Beziehung ist es leicht möglich, die Energie abzuschätzen, die in Flüssigkeitsoberflächen steckt. Das ist insbesondere dann wichtig, wenn Oberflächen ständig neu gebildet werden, was z. B. bei der Zerstäubung der Fall ist. Diese letzte Feststellung führt uns von den bisher behandelten ebenen Oberflächen zu gekrümmten Flächen, die in den Anwendungen von großem Interesse sind. Beispiele hierfür sind etwa ein Wassertropfen, eine Flüssigkeitsblase oder ein Gas-tropfen (Bild 1.21). In allen drei Fällen ist die Oberflächenspannung bestrebt, den Tropfen bzw. die Blase zu komprimieren. Dadurch kommt es zu einem Druckanstieg im Innern. Dies führt bei Vernachlässigung der Schwerkraft zu einem Gleichgewicht zwischen der Druckkraft und der aus der Oberflächenspannung resultierenden Kraft.

← Bild 1.21
drei verschiedene

Tropfenarten

Bild 1.22 →

Gleichgewichtsbetrachtung für den kugelförmigen Flüssigkeits-
tropfen

18

1 Eigenschaften von Fluiden

Besonders einfach ist die zugehörige Gleichgewichtsbetrachtung für den kugelförmigen Flüssigkeitstropfen (Bild 1.22). Schneiden wir den Tropfen am Äquator auf, so ergibt sich eine resultierende Oberflächenspannungskraft G

| F | = 2 π r σ. (1.26)

Die resultierende Druckkraft weist in vertikaler Richtung und hat dieselbe Grö-
ße, als ob die Äquatorebene mit der Druckdifferenz Δp beaufschlagt wäre (s. u.): G

| D

F | = Δ p π r2 = (pi – pa) π r2. (1.27)

Aus dem Gleichgewicht der beiden Kräfte folgt

2

Δ
σ
p = pi – pa =

(1.28)

r

Für die Blase ergibt sich rechts im Zähler ein zusätzlicher Faktor 2, da zwei Oberflächen gebildet werden. Im Tropfen bzw. in der Blase kann damit ein erheblicher Überdruck entstehen. Im Falle von Nebeltröpfchen, r = 10–6 m = 10–3
mm, erhalten wir z. B.

−2

2 ⋅ 7,1⋅10

N

N

Δp =

5

= 1,42 ⋅10

= 1,42 bar

−6

2

2

10
m
m

Bild 1.23

Zur Herleitung der Druck-
kraft

1.5 Oberflächen- oder Grenzflächenspannung und Kapillarität

19

Wir wollen die ausführliche Ableitung der Druckkraft (1.27) nachtragen, weil das Ergebnis von allgemeinem Interesse ist. In Bild 1.23 ist das Oberflächenelement angegeben. Bei der Integration ist aus Symmetriegründen nur die
z-Komponente der Druckkraft zu berücksichtigen:

Der Außendruck pa ergibt für das Flächenelement den Anteil

– pa dA cos ϑ = – pa r2 sin ϑ cos ϑ dϑ dϕ.

Integration über die Halbkugel liefert

2 π
π /2

− ∫ ∫ pa r2 sin ϑ cos ϑ dϑ dϕ = – pa π r2.

ϕ 0

= ϑ 0

=

Berücksichtigen wir den Beitrag von pi auf die Äquatorfläche = pi · π r2, so wird insgesamt

FD,Z = (pi – pa) π r2 = Δp π r2.

Dieser Tatbestand gilt allgemein, d. h. bei gekrümmten Flächen spielt nur die Projektion in die jeweilige Ebene eine Rolle. Dabei wird in diejenige Richtung projiziert, in der die Komponente der Druckkraft gesucht wird.

Wir kommen jetzt zur Gleichgewichtsbetrachtung bei einer beliebig gekrümmten Fläche. Wir schneiden ein rechteckförmiges Oberflächenelement heraus. Bild 1.24 enthält alle Bezeichnungen, die die Geometrie und die Kräfte betreffen. r1
und r2 sind die Krümmungsradien der Schnittkurven der Oberfläche mit zwei zueinander senkrechten Ebenen.

Bild 1.24

Gleichgewichtsbetrachtung für
eine beliebig gekrümmte Fläche

20

1 Eigenschaften von Fluiden

Man beachte, dass r1 und r2 mit Vorzeichen behaftet sind. Sie haben entgegenge-setztes Vorzeichen, falls die Krümmungsmittelpunkte auf verschiedenen Seiten der Fläche liegen. Es gelten die Zusammenhänge
ds1 = r1 dϕ1 , ds2 = r2 dϕ2. (1.29)

Die Resultierende aus den angreifenden Oberflächenspannungen muss der

Druckkraft das Gleichgewicht halten (Bild 1.25):

JJG

JJG

JJG
dF01 +

02
dF + dFD = 0. (1.30)

Hier gilt für die Beträge
dFD = (pi – pa) ds1 ds2 = Δp ds1 ds2,
σ
dF01 = σ ds1 dϕ2 =
ds1 ds2, (1.31)

2
r
σ
dF02 = σ ds2 dϕ1 = ds1 ds2.

1
r

Die Gleichgewichtsbedingung liefert

⎛ 1

1 ⎞

Δp = pi – pa = σ⎜ + ⎟ (1.32)

⎝ 1r

2
r ⎠

Als Spezialfälle heben wir hervor:

2σ

1. Kugeltropfen: r1 = r2 = r, Δp =

r

4σ

2. Kugelförmige Blase: Δp =

r
σ

3. Zylindrische Oberfläche: r1 = r, r2 → ∞ , Δp = .

r

Bild 1.25

Kräftegleichgewicht für den Fall von Bild 1.24

Von Interesse ist eine Vorzeichendiskussion. Wir beginnen mit r1 > 0 und r2 > 0.

Beide Krümmungsmittelpunkte liegen auf derselben Seite der Fläche. Wir halten r1 > 0 fest und lassen r2 von positiven Werten über Unendlich zu negativen Wer-

1.5 Oberflächen- oder Grenzflächenspannung und Kapillarität

21
ten variieren. Dann ist die Krümmung in den beiden Richtungen 1 und 2 ent-gegengesetzt. Es liegt das Verhalten einer Sattelfläche (Bild 1.26) vor. In einem solchen Fall kann durchaus Δp = pi – pa = 0 sein, nämlich dann, wenn die Oberflächenspannungskräfte untereinander im Gleichgewicht stehen. Mit geeigneten Drahtbügeln können solche Sattelflächen aus Seifenhaut leicht erzeugt werden.

Beide Seiten der Fläche stehen unter Atmosphärendruck, und es gilt damit für die Krümmungsradien

1

1

+

= 0. (1.33)

1
r

2
r

In der Mathematik werden hierdurch die so genannten Minimalflächen definiert.

Die Bedingung hierfür lautet, dass die mittlere Flächenkrümmung

1⎛ 1

1 ⎞

H = ⎜ +

=

⎟ 0

2⎝ 1r

2
r ⎠
ist, was mit unserer Bedingung (1.33) übereinstimmt.

Bild 1.26

Gleichgewicht an einer Sattelfläche

Zum Abschluss einige elementare Konsequenzen. Sind zwei Blasen miteinander in Berührung, so ist die konvexe Seite in der größeren Blase, da in der kleineren der höhere Druck herrscht (Bild 1.27). Stehen die beiden Blasen durch eine Leitung miteinander in Verbindung, so bläst die kleine die große auf. Im Endzustand besitzen beide Flächen gleiche Krümmung. In Bild 1.28 ist der entsprechende Versuch skizziert. Im Anfangszustand liegen zwei Blasen unterschiedlicher Grö-

22

1 Eigenschaften von Fluiden
ße vor. Die rechts befindliche kleinere enthält Rauch. Wird die Verbindung zwischen beiden hergestellt, so strömt der Rauch nach links. Die rechte Blase verkleinert sich. Im Endzustand bleibt rechts ein Flächenstück übrig, das dieselbe Krümmung wie die Blase links besitzt.

Wir kommen zur Besprechung der Kapillarität. Die Bezeichnung rührt von der Hebung bzw. Senkung des Flüssigkeitsspiegels in einer Kapillaren her. Jetzt handelt es sich darum, dass drei Medien, z. B. Gas-Flüssigkeit-fester Körper, zu-sammentreffen. Neben den intermolekularen Kräften der Flüssigkeit spielen jetzt die Anziehungskräfte der Wand ( = Adhäsion) eine Rolle. Vom Eigengewicht des Teilchens (Schwerkraft) kann in diesem Zusammenhang abgesehen werden.

Von Wichtigkeit sind zwei Extremfälle.

1. Die Adhäsion ist sehr viel größer als die Anziehung durch die benachbarten Flüssigkeitsteilchen. In diesem Fall kommt es zur Benetzung der Wand. Die Flüssigkeit wird an die Wand herangezogen und steigt dort in die Höhe

(Bild 1.29). Die Resultierende aus Adhäsion und intermolekularen Kräften steht senkrecht zur Flüssigkeitsoberfläche (bei Vernachlässigung der Schwere!). Dies muss so sein, da sonst eine Komponente in Richtung der Oberfläche vorhanden wäre, die zu einer Verschiebung der Teilchen an der Oberfläche und damit zu einer Bewegung führen würde. Der skizzierte Fall entspricht z. B. der Kombination: Glas, Wasser und Luft.

2. Ist die Anziehung der Flüssigkeitspartner sehr viel größer als die Adhäsion, so liegt der nichtbenetzende Fall vor. Die Flüssigkeit sinkt an der Wand herab (Bild 1.30). Dies entspricht z. B. der Kombination: Glas, Quecksilber und Luft.

Bild 1.27

Zwei Blasen in Berührung

Bild 1.28 →

Druckausgleich zwischen zwei Blasen ver-
schiedener Größe

1.5 Oberflächen- oder Grenzflächenspannung und Kapillarität

23

Bild 1.29

Bild 1.30

Benetzung der Wand (z. B. Glas, Wasser,

Nichtbenetzender Fall (z. B. Glas, Queck-

Luft)

silber, Luft)

Von Wichtigkeit ist die Berechnung der kapillaren Steighöhe (oder Senkung).

Wir wollen hier verschiedene Methoden anwenden, die alle in den Anwendungen eine Rolle spielen.

1. Wir benutzen das Schnittprinzip der Mechanik und schneiden die in der Kapillaren gehobene Flüssigkeitssäule (Bild 1.31) frei. Dann muss ein Gleichge-G
wicht bestehen zwischen der Oberflächenspannungskraft

G

1

F und der Gewichts-
kraft der gehobenen Flüssigkeitssäule 2

F . Mit den Bezeichnungen von Bild 1.31
gilt im Gleichgewicht

F1 = 2 π r σ cos α = F2 = π r2 h ρ g,
d. h.

2σ cosα

4σ cosα
h =

=

. (1.34)

r ρ g
d g ρ

Bild 1.31

Gleichgewicht bei der Kapillarhebung

24

1 Eigenschaften von Fluiden

Die Adhäsion geht durch den Randwinkel α ein. Bei vollständiger Benetzung ist α = 0, und es gilt

4 σ
h =

(1.35)

d g ρ
wodurch eine einfache Möglichkeit zur Messung von σ gegeben ist.

2. Wir betrachten den Spezialfall der vollständigen Benetzung und erläutern eine weitere Möglichkeit (Bild 1.32). In der Flüssigkeit entsteht unter der freien Oberfläche ein Unterdruck

2σ

4

Δ
σ
p = pi – p2 =

=

.

r
d

Die zugehörige Sogkraft, die sich durch Projektion der Oberfläche in den Kapillarquerschnitt ergibt, trägt die Flüssigkeitssäule. Für die Sogkraft gilt: Δp π r2 = 2 π σ r, während das Gewicht π r2 h ρ g ist. Setzen wir beide Ausdrü-
cke gleich, ergibt sich (1.35).

3. Wir benutzen die Stetigkeitsbedingung für den Druck im Punkt 2 (Bild 1.32).

Wir nehmen an der Stelle die Darstellung für den hydrostatischen Druck vorweg.

Der Druck in 2 kann auf zwei Wegen berechnet werden: als hydrostatischer Druck p2 = p1 – g ρ h und als Kapillardruck p2 = p1 – 2 σ/r. Durch Gleichsetzen erhält man wieder (1.35). An der letzten Darstellung erkennt man auch sofort, dass die Steighöhe begrenzt ist. Für p2 = 0 wird hmax = p1/ρ g bzw. rmin = 2 σ/p1.

Strenggenommen wäre hier zu fordern, dass an der Stelle 2 der Dampfdruck der Flüssigkeit nicht unterschritten werden darf. Das erste stellt die wohlbekannte Steighöhe der Hydrostatik dar, das zweite gibt, im Rahmen des hier benutzten Modells, eine Abschätzung für den minimalen Kapillarradius.

Mit σ = 7,1 · 10–2 N/m und p1 = 105 N/m2 wird dmin ӽ 3 · 10–3 mm.

Für die Steighöhen im zylindrischen Rohr ergibt (1.35)

28,8

13,8
hH
mm, |h
mm.

2O =
d

Hg| = d

Hierin ist d in mm einzutragen.

Bild 1.32

Berechnung der Drücke bei der Kapillarhebung

1.5 Oberflächen- oder Grenzflächenspannung und Kapillarität

25

Bild 1.33

Kapillarhebung zwischen zwei benachbarten

Platten

Betrachtet man die Hebung einer Flüssigkeit zwischen zwei benachbarten vertikalen Platten (Bild 1.33), so erhält man für die Vertikalkomponente der Oberflä-
chenspannungskraft

F1 = 2 b σ cos α
und für das Gewicht der gehobenen Flüssigkeit

F2 = h b d ρ g,
also

2 σ cos α
h =

.

d g ρ

Die Steighöhe ist also halb so groß wie bei der zylindrischen Kapillaren. Dies leuchtet unmittelbar ein, da der wirksame Druck auch nur halb so groß ist.

26

2 Hydro- und Aerostatik

2.1 Flüssigkeitsdruck p

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit den Zustandsgrößen bei fehlender Bewegung. Wir holen zunächst den Nachweis nach, dass der Druck eine rich-tungsunabhängige Größe, also ein Skalar, ist. Wir betrachten ein Massenelement mit der Tiefe dz (Bild 2.1) eines Newtonschen Fluids im bewegungslosen Gleichgewichtszustand. Schubspannungen treten in den Schnittflächen erst bei Bewegung auf. Bei uns sind dort nur Normalkräfte vorhanden. Den Druck kennzeichnen wir mit einem Index: px, py, pz, je nachdem auf welche Fläche er wirkt.

Das Gewicht geht als Volumenkraft ein. Es bestehen die Relationen
dx = ds cos α , dy = ds sin α.

Das Kräftegleichgewicht lautet

GF

∑ =0
α

α
d. h. die Summe aller angreifenden Kräfte ist Null. In Komponenten besagt dies Σ Fx = px dy dz – ps sin α ds dz = (px – ps) dy dz = 0,
ps = px. (2.1)

Σ

1

Fy = py dx dz – ps cos α ds dz – dx dy dz ρ g =

2

⎛

1

⎞

=⎜py − ps − ρ g dy⎟dx dz = 0,

⎝

2

⎠

1
ps = py – ρ g dy.

(2.2)

2

Bild 2.1

Kräftegleichgewicht am ruhenden Massen-
element

J. Zierep, K. Bühler, Grundzüge der Strömungslehre, DOI 10.1007/978-3-8348-9756-5_3,

© Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010

2.2 Flüssigkeitsdruck in Kraftfeldern

27

Ziehen wir das Massenelement auf einen Punkt zusammen, so gehen (2.1) und (2.2) über in
ps = px = py. (2.3)

Wir können also die Indizes fortlassen. Dadurch ist der Flüssigkeitsdruck p als skalare Größe erkannt.

2.2 Flüssigkeitsdruck in Kraftfeldern

Wir betrachten nach wie vor ein ruhendes Medium, schneiden einen infinitesimalen Quader heraus (Bild 2.2) und formulieren die Gleichgewichtsbedingung. Wir unterteilen die auftretenden Kräfte in zwei Klassen: in Massenkräfte und Oberflächenkräfte. In die erste Gruppe fallen definitionsgemäß alle an der Masse des Elements angreifenden Kräfte (Schwerkraft, Zentrifugalkraft, elektrische und magnetische Kräfte usw.). Die zweite Gruppe enthält alle auf die Oberfläche wirkenden Kräfte (Druckkraft, Reibungskräfte usw.). Die letzteren Kräfte werden durch Normal- und Tangentialspannungen an der Oberfläche hervorgerufen. In dem hier betrachteten Spezialfall tritt nur der statische Druck auf.

Die Massenkraft pro Masseneinheit ist

Gf = {fx, fy, fz}. (2.4)

Die x-Komponente der Gleichgewichtsbedingung lautet

⎛

∂p ⎞
p dy dz –⎜p+
dx⎟dy dz + f

⎝

∂x ⎠
x dm = 0,
also

∂p

–
dx dy dz + f

∂x
x dm = 0.

Mit dem Massenelement dm = ρ dx dy dz folgt für alle drei Komponenten

1 ∂p

1 ∂p

1 ∂p

= fx ,

= fy,

= fz (2.5a)

ρ ∂x
ρ ∂y
ρ ∂z

Bild 2.2

Gleichgewichtsbetrachtung
für den Quader

28

2 Hydro- und Aerostatik
oder, zusammengefasst in Vektorform,

1

G
grad p = f . (2.5b)

ρ

Wir diskutieren Spezialfälle, die für die Strömungslehre von Wichtigkeit sind.

Als Massenkräfte berücksichtigen wir die Schwerkraft

Gfs = {0, 0, – g},

(2.6)

sowie die Zentrifugalkraft, die bei Drehung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um die z-Achse auftritt (Bild 2.3):

Gfz= {ω2 x, ω2 y, 0}.

(2.7)

Strenggenommen fällt dieses Beispiel nicht mehr in das Gebiet der Statik. Rotiert das Fluid mit konstanter Winkelgeschwindigkeit wie ein starrer Körper, so können dennoch die obigen Gleichungen verwendet werden. (2.6) und (2.7) ergeben mit (2.5b) das Differentialgleichungssystem

1 ∂p

2

1 ∂p

2

1 ∂p

= ω x,

= ω y,

= −g. (2.8)

ρ ∂x
ρ ∂y
ρ ∂z

Die Integration führt bei konstanter Dichte ȡ schrittweise zu dem Ergebnis 1

∂f (y, z)

p (x, y, z) = ρ ω2 x2 + f(y, z) →

= ρ ω2 y,

2

∂y

1
dh
f(y, z) = ρ ω2 y2 + h(z) →

= – g ρ,

2
dz
h(z) = – g ρ z + konst,

1
p(x, y, z) = ρ ω2 (x2 + y2) – g ρ z + konst.

(2.9)

2

Diese Druckverteilung kann man am einfachsten anhand der Isobarenflächen p = konst diskutieren. Es handelt sich um Rotationsparaboloide, die alle durch Translation längs der Rotationsachse auseinander hervorgehen (Bild 2.4):

← Bild 2.3

Zur Zentrifugal-
kraft

Bild 2.4 →

Isobaren bei Drehung des Fluids um die
z-Achse

2.2 Flüssigkeitsdruck in Kraftfeldern

29

Bild 2.5

Gleichgewichtsbetrachtung für die Flüssig-
keitsoberfläche

2

2
ω
ω
z – z

2

2

2

0 =

(x + y ) =
r . (2.10)

2 g

2 g

Speziell gilt diese Darstellung für die Flüssigkeitsoberfläche, denn dort ist der Druck gleich dem konstanten Atmosphärendruck. Man kann zu diesem Ergebnis sehr leicht auch auf dem folgenden Wege kommen: An der Flüssigkeitsoberflä-
che muss die Resultierende aus Schwerkraft und Zentrifugalkraft senkrecht zur Fläche liegen (Bild 2.5). Dies führt zum Anstieg

2
dz
ω r

=

,
dr
g
d. h. es gilt (2.10):

2
ω
z – z

2

0 =
r .

2 g

Wir beschäftigen uns nun mit dem Druckverlauf in Flüssigkeiten und Gasen im Schwerefeld.

In einer ruhenden Flüssigkeit (ρ = konst) erhalten wir aus (2.9) für die Druckdifferenz p1 – p2 beim Höhenunterschied h (Bild 2.6)

Δp = p1 – p2 = g ρ h.

(2.11)

Der Druck nimmt in Flüssigkeiten also linear mit der Tiefe zu. Die Maßeinheiten des Druckes sind

N
kg

1 Pa (Pascal) = 1

= 1

2
m

2
m s

N

1 bar = 105 Pa = 105

2
m

Ältere Einheiten sind
kp

Technische Atmosphäre: 1 at = 1

= 10 m WS = 0,981 bar,

2
cm

30

2 Hydro- und Aerostatik

Bild 2.6

Druckverlauf in ruhenden Flüs-
sigkeiten im Schwerefeld

Physikalische Atmosphäre:

1 atm = 760 Torr = 76 cm Hg = 1,033 at = 1,013 bar = 1013 mbar.

Es gelten damit die Zusammenhänge

1

1 Torr =
atm = 133,3 Pa

760

1 mmHg = 13,6 mm WS.

Die älteren Definitionen gehen entweder vom Druck einer 10 m hohen Wassersäule (WS) (= 1 at) oder einer 76 cm hohen Quecksilbersäule (= 1 atm) aus.

Die Druckmessung (p1) kann somit auf eine Längenmessung (h) zurückgeführt werden (Bild 2.7). Das ist das Prinzip des Barometers. Die maximale Steighöhe wird für p2 = 0 erreicht. Wenn p1 der Atmosphärendruck ist und der Dampfdruck vernachlässigt wird, wird hmax = 10 m WS.

Von Interesse ist die Betrachtung des Barometers unter Berücksichtigung von Kapillaritätseffekten (Bild 2.8). Die Hydrostatik liefert
p1 – p2' = g ρ h.

(2.12)

Die Oberflächenspannung führt bei vollständiger Benetzung zur Druckdifferenz 4 σ
p2 – p2' =

(2.13)

d

Subtraktion ergibt

4 σ
p1 – p2 = g ρ h –

,
d
d. h.

p − p

4 σ
h = 1

2 +

. (2.14)

g ρ
d g ρ

B. Pascal, 1623 – 1662

E. Torricelli, 1608 – 1647

2.2 Flüssigkeitsdruck in Kraftfeldern

31

Bild 2.7

Bild 2.8

Prinzip des Barometers

Das Barometer unter Berücksich-
tigung von Kapillaritätseffekten

Danach sieht es so aus, als ob die maximale Steighöhe durch Kapillaritätseffekte vergrößert werden könnte. Dies ist jedoch nicht der Fall. Man hat hierzu lediglich zu beachten, dass nach (2.13) p2 – p2' ≥ 0 ist. Eine Verringerung von p2 hat dort ihre Grenze, wo p2' = 0 ist. Dann folgt aus (2.13): p2min = 4 σ/d und aus (2.12): p1 = g ρ hmax. Dies stimmt vollständig mit der früher ermittelten Steighöhe überein.

Untersuchen wir nun die Druckverteilung in einem geschichteten Medium mit der Dichte ȡ = ȡ(z). Es gibt viele Anwendungen, z. B. in Flüssigkeiten oder auch in der Atmosphäre. Wir beschäftigen uns im Folgenden mit Gasschichten. Die hydrostatische Grundgleichung für den Druck (2.8)

dp = – g ρ
dz
liefert mit der idealen Gasgleichung (1.19)

p = RiT
ρ
die Bestimmungsgleichung
dp
g dz

= −

. (2.15)

p

Ri T

Eine Integration ist nur möglich, wenn T = T(z) gegeben ist. Dies ist eine zusätzliche Aussage, die aus thermodynamischen Betrachtungen folgt (Energiebilanz!).

Besonders einfach wird die Integration für eine isotherme Gasschicht. (2.15) ergibt bei den Anfangswerten p(z0) = p0, ρ(z0) = ρ0

⎛
g

⎞

⎛
g

⎞
p = p0 exp −

⎜

(z − z0)⎟, ρ = ρ

−

⎜

(z − z )⎟. (2.16)

⎝ R

0 exp

0
i 0

T

⎠

⎝ Ri 0

T

⎠

32

2 Hydro- und Aerostatik

Bild 2.9

Druckverlauf in einer isothermen Gasschicht

Bild 2.10 Temperatur und Druck in der Atmosphäre

Bei der Flüssigkeit konstanter Dichte liegt eine lineare Abhängigkeit des Druckes von der Höhe vor. Hier handelt es sich dagegen um einen exponentiellen Verlauf (Bild 2.9).

In der Atmosphäre kann man in der Troposphäre und in der Stratosphäre die Temperatur gut durch eine Gerade bzw. durch eine Konstante annähern

(Bild 2.10). Eine entsprechende Integration wie oben führt in der Troposphäre zu einer Potenzfunktion, während in der Stratosphäre eine Exponentialfunktion vorliegt. Beide Druckfunktionen gehen in der Tropopause stetig und stetig differenzierbar ineinander über. Letzteres folgt sofort aus der hydrostatischen Grundgleichung (2.5b) mit (2.6), weil die Dichte im Übergang stetig ist. In der Meteorologie werden diese Beziehungen (Barometrische Höhenformeln) sehr häufig, z. B.

bei der Aufstiegsauswertung, verwendet.

2.3 Druckkraft auf ebene Behälterwände

Das zu behandelnde Thema ist wichtig zur Dimensionierung von Gefäßen, Be-hältern, Staumauern usw. Wir betrachten hier zunächst ebene, geneigte Wände (Bild 2.11). Für den Druck gilt
p = p1 + g ρ z.

2.3 Druckkraft auf ebene Behälterwände

33

Bild 2.11

Druckkraft auf ebene, ge-
neigte Wände

G

Wir bestimmen den Betrag der Kraft | F | = F, die von der Flüssigkeit auf die Fläche A übertragen wird. Für ein Flächenelement gilt dF = p d A, also insgesamt F = p d A

∫

= ∫ 1

(p + g ρ z) dA = p1 A + g ρ cos α ∫A dA =

A

A

A

=
p1 A + g ρ cos α As A = p1 A + g ρ zs A = ps A.

Hierin ist As die Schwerpunktskoordinate von A, definiert durch

∫AdA = As A.

(2.18)

A

Die von der Flüssigkeit ausgeübte Kraft ist damit gleich dem Druck im Flächen-schwerpunkt multipliziert mit der Fläche. Falls außen der konstante Druck p1
herrscht, ist die resultierende Kraft

FRes = g ρ zs A.

(2.19)

Dies ist ein einleuchtendes Ergebnis. Bei der Ermittlung der Kraft heben sich offenbar die Unterdrücke über dem Schwerpunkt mit den Überdrücken unter dem Schwerpunkt auf. Das liegt an der linearen Druckverteilung. Anders ist es bei den Momenten, die zur Bestimmung des Angriffspunktes dieser Kraft benötigt werden. Die Überdrücke unter dem Schwerpunkt haben einen größeren Hebelarm als die Unterdrücke. Demzufolge liegt der Angriffspunkt der Kraft stets unter dem Schwerpunkt. Wir führen die Rechnung nur für konstanten Außendruck p1, d. h. für die Resultierende (2.19), vor. Der Leser kann den allgemeinen Fall sofort behandeln. Das Momentengleichgewicht bezüglich der x-Achse lautet: FRes Am = g ρ zs A Am = (p – 1
p )

∫

A dA = g

∫ ρ z A dA =

A

A

=
g
ρ cos α

2

∫A dA = g ρ cos α Jx.

A

Jx bezeichnet das Flächenträgheitsmoment von A bezüglich der x-Achse. Also kommt für den Angriffspunkt der Kraft FRes

J

Am = x . (2.20)

A As

34

2 Hydro- und Aerostatik

Bild 2.12

Schwerpunkt (As) und Angriffspunkt der resultieren-
den Kraft (Am) für die rechteckige, ebene, vertikale

Wand

Bild 2.13

Das hydrostatische Para-
doxon

Wir verschieben die Bezugsachse parallel durch den Schwerpunkt. Der Steinersche Satz lautet

J

2
x = Js + A As
mit Js als Flächenträgheitsmoment bezüglich der Schwerachse parallel zur x-Achse. Also wird aus (2.20)

J

Am – As = s > 0,

(2.21)

A As
womit gezeigt ist, dass der Angriffspunkt der Kraft unter dem Schwerpunkt liegt.

Diese Abweichung kann beträchtlich sein. In dem Spezialfall einer rechteckigen, ebenen, vertikalen Wand (Bild 2.12) ergibt sich z. B.

h

2

As = , A
h.

2
m = 3

Die vorstehenden Überlegungen ergeben sofort die Erklärung des so genannten hydrostatischen Paradoxons (Bild 2.13). Die resultierende Kraft auf die Bodenfläche der verschiedenen Behälter hängt gemäß (2.19) nur von A, zs und ρ ab.

jedoch nicht von der Gefäßform. Die auf die Bodenfläche ausgeübte Kraft ist in allen skizzierten Fällen dieselbe, obwohl das Gewicht der in den Behältern ent-haltenen Flüssigkeit verschieden ist.

J. Steiner, 1796 – 1863

2.4 Hydrostatischer Auftrieb. Druckkraft auf gekrümmte Flächen

35

2.4 Hydrostatischer Auftrieb. Druckkraft auf gekrümmte

Flächen

Wir betrachten einen vollständig in einer Flüssigkeit eingetauchten Körper (Bild 2.14). Aufgrund der hydrostatischen Druckverteilung ist der Druck an der Kör-perunterseite größer als an der Oberseite. Daraus resultiert eine vertikal gerichtete Kraft, der Auftrieb. Die Betrachtung wird zunächst für ein Körperelement durchgeführt:

dFz = p2 d A2 cos β – p1 d A1 cos α = (p2 – p1) dA =

=
g
ρFl h dA = g ρFl dV.

Integration liefert

Fz = g ȡFl V,

(2.22)

d. h. der Auftrieb ist gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit (Archimedisches Prinzip). Diese Aussage kann unmittelbar zur Ermittlung von ρKörper oder ρFluid benutzt werden. Für das Körpergewicht G gilt

G = g ρKörper V,
also mit (2.22)

G
ρKörper

=

.

z

F
ρFluid

Ist eines der spezifischen Gewichte bekannt, so kann das andere ermittelt werden, wenn G und F gemessen wurden.

Das Archimedische Prinzip gilt auch für teilweise eingetauchte Körper (Bild 2.15). Zum Beweis wird längs der Flüssigkeitsoberfläche ein Schnitt durch den Körper gelegt mit konstantem Druck p1 längs der Schnittfläche. Das Druckinte-gral über den nichteingetauchten Körperteil (I) ergibt den Wert Null, da der Druck konstant ist. Was übrig bleibt, ist das Volumen des eingetauchten Teiles (=

V), und damit gilt auch hier (2.22).

Bild 2.14

Der hydrostatische Auftrieb

Archimedes von Syrakus, 287 – 212 v. Chr.

36

2 Hydro- und Aerostatik

Bild 2.15

Das Archimedische Prinzip für den teilweise eingetauch-
ten Körper

Das Archimedische Prinzip kann sehr einfach zur Bestimmung der Kräfte auf gekrümmte Flächen angewandt werden, da die Integration über die beliebige Körperform hier bereits ein für allemal durchgeführt wurde. Wir erläutern dies an einem einfachen Beispiel (Bild 2.16). Ein Rotationskegel weist horizontal in ein mit Flüssigkeit gefülltes Gefäß. Wir ermitteln die Komponenten Fx und Fz der auf den Kegel wirkenden Kraft. Wir schneiden den Kegel frei und erhalten die angegebene Kraftverteilung. Die lineare Druckverteilung auf dem Kegelgrundriss nehmen wir auf – einmal positiv und einmal negativ. Dadurch haben wir einerseits einen völlig eingetauchten Körper (= Kegel), auf den wir das Archimedische Prinzip anwenden können, und andererseits eine ebene eingetauchte Fläche. Damit kommt

Fx = ps π R2 = (pl + g ρ Fl A) π R2,

1

Fz = g ρ

3

F1 π R2 H.

Bild 2.16 Bestimmung der Kraft auf gekrümmte Flächen

Eine weitere Anwendung betrifft das Schwimmen eines Körpers in einer Flüssigkeit. In diesem Fall handelt es sich um das Kräftegleichgewicht zwischen Auftrieb und Gewicht des Körpers. Bild 2.17 veranschaulicht dies. SK ist der Körperschwerpunkt, während Sv den Schwerpunkt der verdrängten Flüssigkeit bezeichnet. Im Allgemeinen ist SK ≠ Sv, da die Massen ungleich verteilt sein können oder der Körper nur teilweise eingetaucht ist. Daher entsteht die Frage nach der Stabilität dieses Gleichgewichtszustandes. Wir bringen hierzu den Körper geringfügig aus der Gleichgewichtslage heraus und betrachten das Rück-stellmoment der Auftriebskraft.

2.4 Hydrostatischer Auftrieb. Druckkraft auf gekrümmte Flächen

37

Bild 2.17

Kräftegleichgewicht beim Schwimmen

Bild 2.18

Stabiles Gleichgewicht
beim Schwimmen

In Bild 2.18 wird ein stabiler Fall betrachtet. Der Auftrieb liefert ein rückdre-hendes Moment. Stabilität liegt offenbar immer dann vor, wenn das Metazentrum M oberhalb des Körperschwerpunktes liegt. M ist der Schnittpunkt der Wirkungslinie des Auftriebs mit der Hochachse des Körpers. Bild 2.19 illustriert einen instabilen Fall. M liegt unterhalb von SK. Diese anschaulichen Betrachtungen sind einleuchtend und sehr einfach. Die quantitative Ermittlung, z. B. der Schwingungen um die Gleichgewichtslage, ist jedoch mit einigem Aufwand verbunden.

Bild 2.19

Instabiles Gleichgewicht beim

Schwimmen

38

3 Hydro- und Aerodynamik

3.1 Stromfadentheorie

3.1.1 Grundbegriffe

Für ein bewegtes Medium sind zu bestimmen

G
w = (u, v, w), p, ρ, T.

(3.1)

Hierzu stehen – wie bereits einleitend hervorgehoben – sechs Gleichungen zur Verfügung. Im Folgenden werden Spezialfälle dieser Gleichungen zum Studium der Bewegung untersucht. Die Gesamtheit der Größen (3.1) in dem betrachteten Raum- und Zeitbereich beschreibt ein Strömungsfeld. Dieses Feld heißt stationär, wenn alle Größen (3.1) nur Funktionen der Ortskoordinaten sind. Das Feld heißt dagegen instationär, wenn die Zeit als zusätzliche Variable auftritt.

Es gibt zwei verschiedene Beschreibungsmöglichkeiten für Strömungsfelder.

1. Lagrangesche Methode (massen- oder teilchenfeste Betrachtung) Hierbei wird das einzelne Teilchen bei seiner Bewegung im Raum verfolgt. Die jeweilige Position des Teilchens ist eine Funktion der Anfangslage

G0r = (a, b, c)

und der Zeit t. Die Teilchenbahn (Bild 3.1) schreibt sich damit in der Form G

G G
r = r( 0r, t) . (3.2)

Bild 3.1

Bewegung längs der Teilchenbahn

J. L. Lagrange, 1736 – 1812

J. Zierep, K. Bühler, Grundzüge der Strömungslehre, DOI 10.1007/978-3-8348-9756-5_4,

© Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010

3.1 Stromfadentheorie

39

Bild 3.2

Bildung der substantiellen Ableitung

G

G

Für die Geschwindigkeit w und die Beschleunigung b ergeben sich die folgenden materiellen oder substantiellen Ableitungen (Bild 3.2):

G

G

G

G

G

G

Δ r
r(t + Δt) − r(t) ⎛∂r ⎞
dr
w = lim

= lim

=⎜ ⎟

=

, (3.3)

Δt→0 Δt

Δt→0

Δt

⎝ ∂t a,

⎠ b,c dt

2G

∂ ⎞

2G

G ⎛ r
d r
b =⎜

⎟

=

. (3.4)

2

2

⎝ t

∂ ⎠
dt
a,b,c

Der Index a, b, c bedeutet, dass die Ableitung bei fester Anfangslage, also für ein und dasselbe Teilchen, durchgeführt wird. Die hierzu erforderlichen Messungen sind jedoch schwer zu realisieren. Man müsste sozusagen das Messgerät mitflie-gen lassen. Dagegen ist diese Beschreibung gut geeignet für Größen, die fest mit dem jeweiligen Teilchen verbunden sind. Zum Beispiel ist die unten eingeführte Wirbelstärke eine solche Größe. Alle Erhaltungssätze (Masse, Impuls und Energie) werden am besten so formuliert.

2. Eulersche Methode (ortsfeste Betrachtung)

Hierbei betrachten wir die Änderung der Strömungsgrößen an einer festen Stelle des Raumes, während die einzelnen Teilchen vorbeiziehen. Dies entspricht dem Vorgehen bei der Messung mit einem ortsfesten Messgerät. Beide Darstellungen stehen in einem einfachen Zusammenhang. Für eine Teilcheneigenschaft
f(x, y, z, t) liefert die Kettenregel
df

∂f

∂f dx ∂f dy ∂f dz

=

+

+

+

=
dt

∂t

∂x dt

∂y dt

∂z dt

∂f

∂f

∂f

∂f

=

+
u +
v +
w =

(3.5)

∂t

∂x

∂y

∂z

∂f

G

=

+ w grad f.

∂t

Hier steht auf der linken Seite die substantielle Änderung, während rechts an erster Stelle die lokale Änderung auftritt. Der Unterschied beider wird durch den G
konvektiven Ausdruck w grad f gebildet. Er beschreibt in einfacher Weise den Einfluss des Geschwindigkeitsfeldes.

40

3 Hydro- und Aerodynamik

Am Beispiel f = T, d. h.

dT

∂T

G

=

+ w grad T,
dt

∂t
kann man sich dies sehr leicht veranschaulichen.

Teilchenbahnen sind Kurven, die die Teilchen im Lauf der Zeit durcheilen. Ihre Differentialgleichung ergibt sich aus (3.2) und (3.3) zu

G
dr

G

= w ,
dt
d. h.

dx
dy
dz

= u(x, y, z, t),

= v(x, y, z, t),

= w(x, y, z, t).

(3.6)

dt
dt
dt

G

Ist die Geschwindigkeit w bekannt, so ergeben sich die Teilchenbahnen durch Integration.

Stromlinien sind Kurven, die zu jedem festen Zeitpunkt auf das Geschwindigkeitsfeld passen. Sie stellen ein momentanes Bild des Geschwindigkeitsfeldes dar (Bild 3.3). Zu einem späteren Zeitpunkt kann die Gestalt der Stromlinien ganz anders sein. Die Differentialgleichung in der (x, y)-Ebene lautet (Bild 3.4) dy
v(x, y,z, t)

=

.

dx
u(x, y,z, t)

t spielt hier die Rolle eines Parameters. Allgemein kann man die Differentialgleichungen in der folgenden Beziehung zusammenfassen

Bild 3.3

Stromlinien als momentanes Bild des Ge-
schwindigkeitsfeldes

3.1 Stromfadentheorie

41

Bild 3.4

Zur Differentialgleichung der Strom-
linien

dx: dy: dz = u(x, y, z, t): v(x, y, z, t): w(x, y, z, t).

(3.7)

Bei stationären Strömungen fallen die Teilchenbahnen mit den Stromlinien zusammen. In (3.7) tritt dann keine Zeitabhängigkeit mehr auf. Bei instationären Strömungen unterscheiden sich dagegen im Allgemeinen die beiden Kurvensys-teme. Wir erläutern diese Problematik an einem einfachen Beispiel.

Wir betrachten die Umströmung eines ruhenden Zylinders mit der Anströmung u∞ (Bild 3.5). Der Beobachter befinde sich auf dem Zylinder. Es handelt sich um eine stationäre Strömung. Die Teilchenbahnen stimmen mit den Stromlinien überein. Wir nehmen jetzt einen Wechsel des Bezugssystems vor, und zwar bewegen wir den Beobachter mit der Anströmung mit. Der Zylinder bewegt sich dann von rechts nach links mit der Geschwindigkeit – u∞. Jetzt handelt es sich um eine instationäre Strömung. Der Zylinder schiebt bei seiner Bewegung das Medium vor sich her, er drängt es dabei zur Seite und lässt es schließlich hinter sich. Bild 3.6 zeigt zu zwei verschiedenen Zeiten die Momentanbilder der Stromlinien sowie eine Teilchenbahn. In Bild 3.7 sind einige Teilchenbahnen für verschiedene Anfangslagen gezeichnet. Ist das Teilchen weit vom Zylinder in Querrichtung entfernt, so führt es eine nahezu kreisförmige Ausweichbewegung durch. Nähert man das Teilchen dem Zylinder, so führt es eine schleifenförmige Bewegung aus, deren horizontale Erstreckung bei Annäherung an die Achse immer größer wird. Die Diskussion dieser Teilchenbewegungen ist sehr interessant und vermittelt viele Einsichten in die Strömungslehre. Die quantitative Berechnung der Teilchenbahnen benutzt die unten entwickelte Potentialtheorie. Es ist ein Charakteristikum des behandelten Beispiels, dass die instationäre Strömung lediglich durch einen Wechsel des Bezugssystems zu einer stationären Strömung gemacht werden kann.

Bild 3.5

Stationäre Umströmung des Kreis-
zylinders

42

3 Hydro- und Aerodynamik

Bild 3.6

Instationäre Strömung bei Bewegung des Zylinders. Momentanbilder der Stromlinien sowie Teilchenbahn

Bild 3.7

Verschiedene Teilchenbahnen bei der Zylinderbewegung

3.1 Stromfadentheorie

43

3.1.2 Grundgleichungen der Stromfadentheorie

Wir betrachten hier reibungsfreie Strömungen, die überdies bis auf wenige Aus-nahmen stationär sein sollen. Für das Folgende ist der Begriff des Stromfadens entscheidend. Wir gehen aus von einer Stromlinie 1 → 2 (Bild 3.8). In 1 betrachten wir die Querschnittfläche A1. Durch jeden Randpunkt von A1 zeichnen wir uns eine weitere Stromlinie. Diese hüllen eine Stromröhre ein. Der Stromfaden stellt eine Abstraktion dar. Hierbei beschränkt man sich auf die unmittelbare Umgebung der Stromlinie derart, dass die Änderungen aller Zustandsgrößen in der Querrichtung sehr viel kleiner als in der Längsrichtung ausfallen. Dadurch gibt es in jedem Querschnitt des Stromfadens nur jeweils einen Wert für Geschwindigkeit c, Druck p, Dichte ρ und Temperatur T. Diese Größen hängen dann nur von der Bogenlänge s und gegebenenfalls von der Zeit t ab. Damit handelt es sich um einen eindimensionalen Vorgang, dessen Behandlung sehr viel einfacher als der allgemeine Fall ist. Diese Stromfadentheorie ist ein wichtiges Hilfsmittel für die Strömungslehre. Will man Beispiele aus den Anwendungen hiermit behandeln, so muss man jedoch genau kontrollieren, ob die Voraussetzungen für die vorgenommene Idealisierung erfüllt sind. Insbesondere ist zu prü-
fen, ob die Änderungen der Zustandsgrößen in Querrichtung wirklich sehr viel kleiner als in Längsrichtung sind.

1. Kontinuitätsgleichung (Konstanz des Massenstromes)

Der Mantel des Stromfadens besteht aus Stromlinien (Bild 3.8). Durch ihn tritt nichts hindurch. Daher ist die pro Zeiteinheit durch den Querschnitt tretende Masse
m

= ρ1 c1 A1 = ρ2 c2 A2 = konst
oder allgemein
m

= ρ c A = konst.

(3.8)

Bild 3.8

Definition des Stromfadens

2a. Kräftegleichgewicht in Richtung des Stromfadens

Bei der folgenden Betrachtung am infinitesimalen Stromfadenelement kann die Querschnittsänderung vernachlässigt werden. Sie liefert Glieder höherer Ordnung in den Differentialen. Wir wenden das Newtonsche Grundgesetz an (Bild 3.9): Masse × Beschleunigung = Summe der angreifenden Kräfte.

(3.9)

44

3 Hydro- und Aerodynamik

Bild 3.9

Kräftegleichgewicht
in Richtung des Strom-
fadens

Hierin ist

Masse = dm = ρ dA ds,
dc

∂c ∂c ds

∂c

∂c

Beschleunigung =

=

+

=

+ c

,
dt

∂t

∂s dt

∂t

∂s
angreifende Kräfte = Druckkräfte + Gewicht =

∂p

⎛ p

∂
z

∂ ⎞

= –
dA ds + ρ g dA ds cos ϕ = –⎜ + ρ g ⎟dA ds.

∂s

⎝ ∂s
s

∂ ⎠

(3.9) liefert die Eulersche Gleichung für den Stromfaden
dc

∂c

∂c

1 ∂p

∂z

=

+ c

= −

− g

. (3.10)

dt

∂t

∂s
ρ ∂s

∂s
für stationäre Strömungen sind alle Größen nur Funktionen von s:

⎛ 2
dc
d c ⎞

1 dp
dz
c

= ⎜ ⎟=−

− g . (3.11)

ds
ds⎝ 2 ⎠
ρ ds
ds

Eine Integration längs des Stromfadens von 1 → 2 ergibt
p2

1 2

2
dp

(c2 − 1
c ) + ∫ + g(z

2
ρ

2 – z1) = 0.

(3.12a)

1
p

Betrachten wir den Endzustand (2) als variabel, so wird
p

2
c
dp

+ ∫ + g z = konst.

(3.12b)

2
ρ

Die Konstante fasst hierin die drei links stehenden Terme im Ausgangszustand (1) zusammen. Sie ist für alle Punkte des Stromfadens dieselbe, kann sich jedoch von Stromfaden zu Stromfaden ändern. (3.12) heißt Bernoulli-Gleichung und liefert einen wichtigen Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Druck.

3.1 Stromfadentheorie

45

Für instationäre Strömungen tritt in der Bernoulli-Gleichung links das Zusatzglied 2 c

∂ ds

∫

(3.13)

∂t

1
auf. Die Integration ist hier bei festem t längs der Stromlinie von 1 → 2 durchzu-führen. Dieser Ausdruck muss oft abgeschätzt und mit den in (3.12a) auftretenden Termen verglichen werden, um sicher zu sein, dass man stationär rechnen darf.

In der Bernoulli-Gleichung (3.12b) hat jedes Glied die Dimension einer Energie pro Masse. Dennoch handelt es sich hier nicht um den Energiesatz, sondern um ein Integral der Bewegungsgleichung. In der Kontinuumsmechanik ist dies wesentlich. Zur Auswertung des Integrals
p2 dp

∫

(3.14)

ρ

1
p
in (3.12a) muss aus einer Energiebilanz bekannt sein, was für eine Zustandsänderung von 1 → 2 erfolgt. Wir kommen mit (3.23) darauf zurück.

2b. Kräftegleichgewicht senkrecht zum Stromfaden

Stromfäden können Kräfte aufeinander ausüben. Bild 3.10 skizziert den Fall eines gekrümmten Stromfadens. Es ergeben sich der Reihe nach

Masse = dm = ρ dA dn,

2
dc
c

Beschleunigung in normaler Richtung =
n = − .

dt
r
r ist der lokale Krümmungsradius der Bahn. Das Minuszeichen tritt auf, da die Beschleunigung zum Krümmungsmittelpunkt weist.

Bild 3.10

Kräftegleichgewicht senk-
recht zum Stromfaden

46

3 Hydro- und Aerodynamik

∂p

Angreifende Kräfte = –
dA dn + ρ g dA dn sin ϕ =

∂n

⎛∂p

∂z ⎞

= –⎜

+ ρ g

⎟dA dn.

⎝ n

∂

∂n ⎠

Damit folgt

2
c

1 ∂p

∂z

=

+ g

. (3.15)

r
ρ ∂n

∂n

Ohne Schwerkraft haben wir ein Gleichgewicht zwischen Fliehkraft und Druckkraft:

2
c

1 ∂p

=

, (3.16)

r
ρ ∂n
d. h. in radialer Richtung steigt der Druck an. Dieser Druckanstieg hält der Zentrifugalkraft das Gleichgewicht.

3. Energiesatz für die stationäre Stromfadenströmung

Wir fassen die innere Energie (e) und die kinetische Energie (1/2 c2) pro Masseneinheit zusammen:

1
e + c2. (3.17)

2

Dieser Energiestrom im Stromfaden wird damit

⎛

1

2 ⎞

E =⎜e + c ⎟m. (3.18)

⎝

2

⎠

In den beiden Querschnitten 1 und 2 erhalten wir:

⎛

1

2 ⎞

⎛

1 2⎞

1

E =⎜ 1
e +

1
c ⎟ 1
ρ 1
c

1

A =⎜ 1
e +

1
c m

⎟ , (3.19a)

⎝

2

⎠

⎝

2

⎠

⎛

1

2 ⎞

⎛

1 2⎞

E2 =⎜e2 + c2⎟ 2
ρ c2 A2 =⎜e2 + c2 m

⎟ . (3.19b)

⎝

2

⎠

⎝

2

⎠

Die Ursache für die Änderung des Energiestromes von 1 → 2 ist gegeben durch die Leistung der angreifenden Kräfte sowie durch die mechanische Leistung und die Leistung des Wärmestromes. Bezeichnen wir die der Masseneinheit zugeführte Arbeit mit wt und die zugeführte Wärme mit q, so wird

E

2 − 1

E = p1 A1 c1 – p2 A2 c2 + g(z1 – z2) m + wt ⋅ m + q m . (3.20)

Mit (3.19a, b) folgt

3.1 Stromfadentheorie

47
p

1
p

1
e

2

2

2 + 2

1

+ c2 + g z2 = 1
e +

+

1
c + g 1
z + wt + q (3.21a)

2
ρ

2

1
ρ

2
oder mit der Enthalpie i = e + p/ρ

1

1
i2 +

2
c2 + g z
c + g z

2

2 = i1 +

2

1

2

1 + wt + q.

(3.21b)

Nehmen wir den Endzustand (2) wieder als variabel, so wird

1
i + c2 + g z – w

2
t – q = konst.

(3.22a)

Diese Gleichung hat eine bemerkenswerte Verwandtschaft mit der BernoulliGleichung (3.12b), mit der sie aber nur in Spezialfällen übereinstimmt. Wir kommen darauf zurück. Die Energiegleichung (3.21a) lässt sich für den Sonderfall inkompressibler Strömung ohne Wärmezufuhr darstellen als:

1
p

1 2
p2

1 2

1

+

1
c + g⋅ 1
z + wt =

+ c2 + g⋅ z2 + Δpv (3.22b)

ρ

2
ρ

2
ρ

Der Druckverlust durch Reibung ist mit einer Zunahme der inneren Energie e2 –
e1 = Δpv/ρ verbunden.

Dabei ist die technische Arbeit wt > 0 bei Energiezufuhr (Pumpe) und wt < 0 bei Energieabfuhr (Turbine).

Wir fassen das Ergebnis zusammen. Längs des Stromfadens (s) haben wir die folgenden drei nichtlinearen Gleichungen für die Variablen c, p und ρ: m

= ρ c A = konst,

(3.8)

p

1
dp
c2 + ∫ + g z = konst.

(3.12b)

2
ρ

1 c2 + i + g z – w

2
t – q = konst.

(3.22a)

A und q werden hierin als bekannt angesehen. Die Enthalpie i ist durch die Thermodynamik auf p und ρ zurückzuführen. Das Kräftegleichgewicht normal zum Stromfaden liefert die Druckänderung ∂p/∂n, wenn mit dem obigen System c(s) und ρ(s) ermittelt wurden.

Anstelle der drei Grundgleichungen (3.8), (3.12b) und (3.22) kann man natürlich auch zu Kombinationen von ihnen übergehen. Subtrahiert man z. B. (3.12b) von (3.22), kommt
p dp
i – ∫ – w
ρ
t – q = konst.

48

3 Hydro- und Aerodynamik

Dem entspricht in Differentialform
dp
di –

= dwt + dq,
ρ
d. h. es kommt der erste Hauptsatz der Thermodynamik, der dann an die Stelle des Energiesatzes tritt. Wird keine Arbeit und Wärme zu- oder abgeführt, so ist (3.12b) mit (3.22) identisch. Dies ist der wichtige Spezialfall, in dem die Bernoulli-Gleichung mit dem Energiesatz übereinstimmt. Der Unterschied beider Gleichungen wird erst dann wesentlich, wenn Energieanteile auftreten, die in der Bewegungsgleichung nicht enthalten sind. Als Beispiele seien angeführt: Zu- und Abfuhr von Arbeit und Wärme, Wärmeleitungsvorgänge, Strahlungsanteile.

Für einfache Zustandsänderungen können wir das in (3.12b) auftretende Integral leicht ermitteln.

2 dp

Isobar: p = konst, ∫ = 0.

(3.23a)

ρ

1

Es kommt der Energiesatz der Massenpunktmechanik:

kinetische + potentielle Energie = konst.

2 dp p −p

Δp

Isochor: ρ = konst,

2

1

∫ =

=

. (3.23b)

ρ
ρ
ρ

1

Isotherm: T = konst.

Die ideale Gasgleichung führt zu

2
dp
dp
dp

2
ρ

+ RiT

, ∫ = RiT An . (3.23c)

ρ
ρ
ρ

1

1
ρ
p
κ

⎛ ρ ⎞

Isentrop: Die reversible Adiabate

=⎜ ⎟ ,

1
p

⎝ 1
ρ ⎠

⎡
κ 1

− ⎤

2

1/

2
dp
κ

⎢ ⎛ ⎞

1
p
dp
κ

1
p
p2 κ ⎥

∫ =

∫

=−

1

⎢ −⎜ ⎟

. (3.23d)

1/ κ
ρ

⎥

1
ρ
p
κ−1 1
ρ

⎝ 1
p ⎠

1

1

⎢

⎥

⎣

⎦

3.1.3 Stromfadentheorie in Einzelausführungen

In diesem Abschnitt werden wir ausführlich unter anderem ein breites Spektrum von Beispielen behandeln. Dadurch versteht man viele typische Einzelheiten der Strömungslehre, auf die wir später immer wieder zurückgreifen.

3.1 Stromfadentheorie

49

3.1.3.1 Bewegung auf konzentrischen Kreisbahnen (Wirbel)

Die Bewegung erfolge in einer Horizontalebene. Dann können wir von der Schwerkraft absehen. Wegen der Drehsymmetrie hängen alle Größen nur von r und nicht vom Polarkoordinatenwinkel ϕ ab. In radialer Richtung gilt (3.16): 2
c

1 dp

=

(3.24)

r
ρ dr
und in Umfangsrichtung (3.12b):

p

1 2
dp
c + ∫ = f(r). (3.25)

2
ρ

Hier ist berücksichtigt, dass die Gesamtenergie f(r) grundsätzlich im Stromfeld von r abhängen kann. Setzen wir unten f(r) ≡ konst. voraus, so beschränken wir uns auf isoenergetische Strömungen. Mit dieser zusätzlichen Voraussetzung werden durch die Bernoulli-Gleichung auch die Zustände auf verschiedenen Stromlinien miteinander verknüpft. Die Kontinuitätsgleichung liefert hier keine Aussage, da A = A(r) durch die Aufgabenstellung nicht gegeben ist. (3.24) und (3.25) sind zwei Gleichungen für c, p und ρ. Die Thermodynamik liefert mit einer Vorschrift über die Art der Zustandsänderung die fehlende Bedingung.

Für isoenergetische Strömungen gibt (3.25) mit (3.24)

2
dc

1 dp
dc
c

0 = c

+

= c

+

,
dr
ρ dr
dr
r
d. h.

dc
c

= −
dr
r
mit der Lösung (r = r1, c = c1)

c r
c = 1 1 . (3.26)

r

Dies ist eine hyperbolische Geschwindigkeitsverteilung c ~ 1/r. Man spricht von einem so genannten Potentialwirbel. Für die Berechnung des Druckes beschränken wir uns auf isochore Vorgänge. (3.24) liefert

2

2 2

1 dp
c

1
c 1r

=

=

3
ρ dr
r
r
mit der Lösung (r = r1, p = p1)

ρ

⎛ 1

1 ⎞
p = p1 +

2 2

1
c 1r ⎜ − ⎟

⎜

. (3.27)

2

2

2

⎟

⎝ 1r
r ⎠

50

3 Hydro- und Aerodynamik

Geschwindigkeit und Druck variieren im Potentialwirbel gegenläufig. Dies ist eine typische Aussage der Bernoulli-Gleichung (Bild 3.11). In der Nähe des Nullpunktes wachsen beide Größen betragsmäßig beliebig an, was eine Folge unserer Voraussetzungen, insbesondere der Reibungsfreiheit, ist. Wir gebrauchen (3.26) und (3.27) nur für r ≥ r1. Bei einem viskosen Strömungsmedium spielt in der Nähe von r = 0 die Reibung die entscheidende Rolle. Die Schubspannungen würden dort bei einer dem Potentialwirbel entsprechenden Geschwindigkeitsverteilung beliebig anwachsen. Die Natur hilft sich sozusagen selbst, und das Medium rotiert statt dessen wie ein starrer Körper (Winkelgeschwindigkeit ω =
konst, Schubspannung τ(r) ≡ 0):

c
c = ω r = 1 r. (3.28)

1
r

Zur Berechnung des zugehörigen Druckes können wir die Kräftegleichung in radialer Richtung (3.24) benutzen. Die Beziehung (3.24) kann darüber hinaus immer dann benutzt werden, wenn die Reibung nur durch Schubspannungen in tangentialer und nicht in normaler Richtung eingeht.

Bild 3.11

Geschwindigkeit und Druck im Wirbel

3.1 Stromfadentheorie

51

2

1 dp

1
c

=
r

2
ρ dr

1
r
führt zu der Lösung (r = r1, p = p1)

2
ρ c
p = p

1

2

2

1 +

(r − r ) , r ≤ r

2

1

2

1. (3.29)

1
r

Die Druckverteilung (3.29) geht bei r = r1 mit stetiger Tangente in (3.27) über.

Für r < r1 variieren Geschwindigkeit und Druck gleichsinnig. Im so genannten Wirbelkern kann ein erheblicher Unterdruck auftreten. Wir kommen darauf zu-rück. Eine Aussage über die Größe von r1 ist ohne explizite Berücksichtigung der Reibung nicht möglich.

3.1.3.2 Wirbelquell- oder Wirbelsenkenströmung

Für den Potentialwirbel gilt für die Umfangsgeschwindigkeit
c r
cu = u1 1 . (3.30)

r

Genauso gilt für die Quelle oder Senke für die Radialgeschwindigkeit, wie wir später nachtragen,
c r
cr = r1 1 . (3.31)

r

Überlagern wir beide Einzelfelder, so wird
r
konst
c =

2

2

2

2 1
cr + cu = cu1 + cr1 =

. (3.32)

r
r

Auch in diesem Fall gilt c ~ 1/r. Die Bestimmung der Stromlinien erläutert Bild 3.12. Es ist
c
c
dr
tan α = r
r1

=

= konst =

.

cu
cu1
r dϕ

Die Integration führt auf logarithmische Spiralen (r = r1, ϕ = ϕ1)

c
r = r1 exp r1 (ϕ – ϕ
c

1). (3.33)

u1

Bild 3.13 erläutert die verschiedenen Fallunterscheidungen, was den Drehsinn bzw. die Quell- oder Senkeneigenschaft angeht. Solche Wirbelströmungen treten in Natur und Technik sehr häufig auf, wobei die Größenordnungen ganz unterschiedlich sein können. Wir erinnern an Wirbelstürme, Hoch- und Tiefdruckge-biete der Meteorologie sowie Spiralnebel der Astrophysik. Als einfaches Anwen-

52

3 Hydro- und Aerodynamik
dungsbeispiel führen wir die Strömung in einem Zyklon an. In Bild 3.14 ist ein solches Gerät im Grund- und Seitenriss skizziert. Ein mit Partikeln beladener Gasstrom (z. B. staubhaltige Luft) tritt tangential bei A in eine Kreisbahn. Es kommt zu einer Wirbelsenkenströmung, bei der das Gas im Tauchrohr B abge-saugt wird, während die Teilchen durch die Zentrifugalkraft nach außen ge-schleudert und unten aufgefangen werden. Die früher angeführte radiale Druckdifferenz spielt dabei eine erhebliche Rolle.

Bild 3.12

Bestimmung der

Stromlinien der

Wirbelquelle

Bild 3.13

Bild 3.14

Fallunterscheidungen bei Wirbelquelle und -senke

Strömung im Zyklon

3.1 Stromfadentheorie

53

3.1.3.3 Drehbewegung unter Berücksichtigung der Schwere

Wir denken hierbei etwa an den Ausflusswirbel in einem Behälter mit freier Oberfläche. Durch den Ausfluss kommt es bei gleichzeitiger Drehbewegung zu einer Absenkung des Flüssigkeitsspiegels. Im Grundriss liegt in guter Näherung eine Wirbelsenkenströmung der oben besprochenen Art vor. Bild 3.15 enthält die auftretenden Bezeichnungen. Wir wenden die Bernoulli-Gleichung für ρ = konst längs der Stromlinie von 1 → 2 an:

2

2

1
c

1
p
c2 p2

+

+ g 1
h =

+

+ g h

2
ρ

2
ρ

2. (3.34)

An der freien Oberfläche ist p1 = p2 = p. Lassen wir den Punkt 1 → ∞ gehen, so wird c1 → 0, h1 → H. Der Index 2 sei variabel, bei Vernachlässigung der Vertikalkomponente wird:

c2 = c = konst/r = K/r, h2 = z. (3.34) geht über in

2
c
g H =

+ g z,

2
also

2

2
c

K

H – z =

=

. (3.35)

2

2 g

2 g r

Es kommt also zu einer Spiegelabsenkung im Trichter ~ 1/r2.

Bild 3.15

Wirbelsenkenströmung mit freier

Oberfläche im Schwerefeld

54

3 Hydro- und Aerodynamik

3.1.3.4 Verschiedene Druckbegriffe und deren Messung

Wir gehen aus von der Bernoulli-Gleichung bei ρ = konst. im Schwerefeld: ρ
p + c2 + ρ g z = konst.

(3.36)

2

Wir bezeichnen hierin der Reihe nach
p = pstat = statischer Druck,
ρ c2 = p

2
dyn = dynamischer Druck.

Es handelt sich um eine Kopplung zwischen Druck und Geschwindigkeit in jedem Punkt des Geschwindigkeitsfeldes. Die Konstante wird durch geeignete Bezugswerte auf der jeweiligen Stromlinie festgelegt. Wir diskutieren dies im Spezialfall des Umströmungsproblems ohne Schwerefeld. Längs der Staustromlinie (Bild 3.16) gilt
ρ
ρ
p∞ +

2

2
c = p + c = p

∞

0 .

2

2
p0 ist der Druck im Staupunkt und wird als Ruhedruck oder Gesamtdruck bezeichnet, also
pstat + pdyn = pges (3.37)

Zu beachten ist, dass, falls die Strömung durch Ansaugen aus einem Kessel oder aus der Atmosphäre zustande kommt, der Ruhedruck durch den Druck im Kessel bzw. in der Atmosphäre gegeben ist.

Die Messung des statischen Druckes p geschieht am einfachsten mit einer Wandanbohrung (Bild 3.17) oder mit einer statischen Sonde (Bild 3.18). Bei der Letzteren sind Löcher zur Abnahme des Druckes auf dem Umfang verteilt.

Diese müssen einen hinreichenden Abstand von der Sondenspitze und vom Son-denschaft besitzen, damit die durch den Körper hervorgerufene Störung bis dort abgeklungen ist. In beiden Fällen tritt eine Strömungsgrenzschicht auf. In ihr ist der Druck quer zur Strömungsrichtung praktisch konstant, er wird der Grenzschicht von außen aufgeprägt! Daher kann mit diesen Methoden der statische Druck der Außenströmung gemessen werden, denn auf diesen kommt es an.

Bild 3.16

Umströmung eines Körpers.

Druckbegriff

3.1 Stromfadentheorie

55

Bild 3.17

Wandanbohrung (statischer Druck)

Bild 3.18

Statische Sonde

(statischer Druck)

Bei diesen Messungen ist der Zusammenhang zwischen Druck und Steighöhe im Manometer wichtig. Bild 3.19 zeigt die eingehenden Bezeichnungen. Es ist p' = p + g ρ1 h' = p1 + g ρ2 h,
p – p1 = g ρ2 h – g ρ1 h'

Falls g ρ1 h' << g ρ2 h, was in den meisten Fällen zutrifft, gilt p – p1 = Δp = g ρ2 h = g ρ h.

(3.38)

Der Gesamt- oder Ruhedruck p0 kann durch Aufstau der Strömung im Pitot-Rohr (Hakenrohr) gemessen werden. Im Eintrittsquerschnitt entsteht ein Staupunkt (Bild 3.20).

Der dynamische Druck pdyn lässt sich durch eine Kombination der beiden behandelten Methoden mit dem Prandtlschen Staurohr ermitteln (Bild 3.21).

H. Pitot, 1695 – 1771

56

3 Hydro- und Aerodynamik

Bild 3.19

Bild 3.20

Zusammenhang zwischen Druck und

Pitot-Rohr (Gesamtdruck)

Steighöhe im Manometer

Bild 3.21

Prandtlsches Staurohr (dynami-
scher Druck)

Aus der Messung der Differenz
pges – pstat = pdyn
erhält man die Strömungsgeschwindigkeit c zu

2
c =
pdyn . (3.39)

ρ
ρ ist hierin die Dichte des strömenden Mediums. Mit dem Prandtlschen Staurohr kann man die Strömungsgeschwindigkeit bestimmen. Zu beachten ist, dass zwischen pdyn und c der nichtlineare Zusammenhang (3.39) besteht. Ist das strö-
mende Medium Luft (ρ = 1,226 kg/m3), so gilt
m

N
c = 1,28 pdyn

, pdyn in

= Pa,

2
s
m

N
m
d. h. 1

= 10–5 bar entspricht c = 1,28

, (3.40)

2
m
s

3.1 Stromfadentheorie

57

N
m

1 cm WS ≈ 100

= 10–3 bar sind dagegen c = 12,8

.

2
m
s

Ist das strömende Medium Wasser (ρ = 103 kg/m3), so ist
m

N
c = 0,045 pdyn

, pdyn in

= Pa,

2
s
m

N
cm
d. h. 1

= 10–5 bar entspricht c = 4,5

, (3.41)

2
m
s

N
cm

100

= 10–3 bar sind dagegen c = 45

.

2
m
s

3.1.3.5 Ausströmen aus einem Behälter

Wir behandeln zunächst den inkompressiblen Fall und verfolgen einen Stromfaden von der Flüssigkeitsoberfläche (1) bis zum Austritt (2) (Bild 3.22). Die Bernoulli-Gleichung lautet

2

2

1
c

1
p
c2 p2

+

+ g 1
z =

+

+ g z2. (3.42)

2
ρ

2
ρ

Ist der Querschnitt 1 sehr viel größer als der Querschnitt 2, so liefert die Kontinuität 1
c

A2

=

<< 1,
c2

1

A
und wir können 21
c /2 in (3.42) streichen. Wir sprechen in diesem Fall von einem
großen Reservoir. Bei (1) ist ein kontinuierlicher Zufluss erforderlich, um die Spiegelhöhe konstant zu halten. Für die Ausflussgeschwindigkeit c2 kommt 2
c2 =

1

(p − p2) + 2 g h. (3.43)

ρ

Wir betrachten zwei Sonderfälle. Falls p1 = p2 ist, wird c2 = 2 g h . Dies ist die Torricellische Formel. Es kommt wegen der fehlenden Reibung dieselbe Geschwindigkeit wie im freien Fall aus der Höhe h und bei der Anfangsgeschwindigkeit c1 = 0 (Bild 3.22). Bemerkenswert ist weiter, dass c2 von der Ausflussrichtung unabhängig ist. Bild 3.23 erläutert dies, indem jeweils ein Stromfaden verfolgt wird.

Bild 3.22

Ausfluss eines inkompressiblen Mediums aus
einem Behälter

58

3 Hydro- und Aerodynamik

Bild 3.23

Unabhängigkeit
des Betrages der

Geschwindigkeit
von der Ausfluss-
richtung

Der zweite Sonderfall ist der Ausfluss unter Wirkung eines Überdruckes, also ohne Einfluss der Schwerkraft (Bild 3.24). Die Druckenergie wird in kinetische Energie und damit in Geschwindigkeit umgewandelt.

2

2 Δp
c2 =

1

(p − p2) =

.

ρ
ρ

Wir wenden diese Beziehung auf atmosphärische Bewegungen an. Nehmen wir als Druckstufe Δp = 10 mbar = 103 Pa, so wird mit ρ = 1,226 kg/m3
m
km
c2 ≈ 40

≈ 140

.

s
h

Dies ist eine beachtliche Geschwindigkeit bei der relativ kleinen Druckdifferenz.

Bei größeren Druckunterschieden müssen wir die Kompressibilität berücksichtigen. Man spricht dann von der Gasdynamik. Die Bernoulli-Gleichung (3.12a) liefert bei horizontaler Bewegung und mit c1 = 0 im Reservoir (Bild 3.24) 1
p dp
c2 = 2

.

∫ (3.44)

ρ
p2

Die Bestimmung der Ausflussgeschwindigkeit ist damit auf die Berechnung des bereits früher aufgetretenen Integrals

1
p dp

∫
ρ
p2
zurückgeführt. Setzen wir auch hier Isentropie voraus, so wird aus (3.44) mit (3.23d)

⎡
κ 1

− ⎤
κ p ⎢ ⎛p ⎞ k ⎥
κ R
c

1

2

2 = 2

1

⎢ −⎜ ⎟

⎥= 2

1

T [...] = 2 cp 1

T [...]. (3.45)

κ−1 1
ρ

⎝ 1
p ⎠
κ−1 m

⎢

⎥

⎣

⎦

Bild 3.24

Ausfluss unter Wirkung eines Überdruckes

3.1 Stromfadentheorie

59

Dies ist die Formel von Saint-Venant und Wantzell. Sie stellt die Ausflussgeschwindigkeit c2 als Funktion der Kessel- oder Ruhewerte (p1, ρ1, T1) sowie des Gegendruckes p2 dar. Für die Realisierung dieser Geschwindigkeit spielt die Form der Düse, die an den Kessel angeschlossen ist, eine große Rolle. Diese geht über die Kontinuitätsgleichung ein, die bisher nicht berücksichtigt wurde.

Wir betrachten zunächst (3.45). Bei festgewählten Ruhewerten ergibt sich für p2/p1 → 0 die Maximalgeschwindigkeit
κ p
κ R
c2

(3.46)

max =

1

2

= 2

1

T .

κ − 1 1
ρ
κ − 1 m

Unter Atmosphärenbedingungen kommt
kg
κ = 1,40, p1 = 1 bar, ρ1 = 1,226

,

3
m
m
cmax ≈ 750

. (3.47)

s

Dies ist ein bemerkenswertes Ergebnis, das deutlich den Einfluss der Kompressibilität zeigt. Der Wert (3.47) kann auf dem Umweg über die Ruhewerte erhöht werden. (3.46) bietet im Wesentlichen zwei Möglichkeiten an. Wenn man den Kessel aufheizt, so steigt cmax ~

1

T . Hier tritt wiederum die typische Wurzelab-
hängigkeit von der Temperatur auf. Wirkungsvoller ist jedoch der Übergang zu leichteren Gasen, denn cmax ~ 1/ m . Der Übergang von Luft zu Wasserstoff liefert für die Geschwindigkeit den Faktor 4. Der Extremfall p2/p1 → 0 lässt sich auf zweierlei Weise realisieren:

1. Wir halten p1 fest, z. B. = 1 bar, und evakuieren einen Behälter, d. h. p2 = 0.

Es kommt dann zum Einströmen ins Vakuum (Bild 3.25).

2. Wir halten p2 fest, z. B. = 1 bar, und laden einen Kessel auf, d. h. p1 → ∞.

Dann kommt es zu einem Ausströmen (Bild 3.26).

Beide Fälle sind zur Erzeugung von hohen Geschwindigkeiten im Gebrauch.

Bild 3.25

Bild 3.26

Einströmen ins Vakuum

Ausströmen aus einem Kessel unter hohem

Druck

A. Barré de Saint-Venant, 1797 – 1886

P. L. Wantzell, 1814 – 1848

60

3 Hydro- und Aerodynamik

3.1.3.6 Gasdynamische Betrachtungen. Die Strömung in der Laval-

Düse. Der senkrechte Verdichtungsstoß

Um die im letzten Abschnitt aufgetretenen Strömungsvorgänge zu verstehen, müssen wir uns mit dem Begriff der Schallgeschwindigkeit beschäftigen. Dies ist ein weiteres Charakteristikum kompressibler Strömungen.

Wir definieren die Schallgeschwindigkeit als Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner Störungen der Zustandsgrößen (= Schall) in einem ruhenden, kompressiblen Medium: Es handelt sich hierbei um eine Signalgeschwindigkeit, die wohl zu unterscheiden ist von der Strömungsgeschwindigkeit. Wir untersuchen die Wellenfortpflanzung in einem Kanal konstanten Querschnitts, einem so genannten Stoßwellenrohr. Im Ausgangszustand ist es durch eine Membran in zwei Kammern eingeteilt. Rechts befindet sich der Niederdruckteil und links der höhe-re Druck (Bild 3.27). Wird die Membran entfernt, so läuft eine Verdichtung in den Niederdruckteil und eine Verdünnung in den Hochdruckteil. Handelt es sich um kleine Störungen, so laufen die Signale mit Schallgeschwindigkeit (= a). Wir betrachten die Umgebung der nach rechts laufenden Wellenfront (Bild 3.28).

Dies ist ein instationärer Vorgang, der durch Überlagerung von – a zu einem stationären gemacht werden kann. Wir wenden hierauf die Grundgleichungen der Stromfadentheorie an und linearisieren.

Kontinuität bei konstantem Querschnitt:

– ρa = (ρ + dρ)(– a + dc) = – ρa – a dρ + ρ dc + ...,
dρ dc

=

. (3.48)

ρ
a

Bild 3.27

Schema eines Stoßwellenrohres

Bild 3.28

Rechtsläufige

Verdichtungs-
welle

C. G. P. de Laval, 1845 – 1913

3.1 Stromfadentheorie

61

Bernoulli-Gleichung:

p

2
c
dp

+ ∫ = konst ,

2
ρ
p
p d

+ p

2

2
a
dp

( a

− + dc)

dp

+∫ =

+ ∫

,

2
ρ

2
ρ
p d

+ p

2

2

2
a
a
dp
a
dp

=

− a dc+ ∫

+... =

− a dc+

+...,

2

2
ρ

2
ρ
p
dp
a dc =

. (3.49)

ρ

Wir kombinieren die Aussagen (3.48) und (3.49) miteinander:

dp ⎛∂p⎞
a2 =

=⎜ ⎟ . (3.50)

dρ ⎝∂ρ s⎠

Die letzte Aussage ergibt sich daraus, dass sich die kleinen Störungen verlustlos, d. h. isentrop, ausbreiten. Die Schallgeschwindigkeit ist also an die Druck- und die Dichteänderungen in dem Medium gebunden. Gehört zu einer gewissen

Druckstörung Δp eine geringe Dichteänderung Δρ, so ist das Medium praktisch inkompressibel und die Schallgeschwindigkeit (3.50) groß. Ist dagegen die Dichteänderung beträchtlich, so herrscht Kompressibilität, und die Schallgeschwindigkeit ist gering.

Mit der isentropen Zustandsänderung
p
κ

⎛ ρ ⎞

=⎜ ⎟

1
p

⎝ 1
ρ ⎠
und der idealen Gasgleichung wird aus (3.50)

⎛∂p⎞
p

R
a2 =⎜ ⎟ = κ = κ T . (3.51)

⎝ ρ

∂ s⎠
ρ
m

Wieder ergeben sich die typischen Proportionalitäten a ~ T , a ~ 1/ m , die wir schon bei der Maximalgeschwindigkeit hergeleitet haben. Die Abhängigkeit von der Molmasse m ist gravierend. Für T = 300 K gilt:

Gas

O2

N2

H2

Luft
m in g/mol

32

28,016

2,016

~ 29
a in m/s

330

353

1316

347

62

3 Hydro- und Aerodynamik
a ist damit eine geeignete Bezugsgeschwindigkeit für alle kompressiblen Strö-
mungen. Das Verhältnis Strömungsgeschwindigkeit/Schallgeschwindigkeit ist eine charakteristische Kennzahl und wird zu Ehren von Ernst Mach
c = M = Machsche Zahl

(3.52)

a
genannt. Diese Bezeichnung wurde 1928 von Ackeret eingeführt. Man unter-scheidet danach

Unterschallströmungen mit M < 1 und

Überschallströmungen mit M > 1.

Bild 3.29 zeigt dies etwas detaillierter. Es treten folgende Sonderfälle auf: M2 << 1 beschreibt die inkompressiblen Strömungen, M2 >> 1 dagegen den so genannten Hyperschall und M 1 die schallnahen oder transsonischen Strö-
mungen. Diese Unterscheidung hat sich als zweckmäßig erwiesen.

Die Eulersche Gleichung ergibt

2
dc

1 dp

1 dp dρ
a dρ
c =

= −

= −

= −

,
dx
ρ dx
ρ dρ dx
ρ dx

1 dρ

2 1 dc

= −M

. (3.53)

ρ dx
c dx

Die relative Dichteänderung ist der relativen Geschwindigkeitsänderung längs des Stromfadens proportional. Der Proportionalitätsfaktor ist M2.

Für M 1 ist die relative Dichteänderung als die relative Geschwindigkeits-
änderung.

Für M 1 ist die relative Dichteänderung als die relative Geschwindigkeits-
änderung. Bei M = 10 folgt z. B. der Proportionalitätsfaktor 100.

Bei inkompressibler Strömung M2 << 1 überwiegt die Änderung der Geschwindigkeit die der Zustandsgrößen p, ρ, T bei weitem. Im Hyperschall M2 >> 1 ist es umgekehrt. In Schallnähe sind alle Änderungen von derselben Größenordnung.

Bild 3.29

Zuordnung der verschiedenen

Strömungen zur Mach-Zahl

E. Mach, 1838 – 1916

J. Ackeret, 1898 – 1981

3.1 Stromfadentheorie

63

Die Kontinuitätsgleichung zeigt den Einfluss der Querschnittsänderung. Differenzieren wir sie längs des Stromfadens, so wird

1 dρ 1 dc

1 dA

+

+

= 0 .

ρ dx c dx A dx

Berücksichtigen wir (3.53), so kommt

1 dc

1

1 dA

=

. (3.54)

2
c dx

M − 1 A dx

Hierin sehen wir A(x) als gegeben, aber c(x) und M(x) als unbekannt an. (3.54) ermöglicht sofort eine qualitative Diskussion der Strömung in einer Düse. Ihr Zweck ist, die Strömung zu beschleunigen, d. h. dc/dx > 0.

Für

M < 1
verlangt dies
dA/dx < 0,
dagegen bei M > 1

dA/dx > 0

Für

M = 1
ist notwendig
dA/dx = 0

(Bild 3.30).

Schieben wir diese drei Teilergebnisse zusammen, so kommen wir zwangsläufig zur Strömung in der Laval-Düse (Bild 3.31). In einem konvergenten Einlass wird die Unterschallströmung beschleunigt; am engsten Querschnitt ist der Schalldurchgang. Im anschließenden divergenten Teil wird die Überschallströ-
mung weiter beschleunigt. Letzteres ist eine direkte Folge der Gleichung (3.53).

Im Überschall überwiegt die Dichteabnahme die Geschwindigkeitszunahme. Da m

= ρ c A = konst. ist, muss hier also A in Strömungsrichtung zunehmen.

↑ Bild 3.31

Laval-Düse

← Bild 3.30

Möglichkeiten für den Querschnittsverlauf

Zur quantitativen Bestimmung der Strömung schreiben wir die Differentialgleichung (3.54) auf die beiden Funktionen M(x) und A(x) um. Wir differenzieren (3.52):

64

3 Hydro- und Aerodynamik
dc
da
dM

=

+

c
a

M
und benutzen (3.50), (3.51) sowie (3.53):

2
da
dp
dρ
a
dρ
dρ
dc

2

2

=

−

=
dρ −

= (κ − 1)

= −M (κ − 1)

,
a
p
ρ
p
ρ
ρ
c
dM ⎛
κ−1

⎞

2 dc

= 1

⎜ +

M ⎟ .

M

⎝

2

⎠ c

Berücksichtigen wir dies in (3.54), so wird
κ − 1 2

1 +

M

1 dM

1 dA

2

=

. (3.55)

2

M dx

M − 1

A dx

Dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung für M = M(x), die durch Trennung der Variablen gelöst werden kann. Mit der Bedingung M* = 1, A(M* = 1) = A* wird
κ 1

+

A

1 ⎡
κ−1

2(

⎤ κ 1

− )

2

=

1

⎢ +

(M −1)

. (3.56)

A*

M
κ+1

⎥

⎣

⎦

Hierdurch ist implizit die Mach-Zahl als Funktion des Düsenquerschnitts gegeben, wenn an der engsten Stelle A* Schallgeschwindigkeit herrscht. Wir wollen einen Überblick über alle möglichen Strömungen in einer Laval-Düse in Abhängigkeit von den Randbedingungen (Geometrie und wirksamer Gegendruck) erhalten. Dazu bestimmen wir das Richtungsfeld von (3.55), d. h. wir ermitteln in jedem Punkt der (x, M)-Ebene den Anstieg der Lösungskurve. Ausgezeichnete Richtungselemente sind:

dM
dA

= 0, falls

= 0, solange M ≠ 1,
dx
dx
dM
dA

= ∞, falls M = 1, solange

≠ 0.

dx
dx

Singulare Punkte liegen dort, wo der Faktor von dM/dx null oder unendlich ist.

Nur dort können sich Integralkurven schneiden. M = 0 entspricht A → ∞, d. h.

dem Kessel. Hier sind unendlich viele Fortschreitungsrichtungen möglich. M = 1
und dA/dx = 0 führen in (3.55) zu einem unbestimmten Ausdruck. Die Anwendung der Bernoulli-L'Hospitalschen Regel liefert

2
d A

⎛dM⎞
κ+1

2
dx

⎜

⎟ =±

. (3.57)

⎝ dx 1,

⎠ 2

4

A*

3.1 Stromfadentheorie

65

Es ergeben sich zwei Fortschreitungsrichtungen, falls d2A/dx2 > 0, das heißt am engsten Querschnitt. Es handelt sich dort um einen Sattelpunkt. Ist dagegen d2A/dx2 < 0, was dem Maximum der Funktion A(x) entspricht, so kommt keine reelle Fortschreitungsrichtung. Es liegt ein Wirbelpunkt vor.

Nach diesen Vorbereitungen kann das Feld der Integralkurven sofort gezeichnet werden (Bild 3.32). Durch Variation des Druckes am Düsenende lassen sich die verschiedenen Strömungen realisieren. Bei geringer Differenz zwischen Kessel-und Gegendruck (A) erhalten wir eine Unterschalldüse. (B) entspricht dem Fall, dass am engsten Querschnitt die Schallgeschwindigkeit zwar erreicht, aber nicht durchschritten wird. Bei weiterer Druckabsenkung (C) erkennt man sofort, dass eine stetige Strömung nicht mehr möglich ist. Es kommt zu einem sogenannten (senkrechten) Verdichtungsstoß, in dem sich die Zustandsgrößen unstetig ver-
ändern. Die Geschwindigkeit sinkt auf Unterschall; Druck, Dichte und Temperatur steigen an. Bei weiterer Druckabsenkung wandert der Stoß zum Düsenende (D). Zwischen D und E tritt ein schiefer Stoß am Austritt auf. E bezeichnet den Grenzfall der idealen Laval-Düse. Hier liegt ein paralleler Strahl im Austritt vor.

Bei weiterer Druckabsenkung (F) kommt es dort zu einer Expansion (Bild 3.33).

Diese heuristische Beschreibung zeigt die Vielfalt der möglichen Strömungsvorgänge in Abhängigkeit von den Randbedingungen. Wir verfolgen im Augenblick nur die stetigen Strömungen. Auf die Berechnung der Verdichtungsstöße kommen wir am Ende dieses Abschnittes zurück.

Bild 3.32

Mach-Zahl-Verlauf in der Laval-

Düse bei verschiedenen Gegen-
drücken

G. Fr. A. de L'Hospital, 1661 – 1704

66

3 Hydro- und Aerodynamik

Bild 3.33

Einfluss des Gegendruckes
auf die Strömungsform in
der Laval-Düse

Wir verfügen damit in der Düse an jeder Stelle über die Mach-Zahl M(x). Die Berechnung von p(x), ρ(x) und T(x) geschieht mit der Bernoulli-Gleichung. Für
isentrope Zustandsänderungen wird

2

2

2

2
c
κ p
c
a
c

+

=

+

=

+ c

2
κ − 1 ρ

2
κ − 1

2
pT = konst.

(3.58)

Die Konstante können wir auf zwei Wegen festlegen:

1. Wir benutzen die Kessel- oder Ruhewerte1:

c = 0, a0, p0, ρ0, T0. (3.58) schreibt sich damit

2

2

2
c
a
a0

+

=

(3.59)

2
κ − 1 κ − 1
oder als sogenannte Energieellipse

2

⎛
c

⎞

2

⎛ a ⎞

⎜

⎟

2

+⎜ ⎟ =1

⎜

. (3.60)

a ⎟

⎜

0 ⎟

⎝a0 ⎠

⎝ κ−1 ⎠

Diese Kurve (Bild 3.34) erfasst alle möglichen Strömungszustände mit den frü-
her besprochenen Änderungen von Strömungs- und Schallgeschwindigkeit. Aus (3.59) folgt für T(x) dann mit der Isentropie für ρ(x) und p(x):

T

1

=

, (3.61a)

0

T
κ − 1 2

1 +

M

2
ρ

1

=

, (3.61b)

1

0
ρ

⎛
κ−1
κ

⎞ 1

2

1

⎜ +

M

−

⎟

⎝

2

⎠

1 Wir kennzeichnen im folgenden die Ruhewerte durch den Index 0, wie es in der Gasdynamik allgemein üblich ist.

3.1 Stromfadentheorie

67
p

1

=

. (3.61c)

p
κ

0

⎛
κ−1
κ

⎞ 1

2

1

⎜ +

M

−

⎟

⎝

2

⎠

Bild 3.35 erläutert die unterschiedliche Variation der Zustandsgrößen. Charakteristisch sind die kritischen Werte bei M = 1.

1

T*

2

*
ρ

⎛ 2 κ

⎞ 1

=

= 0,833,

−

⎜

=

⎟

= 0,634,

0

T
κ+1

0
ρ

⎝ κ+1⎠

(3.62)

κ
p* ⎛ 2
κ

⎞ 1

−

⎜

=

⎟

= 0,528.

p0 ⎝ κ+1⎠

Die Zahlenangaben beziehen sich auf κ = 1,40.

Bild 3.34

Energieellipse in der (c,a)-Ebene

Bild 3.35

T, ρ, p als Funk-
tionen der Mach-

Zahl

68

3 Hydro- und Aerodynamik

2. Als Bezugsgrößen können wir die kritischen Werte verwenden: c = a = a*, p*, ρ*, T*. Neben M = c/a tritt die kritische Mach-Zahl M* = c/a* auf. Für unveränderliche Ruhewerte ist a* konstant. Die Normierung mit der kritischen Schallgeschwindigkeit hat also den praktischen Vorteil, dass im Nenner der Mach-Zahl keine lokale, d. h. variable, Schallgeschwindigkeit mehr steht.

Wir haben folgenden Variabilitätsbereich:

M

0

1

∞
κ + 1

M*

0

1

κ − 1

Zur letzteren Aussage betrachten wir das Einströmen in das Vakuum mit der Maximalgeschwindigkeit (3.46)

2 a0

*
cmax
κ − 1

2

0

T
κ + 1

Mmax =

=

=

=

(= 2,45 für Luft).

a*
a*
κ − 1 T*
κ − 1

Damit ergibt sich folgender Rechengang: Aufgrund der bekannten Düsengeometrie A(x) bestimmen wir M(x). Anschließend liefern (3.61a-c) T(x), ρ(x) und p(x).

Wir kommen nun zur Behandlung des senkrechten Verdichtungsstoßes. Wir betrachten eine eindimensionale, stationäre Strömung im Stromfaden konstanten Querschnittes (Bild 3.36). Wir wenden die Erhaltungssätze für Masse, Impuls1
und Energie über die Stoßfront hinweg an.

Kontinuität: ρ c = ˆρ ˆc ,

Impulssatz: p

+
ρ c2 =

2

ˆp + ˆρc ,

1

1

Energiesatz: i

+

2

ˆ

2
c = i + ˆc ,

2

2

Bild 3.36

Senkrechter Verdichtungsstoß

1 Dies erfolgt im Vorgriff auf Kapitel 3.3.1

3.1 Stromfadentheorie

69
κ p
mit der Enthalpie i = cp T =
wird hieraus
κ − 1 ρ
κ p 1
κ ˆ

2
p

1 2

+ c =

+ ˆc .

κ − 1 ρ 2
κ − 1 ˆρ 2

Dieses System hat bei bekannten Ausgangswerten: c, p, ρ, T zwei Lösungen

⎧1,

ˆc
ρ ⎪

= = ⎨

2 ⎛
κ p ⎞
c

ˆρ

1

⎪ −

1

⎜ −

,

2

⎩
κ +1 ⎝
ρ ⎟
c ⎠

⎧1,

ˆp

⎪

= ⎨

⎛ 2
κ
c ρ

⎞
p

1 2

⎪ +

⎜

1

− .

⎟

⎩
κ +1⎝ κ p

⎠

Die erste Lösung ist die Identität, die zweite liefert die Zustandsänderungen über den Stoß. Mit der Schallgeschwindigkeit a (3.51), der Machzahl M (3.52) und der Entropie s der Masseneinheit kommt

ˆc
ρ

2 ⎛

1 ⎞

= =1−

1

⎜ −

,

2 ⎟
c

ˆρ
κ+1⎝

M ⎠

ˆp
κ

2

= 1 + 2

(M − 1) ,
p
κ + 1

ˆT ˆp ρ

=

,

T
p ˆρ

ˆs −s

⎧⎪ˆp
κ⎫

⎧
κ

⎛ ρ⎞ ⎪

⎪⎡
κ

⎫

⎤⎡

⎛

⎤

⎞ ⎪

2

2

1

=An⎨ ⎜ ⎟ ⎬=An⎨ 1 2

⎢ +

(M

1

− ) 1

⎥⎢ −

1

⎜ −

⎟⎥ ⎬ .

2
cv
p

⎪ ⎝ ˆρ⎠

⎩

⎪⎭

⎪⎣
κ 1

+

⎦⎣
κ 1

+ ⎝

M ⎠⎦

⎩

⎪⎭

Die Änderung der Zustandsgrößen beim senkrechten Stoß zeigen Bild 3.37 und 3.38. Da ˆs – s > 0 sein muss, kann (Bild 3.38) ein Stoß nur im Überschall M > 1
auftreten. Hierbei handelt es sich um eine Verdichtung (Bild 3.37) mit Übergang von Überschall auf Unterschall. Dies folgt aus der Prandtl-Relation für die kritischen Machzahlen:

M* · ˆ

M* = 1.

Sie ist eine elementare Konsequenz der hergeleiteten Stoßgleichungen. Charakteristisch ist das Verhalten der Ruhewerte. Denken wir uns das Medium vor und nach dem Stoß in den Ruhezustand überführt, so lautet der Energiesatz über den Stoß hinweg

70

3 Hydro- und Aerodynamik

1

1
c

ˆT + ˆ

ˆ
p T0 = cp T +
c2 = c
c = c T ,

2
p

2
p 0

2
d. h.

T

ˆ

0 = 0

T , a0 = â0 , a* = â* .

Bei Druck und Dichte wird jeweils eine isentrope Abbremsung vor und nach dem Stoß vorgenommen. Verwendet man einen isothermen Vergleichsprozess, so kommt wegen

ˆp0

ˆ 0
ρ

ˆs0 − s0 = ˆs − s = − (cp − cv) An

= − (cp − cv) An

p0

0
ρ

1
κ

ˆp

ˆρ

⎡
κ

−

−

⎤ κ 1

− ⎡

2 ⎛

1 ⎤

⎞ κ 1

0

0

2

−

=

= 1 2

⎢ +

(M

1

− )

1

⎥

⎢ −

1

⎜ −

.

2 ⎟
p

⎥

0

0
ρ

⎣
κ 1

+

⎦

⎣
κ+1⎝

M ⎠⎦

Bild 3.37

Die Stoßgrößen beim senk-
rechten Stoß als Funktion
von M (κ = 1,40)

Bild 3.38

Die Entropie beim senkrech-
ten Verdichtungsstoß als

Funktion von M (κ = 1,40)

3.1 Stromfadentheorie

71

Bild 3.39

Ruhedruck- und

Ruhedichteabnahme
beim senkrechten

Verdichtungsstoß als

Funktion von

M (κ = 1,40)

Die Ruhedruckabnahme ist in Schallnähe gering, für starke Stöße, d. h. für hohe Mach-Zahlen, ist sie dagegen beträchtlich (Bild 3.39).

Wir halten fest: Über den senkrechten Verdichtungsstoß
nehmen zu: p,
ρ, T, s
nehmen ab: c,

M,
p0, ρ0, p*, ρ*
bleiben konstant: T0, a0, T*, a*.

Zur Erläuterung der eingeführten Begriffe geben wir einige Beispiele zur Gasdynamik.

1. Temperaturerhöhung im Staupunkt eines Flugkörpers

Auf der zentralen Stromlinie (Bild 3.40) kommt es zu einem Aufstau, der zu einer erheblichen Temperaturerhöhung führen kann. Wir können (3.61a) anwenden, um die Temperatur im Staupunkt (= T0) zu ermitteln. Für M > 1 liegt eine Kopfwelle zwischen Anströmung und Körper. (3.61a) gilt über diesen Stoß hinweg, da diese Gleichung mit dem Energiesatz identisch ist, der für Verdichtungsstöße gilt:

0

T
κ − 1

= 1 +

M2. (3.63)

T

2

Für Luft wird damit

Bild 3.40

Umströmung eines stumpfen Körpers

72

3 Hydro- und Aerodynamik

M = 2, 0

T = 1,8, d. h. bei T = 300 K: T

T

0 = 540K = 267 °C,

M = 5, 0

T = 6, T

T

0 = 1800 K = 1527 °C.

Bei den letzten Temperaturen ist man bereits an der Grenze des Gültigkeitsbereiches der idealen Gase konstanter spezifischer Wärmen. Bei weiterer Steigerung treten Dissoziation, Ionisation etc. hinzu. Diese Effekte benötigen Energie und führen dazu, dass die sich aus (3.63) ergebende Staupunkttemperatur tatsächlich erheblich unterschritten wird.

2. Bis zu welcher Mach-Zahl (Geschwindigkeit) kann eine Strömung als inkompressibel angesehen werden? Wir verlangen, dass in einem solchen Fall die relative Dichteänderung kleiner als 1 % sein soll. (3.61b) ergibt

2
ρ

1

1

M

=

=

=1 −

+... ,

1

2

0
ρ

M

2

⎛
κ−1

⎞κ 1 1 +

+...

2

1

⎜ +

M

−

⎟

2

⎝

2

⎠

2
ρ− 0
ρ

M

=

+... ≤ 0,01, M ≤ 0,14.

0
ρ

2

Diese Mach-Zahl führt bei Luft von Zimmertemperatur zu c ≤ 50 m/s.

3. Bestimmung der Leckmenge eines Kessels bei überkritischem Zustand (Bild 3.41). Die Leckstelle bildet einen kritischen Querschnitt A*. Den Massenstrom führen wir auf die Kesselwerte zurück (κ = 1,40):

1

⎛ 2
κ

⎞ −

2
m

= p* c* A* = ρ* a* A* =

1

⎜

⎟

0
ρ
a

⎝ κ+1⎠
κ+1 0 A* = 0,58 ρ0 a0 A*;
mit a0 = 347 m/s wird

3
m

m

2 m

Liter

0,58 347

2 10−

=

⋅

= ⋅

= 20

.

2

2

0
ρ A*
s
s cm
s cm

Das heißt, es strömen pro Sekunde durch den Quadratzentimeter 20 Liter Luft des Kesselzustandes. In 10 s sind dies bei 100 cm2 also 20 m3, falls das kritische Druckgefälle aufrechterhalten bleibt. Diese Zahlen veranschaulichen den großen Bild 3.41

Ausfluss aus einem Kessel im überkritischen Fall

3.1 Stromfadentheorie

73

Massendurchsatz im engsten Querschnitt einer Laval-Düse. Sie ermitteln eine Vorstellung von dem Fassungsvermögen eines Reservoirs, das an eine solche Düse angeschlossen ist.

4. Auffüllen eines Kessels – Prinzip eines Überschallwindkanals. Wir schließen an einen evakuierten Kessel vom Volumen V eine Laval-Düse an (Bild 3.42). Im Kessel herrsche der Anfangszustand: p0, ρ0, T0, außerhalb z. B. der der Atmosphäre p0, ρ0, T0. Entfernen wir die trennende Membran, in Bild 3.42 z. B. am Düsenende vorzustellen, so kommt es ähnlich wie im Stoßwellenrohr zu einem instationären Startvorgang. Ist pa/p0 genügend klein, so liegt eine Laval-Düsenströmung vor. Nach einer kurzen Anlaufphase stellt sich dann für wenige Sekunden die zum Druckverhältnis pa/p0 gehörige stationäre Strömung ein. Dies ist die Messzeit des Kanals. Während dieser Phase können in der Messstrecke Modelle z. B. von Tragflügeln in Überschallanströmung untersucht werden. Die Strömung wird mit geeigneten Verfahren sichtbar gemacht und durch die Kanal-fenster beobachtet. Allerdings wird hierbei der Kessel allmählich aufgefüllt. Die Zustandswerte p (t), ρ (t), T (t) lassen sich aus dem Volumen V und der Düsen-geometrie berechnen. Mit fortschreitender Zeit, d. h. mit zunehmendem p (t), werden die früher diskutierten Strömungszustände durchlaufen: Expansion, schiefer Stoß, senkrechter Stoß. Dieser senkrechte Stoß wandert unter Abschwächung zur Düsenkehle. Damit bricht dort der kritische Zustand zusammen und wir haben eine Unterschallströmung, bis vollständiger Druckausgleich hergestellt ist.

Bild 3.42

Auffüllen eines Kessels

74

3 Hydro- und Aerodynamik

Bild 3.43

Pitotrohr in der Überschall-
strömung

5. Beim Pitotrohr in Überschallströmung (Bild 3.43) wird ˆp0 gemessen.

Kennt man M, so kann man mit der Ruhedruckverlustformel p0 berechnen. Falls jedoch p oder ˆp und ˆp0 gemessen werden, kann M ermittelt werden. Hierzu wird der isentrope Zusammenhang (3.61c) benutzt. Wir geben die zugehörigen Formeln an, da sie für die Überschallmesstechnik von Bedeutung sind:

κ

⎛ κ+1
κ

⎞ 1

2

⎜

M

−

ˆ

⎟
p0

⎝ 2

⎠

=

,
p
κ

⎡

2 κ
κ

⎤ 1

2

1+

(M −1) −

⎢
κ+1

⎥

⎣

⎦
κ

⎛ κ+1
κ

⎞ 1

2

⎜

M

−

ˆ

⎟
p0

⎝ 2

⎠

=

.

ˆp
κ

⎡

2 κ
κ

⎤ 1

2

1+

(M −1) −

⎢
κ+1

⎥

⎣

⎦

3.2 Reibungsfreie, ebene und räumliche Strömungen

Wir erweitern im Folgenden die eindimensionale Stromfadentheorie auf mehrere unabhängige Veränderliche und benutzen hierzu die Eulersche Methode.

3.2.1 Kontinuität (= Massenerhaltung)

Wir betrachten einen raumfesten Kontrollbereich, einen Quader mit den Kanten-längen dx, dy, dz (Bild 3.44). Eine Änderung des Massenstromes durch die

3.2 Reibungsfreie, ebene und räumliche Strömungen

75

Bild 3.44

Zur Herleitung der

Kontinuität

Berandung führt zu einer Massenänderung im Innern. Der Massenstrom durch die Oberfläche in x-Richtung ist

⎛

(

∂ ρ u)⎞

(

∂ ρ u)

d m
x = ρ u dy dz −⎜ρ u +
d

⎟ y dz =−
dx dy dz .

⎝

∂x ⎠

∂x

Für alle drei Achsenrichtungen wird insgesamt

⎛ (

∂ ρ u)

(

∂ ρ v)

(

∂ ρ w)⎞

∂ρ
d m =−⎜

+

+
dx

⎟ dy dz =
dx dy dz . (3.64)

⎝ x

∂
y

∂
z

∂

⎠
t

∂

Diese Gleichung bringt zum Ausdruck, dass sich der resultierende Massenstrom durch die Oberfläche in einer lokalen zeitlichen Massenzu- oder -abnahme im Innern wiederfinden muss. Mit anderen Worten: die Masse kann im Innern nur dadurch z. B. zunehmen, wenn mehr ein- als ausströmt. (3.64) kann in verschiedener Form geschrieben werden:

∂ρ ∂(ρ u) ∂(ρ v) ∂(ρ w)

∂ρ

G
dρ

G

0 =

+

+

+

=

+ div (ρ w) =

+ ρ div w .

∂t

∂x

∂y

∂z

∂t
dt

(3.65)

Hieraus folgt die physikalische Bedeutung der Divergenz

G

1 d ρ
div w = −

ρ d t
als relative Ergiebigkeit des Stromfeldes.

3.2.2 Eulersche Bewegungsgleichungen

Wir wenden das Newtonsche Grundgesetz auf das raumfeste Massenelement an (Bild 3.45) und erhalten der Reihe nach

76

3 Hydro- und Aerodynamik

Bild 3.45

Raumfestes Massenelement

Masse = dm = ρ dx dy dz,

G
d w

Beschleunigung =

,
d t
angreifende Kräfte = Massen- und Oberflächenkräfte =

Gf dm – grad p dx dy dz,

G
mit f = (fx, fy, fz) als der auf die Masse bezogenen Kraft. Also

G
dw

1

G

= − grad p + f . (3.66)

dt
ρ

Insgesamt erhalten wir die Aussage: Kontinuität und Eulersche Gleichungen liefern vier Bedingungen für die fünf Unbekannten = (u, v, w), p und ρ. Auch hier ist also eine zusätzliche Gleichung (Energiesatz) erforderlich, um alle Unbekannten zu bestimmen.

3.2.3 Ebene, stationäre, inkompressible Potentialströmung

Dies ist ein für die Strömungslehre wichtiger Spezialfall, der uns ausführlich beschäftigen wird. Die Voraussetzung ρ = konst ersetzt die fehlende Gleichung.

Eliminieren wir noch die Schwerkraft, so wird:

∂u ∂v

Kontinuität:

+

= 0,

(3.67)

∂x ∂ y

∂u

∂u

1 ∂p
ů

+ v

= −

,

(3.68a)

∂x

∂y
ρ ∂x

Eulersche Gleichungen: ®

°

∂v

∂v

1 ∂p

¯ u

+ v

= −

.

(3.68b)

∂x

∂y
ρ ∂y

Diese Gleichungen für u, v und p lassen sich auf zwei Beziehungen für u und v reduzieren. Wir differenzieren (3.68) nach y und (3.68b) nach x und subtrahieren.

Benutzen wir (3.67) zur Vereinfachung, so wird

3.2 Reibungsfreie, ebene und räumliche Strömungen

77

∂ ⎛∂v ∂u ⎞

∂ ⎛∂v ∂u ⎞ d ⎛∂v ∂u ⎞

0 = u

⎜

−

+

⎟ v

⎜

−

=

⎟

⎜

−

⎟, (3.69)

∂x ⎝∂x ∂y⎠

∂y ⎝∂x ∂y⎠ dt ⎝∂x ∂y⎠
wobei die letzte Gleichung berücksichtigt, dass wir stationäre Strömungen untersuchen. (3.69) zeigt, dass

∂v ∂u

−

= konst (3.70)

∂x ∂ y
ist längs jeder Stromlinie. Grundsätzlich kann der Wert dieser Konstanten von Stromlinie zu Stromlinie variieren. Bei den von uns vorwiegend betrachteten Umströmungsaufgaben liegt eine konstante Anströmung im Unendlichen vor, d. h. u → u∞, v → v∞. Im Limes x → – ∞ wird daher auf jeder Stromlinie aus (3.70)

∂v ∂u ⎛∂v ∂u ⎞

−

=⎜

−

⎟

= 0 .

∂x ∂y ⎝∂x ∂y x

⎠ →−∞

Die Konstante ist also in unserem Fall gleich null. Damit kommen die Grundgleichungen

∂u ∂v

Kontinuität:

+

= 0 , (3.71a)

∂x ∂y

∂v ∂u

Drehungsfreiheit:

−

= 0 . (3.71b)

∂x ∂ y

Wir erläutern den Begriff der Drehung an zwei einfachen Beispielen.

1. Beim starren Körperwirbel (Bild 3.46) gilt
c = ω r, u = – ω r sin ϕ = – ω y, v = ω r cos ϕ = ω x.

Also ist

∂v ∂u

−

= 2 ω ,

∂x ∂y
und damit kann ∂v/∂x – ∂u/∂y als Maß für die lokale Drehung des Teilchens aufgefasst werden.

2. Beim Potentialwirbel (Bild 3.47) ist
k
sin
y
cos ϕ
x

ϕ
c = ; u = – k

= – k

, v = k

= k

,
r
r

2

2
x + y

2

2
r
x + y

P. S. Laplace, 1749 – 1827

78

3 Hydro- und Aerodynamik

← Bild 3.46

Starrer Körperwirbel

Bild 3.47 →

Potentialwirbel

und damit gilt

∂v ∂u

−

= 0 ,

∂x ∂ y
d. h. hier liegt eine drehungsfreie Bewegung vor. Durch Integration der zwei Differentialgleichungen (3.71a, b) für u und v bestimmen wir das Geschwindigkeitsfeld. Anschließend wird der Druck mit der Bernoulli-Gleichung ermittelt. Es ergeben sich hier zwei mögliche Lösungswege.

1. Wir erfüllen die Drehungsfreiheit (3.71b) durch eine Potentialfunktion φ (x, y), d. h.

∂φ

∂φ
u =

, v =

. (3.72)

∂x

∂ y

Dann ergibt die Kontinuität (3.71a) die Bedingung

2

2

∂u ∂v ∂ φ ∂ φ

+

=

+

= Δφ = 0 . (3.73)

2

2

∂x ∂ y ∂x

∂y

Für φ ist damit die Laplace-Gleichung (= Potentialgleichung) unter den gegebenen Randbedingungen des Strömungsproblems zu lösen.

2. Wir erfüllen die Kontinuität (3.71a) durch eine Stromfunktion Ψ (x, y), d. h.

∂Ψ

∂φ

∂Ψ

∂φ
u =

=

, v = −

=

. (3.74)

∂y

∂x

∂x

∂y

Die Drehungsfreiheit (3.71b) verlangt

2

2

∂ Ψ ∂ Ψ

+

= ΔΨ = 0 ,

2

2

∂y

∂x
d. h. auch für Ψ gilt die Laplace-Gleichung.

3.2 Reibungsfreie, ebene und räumliche Strömungen

79
φ und Ψ haben eine wichtige physikalische Bedeutung:

1. Für die Höhenlinien der Ψ-Fläche, d. h. die Kurven Ψ = konst, gilt

∂Ψ

∂Ψ
dΨ =
dx +
dy = – v dx + u dy = 0,

∂x

∂ y

⎛dy ⎞
v

⎜ ⎟

= .

⎝dx ⎠ konst u
ψ=

Mithin sind die Kurven ψ = konst Stromlinien.

2. Für die Kurven φ = konst kommt entsprechend

∂φ

∂φ
dφ =
dx +
dy = u dx + v dy = 0,

∂x

∂y

⎛dy⎞
u

⎜ ⎟

=− .

⎝dx ⎠ konst
v
φ=

Die Kurven φ = konst, die Potentiallinien, sind orthogonal zu den Stromlinien.

φ = konst und Ψ = konst bilden ein orthogonales Netz (Bild 3.48). Für den Volumenstrom, bezogen auf die Breiten- oder Tiefeneinheit, zwischen zwei Stromlinien gilt (Bild 3.49)

2

2

2

2

Ψ

∂

Ψ

⎛

∂

⎞

12

V = dV

∫ = (u dy

∫

− v dx) = ⎜
dy

∫

+
dx =

⎟
d

∫ Ψ = Ψ2 −Ψ1.

⎝ ∂y
x

∂

⎠

1

1

1

1

(3.75)

Bild 3.48

Orthogonales Netz der Potential-
und Stromlinien

80

3 Hydro- und Aerodynamik

Bild 3.49

Berechnung des Volumenstroms
zwischen zwei Stromlinien

Das heißt, die Differenz der Ψ−Werte zweier Stromlinien liefert im ebenen Fall den Volumenstrom pro Tiefeneinheit senkrecht zur Bildebene zwischen ihnen.

Wir besprechen nun allgemeine Lösungsmethoden der Gleichungen Δφ = 0 und ΔΨ = 0.

1. Jede differenzierbare komplexe Funktion

F(z) = F(x + iy) = H(x, y), i = −1
ist Lösung der Potentialgleichung ΔH = 0, denn

2

2

∂ H ∂ H

ΔH =

+

= F"(z) – F"(z) = 0.

2

2

∂x

∂ y

2. Zerlegen wir das komplexe Potential F(z) in Real- und Imaginärteil, so gilt F(z) = Re F + i Im F = φ (x, y) + i Ψ (x, y).

Zum Beweis differenzieren wir hier nach x und y.

∂

∂φ

∂Ψ

: F'(z) =

+ i

,

∂x

∂x

∂x

∂

∂φ

∂Ψ

: i F'(z) =

+ i

.

∂y

∂y

∂y

∂φ

∂Ψ

∂φ ∂Ψ

D. h.

+ i

= − i

+

,

∂x

∂x

∂y

∂y
also

∂φ ∂Ψ ∂φ

∂Ψ

=

,

= −

.

∂x

∂y

∂y

∂x

3.2 Reibungsfreie, ebene und räumliche Strömungen

81

Dies sind die für Potential- und Stromfunktion geltenden Relationen (3.72) und (3.74), womit die Behauptung bewiesen ist. Sie heißen Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen und spielen in der Funktionentheorie eine große Rolle.

Die vorstehenden Aussagen 1 und 2 sind für die Strömungslehre von grundsätzli-chem Interesse. Zerlegt man also eine komplexe Funktion in Real- und Imaginärteil, so erhält man Potential- und Stromfunktion einer Potentialströmung. Die Schwierigkeit liegt offenbar darin, diejenigen Funktionen zu bestimmen, die die vorgegebenen Randbedingungen des Strömungsproblems erfüllen.

Eine weitere Eigenschaft der Differentialgleichungen Δφ = 0 und ΔΨ = 0 ist ihre Linearität. Mit φ1 und φ2 ist auch c1φ1 + c2φ2 (c1, c2 = konst) eine Lösung, denn Δ(c1φ1 + c2φ2) = Δ(c1φ1) + Δ(c2φ2) = c1 Δφ1 + c2 Δφ2 = 0.

Diese Überlagerung kann auch grafisch erfolgen. Wir erläutern dies am Beispiel der Superposition von Parallelströmung (Ψ1) und Quelle (Ψ2). Bild 3.50 zeigt das Zustandekommen des neuen Feldes mit der Stromfunktion Ψ = Ψ1 + Ψ2.

Jede Stromlinie kann als materielles Hindernis aufgefasst und als umströmter Körper betrachtet werden. Nehmen wir die Staustromlinie, so haben wir ein Modell für die Umströmung eines stumpfen Halbkörpers. Diese Strömung wird uns bei der analytischen Behandlung erneut begegnen.

Bild 3.50

Lineare Superposi-
tion von Parallel-
strömung und

Quelle

Die Bernoulli-Gleichung gilt auch hier, wie man mit den Euler-Gleichungen (3.68a, b) und der Drehungsfreiheit (3.71b) leicht verifiziert:

A. L. Cauchy, 1789 – 1857

B. Riemann, 1826 – 1866

82

3 Hydro- und Aerodynamik
ρ
ρ
p + (u2 + v2) = p

= p

2

∞ +

2
c

2 ∞

0. (3.76)

Für die dimensionslose Darstellung benutzen wir den Druckkoeffizienten 2
p − p∞

Δp

⎛ c ⎞
cp =

=

=1
ρ

−⎜ ⎟ . (3.77)

2
q

⎝c
c

∞ ⎠

2 ∞

Ausgezeichnete Werte sind cp∞ = 0 in der Anströmung sowie cp0 = 1 in den Staupunkten.

3.2.4 Beispiele für elementare und zusammengesetzte Potenti-
alströmungen

Wir diskutieren die in der Tabelle Seite 84–85 aufgeführten Beispiele. Zu Beginn werden wir uns kurz fassen, später ausführlicher sein. Wir sammeln dadurch Erfahrungen über einfache Stromfelder, die wir später benötigen.

1. Parallelströmung

F(z) = (u∞ – i v∞) z = (u∞ – i v∞) (x + i y) = u∞ x + v∞ y + i (u∞ y – v∞ x), φ = u∞ x + v∞ y, Ψ = u∞ y – v∞ x; φx = u = u∞, φy = v = v∞.

v

Stromlinien Ψ = konst : y = ∞ x + konst.

u∞

2. Quell-Senkenströmung

Q

Q

F(z) =

An z =

(An r + i φ), z = x + i y = r eiϕ,

2 π

2 π

Q

Q

Q

Q
y
φ =

2

2

An r =

An x + y , Ψ =
ϕ =
arc tan ;

2 π

2 π

2 π

2 π
x

Q
x

Q
y

Q
φx =

2

2

, φy =

, c = u + v =

.

2

2

2

2

2 π x + y

2 π x + y

2 π r

Volumenstrom: V = c · 2 π r · A = Q = Quell- oder Senkenstärke.

3. Wirbelströmung

Γ

Γ

F(z) =
i An z =

(– ϕ + i An r),

2 π

2 π

Γ

Γ

Γ
y

Γ
x
φ = –

,
ϕ Ψ =

A n r; φx =

, φy = −

,

2

2

2

2

2 π

2 π

2 π x + y

2 π x + y

3.2 Reibungsfreie, ebene und räumliche Strömungen

83

Γ
c =

,

2 π r
völlig analog der Quell-Senkenströmung. Γ heißt Zirkulation oder Wirbelstärke und ist ein Maß für die Intensität der Drehbewegung.

4. Dipolströmung
m
m
x − i y
m(x − i y)

F(z) =

=

=

,

2

2
z
x + i y x − i y
x + y
m x
m y
m
φ =

, Ψ = −

; c =

.

2

2

2

2

2
x + y
x + y
r

2

2

⎛
m ⎞
m

Stromlinien: Ψ = K = konst : x2 +⎜y+

⎟ =

,

2

⎝

2K ⎠

4 K
d. h. es kommen Kreise mit Mittelpunkt auf der y-Achse, die alle durch den Ur-sprung gehen. Der Dipol kann durch Überlagerung von Quelle und Senke realisiert werden, deren Abstand verschwindet und deren Intensität gleichzeitig über alle Grenzen wächst.

5. Überlagerung von Parallelströmung mit Quell-Senkenströmung

Wir behandeln den früher grafisch diskutierten Fall (Bild 3.50). Bei horizontaler Parallelströmung wird

Q

F(z) = u∞ z +

An z, φ = u

An r, Ψ = u
ϕ.

2π

∞ x + Q

∞ y + Q

2π

2π

Für die Stromlinien kommt eine implizite transzendente Gleichung. Daher haben wir ihre Gestalt oben grafisch ermittelt:

Q
x

Q
y
u = u∞ +

, v =

.

2

2

2

2

2 π x + y

2 π x + y

Für Staupunkte gilt c = 0 und damit u = 0 und v = 0. Letzteres führt auf ys = 0

(Symmetrie zur x-Achse), Ersteres dann auf xs = – Q/2 π u∞. Es gibt also genau einen Staupunkt, der bei einer Quelle (Q > 0) links vom Nullpunkt und bei einer Senke (Q < 0) rechts davon liegt:

2

Q u
x

Q

1
c2 = 2
u

∞

∞ +

+

,

2

2

2

2

2
π x + y

4 π x + y

Δp

Q

1

⎛

Q

⎞
cp =

=−

⎜x +

.

2

2

⎟
q
π u x + y ⎝

4

∞
π u∞ ⎠

84

3 Hydro- und Aerodynamik
komplexes Potential

Potential

Stromfunktion

F(z)

φ (x, y)

Ψ (x, y)

(u∞ – i v∞) z
u

Parallelströmung

∞ x + v∞ y
u∞ y – v∞ x

Q An z

Q

Q

Q

Q
y

2π

An r =

An

2

2
x + y
ϕ =
arc tan

2π

2π

2π

2π
x

Quelle Q > 0, Senke Q < 0

Γ i An z

2π

Γ
y

Γ

–
arc tan

An

2

2
x + y

2π
x

2π
rechtsdrehend

Wirbel Γ Ԭ 0 linksdrehend
m
m x
m y
z

–

2

2
x + y

2

2
x + y

Dipol

Q
u∞ z +

An z

Q

Q

2 π
u∞ x +

An r
u
ϕ

2 π

∞ y +

2 π

Parallelström. + Quelle/Senke

2

⎛

R ⎞
u∞⎜z+

⎟
z

⎝

⎠

2

⎛

R

⎞

2

⎛

R

⎞
u∞ x 1

⎜ +

⎟
u

1

⎜ −

⎟

2

2

∞ y

2

2

Parallelströmung + Dipol =

⎝
x + y ⎠

⎝
x + y ⎠

Zylinderumströmung

2

⎛

R ⎞

Γ
u∞⎜z+

⎟+
i An z
z

⎝

⎠ 2 π

2

2

⎛

R

⎞ Γ

⎛

R

⎞ Γ
u∞ x 1

⎜ +

⎟–
ϕ u

1

⎜ −

⎟+

An r

2

2

∞ y

2

2

Zylinderumströmung +

⎝
x + y ⎠ 2 π

⎝
x + y ⎠ 2 π

Wirbel

Γ

Γ

Parallelströmung + Wirbel
u∞ x –
ϕ
u

An r

2 π

∞ y + 2 π

3.2 Reibungsfreie, ebene und räumliche Strömungen

85

Geschwindigkeit

Stromlinien
u
v
c

Ψ = konst
u∞
v∞
c∞ =

2

2
u + v

∞

∞

Q
x

Q
y

Q

2

2

2 π x + y

2

2

2 π x + y

2 π r

Γ
y

Γ
x

Γ

–

2

2

2 π x + y

2

2

2 π x + y

2 π r

2

2
y − x

2 x y
m
m

– m

2

2 2

(x + y )

2

2 2

(x + y )

2
r

Q
x

Q
y
u∞ +

2

2

2 π x + y

2

2

2 π x + y

auf dem Zylinder:

2 u∞ sin2 ϕ

– 2 u∞ sin ϕ cos ϕ

2 u∞ |sin ϕ|

auf dem Zylinder:

2 u∞ sin2 ϕ

– 2 u∞ sin ϕ cos ϕ c =

Γ

Γ

Γ

+
sin ϕ

–
cos ϕ

= 2u sin ϕ+

2 π R

2 π R

∞

2 π R

Γ
y

Γ
x
u∞ +

–

2

2

2 π x + y

2

2

2 π x + y

86

3 Hydro- und Aerodynamik

Hiermit kann man den Verlauf der Druck- und Geschwindigkeitsverteilung auf der Staustromlinie diskutieren. In Bild 3.51 ist der Fall der Quelle skizziert. Vor dem Körper steigt der Druck, die Strömung wird abgebremst. Am Körper wird sie durch die Verdrängungswirkung beschleunigt, der Druck fällt ab. Hierbei wird die Anströmungsgeschwindigkeit überschritten. Im Unendlichen haben wir Parallelströmung. Es kommt also die Kontur eines vorn stumpfen Halbkörpers.

Sein Durchmesser d∞ ergibt sich aus einer Bilanz. Die aus der Quelle pro Zeiteinheit austretende Menge pro Tiefeneinheit V = Q strömt rechts mit der Geschwindigkeit u∞ ab, also V = Q = u∞ d∞, d. h.

Q
d∞ =

. (3.78)

u∞

In Bild 3.52 ist der Fall der Senke skizziert. Hier kommt es zur Umströmung eines stumpfen Körperhecks. Der Druck steigt bei Annäherung an den hinteren Staupunkt an, während die Strömung verzögert wird. Dies kann bei realen, d. h.

reibungsbehafteten, Strömungen zu einer Ablösung der Grenzschicht führen. Die von uns ermittelte potentialtheoretische Druckverteilung ist der Grenzschicht aufgeprägt. Überlagern wir die in Bild 3.51 und Bild 3.52 diskutierten Einzelfälle bei gleicher Quell- und Senkenstärke, so kommt ein geschlossener Körper. Ein wichtiger Sonderfall wird jetzt behandelt.

Bild 3.51

Quelle in Parallelströmung

3.2 Reibungsfreie, ebene und räumliche Strömungen

87

Bild 3.52

Senke in Parallelströmung

6. Überlagerung von Parallelströmung mit Dipolströmung

⎛

2

R ⎞

⎛

2

R

⎞

F(z) = u∞⎜z +

⎟, Ψ = u

1

⎜ −

⎟

⎝
z ⎠

∞ y

2

2

⎝
x + y ⎠

Die Staustromlinie Ψ = 0 ist durch y = 0 bzw. x2 + y2 = R2 gegeben. Es handelt sich um die Zylinderumströmung. Auf dem Zylinder erhalten wir: c = 2 u∞ |sin |, ϕ
cp = 1 – 4 sin2 ϕ. In Bild 3.53 sind Geschwindigkeit und Druck auf der Staustromlinie skizziert. Am Dickenmaximum ergibt sich die Geschwindigkeit cmax/u∞ = 2.

Auf der Rückseite des Körpers tritt ein beträchtlicher Druckanstieg auf. Aufgrund der Symmetrie der Druckverteilung in x- und y-Richtung wird auf den Zylinder keine resultierende Kraft ausgeübt.

7. Überlagerung von Zylinderumströmung und Wirbel

Wir gehen noch einen Schritt weiter, indem wir dem in 6. behandelten Beispiel einen Wirbel überlagern. Das Schema in Bild 3.54 zeigt bereits die typischen Eigenschaften des Stromfeldes. Es kommt eine bezüglich der x-Achse unsymmetrische Strömung. Der Zylinder bleibt offenbar auch hier Stromlinie, da er in den beiden Teilfeldern Stromlinie ist. Allerdings gilt auf ihm jetzt nicht Ψ = 0, sondern Ψ = Γ/(2 π) An R. Für Geschwindigkeit und Druck kommt auf dem Zylinder

88

3 Hydro- und Aerodynamik

2

2

Γ

⎛ c ⎞

⎛

Γ

⎞
c = 2 u sin

∞
ϕ +

, cp =1−⎜

⎟ =1−⎜2 sin ϕ +

⎟ .

2 π R

⎝ u ⎠

⎝

2

∞
π u R

∞

⎠

(3.79)

Die Staupunkte liegen bei

Γ
sin ϕs = –

.

4 π u R

∞

Für einen rechtsdrehenden Wirbel (Γ > 0) liegen die beiden Staupunkte im 3. und 4. Quadranten. In Bild 3.55 sind mögliche Stromfelder skizziert. Für Γ = 4 π u∞ R
fallen die beiden Staupunkte auf der Kontur (x = 0, y = – R) zusammen. Ist Γ > 4 π u∞ R, so wandert dieser Staupunkt auf der y-Achse in das Stromfeld. Die Bild 3.53

Geschwindigkeit und Druck bei der

Zylinderumströmung

Bild 3.54

Schema der Überla-
gerung von Zylinder-
umströmung und

Wirbel

3.2 Reibungsfreie, ebene und räumliche Strömungen

89

Bild 3.55

Zylinderumströmung mit Zirkulation

Strömung ist in jedem Fall zur y-Achse symmetrisch. Es entsteht hier eine Kraft senkrecht zur x-Achse, ein Auftrieb, die sogenannte Magnus-Kraft. Bild 3.56
erläutert die Berechnung dieser Kraft Fy:

d Fy = – Δp sin ϕ R d ϕ b.

b ist die Breite des Zylinders senkrecht zur Zeichenebene. Das Vorzeichen ist so gewählt, dass ein Überdruck Δ p > 0 einen Abtrieb d Fy < 0 hervorruft.

2π

Fy = – b R ∫ Δp sin ϕ d ϕ =
ϕ 0

=

2π

2

⎡

2 Γ

Γ

⎤

= – b R q

2
sin

∫ ϕ 1

⎢ − 4 sin ϕ −
sin ϕ −
d

⎥ ϕ =

2

2

2

⎣
π u R

4

∞
π R u ⎦
ϕ 0

∞

=

2
b q 2
π

Γ

=

2
sin

∫
ϕ d ϕ = ρ u b

∞ Γ .

π u∞ ϕ 0

=

Fy = ρ u∞ b Γ (3.80)

heißt Kutta-Joukowski-Formel für den Auftrieb. Danach ist der Auftrieb direkt proportional der Zirkulation (Wirbelstärke). Eine ganz entsprechende Rechnung zeigt, dass der Widerstand verschwindet. Aufgrund der Symmetrie des Stromfeldes war dies zu erwarten. Das Ergebnis gilt für Potentialströmungen ganz allgemein und wird als D'Alembertsches Paradoxon bezeichnet. Wir kommen darauf zurück.

H. G. Magnus, 1802 – 1870

W. Kutta, 1867 – 1944

N. J. Joukowski, 1847 – 1921

90

3 Hydro- und Aerodynamik

Bild 3.56

Berechnung der Auftriebskraft

Wir gehen zu dimensionslosen Größen über, um den obigen Auftrieb besser be-urteilen zu können. Der Ansatz

Fy = q A ca
ergibt mit den Bezeichnungen von Bild 3.57 A = 2 b R und der Kutta-Joukowski-Formel für den Auftriebskoeffizienten

Γ
ca =

. (3.81)

u R

∞

Nehmen wir den Grenzfall, dass beide Staupunkte zusammenfallen, Γ = 4 π u∞ R, so wird aus (3.81)

ca = 4 π ≈ 12,5.

(3.82)

Dies ist ein extrem hoher Wert im Vergleich mit Ergebnissen bei einem Tragflü-
gel. Sie liegen dort etwa um eine Zehnerpotenz niedriger. Zum Beispiel gilt für die wenig angestellte (Winkel α) ebene Platte
ca = 2 π α.

Bild 3.57

Bezeichnungen bei der Zylinderumströmung

3.2 Reibungsfreie, ebene und räumliche Strömungen

91

Bei α = 10° ÷ 0,175 wird ca ≈ 1,1. Aufgrund des hohen Auftriebs beim rotierenden Zylinder hat es nicht an Versuchen gefehlt, diesen Effekt technisch zu nutzen. Beim Flettner-Rotor z. B. sollte die Querkraft zum Schiffsantrieb benutzt werden. Zwei vertikal stehende schnell rotierende Zylinder sorgten für den Antrieb. Technische Schwierigkeiten sowie das Auftreten eines beträchtlichen Widerstandes führten seinerzeit zum Abbruch der Versuche, obwohl ca-Werte von etwa 9 realisiert werden konnten.

3.2.5 Potentialströmungen um vorgegebene Körper

Die bisher behandelten Beispiele dienen vorwiegend dem Sammeln von Erfahrungen auf diesem Gebiet. In der vorliegenden Form sind sie noch nicht in der Lage, das Randwertproblem für einen vorgegebenen Körper zu lösen. Dazu dient z. B. die Singularitätenmethode, die für schlanke Körper in den Grundzü-
gen dargestellt werden soll. Hierbei werden auf der Profilsehne kontinuierliche Verteilungen von Singularitäten (Quellen/Senken, Wirbel) angebracht. Die Stär-ke der selben ist so zu bemessen, dass bei Überlagerung mit der Parallelströmung die vorgegebene Körperkontur als Stromlinie erscheint. Hierbei ist es so, dass für den symmetrischen Körper in nichtangestellter Strömung (Dickeneffekt) Quell-und Senkenverteilungen gebraucht werden, während für Anstellung und Wölbung Wirbelbelegungen verwendet werden. Im ersten Fall ist die Strömung symmetrisch zur x-Achse, während sie im zweiten Fall unsymmetrisch ist. Wir geben die Herleitung nur für den Dickeneffekt und verweisen bezüglich Anstellung und Wölbung auf die Spezialliteratur. Der Beitrag eines differentiellen Quell-Senkenelementes (Quellpunkt P2 (ξ, η)) im Aufpunkt P1 (x, y) ist (Bild 3.58)

d Q( ,
ξ )

η
dφ (x, y; ξ, η) =

A

− ξ +

− η .

2π
n

2

2

(x

)

(y

)

Belegen wir nur die Profilsehne (= ξ-Achse), so ergeben sich die Geschwindigkeiten
d Q( )

ξ
x − ξ

1
x − ξ
d Q
d (u – u∞) =

=
d ξ .

2

2

2

2

2 π (x − )

ξ + y

2 π (x − ξ) + y d ξ
d Q( )

ξ
y

1
y
d Q
d v =

=
d ξ .

2

2

2

2

2 π (x − ξ) + y

2 π (x − ξ) + y d ξ

Hierin ist d Q/d ξ, die Quell-Senkendichte. Belegen wir die Länge A, so kommen die Integraldarstellungen

1 A
x − ξ
d Q
u (x, y) – u∞ =
d

∫
ξ , (3.83a)

2

2

2 π (x − )

ξ + y d

0
ξ

A. Flettner, 1885 – 1961

92

3 Hydro- und Aerodynamik

Bild 3.58

Quell- und Aufpunkt

1 A
y
d Q
v (x, y) =
d

∫
ξ . (3.83b)

2

2

2 π (x − )

ξ + y d ξ

0

Die Quell-Senkendichte d Q/d ξ ist hierin so zu bestimmen, dass die Körperkontur Stromlinie wird. Die Voraussetzung des schlanken Körpers führt in der Bedingung für die Stromlinie (3.7) zu der wesentlichen Vereinfachung
d h
v(x, h(x))

v(x, 0)

=

≈

. (3.84)

d x
u (x, h(x))

u∞

Die Randbedingung wird damit auf der Profilsehne erfüllt. Benutzen wir (3.84) in (3.83b), so kommt mit der Substitution ξ– x = y s, d ξ = y d s in der Grenze y → 0

A x

−

∞
y

1
d Q(x + ys) ds

1 d Q
ds
v(x, y) =

∫

⎯⎯⎯⎯⎯→

∫

=

2 π
d

2
ξ

(y

+

→0)

1 s

2 π d x

2

1+ s
x

−∞

−

y

1 d Q
d h

=

= u

2 d x

∞ d x
d Q
d h

= 2 u

. (3.85)

d x

∞ d x

Dies ist ein sehr anschauliches Ergebnis. Quellen (d Q/d x > 0) hat man dort an-zubringen, wo sich der Körper erweitert, Senken dort, wo er zusammengezogen wird (Bild 3.59). (3.85) folgt im Übrigen auch sofort aus der Formel für die Dicke des Halbkörpers (3.78), wenn man d = 2 h setzt und links und rechts eine Abhängigkeit von x zulässt. Dies berücksichtigt dann die Wirkung der Quellbe-legung anstelle der dort zugelassenen einzelnen Singularität. (3.85) ergibt mit (3.83a, b) die Lösung unseres Problems. Was bleibt, ist eine reine Integrations-aufgabe:

3.2 Reibungsfreie, ebene und räumliche Strömungen

93

Bild 3.59

Quell-Senkenverteilung und

Körperkontur

d h

A

(x − )

ξ
u − u

1
d

∞
ξ

=
d

∫
ξ , (3.86a)

2

2
u∞
π (x − )

ξ + y

0
d h

A
y
v

1
d ξ

=
d

∫
ξ . (3.86b)

2

2
u∞
π (x − )

ξ + y

0

Besonders wichtig ist die Geschwindigkeit auf dem Profil (y → 0). Es wird aus (3.86a)

d h

A
x

⎧ ε

−

A

⎫
u (x, 0)

1
d ξ

1 ⎪

⎪

=

C
d

∫
ξ = lim ⎨

...

∫ + ... .

∫ ⎬ (3.87)

u∞
π
x − ξ
ε→ 0 π

0

⎪ 0
x ε

+ ⎪

⎩

⎭

Das singuläre Integral ist hierin im Sinne des Cauchyschen Hauptwertes zu bilden. Dabei wird die singuläre Stelle ξ = x symmetrisch ausgeschlossen und zur Grenze ε → 0 übergegangen (Bild 3.60). Wir berechnen die Geschwindigkeit für das Parabelzweieck:

h (x) = 4 hmax x (1 – x) = 2 τ x (1 – x), 0 ≤ x ≤ 1(ԑ A). (3.88)

Der Dickenparameter des Profils ist

2 h
τ =
max .

A

(3.87) führt zu (Bild 3.61)

u (x, 0) − u

4

∞
τ⎧ ⎛1

⎞ 1− x ⎫

=

1

⎨ −⎜ − x A

⎟ n

⎬, – ∞ < x < + ∞. (3.89)

u∞
π ⎩ ⎝2

⎠
x ⎭

Im Dickenmaximum gilt

⎛u − u ⎞

4

∞
τ

⎜

⎟

=

=1,27 τ ,

⎝ u∞ ⎠
π
max

94

3 Hydro- und Aerodynamik

Bild 3.60

Zur Berechnung des Cauchyschen

Hauptwertes

Die Geschwindigkeitsverteilung zeigt die früher gefundenen Charakteristika: vor dem Körper ein Aufstau, am Körper zunächst Beschleunigung, hinter dem

Dickenmaximum wiederum Verzögerung bis zum hinteren Staupunkt. In den

Staupunkten ergibt sich eine (schwache) logarithmische Singularität als Folge unserer vereinfachten Randbedingung. Dieser Fehler beeinflusst das Stromfeld nur geringfügig.

Bild 3.61

Geschwindigkeit beim

Parabelzweieck

3.2 Reibungsfreie, ebene und räumliche Strömungen

95

Bild 3.62

Zur Berechnung des

Widerstandes beim
schlanken Körper

Der Druckkoeffizient (3.77) kann für die Umströmung schlanker Körper vereinfacht werden:

c2 = u2 + v2 = (u∞ + u – u∞)2 + v2 = 2
u∞ + 2 u∞(u – u∞) + ... ,

2
c
u − u

= 1 + 2

∞ + ... ,

2
u
u

∞

∞

2

Δp
c
u − u
c

∞
p =

= 1 −

= −2

.

(3.90)

2
q
u
u

∞

∞

Für den Widerstand des symmetrischen, schlanken Körpers erhalten wir (Bild 3.62)

ρ

A

A
d h

W = c

2
w
u b A = 2 (p

∫ −p )sin

∞

∞
α b d s = 2b (p

∫ −p ) d x, (3.91)

2

∞ d x

0

0

⎛
d h

⎞

2 A
d h

4 A u
u d h

4 A⎜ A d

⎟

− ∞
ξ
d h
c

⎜

⎟
w =
c

∫ p d x =−
d x

∫

=−
d

∫ ∫
ξ
d x .

A
d x

A
u
d x

∞
π A ⎜ x − ξ
d

⎟ x

0

0

0

0

⎜

⎟

⎝

⎠

Das in dieser Darstellung auftretende Doppelintegral J ist null. Dies erkennt man sofort durch Vertauschung der Integrationsvariablen und anschließende Änderung der Integrationsreihenfolge (Bild 3.63)

⎛
d h

⎞

A ⎜ A d ξ
d

⎟ h

J = ⎜
d

∫ ∫
ξ⎟
d x = (Vertauschung der Variablen) =

⎜ x − ξ
d

⎟ x

0

0

⎜

⎟

⎝

⎠

⎛
d h

⎞

A ⎜ A d x
d

⎟ h

= ⎜
d x⎟
d

∫ ∫
ξ = (Änderung der Reihenfolge) =

⎜ ξ− x
d

⎟ ξ

0

0

⎜

⎟

⎝

⎠

96

3 Hydro- und Aerodynamik

Bild 3.63

Zur Vertauschung der Integrationsreihenfolge

Bild 3.64

Umströmungen der angestellten Platte und eines Tragflügels

⎛
d h

⎞

A ⎜ A d ξ

⎟d h

= ⎜
d

∫ ∫
ξ⎟
d x = – J,

⎜ ξ− x

⎟d x

0

0

⎜

⎟

⎝

⎠

J = 0.

Der Widerstand ist null. Damit ist im Rahmen unserer Theorie das D'Alembertsche Paradoxon für Potentialströmungen bewiesen.

Liegt eine zur x-Achse unsymmetrische Strömung vor, die durch eine Anstellung und/oder eine Wölbung erzeugt wird, so ist eine zusätzliche Wirbelbelegung der Profilsehne erforderlich. Die Rechnung verläuft ähnlich wie oben, allerdings mit dem Unterschied, dass sich keine eindeutige Lösung ergibt. Die Gesamtzirkulation des Profils Γ bleibt hierbei frei wählbar. Sie wird erst durch eine zusätzliche Bedingung, die in gewisser Weise die Reibung berücksichtigt, festgelegt. Wir dis-

3.3 Strömung mit Reibung

97
kutieren dies qualitativ für den Fall der angestellten Platte und des Tragflügels (Bild 3.64). Zu Beginn der Bewegung (Anfahrvorgang) liegt eine antisymmetrische Wirbelverteilung vor (Bild 3.64 links). Die Plattenvorder- und -hinterkante wird umströmt. Die Gesamtzirkulation Γ verschwindet und nach (3.80) damit auch der Auftrieb. Es kommt sehr rasch zu einer Ablösung an der Hinterkante, die dazu führt, dass diese nicht mehr umströmt wird. Dann ist die sogenannte Kutta-Joukowski-Bedingung des glatten Abflusses erfüllt. Die Gesamtzirkulation ist hierdurch eindeutig festgelegt und von null verschieden, genauso der Auftrieb. Dies ist der stationäre Endzustand des tragenden Flügels (Bild 3.64 rechts).

3.3 Strömung mit Reibung

Die bisherigen Betrachtungen dienen als Vorbereitung für die Behandlung der Strömungen mit Verlusten.

3.3.1 Impulssatz mit Anwendungen

Dieser allgemeine Satz ist eine Bilanzaussage. Bei seiner Anwendung gehen zahlreiche Erfahrungen aus der Strömungslehre ein. Hierbei werden uns die an speziellen Stromfeldern gesammelten Einsichten zugute kommen.

Der Impuls eines Massenelementes ist

G

G

G
d J = w d m = ρ w d V.

(3.92)

Für ein Fluid vom Volumen V(t) gilt damit

G

G

J = ∫ ρ w d V. (3.93)

V(t)

Der Impulssatz lautet: Die zeitliche Änderung des Impulses ist gleich der Re-G
sultierenden der äußeren Kräfte. Als äußere Kräfte a

F treten wie gewohnt

Massen- und Oberflächenkräfte des im Volumen V eingeschlossenen Fluids auf: G
d J
d

G

G

=

∫ ρw d V =∑ aF . (3.94)

d t
d t V(t)

Es handelt sich jetzt um die Umformung der Zeitableitung
d

G

∫ ρw d V .

d t V(t)

Die Herleitung kann anschaulich analog zur Kontinuität (3.64) erfolgen. Ersetzen wir den Integranden durch die skalare Funktion f(x, y, z, t), so gilt (Bild 3.65) d

∂ f

G G
f d V

∫

=
d V

∫

+ f (w n) d A.

∫

(3.95)

d t

∂ t

V

V

A

98

3 Hydro- und Aerodynamik

Bild 3.65

Zur Ableitung des Volumen-
integrals

Das erste Integral auf der rechten Seite beschreibt die lokale Änderung von f im Innern. Das zweite Integral gibt den resultierenden Strom durch die Oberfläche.

G

G G
n ist die äußere Normale und (w n) d A = d V ist der Volumenstrom durch das Oberflächenelement d A. Ersetzen wir f durch ρ, so kommt für die Erhaltung der Masse
d M
d

∂ ρ

G G

0 =

=

∫ρd V =
d V

∫

+ ∫ρ(w n) d A = (Gaußscher Satz) =
d t
d t

∂ t

V

V

A

⎧∂ ρ

G ⎫

= ∫⎨ +div (ρ w)⎬d V ,

⎩∂ t

⎭

V
d. h. es gilt (3.65). Ersetzen wir f der Reihe nach durch die Komponenten von G
ρ w und fassen alles zusammen, so geht (3.94) über in

G

G
d J
d

G

∂ ρ w

G G G

G

=

∫ρw d V =
d V

∫

+ ∫ρ w (w n) d A = ∑ aF . (3.96)

d t
d t

∂ t

V

V

A

Der erste Anteil beschreibt die lokale Impulsänderung. Hierzu ist eine Kenntnis der Strömungsgrößen im Volumen erforderlich. Der zweite Anteil gibt den Im-pulsstrom durch die Oberfläche. Hier treten die Variablen nur am Rande auf.

Für stationäre Strömungen fällt das Volumenintegral fort. Die Strömungsdaten werden nur auf der Oberfläche des Kontrollbereiches benötigt.

G G G

G

∫ρw(w n) d A =∑ aF . (3.97)

A

G

Definieren wir als Impulskraft J

F

G

G G G

J

F =−∫ρ w(w n) dA , (3.98)

A
so schreibt sich (3.97) in der sehr einfachen Form

G

G

J

F + ∑ aF = 0 . (3.99)

3.3 Strömung mit Reibung

99

Bild 3.66

Kontrollbereich mit Bezeichnungen

G

Für die Impulskraft (3.98) gilt, dass sie lokal parallel zu w liegt und stets ins Innere des Kontrollbereiches gerichtet ist (Bild 3.66), denn G

G G G

J
dF = − ρ w(w n) d A . (3.100)

Sind also die Strömungsdaten auf der Berandung bekannt, so sind Rückschlüsse auf die angreifenden Kräfte möglich. Bei der Anwendung dieses Satzes kommt es sehr auf eine geeignete Wahl des Kontrollbereiches an. Dabei gehen viele Erfahrungen ein, die wir früher gesammelt haben. Es ist wichtig, dass, abgesehen von der Stationarität, keine weiteren Voraussetzungen erforderlich sind. Insbesondere sind verlustbehaftete Strömungen mit eingeschlossen. Die Verluste gehen hier über die Randvorgaben ein. Wir behandeln jetzt einige Beispiele.

3.3.1.1 Durchströmen eines Krümmers

Erfragt ist die vom strömenden Medium auf die Innenwand ausgeübte Kraft. Wir G
nehmen Geschwindigkeit w und Druck p am Eintritt (1) und am Austritt (2) als bekannt an (Bild 3.67). Sehen wir von der Schwerkraft ab, so lautet (3.99) hier G

G

G

G

G

G

G

0 = ∑ aF + JF = D

F 1 + D

F 2 + 3

F ,4 + J

F 1 + J

F 2 .

Mit der Druckkraft

G

G

D

F =− p n d A

∫

(3.101)

A

G
und 3,

F 4 als Kraft, die die Innenwand des Krümmers auf das strömende Medium G

G
überträgt. R = – 3,

F 4 ist die gesuchte Resultierende, die von der Strömung auf die

Krümmerinnenwand ausgeübt wird. Impulskräfte treten auf den Rändern (3,4) nicht auf, da sie nicht durchströmt werden. Das Krafteck (Bild 3.68) liefert das Ergebnis nach Größe und Richtung. Bei der quantitativen Behandlung muss man beachten, dass die Vorgaben in den Querschnitten (1) und (2) in der Regel nicht konstant sind. Für Impuls und Druckkraft sind dann die Integrale (3.98) sowie (3.101) auszuwerten. Für die Geschwindigkeit am Ein- und Austritt zeigt Bild 3.69 eine Möglichkeit. Durch diese Vorgaben werden die Verluste im Stromfeld berücksichtigt.

100

3 Hydro- und Aerodynamik

Bild 3.68

Krafteck beim

Krümmer

Bild 3.67

Krümmerströmung

Wir behandeln das selbe Problem noch einmal bei geändertem Kontrollraum.

Der Krümmer sei frei ausblasend, und die Kontrollfläche werde an der Krüm-meraußenwand entlang geführt. Dadurch erhalten wir diesmal die insgesamt auf den Krümmer übertragene Kraft. Wir schneiden am Eintritt durch die Bolzen, G
die die Flanschverbindung halten. B

F ist die zunächst willkürlich angenommene
gesuchte Haltekraft, die den Krümmer im Gleichgewicht hält.

Bild 3.69

Geschwindigkeit
am Ein- und Aus-
tritt

3.3 Strömung mit Reibung

101

Gegeben sind: w1 und p1 sowie w2 und p2 = pa. Den Kontrollraum zeigt

G

Bild 3.70. Tragen wir alle Kräfte ein, so kommt Bild 3.71. D3

F ,4 ist die durch
den Außendruck pa auf den Krümmermantel ausgeübte Druckkraft. Der Impulssatz lautet

G

G

G

G

G

G

J1

F + J

F 2 + D

F 1 + D

F 2 + D

F 3,4 + B

F = 0.

Die Druckkräfte lassen sich hierin einfach zusammenfassen

G

G

G

D1

F + D

F 2 + D

F 3,4

⎧

⎫

⎪

G

G

G

G

⎪

⎨

=−

(

∫ 1p−pa) n d A+ p

∫ a n d A+ p

∫ a n d A+ p

∫ a n d A⎬

⎪

⎪

⎩ 1

A

1

A

A2

A3,4

⎭

G

=− (

∫ 1p−pa) n d A.

1

A

Die letzten drei Integrale ergeben in der Summe null, da ein konstanter Druck auf eine geschlossene Fläche keine resultierende Kraft ausübt. Sind Geschwindigkeit und Druck überdies im jeweiligen Querschnitt konstant, so gilt Bild 3.72.

Bild 3.70

Bild 3.71

Kontrollraum umschließt den Krümmer

Kräfte am Kontrollraum

Bild 3.72

Krafteck beim Krümmer

102

3 Hydro- und Aerodynamik

3.3.1.2 Düse und Diffusor frei ausblasend

G

Wir suchen die Haltekraft B

F , die in der Flanschverbindung an der Düse an-
greift. Vorgegeben sind Geschwindigkeit w und Druck p jeweils konstant über A1 und A2, ρ = konst, außerdem p2 = pa. Bild 3.73 zeigt eine zweckmäßige Wahl G
des Kontrollraumes und Bild 3.74 die angreifenden Kräfte. Die Richtung von B

F
ist wieder willkürlich angenommen; sie wird durch den Impulssatz bestimmt. In der x-Richtung wird
ρ 21
w A1 + p1 A1 – ρ 2
w2 A2 – pa A1 + FB = 0.

Also mit der Kontinuität w1 A1 = w2 A2

⎛

2

A ⎞

F

2

2

B = ρ w2⎜A2 −

⎟

⎜

⎟+ (pa – p1) A1. (3.102)

⎝

1

A ⎠

Setzen wir hier zusätzlich reibungsfreie Strömung voraus, so führt die Bernoulli-Gleichung zu

2
ρ
ρ

⎛

A ⎞
p

2

2

2

2

1 – pa =

(w2 − 1
w ) = w2 1

⎜ −

⎟

⎜

.

2

2

2

⎟

⎝

1

A ⎠

Damit wird aus (3.102)

2

2
ρ

⎛

A

A

A ⎞

F

2

2

2

2

B = –
w2 1

A 1

⎜ −

− 2

+ 2

⎟

⎜

,

2

2

2

⎟

⎝

1

A

1

A

1

A ⎠

2

2
ρ

⎛

A ⎞
ρ

⎛ A

⎞

R = – F

2

2

2

1

B =
w2 1

A 1

⎜ −

⎟ =

1
w

1

A ⎜

−1⎟ . (3.103)

2

⎝

1

A ⎠

2

⎝A2

⎠

Dies ist die insgesamt auf die Düse übertragene Kraft. Sie wirkt in Strömungsrichtung, und zwar gleichgültig ob A2 < A1 (Düse) oder A2 > A1 (Diffusor) ist.

Bild 3.73

Bild 3.74

Kontrollraum bei der Düsenströmung

Kräfte am Kontrollraum

3.3 Strömung mit Reibung

103

Bild 3.75

Druckverteilung bei Düse und

Diffusor

Die Bolzen werden also in jedem Fall auf Zug beansprucht. Dieses Ergebnis kann man sich sofort auch anschaulich aufgrund der Druckverteilung klarmachen (Bild 3.75). Es sei ausdrücklich hervorgehoben, dass dieses Resultat nur unter den gemachten Voraussetzungen richtig ist. Für kompressible Strömungen ergibt sich z. B. bei der Laval-Düse ein ganz anderes Ergebnis. Hier kommt ein Schub, der zum Antrieb dient. Der Leser diskutiere diesen Fall.

3.3.1.3 Carnotscher Stoßdiffusor

Wir betrachten einen Diffusor mit unstetiger Querschnittserweiterung (Bild 3.76).

Fragen der Platzersparnis führen u. a. zu einer solchen Bauweise. Im Einzelnen liegt ein komplizierter Strömungsvorgang vor. Es kommt zu einer Ablösung an der scharfen Kante mit anschließendem Vermischungsvorgang. Die Drucksteigerung von 1 → 2 kann ermittelt werden, ohne dass alle Einzelheiten der Strömung bekannt sind. Als Voraussetzungen benutzen wir:

a) w1 und w2 sind konstant über den jeweiligen Querschnitt.

b) p1 ist konstant über den ganzen Querschnitt (Fläche A2) infolge Ablösung.

c) Die Wandreibung an der Diffusorinnenwand kann vernachlässigt werden.

d) Stationäre Strömung.

Die Annahme a) erfordert, dass der Diffusor eine Länge von etwa 8 Durchmes-sern hat. Mit den später hergeleiteten Ergebnissen kann man abschätzen, dass auf einer solchen Länge der Druckabfall durch Wandreibung sehr gering ist.

Bild 3.76

Strömung im Carnot-Diffusor

S. Carnot, 1796 – 1832

104

3 Hydro- und Aerodynamik

Der Impulssatz lautet unter diesen Annahmen für ein inkompressibles Strö-
mungsmedium
ρ 21
w A1 + p1 A2 – ρ 2
w2 A2 – p2 A2 = 0.

Mit der Kontinuität wird

A

Δp

2

2

2

Carnot = p2 – p1 = ρ

1

1
w

− ρ w2 = ρ w1 w2 − ρ w2 ,

A2

Δpc
w2⎛
w2 ⎞

1

A ⎛

1

A ⎞

= 2

1

⎜ −

=

⎟ 2

1
ρ

⎜ −

⎟. (3.104)

2

1
w ⎝

1
w ⎠

A2⎝

A2 ⎠

1
w

2

Bei stetiger Querschnittsänderung und reibungsfreier Strömung kommt im Ideal-fall für den sogenannten Bernoulli-Diffusor

2

2

Δpid
p2 − 1
p
w2

1

A

=

= 1 −

= 1 −

. (3.105)

2

2
ρ 2
ρ 2
w1

A
w
w

2

1

1

2

2

Der Druckrückgewinn ist im idealen Diffusor stets größer als im Carnot-Diffusor (Bild 3.77). Der Unterschied beider Kurven stellt ein Maß für den Verlust dar: 2

Δpv,c

Δpid − Δpc ⎛

1

A ⎞

=

= 1

⎜ −

⎟ .

ρ

(3.106)

2
ρ 2

⎝

A2 ⎠

1
w

1
w

2

2

Bild 3.77

Druckrückgewinn
beim idealen

Diffusor und bei

Carnot

3.3 Strömung mit Reibung

105

Er fällt besonders ins Gewicht im Grenzfall A1/A2 → 0. Hier kommt es zu einem Ausblasen in den Halbraum (A1 fest, A2 → ∞). Mit Bernoulli ist w2 = 0 und Δ p → ρ/2 21
w , d. h. der Druck steigt um genau den dynamischen Druck. Beim

Carnot-Diffusor kommt dagegen keine Drucksteigerung. Die gesamte kinetische Energie der Zuströmung bewirkt durch Vermischung eine Erwärmung des Mediums.

Die Bezeichnung Stoßdiffusor rührt von der Analogie zum Carnot-Stoß zwischen zwei unelastischen Massen her. Dem Verlust der kinetischen Energie dort entspricht der Druckverlust hier.

3.3.1.4 Borda-Mündung

Wir betrachten den Ausfluss aus einer scharfkantigen Mündung (Bild 3.78).

Hier kommt es zu einer Strahlkontraktion von A → As, da eine sprunghafte Um-lenkung nicht möglich ist. Das strömende Medium schafft sich sozusagen selbst einen abgerundeten Auslauf. Auf die freie Strahlbegrenzung wirkt hierbei der konstante Druck p der Umgebung. Die Größe der Strahlkontraktion ist mit dem Impulssatz zu ermitteln. Wir betrachten hierzu den Ausfluss aus einem Behälter mit einer Borda-Mündung (Bild 3.79). Rechnen wir nur mit dem Überdruck gegenüber der Atmosphäre, so kommt in x-Richtung ein Gleichgewicht zwischen der Druckkraft (2.19)

FD = g ρ h A
auf die linke Berandung und der Impulskraft im Strahl

FJ = ρ w2 As.

Setzen wir beide Größen gleich, so wird die Strahlkontraktion

As
g h

=

.

2

A
w

Bild 3.78

Strömung durch eine Borda-Mündung

J. Ch. de Borda, 1733 – 1799

106

3 Hydro- und Aerodynamik

Bild 3.79

Kontrollbereich beim Ausfluss mit

Borda-Mündung

Benutzen wir hierin die Torricellische Ausflussformel w = 2 g h , so ist As

1

= . (3.107)

A

2

Die Experimente ergeben größere Werte: 0,5 bis 0,6, je nachdem, wie weit die scharfkantige Mündung in den Behälter ragt. Der Wert 0,6 entspricht dem Grenzfall, dass die Mündung bündig mit der Behälterwand ist.

3.3.1.5 Schub eines luftatmenden Triebwerkes

Wir wenden den Impulssatz auf ein Triebwerk eines Flugzeuges an. Die Kontrollflächen seien dabei so weit vom Triebwerk entfernt, dass auf ihnen der Druck p = p∞ ist (Bild 3.80). Der Fangquerschnitt A∞ wird durch den Antrieb auf den Strahlquerschnitt As verringert unter gleichzeitiger Steigerung der Geschwindigkeit u∞ → us. Eine Massenstrombilanz für den Bereich außerhalb des Triebwerkes liefert
ȡ∞ u∞ (A – A∞) + m = ȡ∞ u∞ (A – As),
m

= p∞ u∞ (A∞ – As).

Es kommt also zu einem Zustrom von Masse durch die seitlichen Kontrollflä-
chen. Dies führt dort zu einer Impulskraft, deren x-Komponente den Wert hat: G

G G

FJ,x = –

2

∫ρwx(w n) d A =u m

∞

= ρ u (A − A

∞ ∞

∞
s ) .

M

Damit lautet der Impulssatz
ρ

2

∞ 2
u∞ A + ρ∞ 2
u∞ (A∞ – As) – ρs us As – ρ∞ 2
u∞ (A – As) + FT = 0.

Hierin ist FT die Haltekraft, die an der Triebwerksbefestigung auftritt, damit Gleichgewicht herrscht. Für sie kommt

F

2

2

T = ρs us As – ρ∞ u∞ A∞ = m

T (us – u∞) (3.108)

3.3 Strömung mit Reibung

107

Bild 3.80

Kontrollflächen beim Triebwerk

mit m

T = ρs us As = ρ∞ u∞ A∞ als Massenstrom im Triebwerk. Für den Schub
gilt Fs = – FT. Er ist direkt proportional erstens dem Massenstrom m und zweitens der Geschwindigkeitssteigerung im Strahl gegenüber der Umgebung us – u∞.

Dadurch wird klar, welche Möglichkeiten zur Steigerung des Schubs bestehen.

3.3.1.6 Widerstand eines Halbkörpers im Kanal

Wir untersuchen die inkompressible, reibungsfreie Umströmung eines Halbkörpers in einem Kanal (Bild 3.81). Hier liegt ein endlicher Strömungsquerschnitt vor, und es kommt zu einigen Unterschieden gegenüber früheren Betrachtungen.

Insbesondere gilt hier nicht das d'Alembertsche Paradoxon. Es ergibt sich ein Widerstand, den wir mit dem Impulssatz ermitteln können. Zur Bestimmung der Kraftwirkung auf einen Körper ist entscheidend, welche Bedingungen auf der Rückseite des Körpers herrschen. Bei einem Halbkörper sind diese a priori nicht definiert. Wir bringen daher im Querschnitt (2), in genügender Entfernung von der Körperspitze, einen Schnitt an und setzen daselbst zusätzlich p = p2 voraus.

Jetzt folgen für die Grundgleichungen

Kontinuität: w1 A1 = w2 A2 mit A2 = A1 – A.

(3.109)

Impulssatz: ρ 21
w A1 + p1 A1 – ρ 2
w2 A2 – p2 A1 + FK = 0.

(3.110)

Hier ist FK die Haltekraft des Körpers und W = – FK der Widerstand:

W = ρ 21
w A1 – ρ 2
w2 A2 + (p1 – p2) A1. (3.111)

Die Bernoulli-Gleichung liefert für die betrachtete reibungsfreie Strömung mit der Kontinuität

2
ρ
ρ

⎛A

⎞
p

2

2

2

1

1 – p2 =

(w2 − 1
w ) =

1
w ⎜

−1⎟

⎜

.

2

2

2

A

⎟

⎝ 2

⎠

108

3 Hydro- und Aerodynamik

Bild 3.81

Umströmung eines Halbkörpers im Kanal

Dies führt mit (3.111) zu

A

2
ρ

⎛

A ⎞
ρ

A

W =

2

1

2

1

1
w

1

A 1

⎜ −

⎟ =

1
w A

. (3.112)

2

2

⎝

A2 ⎠

2

⎛

A ⎞

1

⎜ −

⎟

⎝

1

A ⎠

Hierin können wir

A

A
cw =

1

(3.113)

2

⎛

A ⎞

1

⎜ −

⎟

⎝

1

A ⎠
als dimensionslosen Widerstandsbeiwert für einen Körper im Kanal auffassen.

A/A1 ist das charakteristische Flächenverhältnis, das ein Maß für die Versper-rung liefert. Für A1/A2 → 1, d. h. im unendlich ausgedehnten Stromfeld, geht W → 0.

3.3.2 Drehimpulssatz mit Anwendung

Analog zum Impulssatz gibt es eine entsprechende Aussage über die Momente.

Dies ist für viele Anwendungen wichtig. Denn erst hierdurch ergeben sich die Angriffspunkte der vorstehend ermittelten Kräfte. Besonders interessant sind diese Betrachtungen für Strömungsmaschinen. Es ergibt sich zwanglos die beim Durchströmen eines Laufrades aufgenommene oder abgegebene Leistung.

Der Drehimpuls eines Massenelementes ist

G

G

G

G

G
d L = (r × w) d m = (r
ρ × w) d V . (3.114)

Für ein Fluid des Volumens V(t) ist also

G

G

G

L =

(

∫ ρ r×w) d V. (3.115)

V(t)

3.3 Strömung mit Reibung

109

Die zeitliche Änderung dieses Drehimpulses ist gleich der Summe aller an-G
greifenden äußeren Momente (= M

∑ a).

Letztere resultieren aus den früher besprochenen Massen- und Oberflächenkräf-G
ten (=∑ a

F )

G
d L
d

G

G

G

=

(r

∫ ρ ×w) d V = M

∑ a . (3.116)

d t
d t V(t)

Wir benutzen auch hier für jede Komponente die Beziehung (3.95) und fassen anschließend alles zusammen:

G

G

G
d L
d

G

G

∂ (
ρ r ×w)

G

G G G

G

=

(

∫ρ r×w) d V=
d V

∫

+

(

∫ρ r×w)(w n) d A= M

∑ a.

d t
d t

∂ t

V

V

A

Die Diskussion ist ähnlich wie im Fall des Impulssatzes. Für stationäre Strö-
mungen fällt das Volumenintegral fort, und wir benötigen die Strömungsdaten wieder nur auf der Oberfläche des Kontrollbereiches:

G

G G G

G

(r

∫ρ ×w)(w n) d A = M

∑ a . (3.117)

A

Diese Voraussetzung ist diesmal etwas problematisch. Bei einer Strömungsmaschine handelt es sich vorwiegend um eine instationäre Strömung. Erst in einem mit dem Laufrad rotierenden System kann man von einer stationären G

Strömung sprechen. Definieren wir als Impulsmoment MJ analog zu (3.98): G

G

G G G

MJ =−

(

∫ρ r×w)(w n) d A , (3.118)

A
so schreibt sich (3.117) ähnlich wie der Impulssatz in der sehr einfachen Form G

G

MJ +

M

∑ a = 0.

(3.119)

G

G

Für das Impulsmoment (3.118) gilt, dass es lokal parallel zu r × w liegt, denn G

G

G G G
dMJ = − (
ρ r × w)(w n) dA . (3.120)

Die Bedeutung wird an einem Beispiel erläutert.

3.3.2.1 Durchströmen eines radialen Laufrades

Ein Turbinenlaufrad (Winkelgeschwindigkeit ω) werde radial von außen nach innen durchströmt (Bild 3.82). Das Fluid tritt bei r1 mit der absoluten GeschwinG
digkeit 1
c = (c1r, c1u) in den Laufradkanal ein und verlässt ihn bei r2 < r1 mit der

110

3 Hydro- und Aerodynamik

G

Absolutgeschwindigkeit c2 = (c2r, c2u). Legen wir den Kontrollbereich so, dass er mit einem Schaufelkanal zusammenfällt (Bild 3.83), so ist

G

G

G

G

G

0 =

M

∑ a +MJ = Ms +MJ1+MJ2 .

Die Druckkräfte am Ein- und Austritt geben kein Moment, da sie radial gerichtet G
sind. Ms ist das von den Schaufeln (also von außen!) an das Fluid übertragene G

G

Moment. – Ms = MTu ist dann das an der Welle abzunehmende nutzbare Turbi-G

G

G
nenmoment. Mit w = 1
c bzw. c2 wird

MJ1 =

2

∫ρ 1r c1u c1r d ϕ b,
ϕ

MJ2 = –

2

∫ρ 2r c2u c2r d ϕ b,
ϕ
b = Breite des Laufrades. Sind die Geschwindigkeiten auf den entsprechenden Radien konstant, so vereinfachen sich die allgemein gültigen Darstellungen zu MJ1 = m r1 c1u, MJ2 = – m r2 c2u,

MTu = m (r1 c1u – r2 c2u). (3.121)

Bild 3.82

Durchströmen eines

Turbinenlaufrades

Bild 3.83

Kontrollbereich im

Schaufelkanal

3.3 Strömung mit Reibung

111

Wir wollen hierin m
bereits als gesamten Massenstrom durch das Laufrad auf-
fassen. Für die Radleistung folgt (r1 ω = u1, r2 ω = u2)

P = MTu ω = m (u1 c1u – u2 c2u). (3.122)

Die pro Masseneinheit abgegebene (spezifische) Arbeit ist

P = u
m

1 c1u – u2 c2u. (3.123)

Diese Gleichung ist als Eulersche Turbinengleichung bekannt. Sie gilt bei Vor-zeichenumkehr der rechten Seite unverändert auch für ein Pumpenlaufrad. Es handelt sich dann bei (3.123) um die spezifische vom Fluid aufgenommene Arbeit. Beide Fälle unterscheiden sich nur in der Richtung der Energieübertragung zwischen dem die Maschine durchströmenden Fluid und den rotierenden Bauteilen. Man spricht häufig auch von Kraftmaschinen (Turbinen) und Arbeitsmaschinen (Pumpen).

Abschließend sei ein Spezialfall von (3.121) hervorgehoben. Liegt ein Laufrad vor, auf das kein Moment bei der Durchströmung übertragen wird, d. h. ist MTu =

0, so gilt offenbar entweder m

= 0 oder r cu = konst. Der erste Fall ist trivial, im
zweiten Fall ist die Umfangskomponente die eines Potentialwirbels. Die Strö-
mung erfolgt auf Spiralbahnen (Kapitel 3.1.3).

3.3.3 Grundsätzliches zum Reibungseinfluss – Kennzahlen

Mit dem Impulssatz können, wie wir gesehen haben, Reibungsverluste berücksichtigt werden. Sie gehen auf dem Umweg über die Vorgaben auf der Berandung des Kontrollraumes ein. Diese können Messungen oder Rechnungen entnommen werden. Wir wollen in einem besonders einfachen Fall den Reibungseinfluss quantitativ ermitteln. Im Wesentlichen handelt es sich hierbei um eine Erweiterung der früher besprochenen Stromfadentheorie, s und n bezeichnen die Koordinaten in Strömungsrichtung und senkrecht dazu (Bild 3.84). Es soll hier nur der Einfluss der tangential zur Strömungsrichtung wirkenden Schubspannung τ untersucht werden. Bei der vollständigen Betrachtung tritt ein Reibungstensor auf. Wir kommen unten darauf zurück. Die einzelnen Schichten sind durch die innere Reibung miteinander verheftet. Dies ist die Ursache für die Schubspannung τ. Wir schneiden ein Massenelement heraus und wählen ein beliebiges Geschwindigkeitsprofil in n-Richtung (Bild 3.84 rechts). Die Pfeile geben die Richtungen der Reibungskräfte an, die von außen auf das betrachtete Element übertragen werden (Bild 3.84 links). Sie hängen von dem gewählten Profil ab. Es entsteht hier eine kleine Schwierigkeit bei der richtigen Wahl des Vorzeichens, weshalb dieses Beispiel ausführlich diskutiert wird. Für den in Bild 3.84 skizzierten Fall kommt

Reibungskraft
d R

{− (| |τ+ d| |τ)+ | |τ} ds db

1 d| |
τ

=

=

= −

, (3.124)

Masse
d m
ρ ds dn db
ρ dn

112

3 Hydro- und Aerodynamik

Bild 3.84

Zum Reibungseinfluss im Stromfaden

worin der Betrag der Schubspannung |τ| mit dem Newtonschen Ansatz gegeben ist durch

⎧ ∂c ∂c

⎪ η ,

> 0,

⎪
n

∂
n

|τ| =

∂

⎨

(3.125)

⎪

∂c

∂c
η

−

,

< 0,

⎪⎩ ∂n ∂n

Tragen wir für den in Bild 3.84 dargestellten Fall (3.125) in (3.124) ein, so wird d R

1 ∂ ⎛ ∂ c ⎞

=

⎜η

⎟. (3.126)

d m
ρ ∂n⎝ ∂ n ⎠

Wählt man ein anderes Geschwindigkeitsprofil in Bild 3.84, z. B. mit ∂ c/∂ n > 0, so kommt wiederum (3.126). Im Spezialfall η = konst vereinfacht sich (3.126) zu 2

2
d R
η ∂ c

∂ c

=

= ν

. (3.127)

2

2
d m
ρ ∂n

∂n

Die Reibungskraft hängt also von der zweiten Ableitung der Geschwindigkeit ab.

Die Ursache hierfür liegt offenbar darin, dass es auf die Änderung der Schubspannung senkrecht zum Stromfaden ankommt. Bei der Couette-Strömung er-fährt ein Teilchen demnach keine resultierende Reibungskraft.

Wir stellen jetzt einige auf ein Massenelement wirkende Kräfte zusammen. Es handelt sich dabei um typische Vertreter der entsprechenden Einflüsse. In der untersten Zeile sind die einzelnen Terme durch charakteristische Bezugsgrößen für Zeit (t), Länge (A), Geschwindigkeit (c), Dichte (ȡ) und Druck (p) des Stromfadens dargestellt. Wir benutzen in beiden Achsenrichtungen s und n denselben Längenmaßstab A.

Trägheit
physikalischer Effekt

Druck

Schwere

Reibung
a
b

Kraft

∂ c

∂ c

1 ∂ p

∂ z

2

∂ c

c

g

ν

Masse

∂ t

∂ s
ρ ∂ s

∂ s

2

∂ n
c

2
c
p
ν c
charakteristische Größen

g

t

A
ρ A

A 2

3.3 Strömung mit Reibung

113

Aus diesen fünf typischen Kräften lassen sich vier unabhängige dimensionslose Kraftverhältnisse (= Kennzahlen) bilden. Diese Kennzahlen charakterisieren ein Stromfeld und beschreiben die eingehenden physikalischen Effekte. Wir erhalten der Reihe nach:

p

Druckkraft
ρ A
p

1.

~

=

= Euler – oder Newton – Zahl (3.128)

2

2

Trägheitskraft (b)

c
ρ c

A

= Eu = Ne.

Für ein kompressibles Medium wird
p
κ p 1 1

1

Eu =

=

=

,

2

2

2
ρ c
ρ c κ
κ M
wodurch sich ein Zusammenhang mit der Mach-Zahl ergibt. Euler-Zahlen sind uns bereits wiederholt begegnet. Wir erinnern z. B. an den Druckkoeffizienten (3.77).

2

Trägheitskraft (b)

c

2.

~

= Froude – Zahl = Fr.

(3.129)

Schwerkraft

A g

Die Froude-Zahl ist überall dort von Wichtigkeit, wo die Schwerkraft die Strö-
mung wesentlich beeinflusst, z. B. in Gewässern mit freier Oberfläche.

Trägheitskraft (a)

A

3.

~

= Strouhal – Zahl = Str.

(3.130)

Trägheitskraft (b)

t c

Diese Kennzahl charakterisiert instationäre Strömungsvorgänge, wie sie z. B. in allen periodisch arbeitenden Kraft- und Arbeitsmaschinen auftreten. Die Strouhal-Zahl geht ein, wenn man das instationäre Glied der Bernoulli-Gleichung (3.13) ins Verhältnis zu den stationären Termen setzt. Dies ist oft erforderlich um festzustellen, ob eine Strömung als stationär angesehen werden kann. Hierzu muss Str << 1 sein.

2
c

Trägheitskraft (b)

c A

4.

~ A =

= Reynolds-Zahl = Re.

(3.131)

Reibungskraft
ν c
ν

2

A

Diese wichtige Kennzahl erfasst den Reibungseinfluss. Ist
c A

Re =

> > 1, (3.131a)

ν

W.

Froude,

1810

–

1879

V.

Strouhal,

1850

–

1922

114

3 Hydro- und Aerodynamik
d. h. ist die Trägheitskraft (b) sehr viel größer als die Reibungskraft, so ist die Reibung innerhalb des Stromfeldes von geringem Einfluss. Die Viskosität spielt nur in Wandnähe aufgrund der Haftbedingung in der Grenzschicht eine Rolle (Bild 3.85). Dies ist der Ausgangspunkt der Prandtlschen Grenzschichttheorie. Ist c A ~

Re =

< 1, (3.131

b)

ν < < 1,
so ist die Reibung im ganzen Stromfeld von Bedeutung. Durch Re <

<< 1 werden
so genannte schleichende Strömungen (= Stokessche Strömungen) erfasst. Hier können die nichtlinearen Trägheitsglieder in den Bewegungsgleichungen oft ganz vernachlässigt werden. Die Druckkräfte stehen mit den Reibungskräften im Gleichgewicht. Beispiele sind die Bewegungen in sehr zähen Ölen. Allerdings ist (3.131b) auch wichtig für Strömungen bei extrem geringer Dichte, denn die Reynolds-Zahl
ρ c A

Re =

η
wird mit ȡ klein. Diese Überlegungen spielen z. B. bei Satellitenbewegungen am Rande der Atmosphäre, aber auch im Labor z. B. bei Vakuumpumpen eine Rolle.

Schwierigkeiten können sich manchmal bei der Wahl der geeigneten Bezugs-größen für die Kennzahlen ergeben. Hier bedarf es einer gewissen Erfahrung, um diejenigen Bestimmungsstücke herauszufinden, die für die Physik der jeweiligen Strömung entscheidend sind. Manchmal gibt es mehrere Möglichkeiten. Zum Beispiel kann in der Re-Zahl der Grenzschichtströmung (Bild 3.85) als Längenmaßstab die Grenzschichtdicke δ verwendet werden. In gleicher Weise kann man auch die Lauflänge A, von der Körperspitze bis zur betrachteten Stelle, benutzen.

Sinnvoll sind beide Bildungen, obwohl sie zu verschiedenen Größenordnungen der Re-Zahl führen.

Die wichtigste Anwendung der Kennzahlen liegt darin, dass es mit ihrer Hilfe möglich ist, geometrisch ähnliche Stromfelder ineinander umzurechnen. Dies ist die Grundlage aller Modellversuche, wo, aufgrund von Messungen am geo-Bild 3.85

Geschwindigkeitsprofil in der Grenzschicht

G. G. Stokes, 1819 – 1903

3.3 Strömung mit Reibung

115
metrisch ähnlich verkleinerten Modell z. B. im Wind- oder Wasserkanal, Aussagen über die Großausführung gemacht werden sollen. Wir kommen später darauf zurück.

3.3.4 Laminare und turbulente Strömung

Wir beobachten im Experiment zwei grundsätzlich verschiedene Strömungszustände. Sie wurden qualitativ von Hagen beschrieben, von Reynolds erstma-lig quantitativ erfasst. Der experimentelle Tatbestand wird anhand des Reynolds-schen Farbfadenversuches erläutert (Bild 3.86). Ein viskoses Medium (kinematische Viskosität ν) strömt durch ein Rohr kreisförmigen Querschnitts (Durchmesser d) mit der Geschwindigkeit c. Durch eine Drossel kann der Volumenstrom geändert werden. Ein Farbfaden wird als Strömungsanzeiger verwendet.

1. Ist die Reynolds-Zahl klein, d. h. Re = c d/ν < 2300, so liegt eine laminare Strömung vor. Die makroskopisch beobachtbare Strömung erfolgt in parallelen Schichten (lamina = Schicht, Scheibe). Mikroskopisch, d. h. molekular, erfolgt ein regelloser Impulsaustausch der einzelnen Schichten untereinander, der, wie wir früher feststellten, die Ursache der inneren Reibung ist.

2. Ist die Reynolds-Zahl groß, d. h. Re = c d/ν > 2300, so spricht man von turbulenter Strömung. Hier tritt im Gegensatz zu oben ein makroskopischer, sichtbarer Austausch auf. Es handelt sich um eine instationäre, wirbelartige Zufallsbewegung.

Reynolds hat den Übergang der laminaren in die turbulente Strömung (sogenannter laminar-turbulenter Umschlag) untersucht und gefunden, dass dieser allein von der Kennzahl c d/ν abhängt. Aufgrund von Beobachtungen hat er vermutet, dass es sich hierbei um ein Stabilitätsproblem handelt. Die laminare Strömung wird bei höheren Reynolds-Zahlen instabil gegenüber Störungen, d. h. kleine Störungen, die in Natur und Technik immer vorhanden sind, rufen in einem solchen Fall große Wirkungen hervor, die die laminare Strömung schließlich in die turbulente Strömung überführen.

Bild 3.86

Reynoldsscher Farbfadenversuch

Diese anschauliche Erfassung des turbulenten Zustandes führt zur Reynolds-schen Beschreibung turbulenter Strömungen. Hierbei wird die instationäre Feldgröße (z. B. die Geschwindigkeit u (x, y, z, t)) additiv in einen zeitlichen Mittelwert u (x, y, z) und eine Schwankungsgröße u' (x, y, z, t) zerlegt.

116

3 Hydro- und Aerodynamik
u (x, y, z, t) = u (x, y, z) + u' (x, y, z, t),

(3.132)

v = v + v', w = w + w'.

Der zeitliche Mittelwert am festen Ort ist definiert durch

T

1
u (x, y, z) =
u (x, y, z, t)

∫
d t.

(3.133)

T 0

T ist hierin so groß gewählt, dass eine weitere Zunahme keine spürbare Änderung von u ergibt. (3.133) hat zur Folge, dass die zeitlichen Mittelwerte der Schwankungsgrößen verschwinden:

u' = v' = w' = 0.

(3.134)

Diese Schwankungsgeschwindigkeiten u', v', w', die die charakteristischen Eigenschaften turbulenter Strömungen enthalten, lassen sich mit einer Hitzdrahtsonde bestimmen. Hierbei wird die Abkühlung eines erwärmten Platindrahtes als Maß für die Schwankungen benutzt. In einem festen Raumpunkt (x, y, z) erhält man eine Darstellung wie in Bild 3.87.

Zur Charakterisierung des Turbulenzgrades (= Tu) in einem Stromfeld dient die dimensionslose Bildung

2

(u')

Tu =

. (3.135)

u

Im Zähler steht als charakteristisches Maß für die Schwankungsgröße die Wurzel aus dem mittleren Fehlerquadrat. Sie wird ins Verhältnis gesetzt zur mittleren Strömungsgeschwindigkeit an der betrachteten Stelle.

Bild 3.87

Hitzdrahtsignal als Funktion der

Zeit

3.3 Strömung mit Reibung

117

3.3.5 Geschwindigkeitsverteilung und Druckabfall in Kreisrohren
bei laminarer und turbulenter Strömung

1. Laminare Rohrströmung (Hagen-Poiseuille-Strömung)

Wir betrachten eine horizontale Rohrstrecke. Die Strömung sei ausgebildet, d. h.

das Geschwindigkeitsprofil ändert sich in x-Richtung nicht. Dies setzt voraus, dass wir uns in genügender Entfernung vom Einlauf befinden. Auf eine Abschätzung dieser Strecke kommen wir später zurück. Bei einer Schichtenströmung im Rohr ist der Druck, wie in der Grenzschicht, über den Querschnitt konstant. Man beachte hierzu (3.16) im Fall r → ∞. Eine Druckdifferenz in Strömungsrichtung hält die Bewegung aufrecht. Zur Bestimmung des Geschwindigkeitsprofils wenden wir den Impulssatz auf einen koaxialen Zylinder an (Bild 3.88). Es herrscht Gleichgewicht zwischen den Druckkräften und der Reibungskraft. Eine resultierende Impulskraft geht hier nicht ein, da die Strömung ausgebildet ist. Wir erhalten für den in Bild 3.88 skizzierten Fall
π r2 p1 – π r2 p2 – |τ| 2 π r A = 0.

Hierin gilt analog zu (3.125)

⎧
d c
d c

⎪ η

−

,

< 0

⎪
d r
d r

|τ| =⎨

d c
d c

⎪ η ,

> 0

⎪⎩ d r d r
r

Δp
d c

|τ| = (p1 – p2)

=
r = − η

. (3.136)

2 A

2 A
d r

Die Schubspannung ist damit eine lineare Funktion von r. Geht man in Bild 3.88
von einem anderen Geschwindigkeitsverlauf aus, so kommt der selbe Zusammenhang wie oben, nämlich
d c

Δp 1

= −
r .

d r

A 2η

Bild 3.88

Anwendung des Impulssatzes auf
die laminare Strömung im Kreis-
rohr

118

3 Hydro- und Aerodynamik

Integration liefert mit der Haftbedingung (r = R, c = 0)

2⎛

2 ⎞

⎛

2

Δp R
r
r ⎞
c(r) =

1

⎜ −

⎟= cmax 1

⎜ −

⎟. (3.137)

2

2

A 4η⎝

R ⎠

⎝

R ⎠

Es folgt eine parabolische Geschwindigkeitsverteilung mit der Maximalgeschwindigkeit

2

Δp R
cmax =

(3.138)

A 4η
auf der Rotationsachse (Bild 3.89). Durch Integration wird der Volumenstrom R

2

⎛
r ⎞

2 cmax
cmax

V = cm A = c d A

∫

=
c

∫ max 1⎜−

2

⎟ π r d r =π R

=A

.

2

⎝

R ⎠

2

2
r 0

=

(3.139)

Für das volumetrische Mittel der Geschwindigkeit cm wird also

1
cm = cmax . (3.140)

2

Damit folgt für den Volumenstrom die Darstellung

4

1
π Δ p R

V = cm A = cmax A =

.

2

8

A η

Also ergeben sich die Proportionalitäten

V ~ Δ p, V ~ R4. (3.141)

Diese Aussagen werden als Hagen-Poiseuille-Gesetz bezeichnet. Sie zeigen die charakteristischen Abhängigkeiten des Volumenstromes. V ~ R4 ist insbesondere für Anwendungen im Bereich der Medizin von Wichtigkeit. Verkleinerung von R
kann zu einer drastischen Reduktion von V führen.

Bild 3.89

Geschwindigkeit und Schubspannung
für die laminare Strömung im Kreis-
rohr

3.3 Strömung mit Reibung

119

Bisher haben wir die Frage untersucht, welche Geschwindigkeit sich als Folge der Druckdifferenz Δ p einstellt. Für die Anwendungen ist die Umkehrung der Fragestellung von Interesse: Wie groß ist die Druckabnahme (= Druckverlust) Δ p in einer Rohrleitung bei vorgegebenem Volumenstrom? In dieser Druckabnahme in Strömungsrichtung äußert sich der Reibungseinfluss. Das Geschwindigkeitsprofil bleibt dabei ungeändert. Fassen wir (3.138) und (3.140) zusammen, so wird

4ηA c

8 ρ ν A c

Δ p =
max
m

=

.

2

2

R

R

Wir spalten diesen Ausdruck auf, indem wir charakteristische Größen zusammenfassen:

ρ

A

64
c D

Δ p =

2
m
cm λlam, λlam=

, ReD =

. (3.142)

2

D

ReD
ν

Der erste Anteil auf der rechten Seite liefert die Dimension des Druckes, der zweite Anteil charakterisiert die Geometrie, der dritte enthält die Physik des Rohrreibungsvorganges. λ wird als Verlustkoeffizient bezeichnet. Dieser Aufbau der Druckverlustformel ist typisch. Er wird uns noch wiederholt begegnen.

(3.142) enthält die weiteren interessanten Aussagen:

Δ p ~ A, Δ p ~ cm. (3.143)

Der Druckabfall ist eine lineare Funktion der Rohrlänge. Das ist plausibel, da bei ausgebildeter Strömung kein Rohrabschnitt ausgezeichnet ist. Daher kommt nur eine lineare Funktion in Frage. Δ p ~ cm ist typisch für laminare Strömungen.

In den Anwendungen sind z. B. vorgegeben: V , A, A, ρ, ν. Aus V = cm A folgt cm = V /A und damit ReD = (cm/ν) 4A / π . Hiermit prüfen wir nach, ob ReD Ԭ

2300 ist. Liegt der laminare Fall vor, kann der Druckabfall mit (3.142) berechnet werden. In der Praxis handelt es sich jedoch weitgehend um turbulente Strömungen, weshalb wir uns jetzt ausführlich mit diesem Fall beschäftigen.

2. Turbulente Rohrströmung

Die turbulente Strömung ist ungleich schwieriger als die laminare zu behandeln.

In technischen Anwendungen interessieren häufig gar nicht alle Einzelheiten des Strömungsfeldes. Oft reicht es, wenn man die zeitlichen Mittelwerte kennt. Wir setzen voraus, dass für diese im Rohr eine ausgebildete Strömung vorliegt. Den Kontrollraum erstrecken wir über den ganzen Rohrquerschnitt (Bild 3.90). Es besteht ein Gleichgewicht zwischen Druck- und Wandschubspannungskräften π R2 1
p – π R2 p2 – | τw | 2 π R A = 0,

2 A

Δ p = 1
p − p2 = | w
τ |

. (3.144)

R

120

3 Hydro- und Aerodynamik

Bild 3.90

Kontrollbereich für die turbulente

Strömung im Kreisrohr

Für die Wandschubspannung machen wir den Dimensionsansatz
ρ 2

| τw |=
m
c σ . (3.145)

2

Hierin bedeutet m
c den zeitlichen und räumlichen Mittelwert der Geschwindig-
keit. Man erhält ihn aus der Funktion c (r, t), indem man nacheinander die Mit-telbildungen (3.133) und (3.139) ausführt. Trägt man (3.145) in (3.144) ein, so wird mit der Abkürzung 4 σ = λturb
ρ

A

2

Δ p =
m
c
t
λ urb . (3.146)

2

D

Der Aufbau der Druckverlustformel ist genauso wie im laminaren Fall (3.142).

Allerdings muss diesmal λturb aus Experimenten ermittelt werden. Eine theoretische Berechnung ist bisher nicht möglich. Man erhält

1. durch Interpolation von Messergebnissen (Blasius-Formel) 0,3164
λturb =

, gültig bis Re

1/ 4

Re

D ~ 105, (3.147a)

D

2. implizite Darstellung von Prandtl

1

= 2 log10 (Re
λ

) – 0,8 , gültig bis Re
λ

D
turb

D ~ 3 · 106. (3.147b)

turb

In Bild 3.91 sind die laminare Gesetzmäßigkeit sowie die obigen Beziehungen eingetragen. Darüber hinaus findet man auch die Ergebnisse für raue Rohre, die im nächsten Abschnitt ausführlich diskutiert werden. Man spricht in diesem Zusammenhang vom Nikuradse-Diagramm. R/ks heißt Sandkornrauigkeitsparameter, ks ist ein typisches Maß für die Sandkornrauigkeit (Bild 3.92). Zunehmende Rauigkeit, d. h. abnehmendes R/ks, bedeutet Anwachsen des Druckverlustes. Wir kommen hierauf ausführlich zurück.

H. Blasius, 1883 – 1970

J. Nikuradse, 1894 – 1979

3.3 Strömung mit Reibung

121

Bild 3.91

Verlustkoeffizient λ als Funktion der Reynolds-Zahl und Rauigkeit beim Kreisrohr (Nikuradse-Diagramm)

Bild 3.92

Definition der Sandkornrauigkeit ks

Aus dem Blasius-Gesetz folgt eine interessante Konsequenz für die (zeitlich gemittelte) Geschwindigkeit. Wir tragen (3.147a) in (3.145) ein und sehen von Zahlenfaktoren ab:

ρ
λturb

2

7/4 1/4

− 1/4

7/4

1/4

− 1/4

| w
τ |=
m
c

~ ρ m
c
ν

R

~ ρ m
c ax ν

R

. (3.148)

2

4

Wir benutzen für das Geschwindigkeitsprofil einen Potenzansatz mit freiem Exponenten m:

m

⎛ y ⎞
c(y) = max
c

⎜ ⎟ . (3.149)

⎝R ⎠
y ist hierin der wandnormale Abstand y = R – r. Wir lösen (3.149) nach max c
auf
und tragen dies in (3.148) ein:

7/4 − 7m/4 1/4

7m/4− 1/4

| w
τ |~ ρ c
y
ν R

. (3.150)

122

3 Hydro- und Aerodynamik

Prandtl und v. Kármán haben die Hypothese ausgesprochen, dass diese turbulente Wandschubspannung vom Rohrradius unabhängig sein sollte. Das heißt, die turbulente Strömung ist mehr oder weniger durch die lokalen Daten des Stromfeldes bestimmt. Im obigen Fall wird damit

1/7

1/7

1

⎛ y ⎞

⎛
r ⎞
m = , c = max
c

⎜ ⎟ = max
c

1

⎜ − ⎟ . (3.151)

7

⎝ R ⎠

⎝

R ⎠

Dies ist das wichtige 1/7-Potenzgesetz, dessen Gültigkeit mit der des Blasius-Gesetzes übereinstimmt.

In Bild 3.93 sind das laminare (3.137) und das turbulente Geschwindigkeitsprofil (3.151) für den selben Volumenstrom gezeichnet. Das turbulente Profil ist rechteckförmiger als das laminare. Wir besprechen einige Aussagen im Detail.

1. Für m = 1/7 ist m
c = 0,816 max
c

. Das Geschwindigkeitsprofil (3.151) hat
zwei kleine Schönheitsfehler. An der Rohrwand ergibt sich ein unendlicher Anstieg. Das ist unbedenklich, da in unmittelbarer Wandnähe die Strömung laminar ist (Reibungsunterschicht) und daher das obige Gesetz dort nicht benötigt wird.

An der Rohrachse tritt ein Knick im Geschwindigkeitsprofil auf.

2. Mit wachsender Reynolds-Zahl wird der Exponent in (3.151) kleiner, d. h.

das Profil wird immer rechteckförmiger. Die Ursache hierfür liegt darin, dass der makroskopische Queraustausch das Bestreben hat, das Geschwindigkeitsprofil auszugleichen und möglichst gleichförmig über den Querschnitt zu gestalten.

Bild 3.93

Laminares und turbulentes Geschwindigkeits-
profil im Kreisrohr

Th. v. Kármán, 1881 – 1963

3.3 Strömung mit Reibung

123

3.3.6 Laminare und turbulente Strömung durch raue Rohre

(Nikuradse-Diagramm)

Wir diskutieren Bild 3.91 im einzelnen. Das Wesentliche lässt sich in zwei Punkten zusammenfassen.

1. Für laminare Strömung ist λ = f (Re), d. h. der Druckverlustbeiwert hängt nicht von der Rauigkeit ab.

2. Für turbulente Strömungen gilt die Alternative

⎛

R ⎞
a. λ = g ⎜Re,

⎟ für 2 · 103 < Re < 3 · 105,

⎝
ks ⎠

⎛ R ⎞
b. λ = h⎜ ⎟
für 3 · 105 < Re.

⎝ ks ⎠

Im Bereich mittlerer Reynolds-Zahlen (2 · 103 < Re < 3 · 105) treten also beide Argumente auf, während für höhere Reynolds-Zahlen nur die Rauigkeit eingeht.

Diese charakteristischen Abhängigkeiten lassen sich folgendermaßen anschaulich begründen.

1. Bei laminarer Strömung tritt kein nennenswerter Einfluss der Rauigkeit auf, da der makroskopische Queraustausch fehlt. Die Schichtenströmung schafft sich sozusagen selbst eine glatte Wand und deckt die Rauigkeiten zu.

2a, b. Bei turbulenter Strömung kommt es entscheidend darauf an, ob die Rauigkeiten noch von der wandnahen laminaren Unterschicht zugedeckt werden –
dann nennt man das Rohr hydraulisch glatt – oder ob sie aus dieser Schicht herausragen und damit die vollturbulente Strömung wesentlich beeinflussen.

Diese wichtige Vorstellung wollen wir quantitativ bestätigen. Wir schätzen dazu die Dicke der laminaren Unterschicht Δ ab. In ihr soll die Geschwindigkeit linear von null bis etwa 1/2 m
c ansteigen (Bild 3.94). Die Wandschubspannung lässt
sich auf zweierlei Art darstellen:

1

⎛

⎞
m
c
ρ
λ
d c

2
turb

2

| τw |=
m
c

= η⎜

⎟ = ρ ν

.

2

4

⎝d y ⎠

Δ
w

Δ

4

1

=

. (3.152)

D
λturb ReD

Benutzen wir hierin die Blasius-Formel (3.147), so wird

Δ

12,64

=

(3.153)

3/4

D

ReD

124

3 Hydro- und Aerodynamik

Bild 3.94

Definition der Dicke der lamina-
ren Unterschicht Δ

Δ/D nimmt also mit wachsender Reynolds-Zahl ab. Dies bestätigt die frühere Aussage, dass das Geschwindigkeitsprofil mit zunehmender Reynolds-Zahl immer rechteckförmiger wird.

Ein Zahlenbeispiel zur Größenordnung von Δ:

Δ

ReD = 104, λturb = 0,03,

≈ 10–2, D = 10 cm, Δ ≈ 1 mm.

D

Der wesentliche Geschwindigkeitsanstieg erfolgt in Wandnähe, also auf einer Strecke von etwa 1 % des Durchmessers.

Mit der Abschätzung (3.152) können wir die obigen Feststellungen 2a, b. leicht begründen. Wir diskutieren zwei typische Zahlenbeispiele:

R

1. ReD = 105, λturb = 0,04,

≈ 30.

ks

Hier zeigen wir, dass die Rauigkeiten aus der Unterschicht herausragen. Mit (3.152) wird nämlich

5

R
tu
λ rb ReD

0,04⋅ 10

R

=

=

= 500 > >

= 30, d. h. ks > > Δ .

Δ

8

8
ks

R

2. ReD = 104, λturb = 0,03,

= 60.

ks

Jetzt kommt

4

R

0,03⋅ 10

R

=

= 37,5 <

, d. h. ks < Δ .

Δ

8
ks

Das heißt, die Rauigkeiten werden von der Unterschicht zugedeckt. Das Rohr ist hydraulisch glatt.

3.3 Strömung mit Reibung

125

Bild 3.95

Äquivalente Sandkornrauigkeiten

Der Übergang zu technisch rauen Rohren wird durch den Begriff der äquivalenten Sandkornrauigkeit ermöglicht. Darunter versteht man diejenige Sandkornrauigkeit ks die bei gleicher Reynolds-Zahl den gleichen Verlustbeiwert λ
liefert. Bild 3.95 gibt einige Rauigkeitswerte für technisch wichtige Fälle.

Liegt ein Rohr nichtkreisförmigen Querschnittes vor, so verwendet man im turbulenten Fall als charakteristisches Längenmaß den hydraulischen Durchmesser Dh anstelle von D:

4 A

Dh =

(3.154)

U
mit A = Querschnittsfläche und U = benetzter Umfang. Für den Druckverlust gilt ρ

A

2
m
c Dh

Δp =
m
c
t
λ urb, ReD =

. (3.155)

h

2

Dh
ν

Man beachte, dass diese Aussage auf turbulente Strömungen beschränkt ist. Daselbst ist die Geschwindigkeit nahezu konstant über den Querschnitt. Hieran dürfte es liegen, dass in diesen Fällen eine Umrechnung auf den hydraulischen Durchmesser möglich ist. Bei laminaren Strömungen trifft dies nicht zu, und der Druckverlust muss dann berechnet oder gemessen werden.

3.3.7 Strömung in der Einlaufstrecke

Bisher haben wir uns mit der ausgebildeten Strömung im Rohr beschäftigt. Wir diskutieren jetzt die Verhältnisse am Rohreinlauf.

1. Laminare Strömung

Das Fluid wird aus dem Ruhezustand (0) angesaugt (Bild 3.96). Mit einer einfachen Modellbetrachtung diskutieren wir die physikalischen Zusammenhänge. Im

126

3 Hydro- und Aerodynamik

Bild 3.96

Strömung in der Einlaufstrecke eines Kreisrohres

Eintrittsquerschnitt (1) ist die Geschwindigkeit konstant = cm. Der Reibungseinfluss führt stromab zur Bildung einer Grenzschicht. Die Einlaufstrecke A endet dort, wo diese Grenzschicht (GS) auf die Rohrachse auftrifft (2). Von da ab herrscht ausgebildete Strömung. Mit anderen Worten: die Grenzschicht füllt von da ab das ganze Rohr. Es ist plausibel, dass der Druckverlust in der Einlaufstrecke größer ist als bei ausgebildeter Strömung. Dies deshalb, da

1. die Wandschubspannung größer ist und

2. zur Abänderung des Geschwindigkeitsprofils ཰ → ཱ eine zusätzliche Druckdifferenz erforderlich ist.

Wir können den Druckabfall in der Einlaufstrecke leicht bestimmen. Wegen des nahezu reibungslosen Verhaltens der Kernströmung außerhalb der Grenzschicht rechnen wir auf der Rohrachse von ཰ → ཱ mit der Bernoulli-Gleichung
ρ
ρ
ρ
p0 = p1 +

2

2

2
cm = p2 + cmax = p2 + 4 cm ,

2

2

2

Δ
ρ
p = p1 – p2 = 3

2
cm .

2

Es kommt also der beträchtliche Druckabfall von drei dynamischen Drücken. Eine Rechnung zur Bestimmung der Länge der Einlaufstrecke muss natürlich den Verlauf der Wandschubspannung berücksichtigen. Mit dem Impulssatz und Energiesatz kann man den ganzen Vorgang diskutieren. Eine Näherungsrechnung ergibt A
cm D

≈ 0,03 ReD, ReD =

. (3.156a)

D
ν

Ein Zahlenbeispiel veranschaulicht die Größenordnung

A

ReD = 2 · 103 (obere Grenze),

~ 60.

D

3.3 Strömung mit Reibung

127

Bild 3.97

Bezeichnungen bei der Plattengrenzschicht

Wir berechnen hiermit zum Vergleich den Reibungsdruckabfall für die ausgebildete Strömung auf der selben Strecke:

ρ

A 64
ρ
ρ

Δ p =

2

2

2
cm

= cm ⋅ 0,03⋅ 64 = 1,92 cm .

2

D ReD

2

2

Der zusätzliche Druckverlust in der Einlaufstrecke beträgt demnach

Δ
ρ
p = 1,08

2
cm = 1,08 p

2
dyn.

Wir geben an dieser Stelle eine Abschätzung der Länge der Einlaufstrecke. Wir benutzen hier bereits ein Ergebnis der Plattengrenzschicht (Bild 3.97). Für die Grenzschichtdicke δ gilt
δ

5

5

=

=

(3.157)

A

ReA

U A
ν

Wir wenden diese Beziehung auf die Einlaufstrecke im Rohr an. Es ist klar, dass wir hier eine starke Vereinfachung durchführen. Der räumliche Einfluss des Rohres bleibt unberücksichtigt. Am Ende der Einlaufstrecke ist δ = D/2; U entspricht in der Rohrströmung cmax = 2 · cm. (3.157) ergibt hiermit
δ

D

5

=

=

,

A

2 A

2 cm A D
ν D

A = 0,02 Re

D

D.

Dies stimmt, zumindest was die Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl angeht, mit (3.156) überein. Der vernachlässigte räumliche Effekt und die beschleunigte Kernströmung (Außenströmung) kommt in dem zu kleinen Zahlenkoeffizienten zum Ausdruck.

Die Rohreinlaufströmung wurde von Nikuradse experimentell untersucht mit folgenden Ergebnissen: Die Grenzschicht ist auf der betrachteten Länge zusam-mengewachsen. Die Geschwindigkeit auf der Rohrachse besitzt an dieser Stelle den Wert c (r = 0) = 1,9 cm, das Profil ist also noch völliger. Es folgt ein weiterer

128

3 Hydro- und Aerodynamik

Rohrabschnitt derselben Länge, in dem die Geschwindigkeit auf der Rohrachse auf c (r = 0) = 2 cm beschleunigt wird und sich das parabelförmige Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Als gesamte Länge für die Einlaufstrecke folgt aus dem Experiment

AE
cm ⋅ D

= 0,06 ReD, ReD =

(3.156b)

D
ν

Der im Modell ermittelte Zusatzdruck von Δ p = 1,08 pdyn stimmt mit dem experimentell ermittelten Wert Δ p = 1,16 pdyn nahezu überein.

2. Turbulente Strömung

Die Einlaufstrecke ist kaum von der Reynolds-Zahl abhängig. Die Angaben schwanken:

A ~ 20 bis 30,

D
je nachdem, wie genau das Endprofil erfasst wird. Grundsätzlich gilt, dass diese Einlaufstrecke kürzer ist als im laminaren Fall. Das ausgebildete turbulente Geschwindigkeitsprofil ist nahezu rechteckförmig und besitzt damit schon eine enge Verwandtschaft mit dem Einlaufprofil. Der zusätzliche Druckabfall durch Umformung des Geschwindigkeitsprofils ist ebenfalls nicht erheblich, da auf der Rohrachse nur eine geringfügige Beschleunigung auftritt. Im Gültigkeitsbereich des Blasius-Gesetzes gilt
ρ 2
ρ 2
ρ 2

1
p +
m
c = 2
p +
m
c = p2 + 1,50
m
c ,

2

2

2
ρ 2

Δ p = 1
p − p2 = 0,5
m
c .

2

Der Zahlenkoeffizient ist hier erheblich kleiner als im laminaren Fall. Er nimmt mit größer werdender Reynolds-Zahl noch weiter ab.

3.3.8 Geschwindigkeitsschwankungen und scheinbare

Schubspannungen

Wir beschäftigen uns jetzt mit den Details turbulenter Strömungen und gehen auf die Reynoldssche Zerlegung der Geschwindigkeiten in Abschnitt 3.3.4 zurück.

Wir bestimmen die Wirkung der Schwankungsgeschwindigkeiten bei einem einfachen Strömungsmodell. Die Hauptströmungsrichtung soll in x-Richtung liegen (Bild 3.98). Wir interessieren uns für die Impulskraft, die von den Schwankungsgeschwindigkeiten im zeitlichen Mittel auf eine bestimmte Kontrollfläche übertragen wird.

3.3 Strömung mit Reibung

129

1. Die Kontrollfläche sei senkrecht zur x-Achse (Bild 3.99): G

G G G
d J

F = − ρ w(w n) d A ,
d J,

F x

2

= ρ u .

d A

Wir bilden das zeitliche Mittel dieser Normalspannung:

T

2

1

2

2

2

2

2

2
ρ u = ∫ρ u d t = ρ (u +u') = ρ (u +2 u u'+u' ) = ρ(u +u' ) .

T 0

(3.158)

Durch diese Schwankungen kommt ein zusätzlicher Anteil.

2. Die Kontrollfläche liege in x-Richtung (Bild 3.100): d J,x

F

= ρ u v .

d A

Das zeitliche Mittel dieser Tangentialspannung wird:

ρ u v = ρ (u + u')v' = ρ u'v' .

Bild 3.98

Bild 3.99

Strömung mit Schwankungs-

Hauptströmungsrichtung normal zur Kontroll-
geschwindigkeiten
fläche

Bild 3.100

Hauptströmungsrichtung tan-
gential zur Kontrollfläche

Bild 3.101

Zur Ermittlung des Vorzeichens der
scheinbaren Schubspannung

130

3 Hydro- und Aerodynamik

Wir erkennen, dass es hier nur aufgrund der beiden Schwankungsgeschwindigkeiten u' und v' zu einem Beitrag kommt. Wir diskutieren das Vorzeichen. Wir betrachten Teilchen, die, von oben kommend, die Kontrollfläche durchlaufen (Bild 3.101). u' > 0, v' < 0 führen zu τ > 0, d. h. zu einer positiven Tangentialspannung, die von der Strömung an die Kontrollfläche übertragen wird. Wir definieren daher als

Reynoldssche scheinbare Schubspannung = τ = − ρ u'v' . (3.159)

Betrachten wir sowohl diesen makroskopischen Austausch als auch die molekularen Vorgänge, so erhalten wir insgesamt bei turbulenter Strömung
d u
ge
τ s = η

− ρ u'v' . (3.160)

d y

Diese Darstellung gilt gemäß unserer Herleitung nur für eine eindimensionale Grundströmung. Im allgemeinen Fall tritt ein Spannungstensor auf. Wir kommen hierauf bei der Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen zurück.

Wir behandeln zwei Grenzfälle von (3.160).

1. In unmittelbarer Wandnähe (v' → 0) kommt
d u
ge
τ s = η

. (3.161a)

d y

Diese Darstellung in der (laminaren) Reibungsunterschicht bestätigt die von uns früher gemachten Ansätze.

2. In großem Wandabstand, sogenannte freie Turbulenz, ist u ≈ konst und damit
ge
τ s = − ρ u'v' . (3.161b)

Wir schätzen beide Anteile bei der Rohrströmung ab:

1 m
c
d u

1
τ

1
ν

1

1

2
turb
λ

1
τ = η

= ρ ν

,

=

=

=

. (3.162a)

2
d y

Δ
ρ m
c

2 Δ m
c

2 Δ

8

ReD

D

Bei ReD = 105 gilt für das glatte Rohr λturb = 1,7 · 10–2, also

1
τ

−3

= 2,1⋅10 .

2
ρ m
c

Die Schwankungsgeschwindigkeiten betragen einige Prozente der mittleren Geschwindigkeit; mit u ∼ m
c wird

L. Navier, 1785 – 1836

3.3 Strömung mit Reibung

131
τ2
u' v'

τ2 = ρ u'v' ,

=

~ 5 % · 5 % = 2,5 · 10–3. (3.162b)

2
ρ u
u u

Wir sehen, dass bei genügend hoher Reynolds-Zahl der zweite Anteil überwiegt.

3.3.9 Prandtlscher Mischungswegansatz für die Schwankungs-
geschwindigkeiten

Die Problematik bei der Anwendung von (3.160) liegt darin, dass wir bisher wenig Informationen über die Schwankungsgeschwindigkeiten besitzen. Wir gehen hier wieder von einer mittleren Bewegung in x-Richtung aus:

u = u (y) + u', v = v'

und suchen eine Darstellung der Größen u', v' durch u (y). Analog zur kinetischen Gastheorie (Abschnitt 1.3) führen wir den Prandtlschen Mischungsweg ein. Wir verstehen darunter diejenige Länge, die ein Turbulenzelement im Mittel zurücklegt, bevor es sich mit der Umgebung vermischt und damit seine Indivi-dualität aufgibt (Bild 3.102). Dies ist ein makroskopisches Analogon zur mittleren freien Weglänge der Gaskinetik. Im Einzelnen geht die Überlegung wie folgt: Ein Teilchen aus der Schicht y gelangt bei v' > 0 in das Niveau y + A1. Dort hat es für den in Bild 3.102 skizzierten Fall eine Untergeschwindigkeit gegenüber der Umgebung von der Größe
d u
u(y) − u (y + 1

A ) = − 1

A

.

d y

Diese Untergeschwindigkeit fasst Prandtl als Geschwindigkeitsschwankung im Niveau y + A1 auf, d. h.

d u
u' =− 1

A

. (3.163a)

d y

Bild 3.102

Zum Prandtlschen Mischungs-
wegansatz

132

3 Hydro- und Aerodynamik

Aus Kontinuitätsgründen wird ganz entsprechend angesetzt
d u
v' = A2

. (3.163b)

d y

Damit ist auch das richtige Vorzeichen gegeben, wie man an Bild 3.102 sofort bestätigt. Für die Reynoldssche scheinbare Schubspannung kommt jetzt

2

2

⎛d u ⎞

⎛

⎞

2 d u
τ =− ρ u'v' = ρ 1

A A2⎜

⎟ = ρ A ⎜

⎟ . (3.164a)

⎝d y⎠

⎝d y⎠

Für ein beliebiges Geschwindigkeitsprofil (z. B. mit d u / d y < 0) gilt unter Be-achtung des Vorzeichens
d u d u

2
τ = ρ A

⋅

. (3.164b)

d y d y

A ist hierin ein charakteristischer Längenmaßstab für die Vermischung in turbulenten Strömungen (= Prandtlscher Mischungsweg). Er muss als Funktion von y dem Experiment entnommen werden, weshalb diese Theorie als halbempirisch bezeichnet wird. Wichtig ist in (3.164a, b) die Abhängigkeit vom Quadrat des Geschwindigkeitsgradienten. Dies weist auf typische Unterschiede zur laminaren Strömung hin. Aus (3.160) wird mit (3.164a)

2
d u

⎛d u ⎞

2
ges
τ

= η

+ ρ A ⎜

⎟ . (3.165)

d y

⎝d y⎠

Wir diskutieren einige Eigenschaften der turbulenten Strömung in der Nähe einer Wand.

1. In der (laminaren) Reibungsunterschicht ist A → 0.

d u
ges
τ

= η

= τw ,
d y
w
τ
u (y) =
y .

η

Mit der so genannten Wandschubspannungsgeschwindigkeit
τ
uτ =
w (3.166)

ρ
wird
u(y)

y uτ

=

= y+ . (3.167)

uτ
ν

3.3 Strömung mit Reibung

133

Die Geschwindigkeit ist eine lineare Funktion von y. y+ ist ein in geeigneter Weise dimensionslos gemachter Wandabstand. Die Größenordnung der Wandschubspannungsgeschwindigkeit lässt sich mit den Daten der Rohrströmung (ReD = 105, λturb = 1,7 · 10–2) abschätzen:

uτ
τw
τw
λturb

=

~

=

= 0,05 .

2

2
u
ρ u
ρ m
c

8

Wir kommen also in dieselbe Größenordnung wie die Schwankungsgeschwin-
digkeiten und können damit uτ als Maß für u' und v' auffassen.

2. Außerhalb der Reibungsunterschicht, aber immer noch in Wandnähe, gilt 2

⎛

⎞

2 d u
ge
τ s = ρ A ⎜

⎟ .

⎝d y⎠

Wir sprechen hier von der Wandturbulenz (Bild 3.103). Prandtl machte die Annahme, dass auch hier ges
τ

= τw = konst ist sowie A = κ y mit κ = konst.

Damit wird

2

⎛

⎞

2 2 d u
w
τ = ρ κ y ⎜

⎟ .

⎝d y⎠

Wir können dies als eine Bestimmungsgleichung für das Geschwindigkeitsprofil u (y) auffassen. Integration führt mit den Bezeichnungen (3.166) und (3.167) zu u(y)

1

= An y+ + C .

uτ
κ

Die beiden Konstanten κ und C werden im Experiment bestimmt. Es kommt das logarithmische Geschwindigkeitsprofil
u (y) = 2,5 An y+ + 5,5.

(3.168)

u

τ

Bild 3.103

Die verschiedenen Geschwin-
digkeitsprofile in turbulenter

Strömung

134

3 Hydro- und Aerodynamik

Bild 3.104

Die Geschwindigkeitsprofile in halblogarithmischer Auftragung

Diese universelle Gesetzmäßigkeit gilt außerhalb der (laminaren) Unterschicht, so dass die Singularität an der Wand bei y = 0 nicht von Bedeutung ist. Bei grö-
ßerem Wandabstand schließt an (3.168) die freie Turbulenz an. Bild 3.104 enthält die beiden Gesetzmäßigkeiten (3.167) und (3.168) in halblogarithmischer Darstellung. Die in Abschnitt 3.3.6 durchgeführte Abschätzung der Unterschicht-dicke Δ führt zu der Aussage:

u y
u Δ
u u D Δ
y+ = τ
τ
τ

=

=

≈ 0,05 · 104 · 10–2 = 5.

ν
ν
u ν D

Nach einem Übergangsgebiet (5 < y+ < 30) beginnt der vollturbulente Bereich.

3.3.10 Allgemeine Form der Navier-Stokes-Gleichungen

Wir gehen analog vor wie bei der Herleitung der Eulerschen Bewegungsgleichungen. Das Newtonsche Grundgesetz wird auf ein Massenelement angewandt (Bild 3.105). Als Folge der Reibung tritt eine auf jedes Oberflächenelement wirkende Kraft auf, die wir nach den drei Achsenrichtungen zerlegen. Beziehen wir die jeweilige Kraft auf die Fläche, so ergeben sich zwei Schubspannungen in der Fläche und eine Normalspannung senkrecht zur Fläche. Den statischen Druck p denken wir uns hier bereits abgespalten. Die Indizierung der Spannungen erfolgt so, dass der erste Index die Stellung des Flächenelementes (durch die Flächennormale) charakterisiert. Der zweite gibt die Kraftrichtung an. Die Kräftebilanz in x-Richtung lautet

3.3 Strömung mit Reibung

135

Bild 3.105

Kräftegleichgewicht am Massenelement mit Reibung

d u

∂ p
d m

= f
d x d y d z +
d t
x d m – ∂ x

∂ σ

∂σ

∂σ

+
xx d
d
d

∂
x d y d z +
yx
x d y d z +
zx
x d y d z,
x

∂y

∂z
d u

1 ∂ p 1 ⎛∂ σ

∂

∂

⎞
xx
σyx
zx
σ

= fx −

+ ⎜

+

+

⎟. (3.169)

d t
ρ ∂ x ρ ⎝ ∂ x

∂ y

∂ z ⎠

Die restlichen zwei Gleichungen ergeben sich durch zyklische Vertauschung. Der Reibungseinfluss wird durch die folgende Spannungsmatrix erfasst:

⎛σ

⎞
xx
σyx
zx
σ

⎜

⎟

(σik) =⎜σxy σyy
zy
σ ⎟. (3.170)

⎜

⎟

⎝ xz
σ
σyz
zz
σ ⎠

Das Momentengleichgewicht für jedes Flächenelement ergibt die Aussage der Symmetrie σik = σki. Damit treten in (3.170) nur noch sechs unabhängige Größen auf. Die eigentliche Schwierigkeit liegt in der Darstellung der σik durch die Ge-schwindigkeitskomponenten. Das heißt, es geht um die dreidimensionale Verallgemeinerung des (eindimensionalen) Newtonschen Schubspannungsansatzes. In Fortsetzung der elementaren Betrachtungen von Kapitel 1.2 wird für Newtonsche

136

3 Hydro- und Aerodynamik

Fluide ein linearer Zusammenhang zwischen Spannungen und Deformationsgeschwindigkeiten postuliert. Der folgende Stokessche Ansatz erfüllt darüber hinaus einige naheliegende, notwendige Symmetrieeigenschaften:

∂ u

⎛∂ u ∂ v ∂ w ⎞⎫
σxx = 2 η

+ η⎜

+

+

,

⎟⎪

∂ x

⎝∂ x ∂ y

∂ z ⎠⎪⎪

⎛∂ u ∂ v⎞

⎪
σxy = η⎜

+

,

⎟

⎬ (3.171)

⎝∂ y

∂ x ⎠

⎪⎪

⎛∂ u ∂ w ⎞
σ

⎪
xz = η⎜

+

.

⎟

⎝ z
x

⎪

∂

∂ ⎠

⎭
η ist hierin ein zweiter Viskositätskoeffizient. Diese Größe tritt bei inkompressibler Strömung nicht auf. Man erkennt unmittelbar den früher behandelten Spezialfall des eindimensionalen Newtonschen Schubspannungsansatzes. Beschränken wir uns auf inkompressible Strömungen mit η = konst, so erhalten wir die Navier-Stokes-Gleichungen in der Form

∂

⎛ 2

2

2
d u

1 p

∂ u ∂ u ∂ u ⎞

= fx −

+ ν⎜

+

+

,

⎟ ... , ... , (3.172)

2

2

2
d t
ρ ∂ x

⎝∂ x

∂ y

∂ z ⎠
wobei wieder die beiden nicht angeführten Gleichungen durch zyklische Vertauschung entstehen. In Vektorform lautet das System

G
d w

G

1

G

= f − grad p+ ν Δ w . (3.173)

d t
ρ

Hinzu tritt wie früher die Kontinuitätsaussage, womit vier DifferentialgleichunG
gen für w = (u, v, w) und p vorliegen. Man beachte, dass hier ρ = konst voraus-gesetzt wurde und daher keine weitere Gleichung erforderlich ist. Die Ordnung der Navier-Stokes-Gleichungen ist höher als die der Eulerschen Differentialgleichungen. Dies ermöglicht es, dass die Haftbedingung an der Körperoberfläche erfüllt werden kann. Die Navier-Stokes-Gleichungen sind in gleicher Weise nichtlinear wie die Eulerschen Gleichungen. Das liegt an den konvektiven Gliedern. Exakte Lösungen sind nur in wenigen Fällen bekannt. Wir besprechen im nächsten Abschnitt zwei Beispiele, um Eigenschaften dieser Strömungen ken-nenzulernen.

3.3.11 Spezielle Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen

1. Ausgebildete laminare Spaltströmung

Wir setzen eine ausgebildete Schichtenströmung eines inkompressiblen Mediums im ebenen Spalt (– h ≤ y ≤ + h, – ∞ < x < ∞) voraus (Bild 3.106). Dies ergibt v = w = 0 und u = u (y). Die Kontinuitätsgleichung ist erfüllt. Es kommt bei Vernachlässigung der Schwere

3.3 Strömung mit Reibung

137

2

1 ∂ p
d u(y)

1. Navier-Stokes-Gleichung:

= ν

, (3.174a)

2
ρ ∂ x
d y

∂ p

∂ p

2. und 3. Navier-Stokes-Gleichung:

=

= 0 . (3.174b)

∂ y

∂ z

Die letzten beiden Aussagen ergeben p = p (x). Der Druck ist im Spalt quer zur Strömung konstant. Dies erinnert an das Grenzschichtkonzept. Hier ist sozusagen der ganze Spalt mit Grenzschicht ausgefüllt. (3.174a) führt mit p = p (x) sofort zu 2
d p
d u

= konst,

= konst . (3.175)

2
d x
d y

Das heißt, der Druckgradient ist konstant, und für u (y) kommt eine sehr einfache, gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung. Zweimalige Integration ergibt

2

1 d p y
u (y) =

+ Ay + B, A, B = konst.

(3.176)

η d x 2

Für die Poiseuille-Strömung (u(± h) = 0) kommt der parabolische Verlauf 2

⎛

2 ⎞

⎛

2
h d p
y
y ⎞
u (y) = –

1

⎜ −

⎟=umax 1

⎜ −

⎟, (3.177)

2

2

2η d x ⎝
h ⎠

⎝
h ⎠
dagegen erhalten wir für die Couette-Strömung (u (– h) = 0, u (+ h) = U, d p/d x = 0) die lineare Funktion

U⎛
y ⎞
u (y) =

1

⎜ + ⎟. (3.178)

2⎝
h ⎠

Bild 3.106

Poiseuille- und Couette-Strömung im ebenen Spalt

138

3 Hydro- und Aerodynamik

Die Lösung für die Poiseuille-Strömung im Spalt entspricht völlig der früher diskutierten Rohrströmung. Wir bestimmen wie dort den Volumenstrom (b ist die Breitenerstreckung der Strömung)

h
h ⎛

2
y ⎞

2

V = um 2 h b = b u d y

∫

= b umax

1

⎜

∫ − ⎟d y= umax 2 h b ,

2

⎝
h ⎠

3
h

−
h

−

2
um = u

3 max. (3.179)

Für den Druckabfall auf der Spaltlänge A kommt damit
ρ

A 24
u 2 h

Δ p =

2
m
um

, Re =

. (3.180)

2

2 h Re
ν

Das selbe Ergebnis liefert der Impulssatz. Der Leser bestätige dies. Die beiden Lösungen (3.177) und (3.178) lassen sich linear überlagern, weil in diesem Spezialfall die konvektiven Glieder fortfallen und damit die Navier-Stokes-Gleichungen linear sind:

2

⎛

2
h d p
y ⎞ U ⎛
y ⎞
u (y) = –

1

⎜ −

⎟+

1

⎜ +

. (3.181)

2

⎟

2η d x ⎝
h ⎠ 2 ⎝
h ⎠

Die obere Berandung des Spaltes wird mit der Geschwindigkeit U bewegt, die untere ruht. Dem ganzen Stromfeld ist der Druckgradient d p/d x 0 aufgeprägt.

In Abhängigkeit von der Größe von d p/d x ergeben sich interessante Geschwin-digkeitsverteilungen. Es kann z. B. zu Rückströmungen in der Nähe der ruhenden Bild 3.107

Überlagerung von Poi-
seuille- und Couette-

Strömung im ebenen

Spalt mit Rückströmung

3.3 Strömung mit Reibung

139

Wand kommen. Hier reicht der Antrieb der oberen Berandung offenbar nicht aus, den Druckanstieg im ganzen Spalt zu überwinden (Bild 3.107). Die Lösung (3.181) beschreibt z. B. die Strömung im Schmierspalt zwischen Welle und La-gerschale, wenn man die Krümmung des Spaltes vernachlässigt (kleine Spaltwei-ten). Dort bildet sich die Druckverteilung aufgrund der Spaltgeometrie aus, d. h.

sie wird durch den veränderlichen Abstand von Welle und Lager aufgebaut.

2. Rayleigh-Stokessches Problem für die Platte

Die soeben behandelte Spaltströmung schloss unmittelbar an die früher berechne-te Rohrströmung an. Jetzt diskutieren wir eine ganz andere Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen, die uns zwanglos zur Behandlung der Grenzschichttheorie führen wird.

Eine unendlich ausgedehnte horizontale Platte wird in einer ruhenden Umgebung ruckartig auf die Geschwindigkeit U gebracht. Durch den Reibungseinfluss wird das über der Platte befindliche Fluid allmählich mitgenommen (Bild 3.108). Der Reibungseinfluss breitet sich im Laufe der Zeit immer weiter in Querrichtung (y) aus, mit anderen Worten: Die Grenzschicht wächst mit der Zeit an. Wir bestimmen nun ihre Dicke. Die Strömung ist ausgebildet, so dass jede Ableitung nach x verschwindet und v = 0 ist. Es verbleibt damit u = u (y, t). Die Anfangs-Randbedingungen des Problems sind
t ≤ 0 : u = 0 , y ≥ 0,
t > 0 : u (0, t) = U, u (∞, t) = 0.

(3.182)

Die Navier-Stokes-Gleichungen ergeben bei Elimination der Schwere

2

∂ u

∂ u

= ν

, (3.183a)

2

∂ t

∂ y

∂ p = 0 . (3.183b)

∂ y

Der Druck ist also quer zur Strömungsrichtung konstant. Diese charakteristische Eigenschaft der Grenzschichten ist hier exakt erfüllt. (3.183a) ist vom Typ der Wärmeleitungsgleichung und kann unter den Bedingungen (3.182) leicht gelöst werden. Wir fassen y und t zu der neuen, dimensionslosen Variablen
y = s
ν t
zusammen. (3.183a) und (3.182) gehen dann für
u (y, t) = f (s)

U

140

3 Hydro- und Aerodynamik

Bild 3.108

Bild 3.109

Rayleigh-Stokes-Strömung für die

Universelles Geschwindigkeitsprofil bei
ruckartig bewegte Platte
der ruckartig bewegten Platte

über in die gewöhnliche Differentialgleichung mit den folgenden Randbedingungen:

s
f" (s) + f'(s) = 0, f (0) = 1, f (∞) = 0.

2

Als Lösung erhalten wir die Fehlerfunktion
y/
t
ν

⎛

2
u (y, t)

1
η ⎞

⎛ y ⎞

=1−
exp

∫

⎜−
d

⎟ η=1− erf ⎜

⎟. (3.184)

U
π

⎝ 4

⎜

⎠

2

⎝
ν t ⎟

0

⎠

Es ergibt sich ein einziges Geschwindigkeitsprofil, das von der Variablen y/2 ν t abhängt (Bild 3.109). Hieraus kann für jeden Wandabstand y zu jeder Zeit t die Geschwindigkeit bestimmt werden. Wir wollen mit (3.184) die Dicke δ
derjenigen Fluidschicht bestimmen, die bei der Bewegung der Platte mitgenommen wird. Für y = δ sei u/U = 0,01. (3.184) liefert hierfür
δ ≈ 4 ν t . (3.185)

Diese Schichtdicke nimmt also, wie zu erwarten, mit der Zeit zu. Für Reibungs-und Wärmeleitungsvorgänge ist die Wurzelabhängigkeit charakteristisch. Geht man von der Zeit zu der Länge A = t · U über, so wird
δ

4

4

≈

=

. (3.186)

A

U A

ReA
ν

3.3 Strömung mit Reibung

141

Damit ergibt sich zwangsläufig ein Zugang zur Grenzschichttheorie, denn δ kann als Reibungsschichtdicke und A als zugehörige Lauflänge aufgefasst werden. Es tritt die für laminare Grenzschichten typische Abhängigkeit ~ 1/ ReA auf, die uns später immer wieder begegnen wird. Wichtig ist für das Folgende, dass die obigen Aussagen aus den Navier-Stokes-Gleichungen ohne weitere Vernachläs-sigungen hergeleitet wurden.

3.3.12 Einführung in die Grenzschichttheorie

Für hohe Re-Zahlen (Re = U A/ν >> 1) spielt die Reibung nur in der wandnahen Grenzschicht (Dicke δ) eine Rolle (Bild 3.110). Dort erfolgt der Anstieg der Geschwindigkeit von Null auf den Wert der Außenströmung. Wir bestimmen δ für den Spezialfall der längsangeströmten Platte bei laminarer Strömung. Außerdem sei die Strömung stationär und inkompressibel. Wir werden dabei die Beziehung (3.186) bestätigen. Mit Hilfe der früher diskutierten Kennzahlen erkennt man sofort, dass bei der Platte für die Grenzschichtdicke bei x = A eine Abhängigkeit der Form δ = f (Re

A

A) (3.187)

bestehen muss. Mit dem Impulssatz kann man die Funktion f leicht ermitteln.

Wir wählen hierzu als Kontrollfläche ein Rechteck mit den Seitenlängen x und δ (x) (Bild 3.111). Der Druck wird der Grenzschicht von der Außenströmung aufgeprägt (∂ p/∂ y = 0). Bei der Platte ist p im Außenraum konstant. Daher ist der Druck in diesem Fall auch in der Grenzschicht konstant. Wir beginnen mit einer Kontinuitätsaussage. Für die Massenströme durch die Kontrollflächen ཰,

ཱ, ི kommt (b = Breite der betrachteten Grenzschicht) 1
m

= ρ U δ b,

Bild 3.110

Strömungsgrenzschicht am Flügel

Bild 3.111

Kontrollflächen für die

Plattengrenzschicht

142

3 Hydro- und Aerodynamik
δ

⎫
m

=

∫

=

=

⎪

3
ρ b u d y (speziell beim linearer Profil)

⎪

0

⎪

U δ

1

⎪

= ρ b
y d y

∫

= ρ U δ b,

⎪
δ

2

⎪

0

⎬ (3.188a)

⎛
δ

⎞

⎪
m

⎜

⎟

⎪

2 = 1
m − m3 = ρ b U δ − u d y

∫

= (lineares Profil) =

⎜

⎟

⎪

⎝

0

⎠

⎪

1

⎪

= ρ U δ b.

⎪

2

⎭

Durch die obere Berandung tritt Masse aus, da der Massenstrom in ི kleiner ist als in ཰. Die Grenzschicht hat damit eine Verdrängungswirkung. Dieser Effekt ruft eine Impulskraft auf der Fläche ཱ hervor. Wir erhalten der Reihe nach 2

F

= ρ U δ b,

⎫

1

J ,x

⎪

G G

=−

∫

=− =

⎪

J

F
ρ U (w n) d A

U m

(lineares Profil) =

2 ,x

2

⎪
d

⎪

1

2
ρ

(3.188b)

U δ b,

⎬

=−2

⎪⎪
δ

⎪

2

1

2

J

F

=− ρ b u d y

∫

= (lineares Profil)=− ρ U δ b.

3,x

3

⎪

0

⎭

Die Wandreibungskraft wird
x
x

⎛∂ u⎞

Fw,x = – b ∫τw d x =−b∫η⎜ ⎟ d x = (lineares Profil)

(3.188c)

⎝∂ y⎠

0

0
w
x d x

=

–
η U b ∫

.

δ (x)

0

Dabei wurde das Geschwindigkeitsprofil in der Grenzschicht durch eine lineare Funktion ersetzt. Dies dient lediglich zur Vereinfachung der Rechnungen. Der Impulssatz liefert den Zusammenhang
x

U δ (x)

d x

= ∫

.

6ν
δ (x)

0

3.3 Strömung mit Reibung

143

Durch Differentiation nach x entsteht für δ (x) die gewöhnliche Differentialgleichung

U d δ (x)

1

=

,

6ν d x
δ (x)

die sich mit der Anfangsbedingung δ (0) = 0 sofort lösen lässt. Ersetzen wir x durch die Lauflänge A, so wird
δ

3,46

3,46

=

=

(3.189a)

A

U A

ReA
ν

Die exakte Lösung der Grenzschichtgleichungen liefert für die Grenzschichtdicke δ1 %, bei der die Außengeschwindigkeit bis auf den Wert u (δ) = 0,99 U erreicht ist, die Beziehung

1%
δ

5

5

=

=

(3.189b)

A

U⋅ A

ReA
ν

Wir bestätigen damit die bereits früher benutzten charakteristischen Aussagen über die Grenzschicht. Für ReA >> 1 ist δ/A << 1, wobei die typische Abhängigkeit δ/A ~ 1/ ReA auftritt. Ein Zahlenbeispiel erläutert die Größenordnung ReA = 5 · 105 (obere Grenze), δ1 %/A ≈ 7 · 10–3, A = 1 m, δ ≈ 7 mm.

Für die Anwendungen sind die Wandschubspannung τw (x) sowie die Wandreibungskraft WR von Wichtigkeit.

Mit den obigen Ergebnissen kommt

⎛∂ u⎞

U
ρ

0,557
τw = η ⎜

⎟ = (lineares Profil) = η

2

=

U

. (3.190)

⎝∂ y
δ(x)

2

U x
w

⎠
ν

Charakteristisch ist die Abhängigkeit τw ~ 1/δ(x) ~ 1/ x . Für den dimensionslosen Beiwert ergibt sich
τ

0,577
cf = w =

. (3.191a)

ρ 2

Rex

U

2

Die exakte Lösung der Grenzschichtgleichungen, d. h. ohne Benutzung des linearen Geschwindigkeitsprofils, ergibt

0,664
cf' =

. (3.191b)

Rex

144

3 Hydro- und Aerodynamik

Bild 3.112

Zur Berechnung der Wandreibungs-
kraft

Die Reynolds-Zahl-Abhängigkeit bleibt erhalten, lediglich der Zahlenkoeffizient wird geändert. Durch Integration erhalten wir die Wandreibungskraft (Bild 3.112):

A
d WR = b τw d x, WR = b ∫τw d x.

0

Der dimensionslose Beiwert ergibt sich zu

W

1 A τ

1 A
ζ =

R
w

=
d x

∫

=
c

∫ f' d x
ρ

,

2

A
ρ 2

U b

A

A

0

U

0

2

2

1,328
ζ =

. (3.192)

ReA

Wird die Platte beidseitig benetzt, so kommt der Faktor 2. Wieder tritt die Ab-hängigkeit ζ ~ 1/ ReA . Variiert die Reynolds-Zahl von 104 bis 106, so ändert sich die Größenordnung ζ, von 1 % auf 1 ‰. Dies sind typische Größenordnungen des (laminaren) Reibungskoeffizienten.

Wir kommen jetzt zu einigen grundsätzlichen Aussagen über laminare Grenzschichten an gekrümmten Wänden. Die Außengeschwindigkeit und der Druck sind nun nicht mehr konstant. Sie müssen mit den (oben besprochenen) Methoden der Potentialtheorie ermittelt werden. Am Rand der Grenzschicht sehen wir sie jetzt als bekannte Funktion von x an. In Abhängigkeit dieser aufgeprägten äußeren Druckverteilung stellen sich nun in der Grenzschicht unterschiedliche Geschwindigkeitsprofile ein. Bild 3.113 zeigt einige dieser Möglichkeiten.

3.3 Strömung mit Reibung

145

Bild 3.113

Geschwindigkeitsprofile in der Grenzschicht
an einer gekrümmten Oberfläche

Wir sehen, dass es dabei zu erheblichen Änderungen der wandnahen (inneren) Geschwindigkeiten kommen kann. Die Steigung der Wandtangente an das Geschwindigkeitsprofil kann null (Ablösung) oder sogar negativ (Rückströmung) werden. Demgegenüber ändern sich die Außengeschwindigkeiten nur relativ wenig. Auf einer mäßig gekrümmten Körperoberfläche (u = v = 0) liefert die erste Navier-Stokes-Gleichung den Zusammenhang

1 ⎛∂ ⎞

⎛ 2
p

∂ u ⎞

⎜

⎟ = ν⎜

⎟ . (3.193a)

2
ρ ⎝∂ x ⎠

⎝∂ y
w
w

⎠

Die zweite Navier-Stokes-Gleichung reduziert sich im Fall hoher Reynolds-Zahl, wie beim Rohr und Spalt, zu der Aussage

∂ p = 0.

(3.193b)

∂ y

Kombinieren wir beide Beziehungen, so gilt mit p = p (x) als der der Grenzschicht aufgeprägten Druckverteilung der Potentialströmung auf dem umströmten Körper

⎛ 2

1 d p(x)

∂ u ⎞

= ν⎜

⎟ . (3.194)

2
ρ d x

⎝∂ y w

⎠

Die rechte Seite ist ein Maß für die Krümmung des Geschwindigkeitsprofils am Körper. Die linke Seite können wir als eine vorgegebene Funktion betrachten. An dieser Stelle gehen die Kenntnisse der Theorie der Potentialströmungen ein. In Bild 3.114 ist ein typischer Fall der laminaren Profilumströmung (unterkritisch) diskutiert. Ausgangspunkt ist die Druckverteilung auf der Profilstromlinie. Auf der Körpervorderseite haben wir ein völliges Geschwindigkeitsprofil. Dort ist d p/d x < 0, die Strömung wird beschleunigt. Im Dickenmaximum ist d p/d x = 0.

Nach (3.194) tritt dort ein Wendepunkt im Geschwindigkeitsprofil auf (Pw). Auf der Rückseite des Körpers wird die Strömung verzögert, d p/d x > 0. Die inneren Geschwindigkeiten nehmen stark ab, die Wandtangente steilt sich auf, der Wendepunkt wandert ins Innere der Grenzschicht. Ist die Wandtangente normal zur

146

3 Hydro- und Aerodynamik

Bild 3.114

Druckverlauf und Grenz-
schichtprofile bei laminarer

Profilumströmung

Oberfläche (Pa), so beginnt die Ablösung. Stromabwärts kommt es zu Rückströ-
mungen. Diese rückläufigen Bewegungen können auf der Körperrückseite die Potentialdruckverteilung erheblich ändern.

Wir unterscheiden zwei typische Fälle bei Profilumströmungen:

1. ReA = U A/ν < 5 · 105: unterkritische Umströmung mit laminarer Ablösung (Bild 3.115). Hier liegt durchweg eine laminare Strömung vor, die aufgrund des aufgeprägten Druckanstieges zur Ablösung kommt.

2. ReA = U A/ν > 5 · 105: überkritische Umströmung mit turbulenter Ablösung (Bild 3.116). Hier erfolgt der laminar-turbulente Umschlag (Pu) nach der Lauflänge Au. Die anschließende turbulente Grenzschicht löst in Pa ab.

Für den umströmten Körper ist die kritische Reynolds-Zahl

U A

Rekrit =
u = 5 · 105 ÷ 106, (3.195)

ν
also

5

Au

Rekrit

5⋅ 10

=

≈

. (3.196)

A

ReA

ReA

Mit wachsender Reynolds-Zahl nimmt Au/A ab. Zu ReA = 107 gehört z. B.

Au/A = 5 · 10–2. Hier kommt es also bereits nach kurzer Lauflänge zum Umschlag.

3.3 Strömung mit Reibung

147

Bild 3.115

Bild 3.116

Unterkritische Profilumströmung

Überkritische Profilumströmung
mit laminarer Ablösung
mit turbulenter Ablösung

Zwischen den kritischen Reynolds-Zahlen beim Rohr und Flügel, d. h. beim Durchströmen und Umströmen, gibt es einen einfachen Zusammenhang

(Bild 3.117). Es besteht die Korrespondenz:

cmax = 2 cm  U,

D  δ.

2

Bild 3.117

Zusammenhang der Reynolds-Zahlen beim Rohr und Flügel

Bild 3.118

Turbulentes und laminares Geschwindig-
keitsprofil bei der Plattenströmung

148

3 Hydro- und Aerodynamik

Damit lassen sich die Reynolds-Zahlen wie folgt umrechnen:

c D

U 2 δ

U δ

ReD = m

⇒

=

= Re
ν

2 ν
ν
δ.

Der Reynolds-Zahl bei der Rohrströmung entspricht damit die mit der Grenzschichtdicke δ gebildete Reynolds-Zahl beim Flügel.

U δ

U A δ

Reδ =

=

= (Plattengrenzschicht) = 3,46 Re
ν
ν A

A ,

ReD = 3,46 ReA . (3.197)

Dies ist der Zusammenhang der Reynolds-Zahlen bei den zwei typischen Strö-
mungsproblemen. Der wesentliche Unterschied liegt in den verschiedenen charakteristischen Längenmaßstäben.

Das turbulente Geschwindigkeitsprofil ist stets völliger als das laminare (Bild 3.118). Diese von der Rohrströmung her bekannte Aussage gilt genauso auch bei Umströmungsproblemen. Für die Platte stellen wir das laminare und das turbulente Ergebnis zusammen:

⎧1,328 , laminar,

⎪

R

W

⎪ Re

= ζ

A
ρ

= ⎨

(3.198)

2

⎪ 0,074

U bA

, turbulent.

2

⎪

1/5

⎩(ReA)

Die folgende Tabelle erläutert die Größenordnungen.

ReA
ζ

106
laminar

1,3 · 10–3

(obere Grenze)

105

7,4 · 10–3
turbulent

106

4,7 · 10–3

5 · 107

2,1 · 10–3

Bei gleicher Reynolds-Zahl ist also ζturb > ζlam und damit ist der Reibungswiderstand der laminaren Strömung kleiner als der der turbulenten. Diese Tatsache hat im Flugzeugbau zur Entwicklung der sogenannten Laminarprofile ge-führt. Hier wird durch geeignete Wahl der Profilform der Umschlagspunkt möglichst weit zum Körperheck verschoben, damit die laminare Grenzschicht lange erhalten bleibt. Man muss dabei allerdings beachten, dass neben dem Reibungswiderstand noch der Druckwiderstand auftritt. Erst beide Anteile zusammen ergeben den Gesamtwiderstand. Das Verhältnis der beiden Komponenten kann dabei in weiten Grenzen variieren. Bei der längsangeströmten Platte tritt z. B. nur

3.3 Strömung mit Reibung

149

Reibungswiderstand auf, bei der quergestellten Platte dagegen nur Druckwiderstand. Wir kommen darauf im nächsten Abschnitt zurück.

Für den Reibungswiderstand ζ, der rauen Platte gilt eine dem Nikuradse-Diagramm ähnliche Darstellung (Bild 3.119). Die Platte ist hydraulisch glatt, wenn die folgende Abschätzung gilt (ε = Erhebung der äquivalenten Sandkornrauigkeit):

U ε
ε

= Re

≤ 100.

(3.199)

ν

A A

Das zulässige Rauigkeitsverhältnis ε/A nimmt mit wachsender Reynolds-Zahl ab.

Bei einem Hochgeschwindigkeitsflugzeug sei z. B. U = 500 m/s, A = 3 m, ν = 15 · 10–6 m2/s, ReA = 108, (ε/A)zul = 10–6, εzul = 3 · 10–3 mm. Bild 3.119
liefert hierzu ζ = 0,002. Erhöhen wir die Rauigkeit um eine Zehnerpotenz auf ε = 3 · 10–2 mm, so wird ζ = 0,0033. Zum Unterschied gegenüber der Rohrströ-
mung kommt es bei der Plattenströmung nicht zu einer ausgebildeten Strömung.

Die Grenzschichtdicke nimmt in Strömungsrichtung ständig zu, und damit wächst die (laminare) Reibungsunterschicht ebenfalls. Rauigkeiten wirken sich vorn also wesentlich gravierender aus als weiter stromabwärts, wo sie gegebenenfalls bereits in der Unterschicht verschwinden. Eine besonders gute Bearbeitung der vorderen Partien des umströmten Körpers dürfte sich daher in vielen Fällen lohnen.

Bild 3.119

Widerstandsbeiwert ζ, der Platte als Funktion von Rauigkeit und Reynolds-Zahl

150

3 Hydro- und Aerodynamik

3.3.13 Energiesatz

Neben dem Kräftegleichgewicht, in Form der Navier-Stokes-Gleichungen, spielt die Energiebilanz im Stromfeld eine wichtige Rolle. Wir erweitern jetzt die frü-
her angestellte elementare Betrachtung (3.17) – (3.22) auf den Fall der mehrdi-mensionalen, instationären Strömung mit Reibung, Wärmeleitung, äußerer Wärmezu- und -abfuhr etc.

Fassen wir wie in (3.17) die innere Energie (e) und die kinetische Energie (1/2 c2) zusammen, so ist deren totale zeitliche Änderung im Volumen V durch die Leistung aller im Folgenden aufgeführten Anteile gegeben:

d E
d

⎛

1

⎞

2

=

∫∫∫ρ⎜e+ c d⎟ V= (3.200)

d t
d t

⎝

2

⎠

V

G

= Leistung der Massenkräfte f (Schwerkraft, elektrische-, magnetische Feldkräf-te), der Oberflächenkräfte (Druck-, Reibungskräfte), der Wärmeströme durch Leitung, Strahlung oder Reaktionen qs . Benutzen wir die Bilder 3.105 und 3.65
sowie (3.95), so wird aus (3.200)

d E

∂ ⎡ ⎛

1

⎤

⎞

⎛

1

⎞

2

2

G G

=∫∫∫ ⎢ρ⎜e+ c ⎟ d V

⎥

+∫∫ρ⎜e+ c (⎟w n) d A=
d t

∂t ⎣ ⎝

2

⎠⎦

⎝

2

⎠

V

A

=(Gaußscher Satz)

⎧ ∂ ⎛ 1 ⎞

⎡ G ⎛

1

⎞⎫

⎤

2

2

=∫∫∫⎨ ρ⎜e+ c +

⎟ div⎢ρ w⎜e+ c ⎟⎬d V

⎥

=

∂

⎩ t ⎝

2

⎠

⎣

⎝

2

⎠⎦

V

⎭

G G

G G

=∫∫∫ρ(f w) d V−
p (w n) d A

∫∫

+

(3.201)

V

A

⎧ ∂

∂

+∫∫∫⎨ (uσxx+vσxy+wσxz)+ (vσyy+wσyz+uσyx)

∂

⎩ x

∂ y

V

∂

⎫

+ (w zz
σ +u zx
σ +v z
σ y)⎬d V

∂z

⎭

G

+

(g

∫∫λ rad T⋅n)d A+∫∫∫ρqs d V.

A

V

Hierin kann man wiederum mit dem Gaußschen Satz alle auftretenden Oberflä-
chenintegrale in Volumenintegrale umformen. Der Integrand muss insgesamt verschwinden, da das Volumen V beliebig ist. Wir erhalten aus (3.201) die folgende umfangreiche Differentialgleichung

3.3 Strömung mit Reibung

151

∂ ⎡ ⎛

1

⎤

⎞

∂ ⎡

⎛
p

1

⎤

⎞

2

2

⎢ρ⎜e+ c ⎟ +
u

⎥

⎢ρ ⎜e+ + c ⎟ +

∂ t ⎣ ⎝

2

⎠⎦ ∂ x ⎣ ⎝
ρ 2

⎥

⎠⎦

∂ ⎡ ⎛
p

1

⎤

⎞

∂ ⎡

⎛
p

1

⎤

⎞

2

2

+
v

⎢ρ ⎜e + + c ⎟ +
w

⎥

⎢ρ ⎜e+ + c ⎟

∂ y ⎣
ρ 2

⎦ ∂ z ⎣
ρ 2

⎥

⎝

⎠

⎝

⎠⎦

⎛∂

∂

∂

⎞ ⎛∂

∂

∂

⎞
xx
σ
σyx
z
σ x
σyy
z
σ y
x
σ y

=ρ(ufx +vfy+wfz)+u⎜

+

+

+

⎟ v⎜

+

+

⎟

⎝ ∂x

∂y

∂z ⎠ ⎝ ∂y

∂z

∂x ⎠

⎛∂

∂

∂

⎞
zz
σ
σxz
σyz

∂u

∂v

∂w
w

+ ⎜

+

+

⎟+ σxx

+σyy

+ z
σ z

(3.202)

⎝ ∂z

∂x

∂y ⎠

∂x

∂y

∂z

⎛∂v ∂u⎞

⎛∂w ∂v⎞

⎛∂u ∂w⎞
σ

+ xy⎜ +

+

⎟ σyz⎜

+

+

⎟ zx
σ ⎜ +

⎟

∂

⎝ x ∂y⎠

⎝∂y ∂z⎠

⎝∂z ∂x ⎠

∂ ⎛ ∂T⎞ ∂ ⎛ ∂T⎞ ∂ ⎛ ∂T⎞

+
λ

⎜

+

⎟
λ

⎜

+

⎟
λ

⎜

+

⎟ ρ q .

∂x⎝ ∂x⎠ ∂y
s

⎝ ∂y⎠ ∂z⎝ ∂z⎠

Man benutzt hierin im gestrichelt eingerahmten Anteil die Navier-Stokes-Gleichungen (NS Gl.) (3.169) in der folgenden Form: u · (1. NS Gl.) + v · (2. NS

Gl.) + w · (3. NS Gl.) und die Kontinuitätsgleichung (3.65). Differenziert man alles aus, fasst geeignet zusammen, so kommt mit der Abkürzung φ für den durchgehend eingerahmten Anteil ( = Dissipation)

d e
p d ρ d i 1 d p
d s

1

−

=

−

= T

= div (λ grad T) + φ + q . (3.203)

2
d t
ρ d t
d t
ρ d t
d t
ρ
s

Hier stehen auf der rechten Gleichungsseite die durch Wärmeleitung, Reibung (Dissipation φ), Strahlung sowie durch Reaktionen zugeführten Wärmen, die zu einer Entropiezunahme beitragen. Diese Aussage entspricht völlig dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik

T d s = δ q,
worin rechts alle dem Massenelement zu- oder abgeführten Wärmen aufzunehmen sind.

Wir behandeln einen Spezialfall. Wendet man (3.203) auf das ideale Gas konstanter spezifischer Wärme an, so kommt mit e = cvT, i = cp T und λ = konst sofort die folgende

Wärmetransportgleichung
d T
d p
ρ cp

−

= λ

div (grad T) + ρ φ + ρ qs
d t
d t

(3.204)

= λΔT + ρ φ + ρ qs,
die eine Verallgemeinerung der bekannten Fourierschen Wärmeleitungsgleichung ist.

152

3 Hydro- und Aerodynamik

3.3.14 Widerstand und Druckverlust

Der Gesamtwiderstand (1) ist die Summe aus Reibungswiderstand (2) und

Druckwiderstand (3). Was die Messungen betrifft, so ergibt sich (1) aus einer einfachen Kraftmessung und (3) durch Integration der Druckverteilung über den Körper. Der in der Regel schwerer messbare Anteil (2) stellt sich dann als Differenz der Terme (1) und (3) dar. Der Druckwiderstand (3) kann von erheblicher Größenordnung sein, da durch eine Ablösung die potentialtheoretische Druckverteilung in der Nähe des Körperhecks wesentlich geändert werden kann. Das gegenseitige Größenverhältnis von (2) zu (3) kann ganz verschieden sein, wie wir im letzten Abschnitt bereits festgestellt haben. Daher muss eine Optimierung stets beide Einflüsse berücksichtigen. Es gelten folgende Aussagen:

1. Der Reibungswiderstand ist dadurch zu minimieren, dass man nach Möglichkeit für eine laminare Grenzschicht sorgt.

2. Den Druckwiderstand kann man dadurch verringern, dass man die Ablöse-stelle möglichst weit ans Körperheck verschiebt.

Beide Einflüsse überlagern sich und variieren teilweise gegenläufig. Bei der Besprechung des Widerstandes der Kugel kommen wir hierauf zurück.

A Umströmungsprobleme

Wir kommen jetzt auf die ganz am Anfang diskutierten Grundaufgaben der Strömungslehre zurück. In diesem Abschnitt handelt es sich hauptsächlich um den Widerstand eines Körpers in einer Strömung:

ρ

W = c2 A c

2
w. (3.205)

c ist die Anströmgeschwindigkeit und A eine charakteristische Bezugsfläche. Der dimensionslose Widerstandsbeiwert cw hängt hierbei von allen Kennzahlen des Problems: Re, M etc., ab.

Bild 3.120

Bild 3.121

Bild 3.122

Strömung gegen eine

Strömung gegen eine

Strömung gegen eine

Rechteckplatte

Kreisscheibe

Halbkugel

3.3 Strömung mit Reibung

153

1. Kennzahlunabhängige Körperformen

Hierbei ist in der Regel eine Ablösung an einer scharfen Kante fixiert. Eine Reynolds-Zahl-Unabhängigkeit liegt bei genügend hoher Reynolds-Zahl vor. Der Körper besitzt vornehmlich Druckwiderstand.

Strömung normal gegen eine Rechteckplatte (Bild 3.120):

a/b

1

2

4

10

18

∞
cw

1,10

1,15

1,19

1,29

1,40

2,01

Kreisscheibe (Bild 3.121) cw = 1,11

Halbkugel (Bild 3.122)

ohne Boden
cw = 0,34,
mit Boden
cw = 0,42.

ohne Deckfläche
cw = 1,33,
mit Deckfläche
cw = 1,17.

2. Kennzahlabhängige Körperformen

Jetzt ist die Lage des Ablösepunktes von der Reynolds-Zahl abhängig. Bei der Kugel gilt für Re <<1

~< die Stokessche Formel (= schleichende Strömung)

cw = 24/Re. Hierin sind 1/3 Druckwiderstand und 2/3 Reibungswiderstand. Für größere Reynolds-Zahlen ist (Bild 3.123):

unterkritisch
überkritisch

Re

2 · 104 bis 3 · 105

4 · 105

106
cw

0,47

0,09

0,13

Beim Zylinder gilt entsprechend (Bild 3.123):

unterkritisch
überkritisch

Re

~ 2 · 105

5 · 105
cw

1,2

0,3 – 0,4

Bemerkenswert ist in beiden Fällen der rapide Widerstandsabfall beim Umschlag der laminaren in die turbulente Grenzschichtströmung. Beim Überschreiten von Rekrit ≈ 5 · 105 nimmt der Druckwiderstand erheblich ab, da die turbulente Grenzschicht aufgrund des größeren Energieaustausches mit der Außenströmung erst später ablöst als die laminare. Prandtl konnte dies mit einem Draht, der auf der Stirnseite der Kugel auflag (Stolperdraht) und dadurch die Strömung turbu-

154

3 Hydro- und Aerodynamik

Bild 3.123

Widerstandskoeffi-
zienten von Kugel,

Zylinder und Scheibe
als Funktion der

Reynolds-Zahl

lent machte, überzeugend nachweisen. Im vorliegenden Fall ist es so, dass die Abnahme des Druckwiderstandes die Zunahme des Reibungswiderstandes über-kompensiert derart, dass der Gesamtwiderstand beträchtlich sinkt. Hier spielen also der Druckwiderstand und dessen Variation die entscheidende Rolle. Dabei ist zu beachten, dass die spezielle Körperform ganz wesentlich eingeht. Liegt ein anderer Körper vor, so kann sich das Verhältnis umkehren. Der Leser kann nach diesen Vorbereitungen leicht die verschiedenen Fälle selbst diskutieren.

B Durchströmungsprobleme

Hier geht es vornehmlich um die Bestimmung des Druckverlustes Δ pv: ρ

Δ pv =

2
cm ζv . (3.206)

2
ζv bezeichnet den Verlustkoeffizienten und hängt wie cw von den dimensionslosen Kenngrößen des jeweiligen Problems ab. Wir sind früher wiederholt auf eine solche Darstellung gestoßen. Im Folgenden werden einige Ergebnisse für das gerade Rohr, den Diffusor und den Krümmer zusammengestellt. Diese drei Beispiele stellen die wichtigsten Elemente einer Rohrleitung dar.

1. Gerades Rohr. Hier verweisen wir auf die in Kapitel 3.3.5 und 3.3.6 gemachten Ausführungen. Bei ausgebildeter Strömung ist

A
ζv = λ , (3.207)

D

3.3 Strömung mit Reibung

155
wobei λ = f (Re, R/ks) durch das Nikuradse-Diagramm (Bild 3.91) gegeben ist.

Handelt es sich um die Strömung in der Einlaufstrecke, so muss man auf (3.206) zurückgehen.

2. Diffusor. In diesem Zusammenhang erinnern wir zunächst an den Grenzfall des Carnot-Diffusors. Vergleichen wir (3.206) mit (3.106), so wird

2

Δ p

Δ p − Δ p

⎛

A ⎞
ζ
v,c
id
c

1
v =

=

= 1
ρ

⎜ −

⎟ . (3.208)

2
ρ 2

⎝

A2
c

⎠
m
cm

2

2

Für den Diffusor mit stetiger Querschnittserweiterung gilt

2

⎛

A ⎞
ζ

1
v = k (α) 1

⎜ −

⎟

⎝

A2 ⎠
mit α als Öffnungswinkel:

α

5°

7,5°

10°

15°

20°
k

0,13

0,14

0,16

0,27

0,43

3. Krümmer. Dieses Element sei hier kurz dargestellt, da wir es früher nicht behandelt haben. Verabredungsgemäß wird nur der Zusatzdruckverlust gegenüber dem geraden Rohr gleicher Länge angegeben. Die Größenordnung ist aus Bild 3.124 zu entnehmen (Re = 105). Danach reduziert bereits eine unprofilierte Schaufel den Druckverlustkoeffizienten von 1,4 auf 0,76. Ein Kreisbogengitter führt zu 0,20. Profilierung der Schaufeln reduziert den ζ-Wert erneut bis auf etwa 0,10.

Benutzt man ζkr in (3.207), so kann man eine dem Krümmerverlust äquivalente Rohrlänge definieren:

A
ζKr

=

. (3.209)

D
λ

Bild 3.124

Widerstandsbeiwerte von

Krümmern

156

3 Hydro- und Aerodynamik

Einem Krümmer mit ζkr = 0,20 entspricht damit z. B. ein gerades Rohrstück (Re = 105, λ = 0,02) von

A = 10.

D

Der additive Druckverlust des geraden Rohres gleicher Länge eines Krümmers ist (Re = 105, λ = 0,02, A/Dh ≈ 3)

ζ = 0,06.

Dies entspricht dem halben Wert eines sehr guten Krümmers.

Wir erläutern die Ergebnisse dieses Abschnittes an einem Beispiel. Ein inkompressibles Medium strömt stationär durch die in Bild 3.125 angegebene Leitung mit dem Volumenstrom V . Gesucht ist der Druckverlust p1 – p5. Wir benutzen abschnittsweise unterschiedliche Strömungsmodelle und die zugehörigen Gleichungen:

ρ

Bernoulli-Gleichung ཰ → ཱ: p1 = p2 +

2
c2 .

2
ρ

L

Rohrströmung ཱ → ི: p2 = p3 +

2
cm
λ ,

2

D '

ρ

A '⎛

A ' ⎞

Carnot-Diffusor ི→ ཱི: p4 = p3 +

2
c3 2

1

⎜ −

⎟,

2

A"⎝

A"⎠
ρ
ρ

Bernoulli-Gleichung ཱི → ུ: p4 +

2

2
c4 = p5 + c5 ,

2

2

Kontinuitätsgleichung:

V = c2 A' = cm A' = c3 A' = c4 A" = c5 A'''.

Durch Elimination von p2, p3 und p4 erhält man

2
ρ
ρ

L
ρ ⎛

A ' ⎞
p

2

2

2

1 = p5 +

5
c + cm
λ+ cm 1

⎜ −

⎟ ,

2

2

D'

2

⎝

A"⎠
worin c5 = V/A''' und cm = V /A' gegeben sind. Gemäß (3.206), (3.207) und (3.208) lässt sich das Ergebnis in der folgenden Form schreiben:

ρ
p1 = p5 +

2
c5 Δ p

2
v,Rohr + Δpv,Carnot.

Bild 3.125

Zum Druckverlust in einer durch-
strömten Leitung. Kessel ཰,
langes Rohr (Reibung) ཱ → ི,

Carnot-Diffusor ི→ ཱི,
kurzes Rohr (ohne Reibung)

ཱི → ུ

3.3 Strömung mit Reibung

157

Dies wird häufig als sogenannte Bernoulli-Gleichung mit Verlustgliedern bezeichnet. Man hat also auf der rechten Seite lediglich die einzelnen Druckverluste der durchströmten Leitung additiv zu berücksichtigen. Das vereinfacht die Betrachtungen oft erheblich, setzt aber einige Erfahrungen im Umgang mit den verschiedenen Verlustgliedern voraus.

3.3.15 Ähnlichkeitsbetrachtungen

Anhand von Beispielen haben wir oben eine ganze Reihe von Aussagen über Widerstand und Druckverlust gemacht. Nach diesen Vorbereitungen kommen wir nun zu einer allgemeinen Diskussion dieser Größen, insbesondere was ihre Ab-hängigkeit von den früher eingeführten Kennzahlen angeht (Kapitel 3.3.3). Dies führt zwangsläufig zu Ähnlichkeitsüberlegungen und Modellgesetzen, die für die Anwendungen sehr wichtig sind. Erneut tritt die schon in der Einleitung besprochene Alternative von Umströmungs- und Durchströmungsproblemen auf. Wir besprechen diese Fragestellungen der Reihe nach.

1. Umströmungsaufgaben

Wir untersuchen einen Körper, der von einem Fluid (η, ρ) mit der Geschwindigkeit c umströmt wird (Bild 3.126). Modell und Großausführung sollen zueinander geometrisch ähnlich sein. Damit charakterisiert die Länge A eindeutig das jeweilige Körperexemplar. Interessieren wir uns für den Widerstand W, so besteht eine Abhängigkeit der Form

W = f (c, A, ρ, η). (3.210)

Hierin treten also vier unabhängige Variable (c, A, ρ, η) auf, und es bedarf dem-entsprechend vieler Messungen, um die Funktion f zu bestimmen. Diese charakterisiert die jeweilige Körperklasse. Geht man zu einer anderen Form des Körpers über, so tritt an die Stelle von f eine andere Funktion. Der Übergang zu dimensionslosen Größen führt zu einer erheblichen Reduktion der Zahl der Variablen und damit natürlich auch der erforderlichen Messungen. Wir führen dies exem-plarisch am obigen Beispiel vor.

Bild 3.126

Umströmung eines

Körpers

158

3 Hydro- und Aerodynamik

In der Mechanik treten drei Basisgrößen (Masse, Länge, Zeit oder Kraft, Länge, Zeit) auf. Demgemäß wählen wir aus dem Satz der oben eingehenden physikalischen Größen (W, c, A, ρ, η) drei aus, z. B. (c, A, ρ), und stellen die übrigen zwei dimensionsmäßig durch Potenzprodukte dieser drei dar. Die Dimension einer Größe a bezeichnen wir hier mit [a]:

[W] = [c]a · [A]b · [ρ]c (3.210a)

[η] = [c]A · [A]B · [ρ]C. (3.210b)

Gehen wir hierin zu Kraft (F), Länge (L), Zeit (T) über, so wird

F

= La T–a Lb Fc L–4c T2c, (3.211a)

F L–2 T = LA T–A LB FC L–4C T2C. (3.211b)

Ein Exponentenvergleich bei den Basisgrößen führt zu
a = 2, b = 2, c = 1,

A = 1, B = 1, C = 1.

Damit reduzieren sich die fünf eingehenden physikalischen Größen auf die zwei Kennzahlen

W
c A

= π1,

= π2
ρ

. (3.212)

2 2
c
ν

A

2

Der funktionale Zusammenhang (3.210) zieht jetzt eine Abhängigkeit der Form W

⎛c A⎞

= h
ρ

⎜

⎟= h (ReA) (3.213)

2 2
c

⎝ ν

A

⎠

2
nach sich. Damit ist die Zahl der erforderlichen Messungen außerordentlich reduziert. Der Widerstandsbeiwert hängt nur noch von der Reynolds-Zahl ab. In dieser komprimierten Form lassen sich alle früheren Widerstandsdarstellungen zusammenfassen. (3.213) gilt für Modell und Großausführung in gleicher Weise.

Die Umrechnung vom einen zum anderen Fall kann sofort vorgenommen wer-
den.

2. Durchströmungsaufgaben

Wir beginnen mit dem horizontalen Kreisrohr (Bild 3.127). Ein Fluid (ν, ρ) durchströmt ein Rohrstück (A, D, ks) mit der mittleren Geschwindigkeit m c . Dabei ergibt sich der Druckabfall Δp = 1
p − p2 . Es besteht eine Abhängigkeit der

Form

Δ p = 1
p − p2 = f (A, D, ks; ρ, ν, m
c ). (3.214)

3.3 Strömung mit Reibung

159

Bild 3.127

Durchströmung eines horizontalen, geraden

Kreisrohres

Wir gehen auch hier zu den Dimensionen über und stellen beispielsweise Δp , D, ks, ν durch A, ρ, m
c dar. Mit einer ähnlichen Rechnung wie oben kommen dies-
mal vier Kenngrößen

Δp
m
c D

A
ks

= π1,

= π2,

= π3,

= π4
ρ

. (3.215)

2
ν

D

D
m
c

2

Die Abhängigkeit (3.214) führt zu dem funktionalen Zusammenhang

Δp

⎛ A
m
c D ks ⎞

= F⎜ ,

,
ρ

⎟. (3.216)

2

⎝ D
ν

D ⎠
m
c

2

Diese Beziehung gilt allgemein, d. h. auch in der Einlaufstrecke. Liegt speziell eine ausgebildete Strömung vor, so ist kein Rohrabschnitt gegenüber einem anderen ausgezeichnet. In diesem Fall muss F eine lineare Funktion von A/D sein.

Damit wird aus (3.216)

Δp

A ⎛
ks ⎞

= λ⎜ReD,
ρ

⎟ (3.217)

2

D ⎝

D ⎠
m
c

2
womit die früheren Darstellungen für laminare und turbulente Strömungen erfasst werden. Vergleicht man (3.214) mit (3.217), so erkennt man sofort den erzielten Fortschritt. Die Zahl der erforderlichen Messungen ist außerordentlich reduziert.

Das Nikuradse-Diagramm liefert die Funktion λ, und als unabhängige Variablen gehen hier allein die Reynolds-Zahlen und der Rauigkeitsparameter ein. Auch in diesem Fall gilt (3.217) für Modell und Großausführung in gleicher Weise. Geometrisch ähnliche Strömungen werden durch gleiche Werte von A/D und ks/D
beschrieben. Betrachtet man eine Düse oder einen Diffusor, so tritt als zusätzlicher Parameter z. B. das Durchmesserverhältnis

1

D = π5 (3.218)

D2

160

3 Hydro- und Aerodynamik
auf. An dieser Stelle kann natürlich auch das Flächenverhältnis A1/A2 bzw. ein charakteristischer Winkel α benutzt werden. Berücksichtigt man dies in (3.216), so gilt allgemein

Δp

⎛ A

1

D
m
c D ks ⎞

= G ⎜

,

,

,
ρ

⎟. (3.219)

2

⎝ 1

D D2
ν

1

D ⎠
m
c

2

Durch Spezialisierung kommt z. B. die Formel für den Carnot-Diffusor (3.208).

Der Leser diskutiere ausführlich die hierzu erforderlichen Voraussetzungen und vergleiche insbesondere die frühere Herleitung mit dem Impulssatz.

161

4 Vertiefende Übungsaufgaben

4.1 Aufgabe: Einströmen in einen Tauchbehälter

(Sinkendes Schiff)

Der in Bild 4.1 dargestellte Tauchbehälter füllt sich langsam durch die Öffnung im Boden.

Gegeben: 1
p , ,
ρ g, h, A2, A3 .

Gesucht: w2 (t), Auffüllzeit T.

A

1

3
g
h

3
z(t)

A2
z
s

Bild 4.1

2

Einströmen in einen

Tauchbehälter

Lösung:

Ausgehend von der Bernoulli-Gleichung für instationäre Strömung in der Form: 2 ∂w

1

∫

+ ( 2

2

1
ds
w2 − 1
w )+ (p2 − 1
p )+ g(z2 − 1
z ) = 0

∂t

2

1
ρ
lässt sich diese folgendermaßen vereinfachen:

Bei kleinem Querschnittverhältnis A2 << A3 ist die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit längs des Stromfadens s von (1) → (2) ebenfalls klein, so dass der Beschleunigungsterm in der Bernoulli-Gleichung vernachlässigbar ist. Die Zeitabhängigkeit wird allein durch die zeitlich veränderlichen Randbedingungen berücksichtigt. Diese Strömung wird als quasistationär bezeichnet. Von (1) nach (2) gilt die Bernoulli-Gleichung. Bei (2) strömt das Medium als Freistrahl in den Behälter. Der Druck im Strahl entspricht dem hydrostatischen Druck in der Umgebung bei (2) im Behälter: p2 (t) = 1
p + ρg z(t) . Aus der Bernoulli-Gleichung
folgt nun bei einer ruhenden Oberfläche mit w1=0 die Geschwindigkeit am Eintrittsquerschnitt:

J. Zierep, K. Bühler, Grundzüge der Strömungslehre, DOI 10.1007/978-3-8348-9756-5_5,

© Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010

162

4 Vertiefende Übungsaufgaben
ρ 2
ρ 2
w2 + p2 =

1
w + 1
p + ρg h

2

2
w2 (t) = 2g(h − z(t)) .

Mit der Kontinuitätsgleichung für den Volumenstrom zwischen (2) und (3): w2 A2 dt = A3 dz
folgt die gewöhnliche Differentialgleichung, welche durch Trennen der Variablen gelöst wird:

A3 dz

A3
dz
dt =

=

.

A2 w2 (t)

A2 2g(h − z(t))

Aus der Integration ergibt sich mit der Anfangsbedingung z = 0 für t = 0 : A

⎡

⎤

3

2h
z(t)

t =

1

⎢ − 1−

⎥ .

A2 2gh⎣
h ⎦

Für z = h folgt die Auffüllzeit T:

A3 2h

A3 2h

T =

=

A2 2gh

A2
g
und damit für die zeitliche Änderung des Flüssigkeitsspiegels

( )

2
z t

⎛
t ⎞
w2 (t) ⎛
t ⎞

=1− 1

⎜ − ⎟ und für die Geschwindigkeit

= 1

⎜ − ⎟.

h

⎝

T ⎠

2g h

⎝

T ⎠

In Bild 4.2 sind die zeitlichen Verläufe von Geschwindigkeit und Höhenänderung in dimensionsloser Form aufgetragen.

(
z t )

h

(
w t )

2gh

Bild 4.2
t

Zeitverhalten der Geschwindigkeit

T
w(t) und des Flüssigkeitsspiegels z(t).

4.2 Aufgabe: Schwingende Flüssigkeitssäule (U-Rohrmanometer)

163

4.2 Aufgabe: Schwingende Flüssigkeitssäule

(U-Rohrmanometer)

U-Rohrmanometer werden oft zur Druckmessung eingesetzt. Bei schwingender Flüssigkeitssäule liegt eine instationäre Strömung im U-Rohr nach Bild 4.3 vor.

Gegeben: ,
ρ L = 1
h + h2 + A, g .

Gesucht: x(t) , Schwingungsfrequenz ω .

Bild 4.3

Schwingende Flüssigkeitssäule

Lösung:

Bei konstantem Querschnitt A folgt aus der Kontinuitätsgleichung, dass die Geschwindigkeit 1
w = w2 = w(t) nur von der Zeit t, aber nicht vom Ort s ab-
hängt. Die Auslenkung x der Flüssigkeitsoberflächen ist auf beiden Seiten gleich groß. Die Bernoulli-Gleichung (3.12, 3.13) lautet dann für den Stromfaden s zwischen (1) und (2):

2
ρ 2
ρ 2

∂w

1
w + 1
p + g
ρ 1
z = w2 + p2 + g
ρ z2 + ρ
ds

∫

.

2

2

∂t

1

Mit der Druckgleichheit p1= p2 auf den beiden Flüssigkeitsoberflächen folgt 2
dw
ds

∫ +g(h2 − 1h)=0.

dt 1

Die Länge des Stromfadens ist

2

2
dw
d x
ds

∫ = L= 1h+A+h2,

=

,
h2 − 1
h = 2x

2
dt
dt

1

164

4 Vertiefende Übungsaufgaben
und die Geschwindigkeit w folgt aus der zeitlichen Änderung der Oberflächenla-dx
ge zu w =

. Damit ergibt sich folgende Differentialgleichung
dt

2
d x
x

+ 2g = 0 .

2
dt

L

Die Lösung x = x0cos(ωt) stellt eine harmonische Schwingung mit der Ampli-2g
tude x0 und der Kreisfrequenz ω =
dar.

L

4.3 Aufgabe: Zeitabhängige Ausströmung aus einem

Behälter (Anlaufströmung)

Aus dem in Bild 4.4 dargestellten Behälter mit sehr großem Querschnitt fließt die Flüssigkeit durch das angeschlossene Rohr in die Umgebung, sobald das Ventil bei (3) geöffnet wird. Die zeitliche Entwicklung der Austrittsgeschwindigkeit w3(t) bis zum stationären Endwert w3,st ist von Interesse.

Gegeben: g, H, A.

Gesucht: w3(t), Halbwertszeit t/T für das Geschwindigkeitsverhältnis w3(t)/w3,st p1 1
z H

2

3
p3
l
p
t<0
t<
t=0
t=
ρ gH
t
gH

> 0

>

Bild 4.4

Reibungsfreies Ausströmen
p1
t→∞
aus einem Behälter mit ange-
x

2

3
schlossener Rohrleitung

Lösung:

Die Lösung der Aufgabe erfolgt mit der Bernoulli-Gleichung für instationäre Strömung:

3
ρ 2
ρ 2

∂w

1
w + 1
p + ρ g 1
z = w3 + p3 + ρ g z3 + ρ
ds

∫

.

2

2

∂t

1

4.3 Aufgabe: Zeitabhängige Ausströmung aus einem Behälter (Anlaufströmung)

165

Mit den Voraussetzungen: 1
w = 0,

1
p = p3,

1
z = H und z3 = 0 folgt ver-
einfacht:

3
ρ 2
dw3
ρ 2
dw3
ρ g H = w3 + ρ
ds

∫ = w3 +ρA

.

2
dt

2
dt

2

Für den stationären Grenzfall ergibt sich die Torricelli-Formel:

w3,st = 2 g H .

Mit der stationären Endgeschwindigkeit w3,st folgt die nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung, welche sich durch Trennen der Variablen lösen lässt.

2

2
dw
w

− w

3

3,st

3

=

dt

2A
w3
d w3,st
w3,st

∫

=
dt ,

A ∫

2

2

⎛ w ⎞

3

1 ⎜

−

⎟

⎜ w ⎟

⎝ 3,st ⎠
mit der Anfangsbedingung: w3(t=0)=0 folgt als Lösung mit der Bezugszeit T: w3
t

2A

2
arctan h

= ,

T =

=

A
w3,st

T
w3,st
g H
w3
t

= tanh .

w3,st

T

Das Zeitverhalten der Austrittsgeschwindigkeit ist in Bild 4.5 dargestellt.

w ( t )

3
w3,st
t

T

Bild 4.5

Zeitverhalten der Geschwindigkeit

166

4 Vertiefende Übungsaufgaben

Die Endgeschwindigkeit nach der Torricellischen Ausflussformel wird asympto-t
tisch erreicht. Als Halbwertszeit folgt

= 0,55 .

T

Die zeitabhängige Druckverteilung im Rohr ist in Bild 4.4 aufgetragen. Zur Zeit t=0 fällt der Druck entlang der Rohrachse linear von p1 + ρgH auf p1 ab. Für t→∞ wird der Druck im Rohr konstant mit p1 erreicht.

4.4 Aufgabe: Allgemeines Ausflussproblem

In Bild 4.6 strömt eine Flüssigkeit aus dem linken Behälter über eine angeschlossene Rohrleitung mit einem Absperrventil in den rechten Behälter. Die Strömung im Rohr ist als ausgebildet und die Rohrwand als hydraulisch glatt anzunehmen.

Die Behälteroberflächen sind sehr groß, so dass die Strömung als stationär angenommen werden kann. Bei vorgegebenem Volumenstrom ist die erforderliche Druckdifferenz zu ermitteln.

Gegeben: ,
ρ ,
ν h,V,D,A,g,ζE,ζV.

Gesucht: Druckdifferenz 1
p − p6 .

G g

1
h

6
z

2

3

D

4
l

5

Bild 4.6

Überströmvorgang zwischen zwei Behältern mit Verbindungsleitung

Lösung:

Die Lösung erfolgt mit der Bernoulli-Gleichung für den reibungsfreien Anteil und den Verlustbetrachtungen für den reibungsbehafteten Abschnitt der Anlage.

Bernoulli-Gleichung (1)→(2):

ρ 2
ρ 2

1
p +

1
w + ρg 1
z = p2 + w2 + ρgz2 mit w

2

2

1 = 0 und z2 = 0 folgt
ρ 2

1
p − p2 = w2 − ρg 1
z .

2

4.4 Aufgabe: Allgemeines Ausflussproblem

167

Reibungsbehaftete Strömung (2)→(5) mit Einlauf ( ζE ), Kreisrohr ( λ ), Ventil ( ζV ) und Carnot-Diffusor (Freistrahl):

2
π D
w

2 D

4V

V =
w2,
w2 = w3 = w4,

Re =

=

4
ν
π Dν
ρ 2⎛

A

⎞
p2 − p5 = w2⎜ζE + λ+ ζV ⎟ .

2

⎝

D

⎠

Freistrahl und Hydrostatik (5)→(6)

p5 − p6 = ρg z6

Damit folgt für die notwendige Druckdifferenz:

ρ

2⎛

A

⎞

4V

1
p − p6 = w2 1

⎜ + ζE + λ+ ζV −

⎟ ρgh mit w2 =

.

2

2

⎝

D

⎠
π D

Die Umstellung der Fragestellung nach der Strömungsgeschwindigkeit w2=w5
liefert eine verallgemeinerte Torricellische Formel:

⎛

⎞

2⎜

⎟

1
p − p6 + ρg h
w2 =

⎜

⎟ .

ρ⎜

A

1 ζ

⎟

+ E + λ+ ζV

⎝

D

⎠

Eine energetische Betrachtung mit der Energiegleichung von (1)→(6) liefert: ρ 2
ρ 2

1
p +

1
w + ρg 1
z = p6 + w6 + ρg z6 + ΔpV

2

2

1
p − p6 = ρg( z6 − 1
z )+ ΔpV = ρ

− g h + ΔpV
ρ

Rohreinlauf:

2

ΔpE = w2 ζE

2
ρ

A

Rohr mit Länge:

2

ΔpR = w2 λ

2

D
ρ

Ventil:

2

ΔpV = w2 ζV

2

Carnot-Diffusor:

2
ρ

⎛

⎞

2

1

A

ΔpC = w2 C
ζ ,

C
ζ = 1

⎜ −

⎟ → 1 für A2 → ∞

2

⎝

A2 ⎠
ρ 2

ΔpC = w2

2
ρ

2⎛

A

⎞

4V

1
p − p6 = w2 1

⎜ + ζE + λ+ ζV −

⎟ ρgh,
w2 =

.

2

2

⎝

D

⎠
π D

168

4 Vertiefende Übungsaufgaben

4.5 Aufgabe: Verallgemeinertes Überströmproblem

Bei der in Bild 4.7 dargestellten Strömungsanlage bestehend aus den beiden durch eine Rohrleitung verbundenen Behältern strömt die Flüssigkeit durch einen Überdruck bei (1) in den Behälter mit der Oberfläche (6). Gesucht ist die notwendige Druckdifferenz p1–p6, damit sich der vorgegebene Volumenstrom V
einstellt. Die Strömung in den Rohren ist als ausgebildet und die Wände sind als hydraulisch glatt anzunehmen.

Gegeben: Volumenstrom

3

V = 0,002 m / s, Strömungsmedium Wasser bei

20 °C mit ρ = 998,4 kg/m3, ν = 1,012.10-6 m2/s, Anlagengeometrie
h = 7 m, Rohre mit D1 = 30 mm, D2 = 60 mm, A1 = 50 m, A2 = 10 m.

Widerstandsbeiwerte im Einlauf mit ζE = 0,07 und Krümmer mit
ζK = 0,14 .

Gesucht: Druckdifferenz p1-p6.

Bild 4.7

Strömungsanlage mit Rohrleitung und Verbindungselementen

Lösung:

Zwei unterschiedliche Lösungswege sind durch eine mechanische auf Kräftebi-lanzen basierenden sowie einer energetischen Betrachtungsweise entlang der Stromfadenkoordinate s möglich.

a) Mechanische Betrachtung:

(1)→(2) reibungsfreie Strömung, Bernoulli-Gleichung
ρ 2
ρ 2

1
p +

1
w + ρg 1
z = p2 + w2 + ρgz2

2

2

4.5 Aufgabe: Verallgemeinertes Überströmproblem

169
mit den Voraussetzungen w1 = 0, z2 = 0 folgt die Druckdifferenz
ρ 2

1
p − p2 = w2 − ρg 1
z .

2

(2)→(5) reibungsbehaftete Rohrströmung mit Verlustelementen, Impulssatz, Kontinuität, Hydrostatik, Reynoldszahlen:

w2 1

D

4

R 1
e =

= 8,39 10

⋅

ν

4

V
m
mit w2 = ⋅

= 2,83

,

2
π

1

D
s
w4 D2

4

Re2 =

= 4,19 10

⋅

ν

2

D
m
mit

1
w4 = w2 ⋅

= 0,71

.

2

D2
s

In beiden Rohrabschnitten ist die Strömung turbulent. Die Rohrwiderstandszah-len folgen aus (3.147a) zu:

0,3164

0,3164

1
λ =

= 0,0186,

2
λ =

= 0,0221 .

4

4

1

Re

Re2

Mit den Druckverlustzahlen für Einlauf und Krümmer und der Druckerhöhung im Carnot-Diffusor nach (3.106) :

ρ

⎛

A

⎞

2

1
p2 − p3 = w2⎜ζE +

1
λ + 2 ζK +

⎟ ρ g z5

2

⎝

1

D

⎠

ρ 2
p2 − p3 = w2 ⋅31,35+ ρ g z5

2
ρ

⎛

⎞

2

1

A

1

A
p3 − p4 =− w2 ⋅2

1

⎜ −

⎟

2

A2⎝

A2 ⎠
ρ 2
p3 − p4 =− w2 ⋅0,375

2

4
ρ

A

⎛

⎞

2

2
ρ 2 1

D

A2
p4 − 5
p = w4

2
λ = w2⎜

⎟

2
λ

2

D2

2

⎝D2 ⎠ D2

ρ 2
p4 − 5
p = w2 ⋅0,230

2

(5)→(6) Freistrahl, Hydrostatik
p5 − p6 = ρ g(z6 − z5)

170

4 Vertiefende Übungsaufgaben

Zusammenfassung der Druckdifferenzen zwischen (1) und (6) ergibt mit
z6 – z1 = h:

4
ρ

⎡

⎤

A

⎛

⎞ ⎛

⎞

2

1

1

A

1

A

1

D

A2

1
p − p6 = w ⎢ +

+

+

−

⎜ −

+

⎟ ⎜

⎟

⎥

2 1
ζE

1
λ

2ζK 2

1

2
λ + ρ g h

2

⎢

1

D

A2⎝

A2 ⎠ ⎝D2 ⎠ D2

⎥

⎣

⎦
ρ 2

1
p − p6 = w2 ⋅32,19+ ρ g h =1,972 bar .

2

b) Energetische Betrachtung:

Energiegleichung für stationär durchströmtes System von (1)→(6):

ρ 2
ρ 2

1
p +

1
w + ρ g 1
z = p6 + w6 + ρ g z6 + ΔpV .

2

2

Mit der Voraussetzung konstanter Spiegelhöhe, d. h. w1 = 0, w6 = 0 folgt: 1
p − p6 = ρ g (z6 − 1
z )+ ΔpV .

Die Druckverluste ΔpV längs der Koordinate s setzen sich zusammen aus: ρ

Rohreinlauf

2

ΔpE = w2 ζE

2
ρ

A

Rohr mit A

2

1

1

ΔpR1 = w2

1
λ

2

1

D
ρ

Krümmer

2

ΔpK = w2 2ζK

2

2
ρ

⎛

A ⎞

Carnot-Diffusor

2

1

ΔpC = w2 1
ζ
mit 1
ζ = 1

⎜ −

⎟

2

⎝

A2 ⎠
ρ

A

Rohr mit A

2

2

2

ΔpR2 = w4

2
λ

2

D2
ρ

Austritt in Behälter

2

ΔpA = w4 ζA mit ζ =

2

A

1

4

4
ρ

⎡

⎤

A

⎛

⎞ A

⎛

⎞

2

1

1

D

2

1

D

ΔpV = w ⎢ +

+

+ +⎜

⎟

+⎜

⎟

⎥

2 ζE

1
λ

2ζK

1
ζ

2
λ
ζA

2

⎢

1

D

⎝ D2 ⎠ D2

⎝ D2 ⎠

⎥

⎣

⎦
ρ 2

ΔpV = w2 ⋅32,19

2

Damit folgt für die Druckdifferenz:

ρ 2

1
p − p6 = w2 ⋅32,19+ ρ g h =1,972bar .

2

4.6 Aufgabe: Windenergieanlage

171

4.6 Aufgabe: Windenergieanlage

Die maximale Leistung einer Windenergieanlage ist zu ermitteln. In Bild 4.8 ist die Verzögerung der Luft durch das Windrad in der Stromröhre dargestellt. Der Verlauf des Druckes und der Geschwindigkeit entlang der Koordinate x sind zwischen dem Anströmquerschnitt (1) und dem Abströmquerschnitt (5) skizziert.

Mit der Massenerhaltung, Bernoulligleichung und dem Impulssatz kann die Leistung ermittelt werden.

Gegeben: Rotordurchmesser D = 82 m, w∞ = 10 m/s, ρ = 1,205 kg/m3.

Gesucht: ws, Haltekraft FH, maximale Leistung Pmax, Leistungskennzahl cB
nach Betz.

Bild 4.8

Prinzip einer Windenergie-
anlage mit einem äußeren

Kontrollraum und einem

Kontrollraum um den Ro-
tor sowie dem Druck- und

Geschwindigkeitsverlauf in

Strömungsrichtung.

172

4 Vertiefende Übungsaufgaben

Lösung:

Die Massenbilanz für die den Propeller einschließende Stromröhre als Kontrollraum liefert den Massenstrom m

:

ρw∞ 1

A = ρw3 A3 = ρwS A5 = m .

Zwischen den Querschnitten (1) und (2) sowie (4) und (5) ist die BernoulliGleichung (3.36) gültig. Mit der Voraussetzung A2 ≈ A3 ≈ A4 folgt w2 ≈ w3 ≈ w4
und damit die Druckdifferenz
ρ 2
ρ 2
p + w = p

∞

∞

2 +
w3

2

2
ρ 2
ρ 2
p4 + w3 = p + w

∞

S

2

2
ρ
p2 − p4 = Δp = ( 2

2
w − w

∞

S )

2

Für den Kontrollraum zwischen den Querschnitten A1 und A5 folgt mit dem Impulssatz (3.99)

2

2
ρ w∞ 1

A − ρ wSA5 − H

F = 0

2

2

H

F = ρ w∞ 1

A − ρ wSA5

Für den Kontrollraum zwischen (2) und (4) um den Rotor folgt:

p2 A3 − p4 A3 − H

F = 0
ρ

H

F = (p2 − p4)A3 = ΔpA3 = ( 2

2
w − w

∞

S )A3

2

Durch Gleichsetzen der Ergebnisse für die Haltekraft folgt die Geschwindigkeit im Querschnitt A3 zu

1
w3 = (w + wS) .

2

∞

Die Leistung der Anlage ergibt sich zu
ρ
ρ

P = H

F w3 = A3 ( 2

2
w − w

∞

S )(w + w

∞

S ) =

A3 ( 3

2

2

3
w + w w

∞

∞ S − wSw − w

∞

S ).

4

4

Den Maximalwert erhalten wir aus der Extremwertbetrachtung:

⎧1
dP
ρ

⎪ w
max.

= A

∞

3 ( 2

2
w − 2w w

∞

∞ S − 3wS ) = 0,
w

= ⎨3

1,

S 2
dwS

4

⎪ w

−

⎩
min.

∞

2
d P
ρ

= A3(−2w − 6w

∞

S ) < 0 → Maximum

2
dwS

4

4.6 Aufgabe: Windenergieanlage

173
mit der Geschwindigkeit ws= w∞/3 zu

16 ρ

3

8 ρ

3
ma

P x =

⋅ A3 w∞ = ⋅

1

A w .

27 2

9 2

∞

1

Bezogen auf den theoretisch möglichen Energiestrom

3
the

P or = ρ A3 w durch

2

∞
den Propellerquerschnitt folgt die Leistungszahl (Betz-Zahl):

max

P

16
cB =

=

= 0,593 = Leistungskennzahl (Betz-Zahl) .

1

3

27
ρ A3 w

2

∞

Das Ergebnis für die maximale Leistung Pmax zeigt auch, dass 8/9 ≈ 88,9 % der kinetischen Energie des durch den Rotor strömenden Massenstromes in mechanische Leistung umgewandelt wird.

Bild 4.9

Abhängigkeit der Leistung P/Ptheor von der Geschwindigkeitsverzögerung wS/w∞

Die Leistung der Anlage beträgt bei w∞=10 m/s=36 km/h

2
ρ πD

3
max

P

=
w c

∞ B =1887 kW .

2

4

174

4 Vertiefende Übungsaufgaben

4.7 Aufgabe: Reibungswiderstand bei der Umströmung
einer ebenen Platte

Eine ebene dünne Platte mit der Länge A und Breite b wird von einem viskosen Medium umströmt. Die Grenzschichtströmung ist als turbulent anzunehmen, so dass eine in Bild 3.118 dargestellte Geschwindigkeitsverteilung zugrunde liegt .

Mit dem Impulssatz nach Bild 3.111 ist die Wandreibungskraft Fw zu berechnen.

δ

0,37

Gegeben: Grenzschichtdicke =

,

1

A

Re5

1
u(y) ⎛ y⎞

Geschwindigkeitsverteilung

7

=⎜ ⎟ .

U

⎝ δ⎠

Gesucht: Wandreibungskraft Fw,x.

Lösung:

Die Lösung erfolgt mit einer Kräftebilanz in x-Richtung (Impulssatz):

Kontinuität:

δ

1
m = ρ U b ,
δ m3 = ρ b u dy,

∫0
δ

⎛
u ⎞

*
m

2 = 1
m − m3 = ∫ρbU 1

⎜ −
d

⎟ y ρ

= b U δ

⎝

U ⎠

0
δ⎛
u ⎞

*
δ =

1

⎜

∫ − d⎟y = Verdrängungsdicke

⎝

U ⎠

0

Impulskräfte:

2

G

2

*

F

= ρU b ,
δ F

= ρ

− U (wn)dA

∫ G = U

− m = ρ

− U b δ

1

I ,x

I2,x

2

(2)

δ 2

I

F
ρ

=− b u dy,

∫

3,x

0
x

Wandreibungskraft: w,

F x
b

=− ∫τwdx

0

4.8 Aufgabe: Plötzlich beschleunigte Platte (Rayleigh-Stokes-Problem)

175

Impulssatz:

δ
x

2

2

*

2
ρU b δ − ρU b δ − ρb u dy

∫

− b∫τwdx = 0

0

0
δ
x

2

2 *

2
ρU δ − ρU δ − ρ u dy

∫

− ∫τwdx = 0

0

0
δ
x
u⎛
u ⎞

2
ρU

1

∫ ⎜ − d⎟y−∫τwdx =0

U⎝

U ⎠

0

0

1

1
δ

⎡

⎤
w,

F x

⎛ y 7

⎞ ⎢ ⎛ y 7

⎞ ⎥

14

0,074

= ⎜

∫ ⎟ 1−

⎢ ⎜ ⎟ dy =
δ =

⎥

1/5
ρ 2

⎝ δ⎠

⎝ δ⎠

72

A

0

Re

U b
l

⎢⎣

⎥

2

⎦

0,074

Für die überströmte Fläche auf der Oberseite der Platte folgt cF =

.

1/5

Re

Wird die Platte beidseitig umströmt, so folgt für den Widerstandsbeiwert cW = 2cF .

4.8 Aufgabe: Plötzlich beschleunigte Platte (Rayleigh-

Stokes-Problem)

Für das Rayleigh-Stokes-
y

Problem der plötzlich in

Gang gesetzten Platte (Ab-

G n
schnitt 3.3.11) bestimme
man die Energiebilanz unter

Benutzung des Kontroll-
lx
raumes in Bild 4.10 mit den

Längen Ax in x-Richtung, Ay
in y-Richtung und der Tie-
feneinheit Az =1.

u(y,t)

G
l

G
y

n
n

Bild 4.10

Kontrollraum mit

G

U
x,u

Bezeichnungen

U
n

176

4 Vertiefende Übungsaufgaben
u(y,t)

⎛ y ⎞

Gegeben: Geschwindigkeitsverteilung (3.184)

=1− erf⎜

⎟.

U

⎝2 vt ⎠

Gesucht: Leistung der Wandschubspannung L, die Dissipation Φ und die zeitliche Änderung der kinetischen Energie dEkin/dt.

Lösung:

Die Energiebilanz (Leistungsbilanz) für das Kontrollvolumen V mit der Oberflä-

G
d
che A und dem Geschwindigkeitsvektor w lautet:

Ekin + L+ Φ = 0 . Die
dt
einzelnen Anteile ergeben sich zu
d
d
ρ

∂⎛

⎞

2
ρ 2
ρ 2 G G

Ekin =
w dV

∫

=∫ ⎜ w d

⎟ V +
w

∫

(w⋅n)dA
dt
dt

2

∂t⎝ 2

⎠

2

V

V

A

Ay

A y

⎧

Ay

⎫

∂u

∂τ

⎪

A

∂u ⎪

= Ax ∫ρ⋅u dy =Ax u dy

∫

= Ax u

⎨ (y,t)⋅τ(y,t) y − ∫τ ∂y⎬
y 0

∂t

∂y

=

⎪

∂y

0

0

0

⎪

⎩

⎭

∂u

∂τ

Hierin ist der Impulssatz in der Form ρ

=
berücksichtigt. Der Grenzüber-

∂t

∂y
gang A y → ∞ führt zu dem Endergebnis:

d

∞ ∂u

Ekin =−Ax U τ(o,t)− Ax ∫τ dy = L

− − Φ
dt

∂y

0

2
μ

− A

= A U τ(o,t)

xU

L
x

=

= Leistungsanteil der Wandschubspannung,
π v t

∞

2

∂u
μAxU

Φ = Ax ∫τ dy =

= Dissipation,

∂y

0

2π v t

2
d
μAxU ⎛

1 ⎞

Ekin =

1

⎜ −

.

⎟
dt
π v t ⎝

2 ⎠

Dies ist die Lösung für die momentan beschleunigte Platte. Die von der Platte an das Medium pro Zeiteinheit übertragene Energie (Leistung der Wandschubspannung) findet sich in der Zunahme der kinetischen Energie und der Dissipation des Mediums wieder.

4.9 Aufgabe: Kompressibles Ein- und Ausströmen

177

Für die plötzlich verzögerte und für die periodisch oszillierende Platte ergeben sich entsprechende Ergebnisse. Siehe K. Bühler, J. Zierep: Energetische Betrachtungen zum Rayleigh-Stokes Problem. Proc.Appl.Math.Mech. PAMM 5, 539–

540 (2005).

4.9 Aufgabe: Kompressibles Ein- und Ausströmen

Gasdynamische Versuchsanlagen können mit einem Vakuumbehälter mit ange-schlossenem Strömungskanal realisiert werden. Für eine bestimmte Zeit tkrit kann in der Messstrecke Überschallgeschwindigkeit erreicht werden. Man bestimme mit der Dimensionsanalyse die Saugzeit eines Überschallkanals (Bild 4.11).

c

Gegeben:

p

∗

1
p , 1
ρ ,p30,V,A ,κ =

cv

Gesucht: tkrit = kritische Saugzeit für Überschallgeschwindigkeit in der Messstrecke.

A*

V
p1> p

1> 30
p
p

Bild 4.11

30

3
ρ 1

Vakuumbehälter mit angeschlossener

Messstrecke

2

1

Lösung:

Wir gehen aus von folgendem Zusammenhang der physikalischen dimensionsbehafteten Größen:

⎛
cp ⎞
t

∗
krit = f⎜ 1
p , 1
ρ ,p30,V,A ,κ =

⎟

⎝
cv ⎠

Im Rahmen der Mechanik ergeben sich hieraus außer dem Verhältnis der spezifischen Wärmen κ noch drei weitere dimensionslose Kennzahlen:

∗

2
tkrit ⋅A ⋅ 1
a

1
p

V

1
π =

, π2 =

, π3 =

, π4 = κ .

3

V
p

∗

30

A
p
mit der Schallgeschwindigkeit (3.51)

1

1
a = κ
und der Abhängigkeit

1
ρ
π1 = F(π2,π3,π4). Damit ergibt sich der folgende Zusammenhang:

⎛

2

V

⎞

1
p

V
tkrit =

⋅H⎜

,

, κ⎟ .

∗

∗3

A ⋅ 1
a

⎝p30 A

⎠

178

4 Vertiefende Übungsaufgaben

1

Da tkrit ∼
sein muss, kommt vereinfachend

A∗

V

⎛ 1
p

⎞
tkrit =

⋅h⎜

, κ .

⎟

A∗ ⋅ 1
a

⎝ p30 ⎠
d

Die Massenbilanz

(p

∗

∗

3 ⋅V) = ρ∗

− ⋅a ⋅A ergibt für die quasistationäre
dt

Strömung mit den übrigen Grundgleichungen für die kritische Saugzeit
κ

⎛ 2 κ

⎞ 1

−
p30

⎜

⎟

−

V

⎝ κ+1⎠

1
p
tkrit =

.

∗

⋅
κ 1

A

+

⋅ 1
a

⎛ 2 ⎞ (

2 κ− )

1
κ⋅⎜

⎟

⎝ κ+1⎠

Wichtig sind die zwei Grenzfälle

⎧
κ

0

⎪ 2

⎧

⎛

⎪
κ

⎞ 1
p

−

30

⎜

= ⎨

⎟

0,528,

⎪

=
tkrit = ⎨

V

⎝ κ+1⎠

.

1
p

0,652

⎪

⎪

⋅

⎩

A∗ ⋅ 1
a

0,

⎪⎩

Der erste Fall stellt das kritische Druckverhältnis (3.62) dar und liefert eine ver-schwindende Saugzeit. Der zweite Fall liefert die maximale Saugzeit, in der im engsten Querschnitt Schallgeschwindigkeit herrscht:

V

1

2

V
tkrit =

⋅ ⋅

= 0,652⋅

.

A∗

∗

⋅ 1
a
κ
κ+1

A ⋅ 1
a

In Bild 4.12 ist dieses Ergebnis in dimensionsloser Form mit τ = tkrit A*a1/V dargestellt. Die kritische Saugzeit τkrit nimmt mit steigendem Anfangsdruckverhältnis p30/p1 ab.

Bild 4.12

Zusammenhang zwi-
schen dem dimensions-
losen Druckverhältnis
p3/p1 und der dimen-
sionslosen Saugzeit τ.

4.9 Aufgabe: Kompressibles Ein- und Ausströmen

179

Zahlenbeispiel für die Anlage im Institut für Strömungslehre des Karlsruher Institut für Technologie KIT:

m

V

3

∗

2

1
a = 330 ,

V = 30m ,

A = 30cm ,
t

=

⋅τ

s
krit
krit

A∗ ⋅ 1
a

3

30 m ⋅0,652
tkrit =

≈ 20 s .

4

−

2
m

30 1

⋅ 0
m ⋅330 s

Kehrt man die Bewegung um, so entsteht die Frage nach der Blaszeit eines Blow-down Kanals (Abboud, Bühler).

A*

V
p
p

10,

10 ρ 10
a

Bild 4.13

Ausströmen aus einem Behälter unter Überdruck in die Atmosphäre

Die Dimensionsanalyse liefert in diesem Fall für die kritische Blaszeit den Zusammenhang:

V

⎛ 10
p

⎞
tkrit =

⋅F⎜

, κ⎟

A∗ ⋅ 10
a

⎝ pa

⎠

Im diesem Fall ergeben die Erhaltungssätze für Masse und Energie bei quasistationärer Strömung:

κ 1

−

1

⎛ p ⎞2

10
κ

⎛ κ+1 2

⎞

⎜

⎟

−⎜

⎟

V

2

⎝ pa ⎠

⎝ 2 ⎠
tkrit =

∗

⋅

⋅

1

A ⋅ 10
a
κ−1

⎛ 2 κ

⎞ 1

−

⎜

⎟

⎝ κ+1⎠
κ

10
p

⎛ κ+1 κ

⎞ 1
t

−
krit → 0,

→⎜

⎟

=1,894
pa

⎝ 2 ⎠
p∗
entspricht dem kritischen Druckverhältnis

= 0,528.

10
p

Die kritische Blaszeit tkrit erhöht sich mit zunehmendem Verhältnis von Ruhedruck zu Umgebungsdruck p10/pa.

180

4 Vertiefende Übungsaufgaben

Zahlenbeispiel:

m
p

3

∗

2

10

1
a = 330 ,

V = 30m ,

A = 30cm ,

= 5,
s
pa

V

3

30 m 1

⋅ ,286
tkrit =

⋅τkrit , t

=

≈ 39 s

A∗ ⋅
krit

1
a

4

−

2
m

30 1

⋅ 0
m ⋅330 s

Im Fall des Ausblasens lassen sich für p10/pa > 3,17 höhere Blaszeiten erreichen als beim Einströmen aus der Atmosphäre ins Vakuum.

Weitergehende Fragestellungen siehe:

M. Abboud: Die quasistationäre Strömung eines Gases bei der Entleerung und Auffüllung eines Behälters, Strömungsmechanik und Strömungsmaschinen 33, S. 59–70 (1983).

K. Bühler: Gasdynamische Untersuchung des Jouleschen Überströmversuches, Wärme- und Stoffübertragung 23, S. 27–33 (1988).

4.10 Aufgabe: Lavaldüsenströmung

Man diskutiere unter Benutzung der Differentialgleichung (3.55) und der Beziehung (3.57) die Strömung in einer Lavaldüse mit zwei engsten (A1,A3) und einem weitesten Querschnitt (A2) wie in den Bildern 4.14 und 4.15 dargestellt.

Wann ist überhaupt ein Verdichtungsstoß möglich?

Bild 4.14

Lavaldüse mit zwei engsten

Querschnitten A1=A3

4.10 Aufgabe: Lavaldüsenströmung

181

Bild 4.15

Lavaldüse mit zwei Quer-
schnitten A1 < A3

Gegeben: Düsenquerschnitte A1, A2, A3, Stoßmachzahl Ms = 2 .

Gesucht: Machzahlverlauf in der Düse, Lage des Stoßes.

Lösung:

Ist 1

A = A3 (Bild 4.14), so liegen in den Querschnitten 1 und 3 gleichzeitig kritische Verhältnisse vor. Dort handelt es sich um Sattelpunkte der Integralkurven (3.55), während es sich bei 2 um einen Wirbelpunkt handelt. Dies folgt aus (3.57) für die zwei singulären Punkte.

Ein Verdichtungsstoß zwischen 1 und 3 ist nicht möglich. Dies würde ansonsten zu einer Abnahme der Ruhegrößen und der kritischen Werte führen und damit den Massenstrom reduzieren. A3 ist zu gering, um die Kontinuität zu erfüllen (Blockierung!)

Ist A1 < A3 (Bild 4.15), so haben wir ein Modell für einen Überschallkanal mit Schalldurchgang in 1. Ein Stoß zwischen 1 und 3 ist möglich, wenn der Verstelldif-fusor in 3 um soviel geöffnet wird, wie die Abnahme der Ruhegrößen vorschreibt.

Die Darstellung für die Ruhedruckabnahme beim Stoß (Bild 3.39) ergibt:

∗

∗

1

A

ˆρ ⋅ â

ˆ 0
ρ

ˆp0

=

=

=

= f (Ms)

A

∗

∗

3
ρ ⋅a

0
ρ
p0

−1
κ

−

⎡
κ
κ

⎤ − ⎡

⎛

⎞ κ

⎤ −
f (M ) = 1+ 2

⎢

(M − )

2

1

1

1

2
s
s

1

⋅ 1

⎥

⎢ −

1

⎜ − 2 ⎟⎥

⎣
κ+1

⎦

⎣
κ+1⎝

Ms ⎠⎦

A

Für

1

Ms = 2 wird

= 0,721.

A3

182

4 Vertiefende Übungsaufgaben

4.11 Aufgabe: Geschwindigkeit beim freien Fall

(Fallschirmspringer)

In Bild 4.16 ist der Fallschirmspringer
mit den wirkenden Kräften dargestellt.

Im stationären Fall stehen Erdanzie-
hungskraft und Strömungswiderstand
im Gleichgewicht. Gesucht ist die

Fallgeschwindigkeit w.

Bild 4.16

Fallschirmspringer
kg

Gegeben: D = 8m, m = 90 kg,

L
ρ =1,188

, cW =1,33

3
m

Gesucht: Stationäre Fallgeschwindigkeit w.

Lösung:

Entspricht die Schirmform einer offenen Halbkugel, so folgt (Bild 3.122) der Widerstandsbeiwert cW = 1,33. Mit dem Kräftegleichgewicht aus Schwerkraft und Widerstandskraft folgt bei Vernachlässigung des Auftriebs
ρ 2

W

F = mg = w A cW

2

Daraus ergibt sich die Fallgeschwindigkeit zu

1

⎛ 8mg

2

⎞
w =⎜

2

⎟

⎝ π D ρcW ⎠

1

⎛
m

2

⎞

8

⎜

⋅90kg⋅9,81 2
s

⎟
w ≈⎜

⎟

⎜

2

2
kg
π 8 m 1,188

1,33⎟

⋅

⋅

⋅

3

⎝
m

⎠
m
km
w ≈ 4,7

≈ 17
s
h

In Wirklichkeit ist der Widerstandsbeiwert cW durch die Porosität des Schirmes geringer und die Geschwindigkeit damit etwas höher.

4.12 Aufgabe: Auftriebsbeiwerte von Flugzeugen (Start und Reiseflug)

183

4.12 Aufgabe: Auftriebsbeiwerte von Flugzeugen (Start
und Reiseflug)

Das Flugzeug Airbus A380 hat ein Startgewicht von m = 560 000 kg . Der Tragflächenquerschnitt ist mit der Referenzfläche A gegeben. Die Triebwerke haben eine Schubkraft von FS = 1244 kN. Die Geschwindigkeit beträgt beim Start wS
und steigt in der Reiseflughöhe von 11 km auf w an. Die Auftriebsbeiwerte für Reiseflug cA und für Start cA,max sind zu ermitteln.

Gegeben: A = 845 m2, m = 560 000 kg, g = 9,81 m/s2, FS = 1244 kN.

z in m
p in Pa
ϑ in °C ρ in kg/m3 a in m/s w in m/s w in km/h

M

0 101325 15 1,225

340,26

69,44 250

0,204

11000 22614 –56,5 0,364 295,04

262,58 945 0,890

Gesucht: Auftriebsbeiwerte cA (Reiseflug) und cA,max (Start).

Bild 4.17

Airbus im Reiseflug

Lösung:

Für den Auftriebsbeiwert cA in der Reiseflughöhe z = 11 km folgt mit

FA = FG = m g:

5
m

5,6 1

⋅ 0 kg⋅9,81

F

2

A
s
cA =

=

= 0,52
ρ

2
kg
w A

0,364

2

3 ⎛
m

2
m

⎞

2

⋅⎜262,58 ⎟ ⋅845 m

2

⎝
s ⎠

184

4 Vertiefende Übungsaufgaben

Beim Start ist der Auftriebsbeiwert cA,max maximal mit den Daten am Boden bei z = 0. Durch die Flugzeuganstellung mit dem Anstellwinkel α trägt die Schubkraft der Triebwerke FT durch die vertikale Schubkomponente mit einem Anteil von F .

.

T sin α mit, so dass sich für die Auftriebskraft FA = FG – FT sin α ergibt.

Für einen Anstellwinkel von α = 10° folgt

5
m

5,6 10

⋅
kg⋅9,81 −1244000 N⋅0,1736

F

2

A
s
cA,max =

=

= 2,11
ρ

2
kg
w A

1,225

2

3 ⎛
m

2
m

⎞

2

⋅⎜69,44 ⎟ ⋅845 m

2

⎝
s ⎠

Der maximale Auftriebsbeiwert A,
c max wird durch das Ausfahren von Vorflügel
und Flügelklappen erreicht.

Zum Vergleich erreicht man mit der ebenen Platte bei einem Anstellwinkel von α = 20° (3.82a) einen Auftriebsbeiwert von
cA,Platte = 2π sin α = 2π ⋅0,342 = 2,15 .

185

Dimensionen und Einheiten der wichtigsten auftretenden Größen:

Dimensionen

Größe, Bezeichnung

Einheiten

F, L, T, ϑ

M, L, T, ϑ

Länge

L

L

Meter, m

Kraft

F

MLT–2

Newton, N

Masse

FL–1T2

M

Kilogramm, kg

Zeit

T

T

Sekunde, s

Temperatur
ϑ
ϑ

Kelvin, K

Geschwindigkeit

L T–1

L T–1
m/s

Beschleunigung

L T–2

L T–2
m/s2

Druck, Spannung

F L–2

M L–1T–2

Pascal, Pa = N/m2

Moment, Arbeit, Energie

F L

M L2T–2

Joule, J = Ws = Nm

Leistung, Energiestrom

F LT–1

M L2T–3

Watt, W = Nm/s

Dichte ρ

F L–4T2

M L–3
kg/m3

Massenstrom m

F L–1T

M T–1
kg/s
dyn. Viskosität η

F L–2T

M L–1T–1

Pas = N s/m2
kin. Viskosität ν

L2T–1

L2T–1
m2/s

Ausdehnungskoeffizient α
ϑ–1
ϑ–1

1/K
spez. Wärme cp, cv

L2T–2ϑ–1

L2T–2ϑ–1

J/kgK

Wärmeleitfähigkeit λ

F T–1 ϑ–1

M LT–3ϑ–1 W/mK

Oberflächenspannung σ

F L–1

M T–2

N/m

Temperaturleitfähigkeit k = λ/ρ cp L2T–1

L2T–1
m2/s

Wärmeübergangszahl α

F L–1T–1ϑ–1 M T–3ϑ–1

W/m2K
spezielle Gaskonstante Ri

L2T–2ϑ–1

L2T–2ϑ–1

J/kgK

Entropie s

L2T–2ϑ–1

L2T–2ϑ–1

J/kgK

J. Zierep, K. Bühler, Grundzüge der Strömungslehre, DOI 10.1007/978-3-8348-9756-5,

© Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010

186

Ausgewählte Literatur

A) Allgemeine Strömungslehre

Albring, W.: Angewandte Strömungslehre. Berlin 1996 (6. Aufl.)

Becker, E.: Technische Strömungslehre. Stuttgart 1993 (6. Aufl.)

Eck, B.: Technische Strömungslehre. Berlin/Heidelberg/New York 1966 (7. Aufl.) Gersten, K.: Einführung in die Strömungsmechanik. Aachen 2003

Leiter, E.: Strömungsmechanik nach Vorlesungen von K. Oswatitsch. Braunschweig 1990

Oertel, H. jr., Böhle, M. und Dohrmann, U.: Strömungsmechanik. Wiesbaden 2008

(5. Aufl.)

Oertel, H. jr., Böhle, M. und Dohrmann, U.: Übungsbuch Strömungsmechanik. Wiesbaden 2007 (6. Aufl.)

Oswatitsch, K.: Physikalische Grundlagen der Strömungslehre. Handbuch der Physik.

Bd. VIII/1. Berlin/Heidelberg/New York 1959

Prandtl, L.: Führer durch die Strömungslehre. Neubearbeitung v. Oertel, H. jr., (Hrsg.).

Wiesbaden 2008 (12. Aufl.)

Schade, H. und Kunz, E.: Strömungslehre. Berlin/New York 2007 (3. Aufl.) Truckenbrodt, E.: Fluidmechanik I,II. Berlin 1998 (4. Aufl.)

Wieghart, K.: Theoretische Strömungslehre. Hannover 2006 (2. Aufl.)

Zierep, J. und Bühler, K.: Strömungsmechanik E 146 – 225. Hütte. Berlin/Heidelberg/

New York 2008 (33. Aufl.)

Zierep, J. und Bühler, K.: Strömungsmechanik. Berlin/Heidelberg/New York 1991

B) Teilgebiete der Strömungslehre

Becker, E.: Gasdynamik. Stuttgart 1982

Keune, F. und Burg, K.: Singularitätenverfahren der Strömungslehre. Karlsruhe 1975

Laurien, E. und Oertel, H. jr.: Numerische Strömungsmechanik. Wiesbaden 2009

(3. Aufl.)

Oswatitsch, K.: Grundlagen der Gasdynamik. Wien 1987

Schlichting, H., Gersten, K.: Grenzschichttheorie. Berlin 2006 (10. Aufl.) Schlichting, H. und Truckenbrodt, E.: Aerodynamik des Flugzeuges. 2 Bde. Berlin 2001

(3. Aufl.)

Schneider, W.: Mathematische Methoden der Strömungsmechanik. Braunschweig 1978

Zierep, J.: Ähnlichkeitsgesetze und Modellregeln der Strömungslehre. Karlsruhe 1991

(3. Aufl.)

Zierep, J.: Strömungen mit Energiezufuhr. Karlsruhe 1990 (2. Aufl.)

Zierep, J.: Theoretische Gasdynamik. Karlsruhe 1991 (4. Aufl.)

J. Zierep, K. Bühler, Grundzüge der Strömungslehre, DOI 10.1007/978-3-8348-9756-5,

© Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010

187

Namen- und Sachwortverzeichnis

Abboud, M. 179 f.

Brownsche Molekularbewegung 4

Ableitung, substantielle oder

Bühler, K. 177, 179 f., 186
materielle 39

Burg, K. 186

Ackeret, J. 62

Adhäsion 22

Carnot, S. 103

Ähnlichkeitsbetrachtungen 157

Carnot-Diffusor 103

Aerodynamik 2, 38

Cauchy, A. L. 81

Aerostatik 2, 26

Cauchy-Riemannsche Differential-

Aggregatzustände 5
gleichungen 81

Airbus A 380 183

Cauchyscher Hauptwert 93

Albring, W. 186

Couette, M. 6

Anlaufstrecke 125

Couette-Strömung 6, 137

Archimedes von Syrakus 35

Archimedisches Prinzip 36

Dämpfungszylinder 6

Auffüllen eines Kessels 73

D'Alembert, J. 2

Auftrieb 89

D'Alembertsches Paradoxon 96

Auftrieb, hydrostatischer 35

Deformationsgeschwindigkeit 7

Auftriebskoeffizient 90

Diffusor 102, 155

Dimensionsanalyse 177

Barometer 31

Dimensionsbetrachtung 13

Becker, E. 186

Dipol in Parallelströmung 87

Benetzung, vollständige 24

Dipolströmung 83

Bernoulli, D. 2

Dissipation 151, 176

Bernoulli-Diffusor 104

Dohrmann, U. 186

Bernoulli-Gleichung 44

Drehimpulssatz 108

Bernoulli-Gleichung mit Verlust-

Drehungsfreiheit 78
gliedern 157

Druck, dynamischer 54 f.

Betz-Zahl 173

Druck, hydrostatischer 26

Bingham, E. C. 8

Druck, statischer 27, 54

Bingham-Medium 8

Druck im Schwerefeld 29

Blasius, H. 120

Druck in geschichteten Medien 31

Blasius-Formel 120

Druckabfall in Kreisrohren 117

Böhle, M. 186

Druckkoeffizient 82, 95

Boltzmann, L. 4

Druckrückgewinn 104

Boltzmann-Konstante 4

Druckverlust 154

Borda, J. Ch. de 105

Druckwiderstand 148, 152

Borda-Mündung 105

Düse 102

Boyle, R. 13

Durchmesser, hydraulischer 125

Brown, R. 4

J. Zierep, K. Bühler, Grundzüge der Strömungslehre, DOI 10.1007/978-3-8348-9756-5,

© Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010

188

Namen- und Sachwortverzeichnis

Eck, B. 186

Halbkörperumströmung 86

Einlaufstrecke 125

Halbkörperwiderstand 107

Elastizität 5

Halbkugelumströmung 153

Energiebilanz 150

Helmholtz, H. v. 2

Energieellipse 66

Hitzdrahtmethode 116

Energiesatz 46

Hooke, R. 5

Enthalpie 47, 69
hydraulisch glatt 123

Entropie 69, 71

Hydrodynamik 2, 38

Erhaltung der Masse 98

Hydrostatik 2, 26

Euler, L. 2

Hyperschall 62

Eulersche Bewegungsgleichungen 76

Eulersche Gleichung 44

Impulskraft 98

Eulersche Methode 39

Impulsmoment 109

Eulersche Turbinengleichung 111

Impulssatz 97

Euler-Zahl 113
instationär 41, 45

Fallschirmspringer 182

Joukowski, N. J. 89

Feder, elastische 6

Joule, J. P. 14

Flächenkrümmung, mittlere 21

Flettner, A. 91

Kapillardruck 24

Flettner-Rotor 91

Kapillarhebung, -Senkung 24

Fließfunktion 7

Kapillarität 15, 22

Fließspannung 8

Kármán, Th. v. 122

Fluide 1

Kennzahlen 113

Fourier, J. B. J. 2

Keune, F. 186

Froude, W. 113

Kirchhoff, G. 2

Froude-Zahl 113

Körperwirbel, starrer 50, 77

Kontinuitätsgleichung 43, 75, 76

Gas, ideal 14

Kontrollbereich 99

Gasgleichung, ideale 14

Kreisscheibenumströmung 153

Gaskinetik 11

Krümmer 155

Gaskonstante, allgemeine (molare) 14

Krümmerströmung 99

Gaskonstante, spezifische, spezielle

Kugelwiderstand 153

14

Kunz, E. 186

Gay-Lussac, J. L. 14

Kutta, W. 89

Gersten, K. 186

Kutta-Joukowski-Bedingung 97

Gesamtdruck 55

Kutta-Joukowski-Formel 89

Gleitmodul 6

Grenzschichttheorie 3, 141

Lagrange, J. L. 38

Lagrangesche Methode 38

Haftbedingung 3
laminare Strömung 115

Hagen, G. 3

Laplace, P. S. 77

Hagen-Poiseuille-Gesetz 118

Laplace-Gleichung 78

Namen- und Sachwortverzeichnis

189

Laurien, E. 186

Poiseuille-Strömung 137

Laval, C. G. P. de 60

Potential, komplexes 80

Laval-Düse 63

Potentialfunktion 78

Leiter, E. 186

Potentiallinien 79

L'Hospital, G. Fr. A. de 65

Potentialströmung 76

Potentialwirbel 49

Mach, E. 62

Prandtl, L. 3, 122, 131, 186

Machsche Zahl 62

Prandtlscher Mischungsweg 131

Mach-Zahl, kritische 68

Prandtlsches Staurohr 55

Magnus, H. G. 89

Prandtl-Relation 69

Magnus-Kraft 89

Prandtl-Zahl 11

Mariotte, E. 13

Prozesse, isentrope 14, 48

Massenkräfte 27

Prozesse, isobare 14, 48

Maximalgeschwindigkeit 61

Prozesse, isochore 14, 48

Metazentrum 37

Prozesse, isotherme 14, 48

Minimalflächen 15, 21

Molekülgeschwindigkeit, mittlere 4

Quelle in Parallelströmung 86

Molmasse 14

Quell-Senkenströmung 82

Randwinkel 24

Navier, L. 130

Rayleigh, J. W. 2

Navier-Stokes-Gleichungen 134

Rayleigh-Stokessches Problem 139,

Newton, I. 2

175

Newton-Zahl 113

Rechteckplatte 153

Newtonsches Fluid 7

Reibung, innere 11

Newtonsches Grundgesetz 43

Reibungswiderstand 148 f., 152

Nicht-Newtonsches Fluid 7

Reynolds, O. 3

Nikuradse, J. 120

Reynolds-Zahl 113

Nikuradse-Diagramm 121, 123

Reynoldssche Beschreibung turbulen-

ter Strömungen 115

Oberflächenenergie, spezifische 17

Reynoldsscher Farbfadenversuch 115

Oberflächenkräfte 27

Reynoldssche scheinbare Schub-

Oberflächenspannung 16
spannung 130

Oertel, H. jr. 186

Rheologie 6

Oswatitsch, K. 186

Riemann, B. 81

Ruhedichteabnahme 71

Paradoxon, hydrostatisches 34

Ruhedruck 55, 59

Parallelströmung 82

Ruhedruckabnahme 71

Pascal, B. 30

Ruhetemperatur 71

Pitot, H. 55

Pitot-Rohr 55

Saint-Venant, A. Barré de 59

Pitotrohr in Überschallströmung 74

Sandkornrauigkeit 120

Poiseuille, J. L. 3

Sandkornrauigkeit, äquivalente 125

190

Namen- und Sachwortverzeichnis

Sattelfläche 21

Triebwerkschub 106

Saugzeit 177 f.

Troposphäre 32

Senke in Parallelströmung 87

Truckenbrodt, E. 186

Singularitätenmethode 91

Turbinenlaufrad 110

Sonde, statische 54
turbulente Strömung 115

Schade, H. 186

Turbulenzgrad 116

Schallgeschwindigkeit 61

Schallnähe 62

Überschallkanal 181

Scherung 5

Unterschicht, laminare 130

Schlichting, H. 186

Schmierspalt 139

Verdichtungsstoß 65, 180

Schneider, W. 186

Verdichtungsstoß, senkrechter 68

Schubmodul 6

Viskoelastizität 8

Schubspannung 7, 12, 112

Viskosität 7

Schubspannungen, scheinbare 132

Viskosität, dynamische 7

Schwankungsgeschwindigkeiten 116

Viskosität, kinematische 7

Schwimmen 37

stationär 38, 41, 43

Waals, J. D. van der 4

Steighöhe, kapillare 24

Wärmeleitung 10

Steiner, J. 34

Wärmetransportgleichung 151

Steinerscher Satz 34

Wandanbohrung 54

Stokes, G. G. 114

Wandschubspannungsgeschwindigkeit

Stokesscher Ansatz 136

132

Stoßmachzahl 181

Wandturbulenz 133

Stoßwellenrohr 60

Wantzell, P. L. 59

Strahlkontraktion 105

Weglänge, mittlere freie 4, 11

Stratosphäre 32

Widerstand 152, 154

Strömungsgrenzschicht 3

Wieghardt, K. 186

Stromfaden 43

Wirbel 49

Stromfadentheorie 43, 48

Wirbelkern 51

Stromfunktion 78

Wirbelquelle, -senke 51

Stromlinien 40

Wirbelstärke 39, 43

Stromröhre 43

Wirbelströmung 82

Strouhal, V. 113

Strouhal-Zahl 113

Zentrifugalkraft 29

Zierep, J. 177, 186

Teilchenbahnen 40

Zirkulation 83

Temperaturgrenzschicht 3

Zylinderumströmung mit Wirbel 88

Torricelli, E. 30

Zylinderwiderstand 153

Torricellische Formel 57