Mathematik für Ingenieure: Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch
Date: 2015-07-22T23:39:40.515000+00:00
Keywords: Calculus; Technology & Engineering; Intelligence (AI) & Semantics; Numerical Analysis; Mathematik für Ingenieure; Thomas Westermann; Bildung; Springer; Bildung; Algorithms; Mathematical Analysis; Applied; Mathematics; Algebra; Computers; Programming; General
Description: Dieses kompakte Mathematikbuch überzeugt durch das didaktische Konzept und durch sein ansprechendes, in der 7. Auflage verbessertes Layout. Das einbändig vorliegende Werk umfasst den Mathematikstoff für technisch orientierte Bachelor-Studiengänge. Abstrakte mathematische Begriffe werden anschaulich erklärt, auf Beweise wird größtenteils verzichtet. 380 ausführlich durchgerechnete Beispiele auch aus technischen Anwendungsgebieten helfen den Studierenden, sich die Mathematik einprägsam zu erschließen.Auf der Homepage zum Buch befinden sich zahlreiche Animationen zur Visualisierung der mathematis
Publisher: Springer-Verlag

Springer-Lehrbuch

Thomas Westermann

Mathematik für Ingenieure

Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch

5., neu bearbeitete Auflage

123

Professor Dr. Thomas Westermann

Hochschule Karlsruhe

Technik und Wirtschaft

Postfach 2440

76012 Karlsruhe
e-mail: Thomas.Westermann@hs-karlsruhe.de
http://www.home.hs-karlsruhe.de/˜weth0002

Homepage zum Buch
http://www.home.hs-karlsruhe.de/˜weth0002/buecher/mathe/start.htm
http://www.springer.com/978-3-540-77730-4

Vorauflagen erschienen 2bändig unter dem Titel: Mathematik für Ingenieure mit Maple

ISBN 978-3-540-77730-4
e-ISBN 978-3-540-77731-1

DOI 10.1007/978-3-540-77731-1

Springer Lehrbuch ISSN 0937-7433

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arbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung
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Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in
der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen
unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes.

Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk be-
rechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der

Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann
benutzt werden dürften.

Einbandgestaltung: WMXDesign, Heidelberg

Herstellung: le-tex publishing services oHG, Leipzig

Satz: Reproduktionsfähige Vorlage des Autors

Gedruckt auf säurefreiem Papier

9 8 7 6 5 4 3 2 1
springer.com

Vorwort zur 5. Auflage

In der vorliegenden 5. Auflage wurde die Umstellung von Diplom- zu Bache-
lor-Studiengängen berücksichtigt. Diese Umstellung bedeutet in der Regel,
dass weniger Stunden für die Mathematik zur Verfügung stehen. Daher wurde
das ursprünglich zweibändige Lehrbuch nun in einem Band zusammengefasst,
der den vollständigen Stoffumfang der Mathematikausbildung für Ingenieure
an Berufsakademien und technischen Hochschulen beinhaltet. Die grundlegen-
den Kapitel wurden erweitert und an den Bachelor-Standard mit einem größe-
ren Übungsanteil angepasst.

In Erweiterung der Bachelor- Studieninhalten wurden zusätzlich für die Mas-
ter-Ausbildung die folgenden Themen

Numerisches Lösen von Gleichungen

Numerisches Differenzieren und Integrieren

Numerisches Lösen von gewöhnlichen Differenzialgleichungen

Diskrete Fourier-Transformation und deren Anwendungen

Signal- und Systemtheorie für lineare Systeme

Partielle Differenzialgleichungen

Vektoralgebra
sowie viele ergänzende und weiterführende Abschnitte mit aufgenommen aber
auf die CD-Rom ausgelagert. Die pdf-Version des Buches auf der CD-Rom
beinhaltet auch diese weiterführenden Themen, die im Inhaltsverzeichnis mit
der Seitenangabe cd“ gekennzeichnet sind.

”

Mit der Umstellung auf einen Band wurde ein komplett neues Layout ein-
geführt, das eine übersichtlichere Darstellung der Lehrinhalte ermöglicht aber
auch die Möglichkeit bietet, die pdf-Version auf der CD-Rom als elektronisches,
interaktives E-Book zu benutzen. Das neue Layout verbessert die bisherige

Darstellung, indem
mit dem Symbol

! Achtung:“ auf Stellen besonders hingewiesen, die

”

man anfänglich oftmals falsch bearbeitet, übersieht oder nicht beachtet,
durch Markierungen am Seitenrand Gliederungspunkte und Orientierungs-
hilfen gegeben werden,

Definitionen und wichtige Sätze in blau unterlegten Boxen markiert werden,
die zahlreichen Zusammenfassungen farblich hervorgehoben werden,
wichtige Formel und Ergebnisse gekennzeichnet werden,

Musterbeispiele und Anwendungsbeispiele übersichtlich aus dem Text her-
vorgehen;

380 ausführlich durchgerechnete Beispiele,
über 360 Aufgaben mit Lösungen
und mehr als 200 Abbildungen und Skizzen zum Selbststudium und zur

Pr¨
ufungsvorbereitung dienen.

vi

Vorwort

Der Grundidee folgend, mathematische Begriffe zu visualisieren, um sie greif-
barer zu machen und den interaktiven Gebrauch des Buches zu fördern, wurde
die CD-Rom völlig neu und benutzerfreundlicher gestaltet. Die Interaktivität
der CD-Rom-Version wird unterstützt, indem

{ Inhaltsverzeichnis, Index und Beispiele verlinkt sind, so dass eine bequeme

Navigation innerhalb der pdf-Version möglich ist;

| Animationen, die im gif-Format vorliegen, durch Anklicken des ne-
benstehenden Symbols abgespielt werden können;

} das CD-Rom-Symbol auf Maple-Beschreibungen hinweist. Durch

Anklicken des Symbols oder der rot unterlegten Textstelle startet man
das zugehörige Maple-Worksheet.

Sämtlichen Maple-Beschreibungen sowie Maple-Worksheets sind auf der CD-

Rom enthalten. Die pdf-Version des Buches ist verlinkt, so dass die elektroni-
schen Arbeitsblätter direkt aus pdf gestartet werden können. Voraussetzung
ist, dass Maple auf dem Rechner installiert und die Erweiterung . mws mit ei-
ner Maple-Version verknüpft ist. Die zugehörigen Links sind Rot gekennzeich-
net; bei Beispielen steht zusätzlich (Mit Maple-Worksheet)“. Die Maple-

”

Prozeduren sind zusätzlich über den Prozedurnamen verlinkt und am Ende
jeden Kapitels ist eine verlinkte Liste der zum Kapitel gehörenden Worksheets.

Für die vorliegende 5. Auflage wurden die Maple-Beschreibungen an Maple

11 angepasst. Um auch zukünftig mit neuen Maple-Versionen Schritt halten
zu können, werden Updates der Maple-Worksheets unter
http://www.home.hs-karlsruhe.de/˜weth0002/buecher/mathe/start.htm
abrufbar sein.

Auf der CD-Rom sind weitere Informationen und Ergänzungen zugänglich:

alle Worksheets, die im Text beschrieben sind, inclusive vieler zusätzlicher

Maple-Prozeduren zur Visualisierung mathematischer Begriffe;
die Lösungen der Aufgaben;
zusätzliche Kapitel und Ergänzungen, die in der Buchform des Gesamtum-
fangs wegen nicht mehr eingebunden werden konnten;
eine Einführung in die Benutzeroberfläche von Maple 11.

Mein Dank gilt Herrn Richard von Scientific Computers und Waterloo Maple

Inc., die mir Maple 11 zur Verfügung gestellt haben sowie Frau Hestermann-

Beyerle vom Springer-Verlag für die gute und angenehme Zusammenarbeit.

Dieses Buch ist meinen Töchtern Veronika (zum Nachschlagen von längst Ver-
gessenem) und Juliane (zur Vorbereitung der Matheklausuren ihres Studiums)

gewidmet.

Karlsruhe, im März 2008

Thomas Westermann

Vorwort
vii

Vorwort zur 1. Auflage

Dieses zweibändige Lehrbuch entstand aus Vorlesungen und Übungen zur Ma-
thematik und Physikalischen Simulation für Ingenieure an der Hochschule

Karlsruhe. Es wendet sich aber an alle Studenten der Natur- und Ingenieur-
wissenschaften, da auch Themengebiete einbezogen sind, die nicht bzw. nicht
in der vorliegenden Tiefe in der Vorlesung behandelt wurden.

...

Die stürmische Entwicklung von Computersoftware im Bereich der Mathema-
tik erfordert eine Erweiterung der Ingenieur-Ausbildung, indem nicht nur pra-
xisorientiertes mathematisches Wissen, sondern auch das Rüstzeug vermittelt
wird, mit diesen Systemen erfolgreich arbeiten zu können. Die Computeralge-
bra-Systeme werden zum numerischen Rechnen genauso verwendet wie zum

Manipulieren von Formeln sowie der graphischen Darstellung komplizierter

Sachverhalte. Die Rechentechnik tritt in den Hintergrund; die interessante Mo-
dellierung und das systematische Vorgehen gewinnt an Bedeutung. In diesem

Lehrbuch wird dieser neue spannende Aspekt aufgegriffen und das Computer-
algebra-System Maple in die Mathematikausbildung mit einbezogen.

Mathematische Begriffe werden anschaulich motiviert, systematisch anhand
praxisbezogener Beispiele verdeutlicht und mit Maple-Worksheets umgesetzt,
was sich in vielen Animationen niederschlägt. Auf mathematische Beweise wird
fast gänzlich verzichtet und einer anschaulich prägnanten Sprechweise den Vor-
zug gegenüber einer mathematisch exakten Formulierung gegeben.

Um den ständig wachsenden Gebrauch von Rechnern und numerischen Problem-
lösungen zu berücksichtigen, wurden zahlreiche Abschnitte zur rechnerischen

Lösung von Standard-Problemen in dieses Mathematikbuch aufgenommen. Die
numerischen Algorithmen sind als Maple-Prozeduren auf der beigelegten CD-

Rom enthalten, können aber von etwas geübten Programmierern leicht in jede
andere höhere Sprache umgesetzt werden.

...

Besonders bedanken möchte ich mich bei Herrn F. Wohlfarth und Frau Raviol
für die präzise und fehlerfreie Erstellung des LATEX-Quelltextes mit all den vie-
len Formeln, den Herren M. Baus und F. Loeffler für die exzellente Erstellung
der meisten Skizzen und Bilder unter CorelDraw, so wie der Autor sie sich
vorgestellt hat. Mein Dank gilt auch dem Springer-Verlag für die angenehme
und reibungslose Zusammenarbeit, speziell Herrn Dr. Merkle.

Zuletzt möchte ich mich bei meiner Familie (Ulrike, Veronika, Juliane) bedan-
ken, die mit viel Verständnis meine Arbeit an diesem Buch mitgetragen und
tatkräftig unterstützt hat.

Karlsruhe, im Juni 1996

Thomas Westermann

Hinweise zum Gebrauch dieses Buches

Die einzelnen Kapitel fassen mehrere Aspekte einer Thematik zusammen.

Nicht immer ließ es sich vermeiden, Teilergebnisse aus späteren Kapiteln vor-
wegzunehmen und zu verwenden. Dem didaktischen Anliegen, Themenberei-
che geschlossen in einem Block zu bearbeiten, wurde dabei stärkere Priorität
als der mathematischen Strenge beigemessen. Die Reihenfolge innerhalb eines

Vorlesungszyklus muss sich nicht an die im Buch gewählte Reihenfolge halten,
einzelne Kapitel können auch aufgesplittet werden.

Dieses Buch ist ein Lehrbuch über Mathematik und kann ohne Rechner zum

Erlernen von mathematischem Grundwissen oder zur Prüfungsvorbereitung
herangezogen werden. Um den vollen Umfang und die ganze Schönheit der

Mathematik und der Anwendungen zu erleben, sind die Animationen und

Ausarbeitungen mit dem Computeralgebra-System Maple unverzichtbar. Nur
wenn eine Animation als Animation erlebt wird, kommt die volle Erkenntnis
zum Tragen.

Darstellung: Neu eingeführte Begriffe werden kursiv im Text markiert und
zumeist in einer Definition fett spezifiziert. Lehrsätze, wichtige Formeln und

Zusammenfassungen sind durch Umrahmungen besonders gekennzeichnet. Am

Ende eines jeden Kapitels befinden sich Aufgaben, deren Lösungen auf der

CD-Rom angegeben sind. Bei der Erarbeitung der Themengebiete wird eine
anwendungsorientierte Problemstellung vorangestellt und anschließend auf die
allgemeine mathematische Struktur übergegangen. Die Thematik wird dann
innerhalb der Mathematik bearbeitet und anhand von mathematischen Bei-
spielen erläutert. Neben der Behandlung der Problemstellungen mit Maple
werden aussagekräftige Anwendungsbeispiele diskutiert.

Beispiele: Die zahlreichen Beispiele sind für den Zugang zu den Themengebie-
ten unverzichtbar. Beim Selbststudium und zur Prüfungsvorbereitung sollten
möglichst die mathematischen Beispiele eigenständig bearbeitet werden. Wer
dieses Werk als Nachschlagewerk benutzt, kann sich an den durchgerechneten

Beispielen sowie an den eingerahmten Definitionen, Sätzen und Zusammenfas-
sungen orientieren.

Aufgaben: Alle Übungsaufgaben sind soweit nicht speziell gekennzeichnet mit
den Hilfsmitteln der einzelnen Paragraphen zu bearbeiten. Die Lösungen zu
den Aufgaben befinden sich als pdf -File auf der CD-Rom.

MAPLE: Die CD-Rom-Version dieses Buchs kann als eine themengebundene

Einführung in die Anwendung von Maple in der Mathematik gesehen werden,
da sämtliche Themengebiete des Buches mit Maple bearbeitet werden. Alle

Maple-Befehle sind im Text fett hervorgehoben; die Maple-Syntax erkennt
man an der Eingabeaufforderung ” > ” zu Beginn einer Zeile. Diese Maple-

Hinweise
ix

Zeilen sind im Textstil sans serif angegeben und können direkt in Maple ein-
gegeben werden. Die Maple-Ausgabe erscheint im Formelmodus. Am Ende
jedes Kapitels steht eine Zusammenfassung der verwendeten Befehle.

CD-Rom: Alle Maple-Ausarbeitungen sind auf der CD-Rom als elektroni-
sche Arbeitsblätter (Worksheets) enthalten, so dass der interessierte Leser die
im Text entwickelten Methoden umsetzen bzw. an abgeänderten Beispielen
erproben kann. Es wird besonders auf die vielen Animationen und Prozedu-
ren hingewiesen, welche die elementaren Begriffe visualisieren und die ma-
thematischen Zusammenhänge aufzeigen: Durch eine benutzerfreundliche Me-
nueführung soll die interaktive Benutzung der Worksheets sowohl zum Lösen
von mathematischen Problemen als auch zum experimentieren mit mathema-
tischen Begriffen gefördert werden.

Aufbau der CD-Rom: Die Struktur der Dateien und Verzeichnisse ist:

buch.pdf
enthält den Inhalt des vorliegenden, gedruckten Buches.

buch_CD.pdf
enthält den gesamten Inhalt des erweiterten Buches mit
allen zusätzlichen Kapiteln und Abschnitten. Zum Navi-
gieren innerhalb des Textes verwendbar sowie zum direk-
ten Starten der zugehörigen Maple-Worksheets.

index.mws

Inhaltsverzeichnis der Maple-Worksheets.

\ wrksheet \
enthält alle Worksheets im mws-Format.

\ animationen \ enthält alle Animationen im gif -Format.

readme.wri
letzte Änderungen, die nicht mehr im Text aufgenommen
werden konnten.

Arbeiten mit der mws-Datei: Durch Doppelklicken der Datei index.mws
öffnet man das Maple-Inhaltsverzeichnis. Durch anschließendes Anklicken des
gewünschten Abschnitts wird das zugehörige Maple-Worksheet gestartet und
ist dann interaktiv bedienbar. Mit der Zurück-Taste der oberen Taskleiste
kommt man vom Worksheet wieder zum Inhaltsverzeichnis zurück.

Systemvoraussetzungen: Maple 11 ist auf dem Rechner installiert (emp-
fohlen), mindestens jedoch Maple 6. mws ist je nach Version mit dem ausführ-
baren Programm cwmaple.exe bzw. maplew.exe im Maple-bin-Verzeichnis ver-
knüpft. Acrobat-Reader steht zur Verfügung; er kann ansonsten von der CD-

Rom installiert werden.

Die Worksheets auf der CD-Rom sind unter der Extension .mws abgespei-
chert und unter beiden Benutzeroberflächen (Classic Worksheet und Standard

Worksheet) uneingeschränkt lauffähig. Bis auf kleine Einschränkungen sind
die Worksheets unter allen Maple-Versionen ab Maple 6 lauffähig. Allei-
ne die auf dem lokalen Rechner spezifizierte Verknüpfung entscheidet, welche

Maple-Variante gestartet wird.

Inhaltsverzeichnis

1

Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme . . . . . . . . .

1

1.1

Mengen ..............................................................

3

1.2

Natürliche Zahlen ..................................................

5

1.3

Reelle Zahlen .......................................................

13

1.4

Gleichungen und Ungleichungen ................................

19

1.5

Lineare Gleichungssysteme .......................................

26

1.6

Aufgaben zu Zahlen, Gleichungen und Gleichungssystemen

36

2

Vektoren und Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.1

Vektoren im IR2 ....................................................

42

2.2

Vektoren im IR3 ....................................................

50

2.3

Geraden und Ebenen im IR3 .....................................

61

2.4

Vektorräume ........................................................

76

2.5

Aufgaben zur Vektorrechnung ...................................

92

3

Matrizen und Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

3.1

Matrizen .............................................................

99

3.2

Determinanten...................................................... 114

3.3

Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen .................. 124

3.4

Aufgaben zu Matrizen und Determinanten ................... 135

4

Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.1

Allgemeine Funktionseigenschaften............................. 139

4.2

Polynome ............................................................ 152

4.2.1

Festlegung von Polynomen durch gegebene Wertepaare ... 153

4.2.2

Koeffizientenvergleich ............................................. 154

4.2.3

Teilbarkeit durch einen Linearfaktor ............................ 155

4.2.4

Nullstellenproblem ................................................. 156

4.2.5

Interpolationspolynome mit dem Newton-Algorithmus ..... 159

4.3

Rationale Funktionen ............................................. 162

4.4

Potenz- und Wurzelfunktionen .................................. 167

4.5

Exponential- und Logarithmusfunktion ........................ 170

4.6

Trigonometrische Funktionen .................................... 175

4.7

Arkusfunktionen .................................................... 182

4.8

Aufgaben zu elementaren Funktionen.......................... 188

5

Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

191

5.1

Darstellung komplexer Zahlen ................................... 194

5.2

Komplexe Rechenoperationen ................................... 200

5.2.1

Addition ............................................................. 200

5.2.2

Subtraktion ......................................................... 200

5.2.3

Multiplikation ....................................................... 201

5.2.4

Division .............................................................. 203

5.2.5

Potenz ............................................................... 205
xii

Inhaltsverzeichnis

5.2.6

Wurzeln .............................................................. 206

5.2.7

Fundamentalsatz der Algebra.................................... 207

5.3

Anwendungen....................................................... 209

5.4

Aufgaben zu komplexen Zahlen ................................. 219

6

Grenzwert und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

221

6.1

Reelle Zahlenfolgen ................................................ 223

6.2

Funktionsgrenzwert ................................................ 229

6.3

Stetigkeit einer Funktion ......................................... 235

6.4

Intervallhalbierungs-Methode .................................... 237

6.5

Aufgaben zu Grenzwert und Stetigkeit ........................ 240

7

Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

241

7.1

Einführung .......................................................... 243

7.2

Rechenregeln bei der Differenziation ........................... 249

7.2.1

Faktorregel .......................................................... 249

7.2.2

Summenregel ....................................................... 249

7.2.3

Produktregel ........................................................ 250

7.2.4

Quotientenregel .................................................... 251

7.2.5

Kettenregel .......................................................... 252

7.2.6

Begründung der Formeln 7.2.1 - 7.2.5 ......................... 254

7.2.7

Ableitung der Umkehrfunktion .................................. 255

7.2.8

Logarithmische Differenziation .................................. 258

7.2.9

Implizite Differenziation .......................................... 260

7.3

Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik ............... 262

7.4

Differenzial einer Funktion ....................................... 265

7.5

Anwendungen in der Mathematik .............................. 270

7.6

Extremwertaufgaben (Optimierungsprobleme) ............... 277

7.7

Sätze der Differenzialrechnung .................................. 281

7.8

Spektrum eines strahlenden schwarzen Körpers ............. 287

7.9

Newton-Verfahren ................................................. 289

7.10

Aufgaben zur Differenzialrechnung ............................. 293

8

Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

295

8.1

Das Riemann-Integral ............................................. 297

8.2

Fundamentalsatz der Differenzial- und Integralrechnung... 302

8.3

Grundlegende Regeln der Integralrechnung ................... 311

8.4

Integrationsmethoden ............................................. 313

8.4.1

Partielle Integration ............................................... 313

8.4.2

Integration durch Substitution .................................. 315

8.4.3

Partialbruchzerlegung ............................................. 321

8.5

Uneigentliche Integrale............................................ 327

8.6

Anwendungen der Integralrechnung ............................ 329

8.7

Aufgaben zur Integralrechnung.................................. 339

Inhaltsverzeichnis
xiii

9

Funktionenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

341

9.1

Zahlenreihen ........................................................ 344

9.2

Potenzreihen ........................................................ 355

9.3

Taylor-Reihen ....................................................... 361

9.4

Anwendungen....................................................... 371

9.5

Komplexwertige Funktionen ..................................... 376

9.6

Aufgaben zu Funktionenreihen .................................. 385

10

Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren

Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

10.1

Funktionen mit mehreren Variablen ............................ 389

10.2

Stetigkeit ............................................................ 398

10.3

Differenzialrechnung............................................... 400

10.3.1

Partielle Ableitung ................................................. 400

10.3.2

Totale Differenzierbarkeit......................................... 408

10.3.3

Gradient und Richtungsableitung ............................... 410

10.3.4

Der Taylorsche Satz ............................................... 416

10.4

Anwendungen der Differenzialrechnung ....................... 423

10.4.1

Das Differenzial als lineare Näherung .......................... 423

10.4.2

Fehlerrechnung ..................................................... 428

10.4.3

Lokale Extrema bei Funktionen mit mehreren Variablen ... 432

10.4.4

Ausgleichen von Messfehlern; Regressionsgerade ............ 439

10.5

Aufgaben zur Differenzialrechnung ............................. 446

11

Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren

Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

11.1

Doppelintegrale (Gebietsintegrale) ............................. 451

11.2

Dreifachintegrale ................................................... 464

11.3

Aufgaben zur Integralrechnung.................................. 471

12

Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . .

473

12.1

Differenzialgleichungen erster Ordnung........................ 476

12.1.1

Einleitende Problemstellungen................................... 476

12.1.2

Lösen der homogenen Differenzialgleichung .................. 480

12.1.3

Lösen der inhomogene Differenzialgleichung ................. 482

12.1.4

Lineare Differenzialgleichungen mit konstantem Koeffizient 490

12.1.5

Nichtlineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung ............ 494

12.1.6

Numerisches Lösen von DG 1. Ordnung....................... 497

12.2

Lineare Differenzialgleichungssysteme.......................... 501

12.2.1

Einführung .......................................................... 501

12.2.2

Homogene lineare Differenzialgleichungssysteme ............ 504

12.2.3

Eigenwerte und Eigenvektoren .................................. 508

12.2.4

Lösen von homogenen LDGS mit konstanten Koeffizienten 513
xiv

Inhaltsverzeichnis

12.3

Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung .............. 523

12.3.1

Einleitende Beispiele............................................... 523

12.3.2

Reduktion einer linearen DG n-ter Ordnung auf ein System 526

12.3.3

Homogene DG n-ter Ordnung mit konst. Koeffizienten .... 531

12.3.4

Inhomogene DG n-ter Ord. mit konstanten Koeffizienten . 541

12.4

Aufgaben zu Differenzialgleichungen ........................... 555

13

Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

559

13.1

Die Laplace-Transformation...................................... 563

13.2

Inverse Laplace-Transformation ................................. 568

13.3

Zwei grundlegende Eigenschaften............................... 569

13.4

Methoden der Rücktransformation ............................. 574

13.5

Anwendungen der Laplace-Transformation ................... 577

13.6

Aufgaben zur Laplace-Transformation ......................... 581

14

Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

583

14.1

Einführung .......................................................... 585

14.2

Bestimmung der Fourier-Koeffizienten......................... 587

14.3

Fourier-Reihen für 2 π-periodische Funktionen ............... 590

14.4

Fourier-Reihen für p-periodische Funktionen ................. 597

14.5

Fourier-Reihen für komplexwertige Funktionen .............. 605

14.6

Aufgaben zu Fourier-Reihen ..................................... 610

15

Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

611

15.1

Fourier-Transformation und Beispiele .......................... 613

15.2

Eigenschaften der Fourier-Transformation .................... 623

15.3

Fourier-Transformation der Deltafunktion..................... 637

15.4

Aufgaben zur Fourier-Transformation.......................... 645

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649

Inhaltsverzeichnis
xv

Zus¨
atzliche Kapitel auf der CD-Rom

12*

Numerisches L¨
osen von Differenzialgleichungen

12.5

Numerisches Lösen von Differenzialgleichungen 1. Ordnung
cd

12.5.1

Streckenzugverfahren von Euler .................................

cd

12.5.2

Verfahren höherer Ordnung ......................................

cd

12.5.3

Vergleich der numerischen Verfahren mit MAPLE............

cd

12.5.4

Numerisches Lösen von DG 1. Ordnung mit MAPLE: dsolve
cd

12.6

Beschreibung elektrischer Filterschaltungen ..................

cd

12.6.1

Physikalische Gesetzmäßigkeiten der Bauelemente ..........

cd

12.6.2

Aufstellen der DG für elektrische Schaltungen ...............

cd

12.6.3

Aufstellen und Lösen der DG für Filterschaltungen .........

cd

16

Numerisches L¨
osen von Gleichungen

16.1

Intervallhalbierungs-Methode ....................................

cd

16.2

Pegasus-Verfahren .................................................

cd

16.3

Banachsches Iterationsverfahren ................................

cd

16.4

Anwendung des Banach-Verfahrens ............................

cd

16.5

Newton-Verfahren .................................................

cd

16.6

Regula falsi..........................................................

cd

17

Numerische Differenziation und Integration

17.1

Numerische Differenziation ......................................

cd

17.2

Numerische Integration ...........................................

cd

18

Diskrete Fourier-Transformation und Anwendungen

18.1

Diskrete Fourier-Transformation ................................

cd

18.2

Diskrete Fourier-Transformation mit MAPLE .................

cd

18.3

Anwendungsbeispiele zur DFT mit MAPLE ...................

cd

19

Partielle Differenzialgleichungen

19.1

Einführung ..........................................................

cd

19.2

Die Wellengleichung ...............................................

cd

19.3

Die Wärmeleitungsgleichung.....................................

cd

19.4

Die Laplace-Gleichung ............................................

cd

19.5

Die zweidimensionale Wellengleichung.........................

cd

19.6

Die Biegeschwingungsgleichung .................................

cd

20

Vektoranalysis und Integrals¨
atze

20.1

Divergenz und Satz von Gauß ...................................

cd

20.2

Rotation und Satz von Stokes...................................

cd

20.3

Rechnen mit Differenzialoperatoren ............................

cd

20.4

Anwendung: Die Maxwellschen Gleichungen .................

cd

L¨
osungen zu den ¨

Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cd

Kapitel 1

1

Zahlen, Gleichungen und

Gleichungssysteme

1

Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme . . . . . . . . . .

1

1.1

Mengen ..............................................................

3

1.2

Natürliche Zahlen ..................................................

5

1

1.2.1

Peanosche Axiome .................................................

6

1.2.2

Vollständige Induktion ............................................

7

1.2.3

Geometrische Summenformel ....................................

10

1.2.4

Permutationen ......................................................

10

1.2.5

Der binomische Lehrsatz .........................................

11

1.3

Reelle Zahlen .......................................................

13

1.3.1

Zahlenmengen und Operationen ................................

13

1.3.2

Die Rechengesetze für reelle Zahlen............................

14

1.3.3

Potenzrechnen ......................................................

15

1.3.4

Logarithmen ........................................................

16

1.3.5

Anordnung der reellen Zahlen ...................................

17

1.4

Gleichungen und Ungleichungen ................................

19

1.4.1

Gleichungen .........................................................

19

1.4.2

Ungleichungen ......................................................

23

1.5

Lineare Gleichungssysteme .......................................

26

1.5.1

Einführung ..........................................................

26

1.5.2

Begriffsbildung und Notation ....................................

28

1.5.3

Das Lösen von linearen Gleichungssystemen..................

29

1.6

Aufgaben zu Zahlen, Gleichungen und Gleichungssystemen

36

Zus¨
atzliche Abschnitte auf der CD-Rom

1.7

Mathematische Beweismethoden ...............................

cd

1.8

MAPLE: Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme.......

cd

1 Zahlen, Gleichungen und

Gleichungssysteme

Zahlen und Mengen gehören zu den wichtigsten Grundbegriffen der Mathematik, auf
denen alle weiteren Gebilde und Konstruktionen aufbauen. In diesem Kapitel wer-
den die Grundlagen sowohl über Mengen als auch über die natürlichen Zahlen gelegt.

Zur Beschreibung der natürlichen Zahlen werden die Peanoschen Axiome eingeführt
und das Prinzip der vollständigen Induktion an vielen Beispielen demonstriert. Die
reellen Zahlen und elementaren Rechengesetze werden angegeben; die Grundgesetze
zu den Potenzen und Logarithmen werden wiederholt.

Zu den elementaren Aufgaben der Mathematik gehört das Lösen von Gleichungen.

In diesem Kapitel werden auch einfache Gleichungen sowie die für die Anwendun-
gen wichtigen linearen Gleichungssysteme behandelt und der Gauß-Algorithmus ein-
geführt. Da nur wenige Typen von Gleichungen explizit lösbar sind, werden wir nicht
systematisch auf das Lösen von Gleichungen eingehen, sondern exemplarisch zeigen,
wie man grundlegende Gleichungen bearbeitet.

Hinweis: Auf der CD-Rom befindet sich ein zusätzlicher Abschnitt über elemen-
tare mathematische Beweismethoden sowie das Lösen von Gleichungen mit Maple
inklusive der graphischen Darstellung von Ungleichungen.

1.1

1.1 Mengen

”Unter einer Menge M verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimm-
ten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens
zu einem Ganzen”; diese Festlegung (=Definition) des Mengenbegriffs stammt
von G. Cantor (1895). Diese Definition des Mengenbegriffs reicht für unsere

Zwecke vollständig aus. Mengen bezeichnen wir im Folgenden immer mit Groß-
buchstaben. Die Objekte einer Menge A heißen Elemente von A und werden
mit Kleinbuchstaben bezeichnet.

a ∈ A heißt: a ist Element der Menge A.

a /

∈ A heißt: a ist nicht Element der Menge A.

Mengen werden üblicherweise angegeben durch
das Auflisten der Elemente in einer Mengenklammer

{a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , . . .} ,
eine Aussageform

{a ∈ A : a hat die Eigenschaft E} .

Die leere Menge ∅ bzw. {} enthält keine Elemente. B heißt Teilmenge von A

( B ⊂ A), wenn jedes Element von B auch Element von A ist.

4

1. Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

Beispiele 1.1 (Mengen):

IN

=

Menge der natürlichen Zahlen

= { 1 , 2 , 3 , 4 , ...}.

IN0

=

Menge der natürlichen Zahlen mit Null

= { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ...}.

ZZ

=

Menge der ganzen Zahlen

= { 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3 , ...}.

I

Q

=

Menge der rationalen Zahlen

= { p : p ∈ ZZ , q ∈ IN }.

q

IR

=

Menge der reellen Zahlen

Es gilt: IN ⊂ ZZ ⊂ IQ ⊂ IR.

Bemerkungen:

(1) Die Reihenfolge der Elemente einer Menge spielt keine Rolle. Es ist daher

{a, b, c, d} = {d, c, a, b} .

(2) Jedes Element einer Menge wird nur einmal aufgezählt, d.h.

{a, a, a, b, d, d} = {a, b, d}.

Mengenoperationen

Für zwei Mengen A und B sind der Durchschnitt A ∩B, die Vereinigung A∪B
und das Komplement A\B definiert durch

A ∩ B := {x : x ∈ A und x ∈ B} ,

A ∪ B := {x : x ∈ A oder x ∈ B} ,

A\B := {x : x ∈ A und x /

∈ B} .

Hierbei bedeutet ” :=” , dass das Symbol auf der linken Seite durch die rech-
te Seite der Gleichung festgelegt (= definiert) wird. Ähnlich ist das Zeichen

”: ⇐⇒” zu lesen, als logische Äquivalenz nach Definition dessen, was auf Seiten
des Doppelpunktes steht.

Abb. 1.1. Venn-Diagramme

Durch die sog. Venn-Diagramme (siehe Abb. 6.2) lassen sich Mengen und Men-
genoperationen schematisch darstellen. Links ist der Schnitt zweier Mengen

A ∩ B, in der Mitte die Vereinigung der Mengen A ∪ B und rechts das Komple-
ment der Menge A zur Menge B aufgezeigt. Mit den Venn-Diagrammen lassen
sich die folgenden Rechenregeln für Mengen leicht veranschaulichen:

1.2

Natürliche Zahlen

5

1.

A ∪ B = B ∪ A

2.

A ∪ A = A

3.

A ∪ ( B ∪ C) = ( A ∪ B) ∪ C

4.

A ∪ ( B ∩ C) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C)

5.

( A\B) \C = A\( B ∪ C)

6.

A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A ⇔ A ∪ B = B ⇔ A\B = ∅

Das kartesische Produkt von zwei Mengen M 1 und M 2 ist die Menge, die aus
allen Paaren ( x, y) besteht, wobei x ∈ M 1 und y ∈ M 2 :

M 1 × M 2 := {( x, y) : x ∈ M 1 und y ∈ M 2 } .

Beispiel 1.2: IR × IR besteht aus allen Paaren von reellen Zahlen. Dies ist
nichts anderes als die Zahlenebene; ( x, y) ist jeweils ein Punkt in dieser Ebene.

Statt IR × IR schreibt man kurz IR2.

1.2

1.2 Nat¨
urliche Zahlen

Zu den einfachsten Gegenständen der Arithmetik gehören die natürlichen Zah-
len. Sie bilden das Fundament unseres Zahlengebäudes. Die Gesamtheit aller
natürlichen Zahlen nennen wir die ”natürliche Zahlenmenge” IN. Der Ausdruck

”natürliche” Zahlen für IN = { 1 , 2 , 3 , . . .} ist sicherlich gut gewählt, denn Kin-
der beginnen so zu zählen und in allen Kulturen beginnt das mathematische

Denken mit diesen Zahlen. Die Null wurde erst sehr spät, nämlich etwa 870
n. Chr. von den Indern erfunden und wird heute zu den natürlichen Zahlen
hinzugenommen: IN0.

Erst durch die Entdeckung der Zahl Null war die indische Mathematik erstmals
in der Lage, ein heutzutage in der ganzen Welt übernommenes Stellenwertsys-
tem zu schaffen, das nur mit zehn Ziffern (einschließlich der Null) auskommt.

Das Stellenwertsystem ist schon bei A. Ries (1492-1559) in seinem ersten Re-
chenbuch 1422 beschrieben. Darin befindet sich auch die Würdigung der Zahl

Null! Das Fundamentalprinzip der natürlichen Zahlen geht auf den Mathema-
tiker Peano (1858-1939, 1889) zurück.

6

1. Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

1.2.1 Peanosche Axiome

(1) 1 ist eine natürliche Zahl.

(2) Zu jeder natürlichen Zahl n existiert genau ein Nachfolger n, der
ebenfalls der natürlichen Zahlenmenge angehört.

(3) Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 1 ist.

(4) Die Nachfolger zweier verschiedener natürlicher Zahlen sind vonein-
ander verschieden.

(5) Eine Teilmenge der natürlichen Zahlen enthält alle natürlichen Zah-
len, wenn 1 zur Menge gehört und mit einer natürlichen Zahl n stets
auch der Nachfolger n zur Menge gehört.

Mit den Peanoschen Axiomen ist man in der Lage, die natürliche Zahlenmen-
ge aufzubauen, denn man erhält sofort die folgenden Konsequenzen aus den

Axiomen:

Folgerungen:

(1) Die natürliche Zahlenmenge hat unendlich viele verschiedene Elemente:

Wegen ( A 1) gibt es mindestens eine natürliche Zahl: 1. Wegen ( A 2) gibt
es zu 1 einen Nachfolger, der nach ( A 3) = 1: 2 . Wegen ( A 2) gibt es zu 2
einen Nachfolger, der = 1 ( A 3) und = 2 ( A 4): 3. usw.

(2) Die Elemente der natürlichen Zahlenmenge lassen sich in einer bestimmten

Reihenfolge anordnen, wobei schrittweise alle natürlichen Zahlen erfasst
werden:

1; 2; 3; 4; 5; ..., n; n + 1; ...

Hierbei bedeutet n + 1 der Nachfolger von n. Durch diese Reihenfolge wird
auf natürliche Weise die Addition von natürlichen Zahlen festgelegt.

(3) Jede Teilmenge M der natürlichen Zahlen M ⊂ IN, welche die 1 und mit
n ∈ M auch stets den Nachfolger n + 1 enthält, ist gleich der Menge aller
natürlichen Zahlen.

Aus der Folgerung (3) erhalten wir ein Beweisprinzip, welches zu den wichtigs-
ten Beweismethoden der Analysis gehört, nämlich die vollst¨
andige Induktion.

1.2

Natürliche Zahlen

7

1.2.2 Vollst¨
andige Induktion

Um eine Aussage A( n) für alle natürlichen Zahlen zu beweisen, genügt es nach

Folgerung (3) zu zeigen:

(I) Induktionsanfang: Für n = 1 ist die Aussage richtig.

(II) Induktionsschluss von n 0 auf n 0 +1: Ist die Aussage für eine belie-
bige natürliche Zahl n 0 gültig, dann muss sie auch für den Nachfolger
n 0 + 1 richtig sein.

Können beide Schritte durchgeführt werden, dann gilt die Aussage für alle
n ∈ IN. Denn nach (I) ist die Aussage für 1 richtig. Nach (II) ist dann die

Aussage auch für den Nachfolger 2 richtig. Nach (II) ist dann die Aussage
auch für den Nachfolger, also 3, richtig. usw.

n( n + 1)

Beispiel 1.3.

1 + 2 + · · · + n =

( n ∈ IN)

2

Beweis mit vollständiger Induktion. Der Induktionsanfang besteht darin, dass
man explizit nachprüfen muss, dass die Formel für n = 1 richtig ist. Wir setzen
daher n = 1 sowohl in die linke wie auch rechte Seite der Gleichung ein: Für
n = 1 ist die linke Seite der Gleichung 1 und die rechte Seite 1 · 2 = 1 . Damit

2
stimmt die Formel für n = 1.

Induktionsschluss von n 0 auf n 0 + 1: Sei n 0 ∈ IN beliebig und die Formel sei
richtig für dieses n 0, d.h. es gilt 1 + 2 + · · · + n 0 = n 0( n 0+1) . Unter dieser 2

Voraussetzung müssen wir zeigen, dass die Formel dann für n 0 + 1 gilt. Wir
starten mit der linken Seite der Gleichung; die Summe geht nun bis n 0 +1. Wir
setzen die Induktionsvoraussetzung ein und formen den Term so lange um, bis
die rechte Seite für n 0 + 1 heraus kommt:

1 + 2 + · · · + n 0 + ( n 0 + 1) = (1 + 2 + · · · + n 0) + ( n 0 + 1)

n

=

0( n 0 + 1) + ( n

2

0 + 1)

n

=

0( n 0 + 1) + 2( n 0 + 1)

2

( n

=

0 + 1)( n 0 + 2) .

2

Dies ist die zu beweisende Formel für n 0 + 1.

8

1. Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

Anmerkung: Man sagt, dass diese Summenformel auf F. Gauß (1777-1855)

zurück geht, der einer Anekdote zufolge die Summe der ersten 100 Zahlen
dadurch berechnete, dass er die Summe der ersten mit der letzten, der zweiten
mit der zweitletzten, der dritten mit der drittletzten usw. bildete:

1 + 2 + 3 + · · · + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + · · · .

Somit erhält man von den 100 Summanden nur noch 100 , jeder mit dem Wert

2

101, also 1 + 2 + 3 + · · · + 100 = 100 · 101 . Tatsächlich war sowohl die Formel als

2
auch der Rechenweg schon Adam Ries (1492-1559; 1422) bekannt.

Als Abkürzung für Summen und Produkte führt man folgende Notationen ein:

Definition:

(1) Summen: Für die Summe der Zahlen al, al+1 , . . . , an ∈ IR schreibt man
n
ak := al + al+1 + ... + an.

k= l

(2) Produkt: Für das Produkt der Zahlen al, al+1 , . . . , an ∈ IR schreibt man
n
ak := al ·al+1 ·...·an.

k= l

(3) Fakult¨
at: Zu jedem n ∈ IN definiert man
n! := 1 · 2 · . . . · n

(Fakult¨
at von n )

und

0! := 1 .

Übrigens wächst n! sehr schnell. Z.B. 13! ≈ 6 · 109; um diese Zahl zu zählen,
benötigte man 100 Jahre, wenn man in einer Minute bis 100 zählen könnte!

Beispiele 1.4.

10

{
i 2 = 52 + 62 + 72 + 82 + 92 + 102 = 355 .

i=5

5

1

1

1

1

1

1

137

|

=

+

+

+

+

=

.

2 i

2 · 1

2 · 2

2 · 3

2 · 4

2 · 5

120
i=1

6

}

(2 i − 1)2 = 52 · 72 · 92 · 112 = 12006225 .

i=3

~

5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120 .

1.2

Natürliche Zahlen

9
n

Beispiel 1.5.

1 + 3 + 5 + · · · + (2 n − 1) =

(2 k − 1) = n 2

( n ∈ IN)

k=1

Beweis mit vollständiger Induktion. Wir beginnen beim Induktionsanfang
n = 1, indem wir n = 1 sowohl in die linke wie auch rechte Seite der Gleichung
einsetzen: 1 = 12. Damit ist die Formel richtig für n = 1.

Induktionsschluss von n auf n + 1: Sei n beliebig und die Formel richtig für
dieses n, dann ist zu zeigen, dass die Formel auch für n + 1 gilt:

1 + 3 + 5 + · · · + (2 n − 1) + (2 n + 1) = [1 + 3 + · · · + (2 n − 1)] + (2 n + 1)

= n 2 + 2 n + 1 = ( n + 1)2 .

Dies ist die Formel für n + 1.

Achtung: Zum Beweisprinzip der vollst¨
andigen Induktion gehören sowohl
der Induktionsanfang als auch der Induktionsschluss. Fehlt einer dieser beiden

Beweisteile, ist der Beweis nicht vollständig und die Aussage nicht bewiesen,
wie die beiden folgenden Beispiele zeigen:

! Beispiel 1.6. Nach L. Euler (1707-1783) liefert der Ausdruck
p = n 2 − n + 41
für n = 1 , 2 , 3 , . . . , 40 Primzahlen, nämlich p = 41 , 43 , 47 , . . . , 1601 wie man durch Einsetzen explizit nachrechnet. Dies reicht aber nicht für einen allgemeinen Beweis aus. Für n = 41 folgt p = 412 − 41 + 41 = 412 . Dies ist keine

Primzahl. Die Primzahlberechnung ist zwar für viele einzelne n richtig; sie gilt
aber nicht allgemein!

! Beispiel 1.7. Wir betrachten die falsche Formel
n( n + 1)

1 + 2 + 3 + · · · + n =

+ 1

2

(vgl. Beispiel 1.3) und zeigen, dass dennoch der Induktionsschluss durchführ-
bar ist: Wir nehmen also an, die Formel sei für ein n richtig und zeigen, dass
sie dann auch für n + 1 gültig ist.

1 + 2 + 3 + · · · + n + ( n + 1) = n( n+1) + 1 + ( n + 1)

2

= n( n+1)+2( n+1) + 1

2

= ( n+1)( n+2) + 1 .

2

Dies ist die Formel für n + 1. Obwohl der Induktionsschluss durchführbar
ist, gibt es keine natürliche Zahl n, für welche die Formel richtig ist. Der

Induktionsschluss verliert also seinen Sinn, wenn der Nachweis für n = 1 oder
für einen anderen festen Zahlenwert nicht erbracht werden kann.

10

1. Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

1.2.3 Geometrische Summenformel

Für viele Anwendungen wichtig ist die geometrische Summenformel:

Satz ( Geometrische Summenformel)

n

1 − qn+1

Für jede reelle Zahl q = 1 gilt:

qi =

( n ∈ IN

1 − q

0)

i=0

Beweis durch vollständige Induktion.

0

1 − q 1

Induktionsanfang n = 0:

qi = q 0 = 1 =

.

1 − q
i=0

Induktionsschluss von n auf n + 1: Sei n beliebig und die Formel richtig für n,
dann gilt für n + 1:

n+1

n

1 − qn+1
qi =
qi + qn+1 =

+ qn+1
i=0
i=0

1 − q

1 − qn+1 + (1 − q) qn+1

1 − qn+2

=

=

.

1 − q

1 − q

1.2.4 Permutationen

Als Permutation einer Menge versteht man alle möglichen Anordnungen der

Elemente der Menge. Ist A = {a 1 , a 2 , a 3 , . . . , an}, so kommt auf jede Position
in der Menge genau ein Element. Eine andere Anordnung der Menge ist z.B.

{a 2 , a 1 , a 3 , . . . , an}.

Der folgende Satz gibt Aufschluss darüber, wie groß die Anzahl aller verschie-
dener Anordnungen einer n-elementigen Menge ist:

Satz: Die Anzahl aller möglichen Anordnungen einer n-elementigen Menge

{a 1 , . . . , an} ist gleich n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n.

Beweis durch vollständige Induktion. Der Induktionsanfang ist wieder bei
n = 1: Die Anzahl aller Anordnungen der 1-elementigen Menge {a 1 } ist 1.

Wegen 1! = 1 gilt die zu beweisende Formel also für n = 1.

Induktionsschluss von n auf n + 1: Gesucht ist die Anzahl aller Anordnungen
einer ( n + 1)-elementigen Menge {a 1 , a 2 , a 3 , . . . , an+1 }. Dazu betrachten wir das Element a 1 und dessen Plätze (Positionen) in dieser Menge. a 1 kann an

1. Stelle stehen; dann gibt es nach Induktionsvoraussetzung für die restlichen
n Elemente n! Anordnungen. a 1 kann auch an 2. Stelle stehen; dann gibt es

1.2

Natürliche Zahlen

11
nach Induktionsvoraussetzung für die restlichen n Elemente n! Anordnungen.

a 1 kann auch an 3. Stelle stehen; wieder gibt es dann für die restlichen n Ele-
mente n! Anordnungen. usw. a 1 kann also an n + 1 verschiedenen Positionen
stehen, und die verbleibenden n Elemente haben dann noch n! unterschied-
liche mögliche Anordnungen. Insgesamt gibt es also n! · ( n + 1) = ( n + 1)!

Möglichkeiten.

Folgerung: Die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen

Menge {a 1 , . . . , an} ist gleich
n!

.

k!( n − k)!

Begr¨
undung: Alle k-elementigen Teilmengen der Menge M = {a 1 , . . . , an}

findet man, indem aus allen n! Anordnungen nur die ersten k Elemente ge-
nommen werden. Dabei tritt jede k-elementige Teilmenge k!-mal auf und die
verbleibenden ( n − k)!-mal. Damit sind die k-elementigen Teilmengen gleich
n!

.

k!( n−k)!

Anwendung: Die Chance, beim Lotto-Spiel ”6 aus 49” die richtige Kombi-
nation zu erraten, ist etwa 1:14 Millionen. Denn die Anzahl der 6-elementigen

Teilmengen einer 49-elementigen Menge ist gleich

49!

= 44 · 45 · 46 · 47 · 48 · 49 =

6! 43!

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6

13 . 983 . 816 .

1.2.5 Der binomische Lehrsatz

Für zwei natürliche Zahlen n und k mit 0 ≤ k ≤ n bezeichnet man die Zahl

n
n!

:=
k
k!( n − k)!

(man spricht n über k) als Binomialkoeffizient. Die Binomialkoeffizienten be-
stimmen sich entweder durch die obige Formel oder durch das nach Pascal
benannte Schema, dem sog. Pascalschen-Dreieck: Beginnend mit 1 wird die
unten angegebene Pyramide in jeder Stufe um eine 1 rechts und links erwei-
tert. Die Zahlen im Schema ergeben sich aus der Summe der beiden darüber
stehenden Zahlen.

12

1. Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

0

:

1
k

1

:

1

1
k

2

:

1

2

1
k

3

:

1

3

3

1
k

4

:

1

4

6

4

1
k

5

:

1

5

10

10

5

1
k

6

:

1

6

15

20

15

6

1
k...

Bemerkung: Mit den Binomialkoeffizienten können wir die letzte Folgerung

n
kurz formulieren: Es gibt

Möglichkeiten aus n Objekten genau k aus-
k
zuwählen. Aus dieser Aussage erhalten wir die binomische Formel:

Satz: (Binomischer Lehrsatz). Für beliebige Zahlen a, b ∈ IR und jede
natürliche Zahl n ≥ 0 gilt:

n

n

( a + b) n=
an−k bk
k
k=0

Beweis: Multipliziert man die rechte Seite aus, so kommt der Term bk so oft

n
vor, wie man k Faktoren aus n Faktoren wählen kann, also

-mal (siehe
k
obige Bemerkung). Die restlichen ( n − k) Faktoren tragen zu an−k bei.

Beispiele 1.8.

{

( x + y)0 = 1

( x + y)1 = x + y

( x + y)2 = x 2 + 2 xy + y 2

( x + y)3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 xy 2 + y 3

|

Wir berechnen den Wert der Potenz (104)3 mit dem Lehrsatz:

(104)3 = (100 + 4)3 = 1003 + 3 · 1002 · 4 + 3 · 100 · 42 + 43

= 1 000 000 + 120 000 + 4 800 + 64 = 1 . 124 . 864 .

1.3

Reelle Zahlen

13

1.3

1.3 Reelle Zahlen

Wir stellen uns auf den Standpunkt, dass uns die reellen Zahlen zur Verfügung
stehen und gehen nicht auf den axiomatischen Aufbau ein. Für physikalische

Messungen würden die rationalen Zahlen ausreichen, für die höhere Analysis
weisen die rationalen Zahlen ”zu viele Löcher” auf. Erst ihre Erweiterung zu
den reellen Zahlen macht die Differenzial- und Integralrechnung möglich.

1.3.1 Zahlenmengen und Operationen

Auf den natürlichen Zahlen IN gibt es als Grundrechenarten + und ·. Die

Gleichung x + 1 = 0 ist innerhalb IN formulierbar, aber nicht lösbar. Man
erweitert daher den Zahlenbereich um all die Lösungen der Gleichungen
x + n = 0 ,
wenn n ∈ IN0. Die Lösungen sind 0 , − 1 , − 2 , − 3 , · · · und der erweiterte Zah-
lenbereich nennt man ZZ, die ganzen Zahlen. In ZZ lässt sich für jedes n ∈ ZZ
die Gleichung x + n = 0 lösen. Nicht lösbar ist die Gleichung 2 x = 1 . Man
erweitert nun ZZ um all die Lösungen von Gleichungen der Form
q · x = p
mit p, q ∈ ZZ und q = 0. Somit erhält man die Zahlenmenge der rationalen

Zahlen IQ. In diesem Zahlenbereich sind alle Gleichungen obiger Form lösbar.

Aber die Gleichung
x 2 = 2
besitzt in IQ keine Lösung. Also erweitert man die rationalen Zahlen um all
die Lösungen von Gleichungen obiger Bauart und kommt so zu den reellen

Zahlen IR. In den reellen Zahlen sind noch die sog. transzendenten Zahlen, wie
e und π enthalten, die wir im Kapitel über Folgen noch genauer untersuchen.

In Tabelle 1 sind die Zahlenbereiche mit den zugehörigen Rechenoperationen
nochmals aufgelistet.

Tabelle 1: Zahlenmengen und Grundrechenoperationen

Mengen

Grundoperationen
nicht lösbar

IN0 natürliche Zahlen

+

·
x + 1 = 0

ZZ ganze Zahlen

+

− ·

2 · x = 1

I

Q rationale Zahlen

+

− · \
x 2 = 2

IR reelle Zahlen

+

− · \
x 2 + 1 = 0

Darstellung reeller Zahlen. Zur Veranschaulichung der reellen Zahlen dient
die bekannte von − nach + gerichtete Zahlengerade. Jeder Punkt auf der

Zahlengeraden entspricht genau einer reellen Zahl.

14

1. Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

Abb. 1.2. Reelle Zahlengerade

1.3.2 Die Rechengesetze f¨
ur reelle Zahlen

In IR sind zwei Verknüpfungen gegeben, nämlich + und ·. Addition und Mul-
tiplikation zweier reeller Zahlen liefern wieder reelle Zahlen. Formal hat man
hiermit zwei Abbildungen + und · definiert:

+ : IR × IR −→ IR
mit

( x, y) −→ x + y

· : IR × IR −→ IR
mit

( x, y) −→ x · y.

Es gelten die Rechengesetze der Addition

( A 1)

x + ( y + z) = ( x + y) + z

Assoziativgesetz

( A 2)

x + y = y + x

Kommutativgesetz

( A 3)

x + 0 = x

Existenz der Null

( A 4)

Zu jedem x gibt es ein ( −x) ∈ IR mit
x + ( −x) = 0

Inverses Element

Es gelten die Rechengesetze der Multiplikation

( M 1)

x · ( y · z) = ( x · y) · z

Assoziativgesetz

( M 2)

x · y = y · x

Kommutativgesetz

( M 3)

Es gibt eine Zahl 1 ∈ IR mit 1 = 0, so dass

1 · x = x

Existenz der Eins

( M 4)

Zu jedem x ∈ IR \{ 0 } gibt es ein x− 1 ∈ IR mit
x · x− 1 = 1

Inverses Element

Es gilt das Distributivgesetz

( D)

x · ( y + z) = x · y + x · z

Alle weiteren Rechengesetze der reellen Zahlen lassen sich auf diese elementa-
ren Gesetze zurückführen. Da diese Rechengesetze nicht nur für die Menge der
reellen Zahlen gelten, sondern auch für andere Zahlengebilde, führt man den

Begriffs des Körpers ein und verallgemeinert: Eine Menge K zusammen mit

1.3

Reelle Zahlen

15
zwei Verknüpfungen

+ : K × K −→ K
mit

( x, y) −→ x + y

· : K × K −→ K
mit

( x, y) −→ x · y,
die den Axiomen ( A 1)-( A 4), ( M 1)-( M 4) und ( D) genügen, nennt man K¨
orper .

Beispiele 1.9:

 Sowohl (IR , + , ·) als auch (IQ , + , ·) bilden Körper.

 (ZZ , + , ·) ist kein Körper, da ( M 4) verletzt ist: z.B. 2 ∈ ZZ besitzt bezüglich
der Multiplikation kein Inverses, so dass 2 · x = 1 .

 (IN , + , ·) ist kein Körper, da z.B. ( A 4) verletzt ist.

 ( F 2 , + , ·) mit F 2 = { 0 , 1 } und den Verknüpfungen

+

0

1

· 0 1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1
ist ein Körper. Man rechnet die Rechengesetze direkt nach. F 2 ist der kleins-
te Körper; denn jeder Körper muss mindestens zwei Elemente enthalten: 0
und 1.

1.3.3 Potenzrechnen

Wir definieren zu jeder reellen Zahl a ∈ IR die Potenz von a durch
a 0 := 1 , a 1 := a, an := a · . . . · a

( n ∈ IN) .

n−mal

Definition: Die n-te Wurzel einer Zahl a ≥ 0

√

1
b := n a := a n

( n ∈ IN)

ist definiert als diejenige positive reelle Zahl b mit der Eigenschaft bn = a.

√

1

Mit der Schreibweise n a = a n lassen sich die n-ten Wurzeln einer Zahl als

Potenzen mit rationalem Exponenten interpretieren. Für die Potenzen von

Produkten bzw. Quotienten von reellen Zahlen gelten die allgemeinen Potenz-
rechenregeln, die in der folgenden Übersicht zusammengestellt sind:

16

1. Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

Es gelten die Potenzrechenregeln

an
a n

(1) an · bn = ( a · b) n

(2)

=
für ( b = 0)

bn
b
an

(3)

= an−m für ( a = 0)

(4) ( am) n = an·m
am

√

(5) n am = am/n für ( a ≥ 0)

( n, m ∈ IN)

Beispiele 1.10.

a 5 x− 2 y
a 4 x+ y
a 5 x− 2 y− 4 x−y
ax− 3 y

{

:

=

=

.

b 6 m− 1
bm− 2
b 6 m− 1 −m+2
b 5 m+1

( a 2 b)2

|

√

5

3

= a 4 b 2 1 a− 1 a− 12 b− 12 = 1 a 2 b 2 .

2 a ab

2

2

(8 a 3 b− 3) − 2

8 − 2 a− 6 b 6

33

}

=

=

.

(12 a− 2 b− 4) − 3

12 − 3 a 6 b 12

26 a 12 b 6

1.3.4 Logarithmen

Definition: Gegeben ist die Gleichung a = bx ( a, b > 0) . Gesucht ist bei
gegebenem a und b der Exponent x. Wir nennen
x = logb a
den Logarithmus von a zur Basis b.

Für feste Basis b gelten die Logarithmenrechenregeln

(1) log( u · v) = log( u) + log( v)

( u, v > 0)

(2) log( u ) = log( u) − log( v)

( u, v > 0)

v

(3) log( un) = n · log( u)

( u > 0)

Spezielle Logarithmen sind der Logarithmus zur Basis 10
log a := log 10 a (10 er Logarithmus) ,
der Logarithmus zur Basis 2 (Logarithmus dualis)

ld a := log 2 a (2 er Logarithmus)

1.3

Reelle Zahlen

17
und der Logarithmus zu Basis e
ln a := logea ( nat¨
urlicher Logarithmus) .

Zwischen unterschiedlichen Logarithmen besteht der Zusammenhang
log
log
c y
b y =

( b , c, y > 0) .

logc b

Dadurch ist es ausreichend einen Logarithmus (z.B. den natürlichen Logarith-
mus) berechnen zu können. Die Logarithmen zu anderen Basen ergeben sich
dann durch obige Formel.

Beweis der Logarithmenformel: Aus bx = y folgt per Definition des Logarith-
mus zur Basis b, dass x = logb y. Andererseits gilt für den Logarithmus zur

Basis c nach der Logarithmusregel (3):

log
log
c y
c y = logc bx = x · logc b ⇒ x =

.

logc b

Hieraus folgt die behauptete Formel.

Beispiele 1.11:

 2 x = 1 ⇒ x = log 1 = − log 8 = − 3 .

8

2 8

2

 10 x = 0 . 0001 ⇒ x = log 1010 − 4 = − 4 log 1010 = − 4 .

√

√



1
ln
ab− 2

3

√
a + ln b− 2 − ln c 3 − ln d− 3 = 1 ln a − 2 ln b − 1 ln c + 3 ln d.

cd− 3 = ln

2

3

√



3

1

1

1

1

1

1

1

1
log
a 2 b 4 a c 2 = log(( a 2 b a 4 c 2 ) 3 ) 2 = log a 3 b 6 a 24 c 12

= 9 log a + 1 log b + 1 log c.

24

6

12

1.3.5 Anordnung der reellen Zahlen

Unter den reellen Zahlen herrscht eine bestimmt Anordnung: Zwei reelle Zah-
len a, b ∈ IR stehen stets in genau einer der drei folgenden Beziehungen zuein-
ander:

a < b

( a liegt links von b),
a = b

( a identisch mit b),
a > b

( a liegt rechts von b).

18

1. Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

Unter dem Betrag einer reellen Zahl a wird der Abstand von a zum Nullpunkt
verstanden. Er wird durch das Symbol |a| gekennzeichnet:

⎧

⎨ a f ¨ ur a > 0

|a| := ⎩ 0 f¨ ur a = 0

−a f ¨ ur a < 0

√

Beispiele 1.12:

| 3 | = 3 ; |− 5 | = 5 ; − 1 = 1 ; √ 2 = 2 .

2

2

Der Abstand zweier Zahlen x und a auf der Zahlengerade ist |x − a| .

Abb. 1.3. Abstand zweier Zahlen

Nach der Definition des Betrags ist also

|x − a| = x − a für x − a ≥ 0 bzw. x ≥ a,

|x − a| = −( x − a) für x − a < 0 bzw. x < a.

Diese Fallunterscheidung wird beim Lösen von Betragsgleichungen und Be-
tragsungleichungen eine wichtige Rolle spielen.

Es gelten die Gesetze:

(1)

x > 0 , y > 0 ⇒ x + y > 0 .

(2)

x > 0 , y > 0 ⇒ x · y > 0 .

(3)

Sind x > 0 , y > 0 , dann gibt es immer eine natürliche Zahl n ∈ IN mit
n x > y

( Archimedes Axiom) .

Folgerung: ( Bernoullische Ungleichung)

(1 + x) n ≥ 1 + n x

( x ≥ − 1 und n ∈ IN)

Beweis durch vollständige Induktion. Für n = 1 gilt sogar die Gleichheit.

Induktionsschluss von n auf n + 1: Wegen 1 + x > 0 folgt durch Multiplikation
der Induktionsvoraussetzung (1 + x) n ≥ 1 + n x mit (1 + x):

(1 + x) n+1 ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + ( n + 1) x + nx 2 ≥ 1 + ( n + 1) x.

1.4

Gleichungen und Ungleichungen

19

Intervalle: Teilmengen der reellen Zahlen nennt man Intervalle. Dabei un-
terscheidet man zwischen den endlichen und den unendlichen Intervallen. Zur

Beschreibung dieser Teilmengen von IR führen wir folgende Notationen ein:

(1) Endliche Intervalle ( a < b)

[ a, b]

:=

{x : a ≤ x ≤ b}

abgeschlossenes Intervall

[ a, b)

:=

{x : a ≤ x < b}

halb offene Intervalle

( a, b]

:=

{x : a < x ≤ b}

( a, b)

:=

{x : a < x < b}

offenes Intervall

(2) Unendliche Intervalle

IR ≥a

:=

[ a, ∞)

:= {x : a ≤ x < ∞}

IR >a

:=

( a, ∞)

:= {x : a < x < ∞}

IR ≤a

:=

( −∞, a]

:= {x : −∞ < x ≤ a}

IR <a

:=

( −∞, a)

:= {x : −∞ < x < a}

1.4

1.4 Gleichungen und Ungleichungen

Die Lösungsmethoden beim Lösen von Gleichungen sind so Vielfältig wie es Gleichungsty-
pen gibt. Wir zeigen exemplarisch, wie einfache Gleichungen und Ungleichungen zu lösen
sind. Allerdings werden wir nicht systematisch auf das Lösen von Gleichungen und Unglei-
chungen eingehen, da sie in vielen Fällen nicht exakt gelöst werden können und man daher
auf numerische Verfahren angewiesen ist (siehe z.B. das Bisektionsverfahren § 6.4 oder das

Newton-Verfahren § 7.9 ).

Hinweis: Auf der CD-Rom befindet sich ein zusätzliches Kapitel über das numerische Lösen
von Gleichungen sowie ein Abschnitt über das Lösen von Gleichungen und Ungleichungen
mit Maple.

1.4.1 Gleichungen

Jede Beziehung zwischen (reellen) Größen, in der ein Gleichheitszeichen auf-
tritt, nennt man Gleichung. Treten die Größen der Gleichung nur als Summen
und Produkte von Potenzen auf, so spricht man von algebraischen Glei-
chungen. Die größte Summe aller Exponenten eines Terms gibt den Grad der

Gleichung an.

20

1. Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

1. Quadratische Gleichungen

Die Gleichung
x 2 + px + q = 0
heißt quadratische Gleichung oder Gleichung zweiten Grades. Liegt die Glei-
chung in der Form ax 2 + bx + c = 0 mit a = 0 vor, so dividiert man durch a,
um sie in der p/q-Form zu erhalten.

Für die quadratische Gleichung x 2 + px + q = 0 gibt es die p/q-Lösungsformel
p 2
x

±

−

1 / 2 = − p
q .

2

4

Setzt man D := p 2 − q ( Diskriminante), so hat die Gleichung für D > 0 zwei

4
verschiedene reelle Lösungen, für D = 0 eine doppelte reelle Lösung und für

D < 0 keine reelle (aber zwei verschiedene komplexe) Lösungen.

Beispiele 1.13:

 x 2 + 2 x − 3 = 0 hat zwei reelle Lösungen:

x 1 / 2 = − 1 ± ( − 1)2 + 3 = − 1 ± 2. Damit ist x 1 = 1, x 2 = − 3.

 x 2 + 4 x + 4 = 0 hat eine doppelte reelle Lösung:

√
x 1 / 2 = − 2 ± 22 − 4 = − 2. Damit ist x 1 = − 2 eine doppelte Lösung.

 x 2 − 4 x + 13 = 0 hat keine reellen (aber zwei komplexe) Lösungen:

√

√
x

−

1 / 2 = 2 ±

4 − 13 = 2 ±

9 = 2 ± 3 i. Damit gibt es keine reellen Lösun-
gen. Hierbei bedeutet i die imaginäre Einheit (siehe Kapitel 5, Komplexe

Zahlen.

2. Gleichungen h¨
oheren Grades

Gleichungen höheren Grades sind mathematisch nur zum Teil exakt lösbar, da
in den seltensten Fällen eine geschlossene Lösung existiert. Gelegentlich führt
eine Substitution zu einer quadratischen Gleichung, wie das folgende Beispiel
zeigt:

Beispiel 1.14. Gesucht sind Lösungen der Gleichung vierten Grades
x 4 − 5 x 2 + 4 = 0 .

Wir substituieren z = x 2 und erhalten die quadratische Gleichung
z 4 − 5 z + 4 = 0 .

1.4

Gleichungen und Ungleichungen

21

Wenden wir die p/q-Formel an, ist

5

25

5

25 − 16

5
z

±

−

±

± 3

1 / 2 =

4 =

=

.

2

4

2

4

2

2

√

Daher ist z 1 = 4, z 2 = 1. Wegen z = x 2 und damit x = ± z, gilt

√
x 1 / 2 = ± 4 = ± 2

√
x 3 / 4 = ± 1 = ± 1 .

Die Lösungen der Gleichung sind x = − 2 , − 1 , 1 , 2.

Manchmal kann man auch eine Nullstelle erraten und anschließend durch Po-
lynomdivision oder durch Anwenden des Horner-Schemas das Problem um
einen Grad erniedrigen. Die Rechentechniken hierfür werden wir im Kapitel
über Polynome § 4.2 ausführlich beschreiben.

3. Wurzelgleichungen

Einfache Wurzelgleichungen werden gelöst, indem man die Wurzel isoliert, z.B.

auf die linke Seite der Gleichung bringt, die restlichen Terme auf die rechte

Seite. Anschließend wird bei Quadratwurzelgleichungen quadriert und nach
der gesuchten Variablen aufgelöst.

! Achtung: Durch das Quadrieren der Gleichungen verändert man die Lö-
sungsmenge: Die Gleichung x = 1 hat als Lösung die Zahl 1. Quadriert man
die Gleichung jedoch, erhält man x 2 = 1. Diese Gleichung hat als Lösungen
sowohl x = 1 als auch x = − 1. Die quadrierten Gleichungen können mehr

Lösungen als die ursprünglichen besitzen. Man muss daher immer eine Probe
durchführen, ob die gefundenen Kandidaten auch wirklich Lösungen der Wur-
zelgleichung darstellen.

Beispiel 1.15. Gesucht sind Lösungen der Wurzelgleichung

√ 5 − x + 3 − x = 0 .

Wir isolieren die Wurzel

√ 5 − x = x − 3 ,
quadrieren

5 − x = x 2 − 6 x + 9
und formen um
x 2 − 5 x + 4 = 0 .

22

1. Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

Dies ist eine quadratische Gleichung, die mit der p/q-Formel gelöst werden
kann. Beispiel 1.14 liefert die Lösungen
x 1 = 4 ,
x 2 = 1 .

Nun werden wir nachprüfen, ob es bei den beiden Werten um Lösungen der

Wurzelgleichung handelt. Dazu setzen wir die Werte in die Wurzelgleichung
ein:

√
x 1 = 4:

1 − 1 = 0. Der Wert x 1 = 4 erfüllt die Wurzelgleichung.

√
x 2 = 1:

4 + 2 = 4 = 0. Der Wert x 1 = 1 erfüllt die Wurzelgleichung nicht.

Damit ist die Lösungsmenge der Wurzelgleichung IL = { 4 }.

4. Betragsgleichungen

Da der Betrag |a| einer reellen Zahl a definiert ist durch den Abstand zum

Nullpunkt

|
a f ¨
ur a ≥ 0
a| :=

−

,
a f ¨
ur a < 0
führt dies bei Betragsgleichungen immer zu einer Fallunterscheidung, je nach-
dem ob in den Betragszeichen eine positive Zahl steht, dann wird das Be-
tragszeichen durch eine Klammer ersetzt, oder ob in den Betragszeichen eine
negative Zahl steht, dann wir das Betragszeichen durch -( ) ersetzt.

Beispiel 1.16 (Mit Maple-Worksheet). Gesucht sind die Lösungen der

Betragsgleichung

| 4 x − 1 | = − 2 x + 4 .

Um sich einen Überblick über die beiden Funktionen zu verschaffen, zeichnen
wir die linke und die rechte Seite der Gleichung:

Man erkennt, dass es zwei Schnittpunkte der Graphen gibt, die es zu bestim-
men gilt.

1. Fall: 4 x − 1 ≥ 0, d.h. x ≥ 1 :

4

In den Betragszeichen stehen für x ≥ 1 nichtnegative Zahlen. Unter dieser

4

Voraussetzung können die Betragszeichen durch eine einfache Klammer

1.4

Gleichungen und Ungleichungen

23
ersetzt werden. In diesem Fall folgt

4 x − 1 = − 2 x + 4 .

Das Auflösen nach x liefert

5

6 x = 5
bzw.

x =

.

6
x = 5 erfüllt die Bedingung x ≥ 1 , unter der wir das Ergebnis berechnet

6

4
haben.

2. Fall: 4 x − 1 < 0, d.h. x < 1 :

4

In den Betragszeichen stehen für x < 1 nur negative Zahlen. Unter dieser

4

Voraussetzung werden die Betragszeichen durch -( ) ersetzt. In diesem Fall
folgt

−(4 x − 1) = − 2 x + 4 ⇒ − 4 x + 1 = − 2 x + 4 .

Das Auflösen nach x liefert

2 x = − 3
bzw.

x = − 2 .

3
x = − 2 erfüllt die Bedingung x < 1 , unter mit der wir das Ergebnis

3

4
berechnet haben.

Die Lösungsmenge ist damit

IL = { 5 , − 3 }.

6

2

Hinweis: Durch den verbreiteten Einsatz von Computern zur Lösung von
mathematischen Fragestellungen, insbesondere dem Lösen von Gleichungen,
kommen numerischen Methoden immer mehr Bedeutung zu. Deshalb sind in
diesem Lehrbuch eigens zwei Abschnitte ( § 6.4 und § 7.9) gewidmet, in denen
numerische Verfahren detailliert besprochen werden.

1.4.2 Ungleichungen

Äquivalente Umformungen einer Ungleichung sind:

Addition (bzw. Subtraktion) eines beliebigen Terms auf beiden Seiten
der Ungleichung.

Multiplikation (bzw. Division) beider Seiten mit einer positiven Zahl

K > 0.

Multiplikation (bzw. Division) beider Seiten mit einer negativen Zahl

K < 0; dabei ändert sich das Ungleichheitszeichen von

( < zu > ),

( ≤ zu ≥), ( > zu < ), ( ≥ zu ≤).

24

1. Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

Beispiel 1.17 (Mit Maple-Worksheet). Gesucht sind die Lösungen der

Betragsungleichung

| 2 x + 2 | > 3 .

Wie bei den Betragsgleichungen müssen beim Lösen von Ungleichungen die

Beträge erst durch eine Fallunterscheidung aufgelöst werden.

1. Fall: 2 x + 2 ≥ 0, d.h. x ≥ − 1:

In den Betragszeichen stehen für x ≥ − 1 nicht negative Zahlen. Unter die-
ser Voraussetzung können die Betragszeichen durch eine einfache Klammer
ersetzt werden. In diesem Beispiel folgt dann

2 x + 2 > 3 .

Das Auflösen nach x liefert

1
x >

.

2
x > 1 erfüllt die Bedingung x ≥ − 1, unter der wir die Rechnung durch-

2
geführt haben.

⇒

1

IL1 = ( , ∞) .

2

2. Fall: 2 x + 2 < 0, d.h. x < − 1:

In den Betragszeichen stehen für x < − 1 nur negative Zahlen. Unter dieser

Voraussetzung werden die Betragszeichen durch -( ) ersetzt. In diesem Fall
folgt

−(2 x + 2) > 3 .

Durch Multiplikation mit ( − 1) folgt

2 x + 2 < − 3
und das Auflösen nach x liefert
x < − 5 .

2
x = − 5 erfüllt die Bedingung x < − 1, unter der wir das Ergebnis berechnet

2
haben.

⇒ IL2 = ( −∞, − 5) .

2

Die Lösungsmenge besteht damit aus zwei Teilintervallen, dem offenen Inter-
vall ( −∞, − 5 ) vereinigt mit dem offenen Intervall ( 1 , ∞):

2

2

1

IL = IL1 ∪ IL2 = ( −∞, − 5 ) ∪ ( , ∞) .

2

2

1.4

Gleichungen und Ungleichungen

25

Beispiel 1.18 (Mit Maple-Worksheet). Gesucht sind die Lösungen der

Betragsungleichung

( x − 2)2 ≤ |x| .

Um sich einen Überblick über die beiden Funktionen zu verschaffen, zeichnen
wir die linke und die rechte Seite der Ungleichung:

Man erkennt, dass es zwei Schnittpunkte der Graphen gibt, die es zu bestim-
men gilt. Die Lösungsmenge besteht dann aus dem abgeschlossenen Intervall,
in dem die Quadratfunktion ( x − 1)2 kleiner bzw. gleich der Betragsfunktion

|x| ist.

Bestimmung der Schnittpunkte: Aus dem Graphen entnimmt man, dass
die Schnittpunkte sich im positiven x-Bereich befinden. In diesem Bereich darf
man bei |x| die Betragszeichen durch eine einfache Klammer ersetzen, so dass
wir die Gleichung
x = ( x − 1)2

⇒ x 2 − 2 x + 1 = x ⇒ x 2 − 3 x + 1 = 0
zu lösen haben. Die p/q-Formel liefert

3

9

3

5
x

±

−

±

1 / 2 =

1 =

.

2

4

2

4

Damit sind x 1 = 0 . 38 und x 2 = 2 . 62 die Schnittpunkte der Kurven. Die

Lösungsmenge besteht aus dem beidseitig abgeschlossenen Intervall

3

√ 3

1 √

IL =

− 1 5 , +

5 = [0 . 38 , 2 . 62] .

2

2

2

2

Visualisierung mit Maple: Auf der CD-Rom befindet sich die

Maple-Prozedur visual solve, um Gleichungen und Ungleichungen zu
lösen sowie die Lösung graphisch darzustellen.

26

1. Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

1.5

1.5 Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme (LGS) spielen in Theorie und Anwendungen
eine sehr wichtige Rolle. In diesem Abschnitt führen wir eine Methode ein, mit
der beliebige LGS gelöst werden können: den Gauß-Algorithmus. Auf allgemei-
ne Zusammenhänge und Aussagen über LGS sei auf das Kapitel 3, Matrizen
und Determinanten, verwiesen.

1.5.1 Einf¨
uhrung

Anwendungsbeispiel 1.19 (Die Beschreibung elektrischer Netzwerke
bei Gleichstr¨
omen).

Gegeben sei das nebenstehende elektri-
sche Netzwerk mit den gegebenen Wider-
ständen R 1 = 1Ω , R 2 = 5Ω , R 3 = 3Ω .

Diesem Netzwerk werden zwei Gleichströ-
me IA = 1 A und IB = 2 A zugeführt.

Gesucht sind die Einzelströme I 1 , I 2 , I 3.

Um die Modellgleichungen zu erhalten,

Abb. 1.4. Elektrisches Netzwerk
wenden wir die Kirchhoffschen Geset-
ze an: Der Knotensatz besagt, dass die

Summe der in einem Knoten zu- und abfließenden Ströme gleich Null ist. Der

Maschensatz besagt, dass in einer Masche die Summe aller Spannungen Null
ergibt.

Bei unserem Beispiel gilt für den Knoten KA, dass I 3 zu- und IA, I 1 abfließen

( KA) :

I 3 = IA + I 1;
für den Knoten KB, dass IB zu- und I 1, I 2 abfließen

( KB) :

IB = I 1 + I 2 .

Für die Masche mit angegebenen Stromrichtungen gilt, dass der Spannungs-
abfall über R 2 gleich der Summe der Spannungsabfällen über R 1 und R 3 ist:

( M ) :

R 1 I 1 + R 3 I 3 = R 2 I 2 .

Dies ergibt ein System von 3 Gleichungen für die Einzelströme I 1 , I 2 , I 3.

1.5

Lineare Gleichungssysteme

27

Im Folgenden werden wir die gegebenen Werte in die Gleichungen einsetzen
und eine Methode einführen, um das System systematisch zu lösen:

I 1

I 2

I 3
r.S.

G 1 :

1 I 1 − 5 I 2 + 3 I 3 = 0

1

− 5

3

0

G 2 : − 1 I 1

+ 1 I 3 = 1

− 1

0

1

1

G 3 :

1 I 1 + 1 I 2

= 2

1

1

0

2

Dieses System wird gelöst, indem die Variable I 1 aus Gleichungen G 2 und G 3
eliminiert wird. Dazu bildet man die Summe aus Gleichung G 1 und G 2 bzw.

die Differenz aus Gleichung G 1 und G 3:

I 1

I 2

I 3
r.S.

G = G

1 I

1

− 5

3

0

1

1 :

1 − 5 I 2 + 3 I 3 =

0

G = G

− 5 I

0

− 5

4

1

2

1 + G 2 :

2 + 4 I 3 =

1

G = G

− 6 I

0

− 6

3

− 2

3

1 − G 3 :

2 + 3 I 3 = − 2

Anschließend nehmen wir Gleichung G und G und eliminieren die Variable

2

3

I 2 aus G . Dazu addieren wir das 6-fache von Gleichung G zum ( − 5)-fachen

3

2

von Gleichung G :

3

− 30 I 2 + 24 I 3 =

6

30 I 2

− 15 I 3 = 10

9 I 3

=

16

Damit erhalten wir schließlich

I 1

I 2

I 3
r.S.

G = G

1 I

1

− 5

3

0

1

1 :

1 − 5 I 2 + 3 I 3 =

0

G = G :

− 5 I

0

− 5

4

1

2

2

2 + 4 I 3 =

1

G = 6 G − 5 G :

9 I

0

0

9

16

3

2

3

3 = 16

Aus Gleichung G folgt

3

16

9 I 3 = 16 ⇒ I 3 =

.

9

Eingesetzt in Gleichung G folgt

2

−

11

5 I 2 + 4 · 16 = 1 ⇒ I

.

9

2 =

9

Beide Ergebnisse in Gleichung G eingesetzt liefert

1

7

I 1 − 5 · 11 + 3 · 16 = 0 ⇒ I

.

9

9

1 = 9

Damit sind die Teilströme I 1 , I 2 , I 3 berechnet.

28

1. Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

In der letzten Spalte wurde jeweils auf die Angabe der Variablen verzichtet und
nur der Koeffizient der Variablen bzw. die Konstanten auf der rechten Seite der

Gleichung aufgelistet. Hierbei steht an erster Stelle immer der Koeffizient von

I 1 , an zweiter Stelle der Koeffizient von I 2 und an dritter Stelle der Koeffizient
von I 3. Im Prinzip reicht diese Kurzversion des Gleichungssystems aus, um es
zu lösen. Die Vorgehensweise, die wir zur Lösung dieses speziellen Gleichungs-
systems gewählt haben, ist verallgemeinerbar ( → Gauß-Algorithmus), wenn die
gesuchten Größen nur linear ( → LGS) vorkommen.

1.5.2 Begriffsbildung und Notation

Ein linearer Zusammenhang zwischen zwei Größen x und y liegt dann vor,
wenn x proportional zu y ( x ∼ y) ist, d.h. a x + b y = const. Allgemeiner
bezeichnet man eine Gleichung der Form
ax 1 + bx 2 + cx 3 = d
als lineare Gleichung in x 1 , x 2 , x 3 , da jede der Variablen x 1 , x 2 und x 3 nur in linearer Form, also zur Potenz 1 auftritt. Jedes 3-Tupel von reellen Zahlen

( x 1 , x 2 , x 3) ∈ IR3 = IR × IR × IR, das die Gleichung erfüllt, heißt Lösung.

Beispiele 1.20:

 x 1 − x 2 + x 3 = 0 ist eine lineare Gleichung, da die Variablen x 1 , x 2 , x 3 proportional in der Gleichung enthalten sind. Diese Gleichung hat z.B. (0 , 1 , 1),

(1 , 1 , 0), (1 , 2 , 1) als Lösungen.

 Die Gleichung x 2 + 2 x − y = 0 ist keine lineare Gleichung, da die Variable
x quadratisch vorkommt.

 x 1 − x 2 + x 3 = 0 und 2 x 1 + 3 x 2 − x 3 = 0 bilden ein System aus linearen

Gleichungen, ein lineares Gleichungssystem.

Definition: Ein System von m linearen Gleichungen in den n Unbekann-
ten x 1 , x 2 , . . . , xn
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2 nxn = b 2

..

.

.

.

.

..

..

..

am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + amnxn = bm
nennt man ein lineares Gleichungssystem (LGS) . Die reellen Zahlen
aij heißen die Koeffizienten und bi die Konstanten der rechten Seite
des LGS.

1.5

Lineare Gleichungssysteme

29

Abk¨
urzend f¨
ur das LGS schreiben wir die Koeffizienten und die rechte

Seite in das folgende Schema

⎛

⎞
a

11
a 12 a 13 · · · a 1 n
b 1

⎜

⎜ a

⎟

21
a 22 a 23 · · · a 2 n
b 2

⎜

⎟

⎝ .

⎟

.

.

.

.

.

.

..

..

.. .

. ⎠
a

m 1 am 2 am 3 · · · amn
bm

Man nennt dieses Schema die erweiterte Koeffizientenmatrix bzw. kurz

Matrix . Die durchgezogene Linie soll daran erinnern, dass die Koeffizi-
enten links und die Konstanten rechts vom Gleichheitszeichen stehen.

Ein LGS, bei dem alle Konstanten bi der rechten Seite gleich Null sind,
heißt homogenes LGS. Ist mindestens eine Konstante bi ungleich Null,
so heißt es ein inhomogenes LGS.

Jede Zeile der Matrix steht für eine Gleichung; jede Spalte ist der entspre-
chenden Unbekannten zugeordnet. Die Lösung besteht aus allen n-Tupeln

( x 1 , x 2 , ..., xn), die sämtliche m Gleichungen erfüllen.

Wie wir beim einleitenden Beispiel gesehen haben, werden beim sukzessiven

Lösen des LGS nur jeweils die Koeffizienten und die Konstanten verändert,
nicht aber die Variablen. Daher verzichtet man beim Lösen von LGS ganz auf
die Variablen und führt alle Rechenschritte in der Matrizenschreibweise durch.

1.5.3 Das L¨
osen von linearen Gleichungssystemen

Umformungen, welche die Lösungsmenge eines Systems nicht ändern, nennt
man ¨

Aquivalenzumformungen. Folgende Umformungen sind Äquivalenz-
umformungen eines linearen Gleichungssystems:

(1) Die Reihenfolge der Gleichungen kann vertauscht werden.

(2) Eine Gleichung kann mit einer reellen Zahl λ = 0 multipliziert werden.

(3) Zu einer Gleichung kann eine andere Gleichung des Systems addiert
werden.

30

1. Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

Wendet man diese 3 Regeln systematisch - wie im Folgenden beschrieben wird

- an, ist die Lösungsmenge jedes LGS bestimmbar. Wie im Einleitungsbeispiel
gezeigt, wird in jedem Rechenschritt eine Variable aus dem System eliminiert
und dadurch um eine Gleichung reduziert, bis zum Schluss nur noch eine Glei-
chung für eine Variable übrig bleibt. Das auf Gauß (1777-1855) zurückgehen-
de Verfahren heißt das Gaußsche Eliminationsverfahren oder der Gauß-

Algorithmus. Wir beschränken uns bei der Beschreibung der Einfachheit
halber auf quadratische Systeme mit n Gleichungen für n Unbekannte. Der

Gauß-Algorithmus ist aber auf beliebige ( n × m)-Systeme übertragbar.

Gauß-Algorithmus

(1) Man wählt sich eine Gleichung mit einem Koeffizienten von x 1
ungleich Null als erste Gleichung.

(2) Man eliminiert die Variable x 1 aus den restlichen ( n − 1) Gleichun-
gen. Dazu wird die 1. Zeile mit − a 21 multipliziert und zur zweiten
a 11

Gleichung addiert. Ebenso verfährt man mit den übrigen Zeilen: Man
addiert das − aj 1 -fache der 1. Zeile zur j-ten Zeile. Man erhält so
a 11

( n − 1) Gleichungen mit den ( n − 1) Unbekannten x 2 , x 3 , . . . , xn.

(3) Schritt (2) wird auf das reduzierte System angewendet, indem die

Unbekannte x 2 aus Zeilen 3 bis n eliminiert wird. Nach insgesamt

( n − 1) Schritten bleibt nur noch eine einzige Gleichung mit der

Unbekannten xn übrig.

(4) Die eliminierten Gleichungen bilden ein gestaffeltes System von

Zeilen,
aus
denen
sich
die

Unbekannten
in
der

Reihenfolge
xn, xn− 1 , . . . , x 2 , x 1 berechnen lassen.

! Im obigen Algorithmus wird angenommen, dass keiner der Koeffizienten aii
gleich Null ist; ansonsten müssen die Zeilen vertauscht werden. Sind alle ver-
bleibenden Koeffizienten von der zu eliminierenden Variablen xi gleich Null,
so kann dieser Schritt übergangen werden, da das LGS schon die gewünschte

Form hat. Bei der numerischen Ausführung des Algorithmus entstehen Re-
chenungenauigkeiten jedoch bereits dann, wenn diese Koeffizienten sehr klein
sind. Um solche Fehler möglichst klein zu halten, ist es günstig, die Zeilen in
jedem Schritt so zu vertauschen, dass die Zeile mit dem betragsgrößten Koeffi-

zienten a
als oberste Gleichung gewählt wird. Man nennt dies Pivotisierung.

ii

1.5

Lineare Gleichungssysteme

31

Beispiele 1.21:

{ Ein System mit genau einer L¨
osung: Gesucht ist die Lösungsmenge
des LGS

2 x 1 + x 2 − x 3 = 3

3 x 1 + 5 x 2 − 4 x 3 = 1

4 x 1 − 3 x 2 + 2 x 3 = 2

In Matrizenschreibweise lautet dieses LGS

⎛

⎞

G

1 :

2

1 − 1 3

G

⎝

⎠

2 :

3

5 − 4 1

G

3 :

4 − 3

2

2

Zur Lösung wenden wir den Gauß-Algorithmus an. Dazu schreiben wir die ers-
te Zeile ab; multiplizieren G 1 mit (-3) und addieren das Ergebnis zur 2-fachen
zweiten Zeile hinzu. Außerdem multiplizieren wir die erste Zeile mit (-2) und
addieren das Ergebnis zur dritten Zeile:

⎛

⎞

G :

2

1 − 1

3

( G

1

1)

G :

⎝ 0 7 − 5 − 7 ⎠

(2 G

2

2 − 3 G 1)

G :

0 − 5

4 − 4

( G

3

3 − 2 G 1)

Jetzt lassen wir die beiden ersten Gleichungen unverändert und formen die
letzte Gleichung so um, dass der Koeffizient von x 2 gleich Null wird.

⎛

⎞

G :

2 1 − 1

3

( G )

1

1

G :

⎝ 0 7 − 5 − 7 ⎠

( G )

2

2

G :

0 0

3 − 63

(7 G + 5 G )

3

3

2

Aus dem äquivalenten System ( ) lassen sich nun die Lösungen leicht berech-
nen. Die letzte Gleichung liefert

3 x 3 = − 63 ⇒ x 3 = − 21 .

Eingesetzt in G :

7 x

2

2 − 5 · ( − 21) = − 7 ⇒ x 2 = − 16 .

Beides eingesetzt in G :

2 x

1

1 + ( − 16) − ( − 21) = 3 ⇒ x 1 = − 1 .

Somit hat das System genau eine L¨
osung ( − 1; − 16; − 21) und die Lösungs-
menge lautet

⎧

⎛

⎞

⎛

⎞⎫

⎨
x 1

− 1 ⎬

IL =

⎝

⎠

⎝

⎠

⎩( x 1 , x 2 , x 3) ∈ IR3 :

x 2

=

− 16 ⎭ .

x 3

− 21

Man nennt das System ( ) ein System mit oberer Dreiecksmatrix, da die Ein-

tragungen unterhalb der Hauptdiagonalen ( a , a , a ) gleich Null sind. Hat

11

22

33
das System obere Dreiecksform ist das Eliminationsverfahren beendet. Durch

R¨
uckw¨
artsaufl¨
osen lassen sich dann die Unbekannten x 1 , x 2 , x 3 bestimmen.

32

1. Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

| Die L¨
osung enth¨
alt eine Variable: Um das System
x 1 − 3 x 2 + 2 x 3 = 4

− 2 x 1 +
x 2 + 3 x 3 = 2

2 x 1 − 16 x 2 + 18 x 3 = 28
zu lösen, formen wir die Koeffizientenmatrix in zwei Schritten so um, dass sie

Dreiecksform erhält

⎛

⎞

G

1

1 − 3 2 4

G

⎝

⎠

2

− 2

1 3 2

G

3

2 − 16 18 28

⎛

⎞

G

1 − 3 2 4

1

G

⎝ 0 − 5 7 10 ⎠

( G

2

2 + 2 G 1)

G

0 − 15 21 30

( G

)

3

3 + G 2

⎛

⎞

G

1 − 3 2 4

1

G

⎝ 0 − 5 7 10 ⎠

2

G

0

0 0

0

( G − 3 G )

3

3

2

Aus der letzten Zeile folgt 0 · x 3 = 0 , welches für beliebiges x 3 erfüllt ist.

Daher setzen wir x 3 = λ (beliebig). In G eingesetzt, folgt

2

−

7

5 x 2 + 7 λ = 10 ⇒ x 2 = − 2 + λ.

5

Beides in G eingesetzt, liefert

1

7

11
x 1 = 4 + 3( − 2 + λ) − 2 λ = − 2 +
λ.

5

5

Um eine einfachere Schreibweise zu erhalten, setzen wir λ = 5 k, so dass insge-
samt die Lösungsmenge lautet

⎧

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎫

⎨
x 1

− 2

11

⎬

IL =

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎩( x 1 , x 2 , x 3) ∈ IR3 :

x 2

=

− 2 + k

7
und k ∈ IR⎭ .

x 3

0

5

} Das System hat keine L¨
osung: Wir betrachten das System aus (2),
indem wir die letzte Gleichung abändern: Die Konstante 28 wird durch 27
ersetzt. Durch elementare Umformungen erhält man

⎛

⎞

1 − 3 2

4

⎝

0 − 5 7 10 ⎠ .

0

0 0 − 1

Aus der letzten Zeile folgt 0 · x 3 = − 1 . Diese Gleichung ist nicht erfüllbar,
weil die linke Seite immer Null ergibt. Daher ist IL = {} .

1.5

Lineare Gleichungssysteme

33

~ Homogenes LGS: Nach Beispiel | können wir sofort die Lösungsmenge
des homogenen LGS
x 1 − 3 x 2 + 2 x 3 = 0

− 2 x 1 +
x 2 + 3 x 3 = 0

2 x 1 − 16 x 2 + 18 x 3 = 0
angeben, denn die elementaren Zeilenumformungen liefern

⎛

⎞

1 − 3 2 0

⎝

0 − 5 7 0 ⎠

0

0 0 0

Durch Rückwärtsauflösen erhalten wir aus Zeile 3 0 · x 3 = 0 . Daher ist x 3
beliebig. Wir setzen x 3 = 5 k. In Zeile 2 eingesetzt, folgt

− 5 x 2 + 7 · 5 k = 0 ⇒ x 2 = 7 k
und beides in Zeile 1 eingesetzt:

x 1 = +3 · 7 k − 2 · 5 k = 11 k.

Daher ist

⎧

⎛

⎞

⎛

⎞

⎫

⎨
x 1

11

⎬

IL =

⎝

⎠

⎝

⎠

⎩( x 1 , x 2 , x 3) :

x 2

= k

7
und k ∈ IR⎭ .

x 3

5

Die Beispiele { - ~ legen folgende allgemeingültige Schlussfolgerung nahe, die
wir im Kapitel über Matrizen und Determinanten genauer untersuchen:

L¨
osungsverhalten von linearen Gleichungssystemen

(1) Ein inhomogenes LGS besitzt entweder genau eine Lösung oder unend-
lich viele Lösungen oder überhaupt keine Lösung.

(2) Ein homogenes LGS besitzt entweder genau eine Lösung, nämlich die

⎛ ⎞

0

⎜ . ⎟
triviale Null-Lösung x = ⎝ .. ⎠, oder unendlich viele Lösungen.

0

(3) Falls das inhomogene LGS lösbar ist, setzt sich die Lösung zusammen aus
allen homogenen Lösungen plus einer Lösung des inhomogenen Systems:

IL i = IL h + xs ,
wenn IL i = Lösungsmenge des inhomogenen LGS, IL h = Lösungsmen-
ge des zugeh¨
origen homogenen LGS und xs eine spezielle Lösung des
inhomogenen Systems ist.

34

1. Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

Anwendungsbeispiel 1.22 (Chemische Reaktion).

Aus Quarz ( SiO 2) und Natronlauge ( N a OH) entsteht Natriumsilikat ( N a 2 SiO 3)

und Wasser ( H 2 O):

x 1 SiO 2 + x 2 N a OH −→ x 3 N a 2 SiO 3 + x 4 H 2 O

Gesucht sind die Anteile der Stoffe x 1, x 2, x 3 , x 4, für welche die Reaktion
abläuft. Da nur ganzzahlige Vielfache in Frage kommen, sind natürliche Zahlen
x 1, x 2, x 3 , x 4 zu bestimmen, so dass jedes der chemischen Elemente Si, O,

N a, H auf beiden Seiten der Reaktionsgleichung gleich oft auftritt. Dies führt
zu dem folgenden homogenen linearen Gleichungssystem:

Si :

x 1 = x 3

N a : x 2 = 2 x 3

O :

2 x 1 + x 2 = 3 x 3 + x 4

H :

x 2 = 2 x 4 .

In Matrizenform lautet das LGS

⎛

⎞

⎛

⎞

1 0 − 1

0 0

1 0 − 1

0 0

⎜

⎜ 0 1 − 2 0 0 ⎟

⎜ 0 1 − 2 0 0 ⎟

⎝

⎟

⎜

⎟

2 1 − 3 − 1 0 ⎠ → ⎝ 0 0 1 − 1 0 ⎠

0 1

0 − 2 0

0 0

0

0 0

Aus der letzten Zeile folgt 0 · x 4 = 0. Daher ist x 4 beliebig. Wir wählen x 4 = k.

In Zeile 3 eingesetzt, folgt x 3 = k. Beide Ergebnisse in Zeile 2 bzw. Zeile 1
eingesetzt liefert x 2 = 2 k und x 1 = k. Die Lösung mit den kleinsten Anteilen
der Substanzen lautet daher (für k = 1)

SiO 2 + 2 N a OH −→ N a 2 SiO 3 + H 2 O.

Anwendungsbeispiel 1.23 (Mischen von Legierungen).

Edelstahl ist eine Legierung aus Eisen, Chrom und Nickel. Beispielsweise be-
steht V2A-Stahl aus 74% Eisen, 18% Chrom und 8% Nickel. In der unten
stehenden Tabelle sind vorhandene Legierungen (I - IV) angegeben, mit denen

1000 kg V2A-Stahl gemischt werden soll.

I

II

III

IV

Eisen

70%

72%

80%

85%

Chrom

22%

20%

10%

12%

Nickel

8%

8%

10%

3%

1.5

Lineare Gleichungssysteme

35

Sind x 1, x 2, x 3 , x 4 die Anteile der Legierungen I - IV in Einheiten kg, so gilt
für die Summe aller Mischungsanteile in kg
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1000 .

Für die Einzelbestandteile Eisen, Chrom und Nickel gelten die Erhaltungsglei-
chungen

0 . 7 x 1 + 0 . 72 x 2 + 0 . 8 x 3 + 0 . 85 x 4 = 740

0 . 22 x 1 + 0 . 2 x 2 + 0 . 1 x 3 + 0 . 12 x 4 = 180

0 . 08 x 1 + 0 . 08 x 2 + 0 . 1 x 3 + 0 . 03 x 4 = 80 .

Man beachte, dass bei 1000 kg Legierung mit 74% Eisen das Eisengewicht 740
kg beträgt, entsprechendes gilt für Chrom und Nickel. Diese vier Gleichungen
liefern ein inhomogenes lineares Gleichungssystem

⎛

⎞

⎛

⎞

1 1 1 1 1000

1 1

1 1 1000

⎜

⎜ 70 72 80 85 74000 ⎟

⎜ 0 2 10 15 4000 ⎟

⎝

⎟

⎜

⎟

22 20 10 12 18000 ⎠ → ⎝ 0 0 − 2 5

0 ⎠ .

8 8 10 3

8000

0 0

0 0

0

Wir wählen x 4 = k beliebig. In Zeile 3 eingesetzt, folgt x 3 = 5 k. Beide

2

Ergebnisse in Zeile 2 bzw. Zeile 1 eingesetzt liefert x 2 = 2000 − 20 k und
x 1 = − 1000 + 16 . 5 k. Damit die Lösung realisierbar ist, müssen alle Anteile x 1,
x 2, x 3 , x 4 ≥ 0 sein. Wegen der Bedingung für x 2 folgt 100 ≥ k und wegen
der Bedingung für x 1 folgt k ≥ 60 . 6. D.h. für 100 ≥ k ≥ 60 . 6 ist das Problem
physikalisch lösbar.

MAPLE-Worksheets zu Kapitel 1

Die folgenden elektronischen Arbeitsblätter stehen für Kapitel 1 mit

Maple zur Verfügung. Sie können direkt durch Anklicken aus der
pdf-Version des Buches gestartet werden.

Mengen mit Maple

Natürliche Zahlen mit Maple

Pythagoräische Zahlen mit Maple

Reelle Zahlen mit Maple

Gleichungen und Ungleichungen mit Maple

Visualisierung von Gleichungen mit Maple

Lineare Gleichungssysteme mit Maple

Zusammenstellung der Maple-Befehle

Maple-Lösungen zu den Aufgaben

36

1. Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

1.6

1.6 Aufgaben zu Zahlen, Gleichungen und

Gleichungssystemen

1.1

Stellen Sie die folgenden Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente dar:

a) {x : x ist Primzahl und x < 20 }

b) {x : x ist reell und x 2 + 1 = 0 }

1.2

Gegeben sind die Mengen A = {x ∈ IR : 0 < x < 2 } und B = {x ∈ IR : 1 ≤
x ≤ 3 }. Bestimmen Sie graphisch sowie rechnerisch

(i) A ∩ B,

(ii) A ∪ B,

(iii) A × B,

(iv) A\B.

1.3

Bilden Sie die Vereinigung, Durchschnitt und beide Differenzmengen aus den
folgenden Mengen
a) M 1 = { 2 , 4 , 6 , . . .},

M 2 = { 3 , 6 , 9 , . . .}

b) M 1 = {x : x 2 + x − 2 = 0 },

M 2 = {x : x 2 − 3 x + 2 = 0 }

1.4

Zeigen Sie mit Hilfe von Venn-Diagrammen, dass für drei Mengen M 1, M 2 und

M 3 gilt
a) M 1 ∩ ( M 2 ∪ M 3) = ( M 1 ∩ M 2) ∪ ( M 1 ∩ M 3)

b) M 1 ∪ ( M 2 ∩ M 3) = ( M 1 ∪ M 2) ∩ ( M 1 ∪ M 3)

1.5

Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n ∈ IN gilt
n

n ( n + 1) (2 n + 1)

a) 12 + 22 + 32 + . . . + n 2 =
k 2 =

6
k=1
n

b) 20 + 21 + 22 + . . . + 2 n =

2 k = 2 n+1 − 1
k=0

1

1

1

1
n
c)

+

+

+ . . . +

=

1 · 2

2 · 3

3 · 4
n ( n + 1)

n + 1

1.6

Zeigen Sie durch vollständige Induktion
a) 2 n ≤ n! für jedes n ≥ 4
b) 2 n + 1 ≤ 2 n für jedes n ≥ 3
c) n 2 ≤ 2 n für jedes n = 3

1.7

Berec

# hnen

$ Sie

# $ # $ # $ # $ # $ # $ # $ # $
n
n

3

3

4

4

4

4

4
a)

,

,

,

,

,

,

,

,

0
n

1

2

0

1

2

3

4
b) 1024

1.8

Rechnen Sie nach, dass
n

n− 1

n− 1

n

ak− 1 =
ak

;
ak+1 =
ak .

k=1
k=0
k=0
k=1

# $
n

1.9

Man zeige

1 ≤ 1
k
nk
k! für jedes n ∈ IN. (Nachrechnen!)

1.10

Man entwickle die folgenden Binome

3
a) ( x + 4)5
b) (1 − 5 y)4
c) a 2 − 2 b .

125

1.11

Bestimmen Sie mit Maple den Summenwert von

( k 2 + 1) .

k=71

1.6

Aufgaben zu Zahlen, Gleichungen und Gleichungssystemen

37

1.12

Bestimmen Sie mit Maple eine Formel für die Summenwerte von
a) 13 + 23 + 33 + . . . + n 3
b) 14 + 24 + 34 + . . . + n 4
n

n
n

1

1

c)

;

;
xi.

i( i + 1)

i( i + 1)( i + 2)

i=1
i=1
i=0

1.13

Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke soweit möglich

18 xa+4

4 x 7 − 3 a
a)

:

b) ( an+1 bx− 1 + anbx + an− 1 bx+1) : ( an− 2 bx− 1)

2 y 5 a+7

9 y 8+5 a

1.14

Vereinfachen Sie formal die Wurzelterme soweit möglich
x(2 r 2 − 4 x 2)

√

a)

√

− 8 x r 2 − x 2 b) 2 ( x − k)2 + x 2 −

(2 x − k)2

√
r 2 − x 2

2 x 2

− 2 kx + k 2

√

3 x − 3
c)

6 x 2 − 6

2 x + 2

1.15

Berechnen Sie

√

√

√

√

4

3

3
a)

3 a 6 b 12
b)

a 2 3 a 2
c)

a 6 b 8
d)

a 3
a 2 5 a 8 4 a 3

√

√

6 a 5 3 a 2
a 3 9 a 7
e)

√ : √

3

9
a 2 6 a 4
a 7
a

1.16

Berechnen Sie

√

√

√
a) ld 24 , log

10 , ln e 3
b) ln( e)3 , ln

1

3

√

, ln
e 3(ln e 2+ln e 6)

e 2

√
n+1
c) log
an m b− 1

1.17

Zeigen Sie, dass die beiden Mengen zusammen mit den Rechenoperationen +
und · die Körperaxiome erfüllen.

√
a) ( {a + b 2 mit a, b ∈ IQ }, + , ·) mit den Rechenoperationen in IR.

b) ( F 2 , + , ·) bzgl. den in Beispiel 1.9 ~ angegebenen Verknüpfungstabellen.

1.18

Geben Sie die reellen Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen an:

a) 4 x 2 + 8 x − 60 = 0
b) x 2 − 4 x + 13 = 0
c) − 1 = − 9 ( x − 2)2
d) 5 x 2 + 20 x + 20 = 0
e) ( x − 1) ( x + 3) = − 4

1.19

Man bestimme den Parameter c so, dass die Gleichung 2 x 2 + 4 x = c genau
eine reelle Lösung besitzt.

1.20

Welche reellen Lösungen besitzen die Gleichungen?

a) − 2 x 3 + 8 x 2 = 8 x
b) t 4 − 13 t 2 + 36 = 0

c) 12 3 x 2 − 6 x 2 − 25 ( x + 3) = 0

1.21

Lösen Sie mit Maple die folgenden Wurzelgleichungen:

√

√
a)

− 3 + 2 x = 2
b)

x 2 + 4 = x − 2

√

√

√
c)

x − 1 =
x + 1
d)

2 x 2 − 1 + x = 0

1.22

Welche reellen Lösungen besitzen die Betragsgleichungen?

a) x 2 − x = 24
b) | 2 x + 4 | = − x 2 − x − 6

38

1. Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

1.23

Bestimmen Sie mit Maple die reellen Lösungsmengen der folgenden Unglei-
chungen:

a) 2 x − 8 > |x| b) x 2 + x + 1 ≥ 0 c) |x| ≤ x − 2 d) |x − 4 | > x 2

1.24

Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme:

a)

4 x 1

+

2 x 2

+

4 x 3

=

10
x 1

+
x 2

+
x 3

=

3

2 x 1

+

3 x 2

+

3 x 3

=

8
b)

2 x 1

+
x 2

+
x 3

=

7

2 x 1

+

2 x 2

+
x 3

=

10

3 x 1

+
x 3

=

5
c)

2 x 1

+
x 2

+
x 3

=

7

2 x 1

+
x 2

+
x 3

=

0

3 x 1

+
x 3

=

5

1.25

Man bestimme die Lösungsmenge der folgenden Systeme:

a)

x 1

− 3 x 2

+
x 3

=

− 3

− 3 x 1

+
x 2

+
x 3

=

5
b)

x 1

+
x 2

+
x 3

=

6
x 1

+

2 x 2

+
x 3

=

7

2 x 1

+
x 2

+

2 x 3

=

11
c)

x 1

+
x 2

+
x 3

=

7
x 1

+

2 x 2

+
x 3

=

7

2 x 1

+
x 2

+

2 x 3

=

11

1.26

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der linearen Gleichungssysteme:

a)

2 x 1

+

3 x 2

+

4 x 3

=

4
b)

x 1

−
x 2

+
x 3

=

1

− 3 x 1

+

3 x 2

− 3 x 3

=

− 3

5 x 1

− 5 x 2

+

5 x 3

=

5
c)

x 1

−
x 2

+
x 3

=

1

− 3 x 1

+

3 x 2

− 3 x 3

=

− 1

5 x 1

− 5 x 2

+

5 x 3

=

5

1.27

Welche Aussagen gelten für die entsprechenden homogenen Systeme?

1.28

Die Variablen x 1 , x 2 , . . . in den folgenden chemischen Reaktionen sollen für
möglichst kleine natürliche Zahlen stehen:

a)

x 1 F e + x 2 O 2 −→ x 3 F e 2 O 3
b)

x 1 F eS 2 + x 2 O 2 −→ x 3 F e 3 O 3 + x 4 SO 4
c)

x 1 C 6 H 12 O 6 + x 2 O 2 −→ x 3 CO 2 + x 4 H 2 O
d)

x 1 C 3 H 5 N 3 O 9 −→ x 2 CO 2 + x 3 H 2 O + x 4 N 2 + x 5 O 2
e)

x 1 N H 3 + x 2 CuO 2 −→ x 3 N 2 + x 4 Cu + x 5 H 2 O
f)

x 1 Al + x 2 H 2 SO 4 −→ x 3 Al 2( SO 4)3 + x 4 H 2
g)

x 1 Ca 3( P O 4) + x 2 HCl −→ x 3 Cacl 2 + x 4 H 3( P O 4)

Kapitel 2

2

Vektoren und Vektorrechnung

2

Vektoren und Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.1

Vektoren im IR2 ....................................................

42

2.1.1

Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ...............

42

2

2.1.2

Addition zweier Vektoren.........................................

43

2.1.3

Die Länge (der Betrag) eines Vektors .........................

43

2.1.4

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ............................

44

2.1.5

Geometrische Anwendung ........................................

48

2.2

Vektoren im IR3 ....................................................

50

2.2.1

Rechenregeln für Vektoren .......................................

50

2.2.2

Projektion eines Vektors ..........................................

53

2.2.3

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren .......

55

2.2.4

Das Spatprodukt von drei Vektoren ............................

59

2.3

Geraden und Ebenen im IR3 .....................................

61

2.3.1

Vektorielle Darstellung von Geraden ...........................

61

2.3.2

Lage zweier Geraden zueinander ................................

62

2.3.3

Abstandsberechnung zu Geraden ...............................

64

2.3.4

Vektorielle Darstellung von Ebenen ............................

67

2.3.5

Lage zweier Ebenen zueinander .................................

70

2.3.6

Abstandsberechnung zu Ebenen ................................

72

2.3.7

Berechnung des Schnittes einer Geraden mit einer Ebene .

73

2.4

Vektorräume ........................................................

76

2.4.1

Vektorrechnung im IR n ...........................................

76

2.4.2

Vektorräume ........................................................

78

2.4.3

Linearkombination und Erzeugnis...............................

81

2.4.4

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit ....................

84

2.4.5

Basis und Dimension ..............................................

87

2.5

Aufgaben zur Vektorrechnung ...................................

92

Zus¨
atzliche Abschnitte auf der CD-Rom

2.6

MAPLE: Vektorrechnung ..........................................

cd

2.7

Punkte, Geraden und Ebenen mit MAPLE.....................

cd

2 Vektoren und Vektorrechnung

Vektoren sind ein unentbehrliches Hilfsmittel bei der Beschreibung physikalischer

Größen. Während die Temperatur eines Körpers, die Dichte eines homogenen Medi-
ums, der Ohmsche Widerstand eines elektrischen Elementes durch eine reelle Zahl

(zusammen mit einer Einheit) charakterisiert werden, ist dies z.B. bei den folgenden
physikalischen Größen nicht möglich:

Die Geschwindigkeit eines Massenpunktes im Raum ist festgelegt durch die Größe
der Geschwindigkeit und deren Richtung. Die Kraft, die an einem Massenpunkt an-
greift, wird beschrieben durch die Länge der Kraft und der Richtung, unter welcher
die Kraft angreift. Elektrische Feldstärke, Drehmoment usw. sind andere physikali-
sche Größen, die durch Maßzahl (Länge) und Richtung festgelegt werden.

Immer wenn in Physik und Technik Größen auftreten, die sich nicht nur durch die

Angabe einer Zahl zusammen mit einer Einheit versehen beschreiben lassen, spricht
man von Vektoren.

Stellen wir uns einen Kraftvektor vor, so definieren wir verallgemeinernd:

−

→

Definition: Ein Vektor a ist eine Klasse von gerichteten Strecken (Pfei-
len), die in Richtung und L¨
ange ¨
ubereinstimmen.

−−→

Zwei gerichtete Strecken A B (Anfangspunkt A, End-

−−→
punkt B) und C D (Anfangspunkt C, Endpunkt D)

stellen genau dann denselben Vektor dar, wenn sie
gleich gerichtet und gleichlang sind. Man spricht da-
her oftmals von Richtungsvektoren. Durch Parallel-
verschiebung entstehende Vektoren sind also gleich.

Ein Vektor ist eindeutig durch seinen Anfangspunkt
und Endpunkt festgelegt.

Historisch gesehen ist die Vektorrechnung eine recht junge Disziplin verglichen
z.B. mit der Differenzialrechnung. Die Begründung der modernen Vektorrech-
nung geht auf Hermann Großmann (1809 - 1877; 1844) zurück. Der Formalis-
mus der Vektoren und der Vektorrechnung entstand also wesentlich später als
z.B. die komplexen Zahlen.

Im Folgenden werden wir zur Beschreibung der Vektoren und der Rechenope-
rationen mit Vektoren von einem rechtwinkligen ( kartesischen) Koordinaten-
system ausgehen.

42

2. Vektoren und Vektorrechnung

2.1

2.1 Vektoren im IR2

Der zweidimensionale Raum IR2 wird durch zwei senkrecht aufeinander stehen-
den Koordinatenachsen (kartesisches Koordinatensystem) festgelegt. In
einem solchen Koordinatensystem ist ein Vektor −

→
a vom Punkt P 1 = ( x 1 , y 1)

zum Punkt P 2 = ( x 2 , y 2) durch seine Komponenten festgelegt, den Projek-
tionen auf die Koordinatenachsen:

−

→
x
a :=

2 − x 1

.

y 2 − y 1

Abb. 2.1. Richtungsvektoren (links)- und Ortsvektor (rechts)

Dabei kommt es nicht auf die spezielle Lage im IR2 an. −

→
a und −

→
a 1 repräsentie-
ren den gleichen Vektor. Wir sprechen von einem Richtungsvektor, wenn der

Angriffspunkt keine Rolle spielt. Im Gegensatz zu Richtungsvektoren spricht
man von Ortsvektoren, wenn der Vektor vom Ursprung O zum Punkt P
führt:

−

→
x
r ( P ) :=

.

y

2.1.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

a
λ a
λ−

→
a = λ
x

:=
x

;
λ ∈ IR .

ay
λ ay

Das Produkt eines Skalars λ ∈ IR mit einem Vektor −

→
a ist wieder ein Vektor.

Die Multiplikation geschieht komponentenweise. Geometrisch entspricht dies
der Streckung des Vektors −

→
a um den Faktor λ. Für λ = − 1 hat −−

→
a die glei-
che Länge aber umgekehrte Richtung wie −

→
a . Manchmal ist es bequemer den

Zahlenfaktor rechts vom Vektor zu schreiben. Wir setzen daher −

→
a λ := λ−

→
a .

2.1

Vektoren im IR2

43

2.1.2 Addition zweier Vektoren

−

→ −

→
a
b
a
a + b =
x

+
x

:=
x + bx

.

ay
by
ay + by

Die Summe zweier Vektoren ist ein Vektor. Die Addition erfolgt komponenten-
weise. Entsprechend ist die Subtraktion erklärt. Geometrisch entspricht die Ad-
dition zweier Vektoren der Kr¨
afte-Addition über das Kr¨
afte-Parallelogramm.

Abb. 2.2. Addition und Subtraktion über das Kräfte-Parallelogramm

2.1.3 Die L¨
ange (der Betrag) eines Vektors

Die L¨
ange (= Betrag) eines Vektors −

→
a ergibt
sich nach dem Satz von Pythagoras:

|−

→
a | =
a 2 + a 2 .

x
y

Für den Betrag eines Vektors schreibt man

Abb. 2.3. Betrag des Vektors
auch kurz a := |−

→
a |.

Beispiele 2.1:

5

−

→

4

− 3

{ Gegeben sind die Vektoren −

→
a =

, b =

, −

→
c =

. Dann

3

1

− 2
ist

−

→

−

→

− 5

12

− 6

1
d = −−

→
a + 3 b + 2 −

→
c =

−

+

+

=

.

3

3

− 4

− 4

| An einem Massenpunkt wirken die Kräfte

−

→

2 N

−

→

− 1 N

−

→

− 4 N

F 1 =

, F

, F

.

1 N

2 =

5 N

3 =

2 N

Gesucht ist der Betrag der resultierenden Kraft FR:

−→

−

→ −

→ −

→

FR = F 1 + F 2 + F 3

44

2. Vektoren und Vektorrechnung

2 N

− 1 N

− 4 N

− 3 N

=

+

+

=

1 N

5 N

2 N

8 N

−→

√

FR = FR =

9 N 2 + 64 N 2 =

73 N.

} Ein Vektor der Länge 1 heißt Einheitsvektor.

Spezielle Einheitsvektoren sind die Koordinaten-

Einheitsvektoren

−

→

1

0
e 1 :=
und −

→
e

.

0

2 :=

1

Diese Vektoren haben die Richtung der entspre-

Abb. 2.4. Einheitsvektoren
chenden Koordinatenachsen und die Länge 1. Mit
den Einheitsvektoren lässt sich jeder Vektor −

→
a schreiben als

−

→
a = a −

→

−

→
x e 1 + ay e 2

( Linearkombination von −

→
e 1 und −

→
e 2) .

a

~ Gegeben ist ein Vektor −

→
a =
x

. Gesucht ist der Einheitsvektor in
ay

−

→

Richtung a . Wegen |−

→
a | =
a 2 + a 2
ist
x
y

−

→
a
e

−

→
x
a =

1

|−

→ a =

1

√
a |
a 2 + a 2
x
y
ay
der gesuchte Einheitsvektor, denn |−

→
e a| = 1 und die Richtung von −

→
e a und

−

→
a stimmen überein.

2.1.4 Das Skalarprodukt zweier Vektoren

Definition: Unter dem Skalarprodukt

a

( Punktprodukt) zweier Vektoren −

→
a =
x
ay

−

→
b
und b =
x
versteht man die reelle Zahl
by

−

→

−→

Abb. 2.5.

−

→

Winkel zw.

a und b
a · b := |−

→
a | · b · cos α,

(1)

wenn α der zwischen 0 ◦ und 360 ◦ gelegene

−

→

Winkel zwischen den Vektoren −

→
a und b ist. Übliche Bezeichnungen für das

−

→

−

→

Skalarprodukt sind auch < −

→
a , b > oder ( −

→
a , b ).

2.1

Vektoren im IR2

45

Für das Skalarprodukt gelten aufgrund der Definition die Rechenregeln

−

→

−

→

(S1)

−

→
a · b

=
b · −

→
a

Symmetriegesetz

−

→

−

→

−

→

(S2)

λ · ( −

→
a · b )

=

( λ · −

→
a ) · b = −

→
a · ( λ · b )

Assoziativgesetz

−

→

−

→

(S3)

−

→
a · ( b + −

→
c )

=

( −

→
a · b ) + ( −

→
a · −

→
c )

Distributivgesetz

( S 1) und ( S 2) sind offensichtlich, ( S 3) ist nicht ganz evident. Auf Beweise
sei jedoch verzichtet. Wir verwenden stattdessen die Regeln, um eine sehr
einfache Darstellung des Skalarprodukts zu erhalten: Aufgrund der Definition
des Skalarprodukts ist

−

→
e 1 · −

→
e 1 = 1 , −

→
e 1 · −

→
e 2 = 0 , −

→
e 2 · −

→
e 2 = 1 .

Daher gilt für zwei Vektoren

−

→
a

−

→
b
a =
x

= a −

→
e

−

→
e
b =
x

= b −

→
e

−

→
e
a
x

1 + ay

2
und
x

1 + by

2 :

y
by

−

→ −

→
a · b = ( a −

→

−

→

−

→

−

→
x e 1 + ay e 2) · ( bx e 1 + by e 2)

= a

−

→

−

→

−

→

−

→

−

→

−

→
x bx e 1 · −

→
e 1 + ax e 1 · by e 2 + ay e 2 · bx e 1 + ay by e 2 · −

→
e 2

−

→

⇒

−

→
a · b = ax bx + ay by.

(2)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren lässt sich also einfach angeben ohne den

−

→

Winkel α zwischen den Vektoren −

→
a und b berechnen zu müssen, indem
die Summe der Produkte der ersten Komponenten und der zweiten

Komponenten gebildet wird.

Anwendungsbeispiel 2.2 (Arbeit bei kon-
stanter Kraft). Physikalisch entspricht das Ska-
larprodukt der Arbeit, die unter Einwirkung ei-
ner konstanten Kraft geleistet wird. Sind Kraft
und Bewegungsrichtung gleichgerichtet, dann ist
die Arbeit W = F ·s. Kann sich ein Massenpunkt

Abb. 2.6. Kraft in Richtung a
aber nur entlang einer Richtung −

→
e a bewegen,
die nicht mit der Richtung der Kraft übereinstimmt, dann ist die geleistete

−

→

Arbeit die Komponente der Kraft | F a| in Richtung −

→
e a multipliziert mit dem
zurückgelegten Weg |−

→
a | = |a−

→
e a|:

−→

−→

W = F a · |−

→
a | = F · cos α · |−

→
a |

−

→

W = F · −

→
a .

46

2. Vektoren und Vektorrechnung

Anwendungsbeispiel 2.3 (Berechnung des von zwei Vektoren
eingeschlossenen Winkels).

Aus Gleichung (1) und (2) folgt eine wichtige Formel zur Berechnung des von
zwei Vektoren eingeschlossenen Winkels:

−

→ −

→
a · b
a
cos α =

x bx + ay by

−

→ =

.

|−

→
a | · b
a 2 + a 2
b 2 + b 2
x
y
x
y

Wendet man anschließend die Umkehrfunktion des Kosinus an (siehe 4.7 Ar-
kusfunktionen), erhält man den von den Vektoren eingeschlossenen Winkel α
zwischen 0 und l80 ◦.

−

→

Wichtiger Spezialfall: Stehen −

→
a
und
b
senkrecht aufeinander, so ist α = 90 ◦ und
cos α = 0 . Daher gilt

−

→ −

→

−

→
a · b = 0 ⇔ −

→
a ⊥ b .

! Achtung: Im Gegensatz zum Produkt von zwei reellen Zahlen ist das Ska-
larprodukt nicht nur dann Null, wenn mindestens einer der beiden Faktoren
der Nullvektor ist, sondern auch, wenn die beiden Vektoren aufeinander senk-
recht stehen.

Beispiele 2.4:

4

−

→

− 1

 Man bestimme das Skalarprodukt von −

→
a =
und b =

.

2

3

−

→ −

→

4

− 1
a · b =

·

= 4 · ( − 1) + 2 · 3 = 2 .

2

3

1

−

→

− 2

 Die Vektoren −

→
a
und b =
sind orthogonal, d.h. sie stehen

2

1
senkrecht aufeinander.

2.1

Vektoren im IR2

47

Wir zeigen, dass das Skalarprodukt Null ergibt:

−

→ −

→

1

− 2
a · b =

·

= 1 · ( − 2) + 2 · 1 = 0 .

2

1

 Der Betrag eines Vektors kann aus dem Skalarprodukt berechnet werden:

a
a
a

Für −

→
a =
x
gilt −

→
a · −

→
a =
x

·
x

= a 2 + a 2 = |−

→
a | 2
a
x
y
y
ay
ay

√

⇒

|−

→
a | = a =

−

→
a · −

→
a .

2

 Gegeben ist der Vektor −

→
a =

. Gesucht sind die Winkel α und β,

1
die −

→
a mit den Koordinatenachsen einschließt. Die Winkel erhalten wir aus
dem Skalarprodukt von −

→
a mit −

→
e 1 bzw. mit −

→
e 2:

−

→
a · −

→
e
a
cos α =

1

=
x

= 2

√ ⇒ α = 26 , 6 ◦.

|−

→
a | · |−

→
e

5

1 |

|−

→
a |

−

→
a · −

→
e
a
cos β =

2

=
y

= 1

√ ⇒ β = 63 , 4 ◦.

|−

→
a | · |−

→
e

5

2 |

|−

→
a |

a

 Man bestimme zum Vektor −

→
a =
x
einen senkrecht dazu stehenden
ay

Vektor −

→
n mit Länge 1:

Einen zu −

→
a senkrechten Vektor erhält man, indem man die x-Komponente
mit der y-Komponente des Vektors −

→
a vertauscht und anschließend bei

−

→

−a
einer Komponenten das Vorzeichen wechselt. N =
y
steht daher
ax
senkrecht auf −

→
a , denn

−

→ −

→
a

−a
a · N =
x

·
y

= 0 .

ay
ax

−

→

Dividiert man nun noch durch den Betrag von N , so ist der zugehörige

Normalen-Einheitsvektor gegeben durch

−

→

−

→

−a
n := −

→
e
y
n = 1 N =

1

√

.

N
a 2 + a 2
x
y
ax

48

2. Vektoren und Vektorrechnung

2.1.5 Geometrische Anwendung

Durch den Ortsvektor entspricht jeder Punkt P = ( x, y) im IR2 genau einem

x

Vektor −

→
r ( P ) =

. Eine Gerade g durch zwei Punkte P
y

1 = ( x 1 , y 1) und

P 2 = ( x 2 , y 2) lässt sich demnach darstellen als Menge aller Punkte P , für die
gilt
g :

−

→
r ( P ) = −

→
r ( P 1) + λ ( −

→
r ( P 2) − −

→
r ( P 1)) = −

→
r ( P 1) + λ · −

→
a .

Abb. 2.7. Punkt-Richtungs-Darstellung einer Geraden

Dies ist die Punkt-Richtungs-Darstellung einer Geraden, definiert durch
den Ortsvektor −

→
r ( P 1) und dem Richtungsvektor −

→
a := −

→
r ( P 2) − −

→
r ( P 1) .

Eine alternative Darstellung der Geradengleichung folgt, wenn wir die Punkt-

Richtungs-Darstellung mit dem zu g senkrecht stehenden Normalen-Einheits-
vektor −

→
n (siehe Beispiel 2.4 ) skalarmultiplizieren.

x

· −

→
x
x
n = (

1

+ λ · −

→
a ) · −

→
n =

1

−

→
n + λ −

→
a · −

→
n
y
y

1
y 1

= 0

⇒
x

· n 1 = d.

y
n 2

Dies ist die Hesse-Normalform einer Geraden im IR2 und

x
n
d =

1

1
y 1
n 2
ist der kürzeste Abstand der Geraden vom Nullpunkt.

2.1

Vektoren im IR2

49

Beispiel 2.5. Gegeben sind zwei Punkte P 1 = (1 , 1) und P 2 = (4 , 2) . Gesucht
ist die Punkt-Richtungs-Darstellung sowie die Hesse-Normalform der Geraden
g durch die Punkte P 1 und P 2 . Wie groß ist der kleinste Abstand vom Ur-
sprung?

(i)

Punkt-Richtungs-Darstellung:

x

1

3
g : −

→
r =

= −

→
r ( P

+ λ

.

y

1) + λ ( −

→
r ( P 2) − −

→
r ( P 1)) =

1

1

(ii) Hesse-Normalform:

−

→

−

1

3

−

→

Der Vektor N =
steht senkrecht zu −

→
a =

. Wegen N =

3

1

√

√

−

→

− 1

1 + 9 =

10 ist −

→
n := 1 N =

1

√
der Normalen-Einheitsvektor

N

10

3
zu g.

⇒
x

− 1
d =

1

√
ist die Hesse-Normalform.

y

10

3

(iii) Der Minimalabstand der Geraden zum Ursprung erhält man, indem man
den Punkt P 1 = (1 , 1) in die Hesse-Normalform einsetzt:

1

1

− 1

2

1 √
d =

√

= √

=

10 .

1

10

3

10

5

(iv) Berechnen wir noch das Skalarprodukt auf der linken Seite der Hesse-

Normalform

1

√

2

( −x + 3 y) = √

10

10
und lösen nach y auf, erhalten wir die übliche Darstellung der Geraden-
gleichung in der Ebene

1

2
y =
x +

.

3

3

Visualisierung mit Maple: Auf der CD-Rom befinden sich Maple-

Prozeduren, welche sowohl die Darstellung von Vektoren im IR2
ermöglichen als auch die Visualisierung der in 2.1.1 bis 2.1.4 beschriebenen

Vektoroperationen.

50

2. Vektoren und Vektorrechnung

2.2

2.2 Vektoren im IR3

Analog zum Vorgehen im zweidimensionalen Raum

IR2 führt man Vektoren im IR3 ein, indem ein Vektor

−

→
a in einem rechtwinkligen Koordinatensystem vom

Punkt P 1 = ( x 1 , y 1 , z 1) zum Punkt P 2 = ( x 2 , y 2 , z 2)

festgelegt ist:

⎛

⎞
x

−

→

2 − x 1
a := ⎝

⎠ .

Abb. 2.8.

y

Richtungsvektor

2 − y 1
z 2 − z 1

−

→
a heißt dann wieder Richtungsvektor. Ein Ortsvektor −

→
r ( P ) stellt einen Vek-
tor vom Ursprung O zum Punkt P = ( x, y, z) dar:

⎛ ⎞
x

−

→
r ( P ) = ⎝ y ⎠ .

z

2.2.1 Rechenregeln f¨
ur Vektoren

Die Multiplikation eines Vektors −

→
a mit einem Skalar λ und die Addition zweier

Vektoren erfolgen komponentenweise:

⎛

⎞

⎛

⎞
ax
λ ax
λ · −

→
a = λ ⎝ a ⎠

⎝

⎠
y

:=
λ ay

(Skalare Multiplikation)

az
λ az

⎛

⎞ ⎛ ⎞

⎛

⎞
a
b
a

−

→ −

→
x
x
x + bx
a + b = ⎝ a ⎠

⎝ ⎠

⎝

⎠
y

+
by

:=
ay + by

(Addition)

az
bz
az + bz

Die L¨
ange (bzw. der Betrag) eines Vektors −

→
a ist gegeben durch

a := |−

→
a | =
a 2 + a 2 + a 2

(Betrag)

x
y
z
und entspricht der Diagonalen eines Quaders mit Kantenlängen ax, ay, az. Je-
der Vektor −

→
e mit |−

→
e | = 1 heißt Einheitsvektor. Die Koordinaten-Einheits-
vektoren lauten

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

1

0

0

−

→
e

⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎝ ⎠

1 =

0

, −

→
e 2 =

1

, −

→
e 3 =

0

.

0

0

1

2.2

Vektoren im IR3

51

Jeder Vektor −

→
a lässt sich schreiben als Linearkombination dieser Einheitsvek-
toren

−

→
a = a −

→

−

→

−

→
x e 1 + ay e 2 + az e 3 .

Abb. 2.9. a als Linearkombination der Einheitsvektoren

Beispiele 2.6:

⎛

⎞

5

{ Der Ortsvektor zum Punkt P = (5 , 1 , − 3) lautet −

→
r ( P ) = ⎝

1 ⎠ . Er hat

− 3

√
die Länge |−

→
r ( P ) | =

52 + 12 + ( − 3)2 =

35 .

| Der Richtungsvektor von P 1 = (3 , 4 , 7) nach P 2 = (7 , 3 , 1) ist

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛

⎞

7

3

4

−

→

−−−→
a = P

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝

⎠

1 P 2 = −

→
r ( P 2) − −

→
r ( P 1) =

3

− 4

=

− 1 .

1

7

− 6

} Gesucht sind die Koordinaten des Punktes Q,
welcher die Strecke von P 1 = (3 , 4 , 7) zum Punkt

P 2 = (7 , 3 , 1) im Verhältnis 1:2 schneidet.

−

→
r ( Q) = −

→
r ( P 1) + 1 ( −

→
r ( P

3

2) − −

→
r ( P 1))

⎛ ⎞

⎛

⎞

3

4

= −

→
r ( P

−

→

⎝ ⎠

⎝

⎠

1) + 1 a =

4

+ 1

− 1

3

3

7

− 6

⎛

⎞

13

= 1 ⎝ 11 ⎠ .

3

15

Das Skalarprodukt ist im IR3 definiert durch

−

→ −

→

−

→

−

→
a · b := |−

→
a | · b · cos α,
α = ∠ −

→
a , b

,

52

2. Vektoren und Vektorrechnung

−

→
wenn α der von den Vektoren −

→
a und b eingeschlossene Winkel ist. Für die

Darstellung des Skalarprodukts berechnet man mit den gleichen Regeln wie
im IR2 (( S 1) − ( S 3)), dass

−

→ −

→
a · b = ax bx + ay by + az bz.

Folglich gilt wieder für den von zwei Vektoren eingeschlossenen Winkel α:

−

→ −

→
a · b
a
cos α =

x bx + ay by + az bz

−

→ =

.

(3)

|−

→
a | · b
a 2 + a 2 + a 2
b 2 + b 2 + b 2
x
y
z
x
y
z

−

→

Folgerung: Zwei Vektoren −

→
a und b stehen senkrecht aufeinander, wenn
das Skalarprodukt verschwindet:

−

→

−

→

−

→
a ⊥ b ⇔ −

→
a · b = 0

Beispiele 2.7:



−

→

Orthonormalsystem: e 1 , −

→
e 2 , −

→
e 3 bilden ein Orthonormalsystem von

IR3, d.h. sie stehen senkrecht aufeinander und haben die Länge 1:

−

→
e 1 · −

→
e 1 = −

→
e 2 · −

→
e 2 = −

→
e 3 · −

→
e 3 = 1

−

→
e 1 · −

→
e 2 = −

→
e 2 · −

→
e 3 = −

→
e 3 · −

→
e 1 = 0 .

⎛ ⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

1

− 1

− 1

 Die Vektoren −

→
a

⎝ ⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

1 =

1

√

1

, −

→
a 2 = 1

√

1

, −

→
a 3 = 1

√

− 1
bil-

3

2

6

1

0

2
den ebenfalls ein Orthonormalsystem.

 Richtungskosinus: Durch das Skalarprodukt lassen sich auf einfache Wei-

⎛

⎞
ax
se die Winkel berechnen, die ein Vektor −

→
a = ⎝ a ⎠
y
mit den Koordinaten-
az
achsen einschließt.

−

→
a
a · −

→
e
x

1 = ax; |−

→
e 1 | = 1 ⇒ cos α = a

−

→
a
a · −

→
e
y

2 = ay ; |−

→
e 2 | = 1 ⇒ cos β = a

2.2

Vektoren im IR3

53

−

→
a
a · −

→
e
z

3 = az ; |−

→
e 3 | = 1 ⇒ cos γ =

.

a

Die Winkel α, β, γ heißen Richtungskosinus von −

→
a . Es gilt
a 2
a 2
a 2
a 2
cos2 α + cos2 β + cos2 γ =
x + y + z =

= 1

(4)

a 2
a 2
a 2
a 2
und
ax = |−

→
a | cos α, ay = |−

→
a | cos β, az = |−

→
a | cos γ.

Durch Gleichung (4) sind für ein Vektor −

→
a die 3 Winkel zu den Koor-
dinatenachsen nicht beliebig wählbar. Nur 2 Winkel sind frei; der dritte
bestimmt sich aus (4).

⎛ ⎞

⎛

⎞

1

−

→

− 4

 Zahlenbeispiel: Gegeben sind die Vektoren −

→
a = ⎝ 2 ⎠und b = ⎝

3 ⎠ .

3

− 2

−

→

Gesucht ist der Winkel α zwischen −

→
a und b :

⎛ ⎞ ⎛

⎞

⎫

1

− 4

⎪

−

→ −

→

⎪

⎪
a · b = ⎝ 2 ⎠ · ⎝ 3 ⎠ = − 4 + 6 − 6 = − 4 ⎬

√

3

− 2

⇒ cos α =

− 4

√

√

14 · 29

−

→

√

⎪

⎪

⎪

|−

→

a | =

14 , b = 29

⎭

⇒ α = 101 , 45 ◦.

2.2.2 Projektion eines Vektors

Wir betrachten die folgende physikalische Problem-
stellung: Ein Massenpunkt ist in eine Schiene einge-
spannt und kann nur entlang der Richtung −

→
s bewegt
werden. Auf diesen Massenpunkt wirkt eine Kraft

−

→

−

→

F . Gesucht ist die Kraft F s in Richtung −

→
s :

−

→

Der Betrag von F s ist mit Gleichung (3) gegeben
durch

−

→

−

→

−→

−→ F · −→s

F

s = F · cos α = F · −

→

F · |−

→
s |

−

→
und die Richtung durch −

→
e
s
s = |−

→
s | . Also ist

−

→

−

→

−

→

−→

F · −

→
s

−

→
s

F · −

→
s

F

−

→
s = F s · −

→
e s =

·

=
s .

|−

→
s |

|−

→
s |

|−

→
s | 2

−

→

−

→

Man nennt F s die Projektion von F in Richtung −

→
s . Man verallgemeinert

−

→
diese Konstruktion für zwei beliebige Vektoren −

→
a und b :

54

2. Vektoren und Vektorrechnung

−

→

Die

−

→

Projektion von b
in Richtung
a
ist
gegeben durch den Vektor

−

→

−

→

−

→
a · b
b a =

· −

→
a

|−

→
a | 2

−

→

−

→ −

→

! Man beachte, dass −

→
a · b das Skalarprodukt bedeutet und daher a · b
a 2
eine reelle Zahl darstellt. Das zweite Produktzeichen ist die Multiplikation des

Vektors −

→
a mit dieser reellen Zahl. Beide ” ·”-Zeichen dürfen nicht vertauscht
werden!

Anwendungsbeispiel 2.8 (Kraft entlang einer vorgegebenen Rich-
tung).

⎛

⎞

−

→

2

Gegeben ist die Kraft F = ⎝

2 ⎠, die auf eine Masse wirkt, die sich nur

− 7

⎛

⎞

− 1
entlang der Richtung −

→
s = ⎝ − 1 ⎠ bewegen kann. Gesucht sind die Beschleu-

− 1
nigungskraft, die Stärke der Kraft sowie die verrichtete Arbeit.

−

→

Die Beschleunigungskraft ergibt sich durch die Projektion der Kraft F in

Richtung der Bewegung. Zur Bestimmung dieser Kraft berechnen wir zuerst

−

→
das Skalarprodukt von F mit −

→
s :

⎛

⎞ ⎛

⎞

−

→

2

− 1

F · −

→
s = ⎝

2 ⎠ · ⎝ − 1 ⎠ = 3 ,

|−

→
s | 2 = 3 .

− 7

− 1

Die Beschleunigungskraft ergibt sich nun aus der Projektionsformel

⎛

⎞

⎛

⎞

−

→

− 1

− 1

−→ √

F

⎝

⎠

⎝

⎠
s = 3

− 1

=

− 1
und F = 3 .

3
s

− 1

− 1

Die verrichtete Arbeit W ergibt sich nach Beispiel 2.2 durch die Formel

−

→

W := F · −

→
s .

Es ist daher W = 3.

2.2

Vektoren im IR3

55

2.2.3 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren

Im IR3 definiert man für zwei Vektoren das Vektorprodukt (auch Kreuzpro-
dukt genannt), dessen Ergebnis wieder ein Vektor ist:

Definition: Unter dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

−

→

−

→
c = −

→
a × b

−

→
zweier Vektoren −

→
a und b versteht man den Vektor −

→
c mit den folgenden

Eigenschaften:

−

→

(1) −

→
c ist sowohl zu −

→
a als auch zu b senkrecht:

−

→

−

→
c · −

→
a = 0 , −

→
c · b = 0 .

(2) Der Betrag von −

→
c ist gleich dem Produkt aus den Betr¨
agen der Vek-

−

→
toren −

→
a und b und dem Sinus des eingeschlossenen Winkels α:

−→

|−

→

c | = |−

→
a | · b · sin α, wenn α der Winkel, den die Vektoren −

→
a und

−

→
b miteinander einschließen.

−

→

(3) Die Vektoren −

→
a , b , −

→
c bilden ein Rechtssystem.

Bemerkungen:

(1) Im Gegensatz zum Skalarprodukt ist das Vektorprodukt ein Vektor.

−

→

&

−

→'

(2) Statt −

→
a × b wird auch oftmals das Symbol −

→
a , b
verwendet.

(3)

! Achtung: Das Vektorprodukt ist nur in IR3 definiert!

(4)

! Achtung: Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ!

Geometrische Deutung: Da −

→
c ⊥ −

→
a und

−

→

−

→
c ⊥ b steht, kommt als Richtung des Vek-
tors −

→
c nur die in Abb. 2.10 gestrichelte Linie

−

→
in Frage. Da −

→
a , b , −

→
c in dieser Reihenfolge
ein Rechtssystem bilden, bleibt nur der nach
oben weisende Teil. Der Flächeninhalt des von

−

→

−

→
a und b aufgespannten Parallelogramms ist

Grundseite mal Höhe, also

Abb. 2.10. Kreuzprodukt a mit b

−

→

A = |−

→
a | · h = |−

→
a | · b · sin α

−

→

= −

→
a × b .

Der Betrag des Vektorproduktes entspricht dem Fl¨
acheninhalt des von den

−

→

Vektoren −

→
a und b aufgespannten Parallelogramms.

56

2. Vektoren und Vektorrechnung

Beispiele 2.9:

 Die Vektorprodukte der Einheitsvektoren lassen sich aufgrund der Defini-
tion sofort berechnen:

−

→
e 1 × −

→
e 1 = 0 , −

→
e 2 × −

→
e 2 = 0 , −

→
e 3 × −

→
e 3 = 0;

−

→
e 1 × −

→
e 2 = −

→
e 3 , −

→
e 2 × −

→
e 3 = −

→
e 1 , −

→
e 3 × −

→
e 1 = −

→
e 2 .

 Kriterium für kollineare Vektoren:

−

→

Verschwindet das Kreuzprodukt von −

→
a = 0 und b = 0 , so ist entweder

−

→

−

→

−

→

−

→

−

→
a ↑↑ b ( −

→
a parallel zu b ) oder −

→
a ↑↓ b ( −

→
a antiparallel zu b ) .

Wir geben für das Vektorprodukt die wesentlichen Rechenregeln an:

−

→

−

→

(V1)

−

→
a × ( b + −

→
c )

=

−

→
a × b + −

→
a × −

→
c

−

→

−

→

( −

→
a + b ) × −

→
c

=

−

→
a × −

→
c + b × −

→
c

Distributivgesetze

−

→

−

→

Anti-

(V2)

−

→
a × b

=

− b × −

→
a

Symmetriegesetz

−

→

−

→

(V3)

λ · ( −

→
a × b )

=

( λ−

→
a ) × b

Multiplikation

−

→

=

−

→
a × ( λ b )

mit Skalar λ

Formel f¨
ur das Vektorprodukt

Mit Hilfe der Rechengesetze erhalten wir eine für die Praxis brauchbare Dar-
stellung des Vektorproduktes über die Komponenten der Vektoren, denn es
gilt

−

→ −

→
a × b = ( a −

→

−

→

−

→

−

→

−

→

−

→
x e 1 + ay e 2 + az e 3) × ( bx e 1 + by e 2 + bz e 3)

= ax bx ( −

→
e 1 × −

→
e 1)

+ ax by ( −

→
e 1 × −

→
e 2)

+ ax bz ( −

→
e 1 × −

→
e 3)

+

= 0

−

→
e 3

−−

→
e 2
ay bx ( −

→
e 2 × −

→
e 1)

+ ay by ( −

→
e 2 × −

→
e 2)

+ ay bz ( −

→
e 2 × −

→
e 3)

+

−−

→

−

→
e 3

= 0
e 1
az bx ( −

→
e 3 × −

→
e 1)

+ az by ( −

→
e 3 × −

→
e 2)

+ az bz ( −

→
e 3 × −

→
e 3)

−

→
e 2

−−

→
e 1

= 0

= ( ay bz − az by) −

→
e 1 + ( az bx − ax bz) −

→
e 2 + ( ax by − ay bx) −

→
e 3 .

Somit ist

⎛

⎞ ⎛ ⎞

⎛

⎞
a
b
a

−

→ −

→
x
x
y bz − az by
a × b = ⎝ a ⎠

⎝ ⎠

⎝

⎠
y

× by

=
az bx − ax bz

.

az
bz
ax by − ay bx

2.2

Vektoren im IR3

57

Merkregel: Formal lässt sich das Vektorprodukt in der Form einer dreirei-
higen Determinante ( → Kapitel 3.2) darstellen, wenn man nach der ersten

Spalte entwickelt:

−→

e

−

→ −

→

1 ax bx
a

a

a

a × b = −

→
y by

−

→
x bx

−

→
x bx

−

→
e

2 ay
by :=
e 1 −
e 2 +
e 3 .

−

→

a

a

a

e

z bz
z bz
y by

3 az
bz

Der Wert einer zweireihigen Determinante ist definiert durch die Differenz von

Haupt- und Nebendiagonal-Produkten.

a b

c d := a · d − b · c.

−

→

⇒ −

→
a × b = ( ay bz − by az) −

→
e 1 − ( ax bz − az bx) −

→
e 2 + ( ax by − ay bx) −

→
e 3 .

Beispiel 2.10. Gesucht ist ein Vektor −

→
c , der auf den beiden Vektoren

⎛

⎞

⎛

⎞

2

− 1

−

→

−

→
a = ⎝

1 ⎠ und b = ⎝

2 ⎠

− 2

− 1
senkrecht steht und der Normalen-Einheitsvektor −

→
e c, der zusätzlich die Länge

1 besitzt:

−→

−

→
e 1 2 − 1

1 2

2 − 1

2 − 1
c = −

→
a × b = −

→

−

→

−

→

−

→
e

2

1

2 =
e 1 −
e 2 +
e 3

−

→

− 2 − 1

− 2 − 1

1 2
e

3 − 2 − 1

⎛ ⎞

3

= ⎝ 4 ⎠ .

5

Der zugeh

−

→

−

→
örige Normalen-Einheitsvektor ist −

→
e c = 1

|−

→ c =

1

√
c
c |

50

⎛

⎞

⎛ ⎞

1

−

→

2

Beispiel 2.11. Gegeben sind die Vektoren −

→
a = ⎝ − 4 ⎠ und b = ⎝ 0 ⎠ .

1

2

Gesucht ist das Kreuzprodukt dieser beiden Vektoren sowie der Flächeninhalt
des von beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms.

−→

−

→
e 1 1 2

− 4 0

1 2

1 2

(i) −

→
a × b = −

→

−

→

−

→

−

→
e

2 − 4 0

=
e 1 −
e 2 +
e 3

−

→

1 2

1 2

− 4 0
e

3

1 2

⎛

⎞

− 8

= − 8 −

→
e

⎝

⎠

1 − 0 −

→
e 2 + 8 −

→
e 3 =

0

.

8

58

2. Vektoren und Vektorrechnung

−

→

(ii) Der Flächeninhalt des von −

→
a und b aufgespannten Parallelogramms ist

⎛

⎞

− 8

−

→

√

√

√

A = −

→
a × b = ⎝ 0 ⎠ = 64 + 64 = 128 = 8 2 .

8

Anwendungsbeispiel 2.12 (Auftreten des Kreuzproduktes in der

Physik).

In der Physik tritt das Kreuzprodukt z.B. in den folgenden wichtigen Fällen
auf:

{ Drehmoment: Ein Körper sei um einen festen

Punkt O drehbar und im Punkte P dieses Körpers

−

→
greift eine Kraft F an. Dann ist die Größe M das

−

→

Drehmoment von F bezüglich O

−→

M = |−

→
r | · F · sin ϕ

(Kraft mal Hebelarm). Der Drehmomentvektor steht

−

→
senkrecht zu der durch −

→
r und F gebildeten Ebene und kann als Richtung
der Drehachse aufgefasst werden:

−→

−

→

M = −

→
r × F .

| Drehimpuls: Sei O ein fester Bezugspunkt. Eine Masse m befinde sich in
einem bestimmten Augenblick in P und besitze die Geschwindigkeit −

→
v . Dann

−

→
lautet der momentane Drehimpuls L des Massenpunktes bzgl. O

−

→

L = m−

→
r × −

→
v ,

−−→
wenn −

→
r = O P = −

→
r ( P ) der Ortsvektor zum Punkt P .

} Lorentz-Kraft: Bewegt sich ein geladenes Teilchen (Ladung q) mit der

−

→

Geschwindigkeit −

→
v durch ein Magnetfeld, so erfährt es eine zu B und −

→
v
senkrechte Lorentz-Kraft:

−→

−

→

FL = q−

→
v × B

2.2

Vektoren im IR3

59

2.2.4 Das Spatprodukt von drei Vektoren −→

In der Mechanik kommt das Produkt ( −

→
a × b ) ·−

→
c vor. Der Klammerausdruck
ist ein Vektor, der skalarmultipliziert mit −

→
c wird. Das Ergebnis ist also eine
reelle Zahl.

&

'

−

→ −

→

Definition: Unter dem Spatprodukt
a , b , −

→
c von drei Vektoren ver-
steht man die reelle Zahl

&

'

−

→ −

→

−

→
a , b , −

→
c

:= −

→
a × b

· −

→
c .

Abb. 2.11. Spatprodukt von drei Vektoren

Für das Spatprodukt gelten die Rechenregeln

&

−

→

'

&

−

→

'

(1)

λ−

→
a , b , −

→
c

=
λ −

→
a , b , −

→
c
usw.

&

−

→ −

→

'

&

−

→

'

(2)

−

→
a + b , b , −

→
c

=

−

→
a , b , −

→
c
usw.

(3)

[ −

→
e 1 , −

→
e 2 , −

→
e 3]

=

1

−

→

Bilden die Vektoren −

→
a , b , −

→
c ein Rechtssystem (Linkssystem), so ist das Spat-
produkt positiv (negativ).

−

→

Geometrische Interpretation: Das Volumen des von den Vektoren −

→
a , b
und −

→
c aufgespannten Spates (Parallelotops) ist gegeben durch Grundfläche

G mal Höhe h. Die Grundfläche ist nach Definition des Kreuzproduktes G =

−

→

−

→

a × b und die Höhe h = |−

→
c | cos ϕ.

−

→

⇒

V = |a × b| · |−

→
c | · cos ϕ = ( −

→
a × b ) · −

→
c .

60

2. Vektoren und Vektorrechnung

Das Volumen des Spates ist gleich dem Betrag des Spatproduktes. Der Wert
des Spatproduktes erhält man durch Ausrechnen

&

'

−

→ −

→
a , b , −

→
c

= ax by cz + ay bz cx + az bx cy − az by cx − ay bx cz − ax bz cy.

Die Rechnung kann man auch auffassen als das Ergebnis der Entwicklung der

Determinante

&

'

a

−

→ −

→
x bx cx
a , b , −

→
c

= a

y by cy

.

a

z bz cz

Beispiel 2.13. Gesucht ist das Spatprodukt der drei folgenden Vektoren:

⎛ ⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

4

3

0

−

→

−

→
a = ⎝ 2 ⎠ ,
b = ⎝ − 1 ⎠ ,

−

→
c = ⎝

2 ⎠ .

1

2

− 5

Zur Bestimmung des Spatprodukts der drei Vektoren berechnen wir die drei-
reihigen Determinante durch Entwicklung nach der ersten Spalte:

4 3 0

− 1 2

3 0

3 0

2 − 1 2 = 4 ·

2 − 5 − 2 · 2 − 5 + 1 · − 1 2

1

2 − 5

= 4 (( − 1)( − 5) − 2 · 2) − 2(3 · ( − 5) − 2 · 0) + (3 · 2 − ( − 1) · 0) = 40 .

−

→

Aus der Interpretation des Spatproduktes als das Volumen des von −

→
a , b und

−

→
c aufgespannten Spates ergibt sich folgende wichtige Folgerung

Folgerung: Das Spatprodukt ist Null, wenn die drei Vektoren in einer Ebene
liegen:

&

'

−

→ −

→

−

→
a , b , −

→
c

= 0

⇔ −

→
a , b , −

→
c liegen in einer Ebene.

Es gilt bei der Berechnung des Spatproduktes die folgende Regel

−

→

−

→

−

→

( −

→
a × b ) · −

→
c = ( b × −

→
c ) · −

→
a = ( −

→
c × −

→
a ) · b .

Das Vorzeichen des Spatproduktes ändert sich, wenn man von der zyklischen

Reihenfolge a b c, b c a oder c a b abweicht.

Visualisierung mit Maple: Auf der CD-Rom befinden sich Maple-

Prozeduren, welche sowohl die Darstellung von Vektoren im IR3
ermöglichen als auch die Visualisierung der Vektoroperationen.

2.3

Geraden und Ebenen im IR3

61

2.3

2.3 Geraden und Ebenen im IR3

In diesem Abschnitt werden einige Anwendungen der Vektoren und der Vektorrechnung
angegeben: Die Beschreibung von Geraden und Ebenen im IR3 sowie Abstandsberechnungen
und Lage von Punkten, Geraden und Ebenen zueinander.

2.3.1 Vektorielle Darstellung von Geraden

Eine Gerade g ist eindeutig durch die Angabe zweier verschiedener Punkte

−−−→

P 1 = ( x 1 , y 1 , z 1) und P 2 = ( x 2 , y 2 , z 2) festgelegt. Denn durch −

→
a := P 1 P 2 ist
der Richtungsvektor der Geraden festgelegt und jeder Punkt P = ( x, y, z) der

Geraden lässt sich nach Abb. 2.12 darstellen als
g : −

→
r ( P ) = −

→
r ( P 1) + λ−

→
a ,
λ ∈ IR ,

(Punkt-Richtungsform einer Geraden).

Abb. 2.12. Beschreibung einer Geraden

−−−→

Ersetzt man den Vektor −

→
a := P 1 P 2 durch −

→
r ( P 2) − −

→
r ( P 1), so erhält man:

g : −

→
r ( P ) = −

→
r ( P 1) + λ( −

→
r ( P 2) − −

→
r ( P 1)) ,
λ ∈ IR ,

(Zweipunkteform einer Geraden).

Ein Punkt Q liegt auf einer Geraden g , falls die entsprechende Vektorgleichung

−

→
r ( Q) = −

→
r ( P 1) + λ−

→
a
eine Lösung für λ besitzt.

62

2. Vektoren und Vektorrechnung

Beispiel 2.14. Gegeben sind die Punkte P 1 = (2 , 0 , 4) und P 2 = (2 , 2 , 2) .

Liegt der Punkt Q = (2 , − 2 , 6) auf der Geraden g durch die Punkte P 1 und

P 2?

Die Geradengleichung für g lautet mit dem Richtungsvektor

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛

⎞

2

2

0

−

→

−−−→
a = P

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝

⎠

1 P 2 = −

→
r ( P 2) − −

→
r ( P 1) =

2

− 0

=

2

2

4

− 2

⎛ ⎞

⎛

⎞

2

0
g : −

→
r ( P ) = −

→
r ( P

⎝ ⎠

⎝

⎠

1) + λ−

→
a =

0

+ λ

2

.

4

− 2

Der Punkt Q liegt auf der Geraden g, wenn die Vektorgleichung

−

→
r ( Q) = −

→
r ( P 1) + λ−

→
a

⎛

⎞

2
eine Lösung besitzt. Dies ist dann der Fall, wenn die Gleichung ⎝ − 2 ⎠ =

6

⎛ ⎞

⎛

⎞

2

0

⎝ 0 ⎠+ λ ⎝ 2 ⎠ lösbar ist. Bringen wir den Vektor −→
r ( P 1) auf die linke Seite

4

− 2

⎛

⎞

⎛

⎞

0

0
gilt λ ⎝

2 ⎠ = ⎝ − 2 ⎠. Für λ = − 1 ist diese Gleichung erfüllt und der Punkt

− 2

2

Q liegt daher auf g.

2.3.2 Lage zweier Geraden zueinander

Zwei Geraden

−

→
g 1 : −

→
x = −

→
r ( P 1) + λ−

→
a
und
g 2 : −

→
x = −

→
r ( P 2) + μ b
können im IR3 vier verschiedene Lagen zueinander besitzen:

(1) g 1 und g 2 schneiden sich in genau einem Punkt S (Abb. 2.13 (a)).

−

→

(2) g 1 und g 2 fallen zusammen. Dies ist dann der Fall, wenn −

→
a b und

−−→

P 1 P 2 −

→
a .

(3) g 1 und g 2 sind parallel, fallen aber nicht zusammen (Abb. 2.13 (b)).

−

→

−−→

Dies ist dann der Fall, wenn −

→
a b und P 1 P 2 ∦ −

→
a .

(4) g 1 und g 2 sind windschief: Sie verlaufen weder parallel noch schneiden
sie sich in einem Punkt (Abb. 2.13 (c)).

2.3

Geraden und Ebenen im IR3

63

Abb. 2.13. Lage zweier Geraden g 1 und g 2

Um die Lage zweier Geraden rechnerisch zu bestimmen, genügt es die Vektor-
gleichung −

→
x g = −

→
x
zu lösen:

1
g 2

−

→

⇒ −

→
r ( P 1) + λ−

→
a = −

→
r ( P 2) + μ b

−

→

−−→

⇒ λ−

→
a − μ b = −

→
r ( P 2) − −

→
r ( P 1) = P 1 P 2 .

Dies ist ein LGS für die Unbekannten λ und μ, denn für

⎛

⎞

⎛ ⎞

⎛

⎞

⎛

⎞
a
b
x
x

−

→
x

−

→
x

1

2
a = ⎝ a ⎠

⎝ ⎠

⎝

⎠

⎝

⎠
y

, b =
by

, −

→
r ( P 1) =
y 1

, −

→
r ( P 2) =
y 2
az
bz
z 1
z 2
lautet das LGS komponentenweise
λ ax − μ bx = x 2 − x 1
λ ay − μ by = y 2 − y 1
λ az − μ bz = z 2 − z 1
bzw. in Matrizenschreibweise

⎛

⎞
a

x

− bx x 2 − x 1

⎝

a

⎠
y

− by y 2 − y 1 .

a

z

− bz z 2 − z 1

Es gilt dann

(1) Besitzt das lineare Gleichungssystem für λ und μ genau eine Lösung, dann
schneiden sich g 1 und g 2 genau in einem Punkt.

(2) Besitzt das lineare Gleichungssystem für λ und μ unendlich viele Lösungen,
dann fallen g 1 und g 2 zusammen.

(3) Besitzt das lineare Gleichungssystem für λ und μ keine Lösung, dann sind
g 1 und g 2 windschief oder sie sind parallel aber nicht zusammenfallend.

64

2. Vektoren und Vektorrechnung

Beispiel 2.15. Gegeben ist die Gerade g 1 definiert durch den Richtungsvektor

⎛

⎞

1

−

→
a = ⎝

2 ⎠ und den Punkt P 1 = (3 , 2 , 1) sowie die Gerade g 2 durch die

− 1

Punkte P 2 = (4 , 0 , − 1) , P 3 = ( − 2 , − 1 , − 1) . Man bestimme die Lage der beiden Geraden zueinander. Es ist

⎛ ⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

3

1

4

− 6
g

⎝ ⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

1 : −

→
x =

2

+ λ

2
g 2 : −

→
x =

0

+ μ

− 1 .

1

− 1

− 1

0

Da die Richtungsvektoren von g 1 und g 2 nicht parallel sind, können beide

Geraden sich entweder nur schneiden oder sie sind windschief. Wir setzen die

Vektorgleichung −

→
x g = −

→
x
an:

1
g 2

⎛ ⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

3

1

4

− 6

⎝ 2 ⎠ + λ ⎝ 2 ⎠ = ⎝ 0 ⎠ + μ ⎝ − 1 ⎠

1

− 1

− 1

0

⎛

⎞

⎛ ⎞

⎛

⎞ ⎛ ⎞

⎛

⎞

1

6

4

3

1

⇒ λ ⎝ 2 ⎠ + μ ⎝ 1 ⎠ = ⎝ 0 ⎠ − ⎝ 2 ⎠ = ⎝ − 2 ⎠ .

− 1

0

− 1

1

− 2

In Matrizenschreibweise lautet dieses lineare Gleichungssystem

⎛

⎞

⎛

⎞

1

6

1

1

6

1

⎝

2

1 − 2 ⎠ → ⎝ 0 − 11 − 4 ⎠ .

− 1 0 − 2

0

6 − 1

Aus der letzten Zeile folgt 6 μ = − 1 ⇒ μ = − 1 , und aus der vorletzten

6

Zeile folgt − 11 μ = − 4 ⇒ μ = 4 . Dies ist ein Widerspruch! Also lässt sich

11
die Vektorgleichung nicht lösen und es gibt keinen Schnittpunkt von g 1 mit
g 2 . ⇒ g 1 und g 2 sind windschief.

2.3.3 Abstandsberechnung zu Geraden

Der Abstand eines Punktes Q von einer Geraden
g : −

→
x = −

→
r ( P 1) + λ−

→
a
ist gegeben durch die Höhe d des Parallelogramms, welches durch die Vektoren

−

→

−−→
a und P 1 Q aufgespannt wird (siehe Abb. 2.14). Die Parallelogrammfläche A

−−→
ist nach Definition des Kreuzproduktes A = −

→
a × P 1 Q = |−

→
a | · d. Nach d
aufgelöst folgt:

2.3

Geraden und Ebenen im IR3

65

Abb. 2.14. Abstand des Punktes Q zur Ge-
raden g

Der Abstand eines Punktes Q von einer Geraden
g : −

→
x = −

→
r ( P 1) + λ−

→
a
ist gegeben durch

−−→

−

→

a × P 1 Q
d =

.

|−

→
a |

Für d = 0 liegt der Punkt Q auf der Geraden! Aus aus obiger Formel ergibt
sich auch der Abstand zweier paralleler Geraden

−

→
g 1 : −

→
x = −

→
r ( P 1) + λ−

→
a
und
g 2 : −

→
x = −

→
r ( P 2) + μ b ,
indem man einen beliebigen Punkt auf der Geraden g 2 wählt, z.B. den Punkt

P 2, und den Abstand dieses Punktes zur Geraden g 1 bestimmt. Für d = 0 sind
die Geraden zusammenfallend!

Um den Abstand zweier windschiefer Geraden

−

→
g 1 : −

→
x = −

→
r ( P 1) + λ−

→
a
und g 2 : −

→
x = −

→
r ( P 2) + μ b

−

→

−

→
zu berechnen, bestimmen wir den Vektor L = −

→
a × b .

−

→

−

→

L steht senkrecht auf −

→
a und auf b . Für

−

→

−

→

−

→

L = 0 sind −

→
a und b parallel, für L = 0
gehen wir zum Einheitsvektor

−

→

1 −

→
l = −→ L

L
über. Der Abstand von g 1 und g 2 ist gegeben

−−−→

−

→
durch die Projektion von P
l , also

Abb. 2.15. Windschiefe Geraden

1 P 2 auf

−

→ −−−→
d = l · P 1 P 2:

66

2. Vektoren und Vektorrechnung

−

→ −

→

Abstand zweier windschiefer Geraden
a × b

−−−→
d =

−

→ · P 1 P 2
g 1 : −

→
x = −

→
r ( P 1) + λ−

→
a
und

−

→

a × b

−

→
g 2 : −

→
x = −

→
r ( P 2) + μ b .

Ist der Abstand d = 0, so schneiden sich die Geraden und der Schnittwinkel

−

→
ergibt sich durch den Winkel, den die beiden Richtungsvektoren −

→
a und b
miteinander einschließen:

−

→ −

→
a · b

Schnittwinkel zweier sich
cos ϕ =

−→

|−

→
a | b
schneidender Geraden.

Beispiel 2.16. Gesucht ist der Abstand der beiden parallelen Geraden

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

1

1

3

2
g

⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎝ ⎠

1 : −

→
x =

1

+ λ

1
und
g 2 : −

→
x =

0

+ μ

2

.

4

1

1

2

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛

⎞

⎛

⎞

1

√

−−−→

1

2

2

Wegen −

→
a = ⎝ 1 ⎠ ist |a| =

3 und −

→
a × P

⎝ ⎠ ⎝

⎠

⎝

⎠

1 P 2 =

1

× − 1

=

5

.

1

1

− 3

− 3

|−→ −−−→

√
a ×P

Also ist d =

1 P 2 |

38

√

|−

→

= 3 , 559 .

a |

=

3

Beispiel 2.17. Gesucht ist der Schnittpunkt S und der Schnittwinkel ϕ der

Geraden

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛

⎞

1

2

2

1
g

⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎝

⎠

1 : −

→
x =

1

+ λ

1
und g 2 : −

→
x =

0

+ μ

− 1 .

0

1

2

2

Um den Schnittpunkt S zu bestimmen, setzen wir −

→
x g = −

→
x

:

1
g 2

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛

⎞

1

2

2

1

⎝ 1 ⎠ + λ ⎝ 1 ⎠ = ⎝ 0 ⎠ + μ ⎝ − 1 ⎠

0

1

2

2

⎛ ⎞

⎛

⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛

⎞

2

− 1

2

1

1

→ λ ⎝ 1 ⎠ + μ ⎝ 1 ⎠ = ⎝ 0 ⎠ − ⎝ 1 ⎠ = ⎝ − 1 ⎠ .

1

− 2

2

0

2

2.3

Geraden und Ebenen im IR3

67

In der Matrixschreibweise folgt weiter

⎛

⎞

⎛

⎞

2

− 1 1

2

− 1 1

⎝

1

1 − 1 ⎠ → ⎝ 0

− 3 3⎠ .

1

− 2 2

0

3 − 3

Sowohl aus der letzten als auch vorletzten Zeile folgt μ = − 1 , d.h. das LGS ist
lösbar. Aus der ersten Zeile berechnet man

2 λ − ( − 1) = 1

⇒
λ = 0 .

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

1

2

1

Somit ist −

→
r ( S) = ⎝ 1 ⎠ + 0 · ⎝ 1 ⎠ = ⎝ 1 ⎠ und die Koordinaten von S sind

0

1

0

S = (1 , 1 , 0) . Der Schnittwinkel ist

⎛

⎞

−

→ −

→
a · b

3
ϕ = arccos ⎝

−→⎠ = arccos √ √ = 60 ◦,

|−

→
a | b

6 6

⎛ ⎞ ⎛

⎞

−

→

2

1

√

−→
denn −

→
a · b = ⎝ 1 ⎠ · ⎝ − 1 ⎠ = 2 − 1 + 2 = 3 und |−

→
a | =

6 = b .

1

2

2.3.4 Vektorielle Darstellung von Ebenen

Eine Ebene E ist eindeutig bestimmt durch die Angabe dreier Punkte P 1 =

( x 1 , y 1 , z 1) , P 2 = ( x 2 , y 2 , z 2) und P 3 = ( x 3 , y 3 , z 3), die nicht auf einer Geraden

−−−→
liegen. Dann legen diese 3 Punkte zwei Richtungsvektoren −

→
a = P 1 P 2 und

−

→

−−−→
b = P 1 P 3 und einen Ortsvektor −

→
r ( P 1) fest. Jeder Punkt P = ( x, y, z) der

Ebene entspricht einem Vektor −

→
x = −

→
r ( P ) mit

Abb. 2.16. Vektorielle Darstellung ei-
ner Ebene E

−

→

E : −

→
r ( P ) = −

→
r ( P 1) + λ−

→
a + μ b

( λ, μ ∈ IR)

(Punkt-Richtungsform der Ebene).

68

2. Vektoren und Vektorrechnung

−−−→

−

→

−−−→

Wenn man die Richtungsvektoren −

→
a = P 1 P 2 und b = P 1 P 3 durch die jewei-
ligen Ortsvektoren −

→
r ( P 2) − −

→
r ( P 1) bzw. −

→
r ( P 3) − −

→
r ( P 1) ersetzt, erhält man
die Dreipunkteform der Ebene:

E : −

→
r ( P ) = −

→
r ( P 1)+ λ( −

→
r ( P 2) −−

→
r ( P 1))+ μ( −

→
r ( P 3) −−

→
r ( P 1)) ( λ, μ ∈ IR)

(Dreipunkteform der Ebene).

Beispiel 2.18. Gegeben sind die Punkte P 1 = (5 , 2 , 1) , P 2 = (4 , 0 , − 4) und P 3 = (1 , 1 , 1) . Dann lautet die Ebenengleichung durch die 3 Punkte

⎛ ⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

5

4 − 5

1 − 5

E : −

→
r ( P ) = ⎝ 2 ⎠ + λ ⎝

0 − 2 ⎠ + μ ⎝ 1 − 2 ⎠

1

− 4 − 1

1 − 1

⎛ ⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

5

− 1

− 4

= ⎝ 2 ⎠ + λ ⎝ − 2 ⎠ + μ ⎝ − 1 ⎠ .

1

− 5

0

Hesse-Normalform

Eine alternative Darstellung der Ebenengleichung erhält man, wenn die Punkt-

Richtungsform der Ebene mit dem zu E senkrecht stehenden Normalenvektor

−

→

−

→

−

→
skalarmultipliziert wird. N := −

→
a × b steht senkrecht auf −

→
a und auf b und
der Normalen-Einheitsvektor lautet

−

→

1 −

→

1

−

→
n :=

−

→

−

→ N =

−

→ a × b .

N

−

→
a × b

−

→

Dieser hat die Eigenschaft |−

→
n | = 1 , −

→
a · −

→
n = 0 und b · −

→
n = 0 . Somit folgt
für jeden Punkt P auf der Ebene E

−

→
r ( P ) · −

→
n = −

→
r ( P 1) · −

→
n
oder ( −

→
r ( P ) − −

→
r ( P 1)) · −

→
n = 0 .

⎛ ⎞
x

Setzt man −

→
r ( P ) = ⎝ y ⎠ folgt:

z

⎛

⎞
x − x 1

Hesse-Normalform der Ebene, wenn

⎝ y − y ⎠

1

· −

→
n = 0

P 1 ein Punkt der Ebene und −

→
n der
z − z 1

Normalen-Einheitsvektor zur Ebene.

2.3

Geraden und Ebenen im IR3

69

⎛

⎞
n 1

Setzt man den Richtungsvektor −

→
n = ⎝ n ⎠

2
ein, erhält man durch Ausmulti-
n 3
plizieren des Skalarprodukts
n 1( x − x 1) + n 2( y − y 1) + n 3( z − z 1) = 0 .

Folglich bilden alle Lösungen einer linearen Gleichung

A x + B y + C z = D
eine Ebene im IR3 .

Beispiel 2.19. Gesucht sind die Darstellungsformen der Ebene E, die durch

−

→
den Punkt P = (2 , − 5 , 3) geht und senkrecht zum Normalenvektor N =

⎛ ⎞

4

⎝ 2 ⎠steht: Aus der Hesse-Normalform folgt

5

⎛ ⎞ ⎛

⎞

−

→

4
x − 2

N · ( −

→
r ( P ) − −

→
r ( P

⎝ ⎠ ⎝

⎠

1)) =

2
y + 5

= 4( x − 2) + 2( y + 5) + 5( z − 3) = 0

5
z − 3

⇒

4 x + 2 y + 5 z = 13 .

( ∗)

Der Übergang zur Punkt-Richtungsform der Ebene erhält man, indem bei die-
sem linearen Gleichungssystem z = μ (beliebig) und y = λ (beliebig) gewählt
werden. Aus der Gleichung ( ∗) folgt dann

13

4 x + 2 λ + 5 μ = 13

⇒ x =

− 1 λ − 5 μ.

4

2

4

Somit ist die Lösung der Gleichung ( ∗) die Punkt-Richtungsform der Ebene

⎛ ⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞
x

13

− 1

− 5

−

→

4

2

4
x = ⎝ y ⎠ = ⎝ 0 ⎠ + λ ⎝

1 ⎠ + μ ⎝

0 ⎠ .

z

0

0

1

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛ ⎞

−

→

−

→

− 1

− 5

4

2

4

Der Normalenvektor N = −

→
a × b = ⎝

1 ⎠ × ⎝

0 ⎠ = 1 ⎝ 2 ⎠ wird

4

0

1

5

−

→
normiert durch −

→
n =

1

|−→ N . Somit ist eine andere Hesse-Normalform gegeben

N |
durch

⎛

⎞ ⎛ ⎞
x − 13

4

1

4

√ ⎝ y − 0 ⎠ · ⎝ 2 ⎠ = 0 .

12 5
z − 0

5

70

2. Vektoren und Vektorrechnung

2.3.5 Lage zweier Ebenen zueinander

Um die Lage zweier Ebenen

−

→

−

→

E 1 : −

→
x = −

→
r ( P 1) + λ−

→
a 1 + μ b 1 und

E 2 : −

→
x = −

→
r ( P 2) + τ −

→
a 2 + σ b 2
zu bestimmen, genügt es die Vektorgleichung −

→
x E = −

→
x
zu lösen:

1

E 2

−

→

−

→

−

→
r ( P 1) + λ−

→
a 1 + μ b 1 = −

→
r ( P 2) + τ −

→
a 2 + σ b 2 .

(1) Ist das Gleichungssystem nicht lösbar, dann sind die Ebenen E 1 und E 2
parallel und fallen nicht zusammen ( E 1 E 2 , E 1 = E 2) (siehe Abb.

2.17 (a)).

(2) Ist das Gleichungssystem mit einem Parameter lösbar, dann schneiden
sich die Ebenen E 1 und E 2 in einer Geraden ( E 1 ∦ E 2 , E 1 ∩ E 2 = g) (siehe Abb. 2.17 (b)).

(3) Ist das Gleichungssystem mit zwei Parameter lösbar, dann fallen sie zu-
sammen ( E 1 = E 2) .

Abb. 2.17. Lage zweier Ebenen E 1 und E 2 zueinander

Beispiel 2.20 (Musterbeispiel).

Man bestimme die Lage der Ebenen E 1 und E 2 zueinander, wenn

⎛ ⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

1

− 1

− 1

E

⎝ ⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

1 : −

→
x =

0

+ λ

2

+ μ

0

;

0

0

1

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

0

1

0

E

⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎝ ⎠

2 : −

→
x =

1

+ τ

2

+ σ

4

.

0

1

0

2.3

Geraden und Ebenen im IR3

71

Mit −

→
x E = −

→
x
folgt

1

E 2

⎛ ⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

1

− 1

− 1

0

1

0

⎝ 0 ⎠ + λ ⎝ 2 ⎠ + μ ⎝ 0 ⎠ = ⎝ 1 ⎠ + τ ⎝ 2 ⎠ + σ ⎝ 4 ⎠

0

0

1

0

1

0

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

− 1

− 1

− 1

0

− 1

→ λ ⎝ 2 ⎠ + μ ⎝ 0 ⎠ + τ ⎝ − 2 ⎠ + σ ⎝ − 4 ⎠ = ⎝ 1 ⎠ .

0

1

− 1

0

0

In der Matrixdarstellung lautet das lineare Gleichungssystem für λ, μ, τ, σ

⎛

⎞

⎛

⎞

− 1 − 1 − 1 0 − 1

− 1 − 1 − 1 0 − 1

⎝

2

0 − 2 − 4 1 ⎠ → ⎝ 0 − 2 − 4 − 4 − 1 ⎠

0

1 − 1

0

0

0

1 − 1

0

0

⎛

⎞

− 1 − 1 − 1 0 − 1

→ ⎝ 0 − 2 − 4 − 4 − 1 ⎠ .

0

0 − 6 − 4 − 1

Es ist demnach σ = t (beliebig) und − 6 τ − 4 t = − 1 ⇒ τ = 1 − 2 t. Die Lösung 6

3
des LGS besitzt einen freien Parameter t; also schneiden sich die Ebenen E 1
und E 2 in einer Geraden g. Die Darstellung der Geradengleichung erhalten wir,
indem wir σ = t und τ = 1 − 2 t in die Definitionsgleichung für E

6

3

2 einsetzen:

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

0

1

0
g : −

→
x = ⎝ 1 ⎠ + ( 1 − 2 t) ⎝ 2 ⎠ + t ⎝ 4 ⎠

6

3

0

1

0

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞

0

1

1

0

= ⎝ 1 ⎠ + 1 ⎝ 2 ⎠ + t ⎝ − 2 ⎝ 2 ⎠ + ⎝ 4 ⎠⎠

6

3

0

1

1

0

⎛ ⎞

⎛

⎞

1

− 2

6

3
g : −

→
x = ⎝ 4 ⎠ + t ⎝

8 ⎠ .

3

3

1

− 2

6

3

Um die Lage einer Ebene

−

→

E : −

→
x = −

→
r ( P 1) + λ−

→
a + μ b
und einer Geraden
g : −

→
x = −

→
r ( P 2) + τ −

→
c
zu bestimmen, lösen wir die Vektorgleichung −

→
x E = −

→
x g:

−

→

−

→
r ( P 1) + λ−

→
a + μ b = −

→
r ( P 2) + τ −

→
c .

Dies ist ein LGS für die Unbekannten λ, μ, τ . Es gilt

72

2. Vektoren und Vektorrechnung

(1) Ist das Gleichungssystem nicht lösbar, dann ist g parallel zu E aber nicht
in E enthalten ( gE, g E) (siehe Abb. 2.18 (a)).

(2) Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, dann schneiden sich die Ebene

E und die Gerade g in einem Punkt S ( g ∩ E = {S}) (siehe Abb. 2.18

(b)).

(3) Ist das Gleichungssystem mit einem Parameter lösbar, dann liegt die Ge-
rade g in der Ebene E ( g ⊂ E) (siehe Abb. 2.18 (c)).

Abb. 2.18. Lage einer Geraden g zu einer Ebene E

2.3.6 Abstandsberechnung zu Ebenen

Der Abstand eines Punktes Q von einer Ebene E : −

→
x = −

→
r ( P 1)+ λ−

→
a +

−

→

−−→

−

→
μ b ist gegeben durch die Projektion des Vektors P 1 Q auf die Normale N der

−

→

−

→ −−→

−

→

−→

−−→

−→

Ebene: d = N ·P 1 Q

N . Also ist der Abstand d = d = |N·P 1 Q| N =

N 2

·

N 2

·

|−→−−→

N ·P 1 Q| :

N

−→−−→

N ·P

Abstand des Punktes Q von der Ebene

1 Q

−

→
d =

−→

E: −

→
x = −

→
r ( P 1) + λ−

→
a + μ b

N

−

→

−

→
mit Normalenvektor N = −

→
a × b .

Ist d = 0, so liegt der Punkt Q in der Ebe-
ne E.

Der Abstand
einer zu E parallelen

Geraden g : −

→
x = −

→
r ( P 2) + τ −

→
c ergibt
sich direkt aus obiger Formel, indem man
sich einen beliebigen Punkt auf der Gera-
den z.B. P 2 wählt und den Abstand dieses

Abb. 2.19. Abstand Punkt zu Ebene E

Punktes zur Ebene bestimmt:

2.3

Geraden und Ebenen im IR3

73

−→−−−→

N ·P

Abstand der Geraden g : −

→
x = −

→
r ( P 2) + τ −

→
c

1 P 2

−

→
d =

−→
von der Ebene E: −

→
x = −

→
r ( P 1) + λ−

→
a + μ b

N

−

→

−

→
mit Normalenvektor N = −

→
a × b .

Für d = 0 liegt die Gerade in der Ebene E.

−

→

Der Abstand einer zu E parallelen Ebene E 2 : −

→
x = −

→
r ( P 2) + τ −

→
c + σ d
ergibt sich ebenfalls direkt aus obiger Formel, indem man einen Punkt der

Ebene E 2 wählt (z.B. P 2) und einsetzt:

−→−−−→

−

→

N ·P

Abstand der Ebene E 2 : −

→
x = −

→
r ( P 2) + τ −

→
c + σ d

1 P 2

−

→
d =

−→
von der Ebene E: −

→
x = −

→
r ( P 1) + λ−

→
a + μ b

N

−

→

−

→
mit Normalenvektor N = −

→
a × b .

Ist d = 0, so fallen beide Ebenen zusammen.

Beispiel 2.21. Gesucht ist der Abstand des Punktes Q = (3 , 1 , 5) von der

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

1

1

0

−

→

−

→

1

Ebene E : −

→
x = ⎝ 2 ⎠ + λ ⎝ 1 ⎠ + μ ⎝ 2 ⎠: Wegen N := −

→
a × b = ⎝ 1 ⎠ ×

0

0

2

0

⎛ ⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

0

2

2

⎝

−

→ √

−−→

2 ⎠ = ⎝ − 2 ⎠ ist N =

12 und P

⎝

⎠

1 Q =

− 1 .

2

2

5

−→ −−→

⎛

⎞ ⎛

⎞

N · P

2

2

1 Q

√

⇒

1

16

8
d =

⎝

⎠ ⎝

⎠

−

→

= √

− 2 · − 1 = √

=

3 .

N

12

12

3

2

5

2.3.7 Berechnung des Schnittes einer Geraden mit einer Ebene

Um den Schnittpunkt einer Geraden
g : −

→
x = −

→
r ( P 2) + λ−

→
a
mit einer Ebene E zu bestimmen, gehen wir davon aus, dass die Ebene E in
der Hesse-Normalform

−

→

E : N · ( −

→
x − −

→
r ( P 1)) = 0

−

→
gegeben ist, d.h. P 1 ein Punkt auf der Ebene und N ein Normalenvektor ist.

Wir gehen davon aus, dass die Gerade nicht parallel zur Ebene liegt.

74

2. Vektoren und Vektorrechnung

Abb. 2.20. Schnittpunkt und -winkel einer Geraden mit einer Ebene

Der Schnittpunkt S hat die Eigenschaft, dass −

→
x g = −

→
x E, d.h. wir setzen

−

→
x g in die Ebenengleichung ein:

−→

−

→

−

→

N · ( −

→
r ( P 2) + λ−

→
a − −

→
r ( P 1)) = N · ( −

→
r ( P 2) − −

→
r ( P 1)) + λ N · −

→
a = 0 .

−

→

Da die Gerade nicht parallel zur Ebene liegt, ist N · −

→
a = 0, so dass mit

−−−→

P 1 P 2 = −

→
r ( P 2) − −

→
r ( P 1) folgt

−

→ −−−→

N · P
λ = −

1 P 2

−

→

.

N · −

→
a

Setzt man dieses λ in die Geradengleichung ein, folgt für den Schnittpunkt S

−

→ −−−→

−

→

N · P

Ortsvektor zum
r ( S) = −

→
r ( P

1 P 2

2) −

−

→

· −

→
a

N · −

→
a

Schnittpunkt S.

Für den Winkel ϕ zwischen der Normalen der Ebene und der Geraden gilt

−

→

N · −

→
a
cos ϕ = −→

.

N |−

→
a |
ϕ ist der Ergänzungswinkel zu α:

ϕ = 90 ◦ ± α,
je nachdem wie die Richtung des Normalenvektors ist. Daher ist
cos ϕ = cos (90 ◦ ± α) = ∓ sin α und

−

→

Schnittwinkel zwischen der Geraden

N · −

→
a
sin α = ± −→
g : −

→
x = r( P 2) + λ−

→
a

N |−

→
a |

−

→
und der Ebene E : N ( −

→
x − −

→
r ( P 1)) = 0.

2.3

Geraden und Ebenen im IR3

75

Beispiel 2.22. Gesucht ist der Schnittpunkt S und der Schnittwinkel α der

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛

⎞

⎛ ⎞

⎛

⎞

1

2

2

0

4

Geraden g : −

→
x = ⎝ 2 ⎠ + λ ⎝ 0 ⎠ mit E : −

→
x = ⎝ − 1 ⎠+ λ ⎝ 1 ⎠+ μ ⎝ 2 ⎠ .

3

2

3

0

− 1

⎛ ⎞

⎛

⎞

−

→

0

−

→

4

Aus den Richtungsvektoren der Ebene b

⎝ ⎠

⎝

⎠

1 =

1
und b 2 =

2
erhält

0

− 1

⎛

⎞

−

→

−

→

−

→

− 1
man den Normalenvektor N = b

⎝

⎠

1 × b 2 =

0

. Damit ist

− 4

⎛

⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛

⎞⎞

−

→ −−−→

− 1

1

2

N · P

⎝

⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎝

⎠⎠

1 P 2 =

0

·

2

− − 1

= 1

− 4

3

3

⎛

⎞ ⎛ ⎞

−

→

− 1

2

N · −

→
a = ⎝

0 ⎠ · ⎝ 0 ⎠ = − 10 .

− 4

2

Der Schnittpunkt S berechnet sich aus

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛

⎞

−

→ −−−→

1

2

1 , 2

−

→

N · P

1
r ( S) = −

→
r ( P

1 P 2

⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎝

⎠

2) −

−

→

· −

→
a =

2

+

0

=

2

.

N · −

→
a

10

3

2

3 , 2

Der Schnittwinkel α folgt aus

−

→

N · −

→
a

− 10
sin α = −→

= √ √

⇒ α = − 59 , 04 ◦.

N · |−

→
a |

17 8

Bemerkung: Der Schnittwinkel zweier sich schneidenden Ebenen

−

→

−

→

E 1 : N 1 ( −

→
r ( P ) − −

→
r ( P 1)) = 0 und E 2 : N 2 ( −

→
r ( P ) − −

→
r ( P 2)) = 0
ist der gleiche Schnittwinkel wie der Schnittwinkel ihrer Normalenvektoren.

−→ −→

N

N

Daher gilt cos ϕ =

1 ·

2

−→ −→ .

N 1 N 2

Visualisierung mit Maple: Auf der CD-Rom befinden sich Maple-

Prozeduren zur Darstellung sowohl von Geraden als auch Ebenen.

Ebenfalls auf der CD befindet sich die Prozedur geomet. Sie bestimmt die

Lage zweier Objekte (Punkte, Geraden oder Ebenen) zueinander.

76

2. Vektoren und Vektorrechnung

2.4

2.4 Vektorr¨
aume

Wir übertragen die Definition von Vektoren aus dem IR3 in den IR n und erweitern die ele-
mentare Rechenoperationen (Addition und S-Multiplikation) auf diese Vektoren. Aus den
allgemeinen Eigenschaften kommt man auf den Begriff des Vektorraums, der eine wich-
tige Bedeutung bei der Beschreibung linearer physikalischer Systeme spielt. Insbesondere
bei der formalen Behandlung z.B. von linearen Gleichungssystemen oder der linearen Dif-
ferenzialgleichungen und -systemen benötigt man diesen Formalismus. Zentral sind bei der

Charakterisierung der Vektorräume die Begriffe der Linearkombination, der linearen Un-
abhängigkeit und der Basis als minimales Erzeugendensystem.

2.4.1 Vektorrechnung im IR n

Wir übertragen den Begriff des Vektors von IR3 in den IR n:

Definition: Die Menge aller n- Tupel reeller Zahlen heißt IR n:

⎧⎛

⎞

⎫

⎪

⎪ x

⎪

1

⎪

⎨⎜

⎪

⎪

⎜ x ⎟

⎬

2 ⎟

IR n := ⎪⎜ . ⎟ : x 1 ∈ IR , x 2 ∈ IR ,···,xn ∈ IR .

⎪

.

⎪⎝

⎠

⎪

⎩

.

⎪

⎪

⎭
xn

Analog dem Koordinatensystem in der Ebene bzw. im Raum wird das Koordi-
natensystem im IR n durch n aufeinander senkrecht stehenden Einheitsvektoren

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

1

0

0

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ . ⎟

−

→

⎜ 0 ⎟

⎜ 1 ⎟

⎜ . ⎟
e

.

1 := ⎜

, −

→
e

, . . . , −

→
e

⎝ . ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

.

2 :=

.

n :=

. ⎠

⎝ .. ⎠

⎝ 0 ⎠

0

0

1
gebildet. Jeder Vektor −

→
a ∈ IR n lässt sich durch die Angabe seiner Kompo-
nenten beschreiben:

⎛

⎞
a 1

⎜

⎟

−

→

⎜ a 2 ⎟
a = a −

→

−

→

−

→

1 e 1 + a 2 e 2 + · · · + an e n = ⎜

.

⎝ . ⎟

.. ⎠
an

Es übertragen sich dann die Begriffe des Betrags, der Gleichheit von Vekto-
ren, der Multiplikation mit einem Skalar, die Addition, das Skalarprodukt, der

Orthogonalität usw. auf den IR n.

2.4

Vektorräume

77

Addition und S-Multiplikation

⎛

⎞

⎛ ⎞
a 1
b 1

⎜ . ⎟ −

→

⎜ . ⎟

Für zwei Vektoren −

→
a

= ⎝ .. ⎠ , b = ⎝ .. ⎠ und einem Skalar
an
bn
λ ∈ IR setzt man ⎛

⎞

⎛

⎞
a 1 + b 1
λ a 1

⎜

⎟

⎜

⎟

−

→ −

→

⎜ a 2 + b 2 ⎟

⎜ λ a 2 ⎟
a + b := ⎜
λ · −

→
a :=

⎝

.

⎟

⎜

⎟

.

.

.

⎠

⎝ .. ⎠
an + bn
λ an

(Addition)

(S-Multiplikation)

Sowohl die Addition als auch die S-Multiplikation werden komponentenweise
ausgeführt. Durch die Addition und S-Multiplikation hat man zwei Operatio-
nen

−

→

−

→

+ : IR n × IR n → IR n
mit

−

→
a , b

→ −

→
a + b

· : IR × IR n → IR n
mit

( λ, −

→
a ) → λ · −

→
a
festgelegt. Formal unterscheiden sich die Vektoraddition + und die S-Multipli-
kation · dadurch, dass zum einen zwei Vektoren und zum anderen eine skalare

Zahl mit einem Vektor verknüpft werden. Man bezeichnet daher ”+” als innere

Verkn¨
upfung und ” ·” als äußere Verknüpfung.

Da sowohl die Addition als auch die S-Multiplikation komponentenweise er-
klärt sind, übertragen sich die folgenden Rechengesetze von den reellen Zahlen
auf diese Vektoren.

Es gelten die Rechengesetze der Addition

−→

−

→

( A

−

→

1)

−

→
a +
b + −

→
c

=
a + b

+ −

→
c

Assoziativgesetz

−

→

−

→

( A 2)

−

→
a + b = b + −

→
a

Kommutativgesetz

Der Nullvektor hat die Eigenschaft

( A 3)

−

→ −

→

Nullvektor
a + 0 = −

→
a

Zu jedem Vektor −

→
a gibt es einen Vektor

( A 4)

−

→

Negativer Vektor

( −−

→
a ) mit

−

→
a + ( −−

→
a ) = 0

78

2. Vektoren und Vektorrechnung

Es gelten die Rechengesetze der S-Multiplikation:

−

→

( S 1)

k · ( l · −

→
a ) = ( k · l) · a

Assoziativgesetz

−

→

−

→

( S

−

→

2)

k ·
a + b

= k−

→
a + k b

Distributivgesetz 1

−

→

( S 3)

( k + l) · a = k−

→
a + l−

→
a

Distributivgesetz 2

( S 4)

1 · −

→
a = −

→
a

Gesetz der Eins

2.4.2 Vektorr¨
aume

Die Gesetzmäßigkeiten bezüglich der Addition und S-Multiplikation gelten
nicht nur für n-Tupel, sondern auch für andere Objekte, die keine Veranschau-
lichung durch Pfeile zulassen (z.B. Funktionen). Um auch solche Objekte zu
erfassen, führt man den Begriff des Vektorraums formal für alle Objekte ein,
die zwei Verknüpfungen + und · mit den angegebenen Rechengesetzen besit-
zen.

Definition: Eine Menge V

V bildet einen Vektorraum ¨
uber IR , wenn folgende

Axiome gelten:

(1) In V

V ist eine innere Verkn¨
upfung ”+” erkl¨
art,

−

→

−

→

+ : V

V × VV → VV
mit

−

→
a , b

→ −

→
a + b

( Addition ) ,
so dass (V

V , +) die Gesetze der Addition ( A 1) − ( A 4) erfüllt.

(2) In V

V ist eine ¨
außere Verkn¨
upfung ”·” erklärt,

· : IR × VV → VV
mit ( λ, −

→
a ) → λ · −

→
a

( S-Multiplikation ) ,
so dass (V

V , ·) die Gesetze der S-Multiplikation ( S 1) − ( S 4) erfüllt.

Die Elemente eines Vektorraums bezeichnet man als Vektoren, auch wenn der

Vektorraum nicht dem Anschauungsraum IR3 entspricht. Hat man als Zahlen-
menge nicht IR, sondern einen anderen Körper K, so spricht man von einem

Vektorraum ¨
uber K.

Beispiele 2.23:

 IR3 ist ein Vektorraum bestehend aus allen 3-dimensionalen Pfeilen (den

3-Tupeln von reellen Zahlen).

2.4

Vektorräume

79

⎧⎛

⎞

⎫

⎪

⎨ x 1

⎪

⎜

⎟

⎬



.

IR n =

.

⎪⎝

⎠ : xi ∈ R ( i = 1 , . . . , n) ist ein Vektorraum, dessen Ele-

⎩

.

⎪

⎭
xn
mente die n-Tupel sind. IR n heißt auch der arithmetische Vektorraum.

 Die Menge der auf dem Intervall [ a, b] definierten, reellwertigen Funktionen

F [ a, b] := {f : [ a, b] → IR }

ist ein Vektorraum, wenn man für die Addition und S-Multiplikation defi-
niert:

+ : F [ a, b] × F [ a, b] → F [ a, b] mit ( f, g) → f + g und ( f + g) ( x) := f ( x) + g ( x) .

· : IR × F [ a, b] → F [ a, b] mit ( λ, f) → λ · f und

( λ f ) ( x) := λ · f ( x) .

Die Rechengesetze übertragen sich aus dem Reellen. Die konstante Null-
funktion 0 mit 0 ( x) = 0 für alle x ∈ [ a, b] bildet den Nullvektor.

 Die Menge aller Polynomfunktionen vom Grad kleiner gleich n
n

P [ n] := {f : IR → IR mit f ( x) =
aixi , ai ∈ IR }

i= 0
bildet einen Vektorraum, wenn ”+” und ” ·” wie unter } erklärt sind.

Beispiel 2.24. Die Lösungsmenge eines homogenen, linearen Gleichungssys-
tems bildet einen Vektorraum, wenn ”+” und ” ·” wie unter 2.23 | definiert
sind. Als Zahlenbeispiel betrachten wir das LGS

− 3 x 1 − 5 x 2 + 2 x 3 = 0

4 x 1 − x 2 + 3 x 3 = 0

Die Lösung erhalten wir mit dem Gauß-Algorithmus

⎛

⎞

⎛

⎞

− 3 − 5 2 0

− 3 − 5 2 0

⎝

4 − 1 3 0 ⎠ → ⎝ 0 − 23 17 0 ⎠

0

0 0 0

0

0 0 0

→ x 3 = 23 λ , x 2 = 17 λ , x 1 = − 13 λ

⎧

⎛

⎞

⎛

⎞

⎫

⎨
x 1

− 13

⎬

⇒ IL = −

→

⎝

⎠

⎝

⎠

⎩ x ∈ IR3 : −

→
x =
x 2

= λ

17

;
λ ∈ IR beliebig ⎭ .

x 3

23

80

2. Vektoren und Vektorrechnung

Wir zeigen nur die Abgeschlossenheit bezüglich ”+” und ” ·”, d.h. dass die

Addition zweier Vektoren von IL wieder einen Vektor aus IL ergibt und r · −

→
x ∈

IL , wenn −

→
x ∈ IL ist. Die Gesetze der Addition ( A 1) − ( A 4) sowie die der

S-Multiplikation ( S 1) − ( S 4) übertragen sich dann von IR3 auf IL.

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

− 13

− 13

− 13

−

→
x

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

1 + −

→
x 2 = λ 1

17

+ λ 2

17

= ( λ 1 + λ 2)

17

∈ IL

23

23

23

⎛ ⎛

⎞⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

− 13

− 13

− 13
r · −

→
x

⎝ ⎝

⎠⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

1 = r ·
λ 1

17

= ( r · λ 1)

17

= λ

17

∈ IL .

23

23

23

Wir haben damit nachgerechnet, dass mit zwei Lösungen −

→
x 1 und −

→
x 2 des

LGS auch die Summe −

→
x 1 + −

→
x 2 eine Lösung ist und jedes Vielfache einer

Lösung ebenfalls das Gleichungssystem erfüllt. Physikalisch bedeutet diese Ei-
genschaft, dass das Superpositionsgesetz gültig ist. Da die Teilmenge IL ⊂ IR3
selbst wieder einen Vektorraum darstellt, nennt man IL einen Untervektorraum
von IR3. Diesen Begriff verwendet man immer, wenn eine Teilmenge eines Vek-
torraums wieder einen Vektorraum bildet:

Definition: Sei (V

V , + , ·) ein Vektorraum. Eine Teilmenge U ⊂ VV heißt

Untervektorraum , wenn U bez¨
uglich den linearen Operationen ”+” und

” ·” einen Vektorraum bildet.

Beispiele 2.25:

 V

V = IR n, U = { Lösungen eines homogenen, linearen Gleichungssystems }.

 V

V = { Menge aller reellwertigen Funktionen }

U = { Menge der auf dem Intervall [ a, b] stetigen, reellwertigen Funktionen }.

 V

V = { Menge aller Polynomfunktionen vom Grade ≤ n},

U = { Menge aller Polynomfunktionen vom Grade ≤ n und f (1) = 0 }.

Für eine Teilmenge U = ∅ eines Vektorraums VV muss man nicht mehr die Re-
chengesetze nachprüfen, um zu zeigen, dass U selbst wieder einen Vektorraum
darstellt. Die Rechengesetze übertragen sich von V

V auf U , wenn U bezüglich

”+” und ” ·” abgeschlossen ist:

Satz: (Untervektorraum-Kriterium). Eine nichtleere Teilmenge U ⊂

V

V ist genau dann ein Untervektorraum, wenn U bezüglich den linearen

Operationen ”+” und ” ·” abgeschlossen ist.

2.4

Vektorräume

81

Folglich sind für eine Teilmenge U eines Vektorraums V

V drei Eigenschaften zu
prüfen, um zu zeigen, dass U selbst wieder einen Vektorraum darstellt:

−

→

U V 1 :

0 ∈ U.

−

→

−

→

U ⊂ VV ist Vektorraum ⇔

U V 2 :

−

→
a , b ∈ U ⇒ −

→
a + b ∈ U .

U V 3 :

−

→
a ∈ U, λ ∈ IR ⇒ λ · −

→
a ∈ U .

Beispiele 2.26:

 Die Menge { 0 } ist ein Untervektorraum jedes Vektorraums. Es ist der
kleinstmögliche Vektorraum.

 U = { Menge der reellwertigen Funktionen f : IR → IR mit f(1) = 0 },

V

V = { Menge der reellwertigen Funktionen f : IR → IR }. U ⊂ VV ist ein

Untervektorraum, denn

UV1: Die Nullabbildung 0 : IR → IR mit 0( x) = 0 hat die Eigenschaft

0(1) = 0 . Also ist { 0 } ∈ U.

UV2: Mit f 1 , f 2 ∈ U ist f 1(1) = f 2(1) = 0 und damit auch

( f 1 + f 2) (1) = f 1 (1) + f 2 (1) = 0 ⇒ f 1 + f 2 ∈ U.

UV3: Mit f ∈ U ist f (1) = 0 und damit auch

( λ f ) (1) = λ · f (1) = λ · 0 = 0 ⇒ λ f ∈ U.

 U = { Menge der reellwertigen Funktionen f : IR → IR mit f(1) = 1 },

V

V = { Menge der reellwertigen Funktionen f : IR → IR }. U ⊂ VV ist kein

Untervektorraum!

Denn z.B. aus f 1 , f 2 ∈ U , d.h. f 1(1) = f 2(1) = 1, folgt ( f 1 + f 2) (1) =
f 1 (1) + f 2 (1) = 2 ⇒ f 1 + f 2 /

∈ U. Der Nullvektor ist ebenfalls nicht in U
enthalten.

2.4.3 Linearkombination und Erzeugnis

Im Folgenden gehen wir davon aus, dass (V

V , + , ·) ein Vektorraum ist und −

→
a 1,

−

→
a 2, . . . , −

→
a n Vektoren aus diesem Vektorraum sind.

−

→

Definition: Ein Vektor b der Form

−

→
b = λ −

→

−

→

−

→

1 a 1 + λ 2 a 2 + · · · + λn a n
heißt Linearkombination der Vektoren −

→
a 1 , −

→
a 2 , · · · , −

→
a n.

82

2. Vektoren und Vektorrechnung

Beispiele 2.27:

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

9

1

0

1

9

 ⎝ 7 ⎠ = 5 ⎝ 0 ⎠ + 3 ⎝ 1 ⎠ + 4 ⎝ 1 ⎠. Der Vektor ⎝ 7 ⎠ ist also eine Line-

9

1

0

1

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1

0

1
arkombination der Vektoren ⎝ 0 ⎠, ⎝ 1 ⎠, ⎝ 1 ⎠.

1

0

1

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

9

1

0

0

 ⎝ 7 ⎠ = 9 ⎝ 0 ⎠ + 7 ⎝ 1 ⎠ + 9 ⎝ 0 ⎠ = 9 −

→
e 1 + 7 −

→
e 2 + 9 −

→
e 3; d.h. der Vektor

9

0

0

1

⎛ ⎞

9

⎝ 7 ⎠ ist auch eine Linearkombination der Vektoren −→
e 1 , −

→
e 2 , −

→
e 3 .

9

−

→

Wie wir aus den IR3 wissen, lässt sich jeder Vektor b ∈ IR3 als Linearkombi-
nation von −

→
e 1 , −

→
e 2 , −

→
e 3 darstellen. Man definiert verallgemeinernd

Definition: Die Menge

M
aller Linearkombinationen der Vektoren

−

→
a 1 , −

→
a 2 , . . . , −

→
a n heißt Erzeugnis von −

→
a 1 , . . . , −

→
a n. Man schreibt hierf¨
ur

M

=

{ Menge aller Linearkombinationen von −

→
a 1 , · · · , −

→
a n}

=

[ −

→
a 1 , −

→
a 2 , . . . , −

→
a n]

−

→ −

→

=

{ b : b = λ −

→

−

→

−

→

1 a 1 + λ 2 a 2 + · · · + λn a n

( λi ∈ IR) }.

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

−

→

1

0

1

Beispiel 2.28. Ist b = ⎝ 0 ⎠ im Erzeugnis von −

→
a

⎝ ⎠

⎝ ⎠

1 =

1

, −

→
a 2 =

2

,

1

1

3

⎛ ⎞

1

−

→
a

⎝ ⎠

3 =

4

? Gesucht sind λ 1 , λ 2 , λ 3 ∈ IR , so dass

5

−

→
b = λ −

→

−

→

−

→

1 a 1 + λ 2 a 2 + λ 3 a 3 ,

−

→
denn dann ist b eine Linearkombination von −

→
a 1 , −

→
a 2 , −

→
a 3.

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

1

0

1

1

Ansatz:

⎝ 0 ⎠ = λ ⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎝ ⎠

1

1

+ λ 2

2

+ λ 3

4

.

1

1

3

5

In der Komponentendarstellung entspricht dies dem inhomogenen, linearen

Gleichungssystem

0 · λ 1 + 1 · λ 2 + 1 · λ 3 = 1

1 · λ 1 + 2 · λ 2 + 4 · λ 3 = 0

1 · λ 1 + 3 · λ 2 + 5 · λ 3 = 1 .

2.4

Vektorräume

83

Zur Lösung des LGS verwenden wir den Gauß-Algorithmus in Matrizenschreib-
weise

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

0 1 1 1

1 2 4 0

1 2 4 0

⎝

1 2 4 0 ⎠ → ⎝ 0 1 1 1 ⎠ → ⎝ 0 1 1 1 ⎠

1 3 5 1

0 1 1 1

0 0 0 0

⇒ λ 3 = t ( beliebig ) → λ 2 = 1 − t

→
λ 1 = − 2 − 2 t.

Setzt man z.B. t = 1 , so folgt λ 3 = 1 , λ 2 = 0 , λ 1 = − 4 und

−

→
b = − 4 · −

→
a 1 + 0 · −

→
a 2 + 1 · −

→
a 3 .

−

→

Damit ist b ist im Erzeugnis von [ −

→
a 1 , −

→
a 2 , −

→
a 3].

−

→

−

→

−

→

−

→

Satz: Die Vektorgleichung b = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + . . . + λn a n ist genau dann

−

→
lösbar, wenn b ∈ [ −

→
a 1 , −

→
a 2 , . . . , −

→
a n] .

Da M = [ −

→
a 1 , −

→
a 2 , . . . , −

→
a n] die Menge aller Linearkombinationen ist, stellt

M ⊂ VV selbst wieder einen Vektorraum dar, was man mit dem Untervektorraum-

Kriterium sofort nachprüfen kann:

Satz: M = [ −

→
a 1 , −

→
a 2 , . . . , −

→
a n] ist ein Vektorraum.

Im Fall, dass M schon den ganzen Vektorraum V

V aufspannt, nennt man M
ein Erzeugendensystem:

Definition: Eine Teilmenge von Vektoren {−

→
a 1 , −

→
a 2 , . . . , −

→
a n} ⊂ VV heißt

Erzeugendensystem von V

V, wenn das Erzeugnis von −

→
a 1 , −

→
a 2 , . . . , −

→
a n
mit V

V zusammenf¨
allt: [ −

→
a 1 , −

→
a 2 , . . . , −

→
a n] = V

V .

Beispiele 2.29:

 {−

→
e 1 , −

→
e 2 , −

→
e 3 } ist ein Erzeugendensystem von IR3, denn jeder Vektor −

→
x
l

−

→
ässt sich als Linearkombination von −

→
e 1 , −

→
e 2 , −

→
e 3 darstellen: −

→
x = x 1 e 1 +
x −

→

−

→

2 e 2 + x 3 e 3 .

⎧

⎛ ⎞⎫

⎨

−

→

1

⎬



−

→

⎝ ⎠

⎩ e 1 , −

→
e 2 , −

→
e 3 , d :=

1

⎭ ist ebenfalls ein Erzeugendensystem von IR3 ,

1
denn jeder Vektor −

→
x lässt sich als Linearkombination dieser 4 Vektoren
darstellen:

−

→

−

→
x = x −

→

−

→

−

→

1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 + 0 · d

−

→
oder −

→
x = ( x 1 − 1) −

→
e 1 + ( x 2 − 1) −

→
e 2 + ( x 3 − 1) −

→
e 3 + 1 · d .

84

2. Vektoren und Vektorrechnung

(

−

→)

Sowohl {−

→
e

−

→

1 , −

→
e 2 , −

→
e 3 } als auch
e 1 , −

→
e 2 , −

→
e 3 , d
bilden ein Erzeugenden-
system von IR3 . Gesucht ist ein Kriterium, um ein kleinstmögliches Erzeugen-
densystem zu charakterisieren. Dazu benötigt man den Begriff der linearen

Unabh¨
angigkeit.

2.4.4 Lineare Abh¨
angigkeit und Unabh¨
angigkeit

Beispiel 2.30. Gegeben sind die Vektoren

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

2

4

8

−

→

−

→
a =⎝ − 3 ⎠, b =⎝ 3 ⎠, −

→
c =⎝ − 3 ⎠. Dann ist

5

− 2

8

−

→

−

→

Abb. 2.21. Lineare Abhängig-
c = 2 · −

→
a + 1 · b .

keit

−

→
c lässt sich also als Linearkombination der Vek-

−

→
toren −

→
a und b darstellen. Man nennt −

→
c daher

−

→

−

→
linear abh¨
angig von −

→
a und b . Stellt man die Gleichung −

→
c = 2 · −

→
a + 1 · b
um, so ist

−

→

−

→

2 · −

→
a + 1 · b − 1 · −

→
c = 0 .

−

→

D.h. der Nullvektor lässt sich darstellen als Linearkombination von −

→
a , b , −

→
c
mit von Null verschiedenen Koeffizienten. Wir verallgemeinern:

Definition: Die Vektoren −

→
a 1 , −

→
a 2 , · · · , −

→
a n ∈ VV heißen linear abh¨
angig,
wenn in der Gleichung

−

→
k −

→

−

→

−

→

1 a 1 + k 2 a 2 + · · · + kn a n = 0

( ∗)

mindestens ein ki = 0 ist.

Denn dann lässt sich die Gleichung ( ∗) nach −

→
a i auflösen:

−

→
a

−

→

−

→

−

→

−

→
i = − 1 ( k
a
a
a
a
k

1

1 + · · · + ki− 1
i− 1 + ki+1
i+1 + · · · + kn
n) ,
i
und −

→
a i ist durch die restlichen Vektoren darstellbar. Lässt sich die Gleichung

( ∗) niemals nach einem Vektor −

→
a i ( i ∈ { 1 , · · · , n}) auflösen, dann nennt man
die Vektoren linear unabh¨
angig. Dies ist genau dann der Fall, wenn k 1 = k 2 =

· · · = kn = 0 die einzigen Lösungen sind.

Definition: Die Vektoren −

→
a 1 , −

→
a 2 , · · · , −

→
a n ∈ VV heißen linear un-
abh¨
angig, wenn gilt:

−

→
k −

→

−

→

−

→

1 a 1 + k 2 a 2 + · · · + kn a n = 0

⇒ k 1 = 0 , k 2 = 0 , · · · , kn = 0 .

2.4

Vektorräume

85

Beispiele 2.31:

 Die Vektoren −

→
e 1 , −

→
e 2 , −

→
e 3 sind linear unabhängig: Denn der Ansatz

−

→
k −

→

−

→

−

→

1 e 1 + k 2 e 2 + k 3 e 3 = 0
liefert

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

1

0

0

0
k ⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎝ ⎠

1

0

+ k 2

1

+ k 3

0

=

0

0

0

1

0

⎛

⎞

1 0 0 0

⇒ ⎝ 0 1 0 0⎠ ⇒ k 3 = 0 , k 2 = 0 , k 1 = 0 .

0 0 1 0

−

→

D.h. aus dem Ansatz k −

→

−

→

−

→

1 e 1 + k 2 e 2 + k 3 e 3 =

0 folgt für die Koeffizi-
enten k 1 = k 2 = k 3 = 0 . Damit sind nach obiger Definition die Vektoren

−

→
e 1 , −

→
e 2 , −

→
e 3 linear unabhängig.

⎛

⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

2

0

3

 Die Vektoren −

→
a

⎝

⎠

⎝ ⎠

⎝ ⎠

1 =

− 1 , −

→
a 2 =

1

, −

→
a 3 =

0
sind linear un-

3

0

1

−

→
abh

−

→

−

→

−

→
ängig: Aus k 1 a 1 + k 2 a 2 + k 3 a 3 = 0 folgt

⎛

⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

2

0

3

0
k ⎝

⎠

⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎝ ⎠

1

− 1 + k 2 1 + k 3 0

=

0

.

3

0

1

0

In Matrizenschreibweise erhalten wir

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

2 0 3 0

− 1 1 0 0

− 1 1 0 0

⎝

− 1 1 0 0⎠ → ⎝ 0 2 3 0⎠ → ⎝ 0 2 3 0⎠ .

3 0 1 0

0 3 1 0

0 0 7 0

Durch Rückwärtsauflösen ist

7 ·k 3 = 0 ⇒ k 3 = 0 ; 2 ·k 2 = 0 ⇒ k 2 = 0 ; − 1 ·k 1 = 0 ⇒ k 1 = 0 .

−

→

D.h. aus k −

→

−

→

−

→

1 a 1 + k 2 a 2 + k 3 a 3 =

0 folgt k 1 = k 2 = k 3 = 0 . Damit sind
die Vektoren −

→
a 1 , −

→
a 2 , −

→
a 3 linear unabhängig.

⎛

⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

2

0

2

 Die Vektoren −

→
a

⎝

⎠

⎝ ⎠

⎝ ⎠

1

=

− 1 , −

→
a 2 =

1

, −

→
a 3 =

0
sind linear

3

0

3

−

→
abh

−

→

−

→

−

→
ängig: Denn aus k 1 a 1 + k 2 a 2 + k 3 a 3 = 0 , folgt in der Matrizen-

86

2. Vektoren und Vektorrechnung
schreibweise

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

2 0 2 0

− 1 1 0 0

− 1 1 0 0

⎝

− 1 1 0 0⎠ → ⎝ 0 2 2 0⎠ → ⎝ 0 1 1 0⎠

3 0 3 0

0 3 3 0

0 0 0 0

⇒ k 3 = λ (beliebig); k 2 = −λ; k 1 = −λ.

Z.B. für λ = 1 ist

( − 1) −

→
a 1 + ( − 1) a 2 +1 −

→
a 3 = 0 ⇒ −

→
a 1 = −−

→
a 2 + −

→
a 3 .

Das Gleichungssystem ist also nicht nur durch k 1 = k 2 = k 3 = 0 lösbar,
und damit die Vektorgleichung nach dem Vektor −

→
a 1 auflösbar. Die Vekto-
ren −

→
a 1 , −

→
a 2 , −

→
a 3; sind linear abhängig.

 Die Vektoren fi ( x) = xi

( i = 0 , 1 , 2 , · · · , n) sind linear unabhängig im

Vektorraum P [ n] := { Menge aller Polynomfunktionen vom Grade ≤ n}.

Denn

−

→
k 0 f 0 + k 1 f 1 + · · · + knfn = 0
bedeutet k 0 f 0( x) + k 1 f 1 ( x) + · · · + kn fn ( x) = 0 ( x) = 0 für alle x ∈ IR , d.h.

k 0 + k 1 x + · · · + knxn = 0
für alle x ∈ IR . Durch Einsetzen von x = 0 folgt k 0 = 0. Anschließend kann
auf der linken Seite ein x ausgeklammert werden. Wieder durch Einsetzen
von x = 0 folgt k 1 = 0. Insgesamt erhält man so k 0 = k 1 = · · · = kn = 0 .

In den Beispielen { - ~ zeigt sich, dass die Vektorgleichung

−

→
k −

→

−

→

−

→

1 a 1 + k 2 a 2 + · · · + kn a n = 0
entweder eindeutig lösbar ist; dann ist k 1 = k 2 = · · · = kn = 0 und die Vek-
toren −

→
a 1 , −

→
a 2 , · · · , −

→
a n sind linear unabhängig. Oder die Vektorgleichung ist
nicht eindeutig lösbar, dann sind die Vektoren linear abhängig. Es gilt folgende

Charakterisierung von linear unabhängigen Vektoren:

Satz: Für die Vektoren −

→
a 1 , −

→
a 2 , · · · , −

→
a n ∈ VV sind äquivalent:

(1) −

→
a 1 , −

→
a 2 , · · · , −

→
a n sind linear unabhängig.

−

→

(2) Jeder Vektor b ∈ [ −

→
a 1 , · · · , −

→
a n] lässt sich eindeutig aus den Vektoren

−

→
a 1 , · · · , −

→
a n linear kombinieren.

2.4

Vektorräume

87

2.4.5 Basis und Dimension

Einer der für die Beschreibung von Vektorräumen wichtigsten Begriffe ist der
der Basis.

Definition: Eine Menge linear unabh¨
angiger Vektoren, die den ge-
samten Vektorraum erzeugen, nennt man eine Basis des Vektorraums.

Also:

−

→
a 1 , −

→
a 2 , · · · , −

→
a n ∈ VV

⇔ ( B 1) −

→
a 1 , · · · , −

→
a n sind linear unabhängig.

ist Basis von V

V

( B 2) [ −

→
a 1 , · · · , −

→
a n] = V

V .

Eine Basis ist die kleinste Menge von Vektoren, welche den Vektorraum er-
zeugt, und sie ist gleichzeitig die größte Menge von linear unabhängigen Vek-
toren aus V

V; denn für Basen sind die folgenden Aussagen gleichbedeutend:

Satz: (Charakterisierung von Basen). Für eine Teilmenge

B := {−

→
a 1 , −

→
a 2 , · · · , −

→
a n} ⊂ VV ist gleichbedeutend:

(1) B ist eine Basis von V

V.

(2) B ist eine unverlängerbare, linear unabhängige Teilmenge von V

V.

(3) B ist ein unverkürzbares Erzeugendensystem von V

V.

Beispiele 2.32:

 ( −

→
e 1 , −

→
e 2 , −

→
e 3) ist eine Basis von IR3: Denn −

→
e 1 , −

→
e 2 , −

→
e 3 sind linear un-
abhängig und jedes −

→
x ∈ IR3 lässt sich als Linearkombination von −

→
e 1, −

→
e 2,

−

→
e 3 darstellen:

−

→
x = x −

→

−

→

−

→

1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 .

 ( −

→
e 1 , −

→
e 2 , · · · , −

→
e n) ist eine Basis von IR n.



1 , x, x 2 , x 3 , x 4 , · · · , xn ist eine Basis des Vektorraums der Polynomfunk-
tionen vom Grad ≤ n.

88

2. Vektoren und Vektorrechnung

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

0

1

1

 −

→
a

⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎝ ⎠

1 =

1

, −

→
a 2 =

2

, −

→
a 3 =

1
ist eine Basis von IR3:

1

3

0

Wir prüfen die Bedingungen ( B 1) und ( B 2) nach.

−

→

( B

−

→

−

→

−

→

1): Aus k 1 a 1 + k 2 a 2 + k 3 a 3 = 0
folgt

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

0 1 1 0

1 3

0 0

1 3

0 0

⎝

1 2 1 0 ⎠ → ⎝ 0 1 − 1 0 ⎠ → ⎝ 0 1 − 1 0 ⎠ .

1 3 0 0

0 1

1 0

0 0 − 2 0

Dieses LGS hat als eindeutige Lösung k 1 = k 2 = k 3 = 0 und damit sind

−

→
a 1 , −

→
a 2 , −

→
a 3 linear unabhängig.

⎛ ⎞

−

→
b 1

( B

⎝ ⎠

2): Ist
b =
b 2

∈ IR3 beliebig, dann müssen λ, μ, τ gefunden werden,
b 3
so dass

−

→
λ−

→
a 1 + μ−

→
a 2 + τ −

→
a 3 = b .

In Matrizenschreibweise ist das LGS für die Unbekannten λ, μ und τ :

⎛

⎞

⎛

⎞

0 1 1 b

1

1 3

0
b 3

⎝

1 2 1 b ⎠

⎝

⎠

2

→

0 1 − 1 b 3 − b 2

1 3 0 b

3

0 1

1
b 1

⎛

⎞

1 3

0 b 3

→ ⎝ 0 1

1 b

⎠

1

.

0 0 − 2 b 3 − b 2 − b 1

Hieraus erhält man durch Rückwärtsauflösen die gesuchten Größen

1

3
τ = − 1 ( b

( b

( −b
b

2

3 − b 2 − b 1); μ = 2 1 − b 2 + b 3); λ = 2

1 + b 2 − 1

3 3) .

−

→

Damit gibt es zu jedem Vektor b ∈ IR3 Parameter λ, μ, τ ∈ IR, so dass

−

→
λ−

→
a 1 + μ−

→
a 2 + τ −

→
a 3 = b

⇒ [ −

→
a 1 , −

→
a 2 , −

→
a 3] = V

V .

Aus ( B 1) und ( B 2) folgt, dass ( −

→
a 1 , −

→
a 2 , −

→
a 3) eine Basis von IR3 ist.

⎛ ⎞

1

 Die Vektoren −

→
e

⎝ ⎠

1 , −

→
e 2 , −

→
e 3 , −

→
a 4 mit −

→
a 4 =

1
bilden keine Basis von

1

IR3, da sie linear abhängig sind : −

→
a 4 = −

→
e 1 + −

→
e 2 + −

→
e 3 .

2.4

Vektorräume

89

⎛ ⎞

⎛ ⎞

2

0

 Die Vektoren −

→
a

⎝ ⎠

⎝ ⎠

1 =

0

, −

→
a 2 =

1
bilden keine Basis von IR3 .

1

2

−

→

−

→
a 1, −

→
a 2 sind zwar linear unabhängig, aber nicht jeder Vektor b ∈ IR3
lässt sich als Linearkombination von −

→
a 1, −

→
a 2 darstellen. Denn aus

⎛ ⎞

⎛

⎞

−

→
b 1

2 0 b 1
λ−

→
a

⎝ ⎠

⎝

⎠

1 + μ−

→
a 2 = b =
b 2
folgt

0 1 b 2
b

3

1 2
b 3

⎛

⎞

2

0 b 1

→ ⎝ 0 − 4 − 2 b

⎠

3 + b 1

.

0

1 b 2

Aus der letzten Zeile des Gleichungssystems folgt 1 · μ = b 2 aus der zweit-
letzten Zeile μ = 1 ( b

4

1 − 2 b 3). Damit das LGS lösbar ist, muss für den

−

→

Vektor b gelten:

1
b 2 =

( b

4

1 − 2 b 3) .

−

→

Dies ist aber nicht für alle Vektoren b ∈ IR3 erfüllt und damit ist ( −

→
a 1 , −

→
a 2)

kein Erzeugendensystem von IR3 . ( B 2) ist also nicht erfüllt.

In einem Vektorraum kann es beliebig viele Basen geben. Hat man jedoch eine
endliche Basis −

→
a 1 , · · · , −

→
a n gefunden, so besteht jede andere Basis ebenfalls
aus genau n Vektoren. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren ist
charakteristisch für einen Vektorraum:

Definition: Sei V

V ein Vektorraum. Besteht eine Basis aus n Vektoren,
so heißt die Zahl n die Dimension des Vektorraums V

V.

Bezeichnung: dim(V

V) = n.

Man beachte, dass zwar jeder Vektorraum eine Basis besitzt; diese muss je-
doch nicht notgedrungen aus endlich vielen Vektoren bestehen. In der Regel
betrachten wir hier nur endlich-dimensionale Vektorräume. Für diese endlich-
dimensionalen Vektorräume gilt

90

2. Vektoren und Vektorrechnung

Satz: Sei V

V ein n-dimensionaler Vektorraum. Dann gilt für n Vektoren

−

→
a 1 , · · · , −

→
a n ∈ VV die Aussage:

−

→
a 1 , · · · , −

→
a n

⇔

( −

→
a 1 , · · · , −

→
a n) ist eine
sind linear unabhängig.

Basis von V

V .

Beispiele 2.33:

5

2

 −

→
a 1 =
und −

→
a
bilden eine Basis von IR2 , denn −

→
a

2

2 =

1

1 , −

→
a 2 sind
linear unabhängig:

−

→
k −

→

−

→

1 a 1 + k 2 a 2 = 0

5 2 0

5

2 0

→

→

⇒ k

2 1 0

0 − 1 0

2 = k 1 = 0 .

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

1

1

1

0

⎜ 0 ⎟

⎜ 1 ⎟

⎜ 0 ⎟

⎜ 1 ⎟

 −

→
a

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

1 = ⎝ 1 ⎠ , −

→
a 2 = ⎝ 0 ⎠ , −→
a 3 = ⎝ 0 ⎠ , −→
a 4 = ⎝ 0 ⎠ bilden eine Basis

0

0

1

1
von IR4 , denn −

→
a 1 , −

→
a 2 , −

→
a 3 , −

→
a 4 sind linear unabhängig: Setzen wir die

Vektoren in die Vektorgleichung

−

→
k −

→

−

→

−

→

−

→

1 a 1 + k 2 a 2 + k 3 a 3 + k 4 a 4 = 0
ein, erhalten wir das zugehörige LGS, welches wir mit dem Gauß-Algorithmus
lösen:

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

1 1 1 0 0

1 1 1 0 0

1 1

1 0 0

1 1

1 1 0

⎜

⎜ 0 1 0 1 0 ⎟

⎜ 0 1 0 1 0 ⎟

⎜ 0 1 0 1 0 ⎟

⎜ 0 1 0 1 0 ⎟

⎝

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

1 0 0 0 0 ⎠ → ⎝ 0 1 1 0 0 ⎠ → ⎝ 0 0 − 1 1 0 ⎠ → ⎝ 0 0 − 1 1 0 ⎠

0 0 1 1 0

0 0 1 1 0

0 0

1 1 0

0 0

0 2 0

⇒ k 1 = k 2 = k 3 = k 4 = 0 .

 P [5] := {f : IR → IR : f ( x) = a 0 + a 1 x+ · · ·+ a 5 x 5 } ist ein 6-dimensionaler

Vektorraum: x 0 , x 1 , x 2 , · · · , x 5 sind linear unabhängige Funktionen und
jedes f ∈ P [5] lässt sich als Linearkombination dieser Funktionen darstellen

⇒
x 0 , x 1 , · · · , x 5 ist eine Basis von P [5] ⇒ dim P [5] = 6 .

2.4

Vektorräume

91

MAPLE-Worksheets zu Kapitel 2

Die folgenden elektronischen Arbeitsblätter stehen für Kapitel 2 mit

Maple zur Verfügung.

Darstellung von Vektoren im IR2

Darstellung von Vektoren im IR3

Vektorrechnung mit Maple

Graphische Darstellung von Geraden und Ebenen im IR3

Punkte, Geraden und Ebenen mit Maple

Die Prozedur geomet

Zusammenstellung der Maple-Befehle

Maple-Lösungen zu den Aufgaben

92

2. Vektoren und Vektorrechnung

2.5

2.5 Aufgaben zur Vektorrechnung

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

2

0

− 5

⎜

⎟ −

→

⎜

⎟

⎜

⎟

2.1

Gegeben sind die Vektoren −

→
a = ⎝ 3 ⎠ , b = ⎝ − 2 ⎠ , −

→
c ⎝ 3 ⎠ .

− 1

4

1

Man berechne die folgenden Vektoren und ihre Beträge

−

→

−→

−

→
a) −

→
s 1 = 3 −

→
a − 4 b + −

→
c
b) −

→
s 2 = − 3 5 b + −

→
c

+ 5

−−

→
a + 3 b

−

→

−

→

−→

c) −

→
s

−

→

−

→

−

→

−

→

3 = 3
a − 2 b

+ 5 −

→
c
d) −

→
s 4 = 3
a · b
c − 5
b · −

→
c
a

−

→

−

→ −

→ −

→ −

→

2.2

Welche Gegenkraft F hebt die vier Einzelkräfte F 1 , F 2 , F 3 , F 4 in ihrer

Gesamtkraft auf? (Krafteinheit 1 N. )

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

−

−

→

200

10

40

30

⎜

⎟ −

→

⎜

⎟ −

→

⎜

⎟ −

→

⎜

⎟

F 1 = ⎝ 110 ⎠; F 2 = ⎝ 30 ⎠; F 3 = ⎝ 85 ⎠; F 4 = − ⎝ 50 ⎠.

− 50

− 40

120

40

2.3

Normieren Sie die folgenden Vektoren:

⎛ ⎞

⎛

⎞

2

− 1

−

→

⎜ ⎟

−

→

⎜

⎟
a = ⎝ 3 ⎠ ,
b = 3 −

→
e 1 − 5 −

→
e 2 + 2 −

→
e 3 ,

−

→
c = ⎝ 0 ⎠.

1

− 1

⎛ ⎞

4

⎜ ⎟

2.4

Wie lautet der Einheitsvektor −

→
e , der die zum Vektor −

→
a = − ⎝ 3 ⎠ entgegen-

0
gesetzte Richtung hat?

2.5

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes Q, der vom Punkte P = (1 , − 2 , 3)

⎛

⎞

− 2

⎜

⎟
in Richtung des Vektors −

→
a = ⎝ − 1 ⎠ 10 Längeneinheiten entfernt ist.

− 1

−−−→

2.6

Bestimmen Sie die Koordinaten der Mitte Q von P 1 P 2 mit P 1 = (2 , 4 , 3) und P 2 = ( − 1 , 3 , 2) .

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛

⎞

1

2

− 4

⎜ ⎟ −

→

⎜ ⎟

⎜

⎟

2.7

Bilden Sie mit den Vektoren −

→
a = ⎝ 0 ⎠ ; b = ⎝ 1 ⎠ ; −

→
c = ⎝ 2 ⎠ die

1

2

− 2

Skalarprodukte:

−

→

−

→

−

→
a) −

→
a · b
b)

−

→
a − 3 b

4 −

→
c
c)

−

→
a + b

( −

→
a − −

→
c )

−

→

2.8

Welchen Wink

⎛ ⎞el schließen

⎛ die

⎞ Vektoren −

→
a und

⎛ b ein?

⎞

⎛

⎞

3

4

2

− 10

⎜ ⎟ −

→

⎜ ⎟

⎜

⎟ −

→

⎜

⎟
a) −

→
a = ⎝ 5 ⎠ , b = ⎝ 1 ⎠
b) −

→
a = ⎝ − 1 ⎠ , b = ⎝ − 1 ⎠

1

3

2

− 10

2.9

Zeigen Sie, dass die folgenden Vektoren −

→
e 1 , −

→
e 2 , −

→
e 3 ein orthonormales Sys-
tem bilden; d.h. die Vektoren stehen paarweise aufeinander senkrecht und be-
sitzen die Länge 1:

⎛ ⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

1

1

0

−

→

⎜ ⎟

⎜

⎟

⎜

⎟
e 1 = 1

√ ⎝ 0 ⎠ ,

−

→
e

⎝ 0 ⎠ ,

−

→
e

⎝ − 1 ⎠

2

2 = 1

√ 2

3 =

1

− 1

0

2.5

Aufgaben zur Vektorrechnung

93

2.10

Zeigen Sie: Die drei Vektoren

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

1

− 2

− 1

−

→

⎜

⎟ −

→

⎜

⎟

⎜

⎟
a = ⎝ 4 ⎠ , b = ⎝ 2 ⎠ , −

→
c = ⎝ 6 ⎠ bilden ein rechtwinkliges Dreieck.

− 2

3

1

2.11

Bestimmen Sie den Betrag und die Winkel, die der Vektor −

→
a mit den Koor-
dinatenachsen

⎛ ⎞ einschließt:

⎛

⎞

1

5

⎜ ⎟

⎜

⎟
a) −

→
a = ⎝ 1 ⎠
b) −

→
a = ⎝ − 2 ⎠

1

1

2.12

Durch die drei Punkte A = ( − 1 , 2 , 4) , B = (5 , 0 , 0) und C = (3 , 4 , − 2) wird ein Dreieck festgelegt. Berechnen Sie die Länge der drei Seiten, die Winkel im

Dreieck, sowie den Flächeninhalt.

−

→

2.13

Berechnen Sie die Komponente des Vektors b in Richtung des Vektors −

→
a =

⎛

⎞

⎛ ⎞

⎛

⎞

2

5

− 2

⎜

−

→

−

→

⎝ − ⎟

⎜ ⎟

⎜

⎟

2 ⎠ für a) b = ⎝ 1 ⎠
b) b = ⎝ 5 ⎠

1

3

0

2.14

Ein Vektor −

→
a ist durch den Betrag |−

→
a | = 10 und α = 30 ◦, β = 60 ◦, 90 ◦ ≤
γ ≤ 180 ◦ festgelegt. Wie lauten die Komponenten von −

→
a ?

2.15

Man bestimme die Richtungswinkel α, β, γ der Vektoren

⎛

⎞

⎛

⎞

− 1

4

⎜

⎟

⎜

⎟
a) −

→
a = ⎝ 1 ⎠
b) −

→
a = ⎝ 2 ⎠

4

− 3

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛

⎞

4

2

3

⎜ ⎟ −

→

⎜ ⎟

⎜

⎟

2.16

Berechnen Sie für −

→
a = ⎝ 2 ⎠ , b = ⎝ 3 ⎠ , −

→
c = ⎝ − 2 ⎠:

1

3

0

−

→

−

→
a) −

→
a × b
b)

−

→
a − b

× (3 −

→
c )

−→

−→

c) ( −−

→
a + 2 −

→
c ) × − b
d) (2 −

→
a ) × − b − −

→
c

2.17

An einem Verteilermast greifen 4 Kräfte an, die in einer Ebene liegen. Ermitteln

−

→

−

→

Sie rechnerisch den Betrag und die Richtung der Resultierenden F R = F

1 +

−

→

−

→

−

→

−

→

−

→

−

→

F 2 + F 3 + F 4 , wenn F 1 = 380 N, F 2 = 400 N, F 4 = 440 N, und wenn

−

→

−

→

−

→

−

→
der Winkel zwischen F 1 und F 2 α = 80 ◦, der Winkel zwischen F 2 und F 3

−

→

−

→
β = 120 ◦, der Winkel zwischen F 3 und F 4 γ = 70 ◦ beträgt.

⎛

⎞

2

⎜

⎟

2.18

Gegeben sei ein Körper, der sich nur entlang der Richtung −

→
a = ⎝ 1 ⎠ be-

− 2

⎛

⎞

−

→

20

⎜

⎟
wegen kann. Auf diesen Körper wirkt eine Kraft F = ⎝ 20 ⎠ N.

10

−

→
a) Wie groß ist der Betrag der Kraft F ?

b) Welche Winkel schließen der Kraftvektor und der Richtungsvektor ein?

c) Welche Kraft wirkt auf den Körper in Richtung −

→
a ?

94

2. Vektoren und Vektorrechnung

2.19

Ein starrer Körper in Form einer Kreisscheibe ist um seine Symmetrieachse
drehbar gelagert. Eine im Punkt P angreifende Kraft erzeugt ein Drehmoment

⎛

⎞

⎛ ⎞

−

→

−

→

−

→

1

2

⎜

⎟

⎜ ⎟

M = −

→
r × F . Seien F = ⎝ − 1 ⎠ N und −

→
r ( P ) = ⎝ 1 ⎠ m.

2

1

−

→
a) Welchen Winkel schließen −

→
r ( P ) und F ein?

−

→
b) Man berechne das Drehmoment M und seinen Betrag.

−

→
c) Welche Kraft F r wirkt in Richtung −

→
r ( P )?

2.20

Gegeben sind die Punkte A = (1 , − 1 , 2) , B = (2 , 1 , 3) , C = (4 , 0 , 1) . Unter

−

→
der Einwirkung der konstanten Kraft F = (1 , 1 , 1) bewegt sich ein Massen-
punkt m von A nach B. Wie groß ist die dabei verrichtete Arbeit (Krafteinheit

1 N , Längeneinheit 1 m), falls
a) m sich auf kürzestem Weg von A nach B bewegt?

b) m sich von A nach B längs der Strecken AC und CB bewegt?

2.21

Überprüfen Sie die Ergebnisse von den Aufgaben 2.1 - 2.20 mit Maple.

2.22

Wie lautet die Vektorgleichung der Geraden g durch den Punkt P parallel zum

Vektor −

→
a ? Welche Punkte gehören zu den Parameterwerten λ = 1 , λ = 2 , λ =

⎛

⎞

− 1

−

⎜

⎟

5? P = (4 , 0 , 3) ; −

→
a = ⎝ 0 ⎠ .

− 1

2.23

Man bestimme die Gleichung der Geraden g durch die Punkte P 1 = (1 , 3 , − 2)

und P 2 = (6 , 5 , 8) .

2.24

Liegen die drei Punkte P 1 = (3 , 0 , 4) , P 2 = (1 , 1 , 1) und P 3 = ( − 1 , 2 , − 2) auf einer Geraden?

2.25

Man berechne den Abstand des Punktes Q = (4 , 1 , 1) von der Geraden g,
die bestimmt ist durch den Punkt P 1 = (4 , 2 , 3) und den Richtungsvektor

⎛ ⎞

2

−

→

⎜ ⎟
a = ⎝ 1 ⎠ .

3

2.26

Eine Gerade g verlaufe durch den Punkt P = (5 , 3 , 1) parallel zu dem Vektor

−

→
a mit den Richtungswinkeln α = 30 ◦, β = 90 ◦ und γ mit cos γ < 0 . Wie lautet die Gleichung dieser Geraden?

2.27

Welche Lage besitzen die folgenden Geradenpaare g 1 , g 2 zueinander? Man be-
stimme gegebenenfalls Abstand, Schnittpunkt und Schnittwinkel.

a) g 1 durch P 1 = (3 , 4 , 6) und P 2 = ( − 1 , − 2 , 4)

g 2 durch P 3 = (3 , 7 , − 2) und P 4 = (5 , 15 , − 6)

⎛ ⎞

⎛

⎞

5

− 2

⎜ ⎟

⎜

⎟
b) g 1 durch −

→
x = −

→
r 1 + λ −

→
a = ⎝ 1 ⎠ + λ ⎝ 1 ⎠

0

3

⎛ ⎞

⎛

⎞

−

→

1

6

⎜ ⎟

⎜

⎟
g 2 durch −

→
x = −

→
r 2 + λ b = ⎝ 1 ⎠ + λ ⎝ − 3 ⎠

5

− 9

2.5

Aufgaben zur Vektorrechnung

95

⎛ ⎞

2

⎜ ⎟
c) g 1 durch P 1 = (1 , 2 , 0) mit Richtungsvektor −

→
a = ⎝ 0 ⎠

5

⎛

⎞

−

→

1

⎜

⎟
g 2 durch P 2 = (6 , 0 , 13) mit Richtungsvektor b = ⎝ − 2 ⎠

3

2.28

Zeigen Sie, dass die beiden Geraden g 1 und g 2 windschief sind und berechnen

Sie ihren Abstand:

⎛

⎞

⎛ ⎞

1

1

⎜

⎟

⎜ ⎟
g 1 : −

→
x = −

→
r 1 + λ −

→
a = ⎝ − 2 ⎠ + λ ⎝ 1 ⎠

3

1

⎛ ⎞

⎛ ⎞

−

→

3

0

⎜ ⎟

⎜ ⎟
g 2 : −

→
x = −

→
r 2 + λ b = ⎝ 3 ⎠ + λ ⎝ 2 ⎠

3

1

2.29

Wie lautet die Vektorgleichung der Ebene E, die den Punkt P 1 = (3 , 5 , 1)

⎛ ⎞

⎛ ⎞

1

2

⎜ ⎟

−

→

⎜ ⎟
enthält und parallel zu den Richtungsvektoren −

→
a = ⎝ 1 ⎠ und b = ⎝ 1 ⎠

1

3
verläuft? Man bestimme den Normalenvektor −

→
n der Ebene. Welcher Punkt
gehört zu dem Parameterpaar λ = 1 , μ = 3?

2.30

Man bestimme die Gleichung der Ebene E durch die Punkte P 1 = (3 , 1 , 0) ; P 2 =

( − 4 , 1 , 1) ; P 3 = (5 , 9 , 3).

2.31

Liegen die vier Punkte P 1 = (1 , 1 , 1) ; P 2 = (3 , 2 , 0) ; P 3 = (4 , − 1 , 5) und P 4 = (12 , − 4 , 12) in einer Ebene?

⎛ ⎞

4

⎜ ⎟

2.32

Eine Ebene verläuft senkrecht zum Vektor −

→
n = ⎝ 3 ⎠ und enthält den Punkt

1

A = (5 , 8 , 10) . Man bestimme die Vektorgleichung dieser Ebene.

2.33

Welche Lage haben die Gerade g und Ebene E zueinander? Man bestimme
gegebenenfalls Abstand, Schnittpunkt und Schnittwinkel.

⎛ ⎞

3

⎜ ⎟
a) g durch P 1 = (5 , 1 , 2) mit Richtungsvektor −

→
a = ⎝ 1 ⎠

2

⎛

⎞

− 1

⎜

⎟

E durch P 0 = (2 , 1 , 8) mit Normalenvektor −

→
n = ⎝ 3 ⎠

1

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

2

5

2

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟
b) g : −

→
x g = −

→
r ( P 1) + λ ⎝ 5 ⎠ = ⎝ 3 ⎠ + λ ⎝ 5 ⎠

1

6

1

⎛

⎞ ⎛

⎞

3
x − 1

⎜

⎟ ⎜

⎟

E : −

→
n ( −

→
r ( P ) − −

→
r ( P 0)) = ⎝ − 1 ⎠ ⎝ y − 1 ⎠ = 0

− 1
z − 1
c) g durch P 1 = (2 , 0 , 3) und P 2 = (5 , 6 , 18)

E durch P 3 = (1 , − 2 , − 2) , P 4 = (0 , − 1 , − 1) und P 5 = ( − 1 , 0 , − 1) 2.34

Man zeige die Parallelität der beiden Ebenen und berechne ihren Abstand

96

2. Vektoren und Vektorrechnung

⎛

⎞

1

⎜

⎟

E 1 durch P 1 = (3 , 5 , 6) mit Normalenvektor −

→
n 1 = ⎝ 3 ⎠

− 2

⎛

⎞

− 3

⎜

⎟

E 2 durch P 2 = (1 , 5 , − 2) mit Normalenvektor −

→
n 2 = ⎝ − 9 ⎠ .

6

2.35

Man bestimme Schnittgerade und Schnittwinkel der beiden Ebenen

⎛ ⎞ ⎛

⎞

3
x − 2

⎜ ⎟ ⎜

⎟

E 1 : −

→
n 1 ( −

→
x E − −

→
r ( P 1)) = ⎝ 1 ⎠ · ⎝ y − 5 ⎠ = 0

2
z − 6

⎛ ⎞ ⎛

⎞

2
x − 1

⎜ ⎟ ⎜

⎟

E 2 : −

→
n 2 ( −

→
x E − −

→
r ( P 2)) = ⎝ 0 ⎠ · ⎝ y − 5 ⎠ = 0 .

3
z − 1

⎛ ⎞

⎛

⎞

⎛ ⎞

2

1

3

⎜ ⎟

⎜

⎟

⎜ ⎟

2.36

Spannen die Vektoren −

→
a 1= ⎝ 1 ⎠, −

→
a 2= ⎝ 0 ⎠, −

→
a 3= ⎝ 1 ⎠ den IR3 auf?

3

− 2

1

2.37

Sind die folgenden Vektoren des IR4 linear unabhängig?

⎛

⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛

⎞

2

0

3

5

⎜

⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜

⎟

−

→

⎜ − 1 ⎟

⎜ 1 ⎟

⎜ 0 ⎟

⎜ − 2 ⎟
a 1 = ⎜

, −

→
a

, −

→
a

, −

→
a

.

⎝

⎟

2 = ⎜ ⎟

3 = ⎜ ⎟

4 = ⎜

⎟

3 ⎠

⎝ 0 ⎠

⎝ 1 ⎠

⎝ 2 ⎠

0

2

4

3

2.38

Im IR4

⎛sind

⎞ die Vektoren

⎛ ⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛ ⎞

2

0

1

0

0

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜ ⎟

−

→ ⎜ 0 ⎟

⎜ 1 ⎟

⎜ − 1 ⎟

⎜ − 2 ⎟ −

→ ⎜ 5 ⎟
a 1=⎜

, −

→
a

, −

→
a

, −

→
a

, b =

⎝ ⎟

2=⎜ ⎟

3=⎜

⎟

4=⎜

⎟

⎜ ⎟

1 ⎠

⎝ 2 ⎠

⎝ 0 ⎠

⎝ 1 ⎠

⎝ 2 ⎠

3

3

0

0

6

−

→
gegeben. Man stelle b als Linearkombination von −

→
a 1, −

→
a 2, −

→
a 3, −

→
a 4 dar.

2.39

Untersuchen Sie die folgenden Vektoren des IR5 auf lineare Abhängigkeit:

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

1

0

1

0

0

⎜

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

0 ⎟

⎜ 0 ⎟

⎜ 0 ⎟

⎜ 0 ⎟

⎜ 1 ⎟

−

→ ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟
a 1=⎜

⎜ 0 ⎟, −

→
a 2=⎜ 1 ⎟, −

→
a 3=⎜ 0 ⎟, −

→
a 4=⎜ 0 ⎟, −

→
a 5=⎜ 1 ⎟ .

⎝ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

0 ⎠

⎝ 1 ⎠

⎝ 1 ⎠

⎝ 1 ⎠

⎝ 1 ⎠

1

1

1

0

1

−

→

2.40

Ist der Vektor b im Erzeugnis der Vektoren −

→
a

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

1, −

→
a

⎛ 2, −

→
a

⎞ 3?

1

0

1

2

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟ −

→

⎜ ⎟
a) −

→
a 1 = ⎝ 1 ⎠, −

→
a 2 = ⎝ 1 ⎠, −

→
a 3 = ⎝ 0 ⎠, b = ⎝ 2 ⎠

0

1

0

1

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛

⎞

⎛ ⎞

1

0

1

1

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜

⎟ −

→

⎜ ⎟
b) −

→
a 1 = ⎝ 1 ⎠, −

→
a 2 = ⎝ 1 ⎠, −

→
a 3 = ⎝ 0 ⎠, b = ⎝ 0 ⎠

0

1

− 1

0

2.41

Zeigen Sie, dass die Vektoren −

→
a 1, −

→
a 2, −

→
a 3 eine Basis des IR3 bilden und stellen

−

→

Sie d als Linearkombination von −

→
a

⎛ ⎞

⎛

⎞

1, −

→
a

⎛

2, −

→
a

⎞ 3 dar:

⎛

⎞

3

5

− 2

1

−

→

⎜ ⎟

⎜

⎟

⎜

⎟ −

→

⎜

⎟
a 1 = ⎝ 4 ⎠, −

→
a 2 = ⎝ − 1 ⎠, −

→
a 3 = ⎝ 2 ⎠, d = ⎝ − 11 ⎠

3

0

− 3

− 3

Kapitel 3

3

Matrizen und Determinanten

3

Matrizen und Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

3.1

Matrizen .............................................................

99

3.1.1

Einführung, spezielle Matrizen ..................................

99

3

3.1.2

Rechenoperationen für Matrizen ................................ 101

3.1.3

Inverse Matrix ...................................................... 105

3.1.4

Lineare Abbildungen............................................... 109

3.1.5

Anwendungsbeispiele .............................................. 110

3.2

Determinanten...................................................... 114

3.2.1

Einführung .......................................................... 114

3.2.2

Rechenregeln für zweireihige Determinanten ................. 115

3.2.3
n-reihige Determinanten.......................................... 118

3.2.4

Anwendungen von Determinanten .............................. 123

3.3

Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen .................. 124

3.3.1

Lineare Gleichungssysteme, Rang ............................... 124

3.3.2

Anwendungen....................................................... 129

3.4

Aufgaben zu Matrizen und Determinanten ................... 135

Zus¨
atzliche Abschnitte auf der CD-Rom

3.5

MAPLE: Matrizen und Determinanten .........................

cd

3 Matrizen und Determinanten

Durch die Konstruktion der Koeffizientenmatrix in Kapitel 1 werden lineare Glei-
chungssysteme sehr kompakt beschrieben. In diesem Kapitel werden wir den Begriff
der Matrix und der den quadratischen Matrizen zugeordneten Determinanten nicht
nur als abkürzende Bezeichnungen kennen lernen, sondern mit ihnen Rechenope-
rationen durchführen, die wir dann beim Lösen von linearen Gleichungssystemen
einsetzen. Beim Anwendungsbeispiel der gekoppelten Pendel werden wir aufzeigen,
dass man mit der Beschreibung des physikalischen Systems durch die Systemmatrix
und der Berechnung der zugehörigen Determinate die Eigenfrequenzen des Systems
bestimmt.

3.1

3.1 Matrizen

Grundlegend für dieses Kapitel ist der Begriff der Matrix und das Rechnen mit Matrizen. Es
werden die Addition und die Multiplikation von Matrizen definiert sowie das Gauß-Jordan-

Verfahren zur Berechnung der inversen Matrix eingeführt.

3.1.1 Einf¨
uhrung, spezielle Matrizen

Definition: Unter einer ( m × n)-Matrix A = ( aij)

versteht man ein
mn
rechteckiges Zahlenschema

⎛

⎞
a 11 a 12 · · · a 1 j · · · a 1 n

⎜

⎜ ..

..

..

.. ⎟

⎜ .

.

.

.

⎟

⎟

A =

⎜

⎜ a

⎟
i 1
ai 2 · · · aij · · · ain

← i-te Zeile = ( aij)

⎜

⎟
mn

⎝ .

⎟

.

.

.

.

.

..

..

.. ⎠
am 1 am 2 · · · amj · · · amn

↑
j-te Spalte
mit aij ∈ IR . Man nennt aij die Matrixelemente, i den Zeilenindex
und j den Spaltenindex.

Eine Matrix setzt sich zusammen aus ihren Spaltenvektoren (kurz: Spalten)

bzw. aus ihren Zeilenvektoren (kurz: Zeilen). Eine ( m × n)-Matrix A hat n

Spalten und m Zeilen. Der Index i gibt die Nummer der Zeile und der Index
j die Nummer der Spalte an.

100

3. Matrizen und Determinanten

Beispiele 3.1:

#

$

5 3 1

{

A =
ist eine (2 × 3)-Matrix. Das Element a 13 = 1 .

2 0 1

⎛

⎞

0 1

⎜

⎟

|

B = ⎝ 0 2 ⎠ ist eine (3 × 2)-Matrix. Das Element b 22 = 2 .

4 2

Quadratische Matrizen:

Die Matrix A heißt quadratisch, wenn n = m. Falls n = m ist, nennt man
die Matrixelemente a 11 , a 22 , . . . , ann die Hauptdiagonale (kurz: Diagonale) der

Matrix

⎛

⎞
a 11 · · · · · · · · · a 1 n

⎜

⎜ .. ..

.. ⎟

⎜ .

.

. ⎟

⎜

⎟

.

. ⎟

A =

⎜ .

. .

.

⎜ .

.

. ⎟

⎜

⎟

⎝ .

⎟

.

.

.

.

. . .. ⎠
an 1 · · · · · · · · · ann

Diagonale

Spezielle quadratische Matrizen:

Eine Matrix D heißt Diagonalmatrix, wenn alle Nichtdiagonal-Elemente Null
sind. Die Einheitsmatrix In ist eine Diagonalmatrix, die auf der Diagonalen
nur Elemente mit dem Wert 1 enthält.

⎛

⎞
a 11 0 · · · 0

⎛

⎞

⎜

1

0

⎜

.

.

. ⎟

0

. . .. .. ⎟

⎜

⎟

D = ⎜

.

⎜

⎟ ,

I

.

n = ⎝

.

⎠ .

⎝ .

⎟

.

.

.

.

. . .. 0 ⎠

0

1

0 · · · 0 ann

Eine Matrix O heißt obere Dreiecksmatrix, wenn alle Elemente unterhalb
der Diagonalen Null sind; eine Matrix U heißt untere Dreiecksmatrix, wenn
alle Elemente oberhalb der Diagonalen Null sind.

⎛

⎞

⎛

⎞
a 11 · · · a 1 n
a 11

0

⎜

. ⎟

⎜ .

⎟

O = ⎝

. .

.

.

.. ⎠ ,

U = ⎝ ..

. .

⎠ .

0
ann
an 1 · · · ann

Eine quadratische Matrix heißt symmetrisch, wenn
aij = aji
für alle i, j = 1 . . . n.

3.1

Matrizen

101

Eine symmetrische Matrix S besteht aus Elementen, die spiegelsymmetrisch
zur Hauptdiagonalen angeordnet sind. Die Nullmatrix N hat als Elemente
nur Nullen.

⎛

⎞

⎛

⎞

1 2 3

0 · · · 0

⎜ .

. ⎟

S = ⎝ 2 5 4 ⎠ , N = ⎝ . .

. . . .. ⎠ .

3 4 6

0 · · · 0

3.1.2 Rechenoperationen f¨
ur Matrizen

(1) Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar

Definition: Ist α ∈ IR , A = ( aij)

eine ( m × n) -Matrix, dann ist
mn
α · A = α ( aij)

:= ( α a

.

mn
ij ) mn

Eine Matrix wird mit einer Zahl multipliziert, indem jedes Element der Matrix
mit der Zahl multipliziert wird.

(2) Addition zweier ( m × n)-Matrizen

Definition: Sind A = ( aij)

und B = ( b
zwei ( m × n) -Matrizen,
mn
ij ) mn
dann ist die Summe (bzw. Differenz ) der Matrizen

A ± B = ( aij)

± ( b

:= ( a

.

mn
ij ) mn
ij ± bij ) mn

Zwei ( m × n)-Matrizen werden addiert bzw. subtrahiert, indem die jeweiligen

Matrixelemente addiert bzw. subtrahiert werden. Man beachte, dass sowohl
für die Addition als auch Subtraktion beide Matrizen ( m × n)-Matrizen sein
müssen.

5 0 1

2 − 4 3

Beispiele 3.2: A =

; B =

.

2 3 7

1

2 3

10 0 2

8 − 16 12

18 − 16 14

{

2 A + 4 B =

+

=

.

4 6 14

4

8 12

8

14 26

20 0 4

4 − 8 6

16 8 − 2

|

4 A − 2 B =

−

=

.

8 12 28

2

4 6

6 8 22

102

3. Matrizen und Determinanten

(3) Transponieren einer Matrix

Definition: Vertauscht man Zeilen und Spalten einer ( m × n) -Matrix A =

( aij)

, so entsteht die zu A transponierte Matrix At
mn

At := ( aji)

.

nm

⎛

⎞

5 2

5 0 1

Beispiel 3.3. A =

⇒ At = ⎝ 0 3 ⎠ .

2 3 7

1 7

Bemerkungen:

(1) Ist A eine ( m × n)-Matrix, dann ist At eine ( n × m)-Matrix.

(2) Die transponierte Matrix erhält man, indem man die Matrixelemente an
der Hauptdiagonalen spiegelt.

t

(3) ( At) = A.

(4) Eine quadratische Matrix ist symmetrisch, falls At = A.

(4) Multiplikation von Matrizen

Um die Matrizenmultiplikation zu motivieren, führen wir die folgenden Vorüber-
legungen durch. Das inhomogene LGS

⎫

⎛

⎞

3 x

1 + 4 x 2 − 3 x 3 = 4 ⎬

3

4 − 3 4

5 x

⎝

⎠

1 −
x 2 + 2 x 3 = 6 ⎭

5 − 1

2 6

4 x

1 − 2 x 2 − 2 x 3 = 1

4 − 2 − 2 1
wird mit der Matrizenschreibweise abgekürzt. Schreiben wir es in der Form

⎛

⎞ ⎛

⎞

⎛ ⎞

3

4 − 3
x 1

4

⎝ 5 − 1 2 ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ ⎠

2

=

6

4 − 2 − 2
x 3

1

−

→
ist A−

→
x = b eine Vektorgleichung mit der Matrix

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛ ⎞

3

4 − 3
x 1

−

→

4

A = ⎝ 5 − 1

2 ⎠ und den Vektoren −

→
x = ⎝ x ⎠

⎝ ⎠

2

, b =

6

.

4 − 2 − 2
x 3

1

Die Ausgangsgleichungen erhält man aus der Matrizenschreibweise zurück, in-
dem der Spaltenvektor −

→
x jeweils über jede Zeile von A gelegt und das Ska-
larprodukt des Zeilenvektors mit dem Spaltenvektor −

→
x gebildet wird. Somit
haben wir die Multiplikation einer Matrix A mit einem Spaltenvektor −

→
x er-
klärt. Auf analoge Weise wird das Produkt zweier Matrizen A · B definiert:

3.1

Matrizen

103

Man legt die erste Spalte der Matrix B über die erste Zeile der Matrix A,
um das Element c 11 der Produktmatrix zu erhalten. Anschließend wählt man
die erste Spalte der Matrix B und legt diese über die zweite Zeile der Matrix

A, um das Element c 12 der Produktmatrix zu erhalten usw. So erhält man
allgemein die folgende Definition des Matrizenproduktes:

Definition: (Matrizenprodukt)

Sei A = ( aij)

eine ( m × n) -Matrix (m Zeilen und n Spalten) und
mn

B = ( bjk)

eine ( n × l) -Matrix (n Zeilen und l Spalten). Dann ist das
nl

Produkt C = A · B = ( cik)

eine ( m × l) -Matrix definiert durch
ml

⎛

⎞ ⎛

⎞
ai 1
b 1 k
n

⎜

⎜ a ⎟ ⎜

⎟
i 2 ⎟ ⎜ b 2 k ⎟ i = 1 . . . m
cik :=
aij bjk = ⎜

.

⎝ . ⎟ ⎜

⎟

.

.

. ⎠ ⎝ .. ⎠ k = 1 . . . l
j=1
ain
bnk

! Achtung: Um das Produkt von zwei Matrizen bilden zu können, muss die

Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B übereinstimmen. Das Element cik
von C ist das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von

B. D.h. die Zeilenlänge der Matrix A muss mit der Spaltenlänge der Matrix

B übereinstimmen!

Beispiele 3.4:

⎛

⎞

#

$
i = 1

2

1

3

− 2

0



⎝

⎠ ·
i = 2

0

4

0

4

2
j = 1
j = 2
j = 3

2 · 3 + 1 · 0 2 · ( − 2) + 1 · 4 2 · 0 + 1 · 2

6 0 2

=

=

.

0 · 3 + 4 · 0 0 · ( − 2) + 4 · 4 0 · 0 + 4 · 2

0 16 8

⎛

⎞

⎛

⎞

1

0

3
i = 1

⎜

⎟

2

2

− 1

⎜

⎟


i = 2

⎜

⎝

4

2

1

⎟

⎠ · ⎝ 1

5

4

⎠
i = 3

0

1

− 1

3

1

2
j = 1
j = 2
j = 3

⎛

⎞

⎛

⎞

2 + 9

2 + 3

− 1 + 6

11 5 5

= ⎝ 8 + 2 + 3 8 + 10 + 1 − 4 + 8 + 2 ⎠ = ⎝ 13 19 6 ⎠ .

1 − 3

5 − 1

4 − 2

− 2 4 2

104

3. Matrizen und Determinanten

Die Multiplikation wird so ausgeführt, dass die Spalten von B über die Zeilen
von A gelegt werden und anschließend das Skalarprodukt berechnet wird.

Bemerkungen:

(1)

! Achtung: Aus der Definition des Produktes ist ersichtlich, dass für das

Produkt zweier Matrizen A · B die Zeilenlänge von A mit der Spaltenlänge
von B übereinstimmen muss. Ist also A · B definiert, so muss nicht not-
wendigerweise B · A definiert sein. Falls beide Produkte definiert sind (z.B.

bei quadratischen Matrizen), ist i.A. A · B = B · A.

(2) Zur Berechnung des Matrizenproduktes trägt man zweckmäßigerweise die

Matrizen in ein Schema (dem sog. Falk-Schema) ein:

0

1

1

2

= B

3

4

2

0

2

6

10

A =

= A · B = C

4

3

1

6

14

2

0

2

= A

4

3

1

0

1

4

3

1

B =

1

2

10

6

4

= B · A = D

3

4

22

12

10

Das Element c 12 der Produktmatrix C = A · B ergibt sich durch einfache

Rechnung c 12 = 2 · 1 + 0 · 2 + 2 · 4 = 10; das Element d 22 des Produktes

D = B · A durch d 22 = 1 · 0 + 2 · 3 = 6 . Anhand dieser beiden Beispiele
erkennt man, dass A · B = B · A!

(3) Das Produkt einer ( m × n)-Matrix A mit einer ( n × k)-Matrix B kann man
auch folgendermaßen interpretieren:

−

→

−

→

−→

−

→

B besteht aus k Spaltenvektoren b 1 , . . . , b k ⇒ B =
b 1 , . . . , b k .

Dann sind die Spalten des Produktes C = A · B gegeben durch

−

→

−

→
c j = A b j

( j = 1 , . . . , k)

und

−−→ −−→

−−→

C = ( −

→
c 1 , −

→
c 2 , . . . , −

→
c k) = A b 1 , A b 2 , . . . , A bk .

3.1

Matrizen

105

Rechenregeln f¨
ur Matrizenprodukte

Für Produkte von Matrizen A, B, C gelten die folgenden Regeln (die jeweiligen

Produkte seien definiert):

( A · B) · C = A · ( B · C)

Assoziativgesetz

( A · B) t = Bt · At

A · ( B + C) = A · B + A · C

Distributivgesetz

( A + B) · C = A · C + B · C

Distributivgesetz

3.1.3 Inverse Matrix

Die Gleichung a · x = b besitzt für a = 0 genau eine Lösung. Mit dem zu a
inversen Element a− 1 gilt
b
x = a− 1 b =

∈ IR , da a · a− 1 = a− 1 · a = 1 .

a

Diese Konstruktion wird für quadratische Matrizen verallgemeinert: Um die

Gleichung

−

→

A−

→
x = b
nach −

→
x aufzulösen, ist eine Matrix A− 1 gesucht, so dass

A · A− 1 = A− 1 · A = In.

−

→

Denn dann ist die Lösung für den Vektor −

→
x gegeben durch −

→
x = A− 1 b . Man
definiert:

Definition: Gibt es zu einer quadratischen ( n×n) -Matrix A eine ( n×n) -

Matrix X mit

⎛

⎞

1

0

⎜

⎟

A · X = X · A = I

. .

n = ⎝

.

⎠ ,

0

1
so heißt X die zu A inverse Matrix. Sie wird durch das Symbol A− 1
gekennzeichnet.

106

3. Matrizen und Determinanten

Bemerkungen:

(1) Besitzt A eine inverse Matrix A− 1, so heißt A invertierbar bzw. regul¨
ar.

A− 1 heißt Umkehrmatrix oder Inverse.

(2) Eine quadratische Matrix besitzt -wenn überhaupt- genau eine Inverse.

(3) Aufgrund der Definition gilt

A · A− 1 = A− 1 · A = In,
d.h. A und A− 1 sind kommutativ.

1 0

(4)

! Achtung: Nicht jede quadratische Matrix ist umkehrbar: Z.B.

0 0
ist nicht umkehrbar!

Im Folgenden werden wir ein Schema vorstellen, mit dem man entscheiden
kann, ob eine ( n × n)-Matrix A invertierbar ist und wie die Inverse A− 1 sich
dann berechnet. Dazu gehen wir zunächst davon aus, dass die zu A inverse

Matrix A− 1 existiert. A− 1 sei gegeben durch Spaltenvektoren −

→
s 1 , . . . , −

→
s n,
d.h.

A− 1 = ( −

→
s 1 , −

→
s 2 , . . . , −

→
s n) .

Aufgrund der Eigenschaft der inversen Matrix

⎛

⎞

1

0

⎜

⎟

A · A− 1 = I

. .

n = ⎝

.

⎠

0

1
ist die k-te Spalte des Produktes A · A− 1 der Einheitsvektor −

→
e k. Man erhält
die k-te Spalte des Produktes, indem man die Matrix A auf den k-ten Spal-
tenvektor von A− 1 multipliziert:

⎛ ⎞

0

⎜ .

⎜ . ⎟

.

⎜ ⎟

0 ⎟

A−

→
s

⎜ ⎟
k = −

→
e k = ⎜ 1 ← k
k = 1 , 2 , . . . , n.

⎜ ⎟

⎝ 0 ⎟

. ⎠

..0

Folglich sind die Spalten der inversen Matrix die Lösungen der linearen Glei-
chungssysteme A−

→
s k = −

→
e k. Man muss zur Bestimmung der inversen Matrix
also n LGS mit der selben Matrix A lösen. Nur die rechten Seiten der LGS
sind unterschiedlich. Da die Rechenoperationen beim Gauß-Algorithmus nur
durch die Koeffizienten der Matrix A nicht aber von der rechten Seite be-
stimmt werden, können die n LGS simultan gelöst werden. Dies führt auf den

Gauß-Jordan-Algorithmus:

3.1

Matrizen

107

Berechnung
der
inversen

Matrix
mit
dem

Gauß-Jordan-

Verfahren

(1) Man erstellt das aus A und allen rechten Seiten kombinierte Matri-
zenschema:

⎛

⎞
a

11 · · · · · · a 1 n

1 0 · · · 0

⎜

⎜ ..

.

.

.

. ⎟

.

.. 0 .. .. .. ⎟

( A| I

⎜

⎟
n) = ⎜

⎝ .

⎟

.

.

. .

.

.

.. . . .

. . . 0 ⎠
a

n 1 · · · · · · ann

0 · · · 0 1

(2) Mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen wird die linke Seite des

Schemas so umgeformt, dass die Einheitsmatrix In den Platz von A
einnimmt. Die inverse Matrix A− 1 steht dann auf dem Platz von In:

⎛

⎞

1 0 · · · 0 b 11 · · · · · · b 1 n

⎜

⎜ .. .. .. ..

.. ⎟

⎜ 0 . . . .

. ⎟

⎜

⎟ = ( In| A− 1

⎝ .

⎟

. .

.

.

.

. . . . . 0

.

.

.

. ⎠

0 · · · 0 1 bn 1 · · · · · · bnn

! Enthält zum Schluss die linke Seite eine Nullzeile, dann ist die Matrix A
nicht invertierbar.

Beispiele 3.5:

⎛

⎞

1 0 − 2

 Gesucht ist die inverse Matrix zu A = ⎝ − 1 1 2 ⎠ .

0 4 − 1

Wir führen den Gauß-Jordan-Algorithmus durch und schreiben die jewei-
ligen Operationen an die rechte Seite des Schemas:

⎛

⎞

1 0 − 2 1 0 0

( A| I

⎝

⎠

3) =

− 1 1 2 0 1 0

+ Z 1

0 4 − 1 0 0 1

⎛

⎞

1 0 − 2 1 0 0

⇒

⎝ 0 1 0 1 1 0⎠

0 4 − 1 0 0 1

− 4 Z 2

⎛

⎞

1 0 − 2 1 0 0

− 2 Z 3

⇒

⎝ 0 1 0 1 1 0⎠

0 0 − 1 − 4 − 4 1

( − 1)

⎛

⎞

1 0 0 9 8 − 2

⇒

⎝ 0 1 0 1 1 0⎠ = ( I 3 | A− 1

0 0 1 4 4 − 1

108

3. Matrizen und Determinanten

⎛

⎞

9 8 − 2

Die zu A inverse Matrix lautet A− 1 = ⎝ 1 1

0 ⎠ .

4 4 − 1

⎛

⎞

1

1

2

 Gesucht ist die Inverse von A = ⎝ 2

1 − 2 ⎠ :

− 3 − 2 0

⎛

⎞

1

1

2 1 0 0

( A| I

⎝

⎠

3) =

2

1 − 2 0 1 0

− 2 Z 1

− 3 − 2 0 0 0 1

3 Z 1

⎛

⎞

1

1

2 1 0 0

⇒ ⎝ 0 − 1 − 6 − 2 1 0⎠

0

1

6

3 0 1

+ Z 2

⎛

⎞

1

1

2 1 0 0

⇒ ⎝ 0 − 1 − 6 − 2 1 0⎠

0

0

0

1 1 1

Die linke Seite enthält eine Nullzeile. Damit sind die linearen Gleichungs-
systeme nicht lösbar. A ist nicht invertierbar.

Rechenregeln bei der Inversion von Matrizen: Seien A und B inver-
tierbare ( n × n)-Matrizen. Dann gilt:

(1) Die Inverse einer invertierbaren Matrix ist invertierbar mit

− 1

A− 1

= A

(2) Das Produkt zweier invertierbarer Matrizen ist invertierbar:

( A · B) − 1 = B− 1 · A− 1

(3) Die Transponierte einer invertierbaren Matrix ist invertierbar:

−

1
t

At

= A− 1

Die Bedeutung von invertierbaren Matrizen werden wir noch ausführlicher im

Kapitel über die Lösbarkeit von LGS ( → Abschnitt 3.3) diskutieren.

3.1

Matrizen

109

3.1.4 Lineare Abbildungen

Wir werden nun eine geometrische Deutung von Matrizen angeben. Sei A =

⎛

⎞
x 1

⎜ . ⎟

( a

.

ij ) eine ( m × n)-Matrix und −

→
x = ⎝ . ⎠ ∈ IR n ein Vektor. Dann ist das
xn

Produkt

⎛

⎞
n

⎛

⎞ ⎛

⎞
a 1 j xj

⎛

⎞
a

⎜

⎟

11 · · · a 1 n
x 1
j=1
y 1

⎜

⎜

⎟

.

.

⎟ ⎜ . ⎟

⎜

.

⎟

⎜ . ⎟

A−

→
x = ⎝ ..

.. ⎠ ⎝ .. ⎠ = ⎜

.

.

⎜

.

⎟

⎟ = ⎝ . ⎠
a

⎝ n

⎠
m 1 · · · amn
xn
a
ym
mj xj
j=1
ein Vektor −

→
y ∈ IR m. A legt also eine Abbildung ϕ : IR n → IR m fest, die jedem

Vektor −

→
x ∈ IR n genau einen Vektor −

→
y ∈ IR m zuordnet. Es gilt folgender Satz:

Satz: Die Gesamtheit aller ( m × n)-Matrizen entspricht in umkehrbar ein-
deutiger Weise der Gesamtheit der linearen Abbildungen ϕ : IR n → IR m.

Begr¨
undung:

(1) Die Matrix A = ( aij)

definiert eine lineare Abbildung von IR n nach
mn

IR m, denn man rechnet sofort nach, dass

A ( α−

→
x 1 + β−

→
x 2) = α A−

→
x 1 + β A−

→
x 2
für beliebige Vektoren −

→
x 1 , −

→
x 2 und Zahlen α, β.

(2) Ist ϕ : IR n → IR m eine lineare Abbildung. Dann wird diese lineare Abbil-
dung eindeutig festgelegt durch die Bilder der Einheitsvektoren −

→
e j:

⎛

⎞
a 1 j

⎜ . ⎟
ϕ ( −

→
e

.

j ) = −

→
a j = ⎝ . ⎠
j = 1 , . . . , n.

amj

Mit diesen Vektoren bilden wir die Matrix

A = ( aij)

= ( −

→
a
mn

1 , −

→
a 2 , . . . , −

→
a n) .

Man rechnet unmittelbar nach, dass A−

→
e j = −

→
a j. Um die Matrix einer
linearen Abbildung aufzustellen, ist es wichtig sich zu merken:

Die Spalten von A sind genau die Bildvektoren der Einheits-
vektoren.

110

3. Matrizen und Determinanten

⎛

⎞
x

1
x

Beispiel 3.6. Die Abbildung f : ⎝ x ⎠

1 + x 2 − x 3

2

→
ist eine lineare
x
x

2 + x 3 − x 1

3

Abbildung von IR3 nach IR2. Die Bilder der Basisvektoren sind

⎛⎛ ⎞⎞

1

1
f ( −

→
e

⎝⎝ ⎠⎠

1) = f

0

=

−

;

1

0

1

− 1
f ( −

→
e 2) =

;
f ( −

→
e

.

1

3) =

1

Damit wird die lineare Abbildung dargestellt durch die Matrix

1 1 − 1

A =

−

,

1 1

1
denn die Spalte der Matrix A sind die Bilder der Einheitsvektoren.

3.1.5 Anwendungsbeispiele

Beispiel 3.7 (Anwendungsbeispiel: Rohstoffkette).

In einem Betrieb werden aus vier Rohstoffen mit Einheiten r 1, r 2, r 3, r 4 drei

Zwischenprodukte mit Einheiten z 1 , z 2 , z 3 hergestellt. Aus den Zwischenpro-
dukten entstehen drei Endprodukte mit den Einheiten p 1 , p 2 , p 3 . Der Materi-
alverbrauch sei gegeben durch die linearen Gleichungen
r 1 = z 1

+
z 3
z
r

1 =
p 1 + 2 p 2 + p 3

2 = 2 z 1 + z 2 +
z 3
bzw.

z
r

2 = 2 p 1 + 3 p 2 +
p 3

3 =
z 2 + z 3
z
r

3 = 4 p 1 + 2 p 2 + 2 p 3

4 =
z 1 + z 2 + 2 z 3

⎛

⎞

1 0 1

⎛

⎞

⎜

1 2 1

2 1 1 ⎟

Führt man die Matrizen A = ⎜

⎝

⎟

⎝ 2 3 1 ⎠ ein, so kann

0 1 1 ⎠
und B =

4 2 2

1 1 2
man die beiden Gleichungssysteme schreiben in der Form

−

→
r = A−

→
z ;

−

→
z = B−

→
p .

Gesucht ist der Rohstoffbedarf, wenn 100 Einheiten von p 1, 80 Einheiten von
p 2 und 60 Einheiten von p 3 hergestellt werden sollen. Es ist

−

→
r = A−

→
z = A ( B−

→
p ) = ( A · B) −

→
p .

3.1

Matrizen

111

Zur Berechnung der Menge der Rohstoffe führt man das Matrizenprodukt A·B

⎛

⎞

100
aus und wendet das Produkt auf den Vektor −

→
p = ⎝ 80 ⎠ an:

60

⎛

⎞

⎛

⎞

5 4 3

⎛

⎞

1000

100

−

→

⎜ 8 9 5 ⎟

⎜ 1820 ⎟
r = ⎜

⎝

⎟ ⎝ 80 ⎠ = ⎜

⎟

6 5 3 ⎠

⎝ 1180 ⎠ .

60

11 9 6

2180

Es werden also 1000 Einheiten des ersten, 1820 Einheiten des zweiten, 1180

Einheiten des dritten und 2180 Einheiten des vierten Rohstoffes benötigt.

Beispiel 3.8 (Anwendungsbeispiel: Beschreibung eines Vierpols).

Abb. 3.1. Elektrischer Vierpol

Die Schaltung in Abb. 3.1 heißt linearer, elektrischer Vierpol. Gesucht ist der

Zusammenhang zwischen den Eingangsgrößen i 0 , u 0 und den Ausgangsgrößen
i 1 , u 1.

Um die Modellgleichungen aufzustellen, verwenden wir die Kirchhoffschen

Gesetze: Der Knotensatz besagt, dass die Summe der in einem Knoten zu-
und abfließenden Ströme gleich Null ist. Der Maschensatz besagt, dass in einer

Masche die Summe aller Spannungen Null ergibt:

i 0 = iR + i

1

R 3
u 0 = R 3 iR + u

3

1
iR = i

+ i

3

R 2

1 .

Um die gesuchte Abhängigkeit der Eingangsgrößen von der Ausgangsgrößen
zu erkennen, ersetzt man iR = 1 u

= 1 u

1

R 1 0, iR 2

R 2 1 und eliminiert die Größe
iR aus diesem System, so dass nur noch i

3

0 , u 0 und i 1 , u 1 vorkommen:

R
u

2 + R 3

0 =
u

R

1 + R 3 i 1

2

112

3. Matrizen und Determinanten

R

R
i

1 + R 2 + R 3

1 + R 3

0 =
u
i

R

1 +

1

1 R 2

R 1

Die Eingangsgrößen stehen nur auf der linken Seite der Gleichung; die Aus-
gangsgrößen auf der rechten Seite. Man hat nur noch zwei Gleichungen für
zwei Unbekannte. Führt man die Verknüpfungsmatrix

⎛

⎞

R 2+ R 3

R

⎜

R 2

3

⎟

M = ⎝

⎠

R 1+ R 2+ R 3 R 1+ R 3

R 1 R 2

R 1
ein, so gilt die folgende Beziehung zwischen den Eingangsgrößen i 0 , u 0 und den

Ausgangsgrößen i 1 , u 1 :

u 0
u

= M

1

.

i 0
i 1

Beispiel 3.9 (Anwendungsbeispiel: Kettenschaltung von Vierpolen).

Schaltet man einen zweiten Vierpol mit gleichen Widerständen hinzu, gilt

u 0
u
u
u

= M

1
und

1

= M

2

,
i 0
i 1
i 1
i 2
d.h. zwischen den Eingangsgrößen u 0 , i 0 und den Ausgangsgrößen u 2 , i 2 besteht
die Beziehung

u 0
u

= M · M

2

.

i 0
i 2

Für eine lineare Kette von n identischen Vierpolen (siehe Abb. 3.2) gilt folglich

u 0
u

= M n
n

.

i 0
in

Abb. 3.2. Lineare Kette von Vierpolen

3.1

Matrizen

113

Beispiel 3.10 (Zahlenbeispiel, mit Maple-Worksheet).

Der in Beispiel 3.8 diskutierte Vierpol habe die Widerstände R 1 = R 2 =

100Ω , R 3 = 500Ω . Das Übertragungsverhalten des Vierpols ist dann gegeben
durch die Übertragungsmatrix

6 . 500

M :=

.

0 . 07 6

(i) Wie groß sind u 1 und i 1, wenn u 0 = 2 V und i 0 = 0 . 1 A ?

u
u
u
u

Wegen

0

= M

1
folgt

1

= M − 1

0

. Die zu M inverse
i 0
i 1
i 1
i 0

Matrix M − 1 lautet

6

− 500

M − 1 =

− 0 . 07 6
und damit ist

u 1
u

6

− 500

2

− 38

= M − 1

0

=

=

.

i 1
i 0

− 0 . 07 6

0 . 1

0 . 46

Somit beträgt u 1 = − 38 V und i 1 = 0 . 46 A.

(ii) Für eine Schaltung von drei Vierpolen erhalten wir die Transfermatrix T :

846 . 00 71500

T = M 3 =

10 . 01 846 . 00

114

3. Matrizen und Determinanten

3.2

3.2 Determinanten

Um zu entscheiden, ob eine Matrix invertierbar ist oder nicht, muss zunächst das Gauß-

Jordan-Verfahren angewendet werden. Enthält nach der Umformung die linke Seite eine

Nullzeile, so ist die Matrix nicht invertierbar. Es wäre schön, wenn man vor der Anwendung
des Verfahrens entscheiden könnte, ob die inverse Matrix existiert oder nicht. Dies führt
auf den Begriff der Determinante.

3.2.1 Einf¨
uhrung

In diesem Kapitel diskutieren wir, unter welchen Bedingungen ein lineares,
quadratisches Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Bei der expliziten Lösung
eines Gleichungssystems mit dem Gauß-Algorithmus kann zum Schluss der

Rechnung festgestellt werden, ob das Gleichungssystem lösbar ist oder nicht.

Im Falle einer numerischen Lösung des LGS muss aber im Voraus bekannt
sein, ob das LGS eindeutig lösbar ist. Im Folgenden wird ein Formalismus ent-
wickelt (Determinanten-Berechnung), mit dem entschieden werden kann, ob
quadratische LGS eindeutig lösbar sind. Alle in diesem Paragraphen auftre-
tenden Matrizen sind quadratisch.

(1) Wir betrachten zunächst das Problem: Unter welchen Voraussetzungen ist
die Gleichung
a 11 x 1 = c 1

(I)

mit einer Unbekannten x 1 für beliebige c 1 eindeutig lösbar. Die Antwort lau-
tet: System (I) ist genau dann eindeutig lösbar, falls a 11 = 0 :

x 1 = c 1 .

a 11

(2) Nun betrachten wir das LGS
a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1

(II)

a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2
mit zwei Unbekannten x 1 und x 2 . Welche Bedingungen müssen die Koeffi-
zienten a 11 , a 12 , a 21 , a 22 erfüllen, damit das System (II) für beliebige c 1 , c 2
eindeutig lösbar ist? Die Lösung des Systems erhalten wir, indem wir Gl. II.1
mit a 22 = 0 und Gl. II.2 mit ( −a 12) = 0 multiplizieren und beide Gleichungen
addieren:

a 11 a 22 x 1 + a 12 a 22 x 2 =
c 1 a 22

−a 12 a 21 x 1 − a 12 a 22 x 2 = −c 2 a 12

⇒ ( a 11 a 22 − a 12 a 21) x 1 = c 1 a 22 − c 2 a 12 .

Indem wir Gl. II.1 mit −a 21 = 0 und Gl. II.2 mit a 11 = 0 multiplizieren und
beide resultierenden Gleichungen addieren, erhalten wir analog

( a 11 a 22 − a 12 a 21) x 2 = c 2 a 11 − c 1 a 21 .

3.2

Determinanten

115

Folglich ist das LGS (II) eindeutig für beliebige c 1 und c 2 lösbar, falls
a 11 a 22 − a 12 a 21 = 0 .

Diese Bedingung beinhaltet auch die hier nicht aufgeführten Sonderfälle a 11 =

0 , a 12 = 0 , a 21 = 0 oder a 22 = 0 .

a

Definition: Die aus der Koeffizientenmatrix A =

11 a 12
berechnete
a 21 a 22

Gr¨
oße

a

D := 11 a 12

a

= a 11 a 22 − a 12 a 21

21 a 22
heißt zweireihige Determinante oder kurz Determinante.

F¨
ur Determinanten sind die Symbole D, det( A) , |A| , det( aij) gebräuch-
lich.

Beispiele 3.11:

5 2

{
det

= 5 · 1 − 3 · 2 = − 1.

3 1

− 2 − 2

|
det

= − 2 · 1 − 1 · ( − 2) = 0.

1

1

Eine zweireihige Determinante wird also berechnet, indem die Differenz des

Produktes der Hauptdiagonalelemente a 11 a 22 mit dem Produkt der Nebendia-
gonalelemente a 12 a 21 gebildet wird. Die Determinante einer Matrix ist damit
eine reelle Zahl! Für zweireihige Determinanten rechnet man unmittelbar die
folgenden Regeln nach:

3.2.2 Rechenregeln f¨
ur zweireihige Determinanten

Regel 1: Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man Zeilen
und Spalten vertauscht:

det A = det At.

2 3

2 − 1

Beispiel: det

−

= 8 + 3 = 11 = det

.

1 4

3

4

116

3. Matrizen und Determinanten

Regel 2: Der Wert der Determinante wechselt das Vorzeichen, wenn man
zwei Zeilen (oder zwei Spalten) miteinander vertauscht.

3

8

4 − 7

Beispiel: det

= − 21 − 32 = − 53 ; det

= 32 + 21 = 53.

4 − 7

3

8

Regel 3: Werden die Elemente einer (!) Zeile (oder Spalte) mit einem Skalar
λ multipliziert, so wird der Determinantenwert mit λ multipliziert.

λ a

Beispiel: det

11 λ a 12

= λ a
a

11 a 22 − a 21 λa 12 = λ( a 11 a 22 − a 21 a 12)

21
a 22

a

= λ det

11 a 12

.

a 21 a 22

Regel 4: Die Determinante hat den Wert 0, wenn eine Spalte (oder Zeile) der

Nullvektor ist. Allgemeiner, wenn die Spalten (oder Zeilen) linear abhängig
sind.

5 0

5 − 10
a

Beispiele: det

= 0; det

= 0, det

11
a 12

= 0.

3 0

3 − 6
λ a 11 λ a 12

Regel 5: Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man zu einer

Zeile (oder Spalte) ein beliebiges Vielfaches einer anderen Zeile (oder Spalte)

elementweise addiert.

Beweis:

a
det

11 + λ a 21 a 12 + λ a 22

= ( a
a

11 + λ a 21) a 22 − a 21 ( a 12 + λ a 22)

21
a 22

= a 11 a 22 − a 21 a 12+ λ a 21 a 22 − λ a 21 a 22

= 0

a

= det

11 a 12

.

a 21 a 22

Regel 6: Multiplikationstheorem f¨
ur Determinanten.

Für zwei Matrizen A, B gilt stets:

det ( A · B) = det ( A) · det ( B) .

3.2

Determinanten

117

0

4

4 2

12 8

Beispiel: det

= det

= 48 − 72 = − 24,

3 − 1

3 2

9 4

0

4

4 2
det

· det

= ( − 12) · 2 = − 24.

3 − 1

3 2

Regel 7: Die Determinante einer Dreiecksmatrix besitzt den Wert des

Produktes der Hauptdiagonalelemente.

4 7

3

0

Beispiel: det

= 4 · 2 = 8 ;
det

= 3( − 1) = − 3.

0 2

5 − 1

Bemerkung: Die aufgelisteten Regeln sind so formuliert, dass sie auch für
allgemeine, n-reihige Determinanten gültig sind.

¨

Ubergang zu den Formeln f¨
ur ( n × n)-Matrizen:

Übertragen wir die Überlegungen aus der Einführung auf ein lineares Glei-
chungssystem mit drei Unbekannten x 1 , x 2 , x 3,
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2
a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 ,
so kann dieses LGS mit allgemeinen Koeffizienten nach den Unbekannten for-
mal aufgelöst werden. Für x 1 erhält man unter Zuhilfenahme von Maple als

Lösung
a
x

22 a 33 b 1 − a 22 b 3 a 13 + a 23 a 12 b 3 − a 23 a 32 b 1 + b 2 a 32 a 13 − b 2 a 12 a 33

1 =

.

a 21 a 32 a 13 − a 21 a 12 a 33 − a 31 a 22 a 13 + a 12 a 31 a 23 − a 32 a 11 a 23 + a 11 a 22 a 33

Ähnliche Lösungsformeln erhält man für x 2 und x 3. Auch bei der Berechnung
von x 2 und x 3 wird durch den Term
a 21 a 32 a 13 − a 21 a 12 a 33 − a 31 a 22 a 13 + a 12 a 31 a 23 − a 32 a 11 a 23 + a 11 a 22 a 33
dividiert. Das LGS ist also für jede rechte Seite eindeutig lösbar, sofern
a 21 a 32 a 13 − a 21 a 12 a 33 − a 31 a 22 a 13 + a 12 a 31 a 23 − a 32 a 11 a 23 + a 11 a 22 a 33 = 0 .

⎛

⎞
a 11 a 12 a 13

Diese Zahl heißt die Determinante von A = ⎝ a

⎠

21 a 22 a 23

.

a 31 a 32 a 33

Analog gibt es eine entsprechende Zahl für ein LGS mit vier Unbekannten.

Diese Zahl wird wieder als Determinate der zugehörigen Matrix bezeichnet. Die
allgemeine Berechnung der Determinante erfolgt mit dem folgenden Schema:

118

3. Matrizen und Determinanten

3.2.3 n-reihige Determinanten

Definition / Satz: Entwicklungssatz nach Laplace.

⎛

⎞
a 11 · · · a 1 n

⎜ .

. ⎟

Sei A = ( a

.

.

ij ) = ⎝ .

. ⎠ eine ( n × n) -Matrix. Dann ist die De-
an 1 · · · ann
terminante der Matrix A definiert durch
n

det A =

( − 1) i+ j aij det A
f
ij

¨
ur ein festes i ∈ { 1 , . . . , n}.

j=1

Dabei ist A die ( n − 1) ×( n − 1) -Untermatrix, die aus A entsteht, indem
ij
die i-te Zeile und j-te Spalte gestrichen wird:

⎛

⎞
a 11 · · · a 1 j · · · a 1 n

⎜

⎜ ..

..

.. ⎟

⎜ .

.

. ⎟

⎟

A = ⎜ a

⎟ ← i − teZeile
ij

⎜ i 1 · · · aij · · · ain

⎜

⎟

⎝ .

⎟

.

.

.

.

..

.. ⎠
an 1 · · · anj · · · ann

Man bezeichnet dieses Vorgehen als Entwicklung der Determinante
nach der i-ten Zeile.

Da A
eine ( n − 1) × ( n − 1) -Matrix ist, bezeichnet man det A
als
ij
ij

Unterdeterminante. Durch wiederholtes Anwenden der Entwicklungsfor-
mel l¨
asst sich eine n-reihige Determinante auf 2-reihige Determinanten
zur¨
uckf¨
uhren und damit berechnen.

Bemerkungen:

(1)

! Achtung: Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen defi-
niert.

(2) Das Vorzeichen ( − 1) i+ j kann man sich als Vorzeichen im folgenden Schach-
brettmuster vorstellen. Z.B. ist das Vorzeichen von a 43 : ( − 1)4+3 = − 1 .

+ −

+

− + −

− +

−

+ − +

+ −

+

− + −

− +

−

+ − +

+ −

+

− + −

− +

−

+ − +

3.2

Determinanten

119

(3) Die Zeile i ∈ { 1 , . . . , n}, nach der die Determinante entwickelt wird, ist
beliebig; der Determinantenwert hängt nicht von der Wahl von i ab.

(4) Die Entwicklung der Determinante nach der i-ten Zeile kann man sich so
vorstellen, dass die i-te Zeile gestrichen wird und nacheinander ein Faden-
kreuz jeweils eine Spalte streicht:

1. Spalte: ( − 1) i+1 ai 1 det Ai 1

2. Spalte: ( − 1) i+2 ai 2 det Ai 2

...

n-te Spalte: ( − 1) i+ n ain det A .

in

Das Aufsummieren aller Unterdeterminanten mit dem zugehörigen Faktor
aij und dem Vorzeichen entsprechend dem Schachbrettmuster liefert den

Determinantenwert.

(5) Die Determinante lässt sich auch nach der k-ten Spalte entwickeln:

n

det A =

( − 1) i+ k aik det A
f
ik
ür festes k ∈ { 1 , 2 , . . . , n}.

i=1

(6) Für n-reihige Determinanten gelten die gleichen Rechenregeln, wie die in

Abschnitt 3.2.2 angegebenen Rechenregeln für 2-reihige Determinanten.

Spezialf¨
alle:

n = 1 :

det( a 11) = a 11.

n = 2 :

Entwicklung nach der ersten Spalte

a
det

11 a 12

= a
a

11 − det( a 22) − a 21 det( a 12)

21 a 22

= a 11 a 22 − a 21 a 12 .

n = 3 :

Entwicklung nach der ersten Spalte

⎛

⎞

a

11 a 12 a 13
a11 a12 a13
det ⎝ a

⎠

21 a 22 a 23

= (+1) a11 a21 a 22 a 23
a

31 a 32 a 33
a31 a 32 a 33

a

11 a 12 a 13

+ ( − 1) a

21 a21 a22 a23

a

31 a 32 a 33

a

11 a 12 a 13

+ (+1) a

31 a21 a 22 a 23

a

31 a32 a33

120

3. Matrizen und Determinanten

a

a

a

= a

22 a 23

12 a 13

12 a 13

11 a

− a 21

+ a 31

32 a 33
a 32 a 33
a 22 a 23

= a 11 ( a 22 a 33 − a 32 a 23) − a 21 ( a 12 a 33 − a 32 a 13)

+ a 31 ( a 12 a 23 − a 22 a 13) .

Beispiele 3.12:

 Wir berechnen die Determinante durch Entwicklung nach der zweiten Zeile:

⎛

⎞

2

3

5

3 5

2 5

2 3
det ⎝ 0

4 −1 ⎠ = ( − 1) · 0

− 2 0 + 4 1 0 + ( − 1) · ( −1) 1 − 2

1 − 2

0

= 4 · ( − 5) + 1 · ( − 7) = − 27.

 Wir entwickeln die nachfolgende Determinante nach der ersten Spalte, da
sie zwei Nullen als Elemente aufweist (man hätte aber auch eine andere

Zeile oder Spalte mit zwei Nullen wählen können):

⎛

⎞

1 2 0 4

⎜

0 1 2

2 0 4

0 0 1 2 ⎟

det ⎜

⎝

⎟

3 2 1 + 3 0 1 2 = 3 + 3 · ( − 8) = − 21.

3 3 2 1 ⎠ = 1 ·

1 1 0

1 1 0

0 1 1 0

⎛

⎞

1

0

⎜

⎟

 Die Einheitsmatrix I

. .

n = ⎝

.

⎠ hat als Determinante: det In = 1 .

0

1

⎛

⎞
λ 1

∗

⎜

⎟

 Eine Dreiecksmatrix D = ⎝

. ..

⎠ hat als Determinante:

0
λn
det D = λ 1 · λ 2 · · · · · λn.

Berechnung einer 3-reihigen Determinante nach Sarrus (Sarrussche Regel)

! Für den Spezialfall n = 3 (und nur für diesen Spezialfall !) kann man den

Determinantenwert durch die auf Sarrus zurückgehende Regel berechnen:

⎛

⎞
a 11 a 12 a 13
det ⎝ a

⎠

21 a 22 a 23

→
a 31 a 32 a 33

3.2

Determinanten

121

Die erste und zweite Spalte der Matrix A wird nochmals neben die Determi-
nante gesetzt. Den Wert der Determinante erhält man dann, indem man die
drei Diagonalprodukte addiert und die Antidiagonalprodukte davon subtra-
hiert:

det A =
a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32

−a 13 a 22 a 31 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 .

Beispiel 3.13.

⎛

⎞

1

2 − 1

Wir berechnen die Determinante von A = ⎝

1

0

1 ⎠ nach Sarrus:

− 1 − 2 1

1 2 − 1 1 2

1 0 1 1 0 :

− 1 − 2 1 − 1 − 2
det A = 1 · 0 · 1 + 2 · 1 · ( − 1) + ( − 1) · 1( − 2)

−( − 1) · 0 · ( − 1) − 1 · 1 · ( − 2) − 2 · 1 · 1 = − 2 + 2 + 2 − 2 = 0 .

Determinante der inversen Matrix

Sei A eine invertierbare Matrix. Dann gibt es zu dieser Matrix eine Inverse

A− 1 mit der Eigenschaft

A · A− 1 = In
wenn In die Einheitsmatrix ist. Nach dem Multiplikationssatz für Determinan-
ten (Regel 6) gilt dann
det( A · A− 1) = det( A) · det( A− 1) = det In = 1 .

Damit folgt für den Determinantenwert der Inversen:

Satz: (Determinante der Inversen)

Ist A eine invertierbare Matrix, dann ist
det A = 0
und die Determinante der Inversen A− 1 ist gegeben durch

1
det A− 1 =

.

det A

122

3. Matrizen und Determinanten

Praktische Berechnung n-reihiger Determinanten

Bei der praktischen Berechnung n-reihiger Determinanten wächst der Rechen-
aufwand mit zunehmender Ordnung rasch an. Denn aus einer n-reihigen De-

*
terminante entstehen durch Entwicklung
n
k = 3 · 4 · . . . · n zweireihige
k =3

*

Unterdeterminanten bzw.

n
k = 4 · 5 · . . . · n 3-reihige Unterdeterminan-
k = 4
ten. Daher führt man gemäß der aufgelisteten Rechenregeln die Matrix auf
eine einfachere Form über und berechnet dann erst den Determinantenwert.

Da sich der Wert der Determinante nicht ändert, wenn man zu einer Zeile (oder

Spalte) ein Vielfaches einer anderen Zeile (oder Spalte) hinzu addiert, ist es
zur Berechnung von det A (für n > 3) zweckmäßig, zuerst mit elementaren

Umformungen möglichst viele Nullen in einer Spalte oder Zeile zu erzeugen.

Nach dieser Spalte oder Zeile wird dann entwickelt. Die 3-reihigen Determi-
nanten können auch nach der Sarrusschen Regel berechnet werden.

Beispiel 3.14. Wir subtrahieren die vierte Zeile von der dritten Zeile und ent-
wickeln anschließend nach der zweiten Spalte. Bei der verbleibenden 3-reihigen

Determinante subtrahieren wir von der zweiten und dritten Zeile jeweils die
erste Zeile. Anschließend entwickeln wir nach der dritten Spalte:

⎛

⎞

⎛

⎞

1 0

2 1

1 0

2 1

⎛

⎞

⎜

1 2 1

2 0

1 1 ⎟

⎜ 2 0 1 1 ⎟
det ⎜

⎝

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

−

2 1 1

1 1

3 2 ⎠ = det ⎝ − 3 0

4 1 ⎠ = (+1) det

− 3 4 1

2 1 − 1 1

2 1 − 1 1

⎛

⎞

1

2 1

= det ⎝

1 − 1 0 ⎠ = (+1) (2 − 4) = − 2 .

− 4 2 0

Beispiel 3.15. Wir addieren vor der Berechnung der Determinante die erste

Zeile zur dritten und das Zweifache der ersten Zeile zur vierten und entwickeln
danach die 5-reihige Determinante nach der ersten Spalte. Bei der 4-reihige

Determinante subtrahieren wir von der ersten Spalte die dritte und entwickeln
anschließend nach der letzten Zeile:

⎛ −

⎞

⎛

⎞

1 1 0 − 2 0

−1 1 0 − 2 0

⎛

⎞

⎜

2 1

1 4

⎜ 0 2 1 1 4 ⎟

⎟

⎜

⎜ 0 2 1 1 4 ⎟

⎟

⎜ 3 4 1 2 ⎟
det ⎜

⎜ 1 2 4 3 2 ⎟ = det ⎜ 0 3 4 1 2 ⎟ = ( − 1) det ⎜

⎟

⎝

⎟

⎜

⎟

⎝ 3 0 − 4 1 ⎠

2 1 0

0 1 ⎠

⎝ 0 3 0 − 4 1⎠

4 0

4 0

0 4 0

4 0

0 4 0

4 0

⎛

⎞

1 1

1 4

⎛

⎞

⎜

1 1 4

2 4

1 2 ⎟

= ( − 1) det ⎜

⎝

⎟

⎝ 2 4 2 ⎠ = 4 ( − 96) = − 384 .

7 0 − 4 1 ⎠ = ( − 1)( − 4) det

7 0 1

0 0

4 0

3.2

Determinanten

123

3.2.4 Anwendungen von Determinanten

(1.) L¨
osen von linearen Gleichungssystemen: Cramersche Regel.

Cramersche Regel: Sei A = ( aij) eine ( n × n)-Matrix mit den Spalten-

vektoren a 1 , a 2 , . . . , an und det ( A) = 0. Dann ist die Lösung des linearen

Gleichungssystems

−

→

A · −

→
x = b

⎛

⎞

⎛ ⎞
x 1
b 1

⎜ . ⎟ −

→

⎜ . ⎟
mit −

→
x = ⎝ .. ⎠ , b = ⎝ .. ⎠ gegeben durch
xn
bn

−

→

det a 1 , . . . , ai− 1 , b , ai+1 , . . . , an
xi =

,
det ( A)

−

→

Man ersetzt die i-te Spalte von A durch die rechte Seite b des LGS. Dann ist
die i-te Komponente des Lösungsvektors −

→
x der Quotient der Determinante
der so entstandenen Matrix und der Determinante von A.

Beispiel 3.16. Gesucht ist die Lösung des LGS
x 1 + x 2

= 1
x 2 + x 3 = 1 .

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 = 0

⎛

⎞

⎛ ⎞

1 1 0

−

→

1

Es ist A = ⎝ 0 1 1 ⎠ und b = ⎝ 1 ⎠ mit det A = 2 = 0 . Nach der Cramer-

3 2 1

0
schen Regel ergeben sich die Komponenten des Lösungsvektors aus

⎛

⎞

⎛

⎞

1 1 0

1 1 0
x

⎝

⎠

⎝

⎠

1 = 1 det

1 1 1

= − 1 ;
x
det

0 1 1

= 2

2

2 = 1

2

0 2 1

3 0 1

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

1 1 1
x 1

− 1
x

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

3 = 1 det

0 1 1

= − 1

⇒ −

→
x =
x

=

2

.

2

2

3 2 0
x 3

− 1

! Achtung: Man sollte allerdings die Cramersche Regel nicht zur Auflösung
von linearen Gleichungssystemen mit vielen Unbekannten verwenden, da der

Rechenaufwand erheblich wird. Die Formel ist aber nützlich für die Berech-
nung einzelner Unbekannter bzw. wenn das Gleichungssystem einen Parameter
enthält.

124

3. Matrizen und Determinanten

(2.) Vektorprodukt

−

→ −

→

−

→
a × b

−

→
zweier Vektoren a und b :

−

→

In Kapitel 2.2.3 wird eine Formel für das Vektorprodukt −

→
c = −

→
a × b zweier

⎛ ⎞

⎛ ⎞
a 1

−

→
b 1

Vektoren −

→
a = ⎝ a ⎠

⎝ ⎠

2
und b =
b 2
entwickelt.

a 3
b 3

Eine einfache Merkregel für diese Formel erhält man, wenn man sie formal
durch eine 3-reihige Determinante darstellt: Sind −

→
e 1 , −

→
e 2 , −

→
e 3 die Einheits-
vektoren , dann ist:

−→

e

−

→ −

→

1 ax bx
a

a

a

a × b = −

→
y by
x bx
x bx
e

2 ay by

= −

→
e 1

−

→

a

− −

→
e 2 a

+ −

→
e 3 a

.

e

z bz
z bz
y by

3 az bz

−

→

Beispiel 3.17. Berechnung des Drehmomentes M auf einen Körper mit

⎛

⎞

⎛

⎞

1

10

−

→
e

−

→

−

→

−

→

−

→

1 1 10
r = ⎝ − 2 ⎠ m und F = ⎝ 20 ⎠ N : M = −

→
r × F = −

→
e

2 − 2 20

5

50

−

→
e

3

5 50

⎛

⎞

−

− 200

2 20

1 10

1 10

= −

→
e

⎝

⎠

1

0

[ N m] .

5 50 − −

→
e 2 5 50 + −→
e 3 − 2 20 =

40

3.3

3.3 L¨
osbarkeit von linearen Gleichungssystemen

Die Determinate entscheidet bei linearen Gleichungssystemen mit quadratischen Matrizen,
ob es für eine beliebige rechte Seite lösbar ist. Für LGS mit nicht quadratischen Matrizen
ist die Determinante nicht definiert. Wir führen den Rang einer Matrix ein, um in diesem

Fall Aussagen über die Lösbarkeit bei konkret gegebener rechter Seite treffen zu können.

3.3.1 Lineare Gleichungssysteme, Rang

Wir kommen nun auf die Fragestellung zurück, unter welchen Bedingungen
ein lineares Gleichungssystem

−

→

A−

→
x = b
lösbar ist, wenn A keine quadratische, sondern allgemeiner eine ( m×n)-Matrix
ist. Und wenn es lösbar ist, ob es eine eindeutige Lösung oder unendlich viele

Lösungen besitzt. Zur Charakterisierung von LGS bzw. linearen Abbildungen
führt man die folgenden Begriffe ein:

3.3

Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen

125

Definition: Sei A eine ( m × n)-Matrix.

−

→

(1) Die Menge aller L¨
osungen des homogenen LGS A−

→
x = 0 bezeichnet
man als Kern oder Nullraum von A.

(2) Die Menge der Vektoren A−

→
x , −

→
x ∈ IR n, heißt Spaltenraum von A.

(3) Die maximale Anzahl linear unabh¨
angiger Spalten von A heißt der Spal-
tenrang von A.

(4) Die maximale Anzahl linear unabh¨
angiger Zeilen von A heißt der Zei-
lenrang von A.

Bemerkung: Da jede ( m ×n)-Matrix einer linearen Abbildung ϕ : IR n → IR m
entspricht, sind sowohl der Kern als auch der Spaltenraum von A Vektorräume.

Der Kern ist ein Untervektorraum von IR n und der Spaltenraum von IR m.

Folgender Satz gibt Auskunft darüber, wie man den Spalten- und Zeilenrang
einer Matrix bestimmen kann.

Satz: Elementare Zeilen- und Spaltenumformungen einer Matrix lassen so-
wohl den Zeilenrang als auch den Spaltenrang unverändert.

Beispiel 3.18. Wir berechnen den Zeilen- und Spaltenrang der unten angege-
benen Matrix, indem wir durch elementare Zeilenumformungen A zunächst auf
obere Dreiecksform bringen und dann die erste und zweite Zeile ausräumen:

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

1 2 − 1

1

2

1

2 − 1

1

2

1 2 − 1

1

2

⎜

⎜ 1 4 − 3 − 1 − 1 ⎟

⎟

⎜

⎜ 0 2 − 2 − 2 − 3 ⎟

⎟

⎜

⎜ 0 2 − 2 − 2 − 3 ⎟

⎟

A = ⎜

⎜ 2 6 − 4 0 1 ⎟ → ⎜ 0 2 − 2 − 2 − 3 ⎟ → ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟

⎝

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

1 0

1

3

5 ⎠

⎝ 0 − 2 2 2 3⎠ ⎝0 0 0 0 0⎠

− 1 4 − 1 1 1

0

6 − 2

2

3

0 0

4

8 12

⎛

⎞

⎛

⎞

1 0

1

3

5

1 0 0 1 2

⎜

⎜ 0 1 − 1 − 1 − 3 ⎟

⎜ 0 1 0 1 3 ⎟

2 ⎟

⎜

2 ⎟

→ ⎜

⎜ 0 0 1 2 3 ⎟ → ⎜ 0 0 1 2 3 ⎟ = A 2 .

⎝

⎟

⎜

⎟

0 0

0

0

0 ⎠

⎝ 0 0 0 0 0 ⎠

0 0

0

0

0

0 0 0 0 0

Man erkennt, dass A 2 den Zeilenrang = Spaltenrang = 3 besitzt. Demnach
hat auch A den Zeilenrang = Spaltenrang = 3. Allgemein gilt:

126

3. Matrizen und Determinanten

Satz / Definition: Der Spaltenrang und der Zeilenrang einer ( m × n)-

Matrix A sind immer gleich. Man spricht daher nur vom Rang einer

Matrix:

Rang ( A) := Spaltenrang ( A) = Zeilenrang ( A) .

Der Rang einer Matrix kann nun als Kriterium herangezogen werden, um zu

−

→
entscheiden, ob ein LGS

A−

→
x = b lösbar ist:

Satz: Gegeben sei ein LGS

−

→

A−

→
x = b

( ∗)

−

→

−

→
mit einer ( m ×n)-Matrix A und rechten Seite b ∈ IR n. ( A| b ) bezeichnet

−

→
die Matrix, die aus A entsteht, indem der Vektor b als Spalte zu A
hinzugefügt wird. Ist

−→

Rang ( A) = Rang A| b

,
dann ist das LGS ( ∗) lösbar.

Folgerungen:

⎛

⎞
a 11 · · · a 1 n

⎜ .

.

⎟

Ist A = ⎝ ..

.. ⎠ eine ( m × n)-Matrix. Dann gilt:

am 1 · · · amn

−

→

(1) Das homogene LGS A−

→
x = 0 besitzt genau dann von Null verschiedene

Lösungen, wenn der Rang ( A) < n.

−

→

(2) A−

→
x = 0 besitzt stets von Null verschiedene Lösungen, wenn m < n, d.h.

die Anzahl der Gleichungen kleiner ist als die Anzahl der Unbekannten.

(3) Ist A eine quadratische Matrix, so ist nach der Determinantenregel 4 die

Aussage (1) gleichbedeutend mit
det A = 0 .

−

→

(4) Das inhomogene LGS A−

→
x = b ist genau dann lösbar, wenn

−

→

Rang ( A) = Rang ( A| b ) .

3.3

Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen

127

−

→

(5) Das inhomogene LGS A−

→
x = b ist genau dann eindeutig l¨
osbar, wenn

−

→
es lösbar ist und A−

→
x = 0 nur den Nullvektor als Lösung besitzt:

−

→

Rang A = Rang( A| b ) = n.

(6) Ist A eine quadratische Matrix, so ist nach der Determinantenregel 4 die

Aussage (5) gleichbedeutend mit:

−

→

A−

→
x = b
ist eindeutig lösbar ⇐⇒ det ( A) = 0 .

Beispiele 3.19 (Mit Maple-Worksheet).

−

→

 Gegeben ist das LGS A−

→
x = b mit der Matrix

⎛

⎞

⎛

⎞

− 3 0 6

0

− 3

⎜ 1 1 − 2

5 ⎟

−

→

⎜ 2 ⎟

A = ⎜

⎝

⎟
b = ⎜

⎟

1

0 − 2

0 ⎠ und dem Vektor

⎝ 1 ⎠ .

− 2 − 2 4 − 10

− 4

−

→

Wir vergleichen den Rang von A mit dem Rang der um b erweiterten

Matrix. Durch Zeilenumformungen mit der erweiterten Matrix erhalten wir

⎛

⎞

⎛

⎞

− 3 0 6

0 − 3

− 1 0 2 0 − 1

⎜

⎜ 1 1 − 2

5

2 ⎟

⎜ 0 1 0 5 1 ⎟

⎝

⎟

⎜

⎟

1

0 − 2

0

1 ⎠

→

⎝ 0 0 0 0 0 ⎠ .

− 2 − 2 4 − 10 − 4

0 0 0 0

0

Die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen von A beträgt 2, d.h. Rang ( A) =

−

→

2. Die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen der erweiterten Matrix ( A| b )

−

→
beträgt ebenfalls 2, d.h. Rang ( A| b ) = 2. Beide Ränge stimmen überein
und das LGS ist daher lösbar.

Da Rang ( A) = 2 < 4, ist das LGS nicht eindeutig lösbar und die Lösung
besitzt freie Parameter t 1 und t 2:

x 4 = t 1 ,
x 3 = t 2 ,
x 2 = 1 − 5 t 1 ,
x 1 = 1 + 2 t 2 .

⎛

⎞

− 3

−

→

⎜ 2 ⎟

−

→

 Für b = ⎜

⎝

⎟
b nicht lösbar, da der Rang der

1 ⎠ ist das LGS A−

→
x =

−2

−→
erweiterten Matrix

A| b

= 3.

128

3. Matrizen und Determinanten

Wir fassen die Ergebnisse für quadratische, lineare Gleichungssysteme im fol-
genden Satz zusammen:

Satz: (Fundamentalsatz f¨
ur quadratische LGS). Gegeben ist das

LGS für die Unbekannten ( x 1 , x 2 , . . . , xn):

a 11 x 1 + · · · + a 1 n xn = b 1
a 21 x 1 + · · · + a 2 n xn = b 2

...

an 1 x 1 + · · · + ann xn = bn

⎛

⎞
a 11 ... a 1 n

⎜

.

. ⎟

−

→

Definieren wir die Matrix A = ⎝

..

.. ⎠, die rechte Seite b =
an 1 ... ann

⎛ ⎞

⎛

⎞
b 1
x 1

⎜

−

→

⎝ . ⎟

⎜

⎟

.

.

. ⎠ und den Vektor −

→
x = ⎝ .. ⎠, so lautet das LGS A−

→
x = b . Dann
bn
xn
sind die folgenden Aussagen äquivalent:

−

→

(1) Das LGS A−

→
x = b besitzt eine eindeutig bestimmte Lösung.

(2) A ist invertierbar.

(3) det A = 0 .

−

→

(4) Die Lösung des LGS ist gegeben durch −

→
x = A− 1 b .

Beispiel 3.20 (Mit Maple-Worksheet). Gegeben ist das inhomogene LGS

⎛

⎞

−

→

1 2 0

−

→

A−

→
x = b mit der Matrix A = ⎝ 1 7 4 ⎠ und den rechten Seiten b 1 =

3 13 4

⎛

⎞

⎛ ⎞

⎛

⎞

− 4

1

1

⎝

−

→

−

→

3 ⎠, b

⎝ ⎠

⎝

⎠

2 =

8

, b 3 =

− 4 .

1

8

0

−

→

(i) Das LGS hat für jeden Vektor b eine eindeutig bestimmte Lösung, da die

Determinante der Matrix det( A) = − 8 ungleich Null ist.

(ii) Da det( A) = 0 existiert die inverse Matrix

⎛

⎞

3

1 − 1

A− 1 = ⎝ − 1 − 1

1 ⎠ .

2

2

1

7 − 5

8

8

3.3

Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen

129

(iii) Die eindeutige Lösung des LGS ist gegeben durch

−

→

−

→
x = A− 1 b .

Es gilt für die drei Inhomogenitäten

⎛

⎞ ⎛

⎞

⎛

⎞

3

1 − 1

− 4

− 10

−

→

−

→
x

⎝

1 ⎠ ⎝

⎠

⎝

⎠

1 = A− 1 b 1 =

− 1 − 1

3

=

3

2

2

1

7 − 5

1

− 2

8

8

⎛

⎞ ⎛ ⎞

⎛

⎞

3

1 − 1

1

3

−

→

−

→
x

⎝

1 ⎠ ⎝ ⎠

⎝

⎠

2 = A− 1 b 2 =

− 1 − 1

8

=

− 1

2

2

1

7 − 5

8

3

8

8

⎛

⎞ ⎛

⎞

⎛

⎞

3

1 − 1

1

− 1

−

→

−

→
x

⎝

1 ⎠ ⎝

⎠

⎝

⎠

3 = A− 1 b 3 =

− 1 − 1

− 4

=

1

2

2

1

7 − 5

0

− 5

8

8

2

Der Vorteil der Lösung des LGS über die inverse Matrix gegenüber der Lösung
mit dem Gauß-Algorithmus besteht darin, dass die Inverse nur einmal berech-
net wird und das Lösen des LGS für verschiedene Inhomogenitäten dann nur
noch eine Matrix-Vektor-Multiplikation darstellt.

3.3.2 Anwendungen

Anwendungsbeispiel 3.21 (Lineare Unabh¨
angigkeit von Vektoren).

n Vektoren des n-dimensionalen Vektorraums IR n bilden nach Kapitel 2.4.5
eine Basis von IR n genau dann, wenn sie linear unabh¨
angig sind. Die n

Vektoren −

→
a 1 , −

→
a 2 , . . . , −

→
a n ∈ IR n bilden also eine Basis, wenn

−

→
λ −

→

−

→

−

→

1 a 1 + λ 2 a 2 + · · · + λn a n =

0
nur durch λ 1 = λ 2 = . . . = λn = 0 eindeutig lösbar ist. Nach dem Fundamen-
talsatz über LGS ist dies aber gleichbedeutend, dass
det( A) = det( −

→
a 1 , −

→
a 2 , . . . , −

→
a n) = 0 .

Man erhält dadurch ein sehr einfaches Kriterium, um nachzuprüfen ob n Vek-
toren des IR n eine Basis bilden:

Satz: Für n Vektoren −

→
a 1 , −

→
a 2 , . . . , −

→
a n ∈ IR n gilt:

det A = det( −

→
a 1 , −

→
a 2 , . . . , −

→
a n) = 0 ⇔ ( −

→
a 1 , . . . , −

→
a n) ist eine Basis von IR n.

130

3. Matrizen und Determinanten

Beispiel 3.22 (Zahlenbeispiel, mit Maple-Worksheet).

Gegeben sind die Vektoren

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛

⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

4

0

− 1

3

0

−

→

⎜ 3 ⎟

⎜ 1 ⎟

⎜ − 1 ⎟

⎜ 5 ⎟

−

→

⎜ 1 ⎟
a

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜

⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

1 = ⎝
b =

2 ⎠, −

→
a 2 = ⎝ 5 ⎠, −→
a 3 = ⎝ 0 ⎠, −→
a 4 = ⎝ 0 ⎠ und

⎝ 0 ⎠ .

1

4

1

1

1

Zeigen Sie, dass die Vektoren −

→
a 1, −

→
a 2, −

→
a 3 und −

→
a 4 eine Basis des IR4 bilden

−

→
und stellen Sie den Vektor b als Linearkombination dieser Basis dar.

Zunächst prüfen wir, dass die 4 Vektoren linear unabhängig sind, indem wir
von der Matrix A = ( −

→
a 1 , −

→
a 2 , −

→
a 3 , −

→
a 4) die Determinante bestimmen:

⎛

⎞

4 0 − 1 3

⎜

3 1 − 1 5 ⎟
det( A) = ⎜

⎟ = 62 .

⎝ 2 5 0 0 ⎠

1 4

1 1

Da die Determinante ungleich Null ist, sind die Vektoren linear unabhängig

−

→
und bilden eine Basis von IR4 . Der Vektor b lässt sich damit als Linearkom-
bination der Vektoren ( −

→
a 1, −

→
a 2, −

→
a 3, −

→
a 4) darstellen. Indem wir das LGS

⎛

⎞

4 0 − 1 3 0

⎜

⎜ 3 1 − 1 5 1 ⎟

⎝

⎟

2 5

0 0 0 ⎠

1 4

1 1 1
mit dem Gauß-Algorithmus lösen, erhalten wir als Lösung

− 5 2 16 12

,

,

,

.

31

31

31

31

−

→

⇒

2

16

12
b = − 5 −

→
a

−

→
a

−

→
a

−

→
a

31

1 + 31

2 + 31

3 + 31

4

Anwendungsbeispiel 3.23 (Kreis durch 3 Punkte).

In CAD-Systemen werden ebene Flächen zumeist durch Geraden- und Kreis-
stücke zusammengesetzt. Die Erfassung der Geometrie erfolgt meist interak-
tiv per Mouse-Klick, indem für die Geometrie charakteristische Punkte einge-
geben und diese durch Geraden oder Kreissegmente verbunden werden. Ein

Geradenstück wird durch zwei Punkte festgelegt; ein Kreissegment durch die

Angabe von drei Punkten, falls die Punkte nicht auf einer Geraden liegen.

3.3

Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen

131

Wir behandeln im Folgenden die Fragestellung, ob durch drei vorgegebene

Punkte ( x 1 , y 1) , ( x 2 , y 2) , ( x 3 , y 3) ein Kreis gelegt werden kann, und wenn ja, welches die Mittelpunktskoordinaten und der Radius des zugehörigen Kreises
sind. Die allgemeine Kreisgleichung lautet

( x − x 0)2 + ( y − y 0)2 = R 2
bzw.

A x 2 + y 2 + B x + C y + D = 0 .

Da der Kreis durch die gegebenen Punkte gehen soll, muss noch zusätzlich
gelten:

A x 2 + y 2 + B x

1

1

1 + C y 1 + D = 0

A x 2 + y 2 + B x

2

2

2 + C y 2 + D = 0

A x 2 + y 2 + B x

3

3

3 + C y 3 + D = 0 .

Dies ist ein homogenes LGS für die Größen ( A, B, C, D) mit der Koeffizien-
tenmatrix

⎛

⎞
x 2 + y 2 x y 1

⎜ x 2 + y 2 x

⎟

M = ⎜ 1

1

1 y 1 1

⎝

⎟
x 2 + y 2 x

⎠ .

2

2

2 y 2 1
x 2 + y 2 x

3

3

3 y 3 1

Damit das homogene LGS nicht nur die Null-Lösung besitzt, muss
det M = 0
sein. Entwickelt man die Determinante nach der ersten Zeile, erhält man

x

1 y 1 1
x 2 + y 2 y

1

1

1 1

x

2 y 2 1

( x 2 + y 2) − x 2 + y 2 y 2 1 x+

2

2

x

3 y 3 1
x 2 + y 2 y

3

3

3 1

x 2 + y 2 x

x 2 + y 2 x

1

1

1 1

1

1

1 y 1

x 2 + y 2 x

2 1
y − x 2 + y 2 x 2 y 2 = 0 .

2

2

2

2

x 2 + y 2 x

x 2 + y 2 x

3

3

3 1

3

3

3 y 3

Die 3-reihigen Unterdeterminanten sind also gerade die Koeffizienten in der

Kreisgleichung. Insbesondere folgt aus dieser Darstellung, dass

x

1 y 1 1

K := x

2 y 2 1

= 0

x

3 y 3 1

sein muss, damit der Term
x 2 + y 2
in der Kreisgleichung vorkommt. Für

K = 0 liegen die 3 Punkte also auf einer Geraden.

132

3. Matrizen und Determinanten

Beispiel 3.24 (Mit Maple-Worksheet). Gesucht ist die Kreisgleichung

A( x 2 + y 2) + B x + C y + D = 0
durch die Punkte (0 , 0) , (1 , 3) und (2 , − 1). Wir setzen die drei Punkte in die

Kreisgleichung ein

A·

0

+

B · 0

+

C·

0

+

D

=

0

A·

10

+

B · 1

+

C·

3

+

D

=

0

A·

5

+

B · 2

+

C·

( − 1)

+

D

=

0 .

und erhalten zusammen mit der Kreisgleichung die Matrix

⎛

⎞
x 2 + y 2 x
y 1

⎜

0 0

0 1 ⎟

M = ⎜

⎝

⎟

10 1

3 1 ⎠ .

5 2 − 1 1

Setzen wir det( M ) = 0, erhalten wir die Kreisgleichung

7 x 2 + 7 y 2 − 25 x − 15 y = 0 .

Die Punkte liegen auf dem Kreis, dessen Scheitelgleichung gegeben ist durch

2

2

425
x − 25

+
y − 15

=

.

14

14

98

Der Kreis besitzt den Radius R =

425 und hat den Kreismittelpunkt

98

( x 0 , y 0) = (4 , − 5) .

Anwendungsbeispiel 3.25 (Eigenfrequenzen eines gekoppelten

Systems).

Gegeben sind zwei Fadenpendel (Länge l) an deren Enden zwei Massen ( m 1 =
m 2 = m) angebracht sind. Die Massen werden durch eine Feder (Federkon-
stante D) gekoppelt (siehe Abb. 3.3).

Ist ϕ 1( t) die Winkelauslenkung des linken und ϕ 2 ( t) die Winkelauslenkung
des rechten Pendels, so lauten die Newtonschen Bewegungsgleichungen für
die Massen m 1 und m 2 unter Vernachlässigung von Reibung und für kleine

3.3

Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen

133

Auslenkungen:

··
m
ϕ

1 l

1 ( t) = −m 1 g ϕ 1( t) + D l ( ϕ 2( t) − ϕ 1( t))

··
m
ϕ

2 l

2 ( t) = −m 2 g ϕ 2( t) + D l ( ϕ 1( t) − ϕ 2( t)) .

Da m 1 = m 2 = m, unterdrücken wir im

Folgenden den Index und erhalten mit den

Abkürzungen w 2 := g und 2 := D

0
l
m

··

+
ϕ 1 ( t) + ( w 2 + 2) ϕ

0

1( t) = 2 ϕ 2( t)

··

( ∗)

ϕ 2 ( t) + ( w 2 + 2) ϕ

0

2( t) = 2 ϕ 1( t)

Dies ist ein gekoppeltes System für die Aus-
lenkungen ϕ 1 und ϕ 2 . Gesucht sind die

Schwingungsformen, bei denen beide Pen-

Abb. 3.3. Gekoppelte Pendel
del mit gleicher Frequenz schwingen.

Da beide Pendel Schwingungen mit gleicher Frequenz aber gegebenenfalls un-
terschiedlichen Auslenkungen vollführen sollen, wählen wir für die Winkel den

Ansatz
ϕ 1( t) = A cos( w t)

ϕ 2( t) = B cos( w t) .

Gesucht sind also die Amplituden A, B der Schwingungen sowie die Schwin-
gungsfrequenzen w.

··

··

Setzen wir ϕ
ϕ
ϕ

1( t) und ϕ 2( t) bzw.

1 ( t) und

2 ( t) in die Gleichungen ( ∗) ein,
folgt

−A w 2 cos ( w t) + ( w 2 + 2) A cos ( w t) = 2 B cos ( w t) 0

−B w 2 cos( w t) + ( w 2 + 2) B cos ( w t) = 2 A cos ( w t) .

0

Dies ist ein LGS für die Amplituden A und B. Mit der Matrizenschreibweise
bringen wir es auf die Form

−w 2 + w 2 + 2

− 2

A

0

0

−

=

.

2

−w 2 + w 2 + 2

B

0

0

Damit dieses homogene LGS nicht nur die Null-Lösung als einzige (eindeutige)

Lösung besitzt, muss nach dem Fundamentalsatz für LGS die Determinante
der Koeffizientenmatrix gleich Null sein:

−w 2 + w 2 + 2

− 2

2
det

0

−

−

−

=
w 2 + w 2 + 2

( 2)2 = 0

2

−w 2 + w 2 + 2

0

0

⇒
w 1 / 2 = ± w 2 + 2 2 oder
w

0

3 / 4 = ± w 0 .

134

3. Matrizen und Determinanten

Da physikalisch nur die positiven Frequenzen von Interesse sind, gibt es nur
zwei Schwingungsfrequenzen, mit denen die Pendel schwingen können

w 1 = +
w 2 + 2 2
und
ω

0

3 = ω 0 .

Diskussion:

(1) Für w = w 0 erhalten wir das LGS

2 − 2

A

0

⇒

−

=

A = B.

2

2

B

0

Dies bedeutet, dass Pendel (1) und (2) in die gleiche Richtung ausgelenkt
werden müssen, um mit der Frequenz w 0 zu schwingen (gleichphasiger

Fall).

(2) Für w =
w 2 + 2 2 erhalten wir das LGS

0

− 2 − 2

A

0

⇒

−

=

A = −B.

2 − 2

B

0

Dies bedeutet, dass Pendel (1) und (2) in entgegengesetzter Richtung aus-

gelenkt werden müssen, um mit der Frequenz
w 2 + 2 2 zu schwingen

0

(gegenphasiger Fall).

MAPLE-Worksheets zu Kapitel 3

Für Kapitel 3 steht ein Maple-Worksheet zur Verfügung, mit dem
sowohl das Arbeiten mit Matrizen und Determinanten als auch die

Anwendungen bearbeitet werden können.

Matrizen und Determinanten

Maple-Lösungen zu den Aufgaben

3.4

Aufgaben zu Matrizen und Determinanten

135

3.4

3.4 Aufgaben zu Matrizen und Determinanten

3.1

Gegeben sind die Matrizen

⎛

⎞

⎛

⎞

3 1

#

$

0 10

⎜

⎟

5 2

1

⎜

⎟

A = ⎝ 5 2 ⎠ ,

B =

,

C = ⎝ 1 3 ⎠

2 3 − 1

2 2

− 4 1

Man berechne
a) 2 A + 3 C
b) A − 2 Bt
c) 3 At + 4 B

t
d) A + Bt + C
e) At − B + Ct
f) At − B + Ct

3.2

Man berechne A 2 = A · A , B 2 = B · B , A · B , B · A (soweit diese existieren)

und zeige, dass in der Regel A

⎛

⎞

· B = B · A.

⎛

⎞

2 3 0

1

0

2

⎜

⎟

⎜

⎟
a) A = ⎝ 0 4 1 ⎠ ,

B = ⎝ − 1 2 − 1 ⎠

0 0 1

1 − 3

0

⎛

⎞

#

$

0 2

⎜

⎟

2 3 0 4

⎜ − 1 2 ⎟
b) A =

,

B = ⎜

⎟

0 1 0 1

⎝ 5 3 ⎠

1 4

3.3

Bestimmen Sie mit dem Gauß-Jordan-Verfahren die Inversen der folgenden

Matrizen

⎛

⎞

⎛

⎞

1 − 1

1 − 1

4 5 − 1

#

$

⎜

⎟

⎜

⎟

4

1

⎜ − 1 1 2 1 ⎟

A = ⎝ 2 0 1 ⎠ ,

B =

,

C =

−

⎜

⎟

1 − 1

⎝ − 2 1 − 1 0 ⎠

3 1

0

0

0

1

1

3.4

Überprüfen Sie obige Ergebnisse mit Maple.

3.5

Eine lineare Abbildung f : IR4 → IR3 ist definiert durch die Bilder der Basis-

−

→
vektoren f (
e 1) = (3 , 5 , 4), f ( e 2) = (2 , 1 , 5), f ( e 3) = ( − 1 , 2 , 1), f ( e 4) = 0 .

Erstellen Sie die Abbildungsmatrix und bestimmen Sie das Bild des Punktes

(3 , 5 , 1 , 2) .

3.6

Man berechne die Determinanten der folgenden zweireihigen Matrizen

#

$

#

$

#

$

3

1

4

2

2

3
a) A =
b) B =
c) C =

1

3

2

1
λ

2 λ

#

$
a b

3.7

Man prüfe Determinantenregeln (1) und (2) bei der Matrix A =
nach.

c d

3.8

Welchen Wert besitzen die folgenden dreireihigen Determinanten

5

4

0

− 2

8

1

3

4

2

a) 2 2 1
b) 2

3

5
c) 5

− 1

0

1

4

2

− 1 5 2

− 2

2

3

3.9

Für welche reellen Parameter λ verschwinden

die Determinanten

1 − λ

2

1

1 − λ

− 2

a)

0

3 − λ

2

1

− 2 − λ
b)

0

0

2 − λ

136

3. Matrizen und Determinanten

3.10

Man berechne die Determinanten v

⎛ on

⎛

⎞

⎞

1 0

5 3 4

1 0 3 4

⎜

⎜

⎟

1 2

2 1 0

⎜ −

⎟

⎜

⎟

2 1 0 3 ⎟

⎜

⎟

A = ⎜
und

B =

⎝

⎟

⎜ 0 1 3 4 1 ⎟

1 4 1 5 ⎠

⎜

⎝

⎟

− 4 0 − 1 2 3 ⎠

0 2 2 0

− 2 1 0 0 0

3.11

Man bestimme mit der Cramerschen Regel die Lösung des LGS
x 1

+

2 x 2

=

3
x 1

+

7 x 2

+

4 x 3

=

18

3 x 1

+

13 x 2

+

4 x 3

=

30

3.12

Sind die

⎛ Matrizen

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

4 5 − 1

3 4 2

1

1

2

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

A = ⎝ 2 0 1 ⎠ ,

B = ⎝ 1 5 3 ⎠ , C = ⎝ 3 2 4 ⎠

3 1

0

0 1 0

2 − 5 − 1
reguläre Matrizen? Bestimmen Sie gegebenenfalls die Inverse.

3.13

Man bestimmen den Rang der folgenden Matrizen

⎛

⎞

⎛

⎞

3 4 2

2 1 0 4

⎜

⎟

⎜

⎟

A = ⎝ 1 5 3 ⎠ ,

B = ⎝ 3 1 0 2 ⎠ ,

0 1 0

2 0 4 1

⎛

⎞

1 1 2 − 3 0 1

⎛

⎞

⎜

1

1

2

⎜ −

⎟

2 3 1

0 1 2 ⎟

⎜

⎟

C = ⎜

, D =

⎝ −

⎟

⎝ 3 2 4 ⎠ .

5 10 5 − 3 3 1 ⎠

−

2 − 5 − 1

1 4 3 − 3 1 1

3.14

Man zeige, dass das LGS
x 1

+
x 2

+
x 3

=

0
x 1

+

2 x 2

+

4 x 3

=

5
x 1

+

3 x 2

+

9 x 3

=

12
eindeutig lösbar ist und bestimme diese Lösung.

3.15

Gegeben ist die Matrix

⎛

⎞

⎛

⎞

3 − 1 2

2

⎜

⎟

⎜

⎟

A = ⎝ 6 2 5 ⎠ sowie der Vektor b = ⎝ − 2 ⎠.

− 2 6 0

1

Welches der Gleichungssysteme A
x = b, AT
x = b besitzt eine Lösung? Ist
diese eindeutig?

3.16
a) Sind die Vektoren

⎛

⎞

⎛ ⎞

⎛

⎞

0

5

2

⎜

⎟

⎜ ⎟

⎜

⎟

a = ⎝ 6 ⎠ , b = ⎝ 2 ⎠ , c = ⎝ − 1 ⎠ linear abhängig?

− 2

6

3 ⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

1

9

3

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟
b) Zeigen Sie, dass die Vektoren
a = ⎝ 1 ⎠ , b = ⎝ 1 ⎠ , c = ⎝ 1 ⎠ eine Basis

1

4

2

⎛

⎞

12

⎜

⎟
des IR3 bilden und stellen Sie
d = ⎝ 0 ⎠ als Linearkombination von a,b, c

5
dar.

Kapitel 4

4

Elementare Funktionen

4

Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137

4.1

Allgemeine Funktionseigenschaften............................. 139

4.1.1

Grundbegriffe ....................................................... 139

4

4.1.2

Nullstellen ........................................................... 144

4.1.3

Symmetrieverhalten ............................................... 145

4.1.4

Monotonie ........................................................... 146

4.1.5

Periodizität.......................................................... 147

4.1.6

Umkehrfunktion (inverse Funktion) ............................ 148

4.2

Polynome ............................................................ 152

4.2.1

Festlegung von Polynomen durch gegebene Wertepaare ... 153

4.2.2

Koeffizientenvergleich ............................................. 154

4.2.3

Teilbarkeit durch einen Linearfaktor ............................ 155

4.2.4

Nullstellenproblem ................................................. 156

4.2.5

Interpolationspolynome mit dem Newton-Algorithmus ..... 159

4.3

Rationale Funktionen ............................................. 162

4.3.1

Definitionslücken, Nullstellen, Pole ............................. 163

4.3.2

Verhalten im Unendlichen ........................................ 164

4.3.3

Anwendung: Übertragung bei Wechselstrom-Kreisen ....... 166

4.4

Potenz- und Wurzelfunktionen .................................. 167

4.5

Exponential- und Logarithmusfunktion ........................ 170

4.5.1

Exponentialfunktion ............................................... 170

4.5.2

Logarithmusfunktion .............................................. 172

4.6

Trigonometrische Funktionen .................................... 175

4.6.1

Grundbegriffe ....................................................... 175

4.6.2

Sinus- und Kosinusfunktion ...................................... 175

4.6.3

Tangens- und Kotangensfunktion ............................... 180

4.6.4

Zusammenstellung wichtiger trigonometrischer Formeln ... 181

4.7

Arkusfunktionen .................................................... 182

4.7.1

Arkussinusfunktion ............................................... 183

4.7.2

Arkuskosinusfunktion ............................................. 184

4.7.3

Arkustangensfunktion ............................................. 184

4.7.4

Arkuskotangensfunktion .......................................... 185

4.8

Aufgaben zu elementaren Funktionen.......................... 188

Zus¨
atzliche Abschnitte auf der CD-Rom

4.9

MAPLE: Elementare Funktionen .................................

cd

4 Elementare Funktionen

In diesem Kapitel werden elementare Funktionen, die u.a. zur Beschreibung von
physikalischen Vorgängen notwendig sind, angegeben und allgemeine Funktionsei-
genschaften zur Charakterisierung dieser Funktionen bereitgestellt. Neben den Poly-
nomen werden die gebrochenrationalen Funktionen qualitativ diskutiert. Potenz- und

Wurzelfunktionen sowie Exponential- und Logarithmusfunktion werden im Zusam-
menhang mit wichtigen Anwendungen eingeführt. Zur Beschreibung von Wechsel-
spannungen bzw. harmonischen Schwingungen werden die trigonometrischen Funk-
tionen mit den zugehörigen Umkehrfunktionen benötigt, die im Zusammenhang mit
den jeweiligen Anwendungen diskutiert werden.

4.1

4.1 Allgemeine Funktionseigenschaften

In diesem Abschnitt werden grundlegende Begriff wie z.B. Funktion und Umkehrfunktion,

Nullstellen und Symmetrieverhalten als auch Monotonieverhalten wiederholt. Diese Eigen-
schaften werden in den weiteren Kapiteln zur Charakterisierung der elementaren Funktionen
verwendet.

4.1.1 Grundbegriffe

Für die mathematische Formulierung naturwissenschaftlicher Gesetzmäßigkei-
ten ist der Begriff der Funktion unentbehrlich. Nahezu alle quantitativen Aus-
sagen werden in Form eines funktionalen Zusammenhangs aufgestellt. Bevor
der Begriff der Funktion mathematisch präzisiert wird, soll seine zentrale Stel-
lung anhand technischer Beispiele sichtbar gemacht werden.

Beispiel 4.1 (Weg-Zeit-Diagramm): Bewegungsabläufe werden in sog. Weg-

Zeit-Diagrammen wie in Abb. 4.1 graphisch dargestellt.

Abb. 4.1. Weg-Zeit-Diagramm

Im Intervall t 0 ≤ t ≤ t 1 findet eine beschleunigte Bewegung, im Intervall
t 1 ≤ t ≤ t 2 eine gleichförmige Bewegung und im Intervall t 2 ≤ t ≤ t 3 eine
abgebremste Bewegung statt. Charakteristisch für den dargestellten Vorgang

140

4. Elementare Funktionen
ist, dass zu jedem Zeitpunkt t ∈ [ t 0 , t 3] der Ort s( t) eindeutig bestimmt ist.

Durch diese Zuordnung wird eine Funktion definiert. Die allgemeine Formulie-
rung lautet daher:

Definition: (Funktion). Sei ID ⊂ IR eine Teilmenge von IR. Unter einer
reellen Funktion f auf ID versteht man eine Abbildung
f :

ID

→

IR
x

→ f( x) .

Die Abbildung f bildet jedes Element aus ID eindeutig auf ein Element
in IR ab.

Die Menge ID heißt Definitionsbereich von f und die Menge IR der

Zielbereich von f . Die Menge

V

W := f (ID) := {f ( x) : x ∈ ID }

heißt der Wertebereich von f . Man nennt f ( x) den Funktionswert oder

Funktionsausdruck an der Stelle x.

Zur graphischen Darstellung einer Funktion verwenden wir das kartesische Ko-
ordinatensystem IR × IR = {( x, y) : x ∈ IR , y ∈ IR }, in dem jeder Punkt P
der Ebene durch ein Zahlenpaar ( x, y) eindeutig beschrieben wird. Zur geome-
trischen Veranschaulichung der Funktion zeichnet man die Menge der Punkte

( x, f ( x)) in ein Koordinatensystem und erhält so die zugehörige Kurve.

Definition: Unter dem Graphen Gf einer Funktion f : ID → IR mit
x → f ( x) verstehen wir die Menge aller Paare ( x, y):

Gf := {( x, y) : x ∈ ID und y = f ( x) }.

Beispiele f¨
ur Funktionen aus der Technik:

Beispiel 4.2 (Freier Fall): Das Weg-Zeit-Gesetz beim freien Fall aus der

Höhe s 0 mit Anfangsgeschwindigkeit v 0 lautet

1
s( t) =
g t 2 + v

2

0 t + s 0 ,
t ≥ 0 ,
wenn g = 9 , 81 m
s 2 die Erdbeschleunigung ist.

4.1

Allgemeine Funktionseigenschaften

141

Beispiel 4.3 (Plattenkondensator): Wird an einem Plattenkondensator
eine Ladung Q angelegt, so ist die induzierte Spannung

1

U ( Q) =

Q,

C
wenn C die Kapazität des Kondensators ist.

Beispiel 4.4 (Gleichstromkreis): In einem elektrischen

Gleichstromkreis ist die Stromstärke I abhängig von der an-
gelegten Gleichspannung U . Es gilt

U

I ( U ) =

,

R
wenn R der Ohmsche Widerstand der Schaltung ist.

Beispiel 4.5 (W¨
armeausdehnung von Gasen ( Gay-Lussac)): Ist V 0 das

Volumen eines idealen Gases bei Temperatur T 0 , so gilt bei konstantem Druck
p für das Volumen bei der Temperatur T

V ( T ) = V 0 (1 + γ ( T − T 0)) ,

T ≥ T 0 ,
wenn γ die Wärmeausdehnungskonstante ist.

Beispiel 4.6 (Barometrische H¨
ohenformel): Für den Luftdruck p in Höhe
h über dem Erdboden gilt näherungsweise
p( h) = p 0 e− h−H

H

,
h ≥ H,
wenn H = p 0 und p
ρ 0 ·g

0 , ρ 0 Luftdruck und -dichte am Erdboden ist.

All diesen physikalischen Gesetzmäßigkeiten ist gemeinsam, dass zu einer un-
abhängigen Variablen t, Q, U, T, h die physikalische Größe s( t), U ( Q), I( U ), V ( T ) bzw. p( h) eindeutig berechenbar ist. Man spricht daher auch oftmals
von der unabh¨
angigen Variablen x und der abh¨
angigen Variablen (= Funk-
tion) f ( x).

Mathematische Beispiele:

Beispiel 4.7. f : IR → IR mit x → f ( x) = c heißt konstante Funktion.

Beispiel 4.8. id IR : IR → IR mit x → id IR ( x) = x heißt identische Funktion.

Beispiel 4.9. abs : IR → IR mit x → abs ( x) = |x| heißt Betragsfunktion.

142

4. Elementare Funktionen

7. Konstante Funktion

8. Identische Funktion

9. Betragsfunktion

Beispiel 4.10. sqr : IR → IR mit x → sqr ( x) = x 2 heißt Quadratfunktion.

√

Beispiel 4.11. sqrt : IR ≥ 0 → IR mit x → sqrt ( x) =
x heißt Wurzelfunktion.

Beispiel 4.12. exp : IR → IR mit x → exp ( x) = ex heißt Exponentialfunktion.

10. Quadratfunktion

11. Wurzelfunktion

12. Exponentialfunktion

Beispiel 4.13. sin : IR → IR mit x → sin ( x) heißt Sinusfunktion.

13. Sinusfunktion

! Achtung: Es gibt auch Funktionen, die man nicht zeichnen kann:

0 falls x rational

Beispiel 4.14. f : IR → IR mit x → f ( x) =

1 falls x irrational.

4.1

Allgemeine Funktionseigenschaften

143

Bemerkung: Im Hinblick auf die Programmierung bzw. der Anwendung von

Maple ist zu unterscheiden zwischen einer Funktion und einem Ausdruck

√

(bzw. Funktionsausdruck): Z.B. sqrt( x) ist ein Ausdruck für
x, welcher zu
gegebenem x die Wurzel aus x darstellt. Hingegen ist sqrt eine Funktion, die
an einer Stelle x ausgewertet werden kann. Eine Funktion ist mehr als nur der

Funktionsausdruck: Jede Funktion besteht aus Definitionsbereich, Zielbereich
und einer Funktionszuweisung.

Anwendung: Logarithmische Darstellung von Funktionen.

Häufig werden in Physik und Technik logarithmische oder doppel-logarithmische

Darstellungen der Messergebnisse verwendet, um exponentielle, potenzielle
oder logarithmische Gesetzmäßigkeiten aufzuzeigen.

(1) Liegt ein exponentielles Gesetz vor
y = c ax,
so liefert eine logarithmische Skalierung der y-Achse
log( y) = log( c) + x · log( a)

als Graphen eine Gerade mit Steigung log( a) und dem Achsenabschnitt
log( c). Dabei dürfen die Funktionswerte nur positive Werte enthalten, da
der Logarithmus nur für positive reelle Zahlen definiert ist. Beispielswei-
se wird durch die logarithmische Skalierung der y-Achse eine allgemeine

Exponentialfunktion y = 10 · 4 −x als Gerade gezeichnet.

.1e3

.1e2

–2

2

4
x

6

8

10

1.

.1

.1e–1

.1e–2

.1e–3

1e–05

Abb. 4.2. Logarithmische Darstellung der Funktion y = 10 · 4 −x.

(2) Liegt eine allgemeine Potenzfunktion vor
y = a xb,
dann liefert eine doppel-logarithmische Auftragung
log( y) = log( a) + b · log( x)

144

4. Elementare Funktionen
als Graphen eine Gerade mit Steigung b und dem Achsenabschnitt log( a).

Sowohl der x-Bereich als auch die zugehörigen Funktionswerte dürfen nur
positive Werte enthalten, da der Logarithmus nur für positive reelle Zahlen
definiert ist. Eine doppel-logarithmische Auftragung der Potenzfunktion

1
y = 10 x 3 liefert die folgende Gerade:

.4e2

.2e2

.1e2 1.

5.

.1e2

.5e2

.1e3
x

1

Abb. 4.3. Doppel-logarithmische Darstellung der Funktion y = 10 x 3 .

(3) Liegt ein logarithmisches Gesetz der Form y = a log( x)+ b vor, dann liefert
die logarithmische Auftragung der x-Achse eine Gerade mit der Steigung
a und dem Achsenabschnitt b.

Hinweis: Auf der CD-Rom befindet sich ein Maple-Worksheet, mit
dem man z.B. Messdaten aus einer Datei einlesen und diese dann loga-
rithmisch auftragen kann, um die physikalische Gesetzmäßigkeit zu erschließen.

Allgemeine Funktionseigenschaften

4.1.2 Nullstellen

Definition: Eine Funktion f besitzt in x 0 eine Nullstelle, wenn
f ( x 0) = 0 .

Beispiele 4.15:

{

Die Funktion f ( x) = x − 2 schneidet die x-Achse an der Stelle x 0 = 2 .

|

Die Funktion f ( x) = sin ( x) hat unendlich viele Nullstellen : 0 , ±π, ± 2 π, . . .

Abb. 4.4. Nullstellen von Funktionen

4.1

Allgemeine Funktionseigenschaften

145

4.1.3 Symmetrieverhalten

Definition: Eine Funktion f mit symmetrischem Definitionsbereich heißt
gerade, wenn f¨
ur alle x ∈ ID gilt
f ( −x) = f ( x) .

Bemerkung: Die Funktionskurve einer geraden Funktion ist spiegelsymme-
trisch zur y-Achse.

Beispiele 4.16:

{

Die Funktion f ( x) = x 2 ist gerade.

|

Die Funktion f ( x) = cos x ist gerade.

}

Jede Potenzfunktion f ( x) = xn mit geradem n ist gerade.

Abb. 4.5. Gerade Funktionen x 2 und cos( x): Spiegelsymmetrisch zur y-Achse

Definition: Eine Funktion f mit symmetrischem Definitionsbereich heißt
ungerade, wenn f¨
ur alle x ∈ ID gilt
f ( −x) = −f ( x) .

Bemerkung: Die Funktionskurve einer ungeraden Funktion ist punktsym-
metrisch zum Ursprung.

Beispiele 4.17:

{

Die Funktion f ( x) = x 3 ist ungerade.

|

Die Funktion f ( x) = sin x ist ungerade.

}

Jede Potenzfunktion f ( x) = xn mit ungeradem n ist ungerade.

146

4. Elementare Funktionen

Abb. 4.6. Ungerade Funktionen x 3 und sin( x): Spiegelsymmetrisch zum Ursprung

4.1.4 Monotonie

Definition: Eine Funktion f : ID → IR heißt
monoton wachsend, falls
f ( x 1) ≤ f ( x 2) .

streng monoton wachsend, falls
f ( x 1) < f ( x 2) .

monoton fallend, falls
f ( x 1) ≥ f ( x 2) .

streng monoton fallend, falls
f ( x 1) > f ( x 2) .

f¨
ur alle x 1 , x 2 ∈ ID mit x 1 < x 2 gilt.

Bemerkung: Eine streng monoton wachsende Funktion f (Abb. 4.7 (a)) hat
also die Eigenschaft, dass zum kleineren x-Wert der kleinere Funktionswert
gehört. Bei einer streng monoton fallenden Funktion (Abb. 4.7 (b)) ist es ge-
nau umgekehrt: Zum kleineren x-Wert gehört der größere Funktionswert.

Abb. 4.7. Streng monoton wachsende (a) und streng monoton fallende (b) Funktionen

Beispiele 4.18:

{ Streng monoton wachsende Funktionen:

(i) Jede Gerade mit positiver Steigung.

(ii) Die Funktion f ( x) = x 3.

(iii) Die Funktion f : IR ≥ 0 → IR mit f ( t) = y 0 1 − e− t/t 0 .

4.1

Allgemeine Funktionseigenschaften

147

| Der Ladevorgang eines Kondensators entspricht einer streng monoton wach-
senden Funktion: Beim Laden eines Kondensators C über eine Batterie mit

Spannung U 0 ist der Zeitverlauf der Spannung am Kondensator gegeben durch

U ( t) = U 0 1 − e− t/RC .

} Streng monoton fallende Funktionen:

(i) Jede Gerade mit negativer Steigung.

(ii) Die Funktion f : IR → IR mit f ( t) = y 0 e− t/t 0.

~ Der radioaktive Zerfall entspricht einer streng monoton fallenden Funktion:

Beim radioaktiven Zerfall nimmt die Anzahl der Atomkerne n ( t) nach dem

Exponentialgesetz n ( t) = n 0 e− t/t 0 mit der Zeit ab.

Der Entladevorgang eines Kondensators entspricht einer streng monoton
fallenden Funktion: Entladet man einen Kondensator C über einen Ohmschen

Widerstand R, so klingt die Spannung am Kondensator exponentiell ab:

U ( t) = U 0 e− t/RC.

 Die quadratische Funktion f : IR → IR mit x → f ( x) = x 2 ist weder
monoton fallend noch monoton wachsend. Schränkt man sie jedoch auf ein

Teilintervall IR ≥ 0 oder IR ≤ 0 ein, so ist sie dort monoton:

f+ : IR ≥ 0 → IR mit x → f+ ( x) = x 2 ist streng monoton wachsend.

f− : IR ≤ 0 → IR mit x → f− ( x) = x 2 ist streng monoton fallend.

4.1.5 Periodizit¨
at

Definition: Eine Funktion f : ID → IR heißt periodisch mit Periode
p > 0 ,
wenn
f ( x + p) = f ( x)

f¨
ur alle x ∈ ID .

Beispiele 4.19:

 Die Sinusfunktion sin: IR → IR mit x → sin ( x) ist periodisch mit der

Periode 2 π. Die Kosinusfunktion cos: IR → IR mit x → cos( x) ist periodisch
mit Periode 2 π (siehe § 4.6).

 Die Tangens- und Kotangensfunktion, die wir in § 4.6 noch näher bespre-
chen werden, sind periodisch mit Periode π.

148

4. Elementare Funktionen

4.1.6 Umkehrfunktion (inverse Funktion)

Eine Funktion f ordnet jeder Zahl x 0 ihres Definitionsbereiches ID eindeutig
einen Wert y 0 = f ( x 0) zu. Diese Zuordnung ist in Abb. 4.8 durch den Pfeil
von x 0 nach y 0 gekennzeichnet.

Abb. 4.8. Zuordnung und Umkehrzuordnung

Häufig stellt sich das umgekehrte Problem. Zu gegebenem Funktionswert ( y-

Wert) ist der zugehörige x-Wert zu bestimmen. In Abb. 4.8 ist diese Umkeh-
rung der Problematik durch die Umkehrung der Pfeile gekennzeichnet. Gege-
ben sind y 1 und y 2, gesucht sind die zugehörigen x 1 und x 2 . Zu gegebenem
y-Wert aus dem Wertebereich von f kann genau ein x-Wert angegeben wer-
den, wenn die Funktion die Eigenschaft hat, dass aus x 1 = x 2 stets folgt
f ( x 1) = f ( x 2).

Definition:

(1) Eine Funktion f : ID f → VW f heißt umkehrbar, wenn aus x 1 = x 2
stets folgt f ( x 1) = f ( x 2) .

(2) Ist die Funktion f umkehrbar, so gibt es zu jedem y ∈ VW f genau ein
x ∈ ID f . Diese eindeutige Zuordnung y → x liefert eine Funktion, die

Umkehrfunktion (inverse Funktion)

f − 1 : V

W f → ID f .

! Achtung: Nicht jede Funktion ist umkehrbar, wie Beispiel 4.20 zeigt.

Beispiele 4.20:

 Die Funktion f 1 : IR → IR mit f 1 ( x) = x 2 ist nicht umkehrbar, da für
x 0 = 0 f ( x 0) = x 2 = f ( −x

0

0) aber x 0 = −x 0 (Abb. 4.9 (a)).

 Die Funktion f 2 : IR ≥ 0 → IR mit f 2 ( x) = x 2 ist nicht umkehrbar. Obwohl man den Definitionsbereich so eingeschränkt hat, dass f 2 eine streng monoton wachsende Funktion ist, so gibt es doch für die negativen y-Werte
keine zugehörigen x-Werte.

4.1

Allgemeine Funktionseigenschaften

149

 Die Funktion f 3 : IR ≥ 0 → IR ≥ 0 mit f 3 ( x) = x 2 ist umkehrbar. f 3 ist auf dem Definitionsbereich eine streng monoton wachsende Funktion und der

Zielbereich fällt mit dem Wertebereich zusammen. Jedem Wert y aus dem

Zielbereich kann nun eindeutig ein x zugeordnet werden (Abb. 4.9 (b)).

Abb. 4.9. Umkehrung der Funktion y = x 2

Bemerkung: Anhand des Beispiels erkennt man, dass eine Funktion nicht nur
durch eine Funktionsvorschrift charakterisiert werden kann, sondern Definiti-
onsbereich und Zielbereich dazugehören.

In vielen (aber nicht allen) Fällen kann man für umkehrbare Funktionen eine
explizite Zuordnungsvorschrift für die Umkehrfunktion wie folgt angeben:

Bestimmung der Funktionsgleichung der Umkehrfunktion

(1) Man schränkt den Definitionsbereich der Funktion ID f so ein, dass f
in dem eingeschränkten Definitionsbereich streng monoton verläuft.

(2) Man schränkt den Zielbereich auf den Wertebereich der Funktion V

W f
ein. Damit erhält man eine umkehrbare Funktion!

(3) Man löst die Funktionsgleichung y = f ( x) nach der Variablen x auf
und erhält die aufgelöste Form
x = g ( y).

(4) Durch formales Vertauschen der beiden Variablen x und y gewinnt
man die Zuordnungsvorschrift der Umkehrfunktion
f − 1( x) = y = g( x) .

Beispiele 4.21:

 f : IR → IR mit f ( x) = 2 x + 1 .

Wie man aus dem Funktionsgraphen entnimmt, stellt f eine Gerade dar.

f ist auf ganz IR streng monoton steigend mit dem Wertebereich IR; daher
ist f umkehrbar!

150

4. Elementare Funktionen

Durch Auflösen von
y = 2 x + 1
nach x folgt

1
x =
y − 1

2

2
und durch formales Vertauschen von x und y erhält man die Umkehrfunk-
tion
f − 1 : IR → IR mit f − 1 ( x) = 1 x − 1 .

2

2

Abb. 4.10. Funktion f( x) = 12 x+1 und

Umkehrfunktion f − 1( x) = 1

2 x − 12

 f : [0 , ∞) → [1 , ∞) mit f ( x) = 1 + x 2 .

f ist auf dem Definitionsbereich ID = [0 , ∞) streng monoton wachsend
und der Zielbereich fällt mit dem Wertebereich V

W = [1 , ∞) zusammen.

Auflösen der Funktionsgleichung
y = 1 + x 2
nach x liefert

x = ± y − 1 .

Da nur positive x-Werte durch den Definitionsbereich zugelassen sind, entfällt
das Minuszeichen! Vertauschen von x und y liefert die Umkehrfunktion:

√
f − 1 [1 , ∞) → [0 , ∞) mit f − 1 ( x) =
x − 1.

Abb. 4.11. Funktion f( x) = 1 + x 2 und

√

Umkehrfunktion f − 1( x) =
x − 1

4.1

Allgemeine Funktionseigenschaften

151

Zusammenfassung ¨
uber die Umkehrung einer Funktion

(1) Jede streng monoton wachsende oder fallende Funktion f : ID f → VW f
ist umkehrbar.

(2) Bei der Umkehrung einer Funktion werden Definitions- und Wertebe-
reich miteinander vertauscht.

(3) Zeichnerisch erhält man das Schaubild der Umkehrfunktion durch

Spiegelung von f an der Winkelhalbierenden y = x.

Zur Charakterisierung der umkehrbaren Funktionen führen wir noch die fol-
genden Begriffe ein:

Definition: Sei f : ID f → VW f eine Funktion. f heißt

(1) injektiv, falls gilt:

x 1 = x 2

⇒ f ( x 1) = f ( x 2) .

(2) surjektiv, falls es zu jedem y ∈ VW f ein x ∈ ID f gibt mit y = f ( x).

(3) bijektiv, falls gilt:

f ist injektiv und surjektiv.

Man nennt die Injektivität einer Funktion auch die Eineindeutigkeit einer

Funktion. Sie bedeutet, dass eine Parallele zur x-Achse den Graphen der Funk-
tion höchstens einmal schneidet. Eine Funktion f ist surjektiv, wenn zu jedem

Wert y aus dem Zielbereich mindestens ein x aus dem Definitionsbereich ge-
funden wird, welches auf y abgebildet wird.

Beispiele 4.22:

 Die Funktion f : IR → IR mit f ( x) = x 2 ist weder injektiv, noch sur-
jektiv. Denn sowohl x als auch −x führen zu dem selben Funktionswert.

Die Funktion ist auch nicht surjektiv, da zu den negativen y-Werten keine
zugehörigen x-Werte gibt.

 Die Funktion f : IR ≥ 0 → IR mit f ( x) = x 2 ist injektiv, aber nicht surjektiv, da z.B. zu y = ( − 1) kein x aus dem Definitionsbereich gefunden wird mit
x 2 = − 1 .

 Die Funktion f : IR ≥ 0 → IR ≥ 0 ist bijektiv.

Die bijektiven Funktionen sind genau die umkehrbaren Funktionen:

Satz: Zu einer Funktion f existiert die Umkehrfunktion genau dann, wenn
f bijektiv ist.

152

4. Elementare Funktionen

4.2

4.2 Polynome

Im Abschnitt über die Polynome werden grundlegende Techniken, wie z.B. Nullstellenbe-
stimmung, Linearfaktorzerlegung, Horner-Schema und Interpolationspolynom, eingeführt,
die wir dann z.B. bei der Diskussion gebrochenrationaler Funktionen anwenden.

Polynome (oder Polynomfunktionen) spielen in der Angewandten Mathematik
eine wichtige Rolle. Sie sind nicht nur besonders einfach in ihrer Darstellung,
sondern sie lassen sich auch auf einfache Weise auswerten, da nur Additionen
und Multiplikationen ausgeführt werden müssen. Gerade deshalb sind sie für
die Anwendung in der Numerik ideale Funktionen. Im Kapitel über Taylor-

Reihen ( → § 9.3) werden wir zeigen, dass man komplizierte Funktionen auf
eine Darstellung über Polynome zurückspielt. In diesem Kapitel lernen wir
für die Anwendung wichtige Eigenschaft kennen, wie z.B. die Festlegung von

Polynomen durch vorgegebene Punkte.

Definition: Eine Funktion f : IR → IR der Form
f ( x) = an xn + an− 1 xn− 1 + . . . + a 1 x + a 0
mit an = 0
heißt Polynom (Polynomfunktion, ganzrationale Funktion) vom

Grad n. Die reellen Zahlen a 0 , a 1 , . . . , an heißen Koeffizienten des Po-
lynoms.

Beispiele 4.23:


p 1 ( x) = 4

Polynom vom Grad 0.

(konstante Funktion)

p 2 ( x) = 2 x − 3

Polynom vom Grad 1.

(lineare Funktion)

p 3 ( x) = 2 x 2 − 3 x + 5

Polynom vom Grad 2.

(quadratische Funktion)

p 4 ( x) = x 3 − x

Polynom vom Grad 3.

(kubische Funktion)

p 5 ( x) = 4 x 8 − x 5 − 10

Polynom vom Grad 8.

 Die Höhe H einer Quecksilbers¨
aule hängt von der Temperatur T ab:

H( T ) = H 0 (1 + α ( T − T 0)) .

Dabei ist H 0 die Höhe bei der Temperatur T 0 und α der Wärmeausdeh-
nungskoeffizient.

 Ein str¨
omendes Medium (Luft, Wasser), das mit einer mittleren Ge-
schwindigkeit v auf einen Körper trifft, übt die Kraft

1

Fw( v) = cw A
ρ v 2

2
auf ihn aus. Dabei ist cw der Widerstandsbeiwert, A die Querschnittsfläche
des Körpers und ρ die Dichte des strömenden Mediums.

4.2

Polynome

153

 Die Biegelinie eines einseitig eingespannten Trägers wird beschrieben durch

F

y ( x) =

3 l x 2 − x 3

6 E · I

E · I ist die Biegefestigkeit, F die Kraft am Balkenende und l die Bal-
kenlänge.

4.2.1 Festlegung von Polynomen durch gegebene Wertepaare

Eine der wichtigsten Eigenschaften von Polynomen ist die Festlegung durch
gegebene Wertepaare. Im Falle des Thermometers braucht man 2 Werte, um
eine lineare Skala festzulegen. Schwach durchhängende Seile haben in guter

Näherung eine Parabelform. Zur Festlegung dieses funktionalen Zusammen-
hangs müssen 3 Wertepaare angegeben werden. Denn durch 3 Punkte wird
genau ein Polynom 2-ten Grades festgelegt. Allgemein gilt der folgende Satz:

Satz: Zu n + 1 verschiedenen Wertepaaren ( x 1 , y 1), ( x 2 , y 2), . . . ,

( xn+1 , yn+1) gibt es genau eine Polynomfunktion f mit f ( xi) = yi, deren

Grad nicht größer als n ist.

Eine Möglichkeit das gesuchte Polynom anzugeben, ist gegeben durch die La-
grange Interpolationsformel:

f ( x) = y 1 · ( x − x 2) ( x − x 3) · . . . · ( x − xn+1) +

( x 1 − x 2) ( x 1 − x 3) · . . . · ( x 1 − xn+1)

y 2 · ( x − x 1) ( x − x 3) · . . . · ( x − xn+1) +

( x 2 − x 1) ( x 2 − x 3) · . . . · ( x 2 − xn+1)

...

yn+1 ·

( x − x 1) ( x − x 2) · . . . · ( x − xn)

.

( xn+1 − x 1) ( xn+1 − x 2) · . . . · ( xn+1 − xn)

Beim Auswerten der Funktion an der Stelle xi verschwinden alle Terme k = i,
da ( x − xi) als Faktor enthalten ist; nur der Term k = i bleibt erhalten, da bei
diesem Summand der Faktor ( x − xi) nicht auftritt:

( x
f ( x
i − x 1) ( xi − x 2) · . . . · ( xi − xi− 1) ( xi − xi+1) · . . . · ( xi − xn+1) i) = yi ( xi − x 1) ( xi − x 2) · . . . · ( xi − xi− 1) ( xi − xi+1) · . . . · ( xi − xn+1)

= yi.

Außerdem erhält man höchstens ein Polynom vom Grade n, da alle Terme nur
n Faktoren ( x − xi) enthalten.

154

4. Elementare Funktionen

4.2.2 Koeffizientenvergleich

Oftmals führt man bei Polynomen einen Koeffizientenvergleich durch. Diese

Methode beruht auf der Tatsache, dass

Satz: (Koeffizientenvergleich). Zwei Polynome f und g mit
f ( x) = an xn + an− 1 xn− 1 + . . . + a 1 x + a 0
und
g ( x) = bm xm + am− 1 xm− 1 + . . . + b 0
sind genau dann gleich, wenn n = m und ai = bi für alle i.

Dieser Satz besagt, dass Polynome nur dann gleich sind, wenn sie denselben

Grad besitzen und die Koeffizienten identisch sind.

Begr¨
undung: Wir nehmen an, dass m ≥ n. Da f ( x) = g ( x) für alle x ∈ IR , gilt für x = 0
f (0) = g (0) ⇒
a 0 = b 0

⇒ x an xn− 1 + . . . + a 1 = x bm xm− 1 + . . . + b 1

Damit ist
an xn− 1 + . . . + a 2 x + a 1 = bm xm− 1 + . . . + b 2 x + b 1
für alle x ∈ IR , also insbesondere für
x = 0 ⇒ a 1 = b 1 .

Wieder kann man x ausklammern und die Vorgehensweise wiederholen:

⇒ a 2 = b 2 , a 3 = b 3 , . . . , an− 1 = bn− 1 ,
bis man schließlich
an = bn + bn+1 x + . . . + bm xm−n+1
erhält. Durch Einsetzen von x = 0 folgt an = bn, so dass für alle x ∈ IR :

⇒ bm xm−n + . . . + bn+1 = 0 .

Ein Polynom kann aber nur dann das Nullpolynom sein, wenn alle Koeffizi-
enten verschwinden, d.h. bm = bm− 1 = . . . = bn+1 = 0 . Folglich ist der Grad
von f gleich dem Grad von g und die Koeffizienten ai von f identisch mit den

Koeffizienten bi von g.

4.2

Polynome

155

4.2.3 Teilbarkeit durch einen Linearfaktor

Eine der elementaren Aufgaben von Polynomen besteht in der Auswertung
eines Polynoms an einer Stelle x 0. Ein sehr einfaches Schema erhält man durch
den folgenden Ansatz:

Satz: Für jedes Polynom f und jeden Wert x 0 ist die folgende Umformung
möglich:

f ( x)

=
an xn + an− 1 xn− 1 + . . . + a 1 x + a 0

=

( x − x 0) bn xn− 1 + . . . + b 2 x + b 1 + r.

Begr¨
undung: Um diese Gleichheit zu überprüfen, multiplizieren wir das Pro-
dukt aus und führen einen Koeffizientenvergleich durch.

( x − x 0) bn xn− 1 + . . . + b 2 x + b 1 + r =

= bn xn + bn− 1 xn− 1 + bn− 2 xn− 2 + . . . + b 1 x

−x 0 bn xn− 1 − x 0 bn− 1 xn− 2 − . . . − x 0 b 2 x − x 0 b 1 + r

!

= an xn + an− 1 xn− 1 + an− 2 xn− 2 + . . . + a 1 x + a 0 .

Der Koeffizientenvergleich nach absteigenden Potenzen von x liefert
n

:

bn

=
an
n − 1

:

bn− 1 − x 0 bn

=
an− 1

⇒ bn− 1 = an− 1 + x 0 bn
n − 2

:

bn− 2 − x 0 bn− 1

=
an− 2

⇒ bn− 2 = an− 2 + x 0 bn− 1

...

1

:

b 1 − x 0 b 2

=
a 1

⇒ b 1

=
a 1 + x 0 b 2

0

:

−x 0 b 1 + r = a 0

⇒ r

=
a 0 + x 0 b 1

Mit diesem Vorgehen ist man in der Lage, systematisch bn, bn− 1 , . . . , b 1 und r
zu bestimmen. Außerdem ist
f ( x 0) = r.

Dieses Verfahren ist die Grundlage für die effektive Auswertung von Polyno-
men. Schon seit Anfang des vorvorigen Jahrhunderts (1819) ist bekannt, dass
die Funktionswerte eines Polynoms an einer beliebigen Zwischenstelle x 0 so
durch das Horner-Schema berechnet werden können:

an
an− 1
a 2
a 1
a 0

+
x 0 · bn
x 0 · b 3
x 0 · b 2
x 0 · b 1
bn
bn− 1

· · · b 2
b 1

r = f ( x 0)

156

4. Elementare Funktionen

Der Vorteil des Horner-Schemas besteht darin, dass für Polynome nicht jeweils
die Potenzen xn, xn− 1 , . . . berechnet, sondern Zwischenwerte mit x

0

0

0 multipli-
ziert und geeignet aufsummiert werden.

! Achtung: Ist die Potenz xk ( k < n) nicht im Polynom vorhanden, muss
an der entsprechenden Stelle eine 0 im Horner-Schema eingetragen werden.

Beispiel 4.24. Man berechne den Funktionswert von f ( x) = 2 x 4 − 6 x 3 −

35 x + 10 an der Stelle x 0 = 4 :

2

-6

0

-35

10

+

2 · 4

2 · 4

8 · 4

-3 · 4

2

2

8

-3

-2=f(4)

Dieses Schema der Auswertung ist besonders effektiv, da es das Potenzieren
vermeidet. Es zeigt sich auch, dass das Horner-Schema für Rundungsfehler
unanfällig ist und sich dadurch für den numerischen Einsatz eignet.

4.2.4 Nullstellenproblem

Für den Spezialfall, dass x 1 eine Nullstelle des Polynoms f ( x) ist, liefert das

Horner-Schema sofort die sog. Produktdarstellung des Polynoms in der Form

( x − x 1) · Restpolynom:

Satz: Wenn x 1 eine Nullstelle des Polynoms n-ten Grades f , dann gilt

f ( x) = ( x − x 1) bn xn− 1 + bn− 1 xn− 2 + . . . + b 1 .

Begr¨
undung: Denn wenn x 1 eine Nullstelle, ist das Restglied r = f ( x 1) = 0
und wir erhalten die obige Behauptung.

Beispiel 4.25. x 1 = 1 ist eine Nullstelle des Polynoms f ( x) = x 3 + 2 x 2 −

13 x + 10 :

1

2

-13

10

+

1 · 1

3 · 1

-10 · 1

1

3

-10

0=f(1)

Das Horner-Schema liefert dann nicht nur den Funktionswert f (1) = 0 , son-
dern auch gleich die Koeffizienten bi des Restpolynoms und somit die Zerlegung
des Polynoms f in

x 3 + 2 x 2 − 13 x + 10 = ( x − 1) 1 x 2 + 3 x + ( −10) .

4.2

Polynome

157

Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man eine Polynomdivision durchführt:

( x 3

+2 x 2

− 13 x

+10)

:

( x − 1)

=

1 x 2 + 3 x − 10

−( x 3

−x 2)

3 x 2

− 13 x

−(3 x 2

− 3 x)

− 10 x

+10

−( − 10 x +10)

0

Ist also f ein Polynom n-ten Grades und x 1 eine Nullstelle von f, so lässt sich
f ( x) durch ( x − x 1) ohne Rest dividieren und das Resultat ist ein Polynom
vom Grade n − 1 . Das Abspalten eines Linearfaktors von einem Polynom vom

Grade n kann man jedoch höchstens n-mal durchführen, solange bis das Rest-
polynom nur noch den Grad Null hat:

Satz: Jedes Polynom n-ten Grades hat h¨
ochstens n verschiedene Null-
stellen.

Eine schwierige Aufgabe ist die konkrete Bestimmung der Nullstellen von Po-
lynomen. Für n = 2 hat man noch die quadratische Formel:

Anwendungsbeispiel 4.26 (Reihen- und Parallelschaltung von

Widerst¨
anden).

An eine Spannungsquelle U = 220 V werden zwei Widerstände R 1 und R 2
einmal in Reihe und einmal in Parallelschaltung angeschlossen. Im ersten Falle
ist die Stromstärke I 1 = 0 . 9 A im zweiten Falle I 2 = 6 A. Wie groß sind R 1 und R 2?

Abb. 4.12. Schaltungsdiagramme

Für die Reihenschaltung gilt der Maschensatz: U = I 1 R 1 + I 1 R 2 und für die

Parallelschaltung der Knotensatz für den Knoten K : I 2 = U + U . Löst man

R 1

R 2

158

4. Elementare Funktionen
die erste Gleichung nach R 2 auf und setzt dies in die zweite ein, folgt nach

Umformungen

U 2

R 2 − U R

= 0 .

1

I

1 +

1

I 1 I 2

Gesucht sind also die Nullstellen des Polynoms f ( x) = x 2 − 220 x + 2202 .

0 , 9

0 , 9 · 6

Mit

2
x

±
p

−

1 / 2 = − p
q

2

2
erhält man als Nullstellen x 1 = 44 . 9 und x 2 = 199 . 5 . Wählt man R 1 = 44 . 9Ω , so ist R 2 = 199 . 5Ω . Aus Symmetriegründen können R 1 und R 2 auch vertauscht
werden.

Für n = 3 und 4 sind die Lösungsformeln wesentlich komplizierter und für
n ≥ 5 gibt es keine geschlossenen Lösungsformeln mehr. Daher ist man bei der

Suche nach Nullstellen bei Polynomen höheren Grades auf numerische Verfah-
ren wie z.B. die Intervallhalbierungs-Methode 6.4 oder das Newton-Verfahren

7.9 angewiesen. Wenn man allerdings eine Nullstelle x 0 erraten kann, so liefert
das Horner-Schema ein nützliches Verfahren zur Reduktion des Problems, da
man durch Abspalten des Linearfaktors ( x − x 0) ein Polynom vom Grad n − 1
erhält.

Beispiel 4.27. Gesucht sind die Nullstellen des Polynoms
f ( x) = 3 x 3 + 3 x 2 − 3 x − 3 .

Durch Erraten findet man eine Nullstelle bei x 1 = − 1 :

3

3

− 3

− 3

+

− 3

0

3

3

0

− 3

0 = f ( − 1)

Hiernach gilt also

3 x 3 + 3 x 2 − 3 x − 3 = ( x + 1) 3 x 2 − 3 .

Durch Anwenden der quadratischen Formel berechnen sich die beiden weiteren

Nullstellen x 2 = 1 und x 3 = − 1. Damit folgt die Linearfaktorenzerlegung des

Polynoms:

3 x 3 + 3 x 2 − 3 x − 3 = 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x − 1) .

Wir fassen das Ergebnis in folgendem allgemein gültigen Satz zusammen:

4.2

Polynome

159

Satz: Besitzt ein Polynom n-ten Grades n Nullstellen x 1 , x 2 , . . . , xn,
dann lässt es sich als Produkt aus n Linearfaktoren darstellen:

f ( x)

=
an xn + an− 1 xn− 1 + . . . + a 1 x + a 0

=
an ( x − x 1) ( x − x 2) · . . . · ( x − xn) .

Bemerkungen:

(1)

! Achtung: Man darf den Koeffizient an in der Produktdarstellung nicht
vergessen!

(2)

! Achtung: Bei doppelten Nullstellen tritt der zugehörige Linearfaktor
doppelt, bei dreifachen Nullstellen dreifach usw. auf!

4.2.5 Interpolationspolynome mit dem Newton-Algorithmus

In naturwissenschaftlichen Anwendungen stellt sich oftmals das Problem: Von
einem unbekannten funktionalen Zusammenhang sind ( n + 1) Messpunkte ge-
geben: P 1 ( x 1 , y 1) ; P 2 ( x 2 , y 2) ; . . . ; Pn+1 ( xn+1 , yn+1). Gesucht sind die Funktionswerte an Zwischenstellen. Wie bereits nach dem ersten Satz bekannt ist,
gibt es genau ein Polynom vom Grad n, welches durch diese ( n + 1) Messwer-
te geht. Diese Polynome werden auch als Interpolationspolynome bezeichnet,
da sich mit ihnen näherungsweise beliebige Zwischenwerte der unbekannten

Funktion im Bereich [ x 1 , xn+1] berechnen (= interpolieren) lassen.

Abb. 4.13. Interpolationspolynom

Durch das Lagrange Interpolationspolynom erhält man das eindeutig bestimm-
te Polynom vom Grade höchstens n, welches diese Eigenschaft hat. Allerdings
ist der Rechenaufwand zur Berechnung der Koeffizienten erheblich. Ein ein-
facheres Rechenschema zur Bestimmung des Interpolationspolynoms geht auf
einen Ansatz von Newton zurück:

f ( x) = a 0 + a 1 ( x − x 1) + a 2 ( x − x 1) ( x − x 2) + . . .

+ an ( x − x 1) ( x − x 2) · . . . · ( x − xn) .

Die Koeffizienten a 0 , a 1 , . . . , an können durch diesen Ansatz iterativ bestimmt
werden:

160

4. Elementare Funktionen
y 1 = f ( x 1) = a 0 →
a 0 = y 1 .

y 2 = f ( x 2) = a 0 + a 1 ( x 2 − x 1)

→
a 1 = y 2 −y 1 ·
x 2 −x 1
y 3 = f ( x 3) = a 0 + a 1 ( x 3 − x 1) + a 2 ( x 3 − x 1) ( x 3 − x 2) y
y 3 − y 1 − y 2 −y 1 ( x 3 − x 1)

a

3 − a 0 − a 1 ( x 3 − x 1)

x 2 −x 1

2 =

=

( x 3 − x 1) ( x 3 − x 2)

( x 3 − x 1) ( x 3 − x 2)

1
y
x

=

3 − y 1 − y 2 − y 1 3 − x 1
x 3 − x 1
x 3 − x 2
x 2 − x 1 x 3 − x 2

1
y
y
x

=

3 − y 2 + 2 − y 1 − y 2 − y 1 3 − x 1
x 3 − x 1
x 3 − x 2
x 3 − x 2
x 2 − x 1 x 3 − x 2

1
y

=

3 − y 2 − y 2 − y 1 .

x 3 − x 1
x 3 − x 2
x 2 − x 1
y
y

D

Setzt man D

2 − y 1

3 − y 2

3 , 2 − D 2 , 1

2 , 1 =

, D

→ a

.

x

3 , 2 =

2 =

2 − x 1
x 3 − x 2
x 3 − x 1

Mit vollständiger Induktion zeigt man, dass mit den Abkürzungen

D

D

D

4 , 3 − D 3 , 2

3 , 2 − D 2 , 1

4 , 3 , 2 =

; D
usw. gilt
x

3 , 2 , 1 =

4 − x 2
x 3 − x 1
ak− 1 := Dk,..., 1 für k ≥ 1.

Die Ausdrücke Dk,..., 1 heißen dividierte Differenzen und die Berechnung erfolgt
mittels des folgenden Schemas:

k
xk
yk

1
x 1
y 1

2
x 2
y 2

→

D 2 , 1 = y 2 −y 1
x 2 −x 1

D

3
x

3 , 2 −D 2 , 1

3
y 3

→

D 3 , 2 = y 3 −y 2

→

D
x

3

3 −x 2

, 2 , 1

=
x 3 −x 1

D

4
x

4 , 3 −D 3 , 2

4
y 4

→

D 4 , 3 = y 4 −y 3

→

D

→ · · ·
x

4

4 −x 3

, 3 , 2 =
x 4 −x 2

...

...

n + 1
xn+1
yn+1

→ Dn+1 ,n = yn+1 −yn

→

· · ·

→ · · ·
xn+1 −xn

Die Zahlen y 1 = a 0 , D 2 , 1 = a 1 , D 3 , 2 , 1 = a 2 , D 4 , 3 , 2 , 1 = a 3 , . . . , Dn+1 ,..., 1 = an sind dann die gesuchten Koeffizienten des Newtonschen Interpolationspolynoms.

4.2

Polynome

161

Bemerkung: Der große Vorteil des Newton-Verfahrens gegenüber dem La-
grangeschen Interpolationspolynoms besteht darin, dass bei der Hinzunahme
noch weiterer Messpunkte nur weitere Zeilen in die Tabelle aufgenommen wer-
den müssen. Die bereits berechneten Koeffizienten bleiben gültig!

Beispiel 4.28 (Mit Maple-Worksheet).

(i) Das Ergebnis einer Messreihe liefert die Werte P 1 (0 , − 12), P 2 (2 , 16) und

P 3 (5 , 28). Gesucht ist das Interpolationspolynom durch diese 3 Punkte.

Ansatz: f ( x) = a 0 + a 1 ( x − x 1) + a 2 ( x − x 1) ( x − x 2) .

Bestimmung der Koeffizienten:

k
xk
yk

1

0

− 12

2

2

16

16+12

2 − 0 = 14

3

5

28

28 − 16

5 − 2 = 4

4 − 14

5 − 0 = -2

Damit erhält man das quadratische Polynom
f ( x) = − 12 + 14 x − 2 x ( x − 2) = − 2 x 2 + 18 x − 12 .

(ii) Durch die Hinzunahme eines weiteren Messpunktes P 4 (7 , − 54) kann man
das bestehende Schema erweitern
k
xk
yk

1

0

− 12

2

2

16

14

3

5

28

4

− 2

4

7

− 54

− 54 − 28

7 − 5

= − 41

− 41 − 4

7 − 2

= − 9

− 9+2

7 − 0 = -1
und man findet als Interpolationspolynom vom Grade 3
f ( x)

=
a 0 + a 1 ( x − x 1) + a 2 ( x − x 1) ( x − x 2)

+ a 3 ( x − x 1) ( x − x 2) ( x − x 3)

=

− 12 + 14 ( x − 0) − 2 ( x) ( x − 2) − 1 ( x) ( x − 2) ( x − 5)

=

−x 3 + 5 x 2 + 8 x − 12 .

(iii) Im Maple-Worksheet wird bei gegebenen Wertepaaren das Interpola-
tionspolynom bestimmt und mit den Werten graphisch dargestellt.

162

4. Elementare Funktionen

4.3

4.3 Rationale Funktionen

Ziel dieses Abschnitts ist, rationale Funktionen qualitativ durch die Bestimmung der Null-
und Polstellen sowie dem asymptotischen Verhalten zu charakterisieren.

In Physik und Technik werden viele Vorgänge von Funktionen beschrieben,
die sich als Quotient zweier Polynome darstellen. So ergibt sich z.B. bei einer

Sammellinse mit Brennweite f die Bildweite b als b ( x) = f x , wenn x die
x−f

Gegenstandsweite ist.

Definition: Unter einer rationalen Funktion (gebrochenrationalen

Funktion) versteht man eine Funktion f , die sich als Quotient zweier

Polynomfunktionen g ( x) und h ( x) darstellen l¨
asst
f : IR \ {x ∈ IR : h ( x) = 0 } → IR
mit
m
ai xi
g ( x)

a
x → f ( x) =

=
m xm + . . . + a 1 x + a 0 = i= 0

.

h ( x)

b
n

n xn + . . . + b 1 x + b 0
bj xj
j= 0

Dabei unterscheidet man analog zu Brüchen zwischen ganzrationalen Funk-
tionen ( n = 0) ( = Polynome), echt gebrochenrationalen Funktionen ( m < n)

und unecht gebrochenrationalen Funktionen ( m ≥ n).

Beispiele 4.29:

{
f 1 : IR \ { 0 } → IR mit x → 1 .

x

|
f 2 : IR \ {− 2 , 2 } → IR mit x →
x

.

x 2 − 4

{ Graph von f 1( x) = 1

| Graph von f
x

2( x) =
x
x 2 − 4

4.3

Rationale Funktionen

163

4.3.1 Definitionsl¨
ucken, Nullstellen, Pole

Sei f ( x) = g( x) eine gebrochenrationale Funktion. x
h( x)

0 ist Nullstelle von f,
wenn g ( x 0) = 0 und h ( x 0) = 0 . In den Nullstellen des Nenners ist die Funk-
tion f nicht definiert. Man spricht daher von einer Definitionsl¨
ucke, wenn
h ( x 0) = 0 . Aber nicht in allen Definitionslücken strebt die Funktion gegen

Unendlich. Man unterscheidet zwischen hebbaren Definitionsl¨
ucken und Po-
len: x 0 ist eine Polstelle (Pol), wenn in der unmittelbaren Umgebung von x 0
die Funktionswerte betragsmäßig über alle Grenzen anwachsen. Der Funkti-
onsgraph schmiegt sich dabei asymptotisch an die in der Polstelle errichtete

Parallele zur y-Achse an.

Falls Zähler und Nennerpolynom eine gemeinsame Nullstelle x 0 besitzen, so
enthalten beide Polynome ( x− x 0) als Linearfaktor. Gemeinsamen Faktoren
werden gekürzt. Definitionslücken können so gegebenenfalls durch Kürzen be-
hoben und der Definitionsbereich erweitert werden.

Bestimmung der Null- und Polstellen

(1) Man zerlegt Zähler und Nennerpolynom soweit möglich in Linearfak-
toren und kürzt gemeinsame Faktoren.

(2) Die im Zähler verbleibenden Linearfaktoren ergeben die Nullstellen
der Funktion, die im Nenner verbleibenden Linearfaktoren liefern die

Polstellen.

Beispiel 4.30. Gesucht sind die Definitionslücken, Nullstellen und Polstellen

2 x 3 + 2 x 2 − 32 x + 40
der Funktion f ( x) =

.

x 3 + 2 x 2 − 13 x + 10

Zur Bestimmung dieser Stellen zerlegen wir sowohl das Nenner- als auch das

Zählerpolynom in Linearfaktoren:

2 x 3 + 2 x 2 − 32 x + 40 = 2 ( x − 2)2 ( x + 5)

x 3 + 2 x 2 − 13 x + 10 = ( x − 1) ( x − 2) ( x + 5) .

Damit lässt sich die gebrochenrationale Funktion in Faktoren schreiben als

⇒

2 x 3 + 2 x 2 − 32 x + 40

2 ( x − 2)2 ( x + 5)

2 ( x − 2)

f ( x) =

=

=

.

x 3 + 2 x 2 − 13 x + 10

( x − 1) ( x − 2) ( x + 5)

x − 1

Alle Nullstellen des Nenner im ungek¨
urzten Zustand liefern die Definitionslü-
cken; die verbleibenden Nullstellen den Nenners sind die Polstellen der Funk-
tion. Die Nullstellen des Zählers liefern, sofern sie nicht gleichzeitig eine Defi-
nitionslücke sind, die Nullstellen der Funktion. Zusammenfassend erhalten wir
den qualitativen Verlauf der Funktion:

164

4. Elementare Funktionen

Definitionslücken

:

1 , 2 , − 5

Nullstellen

:

(2)

Polstellen

:

1

Hebbare Definitionslücken

:

2 , − 5

4.3.2 Verhalten im Unendlichen

Gerade für die Diskussion der Anwendungsbeispiele ist die Bestimmung des

Verhaltens der Funktionen für x → ±∞ von Interesse. Wir müssen dabei drei
verschiedene Fälle betrachten. Entscheidend dabei ist, wie sich der Grad des

Zählerpolynoms zum Grad des Nennerpolynoms verhält, wie die folgenden Bei-
spiele zeigen:

Beispiele 4.31.

5 x 4 + x 3 + 4

5 x 4 + x 3 + 4

(1.) f 1 ( x) =

(2.) f

2 x 5 + x + 2

2 ( x) =

2 x 4 + x + 2

5 x 4 + x 3 + 4

(3.) f 3 ( x) = 2 x 3 + x + 2
x→∞

In allen 3 Fällen ist f ( x) −→ ∞

∞ . Die folgende Diskussion zeigt aber, dass
man jeweils unterschiedliche Ergebnisse erhält. Dazu erweitert man den ent-
sprechenden Funktionsausdruck mit 1 , wenn k der höchste auftretende Ex-
xk
ponent:

5 x 4 + x 3 + 4

1

5 + 1
lim f
x 5
x
x 2 + 4
x 5

1 ( x) = lim

· 1 = lim

= 0 = 0 .

x→∞
x→∞ 2 x 5 + x + 2

2
x 5
x→∞ 2 + 1
x 4 + 2
x 5

5 x 4 + x 3 + 4

1

5 + 1 + 4
lim f
x 4
x
x 4

2 ( x) = lim

· 1 = lim

= 5 .

x→∞
x→∞ 2 x 4 + x + 2

2
x 4
x→∞ 2 + 1
x 3 + 2
x 4

5 x 4 + x 3 + 4

1

5 + 1 + 4
lim f
x 4
x
x 4

3 ( x) = lim

· 1 = lim

= 5 = ∞.

x→∞
x→∞ 2 x 3 + x + 2

1

0
x 4
x→∞

+ 1
x
x 3 + 2
x 4

Diese Unterscheidung lässt sich auf jede rationale Funktion anwenden:

Verhalten einer rationalen Funktion f ( x) = g( x) im Unendlichen
h( x)

(1) grad g < grad h

⇒ f ( x) → 0
für x → ±∞.

(2) grad g = grad h

⇒ f ( x) → an
für x → ±∞.

bn

(3) grad g > grad h

⇒ f ( x) → ±∞
für x → ±∞.

4.3

Rationale Funktionen

165

Im letzten Fall zerlegt man die unecht gebrochenrationale Funktion durch Po-
lynomdivision in eine Polynomfunktion p ( x) und eine echt gebrochenrationale

Funktion r ( x) : f ( x) = p ( x) + r ( x) mit r ( x) → 0 für x → ∞. Die Funktion f ( x) nähert sich für x → ∞ an die Funktion p ( x) an, da der Rest r ( x) gegen 0 geht! Man nennt p ( x) die Asymptote von f.

1 x 3 − 3 x + 1

Beispiel 4.32.

f ( x) = 2

2

.

x 2 + 3 x + 2

Wir zerlegen Zähler- und Nennerpolynom in Linearfaktoren:

Die Nullstellen des Zählers sind 1 (doppelt) und -2.

Die Nullstellen des Nenners sind -1 und -2.

1 ( x − 1)2 ( x + 2)

1 ( x − 1)2

⇒ f ( x) = 2

= 2

.

( x + 1) ( x + 2)

x + 1

Im gekürzten Ausdruck lassen sich nun die Nullstellen und Polstellen der Funk-
tion identifizieren:

Nullstelle

:

x = 1

(doppelt)

Polstelle

:

x = − 1

(einfach).

Um das Verhalten im Unendlichen zu bestimmen, zerlegen wir durch Poly-
nomdivision die Funktion f in eine Polynomfunktion p ( x) und eine echt ge-
brochenrationale Funktion r ( x):

( 1 x 2

− 1 x

+ 1 )

:

( x + 1) =

1 x − 3 + 2

2

2

2

2
x+1

−(1 x 2

+ 1 x)

2

2

− 3 x

+ 1

2

2

−( − 3 x

− 3)

2

2

2

Damit ist f ( x) = p ( x) + r ( x) mit der Asymptote
p ( x) = 1 x − 3 und dem

2

2

2
x→∞

Rest r ( x) =

−→ 0 .

x + 1

Graph der Funktion 1 / 2 x 3 − 3 / 2 x+1
x 2+3 x+2

166

4. Elementare Funktionen

4.3.3 Anwendung: ¨

Ubertragung bei Wechselstrom-Kreisen

Die nebenstehende LC-Schaltung hat wie je-
de RCL-Schaltung die folgende Eigenschaft: Ist
die Eingangsspannung UE ( t) eine Wechselspan-
nung mit Frequenz ω, so ist auch die Ausgangs-
spannung eine Wechselspannung mit Frequenz
ω, aber phasenverschoben und mit anderer Am-

Abb. 4.14. LC-Parallel-Kreis
plitude. Diese Amplitude hängt von der Fre-
quenz der Eingangsspannung ab. Das Amplitudenverhältnis H ( ω) ist gegeben
durch (vgl. CD-Kapitel Übertragungsfunktion für RCL-Filterschaltungen):

U

A ( t) = |H ( ω) | mit

UE ( t)

−ω 2 LC

H ( ω) =

.

ω 4 L 2 C 2 − 3 ω 2 LC + 1

H ( ω) ist eine echt gebrochenrationale Funktion in ω. Die Nullstelle liegt bei
ω = 0 und um die Polstellen der Funktion zu bestimmen, setzen wir
ω 4 L 2 C 2 − 3 ω 2 LC + 1 = 0 :

Z = ω 2

Z 2 ( LC)2 − 3 Z LC + 1 = 0

√

2

2

Z

1

±

9

1

− 1

3 ± 5

1

1 / 2 = 3

=

2 LC

4

LC

LC

2

2

LC

Z

1

1 = 2 , 62

1

⇒ ω

LC

1 / 2 = ± 1 , 61

LC

Z

1

2 = 0 , 76

1

⇒ ω

.

LC

3 / 4 = ± 0 , 87

LC

H ( ω) ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da

H ( −ω) =

−( −ω)2 LC

=

−ω 2 LC

= H ( ω) .

( −ω)4 L 2 C 2 − 3( −ω)2 LC+1
ω 4 L 2 C 2 − 3 ω 2 LC+1

Der Grad des Zählerpolynoms ist kleiner als der Grad des Nennerpolynoms.

Daher gilt: H ( ω) → 0 für ω → ∞. Außerdem ist H ( ω) → 0 für ω → 0 .

Qualitativ erhalten wir von |H ( ω) | für positive Frequenzen ( L = C = 1) den
graphischen Verlauf, wie er in Abb. 4.15 dargestellt ist.

Diskussion (Mit Maple-Worksheet): Für tiefe Frequenzen ( ω klein) ist
das Amplitudenverhältnis von Ausgangsspannung zu Eingangsspannung klein:

Tiefe Frequenzen werden nicht gut übertragen. Für hohe Frequenzen ( ω groß)

ist |H ( ω) | ebenfalls klein: Hohe Frequenzen werden ebenfalls stark gedämpft.

Frequenzen zwischen ω 1 und ω 2 werden etwa mit dem Faktor 1 übertragen.

4.4

Potenz- und Wurzelfunktionen

167

Abb. 4.15. Übertragungsfunktion |H( ω) |

Dies ist das typische Verhalten eines Bandpasses, der tiefe und hohe Frequen-
zen dämpft und Frequenzen in einem Band zwischen ω 1 und ω 2 überträgt.

Bemerkung: Die Modellierung von H ( ω) erfolgte unter der Voraussetzung,
dass der Ohmsche Widerstand R = 0 ist. Dadurch kommt es zu nichtphy-
sikalischen Polstellen bei ω = ω 1 und ω = ω 3 bzw. zum Effekt, dass nahe
den Polstellen die Amplitude des Ausgangssignals größer als die des Eingangs-
signals ist. Eine vollständige Diskussion (mit Ohmschem Widerstand) zeigt,
dass |H ( ω) | ≤ 1 und die Polstellen entfallen.

4.4

4.4 Potenz- und Wurzelfunktionen

Definition: Polynomfunktionen der Form
p : IR → IR
mit
x → xn

( n ∈ IN)

nennt man auch Potenzfunktionen.

Bei den Potenzfunktionen lassen sich qualitativ zwei Fälle unterscheiden, nämlich
n gerade und n ungerade. Für ungerades n ist die Potenzfunktion streng mo-
noton wachsend und punktsymmetrisch zum Ursprung (siehe linkes Bild). Für
gerades n liegt keine Monotonie vor, die Potenzfunktion ist achsensymmetrisch
zur y-Achse (siehe rechtes Bild).

168

4. Elementare Funktionen

Schränken wir den Definitionsbereich der Potenzfunktionen auf die positiven,
reellen Zahlen einschließlich der Null ein, so ist
p :

IR ≥ 0

→ IR ≥ 0
x

→ xn
für alle x ∈ IR ≥ 0 eine streng monoton wachsende Funktion mit dem Wertebe-
reich IR ≥ 0 . Daher ist diese Funktion umkehrbar. Mit Hilfe der Umformung

√

√
y = xn → x = n y → y = n x
erhalten wir die Umkehrfunktion

√
p− 1 : IR ≥ 0 → IR ≥ 0
mit
x → n x.

Definition: Die Funktion

√
ω : IR ≥ 0 → IR ≥ 0 mit x → n x
heißt n-te Wurzelfunktion ( n ∈ IN).

Spezialfall: Potenzfunktionen mit ungeradem Exponent p ( x) = x 2 m+1, m ∈

IN, sind auf ganz IR streng monoton wachsend und haben als Wertebereich
ebenfalls IR . Daher existiert die Umkehrfunktion auf ganz IR

√
ω : IR → IR mit x → 2 m+1 x.

Visualisierung mit Maple: Auf der CD-Rom befinden sich zwei

Animationen in denen sowohl die Potenz- als auch Wurzelfunktionen
mit wachsendem n gezeigt werden. Man erkennt, dass die Potenzfunktionen
mit wachsendem n immer steiler anwachsen, während die Wurzelfunktionen
immer flacher werden.

Beispiele 4.33:

{
p 2 : IR ≥ 0 → IR ≥ 0 mit x → x 2 hat als Umkehrfunktion

√

1
ω 2 : IR ≥ 0 → IR ≥ 0 mit x → 2 x = x 2 .

|
p 3 : IR → IR mit x → x 3 hat als Umkehrfunktion

√

1
ω 3 : IR → IR mit x → 3 x = x 3 .

4.4

Potenz- und Wurzelfunktionen

169

√

1

{ Graph von x 2 und
x

| Graph von x 3 und x 3

Anwendungsbeispiel 4.34 (Fallgeschwindigkeit eines K¨
orpers).

Ein Körper der Masse m fällt frei aus der Höhe h 0 mit der Anfangsgeschwin-
digkeit v 0 = 0. Zu jedem Zeitpunkt t gilt für die Bewegung, dass die Gesamt-
energie (Summe aus kinetischer und potentieller Energie) konstant bleibt. Es
gilt:

E ( t = 0) = m · g · h 0 + 1 m v 2 = m · g · h

2

0

0

E ( t = 0) = E ( t > 0).

E ( t > 0) = m · g · h + 1 m v 2

2

⇒

1
m · g · h 0 = m · g · h + m v 2 .

2

Die Geschwindigkeit v ergibt sich dann bei der Höhe h als Wurzelfunktion

v =

2 g ( h 0 − h).

Potenzfunktion mit rationalem Exponenten

Definition: Eine Funktion

√
m
f : IR > 0 → IR mit f ( x) = n xm = x n
m ∈ ZZ , n ∈ IN
heißt Potenzfunktion mit rationalem Exponent.

Diesen Begriff der Potenzfunktion werden wir in § 4.5 auf beliebige, reelle Ex-
ponenten mit Hilfe der Exponential- und Logarithmusfunktion erweitern. Als

Spezialfall sind in der Klasse der Potenzfunktionen mit rationalem Exponen-
ten die Funktionen x− 1, x− 2 usw. enthalten.

170

4. Elementare Funktionen

4.5

4.5 Exponential- und Logarithmusfunktion

Eine der wichtigsten wenn nicht sogar die wichtigste Funktion in der Physik ist die Expo-
nentialfunktion. Wir werden die Exponentialfunktion zusammen mit ihrer Umkehrfunktion,
der Logarithmusfunktion, vorstellen und deren wichtigsten Eigenschaften diskutieren.

4.5.1 Exponentialfunktion

Die zur Beschreibung naturwissenschaftlicher Phänomene wichtigste Funktion
ist die Exponentialfunktion:

Definition: Die Funktion
exp : IR → IR
mit
x → ex
heißt Exponentialfunktion. e ≈ 2 . 718281828 ist die Eulersche Zahl.

Abb. 4.16. Graph der Exponentialfunkti-
on ex

Eigenschaften der Exponentialfunktion sind:

ex

Definitionsbereich

IR

Wertebereich

IR > 0

Monotonie
streng monoton wachsend

Asymptote
y = 0 für x → −∞

Für die Exponentialfunktion gelten die Regeln:

(1) e 0 = 1

(2) ex+ y = ex · ey

(3) e−x = ( ex) − 1,
en x = ( ex) n

4.5

Exponential- und Logarithmusfunktion

171

Beispiele 4.35:

 Die Funktionen fa( x) = ea x verhalten sich für a > 0 qualitativ wie die

Exponentialfunktion ex: Für x → ∞ gehen sie gegen Unendlich und für
x → −∞ gegen Null.

 Die Funktionen fa( x) = e−a x verhalten sich für a > 0 qualitativ wie
die Exponentialfunktion e−x: Für x → ∞ gehen sie gegen Null und für
x → −∞ gegen Unendlich.

Abb. 4.17. Graphen der Exponential-
funktionen

Anwendungsbeispiel 4.36 (Auftreten der Exponentialfunktion).

 Radioaktiver Zerfall: Beim Zerfall radioaktiver Atomkerne wird die Zahl
n ( t) der zur Zeit t noch nicht zerfallenen Kerne durch das Zerfallsgesetz
n ( t) = n 0 e−λ t
beschrieben. Dabei ist n 0 die Anzahl der zu Beginn ( t = 0) vorhandenen

Atomkerne und λ > 0 die für den Zerfall typische Zerfallskonstante.

 Entladung eines Plattenkondensators: Beim Entladen eines Platten-
kondensators ist die Spannung am Kondensator U ( t) zum Zeitpunkt t ge-
geben durch

U ( t) = U
t

0 e− 1

RC

.

Dabei ist U 0 die Kondensatorspannung zur Zeit t = 0 und C die Kapazität,

R der Ohmsche Widerstand der Schaltung.

{ Anzahl der Atomkerne n( t)

{ Spannung am Kondensator U ( t)

172

4. Elementare Funktionen

4.5.2 Logarithmusfunktion

Die Exponentialfunktion exp : IR → IR > 0 mit x → ex ist auf dem gesamten

Definitionsbereich streng monoton wachsend. Folglich existiert auf dem Wer-
tebereich IR > 0 die Umkehrfunktion.

Definition: Die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion wird nat¨
urli-
cher Logarithmus genannt:

ln : IR > 0 → IR
mit
x → ln x.

Abb. 4.18. Graph der Logarithmusfunk-
tion ln( x)

Eigenschaften der Logarithmusfunktion sind:

ln( x)

Definitionsbereich

IR > 0

Wertebereich

IR

Nullstellen
x 0 = 1
streng monoton

Monotonie
wachsend

Asymptoten
x = 0

Rechenregeln für die Logarithmusfunktion. Die Rechenregeln ergeben sich
direkt aus den Regeln der Exponentialfunktion. Für x, y ∈ IR > 0 gilt

(1) ln(1) = 0

(2) ln ( x · y) = ln x + ln y

(3) ln( xn) = n ln x

(4) ln( ex) = x
bzw.

e ln x = x

4.5

Exponential- und Logarithmusfunktion

173

Anwendungsbeispiel 4.37 (Auftreten der Logarithmusfunktion).

 Halbwertszeit τ einer radioaktiven Substanz: Unter der Halbwerts-
zeit τ einer radioaktiven Substanz versteht man die Zeit, nach der die Hälfte
der radioaktiven Kerne zerfallen ist: n ( τ ) = 1 n

2

0 .

Nach Beispiel 4.36 { ist
n ( t) = n 0 e−λ t, also gilt für t = τ :

1 n

2 0 = n 0 e−λ τ

Wir dividieren durch n 0, wenden den Logarithmus an und lösen nach τ auf

1

ln

= ln e−λ τ = −λ τ

2

1

→ τ = − 1 ln

= − 1 (ln 1 − ln 2) .

λ

2
λ

Die Halbwertszeit τ ergibt sich somit zu
τ = 1 ln 2 .

λ

 Abklingzeit eines Kondensators: Unter der Abklingzeit τa eines Kon-
densators versteht man die Zeit, nach der die Spannung am Kondensator
auf z.B. 1 -tel des maximalen Spannungswertes abgefallen ist: U ( τ

U
e
a) = 1
e

0 .

Nach Beispiel 4.36 | ist U ( t) = U
t

0 e− 1

RC

, also gilt für t = τa :

1

1

U
τa → ln = ln( e− 1 τ

RC
a ) = − 1 τ
e 0 = U 0 e− 1

RC
e

RC a

Die Abklingzeit am Kondensator τa ergibt sich somit zu
τa = −RC ln( 1 ) = RC.

e

{ Halbwertszeit einer radioaktiven Substanz

| Abklingzeit am Kondensator

174

4. Elementare Funktionen

Beispiel 4.38. Wie lautet die Umkehrfunktion von
f : IR → IR > 0 mit x → f ( x) = 3 e 2 x− 1?

Die Funktion f ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton
wachsend, also existiert auf dem Wertebereich IR > 0 die Umkehrfunktion. Wir
setzen
y = 3 e 2 x− 1
und lösen nach x auf:

1

1

1

1
y = e 2 x− 1 → ln y = 2 x − 1 → x = (ln y + 1) .

3

3

2

3

Nach Vertauschen der Variablen erhalten wir die Umkehrfunktion

1

1
g : IR > 0 → IR mit x → g ( x) = (ln x + 1) .

2

3

Allgemeine Potenz- und Exponentialfunktion. Mit der Exponential- und

Logarithmusfunktion ist man in der Lage, die allgemeine Potenz- und Expo-
nentialfunktion zu definieren.

Definition:

(1) Die Funktion
f : IR > 0 → IR
mit
x → f ( x) = xα := eα ln x
heißt allgemeine Potenzfunktion.

(2) Die Funktion
f : IR → IR > 0
mit
x → f ( x) = ax := ex ln a ( a > 0)

heißt allgemeine Exponentialfunktion.

4.6

Trigonometrische Funktionen

175

4.6

4.6 Trigonometrische Funktionen

Zur Beschreibung periodischer Vorgänge benötigt man die Sinus- und Kosinusfunktionen.

Schon um z.B. eine Wechselspannung u( t) = u 0 sin( ωt+ ϕ) anzugeben, verwendet man die
allgemeine Sinusfunktion. Wir werden in diesem Abschnitt die trigonometrischen Funktionen
zusammen mit ihren Umkehrfunktionen einführen, wichtige Eigenschaften diskutieren und
durch Anwendungsbeispiele den Einsatz der Funktionen verdeutlichen.

4.6.1 Grundbegriffe

In den Naturwissenschaften und in der Technik spielen periodische Vorg¨
ange
eine wichtige Rolle. Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass sich ein bestimmter

Zustand regelmäßig wiederholt, z.B. bei akustischen und elektromagnetischen

Schwingungen; Schwingungen einer Saite oder Feder; Umlaufbahnen von Sa-
telliten. Periodische Funktionen von besonderer Bedeutung sind die trigono-
metrischen Funktionen bzw. Winkelfunktionen.

Zur Winkelmessung werden verschiedene Einheiten zugrunde gelegt:

- Gradmaß α (360 ◦ für den Vollkreis)

- Bogenmaß x (2 π für den Vollkreis)

= Länge der Strecke auf dem Einheitskreis,
die der Winkel α herausschneidet.

Die im Bogenmaß gemessene Winkelgröße be-
zeichnen wir mit x. x ist positiv, falls der Winkel
im Gegenuhrzeigersinn gemessen, und negativ,
wenn der Winkel im Uhrzeigersinn gemessen wird. Die Einheit des Bogen-
maßes heißt Radiant (rad). Zwischen Winkelgröße α im Gradmaß und x im

Bogenmaß besteht der Zusammenhang
α
x

=

.

360 ◦

2 π

4.6.2 Sinus- und Kosinusfunktion

Beschreibt man einen Winkel im Bogenmaß, so können der Größe x Funkti-
onswerte gemäß folgender Festlegung zugeschrieben werden:

Definition: Unter dem Sinus bzw. Kosinus eines Winkels x (sin x bzw.

cos x) versteht man die Ordinate bzw. Abszisse des Schnittpunktes des
freien Schenkels des Winkels x mit dem Einheitskreis.

176

4. Elementare Funktionen

Abb. 4.19. Sinus und Kosinus im Einheitskreis

Mit dieser Definition im Einheitskreis erhalten wir die trigonometrischen Funk-
tionen sin und cos als Funktionen auf IR:

sin :

IR → IR
mit
x → sin( x)

cos :

IR → IR
mit
x → cos( x) .

Abb. 4.20. Sinus- und Kosinusfunktion

Visualisierung mit Maple: Auf der CD-Rom befindet sich eine

Animation, in der gezeigt wird, wie durch Projektion des rotierenden

Punktes P auf die x-Achse bzw. y-Achse jeweils die Sinus- bzw. Kosinusfunk-
tion entstehen.

Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion:

f ( x) = sin x
f ( x) = cos x

Definitionsbereich

IR

IR

Wertebereich

[ − 1 , 1]

[ − 1 , 1]

Periode

2 π

2 π

Symmetrie
ungerade
gerade

Nullstellen
xn = n · π
xn = π + n π

2
relative Maxima
xk = π + k · 2 π
x

2
k = k · 2 π
relative Minima
xk = 3 π + k · 2 π
x

2
k = π + k 2 π
n, k ∈ ZZ

4.6

Trigonometrische Funktionen

177

Die allgemeine Sinusfunktion. In den Anwendungen kommen Sinus und

Kosinus nicht nur mit dem Argument x, sondern in der allgemeineren Form
y ( x) = a sin ( b x + c) + d
bzw.

y ( x) = a cos ( b x + c) + d
vor. Im Folgenden diskutieren wir die Bedeutung jedes der Parameter einzeln:

(1) Bedeutung von a: Der Faktor a in
y ( x) = a · sin x
gibt die maximale Amplitude der Funktion an. Der Wertebereich dieser

Funktion ist V

W = [ −a, a] .

Beispiel 4.39. y( x) = 2 · sin( x)

⇒

Amplitude 2.

Abb. 4.21. Amplitude a

(2) Bedeutung von b: Der Faktor b in
y ( x) = sin ( b x)

bewirkt eine Veränderung der Periode gegenüber der reinen Sinusfunktion.

Die Periode p von sin ( b x) erhält man, wenn das Argument des Sinus die
dritte Nullstelle liefert, also für
b p = 2 π

⇒
p = 2 π

Periode.

b

! Damit verkleinert sich die Periode für b > 1 und vergrößert sich für
b < 1 .

Beispiel 4.40. y ( x) = sin (2 x)

⇒ Periode: p = 2 π = π.

2

Abb. 4.22. Periode p = 2 π
b

178

4. Elementare Funktionen

(3) Bedeutung der Konstanten c: Die Konstante c in
y ( x) = sin ( x + c)

bewirkt eine Verschiebung der reinen Sinusfunktion entlang der x-

Achse. Man bezeichnet c auch als Phase oder Nullphase. Die erste Null-
stelle von sin( x + c) findet man, wenn das Argument x + c Null wird:

sin ( x + c) = 0

⇒ x 0 + c = 0 ⇒ x 0 = −c.

! Für c > 0 wird die Kurve um x 0 nach links verschoben.

! Für c < 0 wird die Kurve um x 0 nach rechts verschoben.

Beispiel 4.41. y = sin( x + π/ 2) ⇒ Kurve um π/ 2 nach links verschoben.

Abb. 4.23. Verschiebung entlang der x-Achse

(4) Bedeutung der Konstanten d: Die Konstante d in
y ( x) = sin ( x) + d
bewirkt eine Verschiebung der reinen Sinusfunktion entlang der y-

Achse um den Wert d.

Beispiel 4.42. y ( x) = sin ( x) + 2 ⇒ Verschiebung um 2 in y-Richtung:

Abb. 4.24. Verschiebung entlang
der y-Achse

Damit haben wir die Parameter, die in der allgemeinen Sinusfunktion auftre-
ten, separat behandelt und deren Bedeutung beschrieben. Abschließend fehlt
noch die Diskussion, wenn alle Parameter gleichzeitig auftreten:

4.6

Trigonometrische Funktionen

179

(5) Zusammenfassende Diskussion der allgemeinen Sinusfunktion:

y ( x) = a sin ( b x + c) = a sin( b x + c )

b

Aus der Funktionsgleichung der allgemeinen Sinusfunktion liest man direkt
die Amplitude a ab. Die Periode p berechnet sich über b durch p = 2 π . Die
b

Nullphase c liest man an der ersten Darstellung ab, während die Phasen-
verschiebung − c aus der zweiten Darstellung ersichtlich ist. Zusammen-
b
fassend erhalten wir die folgende Tabelle

Periode:

p = 2 π
b

1. Nullstelle:

x 0 = − cb

Wertebereich:

−a ≤ y ( x) ≤ a

(Null-)Phase:

c

Verschiebung:

- cb
zusammen mit dem Graphen der allgemeinen Sinusfunktion:

Abb. 4.25. Allgemeine Si-
nusfunktion

Beispiel 4.43. u ( t) = 2 sin 1 t + 1 π . Ausgehend von der reinen Sinusfunk-

2

2
tion sin ( t) gehen wir zur doppelten Amplitude über: 2 sin ( t) . Anschließend

modifizieren wir die Periode zu p = 2 π

1

1

= 4 π und erhalten 2 sin
t . Da-

2

2

nach berücksichtigen wir die Phasenverschiebung von −π, da 2 sin 1 t + 1 π =

2

2

2 sin 1 ( t + π) .

2

180

4. Elementare Funktionen

4.6.3 Tangens- und Kotangensfunktion

Ausgehend von der Sinus- und Kosinusfunktion können wir analog der geome-
trischen Interpretation die Tangens- und Kotangensfunktion als Quotient von

Sinus und Kosinus bzw. von Kosinus und Sinus definieren. Dabei ist allerdings
zu beachten, dass die Nullstellen des jeweiligen Nenners aus dem Definitions-
bereich auszuschließen sind.

Definition:

sin x
tan : IR \ { π + k · π,
k ∈ ZZ } → IR
mit
x → tan x :=

2
cos x
heißt Tangensfunktion.

cos x
cot : IR \ {k · π,
k ∈ ZZ } → IR
mit
x → cot x := sin x
heißt Kotangensfunktion.

Abb. 4.26. Tangens- und Kotangensfunktion

Eigenschaften der Tangens- und Kotangensfunktion:

f ( x) = tan x
f ( x) = cot x

Definitionsbereich

IR \ { π + k · π, k ∈ ZZ }

IR \ {k · π, k ∈ ZZ }

2

Wertebereich

IR

IR

Periode
π
π

Symmetrie
ungerade
ungerade

Nullstellen
xn = n · π
xn = π + n · π

2

Pole
xk = π + k π
x

2
k = k · π

Asymptoten
x = π + k π
x = k · π
k, n ∈ ZZ

2

4.6

Trigonometrische Funktionen

181

4.6.4 Zusammenstellung wichtiger trigonometrischer Formeln

Für die trigonometrischen Funktionen gelten für alle x, x 1 , x 2 ∈ IR die folgen-
den wichtigen Beziehungen:

(1) Symmetrieverhalten
sin( −x) = − sin( x)

cos( −x) = cos( x)

tan( −x) = − tan( x)

cot( −x) = − cot( x)

(2) Verschiebungsidentitäten

sin x = cos x − π
cos x = sin x + π

2

2

(3) Nach dem Satz von Pythagoras
sin2 x + cos2 x = 1

(4) Es gelten die Additionstheoreme
sin ( x 1 ± x 2) = sin x 1 cos x 2 ± cos x 1 sin x 2
cos ( x 1 ± x 2) = cos x 1 cos x 2 ∓ sin x 1 sin x 2
tan x
tan ( x

1 ± tan x 2

1 ± x 2) = 1 ∓ tan x 1 tan x 2

(5) Aus den Additionstheoremen ergeben sich weitere, oft verwendete Formeln
sin(2 x) = 2 · sin x cos x
sin (3 x) = 3 sin( x) − 4 sin3 ( x)

cos (2 x) = cos2 ( x) − sin2 ( x)

cos (3 x) = − 3 cos( x) + 4 cos3 ( x)

(6) und

1
sin2 x = 1 (1 − cos (2 x)) =

2

1 + tan2 x
tan2 x
cos2 x = 1 (1 + cos (2 x)) =

.

2

1 + tan2 x

Grundlegend sind die Formeln (4). Alle anderen Beziehungen können auf diese

Additionstheoreme zurückgespielt werden.

182

4. Elementare Funktionen

4.7

4.7 Arkusfunktionen

Die trigonometrischen Funktionen ordnen jedem x genau einen Funktionswert
y zu. Oftmals stellt sich aber das umgekehrte Problem: Gegeben ist der Funk-
tionswert einer trigonometrischen Funktion und gesucht ist das zugehörige

Argument.

Beispiel 4.44. In einem RL-Kreis ist die Phase ϕ
zwischen der angelegten Eingangsspannung

UE( t) = U 0 sin( ωt)

und der am Ohmschen Widerstand abgegriffenen Aus-
gangsspannung

U

U

0

A( t) =
sin ( ωt + ϕ)

R 2 + ( ωL)2
bestimmt durch
tan ϕ = ωL .

R

Gesucht ist die Phase ϕ. Die Umkehrung der Tangensfunktion ist nicht eindeu-
tig, da der Tangens wie alle anderen trigonometrischen Funktionen periodisch
ist. Man schränkt daher den Definitionsbereich so ein, dass auf dem einge-
schränkten Definitionsbereich eine monotone Funktion entsteht. Die Umkehr-
funktionen der trigonometrischen Funktionen sind die Arkusfunktionen.

! Merke: Grundsätzlich lassen sich die trigonometrischen Funktionen in IR
nicht umkehren. Schränkt man den Definitionsbereich jedoch auf ein Intervall
ein, in dem die Funktionen sich streng monoton verhalten, so sind auf diesem
eingeschränkten Intervall die trigonometrischen Funktionen umkehrbar. Die
unten gewählten Einschränkungen des Definitionsbereichs liefern jeweils den
sog. Hauptwert der Funktionen.

Bemerkung: Da die Arkusfunktionen die Umkehrfunktionen der trigonome-
trischen Funktionen sind, erhält man den Graphen dieser Arkusfunktionen
durch Spiegelung der jeweiligen trigonometrischen Funktion an der

Winkelhalbierenden. Definitionsbereich und Wertebereich der Arkusfunk-
tionen ergeben sich aus dem Wertebereich und Definitionsbereich der zugehöri-
gen trigonometrischen Funktionen.

4.7

Arkusfunktionen

183

4.7.1 Arkussinusfunktion

Die eingeschränkte Sinusfunktion

&

'

π
sin : − π ,

→ [ − 1 , 1] mit x → sin x

2

2

,

-
ist im Intervall − π , π streng monoton wachsend. Folglich existiert die Um-

2

2
kehrfunktion Arkussinus

&

'

π
arcsin : [ − 1 , 1] → − π ,
mit
x → arcsin ( x) .

2

2

,

-

Man beachte, dass damit arcsin(sin( x)) = x für alle x ∈ − π , π und

2

2
sin (arcsin ( y)) = y für alle y ∈ [ − 1 , 1] .

Sinusfunktion

Arkussinusfunktion

Eigenschaften der Arkussinusfunktion:

sin( x)

arcsin( x)

,

-

Definitionsbereich

−π , π

[ − 1 , 1]

2

2

,

-

Wertebereich

[ − 1 , 1]

−π , π

2

2

Nullstelle
x 0 = 0
x 0 = 0

Symmetrie
ungerade
ungerade

Monotonie
streng monoton wachsend
streng monoton wachsend

Beispiele 4.45:

√

 arcsin 0 = 0 ,
arcsin 1 = π ,
arcsin 1

2 = π .

2

6

2

4

 Gesucht sind alle Lösungen der Gleichung sin x = 0 , 5 .

Wegen sin x = 0 , 5 folgt x = arcsin(0 , 5) = π . Wegen der Periodizität von

6
sin x = sin( x + 2 π) und sin ( π − x) = sin x folgt insgesamt

IL = {x ∈ IR : x = π + k · 2 π oder x = 5 π + k · 2 π mit k ∈ ZZ }.

6

6

184

4. Elementare Funktionen

4.7.2 Arkuskosinusfunktion

Die eingeschränkte Kosinusfunktion
cos : [0 , π] → [ − 1 , 1] mit x → cos x
ist im Intervall [0 , π] streng monoton fallend. Daher existiert die Umkehrfunk-
tion Arkuskosinus
arccos : [ − 1 , 1] → [0 , π] mit x → arccos ( x) .

in

Kosinusfunktion

Arkuskosinusfunktion

Eigenschaften der Arkuskosinusfunktion:

cos( x)

arccos ( x)

Definitionsbereich

[0 , π]

[ − 1 , 1]

Wertebereich

[ − 1 , 1]

[0 , π]

Nullstelle
π

1

2

Monotonie
streng monoton fallend
streng monoton fallend

Beispiel 4.46. arccos π = 0 ,
arccos 1 = π ,
arccos ( − 0 , 237) = 1 , 8101 .

2

2

3

4.7.3 Arkustangensfunktion

Die eingeschränkte Tangensfunktion

π
tan : − π ,

→ IR mit x → tan x

2

2

ist im Intervall − π , π streng monoton wachsend und hat als Wertebereich

2

2
ganz IR . Folglich existiert die Umkehrfunktion Arkustangens

π
arctan : IR → − π ,
mit
x → arctan ( x) .

2

2

4.7

Arkusfunktionen

185

Tangensfunktion

Arkustangensfunktion

Durch eine Spiegelung des Graphen der Tangensfunktion an der Winkelhalbie-
renden erhält man den Graphen der Arkustangensfunktion. Damit werden die

Polstellen bei x = ± π von Tangens zu Asymptoten bei y = − π für x → −∞

2

2
und y = π für x → ∞ des Arkustangens.

2

Eigenschaften der Arkustangensfunktion:

tan ( x)

arctan ( x)

Definitionsbereich

−π , π

IR

2

2

Wertebereich

IR

−π , π

2

2

Nullstelle
x 0 = 0
x 0 = 0

Symmetrie
ungerade
ungerade

Monotonie
streng monoton wachsend
streng monoton wachsend

Asymptoten
x = ± π
y = ± π

2

2

Beispiele 4.47:

{ arctan 1 = π ,
arctan ( − 3 π) = − 1 , 4651 .

4

√

√

| Gesucht sind alle Lösungen von tan x =

3 . Mit x = arctan

3 = π folgt

3
aufgrund der Periodizität des Tangens:

IL = {x ∈ IR : x = π + k·π,
k ∈ ZZ }.

3

4.7.4 Arkuskotangensfunktion

Die eingeschränkte Kotangensfunktion
cot : (0 , π) → IR mit x → cot ( x)

ist im Intervall (0 , π) streng monoton fallend und hat als Wertebereich ganz

IR . Folglich existiert die Umkehrfunktion Arkuskotangens
arccot : IR → (0 , π) mit x → arccot ( x) .

186

4. Elementare Funktionen

Kotangensfunktion

Arkuskotangensfunktion

Eigenschaften der Arkuskotangensfunktion:

cot ( x)

arccot ( x)

Definitionsbereich

(0 , π)

IR

Wertebereich

IR

(0 , π)

Nullstelle
x 0 = π

−

2

Monotonie
streng monoton fallend
streng monoton fallend

Asymptoten
x = 0
y = 0
x = π
y = π

Beispiel 4.48. arccot (0) = π ,
arccot 1 = π .

2

4

Bemerkungen:

(1) Auf Taschenrechnern kommen die elementaren Funktionen arcsin, arccos,
arctan, arccot nicht als Tasten vor, sondern man verwendet Symbole wie
z.B. INV und SIN für den arcsin bzw. entsprechende Tastenkombinationen
für die anderen inversen trigonometrischen Funktionen.

(2) Der Arkuskotangens spielt in der Praxis keine Rolle. Er fehlt daher auch
auf den meisten Taschenrechnern. Wegen der Beziehung
arccot ( x) = π − arctan ( x)

2
kann man ihn aber dennoch berechnen.

(3) Denn es zeigt sich, dass ähnliche Formeln wie die für den arccot auch
für die anderen trigonometrischen Umkehrfunktionen existieren. Es gilt
arccos( x)

=
π − arcsin ( x)

2
arcsin ( x)

=
arctan
x

√
für − 1 < x < 1

1 −x 2

4.7

Arkusfunktionen

187

(4) Zu den Funktionen sin, cos, tan und cot gibt es unendlich viele Interval-
le, in denen die betreffenden Funktionen streng monoton wachsend sind.

Aus diesem Grund lassen sich beliebig viele Umkehrfunktionen angeben.

Die oben genannten stellen jeweils den sog. Hauptwert dar. Die Umkehr-
funktionen der trigonometrischen Funktionen werden auch zyklometrische

Funktionen genannt, weil sie für die Kreisberechnung von Bedeutung sind.

(5) Es gelten die folgenden Beziehungen zwischen den Areafunktionen:

arcsin( x)

=

− arcsin( −x)

=
π − arccos( x) = arctan
x

√

2

1 −x 2
arccos( x)

=
π − arccos( −x)

=
π − arcsin( x)

=
arccot
x

√

2

1 −x 2
arctan( x)

=

− arctan( −x)

=
π − arccot( x) =
arcsin
x

√

2

1+ x 2
arccot( x)

=
π − arccot( −x)

=
π − arctan( x) = arccos
x

√

2

1+ x 2

MAPLE-Worksheets zu Kapitel 4

Die folgenden elektronischen Arbeitsblätter stehen für Kapitel 4 mit

Maple zur Verfügung.

Grundbegriffe und allgemeine Funktionseigenschaften

Polynome

Rationale Funktionen

Potenz- und Wurzelfunktionen

Exponential- und Logarithmusfunktion

Hyperbolische Funktionen

Trigonometrische Funktionen

Maple-Lösungen zu den Aufgaben

188

4. Elementare Funktionen

4.8

4.8 Aufgaben zu elementaren Funktionen

4.1

Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich sowie den Wertebereich
der folgenden Funktionen

√
x 2
a) f ( x) =
x 2 − 1
b) y = ln |x|
c) f ( x) = 4 x 2 − 16
x − 1
x
d) f ( x) =
e) y = e|x|
f) f ( x) =
x + 1
x 2 + 1

4.2

Bestimmen Sie das Symmetrieverhalten und den maximalen Definitionsbereich
x 3
a) f ( x) = 4 x 2 − 16
b) f ( x) =
c) f ( x) = sin x · cos x
x 2 + 1

x 2 − 1

1
d) f ( x) = x 2 − 16
e) f ( x) =
f) f ( x) =

1 + x 2
x − 1

4.3

Man untersuche auf Monotonie

√
a) y = x 4
b) y =
x − 1 für x ≥ 1
c) y = x 3 + 2 x
d) y = e 2 x

4.4

Wie lautet die Umkehrfunktion von
a)

f : IR > 0

→ ?

b)

f : IR ≥ 0

→ ?

√
x

→ y = 1

(2
x

→ y = 3 x
x)

c)

f : IR

→ ?

d)

f : IR >− 1

→ ?

x

→ y = 2 ex− 12
x

→ y = x− 1
x+1

4.5

Bestimmen Sie die Polynomfunktion kleinsten Grades, die durch die folgenden

Punkte geht: ( − 3 , 11) ; ( − 1 , 7) ; (0 , 5) ; (4 , − 3) .

4.6

Bestimmen Sie die Nullstellen folgender Funktionen:

a) f ( x) = x 3 + 2 x 2 − 13 x + 10
b) f ( x) = x 3 − x 2 + 2
c) f ( x) = x 4 − 2 x 3 − 25 x 2 + 50 x

4.7

Man berechne mit dem Horner-Schema den Funktionswert der Funktion f ( x)

an der Stelle x 0 für
a) f ( x) = x 3 − 2 x 2 − 3 x + 1 ; x 0 = 2
b) f ( x) = 0 . 1 x 4 + x 3 + 2 x 2 − 4 ; x 0 = 3 .

4.8

Gibt es Polynome, die keine Nullstellen besitzen?

4.9

Man berechne mit dem Newton-Schema die Koeffizienten der ganzrationalen

Funktion vom Grade ≤ 3, welche durch die Wertepaare

(0 , 1) ; (1 , 0) ; (2 , 5) ; ( − 1 , 2) geht.

4.10

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion
a) f ( x) = 3 x 3 + 3 x 2 − 3 x − 3
b) f ( x) = x 4 − 13 x 2 + 36

4.11

Welches Polynom kleinsten Grades geht durch die Wertepaare

( − 1 , 0) ; (0 , 1) ; (1 , 2) ; (2 , 6)?

4.12

Faktorisieren Sie mit Maple das Polynom

2 x 6 + 3 x 5 − 63 x 4 − 55 x 3 + 657 x 2 + 216 x − 2160

4.13

Bestimmen Sie mit Maple alle Nullstellen von
a) 7 x 4 − 59 x 3 + 19 x 2 + 166 x − 1008
b) x 3 − x 2 − 100 x + 310

4.8

Aufgaben zu elementaren Funktionen

189

4.14

Werten Sie mit Maple die Polynome aus Aufgabe 4.13 an der Stelle x 0 = 4
aus, indem Sie entweder mit unapply den jeweiligen Ausdruck in eine Funktion
konvertieren oder indem Sie mit dem subs-Befehl diese Stelle in das Polynom
einsetzen.

4.15

Zeichnen Sie mit Maple die Funktion x 3 − x 2 − 100 x + 310 und lesen Sie aus
dem Schaubild die Extremwerte ab.

4.16

Faktorisieren Sie mit Maple das Polynom soweit möglich. Erstellen Sie das

Horner-Schema zu diesem Polynom. Bestimmen Sie den Grad des Polynoms.

− 17 x 6 + 11 x 4 − 20 x 3 + 13 x 2 − 3 x + 56 x 7 + 4 x 5 − 15 x 8 + 35 x 9

4.17

Wo besitzen die folgenden Funktionen Nullstellen, wo Pole?

x 2 + x − 2
x 3 − 5 x 2 − 2 x + 24
a) y =
b) y =
x − 2
x 3 + 3 x 2 + 2 x
x 2 − 2 x + 1

( x − 1)

c) y =
d) y =
x 2 − 1

( x − 1)2 ( x + 1)

4.18

Bestimmen Sie für die folgenden gebrochenrationalen Funktionen: Nullstellen,

Pole, Asymptoten im Unendlichen. Zeichnen Sie mit Maple den Funktions-
graphen und die Asymptoten.

a) y = x 2 − 4
x 2+1
b) y = x 3 − 6 x 2+12 x− 8
x 2 − 4
c) y = x 3 − 5 x 2+8 x− 4
x 3 − 6 x 2+12 x− 8
d) y = ( x− 1)2

( x+1)2

4.19

Bestimmen Sie mit Maple die Null- und Polstellen der Funktion
x 3 − 6 x 2 − 12 x + 49
h( x) =

,

( x − 2)( x − 7)

indem Sie Zähler und Nenner in Linearfaktoren zerlegen. Bestimmen Sie die

Asymptoten und zeichnen Sie die Funktion zusammen mit ihren Asymptoten in
ein Schaubild. Zeichnen Sie die Funktion in der Nähe der Null- und Polstellen.

4.20

Gegeben ist die rationale Funktion x 4+ x 3 − 4 x 2 − 4 x . Formen Sie diese Funktion x 4+ x 3 −x 2 −x
mit Maple in die folgenden Ausdrücke um:

a) ( x+2)( x+1)( x− 2)

x 3+ x 2 −x− 1
b) x 4+ x 3 − 4 x 2 − 4 x
x( x− 1)( x+1)2
c) ( x+2)( x− 2)

( x− 1)( x+1)

d)

x 2

−

(

4

1
x− 1)( x+1)

( x− 1)( x+1)

4.21

Wird ein Kondensator mit Kapazität C über einen Ohmschen Widerstand R
entladen, so nimmt seine Ladung Q exponentiell mit der Zeit ab:

Q = Q
t

0 e− 1

R C

.

Zu welchem Zeitpunkt sinkt die Ladung unter 10 % ihres Anfangswertes Q 0?

4.22

Stromkreis mit Induktivität L und Ohmschen Widerstand R. Beim Einschalten
einer Gleichspannungsquelle erreicht der Strom infolge der Selbstinduktion erst
nach einiger Zeit den nach dem Ohmschen Gesetz erwarteten Endwert i 0 . Es
gilt

i ( t) = i
t

0

1 − e− R

L

.

Berechnen Sie für i 0 = 4 A, R = 5 Ω , L = 2 . 5 H den Zeitpunkt, bei dem die

Stromstärke 95 % des Endzustandes erreicht hat. Skizzieren Sie die Strom-

Zeit-Funktion.

190

4. Elementare Funktionen

4.23

Bestimmen Sie die Parameter a und b der Funktion y = a e−b x + 2 so, dass die

Punkte A = (0 , 10) und B = (5 , 3) auf der Kurve liegen.

4.24

Man löse die folgenden Exponentialgleichungen
a) ex 2 − 2 x = 2
b) ex + 2 e−x = 3

4.25

Welche Lösung besitzt die logarithmische Gleichung

√
ln
x + 1 . 5 · ln ( x) = ln(2 x)?

4.26

Bei einer gedämpften Schwingung
x ( t) = A e−γ t · sin ( ωt + ϕ)

kann
durch Messung der Amplituden zweier aufeinander folgenden Schwingungen die

Dämpfung γ bestimmt werden. Ist T =

1

100
die Periodendauer der gedämpf-
s
ten Schwingung, x ( t 0) = 200 und x ( t 0 + T ) = 100 die Amplituden zweier
aufeinander folgender Schwingungen, so berechne man γ.

4.27

Rechnen Sie vom Grad- ins Bogenmaß bzw. vom Bogen- ins Gradmaß um :

Grad

40 , 36 ◦

278 , 19 ◦

Bogen

1 . 4171

− 5 . 6213

4.28

Man leite aus dem Additionstheorem der Kosinusfunktion die Formel
sin2 x + cos2 x = 1
ab.

4.29

Zeichnen Sie den Funktionsverlauf von
f ( x) = 2 · cos (2 x − π) .

4.30

Man bestimme für die folgenden Funktionen Amplitude A, Periode p, Phasen-
verschiebung:

a) y = 2 · sin 3 x − π 6
b) y = 5 · cos (2 x + 4 . 2)

c) y = 10 · sin ( π x − 3 π)

d) y = 2 . 4 · cos 4 x − π 2

4.31

Skizzieren Sie den Funktionsverlauf der harmonischen Schwingung:

f ( t) = 2 · sin (2 t − 4)

4.32

Berechnen Sie

√

√
a) arcsin(1)

b) arcsin( 12 2)

c) arcsin( − 12 3) d) arcsin(0 . 481)

√
e) arccos( 12 ) f) arccos( 12 3)

g) arccos( − 1)

h) arccos(0 . 8531)

√

√
i) arctan(1)

k) arctan( − 3)

l) arccot( − 1

√ )

m) arccot( 1

3)

3

3

4.33

Welchen Wert hat die Größe x?

a) arcsin x = π/ 4
b) arctan x = 0 . 7749
c) arccos x = 1 . 021
d) arccot x = 2 . 9208
e) (arccos x)2 = 0 . 25

√

4.34

Man beweise sin (arccos ( x)) =

1 − x 2 . (Anleitung: Man setze y = arccos ( x) . )

4.35

Zeigen Sie, dass für positive a innerhalb des Definitionsbereichs gilt

√

√
a) arcsin( a) = arccos

1 − a 2
b) arccos( a) = arcsin

1 − a 2
c) arccot( a) = arctan( 1 )

d) arcsin( a) = arctan
a

√
a

1 −a 2

4.36

Vereinfachen Sie
a) sin(arcsin( x))

b) cos(arccos( x))

c) sin(arccos( x))

d) cos(arcsin( x))

e) sin(arctan( x))

f) tan(arccos( x))

4.37

Geben Sie den Definitionsbereich der folgenden Funktionen an

√
a) y = x + arccos( x)

b) y =
x + arcsin( x)

c) y = π 2 + arcsin( x − 1)

Zeichnen Sie die Funktionen und bestimmen Sie den Wertebereich.

Kapitel 5

5

Komplexe Zahlen

5

Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

191

5.1

Darstellung komplexer Zahlen ................................... 194

5.1.1

Algebraische Normalform ......................................... 194

5

5.1.2

Trigonometrische Normalform ................................... 195

5.1.3

Exponentielle Normalform........................................ 196

5.1.4

Umformungen der Normalformen ............................... 197

5.2

Komplexe Rechenoperationen ................................... 200

5.2.1

Addition ............................................................. 200

5.2.2

Subtraktion ......................................................... 200

5.2.3

Multiplikation ....................................................... 201

5.2.4

Division .............................................................. 203

5.2.5

Potenz ............................................................... 205

5.2.6

Wurzeln .............................................................. 206

5.2.7

Fundamentalsatz der Algebra.................................... 207

5.3

Anwendungen....................................................... 209

5.3.1

Beschreibung harmonischer Schwingungen im Komplexen. 209

5.3.2

Superposition gleichfrequenter Schwingungen................ 210

5.3.3

Beschreibung von RCL-Gliedern bei Wechselströmen ....... 214

5.3.4

Beispiele für RCL-Wechselstromschaltungen ................. 216

5.4

Aufgaben zu komplexen Zahlen ................................. 219

Zus¨
atzliche Abschnitte auf der CD-Rom

5.5

Komplexe Zahlen mit MAPLE....................................

cd

5.5.1

Darstellung komplexer Zahlen mit MAPLE ....................

cd

5.5.2

Komplexes Rechnen mit MAPLE ................................

cd

5.6

Übertragungsfunktion für RCL-Filterschaltungen ............

cd

5.6.1

Übertragungsfunktion für lineare Ketten ......................

cd

5.6.2

Dimensionierung von Hoch- und Tiefpässen..................

cd

5 Komplexe Zahlen

Die komplexen Zahlen stellen bei der Beschreibung von elektrischen Wechselstrom-
schaltungen ein unverzichtbares Hilfsmittel dar. Fast jedes Lehrbuch über die Be-
schreibung von elektrischen Schaltkreisen hat als einleitendes Kapitel eine Einführung
in die komplexen Zahlen. Einer der Gründe liegt darin, dass einfache Regeln von

Gleichstrom-Netzwerken sich auf Wechselstrom-Schaltungen übertragen, wenn man
komplexe Widerstände einführt.

Hinweis: Auf der CD-Rom befindet sich ein zusätzlicher Abschnitt über die Anwen-
dung der komplexen Zahlen bei der Beschreibung von RCL-Filterschaltungen.

Zunächst behandeln wir die Grundlagen der komplexen Zahlen innerhalb der

Mathematik und beginnen mit einer mathematischen Problemstellung: Wie
wir im Abschnitt 4.2 über Polynome bereits festgestellt haben, besitzt jedes

Polynom vom Grade n in IR höchstens n verschiedene Nullstellen. Aber schon
beim quadratischen Polynom p ( x) = x 2 + 1 zeigt sich, dass dieses Polynom in

IR keine Nullstellen besitzt. Löst man die Gleichung x 2 + 1 = 0 formal nach x
auf, so erhält man

√
x

−

1 / 2 = ±

1

/

∈ IR .

Es hat sich als außerordentlich erfolgreich erwiesen, den Zahlenbereich der

√
reellen Zahlen zu erweitern, indem man

− 1 als eine neue Einheit einführt:

√
i :=

− 1

(imagin¨
are Einheit).

Die Bezeichnung imaginäre Einheit rührt daher, dass sich die Wurzel jeder
negativen reellen Zahl als reelles Vielfache dieser Einheit darstellen lässt:

√

√

√

√

√

− 5 = − 1 · 5 = − 1 · 5 = 5 i.

Alle reellen Vielfachen von i nennt man die imagin¨
aren Zahlen. Die Kombina-
tion von reellen und imaginären Zahlen liefern die komplexen Zahlen:

Definition: Ausdr¨
ucke der Form
c := a + i b
mit a, b ∈ IR
nennt man komplexe Zahlen und IC := {c = a + i b; a, b ∈ IR } die

Menge der komplexen Zahlen.

194

5. Komplexe Zahlen

Für b = 0 ist die Zahl c = a + 0 i = a ∈ IR . Die reellen Zahlen sind also in den komplexen enthalten. Die mathematische Bedeutung der komplexen Zahlen
liegt darin, dass jedes Polynom vom Grade n genau n Nullstellen besitzt ( →

5.2.7 Fundamentalsatz der Algebra).

5.1

5.1 Darstellung komplexer Zahlen

Jede reelle Zahl entspricht einem Punkt auf der Zahlengeraden:

Durch die Definition der komplexen Zahlen als ”Paare” c = a + i b hat eine
komplexe Zahl zwei ”Komponenten”: eine rein reelle Komponente a und eine
imaginäre Komponente i b. Zur Darstellung von komplexen Zahlen geht man
also in die Zahlenebene über.

5.1.1 Algebraische Normalform

Komplexe Zahlen
c := a + i b
mit a, b ∈ IR
lassen sich mit Hilfe von zwei Zahlengeraden veranschaulichen (Abb. 5.1):

Wählt man ein Koordinatensystem mit Abszisse a (Vielfaches der Einheit 1)

und Ordinate i b (Vielfaches der Einheit i), so ist jede komplexe Zahl ein Punkt
dieser Ebene, der sog. Gaußschen Zahlenebene.

Abb. 5.1. Darstellung der komplexen Zahl c = a + i b.

Man nennt
a = Re ( c) den Realteil von c
b = Im ( c) den Imaginärteil von c.

5.1

Darstellung komplexer Zahlen

195

! Achtung: Sowohl der Real- als auch der Imaginärteil einer komplexen

Zahl sind reelle Zahlen. Man beachte daher: Der Imaginärteil einer komplexen

Zahl c = a + i b ist nicht i b, sondern nur die reelle Größe Im ( c) = b !

Man bezeichnet die Darstellung der komplexen Zahl
c = a + i b

(Algebraische Normalform)

durch Realteil und Imaginärteil als algebraische Normalform. Als den Betrag
einer komplexen Zahl definieren wir den Abstand zum Nullpunkt

√

|c| := a 2 + b 2 = Re2 ( c) + Im2 ( c)

(Betrag von c ).

Beispiele 5.1:

{
c 1 = 4 + 3 i

→

|c 1 | = 5 .

√

√

|
c 2 = − 2 + 2 i

→

|c 2 | = 6 .

}

c

45

3 = − 3 − 3 i

→

|c

.

2

3 | =

4

√

~
c 4 = 1 − 3 i

→

|c 4 | = 10 .

Bemerkungen:

(1) Zwei komplexe Zahlen c 1 = a 1 + i b 1 und c 2 = a 2 + i b 2 sind genau dann gleich, wenn a 1 = a 2 und b 1 = b 2 . Realteil und Imaginärteil sind also zwei
eindeutig bestimmte Kenngrößen einer komplexen Zahl.

(2) Eine komplexe Zahl ist also nichts anderes als ein Punkt in der komplexen

Zahlenebene.

(3) Es ist üblich, den vom Ursprung O zum Punkte c weisenden Zeiger (Orts-
vektor) ebenfalls mit c zu bezeichnen.

5.1.2 Trigonometrische Normalform

Führt man den Winkel ϕ zwischen dem komplexen Zeiger c und der positiven

IR-Achse ein, so gilt nach Abb. 5.1
a
b
cos ϕ =
und
sin ϕ =

.

|c|

|c|

Ersetzt man in der algebraischen Normalform a = |c| cos ϕ und b = |c| sin ϕ,

196

5. Komplexe Zahlen
gilt für die komplexe Zahl
c = a + i b = |c| cos ϕ + i |c| sin ϕ
c = |c| (cos ϕ + i sin ϕ)

(Trigonometrische Normalform).

Man nennt diese Darstellung die trigonometrische Normalform, mit

|c| dem Betrag der komplexen Zahl c und
ϕ dem Winkelargument (Winkel, Argument, Phase) von c.

Für c = 0 ist ϕ nicht erklärt! Die Phase einer komplexen Zahl ist nicht ein-
deutig, denn bei jeder vollen Umdrehung wird die Phase um 2 π bzw. um 360 ◦
verändert.

Beispiele 5.2:

{
c 5 = 3 (cos 45 ◦ + i sin 45 ◦) .

|
c 6 = 4 (cos 150 ◦ + i sin 150 ◦) .

5.1.3 Exponentielle Normalform

Ersetzen wir in der trigonometrischen Normalform (cos ϕ + i sin ϕ) durch die
von Euler (1707-1783) eingeführten Abkürzung
eiϕ := cos ϕ + i sin ϕ

(Eulersche Formel),
dann lässt sich jede komplexe Zahl schreiben als
c = |c| eiϕ

(Exponentialform).

Zunächst sehen wir die Eulersche Formel nur als Abkürzung an. Per Kon-
vention wird das Argument ϕ bei der Exponentialform immer im Bogenmaß
angegeben.

Beispiele 5.3:

{

Exponentielle Normalform von c 5: ϕ = 45 ◦ ˆ

= π

→ c

4

5 = 3 ei π

4 .

|

Exponentielle Normalform von c 6: ϕ = 150 ◦ ˆ

= 5 π

→ c

6

6 = 4 ei 5

6 π .

}

Exponentielle Normalform von speziellen komplexen Zahlen:

ei π 2 = i ;
eiπ = − 1 ;
ei 32 π = −i ;
e 2 π i = 1 .

5.1

Darstellung komplexer Zahlen

197

5.1.4 Umformungen der Normalformen

Im Folgenden geben wir die Rechenschritte zur Umformung von den einzelnen

Normalformen an. Bei den komplexen Rechenoperationen wählen wir dann
immer die geeignete Normalform aus.

Exponentialdarstellung Trigonometrische Normalform:

Ist eine komplexe Zahl c in der Exponentialform c = |c| eiϕ gegeben, so folgt
mit der Eulerschen Formel direkt die trigonometrische Normalform
c = |c| (cos ϕ + i sin ϕ) .

Ist die komplexe Zahl c = |c| (cos ϕ + i sin ϕ) in der trigonometrischen Normal-
form gegeben, so folgt mit der Eulerschen Formel
c = |c| eiϕ. Gegebenenfalls
muss ϕ vom Grad- ins Bogenmaß umgerechnet werden.

Beispiele 5.4:

{
c 7 = 5 ei 34 π

→ ϕ = 3 π ˆ

=135 ◦. ⇒
c

4

7 = 5 (cos 135 ◦ + i sin 135 ◦) .

√

√

|
c 8 =

2 (cos 60 ◦ + i sin 60 ◦)

→ ϕ = 60 ◦ ˆ

= π . ⇒
c

2 ei π 3 .

3

8 =

Trigonometrische Normalform Algebraische Normalform:

Ist die komplexe Zahl c = |c| (cos ϕ + i sin ϕ) in der trigonometrischen Normal-
form gegeben, folgt durch Ausmultiplizieren und Auswerten der trigonometri-
schen Funktionen die algebraische Normalform:

c = |c| cos ϕ + i |c| sin ϕ
mit dem Realteil |c| cos ϕ und dem Imaginärteil |c| sin ϕ.

Ist die komplexe Zahl in der algebraischen Normalform c = a + i b gegeben,
folgt die trigonometrische Normalform, indem der Betrag |c| und der Winkel
ϕ bestimmt werden:

√

|c|

=
a 2 + b 2
b
tan ϕ

=

⇒ ϕ.

a

! Achtung: Bei der Berechnung des Winkels tan ϕ = b durch die Um-
a
kehrfunktion arctan ist zu beachten, dass der Winkel nur im Bereich [ − π , π ]

2

2
angegeben wird (siehe Kap. 4.7). Der Winkel ϕ muss dann anhand einer Skizze
im Bereich [0 , 2 π] spezifiziert werden.

198

5. Komplexe Zahlen

Beispiele 5.5:

√

√

√

√

{
c 9 = 5 (cos 135 ◦ + i sin 135 ◦) = 5 − 1 2 + i 5 1 2 = − 5 2 + i 5 2 .

2

2

2

2

√

√

|
c 10 = 4 2 + i 4 2 .

√

√

→ |c 10 | =

16 · 2 + 16 · 2 =

64 = 8 ,

√

& tan ϕ = 4 2

√ = 1

→ ϕ = 45 ◦ ˆ

= π .

4

2

4

⇒ c 10 = 8 (cos 45 ◦ + i sin 45 ◦) = 8 eiπ 4 .

√

√

}

c 11 = − 4 2 − i 4 2 .

√

√

→ |c 11 | =

16 · 2 + 16 · 2 =

64 = 8 ,

√

& tan ϕ = − 4 2

√ = 1

→ ϕ = 45 ◦ + 180 ◦ = 225 ◦ ˆ

= 5 π.

− 4 2

4

⇒ c 11 = 8 (cos 225 ◦ + i sin 225 ◦) = 8 ei 54 π.

√

~
c 12 =

3 − i. √

→ |c 12 | =

3 + 1 = 2 ,

√

& tan ϕ = − 1

√ = − 1 3

→ ϕ = − 30 ◦ = 330 ◦ ˆ

= 11 π.

3

3

6

⇒ c 12 = 2 (cos 330 ◦ + i sin 330 ◦) = 2 ei 116 π.

Die komplex konjugierte Zahl

Um die Division von zwei komplexen Zah-
len zu bestimmen, benötigen wir noch einen
neuen Begriff. Wir führen hierfür zu der kom-
plexen Zahl c die komplex konjugierte

Zahl c∗ ( bzw. ¯
c) ein, die aus c durch Spie-
gelung an der reellen Achse hervorgeht:

Abb. 5.2. c und c*

Definition: c∗ := a − i b heißt die zu c = a + i b komplex konjugierte

Zahl.

5.1

Darstellung komplexer Zahlen

199

Aufgrund der Definition der komplex konjugierten Zahl folgt
c = a + i b

⇒ c∗ = a − i b.

c = |c| (cos ϕ + i sin ϕ)

⇒ c∗ = |c| (cos ϕ − i sin ϕ) .

c = |c| eiϕ

⇒ c∗ = |c| e−iϕ.

Man erhält also die zu c komplex konjugierte Zahl sehr einfach, indem man
formal i durch −i ersetzt. Es gilt damit natürlich ( c∗) ∗ = c.

Zusammenfassung:

√

Die imagin¨
are Einheit
i :=

− 1
ist definiert durch die Ei-
genschaft i 2 = − 1 .

Für komplexe Zahlen gibt es 3 Normalformen:

(1) c = a + i b
algebraische Normalform
mit a = Re ( c)

(Realteil) und b = Im ( c)

(Imaginärteil).

(2) c = |c| · (cos ϕ + i sin ϕ)

trigonometrische Normalform

√
b
mit |c| =
a 2 + b 2

(Betrag) und tan ϕ =

(Winkel).

a

(3) c = |c| eiϕ

Exponentialform
ϕ wird hierbei im Bogenmaß angegeben.

Komplexe Zahlen lassen sich in der Gaußschen Zahlenebene graphisch
darstellen.

Die zu c komplex konjugierte Zahl c∗ lautet
c∗ = a − i b = |c| (cos ϕ − i sin ϕ) = |c| e−iϕ.

200

5. Komplexe Zahlen

5.2

5.2 Komplexe Rechenoperationen

Was unter Summe, Differenz, Produkt und Quotient zweier komplexer Zah-
len zu verstehen ist, wird nicht durch die Konstruktion der komplexen Zahlen
festgelegt. Man muss diese Verknüpfungen neu definieren; aber natürlich so,
dass für den Spezialfall Imaginärteil gleich Null die bereits festgelegten Ver-
knüpfungen in IR herauskommen.

Seien im Folgenden c 1 = a 1 + i b 1 und c 2 = a 2 + i b 2 zwei beliebige komplexe Zahlen. Dann definiert man:

5.2.1 Addition
c 1 + c 2 := ( a 1 + a 2) + i ( b 1 + b 2)

Die Addition zweier komplexer Zahlen bedeutet die Addition der Realteile und
die Addition der Imaginärteile. Die Addition wird in der algebraischen Nor-
malform durchgeführt.

Beispiele 5.6:

 c 1 = 9 − 2 i, c 2 = 4 + i.

c 1 + c 2 = (9 + 4) + i ( − 2 + 1) = 13 − i.

 c 1 = 3(cos 30 ◦ + i sin 30 ◦) , c 2 = 4 + i. Um c 1 und c 2 zu addieren, muss die Zahl c 1 erst in die algebraische Normalform umgeformt werden:

c 1 = 3 cos 30 ◦ + i 3 sin 30 ◦ = 2 , 598 + i 1 , 5 .

⇒ c 1 + c 2 = (2 , 598 + i 1 , 5) + (4 + i) = 6 , 598 + i 2 , 5 .

5.2.2 Subtraktion
c 1 − c 2 := ( a 1 − a 2) + i ( b 1 − b 2)

Die Subtraktion zweier komplexer Zahlen bedeutet die Subtraktion der Re-
alteile und die Subtraktion der Imaginärteile. Die Subtraktion wird in der
algebraischen Normalform durchgeführt.

Beispiele 5.7:

 c 1 = 9 − 2 i, c 2 = 4 + i.

c 1 − c 2 = (9 − 2 i) − (4 + i) = 9 − 4 + i ( − 2 − 1) = 5 − i 3 .

5.2

Komplexe Rechenoperationen

201


π
c 1 = 2 e 4 i, c 2 = 4 − 2 i. Um c 1 und c 2 voneinander zu subtrahieren, wird c 1 erst in die algebraische Normalform umgeformt:

π
ϕ = π ˆ

=45 ◦ → c

4 i = 2 (cos 45 ◦ + i sin 45 ◦)

4

1 = 2 e

1 √

1 √

= 2

2 + i 2

2 = 1 , 414 + i 1 , 414 .

2

2

⇒ c 1 − c 2 = (1 , 414 + i 1 , 414) − (4 − 2 i) = − 2 , 586 + 3 , 414 i.

Geometrische Interpretation. Da die Addition und Subtraktion zweier
komplexer Zahlen analog den entsprechenden Regeln der Vektorrechnung er-
folgen (nämlich komponentenweise), entspricht die graphische Darstellung der

Rechenoperationen dem Kräfteparallelogramm, also der Vektoraddition bzw.

-subtraktion.

Abb. 5.3. Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen

Bemerkung: Obwohl eine komplexe Zahl nur einen Punkt in der komplexen

Zahlenebene darstellt, wird wegen obiger Interpretation der ”Vektoraddition”

eine komplexe Zahl oftmals mit dem Zeiger (Ortsvektor) identifiziert.

5.2.3 Multiplikation
c 1 · c 2 := ( a 1 a 2 − b 1 b 2) + i ( a 1 b 2 + b 1 a 2) Diese Formel für die Multiplikation ergibt sich, wenn ( a 1 + i b 1) · ( a 2 + i b 2)

nach dem Distributivgesetz für reelle Zahlen gliedweise ausmultipliziert und
die Definition von i 2 = − 1 ausgenutzt wird:

c 1 · c 2

=

( a 1 + i b 1) · ( a 2 + i b 2)

=

( a 1 a 2 + a 1 i b 2 + i b 1 a 2 + i b 1 i b 2)

=
a 1 a 2 + i 2 b 1 b 2 + i a 1 b 2 + i b 1 a 2

=

( a 1 a 2 − b 1 b 2) + i ( a 1 b 2 + b 1 a 2) .

202

5. Komplexe Zahlen

Beispiele 5.8:

 c 1 = 9 − 2 i, c 2 = 4 + i.

c 1 · c 2 = (9 − 2 i) (4 + i) = (36 + 2) + i (9 − 8) = 38 + i.

 Für das Produkt von c = a + i b mit der komplex konjugierten Zahl c∗ =
a − i b gilt
c · c∗ = ( a + i b) ( a − ib) = a 2 + b 2 = |c| 2 .

Damit erhält man folgende wichtige Formel für |c|:

√

√

|c| = a 2 + b 2 = c · c∗

Geometrische Interpretation: Zur geometrischen Interpretation führen wir
die Multiplikation nochmals aus, jetzt allerdings gehen wir von der trigonome-
trischen Normalform von
c 1 = |c 1 | (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1) und c 2 = |c 2 | (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2) aus. Gliedweises ausmultiplizieren liefert
c 1 · c 2 = |c 1 | (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1) · |c 2 | (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2)

= |c 1 | |c 2 | {[cos ϕ 1 cos ϕ 2 − sin ϕ 1 sin ϕ 2] + i [sin ϕ 1 cos ϕ 2 + cos ϕ 1 sin ϕ 2] }.

Wenden wir nun die Additionstheoreme für cos ( ϕ 1 + ϕ 2) und sin ( ϕ 1 + ϕ 2)

aus Kapitel 4.6.4 an:

cos ( ϕ 1 + ϕ 2)

=
cos ϕ 1 cos ϕ 2 − sin ϕ 1 sin ϕ 2
sin ( ϕ 1 + ϕ 2)

=
sin ϕ 1 cos ϕ 2 + cos ϕ 1 sin ϕ 2 ,
so erhalten wir als Produkt
c 1 · c 2 = |c 1 | · |c 2 | · (cos ( ϕ 1 + ϕ 2) + i sin ( ϕ 1 + ϕ 2)) .

Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen bedeutet die Multiplikation der

Betr¨
age und die Addition der Winkel. Dadurch kann der Punkt c 1 ·c 2 leicht
in der Gaußschen Zahlenebene konstruiert werden.

Für die Darstellung in der Exponentialform folgt
c 1 · c 2 = |c 1 | eiϕ 1 · |c 2 | eiϕ 2 = |c 1 | |c 2 | ei( ϕ 1+ ϕ 2) .

Dies entspricht genau der Eigenschaft der reellen Exponentialfunktion:

ex 1 · ex 2 = ex 1+ x 2 .

5.2

Komplexe Rechenoperationen

203

Abb. 5.4. Multiplikation zweier komplexer Zahlen

5.2.4 Division
c 1
a
b

:= 1 a 2 + b 1 b 2 + i 1 a 2 − a 1 b 2
für c
c

2 =0

2

( a 2)2 + ( b 2)2

( a 2)2 + ( b 2)2

Diese Formel für die Division ergibt sich, wenn man formal c 1 mit c∗ erweitert
c 2

2
und Zähler bzw. Nenner ausmultipliziert:

c 1
c
a

( a

= 1 · c∗ 2 = 1 + i b 1 · a 2 − i b 2 =

1 + i b 1) ( a 2 − i b 2)

c 2
c 2
c∗
a
a

( a

2

2 + i b 2

2 − i b 2

2 + i b 2) ( a 2 − i b 2)

( a

=

1 a 2 + b 1 b 2) + i ( b 1 a 2 − a 1 b 2) .

( a 2)2 + ( b 2)2

! Auch in IC ist die Division durch 0 = 0 + i 0 nicht erlaubt!

Geometrische Interpretation: Führt man die Division in der trigonometri-
schen Normalform durch, so erhält man unter Verwendung der trigonometri-
schen Formeln für cos ( ϕ 1 − ϕ 2) und sin ( ϕ 1 − ϕ 2) analog dem Vorgehen unter

Abschnitt 5.2.3
c 1

|c

|c

=

1 | (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1) = 1 | (cos ( ϕ
c

1 − ϕ 2) + i sin ( ϕ 1 − ϕ 2))

2

|c 2 | (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2)

|c 2 |
sowie
c 1

|c

|c

=

1 | eiϕ 1 = 1 | ei( ϕ 1 −ϕ 2) .

c 2

|c 2 | eiϕ 2

|c 2 |

Bei der Quotientenbildung zweier komplexer Zahlen werden die Betr¨
age divi-
diert und die Winkel subtrahiert. Damit ist c 1 ebenfalls in der Gaußschen
c 2

Zahlenebene geometrisch zu konstruieren.

204

5. Komplexe Zahlen

Beispiele 5.9:

 c 1 = 9 − 2 i, c 2 = 4 + i.

Um c 1 zu berechnen, erweitern wir den Quotienten mit c∗ und multiplizie-
c 2

2
ren Zähler und Nenner aus:

c 1

9 − 2 i

(9 · 4 − 2 · 1) + i ( − 2 · 4 − 9 · 1)

=

· 4 − i =

= 2 − i.

c 2

4 + i

4 − i

17

 c 1 = 8 ei 43 π, c 2 = 4 (cos 60 ◦ + i sin 60 ◦) .

Um c 1 zu berechnen, stellen wir c
c 2

2 in der Exponentialform dar. Da 60 ◦ ˆ

= π 3
gilt
c 2 = 4 (cos 60 ◦ + i sin 60 ◦) = 4 ei π 3 .

Damit folgt
c 1

8 ei 43 π

=

= 2 ei( 43 π− π 3 ) = 2 eiπ = − 2 .

c 2

4 ei π 3

√

√

Beispiel 5.10. Gegeben seien c 1 = 1 + i 3 und c 2 = − 3 + 3 i. Man berechne

(i) c 1 · c 2 und (ii) c 1 . (iii) Man bestimme die exponentielle Normalform der
c 2

Zahlen und führe nochmals die (iv) Multiplikation bzw. (v) die Division durch.

√ √

√

√

√

(i) c 1 · c 2 = 1 + i 3

− 3 + 3 i = − 3 − 3 3 + i (3 − 3) = − 4 3 .

√

√

√

√

√
c

1 + i 3

− 3 − 3 i

− 3 + 3 3 − 3 i − 3 i

3

(ii)

1 = √

· √

=

=

− 1 i.

c 2

− 3 + 3 i − 3 − 3 i

3 + 9

6

2

(iii) Darstellung von c 1 und c 2 in exponentieller Normalform

√

√

√

|c

3

1 | =

1 + 3 = 2; tan ϕ =

=

3 ⇒ ϕ = 60 ◦ ˆ

= π ⇒ c

1

3

1 = 2 ei π

3 .

√

√

|c 2 | = 2 3; tan ϕ = − 3

√ ⇒ ϕ = π − π = 2 π ⇒ c 2 = 2 3 ei 23 π.

3

3

3

√

√

√

(iv) c 1 · c 2 = 2 ei π 3 · 2 3 ei 23 π = 4 3 eiπ = − 4 3 .

c

√

(v)

1 = 2 √ ei( π 3 − 23 π) = 1 3 e−i π 3 .

c

2

3

3

2

Zusammenfassung:

Addition, Subtraktion und Multiplikation werden formal wie bei reellen

Zahlen ausgeführt, wobei i 2 = − 1 zu ersetzen ist.

Die Division c 1 wird durch Erweiterung mit c∗ berechnet. Die Ergebnisse
c 2

2
werden in die Form a + i b

( a, b ∈ IR) gebracht.

Multiplikation und Division lassen sich in der trigonometrischen bzw. ex-
ponentiellen Normalform sehr einfach ausführen: Bei der Multiplikation
werden die Beträge multipliziert und die Winkel addiert, während bei der

Division die Beträge dividiert und die Winkel subtrahiert werden.

5.2

Komplexe Rechenoperationen

205

5.2.5 Potenz

Die Potenz cn ( n ∈ IN) einer komplexen Zahl gestaltet sich in der trigonome-
trischen bzw. exponentiellen Normalform als besonders einfach. Gehen wir von
der komplexen Zahl c in der exponentiellen Normalform aus: c = |c| eiϕ. Dann
gilt
c 2 = c · c = |c| eiϕ |·c| eiϕ = |c| 2 ei 2 ϕ
c 3 = c 2 · c = |c| 2 ei 2 ϕ · |c| eiϕ = |c| 3 ei 3 ϕ
usw.

Durch vollständige Induktion weist man direkt nach, dass gilt
c = |c| (cos ϕ + i sin ϕ)

⇒
cn = |c|n (cos ( n ϕ) + i sin ( n ϕ))

bzw.

c = |c| eiϕ

⇒
cn = |c|n ei n ϕ.

Diese sog. Moivresche Formel besagen, dass man cn dadurch erhält, indem der

Betrag potenziert und der Winkel mit n multipliziert wird.

Beispiele 5.11:

√

√ 5

 Gesucht ist 2 2 + i 2 2

. √

√

Um die komplexe Zahl c = 2 2 + i 2 2 mit 5 zu potenzieren, müssen wir
sie zuerst in der exponentiellen Normalform darstellen:

√

√

+

|c| = 4 · 2 + 4 · 2 = 16 = 4

√

⇒ c = 4 eiπ 4
tan ϕ = 2 2

√ = 1 → ϕ = π

2

2

4

⇒ c5 = 45 eiπ 4 ·5 = 1024 ei 54 π.

√

6

 Gesucht ist

3 − i

.

√

Nach Beispiel 5.5 ~ ist c =

3 − i = 2 ei 116 π.

6

⇒ c6 = 2 ei 116 π

= 26 ei 11

6 π·6 = 64 ei 11 π = − 64 .

206

5. Komplexe Zahlen

5.2.6 Wurzeln

Für c = |c| (cos ϕ + i sin ϕ) = |c| eiϕ ist die n-te Wurzel ( n ∈ IN) gegeben durch

1
ϕ + k · 360 ◦
ϕ + k · 360 ◦
c n

=

{ n |c| cos

+ i sin

;
n
n
k = 0 , 1 , . . . , n − 1 }

=

{ n |c| eiϕ+ k· 2 π
n

; k = 0 , 1 , 2 , . . . , n − 1 },

( ∗)

wenn n |c| die reelle n-te Wurzel von |c| ≥ 0 .

Begr¨
undung: Um zu zeigen, dass die komplexen Zahlen

Wk := n |c| ei ϕ+ k 2 π
n

; k = 0 , 1 , 2 , . . . , n − 1
n-te Wurzel von c sind, genügt es zu zeigen, dass ( Wk) n = c. Denn die n-
te Wurzel einer komplexen Zahl hat die universelle Eigenschaft, dass sie zur
n-ten Potenz genommen genau c ergeben muss! Dies ist aber aufgrund der

Rechenregeln für das Potenzieren offensichtlich:

n

( W
n

·n
k ) n =

|c|
ei ϕ+ k 2 π
n

= |c| ei( ϕ+ k 2 π) = |c| eiϕ,
wenn man beachtet, dass ei( ϕ+ k 2 π) = eiϕ für k ∈ IN ist.

Die n-ten Wurzeln Wk sind für k = 0 , . . . , n − 1 voneinander verschieden, wie-
derholen sich aber für k ≥ n. Man beachte also, dass die n-te Potenz einer
komplexen Zahl eindeutig, die n-ten Wurzeln aber mehrdeutig sind.

Beispiele 5.12:

√

√ 1

1

√
π



4 + k· 2 π

4 2 + i 4 2 3 = 8 ei π 4 3 = { 3 8 ei

3

; k = 0 , 1 , 2 }

= { 2 ei π

12 , 2 ei 9

12 π , 2 ei 17

12 π }.

1

1

√



( − 1) 5 = 1 eiπ 5 = { 5 1 ei π+ k· 2 π

5

; k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }

= {ei π 5 , ei 35 π , eiπ , ei 75 π , ei 95 π}.

Sonderfall: Die n-ten Wurzeln aus 1: Jede komplexe Lösung von Zn = 1
heißt n-te Einheitswurzel. Mit Formel ( ∗) folgt für c = 1:

1

1

2 π ( n− 1)

1 n = 1 ei 0 n = { 1 , ei 2 π
n

, ei 4 π
n , . . . , ei
n

}.

Der Betrag dieser Zahlen ist jeweils 1, d.h. die n-ten Einheitswurzeln liegen
auf dem Einheitskreis. Die Differenz der Winkel ist jeweils 2 π , so dass sie nach-
n
einander durch Drehung um 2 π aus der 1 hervorgehen.

n

5.2

Komplexe Rechenoperationen

207

Beispiel 5.13. Gesucht sind alle 9.-ten Einheitswurzeln:

√

1

1

(1) 9

=

1 ei 0 9 = { 9 1 ei 0+ k 2 π

9

; k = 0 , . . . , 8 }

=

{ 1 e 0 , ei 2 π 9 , ei 4 π 9 , . . . , ei 169 π}.

Abb. 5.5. 9.-te Einheitswurzel von c = 1
ϕ + k · 2 π
n− 1
i

Satz: Für n > 1 gilt:

e
n

= 0 .

k= 0

Begr¨
undung: Dieser Satz ist aufgrund seiner geometrischen Eigenschaft of-
fensichtlich, da ei ϕ+ k· 2 π
n
die n-te Einheitswurzel der komplexen Zahl eiϕ dar-
stellt. Summiert man alle n Einheitswurzeln auf (Vektoraddition), so ergibt die

Summe Null; formal erhält man diese Aussage über die geometrische Reihe,
denn

n
n− 1

n− 1

n− 1

k

1 − ei 2 π
n
ei ϕ+ k· 2 π
n

=
ei ϕ
n ei k 2 π
n

= ei ϕ
n
ei 2 π
n

= ei ϕ
n

= 0 ,
k= 0
k= 0
k= 0

1 − ei 2 π
n

n
da 1 − ei 2 π
n

= 1 − ei 2 π = 1 − 1 = 0 .

Visualisierung mit Maple: Auf der CD-Rom befinden sich Work-
sheets, um komplexe Zahlen und die komplexen Rechenoperationen
graphisch darzustellen bzw. in Form von Animationen zu visualisieren.

5.2.7 Fundamentalsatz der Algebra

Wir interpretieren die Mehrdeutigkeit der n-ten Wurzel folgendermaßen: Jedes

Polynom n-ten Grades der Form p ( z) = zn − a

( n ∈ IN , a ∈ IC) hat genau
n Nullstellen, nämlich die n-ten Wurzeln von a. Diese Eigenschaft lässt sich
auf beliebige komplexe Polynome vom Grade n verallgemeinern. Dies ist der

Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra, der auf F. Gauß (1797) zurückgeht:

208

5. Komplexe Zahlen

Satz: Jedes komplexe Polynom n-ten Grades
p ( z) = an zn + an− 1 zn− 1 + . . . + a 1 z + a 0

( ak ∈ IC , an = 0 , z ∈ IC)

besitzt genau n Nullstellen.

Zusatz: Sind die Koeffizienten von p ( z) reell (d.h. ak ∈ IR), so sind die

Nullstellen reell oder sie treten paarweise komplex konjugiert auf.

Der Fundamentalsatz stellt zwar sicher, dass jedes Polynom n-ten Grades n

Nullstellen besitzt, er sagt aber nichts darüber aus, wie diese Nullstellen zu
finden sind. Es gibt auch im Komplexen außer in einfachen Spezialfällen keine
allgemeine Formel, wie die Nullstellen berechnet werden können. Somit bleibt
wie im Reellen: Entweder die Nullstellen zu erraten und durch Polynomdivisi-
on den Grad zu reduzieren oder sie numerisch zu bestimmen.

Beispiel 5.14. Gesucht sind die Nullstellen von p( z) = z 3 − 2 z − 4 .

Der Fundamentalsatz besagt, dass es genau 3 Nullstellen gibt. Um eine Null-
stelle zu erhalten, probieren wir z = 0 , ± 1 , ± 2 : → z = 2 ist eine Nullstelle.

Polynomdivision:

( z 3

− 2 z − 4) : ( z − 2) = z 2 + 2 z + 2 .

z 3

− 2 z 2

2 z 2

− 2 z

2 z 2

− 4 z

2 z

− 4

2 z

− 4

0

⇒ z 3 − 2 z − 4 = ( z − 2) z 2 + 2 z + 2 .

√

Die quadratische Formel liefert z 2 / 3 = − 1 ± 1 − 2 = − 1 ± i.

Die Nullstellen des Polynoms sind also: 2 , − 1 + i , − 1 − i.

Bemerkung: Der Zusatz zum Fundamentalsatz lässt sich direkt nachrechnen:

Ist p( z) = an zn + an− 1 zn− 1 + . . . + a 1 z + a 0 ein reelles Polynom und z 0 eine Nullstelle von p, dann ist z∗ ebenfalls eine Nullstelle von p:

0
p( z∗)

=
a

) n + a

) n− 1 + . . . + a

+ a

0
n ( z∗

0
n− 1( z∗

0

1 z∗

0

0

∗

=
an ( zn) ∗ + a
zn− 1

+ . . . + a

0
n− 1

0

1 ( z 0) ∗ + a 0

∗

=
an zn + a

+ . . . + a

= ( p ( z

0
n− 1 zn− 1

0

1 z 0 + a 0

0)) ∗ = 0 ∗ = 0 .

5.3

Anwendungen

209

5.3

5.3 Anwendungen

5.3.1 Beschreibung harmonischer Schwingungen im Komplexen

Das aus der Mechanik bekannte Federpendel hat die Eigenschaft, dass bei
einer ungedämpften Schwingung die Auslenkung aus der Ruhelage s( t) den
zeitlichen Verlauf s( t) = A cos( ωt + ϕ) besitzt. Das System schwingt mit der

Frequenz ω =

D , wenn D die Federkonstante und m die Masse ist. Diese
m

Funktion besitzt eine zeitlich konstante Maximalamplitude A und die Null-
phase ϕ. Die Schwingungsdauer beträgt T = 2 π . Eine periodische Bewegung
ω
mit einer Frequenz ω und zeitlich konstanter Maximalamplitude A nennt man
harmonische Schwingung. Das zum Federpendel elektrische Analogon ist
der Spannungsverlauf U ( t) = U 0 cos( ωt + ϕ) in einem LC-Wechselstromkreis

√
mit der Frequenz ω =

1
bzw. der Schwingungsdauer T = 2 π LC.

LC

Zur Beschreibung von harmonischen Schwingun-
gen im Komplexen betrachten wir zunächst die
komplexe Zahl
c = cos ϕ + i sin ϕ = eiϕ.

Da |c| = 1 , ist c eine Zahl auf dem Einheitskreis.

Projiziert man den Punkt c auf die reelle Achse,
erhält man den Realteil von c: Re( c) = cos ϕ;
projiziert man den Punkt c auf die imaginäre

Achse, so erhält man den Imaginärteil von c:

Im( c) = sin ϕ.

Variiert der Winkel ϕ als Funktion der Zeit ϕ = ω · t ( ω = 2 π konstante

T

Kreisfrequenz) , durchläuft eiϕ = eiωt für 0 ≤ t ≤ T den Einheitskreis in der
komplexen Ebene.

cos ωt und sin ωt sind die Projektionen des komplexen Zeigers eiωt
auf die reelle bzw. auf die imagin¨
are Achse.

Visualisierung mit Maple: Auf der CD-Rom befindet sich die Pro-
zedur projektion, welche die Projektionen von eiωt auf die x- bzw.

y-Achse zeichnet. Der im Einheitskreis laufenden Zeiger eiωt wird zusammen
mit seinem Real- und Imaginärteil animiert dargestellt, indem die Variable t
von 0 bis 2 π variiert.

T

210

5. Komplexe Zahlen

Mit einer Nullphase ϕ 0 folgt die komplexe Darstellung in der Form

cos ( ωt + ϕ 0)

=

Re ei( ωt+ ϕ 0)

sin ( ωt + ϕ 0)

=

Im ei( ωt+ ϕ 0) .

Allgemein lässt sich damit eine harmonische Schwingung y( t) im Komplexen
schreiben als

ˆ
y ( t)

= A (cos ( ωt + ϕ 0) + i sin( ωt + ϕ 0))

= A ei( ωt+ ϕ 0) = A eiϕ 0 eiωt.

Also ist die komplexe Beschreibung einer harmonischen Schwingung

ˆ
y ( t) = A eiϕ 0 eiωt
gegeben durch die komplexe Amplitude A eiϕ 0 und dem reinen Zeitanteil eiωt.

5.3.2 Superposition gleichfrequenter Schwingungen

Im Folgenden werden wir die Überlagerung ( Superposition) zweier gleich-
frequenter harmonischer Schwingungen im Komplexen berechnen. Gegeben

5.3

Anwendungen

211
seien z.B. zwei Wechselspannungen
u 1( t) = u 1 sin ( ωt + ϕ 1)

u 2 ( t) = u 2 sin ( ωt + ϕ 2) .

Gesucht ist die Überlagerung
u ( t) = u 1 ( t) + u 2 ( t) = A sin ( ωt + ϕ)

mit Amplitude A und Phase ϕ.

Zur Berechnung der Überlagerung interpretieren wir u 1 ( t) als Imaginärteil
der komplexen Schwingung ˆ
u 1 ( t) = u 1 ei( ωt+ ϕ 1) und u 2 ( t) als Imaginärteil
von ˆ
u 2 ( t) = u 2 ei( ωt+ ϕ 2) und führen die Überlagerung im Komplexen durch.

Anschließend nehmen wir von dem Ergebnis die imaginäre Komponente; sie
entspricht dann u 1 ( t) + u 2 ( t) .

Methode:

u 1 ( t) + u 2 ( t) = Im ˆ
u 1 ( t) + Im ˆ
u 2 ( t) = Im (ˆ
u 1 ( t) + ˆ
u 2 ( t)) = Im ˆ
u ( t) = u ( t) .

¨

Ubergang

ˆ
u 1 ( t)

=
u 1 ei( ωt+ ϕ 1) = u 1 eiϕ 1 eiωt,

−−−−−−−−−−−−→
ins Komplexe

ˆ
u 2 ( t)

=
u 2 ei( ωt+ ϕ 2) = u 2 eiϕ 2 eiωt.

Komplexe

−−−−−−−−−→

ˆ
u( t)

=

ˆ
u 1 ( t) + ˆ
u 2 ( t)

Addition

=
u 1 eiϕ 1 eiωt + u 2 eiϕ 2 eiωt

=
u 1 eiϕ 1 + u 2 eiϕ 2 eiωt

=

A eiϕ eiωt = A ei( ωt+ ϕ) .

Die komplexe Amplitude der Superposition A eiϕ ergibt sich als Summe der
beiden Einzelamplituden u 1 eiϕ 1 und u 2 eiϕ 2 . Die Überlagerung zweier gleich-
frequenter Schwingungen entspricht der vektoriellen Addition der komplexen

Amplituden. Die komplexe Addition kann damit sowohl zeichnerisch als auch
rechnerisch durchgeführt werden.

¨

Ubergang

−−−−−−−−−→

u ( t) = u 1 ( t)+ u 2 ( t) = Im A ei( ωt+ ϕ) = A sin ( ωt + ϕ) .

ins Reelle

Bemerkungen:

(1) Auf dieselbe Weise erhält man die Überlagerung zweier Kosinusschwin-
gungen u 1 ( t) = u 1 cos ( ωt + ϕ 1) , u 2 ( t) = u 2 cos ( ωt + ϕ 2) , indem diese Schwingungen als Realteil der entsprechenden komplexen Schwingungen

interpretiert werden. u ( t) = Re A ei( ωt+ ϕ)

liefert dann den Kosinusan-
teil der Superposition.

212

5. Komplexe Zahlen

Abb. 5.6. Graphische Addition der komplexen Amplituden

(2) Ist eine Schwingung in Kosinusdarstellung u 1 ( t) = a 1 cos ( ωt + ϕ 1) und
die andere in der Sinusdarstellung u 2 ( t) = a 2 sin ( ωt + ϕ 2) gegeben, so
muss eine gemeinsame Darstellungsform gewählt werden. Entweder man
schreibt

π
u 1( t) = a 1 cos ( ωt + ϕ 1) = a 1 sin ωt + ϕ 1 + 2
und führt die Überlagerung in der Sinusform durch oder man schreibt

u 2( t) = a 2 sin ( ωt + ϕ 2) = a 2 cos ωt + ϕ 2 − π 2
für die andere Schwingung und führt die Überlagerung in der Kosinusform
durch.

(3)

! Achtung: Die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen un-
terschiedlicher Frequenzen führt i.A. nicht mehr zu einer periodischen

Funktion. Nur im Fall, dass das Verhältnis der Frequenzen eine gebro-
chenrationale Zahl ist, erhält man wieder eine periodische Funktion, aber
auch dann keine harmonische mehr. Siehe auch das zugehörige Maple-

Worksheet.

Zusammenfassend gilt also

Satz: Besitzen zwei harmonische Schwingungen die gleiche Frequenz ω
u 1 ( t) = u 1 sin ( ωt + ϕ 1) , u 2 ( t) = u 2 sin ( ωt + ϕ 2) , dann ist die Superposition wieder eine harmonische Schwingung mit
u ( t) = u 1 ( t) + u 2 ( t) = A sin ( ωt + ϕ) .

5.3

Anwendungen

213

Beispiel 5.15 (Mit Maple-Worksheet). Gesucht ist die Überlagerung der
beiden Wechselspannungen

u 1 ( t) = 4 sin(2 t) und u 2 ( t) = 3 cos 2 t − π .

6

Bevor man diese beiden harmonischen Funktionen überlagert, stellt man z.B.

u 2 ( t) als Sinusfunktion dar:

π
π
u 2 ( t) = 3 cos 2 t − π = 3 sin 2 t − π +

= 3 sin 2 t +

.

6

6

2

3

Übergang

ˆ
u 1 ( t) = 4 ei 2 t

−−−−−−−−−−→
ins Komplexe

ˆ
u 2 ( t) = 3 ei(2 t+ π 3 ) = 3 ei π 3 ei 2 t.

Komplexe

−−−−−−−−→

ˆ
u ( t)

=

ˆ
u 1 ( t) + ˆ
u 2 ( t)

Addition

=

4 ei 2 t + 3 ei π 3 ei 2 t = 4 + 3 ei π 3 ei 2 t.

Addition der komplexen Amplituden in der algebraischen Normalform

√
c = 4 + 3 ei π 3 = 4 + 3 cos π + i sin π = 4 + 3 1 + i 1

3 = 5 , 5 + i 2 , 6 .

3

3

2

2

Darstellung von c in Exponentialform

|c| = 5 , 52 + 2 , 62 = 6 , 08 ,
tan ϕ = Im c = 2 , 6

→ ϕ = 25 , 28 ◦ ˆ

=0 . 44 .

Re c

5 , 5

⇒ c = A eiϕ mit A = 6 , 08 ϕ = 0 . 44

⇒ ˆ u ( t) = 6 , 08 ei 0 . 44 ei 2 t = 6 , 08 ei (2 t+0 . 44) .

Übergang

−−−−−−−→
u ( t) = Im ˆ
u ( t) = 6 , 08 sin (2 t + 0 . 44) .

ins Reelle

In Abb. 5.7 ist die Überlagerung der beiden Schwingungen graphisch darge-
stellt:

Abb. 5.7. Überlagerung zweier gleichfrequenter Schwingungen

Dieses Verfahren lässt sich leicht auf den Fall der Überlagerung von mehr als
zwei harmonischen Schwingungen mit gleichen Frequenzen übertragen.

214

5. Komplexe Zahlen

5.3.3 Beschreibung von RCL-Gliedern bei Wechselstr¨
omen

Wir betrachten elektrische Netzwerke, die sich aus Ohmschen Widerständen,

Kapazitäten und Induktivitäten zusammensetzen. In Wechselstromkreisen be-
sitzen die Spannungen U ( t) und die Ströme I( t) zeitlich einen sinus- oder
kosinusförmigen Verlauf:

U ( t) = U 0 cos( ωt + ϕ 1)

,

I ( t) = I 0 cos ( ωt + ϕ 2) .

Wir gehen zu der komplexen Formulierung über und fassen sie als Realteile
der komplexen Funktionen

ˆ

U ( t)

=

U 0 ei( ωt+ ϕ 1)

=

U 0 eiϕ 1 eiωt

=

ˆ

U 0 eiωt

ˆ

I ( t)

=

I 0 ei( ωt+ ϕ 2)

=

I 0 eiϕ 2 eiωt

=

ˆ

I 0 eiωt
auf. Im Folgenden zeigen wir, dass sich das Ohmsche Gesetz auf die induktiven
und kapazitiven Schaltelemente überträgt, wenn man diese komplexe Formu-
lierung wählt.

(1) Ohmscher Widerstand R. Für einen Ohmschen Widerstand ist der

Zusammenhang zwischen Spannung und Strom gegeben durch U ( t) = R I( t) .

Dieses Gesetz gilt auch für einen komplexen Wechselstrom ˆ

I( t) = ˆ

I 0 eiωt.

→ ˆ

U ( t) = R ˆ

I 0 eiωt = R ˆ

I ( t) .

Ein Ohmscher Widerstand wird durch den reellen Widerstand R beschrieben.

Strom und Spannung sind in Phase.

(2) Kapazit¨
at C. Bei einem Kondensator mit Kapazität C besteht folgender

Zusammenhang zwischen Ladung Q und angelegter Spannung U :

d

Q = C · U

→

I( t) =

Q ( t) = C · ˙

U ( t) .

dt

Speziell für ˆ

U ( t) = ˆ

U 0 eiωt folgt

ˆ

I( t) = C · ˆ

U 0 eiωt

= C · ˆ

U 0 eiωt iω = C · iω ˆ

U ( t) .

Also ist der komplexe Widerstand

ˆ

ˆ

U ( t)

1

1

RC :=

=

= −i

.

ˆ

I ( t)

iωC
ωC

Einer Kapazität wird der komplexe Widerstand ˆ

RC = 1 zugeordnet. Span-
iωC
nung und Strom sind um − 90 ◦ verschoben.

5.3

Anwendungen

215

(3) Induktivit¨
at L. Bei einer Spule mit Induktivität L ist der Zusammenhang
zwischen Strom und induzierter Spannung durch das Induktionsgesetz
d I ( t)

U ( t) = L
dt
gegeben. Speziell für ˆ

I ( t) = ˆ

I 0 eiωt folgt

ˆ

U ( t) = L ˆ

I 0 eiωt

= L ˆ

I 0 eiωt iω = iωL ˆ

I ( t) .

Einer Spule mit Induktivität L wird der komplexe Widerstand

ˆ

ˆ

U ( t)

RL :=

= iωL

ˆ

I ( t)

zugeordnet. iωL liegt auf der positiven imaginären Achse. Die Phase zwischen

Spannung und Strom beträgt +90 ◦; die Spannung eilt dem Strom um 90 ◦ vor-
aus.

Bemerkung: Bei diesen Überlegungen wurde die Formel eiωt

= iω eiωt be-
nutzt. Diese Gesetzmäßigkeit werden wir in Kap. 9.5.5 nachprüfen.

Zusammenfassung: Für RCL-Netzwerke gelten bei Wechselspannun-
gen, ˆ

U ( t) = ˆ

U 0 eiωt, bzw. Wechselströmen, ˆ

I ( t) = ˆ

I 0 eiωt, Ohmsche

Gesetze der Form ˆ

U ( t) = ˆ

R ˆ

I ( t) , wenn den einzelnen Schaltelementen
komplexe Widerst¨
ande (Impedanzen) ˆ

R zugeordnet werden:

Ohmscher Widerstand R

ˆ

RΩ

=

R

Kapazität C

ˆ

RC

=

1
iωC

Induktivität L

ˆ

RL

=
iωL

Folgerung: Mit den Kirchhoffschen Regeln ergibt sich für die Ersatzschal-
tung zweier komplexer Widerstände ˆ

R 1 und ˆ

R 2 durch einen komplexen

Gesamtwiderstand (= Ersatzwiderstand) ˆ

R :

(a)

Reihenschaltung

ˆ

R

=

ˆ

R 1 + ˆ

R 2 .

1

1

1

ˆ

R ˆ

R

(b)

Parallelschaltung

=

+
bzw. ˆ

R =

1

2

.

ˆ

R

ˆ

R

ˆ

ˆ

1

R 2

R 1 + ˆ

R 2

Re ˆ

R heißt der Wirkwiderstand, Im ˆ

R der Blindwiderstand und ˆ

R der
reelle Scheinwiderstand.

Im Wechselstromkreis dürfen also die bekannten Regeln für die Ersatzschal-
tung von Widerständen wie im Gleichstromkreis verwendet werden, wenn bei

Kapazität und Induktivität zu komplexen Widerständen übergegangen wird!

216

5. Komplexe Zahlen

5.3.4 Beispiele f¨
ur RCL-Wechselstromschaltungen

Beispiel 5.16 (RCL-Reihenschaltung, mit Maple-Worksheet):

Nebenstehendes Bild zeigt eine Reihenschaltung aus
je einem Ohmschen Widerstand RΩ, einer Kapazität

C und einer Induktivität L. Es addieren sich die kom-
plexen Einzelwiderstände zum komplexen Gesamtwi-
derstand

ˆ

1

Abb. 5.8.

R = R

+ iωL

RCL-Kreis

Ω + ˆ

RC + ˆ

RL = RΩ + iωC

ˆ

R = RΩ + i ωL − 1

.

ωC

Die Addition ist graphisch durch das Zeigerdiagramm gegeben.

Zeigerdiagramm

Spannungsdiagramm

Der Blindwiderstand ist

Im ˆ

R = ωL − 1 ,
ωC
der Wirkwiderstand ist

Re ˆ

R = RΩ
und der reelle Scheinwiderstand

2

R = ˆ

R =

R 2 + ωL − 1

.

Ω
ωC

Die Phase zwischen Spannung und Strom erhält man aus

Im ˆ

R
ωL − 1
tan ϕ =

=
ωC .

Re ˆ

R

RΩ

5.3

Anwendungen

217

Diskussion: Multipliziert man die Widerstände jeweils mit ˆ

I, erhält man das
zugehörige Spannungsdiagramm:

(1) UΩ fällt am Ohmschen Widerstand ab und ist mit dem Strom I in Phase.

(2) UL fällt an der Induktivität ab. UL eilt dem Strom um 90 ◦ voraus.

(3) UC fällt an der Kapazität ab. UC hinkt dem Strom um 90 ◦ nach.

Für R = 1, L = 1 und C = 1 erhält man die folgende graphische Darstellung
für den Ersatzwiderstand R( ω) bzw. die Phase ϕ( ω):

Ersatzwiderstand R( ω)

Phase ϕ( ω)

Beispiel 5.17 (LC-Parallelkreis, mit Maple-Worksheet):

Für die in Abbildung 5.9 gezeichnete Schaltung be-
rechnet man den komplexen Ersatzwiderstand, in-
dem zuerst L und R 2 ersetzt werden durch den Rei-
henersatzwiderstand Rr = R 2 + iωL. Rr liegt pa-
rallel zu C, so dass sich die Leitwerte addieren

1

Zp = i ω C +

.

i ω L + R 2

Abb. 5.9. LC-Parallelkreis

Der komplexe Gesamtwiderstand setzt sich nun zusammen aus der Summe von

R 1 und Rp = 1 :

Zp

1

1

Rges = R 1 +

= R

Z

1 +
p
i ω C +

1
i ω L+ R 2

R

R

1 ω 2 C L − R 1 ω C R 2 i − R 1 − ω L i − R 2
ges =

.

ω 2 C L − ω C R 2 i − 1

Man erkennt in dieser Darstellung, dass der Gesamtwiderstand eine komplexe
rationale Funktion in ω ist und 2 der höchste auftretende Exponent. Dies
spiegelt die Tatsache wider, dass der Schaltkreis zwei Energiespeicher, nämlich

C und L besitzt. Für die Werte C = 20 · 10 − 6 , L = 20 · 10 − 3 , R 1 = 50 , R 2 = 500

218

5. Komplexe Zahlen
ergibt sich der Gesamtwiderstand als Funktion in ω

0 . 8000 10 − 11 ω 4 + 0 . 004960 ω 2 + 550

Rges = 0 . 1600 10 − 12 ω 4 + 0 . 00009920 ω 2 + 1

( − 0 . 8000 10 − 8 ω 3 − 4 . 980 ω ) i

+

.

0 . 1600 10 − 12 ω 4 + 0 . 00009920 ω 2 + 1

Die Kurvenverläufe von Gesamtwiderstand und Phase in Abhängigkeit von ω
sind gegeben durch

Gesamtwiderstand R( ω)

Phase ϕ( ω)

MAPLE-Worksheets zu Kapitel 5

Die folgenden elektronischen Arbeitsblätter stehen für Kapitel 5 mit

Maple zur Verfügung. Sie können direkt durch Anklicken aus der
pdf-Version des Buches gestartet werden.

Darstellung komplexer Zahlen mit Maple

Komplexes Rechnen mit Maple

Visualisierung der komplexen Rechenoperationen

Überlagerung von Schwingungen

RCL-Wechselstromkreise mit Maple

Übertragungsverhalten von Filterschaltungen

Maple-Lösungen zu den Aufgaben

5.4

Aufgaben zu komplexen Zahlen

219

5.4

5.4 Aufgaben zu komplexen Zahlen

5.1

Geben Sie die Exponentialform der folgenden komplexen Zahlen an

√

√
a) 3

3 + 3 i
b) − 2 − 2 i
c) 1 −

3 i
d) 5
e) − 5 i
f) − 1

5.2

Wie lautet die trigonometrische und algebraische Normalform von

√
a) 3

2 ei π 4
b) 2 ei 2 π

3
c) ei π
d) 4 ei 4 π

3

5.3

Welches sind die zugehörigen komplex konjugierten Zahlen

√

√
a) 3 +

2 i
b) 4 (cos 125 ◦ + i sin 125 ◦)

c) 5 ei 32 π
d)

3 ei 0 . 734

5.4

Man bestimme die trigonometrische Normalform von

√

√

√
a) − 1 +

3 i
b) − 1 + i
c)

2 +

2 i
d) − 3 − 4 i

5.5

Berechnen Sie

5
a) 2 (5 − 3 i) − 3 ( − 2 + i) + 5 ( i − 3)

b) (3 − 2 i)3
c)

+ 10

3

− 4 i

4+3 i

10

2

1 − i

2 − 4 i

(1 + i) (2 + 3 i) (4 − 2 i)

d)

e)

f)

1 + i

5 − 7 i

(1 + 2 i)2 (1 − i)

√

5.6

Sei z 1 = 1 − i , z 2 = − 2 + 4 i , z 3 =

3 − 2 i. Wie lautet die algebraische

Normalform von
a) z 2

1 + 2 z 1 − 3
b) | 2 z 2 − 3 z 1 | 2
c) ( z 3 − z∗ 3)5

d) |z
z

1 z∗

3

2 + z 2 z∗

1 |
e) z 1+ z 2+1
f) 1

+ z∗ 3
z 1 −z 2+ i

2
z∗

3
z 3

g) (( z

2

2

2 + z 3) ( z 1 − z 3)) ∗
h) z 2

1 + z∗ 2

2

+ z∗ 2

3

− z 22
i) Im { z 1 z 2 }

z 3

5.7

Berechnen Sie

√

10

√

6

7
a) − 1 +

3 i
b) [2 (cos 45 ◦ + i sin 45 ◦)]3 c) 3

3 + 3 i
d) 2 ei 53 π

5.8

Geben Sie im Komplexen alle Lösungen an von
a) z 4 + 81 = 0 ,

√
b) z 6 + 1 =

3 i

5.9

Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen von
a) z 5 − 2 z 4 − z 3 + 6 z − 4 = 0
b) 4 x 4 + 4 x 3 − 7 x 2 + x − 2 = 0

5.10

Lösen Sie Aufgaben 5.1 - 5.9 mit Maple.

5.11

Wie lauten der Real- und Imaginärteil der folgenden komplexen Zahlen
i π

− 2 + 7 i

1 + i

1 − i

2 e 4
a)

b)

c)

− 1 + 3 i d)

e) 2 ei 120 ◦

15 i

1 − i

1 + 2 i

1 − 2 i

(1 + i) (2 + i)

2 − i
f) 3 ei 5 π

6
g) − 5 e−i π 2
h) 7 ei π
i)

· e−i π 3

2 + i

Wie groß sind jeweils Betrag und Winkel?

5.12

Wie heißen die folgenden komplexen Zahlen in Exponentialform? (Verwenden

Sie zur Berechnung Maple.)

a) − 1 − i
b) − 1 + i c) 3 + 4 i d) − 3 − 4 i e) 2 i f) − 2 g) 1 − 2 i

220

5. Komplexe Zahlen

5.13

Es sei z = x + i y und z∗ die zu z konjugiert komplexe Zahl. Bestimmen Sie
mit Maple

.

/

.

/

. ∗/
a) a = z
b) b = Re
z− 2
c) c = Im
z∗ 3
d) d = Im
z 3
z∗

5.14

Berechnen Sie mit Maple

&

'

10

6

9
a)

3+4 i

5
b)

i + 1

1+
c) (1 + i) · e−i π 6
i

5.15

Berechnen Sie mit Maple alle reellen und komplexen Lösungen der Gleichun-
gen

√
a) z 3 = i
b) z 2 = − 1 + i 3
c) 32 z 5 − 243 = 0
i π
d) z 3 + 4

2

1+ = 0
e) z 4 + 1+2 e

= 0
f) z 2 − 2 i z + 3 = 0
i

2+ −i π
e

2

5.16

Bestimmen Sie mit Maple alle Nullstellen der Funktion z 4 − 3 z 3+2 z 2+2 z− 4 .

5.17
a) Berechnen Sie den komplexen und reellen Scheinwiderstand für die in Abb.

1a skizzierte Reihenschaltung ( R = 100Ω, C = 20 μF , L = 0 . 2 H, ω = 106 1 ) .

s
b) Bestimmen Sie den komplexen und reellen Scheinwiderstand für die in Abb.

1b skizzierte Parallelschaltung ( R = 100Ω, L = 0 . 5 H, ω = 500 1 ).

s

Abb. 1a

Abb. 1b

5.18
a) Man berechne den komplexen Scheinwiderstand der in Abb. 2a dargestellten

Schaltung als Funktion von ω.

b) Man berechne den komplexen Scheinwiderstand der in Abb. 2b dargestellten

Schaltung bei einer Kreisfrequenz ω = 300 s− 1 für die Parameter R 1 = 50Ω,

L 1 = 1 H, R 2 = 300Ω, C 1 = 10 μF , R 3 = 20Ω, L 2 = 1 . 5 H.

Abb. 2a

Abb. 2b

5.19

Gegeben sind die beiden Wechselspannungen u 1 ( t) und u 2 ( t) . Man bestimme

die durch Superposition entstehende resultierende Wechselspannung ω = 314 1 :

s

u 1 ( t) = 100 V · sin ( ωt)

u 2 ( t) = 150 V · cos ωt − π 4
und zeichne alle drei Graphen in ein Schaubild.

5.20

Die mechanischen Schwingungen y 1 ( t) = 20 cm · sin πt + π

10
und y 2 ( t) =

15 cm · cos πt + π 6 werden ungestört zur Überlagerung gebracht. Wie lautet
die resultierende Schwingung? (Man rechne in der Kosinusdarstellung!)

5.21

Man zeige zeichnerisch, dass

3 cos ωt + π 6 + 2 cos ωt + π 4 = A cos ( ωt + ϕ)

mit A ≈ 5 , ϕ ≈ 36 ◦.

Kapitel 6

6

Grenzwert und Stetigkeit

6

Grenzwert und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

221

6.1

Reelle Zahlenfolgen ................................................ 223

6.2

Funktionsgrenzwert ................................................ 229

6

6.3

Stetigkeit einer Funktion ......................................... 235

6.4

Intervallhalbierungs-Methode .................................... 237

6.5

Aufgaben zu Grenzwert und Stetigkeit ........................ 240

Zus¨
atzliche Abschnitte auf der CD-Rom

6.6

MAPLE: Folgen und Grenzwerte .................................

cd

6.6.1

Ermittlung von Grenzwerten mit MAPLE ......................

cd

6.6.2

Graphische Darstellung von Funktionsfolgen mit MAPLE...

cd

6.6.3

Berechnung von Funktionsgrenzwerten mit MAPLE .........

cd

6.6.4

Bisektionsverfahren mit MAPLE .................................

cd

6 Grenzwert und Stetigkeit

Grundlegend für das gesamte Kapitel sind Grenzwerte von Zahlenfolgen. Auf dieser

Grundlage baut die Konstruktion des Funktionsgrenzwertes auf, der wiederum für
den Begriff der Stetigkeit benötigt wird. Etwas lax formuliert sind die stetigen Funk-
tionen die Funktionen, die bei einem zusammenhängenden Definitionsbereich keine

Sprungstelle aufweisen, d.h. ohne Unterbrechung gezeichnet werden können. Für die-
se stetigen Funktionen werden wir das Bisektionsverfahren einführen, um numerisch
die Nullstellen dieser Funktionen zu bestimmen.

6.1

6.1 Reelle Zahlenfolgen

In den meisten Tests zur Erfassung der Denkfähigkeit von Schülern und Stu-
denten kommt eine Aufgabenstellung der Form vor: Gegeben ist

− 1 1

1

,

, − 1 ,

, ...

2 4

6 8

Man möge vier weitere Glieder dieser Folge angeben. Gemeint ist natürlich

− 1 , 1 , − 1 , 1 . Etwas schwieriger ist die Aufgabe, eine Gesetzmäßigkeit zu

10

12

14

16
finden, um das 100. Glied der Folge zu bestimmen. Hierbei ist dann nach der

Formel ( − 1) n 1 gefragt, in die man anschließend n = 100 einsetzt. Eventuell

2 n
wird auch gefragt, welchem Wert die Folgenglieder für große n beliebig nahe
kommen. Dann ist der Grenzwert der Folge gesucht. Wir definieren verallge-
meinernd:

Definition: (Zahlenfolge). Unter einer reellen Zahlenfolge versteht
man eine geordnete Menge reeller Zahlen, indiziert mit 1, 2, 3,. . . .

Notation: ( an) = a
n

1 , a 2 , a 3 , . . . , an, . . . .

Die Zahlen a 1 , a 2 , . . . heißen Glieder der Folge, an das n-te Glied bzw. das allgemeine Glied der Folge (Bildungsgesetz).

Beispiele 6.1:

{

( an) = 1 , 2 , 3 , 4 , . . . , n, . . . ;
a
n
n = n.

|

( an) = 1 , 1 , 1 , 1 , . . . , 1 , . . . ;
a

.

n

2

3

4
n
n = 1
n

}

( an) = − 1 , +1 , − 1 , +1 , − 1 , +1 , . . . ;
a
n
n = ( − 1) n .

~

( an) = − 1 , 1 , − 1 , 1 , − 1 , . . . ;
a

.

n

2

4

6

8

10
n = ( − 1) n 1

2 n

( an) = 0 . 1 , 0 . 11 , 0 . 111 , 0 . 1111 , . . . ;
a
n

1 = 0 . 1 und
an = an− 1 + 10 −n für n ≥ 2 .

224

6. Grenzwert und Stetigkeit

Eine Zahlenfolge kann als diskrete Funktion F : IN → IR mit n −→ a ( n) =
an aufgefasst werden. Die Funktion F ordnet jeder natürlichen Zahl n genau
eine reelle Zahl F ( n) = an zu. Hierbei tritt die Variable n als Index auf; die

Funktionswerte sind nummeriert.

Darstellung von Zahlenfolgen: Die Glieder einer Folge sind darstellbar auf
der reellen Zahlengeraden. Z.B. für an =

1

2 n− 1 erhalten wir die Folge

1 1 1

1

1

( an) = 1 ,

,

,

,

,

, . . .

n

2 4 8 16 32
die unten auf dem Zahlenstrahl dargestellt ist. Gemäß der Interpretation als
diskrete Funktion können Folgen auch über den Funktionsgraphen (siehe rechte

Abb.) dargestellt werden. Da die Funktion nur für n ∈ IN definiert ist, dürfen
die Punkte nicht verbunden werden!

Folge auf reellem Zahlenstrahl

Folge als diskrete Funktion

Grenzwert einer Folge

Um das Verhalten der Folge an = 1 − 1 ( n ∈ IN) für große n zu diskutieren,
n
erstellen wir eine Wertetabelle
n

1

2

3

4

· · · 10 · · · 100 · · · 1000 · · · 10000
a

2

3
n

0

1

· · · 0 . 9 · · · 0 . 99 · · · 0 . 999 · · · 0 . 9999 .

2

3

4

Die Eigenschaften dieser Folge sind, dass
alle Glieder an kleiner als 1 sind und dass
mit wachsendem n die Glieder an sich
an die Zahl 1 annähern. Damit wird der

Abstand zwischen den Folgengliedern an
und dem Wert 1 mit wachsendem n klei-
ner:

Abb. 6.1. Grenzwert der Folge 1 − 1

|an − 1 | → 0
für n → ∞.

n

Die Zahl 1 wird als Grenzwert der Folge an = 1 − 1 bezeichnet.

n

6.1

Reelle Zahlenfolgen

225

Visualisierung mit Maple: Auf der CD-Rom befindet sich ein

Maple-Worksheet, bei dem man selbst Folgen spezifiziert und die-
se Folgen dann - sofern sie einen Grenzwert besitzt - in Form einer Animation
dargestellt werden.

Definition: (Grenzwert)

(1) Eine reelle Zahl a heißt Grenzwert oder Limes der Zahlenfolge

( an)

, wenn es zu jedem ε > 0 eine nat¨
urliche Zahl n
n∈ IN

0 gibt, so
dass f¨
ur alle n > n 0 stets gilt

|an − a| < ε.

(2) Eine Folge heißt konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzt. Wir
verwenden dann die Notation
n→∞
an −→ a
oder
lim an = a.

n→∞

(3) Eine Folge heißt divergent, wenn sie keinen Grenzwert besitzt.

Definition (1) besagt, dass a der Grenzwert einer Folge ist, wenn der Abstand
von Folgengliedern zum Grenzwert, |an − a|, beliebig klein ( ε) gewählt wer-
den kann und alle Folgenglieder an ab n 0 einen noch kleineren Abstand zum

Grenzwert a besitzen. Anschaulich formuliert bedeutet dies:

Folgerung: Eine Folge an konvergiert, wenn es einen Grenzwert a gibt,
so dass der Abstand
d = |an − a| → 0
für
n → ∞.

Bemerkungen:

(1) Konvergiert eine Zahlenfolge gegen einen Grenzwert a, dann hängt der

Index n 0 von der Wahl des Abstandes ε ab.

(2) Der Grenzwert einer Zahlenfolge ist eindeutig.

(3) Divergiert eine Folge, so muss nicht notwendigerweise an → ±∞ gelten.

(4) Wir werden Sätze kennen lernen, mit denen man den Grenzwert einer

Folge direkt berechnen kann, ohne auf die obige Definition zurückgreifen
zu müssen.

(5) Der Grenzwert einer Folge wird in der Regel nie von den Folgengliedern
erreicht.

226

6. Grenzwert und Stetigkeit

Beispiele 6.2:

 Die Folge

1

1 1 1

( an) =

= 1 ,

,

,

, . . .

n
n

2 3 4
n
konvergiert gegen den Grenzwert 0 :

lim a

1
n = lim

= 0 .

n→∞
n→∞ n

Man bezeichnet Folgen, die gegen den Grenzwert 0 konvergieren, als Null-
folgen.

 Die Folge

1

( an) =

1 +

= 1 . 5 , 1 . 25 , 1 . 125 , 1 . 0625 , 1 . 03125 , . . .

n

2 n
n
konvergiert gegen 1 , da für den Abstand der Folgengliedern an zu 1 gilt

1

1 n→∞
d = |a

n − a| = 1 +

− 1

−→ 0 .

2 n

= 2 n

 Die Folge

( an) = ( n) = 1 , 2 , 3 , 4 , . . .

n
n
ist unbeschränkt wachsend und daher divergent.



! Die Folge

( an) = (( − 1) n) = − 1 , 1 , − 1 , 1 , − 1 , . . .

n
n
hat zwei sog. H¨
aufungspunkte, nämlich 1 und − 1 . Sie konvergiert aber nicht
gegen einen Grenzwert. Daher ist sie divergent.

 x ∈ IR fest.

( an) = ( xn) = x, x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , . . . , xn, . . . .

n
n

Für x-Werte mit − 1 < x < 1 konvergiert die Folge gegen Null, für x = 1
gegen 1 , für andere x-Werte divergiert die Folge.

Um nachzuprüfen, dass Zahlenfolgen konvergent sind, muss nach der Definition
von Konvergenz der Grenzwert bereits bekannt sein, da der Abstand d =

|an − a| bestimmt werden muss. Das folgende Monotoniekriterium macht eine

Aussage über die Konvergenz einer Folge, ohne dass der Grenzwert bekannt ist.

Es besagt, dass eine monoton wachsende Folge, die nach oben hin beschränkt
ist, stets einen Grenzwert besitzt. Eine Folge, die monoton fällt und nach unten
beschränkt ist, besitzt ebenfalls einen Grenzwert.

6.1

Reelle Zahlenfolgen

227

Monotonie-Kriterium:

(1) Sei ( an) eine Folge mit den Eigenschaften
n

( i) an ≤ an+1 (Monotonie),

( ii) an ≤ A (Beschränktheit),
dann konvergiert die Folge gegen einen Grenzwert
a ≤ A.

(2) Sei ( an) eine Folge mit den Eigenschaften
n

( i) an ≥ an+1 (Monotonie),

( ii) an ≥ A (Beschränktheit),
dann konvergiert die Folge gegen einen Grenzwert
a ≥ A.

Beispiel 6.3 (Exponentialfolge, mit Maple-Worksheet): Die Folge

1
n
an =

1 + n
ist konvergent, da sie eine monoton wachsende Folge darstellt, die nach oben
durch 3 beschränkt ist (ohne Beweis):

n

1

101

102

103

104

105
an

2

2 . 59374

2 . 70481

2 . 71692

2 . 71814

2 . 71826

Der Grenzwert e heißt Eulersche Zahl
e = 2 . 71828 18284 59045 23536 0287 . . .

.

Wir stellen den Grenzwert zusammen mit einer ε-Umgebung als Funktions-
schaubild für die Folge (1 + 1 ) n graphisch dar.

n

Abb. 6.2. Zum Grenzwert der Folge (1 + 1 ) n
n

Die Eulersche Zahl e tritt in vielen naturwissenschaftlichen Zusammenhängen
auf. Aus mathematischer Sicht ist sie eine der bedeutsamsten reellen Zahlen.

Die Exponentialfunktion basiert auf e als Basis. Wir werden im Kapitel Taylor-

Reihen in Beispiel 9.33 eine alternative Methode kennen lernen, um die Zahl

228

6. Grenzwert und Stetigkeit
e durch eine schneller konvergente Folge zu bestimmen:

∞

1

1

1

1

1
e =

= 1 + 1 +

+

+

+ . . . +

+ . . . .

n!

2!

3!

4!

n!

n= 0

Beispiel 6.4 (Babylonisches Wurzelziehen, mit Maple-Worksheet):

Die rekursiv definierte Folge

a
a 0 = a

,
an+1 = 1
a

( ∗)

2
n + an

√
ist für jedes a > 0 eine monoton fallende Folge, die nach unten durch
a be-
schränkt ist (ohne Beweis).

Der Grenzwert der Folge bestimmt sich aus der Definitionsgleichung von an ( ∗),
indem auf beiden Seiten der Gleichung der Limes n → ∞ gebildet wird. Sei
der Grenzwert der Folge b := lim an = lim an+1, so folgt für b mit den
n→∞
n→∞

Limesrechenregeln

a
lim a

1
n+1

=
lim
an +
n→∞
n→∞ 2
an

⇒
a
b

=

1
b +

.

2
b

Löst man diese Gleichung nach b auf, folgt

√
b 2 = a

⇒
b =
a.

Somit stellt obige Folge ein Näherungsverfahren zur Berechnung von Quadrat-
wurzeln dar, das schon den Babyloniern bekannt war. Tatsächlich ist dies ein

Spezialfall des Newton-Verfahrens, das wir in 7.9 einführen werden.

Die folgende Wertetabelle verdeutlicht die schnelle Konvergenz der Folge für
a = 2:

n

1

2

3

4

5
an

1 . 5

1 . 416666666

1 . 414215686

1 . 414213562

1 . 414213562

√

Nach 4 Iterationen ist

2 = 1 . 414213562 bis auf 9 Stellen genau berechnet!

Das Monotonie-Kriterium sichert zwar die Konvergenz einer Folge, aber es
liefert nicht den Grenzwert. Die Limesrechenregeln bei Folgen bieten eine

Möglichkeit, den Grenzwert einer Folge für viele aber nicht alle Fälle zu be-
rechnen:

6.2

Funktionsgrenzwert

229

Limesrechenregeln bei Folgen:

Seien ( an)

und ( b
konvergente Folgen mit
lim
a
n
n) n
n

= a und
n→∞
lim bn = b. Sei c ∈ IR . Dann gilt
n→∞

( L 1)

lim c an

=
c lim an

= c · a
n→∞
n→∞

( L 2)

lim ( an ± bn)

=
lim an ± lim bn

= a ± b
n→∞
n→∞
n→∞

( L 3)

lim ( an · bn)

=
lim an · lim bn

= a · b
n→∞
n→∞
n→∞

a
a

( L 4)

lim
n

=
lim an / lim bn

=

,
falls bn, b = 0 .

n→∞
bn
n→∞
n→∞
b

Beispiele 6.5 (Ermittlung von Grenzwerten):

4 n 3 − 6

4 n 3 − 6

1

4 − 6

2

{
n→∞
a
n 3
n 3
n =

=

·

=

−→ 4 = .

6 n 3 + 2 n 2

6 n 3 + 2 n 2

1

6 + 2

6

3
n 3
n
n − 1
n − 1

1

1 − 1

|
n→∞
a
n 2
n
n 2
n =

=

·

=

−→ 0 = 0 .

2 n 2 + 1

2 n 2 + 1

1

2 + 1

2
n 2
n 2
n

3 n+1 + 2 n

3 n+1 + 2 n

1

3 + 2

}

n→∞
a

3 n

3
n =

=

·

=

−→ 3 = 3 ,

3 n + 1

3 n + 1

1
n

1 + 1

1

3 n

3

n
n
da

2

→ 0 und 1

→ 0 für n → ∞ nach Beispiel 6.2 .

3

3

Man beachte, dass die Umformungen notwendig sind, da die Limesrechenregeln
nur für konvergente Folgen gelten. Für alle Beispiele wird der Quotient mit
dem Kehrwert des größten Terms erweitert.

6.2

6.2 Funktionsgrenzwert

In Abschnitt 6.1 werden Grenzwerte von Zahlenfolgen ( xn)

untersucht.

n∈ IN

Dieser Begriff wird nun direkt auf Funktionsgrenzwerte ausgedehnt, indem

Folgen der Form ( f ( xn))

betrachtet werden. Zur Einführung untersuchen
n∈ IN
wir das Verhalten der Funktion f ( x) = x 2 an der Stelle x 0 = 2 . Dazu wählen
wir die Folge
n→∞

( xn) = 1 . 9 , 1 . 99 , 1 . 999 , 1 . 9999 , . . . −→ 2
n
und berechnen zu jedem Folgenglied den Funktionswert
n→∞

( f ( xn)) = 3 . 61 , 3 . 9601 , 3 . 996 , 3 . 9996 , . . . −→ 4 .

n

Die Folge der Funktionswerte konvergiert gegen den Wert 4.

230

6. Grenzwert und Stetigkeit

Um den Funktionsgrenzwert zu gegebener Funktion f an einer Stelle x 0 zu
n→∞
erhalten, wählt man sich eine Zahlenfolge xn −→ x 0 aus dem Definitionsbe-
reich von f und wendet die Funktion f auf xn an. Dann untersucht man die

Konvergenzeigenschaften der Folge ( f ( xn)) (= Grenzwertuntersuchung der
n

Funktion an der Stelle x 0). In unserem Beispiel gilt auch für jede andere Folge
n→∞

( xn) , die gegen den Wert 2 konvergiert, dass f ( x

−→ 4 . Man schreibt
n
n)

daher:

lim f ( xn) = lim f ( x) = lim x 2 = 4 .

n→∞
x→ 2
x→ 2

( x< 2)

( x< 2)

Da die Folgenglieder x < 2 , nennt man diesen Grenzwert den linksseitigen

Grenzwert von f ( x) = x 2 an der Stelle x 0 = 2 .

Beispiel 6.6 (Mit Maple-Worksheet). Man kann diesen Sachverhalt an-
schaulich darstellen, indem sowohl die Folge ( xn) als auch die Funktionsfolge
n

( f ( xn)) in ein Schaubild gezeichnet werden. Zur übersichtlicheren Darstel-
n
n→∞
lung wählen wir nun die Folge xn = 2 − 1 −→ 2:

n 2

Abb. 6.3. Linksseitiger Funktionsgrenzwert bei x 0 = 2

Man erkennt, dass die xn-Werte sich der Zahl 2 von links annähern; die Funk-
tionswerte f ( xn) dem y-Wert 4.

Analog erhält man den rechtsseitigen Grenzwert der Funktion bei x 0 = 2 ,
indem man als Zahlenfolge z.B.

( xn) = 2 . 1 , 2 . 01 , 2 . 001 , 2 . 0001 , . . . → 2
n
wählt. Dazu ist die zugehörige Funktionsfolge

( f ( xn)) = 4 . 41 , 4 . 041 , 4 . 004 , 4 . 0004 , . . . → 4 .

n

Auch hier gilt allgemeiner, dass der Funktionsgrenzwert unabhängig von der
gewählten Zahlenfolge xn ist . Man schreibt für den rechtsseitigen Grenzwert
lim f ( xn) = lim f ( x) = lim x 2 = 4 .

n→∞
x→ 2
x→ 2

( x> 2)

( x> 2)

6.2

Funktionsgrenzwert

231

Für die Funktion f ( x) = x 2 existieren also sowohl der linksseitige als auch der
rechtsseitige Grenzwert der Funktion und beide sind gleich 4.

Definition: (Funktionsgrenzwert). Eine Funktion f sei in einer Um-
gebung von x 0 definiert. Gilt f¨
ur jede im Definitionsbereich der Funktion
liegende Folge ( xn) , die gegen x
n

0 konvergiert, stets
lim f ( xn) = g ∈ IR ,
n→∞
n→∞
so heißt g der Grenzwert von f ( x) f¨
ur xn −→ x 0 .

n→∞

Schreibweise: lim f ( xn) = lim f ( x) = g, wenn xn −→ x 0 .

n→∞
x→x 0

Bemerkungen:

(1) Es wird nicht gefordert, dass x 0 aus dem Definitionsbereich der Funktion
ist.

(2) Der Grenzübergang x → x 0 bedeutet, dass x der Stelle x 0 beliebig nahe
kommt, ohne den Wert x 0 anzunehmen!

(3) Es kann der Fall eintreten, dass, obwohl x 0 /

∈ ID , der Funktionsgrenzwert
existiert, d.h. der linksseitige mit dem rechtsseitigen Grenzwert überein-
stimmt.

(4) Der linksseitige Grenzwert wird auch oftmals bezeichnet mit
gl := lim f ( x) = lim f ( x 0 − h)

x→x 0
h→ 0

( x<x 0)

und der rechtsseitige Grenzwert mit
gr := lim f ( x) = lim f ( x 0 + h) .

x→x 0
h→ 0

( x>x 0)

Beispiele 6.7:

 Die Heaviside-Funktion:0 für x< 0
f : IR → IR mit f ( x) =

1 für x ≥ 0

Die Heaviside-Funktion ist die Funktion, die für negative x-Werte Null und
für positive x-Werte den Funktionswert 1 besitzt. Sie wird in den Anwen-

232

6. Grenzwert und Stetigkeit
dungen auch oftmals mit Sprungfunktion S( x) bzw. als Einschaltfunktion
bezeichnet. Die Heaviside-Funktion besitzt bei x 0 = 0 keinen Grenzwert,
da der rechtsseitige Grenzwert nicht mit dem linksseitigen übereinstimmt:

gl = lim f ( x 0 − h)

=
lim f ( −h)

=
lim 0 = 0 ,
h→ 0
h→ 0
h→ 0
gr = lim f ( x 0 + h)

=
lim f ( h)

=
lim 1 = 1 .

h→ 0
h→ 0
h→ 0

 Für die Funktion
x 2 − 2 x
f : IR \ { 2 } → IR mit f ( x) = x − 2
existiert der Funktionsgrenzwert an der Stelle x 0 = 2 , obwohl x 0 /

∈ ID:

x 2 − 2 x
gl = lim f ( x) = lim

= lim x = 2 ,
x→x 0
x→ 2
x − 2
x→ 2

( x<x 0)

( x< 2)

( x< 2)

x 2 − 2 x
gr = lim f ( x) = lim

= lim x = 2 .

x→x 0
x→ 2
x − 2
x→ 2

( x>x 0)

( x> 2)

( x> 2)

Der Faktor ( x − 2) ist im Zähler und Nenner enthalten und kann damit
gekürzt werden.

 Die Funktion

1
f : IR \ { 0 } → IR mit f ( x) = x
besitzt in x 0 = 0 keinen Grenzwert, denn
gl = lim f ( x 0 − h) = lim = − 1 → −∞,
h→ 0
h→ 0
h

1
gr = lim f ( x 0 + h) = lim =

→ + ∞.

h→ 0
h→ 0
h

Nicht für alle Funktionsgrenzwerte ist die Frage der Konvergenz so einfach
zu beantworten wie in den obigen Beispielen. Man braucht dann in der Regel
zusätzliche geometrische Überlegungen.

6.2

Funktionsgrenzwert

233
sin ( x)

Beispiel 6.8.

lim

=?

x→ 0
x

Geometrisch entspricht der Grenzwert der Funktion
sin x
f ( x) =
an der Stelle x
x

0 = 0 der Tatsache, dass
im Einheitskreis für 0 < x < π gilt: tan x > x > sin x

2

⇒ 1
x
sin x

>

> 1 ⇒ cos x <

< 1
cos x
sin x
x

⇒
sin x

1 = lim cos x ≤ lim

≤ 1 .

x→ 0
x→ 0
x

Man erhält also insgesamt
sin x
lim

= 1
x→ 0
x

Beispiel 6.9. Ähnliche geometrische Überlegungen führen auf die Formel
ex − 1
lim

= 1 .

x→ 0
x

Denn für positive x-Werte ist

1 + x < ex < 1 + x + x 2 .

Damit ist x < ex − 1 < x( x + 1) bzw. 1 < ex− 1 < x + 1. Der Grenzübergang
x
x → 0 liefert dann die behauptete Formel.

Verhalten der Funktion f¨
ur Folgen x → ±∞: Gilt für eine beliebige
n→∞

Folge ( xn)

aus dem Definitionsbereich von f mit x

−→ ∞, dass
n∈ IN
n
n→∞
f ( xn) −→ g konvergiert, so heißt g der Grenzwert der Funktion für
x → ∞:

lim f ( x) = g.

x→∞

Um die Funktionsgrenzwerte zu berechnen, sowohl für xn → x 0 als auch für
xn → ±∞, gelten dieselben Rechenregeln wie für reelle Zahlenfolgen:

234

6. Grenzwert und Stetigkeit

Rechenregeln f¨
ur Funktionsgrenzwerte: Unter der Voraussetzung,
dass die Grenzwerte lim f ( x) und lim g ( x) existieren, gelten folgende
x→x 0
x→x 0

Regeln:

( F 1)

lim c f ( x)

=
c lim f ( x) .

x→x 0
x→x 0

( F 2)

lim ( f ( x) ± g ( x))

=
lim f ( x) ± lim g ( x) .

x→x 0
x→x 0
x→x 0

( F 3)

lim ( f ( x) · g ( x))

=
lim f ( x) · lim g ( x) .

x→x 0
x→x 0
x→x 0
lim f ( x)

f ( x)

x→x

( F 4)

lim

=

0

,
falls lim g ( x) = 0 .

x→x 0 g ( x)

lim g ( x)

x→x 0
x→x 0

Bemerkungen:

(1) Die Regeln gelten auch für Grenzwerte von Funktionen für x → ±∞, falls
die Grenzwerte
lim
f ( x) und lim
g ( x) existieren.

x→±∞
x→±∞

(2) Für Grenzwerte vom Typ 0 und ∞

0

∞ gelten die Regeln von l’Hospital, auf
die in Abschnitt 7.7.3 näher eingegangen wird!

Beispiele 6.10:

x 2 − 2 x + 5
lim x 2 − 2 x + 5

5

 lim

= x→ 0

=

= 5 .

x→ 0
cos x
lim cos x

1
x→ 0

2 x 2 + 4

2 x 2 + 4

1

2 + 4

2

 lim

= lim

· x 2 = lim
x 2 =

= 2 .

x→∞ x 2 − 1
x→∞ x 2 − 1

1
x→∞ 1 − 1

1
x 2
x 2
x − 1
x − 1

1

1

 lim

= lim

= lim

=

.

x→ 1 x 2 − 1
x→ 1 ( x − 1) ( x + 1)

x→ 1 x + 1

2

4 + 2 x

4 + 2 x

1

4

0

 lim

= lim

· x 2 = lim x 2 + 2 x = = 0 .

x→∞ x 2 + 1
x→∞ x 2 + 1

1
x→∞ 1 + 1

1
x 2
x 2

√

√

√

x + 1 − 1
x + 1 − 1
x + 1 + 1

 lim

= lim

√

x→ 0
x
x→ 0
x
x + 1 + 1

( x + 1) − 1

1

1

= lim

√

= lim √

=

.

x→ 0 x
x + 1 + 1
x→ 0
x + 1 + 1

2

6.3

Stetigkeit einer Funktion

235

6.3

6.3 Stetigkeit einer Funktion

Eine Funktion f : IR → IR heißt stetig, wenn der Graph keine Sprünge auf-
weist. Mit dieser Erklärung hat man sich lange Zeit begnügt, und für die meis-
ten Anwendungen reicht diese anschauliche Interpretation aus. Die Funktion
f : IR → IR mit f ( x) = x 2 ist demnach stetig. Um auch Grenzfälle wie z.B.

die Funktion f : IR \ { π + k π , k ∈ ZZ } → IR mit f ( x) = tan x klassifizieren zu 2
können, benötigt man die folgende präzise Definition:

Quadratfunktion

Tangens

Definition: (Stetigkeit). Ist x 0 ∈ ID und ist die Funktion f in einer

Umgebung von x 0 definiert. Die Funktion f heißt stetig in x 0 , wenn der

Funktionsgrenzwert in x 0 existiert und mit dem Funktionswert f ( x 0)

¨
ubereinstimmt.

kurz: f ist in x 0 ∈ ID stetig, wenn
lim f ( x 0 + h) = lim f ( x 0 − h) = f ( x 0).

h→ 0
h→ 0

Bemerkungen:

(1) Die Stetigkeit im Punkte x 0 setzt voraus, dass x 0 ∈ ID . Stellen, an denen
f nicht definiert ist, sind Definitionsl¨
ucken. Dort wird die Stetigkeit nicht
untersucht.

(2) Ist f in jedem Punkt x ∈ ID stetig, so nennt man f eine stetige Funktion.

(3) Man kann die Stetigkeit einer Funktion bei x 0 auch umformulieren:

lim f ( x) = f
lim x

= f ( x 0) .

x→x 0
x→x 0

Bei Stetigkeit dürfen Grenzwertbildung und Funktionsauswertung vertauscht
werden.

236

6. Grenzwert und Stetigkeit

Beispiele 6.11:

 Polynome f : IR → IR mit f ( x) = a 0 + a 1 x + . . . + an xn sind in jedem Punkt x ∈ IR stetig.

 Die Betragsfunktion
f : IR → IR mit f ( x) = |x|
ist auch bei x 0 = 0 stetig, da
lim f ( x 0 + h) = lim f ( h) = lim h = 0
h→ 0
h→ 0
h→ 0
lim f ( x 0 − h) = lim f ( −h) = lim |−h| = 0
h→ 0
h→ 0
h→ 0
f (0) = 0 .

 Die Sprungfunktion (Heavisidefunktion), die zur Beschreibung von

Einschaltvorgängen dient, S : IR → IR mit

1 für x ≥ 0

S ( x) =

0 für x < 0
ist bei x 0 = 0 nicht stetig, da sie einen Sprung aufweist:

lim f ( x 0 + h) =
lim S ( h) = 1 ,
h→ 0
h→ 0
lim f ( x 0 − h) =
lim S( −h) = 0 .

h→ 0
h→ 0

 Die Vorzeichenfunktion (Signumfunktion)

sign : IR → IR mit

⎧

⎨ 1 f ¨ ur x > 0
sign ( x) = ⎩ 0 f¨ ur x = 0

− 1 f ¨ ur x < 0
ist an der Stelle x 0 = 0 nicht stetig.

6.4

Intervallhalbierungs-Methode

237

 Die Funktion
f : IR \ { 2 } → IR
x 2 − 2 x
mit f ( x) =
x − 2
hat an der Stelle x 0 = 2 eine Definitionslücke. Nach Beispiel 6.7 | existieren
in x 0 = 2 der rechtsseitige und linksseitige Grenzwert und stimmen überein.

Man definiert die stetige Erweiterung von f :

˜
f ( x) für x = 2
f : IR → IR
mit ˜
f ( x) =

.

2
für x = 2

Dann ist die Funktion ˜
f in x 0 stetig und damit für alle x ∈ IR stetig.

Oftmals verzichtet man auf die Notation ˜
f und verwendet als Bezeichnung
für die stetige Erweiterung wieder den Funktionsnamen f.

6.4

6.4 Intervallhalbierungs-Methode

Grundlage für eine einfache numerische Methode zur Bestimmung von Null-
stellen einer Funktion bildet der folgende, anschauliche Satz: Jede stetige Funk-
tion, die auf einem Intervall [ a, b] einen Vorzeichenwechsel hat, besitzt in die-
sem Intervall eine Nullstelle (siehe Abb. 6.4):

Abb. 6.4. Intervallhalbierungs-Methode

Zwischenwertsatz: Sei f : [ a, b] → IR eine stetige Funktion mit ( f ( a) <

0 und f ( b) > 0) oder ( f ( a) > 0 und f ( b) < 0). Dann existiert eine Zwischenstelle ξ ∈ ( a, b) mit der Eigenschaft
f ( ξ) = 0 .

238

6. Grenzwert und Stetigkeit

Die Idee des Beweises besteht darin, dass man zu gegebenem Intervall [ a, b]

die Intervallmitte m bestimmt und die Funktionswerte
f ( a) , f ( m) , f ( b)

miteinander vergleicht: Man ersetzt den Intervallrand durch m, dessen Funk-
tionswert dasselbe Vorzeichen wie f ( m) besitzt. Anschließend wiederholt man
die Vorgehensweise auf das halbierte Intervall usw.

Dieses Verfahren liefert direkt einen Algorithmus (Iteration), um eine Null-
stelle im Intervall [ a, b] zu berechnen. Die Voraussetzung ist nur, dass die

Funktionswerte an den Intervallgrenzen ein unterschiedliches Vorzeichen be-
sitzen. Da man ständig die Intervalllänge halbiert, nennt man das Verfahren
auch Intervallhalbierungs-Methode.

Hinweis: Auf der CD-Rom befindet sich ein eigenes Kapitel über
das numerische Lösen von Gleichungen. In dem Abschnitt über die

Intervallhalbierungs-Methode findet man auch einen ausführlichen Beweis des

Zwischenwertsatzes, der daraus resultierenden Konvergenz des Verfahrens,
die Beschreibung des numerischen Algorithmus zusammen mit der Maple-

Prozedur bise.

Bemerkungen:

(1)

! Die Funktion f kann mehrere Nullstellen im Intervall [ a, b] besitzen.

Die Bisektionsmethode liefert aber nur eine.

(2) Man nennt Algorithmen, welche die Nullstelle in einem immer kleiner wer-
denden Intervall einschließen, auch Einschließungsalgorithmen. Ausgehend
von einem Startintervall, wird dieses Intervall systematisch durch den glei-
chen Algorithmus verkleinert. Man nennt diesen Prozess eine Iteration.

(3) Die Anzahl der benötigten Iterationen für eine vorgegebene Genauigkeit
kann vor der Rechnung abgeschätzt werden, denn es gilt für den Abstand
der Nullstelle von der linken Intervallgrenze

|an − ξ| ≤ b − a
für n = 1 , 2 , 3 , . . . .

2 n

Ist f eine stetige Funktion auf [0 , 1] mit Vorzeichenwechsel und soll die

Nullstelle ξ ∈ (0 , 1) bis auf 4 Dezimalstellen genau bestimmt werden, so
darf der Abstand von |an − ξ| nicht größer sein als 9 · 10 − 5 . n muss also so
gewählt werden, dass
b−a ≤ 9 · 10 − 5

⇒ n = 14 .

2 n

(Bei einer Genauigkeit von 6 Dezimalstellen ist n immerhin schon 21.)

6.4

Intervallhalbierungs-Methode

239

Beispiel 6.12 (Mit Maple-Prozedur): Gegeben ist die Funktion

f ( x) = x 3 −
x 2 + 1 .

Gesucht ist die Nullstelle im Intervall [1 , 2] . Da die Funktionswerte an den

Intervallgrenzen unterschiedliches Vorzeichen besitzen ( f (1) = − 0 . 4142 und
f (2) = 5 . 7639), erhält man mit dem Bisektionsverfahren die Nullstelle:

n
a
b
f ( a+ b )

2

1 . 0

2 . 0

1 . 5722

1

1 . 0

1 . 5

0 . 3523

2

1 . 0

1 . 25

− 0 . 0813

3

1 . 125

1 . 25

0 . 1220

4

1 . 125

1 . 1875

0 . 0171

5

1 . 125

1 . 1562

− 0 . 0329

6

1 . 1406

1 . 1562

− 0 . 0081

7

1 . 1484

1 . 1562

0 . 0044

8

1 . 1484

1 . 1523

0 . 0018

9

1 . 1503

1 . 1523

0 . 0012

10

1 . 1503

1 . 1513

− 2 · 10 − 4

11

1 . 1508

1 . 1513

5 · 10 − 4

12

1 . 1508

1 . 1511

1 · 10 − 4

13

1 . 1508

1 . 1510

− 7 · 10 − 5

⇒ ξ ≈ 1 . 1509

Visualisierung mit Maple: Auf der CD-Rom befindet sich eine
erweiterte Maple-Prozedur, bise ext, die den Konvergenzprozess in

Form einer Animation visualisiert.

MAPLE-Worksheets zu Kapitel 6

Die folgenden elektronischen Arbeitsblätter stehen für Kapitel 6 mit

Maple zur Verfügung.

Zahlenfolgen

Babylonisches Wurzelziehen

Funktionsfolgen

Bisektionsmethode

Maple-Lösungen zu den Aufgaben

240

6. Grenzwert und Stetigkeit

6.5

6.5 Aufgaben zu Grenzwert und Stetigkeit

6.1

Für welche n

∈ IN gelten die Ungleichungen

1

1

1
a)

+ 1

n 2 < 10 − 6
b) n 2

< 1 + 10 − 8
c) n + 1 < 10 − 10

6.2

Bestimmen Sie - falls möglich - den Grenzwert der Zahlenfolgen für n → ∞

2 n + 1
n 2 + 4
n 2 + 4 n − 1
a) an =
b) an =
c) an =

4 n
n
n 2 − 3 n

1 5 n 3 + 4 n + 1

1 n

4( n + 1)4
d) an =
e) an = (
k) − 1 n
f) an =
n
n 2
n
k=1

2

3 n 4 + 3 n + 5

4 n + 1

3 n 2 + 4 n
π n 3 + n 2
g) an =
h) an = √
i) sin

5 n − 1

3 n 6 + n 4 + 1

2 ( n 3 + 4)

2 n + 1

6.3

Zeigen Sie, dass die Folge an =
konvergiert.

4 n

6.4
a) Gegeben sei die rekursiv definierte Folge an mit a 0 := 0 und an+1 :=

13( an + 1) für n ≥ 0. Bestimmen Sie explizit das allgemeine Glied an und
berechnen Sie den Grenzwert der Folge.

b) Zeigen Sie: Ist lim n→∞ an+1 < 1, dann ist a
a
n eine Nullfolge.

n

6.5

Man beweise die Limesrechenregeln

( L 1) lim ( an + bn) = lim an+ lim bn
n→∞
n→∞
n→∞

( L 2) lim ( an · bn) =
lim an ·
lim bn
n→∞
n→∞
n→∞

6.6

Man berechne mit Maple die Grenzwerte

a) lim 1

1 + 1
n

√

2 + . . . + 1
b) lim
n
n→∞ n
n
n→∞
n!

6.7

Berechnen Sie die Grenzwerte der Funktionen:

x 2 − 2 x
x
a) lim x 3 + 5 x 2 − 3 x + 4
b) lim
c) lim
x→ 1
x→ 0 x 2 + 3 x
x→∞ 1 + x 2

6.8

Berechnen Sie die Funktionsgrenzwerte
x 2 − 1
x 2 − x − 12
sin (2 x)

a) lim
b) lim
c) lim
x→ 1 x 2 + 1
x→− 3
x + 3
x→ 0
sin ( x)

√

( x − 2) (3 x + 1)

1 + x − 1
x 2
d) lim
e) lim
f) lim
x→ 2

4 x − 8
x→ 0
x
x→∞ x 2 − 4 x + 1

1 − x

6.9

Welchen Grenzwert besitzt die Funktion f ( x) =

√ für x → 1?

1 −
x

0 x x ≤ 0

6.10

Man zeige, dass die Funktion f ( x) =
an der Stelle x 0 = 0
x − 2 x > 0
unstetig ist.

0 x 2 − 1

6.11

Man zeige, dass die Funktion f ( x) =
x− 1
für x = 1 an der Stelle x 0 = 1

2
für x = 1
stetig ist.

x 2 − x

6.12

Lassen sich die Definitionslücken der Funktion f ( x) =
stetig
x 3 − x 2 + x − 1
heben?

Kapitel 7

7

Differenzialrechnung

7

Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

7.1

Einführung .......................................................... 243

7.2

Rechenregeln bei der Differenziation ........................... 249

7

7.2.1

Faktorregel .......................................................... 249

7.2.2

Summenregel ....................................................... 249

7.2.3

Produktregel ........................................................ 250

7.2.4

Quotientenregel .................................................... 251

7.2.5

Kettenregel .......................................................... 252

7.2.6

Begründung der Formeln 7.2.1 - 7.2.5 ......................... 254

7.2.7

Ableitung der Umkehrfunktion .................................. 255

7.2.8

Logarithmische Differenziation .................................. 258

7.2.9

Implizite Differenziation .......................................... 260

7.3

Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik ............... 262

7.3.1

Kinematik ........................................................... 262

7.3.2

Induktionsgesetz ................................................... 263

7.3.3

Elektrostatik ........................................................ 264

7.4

Differenzial einer Funktion ....................................... 265

7.4.1

Linearisierung von Funktionen................................... 266

7.4.2

Fehlerrechnung ..................................................... 268

7.5

Anwendungen in der Mathematik .............................. 270

7.5.1

Geometrische Bedeutung von f und f . ..................... 270

7.5.2

Relative Extremalwerte ........................................... 271

7.5.3

Wendepunkte und Sattelpunkte................................. 272

7.5.4

Kurvendiskussion................................................... 274

7.6

Extremwertaufgaben (Optimierungsprobleme) ............... 277

7.7

Sätze der Differenzialrechnung .................................. 281

7.7.1

Satz über die Exponentialfunktion.............................. 282

7.7.2

Mittelwertsatz ...................................................... 283

7.7.3

Die Regeln von l’Hospital ........................................ 284

7.8

Spektrum eines strahlenden schwarzen Körpers ............. 287

7.9

Newton-Verfahren ................................................. 289

7.10

Aufgaben zur Differenzialrechnung ............................. 293

Zus¨
atzliche Abschnitte auf der CD-Rom

7.11

Differenziation mit MAPLE .......................................

cd

7 Differenzialrechnung

Eine der wichtigsten Aufgaben in der angewandten Mathematik ist die Berechnung
der Ableitung einer Funktion. Viele physikalische Gesetzmäßigkeiten lassen sich nur
über die Differenziation einer physikalischen Größe beschreiben. Ist beispielsweise bei
einem nichtlinearen Bewegungsvorgang das Weg-Zeit-Gesetz s( t) gegeben, dann ist
die Geschwindigkeit v( t) die Ableitung des Weg-Zeit-Gesetzes nach der Zeit t. Die
konkrete Bestimmung der Geschwindigkeit setzt rechentechnisch voraus, dass man
die Funktion s( t) ableiten kann.

Immer dann, wenn sich physikalische Größen mit der Zeit nichtlinear ändern, benötigt
man zur Beschreibung dieser Änderung die Ableitung. Aber auch die Fehlerrechnung,
die Bestimmung der Extremwerte einer Funktion bzw. die Optimierungsaufgaben
führen auf das Problem der Ableitung einer Funktion. Der Ableitungsbegriff ist also
motiviert durch die physikalische Beschreibung von Bewegungsabläufen (Geschwin-
digkeit, Beschleunigung) und durch die mathematische Beschreibung von Kurven

(Tangente, Kurvendiskussion).

Hinweis: Auf der CD-Rom befindet sich ein zusätzliches Kapitel über das numeri-
sche Differenzieren und Methoden beim numerischen Differenzieren.

7.1

7.1 Einf¨
uhrung

Eine der wichtigsten Methoden in der angewandten Mathematik ist die der Differenziation
einer Funktion. Viele physikalische Gesetzmäßigkeiten lassen sich nur über die Differenzia-
tion einer physikalischen Größe beschreiben. Wir betrachten zur Einführung zwei einfache

Weg-Zeit-Gesetze aus der Kinematik.

Anwendungsbeispiel 7.1 (Gleichf¨
ormige Bewegung).

In Abb. 7.1 ist das Weg-Zeit-Gesetz einer
gleichförmigen Bewegung dargestellt. Ändert
sich der Weg in der Zeiteinheit t um s, so
bewegt sich der Körper mit der Geschwin-
digkeit
s
v :=

.

t

Die Geschwindigkeit hängt weder vom Zeit-

Abb. 7.1. Gleichförmige Bewegung
punkt t noch vom Messintervall t ab.

244

7. Differenzialrechnung

Anwendungsbeispiel 7.2 (Gleichf¨
ormig beschleunigten Bewegung).

In Abb. 7.2 ist das Weg-Zeit-Gesetz ei-
ner gleichförmig beschleunigten Bewegung
dargestellt.

s ( t) = 1 g t 2 .

2

Durch eine hypothetische Messreihe wer-
den wir den Wert der Geschwindigkeit
zum Zeitpunkt t 0 = 1 bestimmen. Es zeigt
sich, dass die ”gemessene” Geschwindig-
keit v nun vom Messintervall t abhängt:

Je kleiner das Messintervall t gewählt

Abb. 7.2.

wird, umso genauer bestimmt sich der

Beschleunigte Bewegung

Wert der Geschwindigkeit zu diesem Zeit-
punkt. Wir berechnen das Verhältnis s

in Abhängigkeit von t:

t
s

1 g ( t 0 + t)2 − 1 g t 2

1

( t
v ( t

2

2

0

0 + t)2 − t 2

0

0) =

=

=
g

.

t
t

2
t

Messintervall

Geschwindigkeit
t = 1
v (1) = 1 g 4 − 1

= 3 g

2

1

2

(1+ 1
t = 1
v (1) = 1 g

2 )2 − 1

= 5 g

2

2

1

4

2

(1+ 1
t = 1
v (1) = 1 g

4 )2 − 1

= 9 g

4

2

1

8

4

(1+ 1
t = 1
v (1) = 1 g

8 )2 − 1

= 17 g

8

2

1

16

8

(1+ 1
t = 1
v (1) = 1 g

16 )2 − 1

= 33 g

16

2

1

32

16

Beobachtung: Für kleiner werdende Messintervalle t geht die Geschwin-
digkeit gegen den Wert g. Die Mathematik stellt ein Hilfsmittel bereit, die sog.

Differenzialrechnung, t gegen Null streben zu lassen.

s ( t
ds
v ( t

0 + Δ t) − s ( t 0)

0) := lim

=

(Momentangeschwindigkeit)

t→ 0
t
dt t 0

7.1

Einführung

245

Für beliebiges t 0 gilt
s ( t

( t
v ( t

0 + Δ t) − s ( t 0)

1

0 + Δ t)2 − t 2

0

0)

=
lim

=
lim
g

2
t→ 0

Δ t
t→ 0

Δ t

2 Δ t t

=
lim 1 g

0 + (Δ t)2

=
lim 1 g (2 t 0 + Δ t) = gt 0

2

2
t→ 0

Δ t
t→ 0

Wir übertragen diese Vorgehensweise auf beliebige Funktionen:

Definition: (Ableitung einer Funktion). Eine Funktion f : ID → IR
heißt im Punkte x 0 ∈ ID differenzierbar, falls der Grenzwert
f ( x
f ( x) − f ( x
f ( x

0 + x) − f ( x 0)

0)

0) := lim

:= lim
x→ 0
x
x→x 0
x − x 0
existiert. Man bezeichnet ihn als erste Ableitung der Funktion f im

Punkte x 0 .

Eine Funktion heißt differenzierbar, falls sie in jedem Punkt x ∈ ID
differenzierbar ist.

Bemerkungen:

(1) Man notiert die Ableitung der Funktion y = f ( x) auch durch die Symbole
dy
d f ( x)

f ( x) , y,

,

.

dx
dx

(2) Die Bestimmung der Ableitung bezeichnet man als Differenziation der

Funktion f ( x) .

(3) Den Quotienten
f ( x 0 + x) − f ( x 0)

x
nennt man den Differenzenquotient und
f ( x
lim

0 + x) − f ( x 0)

x→ 0
x
den Differenzialquotient.

(4) Für x → 0 geht sowohl der Zähler als auch der Nenner des Differen-
zenquotienten gegen Null. Man hat also den Fall 0 ! Um die Ableitung für

0
elementare Funktionen bestimmen zu können, muss man bei konkret ge-
gebener Funktion den Zähler so lange (geschickt) umformen, bis man x
ausklammern und mit x im Nenner kürzen kann. Anschließend lässt man
im verbleibenden Term x → 0 gehen (siehe Beispiele 7.3).

246

7. Differenzialrechnung

Geometrische Interpretation der Ableitung: Gegeben sei die Funktion
f ( x) und x 0 ∈ ID . Dann ist die Steigung der Sekante durch die Punkte

P ( x 0 , f ( x 0)) und Q ( x 0 + x, f ( x 0 + x)) gegeben durch f ( x 0 + x) − f ( x 0)

(Differenzenquotient).

x

Durch den Grenzübergang x → 0 bleibt P fest, aber Q wandert auf der

Kurve und strebt gegen P. Die Steigung der Sekante geht so in die Steigung
der Tangente im Punkte P ( x 0 , f ( x 0)) über. Die Ableitung einer Funktion
im Punkte x 0 ist demnach die Steigung der Tangente an die Kurve
im Punkte ( x 0 , f ( x 0)).

Abb. 7.3. Differenzenquotient als Sekantenstei-
gung

Visualisierung mit Maple: In der Maple-Animation erkennt man,
dass der Punkt Q auf der Kurve von f entlang zum Punkt P wandert.

Dabei nähert sich die Sekante der Tangente an und die Sekantensteigung geht
in die Tangentensteigung über.

Numerische Differenziation: Numerisch kann der Grenzübergang h → 0
bei der Ableitung nicht durchgeführt werden, da dies sofort zu einem Over-
flow führen würde. Man würde ja durch 0 dividieren. Um die Ableitung einer

Funktion f an der Stelle x 0 näherungsweise zu berechnen, ersetzt man die

Ableitung einer Funktion f im Punkte x 0 durch die Sekantensteigung
f ( x 0) ≈ f ( x 0 + h) − f ( x 0)

h
mit h > 0. Dies ist die sog. rechtsseitige Differenzenformel. Eine genauere

Näherung erhält man, wenn man den Mittelwert der rechtsseitigen und links-
seitigen Formel nimmt. Dies ergibt die zentrale Differenzenformel:

f ( x
f ( x) ≈ 1

0 + h) − f ( x 0 − h)

2
h

Hinweis: Auf der CD-Rom befindet sich ein eigenes Kapitel über das nume-
rische Differenzieren und den Eigenschaften der diskreten Formeln.

7.1

Einführung

247

Beispiele 7.3:

{
f ( x) = c

⇒ f ( x) = 0

(Konstante Funktion):

f ( x + h) − f ( x)

c − c
f ( x) = lim

= lim

= 0 .

h→ 0
h
h→ 0
h

|
f ( x) = x

⇒ f ( x) = 1

(Identische Funktion):

f ( x + h) − f ( x)

x + h − x
f ( x) = lim

= lim

= 1 .

h→ 0
h
h→ 0
h

}

f ( x) = x 2

⇒ f ( x) = 2 x

(Quadratische Funktion):

f ( x + h) − f ( x)

( x + h)2 − x 2
f ( x) = lim

= lim
h→ 0
h
h→ 0
h

2 h x + h 2

= lim

= lim (2 x + h) = 2 x.

h→ 0
h
h→ 0

1

~
f ( x) =

⇒ f ( x) = − 1

( x = 0):

x
x 2

1

1

1
f ( x) = lim

( f ( x + h) − f ( x)) = lim

− 1
h→ 0 h
h→ 0 h
x + h
x

1

−h

= lim

= − 1 .

h→ 0 h x ( x + h)

x 2

f ( x) = ex

⇒ f ( x) = ex

(Exponentialfunktion):

1

1

1

f ( x) = lim
ex+ h − ex = lim
ex eh − 1 = ex lim
eh − 1 .

h→ 0 h
h→ 0 h
h→ 0 h

Nach Beispiel 6.9 ist lim 1 eh − 1 = 1 , so dass ( ex) = ex .

h
h→ 0

f ( x) = sin ( x)

⇒ f ( x) = cos ( x)

(Sinusfunktion):

1

1

f ( x) = lim

(sin ( x + h) − sin ( x)) = lim

2 cos 2 x+ h sin h

2

2
h→ 0 h
h→ 0 h

0

+

1
h

=
lim cos 2 x+ h

· lim
sin

= cos ( x) ,

2
h→ 0
h→ 0 h

2

2
da nach Beispiel 6.8 lim sin h = 1 .

h
h→ 0

248

7. Differenzialrechnung

Tabelle 7.1: Ableitungen elementarer Funktionen

f ( x)

f ( x)

Potenzfunktion
xn
n xn− 1

Trigonometrische
sin( x)

cos( x)

Funktionen
cos( x)

− sin( x)

1
tan( x)

cos2( x)

cot( x)

−

1
sin2( x)

1

Arkusfunktionen
arcsin( x)

√ 1 − x 2
arccos( x)

−

1

√ 1 − x 2

1
arctan( x)

1 + x 2
arccot( x)

− 1

1 + x 2

Exponentialfunktion
ex
ex
ax
ax ln a

1

Logarithmusfunktion
ln( x)

x

1
log ( x)

a
ln( a) · x

Hyperbelfunktionen
sinh( x)

cosh( x)

cosh( x)

sinh( x)

1
tanh( x)

cosh2( x)

coth( x)

−

1
sinh2( x)

1

Areafunktionen
ar sinh( x)

√x 2 + 1

1
ar cosh( x)

√x 2 − 1

1
ar tanh( x)

f ¨
ur |x| < 1

1 − x 2

1
ar coth( x)

f ¨
ur |x| > 1

1 − x 2

H¨
ohere Ableitungen von f : Existiert zu einer Funktion f : ID → IR die

Ableitung f : ID → IR und ist f ( x) wieder differenzierbar, so bezeichnet man
deren Ableitung als zweite Ableitung f ( x) von f. f ( x) ist die Ableitung
der Funktion f ( x), d.h. es gilt f = ( f ) . Durch wiederholtes Differenzieren
gelangt man schließlich zu den Ableitungen höherer Ordnung. Man schreibt:

7.2

Rechenregeln bei der Differenziation

249

1.

Ableitung
y

= f ( x)

= d f ( x) .

dx

2.

Ableitung
y

= f ( x)

= d 2
dx 2 f ( x) .

...

n-te

Ableitung
y( n)

= f ( n) ( x)

= dn f ( x) .

dxn

7.2

7.2 Rechenregeln bei der Differenziation

Um komplizierte Ausdrücke und funktionale Zusammenhänge differenzieren zu können,
benötigt man Ableitungs- bzw. Differenziationsregeln. Im Folgenden werden die wichtigsten

Ableitungsregeln vorgestellt und jeweils an Beispielen verdeutlicht. Wir gehen davon aus,
dass alle in den Formeln auftretenden Funktionen differenzierbar sind.

7.2.1 Faktorregel

Faktorregel: Ein konstanter Faktor darf beim Differenzieren vorgezogen
werden:

y = c f ( x)

⇒ y = c f ( x)

Beispiele 7.4:

{
x ( t) = 220 sin ( t)

⇒ x ( t) = 220 (sin ( t)) = 220 cos ( t) .

|
f ( x) = 9 x 5

⇒ f ( x) = 9 x 5 = 45 x 4 .

}

s ( t) = − 5 et

⇒ s ( t) = − 5 ( et) = − 5 et.

7.2.2 Summenregel

Summenregel: Eine Summe von Funktionen wird gliedweise differen-
ziert:

y = f 1 ( x) + f 2 ( x)

⇒ y = f ( x) + f ( x)

1

2

250

7. Differenzialrechnung

Beispiele 7.5:

{
y = cos x − sin x

⇒ y = (cos x) − (sin x) = − sin x − cos x.

|
y = 4 + 2 x − 3 x 2 + 9 x 5

⇒ y = 2 − 6 x + 45 x 4 .

1

1

}

y = 10 ln x + 5 tan x

⇒ y = 10 + 5

.

x
cos2 x

7.2.3 Produktregel

Produktregel: Die Ableitung einer Funktion y, die sich als Produkt von
zwei Funktionen u ( x) · v ( x) schreiben lässt, berechnet sich nach
y = u ( x) · v ( x)

⇒ y = u ( x) · v ( x) + u ( x) · v ( x)

Beispiele 7.6:

{
y ( x) = ln x · ex

⇒ y( x) = (ln x) ex + ln x · ( ex)

1

=
ex + ln x ex.

x

|
a ( z) = sin z · cos z

⇒ a( z) = (sin z) cos z + sin z (cos z)

= cos2 z − sin2 z.

}

y ( x) = xn cosh x

⇒ y( x) = ( xn) cosh x + xn (cosh x)

= n xn− 1 cosh x + xn sinh x.

Beispiel 7.7 (Potenzregel):

y = xn

⇒ y = n xn− 1

( n ≥ 0) .

Diese Potenzregel wird mittels vollständiger Induktion und der Produktregel
nachgeprüft:

n = 0 :

y = x 0 = 1

⇒ y = 0 = 0 · x− 1

n → n + 1 :

y = xn+1

⇒ y = xn+1 = ( xn · x)

= ( xn) · x + xn · ( x)

Mit der Induktionsvoraussetzung ( xn) = n xn− 1 folgt dann
y = n xn− 1 · x + xn · 1 = n xn + xn = ( n + 1) xn.

7.2

Rechenregeln bei der Differenziation

251

Bemerkungen:

(1) Die Produktregel kann auch auf Funktionen angewendet werden, die sich
aus mehr als 2 Faktoren zusammensetzen:

y = u · v · w

⇒ y = ( u · v) · w + u · v · w

= ( u · v + u · v) · w + u · v · w

= u · v · w + u · v · w + u · v · w.

(2) In Verallgemeinerung der Produktregel findet man für die n-te Ableitung
eines Produktes die Leibnizsche Regel:

n

n
y = u · v ⇒ y( n) =
ui vn−i
i
i=0

7.2.4 Quotientenregel

Quotientenregel: Die Ableitung einer Funktion y, die sich als Quotient
zweier Funktionen u( x) darstellen lässt, berechnet man durch:

v( x)

u ( x)

u ( x) · v ( x) − u ( x) · v ( x)

y =

⇒ y =
v ( x)

v 2 ( x)

Beispiele 7.8:

4 x 2 + 3 x + 5

{ y =

:

2 x 6 + 2 x 7

4 x 2 + 3 x + 5

· 2 x 6 + 2 x 7 − 4 x 2 + 3 x + 5 · 2 x 6 + 2 x 7

⇒ y =

(2 x 6 + 2 x 7)2

(8 x + 3) · 2 x 6 + 2 x 7 − 4 x 2 + 3 x + 5 · 12 x 5 + 14 x 6

=

(2 x 6)2 (1 + x)2

(8 x + 3) x · (1 + x) − 4 x 2 + 3 x + 5 · (6 + 7 x)

=

.

2 x 7 (1 + x)2
sin x

| y = tan x =

:

cos x

⇒

(sin x) cos x − sin x (cos x)

y

=
cos2 x
cos2 x + sin2 x

1

=

=

= 1 + tan2 x .

cos2 x
cos2 x
cos x

} y = cot x =

:

sin x

252

7. Differenzialrechnung

⇒

(cos x) sin x − cos x (sin x)

y

=
sin2 x

− sin2 x − cos2 x

− 1

=

=

= − 1 − cot2 x .

sin2 x
sin2 x

1

~ y =

= x−n.

xn

−

⇒
n xn− 1

1
y

=

= −n

= −n x−n− 1

( n > 0) .

x 2 n
xn+1

Bemerkung: Nach Beispiel 7.7 und 7.8 ~ gilt die Potenzregel in der Form
y = xn

⇒ y = n xn− 1
für n ∈ ZZ .

7.2.5 Kettenregel

Die im Folgenden diskutierte Kettenregel gehört zu den wichtigsten (und
anfänglich schwierigsten) Ableitungsregeln. Bisher haben wir jeweils elementa-
re Funktionen wie z.B. sin t, cos t, ex · sin x etc. differenziert. In den Anwendun-
gen treten aber Funktionen der Form f ( ωt + ϕ) auf. Bei der Auswertung wird
zuerst die ”innere” Funktion ωt + ϕ berechnet und anschließend die ”äußere”

Funktion f auf das Ergebnis angewendet. Die Kettenregel macht eine Aussage
darüber, wie verschachtelte (= verkettete) Funktionen y = f ( g ( x)) differen-
ziert werden.

Kettenregel: Die Ableitung einer verketteten Funktion y = f ( g ( x))

erhält man aus dem Produkt der äußeren und inneren Ableitung:

y = f ( g ( x))

⇒ y = f ( g ( x)) · g ( x) .

In Worten besagt die Kettenregel, dass verschachtelte Funktionen y = f ( g ( x))

differenziert werden, indem zunächst die Ableitung der äußeren Funktion f
gebildet und an der Stelle g ( x) ausgewertet wird (= äußere Ableitung) und
anschließend das Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion g ( x) (=
innere Ableitung) multipliziert wird.

7.2

Rechenregeln bei der Differenziation

253

Beispiele 7.9:

{

4
s ( t)

=
t 2 − 3

.

⇒

3

3

3
s ( t)

=

4 t 2 − 3

· t 2 − 3 = 4 t 2 − 3 · 2 t = 8 t t 2 − 3 .

|
y

=
e 5 x+4 .

⇒ y = e 5 x+4 · (5 x + 4) = e 5 x+4 · 5 .

}

f ( x)

=
ln x 2 + 4 x + 2 .

⇒

1

2 x + 4
f ( x)

=

· x 2 + 4 x + 2 =

.

x 2 + 4 x + 2
x 2 + 4 x + 2

~
x ( t)

=
x 0 sin ( ωt + ϕ) .

⇒ x ( t) = x 0 cos ( ωt + ϕ) · ( ωt + ϕ) = x 0 cos ( ωt + ϕ) · ω.

Oftmals wird die Kettenregel in der Literatur mit einer Substitution durch-
geführt: Wenn y = f ( g ( x)) , so setzt man u = g ( x) (innere Funktion) und y = f ( u) (äußere Funktion). Die Ableitung ist dann
dy
dy
y = f ( u) · u ( x)

bzw.

=

· du.

dx
du
dx

Beispiele 7.10:

 y = ln 1 + x 2 . Wir setzen u = 1 + x 2 (innere Funktion) und f ( u) = ln u (äußere Funktion). Wegen f ( u) = 1 und u ( x) = 2 x folgt dann
u

1

1
y = f ( u) · u ( x) =

· 2 x =

· 2 x.

u

1 + x 2

2

 y = 3 ( x 2 + 4 x + 10)2 = x 2 + 4 x + 10 3 . Mit u = x 2 + 4 x + 10 (innere 2

Funktion) und f ( u) = u 3 (äußere Funktion) folgt mit f ( u) = 2 u− 13 und

3
u ( x) = 2 x + 4:

2

2

− 1
y = f ( u) · u ( x) =
u− 13 (2 x + 4) =
x 2 + 4 x + 10

3 (2 x + 4) .

3

3

 y = ex· sin x. Mit u = x · sin x und f ( u) = eu folgt wegen f ( u) = eu und u ( x) = 1 · sin x + x cos x:

y = f ( u) · u ( x) = eu · (sin x + x cos x) = ex sin x (sin x + x cos x) .

Die Kettenregel bedeutet, immer von Außen nach Innen zu differenzieren. Sie
kann auch bei mehrmals verschachtelten Funktionen angewendet werden.

254

7. Differenzialrechnung

Beispiele 7.11:

 y = ln (sin (2 x − 3)). Mehrmaliges Anwenden der Kettenregel liefert

1

1
y =

· (sin (2 x − 3)) =

· cos (2 x − 3) · 2
sin (2 x − 3)

sin (2 x − 3)

= 2 cot (2 x − 3) .

 y = exp sin 4 x + 2 x 2

. Mehrmaliges Anwenden der Kettenregel liefert

y

= exp sin 4 x + 2 x 2

· sin 4 x + 2 x 2

= exp sin 4 x + 2 x 2

· cos 4 x + 2 x 2 · 4 x + 2 x 2

= exp sin 4 x + 2 x 2

· cos 4 x + 2 x 2 · (4 + 4 x) .

7.2.6 Begr¨
undung der Formeln 7.2.1 - 7.2.5

(1) Aus

1

1

( c f ( x + h) − cf ( x)) = c

( f ( x + h) − f ( x))

h
h
folgt durch Grenzübergang und Limesrechenregel L 1 die Faktorregel.

(2) Aus

1 ([ f
h

1 ( x + h) + f 2 ( x + h)] − [ f 1 ( x) + f 2 ( x)])

1

1

=

( f

( f
h

1 ( x + h) − f 1 ( x)) + h

2 ( x + h) − f 2 ( x))

folgt durch Grenzübergang und Limesrechenregel L 2 die Summenregel.

(3) Aus

1 ( u ( x + h) v ( x + h) − u ( x) v ( x))

h

= 1 ( u ( x + h) v ( x + h) − u ( x) v ( x + h) h

+ u ( x) v ( x + h) − u ( x) v ( x))

= 1 ( u ( x + h) − u ( x)) v ( x + h) + u ( x) 1 ( v ( x + h) − v ( x)) h
h
folgt durch Grenzübergang und Limesrechenregeln ( L 2) , ( L 3) die Produkt-
regel.

7.2

Rechenregeln bei der Differenziation

255

(4) Wegen

1
v ( x + h) − v ( x)

1 ( v ( x + h) − v ( x))

1

− 1

= − 1

= − h
h
v ( x + h)

v ( x)

h
v ( x + h) v ( x)

v ( x + h) v ( x)

folgt durch Grenzübergang und Limesrechenregel ( L 4)

1

= − v .

v
v 2

Mit der Produktregel erhält man dann für die Ableitung eines Quotienten

u

1
u
v
u v − u v

=
u · 1

= u 1 + u

=

− u

=

.

v
v
v
v
v
v 2
v 2

(5) Aus

1 ( f ( g ( x + h)) − f ( g ( x)))

h
f ( g ( x + h)) − f ( g ( x))

=

· 1 ( g ( x + h) − g ( x))

g ( x + h) − g ( x)

h
folgt durch Grenzübergang und Limesrechenregel ( L 3) die Behauptung.

7.2.7 Ableitung der Umkehrfunktion

Wir betrachten die Problemstellung: Gegeben ist eine invertierbare Funktion
y = f ( x) und deren Ableitung y = f ( x) . Gesucht ist die Ableitung der Umkehrfunktion g ( x) = f − 1 ( x) . Um diese Ableitung zu berechnen, setzen
wir
y = f ( x)

und lösen diese Gleichung nach x auf:

x = f − 1 ( y) = g ( y) .

Da
y = f ( g ( y))

folgt durch Differenziation d und der Kettenregel
dy
d
d

1 =
y =
f ( g ( y)) = f ( g ( y)) · g ( y) = f ( x) · g ( y) .

dy
dy

256

7. Differenzialrechnung

Löst man diese Gleichung nach g ( y) auf, ist die Ableitung der Umkehrfunktion
gegeben durch

1

1
g ( y) =

=

.

f ( x)

f ( g ( y))

Anschließend vertauscht man die Variablen x und y miteinander.

Ableitung der Umkehrfunktion: Die Funktion f ( x) sei differenzierbar
mit der Ableitung f ( x) und besitze die Umkehrfunktion g. Die Ableitung
der Umkehrfunktion g ( y) ist berechenbar durch

1
g ( y) =

.

( ∗)

f ( x)

Ersetzt man die Variable x durch g ( y) und vertauscht anschließend formal
auf beiden Seiten der Gleichung die Variable x mit y, so folgt g ( x) .

Durch diese Formel ist man insbesondere in der Lage die Ableitungen der

Umkehrfunktion von ex und den trigonometrischen Funktionen zu bestimmen:

Beispiele 7.12:

 Ableitung von ln x:

Gegeben:

y = f ( x) = ex
mit f ( x) = ex.

Gesucht:

Ableitung der Umkehrfunktion g ( x) = ln x.

Ansatz:

y = ex

Auflösen nach x:

x = g ( y) = ln y

1

1

1

→ g ( y) =

=

=
f ( x)

ex
y

1

Vertauschen der Variablen:

g ( x) =

(ln x) =

.

x

 Ableitung von arctan x:

1

Gegeben:

y = f ( x) = tan x
mit f ( x) =

= tan2 x + 1 .

cos2 x

Gesucht:

Ableitung der Umkehrfunktion g ( x) = arctan x.

Ansatz:

y = tan x

Auflösen nach x:

x = g ( y) = arctan y

1

1

1

→ g ( y) =

=

=
f ( x)

tan2 x + 1
y 2 + 1

1

Vertauschen der Variablen:

g ( x) =

(arctan x) =

.

x 2 + 1

7.2

Rechenregeln bei der Differenziation

257

Bemerkungen:

(1) Es ist wichtig die Ableitung der Funktion f wieder durch die Funktion f
auszudrücken, denn wählt man in Beispiel 7.12 | für f z.B. f ( x) =

1

,
cos2 x
so erhält man das Ergebnis

1
g ( y) =

= cos2 x = cos2 (arctan y) .

f ( x)

(2) Auf analoge Weise wie arctan werden die Ableitungen von arcsin, arccos,
arccot berechnet (siehe Übungsaufgaben).

Beispiele 7.13 (Ableitung der Hyperbel- und Areafunktionen):

 Die Ableitungen der Funktionen
sinh: IR → IR mit sinh ( x) := 1 ( ex − e−x)

(Sinushyperbolikus)

2
cosh: IR → IR mit cosh ( x) := 1 ( ex + e−x)

(Kosinushyperbolikus)

2
berechnet man direkt über die Ableitung der Exponentialfunktion. Es gilt
sinh ( x) = cosh ( x)

und
cosh ( x) = sinh ( x) .

 Mit Sinus- und Kosinushyperbolikus gilt der Zusammenhang
cosh2 ( x) − sinh2 ( x) = 1.

Denn durch direktes Einsetzen von Sinus- und Kosinushyperbolikus in die
linke Seite der Gleichung folgt

1

2

1

2
cosh2 ( x) − sinh2 ( x) =
ex + e−x

+
ex − e−x

= 1 .

2

2

 Über sinh und cosh berechnet man die Ableitung von Tangenshyperbo-
likus, der definiert ist durch
sinh ( x)

tanh : IR → IR mit tanh ( x) :=

.

cosh ( x)

Denn durch Anwenden der Quotientenregel gilt
cosh2 ( x) − sinh2 ( x)

tanh ( x) =

.

cosh2 ( x)

258

7. Differenzialrechnung

Verwendet man nun die Identität von |, folgt

1
tanh ( x) =

= 1 − tanh2 ( x).

cosh2 ( x)

 Analog zu Tangenshyperbolikus definiert man den Kotangenshyperbo-
likus
cosh ( x)

coth : IR \ { 0 } → IR mit coth ( x) := sinh ( x)

mit der Ableitung
coth ( x) = −

1

= 1 − coth2 ( x) .

sinh2 ( x)

 Die Areafunktionen sind die Umkehrfunktionen von sinh , cosh , tanh und
coth. Die Ableitung z.B. der Funktion ar sinh ( x) folgt über die Ableitung
der Umkehrfunktion:

Ansatz:

y = sinh ( x)

→
f ( x) = cosh ( x)

Auflösen nach x:

x = g ( y) = ar sinh ( x)

→ g ( y) =

1

=

1

=

1

√

=

1

√

.

f ( x)

cosh( x)

1+sinh2 x

1+ y 2

1

Vertauschen der Variablen:

ar sinh ( x) = √

.

1 + x 2

7.2.8 Logarithmische Differenziation

Die Funktion f ( x) = x cos x ist mit den Differenziationsregeln 7.2.1 - 7.2.7 nicht
unmittelbar ableitbar. Wenn man auf diese Gleichung jedoch den Logarithmus
anwendet
ln f ( x) = ln x cos x = cos x · ln x
und mit der Kettenregel nach x differenziert

1

· f ( x) = − sin x · ln x + cos x · 1
f ( x)

x
folgt

f ( x) = f ( x) · − sin x · ln x + cos x · 1 .

x

7.2

Rechenregeln bei der Differenziation

259

Man bezeichnet diese Vorgehensweise als logarithmische Differenziation,
da man die logarithmierte Funktion differenziert.

Logarithmische Differenziation: Eine Funktion y mit
y = [ u ( x)] v( x)

( u ( x) > 0) wird logarithmisch differenziert, indem man

(1) die Funktionsgleichung logarithmiert:

ln y = v ( x) · ln ( u ( x)) ;

(2) die logarithmierte Gleichung differenziert:

1 · y = v ( x) · ln( u( x)) + v ( x) · 1 · u ( x); y
u ( x)

(3) diese Gleichung nach y auflöst.

Bemerkung: Man beachte, dass beim Differenzieren der logarithmierten Glei-
chung die Funktion y von x abhängt. Dadurch muss die Kettenregel beim

Differenzieren der linken Seite angewendet werden:

d

1
ln y ( x) =

· y ( x) .

dx
y ( x)

Beispiele 7.14:

 y = xx.

Logarithmieren:

ln y

=
ln xx = x ln x.

Differenzieren:

1 y

=

1 · ln x + x · 1 = ln x + 1 .

y
x

Auflösen:

y

=
y (ln x + 1) = xx (ln x + 1) .

 In vielen praktischen Beispielen besteht die zu differenzierende Funktion
aus komplizierten Ausdrücken von Produkten und Quotienten. Zwar kann
durch Anwenden der Produkt- und Quotientenregel die Ableitung berech-
net werden, jedoch wird durch logarithmisches Differenzieren die Aufgabe
vereinfacht und die Berechnung auf elegante Weise durchführbar. Sei
sin ( x − 2) e 2 x
y =

.

( x − 1)3 ( x 2 + 3)5

260

7. Differenzialrechnung

Logarithmieren:

,

-

&

'

5
ln y =
ln sin ( x − 2) e 2 x − ln ( x − 1)3 x 2 + 3

5

=
ln (sin ( x − 2)) + ln e 2 x − ln ( x − 1)3 − ln x 2 + 3

=
ln (sin ( x − 2)) + 2 x − 3 ln ( x − 1) − 5 ln x 2 + 3 .

Differenzieren:

1 ·

1

1

1
y =

· cos ( x − 2) + 2 − 3

− 5

· 2 x.

y
sin ( x − 2)

x − 1
x 2 + 3

Auflösen:

y =
y · cot ( x − 2) + 2 −

3

− 10 x

.

x − 1
x 2 + 3

 Mit der logarithmischen Differenziation kann auch die Ableitung der allge-
meinen Potenzfunktion
y = xα ( x > 0 , α ∈ IR fest ) berechnet werden:

Logarithmieren:

ln y =
ln xα = α ln x.

1

Differenzieren:

· y = α · 1 .

y
x

1

Auflösen:

y =
y α

= xα α x− 1 = α xα− 1 .

x

⇒
y = xα

⇒ y = α xα− 1

( α ∈ IR) .

7.2.9 Implizite Differenziation

In manchen Anwendungen ist eine Funktion f ( x) nur in einer impliziten Form

F ( x, f ( x)) = 0 gegeben und die Bestimmungsgleichung nur schwer oder gar
nicht explizit nach y = f ( x) auflösbar. Die Ableitung solcher implizit gegebe-
ner Funktionen kann mit Hilfe der Kettenregel berechnet werden:

Beispiel 7.15. Gegeben ist die Kreisgleichung

F ( x, y) = ( x − 4)2 + ( y + 5)2 − 25 = 0 ,

Kreis um den Mittelpunkt ( x 0 , y 0) = (4 , − 5) mit Radius 5. Gesucht ist die

Steigung im Punkte ( x, y) = (7 , − 1) .

Wir differenzieren jeden einzelnen Term der Gleichung nach x. Man beachte,
dass hierbei y = y ( x) von der Variablen x abhängt! Wenn die Funktion F

7.2

Rechenregeln bei der Differenziation

261
identisch Null ist, dann ist auch die Ableitung von F nach x Null:

2 ( x − 4) + 2 ( y + 5) · y − 0 = 0 .

Durch Auflösen nach y folgt
y = − x − 4
y + 5
und nach Einsetzen des Punktes ( x, y) = (7 , − 1) ist die Steigung
y = − 7 − 4 = − 3 .

− 1 + 5

4

Implizite Differenziation: Ist eine Funktion y ( x) implizit gegeben
durch

F ( x, y ( x)) = 0 ,
so erhält man die Ableitung der Funktion y, indem F gliedweise nach
x differenziert wird. Jeder Term, der y enthält, muss unter Verwendung
der Kettenregel differenziert werden. Anschließend wird die differenzierte

Gleichung nach y aufgelöst.

Beispiele 7.16:

 Gesucht ist die Ableitung der Funktion y( x), die implizit durch die Glei-
chung ey − e 2 x = x · y definiert ist:

Aus ey − e 2 x = x · y folgt ey − e 2 x − x · y = 0 .

Differenziation:

ey · y − e 2 x · 2 − (1 · y + x · y) = 0

⇒ ( ey − x) y − 2 e 2 x − y = 0 .

2 e 2 x + y

Auflösen:

y =

.

ey − x

 Gesucht ist die Ableitung der Funktion y( x), die implizit durch die Glei-
chung x · sin 2 y = 1 − 3 y 2 definiert ist:

x · sin 2 y = 1 − 3 y 2

⇒ x · sin 2 y − 1 + 3 y 2 = 0 .

Differenziation:

1 · sin 2 y + x cos 2 y · 2 y − 0 + 3 · 2 y · y = 0 .

− sin 2 y

Auflösen:

y =

.

2 x cos 2 y + 6 y

262

7. Differenzialrechnung

7.3

7.3 Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik

7.3.1 Kinematik

Bewegungsabläufe lassen sich durch das Weg-Zeit-Gesetz s = s ( t) beschrei-
ben. Die Momentangeschwindigkeit ist die Ableitung des Weg-Zeit-Gesetzes
nach der Zeit
v ( t) := ˙ s ( t) = d s ( t)

(Geschwindigkeit)

dt
und die Beschleunigung gibt die Änderung der Geschwindigkeit an:

a ( t) := ˙ v ( t) = d v ( t) = ¨
s ( t) .

(Beschleunigung)

dt

(1) Für den freien Fall gilt
s ( t) = 1 g t 2 + v

2

0 t + s 0 ,
wenn s 0 die Anfangsposition und v 0 die Anfangsgeschwindigkeit. Es gilt hier
für die Geschwindigkeit und Beschleunigung
v ( t)

=

˙ s ( t)

=
g t + v 0 ,
a ( t)

=

˙ v ( t)

=
g = const .

(2) Ein durch Luftreibung ged¨
ampftes Federpendel
schwingt mit
x ( t) = x 0 e−γ t cos ( ωt) ,
wenn x 0 die Anfangsauslenkung, γ der Reibungskoeffizi-
ent und ω die Schwingungsfrequenz. Die Geschwindigkeit
und Beschleunigung sind

Abb. 7.4.

Federpendel v ( t) = ˙
x ( t) = −γ x 0 e−γ t cos ( ωt) − ω x 0 e−γ t sin ( ωt) ,
a ( t) = ˙ v ( t) = γ 2 x 0 e−γ t cos ( ωt) + γ ω x 0 e−γ t sin ( ωt)

+ γ ω x 0 e−γ t sin ( ωt) − ω 2 x 0 e−γ t cos ( ωt)

7.2

Rechenregeln bei der Differenziation

263

a ( t) = γ 2 − ω 2 x 0 e−γ t cos ( ωt) + 2 γ ω x 0 e−γ t sin ( ωt) .

Für den Spezialfall ohne Reibung ( γ = 0) ist
x ( t) = x 0 cos ( ωt)

und

¨
x ( t) = a ( t) = −ω 2 x 0 cos ( ωt) = −ω 2 x ( t) .

Dann ist die Rückstellkraft der Feder

F = m a = m ¨
x ( t) = −m ω 2 x ( t) ∼ x ( t) .

Dies ist das Hooksche Gesetz, welches besagt, dass die Rückstellkraft propor-
tional zur Auslenkung x ( t) ist.

7.3.2 Induktionsgesetz

Das Induktionsgesetz aus der Physik lautet: Eine zeitliche Änderung des ma-
gnetischen Flusses φ induziert in einem Leiter mit Windungszahl n eine elek-
trische Spannung Ui gemäß

Ui( t) = −n d φ( t) .

dt

Dabei ist der magnetische Fluss φ = B · Aeff , B das angelegte Magnetfeld
und Aeff die vom Magnetfeld durchdrungene Fläche.

(1) Wenden wir das Induktionsgesetz auf eine in einem
konstanten Magnetfeld rotierende Spule an, so ist die
effektiv vom Magnetfeld durchdrungene Fläche

Aeff = A cos ϕ ( t) = A cos ( ωt) .

Nach dem Induktionsgesetz wird die Wechselspannung
d
d

U
φ

=

B A cos ( ωt)

Abb. 7.5. Drehender Lei-
i = −n

−n
dt
dt
ter

=
n B A ω sin ( ωt)

mit der Scheitelspannung U 0 = n B A ω induziert.

(2) Ist die Leiterschleife fest und variiert das Magnetfeld senkrecht zur Leiter-
schleife gemäß B = B 0 cos ( ωt) mit Amplitude B 0 und Frequenz ω, so wird
in der Leiterschleife (Querschnittsfläche A) die Spannung Ui induziert gemäß
der Formel
d
d

Ui = −n
φ = −n

A B
dt
dt

0 cos ( ωt) = n A B 0 ω sin ( ωt) .

264

7. Differenzialrechnung

7.3.3 Elektrostatik

(1) In einem Plattenkondensator mit Anodenspannung φA , Kathodenspan-
nung φK und Spaltabstand d ist das Potenzial φ ( x) gegeben durch

x
φ ( x) = 1 − x φ
φ
d

A + d K

x

= φA +

( φ
d

K − φA) .

Das zugehörige elektrische Feld E ist definiert als

E ( x) := − d φ ( x)

(elektrisches Feld).

dx

Dann ist
φ

E ( x) = − d φ ( x) = − 1 ( φ

A − φK = const.

dx
d

K − φA) =
d

(2) Kondensatormikrophon. An den Platten eines Kondensatormikrophons
liegt eine konstante Spannung U 0 an. Der Druck der Schallwellen (Frequenz
ω) ändert den Plattenabstand nach der Formel
d = d 0 + a sin ( ωt) .

Damit variiert die Ladung Q am Kondensator
ε

Q ( t) = C ( t) · U

0 A

0 =

· U
d ( t)

0 ,
da sich die Kapazität C zeitlich ändert. Der
zeitliche Verlauf des Stromes

I ( t) = d Q ( t)

dt
ist demnach gegeben durch
d
d

1

I ( t) =

Q ( t) = ε
dt

0 A U 0 dt d 0 + a sin ( ωt)

ω a cos ( ωt)

= −ε 0 A U 0

.

[ d 0 + a sin ( ωt)]2

7.4

Differenzial einer Funktion

265

7.4

7.4 Differenzial einer Funktion

In diesem Abschnitt untersuchen wir das Verhalten von Funktionen, indem wir den Zuwachs
der Funktion mit dem Zuwachs der Tangente vergleichen. Die Formeln bei der Linearisierung
von Funktionen und der Fehlerrechnung basieren auf diesem Vergleich.

Um den Zuwachs einer differenzierbaren Funktion f in unmittelbarer Umge-
bung eines Punktes x 0 zu bestimmen, berechnen wir den Funktionswert an der

Stelle x 0 und bei x 0 + x. Ändert sich der Abszissenwert um x, so ändert
sich der Funktionswert um y. Für den Zuwachs y der Funktion f gilt
y = f ( x 0 + x) − f ( x 0) .

Abb. 7.6. Differenzial einer Funktion

Wir vergleichen den Zuwachs der Funktion mit der Änderung der Tangente
dy. Man nennt
dx

:

unabh¨
angiges Differenzial
dy

:

abh¨
angiges Differenzial

(= Änderung der Kurventangente)

Es gilt nach Abb. 7.6
dy
tan α = f ( x 0) =

⇒ dy = f ( x
dx

0) · dx.

Definition: (Differenzial einer Funktion). Das Differenzial
dy = df = f ( x 0) · dx
einer Funktion y = f ( x) beschreibt die ¨

Anderung l¨
angs der Tangente
im Punkte x 0 , wenn sich die Abszisse um dx ändert. df wird auch das

Differenzial der Funktion f im Punkte x 0 bezeichnet.

266

7. Differenzialrechnung
y: ¨

Anderung der Funktion bei Änderung des x-Wertes um x.

dy:

¨

Anderung der Tangente bei Änderung des x-Wertes um dx.

Beispiele 7.17:

√

 Gesucht ist das Differenzial der Funktion f ( x) =
x + 1 bei x 0 = 0:

1

1

1
f ( x) = ( x + 1) 2 → f ( x) =

( x + 1) − 12

→
f ( x

.

2

0 = 0) = 2

Damit ist
df = f ( x 0) dx = 1 dx.

2

 Gesucht ist das Differenzial von f ( x) = arctan x an der Stelle x 0 = 0:

1
f ( x) = arctan ( x)

→
f ( x) =

→
f ( x

1 + x 2

0 = 0) = 1 .

Damit ist
df = 1 · dx.

7.4.1 Linearisierung von Funktionen

Aus dem Differenzial df einer Funktion werden wir nun noch eine für die An-
wendungen wichtige Folgerung ziehen: Für kleine x = dx gilt näherungsweise
y ≈ dy.

Denn für kleine x = dx ist die Änderung der Tangente vergleichbar mit der

Änderung der Funktion. Setzt man noch die Formel für dy ein, erhält man

⇒ y ≈ dy = f ( x 0) · x.

Abb. 7.7. Linearisierung einer Funktion

Für kleine x kann die Funktion f in unmittelbarer Umgebung des Punktes
x 0 durch die Kurventangente ersetzt werden. Man nennt dieses Vorgehen die

7.4

Differenzial einer Funktion

267

Linearisierung der Funktion f . Wegen
y = f ( x) − f ( x 0) ≈ dy = f ( x 0) ( x − x 0)

folgt für die Linearisierung der Funktion f an der Stelle x 0:

f ( x) ≈ f ( x 0) + f ( x 0) · ( x − x 0) .

Beispiele 7.18:

4 x

 Gegeben ist die Funktion f ( x) =

. Gesucht ist die Linearisierung
x ( x + 1)

der Funktion bei x 0 = 1:

4 x ( x + 1) − 4 x (2 x + 1)

Wegen f ( x) =
ist
f ( x 0 = 1) = − 1
x 2 ( x + 1)2

⇒ f ( x) ≈ f ( x 0) + f ( x 0) ( x − x 0) = 2 + ( − 1) ( x − 1) = 3 − x.

 Gegeben ist die Funktion f ( ϕ) = sin ϕ. Gesucht ist die Linearisierung der

Funktion bei ϕ 0 = 0:

Wegen f ( ϕ) = cos ϕ
ist
f ( ϕ 0 = 0) = 1

⇒ f ( ϕ) ≈ f ( ϕ 0) + f ( ϕ 0) ( ϕ − ϕ 0) = 0 + 1 · ( ϕ − 0) = ϕ

⇒
sin ϕ ≈ ϕ

(für kleine Winkel).

Anwendungsbeispiel 7.19 (Harmonisches Pendel).

An einem Faden der Länge l sei eine Masse m befestigt.

Gesucht ist der Winkel ϕ ( t) als Funktion der Zeit, wenn
die Masse um einen kleinen Winkel ϕ 0 ausgelenkt wird.

Wir bestimmen alle auf die Masse wirkenden Kräfte, denn
nach dem Newtonschen Bewegungsgesetz ist die Beschleu-
nigungskraft gegeben durch die Summe aller Kräfte.

Gehen wir von einer reibungsfreien Bewegung aus, wirkt
auf den Massenpunkt nur die Gewichtskraft FG = m g. Da
die Beschleunigung der Masse senkrecht zum Faden erfolgt,

Abb. 7.8.

wirkt als Beschleunigungskraft

Fadenpendel

FB = −FG · sin ϕ = −m g sin ϕ.

Bei einer Kreisbewegung ist die Geschwindigkeit v ( t) = l ω = l · ˙
ϕ ( t) und
damit die Beschleunigung a ( t) = ˙ v ( t) = l ¨
ϕ ( t) . Insgesamt gilt nach dem

268

7. Differenzialrechnung

Newtonschen Gesetz
m l ¨
ϕ ( t) = −m g sin ( ϕ ( t))

bzw.

g

¨
ϕ ( t) +
sin ϕ ( t) = 0 .

l

Diese Gleichung nennt man Differenzialgleichung, da neben der gesuchten

Funktion ϕ ( t) (= Winkelauslenkung zu einem beliebigen Zeitpunkt t) auch
deren (zweite) Ableitung vorkommt. Für diese Gleichung lässt sich keine ge-
schlossene Lösung ϕ ( t) finden. Für kleine Winkel ϕ ( t) ≈ 0 gilt aber nach

Beispiel 7.18 |
sin ϕ ( t) ≈ ϕ ( t) ,
so dass die Bewegungsgleichung sich vereinfacht zu
g

¨
ϕ ( t) +
ϕ ( t) = 0 .

l

Die Lösung dieser Differenzialgleichung ist gegeben durch
ϕ ( t) = ϕ 0 cos ( ωt)

mit ω =
g und ϕ
l

0 = ϕ ( t = 0) die Anfangsauslenkung. Dies prüft man durch

Einsetzen der Funktion ϕ ( t) in die Differenzialgleichung direkt nach:

¨
ϕ ( t)

=

−ω 2 ϕ 0 cos ( ωt)

g
g

→

¨
ϕ ( t) +
ϕ ( t)

=

−ω 2 ϕ
ϕ
l

0 cos ( ωt) + l 0 cos ( ωt) = 0 .

Zusammenfassung: Für kleine Winkelauslenkungen ist der Winkel ϕ ( t) ei-
nes Fadenpendels gegeben durch ϕ ( t) = ϕ 0 cos ( ωt) . Dies ist eine periodische

Bewegung mit zeitlich konstanter Amplitude ϕ
g

0, fester Kreisfrequenz ω =
l

und zeitlich konstanter Schwingungsdauer T = 2 π = 2 π
l .

ω
g

7.4.2 Fehlerrechnung

Das Differenzial einer Funktion macht eine Aussage darüber, wie sich der Wert
einer Funktion bei kleinen Änderungen der Argumente ändert. Eine Anwen-
dung des Differenzials ist die Fehlerrechnung, da diese eine Aussage darüber
trifft, in wieweit sich der Funktionswert in linearer Näherung maximal ändert,
wenn das Argument nur bis auf ± dx bekannt ist.

7.4

Differenzial einer Funktion

269

Fehlerrechnung: Sei f eine physikalische Größe, die durch Messung ei-
ner Einzelgröße x berechnet wird. Sei die Einzelgröße x mit der Messun-
genauigkeit dx behaftet. Dann ist der maximale Fehler in linearer

N¨
aherung gegeben durch den Betrag des Differenzials

|df| = |f ( x) | |dx| .

Anwendungsbeispiel 7.20 (Wheatstonesche Br¨
uckenschaltung).

Über die Wheatstonesche Br¨
uckenschaltung
lässt sich ein unbekannter Ohmscher Wider-
stand R durch

R = R 0 ·
x
l − x

Abb. 7.9. Wheatstonesche Brücke
bestimmen, wenn der Abtastpunkt D auf dem

Draht so verschoben wird, dass die Brücke
stromlos ist. Aufgrund von Messungenauigkeiten ist x nur bis auf ± 1 mm be-
kannt. Wie groß ist der maximale und relative Fehler in linearer Näherung,
wenn R 0 = 100Ω , l = 1 m und x = 0 . 53 m?

Wir betrachten R als Funktion von x:

x

R ( x) = R 0 l − x
und bestimmen das Differenzial

1 · ( l − x) + x · 1
dR = R ( x) · dx = R 0
dx = − R 0 l
dx.

( l − x)2

( l − x)2

Für x 0 = 0 . 53 m und dx = 0 . 001 m folgt für den maximalen Fehler in linearer Näherung

|

1
dR| = 100

· 0 . 001Ω = 0 . 452Ω .

0 . 472

Der Widerstand ergibt sich also zu
x

R = R

0

0

± |dR| = (112 . 76 ± 0 . 45) Ω
l − x 0

|dR|
mit einem relativen Fehler von

= 0 . 4% .

R

270

7. Differenzialrechnung

7.5

7.5 Anwendungen in der Mathematik

Aus den Ableitungen einer Funktion werden Rückschlüsse auf die Eigenschaften der Funk-
tion gezogen. Aus der ersten Ableitung kann man die Monotonie und die Extremwerte
ablesen; aus der zweiten Ableitung die Wendepunkte. Ziel dieses Abschnittes ist, eine
vollständige Kurvendiskussion durchzuführen. Insbesondere die Charakterisierung der lo-
kalen Extremwerte über die erste Ableitung werden wir im nächsten Abschnitt anwenden,
um Optimierungsprobleme zu lösen.

7.5.1 Geometrische Bedeutung von f und f .

Die Ableitung einer Funktion gibt die Steigung der Kurventangente an. Hat
eine Funktion stets eine positive Steigung, f ( x) > 0 , dann ist der Zuwachs
df = f ( x) · dx > 0 und die Funktion streng monoton wachsend (Abb. 7.10

(a)). Ist andererseits für eine Funktion f ( x) < 0, dann fällt die Funktion
streng monoton (Abb. 7.10 (b)).

Satz: Monotonieverhalten einer Funktion.

Sei f eine in ihrem Definitionsbereich ID differenzierbare Funktion.

(1) Ist f ( x) > 0 für alle x ∈ ID

⇒ f ist streng monoton wachsend.

(2) Ist f ( x) < 0 für alle x ∈ ID

⇒ f ist streng monoton fallend.

Die zweite Ableitung einer Funktion bestimmt das Krümmungsverhalten, denn
f gibt die Steigung der Tangente an. Es gilt

Satz: Kr¨
ummungsverhalten einer Funktion.

Für eine in ihrem Definitionsbereich ID zweimal differenzierbare Funktion
gilt für x 0 ∈ ID :

(1) Ist f ( x 0) > 0, dann nimmt die Steigung der Kurventangente beim

Durchgang durch den Punkt P ( x 0 , f ( x 0)) zu. Die Tangente dreht
sich in positive Richtung (Gegenuhrzeigersinn). Die Kurve besitzt in

P eine Linkskr¨
ummung (Abb. 7.10 (b)).

(2) Ist f ( x 0) < 0, dann nimmt die Steigung der Kurventangente beim

Durchgang durch den Punkt P ( x 0 , f ( x 0)) ab. Die Tangente dreht
sich in negative Richtung (Uhrzeigersinn). Die Kurve besitzt in P
eine Rechtskr¨
ummung (Abb. 7.10 (a)).

7.5

Anwendungen in der Mathematik

271

Abb. 7.10. (a) monoton wachsende Funktion mit Rechtskrümmung, (b) monoton fallende

Funktion mit Linkskrümmung

7.5.2 Relative Extremalwerte

Die relativen Extremalwerte geben die Punkte einer Funktion an, bei denen
die Funktionswerte in einer Umgebung relativ einen größten bzw. kleinsten

Funktionswert besitzen.

Definition: Eine Funktion f besitzt an der Stelle x 0 ∈ ID ein relatives

Maximum bzw. relatives Minimum, wenn in einer Umgebung des

Punktes x 0 gilt
f ( x 0) > f ( x) f ¨
ur alle x = x 0

(rel. Maximum)

f ( x 0) < f ( x) f ¨
ur alle x = x 0

(rel. Minimum).

Eine differenzierbare Funktion besitzt in einem
lokalen Extremum eine waagrechte Tangente.

Somit ist eine notwendige Bedingung für einen
relativen Extremwert x 0, dass f ( x 0) = 0 .

!Achtung: Diese Bedingung ist jedoch nicht
hinreichend, wie das folgende Beispiel zeigt:

! Beispiel 7.21. Für die Funktion f ( x) = x 3
gilt f (0) = 0; aber x 0 = 0 ist kein lokales

Abb. 7.11. Relative Extremwerte

Extremum. Diese Funktion ändert bei x 0 = 0
gleichzeitig ihre Krümmung (von einer Rechts- in eine Linkskrümmung). Da-
her ist f (0) = 0 . Damit also zwingend eine waagrechte Tangente auch hinrei-
chend für ein Extremum ist, darf die Kurve in x 0 die Krümmung nicht ändern:

f ( x 0) darf nicht verschwinden.

272

7. Differenzialrechnung

Satz: Hinreichende Bedingung f¨
ur ein relatives Extremum.

Sei f in einer Umgebung von x 0 ∈ ID zweimal stetig differenzierbar. Ist
f ( x 0) = 0 und f ( x 0) = 0 , dann besitzt f in x 0 ein relatives Extremum.

kurz: f ( x 0) = 0 , f ( x 0) < 0 ⇒ x 0 ist ein relatives Maximum.

f ( x 0) = 0 , f ( x 0) > 0 ⇒ x 0 ist ein relatives Minimum.

Beispiele 7.22:

{ Gesucht sind die relativen Extrema der Funktion
f ( x) = x 3 − 3 x.

Es ist
f ( x) = 3 x 2 − 3 ,
f ( x) = 6 x.

Aus f ( x) = 0 , folgt 3 x 2 − 3 = 0 → x 1 / 2 = ± 1 .

An diesen Stellen besitzt die Funktion eine waag-
rechte Tangente.

i) f ( x 1) = f (1) > 0

⇒ bei x 1 = 1 ist ein
lokales Minimum,
ii) f ( x 2) = f ( − 1) < 0

⇒ bei x 2 = − 1 ist ein lokales Maximum.

| Für die Exponentialfunktion f ( x) = ex gilt für alle x ∈ IR : f ( x) = ex > 0 .

Die Exponentialfunktion besitzt also kein Extremum und ist auf ganz IR streng
monoton wachsend.

7.5.3 Wendepunkte und Sattelpunkte

Definition:

(1) Kurvenpunkte, in denen sich der Drehsinn der Tangente ¨
andert, heißen

Wendepunkte (Abb. 7.12 (a)).

(2) Wendepunkte, die eine waagrechte Tangente besitzt, heißen Sattelpunk-
te (Abb. 7.12 (b)).

Abb. 7.12. Wende- und Sattelpunkte

7.5

Anwendungen in der Mathematik

273

In den Wendepunkten findet eine Änderung der Krümmung statt. Für eine
zweimal stetig differenzierbare Funktion gilt in diesen Punkten f ( x 0) = 0 .

Diese Bedingung ist aber nicht hinreichend wie das Beispiel f ( x) = x 4 zeigt:

Bei x 0 = 0 gilt zwar f ( x 0) = 0 , aber auch f ( x 0) = 0 . Folgende Bedingungen sind hinreichend:

Satz: Hinreichende Bedingung f¨
ur Wende- und Sattelpunkte.

Sei die Funktion f in ihrem Definitionsbereich 3-mal stetig differenzierbar
und x 0 ∈ ID .

(1) Ist f ( x 0) = 0 und f ( x 0) = 0

⇒ x 0 ist Wendepunkt.

(2) Ist f ( x 0) = 0, f ( x 0) = 0 und f ( x 0) = 0

⇒ x 0 ist Sattelpunkt.

Beispiele 7.23:

 Die Funktion f ( x) = x 3 hat in x 0 = 0 einen Sattelpunkt:

f ( x) = 3 x 2 ,
f ( x) = 6 x ,
f ( x) = 6 .

Wegen f (0) = f (0) = 0 und f (0) = 0 ist x 0 = 0 ein Sattelpunkt.

 Die Funktion f ( x) = x 3 − 3 x hat in x 0 = 0 einen Wendepunkt:

f ( x) = 3 x 2 − 3 ,
f ( x) = 6 x ,
f ( x) = 6 .

Aus f ( x) = 0 → x 0 = 0 . Wegen f (0) = 6 = 0 ist x 0 = 0 ein Wendepunkt.

 Die Wendepunkte der Sinusfunktion fallen mit den Nullstellen zusammen:

f ( x) = sin x ,
f ( x) = cos x ,
f ( x) = − sin x ,
f ( x) = − cos x.

Aus f ( x) = − sin x = 0 folgt xk = k · π. Wegen
f ( xk) = − cos( k π) = − ( − 1) k = 0
sind damit alle Nullstellen auch Wendepunkte.

274

7. Differenzialrechnung

7.5.4 Kurvendiskussion

Charakteristische Eigenschaften einer Funktion werden mit Hilfe der Diffe-
renzialrechnung erfasst. Charakteristische Punkte sind dabei Nullstellen und

Polstellen aber auch die relativen Extrema, Wende- und Sattelpunkte. Eine
vollständige Kurvendiskussion orientiert sich an den folgenden 10 Punkten:

1. Definitionsbereich

2. Symmetrieverhalten

3. Nullstellen

4. Polstellen

5. Asymptoten (Verhalten der Funktion für x → ± ∞)

6. Ableitungen der Funktion (bis zur Ordnung 3)

7. Relative Extrema

8. Wende- und Sattelpunkte

9. Wertebereich

10. Funktionsgraph

− 5 x 2 + 5

Beispiel 7.24. Gebrochenrationale Funktion
y =

.

x 3

Definitionsbereich: Der Nenner wird bei x 0 = 0 Null ⇒ ID = IR \{ 0 }. x 0 = 0
ist Definitionslücke.

Symmetrieverhalten: Die Funktion ist punktsymmetrisch, da sie der Quo-
tient einer geraden und ungeraden Funktion und damit insgesamt ungerade ist.

Nullstellen: Zähler und Nenner werden in Linearfaktoren zerlegt und gemein-
same Faktoren gekürzt:

− 5 x 2 + 5

− 5 ( x + 1) ( x − 1)

y =

=
x 3
x 3

⇒ Nullstellen sind x 1 = − 1 und x 2 = 1 .

Polstellen: x 3 = 0 .

Asymptoten: Der Grad des Zählers ist kleiner als der Grad des Nenners

⇒ lim y = 0 → x-Achse ist Asymptote.

x→±∞

Ableitungen:

5 x 2 − 3
y =

,
x 4

7.5

Anwendungen in der Mathematik

275

− 10 x 2 − 6
y =

,
x 5

30 x 2 − 10
y =

.

x 6

√

Relative Extrema: y = 0 → x 2 − 3 = 0 ⇒ x 4 / 5 = ± 3 .

√

√

√

√
y

3 = 10

3 > 0 ⇒

3 , − 10 3 ist relatives Minimum.

9

9

√

√

√

√
y − 3 = − 10 3 < 0 ⇒ − 3 , 10 3 ist relatives Maximum.

9

9

√

Wendepunkte: y = 0 → x 2 − 6 = 0 ⇒ x 6 / 7 = ± 6 .

√
y ± 6 = 0 ⇒ x 6 / 7 sind Wendepunkte.

Funktionsgraph:

Abb. 7.13. Funktionsgraph von y = − 5 x 2+5
x 3

Wertebereich: V

W = IR .

Anwendungsbeispiel 7.25 (Ged¨
ampfte freie Schwingung).

Gesucht ist der Funktionsverlauf der gedämpften freien Schwingung
x ( t) = 4 e− 0 . 1 t · cos (2 t)

t ≥ 0 .

Definitionsbereich: An die Funktion ergeben sich keine Einschränkungen.

Aufgrund von physikalischen Gründen ist jedoch ID = IR ≥ 0 .

Symmetrie:

-

(da für negative t keine Kurvendiskussion)

Nullstellen: x ( t) = 0 → e 0 . 1 t cos (2 t) = 0 → cos (2 t) = 0

⇒ 2 t = π + k π → t

+ k π ,
k = 0 , 1 , 2 , 3 , . . .

2
k = π

4

2

Polstellen:

-

Asymptoten: Für t → ∞ ist x ( t) → 0 . Die t-Achse ist Asymptote.

276

7. Differenzialrechnung

Ableitungen:

˙
x ( t) = ( − 0 . 4 cos (2 t) − 8 sin (2 t)) e− 0 . 1 t,

¨
x ( t) = ( − 15 . 96 cos (2 t) + 1 . 6 sin (2 t)) e− 0 . 1 t,

...

x ( t) = (4 . 796 cos (2 t) + 31 . 76 sin (2 t)) e− 0 . 1 t .

Relative Extrema: ˙
x ( t) = 0 → − 0 . 4 cos (2 t) − 8 sin (2 t) = 0

→ tan (2 t) = − 0 . 4 = − 0 . 05

8

→ 2 t = arctan ( − 0 . 05) + k · π , da der Arkustangens mehrdeutig

→ 2 tk = 3 . 091 + k · π
k = 0 , 1 , 2 , 3 , . . .

(i) Für gerade k = 2 n ist ¨
x ( tk) positiv:

¨
x ( tk)

= ¨
x ( t 2 n)

= ( − 15 . 96 cos (3 . 091 + 2 n π) + 1 . 6 sin (3 . 091 + 2 n π)) e− 0 . 1 t 2 n

= 16 . 020 e− 0 . 1 t 2 n > 0

⇒ rel. Minima:

Min1 = (1 . 545 , − 3 . 422); Min2 = (4 . 687 , − 2 . 500); Min3 = (7 . 828 , − 1 . 826); . . . .

(ii) Für ungerade k = 2 n + 1 ist ¨
x ( tk) negativ:

¨
x ( tk)

= ¨
x ( t 2 n+1)

= ( − 15 . 96 cos (3 . 091 + π) + 1 . 6 sin (3 . 091 + π)) e− 0 . 1 t 2 n+1

= − 16 . 020 e− 0 . 1 t 2 n+1 < 0

⇒ rel. Maximum:

Max1 = (3 . 116 , 2 . 925); Max2 = (6 . 257 , 2 . 136); Max3 = (9 . 399 , 1 . 560); . . . .

Der Abstand von Minima und Maxima beträgt π .

2

Wendepunkte: ¨
x ( t) = 0 → − 15 . 96 cos (2 t) + 1 . 6 sin (2 t) = 0

⇒

15 . 96
tan (2 t) =

⇒ 2 t

1 . 6
k = 4 . 612 + k · π.

Da die dritte Ableitung an diesen Stellen abwechselnd positiv und negativ ist,
liegen tatsächlich Wendepunkte vor.

Funktionsgraph:

Abb. 7.14. Funktionsgraph von x( t) = 4 exp( − 0 . 1 t) cos(2 t).

Wertebereich: V

W = [ − 3 . 422 , 4] ; der größte Wert wird bei t = 0 , der kleinste
im 1. Minimum angenommen.

7.6

Extremwertaufgaben (Optimierungsprobleme)

277

7.6

7.6 Extremwertaufgaben (Optimierungsprobleme)

Die Differenzialrechnung ist ein wichtiges Hilfsmittel zur Lösung von Optimierungsproble-
men in der Technik. Bei den Optimierungsproblemen sucht man das absolute Maximum
oder Minimum eines Problems unter Nebenbedingungen.

In der Regel werden technische Sachverhalte in ein mathematisches Modell

(Zielfunktion) umgesetzt und die Lösung des Problems auf die Bestimmung
von Extremwerten dieser Funktion zurückgeführt. Das gesuchte absolute Ma-
ximum (oder Minimum) kann aber auch in einem Randpunkt des Intervalls
liegen. Für Extremwertaufgaben wählt man folgendes Schema:

(1) Ansatz: Die zu optimierende Größe wird mathematisch beschrieben. Auf-
grund von Randbedingungen werden alle Variablen bis auf eine eliminiert.

Die zu optimierende Größe ist dann eine Funktion ( Zielfunktion) von einer

Variablen.

(2) Die Extrema der Zielfunktion werden ermittelt und deren Verträglichkeit
mit dem gegebenen Problem überprüft.

(3) Durch Vergleich der Extremwerte mit den Funktionswerten in den Rand-
punkten des Lösungsintervalls erhält man den größten (oder kleinsten)

Wert der Funktion im Intervall.

Anwendungsbeispiel 7.26 (RCL-Wechselstromkreis).

In einem RCL-Wechselstromkreis fließt beim Anlegen
einer Wechselspannung

U ( t) = U 0 sin ( ωt)

ein Wechselstrom

Abb. 7.15. RCL-Kreis

I ( t) = I 0 sin ( ωt + ϕ)

mit frequenzabhängiger Amplitude

2

I 0 ( ω) = U 0 /

R 2 + ωL − 1
ωC

Bei welcher Frequenz ω besitzt I 0 seinen größten Wert?

278

7. Differenzialrechnung

I 0 ( ω) ist maximal, wenn

R 2 + ωL − 1
minimal, bzw. wenn die folgende
ωC

Funktion f minimal wird:

2
f ( ω) = R 2 + ωL − 1
ωC

1

!

1
f ( ω) = 2( ωL − 1 ) · ( L +

) = 0

⇒ ω

√
ωC
ω 2 C

0 =

LC

1

1
f ( ω) = 2( L +

)2 − 4 ( ωL − 1 )

⇒ f √

= 8 L 2 > 0 .

ω 2 C
ω 3 C
ωC

LC
f nimmt in ω 0 =

1

√
sein Minimum an, und I 0 ( ω) hat den Maximalwert

LC

I 0 ( ω 0) = U 0 .

R
ω→ 0
ω→∞

Wegen I 0 ( ω) −→ 0 und I 0 ( ω) −→ 0 , stellt das relative Maximum auch das absolute Maximum dar. I 0 hat also sein Maximum bei der Resonanzfrequenz
ω 0 =

1

√

.

Der Scheinwiderstand ist dann gleich dem Ohmschen Wider-

LC
stand R und es gilt

U

I

0

0 , max =

.

R

Anwendungsbeispiel 7.27 (Leistungsanpassung des Widerstandes).

An einer Gleichstromquelle U 0 mit Innenwiderstand Ri ist ein Außenwider-
stand R (Lastwiderstand) angeschlossen. Wie groß muss der äußere Wider-
stand gewählt werden, damit die Nutzleistung maximal wird?

⎫

Leistung am Widerstand R :

⎪

⎪

⎪

P = U · I = R · I · I

⎪

⎬

⎪

Maschensatz (Nebenbedingung):

⎪

⎪

⎪

⎭

U 0 = Ui + U = Ri I + R I = ( Ri + R) I

⇒

U

I =

0

.

Ri + R

Damit ergibt sich die Nutzleistung als Funktion von R:

U

2

R

P ( R) = R

0

= U 2

(Nutzleistung am Widerstand)

R

0
i + R

( Ri + R)2

Für das Extremum gilt

1 · ( R

R

!

P ( R) = U 2
i + R)2 − R · 2 ( Ri + R) = U 2
i − R

= 0

0

0

( Ri + R)4

( Ri + R)3

7.6

Extremwertaufgaben (Optimierungsprobleme)

279

⇒ R = Ri .

Für die zweite Ableitung von P ( R) folgt

− 1 ( R

P ( R) = U 2
i + R)3 − ( Ri − R) 3 ( Ri + R)2

0

( Ri + R)6

− ( R

= U 2
i + R) − 3 ( Ri − R) .

0

( Ri + R)4

Damit ist

− 2 R

U 2

P ( R
i

0
i) = U 2

= − 1

< 0 .

0

16

8 R 3 i

R→∞

R→ 0

Für R = Ri liegt ein relatives Extremum vor. Da P ( R) −→ 0 und P ( R) −→

0 ist das relative auch das absolute Maximum. Die Nutzleistung wird maxi-
mal, wenn der Lastwiderstand gleich dem Innenwiderstand gewählt wird. Die
maximale Nutzleistung bei diesem äußeren Widerstand beträgt dann

1 U 2

P

0
max =

.

(1)

4 Ri

Man nennt dies auch die Spannungsteilerregel: Wenn der Innenwiderstand Ri
gleich dem äußeren Widerstand Ra (=Lastwiderstand) gewählt wird, dann ist
der Spannungsabfall bei Ri gleich dem Spannungsabfall bei Ra, nämlich U 0 .

2

Anwendungsbeispiel 7.28 (Balkenbiegung).

Die Biegelinie eines einseitig eingespannten Bal-
kens der Länge L unter dem Einfluss einer Kraft

F lautet näherungsweise

F

y ( x) =

L x 2 − 1 x 3

(0 ≤ x ≤ L),

2 E I

3

Abb. 7.16. Balkenbiegung
wenn E der Elastizitätsmodul und I das Flächenträgheitsmoment ist. An wel-
cher Stelle ist die Balkenbiegung am größten?

Wir bestimmen die relativen Extrema der Biegung y ( x):

F

y ( x) =

2 L x − x 2 = 0 ⇒ x

2 E I

1 = 0
oder x 2 = 2 L

F
y ( x) =

(2 L − 2 x)

2 E I

280

7. Differenzialrechnung

F L
und setzen x 1 = 0, x 2 = 2 L in die 2. Ableitung ein: y (0) =

> 0

⇒

E I
rel. Minimum; y (2 L) = − F L < 0 ⇒ rel. Maximum. x

E I

2 liegt aber außerhalb
des physikalischen Bereichs.

! Die maximale Durchbiegung des Balkens (absolutes Maximum) findet al-
lerdings am freien Ende ( x = L) statt:

F L 3
y max = y ( L) =

.

3 E I

Anwendungsbeispiel 7.29 (Magnetfeld von Leiterschleifen, mit

Maple-Worksheet).

Das durch eine stromdurchflossene Leiterschleife erzeugte Magnetfeld ist auf
der Achse der Leiterschleife gegeben durch die Formel
μ

B ( z) =

0 I R 2

,

3

2 ( R 2 + z 2) 2
wenn R (= 0 . 1 m) der Radius der Leiterschleife, I (= 1 A) der Strom und μ 0 (=

4 π · 10 − 7 H/m) die Permeabilität von Vakuum. Die Effekte der Stromzuleitung
werden vernachlässigt.

Abb. 7.17. (a) Stromdurchflossene Leiterschleife und (b) Magnetfeld auf der Achse

Das Magnetfeld von zwei stromdurchflossenen Leiterschleifen ist die Überla-
gerung der Einzelmagnetfelder. Gesucht ist der Abstand d der Leiterschleifen,
so dass das Magnetfeld zwischen den Einzelschleifen möglichst homogen (=
gleichförmig) wird.

Das Gesamtmagnetfeld zweier stromdurchflossener Leiter ergibt sich aus der

Superposition der Einzelmagnetfelder. Beträgt der Abstand der Leiterschleifen

7.7

Sätze der Differenzialrechnung

281
d, dann berechnen sich das Gesamtmagnetfeld auf der Achse durch

⎛

⎞

1

⎜

1

1

⎟

B =
μ

⎝

+

⎠ ,

2 0 I R 2

2

3 / 2

2

3 / 2

R 2 + z − 1 d

R 2 + z + 1 d

2

2
wenn die erste Leiterschleife bei z = d und die zweite bei z = − d liegt.

2

2

Die mathematische Bedingung für die Homogenität des Magnetfeldes bei z = 0

ist, dass B ( z = 0) = 0. Wir setzen daher z = 0 und differenzieren die Funk-
tion B( d) zweimal nach d:

15
d 2

1

B( d) =
μ

− 3 μ

16 0 IR 2

7 / 2

0 IR 2

5 / 2

R 2 + 1 d 2

4

R 2 + 1 d 2

4

4
d 2 − R 2

= 96 μ 0 IR 2 (4 R 2 + d 2)7 / 2

= 0 .

Lösen wir obigen Ausdruck nach d auf, erhalten wir d = R: Ist der Spulen-
abstand d gleich dem Radius R der Spulen, so ist das Magnetfeld
auf der Achse homogen ( Helmholtz-Spulen)!

Im zugehörigen Maple-Worksheet ist eine Animation dargestellt, bei
der die Abstände d variieren. Es zeigt sich, dass bei d = R das Ma-
gnetfeld relativ homogen verläuft.

7.7

7.7 S¨
atze der Differenzialrechnung

In diesem Kapitel werden einige wichtige Sätze der Differenzialrechnung zusammengefasst.

Als zentraler Satz der Differenzialrechnung steht der Mittelwertsatz. Er findet u.a. bei den

Regeln von l’Hospital seine Anwendung.

Der folgende Satz besagt, dass die Differenzierbarkeit einer Funktion eine
stärkere Eigenschaft ist als deren Stetigkeit:

Satz: Ist eine Funktion f : ID → IR an der Stelle x 0 ∈ ID differenzierbar,
dann ist f an dieser Stelle auch stetig.

282

7. Differenzialrechnung

Beweis: Sei f eine in x 0 differenzierbare Funktion, dann gilt mit den Limes-
rechenregeln:

lim ( f ( x 0 + h) − f ( x 0)) = lim [ h · ( f ( x 0 + h) − f ( x 0)) /h]

h→ 0
h→ 0

1

= lim h· lim

( f ( x 0 + h) − f ( x 0))

h→ 0
h→ 0 h

= 0 · f ( x 0) = 0

⇒ lim f ( x 0 + h) = f ( x 0) .

h→ 0

! Die Umkehrung dieses Satzes gilt nicht, da z.B. die Betragsfunktion abs ( x) =

|x| an der Stelle x 0 = 0 stetig, aber nicht differenzierbar ist!

7.7.1 Satz ¨
uber die Exponentialfunktion

Eine für die Anwendungen bei den Differenzialgleichungen wichtige Eigenschaft
der Exponentialfunktion ist, dass die Ableitung wieder ex ergibt:

( ex) = ex.

Die Exponentialfunktion ist die einzige Funktion, welche diese Eigenschaft be-
sitzt:

Satz ¨
uber die Exponentialfunktion:

Ist a eine Konstante und f : IR → IR eine differenzierbare Funktion mit
f ( x) = a f ( x) für alle x ∈ IR .

Dann gilt:

f ( x) = f (0) ea x
für alle x ∈ IR .

Beweis: Definieren wir die Funktion F ( x) = f ( x) · e−a x . Dann gilt für die

Ableitung von F ( x) nach der Produktregel:

⇒ F ( x) = f ( x) e−a x + f ( x) e−a x ( −a)

= ( f ( x) − a f ( x)) e−a x = 0 für alle x ∈ IR .

Ist die Ableitung einer Funktion gleich Null, so ist die Funktion konstant.

Folglich ist F ( x) die konstante Funktion mit F (0) = f (0) =const und damit

F ( x) = f (0)

für alle x ∈ IR.

⇒ f ( x) = F ( x) · ea x = f (0) · ea x
für alle x ∈ IR .

⇒ f ( x) = f (0) · ea x
für alle x ∈ IR .

7.7

Sätze der Differenzialrechnung

283

Folgerungen:

(1) exp : IR → IR mit x → ex ist die einzige differenzierbare Funktion mit
f ( x) = f ( x) und f (0) = 1 .

(2) Die Lösung der Differenzialgleichung
y ( x) = a y ( x)

mit y (0) = y 0
ist gegeben durch
y ( x) = y 0 ea x.

(3) Die Lösung der Differenzialgleichung
y ( x) = a y ( x) + f ( x)

mit y (0) = y 0
ist eindeutig.

7.7.2 Mittelwertsatz

Ein anschaulich plausibler Satz besagt, dass
jede Funktion f : [ a, b] → IR mit f ( a) = f ( b)

im Innern des Intervalls eine Stelle mit waag-
rechter Tangente besitzt. Dies ist die Aussage
des Satzes von Rolle (1652 - 1719).

Abb. 7.18. Satz von Rolle

Satz von Rolle: Ist f : [ a, b] → IR eine differenzierbare Funktion mit
f ( a) = f ( b) . Dann existiert eine Zwischenstelle ξ ∈ ( a, b) mit
f ( ξ) = 0 .

Eine Erweiterung dieser Aussage bringt der folgende Mittelwertsatz, den wir
auf den Satz von Rolle zurückführen:

Mittelwertsatz: Ist f : [ a, b] → IR eine differenzierbare Funktion. Dann
existiert eine Zwischenstelle ξ ∈ ( a, b) mit
f ( b) − f ( a)

f ( ξ) =

.

b − a

284

7. Differenzialrechnung

Begr¨
undung: Wir definieren die Funktion

F : [ a, b] → IR mit

F ( x) = f ( x) − f ( b) − f ( a) ( x − a) .

b − a

F ist stetig und differenzierbar mit F ( a) =
f ( a) = F ( b) . Nach dem Satz von Rolle exis-

Abb. 7.19. Mittelwertsatz
tiert ein ξ ∈ ( a, b) mit

F ( ξ) = f ( ξ) − f( b) −f( a) = 0 .

b−a

Daraus folgt die Behauptung.

Geometrisch besagt der Mittelwertsatz, dass der Graph der Funktion an
mindestens einer Stelle eine Tangente besitzt, die parallel zur Sekante durch
die Punkte ( a, f ( a)) und ( b, f ( b)) verläuft.

7.7.3 Die Regeln von l’Hospital

Wir wenden uns nun wieder dem Berechnen von Funktionsgrenzwerten zu.

Eine der Regeln lautet lim
f ( x) = f( x 0) , wenn g ( x 0) = 0 . Die Regel von
x→x
g( x)

g( x

0

0)

l’Hospital (1661 - 1704) liefert eine Methode auch den Grenzwert zu berech-
nen, wenn g ( x 0) = f ( x 0) = 0 .

Satz: Regel von l’Hospital. Sind f und g in x 0 stetig differenzierbar
und ist f ( x 0) = g ( x 0) = 0 , so gilt
f ( x)

f ( x)

lim

= lim

.

x→x 0 g ( x)

x→x 0 g ( x)

Beweis: Nach dem Mittelwertsatz ist für a = x 0 und b = x 0 + h
f ( x 0 + h) = f ( x 0) + h f ( ξ) ,
wenn
ξ ∈ ( x 0 , x 0 + h) .

Mit δ ∈ (0 , 1) ist ξ = x 0 + δ h und
f ( x 0 + h) = f ( x 0) + h f ( x 0 + δ · h) .

Wenden wir diese Form des Mittelwertsatzes auf f und g an, folgt mit f ( x 0) =
g ( x 0) = 0
f ( x 0 + h)

f ( x
f ( x

=

0) + h f ( x 0 + δ 1 h) =

0 + δ 1 h) .

g ( x 0 + h)

g ( x 0) + h g ( x 0 + δ 2 h)

g ( x 0 + δ 2 h)

Durch Grenzübergang h → 0 folgt die Behauptung.

7.7

Sätze der Differenzialrechnung

285

Bemerkungen:

(1) Die Regel von l’Hospital gilt auch für Grenzübergänge der Form ” ∞

∞ ”:

Wenn lim f ( x) = ∞ und lim g ( x) = ∞, dann ist
x→x 0
x→x 0
f ( x)

f ( x)

lim

= lim

.

x→x 0 g ( x)

x→x 0 g ( x)

(2) Die Regeln von l’Hospital gelten auch für Grenzübergänge x → ∞:

f ( x)

f ( x)

lim

= lim

,
x→∞ g ( x)

x→∞ g ( x)

wenn
lim f ( x) = lim g ( x) = 0
x

→∞
x→∞

oder
lim f ( x) = ∞ und
lim g ( x) = ∞ .

x→∞
x→∞

(3) Die l’Hospitalschen Regeln setzen immer voraus, dass die Funktionen in
einer Umgebung von x 0 differenzierbar sind.

(4) Unter Umständen müssen die l’Hospitalschen Regeln mehrfach angewen-
det werden, um zum Ziel zu führen. Es gibt aber auch Fälle, bei denen die
mehrmalige Anwendung der Regeln versagt.

Beispiele 7.30:

sin x

0
cos x

{ lim

0

= lim

= 1 .

x→ 0
x
x→ 0

1
ex − 1 0
ex

1

| lim

0

= lim

=

.

x→ 0

2 x
x→ 0 2

2

3 x 2 − 5 ∞

6 x

∞

6

3

} lim

∞

= lim

∞

= lim

=

.

x→∞ x + 4 x 2
x→∞ 8 x + 1
x→∞ 8

4
ln (2 x − 1) ∞

2

2

~ lim

∞

= lim 2 x− 1 = lim

= 0 .

x→∞
ex
x→∞
ex
x→∞ (2 x − 1) ex

Ausdr¨
ucke der Form 0 · ∞, ∞ − ∞, 00, ∞ 0, 1 ∞: Die Regeln von l’Hospital gelten nur für unbestimmte Ausdrücke der Form ” 0 ” oder ” ∞

0

∞ ”. Andere un-
bestimmte Ausdrücke wie z.B. 0 · ∞, ∞ − ∞, 00, ∞ 0, 1 ∞ lassen sich durch die
folgenden elementaren Umformungen auf obige Fälle zurückführen:

286

7. Differenzialrechnung

Funktion ϕ ( x)

lim ϕ ( x)

Umformung
x→x 0
v ( x)

(A)

u ( x) · v ( x)

0 · ∞
u ( x)

oder

1 /v ( x)

1 /u ( x)

(B)

u ( x) − v ( x)

∞ − ∞

1 /v ( x) − 1 /u ( x)

1 / ( u ( x) · v ( x))

(C)

u ( x) v( x)

00 , ∞ 0 , 1 ∞
exp( v( x) ln( u( x))

Beispiele 7.31:

1

0

· − 1

( A)

ln 1 + 1

{

1+1 /x
x 2
lim x · ln 1 + 1

= lim
x

0

= lim

x→∞
x
x→∞

1
x→∞

− 1
x
x 2

1

= lim

= 1 .

x→∞ 1 + 1
x

0

( B)

sin x − x
cos x − 1

| lim

1 − 1

= lim

0

= lim
x→ 0
x
sin x
x→ 0 x · sin x
x→ 0 sin x + x · cos x

0

−

0
sin x

0

= lim

=

= 0 .

x→ 0 2 cos x − x · sin x

2

}

x ( C)

lim

1 + 1

= lim ex ln(1+ 1 )

x

.

x→∞
x
x→∞

Nach { ist lim x ln 1 + 1 = 1 und damit
x→∞
x

1 x

1
lim

1 +

= exp( lim x ln

1 +

) = e 1 = e.

x→∞
x
x→∞
x

1 ( C)

~ lim (1 + t x) x = lim exp( 1 ln (1 + t x)) .

x→ 0
x→ 0
x
ln (1 + t x) 0

1

· t

Wegen lim

0

= lim 1+ t x

= t folgt
x→ 0
x
x→ 0

1

1

1
lim (1 + t x) x = exp
lim
ln (1 + t x)

= exp ( t) = et.

x→ 0
x→ 0 x

7.7

Sätze der Differenzialrechnung

287

7.8

7.8 Spektrum eines strahlenden schwarzen K¨
orpers

Bei der Diskussion der Strahlungsformel eines schwarzen Körpers werden die Rechentechni-
ken aus der Differenzialrechnung angewendet, um den Verlauf des Spektrums zu erhalten.

Wir benötigen dazu sowohl die Regeln von l’Hospital, die Extremwertbestimmung über die
erste Ableitung als auch das logarithmische Differenzieren zur Berechnung von f .

Ein Körper mit nicht spiegelnder Oberfläche (schwarzer K¨
orper) sendet bei
der absoluten Temperatur T Strahlen aus. Für die spektrale Strahlungsdichte

E ( λ) gilt nach dem Planckschen Strahlungsgesetz im Raumwinkel Ω0
c

E ( λ) =

1

· 1
λ 5 exp( c 2 ) − 1

Ω

T λ

0
mit c 1 = 2 h c 2 = 1 . 191 · 10 − 16 W m , c 2 = h c = 1 . 439 · 10 − 2 mK ( c ist die Licht-k
geschwindigkeit, k die Boltzmann-Konstante, h das Plancksche Wirkungsquan-
tum).

Schwarzer Körper

Spektrale Strahlungsdichte

Verhalten f¨
ur λ → 0 und λ → ∞: Für λ → 0 und λ → ∞ gilt E ( λ) → 0, wie man mit den Regeln von l’Hospital nachrechnet, denn für den Nenner der

Strahlungsformel berechnet man

(i) durch 5-maliges Anwenden der Regeln

∞

0 ·∞
exp( c 2 ) − 1
c
exp( c 2 )

lim λ 5 exp( c 2 ) − 1 = lim

T λ

∞

= 1 2 lim

T λ

T λ

1

5

1
λ→ 0
λ→ 0

T λ→ 0
λ 5
λ 4

∞

2
exp( c 2 )

5

∞
c
c

= 1

2
lim

T λ

= . . . = 1

2
lim exp( c 2 ) = ∞

5 · 4

T

1

5!

T λ
λ→ 0

T
λ→ 0
λ 3

(ii) durch einmaliges Anwenden der Regeln

288

7. Differenzialrechnung

∞· 0
c exp( c 2 )

lim λ 5 exp( c 2 ) − 1 = lim 1 2

T λ

=

T λ

5

1
λ→∞
λ→∞

T
λ 4
c

= lim 1 2 λ 4 exp( c 2 ) = ∞ · 1 = ∞.

5

T λ
λ→∞

T

Maximum. Wir bestimmen die Wellenlänge λ, bei welcher die Strahlungs-
dichte E ( λ) bei festem T ein Maximum besitzt. Durch logarithmische Diffe-
renziation des Strahlungsgesetzes folgt

ln E ( λ)

=
ln c 1 − 5 ln λ − ln exp( c 2 ) − 1 − ln Ω

T λ

0

→

1

· E ( λ) = − 5 −

1
c

· exp( c 2 ) · − c 2

.

E ( λ)

λ
exp(

2 ) − 1
λ T

T λ
λ 2 T

Setzt man z = c 2 gilt für das Extremum von E ( λ)

λ T

E ( λ) = 0 ⇒
ez

· z = 5
ez − 1

(denn E ( λ) = 0 für alle λ > 0) . Folglich gilt für z die nichtlineare Gleichung 1 − 1 z = e−z

5

( → § 7.9 Beispiel 7.32). Durch numerisches Lösen dieser Gleichung erhält man
z ≈ 4 . 965 , also ist
λ max · T = c 2 / 4 . 965 = 2898 μm K.

Dieses Ergebnis heißt das Wiensche Verschiebungsgesetz. Es besagt, dass
λ max · T = const. (dass dies auch das Maximum darstellt, zeigt man, indem

E ( λ max) < 0 nachgeprüft wird.)

Diskussion: Für steigende Temperaturen verschiebt sich das Maximum der

Strahlung zu kleineren Wellenlängen hin. Die Strahlung eines Körpers wird
sichtbar, wenn die Temperatur etwa 600 ◦C erreicht (Rotglut). Mit steigender

Temperatur verschiebt sich die Glühfarbe von 850 ◦C hellrot, 1000 ◦C gelb, hin
zu weiß bei 1300 ◦C.

Bemerkung: Das Wiensche Verschiebungsgesetz wird in Temperatursensoren
herangezogen, um die Temperatur eines Körpers kontaktfrei zu messen: Aus
der Analyse des Strahlungsmaximums erhält man unter der Annahme eines
idealen schwarzen Strahlers die Körpertemperatur

2898 μm K

T =

.

λ max [ μm]

7.9

Newton-Verfahren

289

7.9

7.9 Newton-Verfahren

Das Newton-Verfahren ist ein schnelles, numerisches Verfahren, um Nullstellen von Funktio-
nen näherungsweise zu bestimmen. Die Beschreibung weiterer Verfahren befinden sich auf
der CD-Rom im Kapitel über das Lösen von nichtlinearen Gleichungen der Form f ( x) = 0 .

Wir suchen eine Methode, um von einer Funktion f eine einfache Nullstelle
f ( x) = 0
im Intervall [ a, b] näherungsweise zu bestimmen.

Das Verfahren. Das Newton-Verfahren ist ein iteratives Verfahren, d.h. man
startet mit einer Anfangsschätzung x 0 für die Nullstelle und verbessert in
weiteren Iterationsschritten diesen Wert: Berechnen wir dazu im Punkt x 0
die Tangente an f und bestimmen den Schnittpunkt der Tangente mit der
x-Achse. Dieser Wert sei x 1. x 1 liegt in der Regel näher an der Nullstelle als
x 0 . Nun berechnet man in x 1 die Tangente der Funktion und bestimmt den

Achsenschnittpunkt x 2 . Durch Fortführung des Verfahrens nähert man sich
der Nullstelle an (siehe Abb. 7.20).

Abb. 7.20. Geometrische Interpretation des Newton-Verfahrens

Aufstellen der Formeln: Die Tangentengleichung in x 0 hat die Form
y = f ( x 0) + f ( x 0) ( x − x 0)

und der Schnittpunkt x 1 mit der x-Achse ist definiert durch y = 0:

0 = f ( x 0) + f ( x 0) ( x 1 − x 0) .

290

7. Differenzialrechnung

Damit ist
x 1 = x 0 − f ( x 0) .

f ( x 0)

Durch Iteration erhält man das folgende Verfahren:

Algorithmus (Newton-Verfahren)

(1) Initialisierung:

Wähle Startwert x 0;
δ := 10 − 5 .

(2) Iteration:

xn+1 = xn − f ( xn)

n = 0 , 1 , 2 , 3 , . . .

f ( xn)

(3) Abbruchbedingung:

Falls |xn+1 − xn| < δ, dann ξ = xn+1 . Stop.

Falls |xn+1 − xn| ≥ δ, dann weiter mit (2).

Eigenschaften des Verfahrens

(1) Sehr schnelle Konvergenz (nur wenige Iterationsschritte sind nötig).

(2)

! Das Verfahren kann divergieren, falls der Startwert nicht nahe genug
an der Lösung liegt.

(3) Für das Newton-Verfahren gilt die Fehlerabschätzung

|xn+1 − x∗| ≤ Ln |xn+1 − x 1 | ≤ Ln ( b − a) ,
wenn |f ( x) | ≤ L für alle x ∈ I = [ a, b].

(4) Eine analytische Formel der Ableitung muss vorliegen.

(5) Das Newton-Verfahren konvergiert immer für eine auf IR konvexe oder
konkave Funktion, die eine Nullstelle mit f ( x 0) = 0 besitzt.

(6) Die Konvergenz des Newton-Verfahrens kann man auch sicherstellen, wenn
f eine 3-mal stetig differenzierbare Funktion ist mit der Eigenschaft

f ( x) f ( x)

f ( x) = 0 für alle x ∈ I und

f ( x)2

≤ K < 1 für alle x ∈ I.

Je kleiner die Konstante K, desto besser ist die Konvergenz.

Falls man eine schlechte Schätzung für den Startwert hat, sollte man sich
zunächst mit dem Bisektionsverfahren ( → 6.4) eine bessere Startnäherung
verschaffen und anschließend das Newton-Verfahren verwenden. Oftmals kann
man durch Zeichnen des Funktionsgraphen einen guten Startwert x 0 finden.

7.9

Newton-Verfahren

291

Anwendungsbeispiel 7.32 (Mit Maple-Worksheet). Wir wenden das

Newton-Verfahren auf das Problem aus 7.8 an: Gesucht ist eine Lösung der

Gleichung 1 − 1 z = e−z, d.h. gesucht ist eine positive Nullstelle der Funktion

5
f ( z) = 1 − 1 z − e−z.

5

Mit der Ableitung
f ( z) = − 1 + e−z

5
stellt man die entsprechende Newtonfolge

1 − 1 xn − e−xn
x

5
n+1 = xn −

= x

− 1
n − (5 − xn) exn − 5

+ e−xn

−exn + 5

5
auf. Mit dem Startwert x 0 = 2 erhält man das Ergebnis:

n
xn
f ( xn)

0

2

0 . 4646

1

9 . 1857

−. 8372

2

4 . 9973

−. 00622

3

4 . 9651

− 0 . 3 · 10 − 5

Nach 3 Iterationen erhält man für die Lösung der Gleichung z = 4 . 9651 mit
einer Genauigkeit von 4 Dezimalstellen.

Animation: Der Algorithmus des Newton-Verfahrens wird direkt in
die Prozedur newton übernommen. Im zugehörigen Maple-Work-
sheet ist eine Animation dargestellt, die den Konvergenzprozess der Newton-

Folge an die Nullstelle visualisiert.

Anwendung des Newton-Verfahrens: Berechnung von Wurzeln.

√

Gesucht ist die Quadratwurzel
a einer positiven Zahl a. Wir interpretieren

√a als die einzige positive Nullstelle der Funktion
f ( x) = x 2 − a.

Zur numerischen Berechnung wenden wir das Newton-Verfahren auf diese

Funktion an. Mit
f ( x) = 2 x
erhält man die Newtonfolge

− a

2 x 2 − x 2 + a

1
a
x
n
n
n+1 = xn − f ( xn) = x

=

=
x

.

f ( x
n − x 2
n
n +
n)

2 xn

2 xn

2
xn

292

7. Differenzialrechnung

Setzt man x 0 := a und iteriert gemäß

1
a
xn+1 :=
x

2
n + xn
für n = 0 , 1 , 2 , . . . , hat man eine schnell konvergierende Folge (vgl. Beispiel

6.4: Babylonisches Wurzelziehen).

√

Beispiel 7.33. Berechnung von

3 mit obigem Schema
n

0

1

2

3

4

5
xn

3 . 00000

2 . 00000

1 . 75000

1 . 73214

1 . 73205

1 . 73205

Die angegebene Methode ist eine der besten zur Berechnung von Quadratwur-
zeln. Die meisten Computerprogramme beruhen darauf.

Berechnung von k-ten Wurzeln

Dieses Verfahren ist nicht nur auf die Berechnung von Quadratwurzeln be-
schränkt, sondern kann auch zur Berechnung von k-ten Wurzeln herangezogen

√
werden. Denn k a ist die positive Nullstelle von
f ( x) = xk − a.

Mit f ( x) = k xk− 1 lautet die Newtonfolge

1
xn+1 =

( k − 1) x
n = 0 , 1 , 2 , 3 , . . . .

k
n −
a
xk− 1
n

MAPLE-Worksheets zu Kapitel 7

Die folgenden elektronischen Arbeitsblätter stehen für Kapitel 7 mit

Maple zur Verfügung.

Zum Ableitungsbegriff

Differenzieren mit Maple

Kurvendiskussion mit Maple

Helmholtz-Spulen mit Maple

Newton-Verfahren mit Maple

Maple-Lösungen zu den Aufgaben

7.10

Aufgaben zur Differenzialrechnung

293

7.10

7.10 Aufgaben zur Differenzialrechnung

7.1

Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen unter Verwendung
der Potenzregel:

√

√
a) y = 8 x 7 − 10 x 3 + 10
x 3 − 7 7 x 4 + 11 x − 8

√
x 3 −

8
x 7
b) y = 12 4
x 3

√

√

√

√

4

5

3

6
c) y ( l) = 2

15 l + 3

12 l − 3

20 l − 3

10 l
d) y ( a) =

9

√
a 5
a 3

√
e) y ( x) = a + b x 2 ( c + e x)3
f) y ( x) = x 3 + x 2
x
g) y ( x) = xα xβ

7.2

Bestimmen Sie mit der Produkt- und Quotientenregel die Ableitung der Funk-
tionen:

a) sin( x) · 10
b) sin( x) · cos( x)

c) xnex
x 3
x 2 − 5 x + 6
sin( ϕ)

4 t
d)

e)

f)

x 2 − 12 x + 20

(1 − cos( ϕ))

( t 2 − 1)( t + 1)

x
x 2 ex
x · ln( x)

g)

h)

i)

x 2 + 2
ex − 1

( x − 1)2

7.3

Man bestimme die erste Ableitung der folgenden Funktionen unter Zuhilfenah-
me der Kettenregel
a) y ( x) = cos (3 x + 2)

b) y ( x) = (3 x − 2)3
c) y ( x) = 3 · sin (5 x)

d) y ( x) = e 4 x 2 − 3 x+2
e) y ( x) = 10 · ln 1 + x 2

f) x ( t) = A · sin ( ωt + ϕ)

g) y ( x) = ln (sin (2 x − 3))

h) y ( x) =
ln ( x 2 − 1)

7.4

Man berechne durch logarithmische Differenziation die Ableitung von
a) y ( x) = xx
b) y ( x) = x sin x

7.5

Wie lautet die Ableitung von
a) f 1 ( x) = x( xx)

b) f 2 ( x) = ( xx) x
c) f 3 ( x) = x( xa)

d) f 4 ( x) = x( ax)

e) f 5 ( x) = a( xx)

7.6

Bestimmen Sie die erste Ableitung von

√

a) y ( t) = ln
a 2 − t 2
b) y = ln

1 −x 2

1+ x 2
c) y = ln ( x− 5)3

( x+1)2

d) y ( x) = a ln( x− 3)

e) y = ex ·

1+ x

1 −
f) y = e ln x
x

7.7

Gegeben seien die Funktionen

sinh : IR → IR mit sinh ( x) := 12 ex − e−x

(Sinushyperbolikus)

cosh : IR → IR mit cosh ( x) := 12 ex + e−x

(Kosinushyperbolikus)

sinh ( x)

tanh : IR → IR mit tanh ( x) :=

(Tangenshyperbolikus)

cosh ( x)

i) Man zeichne den Graphen der 3 Hyperbolikusfunktionen.

ii) Man berechne die Ableitung der Funktionen.

iii) Man zeige, dass cosh2 ( x) − sinh2 ( x) = 1 .

7.8

Man berechne die Ableitungen der Arkusfunktionen
arcsin ( x) , arccos ( x) , arctan ( x) , arccot ( x)

als Ableitung der Umkehrfunktion der trigonometrischen Funktionen.

7.9

Berechnen Sie die Ableitung der Areafunktionen
ar sinh ( x)

und
ar cosh ( x)

als Ableitung der Umkehrfunktion von sinh und cosh .

294

7. Differenzialrechnung

7.10

Beweisen Sie die Potenzregel y ( x) = xn ⇒ y ( x) = n xn− 1 mit Hilfe der
logarithmischen Differenziation.

7.11

Bilden Sie die erste Ableitung der implizit gegebenen Funktionen

√

− x
x
y( x)

a) ex· y( x) + y 3 ( x) ln x = cos (2 x)

b) y( e−x y( x)) =
y( x) a 2 x+2 a 2 x

c) ln y ( x) −
y ( x) − x = 0
d) sin y ( x) = y ( x) · x 2

7.12

Bestimmen Sie durch implizite Differenziation den Anstieg der Kreistangente
im Punkte P 0 = (4 , y 0 > 0) des Kreises ( x − 2)2 + ( y − 1)2 = 25 .

7.13

Gegeben seien die Funktionen

√

a) f 1 ( x) =

1 + x 4 ; x 0 = 1
b) f 2 ( x) = 3 ln 1 + 3 x 5 ; x 0 = 3
c) y ( x) = 2 cos x ; x 0 = π 4 .

Man berechne für die Funktionen
i) das totale Differenzial
ii) das totale

Differenzial am Punkte x 0 . Man bestimme außerdem iii) die Tangente im

Punkte x 0 und iv) die Linearisierung am Punkte x 0 . v) Man gebe einen

Näherungswert für f ( x 0 + 0 . 01) an und vergleiche diesen mit dem exakten

Wert.

7.14

Ein gedämpftes Feder-Masse-System hat ein Weg-Zeit-Gesetz der Form
x ( t) = A e−γ t cos ( ωt) .

i) Man berechne die Geschwindigkeit und Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt.

ii) Man gebe eine Bedingung für die Nebenmaxima an.

7.15

Die potentielle Energie für ein Ion in einem Kristallgitter lautet näherungsweise

2 a

V ( r) = −D

− a 2

( D > 0) .

r
r 2

Man zeige, dass V ( r) an der Stelle r 0 = a ein relatives Minimum besitzt.

7.16

Bei der Spiegelabmessung mit Skala und Fernrohr wird bei festem Skalenab-
stand s der Ausschlag x gemessen. Wie beeinflusst ein kleiner Messfehler von x
den Wert des Ergebnisses α, wenn α = arctan x ? ( s = 2 m, x = 250 mm, dx =
s

1 mm. ) Welches ist der relative Fehler?

7.17

Wo besitzen die folgenden Funktionen relative Extremwerte?

a) y( x) = − 8 x 3 + 12 x 2 + 18 x
b) z ( t) = t 4 − 8 t 2 + 16

√

√
c) u ( z) =

1 + z +

1 − z
d) y ( x) = x e−x
e) y ( x) = sin x · cos x
f) y ( x) = 2 x− 2 x 2
x 2 −x− 6

7.18

Man diskutiere den Verlauf der folgenden Funktionen:

x 2 + 1

( x − 1)2
a) y =
b) y =
c) y = ln x
d) y = sin2 x
x − 3
x + 1
x

7.19

Bestimmen Sie die folgenden Funktionswerte mit den Regeln von l’Hospital
x 2 − a 2
sin (2 x)

sin2 x
a) lim
b) lim
c) lim
x→a
x − a
x→ 0
sin ( x)

x→ 0 1 − cos x

x 2 − 2 + 2 cos x

1
ln x − x + 1
d) lim
e) lim

− 1
f) lim
x→ 0
x 4
x→ 0
x
sin x
x→ 1

( x − 1)2

x
g) lim xx
h) lim

1 + a
x→ 0
x→∞
x

Kapitel 8

8

Integralrechnung

8

Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

295

8.1

Das Riemann-Integral ............................................. 297

8.2

Fundamentalsatz der Differenzial- und Integralrechnung... 302

8

8.3

Grundlegende Regeln der Integralrechnung ................... 311

8.4

Integrationsmethoden ............................................. 313

8.4.1

Partielle Integration ............................................... 313

8.4.2

Integration durch Substitution .................................. 315

8.4.3

Partialbruchzerlegung ............................................. 321

8.5

Uneigentliche Integrale............................................ 327

8.6

Anwendungen der Integralrechnung ............................ 329

8.6.1

Flächenberechnungen ............................................. 329

8.6.2

Kinematik ........................................................... 330

8.6.3

Elektrodynamik..................................................... 332

8.6.4

Energieintegrale .................................................... 333

8.6.5

Lineare und quadratische Mittelwerte.......................... 334

8.6.6

Schwerpunkt einer ebenen Fläche .............................. 336

8.7

Aufgaben zur Integralrechnung.................................. 339

Zus¨
atzliche Abschnitte auf der CD-Rom

8.8

Weitere Anwendungen ............................................

cd

8.8.1

Mittelungseigenschaft .............................................

cd

8.8.2

Bogenlänge..........................................................

cd

8.8.3

Krümmung ..........................................................

cd

8.8.4

Volumen und Mantelflächen von Rotationskörpern .........

cd

8.9

MAPLE: Integralrechnung .........................................

cd

8.10

Zusätzliche Aufgaben zur Integralrechnung...................

cd

8 Integralrechnung

Der Integralbegriff ist wie der Ableitungsbegriff motiviert durch die physikalische

Beschreibung von Bewegungsabläufen (Geschwindigkeit, Beschleunigung). Er ist u.a.

auch von Bedeutung bei der Berechnung von Flächen, Volumeninhalten von Körpern,

Schwerpunktsberechnungen usw.

Hinweis: Auf der CD-Rom befindet sich ein zusätzliches Kapitel über das nume-
rische Integrieren sowie einige weitere Anwendungen der Integralrechnung wie z.B.

die Mittelungseigenschaft, die Bogenlänge und das Krümmungsverhalten sowie die

Berechnung von Rotationskörpern zusammen mit der Visualisierung in Maple.

8.1

8.1 Das Riemann-Integral

Wir beginnen mit der geometrischen Fragestellung: Gegeben ist eine Funktion f ( x), wie
groß ist die Fläche, welche die Kurve mit der x-Achse in einem Intervall [ a, b] einschließt?

Anwendungsbeispiel 8.1. Zur Bestimmung des Flächeninhalts Ab unter

0
dem Graphen der Funktion f ( x) = x 2 in [0 , b] unterteilen wir das Intervall

[0 , b] durch eine gleichmäßige Zerlegung Zn in n Teilintervalle
b
b
b
x 0 = 0 , x 1 =

, x

, . . . , x

, x
n

2 = 2 n
n− 1 = ( n − 1) n
n = b.

Fläche unter Kurve

Näherung durch Rechtecke

Für jedes Teilintervall mit Intervall-Länge Δ x = xk − xk− 1 = b wählen wir
n
den rechten Eckpunkt xk = k · Δ x und werten die Funktion darauf aus
f ( xk) = x 2 = ( k · Δ x)2 .

k

Der Flächeninhalt des zugehörigen Rechtecks ist

Δ x · f ( xk) = Δ x · k 2 · Δ x 2 .

298

8. Integralrechnung

Anschließend summieren wir alle Rechtecksflächen auf

Sn

=

Δ x f ( x 1) + Δ x f ( x 2) + . . . + Δ x f ( xn)

n

n

=

Δ x f ( xk) = (Δ x)3
k 2 .

k=1
k=1

Nach Abschnitt 1.2.2 gilt die Formel
n

1
k 2 =
n ( n + 1) (2 n + 1)

6
k=1

⇒
b 3 1
n→∞

Sn = (Δ x)3 1 n ( n + 1) (2 n + 1) =
n ( n + 1) (2 n + 1) −→ b 3 .

6
n 3 6

3

Mit Hilfe einer Verfeinerung der Zerlegung Zn des Intervalls [0 , b] wird die

Fläche unter f ( x) = x 2 beliebig genau angenähert. Für den Grenzübergang
n → ∞ geht die sog. Zwischensumme Sn in die Fläche unterhalb des Graphen
von x 2 über: Ab = b 3 .

0

3

Die Vorgehensweise aus dem Einführungsbeispiel wird verallgemeinert, indem
man zur Berechnung der Fläche unterhalb einer beliebigen Kurve f ( x) mit der
x-Achse die folgende Konstruktion anwendet: Zunächst wird die Kurve durch
eine stückweise konstante Funktion (Treppenfunktion) angenähert. Man sum-
miert alle Rechteckflächen auf und erhält so eine Näherung für die Fläche
unterhalb der Kurve. Man erhöht die Anzahl der Unterteilungen und erhält
eine immer feinere Annäherung der Funktion durch die Treppenfunktionen
bzw. Annäherung der Fläche unter der Kurve durch die Summe der Rechteck-
flächen. Genauer erhält man die folgende Definition für das bestimmte Integral:

Abb. 8.1. Riemannsche Zwischensumme

8.1

Das Riemann-Integral

299

Definition: (Bestimmtes Integral; Riemann-Integral)

Gegeben ist eine stetige Funktion f : [ a, b] → IR mit y = f ( x) .

(1) Zn sei eine Unterteilung des Intervalls a ≤ x ≤ b in n Teilintervalle
a = x 0 < x 1 < x 2 < . . . < xn− 1 < xn = b
der L¨
angen Δ xk = xk − xk− 1. Es sei ξk ∈ [ xk− 1 , xk] ein beliebiger

Zwischenwert aus dem Intervall. Dann heißt
n

Sn =

Δ xk f ( ξk)

k=1
die Riemannsche Zwischensumme bez¨
uglich der Zerlegung Zn .

(2) Unter dem bestimmten Integral (Riemann-Integral) der stetigen

Funktion f in den Grenzen von x = a bis x = b wird der Grenz-
wert der Riemannschen Zwischensumme Sn f¨
ur n → ∞ verstanden:

1 b
n

f ( x) dx := lim

Δ xk f ( ξk) .

n→∞
a
k=1

Visualisierung mit Maple: Illustrativer als jede präzise mathe-
matische Definition ist die anschauliche Interpretation. Maple lie-
fert im die Möglichkeit, den Übergang von der Zwischensumme zum Inte-
gral durchzuführen, indem die Anzahl der Unterteilungen des Intervalls [ a, b]

immer größer gewählt wird. Die im zugehörigen Maple-Worksheet vorhan-
dene Animation suggeriert den Übergang von der diskreten Zwischensumme
zum bestimmten Integral. Dargestellt sind die Werte am Beispiel des Integrals

2

1
x 2 + 1 dx für die Unterteilungen N = 50 (links) und N = 100 (rechts).

0

Bemerkungen:

(1) Der Integralbegriff in der obigen Definition wird zur Unterscheidung von
anderen Integralbegriffen nach dem Mathematiker Riemann (1826 - 1866)

300

8. Integralrechnung
benannt. Da wir uns ausschließlich mit diesem Integral beschäftigen, spre-
chen wir kurz vom Integral.

(2) Ist f stetig, so konvergiert die Zwischensumme für jede beliebige Untertei-
lung Zn und jede beliebige Wahl von ξk ∈ [ xk− 1 , xk] gegen den gleichen

Wert. Man sagt, das Integral ist wohldefiniert.

(3) Allgemeiner bezeichnet man eine Funktion als integrierbar, wenn die Zwi-
schensumme für jede beliebige Unterteilung Zn und jede beliebige Wahl
von ξk ∈ [ xk− 1 , xk] gegen den gleichen Wert konvergiert. So sind z.B.

stückweise stetige Funktionen integrierbar.

(4) Diese algebraische Definition des Integrals entspricht genau dem Vorgehen
bei der Flächenberechnung aus dem Eingangsbeispiel. Bei der geometri-
schen Motivation ist die Funktion f so gewählt, dass sie im Intervall [ a, b]

nur positive Werte besitzt. Die algebraische Definition ist jedoch allgemei-
ner und geht somit über die Flächenberechnung hinaus.

2 b

(5) Allgemein übliche Bezeichnungen für die im bestimmten Integral
f ( x) dx
a
auftretenden Symbole sind:

x: Integrationsvariable;
f ( x): Integrand;
a: untere Grenze;
b: obere Grenze.

Beispiel 8.2. Sei v ( t) die Geschwindigkeit eines Massenpunktes als Funktion
der Zeit t, der sich entlang der x-Achse bewegt. Zur Zeit t = 0 befindet er sich
an der Stelle x = 0 . Gesucht ist der zurückgelegte Weg x ( T ) zum Zeitpunkt
t = T.

Ist die Geschwindigkeit konstant, v ( t) = v 0, so ist der zurückgelegte Weg
x ( T ) = v 0 T. Bei variabler Geschwindigkeit v ( t) zerlegt man das Zeitintervall

[0 , T ] in Teilintervalle

0 = t 0 < t 1 < t 2 < . . . < tn = T,
so dass v ( t) sich in jedem Teilintervall annähernd konstant verhält:

v ( t) ≈ v ( tk− 1)

für t ∈ [ tk− 1 , tk]

k = 1 , . . . , n.

Dann berechnet sich der zurückgelegte Weg x ( tk) zum Zeitpunkt t = tk

( k =

1, 2, . . . , n) näherungsweise durch
x ( t 1) ≈ ( t 1 − t 0) · v ( t 0) = Δ t 1 v ( t 0)

x ( t 2) ≈ x ( t 1) + ( t 2 − t 1) · v ( t 1) = x ( t 1) + Δ t 2 v ( t 1) x ( t 3) ≈ x ( t 2) + ( t 3 − t 2) · v ( t 2) = Δ t 1 v ( t 0) + Δ t 2 v ( t 1) + Δ t 3 v ( t 2)

...

8.1

Das Riemann-Integral

301
n

x ( tn) = x ( T ) ≈

Δ tk v ( tk− 1) .

k=1

Der erhaltene Näherungswert für x ( T ) ist somit die Riemannsche Zwischen-
summe Sn. Der exakte Wert des zurückgelegten Weges ist

1 T
x ( T ) =
v ( t) dt.

0

Das unbestimmte Integral

2 b

Das bestimmte Integral
f ( t) dt repräsentiert für eine positive Funktion den
a

Flächeninhalt zwischen der Kurve f ( t) und der Zeitachse. Betrachtet man die
untere Integrationsgrenze als fest, die obere als variabel, so hängt der Integral-
wert nur noch von der oberen Grenze ab.

Bestimmtes Integral

Integralfunktion

Um die Abhängigkeit von der oberen Grenze zu symbolisieren, ersetzt man b
durch x und erhält die Funktion

1 x

F ( x) =
f ( t) dt.

a

Definition: Unbestimmtes Integral, Integralfunktion.

Unter dem unbestimmten Integral

1 x

F ( x) :=
f ( t) dt
a
versteht man die Integralfunktion F ( x), f¨
ur welche die obere Grenze des

Integrals variabel gew¨
ahlt wird.

2 x

Das unbestimmte Integral F ( x) =
f ( t) dt repräsentiert also den Flächen-
a
inhalt zwischen der Funktion f ( t) und der t-Achse in Abhängigkeit der oberen

Grenze.

302

8. Integralrechnung

Beispiel 8.3. Für die Funktion f ( t) = t 2 ist nach Beispiel 8.1 die zugehörige

Integralfunktion für a = 0 die Funktion F : IR → IR mit F ( x) = x 3 . Man 3
beachte, dass hierbei ein Zusammenhang zwischen Integralfunktion und In-
tegrand besteht:

F ( x) = f ( x). Dieser Zusammenhang gilt ganz allgemein,
wie in Abschnitt 8.2 gezeigt wird.

Numerische Integration

Schon verhältnismäßig einfache Funktionen lassen sich nicht mehr elementar
integrieren. Beispiele sind z.B. e−x 2 oder sin x . Man ist in diesen Fällen auf
x
numerische Methoden angewiesen. Wir zerlegen dazu das Intervall [ a, b] in n

Teilintervalle [ xi, xi+1] mit der Intervall-Länge h := b−a und setzen
n
x 0 = a ;
xi+1 = xi + h

( i = 0 , . . . , n − 1) ;
xn = b.

Ersetzt man die zu integrierende Funktion f ( x) in jedem Intervall [ xi, xi+1]

durch eine konstante f ( ξi) ,
ξi ∈ [ xi, xi+1], so wird das Integral durch die

Zwischensumme
n− 1

n− 1

n− 1

I ≈

Ai =
f ( ξi) ( xi+1 − xi) = h
f ( ξi)

i=0
i=0
i=0
approximiert. Somit erhält man als einfachste Näherung

1 b
f ( x) dx ≈ h ( f ( ξ 0) + f ( ξ 1) + . . . + f ( ξn− 1)) .

a

Hinweis: Auf der CD-Rom befindet sich ein eigenes Kapitel über das nume-
rische Integrieren mit der Diskussion der Eigenschaften der unterschiedlichen

Näherungsverfahren.

8.2

8.2 Fundamentalsatz der Differenzial- und

Integralrechnung

So kompliziert die Konstruktion des bestimm-
ten Integrals auch aussieht; es zeigt sich, dass
die Berechnung in vielen Fällen sehr einfach
wird. Diese Tatsache verdankt man dem Zu-
sammenhang zwischen der Ableitung der In-
tegralfunktion und dem Integranden, der nun
hergeleitet wird. Dazu stellen wir zunächst ei-
ne Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes der

Differenzialrechnung vor, der besagt, dass die Fläche unterhalb einer Kurve

8.2

Fundamentalsatz der Differenzial- und Integralrechnung

303
f ( x) ersetzt werden kann durch eine flächengleiche Rechtecksfläche mit glei-
cher Grundseite und mit Höhe f ( ξ) . Dabei heißt f ( ξ) integraler Mittelwert
der Funktion f im Intervall [ a, b]:

Mittelwertsatz der Integralrechnung: Ist f : [ a, b] → IR stetig. Dann
gibt es ein ξ ∈ ( a, b) mit der Eigenschaft, dass

1 b
f ( ξ) · ( b − a) =
f ( x) dx.

a

Beweis: Zunächst ist aufgrund der Definiti-
on des bestimmten Integrals, das Integral über

2 b
eine konstante Funktion
c dx = c · ( b − a).

a

Setzen wir m := min f ( x) als Minimum und
x∈[ a, b]

M := max f ( x) als das Maximum der Funk-
x∈[ a, b]

tion f im Intervall [ a, b], so gibt es nach dem

Zwischenwertsatz ein x mit f ( x) = m und ein

−

−

¯
x mit f (¯
x) = M. Damit ist
f ( x) ≤ f ( x) ≤ f (¯
x) .

−

Da f ( x) und f (¯
x) konstante Zahlen sind, gilt

−

1

1

1
b
b
b
f ( x) ( b − a) =
f ( x) dx ≤
f ( x) dx ≤
f (¯
x) dx = f (¯
x) ( b − a)

−

−
a
a
a

1 b

⇒ f( x) ≤ 1
f ( x) dx ≤ f (¯
x) .

−
b − a a

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es dann wiederum ein ξ ∈ ( a, b) mit dem

Funktionswert

1

1
b
f ( ξ) =
f ( x) dx.

b − a a

Bei obiger Betrachtung verwendeten wir die Monotonieeigenschaft des be-
stimmten Integrals. Sie besagt, dass aus g ( x) ≤ f ( x) ≤ h ( x) folgt:

1

1

1
b
b
b
g ( x) dx ≤
f ( x) dx ≤
h ( x) dx.

a
a
a

Diese Eigenschaft rechnet man aufgrund der algebraischen Definition der In-
tegrale direkt nach.

304

8. Integralrechnung

Eine allgemeinere Formulierung des Mittelwertsatzes lautet:

Satz: (Allgemeiner Mittelwertsatz der Integralrechnung).

Seien f, ϕ : [ a, b] → IR stetige Funktionen und ϕ ≥ 0 . Dann gibt es ein
ξ ∈ ( a, b) mit der Eigenschaft, dass

1

1
b
b
f ( x) ϕ ( x) dx = f ( ξ)

ϕ ( x) dx.

a
a

Wir stellen nun den Zusammenhang zwischen Differenzial- und Integralrech-
nung her. Dieser Zusammenhang ist nicht nur theoretisch von Bedeutung, er
liefert auch eine praktische Methode zur Berechnung von Integralen.

Satz ¨
uber Integralfunktionen: Ist f : [ a, b] → IR stetig und F ( x) :=

1 x
f ( t) dt eine Integralfunktion zu f . Dann ist F differenzierbar und es
a
gilt:

F ( x) = f ( x) .

Beweis: Wir betrachten die Differenz der Flächen
x+ h

1
x

1
x+ h

1

Δ F = F ( x + h) − F ( x) =
f ( x) dx−
f ( x) dx =
f ( x) dx
a
a
x
und wenden auf das Integral der rechten Seite den Mittelwertsatz der Inte-

2 x+ h
gralrechnung an:

f ( x) dx = h f ( ξ
x
h) mit ξh ∈ ( x, x + h) . Anschließend
bilden wir den Differenzenquotienten

F ( x + h) − F ( x)

1

=

Δ F = f ( ξ
h
h
h) .

Durch Grenzübergang h → 0 geht die linke Seite gegen F ( x) und die rechte
h→ 0
h→ 0

Seite gegen f ( x). Denn ξh −→ x und da f stetig ist, gilt: f ( ξh) −→ f ( x) .

Beispiele 8.4:

2


x

Für f ( x) = 1 ist F ( x) =

1 dt = x, denn F ( x) = 1;

0

2


x

Für g ( x) = x ist G ( x) =
t dt = x 2 , denn G ( x) = x;

0

2

2


x

Für h ( x) = x 2 ist H ( x) =
t 2 dt = x 3 , denn H ( x) = x 2.

0

3

8.2

Fundamentalsatz der Differenzial- und Integralrechnung

305

Stammfunktionen

Wir haben allgemein gezeigt, dass die erste Ableitung der Integralfunktion

2 x

F ( x) =
f ( t) dt als Ergebnis den Integranden f ( x) liefert. Wir nennen
a
solche Funktionen F ( x) mit F ( x) = f ( x) Stammfunktionen:

Definition: Jede Funktion F ( x) mit F ( x) = f ( x) heißt Stammfunktion von f ( x) .

Mit diesem Sprachgebrauch kann man den Satz über die Integralfunktionen
umformulieren:

Jedes unbestimmte Integral

1 x

I ( x) =
f ( t) dt
a
ist eine Stammfunktion von f ( x), d.h. I ( x) = f ( x).

Beispiel 8.5. In folgender Tabelle sind für einige Funktionen f ( x) eine Stamm-
funktion F ( x) angegeben. Die Eigenschaft F = f ist direkt nachzurechnen.

√
f ( x)

xn, n = − 1
x− 1
n x
ex
sin x
cos x

1
xn+1
x +1
n

F ( x)

ln x
ex

− cos x
sin x
n + 1

1 + 1
n

Tabelle 8.2: Elementare Stammfunktionen

Bemerkung: Zu jeder stetigen Funktion gibt es unendlich viele Stammfunk-
tionen, denn z.B. zu xn ist sowohl

1
xn+1, als auch

1
xn+1 + 2 , als auch
n+1
n+1

1
xn+1 + C eine Stammfunktion. Allerdings unterscheiden sich zwei Stamm-
n+1
funktionen zu einer Funktion f immer nur durch eine Konstante:

Satz: Sind F 1 und F 2 zwei Stammfunktionen von f , so stimmen sie bis
auf eine additive Konstante C ∈ IR überein:

F 1 ( x) = F 2 ( x) + C.

Beweis: Da F 1 und F 2 Stammfunktionen zu f , folgt F ( x) = f ( x) = F ( x) .

1

2

⇒ ( F 1 ( x) − F 2 ( x)) = 0 ⇒ F 1 ( x) − F 2 ( x) = const.

306

8. Integralrechnung

Folglich lässt sich jedes unbestimmte Integral schreiben in der Form

1 x
f ( t) dt = F ( x) + C,
a
wobei F ( x) irgendeine Stammfunktion und C eine Konstante ist. Zu jeder ste-
tigen Funktion f ( x) gibt es also unendlich viele unbestimmte Integrale. Daher
kennzeichnet man diese Funktionenschar durch das Weglassen der Integrati-
onsgrenzen

1
f ( x) dx = { Menge aller unbestimmten Integrale von f ( x) }.

Da sich alle Stammfunktionen nur durch eine Konstante unterscheiden, schreibt
man kurz

1
f ( x) dx = F ( x) + C,
und nennt C die Integrationskonstante.

Beispiele 8.6:

1

{
ex dx = ex + C.

1

|
xk dx =

1
xk+1 + C

( k = − 1) .

k+1

1

}

cos x dx = sin x + C.

! Bemerkung: Ein Grund, warum die Integralrechnung schwieriger als die

Differenzialrechnung ist, liegt darin, dass sich nicht jede Stammfunktion durch
elementare Funktionen darstellen lässt. Die Funktionen
sin x
f ( x) = ex 2 ,
f ( x) =
x
besitzen keine elementar darstellbaren Stammfunktionen!

8.2

Fundamentalsatz der Differenzial- und Integralrechnung

307

Tabelle von Stammfunktionen. In der folgenden Tabelle sind für viele

2
elementare Funktionen die Menge aller Stammfunktionen
f ( x) dx = F ( x)

zusammengestellt. Die Gültigkeit kann oftmals sehr einfach mit der Beziehung

F ( x) = f ( x) bestätigt werden.

Tabelle 8.3: Stammfunktionen

Stammfunktion F :

Definitionsbereich
f ( x) = F ( x)

2

F ( x) =
f ( x) dx + C

ID f
k ( k ∈ IR)

k x + C

IR
xα ( α = − 1)

1
xα +1 + C

IR
α +1

> 0
x− 1
ln |x| + C

IR \ { 0 }

sin x

− cos x + C

IR
cos x
sin x + C

IR

.

/
tan x

− ln | cos x| + C

IR \ x = π + k π, k ∈ ZZ

2
cot x
ln | sin x| + C

IR \ {x = k π, k ∈ ZZ }

ax ( a > 0 , = 1)

ax + C

IR
ln a
ex
ex + C

IR
ea x ( a = 0)

1 ea x + C

IR
a
ln x
x · ln x − x + C

IR > 0

.

/

1
tan x + C

IR \ x = π + k π, k ∈ ZZ
cos2 x

2

1

− cot x + C

IR \ {x = k π, k ∈ ZZ }

sin2 x
sin2 x

1 ( x − sin x · cos x) + C

IR

2
cos2 x

1 ( x + sin x · cos x) + C

IR

2

.

/
tan2 x
tan x − x + C

IR \ x = π + k π, k ∈ ZZ

2
cot2 x

− cot x − x + C

IR \ {x = k π, k ∈ ZZ }

308

8. Integralrechnung

Stammfunktion F :

Definitionsbereich
f ( x) = F ( x)

2

F ( x) =
f ( x) dx + C

ID f

√
arcsin x
x · arcsin x + 1 − x 2 + C

( − 1 , 1)

√
arccos x
x · arccos x − 1 − x 2 + C

( − 1 , 1)

arctan x
x · arctan x − 1 ln x 2 + 1 + C

IR

2

arccot x
x · arccot x + 1 ln x 2 + 1 + C

IR

2

1

√
arcsin x + C

( − 1 , 1)

1 −x 2

− 1

√
arccos x + C

( − 1 , 1)

1 −x 2

1

1+ x 2
arctan x + C

IR

− 1

1+ x 2
arccot x + C

IR

Stammfunktion

Definitionsbereich
f ( x) = F ( x)

2

F ( x) =
f ( x) dx + C

ID f
sinh x
cosh x + C

IR
cosh x
sinh x + C

IR
tanh x
ln (cosh x) + C

IR
coth x
ln | sinh x| + C

IR \ { 0 }

1
tanh x + C

IR
cosh2 x

1

− coth x + C

IR \ { 0 }

sinh2 x

1

√
ar sinh x + C

IR

1+ x 2

1

√
ar cosh x + C

(1 , ∞)

x 2 − 1

1

1 −x 2
ar tanh x + C

( − 1 , 1)

1

1 −x 2
ar coth x + C

IR \ [ − 1 , 1]

8.2

Fundamentalsatz der Differenzial- und Integralrechnung

309

Stammfunktionen sind aber weder geometrisch noch physikalisch so bedeutsam
wie die bestimmten Integrale. Bisher haben wir erst ein einziges explizit berech-

2 b
net, nämlich
x 2 dx = b 3 . Durch den folgenden Hauptsatz der Differenzial-

0

3
und Integralrechnung wird die schwierige Aufgabe, der Berechnung von be-
stimmten Integralen auf eine einfachere Aufgabe, nämlich das Aufsuchen von

Stammfunktionen, zurückgeführt:

Fundamentalsatz der Differenzial- und Integralrechnung

Ist f : [ a, b] → IR stetig und F eine Stammfunktion von f . Dann gilt

1 b
f ( x) dx = F ( b) − F ( a) .

a

2 x

Beweis: Sei x ∈ [ a, b] und F 0 ( x) :=
f ( t) dt. Dann ist F
a

0 ( x) eine Stamm-

2 b
funktion von f mit F 0 ( a) = 0 und F 0 ( b) =
f ( t) dt. Ist F ( x) eine beliebige
a

Stammfunktion von f , so folgt F − F 0 = const = c und

F ( b) − F ( a) = F 0 ( b) + c − ( F 0 ( a) + c) 1 b

= F 0 ( b) − F 0 ( a) = F 0 ( b) =
f ( t) dt.

a

Damit erfolgt die Berechnung von bestimmten Integralen in zwei Schritten:

Berechnung von bestimmten Integralen

(1) Man bestimme eine Stammfunktion F ( x) zum Integranden f ( x) .

(2) Mit dieser Stammfunktion berechnet man die Differenz F ( b) − F ( a):

1 b
f ( x) dx = [ F ( x)] b = F ( x) |b = F ( b) − F ( a) .

a
a
a

Hierbei ist [ F ( x)] b = F ( x) |b eine abkürzende Schreibweise für die
a
a

Differenz F ( b) − F ( a) .

Beispiele 8.7 (Berechnung bestimmter Integrale):

1 b


x 3 dx =?: Eine Stammfunktion von x 3 ist nach Tab. 8.3 1 x 4 , so dass

4
a

1 b

x 3 dx = 1 x 4 b = 1
b 4 − a 4 .

4
a

4
a

310

8. Integralrechnung

Für 0 ≤ a < b ist dies der Flächeninhalt der Kurve y = x 3 mit der x-Achse
im Bereich von a ≤ x ≤ b.

1 π


sin x dx =?: Eine Stammfunktion von sin x ist nach Tab. 8.3 F ( x) =

0

− cos x, so dass

1 π
sin x dx = − cos x|π = − cos π − ( − cos (0)) = 1 − ( − 1) = 2 .

0

0

Dies ist der Flächeninhalt unter der Sinuskurve in der ersten Halbperiode.

Anwendungsbeispiel 8.8 (Ausdehnungsarbeit eines Gases).

,

-

In einem Zylinder der Grundfläche F cm 2 befinde sich ein durch einen be-
weglichen Kolben komprimiertes Gas. Wenn der Kolben den Abstand x [ cm]

,

-
vom Zylinderboden hat, sei der Gasdruck im Zylinder p ( x)

g

. Bei Ver-
cm s 2
schiebung des Kolbens von x = a nach x = b wird vom Gas Arbeit geleistet,
die gegeben ist durch

1 b

A =

F p ( x) dx.

a

Als einfachen Sonderfall betrachten wir die isotherme Ausdehnung eines idea-
len Gases mit der Zustandsgleichung
p ( x) · V ( x) = p ( a) · V ( a) = const

(Boyle-Mariottesches Gesetz)

Mit dem Volumen V ( x) = F · x, folgt
p ( x) = p( a) ·V ( a) = p( a) ·V ( a) .

V ( x)

F ·x

1

1
b p ( a) · V ( a)

b

A = F
dx = p ( a) · V ( a)

1 dx.

F · x
x
a
a

Nach Tab. 8.3 ist dann

A = p ( a) · V ( a) · [ln x] b = p ( a) · V ( a) · [ln ( b) − ln ( a)]

a
b

= p ( a) · V ( a) · ln

.

a

8.3

Grundlegende Regeln der Integralrechnung

311

8.3

8.3 Grundlegende Regeln der Integralrechnung

Die Berechnung von bestimmten Integralen vereinfacht sich mit Hilfe von Integrationsre-
geln. Sie ergeben sich unmittelbar aus der Definition des bestimmten Integrals als Grenzwert
der Zwischensumme. Die auftretenden Funktionen werden als stetig vorausgesetzt.

Faktorregel: Ein konstanter Faktor c darf vor das Integral gezogen wer-
den:

1

1
b
b
c f ( x) dx = c
f ( x) dx.

a
a

1

1
π/ 2
π/ 2

Beispiel 8.9.

4 cos x dx = 4
cos x dx

0

0

π

= 4 [sin x] π/ 2 = 4
sin( ) − sin (0) = 4 .

0

2

Summenregel: Eine Summe von Funktionen darf gliedweise integriert
werden:

1

1

1
b
b
b

( f 1 ( x) + f 2 ( x)) dx =
f 1 ( x) dx +
f 2 ( x) dx.

a
a
a

1

1

1

1

1

1

Beispiel 8.10.

− 3 x 2 + x dx = − 3
x 2 dx +
x dx

0

0

0

1 1
x 3
x 2

= − 3

+

= − 1 .

3

2

2

0

0

Bemerkungen:

(1) Die Faktor- und Summenregel gelten sinngemäß auch für unbestimmte

Integrale.

(2) Bisher war stets a < b vorausgesetzt. Die Faktor- und Summenregel bleiben
gültig für beliebige reelle Zahlen a, b aus dem Definitionsbereich von f ,
wenn man folgende Definition hinzunimmt:

312

8. Integralrechnung

Definition:

1 a

(1) Zusammenfallen der Integrationsgrenzen:

f ( x) dx := 0 .

a

1 a

2 b

(2) Vertauschen der Integrationsgrenzen:

f ( x) dx := −
f ( x) dx.

a
b

Beispiele 8.11:

1 2

{

1 dx = ln x| 2 = ln (2) − ln (2) = 0 .

x

2

2

1 0

2

|
π/ 2
sin x dx = −
sin x dx = − [ − cos x] π/ 2 = − 1 .

0

0
π/ 2

Additivit¨
at des Integrals: Für jede beliebige Stelle c aus dem Integra-
tionsbereich a ≤ x ≤ b von f gilt

1

1

1
b
c
b
f ( x) dx =
f ( x) dx +
f ( x) dx.

a
a
c

Die Additivität des Integrals nutzt man aus, wenn eine Funktion auf Teilin-
tervallen unterschiedliche Funktionsvorschriften besitzt.

Beispiel 8.12. Gegeben ist die Funktion f ( x), die definiert ist durch
x 2 für 0 ≤ x ≤ 1
f ( x) =

−x + 2 für 1 ≤ x ≤ 2

Um die Fläche unterhalb der Kurve f im Bereich [0 , 2] zu berechnen, muss man
das Integral aufspalten in ein Integral über [0 , 1] und [1 , 2], da die Funktion
in beiden Teilintervallen eine unterschiedliche Funktionsvorschrift hat. Daher
ist

1

1

1

2

1

2

A =
f ( x) dx =
x 2 dx +

( −x + 2) d x

0

0

1

1

2
x 3

−x 2

1

1

5

=

+

+ 2 x

=

+

=

.

3

2

3

2

6

0

1

8.4

Integrationsmethoden

313

8.4

8.4 Integrationsmethoden

Die Integration von Funktionen erweist sich in praktischen Fällen oftmals schwieriger als
die Differenziation. Während sich das Differenzieren durch Anwendung einfacher Regeln

(Produkt-, Quotienten-, Kettenregel) erledigen lässt, ist das Integrieren mit größeren Schwie-
rigkeiten verbunden. Trotzdem kann in vielen Fällen durch eine der folgenden Integrations-
methoden eine Stammfunktion gefunden werden.

8.4.1 Partielle Integration

Die partielle Integration ist das Pendant zur Produktregel der Differenziation,
welche besagt, dass

( u ( x) · v ( x)) = u ( x) v ( x) + u ( x) v ( x) .

Wir lösen diese Gleichung nach u ( x) v ( x) auf und integrieren anschließend
u ( x) v ( x)

=

( u ( x) v ( x)) − u ( x) v ( x)

2

2

2
b
b
b
u ( x) v ( x) dx

=

( u ( x) v ( x)) dx −
u ( x) v ( x) dx.

a
a
a

Nach dem Fundamentalsatz der Differenzial- und Integralrechnung ist

1 b

( u ( x) v ( x)) dx = [ u ( x) · v ( x)] b ,
a
a
so dass gilt

Partielle Integration:

1

1
b
b
u ( x) v ( x) dx = [ u ( x) v ( x)] b −
u ( x) v ( x) dx.

a
a
a

Bemerkungen:

(1) Ob die Integration nach der Methode der partiellen Integration gelingt,
hängt von der ”richtigen” (geeigneten) Wahl von u ( x) und v ( x) ab.

(2) In manchen Fällen muss das Integrationsverfahren mehrmals angewendet
werden, ehe man auf ein Grundintegral stößt.

(3) Insbesondere bei der Integration von Funktionen, die als einen Faktor ei-
ne trigonometrische Funktion enthalten, tritt nach ein- bzw. mehrmaliger
partieller Integration der Fall auf, dass das zu berechnende Integral, mit

314

8. Integralrechnung
einem Faktor versehen, auf der rechten Seite wieder auftritt. In diesem Fall
löst man die Gleichung nach dem gesuchten Integral auf.

(4) Die Formel der partiellen Integration gilt auch für unbestimmte Integrale

1

1
u ( x) v ( x) dx = u ( x) v ( x) −
u ( x) v ( x) dx.

Beispiele 8.13 (Partiellen Integration):

1 2

 Gesucht ist
x ex dx.

1

Wir setzen
u ( x) = x

⇒ u ( x) = 1
v ( x) = ex

⇒ v ( x) = ex
und erhalten

1

1

2

2
x ex dx = [ x ex]2 −

1 · ex dx = [ x ex]2 − [ ex]2

1

1

1

1

1

= 2 e 2 − e 1 − e 2 + e 1 = e 2 .

1

Ferner gilt
x ex dx = ex ( x − 1) + C.

1

 Gesucht ist
x 2 cos x dx.

Wir setzen
u ( x) = x 2

⇒ u ( x) = 2 x
v ( x) = cos x

⇒ v ( x) = sin x
und erhalten

1

1
x 2 cos x dx = x 2 sin x −

2 x sin x dx.

2

Nochmalige partielle Integration von

2 x sin x dx liefert mit
u ( x) = 2 x

⇒ u ( x) = 2
v ( x) = sin x

⇒ v ( x) = − cos x

1

1

x 2 cos x dx

=
x 2 sin x − 2 x ( − cos x) −

2 ( − cos x) dx

=
x 2 sin x + 2 x cos x − 2 sin x + C.

8.4

Integrationsmethoden

315

In der Regel setzt man u ( x) gleich dem Potenzfaktor, um so durch mehr-
malige partielle Integration diesen Term zum Verschwinden zu bringen. In
manchen Fällen führt aber v ( x) = 1 ⇒ v ( x) = x zum Ziel:

1

 Gesucht ist
ln x dx.

Mit

1
u ( x) = ln x

⇒ u ( x) = x
v ( x) = 1

⇒ v ( x) = x
folgt

1

1 1
ln x dx = x ln x −

· x dx = x ln x − x + C
x

= x (ln x − 1) + C.

1

1

 Gesucht ist
cos2 x dx =
cos x · cos x dx.

Mit
u ( x) = cos x

⇒ u ( x) = − sin x
v ( x) = cos x

⇒ v ( x) = sin x
ist

1

1

1
cos2 x dx = cos x sin x−

− sin x sin x dx = cos x sin x+ sin2 x dx.

Wir ersetzen sin2 x = 1 − cos2 x.

1

1

⇒
cos2 x dx = cos x sin x + x −
cos2 x dx.

2

Addieren wir
cos2 x dx auf beiden Seiten und dividieren anschließend
durch den Faktor 2, folgt

1
cos2 x dx = 1 (sin x cos x + x) + C.

2

8.4.2 Integration durch Substitution

Ähnlich wie die partielle Integration auf der Produktregel basiert, lässt sich
aus der Kettenregel die Integralsubstitutions-Methode herleiten. Mit y = f ( x)

folgt für die Ableitung der Funktion g ( y) = g ( f ( x)) nach x:

d g ( f ( x)) = g ( f ( x)) · f ( x) .

dx

Hieraus ergibt sich dann durch Integration:

316

8. Integralrechnung

Substitutionsregel f¨
ur unbestimmte Integrale:

1
g ( f ( x)) f ( x) dx = G ( f ( x)) + C,
wenn G eine Stammfunktion von g ist.

In der folgenden Tabelle sind einfache Spezialfälle dieser allgemeinen Substi-
tutionsregel angegeben. Sie lassen sich in konkreten Beispielen einfacher an-
wenden. Man beachte, dass die Fälle ( A), ( B) und ( C) als Spezialfälle in ( D)

enthalten sind.

Integraltyp

Substitution

Lösung

1

( A)

g ( a x + b) dx
y = a x + b

1 G ( a x + b) + C
a

1

( B)

f ( x) f ( x) dx
y = f ( x)

1 f 2 ( x) + C

2

1

( C)

f ( x) dx
y = f ( x)

ln |f ( x) | + C
f ( x)

1

( D)

g ( f ( x)) f ( x) dx
y = f ( x)

G ( f ( x)) + C

Tabelle 8.4: Einfache Integralsubstitutionen

Beispiele 8.14 (Integralsubstitutionen nach Tabelle 8.4):

1 3

(A1)

(2 x − 3)4 dx =?

2

Wir bestimmen zuerst eine Stammfunktion und setzen dann zur Berech-
nung des bestimmten Integrals die obere und untere Integrationsgrenze
ein. Dazu substituiert man y = 2 x − 3 und ersetzt jeden Term des Inte-
grals, der die Integrationsvariable x enthält, durch einen entsprechenden

Term mit y. Insbesondere muss auch das Differenzial dx durch einen ent-
sprechenden Term mit dy ersetzt werden.

Aus y = 2 x − 3

→ y = dy = 2

→ dx = 1 dy. Somit ist
dx

2

1

1

1

(2 x − 3)4 dx =
y 4 1 dy = 1
y 4 dy = 1 1 y 5 + C.

2

2

2 5

Nach Berechnung des Integrals wird durch Rücksubstitution y wieder durch

2 x − 3 ersetzt:

1

(2 x − 3)4 dx = 1 (2 x − 3)5 + C.

10

8.4

Integrationsmethoden

317

Das bestimmte Integral ist daher

1 3

&

'3

(2 x − 3)4 dx =

1

(2 x − 3)5

= 1 [243 − 1] = 24 . 2 .

10

10

2

2

(A1’) Führt man alternativ die Substitutionsmethode direkt beim bestimmten

Integral

1 3

(2 x − 3)4 dx

2
durch, müssen auch die Integrationsgrenzen ersetzt werden! Es erfolgt dann
nach der Berechnung des substituierten Integrals keine Rücksubstitution
mehr. Aus y = 2 x − 3 folgt für die untere Grenze xu = 2 → yu = 1 und
für die obere Grenze xo = 3 → yo = 3:

1

1

3

3

1

,

-3

(2 x − 3)4 dx =
y 4
dy =

1 y 5

= 1 [243 − 1] = 24 . 2 .

2

10

1

10

2

1

1 1

1

(A2)

dx =?

1 + 4 x

0
dy

Man substituiere y = 1 + 4 x

→ y =

= 4

→ dx = 1 dy.

dx

4

1

1

1

1

1

1

1

1

→
dx =

· 1 dy =
dy =
ln |y| + C.

1 + 4 x
y

4

4
y

4

Durch Rücksubstitution y = 1 + 4 x folgt

1

1

1
dx =
ln | 1 + 4 x| + C.

1 + 4 x

4

Für das bestimmte Integral gilt

1

1

1

1

1

1

1
dx =
ln | 1 + 4 x|

=
ln 5 − 1 ln 1 =
ln 5 .

1 + 4 x

4

4

4

4

0

0

1

(B1)

sin x cos x dx =?

dy

1

Man substituiere y = sin x

→ y =

= cos x

→ dx =
dy.

dx
cos x

1

1

1

1

1

→
sin x cos x dx =
y cos x
dy =
y dy =
y 2 + C.

cos x

2

Durch Rücksubstitution y = sin x folgt

1

1
sin x cos x dx =
sin2 x + C.

2

318

8. Integralrechnung

1 2 ln x

(B2)

dx =?

x

1
dy

1

Substitution: y = ln x

→ y =

=

→ dx = x dy.

dx
x

1

1

1
ln x
y

1

→
dx =

· x dy =
y dy =
y 2 + C.

x
x

2

2 ln x

Rücksubstitution:

dx = 1 ln2 x + C.

x

2

Berechnung des bestimmten Integrals:

1 2 ln x

1 ,

-2

1
dx =
ln2 x

=
ln2 2 .

x

2

1

2

1

1

1

2 x − 3

2 x − 3

(C1)

dx =

· dy
x 2 − 3 x + 1
y

2 x − 3

1 1

=
dy = ln |y| + C = ln x 2 − 3 x + 1 + C
y

1
mit der Substitution y = x 2 − 3 x + 1 und dx =
dy.

2 x − 3

1 1
ex

(C2)

dx =?

2 ex + 5

0
dy

1

Substitution:

y = 2 ex + 5

→ y =

= 2 ex

→ dx =
dy.

dx

2 ex
obere Grenze xo = 1 → yo = 2 e + 5
untere Grenze xu = 0 → yu = 7 .

1

1

1

1
ex

2 e+5 ex

2 e+5 1
dx

=

· 1 dy = 1
dy

2 ex + 5
y

2 ex

2
y

0

7

7

=

= 1 ln y | 2 e+5 = 1 [ln (2 e + 5) − ln 7] = 0 . 1997 .

2

7

2

1

1

(D1)

x 3 + 2 2 x 2 dx =?

1

Substitution:

y = x 3 + 2

→ dy = 3 x 2

→ dx =
dy.

dx

3 x 2

1

1

1

1

1

1

1

1 2

3
x 3 + 2 2 x 2 dx =
y 2 · x 2 · 1 dy =
y 2 dy =
y 2 + C.

3 x 2

3

3 3

8.4

Integrationsmethoden

319

Rücksubstitution:1

1

2

3
x 3 + 2 2 x 2 dx =
x 3 + 2 2 + C.

9

1 ex + xex

(D2)

dx =?

( x ex)3

1

Substitution:

y = x ex

→ dy = ex + x ex

→ dx =
dy.

dx
ex + x ex

1

1

1
ex + x ex
ex + x ex
dx =

·

1
dy =
y− 3 dy = − 1 y− 2+ C.

( x ex)3
y 3
ex + x ex

2

Rücksubstitution: 1 ex + x ex dx = − 1 ( xex) − 2 + C.

( x ex)3

2

Man beachte: Wenn bei einem bestimmten Integral eine Substitution durch-
geführt wird, müssen auch die Integrationsgrenzen ersetzt werden. Dafür er-
spart man sich zum Schluss die Rücksubstitution. Außer den angegebenen

Substitutionsregeln gibt es noch viele andere.

Tabelle 8.5: Weitere Integralsubstitutionen

Integraltyp

Substitution

1

√

( E)

g x,
a 2 − x 2 dx
x = a · sin y

1

√

( F )

g x,
x 2 + a 2 dx
x = a · sinh y

1

√

( G)

g x,
x 2 − a 2 dx
x = a · cosh y

Beispiele 8.15 (Integralsubstitutionen nach Tabelle 8.5):

1

1

1
dx

2 cos ( y)

(E1)

√

=
dy =
dy = y + C = arcsin 1 x + C

4 − x 2

2 cos ( y)

2
mit der Substitution x = 2 sin ( y)

→ dx = 2 cos ( y) → dx = 2 cos ( y) dy
dy

√

und

4 − x 2 =

4 − 4 sin2 ( y) = 2 cos ( y), da cos2( y) + sin2( y) = 1.

320

8. Integralrechnung

1

1

1
x

2 sin ( y) 2 cos ( y)

(E2)

√
dx =
dy = 2
sin( y) dy

4 − x 2

2 cos ( y)

= − 2 cos( y) + C = − 2

1 − sin2( y) + C

= − 2

1 − x 2 + C == −

4 − x 2 + C

4
mit der gleichen Substitution wie unter (E1): x = 2 sin ( y)

und y = arcsin( x ).

2

1

1

1
dx
cosh ( y)

(F)

√

=
dy =
dy =

1 + x 2
cosh ( y)

y + C = ar sinh ( x) + C = ln x +

1 + x 2 + C
mit der Substitution x = sinh ( y)

→ dx = cosh ( y) → dx = cosh ( y) dy
dy

√

und

1 + x 2 =

1 + sinh2 ( y) = cosh ( y), da cosh2( y) − sinh2( y) = 1.

1

1

1
dx

5 sinh ( y)

(G)

√

=
dy =
dy =
x 2 − 25

5 sinh ( y)

#

$
x
x
x 2
y + C = ar cosh

+ C = ln

+

+ 1

+ C

5

5

5
mit der Substitution x = 5 cosh ( y) → dx = 5 sinh ( y) → dx = 5 sinh ( y) dy dy

√

und
x 2 − 25 =

25 cosh2 ( y) − 25 = 5 cosh2 ( y) − 1 = 5 sinh ( y),
da cosh2( y) − sinh2( y) = 1.

Trotz der Vielfalt der Substitutionen gibt es bei der Berechnung von Integralen
keine allgemeinen Rezepte, die stets zum Ziel führen!

8.4

Integrationsmethoden

321

8.4.3 Partialbruchzerlegung

Für rationale Funktionen f ( x) = Z( x) ( Z ( x) , N ( x) Polynome) gibt es eine N ( x)

spezielle Integrationstechnik, die sog. Partialbruchzerlegung. Durch diese Me-
thode lassen sich rationale Funktionen in geschlossener Form integrieren. Zur

Durchführung müssen sie in einer echt gebrochenrationalen Darstellung vor-
liegen. Eine rationale Funktion heißt echt gebrochenrational, wenn der Grad
des Zählerpolynoms kleiner dem Grad des Nennerpolynoms ist, sonst heißt
die Funktion unecht gebrochen. Bei einer unecht gebrochenrationalen Funk-
tion sorgt man durch Polynomdivision dafür, dass anschließend der Grad des

Zählers kleiner als der Grad des Nenners ist:

2 x 3 − 2 x 2 − 5 x + 7

Beispiel 8.16.

:

x 2 − 3 x + 2

3 x − 1

(2 x 3

− 2 x 2

− 5 x

+7)

:

( x 2 − 3 x + 2)

= 2 x + 4 + x 2 − 3 x + 2

−(2 x 3

− 6 x 2

+4 x)

4 x 2

− 9 x

+7

−(4 x 2 − 12 x

+8)

3 x

− 1

Eine echt gebrochenrationale Funktion lässt sich eindeutig in Partialbrüche
zerlegen. Wir gehen im Folgenden immer davon aus, dass
p ( x)

f ( x) = q ( x)

eine echt gebrochenrationale Funktion mit Grad ( p) < Grad ( q) = n ist.

Satz: Hat q ( x) = an ( x − x 1) ( x − x 2) ·. . .·( x − xn)

n einfache reelle

Nullstellen, dann führt der Ansatz

A

A

A
f ( x) =

1

+

2

+ . . . +
n
x − x 1
x − x 2
x − xn

A
zu einer eindeutigen Zerlegung von f ( x) in
i

Partialbr¨
uche

.

x − xi

1

3 x − 1

Beispiel 8.17 (Musterbeispiel).

dx =?

x 2 − 3 x + 2

Um eine Partialbruchzerlegung durchführen zu können, müssen zuerst die Null-

3 x − 1
stellen des Nenners von f ( x) =
bestimmt werden. Aus
x 2 − 3 x + 2
x 2 − 3 x + 2 = 0

322

8. Integralrechnung

folgt durch die pq-Formel x

± 9 −

1 / 2 = 3

2 . Daher sind x

2

4

1 = 1 und x 2 = 2 die

3 x − 1

3 x − 1

Nullstellen des Nennerpolynoms und f ( x) =

=

.

x 2 − 3 x + 2

( x − 1) ( x − 2)

Durch den Ansatz

3 x − 1

A

A
f ( x) =

=

1

+

2

( x − 1) ( x − 2)

x − 1
x − 2
erhält man die Partialbruchzerlegung. Um A 1 und A 2 zu berechnen, bildet
man den Hauptnenner

A 1

A

A

!

3 x − 1

+

2

=

1 ( x − 2) + A 2 ( x − 1) =
x − 1
x − 2

( x − 1) ( x − 2)

x 2 − 3 x + 2
und vergleicht den Zähler mit 3 x − 1:

A 1 ( x − 2) + A 2 ( x − 1) = 3 x − 1
für alle x.

Zur Bestimmung der Konstanten A 1 und A 2 führt man entweder einen Koef-
fizientenvergleich durch oder man setzt spezielle Werte für x ein:

x = 1 :

A 1 (1 − 2)

= 3 − 1

⇒ A 1 = − 2
x = 2 :

A 2 (2 − 1)

= 5

⇒ A 2 = 5 .

Also ist

− 2

5
f ( x) =

+
x − 1
x − 2
und damit

1

1

1

1

1
f ( x) dx = − 2
dx + 5
dx
x − 1
x − 2

= − 2 ln |x − 1 | + 5 ln |x − 2 | + C

( x − 2)5

= ln |x − 1 |− 2 + ln |x − 2 | 5 + C = ln

( x − 1)2 + C.

Hat das Nennerpolynom eine Nullstelle, die doppelt oder mehrfach auftritt,
dann muss die Partialbruchzerlegung für diese Nullstelle modifiziert werden:

Satz: q ( x) hat mehrfache reelle Nullstellen. Sei xl eine k-fache Null-
stelle, d.h. neben anderen Nullstellen tritt der Term ( x − xl) mit der Po-
tenz k in der Produktdarstellung von q ( x) auf. Dann ist diese k-fache

Nullstelle neben den anderen folgendermaßen zu berücksichtigen:

B

B

B
f ( x) = . . . +

1

+

2

+ . . . +
k

.

x − xl

( x − xl)2

( x − xl) k

8.4

Integrationsmethoden

323

1

2 x 2 + 3 x + 1

Beispiel 8.18.

dx =?

x 3 − 5 x 2 + 8 x − 4
x = 1 ist eine einfache und x = 2 eine doppelte Nullstelle des Nennerpolynoms,
da x 3 − 5 x 2 + 8 x − 4 = ( x − 1) ( x − 2)2 . Für die Partialbruchzerlegung des Integranden f wählen wir daher den Ansatz

A

B

B
f ( x) =

+

1

+

2
x − 1
x − 2

( x − 2)2

A ( x − 2)2 + B

=

1 ( x − 2) ( x − 1) + B 2 ( x − 1) .

( x − 1) ( x − 2)2

Nach Multiplikation mit dem Hauptnenner folgt

!

2 x 2 + 3 x + 1 = A ( x − 2)2 + B 1 ( x − 2) ( x − 1) + B 2 ( x − 1) .

Wir setzen zur Bestimmung von A, B 1 und B 2 spezielle x-Werte ein:

x = 1 : 6 = A
x = 2 : 15 = B 2
x = 0 : 1 = 4 A + 2 B 1 − B 2 ⇒ 1 = 9 − 2 B 1

⇒ B 1 = − 4

Folglich ist

1

2 x 2 + 3 x + 1
dx
x 3 − 5 x 2 + 8 x − 4

1

1

1

1

1

1

= 6
dx − 4
dx + 15
dx
x − 1
x − 2

( x − 2)2

1

= 6 ln |x − 1 | − 4 ln |x − 2 | − 15

+ C.

x − 2

1 x 6 − 2 x 5 + x 4 + 4 x + 1

Beispiel 8.19 (Musterbeispiel).

dx =?

x 4 − 2 x 3 + 2 x − 1

(i) Wir zerlegen durch Polynomdivision den Integrand in ein Polynom und
eine echt gebrochenrationale Funktion:

x 6 − 2 x 5 + x 4 + 4 x + 1

= x 6 − 2 x 5 + x 4 + 4 x + 1 : x 4 − 2 x 3 + 2 x − 1
x 4 − 2 x 3 + 2 x − 1
x 2 + 2 x + 2

= x 2 + 1 + x 4 − 2 x 3 + 2 x − 1

(ii) Da das Nennerpolynom vom Grad 4 ist, können die Nullstellen des Nen-
nerpolynoms nicht durch eine Formel berechnet werden. Man muss daher
eine Nullstelle x 0 erraten und dann den Grad entweder wieder durch Poly-
nomdivision des Nenners durch ( x −x 0) oder durch Anwenden des Horner-

Schemas reduzieren. Für das Nennerpolynom x 4 − 2 x 3 +2 x− 1 erhält man:

x 1 =

1
ist dreifache Nullstelle
x 2 =

− 1 ist einfache Nullstelle

324

8. Integralrechnung

Damit erhält man die Linearfaktorzerlegung
x 4 − 2 x 3 + 2 x − 1 = ( x − 1)3 ( x + 1)

(iii) Jeder Nullstelle werden gemäß ihrer Vielfachheit die Partialbrüche zuge-
ordnet:

A

A

A
x

1

2

3

1 = 1 :

+

+

;
x − 1

( x − 1)2

( x − 1)3

B
x 2 = − 1 :

.

x + 1

Darstellung von p( x) durch Partialbrüche:

q( x)

x 2 + 2 x + 2

A

A

A

B

=

1

+

2

+

3

+
x 4 − 2 x 3 + 2 x − 1

( x − 1)

( x − 1)2

( x − 1)3
x + 1

A

=

1 ( x − 1)2 ( x + 1) + A 2 ( x − 1) ( x + 1) + A 3 ( x + 1) + B ( x − 1)3

HN

(iv) Die Bestimmung der Koeffizienten erfolgt, indem mit dem Hauptnenner

(HN) multipliziert und spezielle x-Werte eingesetzt werden:

x = 1 :

5

= A 3 · 2

⇒

A 3

= 52
x = − 1 :

1

= B · ( − 2)3

⇒

B

= − 18

x = 0 :

2

= A 1 − A 2 + 5 + − 1 ( − 1)

⇒ A

2

8

1 − A 2

= − 58

x = 2 :

10

= 3 A 1 + 3 A 2 + 5 · 3 + − 1

⇒ A

2

8

1 + A 2

= 78

Durch Addition bzw. Subtraktion der beiden letzten Gleichungen folgt

A 1 = 1 , A

.

8

2 = 3

4

(v) Zum Schluss wird die Integration des Polynoms und der Partialbrüche
durchgeführt:

1 x 6 − 2 x 5 + x 4 + 4 x + 1 dx =
x 4 − 2 x 3 + 2 x − 1

1

1

1

1

1

=
x 2 + 1 dx + 1
dx + 3
dx

8
x − 1

4

( x − 1)2

1

1

1

1

+ 5
dx − 1
dx =

2

( x − 1)3

8
x + 1

1

1

= 1 x 3 + x + 1 ln |x − 1 | − 3

− 5

− 1 ln |x + 1 | + C.

3

8

4 ( x − 1)

4 ( x − 1)2

8

8.4

Integrationsmethoden

325

Zusammenfassung: Jede rationale Funktion f ( x) = Z( x) ( Z ( x) , N ( x) N ( x)

Polynome) lässt sich mit Hilfe algebraischer Methoden integrieren, wenn

N ( x) im Reellen in Linearfaktoren zerfällt:

p ( x)

(1) Zerlegung der Funktion
f ( x) = r ( x) +
in ein Polynom
q ( x)

r ( x) und eine echt gebrochenrationale Funktion p( x) . (Man beachte:

q( x)

N ( x) = q ( x)).

(2) Bestimmung der reellen Nullstellen von q ( x) und deren Vielfachheit.

(3) Jeder Nullstelle x 0 von q ( x) werden entsprechend ihrer Vielfachheit

Partialbrüche zugeordnet
x 0 einfache Nullstelle

→

A
x − x 0

A
x

2

0 zweifache Nullstelle

→

A 1

+
x − x 0

( x − x 0)2

...

A

A
x

2
k

0 k-fache Nullstelle

→

A 1

+

+ . . . +

.

x − x 0

( x − x 0)2

( x − x 0) k

Die echt gebrochenrationale Funktion p( x) ist dann als Summe aller
q( x)

Partialbrüche darstellbar.

(4) Bestimmung der in den Partialbrüchen auftretenden Konstanten

(entweder durch Koeffizientenvergleich und Lösen des zugehörigen
linearen Gleichungssystems oder durch Einsetzen spezieller x-Werte).

(5) Integration von r ( x) und sämtlicher Partialbrüche mit

1

1
dx

=
ln |x − x
x − x

0 | + C ;

0

1

1

1
dx

=

− 1

+ C .

( x − x
k − 1

0) k

( x − x 0) k− 1

326

8. Integralrechnung

Bemerkung: Nach dem Zusatz zum Fundamentalsatz der Algebra (vgl. Kap.

5.2.7) hat ein reelles Polynom genau n Nullstellen, die entweder reell oder
paarweise komplex konjugiert auftreten. Für komplexe Nullstellen gelten
die Partialbrüche:

(1) Hat das Polynom q ( x) in x 0 = a + i b eine komplexe Nullstelle, so ist auch

¯
x 0 = a − i b eine Nullstelle und das Produkt

( x − x 0) ( x − ¯
x 0) = ( x − a)2 + b 2
reell unzerlegbar. Alle derartigen einfachen komplexen Nullstellen sind im

Ansatz neben den übrigen Nullstellen zu berücksichtigen durch

C x + D
f ( x) = . . . +

+ . . .

( x − a)2 + b 2

(2) Liegen die komplexen Nullstellen k-fach vor, so wird der Ansatz modifiziert

C

C

C
f ( x) = . . . +

1 x + D 1

+

2 x + D 2

&

' + . . . +
k x + Dk

&

' + . . .

( x − a)2 + b 2

2
k

( x − a)2 + b 2

( x − a)2 + b 2

Die Durchführung dieser komplizierteren Partialbruchzerlegung ist in
der Regel sehr aufwändig. Wir verweisen auf die Beispiele mit Maple.

Beispiele 8.20 (Mit Maple-Worksheet):

1 2 x 3 + x 2 + 2 x + 2


dx =?:

Die Nullstellen des Nenners q ( x) sind −i,
x 4 + 2 x 2 + 1

−i, i, i. D.h. x = i und x = −i sind jeweils doppelte Nullstellen. Die Zerlegung des Integranden in Partialbrüche lautet

2 x

1

1

+

+
x 2 + 1
x 2 + 1

( x 2 + 1)2
und die anschließende Integration liefert

3
x
ln x 2 + 1 +
arctan ( x) +

2

2 ( x 2 + 1) + C

1
x 3 + 2 x 2 − 1


dx =?:

Die Nullstellen des Nenners sind 1
x 4 − 2 x 3 + 2 x 2 − 2 x + 1

(doppelt) und ± i . Eine Partialbruchzerlegung liefert

1 − 3 x

5

1

+

+

2 ( x 2 + 1)

2 ( x − 1)

( x − 1)2
mit der anschließenden Integration

− 3

1

5
ln x 2 + 1 +
arctan ( x) +
ln ( x − 1) −

1

+ C.

4

2

2
x − 1

8.5

Uneigentliche Integrale

327

8.5

8.5 Uneigentliche Integrale

Bisher wurde von den bestimmten Integralen stets vorausgesetzt, dass die Integrations-
grenzen endlich sind. Es tritt in den Anwendungen aber auch der Fall ein, dass sie nicht
beschränkt sind und die Integrale dennoch existieren. Man betrachtet diese als Grenzfall
der eigentlichen Integralen.

Definition: Integrale, bei denen als Integrationsgrenzen ± ∞ auftritt,
bezeichnet man als uneigentliche Integrale:

1 ∞

1

1
b

∞
f ( x) dx ,
f ( x) dx ,
f ( x) dx.

a

−∞

−∞

Anwendungsbeispiel 8.21 (Austrittsarbeit).

Im Gravitationsfeld der Erde soll eine Masse m aus der

Entfernung r 0 ins Unendliche ( r = ∞) gebracht werden.

Welche Arbeit W∞ ist dazu aufzuwenden und welche

Geschwindigkeit (= Fluchtgeschwindigkeit) benötigt die

Masse dazu? Die Arbeit WR , die aufgebracht werden
muss, um die Masse von r = r 0 nach r = R zu bringen,
ist über das Gravitationsgesetz

Abb. 8.2.

mM

Austrittsarbeit

F ( r) = f
r 2
gegeben durch

1

1

1

R

R
m M

R

1

R

WR =

F ( r) dr

=
f
dr = f m M
dr = f m M

− 1
r 2
r 2
r
r 0
r 0
r 0
r 0

1

= f m M

− 1

.

r 0

R

Dabei ist f die Gravitationskonstante und M die Masse der Erde. Für R → ∞
gilt dann

1
f m M

W∞ = lim WR = lim f m M

− 1 =

.

R→∞

R→∞
r 0

R
r 0

Dies ist dann gleich der kinetischen Energie 1 m v 2 , welche die Masse zu Beginn

2
besitzen muss; also ist die Fluchtgeschwindigkeit

2 f M
v∞ =

.

r 0

328

8. Integralrechnung

Das Vorgehen, welches in obigem Beispiel gewählt wurde, nämlich zunächst
von r 0 bis R zu integrieren und dann R → ∞ gehen zu lassen, ist die Berech-
nungsmethode von uneigentlichen Integralen:

1 ∞

Berechnung von uneigentlichen Integralen der Form
f ( x) dx:

a

(1) Bestimmung der Integralfunktion I ( λ) als Funktion der oberen Gren-

1 λ
ze I ( λ) =
f ( x) dx.

a

(2) Bestimmung des Grenzwertes der Integralfunktion für λ → ∞:

1 ∞

1 λ
f ( x) dx = lim I ( λ) = lim
f ( x) dx.

a
λ→∞
λ→∞
a

Beispiele 8.22:

1 ∞ 1

{
dx =?

x 3

1

1 ∞

1

1
λ 1

1
λ

1

1
dx = lim
dx = lim

− 1

= lim

− 1 + 1 = .

x 3
x 3

2 x 2

2
λ 2

2

1
λ→∞

1
λ→∞
λ→∞

1

1 ∞ 1

|
dr =? Dieses uneigentliche Integral existiert nicht:

r

1

1 ∞

1

1
λ 1
dr = lim
dr = lim ln r|λ = lim ln ( λ) = ∞ .

r
r

1

1
λ→∞

1
λ→∞
λ→∞

Anwendungsbeispiel 8.23 (RL-Kreis).

Eine Spule (Induktivität L) und ein Ohmscher Widerstand

R sind parallel geschaltet. Es fließt ein konstanter Strom

I 0. Zum Zeitpunkt t 0 = 0 wird die Stromquelle abgeschal-
tet und der Strom nimmt gemäß I ( t) = I
t

0 e− R

L
ab. Die

Energie, die in Form eines Magnetfeldes vorliegt, ist gege-

Abb. 8.3. RL-Kreis
ben durch

∞

1

T

1

E =

R I 2 ( t) dt = lim

R I 2 e− 2 R t

L
dt

0

T →∞

0

0

T

1

= R I 2 lim

− L e− 2 R t

L

=

L I 2 .

0

0

T →∞

2 R

2

0

8.6

Anwendungen der Integralrechnung

329

Bemerkungen:

(1) Die für die Anwendungen wichtigsten Transformationen, die Fourier-Trans-
formation ( → Kapitel 15) und die Laplace-Transformation ( → Kapitel 13),
sind durch uneigentliche Integrale definiert.

(2) Integrale mit unbeschr¨
anktem Integranden bezeichnet man ebenfalls als
uneigentliche Integrale:

1 1

1

√
dt

0

1 − t
ist ein solches uneigentliches Integral, da der Integrand

1

√
nur für 0 ≤

1 −t
t < 1 definiert ist. Dennoch hat das Integral einen endlichen Wert, da

1 T

1

√

√

√

T → 1
dt = − 2 1 − t T = 2 − 2 1 − T −→ 2 .

0

0

1 − t

(3) Man unterscheidet also drei Formen von uneigentlichen Integralen:

1. Das Integrationsintervall ist unbeschränkt.

2. Der Integrand ist unbeschränkt.

3. Sowohl das Integrationsintervall als auch der Integrand sind unbeschränkt.

8.6

8.6 Anwendungen der Integralrechnung

In diesem Abschnitt werden einige wichtige Anwendungen der Integralrechnung angegeben.

Weitere Anwendungen der Integralrechnung wie die Mittelungseigenschaft, die Bogenlänge
und das Krümmungsverhalten sowie die Berechnung von Rotationskörpern zusammen mit
der Visualisierung in Maple befinden sich auf der CD-Rom.

8.6.1 Fl¨
achenberechnungen

Aufgrund seiner Definition dient das Integral zunächst zur Berechnung von

Flächeninhalten. Ein Flächenstück werde von x = a , x = b, der x-Achse und
der Funktion f ( x) begrenzt. Dann ist der Inhalt der Fläche gegeben durch

1 b
f ( x) dx.

a

330

8. Integralrechnung

Anwendungsbeispiel 8.24: Gesucht ist das

Flächenstück unter einer Sinushalbwelle (siehe

Abb. 8.4):

1 π

A =
sin x dx = − cos x|π = − ( − 1 − 1) = 2 .

0

Abb. 8.4. Fläche unter Funktion

0

Die Kurve schließt mit der x-Achse eine Fläche mit dem Wert 2 ein.

Der Fl¨
acheninhalt zwischen zwei Kurven y = f ( x) und y = g ( x) berech-
net sich aus der Differenz der Einzelintegralen:

1

1

1
b
b
b

A =

( f ( x) − g ( x)) dx =
f ( x) dx −
g ( x) dx.

a
a
a

Anwendungsbeispiel 8.25 (Fl¨
ache zwischen
zwei Kurven). Gesucht ist die grau unterleg-

√
te Fläche zwischen der Funktion y =
x und
y = x 2 (siehe Abb. 8.5).

Um die grau schraffierte Fläche berechnen zu
können, müssen zuerst die Schnittpunkte der

Abb. 8.5.

Kurven bestimmt werden, da diese die Integra-

Fläche zw. Funktionen
tionsgrenzen liefern:

√x = x 2 → x = 0 und x = 1 .

Die durch die Kurven eingeschlossene Fläche wird nun berechnet mit dem
bestimmten Integral über die Differenz der Funktionen:

1

1

1

1 √

1

1

1

1

1

2

3

1

A =
x − x 2 dx =
x 2 dx −
x 2 dx =
x 2 − 1 x 3 =

.

3

3

3

0

0

0

0

0

8.6.2 Kinematik

Für die Bewegung eines Massenpunktes gilt
v ( t) = ˙ s ( t) = d s ( t)

(Geschwindigkeit),
dt
a ( t) = d v ( t) = ˙ v ( t) = ¨
s ( t)

(Beschleunigung).

dt

8.6

Anwendungen der Integralrechnung

331

Ist die Beschleunigung als Funktion der Zeit bekannt (z.B. durch ein Kraftge-
setz), so folgt durch Integration die Geschwindigkeit v ( t) und durch nochma-
lige Integration das Weg-Zeit-Gesetz s ( t):

1
v ( t) =
a ( t) dt,

1
s ( t) =
v ( t) dt.

Anwendungsbeispiel 8.26 (Freier Fall ohne Luftreibung). Für den frei-
en Fall ohne Luftwiderstand ist die Beschleunigungskraft
m · a = FG = m g

⇒ a ( t) = g = const.

Damit folgt für die Geschwindigkeit

1
v ( t) =
a( t) dt = g t + C 1 .

Die Integrationskonstante bestimmt sich aus der Anfangsgeschwindigkeit
v (0) = v 0

→

C 1 = v 0

⇒
v ( t) = g t + v 0 .

Das Weg-Zeit-Gesetz folgt durch nochmalige Integration

1

1
g
s ( t) =
v ( t) dt =

( g t + v 0) dt =
t 2 + v

2

0 t + C 2 .

Die Integrationskonstante bestimmt sich aus der Anfangsposition
s (0) = s 0

→

C 2 = s 0

⇒
s ( t) = 1 g t 2 + v

2

0 t + s 0 .

Anwendungsbeispiel 8.27 (Bewegungsgleichung einer Rakete). Eine

Rakete steige senkrecht in die Luft auf und besitze eine konstante Schubkraft

F 0 . Die Massenabnahme der Rakete aufgrund der Verbrennung des Brennstof-
fes sei linear, d.h.

q
m ( t) = m 0 − q t = m 0 (1 − α t)

mit α =

,
m 0
wenn m 0 die Startmasse und q der Brennstoffverbrauch. Unter der Vorausset-
zung einer konstanten Erdbeschleunigung g und ohne Luftwiderstand ist die

Beschleunigungskraft bzw. Beschleunigung

F
m a = F

0

0 − m g

→
a =

− g .

m 0 (1 − α t)

332

8. Integralrechnung

Die Geschwindigkeit ist

1

1

1

F
dt

1
v ( t) =
a ( t) dt =

0

− g
dt = − F 0
ln (1 − α t) − g t + C .

m 0

1 − α t
m 0 α

Man beachte, dass das erste Integral mit der Substitution y = 1 −α t berechnet
wird. Mit der Anfangsgeschwindigkeit v (0) = 0 wird C = 0 .

Das Weg-Zeit-Gesetz erhält man durch nochmalige Integration

1

1

1
s ( t) =
v ( t) dt = − F 0
ln (1 − α t) dt − g
t dt .

m 0 α

Mit der Substitution y = 1 − α t und dem Ergebnis aus Beispiel 8.13 }

2 ln x = x · (ln x − 1) + C ist

F

1
s ( t) =

0

[(1 − α t) ln (1 − α t) − (1 − α t)] − 1 g t 2 + C .

m

2

0 α α

Mit der Anfangsbedingung s (0) = 0 folgt C =

F 0
m 0 α 2 und damit

F
s ( t) =

0

[(1 − α t) ln (1 − α t) + α t] − 1 g t 2 .

m

2

0 α 2

8.6.3 Elektrodynamik

Eine Punktladung Q induziert ein radiales elektrisches Feld gemäß der For-
mel

1

Q

E ( r) = 4 π ε 0 r 2
mit der Dielektrizitätskonstanten ε 0 = 8 . 8542 · 10 − 12 F . Die Spannung U
m

12
zwischen zwei Punkten P 1 und P 2 mit Abständen r 1 und r 2 von Q ist gegeben
durch

1

1

r 2

Q
r 2 1

1 r 2

Q

1

U

12 =

E ( r) dr =
dr = − Q

=

− 1 .

4 π ε
r 2

4 π ε
r

4 π ε
r
r
r 1

0
r 1

0
r 1

0

1

2

8.6

Anwendungen der Integralrechnung

333

8.6.4 Energieintegrale

Wirkt auf einen Massenpunkt m eine ortsunabh¨
angige Kraft F in Wegrich-
tung, so ist die verrichtete Arbeit definitionsgemäß

W := F · Δ s,
wenn Δ s = sE − sA die Strecke, um die der Massenpunkt verschoben wird.

Falls die Kraft jedoch ortsabh¨
angig ist F =

F ( s) (siehe Abb. 8.6), dann unterteilt man
den Weg in kleine Intervalle Δ s und nimmt
für jedes Teilintervall eine konstante Kraft
an. Im Intervall Δ si wird näherungsweise
die Arbeit

W

Abb. 8.6. Ortsabhängige Kraft
i = F ( si) · Δ si
geleistet. Die Gesamtarbeit W ist die Summe aller Einzelbeiträge
n

n

W ≈

Wi =

F ( si) · Δ si .

i=1
i=1

Den exakten Wert der geleisteten Arbeit erhält man, indem man zu einer
beliebig feinen Unterteilung übergeht (Δ si → 0 bzw. n → ∞):

n

n

1 sE

W = lim

Wi = lim

F ( si) Δ si =

F ( s) ds .

n→∞
n→∞
i=1
i=1
sA

Zusammenfassung: Die Arbeit einer ortsabhängigen Kraft ist gegeben
durch

1 sE

W =

F ( s) ds,
sA
wenn F ( s) die Kraftkomponente in Wegrichtung ist. Andernfalls muss

F ( s) ds durch das Skalarprodukt

F
ds =

F cos ϕ ds
ersetzt werden, wenn ϕ der Winkel zwischen

F und der Wegrichtung
s
ist.

334

8. Integralrechnung

Anwendungsbeispiel 8.28 (Spannarbeit einer elastischen Feder).

Wird eine elastische Feder aus ihrer Ruhelage um s aus-
gedehnt, so wirkt eine Rückstellkraft proportional zur

Auslenkung:

F ( s) = −D · s

(Hooksches Gesetz).

Abb. 8.7. Feder-Masse-

System

Um eine Feder aus der Ruhelage um die Strecke s 0 aus-
zulenken, wird die folgende Arbeit verrichtet:

1

1
s 0
s 0

W =

F ( s) ds = D
s ds = 1 D s 2 .

2

0

0

0

Anwendungsbeispiel 8.29 (Arbeit im elektrostatischen Feld). Zwei

Punktladungen q 1 und q 2 üben aufeinander eine Kraft aus, die umgekehrt
proportional zum Quadrat ihrer Entfernung ist

1
q

F =

1 · q 2 .

4 π ε 0
r 2

Ist q 1 im Ursprung und wird q 2 von r 1 nach r 2 verschoben, ist die folgende

Arbeit zu verrichten:

1

1

r 2
q
r 2 1
q

1

W =

F ( r) dr =

1 q 2
dr =

1 q 2

− 1

.

4 π ε
r 2

4 π ε
r
r
r 1

0
r 1

0

1

2

8.6.5 Lineare und quadratische Mittelwerte

Problemstellung: Ein Zweiweggleichrichter erzeugt aus einem Sinuswechsel-
strom i ( t) = i 0 sin ( ωt) mit ω = 2 π den in Abb. 8.8 gezeigten Verlauf. Gesucht T
ist der lineare Mittelwert.

Abb. 8.8. Zweiweggleichrichter

Definition: Unter dem linearen Mittelwert einer Funktion y = f ( x)

im Intervall [ a, b] versteht man die Gr¨
oße

1

1
b

¯
y =
f ( x) dx.

b − a a

8.6

Anwendungen der Integralrechnung

335

Bemerkung: Nach dem Mittelwertsatz der In-
tegralrechnung gibt es dann immer einen Zwi-
schenwert ξ ∈ ( a, b), so dass ¯
y = f ( ξ). Geome-
trisch bedeutet der lineare Mittelwert, dass man
die Fläche unter der Kurve durch ein flächenglei-
ches Rechteck ersetzt.

Abb. 8.9. Mittelwert f( ξ)

Mittelwert eines Zweiweggleichrichters

Anwendungsbeispiel 8.30 (Linearer Mittelwert). Der lineare Mittelwert
eines Zweiweggleichrichters berechnet man über das Integral

T / 2

1

1

1

T/ 2

¯ i =
i
i
cos ( ωt)

T / 2

0 sin ( ωt) dt = − 2

T 0 ω

0

0

T

2 π

2

= − 2 i
cos(

· T ) − 1 = i

T 0 2 π

T

2
π 0 .

Der lineare Mittelwert eines sinusförmigen Wechselstroms ist 0 .

In elektrotechnischen Anwendungen verwendet man aber den sog. quadrati-
schen Mittelwert.

Definition: Unter dem quadratischen Mittelwert einer Funktion y =
f ( x) im Intervall [ a, b] versteht man die Gr¨
oße

#

1

$12

1
b

¯
yq =
f 2 ( x) dx

.

b − a a

Anwendungsbeispiel 8.31 (Effektivwert des Wechselstroms). Der Ef-
fektivwert Ieff eines Wechselstroms ist der quadratische Mittelwert während
einer Periode T :

# 1

$1

#

$1

2

1

2

1

T

1

T

Ieff

=
i 2 ( t) dt

=
i 2 sin2 ( ωt) dt

T

T

0

0

0

# 1

$1

#

$1

2

2
i 2

T
i 2

T

=

0
sin2 ( ωt) dt

=

0

1 t − 1 sin (2 ωt)

T

T

2

4 ω

0

0

1
i 2

2
i

=

0

1 T − 1 sin (2 ωT )

=

0

√ .

T

2

4 ω

2

336

8. Integralrechnung

Analog ergibt sich der Effektivwert einer Wechselspannung durch

# 1

$12

1

T

U

U

0
ef f =
u 2 ( t) dt

= √ .

T

0

2

8.6.6 Schwerpunkt einer ebenen Fl¨
ache

Abb. 8.10. Schwerpunktsberechnung einer ebenen Fläche

Sind ( x 1 , y 1) , ( x 2 , y 2) , . . . , ( xn, yn) die Koordinaten von n Massenpunkten mit den Massen m 1 , m 2 , . . . , mn, dann ergeben sich die Koordinaten des Schwerpunktes durch
n

n

mi xi
mi yi
x
i=1
i=1
s =
und
y

.

n

s =
n

mi
mi
i=1
i=1

Zur Berechnung des Schwerpunktes einer ebenen Fläche gehen wir davon aus,
dass die Fläche durch eine Kurve y = f ( x) und der x-Achse zwischen x = a
und x = b begrenzt sei (Abb. 8.10). Wir belegen die Fläche homogen mit
der Massendichte 1. Zur Berechnung des Schwerpunktes unterteilen wir das

Intervall [ a, b] in n Teilintervalle, a = x 0 < x 1 < . . . < xn = b, wählen für jedes Teilintervall Δ xi ein ˜
xi ∈ [ xi, xi + Δ xi] und bestimmen f (˜
xi) . Der

Schwerpunkt jedes der Rechtecke Ai = Δ xi f (˜
xi) ist

1

1
xs, i = xi +

Δ x
f (˜
x

2
i

,
ys, i = 2
i)

mit der Masse mi = Ai = A

A
i = Δ xi f (˜
xi) ( i = 1 . . . n) . Die Koordinaten des

Schwerpunktes, der so gewonnenen n Massen mit Koordinaten ( xs, 1 , ys, 1), . . . ,

8.6

Anwendungen der Integralrechnung

337

( xs, n, ys, n) , sind nach obigen Formeln gegeben durch
n

n

mi xs, i

Δ xi f (˜
xi) · xi + 1 Δ x

2
i
x
i=1
i=1
s =

=
n

n

mi

Δ xi f (˜
xi)

i=1
i=1
n

n

mi ys, i

Δ xi f (˜
xi) · 1 f (˜
x

2
i)

y
i=1
i=1
s =

=
n

n

mi

Δ xi f (˜
xi)

i=1
i=1

Für den Grenzübergang n → ∞ gehen die Zwischensummen in die zugehörigen

Integrale über.

Satz: Die Koordinaten des Schwerpunktes S = ( xs, ys) der Fläche
unter dem Graphen der Funktion y = f ( x) zwischen x = a und x = b
sind

1

1
b
b
x f ( x) dx

1
f 2 ( x) dx

2
x
a
a
s =

1
und
y

1

.

b
s =
b
f ( x) dx
f ( x) dx
a
a

Beispiele 8.32:

{

Die Schwerpunktskoordinaten des nebenstehen-
den Dreiecks unter der Geraden y = f ( x) = h x
a
sind gegeben durch

1
a

1
a
h

1 h
x 3

1 h
xs =
x
x dx =

=
a 2 ,

A
a

A a

3

A 3

0

0

1

a

1
a
h

2

1 h 2
x 3

1 h 2
ys =
x
dx =

=
a .

2 A
a

2 A a 2

3

2 A 3

0

0

Mit

1

1

a
a
a
h
h x 2

1

A =
f ( x) dx =
x dx =

= h a
a
a 2

2

0

0

0
folgt
xs = 2 a
und
y
h.

3
s = 1

3

338

8. Integralrechnung

|

Wir berechnen die Schwerpunktskoordinaten des nebenstehenden Halb-
kreises mit Radius R: Aus Symmetriegründen liegt der Schwerpunkt auf der
y-Achse, so dass
xs = 0 . Für die y-Koordinate des Schwerpunktes gilt

1 R
ys

=

1
y 2 dx

2 A

−R

1 R

=

1

R 2 − x 2 dx

2 A

−R

,

- R

=

1

R 2 x − 1 x 3

2 A

3

−R

=

1

4 R 3 .

2 A 3

4

Mit A = π R 2 folgt insgesamt
y

R.

2
s = 3 π

}

Die Koordinaten des Schwerpunktes der Fläche A, die durch zwei Funk-
tionen y 2 = f ( x) und y 1 = g ( x) mit f ≥ g sowie den Geraden x = a und x = b begrenzt ist, sind gegeben durch die Differenz der Einzelschwerpunkte:

1

1
b
xs =
x [ f ( x) − g ( x)] dx

A
a

1

1
b ,

-
ys =
f 2 ( x) − g 2 ( x) dx

2 A
a
mit

1 b

A =

[ f ( x) − g ( x)] dx.

a

MAPLE-Worksheets zu Kapitel 8

Die folgenden elektronischen Arbeitsblätter stehen für Kapitel 8 mit

Maple zur Verfügung.

Visualisierung des Integralbegriffs

Integration mit Maple

Integrationsmethoden mit Maple

Uneigentliche Integrale mit Maple

Anwendungen mit Maple: Bogenlänge und Krümmung

Anwendungen mit Maple: Mittelungseigenschaft

Anwendungen mit Maple: Rotationskörper

Maple-Lösungen zu den Aufgaben

8.7

Aufgaben zur Integralrechnung

339

8.7

8.7 Aufgaben zur Integralrechnung

√

8.1

Stellen Sie mit Maple zu der Funktion f ( x) =
x im Bereich x ∈ [0 , 2] die

Rechtssumme graphisch dar und berechne Sie diese für n = 10 , 50 , 100 .

8.2

Gesucht sind die folgenden unbestimmten Integrale:

1

1

1 √
a)

x 5 dx
b)

dx

3 z dz
x 2
c)

1

1

1

√
d)

dx

3

√
e)

2 x 2 − 5 x + 3 dx
f)

(1 − x) x dx
x 2

8.3

Bestimmen Sie die folgenden bestimmten Integrale:

1 π

1 3

1

2

2 π
a
a)

sin x dx
b)

(2 x + sin x − cos x) dx
c)

1 dx
x

0

1

2 π

1

8.4

Bestimmen Sie mit partieller Integration die folgenden unbestimmten Integrale:

1

1

1
a)

x cos x dx
b)

sin x cos x dx
c)

x 2 sin x dx

1

1

1
d)

x 2 ln x dx
e)

x ex dx
f)

x 2 ex dx

8.5

Man bestimme mittels Substitution die folgenden unbestimmten Integrale:

1

1

1
a)

1
x
x 2
x+2 dx
b)

x 2 − 1 dx
c)

1 − 2 x 3 dx

1

1

1
d)

(3 s + 4)8 ds
e)

sin ( ωt + ϕ) dt
f)

cos (3 t) dt

1

1

1
g)

e−x dx
h)

sin t
ex+ x ex
cos dt
i)

dx
t
x ex

1

1 √
j)

sin x cos x dx
k)

4 + 3 x dx

8.6

Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Gleichungen

1
a)

e−x (1 − x) dx = x e−x + C

1 √

√

b)

x 2 − 4 dx = x 2 − 4 − 2 arccos 2 + C
x
x

1
c)

cos ( x) e sin( x) dx = e sin( x) + C

1
d)

cos (3 x) · sin (3 x) dx = 16 sin2 (3 x) + C

1

√

8.7
a) Man löse das Integral

2 −x

√

1+
dx mit der Substitution u = 1 +
x.

x

1

√
b) Man löse das Integral
x

1 − x 2 dx mit der Substitution x = sin u .

8.8

Bestimmen Sie mit einer geeigneten Substitution die folgenden Integrale

1

1

1

1

√
a)

x 2

√
dx
b)

(5 x + 12) 2 dx
c)

3 1 − t dt

1+ x 3

1

1

1
π
d)

cos3 x · sin x dx
e)

arctan z

2 x+6

1+ z 2 dz
f)

x 2+6 x− 12 dx

1 0

1

1
g)

dx
h)

x · sin x 2 dx
i)

3 x 2 − 2
x ln x

2 x 3 − 4 x+2 dx

1 1

1 π

1

2

1
j)

t

√
dt
k)

sin 3 t − π

5+ x

4
dt
l)

5 − dx
x

−

1 1 1+ t 2

1 0

1 − 1 √ 4 −
m)

x 2 ex 3 − 2 dx
n)

tan( z+5)

x 2
cos2( z+5) dz
o)

x 2
dx

340

8. Integralrechnung

8.9

Man löse die folgenden Integrale durch partielle Integration (mit

1

1

1 Maple)

a)

x ln x dx
b)

x cos x dx
c)

ln t dt

1

1

1
d)

x sin (3 x) dx
e)

arctan x dx
f)

sin2 ( ωt) dt

1

1
g)

ex cos x dx
h)

x 2 e−x dx

8.10

Lösen Sie die folgenden Integrale durch Partialbruchzerlegung:

1

1

1
a)

1

4 x 3

3 z
x 2 −a 2 dx
b)

x 3+2 x 2 −x− 2 dx
c)

z 3+3 z 2 − 4 dz

1

1
d)

4 x− 2

2 x+1
dx
x 2 − 2 x− 63 dx
e)

x 3 − 6 x 2+9 x

8.11

Man löse die folgenden Integrale mit

1

1

Maple

1

√
a)

ln x dx
b)

cot x dx
c)

x cosh x dx
x

1

1

1
d)

sin x e cos x dx
e)

x 3
dx
f)

x− 4

( x 2 − 1) ( x+1)

x+1 dx

1

1

1
g)

(ln x)3 dx
h)

12 x 2
x · arctan x dx
x

2 x 3 − 1 dx
i)

1

√

8.12

Bestimmen Sie mit Maple
ln( x +

1 + x 2) dx, indem Sie zunächst die

Substitution u 2 = 1 + x 2 durchführen und anschließend partiell integrieren.

1

8.13

Berechnen Sie mit Maple das unbestimmte Integral

1

√ √ dx durch die

1+ x

√

Substitution u 2 = 1 +
x.

8.14

Führen Sie mit Maple eine Partialbruchzerlegung durch und integrieren Sie
ansc

1hließend

1

1
a)

x 4 −x 3 −x− 1
x 4 −x 3+3 x
x 4 −x 3+3 x 2 − 2 x+1
x 3 −x 2
dx
b)

x 2 ( x+2) ( x− 3) dx
c)

x 3 −x 2 −x+1

8.15

Man berechne für n, m ∈ IN die folgenden bestimmten Integrale. (Hinweis:

Man verwende die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus.)

1 2

1
π

2 π
a)

sin ( n x) dx
b)

cos ( n x) dx

0

0

1 2 π
c)

cos ( n x) cos ( m x) dx
für m = n und für m = n

0

1 2 π
d)

sin ( n x) sin ( m x) dx
für m = n und für m = n

0

1 2 π
e)

sin ( n x) cos ( m x) dx

0

8.16

Man bestimme den Wert der uneigentlichen Integrale

1 ∞

1 1

1 ∞

a)

x− 2 dx
b)

1

√
dx
c)

3 e− 2 x − e−x dx

1 2

1 0 1 −x 2

10

∞

∞

∞
d)

eate−stdt
e)

cos( at) e−stdt
e)

tn e−stdt

0

0

0

8.17

Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen der Parabel
f ( x) = x 2 − 2 x − 1 und der Geraden g ( x) = 3 x − 1 .

Kapitel 9

9

Funktionenreihen

9

Funktionenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

341

9.1

Zahlenreihen ........................................................ 344

9.1.1

Beispiele ............................................................. 346

9

9.1.2

Majorantenkriterium............................................... 350

9.1.3

Quotientenkriterium .............................................. 351

9.1.4

Leibnizkriterium. .................................................. 353

9.2

Potenzreihen ........................................................ 355

9.3

Taylor-Reihen ....................................................... 361

9.4

Anwendungen....................................................... 371

9.5

Komplexwertige Funktionen ..................................... 376

9.5.1

Komplexe Potenzreihen ........................................... 376

9.5.2

Die Eulersche Formel.............................................. 378

9.5.3

Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion .......... 379

9.5.4

Komplexe Hyperbelfunktionen .................................. 381

9.5.5

Differenziation und Integration .................................. 382

9.6

Aufgaben zu Funktionenreihen .................................. 385

Zus¨
atzliche Abschnitte auf der CD-Rom

9.7

MAPLE: Zahlen-, Potenz- und Taylor-Reihen .................

cd

9 Funktionenreihen

Die wichtigsten, in den Anwendungen auftretenden Funktionen lassen sich als Po-

tenzreihen der Form

∞
n=0 an ( x − x 0) n, den sog. Taylor-Reihen darstellen. Diese

√

Entwicklung liefert eine Möglichkeit, um Funktionen wie z.B. ex, sin x, tan x,
x, ln x
oder arctan x explizit zu berechnen, indem nur die Grundrechenoperationen + − ∗ /
angewendet werden. Darüber hinaus ist es für die Anwendungen wichtig, dass für
gegebene, gegebenenfalls komplizierte Funktionen Näherungsformeln zur Verfügung
stehen.

Anwendungsbeispiel 9.1 (Scheinwerferregulierung).

Bei der Einstellung von Scheinwerfern muss die Höhe des Abblendlichts laut

Gesetz über eine Entfernung von 10 m um eine vorgegebene Höhe Hopt = 0 . 1 m
abnehmen. Aus dieser Vorgabe ergibt sich für die Hell-Dunkel-Grenze eine

Zielneigung der Scheinwerfer durch βab = arctan Hopt ≈ 0 . 009999 3

=0 . 5729 ◦ .

10

Abb. 9.1. Geometrische Anordnung der beiden Messstrahlen

Da der aktuelle Neigungswinkel β der Scheinwerfer nicht direkt ermittelbar
ist, wird er optisch über die Messung zweier Distanzen d 1 und d 2 bestimmt.

Die beiden gemessenen Distanzen d 1 und d 2 ergeben sich in Abhängigkeit des
aktuellen Scheinwerferwinkels β durch

H

H
d

0

0

1 =

, d

,
sin( α

2 =

1 + β)

sin( α 2 + β)

wenn α 1 und α 2 die baubedingt, vorgegebenen Neigungswinkel sind. Geht man
zum Quotienten über, ergibt sich die Formel
d 1
sin( α

=

2 + β) = q( β) ,
d 2
sin( α 1 + β)

Um vom Quotienten der beiden Distanzwerte auf den aktuellen Neigungswin-
kel β der Scheinwerfer einfach schließen zu können, wird eine Näherungsfor-
mel von q( β) gesucht, die sich anschließend nach β auflösen lässt ( → Taylor-

Polynom 2. Ordnung).

344

9. Funktionenreihen

9.1

9.1 Zahlenreihen

Bevor wir allgemein auf Potenz- und Taylor-Reihen zu sprechen kommen, werden zunächst

Zahlenreihen und deren Konvergenzkriterien behandelt. Die Konvergenzkriterien benötigen
wir dann bei der Diskussion der Konvergenz der Taylor-Reihen.

Nach Kap. 6.1 bezeichnet man eine geordnete Menge reeller Zahlen

( an)

= a
n∈ IN

1 , a 2 , a 3 , . . . , an, . . .

als reelle Zahlenfolge. Eine Zahlenfolge heißt konvergent, wenn eine reelle Zahl
a ∈ IR existiert, so dass es zu jedem ε > 0 ein n 0 ∈ IN gibt mit

|an − a| < ε
für n ≥ n 0 .

Beispiele 9.2:

Folge
allgem. Glied

Konvergenz

( an) = 1 , 2 , 3 , 4 , . . .

a
n
n = n
nein

1

( an) = 1 , 1 , 1 , 1 , . . .

a
ja:

a
n

2

3

4
n = n
n → 0

⎧

⎪

⎪ für |q| < 1 :

a

⎨
n → 0
für |q| > 1 :

divergent

( an) = q 0 , q 1 , q 2 , q 3 , . . .

a
n
n = qn− 1

⎪

⎪

⎩ für q = 1 :

an → 1
für q = − 1 :

divergent

1

( an) = 1 , 1 , 1 , 1 , . . .

a
ja:

a
n

2!

3!

4!

n = n!

n → 0

( an) = − 1 , 1 , − 1 , 1 , . . .

a
ja:

a
n

2

3

4
n = ( − 1) n 1
n
n → 0

¨

Ubergang zu Reihen. Wir betrachten die Zahlenfolge

1

1

1

1

( an) = 1 , 1 ,

,

,

, . . . ,

, . . .

n

2! 3! 4!

( n − 1)!

mit dem allgemeinen Glied an =

1

. Aus den Gliedern dieser Folge bilden

( n− 1)!

wir sog. Teilsummen (= Partialsummen), indem wir jeweils die ersten Glieder
aufsummieren:

S 1 = 1

= 1

S 2 = 1 + 1

= 2

S 3 = 1 + 1 + 1

= 2 , 5

2!

S 4 = 1 + 1 + 1 + 1

= 2 , 66666

2!

3!

S 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

= 2 , 70833

2!

3!

4!

S 6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

= 2 , 71666

2!

3!

4!

5!

S 7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

= 2 , 71804

2!

3!

4!

5!

6!

S 8 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

= 2 , 71823

2!

3!

4!

5!

6!

7!

9.1

Zahlenreihen

345

Wir fassen die Partialsummen zu einer Folge ( Sn)

zusammen. Diese Folge
n∈ IN
genügt dem Bildungsgesetz
n

1

1

1

1

Sn = 1 + 1 +

+

+ . . . +

=

.

2!

3!

( n − 1)!

( k − 1)!

k=1

( Sn) bezeichnet man als Reihe.

n

Definition: (Reihen). Sei ( ak)

eine Zahlenfolge. Dann heißt
k∈ IN
n

Sn = a 1 + a 2 + a 3 + . . . + an =
ak
k=1
eine Partialsumme und die Folge der Partialsummen ( Sn)

heißt
n∈ IN
unendliche Reihe (kurz: Reihe ):

#

$
n

( Sn)

=
a

= ( a

.

n∈ IN
k

1 + a 2 + . . . + an) n∈ IN
k=1
n∈ IN

Bemerkungen:

(1) Oftmals beginnt die Summation einer Reihe bei k = 0 .

(2) Der Name des Summationsindex kann beliebig gewählt werden:

∞

∞

ak =
ai .

k=0
i=0

Beispiele 9.3:

allgem. Folgenglied

Partialsumme

a
n
n = n
k = 1 + 2 + 3 + . . . + n
k=1

1

a
n

1
n =

= 1 + 1 + 1 + . . . + 1
n
k=1 k

2

3
n

a
n
n = qn
qk = 1 + q + q 2 + . . . + qn
k=0

1

a
n

1
n =

= 1 + 1 + 1 + . . . + 1
n!

k=0 k!

2!

n!

a
n
n = ( − 1) n 1

( − 1) k 1 = − 1 + 1 − 1 ± . . . ( − 1) n 1
n
k=1
k

2

3
n

Eine Reihe ist also die Folge der Partialsummen (
n
a

. Es stellt sich
k=1
k ) n∈ IN
die Frage, ob diese Folgen konvergieren, d.h. ob

∞

lim Sn =
ak
n→∞
k=1
einen endlichen Wert besitzt.

346

9. Funktionenreihen

Definition:

(1) Eine Reihe (
n
a
heißt konvergent, wenn die Folge der Par-
k=1
k ) n∈ IN

tialsummen S
n
n :=
a
k=1
k eine konvergente Folge ist. Liegt Konver-
genz vor, so bezeichnet man den Grenzwert
n

∞

lim Sn = lim
ak =
ak
n→∞
n→∞ k=1
k=1
als Summe der unendlichen Reihe.

(2) Eine Reihe (
n
a
heißt divergent, wenn sie keinen Grenz-
k=1
k ) n∈ IN
wert besitzt.

(3) Eine Reihe (
n
a
heißt absolut konvergent, wenn die Par-
k=1
k ) n∈ IN

tialsumme der Betr
n

¨
age

Sn :=

|a
k=1
k |
konvergiert.

Bemerkungen:

(1) Eine konvergente Reihe besitzt stets einen endlichen, eindeutig bestimmten

Summenwert.

(2) Eine absolut konvergente Reihe ist stets konvergent. Die Umkehrung gilt
allerdings nicht ( → Beispiel 9.14)!

(3) Eine Reihe heißt bestimmt divergent, wenn

∞ a
k=1
k entweder + ∞ oder

−∞ ist.

(4) Die Auswertung der Partialsumme als geschlossener Ausdruck ist in man-
chen, seltenen Fällen möglich. Dann ist der Summenwert berechenbar. I.a.

jedoch ist der Grenzwert unbekannt und man muss Konvergenzkriterien
anwenden, um die Konvergenz der Reihe zu zeigen.

Wir behandeln zunächst Reihen, bei denen sich die Partialsummen auswerten
lassen und lernen dann wichtige Konvergenzkriterien kennen.

9.1.1 Beispiele

Beispiel 9.4. Die geometrische Reihe

∞
qk = 1 + q + q 2 + ... + qk + ...

k=0
konvergiert für |q| < 1 und divergiert für |q| ≥ 1.

9.1

Zahlenreihen

347

Denn nach Kap. 1.2.3 gilt für die endliche geometrische Reihe:

n

1 − qn+1

Sn =
qk =
für q = 1 .

1 − q
k=0

Für |q| < 1 ist lim qn+1 = 0 und die Folge der Partialsummen hat den
n→∞

Grenzwert

1 − qn+1

1

S = lim Sn = lim

=

.

n→∞
n→∞

1 − q

1 − q

Folglich ist

∞

1
qk =
für |q| < 1 .

1 − q
k=0

F
n
ür |q| > 1 divergiert qn+1 und damit Sn. Für q = 1 ist Sn =

1 =
k=0
n + 1 , also divergent. Für q = − 1 ist die Reihe ebenfalls divergent, wie das
nachfolgende Beispiel zeigt.

Beispiel 9.5. Die Reihe

∞

( − 1) n
n=0
ist divergent. Denn die Folge der Partialsummen ist

S 0 = 1 ,

S 1 = 1 − 1 = 0 ,

S 2 = 1 − 1 + 1 = 1 ,

S 3 = 1 − 1 + 1 − 1 = 0 ,

S 4 = 1 ,

S 5 = 0 ,

S 6 = 1 ,

S 7 = 0 , . . .

usw.

Damit besitzt die Folge ( S

∞
n) keinen Grenzwert und die Reihe

( − 1) n ist
n=0
divergent. Dieses Beispiel zeigt auch, dass eine divergente Reihe nicht notwen-
digerweise gegen + ∞ oder −∞ gehen muss.

Beispiel 9.6. Die arithmetische Reihe

∞
k = 1 + 2 + 3 + ... + n + ...

k=1
ist divergent. Durch vollständige Induktion wurde in Beispiel 1.3 gezeigt, dass
n

n ( n + 1)

Sn =
k = 1 + 2 + 3 + . . . + n =

.

2
k=1

348

9. Funktionenreihen

Folglich ist der Grenzwert

1

S = lim Sn = lim
n ( n + 1) = ∞ .

n→∞
n→∞ 2

Die arithmetische Reihe ist damit bestimmt divergent.

Beispiel 9.7. Die Reihe

∞

1

1

1

1

1

=

+

+

+ . . . +

+ . . .

k ( k + 1)

1 · 2

2 · 3

3 · 4
k ( k + 1)

k=1
ist konvergent. Wie man leicht mit vollständiger Induktion beweist, gilt für die

Partialsumme
n

1

1

1

1
n

Sn =

=

+

+ . . . +

=

.

k ( k + 1)

1 · 2

2 · 3
n ( n + 1)

n + 1
k=1

Folglich ist

∞
n

1
lim Sn = lim

= 1 ⇒

= 1 .

n→∞
n→∞ n + 1
k ( k + 1)

k=1

! Beispiel 9.8. Die harmonische Reihe

∞

1

1

1

1

1

= 1 +

+

+

+ . . . +

+ . . .

n

2

3

4
n
n=1
ist divergent: Wir vergleichen die harmonische Reihe mit einer Vergleichs-
reihe, deren Folgenglieder kleiner als die der harmonischen Reihe sind; die

Vergleichsreihe aber schon divergiert.

Harmonische Reihe:

⎛

⎞ ⎛

⎞

⎛

⎞

1

1

1

1

1

1

1+

+ ⎝ 1 +

⎠ + ⎝1 + + + ⎠ + . . . + ⎝ 1

+ . . . +

⎠ + . . .

2

3

4

5

6

7

8

2 n + 1

2 n+1

↑

↑

↑

↑

Die Klammerung erfolgt dabei so, dass jeweils die Summanden

1

1

+ . . . +

2 n + 1

2 n+1
zusammengefasst werden. Wir ersetzen alle Terme einer Klammer durch den
mit Pfeil gekennzeichneten Wert

1

2 n+1 . Dadurch verkleinern wir den Wert der

Summe und erhalten die Vergleichsreihe

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1 +

+

+

+

+

+

+

+

+ . . . +

+ . . .

2

4

4

8

8

8

8

16

16

9.1

Zahlenreihen

349

Für diese Reihe ist
n

1

1

= n

→ ∞
für
n → ∞.

2

2
i=1

Da die Vergleichsreihe gegen ∞ divergiert, muss die harmonische Reihe, deren

Glieder größer als die der Vergleichsreihe sind, ebenfalls divergieren.

Bei diesen Überlegungen geht implizit das sog. Minorantenkriterium ein. Es
besagt, dass eine Reihe divergiert, wenn eine divergente Vergleichsreihe (Mi-
norante) existiert, deren Reihenglieder kleiner sind als die der ursprünglichen

Reihe:

Minorantenkriterium: Ist 0 < ai ≤ bi ab einem m ∈ IN, dann gilt

∞

∞

ai divergent

⇒
bi divergent.

i=1
i=1

Folgerungen aus der Divergenz der harmonischen Reihe:

(1)

!

lim a

∞
n = 0 genügt nicht, um die Konvergenz der Reihe
ak
n→∞
k=1
sicherzustellen.

(2) Ist a

∞
n konvergent mit
lim an = 0 , dann ist die Reihe
ak diver-
n→∞
k=1
gent.

(3) Ist

∞ a
a
k=1
k konvergent

⇒
lim
n = 0 .

n→∞

! Achtung: Eine numerische Berechnung einer Reihe reicht nicht aus, um
die Konvergenz zu prüfen, bzw. im Falle der Konvergenz den Summenwert zu

bestimmen!: Die harmonische Reihe

∞

1 ist numerisch immer konvergent,
n=1 n
was im Widerspruch zu Beispiel 9.8 steht. Dieser Trugschluss rührt daher, dass
numerisch nur mit einer endlichen Genauigkeit gerechnet wird. Daher ist ab
einem gewissen N numerisch

N

N

1

1

1

+

=

(numerisch!),
i

N + 1
i
i=1
i=1
da dann

1
nicht mehr zum Summenwert beiträgt. Ab diesem N ändert die

N +1

Reihe numerisch ihren Wert nicht mehr.

350

9. Funktionenreihen

Beispiel 9.9 (Mit Maple-Worksheet). Um diesen Effekt zu verdeutlichen,
berechnen wir die harmonische Reihe mit einer Rechengenauigkeit von 5 Stel-
len. Wir erhalten die folgenden Ergebnisse in Abhängigkeit von N

N

10

100

1000

10000

15000

20000

30000
summe

2 . 9290

5 . 1873

7 . 4847

9 . 7509

10 . 000

10 . 000

10 . 000

Etwa ab N = 15000 ändert sich der Summenwert nicht mehr, obwohl die

Reihe divergiert! Ändert man die Reihenfolge der Summation, kann nahezu
jeder Wert größer 10 als Summenwert erhalten werden.

Da in den wenigsten Fällen die Partialsumme als geschlossener Ausdruck vor-
liegt, werden Kriterien benötigt, um zu entscheiden, ob Reihen konvergieren
oder nicht. Dies führt zu den sog. Konvergenzkriterien. Wir geben nur die drei
wichtigsten an.

9.1.2 Majorantenkriterium

Ein sehr anschauliches Kriterium ist das Majorantenkriterium, welches besagt,
dass eine Reihe konvergiert, wenn eine betragsmäßig größere Reihe schon kon-
vergiert.

Majorantenkriterium:

∞

∞

Ist |ai| ≤ Ai und

Ai konvergent

⇒
ai konvergent.

i=1
i=1

Man bezeichnet

∞ A
i=1
i dann als Majorante.

∞ 1

Beispiel 9.10. Für p ≥ 2 konvergiert die Reihe

:

n=1 np

Die konvergente Majorante ist die in Beispiel 9.7 diskutierte Reihe:

∞

1

= 1 .

k ( k + 1)

k=1

Denn für p ≥ 2 gilt

1 ≤ 1 ≤

2

.

kp
k 2
k ( k + 1)

Daher ist

N

N

∞

1

≤

2

≤

1

2

= 2
kp
k ( k + 1)

k ( k + 1)

k=1
k=1
k=1

und

∞

1
ist konvergent mit einem Summenwert ≤ 2 .

k=1 kp

9.1

Zahlenreihen

351

Es gilt allgemeiner der folgende Satz:

Satz: Die Reihe

∞

1
np
n=1
ist konvergent für p > 1 und divergent für p ≤ 1 .

Beispiele 9.11:

∞

∞

 Die Reihe

1

√ =

11 ist divergent, da p = 1 < 1.

n=1
n
n=1

2
n 2

∞

∞

 Die Reihe
n

√

=

13 ist konvergent, da p = 3 > 1.

n=1
n 5
n=1

2
n 2

∞

∞

 Die Reihe
sin( n)

√
ist konvergent: Wegen sin( n)

√

≤ 1

1

3 stellt

3
n=1
n 3
n 3
n 2
n=1 n 2
eine konvergente Majorante dar.

9.1.3 Quotientenkriterium

Für die Anwendung bei Potenzreihen zeigt sich das folgende Quotientenkrite-
rium als außerordentlich erfolgreich.

∞

Quotientenkriterium: Die Reihe
a
n=1
n ist konvergent, falls es ein

N ∈ IN und eine Zahl q < 1 gibt mit

a

n+1

a

≤ q < 1
für alle n ≥ N.

n

Begr¨
undung: Weil es auf endlich viele Glieder nicht ankommt, sei angenom-
men, dass |an+1 | ≤ q |an| für alle n. Dann folgt induktiv

|an| ≤ q |an− 1 | ≤ q 2 |an− 2 | ≤ q 3 |an− 3 | ≤ . . . ≤ qn |a 0 | .

Da q < 1 gilt unter Verwendung der geometrischen Reihe aus Beispiel 9.4

∞

∞

∞

an ≤

|an| ≤ |a 0 |
qn = |a 0 |

1

.

1 − q
n=0
n=0
n=0

352

9. Funktionenreihen

Bemerkungen:

(1) Da die geometrische Reihe für |q| > 1 divergiert, erhält man analog zu der

Argumentation des vorherigen Beweises die Aussage:

Gibt es ein N ∈ IN , so dass an+1 > 1 für alle n ≥ N, dann divergiert die
an

Reihe

∞
a
n=1
n.

(2) Für die Anwendungen bei den Potenz- und Taylor-Reihen ist es oft einfa-
cher, die Limesform des Quotientenkriteriums zu verwenden. Hierbei be-

rechnet man lim an+1 . Es gilt dann äquivalent zum Quotientenkriteri-
n→∞
an
um:

Limesform des Quotientenkriteriums:

∞
a

Ist
lim n+1

< 1 ⇒
an
konvergent.

n→∞
an
n=1

∞
a

Ist
lim n+1

> 1 ⇒
an
divergent.

n→∞
an
n=1

a

F
n+1
ür
lim

= 1 ist keine Aussage über die Konvergenz möglich.

n→∞
an

Beispiele 9.12:

 Die Reihe

∞
n 2

2 n
n=1
ist konvergent. Dies folgt aus der Limesform des Quotientenkriteriums, da

2
a

n+1

( n + 1)2
n 2

2 n ( n + 1)2

1

1
n→∞

/

=

1 +

−→ 1 < 1 .

a

=

=
n

2 n+1

2 n

2 n+1 n 2

2
n

2

 Die Reihe

∞

1 xn
n!

n=0
ist für jedes x ∈ IR konvergent. Dies folgt aus der Limesform des Quotien-
tenkriteriums, da

a

n+1
xn+1

|x| n→∞

· n!

−→ 0 < 1 .

a

=

=
n

( n + 1)!

xn
n + 1

9.1

Zahlenreihen

353

Bemerkungen zum Quotientenkriterium

(1)

! Achtung: Im Falle lim an+1 = 1 ist keine Aussage möglich:

n→∞
an

F

∞
ür a

1
n = 1 erhalten wir die harmonische Reihe

. Hier ist
n
n=1 n

a

n+1
n
n→∞

−→ 1 .

a

=
n
n + 1

F

∞
ür a

1
n =

1
n 2 erhalten wir die Reihe
n=1 n 2 . Auch hier gilt

a

n+1
n 2
n→∞

−→ 1 .

a

=
n

( n + 1)2

Für beide Fälle liefert die Limesform des Quotientenkriteriums als Wert

1. Nach Beispiel 9.8 divergiert die erste und nach Beispiel 9.10 konvergiert
die zweite Reihe. Damit kann das Quotientenkriterium in solchen Fällen
nicht angewendet werden!

(2) Das Quotientenkriterium ist also nur eine hinreichende, aber keine not-
wendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe.

(3) Man beachte, dass das Konvergenzkriterium nur Aufschluss darüber gibt,
ob eine Reihe konvergiert oder nicht; es liefert keinen Anhaltspunkt über

den Summenwert. Insbesondere stimmt lim an+1 nicht mit dem Wert
n→∞
an
der Reihe überein!

Die Maple-Prozedur quotkrit wendet auf eine gegebene Reihe mit

Reihengliedern a( n) das Quotientenkriterium in der Limesform an.

9.1.4 Leibniz-Kriterium

Für alternierende Reihen, Reihen deren Glieder abwechselnd positiv und ne-
gativ sind, existiert ein von Leibniz (1646 - 1716) stammendes Kriterium. Al-

ternierende Reihen haben die Form

∞

( − 1) n+1 a
n=1
n = a 1 − a 2 + a 3 − a 4 ± . . .

mit an > 0 . Das Vorzeichen ( − 1) n+1 wechselt dabei ständig.

Leibniz-Kriterium: Eine alternierende Reihe

∞

( − 1) n+1 an = a 1 −a 2 + a 3 −a 4 ±...

n=1
ist konvergent, falls a 1 > a 2 > a 3 > a 4 > . . . > 0 und lim an = 0 .

n→∞

Eine alternierende Reihe konvergiert also, wenn die Betr¨
age der

Glieder eine streng monoton fallende Nullfolge bilden.

354

9. Funktionenreihen

∞

Beispiel 9.13.

( − 1) n+1 1 ist konvergent. Die Glieder der Reihe sind
n=1
n!

alternierend und die Beträge der Glieder

1

1

1

1

1

>

>

> . . . >

>

> . . . > 0

1!

2!

3!

n!

( n + 1)!

bilden eine streng monoton fallende Nullfolge. Nach dem Leibniz-Kriterium
konvergiert die Reihe.

Beispiel 9.14. Die alternierende harmonische Reihe

∞

( − 1) n+1 1 = 1 − 1 + 1 − 1 ±...

n

2

3

4
n=1
ist konvergent. Die Glieder der Reihe sind alternierend und deren Beträge

1

1

1

1

1 >

>

> . . . >

>

> . . . > 0

2

3
n
n + 1
bilden eine streng monoton fallende Nullfolge. Nach dem Leibniz-Kriterium
konvergiert die Reihe.

∞

Beispiel 9.15.

( − 1) n+1 divergiert nach Beispiel 9.5. Das Leibniz-Kriterium
n=1
ist nicht anwendbar, da |an| = 1 keine Nullfolge ist.

Bemerkungen:

(1) Absolut konvergente Reihen sind auch konvergent im gewöhnlichen Sinne.

Die Umkehrung gilt aber nicht!: Die alternierende harmonische Reihe ist
konvergent ( → Beispiel 9.14) aber nicht absolut konvergent, da die harmo-

nische Reihe

∞

( − 1) n+1 1 =

∞

1 nach Beispiel 9.8 divergiert.

n=1
n
n=1 n

(2) Bei der Anwendung des Leibniz-Kriteriums genügt es nicht, nur die Ei-
genschaft ”alternierend” nachzuprüfen! Selbst wenn die Reihenglieder al-
ternierendes Vorzeichen besitzen und eine Nullfolge bilden, folgt nicht die

Konvergenz, wie die Reihe

0

+

∞

1

( − 1) k

( − 1) k

√

+
k + 1
k + 1
k=1
zeigt. Die Reihenglieder sind alternierend, bilden aber keine betragsmäßig
monoton fallende Nullfolge.

9.2

Potenzreihen

355

9.2

9.2 Potenzreihen

Dieser Abschnitt stellt den Übergang von den Zahlenreihen zu den Taylor-Reihen dar. Die

Konvergenzkriterien der Zahlenreihen werden übertragen auf Potenzreihen, um den Defini-
tionsbereich der Potenzreihen zu bestimmen.

Sind die Summanden in einer Reihe selbst Funktionen einer Variablen x, so

stellt der Ausdruck

∞
a
n=0
n ( x) eine Funktion dar, eine sog. Funktionenrei-
he. Ein wichtiger Spezialfall solcher Funktionenreihen sind die Potenzreihen.

Definition: Eine Funktion der Form

∞
anxn = a 0 + a 1 x + ... + anxn + ...

n=0
heißt Potenzreihe. Der Definitionsbereich einer Potenzreihe besteht aus

allen reellen Zahlen x, f

∞

¨
ur die
a
n= 0
n xn konvergiert. Man nennt daher
die Menge

0

+

∞

K :=
x ∈ IR :

an xn
konvergent
n=0
den Konvergenzbereich der Potenzreihe.

Bemerkungen:

(1) Man bezeichnet a 0 , a 1 , a 2 , . . . , an, . . . als die Koeffizienten der Potenzrei-he.

(2) Für jedes feste x ist eine Potenzreihe eine Zahlenreihe.

(3) Eine etwas allgemeinere Darstellung von Potenzreihen erhält man durch

Ausdrücke der Form

∞
an ( x −x 0) n = a 0 + a 1 ( x−x 0)+ ... + an ( x−x 0) n + ... .

n=0

Man bezeichnet dann die Stelle x 0 als den Entwicklungspunkt der Reihe.

∞

Beispiel 9.16.

n xn = 1 x + 2 x 2 + 3 x 3 + . . . + n xn + . . . .

n=0

∞

Beispiel 9.17.

1 xn = 1 + x + 1 x 2 + 1 x 3 + . . . + 1 xn + . . . .

n=0 n!

2!

3!

n!

356

9. Funktionenreihen

Beispiel 9.18. f sei im Punkte x 0 ∈ ID beliebig oft differenzierbar. Dann ist

∞

1 f( n) ( x
n!

0) ( x − x 0) n
n=0
eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x 0 und den Koeffizienten

1
an =
f ( n) ( x
n!

0) .

Eine solche Reihe bezeichnet man als Taylor-Reihe der Funktion f am Ent-
wicklungspunkt x 0 ( → § 9.3).

Beispiel 9.19 (Geometrische Potenzreihe): Nach Beispiel 9.4 ist die Po-
tenzreihe

∞

1
xn = 1 + x + x 2 + . . . + xn + . . . = 1 − x
n=0
für |x| < 1 konvergent und für |x| ≥ 1 divergent. Der Konvergenzbereich
ist daher K = ( − 1 , 1) .

Beispiel 9.20. Wir berechnen den Konvergenzbereich der Potenzreihe

∞

1 xn = x + 1 x 2 + 1 x 3 + ... + 1 xn + ... .

n

2

3
n
n=1

Dazu wenden wir für ein beliebiges aber festes x ∈ IR das Quotientenkriterium
mit bn = 1 xn an:

n

b

n+1
xn+1
xn
xn+1 n
n

/

|x| n→∞

−→ |x| .

b

=

=

=
n
n + 1
n
n + 1 xn
n + 1

Damit konvergiert die Reihe für |x| < 1 und divergiert für |x| > 1 . Für |x| = 1
müssen getrennte Untersuchungen durchgeführt werden, indem die jeweiligen

Werte in die Reihe eingesetzt werden:

Für x = 1 ist

∞

∞

∞

1

1

1
xn =

1 n =
n
n
n
n=1
n=1
n=1
die harmonische Reihe, also nach Beispiel 9.8 divergent.

Für x = − 1 ist

∞

∞

1

1
xn =

( − 1) n .

n
n
n=1
n=1

Die alternierende harmonische Reihe ist nach Beispiel 9.14 konvergent. Damit
ist der Konvergenzbereich K = [ − 1 , 1) .

9.2

Potenzreihen

357

Konvergenzverhalten von Potenzreihen

Man kann f

∞
ür beliebige Potenzreihen
a
n=0
n xn das Konvergenzverhalten
charakterisieren. Grundlage hierfür ist der folgende Satz.

Satz ¨
uber das Konvergenzverhalten von Potenzreihen: Jede Po-
tenzreihe

∞
anxn = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + anxn + ...

n=0
besitzt einen eindeutig bestimmten Konvergenzradius ρ

(0 ≤ ρ ≤ ∞)

mit den Eigenschaften:

(1) Die Reihe konvergiert für alle x mit |x| < ρ.

(2) Die Reihe divergiert für alle x mit |x| > ρ.

(3) Für |x| = ρ ist keine allgemeine Aussage möglich.

Begr¨
undung: Zur Bestimmung von ρ wenden wir das Quotientenkriterium

auf die Reihe

∞
b
n= 0
n mit bn = an xn an:

b

n+1
an+1 xn+1
an+1
an+1

b

=

=

|x| n→∞

−→ lim

· |x| .

n
an xn
an
n→∞
an

Nach der Limesform des Quotientenkriteriums konvergiert die Reihe für

a

1
a
lim n+1
n

· |x| < 1 → |x| <

= lim

n→∞
a

n
lim an+1
n→∞
an+1
n→∞
an
und sie divergiert für

|

1
a
x| >

n

= lim

.

lim an+1
n→∞
an+1
n→∞
an

Setzen wir ρ := lim an , so sind die Aussagen des Satzes nachgeprüft und
n→∞
an+1
wir haben den Konvergenzradius berechnet.

Satz: (Konvergenzradius)

Der Konvergenzradius ρ einer Potenzreihe

∞
a
n=0
n xn ist gegeben durch

a

ρ = lim
n

.

n→∞
an+1

358

9. Funktionenreihen

Bemerkungen:

(1) Der Sonderfall ρ = ∞ ist möglich, denn dann ist |x| < ρ immer erfüllt und
der Konvergenzbereich ist K = IR .

(2) Es gibt Potenzreihen mit ρ = 0 . Diese Reihen konvergieren für kein x ∈ IR.

(3) Für |x| = ρ, d.h. x = ± ρ, kann keine allgemeingültige Aussage getroffen
werden. An diesen Randstellen müssen getrennte Untersuchungen durch-
geführt werden.

(4) Es ist keine Aussage möglich, falls lim an nicht existiert.

n→∞
an+1

(5)

! Achtung: Beim Quotientenkriterium wird das Verhältnis an+1 ge-
an
bildet, während für die Berechnung des Konvergenzradius das Verhältnis

a
n
bestimmt wird!

an+1

(6) Eine Potenzreihe

∞
a
n=0
n xn konvergiert stets innerhalb des zum Null-
punkt symmetrischen Intervalls |x| < ρ und divergiert außerhalb. Abb. 9.2
zeigt die graphische Darstellung des Konvergenzbereichs.

Abb. 9.2. Konvergenzbereich einer Potenzreihe

Beispiel 9.21. Die Reihe

∞

1

1

1
xn = 1 + x +
x 2 + . . . +
xn + . . .

n!

2!

n!

n=0
konvergiert für alle x ∈ IR . Denn der Konvergenzradius ist

a

1

( n + 1)!

ρ = lim
n

= lim n!

= lim ( n + 1) = ∞.

n→∞
a

1 = lim
n+1
n→∞
n→∞
n!

n→∞

( n+1)!

Beispiel 9.22. Die Reihe

∞

( − 1) n

1
x 2 n+1 = x − 1 x 3 +
x 5 − 1 x 7 ± . . .

(2 n + 1)!

3!

5!

7!

n=0
konvergiert für alle x ∈ IR . Denn mit an = ( − 1) n folgt

(2 n+1)!

a
n

( − 1) n (2 n + 3)!

(2 n + 3)!

= (2 n + 2) (2 n + 3)

a

=

=
n+1

(2 n + 1)! ( − 1) n+1

(2 n + 1)!

⇒
a
ρ = lim
n

= ∞ ⇒ K = IR .

n→∞
an+1

9.2

Potenzreihen

359

Beispiel 9.23. Wir untersuchen die Potenzreihe

∞

( − 1) n+1 ( x − 1) n
n
n=1
auf ihre Konvergenzeigenschaften. Dazu wenden wir das Quotientenkriterium
auf die Reihe mit den Summanden bn = ( − 1) n+1 ( x − 1) n an:

n
bn+1

( − 1) n+2

1
n

=

( x − 1) n+1 ·
n

( − 1) ( x − 1)

bn
n + 1

( − 1) n+1 ( x − 1) n = n + 1

b

n

→
lim n+1

= lim

|x − 1 | = |x − 1 | .

n→∞
bn
n→∞ n + 1

Somit konvergiert die Reihe für |x − 1 | < 1 und divergiert für |x − 1 | > 1.

Für den Fall |x − 1 | = 1 werden getrennte Untersuchungen durchgeführt. Aus

|x − 1 | = 1 folgt entweder x − 1 = 1 → x = 2 oder x − 1 = − 1 → x = 0 .

Für x = 2 ist

∞

∞

( − 1) n+1

( − 1) n+1

(2 − 1) n =
n
n
n=1
n=1
die alternierende harmonische Reihe und damit konvergent.

Für x = 0 ist

∞

∞

∞

( − 1) n+1

( − 1) n+1 ( − 1) n

1

(0 − 1) n =

= −
n
n
n
n=1
n=1
n=1
die harmonische Reihe und damit divergent.

⇒ K = (0 , 2] .

∞

Bemerkung: Bei Potenzreihen der Form
a
n=0
n ( x − x 0) n
wird der

Konvergenzradius ebenfalls berechnet durch die Formel

a

ρ = lim
n

.

n→∞
an+1

(1) Die Reihe konvergiert für |x − x 0 | < ρ.

(2) Die Reihe divergiert für |x − x 0 | > ρ.

(3) Für |x − x 0 | = ρ

( → x = ± ρ + x 0) kann keine allgemeingültige

Aussage getroffen werden.

Der Konvergenzradius wird in Maple mit der Prozedur konv radi-
us bestimmt. Der Konvergenzbereich einer Potenzreihe kann aber
auch graphisch visualisiert werden, indem man die Potenzreihe mit wachsender

Ordnung in Form einer Animation darstellt.

360

9. Funktionenreihen

Beispiele 9.24 (Mit Maple-Worksheet):

 Der Konvergenzradius der Potenzreihe

∞

1 xi ist ρ = 4. Der Konver-
i=1 4 i
genzbereich ist das offene Intervall ( − 4 , 4).

 Von der Potenzreihe

∞ ( − 1) i 1( x − 1) i ist der Konvergenzradius ρ = 1.

i=1
i

Der Konvergenzbereich ist das halb offene Intervall (0 , 2].

Dargestellt wird in der Maple-Animation jeweils nur die Partialsumme bis
n = 25 bzw. n = 26.

Partialsumme

25

1 xi

Partialsumme

26

( x − 1) i
i=1 4 i
i=1( − 1) i 1
i

Man erkennt in der Animation, dass sich im Innern des Konvergenzbe-
reichs die Reihen stabilisieren, außerhalb gehen sie gegen Unendlich.

Bei der ersten Reihe entnimmt man den Konvergenzbereich zwischen − 4 und

4, während er bei der zweiten Reihe von 0 bis 2 geht.

Zum Abschluss dieses Abschnitts fassen wir noch einige wichtige Eigenschaften
von Potenzreihen zusammen.

Wichtige Eigenschaften von Potenzreihen:

(1) Eine Potenzreihe konvergiert innerhalb ihres Konvergenzbereichs ab-
solut.

(2) Eine Potenzreihe darf innerhalb ihres Konvergenzbereichs differenziert
und integriert werden. Die so erhaltenen Potenzreihen besitzen den
gleichen Konvergenzradius wie die ursprüngliche Reihe.

(3) Zwei Potenzreihen dürfen im gemeinsamen Konvergenzbereich der

Reihen gliedweise addiert und multipliziert werden.

9.3

Taylor-Reihen

361

9.3

9.3 Taylor-Reihen

Wir kommen nun zum zentralen Thema dieses Kapitels: die Taylor-Reihen. Die

Aussage des Taylorschen Satzes ist, dass sich fast jede elementare Funktion in
der Umgebung eines Punktes x 0 durch Polynome beliebig genau annähern
lässt. Es zeigt sich sogar, dass diese Funktionen sich durch eine Potenzreihe
der Form

∞
an ( x −x 0) n
n=0
darstellen lassen. Neben der Bestimmung der Koeffizienten an werden wir In-
formation darüber gewinnen, welcher Fehler maximal auftritt, wenn diese Rei-
he nach endlich vielen Summationsgliedern abgebrochen wird. Damit erhalten
wir zum einen eine Methode, die elementaren Funktionen

√
ex, sin x,
x, ln x
usw.

mit beliebiger Genauigkeit zu berechnen, zum anderen Näherungsformeln für
diese Funktionen.

Beispiel 9.25 (Einf¨
uhrung): Nach Beispiel 9.19 gilt für die geometrische

Potenzreihe

∞

1

1 + x + x 2 + . . . + xn + . . . =
xn = 1 − x
n=0

f

∞
ür |x| < 1 . D.h. die Potenzreihe
xn stimmt mit der Funktion

1
für
n= 0

1 −x
alle x ∈ ( − 1 , 1) überein. Außerhalb dieses offenen Intervalls ist zwar 1 noch

1 −x
definiert ( x = 1) , aber nicht mehr die Potenzreihe. Wir leiten eine Formel
heuristisch her, die es uns erlaubt, für elementare Funktionen die zugehörige

Potenzreihe aufzustellen.

Herleitung der Taylor-Polynome. Gegeben sei eine Funktion f ( x), siehe

Abb. 9.3. Gesucht ist eine Näherung der Funktion in der Umgebung des Punk-
tes x 0 ∈ ID . Die Funktion f sei in dieser Umgebung mehrmals differenzierbar.

Abb. 9.3. Funktion f und Näherungen in der Umgebung von x 0

362

9. Funktionenreihen

(0.) Die ”nullte” Näherung p 0 an die Funktion erhält man, wenn die konstante

Funktion
p 0 ( x) = f ( x 0)

gewählt wird. Die Funktion p 0 hat mit f nur den Funktionswert an der

Stelle x 0 gemeinsam.

(1.) Die lineare Näherung p 1 an die Funktion erhält man, wenn man die Tan-
gente in x 0 wählt:

p 1 ( x) = f ( x 0) + f ( x 0) ( x − x 0) .

Die Tangente hat mit der Funktion sowohl den Funktionswert, als auch
die Ableitung an der Stelle x 0 gemeinsam.

(2.) Gesucht ist eine quadratische Funktion p 2, die im Punkte x 0 zusätzlich
die gleiche Krümmung wie f aufweist:

Ansatz:

p 2 ( x) = f ( x 0) + f ( x 0) ( x − x 0) + c ( x − x 0)2 .

!

Bedingung:

p ( x

= f ( x

2

0)

0) .

Wegen
p ( x) = 1 · 2 · c, folgt p ( x

2

2

0) = 1 · 2 · c = f ( x 0)

⇒

1
c =
f ( x

2!

0)

⇒
f ( x
p

0)

2 ( x) = f ( x 0) + f ( x 0) ( x − x 0) +

( x − x

2!

0)2 .

(3.) Gesucht ist die kubische Funktion p 3, die im Punkte x 0 zusätzlich die 3.

Ableitung mit f gemeinsam hat:

Ansatz: p 3 ( x) = f ( x 0)+ f ( x 0) ( x − x 0)+ 1 f ( x 2!

0) ( x − x 0)2+ d ( x − x 0)3 .

!

Bedingung:

p ( x

= f ( x

3

0)

0) .

!

Wegen
p ( x

= f ( x

3

0) = 1 · 2 · 3 · d

0)

⇒

1
d =
f ( x

3!

0)

⇒ p 3 ( x) = f ( x 0) + f ( x 0) ( x − x 0) + 1 f ( x

2!

0) ( x − x 0)2

+ 1 f ( x

3!

0) ( x − x 0)3 .

9.3

Taylor-Reihen

363

...

(n.) Eine bessere Approximation an die Funktion f in einer Umgebung des

Punktes x 0 gewinnt man, indem jeweils Terme der Form

1 f( n) ( x
n!

0) ( x − x 0) n
hinzugenommen werden, so dass das n-te Näherungspolynom (das Taylor-

Polynom vom Grade n) gegeben ist durch

1
pn ( x)

=
f ( x 0) + f ( x 0) ( x − x 0) + . . . +
f ( n) ( x
n!

0) ( x − x 0) n
n

1

=
f ( i) ( x
i!

0) ( x − x 0) i .

i=0

Visualisierung mit Maple. Zur Veranschaulichung der Konvergenz
der Taylor-Polynome pn an die Funktion f wählen wir eine Animation

mit Maple für die Funktion f ( x) =

6 − ( x − 2 . 5)2 am Entwicklungspunkt
x 0 = 1. Dazu bestimmen wir die ersten 10 Taylor-Polynome.

Durch die Animation erkennt man deutlich, dass mit wachsendem Grad des

Taylor-Polynoms der Bereich sich vergrößert, in dem Funktion und Taylor-

Polynom graphisch übereinstimmen. Für N = 10 lässt sich im Bereich 0 . 5 ≤
x ≤ 1 . 7 graphisch kein Unterschied zwischen der Funktion f und dem Nähe-
rungspolynom p 10 feststellen. Es stellt sich somit die Frage, wie groß die Ab-
weichung der Näherungsfunktion pn ( x) zur Funktion f in der Umgebung von
x 0 ist. Aufschluss darüber gibt der folgende Satz.

364

9. Funktionenreihen

Satz von Taylor. Gegeben sei eine in x 0 ∈ ID

( m + 1)-mal stetig dif-
ferenzierbare Funktion f . Dann gilt die Taylorsche Formel

1
f ( x) = f ( x 0) + f ( x 0) ( x − x 0) + . . . +
f ( m) ( x
m!

0) ( x − x 0) m + Rm ( x)

mit dem Restglied

1

Rm ( x) =
f ( m+1) ( ξ) ( x − x

( m + 1)!

0) m+1

( x ∈ ID)

und ξ einem nicht näher bekannten Wert, der zwischen x und x 0 liegt.

Der Satz von Taylor (1685 - 1731) spezifiziert die Zwischenstelle ξ zwischen x
und x 0 nicht näher. Daher kann man nicht exakt die Abweichung der Nähe-
rungsfunktion pn ( x) zur Funktion f angeben. Für die konkreten Anwendungen
wird diese Tatsache aber keine Rolle spielen, da wir für das Restglied Rm ( x)

m→∞
eine Obergrenze angeben. Wenn das Restglied Rm ( x) −→ 0 erfüllt, so erhält
man

Satz ¨
uber Taylor-Reihen. Ist f eine in x 0 ∈ ID beliebig oft differen-
zierbare Funktion und erfüllt das Restglied Rm ( x) → 0 für m → ∞, so
gilt

1
f ( x)

=
f ( x 0) + f ( x 0) ( x − x 0) +
f ( x

2!

0) ( x − x 0)2 + . . .

1

. . . +
f ( n) ( x
n!

0) ( x − x 0) n + . . .

∞

1

=
f ( n) ( x
n!

0) ( x − x 0) n .

n=0

Diese Potenzreihe heißt die Taylor-Reihe zur Funktion f am Ent-
wicklungspunkt x 0 .

Bemerkungen:

(1) Der Konvergenzradius der Taylor-Reihe ist nicht notwendigerweise > 0 .

(2) Falls die Taylor-Reihe von f konvergiert, muss sie nicht notwendigerweise
gegen f ( x) konvergieren.

(3) Die Taylor-Reihe konvergiert genau dann gegen f ( x), wenn das Restglied

Rm( x) für m → ∞ gegen Null geht. In diesem Fall stimmen die Funktion

9.3

Taylor-Reihen

365
und die Taylor-Reihe für alle x aus dem Konvergenzbereich der Potenzreihe
überein.

(4) Ist der Entwicklungspunkt x 0 = 0 , so nennt man die Taylor-Reihe oftmals
auch MacLaurinsche Reihe.

(5) Ist f eine gerade Funktion, dann treten in der Taylor-Reihe nur Terme mit
geraden Potenzen auf. Ist f eine ungerade Funktion, dann nur Terme mit
ungeraden Potenzen.

Im Folgenden berechnen wir die Taylor-Reihen von wichtigen Funktionen; u.a.

der Exponential- und Logarithmusfunktion bzw. den trigonometrischen Funk-
tionen.

Beispiel 9.26 (Exponentialfunktion): Die Taylor-Reihe von ex mit dem

Entwicklungspunkt x 0 = 0:

Wegen
f ( x) = ex
folgt
f (0) = 1
f ( x) = ex
f (0) = 1
f ( x) = ex
f (0) = 1
f ( x) = ex
f (0) = 1

..

.

.

..

f ( n) ( x) = ex
f ( n) (0) = 1

Damit ist die Taylor-Reihe von ex:

∞

1

1

1

1

1 + x +
x 2 +
x 3 + . . . +
xn + . . . =
xi.

2!

3!

n!

i!

i=0

Da der Konvergenzradius dieser Potenzreihe ρ = ∞ ( → Beispiel 9.21), ist

K = IR . Für das Restglied gilt

1
xm+1

Rm ( x) =
f ( m+1) ( ξ) ( x − x
eξ
für ξ ∈ [ −x, x]

( m + 1)!

0) m+1 = ( m + 1)!

|

⇒ |
x|m+1

Rm ( x) | ≤
eξ → 0 für m → ∞.

( m + 1)!

Also stimmt die Taylor-Reihe mit der Funktion überein und für alle x ∈ IR
gilt

∞

1
ex =
xn.

n!

n=0

366

9. Funktionenreihen

Beispiel 9.27 (Sinusfunktion): Die Taylor-Reihe von f ( x) = sin x mit
dem Entwicklungspunkt x 0 = 0:

Wegen
f ( x) = sin x
folgt
f (0) = 0
f ( x) = cos x
f (0) = 1
f ( x) = − sin x
f (0) = 0
f ( x) = − cos x
f (0) = − 1
f (4) ( x) = sin x
f (4) (0) = 0
f (5) ( x) = cos x
f (5) (0) = 1
f (6) ( x) = − sin x
f (6) (0) = 0

..

.

.

..

Es ist also f (2 n) (0) = 0 und f (2 n+1) (0) = ( − 1) n, so dass nur die ungera-
den Exponenten in der Taylor-Reihe auftreten und zwar mit alternierendem

Vorzeichen:

∞

1

( − 1) n
x − 1 x 3 +
x 5 − 1 x 7 ± . . . =
x 2 n+1 .

3!

5!

7!

(2 n + 1)!

n=0

Nach Beispiel 9.23 ist der Konvergenzradius ρ = ∞ und analog zum Beispiel

9.26 gilt Rm ( x) → 0 für m → ∞. Damit stimmt die Taylor-Reihe für alle
x ∈ IR mit sin x überein:

∞

( − 1) n
sin ( x) =
x 2 n+1 .

(2 n + 1)!

n=0

Beispiel 9.28 (Kosinusfunktion): Die Taylor-Reihe von f ( x) = cos x mit
dem Entwicklungspunkt x 0 = 0 ergibt sich sofort aus obigem Beispiel: Da die

Potenzreihe gliedweise innerhalb des Konvergenzbereichs differenziert werden
darf, ist für alle x ∈ IR

∞

( − 1) n
cos ( x) = sin ( x) =

(2 n + 1) x 2 n

(2 n + 1)!

n=0

∞

⇒

( − 1) n
cos ( x) =
x 2 n

(2 n)!

n=0

9.3

Taylor-Reihen

367

Beispiel 9.29 (Logarithmusfunktion): Die Taylor-Reihe von ln x, x > 0 ,
mit dem Entwicklungspunkt x 0 = 1:

f ( x) = ln x
f (1) = 0
f ( x) = x− 1
f (1) = 1
f ( x) = ( − 1) x− 2
f (1) = ( − 1)

f ( x) = ( − 1) ( − 2) x− 3
f (1) = ( − 1) ( − 2)

f (4)( x) = ( − 1) ( − 2) ( − 3) x− 4
f (4)(1) = ( − 1) ( − 2) ( − 3)

f (5)( x) = ( − 1) ( − 2)( − 3)( − 4) x− 5
f (5)(1) = ( − 1) ( − 2)( − 3)( − 4)

f (6)( x) = ( − 1) ( − 2)( − 3)( − 4) ( − 5) x− 6
f (6)(1) = ( − 1) ( − 2)( − 3)( − 4) ( − 5)

..

.

.

..

f ( n) ( x) = ( − 1) n+1 ( n − 1)!

f ( n) (1) = ( − 1) n+1 ( n − 1)!

xn

Damit ergeben sich die Taylor-Koeffizienten für n ≥ 1 zu
f ( n) (1)

( − 1) n+1 ( n − 1)!

( − 1) n+1

=

=

.

n!

n!

n

Da das Restglied Rm ( x) → 0 für m → ∞ geht, ist die Taylor-Reihe für ln x
am Punkte x 0 = 1 gegeben durch
ln x = ( x − 1) − 1 ( x − 1)2 + 1 ( x − 1)3 ± . . . ± ( − 1) n+1 ( x − 1) n ± . . .

2

3
n

∞

⇒

( − 1) n+1
ln x =

( x − 1) n
für
x ∈ (0 , 2] .

n
n=1

Nach Beispiel 9.23 ist der Konvergenzbereich K = (0 , 2]. Speziell für x = 2
gilt

∞

( − 1) n+1
ln 2 =

.

n
n=1

Die Summe der alternierenden harmonischen Reihe hat den Wert ln 2 .

Beispiel 9.30 (Binomische Reihe): Die Taylor-Reihe der Binomischen

Reihe (1 + x) α am Entwicklungspunkt x 0 = 0 lautet für beliebiges α ∈ IR:

∞

α

(1 + x) α =
xk
für x ∈ ( − 1 , 1) ,
k
k=0
wenn wir die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten definieren

α
α
α ( α − 1) ( α − 2) · . . . · ( α − k + 1)

:= 1
und

:=

.

0
k
k!

368

9. Funktionenreihen

Denn aus
f ( x) = (1 + x) α
f (0) = 1
f ( x) = α (1 + x) α− 1
f (0) = α
f ( x) = α ( α − 1) (1 + x) α− 2
f (0) = α ( α − 1)

f ( x) = α ( α − 1) ( α − 2) (1 + x) α− 3
f ( x) = α ( α − 1) ( α − 2)

..

.

.

..

f ( n) ( x) = α ( α − 1) · . . .

f ( n) (0) = α ( α − 1) · . . .

. . . · ( α − n + 1) (1 + x) α−n

. . . · ( α − n + 1)

folgt für die Taylor-Koeffizienten

f ( k) ( x 0)

α ( α − 1) ( α − 2) · . . . · ( α − k + 1)

α

=

=
k!

k!

k
und für die Taylor-Reihe

∞

α

(1 + x) α =
xk .

k
k=0

Der Konvergenzbereich ergibt sich mit dem Quotientenkriterium zu K =

( − 1 , 1) .

Spezialf¨
alle:

 α = − 1 (geometrische Reihe):

∞

1

= 1 − x + x 2 − x 3 ± . . . =

( − 1) k xk .

1 + x
k=0

 α = − 2 (Ableitung der geometrischen Reihe):

∞

1

= 1 − 2 x + 3 x 2 ± . . . =

( − 1) k ( k + 1) xk .

(1 + x)2
k=0

1

 α =

:

2

√

1

1 · 3

1 + x = 1 +
x − 1 x 2 +
x 3 − 1 · 3 · 5 x 4 ± . . .

.

2

2 · 4

2 · 4 · 6

2 · 4 · 6 · 8

 α = − 1 :

2

1

√

1 · 3

1 · 3 · 5 · 7

= 1 − 1 x +
x 2 − 1 · 3 · 5 x 3 +
x 4 ∓ . . .

.

1 + x

2

2 · 4

2 · 4 · 6

2 · 4 · 6 · 8

Häufig wird die Berechnung der Taylor-Reihe einer Funktion durch Differen-
ziation bzw. Integration auf bekannte Potenzreihen zurückgeführt, wie die fol-
genden beiden Beispiele zeigen.

9.3

Taylor-Reihen

369

Beispiel 9.31 (Arkustangensfunktion): Die Taylor-Reihe von f ( x) =
arctan ( x) am Entwicklungspunkt x 0 = 0:

Aus f ( x) = arctan ( x)

⇒

1
f ( x) =

.

1 + x 2

Nach Beispiel 9.19 ist für |x| < 1

∞

∞

1

1

n

=

=

−x 2

=

( − 1) n x 2 n .

1 + x 2

1 − ( −x 2)

n=0
n=0

Da Potenzreihen gliedweise integriert werden dürfen, folgt

1

1
x

∞

x
arctan ( x)

=
f (0) +
f (˜
x) d˜
x = 0+

( − 1) n

˜
x 2 n d˜
x

0
n= 0

0

∞

( − 1) n

=
x 2 n+1 .

2 n + 1
n=0

Nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert die Potenzreihe auch für x = ± 1, so
dass insgesamt:

∞

( − 1) n
arctan ( x) =
x 2 n+1
für x ∈ [ − 1 , 1] .

2 n + 1
n=0

Beispiel 9.32 (Area-Funktionen): Berechnung der Taylor-Reihen der

Area-Funktionen am Entwicklungspunkt x 0 = 0 durch Zurückspielen auf
die Binomische Reihe: Aus
f ( x) = ar tanh ( x) folgt

∞

1

f ( x) = ar tanh ( x) =

=
x 2 n .

1 − x 2
n=0

Damit ist

∞

1
f ( x) = f (0) +
x 2 n+1 .

2 n + 1
n=0

Da f (0) = ar tanh (0) = 0 ist

∞

1
ar tanh ( x) =
x 2 n+1
für |x| < 1 .

2 n + 1
n=0

Auf analoge Weise werden die Taylor-Reihen von ar sinh( x) , ar cosh( x) und
ar coth( x) berechnet, da ar sinh ( x) =

1

√
für x ∈ IR , ar cosh ( x) =

1+ x 2

1

√
für |x| > 1 und ar coth ( x) =

1
x 2 − 1

1 −x 2
für |x| > 1 .

370

9. Funktionenreihen

Tabelle 9.1: Taylor-Reihen:

Konvergenz-

Funktion

Potenzreihenentwicklung
bereich

∞

α

(1 + x) α
xk

|x| < 1
k
k=0

1

(1 ± x) 2

1 ± 1 x − 1 x 2 ± 1 · 3 x 3 − 1 · 3 · 5 x 4 ± . . .

|x| ≤ 1

2

2 · 4

2 · 4 · 6

2 · 4 · 6 · 8

(1 ± x) − 12

1 ∓ 1 x + 1 · 3 x 2 ∓ 1 · 3 · 5 x 3 + 1 · 3 · 5 · 7 x 4 ∓ . . .

|x| < 1

2

2 · 4

2 · 4 · 6

2 · 4 · 6 · 8

(1 ± x) − 1

1 ∓ x + x 2 ∓ x 3 + x 4 ∓ . . .

|x| < 1

(1 ± x) − 2

1 ∓ 2 x + 3 x 2 ∓ 4 x 3 + 5 x 4 ∓ . . .

|x| < 1
sin x
x − x 3 + x 5 − x 7 + x 9 − + . . .

|x| < ∞

3!

5!

7!

9!

cos x

1 − x 2 + x 4 − x 6 + x 8 − + . . .

|x| < ∞

2!

4!

6!

8!

tan x
x + 1 x 3 + 2 x 5 + 17 x 7 + 62 x 9 + . . .

|x| < π

3

15

315

2835

2
ex

1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + . . .

|x| < ∞

1!

2!

3!

4!

ln x

( x − 1) − 1 ( x − 1)2 + 1 ( x − 1)3 − + . . .

0 < x ≤ 2

2

3

Konvergenz-

Funktion

Potenzreihenentwicklung
bereich
arcsin x
x + 1 x 3 + 1 · 3 x 5 + 1 · 3 · 5 x 7 + . . .

|x| < 1

2 · 3

2 · 4 · 5

2 · 4 · 6 · 7

,

-
arccos x
π − x + 1 x 3 + 1 · 3 x 5 + 1 · 3 · 5 x 7 + . . .

|x| < 1

2

2 · 3

2 · 4 · 5

2 · 4 · 6 · 7
arctan x
x − 1 x 3 + 1 x 5 − 1 x 7 + 1 x 9 − + . . .

|x| ≤ 1

3

5

7

9
sinh x
x + 1 x 3 + 1 x 5 + 1 x 7 + . . .

|x| < ∞

3!

5!

7!

cosh x

1 + 1 x 2 + 1 x 4 + 1 x 6 + . . .

|x| < ∞

2!

4!

6!

tanh x
x − 1 x 3 + 2 x 5 − 17 x 7 + 62 x 9 − + . . .

|x| < π

3

15

315

2835

2

Visualisierung der Konvergenz Mit der Prozedur
taylor poly
erhält man eine Animation, bei der das Taylor-Polynom mit steigen-
dem n zusammen mit der Funktion f ( x) zu sehen ist. Man erkennt, dass mit
wachsender Ordnung der Polynome eine gleichmäßige Anpassung an die Funk-
tion erfolgt.

9.4

Anwendungen

371

9.4

9.4 Anwendungen

N¨
aherungspolynome einer Funktion

In vielen Anwendungen werden komplizierte Funktionen durch Taylor-Polynome
pn ( x) angenähert. Zum einen, damit man die Funktionen auf einfache Weise
mit vorgegebener Genauigkeit auswerten kann, zum anderen, damit man z.B.

bei linearer Näherung einen einfacheren physikalischen Zusammenhang erhält.

Der Fehler zwischen der Funktion f ( x) und dem Taylor-Polynom pn ( x) ist
nach dem Satz von Taylor gegeben durch das Lagrange Restglied

1

Rn ( x) =
f ( n+1) ( ξ) ( x − x

( n + 1)!

0) n+1 ,
wenn x 0 der Entwicklungspunkt und ξ ein nicht näher bekannter Zwischenwert
zwischen x und x 0 . Für die meisten in der Praxis auftretenden Funktionen geht
der Fehler gegen Null für n → ∞. Bei hinreichend großem n wird also eine
beliebig hohe Genauigkeit erzielt. In technischen Anwendungen werden Funk-
tionen nahe ihrem Entwicklungspunkt oftmals nur durch das Taylor-Polynom
p 1 ( x) bzw. p 2 ( x) ersetzt!

Beispiel 9.33 (Berechnung der Zahl e): Die Zahl e soll bis auf 6 Dezimal-
stellen genau berechnet werden. Dazu gehen wir von der Taylor-Entwicklung
der Exponentialfunktion bei x 0 = 0 aus

∞

1

1

1
ex =
xn = 1 + x +
x 2 + . . . +
xn + . . .

n!

2!

n!

n=0
und berechnen e 1 durch das Taylor-Polynom der Ordnung n

1

1
e 1 ≈ pn (1) = 1 + 1 +

12 + . . . +

1 n .

2!

n!

Der Fehler nach dem Lagrangen Restglied ist

1

3

Rn (1) =
eξ ≤

1
e 1 <

( n + 1)!

( n + 1)!

( n + 1)!

(da eξ ≤ e 1 < 3). Damit der Fehler kleiner als 6 Dezimalstellen wird, muss

3

!

3

Rn (1) <

< 0 . 9 · 10 − 6 ⇒ ( n + 1)! >

≈ 3 333 333 .

( n + 1)!

0 . 9 · 10 − 6

372

9. Funktionenreihen

Dies ist für n ≥ 9 erfüllt, denn (9 + 1)! = 3628800 . Für n = 9 ist e 1 bis auf 6

Dezimalstellen genau berechnet:

9

1
e 1 ≈

= 2 . 7182815 .

n!

n=0

n

Vergleicht man diese Methode zur Berechnung der Zahl e mit der Folge 1 + 1 n
aus Beispiel 6.3, so ist die Reihendarstellung sehr schnell konvergent. Es wer-
den für eine Genauigkeit von 6 Dezimalstellen nur 9 Summenglieder benötigt
im Vergleich zu n > 105 bei der Folgendarstellung.

Anwendungsbeispiel 9.34 (Relativistische Teilchen).

Nach A. Einstein beträgt die Gesamtenergie eines Teilchens

E = m c 2 .

Dabei ist c die Lichtgeschwindigkeit und m die von der Geschwindigkeit des

Teilchens v abhängige Masse:

m
m =

0

,

1 − ( v/c)2
m 0 ist dabei die Ruhemasse des Teilchens. Bezeichnet E 0 = m 0 c 2 die Ruhe-
energie, so ist die kinetische Energie

Ekin = E − E 0 = m c 2 − m 0 c 2 = m 0 c 2 (

1

√

− 1 ) .

1 −( v/c)2

Für ein nicht-relativistisches Teilchen ist v << c, d.h. 0 ≈ v << 1 . v ist also
c
c
nahe dem Entwicklungspunkt x 0 = 0 der Funktion

1

√

. Wir ersetzen daher

1 −x 2
nach Tabelle 9.1

1

2

√

≈

1

1

1
v

1 +
x
bzw.

≈ 1 +

.

1 − x

2

2
c

1 − ( v/c)2

Für die kinetische Energie gilt damit

1
v 2

1

Ekin = m 0 c 2 (

1

√

− 1 ) ≈ m 0 c 2 1 +

− 1 = m 0 v 2 .

1 −( v/c)2

2
c

2

Der Term 1 m

2

0 v 2 repräsentiert die kinetische Energie eines Teilchens im Grenz-
fall v << c (= klassischer Grenzfall).

9.4

Anwendungen

373

Anwendungsbeispiel 9.35 (Scheinwerferregelung, mit Maple-

Worksheet).

Kommen wir auf das Einführungsbeispiel der Scheinwerferregelung zurück. Um
vom Quotienten der Distanzwerte d 1 und d 2 auf den aktuellen Neigungswinkel
β zu schließen, müssen wir diesen Quotienten nach β auflösen. Dazu definieren
wir die Funktion q( β), die wir im Folgenden in eine Taylor-Reihe entwickeln.

d
sin( α
q( β) :=

1 =

2 + β)

(*)

d 2
sin( α 1 + β)

Gehen von den Parameterwerten βab = 0 . 0099996, α 1 = 0 . 20337 und α 2 =

0 . 097913 aus, ist der Quotienten q 0 für den Winkel βab zwischen der Horizon-
talen und der Hell-Dunkel-Grenze beim ruhenden Fahrzeug
q 0 := q( βab) = 0 . 5086238522 .

Um den Quotienten nach β von (*) aufzulösen, entwickeln wir nun die rechte

Seite in eine Taylor-Reihe bis zur Ordnung 2.

q 2( β) := 0 . 4851497843 + 2 . 347500693 β − 10 . 83456844 ( β − 0 . 0099996)2
und lösen die Gleichung (*) für eine beliebige linke Seite d 1 mit der Näherung
d 2
für die rechte Seite sin( α 2+ β) ∼ q
sin( α 1+ β)

2( β) nach β auf

d
β

1

1 / 2 :=

0 . 11833343 ± 0 . 36918867

0 . 43052561 − 0 . 67716052

.

d 2

Von den beiden gefundenen Lösungen kommt nur diejenige in Frage, welche
für die Größe q 0 = d 1 den richtigen Ablenkwinkel β
d 2
ab liefert. Dies ist die zweite

Lösung β 2.

Wir zeichnen die Näherungsfunktion gestrichelt und die ursprüngliche, implizit
gegebene Funktion durchgezogen.

Aus der Grafik entnimmt man, dass die Näherungsformel für q zwischen 0.4
und 0.58 gut mit der impliziten Funktion übereinstimmt. Dies liefert einen

Winkelbereich von -0.03 (-1.71 ◦) bis 0.05 (2.864 ◦), in dem die Näherung ver-
wendet werden kann.

Um eine Näherungsformel zu erhalten, die auf die Berechnung von Wurzeln
ganz verzichtet, entwickeln wir β 2 ebenfalls in eine Taylor-Reihe mit dem Ent-

374

9. Funktionenreihen

Abb. 9.4. Funktion und Näherung
wicklungspunkt q = q 0
β 2 = − 2 . 373259209 + 23 . 42846966 q − 96 . 31243152 q 2 +

200 . 8851230 q 3 − 210 . 4285911 q 4 + 89 . 10928185 q 5
und zeichnen diese weitere Näherung in den obigen Graphen mit ein.

Abb. 9.5. Vergleich der Näherungen

Diese Funktion stellt im Winkelbereich zwischen -1 ◦ und 2 ◦ ebenfalls eine ak-
zeptable Lösung dar. Der Vorteil dieser Näherungsformel besteht eben darin,
dass auf die Berechnung von Wurzeln ganz verzichtet werden kann! Zur effizi-
enten Berechnung stellen wir die Näherungsformel durch das Horner-Schema
dar:

β 2 = − 2 . 373259209 + (23 . 42846966 + ( − 96 . 31243152 + (200 . 8851230 +

( − 210 . 4285910 + 89 . 10928185 q) q) q) q) q.

9.4

Anwendungen

375

Integration durch Potenzreihenentwicklung

Potenzreihen und damit Taylor-Reihen dürfen in ihrem Konvergenzradius glied-
weise differenziert bzw. integriert werden. Für

∞

f ( x) =
an ( x − x 0) n
n=0
gilt :

∞

∞

∞
d

d

f ( x) =
a
a

( x − x
n a
dx
n ( x − x 0) n =
n dx

0) n =
n ( x − x 0) n− 1 .

n=0
n=0
n=1

Man beachte, dass die Differenziation des konstanten Summanden a 0 Null
ergibt und damit die abgeleitete Taylor-Reihe bei n = 1 beginnt.

1

1 ∞

∞

1

∞
a
f ( x) dx =
a
n
n xn dx =
an
xn dx =
xn+1 + C.

n + 1
n=0
n=0
n=0

Man beachte, dass beim bestimmten Integral die Integrationsgrenzen inner-
halb des Konvergenzbereichs der Potenzreihe gelegen sein müssen.

2 x

Beispiel 9.36. Gesucht ist die Integralfunktion F ( x) =
e−t 2 dt, die nicht

0
durch eine elementare Funktion darstellbar ist.

Mit dem Potenzreihenansatz

∞

1
ex =
xn
n!

n=0
folgt

∞

∞

1

n

1
e−t 2 =

−t 2

=

( − 1) n t 2 n.

n!

n!

n=0
n=0

1

1
x

∞

x

⇒

1

F ( x) =
e−t 2 dt =

( − 1) n
t 2 n dt
n!

0
n=0

0

∞

1

=

( − 1) n

1
x 2 n+1

( x ∈ IR) .

n!

2 n + 1
n=0

L¨
osen von Differenzialgleichungen durch Potenzreihen

Eine in der Physik oftmals benutzte Methode zum Lösen von Differenzialglei-
chungen ist, die gesuchte Funktion in eine Potenzreihe zu entwickeln. Diese

Potenzreihe enthält als unbekannte Größen die Koeffizienten an. Durch Ein-
setzen der Potenzreihe in die Differenzialgleichung werden über einen Koeffi-
zientenvergleich die an bestimmt.

376

9. Funktionenreihen

9.5

9.5 Komplexwertige Funktionen

Im Kapitel über komplexe Zahlen 5.1 benutzten wir die Eulersche Formel
eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ
ϕ ∈ [0 , 2 π]

als Abkürzung. Wir zeigen in diesem Kapitel, dass diese Formel die Gleichheit der Funktion
ez und der Funktion cos ( z) + i sin ( z) für beliebige komplexe Zahlen z ∈ IC bedeutet.

Zunächst erklären wir ez, cos z und sin z für z ∈ IC als komplexe Funktionen
f : IC → IC mit z −→ f ( z) . Die Definition der Funktion muss dabei derart
erfolgen, dass für z ∈ IR die herkömmlichen reellen Funktionen als Spezialfall
enthalten sind.

Im Komplexen stehen uns die Grundrechenoperationen + , −, ∗, / zur Verfü-
gung. Wir definieren daher komplexe Funktionen über diese Grundoperatio-
nen. Gerade aber die Exponential-, Sinus- und Kosinusfunktionen sind Stan-
dardbeispiele für die Darstellung einer Funktion durch ihre Taylor-Reihen. Da
man bei der Auswertung einer Funktion über die Taylor-Reihe nur die oben
genannten Grundoperationen benötigt, erklären wir die komplexen Funktio-
nen ez, sin( z) und cos( z) über ihre Taylor-Reihe. Zuvor geben wir jedoch die
wichtigsten Ergebnisse für komplexe Potenzreihen an:

9.5.1 Komplexe Potenzreihen

Es übertragen sich alle Eigenschaften der reellen Potenzreihen sinngemäß auf
den komplexen Fall. Bezüglich der Konvergenz einer komplexen Potenzreihe
gilt:

Satz: Die komplexe Potenzreihe

∞
an ( z −z 0) n
n=0
mit an ∈ IC und Entwicklungspunkt z 0 ∈ IC hat als Majorante die reelle

Potenzreihe

∞

|a
n= 0
n| |z − z 0 |n und besitzt den Konvergenzradius

|a
ρ = lim
n|

.

n→∞ |an+1 |

Der Konvergenzbereich ist K = {z ∈ IC : |z − z 0 | < ρ} .

9.5

Komplexwertige Funktionen

377

Begr¨
undung: Im Komplexen gelten die Rechenregeln |z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 |
und |a z| = |a| |z| . Daher gilt die Abschätzung

N

N

N

≤

|

|

an ( z − z 0) n
an ( z − z 0) n| =
an| |z − z 0 |n .

n=0
n=0
n=0

Somit ist

∞

|a

∞
a
n= 0
n| |z − z 0 |n eine Majorante von
n= 0
n ( z − z 0) n. Die
komplexe Potenzreihe besitzt damit den gleichen Konvergenzradius wie die
reelle Majorante, n

|
ämlich ρ = lim
an|
n→∞ |an+1 | .

Interpretation: Erst im Komplexen erhält der

Begriff Konvergenzradius seine volle Bedeutung,
denn die Menge K = {z ∈ IC : |z − z 0 | < ρ} ent-
spricht einem Kreis um z 0 mit Radius ρ. Innerhalb
des Kreises konvergiert die Potenzreihe, außerhalb
divergiert sie.

Beispiele 9.37. Aufgrund der Darstellung der Exponentialfunktion bzw. der
trigonometrischen Funktionen über die Taylor-Reihe erhält man direkt die

Definition der zugehörigen komplexwertigen Funktionen:

 Komplexe Exponentialfunktion

∞

1

1

1

1
ez :=
zn = 1 +
z 1 +
z 2 +
z 3 + . . .

für z ∈ IC .

n!

1!

2!

3!

n=0

Wegen

N

N

∞

1

1

1

zn

|z|n ≤

|z|n = e|z|
n!

≤
n!

n!

n=0
n=0
n=0
ist e|z| eine konvergente Majorante und ez konvergiert für alle z ∈ IC .

 Komplexe Sinusfunktion

∞

( − 1) n

1
sin( z) :=
z 2 n+1 = z− 1 z 3+
z 5 − 1 z 7 ±. . .

für z ∈ IC .

(2 n + 1)!

3!

5!

7!

n=0

 Komplexe Kosinusfunktion

∞

( − 1) n

1
cos( z) :=
z 2 n = 1 − 1 z 2 +
z 4 − 1 z 6 ± . . .

für z ∈ IC .

(2 n)!

2!

4!

6!

n=0

Die absolute Konvergenz der Potenzreihen | und } ist nach dem Majoran-
tenkriterium für alle z ∈ IC gesichert, denn die Majoranten sind die reellen

Potenzreihen

∞

1

|z| 2 n+1
und

∞

1

|z| 2 n .

n=0 (2 n+1)!

n=0 (2 n)!

378

9. Funktionenreihen

9.5.2 Die Eulersche Formel

Nach diesen Vorbemerkungen sind ez, cos( z) , sin( z) für jedes z ∈ IC als un-
abhängige Funktionen definiert. Es gilt der Zusammenhang:

Satz: Für jedes z ∈ IC gilt
ei z = cos( z) + i sin( z)

(Eulersche Formel)

Begr¨
undung: Wir stellen cos( z) und i sin( z) durch ihre Taylor-Reihen dar.

Anschließend addieren wir die beiden Reihen und identifizieren die Summe als
ei z. Mit i 0 = 1 , i 1 = i , i 2 = − 1 , i 3 = −i , i 4 = 1 und i 5 = i , i 6 = − 1 , i 7 =

−i , i 8 = 1 , usw. gilt:

cos( z)

= 1

− z 2

− z 6 ±

2!

+ z 4

4!

6!

. . .

= 1

+
i 2 z 2

2!

+ i 4 z 4

4!

+ i 6 z 6

6!

+ . . .

= 1

+ ( i z)2

2!

+ ( i z)4

4!

+ ( i z)6

6!

+ . . .

i sin( z)

=
i z

−

±

1!

i z 3

3!

+ i z 5

5!

. . .

=
i z

1!

+ i 3 z 3

3!

+ i 5 z 5

5!

+ . . .

=

( i z)

1!

+ ( i z)3

3!

+ ( i z)5

5!

+ . . .

cos( z) + i sin( z)

= 1

+ ( i z)

1!

+ ( i z)2

2!

+ ( i z)3

3!

+ ( i z)4

4!

+ ( i z)5

5!

+ ( i z)6

6!

+ . . .

Folglich ist

∞

cos( z) + i sin( z)

=

1

( i z) n = ei z
n!

n=0

Mit dieser sehr einfachen Begründung ist die Eulersche Formel für alle z ∈ IC
bewiesen. Speziell für z = ϕ ∈ IR gilt dann
eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ
ϕ ∈ IR .

Wenn wir den Winkel ϕ durch ϕ = ωt ersetzen, so gilt die folgende Identität
von Funktionen
eiωt = cos( ωt) + i sin( ωt)

t ∈ IR .

Diese Gleichheit von Funktionen werden wir im folgenden Abschnitt ausnut-
zen, um eiωt zu differenzieren und zu integrieren.

9.5

Komplexwertige Funktionen

379

9.5.3 Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion

E1
ez 1+ z 2 = ez 1 · ez 2
z 1 , z 2 ∈ IC .

Wie im Reellen hat auch im Komplexen das Additionstheorem für die

Exponentialfunktion seine Gültigkeit. Der Beweis dieser zentralen Formel
würde den Rahmen dieser Darstellung überschreiten. Festzuhalten ist die
folgende Folgerung:

E2
ez+2 π i = ez
z ∈ IC .

Denn setzt man in (E1) z 2 = 2 π i, so folgt die Formel, da ez 2 = e 2 π i = 1.

Die komplexe Exponentialfunktion ist damit periodisch mit der komplexen

Periode 2 π i.

E3
sin( −z) = − sin( z)

z ∈ IC
cos( −z) = cos( z)

z ∈ IC .

Wie im Reellen ist der Sinus eine ungerade Funktion, denn in der Defini-
tionsgleichung für den Sinus treten nur ungerade Potenzen auf

∞

∞

( − 1) n

( − 1) n
sin( −z) =

( −z)2 n+1 = −
z 2 n+1 = − sin ( z) .

(2 n + 1)!

(2 n + 1)!

n=0
n=0

Da per Definition cos( z) nur gerade Potenzen z 2 n besitzt, ist cos( z) eine
gerade Funktion.

E4
cos( z) = 1
ei z + e−i z
z ∈ IC

2

sin( z) = 1
ei z − e−i z
z ∈ IC .

2 i

Anwendungen dieser beiden Identitäten werden wir im Kapitel über Diffe-
renzialgleichungen noch kennen lernen. Sie besagen, dass man die trigono-
metrischen Funktionen aus der komplexen Exponentialfunktion gewinnen

380

9. Funktionenreihen
kann. Beide Identitäten sind Folgerungen aus der Eulerschen Formel, denn
ei z

=
cos( z) + i sin( z)

(1)

e−i z

=
cos( −z) + i sin( −z)

=
cos( z) − i sin( z)

(2)

Addiert man Gleichung (1) und (2), ist ei z + e−i z = 2 cos( z) .

Subtrahiert man Gleichung (2) von (1), ist ei z − e−i z = 2 i sin( z) .

Durch Division der Faktoren, erhält man jeweils die Behauptung.

E5
cos2 ( z) + sin2 ( z) = 1
z ∈ IC .

Man erhält ( E 5) aus ( E 4), indem man beide Gleichungen quadriert und
dann addiert:

2

2
cos2 ( z) + sin2 ( z)

=

1
ei z + e−i z

− 1 ei z − e−i z

4

4

2

2

=

1 [ ei z

+ 2 ei z e−i z + e−i z

4

−

2

2
ei z

+ 2 ei z e−i z − e−i z ]

=
ei z e−i z = ei ( z−z) = e 0 = 1 .

Anwendung: Additionstheoreme f¨
ur Sinus und Kosinus

Für α, β ∈ IC (bzw. α, β ∈ IR) gelten die Additionstheoreme
cos ( α + β)

=
cos α cos β − sin α sin β

( A 1)

sin ( α + β)

=
sin α cos β + cos α sin β

( A 2)

Begr¨
undung:

( A 1): Aufgrund der Darstellung der Kosinus- und Sinusfunktion durch die
komplexe Exponentialfunktion ( E 4) und dem Additionstheorem ( E 1) rechnet
man:

cos α cos β − sin α sin β

=

1
ei α + e−i α

1
ei β + e−i β −

2

2

1
ei α − e−i α

1
ei β − e−i β

2 i

2 i

= 1
ei ( α+ β) + e−i α+ i β + ei α−i β + e−i ( α+ β) +

4

+ 1
ei ( α+ β) − e−i α+ i β − ei α−i β + e−i ( α+ β)

4

= 1
ei ( α+ β) + e−i ( α+ β) = cos ( α + β) .

2

( A 2): Analog zu ( A 1) .

9.5

Komplexwertige Funktionen

381

Folgerung: Verwandlung eines Produktes in eine Summe bzw. Differenz

Für α, β ∈ IC (bzw. α, β ∈ IR) gelten die Formeln:

(1) 2 sin α sin β = cos ( α − β) − cos ( α + β)

(2) 2 cos α cos β = cos ( α − β) + cos ( α + β)

(3) 2 sin α cos β = sin ( α − β) + sin ( α + β)

Begr¨
undung: Übungsaufgabe. Man verwende die bereits bewiesenen Additi-
onstheoreme ( A 1) und ( A 2) .

9.5.4 Komplexe Hyperbelfunktionen

Definition: Für z ∈ IC heißen die komplexen Funktionen
cosh( z) := 1 ( ez + e−z)

Kosinus-Hyperbolikus

2
sinh ( z) := 1 ( ez − e−z)

Sinus-Hyperbolikus

2

Aufgrund der Definition der Hyperbelfunktionen und Eigenschaft ( E 4) gelten
die folgenden Beziehungen

H1:

cos( i z) = 1
ei ( i z) + e−i ( i z)

=

1 ( e−z + ez) = cosh ( z) ,

2

2

H2:

sin ( i z) = 1
ei ( i z) − e−i ( i z)

=

1 ( e−z − ez) = i sinh( z) .

2 i

2 i

Dies ist der Zusammenhang zwischen den Hyperbolikus-Funktionen und den
trigonometrischen: cosh( z) und sinh( z) sind im Komplexen nichts anderes als
die Kosinus- und Sinusfunktion mit dem Argument i z. Daher gelten auch die
bis auf das Vorzeichen ähnlichen Formeln für beide Funktionstypen.

H3:

cosh2 ( z) − sinh2 ( z) = 1
z ∈ IC .

Gleichung ( H 3) erhält man durch Quadrieren von ( H 1) und ( H 2) und an-
schließender Addition, wenn Gleichung ( E 5) berücksichtigt wird.

382

9. Funktionenreihen

9.5.5 Differenziation und Integration

Bei der Herleitung der komplexen Widerständen zur Berechnung von Wech-
selstromkreisen in Kap. 5.3.3 wurde die Funktion eiωt mit der Formel

eiωt

= iω eiωt
nach t differenziert. Die imaginäre Einheit i wird als konstanter Faktor angese-
hen und die Funktion eiωt mit der Kettenregel nach t differenziert. dass diese

Methode auch allgemein gilt, zeigt der folgende Satz.

Satz ¨
uber die Differenziation komplexwertiger Funktionen. Sei-
en u, v : ( a, b) → IR reelle, differenzierbare Funktionen. Dann ist die
komplexwertige Funktion f := u + i v mit
f : ( a, b) → IC ,
x → f ( x) := u ( x) + i v ( x)

differenzierbar und es gilt
f ( x) = u ( x) + i v ( x) .

Dieser Satz besagt, dass eine komplexwertige Funktion nach seiner reellen Va-
riablen x differenziert wird, indem man die gewöhnliche Ableitung von Realteil
und Imaginärteil bildet. Beim Differenzieren komplexwertiger Funktio-
nen d¨
urfen alle Differenziationsregeln wie bei reellwertigen Funk-
tionen benutzt werden. Die Formel für die Ableitung folgt sofort aus der

Definition der Ableitung, denn
f ( x)

=
lim 1 ( f ( x + h) − f ( x))

h
h→ 0

=
lim 1 ( u ( x + h) + i v ( x + h) − ( u ( x) + i v ( x))) h
h→ 0

,

-

=
lim

1 ( u ( x + h) − u ( x)) + i 1 ( v ( x + h) − v ( x)) h
h
h→ 0

=
lim 1 ( u ( x + h) − u ( x)) + i lim 1 ( v ( x + h) − v ( x)) h
h
h→ 0
h→ 0

=
u ( x) + i v ( x) .

Beispiele 9.38.

 Gesucht ist die Ableitung der Funktion f ( t) = eiωt. Wegen
eiωt = cos ( ωt) + i sin ( ωt)

9.5

Komplexwertige Funktionen

383
folgt

eiωt

=
cos ( ωt) + i sin ( ωt)

=

−ω sin ( ωt) + i ω cos ( ωt) = iω (cos ( ωt) + i sin ( ωt))

=
iω eiωt.

Die komplexwertige Funktion eiωt darf wie die reellwertige Exponential-
funktion differenziert werden, wenn i als konstanter Faktor angesehen wird.

 Gesucht wird die Ableitung der Funktion
f ( x) = x ei x.

Mit der Pro-
duktregel folgt
f ( x) = ei x + i x ei x = (1 + i x) ei x.

Satz ¨
uber die Integration komplexwertiger Funktionen. Seien
u, v : [ a, b] → IR reelle, integrierbare Funktionen. Dann ist die kom-
plexwertige Funktion f := u + i v mit
f : [ a, b] → IC ,
x → f ( x) := u ( x) + i v ( x)

integrierbar und es gilt

1

1

1
b
b
b
f ( x) dx =
u ( x) dx + i
v ( x) dx.

a
a
a

Es gilt für die Integration einer komplexwertigen Funktion f ( x) = u ( x) +
i v ( x) , dass der Realteil und Imaginärteil integriert werden und anschließend
das Integral von f sich aus beiden Teilen zusammensetzt. Beim Integrie-
ren komplexwertiger Funktionen d¨
urfen alle Integrationsregeln wie
bei reellwertigen Funktionen verwendet werden. Die Formel ergibt sich
analog zur Differenziationsformel.

Beispiele 9.39.

 Gesucht ist eine Stammfunktion von f ( x) = ei x.

2

2

2

2
f ( x) dx

=

(cos x + i sin x) dx =
cos x dx + i
sin x dx

=
sin x + i ( − cos x) + C = −i (cos x + i sin x) + C

=

1 ei x + C.

i

2

 Gesucht ist das unbestimmte Integral
x ei x dx.

Mit partieller Integration ( u = x , v = ei x → u = 1 , v = −i ei x) folgt

2

2
x ei x dx

=

−i x ei x + i ei x dx

=

−i x ei x + ei x + C.

Auch bei der Integration wird i wie eine Konstante behandelt.

384

9. Funktionenreihen

Anwendungsbeispiel 9.40 (RC-Wechselstrom-Kreis).

Gegeben ist ein RC-Wechselstromkreis. Der Spannungs-
abfall am Kondensator ist

1

U ( t) =

Q ( t) .

C 2

Da I ( t) = d Q( t) ist Q( t) =

I ( t) dt. Der Spannungs-
dt

Abb. 9.6. RL-Kreis
abfall bei C lautet

1

1

U ( t) =

I ( t) dt.

C

Für einen komplexen Wechselstrom der Form

ˆ

I ( t) = I 0 eiωt
folgt für ˆ

U (0) = 0

1

ˆ

1

1

1

U ( t) =

I

I
eiωt

C

0 eiωt dt = C 0 iω

1

1

=

I

ˆ

I ( t) .

iω C 0 eiωt = iω C

Dies ist das komplexe Ohmsche Gesetz für den Kondensator, wenn als Wider-
stand

ˆ

ˆ

U ( t)

1

RC :=

=

ˆ

I ( t)

iω C
gesetzt wird (vgl. Kap. 5.3.3).

MAPLE-Worksheets zu Kapitel 9

Zahlenreihen mit Maple

Die harmonische Reihe mit Maple

Quotientenkriterium mit Maple

Potenzreihen mit Maple

Visualisierung der Konvergenz der Taylor-Reihen

Maple-Prozedur zur Berechnung der Taylor-Polynome

Scheinwerferregelung mit Maple

Visualisierung der Eulerschen Formel

Zusammenstellung der Maple-Befehle

Maple-Lösungen zu den Aufgaben

9.6

Aufgaben zu Funktionenreihen

385

9.6

9.6 Aufgaben zu Funktionenreihen

9.1

Man untersuche die folgenden Zahlenreihen auf Konvergenz

∞

∞

∞

∞

1

sin n

( − 1) n n
a)

√
b)

n e−n 2
c)

d)

n
n 2

2 n + 1
n=1
n=1
n=1
n=1

∞

∞

∞

∞

2 n

1 n− 1

32 n

( − 1) n+1 n
e)

f)

n
g)

h)

n!

2

(2 n)!

52 n− 1
n=1
n=1
n=1
n=1

∞

∞

∞

∞

( − 1) n+1

1

1

1
i)

j)

k)

2 n
l)

2 n + 1

2 n n
n

(2 n − 1)(2 n + 1)

n=1
n=1
n=1
n=2

9.2

Untersuchen Sie die Konvergenz der folgenden Reihen und berechnen Sie -falls
möglich- mit Maple ihren Wert.

∞

∞

∞

2 k + 3

1
n 2
a)

b)

c)

4 k
k!

2 n
k=0
k=0
n=1

∞

9.3

Man zeige die Divergenz der Reihe

1 · 3 · 5 ·...·(2 n− 1)

2

( − 1) n und die Kon-
n
n

=1

∞
vergenz der Reihe

6 n
n=1 (3 n+1 − 2 n+1) (3 n− 2 n)

9.4

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihen

∞

∞
ln( n)

a)

( − 1) n+1 1 xn
b)

xn

5 nn
n
n=1
n=1

∞

∞

( n!)2
c)

(1 + 1 ) n 2 xn
d)

xn+1
n

(2 n)!

n=1
n=1

9.5

Berechnen Sie den Konvergenzradius von

∞

∞

∞

∞
n xn

xn

a)

b)

c)

n xn
d)

( − 1) n xn

2 n
n 2 + 1
n
n=1
n=1
n=1
n=1

∞

∞

∞

∞
xn

n
n + 1

e)

f)

xn+1
g)

xn
h)

2 n · 1 xn

2 n
n + 1
n!

n
n=0
n=1
n=1
n=1
und diskutieren Sie den Konvergenzbereich K.

9.6

Bestimmen Sie den Konvergenzbereich der Potenzreihen

∞

∞

a)

n e−n ( x − 4) n
b)

i 3

( x − 1) i

2 i+1
n=1
i=0

∞

∞

c)

( − 1) n

1

(2

( x − 2) n
n)! x 2 n
d)

nn
n=0
n=1

386

9. Funktionenreihen

9.7

Zeigen Sie, dass die Taylor-Reihen von Sinus und Kosinus am Entwicklungs-
punkt x 0 = 0 gegeben sind durch

∞

∞

( − 1) n

( − 1) n
sin x =
x 2 n+1

,
cos x =
x 2 n.

(2 n + 1)!

(2 n)!

n=0
n=0

Man bestimme den Konvergenzbereich der Potenzreihen.

9.8

Entwickeln Sie die Funktion

1
f ( x) =

− 2 , x > 0 ,
x 2
x
am Entwicklungspunkt x 0 = 1 in eine Taylor-Reihe. Geben Sie den zugehörigen

Konvergenzbereich an.

1

9.9

Man berechne die Taylor-Reihe der Funktion f ( x) = √
an der Stelle

1 + x
x 0 = 0 und bestimme den Konvergenzbereich.

9.10

Berechnen Sie die Taylor-Reihen der Arkusfunktionen arcsin , arccos , arccot
und bestimmen Sie den Konvergenzbereich.

9.11

Man berechne die Taylor-Reihe der Areafunktionen ar sinh , ar cosh , ar coth
und bestimme den Konvergenzbereich.

9.12

Entwickeln Sie f ( x) = cos x an der Stelle x 0 = π 3 in eine Taylor-Reihe und
bestimmen Sie den Konvergenzbereich.

9.13
a) Erstellen Sie mit Maple eine Prozedur zur graphischen Darstellung der

Taylor-Polynome einer Funktion, indem Sie den taylor-Befehl verwenden.

b) Bestimmen Sie damit die Taylor-Reihe von y = |x| an der Stelle x 0 = 0 bis
zur Ordnung 10.

c) Bestimmen Sie die Taylor-Reihe von y = sin x+ 14 sin 4 x an der Stelle x 0 = 0 .

Wie groß muss die Ordnung gewählt werden, damit graphisch kein Unterschied
zwischen Funktion und Taylor-Reihe im Bereich [ −π, π] erkennbar ist?

9.14

Die Funktion f ( x) = x e−x soll in der Umgebung des Nullpunktes durch ein

Polynom dritten Grades angenähert werden. Man bestimme mit der Taylor-
schen Reihenentwicklung diese Funktion.

√

9.15

Man berechne den Funktionswert von f ( x) =

1 − x an der Stelle x =

0 . 05 auf sechs Dezimalstellen genau, wenn als Auswertepolynom ein Taylor-

Reihenansatz mit Entwicklungspunkt x 0 = 0 gewählt wird .

9.16

Wie groß ist der maximale Fehler im Intervall [0 , 13 ], wenn man die Funktion
sin x
f ( x) =
x
um den Punkt x 0 = 2 bis zur Ordnung 2 entwickelt?

1 1 ex − 1

9.17

Berechnen Sie
dx bis auf 3 Stellen genau.

0
x

1 x

1

9.18

Lösen Sie das unbestimmte Integral F ( x) =
dt, indem der Inte-

0 1 + t 2
grand zunächst in eine Taylor-Reihe am Entwicklungspunkt x 0 = 0 entwickelt
und anschließend gliedweise integriert wird.

Kapitel 10

10

Differenzialrechnung bei Funktionen mit
mehreren Variablen

10

Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren

Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

387

10.1

Funktionen mit mehreren Variablen ............................ 389

10

10.1.1

Einführung und Beispiele ......................................... 389

10.1.2

Darstellung von Funktionen mit zwei Variablen.............. 392

10.2

Stetigkeit ............................................................ 398

10.3

Differenzialrechnung............................................... 400

10.3.1

Partielle Ableitung ................................................. 400

10.3.2

Totale Differenzierbarkeit......................................... 408

10.3.3

Gradient und Richtungsableitung ............................... 410

10.3.4

Der Taylorsche Satz ............................................... 416

10.3.5

Kettenregeln ........................................................

cd

10.4

Anwendungen der Differenzialrechnung ....................... 423

10.4.1

Das Differenzial als lineare Näherung .......................... 423

10.4.2

Fehlerrechnung ..................................................... 428

10.4.3

Lokale Extrema bei Funktionen mit mehreren Variablen ... 432

10.4.4

Ausgleichen von Messfehlern; Regressionsgerade ............ 439

10.5

Aufgaben zur Differenzialrechnung ............................. 446

Zus¨
atzliche Abschnitte auf der CD-Rom

10.6

MAPLE: Funktionen in mehreren Variablen ...................

cd

10.6.1

Darstellung von Funktionen in zwei Variablen................

cd

10.6.2

Differenzialrechnung...............................................

cd

10.6.3

Anwendung der Differenzialrechnung ..........................

cd

10 Differenzialrechnung bei Funktionen
mit mehreren Variablen

Das Kapitel über die Funktionen von mehreren Variablen besteht aus vier Abschnit-
ten. In 10.1 werden die Funktionen mit mehreren Variablen eingeführt und die gra-
phische Darstellung von Funktionen mit zwei Variablen angegeben. Der Begriff der

Stetigkeit wird in 10.2 verallgemeinert. Der mathematisch wichtigste Abschnitt ist

10.3, der die Differenzialrechnung zur Charakterisierung und Beschreibung dieser

Funktionen behandelt. Die Konstruktion der Ableitung wird verallgemeinert und
neue Begriffe wie die partielle Ableitung, die totale Differenzierbarkeit, der Gradient
und die Richtungsableitung eingeführt. Der Taylorsche Satz liefert den Übergang zu
den Anwendungen in 10.4, bei denen die Diskussion der Fehlerrechnung, lokale Ex-
tremwertbestimmungen und die Ausgleichsrechnung im Vordergrund stehen.

Hinweis: Auf der CD-Rom befinden sich ein zusätzliche Abschnitte über Kettenre-
geln und Koordinatentransformationen.

10.1

10.1 Funktionen mit mehreren Variablen

In diesem Abschnitt werden Funktionen mit mehreren Variablen anhand physikalischer Pro-
blemstellungen eingeführt. Zentral dabei sind die unterschiedlichen Darstellungen von Funk-
tionen mit zwei Variablen.

Hinweis: Auf der CD-Rom befindet sich viele Maple-Worksheets, die Funktionen mit zwei

Variablen dreidimensional visualisieren.

10.1.1 Einf¨
uhrung und Beispiele

Eine Funktion f einer reellen Variablen x besteht aus dem Definitions- und

Zielbereich sowie der eindeutigen Funktionszuordnung:

f : ID → IR
mit
x → y = f ( x) .

Die Zuordnung erfolgt üblicherweise mit Hilfe einer Vorschrift y = f ( x); die

Funktionen können dann in der Regel als Schaubild (= Graph der Funktion)

dargestellt werden.

Beispiele 10.1 (Funktionen einer Variablen):

{ f : IR → IR mit f ( x) = a x + b (Geradengleichung).

| f : IR > 0 → IR mit f ( x) = ln x · cos x 2 − 1 .

} Potenzial in einem ebenen Plattenkondensator
x

Φ : [0 , d] → IR mit Φ ( x) = ΔΦ

,
d
wenn d der Plattenabstand und ΔΦ = Φ2 − Φ1 die Potenzialdifferenz ist.

390

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

Viele in den Naturwissenschaften auftretenden Zusammenhänge sind aber kom-
plizierter und lassen sich nicht durch eine Funktion mit einer Variablen be-
schreiben. Die meisten physikalischen Gesetze stellen Beziehungen zwischen
mehreren unabhängigen Größen dar.

Beispiele 10.2 (Funktionen mit zwei Variablen):

{ Für ein ideales Gas gilt die Zustandsgleichung
p = R · T .

V

Der Druck p hängt sowohl von der Temperatur T als auch von dem Gasvolumen

V ab. R ist die universelle Gaskonstante. Jedem Wertepaar ( T, V ) wird durch
diese Formel ein Druckwert p ( T, V ) zugeordnet:

( T, V ) → p ( T, V ) = R · T .

V

Neben der Angabe der Zuordnungsvorschrift gehört noch die des Definitions-
bereichs. Physikalisch sinnvoll ist T > 0 , V > 0.

| Die Wurfweite W beim schiefen Wurf
bestimmt sich über die Beziehung
v 2

W = 0 sin (2 α) ,

Abb. 10.1. Wurfweite W
g
wenn v 0 die Anfangsgeschwindigkeit, α der Wurfwinkel und g die konstante

Erdbeschleunigung ist. Die Wurfweite hängt also von v 0 und α ab; jedem

Zahlenpaar ( v 0 , α) wird eindeutig eine Weite W ( v 0 , α) zugeordnet:

1

( v 0 , α) → W ( v 0 , α) =
v 2 sin (2 α)

g 0
mit v > 0 und 0 < α ≤ 90 ◦.

} Der Abstand d eines Punktes P ( x, y)

vom Ursprung beträgt in der Ebene nach
dem Satz von Pythagoras

d =
x 2 + y 2 .

Abb. 10.2. Abstand d

Jedem Punkt ( x, y) wird genau ein Funk-
tionswert (der Abstand) d ( x, y) zugeordnet

( x, y) → d ( x, y) =
x 2 + y 2 .

10.1

Funktionen mit mehreren Variablen

391

Beispiele 10.3 (Funktionen mit mehr als zwei Variablen):

{ Der Abstand d zweier Punkte P 1 ( x 1 , y 1 , z 1) und P 2 ( x 2 , y 2 , z 2) beträgt im dreidimensionalen Raum

−−−→
d = P 1 P 2 =

( x 1 − x 2)2 + ( y 1 − y 2)2 + ( z 1 − z 2)2 .

Der Abstand d ist eine Funktion der 6 Variablen x 1 , x 2 , y 1 , y 2 , z 1 , z 2:

( x 1 , x 2 , y 1 , y 2 , z 1 , z 2) → d ( x 1 , . . . , z 2) =

( x 1 − x 2)2 + . . . + ( z 1 − z 2)2 .

| Für eine Reihenschaltung von n Ohmschen Widerständen R 1 , . . . , Rn
berechnet sich der Gesamtwiderstand über

R = R 1 + R 2 + . . . + Rn .

Der Gesamtwiderstand ist eine Funktion der n Einzelwiderstände

( R 1 , R 2 , . . . , Rn) → R ( R 1 , . . . , Rn) = R 1 + R 2 + . . . + Rn .

Definition: Eine reelle Funktion f von n reellen Variablen x 1 , . . . , xn
ist eine Abbildung, die jedem ( x 1 , . . . , xn) ∈ ID genau einen Wert in IR
zuordnet:

f : ID → IR mit ( x 1 , . . . , xn) → y = f ( x 1 , . . . , xn) .

Der Definitionsbereich ID
ist dabei eine Menge von n -Tupeln

( x 1 , . . . , xn) ∈ IR n reeller Zahlen, die in den Funktionsausdruck einge-
setzt werden.

Die ausführliche Bezeichnung sowie die Angabe des Definitionsbereichs ist in
der Praxis recht schwerfällig, so dass man in den Anwendungen stattdessen
etwas nachlässig einfach von der Funktion f ( x 1 , . . . , xn) spricht.

Wir werden in diesem Abschnitt hauptsächlich Funktionen mit zwei Variablen
behandeln. Viele Eigenschaften von Funktionen mehrerer Variablen können
hier bereits verdeutlicht werden. Funktionen von zwei Variablen haben den

Vorteil, dass sie sich graphisch darstellen lassen; Funktionen mit mehr als zwei

Variablen nicht mehr! Im Folgenden sei daher
z = f ( x, y) ,

( x, y) ∈ ID
eine reellwertige Funktion der zwei Variablen x und y, die auf einem Gebiet

ID ⊂ IR2 definiert ist.

392

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

Beispiel 10.4. In Abb. 10.3 sind einige Beispiele für zweidimensionale Gebiete
angegeben.

Abb. 10.3. Beispiele für zweidimensionale Gebiete

Fall (1) ( nicht zusammenh¨
angendes Gebiet) ist für die Anwendungen weniger
wichtig; Fall (3) heißt zusammenh¨
angend; Fälle (2) und (4) heißen einfach
zusammenh¨
angend.

10.1.2 Darstellung von Funktionen mit zwei Variablen

Zur Veranschaulichung von Funktionen mit zwei Variablen haben sich im We-
sentlichen drei Darstellungsarten bewährt:

(1) Der Graph. Unter dem Graphen von f versteht man die Menge der

Punkte ( x, y, f ( x, y)) für die ( x, y) aus dem Definitionsbereich von f sind. In
der Regel ist ein Graph eine gekrümmte Fläche im dreidimensionalen Raum

.

/

Γ f := ( x, y, z) ∈ IR3 : z = f ( x, y) und ( x, y) ∈ ID

.

Abb. 10.4. Der Graph einer zweidimensionalen Funktion

10.1

Funktionen mit mehreren Variablen

393

Beispiel 10.5 (Mexikanischer Hut, mit Maple-Worksheet). Gegeben
ist die Funktion
sin ( r)

f ( r) =

.

r

Ersetzt man r =
x 2 + y 2, erhält man eine Funktion von zwei Variablen x
und y:

sin
x 2 + y 2
f ( x, y) =

.

x 2 + y 2

Die Darstellung der Funktion in Form eines dreidimensionalen Graphen erhält
man mit Maple zu

Abb. 10.5. Mexikanischer Hut

(2) H¨
ohenlinien. Eine Funktion f kann auch durch ihre Höhenlinien (Ni-
veaulinien) graphisch dargestellt werden. Die H¨
ohenlinie von f zur Höhe c ist
die Menge der Punkte ( x, y) ∈ ID, welche die implizite Gleichung
f ( x, y) = c
erfüllen. Höhenlinien sind Schnitte des Graphen ( x, y, f ( x, y)) mit Ebenen
parallel zur ( x, y)-Ebene mit Achsenabschnitt c.

Beispiel 10.6 (Mit Maple-Worksheet). Gegeben ist die Funktion
f ( x, y) = x 2 + y 2 .

In Abb. 10.6 (links) ist der Graph der Funktion in Form einer dreidimensio-
nalen Darstellung gezeigt. Die Höhenlinien werden als Schnitte des Graphen
mit Ebenen parallel zur ( x, y)-Ebene eingezeichnet. In Abb. 10.6 (rechts) sind
die Höhenlinien in die ( x, y)-Ebene projiziert.

394

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

Höhenlinien = Schnitte des Graphen

Höhenlinien projiziert
mit Ebenen parallel zur ( x, y)-Ebene
in die ( x, y)-Ebene

Abb. 10.6. Graph einer Funktion f( x, y) und Höhenlinien

Zur graphischen Charakterisierung der Funktion wählt man also mehrere Höhen
und zeichnet die markierten Niveaulinien in der ( x, y)-Ebene. Anwendungs-
beispiele sind Kurven gleichen Luftdrucks auf der Wetterkarte ( Isobare), die

Höhenlinien auf der Landkarte oder die Linien gleichen Potenzials ( ¨

Aquipo-
tenziallinien) bei der Beschreibung elektrostatischer Felder.

Anwendungsbeispiel 10.7 (Elektrostatisches Potenzial, mit Maple-

Worksheet).

Das elektrostatische Potenzial einer im Ursprung befindlichen elektrischen

Ladung q ist im Abstand r bestimmt durch

1
q

Φ ( r) =

( ∗)

4 π ε 0 r
mit der Dielektrizitätskonstante ε 0 = 8 . 8 · 10 − 12 F .

m

(1) Gesucht ist eine dreidimensionale Dar-
stellung des Potenzialverlaufs in der ( x, y)-

Ebene sowie 20 Äquipotenziallinien für ei-
ne Punktladung q = e = 1 . 6 · 10 − 19 C.

Um eine dreidimensionale Darstellung zu

erhalten, setzt man r =
x 2 + y 2 in die

Potenzialformel ( ∗) ein:

Abb. 10.7. Ladung im Ursprung

1
q

Φ ( x, y) =

.

4 π ε 0
x 2 + y 2

Dann ist Φ ( x, y) eine Funktion der zwei Variablen x und y. Für ( x, y) → (0 , 0) wächst das Potenzial über alle Grenzen hinweg; es wird singul¨
ar. Damit der
funktionale Verlauf aus dem Graphen erkenntlich wird, schränkt man den dar-

10.1

Funktionen mit mehreren Variablen

395
zustellenden Wertebereich ein.

Abb. 10.8. Elektrischer Monopol

Fügt man zusätzlich Linien gleichen Potenzials in den Graphen ein, erhält man
die folgende graphische Darstellung:

Abb. 10.9. Elektrischer Monopol mit Äquipotenziallinien

(2) Gesucht ist der Potenzialverlauf sowie die Höhen-
liniendarstellung eines elektrischen Quadrupols, wenn
die Ladungen in den Ecken eines Quadrats mit Kan-
tenlänge L angeordnet sind.

→

Eine Ladung q, die bei r 0= ( x 0 , y 0) lokalisiert ist, in-

Abb. 10.10.

→
duziert am Ort r = ( x, y) ein Potenzial gemäß

Quadrupol

1
q

Φ ( x, y) =

.

4 π ε 0

( x − x 0)2 + ( y − y 0)2

396

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

Für das Potenzial mehrerer Punktladungen q 1 , . . . , qn gilt das Superpositions-
prinzip

Φ ( x, y) = Φ1 ( x, y) + . . . + Φ n ( x, y) .

Folglich ist das Potenzial des elektrischen Quadrupols am Ort ( x, y), wenn die

Ladungen sich bei ( L , L ), ( L , − L ), ( − L , L ), ( − L , − L ) befinden

2

2

2

2

2

2

2

2

⎧

⎨

1
q

−q

Φ ( x, y)

=

+

4 π ε

⎩

0

2

2

2

2
x − L

+ y − L
x − L

+ y + L

2

2

2

2

⎫

−

⎬
q
q

+

+

2

2

2

2 ⎭.

x + L

+ y − L
x + L

+ y + L

2

2

2

2

Die graphische Darstellung des Quadrupols erfolgt entweder in Form einer
dreidimensionalen Darstellung in Abb. 10.11

Abb. 10.11. Potenzialverlauf beim elektrischen Quadrupol
oder in Form von Äquipotenziallinien in Abb. 10.12.

Abb. 10.12. Äquipotenziallinien beim elektrischen Quadrupol

10.1

Funktionen mit mehreren Variablen

397

(3) Schnittkurvendiagramme. Höhenlinien sind die Schnitte des Graphen
von z = f ( x, y) mit Ebenen parallel zur ( x, y)-Ebene. Wählt man stattdessen
eine Ebene parallel zur ( x, z)- oder ( y, z)-Ebene, kommt man zu den sog.

Schnittkurvendiagrammen
z = f ( x = c, y)

Schnittebene parallel zu ( y, z),
z = f ( x, y = c)

Schnittebene parallel zu ( x, z).

Anwendung findet diese Darstellung in den Kennlinienbildern, wie das folgen-
de Beispiel verdeutlichen soll.

Anwendungsbeispiel 10.8 (Zustandsgleichung idealer Gase).

Gegeben ist die Zustandsgleichung für ideale Gase

T
p = R

.

V

Hierbei ist p der Druck, T die Temperatur, V das Volumen und R die universel-
le Gaskonstante. Indem man für die Temperatur T konstante Werte einsetzt,

T 1 < T 2 < T 3 < T 4 < T 5, erhält man den Druck als Funktion des Gasvolumens V . Man bezeichnet die Kurven gleicher Temperatur auch als Isotherme.

Abb. 10.13. Darstellung des Drucks über Isotherme

Auf der CD-Rom befindet sich die Prozedur Funktion2d. Diese Proze-
dur stellt eine Funktion von zwei Variablen graphisch als Animation
unter unterschiedlichen Blickwinkeln dar. Zunächst erfolgt die Darstellung als
dreidimensionales, farbiges Schaubild, anschließend werden die Höhenlinien
eingeblendet und nur noch Grauschattierungen der Funktion dargestellt.

398

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

10.2

10.2 Stetigkeit

Die Stetigkeit einer Funktion f ( x) bedeutet unpräzise gesprochen, dass der Graph von
f keine Sprünge aufweist. In diesem Sinne bezeichnet man auch eine Funktion mit zwei

Variablen als stetig.

Die Präzisierung des Stetigkeitsbegriffs im Punkte x 0 ist, dass der linksseitige
und rechtsseitige Funktionsgrenzwert mit dem Funktionswert f ( x 0) überein-
stimmt. D.h. unabhängig ob man sich von links oder von rechts an x 0 nähert, es
kommt immer der selbe Funktionswert f ( x 0) heraus: Für jede Folge xn → x 0
konvergiert f ( xn) → f ( x 0). Übertragen auf Funktionen mit zwei Variablen
liefert dies die folgende Definition.

Definition: (Stetigkeit). Die Funktion f heißt im Punkte ( x 0 , y 0) ∈ ID
stetig, wenn f¨
ur jede Folge von Punkten ( xn, yn) ∈ ID mit xn → x 0 und
yn → y 0 gilt
n→∞
f ( xn, yn) −→ f ( x 0 , y 0) .

Abb. 10.14. Zur Stetigkeit einer Funktion

Bemerkungen:

n→∞

(1) Statt f ( xn, yn) −→ f ( x 0 , y 0) schreibt man auch lim f ( xn, yn) =
n→∞
f ( x 0 , y 0).

(2) Im Folgenden schreiben wir für xn → x und yn → y kurz ( xn, yn) → ( x, y).

(3)

! Achtung: Für die Stetigkeit der Funktion f im Punkte ( x 0 , y 0) ∈ ID
genügt es nicht, dass für eine spezielle Folge von Punkten ( xn, yn) →

( x 0 , y 0) die Funktionsfolge f ( xn, yn) konvergiert, sondern die Betonung
liegt auf jede Folge.

(4) Ist f stetig für alle Punkte des Definitionsbereichs, so heißt f stetig in ID.

10.2

Stetigkeit

399

(5) Geometrische Interpretation: f ist im Punkte ( x 0 , y 0) stetig, wenn
für jede Folge aus dem Definitionsbereich, die gegen ( x 0 , y 0) konvergiert,
die Funktionsfolgen immer gegen den Wert f ( x 0 , y 0) streben (siehe Abb.

10.14).

Beispiele 10.9:

{ Stetig sind z.B. alle Polynome in mehreren Variablen
f ( x, y)

=

2 − x y + 3 x 2 y + 5 x 9 − x 2 y 3
g ( x, y, z)

=
x 3 − 6 x z − 3 y z + 4 x 2 y 3 z 4.

| Folgende Funktionen sind für alle ( x, y) ∈ IR2 stetig

e 2 x− 3 y ,
ln 1 + x 4 + x 2 y 2

,
sin x 2 + y 4

,
x 2 + y 2 .

} Auch rationale Funktionen, die als Quotient von Polynomen definiert sind,
stellen stetige Funktionen in allen Punkten dar, in denen das Nennerpolynom
nicht verschwindet:

x 3 − 2 y 3 + x y

2 x y 2 + 4 y 2 z

F ( x, y) =

,

G ( x, y, z) =

.

x 2 − y 2
x 2 + y 2 + z 2

Die Funktion F ist für alle Punkte aus IR2 stetig, die nicht auf der Geraden
y = x oder y = −x liegen. G ist für alle ( x, y, z) ∈ IR3 mit Ausnahme des Nullpunktes stetig.

~

! Achtung: Die Funktion

2 x y
f ( x, y) =

;

( x, y) = (0 , 0)

x 2 + y 2
ist außerhalb (0 , 0) stetig. f ist aber nicht in (0 , 0) stetig fortsetzbar, denn

wählen wir als Folge im Definitionsbereich ( x

1
n, yn) =

, a → (0 , 0) gilt für
n
n
die Funktionsfolge

2 1 a

2 a
f ( x
n n
n, yn) =

=

.

1

1 + a 2
n 2 + a 2
n 2

Der Funktionsgrenzwert im Punkte (0 , 0) ist abh¨
angig von der gewählten

Folge ( xn, yn) → (0 , 0). Somit ist f dort nicht stetig fortsetzbar.

Bemerkung: Die Stetigkeit einer Funktion f von zwei Variablen in einem
festen Punkt ( x 0 , y 0) bedeutet anschaulich gesprochen, dass der Funktionswert
f ( x, y) beliebig nahe beim Funktionswert f ( x 0 , y 0) liegt, wenn nur der Punkt

( x, y) genügend nahe beim Punkt ( x 0 , y 0) liegt. Diese anschauliche Vorstellung
lässt sich durch die folgende Definition präzisieren:

400

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen
δ- ε-Stetigkeit einer Funktion: Die Funktion f ist im Punkte ( x 0 , y 0) ∈ ID
stetig, wenn es zu jeder (beliebig kleinen) Zahl ε > 0 eine Zahl δ > 0 gibt mit
der Eigenschaft: |f ( x, y) − f ( x 0 , y 0) | < ε für alle Punkte ( x, y) ∈ ID für die

|x − x 0 | < δ und |y − y 0 | < δ.

10.3

10.3 Differenzialrechnung

Der wichtigste Begriff bei der Differenzialrechnung von Funktionen in mehreren Variablen
ist die partielle Ableitung. Rechentechnisch benötigt man die partielle Ableitung bei allen
weiteren Begriffsbildungen wie z.B. der totalen Differenzierbarkeit, beim Gradient und der

Richtungsableitung oder dem Taylorschen Satz.

Hinweis: Auf der CD-Rom befindet sich ein zusätzlicher Abschnitt über Kettenregeln beim

Differenzieren von Funktionen mit mehreren Variablen. Viele Maple-Prozeduren verdeut-
lichen die Begriffsbildungen in diesem Abschnitt.

10.3.1 Partielle Ableitung

Bei Funktionen einer Variablen spielt der Ableitungsbegriff eine zentrale Rolle:

Die Ableitung der Funktion f im Punkte x 0 ist definiert als der Grenzwert
f ( x
f ( x

0 + x) − f ( x 0)

0) = lim

.

x→ 0
x

Aus geometrischer Sicht ist die Ableitung der Funktion f in x 0 gleich der

Steigung der Kurventangente.

Abb. 10.15. Ableitung = Steigung der Tangente in x 0

Dieser Ableitungsbegriff wird auf Funktionen von zwei Variablen f ( x, y) er-
weitert. Wenn wir eine Variable festhalten (z.B. y = y 0), dann ist
z = f ( x, y = y 0)

eine Funktion in der Variablen x. Ist diese Funktion im Punkte x 0 differen-
zierbar, so nennen wir ihre Ableitung die partielle Ableitung nach x. Analog
wird die partielle Ableitung von f nach y definiert.

10.3

Differenzialrechnung

401

Definition: (Partielle Ableitung). Eine Funktion f heißt im Punkt

( x 0 , y 0) ∈ ID partiell nach x differenzierbar, wenn der Grenzwert

∂f
f ( x

( x

0 + x, y 0) − f ( x 0 , y 0)

∂x

0 , y 0) := lim
x→ 0
x
existiert. Man bezeichnet ihn als die partielle Ableitung von f nach
x im Punkte ( x 0 , y 0).

Entsprechend heißt

∂f
f ( x

( x

0 , y 0 + y) − f ( x 0 , y 0)

∂y

0 , y 0) := lim
y→ 0
y
die partielle Ableitung von f nach y im Punkte ( x 0 , y 0), wenn dieser Grenzwert existiert.

Etwas lax formuliert lässt sich die Definition so zusammenfassen: Die par-
tiellen Ableitungen sind nichts anderes als die gew¨
ohnlichen Ablei-
tungen, bei denen alle Variablen bis auf eine festgehalten werden.

Die wichtige Konsequenz hiervon ist, dass sich alle Differenziationsregeln von

Funktionen einer Variablen auf die partielle Differenziation übertragen.

Bemerkungen:

(1) Man beachte, dass die partiellen Ableitungen im Gegensatz zu den gewöhn-
lichen Ableitungen nicht durch Striche (oder Punkte im Falle der zeitlichen

Ableitung) gekennzeichnet werden, sondern durch Indizierung mit der Dif-
ferenziationsvariablen. Allgemein übliche Bezeichnungen sind

∂f

∂
fx ( x, y) ,

( x, y) ,
f ( x, y) , ∂

∂x

∂x
x f ( x, y) ,
bzw. kurz

∂f

∂
fx,

,
f , ∂

∂x

∂x
x f.

Um anzudeuten, dass keine gewöhnlichen Ableitungen vorliegen, wird also
auch d durch ∂ ersetzt. Analoge Bezeichnungen gelten für die partiellen
dx

∂x

Ableitungen nach y.

(2) In Anlehnung an die gewöhnliche Ableitung f bezeichnet man fx und fy
als partielle Ableitungen 1. Ordnung.

(3) Alternative Schreibweisen für die partiellen Differenzialquotienten sind

∂f
f ( x, y

( x

0) − f ( x 0 , y 0)

∂x

0 , y 0)

=
lim
x→x 0
x − x 0
f ( x

=
lim

0 + h, y 0) − f ( x 0 , y 0)

h→ 0
h

402

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen
und

∂f
f ( x

( x

0 , y) − f ( x 0 , y 0)

∂y

0 , y 0)

=
lim
y→y 0
y − y 0
f ( x

=
lim

0 , y 0 + h) − f ( x 0 , y 0) .

h→ 0
h

Im Folgenden geben wir einfache Beispiele zur Berechnung der partiellen Ab-
leitung an. Man beachte, dass hierbei insbesondere die Kettenregel zur An-
wendung kommt.

Beispiele 10.10 (Partielle Ableitung):

 f ( x, y) = x 2 · y 3 + x + y 2:

∂f

∂f

( x, y) = 2 x · y 3 + 1 ;

( x, y) = x 2 · 3 y 2 + 2 y .

∂x

∂y

 f ( x, y) = sin x 2 − y :

∂f

∂f

( x, y) = cos( x 2 − y) · 2 x ;

( x, y) = cos( x 2 − y) ( − 1) .

∂x

∂y

 f ( x, y) = ln 2 x + 4 1 :

y

∂f

1

∂f

1

( x, y) =

· 2 ;

( x, y) =

· 4 ( − 1) y− 2 .

∂x

2 x + 4 1

∂y

2 x + 4 1
y
y

 U = R · I:

∂U

∂U

= I ;

= R .

∂R

∂I

 W = 1 v 2 sin (2 α):

g

0

∂W

∂W

= 1 2 v

= 1 v 2 cos (2 α) · 2 .

∂v
g

0 sin (2 α) ;
g

0

0

∂α

 p = R · T :

V

∂p

T

∂p

R

= −R

;

=

.

∂V

V 2

∂T

V

Bemerkung: Beispiel 10.10  zeigt die physikalisch-chemische Bedeutung
der partiellen Ableitung: Der Druck p eines idealen Gases ist proportional
zum Quotienten T . Somit ist p eine Funktion der beiden Variablen T und

V

V . ∂p bedeutet dann die Änderung des Druckes als Funktion des Volumens,

∂V
wenn die Temperatur konstant gehalten wird. In der Chemie wird dies oftmals

durch

∂p
symbolisiert. ∂p bedeutet entsprechend die Änderung des

∂V

∂T

T = const

Druckes bei Änderung der Temperatur aber konstantem Volumen.

10.3

Differenzialrechnung

403

Geometrische Interpretation: Die anschauliche Bedeutung der partiellen

Ableitungen erläutern wir mit Hilfe von Abb. 10.16 und Abb. 10.17.

Abb. 10.16. Partielle Ableitung in x-Richtung

Die partielle Ableitung ∂ f ( x

∂x

0 , y 0) von f nach x im Punkte ( x 0 , y 0) gibt die

Steigung der Tangente im Punkte ( x 0 , y 0) parallel zur x-Achse an. Entspre-
chend gibt partielle Ableitung ∂ f ( x

∂y

0 , y 0) von f nach y im Punkte ( x 0 , y 0)

die Steigung der Tangente im Punkte ( x 0 , y 0) parallel zur y-Achse an.

Abb. 10.17. Partielle Ableitung in y-Richtung

Partielles Differenzieren von Funktionen mit mehreren Variablen

Ist f eine Funktion der Variablen ( x 1 , . . . , xn), so ist die partielle Ableitung

von f nach der Variablen xi in einem Punkt x 0 , . . . , x 0
definiert als der

1
n

Grenzwert

∂f

f x 0 , . . . , x 0 + h, . . . , x 0 − f x 0 , . . . , x 0 , . . . , x 0
x 0 , . . . , x 0 = lim

1
i
n

1
i
n

,

∂x

1
n
i
h→ 0
h

404

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen
falls dieser existiert. Man nennt ihn die partielle Ableitung von f nach xi

im Punkte x 0 , . . . , x 0
und bezeichnet ihn mit

1
n

∂f

∂

,
f ,
f

,

∂
f .

∂x
xi
xi
i

∂xi

Beispiel 10.11 (Mit Maple-Worksheet). Gesucht sind alle partiellen Ab-
leitungen 1. Ordnung der Funktion

f ( x, y, z) = z · ex 2+ y 2 +

1 + x 2 + z 4 .

Mit der Kettenregel berechnet man
x
fx ( x, y, z) = 2 x z ex 2+ y 2 + √ 1 + x 2 + z 4
fy ( x, y, z) = 2 y z ex 2+ y 2

2 z 3
fz ( x, y, z) = ex 2+ y 2 + √

.

1 + x 2 + z 4

Wir bestimmen noch die partiellen Ableitungen an der Stelle ( x 0 , y 0 , z 0) =

(1 , 2 , 0) durch Einsetzen des Punktes in die obigen Formeln

√
fx (1 , 2 , 0) = 1

2;
f

2
y (1 , 2 , 0) = 0;
fz (1 , 2 , 0) = e 5.

Ableitungen h¨
oherer Ordnung

Sind die partiellen Ableitungen fx ( x, y) und fy ( x, y) ihrerseits wieder parti-
ell differenzierbar, so bezeichnet man ihre partiellen Ableitungen ∂ f

∂x
x ( x, y),

∂ f
f
f

∂y
x ( x, y) und ∂

∂x
y ( x, y), ∂

∂y
y ( x, y) als partielle Ableitungen zweiter Ord-
nung von f . Die Schreibweise für die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung
lauten

∂ 2 f

∂

∂f
fxx :=

:=
zweite partielle Ableitung nach x.

∂x 2

∂x

∂x

∂ 2 f

∂

∂f
fyy :=

:=
zweite partielle Ableitung nach y.

∂y 2

∂y

∂y

∂ 2 f

∂

∂f
fxy :=

:=
zweite partielle Ableitung nach x und y.

∂y ∂x

∂y

∂x

∂ 2 f

∂

∂f
fyx :=

:=
zweite partielle Ableitung nach y und x.

∂x ∂y

∂x

∂y

10.3

Differenzialrechnung

405

Deren Ableitungen wiederum, sofern sie existieren, sind die dritten partiellen

Ableitungen von f :

fxxx, fxxy, fxyx, fyxx, fxyy, fyxy, fyyx , fyyy .

Bemerkungen:

(1) Die Reihenfolge, in der die Differenziation durchgeführt werden muss, ist
von innen nach außen (von links nach rechts): Die Ableitung fxy wird ge-
bildet, indem von der Funktion ( fx) die partielle Ableitung nach y gebildet
wird:

fxy = ( fx) .

y

(2) Man bezeichnet eine Ableitung als gemischte Ableitung, wenn nicht nur
nach einer Variablen differenziert wird.

(3) Die Ordnung der partiellen Ableitung entspricht der Gesamtzahl der zu
bildenden Ableitungen, d.h. der Gesamtzahl der Indizes:

fxyxx
ist z.B. eine Ableitung 4. Ordnung.

Beispiel 10.12. Für die Funktion
f ( x, y) = x 3 y + y
sind die partiellen Ableitungen bis zur Ordnung 3 gegeben durch
fx

=

3 x 2 y,
fy

=
x 3 + 1;
fxx

=

6 x y,
fxy

=

3 x 2 = fyx ,
fyy

=

0;
fxxx

=

6 y,
fxxy

=

6 x = fxyx = fyxx,
fxyy

=

0 = fyxy = fyyx ,
fyyy

=

0.

In diesem Beispiel kommt es nicht auf die Reihenfolge der Ableitungen an,
fxy = fyx , fxxy = fxyx = fyxx usw. Diese Eigenschaft bestätigt sich für prak-
tisch alle in den Anwendungen vorkommenden Funktionen. Es gilt die folgende
wichtige Aussage

406

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

Satz von Schwarz: Vertauschbarkeit von gemischten Ableitun-
gen.

Sind für eine Funktion f ( x, y) in zwei Variablen die gemischten
partiellen Ableitungen fxy und fyx stetig, dann kommt es nicht auf die

Reihenfolge der zu bildenden Ableitungen an. D.h. es gilt dann
fxy( x, y) = fyx( x, y) .

Verallgemeinerung: Sind für eine Funktion f alle partiellen Ableitungen bis
zur Ordnung k ( ≥ 2) stetig, dann kommt es bei allen partiellen Ableitungen
bis zur Ordnung k nicht auf die Reihenfolge der zu bildenden Ableitungen an.

Analog zu den höheren partiellen Ableitungen für Funktionen von zwei Varia-
blen bildet man sie für Funktionen mit mehr als zwei Variablen. Auch hier ist
der Satz von Schwarz gültig.

Beispiel 10.13. Von der Funktion
f ( x, y, z) = ex−y cos (5 z)

sind alle partiellen Ableitungen bis zur Ordnung 2 gesucht:

Ableitungen erster Ordnung:

fx = ex−y cos (5 z)

fy = −ex−y cos (5 z)

fz = − 5 ex−y sin (5 z) .

Ableitungen zweiter Ordnung (bezüglich einer Variablen):

fxx = ex−y cos (5 z)

fyy = ex−y cos (5 z)

fzz = − 25 ex−y cos (5 z) ;

Ableitungen zweiter Ordnung (gemischt):

fxy = −ex−y cos (5 z) = fyx
fxz = − 5 ex−y sin (5 z) = fzx
fyz = 5 ex−y sin (5 z) = fzy.

10.3

Differenzialrechnung

407

Beispiele 10.14:

 ϕ ( x, y) =
x 2 + y 2:

∂ ϕ
x

∂ ϕ
y

=

;

=

;

∂x
x 2 + y 2

∂y
x 2 + y 2
x 2 + y 2 − x x

√

∂ 2 ϕ
x 2+ y 2
x 2 + y 2 − x 2
y 2

=

=

=

;

∂x 2
x 2 + y 2

3

3

( x 2 + y 2) 2

( x 2 + y 2) 2

∂ 2 ϕ
x 2

=

.

∂y 2

3

( x 2 + y 2) 2

Für die Summe der zweiten Ableitungen ϕxx + ϕyy gilt weiterhin:

x 2 + y 2

1

1
ϕxx + ϕyy =

=

=

.

3

1

( x 2 + y 2) 2

( x 2 + y 2) 2
ϕ( x, y)

 r ( x, y, z) =
x 2 + y 2 + z 2:

∂ r
x
x

∂r
y

∂r
z

=

=

;

=

;

=

∂x
x 2 + y 2 + z 2
r

∂y
r

∂z
r

∂ 2 r
r − x x
r 2 − x 2

∂ 2 r
r 2 − y 2

∂ 2 r
r 2 − z 2

=
r =

;

=

;

=

∂x 2
r 2
r 3

∂y 2
r 3

∂z 2
r 3

Für die Summe der zweiten Ableitungen rxx + ryy + rzz gilt weiterhin:

3 r 2 − x 2 + y 2 + z 2

2 r 2

2
rxx + ryy + rzz =

=

=

.

r 3
r 3
r

 f ( x, y, z) = 1 =

1

√

:

r
x 2+ y 2+ z 2

∂f

−x

−x

∂f

−y

∂f

−z

=

=

;

=

;

=

∂x

3

( x 2 + y 2 + z 2) 2
r 3

∂y
r 3

∂z
r 3

∂ 2 f
r 3 − x 3 2 x

=

−

2

= − r 2 − 3 x 2

∂x 2
r 6
r 5

∂ 2 f

∂ 2 f

=

−r 2 − 3 y 2 ;

= − r 2 − 3 z 2

∂y 2
r 5

∂z 2
r 5

Für die Summe der zweiten Ableitungen fxx + fyy + fzz gilt weiterhin:

3 r 2 − 3 x 2 + y 2 + z 2
fxx + fyy + fzz = −

= 0 .

r 5

408

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

10.3.2 Totale Differenzierbarkeit

Während differenzierbare Funktionen einer Variablen immer stetige Funktio-
nen sind, kann man dies i.A. von partiell differenzierbaren Funktionen nicht
behaupten.

Beispiel 10.15. Für die Funktion

2 x y
f ( x, y) =

,

( x, y) = (0 , 0)

x 2 + y 2
berechnen sich die partiellen Ableitungen mit der Quotientenregel

2 y y 2 − x 2

2 x x 2 − y 2
fx ( x, y) =
und
fy ( x, y) =

.

( x 2 + y 2)2

( x 2 + y 2)2

Im Punkte ( x, y) = (0 , 0) existiert sowohl die partielle Ableitung von f nach
x, als auch nach y: fx (0 , 0) = fy (0 , 0) = 0, obwohl die Funktion nach Beispiel 10.9 ~ dort nicht stetig ist!

Daher führt man den Begriff der totalen Differenzierbarkeit ein, der vom Be-
griff der partiellen Differenzierbarkeit zu unterscheiden ist. Man nennt eine

Funktion f von zwei Variablen im Punkte ( x 0 , y 0) total differenzierbar, wenn
sie nahe dieses Punktes durch eine Ebene angenähert werden kann:

Definition: (Totale Differenzierbarkeit). Die Funktion f heißt im

Punkte ( x 0 , y 0) ∈ ID total differenzierbar, wenn es Zahlen A, B ∈ IR
und Funktionen ε 1 ( x, y) , ε 2 ( x, y) gibt, so dass f¨
ur alle ( x, y) nahe bei

( x 0 , y 0) gilt
f ( x, y)

=
f ( x 0 , y 0) + A · ( x − x 0) + B · ( y − y 0)

( ∗)

+ ε 1 ( x, y) ( x − x 0) + ε 2 ( x, y) ( y − y 0),
wenn die Funktionen ε 1 und ε 2 gegen Null gehen f¨
ur ( x, y) → ( x 0 , y 0):

ε 1 ( x, y) → 0 für ( x, y) → ( x 0 , y 0)

ε 2 ( x, y) → 0 für ( x, y) → ( x 0 , y 0).

Gleichung ( ∗) besagt, dass in der Nähe des Punktes ( x 0 , y 0) die Funktionswerte
f ( x, y) näherungsweise durch die lineare Funktion
z ( x, y) = f ( x 0 , y 0) + A ( x − x 0) + B ( y − y 0)

beschrieben werden. Der Graph von z stellt eine Ebene im IR3 dar, die durch
den Punkt ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0)) geht. Sie heißt die Tangentialebene von f in ( x 0 , y 0), da sie sich in der Umgebung dieses Punktes an den Graphen der

Funktion f anschmiegt.

10.3

Differenzialrechnung

409

Abb. 10.18. Funktion und Tangentialebene

Aus der totalen Differenzierbarkeit folgt sowohl die partielle Differenzierbar-
keit als auch die Stetigkeit von f :

Satz: Ist f in ( x 0 , y 0) total differenzierbar, dann folgt

(1) f ist in ( x 0 , y 0) stetig.

(2) Es existieren die partiellen Ableitungen
fx ( x 0 , y 0) ,
fy ( x 0 , y 0) .

(3) Die Zahlenwerte A und B in Gleichung ( ∗) berechnen sich durch

A = fx ( x 0 , y 0) ,

B = fy ( x 0 , y 0) .

(4) Der Graph der Funktion f lässt sich in der Nähe des Punktes annähern
durch die Tangentialebene zt
f ( x, y) ≈ zt = f ( x 0 , y 0) + fx ( x 0 , y 0) ( x − x 0) + fy ( x 0 , y 0) ( y − y 0) .

Die Definition für die totale Differenzierbarkeit ist anschaulich zwar einprägsam,
aber im konkreten Fall schwierig nachzuprüfen. Man kann aber anhand der
partiellen Ableitungen entscheiden, ob eine Funktion f total differenzierbar
ist:

Satz: f ist in einer Umgebung von ( x 0 , y 0) ∈ ID partiell nach x und y differenzierbar und die partiellen Ableitungen fx und fy sind in ( x 0 , y 0)

stetig. Dann ist f in ( x 0 , y 0) total differenzierbar.

410

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

Beispiel 10.16 (Tangentialebene, mit Maple-Worksheet). Gesucht ist
die Tangentialebene der Funktion
f ( x, y) = e−( x 2+ y 2)

im Punkte ( x 0 , y 0) = (0 . 15 , 0 . 15) .

Die partiellen Ableitungen der Funktion
fx ( x, y) = − 2 x e−( x 2+ y 2)

fy ( x, y) = − 2 y e−( x 2+ y 2)

sind stetig. Daher ist die Funktion total differenzierbar und die Tangentialebe-
ne ist gegeben durch
z = f ( x 0 , y 0) + fx ( x 0 , y 0) ( x − x 0) + fy ( x 0 , y 0) ( y − y 0)

= e− 9

200 − 3 e− 9

200 ( x − 0 . 15) − 3 e− 9

200 ( y − 0 . 15) .

10

10

Wir stellen in Abb. 10.19 sowohl die Funktion als auch die Tangentialebene
graphisch dar:

Abb. 10.19. Funktion f ( x, y) = e−( x 2+ y 2) mit Tangentialebene

Man erkennt, dass die Tangentialebene im Entwicklungspunkt ( x 0 , y 0) den

Graphen der Funktion f berührt.

10.3.3 Gradient und Richtungsableitung

In diesem Abschnitt gehen wir von einer Funktion f ( x, y) mit zwei Variablen
x und y aus, die stetig partiell differenzierbar nach x als auch nach y ist.

Der Gradient

Bei Funktionen einer Variablen gibt die Ableitung der Funktion im Punkte
x 0 die Steigung (= Steilheit) der Funktion an. An Stellen großer Ableitung
ändert sich die Funktion stark, an Stellen geringer Ableitung ändert sie sich
schwach. Bei Funktionen zweier Variablen berücksichtigt man als Maß sowohl
die partielle Ableitung in x-Richtung als auch in y-Richtung. Um eine Funk-
tion f bezüglich ihrer Steigung in einem Punkt ( x 0 , y 0) zu charakterisieren,

10.3

Differenzialrechnung

411

⎛

⎞

∂f

⎜

( x 0 , y 0)

⎜ ∂x

⎟

⎟
führt man den Vektor grad f ( x 0 , y 0) := ⎜
ein, dessen Kom-

⎝

⎟

∂f

⎠

( x

∂y

0 , y 0)

ponenten aus der partiellen Ableitung nach x und y bestehen. Er beschreibt
die Neigung der Tangentialebene im Punkte ( x 0 , y 0)! Da dieser Vektor den

Grad der Steigung der Funktion angibt, nennt man ihn den Gradienten.

Definition: (Gradient)

⎛

⎞

∂f

Der Vektor

⎜

( x 0 , y 0)

⎜ ∂x

⎟

⎟
grad f ( x 0 , y 0) := ⎜

⎝

⎟

∂f

⎠

( x

∂y

0 , y 0)

heißt der Gradient von f an der Stelle ( x 0 , y 0).

F¨
ur den Gradienten wird oft der sog. Nabla-Operator ∇ verwendet:

∇

∂

∂

:=
x

⇒ grad f = ∇f =
x f

.

∂y

∂y f

Beispiele 10.17 (Mit Maple-Worksheet):

(1) Gesucht ist der Gradient der Funktion

⎛

⎞

⎛

⎞

∂f
x

⎜

⎜ ∂x ⎟

⎟

⎜

⎜ x 2 + y 2 + 1 ⎟

⎟
f =
x 2 + y 2 + 1 :

grad f = ⎜

=

.

⎝

⎟

⎜

⎟

∂f ⎠

⎝
y

⎠

∂y
x 2 + y 2 + 1

Stellt man dieses Ergebnis in Form einer Vektorgraphik dar, erhält man die
zweidimensionale Darstellung:

Abb. 10.20. Zweidimensionale Darstel-
lung
des

Gradienten
einer

Funktion
f ( x, y)

412

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

(2) Gesucht ist der Gradient der Funktion

⎛

⎞

⎛

⎞

∂f
x

⎜

⎜ ∂x ⎟

⎜ x 2 + y 2 + z 2 + 1 ⎟

⎜

⎟

⎟

⎜

⎜

⎟

⎟

⎜

⎜

⎟

⎜

⎟

∂f ⎟

⎜
y

⎟
f =
x 2 + y 2 + z 2 + 1 :

grad f = ⎜

⎜

⎟ = ⎜

⎟ .

⎜ ∂y ⎟

⎜ x 2 + y 2 + z 2 + 1 ⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎟

⎜

⎟

∂f ⎠

⎝
z

⎠

∂z
x 2 + y 2 + z 2 + 1

Stellt man dieses Ergebnis in Form einer Vektorgraphik dar, erhält man die
dreidimensionale Darstellung:

Abb. 10.21. Dreidimensionale Dar-
stellung des Gradienten einer Funk-
tion f ( x, y, z)

Anwendungsbeispiel 10.18 (Elektrisches Feld einer Punktladung).

Gegeben ist eine Punktladung q an der Stelle
r 0 = ( x 0 , y 0 , z 0). Gesucht ist
das Potenzial Φ(
r) und das elektrische Feld

E (
r) in einem beliebigen Punkt
des Raumes
r = ( x, y, z). Das durch die Punktladung induzierte Potenzial ist

1
q

1
q

Φ (
r) =

=

4 π ε 0 |r − r 0 |

4 π ε 0

( x − x 0)2 + ( y − y 0)2 + ( z − z 0)2
und das zugehörige elektrische Feld ist definiert durch

⎛

⎞

∂x Φ( x, y, z)

E (
r) := − grad Φ ( r) = − ⎝ ∂

⎠
y Φ( x, y, z)

.

∂z Φ( x, y, z)

Um Missverständnisse mit den partiellen Ableitungen von

E auszuschließen,
wird im Folgenden die x-Komponente des elektrischen Feldes statt Ex mit E 1,
die y-Komponente statt Ey mit E 2 und die z-Komponente statt Ez mit E 3

10.3

Differenzialrechnung

413
bezeichnet:

E 1 ( x, y, z) = −∂x Φ ( x, y, z)

q

− 12

= −∂x

( x − x

4 π ε

0)2 + ( y − y 0)2 + ( z − z 0)2

0

1
q

=

( x − x

4 π ε

3

0)

0

( x − x 0)2 + ( y − y 0)2 + ( z − z 0)2

1
q

=

( x − x

4 π ε

0)

0 |
r − r 0 | 3

Analog berechnen sich

1
q

E 2 ( x, y, z) = −∂y Φ ( x, y, z) =

( y − y

4 π ε

0)

0 |
r − r 0 | 3

1
q

E 3 ( x, y, z) = −∂z Φ ( x, y, z) =

( z − z

4 π ε

0)

0 |
r − r 0 | 3

⎛

⎞
x − x 0

⇒

1
q

1
q

E (
r) =

⎝ y − y ⎠ =

(
r − r

4 π ε

0

0).

0 |
r − r

4 π ε

0 | 3

|r − r
z − z

0

0 | 3

0

Man nennt

E (
r) auch ein Vektorfeld.

Die Richtungsableitung

In Abb. 10.22 sind für das Zwei-Elektroden-System eines elektrolytischen Trogs

Äquipotenziallinien schematisch gezeichnet.

Abb. 10.22. Qualitativer Verlauf der Potenziallinien im elektrolytischen Trog

Der Gradient von Φ steht senkrecht zu den ¨

Aquipotenziallinien; der

Betrag ist ein Maß für die Dichte der Potenziallinien: An Stellen mit hoher

Dichte (nahe der Kante) stellt sich ein hohes elektrisches Feld ein, an Stellen
mit geringer Dichte (rechte Elektrode) ein kleines Feld. Wird das elektrische

Feld z.B. auf der Elektrodenoberfläche gesucht, so ist nicht die Ableitung von

Φ in Richtung x oder y gesucht, sondern die Ableitung von Φ in eine vorgege-
bene Richtung
n. Dies führt auf den Begriff der Richtungsableitung:

414

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

Gegeben ist eine Funktion f , gesucht ist die Änderung der Funktion in Rich-
tung
n, wenn
n der Richtungs-Einheitsvektor ist. Zur Bestimmung der Rich-
tungsableitung projiziert man den Gradienten in Richtung des Vektors
n.

Nach Kapitel 2.2.2 gilt für die Projektion eines Vek-
tors b in Richtung a die Formel

a · b
ba =

· a ,

|a| 2
wenn a · b das Skalarprodukt und |a| der Betrag des

Vektors a ist. Für den Fall, dass a ein Einheitsvektor ist (d.h. |a| = 1), gilt für
den Betrag von ba

ba = ba = a ·b .

Übertragen auf unser Problem der Ableitung in Richtung
n bedeutet dies:

Definition: (Richtungsableitung). Die Ableitung einer Funktion
f ( x, y) mit zwei Variablen in Richtung des Einheitsvektors
n

=

n 1
ist gegeben durch
n 2

∂f
n

∂

:=
n · grad f =

1

·
x f ( x, y)

∂
n
n 2

∂y f ( x, y)

= n 1 ∂x f ( x, y) + n 2 ∂y f ( x, y) .

Sie heißt Richtungsableitung von f und wird auch mit

∂

∂n f ,
f , D

∂
n

n f
bezeichnet.

Abb. 10.23. Richtungsableitung

10.3

Differenzialrechnung

415

!Achtung: Im Gegensatz zum Gradienten stellt die Richtungsableitung kei-
nen Vektor, sondern eine skalare Größe dar. Die partiellen Ableitungen nach
x und y sind Spezialfälle der Richtungsableitung.

Spezialf¨
alle:

1

Für
n =
ist ∂
die partielle Ableitung nach x.

0

n f = ∂f

∂x

0

Für
n =
ist ∂
die partielle Ableitung nach y.

1

n f = ∂f

∂y

Die Richtungsableitung von f in Richtung
n ist also die Projektion
des Gradienten grad f auf die Gerade mit Richtung
n. Folglich gilt:

Satz:

(1) Die Richtungsableitung ist am größten, wenn die Richtung
n parallel
zum Gradienten ist.

(2) Die Richtungsableitung ist Null, wenn
n senkrecht zum Gradienten
grad f steht.

(3) Der Gradientenvektor grad f zeigt in Richtung des stärksten Anstiegs
bzw. Abfalls der Funktion f ( x, y). Sein Betrag gibt die Größe der

Steigung bzw. des Abfalls an.

Beispiele 10.19 (Richtungsableitung, mit Maple-Worksheet):

 Gegeben ist die Funktion f ( x, y) =
x 2 + y 2. Gesucht ist die Ableitung

1
von f in Richtung
n = 1

√

:

2

1

Die partiellen Ableitungen von f nach x und y sind
x
y
fx =

,
fy =

.

x 2 + y 2
x 2 + y 2

Damit bestimmt sich die Richtungsableitung in Richtung
n zu

∂f

1

1

1
x

1
x + y

=
n · grad f = √

= √

.

∂
n

2

1
x 2 + y 2
y

2
x 2 + y 2

1

 f ( x, y) = x · y. Gesucht ist die Ableitung von f in Richtung a =

.

2

Die partiellen Ableitungen sind
fx = y,
fy = x.

416

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

1

Der zum Vektor a =
gehörende Normalenvektor ist

2

1

1

1

n =
a = √

.

|a|

5

2

⇒ ∂f

1

1
y

1

= √

= √ (2 x + y) .

∂a

5

2
x

5

Bemerkung: Die Richtungsableitung von f in Richtung des Einheitsvektors

n

n =

1
im Punkte ( x
n

0 , y 0) wird oftmals auch in der äquivalenten Darstel-

2
lung

∂f
f ( x

= lim

0 + h n 1 , y 0 + h n 2) − f ( x 0 , y 0)

∂
n
h→ 0
h
definiert. Dieser Grenzwert spiegelt die Ableitung entlang der Geraden

x 0 + h n 1
x
n

=

0

+ h

1
y 0 + h n 2
y 0
n 2
wider. Diese Gerade ist in der Punkt-Richtungs-Darstellung durch den Punkt

x 0
n
und die Richtung
n =

1
festgelegt.

y 0
n 2

10.3.4 Der Taylorsche Satz

Eine wesentliche Eigenschaft von differenzierbaren Funktionen einer Variablen
besteht darin, dass sie in der Umgebung eines Punktes näherungsweise durch

Polynome ersetzt werden können. Dies ist auch im mehrdimensionalen Fall
möglich. Wir werden den Taylorschen Satz nicht beweisen, stattdessen geben
wir eine Plausibilitätsüberlegung für die Taylorsche Formel für Funktionen mit
zwei Variablen an:

Für eine ( m + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion f ( x) gilt nach der Tay-
lorschen Formel aus Kapitel 9.3 am Entwicklungspunkt x 0 ∈ ID
f ( x) = f ( x 0) + ( x − x 0) f ( x 0) + 1 ( x − x

2

0)2 f ( x 0) + . . . +

+ 1 ( x − x
m!

0) m f ( m) ( x 0) + Rm ( x) ,
wenn die Differenz zwischen dem Polynom und der Funktion durch das Rest-
glied

Rm ( x) =

1
f ( m+1) ( ξ) ( x − x

( m+1)!

0) m+1

10.3

Differenzialrechnung

417
mit einem nicht näher bekannten Wert ξ, der zwischen x und x 0 liegt, bestimmt
ist. In modifizierter Schreibweise lautet die Entwicklung

d

d

2

f ( x)

=
f ( x

0) + ( x − x 0)

f

+ 1 ( x − x
f + . . .

dx

2!

0)2
dx

x 0
x 0

d
m

+ 1 ( x − x
f

+ R
m!

0) m
dx

m ( x)

x 0

m

1
d
n

=

( x − x
f + R
n!

0) dx

m ( x).

( ∗)

n=0
x 0

,

- n

In dieser Formel ersetzen wir ( x − x 0) d
durch die entsprechenden parti-
dx
ellen Ableitungen gemäß
d

∂

∂

( x − x 0)

→ ( x − x

+ ( y − y
dx

0) ∂x

0) ∂y

d
n

∂

∂
n

( x − x 0)

→ ( x − x

+ ( y − y

.

dx

0) ∂x

0) ∂y

Nach der Binomischen Formel (Kapitel 1.2.5) ist
n

n

( a + b) n =
an−k bk ,
k
k=0

n
n!

so dass mit den Binomialkoeffizienten

=
folgt
k

( n − k)! k!

n

d
n

n−k
k
n

∂

∂

( x − x 0)

→

( x − x

( y − y
dx
k

0) n−k

∂x

0) k

∂y
k=0
n

n−k
k

→
n

∂

∂

( x − x

.

k

0) n−k ( y − y 0) k

∂x

∂y
k=0

Polynom vom Grad n
partielle Ableitung
der Ordnung n

In die Taylorsche Formel ( ∗) eingesetzt, folgt

418

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

Satz von Taylor f¨
ur Funktionen mit zwei Variablen: Sei f ( x, y)

eine ( m + 1)-mal stetig partiell differenzierbare Funktion und ( x 0 , y 0) ∈

ID der Entwicklungspunkt. Für ( x, y) ∈ ID gilt

m

1

∂

∂
n

f ( x, y)

=

( x − x

+ ( y − y
f

+ R
n!

0) ∂x

0) ∂y

m
n=0

( x 0 , y 0)

m

n

1
n

=

( x − x
n!

k

0) n−k ( y − y 0) k ·
n=0
k=0
f x...x
y...y ( x

0 , y 0) + Rm
n−k - k -mal
mit dem Restglied
m+1

m + 1

Rm =

1

( x − x

( ξ, η) ,

( m+1)!

k

0) m+1 −k ( y − y 0) k f x...x
y...y

k=0
m+1 −k k -mal
wobei ( ξ, η) ein nicht näher bekannter Punkt auf der Verbindungsgeraden
von ( x 0 , y 0) und ( x, y), die ganz in ID liegen soll.

Bemerkungen:

(1) Wenn ( x, y) hinreichend nahe bei ( x 0 , y 0) liegt, dann ist i.A. die Verbin-
dungsgerade zwischen diesen Punkten ebenfalls in ID enthalten.

(2) Die Formel

∂

∂
n

( x − x

0)

+ ( y − y
f

∂x

0) ∂y

( x 0 ,y 0)

ist folgendermaßen zu interpretieren: Man multipliziere entsprechend der

Potenz n die Summe aus, wende alle Ableitungen auf f an, werte diese

Ableitungen an der Stelle ( x 0 , y 0) aus und multipliziere mit dem Poly-
nom ( x − x 0) i ( y − y 0) j, wenn i die Ordnung der Ableitung ∂ und j die

∂x

Ordnung der Ableitung ∂ repräsentiert ( i + j = n).

∂y

(3) Satz von Taylor f¨
ur Funktionen mit k Variablen: Analog zu der

Herleitung der Taylorschen Formel für eine Funktion mit zwei Variablen
erhält man für eine Funktion f mit k Variablen ( x 1, ..., xk) die Formel
m

1

∂

∂
n
f ( x 1 , ..., xk) =
x

+ . . . + x
n!

1 − x(0)

1

∂x
k − x(0)

k

1

∂xk
n=0
f |

(0)

(0)

+ R
x
m ( x 1 , ..., xk )

1 ,...,xk

10.3

Differenzialrechnung

419
mit dem Entwicklungspunkt ( x(0) , ..., x(0)) und dem Restglied R

1
k
m, das sich
analog zum Restglied einer Funktion mit zwei Variablen berechnet.

Zur Verdeutlichung der Taylorschen Formel für eine Funktion f ( x, y) betrach-
ten wir die Spezialfälle n = 0 , 1 , 2:

n = 0: Mittelwertsatz

0

1

∂

∂
n

f ( x, y)

=

( x − x

+ ( y − y
f

+ R
n!

0) ∂x

0) ∂y

0 ( x, y)

n=0

( x 0 , y 0)

=
f ( x 0 , y 0) + R 0 ( x, y).

Dies ist der sog. Mittelwertsatz f¨
ur Funktionen mehrerer Variablen.

n = 1: Linearisierung

1

1

∂

∂
n

f ( x, y) =

( x − x

+ ( y − y
f

+ R
n!

0) ∂x

0) ∂y

1 ( x, y)

n=0

( x 0 , y 0)

f ( x, y) = f ( x 0 , y 0) + ( x − x 0) fx ( x 0 , y 0) + ( y − y 0) fy ( x 0 , y 0) + R 1 ( x, y) Diese Formel wird zur Linearisierung von Funktionen verwendet, indem
f ( x, y) durch das Polynom auf der rechten Seite ersetzt wird.

n = 2: Quadratische N¨
aherung

2

1

∂

∂
n

f ( x, y) =

( x − x

+ ( y − y
f

+ R
n!

0) ∂x

0) ∂y

2 ( x, y)

n=0

( x 0 , y 0)

= f ( x 0 , y 0) + ( x − x 0) fx ( x 0 , y 0) + ( y − y 0) fy ( x 0 , y 0) +

1

∂

∂

+

( x − x

+ 2 ( x − x

2!

0)2

∂ 2

∂x 2

0) ( y − y 0) ∂x ∂y

+ ( y − y

0)2

∂ 2
f

+ R

∂y 2

2 ( x, y)

( x 0 , y 0)

f ( x, y) = f ( x 0 , y 0) + ( x − x 0) fx ( x 0 , y 0) + ( y − y 0) fy ( x 0 , y 0) 1

+

( x − x

2

0)2 fxx ( x 0 , y 0) + 2 ( x − x 0) ( y − y 0) fxy ( x 0 , y 0)

+ ( y − y 0)2 fyy ( x 0 , y 0) + R 2 ( x, y)

420

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

x − x

Bemerkung: Führen wir den Richtungsvektor
n =

0
ein und defi-
y − y 0
nieren die Hessesche Matrix

f

H :=
xx ( x 0 , y 0) fxy ( x 0 , y 0)

fxy ( x 0 , y 0) fyy ( x 0 , y 0)

kann man die Formel für die quadratische Näherung schreiben in der Form

→

1 →t

→
f ( x, y) − f ( x 0 , y 0) = n · grad f

+
n

H n + R 2 ( x, y) .

( x 0 , y 0)

2

Beispiel 10.20 (Taylor-Polynom): Man berechne für die Funktion

f ( x, y) = sin x 2 + 2 y

an der Stelle ( x 0 , y 0) = 0 , π das Taylor-Polynom bis zur Ordnung 2.

4

(1) Die partiellen Ableitungen bis zur Ordnung 2 lauten

f ( x, y) = sin x 2 + 2 y
f 0 , π = 1

4

fx( x, y) = 2 x cos x 2 + 2 y
fx 0 , π = 0

4

fy ( x, y) = 2 cos x 2 + 2 y
fy 0 , π = 0

4

fxx ( x, y) = − 4 x 2 sin x 2 + 2 y + 2 cos x 2 + 2 y
fxx 0 , π = 0

4

fyy ( x, y) = − 4 sin x 2 + 2 y
fyy 0 , π = − 4

4

fxy ( x, y) = − 4 x sin x 2 + 2 y
fxy 0 , π = 0.

4

In die Formel für das Taylor-Polynom bis zur Ordnung 2 eingesetzt folgt

1
f ( x, y) = 1 +

( y − y

2

0)2 · ( − 4) + R 2( x, y)

2

= 1 − 2 y − π

+ R

4

2 ( x, y) .

(2) Berechnung des Restgliedes R 2 ( x, y): Das Restglied lautet mit einem nicht
näher bekannten Punkt ( ξ, η) auf der Verbindungsgeraden von ( x, y) und

0 , π 4

(

1

R 2 ( x, y) =
f

3!

xxx ( ξ, η) ( x − x 0)3 + 3 fxxy ( ξ, η) ( x − x 0)2 ( y − y 0)

+3 fxyy ( ξ, η) ( x − x 0) ( y − y 0)2 + fyyy ( ξ, η) ( y − y 0)3

Zur Abschätzung von R 2 ( x, y) bestimmen wir die partiellen Ableitungen

3. Ordnung

fxxx ( x, y) = − 12 x sin x 2 + 2 y − 8 x 3 cos x 2 + 2 y

fxxy ( x, y) = − 8 x 2 cos x 2 + 2 y − 4 sin x 2 + 2 y

10.3

Differenzialrechnung

421

fxyy ( x, y) = − 8 x cos x 2 + 2 y

fyyy ( x, y) = − 8 cos x 2 + 2 y .

,

-

Sei ξ ∈ [0 , x] und η ∈ π , y beliebig. Wenn man von x > 0 und y > π

4

2
ausgeht, dann gelten die Abschätzungen

|fxxx ( ξ, η) | ≤ 12 ξ + 8 ξ 3 ≤ 12 x + 8 x 3

|fxxy ( ξ, η) | ≤ 8 ξ 2 + 4

≤ 8 x 2 + 4

|fxyy ( ξ, η) | ≤ 8 ξ

≤ 8 x

|fyyy ( ξ, η) | ≤ 8.

Daher erhalten wir eine obere Schranke für R 2 ( x, y):

.

⇒ |R 2 ( x, y) | ≤

1

|f
y − π

3!

xxx ( ξ, η) | x 3 + 3 |fxxy ( ξ, η) | x 2

4

)

2

3

+3 |fxyy ( ξ, η) | x y − π

+ |f
y − π

4
yyy ( ξ, η) |

4

.

≤ 1 4 x 4 2 x 2 + 3 + 12 x 2 y − π

2 x 2 + 1

6

4

)

2

3

+24 x 2 y − π

+ 8 y − π

.

4

4

(3) Zahlenbeispiel:

( x, y) = 0 . 05 , π + 0 . 05

4

f 0 . 05 , π + 0 . 05

=

0 . 99475

(Exakter Wert)

4

fT 0 . 05 , π + 0 . 05

=

0 . 995

(Taylor-Polynom)

4

R 2 0 . 05 , π + 0 . 05

≤ 0 . 000455 (Abgeschätzter Fehler)

4

Auf der CD-Rom befindet sich die Prozedur taylor ani. Diese Pro-
zedur stellt eine Funktion von zwei Variablen zusammen mit ihrer

Taylor-Entwicklung mit wachsender Ordnung graphisch in einer dreidimensio-
nalen Animation dar.

Anwendung: Der Entwicklungspunkt ( x 0 , y 0) wird festgehalten und ( x, y)

ist ein beliebiger Punkt in der Nähe von ( x 0 , y 0). Aus den Spezialfällen für
n = 1 und n = 2 ergeben sich wichtige N¨
aherungsausdr¨
ucke.

(1) Linearisierung:

f ( x, y) ≈ f ( x 0 , y 0) + ( x − x 0) fx ( x 0 , y 0) + ( y − y 0) fy ( x 0 , y 0).

Die rechte Seite ist eine lineare Funktion in den Variablen x und y. Das

Schaubild dieser linearen Funktion stellt eine Ebene im dreidimensiona-
len Raum dar, die mit f den gemeinsamen Punkt ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0)) hat
und den Graphen von f dort berührt. Man nennt diese Ebene die sog.

Tangentialebene an den Graphen von f im Punkte ( x 0 , y 0) ( → totale Dif-
ferenzierbarkeit 10.3.2).

422

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

(2) Quadratische N¨
aherung:

f ( x, y) ≈ f ( x 0 , y 0) + ( x − x 0) fx ( x 0 , y 0) + ( y − y 0) fy ( x 0 , y 0)

+ 1 ( x − x

2

0)2 fxx ( x 0 , y 0) + ( x − x 0) ( y − y 0) fxy ( x 0 , y 0)

+ 1 ( y − y

2

0)2 fyy ( x 0 , y 0) .

Die rechte Seite ist eine quadratische Funktion in den Variablen x und y.

Im Allgemeinen ist die quadratische Näherung für Funktionen besser als
die lineare Näherung: Der Graph von f wird nicht durch eine Ebene, son-
dern durch eine gekrümmte Fläche angenähert, die zusätzlich die gleiche

”Krümmung” wie die Funktion im Punkte ( x 0 , y 0) besitzt.

Beispiel 10.21. Für die Funktion
f ( x, y) = x cos ( x + y) + ( y − 1)2 e−x 2
lautet die lineare Näherung am Entwicklungspunkt ( x 0 , y 0) = (0 , 0)

f ( x, y) ≈ 1 + x − 2 y
und die quadratische
f ( x, y) ≈ 1 + x − 2 y − x 2 + y 2 .

Anwendungsbeispiel 10.22. Die Schwingungsdauer eines Pendels der Länge
l beträgt

4
l

T = 2 π
g

( g = 9 . 81 m
s 2 ). Gesucht ist ein linearer Ausdruck in g und l, der eine gute

Näherung für T darstellt, wenn l nur wenig von 1 und g nur wenig von 9.81
abweicht:

4

∂T
π

∂T
l

= √

;

= −π

∂l
l g

∂g
g 3

∂T

∂T

T

≈ T ( l 0 , g 0) +

( l

( l

∂l

0 , g 0) · ( l − l 0)

+

∂g

0 , g 0) · ( g − g 0)

≈

2 . 006

+

1 . 0030 ( l − 1)

− 0 . 1022 ( g − 9 . 81).

Auf der CD-Rom sind mehrere Maple-Prozeduren enthalten, um die

Tangentialebene einer Funktion von zwei Variablen zu berechnen, die

Taylor-Reihe einer Funktion zusammen mit der Funktion dreidimensional dar-
zustellen, den Gradienten und die Richtungsableitung zu bestimmen zu visua-
lisieren.

10.4

Anwendungen der Differenzialrechnung

423

10.4

10.4 Anwendungen der Differenzialrechnung

Wir werden in diesem Abschnitt einige wichtige Anwendungen der Taylorschen Formel
behandeln: Das totale Differenzial als lineare Näherung, die Fehlerrechnung, die Theorie
der Maxima und Minima bei Funktionen von zwei Variablen sowie die Bestimmung von

Ausgleichungsfunktionen insbesondere der Regressionsgeraden.

Hinweis: Alle Themen werden durch Maple-Prozeduren ergänzt, die sich zusätzlich auf
der CD-Rom befinden.

10.4.1 Das Differenzial als lineare N¨
aherung

Wir untersuchen das Verhalten der Funktion z = f ( x, y) in unmittelbarer

Umgebung des Punktes ( x 0 , y 0), indem wir den Zuwachs der Tangentialebene
dz mit dem Zuwachs der Funktion Δ z vergleichen.

Abb. 10.24. Zum Begriff des vollständigen Differenzials

Die Tangentialebene der Funktion z = f ( x, y) ist im Punkte ( x 0 , y 0) nach

Abschnitt 10.3.2 bestimmt durch
zt ( x, y) = f ( x 0 , y 0) + ( x − x 0) fx ( x 0 , y 0) + ( y − y 0) fy ( x 0 , y 0) .

Im Punkte ( x 0 + dx, y 0 + dy) hat die Tangentialebene den Wert
zt ( x 0 + dx, y 0 + dy) = f ( x 0 , y 0) + dx fx ( x 0 , y 0) + dy fy ( x 0 , y 0) .

Die Änderung der Tangentialebene dz ist daher
dz = zt ( x 0 + dx, y 0 + dy) − zt ( x 0 , y 0) = dx fx ( x 0 , y 0) + dy fy ( x 0 , y 0) .

Wir bezeichnen
dx, dy:

unabh¨
angiges Differenzial
dz:

abh¨
angiges Differenzial (= Änderung der Tangentialebene)

und definieren

424

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

Definition: (Totales Differenzial einer Funktion mit zwei Varia-
blen). Das totale Differenzial einer Funktion z = f ( x, y) im Punkte

( x 0 , y 0) ist
dz := fx ( x 0 , y 0) dx + fy ( x 0 , y 0) dy .

Es beschreibt die ¨

Anderung der Tangentialebene im Punkte ( x 0 , y 0), wenn
man vom Punkt ( x 0 , y 0) zum Punkt ( x 0 + dx, y 0 + dy) ¨
ubergeht. Statt
dz schreibt man auch df .

Beispiel 10.23. Gesucht ist das totale Differenzial der Funktion
f ( x, y) = x ln ( x + y)

im Punkte ( x

1

0 , y 0) =

, 1 .

2

2

⎫

∂f = ln ( x + y) + x · 1 ⎪

⎬

∂x
x + y
x
x

∂f

⎪ df = ln ( x + y) +
dx +
dy .

= x ·

1

⎭
x + y
x + y

∂y
x + y

⇒

1

1
df ( x 0 , y 0) =
dx +
dy.

2

2

Wir vergleichen die ¨

Anderung der Tangentialebene dz mit der ¨

Anderung
der Funktion z, indem wir für die Funktion z = f ( x, y) linearisieren, d.h.

die Taylorsche Formel für n = 1 verwenden:

f ( x, y) − f ( x 0 , y 0) = ( x − x 0) fx ( x 0 , y 0) + ( y − y 0) fy ( x 0 , y 0) + R 1 ( x, y) .

Die Änderung der Funktion z von ( x 0 , y 0) nach ( x 0 + dx, y 0 + dy) ist
z = f ( x, y) − f ( x 0 , y 0) = f ( x 0 + dx, y 0 + dy) − f ( x 0 , y 0)

=
dx fx ( x 0 , y 0) + dy fy ( x 0 , y 0) + R 1 ( x 0 + dx, y 0 + dy)

=
dz + R 1 ( x 0 + dx, y 0 + dy).

Sie stimmt mit der Änderung der Tangentialebene dz
dz = dx fx ( x 0 , y 0) + dy fy ( x 0 , y 0)

bis auf den Term R 1 ( x 0 + dx, y 0 + dy) überein. Für ( dx, dy) → (0 , 0) geht R 1 ( x 0 + dx, y 0 + dy) → R 1 ( x 0 , y 0) = 0, so dass für kleine dx, dy gilt dz ≈ z.

10.4

Anwendungen der Differenzialrechnung

425

Totales Differenzial von Funktionen mit n Variablen

Der Begriff des totalen Differenzials überträgt sich direkt auf Funktionen mit
mehr als zwei Variablen:

Definition: (Totales Differenzial einer Funktion mit n Variablen).

Unter dem totalen Differenzial einer Funktion
y = f ( x 1 , . . . , xn)

versteht man den Differenzialausdruck
dy

:=
fx dx
dx
dx

1

1 + fx 2

2 + . . . + fxn
n

∂f

∂f

∂f

=
dx
dx
dx

∂x

1 +

2 + . . . +
n.

1

∂x 2

∂xn

Bemerkungen:

(1) Statt dy schreibt man auch df .

(2) Das totale Differenzial beschreibt näherungsweise, wie sich der Funktions-
wert ändert, wenn sich die Variablen geringfügig um dxi

( i = 1 , . . . , n)

ändern: y ≈ dy .

Beispiele 10.24.

 Gesucht ist das totale Differenzial der Funktion
f ( x, y, z) = x ex y+4 z
im Punkte ( x 0 , y 0 , z 0) = (1 , 0 , 1):

∂f = exy+4 z + x exy+4 z y → f

∂x
x (1 , 0 , 1) = e 4

∂f = x 2 exy+4 z

→ f

∂y
y (1 , 0 , 1) = e 4

∂f = 4 x exy+4 z

→ f

∂z
z (1 , 0 , 1) = 4 e 4.

Mit der Formel des totalen Differenzials
df = fx dx + fy dy + fz dz
erhalten wir für df

df ( x, y, z) = ex y+4 z + x y ex y+4 z dx + x 2 ex y+4 z dy + 4 x ex y+4 z dz df (1 , 0 , 1) = e 4 dx + e 4 dy + 4 e 4 dz.

426

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

 Ein ideales Gas genügt für 1 Mol der Zustandsgleichung
p ( V, T ) = R · T .

V

Das totale Differenzial dieser Funktion lautet

∂p

∂p

T

R
dp =
dV +
dT = −R
dV +
dT .

∂V

∂T

V 2

V

Es beschreibt näherungsweise die Änderung des Gasdrucks p bei einer ge-
ringfügigen Änderung des Volumens um dV und gleichzeitig der Tempera-
tur um dT (vgl. Beispiel 10.10 ).

Linearisierung von Funktionen mit zwei Variablen

Für eine Funktion z = f ( x, y) gilt für kleine dx und dy näherungsweise
dz ≈ z ,
d.h. für kleine dx und dy kann die Änderung der Funktion über die Änderung
der Tangentialebene (totales Differenzial) angenähert werden. Man nennt die-
ses Vorgehen die Linearisierung der Funktion z = f ( x, y) und setzt
z = f ( x, y) − f ( x 0 , y 0) ≈ dz = fx ( x 0 , y 0) dx + fy ( x 0 , y 0) dy .

Über die Beziehung dx = x − x 0 und dy = y − y 0 folgt insgesamt
f ( x, y) ≈ f ( x 0 , y 0) + fx ( x 0 , y 0) ( x − x 0) + fy ( x 0 , y 0) ( y − y 0) (Linearisierung der Funktion z = f ( x, y).)

Oftmals wird die Linearisierung benutzt, um Differenzen der Form
z ( x 0 + x, y 0 + y) − z ( x 0 , y 0)

näherungsweise zu bestimmen:

∂z
z ( x

0 + x, y 0 + y) − z ( x 0 , y 0) ≈ ∂z
x +
y

∂x

∂y

( x 0 , y 0)

( x 0 , y 0)

∂z
z ( x, y) − z ( x

0 , y 0) ≈ ∂z

( x − x

( y − y

∂x

0) +

∂y

0).

(2)

( x 0 , y 0)

( x 0 , y 0)

Mit einer verallgemeinerten Formel lassen sich Funktionen von n Variablen
linearisieren:

10.4

Anwendungen der Differenzialrechnung

427

Linearisierung von Funktionen mit n Variablen: In der Umge-

bung eines Entwicklungspunktes (Arbeitspunktes) x 0 , . . . , x 0 kann eine

1
n
nichtlineare Funktion
f ( x 1 , . . . , xn)

näherungsweise durch die lineare Funktion

∂f

∂f

y = f x 0 , . . . , x 0 +
x

+ . . . +
x

1
n

∂x

1 − x 0

1
n − x 0
n

1

∂x

0
n

0

ersetzt werden. Die partiellen Ableitungen

∂f
müssen am Entwick-

∂xi

0

lungspunkt x 0 , . . . , x 0
ausgewertet werden:

1
n

∂f

∂

=
f x 0 , . . . , x 0

.

∂x

1
n
i

∂x

0
i

Beispiele 10.25:

 Gesucht ist die Linearisierung der Funktion
f ( x, y) = 5 x ex− 4 y 2

am Entwicklungspunkt ( x 0 , y 0) = 1 , 1 :

2

Mit den partiellen Ableitungen

fx ( x, y) = 5 ex− 4 y 2 + 5 x ex− 4 y 2

→
fx 1 , 1 = 5 + 5 = 10

2

fy ( x, y) = − 40 x y ex− 4 y 2

→
fy 1 , 1 = − 20

2
erhält man die lineare Approximation

⇒ zl ( x, y) = 5 + 10 ( x − 1) − 20 y − 1 .

2

 Der Gesamtwiderstand R einer Parallelschaltung aus drei Ohmschen Wi-
derständen R 1 , R 2 und R 3 wird durch die Formel

1

1

1

1

=

+

+

R

R 1

R 2

R 3
berechnet. Wir linearisieren die Funktion in einer Umgebung der Werte

R 1 = 100 Ω , R 2 = 200 Ω , R 3 = 500 Ω. Dazu berechnen wir die partiellen

428

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

Ableitungen von

R

R =

1 R 2 R 3

R 2 R 3 + R 1 R 3 + R 1 R 2
mit der Quotientenregel

∂R

R 2 R 2

∂R

R 2 R 2

=

2

3

,

=

1

3

,

∂R 1

( R

∂R

2 R 3 + R 1 R 3 + R 1 R 2)2

2

( R 2 R 3 + R 1 R 3 + R 1 R 2)2

∂R

R 2 R 2

=

1

2

,

∂R 3

( R 2 R 3 + R 1 R 3 + R 1 R 2)2

und setzen den Entwicklungspunkt R 0 , R 0 , R 0 = (100 , 200 , 500) ein:

1

2

3

∂R

∂R

∂R

= 0 . 3460 ,

= 0 . 086 ,

= 0 . 014 .

∂R 1

∂R

∂R

0

2

0

3

0

Die Linearisierung lautet damit

∂R

∂R

RL = R R 0 , R 0 , R 0 +

R

+

R

1

2

3

∂R

1 − R 0

1

2 − R 0

2

1

∂R

0

2

0

∂R

+

R

∂R

3 − R 0

3

3

0

RL = 58 . 8235 + 0 . 3460 ( R 1 − 100) + 0 . 086 ( R 2 − 200) + 0 . 014 ( R 3 − 500).

10.4.2 Fehlerrechnung

Eine Anwendung des totalen Differenzials tritt bei der Fehlerrechnung auf, die
überall dort eine Rolle spielt, wo mit ungenauen Messwerten gearbeitet wird:

Problemstellung: Eine physikalische Größe y hänge nach einem bekannten

Gesetz von n unabhängigen Größen x 1 , . . . , xn ab:

y = f ( x 1 , . . . , xn) .

Zur Auswertung von y müssen die Werte von x 1 , . . . , xn gemessen werden, was
nur mit begrenzter Genauigkeit möglich ist. Die gemessenen Werte bezeichnen
wir mit x 0 , . . . , x 0 , die Messfehler (Toleranzen) mit x

1
n

1 , . . . , xn. Es stellt
sich die Frage: Um wieviel weicht der aus den Messwerten mit Toleranzen er-

rechnete Wert f x 0 + x

+ x
maximal vom Wert f x 0 , . . . , x 0

1

1 , . . . , x 0
n
n

1
n
ab? Die Differenz

f = f x 0 + x

+ x

− f x 0 , . . . , x 0

1

1 , . . . , x 0
n
n

1
n
heißt der absolute Fehler von f . Gesucht ist eine Abschätzung von f , wenn
man weiß, wie groß die Beträge der Messfehler xi höchstens sind.

10.4

Anwendungen der Differenzialrechnung

429

Für kleine dxi = xi stimmt das totale Differenzial df in etwa mit der Ände-
rung der Funktion f überein:

∂f

∂f
f ≈ df =

· dx

· dx

∂x

1 + . . . +
n .

1

∂x

0
n

0

Diese Formel verwendet man, um den Einfluss kleiner Fehler auf das Resultat
zu berechnen. Da für die Messfehler in der Regel eine Toleranz ± xi ange-
geben wird, erhält man für den Fehler in linearer Näherung eine Obergrenze
durch

|

∂f

∂f
f | ≈ |df | ≤

∂x

|x 1 | + . . . +

|Δ xn| = ¯
f .

1

∂x

0
n

0

Man bezeichnet ¯
f als absoluten Fehler in linearer N¨
aherung. Dabei sind

die partiellen Ableitungen

∂f
für die Messwerte x 0 , . . . , x 0 auszuwerten

∂x

1
n
i

0
und |xi| geben die maximalen Fehlerschranken dieser Messwerte an.

Oftmals sind auch die relativen Fehler von Interesse

¯
f
x
i

f ,

( i = 1 , . . . , n) ,

0
x 0 i

die in der Regel auch in Prozenten angegeben werden:

100 ¯
f · %.

f 0

Zusammenfassung: (Fehlerfortpflanzung nach Gauß). Die Größe
y hänge von unabhängigen Größen x 1 , . . . , xn gemäß dem Gesetz
y = f ( x 1 , . . . , xn)

ab. Werden die Einzelgrößen x 1 , . . . , xn gemessen, so liegen in der Form
x 0 ± x
i
i
vor. Dabei ist x 0 der Mittelwert der Größen x
i
i, xi die Fehlertoleranzen.

Dann bestimmt man den Fehler in y aufgrund der Messungenauigkeiten
von xi näherungsweise durch

∂f

∂f

¯
y =

∂x

· |x 1 | + . . . +

· |xn| ,

1

∂x

0
n

0

wenn die partiellen Ableitungen

∂f
an den Stellen x 0 , . . . , x 0
aus-

∂x

1
n
i

0
gewertet werden. Die Größe y hat den Wert

y = f x 0 , . . . , x 0 ± ¯
y .

1
n

¯
y heißt absoluter maximaler Fehler in linearer Näherung.

430

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

! Achtung: Da man statt f den Fehler in linearer Näherung |df| angibt,
ist diese Vorgehensweise nur für kleine Abweichungen xi sinnvoll. Für große

Fehlertoleranzen ist die Änderung der Funktion f nicht mit der Änderung
der Tangentialebene vergleichbar!

Anwendungsbeispiel 10.26.

Die Spannung U an den Enden eines elektrischen Widerstandes hängt mit der

Stromstärke I eines ihn durchfließenden Gleichstromes durch das Ohmsche

Gesetz zusammen

U

R =

.

I

Ist U mit dU und I mit dI fehlerhaft gemessen, so hat man als Oberschranke
für den Fehler in R

∂R

∂R

R ≈ dR =

· dU +

· dI

∂U

∂I

⇒ |

1

R| ≤ dU
dI

I

+ − U

I 2

= ¯

R.

Zahlenbeispiel: U = (110 ± 2) V, I = (20 ± 0 . 5) A ergibt

¯

R =

1 · 2 + 110 · 0 . 5 Ω = 0 . 2375 Ω ⇒ R = (5 . 5 ± 0 . 24) Ω .

20

400

¯

Der relative Fehler beträgt R = 0 . 24 Ω = 0 . 044 = 4 . 4 % .

R

5 . 5 Ω

Anwendungsbeispiel 10.27.

Ein Widerstand der Größe R 0 mit 10 % Toleranz wird mit einem 5 mal größe-
ren, zweiten Widerstand von 2 % Toleranz
a) seriell
b) parallel geschaltet.

Man bestimme für beide Fälle den Gesamtwiderstand Rges sowie den relativen

Fehler.

a)

Rges = R 1 + R 2 (= 6 R 0)

⇒ ∂Rges

∂R

= 1;
ges = 1.

∂R 1

∂R 2

¯

∂R

∂R

R =
ges

· |R
ges

· |R

∂R

1 | +

2 |

1

∂R

0

2

0

= 10 % R 0 + 10 % R 0 = 20 % R 0 .

Damit ergibt sich der relative Fehler zu

¯

R

20 % R

=

0 ≈ 3 . 3 % .

Rges

6 R 0

10.4

Anwendungen der Differenzialrechnung

431

1

1

1
b)

=

+

Rges

R 1

R 2

⇒

R

5 R 2

R

1 · R 2

0
ges =

(=

= 5 R

R

6

0).

1 + R 2

6 R 0

∂Rges

R 2

∂R

R 2

=

2

;
ges =

1

.

∂R 1

( R

∂R

1 + R 2)2

2

( R 1 + R 2)2

¯

R 2

R 2

R =

2

|R

1

1 | +

|R 2 |

( R 1 + R 2)2

( R 1 + R 2)2

25

1

260

=

10 % R

10 % R

% R

36

0 + 36

0 =

36

0 = 7 . 2 % R 0 .

¯

R

Der relative Gesamtfehler beträgt hierbei

= 7 . 2 % R 0 = 8 . 66 %.

R

5

6 R 0

Fehlerformel f¨
ur Potenzgesetze

Viele funktionale Zusammenhänge in den Naturwissenschaften haben eine ein-
fache Beschreibung der Form
y = f ( x 1 , x 2) = α xc 1 · xc 2.

( ∗)

1

2

Für solche Funktionen ist

∂f

∂f
dy =
dx
dx
xc 2 dx
xc 2 − 1 dx

∂x

1 +

2 = α c 1 xc 1 − 1

1

2

1 + α c 2 xc 1

1

2

2 .

1

∂x 2

Damit folgt für den maximalen relativen Fehler

¯
y
dx
dx

= |c

1

2
y

1 | x + |c 2 |

.

1
x 2

Der maximale relative Fehler der Größe y = α xc 1 · xc 2 setzt sich additiv aus

1

2
den relativen Fehlern der Einzelgrößen xi zusammen. Als Koeffizienten treten
die Beträge der Exponenten auf.

Folgerung: Beim Rechnen mit Dezimalzahlen bedeutet die Angabe der Zahl
a = 1 . 23 in der Regel: Der genaue Wert von a weicht um höchstens eine
halbe Einheit der letzten angegebenen Stelle ab; liegt also zwischen 1 . 225 und

1 . 235. Man erkennt dabei, dass die Dezimalzahlen 123; 12 . 3; 1 . 23; . . . ; 1 . 23 ·

10 k

( k ∈ ZZ) alle den gleichen relativen Fehler

100 % · 0 . 005 · 10 k ≈ 0 . 41 %

1 . 23 · 10 k
besitzen. Der relative Fehler einer Dezimalzahl ist umso kleiner, je größer die

Anzahl der geltenden Stellen ist.

432

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

10.4.3 Lokale Extrema bei Funktionen mit mehreren Variablen

Im Folgenden betrachten wir eine Funktion z = f ( x, y) von zwei Variablen x
und y, deren partiellen Ableitungen bis zweiter Ordnung stetig sind. Wie bei

Funktionen einer Variablen suchen wir zur Charakterisierung der Funktion
nach solchen Punkten, in denen der Funktionswert von f am größten bzw.

kleinsten wird. Bei der Diskussion schränken wir uns auf die lokalen Maxima
und Minima ein:

Definition: (Lokales Extremum). Eine Funktion z = f ( x, y) besitzt
an der Stelle ( x 0 , y 0) ∈ ID ein relatives Maximum, wenn in einer Um-
gebung des Punktes ( x 0 , y 0) f¨
ur alle ( x, y) = ( x 0 , y 0) stets gilt
f ( x 0 , y 0) > f ( x, y) .

Eine Funktion z = f ( x, y) besitzt an der Stelle ( x 0 , y 0) ∈ ID ein relatives Minimum, wenn in einer Umgebung des Punktes ( x 0 , y 0) f¨
ur alle

( x, y) = ( x 0 , y 0) stets gilt
f ( x 0 , y 0) < f ( x, y) .

Die relativen Maxima und Minima fasst man unter den Begriff ”relative Ex-
tremwerte” zusammen. Relative Extremwerte werden manchmal auch als lo-
kale Extremwerte bezeichnet, da die extreme Lage nur in unmittelbarer Um-
gebung von ( x 0 , y 0), nicht aber global zutreffen muss.

Beispiele 10.28 (Mit Maple-Worksheet).

 Zeichnet man (mit Maple) die Funktion
f ( x, y) = x 2 + y 2 + 4
erkennt man, dass sie im Punkt ( x 0 , y 0) = (0 , 0) ein lokales (sogar globales)

Minimum besitzt, siehe Abb. 10.25.

Abb. 10.25. Lokales Minimum der Funktion f( x, y) = x 2 + y 2 + 4 im Punkte (0, 0)

Neben der Funktion f ist die Tangentialebene im Punkte (0 , 0) gezeichnet.

Man erkennt, dass sie parallel zur ( x, y)-Ebene liegt.

10.4

Anwendungen der Differenzialrechnung

433

 Die Funktion
f ( x, y) = e−( x 2+ y 2)

besitzt im Punkte ( x 0 , y 0) = (0 , 0) ein lokales (sogar globales) Maximum,
wie man aus dem Graphen in Abb. 10.26 ablesen kann:

Abb. 10.26. Lokales Maximum der Funktion f( x, y) = e−( x 2+ y 2)

Wieder liegt die Tangentialebene parallel zur ( x, y)-Ebene.

Für eine stetig differenzierbare Funktion f einer Variablen x besagt die not-
wendige Bedingung für ein lokales Extremum x 0 ∈ ID, dass die Tangente im

Punkt ( x 0 , f ( x 0)) parallel zur x-Achse verläuft: f ( x 0) = 0. Hat eine Funktion f von zwei Variablen in ( x 0 , y 0) ein lokales Extremum, dann ist die Tangentialebene parallel zur ( x, y)-Ebene. Die Tangentialebene zt von f lautet nach

Abschnitt 10.3.2

∂f

∂f
zt ( x, y) = f ( x 0 , y 0) +

( x

( x

∂x

0 , y 0) ( x − x 0) + ∂y

0 , y 0) ( y − y 0) .

Sie liegt parallel zur ( x, y)-Ebene, wenn sowohl die partielle Ableitung nach x
als auch nach y im Punkt ( x 0 , y 0) verschwindet.

Satz: Notwendige Bedingung f¨
ur ein relatives Extremum. In ei-
nem relativen Extremum ( x 0 , y 0) ∈ ID besitzt die Funktion f ( x, y) eine

Tangentialebene parallel zur ( x, y)-Ebene:

∂f

( x 0 , y 0) relatives Extremum ⇒

∂f ( x

( x

∂x

0 , y 0) = 0 & ∂y

0 , y 0) = 0.

434

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

Ist ( x 0 , y 0) ein relatives Extremum, dann verschwindet also der Gradient von
f in ( x 0 , y 0):

grad f ( x 0 , y 0) = 0.

!Achtung: Dieser Satz ist nicht umkehrbar, wie das folgende Beispiel zeigt!:

Beispiel 10.29 (Mit Maple-Worksheet). Die Funktion
f ( x, y) = x · y
hat im Punkte ( x 0 , y 0) = (0 , 0) eine waagrechte Tangentialebene:

⎫

∂f ( x, y) = y ⇒ ∂f (0 , 0) = 0⎪

⎪

⎪

∂x

∂x

⎬ ⇒ grad f (0 , 0) = 0 .

∂f

⎪

⎪

⎪

( x, y) = x ⇒ ∂f (0 , 0) = 0 ⎭

∂y

∂y

Aber in einer Umgebung des Punktes (0 , 0) existieren positive und negative

Funktionswerte, wie man dem Funktionsgraphen in Abb. 10.27 entnimmt:

Abb. 10.27. Funktion mit Sattelpunkt

Folglich hat f bei (0 , 0) kein lokales Extremum. Man nennt diesen Punkt
einen Sattelpunkt.

Definition: (Station¨
arer Punkt). Der Punkt ( x 0 , y 0) heißt stati-
on¨
arer Punkt von f , wenn
grad f ( x 0 , y 0) = 0 .

10.4

Anwendungen der Differenzialrechnung

435

Relative Extrema sind demnach stationäre Punkte, aber nicht alle stationären

Punkte sind nach Beispiel 10.29 relative Extrema. Ein stationärer Punkt P
ist dadurch charakterisiert, dass die Tangentialebene von f in P parallel zur

( x, y)-Ebene verläuft.

Um zu entscheiden, ob in einem stationären Punkt ( x 0 , y 0) ein lokales Extre-
mum vorliegt, entwickeln wir f nach dem Satz von Taylor in der Umgebung
von ( x 0 , y 0) bis zur Ordnung 2
f ( x, y) = f ( x 0 , y 0) + fx ( x 0 , y 0) ( x − x 0) + fy ( x 0 , y 0) ( y − y 0)

+ 1
f

2!

xx ( x 0 , y 0) ( x − x 0)2 + 2 fxy ( x 0 , y 0) ( x − x 0) ( y − y 0)

+ fyy ( x 0 , y 0) ( y − y 0)2 + R 2 ( x, y)

Da fx ( x 0 , y 0) = fy ( x 0 , y 0) = 0, entfallen die Ableitungen erster Ordnung; für die Ableitungen zweiter Ordnung schreiben wir

f

2
f ( x, y) = f ( x
xy ( x 0 , y 0)

0 , y 0) + 1 f

( x − x

( y − y

2
xx ( x 0 , y 0)

0) + f

0)

xx ( x 0 , y 0)

1

.

/

+ 1
f

( x

( y − y

2 f
xx ( x 0 , y 0) fyy ( x 0 , y 0) − f 2
xy

0 , y 0)

0)2+ R 2 ( x, y) .

xx ( x 0 , y 0)

Aus dieser Darstellung der Funktion kann man ablesen:

i) Ist fxx ( x 0 , y 0) > 0 und fxx ( x 0 , y 0) fyy ( x 0 , y 0) − f 2 ( x xy

0 , y 0) > 0

⇒ f ( x, y) > f ( x 0 , y 0) + R 2 ( x, y) .

D.h. in einer Umgebung von ( x 0 , y 0) sind die Funktionswerte gr¨
oßer als
f ( x 0 , y 0). Es liegt also in ( x 0 , y 0) ein lokales Minimum vor.

ii) Ist fxx ( x 0 , y 0) < 0 und fxx ( x 0 , y 0) fyy ( x 0 , y 0) − f 2 ( x xy

0 , y 0) > 0

⇒ f ( x, y) < f ( x 0 , y 0) + R 2 ( x, y) .

D.h. in einer Umgebung von ( x 0 , y 0) sind die Funktionswerte kleiner als
f ( x 0 , y 0). Es liegt also in ( x 0 , y 0) ein lokales Maximum vor.

Folglich entscheidet der Ausdruck
fxx ( x 0 , y 0) fyy ( x 0 , y 0) − f 2 ( x
xy

0 , y 0) > 0 ,
ob in einem stationären Punkt ein Extremum vorliegt:

436

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

Satz: Hinreichende Bedingung f¨
ur ein lokales Extremum.

f ( x, y) sei zweimal stetig partiell differenzierbar in ( x 0 , y 0) ∈ ID. Im

Punkt ( x 0 , y 0) liegt ein lokales Extremum vor, falls

(1) fx ( x 0 , y 0) = 0 ,
fy ( x 0 , y 0) = 0.

(2) := fxx ( x 0 , y 0) · fyy ( x 0 , y 0) − f 2 ( x
xy

0 , y 0) > 0.

Für fxx ( x 0 , y 0) < 0 liegt ein relatives Maximum vor.

Für fxx ( x 0 , y 0) > 0 liegt ein relatives Minimum vor.

Ist hingegen in einem stationären Punkt ( x 0 , y 0)

fxx ( x 0 , y 0) fyy ( x 0 , y 0) − f 2 ( x
xy

0 , y 0) < 0 ,
so liegt kein Extremum, sondern ein Sattelpunkt vor.

Bemerkungen:

(1) Wie bei Funktionen einer Variablen wird die zweite Ableitung herangezo-
gen, um zu entscheiden, ob ein lokales Extremum vorliegt oder nicht.

(2) Definiert man die sog. Hessesche Matrix

f

Hess f :=
xx fxy

,
fyx fyy
entscheidet die Determinante der Hesseschen Matrix im Punkte ( x 0 , y 0),
ob ein Extremum vorliegt. Es gilt:

det(Hess f ) < 0
kein Extremwert, sondern Sattelpunkt.

det(Hess f ) = 0
keine Entscheidung möglich, ob an
der Stelle ( x 0 , y 0) ein Extremum vorliegt.

det(Hess f ) > 0
ein lokales Extremum liegt vor.

(3) Auf der CD-Rom befindet sich ein Abschnitt, in dem die lokalen Extre-
ma von Funktionen mit mehr als zwei Variablen bestimmt werden. Man
bestimmt dann die Extremwerte, indem man den Gradienten gleich Null
setzt und die stationären Punkte in die entsprechende Hessesche Matrix
einsetzt.

Beispiel 10.30. Die Funktion
f ( x, y) = x 2 + y 2 + c
hat im Punkte ( x 0 , y 0) = (0 , 0) ein lokales Minimum:

10.4

Anwendungen der Differenzialrechnung

437

(i) Aus grad f = 0 folgen die stationären Punkte:

+

!

fx ( x, y) = 2 x = 0 ⇒ x = 0

⇒ ( x, y) = (0 , 0) ist stationärer Punkt.

!

fy ( x, y) = 2 y = 0 ⇒ y = 0

(ii) Einsetzen des stationären Punktes in die -Formel:

⎫
fxx (0 , 0) = 2 ⎬
fyy (0 , 0) = 2 ⎭ ⇒ = fxx (0 , 0) · fyy (0 , 0) − f 2 (0 , 0) = 4 > 0 .

xy
fxy (0 , 0) = 0

⇒ (0 , 0) ist relatives Extremum.

Wegen fxx (0 , 0) > 0 liegt ein relatives Minimum vor.

Beispiel 10.31. Gesucht sind die lokalen Extrema der Funktion

2
f ( x, y) = x 2 + y 2

− 2 x 2 − y 2 .

(i) Aus grad f = 0 folgen die stationären Punkte:

!

fx ( x, y) = 4 x x 2 + y 2 − 4 x = 0

!

fy ( x, y) = 4 y x 2 + y 2 + 4 y = 0 .

Dies ist ein gekoppeltes System nichtlinearer Gleichungen für die Unbe-
kannten x und y. Durch Ausklammern folgt

4 x x 2 + y 2 − 1 = 0

(1)

4 y x 2 + y 2 + 1 = 0 .

(2)

Aus Gleichung (1) folgt x = 0 oder x 2 + y 2 − 1 = 0.

Setzen wir x = 0 in Gleichung (2) ein, gilt:

4 y( y 2 +1) = 0 bzw. y = 0 .

⇒ ( x, y) = (0 , 0) ist stationärer Punkt.

Für x 2 + y 2 − 1 = 0 folgt x 2 + y 2 = 1. In Gleichung (2) eingesetzt, gilt:

4 y · 2 = 0 bzw. y = 0 . Eingesetzt wiederum in x 2 + y 2 − 1 = 0 folgt
dann x 2 − 1 = 0 bzw. x = ± 1.

⇒ ( x, y) = (1 , 0) und ( x, y) = ( − 1 , 0) sind ebenfalls stationäre Punkte.

Damit besitzt die Funktion drei stationäre Punkte: (0 , 0); (1 , 0) und ( − 1 , 0).

Höchstens an diesen Stellen kann f ein Extremum annehmen.

(ii) Einsetzen der stationären Punkte in die -Formel: Dazu berechnen wir
die zweiten partiellen Ableitungen
fxx ( x, y) = 12 x 2 + 4 y 2 − 4
fyy ( x, y) = 12 y 2 + 4 x 2 + 4

438

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen
fxy ( x, y) = 8 xy
und setzen die stationären Punkte ein:

(0 , 0) = fxx (0 , 0) · fyy (0 , 0) − f 2 (0 , 0) = − 4 · 4 − 0 = − 12 < 0 .

xy

⇒ In (0 , 0) liegt kein Extremum, sondern ein Sattelpunkt vor.

(1 , 0) = fxx (1 , 0) · fyy (1 , 0) − f 2 (1 , 0) = 8 · 8 − 0 = 64 > 0 .

xy

⇒ In (1 , 0) liegt ein lokales Minimum vor, da fxx (1 , 0) = 8 > 0 .

Wegen der Symmetrie f ( −x, y) = f ( x, y) liegt auch im Punkt ( − 1 , 0) ein
lokales Minimum vor.

Beispiel 10.32. Die Funktion
f ( x, y) = c + x 2 − y 2
hat in (0 , 0) einen Sattelpunkt:

!

!

Aus fx ( x, y) = 2 x = 0 und fy ( x, y) = 2 y = 0 ⇒ ( x, y) = (0 , 0) ist einziger stationärer Punkt.

Da
fxx ( x, y) · fyy ( x, y) − f 2 ( x, y) = − 4 < 0
xy
für alle ( x, y) ist (0 , 0) kein lokales Extremum, sondern ein Sattelpunkt.

Funktion f ( x, y) = c + x 2 + y 2

Funktion f ( x, y) = c + x 2 − y 2

10.4

Anwendungen der Differenzialrechnung

439

10.4.4 Ausgleichen von Messfehlern; Regressionsgerade

Eine wichtige Anwendung der Theorie der Extremwerte ist das Ausgleichen
von Messfehlern: Durch Messungen, welche die Abhängigkeit einer Größe y
von einer anderen Größe x ermittelt, seien n Wertepaare ( x 1 , y 1) , . . . , ( xn, yn) erfasst worden. Die Aufgabe der Ausgleichsrechnung besteht darin, eine Funktion f zu finden, die sich einerseits den vorliegenden Messpunkten möglichst
gut anschmiegt und die andererseits einen möglichst glatten Verlauf besitzt.

Problemstellung: Gemessen wird die Temperaturabhängigkeit eines Ohm-
schen Widerstandes. Gesucht ist eine Gerade, welche die Messpunkte ”geeig-
net” repräsentiert.

Abb. 10.28. Temperaturabhängigkeit eines Ohmschen Widerstandes

Prinzip der kleinsten Quadrate

Die gesuchte Funktion f soll die Eigenschaft besitzen, dass die Abstandsqua-
drate der Messpunkte zur Ausgleichsfunktion minimal werden:

Abb. 10.29. Abstände di zur Ausgleichsfunktion

Der Abstand des Messpunkts yi zur Ausgleichsfunktion f im Punkte xi ist
di = yi − f ( xi) .

Die Summe über alle Abstandsquadrate ist daher
n

n

d 2 =

( y
i
i − f ( xi))2 .

i=1
i=1

440

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

Je nach vermutetem funktionalen Zusammenhang wählt man sich einen Funk-
tionsansatz.

Tabelle 10.1: Ausgleichsfunktionen

Ausgleichsfunktion

Parameter
lineare Funktion
f ( x) = a x + b
a, b
quadratische Funktion
f ( x) = a x 2 + b x + c
a, b, c

Polynomfunktion
f ( x) = an xn + . . . + a 1 x + a 0
an, an− 1 , . . . , a 0

Potenzfunktion
f ( x) = a xb
a, b

Exponentialfunktion
f ( x) = a ebx
a, b

In jeder Ansatzfunktion f ( x) sind Parameter enthalten, die so bestimmt wer-
den müssen, dass die Summe der Abstandsquadrate minimal wird ( Prinzip der
kleinsten Quadrate):

n

F ( a, b, c, . . . ) :=

( yi − f ( xi))2 → minimal.

i=1

Diese Summe F ist wiederum eine Funktion der Parameter a, b, c, . . . . Gesucht
ist ein Minimum dieser Funktion. Aus der Theorie der Extrema in 10.4.3 ken-
nen wir eine notwendige Bedingung für ein lokales Extremum: Alle partiellen

Ableitungen müssen im stationären Punkt verschwinden

⇒ ∂F

∂F

∂F

= 0 ,

= 0 ,

= 0 , . . . .

∂a

∂b

∂c

Dies liefert genau so viele (nichtlineare) Gleichungen wie Parameter im Ansatz
enthalten sind.

Methode der kleinsten Quadrate: Zu n vorgegebenen Messpunkten

( xi, yi)

lässt sich eine Ausgleichskurve wie folgt bestimmen:

i=1 ,..., n

(1) Auswahl einer Ansatzfunktion (Gerade, Parabel, . . . ). Dieser Ansatz
enthält zunächst unbestimmte Parameter a, b, c, . . . .

(2) Man bildet die Summe der Abstandsquadrate
n

F ( a, b, c, . . . ) =

( yi − f ( xi))2 .

i=1

Diese Summe ist eine Funktion der freien Parameter.

(3) Die Parameter werden dann so bestimmt, dass die Funktion

F ( a, b, c, . . . ) minimal wird, d.h.

∂F

∂F

∂F

= 0 ,

= 0 ,

= 0 , . . . .

∂a

∂b

∂c

10.4

Anwendungen der Differenzialrechnung

441

Regressionsgerade

Wir werden nur den für die Anwendungen wichtigsten Spezialfall der Regres-
sionsgeraden diskutieren. Wir nehmen an, dass zu n verschiedenen x-Werten
x 1 , . . . , xn die zugehörigen y-Werte y 1 , . . . , yn vorliegen, so dass n Messpunkte ( x 1 , y 1) , ( x 2 , y 2) , . . . , ( xn, yn)

gegeben sind. Gesucht sind die Parameter a und b in der Regressionsgeraden
f ( x) = a x + b ,
so dass die Summe der Abstandsquadrate minimal wird. Der Abstand di der

Messpunkten zur Ausgleichsgeraden lautet
di = yi − a xi − b .

Die Summe der Abstandsquadrate
n

n

F ( a, b) =
d 2 =

( y
i
i − a xi − b)2
i=1
i=1
ist daher eine Funktion der beiden Parameter a und b. Von dieser Funktion

F ( a, b) suchen wir das Minimum. Um die stationären Punkte zu bestimmen,
setzen wir die partiellen Ableitungen von F nach a und b gleich Null:

n

∂F

= 2

( y

∂a
i − a xi − b) ( −xi)

i=1
n

n

n

!

= − 2
yi xi + 2 a
x 2 + 2 b
x = 0 .

i
i
i=1
i=1
i=1
n

∂F

= 2

( y

∂b
i − a xi − b) ( − 1)

i=1
n

n

n

!

= − 2
yi + 2 a
xi + 2
b = 0 .

i=1
i=1
i=1

Diese notwendigen Bedingungen bilden ein lineares Gleichungssystem für a, b:

#

$

#

$
n

n

n

x 2
a

+
x
b

=
x
i
i
i yi
i=1
i=1
i=1

#

$
n

n

xi
a

+
n
b

=
yi.

i=1
i=1

Da für die Koeffizientenmatrix gilt

#

$

x 2
x

2
i
i
n

n

n
n

1

D =

= n
x 2 −
xi

=

( xi − xj)2 > 0 ,

i

2
x

i
n
i=1
i=1
j=1 i=1

442

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen
erhalten wir z.B. mit der Cramerschen Regel die eindeutige Lösung des linearen

Gleichungssystems #

#

$ #

$$
n
n
n

1

a = ˆ
a :=
n·
x
x
y

D
i yi −
i
i
i=1
i=1
i=1

##

$ #

$ #

$ #

$$
n
n
n
n

1

b = ˆ
b :=
x 2
y

−
x
x

.

D
i
i
i
i yi
i=1
i=1
i=1
i=1

Um zu überprüfen, dass F im Punkte (ˆ
a, ˆ
b) ein lokales Minimum annimmt,
berechnen wir die zweiten partiellen Ableitungen
n

n

Faa = 2
x 2;

F
x
i
bb = 2 n;

Fab = 2
i
i=1
i=1
und setzen sie in die -Formel = Faa(ˆ a, ˆ b) · Fbb(ˆ a, ˆ b) − F 2 (ˆ a, ˆ b) ein: ab

#

$
n

n

2

= Faa · Fbb − F 2 = 4 n
x 2 − 4
x

= 4 D > 0 .

ab
i
i
i=1
i=1

Da > 0 und Faa > 0 ist dies ein lokales Minimum.

Zusammenfassung: Zu n vorgegebenen Messpunkten ( xi, yi)

be-
i=1 ,..., n
stimmt man durch die Methode der kleinsten Quadrate die Gerade
y = ˆ
a x + ˆ
b.

Diese Gerade heißt Regressionsgerade oder auch Ausgleichsgerade.

Die Koeffizienten berechnen sich über die Formeln

#

#

$ #

$$
n
n
n

1

ˆ
a :=
n·
x
x
y

D
i yi −
i
i
i=1
i=1
i=1

##

$ #

$ #

$ #

$$
n

n

n

n

ˆ

1
b :=
x 2
y

−
x
x

,

D
i
i
i
i yi
i=1
i=1
i=1
i=1
wenn

#

$
n

n

2

D = n
x 2 −
x

.

i
i
i=1
i=1

10.4

Anwendungen der Differenzialrechnung

443

Beispiel 10.33 (Mit Maple-Worksheet). Gesucht ist eine Ausgleichsgera-
de zu den folgenden Messwerten:

x

0

1

2

3

4

5

.

y

3

5

7

8

10

10

Dann ist

D = 6 · 1 + 22 + 32 + 42 + 52 − (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2 = 105

1

ˆ
a =

[6 · (1 · 5 + 2 · 7 + 3 · 8 + 4 · 10 + 5 · 10) −

105

51

(1 + 2 + 3 + 4 + 5) (3 + 5 + 7 + 8 + 10 + 10)] =

.

35

Analog berechnet sich ˆ
b = 74 . Die Regressionsgerade hat somit die Form

21

51

74
y =
x +

.

35

21

In Abb. 10.30 ist die Ausgleichsgerade zusammen mit den Messwerten gra-
phisch dargestellt:

Abb. 10.30. Messwerte mit Regressionsgerade

Für eine größere Anzahl von Messpunkten muss die Bestimmung der Regres-
sionsgeraden auf einem Rechner durchgeführt werden.

Wir haben den Fall der Ausgleichsgeraden ausführlich behandelt, da er durch

Modifikation der Messwerte auch die logarithmische, die exponentielle sowie
die Potenzanpassung beinhaltet:

Bemerkungen:

(1) Ist eine logarithmische Anpassung
f ( x) = a ln x + b
an die Messwerte gesucht, führt man die Hilfsvariable z = ln x ein. Aus den
x-Werten der Messung wird der Logarithmus gebildet und von den Mess-

444

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen
werten ( xi, yi), i = 1 , . . . , n zu den Wertepaaren (ln ( xi) , yi), i = 1 , . . . , n übergegangen. Mit diesen Daten bestimmt man die Ausgleichsgerade.

(2) Ist eine exponentielle Anpassung
f ( x) = a eb x
an die Messwerte gesucht, bildet man von der Gleichung
y = a eb x
den Logarithmus
ln y = ln a + b · x = A x + B .

Aus den ( xi, yi)-Messwerten geht man zu den Wertepaaren ( xi, ln ( yi))

über und bestimmt die Parameter A und B der Ausgleichsgeraden. Dann
ist b = A
und
a = eB.

(3) Ist eine Potenzanpassung
f ( x) = a xb
an die Messwerte gesucht, bildet man von der Gleichung
y = a xb
den Logarithmus
ln y = ln a + b ln x .

Aus den ( xi, yi)-Messwerten geht man zu den Wertepaaren (ln ( xi) , ln ( yi))

über und bestimmt die Ausgleichsgerade
y = A x + B .

Dann ist b = A
und
a = eB.

(4) Die logarithmische und exponentielle Anpassung bzw. die Potenzanpas-
sung entsprechen der Darstellung der Messwerte in einer logarithmischen
bzw. doppel-logarithmischen Auftragung (siehe Abschnitt 4.1.1).

(5) In Verallgemeinerung der Vorgehensweise bei der Berechnung der Parame-
ter der Ausgleichsgeraden bestimmt die Maple-Prozedur ausgleich die
freien Parameter einer vorgegebenen Polynomfunktion nach der Methode
der kleinsten Quadrate.

10.4

Anwendungen der Differenzialrechnung

445

Beispiel 10.34 (Mit Maple-Worksheet). Zu den Messwerten aus Beispiel

10.33 ([0,3], [1,5], [2,7], [3,8], [4,10], [5,10]) soll eine Ausgleichsparabel bestimmt
werden. Mit der Maple-Prozedur ausgleich erhält man

5

47

41

Die Ausgleichsfunktion lautet, -
x 2 +
x +

28

20

14

Das Abstandsquadrat ist, . 4857142857
mit der graphischen Darstellung der Werte zusammen mit der Parabel.

Abb. 10.31. Messwerte mit Ausgleichsparabel

Auf der CD-Rom sind mehrere Maple-Prozeduren zu diesem Kapitel
enthalten: differenzial bestimmt das totale Differenzial einer Funk-
tion, fehler berechnet den absoluten maximalen Fehler in linearer Näherung
mit der Gaußschen Fehlerfortpflanzung, stationaer bestimmt die stationären

Punkte einer Funktion in n Variablen. extremum 2d und extremum nd
berechnen die Extremwerte von Funktionen mit zwei bzw. n Variablen. Die

Prozedur Regressionsgerade bestimmt die Ausgleichsgerade und stellt diese
zusammen mit den Messwerten graphisch dar, während ausgleich das Aus-
gleichspolynom n-ter Ordnung angibt.

MAPLE-Worksheets zu Kapitel 10

Die folgenden elektronischen Arbeitsblätter stehen für Kapitel 10 mit

Maple zur Verfügung.

Darstellung von Funktionen mit zwei Variablen mit Maple

Partielle Ableitung mit Maple

Totale Differenzierbarkeit, Tangentialebene mit Maple

Gradient und Richtungsableitung mit Maple

Taylorsche Formel mit Maple

Totales Differenzial mit Maple

Fehlerrechnung mit Maple

Bestimmung der Extrema mit Maple

Ausgleichsrechnung mit Maple

446

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

10.5

10.5 Aufgaben zur Differenzialrechnung

10.1

Stellen Sie mit dem plot3d-Befehl die folgenden Funktionen in Maple gra-
phisch dar
a) z = x · y
b) z = x + y
c) z = x 2 − y 2
d) z = x 2 + y 2
e) z = ( x − y)2
f) z = e−( x 2+ y 2)

10.2

Fügen Sie durch die Option style = contour 20 Höhenlinien in die Schau-
bilder ein und variieren Sie interaktiv den Blickwinkel.

10.3

Berechnen Sie für die folgenden Funktionen alle partiellen Ableitungen 1.

Ordnung

a) f ( x, y) = x 3 + x · y − y− 2
b) f ( a, t) = 3 · a · x + y · ln t 2

c) f ( u, v) = u+ w
d) f ( x, y, z) = arcsinh x 2 + z 2
u+ v

− 1
e) f ( x 1 , x 2 , x 3) = x 2
f) f ( a, b) = a x + b x 2

+ y · ea b

10.4

Man berechne die partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung der folgenden

Funktionen
a) f ( x, y) = 3 x 2 + 4 x y − 2 y 2
b) f ( x, y) = 2 cos (3 x y)

c) f ( x, y) = (3 x − 5 y)4
d) f ( x, y) = x 2 −y 2
x+ y

e) f ( x, y) = 3 x · ex y
f) f ( x, y) =
x 2 − 2 x y

10.5

Gegeben ist die Funktion f ( x, y) = sin x 2 + 2 y .

Man bestätige den Satz von Schwarz, dass
fxy = fyx.

10.6

Berechnen Sie die partiellen Ableitungen 2. Ordnung für die Funktion

f ( x 1 , x 2 , x 3) = x 1 · ln x 22 + x 23 .

10.7

Gesucht sind alle partiellen Ableitungen zweiter Ordnung der Funktion
a) f ( x, y) = (3 x − 5 y)4
b) f ( x, y, z) = ex−y · cos (5 z)

10.8

Zeigen Sie, dass die Funktion
a
f ( x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2

Lösung der Laplace-Gleichung
fxx + fyy + fzz = 0
ist.

10.9

Zeigen Sie durch Einsetzen, dass
z = x · ey/x
der partiellen Differenzialgleichung
x ∂z + y ∂z = z
genügt.

∂x

∂y

10.10

Zeigen Sie, dass die Funktion

1

f ( x, y) =

· ln x 2 + y 2

2
die partielle Differenzialgleichung
fxx + fyy = 0
erfüllt.

10.11

Bestimmen Sie im Punkte P (1 , 0) die Gleichung der Tangentialebene an die

Fläche
z = (3 x + x · y)2 .

10.12

Berechnen Sie an der Stelle P (1 , 2 , 0) das totale Differenzial von

ln 1 + x 2
f ( x, y, z) = y · cos ( z) +

.

y

10.5

Aufgaben zur Differenzialrechnung

447

10.13

Berechnen Sie den Gradienten und die Richtungsableitung in Richtung
a =

# $

2
für die Funktion

4
f ( x, y) = (3 x + x · y)2 .

⎛

⎞

3

⎜

⎟

10.14

Berechnen Sie Gradient und die Richtungsableitung in Richtung
a = ⎝ − 1 ⎠

2
für die Funktion

ln 1 + x 2
f ( x, y, z) = y · cos ( z) +

.

y

10.15

Man bestimme mit Maple das totale Differenzial der Funktionen
a) z ( x, y) = 4 x 3 y − 3 x · ey
x 2 + y 2
b) z ( x, y) = x − y
c) f ( x, y, z) = ln
x 2 + y 2 + z 2.

10.16

Betrachten Sie die differenzierbaren Funktionen
f 1 , f 2 : IR → IR und
g : IR2 → IR und bilden die Verkettung h ( x 1 , x 2) = g ( f 1 ( x 1) , f 2 ( x 2)).

Berechnen Sie h und die ersten partiellen Ableitungen von h in folgenden

Fällen
a) f 1 ( x 1) = a 0 + a 1 x 1;
f 2 ( x 2) = b 0 + b 1 x 2;
g ( u 1 , u 2) = c 0 + c 1 u 1 + c 2 u 2.

b) f 1 ( x 1) = sin x 1;
f 2 ( x 2) = cos x 2;
g ( u 1 , u 2) = u 21 + u 1 u 2.

10.17

Man berechne die Taylor-Reihe der Funktion f an der Stelle ( x 0 , y 0) bis zur

Ordnung 2 für

( x − y)

a) f ( x, y) =

,

( x 0 , y 0) = (1 , 1)

( x + y)

b) f ( x, y) = ex 2+ y 2 ,

( x 0 , y 0) = (1 , 0)

10.18

Man berechne das totale Differenzial von

a) f ( x, y) = sin x 2 + 2 y
b) f ( x, y) = 3 x 2 + 4 x y − 2 y 2
c) f ( x, y) = y · cos ( x − 2 y)

d) f ( x, y, z) = x 2 z − y z 3 + x 4

10.19

Für den Durchmesser eines geraden Kreiszylinders hat man (6 . 0 ± 0 . 003) m
gemessen, für die Höhe (4 . 0 ± 0 . 02) m. Wie groß ist der größte, absolute und
relative Fehler des Zylindervolumens?

10.20

Zur Berechnung eines elektrischen Widerstandes

R = U
werden die

I

Stromstärke I = (15 ± 0 . 3) A und die Spannung U = (110 ± 2) V gemessen. Gesucht ist der relative Maximalfehler von R.

10.21

Der Elastizitätsmodul eines zylindrischen Drahtes ( r: Radius des Drahtquer-
schnitts, l: Länge des Drahtes) wird bestimmt, indem die Längenzunahme z
des Drahtes unter dem Einfluss der Kraft k gemessen wird. Es gilt
l · k

E =

(E-Modul).

π r 2 · z

Wie groß und mit welcher Genauigkeit ist E bestimmt, wenn die Messwerte
l = (2000 ± 3) mm, r = (0 . 2 ± 0 . 002) mm, k = (200 ± 0 . 05) N und z =

(15 ± 0 . 1) mm betragen?

448

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

10.22

Zu bestimmen ist die Dichte ρ eines Messingstücks nach der Auftriebsme-
thode: Sei m das Gewicht in Luft, ¯
m das Gewicht in Wasser, dann gilt
m

Gewicht in Luft
ρ =

=

.

m − ¯
m

Volumen

Wie groß ist der relative Fehler von ρ, wenn m =

100 ± 5 · 10 − 3 g und

¯
m = 88 ± 8 · 10 − 3 g?

10.23

Linearisieren Sie die Funktion

ln 1 + x 2
f ( x, y, z) = y · cos ( z) +
y
an der Stelle ( x 0 , y 0 , z 0) = (1 , 2 , 0).

10.24

Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen zunächst die kritischen Stellen
und entscheiden Sie, ob (und wenn ja um welche) es sich um lokale Extrem-
stellen handelt
a) f ( x, y) = x 2 + cos ( y)

b) f ( x, y) = 3 y 2 + 3 x y − 18 y 2
c) f ( x, y) = ( x − y)3 + 12 x y

10.25

Welcher Punkt der Fläche
z =

1 + ( x − 2 y)2
hat den kleinsten Ab-
stand vom Punkt (1 , − 2 , 0)?

10.26

Zeigen Sie, dass die Funktion
f ( x, y) = c − x 2 − y 2
im Punkte (0 , 0) ein lokales Maximum besitzt.

10.27

Bestimmen Sie die relativen Extrema der Funktion
f ( x, y) = x 3 + y 3 − 3 x − 12 y + 20 .

10.28

Bestimmen Sie mit Maple die relativen Extrema der Funktionen
a) f ( x, y) = 3 x y − x 3 − y 3
b) f ( x, y) = x 2 + y 2 + x − y
c) f ( x, y) = 1 − x + y − 2 x y + x 2 − y 2
d) f ( x, y) = ex 2+ y 2 − 2 x 4 − 2 y 2

10.29

Bestimmen Sie alle stationären Punkte der Funktion

f ( x, y, z) = e−( x 2+ y 2+ z 2) · x 2 − z 2
mit der Prozedur stationaer und überprüfen Sie mit extremum nd, ob
lokale Extrema vorliegen.

10.30

Bestimmen Sie mit Maple zu den folgenden Messreihen jeweils die Aus-
gleichsgerade
a)

xi

0

1

2

3

4

5

6
yi

2 . 1

0 . 81

− 0 . 5 − 2 . 1 − 3 . 4 − 4 . 3 − 5 . 8
b)

xi

1 . 5

1 . 8

2 . 4

3 . 0

3 . 5

4 . 0

4 . 5

6 . 0
yi

1 . 9

2 . 1

2 . 8

3 . 4

4 . 0

4 . 1

5 . 1

6 . 1

Tragen Sie die Punkte zusammen mit der Ausgleichsgeraden in ein Schaubild
ein!

Kapitel 11

11

Integralrechnung bei Funktionen mit
mehreren Variablen

11

Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren

Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

449

11.1

Doppelintegrale (Gebietsintegrale) ............................. 451

11

11.1.1

Definition ............................................................ 451

11.1.2

Berechnung von Doppelintegralen .............................. 454

11.1.3

Reduktion von Doppelintegralen auf einfache Integrationen 457

11.1.4

Anwendungen....................................................... 459

11.2

Dreifachintegrale ................................................... 464

11.2.1

Definition und Berechnung von Dreifachintegralen.......... 464

11.2.2

Anwendungen....................................................... 466

11.3

Aufgaben zur Integralrechnung.................................. 471

Zus¨
atzliche Abschnitte auf der CD-Rom

11.4

MAPLE: Doppel- und Dreifachintegrale ........................

cd

11.4.1

Doppelintegrale mit MAPLE ......................................

cd

11.4.2

Dreifachintegrale mit MAPLE ....................................

cd

11.4.3

Berechnung der Eigenschaften starrer Körper mit MAPLE .

cd

11.5

Substitutionsregeln, Koordinatentransformationen ..........

cd

11.6

Linien- oder Kurvenintegrale.....................................

cd

11.6.1

Vektordarstellung einer Kurve ...................................

cd

11.6.2

Differentiation eines Vektors nach einem Parameter ........

cd

11.6.3

Vektor- oder Kraftfelder ..........................................

cd

11.6.4

Linien- oder Kurvenintegrale.....................................

cd

11.6.5

Anwendungsbeispiele ..............................................

cd

11.7

Oberflächenintegrale ..............................................

cd

11.7.1

Oberflächenintegral eines Vektorfeldes.........................

cd

11 Integralrechnung bei Funktionen
mit mehreren Variablen

In diesem Kapitel wird der Begriff des bestimmten Integrals auf Doppel-, Dreifach-
und Kurvenintegrale sowie auf Oberflächenintegrale erweitert. Bei jedem dieser Be-
griffe wird die Berechnung des Integralwertes auf die eines bestimmten Integrals
zurück gespielt. Zunächst führen wir in 11.1 Doppelintegrale z.B. zur Beschrei-
bung von Volumina, Schwerpunkten von ebenen Flächen und Flächenmomenten ein.

Anschließend übertragen wir in 11.2 die Vorgehensweise auf Dreifachintegrale, um

Schwerpunkte und Massenträgheitsmomente von Körpern zu berechnen.

Hinweis: Eine weitere Notwendigkeit, den Integralbegriff auf Funktionen mit meh-
reren Variablen zu erweitern, besteht in der Integration entlang einer Linie. Dies
führt auf den Begriff der Linienintegrale in 11.4, die in der Elektrodynamik und

Thermodynamik zur Berechnung der Energie herangezogen werden. In 11.5 werden

Oberflächenintegrale diskutiert. Substitutionsregeln und Koordinatentransformatio-
nen werden in 11.3 behandelt. Diese beiden Abschnitte befinden sich zusätzlich auf
der CD-Rom.

11.1

11.1 Doppelintegrale (Gebietsintegrale)

Wir beschäftigen uns in diesem Abschnitt mit zweidimensionalen Integralen. Die Über-
tragung vom eindimensionalen auf den mehrdimensionalen Fall bereitet im Prinzip keine

Schwierigkeiten, wird von seiner Konstruktion her aber aufwändiger, da nicht ein Intervall
sondern nun ein zweidimensionales Gebiet aufgeteilt werden muss.

Hinweis: Die Anwendungsbeispiele werden durch Maple-Prozeduren ergänzt, die sich
zusätzlich auf der CD-Rom befinden.

11.1.1 Definition

Das bestimmte Integral einer positiven Funktion f ( x)

im Intervall [ a, b] repräsentiert die Fläche, welche die

Kurve f ( x) mit der x-Achse im Bereich [ a, b] ein-
schließt. Definiert wird das bestimmte Integral

1 b
f ( x) dx
a

Abb. 11.1.

als Grenzwert über die Summe aller Rechteckflächen ( xk − xk− 1) f ( ξk), wenn
die Intervallbreite xk = ( xk − xk− 1) der Unterteilung des Intervalls
a = x 0 < x 1 < . . . < xn− 1 < xn = b
für n → ∞ gegen Null strebt (siehe Abb. 11.2).

452

11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

Abb. 11.2. Summe der Rechteckflächen

Um diesen Integralbegriff auf zweidimensionale Gebiete zu übertragen, reicht
es für unsere Zwecke vollkommen aus, nur einen beschränkten, einfach zusam-
menhängenden Bereich G ⊂ IR2 in der ( x, y)-Ebene zu betrachten, der einen

”glatten” Rand besitzt. Diesen Bereich nennen wir im Folgenden ein Gebiet.

Es sei z = f ( x, y) eine auf dem Gebiet G stetige, positive Funktion. Gesucht
ist das Volumen zwischen dem Funktionsgraphen und G:

Abb. 11.3. Funktion f( x, y) über einem zweidimensionalen Gebiet G

Zur Bestimmung des Volumens V zerlegen wir das Gebiet G in Rechteckflächen
der Länge xi und Breite yj. Die Anzahl der Unterteilungen in x-Richtung
sei n, die Anzahl der Unterteilungen in y-Richtung m. D.h. i variiert zwi-
schen 1 und n, j variiert zwischen 1 und m. Für jedes Rechteck mit Index

( i, j) wählen wir einen beliebigen Punkt P ( ξi, ηj) und bestimmen den zu-
gehörigen Funktionswert f ( ξi, ηj). Das Zylindervolumen über dem Rechteck
beträgt Grundfläche mal Höhe:

Vij = f ( ξi, ηj) Δ xi Δ yj .

Anschließend bildet man die Summe aller Zylindervolumen über dem Gebiet

G. (Für Rechtecke außerhalb von G setze man das Volumen auf Null.) Die

Zwischensumme aller Zylindervolumen bildet eine Näherung für das zu be-

11.1

Doppelintegrale (Gebietsintegrale)

453

Abb. 11.4. Zur Konstruktion des Doppelintegrals
rechnende Volumen
m
n

V ≈
f ( ξi, ηj) Δ xi Δ yj .

j=1 i=1

Je feiner die Unterteilung des Gebietes G ausfällt, umso genauer ist diese Nähe-
rung. Wir lassen daher die Anzahl der Unterteilungen in x- und y-Richtung
anwachsen. Strebt beim Grenzübergang n → ∞, m → ∞ die Zwischensumme
gegen einen Grenzwert, so bezeichnet man ihn als Doppelintegral bzw. als Ge-
bietsintegral.

Definition: (Doppelintegral, Gebietsintegral). Der Grenzwert

11
m
n

f ( x, y) dG := lim
lim
f ( ξi, ηj) Δ xi Δ yj
m→∞ n→∞ j=1 i=1

( G)

wird (falls er existiert) als Doppelintegral bzw. Gebietsintegral von f ¨
uber

G bezeichnet. Man nennt dann f ¨
uber G integrierbar.

Bemerkungen:

1

(1) Oftmals wird die symbolische Schreibweise
f ( x, y) dG nur mit einem

( G)

Integralzeichen benutzt.

(2) Man nennt

( x, y)

die Integrationsvariablen
f ( x, y)

den Integrand
dG
das Flächenelement

( G)

den Integrationsbereich.

(3) Für stetige Funktionen ist das Doppelintegral immer definiert.

454

11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

(4) Existiert der Grenzwert, dann ist er unabhängig von der speziellen Ge-
bietszerlegung.

(5) Für die algebraische Definition des Doppelintegrals ist f ( x, y) ≥ 0 nicht
erforderlich, sondern nur für die geometrische Interpretation als Volumen
zwischen dem Graphen von f und G.

11.1.2 Berechnung von Doppelintegralen

22

Um Doppelintegrale zu berechnen, zerlegen wir
f ( x, y) dG in zwei nach-

( G)

einander auszuführende einfache Integrale. Dazu überdecken wir das Gebiet

G mit einem achsenparallelen Rechteckgitter mit Maschenweiten x und y
und bilden die Summe über alle Zylinder, deren Grundfläche in G liegt:

⎛

⎞
n

m

V ≈

⎝
f ( ξ

⎠
i, ηj ) Δ y

Δ x .

i=1
j=1

Abb. 11.5. Berechnung eines Doppelintegrals über eine Zerlegung der Grundfläche

Stellen wir den unteren und oberen Rand durch Funktionen f 1 ( x) und f 2 ( x)

dar, dann konvergiert die innere Summe für y → 0

( m → ∞) für festes
ξi ∈ [ xi− 1 , xi] gegen das Integral

1 f 2( ξi)

Iy ( ξi) =
f ( ξi, y) dy .

f 1( ξi)

Dies ist ein gewöhnliches Integral mit der Integrationsvariablen y. Für festes
ξi wird entlang der y-Achse von f 1 ( ξi) bis f 2 ( ξi) integriert.

⎛

⎞
n

m

⇒ V

≈
lim

⎝
f ( ξ

⎠
i, ηj ) Δ y

Δ x
m→∞ i=1
j=1
n

=

Iy ( ξi) Δ x.

i=1

11.1

Doppelintegrale (Gebietsintegrale)

455

Lassen wir nun auch noch x → ∞ gehen ( n → ∞), dann konvergiert die
verbleibende Summe gegen das Integral
n

1 a 2
lim

Iy ( ξi) Δ x =

Iy ( x) dx .

n→∞ i=1
a 1

Dieses Ergebnis ist der doppelte Grenzwert n → ∞, m → ∞, also genau das

Doppelintegral von f über dem Gebiet G.

11

1

#1

$
a 2
f 2( x)

⇒
f ( x, y) dx dy =
f ( x, y) dy
dx.

x= a 1
y= f 1( x)

( G)

Berechnung von Doppelintegralen:

22

Die Berechnung des Doppelintegrals
f ( x, y) dG erfolgt durch zwei

( G)

nacheinander auszuführenden, gewöhnlichen Integrationen:

⎛

⎞

11

1
f 2( x)

1
a 2

⎜

⎟
f ( x, y) dG =

⎝
f ( x, y) dy⎠
dx.

(D1)

x= a 1

( G)

y= f 1( x)

x= const, y variiert zwischen f 1( x) und f 2( x)

(1) Das innere Integral wird für festes x nach y integriert. Die Grenzen
sind y 1 = f 1 ( x) und y 2 = f 2 ( x). Das Ergebnis der ersten Integration
ist eine Funktion, in der nur noch x als Variable vorkommt.

(2) Das äußere Integral wird durch Integration über x bestimmt.

Bemerkungen:

(1) Die Integrationsformel ( D 1) entspricht der Zerlegung des Gebietes in Strei-
fen parallel zur y-Achse und anschließender Aufsummierung aller Streifen
in x-Richtung (siehe Abb. 11.5 b). Die einzelnen, zur y-Achse parallelen

Streifen besitzen Anfangs- und Endwerte, y 1 und y 2, die wiederum von
der Lage des Streifens, d.h. von der x-Koordinate abhängen: y 1 = f 1( x)

und y 2 = f 2( x). Das Aufsummieren erfolgt über alle Streifen zwischen
x min = a 1 und x max = a 2.

(2) Es wird bei dieser Darstellung davon ausgegangen, dass der Rand sich
durch zwei Funktionen f 1 ( x) und f 2 ( x) beschreiben lässt. Für komplizier-
te Gebiete muss G in entsprechende Teilbereiche unterteilt werden (siehe

Abb. 11.6, links).

456

11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

Abb. 11.6. Zerlegung in Teilgebiete

(3) Vertauscht man die Rolle von x und y und stellt den linken Rand durch
die Funktion g 1 ( y) und den rechten Rand durch g 2 ( y) dar, erhält man für
das Doppelintegral

⎛

⎞

11

1
g 2( y)

1
b 2

⎜

⎟
f ( x, y) dG =

⎝
f ( x, y) dx⎠
dy.

(D2)

y= b 1

( G)

x= g 1( y)

y= const, integriert wird über x

Das innere Integral wird für festes y von g 1 ( y) bis g 2 ( y) nach x integriert.

Das Ergebnis enthält nur noch die Variable y. Das äußere Integral wird
durch Integration über y bestimmt (siehe Abb. 11.6, rechts).

(4) Graphisch entspricht die Integrationsformel ( D 2) einer Zerlegung des Ge-
bietes in Streifen parallel zur x-Achse und anschließender Aufsummierung
aller Streifen in y-Richtung. Anfangs- und Endpunkte der Streifen hängen
hier von y ab: g 1( y) und g 2( y). Durch Aufsummieren werden alle Streifen
von y min = b 1 bis y max = b 2 berücksichtigt.

(5) Die Reihenfolge der Integration ist durch die Reihenfolge der Differenziale
dx und dy von Innen nach Außen festgelegt.

(6) Das eigentliche Problem bei der Berechnung von Doppelintegralen besteht
im Auffinden der Funktionen f 1 ( x) und f 2 ( x) bzw. g 1 ( y) und g 2 ( y). Sind diese, den Rand beschreibenden Funktionen gefunden, reduziert sich die

Berechnung auf die Bestimmung gewöhnlicher Integrale.

Beispiele 11.1 (Die Integrationsgrenzen sind vorgegeben):

 Die Bestimmung des Doppelintegrals

1

1

1
y

I =
x y dx dy
y=0
x= − 2

11.1

Doppelintegrale (Gebietsintegrale)

457
erfolgt, indem zunächst das innere Integral ( y fest, x variiert von x = − 2
bis y)

1

1

y
y
y
x 2
y 2

1
x y dx = y
x dx = y ·

= y

− 2 = y 3 − 2 y

2

2

2
x= − 2
x= − 2

− 2
nach der Variablen x integriert wird. Anschließend wird die äußere Integra-
tion über y durchgeführt

1

1

1

1

1

I =
y 3 − 2 y
dy =
y 4 − y 2

= − 7 .

2

8

8
y=0

0

 Zur Bestimmung des Doppelintegrals

1

1

3
π

I =
x 2 sin ( y) dy dx
x=0
y=0
berechnen wir zunächst das innere Integral ( x fest, y variiert von 0 bis π)

1

1
π
π
x 2 sin ( y) dy = x 2
sin ( y) dy = x 2 [ − cos ( y)] π = 2 x 2 ,

0
y=0
y=0
dann das äußere

1

3

2

3

I =

2 x 2 dx =
x 3 = 18 .

3

x=0

0

11.1.3 Reduktion von Doppelintegralen auf einfache Integrationen

Beispiel 11.2 (Mit Gebietszerlegung).

Gegeben ist eine Funktion z = f ( x, y), die auf dem Gebiet G (siehe Abb.

22

11.7) definiert ist. Gesucht ist
f ( x, y) dG.

( G)

Um das Doppelintegral auf zwei einfache Integra-
tionen zu reduzieren, zerlegen wir das Gebiet G in

Streifen parallel zur x-Achse. Die Streifen beginnen
bei x = y und enden bei x = y + 4. Anschließend
müssen alle Streifen von y = − 1 bis y = 1 berück-
sichtigt werden. Dies bedeutet, dass wir Integralfor-

Abb. 11.7. Gebiet G
mel ( D 2) wählen und als innere Integrationsvariable x setzen. D.h. wir halten
y = const, dann variiert x zwischen den Werten g 1 ( y) = y und g 2 ( y) = y + 4

(siehe gestrichelte Linie). Anschließend variiert im äußeren Integral y von − 1
bis 1.

11

1

1

1
y+4

⇒
f ( x, y) dG =
f ( x, y) dx
dy .

y= − 1
x= y

( G)

y= const

458

11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

Beispiel 11.3 (Mit Gebietszerlegung).

22

Gesucht ist das Doppelintegral
f ( x, y) dG, wenn das Gebiet G einen Kreis

( G)

in der ( x, y)-Ebene mit Radius R darstellt.

(i) Zerlegung des Gebietes in Streifen parallel zur x-Achse: Führen wir die In-
tegration mit Formel ( D 2) aus, erfolgt die innere Integration für konstantes
y über die Variable x.

y = const ⇒ x variiert zwischen

− R 2 − y 2 und

R 2 − y 2 .

Für festes y variieren also die zugehörigen x-Werte zwischen g 1 ( y) =

− R 2 − y 2 und g 2 ( y) =

R 2 − y 2. Zur Bestimmung des äußeren In-
tegrals muss y dann zwischen b 1 = −R und b 2 = R variieren.

11

1

#1 √

$

R

R 2 −y 2

⇒
f ( x, y) dG =

√
f ( x, y) dx
dy .

y= −R
x= −

R 2 −y 2

( G)

(ii) Zerlegung des Gebietes in Streifen parallel zur y-Achse: Führen wir die

Integration gemäß Formel ( D 1) aus, erfolgt die innere Integration für kon-
stantes x über die Variable y.

x = const ⇒ y variiert zwischen

√

√

− R 2 − x 2 und

R 2 − x 2

√

Für festes x variieren nun die y-Werte zwischen f 1 ( x) = − R 2 − x 2 und

√
f 2 ( x) =

R 2 − x 2. Zur Bestimmung des äußeren Integrals muss anschlie-
ßend x zwischen −R und R variieren

11

1

#1 √

$

R

R 2 −x 2

⇒
f ( x, y) dG =

√
f ( x, y) dy
dx .

x= −R
y= − R 2 −x 2

( G)

11.1

Doppelintegrale (Gebietsintegrale)

459

11.1.4 Anwendungen

Doppelintegrale kommen häufig bei der Berechnung von ebenen Flächen, bei
der Schwerpunktsberechnung ebener Flächen, bei der Bestimmung von Flächen-
momenten und Volumenberechnungen vor. Auf jede dieser Problemstellungen
werden wir im Folgenden eingehen.

Fl¨
achenberechnungen

Setzt man die Funktion z = f ( x, y) = 1, entspricht das Doppelintegral über

G dem Volumen des Körpers mit der Grundfläche G und der konstanten Höhe

1. Dies ist zahlenmäßig gerade der Flächeninhalt von G:

Der Fl¨
acheninhalt A eines ebenen Gebietes G ⊂ IR2 ist

11

A =
dG .

( G)

Beispiel 11.4. Gesucht ist die Fläche, die durch die Gerade f 1 ( x) = x + 2
und die Parabel f 2 ( x) = 4 − x 2 begrenzt wird.

Abb. 11.8. Fläche zwischen zwei Funktionen

Zur Berechnung des Doppelintegrals zerlegen wir das Gebiet in Streifen parallel
zur y-Achse; wir wählen also Formel ( D 1): Für festes x variiert y von f 1 ( x) =
x+2 bis f 2 ( x) = 4 −x 2; das verbleibende äußere Integral über dx wird gebildet
mit den Grenzen a 1 = − 2 und a 2 = +1:

11

1

#1

$

1

1

4 −x 2

1

A =
dG =
dy
dx=

[ y]4 −x 2 dx
x+2
x= − 2
y= x+2
x= − 2

( G)

x
fest

1

1

1

=

( −x 2 − x + 2) dx = − 1 x 3 − 1 x 2 + 2 x

= 4 . 5 .

3

2
x= − 2

− 2

460

11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

Beispiel 11.5. Gesucht ist der Flächeninhalt des Gebietes G, welches in Abb.

11.9 definiert ist.

(i) Zerlegung des Gebietes in Streifen parallel zur y-

√

√

Achse: Für x = const variiert y von − x bis
x. Mit

Formel ( D 1) gilt damit

11

1

#1 √

$

1
x

A =
dG =
dy
dx

√
x=0
y= − x

( G)

x= const

1

1

1

√

1

& '

1

4

3 1

4

Abb. 11.9.

=

2
x dx =

2 x 2 dx =
x 2

=

.

3

3

0

0

0

(ii) Zerlegung des Gebietes in Streifen parallel zur x-Achse: Mit Formel ( D 2)

folgt ebenfalls y = const ⇒ x variiert von y 2 bis 1

11

1

1

1

1

A =
dG =
dx
dy
y= − 1
x= y 2

( G)

1

1

1

4

=

1 − y 2 dy = y − 1 y 3

=

.

3

3
y= − 1

− 1

Schwerpunktsberechnung ebener Fl¨
achen

In § 8.6.6 sind Formeln die Schwerpunktskoordinaten einer Fläche unter einem

Graphen f und der x-Achse hergeleitet. Für ebene Gebiete gilt allgemein:

Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fl¨
ache: Die Koordinaten
des Schwerpunktes S = ( xs, ys) eines ebenen Gebietes G bestimmen sich
über

11

11

1

1
xs =
x dG,
y
y dG,

A
s = A

( G)

( G)

wenn A der Flächeninhalt von G ist.

11.1

Doppelintegrale (Gebietsintegrale)

461

Beispiel 11.6. Gesucht ist der Schwerpunkt für die Fläche aus Beispiel 11.5:

Für die x-Koordinate von S gilt

11

1

#1 √

$

1

1

1
x
xs =
x dG =
x dy
dx

A

A

√
x=0
y= − x

( G)

x= const

Das innere Integral über dy ist für festes x

1 √

1 √
x
x

1

3
x dy = x
dy = 2 x x 2 = 2 x 2

√

√
y= − x
y= − x
und das äußere Integral

1

1

1

3

4

5

4

1

3

2 x 2 dx =
x 2 =
x

· 4 =

.

5

5
s = A 5

5
x=0

0

Aufgrund der Symmetrie ist y

3
s = 0. ⇒ S =

, 0 .

5

Beispiel 11.7 (Mit Maple-Worksheet). Gesucht
sind die Schwerpunktskoordinaten für das Gebiet aus

Beispiel 11.4: Mit Beispiel 11.4 gilt für die x-Koordi-
nate des Schwerpunktes

11

1
xs =
x dG

A

( G)

1

#1

$

1

4 −x 2

Abb. 11.10.

1

=
x dy
dx

4 . 5
x= − 2
y= x+2

1

1

2

1

2

1

bzw. xs =
x (4 − x 2 − x − 2) dx =

−x 3 − x 2 + 2 x dx

9

9
x= − 2
x= − 2

2

1

=

− 1 x 4 − 1 x 3 + x

= − 1 .

9

4

3

−

2

2

Entsprechend gilt für die y-Komponente ys = 2 . 4.

Beispiel 11.8 (Mit Maple-Worksheet). Gesucht
sind die Schwerpunktskoordinaten des Viertelkreises.

Wir wählen zur Berechnung des Doppelintegrals For-
mel ( D 2): Dabei erfolgt die innere Integration bei kon-
stantem y über die Variable x von g 1 ( y) = 0 bis

Abb. 11.11.

g 2 ( y) =

R 2 − y 2. Zur Bestimmung des äußeren In-

462

11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen
tegrals über y variiert dann die Variable y von 0 ≤ y ≤ R:

11

1

#1 √

$

1

1

R

R 2 −y 2
xs =
x dG =
x dx
dy;

A

A
y=0
x=0

( G)

11

1

#1 √

$

1

1

R

R 2 −y 2
ys =
y dG =
y dx
dy.

A

A
y=0
x=0

( G)

Mit Maple folgt für die Koordinaten mit A = π R 2 :

4

4 R

4 R
xs =
und y

3 π
s = 3 π

Fl¨
achenmomente

In der Festigkeitslehre benötigt man zur Beschreibung von Biegungen Fl¨
achen-
momente von Querschnittsflächen. Sie sind jeweils bezogen auf bestimmte

Achsen. Es wird unterschieden zwischen sog. axialen Momenten, bei denen die

Bezugsachse in der Flächenebene liegt und polaren Momenten, bei denen die

Achse senkrecht zur Flächenebene orientiert ist. Es gelten die Formeln

11

Axiales Flächenmoment bzg. der y-Achse

Iy =
x 2 dG

( G)

11

Axiales Flächenmoment bzg. der x-Achse

Ix =
y 2 dG

( G)

11

Polares Flächenmoment

Ip =
x 2 + y 2 dG

( G)

Beispiel 11.9. Gesucht sind die axialen Flächenmomente
des Gebietes G aus Beispiel 11.5. Gemäß der Zerlegung aus

Beispiel 11.5 berechnen wir

11

1 #1 √

$

1
x

Ix =
y 2 dG =
y 2 dy
dx

√

0

− x

( G)

1

√

1

1
x

1

& '

Abb. 11.12.

1

2

3

2 2

5 1

4

=
y 3
dx =
x 2 dx =
x 2

=

.

3

√

3

3 5

15

0

− x

0

0

11.1

Doppelintegrale (Gebietsintegrale)

463

11

1 #1 √

$

1

#1 √

$

1
x

1
x

Iy =
x 2 dG =
x 2 dy
dx =
x 2
dy
dx

√

√

0

− x

0

− x

( G)

1

1

1

1

& '

1

5

2

7 1

4

= 2
x 2 x 2 dx = 2
x 2 dx = 2
x 2

=

.

7

7

0

0

0

Volumenberechnung

Aufgrund seiner Definition dient das Doppelintegral zur Berechnung von Volu-
meninhalten, die ein Funktionsgraph einer positiven Funktion z = f ( x, y) > 0
mit der ( x, y)-Ebene über einem Gebiet G einschließt

11

V =
f ( x, y) dG.

( G)

Beispiel 11.10 (Mit Maple-Worksheet). Gesucht
ist das Volumen V , das durch den Graphen von
z = f ( x, y) = 1 − x 2 − y 2
und der ( x, y)-Ebene eingeschlossen wird. Das zu-
gehörige Gebiet G soll der Einheitskreis in der ( x, y)-

Ebene darstellen.

Abb. 11.13.

√

Für konstantes x wird y begrenzt durch f 1 ( x) = − 1 − x 2

√
und f 2 ( x) =

1 − x 2 mit a 1 = − 1 und a 2 = 1. Nach
der Integrationsformel ( D 1) für Doppelintegrale ist

11

V =
f ( x, y) dG

( G)

1

#1 √

$

1

1 −x 2

Abb. 11.14.

=

√

1 − x 2 − y 2 dy
dx
x= − 1
y= − 1 −x 2

1

√

1

1

1 −x 2

1

4

3 / 2

=

(1 − x 2) y − 1 y 3
dx =

1 − x 2
dx

3

√

3
x= − 1
y= − 1 −x 2
x= − 1

1

1

3 / 2

1

1 / 2

1

1

=

1 − x 2

+

1 − x 2

+
arcsin( x)

=
π.

3

2

2

2
x= − 1

464

11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

11.2

11.2 Dreifachintegrale

Der Begriff des Dreifachintegrals für Funktionen f ( x, y, z) über einem dreidimensionalen

Gebiet G ⊂ IR3 wird auf ähnliche Weise eingeführt und berechnet wie das Doppelintegral.

Da sich eine Funktion von drei Variablen nicht mehr graphisch darstellen lässt, besitzt das

Dreifachintegral über eine Funktion f ( x, y, z) zunächst keine geometrische Bedeutung.

Nur für den Fall f ( x, y, z) = 1 entspricht das Dreifachintegral dem Volumen des Gebietes

G. Auch Dreifachintegrale reduziert man auf jetzt 3 aufeinander folgende, gewöhnliche

Integrationen, wobei nun 3! = 6 verschiedene Integrationsreihenfolgen möglich sind!

11.2.1 Definition und Berechnung von Dreifachintegralen

Abb. 11.15. Zur Definition von Dreifachintegralen

Zur Definition des Dreifachintegrals zerlegen wir den Körper in kleine Teilvolu-
men dVi ( i = 1 , . . . , n) und wählen in jedem Volumen einen Punkt P ( xi, yi, zi)

aus, auf dem wir die Funktion f auswerten. Schließlich bilden wir das Produkt
von Funktionswert und Volumenelement
f ( xi, yi, zi) dVi
und summieren über alle Volumina auf
n

Zn =
f ( xi, yi, zi) dVi .

(Zwischensumme)

i=1

Wir lassen nun die Anzahl der Teilvolumina anwachsen (dies bedeutet gleich-
zeitig, dass dVi → 0 geht). Strebt die Zwischensumme Zn für n → ∞ gegen
einen Grenzwert, dann bezeichnen wir diesen als Dreifachintegral oder als drei-
dimensionales Gebietsintegral.

11.2

Dreifachintegrale

465

Definition:

(Dreifachintegral;
dreidimensionales

Gebietsinte-
gral). Sei G ⊂ IR3 und f : G → IR stetig. Der Grenzwert

111
n

f ( x, y, z) dG = lim
f ( xi, yi, zi) dVi
n→∞ i=1

( G)

bezeichnet man als Dreifachintegral bzw. dreidimensionales Ge-
bietsintegral.

Die Berechnung von Dreifachintegralen wird auf einfache Integrationen zurück-
geführt, wobei natürlich die Beschreibung der Integrationsgrenzen komplizier-
ter wird als für Doppelintegrale. Die Vorgehensweise bei der Berechnung wer-
den wir an dem folgenden Beispiel verdeutlichen.

Beispiel 11.11.

111

1 1 1

1
x
x 2

I =
f ( x, y, z) dG =

(1 + x) dz dy dx .

0

0

−y 2

( G)

Die Integrationsreihenfolge wird durch die Reihenfolge der Differenziale dz,
dy, dx festgelegt und zwar von Innen nach Außen. Das innerste Integral wird
integriert über die Variable z. Die anderen Variablen x und y sind dabei kon-
stant.

1 z= x 2

I 1 =

(1 + x) dz = [(1 + x) z] z= x 2

−y 2 .

z= −y 2 = (1 + x) x 2 − (1 + x)

z= −y 2

I 1 enthält als Ergebnis nicht mehr die Variable z, sondern nur noch x und y.

Das verbleibende Doppelintegral

1 1

1
x ,

-

I =

(1 + x) x 2 + (1 + x) y 2 dy dx

0

0
wird berechnet, indem zunächst wieder das innerste Integral über y ausgeführt
wird

1 y= x ,

-

I 2 =

(1 + x) x 2 + (1 + x) y 2 dy
y=0

1
y= x

4

4

= (1 + x) x 2 y +

(1 + x) y 3

=
x 3 +
x 4 .

3

3

3
y=0

I 2 enthält als Variable nur noch x, über die zuletzt integriert wird

1 x=1

,

-1

3

I =

4 x 3 + 4 x 4 dx = 1 x 4 + 4 x 5

=

.

3

3

3

15

0

5
x=0

466

11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

11.2.2 Anwendungen

Die Anwendungsbeispiele sollen die Berechnungen von Dreifachintegralen ver-
deutlichen. In der Regel sind die Volumen, Masse, Schwerpunktskoordinaten
und Trägheitsmomente starrer Körper über Dreifachintegrale zu berechnen.

Für Spezialfälle kann durch Einführung eines angepassten Koordinatensys-
tems die Rechnung erheblich vereinfacht werden; in manchen Fällen wird sie
durch spezielle Koordinatensysteme erst möglich.

Die für die Anwendungen wichtigsten Systeme sind Polar-, Zylinder- und Ku-
gelkoordinaten. Auf der CD-Rom sind in Abschnitt 11.3 die Formeln für die

Integration in transformierten Koordinatensystemen hergeleitet. Zusammen-
fassend gilt

(1) Polarkoordinaten: Bei Polarkoordinaten wird ein Punkt in der ( x, y)-

Ebene eindeutig durch die Angabe des Winkel ϕ, 0 ≤ ϕ < 2 π, und des

Radius r ≥ 0 angegeben. Die Transformationsgleichungen lauten
x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ .

Ein Doppelintegral lautet in Polarkoordinaten

11

11
f ( x, y) dx dy =
f ( r cos ϕ, r sin ϕ) r dr dϕ.

( x,y)

( r,ϕ)

(2) Zylinderkoordinaten: Ein Punkt im ( x, y, z)-Raum wird eindeutig durch
die Angabe seiner Polarkoordinaten ( r, ϕ) in der ( x, y)-Ebene und zusätz-
lich seiner z-Komponente festgelegt. Ein Dreifachintegral lautet in Zylin-
derkoordinaten

111

111
f ( x, y, z) dx dy dz =
f ( r cos ϕ, r sin ϕ, z) r dr dϕ dz.

( x,y,z)

( r,ϕ,z)

(3) Kugelkoordinaten: Durch die Angabe zweier Winkel ϕ und ϑ sowie dem

Abstand zum Ursprung lässt sich jeder Punkt im IR3 eindeutig festlegen:

x = r cos ϕ cos ϑ, y = r sin ϕ cos ϑ, z = r sin ϑ

Ein Dreifachintegral lautet in Kugelkoordinaten

111

111
f ( x, y, z) dx dy dz =
f ( r cos ϕ cos ϑ, r sin ϕ cos ϑ, r sin ϑ)

( x,y,z)

( r,ϕ,ϑ)

·r 2 cos ϑ dr dϕ dϑ.

11.2

Dreifachintegrale

467

Wir geben im Folgenden eine Zusammenstellung der wichtigsten Formeln aus
der Physik starrer Körper für Volumen, Masse, Schwerpunktskoordinaten und

Trägheitsmomente an.

Ist K ⊂ IR3 ein starrer Körper mit der ortsabhängigen Dichte ρ =
ρ ( x, y, z), dann ist

111

V =
dx dy dz
das Volumen des Körpers und

( K)

111

M =
ρ ( x, y, z) dx dy dz
die Masse des Körpers.

( K)

Die Koordinaten des Schwerpunktes S ( xs, ys, zs) lauten

111

1
xs =
x · ρ ( x, y, z) dx dy dz

M

( K)

111

1
ys =
y · ρ ( x, y, z) dx dy dz

M

( K)

111

1
zs =
z · ρ ( x, y, z) dx dy dz.

M

( K)

Rotiert ein starrer Körper um die Drehachse x,
dann heißt das Integral

111

Ix =
ρ ( x, y, z) y 2 + z 2 dx dy dz

( K)

das Tr¨
agheitsmoment bez¨
uglich der x-Achse.

Die Trägheitsmomente bezüglich der y- und z-

Abb. 11.16.

Achse sind entsprechend definiert.

Zur Bestimmung des Trägheitsmomentes eines Körpers K bezüglich einer be-
liebigen Achse A wendet man den sog. Steinerschen Satz an:

468

11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

Steinerscher Satz: Für eine zur Schwerpunktsachse S im Abstand d
parallel verlaufenden Rotationsachse A gilt

IA = IS + M d 2 ,
wenn IS das Trägheitsmoment bezüglich der Schwerpunktsachse und M
die Masse des Körpers ist.

Nach dem Steinerschen Satz genügt es jeweils nur parallele Achsen durch den

Schwerpunkt zu berücksichtigen.

Anwendungsbeispiel 11.12 (Volumenberechnung). Gesucht ist das Vo-
lumen des Rotationskörpers, der durch Rotation von x 2 an der y-Achse ent-
steht. Zur Berechnung führen wir Zylinderkoordinaten ein:

ϕ-Integration:

ϕ = 0 bis ϕ = 2 π
unabhängig von r und z.

z-Integration:

Bei konstantem r
variiert z von z = r 2 bis z = R 2.

r-Integration:

r = 0 bis r = R.

111

111

1

1

1

R

R 2

2 π

V =
dx dy dz =
r dϕ dr dz =
r dϕ dz dr
r=0
z= r 2
ϕ=0

( K)

( K)

1

1

1

R

R 2

R

=
r 2 π dz dr =

[ r 2 π z] z= R 2
z= r 2
dr
r=0
z= r 2
r=0

1 R

,

- R
π

= 2 π

R 2 r − r 3 dr = 2 π 1 R 2 r 2 − 1 r 4

=

R 4 .

2

4
r=0

2
r=0

Alternativ kann die Integration auch ”scheibenweise” durchgeführt werden:

ϕ-Integration:

ϕ = 0 bis ϕ = 2 π
unabhängig von r und z.

r-Integration:

Bei konstantem z

√
variiert r von r = 0 bis r =
z.

z-Integration:

z = 0 bis z = R 2.

1

1 √ 1

R 2
z

2 π

⇒
π

V =
r dϕ dr dz =

R 4 .

2
z=0
r=0
ϕ=0

11.2

Dreifachintegrale

469

Anwendungsbeispiel 11.13 (Schwerpunktskoordinaten).

Gesucht sind die Schwerpunktskoordinaten eines Kugelausschnitts mit Dichte
ρ = 1 und Radius R.

(i) Berechnung des Volumens in Kugelkoordinaten:

111

V =
r 2 cos ϑ dr dϕ dϑ

( K)

r-Integration:

r = 0 bis r = R
unabhängig von ϑ und ϕ.

ϕ-Integration:

ϕ = 0 bis ϕ = π 2
unabhängig von r und ϑ.

ϑ-Integration:

ϑ = 0 bis ϑ = π 2
unabhängig von r und ϕ.

1

1

#1

$
π/ 2
π/ 2

R

V =
r 2 cos ϑ dr
dϕ dϑ
ϑ=0
ϕ=0
r=0

1

1

1

1
π/ 2
π/ 2
r= R
r 3
π/ 2
π/ 2

=
cos ϑ
dϕ dϑ = 1 R 3
cos ϑ
dϕ dϑ

3

3
ϑ=0
ϕ=0
r=0
ϑ=0
ϕ=0

1

1
π/ 2
π/ 2

= 1 R 3
cos ϑ · π dϑ = 1 R 3 π
cos ϑ dϑ = 1 R 3 π.

3

2

6

6
ϑ=0
ϑ=0

(ii) Berechnung der Schwerpunktskoordinate xs:

111

1
xs =
x r 2 cos ϑ dr dϕ dϑ

V

( K)

1

1

1

1
π/ 2
π/ 2

R

=
r cos ϕ cos ϑ r 2 cos ϑ dr dϕ dϑ

V
ϑ=0
ϕ=0
r=0

1

1

1

1
π/ 2
π/ 2

R

=
cos2 ϑ
cos ϕ
r 3 dr dϕ dϑ

V
ϑ=0
ϕ=0
r=0

1

1

1

1
π/ 2
π/ 2

1
π/ 2

=
cos2 ϑ
cos ϕ 1 R 4 dϕ dϑ =
cos2 ϑ 1 R 4 dϑ

V

4

V

4
ϑ=0
ϕ=0
ϑ=0

1

,

- π/ 2

1

=

1 R 4 1 ϑ + 1 cos ϑ sin ϑ

=

1 R 4 π = 3 R.

V 4

2

2

0

V 16

8

(iii) analog berechnen sich ys = zs = 3 R.

8

470

11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

Anwendungsbeispiel 11.14 (Massentr¨
agheitsmoment eines W¨
urfels).

Gesucht ist das Massenträgheitsmoment eines homoge-
nen Würfels bezüglich der z-Achse.

111

Iz =
x 2 + y 2 ρ dx dy dz

( K)

1

#1

#1

$

$
x= l
y= l
z= l

Abb. 11.17.

Würfel

= ρ
x 2 + y 2 dz
dy
dx
x=0
y=0
z=0

1

1

#1

$
l
l

l

= ρ
x 2 + y 2
dz
dy dx
x=0
y=0

0

1

1
l
l

= ρ l
x 2 + y 2 dy dx
x=0
y=0

1

1
l
l
y 3
l

= ρ l
x 2 y +
dx = ρ l
x 2 l + 1 l 3 dx

3

3
x=0
y=0
x=0

,

-

l

= ρ l 1 x 3 l + 1 l 3 x

= ρ l

1 l 4 + 1 l 4 = 2 ρ l 5 .

3

3

0

3

3

3

Mit der Masse M = ρ · V = ρ · l 3 folgt Iz = 2 M l 2 .

3

Anwendungsbeispiel 11.15 (Massentr¨
agheitsmoment eines Zylin-
ders).

Gesucht ist das Trägheitsmoment eines Zylinders der

Höhe H und Grundfläche π R 2 bezüglich der z-Achse.

Zur Berechnung des Trägheitsmomentes verwenden wir

Zylinderkoordinaten

111

Iz = ρ
x 2 + y 2 dx dy dz

( K)

111

Abb. 11.18. Zylinder

= ρ
r 2 r dr dϕ dz

( K)

1

1

1

H

2 π

R

R 4

= ρ
r 3 dr dϕ dz = ρ

· 2 π · H.

4
z=0
ϕ=0
r=0

Mit ρ = M =

M
folgt I

R 2 .

V
π R 2 H
z = M 1

2

11.3

Aufgaben zur Integralrechnung

471

MAPLE-Worksheets zu Kapitel 11

Auf der CD-Rom ist die Maple-Prozedur starr enthalten, die al-
le Formeln zur Bestimmung von Volumen, Schwerpunktskoordinaten
und Trägheitsmomenten starrer Körper sowie die Berechnung von Dreifachin-
tegralen über dreidimensionalen Gebieten zusammenfasst. Wahlweise kann mit
kartesischen Koordinaten, Zylinder- oder Kugelkoordinaten gearbeitet werden.

Die folgenden elektronischen Arbeitsblätter stehen für Kapitel 11 mit Maple
zur Verfügung.

Doppelintegrale mit Maple

Dreifachintegrale mit Maple

Linienintegrale mit Maple

Oberflächenintegrale mit Maple

11.3

11.3 Aufgaben zur Integralrechnung

11.1 Berechnen Sie die folgenden Doppelintegrale

1 1 1

1

1
l

3

1 −x

a)

x 2 dy dx
b)

25 − x 2 − y 2 dy dx
y
x=0
y=1
x=0
y=0

1

1

1

1
π
y− 1
π
y
c)

sin ( x + y) dx dy
d)

x · cos ( x + y) dx dy
y=0
x= π/ 2
y=0
x= π

11.2 Bestimmen Sie das Doppelintegral über das schraffierte Gebiet G für die

Funktion
z = x − y, indem Sie sowohl Integralformel ( D 1) als auch ( D 2)

anwenden:

22

2 1 2

I =

( x − y) dG

=
x
x=0
y=0 ( x − y) dy dx

G

2 1 2 1

=

( x − y) dx dy
y=0
x= y

11.3 Zeigen Sie, dass der Wert der beiden Gebietsintegrale I 1 und I 2 gleich ist

1 2 1

1

1
x 2

4

2

I 1 =

2 x y dy dx

I 2 =

2 x y dx dy
x=0
y=0
y=0
x= √y

11.4 Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Halbkreises mit Radius R = 2 und

Mittelpunkt (2 , 0) in der oberen Halbebene, indem Sie in Polarkoordinaten

472

11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen
das folgende Integral berechnen

11

1 2 1 π

1 dx dy =
r dϕ dr .

r=0
ϕ=0

( G)

11.5 Gegeben sind die Kurven von
y = −x ( x − 3) und y = − 2 x.

a) Welche Fläche schließen sie ein?

b) Wie lauten die Koordinaten des Flächenschwerpunktes?

11.6 Bestimmen Sie die axialen Flächenmomente Ix und Iy sowie das polare

Flächenmoment Ip eines Viertelkreises mit Radius R.

11.7 Bestimmen Sie den Schwerpunkt der Dreiecksfläche (Abb. a).

11.8 Bestimmen Sie den Schwerpunkt des Halbkreises mit Radius R (Abb. b).

Abb. a

Abb. b

Abb. c

Abb. d

11.9 Berechnen Sie die Dreifachintegrale

1 1 1

1
z
y+1
a)

x 2 dx dy dz
z=0
y= z− 1
x= y

1

1

1
l
z 2
x+ z
b)

x y z dy dx dz
z= −l
x= z
y= x−z

1

1

1
π
π/ 2

R
c)

r 2 cos ϑ sin ϕ dr dϑ dϕ
ϕ=0
ϑ= −π/ 2
r=0

1

1

1 √

R

R
x 2+ y 2
d)

r dr dy dx
x= −R
y=0
r=0

11.10 Bestimmen Sie die Schwerpunktskoordinate zs sowie die Massenträgheits-
momente des Rotationskörpers, der durch Rotation von x 2 an der z-Achse
entsteht. Führen Sie zur Beschreibung des Körpers Zylinderkoordinaten ein

(vgl. Abb. c).

11.11 Bestimmen Sie die Massenträgheitsmomente einer Halbkugel ( z > 0).

11.12 Gesucht ist das Integral

111

I =
x 2 y dx dy dz

G
wobei.

/

G = ( x, y, z) : x ≥ 0 , y ≥ 0 , x 2 + y 2 ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 .

(Zur Berechnung führe man Zylinderkoordinaten ein; vgl. Abb. d.)

11.13 Gesucht ist der Schwerpunkt des Zylinderstücks aus Aufgabe 11 . 12.

Kapitel 12

12

Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

12

Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . .

473

12.1

Differenzialgleichungen erster Ordnung........................ 476

12.1.1

Einleitende Problemstellungen................................... 476

12

12.1.2

Lösen der homogenen Differenzialgleichung .................. 480

12.1.3

Lösen der inhomogene Differenzialgleichung ................. 482

12.1.4

Lineare Differenzialgleichungen mit konstantem Koeffizient 490

12.1.5

Nichtlineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung ............ 494

12.1.6

Numerisches Lösen von DG 1. Ordnung....................... 497

12.1.7

Nichtlinearer DG 1. Ordnung (Ergänzungen).................

cd

12.1.8

Lösen von DG 1. Ordnung mit MAPLE ........................

cd

12.2

Lineare Differenzialgleichungssysteme.......................... 501

12.2.1

Einführung .......................................................... 501

12.2.2

Homogene lineare Differenzialgleichungssysteme ............ 504

12.2.3

Eigenwerte und Eigenvektoren .................................. 508

12.2.4

Lösen von homogenen LDGS mit konstanten Koeffizienten 513

12.2.5

Eigenwerte und Eigenvektoren mit MAPLE....................

cd

12.2.6

Berechnung spezieller Lösungen für inhomogene LDGS ....

cd

12.3

Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung .............. 523

12.3.1

Einleitende Beispiele............................................... 523

12.3.2

Reduktion einer linearen DG n-ter Ordnung auf ein System 526

12.3.3

Homogene DG n-ter Ordnung mit konst. Koeffizienten .... 531

12.3.4

Inhomogene DG n-ter Ord. mit konstanten Koeffizienten . 541

12.3.5

Lösen von DG n-ter Ordnung mit MAPLE ....................

cd

12.4

Aufgaben zu Differenzialgleichungen ........................... 555

Zus¨
atzliche Abschnitte auf der CD-Rom

12.5

Numerisches Lösen von Differenzialgleichungen 1. Ordnung
cd

12.5.1

Streckenzugverfahren von Euler .................................

cd

12.5.2

Verfahren höherer Ordnung ......................................

cd

12.5.3

Vergleich der numerischen Verfahren mit MAPLE............

cd

12.5.4

Numerisches Lösen von DG 1. Ordnung mit MAPLE: dsolve
cd

12.6

Beschreibung elektrischer Filterschaltungen ..................

cd

12.6.1

Physikalische Gesetzmäßigkeiten der Bauelemente ..........

cd

12.6.2

Aufstellen der DG für elektrische Schaltungen ...............

cd

12.6.3

Aufstellen und Lösen der DG für Filterschaltungen .........

cd

12 Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

Differenzialgleichungen sind für die Natur- und Ingenieurswissenschaften un-
entbehrlich, da durch sie viele Naturgesetze ausgedrückt werden. Differenzi-
algleichungen sind das Ergebnis einer mathematisch-physikalischen Modellie-
rung, welche die auftretenden Phänomene möglichst gut beschreibt. Aber nicht
nur das Lösen von Differenzialgleichungen innerhalb der Mathematik ist für
den Ingenieur wichtig, sondern gerade auch das Aufstellen dieser Modellglei-
chungen. Daher werden wir in jedem Abschnitt zunächst für anwendungsre-
levante Beispiele die Herleitung von Differenzialgleichungen beschreiben und
anschließend auf das systematische Lösen der unterschiedlichen Typen von

Differenzialgleichungen eingehen.

Begriffsbestimmung: Eine Differenzialgleichung ist eine Gleichung,
in der neben der gesuchten Funktion (oder mehreren Funktionen)

auch Ableitungen dieser Funktion (bzw. Funktionen) vorkommen. Ei-
ne gew¨
ohnliche Differenzialgleichung ist eine Gleichung, in der nur

Funktionen und deren gew¨
ohnliche Ableitungen auftreten, im Gegensatz
zu partiellen Differenzialgleichungen, bei denen auch partielle Ablei-
tungen in der Bestimmungsgleichung enthalten sind.

Wir werden in diesem Kapitel nur gewöhnliche Differenzialgleichungen behan-
deln und daher im Folgenden den Zusatz gew¨
ohnlich unterdrücken. Die par-
tiellen Differenzialgleichungen werden exemplarisch in einem separaten CD-

Kapitel auf der behandelt. Beim Auftreten von nur einer unbekannten Funk-
tion hat eine gewöhnliche Differenzialgleichung die allgemeine Form

F
x, y ( x) , y ( x) , . . . , y( n) ( x) = 0 .

Die Ordnung der höchsten in einer Differenzialgleichung auftretenden Ablei-
tung heißt Ordnung der Differenzialgleichung. Eine Differenzialgleichung
heißt linear, wenn alle Ableitungen der Funktion sowie die Funktion selbst li-
near (d.h. proportional) vorkommen. Ansonsten heißt die Differenzialgleichung
nichtlinear. Im Folgenden gehen wir davon aus, dass die Differenzialgleichung
die Form
y( n) ( x) + an− 1 ( x) y( n− 1) ( x) + . . . + a 1 ( x) y ( x) + a 0 ( x) y ( x) = f ( x) besitzen, wobei die Koeffizienten ai ( x) und die rechte Seite f ( x) bekannte,
gegebene, stetige Funktionen sind. Obige Differenzialgleichung ist linear, weil
die gesuchte Funktion y ( x) und all ihre Ableitungen nur in linearer Form auf-
treten.

476

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

In Abschnitt 12.1 behandeln wir lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung
sowie den Spezialfall mit konstanten Koeffizienten. In Abschnitt 12.2 werden

Systeme von linearen Differenzialgleichungen mit Hilfe der Eigenwerte und Ei-
genvektoren der zugehörigen Systemmatrizen gelöst, während in 12.3 lineare

Differenzialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten behandelt
werden.

Hinweis: Auf der CD-Rom befindet sich zusätzlich ein separater Abschnitt

12.4 über das numerische Lösen von Differenzialgleichungen erster Ordnung
mit einem qualitativen Vergleich der Euler-, Prädiktor-Korrektor- und Runge-

Kutta-Verfahren sowie die Anwendung der numerischen Verfahren mit Maple
auf zahlreiche Anwendungsbeispiele. In Abschnitt 12.5 werden Differenzialglei-
chungssysteme 1. Ordnung am Beispiel von elektrischen Filterschaltungen mit
dem Euler-Verfahren numerisch gelöst.

12.1

12.1 Differenzialgleichungen erster Ordnung

Wir beschäftigen uns in diesem Abschnitt hauptsächlich mit linearen Differenzialglei-
chungen erster Ordnung. Wichtig bei der mathematischen Darstellung der Lösung
ist, dass die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung sich zerlegen lässt in die
allgemeine Lösung des homogenen Problems plus einer partikul¨
aren Lösung der in-
homogen Differenzialgleichung. Diese spezielle Struktur der Lösung überträgt sich
sowohl auf die linearen Differenzialgleichungssysteme wie auch auf die Differenzial-
gleichungen n-ter Ordnung.

Die Methoden, die wir zum Lösen der Differenzialgleichungen erster Ordnung einfüh-
ren sind Trennung der Variablen für das homogene und Variation der Konstanten
für das inhomogene Problem. Die Lösungsmethoden werden anhand zahlreicher An-
wendungsbeispiele geübt. Dieser Abschnitt beinhaltet auch einen Ausblick über das
numerische Lösen von Differenzialgleichungen.

Hinweis: In zusätzlichen Abschnitten auf der CD-Rom werden numerische Verfah-
ren zum Lösen von Differenzialgleichungen eingeführt, Differenzialgleichungen mit

Maple gelöst sowie viele weitere Anwendungsbeispiele diskutiert.

12.1.1 Einleitende Problemstellungen

Im Folgenden werden einige Problemstellungen aus Physik, Elektronik und
anderen Anwendungen modelliert. Diese Beispiele zeigen auf, wie man vom
physikalischen Problem zu einer mathematischen Modellgleichung, nämlich in
diesem Fall zu einer Differenzialgleichung erster Ordnung, kommt.

12.1

Differenzialgleichungen erster Ordnung

477

Anwendungsbeispiel 12.1 (RL-Kreis).

Ein Widerstand R, eine Spule mit Induktivität L
und eine Batterie mit Spannung UB sind mit ei-
nem Schalter S in Reihe geschaltet. Der Schalter ist
zunächst offen und wird zur Zeit t = 0 geschlossen.

Zum Zeitpunkt t = 0 ist der Strom Null: I (0) = 0.

Wie verhält sich der Strom I ( t) als Funktion der

Zeit für t > 0?

Abb. 12.1. RL-Kreis

Zur Lösung des Problems stellen wir zunächst die Bestimmungsgleichung für
den Strom auf. Nach dem Maschensatz gilt für die Masche M , dass der Span-
nungsabfall entlang R plus dem Spannungsabfall entlang L gleich der angeleg-
ten Spannung UB ist:

UR + UL = UB

Mit dem Ohmschen Gesetz ( UR = R · I ( t)) und dem Induktionsgesetz ( UL =

L dI( t) ) folgt weiter
dt
dI ( t)

R I ( t) + L

= U
dt

B

⇒ d I ( t) + R I ( t) = 1 U
dt

L

L

B
mit I (0) = 0.

Dies ist eine gew¨
ohnliche, lineare Differenzialgleichung erster Ordnung für den

Strom I ( t). Gesucht ist eine Funktion I ( t), welche die obige Differenzialglei-
chung mit der Anfangsbedingung erfüllt.

Wie man durch Nachrechnen bestätigt, ist die

Lösung gegeben durch

I ( t) = UB

1 − e− R t

L

.

R

Denn setzen wir die Ableitung von I( t)

Abb. 12.2. Stromverlauf I( t)

˙

U

I ( t) =

B · R e−R t

L

R

L
und die Funktion in die Differenzialgleichung ein, folgt

⇒ ˙ I ( t) + R I ( t) = UB e−R t

U
t

L

+ R

B

1 − e− RL

= UB .

L

L

L

R

L

Die Funktion I( t) erfüllt also die Differenzialgleichung und besitzt die gefor-

derte Anfangsbedingung I (0) = UB

1 − e 0 = 0.

R

478

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

Anwendungsbeispiel 12.2 (Barometrische H¨
ohenformel).

Der Luftdruck p ( h) in der Höhe h über dem Meeresspiegel
wird verursacht durch das Gewicht der über der Fläche A las-
tenden Luftsäule. Der Druckunterschied p ( h) − p ( h + dh) ist
gleich dem Gewicht G der vertikalen Luftsäule mit Querschnitt

A, die sich zwischen h und h + dh befindet. Für kleine dh neh-
men wir an, dass die Dichte ρ ( h) in dieser Luftsäule konstant
ist:

A ( p ( h) − p ( h + dh)) = G = dm g = ρ ( h) A · dh g .

Die Division durch dh und der anschließende Grenzübergang
dh → 0 liefert

Abb. 12.3.

p ( h + dh) − p ( h)

Höhenformel
p ( h) = lim

= −g ρ ( h) .

dh→ 0
dh

Wird die Luft als ideales Gas betrachtet, so gilt folgender Zusammenhang
p
zwischen ρ, p und der Temperatur T :

ρ = α
mit einer Konstanten α.

T

(i) Betrachtet man die Temperatur T als konstant und unabhängig von der

Höhe und führt die Konstante β = g α ein, erhält man die lineare Diffe-

T
renzialgleichung 1. Ordnung mit Anfangsbedingung p( h 0) = p 0
p( h)

p ( h) = −α g

= −β p ( h).

T

Die Lösung dieser Differenzialgleichung lautet
p ( h) = p 0 e−β ( h−h 0)

(Barometrische H¨
ohenformel).

(ii) Die obige Differenzialgleichung ist wegen der Annahme T = const nur in
einem kleinen Bereich gültig. In Realität fällt die Temperatur mit zuneh-
mender Höhe. Die einfachste Modellannahme ist, dass T einen linearen

Temperaturabfall besitzt:

T ( h) = T 0 − b ( h − h 0) .

Dies führt auf die lineare Differenzialgleichung erster Ordnung

−α g
p ( h) =
p ( h)

mit p ( h

T

0) = p 0.

0 − b ( h − h 0)

12.1

Differenzialgleichungen erster Ordnung

479

Wie man wieder durch Nachrechnen bestätigt, ist

α g
b
p ( h) = p 0 1 − b ( h − h

T

0)

0
die Lösung der Differenzialgleichung.

Anwendungsbeispiel 12.3 (Radioaktiver Zerfall).

Sei n ( t) die Anzahl der zum Zeitpunkt t gegebenen Atome einer radioaktiven

Substanz. Die Menge dieser Substanz, die in einer Zeitspanne dt zerfällt, ist
proportional zur vorhandenen Substanz und zur Zeitspanne dt:

n ( t + dt) − n ( t) ∼ −dt · n ( t) .

Führt man die Proportionalitätskonstante λ > 0 ein, gilt
n ( t + dt) − n ( t) = −λ dt n ( t) .

Da die Anzahl der radioaktiven Atome abnimmt, steht auf der rechten Seite
der Gleichung ein Minus als Vorzeichen. Division durch dt und anschließender

Grenzübergang dt → 0 liefert
n ( t + dt) − n ( t)

n ( t) = lim

= −λ n ( t)

(Zerfallsgesetz).

dt→ 0
dt

Dies ist eine lineare Differenzialgleichung ers-
ter Ordnung mit der Anfangsbedingung n (0) =

N . Diese Differenzialgleichung hat als Lösung
n ( t) = N e−λ t,

Abb. 12.4. Radioaktiver Zerfall
was man durch direktes Einsetzen der Funktion
n( t) in die Differenzialgleichung wieder nachprüft.

Im Folgenden werden wir klären, wie man systematisch Lösungen von linearen

Differenzialgleichungen 1. Ordnung bestimmt. Mathematisch erhält man die
folgende, allgemeine Problemstellung:

480

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

Allgemeine Problemstellung: Wir betrachten in einem Intervall I die
lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung
y ( x) = h ( x) y ( x) + f ( x),

(D1)

wenn h ( x) und f ( x) gegebene, auf dem Intervall I stetige Funktionen
sind. Für
f ( x) = 0
heißt ( D 1) eine inhomogene Differenzialgleichung und für
f ( x) = 0
heißt ( D 1) eine homogene Differenzialgleichung.

Im Falle einer inhomogenen Differenzialgleichung nennt man f ( x) = 0 die

Inhomogenit¨
at oder die St¨
orfunktion.

12.1.2 L¨
osen der homogenen Differenzialgleichung

Wir behandeln zunächst das homogene Problem
y ( x) = h ( x) y ( x)

mit der Anfangsbedingung y ( x 0) = y 0. Die Lösung dieser Differenzialgleichung
erfolgt durch die Methode der Trennung der Variablen. Dazu ersetzen wir
y ( x) durch dy und trennen die Variablen, indem wir formal die Gleichung mit
dx
dx multiplizieren und durch y dividieren:

dy = h ( x) y ( x) ⇒ dy = h( x) dx .

dx
y

Die anschließende Integration liefert

1

1

1
y d˜
y
x
y
x

=
h (˜
x) d˜
x ⇒ ln ˜
y|y = ln

=
h (˜
x) d˜
x .

˜
y
y 0
y
y 0
x 0

0
x 0

Wendet man auf beiden Seiten der Gleichung die Exponentialfunktion an,
erhält man als Lösung

1 x
h(˜
x) d˜
x
y ( x) = y
x

0 e

0

.

( H)

Mit Hilfe der Formel ( H) ist man in der Lage durch die Berechnung des be-

2 x
stimmten Integrals
h (˜
x) d˜
x jede homogene lineare Differenzialgleichung
x 0
erster Ordnung zu lösen. In den Anwendungen wird oftmals auch die Methode

Trennung der Variablen statt dieser Lösungsformel verwendet.

12.1

Differenzialgleichungen erster Ordnung

481

Anwendungsbeispiel 12.4 (RL-Kreis).

Der unter Beispiel 12.1 diskutierte RL-Kreis ist
zunächst geschlossen. Zum Zeitpunkt t 0 = 0 wird
die Batterie überbrückt. Dann gilt
d

R

I ( t) +

I ( t) = 0
mit I (0) = I
dt

L

0 .

Abb. 12.5. Stromverlauf I( t)

→

˙

I ( t) = − R I ( t).

L

Die Lösungsformel ( H) für homogene Differenzialgleichungen liefert

1 t

( − R ) dτ

L
t

− R ( t−t 0)

− R t

I ( t) = I

0

L

L

0 e

= I 0 e

= I 0 e

.

Anwendungsbeispiel 12.5 (Barometrische H¨
ohenformel).

Die unter Beispiel 12.2 (i) und (ii) angegebenen Differenzialgleichungen werden
ebenfalls mit der Formel ( H) gelöst:

(i) p ( h) = −β p ( h):

2 h −

→ p ( h) = p ( h
β d˜
h
h

0) e

0

= p ( h 0) e−β ( h−h 0) .

(ii) p ( h) = −
α g
p ( h):

T 0 −b ( h−h 0)

2 h

−α g
d˜
h
α g
h
ln( T

0 T
b

0 −b (˜
h−h 0)) |hh

→ p ( h) = p ( h

0 −b (˜
h−h 0)

0

0) e

= p ( h 0) e

.

Durch Einsetzen der oberen und unteren Grenze folgt für das Argument
der Exponentialfunktion

α g
h
α g
ln T

˜
h − h

=

[ln ( T
b

0 − b

0

0 − b ( h − h 0)) − ln ( T 0)]

h 0
b

αg
α g

T
b

=
ln 0 − b ( h − h 0) = ln

1 − b ( h − h

.

b

T

0)

0

T 0

Wir erhalten damit insgesamt für die Funktion p( h)

αgb
p ( h) = p ( h 0)

1 − b ( h − h

.

T

0)

0

482

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

12.1.3 L¨
osen der inhomogene Differenzialgleichung

Wir gehen nun zur inhomogenen Differenzialgleichung
y ( x) = h ( x) y ( x) + f ( x)

mit der Anfangsbedingung y ( x 0) = y 0 über und berechnen die Lösung der

Differenzialgleichung mit der Methode der Variation der Konstanten.

Die Lösung des zugehörigen homogenen Problems y ( x) = h ( x) y ( x) ist

2 x
x
h(˜
x) d˜
x
y ( x) = c e 0

.

Um ausgehend von dieser Lösung eine Lösung der inhomogenen Differenzial-
gleichung zu erhalten, variieren wir die Konstante c, indem wir c als Funktion
c ( x) zulassen und für y ( x) den Produktansatz

2 x
x
h(˜
x) d˜
x
y ( x) = c ( x) · ϕ ( x)

mit ϕ ( x) = e 0
wählen. Um diesen Ansatz in die Differenzialgleichung einzusetzen, differen-
zieren wir y ( x) mit der Produktregel
y ( x)

=
c ( x) ϕ ( x) + c ( x) ϕ ( x)

=
c ( x) ϕ ( x) + c ( x) ϕ ( x) ·h ( x),

2 x
x
h(˜
x) d˜
x
da ϕ ( x) = e 0

· h ( x) = ϕ ( x) h ( x). Ersetzen wir c ( x) · ϕ ( x) = y ( x) und setzen den Ansatz nun in die Differenzialgleichung ein, folgt weiter

!

y ( x) = c ( x) ϕ ( x) + h ( x) · y ( x) = f ( x) + h ( x) · y ( x) .

Damit ist y ( x) Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung, wenn
f ( x)

c ( x) ϕ ( x) = f ( x) ⇒ c ( x) =

.

ϕ ( x)

Die anschließende Integration liefert 1 x f (˜ x)

c ( x) = c 0 +
d˜
x .

ϕ (˜
x)

x 0

Die Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung y ( x) = c ( x) · ϕ ( x) ergibt
sich damit zu

1

x
f (˜
x)

y ( x) = ϕ ( x) · c 0 +
d˜
x .

ϕ (˜
x)

x 0

Die Konstante c 0 muss so gewählt werden, dass y ( x 0) = y 0 ⇒ c 0 = y 0 .

12.1

Differenzialgleichungen erster Ordnung

483

Satz ¨
uber lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung:

Seien h, f : I → IR gegebene, stetige Funktionen. Die lineare Differenzi-
algleichung 1. Ordnung
y ( x)

=
h ( x) y ( x) + f ( x)

y ( x 0)

=
y 0
besitzt auf dem Intervall I genau eine Lösung. Diese einzige Lösung ist
gegeben durch

1

x
f (˜
x)

y ( x) = ϕ ( x)

y 0 +
d˜
x

( I)

ϕ (˜
x)

x 0
mit

1 x
h(˜
x) d˜
x
x
ϕ ( x) = e

0

.

Bemerkung zur Methode: Immer dann, wenn Teillösungen einer Differenzi-
algleichung bekannt sind, versucht man weitere bzw. andere Lösungen der Dif-
ferenzialgleichung zu konstruieren, indem man die Teilinformation in einem
speziellen Ansatz berücksichtigt. Im Falle der inhomogenen Differenzialglei-
chung ist die Teilinformation die Kenntnis der homogenen Lösung ϕ ( x). Die

Idee der Variation der Konstanten ist, dass durch die Inhomogenität der Dif-
ferenzialgleichung die Amplitude der homogenen Lösung sich variabel ändert.

Daher multipliziert man die homogene Lösung ϕ ( x) mit einer ortsabhängi-
gen Amplitude c ( x). Diese unbekannte Amplitude wird durch Einsetzen des

Ansatzes in die Differenzialgleichungen bestimmt.

Bemerkung: Es ist nicht unbedingt notwendig, diese fertige Lösungsformel
auswendig zu lernen. In den Anwendungen werden oftmals die Lösungsverfah-
ren auf den konkret gegebenen Fall angewendet:

(1) Lösung der homogenen Differenzialgleichung y ( x) = h ( x) y ( x) durch

Trennung der Variablen bzw.

2 x
x
h(˜
x) d˜
x
y ( x) = c e 0

.

(2) Variation der Konstanten mit dem Ansatz

2 x
x
h(˜
x) d˜
x
y ( x) = c ( x) · e 0

.

484

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

Interpretation der L¨
osungsformel: Durch Ausmultiplizieren der

Lösungsformel ( I) erhält man die Darstellung

1 x f (˜ x)

y ( x) = y 0 ϕ ( x)

+ ϕ ( x)

d˜
x .

ϕ (˜
x)

x 0

Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung lässt sich
schreiben als Summe der allgemeinen L¨
osung der homogenen Dif-
ferenzialgleichung und einer speziellen L¨
osung der inhomogenen

Differenzialgleichung. Man nennt eine spezielle Lösung der inhomoge-
nen Differenzialgleichung auch partikul¨
are L¨
osung.

Beweis des Satzes über lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung: Dass die
angegebene Formel eine Lösung des Anfangswertproblems liefert, d.h. die Dif-
ferenzialgleichung und die Anfangsbedingung y ( x 0) = y 0 erfüllt, rechnet man
nach, indem man die Funktion in die Differenzialgleichung einsetzt.

Dass y ( x) die einzige Lösung der Differenzialgleichung mit Anfangsbedingung
ist, sieht man folgendermaßen leicht ein: Sei y 2 ( x) ebenfalls eine Lösung. Dann
gilt für die Differenz
d ( x) = y ( x) − y 2 ( x)

durch Differenzieren
d ( x) = y ( x) − y ( x)

=
h ( x) y ( x) + f ( x) − [ h ( x) y

2

2 ( x) + f ( x)]

=
h ( x) ( y ( x) − y 2 ( x)) = h ( x) · d ( x)

mit d ( x 0) = y ( x 0) − y 2 ( x 0) = 0. Also ist d ( x) Lösung der homogene Differenzialgleichung
d ( x) = h ( x) d ( x)

mit d ( x 0) = 0 .

( ∗)

Wir zeigen nun, dass die Differenz d ( x) = 0 für alle x ∈ I. Damit folgt dann,
dass y ( x) = y 2 ( x) für alle x ∈ I und y ( x) die einzige Lösung ist. Dazu definieren wir

1 x

−
h(˜
x) d˜
x
x
u ( x) := d ( x) e

0

.

Mit der Produkt- und Kettenregel gilt für die Ableitung

2

2

− x
x
x
h(˜
x) d˜
x

− x h(˜
x) d˜
x
u ( x) = d ( x) e

0

+ d ( x) e

0

( −h ( x))

2

− x
x
h(˜
x) d˜
x

= [ d ( x) − h ( x) d ( x)] ·

0

e

= 0 ,

=0
da d ( x) Lösung der homogenen Differenzialgleichung ( ∗).

12.1

Differenzialgleichungen erster Ordnung

485

Also ist u ( x) eine konstante Funktion. Die Konstante kann man z.B. durch

Auswerten von u( x) an der Stelle x 0 bestimmen: Mit u ( x 0) = const = d ( x 0) =

0 ⇒ u ( x) = 0. Damit ist d die Nullfunktion: d ( x) = 0, so dass y ( x) = y 2 ( x) für alle x ∈ I.

Beispiel 12.6. Gegeben ist die Differenzialgleichung
y ( x) = 2 x y ( x) + x 3
mit y (0) = y 0

Gesucht ist die Lösung y( x), welche die Anfangsbedingung erfüllt.

Wir lösen diese Differenzialgleichung in drei Schritten. Zuerst bestimmen wir
die allgemeine Lösung der homogenen DG, berechnen dann eine spezielle Lösung
der inhomogenen DG und setzen anschließend beide Teile zusammen:

(1) Lösung der homogenen Differenzialgleichung y ( x) = 2 x y ( x) durch For-
mel ( H)

1 x

2 ˜
x d ˜
x
ϕ ( x) = e

0

= ex 2 .

(2) Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung y ( x) = 2 x y ( x) + x 3 mit

Formel ( I):

⎛

⎞
x

1 t 3
y ( x) = ex 2 ⎝ y

⎠

0 +
dt

.

et 2

0

Die Berechnung des unbestimmten Integrals erfolgt zunächst durch eine

Substitution ( ξ = t 2 , dξ = 2 t dt)

1

1

1
dξ

1
t 3 e−t 2 dt =
t 3 e−ξ

=
ξ e−ξ dξ

2 t

2
und anschließender partieller Integration

1

1

1

1

1
ξ e−ξ dξ =

−ξ e−ξ +
e−ξ dξ =

[ − ξ e−ξ − e−ξ] + C .

2

2

2

Durch Rücksubstitution ( ξ = t 2) und Einsetzen der Grenzen gilt für das
bestimmte Integral

1 x

&

'

1
x

1
t 3 e−t 2 dt =

− t 2 e− t 2 − e− t 2

=

− 1 e−x 2 ( x 2 + 1) .

2

2

2

0

0

(3) Die allgemeine L¨
osung der Differenzialgleichung lautet damit

1

1

y ( x) = y 0 ex 2 + ex 2 [ − 1 e−x 2 ( x 2 +1)] = y
ex 2 − 1 x 2 + 1 .

2

2

0 ex 2 + 2

2

486

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

Anwendungsbeispiel 12.7 (RL-Kreis).

Mit der Lösungsformel ( I) für inhomogene lineare Differenzialgleichung be-
handeln wir das in Beispiel 12.1 gestellte Problem des RL-Kreises:

˙

1

I ( t) = − R I ( t) +

U

L

L

B
mit

I (0) = 0.

(1) Die Lösung der homogenen Differenzialgleichung ˙

I ( t) = − R I ( t) ist nach

L

Formel ( H)

− R t

I

L
h ( t) = c e

.

(2) Damit erhält man mit I 0 = 0 die Lösung der inhomogenen Differenzial-
gleichung über Formel ( I)

1

t

− R t

1

I ( t)

=
e L

I

UB

0 +
dτ

L

− R τ
t 0
e L

1 t

− R
t
t

R τ

− R t

R τ

=
e L

UB
e L
dτ = e L

UB L e L

L

L

R

0

0

R

⇒

− R t
t

− R t

I ( t) = e L

UB
e L − 1 = UB 1 − e L

.

R

R

Dies ist genau der Stromverlauf, der in Beispiel 12.1 diskutiert wurde.

Anwendungsbeispiel 12.8 (Modellierung des RC-Kreis).

Ein Widerstand R, ein Kondensator mit Kapa-
zität C und eine Spannungsquelle Ub( t) sind mit
einem Schalter in Reihe geschaltet. Der Schalter
ist zunächst offen und wird zur Zeit t = 0 ge-
schlossen. Wie verhält sich die Spannung U ( t)

am Kondensator als Funktion der Zeit für t >

0?

Abb. 12.6. RC-Kreis

Nach dem Maschensatz gilt für die Spannungen

UR( t) + U ( t) = Ub( t) .

( ∗)

12.1

Differenzialgleichungen erster Ordnung

487

Am Ohmschen Widerstand ist UR( t) = R · I( t). An der Kapazität gilt

1

1

1

1

U ( t) =

Q( t) =

I ( t) dt ⇒ ˙

U ( t) =

I( t) ⇒ I( t) = C · ˙

U ( t) ,

C

C

C
womit

UR( t) = R · I( t) = RC · ˙

U ( t) .

Eingesetzt in die Gleichung ( ∗) folgt

RC ˙

U ( t) + U ( t) = Ub ( t)

mit U (0) = 0

1

→

˙

U ( t) = − 1 U ( t) +

U

RC

RC
b ( t)

mit

U (0) = 0.

Anwendungsbeispiel 12.9 (RC-Kreis bei Gleichspannung).

Für eine konstante Batteriespannung Ub ( t) =

ˆ

Ub erhält man analog dem Vorgehen von Bei-
spiel 12.7 als Lösung

− 1 t

U ( t) = ˆ

U

RC
b

1 − e

.

Abb. 12.7. Ladekurve eines Kon-
densators

Die Spannung am Kondensator U ( t) und damit
die Ladung Q ( t) = C · U ( t) wächst mit der Zeit asymptotisch auf ˆ

Ub bzw.

Q 0 = C · ˆ

Ub an.

Beispiel 12.10 (Musterbeispiel/Anwendungsbeispiel).

Ist die Eingangsspannung in Abb. 12.6 eine Wechselspannung

Ub ( t) = ˆ

Ub sin ( ωt)

mit dem Scheitelwert ˆ

Ub und der Frequenz ω, so erhält die Differenzialgleichung
die Form

˙

1

U ( t) = − 1 U ( t) +

ˆ

U

RC

RC
b sin ( ωt)

mit

U (0) = 0.

488

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

(1) Gemäß dem Formel ( H) lösen wir zunächst die homogene Differenzialglei-
chung

1 t

− 1 dt

RC

˙

− 1 t

U ( t) = − 1 U ( t) durch U

0

= e RC .

RC
h ( t) = e

(2) Anschließend verwenden wir die Lösungsformel ( I)

#

1

$
t

− 1

ˆ
t

U
sin ( ωτ )

U ( t) = e RC

U (0) +
b
dτ

.

RC

− 1
τ

0
e RC

Zur Berechnung des Integrals integrieren wir zweimal partiell

1 t

1 τ
sin ( ωτ ) e RC
dτ =

0

&

'

1

1
t
t
τ

1 τ

=
sin ( ωτ ) · RC · e RC

−
ω cos ( ωτ ) RC e RC
dτ

0

0

&

'

1
t
t

1 τ

=

RC sin ( ωt) e RC − ω RC
cos ( ωτ ) e RC

RC

0

1

t

1 τ

+
ω sin ( ωτ ) e RC

RC dτ

0

1 t

1 t

=

RC sin ( ωt) e RC − ω ( RC)2 cos ( ωt) e RC − 1

1 t

1

−
τ
ω 2 ( RC)2
sin ( ωτ ) e RC
dτ .

0

Da das verbleibende Integral auf der rechten Seite mit dem zu berech-
nenden Integral übereinstimmt, addieren wir auf beiden Seiten der Glei-

1 t

1
chung den Term ω 2 ( RC)2
sin ( ωτ ) e
τ

RC
dτ und dividieren das Ergeb-

0
nis durch 1 + ( ω RC)2:

t

1

1 τ

1

1 t
sin ( ωτ ) e RC
dτ =

RC sin ( ωt) e RC

1 + ( ω RC)2

0

1

−
t
ω ( RC)2 cos ( ωt) e RC + ω ( RC)2

.

(3) Setzen wir dieses Ergebnis in die Lösungsformel ein, erhalten wir mit der

Anfangsbedingung U (0) = 0

− 1

ˆ
t

U

1 t

1 t

U ( t) = e RC
b
sin ( ωt) e RC − ω RC cos ( ωt) e RC + ω RC

1 + ( ω RC)2

ˆ

U

− 1 t

=
b
sin ( ωt) − ω RC cos ( ωt) + ω RC e RC

.

1 + ( ω RC)2

12.1

Differenzialgleichungen erster Ordnung

489

Interpretation: Die Lösung U ( t) setzt sich zusammen aus einem exponentiell
abklingenden und einem periodischen Term.

ˆ

U

− 1

ˆ
t

U

U ( t) =
b ω RC
e RC

+
b

{ sin ( ωt) − ω RC cos ( ωt) }.

1 + ( ω RC)2

1 + ( ω RC)2

Einschwingverhalten

Verhalten für große t

Der exponentiell abklingende Term spiegelt den Einschwingvorgang wider.

Das Langzeitverhalten der Lösung ist jedoch durch den periodischen Anteil
bestimmt. In Abb. 12.8 ist die Lösung für die Parameter RC = 10, ˆ

Ub = 1
und ω = 1 gezeichnet. Daran erkennt man gut den Einschwingvorgang sowie
das Langzeitverhalten.

Abb. 12.8. Lösung der DG

Physikalische Interpretation: Wir stellen diesen periodischen Anteil der

Lösung als reine harmonische Schwingung mit Amplitude A, Frequenz ω und

Phase ϕ dar:

sin ( ωt) − ω RC cos ( ωt) = A sin ( ωt + ϕ)

( ∗)

Um A und ϕ zu bestimmen benötigen wir zwei Gleichungen. Dazu wenden wir
das Additionstheorem für die rechte Seite an

A sin( α + β) = A sin( α) cos( β) + A cos( α) sin( β) .

Mit α = ωt und β = ϕ erhalten wir durch Koeffizientenvergleich

− ω RC = A sin ϕ .

(1)

1 = A cos ϕ .

(2)

Dividiert man Gleichung (1) durch (2), folgt
tan ϕ = −RC ω ⇒ ϕ .

(3)

490

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

Addieren wir die quadrierten Gleichungen (1) und (2) folgt

1 + ( RC ω)2 = A 2 cos2 ϕ + A 2 sin2 ϕ = A 2(cos2 ϕ + sin2 ϕ) = A 2

⇒ A = 1 + ( RC ω)2.

(4)

Aus (3) und (4) folgt insgesamt für die Lösung U ( t)

ˆ

U

U ( t) = Einschwingvorgang +
b

sin ( ωt + ϕ).

1 + ( ω RC)2

12.1.4 Lineare Differenzialgleichungen mit konstantem Koeffizient

Durch die beiden Formeln ( H) und ( I) ist jede lineare Differenzialgleichung

1. Ordnung im Prinzip lösbar. Die Auswertung der Integrale kann aber sehr
aufwändig werden. In vielen Fällen braucht man nicht auf diese Integraldar-
stellung der Lösung zurückgreifen, sondern ermittelt eine partikul¨
are Lösung
durch einen speziellen Lösungsansatz. Dies ist insbesondere für die Differenzi-
algleichungen mit konstanten Koeffizienten der Fall. Beim konkreten Problem
wird entsprechend dem Typ der Inhomogenit¨
at ein Ansatz für die partikuläre

Lösung mit freien Parametern gewählt. Diese Parameter bestimmt man an-
schließend durch Einsetzen des Ansatzes in die Differenzialgleichung. Bei die-
ser Methode des Ratens der partikulären Lösung ist zu beachten, dass sie nur
in einfachen Fällen zum Ziele führt.

Homogene L¨
osung

Zum Lösen der homogenen linearen Differenzialgleichungen mit konstantem

Koeffizient α,
y ( x) = α · y ( x),
wählen wir den Ansatz
yh ( x) = c eλ x
und setzen diese Funktion in die Differenzialgleichung ein:

c λ eλ x = α · c eλ x → λ = α .

Die allgemeine Lösung der homogenen Differenzialgleichung lautet somit
yh ( x) = c eα x.

12.1

Differenzialgleichungen erster Ordnung

491

Partikul¨
are L¨
osung

Wir betrachten die inhomogene lineare Differenzialgleichung
y ( x) = α y ( x) + f ( x)

mit α = 0. Je nach Inhomogenität ( Störfunktion) f lässt sich eine partikuläre

L¨
osung durch einen einfachen Ansatz finden. Für häufig auftretende Störfunk-
tionen geben wir die Ansatzfunktionen in Tab. 12.1 an.

Tabelle 12.1: Partikul¨
are L¨
osungen f¨
ur spezielle Inhomogenit¨
aten.

Inhomogenität

Ansatzfunktion

Parameter
n

f ( x) =
a
n

i xi
yp ( x) =

Ai xi

A 0 , . . . , An
i=0

(Polynom vom Grad n)

i=0
f ( x) = a · sin ( ωx)

y

(Sinusanregung)

p ( x) = A sin ( ωx)+ B cos ( ωx)

A, B
f ( x) = a · cos ( ωx)

y

(Kosinusanregung)

p ( x) = A sin ( ωx)+ B cos ( ωx)

A, B
f ( x) = a eμ x ( μ = α)

y

(Exponentialfunktion)

p ( x) = A eμ x

A

Bemerkung: Besteht die Inhomogenität f ( x) aus einer Summe von meh-
reren Störgliedern, wählt man für jedes Störglied einzeln die entsprechende

Ansatzfunktion und bestimmt durch Einsetzen der Ansatzfunktion in die Dif-
ferenzialgleichung die zugehörigen Parameter. Zum Schluss addiert man alle
partikulären Lösungen auf und erhält eine spezielle Lösung des gestellten, in-
homogenen Problems.

Beispiel 12.11 (Musterbeispiel).

Gesucht ist die allgemeine Lösung der linearen Differenzialgleichung
y ( x) = 4 · y ( x) + x 3 .

(1) Die homogene Differenzialgleichung y ( x) = 4 · y ( x) lösen wir mit dem

Ansatz
yh ( x) = c eλ x.

In die Differenzialgleichung eingesetzt, ergibt sich
c λ eλ x = 4 c eλ x → λ = 4

⇒ yh ( x) = c e 4 x .

492

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

(2) Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung
y ( x) = 4 · y ( x) + x 3
bestimmen wir nach Tabelle 12.1 durch den Ansatz
yp ( x) = a x 3 + b x 2 + c x + d,
da die Inhomogenität f ( x) = x 3 ein Polynom vom Grad 3 ist. Die Ansatz-
funktion in die inhomogene Differenzialgleichung eingesetzt, ergibt

!

3 a x 2 + 2 b x + c

=

4 a x 3 + 4 b x 2 + 4 c x + 4 d + x 3

=

(4 a + 1) x 3 + 4 b x 2 + 4 c x + 4 d.

Ein Koeffizientenvergleich liefert für absteigende Potenzen in x
x 3:

4 a + 1 = 0

→
a = − 14
x 2:

4 b = 3 a = − 3

→
b = − 3

4

16
x 1:

4 c = 2 b = − 3

→
c = − 3

8

32
x 0:

4 d = c = − 3

→
d = − 3 .

32

128

Eine partikuläre Lösung ist also
yp ( x) = − 1 x 3 − 3 x 2 − 3 x − 3 .

4

16

32

128

(3) Somit ist die allgemeine L¨
osung der inhomogenen Differenzialgleichung
y ( x) = yh ( x) + yp ( x) = c e 4 x − 1 x 3 − 3 x 2 − 3 x − 3 .

4

16

32

128

Beispiel 12.12 (Musterbeispiel, mit Maple-Worksheet). Die Differen-
zialgleichung aus Beispiel 12.10 lautet für eine Wechselspannung Ub ( t) =

ˆ

Ub sin ( ωt) mit R · C = 1

˙

U ( t) = − U ( t) + ˆ

Ub sin ( ωt) ;

U (0) = 0.

(1) Die homogene Differenzialgleichung ˙

U ( t) = −U ( t) lösen wir durch den

Ansatz Uh ( t) = c eλt. In die Differenzialgleichung eingesetzt, folgt λ = − 1.

⇒ Uh ( t) = c e−t .

(2) Zum Lösen der inhomogenen Differenzialgleichung wählen wir für eine
partikuläre Lösung gemäß Tabelle 12.1 den Ansatz:

Up ( t) = A sin ( ωt) + B cos ( ωt)

( ∗)

12.1

Differenzialgleichungen erster Ordnung

493
und setzen Up ( t) in die inhomogene Differenzialgleichung ein, um die noch
unbekannten Konstanten A und B zu bestimmen:

A ω cos ( ωt) − B ω sin ( ωt) = −A sin ( ωt) − B cos ( ωt) + ˆ

Ub sin ( ωt) .

Wir ordnen die rechte Seite der Gleichung nach Vielfachen von cos ( ωt)

und sin ( ωt)

( −B ω) sin ( ωt) + ( A ω) cos ( ωt) = ˆ

Ub − A sin ( ωt) − B cos ( ωt) .

Die Gleichung ist für alle t nur dann erfüllt, wenn die Koeffizienten sowohl
der Sinus- als auch der Kosinusfunktionen auf beiden Seiten der Gleichung
übereinstimmen. Ein Koeffizientenvergleich in cos ( ωt) und sin ( ωt) auf bei-
den Seiten dieser Gleichung führt zu dem linearen Gleichungssystem
cos ( ωt):

A ω

=

− B

(1)

sin ( ωt):

−B ω

=

ˆ

Ub − A

(2)

aus welchem A und B zu bestimmen sind. Setzt man (1) in (2) ein, gilt

−
ω

B ω = ˆ

U

ˆ
b − 1 B ⇒ B =

U
ω
ω 2 + 1
b .

Mit (1) folgt dann

ˆ

U

A =
b

.

ω 2 + 1

Somit ist eine partikuläre Lösung nach ( ∗)

ˆ

U

U
b
p ( t) =

[sin ( ωt) − ω cos ( ωt)] .

ω 2 + 1

(3) Die allgemeine L¨
osung lautet

ˆ

−t

U

U ( t) = U
b
h ( t) + Up ( t) = c e

+

[sin ( ωt) − ω cos ( ωt)] .

ω 2 + 1

(4) Zum Schluss bestimmen wir die Konstante c durch die Anfangsbedingung

U (0) = 0:

ˆ

U
ω ˆ

U

0 = c +
b

[0 − ω] ⇒ c =
b

.

ω 2 + 1
ω 2 + 1

Damit ist die Lösung des Problems gegeben durch

ˆ

U

U ( t) =
b

[ ω e−t + sin ( ωt) − ω cos ( ωt)],
ω 2 + 1
welche für RC = 1 mit der Endformel aus Beispiel 12.10 übereinstimmt.

494

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

12.1.5 Nichtlineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung

Die Methode Trennung der Variablen wird nicht nur beim Lösen von homoge-
nen linearen Differenzialgleichungen eingesetzt, sondern einfache nichtlineare

Differenzialgleichungen lassen sich ebenfalls mit dieser Methode lösen.

Hinweis: Auf der CD-Rom befindet sich ein erweiterter Abschnitt, in dem ne-
ben der Trennung der Variablen auch Substitutionsmethoden eingeführt wer-
den, um nichtlineare Differenzialgleichungen zu lösen.

Differenzialgleichung mit trennbaren Variablen

Wir betrachten die Differenzialgleichung
y ( x) = f ( x) g( y)

mit einer gegebenen stetigen Funktion g. Sofern g nicht eine lineare Funk-
tion darstellt, ist die Differenzialgleichung nichtlinear! Sie hat aber die gleiche

Bauart, wie eine homogene lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung und lässt
sich durch Trennung der Variablen lösen. Man bezeichnet diesen Typ daher
auch als Differenzialgleichung mit trennbaren Variablen. Zum Lösen wird die

Differenzialgleichung wie folgt umgestellt
dy = f ( x) · g( y) |: g( y) · dx
dx

→ dy = f ( x) · dx.

g( y)

Die linke Seite der Gleichung enthält nur noch die Variable y und die rechte

Seite nur noch die Variable x. Anschließende Integration liefert

1

1
dy

G( y) =

=
f ( x) dx.

g( y)

Die Stammfunktion des linken Integrals G ( y) wird anschließend nach y auf-
gelöst, was in vielen Fällen möglich ist.

Beispiel 12.13. y ( x) = ey( x) cos x
mit y (0) = y 0.

Diese Differenzialgleichung lässt sich durch Trennung der Variablen lösen:

dy = ey cos x |: ey · dx
dx
dy = cos x dx.

ey

12.1

Differenzialgleichungen erster Ordnung

495

Da hier ein Anfangswertproblem vorliegt, wählen wir auf beiden Seiten der

Gleichung das bestimmte Integral. Die Integration über y erfolgt von y 0 ab
und die Integration über x von x 0 ab:

1

1
y
x
e−˜
y d˜
y =
cos ˜
x d˜
x .

y 0

0

Wir führen die Integrationen auf beiden Seiten aus und lösen anschließend
nach y auf

−e−˜ y y = sin ˜ x|x

→

−e−y + e−y 0 = sin x
y 0

0

→ e−y = e−y 0 − sin x

⇒ y ( x) = − ln e−y 0 − sin x .

Bemerkung: Wählt man statt dem bestimmten Integral die unbestimmte

1

1

Form
e−y dy =
cos x dx, ist bei der Integration eine Integrationskonstan-
te C zu berücksichtigen. Diese Konstante C wird zum Schluss durch die An-
fangsbedingung y (0) = y 0 festgelegt.

Anwendungsbeispiel 12.14 (Freier Fall mit Luftwiderstand).

Wir untersuchen die Sinkgeschwindigkeit v ( t) eines Körpers der Masse m unter

Berücksichtigung der Luftreibung. Die am Körper angreifenden Kräfte sind

(1) die Schwerkraft m g

(2) der Luftwiderstand −k v 2, wenn eine quadratische Abhängigkeit der Rei-
bungskraft von der Geschwindigkeit angenommen wird.

Dabei ist g die Erdbeschleunigung und k der Reibungskoeffizient.

Nach dem Newtonschen Bewegungsgesetz ist die Beschleunigungskraft m dv
dt
gleich der Summe aller angreifenden Kräfte

⇒
dv ( t)

m

= m g − k v 2 ( t).

dt

Unter der Annahme, dass der freie Fall aus der Ruhe erfolgt, gilt zusätzlich
die Anfangsbedingung v (0) = 0.

Diese nichtlineare Differenzialgleichung 1. Ordnung lösen wir durch Trennung
der Variablen:

dv

= g − k v 2

v 2) · dt
dt
m

: ( g − k
m

496

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

→
dv

= dt.

g − k v 2
m

Anschließend integrieren wir

1

1

1
t
v
d˜
v

1
v
d˜
v
d˜
t =

=

.

g

0

0
g − k ˜
v 2

1 − k ˜
v 2
m

0
m g

2 t

Das linke Integral ergibt sich zu
d˜
t = t. Zur Berechnung des rechten Integrals

0

substituieren wir ξ =
k
v. Damit ist dξ =
k
dv und es gilt
m g
m g

1

1

d˜
v
dξ

=
m g

=
m g
artanh ( ξ) + C .

1 − k ˜
v 2
k

1 − ξ 2
k
m g

Nach der Rücksubstitution erhalten wir für das bestimmte Integral den Aus-
druck

1

1
v
d˜
v

1
v

=
m g
artanh
k

˜
v =
m
artanh
k
v

.

g
g
k
m g

k g
m g

0

1 − k ˜
v 2
m g

0

Insgesamt folgt also

t =
m
artanh
k
v

.

k g
m g

Diese Gleichung lösen wir durch Anwenden der Funktion tanh nach v auf:

k g t = artanh
k
v

→ tanh
k g t =
k
v
m
m g
m
m g

⇒
v ( t) =
m g tanh
k g t .

k
m

Dieses Geschwindigkeitsgesetz für die Fallgeschwindigkeit v( t) eines Körpers
der Masse m mit Luftwiderstand ist in Abb. 12.9 skizziert:

Abb. 12.9. Fallgeschwindigkeit mit Luftwiderstand

Für t → ∞ wird die Endgeschwindigkeit v
m g

E = lim
v ( t) =
erreicht,
t→∞
k
da lim tanh( x) = 1. Der Körper fällt dann kräftefrei mit konstanter Ge-
x→∞
schwindigkeit, da sich Reibungskraft und Gewichtskraft gegenseitig aufheben.

12.1

Differenzialgleichungen erster Ordnung

497

12.1.6 Numerisches L¨
osen von DG 1. Ordnung

Richtungsfelder, mit Maple-Worksheet

Charakteristisch für die diskutierten Differenzialgleichungen ist, dass die Ab-
leitung der Funktion
y( x) = f ( x, y( x))

für jeden Punkt ( x, y) der Ebene durch die rechte Seite der Differenzialglei-
chung f ( x, y( x)) gegeben ist. Dies führt auf die Darstellung der Differenzi-
algleichung in Form eines Richtungsfeldes, in der in jedem Punkt der Ebene
die Steigung der Funktion y( x) (also f ( x, y( x))) als Vektor aufgetragen wird.

Wählen wir beispielsweise die Differenzialgleichung
y( x) = −y( x) + 1 ,
so ist das Richtungsfeld gegeben durch

Abb. 12.10. Richtungsfeld der Differenzialgleichung y( x) = −y( x) + 1

Hat man zur Differenzialgleichung noch einen Startwert (Anfangswert) y( x 0)

gegeben, dann kennt man den Punkt der Ebene ( x 0 , y( x 0)), in dem die Lösung
beginnt. Durch diese zusätzliche Information kann man nun die Lösung kon-
struieren, indem man ausgehend vom Startpunkt ( x 0 , y( x 0)) über die Steigung
der Funktion in diesem Punkt f ( x 0 , y( x 0)) zum nächsten Punkt an der Stelle
x 0 + dx kommt und damit y an der Stelle x 0 + dx erhält. Dann ist sowohl
y( x 0 + dx) als auch die Steigung y( x 0 + dx) = f ( x 0 + dx, y( x 0 + dx)) bekannt und man konstruiert hieraus y( x 0 + 2 dx) usw.

In Abb. 12.11 ist das Richtungsfeld der Differenzialgleichung zusammen mit
der Lösung zum Anfangswert y(4) = 0 eingezeichnet.

Dieses Vorgehen führt auf das Euler-Verfahren zum numerischen Lösen von

Differenzialgleichungen erster Ordnung.

498

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

Abb. 12.11. Konstruktion der Lösung über das Richtungsfeld

Streckenzugverfahren von Euler

Wir gehen von dem Anfangswertproblem (AWP)

y ( t) = f ( t, y ( t))

mit y ( t 0) = y 0

(1)

aus und werden dieses AWP für Zeiten t 0 ≤ t ≤ T numerisch lösen. Dazu
zerlegen wir das Intervall [ t 0 , T ] in N Teilintervalle der Länge

T − t
h = dt =

0 .

N

Die Größen h und dt werden als Schrittweite bzw. Zeitschritt bezeichnet.

Wir erhalten als Zwischenzeiten
tj = t 0 + j · dt
j = 0 , . . . , N
und werden die Lösung nur zu diesen diskreten Zeiten t 0 , t 1 , t 2 , . . . , tN berech-
nen: Ausgehend vom Startwert y 0 bestimmen wir der Reihe nach Näherungen
y 1 , y 2 , . . . , yN für die Funktionswerte y ( t 1), y ( t 2), . . . , y ( tN ) der Lösung von (1). Man nennt dieses Vorgehen die Diskretisierung des AWP.

Für den Startwert ( t 0 , y 0) kennen wir nach Gl. (1) die exakte Steigung tan α
der Lösungsfunktion
y ( t 0) = tan α = f ( t 0 , y 0) .

Für eine kleine Schrittweite h wird die Funktion y im Intervall [ t 0 , t 0 + h]

durch ihre Tangente angenähert (Linearisierung) (siehe Abb. 12.12 a). Für
den Funktionswert y ( t 1) gilt dann näherungsweise
y ( t 1) = y ( t 0 + h) ≈ y ( t 0) + y ( t 0) · h .

Wir setzen
y 1 := y 0 + f ( t 0 , y 0) h.

Damit hat man den Funktionswert y ( t 1) zum Zeitpunkt t 1 durch y 1 an-
genähert. Ausgehend von diesem fehlerhaften Wert y 1 berechnet man mit (1)

12.1

Differenzialgleichungen erster Ordnung

499
die fehlerhafte Steigung y = f ( t
f

1

1 , y 1). Nun benutzt man y 1 und y 1
ür die

Berechnung eines Näherungswertes für den nächsten Zeitpunkt t 2 = t 1 + h:

y ( t 2) = y ( t 1 + h) ≈ y ( t 1) + y ( t 1) h .

(Linearisierung)

Wir setzen
y 2 := y 1 + f ( t 1 , y 1) h.

y 2 ist eine Näherung für den exakten Wert der Lösung y ( t 2) zur Zeit t 2.

Abb. 12.12. a) 1. Schritt des Polygonzugverfahrens
b) Polygonzugverfahren nach Euler

Das beschriebene Verfahren wiederholt man für den neuen Punkt P 2 = ( t 2 , y 2),
der in der Regel nicht auf der exakten Lösungskurve liegt. Allgemein kann man
das Näherungsverfahren beschreiben durch:

neuer Wert = alter Wert + Änderung der Lösung
bzw.

yneu = yalt + f ( tneu, yalt) · h.

Man berechnet also, ausgehend vom Punkt P 0 = ( t 0 , y 0) sukzessiv die Werte
yi+1 = yi + h f ( ti, yi)

i = 0 , 1 , 2 , . . . , N − 1 .

Die Lösungskurve setzt sich aus geradlinigen Strecken zusammen, so dass die

Näherung in Form eines Streckenzugs vorliegt (siehe Abb. 12.12b). Dieses Ver-
fahren heißt gemäß seiner geometrischen Bedeutung das Polygonzugverfah-
ren bzw. nach seinem Erfinder auch das Euler-Verfahren.

Bemerkung: Für einfache Beispiele liefert dieses einfache Verfahren für ge-
nügend kleine Schrittweiten h ausreichend genaue Näherungswerte y 1, y 2, . . . ,
yN für die gesuchten Funktionswerte y ( t 1), y ( t 2), . . . , y ( tN ).

500

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

Beispiel 12.15 (Mit Maple-Worksheet). Das Anfangswertproblem
y ( t) = y ( t) + et
mit y (0) = 1
besitzt die exakte Lösung
y ( t) = ( t + 1) et.

Wir berechnen mit dem Euler-Verfahren Näherungslösungen dieser Differenzi-
algleichungen im Intervall 0 ≤ t ≤ 0 . 2 für Schrittweiten h = 0 . 05 und h = 0 . 025
und vergleichen die Ergebnisse mit der exakten Lösung.

Wendet man das Euler-Verfahren auf die Differenzialgleichung an, lautet die

Iterationsvorschrift

yi+1 = yi + h yi + eti .

Speziell für die Schrittweite h = 0 . 05 gilt mit dem Anfangswert y(0) = 1
y 0 = 1

y 1 = y 0 + h y 0 + e 0 . = 1 . 1

y 2 = y 1 + h y 1 + e 0 . 05 = 1 . 207564

y 3 = y 2 + h y 2 + e 0 . 1 = 1 . 323201

y 4 = y 3 + h y 3 + e 0 . 15 = 1 . 447453

In der unten angegebenen Tabelle sind diese Näherungswerte für h = 0 . 05 und
h = 0 . 025 zusammen mit den exakten Werten angegeben. Der Vergleich zeigt,
dass die Näherungswerte bei kleineren Schrittweiten (3. Spalte) sich verbessern.

Ergebnisse:

t
y ( h = 0 . 05)

y ( h = 0 . 025)

y exakt

0 . 00

1 . 000 000

1 . 000 000

1 . 000 000

0 . 05

1 . 100 000

1 . 101 883

1 . 103 835

0 . 10

1 . 207 564

1 . 211 552

1 . 215 688

0 . 15

1 . 323 201

1 . 329 535

1 . 336 109

0 . 20

1 . 447 453

1 . 456 396

1 . 465 683

Hinweis: Auf der CD-Rom befindet sich ein zusätzliches Kapitel über das nu-
merische Lösen von Differenzialgleichungen erster Ordnung mit einem qualita-
tiven Vergleich der Euler-, Prädiktor-Korrektor- und Runge-Kutta-Verfahren.

Neben der ausführlichen Beschreibung er jeweiligen Formeln und Algorithmen
wird dort die Maple-Prozedur DGsolve vorgestellt, welche die drei Verfah-
ren umsetzt und die Lösung graphisch ausgibt.

12.2

Lineare Differenzialgleichungssysteme

501

12.2

12.2 Lineare Differenzialgleichungssysteme

In vielen Anwendungen sind zeitlich veränderliche Größen x 1 ( t), x 2 ( t), . . . , xn ( t) gekoppelt, so dass die Änderung einer Größe ˙
xi ( t) nicht nur von t und xi ( t), son-
dern auch von den restlichen Größen und deren Ableitungen abhängt. Dies führt
auf Differenzialgleichungssysteme. Wir behandeln in diesem Abschnitt lineare Dif-
ferenzialgleichungssysteme erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Für diese

Systeme verwenden wir im Folgenden die Abkürzung LDGS.

Die homogenen LDGS werden mit Hilfe der Eigenvektoren und Eigenwerten der zum

Problem zugeordneten Systemmatrix gelöst. Mit dem damit berechneten Fundamen-
talsystem des homogenen Problems bestimmen wir mit der Methode Variation der

Konstanten eine Lösungsformel für das inhomogene Problem.

Hinweis: Auf der CD-Rom befinden sich das Kapitel über inhomogene lineare Diffe-
renzialgleichungssysteme sowie zusätzliche Anwendungsbeispiele, deren Lösung mit

Unterstützung von Maple berechnet und in Form von Animationen visualisiert wer-
den. Insbesondere bei der physikalischen Interpretation der mathematischen Begriffe

Eigenwert und Eigenvektor als Eigenfrequenz und Eigenschwingung werden wir diese

Animationen heranziehen.

12.2.1 Einf¨
uhrung

Einfachste Beispiele für LDGS erhält man bei elektrischen Filterschaltungen
bestehend aus RCL-Elementen oder bei mechanischen Koppelschwingungen,
bei denen mehrere Feder-Masse-Systeme gekoppelt werden. Zur Einführung
betrachten wir ein gekoppeltes System aus Doppelpendel.

Anwendungsbeispiel 12.16 (Gekoppelte Pendel).

Zwei Fadenpendel der Länge l, an deren En-
de jeweils eine Masse m 1 bzw. m 2 hängt, wer-
den durch eine Feder mit Federkonstanten D ge-
koppelt (siehe Abb. 12.13). Die beiden Massen
werden um den Winkel ϕ 1 bzw. ϕ 2 ausgelenkt.

Berücksichtigt man, dass während der Bewegung
auf die Massen eine Reibungskraft proportional
zur Geschwindigkeit wirkt

FR = −γ l ˙
ϕi ( t)

mit Reibungskoeffizient γ ,

Abb. 12.13. Gekoppelte Pendel

502

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen
so lauten die Bewegungsgleichungen für kleine Auslenkungen ϕ 1 und ϕ 2:

D

¨
ϕ 1 ( t) = − g ϕ

˙
ϕ

( ϕ
l

1 ( t) −
γ
m

1 ( t) +

2 ( t) − ϕ 1 ( t))

1
m 1

( ∗)

D

¨
ϕ 2 ( t) = − g ϕ

˙
ϕ

( ϕ
l

2 ( t) −
γ
m

2 ( t) +

1 ( t) − ϕ 2 ( t)),

2
m 2
wenn ϕ 1 ( t) und ϕ 2 ( t) die Auslenkungen der Massen m 1 und m 2 zum Zeit-
punkt t sind.

Dies ist ein LDGS zweiter Ordnung für die Winkelauslenkungen ϕ 1 ( t) und
ϕ 2 ( t). Wir reduzieren dieses System von zwei Differenzialgleichungen 2. Ord-
nung auf ein System von vier Differenzialgleichungen 1. Ordnung. Dazu führen
wir die zu ϕ 1 ( t) und ϕ 2 ( t) gehörenden Winkelgeschwindigkeiten ˙
ϕ 1 ( t) und

˙
ϕ 2 ( t) als zusätzliche Größen ein. Zur übersichtlicheren Darstellung setzen wir
y 1 ( t) = ϕ 1 ( t)

y 2 ( t) = ˙
ϕ 1 ( t)

y 3 ( t) = ϕ 2 ( t)

y 4 ( t) = ˙
ϕ 2 ( t).

Differenzieren wir jede dieser vier unbekannten Funktionen yi ( t), so gilt mit

( ∗):

˙
y 1 ( t) = ˙
ϕ 1 ( t)

=
y 2 ( t)

˙
y 2 ( t) = ¨
ϕ 1 ( t)

=

−g ϕ

˙
ϕ

( ϕ
l

1 ( t) − γ
m 1

1 ( t) + D
m 1

2 ( t) − ϕ 1 ( t))

=

−g y
y

( y
l

1 ( t) − γ
m 1

2 ( t) + D
m 1

3 ( t) − y 1 ( t))

˙
y 3 ( t) = ˙
ϕ 2 ( t)

=
y 4 ( t)

˙
y 4 ( t) = ¨
ϕ 2 ( t)

=

−g ϕ

˙
ϕ

( ϕ
l

2 ( t) − γ
m 2

2 ( t) + D
m 2

1 ( t) − ϕ 2 ( t))

=

−g y
y

( y
l

3 ( t) − γ
m 2

4 ( t) + D
m 2

1 ( t) − y 3 ( t)).

⎛

⎞

⎛

⎞
y 1 ( t)

˙
y 1 ( t)

⎜ y

⎟

⎜ ˙ y

⎟

Definieren wir die Vektorfunktion
y ( t) := ⎜ 2 ( t)

2 ( t)

⎝

⎟

⎜

⎟
y

⎠ und y ( t) := ⎝

⎠

3 ( t)

˙
y 3 ( t)

y 4 ( t)

˙
y 4 ( t)

als die Ableitung, so lässt sich obiges LDGS in Vektornotation schreiben als

⎛

⎞
y 2 ( t)

⎜

⎜ −g − D

⎟
y
y
y

⎟
l
m

1 ( t) − γ
m

2 ( t)

+ D
m

3 ( t)

y ( t) = ⎜

1

1

1

⎜

⎟

⎝
y

⎟

4 ( t)

⎠

D y

−g − D y
y
m 2

1 ( t)

l
m 2

3 ( t) − γ
m 2

4 ( t)

12.2

Lineare Differenzialgleichungssysteme

503

⎛

⎞ ⎛

⎞

0

1

0

0
y

⎜

1 ( t)

⎜ −g − D

− γ

D

⎟

0

⎟ ⎜ y

⎟

= ⎜
l
m 1
m 1
m 1

⎜ 2 ( t) ⎟

⎝

⎟

0

0

0

1

⎠ ⎝ y

⎠ .

3 ( t)

D

0

−g − D

− γ
y
m 2
l
m 2
m 2

4 ( t)

Mit der Matrix

⎛

⎞

0

1

0

0

⎜

⎜ −g − D

− γ

D

⎟

0

⎟

A := ⎜
l
m 1
m 1
m 1

⎝

⎟

0

0

0

1

⎠

D

0

−g − D

− γ
m 2
l
m 2
m 2
stellt sich obiges Problem abgekürzt dar als:

y ( t) = A
y ( t) .

Da sich mit obigem Vorgehen jedes LDGS mit Differenzialgleichungen höherer

Ordnung in ein erweitertes LDGS 1. Ordnung überführen lässt, betrachten wir
im Folgenden nur Systeme 1. Ordnung:

Allgemeine Formulierung:

⎛

⎞
f 1 ( t)

⎜ . ⎟

Sei I ein Intervall,
f ( t) = ⎝

.. ⎠: I → IR n eine Vektorfunktion mit
fn ( t)

stetigen Komponenten fi( t) ( i = 1 , . . . , n) und A eine ( n × n)-Matrix.

Dann betrachten wir das LDGS

y ( t) = A
y ( t) +
f ( t) .

(1)

Für
f ( t) = 0 nennt man (1) ein inhomogenes System;
für
f ( t) = 0 ein homogenes System.

Gesucht ist eine differenzierbare Vektorfunktion
y : I → IC n, welche das

LDGS (1) erfüllt.

Die gesuchte Vektorfunktion
y ( t) besteht aus n Funktion

y ( t) = ( y 1 ( t) , . . . , yn ( t)) t ;
jede dieser Funktionen ist differenzierbar und
y ( t) = ( y ( t) , . . . , y ( t)) t. Wir

1
n
diskutieren wie bei linearen Differenzialgleichungen 1. Ordnung das homogene

Problem:

504

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

12.2.2 Homogene lineare Differenzialgleichungssysteme

Wir betrachten das homogene LDGS

y ( t) = A
y ( t)

(2)

mit einer ( n × n)-Matrix A. Obwohl die Lösungen zunächst nicht bekannt
sind, ist man in der Lage, Aussagen darüber zu treffen, welche Eigenschaften
die Lösungen des LDGS besitzen:

Satz 12.1: (Homogene LDGS). Die Menge aller Lösungen IL h eines
homogenen LDGS

y ( t) = A
y ( t)

mit einer ( n × n)-Matrix A ist ein n-dimensionaler Vektorraum.

Diese zentrale Aussage über homogene LDGS werden wir anhand des Eingangs-
beispiels verdeutlichen. Dass die Lösungsmenge einen Vektorraum bildet, spie-
gelt die Gültigkeit der Superpositionsgesetzes wider. Es besagt im Falle von
schwingfähigen Systemen, dass mit zwei Schwingungsformen
y 1 ( t) und y 2 ( t)

auch deren Überlagerung (Superposition)

y 1 ( t) + y 2 ( t) eine mögliche Schwin-
gungsform darstellt. Außerdem ist mit jeder Schwingung
y ( t) auch ein Vielfa-
ches α
y ( t) eine Schwingungsform. Zusätzlich gilt die triviale Aussage, dass die

Ruhelage 0 auch einen Zustand des Systems darstellt. Formal ist dies allgemein
für homogene LDGS nachprüfbar:

(1) Der Nullvektor
y ( t) = 0 ist immer eine Lösung:

Für
y ( t) = 0 folgt
y ( t) = 0 = 0. Außerdem ist A 0 = 0 ⇒ 0 = A 0.

⇒ Der Nullvektor 0 ist immer eine Lösung des homogenen LDGS.

(2) Sind
y 1 ( t) und y 2 ( t) Lösungen. Dann gilt
y ( t) = A
y

( t) =

1

1 ( t) und
y 2

A
y 2 ( t). Mit diesen beiden Lösungen ist auch die Überlagerung
y 1 ( t) +

y 2 ( t) eine Lösung, denn

(
y 1 ( t) + y 2 ( t)) = y ( t) + y ( t) = A y

1

2

1 ( t) + A
y 2 ( t) = A ( y 1 ( t) + y 2 ( t)).

(3) Ist
y ( t) eine Lösung, d.h.

y ( t) = A
y ( t), dann ist α
y ( t) ebenfalls eine

Lösung: ( α
y ( t)) = α
y ( t) = α A
y ( t) = A ( α
y ( t)) .

Damit ist allgemein gezeigt, dass f¨
ur alle physikalischen Systeme, die
sich durch homogene LDGS beschreiben lassen, immer das Super-
positionsgesetz g¨
ultig ist! Nach dem Unterraumkriterium aus der Linearen

Algebra (2.4.2) ist (1) - (3) gleichbedeutend, dass IL h einen Vektorraum bil-
det. Da jeder endlich dimensionale Vektorraum eine Basis besitzt, lässt sich
jede Lösung des homogenen LDGS darstellen als Linearkombination von Ba-

12.2

Lineare Differenzialgleichungssysteme

505
sisfunktionen:

y ( t) = c 1
ϕ 1 ( t) + c 2
ϕ 2 ( t) + . . . + ck
ϕk ( t) .

Die Frage ist, wieviele Basisfunktionen es gibt bzw. wieviele freie Parameter
ci die Lösungsdarstellung enthalten muss.

Kehren wir zum Pendelproblem aus Beispiel 12.16 zurück: Es gibt 4 unabhängi-
ge Möglichkeiten, das System anzuregen: Auslenkung ϕ 1, Auslenkung ϕ 2, An-
fangsgeschwindigkeit ˙
ϕ 1, Anfangsgeschwindigkeit ˙
ϕ 2. Somit muss die Lösungs-
darstellung für das Pendelproblem mindestens 4 freie Parameter enthalten, die
unabhängig gewählt werden können. Folglich ist die Dimension von IL h ≥ 4.

Da für das Pendelproblem Vektorfunktionen
y ( t) = ( y 1 ( t) , . . . , y 4 ( t)) gesucht
sind, ist die Dimension von IL h ≤ 4 .

⇒ dim (IL h) = 4 .

Der folgende Satz klärt, welche Bedingungen erfüllt sein müssen, damit die

Lösungen des LDGS linear unabhängig sind:

Satz 12.2: (Linear unabh¨
angige Funktionen). Sei IL h die Lösungs-
menge des homogenen LDGS
y ( t) = A
y ( t) mit einer ( n × n)-Matrix A.

Für n verschiedene Lösungen
ϕ 1 ( t),
ϕ 2 ( t), . . . ,
ϕn ( t) sind die nachfolgen-
den Aussagen gleichbedeutend:

(1)

ϕ 1 , . . . ,
ϕn sind linear unabh¨
angige Funktionen.

(2) Für jedes t sind die Vektoren
ϕ 1 ( t),
ϕ 2 ( t), . . . ,
ϕn ( t) linear un-
abhängig.

(3) Für ein t 0 sind die Vektoren
ϕ 1 ( t 0),
ϕ 2 ( t 0), . . . ,
ϕn ( t 0) linear un-
abhängig.

Konsequenzen der S¨
atze:

(1) Sind
ϕ 1 ,
ϕ 2 , . . . ,
ϕk Lösungsfunktionen des homogenen LDGS, dann ist
jede beliebige Linearkombination

y ( t) = c 1
ϕ 1 ( t) + c 2
ϕ 2 ( t) + . . . + ck
ϕk ( t)

( ck ∈ IC , k ∈ IN)

ebenfalls eine Lösung.

(2) Da IL h einen n-dimensionalen Vektorraum bildet, gibt es eine Basis aus
n Funktionen, so dass sich die allgemeine Lösung des homogenen LDGS
darstellen lässt als Linearkombination dieser Basisfunktionen:

y ( t) = c 1
ϕ 1 ( t) + c 2
ϕ 2 ( t) + . . . + cn
ϕn ( t) .

506

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

(3) Zwar ist noch nicht geklärt, wie man die Basisfunktionen berechnet, aber
aufgrund von Satz 12.2 kann man bei gegebenen Lösungen entscheiden, ob
eine Basis von IL h vorliegt oder nicht.

Da die Basisfunktionen des Vektorraumes IL h für die Beschreibung aller Lösun-
gen des homogenen LDGS eine entscheidende Rolle spielen, erhalten sie eine
eigene Bezeichnung:

Definition: Unter einem L¨
osungs-Fundamentalsystem des homoge-
nen LDGS

y ( t) = A
y ( t)

(2)

versteht man eine Basis von Vektorfunktionen (
ϕ 1 ( t) , . . . ,
ϕn ( t)) des

Vektorraums IL h aller Lösungen.

Im n-dimensionalen Vektorraum IR n sind n Vektoren genau dann linear un-
abhängig, wenn die Determinante dieser Vektoren nicht verschwindet:

Satz 12.3:

n Lösungen (
ϕ 1 ,
ϕ 2 , . . . ,
ϕn) von (2) bilden ein Fundamentalsystem

⇔ det ( ϕ 1 ( t 0) , ϕ 2 ( t 0) , . . . , ϕn ( t 0)) = 0
für ein t 0 .

Anwendungsbeispiel 12.17 (Bewegung von Ladungen im Magnet-
feld).

Die Newtonsche Bewegungsgleichung eines gelade-
nen Teilchens q = −e in einem homogenen Magnet-

⎛

⎞

0
feld

B = ⎝ 0 ⎠ lautet

Bz

→

e

d
x
vx

0

→

m

v ( t) = q

v ×

B

= q ey vy 0

Abb. 12.14.

dt

Elektron im

→
e

z
vz

Bz

Magnetfeld

⎛

⎞
vy Bz

= −e ⎝ −v

⎠
x Bz

.

0

12.2

Lineare Differenzialgleichungssysteme

507

In Komponentenschreibweise gilt mit ω = e B
m
z für
die 1. Komponente:

˙ vx ( t)

=

− e B
m
z vy ( t)

=

−ω vy ( t),
die 2. Komponente:

˙ vy ( t)

=
e B
m
z vx ( t)

=
ω vx ( t),
die 3. Komponente:

˙ vz ( t)

=

0.

Aus der dritten Komponente folgt vz ( t) = const. ⇒ vz ( t) = 0, wenn keine

Anfangsgeschwindigkeit in z-Richtung vorliegt.

Für die ersten beiden Komponenten vx( t) , vy( t) erhalten wir ein LDGS der

Form

vx ( t)

0 −ω
v

=
x ( t)

⇒ v ( t) = Av ( t)

( ∗)

vy ( t)

ω 0
vy ( t)

0

−ω
mit der (2 × 2)-Matrix A =

. Wie man durch Nachrechnen bestätigt,
ω

0

cos ( ωt)

− sin ( ωt)

sind
v 1 ( t) =
und
v

Lösungen von ( ∗):

sin ( ωt)

2 ( t) =
cos ( ωt)

cos ( ωt)

−ω sin ( ωt)

v ( t)

=

=

1
sin ( ωt)

ω cos ( ωt)

0

−ω
cos ( ωt)

−ω sin ( ωt)

A
v 1 ( t)

=

=
ω

0
sin ( ωt)

ω cos ( ωt)

⇒ v ( t) = Av

1

1 ( t). Analog prüft man dies für
v 2 ( t) nach.

v 1 ( t) und v 2 ( t) sind linear unabhängig: Nach Satz 12.3 genügt es zu prüfen,
dass det (
v 1 (0) , v 2 (0)) = 0:

1

0
det (
v

1 (0) ,
v 2 (0)) = 0 1 = 1 = 0 .

⇒ ( v 1 , v 2) bilden ein Fundamentalsystem und jede Lösung des Problems lässt
sich schreiben als Linearkombination von
v 1 und v 2

v
cos ( ωt)

− sin ( ωt)

v ( t) =
x ( t)

= c

+ c
v

1
v 1 ( t) + c 2 v 2 ( t) = c 1

2
y ( t)

sin ( ωt)

cos ( ωt)

bzw. in Komponenten
vx ( t) = c 1 cos ( ωt) − c 2 sin ( ωt)

vy ( t) = c 1 sin ( ωt) + c 2 cos ( ωt).

Die Konstanten c 1 und c 2 werden durch die Anfangsbedingungen des Problems
festgelegt. In unserem Beispiel ist vx (0) = v 0 und vy (0) = 0:

vx (0) = c 1 = v 0

⇒
vx( t) = v 0 cos ( ωt)

vy (0) = c 2 = 0
vy( t) = v 0 sin ( ωt)

508

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

L¨
osung des homogenen LDGS mit konstanten Koeffizienten

Die Lösung von homogenen LDGS reduziert sich vollständig auf die Analyse
der Matrix A. Grundlage hierfür bildet der folgende Satz:

Satz 12.4: (L¨
osungen von homogenen LDGS)

⎛

⎞
x 1

⎜ . ⎟

Sei A eine ( n × n)-Matrix und x = ⎝ .. ⎠ ∈ IR n ein Vektor, zu dem es
xn
ein λ ∈ IC gibt, so dass

A
x = λ
x

. Dann ist die Funktion

ϕ ( t) =
x eλ t
eine Lösung des homogenen LDGS
y ( t) = A
y ( t).

Begr¨
undung: Sei
x ∈ IR n ein Vektor, zu dem es ein λ ∈ IC gibt mit A x = λ x.

Dann gilt für die Ableitung der Vektorfunktion
ϕ ( t) =
x eλ t:

ϕ ( t) =
x eλ t

=
x λ eλ t = ( λ
x) eλ t = ( A
x ) eλ t = A
x eλ t = A
ϕ ( t) .

Die Frage ist also, wie verschafft man sich Vektoren
x mit der Eigenschaft

A
x = λ
x ? Dies ist Inhalt des folgenden Abschnitts.

12.2.3 Eigenwerte und Eigenvektoren

Definition: Sei A eine ( n × n) -Matrix und x ein Vektor x = 0. Dann
heißt
x Eigenvektor von A, wenn es eine komplexe Zahl λ gibt mit

A
x = λ
x.

λ heißt dann Eigenwert von A zum Eigenvektor
x.

Visualisierung mit Maple: Auf der CD-Rom befindet sich ei-
ne Maple-Prozedur, um Eigenwerte und Eigenvektoren für (2 × 2)-

Matrizen graphisch zu finden.

12.2

Lineare Differenzialgleichungssysteme

509

⎛

⎞

4

7

− 5

Beispiel 12.18. Gegeben ist die (3 × 3)-Matrix A = ⎝ 0

3

− 1 ⎠ und die

2

8

− 4

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛

⎞

2

1

− 1

Vektoren
x

⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎝

⎠

1 =

1

,
x 2 =

1

,
x 3 =

1

. Dann gilt:

3

2

1

⎛

⎞ ⎛ ⎞

⎛

⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

4

7

− 5

2

8 + 7 − 15

0

2

A
x

⎝

⎠ ⎝ ⎠

⎝

⎠

⎝ ⎠

⎝ ⎠

1 =

0

3

− 1

1

=

0 + 3 − 3

=

0

= 0 ·

1

2

8

− 4

3

4 + 8 − 12

0

3

→ x 1 ist Eigenvektor zum Eigenwert λ 1 = 0.

⎛

⎞ ⎛ ⎞

⎛

⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞

4

7

− 5

1

4 + 7 − 10

1

1

A
x

⎝

⎠ ⎝ ⎠

⎝

⎠

⎝ ⎠

⎝ ⎠

2 =

0

3

− 1

1

=

0 + 3 − 2

=

1

= 1 ·

1

2

8

− 4

2

2 + 8 − 8

2

2

→ x 2 ist Eigenvektor zum Eigenwert λ 2 = 1.

⎛

⎞ ⎛

⎞ ⎛

⎞ ⎛

⎞

⎛

⎞

4

7

− 5

− 1

− 4 + 7 − 5

− 2

− 1

A
x

⎝

⎠ ⎝

⎠ ⎝

⎠ ⎝

⎠

⎝

⎠

3 =

0

3

− 1

1

=

0 + 3 − 1

=

2

= 2 ·

1

2

8

− 4

1

− 2 + 8 − 4

2

1

→ x 3 ist Eigenvektor zum Eigenwert λ 3 = 2.

Um die Eigenvektoren einer Matrix A zu berechnen, bestimmt man
zun¨
achst s¨
amtliche Eigenwerte von A und dann zu jedem Eigenwert
die zugeh¨
origen Eigenvektoren:

Berechnung der Eigenwerte einer Matrix

Sei A eine ( n × n)-Matrix und λ ∈ IC sei ein Eigenwert von A. Dann gibt es
einen Vektor
x = 0, so dass

A
x = λ
x.

(3)

⎛

⎞

1

0

⎜

⎟

Schreiben wir mit der Einheitsmatrix I

. .

n = ⎝

.

⎠ den Vektor

0

1

⎛

⎞

⎛

⎞ ⎛

⎞
x 1

1

0
x 1

⎜ . ⎟

⎜

⎟ ⎜ . ⎟

x = ⎝ .

.

. ⎠ = ⎝

. . ⎠ ⎝ .. ⎠ = In x,
xn

0

1
xn
so gilt äquivalent zu Gl. (3)

A
x = λ In x ⇔ A x − λ In x = 0 ⇔ ( A − λ In) x = 0 .

Dies ist ein lineares Gleichungssystem mit der Matrix B = ( A − λ In). Ein
lineares Gleichungssystem ist nach dem Fundamentalsatz über LGS (siehe

510

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

3.3.1) genau dann eindeutig lösbar, wenn det( B) = 0. Im Falle der eindeu-
tigen Lösbarkeit ist
x = 0 die einzige Lösung. Diese Lösung liefert dann aber
keinen Eigenvektor, da die Eigenvektoren von Null verschieden sein müssen.

Damit wir also einen Eigenvektor erhalten, darf
x = 0 nicht die einzige Lösung
sein, d.h. das LGS darf nicht eindeutig lösbar sein! Somit muss det( B) = 0
sein bzw.

det ( A − λ In) = 0.

Es gilt allgemein

Satz 12.5: (Eigenwerte einer Matrix).

λ ist Eigenwert der Matrix A ⇔ det ( A − λ In) = 0.

⎛

⎞

5

7

− 5

Beispiel 12.19. Gegeben ist die (3 × 3)-Matrix A = ⎝ 0

4

− 1 ⎠. Ge-

2

8

− 3
sucht sind alle Eigenwerte dieser Matrix.

Zur Bestimmung der Eigenwerte gehen wir zur Matrix A − λ I 3 über

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

5

7

− 5

1 0 0

5 − λ

7

− 5

A − λ I

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

3 =

0

4

− 1 − λ

0 1 0

=

0

4 − λ

− 1

2

8

− 3

0 0 1

2

8

− 3 − λ
und berechnen die Determinante

5 − λ 7

− 5
det ( A − λ I

3)

=

0 4 − λ − 1

2

8

− 3 − λ

4 − λ

− 1

7 − 5

=

(5 − λ)

8

− 3 − λ + 2 4 − λ − 1

=

−λ 3 + 6 λ 2 − 11 λ + 6 = − ( λ − 1) ( λ − 2) ( λ − 3).

!

Aus det ( A − λ I 3) = 0 erhalten wir die Eigenwerte
λ 1 = 1 , λ 2 = 2
und
λ 3 = 3 .

Zur (3 × 3)-Matrix A ist det ( A − λ I 3) = −λ 3 + 6 λ 2 − 11 λ + 6 ein Polynom in λ vom Grade 3. Allgemein gilt

12.2

Lineare Differenzialgleichungssysteme

511

Satz 12.6: (Charakteristisches Polynom). Ist A eine ( n × n)-Matrix,
dann ist

P ( λ) := det ( A − λ In)

ein Polynom n-ten Grades in λ. P ( λ) heißt das charakteristische Po-
lynom. Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind die

Eigenwerte der Matrix A.

Da nach dem Fundamentalsatz der Algebra (siehe 5.2.7) jedes komplexe Po-
lynom vom Grad n genau n Nullstellen besitzt, zerfällt das charakteristische

Polynom im Komplexen immer in Linearfaktoren. Die Eigenwerte mit entspre-
chender Vielfachheit sind dadurch festgelegt. In der Praxis ist man allerdings
bei Systemen mit mehr als 3 Gleichungen auf numerische Verfahren wie z.B.

das Newton-Verfahren in 7.9 angewiesen, um die Eigenwerte als Nullstellen
des charakteristischen Polynoms zu bestimmen. Auch Maple verwendet nu-
merische Algorithmen, um die Nullstellen näherungsweise zu bestimmen.

Berechnung der Eigenvektoren

Nachdem die Eigenwerte einer Matrix bestimmt sind, berechnet man zu jedem

Eigenwert die zugehörigen Eigenvektoren, indem das lineare Gleichungssystem

( A − λ In) x = 0 gelöst wird:

Ist λ ein Eigenwert der Matrix A, so sind alle Eigenvektoren zum

Eigenwert λ gegeben als L¨
osung des linearen Gleichungssystems

( A − λ In) x = 0 .

Beispiel 12.20 (Eigenvektoren zu gegebenen Eigenwerten). Gegeben

⎛

⎞

5

7

− 5
ist die Matrix A = ⎝ 0

4

− 1 ⎠ aus Beispiel 12.19 mit den Eigenwerten

2

8

− 3
λ 1 = 1 , λ 2 = 2 , λ 3 = 3. Gesucht sind die zu den Eigenwerten gehörenden

Eigenvektoren.

i) Berechnung der Eigenvektoren zum Eigenwert λ 1 = 1: Gesucht sind Vekto-
ren
x = 0, so dass ( A − λ 1 I 3) x = 0. Zu lösen ist das lineare Gleichungssystem

⎛

⎞ ⎛

⎞

⎛ ⎞

5 − 1

7

− 5
x 1

0

⎝ 0 4 − 1 − 1 ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ ⎠

2

=

0

:

2

8

− 3 − 1
x 3

0

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

4

7

− 5 0

4

7 − 5 0

4

7 − 5 0

→ ⎝ 0

3

− 1 0⎠ → ⎝0 3 − 1 0⎠ → ⎝0 3 − 1 0⎠ .

2

8

− 4 0

0 − 9

3 0

0

0

0 0

512

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

Damit ist x 3 = t; 3 x 2 − t = 0 → x 2 = 1 t; 4 x
t − 5 t = 0 → x
t.

3

1 + 7

3

1 = 2

3

⎧

⎛ ⎞

⎫

⎨

2

⎬

3

⇒ IL

⎝ 1 ⎠

1 = ⎩ x ∈ IR3 : x = t

,
t ∈ IR

3

⎭

1

⎛ ⎞

2
ist die Lösungsmenge. Setzt man z.B. t = 3 , so erhält man
x

⎝ ⎠

1 =

1
als
einen Eigenvektor zum Eigenwert λ 1 = 1.

3
ii) Berechnung der Eigenvektoren zum Eigenwert λ 2 = 2: Zu lösen ist das
lineare Gleichungssystem ( A − λ 2 I 3) x = 0:

⎛

⎞

⎛

⎞

5 − 2

7

− 5 0

3

7

− 5 0

⎝

0

4 − 2

− 1 0⎠ → ⎝0 2 − 1 0⎠ .

2

8

− 3 − 2 0

0

0

0 0

Damit ist x 3 = t; 2 x 2 − t = 0 → x 2 = 1 t; 3 x
t − 5 t = 0 → x
t.

2

1 + 7

2

1 = 1

2

⎧

⎛ ⎞

⎫

⎨

1

⎬

2

⇒ IL

⎝ 1 ⎠

2 = ⎩ x ∈ IR3 : x = t

,
t ∈ IR

2

⎭

1
ist die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems. Einen Eigenvektor zum

⎛ ⎞

1

Eigenwert λ

⎝ ⎠

2 = 2 erhält man z.B für t = 2 durch
x 2 =

1

.

2
iii) Berechnung der Eigenvektoren zum Eigenwert λ 3 = 3: Durch Lösen des

⎛

⎞

− 1
linearen Gleichungssystems ( A − λ

⎝

⎠

3 I 3)

x = 0 erhält man z.B.

x 3 =

1
als einen Eigenvektor zum Eigenwert λ 3 = 3.

1

Da zu gegebenem Eigenwert die zugehörigen Eigenvektoren
x immer Lösungen
eines homogenen, linearen Gleichungssystems sind, gilt für zwei Eigenvektoren

x 1 und x 2 zum selben Eigenwert λ:

A ( t 1 x 1 + t 2 x 2)

=
t 1 A x 1 + t 2 A x 2 = t 1 λ x 1 + t 2 λ x 2

=
λ ( t 1 x 1 + t 2 x 2).

Folglich ist t 1 x 1 + t 2 x 2 für beliebige t 1 , t 2 ∈ IC ebenfalls ein Eigenvektor zum Eigenwert λ. Mit dem UVR-Kriterium (siehe 2.4.2) gilt damit der folgende

Satz:

Satz 12.7: Ist A eine ( n × n)-Matrix und λ ein Eigenwert von A. Dann
bildet die Menge der Eigenvektoren zum Eigenwert λ einen Vektorraum.

Bezeichnung:

Eig ( A, λ)

=

Menge aller Eigenvektoren zum Eigenwert λ

=

Eigenraum von A zum Eigenwert λ.

12.2

Lineare Differenzialgleichungssysteme

513

12.2.4 L¨
osen von homogenen LDGS mit konstanten Koeffizienten

Kommen wir nun zu unserem ursprünglich gestellten Problem, dem Lösen von
homogenen LDGS, zurück. Zusammenfassend können wir mit den Begriffen
aus dem vorigen Abschnitt formulieren:

Folgerung/Zusammenfassung: Besitzt die ( n × n)-Matrix A eine Ba-
sis von Eigenvektoren
x 1, x 2, . . . , xn zu den Eigenwerten λ 1, . . . , λn ∈ IC,
so bilden die Vektorfunktionen

ϕk ( t) = xk eλk t

( k = 1 , . . . , n)

ein Lösungs-Fundamentalsystem des homogenen LDGS

y ( t) = A
y ( t) .

Die in 12.2.3 beschriebene Vorgehensweise zur Bestimmung der Eigenwerte
und zugehörigen Eigenvektoren ist ausreichend, um ein Fundamentalsystem
des LDGS
y ( t) = A
y ( t) zu berechnen, wenn man eine Basis aus Eigenvekto-
ren findet. Dies ist aber nur unter gewissen Voraussetzungen der Fall, welche
der folgende Satz zusammenfasst. Auf die weiterführende Theorie werden wir
nicht näher eingehen.

Satz 12.8: Sei A eine ( n × n)-Matrix.

(1) Besitzt das charakteristische Polynom P ( λ) = det ( A − λ In) n ver-
schiedene Nullstellen, dann gibt es eine Basis aus Eigenvektoren.

(2) Existieren zu jedem Eigenwert der Vielfachheit m, m linear un-
abhängige Eigenvektoren, dann gibt es eine Basis aus Eigenvektoren.

(3) Ist A eine reelle, symmetrische Matrix (d.h. A = At), dann gibt es
eine Basis aus Eigenvektoren.

(4) Ist A eine komplexe, hermitische Matrix (d.h. A = At), dann gibt es
eine Basis aus Eigenvektoren.

Bemerkung: Stimmt die Dimension des Eigenraumes Eig( A, λ) mit der Viel-
fachheit des Eigenwerts überein, dann existiert eine Basis aus Eigenvektoren.

Man kann allgemeiner sogar zeigen, dass diese Bedingung nicht nur notwen-
dig, sondern auch hinreichend ist: Es existiert eine Basis aus Eigenvek-
toren genau dann, wenn f¨
ur alle Eigenwerte die Vielfachheit mit der

Dimension des Eigenraumes ¨
ubereinstimmt. Da solche Matrizen eine
besondere Rolle spielen, bezeichnet man sie als diagonalisierbare Matrizen.

514

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

Beispiel 12.21 (Musterbeispiel: Eigenwerte und Eigenvektoren).

Gesucht ist ein Lösungs-Fundamentalsystem des LDGS

⎛

⎞

1

1

1

y ( t) = A
y ( t)

mit A = ⎝ 1

1

1 ⎠ .

1

1

1

(i) Bestimmung der Eigenwerte von A:

1 − λ 1

1

P ( λ)

=
det ( A − λ I

3) =

1

1 − λ

1

=

1

1

1 − λ

1 − λ

1

1 1 1 1

=

(1 − λ)

1

1 − λ − 1 1 − λ + 1 − λ 1

=

−λ 2 ( λ − 3).

Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms:

!

P ( λ) = 0

→
λ 1 = 0

Eigenwert mit Vielfachheit 2.

λ 2 = 3

Eigenwert mit Vielfachheit 1.

(ii) Bestimmung der Eigenvektoren von A:

Eigenvektoren zum Eigenwert λ 1 = 0:

⎛

⎞

⎛

⎞

1

1

1 0

1

1

1 0

( A − 0 · I

⎝

⎠

⎝

⎠

3)

x = 0 →

1

1

1 0

→

0

0

0 0 .

1

1

1 0

0

0

0 0

→ x 3 = r; x 2 = t; x 1 = −r − t. Damit folgt

⎧

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎫

⎨
x 1

− 1

− 1

⎬

Eig( A, 0) =

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎩ x ∈ IR3 : x =
x 2

= r

0

+ t

1

; r, t ∈ IR⎭.

x 3

1

0

Die Dimension des Eigenraums Eig( A, 0) ist 2 und gleich der Vielfachheit
des Eigenwerts. Zwei linear unabhängige Eigenvektoren sind z.B.

⎛

⎞

⎛

⎞

− 1

− 1

x

⎝

⎠

⎝

⎠

1 =

0
und

x 2 =

1

.

1

0

Eigenvektoren zum Eigenwert λ 2 = 3:

⎛

⎞

⎛

⎞

− 2 1 1 0

− 2 1

1 0

( A − 3 I

⎝

⎠

⎝

⎠

3)

x = 0 →

1 − 2

1 0

→

0 − 1

1 0 .

1

1 − 2 0

0

0

0 0

→ x 3 = r; x 2 = r; − 2 x 1 + r + r = 0 → x 1 = r.

12.2

Lineare Differenzialgleichungssysteme

515

⎧

⎛

⎞

⎛ ⎞

⎫

⎨
x 1

1

⎬

⇒ Eig ( A, 3) =

⎝

⎠

⎝ ⎠

⎩ x ∈ IR3 : x =
x 2

= r

1

; r ∈ IR⎭.

x 3

1

Die Dimension des Eigenraumes Eig( A, 3) ist 1 und gleich der Vielfachheit

⎛ ⎞

1
des Eigenwertes. Ein Eigenvektor ist z.B.

x

⎝ ⎠

3 =

1

.

1

(iii) Ein Fundamentalsystem von
y ( t) = A
y ( t) ist damit

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛ ⎞

− 1

− 1

1

⎝ 0 ⎠ e 0 t , ⎝ 1 ⎠ e 0 t , ⎝ 1 ⎠ e 3 t

1

0

1
und die allgemeine Lösung lautet

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛ ⎞

− 1

− 1

1

y ( t) = c ⎝

⎠

⎝

⎠

⎝ ⎠

1

0
e 0 t + c 2

1
e 0 t + c 3

1
e 3 t

1

0

1
mit frei wählbaren Konstanten c 1 , c 2 , c 3.

Beispiel 12.22 (Musterbeispiel: L¨
osen von LDGS).

Das Lösen von LDGS erster Ordnung soll am Beispiel der folgenden drei ge-
koppelten Differenzialgleichungen zusammengefasst werden. Gegeben ist das

System von Differenzialgleichungen:

4 y 2( t) = y ( t) + y

2

3( t)

5 y 1( t) + 7 y 2( t) = y ( t) + 5 y

1

3( t)

( ∗)

y ( t) = 2 y

3

1( t) + 8 y 2( t) − 3 y 3( t) .

Gesucht sind die Lösungen y 1( t), y 2( t) und y 3( t) zu den Anfangsbedingungen
y 1(0) = 3 , y 2(0) = 2 , y 3(0) = 1 .

1. Aufstellen des LDGS: Alle Terme mit Ableitungen werden auf die linke
und die gesuchten Funktionen auf die rechte Seite gebracht.

y ( t) = 5 y

1

1( t) + 7 y 2( t) − 5 y 3( t)

y ( t) = 4 y

2

2( t) − y 3( t)

y ( t) = 2 y

3

1( t) + 8 y 2( t) − 3 y 3( t)

516

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

2. Aufstellen der Systemmatrix:

⎛

⎞

⎛

⎞ ⎛

⎞

⎛

⎞
y 1( t)

5

7

− 5
y 1( t)

5

7 − 5

⎝ y

⎠

⎝

⎠ ⎝

⎠

⎝

⎠

2( t)

=

0

4

− 1
y 2( t)

⇒ A =

0

4 − 1

.

y 3( t)

2

8

− 3
y 3( t)

2

8 − 3

3. Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren: Nach Beispiel 12.19

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛

⎞

2

1

− 1
und 12.20 sind
x

⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎝

⎠

1 =

1

,
x 2 =

1
und
x 3 =

1

Eigenvektoren

3

2

1
zu den Eigenwerten λ 1 = 1, λ 2 = 2 und λ 3 = 3.

4. Fundamentalsystem: Durch die Kenntnis der Eigenwerten und der zu-
gehörigen Eigenvektoren ist man in der Lage, ein Fundamentalsystem
durch
x 1 eλ 1 t, x 2 eλ 2 t, x 3 eλ 3 t anzugeben

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛

⎞

2

1

− 1

⎝ 1 ⎠ e 1 t , ⎝ 1 ⎠ e 2 t , ⎝ 1 ⎠ e 3 t .

3

2

1

5. Allgemeine L¨
osung: Die allgemeine Lösung
y( t) ist dann eine Linear-
kombination der Fundamentallösungen

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛

⎞

2

1

− 1

y( t) = c ⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎝

⎠

1

1
e 1 t + c 2

1
e 2 t + c 3

1
e 3 t .

3

2

1

In Komponentenschreibweise lauten die gesuchten Funktionen
y 1( t) = 2 c 1 e 1 t + 1 c 2 e 2 t − c 3 e 3 t
y 2( t) = 1 c 1 e 1 t + 1 c 2 e 2 t + c 3 e 3 t
y 3( t) = 3 c 1 e 1 t + 2 c 2 e 2 t + c 3 e 3 t .

6. Bestimmung der Koeffizienten: Die Koeffizienten bestimmen sich über
die Anfangsbedingungen:

y 1(0) = 2 c 1 + 1 c 2 − c 3 = 3
y 2(0) = 1 c 1 + 1 c 2 + c 3 = 2
y 3(0) = 3 c 1 + 2 c 2 + c 3 = 1 .

Dies ist ein lineares Gleichungssystem für die Konstanten c 1, c 2 und c 3
der Form

⎛

⎞

⎛

⎞

2

1 − 1 3

1

1

1

2

⎝

1

1

1 2 ⎠ → ⎝ 0 − 1 − 3 − 1 ⎠ ,

3

2

1 1

0

0 − 1 4
das z.B. mit dem Gauß-Algorithmus gelöst wird. Es ergeben sich die Kon-
stanten zu c 1 = − 7 , c 2 = 13 und c 3 = − 4 . Damit lauten die Lösungen

12.2

Lineare Differenzialgleichungssysteme

517
des LDGS ( ∗)

y 1( t) = − 14 e 1 t + 13 e 2 t + 4 e 3 t
y 2( t) = − 7 e 1 t + 13 e 2 t − 4 e 3 t
y 3( t) = − 21 e 1 t + 26 e 2 t − 4 e 3 t .

Die bisher beschriebenen Methoden lassen sich direkt auf LDGS der Form

y ( t) = A
y ( t)

übertragen. Dies ist deshalb von besonderem Interesse, da Schwingungsproble-
me ohne Reibung sich durch solche LDGS beschreiben lassen.

Satz 12.9: Ist A eine ( n × n)-Matrix und x ein Eigenvektor zum Eigen-
wert λ. Dann sind die Funktionen

√

√

y
λ t
λ t

1 ( t) =
x e+
und

y 2 ( t) = x e−

L¨
osungen des LDGS zweiter Ordnung

y ( t) = A
y ( t).

Begr¨
undung: Ist
x ein Eigenvektor zum Eigenwert λ. Dann gilt für
y ( t) :=

√

x e λ t:

√
√ √

√

√

√

2

y ( t)

=

x e λ t

=
x
λ e λ t

=
x
λ e λ t = λ
x e λ t

√

=

A
x e λ t = A
y ( t).

D.h.

y ( t) ist eine Lösung des LDGS zweiter Ordnung
y ( t) = A
y ( t) . Analog

√
zeigt man, dass auch
x e− λ t eine Lösung des LDGS ist.

Bemerkung: Besitzt A eine Basis aus Eigenvektoren (
x 1 , . . . , xn) mit den
zugehörigen Eigenwerten λi = 0

( i = 1 , . . . , n), dann ist

√

√

√

√

x
λ 1 t
λ 1 t
λn t
λn t

1 e

,
x 1 e−

, . . . ,
xn e

,
xn e−
ein Lösungs-Fundamentalsystem zu
y ( t) = A
y ( t).

518

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

Anwendungsbeispiel 12.23 (Gekoppelte Pendel ohne Reibung, mit

Maple-Worksheet).

Kommen wir auf das Einführungsbeispiel 12.16 der gekoppelten Pendel zurück.

Vernachlässigen wir Reibungskräfte, ist das System von Differenzialgleichun-
gen für die Winkelauslenkungen ϕ 1 ( t) und ϕ 2 ( t) gegeben durch

D

¨
ϕ 1 ( t) = − g ϕ

( ϕ
l

1 ( t) + m

2 ( t) − ϕ 1 ( t))

D

¨
ϕ 2 ( t) = − g ϕ

( ϕ
l

2 ( t) + m

1 ( t) − ϕ 2 ( t)) .

⎛

⎞

−g − D

D
ϕ
l
m
m

Für
ϕ ( t) :=

1 ( t)

gilt mit A = ⎝

⎠
ϕ 2 ( t)

D

−g − D
m
l
m

ϕ ( t) = A
ϕ ( t) .

(i) Berechnung der Eigenwerte:

−g − D − λ

D

P ( λ) = det ( A − λ I
l
m
m

2) =

D

−g − D − λ
m
l
m

2

D

2

!

=

−g − D − λ

−

= 0 .

l
m
m

Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms

!

P ( λ) = 0 ⇒ ( g + D ) + λ
l
m

1 / 2 = ± D
m

→ λ 1 = − g
und
λ

− 2 D .

l

2 = − gl
m

(ii) Berechnung der Eigenvektoren:

− D

D 0

− D D 0
λ
m
m
m m

1 = − g :

( A − λ

→

:

l

1 I 2)

x = 0 →

D − D 0

0 0 0
m
m

1

Eigenvektor zum Eigenwert λ 1 ist x 1 =

( gleichphasig).

1

D

D

D 0

D

D 0
λ
m m
m m

2 = − g − 2

:

( A − λ

→

:

l
m

2 I 2)

x = 0 →

D

D 0

0 0 0
m m

1

Eigenvektor zum Eigenwert λ 2 ist x 2 =

−

( gegenphasig).

1

12.2

Lineare Differenzialgleichungssysteme

519

(iii) Aufstellen des Fundamentalsystems: Mit den Eigenvektoren und zu-
gehörigen Eigenwerten stellen wir das komplexe Fundamentalsystem auf:

√

√

√

√

x
λ 1 t
λ 1 t
λ 2 t
λ 2 t

1 e

,

x 1 e−

,

x 2 e

,

x 2 e−
mit

g
λ 1 =

−g = i

= i ω
l
l

1
und

D
g

D
λ 2 =

−g − 2

= i

+ 2

= i ω
l
m
l
m

2 .

(iv) Interpretation:

ω
g

1 =
ist die Eigenfrequenz des Pendels ohne Federkopplung. Zu die-
l

1
ser Frequenz gehört der Eigenvektor

, welches einem gleichphasigen

1

Auslenken der Pendel entspricht (siehe linke Abb. (1)). Die Feder ist nicht
bemerkbar und beide Pendel schwingen mit der Eigenfrequenz eines Ein-
zelpendels ohne Kopplung.

ω
g

2 =

+ 2 D
ist die Eigenfrequenz des Pendels mit Federkopplung,
l
m
wenn die beiden Massen gegenphasig ausgelenkt werden. Der zugehörige

1

Eigenvektor ist

−

(siehe rechte Abb. (2)). Durch die entgegengesetzte

1

Auslenkung der Pendel macht sich die Federauslenkung doppelt bemerk-
bar, welches sich in dem Faktor 2 D bei der Frequenz widerspiegelt.

m

(1) Gleichphasige Auslenkung

(2) Gegenphasige Auslenkung

Die zu ω 1 und ω 2 gehörenden Schwingungen nennt man Grundschwingun-
gen. Regt man das System mit einem Eigenvektor an, so wird nur die zu-
gehörige Eigenfrequenz angeregt. Alle anderen Schwingungsformen sind

Überlagerungen dieser Grundschwingungen. Die allgemeine Lösung ist mit
beliebigen komplexen Konstanten c 1 , c 2 , c 3 , c 4 gegeben durch

1

1

1

1

ϕ ( t) = c 1
ei ω 1 t+ c
e−i ω 1 t+ c
ei ω 2 t+ c
e−i ω 2 t.

1

2

1

3

− 1

4

− 1

520

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

(v) ¨

Ubergang zu einem reellen Fundamentalsystem: Aufgrund der Eu-
lerschen Formel (siehe 5.1)

ei ω t = cos ω t + i sin ω t
gilt für beliebiges t

cos ω t

=

1
ei ω t + e−i ω t

2

sin ω t

=

1
ei ω t − e−i ω t .

2 i

Mit den Lösungen
ψ 1 ( t) = x 1 ei ω 1 t und
ψ 2 ( t) = x 1 e−i ω 1 t erfüllen auch
die beiden Überlagerungen

1

1

1
ψ

ψ
ei ω 1 t + e−i ω 1 t

=

x

2

1 ( t) + 2 2 ( t) = x 1 2

1 cos ( ω 1 t)

1

1
ψ

ψ
ei ω 1 t − e−i ω 1 t

=

x

2 i

1 ( t) − 1

2 i

2 ( t)

=

x 1 2 i

1 sin ( ω 1 t)

das LDGS. Analog erhält man
x 2 cos ( ω 2 t) , x 2 sin ( ω 2 t) als Lösungen. Ins-
gesamt haben wir somit vier reelle Lösungen durch Linearkombination der
vier komplexen Lösungen erhalten:

x 1 cos ( ω 1 t) ,

x 1 sin ( ω 1 t) ,

x 2 cos ( ω 2 t) ,

x 2 sin ( ω 2 t) .

Die allgemeine reelle Lösung lautet daher

ϕ

1

1

ϕ ( t) =

1 ( t)

= c
cos ( ω
sin ( ω
ϕ

1

1 t) + c 2

1 t)

2 ( t)

1

1

1

1

+ c 3

−
cos ( ω
sin ( ω

1

2 t) + c 4

− 1

2 t)

bzw. in Komponentendarstellung
ϕ 1 ( t) = c 1 cos ( ω 1 t) + c 2 sin ( ω 1 t) + c 3 cos ( ω 2 t) + c 4 sin ( ω 2 t) ϕ 2 ( t) = c 1 cos ( ω 1 t) + c 2 sin ( ω 1 t) − c 3 cos ( ω 2 t) − c 4 sin ( ω 2 t).

Die Konstanten c 1 , c 2 , c 3 , c 4 werden durch die Anfangsbedingungen fest-
gelegt.

(vi) L¨
osung f¨
ur unterschiedliche Anfangsbedingungen:

a) Mit ϕ 1 (0) = ϕ 0 , ϕ 2 (0) = ϕ 0 , ˙
ϕ 1 (0) = 0 , ˙
ϕ 2 (0) = 0 regt man die
gleichphasige Grundschwingung an. Aus den Anfangsbedingungen folgt
c 1 = ϕ 0 , c 2 = c 3 = c 4 = 0. Somit lautet die Lösung
ϕ 1 ( t) = ϕ 0 cos ( ω 1 t)

ϕ 2 ( t) = ϕ 0 cos ( ω 1 t).

Die Pendel schwingen gleichphasig mit der Frequenz ω
g

1 =

.

l

12.2

Lineare Differenzialgleichungssysteme

521
b) Für ϕ 1 (0) = −ϕ 0 , ϕ 2 (0) = ϕ 0 , ˙
ϕ 1 (0) = 0 , ˙
ϕ 2 (0) = 0 regt man die
gegenphasige Grundschwingung an. Aus den Anfangsbedingungen folgt
c 3 = −ϕ 0 , c 1 = c 2 = c 4 = 0

⇒ ϕ 1 ( t) = −ϕ 0 cos ( ω 2 t)

ϕ 2 ( t) = ϕ 0 cos ( ω 2 t).

Die Pendel schwingen gegenphasig mit der Frequenz ω
g

2 =

+ 2 D .

l
m
c) Wird nur das erste Pendel ausgelenkt, lauten die Anfangsbedingungen
ϕ 1 (0) = −ϕ 0 , ϕ 2 (0) = 0 , ˙
ϕ 1 (0) = 0 , ˙
ϕ 2 (0) = 0 .

Aus diesen Anfangsbedingungen erhalten wir vier lineare Gleichungen für
die zu bestimmenden Koeffizienten:

c 1 + c 3 = −ϕ 0
c 1 − c 3 = 0
c 2 ω 1 + c 4 ω 2 = 0
c 2 ω 1 − c 4 ω 2 = 0 .

Die Lösung des linearen Gleichungssystem ist
c 1 = 1 ϕ
ϕ

2

0 , c 2 = 0 , c 3 = 1

2

0 , c 4 = 0 .

In Abb. 12.15 wird für die Pendellänge l = 2, Federkonstante D = 0 . 2 und

Masse m = 1 die Lösung für ϕ 1 ( t) graphisch dargestellt. Die Anfangsaus-
lenkung ist hierbei ϕ 0 = − 0 . 1.

Abb. 12.15. Schwebung beim Doppelpendel ohne Reibung

Man kann die entstandene Schwingung sehr gut als Schwebung identifizie-
ren.

522

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

Visualisierung mit Maple: Auf der CD-Rom befindet sich eine

Animation, in der diese Schwebung der Pendel visualisiert wird. Das

Maple-Worksheet ist so aufgebaut, dass auch andere Anfangsbedingungen
gewählt werden können. Die zugehörigen Koeffizienten werden bestimmt und
die Animation dargestellt.

Hinweis: Auf der CD-Rom befindet sich eine Maple-Worksheet, wel-
ches die Schwingungen der Pendel mit Reibung behandelt. Im zu-
gehörigen Worksheet wird die dann auftretende Schwebung der Pendel in Form
einer Animation visualisiert. Die Winkelauslenkung für das erste Pendel ϕ 1( t)

ist in Abb. 12.16 angegeben.

Abb. 12.16. Schwebung beim Doppelpendel mit Reibung

Zusammenfassung: Durch die Bestimmung der Eigenwerte und Eigen-
vektoren ist man in der Lage, ein Fundamentalsystem des LDGS

y ( t) = A
y ( t)

zu bestimmen: Ist
xk ein Eigenvektor zum Eigenwert λk, dann sind zwei

Lösungen gegeben durch

√

√

ϕ
λk t
λk t
k, 1 ( t) =
xk e
und

ϕk, 2 ( t) = xk e−

.

Die Eigenwerte repräsentieren die Eigenfrequenzen des Systems und die

Eigenvektoren die zu den Eigenfrequenzen gehörenden Schwingungsfor-
men (Auslenkungen). Die allgemeine Schwingung ist eine Überlagerung
dieser Grundschwingungen.

12.3

Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung

523

12.3

12.3 Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung

Viele kinematische Probleme führen nach dem Newtonschen Bewegungsgesetz auf

Differenzialgleichungen 2. Ordnung. Für ausgedehnte Körper sogar auf 4. oder höher-
er Ordnung. In diesem Abschnitt behandeln wir genereller das systematische Lösen
von linearen Differenzialgleichungen n-ter Ordnung.

Die theoretischen Grundlagen übertragen sich aus Abschnitt 12.2, da wir eine lineare

Differenzialgleichung n-ter Ordnung auf ein System von n linearen Differenzialglei-
chungen 1. Ordnung reduzieren können. Gemäß der Lösungsstruktur lösen wir zuerst
das homogene Problem und kommen dann auf die inhomogenen Differenzialgleichun-
gen zu sprechen.

Wir beschränken uns in diesem Abschnitt generell auf lineare Differenzialgleichungen
n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

12.3.1 Einleitende Beispiele

Anwendungsbeispiel 12.24 (Fadenpendel).

An einem Faden der Länge l ist eine Masse m befestigt. Ge-
sucht ist der Winkel ϕ ( t) als Funktion der Zeit, wenn die

Masse um kleine Winkel ϕ 0 ausgelenkt wird. Die Kräfte,
die auf die Masse m wirken, sind die Komponente der Ge-
wichtskraft Ft senkrecht zum Faden

Ft = −FG sin ϕ = −m g sin ϕ ≈ −m g ϕ

(kleine Winkel)

und die Reibungskraft FR proportional zur Geschwindig-
keit

Abb. 12.17.

FR = −γ v = −γ ( l ˙
ϕ) .

Fadenpendel

Nach dem Newtonschen Bewegungsgesetz ist die Beschleu-
nigungskraft,

FB = m ¨
x ( t) = m l ¨
ϕ ( t) ,
gleich der Summe aller angreifenden Kräfte:

m l ¨
ϕ ( t) = −m g ϕ ( t) − γ l ˙
ϕ ( t)

(homogene, lineare DG 2. Ordnung).

524

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

Anwendungsbeispiel 12.25 (Federpendel).

Am Ende einer senkrecht herabhängenden Feder mit der Federkonstanten D
befindet sich eine Masse m. Es wirkt eine Reibungskraft proportional zur Mo-
mentangeschwindigkeit. Die Auslenkung der Masse m zur Zeit t wird mit x ( t)

bezeichnet. Gesucht ist das Weg-Zeit-Gesetz x ( t), wenn die Masse m zum

Zeitpunkt t 0 = 0 um x 0 aus der Ruhelage ausgelenkt wird.

Abb. 12.18. Federpendel

Die Kräfte, die auf die Masse m wirken, sind die Federrückstellkraft FD =

−D x ( t) und die Reibungskraft FR = −β ˙ x ( t). Nach dem Newtonschen Bewe-
gungsgesetz ist die Beschleunigungskraft FB = m ¨
x ( t) gleich der Summe aller
angreifenden Kräfte:

m ¨
x ( t) = −β ˙ x ( t) − D x ( t) mit x (0) = x 0 , ˙ x (0) = 0

(homogene, lineare DG 2. Ordnung).

Anwendungsbeispiel 12.26 (RCL-Kreis).

Der RCL-Wechselstromkreis ist das elektromagneti-
sche Analogon zu den Pendelbeispielen. Ein Strom-
kreis ist aufgebaut mit einer Induktivität L, einer

Kapazität C und einem Ohmschen Widerstand R.

Zur Zeit t = 0 wird der Stromkreis durch Anlegen
einer äußeren Spannungsquelle

Abb. 12.19. RCL-Kreis

UB ( t) = U 0 sin ( ωt)

geschlossen. Gesucht ist der Strom I ( t) als Funktion der Zeit.

12.3

Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung

525

Nach dem Maschensatz ist die Summe der Spannungsabfälle an R, C und L
gleich der eingespeisten Spannung UB

UR ( t) + UL ( t) + UC ( t) = UB ( t) .

Mit dem Ohmschen Gesetz ( UR( t) = R · I ( t)), dem Induktionsgesetz ( UL( t) =

2

t

L dI( t) ) und der Spannung am Kondensator U

Q ( t) = 1

I ( τ ) dτ
dt

C ( t) = 1

C

C

0
gilt

1
dI ( t)

1
t

R · I ( t) + L

+

I ( τ ) dτ = U
dt

C

0 sin ( ωt)

0
bzw. nach Differenziation

L ¨

I ( t) + R ˙

I ( t) + 1 I ( t) = U

C

0 ω cos ( ωt)

(inhomogene, lineare DG 2. Ordnung).

Allgemeine Problemstellung:

Problemstellung: Sei f ( x) eine auf dem Intervall I stetige Funktion und
seien ak ∈ IR ( k = 0 , . . . , n − 1) reelle Koeffizienten. Gesucht ist eine
n-mal stetig differenzierbare Funktion y( x) mit der Eigenschaft, dass sie
für alle x ∈ I die lineare Differenzialgleichung
y( n) ( x) + an− 1 y( n− 1) ( x) + . . . + a 1 y ( x) + a 0 y ( x) = f ( x) (DG 2)

erfüllt.

Bezeichnung:

Für f ( x) = 0
heißt ( DG 2) eine inhomogene DG n-ter Ordnung;
für f ( x) = 0
heißt ( DG 2) eine homogene DG n-ter Ordnung.

Wir diskutieren im Folgenden die Problemstellungen: Wieviele Lösungen be-
sitzt eine lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung? Wie löst man das homo-
gene Problem, wie das inhomogene? Zur Beantwortung dieser Fragen übertra-
gen wir zunächst die Ergebnisse aus dem Kapitel über LDGS 1. Ordnung auf
lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung:

526

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

12.3.2 Reduktion einer linearen DG n-ter Ordnung auf ein System

Ausgehend von der inhomogenen Differenzialgleichung n-ter Ordnung konstru-
ieren wir ein System 1. Ordnung, indem wir - verallgemeinernd zum Vorgehen
in Beispiel 12.16 - n Funktionen y 0 ( x), y 1 ( x), . . . , yn− 1 ( x) einführen, die durch die Bestimmungsgleichungen
y 0 ( x)

:=
y ( x)

y 1 ( x)

:=
y ( x)

y 2 ( x)

:=
y ( x)

...

yn− 1 ( x)

:=
y( n− 1) ( x)

festgelegt werden. Definieren wir die Vektorfunktion

⎛

⎞
y 0 ( x)

⎜

⎜ y

⎟

1 ( x)

⎟

⎜ .

⎟

Y ( x) := ⎜

.

⎜ .

⎟

⎝

⎟
y

⎠
n− 2 ( x)

yn− 1 ( x)

folgt für deren Ableitung

⎛

⎞

⎛

⎞
y ( x)

y ( x)

0

⎜

⎜ y ( x) ⎟

⎜ y ( x)

⎟

1

⎟

⎜

⎟

⎜ .

⎟

⎜ .

⎟

Y ( x) = ⎜

.

.

⎜ .

⎟ = ⎜ .

⎟

⎝

⎟

⎜

⎟
y

( x) ⎠

⎝ y( n− 1) ( x) ⎠
n− 2
y

( x)

y( n) ( x)

n− 1

⎛

⎞
y 1 ( x)

⎜

⎜ y

⎟

2 ( x)

⎜

⎟

.

⎟

= ⎜

.

⎜ .

⎟ .

⎝

⎟
y

⎠
n− 1 ( x)

−a 0 y ( x) − a 1 y ( x) − . . . − an− 1 y( n− 1) ( x) + f ( x) Die Gleichheit der ersten ( n − 1) Komponenten gilt nach Definition der Funktionen yi ( x) und die der letzten Komponente aufgrund der Differenzialglei-
chung ( DG 2)

y( n) ( x) = −a 0 y ( x) − a 1 y ( x) − . . . − an− 1 y( n− 1) ( x) + f ( x) .

Ersetzen wir auch in der letzten Komponente die Ableitungen von y ( x) durch
die entsprechenden Funktionen yi ( x), ist

⎛

⎞
y 1 ( x)

⎜

⎜ y

⎟

2 ( x)

⎟

⎜ .

⎟

Y ( x) = ⎜

.

⎜ .

⎟

⎝

⎟
y

⎠
n− 1 ( x)

−a 0 y 0 ( x) − a 1 y 1 ( x) − . . . − an− 1 yn− 1 ( x) + f ( x)

12.3

Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung

527

⎛

⎞

⎛

⎞

0

1

0

0

0

⎜

⎜ 0

0

1

0

⎟

⎜ 0 ⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

.

.

.

⎟

⎜ . ⎟

= ⎜ .

.

. .

.

.

⎜ .

.

.

.

⎟ Y ( x) + ⎜ . ⎟ ( DGS 2)

⎝

⎟

⎜

⎟

0

0

0

1

⎠

⎝ 0 ⎠

−a 0 −a 1 −a 2 · · · −an− 1
f ( x)

Dies ist ein inhomogenes LDGS 1. Ordnung für

Y ( x).

Bemerkungen:

(1) Ist y ( x) eine Lösung der inhomogenen, linearen Differenzialgleichung
n-ter Ordnung ( DG 2), dann ist

Y ( x) = ( y( x) , y ( x) , ... , y( n− 1) ( x)) t
eine Lösung des entsprechenden inhomogenen LDGS 1. Ordnung

( DGS 2).

(2) Es ist aber auch die Umkehrung gültig:

Ist

Y ( x) = ( y 0 ( x) , y 1 ( x) , ... , yn− 1 ( x)) t eine Lösung von ( DGS 2), dann ist die erste Komponente des Vektors

Y ( x) nämlich y ( x) :=
y 0 ( x) eine Lösung der Differenzialgleichung n-ter Ordnung ( DG 2).

Begr¨
undung: Ist

Y ( x) eine Lösung von ( DGS 2), so gilt für die erste Kom-
ponente y 0 ( x) nach ( DGS 2):

y ( x)

=
y

0

1 ( x)

y ( x)

=
y ( x) = y

0

1

2 ( x)

..

.

.

..

y( n− 1) ( x)

=
y

( x) = y

0
n− 2
n− 1 ( x)

y( n) ( x)

=
y

( x)

0
n− 1

=

−a 0 y 0 ( x) − a 1 y 1 ( x) − . . . − an− 1 yn− 1 ( x) + f ( x)

=

−a 0 y 0 ( x) − a 1 y ( x) − . . . − a

( x) + f ( x).

0
n− 1 y( n− 1)

0

Somit ist y 0( x) eine Lösung der Differenzialgleichung n-ter Ordnung. Die Um-
kehrung gilt aufgrund obiger Überlegungen und der Konstruktion des LDGS

( DGS 2).

Beispiel 12.27. Gesucht ist das zur Differenzialgleichung 4. Ordnung
x ( t) + 8 x ( t) + 22 x ( t) + 24 x ( t) + 9 x ( t) = 0
gehörende LDGS 1. Ordnung. Die Differenzialgleichung ist von der Ordnung

4, also führen wir 4 Funktionen
y 0 ( t) = x ( t)

y 1 ( t) = x ( t)

y 2 ( t) = x ( t)

y 3 ( t) = x ( t)

528

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen
ein. Dann gilt für die Ableitungen der Funktionen y 0 ( t) , y 1 ( t) , y 2 ( t) und y 3 ( t)

y ( t)

=
x ( t)

=
y

0

1 ( t)

y ( t)

=
x ( t)

=
y

1

2 ( t)

y ( t)

=
x ( t)

=
y

2

3 ( t)

y ( t)

=
x ( t)

=

− 9 x ( t) − 24 x ( t) − 22 x ( t) − 8 x ( t) 3

=

− 9 y 0 ( t) − 24 y 1 ( t) − 22 y 2 ( t) − 8 y 3 ( t).

⎛

⎞
y 0 ( t)

⎜ y

⎟

Für den Vektor

Y ( t) := ⎜ 1 ( t)

⎝

⎟
y

⎠ gilt dann

2 ( t)

y 3 ( t)

⎛ ⎞

⎛

⎞
y
y

0

1

⎜ ⎟

⎜

⎟

y
y

Y ( t) = ⎜ 1

2

⎝ ⎟

⎜

⎟
y ⎠ = ⎝ y

⎠

2

3
y

− 9 y

3

0 − 24 y 1 − 22 y 2 − 8 y 3

⎛

⎞

0

1

0

0

⎜ 0

0

1

0 ⎟

= ⎜

⎝

⎟

0

0

0

1 ⎠

Y ( t) .

− 9 − 24 − 22 − 8

Dies ist das zur Differenzialgleichung gehörende LDGS 1. Ordnung.

Satz 12.12: Das Lösen einer linearen Differenzialgleichung n-ter Ord-
nung ( DG 2) ist äquivalent zum Lösen des zugehörigen LDGS 1. Ordnung

( DGS 2).

Bemerkung: Nach Satz 12.12 ist es gleichgültig, ob die Differenzialgleichung
n-ter Ordnung gelöst wird oder das zugehörige DG-System. Dieser Satz hat
weitreichende Konsequenzen für das numerische Lösen von Differenzialglei-
chungen n-ter Ordnung: Statt eine Differenzialgleichung n-ter Ordnung zu
lösen, geht man zum System 1. Ordnung über und löst jede dieser Differen-
zialgleichungen 1. Ordnung mit einem numerischen Verfahren wie z.B. dem

Euler-Verfahren.

Hinweis: Auf der CD-Rom befindet sich ein separater Abschnitt über das nu-
merische Lösen von Differenzialgleichungen 1. Ordnung sowie dem Lösen von

DG n-ter Ordnung mit Maple.

Durch die in Satz 12.12 aufgestellte Äquivalenz übertragen sich auch die Aus-
sagen über die Lösung von LDGS auf Differenzialgleichungen n-ter Ordnung.

12.3

Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung

529

Entsprechend Satz 12.1 und Satz 12.10 gilt

Satz 12.13: (L¨
osung linearer DG n-ter Ordnung)

(1) Sei IL h die Menge aller Lösungen der homogenen linearen Differenzi-
algleichung n-ter Ordnung
y( n) ( x) + an− 1 y( n− 1) ( x) + . . . + a 1 y ( x) + a 0 y ( x) = 0 .

IL h ist ein n-dimensionaler Vektorraum.

(2) Sei IL i die Menge aller Lösungen der inhomogenen linearen Differen-
zialgleichung n-ter Ordnung
y( n) ( x) + an− 1 y( n− 1) ( x) + . . . + a 1 y ( x) + a 0 y ( x) = f ( x) .

Dann ist

IL i = yp ( x) + IL h,
wenn yp ( x) eine beliebige partikuläre (= spezielle) Lösung der inho-
mogenen Differenzialgleichung ist.

(3) n verschiedene Lösungen ϕ 1 ( x) , ϕ 2 ( x) , . . . , ϕn ( x) der homogenen Differenzialgleichung sind genau dann linear unabhängig, wenn für
ein, und damit für alle x ∈ I, die sog. ” Wronski-Determinante”

W ( x) ungleich Null ist:

⎛

⎞
ϕ

⎜ 1 ( x)

ϕ 2 ( x)

· · · ϕn ( x)

⎜

⎟
ϕ ( x)

ϕ ( x)

· · · ϕ ( x)

1

2
n

⎟

W ( x) = det ⎜

⎜ .

.

.

⎟ = 0 .

⎝ .

⎟

.

..

..

⎠
ϕ( n− 1) ( x) ϕ( n− 1) ( x) · · · ϕ( n− 1)

1

2
n

( x)

Definition: Eine Basis ϕ 1 ( x) , . . . , ϕn ( x) des L¨
osungsraumes IL h der ho-
mogenen Differenzialgleichung heißt L¨
osungs-Fundamentalsystem.

Folgerung: ϕ 1 ( x) , . . . , ϕn ( x) ist ein L¨
osungs-Fundamentalsystem
genau dann, wenn

W ( x 0) = 0
für ein x 0 ∈ I.

530

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

Beispiel 12.28. Gegeben ist für x > 0 die homogene DG 2. Ordnung

1
y ( x) − 1 y ( x) +
y ( x) = 0 .

2 x

2 x 2

Zwei Lösungen sind

√
ϕ 1 ( x) = x ,
ϕ 2 ( x) =
x ,
wie man durch Einsetzen in die Differenzialgleichung bestätigt. Die Wronski-

Determinante zu ϕ 1 , ϕ 2 lautet

√
ϕ
x
x

√

W ( x) = det

1 ( x)

ϕ 2 ( x)

=

x .

ϕ ( x)

ϕ ( x)

1 1 √ = − 12

1

2

2
x

Für x > 0 ist W ( x) = 0 und ( ϕ 1( t) , ϕ 2( t)) bilden somit ein Fundamentalsystem. Die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung ist daher

√
y ( x) = c 1 x + c 2
x .

Die Konstanten c 1 und c 2 bestimmen sich aus Anfangsbedingungen.

Anwendungsbeispiel 12.29 (Elektron im Magnetfeld). Nach Beispiel

12.17 lauten die nicht-relativistischen Bewegungsgleichungen eines Elektrons
in einem homogenen Magnetfeld, welches senkrecht zur Bewegungsrichtung
steht,

˙ vx ( t) = −ω vy ( t)

und

˙ vy ( t) = ω vx ( t)

mit ω = e B = 0. Differenziert man die erste Gleichung, ¨
v
m
x ( t) = −ω ˙
vy ( t),
und setzt die zweite ein, erhält man eine Differenzialgleichung 2. Ordnung für
die Geschwindigkeit vx ( t):

¨
vx ( t) + ω 2 vx ( t) = 0.

Zwei Lösungen dieser Differenzialgleichung kann man direkt angeben:

ϕ 1 ( t) = cos ( ωt)

und
ϕ 2 ( t) = sin ( ωt) ,
wie man durch Einsetzen in die Differenzialgleichung bestätigt! Diese beiden

Lösungen bilden ein Fundamentalsystem, da die Wronski-Determinante

ϕ
cos ( ωt)

sin ( ωt)

W ( t)

=
det

1 ( t)

ϕ 2 ( t)

=

ϕ ( t)

ϕ ( t)

−ω sin ( ωt) ω cos ( ωt)

1

2

=
ω cos2 ( ωt) + ω sin2 ( ωt) = ω = 0.

Daher ist die allgemeine Lösung für vx ( t)

vx ( t) = c 1 cos ( ωt) + c 2 sin ( ωt) .

12.3

Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung

531

Im Folgenden werden wir uns mit der Frage beschäftigen, wie man alle Lösun-
gen des homogenen Problems und eine spezielle Lösung des inhomogenen Pro-
blems berechnet: Die Lösung des homogenen Problems ist äquivalent zur Be-
stimmung von Nullstellen eines Polynoms n-ten Grades ( charakteristisches Po-
lynom) ( → 12.3.3). Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differenzialglei-
chung kann man oftmals durch einen speziellen Ansatz gewinnen ( → 12.3.4).

12.3.3 Homogene DG n-ter Ordnung mit konst. Koeffizienten

Beispiel 12.30. Gegeben ist die Differenzialgleichung 2. Ordnung

¨
x ( t) + ω 2 x ( t) = 0.

0

Die zugehörige physikalische Problemstellung kann z.B. das Fadenpendel ohne

Reibung 12.24, das Federpendel 12.25, ein LC-Kreis 12.26 oder die Bewegungs-
gleichung eines Elektrons im Magnetfeld 12.29 sein.

Zur Lösung der Differenzialgleichung wählen wir den Ansatz:

x ( t) = eλ t.

( ∗)

Setzen wir diesen Ansatz in die Differenzialgleichung ein, folgt
λ 2 eλ t + ω 2 eλ t = 0 → λ 2 + ω 2 = 0 .

0

0

Man nennt

P ( λ) = λ 2 + ω 20
das zur Differenzialgleichung zugehörige charakteristische Polynom. Wenn die
im Ansatz auftretende Größe λ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms
ist, dann ist eλ t eine Lösung der Differenzialgleichung. Aus P ( λ) = 0, folgt

λ = ± −ω 2 = ± i ω

0

0.

⇒ ϕ 1 ( t) = ei ω 0 t
und
ϕ 2 ( t) = e−i ω 0 t
sind Lösungen der Differenzialgleichung. Sie bilden gleichzeitig ein Fundamen-
talsystem, da die Wronski-Determinante

ϕ
ei ω 0 t
e−i ω 0 t

W ( t) = det

1 ( t)

ϕ 2 ( t)

=

ϕ ( t)

ϕ ( t)

i ω

= − 2 i ω 0 = 0 .

1

2

0 ei ω 0 t −i ω e−i ω 0 t

Da ϕ 1 ( t), ϕ 2 ( t) komplexe Funktionen sind, nennt man ( ϕ 1 ( t) , ϕ 2 ( t)) ein komplexes Fundamentalsystem.

532

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

¨

Ubergang zu einem reellen Fundamentalsystem.

Zu diesem komplexen Fundamentalsystem konstruiert man ein reelles, indem
man zu speziellen Linearkombinationen von ϕ 1 ( t) und ϕ 2 ( t) übergeht. Da für
lineare DG das Superpositionsprinzip gilt, ist mit zwei Lösungen ϕ 1 ( t) und
ϕ 2 ( t) jede Linearkombination c 1 ϕ 1 ( t) + c 2 ϕ 2 ( t) ebenfalls eine Lösung der Differenzialgleichung. Mit ϕ 1 ( t) und ϕ 2 ( t) sind also auch die beiden Funktionen

x 1 ( t)

=

1 ϕ
ϕ
ei ω 0 t + e−i ω 0 t

=
cos ( ω

2

1 ( t) + 1

2

2 ( t)

=

1

2

0 t)

x 2 ( t)

=

1 ϕ
ϕ
ei ω 0 t − e−i ω 0 t

=
sin ( ω

2 i

1 ( t) − 1

2 i

2 ( t)

=

1

2 i

0 t)

Lösungen der Differenzialgleichung. Da die Wronski-Determinante dieser bei-
den Funktionen W ( t) = ω 0 = 0, bilden (cos ( ω 0 t) , sin ( ω 0 t)) ein reelles Fundamentalsystem. Die allgemeine Lösung lautet
x ( t) = c 1 cos ( ω 0 t) + c 2 sin ( ω 0 t).

Wir übertragen die Lösungsmethode von Beispiel 12.30 auf den Fall einer all-
gemeinen, homogenen linearen Differenzialgleichung n-ter Ordnung:

y( n) ( x) + an− 1 y( n− 1) ( x) + . . . + a 1 y ( x) + a 0 y ( x) = 0.

( ∗)

Mit dem Ansatz
y ( x) = eλ x
für die gesuchte Funktion, lautet die k-te Ableitung von y ( x)

y( k) ( x) = λk eλ x.

Eingesetzt in die Differenzialgleichung ( ∗) ergibt
λn eλ x + an− 1 λn− 1 eλ x + . . . + a 1 λ eλ x + a 0 eλ x = 0

⇒ λn + an− 1 λn− 1 + . . . + a 1 λ + a 0 = 0 .

Definition:

P ( λ) := λn + an− 1 λn− 1 + . . . + a 1 λ + a 0
heißt das zur Differenzialgleichung ( ∗) zugehörige charakteristische Po-
lynom.

12.3

Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung

533

Ist λ 0 eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms P ( λ), dann stellt
y ( x) = eλ 0 x
eine Lösung der Differenzialgleichung dar. Nach dem Fundamentalsatz der

Algebra (5.2.7) besitzt jedes komplexe (also auch reelle) Polynom vom Gra-
de n genau n komplexe Nullstellen λ 1 , . . . , λn, die allerdings auch mehrfach
vorkommen können. Hat das charakteristische Polynom n verschiedene Null-
stellen, dann sind durch
yk ( x) = eλk x
k = 1 , . . . , n
n verschiedene Funktionen gegeben und es gilt

Satz 12.14: (Charakteristisches Polynom mit n verschiedenen

Nullstellen). Gegeben ist die homogene lineare Differenzialgleichung n-
ter Ordnung
y( n) ( x) + an− 1 y( n− 1) ( x) + . . . + a 1 y ( x) + a 0 y ( x) = 0 .

Das zugehörige charakteristische Polynom P ( λ) habe n verschiedene Null-
stellen λ 1 , λ 2 , . . . , λn. Dann bilden die n Lösungen der Differenzialglei-
chung
yk ( x) := eλk x

( k = 1 , . . . , n)

ein Fundamentalsystem.

Beweis: Aufgrund unserer Vorüberlegungen ist klar, dass eλk x ( k = 1 , . . . , n)

Lösungen der DG sind, wenn die λk Nullstellen des charakteristischen Po-
lynoms sind. Zu zeigen bleibt also nur noch die lineare Unabhängigkeit der

Lösungen. Dazu gehen wir zur Wronski-Determinante über

⎛

⎞
eλ 1 x
eλ 2 x

· · ·
eλn x

⎜

⎜ λ

⎟

1 eλ 1 x
λ 2 eλ 2 x · · · λneλn x ⎟

W ( x) = det ⎜

.

⎝

.

⎟

.

.

.

.

..

..

⎠
λn− 1 eλ 1 x λn− 1 eλ 2 x · · · λn− 1 eλn x

1

2
n

Mit vollständiger Induktion zeigt man, dass die sog. Vandermondesche Deter-
minante

⎛

⎞

1

1

· · · 1

⎜

⎜ λ

⎟

1
λ 2 · · · λn ⎟

W ( x = 0) = det ⎜

=

( λ

⎝ .

⎟

.

.

.

i − λj ) = 0 .

.

..

.. ⎠
i>j
λn− 1 λn− 1 · · · λn− 1

1

2
n

Damit bilden die Lösungen auch ein Fundamentalsystem.

534

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

Beispiel 12.31. Gesucht ist ein Fundamentalsystem der Differenzialgleichung
y(4) ( x) + 3 y ( x) − 4 y ( x) = 0 .

Ansatz: Wir setzen die Funktion y ( x) = eλ x in die Differenzialgleichung ein.

Dieses Vorgehen liefert das charakteristische Polynom

!

λ 4 eλ x + 3 λ 2 eλ x − 4 eλ x = 0 ⇒

P ( λ) = λ 4 + 3 λ 2 − 4 = 0 .

Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms bestimmen wir mit der Sub-
stitution Z := λ 2 . Dann ist Z 2 + 3 Z − 4 = 0 → Z 1 = 1 , Z 2 = − 4.

√

⇒ λ

−

1 / 2 = ±

Z 1 = ± 1 und λ 3 / 4 = ± Z 2 = ±

4 = ± 2 i.

P ( λ) hat somit 4 verschiedene Nullstellen ± 1 , ± 2 i.

⇒ e 1 x ,
e− 1 x ,
e 2 i x ,
e− 2 i x
ist ein komplexes Fundamentalsystem. Durch

1
e 2 i x + e− 2 i x = cos (2 x)

2

1
e 2 i x − e− 2 i x = sin (2 x)

2 i
erhält man ein reelles Fundamentalsystem:

ex ,
e−x ,
cos (2 x) ,
sin (2 x) .

Nach Satz 12.14 ist eindeutig geklärt, wie man ein Fundamentalsystem be-
stimmt, wenn P ( λ) n verschiedene Nullstellen besitzt. Zur Klärung des Pro-
blems von doppelten bzw. mehrfachen Nullstellen betrachten wir das folgende

Beispiel:

Beispiel 12.32. Gegeben ist die Differenzialgleichung

¨
x ( t) + 2 ˙
x ( t) + x ( t) = 0 .

( ∗)

Ansatz: Setzen wir x ( t) = eλ t in die Differenzialgleichung ein, liefert dies das
charakteristische Polynom

!

P ( λ) = λ 2 + 2 λ + 1 = 0 .

P ( λ) = 0

→
λ 1 / 2 = − 1 ist doppelte Nullstelle

→
x 1 ( t) = e−t ist eine Lösung von ( ∗).

12.3

Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung

535

Mit dem Ansatz eλ t erhält man bei diesem Beispiel nur eine Lösung. Da ( ∗)

eine Differenzialgleichung 2. Ordnung, stellt IL h einen 2-dimensionalen Vektor-
raum dar und das Fundamentalsystem besteht aus zwei linear unabhängigen

Funktionen! Eine weitere Lösung ist gegeben durch
x 2 ( t) = t · e−t ;
denn x 2( t) und die Ableitungen

˙
x 2 ( t) = e−t − t e−t

¨
x 2 ( t) = −e−t − e−t + t e−t
in die Differenzialgleichung eingesetzt

⇒ ¨ x 2 ( t) + 2 ˙ x 2 ( t) + x 2 ( t) = 0 .

Außerdem sind x 1 ( t) und x 2 ( t) linear unabhängig:

x
e−t
t e−t

W ( t) = det

1 ( t)

x 2 ( t)

=

x ( t)

x ( t)

−e−t e−t (1 − t) = e− 2 t = 0 .

1

2

Daher ist ein Fundamentalsystem
e−t,
t e−t .

Ist λ 0 eine m-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms P ( λ), dann sind
eλ 0 t,
t eλ 0 t,
t 2 eλ 0 t, . . . , tm− 1 eλ 0 t
linear unabhängige Lösungen der Differenzialgleichung n-ter Ordnung:

Satz 12.15: (Charakteristisches Polynom mit Mehrfachnullstel-
len). Gegeben ist die homogene lineare Differenzialgleichung n-ter Ord-
nung
y( n) ( x) + an− 1 y( n− 1) ( x) + . . . + a 1 y ( x) + a 0 y ( x) = 0 .

Das zugehörige charakteristische Polynom P ( λ) habe l verschiedene Null-
stellen λk ∈ IC

( k = 1 , . . . , l) mit der Vielfachheit mk

( k = 1 , . . . , l).

Dann sind
eλk x , x eλk x , . . . , xmk −1 eλk x
linear unabhängige Lösungen der Differenzialgleichung und bilden für k =

1 , . . . , l ein Fundamentalsystem.

536

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

Beispiel 12.33. Gesucht ist ein reelles Fundamentalsystem der Differenzial-
gleichung
y(4) ( x) + 8 y ( x) + 16 y ( x) = 0 .

Ansatz: y ( x) = eλ x in die Differenzialgleichung eingesetzt liefert das charak-
teristische Polynom

P ( λ) = λ 4 + 8 λ 2 + 16 = 0 .

Mit Z := λ 2 ist Z 2 + 8 Z + 16 = 0 → Z 1 / 2 = − 4 doppelt. Damit sind

√
λ

−

1 / 2 = ±

4 = ± 2 i
doppelte Nullstellen.

λ 1 = 2 i

→
ϕ 1 ( x) = e 2 i x,
ϕ 2 ( x) = x · e 2 i x
sind zwei Lösungen.

λ 2 = − 2 i

→
ϕ 3 ( x) = e− 2 i x,
ϕ 4 ( x) = x · e− 2 i x
sind zwei Lösungen.

⇒ e 2 i x , e− 2 i x , x e 2 i x , x e− 2 i x
ist ein komplexes Fundamentalsystem.

Übergang zum reellen Fundamentalsystem durch spezielle Linearkombinatio-
nen:

1 ( ϕ
e 2 i x + e− 2 i x

=
cos (2 x)

2

1 ( x) + ϕ 3 ( x))

=

1

2

1 ( ϕ
e 2 i x − e− 2 i x

=
sin (2 x)

2 i

1 ( x) − ϕ 3 ( x))

=

1

2 i

1 ( ϕ
e 2 i x + e− 2 i x

=
x · cos (2 x)

2

2 ( x) + ϕ 4 ( x))

=
x 12

1 ( ϕ
e 2 i x − e− 2 i x

=
x · sin (2 x).

2 i

2 ( x) − ϕ 4 ( x))

=
x 1

2 i

⇒ cos(2 x) , sin(2 x) , x cos(2 x) , x sin(2 x)

bildet ein reelles Fundamentalsystem. Die allgemeine Lösung lautet somit:

y( x) = c 1 cos(2 x) + c 2 sin(2 x) + c 3 x cos(2 x) + c 4 x sin(2 x) .

Beispiel 12.34. Gegeben ist die Differenzialgleichung
y ( x) − y ( x) = 0 .

Gesucht ist ein reelles Fundamentalsystem. Mit dem Ansatz y ( x) = eλ x in die

Differenzialgleichung eingesetzt, erhält man das charakteristische Polynom

!

P ( λ) = λ 3 − 1 = 0 .

12.3

Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung

537

Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind λ 1 = 1 und λ

±

2 / 3 = − 1

2

√

1

3 i, so dass die Funktionen

2

(

√

√

− 1

2 + 1

2

3 i) x

( − 12 − 12 3 i) x
ex ,
e

,
e
ein komplexes Fundamentalsystem bilden. Mit den Linearkombinationen

(

√

√

− 1

3

√

√
i) x

( − 1

3 i ) x

1

1

− 1

3 i x

− 1

3 i x
e

2 + 1

2

+ e

2 − 1

2

=
e 2 x 1
e 2

+ e 2

2

2

− 1

√

=
e 2 x cos( 1

3 x)

2
und

(

√

√

− 1

3

√

√
i) x

( − 1

3 i) x

1

1

− 1

3 i x

− 1

3 i x
e

2 + 1

2

− e 2 − 12

=
e 2 x 1
e 2

− e 2

2 i

2 i

− 1

√

=
e 2 x sin( 1

3 x)

2
bekommt man ein reelles Fundamentalsystem

− 1

√

√
ex ,
e 2 x cos( 1

3 x) ,
e− 12 x sin( 1

3 x) .

2

2

Anwendungsbeispiel 12.35 (Freie ged¨
ampfte Schwingung, mit

Maple-Worksheet).

Wir kommen auf das Federpendel aus Beispiel 12.25 zurück. Für die Aus-
lenkung x ( t) der Masse m aus der Ruhelage gilt unter Berücksichtigung von

Reibung die Differenzialgleichung
m ¨
x ( t) = −β ˙ x ( t) − D x ( t)

mit
x (0) = x 0 und

˙
x (0) = 0 .

Mit den Parametern ω 2 = D und μ = 1 β ist

0
m

2 m

¨
x ( t) + 2 μ ˙
x ( t) + ω 2 x ( t) = 0 ,
x (0) = x

0

0 ,

˙
x (0) = 0.

Der Ansatz
x ( t) = eλ t
führt zum charakteristischen Polynom

P ( λ) = λ 2 + 2 μ λ + ω 2 = 0

0

mit den Nullstellen
λ 1 / 2 = −μ ±
μ 2 − ω 2

.

0

538

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

Das Vorzeichen der Diskriminante

:= μ 2 − ω 20
entscheidet über die Art der Schwingung. Bei schwacher Dämpfung ist das
mechanische System zu echten Schwingungen fähig ( Schwingungsfall). Dieser

Fall tritt ein, wenn μ < ω 0. Bei starker Dämpfung μ > ω 0 bewegt sich das

System nicht-periodisch (= aperiodisch) auf die Gleichgewichtslage zu ( Kriech-
fall). Für = 0, d.h. μ = ω 0, folgt der aperiodische Grenzfall. Im Folgenden
werden wir jeden dieser drei Fälle getrennt behandeln:

1. Fall: < 0, d.h. μ < ω 0: Gedämpfte Schwingung

2. Fall: = 0, d.h. μ = ω 0: Aperiodischer Grenzfall

3. Fall: > 0, d.h. μ > ω 0: Kriechfall

1. Ged¨
ampfte Schwingung (schwache D¨
ampfung).

Bei schwacher Dämpfung ( μ < ω 0) sind die Nullstellen des charakteristischen

Polynoms komplex-konjugierte Zahlen

λ

−

1 / 2 = −μ ±
μ 2 − ω 2 = −μ ± i
ω 2
μ 2 = −μ ± i ω

0

0

mit ω :=
ω 2 − μ 2 > 0. Damit ist ein komplexes Fundamentalsystem

0
ϕ 1 ( t) = eλ 1 t = e( −μ+ i ω) t = e−μ t ei ω t
ϕ 2 ( t) = eλ 2 t = e( −μ−i ω) t = e−μ t e−i ω t .

Mit dem reellen Fundamentalsystem
x 1 ( t) = 1 ( ϕ

2

1 ( t) + ϕ 2 ( t)) = e−μ t cos ( ωt)

x 2 ( t) = 1 ( ϕ

2 i

1 ( t) − ϕ 2 ( t)) = e−μ t sin ( ωt)

bestimmt sich die allgemeine L¨
osung durch
x ( t) = e−μ t ( c 1 cos ( ωt) + c 2 sin ( ωt)) .

Die Konstanten c 1, c 2 bestimmen sich aus den Anfangsbedingungen x(0) und

.

.

x (0). Um die Anfangswerte für x (0) einsetzen zu können, benötigen wir die

Ableitung von x( t):

.

x ( t) = −μ e−μ t ( c 1 cos ( ωt) + c 2 sin ( ωt))

+ e−μ t ( −c 1 ω sin ( ωt) + c 2 ω cos ( ωt)) .

Setzen wir die Anfangsbedingungen ein, folgen zwei Bestimmungsgleichungen
für die Konstanten c 1 und c 2:

12.3

Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung

539
x (0) = x 0:

x (0) = c 1 = x 0,

˙
x (0) = 0:

˙
x (0) = c
μ

1 ( −μ) + c 2 ω = 0 ⇒ c 2 = x 0

.

ω

⇒
β

1
x ( t) = x 0 e−μ t cos ( ωt) +
sin ( ωt) .

2 m ω

Interpretation: Die Lösung setzt sich aus einer zeitlich abnehmenden Ampli-
tude x

1

0 e−μ t und einem periodischen Anteil (cos ( ωt) +
β
sin ( ωt)) zusam-

2 m ω

men. Der periodische Anteil der Funktion kann in der Form
ω 0 sin ( ωt + ϕ)

ω
mit tan ϕ = ω
dargestellt werden, so dass
μ
ω
x ( t) = x

0

0 e−μ t
sin ( ωt + ϕ).

ω

Es liegt eine ged¨
ampfte Schwingung vor. Das Federpendel schwingt mit der
gegenüber der ungedämpften Schwingung verkleinerten Kreisfrequenz

ω =
ω 2 − μ 2 < ω

0

0 .

Abb. 12.20 zeigt den typischen Verlauf einer gedämpften Schwingung.

Abb. 12.20. Zeitlicher Verlauf einer gedämpften Schwingung

2. Aperiodischer Grenzfall.

= 0, d.h. μ = ω 0, beschreibt den aperiodischen Grenzfall, der die periodi-
schen Bewegungen von den nicht-periodischen trennt. Für μ = ω 0 ist
λ 1 / 2 = −μ
eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms P ( λ), und ϕ 1 ( t) =
e−μ t und ϕ 2 ( t) = t · e−μ t bilden ein reelles Fundamentalsystem. Die allge-

540

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen
meine L¨
osung lautet dann
x ( t) = c 1 e−μ t + c 2 t e−μ t.

Durch Einsetzen der Anfangsbedingungen bestimmen sich c 1, c 2:

x (0) = x 0:

c 1 = x 0,

˙
x (0) = 0:

−μ c 1 + c 2 = 0 ⇒ c 2 = μ x 0.

⇒
x ( t) = x 0 e−μ t (1 + μ t).

Der Massepunkt bewegt sich nach seiner Auslenkung um x 0 auf die Gleichge-
wichtslage nicht-periodisch zu.

Abb. 12.21. Aperiodischer Grenzfall für x(0) = x 0, x(0) = 0

3. Kriechfall.

Bei starker D¨
ampfung ( μ > ω 0) sind die Nullstellen des charakteristischen Po-
lynoms zwei negative, reelle Zahlen

λ 1 / 2 = −μ ±
μ 2 − ω 2 < 0 .

0

Setzen wir k =
μ 2 − ω 2, bilden ϕ

0

1 ( t) = e( −μ+ k) t und ϕ 2 ( t) = e( −μ−k) t ein
reelles Fundamentalsystem und die allgemeine L¨
osung lautet

( −μ+ k) t

( −μ−k) t
x ( t) = c 1 e

+ c 2 e

.

Die Masse ist infolge zu starker Reibung zu keiner echten Schwingung fähig
und bewegt sich im Lauf der Zeit nicht-periodisch auf die Gleichgewichtsla-
ge zu. Man bezeichnet diesen Fall in der Mechanik als Kriechfall oder als
aperiodische Schwingung. Der genaue Verlauf hängt, wie im Fall 2, von den

Anfangsbedingungen ab.

Für x (0) = x 0 und ˙ x (0) = 0 bestimmen sich die Konstanten c 1 und c 2 zu:

12.3

Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung

541
x (0) = x 0:

x 0 = c 1 + c 2,

˙
x (0) = 0:

0 = ( −μ + k) c 1 + ( −μ − k) c 2.

k + μ

Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems für c 1 und c 2 lautet c 1 = x 0 2 k
k − μ
und c 2 = x 0 2 k

⇒
x
x ( t) =

0 e−μ t ( k + μ) ek t + ( k − μ) e−k t

2 k

(Exponentielles Abklingen ohne Schwingungsanteil).

Hinweis: Auf der CD-Rom befindet sich ein Maple-Worksheet, in
dem eine Animation aufzeigt wie sich das Schwingungsverhalten in

Abhängigkeit von μ ändert. Die Animation beginnt bei schwacher Dämpfung
und nähert sich dann dem aperiodischen Grenzfall an. Man erkennt, dass beim
aperiodischen Grenzfall das System am schnellsten zur Ruhe kommt, wie dies
z.B. bei Stoßdämpfern oder Messinstrumenten gefordert wird. Wird die Dämp-
fung noch kleiner, erhält man den Schwingungsfall; die Periode der Schwingung
ändert sich dann in Abhängigkeit von μ.

12.3.4 Inhomogene DG n-ter Ord. mit konstanten Koeffizienten

In diesem Abschnitt betrachten wir das inhomogene Problem: Gegeben ist eine
lineare DG n-ter Ordnung mit Störfunktion f ( x) (= Inhomogenität):

y( n) ( x) + an− 1 y( n− 1) ( x) + . . . + a 1 y ( x) + a 0 y ( x) = f ( x) .

( ∗∗)

Gesucht ist eine partikul¨
are L¨
osung yp ( x).

Über das zugehörige LDG-System 1. Ordnung und Variation der Konstanten
besitzt man für beliebige Inhomogenitäten eine Lösungsformel: Nachdem die

Nullstellen des charakteristischen Polynoms bestimmt sind, bildet man nach

Satz 12.15 ein Lösungsfundamentalsystem der homogenen linearen Differenzi-
algleichung. Anschließend transformiert man die linearen Differenzialgleichung
n-ter Ordnung in ein System 1. Ordnung (Satz 12.12) und führt die Variati-
on der Konstanten (Satz 12.11) durch. Dieser Weg bietet sich an, wenn man
z.B. auf Maple zurückgreift, um die umfangreichen Integrale aufzustellen und
berechnen zu lassen.

542

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

Inhomogenit¨
at = Exponentialfunktion

Im Folgenden werden wir aber für oft auftretende Inhomogenitäten eine par-
tikuläre Lösung durch einen speziellen Lösungsansatz vorgeben. Zunächst be-
trachten wir den Fall, dass die Störfunktion eine reine Exponentialfunktion
ist:

f ( x) = c eμ x
μ ∈ IC .

Dann lautet die Differenzialgleichung
y( n) ( x) + an− 1 y( n− 1) ( x) + . . . + a 1 y ( x) + a 0 y ( x) = c eμ x .

Gesucht ist eine partikuläre Lösung der Form
yp ( x) = k eμ x
mit einer noch unbekannten Konstanten k. Setzen wir yp ( x) zusammen mit
seinen Ableitungen in die Differenzialgleichung ein, folgt
k μn eμ x + an− 1 k μn− 1 eμ x + . . . + a 1 k μ eμ x + a 0 k eμ x = c eμ x

⇒ k μn + an− 1 μn− 1 + . . . + a 1 μ + a 0 = c

P ( μ)

⇒ k P ( μ) = c ,
wenn das charakteristische Polynom P ( λ) an der Stelle μ ausgewertet wird.

Ist μ keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms, P ( μ) = 0, folgt für
die Konstante k =
c
und die Lösung lautet y

· eμ x :

P ( μ)

p ( x) =
c

P ( μ)

Satz 12.16: Gegeben ist die inhomogene, lineare Differenzialgleichung
n-ter Ordnung
y( n) ( x) + an− 1 y( n− 1) ( x) + . . . + a 1 y ( x) + a 0 y ( x) = c eμ x .

Ist μ keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms P ( λ), dann ist
c
yp ( x) =
eμ x

P ( μ)

eine partikul¨
are L¨
osung.

12.3

Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung

543

Beispiele 12.36:

 Gesucht ist eine partikuläre Lösung yp ( x) der Differenzialgleichung

!

y(4) ( x) + 2 y ( x) + y ( x) = 25 e 2 x .

Das zur Differenzialgleichung gehörende charakteristische Polynom ist

P ( λ) = λ 4 + 2 λ 2 + 1
und μ = 2 ist keine Nullstelle von P ( λ): P (2) = 25 = 0. Somit erhält
man durch
yp ( x) = k e 2 x
eine partikuläre Lösung. Setzt man yp ( x) in die Differenzialgleichung ein,
bestimmt sich die Konstante k aus:

k 16 e 2 x + k 8 e 2 x + k e 2 x = 25 e 2 x

→ k = 25 = 1 ⇒ y

25
p ( x) = e 2 x.

 Gesucht ist eine partikuläre Lösung yp ( x) der Differenzialgleichung
y(4) ( x) + 2 y ( x) + y ( x) = 25 ei 2 x .

Das charakteristische Polynom ist

P ( λ) = λ 4 + 2 λ 2 + 1 .

Wegen μ = 2 i und P (2 i) = 16 i 4 + 8 i 2 + 1 = 9 = 0 ist μ keine Nullstelle von P ( λ) und somit ist eine partikuläre Lösung
yp ( x) =

25
ei 2 x = 25 ei 2 x.

P (2 i)

9

Beispiel 12.37. Gegeben ist die Differenzialgleichung
y ( x) − 2 y ( x) − 2 y ( x) + 2 y ( x) = 2 sin x.

( ∗)

Um eine partikuläre Lösung yp ( x) nach Satz 12.16 zu berechnen, setzen wir
die Differenzialgleichung ins Komplexe fort:

˜
y ( x) − 2 ˜
y ( x) − 2 ˜
y ( x) + 2 ˜
y ( x) = 2 eix.

(˜

∗)

Ist ˜
yp ( x) eine Lösung der komplexen Differenzialgleichung (˜

∗), dann ist der

Imaginärteil
yp ( x) := Im ˜
yp ( x)

eine Lösung der reellen Differenzialgleichung ( ∗), wie man folgendermaßen er-
kennt

544

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

˜
y − 2 ˜
y − 2 ˜
y + 2 ˜
y
p
p
p
p = 2 eix

→ Im ˜
y − 2 ˜
y − 2 ˜
y + 2 ˜
y

= Im 2 eix
p
p
p
p

→ Im ˜
y − 2 Im ˜
y − 2 Im ˜
y + 2 Im (˜
y
eix
p
p
p
p) = 2 Im

→ [Im (˜
yp)] − 2 [Im (˜
yp)] − 2 [Im (˜
yp)] + 2 [Im (˜
yp)] = 2 sin x.

⇒ y − 2 y − 2 y + 2 y
p
p
p
p = 2 sin x.

Um (˜

∗) zu lösen, wählen wir den Ansatz

˜
yp ( x) = k eix .

In die Differenzialgleichung eingesetzt

→ k i 3 eix − k 2 i 2 eix − k 2 i eix + k 2 eix = 2 eix

2

→ k (4 − 3 i) eix = 2 eix → k =

.

4 − 3 i

⇒

2

˜
yp ( x) =
eix.

4 − 3 i

¨

Ubergang ins Reelle: Damit ist eine partikuläre Lösung ˜
yp ( x) von (˜

∗) ge-
funden. Die gesuchte Lösung yp ( x) von ( ∗) ist

2
yp ( x) = Im (˜
yp ( x)) = Im
eix

.

4 − 3 i

Es gibt zwei unterschiedliche Methoden, um den Imaginärteil zu berechnen.

Beide führen auf eine unterschiedliche Darstellung der Lösung. Im ersten Fall
zerlegen wir sowohl

2
als auch eix in Real- und Imaginärteil, bestimmen in

4 − 3 i
der algebraischen Normalform das Produkt der beiden komplexen Größen und
lesen vom Ergebnis den Imaginärteil ab. Im zweiten Fall stellen wir

2
in

4 − 3 i
der Exponentialform dar und multiplizieren mit eix in der Exponentialform;
die partikuläre Lösung ist wieder der Imaginärteil des Ergebnisses.

(i) Zerlegung von

2
in Real- und Imaginärteil

4 − 3 i

2

2

8

6

=

· 4 + 3 i =

+
i.

4 − 3 i

4 − 3 i 4 + 3 i

25

25

⇒

2

˜
y

8
p ( x) =
eix

=

+ 6 i (cos x + i sin x)

4 − 3 i

25

25

=

8
cos x − 6 sin x + i

6
cos x + 8 sin x .

25

25

25

25

Damit ist

6

8
yp ( x) = Im (˜
y ( x)) =
cos x +
sin x .

25

25

12.3

Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung

545

(ii) Die komplexe Zahl c =

2

= 8 + 6 i lässt sich darstellen in der Expo-

4 − 3 i

25

25
nentialform c = |c| eiϕ mit

|

3
c| = 1

82 + 62 = 10 und tan ϕ =

→ ϕ = 36 . 9 ◦ ⇒ c = 10 ei 36 . 9 ◦

25

25

4

25

⇒

2

˜
yp ( x) =
eix = 10 ei 36 . 9 ◦ · eix = 10 ei ( x+36 . 9 ◦)

4 − 3 i

25

25

= 10 cos( x + 36 . 9 ◦) + i 10 sin( x + 36 . 9 ◦) .

25

25

Damit ist

10
yp ( x) = Im (˜
yp ( x)) =
sin ( x + 36 . 9 ◦) .

25

Inhomogenit¨
at = Polynom mal Exponentialfunktion

Der Ansatz für die spezielle Lösung aus Satz 12.16 führt zum Ziel, wenn μ kei-
ne Nullstelle des charakteristischen Polynoms P ( λ) ist. Welcher Ansatz muss
aber gewählt werden, wenn μ eine Nullstelle ist? Allgemeiner noch betrachten
wir den Fall einer Inhomogenität f ( x) = h ( x) eμ x mit einem Polynom h ( x): Satz 12.17: Gegeben ist die inhomogene lineare Differenzialgleichung
y( n) ( x) + an− 1 y( n− 1) ( x) + . . . + a 1 y ( x) + a 0 y ( x) = h ( x) eμ x .

(i) Ist μ eine k-fache ( k ≥ 0) Nullstelle des charakteristischen Polynoms

(ii) und h ( x) ein Polynom vom Grade m,
dann liefert der Ansatz
yp ( x) = g ( x) · eμ x
eine spezielle Lösung, wenn g ( x) ein Polynom vom Grade m + k ist.

Bemerkungen:

(1) Satz 12.16 ist ein Spezialfall von Satz 12.17: Für f ( x) = c eμ x und μ keine

Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist k = 0 und m = 0 ( c ist ein

Polynom vom Grade 0). Daher liefert die Ansatzfunktion
yp ( x) = K eμ x
mit einem Polynom vom Grade k + m = 0 eine partikuläre Lösung.

546

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

(2) Besteht die Störfunktion aus mehreren Störgliedern, erhält man einen An-
satz für eine partikuläre Lösung yp ( x) als Summe der Ansätze für die
einzelnen Störglieder.

Beispiele 12.38 (Musterbeispiele):

 Gesucht ist eine partikuläre Lösung der Differenzialgleichung

2 y ( x) + y ( x) = x e−x :

Das zugehörige charakteristische Polynom ist

P ( λ) = 2 λ 2 + λ.

Die Inhomogenität ist
f ( x) = x e−x → μ = − 1.

μ = − 1 ist keine Nullstelle von P ( λ), da P ( − 1) = 1 = 0 → k = 0; x ist ein Polynom vom Grade 1 → m = 1. ⇒ k + m = 1 und die Ansatzfunktion
für eine partikuläre Lösung ist ein Polynom vom Grad 1 mal e−x:

yp ( x) = ( a 0 + a 1 x) e−x .

Wir setzen diesen Ansatz für yp( x) zusammen mit den Ableitungen
y ( x)

=
a
p

1 e−x − ( a 0 + a 1 x) e−x
y ( x)

=

− 2 a
p

1 e−x + ( a 0 + a 1 x) e−x
in die Differenzialgleichung ein, um a 0 und a 1 zu bestimmen. Damit folgt

2 y + y ( x) = [( a
p
p

0 − 3 a 1) + a 1 x] e−x !

= x e−x

⇒

!

( a 0 − 3 a 1) + a 1 x = x

Um die Koeffizienten zu bestimmen, führen wir einen Koeffizientenvergleich
nach absteigenden Potenzen von x durch

x 1 :

a 1 = 1

⇒ y
x 0 :

a
p ( x) = (3 + x) e−x.

0 − 3 a 1 = 0 ⇒ a 0 = 3 .

 Gesucht ist eine partikuläre Lösung der Differenzialgleichung

2 y ( x) + y ( x) = x :

12.3

Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung

547

Das zugehörige charakteristische Polynom ist

P ( λ) = 2 λ 2 + λ.

Die Inhomogenität ist
f ( x) = x e 0 x → μ = 0 .

μ = 0 ist einfache Nullstelle von P ( λ) → k = 1; x ist ein Polynom vom

Grade 1 → m = 1 . ⇒ m + k = 2. Die Ansatzfunktion für eine partikuläre

Lösung lautet

yp ( x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 e 0 x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 .

Um die Koeffizienten a 0, a 1 und a 2 zu bestimmen, setzen wir yp( x) zusam-
men mit den Ableitungen
y ( x)

=
a
p

1 + 2 a 2 x
y ( x)

=

2 a
p

2
in die Differenzialgleichung ein. Dies liefert

!

2 y ( x) + y ( x) = 4 a

= x .

p
p

2 + a 1 + 2 a 2 x

Koeffizientenvergleich:

x 1:

2 a 2 = 1

⇒ a 2 = 12
x 0:

4 a 2 + a 1 = 0

⇒ a 1 = − 2.

Für a 0 besteht keine Bedingung; a 0 kann somit z.B. auf Null gesetzt wer-
den: a 0 = 0.

⇒

1
yp ( x) = − 2 x +
x 2 .

2

Beispiele 12.39:


y ( x) + y ( x) = eix:

Das zugehörige charakteristische Polynom ist P ( λ) = λ 2 + 1. Die Inhomo-
genität ist eix → μ = i. μ = i ist einfache Nullstelle → k = 1; m = 0 ⇒
k + m = 1.

Ansatz:

yp ( x)

=

( a 0 + a 1 x) eix
y ( x)

=
a
p

1 eix + i ( a 0 + a 1 x) eix
y ( x)

=

2 i a
p

1 eix − ( a 0 + a 1 x) eix

In Differenzialgleichung einsetzen:

y ( x) + y
p
p ( x)

=

2 a 1 i eix − ( a 0 + a 1 x) eix + ( a 0 + a 1) eix

=

2 a 1 i eix !

= eix

548

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

⇒

1
a 1 =
und
a

2 i

0 = 0

(beliebig).

⇒

1
yp ( x) =
x eix = − 1 i x eix .

2 i

2


y ( x) + y ( x) = cos x:

( ∗)

Um eine partikuläre Lösung zu erhalten, setzen wir die Differenzialgleichung
ins Komplexe fort

˜
y ( x) + ˜
y ( x) = eix

(˜

∗)

˜
yp ( x) = − 1 i x eix ist nach { eine partikuläre Lösung von (˜ ∗). Eine parti-

2
kuläre Lösung von ( ∗) ist demnach gegeben durch den Realteil von ˜
yp ( x)

yp ( x) = Re (˜
yp ( x)) .

Wegen

− 1

1

1
i x eix = +
ei 270 ◦ x eix =
x ei ( x+270 ◦)

2

2

2

⇒ y

1
p ( x) = Re
x ei ( x+270 ◦)

= 1 x cos ( x + 270 ◦) = 1 x sin x .

2

2

2


y ( x) + y ( x) = sin x:

Nach dem Vorgehen in | ist eine partikuläre Lösung

y

1
p ( x) = Im ( ˜
yp ( x)) = Im
x ei ( x+270 ◦)

= 1 x sin ( x + 270 ◦) .

2

2
yp ( x) = − 1 x cos x .

2

Spezialf¨
alle von Satz 12.17:

Um eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung
y( n) ( x) + an− 1 y( n− 1) ( x) + . . . + a 1 y ( x) + a 0 y ( x) = f ( x) zu erhalten, kann in manchen Spezialfällen direkt ein reeller Ansatz gewählt
werden. Tabelle 12.2 gibt für häufig auftretende Störfunktionen die entspre-
chende Ansatzfunktion an.

12.3

Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung

549

Tabelle 12.2: Ansatzfunktionen f¨
ur partikul¨
are L¨
osungen.

Störfunktion

NS von P ( λ)

Ansatz
n

n

f ( x) =
ai xi

0 keine NS
yp ( x) =

Ai xi
i=0
i=0
n

0 k-fache NS
yp ( x) = xk

Ai xi
i=0
f ( x) = a eμ x
μ keine NS
yp ( x) = A eμ x
μ k-fache NS
yp ( x) = A xk eμ x
f ( x) = a sin ( β x)

iβ keine NS
yp ( x) = A sin ( β x) + B cos ( β x)

= C sin ( β x + ϕ)

f ( x) = a cos ( β x)

iβ k-fache NS
yp ( x) = A xk sin ( β x)+ B xk cos ( β x)

= C xk sin ( β x + ϕ)

Beispiel 12.40. Gegeben ist die Differenzialgleichung
y ( x) + 2 y ( x) + y ( x) = f ( x) .

In der nachfolgenden Liste geben wir nach Tabelle 12.2 für verschiedene Störfunk-
tionen f einen Ansatz für eine partikuläre Lösung sowie die Lösung für die
freien Parameter an. Das charakteristische Polynom ist

P ( λ) = λ 2 + 2 λ + 1 = ( λ + 1)2
und damit λ = − 1 eine doppelte Nullstelle.

f ( x)

Ansatzfunktion

Parameter
x 2 − 2 x + 1
yp ( x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2
a 0 = 11 , a 1 = − 6 , a 2 = 1

( μ = 0 keine NS von P ( λ))

2 ex
yp ( x) = A ex

A = 12

( μ = 1 keine NS von P ( λ))

cos x

˜
yp ( x) = A eix → in kompl. DG

A = − 1 i

2

yp ( x) = Re A eix
yp ( x) = 1 cos x + 3 π

2

2
cos x
yp ( x) = A sin x + B cos x

A = 1 , B = 0

2

( μ = i keine NS von P ( λ))

sin x
yp ( x) = A sin x + B cos x

A = 0 , B = − 12

( μ = i keine NS von P ( λ))

e−x
yp ( x) = a 2 x 2 e−x
a 2 = 12

( μ = − 1 ist doppelte NS)

−x 2 ex
a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ex
a 0 = − 3 , a

, a

8

1 = 1

2

2 = − 1

4
x e−x

( a 0 + a 1 x) x 2 e−x
a 0 = 0 , a 1 = 16

550

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

Zusammenfassung: Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
mit konstanten Koeffizienten.

Die allgemeine Lösung der inhomogenen DG n-ter Ordnung
y( n) ( x) + an− 1 y( n− 1) ( x) + . . . + a 1 y ( x) + a 0 y ( x) = f ( x) ( ∗)

setzt sich zusammen aus der allgemeinen homogenen L¨
osung yh( x)

und einer partikul¨
aren L¨
osung yp( x) der inhomogenen DG:

y ( x) = yh ( x) + yp ( x) .

1. Bestimmung der allgemeinen homogenen Lösung
y( n) ( x) + an− 1 y( n− 1) ( x) + . . . + a 1 y ( x) + a 0 y ( x) = 0 : (1) Ansatz y ( x) = eλ x in Differenzialgleichung.

(2) Charakteristisches Polynom

P ( λ) = λn + an− 1 λn− 1 + . . . + a 1 λ + a 0 .

(3) Nullstellen des charakteristischen Polynoms λ 1 , . . . , λm
λi einfache NS → ϕi ( x) = eλi x.

λi k-fache NS → ϕi ( x) = eλi x, x eλi x, . . . , xk− 1 eλi x.

(4) ϕ 1 ( x) , ϕ 2 ( x) , . . . , ϕn ( x) ist Fundamentalsystem.

(5) Allgemeine, homogene Lösung
yh ( x) = c 1 ϕ 1 ( x) + c 2 ϕ 2 ( x) + . . . + cn ϕn ( x) .

2. Bestimmung einer partikulären Lösung der inhomogenen DG: Gemäß

Tab. 12.2 wählt man spezielle Ansätze für eine partikuläre Lösung
oder man geht auf Satz 12.17 zurück. Setzt sich die Störfunktion aus
mehreren Störgliedern f 1 ( x) , . . . , fl ( x) zusammen, wählt man für je-
des Störglied einen partikulären Ansatz yp ( x) , . . . , y ( x) und löst

1
pl
y( n) ( x) + a

( x) + . . . + a

( x) = f
p
n− 1 y( n− 1)

0 yp
i ( x) .

i
pi
i

Eine partikuläre Lösung für die Störfunktion f ( x) = f 1 ( x) + . . . +
fl ( x) ist dann
yp ( x) = yp ( x) + . . . + y ( x) .

1
pl

3. Die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung ( ∗) lautet
y ( x) = c 1 y 1 ( x) + . . . + cn yn ( x) + yp ( x) .

4. Die Koeffizienten c 1 , . . . , cn bestimmen sich aus den Anfangsbedin-
gungen y (0) , y (0) , . . . , y( n− 1) (0).

12.3

Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung

551

Beispiel 12.41 (Musterbeispiel).

Gesucht ist die Lösung von
y ( x) − 6 y ( x) + 9 y ( x) = 4 e 2 x + 9 x − 15
mit den Anfangsbedingungen y (0) = y 0 , y (0) = 0 .

1. Lösen der homogenen Differenzialgleichung
y ( x) − 6 y ( x) + 9 y ( x) = 0 :

Das charakteristische Polynom ist

P ( λ) = λ 2 − 6 λ + 9 .

Die Nullstellen von P ( λ) sind λ 1 = λ 2 = 3 (doppelt). Die allgemeine

Lösung der homogenen Differenzialgleichung ist somit
yh ( x) = c 1 e 3 x + c 2 x e 3 x .

2. Berechnung einer speziellen Lösung:

Die Störfunktion f ( x) = 4 e 2 x + 9 x − 15 besteht aus zwei Funktionstypen.

In zwei Schritten bestimmen wir eine partikuläre Lösung:

(i)

y ( x) − 6 y ( x) + 9 y ( x) = 4 e 2 x.

(1)

μ = 2 ist keine NS von P ( λ) und daher erhalten wir eine partikuläre

Lösung der Form
yp ( x) = A e 2 x .

1

In die Differenzialgleichung (1) eingesetzt folgt:

A (4 − 6 · 2 + 9) e 2 x != 4 e 2 x ⇒ A = 4 .

⇒ yp ( x) = 4 e 2 x .

1

(ii)

y ( x) − 6 y ( x) + 9 y ( x) = 9 x − 15.

(2)

0 ist keine NS von P ( λ) und daher wird als Ansatz
yp ( x) = a

2

0 + a 1 x
in die Differenzialgleichung (2) eingesetzt:

y ( x) − 6 y ( x) + 9 y ( x)

=

− 6 a
p 2
p 2
p 2

1 + 9 ( a 0 + a 1 x)

!

=

( − 6 a 1 + 9 a 0) + 9 a 1 x = 9 x − 15.

552

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

Der Koeffizientenvergleich liefert
x 1:

9 a 1 = 9

⇒ a 1 = 1,
x 0:

− 6 a 1 + 9 a 0 = − 15

⇒ a 0 = − 1.

⇒ yp ( x) = − 1 + x .

2

(iii) Die partikuläre Lösung für die Störfunktion 4 e 2 x + 9 x − 15 setzt sich
zusammen aus yp und y :

1
p 2
yp ( x) = 4 e 2 x + x − 1 .

3. Die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung lautet somit
y ( x) = c 1 e 3 x + c 2 x e 3 x + 4 e 2 x + x − 1 .

4. Bestimmung der Konstanten c 1 , c 2 über die Anfangsbedingungen:

!

y (0)

=
c 1 + 4 − 1

=
y 0

⇒ c 1 = y 0 − 3

!

y (0)

=

3 c 1 + c 2 + 9

=

0

⇒ c 2 = − 9 − 3 c 1 = − 3 y 0.

⇒ y ( x) = ( y 0 − 3) e 3 x − 3 y 0 x e 3 x + 4 e 2 x + x − 1 .

Anwendungsbeispiel 12.42 (Erzwungene, ged¨
ampfte Schwingung,
mit Maple-Worksheet).

Ein elektrischer Schwingkreis besteht aus einem Ohm-
schen Widerstand R, einem Kondensator mit Kapa-
zität C und einer Spule mit Induktivität L (siehe Abb.

12.22). Zur Zeit t = 0 wird der Stromkreis durch An-
legen einer äußeren Wechselspannung

Abb. 12.22. RCL-Kreis

UB ( t) = U 0 sin ( ωt)

geschlossen. Nach dem Maschensatz gilt

1
dI ( t)

1
t

L

+ R I ( t) +

I ( τ ) dτ = U
dt

C

0 sin ( ωt) .

0

Gehen wir zur komplexen Formulierung über, ist

1

1
t

L ˙

I ( t) + R I ( t) +

I ( τ ) dτ = U

C

0 ei ω t

0
und nach Differenziation

¨

R

1

U

I ( t) +

˙

I ( t) +

I ( t) =

0 i ω ei ω t .

L

LC

L

12.3

Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung

553

Setzen wir noch β = R (Dämpfung) und ω 2 = 1 , ist

2 L

0

LC

¨

U

I ( t) + 2 β ˙

I ( t) + ω 2 I ( t) =

0 i ω ei ω t.

0

L

Die allgemeine, homogene Lösung wurde in Beispiel 12.35 diskutiert, so dass
zur Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung noch eine partikuläre Lösung
gesucht ist. Das charakteristische Polynom zur Differenzialgleichung lautet

P ( λ) = λ 2 + 2 β λ + ω 2 .

0

→ μ = i ω ist keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms. Eine parti-
kuläre Lösung liefert daher der Ansatz

˜

Ip ( t) = A ei ω t .

In die Differenzialgleichung eingesetzt, folgt

U

( i ω)2 A ei ω t + 2 β ( i ω) A ei ω t + ω 2 A ei ω t =

0 i ω ei ω t

0

L

⇒

U

1

A = i

0 ω

L
ω 2 − ω 2 + 2 i β ω

0
und

˜

U

1

I

0 ω
p ( t) = i
ei ω t.

L
ω 2 − ω 2 + 2 i β ω

0

¨

Ubergang zu einer reellen partikul¨
aren L¨
osung: Ip ( t) = Im ( ˜

Ip ( t)) .

Wir stellen ˜

Ip ( t) in der exponentiellen Normalform dar, indem wir A in die Ex-
ponentialform überführen und die Multiplikation in dieser Normalform ausführen.

U

1

− ω 2 − i 2 β ω

A = i

0 ω

· ω 20

L
ω 2 − ω 2 + 2 i β ω ω 2 − ω 2 − i 2 β ω

0

0

U

1

,

- !

=

0 ω

2 β ω + i ω 2 − ω 2

= |A| eiϕ

L

2

0

( ω 2 − ω 2) + (2 β ω)2

0
mit

−

|

U

1

Im A
ω 2
ω 2

A| =

0 ω
und
tan ϕ =

=

0

.

L

2

Re A

2 β ω

( ω 2 − ω 2) + (2 β ω)2

0

⇒ ˜

U

1

I

0 ω
p ( t) =

eiϕ ei ω t

L

2

( ω 2 − ω 2) + (2 β ω)2

0

komplexe Amplitude

554

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

⇒

U

1

I

˜

0 ω
p ( t) = Im

Ip ( t) =

sin ( ωt + ϕ) .

L

2

( ω 2 − ω 2) + (2 β ω)2

0

Interpretation: Mit ω 2 = 1 und 2 β = R gilt f

0
ür Amplitude und Phase des

LC

L

Stromes

U 0 ω

1

U

=

0

=: I

L

0

2

2

(2 β ω)2 + ( ω 2 − ω 2)

R 2 +

1

− ωL

0
ωC
und
ωL − 1
tan ϕ( ω) =
ωC .

R

⇒

U

I

0
p ( t) = I

0 sin ( ωt + ϕ) =

sin ( ωt + ϕ).

( ∗)

2

R 2 +

1

− ωL
ωC

Gleichung ( ∗) ist das Ohmsche Gesetz der Wechselstromtechnik mit den Schei-
telwerten U 0 und I 0. Der reelle Scheinwiderstand beträgt

4

1

2

Z =

R 2 +

− ωL

= Z ( ω) .

ωC

Der Strom Ip ( t) ist um ϕ( ω) phasenverschoben zur Spannung.

MAPLE-Worksheets zu Kapitel 12

Differenzialgleichungen erster Ordnung:

Differenzialgleichungen erster Ordnung mit Maple

Richtungsfelder mit Maple

Beispiele mit Maple

Lineare Differenzialgleichungssysteme:

Eigenwerte und Eigenvektoren mit Maple

Beispiele mit Maple

Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung:

Differenzialgleichungen n-ter Ordnung mit Maple

Beispiele mit Maple

Numerisches L¨
osen von Differenzialgleichungen:

Numerisches Lösen mit dsolve

Numerisches Lösen mit DEplot

Numerisches Lösen mit dem Euler-Verfahren

Beispiele mit Maple

12.4

Aufgaben zu Differenzialgleichungen

555

12.4

12.4 Aufgaben zu Differenzialgleichungen

Differenzialgleichungen 1. Ordnung

12.1

Wie lauten die allgemeinen Lösungen der folgenden linearen DG erster Ord-
nung mit konstanten Koeffizienten?

a) y + 4 y = 0
b) 2 y + 4 y = 0
c) − 3 y = 8 y
d) a y − b y = 0

( a = 0)

e) − 3 y + 18 y = 0
f) L dI + R I = 0
dt

12.2

Lösen Sie folgende Anfangswertprobleme:

a) 2 v + ˙ v = 0 ,
v (0) = 10 m .

Wann ist v ( t) < 10 cm ?

s
s
b) y + λ y = 0 ,
y (0) = 1.

Was ergibt sich für λ, wenn y (1) = 12 ?

c) − dN = 1 N,

N (0) = N

1 , 819 · 1011 = 1
dt
τ

0. Wie groß ist τ , wenn N

2 N 0?

12.3

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden linearen DG erster Ord-
nung:

a) y + x y = 4 x
b) y + y

1+

= e 2 x
c) x y + y = x · sin x
x
d) y cos x − y sin x = 1
e) y − 2 cos x y = cos x
f) x y − y = x 2 + 4

12.4

Lösen Sie folgende inhomogenen DG:

a) y ( t) + 1 y ( t) = U

R C

0 sin ( ωt)

(RC-Wechselstromkreis)

b) y ( t) + R y ( t) = U

L

0 e− 2 t

(RL-Wechselstromkreis)

12.5

Bestimmen Sie eine Lösung für die folgenden DG 1. Ordnung durch Trennung
der Variablen:

a) x 2 y = y 2
b) y 1 + x 2 = x y
c) y = 1 − y 2
d) y = (1 − y)2
e) y sin y = −x
f) y = ey cos x

12.6

Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme:

a) y + cos x · y = 0 ;
y π 2 = 2 π
b) x ( x + 1) y = y ;
y (1) = 12
c) y 2 y + x 2 = 1 ;
y (2) = 1

d) x 2 y = y 2 + x y ;
y (1) = − 1

Substitution: u = yx
e) y y = 2 e 2 x ;
y (0) = 2

12.7

Man löse durch Substitution u = yx
a) x y = y + 4 x
b) x 2 y = 14 x 2 + y 2

12.8

Lösen Sie folgenden Differenzialgleichungen durch Trennung der Variablen:

a) 1
x 5 y ( x) =

1

( y( x))2
b) ( x + 1) ( x − 1) y ( x) = 2 y ( x)

c) x y + 1 y = y
d) y 2 − 2 y y + 1 = 0
x

√
e) y = cos2 y
f) 2 y = y 4 ·
x

12.9

Welche Lösungen haben folgende Anfangswertprobleme:

a) y ( x) = sin x · y 2 ( x) ,
y (0) = 1
b) y + y = ex ,
y (0) = 1

c) sin x · y = cos x · y ,
y π 2 = π 2
d) y · 1 + x 2 = 2 x y ,
y (1) = 4

556

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

Anwendungen

12.11

Eine chemische Reaktion A + B → X lässt sich durch
dx = k ( a − x) ( b − x)

dt
beschreiben, wenn die Anzahl der Moleküle vom Typ A bzw. B zu Beginn
der Reaktion a bzw. b und x ( t) die Anzahl der Reaktionsmoleküle X zum

Zeitpunkt t sind ( k: Reaktionskonstante).

a) Man löse die DG für a = b und x (0) = 0 (mit Maple).

b) Wann kommt die Reaktion zum Stillstand ( a > b) ?

12.12

Die Sinkgeschwindigkeit v ( t) eines Teilchens der Masse m in einer Flüssigkeit

( k: Reibungsfaktor, g: Erdbeschleunigung) wird beschrieben durch
dv
m

+ k v = m g :

dt
a) Man bestimme (mit Maple) die Geschwindigkeit und Position zur Zeit
t > 0 für die Anfangswerte v (0) = v 0 und s (0) = 0.

b) Welche Geschwindigkeit v max kann das Teilchen maximal erreichen?

12.13

Man löse Aufgabe 12.12, wenn das Medium einen Widerstand leistet, der
gleich k v 2 ist und v (0) = 0.

12.14

Ein Körper besitze zur Zeit t = 0 die Temperatur T 0 und werde in der

Folgezeit durch vorbeiströmende Luft der konstanten Temperatur TL gemäß
dT = −a ( T − TL)

( a > 0)

dt
gekühlt. Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Körpertemperatur. Gegen
welchen Endwert strebt diese?

12.15

Die radiale Geschwindigkeitsverteilung stationärer, laminarer Strömungen
eines viskosen inkompressiblen Fluids (Viskosität η) längs eines Rohrstücks,
in dem ein Druckabfall Δ p

Δ
wirkt, kann durch
z

− Δ p

1 d
d

+ η
r
vz ( r)

= 0

Δ z
r dr
dr
beschrieben werden. Wie gross ist vz ( r), wenn am Rand vz ( R) = 0 gilt?

Hinweis: Integrieren Sie, nach geeigneten Umformungen, zunächst von 0 bis
r und überlegen Sie, was sich für die Integrationskonstante bei r = 0 ergibt.

Integrieren Sie dann von R bis r !

12.16

Ein Körper rollt eine schiefe Ebene (Winkel ϕ) hinunter und erfährt dabei

Reibungskräfte proportional zu seiner Geschwindigkeit und einen Druckwi-
derstand proportional zum Quadrat seiner Geschwindigkeit. Es gilt:

m · ˙ v + R · v + D · v 2 = m · g · sin ϕ .

Die Anfangsgeschwindigkeit sei v (0) = 0; die physikalischen Konstanten
m = 1 , g = 10 , ϕ = π 3 , D = 45 , R = 3 .

a) Was ergibt sich für v ( t) mit D = 0 ?

b) Was ergibt sich für v ( t) mit R = 0 ?

12.4

Aufgaben zu Differenzialgleichungen

557

Lineare Differenzialgleichungssysteme

12.17

Bestimmen Sie ein Lösungsfundamentalsystem des LDGS erster Ordnung

⎛

⎞

2 0 − 2

⎜

⎟
a) y ( t) = A y ( t)

mit A = ⎝ 0 4 0 ⎠

− 2 0 5

⎛

⎞

− 2 − 9 5

⎜

⎟
b) y ( t) = B y ( t)

mit B = ⎝ − 5 − 10 7 ⎠

− 9 − 21 14

Prüfen Sie, ob die Eigenvektoren eine Basis des IR3 bilden.

12.18

Bestimmen Sie Lösungen des LDGS zweiter Ordnung

#

$

1 − 2
y ( t) = A y ( t)

mit A =

.

− 2 4

12.19
a) Die Bewegungsgleichungen eines geladenen Teilchens im Magnetfeld lau-
ten
e

˙ vx = − e Bz vy,

˙ vy =

Bz vx
m
m
wenn

B = Bz
ez. Man bestimme ein reelles Fundamentalsystem.

b) Man bestimme eine partikuläre Lösung, wenn neben dem Magnetfeld

B

⎛ ⎞

0

⎜ ⎟
noch ein elektrisches Feld

E = E 0 ⎝ t ⎠ wirkt:

0
e

˙ vx = − e Bz vy

˙ vy =

Bz vx + E 0 · t.

m
m

#

$

− 3 1

12.20

Gegeben sei die Matrix A =

.

1 − 3
a) Man bestimme zur Matrix A sämtliche Eigenwerte und Eigenvektoren.

b) Man bestimme ein Fundamentalsystem von
y ( t) = A
y ( t).

c) Man bestimme ein komplexes FS von
y ( t) = A
y ( t).

d) Man bestimme ein reelles FS von
y ( t) = A
y ( t).

e) Man stelle das zu
y ( t) äquivalente LDGS 1. Ordnung auf.

12.21

Geben Sie je ein Fundamentalsystem für
y = A
y an:

#

$

⎛

⎞

⎛

⎞

3 1 1

3 − 1

1

3

4

⎜

⎟

⎜

⎟
a) A =
b) A =

−

−

⎝ 1 5 1 ⎠
c) A = ⎝ 1 3 − 1 ⎠

5 − 5

1 1 3

1 − 1

3

12.22

Lösen Sie das Anfangswertproblem:

y 1 ( x)

=

3 y 1 ( x)

+

2 y 2 ( x)

−
y 3 ( x),
y 1 (0) = 2
y 2 ( x)

=

2 y 1 ( x)

+

3 y 2 ( x)

−
y 3 ( x),
y 2 (0) = 4
y 3 ( x)

=

−y 1 ( x) −
y 2 ( x)

+

4 y 3 ( x),
y 3 (0) = 0

12.23

”Knacken” Sie die Differenzialgleichung 2. Ordnung
y − 5 y + 6 y = 0

( ∗)

indem Sie die Hilfsfunktionen y 1 = y, y 2 = y einführen und ( ∗) als System
schreiben und lösen! Wie lautet die Lösung für y (0) = 1 , y (0) = 0 ?

558

12. Gew¨
ohnliche Differenzialgleichungen

Differenzialgleichungen h¨
oherer Ordnung

12.25

Prüfen Sie nach, dass ϕ 1 = 1 − cos (2 x) und ϕ 2 = 1 − cos2 ( x) Lösungen von
y − (tan x + cot x) y + 4 y = 0 .

sind. Bilden sie ein Fundamentalsystem?

12.26

Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen sinh ( k x) und cosh ( k x) ein reelles

Fundamentalsystem bilden von der Differenzialgleichung
y ( x) − k 2 y ( x) = 0 .

12.27

Lösen Sie die folgenden homogenen, linearen Differenzialgleichungen 2. Ord-
nung:

a) ¨
u ( t) + 13 ˙
u ( t) + 40 u ( t) = 0
b) ¨
v ( t) − 12 ˙ v ( t) + 36 v ( t) = 0
c) y ( x) + 6 y ( x) + 34 y ( x) = 0
d) z ( x) + 16 z ( x) = 0

12.28

Bestimmen Sie ein reelles Fundamentalsystem für
a) y(4) ( x) − 10 y ( x) + 9 y ( x) = 0
b) u(3) ( t) − 2 ¨
u ( t) + ˙
u ( t) = 0
c) y(6) ( x) − y ( x) = 0

12.29

Gegeben ist die inhomogene, lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung
y ( x) − 3 y ( x) + 2 y ( x) = s ( x)

mit der Inhomogenität s ( x). Ermitteln Sie partikuläre Lösungen für
a) s ( x) = 6
b) s ( x) = x
c) s ( x) = e 2 x
d) s ( x) = cos x
e) s ( x) = 4 x + 10 cos x
f) s ( x) = x e 2 x
g) s ( x) = cos x ex

12.30

Lösen Sie die Schwingungsprobleme
a) ¨
x ( t) + 16 x ( t) = 0 ,
x (0) = 3 ,

˙
x (0) = 4
b) ¨
x ( t) + 2 ˙
x ( x) + 2 x ( t) = 0 ,
x (0) = 2 ,

˙
x (0) = 0
c) ¨
x ( t) + 13 ˙
x ( t) + 40 x ( t) = 0 ,
x (0) = 3 ,

˙
x (0) = 0

12.31

Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der folgenden DG (mit Maple)

a) y(4) ( x) − 10 y ( x) + 9 y ( x) = sin ( x)

b) y ( x) − 7 y ( x) − 6 y ( x) = 12 ex
c) y ( x) − 2 y ( x) + y ( x) − 2 y ( x) = cos ( x) d) y ( x) − 6 y ( x) + 12 y ( x) − 8 y ( x) = 6 e 2 x 12.32

Lösen Sie die Differenzialgleichungen aus Aufgabe 12.6 numerisch mit dem

Euler-Verfahren. Variieren Sie die Schrittweite und vergleichen Sie das nu-
merische Ergebnis mit der exakten Lösung.

Kapitel 13

13

Laplace-Transformation

13

Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

559

13.1

Die Laplace-Transformation...................................... 563

13.2

Inverse Laplace-Transformation ................................. 568

13

13.3

Zwei grundlegende Eigenschaften............................... 569

13.3.1

Linearität ............................................................ 569

13.3.2

Laplace-Transformierte der Ableitung .......................... 571

13.4

Methoden der Rücktransformation ............................. 574

13.5

Anwendungen der Laplace-Transformation ................... 577

13.6

Aufgaben zur Laplace-Transformation ......................... 581

Zus¨
atzliche Abschnitte auf der CD-Rom

13.7

Transformationssätze..............................................

cd

13.7.1

Verschiebungssatz .................................................

cd

13.7.2

Dämpfungssatz .....................................................

cd

13.7.3

Ähnlichkeitssatz ....................................................

cd

13.7.4

Faltungssatz ........................................................

cd

13.7.5

Grenzwertsätze .....................................................

cd

13.8

Laplace-Transformation mit MAPLE ............................

cd

13.8.1

Laplace-Transformation ...........................................

cd

13.8.2

Inverse Laplace-Transformation .................................

cd

13.8.3

Anwendungen der Laplace-Transformation mit MAPLE .....

cd

13 Laplace-Transformation

Eine elegante Methode zur Lösung von Differenzialgleichungen macht Gebrauch von
der Laplace-Transformation. Das sog. Laplace-Integral eignet sich besonders zur Be-
handlung von Differenzialgleichungen und Differenzialgleichungssystemen mit An-
fangsbedingungen. Die mathematische Formulierung der Laplace-Transformierten ei-
ner Zeitfunktion f ( t) lautet

1 ∞

L {f ( t) } = F ( s) =
f ( t) e−st dt.

0

Dabei wird der Zeitfunktion f ( t) eine Bildfunktion F ( s) zugeordnet, so dass man
bei der Laplace-Transformation auch von einer Funktionaltransformation spricht.

Hinweis: Auf der CD-Rom befindet sich ein zusätzlicher Abschnitt über die Eigen-
schaften der Laplace-Transformation (Verschiebungssatz, Dämpfungssatz, Ähnlich-
keitssatz, Faltungssatz), das Berechnen der Laplace-Transformation sowie der inver-
sen Transformation mit Maple und zahlreiche weitere Anwendungsbeispiele.

Bei der Lösung von Differenzialgleichungen zeigt sich, dass mit der Laplace-

Transformation der gesuchten Funktion y ( t) in den Bildbereich Y ( s) die Dif-
ferenzialgleichung in eine algebraische Gleichung umgeformt wird. Diese alge-
braische Gleichung für Y ( s) lässt sich i.A. einfacher lösen, als die Differen-
zialgleichung für y ( t). Durch Rücktransformation erhält man schließlich die
gesuchte Funktion y ( t). Dieser allgemeine Lösungsweg ist schematisch im fol-
genden Diagramm aufgezeigt (vgl. Abb. 13.1).

Abb. 13.1. Laplace-Transformation vom Zeitbereich in den Bildbereich

Damit zu gegebener Bildfunktion Y ( s) eine zugehörige Zeitfunktion y ( t) ein-
deutig bestimmt ist, muss die Laplace-Transformation und ihre R¨
ucktransfor-
mation eindeutig sein, was für stetige Funktionen auch der Fall ist.

562

13. Laplace-Transformation

Von großem Vorteil für das Lösen von linearen Differenzialgleichungen mit
der Laplace-Transformation ist, dass die Inhomogenitäten der Differenzialglei-
chung nicht stetig sein müssen und bei der Lösung automatisch die Anfangsbe-
dingungen erfüllt werden. Anwendung findet die Laplace-Transformation u.a.

in der Elektrotechnik, beim Lösen von linearen Differenzialgleichungssystemen
mit Anfangsbedingungen.

Anwendungsbeispiel 13.1 (Elektrisches Netzwerk).

Gegeben ist das in Abb. 13.2 dargestellte elektrische Netzwerk. Gesucht sind
die Einzelströme I 1 ( t) und I 2 ( t) in den beiden Zweigen, wenn die Anfangs-
werte I 1 (0) = I 2 (0) = 0.

Abb. 13.2. Elektrisches Netzwerk

Aufstellen der Modellgleichungen: Wendet man die Kirchhoffschen Re-
geln auf das Netzwerk an, gilt nach dem Maschensatz

(I)

20 I ( t)

+

2 d I
dt

1 ( t)

+

10 I 1 ( t)

=

U ( t)

(II)

− 10 I 1 ( t) − 2 d I

I
dt

1 ( t)

+

4 d
dt

2 ( t)

+

20 I 2 ( t)

=

0
sowie nach dem Knotensatz

(K)

I ( t) = I 1 ( t) + I 2 ( t).

Man erhält ein lineares Differenzialgleichungssystem 1. Ordnung

20 ( I 1 ( t) + I 2 ( t)) + 2 I ( t) + 10 I

1

1 ( t)

=

U ( t)

− 10 I 1 ( t) + 20 I 2 ( t) − 2 I ( t) + 4 I ( t) = 0

1

2
mit den Anfangsbedingungen I 1 (0) = I 2 (0) = 0. Mit der Laplace-Transfor-
mation werden wir dieses System direkt unter Einbeziehung der Anfangsbe-
dingungen lösen.

13.1

Die Laplace-Transformation

563

13.1

13.1 Die Laplace-Transformation

Die Laplace-Transformation ist eine Integraltransformation, die jeder Zeitfunk-
tion f ( t) , t ≥ 0, eine Bildfunktion F ( s) gemäß

1 ∞

F ( s) =
f ( t) e−st dt

0
zuordnet. Da die Zeitintegration bei t = 0 beginnt, wird im Folgenden immer
von f ( t) = 0 für t < 0 ausgegangen.

Damit das uneigentliche Integral und damit die Bildfunktion F ( s) überhaupt
definiert ist, muss das Integral für jedes s einen endlichen Wert annehmen.

Eine hinreichende Bedingung hierfür ist, dass die Funktion f ( t) die beiden
folgenden Eigenschaften besitzt:

Bedingung 1: f : [0 , ∞) → IR ist eine st¨
uckweise stetige Funktion: Der

Definitionsbereich der Funktion kann in endlich viele Teilintervalle unterteilt
werden, in denen die Funktion stetig und beschränkt ist.

Bedingung 2: f : [0 , ∞) → IR wächst nicht schneller als eine Exponential-
funktion eαt mit geeignetem α: Es gibt ein T > 0 und Konstanten α ≥ 0 , M >

0, so dass

|f ( t) | ≤ M eαt
für t ≥ T .

Man nennt f dann von h¨
ochstens exponentiellem Wachstum der Ord-
nung α.

In Abb. 13.3 ist eine stückweise stetige Funktion mit höchstens exponentiellem

Wachstum der Ordnung 1 gezeichnet. In jedem Teilintervall ist f ( t) stetig und
für Zeiten t > T ist f ( t) < et.

Abb. 13.3. Funktion von höchstens exponentiellem Wachstum

564

13. Laplace-Transformation

Beispiele 13.2:

 Funktionen von höchstens exponentiellem Wachstum:

f ( t) = const,
tn,
cos ( ωt) ,
sin ( ωt) ,
eαt,
alle beschränkten Funktionen.

 Funktionen, die ein größeres Wachstum als das exponentielle besitzen:

et 2 ,
e sin( t) ·t 3 .

Satz 13.1: Ist f : [0 , ∞) → IR von höchstens exponentiellem Wachstum der

Ordnung α, dann gilt
lim e−st f ( t) = 0
für
s > α.

t→∞

Begr¨
undung: Wenn |f ( t) | ≤ M eαt, dann ist für s > α

e−st f ( t) ≤ e−st M eαt = M e( α−s) t → 0
für
t → ∞ .

Satz von Laplace: Sei f : [0 , ∞) → IR eine stückweise stetige Funktion
von höchstens exponentiellem Wachstum der Ordnung α (d.h. |f ( t) | ≤

M eαt für t > T ). Dann existiert

1 ∞

L ( f ( t)) := F ( s) :=
f ( t) e−st dt
für
s > α .

( ∗)

0

L ( f ( t)) heißt Laplace-Transformierte (Bildfunktion) zur Zeitfunk-
tion f ( t).

Bemerkungen:

(1) I.A. ist s = δ + iω eine komplexe Variable und F ( s) eine komplexe

Funktion. Im Folgenden werden wir aber bis auf die Angabe der inversen

Laplace-Transformation s als reelle Variable und damit F ( s) als reellwer-
tige Funktion betrachten.

(2) Ein nach Formel ( ∗) gebildetes Funktionenpaar f ( t) und F ( s) nennt man
eine Korrespondenz. Man verwendet dafür auch die symbolische Schreib-
weise
f ( t) ◦ • F ( s).

13.1

Die Laplace-Transformation

565

(3) Mit der Laplace-Transformation behandelt man zeitlich veränderliche Vor-
gänge, die zur Zeit t = 0 beginnen und die damit durch eine Funktion f
mit f ( t) = 0 für t < 0 beschrieben werden können.

(4) Man kann allgemeiner die Laplace-Transformierte von Funktionen bilden,
die statt Bedingung 1 die folgende allgemeinere Bedingung erfüllen:

In jedem endlichen Teilintervall von [0 , ∞) ist f stückweise stetig.

Diese Eigenschaft ist im Hinblick auf die Laplace-Transformierte von pe-
riodischen Funktionen von Bedeutung.

Beweis des Satzes von Laplace: Wir zeigen, dass das Integral

1 ∞
f ( t) e−st dt

0
für jedes s > α einen endlichen Wert annimmt: Da f stückweise stetig ist, lässt
sich das Intervall I = [0 , ∞) in endlich viele Teilintervalle I 1 , . . . , In unterteilen,
so dass f auf jedem dieser Intervalle Ik = [ tk− 1 , tk]

( k = 1 , . . . , n) stetig und
beschränkt ist. Außerdem ist f ( t) von höchstens exponentiellem Wachstum
der Ordnung α, d.h. es gibt ein T und Konstanten α, M , so dass

|f ( t) | ≤ M eαt
für
t > T .

Wir nehmen an, dass T > tn und zerlegen den Definitionsbereich von f in

[0 , ∞) = I 1 ∪ I 2 ∪ . . . ∪ In ∪ [ tn, T ] ∪ [ T, ∞) .

Dann ist2 ∞

2

2
t
t
f ( t) e−st dt =

1 f ( t) e−st dt + . . . +
n
f ( t) e−st dt

0

0
tn− 1

2

2

T

∞

+
f ( t) e−st dt +
f ( t) e−stdt .

tn

T

Die ersten n + 1 Integrale sind endlich, da f darauf stetig und beschränkt ist.

Das letzte Integral ist endlich, da f von höchstens exponentiellem Wachstum
ist:

1 ∞

1 ∞

1 ∞

f ( t) e−st dt ≤
e−st |f ( t) | dt ≤ M
e−st eαt dt

T

T

T

1 ∞

∞

1

= M
e−( s−α) tdt = M
e−( s−α) t

− ( s − α)

T

T

M

=
e−( s−α) T − M
lim e−( s−α) t
s − α
s − α t→∞

M

=
e−( s−α) T
für
s > α.

s − α

Damit sind alle Teilintegrale endlich und F ( s) für s > α definiert.

566

13. Laplace-Transformation

Beispiele 13.3:

 Die Laplace-Transformierte der Sprungfunktion: Gegeben ist die Sprung-
funktion (Heavisidefunktion)

0 für t < 0

S( t) :=

1 für t ≥ 0

Für s > 0 ist:

1 ∞

∞

L

1

( S( t)) =

1 · e−st dt = − 1 e−st

=

⇒

S ( t) ◦ • 1 .

s
s
s

0

0

 Laplace-Transformierte von Potenzfunktionen:

(i) Die Laplace-Transformierte der unten gezeichneten linearen Funktion

0 für t < 0
p 1 ( t) :=
t für t ≥ 0
erhält man mittels partieller Integration:

1 ∞

∞ 1 ∞

∞

L
e−st

1

1

( p

1 ( t)) =
t e−st dt = t

+
e−st dt = − 1 e−st

=

.

−s
s
s 2

s 2

0

0

0

0

Die Korrespondenz lautet für s > 0
t S( t) ◦ • 1 .

s 2

(ii) Die Laplace-Transformierte der Potenzfunktion

0 für t < 0
pn ( t) :=

= tnS( t)

( n ∈ IN)

tn
für t ≥ 0
lautet L ( pn ( t)) = n!

sn+1 . Man erhält diese Formel induktiv durch partielle

Integration von 1 ∞

∞

1 ∞

L
e−st
n + 1

( p

n+1( t)) =
tn+1 e−st dt = tn+1

+
tn e−st dt

−s
s

0

0

0
n + 1
n + 1
n!

( n + 1)!

=

L ( p

=

.

s
n ( t)) =
s
sn+1
sn+2

13.1

Die Laplace-Transformation

567

Der Induktionsanfang ist durch { bzw. |(i) gegeben.

⇒
tn S( t) ◦ •
n!

s > 0
n ∈ IN
sn+1

0 .

 Die Laplace-Transformierte der Exponentialfunktion:

0 für t < 0
f ( t) =
eαt für t ≥ 0
lautet F ( s) =

1
für s > α. Denn
s−α

1 ∞

1 ∞

L ( f ( t)) =
eαt e−st dt =
e−( s−α) t dt

0

0

∞

1

1

=
e−( s−α) t

=

.

− ( s − α)

s − α

0

⇒
eαt S( t) ◦ •

1
für s > α .

s − α

 Die Laplace-Transformierte der verschobenen Sprungfunktion ( α > 0)

0 für t < α

S ( t − α) =

1 für t ≥ α
lautet für s > 0

∞

1

∞

1

∞

L
e−st
e−αs

( S ( t − α)) =

S ( t − α) e−st dt =

1 · e−st dt =

=

−s
s
α

0
α

⇒

S ( t − α) ◦ • e−αs
für s > 0 .

s

568

13. Laplace-Transformation

13.2

13.2 Inverse Laplace-Transformation

Die Berechnung der Laplace-Transformierten F ( s) einer Zeitfunktion f ( t) wird als Laplace-

Transformation bezeichnet. Die Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Zeitbereich,
d.h. die Bestimmung der Zeitfunktion aus einer gegebenen Bildfunktion, heißt inverse

Laplace-Transformation.

Für die Rücktransformation vom Bildbereich in den Zeitbereich verwendet
man folgende Symbole

L− 1 ( F ( s)) = f ( t) oder F ( s) • ◦ f ( t).

Satz

¨
uber die inverse Laplace-Transformation: Ist F ( s) die

Laplace-Transformierte einer Funktion, dann gibt es genau eine ste-
tige Funktion f ( t) von höchstens exponentiellem Wachstum, so dass

L ( f ( t)) = F ( s). f ( t) ist gegeben durch

1 δ+ i∞
f ( t) = L− 1 ( F ( s)) = 1

F ( s) est ds .

2 πi
δ−i∞

Die Integration wird im Komplexen durchgeführt. Sie lässt sich im Bedarfsfall
mit den mathematischen Mitteln der Funktionentheorie auswerten, auf die wir
aber nicht näher eingehen werden. In der Praxis wird die Rücktransformation
nicht über die Berechnung des Integrals, sondern fast ausschließlich mit Hilfe
von Tabellen oder mit Maple durchgeführt. Festzuhalten ist:

Bemerkungen:

(1) Gilt für zwei Bildfunktionen F ( s) = G ( s), so unterscheiden sich die zu-
gehörigen Zeitfunktionen f ( t) = L− 1 ( F ( s)) und g ( t) = L− 1 ( G ( s)) höchstens an Unstetigkeitsstellen von f oder g.

(2) Zwei stetige Zeitfunktionen f und g stimmen überein, wenn ihre Bild-
funktionen L( f ( t)) und L( g( t)) übereinstimmen.

(3) Da die Rücktransformation L− 1 im Wesentlichen eindeutig verläuft, be-
steht eine eindeutige Zuordnung zwischen Bild- und Zeitfunktion, so dass
jede Korrespondenz
f ( t) ◦ • F ( s)

von links nach rechts, aber auch von rechts nach links gelesen werden kann:

F ( s) • ◦ f ( t) .

13.3

Zwei grundlegende Eigenschaften

569

Beispiele 13.4:

 Aus der Korrespondenz
t 2 S( t) ◦ • 2
für
s > 0
s 3
folgt durch Rücktransformation (inverse Laplace-Transformation)

2

• ◦

2
t 2 S( t)

bzw.

L− 1

= t 2 S( t) .

s 3
s 3

 Aus der Korrespondenz

S ( t − α) ◦ • 1 e−αs
für
s > 0
s
folgt durch Rücktransformation

L−

1

1

1
e−αs

= S ( t − α)

bzw.

e−αs • ◦ S ( t − α) .

s
s

13.3

13.3 Zwei grundlegende Eigenschaften

Wir zeigen, dass die Laplace-Transformation linear ist: Die Transformierte einer Superpo-
sition von Funktionen ist gleich der Überlagerung der Transformierten. Die zweite wichtige

Eigenschaft ist, dass die Transformierte der Ableitung einer Funktion gleich der Transfor-
mierten der Funktion multipliziert mit s minus f (0) ist. Wir nehmen im Folgenden immer an,
dass die betrachteten Funktionen den Voraussetzungen des Laplaceschen Satzes genügen,
so dass die Laplace-Transformierten der Funktionen definiert sind.

13.3.1 Linearit¨
at

Wir betrachten die Superposition zweier Zeitfunktionen f 1 und f 2 und berech-
nen hierzu die Laplace-Transformierte:

1 ∞

L ( c 1 f 1 ( t) + c 2 f 2 ( t)) =

( c 1 f 1 ( t) + c 2 f 2 ( t)) e−st dt

0

1 ∞

=

( c 1 f 1 ( t) e−st + c 2 f 2 ( t) e−st) dt

0

1 ∞

1 ∞

=
c 1
f 1 ( t) e−st dt + c 2
f 2 ( t) e−st dt

0

0

=
c 1 L ( f 1 ( t)) + c 2 L ( f 2 ( t)).

Die obigen Umformungen beruhen auf der Eigenschaft des Integrals, dass das

Integral über eine Summe von Funktionen gleich der Summe der Integrale und
dass konstante Faktoren vor das Integral gezogen werden dürfen. Durch die

Laplace-Transformation wird der Überlagerung (= Linearkombination) von

570

13. Laplace-Transformation

Originalfunktionen die gleiche Überlagerung von Bildfunktionen zugeordnet:

Satz: (Additionssatz)

Es gilt:

L ( c 1 f 1 ( t) + c 2 f 2 ( t)) = c 1 L ( f 1 ( t)) + c 2 L ( f 2 ( t)).

Korrespondenz:

c 1 f 1 ( t) + c 2 f 2 ( t) ◦ • c 1 F 1 ( s) + c 2 F 2 ( s).

Beispiele 13.5:

 Zur Zeitfunktion f ( t) = 2 t 3 − 5 t 2 + 3 soll die Laplace-Transformierte
bestimmt werden. Es gilt nach dem Additionssatz

F ( s) = L(2 t 3 − 5 t 2 + 3)

= 2 L( t 3) − 5 L( t 2) + 3 L(1)

3!

2!

1

12 − 10 s + 3 s 3

= 2

− 5

+ 3

=

.

s 4
s 3
s
s 4

 Man bestimme die Laplace-Transformierte von f ( t) = 4 sin ( ωt)+5 cos ( ωt).

Mit dem Additionssatz gilt

F ( s) = 4 L(sin ( ωt)) + 5 L(cos ( ωt))

ω
s

5 s + 4 ω

= 4

+ 5

=

.

s 2 + ω 2
s 2 + ω 2
s 2 + ω 2

Die Linearität der Laplace-Transformation überträgt sich durch die Korres-
pondenz auch auf die Rücktransformation:

Satz: (Additionssatz der inversen Laplace-Transformation)

L− 1 ( c 1 F 1 ( s) + c 2 F 2 ( s)) = c 1 L− 1 ( F 1 ( s)) + c 2 L− 1 ( F 2 ( s)) .

Beispiele 13.6:

 Man bestimme die Zeitfunktion zu

3 s + 8

F ( s) =

.

s 2 + 16

Mit der Zerlegung der Bildfunktion in die Partialbrüche
s

4

F ( s) = 3

+ 2
s 2 + 42
s 2 + 42

13.3

Zwei grundlegende Eigenschaften

571
erhält man unter Verwendung von Beispiel 13.5 | die zugehörige Zeitfunk-
tion
f ( t) = 3 cos (4 t) + 2 sin (4 t) .

 Gesucht ist die zu

5 s 2 + 3 s + 8

F ( s) =
s 3
gehörende Zeitfunktion f ( t). Durch Zerlegung der Bildfunktion in Partial-
brüche

1

1

2

F ( s) = 5

+ 3

+ 4
s
s 2
s 3
folgt
f ( t) = 5 + 3 t + 4 t 2 .

13.3.2 Laplace-Transformierte der Ableitung

Für die Anwendung der Laplace-Transformation auf Differenzialgleichungen
muss man die Laplace-Transformierte der Ableitung einer Funktion berechnen
können:

Satz: (Laplace-Transformation der Ableitung)

Seien f, f : [0 , ∞) → IR stetig und von höchstens exponentiellem Wachs-
tum. Dann gilt:

L ( f ( t)) = s L ( f ( t)) − f (0).

Beweis: Mit partieller Integration bestimmt man die Laplace-Transformierte
von f :

1 ∞

1 ∞

L

∞

( f ( t))

=
f ( t) e−st dt = [ f ( t) e−st]

+ s
f ( t) e−st dt

0

0

0

=
lim f ( T ) e−sT − f (0) + s L ( f ( t)).

T →∞

Da f ( t) von höchstens exponentiellem Wachstum ist, gilt nach Satz 13.1
lim f ( T ) e−sT = 0

T →∞
und folglich ist

L ( f ( t)) = s L ( f ( t)) − f (0) .

572

13. Laplace-Transformation

Der Differenziation im Originalbereich entspricht die Multiplikati-
on mit s und Subtraktion von f (0) im Bildbereich. An die Stelle einer
komplizierten Rechenoperation im Originalbereich tritt also eine einfache Mul-
tiplikation im Bildbereich. Wiederholtes Anwenden des Ableitungssatzes führt
induktiv auf die Laplace-Transformierte der n-ten Ableitung:

Satz: (Laplace-Transformation der n-ten Ableitung)

Seien f, f , . . . , f ( n) : [0 , ∞) → IR stetig und von höchstens exponentiel-
lem Wachstum, dann gilt

L f( n) ( t) = sn L ( f ( t)) − sn− 1 f (0) − sn− 2 f (0) − . . . − f( n− 1) (0).

Die Bildfunktion der n-ten Ableitung von f ( t) ist gleich der Laplace-Trans-
formierten von f ( t) multipliziert mit sn minus einem Polynom ( n − 1)-ten

Grades in s, dessen Koeffizienten durch die Werte der Funktion f sowie deren

Ableitungen an der Stelle t = 0 bestimmt sind.

Bemerkung: Von f ( t) wird vorausgesetzt, dass f ( t) = 0 für t < 0. Damit
ergibt sich der linksseitige Grenzwert an der Stelle t = 0 zu Null, f ( − 0) = 0,
sowie f ( − 0) = . . . = f ( n− 1) ( − 0) = 0. Besitzt die Funktion f ( t) und deren Ableitungen bei t = 0 eine Sprungstelle, so müssen für die Anfangswerte
f (0) , f (0) , . . . , f ( n− 1) (0) in den Ableitungssätzen die rechtsseitigen Grenz-
werte f (+0) , f (+0) , . . . , f ( n− 1) (+0) verwendet werden.

! Achtung: Diese Unterscheidung zwischen einem Wert an einer Stelle und
dem Grenzwert bei Annäherung an diese Stelle ist wichtig. Mit diesen Grenz-
werten sind Anfangswerte gemeint, von denen die Funktionen für t > 0 ausge-
hen und die dann bei t = 0 einen stetigen Anschluss der Funktion gewährleis-
ten.

Beispiele 13.7 (Bestimmung der LT ¨
uber den Ableitungssatz):

 Zur Funktion f ( t) = eat soll die Laplace-Transformierte bestimmt werden.

Die Anwendung des Ableitungssatzes auf
f ( t) = a eat
führt mit f (0) = 1 auf

L a eat = s L eat − 1 ⇒ a L eat = s L eat − 1 .

⇒ L

1
eat =
bzw.

eat ◦ •

1
für s > a .

s − a
s − a

13.3

Zwei grundlegende Eigenschaften

573

 Die trigonometrischen Funktionen sin ( ωt) und cos ( ωt) erfüllen die Diffe-
renzialgleichungen

⎧

⎨ f (0) = 0, f (0) = ω für sin ( ωt)

f ( t) + ω 2 f ( t) = 0
mit ⎩ f (0) = 1, f(0) = 0 für cos( ωt).

Ihre Laplace-Transformierten werden mit dem Ableitungssatz bestimmt.

Aus der Differenzialgleichung folgt

L ( f ( t)) + ω 2 L ( f ( t)) = L (0) = 0 .

Für die Sinusfunktion ergibt sich unter Berücksichtigung der Anfangsbe-
dingungen
s 2 L ( f ( t)) − ω + ω 2 L ( f ( t)) = 0

⇒

L
ω

(sin ( ωt)) =
bzw.

sin ( ωt) ◦ •
ω

.

s 2 + ω 2
s 2 + ω 2

 Analog findet man für die Kosinusfunktion
s 2 L ( f ( t)) − s · 1 + ω 2 L ( f ( t)) = 0

⇒

L
s

(cos ( ωt)) =
bzw.

cos ( ωt) ◦ •
s

.

s 2 + ω 2
s 2 + ω 2

 In Verallgemeinerung des vorhergehenden Beispiels wird die Laplace-Trans-
formierte der Funktion f ( t) = sin ( ωt + ϕ) gebildet. Diese Funktion genügt
ebenfalls der Differenzialgleichung
f ( t) + ω 2 f ( t) = 0 ,
jedoch mit den Anfangsbedingungen f (0) = sin ϕ und f (0) = ω cos ϕ.

Mit der Laplace-Transformation folgt aus der Differenzialgleichung

L ( f ( t)) + ω 2 L ( f ( t)) = 0 ,

→
s 2 L ( f ( t)) − s sin ϕ − ω cos ϕ + ω 2 L ( f ( t)) = 0 .

⎧

⎪

⎪
s sin ϕ + ω cos ϕ

⎪

⎨

L (sin ( ωt + ϕ)) =
s 2 + ω 2

⇒ ⎪⎪⎪⎩ bzw. sin( ωt+ ϕ) ◦ • s sin ϕ+ ω cos ϕ.

s 2 + ω 2

574

13. Laplace-Transformation

Mit ϕ = ψ + π folgt

2

⎧

⎪

⎪
s cos ψ − ω sin ψ

⎪

⎨

L (cos ( ωt + ψ)) =
s 2 + ω 2

⎪

⎪

⎪

⎩ bzw.

cos ( ωt + ψ) ◦ • s cos ψ − ω sin ψ .

s 2 + ω 2

 Die Hyperbelfunktionen sinh ( ωt) und cosh ( ωt) sind Lösungen der Diffe-
renzialgleichung
f (0) = 0, f (0) = ω für sinh( ωt)

f ( t) − ω 2 f ( t) = 0
mit
f (0) = 1,
f (0) = 0
für cosh ( ωt).

⇒ L ( f ( t)) − ω 2 L ( f ( t)) = 0 .

Mit den Anfangsbedingungen ergibt sich für sinh ( ωt)

s 2 L ( f ( t)) − ω − ω 2 L ( f ( t)) = 0

⇒

L
ω

(sinh ( ωt)) =
bzw.

sinh ( ωt) ◦ •
ω

.

s 2 − ω 2
s 2 − ω 2

 Analog erhält man

L
s

(cosh ( ωt)) =
bzw.

cosh ( ωt) ◦ •
s

.

s 2 − ω 2
s 2 − ω 2

13.4

13.4 Methoden der R¨
ucktransformation

Die Rücktransformation, d.h. die Ermittlung der Funktion f ( t) im Zeitbereich zu einer
gegebenen Bildfunktion F ( s), ist der schwierigste und aufwändigste Schritt. Die komple-
xe Umkehrformel wird in den seltensten Fällen benutzt, da sie detaillierte Kenntnisse der

Funktionentheorie voraussetzt. Die im Folgenden angegebenen Verfahren führen jedoch in
den meisten Fällen zum Erfolg.

Der Gebrauch von Tabellen

Die gebräuchlichste Methode zur Gewinnung der Originalfunktion zu gegebe-
ner Bildfunktion ist die Verwendung von Tabellen. Der Vorteil von Tabellen
besteht darin, dass für viele vorkommende Fälle die Rechnung schon einmal
durchgeführt wurde und in korrespondierenden Funktionenpaaren ihren Nie-
derschlag gefunden hat.

13.4

Methoden der Rücktransformation

575

In der folgenden Tabelle sind von vielen elementaren Funktionen die zugehöri-
gen Laplace-Transformierten angegeben. Im Funktionsausdruck der Trans-
formierten der Funktion tp für p > − 1 taucht die sog. Gamma-Funktion

Γ( p + 1) auf. In einem separaten Abschnitt über die Laplace-Transformation
mit Maple wird auf diese Funktion eingegangen.

Tabelle 13.1: Laplace-Transformierte elementarer Funktionen

Zeitfunktion f ( t)

Bildfunktion F ( s)

Zeitfunktion f ( t)

Bildfunktion F ( s)

1
n!

S ( t)

s > 0
eat tn
s

( s − a) n+1

1
t
s > 0

(sin b) s + ω (cos b)

s 2
sin ( ωt + b)

n!

s 2 + ω 2
tn
s > 0

(cos b) s − ω (sin b)

sn+1
cos ( ωt + b)

s 2 + ω 2

1
eat
s > a
a
s − a
ebt sinh ( at)

( s − b)2 − a 2
ω
s − b
sin ( ωt)

ebt cosh ( at)

s 2 + ω 2

( s − b)2 − a 2
s
cos ( ωt)

s 2 + ω 2

2 ω s
t sin ( ωt)

( s 2 + ω 2)2

Γ ( p + 1)

tp, p > − 1

, s > 0
s 2 − ω 2
sp+1
t cos ( ωt)

( s 2 + ω 2)2
ω
eat sin ( ωt)

( s − a)2 + ω 2
s − a
eat cos ( ωt)

( s − a)2 + ω 2
a
sinh ( at)

s 2 − a 2
s
cosh ( at)

s 2 − a 2

Die Methode der Partialbruchzerlegung, mit Maple-Worksheet

Bei vielen Anwendungen der Laplace-Transformation sind die auftretenden

Bildfunktionen gebrochenrationale Funktionen

Z ( s)

F ( s) = N ( s)

der Variablen s. Zähler Z ( s) und Nenner N ( s) sind Polynome mit grad Z ( s)

< grad N ( s), und die Polynome Z ( s) und N ( s) besitzen reelle Koeffizienten. Je nach Art der auftretenden Polstellen von F ( s) ergeben sich für die

Partialbruchzerlegung die folgenden Fälle:

576

13. Laplace-Transformation

(1) Bildfunktion mit nur einfachen reellen Polen: In diesem Fall stellt
sich die Bildfunktion F ( s) dar als
a
a
a

F ( s) =

1

+

2

+ . . . +
n

.

s − s 1
s − s 2
s − sn

Mit der Korrespondenz
ai

• ◦ a
s − s
i esit
i
lässt sich jeder Summand zurück transformieren.

(2) Bildfunktion mit mehrfachen reellen Polen: Ist s 0 eine reelle Polstelle
der Vielfachheit k, so gilt für sie die Zerlegung

1
b
b
b

=

1

+

2

+ . . . +
k

.

( s − s
s − s

0) k

0

( s − s 0)2

( s − s 0) k

Mit dem Dämpfungssatz (siehe Abschnitt auf der CD-Rom) und ti ◦ •
i!

gilt die Korrespondenz
si+1
bi

• ◦
ti− 1
bi es 0 t

.

( s − s

( i − 1)!

0) i

Wieder lässt sich mit diesen Korrespondenzen die zugehörige Zeitfunktion
ermitteln.

(3) Bildfunktion mit einfachen komplexen Polen: Ist s 0 = a + i b eine
komplexe Nullstelle von N ( s), so ist mit s 0 auch die komplex konjugierte

Zahl s∗ = a − i b eine Nullstelle ( Fundamentalsatz der Algebra, § 5.2.7). Es

0
gilt dann mit

( s − s 0) ( s − s∗) = s 2 − s ( s

) + s

= s 2 − 2 a s + a 2 + b 2

0

0 + s∗

0

0 s∗

0

⇒
c

F ( s) =

1 s + c 2

+ P ( s) = F
s 2 − 2 a s + a 2 + b 2

0 ( s) + P ( s) ,
wobei P ( s) die Summe der restlichen Partialbrüche darstellt. Die zu F 0 ( s)

gehörende Korrespondenz lautet mit dem Verschiebungssatz

c
f

2 + a c 1

0 ( t) = eat
c 1 cos ( b t) +
sin ( b t)

.

b

(4) Bildfunktion mit k-fachen komplexen Polen: Ist s 0 = a + i b eine k-
fache komplexe Nullstelle von N ( s), dann ist auch s∗ eine k-fache Nullstelle

0
und der Ansatz unter (3) ist folgendermaßen zu modifizieren

1

=
c 1 s+ d 1

.

( s−s 0) k

( s 2 − 2 a s+ a 2+ b 2)1 +
c 2 s+ d 2

( s 2 − 2 a s+ a 2+ b 2)2 + . . . +
ck s+ dk

( s 2 − 2 a s+ a 2+ b 2) k

Wieder muss der Verschiebungssatz angewendet werden, um jeden einzel-
nen Summanden analog (3) zurückzuführen.

13.5

Anwendungen der Laplace-Transformation

577

13.5

13.5 Anwendungen der Laplace-Transformation

Lineare Differenzialgleichungen und Differenzialgleichungssysteme mit Anfangsbedingungen
werden elegant mit der Laplace-Transformation gelöst. In diesem Abschnitt werden wir ex-
emplarisch den RL-Kreis und ein elektrisches Netzwerk diskutieren.

Hinweis: In einem separaten Abschnitt auf der CD-Rom werden zusätzliche Anwendungs-
beispiele behandelt und mit Maple gelöst.

Anwendungsbeispiel 13.8 (RL-Stromkreis, mit Maple-Worksheet).

Gegeben ist der in Abb. 13.4 dargestellte RL-Strom-
kreis. Zur Zeit t = 0 wird eine konstante Spannung

U 0 angelegt. Gesucht ist der Verlauf des Stromes I ( t)

für I (0) = I 0.

Abb. 13.4. RL-Kreis

Es gilt nach dem Maschensatz

L I ( t) + R I ( t) = U 0 S ( t) .

1. Schritt: Man wende die Laplace-Transformation auf die Differenzialglei-
chung an. Wegen der Linearität gilt:

L ( L I ( t) + R I ( t)) =

L ( U 0 S ( t))

L ( I ( t)) + R L ( I ( t)) =

1 U

L

L

0 L ( S ( t)).

2. Schritt: Man ersetze die Laplace-Transformierte der Ableitung unter Berück-
sichtigung der Anfangsbedingung und berechne die Laplace-Transformierte der

Inhomogenität.

1
s L ( I ( t)) − I 0 + R L ( I ( t)) = U 0

.

L

L
s

3. Schritt: Man löse nach der Laplace-Transformierten L ( I ( t)) auf.

1
s + R

L ( I ( t)) = U 0 + I

L

L
s

0

L

1

1

I

( I ( t))

=

U 0

+

0

.

L s + R s
s + R

L

L

578

13. Laplace-Transformation

4. Schritt: Man suche die zugehörige Zeitfunktion. Mit einer Partialbruch-
zerlegung folgt

5

6

L

U

1

1

( I ( t)) =

0

−

1

+ I

.

R
s

0
s + R
s + R

L

L

Berücksichtigt man die Korrespondenzen

L

1

(1) = s

L

1

( e− R t

L

) = s + RL
folgt

U

I ( t) =

0

1 − e− R t
t

L

+ I

.

R

0 e− R

L

In Abb. 13.5 sind für unterschiedliche Startwerte I(0) der Verlauf des Stromes
gezeichnet.

Abb. 13.5. Verlauf des Stromes für verschiedene Anfangswerte I 0 mit τ = R/L

Unabhängig vom Startwert nähert sich der Strom I( t) für lange Zeiten dem

Wert U 0 an. Die Zeitkonstante ist τ = R . Sie bestimmt, wie schnell sich der

R

L

Endzustand einstellt.

Hinweis: Auf der CD-Rom befindet sich ein Maple-Worksheet,
welches dieselbe Schaltung mit einer Wechselspannung U 0( t) =

U 0 sin( ω t) behandelt.

13.5

Anwendungen der Laplace-Transformation

579

Anwendungsbeispiel 13.9 (Elektrisches Netzwerk mit konstanter

Spannung, mit Maple-Worksheet).

Gegeben sei das im Einführungsbeispiel 13.1 diskutierte elektrische Netzwerk
mit konstanter Spannung U ( t) = 120 V :

20 ( I 1 ( t) + I 2 ( t)) + 2 I ( t) + 10 I

1

1 ( t)

=

120

− 10 I 1 ( t) + 20 I 2 ( t) − 2 I ( t) + 4 I ( t) = 0

1

2

I 1 (0) = I 2 (0)

=

0.

Mit den gleichen Schritten wie bei linearen Differenzialgleichungen verwendet
man auch bei Systemen die Laplace-Transformation, um die Lösung direkt zu
bestimmen:

1. Schritt: Anwenden der Laplace-Transformation auf das Differenzialglei-
chungssystem.

20 L ( I 1)

+

20 L ( I 2)

+

2 L ( I )

+

10 L ( I

1

1)

=

120 L(1)

− 10 L ( I 1) + 20 L ( I 2) − 2 L ( I ) +

4 L ( I )

=

0.

1

2

2. Schritt: Ersetzen der Laplace-Transformierten der Ableitungen.

30 L ( I 1)

+

20 L ( I 2)

+

2 L ( I 1) · s

=

120 · 1 s

− 10 L ( I 1) + 20 L ( I 2) − 2 L ( I 1) · s + 4 L ( I 2) · s = 0, da die Anfangsbedingungen I 1 (0) = I 2 (0) = 0 verschwinden. Man erhält das
folgende lineare Gleichungssystem für L ( I 1) und L ( I 2):

(30 + 2 s) L( I 1)

+

20 L ( I 2)

=

120 · 1 s

( − 10 − 2 s) L ( I 1)

+

(20 + 4 s) L ( I 2)

=

0.

3. Schritt: Lösen des linearen Gleichungssystems z.B. mit dem Gauß-Algorithmus:

L

60

30

( I 1) =

;

L ( I

.

s ( s + 20)

2) = s ( s + 20)

4. Schritt: Suchen der zugehörigen Zeitfunktion. Eine Partialbruchzerlegung
für die beiden Laplace-Transformierten liefert

L

1

3

1

( I 1)

=

3

−

1
und

L ( I

−

1
s
s + 20

2)

=

2
s
s + 20

⇒

3

I 1 ( t)

=

3 1 − e− 20 t
und

I 2 ( t)

=

1 − e− 20 t

2

580

13. Laplace-Transformation

⇒

I ( t) = I 1 ( t) + I 2 ( t) = 9 1 − e− 20 t .

2

Abb. 13.6. Ströme im elektrischen Netzwerk bei konstanter Spannung

Im Abb. 13.6 sind die Teilströme I 1( t) und I 2( t) zusammen mit dem Gesamt-
strom I( t) als Funktion der Zeit dargestellt.

Hinweis: Auf der CD-Rom befindet sich ein Maple-Worksheet, wel-
ches das elektrische Netzwerk simuliert, wenn die Eingangsspannung
eine Wechselspannung oder eine Rechteckspannung ist.

MAPLE-Worksheets zu Kapitel 13

Die folgenden elektronischen Arbeitsblätter stehen für Kapitel 13 mit

Maple zur Verfügung.

Laplace-Transformation mit Maple

Inverse Laplace-Transformation mit Maple

Methoden der Rücktransformation mit Maple

Eigenschaften der Laplace-Transformation mit Maple

Beispiel RC-Kreis mit Maple

Beispiel RL-Kreis mit Maple

Beispiel elektrisches Netzwerk mit Maple

Beispiel LDG-System mit Maple

13.6

Aufgaben zur Laplace-Transformation

581

13.6

13.6 Aufgaben zur Laplace-Transformation

13.1

Man berechne jeweils die Laplace-Transformierte von
a) 3 e− 4 t
b) 2 t 2
c) 4 cos (5 t)

d) sin ( π t)

e) − 3

√t

13.2

Berechnen Sie die Laplace-Transformierten von

3
a) 3 t 4 − 2 t 2 + 6
b) 5 sin (2 t) − 3 cos (2 t)

√
c) 3 3 t − 4 e 2 t
d) 1
t 2

13.3

Bestimmen Sie die Laplace-Transformierten der Zeitfunktionen (mit

⎧

Maple)

0

⎪

⎨ 0 für t < a

A

0 ≤ t ≤ t 0
a) f ( t) =
b) f ( t) =

A für a < t < b

A e− 2 ( t−t 0)

t > t 0

⎪

⎩ 0 für t > b

0

0
t für 0 ≤ t ≤ 3
sin t für t ≤ π
c) f ( t) =
d) f ( t) =

3 für t > 3

0
für t > π

13.4

Berechnen Sie

5

4 s − 3

2 s − 5
a) L− 1
b) L− 1
c) L− 1
s + 2
s 2 + 4
s 2

1

4 − 5 s

1
d) L− 1
e) L− 1
f) L− 1
sk

3
s 2 + 2 s
k> 0
s 2

13.5

Wenden Sie die Sätze der Laplace-Transformation an, um die inverse Laplace-

Transformierte zu berechnen und überprüfen Sie die Ergebnisse mit Maple

2 s + 3
e− 2 s
a) L− 1
b) L− 1
s 2 − 2 s + 5
s 2

e− 5 s

1 − e− 2 s
c) L− 1
d) L− 1
s 4
s 3

13.6

Man berechne durch Partialbruchzerlegung der Bildfunktion die zugehörige

Zeitfunktion

2 s 2 − 4

3 s + 1
a) F ( s) =
b) F ( s) =

( s − 2) ( s + 1) ( s − 3)

( s − 1) ( s 2 + 1)

5 s 2 − 15 s + 7

3 s 2 − 7 s + 6
c) F ( s) = ( s + 1) ( s − 2)2
d) F ( s) =

( s − 1)3

13.7

Lösen Sie die Differenzialgleichung
y ( t) + y ( t) = S ( t)

mit den Anfangsbedingungen y (0) = 1 , y (0) = 0 mit Hilfe der Laplace-

Transformation.

13.8

Lösen Sie die Differenzialgleichung 4. Ordnung
y(4) ( t) + 2 y ( t) + y ( t) = sin ( t) S ( t)

mit y (0) = 1 , y (0) = − 2 , y (0) = 3 , y (0) = 0 mit Hilfe der Laplace-

Transformation.

582

13. Laplace-Transformation

Anwendungen der Laplace-Transformation

13.9

R, L, UB sind mit einem Schalter S in Reihe geschaltet. Der Schalter ist
zunächst geschlossen und wird zur Zeit t = 0 geöffnet: I ( t = 0) = I 0. Lösen

Sie die Differenzialgleichung
d

R I ( t) + L

I ( t) = 0

,

I (0) = I 0
dt
mit der Laplace-Transformation.

13.10

R, L, UB sind mit einem Schalter S in Reihe geschaltet. Der Schalter ist
zunächst geöffnet und wird zur Zeit t = 0 geschlossen ( I ( t = 0) = 0). Wie
verhält sich I ( t), wenn UB ( t) = U 0 sin ( ωt)? Lösen Sie die Differenzialglei-
chung
d

R I ( t) + L

I ( t) = UB ( t)

dt
mit der Laplace-Transformation.

13.11

Ein Teilchen bewegt sich auf der x-Achse und wird zum Ursprung 0 mit einer

Kraft, die proportional zu der momentanen Entfernung von 0 ist, hingezogen.

Wenn das Teilchen aus der Ruhe heraus bei x = 5 cm startet und erstmals
nach 2 Sekunden die Stelle x = 2 . 5 cm erreicht, berechne man
a) die Lage zu einer beliebigen Zeit t nach dem Start,
b) die Größe seiner Geschwindigkeit bei x = 0,
c) die momentane Beschleunigung.

13.12

Die Lage eines Teilchens, das sich entlang der x-Achse bewegt, ist durch die

Gleichung
d 2
d
x ( t) + 4
x ( t) + 8 x ( t) = 20 cos (2 t)

dt 2
dt
bestimmt. Wenn das Teilchen aus der Ruhe heraus bei x = 0 startet, berech-
ne man x als Funktion von t.

13.13

Ein 2 kg schweres Gewicht hängt an einer Feder mit Federkonstanten D =

200 N in Ruhe. Man berechne die Lage des Gewichtes zu einer beliebigen
m

Zeit t, wenn seine Dämpfungskraft 40 mal der momentanen Geschwindigkeit
ist.

13.14

Ein Gewicht an einer vertikalen Feder ist einer erzwungenen Schwingung
ausgesetzt. Die Auslenkung aus der Ruhelage wird beschrieben durch
d x ( t) + 4 x ( t) = 8 sin ( ωt)

( ω > 0) .

dt 2

Wenn x (0) = 0 und ˙
x (0) = 0, berechne man x als Funktion von t und die

Periode der von außen wirkenden Kraft, für welche Resonanz auftritt.

Kapitel 14

14

Fourier-Reihen

14

Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583

14.1

Einführung .......................................................... 585

14.2

Bestimmung der Fourier-Koeffizienten......................... 587

14

14.3

Fourier-Reihen für 2 π-periodische Funktionen ............... 590

14.4

Fourier-Reihen für p-periodische Funktionen ................. 597

14.5

Fourier-Reihen für komplexwertige Funktionen .............. 605

14.6

Aufgaben zu Fourier-Reihen ..................................... 610

Zus¨
atzliche Abschnitte auf der CD-Rom

14.7

Zusammenstellung elementarer Fourier-Reihen ..............

cd

14.8

MAPLE: Fourier-Reihen ...........................................

cd

14.8.1

Berechnung der Fourier-Koeffizienten mit MAPLE ...........

cd

14.8.2

Analyse T -periodischer Signale mit MAPLE ...................

cd

14.8.3

MAPLE-Prozedur zur Berechnung der Fourier-Koeffizienten
cd

14.8.4

Berechnung der komplexen Fourier-Koeffizienten ...........

cd

14.8.5

Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ........................

cd

14 Fourier-Reihen

Bei der Analyse periodischer Signale benötigt man die Darstellung des Signals in

Form einer Fourier-Reihe

∞

∞

f ( t) = a 0+
an cos ( ωn t) +
bn sin ( ωn t) .

n=1
n=1

Denn durch eine solche Zerlegung des Signals in seine harmonischen Bestandteile
geht hervor, welche Frequenzen mit welchen Amplituden im Signal enthalten sind.

Nach einer Einführung werden wir in 14.2 die Formeln für die Fourier-Reihe und die

Fourier-Koeffizienten 2 π-periodischer Funktionen aufstellen und in 14.3 auf Beispiele
anwenden. In 14.4 übertragen wir die Formeln auf p-periodische Funktionen und in

14.5 gehen wir zur komplexen Formulierung über. Diese Formulierung stellt dann
den Übergang zur Fourier-Transformation dar.

Hinweis: Auf der CD-Rom befinden sich zusätzlich weitere Beispiele mit Maple,
die Prozedur fourier reihen zum numerischen Berechnen der Fourier-Koeffizienten
und der Visualisierung der punktweisen Konvergenz der Reihe an die Funktion.

14.1

14.1 Einf¨
uhrung

In der Physik lassen sich einfache, zeitlich periodische Vorgänge wie z.B. die

Schwingung eines Federpendels oder Wechselspannungen durch die allgemeine

Sinusfunktion der Form
y ( t) = A sin ( ωt + ϕ)

beschreiben. Man nennt diese Darstellung harmonische Schwingung mit Fre-
quenz ω und Amplitude A. Sie treten vor allem bei der Beschreibung von
schwingenden Saiten, Membranen, Pendel, elektromagnetischen Schwingun-
gen, Schall- und Wellenausbreitung usw. auf. Häufig kommen aber auch Vor-
gänge vor, die zwar periodisch aber nicht mehr sinusförmig sind. Beispiele
hierfür sind Kippschwingungen (Kippspannung, Kreidequietschen) oder der

Sinusimpuls eines Gleichrichters.

Kippschwingung

Sinusimpuls eines Gleichrichters

586

14. Fourier-Reihen

Wenn man etwa an die Kippschwingung denkt, die zum Kreidequietschen
führt, ist man an den dominanten Frequenzen und zugehörigen Amplituden
interessiert. Wenn man bei einem Klavier die drei Töne c 1 , g 1 , e 2 gleichzeitig
anschlägt und die Stärke der Anschläge so wählt, dass die in normierten Ein-
heiten am Ohr erzeugten Überdrücke gleich 1 . 273 , 0 . 424 und 0 . 255 sind, dann
ist der Gesamtdruck p ( t) am Ohr gegeben durch deren Überlagerung:

p ( t) = 1 . 273 sin (2 π ν 1 t) + 0 . 424 sin (2 π ν 3 t) + 0 . 255 sin (2 π ν 5 t)

mit ν 1 = 128 Hz
c 1 , ν 3 = 3 ν 1 = 384 Hz
g 1 und ν 5 = 5 ν 1 = 640 Hz
e 2 .

Abb. 14.1. Schalldruck am Ohr

Geübte Ohren können aufgrund des am Ohr erzeugten Überdrucks analysieren,

welche Frequenzen c 1 , g 1 , e 2 in dem Ton enthalten sind. Das Ohr unterzieht
im Zusammenwirken mit dem Gehirn eine Analyse des periodischen Signals:

Es zerlegt das Signal in Einzelfrequenzen (= Signalanalyse).

Von generellem Interesse bei der Signalanalyse ist die Zerlegung eines peri-
odischen Zeitsignals in Grundschwingung und Oberschwingungen mit den zu-
gehörigen Amplituden. Es stellt sich heraus, dass nahezu jede periodische

Funktion y ( t) sich darstellen lässt als Überlagerung unendlich vieler harmoni-
scher Schwingungen.

Den mathematischen Zusammenhang zwischen periodischem Signal und des-
sen Zerlegung in Grund- und Oberschwingungen mit zugehörigen Amplituden
stellt die Fourier-Reihe dar:

∞

∞

y ( t) = a 0+
an cos ( n ω 0 t) +
bn sin ( n ω 0 t) ,
n=1
n=1
wenn ω 0 = 2 π und T die Periodendauer der Funktion y ( t).

T

14.2

Bestimmung der Fourier-Koeffizienten

587

Die Entwicklung einer periodischen Funktion in eine Fourier-Reihe be-
zeichnet man als Fourier-Analyse. ω 0 ist die Grundschwingung und n ω 0
sind die Oberschwingungen. Die Koeffizienten a 0 , a 1 , a 2 , . . . ; b 1 , b 2 , . . .

heißen Fourier-Koeffizienten und geben die Amplituden der einzelnen Fre-
quenzkomponenten an.

14.2

14.2 Bestimmung der Fourier-Koeffizienten

Zur Bestimmung der Amplituden in der Fourier-Zerlegung gehen wir von einer

2 π-periodischen Funktion f aus (siehe z.B. Abb. 14.2)

Abb. 14.2. 2 π-periodische Funktion
und wählen den Ansatz:

∞

∞

f ( x) = a 0+
an cos ( n x) +
bn sin ( n x).

( ∗)

n=1
n=1

Zur formalen Bestimmung der Koeffizienten a 0; a 1 , a 2 , . . . ; b 1 , b 2 , . . . benötigen wir die in Tabelle 14.1 zusammengestellten Integrale.

Tabelle 14.1: Zusammenstellung elementarer Sinus- und Kosinusintegrale

1 2 π

(1)

sin( n x) dx = 0
für n = 1 , 2 , 3 , . . .

0

1 2 π

(2)

cos ( n x) dx = 0
für n = 1 , 2 , 3 , . . .

0

1

2 π

0
für m = n

(3)

cos ( n x) cos ( m x) dx =

= π δ ( n − m)

π
f

0
ür m = n

1

2 π

0
für m = n

(4)

sin ( n x) sin ( m x) dx =

= π δ ( n − m)

π
f

0
ür m = n

1 2 π

(5)

sin ( n x) cos ( m x) dx = 0
für n, m = 1 , 2 , 3 , . . .

0

588

14. Fourier-Reihen

In Tabelle 14.1 wird das Kronecker-Symbol δ ( k) verwendet, das für alle ganzen

Zahlen k ∈ ZZ definiert ist durch

1 für k = 0
δ ( k) :=

0
für k ∈ ZZ \ { 0 }.

Bemerkung: Integral (1) und (2) rechnet man direkt nach. Mit der Formel
cos α cos β = 1 (cos ( α − β) + cos ( α + β)) gilt im Falle (3) für m = n

2

1

1

2 π

1

2 π
cos ( n x) cos ( m x) dx =

(
cos (( n − m) x) dx+

2

0

0

1 2 π
cos (( n + m) x) dx) = 0;

0
für n = m ist

1 2 π
cos2 ( n x) dx = π.

0

Formel (4) berechnet man analog zu (3) mit der Beziehung

1
sin α sin β =

(cos ( α − β) − cos ( α + β)) .

2

Zur Bestimmung von (5) verwendet man die Formel

1
sin α cos β =

(sin ( α − β) + sin ( α + β)) .

2

Bestimmung von a 0

Wir integrieren Gleichung ( ∗) gliedweise im Periodenintervall [0 , 2 π]:

1

1

1

2 π

2 π

∞

2 π
f ( x) dx =
a 0 dx +
an
cos ( n x) dx

0

0

n=1

0

a 0 · 2 π

=0

∞

1 2 π

+
bn
sin ( n x) dx
n=1

0

=0

2

2

2 π

2 π

Nach Tabelle 14.1 ergeben die Integrale
cos ( n x) dx und
sin ( n x) dx

0

0

2 2 π
den Wert Null. In obiger Darstellung kommt nur das erste Integral
a

0

0 dx
mit dem von Null verschiedenen Wert a 0 · 2 π vor. Lösen wir nach a 0 auf, folgt

1 2 π

⇒

1
a 0 =
f ( x) dx.

2 π

0

14.3

Fourier-Reihen für 2 π-periodische Funktionen

589

Bestimmung von an

Wir multiplizieren f ( x) in der Darstellung von Gleichung ( ∗) zunächst mit
cos ( m x), ( m > 0) und integrieren anschließend über das Periodenintervall

[0 , 2 π]:1

1

2 π

2 π
f ( x) cos ( m x) dx =
a 0
cos ( m x) dx

0

0

∞

1 2 π

+
an
cos ( n x) cos ( m x) dx
n=1

0

∞

1 2 π

+
bn
sin ( n x) cos ( m x) dx.

n=1

0

Nach Tabelle 14.1 (5) verschwinden alle Summanden der zweiten Summe. Von
der ersten Summe über an ist nur der Summand ungleich Null, bei dem der

2 2 π

Laufindex n mit m übereinstimmt. Da auch
cos ( m x) dx = 0 ist, gilt

0

1 2 π

∞

f ( x) cos ( m x) dx =
an π δ ( n − m) = π · am.

0
n=1

1 2 π

⇒

1
am =
f ( x) cos ( m x) dx
m = 1 , 2 , 3 , . . .

π

0

Bestimmung von bn

Analog dem Vorgehen zur Berechnung der Koeffizienten an multiplizieren wir

( ∗) zunächst mit sin( m x) ( m > 0) und integrieren anschließend über das

Periodenintervall [0 , 2 π]:

1

1

2 π

2 π
f ( x) sin ( m x) dx =
a 0
sin ( m x) dx

0

0

∞

1 2 π

+
an
cos ( n x) sin ( m x) dx
n=1

0

∞

1 2 π

+
bn
sin ( n x) sin ( m x) dx.

n=1

0

Alle Integrale, welche als Integranden cos ( n x) enthalten, verschwinden nach

2

2

2 π

2 π

Tabelle 14.1, ebenso
sin ( m x) dx. Die Integrale
sin ( n x) sin ( m x) dx =

0

0
π δ ( n − m) sind alle Null bis auf dasjenige mit n = m. Somit ist

1 2 π

∞

f ( x) sin ( m x) dx =
bn π δ ( n − m) = bm · π.

0
n=1

1 2 π

⇒

1
bm =
f ( x) sin ( m x) dx
m = 1 , 2 , 3 , . . .

π

0

590

14. Fourier-Reihen

14.3

14.3 Fourier-Reihen f¨
ur 2 π-periodische Funktionen

Nach diesen Vorüberlegungen sind für eine 2 π-periodische Funktion f die

Fourier-Koeffizienten formal bestimmt. Die dadurch definierte Fourier-Reihe
konvergiert für die meisten Funktionen und stimmt mit f ( x) überein. Hier
muss jedoch gewarnt werden: Es gibt stetige, 2 π-periodische Funktionen, deren

Fourier-Reihe an unendlich vielen Stellen eines Periodenintervalls divergiert.

Um sicherzustellen, dass die Fourier-Reihe einer 2 π-periodischen Funktion f
überall konvergiert und dass der Grenzwert mit f ( x) übereinstimmt, muss die

Funktion f gewisse Forderungen erfüllen.

Im Folgenden geben wir ohne Beweis zwei Bedingungen an, die zusammen so-
wohl die Konvergenz als auch die Übereinstimmung der Fourier-Reihe mit der

Funktion gewährleisten. Beide Bedingungen sind leicht überprüfbar und sind
bei praktisch vorkommenden Funktionen so gut wie immer erfüllt.

Bedingung 1: Das Periodenintervall [0 , 2 π] lässt sich durch endlich viele Teil-
punkte

0 = x 1 < x 2 < . . . < xN = 2 π so zerlegen, dass in den offenen

Teilintervallen ( xk, xk+1)

1 ≤ k ≤ N − 1 die Funktion f differenzierbar und
f beschränkt ist. Man nennt solche Funktionen st¨
uckweise stetig differen-
zierbare Funktionen.

Bedingung 2: In den Teilpunkten xk existiert der linksseitige und der rechts-
seitige Grenzwert
fl ( xk) =lim f ( xk − ε)

bzw.

fr ( xk) =lim f ( xk + ε)

ε→ 0
ε→ 0
und für den Funktionswert gilt
f ( xk) = 1 ( f

2
l ( xk ) + fr ( xk )) .

Man nennt diese Eigenschaft die Mittelwerteigenschaft.

Das Schaubild einer Funktion, die Bedingung (1) und (2) erfüllt, ist in Abb.

14.3 gezeigt.

Abb. 14.3. Stückweise stetig differenzierbare Funktion

14.3

Fourier-Reihen für 2 π-periodische Funktionen

591

Stückweise stetig differenzierbare Funktionen dürfen also endlich viele Sprung-
stellen aufweisen. In Stetigkeitspunkten ist die Mittelwerteigenschaft immer
erfüllt, in Unstetigkeitspunkten ist der Funktionswert der Mittelwert von links-
und rechtsseitigem Grenzwert.

Satz von Fourier: Sei f : IR → IR eine 2 π-periodische Funktion, die
stückweise stetig differenzierbar ist und für alle x ∈ IR die Mittelwertei-
genschaft erfüllt. Dann konvergiert die Fourier-Reihe und es gilt für alle
x ∈ IR

∞

∞

f ( x) = a 0 +
an cos ( n x) +
bn sin ( n x)

n=1
n=1
mit den Fourier-Koeffizienten

1

1

2 π
a 0 =
f ( x) dx

2 π

0

1

1

2 π
an =
f ( x) cos ( n x) dx
n = 1 , 2 , 3 , . . .

π

0

1

1

2 π
bn =
f ( x) sin ( n x) dx
n = 1 , 2 , 3 , . . .

π

0

Bemerkung: Für eine 2 π-periodische Funktion f ( x) gilt stets

1

1

2 π
α+2 π
f ( x) dx =
f ( x) dx
für beliebiges α ∈ IR .

0
α

Diese Formel besagt, dass zur Berechnung der Fourier-Koeffizienten ein be-
liebiges Periodenintervall der Länge 2 π gewählt werden darf. Berücksichtigt
man diese Eigenschaft, dann vereinfacht sich die Berechnung der Fourier-

Koeffizienten für symmetrische Funktionen:

Abb. 14.4. Gerade (a) und ungerade (b) Funktionen

592

14. Fourier-Reihen

Symmetriebetrachtungen:

(1) Für eine gerade 2 π-periodische Funktion f

( f ( −x) = f ( x) für alle x)

sind alle Fourier-Koeffizienten bk

( k ∈ IN) gleich Null.

(2) Für eine ungerade 2 π-periodische Funktion f

( f ( −x) = −f ( x) für alle
x) sind alle Fourier-Koeffizienten ak

( k ∈ IN0) gleich Null.

Begr¨
undung:

(1) Ist f ( x) gerade, so ist auch f ( x) · cos ( n x) eine gerade Funktion, f ( x) ·
sin ( n x) dagegen ist ungerade. Wählt man als Integrationsintervall das

Intervall [ −π, π], so erhält man für die ungerade Funktion f ( x) · sin ( n x)

(vgl. Abb. 14.4 (b))

1

1
π
bn =
f ( x) sin ( n x) dx = 0
n ∈ IN

2 π

−π
und für die Koeffizienten an:

1

1

1
π

2
π
a 0 =
f ( x) dx,
a
f ( x) cos ( n x) dx,
n ∈ IN.

π
n = π

0

0

(2) Ist f ( x) ungerade, so ist auch f ( x) · cos ( n x) eine ungerade Funktion,
während f ( x) · sin ( n x) als Produkt zweier ungerader Funktionen gerade
ist. Verwendet man wieder das Integrationsintervall [ −π, π] und berück-
sichtigt die Symmetrie, folgt (vgl. Abb. 14.4 (a))

a 0 = 0
und
an = 0 ,
n ∈ IN ,
und für die Koeffizienten bn die Formel

1

2
π
bn =
f ( x) sin ( n x) dx,
n ∈ IN.

π

0

Beispiel 14.1 (Mit Maple-Worksheet). Gegeben ist die in Abb. 14.5 ge-
zeichnete Rechteckfunktion mit Periode 2 π.

Diese Funktion wird im Periodenintervall [0 , 2 π] beschrieben durch die Funk-
tionsgleichung

⎧

⎨

1

0 < x < π
f ( x) = ⎩ 0 x = 0 , π, 2 π

− 1 π < x < 2 π .

14.3

Fourier-Reihen für 2 π-periodische Funktionen

593

Abb. 14.5. Periodische Rechteckfunktion
f ist stückweise stetig differenzierbar und erfüllt in allen Punkten die Mittel-
werteigenschaft. Aufgrund der Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs gilt:

an = 0
für n = 0 , 1 , 2 , . . .

.

Es bleiben also nur die Fourier-Koeffizienten bn zu berechnen. Nach Bemerkung

(2) gilt

1

1

2 π
bn =
f ( x) sin ( n x) dx
π

0

1

2
π

=
sin ( n x) dx
π

0

2
π

=

− 1 cos( n x)

π
n

0

2

2

=

{− cos ( n π) + cos(0) } =

{− ( − 1) n + 1 } ,
π n
π n
da cos ( n π) = ( − 1) n und cos (0) = 1.

Für gerade n ist ( − 1) n = +1 → bn = 0; für ungerade n ist ( − 1) n = − 1 →
bn = 2 · 2.

π n

⎧

⎪

⎨ 0
für n = 0 , 2 , 4 , . . .

⇒ bn = ⎪⎩ 4 für n = 1 , 3 , 5 ,... .

π n

Die Fourier-Reihe der Funktion f lautet

4

1

1

1
f ( x)

=
sin ( x) +
sin (3 x) +
sin (5 x) +
sin (7 x) + . . .

π

3

5

7

∞

∞

4

4

=
sin ( n x) =
sin ((2 n + 1) x).

n π

(2 n + 1) π
n=1
n=0
n
ungerade

594

14. Fourier-Reihen

In Abb. 14.6 (a) sind die Partialsummen dieser Reihe für n = 3 , 5 , 7 und in

Abb. 14.6 (b) für n = 40 dargestellt.

Abb. 14.6. Partialsummen der Fourier-Reihe (a) für n = 3 , 5 , 7 und (b) für n = 40

Diskussion: Man erkennt, dass viele Summenglieder notwendig sind, damit
die Funktion f durch eine Partialsumme der Fourier-Reihe einigermaßen gut
angenähert werden kann. Allerdings bauen sich selbst mit großem N immer
noch Oszillationen vor der Sprungstelle auf. Die Koeffizienten der Fourier-

Reihe bn verhalten sich proportional zu 1 .

n

Animation: Auf der CD-Rom befindet sich eine Animation, in der die
punktweise Konvergenz der Fourier-Reihe an die Funktion visualisiert
wird. Hierbei werden die aus dem Beispiel berechneten Fourier-Koeffizienten
für die Darstellung der Fourier-Reihe verwendet.

14.3

Fourier-Reihen für 2 π-periodische Funktionen

595

Beispiel 14.2 (Mit Maple-Worksheet). Gegeben ist die in Abb. 14.7 ge-
zeichnete 2 π-periodische Funktion, die im Periodenintervall [0 , 2 π] beschrieben
wird durch die Funktionsgleichung

⎧

⎨
x
für 0 ≤ x < π
f ( x) = ⎩

0
für x = π, 2 π
x − 2 π
für π < x < 2 π

.

Abb. 14.7. Periodische Dreieckfunktion

Gesucht ist deren Fourier-Reihe. f ist stückweise stetig differenzierbar und
erfüllt in allen Punkten die Mittelwerteigenschaft. Aufgrund der Punktsym-
metrie zum Ursprung ist
an = 0
für n = 0 , 1 , 2 , . . .

.

Nach Bemerkung (2) berechnet man die Fourier-Koeffizienten bn durch die

Formel

1

1

2 π
bn =
f ( x) sin ( n x) dx
π

0

1

1

2
π

2
π

=
f ( x) sin ( n x) dx =
x · sin ( n x) dx.

π
π

0

0

Partielle Integration liefert

1

2

− cos ( n x) π
π − cos ( n x)

bn

=
x

−
dx
π
n
n

0

0

2

2

=

[ −π cos ( n π) − 0] = − 2 ( − 1) n =

( − 1) n+1,
π n
n
n
da cos ( n π) = ( − 1) n. Folglich ist die Fourier-Reihe von f

1
f ( x) = 2
sin ( x) − 1 sin (2 x) +
sin (3 x) − 1 sin (4 x) ± . . .

2

3

4

∞

= 2

( − 1) n+1 1 sin( n x) .

n
n=1

Wie in Beispiel 14.1 verhalten sich auch in diesem Beispiel die Fourier-Koeffizien-
ten betragsmäßig ∼ 1 .

n

596

14. Fourier-Reihen

Beispiel 14.3 (Mit Maple-Worksheet). Gegeben ist die Funktion

1
f ( x) =

( x − π)2
π
im Intervall 0 ≤ x ≤ 2 π, die 2 π-periodisch auf IR fortgesetzt wird:

Abb. 14.8.

f ist stückweise stetig differenzierbar und erfüllt die Mittelwerteigenschaft.

Aufgrund der Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse gilt
bn = 0
für n = 1 , 2 , 3 , . . . .

Für den Koeffizient a 0 erhalten wir

1

1

2 π 1

1

1

2 π

1
a 0 =

( x − π)2 dx =

( x − π)3

=
π.

2 π
π

2 π 2

3

3

0

0

Die Koeffizienten an ( n ∈ IN) berechnen sich aufgrund der Achsensymmetrie
durch die Formel

1

2
π 1
an =

( x − π)2 cos( n x) dx.

π
π

0

Zweimalige partielle Integration liefert das Ergebnis

1

2

1
π
π

1
an =

{ ( x − π)2 sin( n x) − 2

( x − π) sin( n x) dx}

π 2
n
n

0

0

1 π

= − 4

( x − π) sin( n x) dx
π 2 n 0

1

− 1
π
π − 1

= − 4 { ( x − π)

cos( n x)

−
cos( n x) dx}

π 2 n
n
n

0

0

4

=

.

πn 2

Somit ist

∞
π

4 1
f ( x) =

+
cos ( n x) .

3
π
n 2
n=1

14.4

Fourier-Reihen für p-periodische Funktionen

597

Die graphische Darstellung der Funktion f zusammen mit den ersten Partial-
summen ist für n = 5 in Abb. 14.9 angegeben.

Abb. 14.9. Die Partialsumme der Funktion f( x) = 1 ( x − π)2 für n = 5
π

Diskussion: Im Gegensatz zu Beispiel 14.1 und 14.2 genügen vier Summen-
glieder, um die Funktion erkennbar durch die Fourier-Reihe anzunähern. Es
bauen sich keine Oszillationen im Periodenintervall auf. Die Koeffizienten
der Fourier-Reihe verhalten sich proportional zu 1
n 2 .

Nebenergebnis. Mit den Fourier-Reihen ist man in der Lage für einige in

Abschnitt 9.1 diskutierte Reihen den Summenwert zu berechnen, indem in die

Fourier-Reihe spezielle Werte eingesetzt werden. Man erhält so die folgenden
beiden Nebenergebnisse:

∞

∞
π

4 1

1
π 2
x = 0 :

f (0) = π =

+

⇒

=

.

3
π
n 2
n 2

6
n=1
n=1

∞

∞
π

4

π 2
x = π:

f ( π) = 0 =

+

( − 1) n 1

⇒

( − 1) n 1 =

.

3
π
n 2
n 2

12
n=1
n=1

14.4

14.4 Fourier-Reihen f¨
ur p-periodische Funktionen

Bisher wurde die Fourier-Reihendarstellung von 2 π-periodischen Funktionen
betrachtet. Um die entsprechende Darstellung mit den zugehörigen Fourier-

Koeffizienten einer p-periodischen Funktion f zu bestimmen, gehen wir von f
über zu der auf das Intervall [0 , 2 π] gestauchten bzw. gestreckten Funktion

p

F ( x) := f
x

.

2 π

598

14. Fourier-Reihen

Abb. 14.10. p-periodische Funktion f und zugehörige 2 π-periodische Funktion F

Ist f p-periodisch, dann ist F 2 π-periodisch. Denn

p
p
p

F ( x + 2 π) = f

( x + 2 π) = f
x + p = f
x = F ( x) .

2 π

2 π

2 π

Für die 2 π-periodische Funktion F ( x) stellt man formal die Fourier-Reihe auf

∞

∞

F ( x) = a 0+
an cos ( n x) +
bn sin ( n x) .

n=1
n=1

Die Fourier-Koeffizienten sind gegeben durch

2

2

2 π

2 π
a 0 = 1

F ( x) dx;
a

F ( x) cos ( n x) dx;

2 π

0
n = 1
π

0

2 2 π
bn = 1

F ( x) sin ( n x) dx.

π

0

Wir führen nun durch die Rücksubstitution

2 π
f ( x) = F
x
p
die Fourier-Reihe von f auf die Fourier-Reihe von F zurück. Die Formel für
die Fourier-Reihe von f ergibt sich aus:

∞

∞

2 π

2 π

2 π
f ( x) = F (
x) = a
a
x)+
b
x) .

p

0+
n cos( n
p
n sin( n
p
n=1
n=1

Mit der Integralsubstitution y =
p x erhält man die Fourier-Koeffizienten

2 π
von f :

2

2

2

2 π

2 π
p
a 0

=

1

F ( x) dx

=

1
f ( p x) dx = 1
f ( y) dy,

2 π

0

2 π

0

2 π
p

0

2

2

2 π

2 π
an

=

1

F ( x) cos ( n x) dx

=

1
f ( p x) cos ( n x) dx
π

0
π

0

2 π

2 p

=

2
f ( y) cos( n 2 π y) dy,
p

0
p

2

2

2 π

2 π
bn

=

1

F ( x) sin ( n x) dx

=

1
f ( p x) sin ( n x) dx
π

0
π

0

2 π

2 p

=

2
f ( y) sin( n 2 π y) dy.

p

0
p

14.4

Fourier-Reihen für p-periodische Funktionen

599

Zusammenfassend gilt:

Satz von Fourier f¨
ur p-periodische Funktionen: Sei f : IR → IR
eine p-periodische Funktion, die stückweise stetig differenzierbar ist und
die für alle x ∈ IR die Mittelwerteigenschaft erfüllt. Dann konvergiert die

Fourier-Reihe

∞

∞

f ( x) = a 0+
an cos n 2 π x +
b
n 2 π x
p
n sin
p
n=1
n=1
für alle x ∈ IR und stimmt mit der Funktion f überein. Die Koeffizienten
sind

1

1
p
a 0 =
f ( x) dx
p

0

1

2
p
an =
f ( x) cos n 2 π x
dx
n = 1 , 2 , 3 , . . .

p
p

0

1

2
p
bn =
f ( x) sin n 2 π x
dx
n = 1 , 2 , 3 , . . .

.

p
p

0

Bemerkung: Die Formeln für 2 π-periodische Funktionen sind der Spezialfall
p = 2 π. Bemerkungen (1) und (2) übertragen sich sinngemäß auf p-periodische

Funktionen.

Anwendung: Fourier-Zerlegung T -periodischer Signale

Sei f ( t) eine periodische Schwingung mit Periode T (= Schwingungsdauer).

Dann gilt zu jedem Zeitpunkt die Fourier-Zerlegung

∞

∞

f ( t) = a 0+
an cos ( n ω 0 t) +
bn sin ( n ω 0 t)

( ∗)

n=1
n=1
mit der Grundfrequenz ω 0 = 2 π und den angegebenen Fourier-Koeffizienten.

T

Die Entwicklung des Zeitsignals f ( t) in unendlich viele Sinus- und Kosi-
nusfunktionen bedeutet aus physikalischer Sicht eine Zerlegung des Signals
in seine harmonischen Bestandteile.

600

14. Fourier-Reihen

Ein periodisches Signal besitzt ein diskretes Spektrum: Es besteht aus der

Grundschwingung mit Frequenz ω 0 und den harmonischen Oberschwin-
gungen mit Frequenzen n ω 0. Die Fourier-Koeffizienten bestimmen dabei
die Amplituden dieser harmonischen Teilschwingungen und damit den

Beitrag der Oberschwingungen zum Signal.

Allerdings erhält man zu einer Frequenz n ω 0 zunächst zwei Koeffizienten,
nämlich an und bn, da die Summanden in der Fourier-Reihe ( ∗) die Überlage-
rung von jeweils zwei harmonischen Sinus- und Kosinusschwingungen gleicher

Frequenz darstellen. Ist nach der Amplitude gefragt, mit welcher die Frequenz
n ω 0 im Signal vorkommt, muss man übergehen zu der Darstellung
an cos ( n ω 0 t) + bn sin ( n ω 0 t) = An cos ( n ω 0 t − ϕn)

b
mit

A
n
n =
a 2 + b 2
und
tan ϕ

.

n
n
n = an

An ist dann die gesuchte Amplitude und ϕn die Nullphase.

Begr¨
undung: Denn nach dem Additionstheorem für den Kosinus gilt

An cos ( n ω 0 t − ϕn) = An cos ( n ω 0 t) cos ϕn + An sin ( n ω 0 t) sin ϕn

= an cos ( n ω 0 t) + bn sin ( n ω 0 t) .

Vergleicht man die Koeffizienten von cos( n ω 0 t) und sin( n ω 0 t), folgt
an = An cos ϕn
und
bn = An sin ϕn.

Quadriert man beide Gleichungen und addiert sie dann, gilt

a 2 + b 2 = A 2 cos2 ϕ
sin2 ϕ

⇒ A
a 2 + b 2 .

n
n
n
n + A 2
n
n = A 2
n
n =
n
n

Dividiert man die zweite durch die erste Gleichung gilt
bn = tan ϕ
a
n .

n

In den Anwendungen benutzt man daher die Darstellung der Fourier-Reihe in
der Form

∞

f ( t) = a 0+

An cos ( n ω 0 t − ϕn)

n=1
bzw. geht zur komplexen Formulierung (siehe 14.5) über.

14.4

Fourier-Reihen für p-periodische Funktionen

601

An ist die Gesamtamplitude, mit der die Frequenz ωn = n ω 0 im Signal
vorkommt. ϕn ist die zugehörige Phase. Der Wert a 0 gibt den Koeffizienten

2 T
a 0 = 1
f ( t) dt an. Er entspricht dem Mittelwert der Funktion während

T

0
einer Schwingungsdauer. Man bezeichnet ihn als Gleichspannungsanteil. Zur
graphischen Darstellung der Koeffizienten wählt man die folgenden Diagram-
me:

Abb. 14.11. Amplitudenspektrum An und Phasenspektrum ϕn

In diesen Schaubildern werden die Amplituden An und Phasen ϕn als Werte
über den diskreten Frequenzen abgetragen (= diskretes Spektrum von f ). Man
bezeichnet die Darstellung der Amplituden als Amplitudenspektrum (links)

und die der Phasen als Phasenspektrum (rechts).

Beispiel 14.4 (Amplitudenspektrum, mit Maple-Worksheet). Die Am-

plitudenspektren An =
a 2 + b 2 sind f
n
n
ür die Beispiele 14.1, 14.2 und 14.3 in

Abb. 14.12 gezeichnet.

(a)

(b)

(c)

Abb. 14.12. Amplitudenspektrum zu (a) Beispiel 14.1, (b) 14.2 und (c) 14.3

Diese Darstellung beinhaltet als Information über das Signal sowohl die vor-
kommenden Frequenzen n ω 0 als auch die zugehörigen Amplituden An. Man
erkennt in den Amplitudenspektren, dass in den Beispielen 14.1 und 14.2 die

Koeffizienten langsam abnehmen, während in Beispiel 14.3 die Koeffizienten
sehr schnell zu Null gehen. Dies spiegelt die Tatsache wider, dass die Konver-
genz in den beiden ersten Fällen ∼ 1 , im dritten Fall jedoch ∼ 1
n
n 2 .

602

14. Fourier-Reihen

Konvergenzbetrachtungen. Durch den Abbruch der Fourier-Reihe nach
endlich vielen Gliedern, erhält man eine Näherungsfunktion für f in Form
einer endlichen trigonometrischen Reihe. Ähnlich wie bei Potenzreihen gilt: Je
mehr Glieder berücksichtigt werden, um so besser ist die Approximation. Man
stellt zunächst für alle behandelten Beispiele fest:

an → 0
und
bn → 0
für n → ∞ .

Bei genauerer Betrachtung entdeckt man, dass die Näherungen für stetige

Funktionen schneller konvergieren bzw. man wenige Glieder in der Fourier-

Reihe benötigt, um die Funktion hinreichend gut zu approximieren. Unsere

Beispiele zeigen, dass
an ∼ 1
und
b

,
n 2
n ∼ 1
n 2
wenn f keine Sprungstellen hat. Anschaulich kann man sagen: Die Fourier-

Reihe einer p-periodischen Funktion konvergiert um so schneller, je ”glatter”

die Funktion f ist. Präziser gilt der Satz

Satz: Ist f eine p-periodische, m+1-mal stetig differenzierbare Funktion, dann
gilt für die Fourier-Koeffizienten von f

|an| ≤
c
und

|b

.

nm+2
n| ≤
c
nm+2

Beispiele für m = 0 (stetige Funktionen) sind 14.3, 14.5 und Beispiele für
m = − 1 (Funktionen mit Sprungstelle) sind 14.1, 14.2.

Anwendungsbeispiel 14.5 (Fourier-Zerlegung eines Sinusimpuls-

Einweggleichrichters, mit Maple-Worksheet).

Wir betrachten das in Abb. 14.13 gezeigte Signal f(t) des Sinusimpulses eines

Einweggleichrichters mit Periode T :

Abb. 14.13. Sinusimpuls eines Einweggleichrichters

14.4

Fourier-Reihen für p-periodische Funktionen

603

Der Impuls wird im Periodenintervall [0 , T ] durch die Funktionsgleichung
u
f ( t) =

0 sin ( ω 0 t)

0 ≤ t ≤ T 2

0

T < t ≤ T

2
mit ω 0 = 2 π beschrieben. Da das Signal im Bereich T ≤ t ≤ T gleich Null ist,

T

2
reduzieren sich die Integrationsgrenzen der Integrale auf t = 0 .. T .

2

Berechnung des Koeffizienten a 0:

1

1

1

T

1

T / 2
a 0 =
f ( t) dt =
u

T

T

0 sin( ω 0 t) dt

0

0

1

T / 2
u

= − u 0
cos( ω

=

0 .

T
ω

0 t)

0
π

0

Berechnung der Koeffizienten an:

1

1

2

T

2 u

T / 2
a

0
n =
f ( t) cos( nω
sin( ω

T

0 t) dt =

T

0 t) cos( nω 0 t) dt.

0

0

Mit der trigonometrischen Formel

1
sin( α) cos( β) =

(sin ( α − β) + sin ( α + β))

2
folgt für n = 1

1

1
u

T / 2

T / 2
a

0
n =

{
sin((1 − n) ω
sin((1 + n) ω

T

0 t) dt +

0 t) dt}

0

0

u

T / 2

=

0 { −

1
cos((1 − n) ω

T

(1 − n) ω

0 t)

0

0

T/ 2

− −

1
cos((1 + n) ω

}

(1 + n) ω

0 t)

0

0
u

1

=

0

(( − 1) n + 1) .

π n 2 − 1

Anhand des Ergebnisses für an erkennt man, dass der Integralausdruck formal
zwar berechnet wird, aber nur für n = 1 definiert ist. Der Koeffizient a 1 muss
separat bestimmt werden:

1

1
u

T / 2

T / 2
a

0

1 =

{

0 dt +
sin(2 ω

T

0 t) dt}

0

0

u

T / 2

=

0 { − 1 cos(2 ω

} = 0 .

T

2 ω

0 t)

0

0

604

14. Fourier-Reihen

Insgesamt erhält man also für die Koeffizienten an:

⎧

⎨

0
für n ungerade
an = ⎩ − 2 u 0
für n gerade, n > 0.

π ( n 2 − 1)

Analog berechnen sich die Fourier-Koeffizienten

1

1

2

T

2 u

T / 2
b

0
n =
f ( t) sin( nω
sin( ω

T

0 t) dt =

T

0 t) sin( nω 0 t) dt

0

0
mit der trigonometrischen Formel

1
sin( α) sin( β) =

(cos ( α − β) − cos ( α + β)) .

2

Es folgt für n = 1
bn := −
sin( n π) u 0

= 0 .

π (1 + n) ( − 1 + n)

Auch hier muss der Koeffizient b 1 separat berechnet werden:

1
b 1 =
u

2 0 .

Die Fourier-Reihe des Sinusimpulses hat demnach folgende Gestalt

u
u
f ( t)

=

0 + 0 sin ( ω
u

1
cos (2 ω
cos (4 ω
π

2

0 t) − 2
π

0

22 − 1

0 t) +

1

42 − 1

0 t) +

+

1
cos (6 ω

62 − 1

0 t) + . . .

∞
u
u

1

=

0 + 0 sin( ω
u
cos( n ω
π

2

0 t) − 2
π

0
n 2 − 1

0 t).

n=2
n
gerade

Abb. 14.14. Fourier-Reihe des Sinusimpulses für n = 8

Die graphische Darstellung der Fourier-Reihe ist für n = 8 in Abb. 14.14
gezeigt. Die Fourier-Reihe zeigt mit wenigen Summengliedern eine sehr gute

Übereinstimmung mit der Funktion.

Hinweis: Auf der CD-Rom befindet sich die Fourier-Analyse einer Kippspan-
nung sowie eine tabellarische Zusammenfassung der Beispiele.

14.5

Fourier-Reihen für komplexwertige Funktionen

605

14.5

14.5 Fourier-Reihen f¨
ur komplexwertige Funktionen

Eine besonders einfache Gestalt nimmt die Fourier-Darstellung in komplexer

Schreibweise an. Unter Benutzung der Eulerschen Formeln (vgl. Abschnitt

9.5.2)

1

1

cos( x) =
eix + e−ix
und
sin ( x) =
eix − e−ix

2

2 i
lässt sich die reelle Fourier-Reihe einer p-periodischen Funktion f schreiben
als:

∞

∞

1

1
f ( x) = a
x
x
x
x

0+
an
ei n 2 π
p

+ e−i n 2 π
p

+
b
ei n 2 π
p

− e−i n 2 πp

.

2
n 2 i
n=1
n=1

Nach Umordnung der Summanden in eine Summe über ei n 2 π x
p
und eine zweite

Summe über e−i n 2 π x
p
ist

∞

∞

1

1
f ( x) = a
x
x

0+

( a

+

( a

.

2
n − i bn) ei n 2 π
p

2
n + i bn) e−i n 2 π
p
n=1
n=1

Betrachtet man die drei Summanden der Fourier-Reihe von f , so enthält die
letzte Summe Terme mit Faktoren ei n 2 π x
p
für n = −∞, . . . , 1 , die mittlere

Summe Terme ei n 2 π x
p
für n = 1 , . . . , ∞ und der erste Summand den Term
ei n 2 π x
p
für n = 0. Wir definieren
c 0 := a 0;

1
cn :=

( a

2
n − i bn)

1

1

1

2
p

2
p

=
f ( x) cos n 2 π x
dx − i
f ( x) sin n 2 π x
dx

2
p
p
p
p

0

0

1

1
p

=
f ( x)

cos n 2 π x − i sin n 2 π x
dx
p
p
p

0

1

1
p

=
f ( x) e−i n 2 π x
p
dx,
n ≥ 1;
p

0
und

1
c−n :=

( a

2
n + i bn)

⎛

⎞
p

1

p

1

1

2

=

⎝2
f ( x) cos n 2 π x
dx + i
f ( x) sin n 2 π x
dx⎠

2
p
p
p
p

0

0
p

1

1

=
f ( x)

cos n 2 π x

+ i sin n 2 π x
dx
p
p
p

0
p

1

1

=
f ( x) ei n 2 π x
p
dx,
n ≥ 1 .

p

0

606

14. Fourier-Reihen

Dann stellt sich die Fourier-Reihe von f dar als eine Summe über ei n 2 π x
p
für
n = −∞, . . . , ∞:

∞

f ( x) =
c
x
n ei n 2 π
p
n= −∞
mit den einheitlichen Koeffizienten

1

1
p
c
x
n =
f ( x) e−i n 2 π
p
dx
für n ∈ ZZ .

p

0

Es gilt also folgende komplexe Formulierung des Satzes von Fourier

Satz von Fourier: (Komplexe Formulierung). Sei f : IR → IC eine
komplexwertige Funktion mit reeller Periode p. f sei stückweise stetig dif-
ferenzierbar und erfülle die Mittelwerteigenschaft. Dann konvergiert die
komplexe Fourier-Reihe für alle x ∈ IR gegen f ( x):

∞

f ( x) =
c
x
n ei n 2 π
p

.

n= −∞

Die komplexen Fourier-Koeffizienten sind gegeben durch

1 p
c
x
n = 1
f ( x) e−i n 2 π
p
dx
für n ∈ ZZ .

p

0

Bemerkungen: Eigenschaften der komplexen Formulierung

(1) Es gibt nur eine Summenformel für die Fourier-Reihe und die Koeffizienten
cn werden über eine einheitliche Formel bestimmt.

(2) Da die Summation der komplexen Fourier-Reihe von n = −∞ . . . ∞ geht,
kommen formal negative Frequenzen vor. Dies rührt nur von der komplexen

Formulierung her: ei ωn t und e−i ωn t werden benötigt, um die reelle Schwin-
gung sin ( ωnt) bzw. cos ( ωnt) mit reeller Frequenz ωn > 0 zu beschreiben,
da cos( ωn t) = 1 ( ei ωn t + e−i ωn t) und sin( ω

( ei ωn t − e−i ωn t).

2
n t) =

1

2 i
und Vorteile dieser komplexen Formulierung

Die Fourier-Koeffizienten cn von reellen Signalen f ( x) besitzen die folgenden

Eigenschaften:

14.5

Fourier-Reihen für komplexwertige Funktionen

607

(3) c∗ = c
n

−n: Die Koeffizienten zu negativen n sind das Komplex-konjugierte
der entsprechenden Koeffizienten zu positiven n.

(4) Folglich sind die Beträge von cn und c−n gleich, nämlich

|c

1

n| =

( a

= 1
a 2 + b 2 = 1 A

2
n − i bn)

2
n
n

2
n.

Der Betrag der komplexen Fourier-Koeffizienten stimmt bis auf den Faktor

1 mit A

2
n überein. D.h. der Betrag repr¨
asentiert das Amplituden-
spektrum jeweils zur Hälfte von −∞ bis − 1 und von 1 bis ∞.

(5) Die Phase der komplexen Fourier-Koeffizienten ist bestimmt durch

Im c

− 1 bn
tan ϕ
n

2
n =

=

= − bn .

Re c

1
n
a
a

2
n
n

Bis auf das Vorzeichen ist dies das Phasenspektrum.

(6) c 0 = a 0 stellt den Gleichstromanteil des Signals dar.

Der große Vorteil der komplexen Formulierung liegt also darin, dass eine ein-
heitliche Formel für die Koeffizienten existiert und diese Koeffizienten das Am-
plitudenspektrum (bis auf den Faktor 1 ) und das Phasenspektrum (bis auf

2
das Vorzeichen) beinhalten.

Beispiel 14.6 (Mit Maple-Worksheet). Gesucht ist die komplexe Fourier-

Reihe der unten gezeichneten Funktion f , die T -periodisch auf IR fortgesetzt
wird:

Abb. 14.15. Rechtecksignal

Setzen wir ω 0 = 2 π , so sind die komplexen Fourier-Koeffizienten für n = 0

T
gegeben durch

1

1 T

1

T

1

2
cn

=
f ( t) e−i n ω 0 t dt =
e−i n ω 0 t dt

T

T

0

0

&

'

1

1

T

=
e−i n ω 0 2 − 1 .

T −i n ω 0

T

Mit ω

T

0 · T = 2 π und ω 0

= π ist e−i n ω 0 2 = e−i n π = ( − 1) n

2

⎧

⎨ 1 n ungerade
i n π

⇒

1
cn =

[( − 1) n − 1] =

−i n 2 π

⎩ 0 n gerade.

608

14. Fourier-Reihen

Da der Gleichstromanteil des Signals 1

⇒ c

.

2

0 = 1

2

∞

⇒

1

1
f ( t) =

+
ei n ω 0 t .

2
i n π
n= −∞
n
ungerade

Das Amplitudenspektrum dieser Funktion ist gegeben durch

1
a 0

=

|c 0 | = 2

⎧

⎨ 2 für n ungerade
n π

An

=

2 |cn| = ⎩0 für n gerade .

Berechnung der reellen Fourier-Koeffizienten aus den komplexen

Selbst wenn man die Rechnung im Komplexen durchgeführt hat, ist man ge-
legentlich an den reellen Fourier-Koeffizienten an und bn interessiert. Aus den
komplexen Fourier-Koeffizienten cn, n ∈ ZZ , lassen sich die reellen Fourier-

Koeffizienten a 0, an und bn einfach zurückgewinnen, so dass sie nicht neu über
die reellen Integralformeln berechnet werden müssen. Es gilt nach der Defini-
tion der cn:

c 0

=
a 0

(1)

cn

=

1 ( a

2
n − i bn)

(2)

c−n

=

1 ( a

2
n + i bn)

(3)

Aus (1) folgt direkt
a 0 = c 0

Addiert man (2) und (3) gilt
an = cn + c−n
n = 1 , 2 , 3 , . . .

Subtrahiert man (3) von (2) gilt
bn = i ( cn − c−n)

n = 1 , 2 , 3 , . . .

MAPLE-Worksheets zu Kapitel 14

Die folgenden elektronischen Arbeitsblätter stehen für Kapitel 14 mit

Maple zur Verfügung.

2 π-periodischer Funktionen mit Maple

T -periodische Signale mit Maple

Numerische Bestimmung der Fourier-Koeffizienten mit Maple

Komplexe Fourier-Koeffizienten mit Maple

Darstellung periodischer Funktionen mit Maple

14.5

Fourier-Reihen für komplexwertige Funktionen

609

Zusammenfassung: (Fourier-Reihen). Gegeben ist ein T -periodisches

Signal f ( t), das stückweise stetig differenzierbar ist und die Mittelwert-
eigenschaft erfüllt.

(1) Für alle t ∈ IR gilt die reelle Fourier-Reihendarstellung

∞

∞

2 π

2 π
f ( t) = a 0+
an cos n
t

+
b
n
t

T
n sin

T
n=1
n=1

1

1

T
mit
a 0 =
f ( t) dt,

T

0

1

2

T

2 π
an =
f ( t) cos
n
t
dt
n = 1 , 2 , 3 , . . . ,

T

T

0

1

2

T

2 π
bn =
f ( t) sin
n
t
dt
n = 1 , 2 , 3 , . . . .

T

T

0

(2) Für alle t ∈ IR gilt

∞

2 π
f ( t) = a 0+

An cos n
t − ϕ

T
n
n=1

b
mit A
n
n =
a 2 + b 2 und tan ϕ
f
n
n
n =
ür n = 1 , 2 , 3 , . . . .

an

(3) Für alle t ∈ IR gilt die komplexe Fourier-Reihendarstellung

∞

f ( t) =
c
t
n ei n 2 π

T
n= −∞

1

1

T
mit
c
t
n =
f ( t) e−i n 2 π

T
dt ;
n ∈ ZZ.

T

0

(4) Die Umrechnung der reellen Fourier-Koeffizienten zu den komplexen
erfolgt mit den Formeln
c 0

=
a 0 ,
cn

=

1 ( a

2
n − i bn)

n ∈ IN ,
c−n

=

1 ( a

2
n + i bn)

n ∈ IN.

(5) Die Umrechnung der komplexen Fourier-Koeffizienten zu den reellen
erfolgt mit den Formeln
a 0 = c 0 ,
an = cn + c−n
n ∈ IN ,
bn = i ( cn − c−n)

n ∈ IN.

610

14. Fourier-Reihen

14.6

14.6 Aufgaben zu Fourier-Reihen

14.1

Bestimmen Sie für die unten skizzierten 2 π-periodischen Funktionen im Pe-
riodenintervall einen formelmäßigen Ausdruck, suchen Sie nach eventuell vor-
handenen Symmetrien und entwickeln Sie die Funktionen dann in eine reelle

Fourier-Reihe:

Abb. a

Abb. b

14.2

Skizzieren Sie die folgenden T -periodischen Funktionen und bestimmen Sie die

Fourier-Reihe sowie das zugehörige Amplitudenspektrum:

0

0
et

−T ≤ t ≤ 0

2 h t

0 ≤ t ≤ T
a) f ( t) =

2
b) f ( t) =

T

2
e−t

0 ≤ t ≤ T

≤

2
h

T

2
t ≤ T

14.3

Geben sei die komplexe Fourier-Entwicklung von
a) Aufgabe 14.1a)

b) Aufgabe 14.1b)

an.

14.4

Entwickeln Sie f ( t) = sin3 t , |t| ≤ π in eine Fourier-Reihe (erst nachdenken!!!).

14.5
a) Entwickeln Sie f ( t) = t 2 , 0 ≤ t ≤ T in eine Fourier-Reihe.

b) Was ergibt sich für T = 2 π ?

c) Was erh

∞
ält man bei b) für

1
n=1 n 2 , wenn t = 2 π gesetzt wird?

14.6

In Abb. (c) ist der zeitliche Verlauf einer Kippspannung (Sägezahnimpuls) mit
der Schwingungsdauer T angegeben. Man führe für diesen Impuls eine Fourier-

Analyse durch. u ( t) = u 0 t

(0 < t < T ).

T

Abb. c

14.7 Zeichnen und entwickeln Sie die folgenden Funktionen in Fourier-Reihen unter

Berücksichtigung möglicher Symmetrieeigenschaften:

0 8 0 < x < 2
a) f ( x) =
mit Periode 4,

− 8 2 < x < 4

0 −x − 4 ≤ x ≤ 0
b) f ( x) =
mit Periode 8.

x 0 ≤ x ≤ 4

14.8 Zerlegen Sie (mit Maple) den trapezförmigen Impuls in seine harmonischen

Komponenten. Welchen Wert nimmt die Fourier-Reihe in t = T an?

2 /T t 0 ≤ t ≤ T/ 2
f ( t) =

1 T / 2 ≤ t ≤ T

Kapitel 15

15

Fourier-Transformation

15

Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

611

15.1

Fourier-Transformation und Beispiele .......................... 613

15.1.1

Übergang von der Fourier-Reihe zur Fourier-Transformation 614

15

15.1.2

Inverse Fourier-Transformation .................................. 619

15.2

Eigenschaften der Fourier-Transformation .................... 623

15.2.1

Linearität ............................................................ 623

15.2.2

Symmetrieeigenschaft ............................................. 623

15.2.3

Skalierungseigenschaft ............................................ 625

15.2.4

Verschiebungseigenschaften ...................................... 625

15.2.5

Modulationseigenschaft ........................................... 627

15.2.6

Fourier-Transformation der Ableitung.......................... 629

15.2.7

Faltungstheorem ................................................... 630

15.3

Fourier-Transformation der Deltafunktion..................... 637

15.3.1

Deltafunktion und Darstellung der Deltafunktion ........... 637

15.3.2

Fourier-Transformation der Deltafunktion..................... 639

15.3.3

Darstellung der Fourier-Transformierten von δ( t) ........... 642

15.3.4

Korrespondenzen der Fourier-Transformation ................ 644

15.4

Aufgaben zur Fourier-Transformation.......................... 645

Zus¨
atzliche Abschnitte auf der CD-Rom

15.5

MAPLE: Fourier-Transformation .................................

cd

15.6

Beschreibung von linearen Systemen ...........................

cd

15.6.1

LZK-Systeme .......................................................

cd

15.6.2

Impulsantwort ......................................................

cd

15.6.3

Die Systemfunktion ( Übertragungsfunktion) .................

cd

15.6.4

Übertragungsfunktion elektrischer Netzwerke ................

cd

15.6.5

Zusammenhang zwischen der Sprung- und Deltafunktion .

cd

15.7

Anwendungsbeispiele mit MAPLE ...............................

cd

15.7.1

Frequenzanalyse des Doppelpendelsystems mit MAPLE.....

cd

15.7.2

Frequenzanalyse eines Hochpasses mit MAPLE ...............

cd

15 Fourier-Transformation

In diesem Kapitel wird mit der Fourier-Transformation untersucht, welche Frequen-
zen mit welchen Amplituden in einem nichtperiodischen Zeitsignal f ( t) enthalten
sind. Man nennt dieses Vorgehen, wie bei den Fourier-Reihen, die Frequenzanalyse
des Zeitsignals f . In 15.1 werden die Formeln zur Fourier-Transformation

1 ∞

F ( ω) =
f ( t) e−i ω t dt

−∞
hergeleitet und an Beispielen verdeutlicht. Es werden weiterhin in 15.2 wichtige Ei-
genschaften der Fourier-Transformation vorgestellt und deren Bedeutung diskutiert.

Zur Charakterisierung von linearen Systemen benötigt man eine Funktion, die alle

Frequenzen mit gleicher Amplitude enthält. Dies führt auf den Begriff der Deltafunk-
tion, die wir in Abschnitt 15.3 einführen und deren Eigenschaften wir diskutieren.

Hinweis: Im CD-Abschnitt 15.4 wird die Fourier-Transformation, die inverse Fourier-

Transformation und deren Anwendung beim Lösen von Differenzialgleichungen mit

Maple vorgestellt.

In einem separaten Abschnitt 15.5 behandeln wir die vollständige Beschreibung von
linearen Systemen durch die Impulsantwort und stellen den Zusammenhang zur

Übertragungsfunktion mit Hilfe der Fourier-Transformation her. In Abschnitt 15.6
wenden wir mit Maple die lineare Theorie auf das mechanische Problem der Dop-
pelpendel und das elektronische Problem des Hochpasses 5. Ordnung an, indem wir
eine Frequenzanalyse durchführen.

Im Hinblick auf die digitale Messdatenanalyse wird in einem eigenständigen CD-

Kapitel auf die diskrete Fourier-Transformation (DFT), die inversen DFT und de-
ren Eigenschaften eingegangen. In diesem Kapitel behandeln wir auch die diskrete

Fourier-Transformation mit Maple, indem wir den FFT-Algorithmus verwenden.

Anwendungsbeispiele zur Signal- und Systemanalyse mit Hilfe der DFT findet man
ebenfalls in diesem Abschnitt.

15.1

15.1 Fourier-Transformation und Beispiele

Durch die Angabe der Fourier-Reihe ist es möglich, periodische Vorgänge zu analysieren,
ungeachtet der Tatsache, wie groß die Periodendauer T ist. Eine T -periodische Funktion
f lässt sich darstellen als Überlagerung unendlich vieler harmonischer Schwingungen mit

Grundfrequenz ω 0 = 2 π , Oberfrequenzen ω
und den zugehörigen Amplituden.

T
n = n 2 π

T

Periodische Funktionen besitzen damit ein diskretes Linienspektrum. Dieses Linienspek-
trum liefert eine eindeutige Zuordnung zwischen dem Zeitbereich der Funktion und dem

Frequenzbereich.

614

15. Fourier-Transformation

Im Folgenden wird ein Verfahren ( Fourier-Transformation) entwickelt, welches auch für
nichtperiodische Funktionen alle Frequenzen mit zugehörigen Amplituden liefert, die in
dem Signal enthalten sind.

15.1.1 ¨

Ubergang von der Fourier-Reihe zur Fourier-Transformation

Um die Frequenzen in einem beliebigen Zeitsignal f zu bestimmen, interpre-
tieren wir die Funktion f als periodische Funktion mit Periode T → ∞. Um
eine Darstellung für das Spektrum zu erhalten, gehen wir aber von einer 2 p-
periodischen Funktion f ( t) aus. Nach Kapitel 14.5 lautet die zugehörige kom-
plexe Fourier-Reihe

∞

f ( t) =
c
t
n ei n 2 π

2 p
n= −∞
mit den komplexen Fourier-Koeffizienten

1

1

1

2 p

1
p
c
t
t
n =
f ( t) e−i n 2 π

2 p
dt =
f ( t) e−i n πp dt.

2 p

2 p

0

−p

Setzt man die Koeffizienten cn in die Fourier-Reihe ein, folgt mit den Frequen-
zen ωn = n π und dem Frequenzabstand Δ ω = ω

:

p
n − ωn− 1 = π
p

∞

1

1
p
f ( t)

=
f ( t) e−i ωn t dt ei ωn t

2 p
n= −∞

−p

5

6

∞

1

1

π/Δ ω

=
f ( t) e−i ωn t dt
ei ωn t Δ ω.

2 π n= −∞

−π/Δ ω

Wir interpretieren nun eine beliebige, nicht notwendigerweise periodische Zeit-
funktion f ( t) als periodische Funktion mit p → ∞. Für p → ∞ geht der

Frequenzabstand Δ ω gegen Null und die Summe geht in das Integral über.

Die Frequenzspektren rücken näher zusammen und nach dem Grenzübergang
erhält man eine kontinuierliche Funktion in ω:

1

1

∞
f ( t) =

F ( ω) ei ω t dω

( F I)

2 π

−∞
mit

1 ∞

F ( ω) =
f ( t) e−i ω t dt.

( F T )

−∞

15.1

Fourier-Transformation und Beispiele

615

2 ∞

Man bezeichnet die Darstellung von f ( t) = 1

2 π

−∞ F ( ω) ei ω t dω als Fourier-

Integral und F ( ω) die Fourier-Transformierte oder Spektralfunktion
zur Zeitfunktion f ( t).

Animation: Auf der CD-Rom befindet sich eine Maple-Animation,
bei der am Beispiel der T -periodischen Fortsetzung der Rechteckfunk-
tion aufgezeigt wird, wie für T → ∞ die Spektrallinien zusammenrücken

(Δ ω → 0) und aus dem diskreten Spektrum eine kontinuierliche Frequenz-
funktion hervorgeht.

Beim Übergang von der Fourier-Reihe zum Fourier-Integral wird formal der

Grenzübergang p → ∞ durchgeführt, ohne die Existenz des uneigentlichen

Integrals zu begründen. Man kann jedoch allgemein zeigen, dass das uneigent-
liche Integral unter gewissen Voraussetzungen (die in der Praxis nahezu immer
erfüllt sind) existiert:

Satz 15.1: (Fourier-Transformation). Sei f : IR → IR stückweise

2 ∞
stetig differenzierbar und

−∞ |f ( t) | dt < ∞, dann existiert für jedes
ω ∈ IR

1 ∞

F ( ω) =
f ( t) e−i ω t dt

(Fourier-Transformierte von f ).

−∞

Die Fourier-Transformation ordnet jeder Zeitfunktion f ( t) mit obigen Ei-
genschaften eine Frequenzfunktion F ( ω) : IR → IC zu. Man sagt, dass die

Fourier-Transformation den Zeitbereich auf den Spektralbereich (Frequenz-
bereich) abbildet, indem sie der Zeitfunktion f ( t) die Spektralfunktion F ( ω)

zuweist. Um präzise anzugeben, zu welcher Zeitfunktion F ( ω) gehört, verwen-
det man auch die Notation

F ( f) ( ω) = F ( ω) .

Diese Schreibweise drückt den transformatorischen Charakter der Fourier-

Transformation aus: Der Funktion f wird eine neue Funktion F ( f ) zugeord-
net. Teilweise wird auch die Korrespondenzschreibweise wie bei der Laplace-

Transformation verwendet:

f ( t) ◦ • F ( ω) .

Bemerkung: Eine Funktion f : [ a, b] → IR heißt stückweise stetig differen-
zierbar, wenn das Intervall in endlich viele Teilintervalle Ik zerlegt werden
kann, so dass f im Innern der Intervalle Ik stetig differenzierbar ist und an
den Grenzen der rechts- bzw. linksseitige Grenzwert von f existiert. f heißt
auf IR stückweise stetig differenzierbar, wenn f in jedem endlichen Intervall

[ a, b] ⊂ IR stückweise stetig differenzierbar ist.

616

15. Fourier-Transformation

Beispiel 15.1. Für den unten dargestellten Rechteckimpuls soll die Fourier-

Transformierte F ( ω) berechnet werden.

1
für |t| < T

f ( t) :=

=: rect t

0
für |t| > T

T

1 ∞

F ( f) ( ω) = F ( ω) =
f ( t) e−i ω t dt

−∞

1

T

T
e−i ω t

=

1 e−i ω t dt =

−

− i ω

T

−T

1

2 1

=
e−i T ω − ei T ω =
ei T ω − e−i T ω

−i ω
ω 2 i

2
sin ( ω T )

=
sin( ω T ) = 2 T

.

ω
ω T

! Der Wert der Transformierten hängt nicht von der Wahl des Funktions-
wertes von f ( t) an den Stellen t = −T bzw. t = −T ab!

Führt man die si-Funktion si ( x) := sin x ein, schreibt man obiges Ergebnis als
x

F

2
rect t

( ω) =
sin( ω T ) = 2 T si ( ω T ).

T
ω

Der Verlauf der Fourier-Transformierten ist in Abb. 15.1 gezeigt.

Abb. 15.1. Fourier-Transformierte der Rechteckfunktion

Das Spektrum ist eine Sinusfunktion in ω, dessen Amplitude mit 1 /ω abnimmt.

Die Nullstellen von F ( ω) sind bis auf ω = 0 dieselben wie die der Sinusfunktion:

π
ωnT = nπ → ωn = n

.

T

15.1

Fourier-Transformation und Beispiele

617

Für ω = 0 muss die Regel von l’Hospital angewendet werden, um den Funkti-
onswert zu berechnen:

2 sin( ω T )

2 cos( ω T ) T

F ( ω = 0) = lim

= lim

= 2 T.

ω→ 0
ω
ω→ 0

1

Beobachtung: Je breiter das Rechteck f ( t) bzw. je größer T ist, desto schma-
ler wird das nullte Maximum von F ( ω) bei ω = 0, da die erste Nullstelle des

Spektrums bei ω 1 = π liegt. Andererseits gilt: Je schmaler das Rechteck f ( t)

T
d.h. je kleiner T ist, desto breiter wird das nullte Maximum.

Beispiel 15.2. Für die unten dargestellte Exponentialfunktion ist die zu-
gehörige Spektralfunktion gesucht:

0
für t < 0
f ( t) = e−α t · S ( t) =
e−α t
für t > 0 , α > 0.

0 für t < 0

Dabei ist S ( t) die Sprungfunktion (Heavisidefunktion) S ( t) =

1
für t > 0.

Die zur Funktion f gehörende Spektralfunktion ist die Fourier-Transformierte

F ( ω):

1 ∞

1 ∞

1 ∞

F ( ω)

=
f ( t) e−i ω t dt =
e−α t e−i ω t dt =
e−( α+ i ω) t dt

−∞

0

0
t= ∞
e−( α+ i ω) t
e−( α+ i ω) t

1

=

= lim

+

− ( α + i ω)

t→∞ − ( α + i ω)

α + i ω
t=0

1
α
ω

=

0 +

=

− i

.

α + i ω
a 2 + ω 2
α 2 + ω 2

⇒

1

F ( ω) = F ( e−α t · S ( t)) ( ω) =

.

α + i ω

Anmerkung: Für die meisten Anwendungen spielt es keine Rolle, welchen Wert

S( t) an der Stelle t = 0 besitzt. Gebräuchlich sind S(0) = 0, S(0) = 1 aber
auch S(0) = 1 . Mit der letzteren Festlegung gilt S( t) = 1 + 1 sign( t), wenn

2

2

2
sign( t) die Vorzeichenfunktion darstellt.

618

15. Fourier-Transformation

Darstellung der Fourier-Transformierten

Man erkennt an diesem einfachen Beispiel, dass die Fourier-Transformierte

F ( ω) einer Zeitfunktion f ( t) i.A. komplexwertig ist. Den Graphen komplex-
wertiger Funktionen kann man nicht direkt zeichnen, sondern man muss entwe-
der Real- und Imaginärteil getrennt darstellen oder man zerlegt die komplexe

Funktion F ( ω) in Betrag und Phase

F ( ω) = |F ( ω) | ei ϕ( ω)

mit

|F ( ω) |

=

F ( ω) · F ∗ ( ω)

(Betrag)

Im F ( ω)

tan ϕ ( ω)

=

(Phase)

Re F ( ω)

(siehe Kapitel 5). Hierbei ist sowohl der Betrag als auch die Phase eine reelle

Funktion von ω. Man spricht analog der Bezeichnung bei den Fourier-Reihen
auch von Amplituden- und Phasenspektrum.

Beispiel 15.3 (Amplituden- und Phasenspektrum). Für Beispiel 15.2
erhält man für die Fourier-Transformierte

1

F ( w) =

.

α + i w

Wir zerlegen F ( ω) in Betrag

|

1

1

F ( ω) | =

F ( ω) · F ∗ ( ω) =

·

1

= √
α + i ω
α − i ω
α 2 + ω 2
und Phase

Im F ( ω)

tan ϕ ( ω) =

= − ω .

Re F ( ω)

α

Betrag von F ( ω)

Phase von F ( ω)

Abb. 15.2. Betrag und Phase der Fourier-Transformierten

In Abb. 15.2 sind sowohl das Amplituden- als auch Phasenspektrum für α = 1
angegeben.

15.1

Fourier-Transformation und Beispiele

619

15.1.2 Inverse Fourier-Transformation

Dass eine Zeitfunktion vollständig durch ihr Spektrum charakterisiert wird,
zeigt sich durch die inverse Fourier-Transformation.

Satz 15.2: (Inverse Fourier-Transformation). Ist F ( ω) die Fourier-

Transformierte einer Funktion f ( t), so ist die Funktion f ( t) gegeben
durch

1

1

∞
f ( t) =

F ( ω) ei ω t dω

(inverse Fourier-Transformation),

2 π

−∞
falls f ( t) die Mittelwerteigenschaft erfüllt.

Die Mittelwerteigenschaft einer Funktion f besagt, dass der Funktionswert
an jeder Stelle t durch den Mittelwert des linksseitigen und rechtsseitigen

Funktionsgrenzwertes gegeben ist: f ( t) = lim 1 ( f ( t + ε) + f ( t − ε)) für alle ε→ 0 2
t ∈ ID f (siehe Abschnitt 14.3). Für stetige Funktionen ist die Mittelwerteigen-
schaft immer erfüllt, für unstetige Funktionen muss an der Sprungstelle genau
der Mittelwert des Sprunges als Funktionswert angenommen werden.

Um mit der Mittelwerteigenschaft konsistent zu sein, sollte die Sprungfunktion

S( t) für die Anwendungen bei der Fourier-Transformation an der Stelle t 0 = 0
durch S(0) = 1 definiert werden!

2

Satz 15.2 impliziert, dass in der Fourier-Transformierten einer Funktion f die-
selbe Information enthalten ist, wie in f selbst. Denn durch die Formel der
inversen Fourier-Transformation kann das Zeitsignal f ( t) vollständig aus F ( ω)

rekonstruiert werden. Insbesondere kann die Funktion f alleine durch die zu-
gehörige Spektralfunktion charakterisiert werden!

Bemerkungen:

(1) Die Fourier-Transformierte ist auch für komplexwertige Funktionen f ( t) =
f 1 ( t) + i f 2 ( t) definiert. F ( ω) ist im Allgemeinen immer eine komplexwertige Funktion (siehe Beispiel 15.2).

(2) Ist f eine reellwertige Funktion (ein reelles Signal), dann lässt sich die

Fourier-Transformierte mit der Eulerschen Beziehung e−i ω t = cos ( ω t) −
i sin ( ω t) auch schreiben als

1 ∞

1 ∞

F ( f) ( ω) =
f ( t) e−i ω t dt =
f ( t) (cos ( ω t) − i sin ( ω t)) dt

−∞

−∞

1 ∞

1 ∞

=
f ( t) cos ( ω t) dt − i
f ( t) sin ( ω t) dt.

( ∗)

−∞

−∞

620

15. Fourier-Transformation

Man spricht in diesem Zusammenhang oftmals von der Kosinus- und Si-
nustransformierten.

(3) Gerade und ungerade Funktionen

(i) Für eine gerade, reelle Funktion f , d.h. f ( −t) = f ( t), gilt

1 ∞

F ( ω) = 2
f ( t) cos ( ω t) dt.

0

Begr¨
undung: Mit f ( t) ist auch f ( t) · cos ( ω t) eine gerade Funktion
und

1 ∞

1 ∞
f ( t) cos ( ω t) dt = 2
f ( t) cos ( ω t) dt ,

−∞

0
da der Integrand symmetrisch zum Ursprung t = 0 integriert wird.

Andererseits ist f ( t) · sin ( ω t) eine ungerade Funktion. Integriert man
eine ungerade Funktion symmetrisch zum Ursprung, ist das bestimmte

Integral Null:

1 ∞
f ( t) sin ( ω t) dt = 0 .

−∞

Setzt man diese Integralergebnisse in die Formel ( ∗) ein, folgt die Be-
hauptung.

(ii) Für eine ungerade, reelle Funktion f , d.h. f ( −t) = −f ( t), gilt mit
der zu (i) analogen Begründung

1 ∞

F ( ω) = −i 2
f ( t) sin ( ω t) dt.

0

Beispiel 15.4. Gegeben ist die gerade, reelle Funktion
f ( t) = e−α |t|
mit α > 0 .

Die Fourier-Transformierte von f berechnet sich nach Bemerkung 3 (i) aus

1 ∞

1 ∞

F ( ω) = 2
f ( t) cos ( ω t) dt = 2
e−α t cos ( ω t) dt .

0

0

Die Beträge im Argument der Exponentialfunktion können weggelassen wer-
den, da nur über positive t integriert wird. Zur Berechnung des Integrals er-

15.1

Fourier-Transformation und Beispiele

621

setzen wir cos ( ω t) durch Re ei ω t und erhalten

∞

1

∞

1

F ( ω) = 2
e−α t Re( ei ω t) dt = 2 Re
e( −α+ i ω) t dt

0

0
t= ∞
e( −α+ i ω) t

− 1

= 2 Re

= 2 Re

−α + i ω

−α + i ω
t=0

α
ω

2 α

= 2 Re

+ i

=

.

α 2 + ω 2
α 2 + ω 2
α 2 + ω 2

Das gleiche Ergebnis bekommt man auch durch zweimalige partielle Integra-
tion.

⇒

2 α

F ( ω) = F e−α| t| ( ω) =

.

α 2 + ω 2

Zeitfunktion f ( t)

Spektralfunktion F ( ω)

Abb. 15.3. Zeitfunktion und zugehörige Spektralfunktion

Beispiel 15.5. Gegeben ist die ungerade, reelle Funktion
f ( t) = e−α |t| sign ( t)

⎧

⎨

1
für t > 0
mit α > 0 und der Vorzeichenfunktion sign ( t) = ⎩ 0 für t = 0 .

− 1 für t < 0

Die Fourier-Transformierte ist nach Bemerkung 3 (ii) gegeben durch

1 ∞

1 ∞

F ( ω) = −i 2
f ( t) sin ( ω t) dt = −i 2
e−α t sin ( ω t) dt .

0

0

622

15. Fourier-Transformation

Ersetzt man zur einfachen Berechnung des Integrals sin ( ω t) = Im ei ω t , so
erhält man unter Berücksichtigung von Beispiel 15.4

1 ∞

α
ω

F ( ω)

=

−i 2 Im
e−α t ei ω t dt = −i 2 Im

+ i
α 2 + ω 2
α 2 + ω 2

0

⇒

2 ω

F ( ω) = −i

.

α 2 + ω 2

Zeitfunktion f ( t)

Fourier-Transformierte F ( ω)

Abb. 15.4. Zeitfunktion und zugehörige Fourier-Transformierte

Beispiel 15.6. Gegeben ist die ungerade, reelle Funktion

1
f ( t) =

.

t

Obwohl die Funktion f für t = 0 nicht definiert ist (Polstelle), ist sin( ω t) für
t
alle t ∈ IR stetig und beschränkt. Es gilt für die Fourier-Transformierte von 1 t
nach Bemerkung 3 (ii) mit der Substitution ( x = ω t → dx = ω dt)

1 ∞

1
sin ( ω t)

∞ sin x

F ( ω) = −i 2
dt = −i 2
dx

( ω > 0) .

t
x

0

0

2 ∞

Der Wert des bestimmten Integrals
sin x dx = π wird im Beispiel 15.8 }

0
x

2
berechnet. Unter Verwendung dieses Ergebnisses ist die Fourier-Transformierte

−iπ für ω > 0

F ( ω) =

= −i π sign ( ω) ,
i π
für ω < 0
wenn sign die Vorzeichenfunktion darstellt.

15.2

Eigenschaften der Fourier-Transformation

623

15.2

15.2 Eigenschaften der Fourier-Transformation

In diesem Abschnitt werden wichtige Eigenschaften der Fourier-Transformation vorgestellt
und an Beispielen verdeutlicht. Im Folgenden wird immer davon ausgegangen, dass die

Zeitfunktionen die Voraussetzungen der Fourier-Transformation erfüllen, so dass die Fourier-

Transformierten der Funktionen definiert sind. F ( ω) = F ( f ) ( ω) sei stets die Fourier-

Transformierte von f ; F 1 ( ω) = F ( f 1) ( ω) und F 2 ( ω) = F ( f 2) ( ω) die Fourier-Transformierten von f 1 bzw. f 2.

15.2.1 Linearit¨
at

Gesucht ist das Spektrum einer Überlagerung k 1 f 1( t) + k 2 f 2( t) :

1 ∞

F ( k 1 f 1 + k 2 f 2) ( ω) =

( k 1 f 1 ( t) + k 2 f 2 ( t)) e−i ω t dt

−∞

1 ∞

1 ∞

= k 1
f 1 ( t) e−i ω t dt + k 2
f 2 ( t) e−i ω t dt

−∞

−∞

= k 1 F 1 ( ω) + k 2 F 2 ( ω) .

Zusammenfassend gilt

( F 1) Linearit¨
at:

F ( k 1 f 1 + k 2 f 2) ( ω) = k 1 F 1 ( ω) + k 2 F 2 ( ω) Die Linearität besagt, dass das Spektrum einer Überlagerung von zwei Zeitfunktionen sich aus der entsprechenden Überlagerung der Einzelspektren zu-
sammensetzt.

Beispiel 15.7. Gesucht ist das Spektrum der Funktion 4 rect
t

+ 3 e−α |t|:

T

Nach Beispiel 15.1 und 15.4 gilt mit der Eigenschaft ( F 1)

F 4 rect t + 3 e−α |t| ( ω) = 4 F rect t

( ω) + 3 F e−α |t| ( ω)

T

T
sin ( ω T )

α

=

8

+ 6

.

ω
α 2 + ω 2

15.2.2 Symmetrieeigenschaft

( F 2) Symmetrie:

F ( F ( f)) ( t) = 2 π f ( −t)

Die Symmetrieeigenschaft besagt, dass die Fourier-Transformation zweimal
auf die Funktion f angewendet, wieder die Funktion f als Ergebnis liefert,
allerdings mit dem Faktor 2 π und negativem Argument. Denn aufgrund des

Fourier-Integrals ( F I) gilt

1 ∞

1 ∞

F

1

( F ) ( t) =

F ( ω) e−i ω t dω = 2 π

F ( ω) ei ω ( −t) dω = 2 π f ( −t) .

−∞

2 π

−∞

624

15. Fourier-Transformation

Die Symmetrie wird ausgenutzt, um die Fourier-Transformation von Funktio-
nen zu berechnen, die selbst Fourier-Transformierte sind:

Beispiele 15.8.

 Wegen F rect t

( ω) = 2 sin( ω a) folgt für die achsensymmetrische Recht-
a
ω
eck-Funktion rect:

F
sin ( ω a)

t

2

( t) = F F rect

( t)

ω
a

t

= 2 π rect

− t = 2 π rect

.

a
a

Damit erhält man nach dem Vertauschen der Variablen ω und t

F sin ( a t)

ω

( ω) = π rect

.

t
a

 Aus Beispiel 15.4 erhält man mit α = 1

F

2
e−|t| ( ω) =

.

1 + ω 2

Mit ( F 2) gilt dann

F

2

( t) = F F e−|t|

( t) = 2 π e−|−t| .

1 + ω 2

Nach Vertauschung der Variablen ist

F

1

( ω) = π e−|ω|.

1 + t 2

1 ∞

 Wir berechnen das bestimmte Integral
sin x dx = π mit Hilfe der
x

2

0

Fourier-Transformation. Nach Beispiel 15.8 { ist

F sin t ( ω) = π rect ( ω) .

t

Nach Bemerkung 3 (i) gilt aber auch für die gerade Funktion sin t
t

1 ∞

F sin t
sin t

( ω) = 2
cos ( ω t) dt .

t
t

0

Folglich gilt für ω = 0: 1 ∞ sin t

2
dt = π rect (0) = π ,
t

0
woraus der Wert für das bestimmte Integral folgt.

15.2

Eigenschaften der Fourier-Transformation

625

15.2.3 Skalierungseigenschaft

Gesucht ist die Fourier-Transformation (das Spektrum) der Funktion f ( a t),
die aus f ( t) durch Stauchung ( a > 1) bzw. Streckung (0 < a < 1) entsteht.

Funktion f ( t)

Gestauchte Funktion f ( a t)

Abb. 15.5. Zur Skalierungseigenschaft

Die Fourier-Transformierte von f berechnet sich mit der Substitution ξ = a t
für a > 0 durch

1 ∞

1 ∞

F
dξ

1
ω

( f ( a t)) ( ω) =
f ( a t) e−i ω t dt =
f ( ξ) e−i ω ξa

=

F

.

−∞

−∞
a
a
a

Die Argumentation für a < 0 verläuft analog, daher gilt insgesamt

1
ω

( F 3) Skalierung:

F ( f ( a t)) ( ω) =

F

,
a ∈ IR

|

a|
a

=0

Die Skalierungseigenschaft besagt, dass in einem gestauchten Signal f ( a t) ( a > 1)

die Frequenzen F ω
vorkommen.

a

15.2.4 Verschiebungseigenschaften

Zeitverschiebung

Der Verschiebungssatz macht eine Aussage über die Fourier-Transformierte
einer zeitlich verschobenen Funktion f ( t − t 0).

Abb. 15.6. Funktion f( t) und um t 0 verschobene Funktion f( t − t 0)

626

15. Fourier-Transformation

Es gilt mit der Substitution ξ = t − t 0:

1 ∞

1 ∞

F ( f ( t − t 0)) ( ω) =
f ( t − t 0) e−i ω t dt =
f ( ξ) e−i ω ( ξ+ t 0) dξ .

−∞

−∞

Spalten wir den Exponentialterm in zwei Faktoren auf und klammern e−i ω t 0
aus dem Integral aus (er ist unabhängig von der Integrationsvariablen), gilt
weiter

1 ∞

F ( f ( t − t 0)) ( ω) = e−i ω t 0
f ( ξ) e−i ω ξ dξ = e−i ω t 0 F ( ω) .

−∞

Folglich gilt für die Fourier-Transformierte einer zeitverschobenen Funktion:

( F 4) Zeitverschiebung:

F ( f ( t − t 0)) ( ω) = e−i ω t 0 F ( ω)

Setzt man F ( ω) = |F ( ω) | ei ϕ( ω), so ergibt sich für das Spektrum der zeitver-
schobenen Funktion f ( t − t 0)

F ( f ( t − t 0)) ( ω) = e−i ω t 0 |F ( ω) | ei ϕ( ω) = |F ( ω) | e−i ( ϕ( ω) −ω t 0) .

Das Spektrum von f ( t − t 0) besitzt dieselbe Amplitude wie f ( t) nur
die Phase ist um ω t 0 verschoben. D.h. es kommen dieselben Frequenzen
mit gleicher Amplitude aber phasenverschoben vor.

Beispiel 15.9. Gesucht ist das Spektrum des um t 0 = T verschobenen Recht-

ecksignals f ( t) = rect t :

T

F
t
sin ( ω T )

( f ( t − T )) = e−i ω T F rect

( ω) = e−i ω T 2

.

T
ω

Frequenzverschiebung

Eine weitere Eigenschaft ist die der Frequenzverschiebung. Diese Eigenschaft
trifft eine Aussage über das Spektrum der Funktion ei ω 0 t f ( t) :

1 ∞

F ei ω 0 t f ( t) ( ω) =
ei ω 0 t f ( t) e−i ω t dt

−∞

1 ∞

=
f ( t) e−i ( ω−ω 0) t dt = F ( ω − ω 0) .

−∞

Folglich gilt für das Spektrum einer mit ei ω 0 t multiplizierten Funktion:

( F 5) Frequenzverschiebung:

F ei ω 0 t f ( t) ( ω) = F ( ω − ω 0)

15.2

Eigenschaften der Fourier-Transformation

627

Die Verschiebungseigenschaft besagt, dass das Spektrum der mit ei ω 0 t mul-
tiplizierten Funktion dasselbe ist, wie das um ω 0 verschobene Spektrum der
ursprünglichen Funktion. Als Beispiel und Anwendung der Frequenzverschie-
bung diskutieren wir die Modulationseigenschaft:

15.2.5 Modulationseigenschaft

Gesucht ist das Spektrum des amplitudenmodulierten Signals
f ( t) cos ( ω 0 t) .

Mit der Eulerschen Formel

1

cos ( ω 0 t) =
ei ω 0 t + e−i ω 0 t

2
berechnen wir unter Verwendung der Linearität ( F 1) und der Frequenzver-
schiebungseigenschaft ( F 5)

F

1

1

(cos ( ω 0 t) f ( t)) ( ω)

=

F
ei ω 0 t f ( t) +
e−i ω 0 t f ( t)

( ω)

2

2

1

1

=

F ei ω 0 t f ( t) ( ω) + F e−i ω 0 t f ( t) ( ω)

2

2

1

=

( F ( ω − ω

2

0) + F ( ω + ω 0)).

1

( F 6) Modulation: F ( f ( t) cos ( ω 0 t)) ( ω) =

( F ( ω + ω

2

0) + F ( ω − ω 0))

Das mit cos ( ω 0 t) amplitudenmodulierte Signal besitzt als Spektrum
das um ±ω 0 verschobene Spektrum der urspr¨
unglichen Funktion f .

Die Verschiebung des Spektrums von f erfolgt genau um die Modulationsfre-
quenz ω 0!

Beispiele 15.10. Gesucht ist das Spektrum eines mit cos ( ω 0 t) modulierten

Rechteckimpulses. Nach Beispiel 15.1 ist das Spektrum des Rechtecks

F
t
sin ( ω T )

rect

( ω) = 2

.

T
ω

Damit folgt mit der Modulationseigenschaft

F
t
sin( T ( ω − ω
sin( T ( ω + ω
cos ( ω

0))

0))

0 t) · rect

( ω) =

+

.

T
ω − ω 0
ω + ω 0

628

15. Fourier-Transformation

Die Amplitudenmodulation des Rechtecksignals entspricht einer Verschiebung
des Spektrums um die Modulationsfrequenz ω 0 nach rechts und links. Beide

Teilspektren besitzen die halbe Amplitude.

Abb. 15.7. Spektrum der amplitudenmodulierten Rechteckfunktion

Bemerkungen / Interpretation:

(1) Bei der Übertragung von Nachrichten wird das Signal f ( t) oftmals ampli-
tudenmoduliert, d.h. mit einer Trägerfrequenz ω 0 übertragen: f ( t) cos ( ω 0 t).

Ein Empfänger kann nun die Trägerfrequenz bestimmen, indem als Test-
signal ein amplitudenmodulierter Rechteckimpuls übertragen wird. Das

Spektrum dieses Signals ist dann das Spektrum des Rechteckimpulses um
den Wert der Trägerfrequenz ω 0 verschoben.

(2) Bei der experimentellen Analyse von periodischen Vorgängen erhält man
in der Regel kein Linienspektrum, sondern eine Verbreiterung der Linie.

Dieser Effekt lässt sich mit unserem Beispiel erklären:

Da man nicht für alle Zeiten −∞ < t < ∞ misst, sondern nur in einem

endlichen Zeitintervall, entspricht dies der Analyse der Funktion rect t ·

T
cos ( ω 0 t) statt der Analyse von cos ( ω 0 t). Obiges Beispiel 15.10 zeigt, dass
man dann ein Spektrum der Form 2 sin( ω T ) erhält, welches um ω
ω

0 ver-
schoben ist. Dieses Spektrum hat zwar bei ω 0 sein Maximum, aber eine
endliche Breite 2 π . Nur im Falle T → ∞ geht die Spektrenbreite gegen 0

T
und man erhält eine Linie bei ω 0.

15.2

Eigenschaften der Fourier-Transformation

629

15.2.6 Fourier-Transformation der Ableitung

Für die Anwendung der Fourier-Transformation auf Differenzialgleichungen
benötigt man die Fourier-Transformierte der Ableitung F ( f ). Es gibt wie im

Falle der Laplace-Transformation ( → 13.3.2) einen sehr einfachen Zusammen-
hang zwischen F ( f ) und F ( f ). Mit partieller Integration folgt für F ( f )

1 ∞

F ( f) ( ω) =
f ( t) e−i ω t dt

−∞

1 ∞

= f ( t) e−i ω t ∞

−
f ( t) ( −i ω) e−i ω t dt.

−∞

−∞

Wegen dem Abklingverhalten von f,
lim f ( t) = 0, ist f ( t) e−i ω t ∞

= 0.

t→±∞

−∞

1 ∞

⇒ F ( f) ( ω) = i ω
f ( t) e−i ω t dt = i ω F ( f ) ( ω) .

−∞

Satz 15.3: (Fourier-Transformierte der Ableitung).

Für die Fourier-Transformierte der Ableitung F ( f ) gilt:

( F 7) Ableitung:

F ( f) ( ω) = ( i ω) F ( ω)

Das Spektrum der differenzierten Funktion f ist gleich dem mit i ω multipli-
zierten Spektrum der Funktion f . Wiederholtes Anwenden des Ableitungssat-
zes führt induktiv auf die Fourier-Transformierte der n-ten Ableitung:

Satz 15.4: (Fourier-Transformierte der n-ten Ableitung).

Für die Fourier-Transformierte der n-ten Ableitung F f ( n) gilt:

( F 8) n-te Ableitung:

F f( n) ( ω) = ( i ω) n F ( ω)

Beispiel 15.11. Gegeben ist die lineare Differenzialgleichung
y ( t) + α y ( t) = f ( t) S ( t)

mit dem konstanten Koeffizienten α und stetiger Funktion f . S( t) ist die

Sprungfunktion. Wenden wir auf diese Differenzialgleichung die Fourier-Trans-
formation an und nutzen die Linearität ( F 1) aus, folgt für die linke Seite

F ( y ( t) + α y ( t)) = F ( y ( t)) + α F ( y ( t)) .

630

15. Fourier-Transformation

Wir ersetzen F ( y ( t)) = i ω F ( y ( t)) und erhalten insgesamt
i ω F ( y ( t)) + α F ( y ( t)) = F ( f ( t) S ( t))

⇒ F

1

( y ( t)) =

F ( f ( t) S ( t)) .

α + i ω

Dies ist die Fourier-Transformierte der gesuchten Lösung y ( t) der Differenzial-
gleichung. Sie ist gegeben als das Produkt von F ( f ( t) S ( t)) mit

1

. Nach
α+ i ω

Beispiel 15.2 ist

1

= F e−α t S ( t) ( ω) .

α + i ω

⇒ F ( y ( t)) = F ( f ( t) S ( t)) · F e−α t S ( t) .

Es stellt sich also das Problem: Welche Zeitfunktion gehört zu einem Produkt
von Frequenzfunktionen. Die Antwort liefert das Faltungstheorem:

15.2.7 Faltungstheorem

Gegeben ist das Spektrum der Funktion f als Produkt von zwei Frequenzfunk-
tionen

F ( f) = F ( f 1) · F ( f 2) .

Die gesuchte Zeitfunktion f ( t) ist dann eine Integralkombination der Zeitfunk-
tionen f 1 ( t) und f 2 ( t)

1 ∞
f ( t) =
f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) dτ ,

−∞
dem sog. Faltungsintegral. Die abkürzende Schreibweise für das Faltungsin-
tegral ist
f ( t) = ( f 1 ∗ f 2) ( t) .

Faltungstheorem: Die Fourier-Transformierte des Faltungsintegrals

1 ∞

( f 1 ∗ f 2) ( t) :=
f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) dτ

−∞
ist gegeben durch das Produkt der Transformierten von f 1 und f 2:

( F 9) Faltungstheorem:

F ( f 1 ∗ f 2) = F ( f 1) · F ( f 2)

15.2

Eigenschaften der Fourier-Transformation

631

Begr¨
undung:

1 ∞ 1 ∞

F ( f 1 ∗ f 2) =
f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) dτ e−i ω t dt

−∞

−∞

1 ∞ 1 ∞

=
f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) e−i ω t dτ
dt .

−∞

−∞

Nach Vertauschen der Integrationsreihenfolge und anschließender Substitution
ξ ( t) = t − τ

( → dξ = dt) folgt

1 ∞

1 ∞

F ( f 1 ∗ f 2) =
f 1 ( τ )

f 2 ( t − τ ) e−i ω t dt dτ

−∞

−∞

1 ∞

1 ∞

=
f 1 ( τ )

f 2 ( ξ) e−i ω ( ξ+ τ) dξ dτ

−∞

−∞

1 ∞

1 ∞

=
f 1 ( τ ) e−i ω τ dτ ·
f 2 ( ξ) e−i ω ξ dξ

−∞

−∞

= F ( f 1) · F ( f 2) .

Beispiel 15.12. Gesucht ist nach Beispiel 15.11 die Zeitfunktion y ( t), die zum

Spektrum von

F ( f ( t) S ( t)) · F e−α t S ( t)

gehört. Nach dem Faltungstheorem ist die Zeitfunktion y( t) die Faltung der
beiden Funktionen f 1 ( t) = f ( t) S ( t) und f 2 ( t) = e−α t S ( t): 1 ∞
y ( t)

=

( f 1 ∗ f 2) ( t) =
f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) dτ

−∞

1 ∞

=
f ( τ ) S ( τ ) e−α ( t−τ) S ( t − τ ) dτ .

−∞

Da S ( τ ) = 0 für τ < 0 ist die Integration erst ab der unteren Integrations-
grenze τ = 0 durchzuführen. Für τ > 0 ist S ( τ ) = 1:

1 ∞
y ( t) =
f ( τ ) e−α t eα τ S ( t − τ ) dτ.

0

Wir spalten das Integral auf in zwei Teilintegrale

1

1
t

∞
y ( t) =
f ( τ ) e−α t eα τ S ( t − τ ) dτ +
f ( τ ) e−α t eα τ S ( t − τ ) dτ .

0
t

Das zweite Integral verschwindet, da hier τ > t und S ( t − τ ) = 0 für τ > t.

Im ersten Integral ist 0 < τ < t und für diesen Bereich S ( t − τ ) = 1:

1 t

⇒
y ( t) = e−α t
eα τ f ( τ ) dτ .

0

632

15. Fourier-Transformation

Folgerung: y( t) ist nach Beispiel 15.11 die Lösung der Differenzialgleichung
y ( t) + α y ( t) = f ( t)

mit y (0) = 0 .

Obige Formel hatten wir auch über die Variation der Konstanten für eine linea-
re Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten erhalten ( → Kap. 12.1.3).

Bemerkungen:

(1) Das Faltungsintegral zweier Funktionen f 1 ( t) und f 2 ( t) ist kommutativ:

f 1 ∗ f 2 = f 2 ∗ f 1.

Denn mit der Substitution ξ( τ ) = ( t − τ )

( → dξ = −dτ ) ist

1 ∞

( f 1 ∗ f 2) ( t)

=
f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) dτ

−∞

1 ∞

=
f 1 ( t − ξ) f 2 ( ξ) dξ = ( f 2 ∗ f 1) ( t).

−∞

(2) Bei Integralen der Form

1 ∞

1

1

0

∞
g ( t − τ ) S ( τ ) dτ =
g ( t − τ ) S ( τ ) dτ +
g ( t − τ ) S ( τ ) dτ

−∞

−∞

0

=0

=1

=0
tritt an der oberen (unteren) Grenze des 1. (2.) Teilintegrals bei τ = 0 der
unstetige Ausdruck S (0) auf. Auf das Ergebnis der Integration hat die-
ser Funktionswert keinen Einfluss, da die Fläche unter einer Funktion sich
nicht ändert, wenn die Funktion an endlich vielen Stellen abgeändert wird.

Beispiel 15.13 (Geometrische Interpretation). Das Faltungsintegral ist
formal zwar einfach aufzustellen, aber zunächst recht unanschaulich. Im Fol-
genden geben wir eine geometrische Interpretation am Beispiel der Funktionen
f 1 ( t) = S ( t) und f 2 ( t) = S ( t) an:

1 ∞

( f 1 ∗ f 2) ( t) =

S ( τ ) S ( t − τ ) dτ .

−∞

Zur Bestimmung des Integrals betrachten wir die Bildfolge in Abb. 15.8 (a) -

(d). In (a) ist die Funktion S ( τ ) graphisch dargestellt. Die Sprungfunktion ist

Null für τ < 0 und Eins für τ > 0. Die Funktion S ( −τ ) geht aus der Funktion

S ( τ ) durch Spiegelung (= Faltung) an der y-Achse hervor (b): S ( −τ ) = 0
für τ > 0 und S ( −τ ) = 1 für τ < 0. S ( t − τ ) entsteht aus S ( −τ ), indem der Graph von S ( −τ ) um t nach rechts verschoben wird (c). Anschließend ist

15.2

Eigenschaften der Fourier-Transformation

633
das Produkt von S ( τ ) und S ( t − τ ) in (d) dargestellt: S ( t − τ ) · S ( τ ) = 0

2 ∞
für τ < 0 und für τ > t. Für das Integral

−∞ S ( τ ) S ( t − τ ) dτ mit der

Integrationsvariablen τ bleibt nur der Bereich zwischen 0 ≤ τ ≤ t ungleich

Null und hat den Integralwert t 1 ∞

⇒ ( f 1 ∗ f 2) ( t) =

S ( τ ) S ( t − τ ) dτ = t S ( t) .

−∞

Abb. 15.8. Zur geometrischen Interpretation des Faltungsintegrals

Beispiel 15.14 (Faltungsintegral). Gesucht ist das Faltungsintegral f ∗ h ,
wenn f und h die in Abb. 15.9 angegebenen Funktionen darstellen.

Abb. 15.9. Funktionen f und h

2 ∞

Wir bestimmen die Faltung ( f ∗ h) ( t) = −∞ f ( τ) h ( t − τ) dτ graphisch. Da-zu gehen wir wie im obigen Beispiel 15.13 zunächst von der Funktion h( τ )

durch Spiegelung zur Funktion h( −τ ) über. Anschließend verschieben wir die-
se Funktion entlang der τ -Achse um den Wert T und multiplizieren dann mit
der Rechteckfunktion. Diese vier Schritte sind schematisch in Abb. 15.10 ge-
zeigt.

634

15. Fourier-Transformation

Abb. 15.10. Faltung der Rechteckfunktion mit der Dreiecksfunktion

Es treten bei der Bestimmung des Faltungsintegrals vier Fälle auf:

(1) t ≤ 0: Dann hat die Funktion h( t − τ ) mit der Funktion f ( τ ) keinen

Überlapp.

(2) 0 ≤ t ≤ T : Die Funktion h( t − τ ) taucht mit der Spitze in den Graphen
der Funktion f ( τ ) ein.

(3) T ≤ t ≤ 2 T : Die Funktion h( t − τ ) tritt aus dem Graphen der Funktion
f ( τ ) heraus.

(4) 2 T ≤ t: Die Funktion h( t − τ ) hat mit der Funktion f ( τ ) keinen Überlapp.

Abb. 15.11. Vier Fälle bei der Bestimmung des Faltungsintegrals

15.2

Eigenschaften der Fourier-Transformation

635

Das Ergebnis der Faltung lässt sich sowohl formelmäßig durch

⎧

⎪

⎪

0
für t ≤ 0

⎨

1

⇒
t 2
für 0 ≤ t ≤ T

( f ∗ h) ( t) =

2 T

⎪

⎪

⎩ t − 1 t 2 für T ≤ t ≤ 2 T

2 T

0
für t > 2 T
als auch graphisch darstellen:

Abb. 15.12. Faltungsintegral ( f ∗ h)( t)

Beispiel 15.15 (Musterbeispiel: L¨
osen von Differenzialgleichungen
mit der Fourier-Transformation).

Die Fourier-Transformation wird nicht nur zum Lösen von Differenzialglei-
chungen 1. Ordnung, sondern auch für lineare Differenzialgleichungen höherer

Ordnung herangezogen: Gegeben ist die Differenzialgleichung 2. Ordnung
y ( t) − y ( t) = ln ( t + 1) S ( t) .

1. Schritt: Durch Anwenden der Fourier-Transformation und Ausnutzung des

Ableitungssatzes ( F 8)

F ( y ( t)) ( ω) = ( i ω)2 F ( y ( t)) ( ω)

erhält man

( i ω)2 F ( y ( t)) − F ( y ( t)) = F (ln ( t + 1) S ( t)) .

2. Schritt: Auflösen nach der Fourier-Transformierten: Die algebraische Glei-
chung für die Fourier-Transformierte F ( y) wird nach F ( y) aufgelöst:

1

→

F ( y ( t)) =

F (ln ( t + 1) S ( t))

− 1 − ω 2

2

= − 1

F (ln ( t + 1) S ( t))

2 1 + ω 2

= − 1 F e− 1 ·|t| · F (ln ( t + 1) S ( t)) ,

2

636

15. Fourier-Transformation

2 α
da nach Beispiel 15.4: F e−α| t| =

.

α 2 + ω 2

3. Schritt: Rücktransformation: Mit dem Faltungstheorem erhalten wir die

Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung 2. Ordnung

y ( t)

=

− 1 e−|t| ∗ (ln ( t + 1) S ( t))

2

1 ∞

=

− 1
e−|τ| ln ( t − τ + 1) S ( t − τ ) dτ

2

−∞

1 t

=

− 1
e−|τ| ln ( t − τ + 1) dτ .

2

−∞

Hinweis: Weitere Beispiele zur Anwendung der Fourier-Transforma-
tion beim Lösen von Differenzialgleichungen findet man auf der CD-

Rom in 15.4 und 15.6 sowie in den zugehörigen Maple-Worksheets.

Zusammenfassung: Eigenschaften der Fourier-Transformation

F ( ω) bezeichne die Fourier-Transformierte von f , F 1 ( ω) und F 2 ( ω) die Transformierten von f 1 und f 2.

( F 1) Linearit¨
at:

F ( k 1 f 1 + k 2 f 2) ( ω) = k 1 F 1 ( ω) + k 2 F 2 ( ω) ( F 2) Symmetrie:

F ( F ( f)) ( t) = 2 π f ( −t)

( F
ω

3) Skalierung:

F ( f ( a t)) ( ω) = 1

|
a ∈ IR
a| F
a

=0

( F 4) Zeitverschiebung:

F ( f ( t − t 0)) ( ω) = e−i t 0 ω F ( ω)

( F 5) Frequenzversch.:

F ei ω 0 t f ( t) ( ω) = F ( ω − ω 0)

( F 6) Modulation:

F ( f ( t) cos ( ω 0 t)) ( ω)

= 1 ( F ( ω + ω

2

0) + F ( ω − ω 0))

( F 7) Ableitung:

F ( f) ( ω) = i ω F ( ω)

( F 8) n-te Ableitung:

F f( n) ( ω) = ( i ω) n F ( ω)

( F 9) Faltungstheorem:

F ( f 1 ∗ f 2) ( ω) = F 1 ( ω) · F 2 ( ω),

1 ∞
mit ( f 1 ∗ f 2) ( t) =
f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) dτ

−∞

15.3

Fourier-Transformation der Deltafunktion

637

15.3

15.3 Fourier-Transformation der Deltafunktion

Wenn man Systeme bezüglich ihrem Frequenzverhalten analysiert, benötigt man eine Funk-
tion δ( t), welche alle Frequenzen mit derselben Amplitude enthält. Mit dieser Funktion als

Eingangssignal regt man das System mit allen Frequenzen gleichermaßen an. (Mit einem
beliebigen Eingangssignal würde man andernfalls das System für verschiedene Frequenzen
unterschiedlich anregen.) Führt man anschließend eine Frequenzanalyse des Ausgangssi-
gnals durch, ist diese Information charakterisierend für das Frequenzverhalten des Systems.

Gesucht ist daher eine Funktion, die alle Frequenzen mit gleicher Amplitude enthält:

F ( δ) ( ω) ≡ 1 .

Diese Forderung führt auf die Dirac- oder Deltafunktion.

15.3.1 Deltafunktion und Darstellung der Deltafunktion

In der Systemtheorie und in vielen anderen Gebieten der Technik und Phy-
sik spielt die Impulsfunktion δ ( t) eine sehr wichtige Rolle. Man bezeichnet
diese Funktion auch oftmals nach ihrem Erfinder Dirac-Funktion oder auch
aufgrund der Notation als Deltafunktion. In der Physik werden dieser Funk-
tion angeblich die folgenden Eigenschaften zugewiesen:

Eigenschaften der Deltafunktion:

(1) δ ( t) = 0
für t = 0

(2) δ (0) = ∞

1 ∞

(3)

δ ( t) dt = 1

−∞

1 ∞

(4)

δ ( t) f ( t) dt = f (0)

für jede stetige Funktion f : IR → IR.

−∞

Freilich gibt es solche Funktionen im üblichen Sinne nicht und auf die Theo-
rie der Distributionen (= Verallgemeinerten Funktionen) können wir uns hier
nicht einlassen. Nur so viel: Die letzte Gleichung ist das Wesentliche, (3) ist
der Spezialfall f = 1, Gleichung (1) und (2) haben wenig zu bedeuten!

Zur Erklärung gehen wir von dem folgenden Experiment aus. Auf einen frei
beweglichen Körper wirke ein Kraftstoß F ( t) = m v 0 mit konstanter Stärke in
ε
der endlichen Zeitspanne ε. Definieren wir die Funktion

638

15. Fourier-Transformation

⎧

⎨ 0 für t < 0
δ

1
ε ( t) = ⎩
für 0 < t < ε
ε

0 für t > ε
lässt sich der Impulsstoß F ( t) schreiben als

F ( t) = m v 0 δε ( t − t 0) .

Der gesamte, übertragene Impuls ist dann

1 ∞

1 ∞

1 t 0+ ε 1

Δ p =

F ( t) dt = m v 0
δε ( t − t 0) dt = m v 0
dt = m v 0 .

−∞

−∞
ε
t 0

Das Ergebnis ist unabhängig von der Zeitdauer ε! Für ε → 0 wird also derselbe

Impuls übertragen als für ein endliches ε. Der Grenzwert der Funktionenfami-
lie δε ( t) für ε → 0 ergibt die sogenannte Deltafunktion (Diracfunktion;
manchmal bezeichnet man sie auch nur mit Impulsfunktion).

δ ( t) := lim δε ( t).

ε→ 0

Abb. 15.13. Vom Rechteckimpuls zur Deltafunktion

Diese so definierte Funktion besitzt die Eigenschaften (1) - (4). Eigenschaft (1)

- (3) sind offensichtlich erfüllt und Eigenschaft (4) prüft man folgendermaßen
nach:

1 ∞

1

1
ε 1
ε 1
δε ( t) f ( t) dt =
f ( t) dt = f ( ξ)

dt = f ( ξ) ,

−∞
ε
ε

0

0
denn nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung darf f an einer geeigneten,
aber unbekannten Zwischenstelle ξ ∈ [0 , ε] aus dem Integral gezogen werden

(vgl. Abschnitt 8.2). Für ε → 0 geht zum einen ξ → 0, da 0 ≤ ξ ≤ ε, und zum
anderen δε ( t) → δ ( t). Damit ist

1 ∞

1 ∞

1 ∞
δ ( t) f ( t) dt =
lim δε ( t) f ( t) dt =lim
δε ( t) f ( t) dt = f (0) .

−∞

−∞ ε→ 0
ε→ 0 −∞

15.3

Fourier-Transformation der Deltafunktion

639

Wichtig ist sich zu merken, dass die Deltafunktion ein Funktional ist, das durch
die Integraleigenschaft

1 ∞
f ( t) δ ( t) dt = f (0)

−∞
charakterisiert wird, welche für jede stetige Funktion f ( t) gilt. Dies ist die
universelle Eigenschaft der Deltafunktion. Allgemeiner gilt sogar die folgende

Eigenschaft

1 ∞
f ( τ ) δ ( t − τ ) dτ = f ( t).

−∞

Denn

1 ∞

1 ∞
f ( τ ) δ ( t − τ ) dτ =
f ( t + ξ) δ ( ξ) dξ = f ( t + ξ) |

= f ( t) .

ξ=0

−∞

−∞

Man nennt diese Beziehung die Ausblendeigenschaft der Deltafunktion, da
von der Funktion f ein einzelner Wert nämlich der bei t ”ausgeblendet” wird.

Bemerkung: Mit der Ausblendeigenschaft kann man auch zeigen, dass die

Deltafunktion unabhängig von der gewählten Funktionenfamilie δε ( t) ist:

Denn sei δ 1 ( t) der Grenzwert einer Funktionenfamilie δ 1 ε ( t) und δ 2 ( t) der Grenzwert einer anderen Funktionenfamilie δ 2 ε ( t), dann gilt aufgrund der Ausblendeigenschaft von δ 1 ( t)

1 ∞

1 ∞
δ 2 ( t) =
δ 1 ( t − τ ) δ 2 ( τ ) dτ =
δ 1 ( ξ) δ 2 ( t − ξ) dξ = δ 1 ( t) .

−∞

−∞

Die letzte Gleichheit gilt wegen der Ausblendeigenschaft von δ 2 ( t). Also ist
δ 2 ( t) = δ 1 ( t) für alle t ∈ IR.

15.3.2 Fourier-Transformation der Deltafunktion

Aufgrund der grundlegenden Eigenschaft der Deltafunktion, dass für jede ste-
tige Funktion ϕ ( t)

1 ∞
δ ( t) ϕ ( t) dt = ϕ (0) ,

−∞
gilt speziell für ϕ ( t) = e−i ω t

1 ∞

δ ( t) e−i ω t dt = e−i ω t

= 1 .

t=0

−∞

Die linke Seite der Gleichung ist die Fourier-Transformierte der Funktion δ ( t);
damit ist die Fourier-Transformierte der Deltafunktion die konstante Funktion

640

15. Fourier-Transformation

F ( δ) ( ω) = 1.

Die Deltafunktion ist also genau die Funktion, die wir f¨
ur die

Systemanalyse ben¨
otigen: Sie enth¨
alt alle Frequenzen mit der

Amplitude 1.

Bemerkungen:

(1) Setzen wir dieses Ergebnis wiederum in die Umkehrformel der Fourier-

Transformation ( F I) ein, folgt

1

1

1

∞

1

∞
δ ( t) =

F ( δ) ( ω) ei ω t dω =
ei ω t dω .

( ∗)

2 π

−∞

2 π

−∞

Durch die Berechnung des uneigentlichen Integrals ( ∗)

1

1

1 /ε

1

1

δ ( t)

=
lim
ei ω t dω = lim
ei ω t ω=1 /ε
ε→ 0 2 π
ω= − 1 /ε

−

2 π i t

1 /ε
ε→ 0

1

1
sin 1 t

=
lim
ei 1 t
t
ε
ε

− e−i 1 ε

= lim
ε→ 0 2 π i t
ε→ 0
π t
erhalten wir die Deltafunktion auch als Grenzwert der Funktionenfami-
sin( 1 t)

lie
ε
für ε → 0, welche wir schon in Beispiel 15.1 angegeben und
π t
graphisch diskutiert hatten.

(2) Wenden wir auf Gleichung ( ∗) nochmals die Fourier-Transformation an,
erhält man mit der Symmetrieeigenschaft ( F 2) die Fourier-Transformierte
der konstanten Funktion:

F (1) ( ω) = 2 π δ ( ω).

Beispiele 15.16.

 Wir berechnen die Fourier-Transformierte der Sprungfunktion

1

1

S ( t) =

+
sign ( t) .

2

2

Nach Beispiel 15.6 ist die Fourier-Transformierte von f ( t) = 1 gegeben
t
durch

F 1 ( ω) = −i π sign ( ω) .

t

15.3

Fourier-Transformation der Deltafunktion

641

Nach der Symmetrieeigenschaft ( F 2) gilt daher

F

1

1

1

1

2

( sign ( t)) ( ω) =

F( F( )) ( ω) =

2 π

=

−i π
t

−i π

−ω
i ω
und wegen der Linearität ( F 1)

F 1

1

1

1

+
sign ( t)

( ω) =

F (1) ( ω) + F ( sign ( t)) ( ω)

2

2

2

2

⇒ F

1

( S ( t)) ( ω) = π δ ( ω) +

.

i ω

 Wegen den Verschiebungseigenschaften ( F 4), ( F 5) ist

F ( δ ( t − t 0)) ( ω) = e−i ω t 0 ,

F ei ω 0 t ( ω) = 2 π δ ( ω − ω 0) .

 Wegen der Modulationseigenschaft ( F 6) gilt mit f ( t) = 1

F (cos ( ω 0 t)) ( ω) = π δ ( ω − ω 0) + π δ ( ω + ω 0).

Dieses Ergebnis besagt, dass in cos ( ω 0 t) nur eine Frequenz ω 0 enthalten
ist. Die Fourier-Transformation liefert als Spektrum von cos ( ω 0 t) nur eine

Linie. Misst man cos ( ω 0 t) in einem endlichen Zeitintervall, so kommt es
nach Beispiel 15.10 allerdings zur Verbreiterung dieser Linie!

 Mit der Ausblendeigenschaft der Deltafunktion gilt

1 ∞
δ ( t − t 0) ∗ f ( t) =
δ ( τ − t 0) f ( t − τ ) dτ = f ( t − τ ) |

= f ( t − t
τ = t

0) .

−∞

0

Beispiel 15.17 (Fourier-Transformation periodischer Funktionen). Sei
f eine T -periodische Funktion. Dann gilt nach dem Satz von Fourier für peri-
odische Funktionen mit ω 0 = 2 π in der komplexen Schreibweise

T

∞

f ( t) =
cn ei n ω 0 t .

n= −∞

Aufgrund der Linearität der Fourier-Transformation gilt mit Beispiel 15.16 |

∞

∞

F ( f ( t)) ( ω) =
cn F ei n ω 0 t ( ω) = 2 π
cn δ ( ω − n ω 0) .

n= −∞
n= −∞

Die Fourier-Transformierte einer periodischen Funktion ist durch das Spek-
trum der Fourier-Reihe gegeben. Daher bezeichnet man als Spektrum eines
beliebigen Signals f ( t) die Fourier-Transformierte F ( ω).

642

15. Fourier-Transformation

15.3.3 Darstellung der Fourier-Transformierten von δ( t)

Wir zeigen im Folgenden den Übergang des Spektrums der Funktionenfamilie
δε ( t) für ε → 0 zum Spektrum der Deltafunktion auf. Nach Beispiel 15.1 gilt
die Beziehung

Abb. 15.14. a) Zeitfunktion δT ( t),
b) Spektrum FT ( ω)

F

1

T ( ω) := F
rect( 2 t ) ( ω) = sin( ω T/ 2) .

T

T
ω T

Für T → 0 geht die Zeitfunktion δT ( t) = 1 rect( 2 t ) gegen die Deltafunktion.

T

T

Wir diskutieren das Spektrum FT ( ω) in Abhängigkeit des Parameters T : Die

Maximalamplitude ist 1; unabhängig von T . Die erste Nullstelle des Spektrums
liegt bei ω = ± 2 π ; abhängig von T . Für T → 0 strebt diese Nullstelle gegen

T

±∞:

T → 0
δT ( t)

−→ δ ( t)

T → 0

FT ( ω)

−→ 1

Der Übergang FT ( ω) → 1 für T → 0 lässt sich graphisch mit Maple sehr
schön veranschaulichen. Wir definieren das Spektrum zu den Zeitfunktionen

FT ( t):

sin 1 w T

F

2

T := 2
w T

Für kleiner werdendes T werden diese Funktionen in Form einer Animation
über T graphisch dargestellt:

15.3

Fourier-Transformation der Deltafunktion

643

Animation: Man erkennt an den Einzelbildern, dass die Maximalam-
plitude stets bei 1 bleibt, die Nullstellen aber gegen ±∞ wandern, so
dass als Grenzfunktion die konstante Funktion F ( ω) = 1 herauskommt.

Hinweis/Ausblick: Auf der CD-Rom sind die Anwendungen der Del-
tafunktion zur Signal- und Systemtheorie für lineare Systeme in Ab-
schnitt 15.5 und 15.6 enthalten. Zentral ist dabei der Begriff der Impulsant-
wort, der die Reaktion eines Systems auf die Impulsfunktion (genauer auf die

Deltafunktion) beschreibt. Die Fourier-Transformierte der Impulsantwort ist
die Systemfunktion (= Übertragungsfunktion), welche das System bezüglich
seinem Frequenzverhalten charakterisiert.

MAPLE-Worksheets zu Kapitel 15

Die folgenden elektronischen Arbeitsblätter stehen für Kapitel 15 mit

Maple zur Verfügung.

Von den Fourier-Reihen zur Fourier-Transformation

Fourier-Transformation mit Maple

Lösen von DG mit der Fourier-Transformation

Deltafunktion mit Maple

Worksheets zu den Themen auf der CD-Rom:

Systeme mit einem und zwei Energiespeicher mit Maple

Systemanalyse des Doppelpendels über die Impulsantwort

Systemanalyse eines Hochpasses über die Impulsantwort

Diskrete Fourier-Transformation (DFT) mit Maple

Diskrete Fourier-Transformation mit der FFT

Signalanalyse diskreter Signale mit der FFT

Systemanalyse eines Tiefpasses mit der FFT

644

15. Fourier-Transformation

15.3.4 Korrespondenzen der Fourier-Transformation
f ( t)

F ( ω) = F ( f ) ( ω)

δ ( t)

1

1

2 π δ ( ω)

cos ( ω 0 t)

π δ ( ω − ω 0) + π δ ( ω + ω 0)

π
sin ( ω 0 t)

δ ( ω − ω 0) − π δ ( ω + ω 0)

i
i

2
sign ( t)

i ω

1

S ( t)

π δ ( ω) + i ω
π
π
i ω

S ( t) cos ( ω 0 t)

δ ( ω − ω 0) +
δ ( ω + ω 0) +

2

2
ω 20 − ω 2
π
ω 0

S ( t) sin ( ω 0 t)

δ ( ω − ω 0) − π δ ( ω + ω 0) +

2 i

2 i
ω 20 − ω 2

1

S ( t) e−a t

( a > 0 bzw. Re a > 0)

a + i ω
e−a t

1

S ( t) tn
n!

( a + i ω) n+1 ( a > 0 bzw. Re a > 0)

i ω + a

S ( t) e−a t cos ( ω 0 t)

( a > 0 bzw. Re a > 0)

( i ω + a)2 + ω 20
ω 0

S ( t) e−a t sin ( ω 0 t)

( a > 0 bzw. Re a > 0)

( i ω + a)2 + ω 20

2 a
e−a |t|,
a > 0
a 2 + ω 2

2 a ω 2 + ω 20 + a 2
e−a |t| cos ( ω 0 t) ,
a > 0

( ω 2 − ω 20)2 + a 2 (2 ω 2 + 2 ω 20 + a 2)

π
e−a t 2 ,
a > 0
e− ω 2

4 a
a

0

1
für |t| < T

2 sin ( ω T )

rect
t

=

T

0
für |t| > T
ω

0

1 − |t|
f
ω T
ür |t| < T

4 sin2

Δ
t

=

T

2

T

0
für |t| > T

T ω 2

15.4

Aufgaben zur Fourier-Transformation

645

15.4

15.4 Aufgaben zur Fourier-Transformation

15.1
a) Bestimmen Sie die Fourier-Transformierte von

0 A für − T
f 1 ( t) =

2 < t < T 2

0
sonst
b) Man diskutiere die Funktion F ( f 1) ( ω) für A = 1

T
c) Was ergibt sich für

0 A für t 0 < t < t 0 + T
f 2 ( t) =

?

0
sonst

15.2

Man bestimme das Spektrum des Dreiecksignals

0

A · 1 − t |t| ≤ T
f ( t) =

T

0

|t| > T

15.3
a) Berechnen Sie die Fourier-Transformierte der Funktion e−α |t| sign ( t)

(vgl. Abb. (a)).

b) Man berechne die Fourier-Transformierte des cos2-Impulses (vgl. (b)).

Abb. (a)

Abb. (b)

15.4

Man berechne mit Maple die Fourier-Transformierten von 15.1 - 15.3.

15.5

Geben Sie die Fourier-Transformierte der in Abb. (c) skizzierten Funktion
f ( t) an.

Abb. (c)

15.6

Zeigen Sie, dass die Fourier-Transformation eine lineare Transformation ist,
d.h. das Superpositionsgesetz gültig ist:

F ( α 1 f 1 + α 2 f 2) = α 1 F ( f 1) + α 2 F ( f 2) .

15.7

Beweisen Sie

a) die Skalierungseigenschaft F ( f ( a t)) ( ω) = 1 F
ω

|

( f ( t))

,
a|
a
b) den Verschiebungssatz F ( f ( t − t 0)) ( ω) = e−iω 0 t F ( f ( t)) ( ω) .

646

15. Fourier-Transformation

15.8

Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass

F
dn

(( −i t) n f ) =

F ( f) ( ω) = F ( n) ( ω) ,
dωn
wenn F ( ω) = F ( f ) ( ω).

15.9

Bestimmen Sie unter Verwendung der Eigenschaften der Fourier-Transformation
die Transformierten von
a) δ ( t)

b) δ ( t − t 0)

c) i 2 ( δ ( t + t 0) − δ ( t − t 0))

d) sin ( ω 0 t)

15.10

Man zeige, dass die folgenden Gleichungen gültig sind

a) F ei a t ( ω) = 2 π δ ( ω − a)

b) δ ( t − t 0) ∗ f ( t) = f ( t − t 0)

15.11

Wie lautet die Faltung des Rechteckimpulses

0

2 t

1 |t| ≤ T
rect

=

2

T

0 |t| > T 2
mit sich selbst? (Skizze!)

15.12

Berechnen Sie die Fourier-Transformierten der unten gezeichneten Funktio-
nen

15.13

Bestimmen Sie mit Hilfe einer graphischen Skizze die Faltung f ∗h der Funk-
tionen für
a) t ≤ 0
b) 0 ≤ t ≤ T
c) T ≤ t.

15.14

Gegeben ist die Differenzialgleichung
y ( t) − 4 y ( t) = f ( t) .

Bestimmen Sie die Fourier-Transformierte von y ( t) sowie y ( t) in Form eines

Faltungsintegrals.

Literaturverzeichnis

Das folgende Literaturverzeichnis enthält eine (keineswegs vollständige) Auf-
stellung von Lehrbüchern zur Ergänzung und Vertiefung der Ingenieurmathe-
matik, Aufgabensammlungen, Handbücher sowie Literatur über Maple und
über das Textverarbeitungssystem LATEX.

Lehrb¨
ucher Ingenieurmathematik:

Ayres, F.: Differential- und Integralrechnung. McGraw-Hill 1975.

Brauch, W., Dreyer, H.J., Haacke, W.: Mathematik für Ingenieure.

Teubner, Stuttgart 1990.

Bronstein, I.N., Semendjajew, K.A.: Taschenbuch der Mathematik.

Harri Deutsch, Thun/Frankfurt 1989.

Burg, K., Haf, W., Wille, F.: Höhere Mathematik für Ingenieure I-IV.

Teubner, Stuttgart 1985-90.

Engeln-Müllges, G., Reutter, F.: Formelsamml. zur Numerischen Mathematik.

BI Wissenschaftsverlag, Mannheim 1985.

Fetzer, A., Fränkel, H.: Mathematik 1+2. Springer 1997+99.

v. Finckenstein, K.: Grundkurs Mathematik für Ingenieure.

Teubner, Stuttgart 1986.

Fischer, G.: Lineare Algebra. Vieweg, Braunschweig 1986.

Forster, O.: Analysis 1. Vieweg, Braunschweig 1983.

Hainzel, J.: Mathematik für Naturwissenschaftler. Teubner, Stuttgart 1985.

Hohloch, E., Kümmerer, H.: Brücken zur Mathematik 1-7, Cornelsen 1989-96.

Meyberg, K., Vachenauer, P.: Höhere Mathematik 1+2. Springer 1999+97.

Munz, C.D., Westermann, T.: Numerische Behandlung gewöhnlicher und
partieller Differenzialgleichungen. Springer 2006.

Papula, L.: Mathematik für Ingenieure 1+2. Vieweg, Braunschweig 1988.

Spiegel, M.R.: Höhere Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler.

McGraw-Hill 1978.

Stingl, P.: Mathematik für Fachhochschulen. Carl Hanser 1992.

Werner, W.: Mathematik lernen mit Maple (Band 1+2). dpunkt 1996+98.

Westermann, T., Buhmann, W., Diemer, L., Endres, E., Laule, M., Wilke, G.:

Mathematische Begriffe visualisiert mit Maple. Springer 2001.

648

Literatur

Literatur zur Physik und Systemtheorie:

Crawford, F.S.: Schwingungen und Wellen. Berkley Physik Kurs 3.

Vieweg, Braunschweig 1979.

Gerthsen, C., Vogel, H.: Physik. Springer 1993.

Hering, E., Martin, R., Stohrer, M.: Physik für Ingenieure. Springer 1999.

Mildenberger, O.: System- und Signaltheorie. Vieweg, Braunschweig 1989.

Vielhauer, P.: Passive Lineare Netzwerke. Hüthig-Verlag 1974.

Literatur zu Maple:

Burkhardt, W.: Erste Schritte mit Maple. Springer 1996.

Char, B.W. et al.: Maple9 Learning Guide. Maple Inc. 2003.

Devitt, J.S.: Calculus with Maple V. Brooks/Cole 1994.

Dodson, C.T.J., Gonzalez, E.A.: Experiments In Mathematics Using Maple.

Springer 1995.

Ellis, W. et al.: Maple V Flight Manual. Brooks/Cole 1996.

Heal, K.M. et. al.: Maple V: Learning Guide. Springer 1996.

Heck, A.: Introduction to Maple. Springer 2003.

Heinrich, E., Janetzko, H.D.: Das Maple Arbeitsbuch.

Vieweg, Braunschweig 1995.

Kofler, M. et al.: Maple: Einführung, Anwendung, Referenz.

Addison-Wesley 2001.

Komma, M.: Moderne Physik mit Maple. Int. Thomson Publishing 1996.

Lopez, R.J.: Maple via Calculus. Birkhäuser, Boston 1994.

Maple 11 Advanced Programming Guide. Maplesoft, Waterloo 2007.

Maple 11 User Manual, Maplesoft. Waterloo 2007.

Monagan, M.B. et al.: Maple9 Programming. Maple Inc. 2003.

Westermann, T.: Mathematische Probleme lösen mit Maple. Springer 2008.

Literatur zu LATEX:

Dietsche, L., Lammarsch, J.: Latex zum Loslegen. Springer 1994.

Kopka, H.: Latex. Addison-Wesley 1994.

Sachverzeichnis

Äquivalenzumformungen, 29

Charakteristisches Polynom, 511,

Ableitung, 245

531–533, 535
der Umkehrfunktion, 255

Cramersche Regel, 123
elementarer Funktionen, 247
gemischte, 405
höhere, 248

Definitionsbereich, 140, 392
numerische, 246

Definitionslücken, 163, 235
partielle, 401

Deltafunktion, 637, 638

Abstand, 18, 390

Ausblendeigenschaft, 639

Ebene-Ebene, 73

Determinante, 114

Ebene-Gerade, 72

Entwicklungssatz, 118

Gerade-Gerade, 65

Punkt-Ebene, 72
n-reihige, 118

Punkt-Gerade, 65
zweireihige, 115

Addition

Dezimalzahlen, 431
komplexe, 200

Differenzenformeln, 246

Matrizen, 101

Differenzenquotient, 245

Vektoren, 43, 50

Differenzial, 265

Additionstheoreme, 181, 380
abhängiges, 265, 423

Additivität des Integrals, 312
als lineare Näherung, 423

Amplitudenspektrum, 601, 618
einer Funktion, 265

Anordnung reeller Zahlen, 17
totales, 424, 425

Anpassung
unabhängiges, 265, 423
exponentielle, 444

Differenzialgleichungen, 475
logarithmische, 443

1. Ordnung, 476, 490

Potenz-, 444
gewöhnliche, 475

Aperiodischer Grenzfall, 539

Arbeitsintegral, 333
homogene, 480, 525

Areafunktionen, 258
inhomogene, 480, 482, 525

Arkusfunktionen, 182–185, 293
lineare 1. Ordnung, 480, 483

Assoziativgesetz, 14
lineare DG Systeme, 501

Asymptoten, 164
n-ter Ordnung, 550

Ausblendeigenschaft, 639
nichtlineare, 494

Ordnung der DG, 475

Balkenbiegung, 279

Differenzialquotient, 245

Basis, 87

Differenzialrechnung, 244

Bernoullische Ungleichung, 18

Differenziation, 245

Betrag, 18, 50, 618
komplexwertiger Funktionen, 382
eines Vektors, 43

Differenziationsregeln
komplexer, 195, 196

Faktorregel, 249

Betragsfunktion, 141
implizite, 260

Bijektivität, 151

Kettenregel, 252

Bildfunktion, 563, 564

Bildungsgesetz bei Folgen, 223
logarithmische, 258

Bildvektor, 109

Potenzregel, 250

Binomialkoeffizient, 11

Produktregel, 250

Binomischer Lehrsatz, 12

Quotientenregel, 251

Bogenmaß, 175

Summenregel, 249

650

Index

Differenzierbarkeit, 245

Eulersche Zahl, 227

Dimension, 89

Exponentialform

Diracfunktion, 638
komplexe, 196

Diskretisierung, 498

Exponentialfunktion, 142, 170, 282

Diskriminante, 20
allgemeine, 174

Distributivgesetz

Extremalwerte, relative, 271, 432

Matrizen, 105

Extremwertaufgaben, 277

Vektoren, 2D, 45
divergent, 225, 345

Fadenpendel, 132, 523
bestimmt, 346

Fakultät, 8

Divergenz, 225

Falk-Schema, 104

Dividierte Differenzen, 159

Faltungsintegral, 630

Division

Faltungstheorem, 630
komplexe, 203

Federpendel, 524

Doppelintegral, 453

Fehler

Berechnung von, 455
absoluter, 269, 428

Dreifachintegral, 465
relativer, 269, 429

Durchschnitt von Mengen, 4

Fehlerfortpflanzung nach Gauß, 429

Dämpfung

Fehlerrechnung, 268, 428
starke, 540

Flächenberechnung, 459

Flächenmoment, 462
e, 227

Flächenberechnung, 329

Ebenengleichung, 67

Folgen

Effektivwert, 335

Exponentialfolge, 227

Eigenfrequenzen, 522

Funktionsgrenzwerte, 229

Eigenraum, 512

Limesrechenregeln, 228

Eigenvektor, 508, 511

Folgenglieder, 223

Eigenwerte, 508

Fourier-Analyse, 587

Eineindeutigkeit, 151

Fourier-Integral, 615

Einheitsvektor, 50

Fourier-Koeffizienten, 591

Einschließungsalgorithmen, 238
komplexe, 606

Einschwingvorgang, 489

Fourier-Reihe, 586, 591, 609

Einweggleichrichter, 602

2w-periodische, 591

Elektrische Netzwerke, 26, 562
komplexe, 606

Elektrischer Vierpol, 111
p-periodische, 599

Elektrisches Feld, 264

Fourier-Transformation, 613

Elektrostatisches Potenzial, 394
der Ableitung, 629

Elemente einer Menge, 3
der Deltafunktion, 639

Energieintegral, 333
der n-te Ableitung, 629

Entladekurve, 171

Faltungstheorem, 630

Entwicklungspunkt, 355

Frequenzverschiebung, 626

Entwicklungssatz nach Laplace, 118
inverse, 619

Erweiterung, stetige, 237

Linearität, 623

Erzeugendensystem, 83

Modulation, 627

Erzeugnis von Vektoren, 81

Skalierung, 625

Erzwungene Schwingung, 552

Symmetrie, 623

Euler-Verfahren, 498, 499

Zeitverschiebung, 626

Eulersche Formel, 196, 378

Fourier-Transformierte, 615

Index

651

Freie gedämpfte Schwingung, 537

Gebrochenrationale Funktionen, 162

Freier Fall mit Luftwiderstand, 495

Gedämpfte Schwingung, 538

Frequenzbereich, 615

Gekoppelte Pendel, 501

Frequenzverschiebung, 626
ohne Reibung, 518

Fundamentalsatz

Geometrie
der Algebra, 207

Ebene, 67
der Diff. u. Integralrechnung, 302

Gerade, 61
für LGS, 128

Hesse-Normalform, 68

Fundamentalsystem, 513, 533, 535

Schnittpunkt Gerade-Ebene, 73
komplexes, 531

Schnittwinkel Gerade-Ebene, 73, 74
reelles, 532

Schnittwinkel Geraden, 66

Funktionen, 140

Geometrische Summe, 10

Arkus-, 182

Gerade, 48

Betrags-, 141

Geradengleichung, 61
diskrete, 224

Gestaffeltes System, 30
einer Variablen, 140

Gewöhnliche Differenzialgleichungen,

Exponential-, 170

475
gebrochenrationale, 162

Gleichspannungsanteil, 601

Integral-, 301, 304

Gleichungen, 19
komplexe Exponential-, 377

Ungleichungen, 23
komplexwertige, 376

Gleichungssystem

Kosinus-, 175
homogenes, 29

Kosinus-Hyperbolikus, 381
inhomogenes, 29

Kotangens-, 180
lineares, 26, 28
lineare, 427

Gradient, 411

Logarithmus-, 172

Gradmaß, 175
rationale, 162

Graph, 140, 392
reellwertige, 140

Grenzwert, 225, 231, 233

Sinus-, 175
linksseitiger, 231

Sinus-Hyperbolikus, 381
rechtsseitiger, 231

Stamm-, 305

Grundschwingungen, 519

Tangens-, 180

Umkehr-, 148

Halbwertszeit, 173
von n Variablen, 391

Harmonische Schwingungen, 209, 585

Funktionenreihe, 355

Harmonisches Pendel, 267

Funktionseigenschaften, 144

Hauptdiagonale, 100

Funktionsgrenzwert, 231

Hauptsatz der Differenzial- und

Integralrechnung, 309

Ganzrationale Funktion, 152

Hesse-Normalform, 48, 68

Gauß-Algorithmus, 26, 30

Hessesche Matrix, 420, 436

Gauß-Jordan-Verfahren, 106

Homogene DG

Gaußsche Zahlenebene, 194
n-ter Ordnung, 529, 533, 535

Gaußsches Eliminationsverfahren, 30

Homogene LDGS, 504

Gebietsintegral, 453

Hooksches Gesetz, 263
dreidimensionales, 465

Horner-Schema, 155
gebrochenrational

Hospitalsche Regeln, 284
echt, 321

Hyperbelfunktionen, 257
unecht, 321

Häufungspunkt, 226

652

Index

Höhenlinie, 393

Komplexe Zahlen, 193

Komplexes Fundamentalsystem, 531

Imaginäre Einheit, 193, 199

Konjugiert komplexe Zahl, 198

Imaginärteil, 194
konvergent, 225, 345

Implizite Differenziation, 260
absolut, 345

Impulsfunktion, 638

Konvergenz, 225

Induktion, vollständige, 6

Konvergenzbereich, 355

Induktionsgesetz, 263

Konvergenzkriterien, 350

Inhomogene DG, 482, 545

Konvergenzradius, 357, 377
n-ter Ordnung, 529, 541

Koordinatensystem

Injektivität, 151
kartesisches, 41

Integral

Korrespondenz, 564, 615
bestimmtes, 298, 309

Kosinusfunktion, 175

Riemann, 297

Kosinushyperbolikus, 257, 293
unbestimmtes, 301

Kosinustransformierte, 620
uneigentliches, 327

Kotangensfunktion, 180

Integralfunktion, 301, 304

Kotangenshyperbolikus, 258

Integration

Kräfteaddition, 43

Integrationskonstante, 306

Kräfteparallelogramm, 43
komplexwertiger Funktionen, 383

Kreuzprodukt, 55, 124
partielle, 313

Kriechfall, 540

Integrationsregeln

Krümmung

Additivität, 312

Links-, 270

Faktorregel, 311

Rechts-, 270

Partialbruchzerlegung, 321

Kurvendiskussion, 274
partielle Integration, 313

Körper, 15

Substitutionsregel, 315

Summenregel, 311
l’Hospitalsche Regeln, 284

Interpolationspolynom

Lagrange Interpolation, 153

Lagranges, 153

Langzeitverhalten, 489

Newtonsches, 159

Laplace-Transformation, 561

Intervalle, 19

Additionssatz, 570

Inverse Matrix, 105, 121

Anwendungen, 577

Inverses Element, 14
der Ableitung, 571

Iteration, 238
der n-ten Ableitung, 572

Kartesisches Produkt, 5

Eigenschaften, 569

Kern, 125
inverse, 568

Kettenregel, 252

Linearität, 569

Kirchhoffsche Gesetze, 26, 111

Rücktransformation, 574

Knotensatz, 26, 111

Laplace-Transformierte, 564, 566

Koeffizienten bei LGS, 28

Laplacescher Entwicklungssatz, 118

Koeffizientenmatrix, 29

LDGS, 501

Koeffizientenvergleich, 154
homogene, 504

Kommutativgesetz, 14

Lösungen, 508

Komplement von Mengen, 4
zweiter Ordnung, 517

Komplexe Amplitude, 210

LGS, 28

Komplexe Fourier-Reihe, 606

Limes, 225

Komplexe Umformungen, 197

Limesrechenregeln, 228

Index

653

Linear unabhängige Funktionen, 505
quadratische, 100

Lineare Abbildungen, 109

Rang, 126

Lineare Abhängigkeit, 84
reguläre, 106

Lineare Differenzialgleichung, 475

Sarrussche Regel, 120

Lineare Differenzialgleichung 1.

symmetrische, 100

Ordnung, 480, 483
transponierte, 102

Lineare Differenzialgleichungssysteme,

Umkehrmatrix, 106

501

Maximum

Lineare Gleichungssysteme
relatives, 271, 432, 435

Lösbarkeit, 124

Mengen, 3

Lineare Unabhängigkeit, 84, 129

Mengenoperationen, 4

Linearfaktor, 155

Methode der kleinsten Quadrate, 440

Linearisierung, 267, 419, 421

Minimum
von Funktionen, 426, 427
relatives, 271, 432, 435

Linearität, 623

Minorantenkriterium, 349

Linearkombination, 81

Mittelwert

Logarithmische Differenziation, 258
integraler, 303

Logarithmus, 16
linearer, 334
zur Basis b, 16
quadratischer, 335

Logarithmusfunktion, 172

Mittelwerteigenschaft, 590, 619

Lokale Extrema, 432

Mittelwertsatz, 283, 419
hinreichende Bedingung, 435

Modulation, 627
notwendige Bedingung, 433

Moivresche Formel, 205

Lorentz-Kraft, 58

Monotonie, 146

Lösung

Monotoniekriterium, 226, 227
partikuläre, 484, 490, 491, 541, 542,

Monotonieverhalten, 270

549

Multiplikation
spezielle, 484
komplexe, 201

Lösungen von LDGS, 508

Matrizen, 102

Lösungs-Fundamentalsystem, 506, 529

Natürliche Zahlen, 5

Newton-Verfahren, 159, 289, 290

Majorante, 350

Nichtlineare Differenzialgleichungen, 494

Majorantenkriterium, 350

Normalform

Maschensatz, 26, 111
algebraische, 195, 199

Matrix, 29

Exponentialform, 196, 199

Matrixelemente, 100
trigonometrische, 196, 199

Matrizen, 99

Umformungen, 197

Addition, 101

Nullfolge, 226

Determinante, 115

Nullphase, 178

Diagonalmatrix, 100

Nullraum, 125

Einheitsmatrix, 100

Nullstellen, 144, 163

Falk-Schema, 104

Polynome, 156

Gauß-Jordan-Verfahren, 106

Numerische Differenziation, 246

Hauptdiagonale, 100

Numerische Integration, 302

Inverse Matrix, 106

Näherungsausdrücke, 421

Multiplikation, 102

Näherungspolynome, 371

Nullmatrix, 101

Produkt, 103

Optimierungsprobleme, 277

654

Index

Ordnung der Differenzialgleichung, 475

Rang, 126

Ortsvektor, 42, 50

Rationale Funktionen, 162

RC-Kreis, 486, 492
p/q-Lösungsformel, 20

RCL-Kreis, 524

Partialbruchzerlegung, 321

RCL-Wechselstromkreis, 214, 277

Partialsumme, 344

Realteil, 194

Partiell differenzierbar, 401

Rechengesetze

Partielle Ableitung, 401
für Vektorprodukt, 56

1. Ordnung, 401
komplexe, 200
von f nach x, 404
reeller Zahlen, 14
zweiter Ordnung, 404

Vektoren, 77

Partielle Integration, 313

Vektoren, 2D, 42

Peanosche Axiome, 6

Vektoren, 3D, 50

Pendel, harmonisches, 267

Rechteckimpuls

Periode, 177
modulierter, 627

Periodizität, 147

Reduktion einer DG, 526

Permutation, 10

Reelle Zahlen, 13

Phase, 178, 618

Reelles Fundamentalsystem, 532

Phasenspektrum, 601, 618

Regeln

Phasenverschiebung, 179

Substitutionsregel, 319

Plancksches Strahlungsgesetz, 287
von l’Hospital, 284

Plattenkondensator, 264

Regressionsgerade, 439, 441, 442

Pole, 163

Reihe, 345

Polygonzugverfahren, 499
alternierende, 353

Polynomdivision, 157
alternierende harmonische, 354

Polynome, 152
arithmetische, 347

Potenz, 15
geometrische, 346
komplexe, 205
harmonische, 348, 349

Potenzanpassung, 444

MacLaurinsche, 365

Potenzfunktion, 167

Taylor-Reihe, 364
allgemeine, 174
unendliche, 345

Potenzreihe, 355
rekursive Folge, 228

Eigenschaften, 360

Relative Extremwerte, 271, 432
geometrische, 356
notwendige Bedingung, 433
komplexe, 376
relatives

Potenzreihenentwicklung, 375

Maximum, 271

Primzahlen, 9

Minimum, 271

Prinzip der kleinsten Quadrate, 439

Restglied, 420

Produktregel, 250

Richtungsableitung, 414

Projektion eines Vektors, 53

Richtungsvektor, 41, 50

Quadratfunktion, 142

Riemann-Integral, 297

Quadratische Gleichungen, 20

RL-Kreis, 477, 481, 486

Quotientenkriterium, 351

Rohstoffkette, 110

Limesform, 352

Quotientenregel, 251

S-Multiplikation, 77

Sarrus, 120

Radioaktiver Zerfall, 171, 479

Sattelpunkt, 272, 434, 435

Raketengleichung, 331

Satz von Fourier, 591, 599

Index

655

Satz von Laplace, 564

Subtraktion

Satz von Rolle, 283
komplexe, 200

Satz von Schwarz, 406

Vektoren, 2D, 43

Satz von Steiner, 468

Vektoren, 3D, 50

Satz von Taylor, 418

Summe

Scheinwerferregelung, 373
unendliche Reihe, 345

Schnittkurvendiagramm, 397

Superposition, 80, 210

Schwarz, 406

Surjektivität, 151

Schwebung, 519

Symmetrie, 145, 623

Schwerpunkt, 336, 467

Systeme
ebene Fläche, 460
homogen, 503

Koordinaten, 337
inhomogen, 503

Schwingungen, 209
harmonische, 585

T-periodische Signale, 599

Schwingungsformen, 519, 522

Tangensfunktion, 180
si-Funktion, 616

Tangenshyperbolikus, 257, 293

Tangentialebene, 408, 409, 421

Signalanalyse, 586

Taylor

Sinusfunktion, 142, 175

Polynom, 363
allgemeine, 177

Satz von, 363

Sinushyperbolikus, 257, 293

Taylorsche Formel, 363

Sinustransformierte, 620

Taylor-Reihen, 366 - 369

Skalarprodukt, 51

Teilsummen, 344

2D, 44

Totale Differenzierbarkeit, 408

Skalierung, 625

Totales Differenzial, 424, 425

Spaltenrang, 125

Trägheitsmoment, 467

Spaltenraum, 125

Trennung der Variablen, 480, 494

Spaltenvektor, 99

Trigonometrische Funktionen, 175

Spannungsintegral, 332

Spatprodukt, 59

Überlagerung von Schwingungen, 209

Spektralbereich, 615

Umkehrfunktion, 148

Spektralfunktion, 615

Umkehrmatrix, 105

Spektrenbreite, 628

Ungleichungen, 23

Spektrum

Untervektorraum, 80

Amplitudenspektrum, 601, 618
diskretes, 601

Variable

Phasenspektrum, 601, 618
abhängige, 141

Stammfunktion, 305
unabhängige, 141

Stationärer Punkt, 434

Variation der Konstanten, 482

Steinerscher Satz, 468

Vektoren, 41
stetig, 235

Addition, 43, 50
stetige Erweiterung, 237

Assoziativgesetz, 45

Stetigkeit, 235, 398

Betrag, 43, 50

Delta-Epsilon-Stetigkeit, 400

Drehimpuls, 58
stückweise stetig, 563

Drehmoment, 58

Streckenzugverfahren, 498

Einheitsvektor, 44, 50

Störfunktion, 480, 491

Geraden-Darstellung, 48

Stückweise Stetigkeit, 590

Hesse-Normalform, 48

Substitutionsregel, 315

Komponenten, 42

656

Index

Koordinatensystem, 42

Weg-Zeit-Gesetz, 139, 243, 524

Kräfteaddition, 43

Wendepunkt, 272

Kreuzprodukt, 55

Wertebereich, 140

Länge, 43, 50

Wheatstonesche Brückenschaltung, 269

Linearkombination, 44, 51

Widerstand

Lorentz-Kraft, 58

Blind-, 215

Multiplikation mit Skalar, 42, 50, 56
komplexer, 214

Normalen-Einheitsvektor, 47
ohmscher, 214

Orthonormalsystem, 52
reeller Schein-, 215

Ortsvektor, 42, 50

Wirk-, 215

Projektion, 53, 54

Widerstandsanpassung, 278

Rechtssystem, 59

Wiensche Verschiebungsgesetz, 288

Richtungskosinus, 52

Winkelargument

Richtungsvektor, 42, 50
komplexes, 196

Skalarprodukt, 44, 51

Winkelfunktionen, 175

Spatprodukt, 59

Wronski-Determinante, 529

Streckung, 42

Wurzelfunktion, 142, 168

Vektorprodukt, 55

Wurzelgleichungen, 21

Winkel, 46

Wurzeln, 291

Vektoren, 2D, 42

Einheitswurzel, 206

Vektoren, 3D, 50
komplexe, 206

Vektoren, n-dimensional

Wurzelziehen
äußere Verknüpfung, 77
babylonisches, 228, 292

Addition, 77

Wärmestrahlung, 287

Basis, 87

Dimension, 89

Zahlen

Erzeugendensystem, 83
komplex konjugierte, 198, 199

Erzeugnis, 82
komplexe, 193
innere Verknüpfung, 77
natürliche, 5
linear abhängig, 84
reelle, 13
linear unabhängig, 84

Zahlenebene

Linearkombination, 81

Gaußsche, 194, 199

Nullvektor, 77

Zahlenfolge

S-Multiplikation, 77
reelle, 223

Superposition, 80

Zahlengerade, 13

Untervektorraum, 80

Zeiger

Vektorraum, 76, 78
komplexer, 195

Vektorprodukt, 55, 124

Zeilenrang, 125

Vektorraum, 78

Zeilenumformungen

Venn-Diagramm, 4
elementare, 29

Vereinigung von Mengen, 4

Zeilenvektor, 99

Vollständige Induktion, 6

Zeitfunktion, 563

Volumen, 463, 467

Zeitverschiebung, 626

Zerfallsgesetz, 479

Wachstum

Zielbereich, 140
höchstens exponentielles, 563

Zustandsgleichung, 390, 426

Wechselspannung, 487

Zwischensumme, 298